Đề thi Toán cao cấp 2 (Có lời giải)

MÔN THI : TOÁN CAO CẤP 2
Thời gian làm bài : 75 phút
Chú ý : Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu
Sinh viên nộp lại đề thi kèm theo bài làm
Câu 1 : (2đ) Tính a) b) Câu 2 : (2đ)
a) Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = .
b) Viết công thức Maclaurint của f(x) = ex đến cấp n.
c) Viết công thức Maclaurint của g(x) = x2.ex và tính đạo hàm cấp 2011 của g(x) tại x = 0.
Câu 3 : (2,5đ) a) Tìm y’(0), y’’(0) biết b)
Tìm cực trị của hàm số Câu 4: Tính (1,5đ) a) Tính b) Tính .
Câu 5 : (2đ) Giải các phương trình vi phân sau : a) b)
………………………………………………………………………………………………… HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ 8 Câu ý Nội dung Điểm 1 Giới hạn 2,0 a 1,0 (1đ)
Sử dụng giới hạn cơ bản b 1,0 (1đ) 2
Liên tục – Đạo hàm hàm một biến 2,0 a (0,75đ) 0,25 0,25
Vậy f(x) không liên tục tại x = 0, do đó không tồn tại đạo hàm tại x = 0 0,25 Tại x ≠ 0, b
Công thức Maclaurint của g(x) = ex đến cấp n (0,5đ) Khi đó 0,5 c
Công thức Maclaurint của f(x) = x2 ex đến cấp n 0,25 (0,75đ) 0,5 Ta có Suy ra 3 Hàm nhiều biến 3,0 a (1,đ) 0,25 , Đặt F(x,y) = 0,25
. Ta có y(0) = 0, do đó y’(0) = 1 0,5 , suy ra y’’(0) = 0 b 0,5 (1,5đ) ,
Điểm dừng của f là nghiệm hpt Vậy f có 9 điểm dừng 0,25 0,25 Xét Tại các điểm (0, 0), ,
nên f(x, y) không đạt cực trị tại các điểm này. * Tại (0,1); (0,–1),
nên f(x, y) đạt cực đại tại các điểm này, 0,25 fmax = f(0, 1) = f(0,–1) =1 * Tại (1, 0); (–1, 0),
nên f(x, y) đạt cực tiểu tại các điểm này, 0,25
fmin = f(1, 0) = f(–1, 0) = –1 4 Tích phân 1,5 a 0,75 (0,75đ) f(x) = max(x2, x) =
, dễ thấy f(x) liên tục trên [0, 3]. Do đó b (0,75đ) , xét , Đặt 0,25 0,25 J1 = 0,25 J 1 = J= 5
Phương trình vi phân 2,0 a
Xét phương trình thuần nhất : (1đ)
Phương trình đặc trưng k2 – 6k + 9 = 0 (*) có nghiệm kép là k0 = 3
Nghiệm của phương trình thuần nhất là y0 = C1e3x + C2xe3x 0,5 0,5 Tìm nghiệm riêng y 1 của phương trình (1)
là nghiệm kép của (*), Pn(x) = 4 là đa thức bậc 0.
Dạng nghiệm riêng: y1 = Ax2e3x - = 2Axe3x + 3Ax2 e3x;
= 12Axe3x + 9Ax2 e3x + 2A e3x
- Thay vào phương trình (1), rút gọn, ta có : A = 2 Vậy y1 = 2x2e3x
Nghiệm của phương trình đã cho là : y = C1e3x + C2xe3x + 2x2 e3x b (1đ) là y = C.
Nghiệm của phương trình thuần nhất = C. Vậy y = C. 0,5 0,25
* Xem C là hàm theo x, ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng y = C(x).
Thay vào phương trình suy ra : 0,25 (
* Nghiệm của phương trình đã cho là y = (D – cotanx). )