lOMoARcPSD|36451986
Chương 1: TĨNH HỌC
Nội dung chương này trình bày về mối liên hệ giữa lực tác dụng và trạng thái cân bằng đứng
yên của vật rắn. Cụ thể sinh viên phải nắm được hai nội dung chính quan trọng: (1) Thu gọn hệ
lực phức tạp về một hệ lực đơn giản; (2) Điều kiện đối với hệ lực mà dưới tác dụng của hệ vật
rắn đạt trạng thái cân bằng.
§1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. Lực
Khái niệm lực: Là đại lượng vật lý đặc trưng cho mức độ tương tác giữa các vật. Là
nguyên nhân gây ra sự thay đổi chuyển động và sự biến dạng của các vật trong tương tác.
Khi tác dụng lực lên vật luôn đi kèm theo ba thông tin: phương tác dụng, chiều tác
dụng và cường độ tác dụng. Vì vậy công cụ toán học tương ứng dùng để mô tả lực là
“vector”, gọi là vector lực, ký hiệu: F .
Phương tác dụng lực là các đường thẳng song song với vector lực, đặc biệt đường
thẳng chứa vector lực được gọi là giá của lực hoặc đường tác dụng lực.
Có một lưu ý rất quan trọng về vector lực đó là điểm đặt lực, cụ thể điểm đặt lực
luôn nằm trên vật bị tác dụng lực. Phương của lực, đồng
thời cũng là giá của lực Điểm đặt lực F
Lực căng dây tác dụng lên vật,
điểm đặt lực này nằm trên vật. Và Phương của lực
lực bàn tay tác dụng lên dây, điểm
đặt nằm trên sợi dây.
II. Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn là tập hợp nhiều hạt(hệ hạt) trong đó các hạt liên kết chặt với nhau, do đó
khối vật chất giữ được hình dạng của nó. Ví dụ 1:
 Khối cát gồm rất nhiều hạt cát rời rạc, khi được cho thêm nước xi măng để
liên kết các hạt cát này lại ta được khối bê tông. Khối cát rời rạc ban đầu trở thành vật rắn.
 Khối nước lỏng chứa rất nhiều phân tử nước, mỗi phân tử xem như là hạt.
Khi đông đặc dưới nhiệt độ thấp các phân tử nước lúc này đã liên kết chặt với
nhau, ta thu được khối nước đá là một vật rắn. 1
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Có một thực tế là trong nhiều trường hợp khi chịu lực tác dụng, vật rắn hoàn toàn có
thể bị biến dạng hoặc phá hủy, do đó trong cơ học đưa ra khái niệm “vật rắn tuyệt đối”.
Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong vật luôn luôn
không đổi khi chịu tác dụng lực từ bên ngoài. Hay, dưới tác dụng của lực bên ngoài vật
rắn không bị phá hủy hoặc biến dạng.
Như vậy, khi xem xét vật có là rắn tuyệt đối hay không ta phải xét đến hoàn cảnh các
lực tác dụng. Vật hoàn toàn thỏa mãn là rắn tuyệt đối, nghĩa là nó không bị biến biến
dạng hoặc phá hủy dưới tác dụng của lực, thì mới được áp dụng cơ học vật rắn.
Từ đây trở đi, khi nói về “vật rắn” chúng ta qui ước đang nói về vật rắn tuyệt đối.
Ví dụ 2: Các vật sau đây có phải là vật rắn tuyệt đối: (1) khối kim cương; (2) chiếc lá khô rơi trong gió?.
III. Trạng thái cân bằng
Trong đời sống, cân bằng được hiểu là vật giữ nguyên trạng thái mong muốn trong
một thời gian đủ dài, ví dụ như chiếc mô tô di chuyển bằng một bánh, người đi trên sợi
dây,… Tuy nhiên trong cơ học “cân bằng” không được hiểu với nghĩa như vậy.
Trong cơ học, vật rắn được coi là cân bằng khi trạng thái chuyển động của vật không
đổi. Chỉ có hai trang thái thỏa mãn định nghĩa trên là: đứng yên và chuyển động thẳng
đều. Như đã biết, chuyển động có tính tương đối, nên khi khảo sát chuyển động chúng ta
phải chọn hệ qui chiếu. Từ đó khái niệm cân bằng phải được xét trong hệ qui chiếu chọn
trước. Thông thường chúng ta hay chọn mặt đất làm mốc, làm hệ qui chiếu để so sánh
chuyển động các vật khác, vậy vật rắn đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt
đất chính là vật rắn đang cân bằng.
Trong chương này, chúng ta chỉ xét đến trường hợp đứng yên so với mặt đất, và gọi là cân bằng tĩnh. IV. Momen lực
1) Tác dụng làm quay của lực
Theo định luật Newton F  .
m a , lực tác dụng lên hạt làm thay đổi tốc độ hoặc
phương chuyển động, lực càng lớn thì gia tốc càng lớn, nghĩa là tác động thay đổi càng
mạnh. Ngoài ra, lực còn gây nên chuyển động quay, tuy nhiên thực nghiệm cho thấy tác
động gây ra chuyển động quay không tuyến tính như đối với hạt. Cụ thể lực lớn không
hẳn gây ra chuyển động quay tốt hơn lực nhỏ, hai lực bằng nhau về cường độ lại có khả
năng làm quay hoàn toàn khác nhau. Xét tình huống sau.
Để quay bánh xe người ta dùng lần lượt hai lực F , F cùng 1 2 độ lớn là F r 1
100N, đặt lực F vào trước, sau đó gỡ bỏ và đặt vào 1
F . Kết quả cho thấy F hoàn toàn không có khả năng làm 2 1 F 2
quay(hay tác dụng làm quay) bánh xe, với trường hợp lực F 2 bánh xe quay được. 2
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Như vậy hai lực bằng nhau về độ lớn nhưng tác dụng làm quay bánh xe hoàn toàn
khác nhau. Dẫn đến vấn đề đặt ra là phải xác định đại lượng đo tác dụng làm quay của
lực, đại lượng này có tên là Momen lực.
Mặt khác chuyển động quay có hai dạng là quay quanh một trục và quay quanh một
điểm, tương ứng với hai loại momen được trình bày dưới đây.
2) Vector Momen của lực đối với trục
Khi nghiên cứu về tác dụng làm quay của lực quanh một trục , người ta thấy rằng
có hai yếu tố quyết định. Thứ nhất là khoảng cách từ trục quay đến điểm đặt lực (r) , thứ
hai là độ lớn hình chiếu lực lên phương tiếp tuyến quĩ đạo điểm đặt lực (F ) . t
Đại lượng M  r.F 
được định nghĩa dùng để đo cường độ tác dụng làm quay của t
lực, hay thường gọi là Momen lực F đối với trục Tiếp tuyến quay. quĩ đạo
Thông thường momen lực được điểm đặt lực tính bằng công
thức M  F.d d 
, d là khoảng cách từ trục quay tới
đường tác dụng của lực F , gọi là cánh tay đòn. r
Thực tế, ngoài tác dụng làm quay mạnh hay yếu F được đo bằng M F
, mỗi lực chỉ có khả năng làm t
quay trên một mặt phẳng xác định, với chiều làm
quay xác định. Để biểu thị đầy đủ những thông tin
này, người ta định nghĩa vector momen lực
M  r  F  . t
- Phương: Vuông góc với mặt phẳng làm quay, nghĩa là trùng với trục quay.
- Chiều: dùng bàn tay phải nắm lấy phương vector momen sao cho chiều từ cổ tay
tới ngón tay trùng với chiều làm quay của lực, ngón cái choãi ra chỉ chiều của vector momen.
Tóm lại, vector momen lực đối với trục đo tác dụng làm quay của lực đối với trục,
nó cho biết tác dụng làm quay mạnh hay yếu, mặt phẳng làm quay và chiều làm quay của lực.
3) Vector Momen của lực đối với điểm
Vector momen lực đối với điểm đo tác dụng làm quay
của lực đối với một điểm, nó cho biết tác dụng làm quay M O
quanh một điểm là mạnh hay yếu, mặt phẳng làm quay và F chiều làm quay. O r d
M  r  F ; M  F.d O
d : khoảng cách từ tâm quay đến đường tác dụng của lực F , gọi là cánh tay đòn của
lực. Ta thấy vector momen lực đối với điểm có phương vuông góc với mặt phẳng chứa r
và F , đây cũng chính là mặt phẳng mà lực F có tác dụng làm quay. Chiều của M được O
xác định thuần túy bằng qui tắc toán học về tích có hướng của hai vector. 3
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 V. Ngẫu lực
Ngẫu lực là cặp lực cùng phương, ngược chiều, cùng độ lớn và không cùng điểm đặt.
Mặt phẳng chứa cặp lực gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực.
Nếu ngẫu lực tác dụng lên vật rắn, ta thấy ngẫu lực M
luôn có xu hướng làm quay vật rắn. Để thể
hiện tác dụng làm quay của ngẫu lực, vector A / F
momen ngẫu lực M đối với tâm quay O bất kỳ d được tính như sau: F  
M  M (F )  M (F ')  OA F  OB  F ' B O O  
 OA F  OB (  F)    
 OA F  OB  F  (OA OB) F   BA F 
Tính tương tự ta cũng thu được: M  ABF '.  
Vậy: M  BAF  ABF ' .
Ta thấy biểu thức vector momen ngẫu M lực không chứa mối liên quan đến điểm O,
từ đó suy ra tác dụng làm quay của ngẫu lực không phụ thuộc vào tâm quay, có giá trị
như nhau đối với mọi tâm quay.
Dựa vào biểu thức của M , rút ra được các đặc điểm sau:
- Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực.
- Chiều: Nhìn từ ngọn của vector momen ngẫu lực vào mặt phẳng tác dụng, ta
thấy tác dụng làm quay của ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ. 
- Độ lớn: M  F.B .
A sin(F, B )
A  F.d , d là khoảng cách giữa hai đường tác dụng
của cặp lực, được gọi là cánh tay đòn ngẫu lực.
VI. Phản lực liên kết
Vật chịu liên kết là vật bị cản trở khi di chuyển hoặc có xu hướng di chuyển. Sự cản
trở là do vật khác gây ra, và khi đó tại chỗ tiếp xúc xuất hiện sự tương tác lực, vật sẽ tác
dụng lực lên vật cản trở và ngược lại nhận phản lực từ vật cản gọi là phản lực liên kết.
Ví dụ 3: Xét vật là tivi có xu hướng
chuyển động đi xuống nhưng bị chặn lại bởi Phản lực mặt bàn tác dụng
mặt bàn. Khi đó mặt bàn là vật liên kết và lên tivi
tivi là vật chịu liên kết. Tại vị trí
tiếp xúc, tivi nén lên mặt bàn một Lực tivi Trọng lực tác
lực và mặt bàn phản lại tivi một lực. tác dụng dụng lên tivi lên mặt
Hai lực này được gọi là cặp lực liên bàn kết
, và phản lực mặt bàn tác dụng
lên tivi được gọi là phản lực liên kết, còn lực tivi nén lên bàn được gọi là áp lực. 4
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Dưới đây khảo sát một số trường hợp phản lực liên kết thông dụng, tất cả các trường
hợp đều giả định không có lực ma sát tại vị trí tiếp xúc.
1) Liên kết tựa nhẵn
Khi vật tựa lên một vật khác, chuyển động của vật chỉ bị cản trở theo phương pháp
tuyến với về mặt của vật tại vị trí tiếp xúc. Khi đó vật nén lên bề mặt và nhận được phản
lực liên kết từ bề mặt.
Phản lực liên kết tác dụng lên vật tại vị trí tiếp xúc sẽ có phương trùng với pháp
tuyến bề mặt, có chiều hướng ra xa bề mặt, ký hiệu là N .
Mô hình trong cơ kỹ thuật, liên kết tựa nhẵn được ký hiệu:
2) Liên kết bản lề trụ
Bản lề trụ bao gồm một lõi trục và vỏ hình trụ bao ngoài trục,
vỏ trụ quay tự do quanh trục. Bản lề cửa như hình bên là một ví
dụ. Vật bị liên kết ta xét trong liên kết bản lề trụ là vỏ trụ, phản
lực liên kết tác dụng lên vỏ trụ nằm trong mặt phẳng vuông góc
với lõi trục, có phương chiều bất kỳ phụ thuộc vào áp lực mà vỏ R
trụ tác dụng lên lõi trụ R c, ký hiệu là R . y
Để xác định R ta chọn hệ tọa độ Oxy nằm trong mặt phẳng
vuông góc với lõi trục(mặt phẳng này chứa lực R ) và tìm hai tọa R độ x
R , R của nó. x y
Mô hình trong cơ kỹ thuật, liên kết bản lề trụ được ký hiệu:
Tổng quát hơn, liên kết bản lề trụ là liên kết cho phép vật rắn quay quanh một trục,
vật rắn được xem là vật liên kết và phản lực trục quay tác dụng lên vật rắn là phản lực
liên kết bản lề trụ. Phản lực trục quay nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay, có
phương chiều không xác định, được phân tích thành hai thành phần vuông góc với nhau trên mặt phẳng này. 5
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
3) Liên kết bản lề cầu
Vật liên kết có một đầu hình cầu và đầu này được chứa trong một
hốc hình cầu, cho phép vật rắn có thể quay quanh một điểm trong
không gian. Phản lực R hốc cầu tác dụng lên quả cầu sẽ có phương
chiều bất kỳ trong không gian.
Để xác định R ta chọn trục tọa độ Oxyz và tìm các tọa độ tương ứng R , R , R . x y z
4) Liên kết dây mềm
Vật bị liên kết bởi dây mềm có phản lực liên kết ký hiệu là T , phương trùng với dây và chiều hướng ra.
5) Liên kết thanh nhẹ
Vật liên kết được nối với thanh nhẹ(bỏ qua khối lượng thanh) bằng liên kết bản lề trụ,
cầu,.. đầu kia của thanh cũng là liên kết bản lề, thanh có thể thẳng hoặc cong. Phản lực
liên kết tác dụng lên vật có đường tác dụng đi qua hai đầu thanh nhẹ.
Hình bên mô tả hai thanh nhẹ AO và BO liên kết với vật 1 2
rắn hình chữ nhật tại hai điểm A và B. Phản lực liên kết tác dụng
lên vật rắn là S ,S . S nằm trên đường thẳng đi qua A và O , A B A 1
S nằm trên đường thẳng đi qua hai đầu thanh là B và O . B 2
6) Liên kết ngàm 2 chiều
Vật liên kết bị gắn cứng với vật gây liên kết thì ta có liên kết ngàm, ví dụ định đóng
cứng vào gỗ hoặc cột điện chôn xuống đất. Có hai dạng liên kết ngàm là ngàm hai chiều và ngàm không gian.
Xét ngàm 2 chiều như hình bên, dưới tác dụng của áp R Q lực F '
Q tại A, B xuất hiện cặp lực F, F ' tạo thành một ngẫu
lực và có một phản lực liên kết R tồn tại ở B. A B F
VII. Lực tập trung và lực phân bổ
Lực tâp trung là lực đặt tại một điểm vào vật rắn, ngược lại lực phân bổ đặt vào một
khu vực trên vật, khu vực có thể là một đoạn thẳng, đoạn cong hoặc một diện tích.
Để tính toán ta thường đưa lực phân bổ về thành một lực tập trung, bằng cách tìm độ
lớn tổng cộng và điểm đặt lực. Dưới đây xét tình huống đơn giản, lực phân bổ trên đoạn thẳng.
Trường hợp đơn giản nhất, lực phân bổ trên đoạn thẳng
AB  a với cường độ không đổi q(N / m) . Lực phân bổ này tương A B 6
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
đương với một lực tập trung có độ lớn Q  .
q a và điểm đặt tại trung điểm đoạn AB.
Trường hợp lực phân bổ trên đoạn thẳng AB  a với cường độ thay đổi theo vị trí
q  q(x) . Lực phân bổ này tương đương với lực tập y
trung có độ lớn Q , điểm đặt tại vị trí X , xác định theo công thức:
q  q(x) xB Q  q(x).dx  A B xA O x x 1 B X  q(x). . x dx  Q xA
Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, Q chính là diện tích hình thang cong. Từ đó
nếu gặp những diện tích có thể sử dụng cách tính hình học, ta nhanh chóng tìm được Q .
Ví dụ 4: Lực phân bổ trên đoạn thẳng AB  a với cường độ giảm dần đều, lớn nhất
tại A với giá trị là q và giảm dần về 0 tại B. Tìm Q và điểm đặt lực. Giải
Chọn hệ trục Oxy, hàm q  q(x) là đường thẳng đi qua hai tọa độ (0,q),(a,0) nên ta q
có: q(x)   x  q . a
Độ lớn Q bằng diện tích hình tam giác ABC: C 1 Q  . q a 2 Điểm đặt: A B x 1 B 1 a q 1 X  q(x). . x dx 
( .x  q). . x dx  a   Q Q a 3 x 0 A 7
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 TÓM TẮT NỘI DUNG 8
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 BÀI TẬP
Bài 1: Xét ròng rọc có trục quay cố định nằm ngang, hãy xác định điểm đặt của lực ròng
rọc nén lên trục quay và phản lực trục quay tác dụng lên ròng rọc.
Bài 2: Tại vị trí tiếp xúc giữa tivi và bàn, hãy xác định điểm
đặt của lực tivi nén lên bàn và phản lực mặt bàn tác dụng lên tivi(hình bên)
Bài 3: Hãy vẽ các phản lực liên kết tác dụng lên cái bàn(hình bên)
Bài 4: Hãy các định phương chiều của vector momen lực động cơ điện của cái quạt trần.
Bài 5: Tìm độ lớn của vector momen đối với một điểm, biết: r  2.i  4. j  6.k (m) và
F  1.i  2. j  3.k (N )
Bài 6: Cho một lực Q tác dụng vào đầu bên phải của
thanh, hãy vẽ ngẫu lực và phản lực liên kết tại liên kết A ngàm 2 chiều. B Q
Bài 7: Cho cơ hệ như hình, vẽ tất cả các lực tác dụng lên thanh AB.
Bài 8: Cho cơ hệ như hình, vẽ tất cả các lực tác dụng lên thanh AB.
Bài 9: Cho cơ hệ như hình, vẽ tất cả các
lực tác dụng lên 2 thanh AB và BC. 9
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
§2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
I. Tiên đề 1, tiên đề về hai lực cân bằng
Điều kiện cần và đủ để vật rắn cân bằng khi chịu tác dụng từ
hai lực F , F là đường tác dụng của hai lực nằm trên một đường F 1 1 2 A
thẳng(cùng đường tác dụng), hai lực ngược chiều nhau và bằng nhau về độ lớn. B F 1
F , F được gọi là cặp lực cân bằng và ký hiệu: (F , F ) ~ 0 1 2 1 2
Ví dụ 1: Ngẫu lực có phải là cặp lực cân bằng hay không?
Tiên đề 1 chỉ ra mối liên hệ giữa trạng thái cân bằng vật rắn và lực tác dụng. Trong
thực tế vật rắn chịu nhiều lực tác dụng, muốn vật rắn đạt được trạng thái cân bằng thì tập
hợp các lực phải tương đương với cặp lực cân bằng.
II. Tiên đề 2, tiên đề về sự tương đương của hệ lực
Nếu ta thêm vào hay bớt đi các cặp lực cân bằng thì chúng sẽ không gây ra bất cứ
tác dụng nào lên vật rắn.
Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dời
điểm đặt của lực trên đường tác dụng. Chứng minh: F F A F 1 A F 1 B F B 2 Một vật có lực
Tại B nằm trên đường tác dụng ta thêm
Sau khi loại bỏ F , F ta tác dụng tạ 2 i A
vào cặp lực cân bằng F , F có độ lớn 1 2
còn lực F  F tại B. bằng lực 1
F . Theo tiên đề 2 thì khi thêm
Như vậy ta đã trượt lực
cặp lực như thế sẽ không gây ra tác
từ A về B trên đường tác
dụng gì với vật rắn. Bây giờ ta thấy F dụng của nó
và F là cặp lực cân bằng, ta tùy ý loại 2
bỏ chúng theo tiên đề 2.
III. Tiên đề 3, tiên đề về qui tắc hình bình hành
Hai lực F , F cùng tác dụng lên vật rắn đặt tại một điểm 1 2
luôn tương đương với một hợp lực F đặt tại điểm đó, hợp lực
được xác định bằng qui tắc cộng vector theo phương pháp hình
bình hành, F  F  F . Ký hiệu: F ~ (F , F ) . 1 2 1 2
Hợp lực F tương đương với hai lực F , F được hiểu là: hai lực F , F đặt tại O gây 1 2 1 2
ra tác dụng cơ học như thế nào thì một mình lực F đặt tại O cũng gây ra tác dụng cơ học
y như thế. Khi F , F tác dụng lên vật rắn tại hai điểm khác nhau, lực F  F  F thường 1 2 1 2
không có tác dụng cơ học tương đương với F , F , lúc này lực F không được gọi là hợp 1 2 lực của hai lực. 10
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Nếu ta có nhiều lực(hệ lực) cùng tác dụng tại một điểm, lần lượt áp dụng tiên đề 3,
mỗi lần một cho cặp lực, thì cũng thu được một hợp lực tương đương cho hệ lực đó.
Một hệ lực ở đó các đường tác dụng của lực trong hệ cắt nhau tại một điểm được gọi
là hệ lực đồng quy. Dùng định lý trượt lực đưa toàn bộ các lực về điểm đồng qui, sau đó
áp dụng tiên đề 3 ta sẽ thu được vector hợp lực đặt tại điểm đồng quy.
Vậy, nếu có hệ lực tác dụng tại một điểm hoặc hệ lực đồng qui, thì luôn tìm được
một hợp lực tương đương với hệ lực đó. Ngược lại, sẽ không tồn tại một hợp lực tương đương với hệ lực.
IV. Tiên đề 4, tiên đề lực và phản lực tác dụng
Khi vật A tác dụng lên vật B một lực FBA F  F A B A B A
thì đồng thời vật B cũng tác dụng B
ngược lại A một lực F
(gọi là phản lực). B A Hai traùi bi va chaïm nhau
Hai lực này cùng đường tác dụng, ngược
chiều và cùng cường độ. F  F AB B A
V. Tiên đề 5, nguyên lý hóa rắn
Nếu dưới tác dụng của hệ lực nào đó một vật biến dạng. Khi vật biến dạng ổn định
và ở trạng thái cân bằng, ta có thể xem vật như vật rắn.
Quy định điều kiện cần để vật thể biến dạng cân bằng là hệ lực tác dụng lên nó phải
thoả mãn các điều kiện cân bằng của vật rắn tuyệt đối
VI. Tiên đề 6, tiên đề về giải phóng liên kết
Vật không tự do cân bằng có thể xem là vật tự do cân bằng nếu thay liên kết bằng
các phản lực liên kết. T Tiên đề 6 N
Quả cầu là vật không tự do, nó bị
Quả cầu là vật tự do, đồng
liên kết bởi dây và mặt đứng. Tại
thời chịu tác dụng bởi hai
hai vị trí liên kết này có phản lực
lực liên kết T và N
liên kết tương ứng là lực căng dây
T và phản lực pháp tuyến N
Nhờ tiên đề giải phóng liên kết, các tiên đề phát biểu cho vật rắn tự do vẫn đúng đối với
vật rắn chịu liên kết, khi xem nó là vật rắn tự do chịu tác dụng của hệ lực gồm các lực
hoạt động và các phản lực liên kết tương ứng với các liên kết được giải phóng. 11
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
§3. KHẢO SÁT HỆ LỰC
I. Vector chính và vector moment chính
Với một hệ lực cho trước gồm các lực F , F ,..., F , định nghĩa: 1 2 N N
R  F  F  ...  F   F 1 2 N i i 1 
là vector chính của hệ lực. Vậy vector chính R của hệ lực là tổng các vector lực trong
hệ. Khi chọn một điểm O bất kỳ làm tâm quay, mỗi lực trong hệ có momen đối với O
tương ứng là M (F ),M (F ),...,M (F ), định nghĩa: O 1 O 2 O N N
M  M (F )  M (F )  ...  M (F )  M (F ) O O 1 O 2 O N O i i 1 
là vector momen chính của hệ lực.
II. Thu gọn hệ lực về một điểm
Trong trường hợp tổng quát, hệ lực gồm N lực có điểm đặt nằm bất kỳ trong không
gian, để tính toán với hệ lực người ta tiến hành dịch chuyển các lực trong hệ về cùng một
điểm đặt, khi đó theo tiên đề 3 toàn bộ lực trong hệ sẽ được thay thế bằng một lực tổng
hợp. Qui tắc dời chuyển lực tuân theo định lý dời trục song song.
a) Định lý dời trục song song
Lực F đặt tại A tương đương lực F ' song song cùng chiều, cùng độ lớn đặt tại O và
một ngẫu lực có moment bằng moment của F đối với O. Ký hiệu: F ~ F ',M (F) . O 
Như vậy, khi dời lực song song từ A về O, để có được tác dụng tương đương với lực
ban đầu đặt tại A, ta phải thêm vào một ngẫu lực có momen bằng momen lực F đối với điểm O. Chứng minh: F F ' F A A O F ''
Tại điểm A có 1 lực F , tại điểm O bất
Bây giờ hệ 3 lực bao gồm: lực F ' và ngẫu lực
kỳ ta thêm vào cặp lực cân bằng F ', F '
F , F ' . Momen của ngẫu lực này chính là M (F ) , O
sao cho F  F '  F ' . Theo tiên đề 2,
moment lực F đối với O. Vậy tác dụng của 3 lực
cặp lực cân bằng này không gây ra thêm
là tác dụng của lực F ' và moment M (F) . O bất cứ tác dụng gì.
b) Thu gọn hệ lực về một điểm
Với hệ lực cho trước, ta chọn điểm O bất kỳ, dùng định lý dời trục song song ta lần
lượt loại bỏ từng lực trong hệ theo qui tắc: loại bỏ lực F , thay thế bằng lực ' F đặt tại O i i 12
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 (với '
F  F ) và một momen lực F đối với O. Nghĩa là F được thay đồng thời bằng ' F i i i i i và M (F ) . O i
Kết quả một hệ lực gồm N lực có điểm đặt nằm bất kỳ trong không gian bây giờ trở
thành N lực cùng điểm đặt tại O và N momen lực. Lúc này tổng lực đặt vào hệ là ' ' '
F  F  ...  F và tổng momen M (F )  M (F )  ...  M (F ) . 1 2 N O 1 O 2 O N Ta thấy: ' ' '
F  F  ...  F  F  F  ...  F  R : Vector chính 1 2 N 1 2 N
M (F )  M (F )  ...  M (F )  M : Vector momen chính. O 1 O 2 O N O
Vậy một hệ lực bất kỳ đã được thu gọn, bây giờ tương đương với một vector lực R
và một vector momen M . Ta thấy M phụ thuộc vào điểm O nhưng R thì độc lập với O O O.
III. Điều kiện cân bằng của hệ lực
Hệ lực cân bằng là hệ lực khi đặt vào vật rắn sẽ không gây ra tác dụng chuyển động
cũng như tác dụng quay (quanh một tâm bất kỳ) với vật rắn. Muốn không gây ra tác dụng
chuyển động thì tổng hợp lực triệt tiêu nhau, để không gây ra tác dụng quay thì tổng
momen với một tâm bất kỳ bằng không.
Vậy, điều kiện cân bằng hệ lực là: vector chính và moment chính đối với tâm bất kỳ bằng 0. N N
R   F  0 ,
M   M (F )  0 i O O i i 1  i 1 
Ở chiều ngược lại, một vật rắn đang cân bằng thì suy ra tổng lực đặt vào vật rắn bằng
0, đồng thời tổng momen với một điểm bất kỳ cũng bằng 0.
IV. Khảo sát hệ lực phẳng
Hệ lực mà các đường tác dụng của các lực nằm trong một mặt phẳng gọi là hệ lực
phẳng, hay hệ lực mà các vector lực cùng nằm trong một mặt phẳng. N
Rõ ràng, vector chính R   F nằm trong mặt phẳng chứa các lực, chọn điểm O nằm i i 1  N
trên trong mặt phẳng này thì ta có M  M (F ) vuông góc với mặt phẳng chứa các O O i i 1  lực. Nếu:
 R  0,M  0 ta có hệ lực phẳng cân bằng. O
 R  0,M  0 hệ lực phẳng tương tương với một ngẫu lực. O
 R  0,M  0 hệ lực phẳng tương đương với một hợp lực đặt tại O. O
 R  0,M  0 hệ lực phẳng tương đương với một hợp lực và một ngẫu lực. O
Tuy nhiên nếu áp dụng đảo ngược định lý dịch chuyển lực, ta chọn điểm O’ 13
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 cách O một đoạn M
d để loại bỏ moment ngẫu lực, tìm được O d  , khi đó R
hệ lực phẳng tương đương với hợp lực R đặt tại O’. 14
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 TÓM TẮT NỘI DUNG 15
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986 BÀI TẬP N
Bài 1: Vector chính R  F  F  ...  F   F có phải là lực tổng hợp của hệ lực 1 2 N i i 1 
F , F ,..., F không?, vì sao? 1 2 N
Bài 2: Vật có khối lượng 5kg được treo bởi 2 dây BC, AC như
hình vẽ. Tính các lực căng dây trên BC, AC. Lấy g=10m/s2.
Bài 3: Quả cầu có khối lượng 5kg được treo vào một sợi dây tựa vào một
bức tường. Tính lực do tường tác dụng vào quả cầu và lực tương căng dây
biết góc hợp day và tường là 300.
Bài 4: Hai quả cầu sắt, giống nhau, có khối lượng 5kg đặt vào một cái
hộp gỗ. Tính lực do thành hộp tác dụng vào từng quả cầu và lực tương
tác giữa 2 quả cầu biết góc hợp bởi đường nối tâm 2 quả cầu và phương ngang là 450.
Bài 5: Một bàn đạp OA có trọng lượng P  10 3N , quay dễ dàng
quanh một trục nằm ngang qua O, lò xo gắn vào điểm giữa C. A F
Người ta tác dụng vào đầu A một lực F nằm ngang có độ lớn 20N. C
Bàn đạp ở trạng thái cân bằng khi lò xo có phương vuông góc với O 
OA và OA làm thành một góc 300 so với phương ngang. Tính:
a) Phản lực của lò xo tác dụng lên bàn đạp.
b) Độ cứng của lò xo biết rằng lò xo bị ngắn đi 8cm so với lúc chưa nén
Bài 6: Cho cơ hệ cân bằng như hình vẽ. AB=2m,
q=10kN/m. Tính các lực liên kết ở A, B biết 0   30 .
Bài 7: Cho cơ hệ cân bằng như hình vẽ. Thanh AB có khối lượng
phân bố đều, trọng lượng 200N. Tính các lực liên kết ở A và lực căng dây B biết 0   60 . 16
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 8: Cho hệ cơ học như hình vẽ: Vật m = 10kg; BC = 40cm;  =
300, lấy g = 10m/s2. Tại B là liên kết bản lề trụ.
a) Tính lực căng dây CA và phản lực của tường khi thanh AB rất C
nhẹ. b) Nếu thanh AB đồng chất có trọng lượng P = 60N thì lực căng
dây T của dây CA và phản lực của tường lên thanh AB là bao nhiêu?  B A m
Bài 9: Cho hệ cơ học như hình vẽ: Thanh AB = 3m, trọng D
lượng 100N. Vật m có trọng lượng P = 50N. Thanh AB được
giữ cân bằng nhờ dây CD; góc  = 450. Tính các lực tác dụng 
lên thanh AB, biết AC = 2m. Tại A là liên kết bản lề trụ. A C B m
Bài 10: Một cái thang có khối lượng 10kg. Thang được dựng tựa
không ma sát vào bức tường hợp với tường góc  . Coi thang có phân
bố khối lượng đều theo chiều dài. Xác định các lực tác dụng vào thang.
Bài 11: Thanh AB đồng chất, tiết diện đều, có khối lượng 20kg. Thanh
AB được tựa tự do lên sàn tại đầu B, đầu A được giữ bởi dây treo AO.
Bỏ qua khối lượng dây AO, lấy g=10m/s2.
Xác định các lực tác dụng lên đầu B của thanh và lực căng của sợi dây.
Bài 12: Một giàn có bệ đỡ là bản lề cố
định tại A và gối di động B. Giàn có
trọng lượng P=40kN chịu lực ép tổng hợp
của gió theo phương ngang là F=10kN
cách AB là d=2m. Tìm phản lực tại A, B biết AB=10m, 0   30 . 17
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 13: Cho cơ hệ như hình vẽ. Thanh
AB được giữ chặt bởi ngàm A. Khớp B là
bản lề trụ. Hệ lực phân bố tam giác có q=1000N/m, AB=1,5m, 1
BD  BC . Tính 3
các lực liên kết ở A, B, C biết P 1000N , 0   30 .
Bài 14: Cho cơ hệ như hình vẽ. Thanh AB được giữ chặt
bởi ngàm A. Khớp B là bản lề trụ, C là gối di động. Tính
các lực liên kết ở A, B, C biết 0
Q  4kN ,    60 ,
BD  DC , các thanh AB, BC phân bố đều, có khối lượng là 200kg.
Bài 15: Hệ cân bằng như hình vẽ. A, B là các bản lề trụ, hệ tựa lên các gối đỡ tại C, E.
AE=2m, EB=1m, BD=2CD, q  1kN m , 0
P  2kN ,  60 . Bỏ qua khối lượng các thanh.
Tính các phản lực tại A, B, C, D.
Bài 16: Cho một hệ gồm hai thanh AB và BE
như hình. Thanh AB có trọng lượng
P  200N , thanh BC có trọng lượng 1
P  160N , AB  1 1 a, BD  a, BC  , b EC  b . 2 3 3
Tìm phản lực liên kết tại A, D, E. Cho 0   30
Bài 17:Cho cơ hệ cân bằng như hình vẽ. AB=1,5m, mAB =100kg,
khối lượng phân bố đều. AB=3AE. q=500N/m, 0   30 . Thanh DE nhẹ.
Tính các lực liên kết ở A, E. 18
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 18: Hệ vật chịu liên kết như hình. Biết P=5kN, M=30kNm,
q=0,9kN/m, AB=5m, BI=CI=2m, 0   30 .
Tính phản lực tại A, B và C.
Bài 19: Hệ như hình vẽ. B là bản lề trụ, các thanh AB, BC, ED nhẹ.
Hệ được cân bằng bởi ngàm A. AB=CB=1m, BD=CD, Q=400N, 0   30 .
Tính các phản lực tại A, B, D.
Bài 20: Hệ như hình vẽ. B là bản lề trụ, các thanh AB, BC,
ED nhẹ. Hệ được giữ cân bằng bởi ngàm A. AB=CB=1,5m, BD=2CD, Q=300N, 0 0   60 ,   30 .
Tính các phản lực tại A, B, E, D 19
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com)