Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán trường THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021 môn Toán trường THPT Lê Quý Đôn – Hà Nội.
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 TRƯỜNG THPT Bài thi: TOÁN
LÊ QUÝ ĐÔN – ĐỐNG ĐA
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI THỬ
(Đề thi gồm có 06 trang) Mã đề thi
Họ và tên thí sinh:.............................................................................. SBD:..................... 1
Câu 1. Đồ thị hàm số y f (x)
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x 3x 2 A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2. Nghiệm của phương trình log 2x 1 3 là 3
A. x 26
B. x 13
C. x 4 D. x 8
Câu 3. Cho hàm số y f (x) xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào? x – ∞ – 1 2 + ∞ y' – 0 + 0 – + ∞ 4 y – 2 – ∞ A. ; 1
B. 2; C. 1 ; 2 D. 2 ; 4
Câu 4. Cho a 0; a 1 , tính 3 log (4a ) ? a 1 1 A. log 4
B. 3 2 log 2 C. log 4 D. 3 2 log 2 3 a a 3 a a
Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 ( ) x f x e ? 3x 1 e 1 A.
f (x)dx C B. 3 ( ) x f x dx e C 3x 1 3 C. 3 ( ) x
f x dx e C D. 3 ( ) 3 x f x dx e C
Câu 6. Cho a 0 , tính 3 . a a ? 1 3 1 2 A. 2 a B. 2 a C. 6 a D. 3 a
Câu 7. Đồ thị hàm số 4 2
y x 3x 2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y log x , với x 0 5 1 1 ln 5 1 A. y B. y C. y D. y . x ln 5 x x log x 5 Trang 1/6
Câu 9. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? x 1 x 1 A. y B. y x 1 x 1 x 1 x 1 C. y D. y x 1 x 1
Câu 10. Cho cấp số cộng u có số hạng đầu và số hạng thứ tư lần lượt là 2; 14. Tìm công sai d ? n A. d 4
B. d 3 C. d 3 D. d 4
Câu 11. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5? A. 5 3 B. 3! C. 3 A D. 3 C 5 5
Câu 12. . Cho hàm số y f (x) xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số? x – ∞ -2 -1 2 + ∞ y' + 0 – 0 + 0 – 4 6 y – ∞ 1 – ∞
A. x 2 B. x 1
C. x 1 D. x 2 2
Câu 13. Tập nghiệm của phương trình x 1 2 4 là
A. S 1 B. S 0
C. S 3
D. S 2
Câu 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3
f (x) 4x 2x 1? A. 4 2
f (x)dx x x C B. 4 2
f (x)dx 4x 2x x C 1 1 C. 4 2
f (x)dx x
x x C D. 4 2
f (x)dx x x x C 4 2
Câu 15. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên và có đạo hàm 2 3 4
f '(x) x(x 1) (x 2) (x 3) .
Hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
Câu 16. Tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h 4 . A. 21 B. 12 C. 24 D. 15 2 4
Câu 17. Cho hàm số f ( x) có liên tục trên thỏa mãn 3 f (x) 2sin xdx 8 . Tính f (2x)dx . 0 0 4 8 A. B. 2 C. D. 1 3 3
Câu 18. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y x 9 x . Tính M m ? A. 3 2 3 B. 3 2 3 C. 0 D. 3 2 Trang 2/6
Câu 19. Chọn ngẫu nhiên ba số trong 40 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để ba số được chọn có tổng chia hết cho 3. 127 9 91 31 A. B. C. D. 380 95 380 95
Câu 20. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? 4 3 4 A. 3 4a 3 B. 3 a C. 3 a D. 3 4a 3 3
Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z 3 i 1 2i có tọa độ là A. 3; 4 B. 3 ; 4 C. 4 ;3 D. 4; 3
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ABCD , SA a 3 . Gọi là góc
giữa SA và mặt phẳng SCD . Tính tan . 6 1 A. 1 B. C. D. 3 3 3 2 x 3x 3x
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình tan cot là 9 9
A. S 1; 3 B. S ; 1 3; C. S 1 ; 3
D. S ; 1 3; 2 4 4
Câu 24. Cho hàm số y f (x) liên tục trên thỏa mãn:
f (x)dx 5 ;
f (x)dx 8
. Tính f (x) 3 dx ? 1 1 2 A. 6 B. 9 C. 19 D. 3
Câu 25. Tìm số phức z biết: (1 i)z 3 2i 6 3i
A. 3 2i
B. z 2 i
C. 7 2i D. 2 4i
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2
(S ) : x y z 4x 2 y 6z 2 0 . Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S ) ? A. 4 ; 2 ; 6 B. 2 ; 1 ;3 C. 4; 2; 6 D. 2;1; 3 4
Câu 27. Tính tích phân cos 2xdx ? 0 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2 2
Câu 28. Cho số phức z 1 3i . Tìm môđun của số phức w 3 2i z 1 A. 13 B. 13 C. 10 D. 130
Câu 29. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 4. 64 16 3 A. 64 B. C. 16 3 D. 3 3
Câu 30. Tính thể tích khối trụ biết thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 8. 128 512 A. B. C. 128 D. 512 3 3
Câu 31. Hàm số nào sau đây không có cực trị A. 2
y x 4x 5 B. 4 2
y x 4x 2 Trang 3/6 C. 3 2
y x 2x 3x 1 D. 3 2
y x 3x 2x 3
Câu 32. Tìm mô đun của số phức z 3 4i ? A. 1 B. 5 C. 25 D. 7
Câu 33. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2 x y 5 0 A. 0; 2; 1 B. 2; 1 ; 0 C. 2; 1 ; 5 D. 2;0; 1
Câu 34. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có các đỉnh A1;2;5, B 2; 4;3, C 5 ; 3 ; 2 . Tìm
tọa độ trọng tâm G của ABC ? A. G 2 ;1; 2 B. G 6 ;3;6 C. G 2; 1 ; 2 D. G 6; 3 ; 6
Câu 35. Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A2;1; 1 và vuông góc với x 1 y 2 z 3 đường thẳng ? 2 1 3
A. x 2 y 3z 3 0
B. 2x y 3z 8 0
C. 2 x y 3z 8 0
D. x 2 y 3z 3 0
Câu 36. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : x 2 y z 2 0 ; (Q) : 2 x y 3z 4 0 . Giao
tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng có phương trình
x 2 5t
x 2 5t
x 1 t
x 1 t
A. y 5t B. y 5 t
C. y 1 t
D. y 1 t z 5t z 1 5t z 1 t z 1 t
Câu 37. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 1;1), B(1; 2; 3), C(3; 3; 5) và mặt cầu S có tâm 1 I ( 1
; ; 6), bán kính R 1 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu S , N là điểm thỏa mãn ,
NA NB, NC hợp với 2
mặt phẳng ABC các góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN . A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 e f 2ln x 2
Câu 38. Cho hàm số f x liên tục trên biết: dx 6 và
f cos xsin xdx 8 . Giá trị của x 1 0 2
f x 2dx bằng bao nhiêu? 1 A. 16 B. 0 C. 22 D. 6
Câu 39. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z i 3 và z 5 6i z 7 10i ? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 2a . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng SCD . 4a 2a 2a 4a A. B. C. D. 3 3 5 5 Trang 4/6
Câu 41. Cho hàm số y f x có đồ thị của đạo hàm
y f x như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm x 2 2
số g x f x trên 3 ; 4 ? 2 1 25 A. f (1) B. f ( 3 ) 2 2
C. f (0) 2 D. f (4) 2
Câu 42. Người ta xây một sân khấu với sân có dạng
của hai hình tròn giao nhau (tham khảo hình vẽ). Bán
kính của hai hình tròn là 30m và 40m . Khoảng cách
giữa hai tâm của hai hình tròn là 50m . Chi phí làm
mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là
50 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần
còn lại là 20 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân
khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 235 triệu B. 196 triệu C. 164 triệu D. 177 triệu
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC 2a , BD 2 3a , SO ABCD . a 3
Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC bằng
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. B. C. D. 3 6 12 4
Câu 44. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I 2;3; 4 và đi qua điểm M 1;1; 2 có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. x 1 y
1 z 2 9 B. x 1 y
1 z 2 3 2 2 2 2 2 2
C. x 2 y 3 z 4 9
D. x 2 y 3 z 4 3
Câu 45. Có bao nhiêu số bộ số ; x y trong đó ;
x y nguyên dương, không vượt quá 2021 và thỏa mãn bất y x 3
phương trình: (xy 3x 2 y 6) e 10 (2xy 5x 2y 5) log 3 y 6 A. 8076 B. 4038 C. 2019 D. 6057 x
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a trong khoảng 0;20 21 sao cho phương trình 2
2 a(x log a) 2
có nghiệm x [3; ) . A. 1987 B. 1993 C. 1989 D. 1991
Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn
z 1 i 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2 z 5 4i z 9 5i A. 8 2 B. 8 3 C. 7 3 D. 7 2 Trang 5/6 2 2 2 x 4 y 6 z 2
Câu 48. Cho mặt cầu (S ) : x
1 y 2 z 1
3 và đường thẳng : . Từ điểm 6 2 1
M kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S ) và gọi (C ) là tập hợp các tiếp điểm. Biết khi diện tích hình phẳng
giới hạn bởi (C ) đạt giá trị nhỏ nhất thì (C ) thuộc mặt phẳng x by cz d 0 . Tìm b c d ? A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
Câu 49. Cho y f (x) là một hàm số bậc 3 có đồ thị (C ) như
hình vẽ. Tiếp tuyến của (C ) tại M (4; 2) cắt đồ thị hàm số tại
điểm thứ hai N (1;1) . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) 3 125
và tiếp tuyến (Phần tô đậm) bằng . Tính f (x)dx 12 1 10 14 A. B. 3 3 94 46 C. D. 15 15
Câu 50. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên và số thực k thỏa
mãn f (2) k 0 . Giả sử đạo hàm y f (
x) có đồ thị như hình vẽ
và hàm số y f (x) k có 7 điểm cực trị và. Phương trình 3
f (x 3x) k 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng 2 ; 2 . A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
------------- HẾT ------------- Trang 6/6 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.A 9.D 10.D 11.C 12.B 13.A 14.D 15.C 16.D 17.B 18.A 19.A 20.C 21.D 22.C 23.A 24.B 25.B 26.D 27.B 28.A 29.C 30.C 31.C 32.B 33.B 34.A 35.B 36.C 37.D 38.D 39.B 40.A 41.A 42.C 43.A 44.C 45.B 46.C 47.A 48.B 49.D 50.B
LỜI GIẢI CHI TIẾT 1 Câu 1.
Đồ thị hàm số y = f (x) =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x − 3x + 2 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D
Điều kiện xác định: x 1; x 2 1 1 Ta có lim = lim
= 0 Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang: y = 0 . 2 2 x→+ − 3 + 2 x x x
→− x − 3x + 2 1 1 Ta có lim = − ; lim
= + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x =1. + 2 − 2 x 1 → − + x 1 x 3x 2 → x − 3x + 2 1 1 Ta có lim = + ; lim
= − Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x = 2 . + 2 − 2 x→2 − + x→2 x 3x 2 x − 3x + 2
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận. Câu 2.
Nghiệm của phương trình log (2x +1) = 3 là 3
A. x = 26 . B. x =13.
C. x = 4 .
D. x = 8. Lời giải Chọn B − Điều kiện xác định 1 x . 2
log (2x +1) = 3 2x +1 = 27 x = 13( ) tm . 3
Vậy phương trình có nghiệm x =13.
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. (− ; 1 − ) . B. (2; +) . C. (−1; 2) . D. (−2; 4) . Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 2) .
Câu 4. Cho a 0; a 1, tính 3 log (4a ) . a 1 1 A. − log 4 . B. 3 − 2 log 2 . C. + log 4 . D. 3 + 2 log 2 . 3 a a 3 a a Lời giải Chọn D Ta có 3 3 2
log (4a ) = log (a ) + log (4) = 3 + log (2 ) = 3 + 2log (2) . a a a a a Câu 5.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 e x f x . Trang 7/25 - WordToan 3x 1 e 1 A. f x dx C . B. 3 d e x f x x C . 3x 1 3 C. 3 d e x f x x C . D. 3 d 3e x f x x C . Lời giải Chọn B x 1 Ta có 3 3 d e d e x f x x x C. 3 Câu 6. Cho a 0, tính 3 . a a . 1 3 1 2 A. 2 a . B. 2 a . C. 6 a . D. 3 a . Lời giải Chọn A 1 1 1 3 1 3 3 Với a 0, ta có 3 2 2 2 . a a . a a a a . Câu 7. Đồ thị hàm số 4 2 y x 3x
2 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm? A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 y x 3x 2 và trục hoành là 2 x 1 x 1 4 2 x 3x 2 0 . 2 x 2 x 2
Mỗi giá trị x tương ứng với một giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
Vậy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm. Câu 8.
Tính đạo hàm của hàm số y log x, với x 0. 5 1 1 ln 5 1 A. y . B. y . C. y . D. y . . x ln 5 x x log x 5 Lời giải Chọn A Với 1 x 0, ta có y log x . 5 x ln 5 Câu 9.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? −x −1 x +1 −x +1 x −1 A. y = y = y = y = x − . B. 1 x − . C. 1 x + . D. 1 x + . 1 Lời giải Chọn D
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = a 0 , tiệm cận đứng là x = b 0.
Xét đáp án A, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1 nên loại.
Trang 8/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
Xét đáp án B, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =1 nên loại.
Xét đáp án C, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1 nên loại.
Xét đáp án D, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1, tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 − nên chọn.
Câu 10. Cho cấp số cộng (u
có số hạng đầu và số hạng thứ tư lần lượt là 2; 14. Tìm công sai d ? n ) A. d = 4 − . B. d = 3. C. d = 3 − . D. d = 4 . Lời giải Chọn D
u = u + 3d 14 = 2 + 3d d = 4 . 4 1
Câu 11. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 2; 3; 4; 5 ? A. 5 3 . B. 3!. C. 3 A . D. 3 C . 5 5 Lời giải Chọn C
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5. Vậy có 3 A số. 5
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số? A. x = 2 . B. x = 1 − . C. x =1. D. x = 2 − . Lời giải Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, điểm cực tiểu của hàm số là x = 1 − . +
Câu 13. Tập nghiệm của phương trình 2 x 1 2 = 4 là
A. S = 1 . B. S = 0 .
C. S = 3.
D. S = 2 . Lời giải Chọn A 2 2 + + Ta có x 1 x 1 2 2 2 2 = 4 2
= 2 x +1 = 2 x =1 x = 1 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 1
Câu 14. Tìm họ nguyện hàm của hàm số 3
f (x) = 4x − 2x +1? A. 4 2
f (x)dx = x − x + C . B. 4 2
f (x)dx = 4x − 2x + x + C . 1 1 C. 4 2 f (x)dx = x − x + x + C . D. 4 2
f (x)dx = x − x + x + C . 4 2 Lời giải Chọn D x x Ta có f x dx = ( x − x+ ) 4 2 3 4 2 ( ) 4 2 1 dx = 4. − 2.
+ x + C = x − x + x + C . 4 2
Câu 15. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên và có đạo hàm 2 3 4
f '(x) = x(x −1) (x − 2) (x − 3) . Hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C. 2 . D.1. Lời giải Chọn C Trang 9/25 - WordToan x = 0 x =1 = − − − = Ta có 2 3 4 f '(x)
x(x 1) (x 2) (x 3) 0 . x = 2 x = 3 Bảng biến thiên
Vậy hàm số f (x) có 2 điểm cực trị.
Câu 16. Tính diện tích xung quanh của một hình nón có bán kính đáy r = 3và chiều cao h = 4 . A. 21 . B.12 . C. 24 . D.15 . Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 2 l =
r + h = 3 + 4 = 5 .
Diện tích xung quanh của hình nón: S
= rl = .3.5 =15 . xq 2 4
Câu 17. Cho hàm số f ( x) liên tục trên
thỏa mãn (3 f (x) + 2sin x)dx = 8 . Tính f (2x)dx. 0 0 4 8 A. . B. 2 . C. . D. 1. 3 3 Lời giải Chọn B Ta có 2
8 = (3 f (x) + 2sin x) 2 dx = 3 f (x) 2 2 dx + 2 sin d x x = 3 f
(x)dx −(2cos x) 2 2 = 3 f (x)dx + 2 0 0 0 0 0 0 2
f (x)dx = 2 . 0 4 Xét f
(2x)dx. Đặt t =2xdt = 2dx. 0 x = t = 4 2 2 Đổi cận 4 2 . Khi đó f
(2x)dx = f
(t)dt = f (x)dx = 2 .
x = 0 t = 0 0 0 0
Câu 18. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = x + 9 − x . Tính M + m? A. 3 2 − 3 . B. 3 2 + 3 . C. 0 . D. 3 2 . Lời giải Chọn A
Tập xác định D = 3 − ; 3 . 2 x 9 − x − x Ta có y = 1− = , x ( 3 − ;3) . 2 2 9 − x 9 − x x 0 3 2
y = 0 9 − x = x x = 2 2 9 − x = x 2
Trang 10/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
Lại có y (− ) = − y ( ) 3 3 3; 3 = 3; y = 3 2 . Do đó m = 3
− ;M = 3 2 M + m = 3 2 −3 . 2
Câu 19. Chọn ngẫu nhiên ba số trong 40 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để ba số được chọn có tổng chia hết cho 3. 127 9 91 31 A. . B. . C. . D. . 380 95 380 95 Lời giải Chọn A
Không gian mẫu n () 3 = C = 9880. 40
Gọi A là biến cố chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3, ta tính số phần tử của A
Trong 40 số nguyên dương đầu tiên có 13 số chia hết cho 3; 14 số chia 3 dư 1 và 13 số chia 3 dư 2.
Giả sử chọn được 3 số là a, ,
b c (a + b + c) chia hết cho 3.
TH1: Cả ba số a, b, c đều chia hết cho 3 có 3 C = 286 số 13
TH2: Cả ba số a, b, c đều chia cho 3 dư 1 có 3 C = 364 số 14
TH3: Cả ba số a, b, c đều chia cho 3 dư 2 có 3 C = 286 số 13
TH4: Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2 có 13.13.14 = 2366 số.
Suy ra n ( A) = 286 + 286 + 364 + 2366 = 3302 . n A 3302 127 Suy ra P ( A) ( ) = = = . n () 9880 380
Câu 20. Cho hình chóp đều .
S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD ? 4 3 4 A. 3 4a 3 . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 4a . 3 3 Lời giải Chọn C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO ⊥ ( ABCD) . 2a 2
Ta có SO = SA − OA = (a 3) 2 2 2 2 2 2 −
= a SO = a . 2 Diện tích đáy S = ( a)2 2 2 = 4a . ABCD 1 4 Vậy 2 3 V
= 4a .a = a . S . ABCD 3 3
Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z 3 i
1 2i có tọa độ là A. 3; 4 . B. 3; 4 . C. 4;3 . D. 4; 3 . Lời giải Chọn D Ta có: z 3 i 1 2i z 1 2i 3 i z 4 3i . Trang 11/25 - WordToan
Vậy điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3 i
1 2i trên mặt phẳng tọa độ là điểm có tọa độ (4; 3 − ).
Câu 22. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) , SA = a 3 . Gọi là góc
giữa SA và mặt phẳng (SCD) . Tính tan . 3 1 A. 1. B. . C. . D. 3 . 6 3 Lời giải Chọn C Ta có:
CD ⊥ AD (SAD)
CD ⊥ SA (SAD) CD ⊥ (SAD) (SCD) ⊥ (SAD) theo giao tuyến SD .
AD SA = A
Trên (SAD) , kẻ AH ⊥ SD, H SD AH ⊥ (SCD)
Hình chiếu vuông góc của A lên (SCD) là H . ( ) 1
Mặt khác, S (SCD) Hình chiếu vuông góc của S lên (SCD) là S . (2) Từ ( )
1 , (2) suy ra SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SCD) . (S ;
A (SCD)) = (S ; A SH ) = (S ;
A SD) = DSA = (vì S
AD vuông tại A , H SD ) AD a 1 Xét S
AD vuông tại A , ta có tan = = = . SA a 3 3 2 x −3x 3−x
Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình tan cot là 9 9 A. S = 1; 3 . B. S = (− ; 1 3;+) . C. S = 1 − ; 3 . D. S = (− ; − 1 3;+) . Lời giải Chọn A 2 2 x −3x 3− x x −3x x−3 Ta có: tan cot tan tan ( ) * 9 9 9 9 Vì 0 tan 1 nên ( ) 2 2
* x − 3x x − 3 x − 4x + 3 0 1 x 3 . 9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 1; 3 . 2 4
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên thỏa mãn f
(x)dx = 5; f
(x)dx = 8. Tính 1 − 1 − 4
( f (x)+3)dx. 2
Trang 12/25 – Diễn đàn giáo viên Toán A. 6 . B. 9 . C. 19 . D. 3 . Lời giải Chọn B Ta có: 4 4 4 f
(x)+3dx = f
(x)dx + 3dx ( ) * 2 2 2 4 2 4 4 4 4 4 f
(x)dx = f
(x)dx + f
(x)dx 8 = 5+ f
(x)dx f
(x)dx = 3; 3dx = 3x =12−6 = 6 . 2 1 − 1 − 2 2 2 2 4 Thay vào ( )
* ta được: ( f (x) + 3)dx = 3+ 6 = 9 . 2
Câu 25. Tìm số phức z biết: (1− i) z + 3 − 2i = 6 − 3i A. 3 − 2i . B. 2 + i . C. 7 + 2i . D. 2 − 4i . Lời giải Chọn B − i
Ta có ( − i) z + − i = − i ( − i) 3 1 3 2 6 3 1
z = 3 − i z = = 2 + i . 1− i
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z 4
− x − 2y + 6z − 2 = 0 . Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S ) ? A. ( 4 − ;− 2;6). B. ( 2 − ;−1;3). C. (4;2; − 6) . D. (2;1; − 3) . Lời giải Chọn D
Từ phương trình mặt cầu ta có tâm I (2;1; − 3) và bán kính 2 2 2 R = 2 +1 + ( 3 − ) + 2 = 4. 4
Câu 27. Tính tích phân cos 2 d x x ? 0 1 1 A. − . B. . C. 1. D. −1. 2 2 Lời giải Chọn B 4 4 1 1 1 Ta có: cos 2 d x x = sin 2x = sin − sin 0 = . 2 2 2 2 0 0
Câu 28. Cho số phức z =1+ 3i . Tìm môđun của số phức w = (3 − 2i)( z + ) 1 . A. 13. B. 13 . C. 10 . D. 130 . Lời giải Chọn A
Ta có: w = ( − i)( z + ) = − i + i + = + (− )2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 3 1 3 2 . 2 + 3 = 13 .
Câu 29. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 4. 64 16 3 A. 64 . B. . C. 16 3 . D. . 3 3 Lời giải Chọn C Trang 13/25 - WordToan 2 4 3
Thể tích khối lăng trụ là V AA . S 4. 16 3. ABC 4
Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 8. 128 512 A. . B. . C. 128 . D. 512 . 3 3 Lời giải Chọn C
Ta có khối trụ có chiều cao h 8, bán kính R 4. Thể tích khối trụ là 2 V R h 128 .
Câu 31. Hàm số nào sau đây không có cực trị A. 2
y = x + 4x + 5. B. 4 2
y = x + 4x + 2 . C. 3 2
y = x − 2x + 3x +1. D. 3 2
y = x + 3x − 2x + 3 . Lời giải Chọn C Xét hàm số 3 2
y = x − 2x + 3x +1 có 2 y 3x 4x 3, 16 36 20 0. Suy ra hàm số y không có cực trị.
Câu 32. Tìm mô đun của số phức z 3 4i ? A. 1 B. 5. C. 25. D. 7. Lời giải Chọn B 2 Ta có 2 z 3 4 5.
Câu 33. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x − y − 5 = 0 A. (0; 2; − ) 1 . B. (2; −1;0) . C. (2; −1; − 5) . D. (2;0; − ) 1 . Lời giải Chọn B
Câu 34. Trong không gian O xyz cho tam giác ABC có các đỉnh A(1;2;5) , B ( 2 − ;4;3) , C( 5 − ;− 3;− 2) .
Tìm tọa độ trong tâm G của tam giác ABC ? A. G ( 2 − ;1;2) . B. G ( 6 − ;3;6) .
C. G (2; −1; − 2) .
D. G (6; − 3; − 6) . Lời giải Chọn A
Trang 14/25 – Diễn đàn giáo viên Toán x + x + x A B C x = = 2 − G 3 y + y + y Ta có: A B C y = = 1 . G 3 z + z + z A B C z = = 2 G 3
Câu 35. Trong không gian O xyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2;1; − ) 1 và vuông góc với − + − đường thẳng x 1 y 2 z 3 = = ? 2 1 3 −
A. x − 2 y + 3z − 3 = 0 .
B. 2x + y − 3z − 8 = 0 .
C. 2x + y − 3z + 8 = 0 .
D. x − 2 y + 3z + 3 = 0 . Lời giải Chọn B x − y + z − Ta có: ( P) 1 2 3 ⊥ d : = = n = u = − . P (2;1; 3 d ) ( ) 2 1 3 −
Vậy phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm A(2;1; − ) 1 và nhận n = (2;1;− 3 làm VTPT là: P ) ( )
2( x − 2) +1( y − ) 1 − 3( z + )
1 = 0 2x + y − 3z − 8 = 0
Câu 36. Trong không gian O xyz cho hai mặt phẳng ( P) : x + 2y − z − 2 = 0; (Q) : 2x − y + 3z − 4 = 0 .
Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng có phương trình x = 2 + 5t x = 2 + 5t x = 1+ t x = 1+ t
A. y = 5t . B. y = 5 − t .
C. y = 1 − t .
D. y = 1 − t . z = 5 − t z = 1 − 5t z = 1 − t z = 1 + t Lời giải Chọn C Ta có: n = (1;2;− ) 1 , n = (2;−1;3 . p Q ) ( ) ( )
Gọi d = ( P) (Q) u = n ; n = (5;− 5;− 5 d P Q ) ( ) ( ) .
Suy ra : d có VTCP là u = (5; − 5; − 5 hoặc u = − −
nên loại hai phương án A và D d (1; 1; ) 1 d )
Xét phương án B, ta có điểm M (2;0; )
1 ( P) nên loại phương án B.
Xét phương án C, ta có điểm N (1;1; )
1 (P), N (1;1; )
1 (Q) N (1;1; )
1 d nên đáp án là C.
Câu 37. Trong không gian Oxyz cho các điểm ( A 1; 1 − ;1), B( 1 − ; 2
− ;3), C(3;3;5) và mặt cầu (S ) có tâm 1
I (−1; − ; 6), bán kính R = 1 . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S ) , N là điểm thỏa mãn 2 N ,
A NB, NC hợp với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN . A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D
Gọi H là hình chiếu của N trên mặt phẳng ( ABC ) . Vì N ,
A NB, NC hợp với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mà AB = ( 2
− ;−1;2) , AC = (2;4;4) A . B AC = 0 . 1
Suy ra tam giác ABC vuông tại A và có H là trung điểm BC H 1; ; 4 . 2
Ta có AB, AC = (−12;12; − 6) . Trang 15/25 - WordToan
Vì NH ⊥ ( ABC) nên đường thẳng NH có vectơ chỉ phương u cùng phương với vectơ AB, AC . 1
Phương trình đường thẳng NH đi qua điểm H 1; ; 4
và có vectơ chỉ phương u = (2;− 2; ) 1 là 2 x = 1+ 2t 1 y = − 2t . 2 z = 4 + t ( NH ) u, HI d I , =
= 3 R đường thẳng NH không cắt mặt cầu (S ) . u
Gọi K , E lần lượt là hình chiếu của M , I trên đường thẳng NH .
Với M ( I; R) và N NH , ta có MN MK IK − IM IE − R MN d ( I, NH ) − R = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của MN bằng 2 . e f (2ln x) 2
Câu 38. Cho hàm số f ( x) liên tục trên biết: dx = 6 và f (cos x)sin d
x x = 8 . Giá trị của x 1 0 2
( f (x)+ 2)dx bằng bao nhiêu? 1 A. 16 . B. 0 . C. 22 . D. 6 . Lời giải Chọn D e f (2ln x) Xét dx = 6 x 1 e f (2ln x) 2 2 2 Đặ 1 1 1 t t = 2 ln x dt = dx dx = f
(t)dt = 6 f
(t)dt = f
(x)dx =12 ( )1. 2 x x 2 1 0 0 0 2 Xét f (cos x)sin d x x = 8 0 0 1 1
Đặt u = cos x du = −sin d x x − f
(u)du = 8 f (u)du = f
(x)dx =8 (2). 1 0 0 2 2 1 Từ ( ) 1 và (2) suy ra f
(x)dx = f
(x)dx− f (x)dx = 4. 1 0 0 2 2 2
Vậy ( f (x) + 2)dx = f
(x)dx + 2dx = 4+ 2 = 6 . 1 1 1
Câu 39. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z − i = 3 và z − 5 − 6i = z + 7 +10i
Trang 16/25 – Diễn đàn giáo viên Toán A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B
Xét z = a + bi; a,b
ta có z − i = a + (b − )2 2 3 1
= 9 , tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn có tâm (0; ) 1 , R = 3 . 2 2 2 2
Xét z − 5 − 6i = z + 7 +10i (a − 5) + (b − 6) = (a + 7) + (b +10) 1
− 0a −12b+61=14a+ 20b+149 24a+32b = 8
− 83a+ 4b = 1 − 1.
Tập hợp điểm biểu diễn là đường thẳng : 3a + 4b = 1 − 1. +
Dễ thấy đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau vì d ( I ) 4.1 11 15 , = = = 3 = R . 25 5
Kết luận có đúng 1 số phức thỏa mãn.
Câu 40. Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 2a . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (SCD) 4a 2a 2a 4a A. . B. . C. . D. . 3 3 5 5 Lời giải S H A D M O B C Chọn A
Gọi O là tâm của đáy ABCD vì .
S ABCD là chóp đều nên SO ⊥ ( ABCD)
Gọi M là trung điểm của CD , ta có: O M ⊥ CD
CD ⊥ (SOM ) (SCD) ⊥ (SOM ) theo giao tuyến SM SO ⊥ CD
Kẻ OH ⊥ SM OH ⊥ (SCD) d ( ,
O (SCD)) = OH 1 1 1 1 1 9 = + = + = 2 2 2 2 2 2 OH SO OM 4a 4 2 a a 2 2a OH = 3
(A (SCD)) = d (O (SCD)) 4a d , 2 , = 3 Trang 17/25 - WordToan
Câu 41. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị của đạo hàm y = f ( x) như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm −x +
số g ( x) = f ( x) ( )2 2 + trên 3 − ;4? 2 A. f ( ) 1 1 + . B. f (− ) 25 3 + . C. f (0) + 2 . D. f (4) + 2 . 2 2 Lời giải Chọn A −x +
Xét hàm số g ( x) = f ( x) ( )2 2 + trên 3 − ;4. 2
g( x) = f ( x) + x − 2
g( x) = 0 f ( x) = −x + 2 Ta có hình vẽ: x = 3 − Nhìn vào đồ
thị ta thấy g( x) = 0 f ( x) = −x + 2 x = 1 x = 4 Ta có bảng biến thiên: −x +
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g ( x) = f ( x) ( )2 2 + trên 3 − ;4 là f ( ) 1 1 + 2 2
Câu 42. Người ta xây một sân khấu với sân có dạng của hai hình tròn giao nhau (tham khảo hình vẽ). Bán
kính của hai hình tròn là 30 m và 40 m . Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 50 m . Chi
Trang 18/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 50 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét
vuông phần còn lại là 20 nghìn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 235 triệu. B. 196 triệu. C. 164 triệu. D. 177 triệu. Lời giải Chọn C
Tính diện tích phần giao nhau bằng tích phân
Đặt hệ trục tọa độ (Oxy) với đường tròn tâm O trùng với gốc tọa độ. Ta có O(0;50).
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R = 30 là: 2 2 2 2 2
x + y = 30 y = 30 − x ( y 0)
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R = 40 là: x + ( y − )2 2 2 2 2 50
= 40 y = − 40 − x + 50 ( y 50) x = 24
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 2 2
30 − x = − 40 − x + 50 x = 576 x = 24 − 24
Vậy diện tích phần giao nhau là: S = ( 2 2 2 2
30 − x + 40 − x − 50 dx 664,167 1 ) 24 −
Phần diện tích không giao nhau là: S = S + S
− 2S 6525,647 m O O ( 2 2 1 ) ( ) ( )
Vậy số tiền cần làm mặt sân khấu là: 3 3
S .50.10 + S .20.10 163721307, 4 đồng. Vậy số tiền này 1 2
gần nhất với số tiền 164 triệu.
Câu 43. Cho hình chóp .
S ABCD có ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2a , BD = 2 3a , a 3
SO ⊥ ( ABCD) . Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC ) bằng . Tính thể tích khối 4 chóp . S ABCD theo a . 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 12 4 Lời giải Trang 19/25 - WordToan Chọn A
Gọi I , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của O cạnh BC và cạnh SI .
Suy ra BC ⊥ (SOI ) OH ⊥ BC OH ⊥ (SBC) . a Vậy (O (SBC )) 3 d , = OH = . 4 BD AC Trong O
BC vuông tại O ta có OB = = a 3 ; OC = = a ; 2 2
BC = OB + OC = 2a . 2 2 . OB OC a 3 Ta có OI.BC = . OB OC OI = = . BC 2 Trong S
OI vuông tại O ta có 1 1 1 1 1 1 16 4 4 a = + = − = − = SO = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OH OI SO SO OH OI 3a 3a a 2 3 1 1 a 1 a 3
Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là V = . . SO S = . . .2 .2 a 3a = (đvtt). S . 3 ABCD 3 2 2 3
Câu 44. Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (2;3;4) và đi qua điểm M (1;1; 2) có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A. ( x − ) 1 + ( y − ) 1 + ( z − 2) = 9 . B. ( x − ) 1 + ( y − ) 1 + ( z − 2) = 3. 2 2 2 2 2 2
C. ( x − 2) + ( y − ) 3 + (z − 4) = 9 .
D. ( x − 2) + ( y − ) 3 + (z − 4) = 3 . Lời giải Chọn C 2 2 2
Ta có IM = (1− 2) + (1− 3) + (2 − 4) = 3 .
Mặt cầu (S ) có tâm là I (2;3;4) và đi qua điểm M (1;1;2) , có bán kính: R = IM = 3.
Vậy (S) (x − )2 + ( y − )2 + (z − )2 : 2 3 4 = 9 .
Câu 45. Có bao nhiêu bộ số ( ; x y) trong đó ;
x y nguyên dương không vượt quá 2021 và thỏa mãn bất
phương trình: (−xy + x − y + ) y x −
( xy + x + y + ) 3 3 2 6 e 10 2 5 2 5 log . 3 y + 6 A. 8076 . B. 4038 . C. 2019 . D. 6057 . Lời giải Chọn B
,x y1;2;3;...;202 1 ,
x y 1; 2;3;...; 202 1 x 3;4;5;...;202 1 Điều kiện: ex −10 0
x ln10 2,3 y 1;2;3;...;202 1
Bất phương trình đã cho tương đương với :
Trang 20/25 – Diễn đàn giáo viên Toán −y (x + )+ (x + ) y x − x
( y + ) + ( y + ) 3 2 3 2 e 10 2 5 2 5 log 3 y + 6 (
x + )( − y) y x −
( y + )(x + ) 3 2 3 e 10 2 5 1 log . 3 y + 6 VT TH1: y 0 3; 4;5;...; 2021
Bất phương trình vô nghiệm. VP 0 x 3
TH2: y = 1: Bpt trở thành 2 ( x + 2) e −10 7 ( x + ) 1 log . 3 7 V T 0, x 3;4;5;...;202 1 3 Ta thấy (vì log
0 và ex −10 0, x 3 ). 3 V P 0, x 3;4;5;...;202 1 7 Suy ra các cặp số ( ) ;1 x
với x 3;4;5;...;202
1 đều thỏa mãn bất phương trình. x 2
TH3: y = 2 : Bpt trở thành ( x + 2) e −10 9( x + ) 1 log . 3 3 V T 0, x 3;4;5;...;202 1 2 Ta thấy (vì log
0 và ex −10 0, x 3 ). 3 V P 0, x 3;4;5;...;202 1 3 Suy ra các cặp số ( ;
x 2) với x 3;4;5;...;202
1 đều thỏa mãn bất phương trình. − Vậy có tất cả là 2021 3 2 +1 = 4038. Chọn đáp án B. 1
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a trong khoảng (0;202 ) 1 sao cho phương trình 2x 2
= a(x + log a có nghiệm x3;+ ). 2 ) A. 1987 . B. 1993 . C. 1989 . D. 1991. Lời giải Chọn C
Điều kiện: a(x + log a 0 x + log a 0(*) 2 ) 2
Phương trình đã cho tương đương với: 2x = log + log 2x a x a
= log a + log x + log a 2 ( 2 ) (1) 2 2 ( 2 ) Đặt = log + log + log = 2t log = 2t t x a x a a − . x 2 ( 2 ) 2 2
Phương trình (1) trở thành 2x = 2t − + 2x + = 2t x t x + t
x = t (do ( ) = 2u f u
+ u đồng biến trên ) x = log x + log a 2 ( 2 ) log = 2x a − . x 2 Xét hàm số ( ) = 2x g x − , x x 3;+ ) 1 Ta có: ( ) = 2x g x ln 2 −1. Suy ra: g (
x) = 0 x = log 3;+ . 2 ) ln 2 Bảng biến thiên:
Theo BBT phương trình có nghiệm log a 5 a 32. 2 Trang 21/25 - WordToan
So điều kiện a và a (0;202 )
1 a 32;33;34;...;202 0 .
Vậy có 2020−32+1=1989. Chọn đáp án C.
Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn
z −1− i = 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 z − 5 − 4i + z − 9 − 5i A. 8 2 B. 8 3 C. 7 3 D. 7 2 Lời giải Chọn A
Gọi điểm M (a ;b) là điểm biểu diến số phức z . 2 2 2 2
Từ z −1− i = 10 (a − ) 1 + (b − )
1 = 100 3.(a − ) 1 + (b − ) 1 −100 = 0 ( ) 1
Do đó P = z − − i + z − − i =
(a − )2 + (b − )2 + (a − )2 + (b − )2 2 5 4 9 5 4 5 4 4 9 5
P = 4(a − 5)2 + 4(b − 4)2 − 3.(a − )2 1 + (b − )2
1 −100 + (a − 9)2 + (b − 5)2 .
= (a −17)2 + (b −13)2 + (a −9)2 + (b −5)2
Chọn A(17;13) , B (9;5) . 2 2
Ta có P = MA + MB AB = (17 − 9) + (13 − 8) = 8 2 .
Đẳng thức xảy ra khi MA + MB = AB M nằm giữa A và B . a − 9 b − 5 = = k 0 a = 46 + 3
Vậy min P = 8 2 BM = k AM a −17 b −13 . ( a − b )2 +(b − )2 = = 46 −1 1 1 100 2 2 2 x + 4 y − 6 z − 2
Câu 48. Cho mặt cầu (S ):( x − )
1 + ( y − 2) + ( z + )
1 = 3 và đường thẳng : = = 6 −2 1 −
Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S ) và gọi (C) là tập hợp các tiếp điểm. Biết khi
diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) đạt giá trị nhỏ nhất thì (C) thuộc mặt phẳng
x + by + cz + d = 0 . Tính b + c + d A. 4 . B. 2 − . C. 2 . D. 4 − . Lời giải Chọn B
Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S ) nên (C) là một đường tròn.
Gọi AB là đường kính của (C) và H là trung điểm của AB .
Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) là : 2 S = . AH .
Trang 22/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
S đạt min khi AH min. 1 1 1 AM .R R Ta có = + AH = =
đạt min khi AM đạt min . 2 2 2 2 2 2 AH AM AI AM + R R 1+ 2 AM Do đó 2 2 IM =
R + AM đạt min. Hay M là hình chiếu của I trên .
Gọi M (6t − 4;− 2t + 6;−t + 2) . Ta có IM .u = 0 t =1 M (2;4 ) ;1 . Khi đó IM = 3.
Theo hệ thức lượng ta có : 2 2
IA = IH .IM
3 = IH .3 IH = 1. 1 4 8 1 − Ta có IH = IM H ; ; 3 3 3 3
(P) đi qua H và nhận IM =(1;2;2) là vtpt (P)= x + 2y + 2z −6 = 0
T = b+c + d = 2+ 2−6 = 2 − .
Câu 49. Cho y = f (x) là một hàm số bậc 3 có đồ thị (C) như hình vẽ. Tiếp tuyến của (C) tại
M (4; − 2) cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai N ( 1 − ; )
1 . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) 3
và tiếp tuyến (Phần tô đậm) bằng 125 . Tính f (x)dx . 12 1 10 14 94 46 A. . B. . C. . D. . 3 3 15 15 Lời giải Chọn D − Tiếp tuyến của ( 3 2
C ) đi qua N ( 1 − ; ) 1 , M (4; 2
− ) nên ta có phương trình là: y = x + . 5 5
Hàm số y = f (x) là một hàm số bậc 3 có đồ thị (C) và tiếp tuyến của (C) tại M (4;− 2) cắt
đồ thị hàm số tại điểm thứ hai N ( 1 − ; ) 1 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm − 2 f ( x) 3 2 = x + a(x + ) 1 ( x − 4) = 0 (a 0) . 5 5 4 125 = 125 625 1 a
(x+ )1(x−4)2 dx = . a a = . 12 12 12 5 1 − Khi đó ta được 1 3 ( − 1 46
x + )( x − )2 = f ( x) 3 2 1 4 − x +
f ( x) = ( 3 2
x − 7x + 5x +18) f ( x) dx = . 5 5 5 5 15 1
Câu 50. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và số thực k thỏa mãn f (2) + k 0 . Giả sử đạo hàm y = f (
x) có đồ thị như hình vẽ và hàm số y = f (x) + k có 7 điểm cực trị . Trang 23/25 - WordToan Phương trình f ( 3
−x + 3x)+ k = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm trong khoảng ( 2 − ;2) . A. 5. B. 6. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn B
Từ đồ thị hàm số y = f (
x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x) + k có 3 điểm cực trị a,b,c thỏa mãn a 2
− b 0 c 2
Suy ra số điểm cực trị của hàm số y = f (x) + k là 3. Bảng biến thiên
Hàm số y = f ( x) + k có 7 điểm cực trị nên suy ra phương trình f ( x) + k = 0 có 4 nghiệm phân
f (a) + k 0
biệt và f (c) + k 0 .
f (b) + k 0
Khi đó f (x) + k = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt x( 2 − ;2). Đặt 3
u = −x + 3x với x ( 2 − ;2) . x = 1 − → u = 2 − 2 u = 3 − x + 3 = 0 .
x =1 → u = 2 Bảng biến thiên Nếu x ( 2 − ;2) thì u( 2 − ;2).
Suy ra f (u) + k = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt u ( 2 − ;2).
Từ Bảng biến thiên ta thấy, với mỗi u ( 2
− ;2) thì có 3 nghiệm x( 2 − ;2).
Trang 24/25 – Diễn đàn giáo viên Toán
Do vậy, f (u) + k = 0 có ít nhất 6 nghiệm phân biệt x( 2 − ;2). --- HẾT --- Trang 25/25 - WordToan
Document Outline
- de-thi-thu-tot-nghiep-thpt-2021-mon-toan-truong-thpt-le-quy-don-ha-noi
- THI-THỬ-TN-THPT-LÊ-QUÝ-ĐÔN-HÀ-NỘI-NĂM-2020-2021