Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Bài 1
Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: GA + GB + GC = . Gợi ý đáp án
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên: Vậy: Bài 2
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: a) BM = CN; b) cân tại G. Gợi ý đáp án
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB nên AM = AN.
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AM = AN; chung; AB = AC. Vậy (c.g.c) hay BM = CN.
b) G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Hay: ;
. Mà BM = CN nên GB = GC.
Vậy tam giác GBC cân tại G. Bài 3
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh: a) GA = GD; b) c) CD = 2GN. Gợi ý đáp án
a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra: AG = 2GM. Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên GD = 2GM.
Vậy GA = GD (= 2GM).
b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:
MB = MC (M là trung điểm cạnh BC) (đối đỉnh) GM = GD. Vậy c)
nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).
Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên BG = 2GN. Mà BG = CD nên CD = 2GN. Bài 4
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của
A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh: a) ; b) AG = . Gợi ý đáp án
a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có: AH chung;
(H là hình chiếu của A lên BC nên );
HB = HM (H là trung điểm của BM). Vậy (c.g.c). b)
nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: . Mà AB = AM suy ra: . Bài 5
Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt
mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là
trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.
a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?
b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất. Gợi ý đáp án a) Vì cân tại A nên AB = AC
Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BH = HC = Xét và có: AH chung AB = AC BH = HC ( 2 góc tương ứng) Mà
Vậy AH có vuông góc với BC.
b) Vị trí O ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách OH.
Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng 3,3.3 = 9,9(m).
Mà O là trọng tâm tam giác ABC nên . Vậy
Vậy vị trí O ở độ cao: 9,9 + 0,4 = 10,3m so với mặt đất.