Đường trung trực là gì? Tính chất và bài tập về đường trung trực
1. Đường trung trực là gì?
Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
Cách vẽ đường trung trực
Cách 1: Cho một đoạn thẳng AB. Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:
- Vẽ đoạn thẳng AB. Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB cách đều 2 điểm A và B..
- Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M.
Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách 2: Vẽ đoạn thẳng AB.
Dùng compa vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B bán kính bằng nhau (độ dài bán kính bất kỳ). Hai đường
tròn giao nhau tại hai điểm M và N.
Kẻ đường thẳng MN. Ta được đường thẳng MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách vẽ này chính là tính chất đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn giao nhau là đường trung
trực của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn.
Để chứng minh, ta có:
Hai cung tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại M, N nên AM = BM và AN = BN ⇒ M và N
cách đều hai mút A, B của đoạn thẳng AB
Theo định lí 2 (được trình bày dưới đây) thì M và N thuộc đường trung trực của AB hay đường thẳng qua M
và N là đường trung trực của AB.
Vậy MN là đường trung trực của AB.
2. Tính chất của đường trung trực
2.1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Gỉa sử: d là trung trực của AB, M ∈ d => MA = MB
Định lí 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó
Giả sử chứng minh được MA = MB => M thuộc đường trung trực của AB
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Trên hình, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ΔABC.
Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
2.3. Tính chất đường trung trực của tam giác cân
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến
và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Đường trung trực của tam giác cân
2.4. Tính chất đường trung trực của tam giác vuông
Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Tam giác
ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
3. Các dạng toán thường gặp
3.1. Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Phương pháp để chứng minh dạng toán này là chứng minh đường trung trực đó chứa hai điểm cách đều 2
đầu đoạn thẳng. Giả sử: đường thẳng d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.
3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp để chứng minh dạng toán này là sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một
đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh
AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì? Hướng dẫn giải:
Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB
Suy ra, tam giác ADB cân tại D.
Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC
Suy ra, tam giác AEC cân tại E.
3.3. Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất
Phương pháp để giải dạng toán về giá trị nhỏ nhất là sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một
đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó hoặc sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị
nhỏ nhất (tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại, hiệu hai cạnh bất kỳ nhỏ hơn cạnh còn lại)
3.4. Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác
Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
3.5. Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác cân
Phương pháp để giải dạng toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vân là dựa vào tính chất:
trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng. Hướng dẫn giải:
Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.
Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC
Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC
Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC nên kết luận A, D, E thẳng hàng (điều phải chứng minh).
3.6. Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực đối với tam giác vuông
Phương pháp để giải bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác vuông cần chú ý đến tính chất:
Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực
của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC? Hướng dẫn giải:
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta được: AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 => AC = 10 cm
=> EA = EB = EC = AC/2 = 5 cm
4. Bài tập củng cố về đường trung trực
Bài tập 1: Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ΔABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC D. Đáp án B và C đúng
Gợi ý đáp án: Chọn đáp án D
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là
tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là t am giác gì?
A. Tam giác vuông B. Tam giác cân C. Tam giác đều D. Tam giác vuông cân Hướng dẫn giải:
Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân.
Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC (giả thiết) ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)
Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có: BM = CM (chứng minh trên) AM chung
⇒ ΔABM = ΔACM (tính chất 2 cạnh góc vuông) ⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A Chọn đáp án D
Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh
rằng AD vuông góc với BE. Hướng dẫn giải: Nối BE và ED. Xét ΔADB và ΔADE có: AD cạnh chung
Góc BAD = góc EAD (AD là tia phân giác góc BAC) AB = AE (gỉa thiết)
=> góc ADB = góc ADE (c-g-c) Suy ra DB = DE
Lại có AB = AE (giả thiết)
Do đó AD là đường trung trực của BE hay AD vuông góc với BE.
Bài viết trên đây đã trình bày những nội dung liên quan đến chủ đề đường trung trực của đoạn thẳng.
Cảm ơn Quý bạn đọc đã theo dõi.