Đề thi môn Toán cao cấp

lOMoARcPSD|36451986
Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính x 2
 x  x 1 lim   . 2 x x   x 1 b) Cho hàm số x 1  2 e  x  , x  1
f (x)   x 1 . mx  1 , x 1
Tìm giá trị tham số m để hàm số liên tục tại x 1.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính  2  x xe d . x  0
Câu 3 (2,0 điểm). Viết khai triển Maclaurin của 4 1 ( ) x f x e
đến bậc 3, với phần dư dạng Peano.
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Chi phí sản xuất 𝑥 sản phẩm là hàm 𝑐(𝑥) có
𝑐(20) = $200 và 𝑐′(20) = $27.
Hãy dự báo chi phí sản xuất 21 sản phẩm là bao nhiêu?
b) Tìm xấp xỉ tuyến tính của 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 tại 1 và sử dụng xấp xỉ này tính gần đúng √3,98.
Câu 5 (2,0 điểm). Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm, biết mối quan hệ giữa đơn
giá và sản lượng của từng loại sản phẩm là:
Q  30  P và Q  60  P . 1 1 2 2 Tổng chi phí là: 2 2
TC  Q  Q Q  Q  50. 1 1 2 2
Hãy xác định sản lượng sản xuất và giá bán các loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa.
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính 2 3 2 x
 x  x  2  I  lim   . 3 x x   x 1  b) Cho hàm số x  x e  e   f  x , x 0   x .  , m x  0
Tìm 𝑚 để 𝑓(𝑥) liên tục tại 𝑥 = 0.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính x e d . x 2 x 1
Câu 3 (2,0 điểm). Viết khai triển Maclaurin của hàm số f  x  ln 2  x đến số hạng chứa 2
x , với phần dư dạng Peano.
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Một nhà sản xuất thiết bị điện tử xác định rằng để bán được 𝑥 sản phẩm của
một loại thiết bị mới thì giá mỗi sản phẩm, tính bằng đô la, là hàm 𝑝(𝑥) có
𝑝(5) = $25 và 𝑝′(5) = −$10.
Hãy dự báo doanh thu của nhà máy khi bán hết 6 sản phẩm. 
b) Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm f  x  sin x tại
và sử dụng xấp xỉ này tính 3 gần đúng 0 sin 62 .
Câu 5 (2,0 điểm). Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm. Giá hai loại sản phẩm trên
thị trường lần lượt là P  60 (đơn vị tiền) và P  90 (đơn vị tiền). Hàm tổng chi phí là 1 2 2 2
C  Q  2Q Q  3Q  20Q  50Q 120. 1 1 2 2 1 2
Hãy tìm sản lượng Q và Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất. 1 2
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính 1 2 lim 1
  sin(x  x) x     . x0
b) Tìm a để hàm số sau liên tục tại 2: 2
 x  5x  6  khi x  2 f (x)   x  2 .  2a 1 khi x  2
Câu 2 (2,0 điểm). Tính
 ln(x 1) d .x  x 1 1
Câu 3 (2,0 điểm). Viết khai triển Maclaurin của f  x  xln  x   1 đến bậc 2, với
phần dư dạng Peano.
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Chi phí sản xuất 𝑥 sản phẩm là hàm 𝑐(𝑥) có
c50  $182500 và c50  $6200.
Hãy dự báo chi phí sản xuất 51 sản phẩm là bao nhiêu?
b) Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm   3 f x 
x tại 1 và sử dụng xấp xỉ này tính gần đúng 3 2.
Câu 5 (2,0 điểm). Một xí nghiệp sản xuất hai mặt hàng 𝐴 và 𝐵 với sản lượng lần lượt
là 𝑄1 và 𝑄2 bán trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo. Tổng chi phí để sản xuất hai mặt hàng này là 2 2
TC  2Q  Q Q  3Q . Đơn giá bán của mặt hàng 𝐴, mặt hàng 𝐵 lần 1 1 2 2
lượt là 𝑃1 = 22, 𝑃2 = 28 (đơn vị tiền). Xí nghiệp sản xuất với sản lượng bao nhiêu
để đạt lợi nhuận tối đa? Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính 1
lim (x  2x ) x .  x0 b) Cho hàm số x  x e  e  2  , x  0 2 f (x)   x . a  , x  0
Tìm a để hàm số liên tục tại 0.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính  1 I  dx  . 2 x  2x  3 2
Câu 3 (2,0 điểm). Viết khai triển Maclaurin của f  x 1  đến số hạng chứa 2 x x 1
, với phần dư dạng Peano.
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Giả sử lợi nhuận khi sản xuất và bán 𝑥 sản phẩm là hàm 𝑃(𝑥) có
𝑃(50) = −$85490 và 𝑃′(50) = $140.
Hãy dự báo lợi nhuận khi sản xuất và bán được 51 sản phẩm.
b) Tìm xấp xỉ tuyến tính của hàm f  x  x tại 4 và sử dụng xấp xỉ này tính gần đúng 5.
Câu 5 (2,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm, biết mối quan hệ
giữa đơn giá và sản lượng của từng loại sản phẩm là 1 Q  700 
P và Q  1400  P . 1 1 2 2 2 Tổng chi phí là TC = 3Q 2 2 1 + 2Q1Q2 + 2Q2 + 55.
Hãy xác định sản lượng Q , Q 1
2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính
J  lim1 sin x 1 2 1 o c sx . x 0  b) Cho hàm số    f  x 2x 1, khi x 0   . 2 x
  a, khi x  0
Hãy xác định 𝑎 để hàm số liên tục tại 0.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính  ln x I    x   d . x 2 1 1
Câu 3 (2,0 điểm). Khai triển Maclaurin đến cấp 2 với phần dư dạng Peano cho hàm số   2  x f x  e  ln 1 3x.
Câu 4 (2,0 điểm). Sử dụng công thức vi phân tính gần đúng giá trị 2 2 3, 01  3,99 .
Câu 5 (2,0 điểm). Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí 𝐶 = 3𝑄2 2
1 + 2𝑄1𝑄2 + 2𝑄2 , với 𝑄𝑖 là lượng sản phẩm thứ i, i= 1,2.
Hãy xác định mức sản lượng 𝑄1, 𝑄2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa khi giá sản phẩm
thứ nhất là $160 và giá sản phẩm thứ 2 là $120.
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 Câu 1 (2,0 điểm). a) Tính 2 2 x 1   x 1 lim .  
x  x 1  b) Cho hàm số 2      f  x x 3x 2 e , x 1   . a  , x  1
Hãy xác định a để hàm số liên tục tại 1.
Câu 2 (2,0 điểm). Tính  x 1 H  d . x  2 x e 0
Câu 3 (2,0 điểm). Viết khai triển Maclaurin của hàm số 2 ( )  ( 1) x f x x e đến số hạng chứa 3
x với phần dư dạng Peano.
Câu 4 (2,0 điểm). Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số 2 x 2 ( , ) y f x y x e   .
Câu 5 (2,0 điểm). Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng lần lượt là
Q , Q ; mức giá bán P  50, P  60 (đơn vị tiền) và hàm chi phí là 1 2 1 2 2 2
C  3Q  2Q Q  5Q . 1 1 2 2
Hãy tìm sản lượng Q , Q để công ty đạt lợi nhuận tối đa. Khi đó lợi nhuận tối đa là bao 1 2 nhiêu?
-----------------------------------------
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com)