Đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2014

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em đề thi và đáp án môn Toán khối B năm 2014, có lời giải và đáp án chi tiết. Mời mọi người đón xem.

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023

Môn: Toán

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014
−−−−−−−−−− Moân: TOAÙN; Khoái B
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thô ø i gian phaùt ñeà
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Caâu 1 ( 2 ,0 ñie å m). Cho haøm soá y = x
3
− 3mx + 1 (1), vôùi m laø tham soá thöïc.
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1.
b) Cho ñieåm A(2; 3). Tìm m ñeå ño à t hò haøm s o á (1) coù hai ñieåm cöïc trò B vaø C sao cho
tam giaùc ABC caâ n taïi A.
Caâu 2 ( 1 ,0 ñie å m). Giaûi phöông trình
√
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x.
Caâu 3 ( 1 ,0 ñie å m). Tính tích phaân I =
2
Z
1
x
2
+ 3x + 1
x
2
+ x
dx.
Caâu 4 ( 1 ,0 ñie å m).
a) Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính moâñun cuûa z.
b) Ñeå kieåm tra chaát löôïng saûn phaåm töø moät coâng ty söõa, ngö ô ø i ta ñ aõ gö û i ñ e á n boä phaä n
kieåm nghieäm 5 hoäp sö õ a cam, 4 hoäp sö õ a daâu vaø 3 ho ä p sö õ a nho. Boä phaä n kieåm nghieäm
choïn ngaãu nhieân 3 hoäp söõa ñeå phaân tích maãu. Tính xaùc su aá t ñeå 3 hoäp söõa ñöôïc choïn
coù caû 3 loaïi.
Caâu 5 (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieå m A(1; 0; −1) vaø ñöô ø ng
thaúng d :
x − 1
2
=
y + 1
2
=
z
−1
. Vieá t phöông trình maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi d.
Tìm t o ï a ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân d.
Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho laêng truï ABC.A
0
B
0
C
0
coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Hình chieáu
vuoâng goùc cuûa A
0
treân maët phaúng (ABC) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, goùc gi ö õ a ñöôøng
thaúng A
0
C vaø maët ñaùy baèng 60
◦
. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A
0
B
0
C
0
vaø
khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maë t phaúng (ACC
0
A
0
).
Caâu 7 (1,0 ñieåm). Trong m aë t phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình bình haønh ABCD. Ñieåm
M(−3; 0) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, ñieåm H(0; −1) laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B treân
AD vaø ñieåm G
4
3
; 3
laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Tìm toïa ñoä caù c ñieåm B vaø D.
Caâu 8 ( 1 ,0 ñie å m). Giaûi heä phöô ng trình
(
(1 − y)
√
x − y + x = 2 + (x − y − 1)
√
y
2y
2
− 3x + 6y + 1 = 2
√
x − 2y −
√
4x − 5y − 3
(x, y ∈ R).
Caâu 9 (1,0 ñieåm). Cho caùc soá thöïc a, b, c khoâng aâm vaø thoûa maõn ñi e à u kieän (a + b)c > 0.
Tìm gi aù trò nho û nhaát cuûa bieåu thöùc
P =
r
a
b + c
+
r
b
a + c
+
c
2(a + b)
.
−−−−−−Heát−−−−−−
Thí sinh khoâ n g ñöôï c söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm.
Hoï vaø teân thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BOÄ GIA Ù O DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM
−−−−−−−−−− ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014
ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Moân: TOA Ù N; Khoái B
(Ñaùp aùn - Thang ñieåm goàm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Caâu
Ñaùp aù n
Ñieåm
1
a) (1,0 ñieåm)
(2,0ñ)
Vôùi m = 1, haøm soá trôû thaønh: y = x
3
− 3 x + 1.
• Taäp xaùc ñònh: D = R.
• Söï bi e á n thieân:
- Chieàu bieán thieân: y
0
= 3x
2
− 3 ; y
0
= 0 ⇔ x = ±1.
0,25
Caùc khoaûng ño à ng bieán: (−∞; −1) vaø (1; +∞); khoaûng nghòch bieán: (−1; 1).
- Cöïc trò: Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = −1, y
CÑ
= 3; ñaït cöïc tieåu taïi x = 1, y
CT
= −1.
- Giôùi haïn taïi voâ cöïc: lim
x→−∞
y = −∞; lim
x→+∞
y = +∞.
0,25
- Baûng bieán thieân:
x −∞ −1 1 +∞
y
0
+ 0 − 0 +
y
3 +∞
−∞ −1
1
P
P
P
P
P
Pq
1
0,25
• Ñoà t hò:
x
y
3
−1
−1
1
O
1
0,25
b) (1,0 ñieåm)
Ta coù y
0
= 3x
2
− 3 m.
Ñoà thò haøm soá (1 ) coù hai ñieåm cöïc trò ⇔ phöông trình y
0
= 0 coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ m > 0.
0,25
Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò B, C laø B(−
√
m; 2
√
m
3
+ 1 ), C(
√
m; −2
√
m
3
+ 1 ).
Suy ra
−−→
BC = (2
√
m; −4
√
m
3
).
0,25
Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, suy ra I(0; 1). Ta coù tam giaùc ABC caân taïi A ⇔
−→
AI.
−−→
BC = 0 0,25
⇔ −4
√
m + 8
√
m
3
= 0 ⇔ m = 0 hoaëc m =
1
2
.
Ñoái chi e á u ñieàu kieän toà n taïi cöïc trò, ta ñöôïc gi aù trò m caàn tìm laø m =
1
2
.
0,25
1
Caâu
Ñaùp aù n
Ñieåm
2
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi 2 sin x cos x − 2
√
2 cos x +
√
2 sin x −2 = 0.
0,25
(1,0ñ)
⇔ (sin x −
√
2)(2 cosx +
√
2) = 0. 0,25
• sin x −
√
2 = 0: phöông trình voâ nghie ä m . 0,25
• 2 cos x +
√
2 = 0 ⇔ x = ±
3π
4
+ k2π (k ∈ Z).
Nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø: x = ±
3π
4
+ k2π (k ∈ Z).
0,25
3
(1,0ñ)
Ta coù I =
2
Z
1
x
2
+ 3 x + 1
x
2
+ x
dx =
2
Z
1
dx +
2
Z
1
2x + 1
x
2
+ x
dx. 0,25
•
2
Z
1
dx = 1. 0,25
•
2
Z
1
2x + 1
x
2
+ x
dx = ln |x
2
+ x|
2
1
0,25
= ln 3. Do ñoù I = 1 + ln 3. 0,25
4
(1,0ñ)
a) Ñaët z = a + bi (a, b ∈ R). Töø gi aû thieát suy ra
5a − 3b = 1
3a + b = 9
0,25
⇔ a = 2, b = 3. Do ñoù moâñun cuûa z baèng
√
13. 0,25
b) Soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu l aø : C
3
12
= 220. 0,25
Soá caùch choïn 3 hoäp söõa coù ñuû 3 loaïi laø 5.4.3 = 60. Do ñoù xaùc suaát caàn tính laø p =
60
220
=
3
11
. 0,25
5
Vectô chæ phöông cuûa d l aø
−→
u = (2; 2; −1).
0,25
(1,0ñ)
Maët phaúng (P ) caà n vieát phö ô ng trình laø maët phaúng qua A vaø nhaän
−→
u laøm vectô phaùp tuyeán,
neân (P ) : 2(x − 1) + 2(y − 0) −(z + 1) = 0, nghóa laø (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0.
0,25
Goïi H laø hình chie á u vuoâng goùc cuûa A treân d, suy ra H(1 + 2t; −1 + 2t; −t). 0,25
Ta coù H ∈ (P ), suy ra 2(1 +2t)+2(−1+2t)−(−t)−3 = 0 ⇔ t =
1
3
. Do ñoù H
5
3
; −
1
3
; −
1
3
. 0,25
6
(1,0ñ)
Goïi H laø trung ñieåm cu û a AB, suy ra A
0
H ⊥ (ABC)
vaø
\
A
0
CH = 60
◦
. Do ñoù A
0
H = CH. tan
\
A
0
CH =
3a
2
.
0,25
Theå tích khoái laêng truï laø V
ABC.A
0
B
0
C
0
= A
0
H.S
∆ABC
=
3
√
3 a
3
8
.
0,25
Goïi I laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H t re â n AC; K laø hình chieáu
vuoâng goùc cuûa H treân A
0
I. Suy ra HK = d(H, (ACC
0
A
0
)).
0,25
Ta coù HI = AH. sin
[
IAH =
√
3 a
4
,
1
HK
2
=
1
HI
2
+
1
HA
02
=
52
9a
2
, suy ra HK =
3
√
13 a
26
.
0,25
A
B
A
0
H
C
B
0
C
0
I
K
Do ño ù d(B, (ACC
0
A
0
)) = 2d(H, (ACC
0
A
0
)) = 2HK =
3
√
13 a
13
.
2
Caâu
Ñaùp aù n
Ñieåm
7
(1,0ñ)
Goïi E vaø F l aà n löôït laø giao ñieåm cuûa HM vaø HG
vôùi BC. Suy ra
−−→
HM =
−−→
ME vaø
−−→
HG = 2
−−→
GF ,
Do ñoù E(−6; 1) vaø F (2; 5).
0,25
A
B
C
D
H
M
I
G
E
F
Ñöôøng t haú ng BC ñi qua E vaø nhaän
−−→
EF laøm vectô
chæ phöông, neâ n BC : x − 2y + 8 = 0. Ñöôøng thaúng
BH ñ i qua H vaø nhaän
−−→
EF laøm vectô phaùp tuyeán, neân
BH: 2x + y + 1 = 0. Toïa ñoä ñieåm B thoûa maõn heä
phöông trình
x − 2y + 8 = 0
2x + y + 1 = 0.
Suy ra B(−2; 3).
0,25
Do M laø trung ñieåm cuûa AB neân A(−4; −3).
Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, suy ra
−→
GA = 4
−→
GI. Do ñoù I
0;
3
2
.
0,25
Do I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn BD, neân D( 2; 0).
0,25
8
(1,0ñ)
(
(1 − y)
√
x − y + x = 2 + (x − y − 1)
√
y (1)
2y
2
− 3 x + 6y + 1 = 2
√
x − 2y −
√
4x − 5y − 3 (2).
Ñieàu kie ä n:
y ≥ 0
x ≥ 2y
4x ≥ 5y + 3
(∗).
Ta coù (1) ⇔ (1 −y)(
√
x −y − 1) + (x − y − 1)(1 −
√
y) = 0
⇔ (1 −y)(x − y − 1)
1
√
x − y + 1
+
1
1 +
√
y
= 0 (3).
0,25
Do
1
√
x − y + 1
+
1
1 +
√
y
> 0 neân (3) ⇔
h
y = 1
y = x −1.
• Vôùi y = 1, phöông trình (2) trôû thaønh 9 − 3x = 0 ⇔ x = 3.
0,25
• Vôùi y = x − 1, ñieàu kieän (∗) trôû thaønh 1 ≤ x ≤ 2. Phöông trình (2) trôû thaønh
2x
2
−x − 3 =
√
2 − x ⇔ 2(x
2
−x − 1) + (x − 1 −
√
2 − x) = 0
⇔ (x
2
−x − 1)
h
2 +
1
x − 1 +
√
2 − x
i
= 0
0,25
⇔ x
2
−x −1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√
5
2
. Ñoá i chieá u ñie à u kieä n (∗) vaø keát hôïp tröôøng hôïp treân, ta ñöôïc
nghieäm (x; y) cuûa heä ñaõ cho laø (3; 1) vaø
1 +
√
5
2
;
−1 +
√
5
2
.
0,25
9
(1,0ñ)
Ta coù a + b + c ≥ 2
p
a(b + c). Suy ra
r
a
b + c
≥
2a
a + b + c
. 0,25
Töông töï,
r
b
a + c
≥
2b
a + b + c
.
Do ñoù P ≥
2(a + b)
a + b + c
+
c
2(a + b)
=
h
2(a + b)
a + b + c
+
a + b + c
2(a + b)
i
−
1
2
0,25
≥ 2 −
1
2
=
3
2
. 0,25
Khi a = 0, b = c, b > 0 thì P =
3
2
. Do ñoù giaù trò nhoû nhaát cuûa P laø
3
2
.
0,25
−−−−−−Heát−−−−−−
3
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 Moân: TOAÙN; Khoái B −−−−−−−−− − ÑEÀ CHÍNH THÖÙC
Thôøi gian laøm baøi: 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Caâu 1 (2,0 ñieåm). Cho haøm soá y = x3 − 3mx + 1 (1), vôùi m laø tham soá thöïc.
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá (1) khi m = 1.
b) Cho ñieåm A(2; 3). Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù hai ñieåm cöïc trò B vaø C sao cho tam giaùc ABC caân taïi A.
Caâu 2 (1,0 ñieåm). Giaûi phöông trình √2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x. 2 Z Caâu 3 (1,0 x2 + 3x + 1
ñieåm). Tính tích phaân I = dx. x2 + x 1 Caâu 4 (1,0 ñieåm).
a) Cho soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính moâñun cuûa z.
b) Ñeå kieåm tra chaát löôïng saûn phaåm töø moät coâng ty söõa, ngöôøi ta ñaõ göûi ñeán boä phaän
kieåm nghieäm 5 hoäp söõa cam, 4 hoäp söõa daâu vaø 3 hoäp söõa nho. Boä phaän kieåm nghieäm
choïn ngaãu nhieân 3 hoäp söõa ñeå phaân tích maãu. Tính xaùc suaát ñeå 3 hoäp söõa ñöôïc choïn coù caû 3 loaïi.
Caâu 5 (1,0 ñieåm). Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1; 0; −1) vaø ñöôøng thaúng x − 1 y + 1 z d : = =
. Vieát phöông trình maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. 2 2 −1
Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân d.
Caâu 6 (1,0 ñieåm). Cho laêng truï ABC.A0B0C0 coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Hình chieáu
vuoâng goùc cuûa A0 treân maët phaúng (ABC) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, goùc giöõa ñöôøng
thaúng A0C vaø maët ñaùy baèng 60◦. Tính theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A 0B0C0 vaø
khoaûng caùch töø ñieåm B ñeán maët phaúng (ACC 0A0).
Caâu 7 (1,0 ñieåm). Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho hình bình haønh ABCD. Ñieåm
M (−3; 0) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, ñieåm H(0; −1) laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B treân 4 AD vaø ñieåm G
; 3 laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD. Tìm toïa ñoä caùc ñieåm B vaø D. 3
Caâu 8 (1,0 ñieåm). Giaûi heä phöông trình ( √
(1 − y) x − y + x = 2 + (x − y − 1)√y √ √ (x, y ∈ R).
2y2 − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3
Caâu 9 (1,0 ñieåm). Cho caùc soá thöïc a, b, c khoâng aâm vaø thoûa maõn ñieàu kieän (a + b)c > 0.
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc r a r b c P = + + . b + c a + c 2(a + b) −−−−− −Heát−−−−− −
Thí sinh khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. Caùn boä coi thi khoâng giaûi thích gì theâm.
Hoï vaø teân thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Soá baùo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM −−−−−−−−−−
ÑEÀ THI TUYEÅN SINH ÑAÏI HOÏC NAÊM 2014 ÑEÀ CHÍNH THÖÙC Moân: TOAÙN; Khoái B
(Ñaùp aùn - Thang ñieåm goàm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 1 a) (1,0 ñieåm)
(2,0ñ) Vôùi m = 1, haøm soá trôû thaønh: y = x3 − 3x + 1. • Taäp xaùc ñònh: D = R. 0,25 • Söï bieán thieân:
- Chieàu bieán thieân: y 0 = 3x2 − 3; y0 = 0 ⇔ x = ±1.
Caùc khoaûng ñoàng bieán: (−∞; −1) vaø (1; +∞); khoaûng nghòch bieán: (−1; 1).
- Cöïc trò: Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = −1, yCÑ = 3; ñaït cöïc tieåu taïi x = 1, yCT = −1. 0,25
- Giôùi haïn taïi voâ cöïc: lim y = −∞; lim y = +∞. x→−∞ x→+∞ - Baûng bieán thieân: x −∞ −1 1 +∞ y0 + 0 − 0 + 3 + 0,25 1 P 1 ∞ y P P P P −∞ − P q 1 • Ñoà thò: y 3 0,25 1 1 −1 O x −1 b) (1,0 ñieåm) Ta coù y0 = 3x2 − 3m.
Ñoà thò haøm soá (1) coù hai ñieåm cöïc trò ⇔ phöông trình y 0 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ m > 0. 0,25 √ √
Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò √ √
B, C laø B(− m; 2 m3 + 1), C( m; −2 m3 + 1). √ Suy ra −−→ √ BC = (2 m; −4 m3). 0,25 Goïi −→ −−→
I laø trung ñieåm cuûa BC, suy ra I(0; 1). Ta coù tam giaùc ABC caân taïi A ⇔ AI.BC = 0 0,25 √ √ 1
⇔ −4 m + 8 m3 = 0 ⇔ m = 0 hoaëc m = . 2 0,25
Ñoái chieáu ñieàu kieän toàn taïi cöïc trò, ta ñöôïc giaù trò 1 m caàn tìm laø m = . 2 1 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm √ √ 2
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
2 sin x cos x − 2 2 cos x + 2 sin x − 2 = 0. 0,25 (1,0ñ) √ √
⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = 0. 0,25 √
• sin x − 2 = 0: phöông trình voâ nghieäm. 0,25 √ 3π • 2 cos x + 2 = 0 ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z). 4 0,25
Nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø: 3π x = ± + k2π (k ∈ Z). 4 2 2 2 3 Z Z Z Ta coù x2 + 3x + 1 2x + 1 (1,0ñ) I = dx = dx + dx. 0,25 x2 + x x2 + x 1 1 1 2 Z • dx = 1. 0,25 1 2 Z 2x + 1 2 • dx = ln |x2 + x| 0,25 x2 + x 1 1 = ln 3. Do ñoù I = 1 + ln 3. 0,25 4 a) Ñaët 5a − 3b = 1
z = a + bi (a, b ∈ R). Töø giaû thieát suy ra 0,25 (1,0ñ) 3a + b = 9
⇔ a = 2, b = 3. Do ñoù moâñun cuûa z baèng √13. 0,25
b) Soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu laø: C312 = 220. 0,25
Soá caùch choïn 3 hoäp söõa coù ñuû 3 loaïi laø 60 3
5.4.3 = 60. Do ñoù xaùc suaát caàn tính laø p = = . 0,25 220 11 5
Vectô chæ phöông cuûa d laø − → u = (2; 2; −1). 0,25
(1,0ñ) Maët phaúng (P) caàn vieát phöông trình laø maët phaúng qua A vaø nhaän −→u laøm vectô phaùp tuyeán,
neân (P) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa laø (P) : 2x + 2y − z − 3 = 0. 0,25
Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân d, suy ra H(1 + 2t; −1 + 2t; −t). 0,25 Ta coù 1 5 1 1
H ∈ (P ), suy ra 2(1 +2t) +2(−1 +2t) −(−t) −3 = 0 ⇔ t = . Do ñoù H ; − ; − . 0,25 3 3 3 3 6
Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB, suy ra A0H ⊥ (ABC) 0,25 (1,0ñ) vaø \ 3a
A0CH = 60◦. Do ñoù A0H = CH. tan \ A0CH = . A0 C0 2 √ B0
Theå tích khoái laêng truï laø 3 3 a3 V . 0,25 ABC.A0 B0C0 = A0H.S∆ABC = 8
Goïi I laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân AC; K laø hình chieáu 0,25
vuoâng goùc cuûa H treân A0I. Suy ra HK = d(H, (ACC0A0)). √ K Ta coù 3 a H I = AH. sin [ IAH = , I 4 √ C 1 1 1 52 3 13 a A = + = , suy ra HK = . 0,25 H H K2 H I2 H A02 9a2 26 √ B Do ñoù 3 13 a
d(B, (ACC0A0)) = 2d(H, (ACC0A0)) = 2HK = . 13 2 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 7
Goïi E vaø F laàn löôït laø giao ñieåm cuûa HM vaø HG (1,0ñ) E B F C vôùi −−→ −−→ 0,25 BC. Suy ra −−→ H M = M E vaø −−→ H G = 2GF ,
Do ñoù E(−6; 1) vaø F(2; 5). G M I
Ñöôøng thaúng BC ñi qua E vaø nhaän −−→ EF laøm vectô
chæ phöông, neân BC : x − 2y + 8 = 0. Ñöôøng thaúng BH ñi qua H vaø nhaän − −→
EF laøm vectô phaùp tuyeán, neân 0,25
BH : 2x + y + 1 = 0. Toïa ñoä ñieåm B thoûa maõn heä A H D phöông trình x − 2y + 8 = 0 Suy ra B(−2; 3). 2x + y + 1 = 0.
Do M laø trung ñieåm cuûa AB neân A(−4; −3). 0,25 Goïi −→ 3
I laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, suy ra −→ GA = 4GI. Do ñoù I 0; . 2
Do I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn BD, neân D(2; 0). 0,25 √ √  8
((1 − y) x − y + x = 2 + (x − y − 1) y (1) y ≥ 0 Ñieàu kieän:  (1,0ñ) √ √ x ≥ 2y (∗).
2y2 − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3 (2).  4x ≥ 5y + 3 0,25 Ta coù √ √
(1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − y) = 0 1 1
⇔ (1 − y)(x − y − 1) √ + √ = 0 (3). x − y + 1 1 + y Do 1 1 h y = 1 √ + √ > 0 neân (3) ⇔ x − y + 1 1 + y y = x − 1. 0,25
• Vôùi y = 1, phöông trình (2) trôû thaønh 9 − 3x = 0 ⇔ x = 3.
• Vôùi y = x − 1, ñieàu kieän (∗) trôû thaønh 1 ≤ x ≤ 2. Phöông trình (2) trôû thaønh √ √
2x2 − x − 3 = 2 − x ⇔ 2(x2 − x − 1) + (x − 1 − 2 − x) = 0 0,25 h 1 i ⇔ (x2 − x − 1) 2 + √ = 0 x − 1 + 2 − x √ 1 ± 5 ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
. Ñoái chieáu ñieàu kieän (∗) vaø keát hôïp tröôøng hôïp treân, ta ñöôïc 2 √ √ 0,25 nghieäm 5 −1 + 5
(x; y) cuûa heä ñaõ cho laø (3; 1) vaø 1 + ; . 2 2 r 9 Ta coù a 2a
a + b + c ≥ 2pa(b + c). Suy ra ≥ . 0,25 (1,0ñ) b + c a + b + c r Töông töï, b 2b ≥ . a + c a + b + c 0,25 Do ñoù 2(a + b) c h 2(a + b) a + b + ci 1 P ≥ + = + − a + b + c 2(a + b) a + b + c 2(a + b) 2 1 3 ≥ 2 − = . 0,25 2 2 Khi 3
a = 0, b = c, b > 0 thì P =
. Do ñoù giaù trò nhoû nhaát cuûa P laø 3. 0,25 2 2
−−−−−−Heát−−−−−− 3