Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2020 môn Toán lần 2 trường THPT chuyên Hạ Long – Quảng Ninh
Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2020 môn Toán lần 2 trường THPT chuyên Hạ Long – Quảng Ninh mã đề 268 gồm 06 trang với 50 câu trắc nghiệm
Tài liệu liên quan:
Preview text:
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆM THPT LẦN 2 NĂM 2020 Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 06 trang) Mã đề thi 268
Họ, tên thí sinh:……………………….…........Số báo danh:…………….............… 2x 1
Câu 1. Đồ thị hàm số y
có tiệm cận ngang là x 1 1 A. y .
B. x 1 .
C. y 2 .
D. y 1. 2
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên 1; ? x 2 A. 4 2
y x x 1.
B. y log x . C. y . D. 2020x y . 2 x 1
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x 2, y x, x 0, x 2. 8 26 14 A. (đvdt). B. 8 (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt). 3 3 3 3
Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số y 2 x x 2 3 2 . A. ;
1 2; . B. ;
1 2; .
C. 1; 2 . D. 1; 2.
Câu 5. Viết công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng H giới
hạn bởi các đường x a, x ,
b y 0, y f x ( f x liên tục trên ; a b ). b b A. 2 2 V
f x dx . B. 2 V
f x dx . a a 2 2 b b
C. V f x dx . D. V
f x dx . a a
Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , xác định tọa độ tâm I của mặt cầu S 2 2 2
: x y z 4x 2y 8z 0 . A. I 2 ;1; 4 .
B. I 4 ; 2; 8 . C. I 2; 1 ; 4 . D. I 4; 2 ;8 .
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 3y z 1 0 . Điểm nào dưới
đây không thuộc mặt phẳng P ?
A. B 1; 2; 8 . B. C 1 ; 2; 7 .
C. A0; 0; 1 .
D. D 1;5;18 .
Câu 8. Cho số phức z 2 11i . Xác định phần thực của z .
A. 2 11i . B. 11.
C. 11i . D. 2 .
Câu 9. Số nghiệm của phương trình log x 1 log x 4 là 0,1 A. Vô số. B. 1. C. 0. D. 2.
Trang 1/7 - Mã đề 268 1
Câu 10. Cho a, b là các số dương và log x 2 log a
log b . Biểu thị x theo lũy thừa của a và b . 2 2 2 3 1 1 1 A. 3 x . a b . B. 2 3
x a b . C. 2 x a 2 . D. 2 3
x a . b .
Câu 11. Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là A. 4 A . B. 4 3
A A . C. 4 A . D. 4 3
C C . 10 10 9 9 10 9 20 2
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 3 3x
x 0 ? x A. 15 5 15 C . 3 .2 . B. 15 15 C . 2 . C. 5 15 3 .2 . D. 15 C . 20 20 20
Câu 13. Cho hàm số f x 2
x sin x 1. Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 0 1. Tìm F x . 3 x
A. F x 3
x cos x x 2 .
B. F x
cos x x . 3 3 x 3 x
C. F x
cos x x 2 .
D. F x
cos x 2 . 3 3 Câu 14. Cho hàm số 3 2
y 2x x 3x 2 . Số điểm cực trị của hàm số là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2, AD 4, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA 6 . Tính thể tích của khối chóp. A. 8. B. 16. C. 24. D. 48. 2
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số 1 2x y . 2 2 2 A. 2 2 1 .2x y x . B. x 2 y .2 x .ln 2. C. x 1 y 2 .ln 2 . D. 2x y .
Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.
f x dx f x C .
B. cos x dx sin x C . 1 x
C. x dx C, 1 . D. x x
a dx a ln a C 0 a 1 . 1
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho M 2;5;6 . Xác định tọa độ M ' là hình chiếu của
M lên trục Oz .
A. M '0;5;6 .
B. M 0;5;0 . C. '
M 0;0;6 . D. M
2;0;0 . 1
Câu 19. Cho log 5 a . Tính log theo a . 3 729 125 1 1 1 1 A. a . B. a . C. . D. . 2 2 2a 2a
Câu 20. Cho z 3 5i . Tính z . A. 8 . B. 8 . C. 34 . D. 34 .
Trang 2/6 - Mã đề 268
Câu 21. Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn đáy là . R A. 2 S R h . B. S 2 h . C. S 2 Rh . D. S 2Rh . xq xq xq xq
Câu 22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x 2x 3tại M 2;7 .
A. y 10x 27 .
B. y 10x 13 .
C. y 7x 7 .
D. y x 5 .
Câu 23. Hình lăng trụ tứ giác đều có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? A. 4. B. 8. C. 6. D. 2.
Câu 24. Cho hai số phức z 1- 2i, z 2 6i . Tính z z . 1 2 1 2 A. 1 0 2i .
B. 2 12i .
C. 14 10i .
D. 14 2i .
Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trong ;
3 3;.
B. Hàm số nghịch biến trong ; 2 3; . 5
C. Hàm số đồng biến trong 1; 2 .
D. Hàm số đồng biến trong 2; . 2
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2 y 2z 5 0, M 0; 2; 4 . Tính
d M ;P. 1 1 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB 2a, AC 3a, SA vuông góc
ABC , SA 5a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 38 38 a A. R .
B. R 38 a .
C. R 38 . D. R . 4 2
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , xác định tọa độ giao điểm M của đường x 1 y 1 z 5 thẳng Δ :
với mặt phẳng P : 2x y z 11 0. 2 3 4
A. M 1;1; 5 .
B. M 4; 0; 3 .
C. M 1; 4; 9 .
D. M 0;0; 1 1 .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Tam giác ABC đều cạnh bằng a 3 ,
tam giác SAC cân. Tính khoảng cách h từ A đến SBC . 3a a 3 a a 3 A. h . B. h . C. h . D. h . 7 4 7 7
Câu 30. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2 . Tính thể tích khối nón. 3 3 3 3 A. . B. . C. V . D. V . 3 2 6 6
Trang 3/6 - Mã đề 268
Câu 31. Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Biết
H có diện tích bằng 7 (đvdt), H có diện tích bằng 3 (đvdt). Tính 1 2 1 I 2x 6 f 2
x 6x 7 dx . 2 A. 11(đvdt). B. 4 (đvdt). C. 1(đvdt). D. 10 (đvdt). 2 3i
Câu 32. Cho z
. Xác định số phức liên hợp z của z . 4 2i 2 8 7 2 1 2 14 2 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 20 20 10 5 10 5 20 5
x 1 2t
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y 1 t t . Đường thẳng
z 5 3t
d có một vectơ chỉ phương là
A. u 2;1;3 .
B. u 2; 1 ;3 .
C. u 1;1;5 .
D. u 2; 1 ;3 .
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình 15. 25x 34.1 5x 15. 9x 0 là 3 5 A. ; 1 1; . B. ; . 5 3 3 5 C. 1; 1 . D. ; ; . 5 3
Câu 35. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên? A. 3 2
y x x x 1 . B. y x . x 1 C. y .
D. y log x . x 2 3
Câu 36. Tìm m để đồ thị hàm số 3
y x m 2
2 x m 5 x 4 có hai điểm cực trị nằm khác phía với trục hoành. m 4 m 3
A. m 3 . B. .
C. m 3 .
D. m 4 . m 5 m 5
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB cân tại S và 3 4a
SAB vuông góc với ABCD . Giả sử thể tích của khối chóp S.ABCD là
. Gọi là góc tạo bởi SC và 3
ABCD . Tính cos. 3 30 14 5 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 6 4 3
Trang 4/6 - Mã đề 268
x 3 x 4
Câu 38. Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . 2
2x 5x 2 2 x 16 A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 4 .
Câu 39. Cho phương trình 2 log 2
x 4 2m 1 log 2
x 4 4 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của 2 2
tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.
A. m 1; 2 .
B. Vô số m .
C. m 2;3 .
D. Không tồn tại m . 7
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x f 10 x, x . Biết f x dx 4. Tính 3 7
I xf x . dx 3
A. I 40 .
B. I 80 .
C. I 60 . D. I 20 . 10
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z
2 i . Khẳng định nào sau đây là đúng? z 1 3 1 3 A. z . B. z 2 .
C. z 2 . D. z ; . 2 2 2 2
Câu 42. Cho miếng bìa hình chữ nhật ABCD có AB 6, AD 9 . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE 3 .
Gọi F là trung điểm của BC . Cuốn miếng bìa sao cho AB trùng CD để tạo thành một hình trụ. Tính thể tích
của tứ diện ABEF . 81 3 81 3 81 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 2 4 4 2 4
Câu 43. Có bao nhiêu số nguyên m 100 để hàm số y 6 sin x 8cos x 5mx đồng biến trên ? A. 100 số. B. 99 số. C. 98 số.
D. Đáp án khác.
Câu 44. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất để số lấy
được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 (làm tròn đến chữ số hàng nghìn) có dạng 0, abc . Tính 2 2 2
a b c . A. 15 . B. 10 . C. 17 . D. 16 . x 1
Câu 45. Đường thẳng y x 1cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt ,
A B . Tính AB . x 2
A. AB 8 .
B. AB 4 .
C. AB 2 2 .
D. AB 6 .
Câu 46. Cho hàm số y f x 2 m x x 2 4 4
2 16 x 3m 2 . Tổng các giá trị của m để hàm số
đạt giá trị lớn nhất bằng 13 là 7 3 4 A. . B. . C. . D. 1. 4 4 7 2 2 2
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x
1 y 2 z 1 49 và mặt
phẳng : 2mx 3 2m y 2m
1 z 2m 2 0 ( m là tham số). Mặt phẳng cắt S theo một
đường tròn có diện tích nhỏ nhất là 8974 3 5 3 5 A. . B. . C. .
D. Đáp án khác. 96 14 14
Trang 5/6 - Mã đề 268 1
Câu 48. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 2
; 2 và 2 f x 3 f x
, x 2; 2. Tính 2 x 4 2 I
f x dx . 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 10 10 20 20
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của
S lên ABCD là trung điểm của AO . Mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 0
45 . Tính d SD; AC . a 38 a 51 a 13 3a 34 A. . B. . C. . D. . 17 13 3 34
Câu 50. Cho mặt cầu S 2 2 2
: x y z 2x 2 y 2z 0 . Điểm A2; 2; 0 . Viết phương trình mặt phẳng
OAB biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu S , có hoành độ dương và tam giác OAB đều.
A. x y 2z 0 .
B. x y 2z 0 .
C. x y z 0 .
D. 2 y z 0 .
------------- HẾT -------------
Trang 6/6 - Mã đề 268 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C C D A B C A D B B B A C A B B D C A D C B C D D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D C A A B B B A C A B B D D D B B C B B D D D C
Trang 7/6 - Mã đề 268
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
HDG ĐỀ THI THỬ TN THPT NĂM 2020 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C C D A B C A D B B B A C A B B D C A D C B C D D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D C A A B B B A C A B B D D D B B C B B D D D C GIẢI CHI TIẾT 2x 1 Câu 1.
Đồ thị hàm số y có tiệm cận ngang là x 1 1 A. y . B. x 1 . C. y 2 . D. y 1. 2 Lời giải
Tập xác định của hàm số là D \ 1 . 1 1 x 2 2 2x 1 x Ta có: lim lim lim x 2 . x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x
Vậy phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y 2 . Câu 2.
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên 1; ? x 2 A. 4 2
y x x 1.
B. y log x . C. y . D. 2020x y . 2 x 1 Lời giải +) Hàm số 4 2
y x x 1 có đạo hàm 3
y x x x 2 4 2 2 2x 1 . y 0, x
0; hàm số đồng biến trên 0; . y 0, x
;0 hàm số nghịch biến trên ;0 . Loại phương án A.
+) Hàm số y log x là hàm số logarit có cơ số a 1 nên hàm số đồng biến trên 0; . Loại 2 phương án B. +) Hàm số 2020x y
là hàm số mũ với cơ số a 1 nên hàm số đồng biến trên . Loại đáp án D. x 2 1 +) Hàm số y
có tập xác định D \ 1 và có y 0, x
D nên nghịch x 1 x 2 1
biến trên từng khoảng ; 1 và 1
; , suy ra hàm số cũng nghịch biến trên 1; .
Vậy chọn phương án C. Câu 3.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x 2, y x , x 0, x 2 . 8 26 14 A. (đvdt). B. 8 (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt). 3 3 3 Lời giải Trang 7
+) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 2
y x 2, y x là : 2 2
x 2 x x x 2 0 ( vô nghiệm ).
+) Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x 2, y x , x 0, x 2 là : 2 2 2 3 2 x x 14 2 S
x x 2 dx 2
x x 2dx 2x . 3 2 3 0 0 0 14
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là (đvdt). 3 3 Câu 4.
Tìm tập xác định của hàm số y 2 x x 2 3 2 . A. ;
1 2; . B. ;
1 2; . C. 1; 2 . D. 1;2. Lời giải 3 x 1
Do nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 2
x 3x 2 0 . 2 x 2
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D ; 1 2; . Câu 5.
Viết công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng H
giới hạn bởi các đường x a , x b , y 0 , y f x trong đó y f x là hàm số liên tục
trên đoạn a;b . 2 2 b b b b A. 2 2
f x dx . B. 2 V f x d x .
C. f xdx .
D. f x dx . a a a a Lời giải
Cho hàm số y f x là hàm số liên tục trên đoạn a;b .
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng H giới hạn bởi các b
đường x a , x b , y 0 , y f x là 2 V f x d x . a
Vậy chọn phương án B. Câu 6.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , xác định tọa độ tâm I của mặt cầu S 2 2 2
: x y z 4x 2 y 8z 0 .
A. I 2;1; 4 . B. I 4 ; 2; 8 .
C. I 2; 1;4 .
D. I 4; 2;8 . Lời giải Phương trình dạng 2 2 2
x y z 2ax 2by 2cz d 0 với điều kiện 2 2 2
a b c d 0 là
phương trình mặt cầu tâm I a;b;c nên mặt cầu S có tâm I 2;1;4 .
Vậy chọn phương án C. Câu 7.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 3y z 1 0 . Điểm nào
dưới đây không thuộc mặt phẳng P ? Trang 8 A. B1;2; 8 .
B. C 1;2;7 . C. A0;0; 1 .
D. D1;5;18 . Lời giải
Lần lượt thay tọa độ các điểm B; C ; A; D vào phương trình mặt phẳng P . Ta thấy tọa độ
điểm B không thỏa mãn phương trình mặt phẳng P .
Vậy chọn phương án A. Câu 8.
Cho số phức z 2 11i . Xác định phần thực của z . A. 2 11i . B. 11. C. 11i . D. 2 . Lời giải
Số phức z a bi có a là phần thực.
Vậy phần thực của số phức z 2 11i bằng 2 . Câu 9.
Số nghiệm của phương trình log x 1 log x 4 là 0,1 A. Vô số. B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là x 1 .
Ta có: log x 1 log x 4 x x 1 log 1 log 4
x x 1 1 4 0,1 5 13 x nhaän 1 x 1 2 2
x 5x 3 0 . x 4 5 13 x loaïi 2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm. 1
Câu 10. Cho a , b là các số dương và log x 2 log a log b . Biểu thị x theo lũy thừa của a và b . 2 2 2 3 1 1 1 A. 3 x ab . B. 2 3 x a b . C. 2 x a 2 . D. 2 3 x a b . Lời giải 1 1 1 Ta có 2 3
2 log a log b log a log b 2 3 log a b . 2 2 2 2 3 2 1 1 1 Do đó 2 3
log x 2 log a log b log x log a b 2 3
x a b . 2 2 2 2 2 3 1 Vậy 2 3 x a b .
Câu 11. Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là A. 4 A . B. 4 3 A A . C. 4 A . D. 4 3 C C . 10 10 9 9 10 9 Lời giải Cách 1
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcd với a 0 , 0 a , b , c , d 9 , a , b , c, d . Trang 9
a 0 nên a có 9 cách chọn.
Sau khi đã chọn a thì b có 9 cách chọn.
Tiếp theo c có 8 cách chọn và cuối cùng d có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có 9.9.8.7 4536 cách chọn bộ 4 chữ số a, b, c, d đôi một khác nhau.
Do đó có 4536 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau . Kiểm tra đáp án thấy 4 3
A A 4536 nên chọn phương án B. 10 9 Cách 2
Số cách chọn các bộ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là: 4 A cách. 10
Số cách chọn các bộ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
mà có chữ số 0 đứng đầu tiên là: 3 A cách. 9
Do đó số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là 4 3 A A . 10 9
Vậy phương án B là đúng. 20 2
Câu 12. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 3 3x , x 0 . x A. 15 5 15 C .3 .2 . B. 15 15 C .2 . C. 5 15 3 .2 . D. 15 C . 20 20 20 Lời giải 20 20 k 2 20 20k k 2 Ta có 3 3x C k 60 4k 20k k 3 3x
C x .3 .2 . 20 20 x x k 0 k 0
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn : 60 4k 0 k 15.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 15 5 15 C .3 .2 . 20
Câu 13. Cho hàm số f x 2
x sin x 1. Biết F x là một nguyên hàm của f x và F 0 1. Tìm F x . 3 x
A. F x 3
x cos x x 2 .
B. F x
cos x x . 3 3 x 3 x
C. F x
cos x x 2 .
D. F x cos x 2 . 3 3 Lời giải
+) Do F x là một nguyên hàm của f x , ta có: 3 x
F x f x x 2 d
x sin x 1 dx
cos x x C . 3
Mà F 0 1 C 1 1 C 2 . 3 x
Vậy F x
cos x x 2 . 3 Trang 10 Câu 14. Cho hàm số 3 2
y 2x x 3x 2 . Số điểm cực trị của hàm số là A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Vì 2
y 6x 2x 3 có hai nghiệm phân biệt (nghiệm đơn) và y đổi dấu khi đi qua hai nghiệm
này nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 15. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 2, AD 4 ; SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA 6 . Tính thể tích của khối chóp. A. 8 . B. 16 . C. 24 . D. 48 . Lời giải S A B D C Diện tích đáy: S A . B AD 8 . ABCD 1
Vậy thể tích cần tính là: V S . A S 16 . S . ABCD 3 ABCD 2
Câu 16. Tính đạo hàm của hàm số 1 2x y . 2 2 2
A. 2 2 1 .2x y x . B. x 2 y . x 2 .ln 2 . C. x 1 y 2 .ln 2 . D. 2x y . Lời giải 2 2 2 Ta có 1 2x y
y x 2 2 x 1 1 .2 .ln 2 x 1 2 . x 2 .ln 2 x 2 . x 2 .ln 2 .
Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.
f x dx f x C . B.
cos xdx sin x C . 1 x
C. x dx C, 1 . D. xd x a
x a ln a C 0 a 1 . 1 Lời giải x Ta có x a a dx C 0 a
1 nên phương án D sai. ln a
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho M 2;5;6 . Xác định tọa độ M là hình chiếu
của M lên trục Oz .
A. M 0;5;6 .
B. M 0;5;0 .
C. M 0;0;6 .
D. M 2;0;0 . Lời giải
Tọa độ hình chiếu của M 2;5;6 lên trục Oz là M 0;0;6 . 1
Câu 19. Cho log 5 a . Tính log theo a . 3 729 125 Trang 11 1 1 1 1 A. a . B. a . C. . D. . 2 2 2a 2a Lời giải 1 1 1 Ta có : 3 log log 5 log 5 a . 6 729 3 3 125 2 2 1 1 Vậy log a . 729 125 2
Câu 20. Cho z 3 5i . Tính z . A. 8 . B. 8 . C. 34 . D. 34 . Lời giải Ta có: 2 2
z 3 5i z 3 5 34 . Vậy z 34 .
Câu 21. Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn đáy R . A. 2 S R h . B. S 2 h . C. S 2 Rh . D. S 2Rh . xq xq xq xq Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ có đường cao h , bán kính đường tròn đáy R là: S 2 R . h xq
Chọn đáp án C.
Câu 22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x 2x 3 tại M 2;7 .
A. y 10x 27 .
B. y 10x 13 .
C. y 7 x 7 .
D. y x 5 . Lời giải Ta có 2
y 3x 2 y2 10 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y x 2x 3 tại M 2;7 , hệ số góc k y2 là:
y 10 x 2 7 y 10x 13.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 10x 13 . Chọn đáp án B.
Câu 23. Hình lăng trụ tứ giác đều có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? A. 4 . B. 8 . C. 6 . D. 2 . Lời giải
Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng và có hai đáy là hình vuông. Do đó hình lăng trụ
tứ giác đều có 4 mặt bên là hình chữ nhật và hai đáy là hình vuông.
Vậy hình lăng trụ tứ giác đều có 6 mặt là hình chữ nhật.
Chọn đáp án C. Trang 12
Câu 24. Cho hai số phức z 1 2i , z 2 6i . Tính z .z . 1 2 1 2 A. 1 0 2i .
B. 2 12i . C. 14 10i . D.14 2i . Lời giải
Ta có z .z 1 2i
2 6i 14 2i . 1 2 Chọn đáp án D.
Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;3 3; .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 3; .
C. Hàm số đồng biến trên đoạn 1 ; 2 . 5
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . 2 Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng 2;3 . 5
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 2; . 2 Chọn đáp án D.
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y 2z 5 0 và điểm
M 0; 2; 4 . Tính d M ,P . 1 1 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Lời giải 0 2.2 2.4 5 1
Ta có d M ,P . 2 2 2 3 1 2 2 Chọn đáp án A.
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB 2a, AC 3a , SA vuông góc với
ABC , SA 5a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . a 38 a 38 A. R .
B. R a 38 . C. R 38 . D. R . 4 2 Lời giải Trang 13
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SA .
Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Dựng đường thẳng d qua M và d vuông góc với ABC . d ABC Ta có d // SA . SA ABC
Trong mặt phẳng S ,
A d kẻ đường trung trực của SA , qua N và cắt d tại I .
Do I d IA IB IC 1 .
Mà I IS IA 2 . Từ
1 và 2 suy ra IA IB IC IS .
Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và IA IB IC IS R .
Trong tam giác ABC vuông tại A , ta có: BC a 13 2 2 2 2 BC
AB AC 4a 9a a 13 AM . 2 2 a 13
Do tứ giác ANIM là hình chữ nhật, suy ra NI AM . 2 2 2 13a 25a a 38
Xét tam giác AIN vuông tại N . Có 2 2 IA NI NA . 4 4 2 a 38 Vậy R . 2
Công thức tính nhanh:
Tổng quát: Cho hình chóp SABC có SA ABC . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình 2 h
chóp S.ABC được tính bởi công thức: 2 R r . 4
Trong đó: r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, h là chiều cao của hình chóp. Trang 14 BC a 13
Theo giả thiết ta có r
, h SA 5a . 2 2 2 2 13a 25a a 38 Vậy R . 4 4 2
Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , xác định tọa độ giao điểm M của đường thẳng x 1 y 1 z 5 :
với mặt phẳng P :2x y z 11 0 . 2 3 4 A. M 1 ;1; 5 . B. M 4 ; 0; 3 .
C. M 1; 4; 9 .
D. M 0;0; 1 1 . Lời giải x 1 2t
Đường thẳng có phương trình tham số là: y 1 3t , t . z 5 4t
Do M M 1 2t ;1 3t ; 5 4t .
Mà M P 21 2t 1 3t 5
4t 11 0 t 1.
Với t 1 M 1;4; 9 .
Vậy M 1; 4; 9 .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Tam giác ABC đều cạnh bằng
a 3 , tam giác SAC cân. Tính khoảng cách h từ A đến SBC . 3a a 3 a a 3 A. h . B. h . C. . D. h . 7 4 7 7 Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC . Kẻ AH SM H SM (1) .
BC SA do SA ABC Ta có
BC SAM BC AH (2).
BC AM ( do A BC ®Òu)
Từ 1,2 AH SBC h AH . Trang 15 3 3a
Vì ABC đều cạnh a 3 AM a 3. . 2 2 Vì S
AC cân mà SA AC SA AC a 3 . 1 1 1 1 4 7 3a
Xét SAM vuông tại A có: AH . 2 2 2 2 2 2 AH SA AM 3a 9a 9a 7 3a Vậy h . 7
Câu 30. Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng 2 . Tính thể tích khối nón. 3 3 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 6 6 Lời giải S B A O
Gọi thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều SAB , O là trung điểm của AB .
Suy ra độ dài đường sinh bằng l SA SB 2 , chiều cao của hình nón bằng h SO 3 , bán AB kính đáy r 1 . 2 1 1 3
Vậy thể tích khối nón : 2 2
V r h 1 3 . 3 3 3
Câu 31. Cho hàm số y f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ . Biết H có diện tích bằng 7 1
(đvdt) , H có diện tích bằng 3 (đvdt). 2 Trang 16 1 Tính 2 I
(2x 6) f (x 6x 7)dx 2 A. 11 (đvdt). B. 4 (đvdt). C. 1 (đvdt). D. 10 (đvdt). Lời giải 1 1 S f (x)dx
f (x)dx 7 H 1
Dựa vào đồ thị ta thấy 1 1 . 2 2 S f x x f x x H ( )d ( )d 3 2 1 1 1 Xét 2 I
(2x 6) f (x 6x 7)dx . 2 Đặt 2
t x 6x 7 dt (2x 6)dx . x 2 t 1 Đổi cận : . x 1 t 2 2 2 1 2 Khi đó I f (t)dt
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx 7 (3) 4 (đvdt). 1 1 1 1 Vậy I 4 . 2 3i
Câu 32. Cho z
. Xác định số phức liên hợp z của z . 4 2i 2 8 7 2 1 2 14 2 A. z i . B. z i . C. z i . D. z i . 10 20 10 5 10 5 20 5 Lời giải 2 3i
2 3i4 2i 8 4i 12i 6 14 8i 7 2 7 2 Ta có: z i z i . 4 2i
4 2i4 2i 2 2 4 2 20 10 5 10 5 7 2 Vậy z i . 10 5 x 1 2t
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d y 1 t ; t . Đường thẳng
z 5 3t
d có một vec tơ chỉ phương là
A. u 2;1; 3 . B. u 2; 1 ; 3 .
C. u 1;1;5 .
D. u 2; 1 ;3 . Lời giải
Đường thẳng d có một vec tơ chỉ phương là u 2; 1 ;3 .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình 15.25x 34.15x 15.9x 0 là 3 5 3 5 A. ; 1 1; . B. ; . C. 1 ; 1 . D. ; ; . 5 3 5 3 Trang 17 Lời giải Ta có: 15.25x 34.15x 15.9x 0 x 5 5 x x 2 x x 25 15 5 5 3 3 x 1 15. 34. 15 0 15. 34. 15 0 . 9 9 3 3 x 5 3 x 1 3 5
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ; 1 1; .
Câu 35. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên ? x 1 A. 3 2
y x x x 1 . B. y x . C. y .
D. y log x . x 2 3 Lời giải ax b
Dễ nhận thấy dạng đồ thị cho trong bài là của hàm số dạng y . cx d
Vậy đáp án là phương án C.
Câu 36. Tìm m để đồ thị hàm số 3
y x m 2
2 x m 5 x 4 có hai điểm cực trị nằm khác phía với trục hoành. m 4 m 3
A. m 3 . B. . C. m 3 . D. m 4 . m 5 m 5 Lời giải
Tập xác đinh: D .
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox là: 3
x m 2
2 x m 5 x 4 0 1 x 2
1 x m 1 x 4 0 x 1 . 2
x m 1 x 4 0 2
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía với trục hoành phương trình 1 có 3
nghiệm phân biệt phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 1 2 m 4 2
m 2m 15 0 2 m 3 . 1
m 1 4 0 m 5 Trang 18
Vậy chọn phương án A.
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB cân tại S và 3 4a
(SAB) vuông góc với ( ABC )
D . Giả sử thể tích của khối chóp S.ABCD là . Gọi là góc 3
tạo bởi SC và (ABC )
D . Tính cos . 3 30 14 5 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 6 4 3 Lời giải S 2a A D H 2a B C
+) Gọi H là trung điểm của AB . Vì S
AB cân tại S nên SH AB .
SAB ABCD +) Ta có
SAB ABCD AB SH ABCD .
SH AB, SH SAB 3 4a 3. 1 3V +) S . V SH. ABCD 3 S SH a . S .ABCD ABCD 2 3 S 4a ABCD HC
+) HC là hình chiếu của SC lên mp ABCD nên SC HC ;
SCH cos . SC a 5 30 +) 2 2 2 2 HC
HB BC a 5; SC
SH HC a 6 . Suy ra cos . a 6 6 30 Vậy cos . 6
x 3 x 4
Câu 38. Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . 2
2x 5x 2 2 x 16 A. 3. B. 2. C. 5. D. 4. Lời giải x 3 0
+) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
2x 5x 2 0 2 x 16 0 Trang 19 x 3 x 2 1 x
x 4 . Suy ra tập xác định của hàm số là D 4; . 2 x 4 x 4 x 3. x 4 +) lim y lim
x 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x x 2 4 4
2x 5x 2 x 4
x 3 x 4 +) lim y lim
0 (vì bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu) y 0 là tiệm x x 2
2x 5x 2 2 x 16
cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng 2.
Câu 39. Cho phương trình 2 log 2
x 4 2m 1 log 2
x 4 4 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của 2 2
tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.
A. m 1; 2 . B. Vô số m .
C. m 2;3 .
D. Không tồn tại m . Lời giải Xét phương trình 2 log 2
x 4 2m 1 log 2 x 4 4 0 1 . 2 2
Tập xác định: D . Đặt t log 2
x 4 ,t 2 , phương trình 1 trở thành: 2
t 2m 1 t 4 0 2 . 2
Với mỗi t 2 ta có t log 2 x 4 2 t 2 4 2 2t 4 2t x x x 4 . 2
Với t 2 ta có x 0 .
Do đó, phương trình
1 có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có hai
nghiệm phân biệt t , t thỏa mãn t 2 , t 2 . 1 2 1 2 3
Thay t 2 vào phương trình 2 ta được: 2 2 2m
1 .2 4 0 m . 1 2 3
Thử lại: với m
, phương trình 2 trở thành: 2
t 4t 4 0 t 2 (không thỏa mãn). 2
Vậy không có giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 7
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x f 10 x, x . Biết
f x dx 4 . 3 7
Tính I xf x dx 3 A. I 40 . B. I 80 . C. I 60 . D. I 20 . Lời giải Trang 20 7 7 7
Ta có 10 x f x dx 10 f x dx xf x dx 40 I 1 . 3 3 3 7 7
Theo bài ra f x f 10 x, x
suy ra: 10 x f xdx 10 x f 10 xdx . 3 3 7 7
1 40 I 10 x f 10 x dx
40 I tf t dt 3 3 7
40 I xf x dx
40 I I I 20 . 3 Vậy I 20 . 10
Câu 41. Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z
2 i . Khẳng định nào sau đây là đúng? z 1 3 1 3 A. z . B. z 2 . C. z 2 . D. z ; . 2 2 2 2 Lời giải 10
Ta có 1 2i z
2 i z 2 2 z 1 i.z 10 z .
Lấy mô đun 2 vế ta được 2
z 1 thoûa maõn 2 2 4 2
z 2 2 z
1 . z 10 5 z 5 z 10 0 . 2
z 2 khoâng thoûa maõn z 1. 1 3 Vậy z ; . 2 2
Câu 42: Cho miếng bìa hình chữ nhật ABCD có AB 6, AD 9 . Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho
AE 3. Gọi F là trung điểm của BC . Cuốn miếng bìa sao cho AB trùng CD để tạo thành một
hình trụ. Tính thể tích của tứ diện ABEF . 81 3 81 3 81 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 2 4 4 2 4 Lời giải Trang 21
Khi cuốn miếng bìa sao cho AB trùng CD để tạo thành một hình trụ thì chu vi đáy của hình 9
trụ là 9 , bán kính đáy là R
và chiều cao của hình trụ là AB 6 . 2
Gọi G là hình chiếu của E lên đáy dưới của hình trụ, H là hình chiếu của F lên đáy trên của
hình trụ. Ta có AH là đường kính của hình trụ và tam giác AHE vuông tại E có AHE 60 , 1 9 HE AH R . 2 2 1 81 3
Diện tích tam giác AHE là S
AH.HE.sin 60 . 2 2 8 6.81. 3 243 3
Thể tích khối lăng trụ đứng AEH.BGF là V . 2 2 8 4 1 81. 3
Thể tích khối tứ diện ABEF bằng thể tích khối tứ diện GBEF và bằng V . 2 3 4 81. 3
Vậy thể tích của tứ diện ABEF là . 2 4
Câu 43. Có bao nhiêu số nguyên m 100 để hàm số y 6sin x 8cos x 5mx đồng biến trên ? A. 100 số. B. 99 số. C. 98 số. D. Đáp án khác. Lời giải
Xét hàm số hàm số y 6sin x 8cos x 5mx . Trang 22 Tập xác định: .
Ta có y 6 cos x 8sin x 5m .
Hàm số đã cho đồng biến trên y 0 , x
5m 6
cos x 8sin x , x 1 . Cách 1: 2 2 2 Ta lại có: x
x 2 2 6 cos 8sin 6 8
sin x cos x 100 , x 1 0 6
cos x 8sin x 10 , x . Do đó
1 5m 10 m 2 .
Kết hợp với điều kiện m 100 ta được 2 m 100 .
Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. Chọn đáp án B. Cách 2: Ta có: 6
cos x 8sin x 1
0 sin x . Mà 1
sin x 1 , x Suy ra: 1 0 1
0 sin x 10 , x .
Hàm số đã cho đồng biến trên y 0 , x
5m max 6
cos x 8sin x .
5m 10 m 2 .
Kết hợp với điều kiện m 100 ta được 2 m 100 .
Vậy có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Câu 44. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S . Xác suất
để số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7 ( làm tròn đến chữ số hàng nghìn) có dạng 0, abc . Tính 2 2 2
a b c . A. 15 . B. 10. C. 17 . D. 16 . Lời giải Cách 1
Số phần tử của không gian mẫu là: n 6 9.10 .
Gọi A là biến cố: “Số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7”.
Gọi số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3 là: a a a a a a 3 Ta có: 1 2 3 4 5 6
a a a a a a 3 10.a a a a a a 3 3.a a a a a a 7.a a a a a a 3 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
3.a a a a a a 3 7 . 1 2 3 4 5 6 k
Đặt: 3.a a a a a a 3 7k k a a a a a a 2k 1 là số nguyên nên 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3
k 3mm . Khi đó : a a a a a a 7m 1. 1 2 3 4 5 6 Trang 23 100000 999999
Do đó: 100000 7m 1 999999 m . 7 7
Do m m 14286;14287;...;14285
7 hay có 128572 giá trị của m , tức là có 128572 số
tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3.
Suy ra n A 128572 . n A 128572
Xác suất của biến cố A là: P A 0, 014 . n 6 9.10
Suy ra: a 0; b 1; c 4 . Vây 2 2 2
a b c 17 . Cách 2
Số phần tử của không gian mẫu là: n 6 9.10 .
Gọi A là biến cố: “Số lấy được có tận cùng là 3 và chia hết cho 7”.
Gọi X là số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận cùng bằng 3, suy ra: X 7.Y9
( với Y 9 là số có chữ số tận cùng bằng 9). Ta có:
1000000 X 9999999 142858 Y 9 1428571 142858 10Y 9 1428571
14285 Y 142856 .
Do đó có 142856 14285 1 128572 số tự nhiên có 7 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số tận
cùng bằng 3. Suy ra n A 128572 . n A 128572
Xác suất của biến cố A là: P A 0, 014 . n 6 9.10
Suy ra: a 0; b 1; c 4 . Vậy 2 2 2
a b c 17 . x 1
Câu 45. Đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y
tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó độ dài x 2
đoạn thẳng AB bằng A. AB 8 . B. AB 4 . C. AB 2 2 . D. AB 6 . Lời giải x 1
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y x 1 và đồ thị hàm số y : x 2 x 1 x 1
, x 2 x
1 x 2 x 1, x 2 2
x 2x 1 0 , x 2 * . x 2 Cách 1: x 1 2 * (thỏa x 2 ). x 1 2 Trang 24
Khi đó tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: A1 2;2 2, B 1 2;2 2 . 2 2
Độ dài AB 2 2 2 2 4 . Cách 2: Ta có: 2 Δ 2 4 8 0 .
Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình * . 1 2
Khi đó A x ; x 1 , B x ; x 1 , AB x x ; x x 2 1 2 1 1 1 2 2 Δ AB
2 x x 2 2 x x 2 2. 8 4 . 2 1 1 2 a x x 2 Cách 3: Dùng Viet 1 2 . x .x 1 1 2
Độ dài đoạn AB là: AB
2 x x 2 2 x x 2 2 4x x 2 2 4 1 4 . 1 2 1 2 1 2 Vậy AB 4 .
Câu 46. Cho hàm số y f x 2 m x x 2 4 4
2 16 x 3m 2 . Tổng các giá trị của tham số
m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 13 là 7 3 4 A. . B. C. . D. 1. 4 4 7 Lời giải Cách 1:
y f x 2 m x x 2 4 4
2 16 x 3m 2 .
Điều kiện xác định x 4 ; 4 . 2 +) Nhận xét với x
4; 4 ta có 0 4 x 4 x 24 x 4 x 0
4 x 4 x 4 , x
4; 4 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 . +) Mặt khác 2
0 16 x 4 , x
4; 4 và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 .
+) Từ đó, f x 2 m x x 2 2 4 4
2 16 x 3m 2 4m 8 3m 2 , x 4; 4
max f x f 0 2
4m 3m 6 . x 4;4 Theo giả thiết ta có 2 2
4m 3m 6 13 4m 3m 7 0 . Dễ thấy phương trình này luôn có hai 3
nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm là . 4 Trang 25 3
Vậy tổng các giá trị của tham số m cần tìm là . 4 Cách 2:
Xét hàm số y f x 2 m x x 2 4 4
2 16 x 3m 2 có tập xác định D 4 ; 4 .
Đặt t 4 x 4 x, x 4
; 4 suy ra 2 2 t 4 và 2 2
2 16 x t 8 .
Khi đó y f x g t 2 2
t m t 3m 1 0 , t 2 2 ;4 . Ta có g t 2
2t m 0, t 2 2 ;4
gt đồng biến trên đoạn 2 2 ;4
max f x max g t g 2
4 4m 3m 6 . 4;4 2 2 ; 4 Theo giả thiết ta có 2 2
4m 3m 6 13 4m 3m 7 0 . Dễ thấy phương trình này luôn có hai 3
nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm là . 4 3
Vậy tổng các giá trị của tham số m cần tìm là . 4
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
S x 2 y 2 z 2 : 1 2 1 49 và mặt phẳng : 2
mx 3 2m y 2m
1 z 2m 2 0 ( m là tham số). Mặt phẳng cắt S theo
một đường tròn có diện tích nhỏ nhất là 8974 3 5 3 5 A. . B. . C. . D. Đáp án khác. 96 14 14 Lời giải Cách 1:
+ Mặt cầu S có tâm I 1;2;
1 và bán kính R 7 .
+ Mặt phẳng cắt S theo một đường tròn C có tâm H , bán kính r , diện tích S .
+ Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng . Ta có: 2 2 2 S r
R d suy ra đường tròn C có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 d lớn nhất.
2m 3 2m 2 2m 1 2 2 1 2m 2
36m 60m 25 + Ta có 2 d . 2
m2 3 2m2 2m 2 2 1 12m 16m 10 2
36m 60m 25
+ Xét hàm số f m ;m . 2 12m 16m 10 2
144m 120m 200
* f m .
12m 16m 102 2 Trang 26 5 m 6 * f m 2
0 144m 120m 200 0 . 5 m 3 * Bảng biến thiên: 2
d đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi f m đạt giá trị lớn nhất. 45 5 45
Từ bảng biến thiên của hàm số y f m suy ra max f m khi m hay 2 max d 14 3 14 641
khi đó S 2 2 R d . 14 641
Vậy diện tích nhỏ nhất của đường tròn là . 14 Cách 2:
+ Mặt cầu S có tâm I 1;2;
1 và bán kính R 7 . + M ;
x y; z là điểm thuộc mặt phẳng với mọi m khi và chỉ khi 2
mx 3 2m y 2m
1 z 2m 2 0, m
2x 2y 2z 2 m 3y z 2 0, m
2x 2 y 2z 2 0 . 3
y z 2 0
x y z 1 0
Suy ra luôn đi qua đường thẳng cố định : .
3y z 2 0
+ Xét n 1;1; 1 , n 0;3; 1 u n , n 2;1;3 là vec tơ chỉ phương của đường thẳng 1 2 1 2 .
đi qua điểm M 1 ;0; 2
+ Ta có MI 2; 2
;1 MI ,u 5; 4; 2 .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên . MI, u 5 42 22 2 45
IK d I , R 2 2 2 u 14 2 1 3 Trang 27
K nằm trong mặt cầu S .
+ Giả sử cắt S theo đường tròn C có tâm là H , bán kính r .
Diện tích hình tròn C là 2 2 2 S
r R d I . C ; S
nhỏ nhất khi và chỉ khi d I; lớn nhất. C 45
Mặt khác d I, IK , đẳng thức xảy ra khi IK max d I; IK , khi đó 14 45 641 2 S 7 . C 14 14 641
Vậy diện tích nhỏ nhất của đường tròn là . 14 1
Câu 48. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 2
; 2 và 2 f x 3 f x , x 2; 2. 2 x 4 2 Tính I
f xdx . 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 10 10 20 20 Lời giải 1 2 2 2 1
+ Ta có 2 f x 3 f x , x
2; 2, suy ra 2 f xdx 3 f xdx dx 2 x 4 2 x 4 2 2 2 2 2 2 1 2
f xdx 3 f xd x dx 2 x 4 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2
f xdx 3 f xdx dx 2
f xdx 3 f xdx dx 2 x 4 2 x 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5
f xdx dx 2 x 4 2 2 2 1 1 I d x . 2 5 x 4 2 2 1 + Tính A dx . 2 x 4 2 Đặt x t x 2 2 tan d
2 1 tan t dt , t ; . 2 2
x 2 t 4 Đổi cận: Khi đó, ta có
x 2 t . 4 4 4 1 A 2 1 2 1 tan t dt dt . 2 4 tan t 4 2 4 4 4 2 Vậy
f xdx . 20 2 Trang 28
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt đáy ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AO . Mặt phẳng SBC tạo với mặt
đáy một góc 45 . Tính khoảng cách giữa SD và AC . a 38 a 51 3a 34 A. . B. . C. a 13 . D. . 17 13 3 34 Lời giải S E D C d K O H I A B
Gọi H là trung điểm của AO SH ABCD .
Dựng HI vuông góc với BC tại I . Ta có góc giữa SBC và ABCD là góc SIH .
Từ giả thiết SIH 45 .
Trong mặt phẳng ABCD , dựng đường thẳng d đi qua điểm D và song song với đường thẳng AC .
Gọi là mặt phẳng chứa d và SD // AC d AC, SD d AC, ( ) d H, ( ) .
Dựng HK vuông góc với d tại K , dựng HE vuông góc với SK tại E . d HK Ta có
d SHK d HE . Lại có HE SK HE d H , () HE . d SH HI CH 3 3 3a
Trong tam giác ABC ta có: HI AB . AB CA 4 4 4 3a
Trong tam giác SHI ta có : SH HI tan 45 HI . 4 a 2
Tứ giác ABCD là hình vuông nên AC BD HK // BD HK OD . 2 3a a 2 . SH .HK 3a 34
Trong tam giác SHK ta có : 4 2 HE . 2 2 2 2 34 SH HK 9a 2a 16 4 3a 34
Vậy d AC, SD . 34
Câu 50. Cho mặt cầu 2 2 2
(S) : x y z 2x 2 y 2z 0 . Điểm A2;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng
OAB biết điểm B là một điểm thuộc mặt cầu S , có hoành độ dương và tam giác OAB đều.
A. x y 2z 0 .
B. x y 2z 0 .
C. x y z 0 .
D. 2 y z 0 . Lời giải Trang 29 + Gọi B ; x ;
y z , với x 0 và H trung điểm OA H 1;1;0 .
+) Gọi P là mặt phẳng trung trực đoạn OA . Ta có P đi qua trung điểm H 1;1; 0 của đoạn
OA và nhận OA 2; 2;0 là một vectơ pháp tuyến.
Suy ra phương trình P là : 2. x 1 2. y
1 0 x y 2 0 . B P OB AB
x y 2 0 +) Ta có 2 2
OB OA OB 2 2 2
OA x y z 8 B S B S 2 2 2
x y z 2x 2 y 2z 0 x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 2 2 2 2 2
x y z 8 x y 4 x y2 2xy 4 xy 0
2x 2y 2z 8 z 2 z 2 z 2 x 2
y 0 B(2;0;2) , (do x 0 ). z 2
+) Ta có OA 2; 2;0;OB 2;0;2 O ,
A OB 4;4; 4 41; 1 ; 1 .
Mặt phẳng OAB đi qua O, nhận n 1; 1; 1 là một vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình OAB là: x y z 0 .
---------------HẾT-------------- Trang 30
Document Outline
- de-thi-thu-tot-nghiep-thpt-2020-mon-toan-lan-2-truong-thpt-chuyen-ha-long-quang-ninh
- halog