Đề thi thử TN THPT 2023 môn Toán trường THPT Hoài Đức A – Hà Nội

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2023 môn Toán trường THPT Hoài Đức A, thành phố Hà Nội

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

23 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Hoa
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 06 trang)
KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
Năm học: 2022 – 2023
Môn thi: TOÁN (Chương trình chuẩn)
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ THI GỐC – MÃ ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn
3
học sinh từ một nhóm gồm
10
học sinh?
A.
720
. B.
45
. C.
120
. D.
.
Câu 2. Cho cấp số nhân
( )
n
u
có công bội dương và
2
1
3
u =
,
4
3u =
. Giá trị của
1
u
là
A.
1
1
2
u =
. B.
1
1
9
u =
. C.
1
1
81
u =
. D.
1
1
27
u =−
.
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
,2AB a AD a==
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và
15SA a=
.Tính góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
.
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
A.
3
31y x x=−+
. B.
3
31y x x=−−
. C.
42
31y x x= − +
. D.
32
31y x x= − + +
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
=y f x
có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;3−
. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2;+
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2−
. D. Hàm số đồng biến trên khoảng
5
2;
2



.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
(1;3)
. B.
0x =
. C.
1x =
. D.
3x =
.
2
Câu 7. Cho hàm số
21
32
x
y
x
−
=
−
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là:
A.
2
;1
3
yx==
. B.
2
1;
3
yx= − =
. C.
3
1;
2
yx= − =
. D.
23
;
32
yx==
.
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
32
3 9 8y x x x= + − +
trên đoạn
2;2−
.
A.
2;2
max 3y
−
=
. B.
2;2
max 34y
−
=
. C.
2;2
max 10y
−
=
. D.
2;2
max 30y
−
=
.
Câu 9. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2022 4 4f x x x x x
= + − +
. Hàm số
( )
fx
có mấy điểm cực tiểu?
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 10. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên khoảng
( )
;− +
, có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
( )
20f x m+=
có đúng 3 nghiệm
phân biệt?
A.
7
. B.
11
. C.
8
. D.
13
.
Câu 11. Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
5
logyx=
là
A.
5
y
x
=
. B.
ln5
y
x
=
. C.
1
y
x
=
. D.
1
ln5
y
x
=
.
Câu 12. Đạo hàm của hàm số là
e
yx
trên tập số thực, là
A.
1e
y ex
+
=
. B.
1e
y ex
−
=
.
C.
1
1
e
yx
e
−
=
. D.
1
1
1
e
yx
e
+
=
+
.
Câu 13. Nghiệm của phương trình
6
3 27
x+
=
là
A.
2.x =
B.
1.x =
C.
2.x =−
D.
3.x =−
Câu 14. Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
log(3 2) 0x +
.
A.
2
;
3
S

= − +


. B.
3
;
2
S

= −


. C.
1
;
3
S

= − +


. D.
2
;
3
S

= −


.
Câu 15. Cho
, ab
là hai số thực dương thỏa mãn
2
2
log ( . )
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
12
. B.
6
. C.
3
. D.
2
.
Câu 16. Tính tổng
T
tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
( ) ( )
2
log 10 3log 100 5xx− −
A.
50T =
. B.
45T =
. C.
110T =
. D.
55T =
.
Câu 17. Nếu
( ) ( )
f x x F x C=+
d
thì
A.
( ) ( )
2 1 2 2 1f x x F x C+ = + +
d
. B.
( ) ( )
1
21
2
f x x F x C+ = +
d
.
C.
( ) ( )
2 1 2 1f x x F x C+ = + +
d
. D.
( ) ( )
1
2 1 2 1
2
f x x F x C+ = + +
d
.
Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là
( ) sinf x x x=+
là
A.
2
o
2
x
c sx C++
. B.
2
o
2
x
c sx C−+
. C.
2
ox c sx C++
. D.
2
ox c sx C−+
.
4
1
x
y'
y
3
2
+
0
+
∞∞
∞
+
∞
0
+
3
Câu 19. Cho
( )
5
2
10f x dx =
. Khi đó
( )
5
2
23f x dx+


bằng
A
.
32
.
B.
36
. C.
42
. D.
46
.
Câu 20. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích
1
7
12
S =
và
2
45
4
S =
. Tính tích phân
( )
3
1
dI f x x
−
=
.
A.
32
3
I =
. B.
71
6
I =
. C.
71
6
I =−
. D.
32
3
I =−
.
Câu 21. Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3y x x=−
và trục hoành. Tính thể tích
V
của vật
thể tròn xoay sinh ra khi cho
( )
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
81
10
V
=
. B.
81
10
V =
. C.
9
2
V =
. D.
9
2
V
=
.
Câu 22. Cho số phức
z
được biểu diễn bởi điểm
( )
4; 2A −−
. Số phức liên hợp của số phức
z
bằng
A.
42zi= − −
. B.
42zi=−
. C.
42zi=+
. D.
42zi= − +
.
Câu 23. Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
2 4 3 .z i i=+
Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
6
. B.
8
. C.
8−
. D.
10
.
Câu 24. Cho số phức
z
thỏa mãn
12z i z− + = +
. Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức
z
A. là đường thẳng
3 1 0xy+ + =
. B. là đường thẳng
3 1 0xy− + =
.
C. là đường thẳng
3 1 0xy+ − =
. D. là đường thẳng
3 1 0xy− − =
.
Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt không phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều. B.
Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều. D.
Bát diện đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là
3
30a
và diện tích mặt đáy là
2
15a
. Chiều cao của khối chóp đó bằng
A.
3a
. B.
2a
. C.
9a
. D.
6a
.
Câu 27. Diện tích toàn phần (
tp
S
) của một hình trụ có độ dài đường sinh
2la=
, bán kính
ra=
bằng
A.
2
tp
Sa
=
. B.
2
4
tp
Sa
=
. C.
2
6
tp
Sa
=
. D.
2
8
tp
Sa
=
.
Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng
8
( )
2
cm
và bán kính đáy
2
( )
cm
. Thể tích khối nón
là
A.
( )
3
53
cm
3
V =
. B.
( )
3
23
cm
3
V =
. C.
( )
3
43
cm
3
V =
. D.
( )
3
83
cm
3
V =
.
4
Câu 29. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình là
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z+ + − − − − =
.
Mặt cầu
( )
S
có tâm
I
và bán kính
R
là
A.
( )
2;2;4I
và
3R =
. B.
( )
2;2;4I
và
4R =
. C.
( )
1;1;2I
và
3R =
. D.
( )
1;1;2I
và
4R =
.
Câu 30. Trong không gian, gọi
A
là điểm thuộc mặt cầu tâm
I
bán kính
R
. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A.
IA R
. B.
2
=IA R
. C.
IA R
. D.
=IA R
.
Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1; 2;3A −
và có
véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 3n
→
=−
là
A.
2 3 9 0.x y z+ − − =
B.
2 3 9 0.x y z+ − + =
C.
2 3 13 0.x y z− + − =
D.
2 3 13 0.x y z+ − − =
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng
đi qua hai điểm
( )
1; 2;2−A
và
( )
3;1;1B
?
A.
1 2 2
2 3 1
− + −
==
−
x y z
. B.
3 1 1
4 1 3
− − −
==
−
x y z
.
C.
122
2 3 1
+ − +
==
−
x y z
. D.
1 2 2
3 1 1
− + −
==
x y z
.
Câu 33. Trong không gian
,Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:2 3 5 4 0P x y z− + − =
và đường thẳng
1 3 1
:
7 5 1
x y z
d
+ − −
==
−
. Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
( )
2;1; 3 ,A −−
song song với
( )
P
và vuông
góc đường thẳng
d
là
A.
22
1 3 .
3
xt
yt
yt
= − +
=+
= − +
B.
22
1 3 .
31
xt
yt
yt
= − +
=−
= − +
C.
22
1 3 .
3
xt
yt
zt
=−
= − −
= − −
D.
22
1 3 .
3
xt
yt
yt
= − −
=+
= − +
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3; 2M −−
và đường thẳng
d
có phương trình
2
: 3 2
1
xt
yt
zt
=+
= −
=+
. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
.
A.
2
. B.
22
. C.
3
. D.
23
.
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng
A.
185
273
. B.
310
429
. C.
106
273
. D.
136
231
.
Câu 36. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh bằng
a
. Tam giác
SAB
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
21
3
a
. D.
21
6
a
.
5
Câu 37. Cho hàm số
( ) ( )
( )
2
2
2 4 3f x x x x
= − − +
với mọi
x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
2
10 9y f x x m= − + +
có
5
điểm cực trị?
A.
18
. B.
16
. C.
. D.
15
.
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
2022;2023−
để hàm số
4 3 2
3 8 18y x x x m= − − +
nghịch biến trên khoảng
( )
3;4
?
A.
2044
. B.
2055
. C.
2024
. D.
2032
.
Câu 39. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
( ) ( )
2 4 4 2
log log .log log 3xx=
. Giá trị
2 1 2 2
log .logxx
bằng
A.
6−
B.
2
C.
1
D.
4
33
2
Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720 ?yx y y x y x y y+ + + + + + +
A.
48
. B.
56
. C.
64
. D.
76
.
Câu 41. Xét hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
, thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( )
2 . 1
+ + + =
x
x f x x f x e
và
( )
1
0
2
f =
. Tính
( )
2f
A.
( )
2
3
=
e
f
. B.
( )
2
6
=
e
f
. C.
( )
2
2
3
=
e
f
. D.
( )
2
2
6
=
e
f
.
Câu 42. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
thỏa mãn
2
11
'( ) 2 ( ). '( ) 2 . '( ) ( 1) ''( ) 0, [0;1], ' 1.
2
.
2
f x f x f x x f x x f x x f f
− + + + = = =
Biết tích phân
( )
1
2
0
a
f x dx
b
=


(
,ab
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản), giá trị của
ab+
bằng
A.
181
. B.
25
. C.
10
. D.
26
.
Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình
( )
2
2 1 2 2 0z m z m− − + − =
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập
hợp các giá trị nguyên của
m
để PT có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
zz=
. Số phần tử của tập
S
là
A. 3. B. 1. C. 6. D. 2.
Câu 44. Cho số phức
z
thỏa mãn
6 6 20zz− + + =
. Gọi
,Mm
lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của
z
. Giá trị của
Mm−
bằng
A.
2.
B.
4.
C.
7
. D.
14
.
Câu 45. Cho khối lập phương
.ABCD A B C D
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
BB
. Biết khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
MDA
bằng
2
3
a
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
A.
3
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
8a
. D.
3
a
.
Câu 46. Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy
a
; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
AC
bằng
15
5
a
. Thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
tính theo
a
bằng:
6
A.
3
33
8
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
8
a
. D.
3
3
4
a
.
Câu 47. Cho hình nón có đỉnh
S
, chiều cao bằng
3a
. Gọi
A
và
B
là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho diện tích tam giác
SAB
bằng
2
9a
, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
a
. Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.
A.
3
219
8
a
. B.
3
73
4
a
. C.
3
73
24
a
. D.
3
73
8
a
.
Câu 48. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 2 1
x y z
d
− + +
==
và mặt phẳng
( )
: 2 2 7 0P x y z+ + − =
. Gọi
I
là giao điểm của
d
và
( )
P
. Biết
9IM =
, khoảng cách từ điểm
M
thuộc
d
đến
( )
P
bằng
A.
15
. B.
32
. C. 8. D.
25
.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(8; 8;8)A −
. Gọi
M
là điểm sao cho
3MA MO=
(Với
O
là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )
: 2 2 19 0P x y z+ + + =
đạt
giá trị nhỏ nhất là
A.
6 3 3+
. B.
33
. C.
6 3 3−
. D.
6
.
Câu 50. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 1M −
, mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
+ − + =
và mặt cầu
( )
:S
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 25x y z− + + + − =
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
M
, vuông góc với mặt phẳng
( )
đồng thời
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm nào
sau đây?
A.
( )
3;1;7A −
. B.
( )
1;3;1B
. C.
( )
5;2;9C
. D.
( )
1; 9;2D −
.
7
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn
3
học sinh từ một nhóm gồm
10
học sinh?
A.
720
. B.
45
. C.
120
. D.
.
Lời giải: Số cách chọn
2
học sinh từ một nhóm gồm
10
học sinh là
2
10
45=C
.
Câu 2. Cho cấp số nhân
( )
n
u
có công bội dương và
2
1
3
u =
,
4
3u =
. Giá trị của
1
u
là
A.
1
1
2
u =
. B.
1
1
9
u =
. C.
1
1
81
u =
. D.
1
1
27
u =−
.
Lời giải: Ta có:
( )
21
2
3
41
1
3
.
9
3
3
.3
q
u u q
q
qL
u u q
=
==
=
=−
==
.
Với
11
11
3 .3
39
q u u= = =
.
Câu 3. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình chữ nhật với
,2AB a AD a==
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và
15SA a=
.Tính góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
.
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Lời giải
Ta có hình chiếu vuông góc của
SC
trên
( )
ABCD
là
AC
=> góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
là
SCA
.
Ta có
22
5AC AB AD a= + =
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
ta có
15
tanSCA 3 SCA 60
5
SA a
AC
a
= = = =
.
Vậy góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )
ABCD
là
60
Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
A.
3
31y x x=−+
. B.
3
31y x x=−−
. C.
42
31y x x= − +
. D.
32
31y x x= − + +
.
Lời giải: Hàm số
32
y ax bx cx d= + + +
với
0a
và cắt
Oy
tại
( )
0;1
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
=y f x
có bảng biến thiên như sau
S
A
B
C
D
8
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
;3−
. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( )
2;+
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;2−
. D. Hàm số đồng biến trên khoảng
5
2;
2



.
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2;3
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
5
2;
2



.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A.
(1;3)
. B.
0x =
. C.
1x =
. D.
3x =
.
Lời giải: Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho có điểm cực đại là
1x =
.
Câu 7. Cho hàm số
21
32
x
y
x
−
=
−
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là:
A.
2
;1
3
yx==
. B.
2
1;
3
yx= − =
. C.
3
1;
2
yx= − =
. D.
23
;
32
yx==
.
Lời giải: Ta có:
21
lim 1 1
32
x
x
y
x
→+
−
= − = −
−
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,
3
2
2 1 3
lim
3 2 2
x
x
x
x
+
→
−
= − =
−
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
32
3 9 8y x x x= + − +
trên đoạn
2;2−
.
A.
2;2
max 3y
−
=
. B.
2;2
max 34y
−
=
. C.
2;2
max 10y
−
=
. D.
2;2
max 30y
−
=
.
Lời giải: Ta có
2
3 6 9y x x
= + −
;
( )
( )
1 2;2
0
3 2;2
x
y
x
= −
=
= − −
.
Vì
( )
2 30y −=
;
( )
13y =
;
( )
2 10y =
nên
2;2
max 30y
−
=
.
Câu 9. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và có đạo hàm
( ) ( )
( )
2
2022 4 4f x x x x x
= + − +
. Hàm số
( )
fx
có mấy điểm cực tiểu?
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải: Giải
( ) ( )
( )
2
0
0 2022 4 4 0 2022
2
x
f x x x x x x
x
=
= + − + = = −
=
.
Bảng xét dấu:
9
Hàm số có
1
điểm cực tiểu.
Câu 10. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên khoảng
( )
;− +
, có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
( )
20f x m+=
có đúng 3 nghiệm
phân biệt?
A.
7
. B.
11
. C.
8
. D.
13
.
Lời giải: Phương trình:
( ) ( )
20
2
m
f x m f x
−
+ = =
Đồ thị hàm số
( )
y f x=
cắt đường thẳng
2
m
y
−
=
tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi:
4 2 8 4
2
m
m
−
− −
.
Mà
m
+
Suy ra:
1;2;3;4;5;6;7m
.
Câu 11. Trên khoảng
( )
0;+
, đạo hàm của hàm số
5
logyx=
là
A.
5
y
x
=
. B.
ln5
y
x
=
. C.
1
y
x
=
. D.
1
ln5
y
x
=
.
Lời giải: Ta có
( )
5
1
' log
ln5
yx
x
==
Câu 12. Đạo hàm của hàm số là
e
yx
trên tập số thực, là
A.
1e
y ex
+
=
. B.
1e
y ex
−
=
.
C.
1
1
e
yx
e
−
=
. D.
1
1
1
e
yx
e
+
=
+
.
Lời giải: Ta có
( )
1ee
y x ex
−
==
.
Câu 13. Nghiệm của phương trình
6
3 27
x+
=
là
A.
2.x =
B.
1.x =
C.
2.x =−
D.
3.x =−
Lời giải: Ta có:
6 6 3
3 27 3 3 6 3 3.
xx
xx
++
= = + = = −
Câu 14. Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
log(3 2) 0x +
.
4
1
x
y'
y
3
2
+
0
+
∞∞
∞
+
∞
0
+
10
A.
2
;
3
S

= − +


. B.
3
;
2
S

= −


. C.
1
;
3
S

= − +


. D.
2
;
3
S

= −


.
Lời giải: Ta có:
1
3 2 1 .log( 2 0
3
3)x xx + −+ 
Câu 15. Cho
, ab
là hai số thực dương thỏa mãn
2
2
log ( . )
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
A.
12
. B.
6
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải: Ta có
( )
2
2
2
log ( . )
3 2 3 2
4 3 . 3 3
ab
a a b a ab= = =
.
Câu 16. Tính tổng
T
tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình
( ) ( )
2
log 10 3log 100 5xx− −
A.
50T =
. B.
45T =
. C.
110T =
. D.
55T =
.
Lời giải: Điều kiện:
0x
.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
2
log10 3 log10 log10 5xx− + −
( )
2
log10 3log10 2 0xx − +
1 log10 2x
1 10x
.
Do
1;2;...;10
1;10
x
x
x

.
Vậy
( )
10. 10 1
1 2 3 ... 10 55
2
T
+
= + + + + = =
.
Câu 17. Nếu
( ) ( )
f x x F x C=+
d
thì
A.
( ) ( )
2 1 2 2 1f x x F x C+ = + +
d
. B.
( ) ( )
1
21
2
f x x F x C+ = +
d
.
C.
( ) ( )
2 1 2 1f x x F x C+ = + +
d
. D.
( ) ( )
1
2 1 2 1
2
f x x F x C+ = + +
d
.
Lời giải
Nếu
( ) ( )
f x x F x C=+
d
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 1 2 1 ( ) 2 1
2 2 2 2
f x x f u u F u C F x C+ + = = + = + +

dd
Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là
( ) sinf x x x=+
là
A.
2
o
2
x
c sx C++
. B.
2
o
2
x
c sx C−+
. C.
2
ox c sx C++
. D.
2
ox c sx C−+
.
Lời giải: Ta có:
( ) ( )
2
sin cos
2
x
F x x x dx x C= + = − +
Câu 19. Cho
( )
5
2
x=10f x d
. Khi đó
( )
5
2
2 3 xf x d+


bằng
A
.
32
.
B.
36
. C.
42
. D.
46
.
Lời giải: Ta có
( ) ( )
5 5 5
2 2 2
2 3 x = 2. x 3 x = 6 +3.10 =36f x d d f x d++


.
Câu 20. Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích
1
7
12
S =
và
2
45
4
S =
. Tính tích phân
( )
3
1
dI f x x
−
=
.
11
A.
32
3
I =
. B.
71
6
I =
. C.
71
6
I =−
. D.
32
3
I =−
.
Lời giải: Dựa trên đồ thị hàm số ta có
( )
0
1
1
7
d
12
S f x x
−
==
.
( )
3
2
0
45
d
4
S f x x= − =
( )
3
0
45
d
4
f x x = −
.
Do đó
( ) ( ) ( )
1
03
01
3
7 45 32
d d d
12 4 3
f x x f x x fI xx
−−
= + = −= =−
.
Câu 21. Cho hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3y x x=−
và trục hoành. Tính thể tích
V
của vật
thể tròn xoay sinh ra khi cho
( )
H
quay quanh trục
Ox
.
A.
81
10
V
=
. B.
81
10
V =
. C.
9
2
V =
. D.
9
2
V
=
.
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm:
2
0
30
3
x
xx
x
=
− =
=
.
( )
3
2
2
0
3V x x dx
=−
( )
3
2 3 4
0
96x x x dx
= − +
3
5
34
0
3
3
25
x
xx

= − +


5
34
33
3.3 .3
25

= − +


81
10
=
.
Câu 22. Cho số phức
z
được biểu diễn bởi điểm
( )
4; 2A −−
. Số phức liên hợp của số phức
z
bằng
A.
42zi= − −
. B.
42zi=−
. C.
42zi=+
. D.
42zi= − +
.
Lời giải: Số phức
z
được biểu diễn bởi điểm
( )
4; 2A −−
là
42zi= − −
. Do đó số phức liên hợp của số
phức
z
là
42zi= − +
.
Câu 23. Cho số phức
z
thỏa mãn
( )
2 4 3 .z i i=+
Phần ảo của số phức
z
bằng
A.
6
. B.
8
. C.
8−
. D.
10
.
Lời giải : Ta có:
( )
2 4 3 6 8 6 8z i i i z i= + = − + = − −
.
Vậy phần ảo của số phức
z
bằng
8−
.
Câu 24. Cho số phức
z
thỏa mãn
12z i z− + = +
. Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức
z
A. là đường thẳng
3 1 0xy+ + =
. B. là đường thẳng
3 1 0xy− + =
.
C. là đường thẳng
3 1 0xy+ − =
. D. là đường thẳng
3 1 0xy− − =
.
Lời giải: Giả sử số phức
z
có dạng:
( )
,z x yi x y= +
12
Ta có:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2z i z x yi i x yi x y i x yi− + = + + − + = + + − + + = + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2x y x y − + + = + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 2x y x y − + + = + +
2 2 2 2
2 1 2 1 4 4x x y y x x y − + + + + = + + +
6 2 2 0 3 1 0x y x y − + = − + =
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường thẳng
3 1 0xy− + =
.
Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt không phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều. B.
Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều. D.
Bát diện đều.
Lời giải: Hình mười hai mặt đều có tất cả các mặt là ngũ giác đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là
3
30a
và diện tích mặt đáy là
2
15a
. Chiều cao của khối chóp đó bằng
A.
3a
. B.
2a
. C.
9a
. D.
6a
.
Lời giải:
3
2
1 3 3.30
. 6 .
3 15
Va
V S h h a
Sa
= = = =
Câu 27. Diện tích toàn phần (
tp
S
) của một hình trụ có độ dài đường sinh
2la=
, bán kính
ra=
bằng
A.
2
tp
Sa
=
. B.
2
4
tp
Sa
=
. C.
2
6
tp
Sa
=
. D.
2
8
tp
Sa
=
.
Lời giải: Ta có diện tích toàn phần hình trụ:
2 2 2 2
2 2 4 2 6
tp
S rl r a a a
= + = + =
.
Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng
8
( )
2
cm
và bán kính đáy
2
( )
cm
. Thể tích khối nón
là
A.
( )
3
53
cm
3
V =
. B.
( )
3
23
cm
3
V =
. C.
( )
3
43
cm
3
V =
. D.
( )
3
83
cm
3
V =
.
Lời giải: Ta có:
8
4
.2
xq
xq
S
S rl l
r

= = = =
.
2 2 2 2
4 2 2 3h l r= − = − =
.
Nên
1 8 3
.2 3.4
33
nón
V
==
.
Câu 29. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có phương trình là
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z+ + − − − − =
.
Mặt cầu
( )
S
có tâm
I
và bán kính
R
là
A.
( )
2;2;4I
và
3R =
. B.
( )
2;2;4I
và
4R =
. C.
( )
1;1;2I
và
3R =
. D.
( )
1;1;2I
và
4R =
.
Lời giải: Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;1;2I
và bán kính
( )
2 2 2
1 1 2 3 3R = + + − − =
.
Câu 30. Trong không gian, gọi
A
là điểm thuộc mặt cầu tâm
I
bán kính
R
. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A.
IA R
. B.
2
=IA R
. C.
IA R
. D.
=IA R
.
13
Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1; 2;3A −
và có
véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 3n
→
=−
là
A.
2 3 9 0.x y z+ − − =
B.
2 3 9 0.x y z+ − + =
C.
2 3 13 0.x y z− + − =
D.
2 3 13 0.x y z+ − − =
Lời giải: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
( )
1; 2;3A −
và có véc tơ pháp tuyến
( )
2;1; 3n
→
=−
là
( ) ( ) ( )
2. 1 1. 2 3. 3 0 2 3 9 0.x y z x y z− + + − − = + − + =
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng
đi qua hai điểm
( )
1; 2;2−A
và
( )
3;1;1B
?
A.
1 2 2
2 3 1
− + −
==
−
x y z
. B.
3 1 1
4 1 3
− − −
==
−
x y z
.
C.
122
2 3 1
+ − +
==
−
x y z
. D.
1 2 2
3 1 1
− + −
==
x y z
.
Lời giải
Đường thẳng
đi qua hai điểm
A
và
B
nên có một vectơ chỉ phương
( )
2;3; 1=−AB
.
Vậy phương trình chính tắc của
là:
1 2 2
2 3 1
− + −
==
−
x y z
.
Câu 33. Trong không gian
,Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:2 3 5 4 0P x y z− + − =
và đường thẳng
1 3 1
:
7 5 1
x y z
d
+ − −
==
−
. Phương trình đường thẳng
đi qua điểm
( )
2;1; 3 ,A −−
song song với
( )
P
và vuông
góc đường thẳng
d
là
A.
22
1 3 .
3
xt
yt
yt
= − +
=+
= − +
B.
22
1 3 .
31
xt
yt
yt
= − +
=−
= − +
C.
22
1 3 .
3
xt
yt
zt
=−
= − −
= − −
D.
22
1 3 .
3
xt
yt
yt
= − −
=+
= − +
Lời giải
Vectơ chỉ phương của
d
là
( )
7; 5;1
d
u =−
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
P
là
( )
( )
2; 3;5
P
n =−
.
Đường thẳng
song song với mặt phẳng
( )
P
nên
( )
P
un
⊥
.
Đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
d
nên
d
un
⊥
.
Suy ra:
( )
( )
, 22;33;11
d
P
u n u

==

.
Đường thẳng
đi qua
A
nhận
( )
2;3;1u =
làm vectơ chỉ phương.
Từ đó suy ra
22
: 1 3
3
xt
yt
zt
= − +
= +
= − +
.
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho điểm
( )
1;3; 2M −−
và đường thẳng
d
có phương trình
2
: 3 2
1
xt
yt
zt
=+
= −
=+
. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
.
A.
2
. B.
22
. C.
3
. D.
23
.
Lời giải
14
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
M
xuống đường thẳng
( )
d;MH M =
.
Vì
H 
nên
H
có toạ độ là
( )
2 ;3 2 ;1H t t t+ − +
.
Ta có
( )
3 ; 2 ;3MH t t t= + − +
.
Vì
MH ⊥
nên
( ) ( ) ( )
. 0 3 2 2 3 0 6 6 0 1.
dd
MH u MH u t t t t t⊥ = + − − + + = + = = −
Suy ra
( ) ( )
222
2;2;2 d ; 2 2 2 2 3.MH M MH= = = + + =
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng
A.
185
273
. B.
310
429
. C.
106
273
. D.
136
231
.
Lời giải
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là
( )
5
15
3003nC = =
.
Gọi
A
:’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”
Gọi
A
:’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ”
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng có
5
6
6C =
cách.
+ Chỉ có xanh và đỏ có
4 1 3 2 2 3 1 4
4 5 4 5 4 5 4 5
. . . 125C C C C C C C C+ + + =
.
+ Chỉ có xanh và vàng có
4 1 3 2 2 3 1 4
4 6 4 6 4 6 4 6
. . . 246C C C C C C C C+ + + =
.
+ Chỉ có đỏ và vàng có
4 1 3 2 2 3 1 4
5 6 5 6 5 6 5 6
. . . 455C C C C C C C C+ + + =
.
Vậy
( )
( )
( )
( )
( )
( )
310
833 2170
429
nA
n A n n A p A
n
= − = = =
.
Câu 36. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh bằng
a
. Tam giác
SAB
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
( )
SCD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
21
3
a
. D.
21
6
a
.
Lời giải
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Do tam giác
SAB
đều cạnh
a
nên
SH AB⊥
và
3
2
a
SH =
.
Mặt khác
( ) ( )
SAB ABCD⊥
nên
( )
SH ABCD⊥
SH CD⊥
(1)
O
15
Ta có
( )
HO SCD M=
là trung điểm của
CD
. Suy ra
( ) ( )
1
,( ) ,( )
2
d O SCD d H SCD=
.
Có:
HM a=
và
HM CD⊥
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
( )
CD SMH⊥
nên
( ) ( )
SCD SHM⊥
.
Trong
( )
SHM
, kẻ
HK SM⊥
, suy ra
( )
HK SCD⊥
.
Từ đó suy ra
( )
,( )HK d H SCD=
.
Trong tam giác
SHM
vuông tại
H
có
HK
là đường cao, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7
33HK HS HM a a a
= + = + =
( )
21 21
,( )
7 2 14
a HK a
HK d O SCD = = =
.
Vậy,
( )
21
,( )
14
a
d O SCD =
.
Câu 37. Cho hàm số
( ) ( )
( )
2
2
2 4 3f x x x x
= − − +
với mọi
x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m
để hàm số
( )
2
10 9y f x x m= − + +
có
5
điểm cực trị?
A.
18
. B.
16
. C.
. D.
15
.
Lời giải
Ta có
( )
2
01
3
x
f x x
x
=
= =
=
,
2x =
là nghiệm kép nên khi qua giá trị
2x =
thì
( )
fx
không bị đổi dấu.
Đặt
( )
( )
2
10 9g x f x x m= − + +
khi đó
( ) ( ) ( )
' . 2 10g x f u x
=−
với
2
10 9u x x m= − + +
.
Nên
( )
( )
2
2
2
2
2 10 0
10 9 2 0
0
10 9 1
10 9 3
x
x x m
gx
x x m
x x m
−=
− + + − =
=
− + + =
− + + =
( )
( )
( )
2
2
2
2
5
10 9 2 0
10 8 0 1
10 6 0 2
x
x x m
x x m
x x m
=
− + + − =
− + + =
− + + =
Hàm số
( )
2
10 9y f x x m= − + +
có
5
điểm cực trị khi và chỉ khi
( )
gx
đổi dấu
5
lần
Hay phương trình
( )
1
và phương trình
( )
2
phải có hai nghiệm phân biệt khác
5
( )
( )
'
1
'
2
0
0
50
50
h
p


, (Với
( )
2
10 8h x x x m= − + +
và
( )
2
10 6p x x x m= − + +
).
17 0
19 0
17
17 0
19 0
m
m
m
m
m
−
−
− +
− +
.
Vậy có
16
giá trị nguyên dương
m
thỏa mãn
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
2022;2023−
để hàm số
4 3 2
3 8 18y x x x m= − − +
nghịch biến trên khoảng
( )
3;4
?
A.
2044
. B.
2055
. C.
2024
. D.
2032
.
Lời giải
16
( )
( )
( )
( )
4 3 2
3 2 2
3 8 18
' 12 24 36 12 2 3
0
' 0 1
3
f x x x x m
f x x x x x x x
x
f x x
x
= − − +
= − − = − −
=
= = −
=
Bảng biến thiên của
( )
fx
Để hàm số
( )
fx
nghịch biến trên
( )
3;4
thì
( )
4 32 0 32f m m= −
Do
2022; ...; 1;0;1;2;..;32
2022;2023
m
m
m
− −
−
Câu 39. Gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương trình
( ) ( )
2 4 4 2
log log .log log 3xx=
. Giá trị
2 1 2 2
log .logxx
bằng
A.
6−
B.
2
C.
1
D.
4
33
2
Lời giải
Ta có
( ) ( )
2 4 4 2
log log .log log 3xx=
( )
2 2 2 2
11
log log . log log 3
22
xx

=


( ) ( )
2 2 2 2
1
log log 1 . log log 3
2
xx − =


. Đặt
( )
22
log log xt =
thì
( )
3
16
2
t
tt
t
=
− =
=−
+
( )
2 2 1
log l3 og 3t x= =
21
log 8x=
+
( )
2 2 2
log l g2 o2xt =− =−
22
1
log
4
x=
. Vậy
2 1 2 2
log .log 2xx=
.
Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720 ?yx y y x y x y y+ + + + + + +
A.
48
. B.
56
. C.
64
. D.
76
.
Lời giải
Điều kiện:
0y
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
4 3 4 3
2 2 2 2 2
log 9 16 112 log 9 16 log log 684 1216 720+ + + + + + +x y x yyy x y y
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
4 4 3 3
log 9 16 112 log log 684 1216 720 log 9 16x y y x y y x yy + + − + + − +
2 2 2 2
22
43
9 16 112 684 1216 720
log log
9 16
x y y x y y
y x y
+ + + +

+
2
3
22
4
2
9 16 720
log log
91
112 76
6
x y y
xy y


+



+
++
3
22
2
4
2
9 16 720
log log 0112 76
9 16
x
xyy
yy


+
−


+

++
17
Đặt:
22
9 16
( 0)
xy
y
tt
+
=
Bất phương trình trở thành:
43
l0
72
g
0
o ( 112) log 76t
t

+ − +


(1).
Xét hàm số
43
720
( ) log ( 112) log 76f t t
t

= + − +


có
( )
2
0
7201
( ) 0,
( 112)ln4
76 720 ln3
f t t
t
tt
= +
+
+
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )+
.
Mà
43
(144) log (144 112) log 76 0
720
144
f

= + − + =


Từ đó
2 2 2
2
9 16 16 144
(1) ( ) (144) 144 144
9
x y y y
ft
y
f t x
+ − +
(vì
0y
)
Điều kiện:
2
16 144 0 0 9y y y− +
Đếm các cặp giá trị nguyên của
( ; )xy
Với
2
128 8 2 8 2
1 8 { 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có
14
cặp.
Với
2
224 4 14 4 14
2 7 { 4; 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có
18
cặp.
Với
2
3 6 32 4 2 4 2 { 5; 4; 3; 2; 1;0}y hay y x x x= = −
nên có 22 cặp.
Với
2
320 8 5 8 5
4 5 { 5; 4; 3; 2; 1;0}
9 3 3
y hay y x x x= = −
nên có 22 cặp.
Vậy có
76
cặp giá trị nguyên
( ; )xy
thỏa mãn đề bài.
Câu 41. Xét hàm số
( )
fx
liên tục trên
R
, thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( )
2 . 1
+ + + =
x
x f x x f x e
và
( )
1
0
2
f =
. Tính
( )
2f
A.
( )
2
3
=
e
f
. B.
( )
2
6
=
e
f
. C.
( )
2
2
3
=
e
f
. D.
( )
2
2
6
=
e
f
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 . 1
+ + + =
x
x f x x f x e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
+ + + + =
x
x f x f x x f x e
( ) ( ) ( ) ( )
11
+ + + =


x
x f x x f x e
( ) ( ) ( ) ( )
2
11
+ + + =


x x x
e x f x e x f x e
( ) ( )
2
1

+ =

xx
e x f x e
( ) ( )
2
1
1
2
+ = +
xx
e x f x e C
.
Với
( ) ( )
( )
1
0
0 2.0
2
1
0 0 1 0 0
2
=
= + = + ⎯⎯⎯→ =
f
x e f e C C
.
Với
( ) ( ) ( )
2
2 2.2
1
2 2 1 2 0 2
26
= + = + =
e
x e f e f
.
18
Câu 42. Cho hàm số
()fx
có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn
0;1
thỏa mãn
2
11
'( ) 2 ( ). '( ) 2 . '( ) ( 1) ''( ) 0, [0;1], ' 1.
2
.
2
f x f x f x x f x x f x x f f
− + + + = = =
Biết tích phân
( )
1
2
0
a
f x dx
b
=


(
,ab
là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản), giá trị của
ab+
bằng
A.
181
. B.
25
. C.
10
. D.
26
.
Lời giải
2
2
2
( ) 2 ( ) ( ) 2 . ( ) ( 1) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
(2 2) ( ) ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f x f x f x x f x x f x
f x f x xf x x f x f x f x f x
x f x x f x f x f x f x



− + + + =
+ + + + = +
+ + + = +
2
(2 2) ( ) ( 1) ( ) 2 ( ) ( ) ( )x f x x f x f x f x f x

+ + + = +
2
( 1) ( ) [2 ( ) 1] ( )x f x f x f x


+ = +

22
1
( 1) ( ) ( ) ( )x f x f x f x C
+ = + +
.
Theo giả thiết:
11
1 1 9 1
12
2 2 4 4
f f C C
= = = + =
22
1
( 1) ( ) ( ) ( )
4
x f x f x f x
+ = + +
2
2
( ) 1
( ( ) 0)
1
( 1)
( ) ( )
4
fx
fx
x
f x f x
=
+
++
.
Do đó
2
2
2
( )d 1 1 1
d
1
( 1) ( 1)
1
()
()
2
2
f x x
xC
xx
fx
fx
−−
= = +
++

+
+



Theo giả thiết:
( ) ( )
22
11
2
00
1 1 1 1 1 1 13
10
1
2 2 ( 1) 2 2 12
()
2
f f C f x x f x dx x dx
x
fx
= = = = = + = + =



+
+

13
25
12
a
ab
b
=
+ =
=
Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình
( )
2
2 1 2 2 0z m z m− − + − =
(
m
là tham số thực). Gọi
S
là tập
hợp các giá trị nguyên của
m
để PT có hai nghiệm phân biệt
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
zz=
. Số phần tử của tập
S
là
A. 3. B. 1. C. 6. D. 2.
Lời giải
Xét phương trình
( )
2
2 1 2 2 0z m z m− − + − =
, ta có:
( ) ( )
2
2
1 1. 2 2 4 3m m m m
= − − − − = − +


.
TH1:
0

2
4 3 0mm − +
3
1
m
m
.
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
1
z
,
2
z
.
Theo định lí Vi-et ta có:
( )
12
12
21
22
z z m
z z m
+ = −
=−
.
Theo đề bài ta có:
1 2 1 2
z z z z= = −
12
0zz + =
19
( )
2 1 0m − =
1m=
.
TH2:
0

13m
Phương trình luôn có hai nghiệm phức
1
z
,
2
z
luôn thỏa mãn
12
zz=
.
Do đó
2S =
.
Vậy tổng các phần tử của tập
S
là 1.
Câu 44. Cho số phức
z
thỏa mãn
6 6 20zz− + + =
. Gọi
,Mm
lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của
z
. Giá trị của
Mm−
bằng
A.
2.
B.
4.
C.
7
. D.
14
.
Lời giải:
Gọi
( )
;z x yi x y= +
. Theo giả thiết, ta có:
6 6 20zz− + + =
( ) ( ) ( )
22
22
6 6 20 6 6 20 *x yi x yi x y x y − + + + + = − + + + + =
Gọi
( ) ( )
1
; , 6;0M x y F
và
( )
2
6;0F −
Khi đó (*)
1 2 1 2
20 . 12MF MF F F + = =
nên tập hợp các điểm
M
là đường elip
( )
E
có hai tiêu điểm
1
F
và
2
F
, và độ dài trục lớn bằng 20
ta có c = 6; 2a = 20 a = 10 và
2 2 2
64 8b a c b= − = =
Do đó, phương trình chính tắc của
( )
E
là
22
1
100 64
xy
+=
Suy ra
max 10z OA OA
= = =
khi
z 10=
và
min 8z OB OB
= = =
khi
z8i=
Vậy
2Mm−=
* Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa để nhận dạng được phương trình elip
Câu 45. Cho khối lập phương
.ABCD A B C D
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
BB
. Biết khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
MDA
bằng
2
3
a
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng
A.
3
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
8a
. D.
3
a
.
Lời giải
20
Gọi độ dài cạnh lập phương là
x
( )
0x
. Gọi
I AB A M
=
, do
M
là trung điểm của
BB
và
//BB AA

nên
B
là trung điểm của
AI
, suy ra
2AI x=
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
,,d A A DM d A A DI AH

==
, với
AH IK⊥
tại
H
,
A D IK
⊥
tại
K
.
Vì tứ diện
AA DI
có
AA
,
AD
,
AI
đôi một vuông góc nên
( )
AH A DI
⊥
.
Xét hai tam giác vuông
AKI
,
A AD
có đường cao lần lượt là
AH
,
AK
, khi đó
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 9 9
44
xa
AH AK AI AA AD AI x a
= + = + + = = =
.
Vậy
3
.ABCD A B C D
Va
=
.
Câu 46. Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy
a
; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
AC
bằng
15
5
a
. Thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
tính theo
a
bằng:
A.
3
33
8
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
8
a
. D.
3
3
4
a
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,,
15
/ / / /
5
AB A C
AB A B C B A B C
a
AB A B AB A B C d d d
= = =
Đặt
0AA x
=
.
Tam giác
CA B

cân tại
C
,
22
CA CB a x

= = +
.
Diện tích tam giác
CA B

là
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 3 4 1
. . . . 3 4
2 2 4 2 4 4
CA B
a a x
S CH A B a a x a a a x

+

= = + − = = +
Thể tích lăng trụ
( )
2
3
.1
4
a
Vx=
Lại có
( )
( )
22
.
,
1 15 1
3 3. . . . 3 4
3 5 4
B A B C A B C
B A B C
a
V V d S a a x

= = = +
.
Do đó
2
2 2 2 2
3 15 1
. . . 3 4 5 3 15. 3 4 3
4 5 4
aa
x a a x x a x x a= + = + =
.
23
33
.
44
aa
Vx==
.
21
Câu 47. Cho hình nón có đỉnh
S
, chiều cao bằng
3a
. Gọi
A
và
B
là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho diện
tích tam giác
SAB
bằng
2
9a
, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
a
.
Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.
A.
3
219
8
a
. B.
3
73
4
a
. C.
3
73
24
a
. D.
3
73
8
a
.
Lời giải
Gọi
O
,
R
lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón.
Gọi
K
,
H
lần lượt là hình chiếu của
O
lên
AB
,
SK
.
( )
AB OK
AB SOK
AB SO
⊥
⊥
⊥
. Suy ra
AB OH⊥
.
( )
OH SK
OH SAB
OH AB
⊥
⊥
⊥
. Suy ra khoảng cách từ tâm
O
đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
OH
.
Trong tam giác vuông
SOK
có
2 2 2
1 1 1
OH SO OK
=+
( )
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 8
9
3
OK OH SO a a
a
= − = − =
32
4
a
OK =
.
( )
2
2
2
2 2 2
3 2 81
3
48
aa
SK SO OK a

= + = + =



92
4
a
SK =
.
Tam giác cân
SAB
có
1
.
2
SAB
S SK AB
=
2
2.
2.9
42
92
4
SAB
S
a
AB a
SK
a
= = =
.
Suy ra
22BK a=
.
Trong tam giác vuông
OBK
có
( )
2
2
22
3 2 146
22
44
aa
OB OK BK a

= + = + =



.
Thể tích khối nón bằng
2
3
2
1 1 146 73
. .3
3 3 4 8
aa
V r h a


= = =



.
Câu 48. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 2 1
x y z
d
− + +
==
và mặt phẳng
( )
: 2 2 7 0P x y z+ + − =
. Gọi
I
là giao điểm của
d
và
( )
P
. Biết
9IM =
, khoảng cách từ điểm
M
thuộc
d
đến
( )
P
bằng
A.
15
. B.
32
. C. 8. D.
25
.
22
Lời giải
Từ giả thiết suy ra đường thẳng
d
có véc tơ chỉ phương là
( )
2;2;1u =
, mặt phẳng
( )
P
có véc tơ pháp
tuyến là
( )
1;2;2n =
.
Gọi
là góc giữa
d
và
( )
P
.
88
sin
3.3 9
.
un
un
= = =
Mà
( )
( )
( )
( )
,
sin , 8
d M P
d M P
IM
= =
.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(8; 8;8)A −
. Gọi
M
là điểm sao cho
3MA MO=
(Với
O
là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )
: 2 2 19 0P x y z+ + + =
đạt
giá trị nhỏ nhất là
A.
6 3 3+
. B.
33
. C.
6 3 3−
. D.
6
.
Lời giải
Gọi
( )
;;M x y z
. Khi đó
3MA MO=
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
8 8 8 9 2 2 2 24 0x y z x y z x y z x y z − + + + − = + + + + + − + − =
Suy ra tập hợp các điểm
M
thỏa
3MA MO=
là mặt cầu
( )
S
tâm
( )
1;1; 1I −−
và bán kính
3 3.R =
Vì
( )
( )
,6d I P R=
nên
( )
P
không cắt
( )
S
.
Do đó khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
( )
P
đạt giá trị nhỏ nhất là
( )
( )
min
, 6 3 3.d d I P R= − = −
Câu 50. Trong không gian
Oxyz
, cho điểm
( )
1;2; 1M −
, mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
+ − + =
và mặt cầu
( )
:S
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 25x y z− + + + − =
. Gọi
( )
P
là mặt phẳng đi qua
M
, vuông góc với mặt phẳng
( )
đồng thời
cắt mặt cầu
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm nào
sau đây?
A.
( )
3;1;7A −
. B.
( )
1;3;1B
. C.
( )
5;2;9C
. D.
( )
1; 9;2D −
.
Lời giải: Gọi VTPT của mặt phẳng
( )
P
là
( )
;;n A B C=
với
2 2 2
0A B C+ +
.
( )
P
đi qua điểm
( )
1;2; 1M −
nên phương trình của
( )
P
là
( ) ( ) ( )
1 2 1 0 2 0A x B y C z Ax By Cz A B C− + − + + = + + − − + =
Do
( ) ( )
P
⊥
nên
. 0 2 0 2
P
n n A B C C A B
= + − = = +
.
Mặt cầu
( )
S
có tâm là
( )
1; 2;1I −
và bán kính
5R =
( )
P
cắt
( )
S
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi
( )
( )
,d I P
lớn nhất.
Ta có
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 4 2
,
2 5 4
2
A B C A B C C B A
d I P
A B C A B AB
A B A B
− + − − + −
= = =
+ + + +
+ + +
.
*
0A =
:
( )
( )
,0d I P =
.
*
0A
:
( )
( )
2 2 2
2 2 2 30
,
3
26
2 5 4 5 4 2 5
55
d I P
B B B B B
A A A A A
= = =
+ + + + + +
23
Dấu bằng xảy ra khi
2
5
B
A
=−
.
Vậy
( )
( )
30
max ,
3
d I P =
khi
2
5
B
A
=−
.
Chọn
2, 5 1B A C= − = =
Phương trình
( )
P
là:
5 2 0x y z− + =
.
Thay tọa độ các điểm
, , ,A B C D
vào phương trình mặt phẳng
( )
P
ta thấy mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
( )
1;3;1B
.
| 1/23
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023
TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A
Năm học: 2022 – 2023
Môn thi: TOÁN (Chương trình chuẩn) ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm 06 trang)
ĐỀ THI GỐC – MÃ ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh? A. 720 . B. 45 . C. 120 . D. 90 . 1
Câu 2. Cho cấp số nhân (u có công bội dương và u = , u = 3 . Giá trị của u là n ) 2 3 4 1 1 1 1 1 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = − . 1 2 1 9 1 81 1 27
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a . Biết SA ⊥ ( ABCD) và
SA = a 15 .Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? A. 3
y = x − 3x +1. B. 3
y = x − 3x −1. C. 4 2
y = x − 3x +1 . D. 3 2
y = −x + 3x +1.
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;3 − ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+ ) .  5 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 − ;2) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;   .  2 
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. (1;3) .
B. x = 0 .
C. x = 1 . D. x = 3 . 1 2x −1
Câu 7. Cho hàm số y =
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là: 3 − 2x 2 2 3 2 3 A. y = ; x = 1. B. y = 1 − ; x = . C. y = 1 − ; x = . D. y = ; x = . 3 3 2 3 2
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y = x + 3x − 9x + 8 trên đoạn  2 − ;2 .
A. max y = 3 .
B. max y = 34 .
C. max y = 10 . D. max y = 30 .  2 − ;2  2 − ;2  2 − ;2  2 − ;2
Câu 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và có đạo hàm f ( x) = x( x + )( 2 2022
x − 4x + 4) . Hàm số f ( x)
có mấy điểm cực tiểu? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (− ;
 +) , có bảng biến thiên như hình vẽ: x ∞ 1 3 +∞ y' + 0 0 + 2 +∞ y 4 ∞
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 f ( x) + m = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt? A. 7 . B. 11. C. 8 . D. 13 .
Câu 11. Trên khoảng (0; + ) , đạo hàm của hàm số y = log x là 5 5 ln 5 1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x x x x ln 5
Câu 12. Đạo hàm của hàm số là e y
x trên tập số thực, là 1 1 A. e 1 y ex +  = . B. e 1 y ex −  = e−  = e+  = . C. 1 y x . D. 1 y x . e e +1
Câu 13. Nghiệm của phương trình x+6 3 = 27 là
A. x = 2.
B. x = 1.
C. x = −2. D. x = −3.
Câu 14. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log(3x + 2)  0 .  2   3   1   2 
A. S = − ; +    . B. S = − ;   .
C. S = − ; +  . D. S = − ;  .      3   2   3   3 
Câu 15. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 2 log2 (a .b) 3 4
= 3a . Giá trị của 2 ab bằng A. 12 . B. 6 . C. 3 . D. 2 .
Câu 16. Tính tổng T tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2
log (10x) − 3log (100x)  5 −
A. T = 50 .
B. T = 45 .
C. T = 110 . D. T = 55 . Câu 17. Nếu f  (x) x
d = F (x) +C thì 1 A. f  (2x+ )1 x d = 2F (2x + ) 1 + C . B. f  (2x+ )1 x
d = F (x) +C . 2 1 C. f  (2x+ )1 x d = F (2x + ) 1 + C . D. f  (2x+ )1 x d = F (2x + ) 1 + C . 2
Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là f (x) = x + sin x là 2 x 2 x A. + o
c sx + C . B. − o
c sx + C . C. 2 x + o
c sx + C . D. 2 x − o c sx + C . 2 2 2 5 5 Câu 19. Cho f
 (x)dx =10 . Khi đó 2+3f  (x) dx  bằng 2 2 A. 32 . B. 36 . C. 42 . D. 46 . 7 45
Câu 20. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích S = và S = . Tính tích phân 1 12 2 4 3 I = f  (x)dx . 1 − 32 71 71 32 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 6 3
Câu 21. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 3x − x và trục hoành. Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay sinh ra khi cho ( H ) quay quanh trục Ox . 81 81 9 9 A. V =  . B. V = . C. V = . D. V =  . 10 10 2 2
Câu 22. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm A( 4 − ; 2
− ) . Số phức liên hợp của số phức z bằng A. z = 4 − − 2i .
B. z = 4 − 2i .
C. z = 4 + 2i . D. z = 4 − + 2i .
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z = 2i (4 + 3i). Phần ảo của số phức z bằng A. 6 . B. 8 . C. −8 . D. 10 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z + 2 . Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z
A. là đường thẳng 3x + y +1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y +1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y −1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x − y −1 = 0 .
Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt không phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều.
B. Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều.
D. Bát diện đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là 3
30a và diện tích mặt đáy là 2
15a . Chiều cao của khối chóp đó bằng A. 3a . B. 2a . C. 9a . D. 6a .
Câu 27. Diện tích toàn phần ( S ) của một hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a bằng tp A. 2
S =  a . B. 2
S = 4 a . C. 2
S = 6 a . D. 2 S = 8 a . tp tp tp tp
Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 8 ( 2
cm ) và bán kính đáy 2 (cm) . Thể tích khối nón là 5 3 2 3 4 3 8 3 3 3 3 3 A. V = (cm ) V = (cm ) . B. . C. V = (cm ). D. V = (cm ). 3 3 3 3 3
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình là 2 2 2
x + y + z − 2x − 2y − 4z − 3 = 0 .
Mặt cầu (S ) có tâm I và bán kính R là
A. I (2; 2; 4) và R = 3 . B. I (2; 2; 4) và R = 4 . C. I (1;1; 2) và R = 3 .
D. I (1;1; 2) và R = 4 .
Câu 30. Trong không gian, gọi A là điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. IA R . B. 2 IA = R .
C. IA R .
D. IA = R .
Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; − 2;3) và có →
véc tơ pháp tuyến n = (2;1;−3) là
A. 2x + y − 3z − 9 = 0.
B. 2x + y − 3z + 9 = 0.
C. x − 2 y + 3z −13 = 0.
D. 2x + y − 3z −13 = 0.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng  đi qua hai điểm A(1; 2 − ;2)và B(3;1; ) 1 ? x − 1 y + 2 z − 2 x − 3 y −1 z −1 A. = = . B. = = . 2 3 1 − 4 1 − 3 x + 1 y − 2 z + 2 x −1 y + 2 z − 2 C. = = . D. = = . 2 3 1 − 3 1 1
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0 và đường thẳng x +1 y − 3 z −1 d : = =
. Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A( 2 − ;1;− )
3 , song song với (P) và vuông 7 5 − 1
góc đường thẳng d là x = 2 − + 2tx = 2 − + 2tx = 2 − 2tx = 2 − − 2t    
A. y = 1+ 3t .
B. y = 1− 3t . C. y = 1 − − 3t .
D. y = 1+ 3t .     y = 3 − + ty = 3 − +1tz = 3 − − ty = 3 − + t
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 1 − ;3; 2
− ) và đường thẳng d có phương trình x = 2 + t
 : y = 3− 2t . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  . z =1+tA. 2 . B. 2 2 . C. 3 . D. 2 3 .
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng 185 310 106 136 A. . B. . C. . D. . 273 429 273 231
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng 21a 21a 21a a 21 A. . B. . C. . D. . 14 7 3 6 4 2
Câu 37. Cho hàm số f ( x) = ( x − ) ( 2 2
x − 4x + 3) với mọi x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m để hàm số y = f ( 2
x −10x + m + 9) có 5 điểm cực trị? A. 18 . B. 16 . C. 17 . D. 15 .
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2 − 022;202  3 để hàm số 4 3 2
y = 3x − 8x −18x + m nghịch biến trên khoảng (3; 4) ? A. 2044 . B. 2055 . C. 2024 . D. 2032 .
Câu 39. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình log log x .log
log x = 3 . Giá trị log x .log x 2 ( 4 ) 4 ( 2 ) 1 2 2 1 2 2 bằng A. −6 B. 2 C. 1 D. 4 33 2
Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn ( 2 2 2 2 2 2 log
9x +16 y +112 y + log 9x +16 y
 log y + log 684x +1216y + 720y ? 4 ) 3 ( ) 4 3 ( ) A. 48 . B. 56 . C. 64 . D. 76 .
Câu 41. Xét hàm số f ( x) liên tục trên R , thỏa mãn điều kiện ( + 2). ( ) + ( + ) 1 ( ) = x x f x x f x e và f ( ) 1 0 = . Tính f (2) 2 A. (2) = e f . B. (2) = e f . C. ( ) 2 2 = e f . D. ( ) 2 2 = e f . 3 6 3 6
Câu 42. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 thỏa mãn  1   1  2
f '(x) − 2 f (x). f '(x) + 2 .
x f '(x) + (x +1) . f ' (x) = 0, x  [0;1], f ' = f =1.     Biết tích phân  2   2  1   ( ) 2 a f x dx = 
( a, b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản), giá trị của a + b bằng b b 0 A. 181. B. 25 . C. 10 . D. 26 .
Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình 2 z − 2(m − )
1 z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m để PT có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z = z . Số phần tử của tập 1 2 1 2 S là A. 3. B. 1. C. 6. D. 2.
Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z − 6 + z + 6 = 20 . Gọi M , m lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của
z . Giá trị của M − m bằng A. 2. B. 4. C. 7 . D. 14 .
Câu 45. Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  . Gọi M là trung điểm cạnh BB . Biết khoảng cách từ A đế 2a
n mặt phẳng (MDA) bằng
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng 3 3 a 3 2a A. . B. . C. 3 8a . D. 3 a . 3 3
Câu 46. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và a 15 A C bằng
. Thể tích của khối lăng trụ ABC.AB C
  tính theo a bằng: 5 5 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4
Câu 47. Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao bằng 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho diện tích tam giác SAB bằng 2
9a , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng
a . Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. 3 219 a 3 73 a 3 73 a 3 73 a A. . B. . C. . D. . 8 4 24 8 x −1 y +1 z + 2
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 2 1
(P):x + 2y + 2z −7 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và (P) . Biết IM = 9 , khoảng cách từ điểm M thuộc d
đến (P) bằng A. 15 . B. 3 2 . C. 8. D. 2 5 .
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ( A 8; 8
− ;8) . Gọi M là điểm sao cho
MA = 3MO (Với O là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) : 2x + 2y + z +19 = 0 đạt
giá trị nhỏ nhất là A. 6 + 3 3 . B. 3 3 . C. 6 − 3 3 . D. 6 .
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2; − )
1 , mặt phẳng ( ): x + 2y − z + 3 = 0 và mặt cầu (S ) :
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 2
1 = 25 . Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua M , vuông góc với mặt phẳng ( ) đồng thời
cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm nào sau đây? A. A( 3 − ;1;7) . B. B (1;3 ) ;1 .
C. C (5; 2;9) .
D. D (1; − 9; 2) . 6
ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ LẺ
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh? A. 720 . B. 45 . C. 120 . D. 90 .
Lời giải: Số cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là 2 C = 45 . 10 1
Câu 2. Cho cấp số nhân (u có công bội dương và u = , u = 3 . Giá trị của u là n ) 2 3 4 1 1 1 1 1 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = − . 1 2 1 9 1 81 1 27  1 u  = u .q = q = 3 Lời giải: Ta có: 2 1 2  3  q = 9   . q = 3 − L 3   ( )
u = u .q = 3  4 1 1 1
Với q = 3  u .3 =  u = . 1 1 3 9
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a . Biết SA ⊥ ( ABCD) và
SA = a 15 .Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) . A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải S A D B C
Ta có hình chiếu vuông góc của SC trên ( ABCD) là AC
=> góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) là SCA . Ta có 2 2 AC =
AB + AD = a 5 . SA a 15
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có tan SCA = = = 3  SCA = 60 . AC a 5
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD) là 60
Câu 4. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? A. 3
y = x − 3x +1. B. 3
y = x − 3x −1. C. 4 2
y = x − 3x +1 . D. 3 2
y = −x + 3x +1.
Lời giải: Hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d với a  0 và cắt Oy tại (0; ) 1 .
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau 7
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;3 − ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+ ) .  5 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 − ;2) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;   .  2 
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng (2;3) .  5 
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 2;   .  2 
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là A. (1;3) .
B. x = 0 .
C. x = 1 . D. x = 3 .
Lời giải: Từ bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho có điểm cực đại là x = 1 . 2x −1
Câu 7. Cho hàm số y =
. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là: 3 − 2x 2 2 3 2 3 A. y = ; x = 1. B. y = 1 − ; x = . C. y = 1 − ; x = . D. y = ; x = . 3 3 2 3 2 2x −1
Lời giải: Ta có: lim = 1 −  y = 1
− là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số,
x→+ 3 − 2x 2x −1 3 lim = −  x = + 3 3 −
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2x 2 x→ 2
Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y = x + 3x − 9x + 8 trên đoạn  2 − ;2 .
A. max y = 3 .
B. max y = 34 .
C. max y = 10 . D. max y = 30 .  2 − ;2  2 − ;2  2 − ;2  2 − ;2 x =1( 2 − ;2) Lời giải: Ta có 2
y = 3x + 6x − 9 ; y = 0   . x = 3 −   ( 2 − ;2) Vì y ( 2 − ) = 30 ; y( )
1 = 3 ; y (2) = 10 nên max y = 30 .  2 − ;2
Câu 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
và có đạo hàm f ( x) = x ( x + )( 2 2022
x − 4x + 4) . Hàm số f ( x)
có mấy điểm cực tiểu? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. x = 0 
Lời giải: Giải f ( x) = 0  x ( x + 2022)( 2
x − 4x + 4) = 0  x = −2022  . x = 2  Bảng xét dấu: 8
Hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (− ;
 +) , có bảng biến thiên như hình vẽ: x ∞ 1 3 +∞ y' + 0 0 + 2 +∞ y 4 ∞
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 f ( x) + m = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt? A. 7 . B. 11. C. 8 . D. 13 . −m
Lời giải: Phương trình: 2 f ( x) + m = 0  f ( x) = 2 Đồ −m
thị hàm số y = f ( x) cắt đường thẳng y =
tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi: 2 −m 4 −   2  8  m  4 − . 2 + Mà m
Suy ra: m 1;2;3;4;5;6;  7 .
Câu 11. Trên khoảng (0; + ) , đạo hàm của hàm số y = log x là 5 5 ln 5 1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x x x x ln 5 1 
Lời giải: Ta có y ' = (log x = 5 ) xln5
Câu 12. Đạo hàm của hàm số là e y
x trên tập số thực, là 1 1 A. e 1 y ex +  = . B. e 1 y ex −  = e−  = e+  = . C. 1 y x . D. 1 y x . e e +1 
Lời giải: Ta có y = ( e x ) e 1 = ex − .
Câu 13. Nghiệm của phương trình x+6 3 = 27 là
A. x = 2.
B. x = 1.
C. x = −2. D. x = −3.
Lời giải: Ta có: x+6 x+6 3 3 = 27  3
= 3  x + 6 = 3  x = 3 − .
Câu 14. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log(3x + 2)  0 . 9  2   3   1   2 
A. S = − ; +    . B. S = − ;   .
C. S = − ; +  . D. S = − ;  .      3   2   3   3  1
Lời giải: Ta có: log(3x + 2)  0  3x + 2  1  x  − . 3
Câu 15. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 2 log2 (a .b) 3 4
= 3a . Giá trị của 2 ab bằng A. 12 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải 2
: Ta có log2(a .b) 3 = a  ( 2 a b) 3 2 4 3 .
= 3a ab = 3.
Câu 16. Tính tổng T tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2
log (10x) − 3log (100x)  5 −
A. T = 50 .
B. T = 45 .
C. T = 110 . D. T = 55 .
Lời giải: Điều kiện: x  0 .
Bất phương trình đã cho tương đương với: ( x)2 log10
−3(log10 + log10x)  5 −  ( x)2 log10 −3log10x + 2  0 1 log10x  2  1  x  10 . x   Do    . x     x 1;2;...;1  0 1;10 10.(10 + ) 1
Vậy T = 1+ 2 + 3 + ... +10 = = 55 . 2 f  (x) x
d = F (x) +C Câu 17. Nếu thì 1 A. f  (2x+ )1 x d = 2F (2x + ) 1 + C . B. f  (2x+ )1 x
d = F (x) +C . 2 1 C. f  (2x+ )1 x d = F (2x + ) 1 + C . D. f  (2x+ )1 x d = F (2x + ) 1 + C . 2 Lời giải 1 1 1 1 Nếu f  (x) x
d = F (x) +C thì f
 (2x+ )1d(2x+ )1 = f
 (u)d(u) = F(u)+C = F (2x+ )1+C 2 2 2 2
Câu 18. Họ các nguyên hàm của hàm số là f (x) = x + sin x là 2 x 2 x A. + o
c sx + C . B. − o
c sx + C . C. 2 x + o
c sx + C . D. 2 x − o c sx + C . 2 2 x
Lời giải: Ta có: F ( x) = (x + x) 2 sin dx = − cos x + C 2 5 5 f  (x)dx=10 2 + 3 f  (x) d  x  Câu 19. Cho 2 . Khi đó 2 bằng A. 32 . B. 36 . C. 42 . D. 46 . 5 5 5
Lời giải: Ta có 2 + 3 f  (x) x d = 2. x d + 3 f    (x) x d = 6 +3.10 =36 . 2 2 2 7 45
Câu 20. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Biết các diện tích S = và S = . Tính tích phân 1 12 2 4 3 I = f  (x)dx . 1 − 10 32 71 71 32 A. I = . B. I = . C. I = − . D. I = − . 3 6 6 3 0 7
Lời giải: Dựa trên đồ thị hàm số ta có S = f x dx =  . 1 ( ) 12 1 − 3 45 3 45
S = − f x dx = 
f (x)dx = −  . 2 ( ) 4 4 0 0 3 0 3 7 45 32 Do đó I =
f ( x)dx =
f ( x)dx +
f ( x)dx = − = −    . 1 − 1 − 0 12 4 3
Câu 21. Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 3x − x và trục hoành. Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay sinh ra khi cho ( H ) quay quanh trục Ox . 81 81 9 9 A. V =  . B. V = . C. V = . D. V =  . 10 10 2 2 x = 0
Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2
3x − x = 0   . x = 3 3 3 3 5  3 x
V =  (3x − x )2 2 dx =  ( 2 3 4
9x − 6x + x ) dx 3 4
=  3x − x +   2 5  0 0 0 5  3 3  81 3 4
=  3.3 − .3 +  =  .  2 5  10
Câu 22. Cho số phức z được biểu diễn bởi điểm A( 4 − ; 2
− ) . Số phức liên hợp của số phức z bằng A. z = 4 − − 2i .
B. z = 4 − 2i .
C. z = 4 + 2i . D. z = 4 − + 2i .
Lời giải: Số phức z được biểu diễn bởi điểm A( 4 − ; 2 − ) là z = 4
− − 2i . Do đó số phức liên hợp của số
phức z là z = 4 − + 2i .
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z = 2i (4 + 3i). Phần ảo của số phức z bằng A. 6 . B. 8 . C. −8 . D. 10 .
Lời giải : Ta có: z = 2i (4 + 3i) = 6
− + 8i z = 6 − −8i .
Vậy phần ảo của số phức z bằng −8 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z + 2 . Tìm khẳng định đúng.
Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức z
A. là đường thẳng 3x + y +1 = 0 .
B. là đường thẳng 3x − y +1 = 0 .
C. là đường thẳng 3x + y −1 = 0 .
D. là đường thẳng 3x − y −1 = 0 .
Lời giải: Giả sử số phức z có dạng: z = x + yi (x, y ) 11
Ta có: z −1+ i = z + 2  x + yi −1+ i = x + yi + 2  ( x − ) 1 + ( y + )
1 i = ( x + 2) + yi
 (x − )2 + ( y + )2 = (x + )2 2 1 1 2 + y
 (x − )2 + ( y + )2 = (x + )2 2 1 1 2 + y 2 2 2 2
x − 2x +1+ y + 2y +1= x + 4x + 4 + y
 6x − 2y + 2 = 0  3x − y +1= 0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 3x − y +1 = 0 .
Câu 25. Hình đa diện đều nào sau đây có tất cả các mặt không phải là tam giác đều?
A. Tứ diện đều.
B. Hình hai mươi mặt đều.
C. Hình mười hai mặt đều.
D. Bát diện đều.
Lời giải: Hình mười hai mặt đều có tất cả các mặt là ngũ giác đều.
Câu 26. Một khối chóp có thể tích là 3
30a và diện tích mặt đáy là 2
15a . Chiều cao của khối chóp đó bằng A. 3a . B. 2a . C. 9a . D. 6a . 3 1 3V 3.30a
Lời giải: V =
S.h h = = = 6 . a 2 3 S 15a
Câu 27. Diện tích toàn phần ( S ) của một hình trụ có độ dài đường sinh l = 2a , bán kính r = a bằng tp A. 2
S =  a . B. 2
S = 4 a . C. 2
S = 6 a . D. 2 S = 8 a . tp tp tp tp
Lời giải: Ta có diện tích toàn phần hình trụ: 2 2 2 2
S = 2 rl + 2 r = 4 a + 2 a = 6 a . tp
Câu 28. Một khối nón có diện tích xung quanh bằng 8 ( 2
cm ) và bán kính đáy 2 (cm) . Thể tích khối nón là 5 3 2 3 4 3 8 3 3 3 3 3 A. V = (cm ) V = (cm ) . B. . C. V = (cm ). D. V = (cm ). 3 3 3 3 Sxq 8
Lời giải: Ta có: S =  rl l = = = 4 . xqr .2 2 2 2 2
h = l − r = 4 − 2 = 2 3 . 1 8 3 Nên V = .2 3.4 = . nón 3 3
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình là 2 2 2
x + y + z − 2x − 2y − 4z − 3 = 0 .
Mặt cầu (S ) có tâm I và bán kính R là
A. I (2; 2; 4) và R = 3 . B. I (2; 2; 4) và R = 4 . C. I (1;1; 2) và R = 3 .
D. I (1;1; 2) và R = 4 .
Lời giải: Mặt cầu (S ) có tâm I (1;1; 2) và bán kính 2 2 2 R = 1 +1 + 2 − ( 3 − ) = 3.
Câu 30. Trong không gian, gọi A là điểm thuộc mặt cầu tâm I bán kính R . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. IA R . B. 2 IA = R .
C. IA R .
D. IA = R . 12
Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; − 2;3) và có →
véc tơ pháp tuyến n = (2;1;−3) là
A. 2x + y − 3z − 9 = 0.
B. 2x + y − 3z + 9 = 0.
C. x − 2 y + 3z −13 = 0.
D. 2x + y − 3z −13 = 0. →
Lời giải: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; − 2;3) và có véc tơ pháp tuyến n = (2;1;−3) là 2.( x − )
1 +1.( y + 2) − 3.( z − 3) = 0  2x + y − 3z + 9 = 0.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của
đường thẳng  đi qua hai điểm A(1; 2 − ;2)và B(3;1; ) 1 ? x − 1 y + 2 z − 2 x − 3 y −1 z −1 A. = = . B. = = . 2 3 1 − 4 1 − 3 x + 1 y − 2 z + 2 x −1 y + 2 z − 2 C. = = . D. = = . 2 3 1 − 3 1 1 Lời giải
Đường thẳng  đi qua hai điểm A và B nên có một vectơ chỉ phương AB = (2;3;− ) 1 . x − 1 y + 2 z − 2
Vậy phương trình chính tắc của  là: = = . 2 3 1 −
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 2x − 3y + 5z − 4 = 0 và đường thẳng x +1 y − 3 z −1 d : = =
. Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A( 2 − ;1;− )
3 , song song với (P) và vuông 7 5 − 1
góc đường thẳng d là x = 2 − + 2tx = 2 − + 2tx = 2 − 2tx = 2 − − 2t    
A. y = 1+ 3t .
B. y = 1− 3t . C. y = 1 − − 3t .
D. y = 1+ 3t .     y = 3 − + ty = 3 − +1tz = 3 − − ty = 3 − + t Lời giải
Vectơ chỉ phương của d là u = (7;−5; ) 1 . d
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2; 3 − ;5 . P ) ( )
Đường thẳng  song song với mặt phẳng (P) nên u ⊥ (n  . P)
Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d nên u ⊥ n  . d
Suy ra: u = n ,u  =  P (22;33;1 )  ( ) 1 d  .
Đường thẳng  đi qua A nhận u = (2;3; ) 1 làm vectơ chỉ phương. x = 2 − + 2t
Từ đó suy ra  :  y = 1+ 3t . z = 3 − + t
Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 1 − ;3; 2
− ) và đường thẳng d có phương trình x = 2 + t
 : y = 3− 2t . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  . z =1+tA. 2 . B. 2 2 . C. 3 . D. 2 3 . Lời giải 13
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng   MH = d (M ; ) .
Vì H  nên H có toạ độ là H (2 + t;3 − 2t;1+ t ) .
Ta có MH = (3 + t; 2 − t;3+ t) .
Vì MH ⊥  nên MH ⊥ u MH.u = 0  (3 + t ) − 2( 2
− t) + (3+ t) = 0  6t + 6 = 0  t = 1 − . d d Suy ra MH = ( )  (M ) 2 2 2 2; 2; 2 d ;
= MH = 2 + 2 + 2 = 2 3.
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO
Câu 35. Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi
lấy được có đủ ba màu bằng 185 310 106 136 A. . B. . C. . D. . 273 429 273 231 Lời giải
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là n () 5 = C = 3003. 15
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ”
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách + 5 viên màu vàng có 5 C = 6 cách. 6
+ Chỉ có xanh và đỏ có 4 1 3 2 2 3 1 4
C .C + C .C + C .C + C C = 125 . 4 5 4 5 4 5 4 5
+ Chỉ có xanh và vàng có 4 1 3 2 2 3 1 4
C .C + C .C + C .C + C C = 246 . 4 6 4 6 4 6 4 6
+ Chỉ có đỏ và vàng có 4 1 3 2 2 3 1 4
C .C + C .C + C .C + C C = 455 . 5 6 5 6 5 6 5 6 n A 310
Vậy n ( A) = 833  n() − n( A) = 2170  p ( A) ( ) = = . n () 429
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng 21a 21a 21a a 21 A. . B. . C. . D. . 14 7 3 6 Lời giải O 3a
Gọi H là trung điểm của AB . Do tam giác SAB đều cạnh a nên SH ⊥ AB và SH = . 2
Mặt khác (SAB) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ ( ABCD)  SH ⊥ CD (1) 14 1
Ta có HO  (SCD) = M là trung điểm của CD . Suy ra d (O,(SCD)) = d ( H ,(SCD)) . 2
Có: HM = a và HM ⊥ CD (2).
Từ (1) và (2) suy ra CD ⊥ (SMH ) nên (SCD) ⊥ (SHM ) .
Trong (SHM ) , kẻ HK ⊥ SM , suy ra HK ⊥ (SCD) .
Từ đó suy ra HK = d ( H , (SCD)) .
Trong tam giác SHM vuông tại H có HK là đường cao, ta có: 1 1 1 4 1 7 = + = + = 21a  =  ( SCD ) HK 21a HK d O, ( ) = = . 2 2 2 2 2 2 HK HS HM 3a a 3a 7 2 14 a
Vậy, d (O SCD ) 21 , ( ) = . 14 2
Câu 37. Cho hàm số f ( x) = ( x − ) ( 2 2
x − 4x + 3) với mọi x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
m để hàm số y = f ( 2
x −10x + m + 9) có 5 điểm cực trị? A. 18 . B. 16 . C. 17 . D. 15 . Lời giải x = 2 
Ta có f ( x) = 0  x = 1 
, x = 2 là nghiệm kép nên khi qua giá trị x = 2 thì f ( x) x = 3  không bị đổi dấu.
Đặt g (x) = f ( 2
x −10x + m + 9) khi đó g '( x) = f (u).(2x −10) với 2
u = x −10x + m + 9 . 2x −10 = 0 x = 5   2 ( 2
x −10x + m + 9 − 2)2 2 = 0
(x −10x + m + 9 − 2) = 0
Nên g( x) = 0     2  2
x −10x + m + 9 = 1
x −10x + m + 8 = 0 ( ) 1   2
x −10x + m + 9 = 3 2
x −10x + m + 6 = 0  (2)
Hàm số y = f ( 2
x −10x + m + 9) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi g( x) đổi dấu 5 lần Hay phương trình ( )
1 và phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 5 '   0 1  '   0 2   , (Với h ( x) 2
= x −10x + m + 8 và p(x) 2
= x −10x + m + 6). h  (5)  0  p  (5)  0 17  − m  0 19  − m  0    m  17 . 17 − + m  0   19 − + m  0
Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2 − 022;202  3 để hàm số 4 3 2
y = 3x − 8x −18x + m nghịch biến trên khoảng (3; 4) ? A. 2044 . B. 2055 . C. 2024 . D. 2032 . Lời giải 15 f ( x) 4 3 2
= 3x −8x −18x + m f '( x) 3 2
=12x − 24x − 36x =12x( 2 x − 2x − 3) x = 0 
f '( x) = 0  x = 1 −  x = 3 
Bảng biến thiên của f ( x)
Để hàm số f ( x) nghịch biến trên (3;4) thì f (4) = m −32  0  m  32 m   Do    − − m   −
m  2022; ...; 1;0;1;2;..;3  2 2022; 2023
Câu 39. Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình log log x .log
log x = 3 . Giá trị log x .log x 2 ( 4 ) 4 ( 2 ) 1 2 2 1 2 2 bằng A. −6 B. 2 C. 1 D. 4 33 2 Lời giải  1  1 Ta có log log x .log log x = 3  log log x . log log x = 3 2  2  2 ( 2 ) 2 ( 4 ) 4 ( 2 )  2  2 1 t =
 log log x −1. log log x = 3  t = log
log x thì (t − ) 3 1 t = 6  2 ( 2 )  . Đặt 2 ( 2 ) 2 ( 2 )  2 t = 2 − + t = 3  log
log x = 3  log x = 8 2 ( 2 1 ) 2 1 1 + t = 2 −  log l g o x = 2
−  log x = . Vậy log x .log x = 2 . 2 ( 2 2 ) 2 2 4 2 1 2 2
Câu 40. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn ( 2 2 2 2 2 2 log
9x +16 y +112 y + log 9x +16 y
 log y + log 684x +1216y + 720y ? 4 ) 3 ( ) 4 3 ( ) A. 48 . B. 56 . C. 64 . D. 76 . Lời giải
Điều kiện: y  0. Ta có: ( 2 2 2 2 2 2 log
9x +16 y +112 y + log 9x +16 y
 log y + log 684x +1216y + 720y 4 ) 3 ( ) 4 3 ( )  log ( 2 2
9x +16 y +112 y) − log y  log ( 2 2
684x +1216 y + 720 y) − log ( 2 2 9x +16 y 4 4 3 3 ) 2 2 2 2
 9x +16y +112y
 684x +1216y + 720y   log    log   4 3 2 2 y 9x +16 y     2 2  9x +16y   720 y   log  +112  log + 76 4 3   2 2 y    9x +16y  2 2  9x +16y   720 y   log  +112 −log + 76  0 4 3   2 2 y    9x +16y  16 2 2 + Đặ 9x 16 y t: t = (t  0) y  720 
Bất phương trình trở thành: l g o (t +112) − log + 76  0 (1). 4 3    t   720 
Xét hàm số f (t) = log (t +112) − log + 76 4 3    t  1 720 có f (  t) = +  t   . (t +112) ln 4 ( 0, 0 2 76t + 720t )ln 3
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; +) .  720 
Mà f (144) = log (144 +112) − log + 76 = 0 4 3    144  2 2 2 9x +16 y 1 − 6y +144y Từ đó 2
(1)  f (t)  f (144)  t  144  144  x  (vì y  0 ) y 9 Điều kiện: 2 1
− 6y +144y  0  0  y  9
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( ; x y) 128 8 2 8 2 Với 2
y = 1 hay y = 8  x   −  x   x{ 3  ; 2  ; 1  ;0} nên có 14 cặp. 9 3 3 224 4 14 4 14 Với 2
y = 2 hay y = 7  x   −  x   x{ 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0} nên có 18 cặp. 9 3 3 Với 2
y = 3 hay y = 6  x  32  4
− 2  x  4 2  x{ 5  ; 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0} nên có 22 cặp. 320 8 5 8 5 Với 2
y = 4 hay y = 5  x   −  x   x{ 5  ; 4  ; 3  ; 2  ; 1  ;0} nên có 22 cặp. 9 3 3
Vậy có 76 cặp giá trị nguyên ( ;
x y) thỏa mãn đề bài.
Câu 41. Xét hàm số f ( x) liên tục trên R , thỏa mãn điều kiện ( + 2). ( ) + ( + ) 1 ( ) = x x f x x f x e và f ( ) 1 0 = . Tính f (2) 2 A. (2) = e f . B. (2) = e f . C. ( ) 2 2 = e f . D. ( ) 2 2 = e f . 3 6 3 6 Lời giải Ta có: ( + 2). ( )+( + ) 1 ( ) = x x f x x f x e  ( + ) 1 ( )+ ( )+( + ) 1 ( ) = x x f x f x x f x e ( )   + x x  1 ( )+ ( + )1 ( ) =  x x f x x f x e  ( + ) ( )+ ( + ) ( ) 2 1 1  =  x e x f x e x f x e   x 1 x ( + ) ( )  2 1  =   x e x f x e  ( + ) 1 ( ) 2 = x e x f x e + C . 2 1 f =
Với x = 0  e (0 + ) 1 f (0) ( ) 1 0 0 2.0 2
= e + C ⎯⎯⎯→C = 0 . 2 1 Với = 2  (2+ ) 1 (2) = + 0  (2) 2 2 2.2 = e x e f e f . 2 6 17
Câu 42. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn 0;  1 thỏa mãn  1   1  2
f '(x) − 2 f (x). f '(x) + 2 .
x f '(x) + (x +1) . f ' (x) = 0, x  [0;1], f ' = f =1.     Biết tích phân  2   2  1   ( ) 2 a f x dx = 
( a, b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản), giá trị của a + b bằng b b 0 A. 181. B. 25 . C. 10 . D. 26 . Lời giải   2 f (
x) − 2 f (x) f (x) + 2 .
x f (x) + (x +1)  f  (x) = 0    2
f (x) + f (x) + 2xf (x) + (x +1)  f (x) = 2 f (x) f (x) + f (x)  2
 (2x + 2) f (x) + (x +1)  f (x) = 2 f (x) f (x) + f (x)   2  
(2x 2) f (x) (x 1) f  (x)
2 f (x) f (x) f   + + +  = + (x) 2
 (x +1)  f (x) = [2 f (x) +1] f (x)   2  2
 (x +1)  f (x) = f (x) + f (x) + C . 1   1   1  9 1  1 Theo giả thiết: f = f
=1 = 2 + C C =     2 2
 (x +1)  f (x) = f (x) + f (x) + 1 1  2   2  4 4 4 f  (x) 1  =
( f (x)  0) . 2 1 + 2 (x 1)
f (x) + f (x) + 4  − − Do đó f (x)dx 1 1 1 = dx  = + C   2 2 2  1  (x +1) 1 (x +1) f (x) f (x) + +   2  2  Theo giả thiết: 2 2 1 1   1   1  1 1 1  1  13 f = f =1 C = 0  =
f x = x +   f x dx = x + dx =       2 ( )  ( )    2   2 1  (x +1) 2  2  12 0 0 f (x) + 2 a =13    a + b = 25 b  =12
Câu 43. Trong tập số phức, xét phương trình 2 z − 2(m − )
1 z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m để PT có hai nghiệm phân biệt z , z thỏa mãn z = z . Số phần tử của tập 1 2 1 2 S là A. 3. B. 1. C. 6. D. 2. Lời giải Xét phương trình 2 z − 2(m − )
1 z + 2m − 2 = 0 , ta có:  = −  (m − ) 2  −  ( m− ) 2 1 1. 2
2 = m − 4m + 3 . m  TH1:   0 2
m − 4m + 3  3 0   . m  1
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt z , z . 1 2
z + z = 2 m −1 1 2 ( )
Theo định lí Vi-et ta có:  . z z = 2m − 2  1 2
Theo đề bài ta có: z = z z = −z 1 2 1 2  z + z = 0 1 2 18  2(m − ) 1 = 0  m = 1.
TH2:   0  1  m  3
Phương trình luôn có hai nghiệm phức z , z luôn thỏa mãn z = z . 1 2 1 2 Do đó S =   2 .
Vậy tổng các phần tử của tập S là 1.
Câu 44. Cho số phức z thỏa mãn z − 6 + z + 6 = 20 . Gọi M , m lần lượt là modun lớn nhất và nhỏ nhất của
z . Giá trị của M − m bằng A. 2. B. 4. C. 7 . D. 14 . Lời giải:
Gọi z = x + yi ( ; x y
). Theo giả thiết, ta có: z −6 + z +6 = 20
x − + yi + x + + yi =
 (x − )2 + y + (x + )2 2 2 6 6 20 6 6 + y = 20 ( ) * Gọi M ( ;
x y), F 6;0 và F 6 − ;0 2 ( ) 1 ( )
Khi đó (*)  MF + MF = 20  F .F =12 nên tập hợp các điểm M là đường elip (E) có hai tiêu điểm F 1 2 1 2 1
và F , và độ dài trục lớn bằng 20 2
ta có c = 6; 2a = 20  a = 10 và 2 2 2
b = a − c = 64  b = 8 2 2 Do đó, phương trình x y
chính tắc của ( E ) là + = 1 100 64
Suy ra max z = OA = OA = 10 khi z = 10 và min z = OB = OB = 8 khi z = 8i
Vậy M − m = 2
* Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa để nhận dạng được phương trình elip
Câu 45. Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  . Gọi M là trung điểm cạnh BB . Biết khoảng cách từ A đế 2a
n mặt phẳng (MDA) bằng
. Thể tích khối lập phương đã cho bằng 3 3 a 3 2a A. . B. . C. 3 8a . D. 3 a . 3 3 Lời giải 19
Gọi độ dài cạnh lập phương là x ( x  0) . Gọi I = AB A M
 , do M là trung điểm của BB và
BB // AA nên B là trung điểm của AI , suy ra AI = 2x . Ta có d ( , A ( A DM )) = d ( , A ( A D
I )) = AH , với AH ⊥ IK tại H , AD ⊥ IK tại K .
Vì tứ diện AADI có AA , AD , AI đôi một vuông góc nên AH ⊥ ( A DI ) .
Xét hai tam giác vuông AKI , AAD có đường cao lần lượt là AH , AK , khi đó 1 1 1 1 1 1 9 9 = + = + + = =  x = a 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AK AI AA . AD AI 4x 4a Vậy 3 V =     a . ABCD.A B C D
Câu 46. Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và a 15 A C bằng
. Thể tích của khối lăng trụ ABC.AB C
  tính theo a bằng: 5 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải a 15
Ta có AB / / A B
   AB / / ( A BC  )  d( = d = d = AB, A C  )
(AB,(A BC))
(B,(A BC)) 5
Đặt AA = x  0 .
Tam giác CAB cân tại C , 2 2
CA = CB = a + x .
Diện tích tam giác CAB là 2 2 2 1 1 a 1 3a + 4x 1 2 2 2 2 S =   = + − = = +   CH.A B . . a a x . a a 3a 4x CA B 2 2 4 2 4 4 2 a 3
Thể tích lăng trụ V = . x ( ) 1 4 1 a 15 1 Lại có 2 2 V = 3V = = +   3. d .S     . . a 3a 4x . B.A B C (B,(A B C)) 3 A B C 5 4 2 Do đó a 3 a 15 1 2 2 2 2 . x = . .
a 3a + 4x  5x 3 = 15. 3a + 4x x = a 3 . 4 5 4 2 3 a 3 3a V = . x = . 4 4 20
Câu 47. Cho hình nón có đỉnh S , chiều cao bằng 3a . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho diện
tích tam giác SAB bằng 2
9a , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng a .
Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho. 3 219 a 3 73 a 3 73 a 3 73 a A. . B. . C. . D. . 8 4 24 8 Lời giải
Gọi O , R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón.
Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của O lên AB , SK .
AB ⊥ OK  AB ⊥ (SOK). Suy ra AB ⊥ OH . AB ⊥ SO
OH ⊥ SK  OH ⊥ (SAB). Suy ra khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng OH . OH ⊥ AB 1 1 1 1 1 1 1 1 8
Trong tam giác vuông SOK có = +  = − = − =  2 2 2 OH SO OK 2 2 2 2 OK OH SO a (3a)2 2 9a 3a 2 OK = . 4 2 = + = (  aa a SK SO OK 3a) 2 2 3 2 81 2 2 2 +   =    9 2 SK = . 4 8   4 Tam giác cân SAB có 1 2 2.S 2.9a S = SK.AB SAB AB = = = 4a 2 . SAB 2 SK 9a 2 4
Suy ra BK = 2a 2 . 2   2 3a 2 a 146
Trong tam giác vuông OBK có 2 2
OB = OK + BK =   +   (2a 2) = . 4 4   2 3 1 1  a 146  73 a
Thể tích khối nón bằng 2
V =  r h =  .  .3a =   . 3 3 4 8   x −1 y +1 z + 2
Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 2 1
(P):x + 2y + 2z −7 = 0 . Gọi I là giao điểm của d và (P) . Biết IM = 9 , khoảng cách từ điểm M thuộc d
đến (P) bằng A. 15 . B. 3 2 . C. 8. D. 2 5 . 21 Lời giải
Từ giả thiết suy ra đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u = (2; 2; )
1 , mặt phẳng ( P) có véc tơ pháp
tuyến là n = (1; 2; 2) . . u n 8 8
Gọi  là góc giữa d và ( P)  sin = = = u . n 3.3 9
d (M ,(P)) Mà sin =
d (M,(P)) = 8. IM
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm ( A 8; 8
− ;8) . Gọi M là điểm sao cho
MA = 3MO (Với O là gốc tọa độ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) : 2x + 2y + z +19 = 0 đạt
giá trị nhỏ nhất là A. 6 + 3 3 . B. 3 3 . C. 6 − 3 3 . D. 6 . Lời giải Gọi M ( ;
x y; z ) . Khi đó MA = 3MO
 (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 = ( 2 2 2
x + y + z ) 2 2 2 8 8 8 9
x + y + z + 2x − 2y + 2z − 24 = 0
Suy ra tập hợp các điểm M thỏa MA = 3MO là mặt cầu (S ) tâm I ( 1 − ;1;− )
1 và bán kính R = 3 3.
Vì d (I,( P)) = 6  R nên ( P) không cắt (S ) .
Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất là d
= d I, P − R = 6 − 3 3. min ( ( )) M (1; 2; − ) 1
( ): x + 2y − z +3 = 0 (S):
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho điểm , mặt phẳng và mặt cầu
(x − )2 +( y + )2 +(z − )2 1 2 1 = 25 (P) ( ) . Gọi
là mặt phẳng đi qua M , vuông góc với mặt phẳng đồng thời (S) (P) cắt mặt cầu
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng đi qua điểm nào sau đây? A. A( 3 − ;1;7) . B. B (1;3 ) ;1 .
C. C (5; 2;9) .
D. D (1; − 9; 2) .
Lời giải: Gọi VTPT của mặt phẳng ( P) là n = ( A; B ;C ) với 2 2 2
A + B + C  0 .
(P) đi qua điểm M (1;2;− )
1 nên phương trình của ( P) là A( x − )
1 + B ( y − 2) + C ( z + )
1 = 0  Ax + By + Cz − A − 2B + C = 0
Do ( P) ⊥ ( ) nên n .n = 0  A + 2B − C = 0  C = A + 2B . P
Mặt cầu (S ) có tâm là I (1; − 2 )
;1 và bán kính R = 5
(P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi d (I,(P)) lớn nhất.
A − 2B + C − A − 2B + C 2C − 4B 2A
Ta có d (I,(P)) = = = . 2 2 2 A + B + C
A + B + ( A + 2B)2 2 2 2 2
2A + 5B + 4AB
* A = 0 : d ( I,( P)) = 0 . 2 2 2 30
* A  0 : d (I,( P)) = = =  2 2 2 3  B BB BB 2  6 2 + 5 + 4 5 + 4 + 2 5 + +        A AA AA 5  5 22 B 2 Dấu bằng xảy ra khi = − . A 5 B 2 Vậy
d (I ( P)) 30 max , = khi = − . 3 A 5 Chọn B = 2
− , A = 5  C =1  Phương trình (P) là: 5x − 2y + z = 0.
Thay tọa độ các điểm ,
A B, C, D vào phương trình mặt phẳng ( P) ta thấy mặt phẳng ( P) đi qua điểm B (1;3 ) ;1 . 23