Đề thi Olympic toán cấp trường năm học 2024 – 2025 môn Giải tích | Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội

BỘ CÔNG THƯƠNG ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG ĐH CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI NĂM HỌC 2024 - 2025
Đề thi chính thức số 1 Môn : Giải tích
Thời gian thi: 120 phút( không kể thời gian phát đề)  x cot 2a  x 
Câu 1. Tính giới hạn I  lim 1    . xa  a   1 2
ln(1 x )cos , x  0,
Câu 2. Cho hàm số f (x)   x . 0, , x  0
a) Tìm f '(x) khi x  0; b) Tìm f '(0) ;
c) Xét tính liên tục của hàm f '(x) tại x  0.
Câu 3. Tính tích phân I   x
e sin y  my dx   x
e cos y  mdy , trong đó L là nửa đường L tròn 2 2 x  y  2 ,
x y  0 từ điểm A(2,0) đến điểm O(0,0).
Câu 4. Cho z  z(x, y) xác định bởi biểu thức z
e  z  x  y . Tính z ? xy
Câu 5. Từ 2
12 m tôn hoa, người ta cần tạo ra một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật và
không có nắp sao cho thể tích của nó là lớn nhất. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của
chiếc thùng là bao nhiêu thì thể tích của chiếc thùng sẽ lớn nhất?
Câu 6. Tính tích phân I  x  y dxdy 
với miền lấy tích phân D
D  (x, y) : x 1, y   1 .
Câu 7. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0,  1 , thỏa mãn 1 1 1 4 f   1  5; xf
 xdx 1;  f  x 2 /  dx  45   . Tính x T  e f  xdx . 0 0 0
------------------------------------------HẾT---------------------------------------
Đề thi bao gồm: 07 câu hỏi/ 01 trang
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...........................................................................Số báo danh..............................................
Cán bộ duyệt đề thi
Cán bộ phản biện đề thi
Cán bộ soạn đề thi Lê Bá Phương Nguyễn Thị Hiên Lê Chí Thanh
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...........................................................................Số báo danh..............................................
BỘ CÔNG THƯƠNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG ĐH CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI NĂM HỌC 2024 - 2025
Đáp án đề thi chính thức số 1 Môn : Giải tích
Thời gian thi: 120 phút( không kể thời gian phát đề)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu hỏi
Nội dung câu trả lời Điểm Câu 1  x cot      2a x x x A  1   ln A  cot .ln 1       a  2a  a   x  ln 1     x  x   a     lim ln A  lim cot .ln 1   lim     xa xa 2 xa a  a  x     tan 2a 1  1  x a 2 L lim   limcos  0 xa  xa  2a ax 2 cos 2a 0 I  e  1 Câu 2 2x 1 1 1 2    f '(x) cos ln(1 x )sin 2 2 1  x x x x a) 2
f (x)  f (0) ln(1  x ) 1 b) f '(0)  lim  lim x cos 2 x 0  x 0 x  x x 2  ln(1 x ) 1 lim
1;lim xcos  0  f '(0) 1.0  0 2 x 0  x 0 x  x  2x 1 1 1  2    c) lim f '(x) lim cos ln(1 x )sin  2 2  x0 x0 1  x x x x  1 Chọn dãy x 
 0 khi n   có lim f '(x )  0 , n 2n n n 1 Chọn dãy y 
 0 khi n   có lim f '( y ) 1  0 n  n  n 2n 2
Hàm f '(x) không liên tục tại x  0 .
Gọi C là biên của nửa hình tròn 2 2 x  y  2 , x y  0 . Ta có Câu 3
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...........................................................................Số báo danh.............................................. I   x
e sin y  my dx   x
e cos y  mdy C    x
e sin y  my dx   x
e cos y  m dy OA
Áp dụng công thức Green: *  x
e sin y  my dx   x
e cos y  m dy  ( x e cos x
y  e cos y  m)dxdy  C D 2 .1 m  m dxdy  m   2 2 D 2 *
 xe sin y  mydx  xe cos y  mdy   0 
  xe  m.0 dx   0  OA 0  Vậy m I  2 z 1 ' ' ' Câu 4
z .e  z  1  z  x x x z  e 1 1 Tương tự có: '  zy z e  1 ' z . z z e e " y z    xy z 2 z 3 (e 1) (e  1) Câu 5
Gọi chiều dài, rộng, cao của chiếc thùng lần lượt là ,
x y, z . Khi đó thể
tích của chiếc thùng là V  xyz . Theo giả thiết ta có: 2xz  2yz  xy 12 2 2 12  xy 12  xy 12xy  x y  z   V  xy  2(x  y) 2(x  y) 2(x  . y) ' V   0  x  x 2 Ta có    ' V   0  y  2 y 256 128 256 ' ' '
A  V (2, 2)  
; B  V (2, 2)  
; C  V (2, 2)   xx 336 xy 336 yy 336 2
B  AC  0 Vì 
 V đạt cực đại tại (2, 2) . A  0
Kết luận: x  y  2, z 1thì thể tích của chiếc thùng lớn nhất là ( 3 4m ) Câu 6 D chia thành 2 miền:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...........................................................................Số báo danh..............................................
D  {(x, y) : x  y  0}={(x, y):| |
x  1,  x  y  1} 1
D  {(x, y) : x  y  0}={(x, y):| |
x  1, 1  y   } x 2 I  x  y dxdy 
(x  y)dxdy 
(x  y)dxdy  I  I    1 2 D 1 D 2 D 1 1 4 I 
dx (x  y)dy    1 3 1   x 1  x 4 I 
dx (x  y)dy     2 3 1  1  8
I  I  I  1 2 3 Câu 7 1 1 2 / 2   A   f
x 15x  dx      /f x 2 2 / 4  
   30x f x  225x dx   0 0 1 1  45  30 x f  x 1 2 / 5 2 / dx  45x  90  30 x f  xdx 0 0 0 Ta lại có 1 1 x f 
xdx  x f x1 2 / 2  2 x f
 xdx  5 2  3 0 0 0 Do đó 1 A   f  x 2 / 2 /
15x  dx  0  f x 2
15x  0  f x 3  5x  C   0 1 1 4 4 x 5 x 5 Mà f  
1  5  C  0  T  e f  x 3 dx  4x e dx  e     1 4 4 0 0 Tổng cộng 7 câu 10 điểm
Cán bộ duyệt đáp án
Cán bộ phản biện đáp án
Cán bộ biên soạn đáp án Lê Bá Phương Nguyễn Thị Hiên Lê Chí Thanh
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...........................................................................Số báo danh..............................................