Giải tích hàm (GTH)
Giải tích hàm (GTH)
Môn: Giải tích hàm (GTH) 1 tài liệu
Trường: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế 79 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
lOMoARcPSD|2455388 §¹i häc HuÕ
Tr−êng §¹i häc S− ph¹m
NGUYÔN HOµNG Vµ L£ V¡N H¹P Gi¸o tr×nh gi¶i tÝch hµm HuÕ - 2015
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 . L ` OI N ´ OI D - ˆ A ` U ... Va `o n˘ am 1932, Banach xuˆ a´t ba’n cuˆ o´n sa ´ ch “Ly ´ thuyˆ e ´t toa ´ n tu. ’ ”, nˆ o.i dung bao gˆo ` m nh˜ u.ng kˆ e ´t qua’ d¯u.o. . c biˆ e ´t va `o th` o.i d ¯o ´ vˆ e ` ly ´ thuyˆ e ´t ca ´ c khˆ ong gian d
¯i.nh chuˆa’n, d¯˘a.c biˆe.t la` ca ´ c d ¯i.nh ly ´ cu’a Banach d ¯a ˜ cˆ ong bˆ o´ trong ca ´ c ba `i ba ´ o t` u. n˘ am 1922-1929... Cuˆ o´n sa ´ ch na `y la `m cho Gia’i tı ´ch ha `m co ´ mˆ o.t ta ´ c d ¯ˆ o.ng nhu. cuˆo´n sa ´ ch cu’a Van der Waerden vˆ e
` d¯a.i sˆo´, d¯u.o..c xuˆa´t ba’n hai n˘am tru.´o.c d¯o´. Ca´c nha` gia’i tı´ch trˆen thˆ e ´ gi´ o.i b˘ a ´t d¯ˆ a ` u nhˆ a.n th´u.c d¯u.o. . c s´ u.c ma . nh cu’a phu.o.ng pha ´ p m´ o.i va ` a ´ p du . ng chu ´ ng va `o ca ´ c lı ˜nh vu. . c kha ´ c nhau; ca ´ c ky ´ hiˆ e.u va` thuˆa.t ng˜u. cu’a Banach d ¯u.o. . c chˆ a´p nhˆ a.n rˆo.ng ra ˜ i, khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n d¯ˆa ` y d¯u’ d ¯u.o. . c go . i la ` khˆ ong gian Banach rˆ o ` i ch˘ a’ng bao lˆ au, ly ´ thuyˆ e ´t na `y tro. ’ tha `nh mˆ o.t phˆa ` n b˘ a ´t buˆ
o.c trong chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c... J. Dieudonne ´ (1981) Gia’i tı´ch ha `m la ` mˆ
o.t nga`nh cu’a gia’i tı´ch toa´n ho.c nghiˆen c´u.u ca´c d¯ˆo´i tu.o..ng va ` cˆ a´u tru ´ c toa
´ n ho.c tr`u.u tu.o..ng, tˆo’ng qua´t ho.n ca´c khˆong gian Rn thˆong thu.`o.ng. Ca ´ c kˆe ´t qua’ va` phu.o.ng pha ´ p cu’a no ´ thˆ am nhˆ a.p va`o nhiˆe `u nga`nh kha ´ c nhau nhu. ly ´ thuyˆe
´t phu.o.ng trı`nh vi phˆan thu.`o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o ha`m riˆeng, ly´ thuyˆe´t ca ´ c ba `i toa ´ n cu. . c tri. va ` biˆe ´n phˆan, phu.o.ng pha ´ p tı´nh,... Ra d¯` o.i va `o nh˜ u.ng n˘ am d¯ˆ a
`u cu’a thˆe´ ky’ 20, d¯ˆe´n nay gia’i tı´ch ha`m tı´ch lu ˜ y d¯u.o. . c nh˜ u.ng tha `nh tu. . u quan
tro.ng va` no´ d¯a˜ tro.’ tha`nh chuˆa’n mu..c trong viˆe.c nghiˆen c´u.u va` trı`nh ba`y ca´c kiˆe´n th´ u.c toa ´ n ho.c. Gia ´ o trı`nh na `y da `nh cho sinh viˆen ca ´ c l´ o.p Toa ´ n D
- a.i ho.c Su. pha.m, d¯u.o..c viˆe´t ra trˆen co. so.
’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch ha`m d¯a
˜ d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa´n D - a.i ho.c Su.
pha.m Huˆe´ trong nh˜u.ng n˘am v`u.a qua. D
- ˆay cu˜ng la` ho.c phˆa`n b˘a´t buˆo.c cuˆo´i cu`ng vˆe
` mˆon gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c trong chı´nh khoa´. Nˆ o.i dung gia´o trı`nh gˆo `m 5 chu.o.ng ly ´ thuyˆe ´t va` co ´ phˆ a
`n hu.´o.ng dˆa˜n gia’i ba`i tˆ
a.p cu`ng phu. lu.c. Hai chu.o.ng d¯ˆa
`u da`nh cho viˆe.c trı`nh ba`y nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c co.
ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly´ quan trong cu’a gia’i tı´ch ha `m tuyˆe ´n tı´nh. Ca
´ c chu.o.ng co`n la.i xe´t ca´c vˆa´n d¯ˆe ` cu. thˆe’ ho.n nhu. ca´c khˆ ong gian Lp, khˆ ong gian Hilbert va ` ca ´ c vˆa´n d¯ˆe ` liˆen quan d¯ˆe´n toa ´ n tu. ’ tuyˆe´n tı´nh. Ca ´ c nˆ
o.i dung na`y phu` ho..p v´o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n ha`nh cu’a nga`nh toa´n ca´c tru.`
o.ng su. pha.m, d¯u.o..c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆam tinh gia’n va` co. ba’n giu´p sinh viˆen co ´ d¯u.o. . c ca ´ i nhı`n thˆ o´ng nhˆ a´t d¯ˆ o´i v´o.i nga `nh gia’i tı´ch. Typeset by AMS-TEX
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) 1 lOMoARcPSD|2455388 2 Mˆ
on ho.c na`y kˆe´ th`u.a va` pha´t triˆe’n ca´c kiˆe´n th´u.c cu’a ca´c ho.c phˆa `n gia’i tı´ch tru.´ o.c d¯o ´ . Do d¯o ´ sinh viˆen cˆ a
`n ˆon la.i ca´c kiˆe´n th´u.c vˆe
` khˆong gian mˆetric, tˆo pˆo, ly ´ thuyˆe
´t d¯ˆo. d¯o, tı´ch phˆan cu˜ng nhu. mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ang tı´nh toa´n cu’a gia’i tı´ch cˆo’ d¯iˆe’n. D
- ˆe’ giu´p sinh viˆen tˆa.p vˆa.n du.ng kiˆe´n th´u.c d¯a˜ ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co´ mˆo.t sˆo´ ba `i tˆ a.p tu.o.ng ´u.ng. Phˆa `n cuˆo´i co ´ hu.´ o.ng dˆ a˜n va ` gia’i mˆ
o.t sˆo´ ca´c ba`i tˆa.p nhu. la` nh˜ u.ng go. . i y ´ d¯ˆe’ sinh viˆen co ´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n. Ca ´ c ta ´ c gia’ xin d¯u.o. . c ca ´ m o.n ca ´ c d¯ˆ o
`ng nghiˆe.p o.’ Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa´n, Tru.`
o.ng d¯a.i ho.c Su. pha.m Huˆe´ d¯a˜ d¯o´ng go´p y´ kiˆe´n va` ta.o d¯iˆe
`u kiˆe.n d¯ˆe’ gia´o trı`nh na `y ra d¯` o.i. Chu ´ ng tˆ oi mong nhˆ
a.n d¯u.o..c nh˜u.ng phˆe bı`nh, go´p y´ d¯ˆe’ nh˜u.ng lˆa `n in sau gia ´ o trı`nh d¯u.o. . c bˆ o’ sung va ` ca’i tiˆe ´n tˆo´t ho.n.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 3 Chu.o.ng 1 ’ KH ˆ ONG GIAN TUY ˆ E ´N T´INH D - I.NH CHU ˆ AN Kh´
ai niˆe.m khˆong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆong gian vecto.) l`a mˆo.t trong nh˜u.ng kh´
ai niˆe.m quan tro.ng v`a co. ba’n cu’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i. C´ac vˆa´n d¯ˆe ` cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh nhu. l´
y thuyˆe´t d¯i.nh th´u.c, ma trˆa.n, hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, . . . d¯u.o. . c ph´ at biˆe’u v` a tr`ınh b` ay mˆ
o.t c´ach nhˆa´t qu´an trˆen ngˆon ng˜u. v`a cˆa´u tr´uc cu’a khˆ
ong gian vecto.. Trong gia’i tı´ch, khi l` am to´an trˆen c´ ac tˆ a.p R hay Rn ch´ung ta kha ´ quen thuˆ
o.c v´o.i cˆa´u tr´uc sˆo´ ho.c cu’a tˆa.p n`ay. Tuy nhiˆen bu.´o.c v`ao c´ac l˜ınh vu. . c kh´ ac, ch˘
a’ng ha.n l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh vi phˆan, phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan, khi pha’i thu.` o.ng xuyˆen l`
am viˆe.c trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆo´, ta cˆa ` n xˆay du. . ng c´ ac cˆ a´u tr´ uc khˆ ong gian tuyˆe
´n tı´nh d¯ˆe’ thu..c hiˆe.n ca´c phe´p toa´n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am sˆ o´ d¯´ o. D - ˆo
`ng th`o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l`am to´an gia’i t´ıch d¯u.o..c trˆen c´ac khˆong gian ˆa´y mˆo.t c´ ach tu. . nhiˆen ch´ ung ta pha’i d¯u.a cˆ a´u tr´ uc mˆetric v`ao cho ch´ ung. Tuy nhiˆen nˆe´u nghiˆen c´ u.u riˆeng r˜e cˆ a´u tr´ uc khˆ ong gian vecto. v` a cˆ a´u tr´ uc khˆ ong gian mˆetric th`ı ta s˜e khˆ ong thu d¯u.o. . c d¯iˆe ` u g`ı m´o.i. Chu
´ ng ta hy vo.ng r˘a`ng v´o.i su.. kˆe´t ho..p nhˆa´t
d¯i.nh gi˜u.a hai cˆa´u tr´uc n`ay th`ı c´ac vˆa´n d¯ˆe
` nghiˆen c´u.u c`ung nh˜u.ng kˆe´t qua’ m´o.i s˜e xuˆ a´t hiˆe.n nhiˆe
` u ho.n. C´ac nˆo.i dung d¯´o s˜e d¯u.o..c lˆa`n lu.o..t tr`ınh b`ay qua c´ac chu.o.ng cu’a gi´ ao tr`ınh n` ay. Mo. ’ d¯ˆa
`u, mu.c §1 da`nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ai niˆe.m v` a t´ınh chˆ a´t d¯a ˜ biˆe
´t liˆen quan d¯ˆe´n khˆong gian vecto.. Ca
´ c mu.c kha´c la` nˆo.i dung m´ o.i cu’a chu.o.ng na `y. §1. KH ˆ ONG GIAN TUYˆ E ´N T´INH 1.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n tı´nh hay khˆong gian vecto. X trˆen mˆ
o.t tru.`o.ng K l`a mˆo.t tˆa.p ho..p kh´ac trˆo´ng X, c´o trang bi. hai ph´ep to´an cˆo.ng (+) v` a ph´ep nhˆ an ngo` ai (nhˆ an vˆ o hu.´
o.ng) nghiˆe.m d¯´ung c´ac tiˆen d¯ˆe ` sau: 1) (X, +) l` a mˆ
o.t nh´om Abel, ngh˜ıa l`a: v´o.i mˆo˜i c˘a.p phˆa ` n tu.’ (x, y) ∈ X × X cho ´ u.ng v´o.i mˆ o.t phˆa
` n tu.’ cu’a X k´y hiˆe.u x + y, go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y, thoa’ m˜an a. x + y = y + x v´ o.i mo.i x, y ∈ X.
b. (x + y) + z = x + (y + z) v´o.i mo.i x, y, z ∈ X. c. Tˆ o
`n ta.i phˆa`n tu.’ 0 ∈ X, go.i l`a phˆa`n tu.’ khˆong sao cho ∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x = x.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 4 d. V´ o.i mo.i x ∈ X tˆo
`n ta.i mˆo.t phˆa`n tu.’ k´y hiˆe.u −x, go.i l`a phˆa`n tu.’ d¯ˆo´i cu’a x sao cho x + (−x) = 0. 2) X c` ung ph´ep nhˆ an vˆ o hu.´ o.ng trˆen X, t´ u.c l` a mˆ
o˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X ´u.ng v´ o.i mˆ o.t phˆa
` n tu.’ cu’a X, k´y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an a. α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X. b. (α + β)x = αx + βx v´
o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X.
c. α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X. d. ∀x ∈ X, 1x = x. C´ ac phˆ a
` n tu.’ cu’a X go.i l`a c´ac vecto., α ∈ K go.i l`a vˆo hu.´o.ng. Trong gi´ao tr`ınh n` ay ta chı’ l`
am viˆe.c v´o.i tru.`o.ng K l`a R (tru.`o.ng c´ac sˆo´ thu..c) ho˘a.c C (tru.`o.ng c´ ac sˆo´ ph´ u.c). V´ı du.. 1. Tˆ
a.p ho..p Kn = K × . . . × K v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng: | {z } n lˆ a ` n
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn), αx = (αx1, . . . , αxn) trong d¯´
o α ∈ K, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. D
- ˘a.c biˆe.t khi n = 1 th`ı K l`a mˆo.t khˆong gian vecto. trˆen ch´ınh n´o. 2. Tˆ
a.p ho..p c´ac d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n thu..c trˆen R, k´y hiˆe.u l`a P v´o.i ph´ep cˆo.ng hai d¯a th´ u.c, ph´ep nhˆ an mˆ
o.t sˆo´ v´o.i d¯a th´u.c d¯u.o..c x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng c˜ ung l` a mˆ o.t khˆong gian vecto.. 3. Tˆ
a.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac h`am sˆo´ thu..c ho˘a.c ph´u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆa.p A kh´ac trˆo´ng v´ o.i c´ ac ph´ep to´ an
∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto., ta k´y hiˆe.u l`a F(A). 4. Tˆ
a.p ho..p c´ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘a.c ph´u.c) v´o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan vˆ o hu.´ o.ng d¯u.o. . c x´
ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto., k´y
hiˆe.u l`a s. Thˆa.t ra, theo k´y hiˆe.u o.’ v´ı du. 3, ta c´o s = F(N), v´o.i N l`a tˆa.p c´ac sˆo´ tu.. nhiˆen.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 5 1.2 D
- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh-Co. so.’. 1.2.1. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a x1, x2, . . . , xn l`a c´ac vecto. thuˆ o.c X. Tˆo’ng n X α1x1 + · · · + αnxn = αixi, i=1 trong d¯´ o c´ ac αi ∈ K d¯u.o. . c go.i l` a mˆ o.t tˆo’ ho.
. p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ ac vecto. x1, . . . , xn v´ o.i c´
ac hˆe. sˆo´ α1, . . . , αn. Cho M l` a mˆ
o.t tˆa.p con cu’a X. Ta go.i M l`a mˆo.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh
nˆe´u mo.i tˆa.p h˜u.u ha.n ca´c phˆa
`n tu.’ {x1, . . . , xn} ⊂ M va` ca´c sˆo´ α1, . . . , αn ∈ K, nˆe ´u n
X αixi = 0 th`ı αi = 0, i = 1, . . . , n, i=1 trong d¯´ o n l` a sˆ o´ tu. . nhiˆen bˆ a´t k` y. Tru.` o.ng ho. . p M khˆ ong pha’i l` a d¯ˆ
o.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l`a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. 1.2.2. Cho B l` a mˆ
o.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a khˆong gian vecto. X. Tˆa.p B d¯u.o. . c go.i l` a mˆ
o.t co. so.’ ( hay co. so.’ Hamel ) cu’a X nˆe´u: a) B l` a mˆ
o.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. b) B sinh ra X, ngh˜ıa l`
a v´o.i mo.i x ∈ X, x l`a mˆo.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆ
o.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa ` n tu.’ cu’a B : n X ∀x ∈ X
∃ α1, . . . , αn ∈ K; ∃ x1, . . . , xn ∈ B : x = αixi (1.2) i=1 1.2.3 Mˆ e.nh d¯ˆe ` . Gia’ su.
’ B l`a mˆo.t co. so.’ cu’a khˆong gian vecto. X. Khi d¯´o biˆe’u diˆe
˜n cu’a vecto. x ∈ X cho bo.’i (1.2) d¯u.o. . c x´
ac d¯i.nh mˆo.t c´ach duy nhˆa´t. Ch´ u ´ y. Trong ph´
at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯ˆe
` n`ay ta qui u.´o.c r˘a`ng trong tˆo’ng (1.2) c´
ac vecto. xj kh´ac nhau t`u.ng d¯ˆoi mˆo.t; khˆong co´ m˘a.t c´ac ha.ng tu.’ da.ng 0xj v`a ho.n n˜ u.a, do tı´nh chˆ a´t giao hoa ´ n cu’a phe ´ p + nˆen ta khˆ ong quan tˆ am d¯ˆe´n th´ u. tu. . cu’a c´ ac ha.ng tu.’. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ c´o hai c´ach biˆe’u diˆe˜n kh´ac nhau:
x = α1x1 + · · · + αnxn = β1y1 + · · · + βmym, v´
o.i αi 6= 0, βj 6= 0, i = 1, . . . , n, j = 1 . . . , m.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 6
Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu.’ αjxj v`a βkyk o.’ hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v`a xj = yk. L´uc d¯´ o c´
ac ha.ng tu.’ αjxj v`a βkyk c`on la.i o.’ hai vˆe´ s˜e xa’y ra ho˘a.c xj 6= yk ho˘a.c nˆe´u
xj = yk th`ı αj 6= βk. Chuyˆe’n c´ac ha.ng tu.’ d¯´o vˆe
` mˆo.t vˆe´ v`a viˆe´t la.i th`anh
µ1v1 + · · · + µrvr = 0, 0 < r ≤ n + m. Do B l` a mˆ
o.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = 0. D - iˆe ` u n`ay vˆ o l´ y v`ı mˆ
o˜i µk pha’i l`a αj ho˘a.c βk thı` kh´ac khˆong ho˘a.c αj − βk 6= 0. Bˆ ay gi` o. gia’ su.
’ B l`a mˆo.t co. so.’ cu’a khˆong gian vecto. X v`a B l`a tˆa.p h˜u.u ha.n c´ o k phˆ a
` n tu.’. Khi d¯´o mo.i tˆa.p con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆo´i d¯a k phˆa`n tu.’ (H˜ ay ch´ u.ng minh d¯iˆe ` u d¯´o nhu. la` ca ´ ch ˆ
on la.i kiˆe´n th´u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh!) L´ uc n` ay ta n´ oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆe ` u, sˆo´ phˆa ` n tu.’ cu’a B gˆo `m k phˆa ` n tu.’ d¯u.o. . c go.i l` a sˆ o´ chiˆe
` u cu’a X v`a k´y hiˆe.u l`a dim X = k. Nˆe´u X khˆong pha’i l`a khˆong gian h˜ u.u ha.n chiˆe
` u th`ı ta go.i n´o l`a khˆong gian vˆo ha.n chiˆe
` u v`a viˆe´t dim X = ∞. Cho B l` a tˆ a.p con cu’a X. D
- ˆe’ nhˆa.n biˆe´t B l`a co. so.’ cu’a khˆong gian vecto. X, ta c`on c´o: 1.2.4 D
- i.nh l´y. Tˆa.p ∅ 6= B ⊂ X l`a co. so.’ cu’a khˆong gian vecto. X khi v`a chı’ khi B l` a tˆ a.p ho. . p d¯ˆ
o.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i (ngh˜ıa l`a B d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a
nˆe´u M % B th`ı M phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh). Ch´ u.ng minh. a. D - iˆe
` u kiˆe.n cˆa`n. Cho M % B. Gia’ su.’ x ∈ M v`a x /∈ B. Khi d¯´o theo d¯i.nh ngh˜ıa co. so.
’ , pha’i c´o x1, . . . , xn ∈ B, α1, . . . , αn ∈ K sao cho n n X X x = αixi hay αixi − 1x = 0. i=1 n=1
Hˆe. {x1, . . . , xn, x} phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. b. D - iˆe
` u kiˆe.n d¯u’. V´o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x. Nˆe´u x /∈ B th`ı do
B ∪ {x} phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆo
`n ta.i mˆo.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh α1x1 + · · · + αnxn = 0 sao cho tˆa´t ca’ c´
ac α1, . . . , αn khˆong d¯ˆo
`ng th`o.i b˘a`ng khˆong. Trong c´ac vecto. xi n` ay pha’i c´ o m˘
a.t vecto. x, ch˘a’ng ha.n x = x1 v`a khi d¯´o α1 6= 0 v`ı nˆe´u khˆong pha’i nhu. vˆ
a.y th`ı B s˜e phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. Do d¯´o x = x1 = −(α−1 1 α2x2 + · · · + α−1 1 αnxn).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 7 Vˆ
a.y B l`a mˆo.t co. so.’ cu’a X. 1.2.5 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a M l`a mˆo.t tˆa.p ho..p d¯ˆo.c lˆ
a.p tuyˆe´n t´ınh trong X. L´uc d¯´o tˆo
`n ta.i mˆo.t co. so.’ B cu’a X sao cho B ⊃ M. Ch´ u.ng minh. K´
y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p ho..p N d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong X ch´ u.a M . Khi d¯´
o F 6= ∅ v`ı M ∈ F. Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. th´u. tu.. trˆen
F nhu. sau: v´o.i N1, N2 ∈ F, N1 ≤ N2 khi v`a chı’ khi N1 ⊂ N2. Gia’ su.’ A ⊂ F l`a mˆ
o.t tˆa.p con s˘a´p th˘a’ng cu’a F. Ta d¯˘a.t N0 b˘a`ng ho..p cu’a tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆo.c A. L´ uc d¯´
o N0 l`a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A. Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆo’ d¯ˆe ` Zorn nˆen trong F tˆ o
`n ta.i mˆo.t phˆa`n tu.’ tˆo´i d¯a.i B. Vˆa.y B l`a co. so.’ pha’i t`ım. 1.2.6 Hˆ
e. qua’. Mo.i khˆong gian vecto. X 6= {0} d¯ˆe ` u tˆo `n ta.i co. so.’. Ch´ u.ng minh. Lˆ a´y x ∈ X, x 6= 0 v` a d¯˘ a.t M = {x} rˆo `i ´ap du.ng D - i.nh l´y 1.2.5. 1.3 Khˆ ong gian vecto. con. 1.3.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian vecto. v`a M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´
ac trˆo´ng cu’a X. Gia’ su.
’ c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X thu he.p
la.i trˆen M c˜ung l`am cho M th`anh mˆo.t khˆong gian vecto.. Khi d¯´o ta go.i M l`a mˆ
o.t khˆong gian vecto. con (hay go.i t˘a´t la` khˆong gian con) cu’a X. 1.3.2 D
- i.nh l´y. Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a X. D-iˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a
d¯u’ d¯ˆe’ M tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian con cu’a X l`a:
a. ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M.
b. ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M. Ch´ u.ng minh. D - iˆe
` u kiˆe.n cˆa`n hiˆe’n nhiˆen. Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆ an vˆ o hu.´ o.ng l` a k´ın trˆen M . Ho.n n˜ u.a, c´ ac t´ınh chˆ a´t cu’a c´ ac ph´ep to´an n` ay vˆ a˜n c` on d¯´ ung khi ta l` am viˆe.c v´o.i c´ac phˆa ` n tu.’ cu’a M nˆen ta ´ m tiˆen d¯ˆe ` cu’a mˆo.t khˆong gian vecto. d¯u.o. . c nghiˆe.m d¯u ´ ng. T` u. d¯ˆ ay cho ph´ep ta suy d¯u.o. . c d¯iˆe ` u kiˆe.n d¯u’. Ch´ u ´ y. Trong thu. . c h`
anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆ
o.t tˆa.p Y n`ao d¯´o l`a khˆong gian vecto., ngu.` o.i ta thu.` o.ng nh´ ung n´ o v` ao trong mˆ
o.t khˆong gian vecto. d¯˜a biˆe´t rˆo `i kiˆe’m tra c´ac d¯iˆe
` u kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´y trˆen. 1.3.3 V´ı du.. 1. Tˆ a.p ho..p l1 gˆo
`m tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c ho˘a.c ph´u.c x = (xn)n sao cho ∞
P |xn| < ∞ l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian s c´ac d˜ay sˆo´. n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 8 2. Tˆ
a.p ho..p c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´y hiˆe.u C[a,b] l`a mˆ
o.t khˆong gian con cu’a khˆong gian c´ac h`am sˆo´ F([a, b]). 3. Tˆ
a.p ho..p l∞ = {x = (xn)n ⊂ K : sup |xn| < ∞} c´ac d˜ay sˆo´ thu..c ho˘a.c n∈N ph´
u.c x = (xn)n bi. ch˘a.n c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. D
- o´ la` khˆong gian con cu’a khˆ ong gian vecto. s ca ´ c da ˜ y sˆo´. T` u. D
- i.nh l´y 1.3.2 ta c´o mˆe.nh d¯ˆe` sau. 1.3.4 Mˆ e.nh d¯ˆe
` . Giao mˆo.t ho. tu`y ´y c´ac khˆong gian con cu’a X l`a mˆo.t khˆong
gian con cu’a X. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ (Mi)i∈I l`a mˆo.t ho. c´ac khˆong gian con cu’a X. D - ˘a.t
M = T Mi. Ta c´o M kh´ac trˆo´ng v`ı n´o c´o ch´u.a vecto. 0. Nˆe´u x, y ∈ M, (t´u.c i∈I l`
a x, y ∈ Mi, ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi, αx ∈ Mi v´o.i mo.i i ∈ I. Do d¯´o x + y ∈ M v` a αx ∈ M. Vˆ
a.y M l`a khˆong gian con cu’a X. 1.3.5 D
- i.nh ngh˜ıa. Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian vecto. X. Luˆon luˆ on tˆo
`n ta.i mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´u.a A (ch˘a’ng ha.n ba’n thˆan khˆong gian
X). Giao cu’a ho. tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian con ch´u.a A c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian con ch´ u.a A. Khˆ ong gian con n` ay d¯u.o. . c goi. l` a khˆ ong gian con sinh bo.
’ i A hay l`a bao
tuyˆe´n t´ınh cu’a A v` a d¯u.o. . c k´
y hiˆe.u l`a h A i ho˘a.c span (A). Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯ˆay l` a khˆ ong gian con b´e nhˆ a´t cu’a X ch´ u.a tˆa.p A. Ta c´o: 1.3.6 Mˆ e.nh d¯ˆe ` .
Bao tuyˆe´n t´ınh cu’a tˆ
a.p A l`a tˆa.p ho. . p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ o’ ho. . p
tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ ac phˆ a ` n tu. ’ thuˆo.c A. n Ch´ u.ng minh. D - ˘a P . t M =
αixi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N . Ro˜ ra`ng theo i=1 D
- i.nh l´y 1.3.2, M l`a khˆong gian con cu’a X. Ho.n n˜u.a t`u. A ⊂ M suy ra h A i ⊂ M. n M˘ a P . t kh´ac do xi ∈ A nˆen
αixi ∈ h A i v`ı h A i l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. Do d¯´o i=1 M ⊂ h A i v` a t` u. d¯o ´ M = h A i. 1.3.7 D
- i.nh nghı˜a. Gia’ su.’ M v`a N l`a hai khˆong gian con cu’a X. Ta ky´
hiˆe.u Z = M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N}. L´uc d¯´o Z c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian vecto. con cu’a X, d¯u.o. . c go.i l` a tˆ o’ng cu’a M v` a N . Ta dˆe ˜ d`ang suy ra: M + N = hM ∪ N i. Nˆe´u Z = M + N v`
a M ∩ N = {0} th`ı Z d¯u.o. . c go.i l` a tˆ o’ng tru. . c tiˆe´p cu’a M v` a N , k´
y hiˆe.u Z = M ⊕ N. Ta c´o:
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 9 1.3.8 D
- i.nh l´y. Cho M, N l`a c´ac khˆong gian vecto. con cu’a X va` d¯˘a.t Z = M + N. D - iˆe
` u kiˆe.n ˘a´t c´o v`a d¯u’ d¯ˆe’ Z = M ⊕ N l`a v´o.i mo.i z ∈ Z, z d¯u.o..c biˆe’u diˆe
˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng z = x + y v´o.i x ∈ M, y ∈ N. Ch´ u.ng minh. D - iˆe
` u kiˆe.n cˆa`n. Gia’ su.’ Z = M ⊕ N v`a z = x + y = x0 + y0 v´o.i x, x0 ∈ M ; y, y0 ∈ N. L´ uc d¯´
o x − x0 = y0 − y. V`ı x − x0 ∈ M, y − y0 ∈ N nˆen x − x0 =
y0 − y ∈ M ∩ N = {0}. Vˆ a.y x = x0 v`a y = y0. D - iˆe
` u kiˆe.n d¯u’. Ta c´o Z = M + N. Gia’ su.’ x ∈ M ∩ N. L´uc d¯´o ta viˆe´t
x = x + 0 = 0 + x. Do t´ınh duy nhˆ a´t cu’a biˆe’u diˆe
˜n, ta suy ra x = 0 ngh˜ıa l`a M ∩ N = {0} hay Z = M ⊕ N. 1.4. Khˆ ong gian vecto. t´ıch–Khˆ ong gian vecto. thu.o.ng.
1.4.1. Cho X1, . . . , Xn l`a n khˆong gian vecto. trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng K. K´y
hiˆe.u X l`a t´ıch Descartes cu’a c´ac Xi : X = X1 × . . . × Xn. V´o.i c´ac phˆa ` n tu.’
x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) thuˆo.c X v`a α ∈ K ta d¯i.nh ngh˜ıa
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn), αx = (αx1, . . . , αxn). L´ uc d¯´ o dˆe
˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i hai ph´ep to´an trˆen, X tro.’ th`anh mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a X d¯u.o..c go.i l`a t´ıch (hay t´ıch tru.
. c tiˆe´p) cu’a n khˆ ong gian vecto. X1, . . . , Xn. 1.4.2 Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a n´o.
Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe. sau:
∀ x, y ∈ X, x ≡ y (mod M ) ⇔ x − y ∈ M. R˜ o r`ang d¯ˆ ay l` a mˆ
o.t quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. Cho x ∈ X. Nˆe´u y ≡
x (mod M ) th`ı y − x ∈ M hay y ∈ x + M . Ngu.o.
. c la.i nˆe´u z ∈ x + M th`ı z − x ∈ M hay z ≡ y (mod M ). Do d¯´ o l´
o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a x, k´
y hiˆe.u x ch´ınh l`a tˆa.p
x + M = {x + m; m ∈ M }. Ta k´
y hiˆe.u tˆa.p thu.o.ng l`a X/M = {x : x ∈ X}. Ch´ u ´ y r˘ a `ng
x ≡ x0 (mod M ) ⇐⇒ x − x0 ∈ M,
y ≡ y0 (mod M ) ⇐⇒ y − y0 ∈ M,
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 10 do d¯´ o ta c´
o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X/M nhu. sau x + y = x + y, αx = αx, trong d¯´ o x, y l` a c´ ac phˆ a
` n tu.’ bˆa´t k`y trong c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng x, y. Theo ch´ u ´
y trˆen, d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an n`ay l`a d¯´ung d¯˘a´n v`ı khˆong phu. thuˆ
o.c v`ao viˆe.c cho.n c´ac d¯a.i diˆe.n x ∈ x, y ∈ y. Dˆe
˜ d`ang kiˆe’m tra d¯ˆe’ thˆa´y r˘a`ng v´o.i c´ac ph´ep to´an trˆen, X/M tro.’ th`anh mˆo.t khˆ
ong gian vecto., go.i l`a khˆong gian vecto. thu.o.ng cu’a X theo khˆong gian con M. Lu.u ´ y r˘ a `ng phˆa
` n tu.’ 0 cu’a X/M ch´ınh l`a tˆa.p M. 1.5. ´ Anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Cho X, Y l`
a hai khˆong gian vecto. trˆen tru.` o.ng K v` a mˆ o.t ´anh xa. A : X →
Y, x → Ax. Ta go.i A l`a mˆo.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh (hay to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh) nˆe´u v´o.i
mo.i x, y ∈ X, α, β ∈ K ta c´o A(αx + βy) = αAx + βAy. Cho A l` a ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y , ta k´y hiˆe.u Im A = A(X) v`a KerA = A−1(0) lˆ a
` n lu.o..t a’nh v`a ha.t nhˆan cu’a A. Nˆe´u A l`a song ´anh ta n´oi A l`a ph´ep d¯˘ a’ng cˆ
a´u tuyˆe´n t´ınh v`a X, Y l` a hai khˆ ong gian vecto. d¯˘ a’ng cˆ a´u v´ o.i nhau. Bˆ ay gi` o. gia’ su.
’ A, B : X → Y l`a hai ´anh xa. tu`y ´y. Ta c´o c´ac d¯i.nh ngh˜ıa thˆ ong thu.` o.ng: (A + B)x = Ax + Bx, (αA)x = αAx, trong d¯´ o α ∈ K, x ∈ X. Dˆe
˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng nˆe´u A, B l`a c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh th`ı A + B, αA c˜ung l` a nh˜ u.ng ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y . K´
y hiˆe.u L(X, Y ) l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y . Khi d¯´ o v´o.i hai ph´ep to´ an v` u.a x´
ac d¯i.nh, L(X, Y ) lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian vecto..
Nˆe´u Y = K (R hay C) l´uc d¯´o ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh A : X → K d¯u.o..c go.i l`a phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh trˆen X, c` on L(X, K) d¯u.o. . c k´
y hiˆe.u l`a X0 v`a go.i la` khˆong gian liˆen
hiˆe.p d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 11 B ` AI T ˆ A . P 1.1. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto., f1, f2 l`a hai phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh x´
ac d¯i.nh trˆen X. Gia’ su.’ v´o.i mo.i x ∈ X th`ı f1(x)f2(x) = 0. Ch´u.ng minh r˘a`ng f1 ≡ 0 hay f2 ≡ 0. 1.2. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a A : X → X l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. Gia’ su.
’ A2 = A ◦ A = 0. Ch´u.ng minh r˘a`ng I − A l`a mˆo.t song ´anh. (I l`a to´ an tu. ’ d¯ˆo `ng nhˆa´t id.)
1.3. Cho f, f1, . . . , fn l`a c´ac phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆong gian vecto. X. n Gia’ su.
’ Ker f ⊃ ∩ Ker fi. Ch´u.ng minh r˘a`ng f l`a mˆo.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac i=1 f1, . . . , fn. §2. KH ˆ ONG GIAN TUYˆ E ´N T´INH D - I.NH CHUˆA’N. 2.1. C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a k · k : X → R l`a mˆo.t ha`m sˆo´. Ta go.i ha `m sˆo´ na `y la ` mˆ
o.t chuˆa’n trˆen X nˆe´u no´ thoa’ ma˜n 3 tiˆen d¯ˆe ` sau:
1. ∀x ∈ X : kxk ≥ 0; kxk = 0 khi v` a chı’ khi x = 0. 2. kλxk = |λ|kxk v´ o.i mo.i λ ∈ K, x ∈ X. 3. kx + yk ≤ kxk + kyk, v´
o.i mo.i x, y ∈ X v`a λ ∈ K (bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gi´ ac). Khi d¯´
o c˘a.p (X, k · k) d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n t´ınh d¯i.nh chuˆa’n hay
go.n ho.n khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Nˆe´u tru.`
o.ng K = R (t.u.., C) th`ı ta go.i (X, k · k) l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n thu. . c (t.u.., khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n ph´u.c). Sˆo´ thu..c kxk d¯u.o..c go.i l`a chuˆa’n hay d¯ˆo. d`
ai cu’a vecto. x ∈ X. Nˆe´u khˆ ong c´ o su. . nhˆ a ` m lˆa˜n vˆe
` chuˆa’n trˆen X th`ı ta s˜e k´y
hiˆe.u t˘a´t l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. V´o.i x, y ∈ X ta d¯˘a.t d(x, y) = kx − yk Khi d¯´ o t` u. ba tiˆen d¯ˆe
` cu’a chuˆa’n, ta suy ra ngay d l`a mˆo.t mˆetric trˆen X. Ho.n n˜ u.a d c` on tho’a m˜ an: a) d(x + z, y + z) = d(x, y) b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 12 v´
o.i mo.i x, y, z ∈ X, λ ∈ K. Ngu.o. . c la.i cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a d l`a mˆo.t mˆetric xa´c d¯i.nh trˆen X. Gia’ su.
’ d thoa’ m˜an thˆem c´ac d¯iˆe
` u kiˆe.n a) v`a b). Ta d¯˘a.t kxk = d(x, 0) th`ı r˜o r` ang k · k l` a mˆ
o.t chuˆa’n trˆen X. Do d¯´o nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n th`ı n´ o c˜ ung l` a mˆ
o.t khˆong gian mˆetric (v´o.i mˆetric sinh ra t`u. chuˆa’n, t´u.c l` a d(x, y) = kx − yk). T` u. d¯ˆ ay tˆa´t ca’ c´ ac kh´
ai niˆe.m cu’a khˆong gian mˆetric d¯ˆe ` u d¯u.o. . c chuyˆe’n cho khˆ ong gian d¯i.nh chuˆa’n. D
- ˆe’ ´y r˘a`ng c´ac t´ınh chˆa´t a) v`a b) ch´ınh l` a mˆ
o´i liˆen hˆe. gi˜u.a c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va` nhˆan vˆo hu.´o.ng trˆen X v´o.i ha`m chuˆa’n (mˆetric). 2.2. C´ ac v´ı du.. 2.2.1. Tˆ
a.p ho..p Kn c´ac bˆo. n sˆo´ thu..c (ho˘a.c sˆo´ ph´u.c) x = (x1, . . . , xn) l`a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n v u n uX kxk = t |xi|2, i=1 chuˆ a’n n` ay d¯u.o. . c go.i l` a chuˆ a’n Euclide trong Kn va ` Kn d¯u.o. . c go.i l` a khˆ ong gian Euclide n chiˆe ` u. D
- ˘a.c biˆe.t, khi n = 1 ta c´o K l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i kxk = |x|. 2.2.2. Tˆ
a.p ho..p C[a,b] c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v` a nhˆ an v´o.i mˆ
o.t sˆo´ x´ac d¯i.nh theo c´ach thˆong thu.`o.ng l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. Ho.n n˜ u.a, nˆe´u d¯˘ a.t kxk = max |x(t)| t∈[a,b] th`ı n´ o tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. 2.2.3. Tˆ
a.p ho..p l∞ tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c hay ph´u.c bi. ch˘a.n l`a mˆo.t khˆong
gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n kxk = sup |xn|. n∈N Khˆ ong gian n` ay c` on k´ y hiˆe.u l`a m. D
- ˆo.c gia’ tu.. kiˆe’m nghiˆe.m ba tiˆen d¯ˆe` vˆe` chuˆa’n cu’a c´ac v´ı du. n`ay.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 13 2.2.4. K´
y hiˆe.u l2 l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c hay ph´u.c x = (xn)n sao ∞ cho P |xn|2 hˆo.i tu.. D - ˘a.t n=1 ∞ X kxk = |xn|2 12 , n=1 l´ uc d¯´ o l2 tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ x = (xn)n, y = (yn)n ∈ l2. Ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c hiˆe’n nhiˆen
|xn + yn|2 ≤ (|xn| + |yn|)2 ≤ 2(|xn|2 + |yn|2). ∞ ∞ ∞ V`ı P |x P P n|2 < ∞, |yn|2 < ∞ nˆen
|xn + yn|2 < ∞. Ngo`ai ra nˆe´u λ ∈ K n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ th`ı P |λx P n|2 = |λ|2
|xn|2. Vˆa.y x + y v`a λx thuˆo.c l2 nˆen l2 lˆa.p th`anh mˆo.t n=1 n=1 khˆ ong gian vecto.. Tiˆe´p theo ta c´o ∞ X kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ |xn|2 = 0 ⇔ xn = 0, n=1 v´
o.i mo.i n ∈ N nghı˜a la` x = 0. Tiˆen d¯ˆe
` 2 r˜o r`ang. V´o.i mo.i k ∈ N, ´ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz ta c´o k k X X |xn + yn|2 ≤ (|xn|2 + 2|xnyn| + |y2 | n ) n=1 n=1 v v k u k u k k X uX uX X ≤ |xn|2 + 2t |xn|2t |yn|2 + |yn|2 n=1 n=1 n=1 n=1 v v u u k k uX uX 2 ≤ t |x t n|2 + |yn|2 . n=1 n=1 Ta cho k → ∞ th`ı nhˆ a.n d¯u.o..c (kx + yk)2 ≤ (kxk + kyk)2 Lˆ a´y c˘ an hai vˆe´ ta c´ o kx + yk ≤ kxk + kyk hay l` a bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c tam gi´ ac d¯u.o. . c ch´ u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 14 2.3. Su. . hˆ
o.i tu. trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Nhu. d¯˜ a n´ oi o.
’ trˆen, khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric. Tuy
nhiˆen do vai tr`o quan tro.ng cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n cu˜ng nhu. ta thu.`o.ng g˘a.p d¯ˆ o´i tu.o. . ng na `y trong c´ac mˆ
on ho.c kha´c va` ca´c ´ap du.ng thu..c tiˆe˜n nˆen o.’ d¯ˆay ta s˜e tr`ınh b`
ay la.i mˆo.t sˆo´ kha´i niˆe.m va` tı´nh chˆa´t thˆong du.ng ˆa´y theo ky´ hiˆe.u va` ngˆon ng˜ u. cu’a chuˆ a’n. Cho X la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. 1. D˜
ay (xn)n ⊂ X hˆo.i tu. d¯ˆe´n x trong khˆong gian X, ky´ hiˆe.u lim xn = x n→∞
hay xn → x (n → ∞) ngh˜ıa l`a kxn − xk → 0 (n → ∞) N´ oi c´ach kh´ ac,
lim xn = x ⇐⇒ (∀ > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0) : kxn − xk < . n→∞ Tu.o.ng tu. . v´ o.i tı´nh chˆ a´t cu’a gia
´ tri. tuyˆe.t d¯ˆo´i, ta co´:
∀x, y ∈ X : kxk − kyk ≤ kx − yk Thˆ a.t vˆa.y, t`u. tiˆen d¯ˆe ` 3 cu’a chuˆa’n suy ra:
kxk = k(x − y) + yk ≤ kx − yk + kyk hay kxk − kyk ≤ kx − yk Thay d¯ˆ o’i vai tr`o cu’a x v` a y ta nhˆ a.n d¯u.o..c kyk − kxk ≤ kx − yk Nhu. thˆe´ bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c d¯u.o. . c ch´ u.ng minh. T` u. d¯ˆ ay ta c´ o:
2. Nˆe´u xn → x th`ı kxnk → kxk. N´oi c´ach kh´ac, chuˆa’n l`a mˆo.t h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen X. ´
Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c v`u.a ch´u.ng minh ta c´o
kxnk − kxk ≤ kxn − xk → 0 khi n → ∞ v` a d¯iˆe
` u n`ay kh˘a’ng d¯i.nh kˆe´t qua’ 2. Tı´nh chˆ a´t trˆen thu.` o.ng d¯u.o. . c viˆe
´t la.i la` k lim xnk = lim kxnk d¯ˆo´i v´o.i mo.i n→∞ n→∞ da ˜ y (xn)n hˆo.i tu. trong X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 15
3. Mo.i d˜ay hˆo.i tu. th`ı bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u (xn)n hˆo.i tu. d¯ˆe´n x th`ı d˜ay sˆ o´ thu. . c (kxnk)n hˆ
o.i tu. d¯ˆe´n kxk. Do d¯´o d˜ay (kxnk)n bi. ch˘a.n. D - iˆe ` u n`ay c˜ung c´o ngh˜ıa l` a d˜
ay (xn)n bi. ch˘a.n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X.
4. Nˆe´u xn → x0, yn → y0 th`ı xn + yn → x0 + y0. Nˆe´u xn → x0 v`a
αn → α0, αn, α0 ∈ K th`ı αnxn → α0x0. N´oi c´ach kh´ac, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng va` nhˆ an vˆo hu.´
o.ng X × X → X, K × X → X, (x, y) → x + y v` a (α, x) → αx la ` ca ´ c a ´ nh xa. liˆen tu.c. Thˆ
a.t vˆa.y, t`u. c´ac d¯´anh gi´a
k(xn + yn) − (x0 + y0)k ≤ kxn − x0k + kyn − y0k → 0
kαnxn − α0x0k = k(αnxn − αnx0) + (αnx0 − α0x0)k
≤ |αn| kxn − x0k + |αn − α0| kx0k → 0
khi n → ∞, ta suy ra d¯u.o. . c d¯iˆe ` u cˆa ` n ch´u.ng minh. D
- i.nh nghı˜a. Cho a ∈ X va` λ ∈ K, λ 6= 0. Ta go.i ca´c a´nh xa. f, g : X → X lˆ a
`n lu.o..t xa´c d¯i.nh bo.’i f (x) = a + x, g(x) = λx, v´ o.i mo.i x ∈ X, la ` phe
´p ti.nh tiˆe´n theo vecto. a va` phe´p vi. tu. . tı’ sˆ o´ λ. T` u. 4) ta suy ra: 5. C´
ac ph´ep ti.nh tiˆe´n theo vecto. a v`a ph´ep vi. tu. . tı’ sˆ o´ λ 6= 0 l` a c´ ac ph´ep d¯ˆ o `ng phˆ oi t` u. X lˆen X. Thˆ
a.t vˆa.y, ta thˆa´y ngay f, g l`a song ´anh v`a f−1(x) = −a+x, g−1(x) = λ−1x nˆen f, g c` ung v´ o.i c´ ac ´
anh xa. ngu.o..c cu’a n´o f−1, g−1 l`a liˆen tu.c. Nhˆ
a.n x´et. C´ac t´ınh chˆa´t 4 v`a 5 c˜ung nˆeu lˆen su.. kˆe´t ho..p gi˜u.a cˆa´u tr´uc d¯a.i sˆ o´ v` a ph´ep to´
an co. ba’n cu’a gia’i t´ıch (ph´ep lˆ a´y gi´ o.i ha.n). Ta c´ o c´ ac hˆe. qua’ sau. a) Gia’ su.
’ A l`a tˆa.p mo.’ (t.u.., d¯´ong) trong X th`ı x0 + A = A + x0 = {x0 + a :
a ∈ A}, λA = {λa : a ∈ A} l` a c´ ac tˆ
a.p mo.’ (t.u.., d¯´ong) trong X. D - iˆe
` u n`ay suy t`u. a’nh cu’a mˆo.t tˆa.p mo.’ (t.u.., d¯´ong) qua ´anh xa. d¯ˆo`ng phˆoi (ca´c phe
´ p ti.nh tiˆe´n vecto. a, vi. tu.. tı’ sˆo´ λ 6= 0) th`ı mo.’ (t.u.., d¯´ong).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 16 b) Cho A mo.
’ , B l`a tˆa.p tu`y ´y trong X th`ı A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} l` a tˆ
a.p mo.’. Thˆa.t vˆa.y, [ A + B = (A + b) b∈B t´ u.c l` a A + B b˘ a
`ng ho..p cu’a mˆo.t ho. c´ac tˆa.p mo.’ nˆen n´o l`a tˆa.p mo.’. 2.4. Khˆ ong gian Banach. 2.4.1. D
- i.nh ngh˜ıa. Cho (xn)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Nh˘
a´c la.i r˘a`ng (xn)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy nˆe´u kxn − xmk → 0 khi m, n → ∞. Nˆe´u v´ o.i mˆetric sinh t` u. chuˆ a’n, X tro.
’ th`anh khˆong gian mˆetric d¯ˆa
` y d¯u’ th`ı X d¯u.o..c go.i l` a khˆ ong gian Banach. N´ oi c´ ach kh´ac, X l` a mˆ
o.t khˆong gian Banach nˆe´u mo.i d˜ay Cauchy trong X d¯ˆe ` u hˆo.i tu. vˆe
` mˆo.t d¯iˆe’m cu’a n´o.
2.4.2. V´ı du.. C´ac khˆong gian Kn, C[a,b], l2, . . . l`a c´ac khˆong gian Banach. Khˆ ong gian CL khˆ ong pha’i l` a khˆ ong gian Banach. [a,b] 2.4.3. D - i.nh l´y vˆe ` bˆ o’ sung mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (khˆong d¯ˆa`y d¯u’). B˘a`ng c´ach d¯ˆa`y d¯u’ ho´ a khˆ
ong gian mˆetric (X, d) trong d¯´
o d(x, y) = kx − yk ta d¯u.o. . c khˆ ong gian mˆetric d¯ˆ a ` y d¯u’ ˜ X va ` X tru` mˆ a.t trong ˜ X. Tuy nhiˆen trong ˜ X cˆ a ` n xˆay du..ng c´ac ph´ep to´an d¯ˆe’ n´ o tro.
’ th`anh khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nhˆa.n X l`am khˆong gian vecto. con. Lˆ a´y x, y ∈ ˜ X. V`ı X = ˜ X nˆen tˆ o
`n ta.i c´ac d˜ay (xn)n, (yn)n trong X hˆo.i tu. lˆ a
` n lu.o..t d¯ˆe´n x, y. Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng (xn + yn)n, (λxn)n l`a nh˜u.ng d˜ay Cauchy trong X ⊂ ˜ X nˆen ta d¯i.nh ngh˜ıa
λx = limλxn, x + y = lim (xn + yn). n n C´
o thˆe’ kiˆe’m nghiˆe.m la.i r˘a`ng, c´ac d¯i.nh ngh˜ıa n`ay x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯´ung d¯˘ a´n c´
ac ph´ep to´an d¯a.i sˆo´ d¯ˆe’ biˆe´n ˜ X th` anh khˆ ong gian vecto., nhˆ a.n X l`am khˆong gian con. Ngoa `i ra ˜ X tro.
’ tha`nh khˆong gian Banach v´o.i chuˆa’n trˆen ˜ X d¯u.o. . c cho bo.
’ i cˆong th´u.c kxk = d(x, 0), trong d¯´o d l`a mˆetric trˆen ˜ X. T´ om la.i, ta c´o thˆe’ pha
´ t biˆe’u d¯i.nh l´y nhu. sau: D
- i.nh l´y. V´o.i mo.i khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n khˆong d¯ˆa`y d¯u’ X, bao gi`o. c˜ung tˆ o
`n ta.i mˆo.t khˆong gian Banach ˜ X ch´
u.a X sao cho X tr` u mˆ a.t trong ˜ X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 17 2.5. Chuˆ o ˜i trong trong khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n.
Trong d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh ta chı’ d¯i.nh ngh˜ıa d¯u.o..c tˆo’ng h˜u.u ha.n c´ac vecto. cu’a mˆ
o.t khˆong gian vecto. X. Muˆo´n d¯u.a v`ao kh´ai niˆe.m “tˆo’ng vˆo ha.n” c´ac vecto. hay c` on go.i l`a chuˆo˜i, ta cˆa
` n pha’i x´et d¯ˆe´n gi´o.i ha.n cu’a nh˜u.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n. D - iˆe ` u n`ay co ´ thˆe’ thu. . c hiˆe.n d¯u.o. . c d¯ˆ o´i v´ o.i khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n v`ı trong d¯´o d¯˜a xˆay du..ng ph´ep to´ an gi´ o.i ha.n. 2.5.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Cho (xn)n l`a mˆo.t d˜ay trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Ta lˆ
a.p mˆo.t d˜ay m´o.i, x´ac d¯i.nh bo.’i s1 = x1 s2 = x1 + x2 . . . = . . . n X sn = x1 + x2 + · · · + xn = xi i=1 . . . . . . . . . . . . ∞ Khi d¯´ o d˜ ay (s P n)n d ¯u.o. . c go.i l` a mˆ
o.t chuˆo˜i v`a ta thu.`o.ng k´y hiˆe.u chuˆo˜i n`ay l`a xn. n=1 Ta c`
on go.i sn l`a tˆo’ng riˆeng th´u. n cu’a chuˆo˜i, xn l`a ha.ng th´u.c tˆo’ng qu´at (th´u. n) cu’a chuˆ o˜i ˆ a´y. ∞ Chuˆ o˜i P xn d¯u.o. . c go.i l` a hˆ
o.i tu. nˆe´u d˜ay tˆo’ng riˆeng sn hˆo.i tu.. Khi d¯´o d¯˘a.t n=1 ∞ s = lim s P n v`
a go.i s l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i: s =
xn. Nhu. vˆa.y c`ung mˆo.t biˆe’u th´u.c n→∞ n=1 ∞
P xn ta v`u.a d`ung d¯ˆe’ ky´ hiˆe.u mˆo.t chuˆo˜i no´i chung, v`u.a ky´ hiˆe.u tˆo’ng cu’a n´o khi n=1 chuˆ o˜i n` ay hˆ o.i tu.. ∞ ∞ Chuˆ o˜i P x P n d ¯u.o. . c go.i l` a hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i nˆe´u chuˆo˜i sˆo´ thu..c kxnk hˆo.i tu.. n=1 n=1 2.5.2 C´ ac t´ınh chˆ a´t. Phˆ a
` n l´o.n c´ac t´ınh chˆa´t cu’a chuˆo˜i trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n giˆo´ng v´o.i tı´nh chˆ a´t cu’a chuˆ o˜i sˆ o´ thu. . c va ` ngay ca ´ ch ch´ u.ng minh cu
˜ ng vˆa.y nˆe´u chu´ng khˆong liˆen quan d¯ˆe
´n th´u. tu.. nhu. trong R. Ta nˆeu la.i mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ thu.`o.ng d`ung. a) Ta co ´ thˆe’ d¯a ´ nh sˆo´ mˆ
o.t chuˆo˜i t`u. mˆo.t sˆo´ nguyˆen na`o d¯o´ ch´u. khˆong nhˆa´t ∞ ∞ thiˆe ´t la` t`u. 1, ch˘a’ng ha P P . n xn. D
- ˆoi lu´c ta co`n xe´t chuˆo˜i xn. n=n0 n=−∞
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 18 ∞ ∞ b) Nˆe´u P x P n,
yn l`a hai chuˆo˜i hˆo.i tu., c´o tˆo’ng lˆa
` n lu.o..t l`a x v`a y c`on λ n=1 n=1 ∞ ∞ l` a mˆ o P P . t sˆo´ th`ı c´ ac chuˆ o˜i (xn ± yn),
λxn c˜ung hˆo.i tu. v`a lˆa ` n lu.o..t c´o tˆo’ng l`a n=1 n=1 x ± y, λ x. ∞ c) Tiˆ eu chuˆ a’n Cauchy. Nˆe´u chuˆ
o˜i P xn hˆo.i tu. th`ı v´o.i mo.i > 0 d¯ˆe ` u tˆo `n n=1
ta.i n0 ∈ N sao cho nˆe´u n ≥ n0 v`a p ∈ N ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c. n+p X k xmk < . m=n+1 Ngu.o. . c la.i nˆe´u d¯iˆe
` u kiˆe.n n`ay d¯u.o..c thoa’ m˜an v`a X l`a khˆong gian Banach th`ı ∞ chuˆ o˜i P xn hˆo.i tu.. n=1 Thˆ a.t vˆa.y, nh˜u.ng d¯iˆe
` u n´oi trˆen ch´ınh l`a ´ap du.ng tiˆeu chuˆa’n Cauchy d¯ˆo´i v´o.i d˜
ay (sn)n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. ∞ d) Gia’ su.
’ P xn hˆo.i tu.. Khi ˆa´y n=1
lim xn = lim (sn − sn−1) = s − s = 0. n n Vˆ
a.y nˆe´u mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu. th`ı ha.ng th´u.c tˆo’ng qu´at dˆa ` n d¯ˆe´n 0 khi n → ∞. ∞ ∞ e) Cho chuˆ o˜i P x P n hˆ
o.i tu. trong X. Ky´ hiˆe.u rn = xi la` phˆa `n du. th´u. n n=1 i=n+1 cu’a chuˆ o˜i. Ta co ´ rn → 0 khi n → ∞. 2.5.3 D - i.nh l´y. a) Trong khˆ
ong gian Banach X mo.i chuˆo˜i hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i d¯ˆe ` u hˆo.i tu.. b) Nˆe´u trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n X, mo.i chuˆo˜i hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i d¯ˆe ` u hˆo.i
tu. th`ı X l`a mˆo.t khˆong gian Banach. Ch´ u.ng minh. ∞ ∞ a) Cho X Banach v` a P x P n l` a mˆ o.t chuˆo˜i trong X sao cho kxnk hˆo.i tu.. n=1 n=1 Ta c´ o d¯´ anh gi´ a n+p n+p X X k xnk ≤ kxnk < m=n+1 m=n+1 v´ o.i n d¯u’ l´ o.n v` a p tu` y ´ y. ´
Ap du.ng tiˆeu chuˆa’n Cauchy ta c´o kˆe´t qua’.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 19 b) Bˆ ay gi`
o. cho (xn)n l`a mˆo.t d˜ay Cauchy trong X. ´
Ap du.ng d¯i.nh ngh˜ıa, v´o.i mˆ
o˜i k ∈ N ta cho.n xn sao cho n k k < nk+1 va ` 1 kxn − x k ≤ , k = 1, 2, . . . k+1 nk 2k C´ ac bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c n` ay ch´ u.ng to’ r˘ a `ng chuˆo˜i xn + (x − x ) + · · · + (x − x ) + . . . 1 n2 n1 nk+1 nk hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i. Theo dˆa´u hiˆe.u so sa´nh, chuˆo˜i n`ay s˜e hˆo.i tu. v`a go.i x l`a tˆo’ng cu’a n´ o. Nhu. vˆ a.y x = lim [xn + (x − x ) + · · · + (x − x )] = lim x 1 n2 n1 nk nk nk k→∞ −1 k D˜
ay Cauchy (xn)n c´o mˆo.t d˜ay con (xn ) k k hˆ o.i tu. vˆe
` x th`ı (xn)n c˜ung hˆo.i tu. vˆe ` x. Thˆ
a.t vˆa.y, cho > 0 s˜e c´o n0 d¯ˆe’ kxn − xmk < /2 v´o.i mo.i m, n ≥ n0. M˘a.t kh´ac, xn → x nˆen c´o k
− xk < /2. Khi d¯´o nˆe´u n ≥ max (n ) k 0 d ¯ˆe’ k ≥ k0 th`ı kxnk 0, nk0 th`ı
kxn − xk ≤ kxn − xn k + kx − xk < /2 + /2 = . k n 0 k0 Vˆ
a.y mo.i d˜ay Cauchy trong X d¯ˆe
` u hˆo.i tu. nˆen X l`a mˆo.t khˆong gian Banach. 2.6 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n con. 2.6.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Cho (X, k · k) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a mˆ
o.t khˆong gian vecto. con cu’a n´o. L´uc d¯´o h`am k · k thu he.p lˆen Y c˜ung l`a mˆo.t chuˆ a’n v` a v´o.i chuˆ a’n d¯´ o, Y tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ta go.i Y l`a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n con (hay v˘a´n t˘a´t, khˆong gian con) cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n X. Khˆ ong gian con cu’a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n c´o thˆe’ d¯´ong ho˘a.c khˆong. Tuy nhiˆen ta c´ o. 2.6.2 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a n´ o. Khi d¯´ o bao d¯´
ong Y cu’a Y c˜ ung l` a mˆ
o.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ x, y ∈ Y , α, β l`a hai sˆo´. Ta cˆa
` n kiˆe’m tra αx + βy ∈ Y . V`ı x y ∈ Y nˆen tˆo
`n ta.i hai d˜ay (xn)n, (yn)n trong Y sao cho xn → x v`a yn → y. L´ uc d¯´
o αxn + βyn ∈ Y v´o.i mo.i n ∈ N d¯ˆo
`ng th`o.i αxn + βyn → αx + βy. Vˆa.y αx + βy ∈ Y .
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 20 Bˆ ay gi` o. gia’ su.
’ M l`a mˆo.t tˆa.p con trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Ta thu.`o.ng quan tˆ am d¯ˆe
´n khˆong gian con h M i v`a go.i l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a X sinh bo. ’ i M . 2.6.3 D
- i.nh l´y. Nˆe´u X l`a khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´
ong cu’a X th`ı ba’n thˆ an Y c˜ ung l` a mˆ
o.t khˆong gian Banach. Ch´ u.ng minh. V`ı Y d¯´ ong trong khˆ ong gian d¯ˆ a ` y d¯u’ X nˆen Y d¯ˆa ` y d¯u’. 2.7 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n tı´ch.
Cho (X, k · k1) va` (Y, k · k2) la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen cu`ng mˆo.t tru.` o.ng K. Xe ´ t ha `m sˆ o´ k · k xa
´ c d¯i.nh trˆen khˆong gian vecto. tı´ch Z = X × Y, cho bo. ’ i cˆong th´u.c:
∀ (x, y) ∈ X × Y, k(x, y)k = kxk1 + kyk2. Ro
˜ ra`ng k · k la` mˆo.t chuˆa’n va` ta go.i (X × Y, k · k) la` khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tı´ch cu’a X va ` Y. Nhˆ a.n xe ´ t. 1. Ta co
´ thˆe’ d¯i.nh nghı˜a tu.o.ng tu.. cho tı´ch n khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n
X1, . . . , Xn trˆen cu`ng tru.`o.ng K. 2. Da
˜ y (zn)n = (xn, yn)n trong Z hˆo.i tu. vˆe
` (x0, y0) khi va` chı’ khi xn → x0 va ` yn → y0 lˆa
`n lu.o..t trong X va` trong Y. Nhu. thˆe´ ta thˆa´y ngay r˘a`ng khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n tı´ch Z = X × Y la` Banach khi va` chı’ khi ca’ X va` Y la` ca´c khˆong gian Banach. 2.8 Khˆ ong gian d ¯i.nh chuˆa’n thu.o.ng. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a Y l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a Y . Khi d¯´ o ta c´ o khˆ
ong gian vecto. thu.o.ng X/Y . Ta x´
ac d¯i.nh chuˆa’n trong X/Y d¯ˆe’ n´ o tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nhu. sau. Gia’ su.
’ ξ ∈ X/Y, l´uc d¯´o ξ s˜e c´o da.ng l`a ξ = a + Y v´o.i a ∈ X. D - ˘a.t kξk = inf kxk x∈ξ v` a kiˆe’m tra k · k l` a mˆ
o.t chuˆa’n trˆen X/Y. Ta c´o
1) kξk ≥ 0, kξk = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i inf kxk = 0. Nhu. vˆ a.y tˆo `n ta.i xn ∈ x∈ξ
ξ, xn → 0 nˆen 0 ∈ ξ v`ı ξ l`a mˆo.t tˆa.p d¯´ong trong X. Do d¯´o ξ = 0 (t´u.c l`a ξ = Y ).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 21 2) V´ o.i ξ ∈ X/Y v` a sˆo´ λ th`ı
kλξk = inf kyk = inf kλxk = |λ|kξk. y∈λξ x∈ξ 3) V´ o.i ξ, η ∈ X/Y v` a > 0 bˆ a´t k` y, theo t´ınh chˆ a´t cu’a infimum, tˆo `n ta.i x ∈ ξ, y ∈ η sao cho kxk ≤ kξk + /2; kyk ≤ kηk + /2. Do d¯´ o
kx + yk ≤ kxk + kyk ≤ kξk + kηk + . V`ı x + y ∈ ξ + η nˆen
kξ + ηk ≤ kx + yk ≤ kξk + kηk + . D - iˆe
` u n`ay d¯´ung v´o.i mo.i > 0 nˆen kξ + ηk ≤ kξk + kηk ngh˜ıa l` a tiˆen d¯ˆe
` th´u. ba cu’a chuˆa’n d¯u.o..c ch´u.ng minh. Nhu. vˆ
a.y ta d¯˜a xˆay du..ng d¯u.o..c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X/Y , go.i l`a khˆong
gian d¯i.nh chuˆa’n thu.o.ng cu’a X theo khˆong gian con d¯´ong Y . B ` AI T ˆ A . P 2.1. Ha ˜ y kiˆe’m tra ca ´ c tˆ
a.p va` ca´c ha`m cho tu.o.ng ´u.ng la` ca´c khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n.
a. X = Kn, v´o.i x = (x1, . . . , xn) ∈ X, ta d¯˘a.t kxk = max kxik. i=1,...,n b. X = c l` a tˆ
a.p c´ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘a.c ph´u.c) hˆo.i tu.. V´o.i x = (xn)n ∈ c d¯˘a.t kxk = sup |xn|. n∈N c. X = M [a, b] l`
a tˆa.p c´ac h`am sˆo´ bi. ch˘a.n o.’ trˆen [a, b] v´o.i kxk = sup |x(t)|. t∈[a,b]
d. X = C[a,b] l`a tˆa.p c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i Z b 1/2 kxk = |x(t)|2dt . a
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 22 e. X = l1 l` a tˆ
a.p ho..p c´ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘a.c ph´u.c) (xn)n sao cho ∞ ∞ X X |xn| < ∞ v`a d¯˘a.t kxk = |xn|. n=1 n=1 2.2. Gia’ su.
’ (xn)n v`a (yn)n l`a hai d˜ay Cauchy trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng d˜ay sˆo´ thu..c (αn)n v´o.i αn = kxn − ynk hˆo.i tu.. 2.3. Ch´ u.ng minh r˘a
`ng trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, bao d¯´ong cu’a h`ınh cˆ a ` u mo. ’ B(0, 1) l`a h`ınh cˆa ` u d¯´ong B0(0, 1). 2.4. Cho A, B l` a hai tˆ
a.p con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Ch´u.ng minh r˘ a
`ng nˆe´u A, B l`a tˆa.p compact th`ı tˆa.p A + B c˜ung l`a tˆa.p compact. 2.5. K´
y hiˆe.u B(x0, r) l`a h`ınh cˆa ` u mo.
’ tˆam x0 b´an k´ınh r trong khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n X v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X. Gia’ su.’ B(x0, r) ⊂ Y. Ch´u.ng minh X = Y. 2.6. Tˆ
a.p M trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p lˆo `i nˆe´u
∀ x, y ∈ M, ∀ α ∈ [0, 1] th`ı αx + (1 − α)y ∈ M. Ch´ u.ng minh a. Nˆe´u M lˆ o
`i th`ı bao d¯´ong M c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p lˆo`i. b. H`ınh cˆa
` u d¯´ong (ho˘a.c mo.’) trong X l`a tˆa.p lˆo`i. 2.7. Kiˆe’m tra c´ac khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n n`ao o.’ b`ai tˆa.p 2.1 l`a khˆong gian Banach. 2.8. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X l`a kha’ ly khi v`a chı’ khi tˆo`n
ta.i mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c M ch´u.a trong X sao cho X = hMi. 2.9. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian Banach v`a Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X. Ch´ u.ng minh khˆ ong gian thu.o.ng X/Y l` a Banach. . §3. TO ´ AN TU’ TUYˆ E ´N T´INH LIˆEN TU.C. 3.1. D
- i.nh ngh˜ıa v`a c´ac t´ınh chˆa´t co. ba’n. D
- ˆe’ nghiˆen c´u.u mˆo´i quan hˆe. gi˜u.a hai khˆong gian vecto., ta d¯˜a x´et d¯ˆe´n ca´c a´nh
xa. (hay to´an tu.’) tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a chu´ng. D
- ˆo´i v´o.i c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nh`o. d¯u.a v` ao khoa’ng c´ ach (x´
ac d¯i.nh bo.’i chuˆa’n) ta nghiˆen c´u.u tı´nh chˆa´t liˆen tu.c cu’a c´ ac to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh t`u. khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n n`ay v`ao khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n kh´ ac. Nhu. thˆe´ c´
ac d¯i.nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa´t cu’a ´anh xa. liˆen tu.c trong c´ac khˆong
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 23 gian mˆetric d¯ˆe
` u la.i d¯u.o..c d`ung o.’ d¯ˆay. Nh˘a´c la.i r˘a`ng, gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong
gian d¯i.nh chuˆa’n, to´an tu.’ (´anh xa.) A : X → Y l`a liˆen tu.c ta.i x0 ∈ X nˆe´u v´o.i mo.i > 0 tˆ o
`n ta.i sˆo´ δ > 0 sao cho mo.i x ∈ X ma` kx − x0k < δ thı` kAx − Ax0k < . D
- i.nh nghı˜a na`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i tiˆeu chuˆa’n qua da˜y: A liˆen tu.c ta.i x0 khi va` chı’ khi v´
o.i mo.i d˜ay (xn)n ⊂ X, xn → x0 th`ı Axn → Ax0. 3.1.1 D
- i.nh l´y. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a mˆ
o.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. Khi d¯´o c´ac mˆe.nh d¯ˆe
` sau d¯ˆay l`a tu.o.ng d¯u.o.ng.
a) A liˆen tu.c (t´u.c l`a liˆen tu.c ta.i mo.i x ∈ X).
b) A liˆen tu.c ta.i mˆo.t d¯iˆe’m x0 ∈ X.
c) A liˆen tu.c ta.i d¯iˆe’m 0 ∈ X. d) Tˆ o
`n ta.i mˆo.t sˆo´ M sao cho v´o.i mo.i x ∈ X ta c´o kAxk ≤ Mkxk. Ch´ u.ng minh. a) ⇒ b) l` a hiˆe’n nhiˆen. b) ⇒ c) Gia’ su.
’ xn → 0. Khi d¯´o xn + x0 → x0. Do gia’ thiˆe´t b), A liˆen tu.c ta.i
x0 nˆen A(xn + x0) → Ax0 hay Axn + Ax0 → Ax0. Vˆa.y Axn → 0 = A(0). c) ⇒ d) D` ung d¯i.nh ngh˜ıa vˆe
` t´ınh liˆen tu.c theo ngˆon ng˜u. , δ : v´o.i = 1 tˆo`n
ta.i δ > 0 sao cho nˆe´u x ∈ X, kxk < δ th`ı kAxk < 1. Bˆay gi`o. v´o.i mo.i x ∈ X ma` δx x 6= 0 ta c´ o = δ/2 < δ nˆ en 2kxk δx 2 A( ) ≤ 1 hay kAxk ≤ kxk. 2kxk δ Bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c n` ay hiˆe’n nhiˆen d¯´ ung khi x = 0. Vˆ a.y t`u. c) ta c´o d). d) ⇒ a) Gia’ su.
’ xn → x trong X. Khi d¯´o t`u. d) ta c´o
kAxn − Axk = kA(xn − x)k ≤ M kxn − xk → 0 (n → ∞)
nˆen Axn → Ax, ngh˜ıa l`a A liˆen tu.c ta.i x ∈ X. Nˆe´u d¯iˆe ` u kiˆe.n d) cu’a D
- i.nh l´y 3.1.1 thoa’ m˜an, ta thˆa´y A biˆe´n mˆo.t tˆa.p bi. ch˘a.n trong X th` anh mˆ
o.t tˆa.p bi. ch˘a.n trong Y . Do d¯´o khi to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh A thoa’ m˜ an d¯iˆe
` u kiˆe.n n`ay th`ı n´o d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh bi. ch˘a.n. Nhu. vˆa.y d¯ˆ o´i v´ o.i c´ ac to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh gi˜u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, c´ac kh´ai niˆe.m
liˆen tu.c v`a bi. ch˘a.n l`a tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 24 Bˆ ay gi` o. cho A l` a mˆ
o.t to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh bi. ch˘a.n t`u. X v`ao Y . D - ˘a.t
kAk = inf {K > 0 : ∀x ∈ X, kAxk ≤ Kkxk.} v`
a go.i kAk l`a chuˆa’n cu’a to´an tu.’ A. Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o:
a. kAxk ≤ kAk kxk, ∀x ∈ X. b. Nˆe´u c´ o K sao cho v´
o.i mo.i x ∈ X m`a kAxk ≤ Kkxk th`ı kAk ≤ K. T`
u. d¯i.nh nghı˜a ta thˆa´y viˆe.c tı´nh toa´n chuˆa’n cu’a toa´n tu.’ A la` kho´. Sau d¯ˆay la ` va `i cˆ ong th´ u.c cho phe ´ p tı´nh chuˆ a’n mˆ o.t ca´ch cu. thˆe’ ho.n. 3.1.2 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ A l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y . Khi d¯´ o ta c´ o kAxk kAk = sup = sup kAxk = sup kAxk. x6=0 kxk kxk=1 kxk≤1 kAxk Ch´ u.ng minh. D - ˘a.t α = sup
, β = sup kAxk, γ = sup kAxk. V´ o.i mo.i x6=0 kxk kxk=1 kxk≤1 kAxk x ∈ X \ {0}, ta c´ o
≤ α hay kAxk ≤ αkxk. Theo d¯i kxk .nh ngh˜ıa th`ı kAk ≤ α. x V´ o.i mo.i x 6= 0 d¯˘a.t y = th`ı kyk = 1. Nhu. vˆ a kxk . y kAxk x α = sup = sup kA( )k = sup kAyk ≤ sup kAyk x6=0 kxk x6=0 kxk kyk=1 kyk≤1
hay kAk ≤ α = β ≤ γ. M˘ a.t kh´ac kAxk ≤ kAk kxk ≤ kAk v´
o.i kxk ≤ 1 nˆen γ ≤ kAk. T` u. d¯´ o kAk = α = β = γ. 3.1.3 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X, Y, Z l`a ba khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y , B : Y → Z l` a c´ ac ´
anh xa. tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. Khi d¯´o ´anh xa. C = B ◦ A : X → Z c˜ ung l`
a tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c, d¯ˆo `ng th`o.i kCk ≤ kBk kAk. Ch´
u.ng minh. Hiˆe’n nhiˆen tı´ch ca ´ c a
´ nh xa. tuyˆe´n tı´nh, liˆen tu.c la` a´nh xa. tuyˆe´n
tı´nh, liˆen tu.c. Ngoa`i ra, v´o.i mo.i x ∈ X ta c´o:
kCxk = kB(Ax)k ≤ kBk kAxk ≤ kBk kAk kxk Nhu. vˆ
a.y C bi. ch˘a.n v`a kCk ≤ kAk kBk.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 25 3.1.4 V´ı du . . 1. Gia’ su.
’ A l`a to´an tu.’ t`u. C[0,1] → C[0,1] cho bo.’i Z t x → Ax, Ax(t) = x(τ )dτ. 0 Ta ch´ u.ng minh A l` a to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh bi. ch˘a.n. D
- ˆe’ ´y r˘a`ng to´an tu.’ A biˆe´n mˆ o˜i h`
am liˆen tu.c x(t) trˆen [0, 1] th`anh (Ax)(t) la` mˆo.t nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen
[0, 1] tho’a (Ax)(0) = 0. Do d¯´
o Ax ∈ C[0,1] v`a A tuyˆe´n t´ınh. Ta c´ o Z t Z t |Ax(t)| = | x(τ )dτ | ≤ |x(τ )|dτ 0 0 Z t ≤
max|x(τ )|dτ ≤ max |x(t)| = kxk. 0 [0,1] [0,1] Do d¯´ o kAxk = max |Ax(t)| ≤ kxk. t∈[0,1] Vˆ
a.y A l`a to´an tu.’ bi. ch˘a.n v`a kAk ≤ 1. M˘a.t kh´ac, x´et h`am x0(t) ≡ 1 v´o.i mo.i t ∈ [0, 1]. Ta c´
o kx0k = 1, v`a kAk ≥ kAx0k = max | R t dτ | = 1. T`u. d¯´o kAk = 1. t∈[0,1] 0 2. K´ y hiˆe.u C1 l` a tˆa [0,1] . p ho. . p c´ ac h`
am kha’ vi liˆen tu.c trˆen [0, 1]. Ta xem C1[0,1] l` a khˆ
ong gian con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n C[0,1] v´o.i chuˆa’n “ max ”. X´et to´an tu. ’ d¯a.o h`am dx x ∈ C1 → Ax = ∈ C [0,1] dt [0,1]. sin nt To´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh n`ay khˆong liˆen tu.c v`ı lˆa´y d˜ay xn(t) = c´ o kx n nk = sin nt 1 max | | ≤
→ 0 khi n → ∞ nhu.ng v´o.i (Axn)(t) = cos nt thı` kAxnk t∈[0,1] n n = max | cos nt| = 1 khˆ ong tiˆe´n vˆe ` A(0) = 0. t∈[0,1] 3.2. Khˆ ong gian c´ ac to´ an tu. ’ tuyˆ e´n t´ınh liˆ en tu . c. 3.2.1 C´ ac d
¯i.nh ngh˜ıa. Cho hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, Y . Tˆa.p ho..p tˆ a´t ca’ c´ ac to´an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a L(X, Y ). Ta d¯˜ a k´
y hiˆe.u L(X, Y ) l`a khˆong gian vecto. c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y. Nhu. thˆe´ L(X, Y ) ⊂ L(X, Y ).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 26 V´ o.i A, B ∈ L(X, Y ) v` a α ∈ K th`ı A + B v` a αA l` a c´ac to´an tu. ’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y , do
k(A + B)xk = kAx + Bxk ≤ kAxk + kBxk ≤ (kAk + kBk)kxk) v` a
kαAxk = |α| kAxk ≤ |α| kAk kxk, ∀ x ∈ X. ngh˜ıa l` a A + B v` a αA thuˆ o.c L(X, Y ). Vˆ
a.y L(X, Y ) tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian tuyˆe´n t´ınh. Ho.n n˜u.a, nˆe´u A ∈
L(X, Y ), theo d¯i.nh ngh˜ıa chuˆa’n cu’a to´an tu.’ kAk x´ac d¯i.nh o.’ mu.c 3.1, ta c´o
1. kAk ≥ 0, kAk = 0 ⇔ (∀ x ∈ X : kAxk ≤ 0kxk = 0 ⇔ A = 0. 2. kαAk = |α| kAk r˜
o r`ang v´o.i mo.i sˆo´ α ∈ K.
3. Do k(A + B)xk ≤ (kAk + kBk)kxk nˆen kA + Bk ≤ kAk + kBk v´ o.i mo.i A, B ∈ L(X, Y ). Nhu. thˆe´ L(X, Y ) tro.
’ th`anh mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian c´ ac to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y .
Cho (An)n l`a mˆo.t d˜ay to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh trong L(X, Y ). Ta goi d˜ay (An)n hˆ
o.i tu. t`u.ng d¯iˆe’m (hay hˆo.i tu. d¯o.n) d¯ˆe´n A ∈ L(X, Y ), nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ X, d˜ay
(Anx)n hˆo.i tu. d¯ˆe´n Ax trong khˆong gian Y. Nh˘
a´c la.i r˘a`ng (An)n hˆo.i tu. d¯ˆe´n A ∈ L(X, Y ) nˆe´u kAn − Ak → 0. L´uc d¯´o ta c` on nhˆ
a´n ma.nh r˘a`ng: d˜ay to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh (An)n hˆo.i tu. theo chuˆa’n d¯ˆe´n to´an tu.
’ A trong khˆong gian L(X, Y ) d¯ˆe’ phˆan biˆe.t v´o.i kh´ai niˆe.m hˆo.i tu. d¯o.n no´i trˆen. T` u. d¯´ anh gi´ a
kAnx − Axk ≤ kAn − Ak kxk
ta suy ra nˆe´u (An)n hˆo.i tu. theo chuˆa’n d¯ˆe´n A th`ı n´o c˜ung hˆo.i tu. d¯o.n. Tuy nhiˆen d¯iˆe ` u ngu.o. . c la.i khˆ ong d¯´ ung (xem ba `i tˆ a.p 3.11). 3.2.2. D
- i.nh l´y. Nˆe´u Y l`a khˆong gian Banach th`ı L(X, Y ) l`a mˆo.t khˆong gian Banach. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ (An)n l`a mˆo.t d˜ay co. ba’n trong L(X, Y ). D - iˆe ` u n`ay c´o ngh˜ıa l` a
(∀ > 0) (∃n0) (∀n, m ≥ n0) : kAn − Amk < . Do d¯´ o khi m, n ≥ n0,
∀x ∈ X : kAnx − Amxk ≤ kAn − Amk kxk < kxk (3.1)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 27 T` u. d¯´ anh gi´ a n` ay ta suy ra d¯u.o. . c (Anx)n l` a d˜
ay co. ba’n trong Y . V`ı Y l` a
Banach nˆen Anx hˆo.i tu. vˆe
` mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a Y m`a ta k´y hiˆe.u l`a Ax. D - ˘a.t A : X → Y, Ax = lim Anx. n→∞ M˘
a.t kha´c ∀ x, y ∈ X, α, β ∈ K ta co´ A(αx + βy) = lim An(αx + βy) = n→∞
α lim Anx + β lim Any = αAx + βAy. Vˆa.y A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. Ho.n n˜u.a n→∞ n→∞ t`
u. (3.1), ta cho m → ∞ th`ı c´ o d¯u.o. . c
kAnx − Axk ≤ kxk v´o.i mo.i x ∈ X v`a n ≥ n0 (3.2.)
Nhu. thˆe´ An − A ∈ L(X, Y ). T`u. d¯o ´ A = A − (A
− A) ∈ L(X, Y ), ngoa`i ra t` u. 0 n0 n0
(3.2) suy ra kAn − Ak ≤ v´o.i mo.i n ≥ n0 t´u.c l`a An hˆo.i tu. vˆe ` A trong L(X, Y ). Vˆ
a.y L(X, Y ) l`a mˆo.t khˆong gian Banach. 3.3. To´ an tu. ’ ngu.o. . c–Ph´ ep d ¯ˆ o ` ng phˆ oi. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian vecto., A : X → Y l` a song ´ anh tuyˆe´n t´ınh th`ı tˆ o
`n ta.i ´anh xa. ngu.o..c A−1 : Y → X c˜ung l`a tuyˆe´n t´ınh. L´uc d¯´o ta n´oi a´nh xa. A l`
a kha’ nghi.ch. Tru.`o.ng ho..p X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A ∈ L(X, Y ) v`a A song ´ anh th`ı n´ oi chung A−1 chu.a ch˘ a´c d¯˜
a liˆen tu.c. Bo.’i vˆa.y nˆe´u A song ´anh, A ∈ L(X, Y ) v`
a A−1 ∈ L(Y, X) th`ı A d¯u.o. . c go.i l` a mˆ o.t ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh t` u. X lˆen Y . L´ uc d¯´ o ta n´
oi hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, Y d¯ˆo `ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh v´ o.i nhau. Nˆe´u song a ´ nh tuyˆe
´n t´ınh A thoa’ m˜an d¯iˆe
` u kiˆe.n kAxk = kxk v´o.i mo.i x ∈ X th`ı A d¯u.o. . c go.i l` a ph´ep d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe´n t´ınh t` u. X lˆen Y v` a X, Y l` a hai khˆ ong gian d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe ´n tı´nh v´o.i nhau. Ro ˜ ra`ng, nˆe´u A la` phe ´ p d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe ´n tı´nh thı` no ´ cu ˜ ng la` phe ´ p d¯ˆ o
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh gi˜u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Nhˆ a.n xe´t. Nˆe´u X d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh v´o.i Y thı` ta ky ´ hiˆe.u X ' Y. D - ˆe’ y´,
quan hˆe. ' la` quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆa.p ca´c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. 3.3.1 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ to´an tu.’ A ∈ L(X, Y ) c´o to´an tu.’ ngu.o..c A−1 : Y → X liˆen tu.c. Khi d¯´o (∀x ∈ X) kAxk ≥ mkxk, v´ o.i mo.i m ≤ kA−1k−1 (3.3) Ngu.o. . c la.i, gia’ su. ’ A to`an ´anh v`a tˆo `n ta.i m0 > 0 sao cho (∀ x ∈ X) kAxk ≥ m0kxk (3.4) th`ı A−1 tˆ o
`n ta.i, liˆen tu.c v`a kA−1k ≤ m−1 0 .
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 28 Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ to´an tu.’ A c´o to´an tu.’ ngu.o..c A−1 : Y → X liˆen tu.c, khi d¯´ o y = Ax tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i x = A−1y. Nhu. vˆ
a.y kA−1yk ≤ kA−1k kyk hay
kxk ≤ kA−1k kAxk. Suy ra v´o.i mo.i m ≤ kA−1k−1 th`ı ta c´o kAxk ≥ mkxk. Ngu.o.
. c la.i, cho (3.4) thoa’ m˜ an, l´ uc d¯´ o nˆe´u v´
o.i x, y ∈ X, Ax = Ay th`ı t` u.
0 = kA(x − y)k ≥ mkx − yk
suy ra kx − yk = 0 hay x = y t´ u.c l` a A d¯o.n ´ anh. C` ung v´
o.i gia’ thiˆe´t A to`an ´ anh th`ı A l` a song ´ anh. C˜ ung t` u. (3.4) ta c´ o thˆe’ viˆe´t
∀y ∈ Y, m0kA−1yk ≤ kyk, hay kA−1yk ≤ m−1k 0 yk. Vˆ
a.y A−1 liˆen tu.c v`a kA−1k ≤ m−1 0 . Ta c´ o mˆ
o.t hˆe. qua’ tru..c tiˆe´p nhu. sau. 3.3.2 Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ A : X → Y l`a mˆo.t to`an ´anh tuyˆe´n t´ınh. Lu´c d¯o´ A l` a mˆ o.t ph´ep d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh khi v`a chı’ khi tˆo
`n ta.i c´ac sˆo´ du.o.ng M, N sao cho
∀x ∈ X : N kxk ≤ kAxk ≤ M kxk. K´
y hiˆe.u Isom (X, Y ) l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac ph´ep d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh t`u. X lˆen Y . Tˆ
a´t nhiˆen Isom (X, Y ) ⊂ L(X, Y ). Ho.n n˜ u.a, ta c´ o: 3.3.3 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong gian Banach. Nˆe´u A ∈ Isom (X, Y ) th`ı v´
o.i mo.i B ∈ L(X, Y ) sao cho kA − Bk < kA−1k−1 th`ı B ∈ Isom (X, Y ). N´ oi c´ ach kh´ ac, Isom (X, Y ) l` a tˆ
a.p mo.’ trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n L(X, Y ). Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ B ∈ L(X, Y ) thoa’ kA − Bk < kA−1k−1, ta ch´u.ng minh B l` a song ´ anh. Lˆ a´y y ∈ Y v` a x´et ´ anh xa. T : X → X,
T x = A−1y + A−1(A − B)x. T l` a mˆ o.t ´anh xa. co v`ı
∀ x, x0 ∈ X : kT x − T x0k = kA−1(A − B)x − A−1(A − B)x0k
≤ kA−1k kA − Bk kx − x0k ≤ θkx − x0k. trong d¯´
o θ = kA−1k kA − Bk < 1 theo gia’ thiˆe´t.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 29 V`ı X Banach nˆen T c´ o mˆ
o.t d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng duy nhˆa´t, ngh˜ıa l`a tˆo `n ta.i mˆo.t v` a chı’ mˆ
o.t x ∈ X sao cho x = T x hay x = A−1y + A−1(A − B)x.
Suy ra A−1(y − Bx) = 0 hay y = Bx. Vˆ
a.y B l`a song ´anh. M˘a.t kh´ac
kBxk = k(A − (A − B))xk ≥ kAxk − k(A − B)xk 1 ≥ kxk − kA − Bk kxk kA−1k 1 = − kA − Bk kxk. kA−1k Vˆ a.y B−1 ∈ L(X, Y ). 3.3.4 Chuˆ a’n tu.o.ng d ¯u.o.ng. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a k · k1, k · k2 l`a hai chuˆa’n trˆen X (nhu. vˆ
a.y ta c´o hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n (X, k · k1) v`a (X, k · k2)). Ta goi hai chuˆa’n n` ay l` a tu.o.ng d¯u.o.ng nˆe´u ´ anh xa. d¯ˆo
`ng nhˆa´t id : (X, k · k1) → (X, k · k2) l`a ph´ep d¯ˆ o `ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh. V`ı id l` a mˆ
o.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh nˆen theo Hˆe. qua’ 3.3.2, d¯iˆe ` u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’
d¯ˆe’ k · k1 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i k · k2 l`a tˆo
`n ta.i hai sˆo´ du.o.ng c1, c2 sao cho v´o.i mo.i x ∈ X, ta c´ o c1kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2kxk1. (3.5) Chu ´ y ´ r˘a
`ng, trong thu..c ha`nh d¯ˆe’ kiˆe’m tra 2 chuˆa’n tu.o.ng d¯u.o.ng ta thu.`o.ng thiˆe
´t lˆa.p bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c da.ng (3.5) na`y. V´ı du . . Trong Rn ta x´ et chuˆ a’n k · k d¯u.o. . c d¯i.nh ngh˜ıa
x = (x1, . . . , xn), kxk = max (|xi|). i=1,...,n Khi d¯´ o chuˆ a’n n` ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i chuˆ
a’n Euclide trˆen Rn. (H˜ay ch´u.ng minh nhu. b` ai tˆa.p.) D
- ˆe’ ´y r˘a`ng khi hai chuˆa’n k · k1, k · k2 tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau th`ı hai mˆetric tu.o.ng ´
u.ng s˜e tu.o.ng d¯u.o.ng d¯ˆe ` u. B ` AI T ˆ A . P
3.1 Cho C[0,1] l`a khˆong gian c´ac h`am liˆen tu.c trˆen [0, 1] v´o.i chuˆa’n “max”. D
- ˘a.t A : C[0,1] → C[0,1], x → Ax x´ac d¯i.nh bo.’i
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 30 a) (Ax)(t) = t2x(0).
b) (Ax)(t) = ϕ(t)x(t), trong d¯´ o ϕ(t) ∈ C[0,1] c) (Ax)(t) = x(0) − tx(t).
d) (Ax)(t) = x(t) − x(1 − t). Ch´ u.ng minh c´ ac to´ an tu.
’ n`ay la` tuyˆe´n tı´nh, liˆen tu.c v`a h˜ay t´ınh kAk. 3.2. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a to´an tu.’ tuyˆe´n ∞ t´ınh liˆen tu P . c. Gia’ su. ’
xn l`a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu. (t.u.., hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i) trong X, n=1 ∞ hy˜a ch´
u.ng minh P Axn l`a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu. trong Y (t.u.., hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i). n=1 3.3. Gia’ su.
’ A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X v`
ao khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n Y. Ch´u.ng minh kAk = sup kAxk. kxk<1 3.4. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a mˆo.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh. Gia’ su.
’ v´o.i mo.i d˜ay (xn)n trong X m`a lim xn = 0 th`ı d˜ay (A(xn))n n
bi. ch˘a.n o.’ trong Y. Ch´u.ng minh to´an tu.’ A liˆen tu.c. 3.5. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A ∈ L(X, Y ). Biˆe´t r˘a`ng sup kAx − Ayk = 1. x,y∈B0(0,r) H˜ ay t´ınh chuˆ a’n kAk. 3.6. Cho X, Y, Z l` a ba khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n. Gia’ su.’ un ∈ L(X, Y ) v`a
vn ∈ L(Y, Z) sao cho un → u, vn → v lˆa
` n lu.o..t trong khˆong gian L(X, Y ) v`a L(Y, Z). Ch´
u.ng minh vn ◦ un → v ◦ u trong L(X, Z). 3.7 Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, Y l`a khˆong gian con cu’a X tr`u mˆ
a.t trong X v`a Z l`a khˆong gian Banach. Cho A ∈ L(Y, Z). Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆ o `n ta.i duy nhˆa´t ˜ A ∈ L(X, Z) sao cho ˜ A = A; k ˜ Ak = kAk. Y 3.8. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong tˆo`n ta.i c´ ac to´an tu.
’ liˆen tu.c u, v : X → X sao cho u ◦ v − v ◦ u = id. 3.9. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n, (xn)n v`a (An)n lˆa ` n lu.o..t l`a hai d˜ ay trong X v` a L(X, Y ) hˆ o.i tu. vˆe
` x ∈ X v`a A ∈ L(X, Y ) tu.o.ng ´u.ng. Ch´u.ng
minh Anxn → Ax khi n → ∞.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 31 3.10. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian Banach, A ∈ L(X, Y ). Gia’ su. ’ c´o c´ac sˆo´
α, β ≥ 0, α < 1 sao cho v´ o.i mo.i y ∈ Y th`ı tˆo
`n ta.i x ∈ X d¯ˆe’ kAx − yk ≤ |α| kyk, kxk ≤ βkyk. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng khi d¯´o v´o.i mo.i y ∈ Y th`ı phu.o.ng tr`ınh β Ax = y c´
o nghiˆe.m x0 ∈ X thoa’ d¯iˆe ` u kiˆe.n kx0k ≤ kyk. 1 − α 3.11. K´
y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n “max”. X´et d˜ ay to´ an tu. ’ An : X → X cho bo.’i
(Anx)(t) = x(t1+ 1n ), n ∈ N. a. Ch´ u.ng minh An ∈ L(X). b. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng v´o.i mo.i x ∈ X th`ı Anx → x trong X.
c. An c´o hˆo.i tu. trong L(X) d¯ˆe´n to´an tu.’ d¯ˆo
`ng nhˆa´t id = I hay khˆong?
3.12. Cho k · k1, k · k2 l`a hai chuˆa’n trong khˆong gian vecto. X. Gia’ su.’
X1 = (X, k · k1) l`a mˆo.t khˆong gian Banach c`on X2 = (X, k · k2) khˆong pha’i l`a khˆ ong gian Banach. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng hai chuˆa’n n`ay khˆong tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau. 3.13. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A : X → X l`a mˆo.t to´an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh sao cho trong X tˆo
`n ta.i mˆo.t d˜ay (xn)n, kxnk = 1 v`a Axn → 0. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng A khˆong tˆo
`n ta.i to´an tu.’ ngu.o..c bi. ch˘a.n. 3.14. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X). Gia’ su.’ tˆo `n ta.i mˆo.t sˆo´ c > 0 sao cho ∀ x ∈ X : kAxk ≥ ckxk. Ch´ u.ng minh ImA = A(X) l` a khˆ ong gian con d¯´ ong cua’ X. . §4. KH ˆ ONG GIAN H ˜ UU HA . N CHIˆ E ` U. Gia’ su.
’ (X, k · k) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, trong d¯´o khˆong gian vecto. X c´ o sˆ o´ chiˆe
` u h˜u.u ha.n (dim X < ∞). L´uc d¯´o ta go.i X l`a khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe
` u. Mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu’a loa.i khˆong gian n`ay cho bo.’i: 4.1 D
- i.nh l´y. Hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K co´ cu`ng sˆo´ chiˆe`u h˜ u.u ha.n n la` d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh v´o.i nhau. Ch´ u.ng minh. T` u. tı´nh chˆ a´t quan hˆe. d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh la` quan hˆe. tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen tˆ
a.p ca´c khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n nˆen ta chı’ cˆa
`n ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u X l` a mˆ o.t khˆong gian n - chiˆe ` u thı` X d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh v´o.i khˆong gian Euclide n Kn : v´o.i x = (ξ P 1, . . . , ξn) ∈ K n th` ı kxk = |ξi|21/2. i=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 32 V`ı X l` a khˆ ong gian vecto. n - chiˆe ` u nˆen tˆo
`n ta.i mˆo.t co. so.’ {e1, . . . , en} trong n X v` a mo P . i x ∈ X d¯u.o. . c biˆe’u diˆe
˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng x = ξiei. i=1 Do d¯´ o to´ an tu. ’ A : X → Kn cho bo. ’ i x → x = (ξ1, . . . , ξn) l` a mˆ
o.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh t`u. X lˆen Kn, d¯ˆo
`ng th`o.i v´o.i mo.i x ∈ X ta co´: n n k X X xk = ξiei ≤ |ξi| keik i=1 i=1 n n n ≤ X | X X ξ|21/2 keik21/2 = M kxk, v´o.i M = keik21/2. i=1 i=1 i=1 Nhu. vˆ a.y A−1 liˆen tu.c. D
- ˆe’ ch´u.ng minh A liˆen tu.c, ta k´y hiˆe.u m˘a.t cˆa`u d¯o.n vi. {x ∈ Kn : kxk = 1} trong Kn l` a S v` a x´et h` am sˆ o´ f : S → R cho bo.’i f (x) = kxk. f l` a mˆ
o.t h`am sˆo´ liˆen tu.c v`ı v´o.i mo.i x, y ∈ S,
|f (x) − f (y)| = kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ M kx − yk. Ho.n n˜ u.a S l` a tˆ
a.p compact trong Kn nˆen f d¯a.t d¯u.o..c gi´a tri. b´e nhˆa´t f(x0) = α trˆen d¯´
o ta.i d¯iˆe’m x0 ∈ S. V`ı kx0k = 1 nˆen x0 6= 0, nhu. thˆe´ x0 6= 0. Do d¯´o nˆe´u
x ∈ S thı` kxk = f (x) ≥ α > 0. Bˆ ay gi` o. v´
o.i x ∈ X, x 6= 0 th`ı Ax = x 6= 0. Ta d¯˘ a.t x Ax y = , th`ı y = nˆen kyk = 1. Theo d¯iˆe
` u v`u.a ch´u.ng minh ta c´o kyk ≥ α kAxk kAxk hay kxk ≥ αkAxk t´ u.c l` a kAxk ≤ α−1kxk v´
o.i mo.i x 6= 0. Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n`ay c˜ung d¯´
ung khi x = 0 nˆen A liˆen tu.c. Vˆa.y A l`a ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh . Nhˆ
a.n x´et. V´o.i ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh A x´ac d¯i.nh nhu. trˆen, A luˆon luˆon l`a ph´ep d¯ˆ o
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh t`u. X lˆen Kn d`u cho trong X ta cho.n bˆa´t k`y chuˆa’n n`ao. 4.2 Hˆ
e. qua’. Tˆa´t ca’ c´ac khˆong gian n - chiˆe ` u X d¯ˆe ` u l`a khˆong gian Banach. D - iˆe
` u n`ay d¯u.o..c suy ra t`u. khˆong gian Euclide Kn l`a khˆong gian Banach v`a X d¯ˆ o
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh v´o.i Kn.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 33 4.3 Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tuy` y´ va` Y la` mˆo.t khˆ ong gian con h˜ u.u ha.n chiˆe `u cu’a X. Khi d¯o ´ Y la ` mˆ
o.t khˆong gian con d¯o´ng cu’a X. Ch´ u.ng minh. Vı` Y h˜ u.u ha.n chiˆe
`u nˆen Y la` khˆong gian Banach. Gia’ su.’
(yn)n ⊂ Y sao cho yn → y ∈ X. Lu ´ c d¯o ´ thı` (yn)n la` da
˜ y co. ba’n trong Y nˆen pha’i hˆ o.i tu. vˆe ` phˆa
`n tu.’ y0 ∈ Y. Do tı´nh chˆa´t duy nhˆa´t cu’a gi´o.i ha.n, suy ra y = y0 ∈ Y. Vˆ
a.y Y la` tˆa.p d¯o´ng trong X. 4.4 Hˆ
e. qua’. Hai chuˆa’n bˆa´t ky` trong mˆo.t khˆong gian vecto. h˜u.u ha.n chiˆe ` u d¯ˆe
` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau. Ch´ u.ng minh. Gia’ su. ’ X l`a n - chiˆe
` u v`a k · k1, k · k2 l`a hai chuˆa’n trong X. K´y
hiˆe.u {e1, . . . , en} l`a mˆo.t co. so.’ trong X v`a X1 = (X, k · k1), X2 = (X, k · k2). X´et n
x = P ξiei ∈ X va` d¯ˆe’ y ´ i=1 X A 1 −→ K n A−1 −→ X2 x → (ξ1, . . . , ξn) → x trong d¯´ o A l` a to´an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh t`u. X v`ao Kn nhu. o.’ D - i.nh l´y 4.1. Theo phˆ a
` n ch´u.ng minh cu’a d¯i.nh l´y n`ay, A l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh, khˆong phu. thuˆ
o.c v`ao chuˆa’n trˆen X do d¯´o ´anh xa. d¯ˆo
`ng nhˆa´t id= A−1 ◦ A l`a ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi t`
u. X1 lˆen X2. Vˆa.y hai chuˆa’n k · k1 v`a k · k2 l`a tu.o.ng d¯u.o.ng. Mˆ
o.t tı´nh chˆa´t d¯a.i sˆo´ cu’a khˆong gian vecto. h˜u.u ha.n chiˆe `u d¯u.o..c d¯˘a.c tru.ng bo.
’ i tı´nh chˆa´t tˆo pˆo cho bo.
’ i d¯i.nh ly´ 4.6 sau d¯ˆay. Tuy nhiˆen tru.´o.c hˆe´t ta pha´t biˆe’u va ` ch´ u.ng minh bˆ o’ d¯ˆe ` quan tro.ng: 4.5 Bˆ o’ d ¯ˆ e ` . (Riesz) Gia’ su.
’ Y l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X va` kha´c v´
o.i X. Cho z0 ∈ X \ Y v`a > 0. L´uc d¯´o tˆo
`n ta.i x0 ∈ h Y ∪ {z0}i sao cho
kx0k = 1, kx0 − yk > 1 − v´o.i mo.i y ∈ Y. Ch´ u.ng minh. V`ı z0 / ∈ Y = Y nˆen
d = d(z0, Y ) = inf kz0 − yk > 0. (4.1) y∈Y 1 0d δ Cho > 0 tuy ` y ´ . D
- ˘a.t 0 = min(, ) > 0. Lˆa´y δ = > 0 thı` 0 = . 2 1 − 0 d + δ
Theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a infimum, tˆo `n ta.i y0 ∈ Y sao cho d ≤ kz0 − y0k < d + δ.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 34 z D - ˘a 0 − y0 . t x0 = th`ı kx kz 0k = 1 v` a x0 ∈ h Y ∪ {z0} i. 0 − y0k Bˆ ay gi` o. v´
o.i y ∈ Y ta x´et d¯´anh gi´ a z 1 kx 0 − y0 0 − yk = − y k z k = z 0 − (y0 + kz0 − y0ky) k 0 − y0k kz0 − y0k
V`ı y0 + kz0 − y0ky ∈ Y nˆen t`u. (4.1) ta c´o d d δ kx0 − yk ≥ > = 1 − = 1 − 0 > 1 − kz0 − y0k d + δ d + δ 4.6 D - i.nh ly´. D - iˆe
`u kiˆe.n cˆa`n va` d¯u’ d¯ˆe’ khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X co´ sˆo´ chiˆe `u h˜ u.u ha.n la` hı`nh cˆa `u d¯o
´ng d¯o.n vi. B0(0, 1) trong X la` mˆo.t tˆa.p compact. Ch´ u.ng minh. D - iˆe
`u kiˆe.n cˆa`n: Gia’ su.’ X co´ sˆo´ chiˆe `u la` n thı` X d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh v´o.i Kn nh` o. a
´ nh xa. A thiˆe´t lˆa.p bo.’i d¯i.nh ly´ 4.1. Lu´c d¯o´ B0(0, 1) = A−1 A(B0(0, 1)). Vı` A la ` phe ´ p d¯ˆ o
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh nˆen A(B0(0, 1)) la` mˆo.t tˆa.p d¯o´ng va` bi. ch˘a.n trong Kn tha `nh thu.
’ tˆa.p na`y la` compact. T`u. d¯o´ B0(0, 1) la` tˆa.p compact vı` no´ la`
a’nh liˆen tu.c cu’a tˆa.p compact A(B0(0, 1)) qua a´nh xa. liˆen tu.c A−1. D - iˆe
`u kiˆe.n d¯u’. Gia’ su.’ X co´ sˆo´ chiˆe
`u vˆo ha.n. Ta ch´u.ng minh B0(0, 1) khˆong compact. Thˆ
a.t vˆa.y, lˆa´y x0 ∈ X v´o.i kx0k = 1. Vı` M1 = h{x0}i $ X nˆen theo Bˆ o’ d¯ˆe ` Riesz, tˆo
`n ta.i x1 ∈ X, kx1k = 1 va` kx1 − x0k > 1/2. Khˆong gian X cu˜ng khˆ ong tru`ng v´ o.i M2 = h{x0, x1}i nˆen tˆo
`n ta.i x2 ∈ X, kx2k = 1 va` kx2 − xk > 1/2 v´
o.i mo.i x ∈ M2, no´i riˆeng kx2 − x1k > 1/2; kx2 − x1k > 1/2. B˘a`ng quy na.p, ta xˆ ay du. . ng d¯u.o. . c da
˜ y (xn)n ⊂ B0(0, 1) sao cho kxn − xmk > 1/2 khi n 6= m. Mo.i da ˜ y con cu’a da
˜ y (xn)n na`y khˆong la` co. ba’n nˆen khˆong thˆe’ hˆo.i tu. d¯u.o..c. Vˆa.y B0(0, 1) khˆ ong la ` tˆ a.p compact. D - iˆe `u na`y kˆe´t thu ´ c ch´ u.ng minh d¯i.nh ly´. 4.7 D
- i.nh l´y. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trong d¯´o X l`a h˜u.u ha.n chiˆe
` u v`a A l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y. Khi d¯´o A liˆen tu.c. No ´ i ca ´ ch kha ´ c, nˆe
´u dimX = n < ∞ thı` ta co ´ L(X, Y ) = L(X, Y ). Ch´
u.ng minh. Go.i {e1, . . . , en} l`a mˆo.t co. so.’ trong X. V`ı mo.i chuˆa’n trong n khˆ ong gian h˜ u.u ha P . n chiˆe ` u d¯ˆe
` u tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i nhau nˆen v´o.i x ∈ X, x = ξiei i=1 n ta c´o thˆe’ cho P . n chuˆ a’n trong X bo. ’ i kxk =
|ξi|21/2. V`ı A tuyˆe´n t´ınh nˆen i=1 n n n n k X X X X Axk = kA ξ iei k ≤ |ξi| kAeik ≤ ( |ξi|2)1/2 ( kAeik2)1/2. i=1 i=1 i=1 i=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 35 n
Suy ra kAxk ≤ M kxk, trong d¯´
o M = ( P kAeik2)1/2 nˆen A liˆen tu.c. i=1 B ` AI T ˆ A . P 4.1. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian Banach vˆo ha.n chiˆe ` u. Ch´u.ng minh r˘a`ng X khˆ ong thˆe’ c´ o mˆ o.t co. so.’ Hamel gˆo
`m mˆo.t sˆo´ d¯ˆe´m d¯u.o..c c´ac phˆa`n tu.’. 4.2. Gia’ su.
’ n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng; a, b, x0, x1, . . . , xn l`a c´ac sˆo´ thu..c thoa’ m˜ an
a ≤ x0 < x1 < · · · < xn ≤ b. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng tˆo
`n ta.i sˆo´ thu..c c sao cho mo.i d¯a th´u.c mˆo.t biˆe´n, hˆe. sˆo´ thu..c P (x) co ´ bˆ
a.c khˆong l´o.n ho.n n thoa’ m˜an d¯a´nh gia´ max |P (x)| ≤ c max |P (xi)|. x∈[a,b] i∈{0,....n}
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 36 Chu.o.ng 2 . BA NGUY ˆ EN L ´ Y CO BA
’ N CU’A GIA’I T´ICH H ` AM KH ˆ ONG GIAN LI ˆ EN HI ˆ E . P Ly ´ thuyˆe
´t gia’i tı´ch ha`m tuyˆe´n tı´nh so.
’ dı˜ d¯u.o..c d¯a´nh gia´ cao vı` co´ mˆo.t sˆo´
d¯i.nh ly´ co. ba’n, rˆa´t quan tro.ng d¯u.o..c a´p du.ng h˜u.u hiˆe.u va`o ca´c lı˜nh vu..c kha´c
nhau cu’a gia’i tı´ch. Trong 3 mu.c d¯ˆa `u cu’a chu.o.ng na`y chu ´ ng ta da `nh cho viˆe.c kha’o sa ´ t ca
´ c d¯i.nh ly´ ˆa´y. Phˆa
`n co`n la.i da`nh cho viˆe.c nghiˆen c´u.u khˆong gian liˆen
hiˆe.p va` toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p. D
- o´ la` nh˜u.ng d¯ˆo´i tu.o..ng dˆa˜n xuˆa´t cu’a cˆa´u tru´c khˆong
gian d¯i.nh chuˆa’n va` toa´n tu.’ tuyˆe´n tı´nh, giu´p cho viˆe.c nghiˆen c´u.u ca´c cˆa´u tru´c na `y sˆ au s˘ a´c cu ˜ ng nhu. d¯o ´ ng go ´ p nhiˆe `u cho ly ´ thuyˆe ´t ca ´ c phu.o.ng trı`nh hay ca ´ c ba `i toa ´ n tˆ o´i u.u,... §1. NGUYˆ EN L ´ Y BI. CH˘ A . N D - ˆ E ` U 1.1. D
- i.nh ngh˜ıa. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a (Aα)α∈I l`a mˆ
o.t ho. c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y. Nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ X tˆo `n ta.i mˆo.t sˆo´
du.o.ng Nx sao cho kAα(x)k ≤ Nx v´o.i mo.i α ∈ I th`ı ta n´oi ho. (Aα)α∈I bi. ch˘a.n t`
u.ng d¯iˆe’m trˆen X. Nˆe´u (Aα)α∈I ⊂ L(X, Y ) v`a tˆa.p {Aα : α ∈ I} bi. ch˘a.n trong khˆ ong gian L(X, Y ) th`ı ta n´
oi ho. (Aα)α∈I bi. ch˘a.n d¯ˆe ` u. D - iˆe ` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i
(∃N > 0) (∀α ∈ I) : kAαk ≤ N. R˜ o r`
ang nˆe´u ho. (Aα)α∈I bi. ch˘a.n d¯ˆe
` u th`ı n´o bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m trˆen X. Nˆe´u X la ` khˆ ong gian Banach thı` d¯iˆe `u ngu.o. . c la.i cu ˜ ng d¯u ´ ng. D
- o´ la` nˆo.i dung cu’a Nguyˆen ly ´ bi. ch˘a.n d¯ˆe
`u hay co`n go.i la` d¯i.nh ly´ Banach-Steinhaus d¯u.o..c pha´t biˆe’u nhu. sau: 1.2. D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian Banach, Y l`a mˆo.t khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n. Nˆe´u (Aα)α∈I l`a mˆo.t ho. c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y,
bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m trˆen X th`ı s˜e bi. ch˘a.n d¯ˆe ` u. Ch´ u.ng minh. V´ o.i mˆ
o˜i n ∈ N v`a α ∈ I ta d¯˘a.t Xn,α = {x ∈ X : kAα(x)k ≤
n}. V`ı Aα : X → Y liˆen tu.c nˆen ha`m sˆo´ fα : X → R, fα(x) = kAα(x)k c˜ung
liˆen tu.c v`a dˆa˜n d¯ˆe´n Xn,α = f−1 α ((−∞, n]) l` a mˆ o.t tˆa.p d¯´ong trong X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 37 D
- ˘a.t Xn = T Xn,α thı` Xn c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p d¯´ong. M˘a.t kh´ac t`u. gia’ thiˆe´t α∈I
(Aα)α∈I bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m nˆen v´o.i mo.i x ∈ X tˆo
`n ta.i Nx : kAα(x)k ≤ Nx v´o.i
mo.i α. Do d¯´o nˆe´u n ≥ Nx th`ı ∀α ∈ I : kAα(x)k ≤ n t´ u.c l`
a x ∈ Xn. Th`anh ra X ⊂ S Xn v`a nhu. vˆa.y X = S Xn. n∈N n∈N V`ı X l` a khˆ ong gian Banach nˆen n´ o thuˆ o.c pha.m tr`u II. Vˆa.y tˆo `n ta.i n0 d¯ˆe’ int Xn = int X 6= ∅, ngh˜ıa l`a tˆo `n ta . T` u. d¯´ o v´o.i 0 n0 . i mˆ o.t h`ınh cˆa ` u B(x0, r) ⊂ Xn0
mo.i x ∈ X ma` x 6= 0 ta c´o rx x0 + ∈ B(x . 2kxk 0, r) ⊂ Xn0 Nhu. vˆ a.y rx ∀α ∈ I, Aα x0 + 2kxk ≤ n0. Suy ra r A 2kxk αx ≤ n0 + kAαx0k ≤ 2n0. 4n 4n Do d¯´ o kA 0 0 α xk ≤ kxk v´o.i mo r . i x ∈ X, v´
o.i mo.i α ∈ I ngh˜ıa l`a kAαk ≤ r v´
o.i mo.i α ∈ I. Vˆa.y d¯i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh. 1.3. Hˆ
e. qua’. Cho X l`a khˆong gian Banach, Y l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`
a (An)n l`a mˆo.t d˜ay c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y sao cho v´o.i mo.i
x ∈ X th`ı lim Anx = Ax tˆo
`n ta.i. L´uc d¯´o A c˜ung l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c n t` u. X v` ao Y v` a kAk ≤ lim kAnk. n Ch´ u.ng minh. Theo t´ınh chˆ a´t cu’a gi´
o.i ha.n ta thˆa´y ngay A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. Ngo` ai ra v´
o.i mo.i x ∈ X, d˜ay (Anx)n hˆo.i tu. nˆen bi. ch˘a.n, ngh˜ıa l`a d˜ay
(An)n bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m. Theo D
- i.nh l´y Banach-Steinhaus, d˜ay n`ay bi. ch˘a.n d¯ˆe`u:
∃N > 0 ∀n ∈ N : kAnk ≤ N. Ta c´o kAnxk ≤ kAnk kxk v´o.i mo.i n ∈ N suy ra
∀ x ∈ X, kAxk = lim kAnxk = lim kAnxk ≤ lim kAnk kxk n n n Vˆ
a.y A bi. ch˘a.n v`a kAk ≤ lim kAnk. n
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 38 B ` AI T ˆ A . P
1.1 Ho. (Aα)α∈I c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. X v`ao Y d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆo `ng liˆen tu.c d¯ˆe
` u nˆe´u (∀ > 0) (∃δ > 0) : (∀x ∈ X), (∀α ∈ I), kxk < δ ⇒ kAα(x)k < . Ch´ u.ng minh r˘ a `ng (Aα)α∈I d¯ˆo `ng liˆen tu.c d¯ˆe
` u khi v`a chı’ khi n´o bi. ch˘a.n d¯ˆe ` u. 1.2. Cho X, Y l` a hai khˆ ong gian Banach v`
a (An)n ⊂ L(X, Y ) l`a d˜ay c´ac to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. Gia’ su.’ ∃N > 0 : kAnk ≤ N v´o.i mo.i n ∈ N. Ngo`ai ra v´
o.i mo.i x ∈ E th`ı (Anx)n l`a mˆo.t d˜ay co. ba’n trong Y v´o.i E l`a mˆo.t tˆa.p tr`u mˆa.t trong X. Ch´
u.ng minh (An)n hˆo.i tu. d¯o.n d¯ˆe´n to´an tu.’ A ∈ L(X, Y ). . §2. NGUYˆ EN L ´ Y ´ ANH XA ’ . MO. Cho hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n X, Y v`a A : X → Y l`a mˆo.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh. Vˆ a´n d¯ˆe
` ta quan tˆam l`a l´uc n`ao th`ı A co ´ thˆe’ tro. ’ tha`nh phe ´ p d¯ˆ o `ng phˆoi tuyˆe
´n tı´nh. Tru.´o.c hˆe´t ta c´o: 2.1. D
- i.nh l´y. (Nguyˆen ly´ a´nh xa. mo.’) Gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong gian Banach v` a A : X → Y l` a mˆ
o.t to`an ´anh tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. Khi d¯´o A l`a mˆo.t ´
anh xa. mo.’, ngh˜ıa l`a v´o.i mo.i G mo.’ trong X th`ı A(G) l`a tˆa.p mo.’ trong Y. Ch´ u.ng minh. D
- ˘a.t Xs = {x ∈ X : kxk < s} l`a h`ınh cˆa`u mo.’ tˆam 0 b´an k´ınh s > 0. R˜ o r`
ang X = S Xn. V`ı A l`a to`an ´anh nˆen Y = A(X) = S A(Xn). M˘a.t n∈N n∈N kh´ ac Y l` a Banach nˆen thuˆ
o.c pha.m tr`u II, do d¯´o tˆo
`n ta.i n0 sao cho int A(Xn ) 6= ∅. 0 Vˆ a.y A(Xn ) c´o ch´u.a mˆo 0 . t h`ınh cˆa
` u d¯´ong B0Y (y0, r) = {y ∈ Y : ky − y0k ≤ r}.
Tiˆe´p theo ta chia ph´ep ch´ u.ng minh th`anh nhiˆe ` u bu.´o.c. Bu.´ o.c 1. Ch´ u.ng minh 0 l`
a d¯iˆe’m trong cu’a A(Xp) v´o.i mo.i p > 0. Gia’ su.
’ y ∈ B0 (0, r) t´u.c l`a kyk ≤ r. Ta viˆe´t Y
y = y + y0 − y0, trong d¯´o y + y0 ∈ B0Y (y0, r) ⊂ A(Xn ). 0 Nhu. vˆ a.y tˆo
`n ta.i c´ac d˜ay vj, wj ∈ Xn sao cho 0
y + y0 = lim Avj; y0 = lim Awj. j j
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 39 M˘
a.t kh´ac kvj − wjk ≤ kvjk + kwjk ≤ 2n0 v`a y = lim A(vj − wj) nˆen y ∈ j A(X2n ). Vˆa
). Do t´ınh tuyˆe´n t´ınh cu’a A, v´ o.i mo 0 . y B0Y (0, r) ⊂ A(X2n0 . i k > 0, nˆe´u ry ry kyk ≤ k th`ı k k ≤ r nˆen ∈ A(X ) hay y ∈ A(X 2n ) t´ u.c l` a k k 2n0 0 k r B0Y (0, k) ⊂ A(X2n ). 0 k r Bu.´ o.c 2. Ta ch´ u.ng minh 0 l`
a d¯iˆe’m trong cu’a A(Xp). Lˆa´y y ∈ Y, kyk ≤ 1. Theo ch´ u.ng minh o.
’ bu.´o.c 1, v´o.i k = 1, s˜e tˆo `n ta.i x1 ∈ X2n sao cho 0 r 1 ky − Ax1k ≤ . 2 Phˆ a
` n tu.’ y − Ax1 ∈ B0Y (0, 1) nˆen tˆo`n ta sao cho 2 . i x2 ∈ X 2n0 2r 1 ky − Ax1 − Ax2k ≤ . 22 B˘ a
`ng qui na.p, o.’ bu.´o.c th´u. m, ta t`ım d¯u.o..c xm ∈ X 2n sao cho 0 2m−1 r m X 1 ky −
Axik = ky − Ax1 − · · · − Axmk ≤ . (2.1) 2m i=1 D - ˆe’ ´y r˘a`ng 2n 4n 1 kx 0 0 mk ≤ = , m = 1, 2, . . . r2m−1 r 2m ∞ nˆen chuˆ
o˜i P xm hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i v`a v`ı X Banach nˆen chuˆo˜i n`ay c˜ung hˆo.i tu. vˆe ` m=1∞
x ∈ X : x = P xm. Ho.n n˜u.a m=1 ∞ ∞ X X n 4n kxk ≤ kx 0 0 mk = = . r2m−2 r m=1 m=1 m D
- ˆe’ ´y d¯ˆe´n t´ınh liˆen tu P . c cu’a A v` a t` u. x = lim xk, cho m → ∞ o. ’ (2.1), ta c´o m→∞ k=1 m X y = lim A( xk) = Ax. m→∞ k=1
Nhu. thˆe´ y ∈ A(X 4n ) nˆen B0 ). 0 Y (0, 1) ⊂ A(X 4n0 r r
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 40
Do t´ınh tuyˆe´n t´ınh cu’a A ta suy ra r˘a `ng v´o.i mo.i k > 0 th`ı B0Y (0, k) ⊂ A(X4n ). 0 k r Bu.´ o.c 3. Ch´ u.ng minh A(G) mo. ’ trong Y nˆe´u G mo. ’ trong X. Lˆ a´y y0 ∈ A(G), tˆo
`n ta.i x0 ∈ G d¯ˆe’ y0 = Ax0. Do G mo.’ nˆen c´o > 0 d¯ˆe’
BX (x0, ) = {x ∈ X : kx − x0k < } ⊂ G. V`ı BX (x0, ) = x0 + X cho nˆen
A(BX (x0, )) = Ax0 + A(X) = y0 + A(X) ⊂ A(G). Theo bu.´ o.c 2, ta c´ o B0Y (0, r ) ⊂ A(X 4n ), suy ra 0 r r B0Y (y0, ) = y ) ⊂ y 4n 0 + B0Y (0, 0 + A(X) ⊂ A(G). 0 4n0 Vˆ a.y A(G) l`a tˆa.p mo.’. D
- i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh d¯ˆa`y d¯u’. 2.2 Hˆ e. qua’. (D
- i.nh l´y Banach) Gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong gian Banach v`a A : X → Y l` a mˆ
o.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. Khi d¯´o A l`a mˆo.t ph´ep d¯ˆo `ng phˆ oi tuyˆe´n t´ınh. Ch´ u.ng minh. V´
o.i mo.i G mo.’ ch´u.a trong X, theo D
- i.nh l´y 2.1, ta c´o A(G) l`a tˆ
a.p mo.’ trong Y. N´oi c´ach kh´ac (A−1)−1(G) = A(G) l`a mo.’ trong Y nˆen A−1 liˆen tu.c. 2.3 D - i.nh l´y d¯ˆo ` thi. d¯´ong. Cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n. Nh˘a´c la.i r˘a`ng, trˆen khˆong gian vecto. t´ıch X × Y ta d¯a ˜ xa
´ c d¯i.nh mˆo.t chuˆa’n bo.’i k(x, y)k = kxkX + kykY v´o.i (x, y) ∈ X × Y va ` c´ o va `i t´ınh chˆ a´t co. ba’n sau:
• X × Y l`a khˆong gian Banach khi v`a chı’ khi X, Y l`a c´ac khˆong gian Banach. • C´ac chuˆa’n k(x, y)k = max(kxkX, kykY ), k(x, y)k = (kxk2X + kyk2Y )1/2 tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i chuˆ a’n d¯˜ a x´et o. ’ trˆen. Bˆ ay gi` o. cho X, Y l` a hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a ´anh xa.. D - ˆo
` thi. cu’a A l`a tˆa.p GA = {(x, Ax) : x ∈ X} ⊂ X × Y. Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng GA l`a mˆ
o.t khˆong gian con cu’a X × Y khi va` chı’ khi a´nh xa. A la` tuyˆe´n tı´nh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 41 2.3.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Cho X, Y la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. To´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh A : X → Y d¯u.o. . c go.i l` a to´ an tu.
’ d¯´ong nˆe´u d¯ˆo
` thi. GA cu’a n´o l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ ong cu’a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n t´ıch X × Y. Mˆo.t c´ach tu.o.ng d¯u.o.ng: ( xn → x (A d¯´ ong) ⇔ ∀ (xn)n ⊂ X, ⇒ y = Ax . Axn → y 2.3.2 D - i.nh l´y.
1. Nˆe´u A ∈ L(X, Y ) th`ı A l` a to´ an tu. ’ d¯´ong.
2. Nˆe´u X, Y l` a c´ ac khˆ
ong gian Banach, A l` a to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao Y v` a A d¯´ ong. Khi d¯´ o A liˆen tu.c. Ch´ u.ng minh.
1. Hiˆe’n nhiˆen theo d¯i.nh ngh˜ıa vˆe
` t´ınh liˆen tu.c cu’a ´anh xa.. 2. Do A d¯´
ong nˆen GA = {(x, Ax) : x ∈ X} l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆ ong gian Banach X × Y. Vˆ
a.y GA c˜ung l`a mˆo.t khˆong gian Banach. X´et ´anh xa. chiˆe´u t` u. GA lˆen X cho bo. ’ i P : (x, Ax) 7→ x. R˜ o r`ang P l` a mˆ
o.t song ´anh tuyˆe´n t´ınh. Ho.n n˜u.a P bi. ch˘a.n v`ı
kP (x, Ax)k = kxk ≤ kxk + kAxk = k(x, Ax)k.
Theo d¯i.nh l´y Banach, P c´o to´an tu.’ ngu.o..c P −1 : X → G liˆen tu.c, ngh˜ıa l`a
xn → x th`ı (xn, Axn) → (x, Ax). Khi d¯´o Axn → Ax. D - iˆe
` u n`ay cho ta kˆe´t luˆa.n A liˆen tu.c. B ` AI T ˆ A . P 2.1. Gia’ su.
’ k · k1 v`a k · k2 l`a hai chuˆa’n trong khˆong gian tuyˆe´n t´ınh X sao cho v´o.i mˆ o˜i chuˆ a’n d¯´ o X l` a khˆ ong gian Banach v` a ho.n n˜ u.a t` u. kxnk1 → 0 k´eo
theo kxnk2 → 0. Ch´u.ng minh hai chuˆa’n n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng. 2.2. Gia’ su.
’ M, N l`a hai khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆong gian Banach X sao cho X = M ⊕ N. Khi d¯´ o mo.i phˆa
`n tu.’ x ∈ X d¯u.o..c biˆe’u diˆe˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´
o.i da.ng x = u + v. Ch´u.ng minh c´ac ´anh xa. PM : X → M, PN : X → N x 7→ u, x 7→ v l` a liˆen tu.c.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 42 2.3. Cho X l` a khˆ ong gian Banach, f l` a phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c kh´ac 0. Ch´ u.ng minh f l` a mˆ o.t ´anh xa. mo.’. §3. D - I.NH L´Y HAHN-BANACH. 3.1 D
- i.nh ly´ Hahn-Banach trong khˆong gian vecto.. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto., Y l`a khˆong gian con cu’a n´o v`a f l`a mˆo.t phiˆe´m h` am tuyˆe´n t´ınh x´
ac d¯i.nh trˆen Y thoa’ ma˜n ra`ng buˆo.c na`o d¯o´. Ta muˆo´n mo.
’ rˆo.ng f th`anh mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh F x´ac d¯i.nh trˆen to`an bˆo. X v`a F cu
˜ ng thoa’ m˜an r`ang buˆo.c nhu. d¯ˆo´i v´o.i f. D - iˆe
` u n`ay thu.`o.ng g˘a.p trong nhiˆe ` u vˆa´n d¯ˆe
` cu’a gia’i t´ıch. Tru.´o.c hˆe´t ta d¯i.nh ngh˜ıa mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m sau. 3.1.1 D - i.nh nghı˜a. Gia’ su.
’ p l`a mˆo.t ha`m sˆo´ t`u. khˆong gian vecto. X v`ao R.
• Ta go.i p l`a mˆo.t so. chuˆa’n trˆen X nˆe´u
a) p(αx) = αp(x) v´o.i mo.i x ∈ X v`a α > 0.
b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´o.i mo.i x, y ∈ X. D
- ˆe’ ´y r˘a`ng l´uc d¯´o ta c´o p(0) = 0 v`ı p(0) = p(2.0) = 2p(0).
• Ta go.i p l`a mˆo.t nu.’a chuˆa’n trˆen X nˆe´u a) p(αx) = |α|p(x) v´ o.i mo.i x ∈ X v`a α ∈ K.
b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) v´o.i mo.i x, y ∈ X. Ro
˜ ra`ng nˆe´u p la` nu.’a chuˆa’n thı` no ´ cu ˜ ng la` so. chuˆa’n. 3.1.2 D
- i.nh l´y Hahn-Banach trong khˆong gian vecto. thu..c. Cho X l`a mˆ
o.t khˆong gian vecto. thu. . c, Y l` a khˆ
ong gian con cu’a X v`
a p : X → R l`a mˆo.t so. chuˆ
a’n trˆen X. Gia’ su.
’ f l`a mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen Y, thoa’ m˜an: f (y) ≤ p(y) v´ o.i mo.i y ∈ Y. Khi d¯´ o tˆ o
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh F x´ac d¯i.nh trˆen X sao cho ∀ x ∈ Y, F (x) = f (x), ∀ x ∈ X, F (x) ≤ p(x). Ch´
u.ng minh. Ta go.i mˆo.t “suy rˆo.ng” cu’a f l`a mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh
g : Dg → R trong d¯´o Dg l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X ch´u.a Y , thoa’ m˜an a. g(x) = f (x), ∀x ∈ Y,
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 43 b. g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ Dg. K´
y hiˆe.u F l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac suy rˆo.ng cu’a f. V`ı f ∈ F nˆen F kh´ac trˆo´ng. V´
o.i g1, g2 ∈ F ta d¯i.nh ngh˜ıa ( Dg ⊂ Dg g 1 2 1 ≤ g2 ⇔ g1(x) = g2(x), ∀x ∈ Dg . 1 L´ uc d¯´ o “ ≤ ” l` a mˆ
o.t quan hˆe. th´u. tu.. bˆo. phˆa.n trˆen F. Gia’ su.’ N l`a mˆo.t tˆa.p con s˘ a´p th˘ a’ng cu’a F, ta d¯˘a.t [ D∗ = Dg g∈N Nˆe´u x ∈ D∗ th`ı tˆ o
`n ta.i g ∈ N d¯ˆe’ x ∈ Dg. L´uc d¯´o d¯˘a.t g∗(x) = g(x). Do t´ınh s˘ a´p th˘ a’ng cu’a N , ta c´ o D∗ l` a mˆ
o.t khˆong gian con cu’a X v`a g∗ l`a mˆo.t phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh trˆen D∗. C˜ung theo c´ach d¯˘a.t d¯´o, ta thˆa´y g∗(x) = g(x) ≤ p(x), v´ o.i mo.i x ∈ Dg, nˆen g∗ l` a mˆ
o.t cˆa.n trˆen cu’a N . Theo Bˆo’ d¯ˆe ` Zorn, trong F s˜e tˆo `n ta.i mˆo.t phˆa`n tu.’ tˆ o´i d¯a.i F . D
- ˆay l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh cˆa
` n t`ım nˆe´u ta ch´u.ng minh d¯u.o. . c miˆe ` n x´ ac d¯i.nh D cu’a F l`a X. Gia’ su.
’ D $ X. L´uc d¯´o lˆa´y x0 ∈ X \ D thı` x0 6= 0. K´y hiˆe.u
Z = D ⊕ h{x0}i = {x + λx0; x ∈ D, λ ∈ R}. V´
o.i z = x + λx0 ∈ Z ta d¯˘a.t E(z) = F (x) + λc, c ∈ R, th`ı E l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh mo.
’ rˆo.ng cu’a F lˆen tˆa.p Z. Ta h˜ay cho.n c d¯ˆe’ E(z) ≤ p(z), ∀z ∈ Z, t´u.c l` a E tro.
’ th`anh mˆo.t suy rˆo.ng cu’a f. V´ o.i mo.i x, x0 ∈ D, ta c´o
F (x) − F (x0) = F (x − x0) ≤ p(x − x0) ≤ p(x + x0) + p(−x0 − x0) hay
−F (x0) − p(−x0 − x0) ≤ p(x + x0) − F (x). Bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c n` ay d¯´ ung v´
o.i mo.i x, x0 ∈ D nˆen ta c´o:
sup{−F (x) − p(−x − x0)} ≤ inf {p(x + x0) − F (x)}. x∈D x∈D
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 44 Do d¯´
o ta cho.n c ∈ R thoa’ m˜an
sup{−F (x) − p(−x − x0)} ≤ c ≤ inf {p(x + x0) − F (x)}. (3.1) x∈D x∈D
Nˆe´u z ∈ Z \ D th`ı z = λx0 + x v´o.i λ 6= 0. Ta x´et hai tru.`o.ng ho..p. a) λ > 0. D` ung bˆ a´t d¯˘ a’ng th´
u.c bˆen pha’i cu’a (3.1), ta c´ o x x c ≤ p( + x ). λ 0) − F ( λ Nhˆ an λ v` ao hai vˆe´ ta c´o λc + F (x) ≤ p(x + λx0) b) λ < 0. D` ung bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c bˆen tr´ai cu’a (3.1) x x −F ( ) − p(− − x λ λ 0) ≤ c. Nhˆ an −λ > 0 v` ao hai vˆe´ x x λF ( ) − (−λ)p(− − x λ λ 0) ≤ −λc.
V`ı thˆe´ F (x) − p(x + λx0) ≤ −λc hay F (x) + λc ≤ p(x + λx0). Ca’ hai tru.` o.ng ho. . p ta d¯ˆe
` u c´o E(z) ≤ p(z). Vˆa.y F ≤ E v`a F 6= E. D - iˆe ` u n` ay mˆ au thuˆ a˜n v´o.i t´ınh tˆ o´i d¯a.i cu’a F . D
- i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh. 3.1.3 D
- i.nh l´y Hahn-Banach trong khˆong gian vecto. ph´u.c. Cho X l`a mˆ
o.t khˆong gian vecto. ph´u.c, p l`a nu.’a chuˆa’n x´ac d¯i.nh trˆen X v`a Y l`a mˆo.t khˆong
gian con cu’a X. Gia’ su.
’ f : X → C l`a mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh thoa’ m˜an d¯iˆe ` u kiˆe.n |f (x)| ≤ p(x), v´ o.i mo.i x ∈ Y. Khi d¯´ o tˆ o
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh F x´ac d¯i.nh trˆen X sao cho
F (x) = f (x), ∀x ∈ Y, v` a. |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Ch´
u.ng minh. Theo gia’ thiˆe´t, f l` a phiˆe´m h` am tuyˆe´n t´ınh ph´ u.c, x´ ac d¯i.nh trˆen Y nˆen f (x) = f1(x) + if2(x) ∈ C, v´ o.i mo.i x ∈ Y.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 45 Dˆe
˜ d`ang thˆa´y ngay r˘a`ng f1, f2 l`a c´ac phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh thu..c x´ac d¯i.nh trˆen Y thoa’ f1(x) ≤ |f1(x)| ≤ p(x). Ho.n n˜ u.a ta c´ o
f (ix) = f1(ix) + if2(ix) = if1(x) − f2(x).
nˆen f2(x) = −f1(ix). Vˆa.y ta c´o thˆe’ viˆe´t f (x) = f1(x) − if1(ix).
Do R ⊂ C nˆen ta h˜ay x´et X nhu. l`a khˆong gian vecto. thu..c (chı’ x´et ph´ep nhˆan vˆo hu.´ o.ng v´ o.i c´ ac sˆ o´ thu. . c). ´ Ap du.ng D
- i.nh l´y Hahn-Banach trong khˆong gian vecto. thu. . c cho f1(x), khi ˆ a´y tˆ o
`n ta.i phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh thu..c F1 trˆen X sao cho F1(x) = f1(x), F1(x) ≤ p(x), v´ o.i mo.i x ∈ X. Ho.n n˜ u.a,
−F1(x) = F1(−x) ≤ p(−x) = p(x). nˆen |F1(x)| ≤ p(x). D
- ˘a.t F(x) = F1(x)−iF1(ix) v´o.i mo.i x ∈ X. Khi d¯´o F(x) l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh ph´
u.c x´ac d¯i.nh trˆen khˆong gian ph´u.c X. Nˆe´u x ∈ Y th`ı r˜o r`ang F (x) = f(x).
Nˆe´u F (x) 6= 0 th`ı F (x) = |F (x)|eiθ. Do d¯´ o
|F (x)| = e−iθF (x) = F (e−iθx) = F1(e−iθx)
≤ p(e−iθx) = |e−iθ|p(x) = p(x). Vˆ a.y F l`a phiˆe´m h`am cˆa ` n x´ac d¯i.nh. Nhˆ a . n x´ et. Nh`
o. d¯i.nh l´y n`ay, muˆo´n xˆay du..ng phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen khˆ ong gian X thoa’ d¯iˆe
` u kiˆe.n n`ao d¯´o, ta chı’ cˆa`n xˆay du..ng phiˆe´m h`am trˆen khˆong gian con d¯o.n gia’n nhˆ a´t (thu.` o.ng l` a h˜ u.u ha.n chiˆe ` u) xong rˆo `i mo. ’ rˆo.ng ra to`an bˆo. khˆ ong gian X. 3.2 D
- i.nh ly´ Hahn-Banach trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng K (R hay C). Khi d¯´o K l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n kαk = |α| (gia´ tri. tuyˆe.t d¯ˆo´i hay mˆod¯un cu’a α ∈ K). Nh˘
a´c la.i r˘a`ng mˆo.t ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh t`u. X v`ao K d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t phiˆe´m h` am tuyˆe´n t´ınh. Nhu. vˆ
a.y c´ac t´ınh chˆa´t tˆo’ng qu´at cu’a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 46 liˆen tu.c d¯ˆe
` u ´ap du.ng d¯u.o..c cho phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh. Ch˘a’ng ha.n, phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh f d¯u.o. . c go.i l` a bi. ch˘a.n nˆe´u
(∃M > 0) (∀x ∈ X) : |f (x)| ≤ M kxk. Tˆ a´t nhiˆen d¯iˆe
` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i d¯iˆe
` u kiˆe.n f liˆen tu.c trˆen X. L´uc d¯´o chuˆa’n cu’a f d¯u.o. . c x´ ac d¯i.nh bo.’i |f (x)| kf k = sup = sup |f (x)|. x6=0 kxk kxk=1 Ky
´ hiˆe.u L(X, K) = X∗ la` khˆong gian ca´c phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c. 3.2.1 D
- i.nh l´y Hahn-Banach trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Cho X l`a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, Y l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a X v`a f : Y → K l`a mˆ
o.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen Y. Khi d¯´o tˆo
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n
t´ınh liˆen tu.c F x´ac d¯i.nh trˆen X sao cho
a. F (x) = f (x) v´ o.i mo.i x ∈ Y. b. kF k = kf k. Ch´ u.ng minh. V´
o.i mo.i x ∈ X ta d¯˘a.t p(x) = kfk kxk. L´uc d¯´o p(x) l`a nu.’a chuˆ a’n trˆen X v`
a ta c´o |f (x)| ≤ p(x), v´ o.i mo.i x ∈ Y. Theo D
- i.nh l´y Hahn-Banach cho khˆong gian vecto., tˆo`n ta.i phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh F x´
ac d¯i.nh trˆen X thoa’ m˜an F (x) = f (x), ∀x ∈ Y |F (x)| ≤ p(x) = kf k kxk, v´ o.i mo.i x ∈ X.
Nhu. thˆe´ F bi. ch˘a.n. Ho.n n˜u.a ta c´o kF k ≤ kfk. M˘a.t kh´ac kF k = sup |F (x)| ≥ sup |F (x)| = sup |f (x)| = kf k. kxk=1, x∈X kxk=1, x∈Y kxk=1, x∈Y Vˆ a.y kF k = kfk. 3.2.2 D - i.nh l´y. (D
- i.nh ly´ ta´ch mˆo.t d¯iˆe’m v´o.i khˆong gian con) Gia’ su.’ Y l`a mˆ
o.t khˆong gian con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X, x0 l`a d¯iˆe’m thuˆo.c X sao cho
d(x0, Y ) = inf kx0 − yk = d > 0. Khi d¯´o tˆo
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen y∈Y
tu.c trˆen X sao cho: a. f (y) = 0 v´ o.i mo.i y ∈ Y. b. kf k = 1/d.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 47 c. f (x0) = 1. Ch´
u.ng minh. Theo gia’ thiˆe´t ta c´ o x0 / ∈ Y. D
- ˘a.t Z = Y ⊕ h{x0}i. Khi d¯´o v´
o.i mo.i z ∈ Z ta co´ biˆe’u diˆe˜n z = y + λx0 v´o.i y ∈ Y, λ ∈ K. D - ˆe’ ´y r˘a`ng z ∈ Y ⇔ λ = 0. Ta x´
ac d¯i.nh mˆo.t phiˆe´m h`am g trˆen Z theo cˆong th´u.c g(z) = g(y + λx0) = λ. y Nˆe´u z = y + λx0 / ∈ Y t´ u.c l` a λ 6= 0, th`ı ∈ Y nˆen λ y kzk = ky + λx0k = |λ| k + x λ 0k ≥ |λ| d. 1 1 1 T` u. d¯´ o |λ| ≤ kzk hay |g(z)| ≤ kzk. Suy ra kgk ≤ . d d d Ngu.o.
. c la.i, do d = inf kx0 − yk nˆen tˆ o
`n ta.i mˆo.t d˜ay (yn) ⊂ Y sao cho y∈Y
kx0 − ynk → d (n → ∞). D
- ˘a.t zn = −yn + x0, th`ı g(zn) = 1. Ho.n n˜u.a
1 = g(zn) ≤ kgk kznk = kgk kx0 − ynk → kgkd (n → ∞). 1 Vˆ a.y kgk = . d Theo D
- i.nh l´y 3.2.1 tˆo`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c f x´ac d¯i.nh 1
trˆen X suy rˆo.ng g v´o.i kfk = kgk = . V`ı x d 0 ∈ Z, x0 = 0 + 1 x0 nˆ en g(x0) = 1, vˆ a.y f(x0) = g(x0) = 1. D
- i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh. 3.2.3. Hˆ
e. qua’. V´o.i mo.i phˆa ` n tu.
’ z0 ∈ X, z0 6= 0 th`ı tˆo
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen X sao cho kfk = 1, f(z0) = kz0k. z Ch´ u.ng minh. ´ Ap du 0 . ng d¯i.nh ly ´ 3.2.2 v´ o.i Y = {0}, x0 = . Khi d¯´ o kz0k 1 f (x0) = 1, kf k = hay f (z d 0) = kz0k v` a kf k = 1. Nh`
o. hˆe. qua’ na`y, ta thˆa´y r˘a`ng sˆo´ lu.o..ng ca´c phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c xa
´ c d¯i.nh trˆen khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X la` d¯u’ nhiˆe
`u (theo nghı˜a v´o.i 2 phˆa `n tu.’ x 6= y cu’a X thı` tˆo
`n ta.i mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c f ta´ch d¯u.o..c hai d¯iˆe’m na
`y: f (x) − f (y) = f (x − y) = kx − yk 6= 0.) B ` AI T ˆ A . P 3.1. Cho f l` a mˆ
o.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh khˆong liˆen tu.c trˆen khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n thu. . c X. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng v´o.i mo.i r > 0 th`ı f(B0(0, r)) = R.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 48 3.2. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a f l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh trˆen X. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng f liˆen tu.c khi v`a chı’ khi Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0} l` a tˆ a.p d¯´ong. 3.3. Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n thu..c. a) Gia’ su.
’ x1, x2, . . . , xn l`a c´ac vecto. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong X. Ch´u.ng minh r˘a `ng tˆo
`n ta.i c´ac phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c x∗1, . . . , x∗n ∈ X∗ sao cho ( 1, nˆe´u i = j x∗i(xj) = 0, nˆe´u i 6= j b) Cho M l` a mˆ
o.t tˆa.p con cu’a X v`a x0 ∈ X. K´y hiˆe.u Y = hMi l`a khˆong gian con cu’a X sinh bo.
’ i M. Ch´u.ng minh r˘a`ng x0 ∈ Y khi v`a chı’ khi v´o.i mo.i x∗ ∈ X∗ thoa’ d¯iˆe
` u kiˆe.n x∗(M) = {0} th`ı x∗(x0) = 0. 3.4. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, M l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a X. D - ˘a.t
M 0 = {f ∈ X∗ : f (x) = 0, ∀ x ∈ M }. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng M 0 l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a X∗. 3.5. Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a f ∈ X∗, f 6= 0. Ch´u.ng to’ r˘ a `ng tˆo
`n ta.i khˆong gian con 1 chiˆe ` u M sao cho X = Ker f ⊕ M. 3.6. Cho X, Y l` a hai khˆ ong gian Banach v` a A : X → Y l` a mˆ o.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh sao cho v´
o.i mo.i d˜ay xn → 0 v`a v´o.i mo.i g ∈ Y ∗ ta d¯ˆe ` u c´o g(Axn) → 0. Ch´ u.ng minh A liˆen tu.c. 3.7 Gia’ su.
’ f l`a mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen khˆong gian d¯i.nh |f (a)| chuˆ a’n X. Ch´ u.ng minh r˘a
`ng v´o.i mo.i a ∈ X ta c´o d(a, N) = trong d¯´ o kf k N = Ker f §4. KH ˆ ONG GIAN LIˆ EN HIˆ E.P 4.1 Khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p th´ u. nhˆ a´t. 4.1.1 D
- i.nh nghı˜a. Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. . c ho˘
a.c sˆo´ ph´u.c K, khi ˆa´y ta co´ khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n L(X, K). Khˆong gian na `y d¯o
´ ng vai tro` quan tro.ng trong viˆe.c nghiˆen c´u.u cu’a gia’i tı´ch ha`m va` ngu.`o.i
ta go.i no´ la` khˆong gian liˆen hiˆe.p hay khˆong gian d¯ˆo´i ngˆa˜u cu’a X va` ky´ hiˆe.u la`
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 49 X∗ = L(X, K). Nhu. vˆ a.y mˆo˜i phˆa
`n tu.’ x∗ ∈ X∗ la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen
tu.c trˆen X va` chuˆa’n cu’a no´ la` kx∗k = sup |x∗(x)| kxk=1 Nhˆ a.n xe´t. 1. V´ o.i X la ` khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n tuy` y´ thı` X∗ luˆon la` mˆo.t khˆong gian Banach. Thˆ a.t vˆa.y, d¯iˆe
`u na`y suy t`u. tru.`o.ng sˆo´ thu..c hay sˆo´ ph´u.c la` khˆong gian Banach va ` a
´ p du.ng d¯i.nh ly´ 3.2.2 Chu.o.ng 1. 2. Chuˆ
a’n cu’a vecto. x trong X d¯u.o. . c tı´nh nh` o. ca
´ c vecto. x∗ ∈ X∗, cu. thˆe’ ta co ´ : kxk = sup
|x∗(x)|, v´o.i mo.i x ∈ X. x∗∈X∗, kx∗k=1 Thˆ
a.t vˆa.y, ta co´ |x∗(x)| ≤ kx∗k kxk = kxk v´o.i mo.i x∗ ∈ X∗ ma` kx∗k = 1 nˆen sup |x∗(x)| ≤ kxk. Ngu.o. . c la.i, nˆe
´u x = 0 kˆe´t qua’ hiˆe’n nhiˆen; co`n x 6= 0 thı` theo kx∗k=1
Hˆe. qua’ 3.2.3 cu’a d¯i.nh ly´ Hahn-Banach, tˆo
`n ta.i x∗0 ∈ X∗ sao cho x∗0(x) = kxk va` kx∗0k = 1. Do vˆa.y,
kxk = |x∗0(x)| ≤ sup |x∗(x)|. kx∗k=1 Sau d¯ˆ ay la ` hai d¯i.nh ly´ vˆe
` biˆe’u diˆe˜n phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trong khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha.n chiˆe `u va` vˆo ha.n chiˆe `u. 4.1.2 D
- i.nh ly´. Cho f la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trˆen khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n Kn v´o.i K = R hay K = C. Khi d¯o´ tˆo
`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t phˆa`n tu.’
a = (a1, . . . , an) ∈ Kn sao cho v´o.i mo.i x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn thı` n X f (x) = aixi. (4.1) i=1 Ngu.o. . c la.i, v´
o.i mo.i a = (a1, . . . , an) ∈ Kn, vˆe´ pha’i cu’a (4.1) xa´c d¯i.nh mˆo.t phiˆe´m ha `m tuyˆe
´n tı´nh liˆen tu.c fa trˆen Kn, t´u.c la` n X fa(x) =
aixi, v´o.i mo.i x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn i=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 50 Ch´
u.ng minh. Go.i {e1, . . . , en} la` co. so.’ chı´nh t˘a´c cu’a khˆong gian vecto. Kn n trong d¯o ´ e P
i = (0, . . . , 0, 1i, 0 . . . , 0). V´
o.i x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn thı` x = xiei. i=1 Nˆe
´u f la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trˆen Kn, lu´c d¯o´ ta co´ f(x) = n n P x P if (ei). D
- ˘a.t ai = f(ei) ∈ K thı` f(x) = xiai. i=1 i=1 Ngu.o. . c la.i, v´
o.i a = (a1, . . . , an) ∈ Kn, ta d¯˘a.t n X fa(x) =
xiai, v´o.i x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, i=1 thı` ro
˜ ra`ng fa la` tuyˆe´n tı´nh, liˆen tu.c vı` Kn la` khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe`u. D - i.nh ly ´ ch´ u.ng minh xong. Nhˆ a.n xe´t. 1. Chu ´ ng ta nh´ o. r˘ a
`ng hai chuˆa’n bˆa´t ky` trong khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe`u thı` tu.o.ng d¯u.o.ng do d¯o
´ trong d¯i.nh ly´ trˆen ta co´ thˆe’ du`ng bˆa´t c´u. chuˆa’n na`o trong Kn. n 2. Bˆ ay gi` o. ta ha ˜ y cho P . n chuˆ a’n Euclide: kxk = ( |xi|2)1/2 cho Kn. Khi ˆa´y i=1 a
´ p du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz ta co´ n n X X |fa(x)| ≤ ( |xi|2)1/2( |ai|2)1/2 = kak kxk i=1 i=1
nˆen kfak ≤ kak. Gia’ su.’ a 6= 0, ta lˆa´y x0 = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Kn v´o.i ( 0 nˆe ´u ai = 0 ξi = |ai|2 nˆe ´u a a i 6= 0. i n n Khi ˆ a´y kx P P 0k = ( |ξi|2)1/2 = ( |ai|2)1/2 = kak, va` i=1 i=1 n ( P |a |f i |2) kf a(x0)| i=1 ak ≥ = = kak kx0k kak nˆen kfak = kak. 3. Ta co ´ thˆe’ kiˆe’m tra a ´ nh xa.
ϕ : Kn → (Kn)∗, a 7→ ϕ(a) = fa
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 51 la ` mˆ
o.t song a´nh, tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c hai chiˆe
`u. Tru.`o.ng ho..p ta cho.n chuˆa’n Euclide cho Kn thı` theo nhˆ
a.n xe´t 1, ϕ la` phe´p d¯˘a’ng cu.. tuyˆe´n tı´nh vı` kfak = kak nˆen ta d¯ˆ o
`ng nhˆa´t hoa`n toa`n Kn v´o.i (Kn)∗. Tuy nhiˆen nˆe´u trong Kn ta cho.n chuˆa’n kha ´ c thı` ϕ chı’ la ` mˆ o.t phe´p d¯ˆo `ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh. 4.1.3 D
- i.nh ly´. V´o.i mˆo˜i phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trˆen khˆong gian l1, tˆ o
`n ta.i duy nhˆa´t phˆa`n tu.’ a = (an)n ∈ l∞ sao cho ∞ X v´
o.i mo.i x = (xn)n ∈ l1, f(x) = aixi (4.2) i=1 d¯ˆ o
`ng th`o.i kf k = kakl∞ = sup |an|. n Ngu.o. . c la.i, v´
o.i mo.i a = (a1, a2, . . . ) ∈ l∞, vˆe´ pha’i cu’a (4.2) xa´c d¯i.nh mˆo.t phiˆe
´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c fa trˆen l1, t´u.c la` ∞ X fa(x) =
aixi, v´o.i mo.i x = (xn)n ∈ l1 (4.3) i=1 ∞ Ch´ u.ng minh. Gia’ su. ’ f ∈ (l1)∗. V´o.i mo P . i (xn)n ∈ l1, ta viˆe ´t d¯u.o..c x = xnen, n=1 trong d¯o
´ en = (0, . . . , 0, 1n, 0, . . . ) ∈ l1, n = 1, 2 . . . . Vı` f tuyˆe´n tı´nh va` liˆen tu.c nˆen ∞ ∞ X X f (x) = xnf (en) = anxn, n=1 n=1 trong d¯o ´ an = f (en). Ta co ´
|an| = |f (en)| ≤ kf k kenk = kf k, n = 1, 2 . . . Nhu. vˆ
a.y da˜y (an)n bi. ch˘a.n, nghı˜a la` (an)n ∈ l∞ va` kakl∞ = sup |an| ≤ kf k. (4.4) n Ho.n n˜ u.a, ta co ´ ∞ ∞ ∞ | X X X fa(x)| = | anxn| ≤ |anxn| ≤ M |xn| = M kxk n=1 n=1 n=1 trong d¯o
´ M = sup |an|. Vˆa.y kfk ≤ M = sup |an| = kakl∞. Kˆe´t ho..p v´o.i (4.4) ta n n co ´ kf k = kakl∞ .
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 52 Ngu.o.
. c la.i, cho a = (an)n ∈ l∞, ta d¯˘
a.t fa : l1 → K xa´c d¯i.nh nhu. (4.3). Theo tı´nh chˆ a´t cu’a chuˆ o˜i sˆ o´ hˆ
o.i tu., ta co´ ngay fa la` phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh trˆen l1. Ngoa `i ra theo trˆen ta cu ˜ ng co ´ d¯uo. . c kfak = kakl∞ . Nhˆ
a.n xe´t. Ta co´ thˆe’ thˆa´y r˘a`ng a´nh xa.
ϕ : l∞ → (l1)∗, a 7→ ϕ(a) = fa la ` mˆ
o.t song a´nh, tuyˆe´n tı´nh va` ba’o toa`n chuˆa’n t´u.c la` mˆo.t phe´p d¯˘a’ng cu.. tuyˆe´n tı´nh. Vı` vˆ a.y ta d¯ˆo `ng nhˆa´t (l1)∗ = l∞. 4.2 Khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p th´ u. hai. Cho X la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. .
O’ mu.c trˆen ta d¯a˜ xe´t d¯ˆe´n khˆong gian liˆen hiˆe.p X∗ thı` X∗ cu˜ng la` khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n vı` vˆ
a.y ta la.i xe´t d¯ˆe´n khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a no´. Ta ky´ hiˆe.u X∗∗ = (X∗)∗ va ` goi X∗∗ la ` khˆ
ong gian liˆen hiˆe.p th´u. hai cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Tu.o.ng tu. . , ta co
´ thˆe’ d¯i.nh nghı˜a khˆong gian liˆen hiˆe.p th´u. k cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X. Mˆ
o´i liˆen hˆe. gi˜u.a khˆong gian X va` X∗ khˆong d¯u.o..c ro˜ ra`ng l˘a´m. Tuy nhiˆen gi˜ u.a X va ` khˆ
ong gian liˆen hiˆe.p th´u. hai X∗∗ co´ quan hˆe. kh˘a´ng khı´t, d¯u.o..c cho bo.’i d¯i.nh ly´ sau: 4.2.1 D
- i.nh ly´. Tˆo`n ta.i mˆo.t d¯o.n a´nh tuyˆe´n tı´nh θ t`u. khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X va `o khˆ
ong gian liˆen hiˆe.p th´u. hai X∗∗. D
- o.n a´nh na`y ba’o toa`n chuˆa’n (t´u.c la`
∀ x ∈ X, kθ(x)k = kxk) nˆen θ liˆen tu.c. Ch´ u.ng minh. V´ o.i mˆ
o˜i x ∈ X ta d¯i.nh nghı˜a mˆo.t phiˆe´m ha`m ˜x xa´c d¯i.nh trˆen X∗ cho bo. ’ i cˆong th´u.c ∀ x∗ ∈ X∗, ˜ x(x∗) = x∗(x). Phiˆe ´m ha`m ˜ x tuyˆe ´n tı´nh vı` ˜
x(αx∗ + βy∗) = (αx∗ + βy∗)(x) = αx∗(x) + βy∗(x) = α˜ x(x∗) + β ˜ x(y∗). Ngoa `i ra ta co ´ sup |˜ x(x∗)| = sup |x∗(x)| = kxk. x∗∈X∗, kx∗k=1 x∗∈X∗, kx∗k=1 D - iˆe
`u na`y ch´u.ng to’ phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh ˜
x bi. ch˘a.n(t´u.c la` liˆen tu.c). Vˆa.y ˜x ∈ X∗∗ va ` k˜ xk = kxk. Nhu. thˆe ´ ta xa
´ c d¯i.nh d¯u.o..c mˆo.t a´nh xa. θ : X → X∗∗, x 7→ θ(x) = ˜ x
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 53 v´ o.i ˜ x nhu. d¯a
˜ d¯i.nh nghı˜a o.’ trˆen. ´
Anh xa. θ ba’o toa`n chuˆa’n vı` kθ(x)k = k˜xk = kxk. Ngoa `i ra θ co `n la ` tuyˆe
´n tı´nh. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x1, x2 ∈ X, α, β la` hai sˆo´, lu´c d¯o ´
θ(αx1 + βx2)(x∗) = x∗(αx1 + βx2) = αx∗(x1) + βx∗(x2)
= αθ(x1) + βθ(x2)(x∗), v´o.i mo.i x∗ ∈ X∗.
Suy ra θ(αx1 + βx2) = αθ(x1) + βθ(x2). Ho.n n˜u.a,
kθ(x) − θ(y)k = kθ(x − y)k = kx − yk nˆen θ la ` d¯o.n a ´ nh va ` liˆen tu.c. D
- i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. Nhu. vˆ
a.y X d¯˘a’ng cu.. tuyˆe´n tı´nh v´o.i khˆong gian con Im θ = θ(X) ⊂ X∗∗. D - iˆe `u na`y cho phe ´ p ta xem X nhu. la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n con cu’a X∗∗ b˘ a `ng ca ´ ch d¯ˆ o `ng nhˆa´t mˆo˜i phˆa `n tu.’ x ∈ X v´o.i phˆa `n tu.’ ˜ x ∈ X∗∗ xa ´ c d¯i.nh nhu. o.’ trˆen. Tha `nh thu.
’ nˆe´u x ∈ X thı` x ∈ X∗∗ va` x(x∗) = x∗(x), v´ o.i mo.i x∗ ∈ X∗. Do vˆ
a.y ngu.`o.i ta thu.`o.ng ky´ hiˆe.u hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c trˆen theo da.ng d¯ˆo´i x´u.ng
hx, x∗i = x(x∗) = x∗(x), va` tu`y theo biˆe
´n na`o cˆo´ d¯i.nh thı` no´ d¯u.o..c xem nhu. la` ha `m cu’a biˆe
´n kia. Nˆe´u ca’ hai cu`ng biˆe´n thiˆen thı` hx, x∗i xa ´ c d¯i.nh mˆo.t phiˆe´m ha `m song tuyˆe ´n tı´nh trˆen X × X∗. 4.2.2 D
- i.nh l´y Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ta co´ X l`a h˜u.u ha.n chiˆe
` u khi v`a chı’ khi X∗ h˜u.u ha.n chiˆe
` u. Cu. thˆe’ ho.n, dim X = n khi v`a chı’ khi dim X∗ = n. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ dim X = n, khi d¯´o liˆen hiˆe.p d¯a.i sˆo´ cu’a X c´o sˆo´ chiˆe ` u l` a n. M˘
a.t kh´ac v`ı X h˜u.u ha.n chiˆe
` u nˆen mo.i phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh trˆen X d¯ˆe
` u liˆen tu.c. Do d¯´o khˆong gian X∗ tr`ung v´o.i liˆen hiˆe.p d¯a.i sˆo´ nˆen dim X∗ = n. Ngu.o.
. c la.i, nˆe´u dim X∗ = n th`ı theo l´ y luˆ a.n v`u.a rˆo
`i ta c´o dim X∗∗ = n. Ho.n n˜
u.a X ⊂ X∗∗ nˆen dim X ≤ dim X∗∗. Vˆ a.y X h˜u.u ha.n chiˆe ` u v`a l´uc d¯´o dim X = dim X∗ = n.
Qua d¯i.nh l´y n`ay ta thˆa´y nˆe´u X h˜u.u ha.n chiˆe
` u th`ı ta c´o X = X∗∗. Trong tru.` o.ng ho. . p tˆ o’ng qu´
at, ta c´o d¯i.nh ngh˜ıa sau: Khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n X d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian pha’n xa. nˆe´u X = X∗∗. V`ı X∗∗ l` a khˆ ong gian Banach nˆen ta c´ o: D - iˆe
` u kiˆe.n cˆa`n d¯ˆe’ X tro.’ th`anh mˆo.t khˆong gian pha’n xa. l`a X Banach.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 54 Ta co ´ nhˆ
a.n xe´t r˘a`ng, mˆo.t khˆong gian pha’n xa. thı` co´ nhiˆe
`u tı´nh chˆa´t tˆo´t va` cu
˜ ng thuˆa.n lo..i trong viˆe.c nghiˆen c´u.u, ch˘a’ng ha.n mˆo˜i vecto. x ∈ X no´ co`n la` mˆo.t phiˆe
´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trˆen X∗ va` ngu.o..c la.i nˆen ngoa`i tı´nh chˆa´t thˆong thu.`
o.ng cu’a vecto. x ∈ X ta co `n co ´ thˆe’ su.
’ du.ng ca´c tı´nh chˆa´t cu’a phiˆe´m ha`m tuyˆe
´n tı´nh liˆen tu.c n˜u.a. 4.3 To´ an tu. ’ liˆ en hiˆ e.p. 4.3.1 D
- i.nh nghı˜a. Nˆe´u X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n th`ı liˆen hiˆe.p X∗ c´ o mˆ
o.t sˆo´ t´ınh chˆa´t v`a vai tr`o gˆa
` n g˜ui v´o.i X. Bˆay gi`o. cho X, Y l`a hai khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c, ta h˜ay thiˆe´t lˆa.p mˆ
o.t to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh A∗ gi˜u.a Y ∗ v`a X∗, c´o liˆen hˆe. v´o.i to´an tu.’ A nhu. sau. A X −→ Y y∗◦A & ↓ y∗ K V´ o.i y∗ ∈ Y ∗ ta d¯˘
a.t A∗y∗ = y∗ ◦ A. Hiˆe’n nhiˆen A∗y∗ l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n
t´ınh liˆen tu.c trˆen X t´u.c l`a A∗y∗ ∈ X∗ v`a kA∗y∗k ≤ ky∗k kAk. (4.5) D - ˆe’ ´y r˘a`ng
A∗(αy∗1 + βy∗2) = (αy∗1 + βy∗2) ◦ A = αy∗1 ◦ A + βy∗2 ◦ A
= αA∗(y∗1) + βA∗(y∗2)
nˆen A∗ tuyˆe´n t´ınh. Ho.n n˜ u.a t` u. bˆ a´t d¯˘ a’ng th´
u.c (4.5) ta suy ra A∗ liˆen tu.c v`a kA∗k ≤ kAk. To´ an tu.
’ A∗ d¯u.o..c go.i l`a toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p hay la` toa´n tu.’ pho´ cu’a to´an tu.’ A ∈ L(X, Y ) V`ı A∗ l` a mˆ
o.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. Y ∗ v`ao X∗ nˆen ta la.i x´et to´an tu.
’ liˆen hiˆe.p cu’a n´o t`u. X∗∗ v`ao Y ∗∗ k´y hiˆe.u l`a A∗∗ = (A∗)∗. L´uc d¯´o ta c˜ung c´o kA∗∗k ≤ kA∗k. . Trong phˆ a
` n tru.´o.c ta d¯˜a xem X l`a mˆo ’
. t khˆong gian con cu’a X∗∗. O d¯ˆ ay mˆ o´i
quan hˆe. gi˜u.a A v`a A∗∗ d¯u.o..c cho bo.’i:
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 55 4.4.2 D
- i.nh l´y. To´an tu.’ A∗∗ : X∗∗ → Y ∗∗ l`a mˆo.t mo.’ rˆo.ng cu’a to´an tu.’
A ∈ L(X, Y ) ngh˜ıa l` a A∗∗ = A. X Ch´ u.ng minh. Ta ch´ u.ng minh A∗∗x = Ax, v´
o.i mo.i x ∈ X. Vı` A∗∗x v`a Ax l`a c´ ac phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen Y ∗ nˆen v´o.i mo.i y∗ ∈ Y ∗ ta c´o
(A∗∗x)(y∗) = (x ◦ A∗)(y∗) = x(A∗y∗)
= x(y∗ ◦ A) = (y∗ ◦ A)(x) = y∗(Ax) = (Ax)(y∗). Do d¯´ o A∗∗x = Ax, v´ o.i mo.i x ∈ X. D
- i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. Tiˆe´p theo ta c´ o: 4.3.3 Hˆ
e. qua’. V´o.i mo.i A ∈ L(X, Y ) ta c´o kAk = kA∗k. Thˆ
a.t vˆa.y, theo trˆen ta d¯˜a c´o kA∗∗k ≤ kA∗k ≤ kAk. M˘a.t kh´ac kA∗∗k = sup kA∗∗x∗∗k x∗∗∈X∗∗, kx∗∗k=1 ≥ sup kA∗∗xk = sup kAxk = kAk. x∈X, kxk=1 x∈X, kxk=1 Vˆ a.y kA∗∗k = kA∗k = kAk. 4.3.4 D
- i.nh l´y. Cho X, Y, Z l`a ba khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A, B ∈ L(X, Y ) v`
a C ∈ L(Y, Z). Khi d¯´ o ta c´ o
a) (A + B)∗ = A∗ + B∗.
b) (λA)∗ = λA∗ v´
o.i mo.i sˆo´ λ ∈ K.
c) (C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C∗. Ch´ u.ng minh. Ph´ep ch´ u.ng minh du. . a v`
ao d¯i.nh ngh˜ıa cu’a to´an tu.’ “ * ”. Ch˘a’ng ha.n
∀z∗ ∈ Z∗ : (C ◦ A)∗z = z∗ ◦ (C ◦ A) = (z∗ ◦ C) ◦ A
= A∗(z∗ ◦ C) = A∗(C∗z∗) = (A∗ ◦ C∗)(z∗) Vˆ
a.y (C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C∗. Nhˆ
a.n xe´t. Qua d¯i.nh ly´ 4.3.4, ta thˆa´y d¯u.o..c r˘a`ng toa´n tu.’ “ ∗ ” : L(X, Y ) → L(Y ∗, X∗) la` tuyˆe
´n tı´nh va` ba’o toa`n chuˆa’n.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 56 B ` AI T ˆ A . P 4.1 Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a M l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X. Gia’ su.
’ v´o.i mo.i f ∈ X∗ ta c´o sup |f(x)| < +∞. Ch´u.ng minh r˘a`ng M l`a mˆo.t tˆa.p bi. x∈M ch˘ a.n trong X. 4.2 Gia’ su.
’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. a) Cho f : X → K l` a mˆ
o.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh thoa’ d¯iˆe ` u kiˆe.n l`a nˆe´u d˜ay
(xn)n ⊂ X hˆo.i tu. th`ı d˜ay (f(xn))n bi. ch˘a.n. Ch´u.ng minh f ∈ X∗. b) Gia’ su.
’ A ∈ L(X). Ch´u.ng minh r˘a`ng
kAk = sup{|g(Ax)|, x ∈ X, kxk = 1; g ∈ X∗, kgk = 1}. §5. H ˆ O . I TU . Yˆ E ´U 5.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, (xn)n l`a mˆo.t d˜ ay trong X. Ta n´ oi d˜ ay (x w n)n hˆ
o.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x ∈ X, k´y hiˆe.u xn → x nˆe´u v´o.i
mo.i f ∈ X∗, f(xn) → f(x). L´uc d¯´o x d¯u.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n yˆe´u cu’a d˜ay (xn)n. Nhu. vˆ
a.y trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n X bˆay gi`o. c´o hai kiˆe’u hˆo.i tu.: hˆo.i tu. theo chuˆ a’n k · k (hay c`
on go.i l`a hˆo.i tu. ma.nh) v`a hˆo.i tu. yˆe´u ta v`u.a m´o.i d¯i.nh ngh˜ıa. 5.2. Mˆ o.t sˆo´ t´ınh chˆa´t. 5.2.1 D
- i.nh ly´ Cho X la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` (xn)n ⊂ X. Khi d¯o´ ta co ´: a. Nˆe´u d˜
ay (xn)n hˆo.i tu. ma.nh d¯ˆe´n x trong X th`ı (xn)n c˜ung hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x trong X. b. Gi´ o.i ha.n theo su. . hˆ
o.i tu. yˆe´u cu’a (xn)n (nˆe´u c´o) thı` duy nhˆa´t. c. Nˆe
´u (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x ∈ X th`ı no´ bi. ch˘a.n: sup kxnk < +∞ v`a n kxk ≤ lim kxnk. n Ch´ u.ng minh.
a) Theo d¯i.nh ngh˜ıa, f liˆen tu.c trˆen X nˆen nˆe´u xn → x th`ı f(xn) → f(x) v´o.i
mo.i f ∈ X∗. Vˆa.y (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x. b) Tiˆe ´p theo, gia’ su.’ x w w n → x v`
a xn → x0 v´o.i x 6= x0. Theo hˆe. qua’ 3.2.3 cu’a d¯i.nh l´y Hahn-Banach, tˆo
`n ta.i f ∈ X∗ sao cho f(x) 6= f(x0). L´uc d¯´o f(xn) → f(x)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 57 v` a f (xn) → f (x0). D - iˆe
` u n`ay mˆau thuˆa˜n v`ı d˜ay sˆo´ (f (xn))n chı’ c´o mˆo.t gi´o.i ha.n duy nhˆ a´t.
c) V`ı (xn)n ⊂ X v`a X ⊂ X∗∗ nˆen xn ∈ X∗∗. V´o.i mo.i f ∈ X∗ ta c´o
xn(f ) = f (xn) → f (x) = x(f ) v`a ´ap du.ng nguyˆen l´y bi. ch˘a.n d¯ˆe ` u cho d˜ay phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh (xn)n x´ac d¯i.nh trˆen X∗ ta c´o kˆe´t qua’. w k·k 5.2.2 D
- i.nh ly´. Nˆe´u dim X = k v`a nˆe´u xn → x th`ı xn → x. Nhu. vˆ
a.y trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha.n chiˆe
` u, kh´ai niˆe.m hˆo.i tu. ma.nh (hˆ
o.i tu. theo chuˆa’n) v`a hˆo.i tu. yˆe´u tr`ung nhau. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ {e1, . . . , ek} l`a mˆo.t co. so.’ trong khˆong gian vecto. X. k Khi d¯´ o v´ o.i mo P . i x ∈ X, x = ξiei. ´ Anh xa. i=1 A : X → Kk x 7→ x = (ξ1, . . . , ξk) l` a mˆ o.t ph´ep d¯ˆo
`ng phˆoi tuyˆe´n t´ınh (xem D
- i.nh l´y 4.1 Chu.o.ng 1). Suy ra c´ac phiˆe´m h`
am toa. d¯ˆo. fj : X → K, x 7→ ξj, j = 1, . . . , k l`a tuyˆe´n t´ınh v`a liˆen tu.c trˆen X. k k Do d¯´o nˆe´u x P P n = ξ(n) → i
ei hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x = ξiei th`ı ξ(n) i ξ0 khi n → ∞, i=1 i=1 k·k v´
o.i mo.i i = 1, 2 . . . , k. Nhu. thˆe´ xn → x nˆen xn → x trong X. 5.2.3. D
- i.nh l´y. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. w w
a. Nˆe´u xn → x trong X th`ı Axn → Ax trong Y v´o.i mo.i A ∈ L(X, Y ). b. Nˆe´u (A w n) ⊂ L(X, Y ), An hˆ
o.i tu. d¯ˆe´n A trong L(X, Y ) v`a xn → x trong X w
th`ı Axn → Ax trong Y . Ch´ u.ng minh. w a. Gia’ su.
’ xn → x trong X v`a y∗ ∈ Y ∗. Khi d¯´o y∗ ◦A ∈ X∗ nˆen (y∗ ◦A)(xn) → (y∗ ◦ A)x hay y∗(Ax w n) → y∗(Ax). Vˆ a.y Axn → Ax trong Y. b. C˜ ung lˆ a´y bˆ a´t k` y y∗ ∈ Y ∗, ta x´et
|y∗(Anxn) − y∗Ax| ≤ |y∗An(xn) − y∗Axn| + |y∗Axn − y∗Ax|
≤ ky∗k kAn − Ak kxnk + |y∗Axn − y∗Ax|. w
Do xn → x trong X nˆen kxnk bi. ch˘a.n bo.’i mˆo.t sˆo´ M. Do d¯´o khi n → ∞ th`ı
ky∗k kAn − Ak kxnk ≤ ky∗k kAn − Ak M → 0
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 58 v` a |y∗(Ax w
n) − y∗(Ax)| → 0 (do a.) nˆ
en y∗(Axn) → y∗(Ax). Vˆa.y Anxn → Ax trong Y. B ` AI T ˆ A . P 5.1 Gia’ su.
’ X la` mˆo.t khˆong gian Banach, xn, x ∈ X va` fn, f ∈ X∗, d¯ˆo`ng th` o.i x w
n → x, fn → f khi n → ∞. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng fn(xn) → f(x) khi n → ∞. 5.2 Cho X la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` xn, x ∈ X. Gia’ su.’ r˘a`ng tˆo `n ta.i sˆ o´ N > 0 sao cho v´
o.i mo.i n ∈ N, kxnk ≤ N va` v´o.i mo.i f ∈ M : f(xn) → f(x) khi n → ∞ trong d¯o ´ M ⊂ X∗ va ` M = X∗. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe ´n x ∈ X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 59 Chu.o.ng 3 C ´ AC KH ˆ ONG GIAN Lp(E, µ) Trong sˆo´ c´ ac khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n thˆong du.ng, c´o mˆo.t l´o.p c´ac khˆong gian Banach d¯˘
a.c biˆe.t quan tro.ng, thu.`o.ng g˘a.p trong l´y thuyˆe´t phu.o.ng tr`ınh d¯a.o h`am riˆeng, phu.o.ng ph´ ap t´ınh, . . . d¯´ o l` a c´ ac khˆ ong gian Lp m` a ta s˜e x´et trong chu.o.ng n` ay. . §1. C ´ AC B ˆ A ´T D - ˘ A ’ NG TH´UC QUAN TRO.NG Cho p, q l` a hai sˆo´ thu. . c du.o.ng. Ta go.i ch´ ung l` a hai sˆ o´ thu.
. c liˆen hiˆe.p nˆe´u 1 1 + = 1. R˜
o r`ang, 1 < p < ∞; 1 < q < ∞. p q 1.1. Bˆ o’ d ¯ˆ e
` . (Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Young) Cho a, b l`a hai sˆo´ thu. . c khˆ ong ˆ am v` a p, q l` a hai sˆ o´ thu.
. c liˆen hiˆe.p. Khi d¯´ o ta c´ o bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c ap bq ab ≤ + ; p q dˆ
a´u “=” xa’y ra khi ap = bq. Ch´
u.ng minh. Nˆe´u b = 0 th`ı bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c hiˆe’n nhiˆen d¯´ ung. Gia’ su. ’ b > 0. X´et h` am sˆ o´ t 1 ϕ(t) = + − t1/p, (t ≥ 0). p q 1 1 1 Ta c´ o va ` ϕ0(t) = − t−1+ 1p =
(1 − t− 1q ). Khi t < 1 th`ı ϕ0(t) < 0; t > 1 th`ı p p p ϕ0(t) > 0 va ` ϕ0(1) = 0. Do d¯´
o ϕ(t) d¯a.t cu..c tiˆe’u ta.i t = 1 v´o.i ϕ(1) = 0. Kha’o sa´t chiˆe
`u biˆe´n thiˆen ta thˆa´y ϕ(t) > ϕ(1) = 0 v´o.i mo.i t ∈ [0, +∞), t 6= 1 hay t 1 + − t1/p > 0, v´ o.i mo p q . i t ≥ 0, t 6= 1. Bˆ ay gi` o. lˆ a´y t = apb−q ≥ 0, ta c´ o apb−q 1 + − ab− qp ≥ 0 p q ap bq hay + − ab ≥ 0. Vˆa p q . y bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c d¯u.o. . c ch´ u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 60 1.2.Bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c Holder cho 2n sˆ o´. D
- i.nh ly´. Cho 2n sˆo´ a1, b1, . . . , an, bn v`a p, q l`a hai sˆo´ thu..c liˆen hiˆe.p. Khi d¯´ o n n n X X X |akbk| ≤ |ak|p1/p |bk|q1/q k=1 k=1 k=1 n n Ch´ u.ng minh. Tru.` o.ng ho. P P . p |ak|p = 0 ho˘a.c
|bk|p = 0 bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c k=1 k=1 hiˆe’n nhiˆen d¯u ´ ng. Tru.` o.ng ho. . p co
`n la.i ta a´p du.ng Bˆo’ d¯ˆe ` 1.1 v´o.i |a |b a = k | v` a b = k | , n n ( P |a P k |p )1/p ( |bk|q)1/q k=1 k=1 ta c´o |akbk| 1 |a 1 |b ≤ k |p + k |q , n n p n q n ( P |a P P P k |p)1/p ( |bk|q)1/q |ak|p |bk|q k=1 k=1 k=1 k=1 i = 1, . . . n. Lˆ a´y tˆo’ng n bˆ a´t d¯˘ a’ng th´
u.c trˆen theo hai vˆe´ ta d¯u.o. . c n P |akbk| k=1 1 1 ≤ + = 1. n n p q ( P |a P k |p)1/p( |bq |)1/q k k=1 k=1 n n Nhˆ an hai vˆe´ cho ( P |a P k |p )1/p( |bq |)1/q ta nhˆa k . n d¯u.o. . c bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c cˆ a ` n ch´u.ng k=1 k=1 minh. Khi p = q = 2, bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c n`
ay go.i l`a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Cauchy-Schwarz (hay bˆ a´t d¯˘ a’ng th´
u.c Cauchy-Buniakowski). 1.3. Bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c Holder vˆ e ` t´ıch phˆ an. Cho (X, A, µ) la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯ˆo. d¯o, E ∈ A. Ta co´ D
- i.nh l´y. Cho E l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng d¯o d¯u.o..c cu’a X, p, q la` hai sˆo´ thu.
. c liˆen hiˆe.p. Gia’ su.
’ f, g l`a c´ac h`am d¯o d¯u.o.
. c trˆen E. Khi d¯´ o ta co ´ bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Z Z Z 1/p 1/q |f g|dµ ≤ |f |pdµ |g|qdµ , E E E v´ o.i p, q l` a hai sˆ o´ thu. . c liˆen hiˆe.p.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 61 Ch´ u.ng minh.
• Nˆe´u (R |f |pdµ)1/p = 0 hay (R |g|qdµ)1/q = 0 th`ı |f |p = 0 ho˘a E E .c |g|q = 0 hˆ a
` u kh˘a´p no.i nˆen vˆe´ tr´ai cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c b˘a`ng 0, kˆe´t qua’ c˜ung d¯´ung. C`on la.i ta x´et tru.` o.ng ho. . p
• Nˆe´u (R |f |pdµ)1/p = ∞ hay (R |g|qdµ)1/q = ∞ th`ı bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c d¯u.o.ng E E nhiˆen l` a d¯´ ung.
• 0 < (R |f |pdµ)1/p < ∞ v`a 0 < (R |g|qdµ)1/q < ∞. D - ˘a E E . t |f | |g| a = , b = , ∀ x ∈ E (R |f |pdµ)1/p (R |g|qdµ)1/q E E v` a ´ ap du.ng Bˆo’ d¯ˆe ` 1.1 ta d¯u.o..c |f g| 1 |f |p 1 |g|q ≤ + . (R |f |pdµ)1/p(R |g|qdµ)1/q p R |f |pdµ q R |g|qdµ E E E E Lˆ a´y t´ıch phˆ
an hai vˆe´ trˆen E ta c´o: R |f g|dµ 1 1 E ≤ + = 1. 1/p 1/q p q R |f |pdµ R |g|qdµ E E Vˆ
a.y bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c d¯u.o..c ch´u.ng minh. 1.4. Bˆ a´t d ¯˘ a ’ ng th´ u.c Minkowski. D
- i.nh l´y. Cho f, g l`a hai h`am sˆo´ d¯o d¯u.o..c trˆen E v`a 1 ≤ p < +∞. Khi d¯´o Z Z Z 1/p 1/p 1/p |f + g|pdµ ≤ |f |pdµ + |g|pdµ . E E E Ch´
u.ng minh. Khi p = 1 bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c hiˆe’n nhiˆen d¯´ ung. Ta x´et tru.` o.ng ho. . p 1 1
p > 1. Cho.n q > 1 sao cho + = 1, khi d¯´ o p q
p = (p + q) − q = pq − q = (p − 1)q. Ta c´ o
|f + g|p = |f + g|p−1|f + g| ≤ (|f | + |g|)|f + g|p−1
≤ |f | |f + g|p−1 + |g| |f + g|p−1, ∀ x ∈ E.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 62 Lˆ a´y t´ıch phˆ an hai vˆe´ trˆen E v` a ´
ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder cho c´ac c˘a.p h`am
|f |, |f + g|p−1; |g|, |f + g|p−1, ta c´o Z Z Z 1/p 1/q |f + g|pdµ ≤ |f |pdµ |f + g|p−1dµ E E E Z Z 1/q + |g|p1/p |f + g|(p−1)qdµ E E Z Z Z n 1/p 1/p o ≤ |f |pdµ + |g|pdµ |f + g|p1/q. E E E Suy ra Z Z Z 1− 1 q 1/p 1/p |f + g|pdµ ≤ |f |pdµ + |g|pdµ . E E E 1 1 D - ˆe´ ´y 1 − = ta thˆ a´y bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c d¯u.o. q p . c ch´ u.ng minh. §2. C ´ AC KH ˆ ONG GIAN Lp(E, µ) Gia’ su.
’ X la` mˆo.t tˆa.p kha´c trˆo´ng va` (X, A, µ) la` mˆo.t khˆong gian d¯ˆo. d¯o trong d¯´ o µ l` a d¯ˆ o. d¯o d¯ˆa
`y d¯u’, x´ac d¯i.nh trˆen σ−d¯a.i sˆo´ A c´ac tˆa.p con cu’a X. V´o.i p ≥ 1 va ` E ∈ A, ta k´
y hiˆe.u Lp(E, µ) l`a tˆa.p ho..p c´ac h`am thu..c d¯o d¯u.o..c trˆen E sao cho
|f |p kha’ t´ıch. Nˆe´u E l`a mˆo.t tˆa.p d¯o d¯u.o..c (theo ngh˜ıa Lebesgue) trong Rn, v`a µ l` a d¯ˆ
o. d¯o Lebesgue th`ı ta k´y hiˆe.u go.n l`a Lp(E). Ta nh´
o. la.i r˘a`ng tˆa.p ho..p c´ac h`am sˆo´ thu..c x´ac d¯i.nh trˆen E v´o.i c´ac ph´ep to´an + v` a nhˆ an v´ o.i mˆ
o.t sˆo´ theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng lˆa.p th`anh khˆong gian vecto. trˆen . R ky ´ hiˆe ’ .u F(E). O d¯ˆ ay, ta s˜e kiˆe’m tra r˘ a
`ng tˆa.p Lp(E, µ) ta.o th`anh mˆo.t khˆong gian vecto. con cu’a n´ o. 2.1. D
- i.nh l´y. Tˆa.p ho..p Lp(E, µ) l`a mˆo.t khˆong gian vecto.. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ f, g ∈ Lp(E, µ), α ∈ R ta kiˆe’m tra f + g v`a α f thuˆo.c Lp(E, µ) v´ o.i α l` a mˆ o.t sˆo´. Ta c´o
|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ 2 max (|f (x)| |g(x)|) v´ o.i mo.i x ∈ E. Do d¯´o p
|f (x) + g(x)|p ≤ 2p max(|f (x)|, |g(x)|) ≤ 2p|f (x)p| + |g(x)|p.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 63 T` u. d¯´
o suy ra |f + g|p kha’ t´ıch nˆen f + g ∈ Lp(E, µ). C` on nˆe´u α l` a mˆ o.t sˆo´ th`ı r˜ o r`ang l` a αf ∈ Lp(E, µ).
Theo d¯i.nh nghı˜a, hai h`am f, g x´ac d¯i.nh trˆen E d¯u.o..c go.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i
nhau nˆe´u f (x) = g(x) h.k.n. trˆen E. L´ uc d¯´
o R f dµ = R gdµ (nˆe´u mˆ o E E . t trong hai t´ıch phˆ an n` ay tˆ o
`n ta.i.) Do d¯´o ta qui u.´o.c r˘a`ng trong Lp(E, µ) hai h`am tu.o.ng d¯u.o.ng xem nhu. tr` ung nhau, ch˘
a’ng ha.n nˆe´u f = 0 h.k.n. th`ı f d¯u.o..c xem l`a h`am 0. 2.2 D
- i.nh l´y. V´o.i p ≥ 1, Lp(E, µ) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, trong d¯´o chuˆ a’n cu’a mˆ o.t phˆa ` n tu.
’ f ∈ Lp(E, µ) d¯u.o. . c cho bo. ’ i Z 1/p kf k = |f |pdµ . E Ch´
u.ng minh. Do |f |p kha’ t´ıch nˆen kf k d¯u.o. . c x´
ac d¯i.nh v`a kfk ≥ 0, kfk = 0 tu.o.ng d¯u.o.ng v´
o.i R |f |pdµ = 0 hay |f | = 0 h.k.n. Theo qui u.´ o.c o. ’ trˆen th`ı f = 0. E Tiˆen d¯ˆe
` 2 r˜o r`ang. V´o.i f, g ∈ Lp(E, µ), theo bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Minkowski ta c´o Z Z Z 1/p 1/p 1/p |f + g|pdµ ≤ |f |pdµ + |g|pdµ . E E E D
- ˆay ch´ınh l`a tiˆen d¯ˆe
` tam gi´ac cu’a chuˆa’n. Vˆa.y Lp(E, µ) l`a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n. 2.3 D
- i.nh l´y. V´o.i p ≥ 1 ta co´ Lp(E, µ) l`a mˆo.t khˆong gian Banach. Ch´ u.ng minh. Ta a
´ p du.ng d¯i.nh ly´ 2.5.3 b) Chu.o.ng 1 d¯ˆe’ ch´u.ng minh. Gia’ ∞ ∞ su. ’ P f P n hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i, ta kiˆe’m tra chuˆo˜i
fn hˆo.i tu. trong khˆong gian n=1 n=1 ∞ Lp(E, µ). V´ o.i k ∈ N, d¯˘ a P . t sk(x) =
|fn(x)|. Theo bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c tam gia ´ c cu’a n=1 chuˆ a’n, ta co ´ : k ∀ X k ∈ N, kskk ≤ kfnk < +∞. n=1 Vˆ a.y lim kskkp < +∞. k→∞
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 64 ´ Ap du.ng Bˆo’ d¯ˆe ` Fatou va`o da ˜ y ha`m (|sk|p)k ta co ´ : ∞ Z Z X p |fn(x)| dµ = lim |sk(x)|pdµ E n=1 E k→∞ Z ≤ lim
|sk(x)|pdµ = lim kskkp < +∞. k→∞ E k→∞ ∞ Nhu. thˆe
´ theo tı´nh chˆa´t cu’a ha`m sˆo´ kha’ tı´ch, ta co
´ P |fn(x)| h˜u.u ha.n h.k.n. n=1 ∞ trˆen E nghı˜a la ` chuˆ o˜i P |fn(x)| hˆo.i tu. hˆa `u kh˘a´p no.i. Suy ra ta co ´ thˆe’ xa ´ c d¯i.nh n=1 ha `m sˆo´ ϕ(x) bo. ’ i cˆong th´u.c ∞ P fn(x) nˆe ´u chuˆo˜i na`y hˆo.i tu., ϕ(x) = n=1 0, nˆe ´u tra ´ i la.i d¯ˆ o `ng th`o.i ∞ Z Z p | X ϕ(x)|p dµ ≤ |fn(x)| dµ < ∞ E E n=1 ∞ nghı˜a la ` ϕ ∈ Lp(E, µ). Co `n la P . i ta pha’i ch´ u.ng minh fn(x) = ϕ(x) trong khˆong n=1 gian Lp(E, µ) t´ u.c la ` ch´ u.ng minh k
kX fn − ϕk → 0 khi k → ∞. n=1 Thˆ a.t vˆa.y, ta co´ k k s Z kX X X fn − ϕkp = lim | fn(x) − fn(x)|p dµ s→∞ n=1 E n=1 n=1 s s Z Z X X = lim fn(x)|pdµ ≤ lim | fn(x)|pdµ E s→∞ s→∞ n=k+1 E n=k+1 s s ∞ X X p X = lim k fnkp ≤ lim kfnk = kfnkp. s→∞ s→∞ n=k+1 n=k+1 n=k+1 ∞ Khi k → ∞ thı` P kfnk → 0 vı` no ´ la ` phˆ a
`n du. th´u. k cu’a mˆo.t chuˆo˜i hˆo.i tu.. n=k+1 Vˆ
a.y d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 65 2.4 D
- i.nh ly´. Nˆe´u µE < ∞ va` 1 ≤ p ≤ p0 < ∞ thı` 1 kf k − 1 p ≤ kf kp p 0 (µE) p0 , trong d¯o
´ k.kp va` k.kp0 lˆa `n lu.o. . t la ` ky
´ hiˆe.u chuˆa’n trong khˆong gian Lp(E, µ) va` Lp0 (E, µ) tu.o.ng ´ u.ng. Nhu. thˆe ´
Lp0 (E, µ) ⊂ Lp(E, µ) ⊂ L1(E, µ). Ch´ u.ng minh. ´
Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder cho hai ha`m |f(x)|p va` g(x) = 1 p0 p0 v´ o.i 2 sˆ o´ thu. . c liˆen hiˆe.p va ` ta co ´ : p p0 − p Z Z p Z p0 −p |f p| dµ ≤ |f |p p0 p0 p0 p dµ dµ E E E Z p p0 −p ≤ |f |p0 dµ p0 (µE) p0 . E Suy ra 1 kf k − 1 p ≤ kf kp p 0 (µE ) p0 Do d¯o ´ nˆe
´u f ∈ Lp0 (E, µ) thı` f ∈ Lp(E, µ).
§3. T´INH KHA’ LY CU’A KH ˆ ONG GIAN Lp(E, µ).
Trong mu.c na`y ta chı’ xe´t d¯ˆe´n ca´c khˆong gian Lp(E, µ) = Lp(E) trong d¯o´ E la ` mˆ
o.t tˆa.p con d¯o d¯u.o..c theo nghı˜a Lebesgue trong Rn. Ta co´ d¯i.nh ly´ mo.’ d¯ˆa `u nhu. sau: 3.1 D
- i.nh ly´. Ca´c tˆa.p ho..p sau d¯ˆay la` tru` mˆa.t trong khˆong gian Lp(E). a. Tˆ
a.p ca´c ha`m sˆo´ d¯o.n gia’n xa´c d¯i.nh trˆen E : m m S X = {g(x) = αiχA (x), A ∪ A i i ∩ Aj = ∅, i 6= j, i = E, } i=1 n=1 trong d¯o
´ χA la` ha`m d¯˘a i . c tru.ng cu’a tˆ a.p ho. . p Ai. b. Tˆ a.p ho. . p ca ´c ha `m sˆ
o´ liˆen tu.c trˆen E : C(E). Ch´ u.ng minh. Lˆ a´y f ∈ Lp(E). Ta phˆ
an tı´ch f = f + − f − trong d¯o ´ f + =
max(0, f ) ≥ 0; f − = max(0, −f ) ≥ 0. Theo d¯i.nh ly´ vˆe ` cˆa´u tru ´ c cu’a ha `m sˆo´ d¯o d¯u.o. . c khˆong ˆ am, tˆo
`n ta.i 2 da˜y ha`m d¯o.n gia’n (f+ n )n, (f − n )n sao cho 0 ≤ f + n % f +,
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 66 0 ≤ f − n % f − khi n → ∞. ´ Ap du.ng D
- i.nh ly´ Levi cho ca´c da˜y d¯o.n d¯iˆe.u gia’m ca´c ha `m (|f + − f + n |p )n & 0 va ` (|f − − f − n |p)n & ta co ´ : Z Z kf + − f + n kp = |f + − f + n |pdµ & 0 dµ = 0, E E Z Z kf − − f − n kp = |f − − f − n |p dµ & 0 dµ = 0, E E D - ˘a.t gn = f+ n − f − n thı ` gn cu
˜ ng la` ha`m d¯o.n gia’n va` ta co ´ :
kf − gnk = kf + − f − − (f + n − f − n k . ≤ kf + − f + n k + kf − − f − n k → 0 khi n → ∞ Vˆ
a.y S = Lp(E). Theo tı´nh chˆa´t cu’a tˆa.p tru` mˆa.t, tiˆe´p theo ta cˆa `n ch´u.ng minh C(E) ⊂ S. Do mˆ o˜i ha `m d¯o.n gia’n d¯u.o. . c biˆe’u diˆe
˜n tha`nh tˆo’ ho..p tuyˆe´n tı´nh cu’a ca ´ c ha `m d¯˘
a.c tru.ng nˆen tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng mˆo˜i ha`m d¯˘a.c tru.ng cu’a tˆ
a.p con d¯o d¯u.o..c A ⊂ E se˜ d¯u.o..c xˆa´p xı’ tuy` y´ b˘a`ng ca´c ha`m liˆen tu.c trˆen E. D - ˘a.t ( 0, x / ∈ A χA : E → R, χA(x) = 1, x ∈ A. V´ o.i > 0 cho tru.´ o.c, theo tı´nh chˆ
a´t cu’a tˆa.p d¯o d¯u.o..c trong Rn tˆo `n ta.i tˆa.p mo.
’ G ⊃ A va` tˆa.p d¯o´ng F ⊂ A sao cho p p µ(G \ A) < ; µ(A \ F ) < , 2 2 (khi d¯o ´ µ(G \ F ) < p). Ky
´ hiˆe.u Gc = Rn \ G va` d¯˘a.t d(x, Gc) g(x) = d(x, Gc) + d(x, F) trong d¯o ´ ha
`m ϕ(x) = d(x, M ) = inf kx − uk la ` khoa’ng ca ´ ch t` u. x d¯ˆe ´n mˆo.t tˆa.p u∈M M ⊂ E. V´
o.i mo.i x ∈ E ta co´ d(x, Gc) va` d(x, F ) khˆong d¯ˆo
`ng th`o.i b˘a`ng 0 vı` nˆe´u ngu.o. . c la.i, do F va ` Gc la ` ca ´ c tˆ
a.p d¯o´ng ta suy ra co´ x ∈ Gc ∩ F. D - iˆe `u na`y vˆo ly ´ vı`
F ⊂ G nˆen Gc ∩ F = ∅. Ngoa `i ra ca ´ c ha
`m da.ng ϕ(x) liˆen tu.c nˆen suy ra g(x) liˆen tu.c. D
- ˆe’ y´ r˘a`ng v´o.i mo.i x ∈ E ta co´ g(x) ∈ [0, 1]; g(x) = 0 khi x /∈ G, g(x) = 1 khi x ∈ F. Do d¯o
´ hiˆe.u χA(x) − g(x) nhˆa.n ca´c gia´ tri. trong d¯oa.n [0, 1]; b˘a`ng 0 trˆen F va ` trˆen Gc. Vˆ a.y Z 1/p kχA − gk = |χA(x) − g(x)|pdµ ≤ (µ(G \ F ))1/p < . E
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 67 Nˆe
´u f la` ha`m d¯o.n gia’n xa
´ c d¯i.nh trˆen E, gia’ su.’ co´ biˆe’u diˆe˜n k X k f (x) = αiχA (x), A ∪ A i i ∩ Aj = ∅, i 6= j, i = E, i=1 n=1 khi d¯o ´ theo d¯iˆe
`u v`u.a ch´u.ng minh, ta cho.n ca´c ha`m sˆo´ liˆen tu.c gi(x), i = 1, . . . , k sao cho kχA − g i ik ≤ k(|αi| + 1) k va ` d¯˘ a P . t g(x) = αigi(x). Lu ´ c d¯o ´ g(x) cu
˜ ng la` ha`m liˆen tu.c trˆen E d¯ˆo`ng th`o.i i=1 k k k X X f − gk = k αiχA − gk ≤ |α − g i i|kχAi ik < . i=1 i=1 Cuˆ o´i cu `ng, v´o.i h ∈ Lp(E) va ` > 0 cho tru.´
o.c, ta chon f ∈ S sao cho kf − hk < 2 rˆ o
`i cho.n g ∈ C(E) sao cho kf − gk < . Lu´c d¯o´ 2
kh − gk ≤ kh − f k + kf − gk < . Nhu. vˆ
a.y d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. 3.2. Hˆ
e. qua’. Khˆong gian Lp([a, b]) v´o.i [a, b] ⊂ R la` mˆo.t khˆong gian kha’ ly. Ch´ u.ng minh. Ky
´ hiˆe.u P la` tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ ca´c d¯a th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ h˜u.u tı’ xa´c
d¯i.nh trˆen [a, b]. Khi ˆa´y P la` mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. Cho f ∈ Lp([a, b]) va` > 0. Theo d¯i.nh ly´ 3.1, tˆo
`n ta.i ha`m liˆen tu.c g ∈ C[a,b] sao cho kf − gk < . M˘a 2 .t kha ´ c,
theo d¯i.nh ly´ Weierstrass I, tˆo
`n ta.i d¯a th´u.c P (x) ∈ P sao cho max |P (x) − g(x)| < . x∈[a,b] 2(b − a)1/p Lu ´ c d¯o ´ Z Z 1/p 1/p kg − P k = |P (x) − g(x)|pdx ≤ (/2)p 1 dx [a,b] [a,b] b − a ≤ (b − a) = /2. 2(b − a) Nhu. vˆ
a.y kf − P k < hay P = Lp[a, b]. Theo d¯i.nh nghı˜a thı` Lp([a, b]) la` khˆong gian kha’ ly.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 68 §4. KH ˆ ONG GIAN L∞(E, µ). 4.1 D
- i.nh nghı˜a. Gia’ su.’ (XA, µ) la` mˆo.t khˆong gian d¯ˆo. d¯o, E ∈ A va` f : E → R la ` mˆ
o.t ha`m d¯o d¯u.o..c. Ta go.i f la` mˆo.t ha`m sˆo´ bi. ch˘a.n cˆo´t yˆe´u trˆen E nˆe ´u tˆo
`n ta.i mˆo.t tˆa.p N ⊂ E, µN = 0 sao cho f bi. ch˘a.n o.’ trˆen tˆa.p E \ N : sup |f (x)| < ∞. x∈E\N Ky
´ hiˆe.u L∞(E, µ) la` tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ ca´c ha`m d¯o d¯u.o..c va` bi. ch˘a.n cˆo´t yˆe´u trˆen E. Nˆe
´u f, g ∈ L∞(E, µ) thı` tˆo
`n ta.i ca´c tˆa.p con N, P cu’a E sao cho µN = µP = 0 va
` sup |f (x)| < +∞, sup |g(x)| < +∞. Khi d¯o ´ ta co ´ x∈E\N x∈E\P sup
|f (x) + g(x)| ≤ sup |f (x)| + sup |g(x)| < +∞, (4.1) x∈E\(N ∪P ) x∈E\N x∈E\P nghı˜a la ` f + g ∈ L∞(E, µ). M˘
a.t kha´c, nˆe´u α ∈ R va` f ∈ L∞(E, µ) thı` ta cu˜ng co ´ d¯u.o. . c αf ∈ L∞(E, µ). Vˆ
a.y L∞(E, µ) la` mˆo.t khˆong gian vecto. con cu’a khˆong gian F(E). V´ o.i f ∈ L∞(E, µ) ta ky ´ hiˆe.u ess sup |f (x)| = inf sup |f (x)| < +∞ x∈E N ⊂E x∈E\N µN =0 va
` go.i ess sup |f(x)| la` cˆa.n trˆen cˆo´t yˆe´u cu’a ha`m sˆo´ f. x∈E V´ o.i mˆ o˜i ha `m f ∈ L∞(E, µ) ta d¯˘ a.t kf k = ess sup |f (x)|. (4.2) x∈E Khi ˆ a´y theo tı´nh chˆ a´t cu’a infimum, tˆo
`n ta.i mˆo.t da˜y Nk ⊂ E sao cho µNk = 0 1 va ` sup |f (x)| < kf k + . D
- ˘a.t N0 = ∪ Nk, khi d¯o´ µN0 = 0 va` sup |f(x)| ≤ x∈E\N k k∈N k E\N0 1 sup |f (x)| < kf k + , ∀ k ∈ N. Vˆ a.y E\N k k |f (x)| ≤ kf k hˆa `u kh˘a´p no.i E (4.3) 4.2 D
- i.nh ly´. L∞(E, µ) la` mˆo.t khˆong gian Banach v´o.i chuˆa’n d¯u.o..c xa´c d¯i.nh bo.
’ i cˆong th´u.c (4.2). Ch´ u.ng minh. V´
o.i mo.i f ∈ L∞(E, µ) hiˆe’n nhiˆen ta co´ kfk ≥ 0, ngoa`i ra t`u.
(4.3), |f (x)| ≤ kf k h.k.n E nˆen nˆe
´u kf k = 0 thı` f (x) = 0 h.k.n., do d¯o ´ f d¯u.o. . c
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 69 d¯ˆ o
`ng nhˆa´t v´o.i ha`m 0. Tiˆen d¯ˆe ` 2 ro ˜ ra`ng. Co`n tiˆen d¯ˆe
` 3 cu’a chuˆa’n d¯u.o..c suy t`u. tı´nh chˆ a´t (4.1). Vˆ
a.y L∞(E, µ) la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Bˆ ay gi` o. gia’ su.
’ (fn)n la` mˆo.t da˜y co. ba’n trong L∞(E, µ). Ky´ hiˆe.u Nk,m =
{x ∈ E | |fk(x) − fm(x)| > kfk − fmk}. Khi ˆa´y theo (4.3) µNk,m = 0 v´o.i mo.i
k, m ∈ N nˆen tˆa.p N0 = ∪ Nk,m co´ d¯ˆo. d¯o b˘a`ng 0 do tı´nh σ− cˆo.ng tı´nh cu’a d¯ˆo. k,m∈N d¯o. Cho la ` sˆ o´ du.o.ng tuy ` y ´ . Khi d¯o ´ tˆo `n ta.i k0 ∈ N sao cho
kfk − fmk < v´o.i mo.i k, m ≥ k0. Nhu. vˆ
a.y v´o.i mo.i x ∈ E \ N0 ta co´
|fk(x) − fm(x)| ≤ kfk − fmk < (4.4) nghı˜a la ` da
˜ y (fk(x))k co. ba’n trong R nˆen hˆo.i tu.. D - ˘a.t ( lim fn(x), x ∈ E \ N0 f (x) = n→∞ 0, x ∈ N0. V´ o.i mˆ
o˜i k ≥ k0 cho m → ∞ trong (4.4) ta co ´
∀ x ∈ E \ N0 : |fk(x) − f (x)| ≤ . (4.5)
Vı` µN0 = 0 nˆen fk − f ∈ L∞(E, µ) do d¯o
´ f = fk − (fk − f ) ∈ L∞(E, µ). Cu ˜ ng t`
u. (4.5) ta suy ra kfk − f k ≤ v´o.i mo.i k ≥ k0 nghı˜a la` fk → f khi k → ∞. Vˆa.y L∞(E, µ) la ` mˆ o.t khˆong gian Banach. §5. KH ˆ ONG GIAN LIˆ EN HIˆ E.P CU’A KH ˆ ONG GIAN Lp([a, b]) D
- i.nh ly´. Gia’ su.’ p > 1. Khi d¯o´ khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a khˆong gian Lp([a, b]) d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe
´n tı´nh v´o.i khˆong gian Lq([a, b]) trong d¯o ´ p, q la ` hai sˆ o´ thu. . c liˆen
hiˆe.p. Nˆe´u p = 1 ta co´ L1([a, b]) d¯˘a’ng cu. . tuyˆe
´n tı´nh v´o.i khˆong gian L∞([a, b]). Ta thu.` o.ng viˆe
´t (Lp([a, b]))∗ = Lq([a, b]). (Nˆe´u p = 1 thı` q = ∞.) Ch´
u.ng minh. Viˆe.c ch´u.ng minh d¯i.nh ly´ na`y kha´ da`i, ph´u.c ta.p va` co´ su.’ du.ng kiˆe ´n th´u.c vˆe
` ha`m liˆen tu.c tuyˆe.t d¯ˆo´i va` tı´ch phˆan bˆa´t d¯i.nh theo nghı˜a Lebesgue. Do d¯o ´ o.
’ d¯ˆay ta chı’ thiˆe´t lˆa.p mˆo.t a´nh xa. tuyˆe´n tı´nh θ t`u. Lq([a, b]) lˆen (Lp([a, b]))∗ khi p > 1 va ` kiˆe’m tra θ la ` d¯o.n a ´ nh tuyˆe
´n tı´nh ba’o toa`n chuˆa’n. Ba.n d¯o.c quan tˆ am d¯ˆe ´n ch´u.ng minh d¯ˆa `y d¯u’ xin xem sa ´ ch tham kha’o [1].
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 70 ´
Anh xa. θ d¯u.o..c xˆay du..ng nhu. sau:
θ : Lq([a, b]) → (Lp([a, b])∗ Z y → θ(y) = f, f (x) = x(t)y(t)dt, ∀ x ∈ Lp([a, b]). [a,b] Ro
˜ ra`ng f la` phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh trˆen khˆong gian Lp([a, b]). Ngoa`i ra, a ´ p du.ng bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Holder ta co ´ Z Z Z 1/p 1/q |f (x)| ≤ |x(t)y(t)|dt ≤ |x(t)|pdt |y(t)|qdt [a,b] [a,b] [a,b]
≤ kykq kxkp, ∀ x ∈ Lp([a, b]). Vˆ
a.y f la` liˆen tu.c nˆen ca´ch xa´c d¯i.nh a´nh xa. θ la` d¯u´ng d¯˘a´n va` kfk ≤ kykq. Co´ thˆe’ thˆ a´y ngay θ la ` tuyˆe ´n tı´nh. Gia’ su. ’ kykq 6= 0. D - ˆe’ y ´ r˘a
`ng ha`m |y(t)|q−1 ∈ Lp([a, b]) vı`: Z Z k|y|q−1kpp = |y|(q−1)pdt = |y|qdt = kykqq < ∞. [a,b] [a,b] |y(t)|q−1sgn y(t) Cho.n ha`m sˆo´ x(t) = ∈ Lp([a, b]), ta co ´ : k|y|q−1kp 1 Z kxkp ≤ |y(t)|(q−1)p 1/p = 1. k|y|q−1kp [a,b] Theo ca ´ ch xa ´ c d¯i.nh f ta co´: Z |y(t)|q kykq f (x) = dt = q = kykp−p/q q = kykq. [a,b] k|y|q−1 k k|y|q−1kp
Suy ra kf k ≥ kykq nˆen t`u. d¯o ´ ta co ´ kf k = kykq. Nhu. vˆ
a.y a´nh xa. tuyˆe´n tı´nh θ t`u. Lq([a, b]) va`o (Lp([a, b]))∗ ba’o toa`n chuˆa’n nˆen cu ˜ ng la` d¯o.n a ´ nh. B ` AI T ˆ A . P
1. Cho f ∈ Lp(E, µ), g ∈ Lq(E, µ) v´ o.i p, q l` a hai sˆ o´ thu. . c liˆen hiˆe.p. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder tro.’ th`anh d¯˘a’ng th´u.c khi v`a chı’ khi c´o hai sˆo´ c1, c2 khˆong d¯ˆo
`ng th`o.i b˘a`ng 0 sao cho c1|f(x)|p = c2|g|q h.k.n. trˆen E.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 71 2. Mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n d¯u.o..c go.i l`a d¯i.nh chuˆa’n ch˘a.t nˆe´u bˆa´t d˘a’ng th´
u.c kx + yk ≤ kxk + kyk, (x 6= 0, y 6= 0) tro.
’ th`anh d¯˘a’ng th´u.c khi v`a chı’ khi tˆo `n
ta.i α > 0 d¯ˆe’ y = αx. Ch´u.ng minh Lp(E, µ) l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ch˘a.t. 3. Ky
´ hiˆe.u lp, (p ≥ 1) la` tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ ca´c da˜y sˆo´ thu..c (hay ph´u.c) ∞ x = (x P n)n ⊂ K sao cho |xk|p < +∞. D - ˘a.t k=1 ∞ k X xk = |xk|p1/p k=1 a. Ch´ u.ng minh (lp, k · kk) la ` mˆ o.t khˆong gian Banach. b. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a lp d¯˘a’ng cu.. tuyˆe´n tı´nh v´o.i khˆong gian lq trong d¯o ´ p, q la ` hai sˆ o´ thu. . c liˆen hiˆe.p. (Tru.` o.ng ho.
. p riˆeng: (l1)∗ = l∞ = m d¯a ˜ ch´ u.ng minh trong ly ´ thuyˆe ´t). 4. Gia’ su.
’ (cn)n la` mˆo.t da˜y sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c, M la` mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian l2 gˆ o `m tˆa´t ca’ ca ´ c phˆ a
`n tu.’ x = (xn)n sao cho |xi| ≤ ci, i = 1, 2, . . . ). Ch´u.ng ∞ minh r˘a `ng tˆa P . p M la ` compact khi va ` chı’ khi |cn|2 < +∞. n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 72 Chu.o.ng 4 KH ˆ ONG GIAN HILBERT C´ ac khˆong gian Hilbert l` a nh˜ u.ng tru.` o.ng ho.
. p riˆeng quan tro.ng cu’a c´ ac khˆ ong gian Banach, khˆong nh˜ u.ng v`ı ch´ ung l`
a suy rˆo.ng tu.. nhiˆen cu’a h`ınh ho.c Euclide cˆ o’ d¯iˆe’n sang tru.` o.ng ho. . p “vˆ o ha.n chiˆe ` u”, trong d¯o ´ kha
´ i niˆe.m tru..c giao d¯o´ng vai tro` chı´nh yˆe
´u m`a c`on v`ı ch´ung l`a nh˜u.ng khˆong gian h˜u.u ´ıch nhˆa´t trong c´ac ´ap
du.ng cu’a gia’i t´ıch h`am tuyˆe´n tı´nh. §1. KH ´ AI NIˆ E.M KH ˆ ONG GIAN HILBERT. 1.1. T´ıch vˆ o hu.´ o.ng. Cho H l` a khˆ ong gian vecto. trˆen tru.` o.ng K (v´o.i K l` a R ho˘ a.c C). T´ıch vˆo hu.´ o.ng x´
ac d¯i.nh trong H l`a mˆo.t ´anh xa.: h., .i : H × H → K (x, y) 7→ hx, yi thoa’ m˜ an c´ac d¯iˆe ` u kiˆe.n sau d¯ˆay: a) hx, yi = hy, xi v´
o.i mo.i x, y ∈ H. (K´ı hiˆe.u z = a − ib la` sˆo´ ph´u.c liˆen ho..p cu’a z = a + ib.)
b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi v´ o.i mo.i x, y, z ∈ H. c) hλx, yi = λhx, yi v´
o.i mo.i x, y ∈ H v`a λ ∈ K. d) hx, xi ≥ 0 v´
o.i mo.i x ∈ H v`a hx, xi = 0 khi v`a chı’ khi x = 0. Sˆ
o´ hx, yi go.i l`a t´ıch vˆo hu.´o.ng cu’a hai vecto. x v`a y. T`
u. d¯i.nh ngh˜ıa cu’a t´ıch vˆo hu.´o.ng va` ca´c d¯iˆe `u kiˆe.n a) - c)ta suy ra:
hx, λyi = λhx, yi, hx, 0i = 0, hx, y + zi = hx, yi + hx, zi v´
o.i mo.i x, y, z ∈ H v`a λ ∈ K. C˘
a.p (H, h., .i) d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian tiˆe
` n Hilbert (hay khˆong gian Unita). T` u. d¯ˆ ay vˆe
` sau, nˆe´u khˆong c´o su.. nhˆa`m lˆa˜n vˆe
` tı´ch vˆo hu.´o.ng v`a d¯ˆe’ cho go.n, ta thu.` o.ng go.i khˆong gian tiˆe
` n Hilbert H thay cho c˘a.p (H, h., .i).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 73 D
- ˆe’ y´ r˘a`ng, khi tru.`o.ng sˆo´ K la` R thı` t´ıch vˆo hu.´o.ng h., .i ch´ınh l`a mˆo.t da.ng song tuyˆe´n t´ınh x´
ac d¯i.nh du.o.ng trˆen H v`a H d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian tiˆe `n Hilbert thu.
. c. Nˆe´u K = C, thı` H d¯u.o. . c go.i l` a khˆong gian tiˆe `n Hilbert ph´u.c. V´ı du . : V´
o.i x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn v`a y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn biˆe’u th´u.c n h X x, yi = xiyi i=1 x´
ac d¯i.nh mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trong Rn. Tru.` o.ng ho. . p n = 2 ho˘
a.c n = 3 ta c´o d¯u.o..c biˆe’u th´u.c cu’a t´ıch vˆo hu.´o.ng quen thuˆ o.c. Tu.o.ng tu. . , t´ıch vˆo hu.´ o.ng trong Cn d¯u.o. . c x´
ac d¯i.nh bo.’i biˆe’u th´u.c n h X x, yi = xiyi i=1 trong d¯´
o x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Cn. 1.1.1 D
- i.nh l´y. Trong khˆong gian tiˆe`n Hilbert H, v´o.i mo.i x, y ∈ H ta luˆon c´ o bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c sau d¯ˆ ay |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.1) Bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (1.1) d¯u.o. . c go.i l` a bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Schwarz. Ch´ u.ng minh. V´ o.i y = 0 bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c d¯´ ung. Gia’ su.
’ y 6= 0. V´o.i mo.i λ ∈ K ta c´ o: hx + λy, x + λyi ≥ 0 hay
hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2hy, yi ≥ 0. hx, yi Cho.n λ = − ta d¯u.o. hy, yi . c: |hx, yi|2 hx, xi − ≥ 0. hy, yi T` u. d¯´ o ta suy ra bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (1.1). Ch´ u ´ y: Dˆ a´u b˘ a
`ng trong bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz xa’y ra khi v`a chı’ khi x v`a
y phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 74 1.1.2 D
- i.nh l´y. Nˆe´u H l`a khˆong gian tiˆe`n Hilbert thı` cˆong th´u.c kxk = phx, xi, x ∈ H (1.2) x´
ac d¯i.nh mˆo.t chuˆa’n trˆen H. V´ o.i ky
´ hiˆe.u m´o.i na`y, bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz d¯u.o..c viˆe´t la.i tha`nh |hx, yi| ≤ kxk kyk. Ch´ u.ng minh. T` u. tiˆen d¯ˆe
` d) trong d¯i.nh ngh˜ıa t´ıch vˆo hu.´o.ng ta suy ra: ∀ x ∈ H, kxk ≥ 0; kxk = 0 khi v` a chı’ khi x = 0. T` u. a) v` a c) ta c´ o :
kλxk = phλx, λxi = p|λ|2kxk2 = |λ| kxk v´ o.i mo.i x ∈ H, λ ∈ K. Tiˆe
´p theo, v´o.i mo.i x, y ∈ H ta co´: kx + yk2 = hx + y, x + yi
= kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2
= kxk2 + hx, yi + hx, yi + kyk2 = kxk2 + 2Re (hx, yi) + kyk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2 ´
Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz, ta c´o
kx + yk2 ≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2. Vˆ
a.y kx + yk ≤ kxk + kyk. Nhu. thˆe´ k · k la` mˆo.t chuˆa’n trˆen H. Nhˆ a . n x´ et. Do D
- i.nh l´y 1.1.2, ta thˆa´y khˆong gian tiˆe`n Hilbert H ch´ınh l`a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n ca’m sinh t`u. t´ıch vˆo hu.´o.ng bo.’i cˆong th´u.c (1.2). Nhu. vˆ
a.y mo.i kh´ai niˆe.m, kˆe´t qua’ d¯˜a d¯u.o..c thiˆe´t lˆa.p cho khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n d¯ˆe
` u c´o thˆe’ ´ap du.ng d¯u.o..c cho khˆong gian tiˆe ` n Hilbert. 1.2 Khˆ ong gian Hilbert. Mˆ o.t khˆong gian tiˆe
` n Hilbert, xem nhu. khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, c´o thˆe’ d¯ˆa`y d¯u’ ho˘ a.c khˆong d¯ˆa ` y d¯u’.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 75 Nˆe´u H l` a mˆ o.t khˆong gian tiˆe ` n Hilbert v`a d¯ˆa
` y d¯u’ d¯ˆo´i v´o.i chuˆa’n ca’m sinh t` u. t´ıch vˆ o hu.´ o.ng th`ı d¯u.o. . c go.i l` a khˆ ong gian Hilbert. Cu ˜ ng tu.o.ng tu. . tru.` o.ng ho. . p khˆ ong gian tiˆe
`n Hilbert, tuy` theo tru.`o.ng K la` R hay C ta co ´ khˆong gian Hilbert thu. . c hay khˆ ong gian Hilbert ph´ u.c. 1.3 V´ı du . . 1) Rn (tu.o.ng ´ u.ng Cn ) l` a khˆ ong gian Hilbert thu. . c (tu.o.ng ´ u.ng ph´ u.c) v´ o.i t´ıch vˆ o hu.´ o.ng n n h X X x, yi = xiyi (t.u.., hx, yi = xiyi ) i=1 i=1 trong d¯´
o x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn (t. u.., Cn). ∞ 2) Xe ´ t khˆ ong gian l2 = {x = (x P n)n ⊂ K | |xn|2 < +∞} n=1 Ta d¯˜ a biˆe´t l2 l` a khˆ ong gian Banach v´ o.i chuˆ a’n v u ∞ X kxk = u t |xn|2 (1.3) n=1 V´
o.i x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ l2, nh`o. bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Buniakowski ta c´o: ∞ X |
xnyn|2 ≤ kxnk2kynk2 < +∞. n=1 Dˆe
˜ d`ang kiˆe’m ch´u.ng r˘a`ng: ∞ X hx, yi = xnyn n=1 x´
ac d¯i.nh mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trong l2 v`a n´o ca’m sinh chuˆa’n (1.3). Vˆa.y l2 l`a mˆo.t khˆ ong gian Hilbert. 3) Cho (X, A, µ) l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯ˆo. d¯o va` E ∈ A. Xe´t khˆong gian Z L2(E, µ) = {f : E → R | |f |2dµ < ∞}. E Trong Chu.o.ng 3 ta d¯a
˜ biˆe´t L2(E, µ) l`a mˆo.t khˆong gian Banach v´o.i chuˆa’n: Z kf k = |f |2dµ1/2. E
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 76 Ho.n n˜ u.a, v´ o.i f, g ∈ L2(E, µ), t` u. bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Holder vˆe ` t´ıch phˆan, ta c´o: Z Z Z |f g|dµ ≤ |f |2dµ1/2 |g|2dµ1/2 < +∞. E E E Dˆe
˜ d`ang kiˆe’m ch´u.ng r˘a`ng Z hf, gi = f gdµ E x´
ac d¯i.nh mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trong L2(E, µ) v`a L2(E, µ) tro.’ th`anh khˆong gian Hilbert thu. . c. 1.3 Mˆ
o.t sˆo´ t´ınh chˆa´t co. ba’n. 1.3.1 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ (xn)n, (yn)n la` hai da˜y trong khˆong gian tiˆe`n Hilbert
H sao cho xn → x0, yn → y0. Lu ´c d¯o
´ hxn, yni → hx0, y0i khi n → ∞. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ lim xn = x0, lim yn = y0 trong khˆong gian H. Ta cˆa ` n n→∞ n→∞ ch´
u.ng minh lim hxn, yni = hx0, y0i trong K. n→∞ Thˆ a.t vˆa.y
|hxn, yni − hx0, y0i| = |hxn, yni + hxn, y0i − hxn, y0i − hx0, y0)i|
≤ |hxn, yn − y0i| + |hxn − x0, y0i| (1.4)
≤ kxnk kyn − y0k + kxn − x0k ky0k V`ı d˜
ay (xn)n hˆo.i tu. trong H nˆen tˆo
`n ta.i M > 0 sao cho kxnk ≤ M, v´o.i mo.i n ∈ N. Khi d¯o ´ bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (1.4) tro. ’ th`anh
|hxn, yni − hx0, y0i| ≤ M kyn − y0k + ky0k kxn − x0k
Cho n → ∞, theo gia’ thiˆe´t, ta suy ra lim hxn, yni = hx0, y0i. n→∞ Nhˆ a . n xe ´ t. – Tı´nh chˆ a´t trˆen co ´ thˆe’ viˆe ´t la.i:
h lim xn, lim yni = lim hxn, yni n→∞ n→∞ n→∞ v´
o.i mo.i da˜y (xn)n, (yn)n hˆo.i tu. trong H. – T`
u. d¯i.nh ly´ trˆen ta no´i r˘a`ng tı´ch vˆo hu.´o.ng h., .i : H × H → K la` mˆo.t ha`m liˆen tu.c.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 77 1.3.2 D
- i.nh l´y. V´o.i mo.i x, y thuˆo.c khˆong gian tiˆe`n Hilbert H ta luˆon c´o d¯˘ a’ng th´ u.c h`ınh b`ınh h` anh sau d¯ˆ ay:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2) (1.5) Ch´ u.ng minh. V´ o.i x, y ∈ H ta c´ o :
kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hx, yi + hy, xi + kyk2
kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 − hx, yi − hy, xi + kyk2 Cˆ
o.ng hai d¯˘a’ng th´u.c trˆen la.i ta thu d¯u.o..c d¯˘a’ng th´u.c (1.5). 1.3.3 Nhˆ a . n xe ´ t. – D
- ˘a’ng th´u.c (1.5) no´i lˆen mˆo.t tı´nh chˆa´t hı`nh ho.c: Trong mˆo.t hı`nh bı`nh ha
`nh, tˆo’ng bı`nh phu.o.ng cu’a 2 d¯u.` o.ng che ´ o b˘ a
`ng tˆo’ng bı`nh phu.o.ng cu’a 4 ca.nh. – T`
u. d¯i.nh ly´ trˆen ta thˆa´y nˆe´u trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n H tˆo `n ta.i c˘a.p vecto. x, y na `o d¯o ´ khˆ ong tho’a ma ˜ n d¯˘a’ng th´ u.c hı`nh bı`nh ha `nh thı` chuˆ a’n ˆ a´y khˆ ong thˆe’ d¯u.o. . c cho bo.
’ i mˆo.t tı´ch vˆo hu.´o.ng trˆen khˆong gian vecto. H. – Nˆe
´u H la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n trong d¯o´ d¯˘a’ng th´u.c hı`nh bı`nh ha`nh d¯u.o. . c tho’a ma
˜ n v´o.i mo.i x, y ∈ H thı` trˆen H se˜ tˆo`n ta.i mˆo.t tı´ch vˆo hu.´o.ng h., .i sao cho chuˆ a’n na `y d¯u.o. . c xa
´ c d¯i.nh nh`o. tı´ch vˆo hu.´o.ng: kxk = phx, xi. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u 1 H la ` khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n thu..c, ta d¯˘a.t hx, yi = p(x, y) = (kx+yk2−kx−yk2). 4 Co `n nˆe
´u H la` khˆong gian Hilbert ph´u.c, ta d¯˘a.t hx, yi = p(x, y) − ip(x, iy) la` tı´ch vˆ o hu.´ o.ng tu.o.ng ´ u.ng. 1.3.4 D
- i.nh l´y. V´o.i mo.i khˆong gian tiˆe`n Hilbert H d¯ˆe`u tˆo`n ta.i mˆo.t khˆong
gian Hilbert H ch´
u.a H sao cho H l` a khˆ ong gian con tr` u mˆ a.t trong H. Ch´ u.ng minh. D` ung ph´ep bˆ o’ sung d¯ˆ a
` y d¯u’ cu’a mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n ta d¯u.o. . c mˆ
o.t khˆong gian Banach H ch´u.a H sao cho H l`a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tr` u mˆ a.t trong H. V´ o.i x, y ∈ H s˜e tˆo
`n ta.i c´ac d˜ay (xn)n, (yn)n ⊂ H sao cho lim xn = n→∞ x, lim yn = y trong H. n→∞ Theo D - i.nh l´y 1.3.2 ta c´o
kxn + ynk2 + kxn − ynk2 = 2(kxnk2 + kynk2).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 78
Cho n → ∞, do t´ınh liˆen tu.c cu’a h`am chuˆa’n ta suy ra
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2). Theo ch´ u ´ y trˆen, s˜e tˆ o
`n ta.i mˆo.t t´ıch vˆo hu.´o.ng trong H ca’m sinh ra chuˆa’n cu’a H v` a ta c´o: lim hxn, yniH = hx, yiH. n→∞ . §2. KH ´ AI NIˆ
E.M TRU.C GIAO - H`INH CHIˆE´U 2.1 Kh´ ai niˆ e.m tru. . c giao. Hˆ e. tru. . c giao. Cho H la ` mˆ o.t khˆong gian tiˆe
` n Hilbert, x, y la` hai vecto. thuˆo.c H co`n S, M va ` N la ` ca ´ c tˆ
a.p con cu’a H. Ta co´ ca´c d¯i.nh nghı˜a sau d¯ˆay: a) Hai phˆ a
` n tu.’ x v`a y thuˆo.c H go.i l`a tru..c giao v´o.i nhau, k´y hiˆe.u x⊥y, nˆe´u hx, yi = 0. b) Mˆ
o.t hˆe. S ⊂ H go.i l`a hˆe. tru. . c giao nˆe´u ca ´ c phˆ a `n tu.’ kha ´ c nhau bˆ a´t ky ` cu’a S tru. . c giao v´ o.i nhau t` u.ng d¯ˆ oi mˆ
o.t, t´u.c l`a mo.i x, y ∈ S v`a x 6= y ta c´o : x ⊥ y. c) Cho S la ` mˆ
o.t hˆe. tru..c giao. Nˆe´u mo.i phˆa
` n tu.’ cu’a S c´o chuˆa’n b˘a`ng 1 th`ı S d¯u.o. . c go.i l` a mˆ o.t hˆe. tru. . c chuˆ a’n. d) Ta no ´ i vecto. x tru. . c giao v´ o.i tˆ
a.p M, ky´ hiˆe.u x⊥M nˆe´u x tru..c giao v´o.i mo.i phˆa `n tu.’ thuˆo.c M. e) Ky
´ hiˆe.u M⊥ la` tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ vecto. x ∈ H ma` x⊥M. Nhu. vˆa.y x ∈ M⊥ khi va ` chı’ khi hx, ui = 0 v´ o.i mo.i u ∈ M. f) Ta no ´ i 2 tˆ
a.p M va` N tru..c giao v´o.i nhau, ky´ hiˆe.u M⊥N nˆe´u v´o.i mo.i
x ∈ M, y ∈ N thı` x⊥y hay hx, yi = 0. Sau d¯ˆ ay la ` ca ´ c tı´nh chˆ a´t liˆen quan d¯ˆe ´n kha ´ i niˆe.m tru..c giao. 2.1.1 D
- i.nh l´y. Nˆe´u S l`a mˆo.t hˆe. tru..c giao gˆo`m nh˜u.ng phˆa`n tu.’ kh´ac khˆong
trong H th`ı S l` a mˆ
o.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Nˆe´u n phˆa ` n tu.
’ x1, x2, ..., xn tru. . c giao v´ o.i nhau t` u.ng d¯ˆ oi mˆ
o.t thı` ta c´o d¯˘a’ng th´u.c Pythagore: n n k X X xik2 = kxik2. i=1 i=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 79 Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ y1, y2, ..., ym l`a m phˆa
` n tu.’ cu’a S v`a α1y1 + α2y2 + ... +
αmym = 0 v´o.i αi, i = 1, m thuˆo.c K. Khi d¯´o v´o.i mˆo˜i j = 1, 2, ..., m ta c´o: m D X E 0 = h0, yji =
αiyi, yj = hαjyj, yj i = αjkyj k2. i=1
Do yi 6= 0 ta suy ra αi = 0, i = 1, m. Vˆa.y, theo d¯i.nh ngh˜ıa, S l`a mˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh. Bˆ ay gi` o. xe
´ t {x1, . . . , xn} la` mˆo.t hˆe. ca´c vecto. tru..c giao, khi d¯o´ ta co´: n n n n n k X X X X X xik2 = h xi, xji = ( hxi, xji) i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 n n X X = hxi, xii = kxik2 i=1 i=1 Nhu. vˆ
a.y, theo d¯i.nh ly´ trˆen ta thˆa´y mˆo.t hˆe. tru..c giao gˆo `m nh˜u.ng phˆa ` n tu.’ kh´ ac khˆong l` a mˆ
o.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Ngu.o..c la.i, t`u. mˆo.t hˆe. d¯ˆe´m d¯u.o..c gˆo `m nh˜ u.ng phˆ a
` n tu.’ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh, ta c´o thˆe’ xˆay du..ng d¯u.o..c mˆo.t hˆe. tru..c giao theo phu.o.ng ph´ ap d¯u.o. . c tr`ınh b`
ay trong d¯i.nh l´y sau d¯ˆay go.i l`a phu.o.ng ph´ap tru..c giao ho´ a Schmidt. 2.1.2 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ {xn | n ∈ N} l`a mˆo.t hˆe. d¯ˆe´m d¯u.o..c v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh c´ ac phˆ a ` n tu.
’ trong H. Khi d¯´o tˆo
`n ta.i c´ac sˆo´ αij, i > j ≥ 1 sao cho c´ac phˆa`n tu. ’ : y1 = x1 y2 = x2 + α21x1 y3 = x3 + α32x2 + α31x1 (2.1) . . . . . .
yn = xn + αnn−1xn−1 + αnn−2xn−2 + . . . αn1x1 . . . . . . . . . lˆ
a.p th`anh mˆo.t hˆe. d¯ˆe´m d¯u.o. . c v` a tru. . c giao. Ch´
u.ng minh. Ta s˜e t`ım c´ac phˆ a
` n tu.’ yn b˘a`ng quy na.p. V´o.i n = 1 ta lˆa´y
y1 = x1. Gia’ su.’ ta t`ım d¯u.o. . c y1, y2, ..., yn tru. . c giao v´ o.i nhau t` u.ng d¯ˆ oi mˆ o.t v`a c´o
da.ng (2.1), ta h˜ay t`ım yn+1 du.´o.i da.ng
yn+1 = xn+1 + λnyn + λn−1yn−1 + ... + λ1y1 (2.2)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 80
sao cho yn+1 tru..c giao v´o.i c´ac yi, i = 1, n. V´ o.i mˆ o˜i i = 1, 2, ..., n ta c´ o:
0 = hyn+1, yii = hxn+1 + λnyn + ... + λ1y1, yii = hxn+1, yii + λikyik2
Do x1, x2, ..., xn d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen y1, y2, ..., yn d¯u.o..c x´ac d¯i.nh bo.’i (2.1) l` a c´ ac phˆ a
` n tu.’ kh´ac khˆong v`a ta suy ra: hx λ n+1, yii i = − , i = 1, n (2.3) kyik2 Nhu. vˆ
a.y v´o.i c´ac λi, i = 1, n x´ac d¯i.nh bo.’i (2.3) th`ı yn+1 x´ac d¯i.nh bo.’i (2.2) s˜e tru.
. c giao v´o.i c´ac y1, y2, ..., yn d¯u.o. . c x´
ac d¯i.nh bo.’i (2.1). T`u. (2.2), yn+1 c˜ung c´o da.ng: yn+1 = xn+1 + αn+1 n xn + αn+1 n−1xn−1 + ... + αn+1 1 x1. D
- i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh xong. Ch´ u ´ y.
1) Hˆe. tru..c giao {y1, y2, . . . , yn, . . . } sinh ra khˆong gian con M = h{yn | n ∈ N}i tr` ung v´o.i khˆ
ong gian con N = h{xn | n ∈ N}i. 2) T`
u. hˆe. {yn n ∈ N} ta c´o thˆe’ xˆay du..ng d¯u.o..c hˆe. tru..c chuˆa’n {en | n ∈ N} y b˘ a `ng c´ach d¯˘a n . t en = , n = 1, 2, ..., v` a khi d¯o ´ kynk
h{en | n ∈ N}i = h{yn | n ∈ N}i = h{xn | n ∈ N}i. 2.1.3 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ M l`a tˆa.p con cu’a H. Khi d¯´o M⊥ l`a mˆo.t khˆong gian ⊥ con d¯´
ong cu’a H. Ho.n n˜ u.a ta co ´ M ⊥ = M . Ch´ u.ng minh. Lˆ a´y x, y ∈ M ⊥ v` a α ∈ K. V´
o.i mo.i u ∈ M, vı` u⊥x v`a u⊥y nˆen:
hx + y, ui = hx, ui + hy, ui = 0 hαx, ui = αhx, ui = 0, t´ u.c l` a x + y v` a αx thuˆ
o.c M⊥. Vˆa.y M⊥ l`a khˆong gian con cu’a H. Bˆ ay gi` o., gia’ su.
’ d˜ay (xn)n∈N ⊂ M ⊥ v`a lim xn = x0, x0 ∈ H, ta c´o hxn, ui = 0 x→∞ v´
o.i mo.i u ∈ M v`a mo.i n ∈ N. Cho n → ∞ v`a ch´u ´y r˘a`ng t´ıch vˆo hu.´o.ng l`a h`am
liˆen tu.c ta suy ra hx0, ui = 0 v´o.i mo.i u ∈ M.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 81 Vˆ
a.y x0 ∈ M⊥ hay M⊥ l`a khˆong gian d¯´ong cu’a H. ⊥ Cu ˜ ng tu.o.ng tu. . trˆen, d¯ˆe’ y ´ r˘ a
`ng, do M ⊂ M nˆen M ⊂ M⊥. Nˆe´u x ∈ M⊥ va ` y ∈ M thı` tˆo
`n ta.i mˆo.t da˜y (yn)n ⊂ M sao cho lim yn = y. Khi ˆa´y hx, yi = n→∞ ⊥
hx, lim yni = lim hx, yni = lim 0 = 0. Vˆa.y x ∈ M . n→∞ n→∞ n→∞ Tiˆe ´p theo ta kha’o sa ´ t ca ´ c tı´nh chˆ a´t tru. . c giao trong tru.` o.ng ho. . p H la ` mˆ o.t khˆ ong gian Hilbert. 2.1.4 D
- i.nh ly´. Cho {xn, n = 1, 2, . . . , } la` mˆo.t hˆe. tru..c giao d¯ˆe´m d¯u.o..c ∞ trong khˆ
ong gian Hilbert H. D - iˆe `u kiˆe P . n cˆ a
`n va` d¯u’ d¯ˆe’ chuˆo˜i
xn hˆo.i tu. la` chuˆo˜i n=1 ∞
P kxnk2 hˆo.i tu. va` lu´c d¯o´ n=1 ∞ ∞ X X k xnk2 = kxnk2. n=1 n=1
(da.ng d¯˘a’ng th´u.c Pythagore mo.’ rˆo.ng). Ch´ u.ng minh. Ta ha ˜ y d¯˘a.t: Sn = x1 + x2 + · · · + xn
σn = kx1k2 + kx2k2 + · · · + kxnk2 ´
Ap du.ng d¯˘a’ng th´u.c Pythagore d¯ˆo´i v´o.i hˆe. h˜u.u ha.n ca´c vecto. tru..c giao, v´o.i moi n, p ∈ N ta co ´ : n+p X kSn+p − Snk2 = k xik2 i=n+1 n+p X = kxik2 = |σn+p − σn| i=n+1 T` u. d¯˘ a’ng th´ u.c na `y ta thˆ a´y da
˜ y (Sn)n la` co. ba’n trong H khi va` chı’ khi da ˜ y sˆ o´ thu. . c (σn)n co. ba’n trong R. Vı` H va
` R la` nh˜u.ng khˆong gian d¯ˆa
`y d¯u’ nˆen (Sn)n hˆo.i tu. trong H khi va` chı’ ∞ khi da ˜ y (σ P n)n hˆ o.i tu. trong R. D - iˆe `u na`y co ´ nghı˜a la ` chuˆ o˜i xn hˆo.i tu. khi va` chı’ n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 82 ∞ khi chuˆ
o˜i P kxnk2 hˆo.i tu.. Nˆe´u mˆo.t trong hai chuˆo˜i hˆo.i tu. thı` ta co´ n=1 ∞ k X X k xnk2 = k lim xnk2 = k→∞ n=1 n=1 k k ∞ X X X lim k xnk2 = lim kxnk2 = kxnk2. k→∞ k→∞ n=1 n=1 n=1 D
- i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. Cho H la ` mˆ
o.t khˆong gian Hilbert va` hˆe. E = {en, n = 1, 2, . . . , } ca´c vecto. trong H. Nh˘
a´c la.i r˘a`ng, E d¯u.o..c go.i la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n nˆe´u ( 1, nˆe ´u i = j hei, eji = δij = 0 nˆe ´u i 6= j 2.1.5 Hˆ
e. qua’. Cho {en, n = 1, 2 . . . , } la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆong ∞
gian Hilbert H va ` (λ P n)n la ` mˆ
o.t da˜y trong tru.`o.ng sˆo´ K. Ta co´ chuˆo˜i λnen hˆo.i n=1 ∞ tu P . vˆe
` vecto. x ∈ H khi va` chı’ khi chuˆo˜i sˆo´ |λn|2 hˆo.i tu. va` n=1 ∞ X kxk2 = |λn|2. n=1 Ch´ u.ng minh. Chı’ cˆ a `n a
´ p du.ng d¯i.nh ly´ trˆen cho hˆe. tru..c giao {xn, n =
1, 2, . . . , } v´o.i xn = λnen. 2.2. H`ınh chiˆ e´u tru. . c giao. 2.2.1 D
- i.nh l´y h`ınh chiˆe´u tru..c giao. Gia’ su.’ M la` mˆo.t khˆong gian con d¯o ´ng cu’a khˆ
ong gian Hilbert H. Khi d¯o ´ mˆ o˜i phˆ a `n tu.
’ x ∈ H d¯ˆe `u tˆo `n ta.i duy nhˆa´t mˆ
o.t c˘a.p (y, z) trong d¯o´ y ∈ M va` z ∈ M⊥ sao cho x = y + z trong d¯o
´ y ∈ M la` vecto. tho’a d¯iˆe `u kiˆe.n
kx − yk = kzk = inf {kx − uk} = d(x, M ). u∈M
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 83 Nhˆ a.n xe ´ t va ` d ¯i.nh nghı˜a. – T`
u. d¯i.nh ly´ na`y ta co´ thˆe’ viˆe´t H = M ⊕ M⊥ va` go.i khˆong gian con d¯o´ng M ⊥ la ` phˆ a `n bu` tru. . c giao cu’a khˆ ong gian con d¯o ´ ng M co
`n vecto. y go.i la` hı`nh chiˆe ´u tru.
. c giao cu’a x lˆen khˆ ong gian con M . Ch´ u.ng minh. – Su. . tˆ o `n ta.i: D
- ˘a.t d = d(x, M) = infu∈M{kx − uk}. Khi d¯o´ theo tı´nh chˆa´t cu’a infimum, s˜e tˆ o
`n ta.i (yn)n∈N ⊂ M sao cho lim kx − ynk = d. x→∞ Ta ha ˜ y ch´ u.ng minh da
˜ y (yn)n se˜ hˆo.i tu. vˆe ` phˆa
`n tu.’ y ∈ M. Do M la` khˆong gian con d¯o ´ ng cu’a khˆ ong gian Hilbert H nˆen no ´ cu
˜ ng la` mˆo.t khˆong gian Hilbert nˆen ta chı’ cˆ a
`n kiˆe’m tra (yn)n l`a d˜ay Cauchy trong M. Thˆ
a.t vˆa.y, a´p du.ng d¯˘a’ng th´u.c hı`nh bı`nh ha`nh cho 2 vecto. x − yn, x − ym, m, n ∈ N ta c´o:
kym + yn − 2xk2 + kym − ynk2 = k(ym − x) − (yn − x)k2 (2.4) = 2(kym − xk2 + kyn − xk2) y Do M la ` khˆ
ong gian con nˆen m + yn ∈ M v`a k y +y m n 2 2 − xk2 ≥ d2, vˆa.y th`ı d¯˘ a’ng th´ u.c (2.4) tro. ’ th`anh:
0 ≤ kym − ynk2 ≤ 2(kym − xk2 + kyn − xk2) − 4d2. Cho m, n → ∞ ta suy ra lim kym − ynk = 0. n,m→∞ V`ı M d¯ˆ a ` y d¯u’ nˆen tˆo
`n ta.i y ∈ M sao cho lim ym = y. T`u. d¯´o qua gi´o.i ha.n ta n→∞ co ´ :
lim kx − ynk = kx − yk = d. n→∞ Bˆ ay gi` o. d¯˘
a.t z = x − y thı` x = y + z. Ta kiˆe’m tra z ∈ M⊥ t´u.c la` ch´u.ng
minh z⊥u v´o.i mo.i u ∈ M. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ u ∈ M, u 6= 0. V´o.i mo.i α ∈ K ta co´ y + αu ∈ M nˆen
kzk = kx − yk ≤ kx − (y + αu)k = kz − αuk.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 84 D - iˆe
`u na`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i
kzk2 ≤ kz − αuk2 = hz − αu, z − αui
≤ kzk2 − αhu, zi − αhz, ui + |α|2kuk2. hz, ui Cho.n α = rˆ o
`i thay va`o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta co ´ : kuk2 |hz, ui| ≤ 0.
Suy ra hz, ui = 0 v´o.i mo.i u ∈ M t´u.c la` z ∈ M⊥.
Viˆe.c co`n la.i la` ta kiˆe’m tra tı´nh duy nhˆa´t cu’a biˆe’u diˆe˜n. Gia’ su.’ co´ y, y0 ∈
M, z, z0 ∈ M ⊥ sao cho x = y + z = y0 + z0. Khi ˆa´y y − y0 = z0 − z ∈ M ∩ M ⊥
nˆen hy − y0, y − y0i = 0. Nhu. thˆe´ y = y0 va` z = z0. Vˆa.y d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. 2.2.2 Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ E = {e1, e2, . . . , en} la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆ
ong gian Hilbert H. Ky
´ hiˆe.u M la` khˆong gian con sinh bo.’i hˆe. vecto. E. Khi d¯o´ mˆ
o˜i vecto. x ∈ H co ´ hı`nh chiˆe ´u tru.
. c giao y lˆen khˆ
ong gian con M d¯u.o. . c biˆe’u diˆe ˜n nhu. sau: n X y = hx, eiiei. i=1 Ch´ u.ng minh. T` u. gia’ thiˆe
´t ta thˆa´y E la` mˆo.t co. so.’ cu’a khˆong gian con M nˆen M la ` khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆe
`u. Vˆa.y M la` d¯o´ng trong H. Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe
´u tru..c giao ta co´ x = y + z trong d¯o´ y ∈ M va` z ∈ M⊥. Vı` y ∈ M nˆen no´ co´ da.ng n X y = αi ei. i=1 V´ o.i mˆ o˜i j = 1, 2, . . . , n ta co ´
hx, eji = hy + z, ej i = hy, ej i + hz, ej i n X = hy, ej i = h αiei, eji = αjkejk2 = αj. i=1 n Vˆ a P . y y = hx, eiiei. i=1 Bˆ ay gi` o. cho M la ` mˆ
o.t khˆong gian con d¯o´ng cu’a khˆong gian Hilbert H. Xe´t a
´ nh xa. P : H → H xa´c d¯i.nh bo.’i cˆong th´u.c H 3 x 7→ P x = y,
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 85 trong d¯o ´ y la ` hı`nh chiˆe
´u cu’a x lˆen khˆong gian con M. Ta go.i P la` phe´p chiˆe´u tru..c giao t` u. H lˆen M. Ngoa `i ra ta co ´ : 2.2.3 D
- i.nh ly´. Phe´p chiˆe´u tru..c giao cu’a khˆong gian Hilbert H lˆen khˆong gian con d¯o
´ng M 6= {0} la` tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c va` kP k = 1. Ch´ u.ng minh. V´
o.i x, y ∈ H va` α ∈ K ta co ´ x = P x + z, y = P y + z0, z, z0 ∈ M ⊥. Nhu. vˆ a.y x + y = P x + P y + z + z0, trong d¯o
´ P x + P y ∈ M va` z + z0 ∈ M ⊥. Do tı´nh duy nhˆa´t cu’a biˆe’u diˆe˜n vecto.
x + y nhu. trong d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe´u tru..c giao ta co´ P (x + y) = P x + P y. Tu.o.ng tu. . ta cu ˜ ng co ´ P (αx) = αP x. Vˆ
a.y P la` toa´n tu.’ tuyˆe´n tı´nh. Ngoa`i ra v´o.i mo.i x ∈ H ta co´
kP xk2 ≤ kP xk2 + kzk2 = kyk2 + kzk2 = kxk2
theo d¯i.nh ly´ Pythagore nˆen kP xk ≤ kxk. Vˆa.y P liˆen tu.c va` kP k ≤ 1. M˘a.t kha´c kP xk lˆ a´y x ∈ M \ {0} ta co ´ P x = x nˆen kP k ≥ = 1. kxk Vˆ a.y kP k = 1. 2.3 Chuˆ o ˜i Fourier trong khˆ ong gian Hilbert. Cho H la ` mˆ
o.t khˆong gian Hilbert, E = {en, n = 1, 2, . . . , } la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆ a’n va ` x la ` mˆ
o.t vecto. trong H. Nˆe´u ta d¯˘a.t Mn la` khˆong gian con cu’a H sinh n bo. ’ i {e P 1, e2, . . . , en} thı ` hı`nh chiˆe
´u yn cu’a x lˆen Mn co´ da.ng yn = hx, eiiei. i=1 Vˆ a´n d¯ˆe
` d¯˘a.t ra la` da˜y (yn)n na`y co´ hˆo.i tu. hay khˆong va` co´ thˆe’ du`ng d¯ˆe’ “xˆa´p xı’” vecto. x khi n d¯u’ l´ o.n khˆ ong? 2.3.1 D
- i.nh nghı˜a. Cho x la` mˆo.t vecto. trong H. Ta lˆa.p chuˆo˜i hı`nh th´u.c sau d¯ˆ ay: ∞ X hx, eiiei (2.5) i=1 va
` go.i no´ la` chuˆo˜i Fourier cu’a vecto. x d¯ˆo´i v´o.i hˆe. tru..c chuˆa’n E, ca´c sˆo´ hx, eni d¯u.o. . c go.i la
` hˆe. sˆo´ Fourier th´u. n cu’a x d¯ˆo´i v´o.i hˆe. E.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 86 2.3.2 D
- i.nh ly´. Gia’ su.’ E = {en, n ∈ N} la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆong
gian Hilbert H. Khi d¯o ´ v´
o.i mo.i x ∈ H chuˆo˜i Fourier (2.5) cu’a no´ luˆon luˆon hˆo.i
tu. trong H va` ta co´ ∞ X|hx, eni|2 ≤ kxk2. (2.6) i=1 Bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (2.6) d¯u.o. . c go.i la ` bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Bessel. Ch´ u.ng minh. Ta du
`ng hˆe. qua’ 2.1.5 d¯ˆe’ ch´u.ng minh. D
- ˆe’ chuˆo˜i (2.5) hˆo.i tu. thı` chı’ cˆ a
`n kiˆe’m nghiˆe.m bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Bessel (2.6). V´
o.i mo.i n ∈ N, ta d¯˘a.t Mn = h{e1, e2, . . . , en}i la` khˆong gian con d¯o´ng sinh bo. ’ i ca
´ c vecto. {e1, . . . , en}. Theo hˆe. qua’ cu’a d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe´u tru..c giao, tˆo `n ta.i n y P ⊥ n =
hx, eiiei ∈ Mn va` zn ∈ Mn sao cho i=1 x = yn + zn.
Vı` yn⊥zn va` {e1, . . . , en} la` hˆe. tru..c chuˆa’n nˆen d¯˘a’ng th´u.c Pythagore cho ta n X
kxk2 = kynk2 + kznk2 ≥ kynk2 = |hx, eii|2. i=1 n
Cho n → ∞ trong bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c kxk2 ≥ P |hx, eii|2 ta co ´ d¯u.o. . c bˆ a´t d¯˘ a’ng i=1 th´ u.c Bessel. Vˆ
a.y d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. 2.4 Co. so. ’ tru. . c chuˆ a’n. 2.4.1 D
- i.nh nghı˜a. Cho E = {e1, e2, . . . , } la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n h˜u.u ha.n hay d¯ˆe
´m d¯u.o..c cu’a khˆong gian Hilbert H. Ta go.i hˆe. na`y la` mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n hay mˆ o.t hˆe. tru. . c chuˆ a’n d¯ˆ a
`y d¯u’ trong H nˆe´u khˆong gian con M sinh bo. ’ i hˆe. E tru` mˆ a.t trong H : H = h{e1, e2, . . . , }i 2.4.2 D
- i.nh ly´. Gia’ su.’ {e1, e2, . . . , } la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆong gian
Hilbert H. Khi d¯o ´ bˆ o´n mˆe.nh d¯ˆe
` sau d¯ˆay la` tu.o.ng d¯u.o.ng.
a) {e1, e2, . . . , } la` mˆo.t co. so.’ tru. . c chuˆ a’n.
b) Mo.i vecto. x ∈ H d¯u.o. . c khai triˆe’n tha `nh chuˆ o˜i Fourier cu’a no ´: x = ∞ P hx, eiiei. i=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 87 ∞ c)V´ o.i mo P
.i x, y ∈ H ta co ´ hx, yi = hx, eiihy, eii. i=1 ∞ d) V´ o.i mo P .i x ∈ H ta co ´: kxk2 = |hx, eii|2. i=1 D
- ˘a’ng th´u.c o.’ d) d¯u.o..c go.i la` d¯˘a’ng th´u.c Parceval. Ch´ u.ng minh.
• a) ⇒ b) Theo d¯i.nh ly´ 2.3.1 chuˆo˜i Fourier cu’a x ∈ H luˆon hˆo.i tu.. D - ˘a.t ∞
y = x − P hx, eiiei, ta ch´u.ng minh y = 0. i=1 V´ o.i mˆ o˜i m ∈ N ta co ´ ∞ X hy, emi = hx, emi − h hx, eiiei, emi i=1 hx, emi − hx, emi = 0. ⊥ Nhu. vˆ
a.y y ∈ M⊥ = M = H⊥ nˆen y⊥y. Suy ra hy, yi = 0 va` t`u. tiˆen d¯ˆe ` th´u. tu. cu’a tı´ch vˆ o hu.´ o.ng ta co ´ y = 0.
• b) ⇒ c) T`u. tı´nh chˆa´t liˆen tu.c cu’a tı´ch vˆo hu.´o.ng va` tı´nh tru..c chuˆa’n cu’a
hˆe. {e1, e2, . . . , } ta co´ ∞ ∞ X X hx, yi = hx, e iiei, hy, eiiei i=1 i=1 n n n n X X XX = lim hx, e iiei, hy, ejiej = lim hx, eiihy, ej ihei, eji n→∞ n→∞ i=1 i=1 i=1 j=1 n ∞ X X = lim hx, eiihy, eii = hx, eiihy, eii. n→∞ i=1 i=1
• c) ⇒ d) Thay y b˘a`ng x va`o d¯˘a’ng th´u.c o.’ c) ta nhˆa.n d¯u.o..c d¯˘a’ng th´u.c Parceval o. ’ d). • d) ⇒ a) D
- ˘a.t M = h{en, n ∈ N}i. Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe´u tru..c giao ta co´ ⊥ H = M ⊕ M ⊥ ⊥ do d¯o ´ chı’ cˆ a `n ch´u.ng minh M
= {0}. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i z ∈ M = M⊥ ta co´
z⊥u v´o.i mo.i u ∈ M, d¯˘a.c biˆe.t z⊥en nˆen hz, eni = 0 v´o.i mo.i n ∈ N. Theo d¯˘a’ng ∞ th´ u.c Parceval o. ’ d) ta co
´ kzk2 = P |hz, eii|2 = 0 nˆen z = 0. Vˆa.y H = M va` i=1
d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 88 ∞ 2.4.3 Vı ´ du P . . Xe ´ t khˆ
ong gian Hilbert l2 = {x = (xn)n ⊂ K |xn|2 < n=1
+∞} v´o.i tı´ch vˆo hu.´o.ng xa ´ c d¯i.nh bo.’i ∞ X hx, yi = xiyi i=1 trong d¯o
´ x = (xn)n, y = (yn)n ∈ l2. Xe
´ t hˆe. ca´c vecto. {en, n ∈ N} ⊂ l2 v´o.i en = (0, . . . , 0, 1n, 0, . . . ). Ta co´ ( 1 nˆe ´u n = m hen, emi = δij =
nˆen {en, n = 1, 2 . . . } la` mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n 0 nˆe ´u n 6= m, trong khˆ ong gian Hilbert l2. Ngoa
`i ra v´o.i mo.i x = (xn)n ∈ l2 ta co´ hx, eni = xn ∞ va
` kxk2 = P |xn|2. Nhu. vˆa.y ta co´ d¯u.o..c d¯˘a’ng th´u.c Parceval sau: n=1 ∞ X kxk2 = |hx, eii|2. i=1 Vˆ
a.y theo d¯i.nh ly´ 2.4.2 thı` {en n = 1, 2 . . . } d¯u´ng la` mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n trong khˆ ong gian l2. 2.4.4 Vı
´ du.. Xe´t khˆong gian Hilbert L2[0, 2π] gˆo`m ca´c ha`m thu..c d¯o d¯u.o..c,
bı`nh phu.o.ng kha’ tı´ch trˆen [0, 2π]. Ta xe
´ t hˆe. d¯ˆe´m d¯u.o..c ca´c ha`m lu.o..ng gia´c trong khˆ ong gian L2[0, 2π] xa ´ c d¯i.nh nhu. sau : 1 1 1 √
, √ cos nx, √ sin nx, n = 1, 2 . . . 2π π π Nh´ o. r˘ a
`ng tı´ch vˆo hu.´o.ng trˆen L2[0, 2π] d¯u.o..c xa´c d¯i.nh bo.’i Z hf, gi = f (x)g(x) dx, v´ o.i f, g ∈ L2[0, 2π] [0,2π] va ` b˘ a `ng tı´nh toa ´ n so. cˆ a´p ca ´ c tı´ch phˆ an xa
´ c d¯i.nh ta thˆa´y ngay hˆe. trˆen la` mˆo.t hˆe. tru. . c chuˆ a’n. Tiˆe ´p theo ta se ˜ ch´
u.ng minh khˆong gian con sinh bo.
’ i hˆe. ha`m na`y la` tru` mˆa.t trong L2[0, 2π].
Cho f ∈ L2[0, 2π] va` > 0 tuy` y
´ . Theo d¯i.nh ly´ 3.1 o.’ Chu.o.ng 2, khˆong gian C[0, 2π] tru` mˆ
a.t trong L2[0, 2π] nˆen tˆo
`n ta.i g ∈ C[0, 2π] sao cho kf − gk < /2.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 89 M˘
a.t kha´c, theo d¯i.nh ly´ Weierstrass II, tˆo
`n ta.i mˆo.t d¯a th´u.c lu.o.ng gia´c co´ da.ng n X s(x) =
(Ak cos kx + Bk sin kx) sao cho k=0 sup |g(x) − s(x)| < √ . x∈[0,2π] 2 2π Z 1/2 Nhu. vˆ a.y ta co´: kg − sk = |g(x) − s(x)|2dx < /2. T` u. d¯o ´ suy ra [0,2π]
kf − sk ≤ kf − gk + kg − sk < .
Theo d¯i.nh nghı˜a, hˆe. ha`m lu.o..ng gia´c no´i trˆen la` mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n cu’a khˆong
gian Hilbert L2[0, 2π]. Vı` vˆa.y mo.i ha`m f ∈ L2[0, 2π] d¯ˆe
`u d¯u.o..c khai triˆe’n tha`nh chuˆ o˜i Fourier nhu. sau: ∞ α X cos kx sin kx f (x) = 0 √ + αk √ + βk √ , (2.7) 2π π π k=1 1 Z 1 Z trong d¯o ´ α0 = √ f (x) dx, αk = √ f (x) cos kx dx, 2π [0,2π] π [0,2π] 1 Z βk = √
f (x) sin kx dx, k = 1, 2 . . . lˆ a `n lu.o. π . t la
` hˆe. sˆo´ Fourier cu’a f d¯ˆo´i [0,2π] v´
o.i hˆe. co. so.’ tru..c chuˆa’n trˆen. Lu.u y´ r˘a`ng, su.. hˆo.i tu. cu’a chuˆo˜i (2.7) vˆe ` ha`m f la` su. . hˆ
o.i tu. theo chuˆa’n trong khˆong gian L2[0, 2π]. Nˆe ´u ky ´ hiˆe.u 1 Z a0 = f (x) dx, 2π [0,2π] 1 Z ak = f (x) cos kx dx, π [0,2π] 1 Z bk =
f (x) sin kx dx, k = 1, 2, . . . π [0,2π] thı` ta tro. ’ vˆe
` da.ng cˆong th´u.c khai triˆe’n Fourier quen thuˆo.c cu’a mˆo.t ha`m sˆo´ f trong gia’i tı´ch cˆ o’ d¯iˆe’n: ∞ a X f (x) = 0 + a . 2 k cos kx + bk sin kx k=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 90 2.4.5 D
- i.nh ly´. (Riesz-Fischer) Gia’ su.’ {en, n = 1, 2, . . . } la` mˆo.t co. so.’ tru. . c chuˆ a’n d¯ˆe ´m d¯u.o. . c trong khˆ
ong gian Hilbert H. Nˆe
´u (λn)n ⊂ K sao cho ∞
P |λn|2 < +∞ thı` se˜ tˆo
`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t vecto. x ∈ H nhˆa.n ca´c λn la`m hˆe. sˆo´ n=1
Fourier: λn = hx, eni, n = 1, 2, . . . . ∞ ∞ Ch´ u.ng minh. Do P |λ P n|2 < +∞ nˆ
en theo hˆe. qua’ 2.1.5 ta co´ chuˆo˜i λnen n=1 n=1 ∞ hˆ o P . i tu. trong H. D - ˘a.t x = λnen ∈ H, khi d¯o ´ v´o.i mˆ o˜i k ∈ N ta co ´ n=1 ∞ X hx, e k i = λnen, ek = λk. n=1 Vˆ
a.y x nhˆa.n ca´c sˆo´ λn la`m hˆe. sˆo´ Fourier. Nˆe´u co´ vecto. x0 ∈ H cu˜ng nhˆa.n λn la
`m hˆe. sˆo´ Fourier thı` x = x0 vı` ∞ ∞ X X x = λnen = hx0, enien = x0. n=1 n=1 Sau d¯ˆ ay la ` mˆ o.t d¯iˆe
`u kiˆe.n cˆa`n va` d¯u’ d¯ˆe’ khˆong gian Hilbert H co´ mˆo.t co. so.’ tru. . c chuˆ a’n d¯ˆe ´m d¯u.o. . c ho˘ a.c h˜u.u ha.n. 2.4.6 D
- i.nh ly´. Khˆong gian Hilbert H co´ co. so.’ tru..c chuˆa’n h˜u.u ha.n ho˘a.c d¯ˆe ´m d¯u.o. . c khi va
` chı’ khi H la ` khˆ ong gian kha’ ly. Ch´ u.ng minh. Ta xe ´ t tru.` o.ng ho. . p khˆ ong gian vecto. H co ´ sˆo´ chiˆe `u vˆo ha.n vı` tru.` o.ng ho. . p h˜
u.u ha.n ch´u.ng minh tu.o.ng tu.. nhu.ng d¯o.n gia’n ho.n. - D - iˆe
`u kiˆe.n cˆa`n xem ba`i tˆa.p 2.8 Chu.o.ng 1. - D - iˆe
`u kiˆe.n d¯u’. Theo gia’ thiˆe´t H kha’ ly nˆen tˆo`n ta.i A = {a1, a2, . . . } ⊂ H la` mˆ
o.t tˆa.p ho..p d¯ˆe´m d¯u.o..c tru` mˆa.t kh˘a´p no.i. Trong A ta loa.i bo’ ca´c vecto. an nˆe´u an co ´ thˆe’ biˆe’u diˆe
˜n tha`nh tˆo’ ho..p tuyˆe´n tı´nh cu’a ca´c vecto. a1, . . . , an−1 d¯´u.ng tru.´ o.c no ´ . Khi ˆ a´y ta thu d¯u.o. . c mˆ
o.t tˆa.p B = {b1, b2, . . . , bn, . . . } ⊂ A va` B la` tˆa.p d¯ˆ
o.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh. Ngoa`i ra ta co´ h A i = h B i. ´
Ap du.ng phu.o.ng pha´p tru..c chuˆ a’n hoa
´ Schmidth cho hˆe. {b1, b2, . . . } ta thu d¯u.o..c hˆe. tru..c chuˆa’n {e1, e2, . . . }. D - ˆe’ y´ r˘a`ng
H = A ⊂ h A i = h{b1, b2, . . . , }i = h{e1, e2, . . . }i ⊂ H. Vˆ
a.y H = h{e1, e2, . . . }i nghı˜a la` H co´ co. so.’ tru..c chuˆa’n d¯ˆe´m d¯u.o..c.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 91 2.5 Phe ´ p d ¯˘ a’ng cˆ a´u trong khˆ ong gian Hilbert. 2.5.1 D
- i.nh nghı˜a. Gia’ su.’ H va` H0 la` hai khˆong gian tiˆe`n Hilbert trˆen cu`ng mˆ
o.t tru.`o.ng K. Ta go.i a´nh xa. ϕ : H → H0 la` mˆo.t phe´p d¯˘a’ng cˆa´u cu’a hai khˆong gian H va ` H0 nˆe
´u ϕ la` mˆo.t song a´nh, tuyˆe´n tı´nh va` ba’o toa`n tı´ch vˆo hu.´o.ng. No ´ i ca ´ ch kha ´ c, song a ´ nh ϕ : H → H0 la` phe ´ p d¯˘ a’ng cˆ a´u nˆe ´u v´o.i mo.i x, y ∈ H, α, β ∈ K ta co ´
ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y),. hϕ(x), ϕ(y)i = hx, yi T` u. d¯iˆe
`u kiˆe.n ba’o toa`n tı´ch vˆo hu.´o.ng, lˆa´y x = y ta co´ ∀ x ∈ H, kϕ(x)k = kxk Nhu. vˆ
a.y, nˆe´u ϕ la` phe´p d¯˘a’ng cˆa´u ca´c khˆong gian tiˆe `n Hilbert thı` no ´ cu ˜ ng la` phe ´ p d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe
´n tı´nh gi˜u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n tu.o.ng ´u.ng. Hai khˆong gian tiˆe `n Hilbert d¯u.o. . c go.i la ` d¯˘ a’ng cˆ a´u v´ o.i nhau nˆe ´u tˆo
`n ta.i mˆo.t phe´p d¯˘a’ng cˆa´u t` u. khˆ ong gian na `y lˆen khˆ ong gian kia. 2.5.2 D
- i.nh ly´. Nˆe´u hai khˆong gian Hilbert co´ cu`ng sˆo´ chiˆe`u h˜u.u ha.n ho˘a.c cu `ng vˆ o ha.n chiˆe
`u va` kha’ ly thı` chu ´ng d¯˘ a’ng cˆ a´u v´ o.i nhau. Nhu. vˆ
a.y mo.i khˆong gian Hilbert kha’ ly vˆo ha.n chiˆe `u d¯ˆe
`u d¯˘a’ng cˆa´u v´o.i khˆong gian l2 hay khˆ ong gian L2[0, 2π]. Ch´ u.ng minh. Ta ch´
u.ng minh d¯i.nh ly´ cho tru.`o.ng ho..p hai khˆong gian Hilbert H va ` H0 cu `ng kha’ ly va ` vˆ o ha.n chiˆe
`u. Tru.`o.ng ho..p h˜u.u ha.n chiˆe `u d¯u.o..c ch´u.ng minh tu.o.ng tu. . . Vı` H va ` H0 cu `ng kha’ ly nˆen tˆ o
`n ta.i ca´c co. so.’ tru..c chuˆa’n {e1, e2, . . . , } va` {e01, e02, . . . } lˆa `n lu.o..t trong H va` H0. ∞ V´ o.i mˆ
o˜i x ∈ H ta biˆe’u diˆe˜n qua chuˆo˜i Fourier x = P hx, enien va` co ´ d¯u.o. . c n=1 ∞ ∞ kxk2 = P |hx, e P ni|2 < +∞. Theo d
¯i.nh ly´ Riesz-Fischer chuˆo˜i hx, enie0n hˆo.i tu. n=1 n=1 vˆe
` vecto. x0 ∈ H va` hx0, e0ni = hx, eni. D
- ˘a.t a´nh xa. ϕ : H → H0 xa´c d¯i.nh nhu. sau: ∞ ∞ X X H 3 x = hx, enien 7→ ϕ(x) = x0 = hx, enie0n ∈ H0. n=1 n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 92 T` u. tı´nh chˆ a´t cu’a co. so.
’ tru..c chuˆa’n va` d¯i.nh ly´ Riesz-Fischer suy ra ngay ϕ la ` mˆ
o.t song a´nh tuyˆe´n tı´nh. Ngoa`i ra v´o.i mo.i x, y ∈ H ta co´ ∞ ∞ X X hϕ(x), ϕ(y)i = hx, e nie0n, hy, enie0n n=1 n=1 ∞ X = hx, eni hy, eni = hx, yi. n=1 Vˆ
a.y ϕ la` mˆo.t phe´p d¯˘a’ng cˆa´u gi˜u.a H va` H0. B ` AI T ˆ A . P §1 v` a §2. 1. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng trong khˆong gian tiˆe
` n Hilbert H, c´ac vecto. x, y ∈ H tru. . c giao v´
o.i nhau khi v`a chı’ khi kλxk2 + kµyk2 = kλx + µyk2, v´o.i mo.i λ, µ ∈ K.
2. Cho (xn)n, (yn)n l`a hai d˜ay trong h`ınh cˆa
` u d¯o.n vi. d¯´ong cu’a khˆong gian tiˆe
` n Hilbert H thoa’ m˜an d¯iˆe
` u kiˆe.n lim hxn, yni = 1. Ch´u.ng minh n→∞ a. lim kxnk = lim kynk = 1. n n b. lim kxn − ynk = 0. n 3. Cho M l` a tˆ
a.p con kh´ac trˆo´ng trong khˆong gian Hilbert. Ch´u.ng minh a. M ⊂ M ⊂ (M ⊥)⊥. b. Nˆe´u M l` a khˆ
ong gian con cu’a H th`ı (M ⊥)⊥ = M . 4. Ch´ u.ng minh khˆ ong gian CL gˆ o `m c´ac h`am thu. [0,1]
. c liˆen tu.c trˆen [0, 1] l` a mˆ o.t khˆong gian tiˆe
` n Hilbert v´o.i t´ıch vˆo hu.´o.ng Z 1 hf, gi = f (x)g(x)dx, f, g ∈ CL [0,1] 0 nhu.ng khˆong pha’i l` a khˆ ong gian Hilbert. 5. Gia’ su.
’ H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert v`a f ∈ H∗, f 6= 0. K´y hiˆe.u
M = Kerf = {x ∈ H : f (x) = 0}. Ch´ u.ng minh M ⊥ l` a khˆ ong gian con mˆ o.t chiˆe ` u cu’a H. 6. Gia’ su.
’ L l`a mˆo.t khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆong gian Hilbert H v`a x ∈ H. Ch´ u.ng minh
a. min{kx − uk : u ∈ L} = max {|hx, yi| : y ∈ L⊥, kyk = 1}. b. D - iˆe
` u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ d¯ˆe’ x ∈ L⊥ l`a kxk ≤ kx − uk v´o.i mo.i u ∈ L.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 93 7. Cho M va ` N la ` hai khˆ ong gian con d¯o ´ ng cu’a khˆ ong gian Hilbert H sao
cho M ⊥N. Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo’ng M + N cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ng cu’a H. 8. Gia’ su.
’ {en}n∈N l`a mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆong gian Hilbert H. Ch´u.ng minh r˘ a
`ng {en}n∈N l`a tˆa.p d¯´ong, bi. ch˘a.n nhu.ng khˆong compact. Suy ra H khˆong compact d¯i.a phu.o.ng. 9. Gia’ su.
’ H l`a khˆong gian Hilbert, A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh t`u. H v`ao H thoa’ m˜
an hAx, yi = hx, Axi v´o.i mo.i x, y ∈ H. Ch´u.ng minh A liˆen tu.c. 10. Gia’ su.
’ {en}n l`a mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n cu’a khˆong gian Hilbert, Pn(x) = n
P hx, ekiek, x ∈ H, n = 1, 2 . . . l`a d˜ay c´ac ph´ep chiˆe´u tru..c giao. Ch´u.ng minh k=1
{Pn} hˆo.i tu. d¯iˆe’m d¯ˆe´n to´an tu.’ d¯ˆo
`ng nhˆa´t I trˆen H nhu.ng khˆong hˆo.i tu. theo chuˆa’n d¯ˆe´n I. 11. Gia’ su.
’ {en}n l`a mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n trong khˆong gian Hilbert H, (λn) l`a mˆ
o.t d˜ay sˆo´ bi. ch˘a.n. Ch´u.ng minh: ∞ a. Chuˆ
o˜i P λnhx, enien hˆo.i tu. v´o.i mo.i x ∈ H. n=1 ∞ b. To´ an tu.
’ Ax = P λnhx, enien, x ∈ H l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. T´ınh n=1 kAk. 12. Gia’ su.
’ M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian Hilbert H, A : M → Y l` a mˆ
o.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u. M v`ao khˆong gian Banach Y. Ch´u.ng minh r˘ a `ng tˆo
`n ta.i mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c ˜ A : H → Y sao cho ˜ A = A v` a M k ˜ Ak = kAk. §3. KH ˆ ONG GIAN LIˆ EN HIˆ E.P 3.1. Phiˆ e ´m ha `m tuyˆ e ´n tı´nh liˆ
en tu.c trˆen khˆong gian Hilbert Gia’ su.
’ H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. Khi ˆa´y H cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n, vı` vˆ
a.y ta se˜ quan tˆam d¯ˆe´n cˆa´u tru´c khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a no´ t´u.c la`
H∗ = L(H, K). Sau d¯ˆay la` d¯i.nh ly´ nˆeu lˆen d¯˘a.c tru.ng cu’a mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n
tı´nh liˆen tu.c trˆen khˆong gian Hilbert. 3.3.1 D
- i.nh ly´. (F. Riesz) Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. V´o.i mˆo˜i a ∈ H ta d¯˘ a.t fa : H → K, fa(x) = hx, ai, ∀ x ∈ H
thı` fa la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c trˆen H va` kfak = kak.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 94 Ngu.o. . c la.i v´ o.i mˆ o˜i phiˆe
´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c f ∈ H∗ d¯ˆe `u tˆo `n ta.i duy nhˆ
a´t a ∈ H sao cho f = fa, nghı˜a la` ∀ x ∈ H, f (x) = hx, ai. Ch´ u.ng minh. T` u. tı´nh chˆ a´t cu’a tı´ch vˆo hu.´ o.ng, ta thˆ
a´y fa la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆe
´n tı´nh. Ngoa`i ra bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz cho ta
∀ x ∈ H : |fa(x)| = |hx, ai| ≤ kak kxk |f nˆen f a(a)| a ∈ H∗ va
` kfak ≤ kak. Nˆe´u a 6= 0 ta co ´ kfak ≥ = kak nˆen kak
kfak = kak kˆe’ ca’ tru.`o.ng ho..p a = 0. Ngu.o.
. c la.i, cho f ∈ H∗, ta ky
´ hiˆe.u M =Kerf = f−1(0) la` mˆo.t khˆong gian con d¯o ´ ng cu’a H. Nˆe
´u f = 0 thı` cho.n a = 0. Nˆe´u f 6= 0 thı` M $ H. Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe
´u tru..c giao ta viˆe´t H = M ⊕M⊥ trong d¯o´ M⊥ 6= {0}. Lˆa´y e ∈ M⊥ \{0}
thı` f (e) 6= 0. V´o.i mo.i x ∈ H, d¯ˆe’ y´ r˘a`ng vecto. y = f(e)x − f(x)e ∈ M = Kerf vı`
f (y) = f (e)f (x) − f (x)f (e) = 0. Vˆa.y hy, ei = 0 hay hf(e)x − f(x)e, ei = 0. T`u. d¯ˆ ay suy ra f (e)
hf (e)x, ei = f (x)kek2 hay f (x) = x, e. kek2 f (e) D - ˘a.t a = e ta co ´ f (x) = hx, ai = f kek2 a(x) v´
o.i mo.i x ∈ H. Nˆe´u co´ vecto. a0 ∈
H sao cho f (x) = hx, a0i, ∀x ∈ H thı` hx, ai = hx, a0i hay hx, a − a0i = 0, ∀x ∈ H. Lˆ a´y x = a − a0 ta co
´ ha − a0, a − a0i = 0 nˆen a = a0. D
- i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. 3.2 Khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p. D
- i.nh ly´ Riesz no´i lˆen r˘a`ng ta co´ thˆe’ thiˆe´t lˆa.p mˆo.t song a´nh gi˜u.a H va` H∗. Thˆ a.t vˆa.y, d¯˘a.t ϕ : H → H∗ a 7→ ϕ(a) = fa, trong d¯o
´ fa d¯u.o..c xa´c d¯i.nh nhu. trˆen. V´
o.i mo.i a, b, x ∈ H va` α ∈ K ta co´
ϕ(a + b)(x) =fa+b(x) = hx, a + bi
= hx, ai + hx, bi = fa(x) + fb(x), = (ϕ(a) + ϕ(b))(x)
ϕ(αa)(x) = fαa(x) = hx, αai .
= αhx, ai = αfa(x) = αϕ(a)(x)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 95 T` u. d¯o ´ ta co
´ ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) va ` ϕ(αa) = αϕ(a). Ngoa `i ra, theo d¯i.nh ly´ Riesz ta co
´ kϕ(a)k = kfak = kak v´o.i mo.i a ∈ H. Nhu. vˆ
a.y nˆe´u K la` tru.`o.ng sˆo´ thu..c R thı` ϕ : H → H∗ la` song a´nh, tuyˆe´n tı´nh ba’o toa `n chuˆ a’n hay ϕ la ` mˆ
o.t phe´p d¯˘a’ng cu.. tuyˆe´n tı´nh gi˜u.a hai khˆong gian
d¯i.nh chuˆa’n H va` H∗; co`n nˆe´u K = C thı` ϕ la` cˆo.ng tı´nh nhu.ng khˆong thuˆa `n nhˆa´t (“thuˆ a
`n nhˆa´t lˆe.ch”: ϕ(αa) = αϕ(a)) nhu.ng d¯ˆo. sai lˆe.ch co´ thˆe’ kiˆe’m soa´t d¯u.o..c nˆen cho phe ´ p ta chuyˆe’n t` u. viˆe.c d¯ˆo
`ng nhˆa´t H v´o.i H∗ theo nghı˜a d¯˘a’ng cu.. gi˜u.a hai khˆ ong gian mˆetric sang d¯˘ a’ng cu. . tuyˆe
´n tı´nh gi˜u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´ o.i su. . d¯ˆe ` pho`ng thı´ch d¯a ´ ng cho tı´nh “thuˆ a
`n nhˆa´t lˆe.ch” no´i trˆen. 3.3 Su. . hˆ
o.i tu. yˆe´u trong khˆong gian Hilbert.
Cho (xn)n la` mˆo.t da˜y trong khˆong gian Hilbert H. Ta d¯a˜ g˘a.p kha´i niˆe.m hˆo.i
tu. yˆe´u cu’a (xn)n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n o.’ chu.o.ng I. Nh`o. d¯i.nh ly´ Riesz, ta co ´ thˆe’ pha
´ t biˆe’u la.i d¯i.nh nghı˜a na`y trong khˆong gian Hilbert nhu. sau: Da
˜ y (xn)n ⊂ H d¯u.o..c go.i la` hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x ∈ H nˆe´u mo.i y ∈ H ta co´ lim hx w n, yi = hx, yi. Ta vˆ a˜n du `ng ky
´ hiˆe.u xn → x khi n → ∞. n→∞ Tı ´nh chˆ a´t. Cho H la ` mˆ
o.t khˆong gian Hilbert. Ta co´ a) Nˆe
´u (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x va` (yn)n hˆo.i tu. ma.nh (hˆo.i tu. theo chuˆa’n) d¯ˆe´n
y thı` hxn, yni → hx, yi, n → ∞. b) Nˆe
´u (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x va` (kxnk)n hˆo.i tu. vˆe
` kxk thı` (xn)n hˆo.i tu. theo chuˆ a’n vˆe ` x. Ch´ u.ng minh.
a) Do (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u ve` x nˆen (xn)n bi. ch˘a.n nghı˜a la` tˆo `n ta.i sˆo´ α > 0 sao
cho kxnk ≤ α v´o.i mo.i n ∈ N. Ta co´
|hxn, yni − hx, yi| ≤ |hxn, yni| − |hxn, yi| + |hxn, yi − hx, yi|
≤ kxnk kyn − yk + |hxn, yi − hx, yi|
≤ αkyn − yk + |hxn, yi − hx, yi| Do ky w n − yk → 0 va
` xn → x nˆen lˆa´y gi´o.i ha.n 2 vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen khi n → ∞ ta co
´ |hxn, yni − hx, yi| → 0 hay lim hxn, yni = hx, yi. n→∞ b) V´ o.i mo.i n ∈ N ta co´
kxn − xk2 = hxn − x, xn − xi = kxnk2 − hxn, xi − hx, xni + kxk2.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 96 Theo gia’ thiˆe ´t ta co
´ kxnk → kxk va` lim hxn, xi = hx, xi = kxk2 = lim hx, xni. n→∞ n→∞ Do d¯o ´ cho n tiˆe ´n vˆe
` vˆo cu`ng trong d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta d¯u.o..c lim xn = x. n→∞ . §4. TO ´ AN TU’ LIˆ EN HIˆ E.P TRONG KH ˆ ONG GIAN HILBERT 4.1 D
- i.nh nghı˜a va` ca´c tı´nh chˆa´t. Ta nh´
o. la.i r˘a`ng nˆe´u X va` Y la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` A ∈ L(X, Y ) la ` mˆ
o.t toa´n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c thı` toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ ∈ L(Y ∗, X∗) d¯u.o..c
d¯i.nh nghı˜a bo.’i: ∀ y∗ ∈ Y ∗ : A∗y∗ = y∗ ◦ A. Nhu. vˆa.y ta co´:
∀ y∗ ∈ Y ∗, ∀ x ∈ X, (A∗y∗)(x) = y∗(Ax). (4.1) Toa ´ n tu.
’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n co´ ca´c tı´nh chˆa´t sau: a) (A + B)∗ = A∗ + B∗, b) (αA)∗ = αA∗,
c) (C ◦ A)∗ = A∗ ◦ C∗, v´
o.i mo.i A, B ∈ L(X, Y ), α ∈ K va` C ∈ (Y, Z). Bˆ ay gi` o. cho X va ` Y la ` hai khˆ ong gian Hilbert. T` u. viˆe.c d¯ˆo `ng nhˆa´t X = X∗, Y = Y ∗ va ` v´
o.i a ∈ X = X∗, a(x) = hx, ai, ∀ x ∈ X, khi ˆa´y d¯˘a’ng th´u.c (4.1) xa
´ c d¯i.nh toa´n A∗ d¯u.o..c viˆe´t la.i tha`nh:
∀ x ∈ X, y ∈ Y : hx, A∗yi = hAx, yi. (4.2) D
- ˆo´i v´o.i toa´n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c gi˜u.a ca´c khˆong gian Hilbert, ta luˆon du`ng d¯˘ a’ng th´
u.c (4.2) d¯ˆe’ tı´nh toa ´ n A∗. Chu ´ y ´ r˘a `ng ca ´ c tı´nh chˆ a´t a), c) cu’a toa ´ n tu.
’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert giˆ o´ng v´ o.i toa ´ n tu.
’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Riˆeng tı´nh chˆ a´t b) thı` thay d¯ˆ o’i tha `nh (αA)∗ = αA∗ la ` do tı´nh chˆ a´t “thuˆ a `n nhˆa´t lˆe.ch” khi d¯ˆ o
`ng nhˆa´t X = X∗, Y = Y ∗. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x ∈ X, y ∈ Y ta co´
hx, (αA)∗yi = h(αA)x, yi = αhAx, yi
= αhx, A∗yi = hx, (αA∗y)i. Vˆ a.y (αA)∗ = αA∗. Vı
´ du. 1. Xe´t H la` khˆong gian Hilbert ph´u.c Cn. Ky´ hiˆe.u E = {e1, e2, . . . , en}, trong d¯o
´ ei = (0, . . . , 0, 1i, 0, . . . , 0) ∈ Cn la` co. so.’ chı´nh t˘a´c cu’a Cn. Cho A ∈ L(Cn). Khi d¯o ´ v´ o.i co. so. ’ E toa ´ n tu. ’ A co
´ ma trˆa.n (aij), i, j = 1, . . . , n. Go.i
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 97
(bij)i, j = 1, . . . , n la` ma trˆa.n cu’a toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗. Theo cˆong th´u.c (4.2), v´o.i n n mˆ
o˜i k, j = 1, 2, . . . , n ta co ´ Ae P P k = aikei, A∗ej = bljel, nˆen t`u. i=1 l=1 hAek, eji = hek, A∗eji n n ta suy ra a P P jk = aikei, ej = ek, bljel = bkj. i=1 l=1 Vˆ
a.y bkj = ajk nghı˜a la` ma trˆa.n cu’a toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ d¯u.o..c suy t`u. ma
trˆa.n cu’a A b˘a`ng ca´ch lˆa´y liˆen hiˆe.p ca´c sˆo´ ha.ng cu’a ma trˆa.n A rˆo `i chuyˆe’n vi.. Vı
´ du. 2. Cho ha`m thu..c 2 biˆe´n K(x, y) ∈ L2([a, b] × [a, b]) t´u.c la` R
[a,b]2 |K (t, s)|2dtds < +∞. D
- ˘a.t A : L2[a, b] → L2[a, b] xa´c d¯inh bo.’i cˆong th´u.c Z ∀ x ∈ L2[a, b], (Ax)(t) = K(t, s)x(s)ds, v´ o.i mo.i t ∈ [a, b]. [a,b] Theo tı´nh chˆ a´t cu’a tı´ch phˆ an ta thˆ a´y A la ` mˆ
o.t a´nh xa. tuyˆe´n tı´nh. ´ Ap du.ng bˆa´t d¯˘ a’ng th´ u.c Holder ta co ´ : Z Z 2 2 K(t, s)x(s)ds ≤ |K(t, s)x(s)|ds [a,b] [a,b] Z Z ≤ |K(t, s)|2ds |x(s)|2ds. [a,b] [a,b] Do vˆ
a.y, v´o.i mo.i x ∈ L2[a, b] ta d¯a´nh gia´ nhu. sau: Z Z 2 kAxk2 = K(t, s)x(s)ds dt [a,b] [a,b] Z Z Z ≤ ( |K(t, s)|2ds)dt |x(s)|2ds. [a,b] [a,b] [a,b] Z Z 1/2 Nhu. vˆ ay A liˆen tu.c va` kAk ≤ |K(t, x)|2dsdt . [a,b] [a,b] D
- ˆe’ xa´c d¯i.nh toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ : L2[a, b] → L2[a, b] ta du`ng d¯˘a’ng th´u.c (4.2) nhu. sau:
∀ x, y ∈ L2[a, b] : hx, A∗yi = hAx, yi, t´u.c la`: Z Z Z hx, A∗yi = (Ax)(t)y(t)dt = K(t, s)x(s)ds y(t)dt [a,b] [a,b] [a,b] Z Z = x(s) K(t, s)y(t)dt ds [a,b] [a,b]
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 98 Z T` u. d¯o ´ suy ra (A∗y)(s) =
K(t, s)y(t)dt, ∀ y ∈ L2[a, b]. [a,b] 4.1.1 D
- i.nh ly´. Cho X, Y la` hai khˆong gian Hilbert va` A ∈ L(X, Y ). Khi d¯o ´ ta co ´
X = Ker A ⊕ Im A∗, Y = Ker A∗ ⊕ Im A. Ch´ u.ng minh. Do A la ` toa ´ n tu.
’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c nˆen KerA la` mˆo.t khˆong gian con d¯o
´ ng cu’a X. Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆe´u tru..c giao ta co´ X = KerA⊕(KerA)⊥ nˆen chı’ cˆ a
`n ch´u.ng minh (KerA)⊥ = ImA∗. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x ∈ ImA∗ thı` tˆ o
`n ta.i mˆo.t da˜y (yn)n ⊂ Y sao cho lim A∗yn = x. V´o.i mo.i u ∈ KerA, ta co´ n→∞
hx, ui = h lim A∗yn, ui = lim hA∗yn, ui = lim hyn, Aui = lim 0 = 0. Vˆa.y n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
x ∈ (KerA)⊥ hay (KerA)⊥ ⊃ ImA∗. Ngu.o. . c la.i gia’ su. ’ x / ∈ ImA∗ khi d¯o
´ theo d¯i.nh ly´ Hahn-Banach va` d¯i.nh ly´ Riesz, tˆ o
`n ta.i a ∈ X sao cho hx, ai = kxk 6= 0 va` hz, ai = 0 v´o.i mo.i z ∈ ImA∗; d¯˘
a.c biˆe.t v´o.i mo.i y ∈ Y thı` hA∗y, ai = 0 hay hy, Aai = 0. Lˆa´y y = Aa thı` suy ra
Aa = 0 nˆen a ∈ KerA. Vˆa.y x /
∈ (KerA)⊥ vı` theo trˆen x khˆong tru..c giao v´o.i a. Nhu. thˆe ´ (KerA)⊥ ⊂ ImA∗. Vˆ a.y phˆa
`n th´u. nhˆa´t cu’a d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. Phˆa`n th´u. hai ch´u.ng minh tu.o.ng tu. . ho˘
a.c thay A b˘a`ng A∗ va` d¯ˆe’ y´ r˘a`ng A∗∗ = A. 4.2 Toa ´ n tu. ’ tu. . liˆ en hiˆ e.p. Cho H la ` khˆ ong gian Hilbert va ` A ∈ L(H). Lu ´ c d¯o ´ toa ´ n tu. ’ liˆen hiˆe.p A∗ cu˜ng thuˆ
o.c L(H). Nˆe´u A = A∗ thı` ta go.i A la` toa´n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p. No´i ca´ch kha´c, toa ´ n tu.
’ A ∈ L(H) d¯u.o..c go.i la` tu.. liˆen hiˆe.p nˆe´u v´o.i mo.i x, y ∈ H ta co´ hx, Ayi = hAx, yi. Vı ´ du.. D
- ˆe’ y´ r˘a`ng o.’ vı´ du. 1, toa´n tu.’ A la` tu.. liˆen hiˆe.p khi va` chı’ khi aij = bij v´
o.i mo.i i, j = 1, . . . , n t´u.c la` aij = aji, i, j = 1, . . . , n.
Trong vı´ du. 2, A la` tu.. liˆen hiˆe.p khi va` chı’ khi K(t, s) = K(s, t) hˆa `u kh˘a´p no.i trong [a, b] × [a, b]. D
- ˆo´i v´o.i toa´n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert ta co`n co´ cˆong th´u.c tı´nh chuˆ a’n nhu. sau: 4.2.1 D
- i.nh ly´. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert va` A ∈ L(H) la` mˆo.t toa´n tu. ’ tu.
. liˆen hiˆe.p. Khi d¯o ´ kAk = sup {|hAx, xi|}. kxk=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 99 Ch´ u.ng minh. V´
o.i mo.i x ∈ H ma` kxk = 1, a´p du.ng d¯ˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz ta co ´ |hAx, xi| ≤ kAk kxk2 = kAk Do d¯o ´
α = sup |hAx, xi| ≤ kAk < +∞. kxk=1 x x x V´ o.i mo.i x 6= 0 ta co´ = 1 nˆen |hA( ), i| ≤ α. Suy ra v´o.i mo kxk kxk kxk . i x ∈ H ta co ´ |hAx, xi| ≤ αkxk2. V´ o.i mo.i x, y ∈ H ta co´:
hA(x + y), x + yi − hA(x − y), x − yi = 2 hAx, yi + hAy, xi . M˘
a.t kha´c, do hAy, xi = hy, Axi = hAx, yi nˆen
|2RehAx, yi| = |hAx, yi + hAx, yi| = |hAx, yi + hAy, xi| Vˆ a.y
4|RehAx, yi| = |hA(x + y), x + yi − hA(x − y), x − yi|
≤ α kx + yk2 + kx − yk2 = 2α kxk2 + kyk2. Ax V´
o.i x ∈ H ma` kxk = 1, nˆe´u Ax 6= 0, ta d¯˘a.t y = , khi d¯o ´ kyk = 1. Thay kAxk x, y va `o bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c trˆen va ` ru
´ t go.n ta d¯u.o..c kAxk ≤ α. T`u. cˆong th´u.c tı´nh chuˆ a’n ta suy ra kAk = sup kAxk ≤ α. kxk=1 Vˆ
a.y kAk = α = sup {|hAx, xi|} va` d¯i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh. kxk=1 Sau cu `ng ta xe ´ t mˆ
o.t tı´nh chˆa´t cu’a toa´n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p ma` no´ chı’ d¯u´ng trong khˆ ong gian Hilbert ph´ u.c. 4.2.2 D
- i.nh ly´. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert ph´u.c va` A ∈ L(H). D-iˆe`u kiˆe.n cˆa
`n va` d¯u’ d¯ˆe’ A tu. . liˆen hiˆe.p la
` hAx, xi ∈ R v´o.i mo.i x ∈ H. Ch´ u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 100 • D - iˆe
`u kiˆe.n cˆa`n. Gia’ su.’ A = A∗, khi d¯o´ v´o.i mo.i x ∈ H ta co´ hAx, xi = hx, Axi = hAx, xi. Vˆ a.y hAx, xi ∈ R. • D - iˆe
`u kiˆe.n d¯u’. Cho x, y ∈ H. D
- ˘a.t a = hAx, xi, b = hAy, yi, c = hA(x +
y), x + yi, d = hA(x + iy), x + iyi. Theo gia’ thiˆe´t ta co ´ a, b, c, d ∈ R. Ngoa`i ra
c = hAx, xi + hAy, yi + hAx, yi + hAy, xi = a + b + hAx, yi + hAy, xi Tu.o.ng tu.
. , d = a + b − ihAx, yi + ihAy, xi. T` u. d¯o ´ suy ra
hAx, yi + hAy, xi = c − (a + b) = u ∈ R,
−ihAx, yi + ihAy, xi = d − (a + b) = v ∈ R. Nhu. vˆ
a.y u + iv = 2hAx, yi, u − iv = 2hAy, xi nˆen hAx, yi = Ay, xi = hx, Ayi.
Theo d¯i.nh nghı˜a, ta co´ A = A∗. B ` AI T ˆ A . P §3 v` a §4. 1. Gia’ su.
’ M l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆong gian Hilbert H v`a x∗ l`a phiˆe´m h`
am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen M. Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo `n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am
tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c duy nhˆa´t ˜x trˆen H sao cho ˜x|M = x∗ v`a kx∗k = k˜xk. 2. Gia’ su.
’ (ajk), j, k = 1, 2, . . . l`a mˆo.t ma trˆa.n vˆo ha.n v´o.i ajk l`a nh˜u.ng sˆo´ ∞ ∞ ph´ u.c thoa’ m˜ an d¯iˆe ` u kiˆe P P . n
|ajk|2 < ∞. Ta x´ac d¯i.nh ´anh xa. A : l2 → l2 nhu. j=1k=1 sau: v´
o.i x = (ξj)j ∈ l2, Ax = (ηj)j trong d¯´o ∞ X ηj = ajkξk, j = 1, 2, . . . k=1 a. Ch´ u.ng minh A l` a to´ an tu.
’ liˆen tu.c tu.’ l2 v`ao l2. b. X´
ac d¯i.nh to´an tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ cu’a A. Nˆeu d¯iˆe
` u kiˆe.n d¯ˆe’ A l`a to´an tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p. 3. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng to´an tu.’ A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x´ac d¯i.nh bo.’i cˆong th´u.c Z t Ax(t) = x(s)ds, t ∈ [0, 1] 0
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 101 l` a to´ an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. T`ım to´an tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ cu’a A. 4. T`ım to´ an tu.
’ liˆen hiˆe.p cu’a to´an tu.’ A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x´ac d¯i.nh bo.’i Z t Ax(t) = tx(s)ds, t ∈ [0, 1]. 0 5. Gia’ su.
’ H l`a khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p.
A go.i l`a mˆo.t to´an tu.’ du.o.ng nˆe´u hAx, xi ≥ 0 v´o.i mo.i x ∈ H. Ch´u.ng minh ph´ep chiˆe´u tru. . c giao lˆen khˆ ong gian con d¯´ ong cu’a mˆ
o.t khˆong gian Hilbert l`a mˆo.t to´an tu. ’ du.o.ng.
6. Cho a = (an) l`a mˆo.t d˜ay sˆo´ ph´u.c bi. ch˘a.n v`a A : l2 → l2 l`a mˆo.t to´an tu.’ x´ ac d¯i.nh nhu. sau:
x = (ξn)n ∈ l2, Ax = (anξn)n. a. Ch´
u.ng minh A ∈ L(l2). T´ınh kAk. b. X´
ac d¯i.nh to´an tu.’ liˆen hiˆe.p A∗. Khi n`ao th`ı to´an tu.’ A tu.. liˆen hiˆe.p. c. H˜
ay cho.n a = (an)n sao cho A l`a to´an tu.’ c´o to´an tu.’ ngu.o..c liˆen tu.c; A l`a to´an tu. ’ du.o.ng. 7. Gia’ su.
’ (En)n l`a mˆo.t d˜ay gia’m c´ac tˆa.p lˆo`i, d¯´ong trong khˆong gian Hilbert H. V´
o.i mo.i x ∈ H, ta k´y hiˆe.u dn(x) l`a khoa’ng c´ach t`u. x d¯ˆe´n En. D - ˘a.t d(x) = lim dn(x). n→∞ a. Ch´ u.ng minh r˘a
`ng nˆe´u v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t x ∈ H sao cho d(x) l`a h˜u.u ha.n th`ı d(x) h˜
u.u ha.n v´o.i mo.i x ∈ H. T`u. d¯ˆay vˆe
` sau ta gia’ thiˆe´t nhu. vˆa.y. K´y hiˆe.u
A(x, , n) = En ∩ B0(x, d(x) + ) trong d¯´o > 0, B0(x, d(x) + ) l`a h`ınh cˆa ` u d¯´ong tˆ am x, b´ an k´ınh d(x) + . b. Ch´ u.ng minh r˘a
`ng khi tiˆe´n d¯ˆe´n 0 v`a n tiˆe´n d¯ˆe´n vˆo tˆa.n, d¯u.`o.ng k´ınh cu’a
A(x, , n) tiˆe´n d¯ˆe´n 0. ∞ c. T` u. d¯´
o suy ra E = ∩ En 6= ∅ v`a d(x) = d(x, E). n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 102 Chu.o.ng 5 . ’ . TO ´ AN TU ’ COMPACT V ` A PH ˆ O CU ’ A TO ´ AN TU ’ . §1. TO ´ AN TU’ COMPACT. Gia’ su.
’ X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Trong tˆa.p ho..p L(X, Y ) c´o mˆo.t l´ o.p c´ ac to´ an tu.
’ c´o t´ınh chˆa´t d¯˘a.c biˆe.t, kha´ gˆa`n g˜ui v´o.i to´an tu.’ liˆen tu.c t`u. khˆong
gian d¯i.nh chuˆa’n X v`ao mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha.n chiˆe ` u. 1.1 D
- i.nh ngh˜ıa. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. To´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh A : X → Y d¯u.o. . c go.i l` a to´an tu.
’ compact (hay ho`an to`an liˆen tu.c) nˆe´u A ´anh xa. h`ınh cˆ a
` u d¯o.n vi. B0(0, 1) cu’a X th`anh mˆo.t tˆa.p compact tu.o.ng d¯ˆo´i trong Y. 1.2 C´ ac nhˆ a . n x´ et. 1. Gia’ su.
’ A : X → Y l`a mˆo.t toa´n tu.’ tuyˆe´n tı´nh. Lu´c d¯o´ A la` toa´n tu.’ compact khi va
` chı’ khi A biˆe
´n mˆo˜i tˆa.p ho..p bi. ch˘a.n trong X tha`nh tˆa.p compact tu.o.ng d¯ˆ o´i trong Y. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ A la` mˆo.t toa´n tu.’ compact va` M la` mˆo.t tˆa.p bi. ch˘a.n trong X. Khi ˆ a´y co ´ α > 0 sao cho v´
o.i mo.i x ∈ M thı` kxk ≤ α. Cho (yn)n l` a mˆ
o.t d˜ay tuy` y´ trong A(M). L´uc d¯´o tˆo
`n ta.i xn ∈ M d¯ˆe’ yn = Axn. Vı` d˜ay x y x y ( n ) n = A( n ) mˆo nk hˆo α n ⊂ B0(0, 1) nˆen co ´ thˆe’ trı´ch ra t` u. d˜ ay α α . t d˜ ay con α .i tu. d¯ˆe
´n y0 ∈ Y. Khi d¯´o yn → αy k 0 ∈ Y. Vˆ
a.y A(M) l`a tˆa.p compact tu.o.ng d¯ˆo´i. D - iˆe `u ngu.o. . c la.i la ` ro ˜ ra`ng.
2. A compact th`ı A liˆen tu.c. Thˆ
a.t vˆa.y, v`ı tˆa.p A(B0(0, 1)) ⊂ Y compact tu.o.ng d¯ˆo´i nˆen n´o bi. ch˘a.n, ngh˜ıa l` a sup kAxk < ∞. Vˆ a.y A liˆen tu.c. kxk≤1 3. Nˆe´u khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n Y h˜u.u ha.n chiˆe
` u v`a A ∈ L(X, Y ) th`ı A compact. D
- ´o l`a v`ı mo.i tˆa.p ho..p bi. ch˘a.n trong khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe`u l`a compact tu.o.ng d¯ˆ o´i. 4. To´ an tu. ’ d¯ˆo
`ng nhˆa´t I = id: X → X l`a compact khi v`a chı’ khi X h˜u.u ha.n chiˆe ` u.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 103 D - iˆe
` u n`ay suy ra t`u. kˆe´t qua’ cu’a D - i.nh l´y 4.6 Chu.o.ng 1. 5. To´ an tu.
’ tuyˆe´n tı´nh A ∈ L(X, Y ) d¯u.o..c go.i l`a toa´n tu.’ h˜uu ha.n chiˆe ` u nˆe´u Im A = A(X) l` a mˆ
o.t khˆong gian con h˜u.u ha.n chiˆe
` u cu’a Y. Nhu. vˆa.y nˆe´u A ∈ L(X, Y ) va ` h˜ u.u ha.n chiˆe
` u th`ı A compact. 1.3 C´ ac t´ınh chˆ a´t co. ba’n. 1.3.1. D
- i.nh l´y. Cho X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v`a A : X → Y l`a to´ an tu.
’ compact. Nˆe´u d˜ay (xn)n ⊂ X hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x0 trong X th`ı d˜ay (Axn)n hˆ
o.i tu. ma.nh (hˆo.i tu. theo chuˆa’n) d¯ˆe´n Ax0 trong Y . w Ch´
u.ng minh. Cho xn → x0 v`a d¯˘a.t yn = Axn, y0 = Ax0. Gia’ su.’ yn khˆong hˆo.i tu. vˆe ` y0. Khi d¯´o tˆo
`n ta.i > 0 v`a d˜ay con (yn ) − y k k cu ’a (yn)n sao cho kynk 0k ≥ . w
V`ı xn → x0 nˆen tˆa.p {xn, n ∈ N} bi. ch˘a.n. Theo Nhˆa.n x´et 1, tˆa.p {yn , k ∈ k
N} = {A(xn ), k ∈ N} compact tu.o.ng d¯ˆo´i nˆen c´o d˜ay con (y ) ) k nk l cu ’a (yn k m`a l k yn → z k 0 ∈ Y v´
o.i kz0 − y0k ≥ . Nhu.ng theo 5.2.1 va` 5.2.3 Chu.o.ng 2, ta c´o l y w w n → z = Ax → y k 0 v` a yn n 0 nˆ en z0 = y0. D - iˆe
` u mˆau thuˆa˜n n`ay cho ta kˆe´t l kl kl th´ uc viˆe.c ch´u.ng minh. 1.3.2 D
- i.nh l´y. Cho X, Y, Z, V l`a c´ac khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, A : X → Y l` a to´ an tu.
’ compact, B ∈ L(Y, Z) v`a C ∈ L(V, X). L´uc d¯´o c´ac to´an tu. ’ B ◦ A v`a A ◦ C l` a c´ ac to´ an tu. ’ compact. Ch´ u.ng minh. K´ y hiˆe.u S l`a h`ınh cˆa
` u d¯o.n vi. trong X. L´uc d¯´o A(S) l`a tˆa.p
compact trong Y. Do B liˆen tu.c nˆen ´anh xa. tˆa.p compact A(S) th`anh tˆa.p com-
pact B(A(S)). Suy ra B(A(S)) l` a tˆ
a.p compact tu.o.ng d¯ˆo´i v`ı n´o ch´u.a trong tˆa.p B(A(S)). Vˆ
a.y to´an tu.’ B ◦ A l`a compact. Ch´u.ng minh tu.o.ng tu.. ta c˜ung c´o A ◦ C l` a compact. 1.3.3 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X, Y l`a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. K´y hiˆe.u K(X, Y ) l` a tˆ a.p ho. . p c´ ac to´ an tu.
’ compact t`u. X v`ao Y. L´uc d¯´o K(X, Y ) l`a mˆo.t khˆong gian
con cu’a L(X, Y ). Ho.n n˜ u.a K(X, Y ) l` a khˆ
ong gian Banach nˆe´u Y l` a Banach. Ch´ u.ng minh. Ro
˜ ra`ng 0 ∈ K(X, Y ). Cho A, B ∈ K(X, Y ) v`a α, β l`a hai sˆo´. Ta ch´
u.ng minh αA + βB ∈ K(X, Y ). Cho yn = (αA + βB)xn trong d¯´o kxnk ≤ 1. V`ı A compact nˆen tˆo `n ta.i d˜ay con (xn ) → x k k cu ’a d˜ay (xn)n sao cho Axnk a. M˘ a.t kh´ ac B compact nˆen la.i tˆo `n ta.i d˜ay con (xn ) ) → x k l cu ’a d˜ay (xn k m`a Bxn b. l k kl V`ı vˆ a.y d˜ay (αA + βB)xn = αAx + βBx k n n l kl kl
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 104 hˆ o.i tu. vˆe
` αxa +βxb nˆen to´an tu.’ αA+βB l`a compact. Do d¯´o αA+βB ∈ K(X, Y ) hay K(X, Y ) l` a khˆ ong gian con cu’a L(X, Y ). Khi Y Banach th`ı L(X, Y ) l` a khˆ ong gian Banach. Do d¯´ o phˆ a ` n c`on la.i cu’a d¯i.nh l´y ta chı’ cˆa
` n ch´u.ng minh K(X, Y ) l`a tˆa.p d¯´ong trong L(X, Y ). Gia’ su.’ (An)n l` a mˆ o.t d˜ay c´ac phˆa
` n tu.’ cu’a K(X, Y ) hˆo.i tu. d¯ˆe´n A trong khˆong gian L(X, Y ) v`a sˆ o´ du.o.ng tu` y ´ y. V´
o.i n0 d¯u’ l´o.n ta s˜e c´o kAn − Ak < /2. 0 Nˆe´u x ∈ X ma ` kxk ≤ 1 th`ı kAn x − Axk ≤ kA − Ak kxk < /2, 0 n0 Tˆ
a.p ho..p An (B0(0, 1)) l`a compact tu.o.ng d¯ˆo´i nˆen n´o ho`an to`an bi 0 . ch˘ a.n trong Y . V`ı vˆ
a.y n´o d¯u.o..c phu’ b˘a`ng mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n h`ınh cˆa ` u c´o b´an k´ınh /2 : m [ An (B0(0, 1)) ⊂ B(y ). 0 i, 2 i=1 do d¯´
o v´o.i x ∈ B0(0, 1) th`ı tˆo
`n ta.i i0, 1 ≤ i0 ≤ m sao cho An x ∈ B(y , /2). L´uc 0 i0 ˆ a´y
kAx − yi k ≤ kAx − A xk + kA x − y k < /2 + /2 = 0 n0 n0 i0
hay Ax ∈ B(yi , ). Nhu. thˆe´ 0 m [ A(B0(0, 1)) ⊂ B(yi, ) i=1 ngh˜ıa l` a A(B0(0, 1)) l` a tˆ
a.p ho`an to`an bi. ch˘a.n trong khˆong gian Banach Y nˆen n´ o l`
a tˆa.p compact tu.o.ng d¯ˆo´i. Do d¯´o A ∈ K(X, Y ). Vˆa.y K(X, Y ) l`a khˆong gian Banach. Ta co ´ mˆ
o.t hˆe. qua’ tru..c tiˆe´p cu’a d¯i.nh ly´ na`y nhu. sau: 1.3.4 Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ Y la` khˆong gian Banach va` X la` khˆong gian d¯i.nh chuˆ a’n. Nˆe´u to´ an tu.
’ A : X → Y l`a gi´o.i ha.n trong L(X, Y ) cu’a mˆo.t d˜ay c´ac to´an tu. ’ h˜u.u ha.n chiˆe
` u An ∈ L(X, Y ) th`ı A l`a to´an tu.’ compact. 1.3.5 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ Y l`a khˆong gian Banach. To´an tu.’ A ∈ L(X, Y ) l`a compact khi v` a chı’ khi to´ an tu.
’ liˆen hiˆe.p A∗ : Y ∗ → X∗ l`a compact. Ch´
u.ng minh. Xem t`ai liˆe.u tham kha’o [1,5].
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 105 . § ’ 2. PH ˆ O CU ’ A TO ´ AN TU’ LI ˆ EN TU . C. 2.1 C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa. L´ y thuyˆe´t phˆ o’ cu’a c´ ac to´an tu.
’ tuyˆe´n t´ınh trong khˆong gian Banach s˜e d¯a.t d¯u.o. . c nh˜ u.ng kˆe´t qua’ cˆ an d¯ˆ
o´i v`a d¯e.p d¯˜e ho.n nˆe´u ta x´et c´ac khˆong gian ph´u.c. Do d¯´ o t` u. d¯ˆ ay tro.
’ d¯i, ta l`am viˆe.c v´o.i tru.`o.ng K chu’ yˆe´u l`a tru.`o.ng c´ac sˆo´ ph´u.c C. 2.1.1 Cho X l` a mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Ta k´y hiˆe.u L(X) l`a khˆong gian L(X, X) v`a I l`a to´an tu. ’ d¯ˆo `ng nhˆa´t id: X → X.
Trong L(X) ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep lu˜y th`u.a nhu. sau. Gia’ su.’ A ∈ L(X), A ◦ . . . ◦ A nˆe´u n > 0 | {z } An = n lˆ a ` n I nˆe´u n = 0.
2.1.2 Cho A ∈ L(X). Gia’ su. ’ λ ∈ C sao cho tˆo `n ta.i vecto. x 6= 0 trong X nghiˆe.m d¯u´ng Ax = λx th`ı λ d¯u.o. . c go.i l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng cu’a to´an tu.’ A v`a x l`a mˆo.t vecto. riˆeng ´u.ng v´o.i gia
´ tri. riˆeng λ n`ay. N´oi c´ach kh´ac λ ∈ C l`a mˆo.t gi´a tri. riˆeng cu’a to´an tu.’ A nˆe´u tˆ o
`n ta.i x ∈ X, x 6= 0 sao cho (A − λI)x = 0. Nhˆ
a.n x´et: Nˆe´u λ l`a mˆo.t gi´a tri. riˆeng cu’a to´an tu.’ A th`ı to´an tu.’ (A − λI) khˆ ong pha’i l` a d¯o.n ´ anh v`ı tˆ o
`n ta.i x 6= 0 d¯ˆe’ (A − λI)x = 0. Vˆa.y to´an tu.’ (A − λI) khˆ ong kha’ nghi.ch.
2.1.3 Ta go.i λ ∈ C l`a mˆo.t gi´a tri. phˆo’ cu’a to´an tu.’ A nˆe´u khˆong tˆo `n ta.i to´an tu.
’ ngu.o..c bi. ch˘a.n (A − λI)−1. Tˆa.p ho..p c´ac gi´a tri. phˆo’ cu’a A d¯u.o..c go.i l`a phˆo’ cu’a to´an tu. ’ A, k´y hiˆe.u l`a σ(A). Nhˆ a.n x´et. a. Nˆe´u λ l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng cu’a to´an tu.’ A th`ı λ ∈ σ(A). b. Nˆe´u X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆe
` u th`ı phˆo’ cu’a A l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac gi´
a tri. riˆeng cu’a A. Ngoa`i ra gia’ su.’ A d¯u.o..c cho bo.’i ma trˆa.n c˜ung k´y hiˆe.u l`a A ´ u.ng v´o.i mˆ
o.t co. so.’ trong X th`ı σ(A) l`a tˆa.p ho..p nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng det (A − λI) = 0.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 106 c. D
- ˆo´i v´o.i khˆong gian vˆo ha.n chiˆe`u th`ı c´o nh˜u.ng gi´a tri. cu’a phˆo’ khˆong pha’i l` a gi´ a tri. riˆeng. V´ı du . : X´ et to´ an tu.
’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c A : l2 → l2 cho bo.’i
x = (x1, . . . , xn, . . . ) → Ax = (0, x1, x2, . . . , xn, . . . ) A khˆ ong pha’i l` a to` an ´ anh nˆen A − 0I = A khˆ ong tˆo
`n ta.i to´an tu.’ ngu.o..c. Tuy nhiˆen sˆ o´ 0 khˆ ong pha’i l` a gi´
a tri. riˆeng v`ı nˆe´u thˆe´ th`ı pha’i c´o x = (x1, x2, . . . ) 6= 0
d¯ˆe’ Ax = (0, x1, x2, . . . ) = 0x = 0 t´u.c l`a x = (0, 0, . . . ) hay x = 0, vˆo l´y. 2.1.4 Sˆ o´ µ khˆ ong thuˆ
o.c tˆa.p phˆo’ σ(A) th`ı µ d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t gi´a tri. ch´ınh quy cu’a to´ an tu. ’ A ngh˜ıa l`a tˆo
`n ta.i to´an tu.’ (A − µI)−1 ∈ L(X). Tˆa.p C \ σ(A) d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p ho. . p gia’i cu’a to´ an tu.
’ A, k´y hiˆe.u ρ(A) c`on to´an tu.’ (A − µI)−1 go.i l`a to´ an tu.
’ gia’i hay gia’i th´u.c cu’a to´an tu.’ A, k´y hiˆe.u Rµ(A). 2.1.5 Gia’ su.
’ A ∈ L(X). T`u. d¯ˆay tro.
’ d¯i, ta d`ung c´ac k´y hiˆe.u sau Aλ =
A − λI, N (A) = Ker A, R(A) = Im A. Nˆe´u λ l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng th`ı khˆong gian
con N (Aλ) = {x ∈ X : Ax = λx} d¯u.o..c go.i l`a khˆong gian con riˆeng cu’a to´an tu.’ A ´ u.ng v´o.i λ. 2.1.6 Gia’ su.
’ Y l`a khˆong gian con cu’a khˆong gian X va` A ∈ L(X). Nˆe´u A(Y ) ⊂ Y th`ı Y d¯u.o. . c go.i l` a khˆ ong gian con bˆ
a´t biˆe´n cu’a to´ an tu. ’ A. Ch˘a’ng ha.n nˆe
´u µ la` mˆo.t gia´ tri. riˆeng cu’a A thı` N (Aµ) la` mˆo.t khˆong gian con bˆa´t biˆe´n cu’a A. 2.2 C´ ac t´ınh chˆ a´t. 2.2.1 D
- i.nh l´y. Cho X l`a mˆo.t khˆong gian Banach v`a to´an tu.’ A ∈ L(X). Nˆe´u |λ| > lim kAnk1/n n
th`ı λ ∈ ρ(A) v`a to´an tu. ’ gia’i d¯u.o. . c khai triˆe’n du.´ o.i da.ng ∞ X An Rλ(A) = (A − λI)−1 = − (2.1) λn+1 n=0 Ch´ u.ng minh. Tru.´ o.c hˆe´t ta ch´ u.ng minh lim kAnk1/n tˆ o `n ta.i h˜u.u ha.n. Thˆa.t n vˆ
a.y, lˆa´y k ∈ N tu`y ´y. V´o.i mo.i n ∈ N ta viˆe´t n = kp + r, 0 ≤ r < k. L´uc d¯´o p 1 r = − . n k kn
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 107 Nhu. vˆ a.y
kAnk1/n = kAkp+rk1/n ≤ kAkkp/n kAkr/n 1 ≤ kAkk − r k kn kAkr/n. Lˆ a´y lim sup hai vˆe
´ khi n → ∞ ta c´o lim kAnk ≤ kAkk1/k. D - iˆe ` u n`ay d¯´ung v´o.i n→∞
mo.i k tu`y ´y nˆen la.i lˆa´y lim inf hai vˆe´ ta d¯u.o..c lim kAnk1/n ≤ lim kAkk1/k. n→∞ k→∞ Vˆ a.y lim kAnk1/n tˆo `n ta.i h˜u.u ha.n. n→∞ Tiˆe´p theo ta ch´ u.ng minh chuˆ o˜i (2.1) hˆ o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i khi
|λ| > lim kAnk1/n. Thˆa.t vˆa.y, ´ap du.ng tiˆeu chuˆa’n hˆo.i tu. Cauchy-Hadamard ta n thˆ a´y chuˆ o˜i ∞ X kAnk |λ|n+1 n=0 lim kAnk1/n hˆ o n . i tu. khi v` a chı’ khi
< 1 hay |λ| > lim kAnk1/n. |λ| n ∞ An V`ı L(X) l` a mˆ o P . t khˆ ong gian Banach nˆen chuˆ o˜i − hˆ o.i tu. vˆe ` mˆo.t to´an n=0 λn+1 tu. ’ B ∈ L(X) v`a d¯ˆo `ng th`o.i An lim = 0. n→∞ λn+1 Ngo` ai ra ta c´ o ∞ X An (A − λI)B = −(A − λI) λn+1 n=0 h k k X An i X An An+1 = lim (λI − A) = lim − − k→∞ λn+1 k→∞ λn λn+1 n=0 n=0 Ak+1 = I − lim = I. k→∞ λk+1 Tu.o.ng tu. . ta c˜ ung c´o B(A − λI) = I. Vˆ
a.y A − λI la` song a´nh tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c nˆen no ´ la ` phe ´ p d¯ˆ o
`ng phˆoi tuyˆe´n tı´nh theo d¯i.nh ly´ Banach d¯ˆo`ng th`o.i B l`a to´an tu. ’ ngu.o. . c cu’a A − λI hay ∞ X An Rλ(A) = (A − λI)−1 = − . λn+1 n=0
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 108 2.2.2 Hˆ
e. qua’. Cho X l`a khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X). Nˆe´u sˆo´ λ thoa’ m˜ an d¯iˆe
` u kiˆe.n |λ| > kAk th`ı λ ∈ ρ(A) v`a (A − λI)−1 x´ac d¯i.nh bo.’i cˆong th´u.c (2.1). Ch´
u.ng minh. V`ı kAnk ≤ kAkn nˆen v´
o.i gia’ thiˆe´t th`ı ta c´ o |λ| > kAk ≥ kAnk1/n. Vˆ
a.y lim kAnk1/n ≤ kAk < |λ|. ´ Ap du.ng D
- i.nh l´y 2.2.1 ta c´o kˆe´t qua’. n→∞ 2.2.3 Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ X l`a khˆong gian Banach, A ∈ L(X) v`a kAk < 1. Khi d¯´
o (A + I)−1 tˆ o `n ta.i v`a ∞ X (A + I)−1 = (−A)n. n=0 2.2.4 Hˆ
e. qua’. Nˆe´u A l`a mˆo.t to´an tu.’ bi. ch˘a.n trong khˆong gian Banach X th`ı v´
o.i λ ∈ σ(A) ta c´ o |λ| ≤ lim kAnk1/n. n→∞ 2.2.5 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ X l`a khˆong gian Banach v`a A ∈ L(X). Khi d¯´o ρ(A) l` a tˆ a.p mo.’ trong C. Ch´ u.ng minh. Ta d` ung D
- i.nh l´y 3.3.3 Chu.o.ng 1, n´oi lˆen r˘a`ng Isom (X, X) = Isom (X) l`
a tˆa.p mo.’ trong L(X). Nˆe´u λ0 ∈ ρ(A) th`ı A − λ0I ∈ Isom (X). Do d¯´o v´
o.i mo.i λ thoa’ |λ − λ0| < k(A − λ0I)−1k−1 = r ta s˜e c´o
k(A − λ0I) − (A − λI)k = |λ − λ0| < k(A − λ0I)−1k−1 = r. Vˆ a.y (A − λI)−1 tˆo
`n ta.i thuˆo.c L(X) ngh˜ıa l`a B(λ0, r) ⊂ ρ(A) nˆen ρ(A) l`a tˆa.p mo.’. . . §3. TO ´ AN TU’ COMPACT TU . LI ˆ EN HI ˆ E . P TRONG KH ˆ ONG GIAN HILBERT Gia’ su.
’ H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert. Nh˘a´c la.i r˘a`ng, to´an tu.’ A ∈ L(H) d¯u.o..c
go.i l`a tu.. liˆen hiˆe.p nˆe´u A∗ = A. N´oi c´ach kh´ac, v´o.i mo.i x, y ∈ H d¯˘a’ng th´u.c
hx, Ayi = hA∗x, yi = hAx, yi d¯u.o. . c tho’a m˜ an. Ta c´o d¯i.nh ly´ sau. 3.1 D
- i.nh ly´. Nˆe´u A l`a to´an tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert H v`a µ l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng cu’a A th`ı µ l`a mˆo.t sˆo´ thu. . c.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 109 Ch´ u.ng minh. Thˆ
a.t vˆa.y, nˆe´u µ l`a mˆo.t gi´a tri. riˆeng th`ı s˜e tˆo `n ta.i vecto. x 6= 0
sao cho Ax = µx. V`ı hAx, xi = hx, Axi nˆen hµx, xi = hx, µxi hay µ kxk2 = µ kxk2. Suy ra µ = µ ngh˜ıa l` a µ ∈ R. 3.2 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu. ’ tu.
. liˆen hiˆe.p, λ, µ l` a hai gi´
a tri. riˆeng kh´ac nhau cu’a A. Khi d¯´o hai khˆong gian con riˆeng tu.o.ng ´
u.ng N (Aµ), N (Aλ) tru. . c giao v´ o.i nhau. Ch´ u.ng minh. Gia’ su.
’ x ∈ N (Aλ) v`a y ∈ N (Aµ). Ta c´o λ, µ ∈ R v`a λhx, yi = hλx, yi = hAx, yi
= hx, Ayi = hx, µyi = µhx, yi Do d¯´
o (λ − µ)hx, yi = 0. V`ı λ 6= µ nˆen hx, yi = 0. Vˆ a.y N (Aλ) ⊥ N (Aµ). 3.3 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ 0 6= A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆ
ong gian Hilbert H. L´ uc d¯´ o A c´ o mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng λ sao cho |λ| = kAk. Ch´ u.ng minh. T` u. D
- i.nh l´y 4.2.1 Chu.o.ng 4, ta c´o kAk = sup |hAx, xi|. Theo kxk=1
d¯i.nh ngh˜ıa cu’a supremum, tˆo
`n ta.i d˜ay xn ∈ H, kxnk = 1 sao cho |hAxn, xni| →
kAk. Khi d¯´o s˜e c´o mˆo.t d˜ay con cu’a d˜ay hAxn, xni ta c˜ung k´y hiˆe.u l`a hAxn, xni hˆ
o.i tu. d¯ˆe´n sˆo´ λ v´o.i λ = kAk ho˘a.c λ = −kAk (v`ı hAxn, xni l`a sˆo´ thu..c). D - ˆe’ ´y r˘a`ng
0 ≤ kAxn − λxnk2 = hAxn − λxn, Axn − λxni
= kAxnk2 − 2λhAxn, xni + λ2kxnk
≤ kAk2 − 2λhAxn, xni + λ2 → 0 (n → ∞). Vˆ
a.y Axn − λxn → 0 (n → ∞). V`ı A compact nˆen c´o mˆo.t d˜ay con (Axn ) k k cu’a d˜
ay (Axn)n hˆo.i tu.. Nhu. thˆe´ d˜ay (λxn ) k k hˆ o.i tu. vˆe
` c`ung gi´o.i ha.n v´o.i d˜ay (Axn ) λx 6= 0 v`a x = λ−1y. Ta c´o k k. D - ˘a.t y = lim nk k
Ax − λx = A(λ−1y) − y = λ−1 lim A(λxn ) − lim λx k nk k k = lim (Axn − λx ) = 0. k nk k→∞ Th` anh ra Ax = λx hay λ l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng cu’a A.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 110 3.4 D
- i.nh l´y. Tˆa.p ho..p Λ tˆa´t ca’ c´ac gi´a tri. riˆeng kha´c 0 cu’a mˆo.t to´an tu.’ compact tu.
. liˆen hiˆe.p A ∈ L(H) trong khˆ
ong gian Hilbert H l` a h˜
u.u ha.n ho˘a.c d¯ˆe´m d¯u.o.
. c. Nˆe´u d¯ˆe´m d¯u.o. . c th`ı tˆ a.p ho. . p d¯´
o ta.o th`anh mˆo.t d˜ay hˆo.i tu. vˆe ` 0. Ch´ u.ng minh. D
- ˘a.t Λn l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac gi´a tri. riˆeng cu’a A c´o gi´a tri. tuyˆe.t 1 d¯ˆ o´i ≥ . Ta ch´ u.ng minh Λ n n h˜
u.u ha.n v´o.i mo.i n ∈ N. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ ngu.o..c la.i 1 l` a c´o n0 sao cho tˆo
`n ta.i vˆo ha.n gi´a tri. riˆeng λα m`a |λα| ≥ . Lˆ a´y ra mˆ o n . t d˜ ay 0 x (x n n)n t` u. tˆ
a.p c´ac vecto. riˆeng tu.o.ng ´u.ng (xα)α. D - ˘a.t yn = . L´ uc d¯´ o ky kx nk = 1 nk v` a Ayn = λnyn. Ta c´o 1 1 ky ≤ n λ nk = 0. n λn Nhu. vˆ a.y d˜ay (λ−1 n yn)n bi. ch˘ a.n. V`ı A compact nˆen tˆo
`n ta.i mˆo.t d˜ay con (λ−1 n yn )k k k sao cho A(λ−1 n yn ) = yn hˆ
o.i tu.. M˘a.t kh´ac, v´o.i mo.i k, l, nˆe´u k 6= l th`ı λn 6= λn k k k k l nˆen yn ⊥ y do d¯´ o k nl
kyn − y k2 = ky k2 + ky k2 = 2 k nl nk nl nˆen (yn ) k k khˆ ong thˆe’ l` a d˜ ay co. ba’n d¯u.o. . c. D - iˆe
` u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´u.ng to’ Λn l` a h˜
u.u ha.n v´o.i mo.i n ∈ N. Vˆa.y tˆa.p tˆa´t ca’ c´ac gi´a tri. riˆeng kha´c 0 ky´ hiˆe.u la` ∞
Λ = S Λn l`a h˜u.u ha.n hay d¯ˆe´m d¯u.o..c. Dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng nˆe´u Λ d¯ˆe´m d¯u.o..c th`ı v´o.i n=1 > 0 t` uy ´ y, ta c´ o |λn| < v´o.i hˆa
` u hˆe´t n nˆen n´o lˆa.p th`anh mˆo.t d˜ay hˆo.i tu. vˆe ` 0. Nhˆ
a.n xe´t. T`u. viˆe.c ch´u.ng minh d¯i.nh ly´ trˆen, tu.o.ng tu.. ta thˆa´y r˘a`ng nˆe´u µ 6= 0 la ` mˆ
o.t gia´ tri. riˆeng cu’a toa´n tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p A thı` dimN (Aµ) < ∞ vı` tra´i
la.i thı` co´ thˆe’ tı`m ra mˆo.t hˆe. tru..c chuˆa’n d¯ˆe´m d¯u.o..c ca´c vecto. riˆeng {en, n ∈ N} ´ u.ng v´o.i gia
´ tri. riˆeng µ ma` khˆong co´ da˜y con na`o cu’a da˜y (Aen)n hˆo.i tu.. D - iˆe `u na `y mˆ au thuˆ
a˜n v´o.i tı´nh compact cu’a A. Bˆ ay gi` o. cho A l` a mˆ
o.t to´an tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert H. Theo D
- i.nh l´y 3.4, c´ac gi´a tri. riˆeng kh´ac 0 cu’a A lˆa.p th`anh mˆo.t d˜ay (h˜u.u ha.n ho˘ a.c vˆo ha.n) c´o da.ng |µ1| ≥ |µ2| ≥ . . . D
- ˘a.t qn = dim N (Aµ ) thı` theo nhˆa n . n xe
´ t trˆen, qn l`a mˆo.t sˆo´ tu.. nhiˆen, d¯u.o..c go.i l`a bˆ
o.i cu’a gi´a tri. riˆeng µn. Ta k´ y hiˆe.u: {e1, . . . , eq } l`a mˆo ), 1 . t co. so.
’ tru..c chuˆa’n cu’a khˆong gian con N (Aµ1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 111 {eq } l`a co. so. ’ tru. ), 1 +1, . . . , eq1+q2 . c chuˆ a’n cu’a khˆ ong gian con N (Aµ2 . . . . . . Ho. . p tˆ a´t ca’ c´ ac co. so.
’ tru..c chuˆa’n cu’a c´ac khˆong gian N (Aµ ) (t´u.c l`a tˆa i . p
{en, n = 1, 2 . . . } v´o.i en ⊥ em, (m 6= n)) lˆa.p th`anh mˆo.t hˆe. thˆo´ng tru..c chuˆa’n trong khˆ
ong gian Hilbert H. Hˆe. n`ay d¯u.o..c go.i l`a hˆe. thˆo´ng tru. . c chuˆ a’n c´ ac vecto. riˆeng ´ u.ng v´ o.i c´ ac gi´
a tri. riˆeng kh´ac 0 cu’a A. D - ˘a.t
λ1 = λ2 = · · · = λq = µ 1 1, λq = µ 1 +1 = · · · = λq1+q2 2, . . . . . . . . . λq = µ 1 +···+qn
1 +1 = · · · = λq1+···+qn n, − . . . . . . D˜ ay (λn)n d¯u.o. . c go.i l` a d˜ ay c´ ac gi´
a tri. riˆeng tu.o.ng ´u.ng v´o.i hˆe. thˆo´ng tru..c chuˆa’n c´
ac vecto. riˆeng {en, n = 1, 2 . . . } cu’a to´an tu.’ A. Nhu. vˆa.y (λn)n bao gˆo `m tˆa´t ca’c c´ ac gi´
a tri. riˆeng µn kh´ac 0 cu’a A, mˆo˜i gi´a tri. µn trong d˜ay n`ay d¯u.o..c l˘a.p la.i b˘ a
`ng bˆo.i cu’a µn. Ta c´o d¯i.nh l´y sau 3.5 D
- i.nh l´y. Cho H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu. ’ compact tu.
. liˆen hiˆe.p. Khi d¯´ o v´
o.i mo.i x ∈ H, tˆo
`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t phˆa`n tu.’
x0 ∈ H m`a Ax0 = 0 sao cho x d¯u.o. . c biˆe’u diˆe ˜n du.´o.i da.ng X x = hx, enien + x0, n trong d¯´
o {en, n = 1, 2 . . . } l`a hˆe. thˆo´ng tru. . c chuˆ a’n c´
ac vecto. riˆeng cu’a A ´ u.ng v´ o.i c´ ac gi´
a tri. riˆeng kh´ac 0. Ch´ u.ng minh. K´
y hiˆe.u M l`a khˆong gian con d¯´ong sinh bo.’i {en, n = 1, 2 . . . }. Khi ˆ a´y x ∈ H d¯u.o. . c biˆe’u diˆe
˜n mˆo.t c´ach duy nhˆa´t du.´o.i da.ng x = x1 + x0 trong d¯´
o x1 ∈ M v`a x0 ∈ M ⊥ = N. V`ı M l`a khˆong gian con bˆa´t biˆe´n d¯ˆo´i v´o.i to´an tu.’ tu. . liˆen hiˆe.p A nˆen N c˜ ung l` a khˆ ong gian con bˆ a´t biˆe´n cu’a A. Thˆ a.t vˆa.y, v´o.i mo.i y ∈ N v`
a v´o.i mo.i sˆo´ tu.. nhiˆen n, ta c´o
hAy, eni = hy, Aeni = hy, λneni = λnhy, eni = 0
Nhu. thˆe´ Ay ∈ M ⊥ = N. Vˆ a.y A(N) ⊂ N. D
- ˘a.t A1 = A . V`ı N l`a mˆo N . t khˆ ong gian con d¯´
ong cu’a H nˆen ba’n thˆan n´ o c˜ ung l` a khˆ ong gian Hilbert. Theo D
- i.nh l´y 3.2 pha’i tˆo`n ta.i mˆo.t gi´a tri. riˆeng λ cu’a
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 112
A1 sao cho |λ| = kA1k. Go.i xλ ∈ N l`a vecto. riˆeng cu’a A1 ´u.ng v´o.i gi´a tri. riˆeng n` ay. V`ı λ c˜ ung l` a gi´
a tri. riˆeng cu’a A nˆen nˆe´u λ tr`ung v´o.i mˆo.t λn n`ao d¯´o th`ı xλ ∈ M. D - iˆe
` u n`ay khˆong thˆe’ d¯u.o..c v`ı M ∩ N = {0}. Do d¯´o λ pha’i l`a gi´a tri. riˆeng b˘ a
`ng 0. Vˆa.y A1 ≡ 0 t´u.c l`a A(N) = 0, suy ra Ax0 = 0. C`on x1 ∈ M nˆen x1 d¯u.o..c khai triˆe’n th` anh chuˆ
o˜i Fourier theo c´ac vecto. en : X X X x1 = hx1, enien = hx1 + x0, enien = hx, enien n n n
v`ı hx0, eni = 0. Nhu. thˆe´ biˆe’u diˆe˜n cu’a x d¯˜a d¯u.o. . c thiˆe´t lˆ a.p. 3.6 D
- i.nh l´y. Gia’ su.’ H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu. ’ compact tu. . liˆen hiˆe.p v`
a {en, n = 1, 2 . . . } l`a hˆe. thˆo´ng tru. . c chuˆ a’n c´ ac vecto. riˆeng ´ u.ng v´ o.i c´ ac gi´
a tri. riˆeng λn 6= 0 cu’a A. Khi d¯´o v´o.i mo.i x ∈ H ta c´o X Ax = λnhx, enien. n Ch´ u.ng minh. Theo D
- i.nh l´y 3.5, tˆo`n ta.i x0 ∈ H sao cho X x = x0 + hx, enien, Ax0 = 0. n Nhu. thˆe´ X X X Ax = A(hx, enien) = hx, eniAen = λnhx, enien. n n n D
- i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh. 3.7 Hˆ
e. qua’. Cho H l`a khˆong gian Hilbert kha’ ly v`a A ∈ L(H) l`a to´an tu.’ compact tu.
. liˆen hiˆe.p. Khi d¯´ o trong H tˆ o
`n ta.i mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n gˆo`m c´ac
vecto. riˆeng cu’a to´ an tu. ’ A. Ch´ u.ng minh. Theo Ch´ u.ng minh cu’a D
- i.nh l´y 3.5, khˆong gian Hilbert con N l` a khˆ
ong gian con riˆeng cu’a A ´ u.ng v´ o.i gi´
a tri. riˆeng λ = 0 (nˆe´u N 6= {0}). V`ı H
kha’ ly nˆen N kha’ ly, nhu. thˆe´ n´ o c´ o co. so.
’ tru..c chuˆa’n {fm, m = 1, 2 . . . } trong N. Ho.
. p cu’a {en, n = 1, 2 . . . } v`
a {fm, m = 1, 2 . . . } lˆa.p th`anh co. so.’ tru..c chuˆa’n cu’a H. D - iˆe
` u n`ay suy t`u. c´ach biˆe’u diˆe˜n x = x1 + x0. 3.8 Bˆ o’ d ¯ˆ e ` . Gia’ su.
’ A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆ ong gian Hilbert v` a λ la ` mˆ
o.t sˆo´ kha´c 0. L´uc d¯´o R(Aλ) = R(A − λI) l`a mˆo.t khˆ ong gian con d¯´ ong cu’a H.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 113 Ch´ u.ng minh. Ky
´ hiˆe.u M = R(Aλ)∗ thı` theo d¯i.nh ly´ 4.1.2 Chu.o.ng 4, ta biˆe’u diˆe
˜n H = N (Aλ) ⊕ M. Khi ˆa´y v´o.i mo.i x ∈ H d¯u.o..c viˆe´t mˆo.t ca´ch duy nhˆa´t du.´o.i
da.ng x = u + v nˆen Aλx = Aλu + Aλv = Aλv tha`nh thu.’ R(Aλ) = Aλ(M) ⊂ H. Nhu. vˆ a.y chı’ cˆa
`n ch´u.ng minh Y = Aλ(M) la` khˆong gian con d¯o´ng. Tru.´o.c hˆe´t ta kh˘ a’ng d¯i.nh r˘a`ng tˆo `n ta.i r > 0 sao cho kAλ xk ≥ r kxk, v´ o.i mo.i x ∈ M. (3.1) Gia’ su.
’ ngu.o..c la.i, khi d¯´o v´o.i mo.i n ∈ N tˆo`n ta.i xn ∈ M, kxnk = 1 sao cho 1 kAxn − λxnk < (3.2) n V`ı A compact v`a d˜
ay (xn)n bi. ch˘a.n nˆen tˆo `n ta.i d˜ay con (xn ) → x k k sao cho Axnk 0 L´ uc d¯´ o t` u. (3.2) suy ra Axn − λx → 0 va` ta c´o k nk M 3 λxn = Ax − (Ax − λx ) → x k nk nk nk 0 nˆen x0 ∈ M, d¯ˆo
`ng th`o.i kx0k = lim kλxn k = |λ| 6= 0. M˘a k . t kha ´ c, k→∞ Ax0 = lim A(λxn ) = λ lim Ax = λx k kn 0. k→∞ k→∞
Nhu. thˆe´ x0 ∈ N (Aλ) ∩ M = {0} vˆo ly ´ . Vˆ
a.y kh˘a’ng d¯i.nh d¯u.o..c ch´u.ng minh. Bˆ ay gi`
o. cho yn ∈ Y, yn → y0. L´uc d¯´o c´o xn ∈ M d¯ˆe’ yn = Axn − λxn = Aλxn (3.3) Do bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (3.1) ta c´ o 1 1 kxn − xmk ≤ kA ky r
λ xn − Aλxmk = r n − ymk → 0 (m, n → ∞). Nhu. vˆ
a.y (xn)n l`a d˜ay co. ba’n nˆen pha’i hˆo.i tu. vˆe
` x0 ∈ M. Cho n → ∞ trong (3.3) ta d¯u.o. . c y0 = (A − λI)x0. Vˆ
a.y y0 ∈ Y . N´oi c´ach kh´ac Y = R(Aλ) l`a khˆong gian con d¯´ ong cu’a H. 3.9 Bˆ o’ d ¯ˆ e
` . Cho A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert vˆ o ha.n chiˆe
`u H. Khi ˆa´y nˆe´u λ 6= 0 va` λ ∈ σ(A) thı` λ la` mˆo.t gi´a tri. riˆeng cu’a A. Ch´
u.ng minh. Cho µ ∈ K, d¯ˆe’ y ´ r˘ a `ng nˆe´u A = A∗ ta co ´ (Aµ)∗ = (A − µI)∗ =
A∗ − µI∗ = A − µI = Aµ. Bˆay gi`o. gia’ su.’ λ 6= 0 va` λ khˆong pha’i l`a gi´a tri. riˆeng
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 114
cu’a A thı` Aλ la` d¯o.n a ´ nh va ` λ cu ˜ ng khˆong pha’i la` gia
´ tri. riˆeng cu’a A. Khi d¯´o N (A ) = {0}. T` u. Bˆ o’ d¯ˆe ` 3.8 v`a biˆe’u diˆe˜n λ H = N (A ) ⊕ R(A )∗ = R(A λ λ λ) = R(Aλ) ta thˆ a´y Aλ l`a to`an ´anh. Vˆ
a.y Aλ l`a song ´anh v`a theo d¯i.nh l´y ´anh xa. mo.’, Aλ l`a ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi. Nhu. thˆe´ λ khˆ ong pha’i l` a gi´
a tri. phˆo’ cu’a to´an tu.’ A. 3.10 D
- i.nh l´y. Cho H l`a mˆo.t khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) l`a to´an tu.’ compact tu.
. liˆen hiˆe.p, {en, n = 1, 2 . . . } l` a hˆe. thˆo´ng tru. . c chuˆ a’n c´ ac vecto. riˆeng cu’a A v`
a (λn)n l`a d˜ay c´ac gi´a tri. riˆeng tu.o.ng ´u.ng. Khi d¯´o nˆe´u λ 6= 0 v`a λ 6= λn v´
o.i mo.i n th`ı v´o.i mo.i y ∈ H, phu.o.ng tr`ınh Ax − λx = y s˜e c´o mˆo.t nghiˆe.m duy nhˆ a´t x d¯u.o. . c biˆe’u diˆe ˜n du.´o.i da.ng 1 X λ x = m hy, e λ λ nien − y n n − λ Ch´
u.ng minh. V`ı λ 6= 0 v`a λ 6= λn nˆen theo Bˆo’ d¯ˆe
` 3.9, λ l`a mˆo.t gi´a tri. ch´ınh quy cu’a A. Do d¯´ o to´ an tu.
’ (A−λI) l`a mˆo.t ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi. Vˆa.y v´o.i mo.i y ∈ H tˆo`n
ta.i duy nhˆa´t x ∈ H d¯ˆe’ Ax − λx = y. Theo D
- i.nh l´y 3.6 ta c´o Ax = Pλnhx, enien n nˆen 1 X x = λ (3.4) λ nhx, enien − y n D - ˆe’ ´y r˘a`ng
λ hx, eni = hAx − y, eni = hAx, eni − hy, eni. M˘
a.t kh´ac hAx, eni = hx, Aeni = hx, λneni = λnhx, eni. Do d¯´
o λhx, eni = λnhx, eni − hy, eni hay hx, eni(λn − λ) = hy, eni. Suy ra hy, e hx, e ni ni = . Thay v` ao (3.4) ta c´ o d¯u.o. λ . c d¯˘ a’ng th´ u.c cˆ a ` n ch´u.ng minh. n − λ Tru.` o.ng ho. . p λ tr` ung v´ o.i mˆ
o.t trong c´ac gi´a tri. λn, ta c´o d¯i.nh l´y sau 3.11 D
- i.nh l´y. Cho A ∈ L(H) l`a mˆo.t to´an tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆ
ong gian Hilbert H, {en, n = 1, 2 . . . } l`a hˆe. thˆo´ng tru. . c chuˆ a’n c´ ac vecto. riˆeng
cu’a A, (λn)n l`a d˜ay c´ac gi´a tri. riˆeng tu.o.ng ´u.ng. Khi d¯´o nˆe´u λ 6= 0 l`a mˆo.t gi´a
tri. riˆeng c´o bˆo.i q: λ = λm+1 = · · · = λm+q th`ı phu.o.ng tr`ınh Ax − λx = y (3.5)
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 115 c´
o nghiˆe.m khi v`a chı’ khi y ∈ N (Aλ)⊥. L´uc d¯´o nˆe´u x l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5) th`ı n´ o d¯u.o. . c biˆe’u diˆe ˜n du.´o.i da.ng 1 X λ x = n hy, e + c λ λ nien − y 1em+1 + · · · + cq em+q (3.6) n n − λ trong d¯´ o tˆ o’ng lˆ a´y theo tˆ a´t ca’ c´ ac n kh´ ac v´
o.i m + 1, . . . , m + q, c`
on c1, . . . , cm l`a c´ ac sˆ o´ tu` y ´ y. Ch´ u.ng minh. Theo Bˆ o’ d¯ˆe ` 3.8 v`a D
- i.nh l´y 4.1.1. Chu.o.ng 4, ta c´o H = N (Aλ) ⊕ R(Aλ). Do d¯´
o phu.o.ng tr`ınh c´o nghiˆe.m khi v`a chı’ khi y ∈ R(Aλ). V`ı N (Aλ)⊥ = R(Aλ) nˆen d¯iˆe
` u n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i y ∈ N (Aλ)⊥. Bˆ ay gi` o. gia’ su.
’ x l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5). Khi d¯´o 1 1 X x = (Ax − y) = ( λ λ λ nhx, enien − y) n Tu.o.ng tu. . nhu. trong ch´ u.ng minh D - i.nh l´y 3.10, ta c´o (λn − λ)hx, eni = hy, eni, v´ o.i mo.i n. (3.7) Do d¯´ o hy, e hx, e ni ni = λn − λ
khi λn 6= λ (t´u.c l`a n 6= m + 1, . . . , m + q). C`on nˆe´u n = m + k, k = 1, . . . , q th`ı
do hy, em+ki = 0 va` λn − λ = 0 nˆen (3.7) tro.
’ tha`nh d¯˘a’ng th´u.c v´o.i bˆa´t ky` hx, eni. Do d¯´ o c´
o thˆe’ cho.n hx, eni = cn trong d¯´o cn l`a c´ac sˆo´ tu`y ´y. Nhu. vˆa.y ta c´o d¯u.o..c biˆe’u diˆe
˜n cu’a nghiˆe.m x cho bo.’i cˆong th´u.c (3.6). Ch´ u ´ y:
Nˆe´u y ⊥ N (Aλ) th`ı mo.i x c´o da.ng (3.6) s˜e l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5). D
- ˆo.c gia’ tu.. kiˆe’m tra d¯iˆe`u n`ay b˘a`ng c´ach d¯ˆe’ ´y r˘a`ng, nghiˆe.m tˆo’ng qu´
at cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5) b˘ a
`ng tˆo’ng cu’a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh Ax − λx = 0 v`a mˆ
o.t nghiˆe.m n`ao d¯´o cu’a phu.o.ng tr`ınh (3.5). Xem ch´u.ng minh chi tiˆe´t, ch˘ a’ng ha.n [1,5]. B ` AI T ˆ A . P
1. Cho X = C[0,1] la` khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i chuˆa’n “max” va` A, B ∈ L(X) xa
´ c d¯i.nh bo.’i ca´c cˆong th´u.c:
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 116 a. (Ax)(t) = x(0) + tx(1), R b. (Bx)(t) = 1 etsx(s)ds, v´ o.i mo 0 . i x ∈ X, t ∈ [0, 1]. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng A, B la` ca ´ c toa ´ n tu. ’ compact trong X. 2. Ch´ u.ng minh r˘ a `ng toa ´ n tu.
’ tuyˆe´n tı´nh A : l2 → l2 xa ´ c d¯i.nh bo.’i x x Ax = (x 2 n 1, , . . . , , . . . ) 2 n v´
o.i x = (x1, x2, . . . ) ∈ l2 la` mˆo.t toa´n tu.’ compact. 3. Gia’ su.
’ {en, n = 1, 2, . . . } la` mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n trong khˆong gian Hilbert H va ` A ∈ L(H) la ` mˆ
o.t toa´n tu.’ compact. Ch´u.ng minh lim A(en) = 0. n→∞ 4. Cho X la ` mˆ
o.t khˆong gian Banach va` A ∈ L(X). a. Gia’ su. ’ λ ∈ C sao cho tˆo
`n ta.i mˆo.t da˜y (xn)n ⊂ X v´o.i kxnk = 1 va`
Axn − λxn → 0 khi n → ∞. Ch´u.ng minh λ ∈ σ(A). b. Gia’ su.
’ λ ∈ ρ(A) va` µ ∈ C sao cho |µ| < k(A − λI)−1k−1. Ch´u.ng minh λ − µ ∈ ρ(A). 5. Cho X, Y la ` hai khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n va` A ∈ L(X) la` mˆo.t toa´n tu.’ compact. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng khˆong gian con R(A) cu’a Y la` khˆong gian kha’ ly. 6. Cho X la ` mˆ
o.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` A ∈ L(X) la` mˆo.t toa´n tu.’ compact, λ 6= 0. Ch´ u.ng minh r˘ a
`ng N (Aλ) la` mˆo.t khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe`u. 7. Cho X l` a khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n vˆo ha.n chiˆe ` u v`a A l`a toa ´ n tu. ’ compact t` u. X v` ao khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆa’n Y . Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo `n ta.i mˆo.t d˜ay (xn)n
trong X sao cho kxnk = 1 v`a lim Axn = 0. n 8. Gia’ su.
’ H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert, A ∈ L(H) la` mˆo.t toa´n tu.’ tu.. liˆen
hiˆe.p. Cho λ ∈ C. Ch´u.ng minh r˘a`ng a. Nˆe
´u H 6= R(Aλ) thı` λ la` mˆo.t gia´ tri. riˆeng cu’a A. b. Nˆe
´u H = R(Aλ) va` H 6= R(Aλ) thı` λ ∈ σ(A) nh´u.ng λ khˆong pha’i la` gia ´ tri. riˆeng cu’a A. c. Nˆe
´u H = R(Aλ) thı` λ la` mˆo.t gia´ tri. chı´nh quy cu’a A.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 117 . . ˜ HU ´ ONG D ˆ AN V ` A GIA ’ I B ` AI T ˆ A . P Chu.o.ng 1 §1. 1.1 Gia’ su. ’ tˆo
`n ta.i x1 ∈ X : f1(x1) 6= 0. Ta c´o
f2(f1(x1)x1) = f1(x1)f2(x2) = 0
nˆen f1(x1)x1 ∈ Ker f2 hay x1 ∈ Ker f2. Ta s˜e ch´u.ng minhh f2(x) = 0, ∀x ∈ X. Thˆ
a.t vˆa.y, gia’ su.’ c´o x2 d¯ˆe’ f2(x2) 6= 0 thı` tu.o.ng tu.. nhu. trˆen, suy ra x2 ∈ Ker f1. D
- ˘a.t x = x1 + x2, l´uc d¯´o
f1(x) = f1(x1) + f1(x2) = f1(x1) 6= 0
f2(x) = f2(x1) + f2(x2) = f2(x2) 6= 0.
Nhu. thˆe´ f1(x)f2(x) = f1(x1)f2(x2) 6= 0. D - ˆay l`a d¯iˆe ` u mˆau thuˆa˜n. 1.2 V´
o.i mo.i y ∈ X, d¯˘a.t x = y + Ay. L´uc d¯´o Ax = Ay + A2y = Ay. Ho.n n˜u.a
(I − A)(y + Ay) = y + Ay − Ay − A2y = y. Vˆ
a.y I − A to`an ´anh. Nˆe´u (I − A)x = (I − A)y hay x − Ax = y − Ay. L´uc d¯´o
Ax − A2x = Ay − A2y nˆen Ax = Ay. Vˆ
a.y x = y nˆen (I − A) l`a d¯o.n ´anh. 1.3 Ta ch´ u.ng minh b˘ a `ng quy na.p. V´
o.i n = 1, theo gia’ thiˆe´t th`ı Ker f1 ⊂ Ker f.
Nˆe´u f = 0 th`ı f = 0f1. Nˆe´u f 6= 0 th`ı tˆo
`n ta.i x0 sao cho f1(x0) = 1. L´uc d¯´o
∀x ∈ X : x − f1(x)x0 ∈ Ker f1. Suy ra f (x) = f (x0)f1(x) = αf1(x). Gia’ su. ’ mˆe.nh d¯ˆe
` d¯´ung v´o.i n ≥ 1. Gia’ su.’ n+1 \ Ker fi ⊂ Ker f. i=1 Tru.` o.ng ho. . p f = 0 l` a tˆa
` m thu.`o.ng. Ta x´et v´o.i f 6= 0 th`ı c´o x0 ∈ X : fn+1(x0) = 1. D - ˘a.t F = f − f (x0)fn+1
Fi = fi − fi(x0)fn+1, i = 1, . . . , n.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 118 n n Kiˆe’m tra ta c´ o Ker F ⊃ ∩ Ker F P i. Theo gia
’ thiˆe´t quy na.p th`ı F = αiFi hay i=1 i=1 n X f − f (x0)fn+1 = αi(fi − fi(x0)fn+1). i=1 n+1 Vˆ a P . y f =
βjfj. Theo nguyˆen l´y qui na.p, b`ai to´an d¯u.o..c ch´u.ng minh. j=1 §2. 2.1. a) – d) Sinh viˆen tu. . ch´ u.ng minh. e) D
- ˆe’ ´y tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac d˜ay sˆo´ thu..c (ho˘a.c ph´u.c) v´o.i c´ac ph´ep to´an co.ng hai d˜ ay v` a nhˆ an mˆ
o.t sˆo´ v´o.i d˜ay lˆa.p th`anh mˆo.t khˆong gian vecto..
Nˆe´u (xn)n, (yn)n ∈ l1 th`ı ∞ ∞ ∞ X X X |xn + yn| ≤ |xn| + |yn| < ∞ n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ X X |αxn| = |α| |xn| < ∞, n=1 n=1 t` u. d¯ˆ ay suy ra l1 l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. v`a c´ac tiˆen d¯ˆe
` 2, 3 cu’a chuˆa’n d¯u.o. . c
nghiˆe.m d¯´ung. Tiˆen d¯ˆe ` 1 la` hiˆe’n nhiˆen. 2.2. b) Ta c´ o
|αn − αm| = | kxn − ymk − kxm − ymk |
≤ kxn − yn − (xm − ym)k ≤ kxn − xmk + kyn − ymk,
Suy ra (αn)n l`a mˆo.t d˜ay sˆo´ thu..c co. ba’n nˆen hˆo.i tu.. 2.3. R˜ o r`
ang B(0, 1) ⊂ B0(0, 1). Ngu.o.
. c la.i nˆe´u kxk ≤ 1, ta cho.n d˜ ay xn = n n n x th`ı kx < 1 nˆen x → 1 nˆen n + 1 nk = n + 1
n ∈ B(0, 1). Cho n → ∞ thı ` n + 1
xn → x. Do d¯´o x ∈ B(0, 1). 2.4. Gia’ su.
’ (zn)n = (an + bn)n l`a d˜ay trong A + B. V`ı (an)n ⊂ A compact nˆen c´ o d˜ ay con an → a trong B compact nˆen c˜ ung c´o d˜ ay con l` a k 0 ∈ A. D˜ ay bnk bn → b → a = (a + b ) l` a d˜ ay con cu’a k 0 ∈ B. L´ uc d¯´ o an 0. V` ı thˆe´ d˜ ay zn n n l kl kl kl kl d˜
ay zn hˆo.i tu. d¯ˆe´n a0 + b0 ∈ A + B. Vˆa.y A + B l`a tˆa.p compact.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 119 rx rx
2.5. Nˆe´u x ∈ X, x 6= 0 th`ı y = + x k = 2kxk 0 ∈ B(x0, r) v` ı ky − x0k = k 2kxk r < r. 2 rx Nhu. vˆ a.y + x 2kxk 0 = y ∈ Y. V` ı Y l` a mˆ
o.t khˆong gian vecto. con nˆen 2 x = ( kxk)(y − x r 0) ∈ Y. Vˆ a.y X ⊂ Y hay X = Y. 2.6. a) Gia’ su.
’ x, y ∈ M v`a α ∈ [0, 1]. L´uc d¯´o tˆo
`n ta.i c´ac d˜ay (xn)n, (yn)n ∈
M sao cho xn → x, yn → y. Do M l`a tˆa.p lˆo
`i nˆen αxn + (1 − α)yn ∈ M v`a
αxn + (1 − α)yn → αx + (1 − α)y. Vˆa.y αx + (1 − α)y ∈ M hay M l`a mˆo.t tˆa.p lˆo `i. b) Gia’ su.
’ x, y ∈ B(x0, r) v`a α ∈ [0, 1]. Ta c´o
kαx + (1 − α)y − x0k = kα(x − x0) + (1 − α)(y − x0)k
≤ αkx − x0k + (1 − α)ky − x0k < αr + (1 − α)r = r. Vˆ a.y B(x0, r) l`a tˆa.p lˆo `i.
2.7. c) Nˆe´u (xn)n trong d¯´o xn = (ξ(n)) k k l` a d˜ ay co. ba’n trong c, ta c´ o
∀ > 0, ∃ n0 ∀ m, n ≥ n0 : kxn − xmk = sup |ξ(n) − ξ(m)| < (1) k k k Vˆ
a.y v´o.i mo.i k ∈ N th`ı |ξ(n) − ξ(m)| < nˆen d˜ay (ξ(n)) k k k n l` a d˜ ay sˆo´ co. ba’n, do d¯´ o n´ o hˆ o.i tu.. D - ˘a.t ξ0 = lim ξ(n) v`a x ) k 0 = (ξ0 k . T` u. (1) cho m → ∞, ta c´ o n k k
kxn − x0k = sup |ξ(n) − ξ0 k k| ≤ , n ≥ n0 (2) k Ta ch´ u.ng minh d˜ ay (ξ0) ∈ c ngh˜ıa l` a ch´ u.ng minh n´ o hˆ o k . i tu.. V`ı
|ξ0k − ξ0l| ≤ |ξ0k − ξ(n0)| + |ξ(n0) − ξ(n0)| + |ξ(n0) − ξ0 k k l l l | ≤ 2kxn − x − ξ(n)k 0 0k + kξ(n) k l Do d˜ ay (ξ(n0)) − ξ(n0)| < . Do d¯´o x k k hˆ
o.i tu. nˆen khi k, l ≥ k0 th`ı |ξ(n0) k l 0 ∈ c v` a bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c (2) ch´
u.ng to’ xn → x0 trong c. Vˆa.y c d¯ˆa ` y d¯u’. 2.8. X kha’ ly nˆen tˆo
`n ta.i tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c M ⊂ X sao cho M = X. L´uc d¯´o hiˆe’n nhiˆen hM i = X.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 120 Ngu.o. . c la.i d¯˘
a.t Z = hMi. Khi d¯´o mˆo˜i phˆa
` n tu.’ cu’a Z c´o da.ng l`a mˆo.t tˆo’ ho..p tuyˆe´n t´ınh cu’a mˆ
o.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa
` n tu.’ cu’a M . K´y hiˆe.u C l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’c c´ ac tˆo’ ho.
. p tuyˆe´n t´ınh v´o.i hˆe. sˆ o´ h˜ u.u tı’ cu’a mˆ
o.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac phˆa ` n tu.’ cu’a M . D
- ˆe’ ´y r˘a`ng lu..c lu.o..ng cu’a C b˘a`ng lu..c lu.o..ng cu’a tˆa.p ho..p S Qn nˆen C d¯ˆe´m n∈N d¯u.o. . c. Ta ch´ u.ng minh C tr` u mˆ
a.t trong Z. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i z ∈ Z, z = α1xn + · · · + α 1 k xnk v´
o.i xn ∈ M. Cho > 0 tu`y ´y, v´o.i mˆo˜i i, 1 ≤ i ≤ k, ta cho i .n c´ ac sˆ o´ h˜ u.u tı’ ri sao cho |αi − ri| kxn k < , i = 1, . . . , k. Khi d¯´ o w = r + · · · + r ∈ C v`a i k 1xn1 k xnk k X kz − wk ≤ |αi − ri| kxn k < . i i=1 Nhu. thˆe´ C tr` u mˆ
a.t trong Z. M˘a.t kh´ac Z tr`u mˆa.t trong X nˆen C tr`u mˆa.t trong X. Vˆ a.y X kha’ ly. 2.9. D
- ˆe’ ch´u.ng minh X/Y Banach, b˘a`ng c´ach su.’ du.ng D - i.nh l´y 2.5.3 ta ∞ kiˆe’m tra r˘a `ng mo P . i chuˆ o˜i hˆ
o.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i th`ı hˆo.i tu.. Gia’ su.’ cho ξn sao cho n=1 ∞
P kξnk < ∞. Theo d¯i.nh ngh˜ıa chuˆa’n trong khˆong gian thu.o.ng, v´o.i mˆo˜i n ∈ N n=1 lˆ a´y xn ∈ ξn sao cho 1 kxnk ≤ kξnk + . 2n ∞ ∞ Khi d¯´ o chuˆ o˜i P kx P nk hˆ
o.i tu.. V`ı X l`a khˆong gian Banach v`a chuˆo˜i xn hˆo.i tu. n=1 n=1 ∞ tuyˆe P .t d¯ˆ o´i nˆen n´ o pha’i hˆ o.i tu.. D - ˘at x = xn v`a ξ = x + Y = x. ta c´o n=1
x − (x1 + · · · + xn) ∈ ξ − (ξ1 + · · · + ξn), L´ uc d¯´ o n n X X kξ − ξik ≤ k xi − xk. i=1 i=1 Cho n → ∞ ta c´ o ∞ ∞ X X kξ − ξik ≤ k xi − xk = 0. i=1 n=1 ∞ Vˆ a P . y ξ = ξn n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 121 §3. 3.1 Ta c´ o: c)
kAxk = max |Ax(t)| = max |x(0) − tx(t)| t∈[0,1] t∈[0,1]
≤ |x(0)| + max |x(t)| ≤ 2kxk. t∈[0,1] Vˆ
a.y kAk ≤ 2. Ngu.o..c la.i, lˆa´y x(t) = 1 − 2t, t ∈ [0, 1], l´uc d¯´o kxk = 1 v`a
kAk ≥ kAxk = max |1 − t − 2t2| ≥ 2. t∈[0,1] Vˆ a.y kAk = 2. 3.2. D` ung d¯i.nh ngh˜ıa vˆe
` t´ınh liˆen tu.c v`a t´ınh bi. ch˘a.n cu’a to´an tu.’ A. 3.3. Hiˆe’n nhiˆen
δ = sup kAxk ≤ kAk = sup kAxk. kxk<1 kxk≤1 Ngu.o.
. c la.i, v´o.i mo.i x ∈ X, x 6= 0 v` a cho sˆ o´ > 0 tu` y ´ y, ta d¯˘ a.t y = 1 x th`ı kxk+ kyk < 1. L´uc d¯´o
kAxk = kA(kxk + )yk = (kxk + )kAyk ≤ δkxk + δ.
Suy ra kAxk ≤ δkxk nˆen kAk ≤ δ. 3.4. Gia’ su.
’ A khˆong liˆen tu.c ta.i 0 (t´u.c l`a khˆong liˆen tu.c trˆen X). Khi d¯´o tˆ o
`n ta.i > 0 sao cho v´o.i mo.i δ > 0 tˆo`n ta.i xδ ∈ X, kxδk < δ va` kAxδk ≥ . 1 1 Lˆ a´y δ lˆ a `n lu.o..t b˘a`ng 1, , . . . , , , . . . khi d¯o ´ tˆo `n ta 22 n2 . i da ˜ y (xn)n ⊂ X sao 1 cho kxnk < va ` kAx n2 nk ≥ . D
- ˘a.t yn = nxn thı` yn → 0 nhu.ng
kAynk = kA(nxn)k ≥ n → ∞. Nhu. vˆ
a.y Ayn khˆong bi. ch˘a.n, tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t. 3.5. V´ o.i mˆ
o˜i x ∈ X, kxk ≤ 1, ta c´o ±rx ∈ B0(0, r). Do d¯´o kA(rx) − A(−rx)k ≤ 1. 1 1
Suy ra 2rkAxk ≤ 1 hay kAxk ≤ . Vˆ a . 2r . y kAk ≤ 2r
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 122 Ngu.o. . c la.i, v´
o.i mo.i x, y ∈ B0(0, r) ta c´o
kAx − Ayk = kA(x − y)k ≤ kAk kx − yk ≤ 2rkAk nˆen 1 = sup kAx − Ayk ≤ 2rkAk. x, y∈B0(0,r) 1 1 T` u. d¯o ´ kAk ≥ . Nhu. vˆ a . 2r . y kAk = 2r 3.6. Ta c´ o
kvn ◦ un − v ◦ uk = kvn ◦ un − vn ◦ u + vn ◦ u − v ◦ uk
≤ kvnk kun − uk + kvn − vk kuk. T` u. d¯´ o ta c´o kˆe´t qua’. 3.7 D
- ˆe’ ´y r˘a`ng mo.i ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c th`ı n´o liˆen tu.c d¯ˆe`u trˆen miˆe`n x´
ac d¯i.nh. Do d¯´o nˆe´u A ∈ L(Y, Z) th`ı A liˆen tu.c d¯ˆe
` u trˆen Y . Ho.n n˜u.a Y tr`u mˆa.t trong X nˆen tˆ o
`n ta.i duy nhˆa´t mo.’ rˆo.ng ˜ A cu’a A t` u. X v` ao Z m` a ˜ A liˆen tu.c d¯ˆe ` u (theo D - i.nh l´y 3.3.3 [4]). V´
o.i mo.i x, y ∈ X v`a α, β l`a hai sˆo´, ta lˆa´y c´ac d˜ay (xn)n, (yn)n thuˆo.c Y sao
cho xn → x, yn → y. L´uc d¯´o αxn + βyn → αx + βy. Nhu. vˆa.y ˜
A(αx + βy) = lim A(αxn + βyn) = αlimAxn + βlim Ayn. n n n M˘ a.t kh´ac Axn → ˜ Ax, Ayn → ˜ Ay. Nhu. thˆe´ ˜ A(αxn + βyn) = α ˜ Ax + β ˜ Ay hay ˜ A l` a tuyˆe´n t´ınh. Ho.n n˜ u.a k ˜
Axk = lim kAxnk ≤ lim (kAk kxnk) n n ≤ kAklim kxnk = kAk kxk. n Vˆ a.y ˜ A ∈ L(X, Z) v`a k ˜
Ak ≤ kAk. M˘a.t kh´ac r˜o r`ang k ˜ Ak = sup k ˜ Axk ≥ sup k ˜ Axk = kAk. x∈X, kxk=1 x∈Y, kxk=1 Vˆ a.y kAk = k ˜ Ak.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 123 3.8 D
- ˆe’ d¯o.n gia’n, ta ky´ hiˆe.u uv = u◦v. Gia’ su.’ ngu.o..c la.i la` tˆo`n ta.i u, v ∈ (X) sao cho uv − vu = id. Khi ˆ a´y b˘ a `ng quy na.p, ta ch´u.ng minh
∀ n ∈ N : uvn+1 − vn+1u = (n + 1)vn. (3) Gia’ su. ’ (3) d¯u
´ ng khi n = k − 1 : uvk − vku = kvk−1. Ta ´ c d¯ˆ o.ng v va`o bˆen pha’i cu’a 2 vˆe ´ xong rˆo
`i tr`u. vk+1u va`o 2 vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c v`u.a nhˆa.n ta co´
uvk+1 − vk+1u = kvk + vkuv − vk+1u
= kvk + vk(uv − vu) = (k + 1)vk Vˆ
a.y d¯˘a’ng th´u.c (3) d¯u.o..c ch´u.ng minh. T`u. d¯o´, v´o.i mo.i n ∈ N ta co´
k(n + 1)vnk ≤ kuvn+1k + kvn+1uk = 2kuk kvnk kvk,
nˆen kvnk(n + 1 − 2kuk kvk) ≤ 0. V´o.i n d¯u’ l´o.n thı` kvnk = 0 nˆen vn = 0. T`u. (3) ta suy ra 0 = uvn − vnu = nvn−1. Nhu. vˆ
a.y vn−1 = 0. Tiˆe´p tu.c theo ca´ch na`y, ta co´ vn−1 = vn−2 = · · · = v = 0. D - iˆe
`u na`y mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t.
3.10. Cho y ∈ Y, theo gia’ thiˆe´t tˆo
`n ta.i x1 ∈ X : ky − Ax1k ≤ αkyk,
kx1k ≤ βkyk. Tiˆe´p theo, tˆo
`n ta.i x2 ∈ X : ky − Ax1 − Ax2k ≤ αky − Ax1k ≤ α2ky| va
` kx2k ≤ βky − Ax1k ≤ αβkyk. B˘ a
`ng quy na.p, ta co´ da˜y (xn)n ⊂ X sao cho
ky − Ax1 − Ax2 − · · · − Axnk ≤ αnkyk, va` kxnk ≤ αn−1βkyk. (4) ∞
Do α ∈ (0, 1) nˆen chuˆo˜i P xn hˆo.i tu. vı` no´ hˆo.i tu. tuyˆe.t d¯ˆo´i. Go.i x la` tˆo’ng cu’a n=1 chuˆ o˜i na `y. T`
u. (4)ta cho n → ∞ se˜ nhˆa.n d¯u.o..c kAx − yk = 0 hay Ax = y. 3.11 a) Ro
˜ ra`ng A la` tuyˆe´n tı´nh. M˘a.t kha´c
kAnxk = max |(Anx)(t)| = max |x(t1+1/n)| t∈[0,1] t∈[0,1] ≤ max |x(τ)| = kxk. τ ∈[0,1]
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 124 Do d¯o ´ An ∈ L(X) va` kAnk ≤ 1. b) V´ o.i mˆ o˜i x ∈ X ta co ´
kAnx − xk = max |x(t1+1/n) − x(t)|. t∈[0,1]
Vı` x liˆen tu.c trˆen [0, 1] nˆen liˆen tu.c d¯ˆe `u trˆen d¯o ´ nghı˜a la ` v´ o.i > 0 co ´ δ > 0 sao
cho |t − t0| < δ thı` |x(t) − x(t0)| < . Ta co ´ n 1
| t1+1/n − t| ≤ max (t − t1+1/n) = ( )n 1 < < δ v´ o.i mo.i n d¯u’ l´o.n. t∈[0,1] n + 1 n + 1 n Khi d¯o
´ |x(t1+1/n) − x(t)| < . Suy ra
kAnx − xk = max |x(t1+1/n) − x(t)| < , t∈[0,1] nghı˜a la ` Anx → x trong X = C[0,1]. c) Ta co ´
kAn − Ik = sup kAnx − xk = sup max |x(t1+1/n) − x(t)|. kxk=1 kxk=1 t∈[0,1] Lˆ a´y = 1/2, v´
o.i mo.i n ∈ N, ta cho.n ha`m liˆen tu.c x0 : [0, 1] → R cho bo.’i
x0(1/2) = 1, x0(( 1 )1+ 1n ) = 0 co`n ca ´ c gia ´ tri 2 . kha ´ c tuy` y ´ miˆe ˜n x(t) ∈ [0, 1]. Khi ˆ a´y kx0k = 1 va`
kAn − Ik ≥ kAnx0 − x0k = max |x0(t1+ 1n ) − x0(t)| t∈[0,1] 1 1 ≥ |x0(( )1+ 1n ) − x )| = 1 > . 2 0( 2 Vˆ a.y An khˆong hˆo.i tu. vˆe ` I trong L(X). 3.13. Nˆe´u tˆ o
`n ta.i A−1 bi. ch˘a.n th`ı ta s˜e d¯˘a.t yn = Axn hay xn = A−1yn. Do
yn → 0 nˆen A−1yn → 0 hay xn → 0 tr´ai gia’ thiˆe´t l`a kxnk = 1, ∀n ∈ N. 3.14. V´ o.i yn ∈ A(X) th`ı tˆo
`n ta.i xn ∈ X sao cho Axn = yn. Gia’ su.’ yn → y0. Do
ckxn − xmk ≤ kAxn − Axmk = kyn − ymk → 0 (n, m → ∞)
nhu. thˆe´ (xn)n l`a d˜ay co. ba’n trong X nˆen xn → x0. Suy ra yn = Axn → Ax0. Vˆ
a.y y0 = Ax0 suy ra y0 ∈ A(X). §4.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 125 4.1 Du `ng pha’n ch´ u.ng. Gia’ su.
’ {x1, . . . , xn, . . . } la` mˆo.t co. so.’ Hamel d¯ˆe´m d¯u.o. . c cu’a X. D
- ˘a.t Xn = h{x1, . . . , xn}i thı` Xn la` mˆo.t khˆong gian con h˜u.u ha.n ∞ chiˆe `u cu’a X nˆen X S n la ` khˆ ong gian con d¯o ´ ng cu’a X. M˘ a.t kha´c, X = Xn. Vı` X n=1 la ` khˆ ong gian Banach nˆen no ´ thuˆ
o.c pha.m tru` II tha`nh ra tˆo `n ta.i n0 d¯ˆe’ intXn = 0
intXn 6= ∅. L´uc d¯´o tˆo `n ta 0 . i h`ınh cˆ a
` u B(x0, r) ⊂ Xn. Th`anh ra X ⊂ Xn hay
X = Xn (xem b`ai tˆa.p 2.5 Chu.o.ng 1). D - iˆe
` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t X la` vˆo ha.n chiˆe ` u. 4.2. Tˆ
a.p ho..p c´ac d¯a th´u.c bˆa.c ≤ n ky´ hiˆe.u P l`a mˆo.t khˆong gian vecto. n + 1 chiˆe
` u. V´o.i P ∈ P, d¯˘a.t kP k1 = max |P (x)| th`ı k · k1 l`a mˆo.t chuˆa’n trˆen P. M˘a.t x∈[a,b] kh´ ac d¯˘ a.t kP k2 = max
|P (xi)| th`ı k · k2 c˜ung l`a mˆo.t chuˆa’n. Thˆa.t vˆa.y, ta c´o i∈{0,...,n}
kP k2 ≥ 0; kP k2 = 0 ⇔ P (xi) = 0, i = 0, n ⇔ P (x) ≡ 0 v`ı mˆ
o.t d¯a th´u.c bˆa.c ≤ n c´o qu´a n nghiˆe.m th`ı d¯a th´u.c d¯´o d¯ˆo `ng nhˆa´t b˘a`ng 0. C´ ac tiˆen d¯ˆe
` kh´ac hiˆe’n nhiˆen. P l`a khˆong gian h˜u.u ha.n chiˆe
` u nˆen mo.i chuˆa’n d¯ˆe ` u tu.o.ng d¯u.o.ng. Vˆ a.y tˆo
`n ta.i c > 0 d¯ˆe’ kP k1 ≤ ckP k2. Chu.o.ng 2. §1. 1.1. Su.
’ du.ng c´ac d¯i.nh ngh˜ıa v`a t´ınh tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac to´an tu.’ Aα.
1.2. ∀y ∈ E do (Any)n co. ba’n nˆen tˆo
`n ta.i lim Any. V´o.i mo.i x ∈ X v`a > 0 n bˆ a´t k` y, ta lˆ a´y y ∈ B(x, ) ∩ E. X´et
kAnx − Amxk ≤ kAnx − Anyk + kAny − Amyk + kAmy − Amxk
≤ kAnk kx − yk + + kAmk kx − yk
≤ (kAnk + kAmk + 1) ≤ (2K + 1), khi m, n ≥ n0. Vˆ
a.y d˜ay (Anx)n co. ba’n trong Y Banach nˆen hˆo.i tu.. ´ Ap du.ng Hˆe. qua’ 1.3 ta c´ o kˆe´t qua’. §2.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 126 2.1. ´
Anh xa. id: (X, k · k1) → (X, k · k2) l`a song ´anh tuyˆe´n t´ınh. Theo gia’
thiˆe´t th`ı id liˆen tu.c. ´ Ap du.ng D
- i.nh l´y Banach ta thˆa´y id l`a ph´ep d¯ˆo`ng phˆoi. Vˆa.y hai chuˆ a’n n` ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i nhau. 2.2. D
- ˆe’ ´y r˘a`ng PM, PN l`a c´ac to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. V`ı M, N l`a nh˜u.ng khˆong gian con d¯´ ong cu’a X Banach nˆen ch´ ung c˜ ung l` a khˆ ong gian Banach. Ta ch´ u.ng
minh PM , PN l`a c´ac to´an tu.’ d¯´ong.
Cho (xn)n ⊂ X, xn = yn + zn → y0 + z0 v`a gia’ su.’
yn = PM (xn) → y00, zn = PN (xn) → z00. L´ uc d¯´
o y00 ∈ M, z00 ∈ N. M˘a.t kh´ac ta c´o
kyn + zn − y00 − z00k ≤ kyn − y00k + kzn − z00k → 0 (n → ∞)
nˆen xn = yn +zn → y00 +z00. Do t´ınh duy nhˆa´t cu’a gi´o.i ha.n ta c´o y00 +z00 = y0 +z0. Ho.n n˜
u.a v`ı X = M ⊕N nˆen suy ra y0 = y00, z0 = z00. Vˆa.y PM(x0) = y00, PN (x0) =
z00 hay PM, PN l`a c´ac to´an tu.’ d¯´ong. 2.3. Do X, K l` a c´ ac khˆ
ong gian Banach, f : X → K tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c nˆen ta chı’ cˆ a
` n ch´u.ng minh f l`a to`an ´anh. x V´ o.i mo 0 . i r ∈ K, lˆ
a´y x0 ∈ X d¯ˆe’ f (x0) 6= 0. Cho.n y = r . L´ uc d¯´ o f (x0) f (x f (y) = r 0) = r. Vˆa f (x . y f to`an ´ anh nˆen n´ o l` a ´ anh xa. mo.’. 0) §3.
3.1. Do sup |f (x)| = ∞ nˆen v´o.i mo.i α ∈ R, th`ı tˆo `n ta.i x ∈ X, kxk ≤ 1 sao kxk≤1 |α| x α cho |f (x)| ≥ . Lˆ a´y y = α th`ı kyk = kxk ≤ r nˆ en y ∈ B0(0, r) v`a r f (x) f (x) f (y) = α.
3.2. ⇒ hiˆe’n nhiˆen v`ı Ker f = f −1(0) l`a a’nh ngu.o..c cu’a mˆo.t tˆa.p d¯´ong.
⇐ Gia’ su.’ f khˆong liˆen tu.c ta.i 0. Khi d¯´o tˆo`n ta.i > 0 sao cho v´o.i mo.i δ > 0 tˆ o
`n ta.i xδ ∈ X, kxδk < δ va` |f(xδ)| ≥ . 1 1 Lˆ a´y δ lˆ a
`n lu.o..t b˘a`ng 1, , . . . , , , . . . khi d¯o´ tˆo`n ta 2 n . i da ˜ y (xn)n ⊂ X sao cho 1 x x kx n 1 nk < va ` |f (x − thı` f (y n n)| ≥ . D - ˘a.t yn = f(x n) = 0 v´ o.i mo.i n nˆen n) f (x1) kx 1 x y nk 1 n ∈ Kerf . M˘ a.t kha´c, do ≤ → 0 khi n → ∞ nˆen y / ∈ |f(x n → − n)| n f (x1) Kerf. D - iˆe
`u na`y mˆau thuˆa˜n v´o.i Ker f la` tˆa.p d¯o´ng. Vˆa.y f liˆen tu.c.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 127 3.5. Gia’ su.
’ x0 ∈ X d¯ˆe’ f(x0) = 1. V´o.i mo.i x ∈ X ta c´o x−f(x)x0 = a ∈ Ker f. Vˆ a.y x = f(x)x0 + a. D
- ˘a.t M = hx0i. Nˆe´u x ∈ M v`a x ∈ Ker f th`ı x = λx0 va` ta c´ o f (x) = λ = 0. Vˆ a.y x = 0. 3.6. Ta s˜e ch´ u.ng minh A l` a to´ an tu.
’ d¯´ong. Thˆa.t vˆa.y, cho xn → x0 v`a
Axn → y0. V´o.i mo.i g ∈ Y ∗ ta c´o
g(Axn) − g(Ax) = g(Axn − Ax0) → 0 (n → ∞) theo gia’ thiˆe´t v` a ho.n n˜
u.a g(Axn) → g(y0). Nhu. vˆa.y g(y0) = g(Ax0) v´o.i mo.i
g ∈ Y. Suy ra y0 = Ax0. (Nˆe´u y0 6= Ax0 th`ı theo Hˆe. qua’ 3.2.3 s˜e tˆo `n ta.i g ∈ Y ∗
d¯ˆe’ g(y0) 6= g(Ax0)!) Vˆa.y A l`a mˆo.t to´an tu.’ d¯´ong.
3.7. Nˆe´u a ∈ N th`ı hiˆe’n nhiˆen. X´et a /
∈ N. V´o.i mo.i x ∈ N th`ı f(x) = 0 nˆen |f(a)|
|f(a)| = |f(a) − f(x)| = |f(a − x)| ≤ kfk ka − xk suy ra ≤ ka − xk. Nhu. kfk vˆ a.y
|f(a)| ≤ inf ka − xk = d(a,N). kfk x∈N f (a) Ngu.o. . c la.i, v´
o.i mo.i x ∈ X ma` f(x) 6= 0 thı` y = a − x ∈ N nˆen f (x) f (a) k xk = ka − yk ≥ d(a, N ). f (x) |f(a)| Suy ra |f (x)| ≤ kxk, v´o.i mo d(a, N )
. i x ∈ X, kˆe’ ca’ f (x) = 0. |f(a)| |f(a)| T` u. d¯o ´ kf k ≤ hay d(a, N ) ≤ . d(a, N ) kfk §4. 4.1. Ta co
´ M ⊂ X nˆen M ⊂ X∗∗. V´o.i mo.i f ∈ X∗ ta co´ sup |x(f)| = x∈M sup |f (x)| < +∞. ´
Ap du.ng nguyˆen ly´ bi. ch˘a.n d¯ˆe
`u cho ho. ha`m sˆo´ {x}x∈M ⊂ X∗∗, x∈M ta co ´ sup kxk < +∞. x∈M 4.2 a) Xem ba `i 3.4 Chu.o.ng 1. b) Do kAxk = sup kg(Ax)k nˆen kgk=1, g∈X∗ kAk = sup kAxk = sup kg(Ax)k. x∈X, kxk=1 kgk=1, g∈X∗, x∈X, kxk=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 128 Chu.o.ng 3 1. Tru.` o.ng ho. . p |f (x)| = 0 ho˘
a.c |g(x)| = 0 h.k.n. th`ı kˆe´t qua’ hiˆe’n nhiˆen. Ngu.o. . c la.i, d¯ˆe’ ´ y r˘a
`ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c ap bq ab ≤ + p q |f| |g| tro.
’ th`anh d¯˘a’ng th´u.c khi ap = bq. ´ Ap du.ng cho a = , b = , (R |f |p)1/p (R |g|q)1/q ta c´ o Z Z |g|q|f|p = |f|p|g|q v´ o.i c1 = R |g|q, c2 = R |f |p. 2. D
- ˆe’ ´y r˘a`ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c kx + yk ≤ kxk + kyk tro.’ th`anh d¯˘a’ng th´u.c khi v` a chı’ khi bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c Minkowski tro.
’ th`anh d¯˘a’ng th´u.c. ´ Ap du.ng b`ai tˆa.p 1, ta thˆ a´y d¯iˆe ` u n`ay xa’y ra khi |f + g| = |f | + g| c1|f |p
= c2|f + g|q(p−1) = c2|f + g|p(2) c01|g|p
= c02|f + g|q(p−1) = c02|f + g|p(3) h.k.n. trong E. Nhu. vˆ
a.y ta pha’i c´o f(x), g(x) c`ung dˆa´u h.k.n. trong E T`u. (2) v` a (3) ta c´
o c1c02|f|p = c01c2|g|q hay |f| = c|g|. Do f(x) v`a g(x) c`ung dˆa´u h.k.n. E nˆen tˆ o
`n ta.i α ≥ 0 dˆe’ f = αg h.k.n. 3. a) L´ y luˆ a.n nhu. D
- i.nh l´y 2.1 §2, va` a´p du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Minkowski cho d˜ ay c´ ac sˆo´, ta d¯u.o. . c lp l` a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆa’n. D
- ˆe’ ch´u.ng minh lp l`a Banach, ta lˆa´y xm = (ξ(m) n
)n l`a d˜ay co. ba’n trong lp. V´
o.i > 0 cho.n m0 sao cho khi m ≥ m0 th`ı kxm − xm+kk < , ∀k ∈ N hay ∞ X |ξ(m) n − ξ(m+k) n |p1/p < . n=1 L´ uc d¯´ o
∀n ∈ N, ∀k ∈ N : |ξ(m) n − ξ(m+k) n | < (4) v` a l X |ξ(m) n − ξ(m+k) n |p1/p < . (5) n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 129 T` u. (4) ta thˆ a´y (ξ(m) n
)m l`a d˜ay co. ba’n trong R (hay C) nˆen tˆo `n ta.i lim ξ(m) n = ξ0 m→∞ n.
Cho l → ∞ trong (5), ta c´o l X |ξ(m) n − ξ0n|p1/p ≤ . (6) n=1 Bˆ a´t d¯˘ a’ng th´ u.c n` ay d¯´ ung v´
o.i mo.i l ∈ N nˆen cho l → ∞, ta c´o ∞ X |ξ(m) n − ξ0n|p1/p ≤ . n=1 Vˆ a.y y = (ξ(m) n
− ξ0n)n ∈ lp nˆen x0 = (ξ0n)n = xm − y ∈ lp. Ngo`ai ra, t`u. (6), ta c´o
kxm − x0k ≤ (m > m0). Vˆa.y trong khˆong gian lp, d˜ay (xm)n hˆo.i tu. d¯ˆe´n x0 ∈ lp nˆen n´ o l` a khˆ ong gian Banach. b) V´
o.i f ∈ (lp)∗ d¯˘a.t (ei = (0, . . . , 0, 1i, 0 . . . ) ta c´o v´o.i mo.i x = (ξn) ∈ lp th`ı ∞ ∞ ∞ x = P ξ P P nen. Nhu. thˆ e´ f (x) = ξnf (en) = ξncn, v´o.i cn = f (en). n=1 n=1 n=1
X´et xn = (ξ(n)) trong d¯´o k ( |ck|q−1sgn ck, k ≤ n ξ(n) = k 0, k > n 1 1 n v` a q l` a sˆ o´ du.o.ng sao cho + = 1. L´ uc d¯´ o f (x) = P |c p q k |q. D - ˆe’ ´y r˘a`ng k=1 n X|ck|q = f(xn) ≤ kfk kxnkp k=1 n n X X = kf k |ck|(q−1)p1/p = kfk |ck|q1/p. k=1 k=1 Suy ra n X |ck|q)1/q ≤ kfk. k=1 Cho n → ∞ ta d¯u.o..c
kckq ≤ kfk trong d¯´o c = (ck) ∈ lq.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 130 ∞ Ngu.o. P
. c la.i, nˆe´u c = (ck) ∈ lq, d¯˘ a.t f(x) = ckξk. ´
Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c n=1 Holder cho 2n sˆ o´ rˆ o
`i chuyˆe’n sang gi´o.i ha.n ta c´o ∞ ∞ ∞ X X X |f(x)| ≤ |cnxn| ≤ |cn|q1/q |ξn|p1/p n=1 n=1 n=1 ≤ kckq kxkp. Vˆ a.y kfk ≤ kckq 1 1
nˆen kf k = kckq v´o.i c = (ck) ∈ lq nˆen ta d¯ˆo
`ng nhˆa´t (lp)∗ v´o.i lq trong d¯´o + = 1. p q ∞ ∞ 4. ⇐ Gia’ su.’ P c2 P n < ∞ khi d ¯´ o ∀ > 0 ∃n0 ∈ N : c2n < /2 n=1 n=n0+1 Tˆ a.p ho..p c´ac phˆa
` n tu.’ (ξ1, . . . , ξn ) v´o.i |ξ 0 i| ≤ ci lˆ a.p th`anh - lu.´o.i compact cu’a M . Ho.n n˜ u.a, M l` a tˆ
a.p d¯´ong trong l2. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x = (ξi) ∈ l2 \ M, th`ı tˆo
`n ta.i i0 sao cho |ξi | > c . D - ˘a
| − c > 0. Ta c´o B(x, r) ⊂ l2 \ M 0 i0 . t r = |ξi0 i0 ngh˜ıa l`
a l2 \ M mo.’. Vˆa.y M compact trong l2. ∞
⇒ Gia’ su.’ P c2n = ∞ L´uc d¯´o tˆo
`n ta.i > 0 sao cho ∀n ∈ N, ∃n0 ≥ n, ∃k ∈ n=1 n0+k N : P c2n ≥ n=n0+1 n1+k V´ o.i n = 1 lˆ a´y n P 1 ≥ 1, k1 ∈ N sao cho c2n > n=n1+1 n2+k2 n = 2 lˆ a´y n P 2 > n1, k2 ∈ N sao cho c2n ≥ n=n2+1 . . . . . . . . . X´et d˜ ay x1 = (0, . . . , 0n , c , 0 . . . ) 1 n1+1, . . . , cn1+k1 x2 = (0, . . . , 0n , c , 0, . . . ) 2 n2+1, . . . , cn2+k2 . . . = . . . . . .
xm = (0, . . . , 0n , cn +1, . . . , cn +k , 0, . . . ). m m m m Khi d¯´ o xm ∈ M v`a n +k n +k p p q q 1/2 √ k X X xp − xqk = c2 c2 ≥ (2)1/2 = 2 9 0 n + n n=n +1 n=n +1 p q Vˆ a.y M khˆong compact.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 131 Chu.o.ng 4. §1. v`a §2. 1. T` u. gia’ thiˆe´t suy ra λµ hx, yi + µλ hy, xi = 0. Cho.n µ ∈ R, λ = hy, xi. 2. Ta c´
o |hxn, yni| ≤ kxnk kynk ≤ kxnk ≤ 1. T`u. d¯´o suy ra cˆau a). M˘a.t kh´ac
kxn − ynk2 = kxnk2 + kynk2 − hxn, yni − hxn, yni.
Cho n → ∞ ta suy ra cˆau b. 3. a. T`
u. d¯i.nh ngh˜ıa, ta c´o M ⊂ (M⊥)⊥. M˘a.t kh´ac (M⊥)⊥ l`a khˆong gian con d¯´ ong. Vˆ a.y M ⊂ M ⊂ (M ⊥)⊥. ⊥ b. Chı’ cˆ a
` n ch´u.ng minh (M ⊥)⊥ ⊂ M. Ta c´o H = M ⊕ M = M ⊕ (M⊥). V´
o.i x ∈ (M ⊥)⊥, ta viˆe´t x = y + z v´o.i y ∈ M , z ∈ M ⊥ nˆen nhu. thˆe´ z = x − y ∈
(M ⊥)⊥ ∩ M ⊥ = {0}. Vˆa.y x = y ∈ M. 4. X´et (fn)n ⊂ CL x´ ac d¯i [0,1] .nh nhu. sau: 1 1 nˆe´u x ∈ [0, ] 2 1 1 1 fn(x) =
2n(1/2 − x) + 1 nˆe´u x ∈ [ , + ] 2 2 2n 1 1 0 nˆe´u x ∈ [ + , 1] 2 2n Ta c´ o Z 1 kfn+p − fnk2 =
|fn+p(x) − fn(x)|2dx (n, p ∈ N) 0 Z 1/2+1/2n Z 1/2+1/2n 1 = (fn(x) − fn+p(x))2dx ≤ |fn|dx ≤ 1/2 1/2 2n 1 kfn+p − fnk2 < . 2n
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 132 Vˆ
a.y (fn) l`a d˜ay Cauchy trong CL . Nˆe´u f th`ı f [0,1] n hˆ o.i tu. vˆe ` f trong CL [0,1] n → f trong L2[0, 1]. Do d¯´ o tˆo
`n ta.i d˜ay con cu’a (fn)n c˜ung k´y hiˆe.u l`a (fn)n sao cho (fn)n hˆo.i tu. hˆa
` u kh˘a´p no.i d¯ˆe´n f . M˘a.t kh´ac fn hˆo.i tu. hˆa`u kh˘a´p no.i d¯ˆe´n h`am f : ( 1, nˆe´u x ∈ [0, 1/2) f (x) = 0, nˆe´u x ∈ (1/2, 1] Vˆ
a.y f = f. Tuy nhiˆen khˆong co´ ha`m liˆen tu.c na`o trˆen [0, 1] ma` b˘a`ng f hˆa `u kh˘a´p no.i d¯u.o. . c.
5. f ∈ H∗ nˆen M = f −1{0} l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a H. V`ı f 6= 0 nˆen M 6= H. Vˆa.y tˆo
`n ta.i x0 /∈ M v´o.i f(x0) 6= 0. Ta c´o x0 = y0 + z0 v´o.i
y0 ∈ M ⊥, z0 ∈ M. Suy ra f (x0) = f (y0) 6= 0. f (y)
Nˆe´u y ∈ M ⊥, d¯˘a.t λ = th`ı ta c´ o f (y0)
f (y − λy0) = f (y) − λf (y0) = 0. Vˆ
a.y y − λy0 ∈ M ∩ M⊥ = {0} hay y = λy0. Nhu. thˆe´ M⊥ l`a khˆong gian con mˆo.t chiˆe ` u. 6. a. Chı’ cˆ a
` n ch´u.ng minh cho tru.`o.ng ho..p x /∈ L. Khi d¯´o x = y + z v´o.i
y ∈ L, z ∈ L⊥. V´o.i u bˆa´t k`y thuˆo.c L, ta c´o x − u = (y − u) + z. Vˆ a.y th`ı
kx − uk2 = ky − uk2 + kzk2 ≥ kzk2. M˘
a.t kh´ac, lˆa´y u = y ta c´o kx − yk2 = kzk2. Nhu. thˆe´ kzk = min{kx − uk : u ∈ L} (1) Bˆ ay gi` o. v´
o.i u ∈ L⊥ ta c´o hx, ui = hy, ui + hz, ui = hz, ui. Theo bˆa´t d¯˘a’ng th´ u.c Schwarz ta c´ o:
|hx, ui| = |hz, ui| ≤ kzk kuk. z Vˆ
a.y |hx, ui| ≤ kzk v´o.i mo.i u ∈ L⊥, kuk = 1. Lˆa´y u = , ta c´ o |hx, ui| = kzk z hz, i = kzk. Vˆa kzk . y
kzk = max {|hx, ui| : u ∈ L⊥, kuk = 1} (2) T` u. (1) v` a (2) ta suy ra d¯iˆe ` u cˆa ` n ch´u.ng minh.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 133 b. Gia’ su.
’ x ∈ L⊥ v´o.i mo.i u ∈ L ta c´o
kx − uk2 = kxk2 + k − uk2 ≥ kxk2. Ngu.o. . c la.i, gia’ su.
’ kxk ≤ kx − uk v´o.i mo.i u ∈ L. Ta ch´u.ng minh x ∈ L⊥. Ta c´o
x = x0 + y0 v´o.i x0 ∈ L⊥, y0 ∈ L. Ta s˜e ch´u.ng minh y0 = 0. Thˆa.t vˆa.y
kx0k2 = kx − y0k2 ≥ kxk2 = kx0k2 + ky0k2. Suy ra ky0k = 0 hay y0 = 0.
7. Cho (xn + yn)n la` mˆo.t da˜y trong M + N sao cho xn + yn → z ∈ H. Khi d¯o
´ (xn + yn)n la` mˆo.t da˜y co. ba’n. Ta a´p du.ng d¯˘a’ng th´u.c Pythagore thı` co´ d¯u.o..c
kxn + yn − (xm + ym)k2 = kxn − xmk2 + kyn − ymk2
do M ⊥M. Nhu. thˆe´ (xn)n, (yn)n la` ca ´ c da
˜ y co. ba’n trong M va` N lˆa `n lu.o..t nˆen hˆ o.i tu. vˆe
` x ∈ M va` y ∈ N. Vˆa.y z = x + y nˆen z ∈ M + N. √ 8. V`ı ken − emk =
2 nˆe´u n 6= m v`a kenk = 1 v´o.i mo.i n ∈ N nˆen {en}n∈N l` a tˆ
a.p d¯´ong, bi. ch˘a.n v`a khˆong c´o d˜ay con n`ao hˆo.i tu.. Vˆa.y th`ı {en}n∈N khˆong compact. Suy ra h`ınh cˆa
` u d¯´ong d¯o.n vi. B0 ⊂ H l`a mˆo.t lˆan cˆa.n khˆong compact cu’a 0 trong H, t´ u.c l` a H khˆ ong compact d¯i.a phu.o.ng. ( xn → x0 9. Du `ng d¯i.nh ly´ d¯ˆo ` thi. d¯o´ng. Gia’ su.’ ta ch´ u.ng minh Ax0 = y0. Axn → y0 Thˆ
a.t vˆa.y, v´o.i mo.i z ∈ H ta co´
hAx0, zi = hx0, Azi = limhxn, Azi n limhAxn, zi = hy0, zi, n T` u. d¯o ´ suy ra y0 = Ax0. ∞
10. ∀x ∈ H ta c´o x = P hx, ekiek. Vˆa.y k=1 ∞ X lim Pn(x) = hx, ekiek = I(x). n→∞ k=1 M˘
a.t kh´ac v´o.i n ∈ N v`a p ∈ N ta c´o
kPn+p(en+1) − Pn(en+1)k = kPn+p(en+1)k = ken+1k = 1.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 134 Vˆ
a.y kPn+p − Pnk = 1, ∀n, p ∈ N. N´oi c´ach kh´ac (Pn) khˆong pha’i l`a d˜ay Cauchy
trong L(H) nˆen khˆong hˆo.i tu.. 11 a) ∞
X |λnhx, enien|2 ≤ (sup |λn|)2kxk2. n n=1 ∞ Vˆ a P . y λnhx, enien hˆo.i tu.. n=1 b. R˜ o r`ang A l` a tuyˆe´n t´ınh. D
- ˘a.t K = sup |λn| < ∞. Ta c´o n ∞ k X Axk2 ≤ K2 |hx, eni|2 ≤ K2 kxk2. n=1 Vˆ
a.y A liˆen tu.c v`a kAk ≤ K. (3) M˘
a.t kh´ac kAenk = kλnenk = |λn|, ∀n ∈ N. Do d¯´
o kAk = sup kAxk ≥ |λn|, ∀n ∈ N. Suy ra kAk ≥ K (4) kxk=1 T` u. (3) v`
a (4) ta suy ra kAk = K = sup |λn|. n∈N 12. Tru.´ o.c hˆe´t ta mo.
’ rˆo.ng A t`u. M lˆen M. Do bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c
kAx − Ayk ≤ kAk kx − yk, x, y ∈ M, ta suy ra mˆ
o˜i x = lim xn ∈ M, (xn)n ⊂ M, th`ı (Axn)n hˆo.i tu. trong Y v`a gi´o.i ha.n
chı’ phu. thuˆo.c v`ao x m`a khˆong phu. thuˆo.c (xn). Do d¯´o ta c´o ´anh xa. A1 : M → Y⊥ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu . c v` a A1 = A. Dˆe ˜ thˆa´y kA M 1k = kAk. M˘ a.t kh´ac H = M ⊕ M ⊥ nˆen v´
o.i mo.i x ∈ H, x = x1 + y1, v´o.i x1 ∈ M, y1 ∈ M . D - ˘a.t ˜ Ax = A1x1 th`ı ˜ A
tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c v`a k ˜
Ak = kA1k = kAk. Thˆa.t vˆa.y k ˜
Axk = kA1x1k ≤ kA1k kxk, (kx1k ≤ kxk). Ho.n n˜ u.a k ˜ Ak = sup k ˜ Axk ≥ sup k ˜ Axk kxk=1 kxk=1, x∈M = sup kA1xk = kA1k. x∈M, kxk=1 §3 v`a §4.
1. Theo d¯i.nh l´y Riesz th`ı s˜e tˆo
`n ta.i a ∈ M sao cho x∗(x) = hx, ai v´o.i mo.i x ∈ M v`a kx∗k = kak.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 135 X´et ˜
x : H → K x´ac d¯i.nh nhu. sau: ˜ x(x) = hx, ai, ∀x ∈ H. Ta c´ o ˜
x ∈ H∗ v`a k˜xk = kak, ho.n n˜u.a ˜x|M = x∗. Gia’ su.’ c´o ˜ y ∈ H∗ sao cho: ˜ y|M = x∗, k˜ yk = kx∗k = kak. Nhu. vˆ
a.y ˜y pha’i c´o da.ng ˜y(x) = hx, a0i, v´o.i mo.i x ∈ H v`a a0 l`a mˆo.t phˆa ` n tu.’ n`ao d¯´ o cu’a H d¯ˆ o
`ng th`o.i ta c´o k˜yk = ka0k = kak. V´o.i x = m ∈ M th`ı ˜
y(m) = hm, a0i = x(m) = hm, ai. Lˆ a´y m = a, ta c´ o kak2 = ha, ai. Suy ra
ha0, ai = ha, a0i = ha, a0i = kak2. M˘ a.t kh´ac
ka − a0k2 = ha − a0, a − a0i
= kak2 + ka0k2 − ha, a0i − ha0, ai = 0. N´ oi c´ach kh´ ac a = a0 hay ˜ y(x) = ˜ x(x) v´ o.i mo.i x ∈ H. ∞ 2. a) V´ o.i x = (ξ P j )j ∈ l2 v` a Ax = (ηj)j = ( ajkξk), ta c´o k=1 ∞ ∞ ∞ | X X X ηj|2 ≤ ( |ajk|2)( |ξk|2) ≤ |ajk|2kxk2, k=1 k=1 k=1 j = 1.2 . . . . Vˆ a.y X X kAxk ≤ |ajk|21/2kxk j k Nhu. vˆ
a.y Ax ∈ l2 v`a dˆe˜ thˆa´y A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. b. V´
o.i y = (ξ0j)j ∈ l2, ta d¯˘a.t A∗y = (η0j)j ∈ l2. Ta c´o
hA∗y, eni = hy, Aeni, ∀n ∈ N ∞ ∞ v` a e P P
n = (0, . . . , 1n, 0 . . . ). Suy ra η0n =
ξ0jajn. Vˆa.y A∗y = (η0n)j = ajnξ0j . j=1 j=1 3. Du `ng d¯˘ a’ng th´
u.c hAx, yi = hx, A∗yi, v´o.i mo.i x, y ∈ L2[0, 1].
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 136 Nh`
o. d¯i.nh ly´ Fubini, ta co´: Z 1 Z t Z 1 Z 1 hAx, yi = x(s)dsy(t)dt = y(t)dtx(s)ds = hx, A∗yi. 0 0 0 s Vˆ
a.y (A∗y)(s) = R 1 y(t)dt, ∀ y ∈ L2[0, 1]. s 5. Gia’ su.
’ M l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a H v`a P : H → M l`a ph´ep chiˆe´u tru. . c giao. V´
o.i x ∈ H, x = P x + z trong d¯´o P x ∈ M v`a z ∈ M ⊥. Ta c´o
hP x, xi = hP x, P xi + hP x, zi = hP x, P xi ≥ 0. 6. a) V´
o.i x = (ξn)n ∈ l2, Ax = (anξn)n ta c´o M = sup |an| < ∞. n∈N ∞ ∞ X | X anξn|2 ≤ M 2 |ξn|2 = M2kxk2. n=1 n=1 Vˆ
a.y Ax ∈ l2 v`a kAxk ≤ M kxk. Dˆe
˜ d`ang kiˆe’m ch´u.ng A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh. Vˆa.y A ∈ L(l2) v`a kAk ≤ M.
Nˆe´u M = 0 th`ı kAk = 0. Nˆe´u M > 0 th`ı v´o.i mo.i N > 0 sao cho 0 < N < M s˜e tˆ o
`n ta.i n0 ∈ N sao cho N < |an | ≤ M. X´et x e v´ o.i 0 0 = an0 n0
en = (0, . . . , 1 , 0, . . . ) ta c´o kx | v`a kAx |2. Vˆa 0 n0 0k = |an0 0k = |an0 .y kAx0k = |an | |a | > Nkx 0 n0 0k, t´ u.c la ` kAk > N. Vˆa.y kAk = M. b) Sinh viˆen tu. . gia’i. c. Ta vˆ a˜n ky
´ hiˆe.u x, y nhu. o.’ a). Vı` A liˆen tu.c va` l2 la` khˆong gian Hilbert nˆen A co ´ toa ´ n tu. ’ ngu.o. . c liˆen tu.c khi va ` chı’ khi A la ` song a ´ nh. D - iˆe `u na`y tu.o.ng
d¯u.o.ng phu.o.ng trı`nh Ax = y co
´ nghiˆe.m duy nhˆa´t vo.i mo.i y ∈ l2. No´i ca´ch kha´c,
phu.o.ng trı`nh anξn = ηn co ´ duy nhˆ
a´t nghiˆe.m v´o.i mo.i n ∈ N hay η a n n 6= 0, ξn = an Khi d¯o ´ ξ A−1x = n , x = (ξ a n n)n ∈ l2. n Co ´ thˆe’ thˆ a´y r˘a `ng toa ´ n tu.
’ A du.o.ng khi va` chı’ khi an ≥ 0 v´o.i mo.i n ∈ N. 7. a) Do (En)n la` da ˜ y gia’m ca
´ c tˆa.p ho..p nˆen v´o.i mo.i x ∈ H, dn(x) = d(x, En) la ` da ˜ y t˘ang ca ´ c sˆo´ khˆ ong ˆ am. Vˆ a.y tˆo
`n ta.i limn→∞ dn(x) = d(x) ≤ +∞. Nˆe´u
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 137 co
´ x0 ∈ H sao cho d(x0) < +∞ thı` lu ´ c d¯o
´ v´o.i mo.i x ∈ H, ta co´ dn(x) ≤
kx − x0k + dn(x0). Suy ra d(x) < +∞. b) V´
o.i mo.i y ∈ A(x, , n) thı` dn(x) ≤ ky − xk ≤ d(x) + . Cho y1, y2 ∈ A(x, , n) rˆ o `i a
´ p du.ng d¯˘a’ng th´u.c hı`nh bı`nh ha`nh cho y1 − x, y2 − x va` chu´ y´ tı´nh lˆ o `i cu’a ca ´ c tˆa.p En ta suy ra
ky1 − y2k2 ≤ 4(d2(x) − d2n(x) + (2d(x) + )).
Suy ra δn → 0 khi n → ∞ trong d¯o
´ δn = sup{ky1 − y2k, y1, y2 ∈ (A(x, , n))} la ` d¯u.` o.ng kı´nh cu’a tˆ a.p A(x, , n). c) Do (En)n la` ca ´ c tˆ
a.p d¯o´ng nˆen A(x, , n) la` ca´c tˆa.p d¯o´ng. Ngoa`i ra, v´o.i n ∈ N, tˆo
`n ta.i yn ∈ En sao cho kx − ynk = dn(x) < d(x) + . Vˆa.y A(x, , n) 6= ∅ v´ o.i mo.i n ∈ N. D
- ˆay la` da˜y ca´c tˆa.p d¯o´ng, kha´c trˆo´ng va` th˘a´t dˆa`n trong khˆong gian ∞ ∞ Hilbert nˆen theo nguyˆen ly ´ Cantor, ta suy ra E = T E T n ⊃ A(x, 1 , n) 6= ∅. n n=1 n=1 ∞ V´ o.i x T 0 ∈ A(x, 1 , n), ta co ´ n n=1 1
d(x, E) ≤ kx − x0k ≤ d(x) + . n Vˆ
a.y d(x, E) ≤ d(x). M˘a.t kha´c, do d(x, E) ≥ d(x, En) = dn(x), nˆen d(x, E) ≥ d(x). T` u. d¯o ´ d(x, E) = d(x). Chu.o.ng 5. 2. Ca ´ ch 1. Cho S la ` hı`nh cˆ a
`u d¯o.n vi. trong l2. Vı` l2 la` khˆong gian Banach nˆen ta chı’ cˆ a
`n ch´u.ng minh A(S) la` hoa`n toa`n bi. ch˘a.n. Cho > 0 tuy` y´. Vı` ∞ 1 ∞ 1 chuˆ o˜i P hˆ o P . i tu. nˆen lˆ a´y n0 sao cho < /2. H`ınh cˆ a ` u d¯o.n vi. U n=1 n2 n=n n2 0 +1 trong Rn0 l` a compact nˆen tˆ o
`n ta.i mˆo.t lu.´o.i /2 h˜u.u ha.n a∗1, a∗2, . . . , a∗k ∈ Rn0 v´o.i n0 a∗ P m = (am1, . . . , amn ). Nˆ e´u x = (x x2 0 1, x2, . . . ) ∈ S th` ı i ≤ 1 t´ u.c l` a x∗ = i=1
(x1, . . . , xn ) ∈ U. Do d¯´o c´o a∗ 0 m trong Rn0 sao cho ka∗ m − x∗k2 < /2. D - ˘a.t am =
(am1, . . . , amn , 0, . . . , ) Khi d¯´o a 0 1, . . . , ak l` a mˆ
o.t -lu.´o.i compact cu’a A(S). Ca ´ ch 2. V´
o.i x = (x1, x2, . . . , ) ∈ l2 ta d¯˘a.t Anx = (x1 , x2 , . . . , xn , 0 . . . ). Khi 1 2 n d¯o ´ An la` toa ´ n tu. ’ h˜u.u ha.n chiˆe
`u va` kAn − Ak → 0 khi n → ∞. 3. V`ı (en)n l`a co. so.
’ tru..c chuˆa’n trong H nˆen v´o.i mo.i x ∈ H ta c´o d¯˘a’ng th´u.c Parseval: ∞ k X xk = |hx, eni|2. n=1
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 138 w Vˆ
a.y lim hx, eni = 0 hay en → 0. Do A compact nˆen Aen → 0. n→∞ 4. a) Gia’ su. ’ λ /
∈ σ(A). Nhu. thˆe´ (A − λI) l`a ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi nˆen tˆo `n ta.i m > 0 d¯ˆe’ m kxk ≤ k(A − λI)xk. L´ uc d¯´
o m kxnk ≤ k(A − λI)xnk → 0. D - iˆe
` u n`ay vˆo l´y v`ı kxnk = 1 v´o.i mo.i n. ∞ ∞ 5. Ta c´ o X = S X S n v´
o.i Xn = B0(0, n) nˆen R(A) = A(X) = A(Xn). n=1 n=1 Mˆ o˜i tˆ
a.p A(Xn) l`a compact tu.o.ng d¯ˆo´i nˆen tˆo
`n ta.i tˆa.p Bn d¯ˆe´m d¯u.o..c tr`u mˆa.t ∞ trong A(X S n). L´ uc d¯´ o B = Bn d¯ˆe´m d¯u.o. . c v` a tr` u mˆ a.t trong R(A). n=1 6. Gia’ su. ’ N (Aλ) vˆo ha.n chiˆe ` u nˆen tˆo
`n ta.i mˆo.t d˜ay (xn)n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trong N (Aλ). D
- ˘a.t Xn = h{x1, . . . , xn}i l`a c´ac khˆong gian con d¯´ong cu’a X. V`ı
Xn ⊂ Xn+1 v`a Xn 6= Xn+1, n = 1, 2 . . . nˆen ´ap du.ng Bˆo’ d¯ˆe ` Riesz ta thˆa´y tˆo `n ta.i c´ac phˆa
` n tu.’ zn ∈ Xn : kznk = 1, kzn − xk > 1/2 v´o.i mo.i x ∈ Xn−1. V`ı Azn = λzn nˆen
kAzn − Azmk = |λ| kzn − zmk > 1/2|λ|. Vˆ
a.y khˆong thˆe’ c´o d˜ay con cu’a d˜ay (Azn)n hˆo.i tu. d¯u.o..c, tr´ai v´o.i gia’ thiˆe´t A compact. 7. V`ı X l` a khˆong gian Banach vˆ o ha.n chiˆe ` u nˆen tˆo
`n ta.i mˆo.t d˜ay (zn) c´ac phˆa`n tu.
’ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. D
- ˘a.t Zn = h{z1, . . . , zn}i v`a ´ap du.ng Bˆo’ d¯ˆe` Riesz (Bˆo’ d¯ˆe` 4.5 Chu.o.ng 1), ta thˆ a´y tˆo
`n ta.i d˜ay (yn)n sao cho kynk = 1, kyn −ymk ≥ 1/2, m 6= n. V`ı A compact nˆen c´ o mˆ
o.t d˜ay con cu’a (yn)n sao cho (Ayn)n hˆo.i tu. trong X. L´uc n`
ay Ayn+1 − Ayn = A(yn+1 − yn) → 0, (n → ∞). D - ˘a.t y x n+1 − yn n = th`ı kx ky nk = 1 v`a n+1 − ynk 1 kAxnk = kA(y ky
n+1 − yn)k ≤ 2kAyn+1 − Aynk. n+1 − ynk Vˆ a.y Axn → 0 khi n → ∞. 8. Ta c´ o H = N (A∗λ) ⊕ R(Aλ)
a. Nˆe´u R(Aλ) 6= H th`ı N (A∗ ) λ 6= {0}. Suy ra tˆo
`n ta.i x 6= 0 sao cho (A∗ −
λ I)x = 0 hay Ax = λx v`ı A = A∗. Ho.n n˜ u.a A tu.
. liˆen hiˆe.p nˆen λ = λ ∈ R. Vˆ a.y λ l` a mˆ
o.t gi´a tri. riˆeng cu’a A.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 139
b. Nˆe´u R(Aλ) 6= H v`a N (A∗ ) = λ
{0} th`ı suy ra Aλ l`a d¯o.n ´anh nhu.ng khˆong to` an ´ anh. Vˆ a.y λ ∈ σ(A).
c. Nˆe´u H = R(Aλ) th`ı Aλ song ´anh liˆen tu.c nˆen n´o l`a ph´ep d¯ˆo `ng phˆoi, ngh˜ıa l` a λ ∈ ρ(A).
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 140 Phu . lu . c . ´ . NH ˜ U NG KI ˆ EN TH ´ U C ˆ ON LA . I
Phu. lu.c na`y co´ mu.c d¯ı´ch nh˘a´c la.i mˆo.t sˆo´ kha´i niˆe.m va` d¯i.nh ly´ chu’ yˆe´u cu’a phˆ a `n co. so.
’ gia’i tı´ch ma` sinh viˆen d¯a ˜ d¯u.o. . c ho.c o. ’ ca ´ c ho.c phˆa `n tru.´o.c. Ca ´ c kiˆe ´n th´ u.c na `y d¯u.o. . c du `ng kha ´ thu.` o.ng xuyˆen trong gia ´ o trı`nh. 1. Bˆ o’ d ¯ˆ e ` Zorn. Gia’ su.
’ G l`a mˆo.t tˆa.p ho..p bˆa´t k`y, trˆen d¯´o c´o mˆo.t quan hˆe. th´u. tu.. bˆo. phˆa.n k´y
hiˆe.u ≤, ngh˜ıa l`a ≤ thoa’ m˜an
a. ∀x ∈ G : x ≤ x (t´ınh pha’n xa..
b. ∀x, y ∈ G nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y (t´ınh pha’n x´u.ng)
c. ∀x, y, z ∈ G, nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ z th`ı x ≤ z (t´ınh b˘a´c cˆa ` u). Gia’ su.
’ A l`a mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu’a G. Tˆa.p A d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p s˘a´p th˘a’ng (hay s˘ a
´p tuyˆe´n t´ınh ) theo quan hˆe. th´u. tu.. ≤ nˆe´u v´o.i mo.i a ∈ A, b ∈ A ta c´o
a ≤ b ho˘a.c b ≤ a (ngh˜ıa l`a v´o.i hai phˆa
` n tu.’ bˆa´t k`y cu’a A d¯ˆe
` u c´o thˆe’ so s´anh v´o.i nhau). – Phˆ a
` n tu.’ x0 ∈ G d¯u.o..c go.i l`a cˆa.n trˆen (t.u.., cˆa.n du.´o.i) cu’a tˆa.p A nˆe´u v´o.i
mo.i a ∈ A ta c´o a ≤ x0 (t.u.., x0 ≤ a). – Phˆ a
` n tu.’ x0 ∈ G d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ tˆo´i d¯a.i cu’a G nˆe´u v´o.i mo.i x ∈ G m`
a x0 ≤ x th`ı x0 = x. Do d¯´o nˆe´u x0 l`a mˆo.t phˆa
` n tu.’ tˆo´i d¯a.i cu’a G v`a z ∈ G th`ı:
• ho˘a.c z khˆong so s´anh d¯u.o..c v´o.i x0.
• ho˘a.c z so s´anh d¯u.o..c v´o.i x0 th`ı z ≤ x0. Bˆ o’ d ¯ˆ e ` Zorn. Gia’ su. ’ G l` a mˆ o . t tˆ a . p ho. . p kh´ ac trˆ o´ng, trˆ en d ¯´ o c´ o mˆ o . t quan hˆ e . th´ u. tu. . bˆ o . phˆ a . n ≤. Nˆ e´u mo . i tˆ a . p con s˘ a ´p th˘a’ng cu’a G d¯ˆe ` u c´ o cˆ a . n trˆ en th`ı trong G c´ o ´ıt nhˆ a´t mˆ o . t phˆ a ` n tu. ’ tˆ o´i d ¯a . i. Bˆ o’ d¯ˆe
` n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i mˆo.t tiˆen d¯ˆe
` , c´o tˆen l`a tiˆen d¯ˆe ` cho.n. 2. Ca ´ c d ¯i.nh ly ´ vˆ e ` pha.m tru` Baire. D - i.nh ngh˜ıa.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 141
• Cho M l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian mˆetric X. Ta go.i M l`a tˆa.p khˆong d ¯ˆ au tr` u mˆ a . t (hay c`
on go.i l`a tˆa.p ho..p thu.a) nˆe´u n´o khˆong tr`u mˆa.t trong bˆa´t k`ı h`ınh cˆ a
` u n`ao ca’. N´oi mˆo.t c´ach tu.o.ng d¯u.o.ng: ◦
(M ⊂ X l`a tˆa.p khˆong d¯ˆau tr`u mˆa.t) ⇔ (M = ∅).
• Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a khˆong gian mˆetric X. Ta go.i A l`a tˆa.p thuˆo.c pha . m tr` u I trong X nˆ e´u tˆo
`n ta.i mˆo.t d˜ay c´ac tˆa.p khˆong d¯ˆau tr`u mˆa.t A1, A2, . . . , ∞ sao cho A = S Ai. i=1 Tˆ
a.p A ⊂ X d¯u.o..c go.i l`a thuˆo.c pha.m tr`u II nˆe´u n´o khˆong pha’i l`a tˆa.p thuˆo.c pha.m tr`u I. D
- i.nh l´ı. (Baire) Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric d¯ˆa`y d¯u’. Khi d¯´o X l`a tˆ a . p thuˆ o . c pha . m tr` u II. Hˆ
e. qua’. Gia’ su.’ X l`a mˆo.t khˆong gian mˆetric d¯ˆa ` y d¯u’ v` a (An)n l` a d˜ ay c´ ac ∞ ◦ tˆ a S . p con cu’a X sao cho X = An. Khi d¯´o tˆo
`n ta.i n0 ∈ N sao cho An 6= ∅. n=1 3. Xˆ a´p xı’ h` am liˆ en tu . c b˘ a `ng d ¯a th´ u.c. Gia’ su.
’ C[a,b] l`a khˆong gian mˆetric c´ac h`am sˆo´ liˆen tu.c trˆen [a, b] v´o.i mˆetric
d = “ max ”. K´ı hiˆe.u W l`a tˆa.p c´ac d¯a th´u.c g x´ac d¯i.nh trˆen [a, b] c´o da.ng g(x) = a0 + a1x + · · · + anxn. D
- i.nh l´ı Weierstrass I. Mˆo˜i h`am sˆo´ liˆen tu.c f ∈ C[a,b] l`a gi´o.i ha.n cu’a mˆo.t d˜ ay d ¯a th´ u.c hˆ o . i tu . d ¯ˆ e ` u. N´ oi c´ ach kh´
ac, v´o.i mo.i f ∈ C[a,b], ta c´o
∀ > 0, ∃ g ∈ W : d(f, g) = max |f(x) − g(x)| < . x∈[a,b] Hˆ
e. qua’ V´o.i mo.i f ∈ C[a,b] v`a mo.i > 0 d¯ˆe ` u tˆ o
`n ta.i d¯a th´u.c g∗ ∈ W v´o.i hˆe. sˆ o´ h˜ u.u tı’ sao cho
d(f, g∗) = max |f (x) − g∗(x)| < . x∈[a,b] D
- i.nh l´ı Weierstrass II. V´o.i mˆo˜i h`am sˆo´ liˆen tu.c f trˆen R, tuˆa`n ho`an theo chu k`ı 2π v` a v´ o.i mˆ o ˜i sˆo´ du.o.ng , s˜e tˆo
`n ta.i mˆo.t d¯a th´u.c lu.o. . ng gi´ ac
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 142 n a X s(x) = 0 + (a 2 k cos kx + bk sin kx) k=1 sao cho v´ o.i mo . i x ∈ R ta c´ o |f(x) − s(x)| < . 4. D - i.nh l´ı Ascoli- Azel`a. Cho A l` a mˆ
o.t tˆa.p con cu’a khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n C[a,b] v´o.i chuˆa’n “max”. Ta nh˘
a´c la.i c´ac kh´ai niˆe.m sau d¯ˆay. 1. Tˆ
a.p A d¯u.o..c go.i l`a bi. ch˘a.n ta.i x0 ∈ [a, b] nˆe´u c´o K > 0 sao cho v´o.i mo.i
f ∈ A ta c´o |f (x0)| ≤ K. Tˆa.p A d¯u.o..c go.i l`a bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m (t.u.., bi. ch˘a.n d ¯ˆ e
` u) trˆen [a, b] nˆe´u A bi. ch˘a.n ta.i mo.i d¯iˆe’m x ∈ [a, b] (t.u.., (∃M > 0) sao cho v´o.i
mo.i f ∈ A, x ∈ [a, b] th`ı |f(x)| ≤ M). 2. Tˆ
a.p A d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆo
`ng liˆen tu.c ta.i x0 ∈ [a, b] nˆe´u mo.i > 0 tˆo`n ta.i δ > 0 sao cho v´
o.i mo.i x ∈ [a, b], mo.i f ∈ A, nˆe´u |x − x0| < δ th`ı |f(x) − f(x0)| < . Nˆe´u A d¯ˆ o
`ng liˆen tu.c ta.i mo.i x ∈ [a, b] th`ı ta n´oi A l`a d¯ˆo`ng liˆen tu.c trˆen [a, b]. 3. Tˆ
a.p A d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆo `ng liˆen tu.c d¯ˆe
` u trˆen [a, b] nˆe´u v´o.i mo.i > 0 tˆo`n ta.i
δ > 0 sao cho v´o.i mo.i x, y ∈ [a, b], mo.i f ∈ A, nˆe´u |x−y| < δ th`ı |f(x)−f(y)| < . D
- i.nh l´ı. Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p compact tu.o.ng d¯ˆo´i trong C[a,b]. Khi d¯´o tˆa.p A bi. ch˘a.n d¯ˆe ` u v` a d ¯ˆ o `ng liˆen tu.c d¯ˆe ` u trˆen [a, b]. Ngu.o. . c la . i, cho A l` a mˆ o . t tˆ a . p con cu’a khˆ
ong gian C[a,b] thoa’ m˜an hai d¯iˆe ` u kiˆ e . n la
` A bi. ch˘a.n t`u.ng d¯iˆe’m va` d¯ˆo
`ng liˆen tu.c trˆen [a, b]. Khi d¯´o A l`a mˆo.t tˆa.p ho. . p compact tu.o.ng d ¯ˆ o´i trong C[a,b].
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 143 T ` AI LI ˆ E . U THAM KHA ’ O [ 1] Phan D
- ´u.c Ch´ınh, Gia’i t´ıch h`am, T.1, Nxb. D
- a.i ho.c v`a Trung ho.c chuyˆen nghiˆe.p, H`a nˆo.i 1978. [ 2] Cˆ onmˆ ogˆ orˆ o´p, Phˆ omin, Co. so.
’ l´ı thuyˆe´t h`am v`a gia’i t´ıch h`am, T.1,2 (ba’n
di.ch tiˆe´ng Viˆe.t), Nxb. Gi´ao du.c, H`a nˆo.i 1971. [ 3] Dieudonn´e, Co. so.
’ gia’i tich hiˆe.n d¯a.i, T.1, (ba’n di.ch tiˆe´ng Viˆe.t), Nxb. D - a.i
ho.c v`a Trung ho.c chuyˆen nghiˆe.p, H`a nˆo.i 1973. [ 4] Nguyˆe ˜n D
- i.nh, Nguyˆe˜n Hoa`ng, Ha`m sˆo´ biˆe´n sˆo´ thu..c, Nxb. Gia´o du.c, 1999. [ 5] Nguyˆe
˜n Xuˆan Liˆem, Gia’i tı´ch ha`m, NXB Gi´ao du.c, H`a nˆo.i, 1994. [ 6] Ho`
ang Tu.y, Gia’i t´ıch hiˆe.n d¯a.i, T.2,3 Nxb. Gi´ao du.c, 1978.
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 144 MU . C LU . C L` o.i n´ oi d ¯ˆ a ` u . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chu.o.ng 1. Khˆ ong gian tuyˆ e ´n tı ´nh d ¯i.nh chuˆa’n
§1. Khˆong gian tuyˆe´n tı´nh . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n . . . . . . . . . . . . . 11 §3. ´
Anh xa. tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . 22
§4. Khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n h˜u.u ha.n chiˆe `u . . . . . . . . . 31 Chu.o.ng 2. Ba nguyˆ en ly ´ cu’a gia’i tı ´ch ha `m-Khˆ ong gian liˆ en hiˆ e.p
§1. Nguyˆen ly´ bi. ch˘a.n d¯ˆe `u . . . . . . . . . . . . . . 36
§2. Nguyˆen ly´ a´nh xa. mo.’ . . . . . . . . . . . . . . 38 §3. D - i.nh ly´ Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 42
§4. Khˆong gian liˆen hiˆe.p . . . . . . . . . . . . . . 48 §5. Hˆo.i tu. yˆe´u . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chu.o.ng 3. Ca ´ c khˆ ong gian Lp(E, µ)
§1. Ca´c bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c quan tro.ng . . . . . . . . . . . 59
§2. Ca´c khˆong gian Lp(E, µ). . . . . . . . . . . . . . 62
§3. Tı´nh kha’ ly cu’a khˆong gian Lp(E, µ). . . . . . . . . . 65 §4. Khˆong gian L∞(E, µ). . . . . . . . . . . . . . . 68
§5. Khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a khˆong gian Lp(E, µ). . . . . . . 69 Chu.o.ng 4. Khˆ ong gian Hilbert
§1. Kha´i niˆe.m khˆong gian Hilbert . . . . . . . . . . . 72
§2. Kha´i niˆe.m tru..c giao-Hı`nh chiˆe´u . . . . . . . . . . . 78
§3. Khˆong gian liˆen hiˆe.p . . . . . . . . . . . . . . 93
§4. Toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert . . . . . . . 96
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com) lOMoARcPSD|2455388 145 Chu.o.ng 5. Toa ´ n tu. ’ compact va ` phˆ o’ cu’a toa ´ n tu. ’ §1. Toa´n tu.’ compact . . . . . . . . . . . . . . 102
§2. Phˆo’ cu’a toa´n tu.’ liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . 104
§3. Toa´n tu.’ compact tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert . . . 108 Hu.´ o.ng dˆ a ˜n va ` gia’i ba `i tˆ a . p. . . . . . . . . . . . . . 117 T` ai liˆ
e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Mu . c lu . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Downloaded by Trinh Linh (trinhlinh081998@gmail.com)