Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2023 môn Toán sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi thử tốt nghiệp Trung học Phổ thông năm 2023 môn Toán sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh

17 9 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

36 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thanh Hoa
1
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 06 trang, 50 câu)
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: ……………………………………………………………………….
Số báo danh:…………………………………………………………………………...
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức
23
zi= +
có tọa độ là
A.
( )
2;3
. B.
( )
2; 3
−
. C.
( )
3; 2
. D.
( )
3; 2−
.
Câu 2. Đạo hàm của hàm số
7
x
y =
là
A.
. B.
1
7
x
yx
−
′
=
. C.
7
ln 7
x
y
′
=
. D.
7
x
y
′
=
.
Câu 3. Tập xác định của hàm số
3
logyx=
là
A.
(
)
0;= +∞
. B.
[
)
0;= +∞
. C.
( )
;0= −∞
. D.
(
]
;0= −∞
.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình
3 27
x
≤
là
A.
(
]
;3−∞
. B.
[
)
3; +∞
. C.
( )
3; +∞
. D.
(
]
;9−∞
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
2
2u =
và công sai
3d = −
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
1
−
. B.
5
−
. C.
6−
. D.
5
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, vectơ
23a i jk
=−−

, với
;;i jk

là các vectơ đơn vị. Khi đó tọa độ
của
a
là
A.
( )
2;3;1a = −−
. B.
( )
2; 3;1a =
. C.
( )
2; 3;1a = −
. D.
( )
2; 3; 1a
= −
.
Câu 7. Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình
() 0fx=
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 8. Nếu
1
0
( )d 4fx x
=
∫
và
1
0
( )d 2gx x= −
∫
thì
[ ]
1
0
() ()d
I f x gx x= +
∫
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
6−
. D.
2−
.
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A.
3
32yx x=−+
. B.
42
2yx x=−+
. C.
3
32yx x=−− +
. D.
2
32yx x=−+
.
ĐỀ GỐC: LẺ
2
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
tâm
( )
1; 2; 3
I −−
, bán kính
2R =
. Phương trình của
mặt cầu
()S
là
A.
( ) ( ) (
)
2 22
1 2 34xy z+ +− ++ =
. B.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 32xy z+ +− ++ =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 34xy z−+−+−=
. D.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 34xy z− ++ +− =
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1; 2; 3M
lên mặt phẳng
Oxy
có tọa
độ
A.
( )
1; 2; 0
. B.
( )
1; 0; 3
. C.
( )
0; 2;3
. D.
( )
0; 0; 3
.
Câu 12. Cho hai số phức
1
12zi
= −
;
2
23zi=−+
. Phần ảo của số phức
12
z zz= ⋅
bằng
A.
7
. B.
4
. C.
7i
. D.
7−
.
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh
2
;
3
;
4
bằng
A.
24
. B.
8
. C.
12
. D.
4
.
Câu 14. Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
2
AB =
;
3BC =
;
SA
vuông góc với đáy và
5SA =
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
10
. B.
30
. C.
6
. D.
2
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 22
( ) : 1 2 3 16Sx y z− ++ +− =
. Điểm nào sau đây
nằm bên trong mặt cầu?
A.
. B.
( )
1; 2; 3N −
. C.
( )
1; 2; 3P −−
. D.
( )
1;2;1Q −−
.
Câu 16. Cho số phức
34
zi= +
, môđun của số phức
z
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
7
.
Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy
r
, chiều cao
h
và độ dài đường sinh
l
. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A.
. B.
2 22
r hl= +
. C.
2 22
hrl
= +
. D.
hl=
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 21
:
21 2
xy z
d
+−−
= =
−
. Một vectơ chỉ phương của
d
là
A.
(
)
2; 1; 2
v = −
. B.
( )
1; 2;1v = −
. C.
( )
2; 1; 2v =
. D.
( )
1;2;1v = −−
.
Câu 19. Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại
A.
2x =
. B.
3x =
. C.
4x =
. D.
2x = −
.
Câu 20. Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
2; 2
. C.
1
2;
2

−−


. D.
( )
2; 2−
.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 2 2x −≤
là
A.
(
]
2; 6
. B.
( )
;6−∞
. C.
(
]
;6−∞
. D.
[ ]
2; 4
.
3
Câu 22. Cho một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn để đi tình nguyện?
A.
120
. B.
720
. C.
6
. D.
30
.
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
() 2 3fx x= +
?
A.
2
() 3Fx x x= +
. B.
() 2Fx
=
. C.
2
() 3Fx x= +
. D.
2
() 2 3Fx x= +
.
Câu 24. Nếu
3
0
( )d 2
fx x=
∫
thì
[
]
3
0
( ) 1dfx x+
∫
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 25. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
?
A.
3
32yx x=++
. B.
21
2
x
y
x
−
=
+
. C.
42
1
4
y xx= +
. D.
3
2y xx
=− −+
.
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) sin 2fx x=
.
A.
1
( )d cos 2
2
fx x x C=−+
∫
. B.
( )d cos 2fx x x C=−+
∫
.
C.
1
( )d sin 2
2
fx x x C= +
∫
. D.
( )d sin 2
fx x x C=−+
∫
.
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
A.
[ ]
1;2
max 3y
=
. B.
[ ]
1;2
max 2y =
. C.
[ ]
1;2
1
max
2
y =
. D.
[
]
1;2
3
max
2
y
=
.
Câu 28. Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
4
3
log 3a
bằng
A.
3
1 4 log a+
. B.
3
3 log a+
. C.
3
4 log a
. D.
.
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
( ): 2
Pyx x
= +
và đường thẳng
: 21dy x= +
bằng
A.
4
3
S =
. B.
4
3
S
π
=
. C.
16
15
S =
. D.
16
15
S
π
=
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
SA
vuông góc với đáy và
4AB =
.
Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
(
)
SAB
bằng
A.
4
. B.
22
. C.
42
. D.
82
.
Câu 31. Cho hàm số bậc ba
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình
() 1fx=
có bao nhiêu
nghiệm thực phân biệt?
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
4
Câu 32. Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
( ) ( ) ( )( )
23
() 2 1 2 3 1fx x x x x
′
=− − ++
với mọi
x ∈
. Điểm
cực đại của hàm số là
A.
1
x = −
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
3
2
x = −
.
Câu 33. Một hộp bút bi gồm 6 bút màu đỏ, 7 bút màu đen và 8 bút màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bút từ
hộp đó, xác suất để trong 4 bút lấy ra, có đúng 1 bút màu đỏ bằng
A.
26
57
. B.
104
285
. C.
9
19
. D.
7
19
.
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
9 43 3 0
xx
−⋅ +=
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
3
. D.
4−
.
Câu 35. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn
3 12ziz i
+ = +−
là
một đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng đó là
A.
5 20xy− −=
. B.
30
xy++=
. C.
20xy+−=
. D.
5 60xy− −=
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(
)
1; 1; 1M −−
và
( )
5; 5;1N
. Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng
MN
có phương trình là
A.
2 3 12 0x yz+ +− =
. B.
2 3 12 0x yz
+ ++ =
.
C.
3 2 12 0xy
+ −=
. D.
3 2 24 0xy+−=
.
Câu 37. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
112
:
2 32
xyz−+−
∆==
−
song song với mặt phẳng
( ): 2 2 3 0Px y z+ + +=
. Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng
()P
bằng
A.
2
. B.
2
3
. C.
1
. D.
1
3
.
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABCD
có chiều cao
SA a
=
, đáy là hình vuông cạnh
a
. Tính khoảng cách từ
trung điểm
M
của cạnh
SB
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
2
4
a
. B.
2
2
a
. C.
2a
. D.
3
2
a
.
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên
[ ]
1;2023x ∈
thỏa mãn
44
11
log log
22
33
xx
x
+−
+≥
.
A. 2023. B. 2022. C. 2021. D. 2020.
Câu 40. Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
1
2



thỏa mãn
1
()
21
fx
x
′
=
−
,
(0) 2022f =
,
(1) 2023f
=
. Giá trị của
(
)
(2) 1ff−−
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
−
. D.
ln 4
.
Câu 41. Cho hàm số bậc ba
( )
fx
có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
sao cho đồ thị hàm số
( )
( )
1
gx
fx m
=
−
có đúng ba đường tiệm cận?
5
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Câu 42. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2 3 2| 1|z iz
−+ = +
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
||z
. Giá trị của
Mm+
bằng
A.
42
. B.
5
. C.
22
. D.
25
.
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
a
. Gọi
M
,
N
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
BC
′′
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
MN
và đường thẳng
AA
′
bằng
30
°
.
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.
3
46a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
46
3
a
. D.
3
26a
.
Câu 44. Cho hàm số bậc ba
32
()y f x ax bx cx d= = + ++
có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường
()y fx
′
=
và
() ()g x f x bx c
′′
= +−
bằng
A.
25
2
. B.
145
2
. C.
125
2
. D.
29
2
.
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
42
2( 2) 3 2 0z mzm+ + + +=
, (
m
là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
4
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
12
:
3 11
xy z
d
−+
= =
;
: 12
1
xt
dy t
zt
=
′
= +
=−+
. Gọi
∆
là
đường thẳng đi qua
(3; 2;1)M
, vuông góc với
d
và cắt
'd
. Khi đó tọa độ giao điểm của
∆
và mặt phẳng
( )
Oyz
là
A.
(
)
0;11;1
. B.
( )
0; 2;1
. C.
( )
0; 11;1−
. D.
( )
0; 2;1
−
.
Câu 47. Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa mãn
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7 .
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
Khi biểu thức
10xy
P
x
++
=
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng
xy+
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
192+
. D.
182+
.
Câu 48. Cho hình trụ
()T
có
AB
,
CD
lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng
10.
Thể tích khối trụ
()T
bằng
A.
15
π
. B.
30
π
. C.
45
π
. D.
60
π
.
6
Câu 49. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
(
)
1; 2; 3I
, bán kính
5
R
=
và điểm
(
)
2; 4;5
P
nằm bên trong mặt cầu. Qua
P
dựng 3 dây cung
AA
′
,
BB
′
,
CC
′
của mặt cầu
()S
đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là
PA
,
PB
,
PC
. Gọi
PQ
là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng
Q
luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng
A.
57
. B.
61
. C.
219
6
. D.
219
2
.
Câu 50. Cho hàm số
()
y fx=
có
( 2) 0
f −=
, có đạo hàm liên tục trên
và bảng xét dấu đạo hàm như
sau
Hàm số
( )
42 62
() 3 2 2 2 6gx f x x x x
= −+ −− +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
--------------- HẾT ---------------
7
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU MỨC ĐỘ VD
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức
23zi= +
có tọa độ là
A.
( )
2;3
. B.
( )
2; 3
−
. C.
( )
3; 2
. D.
( )
3; 2
−
.
Câu 2. Đạo hàm của hàm số
7
x
y =
là
A.
. B.
1
7
x
yx
−
′
=
. C.
7
ln 7
x
y
′
=
. D.
7
x
y
′
=
.
Câu 3. Tập xác định của hàm số
3
logyx=
là
A.
( )
0;
= +∞
. B.
[
)
0;= +∞
. C.
( )
;0= −∞
. D.
(
]
;0= −∞
.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình
3 27
x
≤
là
A.
(
]
;3−∞
. B.
[
)
3; +∞
. C.
( )
3; +∞
. D.
(
]
;9−∞
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
2
2u =
và công sai
3d = −
. Giá trị của
3
u
bằng
A.
1−
. B.
5
−
. C.
6−
. D.
5
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, vectơ
23a i jk=−−

, với
;;i jk

là các vectơ đơn vị. Khi đó tọa độ
của
a
là
A.
( )
2;3;1a = −−
. B.
( )
2; 3;1a =
. C.
( )
2; 3;1a = −
. D.
(
)
2; 3; 1a = −
.
Câu 7. Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình
() 0fx=
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 8. Nếu
1
0
( )d 4fx x=
∫
và
1
0
( )d 2gx x= −
∫
thì
[ ]
1
0
() ()dI f x gx x= +
∫
bằng
A.
2
. B.
6
. C.
6−
. D.
2−
.
Lời giải
Ta có
[ ]
1 11
0 00
() ()d ()d ()d 4 (2) 2.f x gx x f x x gx x+ = + = +− =
∫ ∫∫
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A.
3
32yx x=−+
. B.
42
2yx x=−+
. C.
3
32yx x=−− +
. D.
2
32yx x=−+
.
8
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
tâm
( )
1; 2; 3
I −−
, bán kính
2R =
. Phương trình của
mặt cầu
()S
là
A.
( ) ( ) (
)
2 22
1 2 34xy z+ +− ++ =
. B.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 32xy z+ +− ++ =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 34xy z−+−+−=
. D.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 34xy z− ++ +− =
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu vuông góc của điểm
( )
1; 2; 3M
lên mặt phẳng
( )
Oxy
có tọa
độ
A.
( )
1; 2; 0
. B.
( )
1; 0; 3
. C.
( )
0; 2;3
. D.
( )
0; 0; 3
.
Câu 12. Cho hai số phức
1
12zi
= −
;
2
23zi=−+
. Phần ảo của số phức
12
z zz= ⋅
bằng
A.
7
. B.
4
. C.
7i
. D.
7−
.
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh
2
;
3
;
4
bằng
A.
24
. B.
8
. C.
12
. D.
4
.
Câu 14. Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
2AB
=
;
3BC =
;
SA
vuông góc với đáy và
5SA =
. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
10
. B.
30
. C.
6
. D.
2
.
Câu 15. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 22
( ) : 1 2 3 16Sx y z− ++ +− =
. Điểm nào sau đây
nằm bên trong mặt cầu?
A.
. B.
( )
1; 2; 3N −
. C.
( )
1; 2; 3
P −−
. D.
( )
1;2;1
Q −−
.
Câu 16. Cho số phức
34zi
= +
, môđun của số phức
z
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
4
. D.
7
.
Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy
r
, chiều cao
h
và độ dài đường sinh
l
. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A.
. B.
2 22
r hl= +
. C.
2 22
hrl
= +
. D.
hl=
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1 21
:
21 2
xy z
d
+−−
= =
−
. Một vectơ chỉ phương của
d
là
A.
( )
2; 1; 2v
= −
. B.
( )
1; 2;1v = −
. C.
( )
2; 1; 2v =
. D.
( )
1;2;1v = −−
.
Câu 19. Cho hàm số
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại
A.
2x =
. B.
3x =
. C.
4x =
. D.
2x = −
.
Câu 20. Cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A.
( )
2; 2−
. B.
( )
2; 2
. C.
1
2;
2

−−


. D.
( )
2; 2−
.
Lời giải
9
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
2
x
= −
, đường tiệm cận ngang
2y
=
nên toạ độ giao điểm hai
đường tiệm cận là
( 2; 2)I −
.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
log 2 2x −≤
là
A.
(
]
2; 6
. B.
( )
;6−∞
. C.
(
]
;6−∞
. D.
[ ]
2; 4
.
Lời giải
Bất phương trình tương đương với
0 2 4 2 6.xx<−≤⇔<≤
Câu 22. Cho một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn để đi tình nguyện?
A.
120
. B.
720
. C.
6
. D.
30
.
Lời giải
Số cách chọn 3 bạn trong nhóm 10 bạn là
3
10
C 120=
.
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
() 2 3fx x= +
?
A.
2
() 3Fx x x= +
. B.
() 2Fx=
. C.
2
() 3Fx x= +
. D.
2
() 2 3Fx x= +
.
Câu 24. Nếu
3
0
( )d 2
fx x
=
∫
thì
[
]
3
0
( ) 1dfx x
+
∫
bằng
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 25. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng
( )
;−∞ +∞
?
A.
3
32yx x=++
. B.
21
2
x
y
x
−
=
+
. C.
42
1
4
y xx= +
. D.
3
2y xx=− −+
.
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) sin 2fx x=
.
A.
1
( )d cos 2
2
fx x x C=−+
∫
. B.
( )d cos 2fx x x C=−+
∫
.
C.
1
( )d sin 2
2
fx x x C= +
∫
. D.
( )d sin 2
fx x x C=−+
∫
.
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
A.
[ ]
1;2
max 3y =
. B.
[ ]
1;2
max 2y =
. C.
[ ]
1;2
1
max
2
y =
. D.
[ ]
1;2
3
max
2
y
=
.
Câu 28. Với
a
là số thực dương tùy ý,
( )
4
3
log 3a
bằng
A.
3
1 4 log a+
. B.
3
3 log a+
. C.
3
4 log
a
. D.
.
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
2
( ): 2Pyx x= +
và đường thẳng
: 21dy x= +
bằng
A.
4
3
S =
. B.
4
3
S
π
=
. C.
16
15
S =
. D.
16
15
S
π
=
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
SA
vuông góc với đáy và
4AB =
.
Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng
A.
4
. B.
22
. C.
42
. D.
82
.
Câu 31. Cho hàm số bậc ba
()y fx=
có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình
() 1fx=
có bao nhiêu
nghiệm thực phân biệt?
10
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
3
.
Câu 32. Cho hàm số
()y fx=
có đạo hàm
( ) ( ) (
)(
)
23
() 2 1 2 3 1
fx x x x x
′
=− − ++
với mọi
x ∈
. Điểm
cực đại của hàm số là
A.
1x = −
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
3
2
x = −
.
Câu 33. Một hộp bút bi gồm 6 bút màu đỏ, 7 bút màu đen và 8 bút màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bút từ
hộp đó, xác suất để trong 4 bút lấy ra, có đúng 1 bút màu đỏ bằng
A.
26
57
. B.
104
285
. C.
9
19
. D.
7
19
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu bằng
( )
4
21
C
n Ω=
.
Trong 4 bút lấy ra có đúng 1 bút màu đỏ và 3 bút còn lại không phải màu đỏ, do đó số kết quả thuận lợi
của biến cố bằng
13
6 15
CC⋅
.
Xác suất cần tìm bằng
13
6 15
4
21
CC
26
C 57
⋅
=
.
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
9 43 3 0
xx
−⋅ +=
bằng
A.
1
. B.
4
. C.
3
. D.
4−
.
Lời giải
Phương trình tương đương với
31 0
1
33
x
x
x
x
= =
⇔
=
=
.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là
011+=
.
Câu 35. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn
3 12ziz i+ = +−
là
một đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng đó là
A.
5 20xy− −=
. B.
30xy++=
. C.
20xy+−=
. D.
5 60xy− −=
.
Lời giải
Gọi
(; )Mxy
là điểm biểu diễn số phức
z
, ta có
2 22 2
3 12
( 3) ( 1) ( 2)
5 2 0.
x yi i x yi i
xy x y
xy
++=++−
⇔ ++ =+ +−
⇔ − −=
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là
5 20xy− −=
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
( )
1; 1; 1M −−
và
( )
5; 5;1N
. Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng
MN
có phương trình là
A.
2 3 12 0x yz+ +− =
. B.
2 3 12 0x yz+ ++ =
.
C.
3 2 12 0xy+−=
. D.
3 2 24 0xy+−=
.
11
Lời giải
Mặt phẳng trung trực của
MN
đi qua trung điểm
I
của
MN
và có vectơ pháp tuyến là
MN

.
Ta có
(3; 2; 0)I
và
(4; 6; 2)MN =

nên phương trình mặt phẳng trung trực của
MN
là
4( 3) 6( 2) 2( 0) 0 2 3 12 0.x y z x yz− + − + − =⇔ + +− =
Câu 37. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
112
:
2 32
xyz−+−
∆==
−
song song với mặt phẳng
( ): 2 2 3 0Px y z
+ + +=
. Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng
()P
bằng
A.
2
. B.
2
3
. C.
1
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn điểm
( )
1; 1; 2A −
.+
Vì
∆
song song với
()P
nên
( ) ( )
1243
d ,( ) d ,( ) 2.
144
P AP
−++
∆= = =
++
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABCD
có chiều cao
SA a=
, đáy là hình vuông cạnh
a
. Tính khoảng cách từ
trung điểm
M
của cạnh
SB
đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
2
4
a
. B.
2
2
a
. C.
2a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Vì
M
là trung điểm
SB
và
AB CD
nên ta có
( ) ( ) ( )
11
d ,( ) d ,( ) d ,( ) .
22
M SCD B SCD A SCD= =
Hạ
AH SD⊥
(1). Ta có
( ) (2)
SA CD
CD SAD AH CD
AD CD
⊥
⇒⊥ ⇒ ⊥
⊥
Từ (1) và (2) suy ra
()AH SCD⊥
hay
( )
d ,( )A SCD AH=
.
Tam giác
SAD
vuông tại
A
, có
SA a=
,
AD a=
nên là tam giác vuông cân, do đó
H
là trung điểm của
SD
và
2
2
a
AH =
.
Vậy
( )
12
d ,( )
24
a
M SCD AH= =
.
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên
[ ]
1;2023x ∈
thỏa mãn
44
11
log log
22
33
xx
x
+−
+≥
.
A. 2023. B. 2022. C. 2021. D. 2020.
12
Lời giải
ĐK:
0x >
, đặt
4
log
tx=
thì
4
t
x =
.
BPT:
1
33 3 2 4.3 32
3
t tt t t
+ ≥⇔ ≥
3
2
33 3
log
24 4
t
t

⇔ ≥ ⇔≥


. Vậy
3
2
3
log
4
4x ≥
, nên có 2023 số
tự nhiên thỏa mãn.
Câu 40. Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
1
2



thỏa mãn
1
()
21
fx
x
′
=
−
,
(0) 2022f =
,
(1) 2023f =
. Giá trị của
( )
(2) 1ff−−
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
−
. D.
ln 4
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
1
2
11
( )d d ln 2 1
21 2
11
ln 2 1 , khi
22
()
11
ln 1 2 , khi
22
fxx x x C
x
xCx
fx
xC x
′
= = −+
−
−+ >
⇒=
−+ <
∫∫
+ Xét trên
1
;
2

−∞


, ta có
2
(0) 2023 2023fC= ⇒=
.
+ Xét trên
1
;
2

+∞


, ta có
1
(1) 2023 2023fC= ⇒=
.
Do đó,
( )
( )
11
ln 2 1 2023, khi
22
()
11
ln 1 2 2022, khi
22
xx
fx
xx
−+ >
=
−+ <
Vậy
( )
11
(3) 1 ln 3 2023 ln 3 2022 1.
22
ff

− −= + − + =


Câu 41. Cho hàm số bậc ba
( )
fx
có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
sao cho đồ thị hàm số
( )
( )
1
gx
fx m
=
−
có đúng ba đường tiệm cận?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Với mọi
m
, ta có
lim ( ) 0
x
gx
→±∞
=
, suy ra hàm số
()y gx=
luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang
là
0y =
.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là
phương trình
() 0fx m−=
có hai nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
1
3
m
m
=
=
.
Vậy có
2
giá trị của
m
thoả mãn bài toán.
13
Câu 42. Xét các số phức
z
thỏa mãn
2 3 2| 1|
z iz−+ = +
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
||z
. Giá trị của
Mm+
bằng
A.
42
. B.
5
. C.
22
. D.
25
.
Lời giải
Đặt
z x yi= +
,
x
,
y ∈
. Từ giả thiết ta có
2 2 22
22
23 2 1
( 2) ( 3) 4 ( 1)
4 2 30
x yi i x yi
x y xy
xy xy
+−+= ++

⇔ − ++ = + +

⇔ + + − −=
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn tâm
( 2;1)I
−
, bán kính
22R =
.
Ta thấy
5OI R= <
nên điểm
O
nằm bên trong đường tròn
()C
.
Do đó
()
max max
MC
M z OM R OI
∈
= = = +
()
min min
MC
m z OM R OI
∈
= = = −
Vậy
2 42Mm R+= =
.
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2a
. Gọi
M
,
N
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
BC
′′
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
MN
và đường thẳng
AA
′
bằng
30
°
.
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.
3
46a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
46
3
a
. D.
3
26a
.
Lời giải
Gọi
P
là trung điểm của
BC
, ta có
NP AA
′
, do đó
( ) ( )
, ,.MN AA MN NP
′
=
Vì tam giác
MNP
vuông ở
P
,
2
2
AC
MP a= =
nên ta có
( )
, 30MNP MN AA
°
′
= =
6.
cot 30
MP
NP a
°
⇒= =
Vậy thể tích khối hộp đã cho bằng
23
(2 ) 6 4 6.
ABCD
S NP a a a⋅= ⋅ =
Câu 44. Cho hàm số bậc ba
32
()y f x ax bx cx d= = + ++
có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường
()y fx
′
=
và
() ()g x f x bx c
′′
= +−
bằng
14
A.
25
2
. B.
145
2
. C.
125
2
. D.
29
2
.
Lời giải
Ta có
2
32y ax bx c
′
= ++
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( 2; 0)−
,
(3; 5)−
và hàm số đạt cực trị tại
1x = −
và
3x =
nên ta có hệ phương
trình:
1
5
842 0
3
27 9 3 5
5
32 0 9
5
27 6 0
2
5
a
a b cd
b
a b cd
a bc
c
a bc
d
=
− + − +=
= −
+ + +=−
⇔

− +=

= −

+ +=
=
Khi đó
32
1 3 92
()
5 5 55
fx x x x= − −+
;
2
3 69
()
5 55
fx x x
′
= −−
,
66
()
55
fx x
′′
= −
và
33
()
55
gx x= +
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
()
fx
′
và
()gx
:
2
1
3 6933
4
5 5 55 5
x
xx x
x
= −
− −= +⇔
=
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
()
fx
′
và
()gx
bằng
4
2
1
3 9 12 25
d.
5 55 2
xx x
−
−− =
∫
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
42
2( 2) 3 2 0z mzm+ + + +=
, (
m
là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
4
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Lời giải
Đặt
2
tz
=
, phương trình trở thành
2
2( 2) 3 2 0t m tm+ + + +=
. \hfill (1)
Ta có,
22
( 2) (3 2) 2 0m m mm
′
∆= + − + = + + >
,
m∀∈
, do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm
thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
thẳng hàng
(cùng thuộc
Ox
hoặc cùng thuộc
Oy
) nên không thoả mãn bài toán.
Nếu (1) có hai nghiệm trái dấu
12
0tt<<
, tức là
2
3 20
3
mm+ < ⇔ <−
thì phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt là
2
t±
và
1
it±−
.
15
Giả sử
( )
2
;0
At−
,
,
(
)
2
;0Ct
và
(
)
1
0;Dt
−−
. Khi đó, bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
tạo thành
một hình thoi.
Diện tích hình thoi
ABCD
bằng
2 1 12
11
22 2 .
22
AC BD t t t t⋅ ⋅ =⋅ ⋅ −= −
Từ giả thiết và theo định lý Vi ét, ta có
2 3 2 4 2.mm− −=⇔ =−
Đối chiếu điều kiện, ta có
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
12
:
3 11
xy z
d
−+
= =
;
: 12
1
xt
dy t
zt
=
′
= +
=−+
. Gọi
∆
là
đường thẳng đi qua
(3; 2;1)M
, vuông góc với
d
và cắt
'
d
. Khi đó tọa độ giao điểm của
∆
và mặt phẳng
( )
Oyz
là
A.
( )
0;11;1
. B.
( )
0; 2;1
. C.
(
)
0; 11;1−
. D.
( )
0; 2;1
−
.
Lời giải
Gọi giao điểm của
∆
và
d
′
là
( ;1 2 ; 1 )Nt t t+ −+
.
Khi đó
(
)
3; 2 1; 2 0MN t t t
=− −−≠

,
t∀
là vectơ chỉ phương của
∆
và
(3;1;1)u =
là vectơ chỉ phương
của
d
.
Vì
d∆⊥
nên
0MN u⋅=

, tương đương với
3( 3) (2 1) ( 2) 0 2.t tt t− + − + − = ⇔=
Khi đó
( 1; 3; 0 )MN = −

nên phương trình đường thẳng
∆
là
1
z
= −
= +
=
.
Giao điểm của
∆
và
()Oyz
là điểm có toạ độ
(0;11;1)
.
Câu 47. Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa mãn
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7 .
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
Khi biểu thức
10xy
P
x
++
=
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng
xy+
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
192+
. D.
182+
.
Lời giải
Ta có
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
( ) ( )
22 2
22 2
7 493 4949
xy xy xy−− −
⇔ +⋅ = +
22 2
222
4 7 9 21 49 9 196 0
xy xy xy−−−
⇔ ⋅ +⋅ − ⋅ − =
. (*)
Đặt
2
2,t xy= −
ta được
22
22
43 43
(*) 4 7 9 21 49 9 196 0
77
tt
ttt
tt
+
+
++
⇔⋅ +⋅ − ⋅ − = ⇔ =
.
Xét hàm số
43 1 3
() 4
7 77
aa
a
a
fa
+
 
= =⋅+
 
 
là hàm số nghịch biến trên
.
Do đó
2
(*) ( 2) (2 ) 2 2 2 2 2ft f t t t t x y⇔ + = ⇔+ = ⇔= ⇔ − =
Khi đó
2
2 88 8
2 1 22 1 9
xx
P xx
xx x
++
= = + +≥ ⋅ +=
.
Vậy
min
9P =
khi
2x =
và
6y =
, hay
8xy+=
.
Câu 48. Cho hình trụ
()T
có
AB
,
CD
lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng
10.
Thể tích khối trụ
()T
bằng
A.
15
π
. B.
30
π
. C.
45
π
. D.
60
π
.
16
Lời giải
Gọi
r
và
h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ
()T
.
Thể tích tứ diện
ABCD
được tính theo công thức
1
d(, )sin(, ).
6
V AB CD AB CD AB CD=⋅⋅⋅ ⋅
Ta có
10
V
=
,
d( , )
AB CD h=
và
( , ) 90AB CD
°
=
, do đó ta có
2
1
10 2 2 sin 90 15.
6
r r h rh
°
=⋅⋅⋅⋅ ⇒ =
Vậy thể tích khối trụ
()T
bằng
2
15rh
ππ
=
.
Câu 49. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
(
)
1; 2; 3
I
, bán kính
5R =
và điểm
( )
2; 4;5P
nằm bên trong mặt cầu. Qua
P
dựng 3 dây cung
AA
′
,
BB
′
,
CC
′
của mặt cầu
()S
đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là
PA
,
PB
,
PC
. Gọi
PQ
là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng
Q
luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng
A.
57
. B.
61
. C.
219
6
. D.
219
2
.
Lời giải
CÁCH 1:
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, ta có
222 2 2 2 2 2
33 .R IA IB IC IG GA GB GC=++ = + + +
(1)
Lại có
2 2 22 2 222 2
.93PG PQ PA PB PC PG GA GB GC= =++ = +++
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 2 2 2 22
.33 6 2R IG PG IG PG R= + ⇔+ =
Vì
20
GQ GP+=
 
nên ta có
( )
2 22
2 2 22 2
22 2
22 2
2 2 22
2 22
2 22
32
9 44
42
362
3 6 18
9 18 3 6
9 36
3 2 57
IG IQ IP
IG IQ IP IQIP
IQ IP IQ IP PQ
IQ IP PQ
IQ IP PG
IG PG IQ IP
R IQ IP
IQ R IP
= +
⇒ = ++
= + + +−
= +−
= +−
⇒+ = +
⇒=+
⇒ = −=
  
 
Vậy điểm
Q
luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm
I
, bán kính bằng
57
.
CÁCH 2:
17
Giả sử ta dựng hình hộp chữ nhật
.PADB CEQF
thoả mãn bài toán.
Gọi
G
,
H
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
I
trên các mặt phẳng
()PBFC
và
()ADQE
.
Ta có
( )
( )
( )
( ) (
)
2 22 2
2 22
2 22
22
22
22
22
2
2
2
IQ IA AQ IA PB PC
IQ IA PB PC IA PB PC PBPC
R HA PB PC PB PC
R GP PB PC PB PC
R GP PB GP PC GP
R GB GC
= + =++
⇒ = +++ ++
= + +++
= + +++
= ++ ++ −
=++
     
    
  
  
   
22
2 22 2
2 22
22
2
2( ) 2
3 2( )
3 2 57
57.
GP
R R GI GP
R GI GP
R IP
IQ
−
=+−−
=−+
= −=
⇒=
Vậy
Q
luôn nằm trên mặt cầu tâm
I
, bán kính bằng
57
.
Câu 50. Cho hàm số
()y fx=
có
( 2) 0f −=
, có đạo hàm liên tục trên
và bảng xét dấu đạo hàm như
sau
Hàm số
( )
42 62
() 3 2 2 2 6gx f x x x x= −+ −− +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
Lời giải
Đặt
( )
42 62
() 3 2 2 2 6
hx f x x x x= −+ −− +
.
Ta có
( )
( )
2 42 2
( ) 12 1 2 2 1hx xx f x x x

′′
=− − −+ −+ +

.
Mà
( )
2
42 2
2 2 1 1 1,xx x x− + − =− − − ≤− ∀ ∈
nên dựa vào bảng xét dấu của
()fx
′
ta suy ra
( )
42
2 20fx x
′
−+ −≥
.
Suy ra
( )
42 2
2 2 1 0,fx x x x
′
− + − + +> ∀∈
.
Do đó dấu của
()hx
′
cùng dấu với
( )
2
( ) 60 1ux x x=−−
, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm
1x = −
;
0x =
;
1x =
.
18
Vậy hàm số
()hx
luôn có 3 điểm cực trị.
Ta có
(0) 3 ( 2) 0hf= −=
nên đồ thị hàm số
()y hx=
tiếp xúc trục hoành tại
O
và cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt.
Vậy
()y gx=
có
5
điểm cực trị.
--------------- HẾT ---------------
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 06 trang, 50 câu)
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2023
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh: ………………………………………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………………………………………...
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
(2; 1)
M −
là điểm biểu diễn của số phức
A.
2
i
−
. B.
12i−−
. C.
12i−+
. D.
2 i+
.
Câu 2. Tập xác định của hàm số
3
logyx=
là
A.
( )
0; +∞
. B.
[
)
0; +∞
. C.
. D.
{0}
.
Câu 3. Đạo hàm của hàm số
3
yx
−
=
,
( )
0x ≠
là
A.
4
3yx
−
′
= −
. B.
2
3yx
−
′
= −
. C.
2
3yx
′
= −
. D.
2
3
yx
−
′
=
.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình
28
x
>
là
A.
(3; )+∞
. B.
[
)
4; +∞
. C.
( )
4; +∞
. D.
[
)
3; +∞
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
2
2u =
và
3
5
u
=
. Công sai
d
của cấp số cộng đã cho bằng
A.
3
. B.
3
−
. C.
7
. D.
7−
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng toạ độ
()Oxy
có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là
A.
(0; 0;1)
. B.
(1;1; 0 )
. C.
(1;0;0)
. D.
( 0; 1; 0)
.
Câu 7. Cho hàm số
32
y ax bx cx d= + ++
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
A.
(0; 2)
. B.
(0;1)
. C.
(0; 2)−
. D.
(2; 0)
.
Câu 8. Nếu
1
0
( )d 2fx x=
∫
và
1
0
( )d 3gx x=
∫
thì
( )
1
0
() dfx gx x

−

∫
bằng
A.
1−
. B.
1
. C.
5
. D.
5−
.
Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
ĐỀ GỐC: CHẴN
A.
42
21yx x=−+
. B.
2
1
x
y
x
−
=
+
. C.
2
21yx x=−+
. D.
32
32yx x=−+
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 22
():(1)( 2)(3)9Sx y z+ +− ++ =
. Tâm của
()S
có tọa
độ là
A.
( 1; 2; 3)−−
. B.
(1; 2; 3)
−
. C.
(2; 4; 6)−
. D.
( 2; 4; 6)−−
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, góc giữa hai trục toạ độ
Ox
và
Oy
bằng
A.
90
°
. B.
30
°
. C.
45
°
. D.
60
°
.
Câu 12. Phần ảo của số phức
34zi
= −
bằng
A.
4−
. B.
4
. C.
4i−
. D.
3
.
Câu 13. Khối lập phương có tất cả bao nhiêu mặt?
A.
6
. B.
8
. C.
4
. D.
5
.
Câu 14. Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có
2
AB =
,
3BC =
,
4CC
′
=
. Thể tích khối hộp chữ
nhật đã cho bằng
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
9
.
Câu 15. Cho điểm
M
nằm bên trong mặt cầu
S
có tâm
O
, bán kính
R
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
OM R<
. B.
OM R=
. C.
OM R>
. D.
0OM =
.
Câu 16. Số phức liên hợp của số phức
23
zi
= −
là
A.
23zi= +
. B.
23
zi= −
. C.
23zi=−+
. D.
.
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A.
24
π
. B.
36
π
. C.
12
π
. D.
30
π
.
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:3
2
xt
dy t
zt
= −
= +
=−−
. Điểm nào sau đây thuộc
d
?
A.
(1; 3; 2 )Q −
. B.
( 2; 1; 1)P −
. C.
( 2; 1; 2 )N −
. D.
( 2; 1; 2)M −−
.
Câu 19. Cho hàm số
42
y ax bx c=++
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại
A.
0x =
. B.
1x = ±
. C.
2x =
. D.
1x =
.
Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang?
A.
21
3
x
y
x
+
=
−
. B.
42
2yx x
=−+
. C.
2
32yx x=−+
. D.
2
3
x
y
−
=
.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
2
log ( 2) 0x
−<
là
A.
( )
2;3
. B.
[
)
2;3
. C.
( )
;3−∞
. D.
( )
3; +∞
.
Câu 22. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn dài có 5 ghế, mỗi người một ghế?
A.
5!
. B.
10
. C.
5
5
. D.
55×
.
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
3
()fx x=
?
A.
4
1
()
4
Fx x=
. B.
2
() 3Fx x=
. C.
4
() 3Fx x=
. D.
.
Câu 24. Nếu
2
0
( )d 5fx x
=
∫
thì
[
]
2
0
( ) 3d
fx x
−
∫
bằng
A.
1
−
. B.
8
. C.
2
. D.
4
.
Câu 25. Cho hàm số
()
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
(1; )+∞
. B.
( 4; 0)−
. C.
( 4; )− +∞
. D.
(0; )
+∞
.
Câu 26. Cho hàm số
( ) cos
2
x
fx=
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )d 2sin
2
x
fx x C
= +
∫
. B.
( )d 2sin
2
x
fx x C=−+
∫
.
C.
( )d sin
2
x
fx x C= +
∫
. D.
( )d sin
2
x
fx x C=−+
∫
.
Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
A.
[1;2]
min 3y =
. B.
[1;2]
min 2y =
. C.
[1;2 ]
1
min
2
y =
. D.
[1;2 ]
3
min
2
y
=
.
Câu 28. Với
01a
<≠
và
0x >
,
log
a
x
a
bằng
A.
x
. B.
x
a
. C.
x
a
. D.
ax
.
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
6y xx=− ++
và
0y =
bằng
A.
125
6
. B.
95
6
. C.
125
6
π
. D.
95
6
π
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
4AC a=
và
SA
vuông góc
với mặt đáy. Khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SAC
bằng
A.
2
a
. B.
4
a
. C.
2a
. D.
22a
.
Câu 31. Cho hàm số bậc ba
()
y fx
=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình
() 3fx=
có bao
nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A.
4
. B.
6
. C.
5
. D.
3
.
Câu 32. Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
23
( ) ( 2) ( 2) (3 )fx x x x
′
=+−−
,
x∀∈
. Hàm số
()
fx
đạt cực
đại tại
A.
3x =
. B.
2x
=
. C.
2
x = −
. D.
2
x = ±
.
Câu 33. Từ một tổ có
10
bạn gồm
6
bạn nam và 4 bạn nữ, chọn một đội tình nguyện gồm 4 bạn. Xác
suất để chọn được đội có ít nhất 2 bạn nữ là
A.
23
42
. B.
3
7
. C.
13
14
. D.
5
6
.
Câu 34. Số nghiệm của phương trình
2
3
29
34
xx−

=


là
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Câu 35. Cho số phức
z
sao cho
( )( )
2z zi++
là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức
z
là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A.
2 20xy
− +=
. B.
2 20xy+ +=
. C.
2 20xy− −=
. D.
2 20xy+ −=
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
(2; 0; 0)A
,
(0; 3; 0)B
và
(0; 0; 5)C
. Mặt phẳng đi qua ba
điểm
A
,
B
,
C
có một vectơ pháp tuyến là
A.
(15;10;6)n =
. B.
(6;15;10)n =
. C.
(2;3;5)
n
=
. D.
.
Câu 37. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2; 3)A
và
( 2; 5; 6)B −
. Điểm
M
thoả mãn
20
MA MB+=
 
có toạ độ là
A.
. B.
(0; 3; 4)
M
. C.
(5; 8; 9)M −−
. D.
( 3;12;13)M
−
.
Câu 38. Cho hình chóp đều
.S ABCD
có chiều cao
a
,
2AC a=
. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng
()SCD
và mặt phẳng
()ABCD
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
. B.
45
α
°
=
. C.
2
tan
2
α
=
. D.
60
α
°
=
.
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên
[0;2023]x ∈
thỏa mãn bất phương trình
( )
2
2
log 1 log ( 5)xx−> +
?
A.
2019
. B.
2020
. C.
2021
. D.
2023
.
Câu 40. Cho hàm số
()fx
liên tục trên
và
( )
1
2
4
2
00
()
tan d d 2
1
xfx
f xx x
x
π
= =
+
∫∫
. Tính
1
0
( )dI fx x=
∫
.
A.
4I =
. B.
2I =
. C.
4
I = −
. D.
6I =
.
Câu 41. Cho hàm số bậc ba
( )
y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
sao cho đồ thị hàm số
( )
( )
1
gx
fx m
=
−
có đúng ba đường tiệm cận?
A.
2
. B.
5
. C.
1
. D.
3
.
Câu 42. Xét các số phức
z
thỏa mãn
3 2| 2 |z i zi−+= −
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
||
z
. Giá trị của
Mm+
bằng
A.
2 10
. B.
22
. C.
42
. D.
10
.
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2a
. Gọi
M
,
N
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
BC
′′
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
MN
và đường thẳng
AA
′
bằng
30
°
.
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.
3
46a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
46
3
a
. D.
3
26a
.
Câu 44. Cho hàm số bậc ba
32
()y f x ax bx cx d
= = + ++
có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường
()y fx
′
=
và
() ()g x f x bx c
′′
= +−
bằng
A.
25
2
. B.
145
2
. C.
125
2
. D.
29
2
.
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
42
2( 2) 3 2 0z mzm+ + + +=
, (
m
là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
4
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
12
:
3 11
xy z
d
−+
= =
;
: 12
1
xt
dy t
zt
=
′
= +
=−+
. Gọi
∆
là
đường thẳng đi qua
(3; 2;1)M
, vuông góc với
d
và cắt
'd
. Khi đó tọa độ giao điểm của
∆
và mặt phẳng
Oyz
là
A.
( )
0;11;1
. B.
( )
0; 2;1
. C.
( )
0; 11;1−
. D.
( )
0; 2;1
−
.
Câu 47. Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa mãn
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7 .
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
Khi biểu thức
10xy
P
x
++
=
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng
xy
+
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
192+
. D.
182+
.
Câu 48. Cho hình trụ
()T
có
AB
,
CD
lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng
10.
Thể tích khối trụ
()T
bằng
A.
15
π
. B.
30
π
. C.
45
π
. D.
60
π
.
Câu 49. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
( )
1; 2; 3
I
, bán kính
5R
=
và điểm
( )
2; 4;5P
nằm bên trong mặt cầu. Qua
P
dựng 3 dây cung
AA
′
,
BB
′
,
CC
′
của mặt cầu
()
S
đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là
PA
,
PB
,
PC
. Gọi
PQ
là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng
Q
luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng
A.
57
. B.
61
. C.
219
6
. D.
219
2
.
Câu 50. Cho hàm số
()y fx=
có
( 2) 0f −=
, có đạo hàm liên tục trên
và bảng xét dấu đạo hàm như
sau
Hàm số
( )
42 62
() 3 2 2 2 6gx f x x x x= −+ −− +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
--------------- HẾT ---------------
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CÁC CÂU VẬN DỤNG
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm
(2; 1)M −
là điểm biểu diễn của số phức
A.
2
i−
. B.
12i−−
. C.
12
i−+
. D.
2 i+
.
Câu 2. Tập xác định của hàm số
3
logyx
=
là
A.
( )
0; +∞
. B.
[
)
0; +∞
. C.
. D.
{0}
.
Câu 3. Đạo hàm của hàm số
3
yx
−
=
,
(
)
0x ≠
là
A.
4
3yx
−
′
= −
. B.
2
3yx
−
′
= −
. C.
2
3
yx
′
= −
. D.
2
3
yx
−
′
=
.
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình
28
x
>
là
A.
(3; )+∞
. B.
[
)
4; +∞
. C.
( )
4; +∞
. D.
[
)
3;
+∞
.
Câu 5. Cho cấp số cộng
( )
n
u
với
2
2u =
và
3
5u =
. Công sai
d
của cấp số cộng đã cho bằng
A.
3
. B.
3−
. C.
7
. D.
7−
.
Lời giải
Ta có
32
3du u=−=
.
Câu 6. Trong không gian
Oxyz
, mặt phẳng toạ độ
()Oxy
có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là
A.
(0; 0;1)
. B.
(1;1; 0 )
. C.
(1;0;0)
. D.
( 0; 1; 0)
.
Câu 7. Cho hàm số
32
y ax bx cx d
= + ++
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
A.
(0; 2)
. B.
(0;1)
. C.
(0; 2)−
. D.
(2; 0)
.
Câu 8. Nếu
1
0
( )d 2fx x=
∫
và
1
0
( )d 3gx x=
∫
thì
( )
1
0
() dfx gx x

−

∫
bằng
A.
1−
. B.
1
. C.
5
. D.
5−
.
Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A.
42
21yx x
=−+
. B.
2
1
x
y
x
−
=
+
. C.
2
21yx x=−+
. D.
32
32yx x
=−+
.
Câu 10. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
2 22
():(1)( 2)(3)9Sx y z
+ +− ++ =
. Tâm của
()S
có tọa
độ là
A.
( 1; 2; 3)−−
. B.
(1; 2; 3)
−
. C.
(2; 4; 6)−
. D.
( 2; 4; 6)−−
.
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, góc giữa hai trục toạ độ
Ox
và
Oy
bằng
A.
90
°
. B.
30
°
. C.
45
°
. D.
60
°
.
Câu 12. Phần ảo của số phức
34zi= −
bằng
A.
4−
. B.
4
. C.
4
i
−
. D.
3
.
Câu 13. Khối lập phương có tất cả bao nhiêu mặt?
A.
6
. B.
8
. C.
4
. D.
5
.
Câu 14. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
′′′′
có
2AB
=
,
3
BC =
,
4
CC
′
=
. Thể tích khối hộp chữ
nhật đã cho bằng
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
9
.
Câu 15. Cho điểm
M
nằm bên trong mặt cầu
S
có tâm
O
, bán kính
R
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
OM R<
. B.
OM R=
. C.
OM R>
. D.
0OM =
.
Câu 16. Số phức liên hợp của số phức
23
zi= −
là
A.
23zi= +
. B.
23zi= −
. C.
23zi=−+
. D.
.
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
cho bằng
A.
24
π
. B.
36
π
. C.
12
π
. D.
30
π
.
Lời giải
2 2 3 4 24
xq
S rl
ππ π
= = ⋅⋅ =
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
12
:3
2
xt
dy t
zt
= −
= +
=−−
. Điểm nào sau đây thuộc
d
?
A.
(1; 3; 2 )Q −
. B.
( 2; 1; 1)P −
. C.
( 2; 1; 2 )N −
. D.
( 2; 1; 2)M
−−
.
Câu 19. Cho hàm số
42
y ax bx c
=++
có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại
A.
0x =
. B.
1x = ±
. C.
2x =
. D.
1x =
.
Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang?
A.
21
3
x
y
x
+
=
−
. B.
42
2yx x=−+
. C.
2
32
yx x=−+
. D.
2
3
x
y
−
=
.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
2
log ( 2) 0x −<
là
A.
( )
2;3
. B.
[
)
2;3
. C.
( )
;3−∞
. D.
( )
3; +∞
.
Câu 22. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn dài có 5 ghế, mỗi người một ghế?
A.
5!
. B.
10
. C.
5
5
. D.
55×
.
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
3
()fx x
=
?
A.
4
1
()
4
Fx x=
. B.
2
() 3Fx x=
. C.
4
() 3
Fx x
=
. D.
.
Câu 24. Nếu
2
0
( )d 5
fx x=
∫
thì
[ ]
2
0
( ) 3dfx x−
∫
bằng
A.
1−
. B.
8
. C.
2
. D.
4
.
Câu 25. Cho hàm số
()y fx
=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.
(1; )+∞
. B.
( 4; 0)−
. C.
( 4; )− +∞
. D.
(0; )
+∞
.
Câu 26. Cho hàm số
( ) cos
2
x
fx=
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )d 2sin
2
x
fx x C
= +
∫
. B.
( )d 2sin
2
x
fx x C=−+
∫
.
C.
( )d sin
2
x
fx x C= +
∫
. D.
( )d sin
2
x
fx x C=−+
∫
.
Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
A.
[1;2]
min 3y =
. B.
[1;2]
min 2y =
. C.
[1;2 ]
1
min
2
y =
. D.
[1;2 ]
3
min
2
y
=
.
Lời giải
Ta có
2
1
0y
x
′
=−<
,
[1; 2]
x∀∈
nên hàm số nghịch biến trên
[1; 2]
, do đó
[1;2]
min (2) 2yy= =
.
Câu 28. Với
01a<≠
và
0x >
,
log
a
x
a
bằng
A.
x
. B.
x
a
. C.
x
a
. D.
ax
.
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
2
6y xx=− ++
và
0y =
bằng
A.
125
6
. B.
95
6
. C.
125
6
π
. D.
95
6
π
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
4AC a=
và
SA
vuông góc
với mặt đáy. Khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
()SAC
bằng
A.
2a
. B.
4a
. C.
2a
. D.
22a
.
Lời giải
Vì
()SA ABC⊥
nên
( )( )ABC SAC⊥
, giao tuyến của hai mặt phẳng là
AC
.
Suy ra
( ) ( )
4
d,( ) d, 2
22
AC a
B SAC B AC a= = = =
.
Câu 31. Cho hàm số bậc ba
()y fx=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình
() 3fx=
có bao
nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A.
4
. B.
6
. C.
5
. D.
3
.
Câu 32. Cho hàm số
()y fx
=
có đạo hàm
23
( ) ( 2) ( 2) (3 )fx x x x
′
=+−−
,
x∀∈
. Hàm số
()
fx
đạt cực
đại tại
A.
3
x =
. B.
2x =
. C.
2x = −
. D.
2x = ±
.
Lời giải
Bảng xét dấu của
()fx
′
Vậy hàm số đạt cực đại tại
3x =
.
Câu 33. Từ một tổ có
10
bạn gồm
6
bạn nam và 4 bạn nữ, chọn một đội tình nguyện gồm 4 bạn. Xác
suất để chọn được đội có ít nhất 2 bạn nữ là
A.
23
42
. B.
3
7
. C.
13
14
. D.
5
6
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu
(
)
4
10
C 210
n Ω= =
.
Để chọn được ít nhất 2 bạn nữ, ta xét các trường hợp sau:
Chọn 2 nữ, 2 nam: có
22
46
C C 90=
cách chọn.
Chọn 3 nữ, 1 nam: có
31
46
C C 24=
cách chọn.
Chọn 4 nữ: có
4
4
C1=
cách chọn.
Số khả năng chọn được ít nhất 2 bạn nữ là
90 24 1 115+ +=
.
Xác suất cần tìm bằng
115 23
210 42
=
.
Câu 34. Số nghiệm của phương trình
2
3
29
34
xx−

=


là
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
0
.
Lời giải
Phương trình tương đương với
22
2
3
1
9
3 log 3 2
2.
4
x
xx xx
x
=
−= ⇔−=−⇔
=
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 35. Cho số phức
z
sao cho
( )(
)
2z zi++
là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức
z
là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A.
2 20xy− +=
. B.
2 20xy+ +=
. C.
2 20xy− −=
. D.
2 20xy+ −=
.
Lời giải
Đặt
z x yi= +
,
x
,
y ∈
. Điểm biểu diễn số phức
z
là
(; )Mxy
.
Ta có
( )( )
[ ]
[
]
[ ]
[ ]
[
]
22
2 ( 2) ( )
( 2) (1 )
( 2) (1 ) ( 2)(1 )
( 2 ) ( 2 2) .
z z i x yi x yi i
x yi x y i
x x y y x y xy i
x y xy x y i
+ + = ++ − +
= + + +−
= +− −+ + −+
= + + −+− +
Suy ra
( )( )
2z zi++
là một số thực khi và chỉ khi
2 20xy− +=
hay tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
là đường thẳng
: 2 20dx y− +=
.
Câu 36. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
(2; 0; 0)A
,
(0; 3; 0)B
và
(0; 0; 5)C
. Mặt phẳng đi qua ba
điểm
A
,
B
,
C
có một vectơ pháp tuyến là
A.
(15;10;6)n =
. B.
(6;15;10)
n
=
. C.
(2;3;5)n
=
. D.
.
Lời giải
Phương trình mặt phẳng
()ABC
theo đoạn chắn là
1 15 10 6 30 0.
235
xyz
x yz++=⇔ + + − =
Do đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
(15;10;6)n
=
.
Câu 37. Trong không gian
Oxyz
, cho hai điểm
(1; 2; 3)A
và
( 2; 5; 6)B −
. Điểm
M
thoả mãn
20MA MB+=
 
có toạ độ là
A.
. B.
(0; 3; 4)
M
. C.
(5; 8; 9)M −−
. D.
( 3;12;13)M −
.
Lời giải
Gọi
(;;)M abc
, ta có
(1;2;3)MA a b c=−−−

,
( 2 ;5 ;6 )MB a b c=−− − −

. Từ giả thiết ta có hệ phương
trình
(1 ) 2( 2 ) 0 1
(2 ) 2(5 ) 0 4
(3 ) 2(6 ) 0 5
a aa
bb b
cc c
− + −− = =−


−+ −= ⇔ =


−+ −= =

Câu 38. Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có chiều cao
a
,
2AC a=
. Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng
()SCD
và mặt phẳng
()ABCD
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
. B.
45
α
°
=
. C.
2
tan
2
α
=
. D.
60
α
°
=
.
Lời giải
Gọi
O
là tâm của đáy và
H
là trung điểm của
CD
. Từ giả thiết ta có
() .
SO CD
CD SOH CD SH
OH
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Suy ra
( ) ( )
( ), ( ) ,SCD ABCD SH OH SHO= =
(vì tam giác
SOH
vuông tại
H
).
Ta có
SO a=
,
11
22
22
AC a
OH AD= = =
.
Ta có
tan 2
SO
OH
α
= =
.
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên
[0;2023]x ∈
thỏa mãn bất phương trình
( )
2
2
log 1 log ( 5)xx−> +
?
A.
2019
. B.
2020
. C.
2021
. D.
2023
.
Lời giải
Điều kiện:
1x >
.
Bất phương trình đã cho tương đương với
\allowdisplaybreaks
22
2
2
2 log ( 1) log ( 5)
( 1) 5
3 40
1
4
xx
xx
xx
x
x
−> +
⇔ − >+
⇔ − −>
<−
⇔
>
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( )
4; +∞
.
Vì
m
tự nhiên thuộc đoạn
[0;2023]
nên ta có
{5;6; ; 2023}m ∈
: có 2019 giá trị.
Câu 40. Cho hàm số
()fx
liên tục trên
và
( )
1
2
4
2
00
()
tan d d 2
1
xfx
f xx x
x
π
= =
+
∫∫
. Tính
1
0
( )dI fx x=
∫
.
A.
4I =
. B.
2I =
. C.
4I = −
. D.
6I
=
.
Lời giải
Từ giả thiết
4
0
d2
4
f xx
π
π

−=


∫
, ta đặt
tan
4
tx
π

= −


, ta được
1
2
0
()
d2
1
ft
t
t
=
+
∫
.
Từ đó ta có
11 1
2
22
00 0
() ()
( )d d d 2 2 4.
11
xfx fx
fx x x x
xx
= + =+=
++
∫∫ ∫
Câu 41. Cho hàm số bậc ba
( )
y fx
=
có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
sao cho đồ thị hàm số
( )
( )
1
gx
fx m
=
−
có đúng ba đường tiệm cận?
A.
2
. B.
5
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Với mọi
m
, ta có
lim ( ) 0
x
gx
→±∞
=
, suy ra hàm số
()y gx=
luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang
là
0y =
.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là
phương trình
() 0fx m−=
có hai nghiệm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
1
3
m
m
= −
=
.
Vậy có
2
giá trị của
m
thoả mãn bài toán.
Câu 42. Xét các số phức
z
thỏa mãn
3 2| 2 |
z i zi−+= −
. Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
||z
. Giá trị của
Mm+
bằng
A.
2 10
. B.
22
. C.
42
. D.
10
.
Lời giải
Đặt
z x yi= +
,
x
,
y ∈
. Từ giả thiết ta có
2 22 2
22
32 2
(3)(1)4 (2)
2 6 20
x yi i x yi i
x y xy
xy xy
+−+= +−

⇔ − ++ = +−

⇔ + + − +=
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
là đường tròn
()
C
có tâm
( 1; 3)I
−
, bán kính
22R =
.
Ta thấy
10OI R= >
nên điểm
O
nằm bên ngoài đường tròn
()C
.
Do đó
()
max max
MC
M z OM R OI
∈
= = = +
()
min min
MC
m z OM OI R
∈
= = = −
Vậy
2 2 10M m OI+= =
.
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2a
. Gọi
M
,
N
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
BC
′′
. Biết rằng góc giữa đường thẳng
MN
và đường thẳng
AA
′
bằng
30
°
.
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.
3
46a
. B.
3
6
3
a
. C.
3
46
3
a
. D.
3
26a
.
Lời giải
Gọi
P
là trung điểm của
BC
, ta có
NP AA
′
, do đó
( ) ( )
, ,.MN AA MN NP
′
=
Vì tam giác
MNP
vuông ở
P
,
2
2
AC
MP a= =
nên ta có
( )
, 30MNP MN AA
°
′
= =
6.
cot 30
MP
NP a
°
⇒= =
Vậy thể tích khối hộp đã cho bằng
23
(2 ) 6 4 6.
ABCD
S NP a a a⋅= ⋅ =
Câu 44. Cho hàm số bậc ba
32
()y f x ax bx cx d= = + ++
có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường
()y fx
′
=
và
() ()g x f x bx c
′′
= +−
bằng
A.
25
2
. B.
145
2
. C.
125
2
. D.
29
2
.
Lời giải
Ta có
2
32y ax bx c
′
= ++
.
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( 2; 0)−
,
(3; 5)−
và hàm số đạt cực trị tại
1x
= −
và
3
x
=
nên ta có hệ phương
trình:
1
5
842 0
3
27 9 3 5
5
32 0 9
5
27 6 0
2
5
a
a b cd
b
a b cd
a bc
c
a bc
d
=
− + − +=
= −
+ + +=−
⇔

− +=

= −

+ +=
=
Khi đó
32
1 3 92
()
5 5 55
fx x x x= − −+
;
2
3 69
()
5 55
fx x x
′
= −−
,
66
()
55
fx x
′′
= −
và
33
()
55
gx x= +
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
()
fx
′
và
()gx
:
2
1
3 6933
4
5 5 55 5
x
xx x
x
= −
− −= +⇔
=
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
()
fx
′
và
()gx
bằng
4
2
1
3 9 12 25
d.
5 55 2
xx x
−
−− =
∫
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình
42
2( 2) 3 2 0z mzm+ + + +=
, (
m
là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số
m
sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng
4
?
A.
1
. B.
0
. C.
2
. D. Vô số.
Lời giải
Đặt
2
tz=
, phương trình trở thành
2
2( 2) 3 2 0t m tm+ + + +=
. \hfill (1)
Ta có,
22
( 2) (3 2) 2 0m m mm
′
∆= + − + = + + >
,
m∀∈
, do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm
thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
thẳng hàng
(cùng thuộc
Ox
hoặc cùng thuộc
Oy
) nên không thoả mãn bài toán.
Nếu (1) có hai nghiệm trái dấu
12
0tt<<
, tức là
2
3 20
3
mm+ < ⇔ <−
thì phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt là
2
t±
và
1
it±−
.
Giả sử
( )
2
;0
At−
,
,
(
)
2
;0Ct
và
(
)
1
0;Dt
−−
. Khi đó, bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
tạo thành
một hình thoi.
Diện tích hình thoi
ABCD
bằng
2 1 12
11
22 2 .
22
AC BD t t t t⋅ ⋅ =⋅ ⋅ −= −
Từ giả thiết và theo định lý Vi ét, ta có
2 3 2 4 2.mm− −=⇔ =−
Đối chiếu điều kiện, ta có
2
m
= −
là giá trị cần tìm.
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho hai đường thẳng
12
:
3 11
xy z
d
−+
= =
;
: 12
1
xt
dy t
zt
=
′
= +
=−+
. Gọi
∆
là
đường thẳng đi qua
(3; 2;1)M
, vuông góc với
d
và cắt
'
d
. Khi đó tọa độ giao điểm của
∆
và mặt phẳng
Oyz
là
A.
( )
0;11;1
. B.
( )
0; 2;1
. C.
( )
0; 11;1
−
. D.
(
)
0; 2;1−
.
Lời giải
Gọi giao điểm của
∆
và
d
′
là
( ;1 2 ; 1 )Nt t t+ −+
.
Khi đó
(
)
3; 2 1; 2 0MN t t t
=− −−≠

,
t∀
là vectơ chỉ phương của
∆
và
(3;1;1)u =
là vectơ chỉ phương
của
d
.
Vì
d∆⊥
nên
0MN u⋅=

, tương đương với
3( 3) (2 1) ( 2) 0 2.t tt t
− + − + − = ⇔=
Khi đó
( 1; 3; 0 )MN
= −

nên phương trình đường thẳng
∆
là
1
z
= −
= +
=
.
Giao điểm của
∆
và
()Oyz
là điểm có toạ độ
(0;11;1)
.
Câu 47. Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa mãn
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7 .
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
Khi biểu thức
10xy
P
x
++
=
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng
xy+
bằng
A.
8
. B.
9
. C.
192+
. D.
182
+
.
Lời giải
Ta có
( )
2 22
2 2 2 22
43 49 7
xy xy yx−+ − − +
+ =+⋅
( ) ( )
22 2
22 2
7 493 4949
xy xy xy−− −
⇔ +⋅ = +
22 2
222
4 7 9 21 49 9 196 0
xy xy xy−−−
⇔ ⋅ +⋅ − ⋅ − =
. (*)
Đặt
2
2,t xy= −
ta được
22
22
43 43
(*) 4 7 9 21 49 9 196 0
77
tt
ttt
tt
+
+
++
⇔⋅ +⋅ − ⋅ − = ⇔ =
.
Xét hàm số
43 1 3
() 4
7 77
aa
a
a
fa
+
 
= =⋅+
 
 
là hàm số nghịch biến trên
.
Do đó
2
(*) ( 2) (2 ) 2 2 2 2 2ft f t t t t x y⇔ + = ⇔+ = ⇔= ⇔ − =
Khi đó
2
2 88 8
2 1 22 1 9
xx
P xx
xx x
++
= = + +≥ ⋅ +=
.
Vậy
min
9P =
khi
2x =
và
6y =
, hay
8xy+=
.
Câu 48. Cho hình trụ
()T
có
AB
,
CD
lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện
ABCD
bằng
10.
Thể tích khối trụ
()T
bằng
A.
15
π
. B.
30
π
. C.
45
π
. D.
60
π
.
Lời giải
Gọi
r
và
h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ
()T
.
Thể tích tứ diện
ABCD
được tính theo công thức
1
d(, )sin(, ).
6
V AB CD AB CD AB CD=⋅⋅⋅ ⋅
Ta có
10
V =
,
d( , )
AB CD h=
và
( , ) 90AB CD
°
=
, do đó ta có
2
1
10 2 2 sin 90 15.
6
r r h rh
°
=⋅⋅⋅⋅ ⇒ =
Vậy thể tích khối trụ
()T
bằng
2
15rh
ππ
=
.
Câu 49. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
()S
có tâm
( )
1; 2; 3
I
, bán kính
5R =
và điểm
( )
2; 4;5P
nằm bên trong mặt cầu. Qua
P
dựng 3 dây cung
AA
′
,
BB
′
,
CC
′
của mặt cầu
()S
đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là
PA
,
PB
,
PC
. Gọi
PQ
là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng
Q
luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng
A.
57
. B.
61
. C.
219
6
. D.
219
2
.
Lời giải
CÁCH 1:
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, ta có
222 2 2 2 2 2
33 .R IA IB IC IG GA GB GC=++ = + + +
(1)
Lại có
2 2 22 2 222 2
.93PG PQ PA PB PC PG GA GB GC= =++ = +++
(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 2 2 2 22
33 6 2
R IG PG IG PG R= + ⇔+ =
.
Vì
20GQ GP+=
 
nên ta có
(
)
2 22
2 2 22 2
22 2
22 2
2 2 22
2 22
2 22
32
9 44
42
362
3 6 18
9 18 3 6
9 36
3 2 57
IG IQ IP
IG IQ IP IQIP
IQ IP IQ IP PQ
IQ IP PQ
IQ IP PG
IG PG IQ IP
R IQ IP
IQ R IP
= +
⇒ = ++
= + + +−
= +−
= +−
⇒+ = +
⇒=+
⇒ = −=
  
 
Vậy điểm
Q
luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm
I
, bán kính bằng
57
.
CÁCH 2:
Giả sử ta dựng hình hộp chữ nhật
.PADB CEQF
thoả mãn bài toán.
Gọi
G
,
H
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
I
trên các mặt phẳng
()PBFC
và
()ADQE
.
Ta có
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 22 2
2 22
2 22
22
22
22
22
2
2
2
IQ IA AQ IA PB PC
IQ IA PB PC IA PB PC PBPC
R HA PB PC PB PC
R GP PB PC PB PC
R GP PB GP PC GP
R GB GC
= + =++
⇒ = +++ ++
= + +++
= + +++
= ++ ++ −
=++
     
    
  
  
   
22
2 22 2
2 22
22
2
2( ) 2
3 2( )
3 2 57
57.
GP
R R GI GP
R GI GP
R IP
IQ
−
=+−−
=−+
= −=
⇒=
Vậy
Q
luôn nằm trên mặt cầu tâm
I
, bán kính bằng
57
.
Câu 50. Cho hàm số
()y fx=
có
( 2) 0f −=
, có đạo hàm liên tục trên
và bảng xét dấu đạo hàm như
sau
Hàm số
( )
42 62
() 3 2 2 2 6gx f x x x x= −+ −− +
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
Lời giải
Đặt
( )
42 62
() 3 2 2 2 6
hx f x x x x= −+ −− +
.
Ta có
( ) ( )
2 42 2
( ) 12 1 2 2 1hx xx f x x x

′′
=− − −+ −+ +

.
Mà
( )
2
42 2
2 2 1 1 1,xx x x− + − =− − − ≤− ∀ ∈
nên dựa vào bảng xét dấu của
()fx
′
ta suy ra
( )
42
2 20fx x
′
−+ −≥
.
Suy ra
( )
42 2
2 2 1 0,fx x x x
′
− + − + +> ∀∈
.
Do đó dấu của
()hx
′
cùng dấu với
( )
2
( ) 60 1ux x x=−−
, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm
1x = −
;
0x =
;
1x =
.
Vậy hàm số
()hx
luôn có 3 điểm cực trị.
Ta có
(0) 3 ( 2) 0hf= −=
nên đồ thị hàm số
()y hx=
tiếp xúc trục hoành tại
O
và cắt trục hoành tại
3
điểm phân biệt.
Vậy
()y gx=
có
5
điểm cực trị.
--------------- HẾT ---------------
| 1/36
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2023 Bài thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 06 trang, 50 câu) ĐỀ GỐC: LẺ
Họ, tên thí sinh: ……………………………………………………………………….
Số báo danh:…………………………………………………………………………...
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i có tọa độ là A. (2;3). B. (2; 3 − ). C. (3;2). D. (3; 2 − ) .
Câu 2. Đạo hàm của hàm số 7x y = là x A. 7x y′ = ln 7 . B. 1 7x y x − ′ = . C. 7 y′ = . D. 7x y′ = . ln 7
Câu 3. Tập xác định của hàm số y = log x là 3
A.  = (0;+∞) .
B.  = [0;+∞). C.  = ( ;0 −∞ ) . D.  = ( ;0 −∞ ].
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 3x ≤ 27 là A. ( ; −∞ ] 3 . B. [3;+∞) . C. (3;+∞) . D. ( ; −∞ 9].
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 3
− . Giá trị của u bằng n ) 2 3 A. 1 − . B. 5 − . C. 6 − . D. 5.       
Câu 6. Trong không gian Oxyz , vectơ a = 2i − 3 j − k , với i ; j;k là các vectơ đơn vị. Khi đó tọa độ của a là A. a = (2; 3 − ;− ) 1 .
B. a = (2;3; ) 1 . C. a = ( 2 − ;3; ) 1 .
D. a = (2;3;− ) 1 .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình f (x) = 0 là A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 0 . 1 1 1
Câu 8. Nếu f (x)dx = 4 ∫
và g(x)dx = 2 − ∫
thì I = ∫[ f (x)+ g(x)]dx bằng 0 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 6 − . D. 2 − .
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. 3
y = x − 3x + 2. B. 4 2
y = x − x + 2. C. 3
y = −x − 3x + 2 . D. 2
y = x − 3x + 2 . 1
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) tâm I ( 1; − 2; 3
− ) , bán kính R = 2 . Phương trình của
mặt cầu (S) là
A. (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 1 2 3 = 4 .
B. (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 1 2 3 = 2 .
C. (x − )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 4.
D. (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 1 2 3 = 4.
Câu 11. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (1;2;3) lên mặt phẳng Oxy có tọa độ A. (1;2;0) . B. (1;0;3). C. (0;2;3) . D. (0;0;3).
Câu 12. Cho hai số phức z =1− 2i ; z = 2
− + 3i . Phần ảo của số phức z = z ⋅ z bằng 1 2 1 2 A. 7 . B. 4 . C. 7i . D. 7 − .
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh 2 ; 3; 4 bằng A. 24 . B. 8 . C. 12. D. 4 .
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2 ; BC = 3; SA vuông góc với đáy và
SA = 5. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 10. B. 30. C. 6 . D. 2 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 ( ) : 1 2
3 =16 . Điểm nào sau đây
nằm bên trong mặt cầu? A. M (1; 2 − ; ) 1 . B. N ( 1; − 2;3) . C. P( 1; − 2; 3 − ) . D. Q(1; 2 − ;− ) 1 .
Câu 16. Cho số phức z = 3+ 4i , môđun của số phức z bằng A. 5. B. 3. C. 4 . D. 7 .
Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h và độ dài đường sinh l . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 2 2
l = r + h . B. 2 2 2
r = h + l . C. 2 2 2
h = r + l .
D. h = l . + − −
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 2 z 1 d : = =
. Một vectơ chỉ phương của d 2 1 2 − là
A. v = (2;1; 2 − ) . B. v = ( 1; − 2; ) 1 .
C. v = (2;1;2). D. v = (1; 2 − ;− ) 1 .
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .
B. x = 3.
C. x = 4 . D. x = 2 − . + Câu 20. Cho hàm số 2x 1 y =
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là x + 2 A. ( 2;   − 2) . B. (2;2). C. 1 2; − −  . D. (2; 2 − ) . 2   
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log x − 2 ≤ 2 là 2 ( ) A. (2;6]. B. ( ;6 −∞ ). C. ( ;6 −∞ ] . D. [2;4] . 2
Câu 22. Cho một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn để đi tình nguyện? A. 120. B. 720 . C. 6 . D. 30.
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3? A. 2
F(x) = x + 3x .
B. F(x) = 2. C. 2
F(x) = x + 3 . D. 2
F(x) = 2x + 3 . 3 3
Câu 24. Nếu f (x)dx = 2 ∫ thì [ f (x) + ∫ ]1dx bằng 0 0 A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1.
Câu 25. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) ? − A. 3 1 y x
= x + 3x + 2 . B. 2 1 y = . C. 4 2
y = x + x . D. 3
y = −x − x + 2 . x + 2 4
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x . A. 1
f (x)dx = − cos 2x + C ∫ .
B. f (x)dx = −cos 2x + C 2 ∫ . C. 1
f (x)dx = sin 2x + C ∫ .
D. f (x)dx = −sin 2x + C 2 ∫ . +
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số x 2 y = trên đoạn [1;2]. x A. max 1 3 y = 3.
B. max y = 2 .
C. max y = . D. max y = . [1;2] [1;2] [1;2] 2 [1;2] 2
Câu 28. Với a là số thực dương tùy ý, log ( 4 3a 3 ) bằng
A. 1+ 4log a .
B. 3+ log a .
C. 4log a . D. 3+ 4log a . 3 3 3 3
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
(P) : y = x + 2x và đường thẳng d : y = 2x +1 bằng π π A. 4 S = . B. 4 S = . C. 16 S = . D. 16 S = . 3 3 15 15
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy và AB = 4 .
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng A. 4 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 8 2 .
Câu 31. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f (x) =1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3. 3
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ x = (x − )2 (x − )3 ( ) 2 1 (2x + 3)(x + )
1 với mọi x∈ . Điểm
cực đại của hàm số là A. x = 1 − .
B. x = 2 . C. x =1. D. 3 x = − . 2
Câu 33. Một hộp bút bi gồm 6 bút màu đỏ, 7 bút màu đen và 8 bút màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bút từ
hộp đó, xác suất để trong 4 bút lấy ra, có đúng 1 bút màu đỏ bằng A. 26 . B. 104 . C. 9 . D. 7 . 57 285 19 19
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 9x 4 3x − ⋅ + 3 = 0 bằng A. 1. B. 4 . C. 3. D. 4 − .
Câu 35. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 3i = z +1− 2i là
một đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng đó là
A. x − 5y − 2 = 0.
B. x + y + 3 = 0.
C. x + y − 2 = 0 .
D. x − 5y − 6 = 0 .
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; 1; − − ) 1 và N (5;5; )
1 . Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng MN có phương trình là
A. 2x + 3y + z −12 = 0 . B. 2x + 3y + z +12 = 0 .
C. 3x + 2y −12 = 0 .
D. 3x + 2y − 24 = 0. − + −
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 1 z 2 ∆ : = =
song song với mặt phẳng 2 3 − 2
(P) : x + 2y + 2z + 3 = 0. Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . 3 3
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a , đáy là hình vuông cạnh a . Tính khoảng cách từ
trung điểm M của cạnh SB đến mặt phẳng (SCD) . A. a 2 . B. a 2 . C. a a 2 . D. 3 . 4 2 2 1 1
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên log x+ log x− x ∈[1; ] 2023 thỏa mãn 4 4 2 2 3 + 3 ≥ x . A. 2023. B. 2022. C. 2021. D. 2020.
Câu 40. Cho hàm số y = f (x) xác định trên 1     thỏa mãn 1 f (′x) = , f (0) = 2022, 2   2x −1
f (1) = 2023. Giá trị của f (2) − f (− ) 1 bằng A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. ln 4 .
Câu 41. Cho hàm số bậc ba f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
sao cho đồ thị hàm số ( ) 1 g x =
có đúng ba đường tiệm cận?
f (x) − m 4 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3.
Câu 42. Xét các số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i = 2 | z +1|. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của | z |. Giá trị của M + m bằng A. 4 2 . B. 5 . C. 2 2 . D. 2 5 .
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và B C
′ ′. Biết rằng góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng AA′ bằng 30° .
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 3 A. 3 4 a 6 4a 6 a 6 . B. . C. . D. 3 2a 6 . 3 3
Câu 44. Cho hàm số bậc ba 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường y = f (′x) và g(x) = f (
′′ x) + bx − c bằng A. 25 . B. 145 . C. 125 . D. 29 . 2 2 2 2
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 4 2
z + 2(m + 2)z + 3m + 2 = 0 , ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A , B , C , D biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số. x = t
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y 2 : z d − + = = ; d : 
′ y =1+ 2t . Gọi ∆ là 3 1 1 z = 1 − +  t
đường thẳng đi qua M (3;2;1) , vuông góc với d và cắt d '. Khi đó tọa độ giao điểm của ∆ và mặt phẳng (Oyz) là A. (0;11 ) ;1 . B. (0;2; ) 1 . C. (0; 1 − 1; ) 1 . D. (0; 2; − ) 1 .
Câu 47. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 . Khi biểu thức x + y +10 P =
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng x + y bằng x A. 8 . B. 9. C. 1+ 9 2 . D. 1+ 8 2 .
Câu 48. Cho hình trụ (T) có AB , CD lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 10. Thể tích khối trụ (T) bằng A. 15π . B. 30π . C. 45π . D. 60π . 5
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5)
nằm bên trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA′ , BB′ , CC′ của mặt cầu (S) đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là PA , PB , PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng A. 57 . B. 61 . C. 219 . D. 219 . 6 2
Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có f ( 2)
− = 0 , có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số g x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2
2 − 2x + 6x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
--------------- HẾT --------------- 6
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU MỨC ĐỘ VD
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i có tọa độ là A. (2;3). B. (2; 3 − ). C. (3;2). D. (3; 2 − ) .
Câu 2. Đạo hàm của hàm số 7x y = là x A. 7x y′ = ln 7 . B. 1 7x y x − ′ = . C. 7 y′ = . D. 7x y′ = . ln 7
Câu 3. Tập xác định của hàm số y = log x là 3
A.  = (0;+∞) .
B.  = [0;+∞). C.  = ( ;0 −∞ ) . D.  = ( ;0 −∞ ].
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 3x ≤ 27 là A. ( ; −∞ ] 3 . B. [3;+∞) . C. (3;+∞) . D. ( ; −∞ 9].
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và công sai d = 3
− . Giá trị của u bằng n ) 2 3 A. 1 − . B. 5 − . C. 6 − . D. 5.       
Câu 6. Trong không gian Oxyz , vectơ a = 2i − 3 j − k , với i ; j;k là các vectơ đơn vị. Khi đó tọa độ của a là A. a = (2; 3 − ;− ) 1 .
B. a = (2;3; ) 1 . C. a = ( 2 − ;3; ) 1 .
D. a = (2;3;− ) 1 .
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình f (x) = 0 là A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 0 . 1 1 1
Câu 8. Nếu f (x)dx = 4 ∫
và g(x)dx = 2 − ∫
thì I = ∫[ f (x)+ g(x)]dx bằng 0 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 6 − . D. 2 − . Lời giải Ta có 1 1 1
∫[ f (x)+ g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx = 4+( 2 − ) = 2. ∫ ∫ 0 0 0
Câu 9. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào? A. 3
y = x − 3x + 2. B. 4 2
y = x − x + 2. C. 3
y = −x − 3x + 2 . D. 2
y = x − 3x + 2 . 7
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) tâm I ( 1; − 2; 3
− ) , bán kính R = 2 . Phương trình của
mặt cầu (S) là
A. (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 1 2 3 = 4 .
B. (x + )2 + ( y − )2 + (z + )2 1 2 3 = 2 .
C. (x − )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 4.
D. (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 1 2 3 = 4.
Câu 11. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (1;2;3) lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ A. (1;2;0) . B. (1;0;3). C. (0;2;3) . D. (0;0;3).
Câu 12. Cho hai số phức z =1− 2i z = 2 − + 3i
z = z ⋅ z 1 ; 2
. Phần ảo của số phức 1 2 bằng A. 7 . B. 4 . C. 7i . D. 7 − .
Câu 13. Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh 2 ; 3; 4 bằng A. 24 . B. 8 . C. 12. D. 4 .
Câu 14. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2 ; BC = 3; SA vuông góc với đáy và
SA = 5. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 10. B. 30. C. 6 . D. 2 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S (x − )2 + ( y + )2 + (z − )2 ( ) : 1 2
3 =16 . Điểm nào sau đây
nằm bên trong mặt cầu? A. M (1; 2 − ; ) 1 . B. N ( 1; − 2;3) . C. P( 1; − 2; 3 − ) . D. Q(1; 2 − ;− ) 1 .
Câu 16. Cho số phức z = 3+ 4i , môđun của số phức z bằng A. 5. B. 3. C. 4 . D. 7 .
Câu 17. Cho hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h và độ dài đường sinh l . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 2 2
l = r + h . B. 2 2 2
r = h + l . C. 2 2 2
h = r + l .
D. h = l . + − −
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 2 z 1 d : = =
. Một vectơ chỉ phương của d 2 1 2 − là
A. v = (2;1; 2 − ) . B. v = ( 1; − 2; ) 1 .
C. v = (2;1;2). D. v = (1; 2 − ;− ) 1 .
Câu 19. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại
A. x = 2 .
B. x = 3.
C. x = 4 . D. x = 2 − . + Câu 20. Cho hàm số 2x 1 y =
. Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là x + 2 A. ( 2;   − 2) . B. (2;2). C. 1 2; − −  . D. (2; 2 − ) . 2    Lời giải 8
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2
− , đường tiệm cận ngang y = 2 nên toạ độ giao điểm hai
đường tiệm cận là I( 2; − 2) .
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log x − 2 ≤ 2 là 2 ( ) A. (2;6]. B. ( ;6 −∞ ). C. ( ;6 −∞ ] . D. [2;4] . Lời giải
Bất phương trình tương đương với
0 < x − 2 ≤ 4 ⇔ 2 < x ≤ 6.
Câu 22. Cho một nhóm học sinh có 10 bạn. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn để đi tình nguyện? A. 120. B. 720 . C. 6 . D. 30. Lời giải
Số cách chọn 3 bạn trong nhóm 10 bạn là 3 C =120 10 .
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 3? A. 2
F(x) = x + 3x .
B. F(x) = 2. C. 2
F(x) = x + 3 . D. 2
F(x) = 2x + 3 . 3 3
Câu 24. Nếu f (x)dx = 2 ∫ thì [ f (x) + ∫ ]1dx bằng 0 0 A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1.
Câu 25. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) ? − A. 3 1 y x
= x + 3x + 2 . B. 2 1 y = . C. 4 2
y = x + x . D. 3
y = −x − x + 2 . x + 2 4
Câu 26. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 2x . A. 1
f (x)dx = − cos 2x + C ∫ .
B. f (x)dx = −cos 2x + C 2 ∫ . C. 1
f (x)dx = sin 2x + C ∫ .
D. f (x)dx = −sin 2x + C 2 ∫ . +
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số x 2 y = trên đoạn [1;2]. x A. max 1 3 y = 3.
B. max y = 2 .
C. max y = . D. max y = . [1;2] [1;2] [1;2] 2 [1;2] 2
Câu 28. Với a là số thực dương tùy ý, log ( 4 3a 3 ) bằng
A. 1+ 4log a .
B. 3+ log a .
C. 4log a . D. 3+ 4log a . 3 3 3 3
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
(P) : y = x + 2x và đường thẳng d : y = 2x +1 bằng π π A. 4 S = . B. 4 S = . C. 16 S = . D. 16 S = . 3 3 15 15
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy và AB = 4 .
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng A. 4 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 8 2 .
Câu 31. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f (x) =1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? 9 A. 6 . B. 5. C. 4 . D. 3.
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ x = (x − )2 (x − )3 ( ) 2 1 (2x + 3)(x + )
1 với mọi x∈ . Điểm
cực đại của hàm số là A. x = 1 − .
B. x = 2 . C. x =1. D. 3 x = − . 2
Câu 33. Một hộp bút bi gồm 6 bút màu đỏ, 7 bút màu đen và 8 bút màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bút từ
hộp đó, xác suất để trong 4 bút lấy ra, có đúng 1 bút màu đỏ bằng A. 26 . B. 104 . C. 9 . D. 7 . 57 285 19 19 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu bằng n(Ω) 4 = C . 21
Trong 4 bút lấy ra có đúng 1 bút màu đỏ và 3 bút còn lại không phải màu đỏ, do đó số kết quả thuận lợi của biến cố bằng 1 3 C ⋅C 6 15 . 1 3
Xác suất cần tìm bằng C ⋅C 26 6 15 = . 4 C 57 21
Câu 34. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 9x 4 3x − ⋅ + 3 = 0 bằng A. 1. B. 4 . C. 3. D. 4 − . Lời giải 3x =1 x = 0
Phương trình tương đương với  ⇔ . 3x = 3  x =1
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 0 +1 =1.
Câu 35. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 3i = z +1− 2i là
một đường thẳng. Phương trình tổng quát của đường thẳng đó là
A. x − 5y − 2 = 0.
B. x + y + 3 = 0.
C. x + y − 2 = 0 .
D. x − 5y − 6 = 0 . Lời giải Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z , ta có
x + yi + 3i = x + yi +1− 2i 2 2 2 2
⇔ x + (y + 3) = (x +1) + (y − 2)
⇔ x − 5y − 2 = 0.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là x − 5y − 2 = 0 .
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; 1; − − ) 1 và N (5;5; )
1 . Mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng MN có phương trình là
A. 2x + 3y + z −12 = 0 . B. 2x + 3y + z +12 = 0 .
C. 3x + 2y −12 = 0 .
D. 3x + 2y − 24 = 0. 10 Lời giải 
Mặt phẳng trung trực của MN đi qua trung điểm I của MN và có vectơ pháp tuyến là MN . 
Ta có I(3;2;0) và MN = (4;6;2) nên phương trình mặt phẳng trung trực của MN là
4(x −3) + 6(y − 2) + 2(z − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y + z −12 = 0. − + −
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
x 1 y 1 z 2 ∆ : = =
song song với mặt phẳng 2 3 − 2
(P) : x + 2y + 2z + 3 = 0. Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . 3 3 Lời giải Chọn điểm A(1; 1; − 2).+
Vì ∆ song song với (P) nên ( − + +
∆ P ) = ( A P ) 1 2 4 3 d ,( ) d ,( ) = = 2. 1+ 4 + 4
Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA = a , đáy là hình vuông cạnh a . Tính khoảng cách từ
trung điểm M của cạnh SB đến mặt phẳng (SCD) . A. a 2 . B. a 2 . C. a a 2 . D. 3 . 4 2 2 Lời giải
Vì M là trung điểm SB và AB CD nên ta có (M SCD ) 1 = (B SCD ) 1 d ,( ) d ,( ) = d( ,( A SCD)). 2 2
Hạ AH ⊥ SD (1). Ta có SA ⊥ CD
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ AH ⊥ CD (2) AD ⊥ CD
Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ (SCD) hay d( ,( A SCD)) = AH .
Tam giác SAD vuông tại A , có SA = a , AD = a nên là tam giác vuông cân, do đó H là trung điểm của a SD và 2 AH = . 2 Vậy (M SCD ) 1 a 2 d ,( ) = AH = . 2 4 1 1
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên log x+ log x− x ∈[1; ] 2023 thỏa mãn 4 4 2 2 3 + 3 ≥ x . A. 2023. B. 2022. C. 2021. D. 2020. 11 Lời giải
ĐK: x > 0 , đặt t = log x thì 4t x = . 4 t 3 log BPT: t 1 33 3t 2t 4.3t 32t + ≥ ⇔ ≥  3  3 3 ⇔ ≥ ⇔ t ≥ 4   log . Vậy 3 2 x ≥ 4 , nên có 2023 số 3 3  2  4 4 2 tự nhiên thỏa mãn.
Câu 40. Cho hàm số y = f (x) xác định trên 1     thỏa mãn 1 f (′x) = , f (0) = 2022, 2   2x −1
f (1) = 2023. Giá trị của f (2) − f (− ) 1 bằng A. 1. B. 0 . C. 1 − . D. ln 4 . Lời giải Ta có 1 1
f (′x)dx =
dx = ln 2x −1 + C ∫ ∫ 2x−1 2 1 ( x− ) 1
ln 2 1 + C , khi x >  1 2 2 ⇒ f (x) = 1  ( − x) 1
ln 1 2 + C , khi x < 2 2 2 + Xét trên  1 ;  −∞ 
, ta có f (0) = 2023 ⇒ C = 2023. 2    2 + Xét trên  1 ;  +∞ 
, ta có f (1) = 2023 ⇒ C = 2023 . 2    1 1 ( x− ) 1
ln 2 1 + 2023, khi x >  Do đó, 2 2 f (x) =  1  ( − x) 1
ln 1 2 + 2022, khi x < 2 2 Vậy f f ( )  1   1 (3) 1 ln 3 2023 ln 3 2022 − − = + − + =     1.  2   2 
Câu 41. Cho hàm số bậc ba f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
sao cho đồ thị hàm số ( ) 1 g x =
có đúng ba đường tiệm cận?
f (x) − m A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3. Lời giải
Với mọi m , ta có lim g(x) = 0, suy ra hàm số y = g(x) luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang x→±∞ là y = 0.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là
phương trình f (x) − m = 0 có hai nghiệm phân biệt. m =1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có  . m = 3
Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán. 12
Câu 42. Xét các số phức z thỏa mãn z − 2 + 3i = 2 | z +1|. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của | z |. Giá trị của M + m bằng A. 4 2 . B. 5 . C. 2 2 . D. 2 5 . Lời giải
Đặt z = x + yi , x , y ∈ . Từ giả thiết ta có
x + yi − 2 + 3i = 2 x + yi +1 2 2 2 2
⇔ (x − 2) + (y + 3) = 4 (x +1) + y    2 2
⇔ x + y + 4x − 2y − 3 = 0
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 2
− ;1) , bán kính R = 2 2 .
Ta thấy OI = 5 < R nên điểm O nằm bên trong đường tròn (C). Do đó
M = max z = max OM = R + OI M ( ∈ C)
m = min z = min OM = R − OI M ( ∈ C)
Vậy M + m = 2R = 4 2 .
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và B C
′ ′. Biết rằng góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng AA′ bằng 30° .
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 3 A. 3 4 a 6 4a 6 a 6 . B. . C. . D. 3 2a 6 . 3 3 Lời giải
Gọi P là trung điểm của BC , ta có NP AA′, do đó (MN, AA′) = (MN, NP). Vì tam giác AC
MNP vuông ở P , MP = = a 2 nên ta có 2 
MNP = (MN, AA ) = 30° ′ MP ⇒ NP = = a 6. cot 30°
Vậy thể tích khối hộp đã cho bằng 2 3 S
⋅ NP = a ⋅a = a ABCD (2 ) 6 4 6.
Câu 44. Cho hàm số bậc ba 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường y = f (′x) và g(x) = f (
′′ x) + bx − c bằng 13 A. 25 . B. 145 . C. 125 . D. 29 . 2 2 2 2 Lời giải Ta có 2
y′ = 3ax + 2bx + c .
Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; − 0) , (3; 5
− ) và hàm số đạt cực trị tại x = 1
− và x = 3 nên ta có hệ phương trình:  1 a =  5
 8a 4b 2c d 0  − + − + =  3  27 + 9 + 3 + = 5 b a b c d = − −  5  ⇔ 3a 2b c 0  − + = 9  c = −
27a + 6b + c = 0  5  2 d =  5 Khi đó 1 3 3 2 9 2
f (x) = x − x − x + ; 3 2 6 9
f (′x) = x − x − , 6 6 f (
′′ x) = x − và 3 3
g(x) = x + . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Phương trình hoành độ giao điểm của f (′x) và g(x) : 3 6 9 3 3 x = 1 − 2
x − x − = x + ⇔ 5 5 5 5 5  x = 4
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường f (′x) và g(x) bằng 4 3 2 9 12 25 x − x − dx = . ∫ − 5 5 5 2 1
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 4 2
z + 2(m + 2)z + 3m + 2 = 0 , ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A , B , C , D biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số. Lời giải Đặt 2
t = z , phương trình trở thành 2t + 2(m + 2)t + 3m + 2 = 0 . \hfill (1) Ta có, 2 2
∆′ = (m + 2) − (3m + 2) = m + m + 2 > 0 , m
∀ ∈  , do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm A , B , C , D thẳng hàng
(cùng thuộc Ox hoặc cùng thuộc Oy ) nên không thoả mãn bài toán.
Nếu (1) có hai nghiệm trái dấu t < 0 < t , tức là 2
3m + 2 < 0 ⇔ m < − thì phương trình đã cho có 4 1 2 3
nghiệm phân biệt là ± t và ±i t − . 2 1 14
Giả sử A(− t ;0 , B(0; t
− , C ( t ;0 và D(0;− t −
. Khi đó, bốn điểm A , B , 1 ) 2 ) 1 ) 2 )
C , D tạo thành một hình thoi. Diện tích hình thoi 1 1
ABCD bằng ⋅ AC ⋅ BD = ⋅2 t ⋅2 t − = 2 t − t . 2 1 1 2 2 2
Từ giả thiết và theo định lý Vi ét, ta có 2 3
− m − 2 = 4 ⇔ m = 2. −
Đối chiếu điều kiện, ta có m = 2
− là giá trị cần tìm. x = t
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y 2 : z d − + = = ; d : 
′ y =1+ 2t . Gọi ∆ là 3 1 1 z = 1 − +  t
đường thẳng đi qua M (3;2;1) , vuông góc với d và cắt d '. Khi đó tọa độ giao điểm của ∆ và mặt phẳng (Oyz) là A. (0;11 ) ;1 . B. (0;2; ) 1 . C. (0; 1 − 1; ) 1 . D. (0; 2; − ) 1 . Lời giải
Gọi giao điểm của ∆ và d′ là N(t;1+ 2t; 1 − + t) .  
Khi đó MN = (t −3;2t −1;t − 2) ≠ 0 , t
∀ là vectơ chỉ phương của ∆ và u = (3;1;1) là vectơ chỉ phương của d . 
Vì ∆ ⊥ d nên MN ⋅u = 0, tương đương với
3(t −3) + (2t −1) + (t − 2) = 0 ⇔ t = 2.  x = 3 − s Khi đó MN = ( 1;
− 3;0) nên phương trình đường thẳng ∆ là y = 2 + 3s . z =  1
Giao điểm của ∆ và (Oyz) là điểm có toạ độ (0;11;1) .
Câu 47. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 . Khi biểu thức x + y +10 P =
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng x + y bằng x A. 8 . B. 9. C. 1+ 9 2 . D. 1+ 8 2 . Lời giải Ta có 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 2 x − y ⇔ ( 2 x − y + ⋅ )= ( 2 2 2 2 7 4 9 3
49 4 + 9 x −y ) 2 2 2 2x − y 2x − y 2 ⇔ 4⋅7 + 9⋅21
− 49⋅9 x −y −196 = 0 . (*) t+2 2t Đặt 2 t + +
= 2x − y, ta được t t t 4 3 4 3
(*) ⇔ 4⋅7 + 9⋅21 − 49⋅9 −196 = 0 ⇔ = . t+2 2 7 7 t a a a + Xét hàm số 4 3  1   3 f (a) 4  = = ⋅ +
là hàm số nghịch biến trên  . 7a  7   7      Do đó 2
(*) ⇔ f (t + 2) = f (2t) ⇔ t + 2 = 2t ⇔ t = 2 ⇔ 2x − y = 2 2 Khi đó 2x + x + 8 8 8 P =
= 2x + +1≥ 2 2x ⋅ +1 = 9. x x x Vậy P = 9 khi
và y = 6, hay x + y = 8 . min x = 2
Câu 48. Cho hình trụ (T) có AB , CD lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 10. Thể tích khối trụ (T) bằng A. 15π . B. 30π . C. 45π . D. 60π . 15 Lời giải
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T).
Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức 1
V = ⋅ AB ⋅CD ⋅d(AB,CD)⋅sin(AB,CD). 6
Ta có V =10, d(AB,CD) = h và (AB,CD) 90° = , do đó ta có 1 ° 2
10 = ⋅2r ⋅2r ⋅h⋅sin 90 ⇒ r h =15. 6
Vậy thể tích khối trụ (T) bằng 2 π r h =15π .
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5)
nằm bên trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA′ , BB′ , CC′ của mặt cầu (S) đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là PA , PB , PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng A. 57 . B. 61 . C. 219 . D. 219 . 6 2 Lời giải CÁCH 1:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
3R = IA + IB + IC = 3IG + GA + GB + GC . (1) Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9PG = PQ = PA + PB + PC = 3PG + GA + GB + GC . (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 2 2
3R = 3IG + 6PG ⇔ IG + 2PG = R .   
Vì GQ + 2GP = 0 nên ta có    3IG = IQ + 2IP  2 2 2 ⇒ 9IG
= IQ + 4IP + 4IQIP 2 2
= IQ + 4IP + 2( 2 2 2
IQ + IP − PQ ) 2 2 2
= 3IQ + 6IP − 2PQ 2 2 2
= 3IQ + 6IP −18PG 2 2 2 2 ⇒ 9IG +18PG = 3IQ + 6IP 2 2 2 ⇒ 9R = 3IQ + 6IP 2 2 2 ⇒ IQ
= 3R − 2IP = 57
Vậy điểm Q luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm I , bán kính bằng 57 . CÁCH 2: 16
Giả sử ta dựng hình hộp chữ nhật PAD .
B CEQF thoả mãn bài toán.
Gọi G , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các mặt phẳng (PBFC) và (ADQE) . Ta có 
     IQ
= IA + AQ = IA + PB + PC
    2 2 2 2 ⇒ IQ
= IA + PB + PC + 2IA(PB + PC)+ 2PBPC
   2
= R + 2HA(PB + PC) 2 2 + PB + PC
   2
= R + 2GP(PB + PC) 2 2 + PB + PC    
= R + (GP + PB)2 +(GP + PC)2 2 2 − 2GP 2 2
= R + GB + GC2 2 − 2GP 2 2 2 2
= R + 2(R − GI ) − 2GP 2 2 2
= 3R − 2(GI + GP ) 2 2
= 3R − 2IP = 57 ⇒ IQ = 57.
Vậy Q luôn nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính bằng 57 .
Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có f ( 2)
− = 0 , có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số g x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2
2 − 2x + 6x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 7. Lời giải
Đặt h x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2 2 − 2x + 6x .
Ta có h′ x = − x( 2 x − ) f ′  ( 4 2 −x + x − ) 2 ( ) 12 1 2 2 + x +1 .
Mà −x + x − = −(x − )2 4 2 2 2 2 1 −1≤ 1, − x
∀ ∈  nên dựa vào bảng xét dấu của f (′x) ta suy ra f ′( 4 2
−x + 2x − 2) ≥ 0 . Suy ra f ′( 4 2 −x + x − ) 2 2
2 + x +1 > 0, x ∀ ∈  .
Do đó dấu của h (′x) cùng dấu với u x = − x( 2 ( ) 60 x − )
1 , tức là đổi dấu khi đi qua các điểm x = 1 − ; x = 0 ; x =1. 17
Vậy hàm số h(x) luôn có 3 điểm cực trị.
Ta có h(0) = 3 f ( 2)
− = 0 nên đồ thị hàm số y = h(x) tiếp xúc trục hoành tại O và cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Vậy y = g(x) có 5 điểm cực trị.
--------------- HẾT --------------- 18
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2023 Bài thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
(Đề thi gồm 06 trang, 50 câu) ĐỀ GỐC: CHẴN
Họ, tên thí sinh: ………………………………………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………………………………………...
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M (2; 1)
− là điểm biểu diễn của số phức
A. 2 − i . B. 1 − − 2i . C. 1 − + 2i . D. 2 + i .
Câu 2. Tập xác định của hàm số y = log x là 3 A. (0;+∞). B. [0;+∞) . C.  . D.  {0}.
Câu 3. Đạo hàm của hàm số 3 y x− = , (x ≠ 0) là A. 4 y 3x− ′ = − . B. 2 y 3x− ′ = − . C. 2 y′ = 3 − x . D. 2 y 3x− ′ = .
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 8 là A. (3;+∞) . B. [4;+∞) . C. (4;+∞) . D. [3;+∞) .
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và u = 5. Công sai d của cấp số cộng đã cho bằng n ) 2 3 A. 3. B. 3 − . C. 7 . D. 7 − .
Câu 6. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng toạ độ (Oxy) có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là A. (0;0;1) . B. (1;1;0) . C. (1;0;0) . D. (0;1;0) . Câu 7. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là A. (0;2) . B. (0;1) . C. (0; 2 − ) . D. (2;0) . 1 1 1
Câu 8. Nếu f (x)dx = 2 ∫
và g(x)dx = 3 ∫
thì  f (x) − g ∫ (x)dx  bằng 0 0 0 A. 1 − . B. 1. C. 5. D. 5 − .
Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? − A. 4 2 y x
= x − 2x +1. B. 2 y = . C. 2
y = x − 2x +1. D. 3 2
y = x − 3x + 2. x +1
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x +1) + (y − 2) + (z + 3) = 9 . Tâm của (S) có tọa độ là A. ( 1 − ;2; 3) − . B. (1; 2; − 3) . C. (2; 4; − 6) . D. ( 2; − 4; 6 − ) .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , góc giữa hai trục toạ độ Ox và Oy bằng A. 90° . B. 30° . C. 45° . D. 60° .
Câu 12. Phần ảo của số phức z = 3− 4i bằng A. 4 − . B. 4 . C. 4 − i . D. 3.
Câu 13. Khối lập phương có tất cả bao nhiêu mặt? A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 5.
Câu 14. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có AB = 2 , BC = 3, CC′ = 4 . Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng A. 24 . B. 12. C. 6 . D. 9.
Câu 15. Cho điểm M nằm bên trong mặt cầu S có tâm O , bán kính R . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. OM < R .
B. OM = R .
C. OM > R . D. OM = 0 .
Câu 16. Số phức liên hợp của số phức z = 2 −3i là
A. z = 2 + 3i .
B. z = 2 − 3i . C. z = 2 − + 3i . D. z = 2 − − 3i .
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24π . B. 36π . C. 12π . D. 30π . x = 1− 2t
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y = 3+ t . Điểm nào sau đây thuộc d ? z = 2 − −  t A. Q(1;3; 2 − ) . B. P(2; 1; − 1) . C. N(2; 1; − 2) . D. M ( 2 − ;1; 2 − ) . Câu 19. Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại
A. x = 0 . B. x = 1 ± .
C. x = 2 . D. x =1.
Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang? + A. 2x 1 y = . B. 4 2 y x
= −x + 2x . C. 2
y = x − 3x + 2 . D. 2 y − = . x − 3 3
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log (x − 2) < 0 là 2 A. (2;3). B. [2;3) . C. ( ; −∞ 3) . D. (3;+∞) .
Câu 22. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn dài có 5 ghế, mỗi người một ghế? A. 5!. B. 10. C. 5 5 . D. 5×5 .
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = x ? A. 1 4
F(x) = x . B. 2
F(x) = 3x . C. 4
F(x) = 3x . D. 4
F(x) = 4x . 4 2 2
Câu 24. Nếu f (x)dx = 5 ∫
thì [ f (x) − ∫ ]3dx bằng 0 0 A. 1 − . B. 8 . C. 2 . D. 4 .
Câu 25. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞). B. ( 4; − 0) . C. ( 4; − +∞) . D. (0;+∞).
Câu 26. Cho hàm số ( ) cos x f x =
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 A. ( )d = 2sin x f x x + C ∫ . B. ( )d = 2 − sin x f x x + C 2 ∫ . 2 C. ( )d = sin x f x x + C ∫ . D. ( )d = −sin x f x x + C 2 ∫ . 2 +
Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x 2 y = trên đoạn [1;2]. x A. 1 3 min y = 3 .
B. min y = 2.
C. min y = . D. min y = . [1;2] [1;2] [1;2] 2 [1;2] 2
Câu 28. Với 0 < a ≠1 và x > 0 , loga x a bằng A. x . B. x . C. x a . D. ax . a
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = −x + x + 6 và y = 0 bằng π π A. 125 . B. 95 . C. 125 . D. 95 . 6 6 6 6
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 4a và SA vuông góc
với mặt đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) bằng A. 2a . B. 4a . C. a 2 . D. 2a 2 .
Câu 31. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f (x) = 3 có bao
nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 4 . B. 6 . C. 5. D. 3.
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2 3
f (′x) = (x + 2) (x − 2) (3− x) , x
∀ ∈  . Hàm số f (x) đạt cực đại tại
A. x = 3.
B. x = 2 . C. x = 2 − . D. x = 2 ± .
Câu 33. Từ một tổ có 10 bạn gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ, chọn một đội tình nguyện gồm 4 bạn. Xác
suất để chọn được đội có ít nhất 2 bạn nữ là A. 23 . B. 3 . C. 13 . D. 5 . 42 7 14 6 2 x −3x
Câu 34. Số nghiệm của phương trình  2  9 =  là 3    4 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0 .
Câu 35. Cho số phức z sao cho (z + 2)(z + i) là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức z là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A. x − 2y + 2 = 0 .
B. x + 2y + 2 = 0 .
C. x − 2y − 2 = 0 .
D. x + 2y − 2 = 0 .
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (
A 2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;5) . Mặt phẳng đi qua ba
điểm A , B , C có một vectơ pháp tuyến là
A. n = (15;10;6) .
B. n = (6;15;10) .
C. n = (2;3;5) .
D. n = (3;5;2) .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (
A 1;2;3) và B( 2
− ;5;6) . Điểm M thoả mãn   
MA + 2MB = 0 có toạ độ là A. M ( 1; − 4;5) .
B. M (0;3;4) . C. M (5; 8; − 9 − ) . D. M ( 3 − ;12;13) .
Câu 38. Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao a , AC = 2a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và mặt phẳng (ABCD) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. tanα = 2 . B. α 45° = . C. 2 tanα = . D. α 60° = . 2
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên x∈[0;2023] thỏa mãn bất phương trình log (x − )
1 > log (x + 5) ? 2 2 A. 2019 . B. 2020 . C. 2021. D. 2023. π 4 1 2 1
Câu 40. Cho hàm số f (x) liên tục trên x f (x)  và f ∫ (tan x)dx = dx = 2 ∫
. Tính I = f (x)dx 2 x +1 ∫ . 0 0 0
A. I = 4 .
B. I = 2 . C. I = 4 − . D. I = 6.
Câu 41. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m sao cho đồ thị hàm số ( ) 1 g x =
có đúng ba đường tiệm cận?
f (x) − m A. 2 . B. 5. C. 1. D. 3.
Câu 42. Xét các số phức z thỏa mãn z −3+ i = 2 | z − 2i | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của | z |. Giá trị của M + m bằng A. 2 10 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 10 .
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và B C
′ ′. Biết rằng góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng AA′ bằng 30° .
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 3 A. 3 4 a 6 4a 6 a 6 . B. . C. . D. 3 2a 6 . 3 3
Câu 44. Cho hàm số bậc ba 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường y = f (′x) và g(x) = f (
′′ x) + bx − c bằng A. 25 . B. 145 . C. 125 . D. 29 . 2 2 2 2
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 4 2
z + 2(m + 2)z + 3m + 2 = 0 , ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A , B , C , D biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số. x = t
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y 2 : z d − + = = ; d : 
′ y =1+ 2t . Gọi ∆ là 3 1 1 z = 1 − +  t
đường thẳng đi qua M (3;2;1) , vuông góc với d và cắt d '. Khi đó tọa độ giao điểm của ∆ và mặt phẳng Oyz là A. (0;11 ) ;1 . B. (0;2; ) 1 . C. (0; 1 − 1; ) 1 . D. (0; 2; − ) 1 .
Câu 47. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 . Khi biểu thức x + y +10 P =
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng x + y bằng x A. 8 . B. 9. C. 1+ 9 2 . D. 1+ 8 2 .
Câu 48. Cho hình trụ (T) có AB , CD lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 10. Thể tích khối trụ (T) bằng A. 15π . B. 30π . C. 45π . D. 60π .
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5)
nằm bên trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA′ , BB′ , CC′ của mặt cầu (S) đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là PA , PB , PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng A. 57 . B. 61 . C. 219 . D. 219 . 6 2
Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có f ( 2)
− = 0 , có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số g x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2
2 − 2x + 6x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 7.
--------------- HẾT ---------------
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CÁC CÂU VẬN DỤNG
Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M (2; 1)
− là điểm biểu diễn của số phức
A. 2 − i . B. 1 − − 2i . C. 1 − + 2i . D. 2 + i .
Câu 2. Tập xác định của hàm số y = log x là 3 A. (0;+∞). B. [0;+∞) . C.  . D.  {0}.
Câu 3. Đạo hàm của hàm số 3 y x− = , (x ≠ 0) là A. 4 y 3x− ′ = − . B. 2 y 3x− ′ = − . C. 2 y′ = 3 − x . D. 2 y 3x− ′ = .
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 8 là A. (3;+∞) . B. [4;+∞) . C. (4;+∞) . D. [3;+∞) .
Câu 5. Cho cấp số cộng (u với u = 2 và u = 5. Công sai d của cấp số cộng đã cho bằng n ) 2 3 A. 3. B. 3 − . C. 7 . D. 7 − . Lời giải
Ta có d = u − u = 3 . 3 2
Câu 6. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng toạ độ (Oxy) có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là A. (0;0;1) . B. (1;1;0) . C. (1;0;0) . D. (0;1;0) . Câu 7. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tọa độ giao điểm của
đồ thị hàm số đã cho và trục tung là A. (0;2) . B. (0;1) . C. (0; 2 − ) . D. (2;0) . 1 1 1
Câu 8. Nếu f (x)dx = 2 ∫
và g(x)dx = 3 ∫
thì  f (x) − g ∫ (x)dx  bằng 0 0 0 A. 1 − . B. 1. C. 5. D. 5 − .
Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? − A. 4 2 y x
= x − 2x +1. B. 2 y = . C. 2
y = x − 2x +1. D. 3 2
y = x − 3x + 2. x +1
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x +1) + (y − 2) + (z + 3) = 9 . Tâm của (S) có tọa độ là A. ( 1 − ;2; 3) − . B. (1; 2; − 3) . C. (2; 4; − 6) . D. ( 2; − 4; 6 − ) .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , góc giữa hai trục toạ độ Ox và Oy bằng A. 90° . B. 30° . C. 45° . D. 60° .
Câu 12. Phần ảo của số phức z = 3− 4i bằng A. 4 − . B. 4 . C. 4 − i . D. 3.
Câu 13. Khối lập phương có tất cả bao nhiêu mặt? A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 5.
Câu 14. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có AB = 2 , BC = 3, CC′ = 4 . Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng A. 24 . B. 12. C. 6 . D. 9.
Câu 15. Cho điểm M nằm bên trong mặt cầu S có tâm O , bán kính R . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. OM < R .
B. OM = R .
C. OM > R . D. OM = 0 .
Câu 16. Số phức liên hợp của số phức z = 2 −3i là
A. z = 2 + 3i .
B. z = 2 − 3i . C. z = 2 − + 3i . D. z = 2 − − 3i .
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24π . B. 36π . C. 12π . D. 30π . Lời giải
S = π rl = π ⋅ ⋅ = π xq 2 2 3 4 24 x = 1− 2t
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y = 3+ t . Điểm nào sau đây thuộc d ? z = 2 − −  t A. Q(1;3; 2 − ) . B. P(2; 1; − 1) . C. N(2; 1; − 2) . D. M ( 2 − ;1; 2 − ) . Câu 19. Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại
A. x = 0 . B. x = 1 ± .
C. x = 2 . D. x =1.
Câu 20. Đồ thị hàm số nào sau đây có đường tiệm cận ngang? + A. 2x 1 y = . B. 4 2 y x
= −x + 2x . C. 2
y = x − 3x + 2 . D. 2 y − = . x − 3 3
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình log (x − 2) < 0 là 2 A. (2;3). B. [2;3) . C. ( ; −∞ 3) . D. (3;+∞) .
Câu 22. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một bàn dài có 5 ghế, mỗi người một ghế? A. 5!. B. 10. C. 5 5 . D. 5×5 .
Câu 23. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số 3
f (x) = x ? A. 1 4
F(x) = x . B. 2
F(x) = 3x . C. 4
F(x) = 3x . D. 4
F(x) = 4x . 4 2 2
f (x)dx = 5 ∫ [ f (x) − ∫ ]3dx Câu 24. Nếu 0 thì 0 bằng A. 1 − . B. 8 . C. 2 . D. 4 .
Câu 25. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞). B. ( 4; − 0) . C. ( 4; − +∞) . D. (0;+∞).
Câu 26. Cho hàm số ( ) cos x f x =
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 A. ( )d = 2sin x f x x + C ∫ . B. ( )d = 2 − sin x f x x + C 2 ∫ . 2 C. ( )d = sin x f x x + C ∫ . D. ( )d = −sin x f x x + C 2 ∫ . 2 +
Câu 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x 2 y = trên đoạn [1;2]. x A. 1 3 min y = 3 .
B. min y = 2.
C. min y = . D. min y = . [1;2] [1;2] [1;2] 2 [1;2] 2 Lời giải Ta có 1 y′ = − < 0, x
∀ ∈[1;2] nên hàm số nghịch biến trên [1;2] , do đó min y = y(2) = 2 . 2 x [1;2]
Câu 28. Với 0 < a ≠1 và x > 0 , loga x a bằng A. x . B. x . C. x a . D. ax . a
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2
y = −x + x + 6 và y = 0 bằng π π A. 125 . B. 95 . C. 125 . D. 95 . 6 6 6 6
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 4a và SA vuông góc
với mặt đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) bằng A. 2a . B. 4a . C. a 2 . D. 2a 2 . Lời giải
Vì SA ⊥ (ABC) nên (ABC) ⊥ (SAC) , giao tuyến của hai mặt phẳng là AC . Suy ra ( ) = ( ) AC 4 d ,( ) d , a B SAC B AC = = = 2a . 2 2
Câu 31. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f (x) = 3 có bao
nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 4 . B. 6 . C. 5. D. 3.
Câu 32. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 2 3
f (′x) = (x + 2) (x − 2) (3− x) , x
∀ ∈  . Hàm số f (x) đạt cực đại tại
A. x = 3.
B. x = 2 . C. x = 2 − . D. x = 2 ± . Lời giải
Bảng xét dấu của f (′x)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 3.
Câu 33. Từ một tổ có 10 bạn gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ, chọn một đội tình nguyện gồm 4 bạn. Xác
suất để chọn được đội có ít nhất 2 bạn nữ là A. 23 . B. 3 . C. 13 . D. 5 . 42 7 14 6 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu n(Ω) 4 = C = 210. 10
Để chọn được ít nhất 2 bạn nữ, ta xét các trường hợp sau: Chọn 2 nữ, 2 nam: có 2 2 C C = 90 4 6 cách chọn. Chọn 3 nữ, 1 nam: có 3 1 C C = 24 4 6 cách chọn. Chọn 4 nữ: có 4 C =1 4 cách chọn.
Số khả năng chọn được ít nhất 2 bạn nữ là 90 + 24 +1 =115 .
Xác suất cần tìm bằng 115 23 = . 210 42 2 x −3x
Câu 34. Số nghiệm của phương trình  2  9 =  là 3    4 A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0 . Lời giải
Phương trình tương đương với 9 x =1 2 2 x − 3x = log ⇔ x − 3x = 2 − ⇔ 2 4  x = 2. 3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 35. Cho số phức z sao cho (z + 2)(z + i) là một số thực. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
số phức z là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là
A. x − 2y + 2 = 0 .
B. x + 2y + 2 = 0 .
C. x − 2y − 2 = 0 .
D. x + 2y − 2 = 0 . Lời giải
Đặt z = x + yi , x , y ∈ . Điểm biểu diễn số phức z là M ( ; x y) . Ta có
(z + 2)(z +i) = [(x + yi + 2)][(x − yi) +i]
= [(x + 2) + yi][x + (1− y)i]
= x(x + 2) − y(1− y) +[(x + 2)(1− y) + xy]i 2 2
= (x + y + 2x − y) + (x − 2y + 2) .i
Suy ra (z + 2)(z + i) là một số thực khi và chỉ khi x − 2y + 2 = 0 hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z
là đường thẳng d : x − 2y + 2 = 0.
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (
A 2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;5) . Mặt phẳng đi qua ba
điểm A , B , C có một vectơ pháp tuyến là
A. n = (15;10;6) .
B. n = (6;15;10) .
C. n = (2;3;5) .
D. n = (3;5;2) . Lời giải
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là x y z
+ + =1 ⇔ 15x +10y + 6z − 30 = 0. 2 3 5
Do đó mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là n = (15;10;6) .
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm (
A 1;2;3) và B( 2
− ;5;6) . Điểm M thoả mãn   
MA + 2MB = 0 có toạ độ là A. M ( 1; − 4;5) .
B. M (0;3;4) . C. M (5; 8; − 9 − ) . D. M ( 3 − ;12;13) . Lời giải   Gọi M ( ; a ;
b c) , ta có MA = (1− a;2 − ;
b 3− c) , MB = ( 2 − − a;5 − ;
b 6 − c) . Từ giả thiết ta có hệ phương trình (1− a) + 2( 2 − − a) = 0 a = 1 − 
(2 b) 2(5 b) 0 b  − + − = ⇔  = 4
(3 c) 2(6 c) 0  − + − = c =   5
Câu 38. Cho hình chóp đều S.ABCD có chiều cao a , AC = 2a . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và mặt phẳng (ABCD) . Khẳng định nào sau đây đúng? A. tanα = 2 . B. α 45° = . C. 2 tanα = . D. α 60° = . 2 Lời giải
Gọi O là tâm của đáy và H là trung điểm của CD . Từ giả thiết ta có SO ⊥ CD
⇒ CD ⊥ (SOH ) ⇒ CD ⊥ SH. OH  ⊥
Suy ra ( SCD ABCD ) = (SH OH ) =  ( ),( ) ,
SHO (vì tam giác SOH vuông tại H ). Ta có AC a SO = a , 1 1 OH = AD = = . 2 2 2 2 Ta có tan SO α = = 2 . OH
Câu 39. Có bao nhiêu số tự nhiên x∈[0;2023] thỏa mãn bất phương trình log (x − )
1 > log (x + 5) ? 2 2 A. 2019 . B. 2020 . C. 2021. D. 2023. Lời giải
Điều kiện: x >1.
Bất phương trình đã cho tương đương với \allowdisplaybreaks
2log (x −1) > log (x + 5) 2 2 2
⇔ (x −1) > x + 5 2
⇔ x − 3x − 4 > 0 x < 1 − ⇔ x > 4
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (4;+∞) .
Vì m tự nhiên thuộc đoạn [0;2023] nên ta có m∈{5;6;;2023}: có 2019 giá trị. π 4 1 2 1
Câu 40. Cho hàm số f (x) liên tục trên x f (x)  và f ∫ (tan x)dx = dx = 2 ∫
. Tính I = f (x)dx 2 x +1 ∫ . 0 0 0
A. I = 4 .
B. I = 2 . C. I = 4 − . D. I = 6. Lời giải Từ giả thiết π 4  π  π 1 f x − dx = ∫  f (t)   2 , ta đặt t = tan −  x, ta được dt = 2 ∫ .  4  4 2 t +1 0   0 Từ đó ta có 1 1 2 1 x f (x) f (x) f (x)dx = dx + dx = 2 + 2 = 4. ∫ ∫ 2 ∫ 2 x +1 x +1 0 0 0
Câu 41. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m sao cho đồ thị hàm số ( ) 1 g x =
có đúng ba đường tiệm cận?
f (x) − m A. 2 . B. 5. C. 1. D. 3. Lời giải
Với mọi m , ta có lim g(x) = 0, suy ra hàm số y = g(x) luôn luôn có đúng một đường tiệm cận ngang x→±∞ là y = 0.
Suy ra đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận khi và chỉ khi có đúng hai đường tiệm cận đứng, tức là
phương trình f (x) − m = 0 có hai nghiệm phân biệt. m = 1 −
Dựa vào bảng biến thiên, ta có  . m = 3
Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán.
Câu 42. Xét các số phức z thỏa mãn z −3+ i = 2 | z − 2i | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của | z |. Giá trị của M + m bằng A. 2 10 . B. 2 2 . C. 4 2 . D. 10 . Lời giải
Đặt z = x + yi , x , y ∈ . Từ giả thiết ta có
x + yi − 3+ i = 2 x + yi − 2i 2 2 2 2
⇔ (x − 3) + (y +1) = 4 x + (y − 2)    2 2
⇔ x + y + 2x − 6y + 2 = 0
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I( 1;
− 3) , bán kính R = 2 2 .
Ta thấy OI = 10 > R nên điểm O nằm bên ngoài đường tròn (C). Do đó
M = max z = max OM = R + OI M ( ∈ C)
m = min z = min OM = OI − R M ( ∈ C)
Vậy M + m = 2OI = 2 10 .
Câu 43. Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AB và B C
′ ′. Biết rằng góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng AA′ bằng 30° .
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng 3 3 A. 3 4 a 6 4a 6 a 6 . B. . C. . D. 3 2a 6 . 3 3 Lời giải
Gọi P là trung điểm của BC , ta có NP AA′, do đó (MN, AA′) = (MN, NP). Vì tam giác AC
MNP vuông ở P , MP = = a 2 nên ta có 2 
MNP = (MN, AA ) = 30° ′ MP ⇒ NP = = a 6. cot 30°
Vậy thể tích khối hộp đã cho bằng 2 3 S
⋅ NP = a ⋅a = a ABCD (2 ) 6 4 6.
Câu 44. Cho hàm số bậc ba 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường y = f (′x) và g(x) = f (
′′ x) + bx − c bằng A. 25 . B. 145 . C. 125 . D. 29 . 2 2 2 2 Lời giải Ta có 2
y′ = 3ax + 2bx + c .
Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2; − 0) , (3; 5
− ) và hàm số đạt cực trị tại x = 1
− và x = 3 nên ta có hệ phương trình:  1 a =  5
 8a 4b 2c d 0  − + − + =  3  27 + 9 + 3 + = 5 b a b c d = − −  5  ⇔ 3a 2b c 0  − + = 9  c = −
27a + 6b + c = 0  5  2 d =  5 Khi đó 1 3 3 2 9 2
f (x) = x − x − x + ; 3 2 6 9
f (′x) = x − x − , 6 6 f (
′′ x) = x − và 3 3
g(x) = x + . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Phương trình hoành độ giao điểm của f (′x) và g(x) : 3 6 9 3 3 x = 1 − 2
x − x − = x + ⇔ 5 5 5 5 5  x = 4
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường f (′x) và g(x) bằng 4 3 2 9 12 25 x − x − dx = . ∫ − 5 5 5 2 1
Câu 45. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình 4 2
z + 2(m + 2)z + 3m + 2 = 0 , ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm
A , B , C , D biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4 ? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số. Lời giải Đặt 2
t = z , phương trình trở thành 2t + 2(m + 2)t + 3m + 2 = 0 . \hfill (1) Ta có, 2 2
∆′ = (m + 2) − (3m + 2) = m + m + 2 > 0 , m
∀ ∈  , do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm A , B , C , D thẳng hàng
(cùng thuộc Ox hoặc cùng thuộc Oy ) nên không thoả mãn bài toán.
Nếu (1) có hai nghiệm trái dấu t < 0 < t , tức là 2
3m + 2 < 0 ⇔ m < − thì phương trình đã cho có 4 1 2 3
nghiệm phân biệt là ± t và ±i t − . 2 1
Giả sử A(− t ;0 , B(0; t
− , C ( t ;0 và D(0;− t −
. Khi đó, bốn điểm A , B , 1 ) 2 ) 1 ) 2 )
C , D tạo thành một hình thoi. Diện tích hình thoi 1 1
ABCD bằng ⋅ AC ⋅ BD = ⋅2 t ⋅2 t − = 2 t − t . 2 1 1 2 2 2
Từ giả thiết và theo định lý Vi ét, ta có 2 3
− m − 2 = 4 ⇔ m = 2. −
Đối chiếu điều kiện, ta có m = 2
− là giá trị cần tìm. x = t
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 1 y 2 : z d − + = = ; d : 
′ y =1+ 2t . Gọi ∆ là 3 1 1 z = 1 − +  t
đường thẳng đi qua M (3;2;1) , vuông góc với d và cắt d '. Khi đó tọa độ giao điểm của ∆ và mặt phẳng Oyz là A. (0;11 ) ;1 . B. (0;2; ) 1 . C. (0; 1 − 1; ) 1 . D. (0; 2; − ) 1 . Lời giải
Gọi giao điểm của ∆ và d′ là N(t;1+ 2t; 1 − + t) .  
Khi đó MN = (t −3;2t −1;t − 2) ≠ 0 , t
∀ là vectơ chỉ phương của ∆ và u = (3;1;1) là vectơ chỉ phương của d . 
Vì ∆ ⊥ d nên MN ⋅u = 0, tương đương với
3(t −3) + (2t −1) + (t − 2) = 0 ⇔ t = 2.  x = 3 − s Khi đó MN = ( 1;
− 3;0) nên phương trình đường thẳng ∆ là y = 2 + 3s . z =  1
Giao điểm của ∆ và (Oyz) là điểm có toạ độ (0;11;1) .
Câu 47. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 . Khi biểu thức x + y +10 P =
đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng x + y bằng x A. 8 . B. 9. C. 1+ 9 2 . D. 1+ 8 2 . Lời giải Ta có 2 x − y+ + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−2x +2 4 3 4 9 ⋅7 2 x − y ⇔ ( 2 x − y + ⋅ )= ( 2 2 2 2 7 4 9 3
49 4 + 9 x −y ) 2 2 2 2x − y 2x − y 2 ⇔ 4⋅7 + 9⋅21
− 49⋅9 x −y −196 = 0 . (*) t+2 2t Đặt 2 t + +
= 2x − y, ta được t t t 4 3 4 3
(*) ⇔ 4⋅7 + 9⋅21 − 49⋅9 −196 = 0 ⇔ = . t+2 2 7 7 t a a a + Xét hàm số 4 3  1   3 f (a) 4  = = ⋅ +
là hàm số nghịch biến trên  . 7a  7   7      Do đó 2
(*) ⇔ f (t + 2) = f (2t) ⇔ t + 2 = 2t ⇔ t = 2 ⇔ 2x − y = 2 2 Khi đó 2x + x + 8 8 8 P =
= 2x + +1≥ 2 2x ⋅ +1 = 9. x x x Vậy P = 9 khi
và y = 6, hay x + y = 8 . min x = 2
Câu 48. Cho hình trụ (T) có AB , CD lần lượt là hai đường kính của hai đường tròn đáy của hình trụ và
đồng thời vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 10. Thể tích khối trụ (T) bằng A. 15π . B. 30π . C. 45π . D. 60π . Lời giải
Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T).
Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức 1
V = ⋅ AB ⋅CD ⋅d(AB,CD)⋅sin(AB,CD). 6
Ta có V =10, d(AB,CD) = h và (AB,CD) 90° = , do đó ta có 1 ° 2
10 = ⋅2r ⋅2r ⋅h⋅sin 90 ⇒ r h =15. 6
Vậy thể tích khối trụ (T) bằng 2 π r h =15π .
Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5)
nằm bên trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA′ , BB′ , CC′ của mặt cầu (S) đôi một vuông góc
với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là PA , PB , PC . Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ
nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng A. 57 . B. 61 . C. 219 . D. 219 . 6 2 Lời giải CÁCH 1:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
3R = IA + IB + IC = 3IG + GA + GB + GC . (1) Lại có 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9PG = PQ = PA + PB + PC = 3PG + GA + GB + GC . (2) Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 2 2
3R = 3IG + 6PG ⇔ IG + 2PG = R .   
Vì GQ + 2GP = 0 nên ta có    3IG = IQ + 2IP  2 2 2 ⇒ 9IG
= IQ + 4IP + 4IQIP 2 2
= IQ + 4IP + 2( 2 2 2
IQ + IP − PQ ) 2 2 2
= 3IQ + 6IP − 2PQ 2 2 2
= 3IQ + 6IP −18PG 2 2 2 2 ⇒ 9IG +18PG = 3IQ + 6IP 2 2 2 ⇒ 9R = 3IQ + 6IP 2 2 2 ⇒ IQ
= 3R − 2IP = 57
Vậy điểm Q luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm I , bán kính bằng 57 . CÁCH 2:
Giả sử ta dựng hình hộp chữ nhật PAD .
B CEQF thoả mãn bài toán.
Gọi G , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các mặt phẳng (PBFC) và (ADQE) . Ta có 
     IQ
= IA + AQ = IA + PB + PC
    2 2 2 2 ⇒ IQ
= IA + PB + PC + 2IA(PB + PC)+ 2PBPC
   2
= R + 2HA(PB + PC) 2 2 + PB + PC
   2
= R + 2GP(PB + PC) 2 2 + PB + PC    
= R + (GP + PB)2 +(GP + PC)2 2 2 − 2GP 2 2
= R + GB + GC2 2 − 2GP 2 2 2 2
= R + 2(R − GI ) − 2GP 2 2 2
= 3R − 2(GI + GP ) 2 2
= 3R − 2IP = 57 ⇒ IQ = 57.
Vậy Q luôn nằm trên mặt cầu tâm I , bán kính bằng 57 .
Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có f ( 2)
− = 0 , có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số g x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2
2 − 2x + 6x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 7. Lời giải
Đặt h x = f ( 4 2 −x + x − ) 6 2 ( ) 3 2 2 − 2x + 6x .
Ta có h′ x = − x( 2 x − ) f ′  ( 4 2 −x + x − ) 2 ( ) 12 1 2 2 + x +1 .
Mà −x + x − = −(x − )2 4 2 2 2 2 1 −1≤ 1, − x
∀ ∈  nên dựa vào bảng xét dấu của f (′x) ta suy ra f ′( 4 2
−x + 2x − 2) ≥ 0 . Suy ra f ′( 4 2 −x + x − ) 2 2
2 + x +1 > 0, x ∀ ∈  .
Do đó dấu của h (′x) cùng dấu với u x = − x( 2 ( ) 60 x − )
1 , tức là đổi dấu khi đi qua các điểm x = 1 − ; x = 0 ; x =1.
Vậy hàm số h(x) luôn có 3 điểm cực trị.
Ta có h(0) = 3 f ( 2)
− = 0 nên đồ thị hàm số y = h(x) tiếp xúc trục hoành tại O và cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Vậy y = g(x) có 5 điểm cực trị.
--------------- HẾT ---------------
Document Outline

  • ĐỀ GỐC LẺ
  • ĐỀ GỐC CHẴN