Đề thi thử TN THPT 2023 môn Toán trường PTDL Hermann Gmeiner – TP HCM

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán trường PTDL Hermann Gmeiner, thành phố Hồ Chí Minh

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Hoa
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG PTDL HERMANN GMEINER
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC
GIA 2023
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 6 trang)
Họ và tên thí sinh:……………………………………………
Số báo danh:………………………………………………….
Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm.
ĐỀ BÀI
Câu 1. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
0():3 2 1xyP z+ − +=
. Vectơ nào sau đây là một
vectơ pháp tuyến của
()
P
?
A.
( )
1
1; 2;1
n = −
. B.
. C.
( )
3
2;1;3n = −
. D.
( )
4
3;1; 2n = −
.
Câu 2. Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là
A.
2
4
A
. B.
4
4
. C.
4
4
C
. D.
4!
.
Câu 3. Cho hàm số
()y fx
=
có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm nào sau đây?
A.
(2; 0)
. B.
(0; 2)
. C.
( 2;0)−
. D.
(0; 2)−
.
Câu 4. Tập xác định của hàm số
5
yx=
là
A.
( )
0;+∞
. B.
[
)
0;+∞
. C.
( )
;0−∞
. D.
( )
;−∞ + ∞
.
Câu 5. Cho hàm số
(
)
fx
liên tục trên
và
a
là số thực dương. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
d0
a
a
fx x
−
=
∫
. B.
. C.
( )
0
d0
a
fx x=
∫
. D.
( )
d0
a
a
fx x=
∫
.
Câu 6. Thể tích của khối cầu có bán kính
R
là
A.
3
4
3
R
π
. B.
3
1
3
R
π
. C.
3
4 R
π
. D.
2
4
3
R
π
.
Câu 7. Môđun của số phức
43zi= −
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
25
. D.
7
.
2
2
y
x
O
MÃ ĐỀ: 001
2
Câu 8. Giá trị của
5
2
1
dx
x
∫
bằng
A.
5
ln
2
. B.
2
ln
5
. C.
1
ln 3
3
. D.
3ln 3
.
Câu 9. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
3; 1; 2M −
và có vectơ chỉ phương
( )
4; 5; 7u = −
có phương trình là
A.
312
45 7
x yz+ −+
= =
−
. B.
457
3 12
xyz++−
= =
−
.
C.
457
3 12
xyz−−+
= =
−
. D.
312
45 7
x yz− +−
= =
−
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho hai véctơ
( )
2;3;2a =
và
( )
1;1; 1b = −
. Véctơ
ab−
có toạ độ là
A.
( )
1; 2;3−−
. B.
(
)
3;5;1
. C.
(
)
3;4;1
. D.
(
)
1;2;3
.
Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng
B
và chiều cao bằng
h
. Thể tích
V
của khối lăng trụ
đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
1
2
V Bh=
. B.
V Bh=
. C.
3V Bh=
. D.
1
3
V Bh=
.
Câu 12. Điểm
M
trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào sau đây?
A.
3
23zi
=−+
. B.
2
23zi= −
. C.
1
32zi= +
. D.
4
32zi
= −
.
Câu 13. Thể tích của khối trụ có chiều cao
2h =
và bán kính đáy
3
r
=
là
A.
6
π
. B.
9
π
. C.
15
π
. D.
18
π
.
Câu 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình bên dưới?
A.
42
21yx x=−+
. B.
42
21yx x=−+ +
. C.
32
31yx x=−+ +
. D.
32
31yx x=−+
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
11
:?
212
x yz
d
−+
= =
A.
( )
1; 0;1N −
. B.
( )
2;1;2
Q −−−
. C.
( )
2;1; 2M
. D.
( )
1; 0; 1P −
.
Câu 16. Nghiệm của phương trình
37
x
=
là
A.
7
3x =
. B.
7
log 3x =
. C.
7
3
x =
. D.
3
log 7x =
.
Câu 17. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
và
k
là một số thực khác 0. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
2
3
O
x
y
M
y
x
O
3
A.
(
) (
)
ddkfx x kfx x
=
∫∫
. B.
(
) ( )
dd
kfx x k fx x= +
∫∫
.
C.
(
) ( )
d d. dkfx x kx fx x=
∫ ∫∫
. D.
( )
(
)
1
dd
kfx x fx x
k
=
∫∫
.
Câu 18. Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
2; +∞
. C.
( )
2; 2−
. D.
(
)
0; 2
.
Câu 19. Với
a
là số thực dương,
10
log
a
bằng
A.
10
a
. B.
10 log a+
. C.
10log a
. D.
1
log
10
a
.
Câu 20. Cho hai số phức
1
23zi= +
và
2
32zi= −
. Số phức
12
.zz
bằng
A.
12 5i+
. B.
5
i
−
. C.
66i−
. D.
5i
.
Câu 21. Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A.
1x = −
. B.
6x = −
. C.
5x
=
. D.
2x =
.
Câu 22. Họ nguyên hàm của của hàm số
( )
2
3fx x x= −
là
A.
( )
32
3
d
32
xx
fx x C=−+
∫
. B.
(
)
d23fx x x C= −+
∫
.
C.
( )
32
d3fx x x x C=−+
∫
. D.
( )
3
2
d3
3
x
fx x x C=−+
∫
.
Câu 23. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
−
=
+
là đường thẳng có phương trình
A.
2.x =
B.
1.x = −
C.
2.x = −
D.
1.x =
Câu 24. Cho khối chóp có diện tích đáy
6B =
và chiều cao
4h =
. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
8
. B.
24
. C.
12
. D.
72
.
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu tâm
(
)
1;0; 2I −
và bán kính
4R =
có phương trình là
A.
( ) ( )
22
2
1 24x yz− + ++ =
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 16x yz− + ++ =
.
2
2
y
x
2
O
4
C.
( ) (
)
22
2
1 24x yz+ ++− =
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 16x yz+ ++− =
.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
( ) ( )
14
4
log 1 log 14 2 0xx−+ − ≥
là
A.
5
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Câu 27. Cho
log 5 3
a
=
, khi đó giá trị của
( )
2
3
log 5
a
a
bằng
A.
3
. B.
8
. C.
5
. D.
15
.
Câu 28. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;2
và thỏa mãn
(
)
2
0
d6fx x
=
∫
. Giá trị của tích phân
(
)
2
0
2sin cos df x xx
π
∫
bằng
A.
6−
. B.
3
−
. C.
3
. D.
6
.
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
26fx x x= −
trên đoạn
[
]
0; 2
bằng
A.
0
. B.
4
. C.
4−
. D.
2
.
Câu 30. Hàm số
3
2
2 31
3
x
y xx=− ++
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;3−∞
. B.
( )
1;
+∞
. C.
( )
3;1−
. D.
(
)
1; 3
.
Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
có tất cả các cạnh đều bằng
2
Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
ACC A
′′
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
3
2
. D.
2
.
Câu 32. Cho số phức
( )
2
12zi= +
. Số phức
z
i
bằng
A.
34i−+
. B.
2 i−
. C.
43i+
. D.
43i−
.
Câu 33. Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
12
5, 8uu= =
. Giá trị của
4
u
bằng
A.
17
. B.
11
. C.
14
. D.
13
.
Câu 34. Tập xác định của hàm số
( )
2
3
log 1yx= −
là
A.
( ) ( )
; 1 1;−∞ − ∪ + ∞
. B.
(
)
1;1−
.
C.
(
] [
)
; 1 1;−∞ − ∪ + ∞
. D.
[ ]
1;1−
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )( )
13f x xx x
′
=−+
. Hàm số đạt cực đại tại điểm
A.
3x =
. B.
1x
=
. C.
0x =
. D.
3x = −
.
5
Câu 36. Một hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất một quả màu đỏ
bằng
A.
19
28
. B.
17
42
. C.
1
3
. D.
16
21
.
Câu 37. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
11
() , ;
3
13
fx x
x

′
= ∀ ∈ −∞

−

và
2
( 1)
3
f −=
. Biết
()Fx
là
nguyên hàm của
()fx
thỏa mãn
( 1) 0F −=
. Giá trị của
1
4
F



bằng
A.
4
3
. B.
14
27
. C.
8
27
−
. D.
1
54
.
Câu 38. Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có
1, ' 3AB AD AA
= = =
. Gọi
,MN
lần lượt là
trung điểm của
''
AB
và
BC
. Góc giữa hai đường thẳng
MN
và
AC
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Câu 39. Trên tập hợp số phức, biết
0
32zi= −
là một nghiệm của phương trình
2
0z az b+ +=
. Giá trị
của
ab+
bằng
A.
7
. B.
19−
. C.
7−
. D.
19
.
Câu 40. Cho hàm số bậc ba
( )
y fx=
có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm của phương trình
( )
0f fx =


là
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
6
.
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( )
( )
2
9 10.3 729 2ln30 ln 9 0
xx
x
+
−+ −≥
?
A.
97
. B.
96
. C.
98
. D.
99
.
Câu 42. Cho khối nón đỉnh
S
có đáy là đường tròn tâm
O
, bán kính
R
. Trên đường tròn
( )
O
lấy hai
điểm
,
AB
sao cho tam giác
OAB
vuông. Biết diện tích tam giác
SAB
bằng
2
2R
. Thể tích
khối nón đã cho bằng
A.
3
14
6
R
π
. B.
3
14
2
R
π
. C.
3
14
3
R
π
. D.
3
14
12
R
π
.
Câu 43. Trong không gian
Oxyz
, giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 2 10x yz
α
+ +−=
và
( )
: 20xyz
β
−−+=
có phương trình là
A.
1
12
xt
yt
zt
=−+
= +
=
. B.
1
12
3
xt
yt
zt
=−+
= −
=
. C.
2
xt
yt
zt
=
= −
= −
. D.
2
13
xt
yt
zt
= −
=
= −
.
1
1
y
x
1
3
O
6
Câu 44. Trong không gian
,Oxyz
gọi
( )
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
21
:
1 21
xyz
d
−−
= =
−
và cắt
trục
,Ox Oy
lần lượt tại
A
và
B
sao cho đường thẳng
AB
vuông góc với
d
. Phương trình của
mặt phẳng
(
)
P
là
A.
2 5 40xyz+ + −=
. B.
2 30xy−−=
. C.
2 40x yz+ −−=
. D.
2 5 50xyz+ + −=
.
Câu 45. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữa nhật,
2, 2 3AB AD= =
, tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
3
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
16 3
. B.
16 3
3
. C.
24 3
. D.
83
.
Câu 46. Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
44yx x=−+
, trục hoành và trục tung.
Đường thẳng
d
qua
( )
0;4A
và có hệ số góc
(
)
kk
∈
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện
tích bằng nhau. Giá trị của
k
bằng
A.
8
−
. B.
2−
. C.
4−
. D.
6−
.
Câu 47. Cho hàm số
()
fx
có đạo hàm
2
13
() 2
22
fx x x
′
= −+
và
(0) 0f =
. Có bao nhiêu số nguyên
( )
2021;2022m ∈−
để hàm số
2
() () 2 ()
gx f x f x m
=++
có đúng 3 điểm cực trị?
A.
2021
. B.
2020
. C.
2022
. D.
4042
.
Câu 48. Cho các số phức
,
wz
thỏa mãn
35
5
wi+=
và
( )(
)
52 4w iz=+−
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
12 52Pz iz i
= −− + −−
bằng
A.
67
. B.
2 53
. C.
4 13
. D.
4 2 13+
.
Câu 49. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 22
( ) : ( 1) ( 1) 4Sx y z+ +− +=
và hai điểm
(1;2;4)A
,
(0;0;1)B
. Mặt phẳng
( ): 3 0
P ax by cz+ + +=
(,, )abc∈
đi qua
,AB
và cắt
()
S
theo giao
tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của
abc
++
bằng
A.
3
4
−
. B.
33
5
. C.
27
4
. D.
31
5
.
Câu 50. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
( )
12
3
2.3 log 3 2 6 1
xx
y yx
−−
− + = −+
và
1
2022 2022
y
−
≤≤
?
A. 13. B. 15. C. 7. D. 6.
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên giám thị 1: ….……………………Chữ ký: …………………………..
Họ và tên giám thị 2: ….……………………Chữ ký: …………………………..
7
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.D
3.A
4.A
5.D
6.A
7.A
8.A
9.D
10.D
11.B
12.A
13.D
14.B
15.D
16.D
17.A
18.D
19.C
20.A
21.A
22.A
23.B
24.A
25.B
26.B
27.A
28.C
29.B
30.D
31.A
32.C
33.C
34.A
35.C
36.D
37.A
38.B
39.A
40.A
41.D
42.A
43.B
44.A
45.D
46.D
47.A
48.B
49.A
50.C
8
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. [ Mức độ 1] Trong không gian
Oxyz
, cho mặt phẳng
0():3 2 1xyP z+ − +=
. Vectơ nào sau
đây là một vectơ pháp tuyến của
()P
?
A.
( )
1
1; 2;1n = −
. B.
. C.
( )
3
2;1;3n = −
. D.
( )
4
3;1; 2n = −
.
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của
()P
là
.
Câu 2. [ Mức độ 1] Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là
A.
2
4
A
. B.
4
4
. C.
4
4
C
. D.
4!
.
Lời giải
Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là số hoán vị 4 phần tử:
4
4!P =
.
Câu 3. [ Mức độ 1] Cho hàm số
()y fx=
có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm nào sau đây?
A.
(2; 0)
. B.
(0; 2)
. C.
( 2;0)−
. D.
(0; 2)−
.
Lời giải
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm
(2; 0)
.
Câu 4. [ Mức độ 1] Tập xác định của hàm số
5
yx=
là
A.
( )
0;+∞
. B.
[
)
0;+∞
. C.
( )
;0−∞
. D.
( )
;−∞ + ∞
.
Lời giải
Hàm số
5
yx=
là hàm số lũy thừa với số mũ là
5
α
= ∉
nên điều kiện xác định là
0x >
.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
( )
0;+∞
.
Câu 5. [ Mức độ 1] Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
và
a
là số thực dương. Khẳng định nào dưới
đây đúng?
A.
( )
d0
a
a
fx x
−
=
∫
. B.
. C.
( )
0
d0
a
fx x=
∫
. D.
( )
d0
a
a
fx x=
∫
.
Lời giải
Theo tính chất tích phân ta có
( )
d0
a
a
fx x=
∫
.
Giải thích: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
.
2
2
y
x
O
9
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
d0
a
a
a
a
f x x Fx Fa Fa= =−=
∫
.
Câu 6. [ Mức độ 1] Thể tích của khối cầu có bán kính
R
là
A.
3
4
3
R
π
. B.
3
1
3
R
π
. C.
3
4 R
π
. D.
2
4
3
R
π
.
Lời giải
Theo lý thuyết công thức tính thể tích khối cầu có bán kính
R
là
3
4
3
R
π
.
Câu 7. Môđun của số phức
43zi= −
bằng
A.
5
. B.
7
. C.
25
. D.
7
.
Lời giải
Ta có
43zi= −
( )
2
2
4 35z⇒ = +− =
.
Câu 8. Giá trị của
5
2
1
dx
x
∫
bằng
A.
5
ln
2
. B.
2
ln
5
. C.
1
ln 3
3
. D.
3ln 3
.
Lời giải
Ta có
5
5
2
2
15
ln ln 5 ln 2 ln
2
dx x
x
= =−=
∫
.
Câu 9. Trong không gian
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
( )
3; 1; 2M −
và có vectơ chỉ phương
( )
4; 5; 7u = −
có phương trình là
A.
312
45 7
x yz+ −+
= =
−
. B.
457
3 12
xyz+ +−
= =
−
.
C.
457
3 12
xyz−−+
= =
−
. D.
312
45 7
x yz− +−
= =
−
.
Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm
( )
3; 1; 2M −
và có vectơ chỉ phương
(
)
4; 5; 7u
= −
có phương trình
chính tắc là:
312
45 7
x yz− +−
= =
−
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho hai véctơ
( )
2;3;2a
=
và
( )
1;1; 1b = −
. Véctơ
ab−
có toạ độ là
A.
( )
1; 2;3−−
. B.
( )
3;5;1
. C.
(
)
3;4;1
. D.
(
)
1;2;3
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2 1;3 1;2 1 1;2;3ab ab−= − − +⇒−=


.
Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng
B
và chiều cao bằng
h
. Thể tích
V
của khối lăng trụ
đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
1
2
V Bh
=
. B.
V Bh=
. C.
3V Bh=
. D.
1
3
V Bh=
.
Lời giải
10
Thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức
V Bh=
.
Câu 12. Điểm
M
trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào sau đây?
A.
3
23zi=−+
. B.
2
23zi= −
. C.
1
32zi= +
. D.
4
32zi= −
.
Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có
( )
2;3M −
, suy ra điểm
( )
2;3M −
là điểm biểu diễn của số phức
3
23zi=−+
.
Câu 13. Thể tích của khối trụ có chiều cao
2h =
và bán kính đáy
3r =
là
A.
6
π
. B.
9
π
. C.
15
π
. D.
18
π
.
Lời giải
Thể tích khối trụ là
22
.3 .2 18V rh
ππ π
= = =
.
Câu 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình bên dưới?
A.
42
21yx x=−+
. B.
42
21yx x=−+ +
. C.
32
31yx x=−+ +
. D.
32
31yx x=−+
.
Lời giải
Đồ thị trên là đồ thị hàm số trùng phương có hệ số
0a <
nên chọn đáp án
B
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
11
:?
212
x yz
d
−+
= =
A.
( )
1; 0;1N −
. B.
( )
2;1;2Q −−−
. C.
( )
2;1; 2M
. D.
( )
1; 0; 1P −
.
Lời giải
Thế tọa độ điểm
( )
1; 0; 1P −
vào phương trình đường thẳng
d
, ta có
11 0 11
21 2
− −+
= =
là mệnh
đề đúng nên điểm
( )
1; 0; 1P −
thuộc đường thẳng
d
.
Câu 16. Nghiệm của phương trình
37
x
=
là
A.
7
3x =
. B.
7
log 3x =
. C.
7
3
x =
. D.
3
log 7x =
.
Lời giải
Phương trình
3
3 7 log 7.
x
x=⇔=
Câu 17. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
và
k
là một số thực khác 0. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
2
3
O
x
y
M
y
x
O
11
A.
( ) ( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
. B.
( ) ( )
ddkfx x k fx x= +
∫∫
.
C.
( ) ( )
d d. dkfx x kx fx x=
∫ ∫∫
. D.
( )
( )
1
ddkfx x fx x
k
=
∫∫
.
Lời giải
Tính chất của nguyên hàm:
( ) ( )
ddkfx x kfx x=
∫∫
với
k
là một số thực khác 0.
Câu 18. Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
2; +∞
. C.
( )
2; 2−
. D.
( )
0; 2
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
0; 2
.
Câu 19. Với
a
là số thực dương,
10
log a
bằng
A.
10a
. B.
10 log a+
. C.
10log a
. D.
1
log
10
a
.
Lời giải
Ta có
10
log 10logaa=
nên chọn C.
Câu 20. Cho hai số phức
1
23zi= +
và
2
32zi= −
. Số phức
12
.zz
bằng
A.
12 5i+
. B.
5i−
. C.
66i−
. D.
5i
.
Lời giải
Ta có
( )(
)
2
12
. 23 32 64 9 6 125.zz i i iii i= + − =−+− = +
Chọn A.
Câu 21. Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A.
1x = −
. B.
6x = −
. C.
5x =
. D.
2x =
.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại
1x = −
nên chọn A.
2
2
y
x
2
O
12
Câu 22. [ Mức độ 1] Họ nguyên hàm của của hàm số
( )
2
3fx x x= −
là
A.
( )
32
3
d
32
xx
fx x C=−+
∫
. B.
(
)
d23
fx x x C
= −+
∫
.
C.
( )
32
d3fx x x x C=−+
∫
. D.
( )
3
2
d3
3
x
fx x x C=−+
∫
.
Lời giải
Họ nguyên hàm của của hàm số
(
)
2
3fx x x
= −
là
(
)
(
)
32
2
3
d 3d .
32
xx
fx x x x x C
= − =−+
∫∫
Câu 23. [ Mức độ 1] Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
24
1
x
y
x
−
=
+
là đường thẳng có phương trình
A.
2.
x =
B.
1.x = −
C.
2.x = −
D.
1.x =
Lời giải
Ta có:
11
24 24
lim , lim
11
xx
xx
xx
+−
→− →−
−−
= −∞ = +∞
++
. Nên hàm số
24
1
x
y
x
−
=
+
có duy nhất một đường
tiệm cận đứng
1.x = −
Câu 24. [ Mức độ 1] Cho khối chóp có diện tích đáy
6B =
và chiều cao
4h =
. Thể tích của khối chóp
đã cho bằng
A.
8
. B.
24
. C.
12
. D.
72
.
Lời giải
Thể tích của khối chóp đã cho là
11
.6.4 8.
33
V Bh= = =
Câu 25. Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu tâm
( )
1;0; 2
I −
và bán kính
4R =
có phương trình là
A.
(
)
( )
22
2
1 24x yz
− + ++ =
. B.
( ) ( )
22
2
1 2 16x yz− + ++ =
.
C.
( )
( )
22
2
1 24x yz+ + +− =
. D.
( ) ( )
22
2
1 2 16x yz+ + +− =
.
Lời giải
Trong không gian
Oxyz
, mặt cầu tâm
( )
1; 0; 2
I −
và bán kính
4R =
có phương trình là
( ) ( )
22
2
1 2 16x yz− + ++ =
.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
( ) ( )
14
4
log 1 log 14 2 0xx−+ − ≥
là
A.
5
. B.
4
. C.
6
. D.
3
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
10
17
14 2 0
x
x
x
−>
⇔< <
−>
.
Với điều kiện trên, ta có:
( ) ( )
14
4
log 1 log 14 2 0xx−+ − ≥
( ) ( )
44
log 1 log 14 2 0xx⇔− − + − ≥
( ) ( )
44
log 14 2 log 1xx⇔ −≥ −
14 2 1xx⇔ − ≥−
5x⇔≤
.
Kết hợp với điều kiện ta thấy có 4 nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là
2;3; 4;5
.
13
Câu 27. Cho
log 5 3
a
=
, khi đó giá trị của
( )
2
3
log 5
a
a
bằng
A.
3
. B.
8
. C.
5
. D.
15
.
Lời giải
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
33 3
11 1 1
log 5 log 5 log 5 log log 5 3 3 3 3
22 2 2
a aa a
a
aa a= = + = += +=
.
Câu 28. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;2
và thỏa mãn
( )
2
0
d6
fx x
=
∫
. Giá trị của tích phân
( )
2
0
2sin cos df x xx
π
∫
bằng
A.
6−
. B.
3
−
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Đặt
2sintx=
1
d 2cos d d cos d
2
t xx t xx⇒= ⇔ =
.
Đổi cận:
0 0; 2
2
x tx t
π
=⇒= = ⇒=
.
( )
( )
2
2
00
1
2sin cos d d 3
2
f x xx f t t
π
= =
∫∫
.
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
26fx x x= −
trên đoạn
[
]
0; 2
bằng
A.
0
. B.
4
. C.
4−
. D.
2
.
Lời giải
Hàm số
( )
3
26fx x x= −
liên tục trên đoạn
[ ]
0; 2
.
Ta có
( ) ( )
[ ]
2
1
6 6, 0
1 0; 2
x
fx x fx
x
=
′′
=−=⇔
=−∉
.
( ) ( ) ( )
1 4, 0 0, 2 4f ff=−= =
. Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
0; 2
là
( )
24
f =
.
Câu 30. Hàm số
3
2
2 31
3
x
y xx=− ++
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
( )
;3−∞
. B.
( )
1; +∞
. C.
(
)
3;1−
. D.
( )
1; 3
.
Lời giải
Xét hàm số
3
2
2 31
3
x
y xx=− ++
. Tập xác định:
D =
.
2
1
4 3, 0
3
x
yx x y
x
=
′′
=−+ =⇔
=
.
Bảng biến thiên
14
Dựa vào BBT, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
1; 3
.
Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
có tất cả các cạnh đều bằng
2
(tham khảo hình
bên dưới)
Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )
ACC A
′′
bằng
A.
3
. B.
2
. C.
3
2
. D.
2
.
Lời giải
Trong mặt phẳng
( )
ABC
kẻ
BH AC⊥
.
Vì
.ABC A B C
′′′
là hình lăng trụ tam giác đều
( )
A A ABC A A BH
′′
⊥ ⇒⊥
.
Vậy
( ) ( ) ( )
( )
,
,,
BH AC BH A A
AC A A ACC A BH ACC A d B ACC A BH
AC A A A
′
⊥⊥
′ ′′ ′′ ′′
⊂ ⇒⊥ ⇒ =
′
∩=
.
ABC∆
đều cạnh bằng
2
nên
23
3
2
BH = =
.
15
Câu 32. Cho số phức
( )
2
12zi= +
. Số phức
z
i
bằng
A.
34i−+
. B.
2 i−
. C.
43i+
. D.
43i−
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
34
12 34 43
zi
zi i i
ii
−+
= + =−+ ⇒ = = +
.
Câu 33. Cho cấp số cộng
( )
n
u
biết
12
5, 8uu= =
. Giá trị của
4
u
bằng
A.
17
. B.
11
. C.
14
. D.
13
.
Lời giải
Ta có
( )
n
u
là cấp số cộng nên
21
85 3u ud d d= +⇔=+⇔=
.
Vậy
41
3 5 3.3 14uu d=+=+=
.
Câu 34. Tập xác định của hàm số
( )
2
3
log 1yx= −
là
A.
( ) ( )
; 1 1;−∞ − ∪ + ∞
. B.
( )
1;1−
.
C.
(
] [
)
; 1 1;−∞ − ∪ + ∞
. D.
[ ]
1;1−
.
Lời giải
TXĐ:
2
1 0 1v 1x xx− > ⇔ <− >
. Vậy tập xác định:
( ) ( )
; 1 1;D = −∞ − ∪ + ∞
.
Câu 35. [ Mức độ 2] Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( ) ( )( )
13f x xx x
′
=−+
. Hàm số đạt cực đại tại
điểm
A.
3x =
. B.
1x =
. C.
0x =
. D.
3x = −
.
Lời giải
Ta có bảng xét dấu của
( )
fx
′
:
Từ bảng xét dấu của
( )
fx
′
ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm
0x =
.
Câu 36. [ Mức độ 3] Một hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất một quả
màu đỏ bằng
A.
19
28
. B.
17
42
. C.
1
3
. D.
16
21
.
Lời giải
Không gian mẫu
Ω
bao gồm các cách lấy ra tùy ý 3 quả cầu từ 9 quả cầu trong hộp nên ta có
( )
3
9
nCΩ=
.
Gọi
A
là biến cố “trong 3 quả lấy được có ít nhất một quả màu đỏ ”. Khi đó ta có
A
là biến cố “ không lấy được quả màu đỏ nào”, do đó
( )
3
6
nA C=
.
Từ đó
( )
3
6
3
9
5
21
C
PA
C
= =
. Suy ra
( )
16
21
PA=
.
16
Câu 37. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
11
() , ;
3
13
fx x
x

′
= ∀ ∈ −∞

−

và
2
( 1)
3
f −=
. Biết
()Fx
là
nguyên hàm của
()fx
thỏa mãn
( 1) 0F −=
. Giá trị của
1
4
F



bằng
A.
4
3
. B.
14
27
. C.
8
27
−
. D.
1
54
.
Lời giải
Ta có
1
12
() d 1 3 .
3
13
fx x x C
x
= =− −+
−
∫
Mà
11
22 2
( 1) 1
3( 1) 2.
33 3
f CC− = ⇔− − − + = ⇔ =
Khi đó
2
( ) 1 3 2.
3
fx x=− −+
Lại có
( ) ( )
13
22
2
2 24
() 13 2d 13 2d 13 2
3 3 27
Fx x x x x x x C


=− −+ =− − + = − ++




∫∫
.
Mà
( )
3
2
22
4 22
( 1) 0 1 3 2 0 .
27 27
F CC− =⇔ + −+ =⇔ =
Vậy
( )
3
2
4 22
() 1 3 2
27 27
Fx x x= − ++
14
43
F

⇒=


.
Câu 38. Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có
1, ' 3AB AD AA= = =
. Gọi
,MN
lần lượt là
trung điểm của
''AB
và
BC
. Góc giữa hai đường thẳng
MN
và
AC
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Lời giải
Xét tam giác
ABC
vuông tại
22
2B AC AB BC⇒= + =
.
Gọi
P
là trung điểm của
AB
.
Khi đó
NP
là đường trung bình của tam giác
//
1
1
2
NP AC
ABC
NP AC
⇒
= =
.
Do
//NP AC
nên
(,)(,)MN AC MN NP MNP= =
.
Do
,MP
lần lượt là trung điểm của
AB
′′
và
3AB MP AA
′
⇒==
.
P
N
M
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
17
Xét tam giác
MNP
vuông tại
P
có
0
tan 3 60
MP
MNP MNP
NP
==⇒=
.
Câu 39. [Mức độ 2] Trên tập hợp số phức, biết
0
32zi= −
là một nghiệm của phương trình
2
0z az b+ +=
(với
,ab∈
). Giá trị của
ab+
bằng
A.
7
. B.
19−
. C.
7−
. D.
19
.
Lời giải
Phương trình
2
0z az b+ +=
với hệ số thực
,ab
có nghiệm
10
32zz i= = −
thì sẽ có nghiệm
21
32zz i= = +
. Theo định lí Vi-ét ta có:
( )( )
12
12
32 32
6
1
32 32
13
1
a
zz a
i ia
a
i ib
bb
zz b
+ =−=−
− ++ =−
= −

⇔⇔

− +=
=
= =
.
Khi đó
6 13 7ab+ =−+ =
.
Câu 40. [Mức độ 3] Cho hàm số bậc ba
( )
y fx=
có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm của phương trình
( )
0f fx =


là
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
6
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
;1
1; 3
fx a
f fx fx b
fx c
= <−
=⇔=∈


= ∈
.
Phương trình
( )
1fx a= <−
có 1 nghiệm.
Phương trình
( ) ( )
0;1fx b= ∈
có 3 nghiệm.
1
1
y
x
1
3
O
y = a
y = b
y = c
1
1
y
x
1
3
O
18
Phương trình
( ) ( )
1;3fx c= ∈
có 3 nghiệm.
Tất các các nghiệm này khác nhau. Vậy phương trình
( )
0f fx =


có 7 nghiệm.
Cách khác:
Hàm số bậc ba
( )
32
f x ax bx cx d= + ++
có
( )
2
'32f x ax bx c= ++
có hai điểm cực trị là
1x = ±
, suy ra
( ) ( )( )
( )
( )
22 3
' 3 1 13 13 3 3f x a x x a x ax a f x ax ax d= − += −= − ⇒ = − +
.
Đồ thị hàm số
( )
y fx=
đi qua điểm
( )
1; 3A −
và
( )
1; 1B −
nên ta có hệ
( )
( )
( )
3
13
23 1
31
211
11
f
ad a
fx x x
ad d
f
−=
+= =

⇔ ⇔ ⇒ =−+

− +=− =
= −

.
Khi đó
( )
3
1,8794
0 3 1 0 0,3473
1,5321
xa
fx x x x b
xc
= ≈−
= ⇔ − += ⇔ = ≈
= ≈
.
Phương trình
( )
( )
( )
( )
0
fx a
f fx fx b
fx c
=
=⇔=


=
.
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình
( )
fx a=
có một nghiệm, phương trình
( )
fx b=
có ba
nghiệm và phương trình
( )
fx c=
có 3 nghiệm.
Vậy phương trình
( )
0f fx =


có tất cả
7
nghiệm.
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( )
( )
2
9 10.3 729 2ln30 ln 9 0
xx
x
+
−+ −≥
?
A.
97
. B.
96
. C.
98
. D.
99
.
Lời giải
Điều kiện:
( )
(
]
0
0
0;100
2ln 30 ln 9 0
100
x
x
x
x
x
>
>
⇔ ⇔∈

−≥
≤
.
+ Với
100x =
, khi đó
( )
( )
2
9 10.3 729 2ln30 ln 9 0
xx
x
+
−+ −=
. Suy ra
100x =
thỏa mãn.
+ Với
(
)
0;100x ∈
, bất phương trình
( )
( )
2
9 10.3 729 2ln30 ln 9 0
xx
x
+
−+ −≥
( )
2
3 90.3 729 0
xx
⇔ − +≥
y = a
y = b
y = c
1
1
y
x
1
3
O
19
(
] [
)
4
3 81
0; 2 4;100
2
39
x
x
x
x
x
≥
≥
⇔ ⇔ ⇔∈ ∪
≤
≤
.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
(
] [ ]
0; 2 4;100S = ∪
. Suy ra có 99 số nguyên
x
thỏa mãn bài toán.
Câu 42. Cho khối nón đỉnh
S
có đáy là đường tròn tâm
O
, bán kính
R
. Trên đường tròn
( )
O
lấy hai
điểm
,AB
sao cho tam giác
OAB
vuông. Biết diện tích tam giác
SAB
bằng
2
2R
. Thể tích
khối nón đã cho bằng
A.
3
14
6
R
π
. B.
3
14
2
R
π
. C.
3
14
3
R
π
. D.
3
14
12
R
π
.
Lời giải
OAB∆
vuông tại
O
22
2AB R R R⇒ = +=
.
Gọi
I
là trung điểm của
AB
.
Ta có
SAB∆
cân tại
S ⇒
SI
vuông góc với
AB
.
2
2
1 2. 2
.. 2 2
2
2
SAB
R
S AB SI R SI R
R
∆
= = ⇒= =
.
Ta lại có
OI
là trung tuyến của tam giác vuông
OAB
2
22
AB R
OI⇒= =
.
SOI∆
vuông tại
O
( )
2
2
22
2 14
2
22
R
SO SI OI R R

⇒= − = − =



.
22 3
1 1 14 14
. . ..
3 326
V OA SO R R R
ππ π
= = =
.
Câu 43. Trong không gian
Oxyz
, giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 2 10x yz
α
+ +−=
và
( )
: 20xyz
β
−−+=
có phương trình là
I
S
O
B
A
20
A.
1
12
xt
yt
zt
=−+
= +
=
. B.
1
12
3
xt
yt
zt
=−+
= −
=
. C.
2
xt
yt
zt
=
= −
= −
. D.
2
13
xt
yt
zt
= −
=
= −
.
Lời giải
Gọi
( ) ( )
d
αβ
= ∩
.
Mặt phẳng
( )
α
và
(
)
β
lần lượt có một VTPT là
( )
1; 2;1n
α
=

và
( )
1; 1; 1n
β
= −−

.
Suy ra
d
có một VTPT là
( )
, 1; 2; 3n nn
βα

= = −

 
.
Lấy
( ) ( ) ( )
1;1; 0M Md
αβ
∈∩⇒− ∈
.
Vậy
d
có phương trình là
1
12
3
xt
yt
zt
=−+
= −
=
.
Câu 44. Trong không gian
,Oxyz
gọi
( )
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
21
:
1 21
xyz
d
−−
= =
−
và cắt
trục
,Ox Oy
lần lượt tại
A
và
B
sao cho đường thẳng
AB
vuông góc với
d
. Phương trình của
mặt phẳng
( )
P
là
A.
2 5 40xyz
+ + −=
. B.
2 30xy−−=
. C.
2 40x yz+ −−=
. D.
2 5 50xyz+ + −=
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2;1; 0
:
1; 2; 1
d
Md
d
u
∈
= −

.
Do
( ) ( )
, 0;0;1
AB
A Ox B Oy AB Oxy u k∈ ∈ ⇒ ⊂ ⇒ ⊥=

.
Đường thẳng
AB d
AB d u u⊥⇒ ⊥
 
.
Suy ra
( )
, 2;1; 0
AB d
u ku

= = −

 
.
Do
( )
( )
( )
, 1; 2; 5
P AB d
dP
n uu
AB P
⊂

⇒ = =−− −

⊂
  
.
Phương trình mặt phẳng
( )
P
qua
( )
2;1; 0M
và nhận véctơ
( )
1; 2; 5
P
n =−− −

làm một véctơ
pháp tuyến là
( ) ( ) ( ) ( )
:1 2 2 1 5 0 0 2 5 4 0P x y z xyz− − − −− − =⇔+ + −=
.
Câu 45. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữa nhật,
2, 2 3AB AD= =
, tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
3
. Tính thể tích của khối chóp
.S ABCD
bằng
A.
16 3
. B.
16 3
3
. C.
24 3
. D.
83
.
. Lời giải
21
Gọi
H
là trung điểm của
AB
ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB
SH AB
⊥
∩=
⇒⊥
⊂
⊥
;
Gọi
M
là trung điểm của
CD
, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
;
CD HM
CD SHM CD SCD SHM SCD
CD SH
⊥
⇒⊥ ⊂ ⇒ ⊥
⊥
theo giao tuyến
SM
;
Ta có
( ) ( )
// //AB CD SCD AB SCD⊂⇒
;
( )
( ) ( )
,
,,
AB SC
AB SCD H SCD
dd d


⇒= =
;
Kẻ
( )
( )
,H SCD
HK SM HK SCD d HK


⊥⇒⊥ ⇒ =
;
Ta có
SHM∆
vuông tại
,H HK
là đường cao nên
22 2 2
111 1111
6
9 12 36
SH
HK SH HM SH
= + ⇒ =−=⇒ =
;
Vậy
.
11
. . .2.2 3.6 8 3
33
S ABCD ABCD
V S SH= = =
.
Câu 46. Cho
( )
H
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
44yx x=−+
, trục hoành và trục tung.
Đường thẳng
d
qua
( )
0;4A
và có hệ số góc
( )
kk∈
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện
tích bằng nhau. Giá trị của
k
bằng
A.
8−
. B.
2−
. C.
4−
. D.
6−
.
Lời giải
K
M
H
S
B
C
D
A
22
Phương trình đường thẳng
:4d y kx= +
.
Từ hình vẽ, do đường thẳng
d
chia hình
( )
H
thành hai phần có diện tích bằng nhau nên
d
cắt
trục
Ox
tại điểm
4
;0B
k

−


với điều kiện
4
02 2k
k
<− < ⇔ <−
.
Với mọi
[ ]
0;2x ∈
thì
2
4 40xx− +≥
.
2
2
12
0
8
| 4 4|d
3
SS S x x x=+= −+ =
∫
.
Do
12
SS=
nên
1
4
3
S =
.
Ta có:
1
1 1 4 1 44
. .4. .4. 6
2 2 23
S OA OB k
kk
= = = =⇔=−
−−
.
Câu 47. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm
2
13
() 2
22
fx x x
′
= −+
và
(0) 0f =
. Có bao nhiêu số nguyên
( )
2021;2022m∈−
để hàm số
2
() () 2 ()gx f x f x m=++
có đúng 3 điểm cực trị?
A.
2021
. B.
2020
. C.
2022
. D.
4042
.
Lời giải
Ta có:
32
13
()
62
fx x x x C= −+ +
.
Mà
(0) 0f =
0C⇔=
. Do đó,
32
13
()
62
fx x x x= −+
.
Đặt
( )
2
() 2 ()hx f x fx m=++
.
( ) ( )
2 (). () 2 () 2 () () 1hx fxfx fx fx fx
′ ′ ′′
= += +
.
( )
() 0 3 1
0
( ) 1 0
,4920
fx x x
hx
fx x a
′
= =∨=

′
=⇔⇔

=− = ≈−

.
Bảng biến thiên của
( )
hx
B
P
d
S
2
S
1
2
4
y
x
O
A
23
Từ bảng biến thiên,
2
() () 2 () ()gx f x f x m hx= + +=
có đúng 3 điểm cực trị
01 1mm⇔ ≤− + ⇔ ≥
. Mà
( )
2021;2022
m
m
∈
∈−
nên có
2021
giá trị
m
thỏa yêu cầu.
Câu 48. Cho các số phức
,wz
thỏa mãn
35
5
wi+=
và
( )( )
52 4w iz=+−
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
12 52Pz iz i= −− + − −
bằng
A.
67
. B.
2 53
. C.
4 13
. D.
4 2 13+
.
Lời giải
Gọi
( )
,z x yi x y=+∈
khi đó
( )
;M xy
biểu diễn cho số phức
z
.
Theo đề bài:
( )( )
52 4w iz=+−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
5 285 28
2 32 32
3.
w i iz i w i iz i
iwizizi
⇔ += + −−⇔ += + −−
⇔ − +=−− ⇔−− =
Suy ra
( )
;M xy
thuộc đường tròn tâm
( )
3; 2I −
và bán kính
3R =
.
Ta có
( ) ( )
12 52 12 52P z i z i z i z i MA MB=−− +−− =−+ +− + = +
với
( )
1; 2A
và
( )
5; 2B
.
Gọi
E
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
suy ra
( )
3; 2E
và
4IE =
(
E
nằm ngoài
( )
I
).
24
( )( ) ( )
2222 22 22 2
1 1 2 4 4 16P MA MB MA
MB MA MB ME AB ME=+≤+ += += += +
.
Biểu thức
P
đạt giá trị lớn nhất khi độ dài
ME
lớn nhất hay
,,MIE
thẳng hàng.
Khi đó
max
7ME IE IM=+=
và
( )
3
3; 5
4
IM EI M=⇒−
 
.
Vậy biểu thức
2
max
4.7 16 2 53P = +=
khi
35zi= −
và
3 11
55
wi= −
.
Câu 49. [Mức độ 4] Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 22
( ) : ( 1) ( 1) 4Sx y z+ +− +=
và hai điểm
(1;2;4)A
,
(0;0;1)B
. Mặt phẳng
( ): 3 0P ax by cz+ + +=
(,, )abc∈
đi qua
,AB
và cắt
()S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của
abc++
bằng
A.
3
4
−
. B.
33
5
. C.
27
4
. D.
31
5
.
Lời giải
Mặt cầu
()S
có tâm
( 1;1;0)I −
và bán kính
2R =
.
Ta có
21IA =
,
3IB =
nên
A
nằm ngoài
()S
,
B
nằm trong
()S
. Do đó mặt phẳng
()P
luôn cắt
()S
theo một đường tròn
()C
tâm
K
bán kính
r
.
Gọi
M
là hình chiếu vuông góc của
I
trên đường thẳng
AB
.
Ta có
d( ,( ))IK I P=
và
22 2
r R IK= −
.
Ta có
()IK P⊥
IK IM⇒≤
22 2
r R IM⇒≥ −
.
Đẳng thức xảy ra khi
()IM P⊥
. Khi đó
()
( ) (12; 18;8).
P
n AB IA AB= ∧∧= −
  
Vì
;R IM
không đổi nên
r
có giá trị nhỏ nhất bằng
22
R IM−
.
Khi đó phương trình mặt phẳng
()P
là
12( 0) 18( 0) 8( 1) 0
12 18 8 8 0
9 27
3 3 0.
24
x yz
x yz
x yz
−− −+ −=
⇔ − + −=
⇔− + − + =
25
Vậy
9 27 3
3
24 4
abc++=−+ −=−
.
Cách 2:
Mặt cầu
( )
( )
Tâm 1;1; 0
:
2
I
S
R
−
=
.
Do
( )
2
22
1 11 3 2IB R= +− + = < =
nên mặt phẳng
( )
P
luôn cắt mặt cầu
( )
S
theo một
đường tròn giao tuyến
( )
C
.
Gọi
,HK
lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm
I
lên
( )
P
và đường thẳng
AB
và
r
là
bán kính đường tròn giao tuyến
( )
C
.
Ta có
( )
( )
2
22 2
,rRIH RdIP

=−=−

.
Vì
( )
( )
22 22
min
,d I P IH IK r R IK r R IK= ≤ ⇒≥ − ⇒ = −
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
HK≡
hay
( )
P IK⊥
.
Ta có
( )
1; 2; 3BA =

, suy ra
( )
: 2,
13
xt
AB y t t
zt
=
= ∈
= +
.
Do
( ) ( )
; 2 ;1 3 1; 2 1; 3 1K AB K t t t IK t t t∈⇒ +⇒=+ − +

.
( ) ( ) ( )
1
. 0 1 1 22 1 33 1 0
7
IK AB IK BA t t t t⊥ ⇔ = ⇔ + + − + + = ⇔=−
 
. Suy ra
6 94
;;
7 77
IK

= −



Phương trình mặt phẳng
( )
P
qua
B
và nhận
( )
6; 9; 4 7.
P
n IK=−=
 
làm một véctơ pháp tuyến
có phương trình
( ) ( ) ( )
9 27
6 0 9 0 4 1 0 3 30
24
x y z x yz−− −+ −=⇔− + −+=
.
26
Khi đó
9
2
27
4
3
a
b
c
= −
=
= −
. Vậy
3
4
abc++=−
.
Câu 50. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
( )
12
3
2.3 log 3 2 6 1
xx
y yx
−−
− + = −+
và
1
2022 2022
y
−
≤≤
?
A. 13. B. 15. C. 7. D. 6.
Lời giải
+ Điều kiện
2
3 20
x
y
−
+>
.
+ Phương trình tương đương:
( )
(
)
11
3
2.3 log 3 6 6 *
xx
y yx
−−
− +=−
.
+ Đặt:
( )
11
3
log36 363
x xu
u yy
−−
= + ⇒ +=
1
6 33
ux
y
−
⇒=−
.
Ta có:
( )
11
* 2.3 3 3
x ux
ux
−−
⇔ −= − −
1
3.3 3
xu
xu
−
⇔ += +
33
xu
xu⇔ += +
.
+ Hàm
( )
3
t
ft t= +
đồng biến trên
nên
( )
1
3
3 3 log 3 6
xu x
x uxux y
−
+= +⇔=⇔= +
1
3 63
xx
y
−
⇔ +=
2
3
x
y
−
⇔=
(thỏa đk
2
3 20
x
y
−
+>
).
+ Do
1
2022 2022
y
−
≤≤
nên
12
2022 3 2022
x−−
≤≤
1
33
log 2022 2 log 2022x
−
⇔ ≤−≤
1
33
log 2022 2 log 2022 2x
−
⇔ +≤≤ +
59x⇒− < <
.
+ Do
x
nguyên, suy ra
{ 4; 3;....;8}x ∈− −
.
{ 4; 3; 2; 1; 0;1}x ∈−−−−
suy ra
y
không nguyên do
2
0 31
x
y
−
<= <
.
{2;3; 4;5;6; 7;8}
x ∈
suy ra
y
nguyên do
0123456
{3 ;3 ;3 ;3 ;3 ;3 ;3 }y
∈
.
+ Vậy có 7 cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa YCBT.
---HẾT---
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH GIA 2023
TRƯỜNG PTDL HERMANN GMEINER Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 6 trang)
Họ và tên thí sinh:…………………………………………… MÃ ĐỀ: 001
Số báo danh:………………………………………………….
Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. ĐỀ BÀI
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) :3x + y − 2z +1 = 0 . Vectơ nào sau đây là một
vectơ pháp tuyến của (P) ?
A. n = 1;− 2;1 .
B. n = 3;− 2;1 . C. n = 2 − ;1;3 .
D. n = 3;1;− 2 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( )
Câu 2. Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là A. 2 A . B. 4 4 . C. 4 C . D. 4!. 4 4
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới. y x O 2 2
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm nào sau đây? A. (2;0) . B. (0;2) . C. ( 2; − 0) . D. (0; 2 − ) .
Câu 4. Tập xác định của hàm số 5 y = x là A. (0;+ ∞) . B. [0;+ ∞) . C. (−∞;0) . D. (−∞;+ ∞).
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên  và a là số thực dương. Khẳng định nào dưới đây đúng? a 0 a a A. f ∫ (x)dx = 0 . B. f ∫ (x)dx = 0. C. f ∫ (x)dx = 0. D. f ∫ (x)dx = 0. −a −a 0 a
Câu 6. Thể tích của khối cầu có bán kính R là A. 4 3 π R . B. 1 3 π R . C. 3 4π R . D. 4 2 π R . 3 3 3
Câu 7. Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng A. 5. B. 7 . C. 25 . D. 7 . 1 5
Câu 8. Giá trị của 1 dx ∫ bằng x 2 A. 5 ln . B. 2 ln . C. 1 ln 3 . D. 3ln 3 . 2 5 3
Câu 9. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M (3;−1;2) và có vectơ chỉ phương
u =(4;5;−7) có phương trình là
A. x + 3 y −1 z + 2 + + − = = .
B. x 4 y 5 z 7 = = . 4 5 7 − 3 1 − 2
C. x − 4 y − 5 z + 7 − + − = = .
D. x 3 y 1 z 2 = = . 3 1 − 2 4 5 7 −   
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = (2;3;2) và b = (1;1;− )
1 . Véctơ a − b có toạ độ là A. ( 1; − − 2;3) . B. (3;5 ) ;1 . C. (3;4 ) ;1 . D. (1;2;3) .
Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . Thể tích V của khối lăng trụ
đã cho được tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 3Bh . D. 1 V = Bh . 2 3
Câu 12. Điểm M trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào sau đây? y M 3 x 2 O A. z = 2 − + 3i .
B. z = 2 − 3i .
C. z = 3+ 2i .
D. z = 3− 2i . 3 2 1 4
Câu 13. Thể tích của khối trụ có chiều cao h = 2 và bán kính đáy r = 3 là A. 6π . B. 9π . C. 15π . D. 18π .
Câu 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình bên dưới? y x O A. 4 2
y = x − 2x +1. B. 4 2
y = −x + 2x +1. C. 3 2
y = −x + 3x +1. D. 3 2
y = x − 3x +1.
Câu 15. Trong không gian − +
Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng x 1 y z 1 d : = = ? 2 1 2 A. N ( 1; − 0; ) 1 . B. Q( 2 − ; 1 − ; 2 − ). C. M (2;1;2) . D. P(1;0;− ) 1 .
Câu 16. Nghiệm của phương trình 3x = 7 là A. 7 x = 3 . B. x = log 3. C. 7 x = . D. x = log 7. 7 3 3
Câu 17. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  và k là một số thực khác 0. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 A. kf
∫ (x)dx = k f ∫ (x)dx . B. kf
∫ (x)dx = k + f ∫ (x)dx. C. kf
∫ (x)dx = k d .x f ∫ ∫ (x)dx . D. kf ∫ (x) 1 dx = f ∫ (x)dx. k
Câu 18. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới. y 2 x O 2 2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ;0 −∞ ). B. (2;+∞) . C. ( 2; − 2) . D. (0;2) .
Câu 19. Với a là số thực dương, 10 log a bằng A. 10a . B. 10 + log a . C. 10log a . D. 1 log a . 10
Câu 20. Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 3− 2i . Số phức z .z bằng 1 2 1 2 A. 12 + 5i . B. 5 − i . C. 6 − 6i . D. 5i .
Câu 21. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = 1 − . B. x = 6 − . C. x = 5. D. x = 2 .
Câu 22. Họ nguyên hàm của của hàm số f (x) 2 = x − 3x là 3 2 A. ∫ ( ) x 3 d x f x x = − + C . B. f
∫ (x)dx = 2x−3+C . 3 2 3 C. f ∫ (x) 3 2
dx = x − 3x + C . D. f ∫ (x) x 2 dx = − 3x + C . 3
Câu 23. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2x − 4 y =
là đường thẳng có phương trình x +1 A. x = 2. B. x = 1. − C. x = 2. − D. x =1.
Câu 24. Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 8 . B. 24 . C. 12. D. 72 .
Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0;− 2) và bán kính R = 4 có phương trình là A. (x − )2 2
1 + y + (z + 2)2 = 4 . B. (x − )2 2
1 + y + (z + 2)2 =16. 3 C. (x + )2 2
1 + y + (z − 2)2 = 4 . D. (x + )2 2
1 + y + (z − 2)2 =16.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x −1 + log 14 − 2x ≥ 0 là 1 ( ) 4 ( ) 4 A. 5. B. 4 . C. 6 . D. 3.
Câu 27. Cho log = , khi đó giá trị của 3 log 5a bằng 2 a ( ) a 5 3 A. 3. B. 8 . C. 5. D. 15. 2
Câu 28. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f
∫ (x)dx = 6. Giá trị của tích phân 0 π 2 f ∫ (2sin x)cos d x x bằng 0 A. 6 − . B. 3 − . C. 3. D. 6 .
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= 2x − 6x trên đoạn [0;2] bằng A. 0 . B. 4 . C. 4 − . D. 2 . 3 Câu 30. Hàm số x 2 y =
− 2x + 3x +1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. ( ; −∞ 3) . B. (1;+∞). C. ( 3 − ; ) 1 . D. (1;3).
Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng 2
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC A ′ ′) bằng A. 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . 2
Câu 32. Cho số phức z = ( + i)2
1 2 . Số phức z bằng i A. 3 − + 4i . B. 2 − i . C. 4 + 3i . D. 4 − 3i .
Câu 33. Cho cấp số cộng (u biết u = 5,u = 8 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 4 A. 17 . B. 11. C. 14. D. 13.
Câu 34. Tập xác định của hàm số y = log ( 2 x −1 là 3 ) A. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+ ∞). B. ( 1; − ) 1 . C. ( ; −∞ − ] 1 ∪[1;+ ∞) . D. [ 1; − ] 1 .
Câu 35. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )
1 (x + 3) . Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x = 3. B. x =1. C. x = 0 . D. x = 3 − . 4
Câu 36. Một hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu
nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất một quả màu đỏ bằng A. 19 . B. 17 . C. 1 . D. 16 . 28 42 3 21
Câu 37. Cho hàm số f (x) có đạo hàm 1  1 f (x) , x  ;  ′ = ∀ ∈ −∞ và 2 f ( 1)
− = . Biết F(x) là 1 3x 3  −   3
nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F( 1) − = 0 . Giá trị của 1 F    bằng 4    A. 4 . B. 14 . C. 8 − . D. 1 . 3 27 27 54
Câu 38. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AB =1, AD = AA' = 3 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của A'B ' và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Câu 39. Trên tập hợp số phức, biết z = 3− 2i là một nghiệm của phương trình 2
z + az + b = 0 . Giá trị 0
của a + b bằng A. 7 . B. 19 − . C. 7 − . D. 19.
Câu 40. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới. y 3 O 1 x 1 1
Số nghiệm của phương trình f f  ( x) = 0  là A. 7 . B. 8 . C. 9. D. 6 .
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ( x x+2
9 −10.3 + 729) 2ln30 − ln(9x) ≥ 0? A. 97 . B.96. C. 98. D. 99.
Câu 42. Cho khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O , bán kính R . Trên đường tròn (O) lấy hai điểm ,
A B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng 2 2R . Thể tích khối nón đã cho bằng A. 14 3 π R . B. 14 3 π R . C. 14 3 π R . D. 14 3 π R . 6 2 3 12
Câu 43. Trong không gian Oxyz , giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x + 2y + z −1= 0 và
(β ): x − y − z + 2 = 0 có phương trình là x = 1 − + tx = 1 − + tx = tx = t − A.     y = 1+ 2t .
B.y =1− 2t .
C.y = t − .
D. y = 2t . z =     t z =  3t z = 2 −  t z =1−  3t 5
Câu 44. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng x 2 y 1 : z d − − = = và cắt 1 2 1 −
trục Ox,Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d . Phương trình của mặt phẳng (P) là
A. x + 2y + 5z − 4 = 0 . B. 2x − y − 3 = 0 .
C. x + 2y − z − 4 = 0. D. x + 2y + 5z − 5 = 0 .
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữa nhật, AB = 2, AD = 2 3 , tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng A. 16 3 . B. 16 3 . C. 24 3 . D. 8 3 . 3
Câu 46. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 4 , trục hoành và trục tung.
Đường thẳng d qua A(0;4) và có hệ số góc k (k ∈) chia hình (H ) thành hai phần có diện
tích bằng nhau. Giá trị của k bằng A. 8 − . B. 2 − . C. 4 − . D. 6 − .
Câu 47. Cho hàm số f (x) có đạo hàm 1 2 3
f (′x) = x − 2x + và f (0) = 0 . Có bao nhiêu số nguyên 2 2 m∈( 2021; − 2022) để hàm số 2
g(x) = f (x) + 2 f (x) + m có đúng 3 điểm cực trị? A. 2021. B. 2020 . C. 2022 . D. 4042 .
Câu 48. Cho các số phức , w z thỏa mãn 3 5 w + i =
và 5w = (2 + i)(z − 4) . Giá trị lớn nhất của biểu 5
thức P = z −1− 2i + z − 5 − 2i bằng A. 6 7 . B. 2 53 . C. 4 13 . D. 4 + 2 13 .
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x +1) + (y −1) + z = 4 và hai điểm ( A 1;2;4) ,
B(0;0;1) . Mặt phẳng (P) : ax + by + cz + 3 = 0 (a,b,c ∈) đi qua ,
A B và cắt (S) theo giao
tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng A. 3 − . B. 33 . C. 27 . D. 31. 4 5 4 5
Câu 50. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 1 2.3 − − log ( x−2
3 + 2y = 6y − x +1 và 3 ) 1
2022− ≤ y ≤ 2022 ? A. 13. B. 15. C. 7. D. 6.
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên giám thị 1: ….……………………Chữ ký: ………………………….
Họ và tên giám thị 2: ….……………………Chữ ký: …………………………. 6 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.A 7.A 8.A 9.D 10.D 11.B 12.A 13.D 14.B 15.D 16.D 17.A 18.D 19.C 20.A 21.A 22.A 23.B 24.A 25.B 26.B 27.A 28.C 29.B 30.D 31.A 32.C 33.C 34.A 35.C 36.D 37.A 38.B 39.A 40.A 41.D 42.A 43.B 44.A 45.D 46.D 47.A 48.B 49.A 50.C 7
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) :3x + y − 2z +1 = 0 . Vectơ nào sau
đây là một vectơ pháp tuyến của (P) ?
A. n = 1;− 2;1 .
B. n = 3;− 2;1 . C. n = 2 − ;1;3 .
D. n = 3;1;− 2 . 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) Lời giải
Vectơ pháp tuyến của (P) là n = 3;1;− 2 . 4 ( )
Câu 2. [ Mức độ 1] Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là A. 2 A . B. 4 4 . C. 4 C . D. 4!. 4 4 Lời giải
Số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là số hoán vị 4 phần tử: P = 4!. 4
Câu 3. [ Mức độ 1] Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới. y x O 2 2
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm nào sau đây? A. (2;0) . B. (0;2) . C. ( 2; − 0) . D. (0; 2 − ) . Lời giải
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm (2;0) .
Câu 4. [ Mức độ 1] Tập xác định của hàm số 5 y = x là A. (0;+ ∞) . B. [0;+ ∞) . C. (−∞;0) . D. (−∞;+ ∞). Lời giải Hàm số 5
y = x là hàm số lũy thừa với số mũ là α = 5∉ nên điều kiện xác định là x > 0.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là (0;+ ∞) .
Câu 5. [ Mức độ 1] Cho hàm số f (x) liên tục trên  và a là số thực dương. Khẳng định nào dưới đây đúng? a 0 a a A. f ∫ (x)dx = 0 . B. f ∫ (x)dx = 0. C. f ∫ (x)dx = 0. D. f ∫ (x)dx = 0. −a −a 0 a Lời giải a
Theo tính chất tích phân ta có f ∫ (x)dx = 0. a
Giải thích: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). 8 a Ta có: f
∫ (x)dx = F (x) a = F (a)− F (a) = 0 . a a
Câu 6. [ Mức độ 1] Thể tích của khối cầu có bán kính R là A. 4 3 π R . B. 1 3 π R . C. 3 4π R . D. 4 2 π R . 3 3 3 Lời giải
Theo lý thuyết công thức tính thể tích khối cầu có bán kính R là 4 3 π R . 3
Câu 7. Môđun của số phức z = 4 − 3i bằng A. 5. B. 7 . C. 25 . D. 7 . Lời giải
Ta có z = 4 − 3i 2 ⇒ z = 4 + ( 3 − )2 = 5. 5
Câu 8. Giá trị của 1 dx ∫ bằng x 2 A. 5 ln . B. 2 ln . C. 1 ln 3 . D. 3ln 3 . 2 5 3 Lời giải 5 Ta có 1 5 5
dx = ln x = ln 5 − ln 2 = ln ∫ . 2 x 2 2
Câu 9. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M (3;−1;2) và có vectơ chỉ phương
u =(4;5;−7) có phương trình là
A. x + 3 y −1 z + 2 + + − = = .
B. x 4 y 5 z 7 = = . 4 5 7 − 3 1 − 2
C. x − 4 y − 5 z + 7 − + − = = .
D. x 3 y 1 z 2 = = . 3 1 − 2 4 5 7 − Lời giải
Đường thẳng đi qua điểm M (3;−1;2) và có vectơ chỉ phương u = (4;5;− 7) có phương trình
chính tắc là: x − 3 y +1 z − 2 = = . 4 5 7 −   
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = (2;3;2) và b = (1;1;− )
1 . Véctơ a − b có toạ độ là A. ( 1; − − 2;3) . B. (3;5 ) ;1 . C. (3;4 ) ;1 . D. (1;2;3) . Lời giải    
Ta có: a − b = (2 −1;3−1;2 + )
1 ⇒ a − b = (1;2;3) .
Câu 11. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . Thể tích V của khối lăng trụ
đã cho được tính theo công thức nào dưới đây? A. 1 V = Bh .
B. V = Bh .
C. V = 3Bh . D. 1 V = Bh . 2 3 Lời giải 9
Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức V = Bh .
Câu 12. Điểm M trong hình bên dưới biểu diễn số phức nào sau đây? y M 3 x 2 O A. z = 2 − + 3i .
B. z = 2 − 3i .
C. z = 3+ 2i .
D. z = 3− 2i . 3 2 1 4 Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có M ( 2;
− 3) , suy ra điểm M ( 2;
− 3) là điểm biểu diễn của số phức z = 2 − + 3i . 3
Câu 13. Thể tích của khối trụ có chiều cao h = 2 và bán kính đáy r = 3 là A. 6π . B. 9π . C. 15π . D. 18π . Lời giải Thể tích khối trụ là 2 2
V = π r h = π.3 .2 =18π .
Câu 14. Hàm số nào sau đây có đồ thị là đường cong như hình bên dưới? y x O A. 4 2
y = x − 2x +1. B. 4 2
y = −x + 2x +1. C. 3 2
y = −x + 3x +1. D. 3 2
y = x − 3x +1. Lời giải
Đồ thị trên là đồ thị hàm số trùng phương có hệ số a < 0 nên chọn đáp án B .
Câu 15. Trong không gian − +
Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng x 1 y z 1 d : = = ? 2 1 2 A. N ( 1; − 0; ) 1 . B. Q( 2 − ; 1 − ; 2 − ). C. M (2;1;2) . D. P(1;0;− ) 1 . Lời giải Thế tọa độ điểm − − + P(1;0;− )
1 vào phương trình đường thẳng d , ta có 1 1 0 1 1 = = là mệnh 2 1 2
đề đúng nên điểm P(1;0;− )
1 thuộc đường thẳng d .
Câu 16. Nghiệm của phương trình 3x = 7 là A. 7 x = 3 . B. x = log 3. C. 7 x = . D. x = log 7. 7 3 3 Lời giải
Phương trình 3x = 7 ⇔ x = log 7. 3
Câu 17. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  và k là một số thực khác 0. Khẳng định nào dưới đây đúng? 10 A. kf
∫ (x)dx = k f ∫ (x)dx . B. kf
∫ (x)dx = k + f ∫ (x)dx. C. kf
∫ (x)dx = k d .x f ∫ ∫ (x)dx . D. kf ∫ (x) 1 dx = f ∫ (x)dx. k Lời giải
Tính chất của nguyên hàm: kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx với k là một số thực khác 0.
Câu 18. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình bên dưới. y 2 x O 2 2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( ;0 −∞ ). B. (2;+∞) . C. ( 2; − 2) . D. (0;2) . Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;2) .
Câu 19. Với a là số thực dương, 10 log a bằng A. 10a . B. 10 + log a . C. 10log a . D. 1 log a . 10 Lời giải Ta có 10
log a =10log a nên chọn C.
Câu 20. Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 3− 2i . Số phức z .z bằng 1 2 1 2 A. 12 + 5i . B. 5 − i . C. 6 − 6i . D. 5i . Lời giải
Ta có z .z = (2 + 3i)(3− 2i) 2
= 6 − 4i + 9i − 6i =12 + 5 .i Chọn A. 1 2
Câu 21. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = 1 − . B. x = 6 − . C. x = 5. D. x = 2 . Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 − nên chọn A. 11
Câu 22. [ Mức độ 1] Họ nguyên hàm của của hàm số f (x) 2 = x − 3x là 3 2 A. ∫ ( ) x 3 d x f x x = − + C . B. f
∫ (x)dx = 2x−3+C . 3 2 3 C. f ∫ (x) 3 2
dx = x − 3x + C . D. f ∫ (x) x 2 dx = − 3x + C . 3 Lời giải
Họ nguyên hàm của của hàm số f (x) 2
= x − 3x là ∫ ( ) = ∫( − ) 3 2 2 x 3 d 3 d x f x x x x x = − + C. 3 2
Câu 23. [ Mức độ 1] Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2x − 4 y =
là đường thẳng có phương trình x +1 A. x = 2. B. x = 1. − C. x = 2. − D. x =1. Lời giải Ta có: 2x − 4 2x − 4 lim − = −∞, lim = +∞ . Nên hàm số 2x 4 y =
có duy nhất một đường x 1+ + x 1 x 1 − →− →− x +1 x +1
tiệm cận đứng x = 1. −
Câu 24. [ Mức độ 1] Cho khối chóp có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 4 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 8 . B. 24 . C. 12. D. 72 . Lời giải
Thể tích của khối chóp đã cho là 1 1
V = Bh = .6.4 = 8. 3 3
Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0;− 2) và bán kính R = 4 có phương trình là A. (x − )2 2
1 + y + (z + 2)2 = 4 . B. (x − )2 2
1 + y + (z + 2)2 =16. C. (x + )2 2
1 + y + (z − 2)2 = 4 . D. (x + )2 2
1 + y + (z − 2)2 =16. Lời giải
Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0; 2
− ) và bán kính R = 4 có phương trình là (x − )2 2
1 + y + (z + 2)2 =16.
Câu 26. Số nghiệm nguyên của bất phương trình log x −1 + log 14 − 2x ≥ 0 là 1 ( ) 4 ( ) 4 A. 5. B. 4 . C. 6 . D. 3. Lời giải x −1 > 0
Điều kiện xác định:  ⇔ 1< x < 7 . 14  − 2x > 0
Với điều kiện trên, ta có: log x −1 + log 14 − 2x ≥ 0 ⇔ −log x −1 + log 14 − 2x ≥ 0 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4 ( ) 4
⇔ log 14 − 2x ≥ log x −1 ⇔ 14 − 2x ≥ x −1 ⇔ x ≤ 5 . 4 ( ) 4 ( )
Kết hợp với điều kiện ta thấy có 4 nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 2;3;4;5. 12
Câu 27. Cho log = , khi đó giá trị của 3 log 5a bằng 2 a ( ) a 5 3 A. 3. B. 8 . C. 5. D. 15. Lời giải 3 1 3 1 3 1 1 log 5a = log a = + a = + = + = . a a 5 loga 5 loga loga 5 3 3 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2
Câu 28. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;2] và thỏa mãn f
∫ (x)dx = 6. Giá trị của tích phân 0 π 2 f ∫ (2sin x)cos d x x bằng 0 A. 6 − . B. 3 − . C. 3. D. 6 . Lời giải Đặt t 1
= 2sin x ⇒ dt = 2cos d
x x ⇔ dt = cos d x x . 2 π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2. 2 π 2 2 f ∫ ( x) 1 2sin cos d x x = f ∫ (t)dt = 3. 2 0 0
Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= 2x − 6x trên đoạn [0;2] bằng A. 0 . B. 4 . C. 4 − . D. 2 . Lời giải Hàm số f (x) 3
= 2x − 6x liên tục trên đoạn [0;2] . x =1 Ta có f ′(x) 2
= 6x − 6, f ′(x) = 0 ⇔  . x = 1 − ∉  [0;2] f ( ) 1 = 4,
− f (0) = 0, f (2) = 4 . Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là f (2) = 4 . 3 Câu 30. Hàm số x 2 y =
− 2x + 3x +1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 3 A. ( ; −∞ 3) . B. (1;+∞). C. ( 3 − ; ) 1 . D. (1;3). Lời giải 3 Xét hàm số x 2 y =
− 2x + 3x +1. Tập xác định: D =  . 3 x =1 2
y′ = x − 4x + 3, y′ = 0 ⇔  . x = 3 Bảng biến thiên 13
Dựa vào BBT, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng 2 (tham khảo hình bên dưới)
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC A ′ ′) bằng A. 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải
Trong mặt phẳng ( ABC) kẻ BH ⊥ AC .
Vì ABC.A′B C
′ ′ là hình lăng trụ tam giác đều A′A ⊥ ( ABC) ⇒ A′A ⊥ BH .
BH ⊥ AC , BH ⊥ A′A
Vậy AC , A′A⊂( ACC A
′ ′) ⇒ BH ⊥( ACC A
′ ′) ⇒ d (B,( ACC A ′ ′)) = BH . 
AC ∩ A′A = A
∆ ABC đều cạnh bằng 2 nên 2 3 BH = = 3 . 2 14
Câu 32. Cho số phức z = ( + i)2
1 2 . Số phức z bằng i A. 3 − + 4i . B. 2 − i . C. 4 + 3i . D. 4 − 3i . Lời giải Ta có: = ( + )2 z 3 − + 4 1 2 = 3 − + 4 i z i i ⇒ = = 4 + 3i . i i
Câu 33. Cho cấp số cộng (u biết u = 5,u = 8 . Giá trị của u bằng n ) 1 2 4 A. 17 . B. 11. C. 14. D. 13. Lời giải
Ta có (u là cấp số cộng nên u = u + d ⇔ 8 = 5 + d ⇔ d = 3. n ) 2 1
Vậy u = u + 3d = 5 + 3.3 =14 . 4 1
Câu 34. Tập xác định của hàm số y = log ( 2 x −1 là 3 ) A. ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+ ∞). B. ( 1; − ) 1 . C. ( ; −∞ − ] 1 ∪[1;+ ∞) . D. [ 1; − ] 1 . Lời giải TXĐ: 2
x −1 > 0 ⇔ x < 1
− v x >1. Vậy tập xác định: D = ( ; −∞ − ) 1 ∪(1;+ ∞) .
Câu 35. [ Mức độ 2] Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = x(x − )
1 (x + 3) . Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x = 3. B. x =1. C. x = 0 . D. x = 3 − . Lời giải
Ta có bảng xét dấu của f ′(x) :
Từ bảng xét dấu của f ′(x) ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 .
Câu 36. [ Mức độ 3] Một hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất một quả màu đỏ bằng A. 19 . B. 17 . C. 1 . D. 16 . 28 42 3 21 Lời giải
Không gian mẫu Ω bao gồm các cách lấy ra tùy ý 3 quả cầu từ 9 quả cầu trong hộp nên ta có n(Ω) 3 = C . 9
Gọi A là biến cố “trong 3 quả lấy được có ít nhất một quả màu đỏ ”. Khi đó ta có
A là biến cố “ không lấy được quả màu đỏ nào”, do đó n( A) 3 = C . 6 Từ đó P( A) 3 C 5 6 = =
. Suy ra P( A) 16 = . 3 C 21 21 9 15
Câu 37. Cho hàm số f (x) có đạo hàm 1  1 f (x) , x  ;  ′ = ∀ ∈ −∞ và 2 f ( 1)
− = . Biết F(x) là 1 3x 3  −   3
nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F( 1) − = 0 . Giá trị của 1 F    bằng 4    A. 4 . B. 14 . C. 8 − . D. 1 . 3 27 27 54 Lời giải Ta có 1 2 f (x) = dx = − 1− 3x + C . ∫ 1 1− 3x 3 Mà 2 2 2 f ( 1) − = ⇔ − 1− 3( 1)
− + C = ⇔ C = 2. 1 1 3 3 3 Khi đó 2 f (x) = − 1− 3x + 2. 3 1 3 Lại có  2   2 F(x) = −
1− 3x + 2 dx = − ∫ ∫ (1−3x)  4 2 + 2 dx = (1−3x)2 + 2x +   C   . 2  3   3  27 Mà 4 F( 1) − = 0 ⇔ (1+3)3 22
2 − 2 + C = 0 ⇔ C = . 2 2 27 27 Vậy 4 F(x) = (1−3x)3 22 2 + 2x + 1 4 F   ⇒ = . 27 27  4   3
Câu 38. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AB =1, AD = AA' = 3 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của A'B ' và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 . Lời giải D' C' M A' B' D C N A P B
Xét tam giác ABC vuông tại 2 2
B ⇒ AC = AB + BC = 2 .
Gọi P là trung điểm của AB . NP//AC
Khi đó NP là đường trung bình của tam giác ABC  ⇒  1 . NP = AC =  1  2
Do NP//AC nên  =  = 
(MN, AC) (MN, NP) MNP .
Do M , P lần lượt là trung điểm của A′B′ và AB ⇒ MP = AA′ = 3 . 16
Xét tam giác MNP vuông tại P có  MP = = ⇒  0 tan MNP 3 MNP = 60 . NP
Câu 39. [Mức độ 2] Trên tập hợp số phức, biết z = 3− 2i là một nghiệm của phương trình 0 2
z + az + b = 0 (với a, b∈ ). Giá trị của a + b bằng A. 7 . B. 19 − . C. 7 − . D. 19. Lời giải Phương trình 2
z + az + b = 0 với hệ số thực a, b có nghiệm z = z = 3− 2i thì sẽ có nghiệm 1 0
z = z = 3+ 2i . Theo định lí Vi-ét ta có: 2 1  a
z + z = − = −a  1 2  3  −  2i + 3+ 2 1 i = −aa = 6 −  ⇔  ⇔ . b  (  3 2i  )(3 2i) b b  − + =  = 13 z z = = b 1 2  1
Khi đó a + b = 6 − +13 = 7 .
Câu 40. [Mức độ 3] Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới. y 3 O 1 x 1 1
Số nghiệm của phương trình f f  ( x) = 0  là A. 7 . B. 8 . C. 9. D. 6 . Lời giải
f (x) = a < 1 −  Ta có: f f  ( x) = 0 ⇔ 
f ( x) = b ∈(0 ) ;1 .
f (x) = c∈  (1;3) 3 y y = c y = b 1 1 O x 1 y = a
Phương trình f (x) = a < 1 − có 1 nghiệm.
Phương trình f (x) = b∈(0 ) ;1 có 3 nghiệm. 17
Phương trình f (x) = c∈(1;3) có 3 nghiệm.
Tất các các nghiệm này khác nhau. Vậy phương trình f f  ( x) = 0  có 7 nghiệm. Cách khác: Hàm số bậc ba ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có f (x) 2 '
= 3ax + 2bx + c có hai điểm cực trị là x = 1
± , suy ra f (x) = a(x − )(x + ) = a( 2 x − ) 2
= ax − a ⇒ f (x) 3 ' 3 1 1 3 1 3 3
= ax − 3ax + d .
Đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm A( 1; − 3) và B(1;− ) 1 nên ta có hệ  f (− ) 1 = 3 2a + d = 3 a =1  ⇔  ⇔  ⇒ f (x) 3 = − + .  f  ( ) x 3x 1 1 = 1 −  2 − a + d = 1 − d = 1 x = a ≈ 1 − ,8794 Khi đó f (x) 3 0 x 3x 1 0  = ⇔ −
+ = ⇔ x = b ≈ 0,3473  . x = c ≈  1,5321
f (x) = a
Phương trình f f  ( x) = 0 ⇔ 
f ( x) = b .
f (x) = c y 3 y = c y = b 1 1 O x 1 y = a
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f (x) = a có một nghiệm, phương trình f (x) = b có ba
nghiệm và phương trình f (x) = c có 3 nghiệm.
Vậy phương trình f f  ( x) = 0  có tất cả 7 nghiệm.
Câu 41. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ( x x+2
9 −10.3 + 729) 2ln30 − ln(9x) ≥ 0? A. 97 . B.96. C. 98. D. 99. Lời giải x > 0  x > 0 Điều kiện:  ⇔  ⇔ x ∈ . 2ln 30 − ln  (9x) (0;100] ≥ 0 x ≤100
+ Với x =100 , khi đó ( x x+2
9 −10.3 + 729) 2ln30 − ln(9x) = 0 . Suy ra x =100 thỏa mãn.
+ Với x∈(0;100), bất phương trình ( x x+2
9 −10.3 + 729) 2ln30 − ln(9x) ≥ 0 ( x)2 3 90.3x ⇔ − + 729 ≥ 0 18 3x ≥ 81 x ≥ 4 ⇔  ⇔ ⇔  x ∈(0;2]∪[4;100).  3x ≤ 9 x ≤ 2
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (0;2]∪[4;100]. Suy ra có 99 số nguyên x thỏa mãn bài toán.
Câu 42. Cho khối nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O , bán kính R . Trên đường tròn (O) lấy hai điểm ,
A B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng 2 2R . Thể tích khối nón đã cho bằng A. 14 3 π R . B. 14 3 π R . C. 14 3 π R . D. 14 3 π R . 6 2 3 12 Lời giải S B O I A OA ∆
B vuông tại O 2 2
⇒ AB = R + R = R 2 .
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có S
∆ AB cân tại S ⇒ SI vuông góc với AB . 2 1 2 2.R 2 S = = ⇒ = = . ∆ AB SI R SI R SAB . . 2 2 2 R 2
Ta lại có OI là trung tuyến của tam giác vuông OAB AB R 2 ⇒ OI = = . 2 2 2  R 2  14 S
∆ OI vuông tại O 2 2
⇒ SO = SI − OI = (2R)2 −   = R  . 2  2   1 2 1 2 14 14 3
V = π.OA .SO = π.R . R = π R . 3 3 2 6
Câu 43. Trong không gian Oxyz , giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) : x + 2y + z −1= 0 và
(β ): x − y − z + 2 = 0 có phương trình là 19 x = 1 − + tx = 1 − + tx = tx = t − A.     y = 1+ 2t .
B.y =1− 2t .
C.y = t − .
D. y = 2t . z =     t z =  3t z = 2 −  t z =1−  3t Lời giải
Gọi d = (α ) ∩(β ) .  
Mặt phẳng (α ) và (β ) lần lượt có một VTPT là n = và n = − − . β (1; 1; ) 1 α (1;2; )1   
Suy ra d có một VTPT là n = n  = − . β , nα (1; 2;3)  
Lấy M ∈(α ) ∩(β ) ⇒ M ( 1; − 1;0)∈d . x = 1 − + t
Vậy d có phương trình là y =1− 2t . z =  3t
Câu 44. Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng x 2 y 1 : z d − − = = và cắt 1 2 1 −
trục Ox,Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với d . Phương trình của mặt phẳng (P) là
A. x + 2y + 5z − 4 = 0 . B. 2x − y − 3 = 0 .
C. x + 2y − z − 4 = 0. D. x + 2y + 5z − 5 = 0 . Lời giải M (2;1;0)∈  d Ta có d :  . u  = −  d (1;2; ) 1  
Do A∈Ox, B ∈Oy ⇒ AB ⊂ (Oxy) ⇒ u ⊥ k = . AB (0;0; ) 1  
Đường thẳng AB ⊥ d ⇒ u ⊥ u . AB d   
Suy ra u = k u  = − . AB , d ( 2;1;0)   d ⊂ (P)    Do 
⇒ n = u u  = − − − . P AB , d ( 1; 2; 5) AB  (P)   ⊂ 
Phương trình mặt phẳng (P) qua M (2;1;0) và nhận véctơ n = − − − làm một véctơ P ( 1; 2; 5)
pháp tuyến là (P) : 1
− (x − 2) − 2( y − )
1 − 5(z − 0) = 0 ⇔ x + 2y + 5z − 4 = 0.
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữa nhật, AB = 2, AD = 2 3 , tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng A. 16 3 . B. 16 3 . C. 24 3 . D. 8 3 . 3 . Lời giải 20 S K A D M H B C
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
(SAB) ⊥ ( ABCD)  ( 
SAB) ∩( ABCD) = AB
 ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ; SH ⊂ (SAB)  SH AB  ⊥ 
Gọi M là trung điểm của CD , ta có:
CD ⊥ HM ⇒CD ⊥(SHM );CD ⊂(SCD)⇒(SHM ) ⊥(SCD) theo giao tuyến SM ; CD ⊥ SH
Ta có AB//CD ⊂ (SCD) ⇒ AB// (SCD) ; ⇒ d( = d = d ; AB,SC) AB,(SCD) H ,(SCD)    
Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ (SCD) ⇒ d = HK ; H ,(SCD)   Ta có S
∆ HM vuông tại H, HK là đường cao nên 1 1 1 1 1 1 1 = + ⇒ = − = ⇒ SH = 6 ; 2 2 2 2 HK SH HM SH 9 12 36 Vậy 1 1 V = S SH = = . S ABCD . ABCD. .2.2 3.6 8 3 . 3 3
Câu 46. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 4 , trục hoành và trục tung.
Đường thẳng d qua A(0;4) và có hệ số góc k (k ∈) chia hình (H ) thành hai phần có diện
tích bằng nhau. Giá trị của k bằng A. 8 − . B. 2 − . C. 4 − . D. 6 − . Lời giải 21 y P A 4 S1 S2 x O B 2 d
Phương trình đường thẳng d : y = kx + 4.
Từ hình vẽ, do đường thẳng d chia hình (H ) thành hai phần có diện tích bằng nhau nên d cắt
trục Ox tại điểm  4 B ;0 −  với điều kiện 4
0 < − < 2 ⇔ k < 2 − . k    k
Với mọi x∈[0;2] thì 2
x − 4x + 4 ≥ 0 . 2 2 8
S = S + S = | x − 4x + 4 | dx = 1 2 ∫ . 0 3 Do S 4 = S nên S = . 1 2 1 3 Ta có: 1 1 4 1 4 4 S = . OAOB = .4. = .4. = ⇔ k = 6 − . 1 2 2 −k 2 −k 3
Câu 47. Cho hàm số f (x) có đạo hàm 1 2 3
f (′x) = x − 2x + và f (0) = 0 . Có bao nhiêu số nguyên 2 2 m∈( 2021; − 2022) để hàm số 2
g(x) = f (x) + 2 f (x) + m có đúng 3 điểm cực trị? A. 2021. B. 2020 . C. 2022 . D. 4042 . Lời giải Ta có: 1 3 2 3
f (x) = x − x + x + C . 6 2 Mà f (0) 1 3
= 0 ⇔ C = 0 . Do đó, 3 2
f (x) = x − x + x . 6 2 Đặt h(x) 2
= f (x) + 2 f (x) + m .
h′(x) = 2 f (′x). f (x) + 2 f (′x) = 2 f (′x)( f (x) + ) 1 .  ′ =  = ∨ = h′(x) f (x) 0 x 3 x 1 = 0 ⇔ ⇔  .  f (x) 1  = − x = a ≈ 0 − ,4920
Bảng biến thiên của h(x) 22 Từ bảng biến thiên, 2
g(x) = f (x) + 2 f (x) + m = h(x) có đúng 3 điểm cực trị m∈ ⇔ 0 ≤ 1
− + m ⇔ m ≥1. Mà 
nên có 2021 giá trị m thỏa yêu cầu. m∈  ( 2021; − 2022)
Câu 48. Cho các số phức , w z thỏa mãn 3 5 w + i =
và 5w = (2 + i)(z − 4) . Giá trị lớn nhất của biểu 5
thức P = z −1− 2i + z − 5 − 2i bằng A. 6 7 . B. 2 53 . C. 4 13 . D. 4 + 2 13 . Lời giải
Gọi z = x + yi (x, y ∈) khi đó M ( ;
x y) biểu diễn cho số phức z .
Theo đề bài: 5w = (2 + i)(z − 4)
⇔ 5(w + i) = (2 + i) z − (8 − i) ⇔ 5(w + i) = (2 + i) z − (8 − i)
⇔ (2 − i)(w + i) = z − (3− 2i) ⇔ z − (3− 2i) = 3. Suy ra M ( ;
x y) thuộc đường tròn tâm I (3;− 2) và bán kính R = 3.
Ta có P = z −1− 2i + z − 5 − 2i = z − (1+ 2i) + z −(5 + 2i) = MA+ MB với A(1;2) và B(5;2) .
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra E (3;2) và IE = 4 ( E nằm ngoài (I ) ). 23
P = MA + MB ≤ ( 2 2 + )( 2 2 MA + MB ) = ( 2 2 MA + MB ) 2 2 2 1 1 2
= 4ME + AB = 4ME +16 .
Biểu thức P đạt giá trị lớn nhất khi độ dài ME lớn nhất hay M , I, E thẳng hàng.   Khi đó ME 3
= IE + IM = 7 và IM = EI ⇒ M (3; 5 − ) . max 4 Vậy biểu thức 2
P = 4.7 +16 = 2 53 khi z = 3− 5i và 3 11 w = − i . max 5 5
Câu 49. [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x +1) + (y −1) + z = 4 và hai điểm (
A 1;2;4) , B(0;0;1) . Mặt phẳng (P) : ax + by + cz + 3 = 0 (a,b,c ∈) đi qua ,
A B và cắt (S)
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của a + b + c bằng A. 3 − . B. 33 . C. 27 . D. 31. 4 5 4 5 Lời giải
Mặt cầu (S) có tâm I( 1;
− 1;0) và bán kính R = 2 .
Ta có IA = 21, IB = 3 nên A nằm ngoài (S) , B nằm trong (S) . Do đó mặt phẳng (P)
luôn cắt (S) theo một đường tròn (C) tâm K bán kính r .
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng AB .
Ta có IK = d(I,(P)) và 2 2 2
r = R − IK .
Ta có IK ⊥ (P) ⇒ IK ≤ IM 2 2 2
⇒ r ≥ R − IM .
Đẳng thức xảy ra khi IM ⊥ (P) . Khi đó    
n = AB ∧ IA ∧ AB = − P ( ) (12; 18;8). ( ) Vì ;
R IM không đổi nên r có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 R − IM .
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) là
12(x − 0) −18(y − 0) + 8(z −1) = 0
⇔ 12x −18y + 8z −8 = 0 9 27 ⇔ − x +
y − 3z + 3 = 0. 2 4 24 Vậy 9 27 3
a + b + c = − + − 3 = − . 2 4 4 Cách 2: Tâm I 1; − 1;0 Mặt cầu (S ) ( ) :  . R = 2 Do 2 IB = + (− )2 2 1
1 +1 = 3 < R = 2 nên mặt phẳng (P) luôn cắt mặt cầu (S ) theo một
đường tròn giao tuyến (C).
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên (P) và đường thẳng AB và r là
bán kính đường tròn giao tuyến (C).
Ta có r = R − IH = R − d  (I (P)) 2 2 2 2 ,  .
Vì d (I,(P)) 2 2 2 2
= IH ≤ IK ⇒ r ≥ R − IK ⇒ r = R − IK . min
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H ≡ K hay (P) ⊥ IK . x = t 
Ta có BA = (1;2;3), suy ra AB :y = 2t ,(t ∈) . z =1+  3t 
Do K ∈ AB ⇒ K (t;2t;1+ 3t) ⇒ IK = (t +1;2t −1;3t + ) 1 .   
IK ⊥ AB ⇔ IK BA = ⇔ (t + ) + ( t − ) + ( t + ) 1 . 0 1
1 2 2 1 3 3 1 = 0 ⇔ t = − . Suy ra 6 9 4 IK  ; ;  = − 7 7 7 7     
Phương trình mặt phẳng (P) qua B và nhận n = −
= IK làm một véctơ pháp tuyến P (6; 9;4) 7.
có phương trình (x − ) − ( y − ) + (z − ) 9 27 6 0 9 0 4 1 = 0 ⇔ − x +
y − 3z + 3 = 0 . 2 4 25  9 a = −  2  Khi đó  27 b  = . Vậy 3
a + b + c = − . 4  4 c = 3 − 
Câu 50. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 1 2.3 − − log ( x−2
3 + 2y = 6y − x +1 và 3 ) 1
2022− ≤ y ≤ 2022 ? A. 13. B. 15. C. 7. D. 6. Lời giải + Điều kiện x−2 3 + 2y > 0 .
+ Phương trình tương đương: x 1 2.3 − log ( x 1 3 − −
+ 6y = 6y − x * . 3 ) ( ) + Đặt: log ( x 1 3 − 6 ) x 1 3 − = + ⇒ + 6 = 3u u y y u x 1 6y 3 3 − ⇒ = − . 3 Ta có: ( ) x 1 − u x 1 * 2.3 u 3 3 − ⇔ − = − − x x 1 3.3 − ⇔ + = 3u x
+ u ⇔ 3x + = 3u x + u . + Hàm ( ) = 3t f t
+ t đồng biến trên  nên 3x x 3u u x u x log ( x 1 3 − + = + ⇔ = ⇔ = + 6y 3 ) x 1 3 − ⇔ + 6 = 3x y 2 3x y − ⇔ = (thỏa đk x−2 3 + 2y > 0 ). + Do 1
2022− ≤ y ≤ 2022 nên 1 − x−2 2022 ≤ 3 ≤ 2022 1 log 2022− ⇔
≤ x − 2 ≤ log 2022 3 3 1 log 2022− ⇔
+ 2 ≤ x ≤ log 2022 + 2 3 3 ⇒ 5 − < x < 9 .
+ Do x nguyên, suy ra x∈{ 4 − ; 3 − ;....;8} . x ∈{ 4; − 3 − ; 2; − 1
− ;0;1} suy ra y không nguyên do x−2 0 < y = 3 <1.
x ∈{2;3;4;5;6;7;8} suy ra y nguyên do 0 1 2 3 4 5 6
y ∈{3 ;3 ;3 ;3 ;3 ;3 ;3 }.
+ Vậy có 7 cặp số nguyên (x; y) thỏa YCBT. ---HẾT--- 26