Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và Logic toán | Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và Logic toán | Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 202 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!Giao

79 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Cơ sở lý thuyết tập hợp và Logic toán

Trường: Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Thông tin:

202 trang 5 tháng trước

Tác giả:

Profile 48 Nguyễn Thị Anh Thơ
NGUYỄN TIẾN TRUNG
GIÁO TRÌNH
Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp
Và Logic Toán
Ebook.moet.gov.vn, 2008
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO
Tổng biên tập LÊ A
Biên tập nội dung:
NGUYỄN TIẾN TRUNG
Thiết kế sách và Biên tập mĩ thuật:
VIỆT QUANG
Trình bày bìa:
PHẠM VIỆT QUANG
LỜI NÓI ĐẦU
Để góp phầ ạn đổi mới công tác đào t o và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự
án phát triển giáo viên tiểu học đã t chổ ức biên soạn các môđun đào tạo và
bồi dửỡng giáo viên theo chửơng trình Cao đẳng Sử phạm và chửơng trình
liên thông từ Trung học Sử phạm lên Cao đẳng Sử phạm. Việc biên soạn
các môđun nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật
những đổi mới về nội dung, phửơng pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết
quả giáo dục tiểu h u học theo chửơng trình, SGK tiể ọc mới
Đ ếiể ệm mới của tài li u vi t theo môđun là việ ế ếc thi t k các hoạt động, nhằm
tích cực hoá các ho a ngạt động củ ửời học, kích thích óc sáng tạo và khả
năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả họ ủc tập c a ngửời
học; chú trọng sử dụng nhiề ệu phửơng ti n truyền đạt khác nhau (tài liệu in,
băng hình,...) giúp cho ngửời họ ễ ễ ểc d học, d hi u và gây đửợc hứng thú học
tập.
Môđun Cơ sở lí thuyế ậ ảt t p hợp và lôgic toán do nhóm tác gi trửờng Đại
học Sử phạm Hà Nội biên soạn.
Môđun Cơ sở ợ lí thuyế ật t p h p và lôgic toán có thờ ằ ịi lửợng b ng 2 n vđơ
học trình, bao gồm 2 chủ đề:
Chủ đề 1: Cơ s cở ủa lí thuyết tập hợp
Chủ đề 2: Cơ s cở ủa lôgic toán
Lần đầu tiên, tài liệu đửợc biên soạn theo chửơng trình và phửơng pháp
mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban điều phối
Dự án rất mong nhận đửợc những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc,
đặ độc biệt là i ngũ giảng viên, sinh viên các trửờng Sử phạm, giáo viên tiểu
học trong cả nửớc.
Xin trân trọng cảm ơn!
DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC
CHỦ ĐỀ 1
Cơ sở lí thuyết tập hợp
I.Mục tiêu
Kiến thức : Người học
− Hiểu các khái niệm về tập hợp, quan hệ, ánh xạ và biết xây dựng các ví
dụ minh ho cho mạ ỗi khái niệm đó.
− Nắm được định nghĩa của các phép toán trên tập hợp và ánh xạ. Phát biểu
và chứng minh các tính chất của chúng
Kỹ năng :
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng
− Thiết lập các phép toán trên tậ ạp hợp và ánh x
− Vận dụ ọng các kiế ận thức về t p hợ ạp và ánh x trong toán h c
− Các quan hệ tương đương và thứ tự
Thái độ:
− Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí tập hợp toán
dạy và học toán
II. Giới thiệu chủ đề :
STT Tên tiểu chủ đề Trang
1 Tập hợp
2 Các phép toán trên tập hợp
3 Quan hệ
4 Quan hệ tương đương
5 Quan hệ thứ tự
6 Ánh xạ
7 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
8 ảnh và tạo ảnh qua một ánh xạ
III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun
Kiến thức:
Nắm được kiến thức toán học trong chương trình toán PTTH
Đồ dùng dạy học:
Một số thiết bị sử dụ ổ ọng trong khi t chức các hoạt động dạy h c: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, bảng phoóc mi ca...
Tài liệu tham khảo:
Các tài liệu trong thư mục của giáo trình
IV. Nội dung (Xem các tiểu chủ đề 1.1 – 1.8)
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài: Số học và lôgíc toán – NXB Giáo
dục – 1996.
[2]Trần Diên Hiển : Các bài toán về suy luận lôgíc – NXB Giáo dục – 2001.
[3] Trần Diên Hiển : Lôgíc giải trí – NXB Khoa học và kĩ thuật – 1993.
[4] Đỗ Đình Hoan và tậ ểp th tác giả : Toán 1 – NXB giáo dục – 2004.
[5] Đỗ Đình Hoan và tậ ể ảp th tác gi : Toán 2 – NXB Giáo dục – 2004.
[6] Đỗ Đình Hoan và tậ ểp th tác giả : Toán 3 – NXB Giáo dục – 2004
[7] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 4 – NXB Giáo dục – 2005.
[8] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 5 – NXB Giáo dục – 2004.
[9] Xavier Roegiers : Guide Mathématique de base Pari – 1993.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.1. TẬP HỢP
Thông tin cơ bản
1. Khái niệm tập hợp
−
−
−
−−
Tập con
−
−
−
−−
các tập hợp bằng nhau
1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là m t trong các khái niộ ệm cơ bản của Toán học. Khái niệm tập
hợp không được định nghĩa mà chỉ được mô t qua các ví dả ụ: Tập hợp các
học sinh của một lớp học, tập hợp các cầu thủ của một đội bóng, tập hợp
các cuốn sách trên một giá sách, tập hợp các số tự nhiên,...
Mụn toán học nghiên cứu các tính chất chung của tập hợp, không phụ ộ thu c
vào tính chất của các đối tượng cấu thành nên tập hợp được xem là cơ sở
của Toán học hiện đại, và được gọi là lí thuyết tập hợp. Khác với nhiều
ngành Toán học khác mà sự phát triển là kế ảt qu có được từ ữ nh ng cố gắng
không m i “vô cệt mỏi của nhiều tài năng toán học, cuộc đấu tranh vớ ực” và
tiếp theo đó, sự sáng tạo nên lí thuyết tập hợp là công trình của chỉ một
ng ngtười: Gioócgiơ − Că ơ (Georg Cantor 1845 − 1918), nhà toán học Đức
gốc Do Thái.
Các đối t t tượng cấu thành mộ ập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp
đó. Người ta thường kí hiệ ậu các t p hợp bởi các chữ A, B, C, X, Y, Z,... và
các phần tử của tập hợp bởi các chữ a, b, c, x, y, z, ...
Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viế ật a A (đọc là a thuộc t p hợp
A).
Nếu a không phải là một phần tử của tậ ếp hợp A thì ta vi t a A (đọc là a
không thuộc t p hậ ợp A).
Có hai cách xác định một tập hợp:
z Cách thứ nhất là liệt kê tất cả các phần tử của tậ ập hợp. T p hợp A gồm
bốn số tự nhiên 1, 3, 5, 7 được viết là:
A = {1, 3, 5, 7}.
Tập hợp B gồm ba phần tử là các chữ a, b, c được viết là:
B = {a, b, c}.
z Cách thứ hai là nêu lên một tính chất chung của các phần tử của tập hợp,
nhờ đó có thể nh n bi n tậ ết được các phầ ử của tập hợp và các đối tượng
không ph n tải là những phầ ử của nó. Chẳng hạn,
Ví dụ 1.1 :
Cho tập hợp C các ước số củ đa 8. Khi ó, các số ữ 1, 2, 4, 8 là nh ng phần tử
của C, còn các số 3, 5, 6, 13 không phải là những phần tử của C. Người ta
thường viết:
C = {x : x là ước số của 8},
đọc là C là tập hợp các phần tử x sao cho x là ước số của 8 : x biểu thị mỗi
phần t p hử của tậ ợp C.
Ví dụ 1.2 :
Nếu D là tập hợp các nước thuộc châu á thì Việt Nam, Trung Quốc, Lào là
những phần tử củ đa tập hợp D, còn Pháp, Angiêri, Cana a không phải là
những phần tử của D. Ta viết:
D = {x : x là nước thuộc châu á}
Người ta thường biểu thị tập hợp A bởi một đường cong kín gọi là lược đồ
ven (Venn).
Hình 1
Nếu ch n t p hẳng hạ ậ ợp Acó 4 phần tử a, b, c, d thì trên lược đồ đó mỗi
phần t c biử đã đượ ểu diễn b ng cong kín. ởi một điểm nằm trong đườ
Các điểm e và f bi u di n nhể ễ ững đối tượng không ph n tải là phầ ử của tập
hợp A.
Các tập h có mợp trong các ví dụ đã nêu chỉ ột số hữ ửu hạ ần ph n t . Ta gọi
chúng là nh ng t p h u hữ ậ ợp hữ ạn.
Tập hợp có vô số phần tử được gọi là tập hợp vô hạn.
Chẳng h nhạn, tập hợp các hình chữ ật có các kích thước tuỳ ý là một tập
hợp vô hạn, vì ta không thể ệ li t kê tấ ầt cả các ph n tử của nó. Tương tự ậ, t p
hợp A các số tự nhiên bộ ợ ại củ ũ ộa 3 c ng là m t tập h p vô h n.
Tậ ễ ể ểp hợp A được biểu di n bởi lược đồ Ven trong Hình 2. Vì không th bi u
diễn t n tất cả các phầ ử củ ộ ố đa A, ta chỉ đưa vào hình m t s iểm có tên và
m iột số đ ểm khác không có tên. Ngoài ra còn ghi chú thêm rằng sự biểu
diễn t p là không ập hợ đầy đủ.
Người ta cũng viết:
A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
Hình 2
Hiển nhiên m c xác ỗi phần tử tiếp sau đượ định một cách dễ dàng.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là φ.
Chẳng h p h p các nghi a phạn, tậ ợ ệm thực củ ương trình x
2
+ 2 = 0 là tập hợp
rỗng. Ta viết:
{x ∈ R : x
2
+ 2 = 0} = φ.
(R là tập hợp các số thực).
Tập hợp các số (tự nhiên) chẵn là ước số của 15 là tập hợp rỗng:
{x ∈ N: x là ước số chẵn của 15} = φ.
Tập hợp chỉ có một phần tử gọi là tậ ộ ầp m t ph n tử. Chẳng hạn, tập hợp các
thủ đô của một nước là tập một phần tử.
Tập hợp chỉ có một phần tử a được kí hiệu là {a}.
Như vậ ậy tập hợp E các nghiệm thực của phương trình 3x − 21 = 0 là t p
một phần tử: E = {7}. Tập hợp T các tỉ số của độ dài mỗi đường tròn và
đường kính củ ộa nó là tập m t phần tử: T = {π}.
1.2. Tập con của m p hột tậ ợ ập Các t p hợp bằng nhau
a) Tập h p con c a t p h u m n tợp A được gọi là một tậ ủ ậ ợp X nế ọi phầ ử của A
đều là nhữ ửng phần t của X.
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Font: Times New
Roman
Hình 3
Ví dụ 1.3 :
Tập hợp A = {a, b, c, d} là tập hợp con của tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}.
Khi đó ta viết:
(1) A ⊂ X (đọc là A chứa trong X),
hoặc
(2) X ⊃ A (đọc là X chứa A).
Ký hiệu ⊂ được gọi là dấu bao hàm. Hệ thức (1) hoặc (2) gọi là một bao
hàm thức.
Ví dụ 1.4 :
Tập hợp C các hình chữ nhật là một tập con của tập hợp B các hình bình
hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành:
C ⊂ B (C chứa trong B).
Hình 4
Ví dụ 1.5 ;
Tập hợp N các số tự nhiên là một tập con củ ốa tập hợp Z các s nguyên: N ⊂
Z.
Tập hợp Q các số hữu tỉ là một tập con của tập hợ ố ựp R các s th c (vì mỗ ối s
hữu tỉ là một số ự th c): Q ⊂ R.
Hiển nhiên tập h p X là mợ ột tậ ếp hợp con của X. N u A là mộ ủt tập con c a
X và A ≠ X thì A gọi là mộ ột tập con thực sự củ ụa X. Trong ví d 3, A là m t
tập con thực sự của X. Trong Ví dụ 4, C là một tập thực sự của B.
Tập hợp A không phải là một tập h p con cợ ủa tập hợp X nếu có ít nhất một
phần tử của A không thuộc X.
Khi đó, ta viết:
A ⊄ ⊃ X (hoặc X A)
và biểu thị quan h này bệ ằng lược đồ trong Hình 5.
Hình 5
Ví dụ 1.6 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}
và X = {a, b, c, f, g}
thì A ⊄ X.
Hình 6
Ví dụ 1.7 :
Tập hợp C các hình chữ nhật không phải là một tập con của tập hợp T các
hình thoi: C ⊄ T.
Thật vậy, hình chữ nh t có chiậ ều dài khác chiều rộng không phải là một
hình thoi.
b) Hai tập h ng nhau nợp A và B được gọi là bằ ếu m n tỗi phầ ử của A là một
phần tử của B và mỗi phần tử củ ộ ủ đa B là m t phần tử c a A. Khi ó ta viết A
= B.
Ví dụ 1.8 :
Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x
2
- 1 = 0 bằng t p h p gậ ợ ồm hai
số -1 và 1:
{x ∈ R : x
2
− 1 = 0} = {−1, 1}.
Ví dụ 1.9 :
Nếu A là tập hợp các số nguyên chia hết cho 2 và 3 và B là t p các sập hợ ố
nguyên chia hết cho 6 thì A = B. Thật vậy, một số nguyên chia hết đồng
thời cho 2 và 3 khi và chỉ khi nó chia hết cho 6. Như vậy mộ ốt s nguyên là
một phần tử của A khi và chỉ ử khi nó là một phần t củ đa B. Do ó A và B có
cùng các phần tử.
Từ định nghĩa tập con và các tậ ằp hợp b ng nhau dễ dàng suy ra:
c) Vớ ợi các tập h p bất kì A, B, C, ta có:
(i) φ ⊂ A,
(ii) A ⊂ A,
(iii) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C,
(iv) Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B,
(v) Nếu A ≠ B thì A ⊄ B hoặc B A.
(ii) gọi là tính phản xạ, (iii) gọi là tính bắc cầu, (iv) gọi là tính phản ð?i
xứng).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (iv) và (v).
(iv) Giả sử ử A ⊂ B và B ⊂ A. Khi đ ỗó m i phần t của A là một phần tử của
B và mỗi phần tử củ ộa B là m t phần tử của A. Theo định nghĩa của hai tập
hợp bằng nhau, từ đó suy ra A = B.
(v) Ta chứng minh (v) suy ra từ (iv) bằng ph n chả ứng. Thật vậy, nếu A ⊂ B
và B ⊂ A thì A = B. Điều này trái với giả thiết.
1.3. Tập h p nhợ ững tập hợp
Ta xem một đội bóng của một câu lạc bộ bóng á Anh, kí hi u bđ ệ ởi A, là
một tập hợp cầu thủ. Các phần tử của tập hợp này là những cầu thủ:
A = {a
1
, a
2
, ..., am}.
Ta cũng có thể xét tập hợ ủp E các đội bóng c a các câu l c bạ ộ bóng đá Anh.
Các phần tử của tập hợ ữp này là nh ng đội bóng: Acxơnan (Arsenal),
Manchétxtơ − Iunaitiđơ (Manchester−United), Trenxi (Chelsea), ..., Niu −
Cátxơn (New − Castle), Livơpunlơ (Liverpool).
E = {A, M, T, ...., N, L}
Form at t ed:
Heading04
Hình 7
Tập hợp E vừa nêu là một tập hợp những tập hợp vì các phần của của E là
những tập hợp.
Ta có:
a
1
∈ A : a
1
là một cầu thủ của đội bóng A,
A ∈ E : đội bóng A thuộc t p các a các câu l c bập hợ đội bóng củ ạ ộ bóng đá
Anh.
Không thể viết a
1
∈ E vì mỗi phần tử của E là một đội bóng chứ không phải
là một cầu thủ.
Ta xét một ví dụ khác:
Trường trung học phổ thông Nguyễn Trãi có 5 lớp 10: 10A, 10B, 10C, 10D
và 10E.
Ta xem lớp 10A, kí hiệu b p h p h n tởi A, là một tậ ợ ọc sinh. Các phầ ử của
tập hợp này là những học sinh. Ta viết:
A = {a
1
, a
2
, ..., am}.
Ta cũng có thể nói đến tập hợp E các lớp khối 10 của trường. Các phần tử
của tập hợp này là các lớp khối 10 của trường.
E = {A, B, C, D, E}.
Tập hợp các lớp khối 10 của trường là một tập hợp những tập hợp.
1.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử từ
A có cả thảy bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n = 0, 1, 2, 3, 4.
a) Với n = 0, ta có A = φ.
Hiển nhiên φ chỉ có m p con; ột tậ đó là chính nó, tập h p hợp φ. Vậy tậ ợp
không có ph n tầ ử nào có một tập con.
b) n = 1.
Form at t ed:
Heading04
Giả sử ợ ử ử A là tập h p một phần t : A = {a} (a là phần t duy nhất của A).
Khi đó, các tập hợp φ và {a} là tất cả ủ các tập con c a A.
Vậy A có cả thảy 2 tập con.
Nếu kí hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp A thì ta có:
P(φ) = {φ} và P ({a}) = {φ, {a}}.
c) n = 2.
Giả sử tập hợ ửp A có 2 phần t a và b: A = {a, b}. Khi đó A có các tập con
sau:
φ, {a{, {b} và {a, b}.
Đó là tất cả các tập con của A:
P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
Vậy A có cả thảy 4 tập con.
d) n = 3.
Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời dự khai mạc một
cuộc triển lãm (ba người được mời độc lập với nhau).
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt củ ỗa m i người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng (a đến hoặc không, b đến hoặc không, c n hođế ặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẽ đôi, tức là một cây mà mọi sự
phân cành u có đề được từ cặp “đến, không”.
Hình 8
Trên Hình 8, ta thấy có cả thảy 8 khả nă ảng, mỗi kh năng tương ứ ớng v i
một tập con của A = {a, b, c}, kể cả tập con là φ.
Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; φ}.
Vậy tập hợp A = {a, b, c} có cả thảy 8 tập con.
e) n = 4.
Giả sử tập hợp B có bốn phần tử a, b, c, d : B = {a, b, c, d{. Có thể nghĩ đến
một người thứ tư ũ, d, c ng được mời đến dự khai mạc triển lãm. Khi đó, từ
mỗi trường hợp trong 8 trường hợp vừa nêu trong d), sẽ có hai khả năng,
tuỳ thuộc vào vi c d n hay không n dệ đế đế ự khai mạc. Do đó tập hợp tất cả
các tập con của tập hợp B là:
P (B) = P ({a, b, c, d})
= {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b; c}; {a}; {b}; {c}; φ;
{a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d};
{d}}.
Vậy tập hợp B = {a, b, c, d} có cả thảy 16 tập con.
Đó là 8 tậ ập con của t p hợp A = {a, b, c} và 8 tập hợp mới, nhận được bằng
cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A.
Như vậy,
Tập hợp φ có cả thảy 1 = 2
0
tập con.
Tập hợp có 1 phần tử có cả thảy 2 = 2
1
tập con.
Tập hợp có 2 phần tử có cả thảy 4 = 2
2
tập con.
Tập hợp có 3 phần tử có cả thảy 8 = 2
3
tập con.
Tập hợp có 4 phần tử có cả thảy 16 = 2
4
tập hợp con, ...
Bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng t p hậ ợp có n
ph
ần tử có cả thảy 2
n
tập hợp con.
Hoạt động 1.1. tìm hiểu các khái niệm cơ bản của tập hợp
Sinh viiên tự đọc thông tin nguồn để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây:
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về:
− Khái niệm tập hợp, các phần tử của một tập hợp.
− Hai cách xác định một tập hợp:
• Liệt kê các phần tử của tập hợp.
• Nêu lên được một tính chất đặc trưng c n tủa các phầ ử của tập hợp.
− Tập hợp φ (cho các ví dụ v tề ập hợp φ).
− Cách biểu diễn một tập hợ ữ ạp (h u h n và vô hạn) bằng lược đồ Ven.
Nhiệm vụ 2
Thảo luận để có th c các nể giải thích đượ ội dung sau:
− Định nghĩa tập con của một tập hợp và các tập hợp bằng nhau. (Phân biệt
được các phần tử và các tập con của một tập hợp cho trước).
− Cách biểu diễn t p hập con của một tậ ợp bằng lược đồ Ven.
− Mộ ủt vài tính chất c a quan hệ bao hàm. (Nêu và chứng minh được các
tính chất đó).
Nhiệm vụ 3:
− Hiểu được thế nào là tập hợp của một số tập hợ ộp. (Hãy cho m t vài ví dụ
về tập hợp những tập hợp).
− Liệt kê được t các tất cả ập con của một tập h p có n ph n tợ ầ ử với n = 1, 2,
3, 4, 5.
− Biết cách tính số các tập h p hợp con của một tậ ợp hữu hạn.
Đánh giá hoạt động 1.1
1. Hãy liệt kê các phần t a các t p hử củ ậ ợp sau:
a) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3 lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40;
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 30 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập hợp các ước t a 36. ự nhiên củ
2. Hãy liệt kê các phần t a các tử củ ập hợp sau:
a) A = {x ∈ N : 2x
2
− 15x + 13 < 0};
b) B = {x ∈
⏐
R: 2x
3
+ 5x
2
+ 3x = 0};
c) C = {x ∈ Z : 6x
2
+ x − 1 = 0}.
3. Cho các tập hợp
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};
B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};
C = {1,
64
1
,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
−−−
}
Hãy nêu một tính chất đặc trưng của các phần tử củ đa mỗi tập hợp ã cho
(tức là tính chất, nhờ đó nhận biết t được mộ đối tượng là phần tử hay không
phải là phần t a tử củ ập hợp đã cho).
4. Cho các tập hợp
A = {x ∈ N : x4 − 4 < 0};
B = {x ∈ N : 2x
2
− x < 10};
C = {x ∈ R : x
2
+ 20 < 11};
D = {x ∈ R : (x
2
+ 1) (2x − 1) > 0}.
Chứng minh rằng:
A ⊂ B và C ⊂ D.
5. Cho A là tập hợp các a 30 và ước tự nhiên củ
B = {x ∈ N : 4x
2
− 4x > 3}.
Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
±
A ⊂ B ;
±
B ⊂ A;
±
A A ⊄ B;
±
B ⊂
6. G p h u và V là ọi C là tập hợp các tam giác cân, D là tậ ợp các tam giác đề
tập hợp các tam giác vuông. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống.
±
V ⊂ C;
±
C ⊂ V;
±
V ⊄ C;
±
C ⊂ V
±
D ⊂ C;
±
C ⊂ D;
±
D ⊄ V;
±
V D ⊂
7. Gọi A là tập hợp các chữ số 135x sao cho số tự nhiên chia h t cho 4 và ế
B là tập hợp các chữ số 137y sao cho số tự nhiên chia hết cho 2. Chứng
minh rằng: A = B
8. Cho tập h p A = {a, b, c}. ợ Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
±
a ∈ A A A
±
{a} {a} ∈ A
±
∈
±
{a, b} ∈
±
{a, b} ⊂ A
±
b ⊂ {b, c}
±
{b} ⊂ {b, c}
±
{b} ⊂ {b, c}
9. Cho tập hợp A = {a
1
, a
2
, a
3
}. Gọi P (A) là tập h p tợ ất cả các tập hợp con
của tập hợp A.
a) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(A).
b) P(A) có bao nhiêu phầ ửn t ?
10. Cho tập hợp B = {a
1
, a
2
, a
3
, a
4
}. Gọi P(B) là tậ ấ ập hợp t t cả các t p hợp
con của tập hợp Aa) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(B).
b) P(B) có bao nhiêu phầ ửn t ?
11. Cho các tập hợp A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d}. Trong hai cách viết sau
đây, cái nào đúng, cái nào sai?
a) P(A) ∈ P(B) ; b) P(A) ∈ P(B).
12. Bằng ph ng pháp quy n ng n p hươ ạp, hãy chứng minh rằ ếu tậ ợp A có n
phần tử thì nó có cả thảy 2
n
tập con.
Form at t ed:
Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP
HỢP
Thông tin cơ bản
2.1. Giao của các tập hợp
a) Giao của hai tập hợp A và B là tập h p t chung ợ ạo nên bởi các phần tử
của hai tập hợp đó, kí hiệu là:
A ∩ B (đọc là A giao B)
Từ định nghĩa của A ∩ B suy ra r ng x ằ ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x
∈ B. Ta viết:
x ∈ ∩ ⇔ ∈ A B x A và x ∈ B.
Ví dụ 2.1 :
Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 4 và B là tập hợp các bội tự nhiên
của 6:
A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}; B = {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
thì A ∩ B là tập hợp các bội tự nhiên của 12:
A ∩ B = {0, 12, 24, 36...}
Hình 9
Ví dụ 2.2 :
Cho tập hợp
A = {x ∈
⏐
R : 2x − 1 < 0}.
Tìm A ∩ N (N là tập hợp các số tự nhiên).
Ta có:
A = {x ∈
⏐
R : x < }
Do đó:
A ∩ N = {0}.
Form at t ed:
Heading03
Hình 10
Hai tập hợp A và B gọi là không giao nhau hoặc rời nhau nếu A ∩ B = φ.
Ví dụ 2.3 :
Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác vuông thì
D và V là hai tập hợp rời nhau.
Thật vậy, một tam giác không thể vừ ừa đều v a vuông.
Do đó: D ∩ V = φ
Phần có các đường g ch chéo trong Hình 11 biạ ểu thị tập hợp φ.
Hình 11
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A B x ∉ A hoặc x ∉ B.
b) Đối với hai tập hợp A và B bất kì, ta có lược đồ Ven dưới đây. Lược đồ
chỉ ra bốn miền được đánh s n này ố I, II, III, IV. Các miề được làm rõ bởi
một cây chẽ đôi.
Hình 12
Người ta cũng bi p hểu diễn bốn miền nay trong một bảng của hai tậ ợp A,
B. Bảng này được gọi là lược đồ Carôlơ (Caroll).
Hình 13
Ví dụ 2.4 :
Gọi A là tập hợp các ước tự nhiên của 6 và B là tập hợp các ước tự nhiên
của 8. Các miền I, II, III, IV được cho trong lượ ược đồ Ven là l c đồ Carôlơ
trong Hình 13.
Một s t cố tính chấ ủa phép l p hấy giao các tậ ợp
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp, dễ dàng chứng minh được các đẳng
thức sau:
c) Với các tậ ấp hợp b t kì A, B, C, ta có:
(i) A ∩ B = B ∩ A,
(ii) (A ∩ ∩ B) C = A ∩ (B ∩ C),
(iii) φ ∩ A = φ,
(iv) A ∩ A = A
Đẳng thứ ấc (ii) cho phép, khi l y giao củ ốa một s hữ ợu hạ ận t p h p, bỏ các
dấu ngoặc hoặc chỉ thứ tự phép lấy giao.
Quan h a bao hàm thệ giữ ức và giao của các tập hợp được cho trong nh lí đị
sau:
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có:
(i) A ∩ ∩ B ⊂ A, A B ⊂ B,
(ii) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ B ∩ C,
(iii) Nếu A ∩ B và C ∩ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D,
(iv) A ⊂ ⇔ B A ∩ B = A.
Chứng minh:
(ii) giả sử A ⊂ B, A ⊂ C và x là một phần tử bất kì của A. Khi đó, x ∈ B và
x ∈ C; do đó x ∈ B ∩ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ B, do đó x ∈ A ∩ B . Từ
đó ta có A ⊂ A ∩ B. Mặt khác, theo (i), A ∩ B ⊂ A. Từ hai bao hàm thức
trên suy ra A ∩ B = A.
(⇐) giả sử A ∩ B = A. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ A ∩ B ; do đó x ∈ B.
Vậy A ⊂ B .
e) Các mảnh lôgic Điênétxơ (Diénès)
Đó là mộ ột b gồ ỗ đ ộm 48 mảnh g , ôi m t được phân biệt bởi ít nhất là một
thuộc tính (tiêu chu c tính. ẩn) và nhiều nhất là bốn thuộ
Mỗi mảnh gỗ được xác định bởi bốn thuộc tính:
Có 24 mảnh cùng độ dày.
Mỗi mảnh được xác định b n chởi bố ữ tượng trư ờng cho bố ộn thu c tính, nh
đ ố ộó phân biệt được nó với các mảnh khác. B n thu c tính được nhắc đến
theo thứ tự sau:
Hình dạng n − Độ lớ − − Màu sắc Độ dày.
Hình 14
Hình 14
Chẳng hạn,
VLĐD hay CBXM
Hình vuông lớn đỏ dày Hình chữ nhật bé xanh mỏng.
Tập hợp tất cả các mảnh lôgic Điênétxơ được kí hiệu là L
0
Các tập con những mảnh lôgic được kí hiệu bởi một, hai hoặc ba chữ.
Chẳng hạn, V là tập hợp các mảnh hình vuông và XM là tập hợp các mảnh
xanh mỏng. Lược đồ Ven của hai tậ ễp hợp này được cho trong Hình 15. D
thấy.
V ∩ XM = {x : x là một mảnh vuông xanh mỏng}
= {VBXM, VLXM}
Hình 15
2.2. Hợp c p hủa các tậ ợp
a) Hợp của hai tập h p t c ít ợp A và B là tập hợ ạo nên b n tởi các phầ ử thuộ
nhất m t trong hai tộ ập hợp đó, kí hiệu là A
∪
B (đọc là A hợp B).
Từ định nghĩa của A ∪ B suy ra rằng:
x ∈ ∪ ⇔ ∈ A B x A hoặc x ∈ B.
Ví dụ 2.5 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g}
Ví dụ 2.6 :
Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợ ỉ ựp các số vô t là tập hợp các số th c.
Hợp của tập hợp Z các số nguyên và tạp hợp Q các số hữ ỉ ợu t là tập h p Q:
Z ∪ Q = Q.
Từ định nghĩa hợp của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ ∪ ⇔ ∉ A B x A và x ∉ B.
Ví dụ 2.7 :
Xét tập hợp T các mảnh tam giác và tập hợp X các mảnh có màu xanh
trong bộ các mảnh Lôgic Điênétxơ. Khi đó T ∪ X là tập hợp các ph n tầ ử
thuộc T hoặc thuộc X. Đó là tập hợp các mảnh hình tam giác hoặc có màu
xanh.
Form at t ed:
Heading03
Hình 16
TUX là tập hợp các mảnh tam giác hoặc xanh.
Một số tính chất của phép lấy h p hợp các tậ ợp
Từ định nghĩa của hợp các t p hậ ợp dễ dàng suy ra:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C,
(i) A ∪ B = B ∪ A,
(ii) (A ∪ ∪ ∪ B) C = A (B ∪ C),
(iii) φ ∪ A = A,
(iv) A ∪ A = A.
Đẳng thứ (ii) cho phép, khi lấy hợp của mộ ốt s hữu hạn tập hợ ỏp, b các dấu
ngoặc chỉ thứ tự các phép lấy hợp.
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hợp được cho trong định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D,
(i) A ⊂ ∪ ⊂ ∪ A B, B A B,
(ii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C,
(iii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì A B ⊂ C ∪ D,
(iv) A ⊂ ⇔ B A ∪ B = B.
Chứng minh
(ii) giả sử A ⊂ C và B ⊂ C. Khi đó, nế ặu x ∈ A ⊂ B thì x ∈ A ho c x ∈ B.
Do đó x ∈ C. Vậy A ∪ B ⊂ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A ∪ B thì x B hoặc x A B, do đó
x B. Vậy A B B. Mặt khác, theo (i), ta có B A B. Từ hai bao hàm thức
vừa nêu suy ra A ∪ B = B.
(⇐) Giả sử A ∪ B = B. Khi đó, theo (i), ta có:
A ⊂ A ∪ B = B.
Định lí sau nêu lên quan hệ giữ ấa hai phép l y hợ ủ ợp và giao c a các tập h p.
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C,
(i) A ∩ ∪ (A B) = A,
(ii) (A ∩ ∪ B) B = B,
(iii) A ∩ ∪ (B C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(iv) A ∪ ∩ (B C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Chứng minh
(i) Vì A ⊂ A ∪ B nên A ∩ (A ∪ B) = A (theo (iv) trong 1.d)).
(ii) Vì A ∩ ⊂ ∩ ∪ B B nên (A B) B = B (theo (iv) trong c)
(iii) Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C.
Do đó x c x ∈ A và x B ho∈ ặ ∈ C. Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B. Do
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Tương t u x A và x C thì x ự, nế ∪ A ∩ C. DO
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Vậy:
A ∩ ∪ ⊂ ∩ ∪ ∩ (B C) (A B) (A C) (1)
Đảo lại, nếu x ∈ (A (A ∩ B) ∪ ∩ C) thì x ∈ A ∩ ∈ ∩ B hoặc x A C.
Nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B ⊂ B ∪ C; do đó x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Nếu x ∈ A ∩ C thì, chứng minh tương tự, ta cũng được x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Vậy:
(A ∩ ∪ ∩ ⊂ ∩ ∪ B) (A C) A (B C) (2)
Từ hai bao hàm thức (1) và (2) suy ra đẳng th ng minh: ức trong (iii) cần chứ
(iv) được chứng minh tương tự
Công thức (iii) cho thấy phép hợp có tính phân phối đối với phép giao;
công thức (iv) cho thấy phép giao có tính phân phối đối với phép hợp.
2.3. Hiệu của hai tập hợp
a) Hiệu c p h p h p các ph n tủa hai tậ ợp A và B là tậ ợ ầ ử thuộc A nhưng
không thuộc B, kí hiệu là A \ B (đọc là A trừ B).
Từ định nghĩa của A \ B suy ra:
x ∈ ⇔ ∈ A \ B x A và x ∉ B.
Form at t ed:
Heading03
Ví dụ 2.8 : Cho hai tập hợp:
A = {a, b, c, d, e, f}, B = (c, e, g, h, k}.
Khi đó:
A \ B = {a, b, d, f}
Ví dụ 2.9 :
Gọi C là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi. Khi đó, C \
T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi (Hình 18).
Hình 17 Hình 18
Đó cũng chính là tậ ậ ảp hợp các hình chữ nh t mà không ph i là hình vuông.
Ví dụ 2.10 :
Hiệu c p hủa tậ ợp các số thực và tập hợp các số hữ ỉu t là tập hợp các số vô
tỉ. Hiệu của tập hợp N các số tự nhiên và tậ ập hợp Z là t p hợp rỗng: N \ Z =
φ.
Từ định nghĩa hiệu hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A \ B ⇔ x ∉ A hoặc x ∈ B.
Một số tính chất của phép trừ
Quan hệ gi c và phép lữa bao hàm thứ ấy hiệu hai tập hợp được cho trong
định lí sau:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có:
(i) A \ B ⊂ A,
(ii) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A \ D ⊂ B \ C,
(iii) Nếu C ⊂ D thì A \ D A \ C,
(iv) A ⊂ ⇔ φ B A \ B = .
Chứng minh:
(ii) Nếu x ∈ A \ D thì x ∈ A và x ∉ D. Vì A ⊂ B và x ∈ ∈ A nên x B. Vì C
⊂ ∉ D và x D nên x ∉ C. Như vậy, ta có x ∈ B và x ∉ C; do đó x ∈ B \ C.
Vậy A \ D ⊂ B \ C.
(iii) Vì A ⊂ A nên trong (ii), thay B bởi A, ta được (iii).
(iv) suy ra từ định nghĩa hi u c p hệ ủa hai tậ ợp.
Quan hệ giữa phép trừ với hai phép hợp và giao các tập hợp được nêu trong
định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có:
(i) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),
(ii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
((i) và (ii) được gọi là cac công thức Moocgăng (Morgan)).
Chứng minh:
(i) x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B ∪ C.
x ∉ ∪ ⇔ B C x ∉ ∉ B và x C.
Do đó:
x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B và x ∉ C
⇔ x ∈ A \ B và x ∈ A \ C.
⇔ x ∈ (A \ B) (A \ C). ∩
Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) được chứng minh tương tự.
2.4. Không gian. Phần bù của một tập hợp
a) Trong các ứng d p h p hụng của lí thuyết tậ ợp, các tậ ợp được xét thường là
các tập con của một tập hợp X cho trước. Tập hợp X được gọi là không
gian.
Chẳng hạn, trong số họ ủc, người ta chỉ xét các tập con c a tập hợp N các số
tự nhiên. Khi đó, ta có không gian N. Trong giải tích, tập hợp
⏐
R các số
thực được xem là không gian và trong hình học, tập hợp các điểm của
không gian Ơclit được xem là không gian.
Khi nghiên cứu các tập con của một không gian X, người ta thường đồng
nhất m t tộ ập hợp con A của X với một tính chất đặc trưng T của các phần
tử của A: Chỉ các phần tử củ ủa A có tính chất T, các phần tử khác c a X
không có tính chất đó. Khi đó, thay cho x ∈ A, ta nói x có tính chất T.
Chẳng h nguyên t p con cạn, tập h p P các sợ ố ố là một tập hợ ủa không gian
N các số tự nhiên. Thay cho x P, ta nói rằng x là mộ ố ốt s nguyên t . Tương
Form at t ed:
Heading03
tự, tập hợp N các nghiệm thự ủc c a phương trình (x
2
− 2) (x
2
+ x − 6) = 0 là
một tập hợp con của không gian
⏐
R các số thực. Thay cho x ∈ N, là nói
rằng x là m c cột nghiệm thự ủa phương trình vừa xét.
b) Giả sử ủ X là mộ ột không gian và A là m t tập con c a X. Tập hợp X \ A
đượ được gọi là phần bù của A và c kí hiệu là CA.
Hình 19
Chú ý rằng phần bù c p h p phủa một tậ ợ ụ thuộc vào không gian chứa nó.
Chẳng hạn, tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4} có phần bù trong không gian N các
số tự ợ nhiên là tập h p các số tự ớ ơ ư nhiên l n h n 4, nh ng trong không gian Z
các s nguyên âm và các số nguyên, ph n bù c p hầ ủa A là tậ ợp gồm các số ố
nguyên lớn hơn 4.
Từ định nghĩa phần bù của một tập hợ ằp suy ra r ng:
Nếu X là một không gian và A ⊂ X thì với mọi x ∈ X,
x ∈ CA ⇔ x ∉ A.
Một số tính chất của phần bù của tập hợp
Từ định nghĩa của phần bù một tập hợp, dễ dàng chứng minh được rằng:
c) Với các tập con bất kì A, B của không gian X, ta có:
(i) X ∩ A = A,
(ii) X ∪ A = X,
(iii) CX = φ,
(iv) Cφ = X,
(v) CCA = A,
(vi) A ⊂ ⇔ ⊂ B CB CA.
Chứng minh
(v) Nếu x ∈ C(CA) thì x ∉ CA; do đó x ∈ A.
Vậy CCA ⊂ A. Đảo lại, nếu x ∈ A thì x ∉ CA, do đó x ∈ C(CA). Vậy A ⊂
CCA. Từ hai bao hàm thức vừa nêu suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Quan hệ giữa một tậ ầp hợ ớp bất kì v i ph n bù của nó trong không gian.
d) Với mọi tập con A của không gian X, ta có:
(i) A ∪ CA = X,
(ii) A ∩ φ CA = .
Chứng minh
(i) Nếu x ∈ X thì x ∈ A hoặc x ∉ A, do đó x thuộc ít nhất một trong hai tập
hợp A và CA, tức là x ∈ A ∪ CA. Đảo lại, nếu x ∈ A ∪ CA thì x thuộc ít
nhất một trong hai tập hợp A và CA. Vì cả hai tập hợp này đều là những tập
hợp con của X nên x ∈ X. Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) Nếu x ∈ A ∩ CA thì x ∈ A và x ∈ CA, tức là x ∈ A và x ∉ A, điều này
là vô lí. Vậy tập hợp A ∩ CA không có phần tử nào, tức là A ∩ CA = φ.
Từ định lí 3 c) và định nghĩa phầ ậ ằn bù của t p hợp suy ra r ng:
e) Với hai tập hợp con bấ ủt kì A, B c a không gian X, ta có:
(i) C(A ∪ B) = (CA ∩ CB,
(ii) C(A ∩ B) = CA ∪ CB.
Như vậy, ph n bù c p h p h p b n bù c a chúng ầ ủa tậ ợp hai tậ ợ ằng giao các phầ ủ
và phần bù của giao hai tập hợp b p các phằng hợ ần bù của chúng.
(i) và (ii) gọi là các công thức Moócgăng.
Quan hệ gi u cữa hiệ ủa hai tập hợp con bất kì của một không gian với các
phép lấy phần bù, hợp và giao được nêu trong định lí sau:
f) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, ta có:
(i) A \ B = A ∩ [B,
(ii) A \ B = C(CA ∪ B).
Chứng minh
(i) x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∩ x A và x [B x A [B.
Do đó ta có đẳng thức trong (i).
(ii) Theo (v) trong c), ta có:
A \ B = CC(A \ B).
Từ (i) và (ii) trong e) suy ra:
[(A \ B) = [(A ∩ [B) = [A ∪ [[B = [A ∪ B
Do đó: A \ B = C(CA ∪ B)
Định lí sau thường được sử ự dụng trong th c hành:
g) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X,
(i) A ⊂ ⇔ φ B A ∩ [B = ,
(ii) A ⊂ ⇔ ∪ B [A B = X.
Chứng minh
(i) Ta biết rằng A ⊂ B khi và chỉ khi A \ B = φ. Mặt khac,ta co A \ B = A ∩
[B (xem (i) trong f)). Từ đó suy ra đẳng thứ ức cần ch ng minh:
(ii) Theo (i), chỉ cần chứng minh
A ∩ {B = φ ⇔ [A ∪ B = X.
Thật vậy, các điều kiện sau là tương đương:
A ∩ CB = φ,
C(A ∩ CB) = X,
CA ∪ CCB = X (suy ra từ ứ công th c Đờ− −Mooc găng)
CA ∪ B = X
b. hoạt động.
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản, sau đó th o luả ận theo nhóm 2, 3 người để
thực hi n các nhiệ ệm vụ dưới đ ỗây. M i nhóm cử đạ đểi diện trình bày giáo
viên tổng kết:
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1:
− Nắm vững định nghĩa giao của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm giao của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven và lược đồ Carôlơ đối với hai tập hợp A và B cho
trước.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy giao các tập hợp.
Nhiệm vụ 2:
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
− Nắm vững định nghĩa hợp c p hủa hai tậ ợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hợp của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hợp hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy hợp các tập hợp.
− Nắm vững quan hệ giữa phép lấy hợp và lấy giao các tập hợp.
Nhiệm vụ 3:
− Nắm vững định nghĩa hiệu của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hiệu của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hiệu của hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép trừ tập hợp:
z Quan hệ giữa phép trừ và bao hàm thức.
z Quan hệ giữa phép trừ và phép lấy hợp và giao các tập hợp.
Nhiệm vụ 4:
− Nắ ệm vững khái ni m không gian và định nghĩa ph n bù c p hầ ủa một tậ ợp
và có kí năng thành thạo trong việc tìm phần bù của một tập hợp cho
trước.
− Nắm vững một s t cố tính chấ ủa phầ ợn bù của tập h p:
z Quan hệ giữa mộ ủt tập hợp con c a một không gian với phần bù của nó.
z Phép lấy phần bù của hợp và giao của hai tập hợp (các công thức
Moócgăng).
z Quan hệ gi p hữa phần bù của tậ ợp và bao hàm thức.
z Quan hệ gi p hữa phần bù của tậ ợp với phép trừ các tập hợp.
Đánh giá hoạt động 1. 2
1. G giọi A là tập hợp các số lẻ ữa 10 và 40 (lớn hơn 10 và nhỏ hơn 40) và B
là tập hợp các số nguyên tố giữa 10 và 40.
a) Tìm các t p hậ ợp A ∪ B, A B, A \ B và B \ A. ∩
b) Lập l p hược đồ Ven đối với hai tậ ợp A và B.
2. Gọi A là tập h p hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và B là tậ ợp các số tự
nhiên chia hết cho 5.
a) Tìm các t p hậ ợp A ∪ B, A B, A \ B và B \ A. ∩
b) Lập sơ đồ Ven đối với A và B.
3. Gọi V là tập h p hợp các tam giác vuông và C là tậ ợp các tam giác cân.
a) Tìm các t p hậ ợp V ∩ C, V C, V \ C và C \ V. ∪
b) Lập l p hược đồ Ven đối với hai tậ ợp V và C.
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading02
4. Cho hai tập hợp A = {x ∈
⏐
R : |x| ≥ 5} và B = {x ∈
⏐
R : −6 ≤ x < 0}
Tìm các tập hợp A B, A B, A \ B và B \ A.
5. Tìm hai tập hợp E và F những mảnh lôgic Điênétxơ (E, F ∈ L
0
) trong
mỗi lược đồ dưới đ ộây biế ật rằng mỗi t p hợ ởp được xác định b i hai thu c
tính và giao E ∩ F là tập một điểm:
Hình 20
6. Trong tập hợp L
0
các mảnh lôgic Điênétxơ, gọi N là tập hợp các mảnh
nâu, BN là tập hợp các mảnh bé nâu và V là tập hợp các hình vuông.
a) Xác định các miền II, IV và V bằng cách nêu một tính chất đặc trưng của
các phần tử của mỗi miền.
b) Tính số phần tử của mỗi miền.
Hình 21
7. Chứng minh rằng với các tập hợp bất kì A, B, ta có:
a) A \ B = A \ (A ∩ B) ; b) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B);
c) A \ (A \ B) = A ∩ B.
8. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì, ta có:
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;
b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;
c) (A ∪ B) \ C) = (A \ C) ∪ (B \ C);
d) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
9. Chứng minh rằng với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X,
nếu [A ∪ [B = [A và B ⊂ A thì A = B.
10. Chứng minh rằng với hai tập hợp con A và B bất kì của không gian X,
A ⊂ B ⇔ [A ∩ [B = [B.
11. Hiệu đối xứng c p hủa hai tậ ợp A và B, kí hiệu là A ∆ B, là tập hợp các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B nhưng không thuộc đồng thời cả hai tập hợp
đó:
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Chứng minh rằng:
a) A ∆ B = φ ⇔ A = B,
b) A ∆ B = B ∆ A,
c) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C),
d) A (B ∩ ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C),
e) A ∪ B = A ∆ B ∆ (A ∩ B),
f) A \ B = A ∆ (A ∩ B).
12. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì,
A ∆ B = C ⇒ B = A ∆ C.
13. Với hai tập h p con b nh ngh p và ợ ất kì A, B của không gian X, ta đị ĩa hợ
giao của hai tập hợp đó dựa vào quan hệ bao hàm như sau:
A B là tập con nhỏ nhất của X chứa A và B,
A B là tập con l n nhớ ất của X chứa trong A và trong B.
a) Chứng minh các định nghĩa này tương đương với các định nghĩa đã biết.
b) áp dụng các định nghĩa vừa nêu, hãy chứng minh các khẳng định sau:
(i) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B,
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(iii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
A, B, C là những t p con bậ ất kì của không gian X.
14. Cho không gian (tập hợ ậ ợp X). T p h p các tập con A
1
, A
2
, ..., Am gọi là
m iột phép phân hoạch của X nếu các đ ều kiện sau được thoả mãn.
(i) Ai ≠ φ với i = 1, 2, ..., m,
(ii) Ai ∩ Aj = φ vớ ứi i ≠ j (t c là các tập hợp A
1
, A
2
, ..., Am đôi một rời
nhau),
(iii) A1 A2 ... Am = X.
Chứng minh r ng mằ ỗ ủi tậ ập các t p con sau đây c a L
0
là một phép phân
hoạch của L
0
:
a) {Đ, X, N};
b) {C, V, T, H};
c) {LM, BM, LD, BD};
d) BĐ, LX, BX, LĐ, N}.
15. Gọi A là tập h p hợp các bội tự nhiên của 3, B là tậ ợp các số tự nhiên n
sao cho n − 1 là một bội tự nhiên của 3 và C là tập hợp các số tự nhiên n
sao cho n − 2 là một b i tộ ự nhiên của 3. Chứng minh rằng:
{A, B, C} là một phép phân hoạch của không gian N.
16. Với một tập h u hợp hữ ạn A bất kì, kí hiệu N (A) chỉ số ử phần t của A.
Chứng minh rằ ậ ạng với hai t p hợ ữp h u h n A, B bất kì, ta có:
N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B).
17. Cho ba tập h p hợ ữu hạn A, B, C. Chứng minh rằng:
N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) + N (A ∩ B ∩ C) − N (A ∩ B) −
N (A ∩ C) − N (B ∩ C).
18. Trong một lớp học ngoại ngữ, tập hợ ữp A các học viên n có 4 phần tử,
tập hợp B các học viên từ 20 tuổi trở lên có 5 phần tử. Có 3 học viên nữ từ
20 tuổi trở lên. Tìm số phần t p hử của tậ ợp A ∪ B.
19. Trên một bãi để xe, có 42 xe gồm taxi và xe buýt. Có 14 xe màu vàng
và 37 xe buýt hoặc xe không có màu vàng. Hỏi trên bãi để xe có bao nhiêu
xe buýt vàng?
20. Một lớp h ó có 15 em học có 40 học sinh, trong đ ọc khá môn Toán, 16
em họ ọc khá môn Văn và 17 em h c khá môn Tiếng Anh. Có 5 em h c khá ọ
cả hai môn Văn và Toán, 8 em học khá cả hai môn Toán và Anh, 6 em học
khá cả hai môn Văn và Anh, và 2 em học khá cả ba môn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ học khá môn Toán? Chỉ học khá môn Văn?
Chỉ học khá môn Anh? Không học khá môn nào?
Form at t ed:
Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ
Thông tin cơ bản
3.1. Quan hệ hai ngôi
3.1.1. Tích Đềcác của các tập hợp
a) Cặp thứ ự t
Ta biế ật rằng t p hợ ửp gồm hai phần t a và b được kí hiệu là {a, b}. Kí hiệu
{b, a} cũng chỉ tập hợp đ ứó, t c là {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiều
trường hợp người ta quan tâm đến thứ tự của hai phần tử: a đứng trước, b
đứ đứ đứng sau hay b ng trước, a ng sau. Khi đó người ta được hai dãy được
sắp theo thứ tự khác nhau: Dãy a, b và dãy b, a. Đó là hai dãy khác nhau,
trừ phi a = b. Mỗi dãy được gọi là một cặp thứ t cự ủa hai phần tử. Như vậy,
Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng
sau gọi là một cặp thứ tự, kí hiệu là (a, b); a gọi là phần tử đứng trước, b là
phần tử đứng sau.
Nếu a ạ b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp thứ tự khác nhau.
Hai cặp thứ tự (a, b) và (c, d) là bằng nhau khi và ch khi a = b và c = d. ỉ
Cặp thứ tự (a, b) được biểu diễn bở ừ ửi một mũ đi tên i t phần t đứng trước a
đế đứn phần tử ng sau b.
Hình 1
Nếu a = b thì mũi tên trở thành một vòng.
Ví dụ 3.1 :
Kết quả của một trận bóng đá là: (3; 1), (1; 3); (2; 0). Cặp thứ tự (3; 1) được
hiểu là trên sân nhà, đội chủ nhà đã thắng đội khách: Đội chủ nhà đã ghi
được 3 bàn còn đội khách chỉ ghi được 1 bàn. Cặp thứ tự (1; 3) cho biết đội
chủ nhà đã thua đội khách: Trong trận đấu, đội chủ nhà chỉ ghi được 1 bàn,
trong khi đội khách ghi được 3 bàn.
Ví dụ 3.2 :
Diện tích của các nước trên thế giới (tính trên mộ ũt ngàn km
2
) c ng được ghi
bằng các cặp thứ tự, chẳng hạn:
(Tây Ban Nha; 500), (Italia; 300), (Việt Nam, 330)
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Ví dụ 3.3 :
Mỗi số phức là một cặp thứ tự ự (a, b) củ ốa hai s th c. Ta biết rằng hai số
thực a và b khác nhau thì (a, b) và (b, a) là hai số phức khác nhau; Hai số
phức (a, b) và (c, d) bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng
nhau và phần ảo bằng nhau, tức là a = c và b = d.
b) Tích Đêcác của hai tập hợp.
Cho hai tập h p h p t p thợp X và Y. Tậ ợ ất cả các cặ ứ tự (x, y) trong đó x ∈
X, y Y g∈ ọi là tích Đêcác của hai tập hợp X, Y và được kí hiệu là X x Y.
Như vậy,
X x Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}.
Ví dụ 3.4:
Cho hai tập hợp X = {x
1
, x
2 1 2 3
} và Y = {y , y , y }.
Khi đó
X x Y = {(x
1
, y , y , y , y
1
), (x
1
, y
2
), (x
1 3
), (x
2 1
), (x
2
, y
2
), (x
2 3
)}
Hình 2
Trong Hình 2 a), m n tỗi phầ ử củ ũ đa X x Y được biể ễu di n bởi một m i tên i
từ tập hợ ợp X vào tập h p Y. Người ta gọi đó là lược đồ hình tên. Trong
hình 2 b), các ph n tầ ử củ ở ểa X x Y được biểu diễn b i các đi m của một lưới
xác c định bởi hai tập hợp X và Y. Người ta gọi đó là lượ đồ Đêcác.
Trong trường hợp t p hậ ợp X hoặc tập hợp Y có vô số phần tử ỉ, ta ch có thể
sử dụng lược đồ Đêcác.
Ví dụ 3.5 :
Tích Đêcác của tập hợp N các số tự ợ ự nhiên và tập h p
⏐
R các số th c là tập
hợp.
N x
⏐
R = {(x, y) : x N, y
⏐
R}.
Trong m n bặt phẳng toạ độ, N x
⏐
R được bi u diể ễ ởi tập hợp các điểm của
các đường thẳng x = 0, x = 1, x = 2, ...
Hình 3
Điể ằm (2; ) n m trên đường thẳ ểng x = 2, các đi m (3; ) và (4; −2,2), theo thứ
tự, nằm trên các đường thẳng x = 3 và x = 4.
Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X
2
. Như vậy,
X
2
= {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X}.
Ví dụ 3.6 :
Cho tập hợp X = {a, b}. Tìm tập hợp X
2
.
Ta có:
X
2
= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
Ví dụ 3.7 :
Cho tập hợp X = [1,5; 4] = {x ∈ ≤ ≤
⏐
R = 1,5 x 4}. Tìm X
2
.
Ta có:
X
2
= [1,5; 4] x (1,5; 4]
= {(x, y) : 1,5 x 4; 1,5 ≤ y ≤ 4}.
Hình 4
Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp X
2
được biể ở ợu diễn b i tập h p các điểm
của hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 và y =
4 (Hình 4).
c) Ta mở rộ ĩng định ngh a tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp.
Cho m tập h p Xợ
1 2
, X , ..., Xm. Tập hợ ửp các dãy m phần t (x
1
, x
2
, ..., xm),
trong đó x
1
∈ X
1
, x
2
∈ X
2
, ..., xn ∈ Xm gọi là tích Đêcác của m tập hợp X
1
,
X
2
, ..., Xm và được kí hiệu là X
1
x X
2
x... x Xm.
X1 x X2 x... x Xm = {(x
1
, x
2
, ..., xm) : x
1
∈ X1, ... xm ∈ Xm}.
Nếu X
1
= X
2
= ... = Xm thì tập hợp X
1
x X
2
x... x Xm được kí hiệu là Xm.
Như vậy X là tập h p các dãy m ph n tợ ầ ử (x
1
, x
2
, ..., xm), trong đó x1, ..., xm
∈ X.
Ví dụ 3.8 :
Tích Đêcác R
3
, trong ó R là tđ ập hợp các số thực là không gian Ơclit ba
chiều, tích Đêcác Rm là không gian Ơclit m chiều.
Ví dụ 3.9 :
Tìm các ước số của 4312.
Ta có: 4312 = 2
2
x 7
2
x 11.
Mọi ước số của 4312 có dạng 2
a
x 7
b
x 11
c
, với a = 0, 1, 2 hoặc 3, b = 0, 1
hoặc 2, c = 0 hoặc 1.
Đặt X = {2
0
, 2
1
, 2 , 7
2
, 2
3
}, Y = {7
0 1
, 7
2
}, C = {11
0
, 11
1
}. Khi đ ọó, với m i (x, y,
z) ∈ X x Y x Z, tích xyz là một ước của 4312.
3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi
Ta đã biết có thể đồng nhất một tập hợp con A của một không gian X với
mọt tính chất T nào đó của các phần tử của không gian X: Chỉ các phần tử
của A có tính chất T, các phần tử củ ộa X không thu c A không có tính chất
đ ộó. Nói m t cách khác,
x có tính chất T ⇔ x ∈ A
(xem mục 4, hoạt động 2, chủ đề 1).
Trong toán học ng p thười ta thường quan tâm đến các tính chất của các cặ ứ
tự, tức là các tính chất của các phần tử củ đa tích Đêcác. Các tính chất ó
được gọi là nhữ ệng quan hệ hai ngôi, gọi tắt là quan h . Theo nhận xét vừa
nêu ở trên, có thể xem các quan h p hệ hai ngôi là các tậ ợp con của các tích
Đ Đêcác. iều này sẽ được làm sáng tỏ qua các ví dụ.
Ví dụ 3.10 :
Ta kí hiệ ảu P = P (
⏐
R) là tậ ấp hợp t t c các tậ ập con của t p hợ ựp số th c
⏐
R.
Giữa số thực và t p hậ ợp s n tố thực {1, , 5} có quan hệ “phầ ử thuộc tập
hợp”, tức là quan hệ ∈ {1, , 5}. Một cách tổng quát, có quan h này giệ ữa
một s thố ực x và một tập con A của
⏐
R khi và chỉ khi x ∈ A. Quan hệ vừa
nêu là một tính chất của các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈
⏐
R, A P. Cặp
thứ tự (x, A) trong đó x ∈
⏐
R, A ∈ P có tính chất này khi và chỉ khi x ∈ A.
Vì vậy có thể xem quan hệ được xét là một tập con của tích Đêcác
⏐
R x P;
tập con này được tạo nên bởi các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈ A.
Ví dụ 3.11:
Ta nói rằng giữa các số nguyên dương 2 và 8, hoặc 3 và 15, hoặc 7 và 14 có
quan hệ chia hết : 2 chia hết 8, 3 chia hết 15 và 7 chia hết 14. Một cách tổng
quát, có quan hệ chia hết giữa hai số nguyên d ng x và y khi và chươ ỉ khi x
chia hết y. Quan hệ chia hết là một tính chất của các cặp thứ tự (x, y), trong
đó x ∈ N*, y ∈ N*. Cặp thứ tự (x, y), trong đó x ∈ N*, y ∈ N* có tính chất
này khi và chỉ khi x chia hết y. Vì vậy, có thể xem quan hệ chia hết là một
tập con của tích Đêcác N* x N* = (N*)
2
. Tập con này được tạo nên bởi các
cặp thứ tự (x, y), trong đó x và y là hai số nguyên dương sao cho x chia hết
y.
Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa:
Form at t ed:
Heading04
Cho hai tập hợp X và Y. Tập con R của tích Đêcác X x Y gọi là một quan
hệ hai ngôi trên X x Y.
Nếu R là một tập con của tích Đêcác X x X thì ta nói rằng R là một quan hệ
hai ngôi trên X (thay cho “R là một quan hệ hai ngôi trên X x X”.).
Nếu R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y và (x, y) ∈ ℜ thì ta vi t x ế ℜ y và
đọc là x có quan hệ R với y.
Nếu (x, y) R thì ta viết x R y và đọc là x không có quan hệ R với y). Quan
hệ hai ngôi thường được gọi tắt là quan hệ.
Ví dụ 3.12 :
Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {1, 4} và Y = {A, B}. Gọi R là
quan h “ph n tệ ầ ử thuộc tập h p” trên X x Y. Theo ợ định ngh a quan hĩ ệ hai
ngôi, ta có:
R = {(1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}.
Các phần tử củ ứa R, t c là các cặp thứ tự, được biểu diễn trong hai lược đồ
sau:
Hình 5
Ví dụ 3.13 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5, 8, 15}. Hãy tìm quan hệ chia hết R trên X.
Ta hiểu R là quan hệ hai ngôi trên X x X.
Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có:
R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}. Các phần
tử của R được biểu diễn trong hai lược đồ sau:
Hình 6
Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y.
Tập hợp các phần tử đứng trước của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R
gọi là tập xác định của quan hệ R, kí hi u là D (R). ệ
Như vậy, phần t x ử ∈ X thuộc D (R) khi và chỉ khi tồn tại một phần tử y ∈
Y sao cho x R y:
x ∈ ⇔ D (R) tồn tại y ∈ Y sao cho x R y.
hay D (R) = {x ∈ X: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R y}.
Tập hợp các ph n tầ ử đứng sau của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R gọi
là tập ảnh (gọi tắt là ảnh) của quan hệ R, kí hiệu là D* (R).
Như vậy, phần tử ỉ y ∈ Y thuộc D* (R) khi và ch khi tồn tại một phần tử x
∈ X sao cho x R y:
y ∈ ⇔ D* (R) tồn tại x ∈ X sao cho x R y,
hay D* (R) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ X sao cho x R y}.
Chẳng hạn, với quan hệ hai ngôi R trong ví dụ 12, ta có:
D* (R) = {1, 2, 4} , D* (R) = {A, B} = Y.
Ví dụ 3.14 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5} và Y = N. Gọi R là quan hệ chia hết trên X x N,
tức là x R y khi và chỉ khi x là ước số của y. Khi đó.
D* (R) = X = {2, 3, 5},
và D* (R) tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2, 3 hoặc 5:
D* (R) = {2m : m ∈ N} ∪ {3n : n ∈ ∪ N} {5k : k ∈ N}.
Có thể biểu di n quan hễ ệ hai ngôi R trên tập hợp Rcác số thực bởi lược đồ
Đêcác. Quan hệ ể ễ R được bi u di n bởi một tậ ặp con của m t phẳ ạng to độ
Oxy. Tập xác a quan h u diđịnh D (R) củ ệ R được biể ễn bởi hình chiếu của
R trên trụ ủc hoành Ox; tậ ảp nh D* (R) c a quan hệ ễ ℜ được biểu di n bởi
hình chi a R trên trếu củ ục tung Oy (Hình 7).
Hình 7 Hình 8
Trong Hình 8, ta có lược đồ biểu diễn quan hệ hai ngôi R trên
⏐
R (R =
⏐
R
2
)
xác định như sau: Với mọi (x, y)
⏐
R
2
, x R y khi và chỉ khi x
2
= y. Dễ dàng
thấy rằng:
D (R) =
⏐
R và D*(R = [0, + ∞) = x : x ≥ 0
3.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi
a) Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phản xạ nếu với mọi x
∈
X, ta
đều có x R x.
Ví dụ 3.15 :
Quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên dương N* là phản xạ vì với mọ ối s
nguyên dương x, x chia hết x.
• Quan hệ ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) trên tậ ảp hợ ựp các số th c
⏐
R là ph n xạ vì
với mọi x ∈
⏐
R, x ≤ x.
• Giả sử ợ A là một tập h p các mảnh lôgíc (A ⊂ L
0
). Quan hệ RA “có cùng
màu với” (mảnh x có cùng màu với mảnh y) hiể ản nhiên là ph n xạ (Hình
9).
Form at t ed:
Heading04
Hình 9 Hình 10
Nếu R là một quan hệ ph n xả ạ trên A thì lược đồ hình tên của nó có một
vòng tại mỗi điểm của A (Hình 9).
• Quan hệ “là bình phương c phủa” trên N không phải là một quan hệ ản xạ
vì chỉ có hệ số ủ 0 và 1 là bình phương c a chính nó (Hình 10).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên X không phải là phản xạ thì lược đồ hình tên
của nó có ít nhất một điểm tại đó không có vòng.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là đối phản xạ nếu với mọi x ∈ X, x
đều không có quan hệ R với x, tức là không xảy ra x R x.
Nói một cách khác, R là đối phản xạ nếu
(x, x) ∉ R với mọi x ∈ X.
Ví dụ 3.16 :
Quan hệ “<” trên
⏐
R là đối phản xạ ớ vì v i mọi x ∈
⏐
R, đều không có x < x.
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối phản xạ thì lược đồ tên của nó
không có một vòng nào (Hình 11).
Hình 11 Hình 12
• Quan hệ “vuông góc v p hới” trên tậ ợp các đường thẳng của một mặt
phẳng là đối phản xạ vì mọi đường thẳng đều không vuông góc với chính
nó.
• Quan hệ “là bố của” trên một tập hợp ngườ ưới cho tr c là đối phản xạ.
b) Quan hệ hai ngôi
ℜ
trên tập h u vợp X gọi là đối xứng nế ới mọi x, y
∈
X,
x R y
⇒
y R x.
Ví dụ 3.17 :
Giả sử X là một tập hợp khác . Tập hợp:
R = {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X2
gọi là quan hệ đồng nhất trên X.
Như vậy, với mọi x, y ∈ X,
x R y ⇔ x = y.
Dễ thấy quan hệ đồng nhất trên X là đối xứng.
• Quan hệ “vuông góc v p hới” trên tậ ợp các đường thẳng của một mặt
phẳng là đối xứng.
• Quan hệ “là anh ho p hặc em trai của” trên một tậ ợp trẻ em là đối xứng
(Hình 12).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối xứng thì trong lược đồ hình
tên của nó, hễ có một mũi tên đ đi từ x đến y, ắt có mộ ũt m i tên i từ y đến x.
Chú ý rằng giữa hai điểm x và y có thể không có mũi tên nào, nhưng nếu đã
có thì tất ph i có hai mả ũi tên đi ngượ ước h ng nhau.
• Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4}. Quan hệ “nhỏ hơn hoặ ằc b ng” (≤) trên A
không phải là một quan hệ đối xứng (Hình 13).
Hình 13 Hình 14
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X không phải là một quan hệ đối xứng
thì trên lược đồ tên của R có ít nhất m i tột mũi tên đ ừ x đến y mà không có
mũi tên ngược từ y đến x.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phi đối xứng nếu với mọi x, y ∈
X,
x R y ⇒ y R x.
Nói một cách khác, R là phi đối x i mứng nếu vớ ọi x, y ∈ X
(x, y) ∈ ⇒ ∉ R (y, x) R.
Ví dụ 3.18 :
• Quan hệ hai ngôi “<” (nhỏ hơ ợ ựn) trên tập h p các số th c
⏐
R là phi đối
xứng vì với hai số thực bất kì x, y, các điều kiện x < y và y < x loại trừ
nhau.
• Gọ ối R là quan hệ ậ hai ngôi xác định trên t p hợp các s nguyên dương N*
xác định bởi: x R y khi và chỉ khi x = 2y R là một quan hệ phi đối xứng vì
với mọi x, y ∈ N* không thể đồng thời xảy ra x = 2y và y = 2a (Hình 14).
Nếu R là một quan hệ phi đối xứng trên tập hợp X thì trên lược đồ hình tên
của R, giữa hai điểm khác nhau x, y ∈ X, hoặc không có mũi tên nào, hoặc
chỉ có một mũi tên (không có mũi tên ngược) (Hình 14).
Quan hệ hai ngôi R trên tập h u vợp X gọi là ph ngản đối xứ nế ới mọi x, y ∈
X,
x R y và y R x ⇒ x = y.
Ví dụ 3.19 :
• Quan hệ hai ngôi “” trên tập hợp
⏐
R là phản đối xứng vì với hai số thực
bất kì x, y, hai điều kiện x y và y x kéo theo x = y.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ phản đối xứng.
c) Quan hệ hai ngôi
ℜ
trên tập hợp X gọi là bắc cầu nếu với mọi x, y, z
∈
X,
x R y và y R z ⇒ x R z.
Hình 15
Trên lược đồ hình tên của quan hệ bắ ầ ếc c u R, n u có mộ đt mũi tên i từ x
đến y và mộ đt mũi tên i từ ừ y đến z thì có mộ đt mũi tên i t x đến z. (Hình
15).
Ví dụ 3.20 :
• Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp các số tự nhiên là bắ ầc c u vì với
mọi x, y, z N, nếu x là một ước số củ ộ ốa y và y là m t ước s của z thì x là
một ước số của z.
• Quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp
⏐
R là bắc cầu.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ bắc cầu.
3.4. Quan hệ ngược – Hợp của hai quan hệ
a) Quan hệ ngược của một quan hệ cho trước
Form at t ed:
Heading04
Cho hai tập hợp X, Y và quan hệ hai ngôi R trên X x Y. Quan hệ ngược của
quan h nh nhệ R, kí hi u là Rệ
−1
, là quan hệ hai ngôi trên Y x X xác đị ư sau:
Với mọi y ∈ Y, x ∈ X, y R
−1
x x R y.
(tức là (y, x) R
−1
⇔ (x, y) ∈ R).
Ví dụ 3.21:
Gọi X là tập hợp năm thành phố
X = {Hà Nội, Cần Thơ, Bắc Kinh, Viên Chăn, Nam Kinh} = {h, c, b, v, n},
Y là tập hợp hai nước.
Y = {Việt Nam, Trung Quốc} = {V, T},
và R là quan hệ “là một Thành phố của”
R là quan hệ hai ngôi trên X x Y:
R = {(h, V), (c, V), (b, T), (n, T)}.
Hình 16
Quan h
ệ ngược R
−1
củ ệa R là quan h hai ngôi trên Y x X.
R
−
1
= {(V, h), (V, c), (T, b), (T, n)}.
Hình 17
Các điểm biểu diễn các cặp thứ tự củ đa R
−1
đối xứng với các iểm biể ễu di n
các cặp thứ t cự ủa R qua đường phân giác thứ ấ nh t.
Ví dụ3.22 :
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R “là bình
phương của” trên X:
R = {(0, 0), (1, ), (4, 2), (9, 3)}.
Quan hệ ngược của R là quan hệ R
−1
“là căn bậc hai của” trên X:
R
−1
= {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
Hình 18
b) Hợp của hai quan hệ
Cho ba tập hợp X, Y, Z, quan hệ R
1
trên X x Y và quan hệ R
2
trên Y x Z.
Quan hệ R trên X x Z gồm các cặp thứ tự (x, z) ∈ X x Z thoả mãn điều kiện
sau:
Tồn tại một phần tử y ∈ Y sao cho x R
1
y và y R
2
z gọi là hợp của hai quan
hệ R
1
và R
2
, kí hiệu là R
2
°
R
1
.
Như vậy,
R = R
2
°
R
1
= {(x, z) X x Z: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R
1
y và y R
2
z}.
Ví dụ 3.23 : Cho ba tập hợp
Tập hợp các bà X = {Mai, Tuyết} (thế hệ thứ nhất), tập hợp các anh chị Y =
{Dungx, Loan, Cường} (thế hệ thứ ợ hai), tập h p các cháu Z = {Khôi, Nga,
Hùng, Vân} (thế hệ ứ th ba), và hai quan hệ:
Quan hệ R
1
“là mẹ của” trên X x Y:
R
1
= {(Mai, Dũng), (Tuyế ết, Loan), (Tuy t, Cường)}, quan hệ R
2
“là
bố của” trên Y x Z:
R
2
= {(Dũng, Khôi), (Dũng, Nga), (Cường, Vân)}.
Hình 18
Quan hệ h Rợp R
2
°
1
c Rủa hai quan hệ
1
và R
2
là quan hệ “là bà nội của” trên
X x Z;
R
R = {(Mai, Khôi), (Mai, Nga), (Tuyết, Vân)}.
Hình 19
Ví dụ 3.24 :
Cho quan hệ R
1
“là một nửa của” trên tập hợp N* các số nguyên dương và
quan hệ R
2
“gấp bốn lần” trên N*.
Tìm R
2
°
R
1
Ta có:
R
1
= {(1; 2), (2; 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), ...}
R
2
= {(4; 1), (8; 2), (12, 3), (16, 4), (20, 5), ...}
Hình 20
R
2
°
R
1
là một quan hệ trên N*:
R
2 1
°
R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), ...}.
R
2
°
R
1
là quan hệ “gấp đôi” trên N*.
Có thể biểu di p N* chễn tập hợ ỉ bởi một đường cong kín.
Khi đó, để khỏi lẫn, ph u diải phân biệt các mũi tên biể ễn các cặp thứ tự của
R
1
, R
2
và R
1
°
R
2
.
Hình 21
Trong hình các cặp thứ tự của các quan hệ R
1
°
R
2
và R
2
°
R
1
, theo thứ tự,
được biể ễu di n bởi các mũi tên xanh, mũi tên có nét gạch và mũi tên đỏ.
B. Hoạt động. tìm hiểu khái niệm tính đề các và quan hệ hai
ngôi.
Nhi•m v•:
Nhiệm vụ 1:
− Nắm vững định nghĩa tich Đêcác của hai tập hợp và củ ốa một s hữu hạn
tập hợp.
− Biết biểu diễn tích p hĐêcác của hai tậ ợp b ng lằ ược đồ hình tên và lược
đồ Đêcác.
Nhiệm vụ 2:
− Nắm vững định nghĩa quan hệ hai ngôi trên X x Y và trên X.
− Có kĩ năng thành th o trong viạ ệc xác định các cặp thứ tự củ ộa m t quan hệ
hai ngôi trong các tình huống khác nhau.
− Biểu diễn được quan hệ hai ngôi bằng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác.
Nhiệm vụ 3
− Nắ ấ ả ầm vững các tính ch t ph n xạ, đối xứng và bắc c u của quan hệ hai
ngôi.
− Có kĩ nă ậ ệ ấng nh n biết một quan h hai ngôi cho trước có các tính ch t đó
hay không?
− Có kĩ nă ể ễ ấ ằng bi u di n các quan hệ hai ngôi có các tính ch t đã nêu b ng
lược đồ hình tên.
Nhiệm vụ 4:
− Nắm vữ ĩng các định ngh a củ ủ ộa quan hệ ngược c a m t quan hệ hai ngôi
cho trước và quan hệ hợp của hai quan hệ hai ngôi cho trước.
− Có kĩ năng thành thạo trong việc xác định quan hệ ngược và quan hệ hợp.
− Biểu diễn thành thạo các cặp thứ tự của quan hệ ngược và quan hệ hợp
bằng lược đồ hình tên.
Đánh giá hoạt động 3.1
1. Cho ba tập hợp X, Y, Z. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ ( A x C),
b) (B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A),
c) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C),
d) (B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A),
e) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C),
f) (B \ C) x A = (B x A) \ (C x A).
2. Cho ba tập hợp A, B và C ≠ φ. Chứng minh rằng:
a) A ⊂ B ⇔ A x C ⊂ B x C,
b) A ⊂ B ⇔ C x A ⊂ C x B.
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
3. Giả sử tậ ầp hợ ửp X có m phần t và tập hợp Y có n ph n tử ứ. Ch ng minh
rằng tập hợp X x Y có mn phần tử.
4. Giả s tử ập hợp Xk có nk phần tử, k = 1, 2, ...m.
Chứng minh rằng tập hợp X
1
x X
2
x ... x Xm có n
1
n
2
... nm phần tử.
5. Cho hai tập hợp A = {2, 4, 7, 9} và B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}.
Tìm quan hệ “chia hết” R trên A x B và biể ằu diễ ện quan h R b ng lược đồ
hình tên.
6. Cho tập h p X = {1, 2, 7, 8}. Tìm quan hợ ệ “chia hết” R trên X và biểu
hiện quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
7. Cho tập hợp X = {1, 2, 6, 7, 8}. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên X và
biểu diễn R bằng lược đồ hình tên.
8. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên tập hợp các số nguyên dương N* và
biểu hiện R bằng lược đồ hình tên.
9. Cho các tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, A = {1, 2, 9}, B = {4, 9}, C = {6,
7, 8} và Y = {A, B, C}. Tìm quan hệ R “phần t p” trên X x Y. ử thuộc tập hợ
Biểu diễn quan h này bệ ằng lược đồ hình tên.
10. Cho các tập hợp A = {1, 2}, B = {1, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 7, 8} và
X = {A, B, C}. Tìm quan hệ bao hàm “chứa trong” R trên X.
(Quan hệ bao hàm “ch c cho bứa trong” ℜ đượ ởi A ℜ B khi và chỉ khi A
B).
11. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 5, 7}. Tìm quan hệ “nhỏ hơn” (<) trên X
(quan hệ “nh c hiỏ hơn” đượ ểu theo nghĩa thông thường).
12. Gọi R
1
là quan hệ “<” trên
⏐
R và R
2
là quan hệ “≠” trên
⏐
R. Hãy biểu
diễn R
1
và R
2
bằng lược đồ Đêcác.
13. Chứng minh rằng n u t p h n t và t p hế ậ ợp X có m phầ ử ậ ợp Y có n phần
tử thì có 2
mn
quan hệ hai ngôi trên X x Y.
14. Quan hệ “song song hoặc trùng nhau với” trên tập h p tợ ất cả các đường
thẳng của một mặt phẳng có phải là một quan hệ phản xạ, đối xứng, bắc cầu
hay không?
15. Trong một mặt phẳng cho một điểm O cố định. Gọi X là tập hợp các
đ ủiểm c a mặ ệt phẳng và là quan h hai ngôi trên X xác định bởi: x R y khi
và chỉ khi x là đi i iểm đối xứng của đ ểm y qua đ ểm O.
Hãy nêu các tính chất (phản x u) cạ, đối xứng, b c cắ ầ ủa R.
16. Nêu các tính chất (phản x ng, b a quan hạ, đối xứ ắc cầu) củ ệ “chia hết
cho” trên tập hợp N* các số nguyên dương.
phản x ng và bạ, đối xứ ắc cầu. Do đó nó là một quan hệ tương đương trên
N.
4.2. Các lớp tương đương và tập thương
a) Giả sử X là một tập h p khác ợ φ và ~ là một quan hệ tương đương trên X.
Với mỗi phần tử x ∈ X, ta kí hiệu là t p hậ ợp các ph n tầ ử y ∈ X sao cho x ~
y:
= {y ∈ X : x ~ y}.
Tập hợp gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X cú đại diện là phần
tử x. Tập hợp chia lớp tương đương của quan h c gệ trên X đượ ọi là tập
thương, kí hiệu là X/~.
Hình 24
Các tính chất cơ bản củ ủa các lớp tương đương c a quan hệ ~ được cho
trong định lí sau:
b) Định lí: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X ≠ φ. Khi
đó:
(i) Với mọi x ∈ X, x ∈ ,
(ii) Với m i xọ
1
, x
2
∈ X,
1
=
2
⇔ x
1
~ x
2
,
(iii) Với m i xọ
1
, x
2
∈ X, nếu
1
2
Thì
1 2
= φ.
Chứng minh:
(i) Vì quan hệ ~ là phản xạ nên với mọi x ∈ X, x ~ x. Do đó x ∈ .
(ii) Giả sử
1
=
2
. Theo (i), ta có x
1 1
∈ ; do ó xđ
1
∈
2 1
. Vậy x ~ x
2
. Đảo lại, giả
sử x
1
~ x
2 2
. Khi đó nếu x
1
; thì x ~ x
1
, do đó x ~ x vì quan hệ ~ là bắ ầc c u.
Vậy
1
⊂
2
. Tương tự ừ, ta có
2
1
. T hai bao hàm thức trên suy ra
1
=
2
.
(iii) Giả sử
1
∩
2
≠ φ. Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho x ∈
1
và x ∈
2
. Do đó x
1
~
x và x ó suy
2
~ x. Từ đó, ta có x
1
~ x và x ~ x
2
. Do đó x
1
~ x
2
. Theo (ii), từ đ
ra
1
=
2
.
Form at t ed:
Heading03
Từ định lí trên suy ra định lí sau gọi là nguyên lí đồng nhất các phần tử
tương đương.
c) Định lí: Quan hệ tương đương ~ trên tập hợp X ≠ φ chia X thành các tập
con khác p h p con p t ng cđôi một rời nhau (các tậ ợ đó là các lớ ương đươ ủa
quan hệ ~) sao cho hai phần t p h c cùng m p con ử x, y của tậ ợp X thuộ ột tậ
khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.
Tập thương X / ~ là một phép phân hoạch tập hợp X. (Xem bài tập 14 trong
Hoạt động 2, Chủ đề 1).
d) Ví dụ v tề ập thương.
Ta trở ố ụ đ lại b n ví d ã nêu.
• Trong Ví dụ 1, quan hệ tương đương ~ trên
⏐
R chia tập hợp
⏐
R thành các
lớp tương đương. Dễ dàng nh ng tận thấy rằ ất cả các số nguyên thuộc cùng
một lớp tương đương và ngoài các số nguyên không có một s thố ực nào
thuộc lớp tương đương đó.
• Trong Ví dụ 2, quan hệ tương đương ~ trên X chia tập hợp các Vectơ
buộc trong mặt phẳng
⏐
R
2
thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương
đươ đượng c gọi là một véctơ tự ơ do: Đó là tậ ấ ảp hợp t t c các vect buộc
tương đương với một vectơ buộc cho trước. (Trong sách giáo khoa toán ở
trường phổ thông hai vectơ tương đương được gọ đi là bằng nhau; ó là hai
vectơ cùng hướng có độ dài bằng nhau, xem hình 25).
Hình 25
• Trong ví dụ 3, quan hệ tương đương ~ trên D chia tập hợp các đường
thẳng trong mặt phẳng
⏐
R
2
thành các lớ ớp tương đương. Mỗi l p tương
đươ đượ đường c gọi là một phương. Đó là tậ ấ ảp hợp t t c các ng thẳng trong
mặt phẳng
⏐
R
2
song song hoặc trùng v c trong ới một đường thẳng cho trướ
mặt phẳng này
Hình 26
• Trong Ví dụ 4, quan hệ “có cùng số dư ớ v i... trong phép chia cho 3” chia
tập hợp N thành ba lớp tương đương: . Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều
thuộc lớp . Mọi số tự nhiên có số dư là 1 trong phép chia cho 3 đều thuộc
lớp. Mọi số tự ư nhiên có số d là 2 trong phép chia cho 3 đều thuộc lớp . Ta
lấy thêm một ví dụ.
Hình 27
Ví dụ 4.5 :
Xét quan hệ hai ngôi “cùng màu với” trên tập h nh lôgic ợp L
0
các mả
Điênétxơ.
Dễ dàng thấy rằng đó là m t quan hộ ệ tương đương trên L
0
. Quan hệ này
chia L
0
thành ba lớp tương đương: Đ, X, N.
Đ là tập hợp các mảnh màu đỏ, X là tập hợp các mảnh màu xanh và N là
tập hợp các mảnh màu nâu. Mỗi lớp tương đương có 16 mảnh với hình
dạng, độ lớn và độ dày khác nhau
Hình 28
4.3. ứng d ng cụ ủa nguyên lí đồng nhất các phần tử tương ng đươ
a) Xây dựng tập hợp các số nguyên
Ta nhắc lạ ằ ệi r ng kí hi u N chỉ tập hợp các số tự nhiên và N
2
= N x N chỉ tập
hợp tất cả các cặp thứ tự (m, n), trong đó m và n là những số tự nhiên.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên N x N xác định bởi (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) khi và
chỉ khi m
1
+ n
2
= m + n
2 1
.
Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên N x N.
Thật vậy, vì với mọi (m, n) ∈ N x N, ta có m + n = m + n, nên (m, n) ~ (m,
n). Do đó quan h n x ng quan hệ ~ là phả ạ. Dễ ràng thấy rằ ệ ~ là đối xứng.
Cuối cùng nếu (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) và (m
2 2
, n ) ~ (m
3
, n
3
) thì m
1 2 2 1
+ n = m + n và
m
2
+ n
3
= m
3
+ n + n + n + n
2
. Do đó m
1 2
+ m
2 3
= m
2 1
+ m + n
3 2
⇔ m
1
+ n
3
= m
3
+ n
1
, tức là (m
1
, n
1
) tương đương (m
3
, n
3
). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu.
Quan hệ tương đương ~ trên N x N chia tập hợp N x N thành các lớp tương
đương đôi một rời nhau.
Các lớp t ng c a quan h p hương đươ ủ ệ ~ trên tậ ợp N x N được gọi là các số
nguyên.
Dễ dàng thấy rằng:
• (0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) , (3, 3), ...
Lớp tương đương (0, 0)
~
có đại di i là sện là phần tử (0, 0) gọ ố nguyên 0.
• Các lớp tương đương (m, n) có n t
~
đại diện là phầ ử (m, n) trong đó m > n
và m = n + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên dương k = 1, 2, ...
• Các lớp tương đương (m, n)
~
có n tđại diện là phầ ử (m, n) trong đó m < n
và n = m + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên âm −k = −1, −2, −3, ...
Phép c ng và phép nhân trong t nguyên, tộ ập hợp các số ức là trong tập
thương N x N / ~ được định nghĩa như sau:
(m
1
, n
1
)
~
+ (m
2
, n
2
)
~
= (m
1
+ m
2
, n
1 2
+ n )
~
.
(m
1
,n ,n
1
) . (m
2 2
) = (m
1
m
2
+ n
1
n
2
, m
1 2 1 2
n + n m )
Người ta chứng minh được rằng các phép toán được xác nh nhđị ư trên
không ph c vào vi n các ph n t n cụ thuộ ệc chọ ầ ử đại diệ ủa các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả mãn các quy tắc về số học đã biết trong tập
hợp các số tự ữ ự nhiên N; hơn n a, trong tậ ểp hợp các số nguyên, có th th c
hiện phép trừ đối với hai s t kì. ố bấ
b) Xây dựng tập hợp các số ỉ hữu t
Ta kí hiệu Z là tập hợp các số nguyên, Z* là t p các sập hợ ố nguyên khác 0.
Tích Đêcác Z x Z* là tập hợp các cặp thứ tự (m, n), trong đó m là một số
nguyên và n là một số nguyên khác 0.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập hợp Z x Z* xác định như sau:
(m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) khi và chỉ khi m
1
n n
2
= m
2 1
.
(Chẳng hạn, ta có (2, 3) ~ (4, 6), (3, 5) ~ (18, 30),
(-3, 7) ~ (-12, 28), (-3, 7) ~ (6, − 14)
Ta chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên Z x Z*.
Thật vậy, dễ thấy quan hệ ~ là phản xạ và đối xứng.
Nếu (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) và (m
2 2
, n ) ~ (m
3
, n
3
) thì
m
1 2 2
n = m
2 1
n và m n
3
= m
3 2
n (1)
Do đó:
m
1
n
2
m m
2
n
3
= m
2
n
1 3
n
2
⇔ m
1
m
2
n
3 1 3
= m
2
n m , vì n
2
≠ 0. Từ đó suy ra rằng nếu m
2
khỏc 0 thì m
1
n
3
= m
3
n
1
; do đó (m
1 1
, n ) ~ (m
3 3
, n ). Nếu m
2
= 0 thì từ hai đẳng
thức trong (1) suy ra m
1
= 0 và m
3
= 0. Do đ ũó ta c ng có m
1
n
3
= m
3
n
1
, tức là
(m
1
, n
1
) ~ (m
3
, n
3
). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu.
Quan hệ tương đương ~ trên Z x Z* chia tập hợ ớp Z x Z* thành các l p
tương ng đươ đôi một rời nhau.
Các lớp t a quan hương đương củ ệ tương đương ~ trên Z x Z* gọi là các số
hữu tỉ.
Lớp tương đương (m, n)~ có đại diện là phần tử (m, n) xác định số hữ ỉu t ,
kí hiệm là . Hai cặp thứ tự (m
1
, n , n
1
) và (m
2 2
) thuộc cùng một lớp tương
đương, tức là m
1
n
2
= m
2
n
1
, xác định cùng một số hữ ỉ ưu t . Nh vậy, hai số hữu
tỉ là bằng nhau.
Phép cộng và phép nhân trong tậphợp các số hữu tỉ, tức là trong tập thương
Z x Z*/~ được định nghĩa như sau:
(m
1
, n
1
)
~
+ (m
2
, n
2
)
~
= (m
1
n
2
+ n
1
m n
2
, n
1 2
)
~
,
(m
1
, n
1
)
~
. (m
2
, n
2
)
~
= (m
1 2
m , n
1
n
2
)
~
Người ta chứng minh được rằng hai phép toán được xác định như trên
không ph c vào vi n các ph n t n cụ thuộ ệc chọ ầ ử đại diệ ủa các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả ề mãn các quy tắc v số họ ợc trong tập h p các
số nguyên; hơn nữa, trong tập hợp các số hữu tỉ phép chia cho một số khác
không bao giờ cũng thực hiện được.
Hoạt động 4.1. Tìm hiểu về quan hệ tương đương
Nhiệm vụ:
Nhi•m v• 1: Đọc các thông tin cơ bả ến để có được các ki n thứ ềc v :
− Định nghĩa quan hệ tương đương.
− Định nghĩa lớp tương đương, tập thương.
− Một số ví dụ về quan hệ tươ ương đương, tập th ng.
Nhiệm vụ 2:
Trình bày và thấy được tầm quan trọng của nguyên lí ng nh n tđồ ất các phầ ử
tương đương:
− Quan hệ tương đương trên một tập hợ ợ ớp chia tập h p đó thành các l p
tương ng đươ đội m t rộ ời nhau.
− Biết vận d ng mụ ột cách sinh động nguyên lí này trong các ví dụ và ứng
dụng khác nhau.
Đ ạánh giá ho t động 4.1
1. G và ~ọi ~
1
, ~
2 3
, theo thứ tự, là quan hệ hai ngôi “có cùng hình dạng với”,
“có cùng độ lớ ớn với” và “có cùng độ dày v i” trên tập hợp L
0
các mảnh
lôgic.
a) Chứng minh rằng chúng là những quan hệ tương đương trên L
0
.
b) Mỗi quan hệ đó chia tập hợp L
0
thành mấy lớp tương đương?
2. Gọi R là quan hệ hai ngôi “có cùng số dư với... trong phép chia cho 4”
trên tập hợp N.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên tập hợp N.
b) Quan hệ tương đương R trên N chia tập hợp N thành mấy lớp tương
đươ đương? Hãy vẽ ể ễ sơ đồ Ven bi u di n các lớp tương ng của quan hệ R.
3. Cho tập h p h p con cợp X = {1, 2, 3, 4, 5} và P = P(X) là tậ ợp các tậ ủa X.
Gọi ~ là quan h hai ngôi trên P xác ệ định bởi: A ~ B khi và chỉ khi N (A) =
N (B)
Trong đó N (C) là số phần tử của tập hợp C ⊂ X.
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên P.
b) Tìm lớp tương đương c a quan hủ ệ ~ trên P, có đại diện là phần tử {1, 3}
của P.
4. Gọi X =
⏐
R
2
là tập hợp các điểm của mặt phẳng và ~ là quan hệ hai ngôi
trên tập hợp
⏐
R
2
xác định bởi:
(x
1
, y
1
) ~ (x
2
, y
2
) khi và chỉ khi
.
a) Chứng minh rằng ~ là m ng trên ột quan hệ tương đươ
⏐
R
2
.
b) Tìm tập thương
⏐
R
2
/ ~.
5. Cho một tập hợp X ≠ φ. Chứng minh rằng quan h ng nhệ đồ ất R trên X là
một quan hệ tương đương trên X và tìm tập thương X/R.
6. Gọi D là tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẳng và a là một
đường thẳ ệng cho trước trong mặt phẳng đ ọó. G i R là quan h hai ngôi trên
D xác định như sau: Với mọi x, y ∈ D, x R y khi và chỉ khi x ∩ a ≠ φ và y
∩ a ≠ φ.
R có phải là một quan hệ tương đương trên D hay không?
7. Cho các tập con của
⏐
R
2
: A = {x ∈
⏐
R
: 1 ≤ x < 7}, B = {x ∈
⏐
R : x < −2}
và C = {x ∈
⏐
R : 5 < x ≤ 10). Tồn tại hay không một quan hệ tương đương
R trên tập hợp R sao cho các tập hợp A, B, C là những l p t ng cớ ương đươ ủa
quan hệ R
8. Giả sử X là một tập hợp khác φ, A
1
, A
2
, ..., Am là những tập con khác rỗng đôi một rời nhau của X và
= X. Gọi
~ là quan hệ hai ngôi trên X xác định như sau:
Với mọi x, y ∈ X, x ~ y khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên k ∈ {1, 2, ...,
m} sao cho x ∈ Ak và y ∈ Ak.
Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và tìm các
lớp t ng cương đươ ủa quan hệ ~ trên X.
9. Cho một tập hợp X ≠ φ và m n t p hột phầ ử a ∈ X. Gọi P = P (X) là tậ ợp
các tập con của X và ~ là quan hệ hai ngôi trên P xác định như sau:
Với mọi A, B ∈ P, A ~ B khi và chỉ khi A = B hoặc a ∉ A ∪ B.
a) Chứng minh rằng ~ là m ng trên tột quan hệ tương đươ ập hợp P.
b) Tìm tập thương P/~.
10. Ký hiệu C* chỉ tập h ph c có phợp các số ứ ần thực khác 0. Gọi R là quan
hệ hai ngôi trên C* xác định bởi (a + bi) R (c + di) khi và chỉ khi ac > 0.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên ⊄*.
b) Minh hoạ hình học các lớp tương đương của quan hệ R.
Tiểu chủ đề 1.5. Quan hệ thứ tự
Thông tin cơ bản
5.1. Định nghĩa:
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó là
phản x u và ph u kiạ, bắc cầ ản đối xứng, tức là nếu R thoả mãn các điề ện
sau:
a) Với mọi x ∈ X, x R x,
b) Với mọi x, y, z ∈ X, (x R y và y R z) ⇒ x R z,
c) Với mọi x, y ∈ X, (x R y và y R x) ⇒ x = y.
Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự là “≤”. Như vậy x R y được viết là
x ≤ y, đọc là x nhỏ hơn hoặc bằng y, hay y lớn hơn hoặc bằng x.
Form at t ed:
Heading03, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading04
Nếu ≤ là một quan hệ thứ tự ợ trên tập h p X thì cặ ập (X, ≤) gọ ội là m t t p
hợp sắp thứ tự. Người ta cũ ộng gọi X là m t tập hợ ứp sắp th tự ỉ khi ch nói
tới một quan hệ thứ tự nào đó trên X.
Ví dụ 5.1:
Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp N* là một quan hệ thứ tự trên N*
vì:
Với mọi số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n),
Với mọi m, n, k N*, (m / n và n / k) m / k,
Với mọi m, n N*, (m / n và n / m) m = n,
Ví dụ 5.2:
Cho tập hợp X ≠ φ và tập hợ ữp Q nh ng tập con của X (Q ⊂ P(X)), Q ≠ φ.
Quan hệ hai ngôi “chứa trong” trên Q là một quan hệ thứ tự vì:
Với mọi A ∈ Q, A ⊂ A,
Với mọi A, B, C ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C,
Với mọi A, B ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ A) ⇒ A = B.
Ví dụ 5.3:
Nếu X là một tập con khác φ củ ốa tập hợp các s thực thì quan hệ hai ngôi
“≤” trên X là một quan hệ thứ tự vì với mọi x, y, z ∈ X, ta có:
x ≤ x, (x ≤ y và y ≤ z) x) ⇒ x ≤ z, (x ≤ y và y ≤ ⇒ x = y.
Để phân biệ ứt quan hệ th tự ợ ớ ≤ trên một tập h p X tuỳ ý v i quan hệ ≤ trên
R, ta gọi quan hệ sau là quan hệ thứ tự thông th ng trên R. ườ
Ví dụ 5.4:
Xét các quan hệ hai ngôi trên các tập hợp X, Y, Z được biểu diễn bởi các
lược đồ hình tên trong hình 29
Hình 29
Trong lược đồ hình tên 29 a), quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X = {a, b}
được xác định bởi: a R a, b R b, a R b.
Dễ dàng thấy rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
• Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Y = {a, b, c} được bi u di n bể ễ ởi lược đồ
hình tên 29 b) không phải là một quan hệ thứ tự trên tập hợp Y vì nó không
phải là quan hệ phản đối xứng : a R b, b R a và a ≠ b.
Quan hệ hai ngôi R trên tập h u di n bợp Z = {a, b, c, d} được biể ễ ởi lược đồ
hình tên 29 c) không phải là một quan hệ thứ tự trên Z vì nó không phải là
quan hệ bắc cầu: a R b và b R c nhưng không có a R c.
5.2. Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt
a) Định ngh quan hĩa: Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là ệ thứ tự
nghiêm ngặt nế ả ạ ếu nó là đối ph n x và bắ ầc c u, tức là n u R thoả mãn các
điều kiện sau:
a) Với mọi x ∈ X, không có x R x, tức là (x, x) ∉ R,
b) Với mọi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z.
Quan hệ thứ tự ư nghiêm ngặ ệt R thường được kí hi u là “<”. Nh vậy, x R y
được viết là x < y, đọ đức là x ng trước y.
Ví dụ 5.5:
Dễ dàng thấy rằng quan h n hệ hai ngôi “lớ ơn” (theo nghĩa thông thường)
(>) trên tập hợp R là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Quan hệ hai ngôi “đắt hơn” trên m t hàng cột tập hợp các mặ ũng là một
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Chú ý rằng quan hệ thứ tự nghiêm ngặt không phải là một quan hệ thứ tự.
Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự ệ ứ và quan h th tự nghiêm ngặt được cho
trong hai định lí sau.
b) Định lí
Nếu là m t quan hộ ệ thứ tự ợ trên tập h p X thì quan hệ hai ngôi < trên X xác
định bởi x < y khi và chỉ khi x ≤ y và x ≠ y, là một quan hệ thứ tự nghiêm
ngặt trên X.
Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ < suy ra rằng < không phải là một quan hệ đối
phản xạ. Ta chứng minh < là bắc cầu. Thật vậy, giả sử x < y và y < z. Khi
đó, x ≤ y, y ≤ z, x ≤ y và y ≠ z. Vì là m bột quan hệ ắc cầu nên từ đó suy ra
x ≤ z. Nếu x = z thì ta có z ≤ y và y ≤ z. Do ó y = z (suy ra tđ ừ tính phản đối
xứng của quan hệ ≤); điều này mâu thuẫn với y ≤ z. Vậy x ≤ z. Như vậy, ta
có x ≤ z và x ≠ z, tức là x < z.
Form at t ed:
Heading04
Đảo lại, ta có:
c) Định lí
Nếu < là một quan hệ thứ tự ợ nghiêm ngặt trên tập h p X thì quan hệ hai
ngôi ≤ trên X xác định bởi: x ≤ y khi và chỉ khi x < y hoặc x = y, là một
quan hệ thứ tự trên X.
Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ ≤ suy ra rằng ≤ là một quan h n xệ phả ạ. Ta
chứng minh ≤ là quan hệ bắc cầu.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ z. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < z hoặc y =
z. Nếu x < y và y < z thì x < z; do đó x z. Nếu x < y và y = z thì x < z; do
đ đó x ≤ z. Nếu x = y và y < z thì x < z; do ó x ≤ z. Cuối cùng nếu x = y và y
= z thì x = z, do đó x ≤ z.
≤ là quan hệ phản đối xứng.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ x. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < x hoặc y =
x. Hai điều kiện x < y và y < x loại trừ nhau vì nếu xảy ra đồng thời hai
điề ề ảu kiện này thì ta có x < x đi u này không thể ệ vì < là quan h đối ph n xạ.
Hai điều kiện x < y và y = x loại trừ lẫ ện nhau. Hai điều ki n x = y và y < x
cũng loại trừ nhau. Do đó chỉ có thể xảy ra một trường h p x = y và y = x. ợ
Như vậy các điều kiện x ≤ y và y ≤ x kéo theo x = y.
Giả sử là một quan hệ thứ tự ợ ử trên tập h p X và x, y là hai phần t của X.
Ta nói rằng x đứng trước y nếu x y và x ≤ ≠ y. Khi đó, ta viết x < y (< là
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X nói trong Định lí b).
5.3. Quan hệ thứ tự toàn phần và quan hệ thứ ự t bộ ậ ph n.
Quan hệ thứ tự ≤ trên tậ ế ầp hợp X gọi là toàn phần n u với hai ph n tử bất kì
x, y của X, ta có x ≤ y hoặc y ≤ x.
Trong l a quan hược đồ hình tên củ ệ thứ tự toàn phầ ận trên t p hợp X, các
phần tử của X đôi một được nối với nhau bởi ít nhất m t mộ ũi tên.
Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử x, y của X sao cho cả hai điều kiện x ≤ y và y
≤ x đều không xảy ra thì ≤ gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
Ví dụ 5.6:
Quan hệ thứ tự “≤” (theo nghĩa thông th p hường) trên tậ ợp R là toàn phần.
Quan hệ “chia hết” trên tập hợp N* là quan hệ thứ tự bộ phận vì chẳ ạng h n
số nguyên 3 và 7 là không so sánh được”. Ta không có 3 / 7, cũng không có
7 / 3.
Quan hệ thứ t nự nghiêm ngặt < trên tập hợp X được gọi là toàn phần ếu với
hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X, ta có x < y hoặc y < x.
Form at t ed:
Heading04
Nếu t n tồ ại ít nhất hai phần tử khác nhau x, y của X sao cho cả hai điều
kiện x < y và y < x đều không xảy ra thì quan hệ < được gọi là bộ phận.
Ví dụ 5.7 :
Xét các quan hệ thứ tự ứ và quan hệ th tự ở nghiêm ngặ ểt bi u diễn b i các
lược đồ hình tên trong hình 29 dưới đây.
Hình 30
Quan hệ thứ tự ở trên tậ ểp hợp A được bi u diễn b i lược đồ hình tên 30 a) là
toàn phần. Quan hệ thứ tự trên tập hợp B trong Hình 30 b) là bộ phận. Quan
hệ thứ tự ợ nghiêm ngặt trên tập h p C trong Hình 30 c) là toàn phần. Lược
đồ hình tên trong Hình 30 c) biểu diễn quan hệ ặ thứ ự t nghiêm ng t bộ phận
trên tập hợp D.
5.4. Các phần tử tối đại, tối tiểu
a) Giả sử ợ ứ (X, ≤) là một tập h p sắp th tự ử. Phần t x
0
∈ X được gọi là tối
đạ đứi nếu nó không ng trước bất kì một phần tử nào của X, tức là không
tồn tại x ∈ X sao cho x
0
< x.
Nói một cách khác, x
0
∈ X là phần tử tối đại nếu không tồn tại x ∈ X sao
cho x
0
∈ x và x
0
≠ x.
Điều kiệ ện này tương đương với điều ki n sau:
Với mọi x ∈ X, nếu x
0
∈ x thì x = x
0
.
Ví dụ 5.8:
Cho tập hợp X ≠ φ. Gọi P = P(X) là tập tất cả các tập con của X. Ta biết
rằng quan hệ hai ngôi “⊂ ” trên P là một quan hệ thứ tự. Do đó (P, ⊂) là một
tập hợp sắp thứ tự. Ta chứng minh X là phần tử tối đại của P.
Form at t ed:
Heading04
Thật vậy, giả sử A P và X A. Khi đó, ta có A X và X A. Do đó A = X.
Vậy X là phần tử tối đạ đềi. Mọi tập hợp A ∈ P khác X u không phải là
phần tử tối đại vì A ⊂ X. Như vậy X là phần tử tối đại duy nhất.
Ví dụ 5.9 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và là quan hệ trên X xác định
như sau: Với mọi m, n ∈ ≤ X, m n khi và chỉ khi m chia hết cho n.
Dễ dàng thấy rằng là một quan hệ thứ tự trên X. Ta chứng minh rằng mỗi
số nguyên tố đều là một phần tử tố ội đại. Thậ ật v y, nếu p là m t số nguyên
tố và n ∈ X, p ≤ n thì n = p. Do đó p là m t phộ ần tử tối đại. Như vậ ậy t p
hợp sắp thứ tự X có vô số ố phần tử t i đại.
Ví dụ 5.10 :
Kí hiệu ≤ là quan hệ ậ “chia hết” trên t p hợ ớp N*: V i m, n nguyên dương, m
≤ n khi và chỉ khi m : n.
Tập hợp sắp thứ tự N* không có phần tử tối đại vì với mọi n ≤ N*, ta có n :
2n và 2n ≠ n, tức là n ≤ 2n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể ặ ề có một ho c nhi u
phần tử tối đại, cũng có th không có phể ần tử tối đại nào.
Trong l u di n quan hược đồ hình tên biể ễ ệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử
t iối i t đạ được biểu diễn bởi mộ đ ểm mà từ đó không có một mũi tên nào đi
đến các điểm khác. Trong hình 31, c và d là hai phần tử tối đại của tập hợp
sắp thứ tự X.
Hình 31
b) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ t xự. Phần tử
0
∈ X gọi là tối tiểu nếu
không có m n tột phầ ử nào củ ồa X đứng trước nó, tức là không t n tại x ∈ X,
x ≠ x
0
sao cho x ≤ x .
0
Trong l u di n quan hược đồ hình tên biể ễ ệ thứ tự ử trên một tậ ầp hợp, ph n t
t iối tiểu được biểu di n bễ ởi một đ ểm mà không có bất kì một mũi tên nào đi
t i iừ các đ ểm khác đến đ ểm đó. Trong Hình 30, a và d và hai điểm tối tiểu
của tập hợp sắp thứ tự X. Chú ý rằng d cũng là đ ốiểm t i dại của X.
Ví dụ 5.11 :
Giả sử ợ P là tập h p tất cả các tậ ập con của t p hợp X ≠ φ. Khi đó, tập hợp
sắp thứ tự ử (P, ⊂) có một phần t tố đi tiểu duy nhất, ó là tập hợp φ. Thật
vậy, với mọi A ∈ P mà A ⊂ φ, ta có A = φ. Do đó là phần tử tối tiểu. Ngoài
ra, với mọi A ∈ P mà A ≠ φ, ta có φ ⊂ A. Do đó A không phải là phần tử
tối tiểu.
Ví dụ 5.12 :
Giả sử ợ X là tập h p các số nguyên l n hớ ơn 1. Ta biét rằng (X, :) là một tập
hợp sắp thứ tự (kí hiệu : chỉ ế quan hệ “chia hết” trên X). N u p là mộ ốt s
nguyên tố thì với mọi n ∈ X, mà n : p, ta có n = p. Do đó p là một phần tử
tối tiểu của tập h p sợ ắp thứ tự X. Như vậy, X có vô số phần tử tối tiểu, đó là
tất cả các số nguyên tố.
Ví dụ 5.13 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho”
trên X (Xem ví d i tiụ 9). T p sập hợ ắp thứ tự (X, ≤) không có phần tử tố ểu vì
với mọi n ∈ X, ta có 2n chia hết cho n và 2n ≠ n, tức là 2n ≤ n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể ặ có một ho c nhiều
phần t u và c n tử tối tiể ũng có thể không có phầ ử tối tiểu nào.
5.5. Các phần t n nhử lớ ất, nhỏ nhất
a) Giả sử ợ ứ (X, ≤) là một tập h p sắp th tự ử. Phần t x
0
∈ X gọi là lớn nhất
nếu: x ∈ x
0
với mọi x ∈ X.
b) Định lí: Tập h p s p thợ ắ ứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần t n nhử lớ ất.
Phần tử lớn nhất là tối i. đạ
Chứng minh
Giả sử x
0
và x
1
là những phần tử lớ ợn nhấ ật trong t p h p sắp thứ tự X. Khi
đó:
x ≤ x
0
với mọi x ∈ X
và
x ≤ x
1
với mọi x ∈ X.
Do đó x
1
≤ x x
0
và x
0
≤
1
. Vì quan hệ ≤ là phản đối xứng nên từ đó suy ra x
1
=
x
0
. Vậy phầ ấn tử ớ l n nh t, nếu có, là duy nhất.
Form at t ed:
Heading04
Giả sử x l
0
là phần tử ớ ớn nhất trong (X, ≤). Khi đó, v i mọi x ∈ X, nếu x
0
≤ x
thì vì ta cũng có x ≤ x
0 0
(suy ra từ ĩ định ngh a của x ) nên x = x
0
. Vậy x
0
là
phần tử tối đại
Trong l u di n quan hược đồ hình tên biể ễ ệ thứ tự trên một tậ ầp hợp, ph n tử
l i iớn nh u diất được biể ễn bởi một đ ểm mà tại mỗi đ ểm của tập h u có ợp đề
m iột mũi tên đi từ đó đến đ ểm đã nêu.
Hình 32
Trong Hình 32, d là phần lớn nhất của tập h p sợ ắp thứ tự A.
Ví dụ 5.14 :
Trong t p h p sậ ợ ắp thứ tự (P, ⊂) (P = P (X) là tậ ấ ảp hợp t t c các tập con của
hợp X ≠ φ), tậ ấp hợ ử ớp X là phần t l n nh t.
• Tậ ắp hợp s p thứ tự (N*, :) không có phần tử tối đại. Do đó, theo Định lí
b), tập hợp N* không có phần tử lớn nhất.
• Xét tập h p sợ ắp thứ tự ợ ớ (X, ≤), trong đó X là tập h p các số nguyên l n
hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong tập h p này không có ợ
phần tử lớn nhất vì với mỗi n ∈ X, số n + 1 không chia hết cho n. Để ý rằng
trong (X, ≤) có vô số phần tử tối đại (xem Ví dụ 9).
c) Giả sử ứ (X, ≤) là một tậ ắp hợp s p th tự ử. Phần t x
0
∈ X gọi là nhỏ nhất
nếu
x
0
≤ x với mọi x ∈ X. Tương tự như trong Định lí b), dễ dàng chứng minh
được rằng.
d) Tập h p s nh nh n tợ ắp thứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần tử ỏ ất. Phầ ử
nhỏ nhất là tối tiểu.
Trong l u di n quan hược đồ hình tên biể ễ ệ thứ tự trên một tậ ầp hợp, ph n tử
nhỏ nhất t i được biểu diễn bởi mộ điểm mà từ đó có các mũi tên đ đến mọi
điểm Hình 33 khác của tập hợp.
Hình 33
Hình 33, a là phần tử nhỏ nhấ ắt của tập hợp s p thứ ự t A.
Ví dụ 5.15:
• Trong t p hậ ợp sắp thứ tự ợ (P, ⊂), trong đó P là tập h p tất cả ậ các t p con
của tập hợp X ≠ φ, φ là phần tử nhỏ nhất duy nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự (X, ≤), trong đó x là tập hợp các số nguyên lớn hơn
1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong Ví dụ 13, ta biết rằng trong
X không có phần tử tối tiể ậu. Do đó, theo Định lí d), t p hợp sắp thứ tự X
không có ph n tầ ử nhỏ nhất.
• Tậ ắp hợp s p thứ tự (X, :), trong đó X là tập hợ ớp các số nguyên l n hơn 1
và : là quan hệ “chia hết” trên X, không có phần tử nhỏ nhất vì với mọi n ∈
X, n không chia hết n + 1. Để ý r p h này có vô s phằng tậ ợp sắp thứ tự ố ần
tử tối tiểu (xem Ví dụ 12).
5.6. Các tập con của một tập sắp thứ t . Bự ổ đề Doóc
−
−
−
−−
nơ (Zorn).
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợ ứ ựp sắp th t và A là mộ ủt tập con c a X. Gọi A
là quan hệ hai ngôi xác định trên tập hợp A như sau: Với mọi x, y ∈ A, x ≤
A
y khi và chỉ khi x ≤ y.
Dễ dàng thấy rằng ≤
A
là một quan hệ thứ tự ợ ứ trên A. Tập h p sắp th tự (A,
≤
A
) gọi là tập con sắp thứ tự của tập hợp sắp thứ tự (X, ≤).
Thay cho (A, ≤
A
) người ta viết (A, ≤). Khi nói A là một tập con c p hủa tậ ợp
sắp thứ tự (X, ≤) mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu A là tập hợp sắp
thứ tự (A, ≤).
b) Giả sử ứ (X, ≤) là một tập hợp sắp th tự ủ. Tập con A c a X gọi là dây xích
nếu với mọi x, y ∈ X, x ≤ y hoặc y ≤ x.
Nói một cách khác, A là một dãy sích nếu quan hệ thứ tự ≤
A
trên A là toàn
phần.
Ví dụ 5.16 :
Form at t ed:
Heading04
• Tập con A = {5, 15, 60} là một dây xích trong tập hợp sắp thứ tự (N*, :).
• Tậ ả ắp con B = {3, 6, 12, 18} không ph i là một dõy xích trong tập hợp s p
thứ tự (N*, ≤), trong đó ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên N vì 18 không chia
hết cho 12.
c) Phầ ặn tử ch n trên, chặn dưới
Giả sử (X, ≤) là một tập h p sợ ắp thứ ự t và A là một tập hợp con của X.
(i) x
0
∈ X gọi là phần tử chặn trên của A nếu x ≤ x v
0
ới mọi x ∈ A.
(ii) x
0
∈ X gọi là phần tử chặn dưới của A nếu x
0
≤ x với mọi x ∈ A.
Ví dụ 5.17 :
Xét tập h p sợ ắp thứ tự (N*, :) và tập con A = {10, 15, 20}.
Dễ dàng thấy rằng các số 60, 120, 180, ... là những ph n tầ ử chặn trên của A
và các số 1, 5 là các phần tử chặn dưới của A.
Ví dụ 5.18 :
Xét hai tập con Z (là tập các số nguyên) và X = {x ∈ R : −1 ≤ x < 3} của
tập hợp sắp thứ tự (R, ≤) (≤ là quan hệ thứ tự thông thường trên R).
Dễ dàng thấy rằng trong R không có phần t ng không có phử chặn trên cũ ần
tử chặn dưới của Z, mỗi số thực lớn hơn ho ng 3 n tặc bằ đều là một phầ ử
chặn trên của A và mỗi số thực nhỏ hơ ửn hoặ ầc bằng −1 là một ph n t chặn
dưới của A.
Như vậy, một tậ ập con của một t p hợ ứp sắp th tự có thể ề có một hoặc nhi u,
cũng có thể không có phần tử chặn trên, chặn dưới.
Bổ đề mà ta thừa nhận sau đây là một định lí quan trọng được áp dụng ð?
chứng minh nhiều định lí.
d) Bổ đề Zooc−nơ. Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự. Nếu trong X
mỗi dây xích đều có m n tột phầ ử chặn trên thì trong X có phần tử tối đại.
Hoạt động. Tìm hiể ề ệu v quan h thứ tự
Nhiệm vụ:
Sinh viên đọc thông tin c thơ bản để ực hiện các nhiệm vụ sau
Nhiệm vụ 1
Trình bày các khái niệm quan hệ thứ tự ứ và quan hệ th tự nghiêm ngặt,
quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading03, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading04
Delet ed:
Lí giải mộ ốt s quan hệ thứ tự ư thường gặp nh quan hệ “chia hế ệt”, quan h
“chia hết cho” trên tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” trên một tập hợp những
tập hợp ,quan hệ (nhỏ hơ ĩn hoặ ằc b ng theo ngh a thông thường) trên tập
hợp R.
Nhận bi p h p có phết một quan hệ cho trước trên một tậ ợ ải là một quan hệ
thứ tự hay không, biết cho các ví dụ v tề quan hệ thứ ự.
− Biểu diễn một số quan hệ thứ tự và quan hệ thứ tự nghiêm ngặ ằt b ng lược
đồ hình tên.
Nhiệm vụ 2
Trình bày các khái niệm phần tử tối đại, tối tiể ầu, ph n tử lớn nhất, nhỏ
nhất, ph n trên, chần tử chặ ặn d i, dây xích trong m p hướ ột tậ ợp sắp thứ tự.
Tìm các phần tử đó nêu trong một tập hợp sắp thứ tự cho trước.
− Biểu diễn được các phần tử này trong một số quan hệ thứ tự bằng lược đồ
hình tên.
Đánh giá hoạt động 5.1
1. Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36}. Gọi ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Chứng minh ≤ là một quan hệ thứ tự trên X.
b) Quan hệ thứ tự ≤ trên X có phải là toàn phần không?
2. Cho tập hợp A = {3, 6, 12, 36, 48}. Quan hệ “chia hết cho” trên A có
phải là m thột quan hệ ứ tự không? Nế ả ệu có, nó có ph i là một quan h toàn
phần không?
3. Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập h phợp C các số ức xác định như sau:
Với mọi a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) ℜ (c + di) khi và chỉ khi a ≤ c và b ≤ d.
a) Chứng minh rằng ℜ là một quan hệ thứ tự trên C.
b) R có phải là toàn phần không?
4. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và quan hệ hai ngôi R xác định trên
X như sau: Với mọi x, y ∈ X, x R y khi và chỉ khi x ≤ y và 2 : (x − y).
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
b) R có phải là toàn phần không?
c) Biểu diễn quan h ng lệ R bằ ược đồ hình tên.
5. Giả sử X là tập hợp tất c thả các dãy số ực và R là quan hệ hai ngôi trên X
xác định như sau: Với mọi dãy số thực (xn) và (yn), (xn) R (yn) khi và chỉ
khi tồn tại một s i mố nguyên dương m sao cho xn ≤ yn vớ ọi n > m.
a) Chứng minh quan hệ R là phản xạ và bắc cầu.
b) R có ph i là quan hả ệ thứ tự hay không?
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
6. Có thể xác định được bao nhiêu quan hệ thứ tự.
Trên một tập hợp có hai phần tử?
7. Cho tập h p sợ ắp thứ tự (X, ), trong đó
X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} và ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Tìm các ph n tầ ử tối đại và tối tiểu của X.
b) Tìm phần tử lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của X.
8. Cho tập hợp sắp thứ tự ớ (X, ≤) v i X = {3
5
, 3
6
, 3 , 3
7 8
, 3
9
} và là quan hệ
“chia hết cho” trên X. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nh nhỏ ất của X.
9. Các lược đồ hình tên trong Hình 34 dưới đây biểu di n các quan hễ ệ hai
ngôi RA, RB, RC, theo thứ tự, trên các tập hợp A, B, C. Quan hệ nào trong
ba quan hệ đó là quan hệ thứ tự?
Hình 34
10. Hai lược đồ hình tên trong Hình 35 dưới đây biểu di n quan hễ ệ hai ngôi
R và ϕ, theo thứ tự, trên tập hợp X và Y.
a) Chứng minh r ng R là quan hằ ệ thứ tự trên X và Y là quan hệ thứ tự trên
Y.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu và phần tử lớ ỏn nhất, nh nhất của mỗi
tập hợp X và Y.
Hình 35
11. Cho ví dụ về một tập hợ ứp sắp th tự ử có m phần t vừ ừa là tối đại v a là
tối tiểu.
Hướng dẫn. Xem lược đồ trong Hình 35a)
12. Cho ví dụ v mề ột tập hợp sắp thứ tự có
a) m + 1 phần tử, trong đó có k phần tối đại và một phần tử tối tiểu,
b) m + 1 phần tử, trong đ ốó có k phầ ửn t t i tiể ầu và một ph n tử tối i. đạ
13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn hình tròn D
1
, D , D
2
, D
3 4
: D
1
và D
2
đều có tâm là đ ốiểm g c (0, 0) và có bán kính theo thứ tự, là 1 và 2, D
3
có
tâm là điểm (2, 0) và bán kính là 1, D
4
có tâm là điểm (−2, 0) và bán kính là
4. Gọi X là tập hợp 4 hình tròn ã cho : X = {Dđ
1
, D
2
, D , D
3 4
} và ⊂ là quan hệ
“chứa trong” trên X.
a) Hãy biểu diễn quan hệ ⊂ bằng lược đồ hình tên.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiể ầu và ph n tử lớn nhấ ấ ết, nhỏ nh t (n u có)
của tập hợp sắp thứ tự X.
14. Cho hai tập con A = {9, 18, 36, 72, 216} và B = {7, 14, 28, 56, 84} của
tập hợp N*. A và B có phải là dây xích trong tập hợp sắp thứ tự ớ N* v i
quan hệ “chia hết” hay không?
15. Tìm các phần t n dử chặn trên và chặ ưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{7, 11} và B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} trong tập hợp s p thắ ứ tự {N*, ≤}, trong
đó ≤ là quan hệ “chia hế ật” trên t p hợp N*.
16. Tìm các phần t n dử chặn trên và chặ ưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{6, 9, 15} và B = {3
5
, 3
6
, 3 t
7
, ...} trong tập hợp sắp thứ ự {N*, ≤}, trong đó ≤
là quan hệ “chia hết cho” trên tập hợp N*.
17. Giả sử ậ ứ {R, ≤} là t p hợp sắp th tự, trong đ ỏó ≤ là quan hệ “nh hơn
hoặc bằng” (thông thường) trên tập hợ ố ựp các s th c ≤.
a) Tìm các phần tử chặn trên và các phần tử chặn dưới của tập hợp A = [−7,
3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} trong R.
b) Tìm các phần t n dử chặn trên và chặ ưới (nếu có) củ ốa tập hợp N các s tự
nhiên.
18. Chứng minh r u hằng trong mỗi tập con hữ ạn khác rỗng A của tập hợp
sắp thứ tự ử (X, ≤) luôn tồn tại phần t tối đại và phần tử tối tiể ếu. N u ngoài
ra, A là m t dây xích thì t i phộ ồn tạ ần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của A.
Form at t ed:
Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ
Thông tin cơ bản
ánh xạ và hàm số, một trường hợp đặc biệt củ ạa ánh x , là những khái niệm
quen thuộc v ã tới chúng ta đ ừ lâu. Đây là những khái niệm quan trọng,
thường gặp không chỉ trong mọi bộ môn toán học mà cả trong vật lí, hoá
học,... cũng như trong các ngành khoa học, kĩ thuật khác. Chủ đề này dành
riêng cho việc giới thiệu định nghĩa, các khái niệm cơ bản về ánh xạ và một
số tính chất chung của ánh xạ.
6.1. Định nghĩa ánh xạ
Ta xét một số ví dụ
Ví dụ 6.1 :
Giả sử X là tập h c phợp gồm 7 em học sinh của một trường trung họ ổ
thông, trong đó 5 em Cường, Luân, Thái, Mai, Hạnh là học sinh khối 10,
hai em Nguyệt, Vi t là hệ ọc sinh khối 11:
X = {c, l, t, m, h, n, v},
Y là tập hợp gồm 5 lớp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E của trường
Y = {A, B, C, D, E},
và R là quan hệ hai ngôi “là học sinh của lớp” trên X x Y, xác định bởi:
R = {(c, A), (l, B), (t, B), (m, C), (h, D)}.
((<, A) c hi∈ R hay c R A đượ ểu “Cường là học sinh lớp 10A”).
Lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R được cho trong Hình 1 dưới đây.
Ta thấy 5 phần tử c, l, t, m, h củ ợa tập h p X có quan hệ R với những phần
tử trong tập hợp Y, còn hai phần tử n, v không có quan hệ R với bất cứ một
phần tử nào của Y. Như vậy, ta có D (R) ≠ X,
D(R) là tập xác định của quan hệ R: D (R) = (c, l, t, m, h}.
“là học sinh của lớp”
Form at t ed:
Heading03
Hình 1
Trên lược đồ hình tên biểu di n quan hễ ệ R ta thấy từ mỗi điểm c, l, t, m, h
có một mũi tên đi ra và không có mũi tên nào đi từ hai điểm n và v.
Ví dụ 6.2 :
Giả sử ợ ở X là tập h p gồm 5 ông: Hùng, Cung, San, Việ ất, Tu n trong một
nhà của khu tập thể:
X = {h, s, c, v, t},
Y là tập hợp gồm 6 em: Dũng, Anh, Loan, Đào, Mạnh, Kiệt, ở nhà đó:
Y = {d, a, l, đ, m, k},
và ϕ là quan hệ hai ngôi “là bố của” trên X x Y xác định bởi:
ϕ = {(h, d), (s, a), (s, l), (c, đ), (v, m), (t, k)}.
((h, d) ∈ φ hay h ϕ d có nghĩa “Ông Hùng là bố của em Dũng”).
Khác với Ví dụ 1, ở đây mỗi phần tử của tậ ệp hợp X đều có quan h ϕ với
một phần tử nào ó cđ ủa Y, tức là D (ϕ) = X. Trên lược đồ hình tên biểu
diễn quan hệ ϕ (Hình 2), ta thấy từ mỗi đ ủiểm c a tập hợp X đều có mũi tên
đ ủi ra. Ngoài ra, phần tử s c a X có quan hệ ϕ vớ ửi hai phần t a và l của Y.
Trên lược đồ hình tên, ta thấy có hai mũi tên từ điểm s đi ra.
Hình 2
Ví dụ 6.3 :
Giả sử ợ X là tập h p gồm 7 họ ũc sinh: D ng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường,
Quỳnh, Việt:
X = {d, m, h, t, c, q, v},
Y là tập hợp gồm một số họ: Nguyễn, Lê, Trần, Đặng, Huỳnh, Vũ:
Y = {N, L, T, Đ, H, V},
và ρ là quan hệ “có họ là” trên X x Y xác định bởi
ρ = {(d, N), (m, N), (h, L), (t, T), (c, T), (q, Đ), (v, H)}.
((d, N) ∈ ρ hay d ρ N có nghĩa “Dũng có họ là Nguyễn”).
Trong ví dụ này, mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần
tử nào ó c p hđ ủa tậ ợp Y, tức là D (ρ) = X. Ngoài ra, mỗi phần tử của X chỉ
có quan hệ ρ vớ ửi một phần t duy nhất của Y.
Hình 3
Trên lược đồ hình tên biểu di n quan hễ ệ ρ, ta thấy từ mỗ ủi điểm c a tập hợp
X đều có một mũi tên đi ra. Hơn n a, không có m nào cữ điể ủa X mà từ đó
có quá mộ ũt m i tên đi ra.
Tóm lại, quan hệ hai ngôi ρ trên X x Y thoả mãn điều kiện sau:
Với mỗi phần tử x của tập hợp X, tồn tại một phần tử duy nhất y của tập
hợp Y sao cho x ρ y.
Quan hệ ρ được gọi là một ánh xạ. Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: Giả sử ợ X và Y là hai tập h p. Quan hệ hai ngôi f trên X x Y
gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếu v ph n t n tới mỗi ầ ử x ∈ X, tồ ại một phần
tử duy nhất y ∈ Y sao cho x f y.
ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y được kí hiệu là:
f : X → Y.
Nếu x là một phần tử của tập hợp X thì phần tử y của tập hợp Y sao cho x f
y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).
Hiển nhiên ánh xạ f được xác a mđịnh nếu ảnh f (x) củ ỗi phần tử x X đều
được xác định. Vì vậy người ta còn dùng kí hiệu x → f (x), x ∈ X hoặc x y,
x ∈ X để chỉ anh xạ f.
Trong tr p h u hường hợp X là một tậ ợp hữ ạn, người ta thường cho ánh xạ
dưới dạng một bảng gồm hai hàng. Các phần tử của tập hợp X được ghi ở
hàng trên. ảnh t n tương ứng chúng (những phầ ử của tập hợ ởp Y) được ghi
hàng d ng h Y trong Ví d 3 c cho ưới. Chẳ ạn, ánh xạ ρ : X → ụ đượ ở bảng
sau:
Trước kia ta nói “d có quan hệ ρ với N” và viết d ρ N. Bây giờ ta nói “N là
ả ếnh của d qua ánh xạ ρ” và vi t: N = ρ (d).
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y.
Khi đó, X được gọi là tập xác định của ánh xạ f. Tập hợp các ảnh f (x) của
tất cả các phần tử x c p hủa tậ ợp X được gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu là f
(X).
Như vậy, với mọi y ∈ Y,
y ∈ f (X) khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho y = f (x), tức là:
f(X) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x)}.
Hiển nhiên f (X) là một tập con của Y. Tập h nh c a ánh xợp Y chứa ả ủ ạ f
được gọ đ ủi là tập đến (hoặc tập ích) c a f.
Trở lại các ví dụ đã xét, ta thấy quan hệ ℜ trong Ví dụ 1 là quan hệ ρ trong
Ví dụ 2 không ph ng ánh xải là nhữ ạ. Hiển nhiên quan hệ ρ trong Ví dụ 3 là
một ánh xạ như đã nêu. Tập xác định của ánh xạ ρ là X.
ρ (d) = N, ρ (m) = N, ρ (h) = L, ..., ρ (v) = H.
ả ạnh của ánh x là:
ρ (X) = {N, L, T, Đ, H} ⊂ Y.
Không có phần t nào cử ủa tập hợp X có quan hệ ℜ với phần tử V ∈ Y, tức
là V không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X. Như vậy ρ(X) là
một tập con thực sự của Y, tức là
ρ ≠(X) ⊂ Y và ρ(X) Y.
Ví dụ 6.4 :
Cho tập hợp X = {a, b, c} và ánh xạ f: X → N xác định bởi bảng sau:
a) Biểu di n ánh xễ ạ f bằng lược đồ hình tên.
b) Tìm ảnh của f.
a) Lược đồ hình tên của ánh xạ f được cho trong Hình 4 dưới đây:
Hình 4
b) ảnh của ánh xạ f là :
f (X) = {1, 3, 5}.
f (X) là một tập con thực sự của N.
ánh xạ mà tập xác nh và tđị ập n đế đều là những t p sập hợ ố (như N, Z, Q,
⏐
R, C hoặ ậc các t p con của chúng) thường được cho bởi một công thức.
Chẳng hạn, khi cho hàm số :
f :
⏐ ⏐
R* → R
xác định bởi công thức : x → f(x) = ,
ta hiểu r n mằng m c x ỗi số thự ≠ 0 nhậ ột phần tử duy nhất y = ∈
⏐
R làm ảnh
của nó qua ánh xạ f.
(Kí hiệu
⏐
R* chỉ tập hợp các số thực khác không :
⏐
R* =
⏐
R\{0}).
Ví dụ 6.5 :
ánh x nh bạ f :
⏐
R →
⏐
R xác đị ởi công thức x f(x) = sin x là một ánh xạ từ
tập hợp các số thực
⏐
R vào
⏐
R.
Tập xác định của hàm số f là
⏐
R. Tập đến của f cũng là
⏐
R. ảnh của ánh xạ
là tập hợp: f (
⏐
R) = {y ∈
⏐
R : −1 ≤ ≤ y 1},
vì với m thọi số ực y, y f (
⏐
R) khi và chỉ khi y = f (x) = sin x
Điểu này xảy ra khi và chỉ khi −1 ≤ y 1 ≤
Ví dụ 6.6 :
ánh x c x ạ f :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi công thứ → f(x) = x
2
+ 1 là một ánh xạ
từ tập hợp các số thực
⏐
R vào
⏐
R.
Tập xác định của ánh xạ này là
⏐
R. Tập đến của f cũng là
⏐
R. ảnh của ánh
xạ: f (
⏐
R) = {y ∈
⏐
R : y ≥ 1},
vì với m thọi số ực y, y ∈ f (
⏐
R) khi và chỉ khi y = f (x) = x
2
+ 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi y ≥ 1.
Ví dụ 6.7 :
Giả sử X là một tập hợp cho trước tuỳ ý. ánh xạ I: X → X xác định bởi x →
I (x) = x là một ánh xạ từ X vào X.
Tập xác định của ánh xạ I là X. Tập đến củ ũa I c ng là X. Hiể ản nhiên nh
của ánh xạ I là I (X) = X.
I được gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập h u t p hợp X. Khi có nhiề ậ ợp X, Y,
... được đồng thời đề cậ ệ ệp đến, để phân bi t, người ta dùng các kí hi u IX,
IY, ... để chỉ các ánh x p hạ đồng nhất trên các tậ ợp X, Y, ...
Ví dụ 6.8 :
Phép c p hộng trên tậ ợp các số thực
⏐
R là một ánh xạ từ ợ tập h p
⏐
R
2
=
⏐
R x
⏐ ⏐
R vào tập hợp R:
ánh xạ f:
⏐
R x
⏐
R →
⏐
R xác định bởi: (x, y) → f (x, y) = x + y là một ánh
xạ từ tập hợp
⏐
R x
⏐
R vào tập hợp
⏐
R.
(ảnh của phần tử (x, y) ∈
⏐
R x
⏐
R qua ánh xạ f được kí hiệu là f (x, y) thay
cho f ((x, y))).
Tập xác định của ánh xạ f là
⏐
R x
⏐
R. Tập đến của f là
⏐
R. Dễ dàng thấy
rằng ảnh của f là f (
⏐
R x
⏐
R) =
⏐
R.
Tương tự, phép trừ và phép nhân trên tập hợp
⏐
R cũng là những ánh xạ từ
tập hợp
⏐
R x
⏐
R vào tập hợp
⏐
R.
Ví dụ 6.9 :
Ký hiệu
⏐
R* chỉ tập hợp các số thực khác 0:
⏐
R* =
⏐
R \ {0}. Phép chia
trên
⏐
R la f một ánh xạ từ tập hợ ợp
⏐
R x
⏐
R* vào tập h p
⏐
R:
ánh xạ f :
⏐
R x
⏐
R* →
⏐
R xác định bởi (x, y) → f (x, y) =
là một ánh xạ từ tập hợp
⏐
R x
⏐
R* vào tập hợp
⏐
R.
Tập xác định của f là
⏐
R x
⏐
R*. Tập ng đến của f là
⏐
R. Dễ dàng thấy rằ
ảnh của f là tập hợp f (
⏐
R x
⏐
R*) =
⏐
R.
6.2. ánh xạ bằng nhau
Giả sử X và Y là hai tập hợp, f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ta nói rằng
hai ánh xạ f và g là bằng nhau, và viết f = g, nếu f (x) = g (x) với mọi x X.
Chẳng hạn, ánh xạ f :
⏐
R →
⏐
R
x → f (x) = x
3
− 1
và ánh xạ g:
⏐ ⏐
R → R
x → − g (x) = (x 1) (x
2
+ x + 1)
là hai ánh xạ bằng nhau.
6.3. Thu hẹp và thác triển ánh xạ
a) Giả sử ừ f : X → Y là một ánh xạ t tậ ập hợp X vào t p hợp Y và A là một
tập con của X.
ánh xạ g : A → Y xác định bởi g (x) = f (x) với mọi x ∈ A,
Gọi là ánh xạ thu hẹp (gọi tắt là thu hẹp) của ánh xạ f trên tập hợp A và
được kí hiệu là f/A.
Như vậy, f/A : A → Y là ánh xạ xác định bởi:
x f/A (x) = f(x).
Ví dụ 6.10 :
Giả sử f:
⏐
R →
⏐
R là ánh xạ xác định bởi:
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
A và B là hai tập con của
⏐
R với :
A = {x ∈
⏐
R : x ≥ 0} và B = {x ∈
⏐
R : x < 0}.
Khi đó, ánh xạ thu hẹp của f trên A là:
f/A: A →
⏐
R
x → f/A (x) = ,
và ánh xạ thu hẹp của f trên B là: f/B: B →
⏐
R
x → f/B(x) = .
b) Giả sử X, Y là hai tập hợp, A là một tập con của X, f: A → Y và F: X →
Y là những ánh xạ. Nếu F/A = f, tức là F (x) = f (x) với mọi x ∈ A thì ánh
xạ F được gọi là ánh xạ thác triển (gọi tắt là thác triển) của ánh xạ f lên tập
hợp X.
Ví dụ 6.11 :
Giả sử f : Q → {0, 1} là ánh xạ từ tập hợp các số hữ ỉ ợu t Q vào tập h p {0,
1} xác định bởi:
f (x) = 1, với mọi x ∈ Q,
và D :
⏐
R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi:
Khi đó, ánh xạ D là thác triển của ánh xạ f (từ tập con Q của
⏐
R) lên tập
hợp
⏐
R. ánh xạ D được gọi là hàm số Điritslê (Diritchlet).
(Điritslê Pitơ Guxtao Lơgiơn (Diritchlet Peter Gustav Lejeune, 1805 −
1859) là nhà toán học Đức).
6.4. Hợp của các ánh xạ
a) Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. ánh xạ
h : X → Z xác định bởi
x → h(x) = g [f(x)]
gọi là ánh xạ hợp của hai ánh xạ f và g, kí hiệu là gof.
Form at t ed:
Heading03
Như vậy, gof: X → Z là ánh xạ xác định bởi:
(gof) (x) = g[f(x)], x ∈ X.
(Trong kí hiệu ánh x p “gof” c a ánh xạ hợ ủ ạ f và g, hãy chú ý đến thứ tự của
hai ánh xạ: g được viết trước f).
Lược đồ sau giúp ta nhớ định nghĩa ánh xạ hợp dễ hơn.
Hình 5
Ví dụ 6.12 :
(i) cho hai ánh xạ.
f:
⏐ ⏐
R → R
x → f (x) = 2 x −
và
g :
⏐ ⏐
R → R
x → f (x) = sin x.
Khi đó, ánh xạ hợp của f và g là:
gof :
⏐ ⏐
R → R
x → (gof) (x) = sin (2x − ).
(ii) cho hai ánh xạ
f :
⏐
R
+
⏐
R
x → f (x) =
(Ký hiệu
⏐
R+ chỉ tập hợp các số thực không âm), và
g: R →
⏐
R
x → g (x) = cos x.
Khi đó, ảnh xạ hợp của f và g là:
gof:
⏐ ⏐
R → R
x → (fog) (x) = 2 sin x − .
Như vậy fog gof.
Người ta nói rằng phép hợp các ánh xạ không có tính giao hoán.
Ví dụ 6.12 :
Cho hai ánh xạ
f :
⏐ ⏐
R → R
x → f (x) =
⏐
x
⏐
và
g :
⏐
R
+
→ P (
⏐
R)
x → g(x) = [−x, x] = {ξ →
⏐
R : −x ≤ ≤ ξ x}
(P (
⏐
R) là tập hợ ậ ủp các t p con c a
⏐
R).
ánh xạ hợp của f và g là:
gof :
⏐ ⏐
R → P ( R)
x , → (gof) (x) = [−
⏐
x
⏐ ⏐
x
⏐
]
Ví dụ 6.13 :
Dễ dàng thấy rằ ạng với mọi ánh x f : X → Y,
fo IX = f và IY of = f,
trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng nhất trên X và Y.
Khi đó, ta nói rằng các lược đồ sau là giao hoán.
Hình 6
Định lí sau đây cho thấy phép hợp các ánh xạ có tính kết hợp.
c) Định lí
Với mọi ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z và h : Z → V,
ho (gof) = (hog) of.
Chứng minh
Dễ thấy ho (gof) và (hog) of đều là những ánh xạ từ X đến V
Hình 7
Ta chứng minh:
(1) [ho (gof)] (x) = [(hog) of] (x) với mọi x ∈ X.
Thật vậy, với mọi x ∈ X, ta có
(2) [ho (gof)] (x) = h ((gof) (x)) = h (g (f(x)))
và
(3) [(hog) of] (x) = (hog) (f(x)) = h (g (f(x))).
Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh.
6.5. Hàm số
−
−
−
−−
Dãy và dãy số.
Giả sử fi X → Y là mộ ốt ánh xạ ậ. Nếu tập đến Y của f là t p hợp s thực thì f
: X →
⏐
R được gọi là một hàm số thực.
Nếu Y = C thì ánh xạ f : X → C được gọi là một hàm số phức.
Nếu t p xác ậ định X của f là tập h nguyên d p hợp các số ương N* (hoặc tậ ợp
các số tự ạ nhiên N) thì ánh x f : N* → Y
(hoặc f : N → Y) được gọi là một dãy vô hạn (gọi tắt là dãy) phần tử của Y.
Giả sử ử ủ f : N* → Y là một dãy phần t c a Y. Với mỗi số nguyên dương n,
đặt yn = f (n); yn là ảnh của n qua ánh xạ ệ f. Ngườ ười ta th ng dùng kí hi u
(y
1
, y
2
, ..., yn, ...) hoặc (yn) để chỉ dãy f (vì một ánh xạ được xác định bởi
ả ầnh của các ph n tử của nó).
Đặc biệt, nếu X = N* (hoặc N) và Y =
⏐ ⏐
R thì ánh xạ f: N* → R được gọi
là một dãy số thực. ánh xạ f : N* → C (hoặc f : N → C) được gọ ội là m t
dãy số phức.
Nếu X = {1, 2, ..., m} thì ánh xạ f : X → Y được gọi là một dãy (hữu hạn)
m phần tử của Y. Đặt yk = f (k), k = 1, ..., m. Dãy m phần tử của Y thường
được kí hiệu là (y
1
, y
2
, ..., ym).
Form at t ed:
Heading03
Khi xét các hàm số thực f : X c f : X →
⏐
R hoặc hàm số phứ → C, người ta
gọi ảnh f (x) của phần tử x qua ánh xạ f là giá trị của hàm số f tại điểm x và
gọi ảnh f (X) của f là tập các giá trị của hàm số f.
Chẳng hạn, với hàm số f :
⏐
R
⏐
R, x f (x) = sin x, giá trị củ ốa hàm s tại
điểm x = là f () = sin = và tập các giá trị củ ốa hàm s là f (
⏐
R) = {y ∈
⏐
R:
−1 ≤ y ≤ 1}.
Trong một s trố ường hợp người ta cho hàm số thực f xác định trên một tập
con X nào đó c p hủa
⏐
R bởi một công thức mà không cho trước tậ ợp X.
Khi đó, ta hiểu tập xác p h p t c x định X của hàm số f là tậ ợ ất c thả các số ự
sao cho f (x) có nghĩa. Chẳng hạn, tập xác nh cđị ủa hàm số thực f(x) = là
tập hợp:
X = {x ∈
⏐
R : x ≤ 1}.
B. Hoạt động 6.1. Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về ánh xạ
Nhiệm vụ:
Sinh viên thảo luận theo nhóm 3 sau − 4 người để thực hi n các nhiệ ệm vụ
rồi cử đại diện nhóm trình bày
Nhiệm vụ 1
− Cho ba ví dụ về ạ ễ quan hệ hai ngôi không phải là ánh x và biểu di n quan
hệ đó bằng lược đồ hình tên.
− Cho ba ví dụ về ạ ậ ả ánh x mà tập xác định và t p n đế đều không ph i là
những hàm s u di n ánh x ng l nh cố, biể ễ ạ đó bằ ược đồ hình tên và tìm ả ủa
chúng.
− Cho bốn ví dụ về ánh x p xác ạ mà tậ định là N, N*, Z, Q,
⏐
R hoặc tập con
của chúng và chỉ ra tập xác định và ảnh của các ánh xạ đó.
− Cho ví dụ về ậ ánh xạ có t p xác định là tập hợp số thực {x ∈
⏐
R : x ≥ 0}
và ảnh là tập hợp { x ∈
⏐
R : 0 ≤ x < 1}.
Nhiệm vụ 2
− Cho ba ví dụ về hai ánh xạ bằng nhau.
− Hai ánh xạ.
f :
⏐
R
+
→
⏐
R
x → f (x) =
và
g :
⏐
R
+
→
⏐
R
x → g(x) = x − 1
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Delet ed:
Có phải là hai ánh xạ bằng nhau hay không?
Nhiệm vụ 3
− Cho hai ví dụ về ánh xạ ẹ ạ ể thu h p và ánh x thác tri n của một ánh xạ cho
trước.
− Cho hai ví dụ về một cặp ánh xạ ư f, g : X → Y khác nhau nh ng f/
A
= g/
A
,
A là một tập con của X.
− Cho ba tập hợp A, B, X, trong đó A ⊂ B ⊂ X. Tìm quan hệ giữa các ánh
xạ.
f/
A
, (f/
B
)/A và f/
A ⊂ B
.
Nhiệm vụ 4
− Cho hai ví dụ về ạ các ánh x f và g sao cho ánh xạ hợp gof tồn tại nhưng
không t n tồ ại ánh xạ hợp fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại nhưng
gof ≠ fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại, hơn nữa
gof = fog.
Đ ạánh giá ho t động 6.1
1. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e},
Y = {0, 1, 2, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R trên X x Y xác định bởi:
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}.
a) Biểu diễn quan h ng lệ R bằ ược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
2. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} và quan hệ hai
ngôi R trên A x B xác định bởi:
ℜ = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}.
a) Biểu diễn quan h ng lệ R bằ ược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
3. Cho hai tập hợp X = {3, 5, 7, 12}, Y = {1, 6, 13, 17, 35, 36} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” ϕ trên X x Y.
(Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x ϕ y khi và chỉ khi x chia hết y)/
a) Tìm quan hệ ϕ.
b) Biể ễ ằu di n quan hệ ϕ b ng lược đồ hình tên.
c) ϕ có phải là một ánh xạ không?
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
Delet ed:
4. Cho hai tập hợp A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {11, 13, 18, 35, 101} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” f trên A x B.
a) Tìm quan hệ f và biểu di ng lễn f bằ ược đồ hình tên.
b) f có phải là một ánh xạ không? Tìm tập xác định và ảnh của f (nếu f là
ánh xạ).
5. Lớp 12A của một trường trung học phổ thông có 40 học sinh. Một số em
ở độ tuổ ổi 18, số còn lại ở độ tu i 17. Gọi X là tập hợp các học sinh lớp 12A,
Y = {17, 18} và R là quan hệ hai ngôi trên X x Y xác định như sau:
Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x R y khi và ch khi y là tuỉ ổi của học sinh x.
a) R có phải là một ánh xạ không?
b) Tìm tập xác định và ảnh của R (nếu R là một ánh xạ).
6. Tập hợp X có n phần tử, tập h n tợp Y có một phầ ử. Hỏi có bao nhiêu ánh
xạ từ X vào Y?
7. T p h n tậ ợp X có một phầ ử, tậ ầp hợp Y có m ph n tử. Hỏi có bao nhiêu
ánh xạ từ X vào Y?
8. Hai tập h n tợp X và Y đều có hai phầ ử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào
Y.
9. Chứng minh r ng n u t p h n t và t p hằ ế ậ ợp X có n phầ ử ậ ợp Y có m phần tử
thì có mn ánh xạ từ X vào Y.
Hướng dẫn:
Giả sử ứ m là mộ ỳt số nguyên dương tu ý và Y = {y
1
, y
2
, ..., ym}. Ta ch ng
minh ng điều khẳ định b ng phằ ương pháp quy nạp theo n. Giả sử n = 1 và X
= {x
1
}. Khi đó có m
1
= m ánh xạ từ X vào Y; các ánh xạ đó được xác định
như sau: f
1
(x
1
) = y
1
, f
2
(x
1
) = y
2
, ... , fm (x
1
) = ym. Giả sử điều khẳng nh đị
đúng cho n, tức là có mn ánh xạ từ tập hợp X = {x
1
, x
2
, ..., xn} (có n phần
tử) vào tập hợp Y. Ta chứng minh có mn
+ 1
ánh xạ từ tập hợp X = {x
1
, x
2
, ...,
xn, xn
+ 1
} vào tập h p hợp Y. Chia tậ ợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y thành m
tập con đôi một rời nhau như sau: Tập con thứ nhấ ạt gồm tấ ảt c các ánh x f
: X → Y sao cho f (xn
+ 1
) = y
1
, tập con thứ hai gồm tất cả các ánh xạ f : X →
Y sao cho f (xn
+ 1
) = y
2
,..., tập con thứ m gồm tất cả các ánh xạ f
1
X → Y sao
cho f (xn
+ 1
) = ym. Hãy chỉ đ ra rằng mỗi tập con ó có mn phần tử.
10. Ký hiệu P = P (
⏐
R) chỉ tậ ả ập hợp tất c các t p con của tập hợp các số
thực
⏐
R. Cho ánh xạ f :
⏐
R → P xác định bởi công thức:
f(x) = {y ∈
⏐
R : y ≤
⏐
x
⏐
Tìm f(-2), f(0) và f (x2).
11. Cho tập hợp X = {x ∈
⏐
R : 0 ≤ x ≤ 2} và ánh xạ f : X →
⏐
R xác định
bởi:
Tìm ảnh f (X) của ánh xạ f.
12. Hai ánh xạ f; g :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi:
f (x) =
và
g (x) =
có ph ng ánh xải là nhữ ạ bằng nhau hay không?
13. Cùng câu hỏi của bài tập 12 đối với hai ánh xạ u, v : R xác
⏐
R →
⏐
định
bởi:
và v (x) =
.
14. Tìm các ánh xạ hợp gof và fog (nếu có) của mỗi cặp hàm số sau đây.
Nếu không tồn tại gof hoặc fog thì giải thích lí do:
a) f :
⏐
R
+
→
⏐
R và g :
⏐
R →
⏐
R
x → f(x) = lnx x → g(x) = ex
(
là tập hợp các số thực dương: = {x ∈
⏐
R : x > 0};
b) f :
⏐
R* →
⏐
R và g :
⏐
R* →
⏐
R
x → f (x) = hvx x → g(x) = cos x.
15. Cho hai ánh xạ f, g :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi:
và g(x) = x + 1.
a) ảnh của ánh xạ h :
⏐
R →
⏐
R phải thoả mãn điều kiện nào để có foh =
goh?
b) Tìm ba hàm số h :
⏐
R →
⏐
R mà ảnh h (
⏐
R) là một tập hợp vô hạn (tức
là tập hợp có vô số phần tử) sao cho foh = goh.
16. Cho hai hàm số f, g :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi:
f(x) =
và g(x) = −2x
2
+ 33.
Tìm tập con X của
⏐
R sao cho:
f/
X
= g/
X
.
17. Cùng câu hỏi của bài tập 16 đối với hai hàm số f, g :
⏐
R →
⏐
R xác định
bởi:
f(x) = , g(x) = 3 − x2.
18. Giả sử A là một tập con của tập hợp X. ánh xạ
jA : A → X xác định bởi
x → jA (x) = x
gọi là phép nhúng tập con A vào tập hợp X.
Chứng minh rằng với mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi A ⊂ X, ta đều có:
f/
A
= fo jA.
19. Tìm tập xác định và tập các giá trị của hàm số
f(x) =
20. Chứng minh rằng nếu Y là một tập hợp có m phần t n tử thì tồ ại mn dãy
n phần tử của Y.
Hướng dẫn. áp dụng bài tập 9.
21. Giả sử ợ X và Y là hai tập h p bất kì. Ký hiệu YX chỉ tậ ấp hợp t t cả các
ánh xạ f : X → Y.
Giả sử X, Y, Z là ba tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ cho trước.
ánh xạ
df : ZY → ZX
xác định bởi
ϕ → df(ϕ) = ϕ
0
f
gọi là ánh xạ cảm ứng b?i ánh xạ f.
Cho bốn tập hợp X, Y, Z, W và ϕ
0
f ∈ ZX
hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z.
Gọi df : WY → WX, dg : WZ → WY và dgof : WZ → WX, theo thứ tự, là
ánh xạ cảm ứng bởi f, g và gof. Chứng minh rằng
dgof = df
. dg.
22. Kí hi
ệu
⏐
R
⏐
R
chỉ tập h p tợ ấ ạt cả các ánh x từ tập R vào chính nó (xem
bài tập 21). Gọi ≤ là quan hệ hai ngôi trên RR xác định như sau:
V
ới mọi f, g ∈
⏐
R
⏐
R
,
f ≤ g khi và ch g(x) vỉ khi f (x) ≤ ới mọi x ∈
⏐
R.
a) Ch
ứng minh rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên
⏐
R
⏐
R
.
b) Ch
ứng minh r p thằng trong tập h p sợ ắ ứ tự ử
⏐
R
⏐
R
không có phần t tối
đại và phầ ển tử tối ti u.
23. Giả s tử R là một quan hệ ương đương trên tập hợp X.
ánh xạ: π : X → X/R
x → (x) =
trong đó là lớp tương đương ch a ph n tứ ầ ử x ∈ X gọi là, ánh xạ thương.
Giả sử ứ RX và RY, theo th tự, là hai quan hệ tương đương trên hai tập hợp
X, Y và f : X → Y là một ánh xạ sao cho với mọi x
1
, x
2
∈ X,
x
1 2
RXx ⇒ f(x
1
) RY f(x
2
).
Chứng minh rằng tồn tạ ại ánh x F : X / RX → Y/RY sao cho lược đồ sau
giao hoán.
Ngoài ra, nếu f(X) = Y thì F (X/RX) = Y/RY.
(π
X
và π
Y
là hai ánh xạ thương).
Form at t ed:
Heading01, Line
spacing: single
Tiểu chủ đề 1.7.
đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
Thông tin cơ bản
7.1. Đơn ánh
Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau:
Ví dụ 7.1: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e},
Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y,
g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây:
Hai ánh xạ f và g được bi u diể ễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới
đây.
Hình 2
Ta thấy ba phầ ậ ả ạ ần tử ủ b, d, e c a t p hợp X đều có nh qua ánh x f là ph n tử
2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ủ ba điểm b, d, e c a X đều
đ đ ủi đến iểm 2 c a Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b,
c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh x ng ph n tạ g là nhữ ầ ử đôi một
khác nhau c p hủa tậ ợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũ đi tên từ hai iểm khác
nhau c m khác nhau của X đi đến hai điể ủa Y. Nói một cách khác, hai phần
Form at t ed:
Heading02, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading03
Delet ed:
tử khác nhau b p hất kì của tậ ợp X có ảnh qua ánh x n tạ g là hai phầ ử khác
nhau c p hủa tậ ợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh.
Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác
nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần t khác nhau cử ủa tập hợp Y,
tức là với mọi x
1
, x
2
∈ X,
x
1 2
≠ x ⇒ f(x
1
) ≠ f(x
2
).
Hiển nhiên, điều kiệ ề ện trên tương đương với đi u ki n sau: Vớ ọi m i x
1
, x
2
∈
X,
f(x
1
) = f(x
2
) ⇒ x
1
= x
2
Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là
một đơn ánh.
Ví dụ 7.2 :
(i) Ánh xạ f :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi f(x) = x
2
không phải là một đơn ánh vì
chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1.
(ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số
nguyên dương m,
n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ .
(iii) Ánh xạ ϕ :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn
ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π ≤) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈
⏐
R : ≤ x
} thì ánh xạ /A : A →
⏐
R, thu hẹp của trên tập con A của
⏐
R là một đơn
ánh.
Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt
B = {x ∈
⏐
R : 0 ≤ x ≤ π} thì ánh xạ /B : B →
⏐
R, thu hẹp của trên tập con B
của
⏐
R là một đơn ánh.
ánh x không phạ h :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi h(x) =
⏐
x
⏐
ải là một đơn ánh
nhưng ánh xạ h/R
+
⏐
R, thu hẹp của h trên tập hợp
⏐
R
+
các số nguyên không
âm R
+
là một đơn ánh.
(iv) Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh và A là một tập con
của tập hợp X thì ánh xạ f/A : A → Y, thu hẹp của f trên A, là một đơn ánh.
7.2. Toàn ánh
Ta trở ạ lại xét hai ánh x f và g trong Ví dụ 2.1.
Form at t ed:
Heading03
ả ầnh củ ỗa ánh xạ f là f(X) = {1, 2, 3}. M i ph n tử 4, 5, 6,7, 8 của Y không
phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X qua ánh xạ f; f(X) là một tập
con thực sự của Y, tức là f(X) ⊂ Y và f(X) ≠ Y. Tương t nh c a ánh xự, ả ủ ạ g
là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mỗi phầ ần tử 2, 5, 8 của Y không nhận một ph n tử
nào c nh c a nó qua ánh xủa Y làm ả ủ ạ g. g(X) c ng là mũ ột tập con thực sự
của Y.
Ta xét một ví dụ khác.
Ví dụ 7.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh xạ ϕ : X
→ Y cho bởi bảng sau:
ánh xạ ϕ được biể ễu di n bởi lược đồ hình tên trong hình 9
Hình 9
Khác với hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 1, ở đây ảnh của ϕ là ϕ(X) = {M, N,
P, Q} = Y. Như vậ ầy mỗi ph n tử củ ộa Y dề ảu là nh của m t phần tử nào đó
của X qua ánh xạ ϕ. Người ta gọi ánh xạ ϕ là một toàn ánh.
Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa
ánh x nh c a ánh xạ f: X → Y được gọi là một toàn ánh nếu ả ủ ạ f bằng tập
đến củ ứa ánh xạ, t c là: f(X) = Y.
Từ định nghĩa của toàn ánh suy ra rằng f : X → Y là một toàn ánh khi và
chỉ khi v i ít nhới mỗi y ∈ Y, tồn tạ ất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y.
Hiển nhiên các ánh xạ f và g trong Ví dụ 1 không phải là những toàn ánh.
Ví dụ 7.4:
(i) Đặt A = {x
⏐
R : < x < }. Ánh xạ f : A →
⏐
R xác định bởi f(x) = tgx là
một toàn ánh vì với mọi y ∈
⏐
R, tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = tgx = y.
(ii) ánh xạ g :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi g(x) = t toàn
⏐
x
⏐
không phải là mộ
ánh vì ảnh c a ánh xủ ạ là tập h p g(ợ
⏐
R) = {
⏐
x
⏐
: x ∈
⏐
R} =
⏐
R
+
; đó là một
tập con thực sự của
⏐
R. Tuy nhiên ánh xạ ϕ :
⏐
R →
⏐
R
+
xác định bởi ϕ(x)
=
⏐
x
⏐
là một toàn ánh vì ϕ(
⏐
R) =
⏐
R
+
.
(iii) ánh xạ h :
⏐
R →
⏐
Rxác định bởi h(x) = sinx không phải là m t toàn ộ
ánh vì h(
⏐
R) = {sin x : x ∈
⏐
R} = {y ∈
⏐
R : −1 ≤ y ≤ 1} ≠
⏐
R.
Tuy nhiên, nếu 1 đặt A = {− ≤ y ≤ 1} thì ánh xạ ϕ :
⏐
R → A xác định bởi
ϕ(x) = sin x là một toàn ánh.
Toàn ánh f : X Y còn được gọi là ánh xạ từ X lên Y. Chẳng hạn, người ta
gọi toàn ánh ϕ :
⏐
R →
⏐
R
+
x → ϕ(x) =
⏐
x
⏐
là ánh xạ từ
⏐
R lên
⏐
R
+
hoặc
toàn ánh từ X lên Y.
Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một toàn ánh thì thay tập
đến Y bởi ảnh f(X) của f, ta được toàn ánh ϕ : X → f(X), x → ϕ (x) = f(x)
từ X lên f(X).
7.3. Song ánh
Định nghĩa: ánh x u nó vạ f : X → Y gọi là một song ánh nế ừa là một đơn
ánh vừa là một toàn ánh.
f là một toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y, tức là với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈
X sao cho f(x) = y. Nếu x’ là một phần tử của X sao cho f(x’) = y thì f(x’) =
f(x). Vì f là một đơn ánh nên từ đó suy ra x’ = x. Do đó
ánh xạ f : X
→
Y là một song ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử y
∈
Y, tồn
tại một phần tử duy nhất x
∈
X sao cho f(x) = y.
Ví dụ 7.5:
(i) Dễ dàng thấy rằng ánh x xác nh bạ f :
⏐
R
+
→
⏐
R
+
đị ởi f(x) = x
2
là một
toán ánh. Vì với hai số thực x
1
, x
2
không âm b u xất kì, nế
1
≠ x
2
thì f(x1) = =
= f(x
2
) nên f cũng là một đơn ánh. Do đó f là một song ánh từ
⏐
R
+
lên
⏐
R
+
.
(ii) ánh xạ g: →
⏐
R xác định bởi g(x) = lnx là một song ánh từ lên
⏐
R vì
với mỗi số thực y, tồn tại một số dương duy nhất x sao cho lnx = y. ( là tập
hợp các số thực dương: = {x ∈
⏐
R : x > 0}).
(iii) ánh xạ h :
⏐
R → Xác định bởi h(x) = ex là một song ánh với mỗi số
dương y, tồn tại m t sộ ố thực duy nhất x sao cho f(x) = ex = y.
Form at t ed:
Heading03
(iv) ánh xạ ϕ :
⏐
R
+
→
⏐
R
+
xác định bởi f(x) = là một song ánh vì với mỗi số
thực không âm y, tồn tại một thực không âm duy nhất x sao cho ϕ (x) = =
y.
(v) Đặt A = {x ∈
⏐
R: 0 < x < π}. ánh xạ ψ : A i g(x) = →
⏐
R xác định bở
cotgx là một song ánh từ A lên
⏐
R vì với mỗ ội số ồ thực y, t n tại m t phần tử
duy nhất x ∈ A sao cho ψ (x) = cotgx = y.
7.4. ánh xạ ngược
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợ ợp X lên tập h p Y. Khi đó, với
mỗi phần tử y ∈ Y, tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y.
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợ ợp X lên tập h p
Y. ánh xạ: g : Y → X
xác định bởi: y → g(y) = x,
trong đó x là phần tử duy nhất của X sao cho f(x) = y, gọi là ánh xạ ngược
của ánh xạ f. ánh xạ ngược của song ánh f : X → Y được kí hiệu là f
−1
.
Tính chất đặc trư ạng của ánh x ngược được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Nế ạu f : X → Y là một song ánh và f : Y → X là ánh x ngược
của f thì với mọi x ∈ X, y Y, ∈
f
− −
1
(f(x)) = x và f (f
1
(y)) = y, (1)
tức là: f = Ix và fo f
−1
= IY, trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng
nhất trên tập h p hợp X và tậ ợp Y.
Nói một cách khác, hai lược đồ sau là giao hoán.
Hình 10
Chứng minh: Giả sử y là một phần tử bất kì củ đa Y. Khi ó f
−1
(y) = x, trong
đ ủ đó x là phần tử duy nhất c a X sao cho f(x) = y. Do ó f (f
−1
(y)) = f(x) = y.
Ta đã chứng minh h u x là mệ thức thứ hai trong (1). Nế ột phần tử bất kì của
X thì y = f(x) ∈ Y. Vì f là một đơn ánh nên x là phần tử duy nhất có ảnh
qua ánh xạ f là y. Do đó f
−1
(y) = x và ta có f
−1
(f(x)) = f
−1
(y) = x.
Form at t ed:
Heading03
Ta sẽ thấy f
−1
là ánh xạ duy nhất thoả mãn đồng thời hai hệ thức trong (1).
Đó là hệ quả của định lí sau:
c) Định lí. Giả sử ứ hai ánh xạ ệ f : X → Y và g : Y → X thoả mãn các h th c
sau:
g (f(x)) = x với mọi x ∈ X và f (g (y)) = y với mọi y ∈ Y
(2)
Khi đó
(i) f và g là những song ánh.
(ii) g là ánh xạ ngược c a f. ủ
Chứng minh :
Trước hết ta chứng minh f là một song ánh. Với m i y ỗ ∈ Y, x = g(y) là một
phần tử của X. Theo giả thiết, ta có f(x) = f(g(y)) = y. Do đó f là một toàn
ánh.
Với hai phần tử bất kì x
1
, x
2
∈ X, nếu f(x
1
= f(x
2
) thì g(f(x
1
) = g (f(x
2
)). Do
đó, từ hệ ấ thứ ức th nh t trong (2) suy ra x
1
= x
2
. Vậy f là một đơn ánh. f vừa
là toàn ánh vừa là đơn ánh nên nó là một song ánh. Tương tự, g cũng là một
song ánh.
Bây giờ ta chứng minh g là ánh x c là g(y) = fạ ngược của X, tứ
−1
(y) với mọi
y ∈ Y. Thật vậy, giả sử ử y là một phần t bất kì của Y và g (y) = x. Từ hệ
thức thứ hai trong (2) suy ra f(x) = f(g(y)) = y. Vì f là một đơn ánh nên x là
phần tử duy nhất của x có nh là y qua ánh xả ạ f. Do đó f
−1
(y) = x = g(y).
Từ định lí trên suy ra rằng:
d) Nếu g : Y → X là ánh xạ ngược của ánh xạ f : X → Y thì f là ánh xạ
ngược của g. Do đó: (f
− −1
)
1
= f.
Quan hệ gi ngữa các ánh xạ ược f
−
và g
−1
của hai song ánh f : X → Y và g : Y
→ Z với ánh xạ ngược (gof)
−1
của ánh xạ hợp gof Z được cho trong định lí
sau.
e) Định lí Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó
(i) Nếu f và g là những đơn ánh thì ánh xạ hợp gof là một đơn ánh.
(ii) Nếu f và g là những toàn ánh thì gof là một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì gof là một song ánh, và
(gof)
−1
= f
−1
. g
−1
,
tức là lược đồ sau là giao hoán.
Hình 11
Chứng minh
Đặt h = gof.
(i) Với mọi x
1
, x
2
∈ X, nếu x
1
∈ x
2
thì do f là một đơn ánh nên f(x
1
) ≠ f(x
2
).
Vì g là một đơn ánh nên g(f(x
1
)) ≠ g(f(x
2
)), tức là h(x
1
) ≠ h(x
2
). Vậy h = gof
là một đơn ánh.
(ii) Giả sử ộ ử z là m t phần t bất kì của Z. Vì g : Y → Z là một toàn ánh nên
tồn t n tại y ∈ Y sao cho g(y) = z. Lại vì f : X → Y là một toàn ánh nên tồ ại
x ∈ X sao cho f(x) = y. Do đó g(f(x)) = g(y) = z, tức là h(x) = z. Vậy h là
một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì f và g vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Do đó t n ánh vừ (i) và (i) suy ra rằng h = gof cũng vừa là đơ ừa là toàn ánh,
tức là gof là một song ánh. Do đó tồn tại các ánh xạ ngược f
−1
: Y → X, g
−1
:
Z → Y và (gof)
−1
: Z → X. Ta chứng minh:
(gof)
−1
(z) = f
−1
(g
−1
(z)) với mọi z ∈ Z.
Thật vậy, giả sử ử z là một phần t bất kì của Z. Vì g là một song ánh nên tồn
tại một phần tử duy nhất y ∈ Y sao cho: g(y) = z (1)
Vì f là một song ánh nên tồn t n tại một phầ ử duy nhất x ∈ X sao cho: f(x) =
y (2)
Từ (1) và (2) suy ra g (f(x)) = g(y) = z, tức là: h(x) = z (3)
Vì g, f, h là nhữ ừng song ánh nên t (1), (2), (3) suy ra:
g
−
1
(z) = y, f
−1
(y) = x và h
−1
(z) = x. Do đó:
f
− − − −
1
(g
1
(z)) = f
1
(y) = x = h
1
(z).
f) Hoán vị củ ộ ậa m t t p hợp
Giả sử ợ ừ X là một tập h p cho trước. Mỗi song ánh f : X → X t tập hợp X
lên X gọi là một hoán vị của tập hợp X.
Hiển nhiên ánh x p hạ đồng nhất IX trên tậ ợp X là một hoán vị của tập hợp
X.
Từ định lí e) suy ra rằng ánh xạ hợp của hai hoán vị của tậ ợp h p X là một
hoán vị của tập hợp X.
Nếu X là một tập hợp hữu hạn, chẳng hạn X có n phần tử thì định nghĩa của
hoán v ng v nh nghị nêu trên tương đươ ới đị ĩa hoán vị của một tập hợp n
phần tử mà ta đã bi c phết trong sách giáo khoa toán ở bậ ổ thông trung học.
Hoạt động 7.1. Tìm hiểu đơn ánh, toàn ánh và song ánh
Sinh viên đọc thông tin cơ bả ả ận rồi th o lu n theo nhóm 2 người để thực
hiện các nhiệm vụ sau:
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 :
− Cho ba ví dụ về ạ ánh x không phải là đơn ánh cũng không phải là toàn
ánh.
− Cho ba ví dụ về đơn ánh không phải là toàn ánh.
− Cho ba ví dụ về toán ánh không phải là đơn ánh.
− Cho ba ví dụ về ạ ánh x f : X → Y không phải là đơn ánh nhưng thu hẹp
f/
A
của nó trên mộ ột tập con A của X là m t đơn ánh.
− Cho n ánh xạ f
1
: X → X
1
, f
2 1
: X → X
2
, ... fn = Xn
−1
→ Xn và đặt h = fn .
fn
−1
. ... . f
1
: X → Xn.
• Nếu h
1
... hn là những đơn ánh thì h có phải là một đơn ánh hay không?
• Nếu h
1
, ..., hn là những toàn ánh thì h có phải là một toàn ánh hay không?
• Nếu h
1
, ..., hn là những song ánh thì h có phải là một song ánh hay không?
Nhiệm vụ 2 :
− Tập hợ ửp X có m phần t , tập hợp Y có n phần tử cho m < n. Tồn tại hay
không một toàn ánh từ X lên Y?
− Tập hợ ử ợp X có m phần t , tập h p Y có n phần tử. Giả sử ồ m > n. T n tại
hay không một đơn ánh từ X vào Y?
− Cho hai ví dụ về ạ ả ánh x f : X → Y không ph i là song ánh nhưng ánh xạ
thu hẹp h = f/
A
củ ủ ộa f trên một tập hợp con A c a X là m t song ánh. Tìm
ánh xạ ngược của h.
− Tìm hai cặp ánh xạ f : X → → Y và g : Y Z sao cho f không phải là một
toàn ánh nhưng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
Đánh giá hoạt động 7.1
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
1. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai ánh xạ f : A
→ → B, g : A B xác định bởi hai bảng sau:
a) Biểu di n các ánh xễ ạ f và g bởi lược đồ hình tên.
b) f và g có phải là đơn ánh không?
2. Cho hai tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Y = {a, b, c, d, e, f} và hai
ánh x nh bạ f, g : X → Y xác đị ởi các bảng sau:
xạ f, g : X
a) Biểu diễn f và g bởi lược đồ hình tên.
b) Chứng minh rằng f và g là những song ánh và tìm ánh xạ ngược c a f và ủ
g.
4. Cho hai số thực a, b, a R xác ≠ 0. Chứng minh rằng ánh xạ f :
⏐
R →
⏐
định bởi f(x) = ax + b là một song ánh và tìm ánh xạ ngược của f.
5. Chứng minh r ng các ánh xằ ạ sau đây là những song ánh và tìm ánh xạ
ngược của mỗi ánh xạ đó:
a) f :
⏐
R
+
→
⏐
R
+
xác định bởi f(x) = ,
b) g : i g(x) = x
⏐
R →
⏐
R xác nh bđị ở
3
,
c) h :
⏐
R* →
⏐
R*, x → h(x) = ,
d) u : A → A, x → u(x) =
, trong đó A =
⏐
R \ {1}
6. Giả sử C là tập hợp các điểm của đường tròn đường kính AB và D là tập
hợp các điểm của tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B. Với mỗi điểm M ∈
D, gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với đường tròn.
a) ánh xạ f : D → C xác định bởi f(M) = N có phải là một đơn ánh hay
không?
b) f có phải là một song ánh hay không?
7. Cho t p hậ ợp số thực A = {x ∈
⏐
R : −1 ≤ x ≤ 1} và hai ánh xạ f :
⏐
R
→
⏐
R, g :
⏐
R → A xác định bởi
Chứng minh rằng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
8. Giả sử ừ f : X ∈ X là một toàn ánh t tập hợp X lên X. Chứng minh rằng
nếu fof = f thì f là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X.
9. Cho ba ánh xạ f, g : X → Y và h : Y → Z. Chứng minh rằng nếu h là một
đơn ánh và hof = hog thì f = g.
10. Cho ba tập hợp X, Y, Z và ánh xạ f : Y → Z có tính chất sau: Với mọi
ánh xạ u, v : X → Y, fou = fov ⇒ u = v.
Chứng minh rằng f là một đơn ánh.
11. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu ánh xạ hợp h = gof là một t đơn ánh thì f là mộ đơn ánh,
b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh,
c) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì g và f là những toàn ánh.
12. Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai toàn ánh thoả mãn đẳng thức gof
= IX.
Chứng minh rằng g là ánh xạ ngược của f.
13. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai hoán vị f : A → A và g : A →
A của tập hợp A xác định bởi:
Tìm các hoán vị hợp gof và fog.
14. Giả sử ợ X và Y là hai tập h p có n phần tử (N(X) = n và N(Y) = n).
Chứng minh rằng có tất cả n! song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y.
Từ đó suy ra rằng số hoán vị của một tập hợp n phần tử là n!
Hướng dẫn :
Điều khẳ ậ ậ ảng định đúng với n = 1. Th t v y, gi sử X = {a
1
} và Y = {b
1
}. Chỉ
có một song ánh từ X lên Y : đó là ánh xạ f : X → Y xác định bởi f (a
1
) = b
1
.
Như vậ ế ữ ợ ửy, n u X và Y là nh ng tập h p có một phần t thì có 1 = 1! song
ánh từ X lên Y.
Giả sử ớ ứ ừ điề ẳu kh ng nh đị đúng v i n, t c là có n! song ánh t tập hợp X lên
tập hợp Y, n u X và Y ế đều có n phần tử. Ta chứng minh điều khẳng nh đị
đúng cho n + 1. Thật vậy, giả sử X = {a
1
, a
2
, ..., an, an
+ 1
} và Y = {b
1 2
, b , ... ,
bn, bn
+1
}. Phải chứng minh có c y (n + 1) ! song ánh tả thả ừ X lên Y. Ta chia
tập hợp tất cả các song ánh từ X lên Y thành n + 1 tập con như sau:
Tập con thứ nhất A
1
gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an
+1
) = b
1
.
Tập con thứ hai A
2
gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f(an
+1
) = b
2
, ...
. Tập con thứ n + 1 An
+1
gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an
+1
)
= bn
+1
. Các tập con A
1
, ..., An
+1
đ ộôi m t rờ ứi nhau. Hãy ch ng minh rằng mỗi
tập hợp Ak có n! phần tử, k = 1, 2, ..., n + 1.
15. Giả sử tậ ập hợ ửp X có k phần t , t p hợp Y có n phần t n. Chử, k ≤ ứng
minh r ng có cằ ả thảy n (n − 1) ... (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y.
Hướng dẫn :
Ta chứng minh nh b ng phép quy n p theo k. u khđiều khẳng đị ằ ạ Điề ẳng
định đúng với k = 1. Giả sử X = {x
1
} và Y = {y
1
, y
2
, ..., yn}, n là một số
nguyên d n ánh tương bất kì, n > 1. Khi đó, có cả thảy n đơ ừ X vào Y: Đó là
các ánh xạ f
1
: X → Y, x
1
→ f
1 1
(x ) = y
1
, ánh xạ f
2
: X
2
→ Y
2
, x
1
→ f
2 1
(x ) = y
2
,
..., ánh xạ fn : X → Y, x
1
→ fn (x
1
) = yn. Giả sử điều khẳng định đúng cho
k, tức là nếu X có k phần t n tử và Y có n phầ ử, k n thì có cả thảy n (n − 1)
... (n − k + 1) n ánh t ng minh u khđơ ừ X vào Y. Ta chứ điề ẳng nh úng đị đ
cho k + 1, tức là nếu t n tập hợp X có k + 1 phầ ử và t p hậ ợp Y có n phần tử,
k + 1 ≤ n thì có cả thảy n (n − 1) ... (n − (k + 1) + 1) đơn ánh từ X vào Y.
Thật vậy, giả sử X = {x
1
, x
2
, ..., xk, xk
+1
}, Y = {y p h
1
, y
2
, ..., yn}. Chia tậ ợp
tất cả các đơn ánh từ X vào Y thành n tập con nh p con Aư sau: Tậ
1
gồm tất
cả các đơn ánh f : X → Y sao cho f (xk
+1
) = y
1
, tập con A
2
gồm tất cả các
đơn ánh f : X Y sao cho f (xk
+1
) = y
2
, ..., tập con An gồm tất cả các đơn ánh
f : X → Y sao cho f (xk
+1
) = yn. Các tập con A
1
, ..., An đôi một rời nhau.
Hãy chứng minh rằng mỗi tập con Ak có (n − 1) (n − 2) ... ((n − 1) − k + 1).
Form at t ed:
Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.8. Ả ẠNH VÀ T O ẢNH QUA MỘT ÁNH
XẠ
Thông tin cơ bản
8.1. ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và A là một tập con của X.
Tập hợp các ảnh của tất cả các phần tử của A qua ánh xạ f gọi là ả ủnh c a
tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu là f(A).
Như vậy, với mọi x ∈ Y, y f(A) khi và chỉ ồ khi t n tại x A sao cho y = f(x).
Do đó: f(A) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x).
Ví dụ 8.1 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và ánh xạ f : X →
Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 1 dưới đây.
Hình 1
Cho hai tập con A và B của X : A = {a, c, e}; B = {a, d}. ảnh của A và B
qua ánh xạ f là: f(A) = {1, 2}; f (B) = {1, 5}.
Ví dụ 8.2 :
(i) Giả sử ở f :
⏐
R →
⏐
R là ánh xạ xác định b i f (x) = x
2
, A = {, 3, 7} và
⏐
R
−
là tập hợp các số thực không dương,
⏐
R
−
= {x ∈
⏐
R: x ≤ 0}. Khi đó:
f(A) = {2, 9, 49} và f (
⏐
R
−
) =
⏐
R
+
.
(ii) Giả sử D :
⏐
R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi:
1 với x ∈ Q,
Form at t ed:
Heading03
D(x) =
0 với x ∈
⏐
R\ Q.
(D là hàm số Điritslê). Tìm ảnh của các tập hợp
A = {1, −1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh xạ D.
Ta có:
f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1}.
(iii) Cho ánh xạ f:
⏐
R →
⏐
R xác định bởi f(x) = −3x và các tập hợp số thực
A = {x ∈
⏐
R : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈
⏐
R : x < −1}.
ảnh của A và B qua ánh xạ f là:
f(A) = {y ∈
⏐
R : −15 ≤ y ≤ −6} và f(B) = {y ∈
⏐
R : y > 3}.
Một vài tính chất của nh ả
b) Định lí
Cho ánh xạ f : X → Y và các tập con A, B của X. Khi đó:
(i) Nếu A ⊂ B thì f(A) ⊂ f(B),
(ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f(B),
(iii) f (A ∩ B) f(A) ∩ f(B).
Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f(A) thì tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Vì A ⊂ B nên từ đó suy
ra x ∈ B và y = f (x). Do đó y ∈ f(B). Vậy f(A) ∈ f(B).
(ii) Vì A ⊂ A ∪ B nên, theo (i), ta có f(A) ⊂ f(A ∪ B).
Tương tự, f(B) ⊂ f(A ∪ B). Do đó
(1) f(A) ∪ f(B) f (A ⊂ ∪ B).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược
(2) f(A ∪ ⊂ B) f(A) ∪ f(B).
Giả sử y là một điểm bất kì của f(A ∪ B). Khi đó, tồn tại x ∈ A ∪ B sao
cho y = f(x). Vì x ∈ A ∪ B nên x ∈ A hoặc x ∈ B. Nếu x ∈ A thì y = f(x) ∈
f(A), do đó y ∈ f(A) ∪ f(B). Nếu x ∈ B thì y ∈ f(B); do đó y ∈ f(A) ∪
f(B). Ta đã chứng minh (2). Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng
minh.
(iii) Vì A ∩ B ⊂ A nên, theo (i), ta có f (A ∩ B) ⊂ f (A),
Tương tự, f(A ∩ B) ⊂ f(B). Do đó f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f(B).
Chú ý :
Trong (iii), không thể thay dấu bởi dấu =. Chẳng hạn, xét ánh xạ f :
⏐
R
→
⏐
R xác định bởi f(x) = x
2
và các tập số thực
⏐
R
+
= {x ∈
⏐
R : x ≥ 0},
⏐
R
−
= {x ∈
⏐
R : x ≥ 0}. Khi đó
⏐
R
+
∩
⏐
R
−
= {0}; f (
⏐
R
+
∩
⏐
R
−
) = f ({0}) = {0};
f(
⏐
R
+
) =
⏐
R
+
, f(
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
R
−
) = R
+
và f( R
+
và f ( R
+
) ∩ f( R
−
) = R
+
. Như vậy, f
(
⏐
R
+
∩
⏐
R
−
} là một tập con thực sự của f (
⏐
R
+
) ∩ f(
⏐
R
−
).
Tuy nhiên, nếu f : X n ánh thì bao hàm th→ Y là một đơ ức (iii) trở thành
đẳng thức.
c) Định lí
Nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con A, B bất kì của X,
ta đều có:
f (A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
Chứng minh
Theo định lí b), (iii), ta có f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). Ta chứng minh:
(1) f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B).
Giả sử y ∈ f(A) ∩ f(B). Khi đ đ ồó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do ó, t n tại x
1
∈ A
sao cho y = f(x
1
) và tồn tại x
2
∈ B sao cho y ∈ f(x
2
). Từ đó ta có f(x
1
) =
f(x
2
). Vì f là một đơ đẳn ánh nên ng thức vừa nêu kéo theo x
1
= x
2
. Như vậy,
ta có x
1
∈ A, x
1
∈ B và y = f(x
1
), tức là x
1
∈ A ∩ B và y = f(x
1
). Do đó y ∈ f
(A ∩ B).Từ đó có đẳng thức (1) cần chứng minh .
d) Định lí
Nếu f : X → Y là một ánh xạ thì với hai tập con bất kì của X, ta có:
f(A) \ f(B) ⊂ f (A\B).
Chứng minh
Giả sử y ∈ f(A) \ f(B). Khi đ đ ồó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do ó, t n tại x
1
∈ A
sao cho f(x) = y. Hiển nhiên x
2
∉ B (vì nếu x ∈ B thì y = f(x) ∉ f(B)). Như
vậy, ta có x ∈ A, x ∉ B và y = f(x), tức là x ∈ A \ B và y = f(x). Do đó y ∈
f (A\B). Từ đó ta có bao hàm thức cần chứng minh.
Chú ý
Trong bao hàm thức của định lí không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =.
Ta lấy lại ví dụ vừa xét: f :
⏐
R →
⏐
R là ánh xạ xác định bởi f(x) = x
2
,
⏐
R
+
và
⏐
R
−
là hai tập con của
⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐
R. Khi đó, f( R
+
) =
⏐
R
+
, f( R
−
) = R
+
, f( R
+
) \
f(
⏐
R
−
) =
⏐
R
+
\
⏐
R
+
= φ, \
⏐
R
+
⏐
R
−
=
⏐
R
+
\{0} = , f(
⏐
R
+
\
⏐
R
−
) = f () = .
Ta thấy f (
⏐
R
+
) \ f (
⏐
R
−
) là tập con của f (
⏐
R
+
\
⏐
R
−
) và f (
⏐ ⏐
R
+
) \ f ( R
−
) ≠ f
(
⏐
R
+
\
⏐
R
−
).
Trong ph n câu h ng nầ ỏi và bài tập, ta s chẽ ứng minh rằ ếu f : X → Y là một
đơn ánh thì bao hàm thức trong ng thĐịnh lí d) trở thành đẳ ức.
8.2. Tạo ảnh của m p hột tậ ợp qua một ánh xạ
a) Định nghĩa:
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và C là một tập con của Y. Tập hợp tất cả
các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ C gọi là tạo ảnh c p hủa tậ ợp C qua ánh
xạ f, kí hiệu là f
−1
(C).
Như vậy, với mọi x ∈ X,
x
∈ f
−1
(C) khi và chỉ khi f(x) ∈ C.
f
−
1
(C) = {x ∈ X : f(x) ∈ C}.
Chú ý rằng trong kí hiệu f
−1
(C), f
−1
không ph ngải là ánh xạ ược của f. Với
mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi tập con C của Y, tạo ảnh f
−1
(C) của C
luôn t i, trong khi chồn tạ ỉ song ánh f mới có ánh xạ ngược.
Hiển nhiên f
1
(Y) = X.
Ví dụ 8.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f :
X → Y xác định bởi bảng sau:
(i) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên.
(ii) Tìm tạo ảnh c p hủa các tậ ợp C = {M, N, P} và D = {P, Q, R} qua ánh
xạ f.
(i) ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 2.
Hình 2
(ii) Tạo ảnh của các tập hợp C và D qua ánh xạ f là f
−1
(C) = {a, b, c, d, f};
f
−1
(D) = {d, e, g}.
Ví dụ 8.4 :
(i) Giả sử f :
⏐
R →
⏐
R là ánh xạ xác định bởi f(x) =
⏐
x
⏐
, C = {y
⏐
R : 1 ≤ y
≤ 3}. Khi đó: f
−1
(C) = {1 ≤ ≤ ∪ − ≤ x 3} { 3 x ≤ −1}.
(ii) Cho ánh xạ g:
⏐
R →
⏐
R xác định bởi g(x) = sin x, C = {−1, 1}, D =
{0}. Khi đó: g
−1
(C) = { + kπ : k ∈ Z} ; g
−1
(D) = {k : k ∈ Z}.
(iii) Với ánh xạ h :
⏐
R →
⏐
R xác định bởi
C = {y ∈
⏐
R : −1 ≤ y < 1}, D = {y ∈
⏐
R : y ≥ 1}, E = {y ∈
⏐
R : y >
3}.
Ta có: f
−1
(C) =
⏐
R \ Q; h
−1 1
(D) = Q; h
−
(D) = φ.
Một vài tính chất của tạo ảnh
b) Định lí
Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, C và D là những tập con của Y. Khi đó:
(i) Nếu C ⊂ D thì f
−1
(C) ⊂ f
−1
(D),
(ii) f−1 (C ∪ D) = f
−1
(C) ∪ f
−1
(D),
(iii) f−1 (C ∩ D) = f
−1
(C) ∩ f
−1
(D),
(iv) f−1 (C\D) = f
−1
(C) \f
−1
D).
Chứng minh
(i) Gi
ả sử C ⊂ D. Nếu x ∈ f
−1
(C) thì f(x) ∈ ∈ C. Vì C ⊂ D nên f(x) D; do
đó x ∈ f
−1
(D).
(ii) Vì C ⊂ C ∪ D nên, theo (i), ta có f
−1
(C) ⊂ f
−1
(C ∪ D).
T
ương tự, ta có f
−1
(D) f
−1
(C ∪ D). Do đó:
(1) f
−1
(C) ∪ f
−1
(D) ⊂ f
−1
(C ∪ D).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược
(2) f
−1
(C ∪ D) ⊂ f
−1
(C) ∪ f
−1
(D).
Th
ật vậy, nếu x ∈ f
−1
(C ∪ D) thì f(x) ∈ C ∪ D. Do đó f(x) ∈ C hoặc f(x) ∈
D. N
ếu f(x) ∈ C thì x ∈ f
−1
(C); do đó x ∈ f
−1
(C) ∪ f
−1
(D). Nếu f(x) ∈ D thì
x
∈ f
−1
(D), do đó x ∈ f
−1
(C) ∪ f
−1
(D). Từ ứ ừ đó ta có bao ham fth c (2). T (1)
và (2) suy ra đẳng thứ ức (ii) cần ch ng minh.
(iii) Vì C ∩ D ⊂ C nên f
−1
(C ∩ D) ⊂ f
−1
(C). Tương tự,
ta có f
−1
(C ∪ D) ⊂ f
−1
(D). Do đó
(3) f
−1
(C ∩ D) ⊂ f
−1
(C) ∩ f
−1
(C) ∩ f
−1
(D).
Ta chứng minh:
(4) f
−1
(C) ∩ f
−1
(D) ⊂ f
−1
(C ∩ D).
Th
ật vậy, nếu x ∈ f
−1 1
(C) ∩ f
−
(D) thì x ∈ f
−1
(C) và x ∈ f
−1
(D).
Do
đó f(x) ∈ C và f(x) ∈ D. Từ đó suy ra f(x) ∈ C ∩ D; do đó x ∈ f
−1
(C ∩
D). Ta đã chứng minh (4). Từ (3) và (4) suy ra đẳng thức (iii).
(iv) Các điều kiện sau là tương đương:
x ∈ f
−1
(C \ D),
f(x) ∈ C \ D,
f(x) ∈ C và f(x) ∉ D,
x ∈ f
−1
(C) và x ∉ f
−1
(D),
x ∈ f
−1
(C) \ f
−1
(D).
Do đó ta có đẳng thức (iv) .
Quan hệ gi nh và tữa ả ạo ảnh được cho trong định lí sau:
c) Định lí
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y. Khi đó:
(i) Với m i tọ ập con C của Y, ta có:
(1) f(f
−1
(C)) ⊂ C,
(ii) Với mọi tập con A của X, ta có:
(2) A ⊂ f
−1
(f(A)).
Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f (f
−1
(C)) thì tồn tại x ∈ f
−1
(C) sao cho y = f(x).
Vì x
∈ f
−1
(C) nên f (x) ∈ C, tức là y ∈ C. Do đó f (f
−1
(C)) ⊂ C.
(ii) Nếu x A thì f (x) f(A). Do đó x thuộc tạo ảnh của tập hợp f(A) qua ánh
xạ f, tức là x f−1 (f(A)). Vậy A f−1 (f(A)) .
Chú ý:
(i) Trong bao hàm thức (1) không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ
sau:
Ví dụ 8.5 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f : X → Y
xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 3.
Hình 3
Với tập con C = {M, N, P, R} của tập hợp Y, ta có: f
−1
(C) = {a, b, c},
f(f
1
(C)) = {M, N}.
Ta th
ấy f(f
−1
(C)) là một tập con thự ức sự của C, t c là f (f
−1
(C)) ≠ C.
Một ví dụ khác: Giả sử g :
⏐
R →
⏐
R là ánh xạ xác định bởi g(x) = x
2
và C
= {x ∈
⏐
R : x ≥ −1} là một tập con của
⏐
R. Khi đó, ta có f
−1
(C) =
⏐
R và
f(f
−1
(C)) =
⏐
R
+
.
ở đây, ta lại thấy f (f
−1
(C)) là một tập con thực sự của C.
Trong phần câu h ng nỏi và bài tập ta sẽ chứng minh rằ ếu C ⊂ f(X) thì bao
hàm thức (1) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
(ii) Trong bao hàm thức (2), không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 8.6 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f},
Y = {M, N, P, Q, R, S, T} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau:
ánh x n bạ được biểu diễ ởi lược đồ hình tên trong Hình 4.
Hình 4
Với tập con A = {a, b, c} của tập hợp X, ta có: f(A) = {M, N, P} và f
−1
(fA))
= {a, b, c, d, e}.
Ta thấy A là một tập con thự ực s của tập hợp f
−1
(f(A)).
Ta xét một ví dụ khác: cho ánh xạ D :
⏐
R → {0, 1} xác định bởi:
D(x) =
1 với x ∈ Q,
0 với x ∈
⏐
R \ Q.
(D là hàm số Điritslê).
Với tập con A = {−1, } của
⏐
R, ta có:
D(A) = {1} và D
−1
(D(A)) = d
−1
({1}) = Q.
A là một tập con thực s a Dự củ
−1
(D(A)).
Trong ph u ánh xần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh r ng nằ ế ạ f : X → Y
là một đơn ánh thì bao hàm thức (2) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
d) Quan hệ giữa tạo ảnh của một tập hợp qua m nh cột song ánh và ả ủa tập
hợp đó qua ánh xạ ngược của song ánh.
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợ ợ đp X lên tập h p Y. Khi ó f có
ánh x ngạ ược g = f
−1
: Y → X. Ta sẽ ằ ậ chỉ ra r ng nếu C là một t p con của Y
thì tạo ảnh f
−1
(C) c f và ủa tập hợp C qua ánh xạ ảnh g(C) của tập hợp C qua
ánh x
ạ g = f
−1
là hai tậ ằp hợp b ng nhau: g (C) = f
−1
(C).
Thật vậy, với mọi x ∈ X, các điề ệu ki n sau là tương đương:
x ∈ g(C),
Tồn tại y ∈ C sao cho g(y) = x,
f(x) = y và y ∈ C
x ∈ f
−1
(C).
Vậy g(C) = f
−1
(C).
Ta minh hoạ điều khẳng định vừa nêu qua một ví dụ.
Ví dụ 8.7 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và song ánh f : X
→ Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 5
Hình 5
ánh xạ ngược g = f
−1
: Y → X của f được cho trong bảng sau:
Với tập con C = {1, 2, 3, 4} của tập hợp Y :
Tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f là:
f
−1
(C) = {a, b, c, d}
ảnh của tập hợp C qua ánh xạ ngược g = f
−1
của C là
g(C) = {a, d, b, c}.
Ta thấy g(C) = f
−1
(C).
Như vậy,
• Nế ảu ánh xạ f : X → Y không ph i là mộ ột song ánh và C là m t tập con
c
ủa Y thì kí hiệu f
−1
(C) chỉ tạo ả ậ ạnh của t p hợp C qua ánh x f. (Trong
trường này f không có ánh xạ ngược).
• Nế ạ ậ ảu ánh x f : X → Y là một song ánh và C là một t p con của Y thì nh
(f
−1
) (C) của C qua ánh xạ ngược f
−1
: Y → X của f cũng là tạo ảnh f
−1
(C) của
C qua ánh xạ f.
Hoạt động 8.1. Thực hành xác định o ảnh và tạ ảnh của tạp
hợp qua ánh xạ
Nhiệm vụ:
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thả ậo lu n theo nhóm 2, 3 người để
thực hiện các nhiệm vụ sau:
Nhiệm vụ 1:
− Cho ba ví dụ về ả ễnh của một tậ ạ ểp hợp qua một ánh x . Bi u di n các ánh
xạ bởi những lược đồ hình tên và ảnh của tập hợp bởi lược đồ Ven
− Cho ba ví dụ về tạ ậo ảnh củ ộa m t t p hợp qua một ánh xạ ể. Bi u diễn các
ánh xạ đó bởi những lược đồ hình tên và tạo ảnh bởi lược đồ Ven
Nhiệm vụ 2:
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (iii) của định lí 1b,1d), không
thể thay dấu bởi dấu =.
Nhiệm vụ 3:
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (1) của Định lí 2c), không thể
thay dấu bởi dấu =.
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (2) của Định lí 2c), không thể
thay dấu bởi dấu =.
Đ ạánh giá ho t động 8.1
1. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f , g , h⎬ ;
Y = ⎨ ⎬1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,
ánh xạ f: X → Y xác định bởi bảng sau
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
và hai tập con A , B của X : A = ⎨a , b , c⎬ ; B = ⎨c , d , h⎬
a) Biểu di p hễn ánh x hình tên và các tạ f bởi lược đồ ậ ợp A, B bởi lược đồ
Ven
b) Tìm f(A), f(B) , f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), A ∩ B, f(A) ∩ f(B) và f(A ∩ B)
c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A ∩ B) và f(A) ∩ f(B)
2. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6⎬, Y = ⎨m , n , p , q , r , s , t⎬
ánh x nh bạ f : X → Y xác đị ởi bảng
và hai tập con A = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , ⎨B = 4 , 5 , 6⎬ của X
a) Biểu di p hễn ánh x hình tên và các tạ f bởi lược đồ ậ ợp A, B bởi lược đồ
Ven
b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B và f(A \ B)
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A \ B) và f(A) \ f(B)
3. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con
bất kì A và B của X, ta có:
f( A \ B) = f(A) \ f(B)
4. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f⎬ , Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
ánh x nh bạ f : X → Y xác đị ởi bảng
và tập con C = ⎨1 , 2 , 3 , 7 , 8⎬ của X
a) Biểu di n ánh x p hễ ạ f bởi lược đồ hình tên và tậ ợp C bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp f
−1
(C) và f (f
−1
(C))
c) Nếu mối quan hệ giữa hai t p C và f (fập hợ
−1
(C)).
5. Cho ánh xạ f. Chứng minh rằng với m i tọ ập con C của f(X) ta có f(f
−1
(C))
= C
6. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8⎬, Y = ⎨a , b , c , d , e , f,
g⎬, ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và tập con A = ⎨3 , 4 , 5⎬ của tập hợp X
a) Biểu di n ánh x p hễ ạ f bởi lược đồ hình tên và tậ ợp A bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp A và f
−1
(f(A))
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A) và f
−1
(f(A))
7. Chứng minh rằng nếu ánh xạ ớ f: X → Y là một đơn ánh thì v i mọi tập
con A của X ta có: A = f
−1
(f(A))
8. Cho ánh xạ f: X → R và hai tập hợp A, B, A ⊂ X, B ⊂ R. Tìm ảnh f(A)
và t nh fạo ả
−1
(B) trong mỗi trường hợp sau
a) f(x) = sin 2x ; X = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 6Π⎬,
A = ⎨x ε ≤ ≤ ⎬ ε R : 0 x U ⎨x R : Π ≤ ≤ x + Π⎬
B = y R : −1 y 0⎬
b) f(x) = | x
2
− 4| , X = R , A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 2 ≤ y ≤ 4⎬
c) f(x) = | x2 − 2x| , X = R , A = ⎨x ε R : | x| ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ ⎬
9. Cho ánh xạ f: R → R xác định bởi f(x) = |x + 1| và tập hợp A = ⎨x ε R; 1
≤ x ≤ 2⎬ Tìm f(A) và f
−1
(f(A))
10. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = x
8
+ x
4
+ 1, A = ⎨x ε R : |x|
2⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ ≤ y 1⎬. Tìm ảnh f(A) và tạo ảnh f
−1
(B)
11. Giả sử ợ ứ R [x] là tập h p các đa th c với các hệ số thực và Rn[x] là tập
hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc b ng n, vằ ới các hệ số thực và g: Rn[x]
→ R[x] là ánh xạ xác định bởi g(P) = P(x
2
+ 1)
a) Tìm ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1
b) Tìm tạo o ảnh c p hủa tậ ợp các c có bđa thứ ậc 0 và tạ ảnh của tập hợp chỉ
có một phần tử là a thđ ức x
2
+ 1
12. Cho ánh xạ f: X → Y. A → X , B → Y
Ch
ứng minh rằng: f(A ∩ f
−1
(B)) = f(A) ∩ B
13. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ ậ, A là một t p con của X, B là một tập
con của Y và g = f/
A
. Chứng minh rằng g
−1
(B) = A ∩ f
−1
(B)
14. Chứng minh rằng toàn ánh f: X → Y từ tập hợ ậ ợp X lên t p h p Y là một
song ánh khi và chỉ khi tạo ảnh c p con m n tủa mỗi tậ ột phầ ử của Y là một
tập con một phần tử của X
15. Cho ánh xạ f : X → Y và g: Y → W. Gọi h: X x Y → V x W là ánh xạ
xác định bởi (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y))
Chứng minh rằng nếu M ⊂ V, N ⊂ W thì h
−1
(M x N) = f
−1
(M) x g
−1
(N)
(ánh xạ h c kí hiđược gọi là tích của hai ánh xạ f và g, và đượ ệu là f x g)
16. Cho hai ánh xạ f: X → Y và g: X → Z. Gọi h: X → Y x Z là ánh xạ xác
định bởi x → h(x) = (f(x), g(x)).
Ch
ứng minh rằng nếu B ⊂ Y, C ⊂ Z thì h
− −1
(B x C) = f
1
(B) ∩ f
−1
(C) (ánh xạ
h được gọi là ánh xạ phức)
Thông tin phản hồi cho chủ đề 1
Form at t ed:
Heading01
CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT TẬP HỢP
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. TẬP HỢP
Hoạt động 1.1
Khái niệm Tập hợp. Tập con. Các tập hợp bằng nhau.
1. a) A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}
b) B = {31, 37, 41, 43, 47}
c) C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
2. a) A = {2, 3, 4, 5, 6}
b) B = {0, − −1, }; c) C = φ.
3. a) A là t p h p b ng s u c p sậ ợ ả ố hạng đầ ủa cấ ố cộng có số hạng đầu là 3
và công sai là 4
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 16 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập h p bợ ảng số hạ ấng đầu của c p số nhân có số hạng đầu là 1 và
công bội là .
5. S, S, Đ, Đ.
6. S, S, Đ, Đ.
7. Đ, S, Đ, Đ.
8. Đ, S, Đ, S.
Đ, Đ, S, Đ.
9. (A) = {φ, {a
1
}, {a }, {a
2
}, {a
3
}, {a
1
, a
2 1
, a
3
}, {a
2
, a
3
}, {a
1
, a
2
, a
3
}}.
b) P (A) có 8 phần tử.
10. a) B = {φ, {a
1
}, {a
2
}, {a
3
}, {a
1
, a
2
}, {a
1
, a
3
}, {a
2
, a
3
}, {a
1
, a
2
, a
3
},
a
4 1 4 2 3 4
, {a , a }, {a , a
4
}, {a , a },
{a
1
, a , a , a , a , a
2
, a
4
}, {a
1
, a
3 4
}, {a
2 3 4
}, {a
1
, a
2
, a
3 4
}}.
b P(B) có 16 phần tử.
11. a) Sai; b) Đúng.
12. Hiển nhiên điều khẳng định đúng với n = 0. Giả sử điều khẳng định
đúng vớ ợi n, tức là tập h p A = {a
1
, a
2
, ..., an} có 2
n
tập con. Ta chứng minh
tập hợp B = {a
1
, a
2
, ..., an, an
+ 1
} có 2
n + 1
tậ ập con. Chia các t p con của B làm
hai loại:
(i) Các tập con của B không chứa an
+ 1
,
(ii) Các tập con của B chứa an
+ 1
Dễ thấy mỗi loại đều có 2
n
phần tử.
Form at t ed:
Heading02
Hoạt động 2.1
Các phép toán trên các tập hợp
1. Vì B ⊂ A nên:
A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ.
A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}.
2. a) A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên chia hế ết cho 2 hoặc chia h t cho 5:
A ∪ B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, ...}.
A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A ∩ B là tập hợp
các bội tự nhiên của 10:
A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, ...} = {10n : n ∈ N}.
A \ B là tập hợp các số chẵn không phải là bội của 5:
A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, ...}.
A \ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N.
B \ A là tập hợp các số lẻ bội của 5:
B \ A = {5, 15, 25, 35, ...} = {10n + 5 : n ∈ N}.
3. a) V ∩ C là tập hợp các tam giác vuông cân.
V ∪ C là tập hợp các tam giác vuông hoặc cân.
V \ C là tập hợp các tam giác vuông nhưng không cân.
C \ V là tập hợp các tam giác cân nhưng không vuông.
4. A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: − ≤5 x ≤
−5};
A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ ∈ − 5}; B \ A = {x R : 5 < x < 0}.
5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB;
c) E = HD; F = BX.
6. a) Miền II chứa các mảnh bé màu nâu, không phải là hình vuông.
Miền IV chứa các mảnh hình vuông lớn màu nâu.
Miền V chứa các mảnh hình vuông màu đỏ và xanh.
b) Miền II chứa 6 mảnh.
Miền IV chứa 2 mảnh.
Miền V chứa 8 mảnh.
Form at t ed:
Heading02
18. Tập hợp A ∪ B có 6 phần tử.
19. Gọi A là tập hợp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng.
Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử.
Gọi B là tập hợp các xe buýt
T . ập hợp A ∪ B có 37 phần tử
B \ A là tập hợp các xe buýt vàng. Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), trong đó B
\ A và A là hai tập hợp không giao nhau. Từ đó dễ dàng tính được có 9 xe
buýt vàng.
20. 4 học sinh chỉ học khá môn Toán, 7 em chỉ học khá môn Văn, 5 em chỉ
học khá môn Anh; 9 em không học khá môn nào.
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ
Hoạt động 3.1
Quan hệ hai ngôi
5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}.
6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/
7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2),
(8, 8}.
8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), ...}.
9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}.
10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}.
11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}.
12. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 được bi u di n bể ễ ởi tập hợp các
điể ằm của nửa mặ ẳt ph ng n m phía trên đường phân giác thứ nhấ ật y = x, t p
hợp R
2
được bi n b p h ng không nểu diễ ởi tậ ợp các điểm của mặt phẳ ằm trên
đường phân giác thứ ấ nh t.
14. Đó là quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
15. R là một quan hệ đối xứng nhưng không phản xạ và không bắ ầc c u.
16. ng. Đó là quan hệ phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứ
17. Quan hệ R
2
trên Y là phản xạ ả; R
1
và R không ph
2
i là những quan hệ
phản xạ.
18. Quan hệ R
2
trên Y là đối xứng. Không có quan hệ nào là bắc cầu.
20. R
−1
= {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), ...}
Form at t ed:
Heading02
= ((7n, n) : n N*}.
22. R
2
. R = {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), ...}
1
= {(3n, n + 5) : n ∈ N*}.
R
1 2
. R = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), ...}
= {(3n − ∈ 2, n + 1) : n N*}.
Hoạt động 4.1
Quan hệ tương ng đươ
1. ~
1
chia L
0
thành 4 lớp tương đương.
~
2
chia L
0
thành 2 lớp tương đương.
~
3
chia L
0
thành 2 lớp tương đương với.
2. b) Quan hệ tươ ương đương R trên N chia N thành bốn lớp t ng đương.
3. b) {1, 3}
~
= {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{,
{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}.
4. b) Tập thương R
2
/~ là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là
đ ố đ ốiểm g c và iểm g c.
5. X/R = {{x} : x ∈ X}.
6. R không phải là một quan hệ phản xạ.
7. Không tồn tại một quan hệ tương đương R thoả mãn đ điều kiện ã nêu vì
A ∩ C ≠ φ.
8. X/~ = {A, A
2
, ..., Am}.
9. V p t ng chới mỗi tập con A chứa a của X, Â = {A} (lớ ương đươ ứa A là
tập hợp một phần tử). Mọi tập h p con cợ ủa X không chứa a đều tương
đương với nhau, chúng tạo nên m p tột lớ ương đương củ ệ ậa quan h ~. V y
P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ ,
trong đó B là một tập con của X không chứa a, là tập hợp tất cả các tập con
của X không chứa a.
10. Tập thương C*/R có hai phần t p hử: Tậ ợp các điểm của hai nửa mặt
phẳng bên ph p tải và bên trái của trục tung tạo nên hai lớ ương đương của
quan hệ R.
Hoạt động 5.1
Quan hệ thứ tự
1. B) ≤ là quan hệ toàn phần.
2. Đó không phải là một quan hệ toàn phần.
3. b) Không.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading02
4. b) Không.
5. R không phản đối xứng.
6. Ba quan hệ thứ tự.
7. a) 40 là phầ ển tử ữ ử tối đại; 2 và 5 là nh ng phần t tối ti u.
b) 40 là ph n tầ ử lớ ử ỏn nhất của X; X không có phần t nh nhất.
8. 3
5
là giá tr là giá trị lớn nhất của X; 3
9
ị nh nhỏ ất của x.
9. RC là quan hệ thứ tự trên C.
10. b) Mỗi phần tử của X đều là một phần tử tối đại, đồng thời là phần tử
tối tiểu. Tập hợp sắp thứ tự ử X không có phần t lớn nhất và phần tử nhỏ
nhất.
a, e, f là các phần tử tố ửi tiểu của Y; c là phần t tố ũi đại, c ng là phần tử lớn
nhất của Y.
13. b) D
1
là phần tử tố ố ũi tiểu; D
3
là phần tử t i tiểu, c ng là phần tử ố t i đại. D
4
là phần tử tối đại. Tập sắ ứp th tự X không có phần t nh nhử ỏ ất và không có
phần tử lớn nhất.
14. A là dây xích, B không phải là dây xích.
15. 1 là phần tử chặn dưới của A;
Các số 77n, n ∈ N* là các phần tử chặn trên của A.
1 và 3 là các phần t chử chặn dưới của B; B không có phần tử ặn trên.
16. 1 và 3 là các ph n tầ ử chặn trên của A. Các số 90n, n ∈ N* là các phần
tử chặn dưới của A.
Các s
ố 1, 3, 3
2
, 3
3 4
, 3 , 3
5
là các phầ ặn tử ch n trên của B. Không có phần tử
chặn dưới của B trong {N*, ≤}.
17. a) Mỗi số th i cực nh n dỏ hơn hoặc bằng −7 đều là một phần tử chặ ướ ủa
A; mỗi số thự ớ ơc l n h n hoặc bằng 3 đều là một phần tử ủ chặn trên c a A.
b) Số không và các s n t n dố thực âm là các phầ ử chặ ưới của N. Không có
phần tử chặn trên của N trong R.
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ
Hoạt động 6. 1
Định nghĩa và các khái niệm cơ bản về ánh xạ
1. b) R không phải là một ánh xạ.
2. b) R không phải là một ánh xạ.
3. c) ϕ không phải là một ánh xạ.
Form at t ed:
Heading01
Form at t ed:
Heading02
4. b) f là một ánh xạ. Tập xác định của f l à A;
f(A) = {18, 35}.
5. a) R là một ánh xạ.
b) T là R(X) = {17, 18{ ập xác định của ánh xạ R là X; ảnh của ánh xạ
6. Có một ánh xạ từ X vào Y.
7. Có m ánh xạ t ừ X vào Y.
8. 4 ánh xạ.
10. f(−2) = {x ∈ R : x R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ ≤ 0};
f(x
2
) = {y ∈ R : y ≤ x
2
}.
11. f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : 1 < x ≤ }.
12. f và g là hai ánh xạ bằng nhau.
13. u và v là hai ánh xạ bằng nhau.
14. a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x ∈ R.
b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R*.
c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ .
15. a) h (R) không chứa hai số htực −2 và 1.
b) áp dụng a).
16. X = {3, } hoặc X là một tập con của tập hợp {3, }.
17. X = {−1, 1} hoặc X là một tập con c p {ủa tập hợ −1, 1}.
19. Tập xác định của f là: X = .
f (X) = {0}.
Hoạt động 7.1
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
1. b) f không phải là một t đơn ánh; g là mộ đơn ánh.
2. b) f không phải là một toàn ánh; g là một toàn ánh.
3. b) ánh xạ ngược của f và g được cho trong hai bảng sau:
Form at t ed:
Heading02
4. f
−1
(y) = − , y ∈ R.
5. a) f
−1
: R
+
→ R
+
, y → f
−1 2
(y) = y .
b) g
−1
: R → R, y → g
−1
(y) = .
c) h
−1
: R* → R*, y → h
−1
(y) =
d) u
−1
: A → A, y → u
−1
(y) = .
6. a) f là một đơn ánh.
b) f không phải là một song ánh.
13.
Hoạt động 8.1
ả ạnh và t o của một tập hợp qua một ánh xạ
1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B =
{c{;
f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4}.
c) f (A ∩ B) là một tập con thực sự của f (A) ∩ f (B).
Form at t ed:
Heading02
2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p};
A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}.
c) f (A) \ f(B) là một tập con thực sự của f (A\B).
4. b) f
−1
(C) = {a, b, c}; f (f
−1
(C)) = {1, 2, 3}.
c) f (f
−1
(C)) là một tập con thự ự ủc s c a C.
6. b) f (A) = {b, c}; f
−1
(f(A)) = {2, 3, 4, 5}.
c) A là một tập con thự ực s của f
−1
(f(A)).
8. a) f(A) = {y R : 0 y 1};
f
−1
(B) = {y ∈ R : ≤ ≤ ∪ x π} {x ∈ R : ≤ ≤ π ∪ x 2 } {x ∈ ≤ ≤ R : x π}
b) f(A) = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 4};
f
1
(B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ ≤ ≤ R : x }
c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3};
f
−1
(B) = {x ∈ R : 1 − ≤ x ≤ } ∪ ∈ ≤ ≤ {x R : x 1 + }.
9. f(A) = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 3};
f
−1
(f(A)) = {x ∈ ≤ ≤ ∪ R : 1 x 2} { x ∈ R : − −4 ≤ ≤ x 3}.
10. f(A) = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 273}; f
−1
(B) = {0}.
11. a) ảnh của tập hợp các đa thức có b a thậc ≤ 1 là tập hợp các đ ức có bậc
0 và các đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã
2
+ b.
b) Tạo ảnh c p hủa tậ ợp các đa thức có bậc 0 là tập hợp các đa thức có bậc 0.
Tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x
2
+ 1 là tập h p chợ ỉ có
một phần tử là đa thức Q(x) = x.
CHỦ ĐỀ 2
CƠ SỞ LÔGIC TOÁN
I. Mục tiêu
Kiến th n thức : Người học nắm đươc những kiế ức về :
C s c nh ơ ở ủa lôgic mệ đề
Các phép suy luận thường g p ặ
Các phép chứng minh thường gặp
V n dậ ụng các phép suy luận và chứng minh trong dạy và học toán
Kỹ n năng : Hình thành và rèn luyện cho người học các kĩ ăng :
Phân tích cấu trúc củ đề ủ đị ộa các mệnh : ph nh, h i, tuyển, tương đương thường gặp
và xác định giá trị chân lí của chúng
V n d ng ng gậ ụng các phép tươ đương lôgic thườ ặp trong toán học
Phân tích các phép suy luận và chứ ọng minh trong dạy h c toán ở tiểu học
Thái độ :
Chủ độ ng tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụ ủng c a lôgic mệnh y đề trong dạ
và học toán
II. Giới thiệu tiểu mô đun
STT Tên tiểu ch ủ đề Trang
1 Mệnh đề và các phép logic
2 Các bài toán về suy luận n giđơ ản
3 Công thức
4 Quy tắc suy luận
5 Hàm mệnh nh t nh n tđề - Mệ đề ổng quát và mệ đề tồ ại
6 Suy luận và chứng minh
7 Suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học
III. n môĐiều kiện cần thiết để thực hiệ đun
* Kiến thức
N ng phắm được kiến thức toán học ở trườ ổ thông
N phắm được kiến thức của chương trình Trung học Sư ạm.
* dùng d y hĐồ ạ ọc
M d y h dột số thiết bị ạ ọc sử ụng trong khi tổ chức các hoạt động: máy chiếu
projector, máy chi ng, tranh ếu đa nă ảnh....
Giấy trong, bút dạ, b ng phoócmica ả
* Tài liệu tham kh o ả
IV. Nội dung
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1. MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP LÔGIC
Thông tin cơ bản
1.1. Mệnh đề
Trong môn ti thông, chúng ta ếng Việt ở trường phổ đã làm quen với khái niệm về
cõu. Các câu thường gặp có thể chia thành hai loại : loạ ấi thứ nh t gồ ữm nh ng câu
phản ánh tính đúng ho ặc sai một thực tế khách quan. Mỗi câu như thế được hiểu là
một mệnh úng hođề. Loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đ ặc sai một
thực tế khách quan nào
Để kí hiệ ệu các m nh ta dùng các chđề ữ cái a, b, c.... Trong lôgic ta không quan tâm
đế ữ ủ đề đế đn cấu trúc ng pháp c a các mệnh mà chỉ quan tâm n tính “ úng” hoặc “sai”
của chúng. Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu là
G(a) = 1, nếu a là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu là G(a) =
0
Chẳng hạn, các câu
+ “Hà Nội là thủ đ ủ ô c a nước Việt Nam” là mệnh đề đ úng
+ “Nước Pháp nằm ở Châu Phi” là mệnh đề sai
+ “Tháng Giêng có 30 ngày” là mệnh đề sai
+ “15 là số lẻ” là mệnh úng đề đ
+ “Số 35 chia hết cho 3” là mệnh đề sai
+ “12 l n 20” là mớn hơ ệnh đề sai
+ “Tứ giác có b ng nhau là hình vuông” là mốn cạnh bằ ệnh đề sai
Các câu
+ “2 nhân 2 bằng mấy?”
+ “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?”
+ “Bộ phim này hay quá!”
+ “Tất c i hả chúng ta hãy đ ọc đúng giờ!”
đề đề ộ ữu không phải là mệnh . N i chung, nh ng câu nghi vấn, câu mệ ệnh l nh và câu
cảm thán đều không phải là mệnh đề
Chú ý
1. Trong thực tế ta gặp nhữ đềng mệnh mở là những mệnh đề mà giá trị đúng, sai
của nó phụ thuộc vào những điều ki n nhệ ất định (thời gian, địa điểm,...) Nó đúng ở
thời gian, địa điểm này nhưng lại sai ở thời gian, địa điẻm khác. Song ở bất kì thời
đ đị đ ũ điểm nào, a iểm nào nó c ng luôn có giá trị chân lí úng hoặc sai. Chẳng hạn:
+ Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự
+ Trời nắng nóng
+ Năng suất lúa năm nay cao hơn n m ngoái ă
+ 12 giờ trưa hôm nay tôi đang ở Hà Nội
2. nh Để kí hiệu a là mệ đề “2 + 2 = 5” ta viết
a = “2 + 2 = 5”
3. Ta thừa nhận các luật sau đầ ủy c a lôgic mệnh đề
a) Luật bài trung: Mỗi mệnh phđề ải hoặ ặ ệc đúng ho c sai, không có m nh đề nào
không úng cđ ũng không sai
b) Luật mâu thuẫ ọ ậ ẫn (hay còn g i là lu t phi mâu thu n): không có mệnh đề nào vừa
đ ừúng lại v a sai
1.2. Các phép lôgic
Khi có hai số a và b, dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tác động vào hai số đ ó
ta sẽ có nhữ ống s mới (gọi là tổng hiệu, tích, thương c ủa hai số đó)
Khi có hai mệnh đề a và b, người ta cũng xây d ng các phép toán tác ự động vào hai
mệnh ó nh n nh mđề đ để ậ được những mệ đề ới. Dướ ượi đây ta lần l t xây dựng các
phép toán đó
1.2.1. Phép phủ định
mệnh đề a = “Nhôm là một kim loại” ta thiết lập được mệnh đề
a = “Nhôm không phải là kim loại”
a = “Không phải nhôm là kim loại”
Từ mệnh p đề b = “Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lậ được mệnh đề
b = “Số ế 30 không chia h t cho 4”
hoặc b = “Không phải 30 chia hết cho 4”
Mệnh đề a (hoặc b) là mệnh ph nh cđề ủ đị ủa mệnh đề a (hoặc b)
Rõ ràng, a là mệnh đề đúng còn mệnh đề đề đề a là mệnh sai; mệnh b sai còn mệnh
đề đ b là úng
Vậy ph nh c nh nh ủ đị ủa mệ đề a là một mệ đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai khi a
đ ủ ủ địúng. Bảng chân lí c a phép ph nh được cho bởi bảng sau
Ví dụ 1.1 :
Phủ đị ủ nh c a mệnh nh đề “Tháng Ba có 31 ngày” là mệ đề “Tháng Ba không có 31
ngày’ hoặc “Không phải tháng Ba có 31 ngày”
Ví dụ 1.2 :
Phủ đị ủ nh c a mệnh “8 l n h nh n h đề ớ ơn 12” là mệ đề “8 không lớ ơn 12” hoặc “8 nhỏ
hơn hoặc bằng 12”
Chú ý :
Phủ đị ủ nh c a một mệnh n ng hđề có nhiều cách diễ đạt khác nhau, chẳ ạn:
“Nhôm không phải là kim loại”
“Không phải nhôm là kim loại”
“Nhôm đâu có phả ại là kim lo i”
“Nói nhôm là kim loại không đúng”
hoặc
“25 không lớn hơn 10”
“25 nhỏ hơn hoặc bằng 10”
“Không phải 25 lớn hơn 10”
“25 đâu có lớn hơn 10”
“Nói 25 lớn hơn 10 là sai”
...................
1.1.2. Phép hội
Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có bốn mùa”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi nă ốm có 12 tháng và b n mùa”
Hoặc từ hai mệnh đề
a = “36 là số chẵn”
b = “36 chia hết cho 9”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “36 là số chẵn chia hết cho 9”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là hội củ đề đa hai mệnh a và b ã cho
Vậy h nh ội của hai mệ đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a và b, kí hiệu là c = a b,
đ đề đúng khi cả hai mệnh a, b cùng úng và sai trong các trường hợp còn lại.
Giá trị chân lí của phép hội được xác định bởi bảng sau
Chú ý : p m h nh Để thiết lậ ệnh đề ội của hai mệ đề a, b ta ghép hai mệnh ó bđề đ ởi
liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đ ó là: mà, nhưng, song,
song le, đồng thời, v gì ẫn, cùng.... hoặc dùng dấu ph y hoả ặc không dùng liên từ
Ví dụ 1.3 :
“Thành phố Hà Nội là thủ đ ư ô nh ng không phải là thành phố lớn nh nất của cả ước”
là hội của hai mệnh đề a = “thành phố ộ ủ đ ủ Hà N i là th ô c a cả nước” và b = “thành
phố Hà Nội không phải là thành phố l nớn nhất cả ước”
Rõ ràng G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví dụ 1.4 :
“Lúc 12 gi ng có mờ trưa nay Hươ ặt ở Hà Nội và ở Bắc Ninh” là hội của hai mệnh
đề ư ộ ờ ư a = “Lúc 12 giờ tr a nay Hương có mặt ở Hà N i” và b = “Lúc 12 gi tr a nay
Hương có mặt ở Bắc Ninh”
Rõ ràng hai mệnh úng nên G (a đề này không thể cùng đ b) = 0
Ví dụ 1.5 :
“36 là số chẵn chia hết cho 5” là hội của hai mệ ẵnh đề a = “36 là số ch n” và b = “36
chia hết cho 5”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G (a b) = 0
Ví dụ 1.6 :
“Số e lớn h n 2 nh ng nh h nh ơ ư ỏ ơn 3” là hội của hai mệ đề a = “e > 2” và b = “e < 3”.
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví dụ 1.7 :
Anh Hùng nói thạo tiếng Anh mà không biết tiếng Đức
Ví dụ 1.8 :
Cường v , ừa trẻ đẹp trai, học giỏi mà lại có nhiều tài lẻ
Chú ý: nh ng l i không có nghĐôi khi trong mệ đề có liên từ “và” như ạ ĩa củ đềa mệnh
hội.
Chẳng h p s p s dạn: “Tậ ố âm và tậ ố ương là hai tập con rời nhau của tập số thực”
“Nhà Thanh nuôi được 15 con gà và vịt”
1.1.3. Phép tuyển
Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có 52 tuần”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần”
Hoặc từ hai mệnh đề
a = “50 là số nguyên tố”
b = “50 chia hết cho 5”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “50 là số nguyên tố hoặc chia hết cho 5”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho
Vậy tuyển c nh ủa hai mệ đề a, b là mộ đề đọt mệnh c, c là a hoặc b, kí hiệu c = a b,
đ ộ đề đúng khi ít nhất m t trong hai mệnh a, b là úng và sai khi cả hai mệnh đề a, b
cùng sai
Giá trị chân lí của phép tuyển nh bđược xác đị ởi bảng sau
Ví dụ 1.9 :
“Mỗi năm có bốn mùa hoặc mỗ ủi tuầ ản có b y ngày” là tuyển c a hai mệnh đề a =
“Mỗi năm có bốn mùa” và b = “Mỗi tuần có bảy ngày”
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví dụ 1.10 :
“20 là s c hoố tròn chụ ặc chia hết cho 3” là tuyển c nh ủa hai mệ đề
a = “20 là số tròn chục” và b = “20 chia hết cho 3”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G(a b) = 1
Ví dụ 1.11 :
“Tháng Hai có 31 ngày hoặc 3 + 3 = 1” là tuyển của hai mệnh đề
a = “tháng Hai có 31 ngày” và b = “3 + 3 = 1”
ở đây G(a) = G(b) = 0 nên G(a b) = 0
Ví dụ 1.12 :
“Cô An chưa có gia đình hay là đã tốt nghiệp đại học”
Chú ý :
1. p m nh n cĐể thiết lậ ệ đề tuyể ủa hai mệ ệnh đề a, b ta ghép hai m nh đề đó bởi liên
từ “hoặc” (hay một liên từ khác cùng loại)
2. Khi thiết lập m nh ệ đề tuyể ề ệ ấn của nhi u m nh đề, ta dùng dấu ch m phảy thay cho
liên từ “hoặc”
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”
3. Liên t c dùng vừ “hoặc” trong thực tế thường đượ ới hai nghĩa: loại trừ và không
loại tr i trừ. Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loạ ừ để chỉ a hoặc b nhưng
không thể c n b ả a lẫ
Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ c n để chỉ a hoặc b và có thể ả a lẫ
b
Chẳng h nh B ạn: “Hôm nay là hoặc Chủ ật hoặc thứ ảy” là phép tuyển loại trừ
“24 là số chẵn hoặc chia hết cho 3”
“Hôm nay là Chủ nhật hoặc ngày lễ” là những phép tuyển không loại
trừ
Dưới đây, n u không nói gì thêm, ta sế ẽ chỉ xét các phép tuyển không loại trừ
1.1.4. Phép kéo theo
Từ hai mệnh đề
a = “Số ự t nhiên a có tổng các ch chia hữ ố s ết cho 3”
và b = “Số ự t nhiên a chia hết cho 3”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “Nếu s số tự nhiên a có tổng các chữ ố chia hết cho 3 thì nó chia hết cho
3”
Hoặc từ hai mệnh đề:
a = “Trời vừa mưa rào”
b = “Đường ph b ố ị ướt”
Ta thiết lập mệnh đề
c = “N u trế ời vừa mưa rào thì đường phố b ị ướt”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là mệ ếnh đề kéo theo thi t lậ ệp từ hai m nh đề a
và b
Vậy mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, sai khi a đúng mà b sai
và đúng trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh b đề a được xác định bởi bảng sau:
Chú ý
1. M nh ng n ệ đề “a kéo theo b” thườ được diễ đạt dưới nhiều hình thức khác nhau,
chẳng hạn:
“nếu a thì b”
“a suy ra b”
“có a thì có b”
........................
2. Ta có thể minh họa bảng giá trị chân lí trên qua ví dụ sau:
“Nếu trời mưa rào thì đườ ống ph bị ướt”
a b
Mệnh này sai, nđề ếu trời mưa rào (a đúng) mà đường ph không nh ố ướt (b sai). Mệ
đề đ này úng trong các trường hợp còn lại
Trời vừ ư đ ố đa m a rào (a úng) và đường ph bị ướt (b úng)
Trời không mư ố đa rào (a sai) và đường ph không bị ướt (b úng)
Trời không mư ốa rào (a sai) và đường ph bị ướt (b sai) (có thể do nước máy chảy
tràn ra đường,...
Ví dụ 1.13 :
“Số 45 có t n cùng bậ ằng 5 nên nó chia hết cho 5”. Mệnh úng đề này đ
Ví dụ 1.14 :
“Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng” là mệnh úng đề đ
Ví dụ 1.15 :
“Nếu mỗi năm có 10 tháng thì mỗ đề đi tuầ ện có 10 ngày” là m nh úng
Ví dụ 1.16 :
“Nếu mỗi năm có 12 tháng thì 2 + 2 = 5” là mệnh đề sai
Ví dụ 1.17 :
“Số 243 có tổng các ch chia hữ số ết cho 9 suy ra nó chia hết cho 5” là mệnh đề sai
Ví dụ 1.18 :
“Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Mỹ” là mệnh úng, đề đ
vì ở nh đây cả hai mệ đề a và b đều sai
Chú ý
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh b ngđề a ười ta không quan tâm
đế ố ộ ủ đề đn m i quan hệ về n i dung c a hai mệnh ó. Không phân biệt trường hợp a có
phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của
chúng
2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong
phú. Chẳng hạn:
“Bao giờ bánh đúc có xương
B y gi mấ ờ dì ghẻ ới thương con chồng”
hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”
1.1.5. Phép tương đương
Từ hai mệnh đề
a = “Hình chữ nhật có một góc nhọn”
và b = “ 200 là số nguyên tố”
ta thiết lập mệnh đề
c = “Hình chữ nhật có một góc nhọn khi và chỉ khi 200 là số nguyên tố”
Hoặc từ hai mệnh đề
a = “Số 45 có tận cùng b ng 5” ằ
và b = “Số 45 chia hết cho 5”
ta thiết lập mệnh đề
c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và ch khi nó chia hỉ ết cho 5”
Trong mỗi ví dụ nêu trên, mệnh đề c là mệ ậnh tđề ương đươ đượng c thiết l p từ hai
mệnh đề đã cho
Vậy mệnh ng đề a tươ đương b là một mệ ệ ệnh đề, kí hi u là a b, đ ảúng khi c hai m nh
đề đ a, b cùng úng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh t ng ng nh bđề ươ đươ được xác đị ởi bảng sau
Chú ý
Trong thực tế m nh “a t ng n ệ đề ươ đương b” còn được diễ đạt dưới nhiều hình thức
khác nhau. Chẳng hạn:
“a khi và chỉ khi b”
“a nếu và chỉ nếu b”
..................................
Ví dụ 1.19 :
“Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay xung quanh mặt trời” là mệnh đề
đúng
Ví dụ 1.20 :
“ 3 < 7 khi và chỉ khi 70 chia hết cho 3” là mệnh đề sai
Ví dụ 1.21 :
“Tổng các góc trong một tam giác bằng 900 n nếu và chỉ ếu 13 là số nguyên tố” là
mệnh đề sai
Ví dụ 1.22 :
“Tháng Hai có 31 ngày khi và chỉ khi 2 x 2 = 11” là mệnh úng đề đ
Hoạt động : Tìm hiểu khái niệm mệnh đề
Nhiệm vụ :
Sinh viên tự đọ c thông tin cơ b n theo nhóm 3, 4 ngản sau đó th o luả ậ ười để thực
hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 1.1 n 1.6 dđế ưới đây :
Nhiệm vụ 1 :
Xây dựng haiví dụ đề đ về mệnh úng trong mỗi lĩnh v h ng, ực số ọc,hình học và d?i số
xã hội.
Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về mệnh nh v hđề sai trong mỗi lĩ ực số ọc,hình học và dời sống,
xã hội.
Nhiệm vụ 3 :
Viết bốn câu không phải là mệnh đề
Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ba ví dụ đề về mệnh mở (hoặc mệnh đề chưa xác định)
Nhiệm vụ 5 :
Phát biểu luật bài trung và luật mâu thuẫn của lôgic mệnh đề
Đánh giá
1. nh Đánh dấu x vào ô trống đặt sau câu là mệ đề
a, Bạn An học năm thứ mấy?
b, 2 x 5 = 11
c, 23 là số nguyên tố
d, 17 có phải là số nguyên tố không?
e, Đội tuyển Việt Nam hôm nay đá hay quá!
f, Tổng các góc trong một tứ giác lồi bằng 3600
g, Hãy nêu m vột ví dụ ề mệnh đề !
h, ở Hà Nội sáng nay có mưa rào
i, Bạn nào có th cho biể ết mệnh đề là gì?
2. Viết giá trị chân lí của các mệnh ng đề sau vào ô trố
a, “3 không l n 7” ớn hơ
b, “Số ữ ỉ h u t không phải là số vô tỉ”
c, “Hai đường chéo của hình thang có độ dài bằng nhau”
3. ng Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trố
a, Có mệnh v úng lđề ừa đ ại vừa sai
b, Có mệnh không úng cđề đ ũng không sai
Hoạt động 1.2. Tìm hiểu phép phủ định
Nhiệm vụ :
Nhiệm vụ 1 : Lập b nh ph nh ảng chân lí của mệ đề ủ đị
Nhiệm vụ 2 :
Xây dự ống b n ví dụ về phép phủ đị đề nh mệnh trong s c, trong ố ọ h c trong hình họ
đờ ố ội s ng, xã h i
Sau a chúng và di n đó tìm giá trị chân lí củ ễ đạt mỗi mệnh nh bđề phủ đị ằng các cách
khác nhau
Đánh giá
1. Thiết lập mệnh ph nh c nh đề ủ đị ủa các mệ đề sau
a, 5 x 7 = 35
b, 24 không chia hết cho 5
c, Hình vuông có bố ạn c nh bằng nhau
d, Trời mưa
e, An cao hơn Thọ
f, 40 < 30
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
2. Tìm mệnh đề ph nh ủ định của các mệ đề sau
a, “15 lớn hơn hoặc bằng 20”
“15 không nhỏ hơn 20”
“Không phải 15 nhỏ hơn 20”
“Nói 15 nhỏ hơn 20 là không đúng”
b, “Hình bình hành không có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi
đường”
“Hai đường chéo củ đ ủ ỗa hình bình hành không cắt nhau ở trung iểm c a m i
đường”
“Không phải hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của
mỗi đường”
“Nói hai đườ ủ đ ể ủ ỗng chéo c a hình bình hành cắt nhau ở trung i m c a m i
đường là không đúng”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Hoạt i động 1.3. Tìm hiểu phép hộ
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Lập b nh hảng chân lí của mệ đề ội
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng hai ví dụ về mệnh hđề ội
Trong số ọ h c
Trong hình học
Trong đờ ố ội s ng xã h i
Trong các mệnh ó d ng nhđề đ được sử ụ ững liên từ khác nhau
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Đánh giá 1. Cho các mệnh đề
a = “3 < 5” và b = “5 < 10”
Hãy diễn nh đạt các mệ đề sau thành lời
a, a b b, a b
c, a b d, a b
2. Cho các mệnh đề
a = “Trời nắng”
và b = “Trời nóng”
Viết d i dướ ạng kí hiệu các m nh ệ đề sau
a, “Trời v i vừa nắng lạ ừa nóng”
b, “Trời không nắng nhưng nóng”
c, “Trời đã nắng lại nóng”
d, “Trời nắng như đng âu có nóng”
e, “Trời không nắng cũng chẳng nóng”
3. Cho các mệnh đề
a = “30 là số tròn chục”
b = “30 chia hết cho 5”
c = “30 không chia hết cho 4”
Hãy viết d i dướ ạng kí hiệu các mệnh đề sau
a, “30 là số tròn chục chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4”
b, “30 là số tròn chục không chia hết cho cả 4 và 5”
c, “30 là số tròn chục không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
4. Hãy diễn nh ây thành lđạt các mệ đề sau đ ời
a b c d e
trong đó:
a = “Tứ giác ABCD có các cặp c nh ạ đối song song”
b = “Tứ giác ABCD có các cặp c nh ạ đối bằng nhau”
c = “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi
đường”
d = “Tứ giác ABCD có hai góc kề bù nhau”
e = “Tứ giác ABCD có hai góc đối diện bằng nhau”
Sau ng hđó tìm giá trị chân lí của nó trong trườ ợp :
a, ABCD là hình bình hành
b, ABCD là hình thang
Hoạt động 1.4. Tìm hiểu phép tuyển
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tuyển
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép tuyển
Trong số ọ h c
Trong hình học
Trong đờ ố ội s ng xã h i
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Đánh giá
1. M nh ng ệ đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trố
a, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3”
b, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 7”
c, “7 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3”
d, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc 3”
e, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc nhỏ hơn 3”
2. Cho các mệnh đề
a = “44 chia hết cho 2”
b = “44 chia hết cho 3”
Hãy phát bi u thành lể ời các mệnh đề sau :
a, a b b, a b
c, a b d, a b
e, a b f, a b
g, a b h, a b
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
3. Đánh dấu x vào ô trống, nếu là phép tuyển loại trừ
a, Nhà toán học Galoa chết năm 20 hoặc 21 tuổi
b, Tiểu s cử ủa nhà toán học Galoa có thể tìm đọc trong báo “Toán học và tuổi
trẻ” hoặc cu c” ốn “Chuyện k vể ề các nhà toán họ
c, S nhiên a chia hố ự t ết cho 2 hoặc 3
d, S t n ho ố ự nhiên a là số chẵ ặc lẻ
e, Số ự t nhiên a có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
f, Số ự t nhiên a chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
Hoạt động 1.5. Tìm hiểu phép kéo theo
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập b nh kéo theo ảng chân lí của mệ đề
Nhiệm vụ 2: Xây d ng hai ví dự ụ về phép kéo theo
Trong số ọ h c
Trong hình học
Trong đờ ố ội s ng xã h i
Sau ó di n đ ễ đạt chúng thành các cách khác nhau rồ ị ủi tìm giá tr chân lí c a chúng
Đánh giá
1. M nh ng ệ đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trố
a, Nếu 3 < 7 thì 15 chia hết cho 5
b, N ếu 20 là số nguyên tố thì 2 x 5 = 10
c, Hình chữ nhất có bốn góc vuông suy ra 18 chia hết cho 5
d, Tổng các góc trong một tam giác bằng 3600 khi 2 x 2 = 11
e, 3 2 n ếu 35 chia hết cho 3
2. Cho các mệnh đề
a = “42 chia hết cho 6”
b = “42 chia h t cho 2 và 3” ế
Hãy phát bi u thành lể ời các mệnh đề sau
a, a b b, a
c, b d,
e, b a f, b
g, a h,
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
3. Cho biết
a, G (a b) = G (a b) = 1 và G (a b) = 0
Tìm giá trị chân lí của mệnh đề a, b
b, G (a b) = 1. Tìm G (a b)
c, G ( b) = 1. Tìm G (a b)
Hoạt động 1.6. Tìm hiểu phép tương ng đươ
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh t ng đề ương đươ
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về mệnh t ng ng đề ươ đươ
Trong số ọ h c
Trong hình học
Trong đờ ố ội s ng xã h i
Sau ó di n đ ễ đạt chúng thành các cách khác nhau rồ ị ủi tìm giá tr chân lí c a chúng
Đánh giá
1. M nh ng ệ đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trố
a, 5 < 8 khi và chỉ khi 21 chia h t cho 3 ế
b, 2 + 3 = 10 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố
c, Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi phân số là tối giản
d, Hình chữ nhật có bốn góc vuông khi và chỉ khi phân số ớ l n hơn 1
e, Tháng Ba có 28 ngày khi và chỉ khi Việt Nam nằm ở châu Âu
f, Mỗi tuần có 7 ngày nếu và chỉ nếu Pari là thủ đ ủ o c a Trung Quốc
2. Cho các mệnh đề
a = “Số ự t nhiên a có tổng các ch chia hữ ố s ết cho 3”
b = “Số ự t nhiên a chia hết cho 3”
Hãy diễn nh sau đạt thành lời các mệ đề
a, b,
c, d,
3. Cho biết G(a b) = 1, G() = 0
Tìm giá trị chân lí của ; a ; b
4. Cho biết G() = 1. Có thể nói gì v giá trề ị chân lí của , ,
và
Tiểu chủ đề 2.2.
Các bài toán về suy luận đơn giản
Thông tin cơ bản
Suy lu n là nh ng phép suy luận n giđơ ả ữ ận không dùng những công cụ ủ c a lôgic
mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép tuyển....). Các bài toán v n n ề suy luậ đơ
gi nả là nhữ ảng bài toán khi gi i chỉ cầ ậ ậ ản v n d ng nhụ ững phép suy lu n n giđơ n
Khi giải các bài toán về suy lu n n, ậ đơn giả đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng một
cách sáng tạ ữo nh ng kiến thức toán học đơn gi n, nh ng hi u biả ữ ể ết về thiên nhiên, xã
hội và phong tục tập quán trong đời sống sinh hoạt hàng ngày
Dưới đây ta lần l ng s dượt nghiên cứu các phương pháp thườ ử ụng khi giải các bài
toán dạng này
2.1. Phương pháp lập bảng
Các bài toán giải b i tằng phương pháp lập b ng xuảng thườ ất hiện hai nhóm đố ượng
(chẳng h nghi n ng, hoạn tên người và nghề ệp, hoặc vậ động viên và giải thưở ặc tên
sách và màu bìa...). Khi giải ta thiết lập mộ ột bảng gồm các hàng và các c t. Các cột
ta liệt kê các đối t i tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đố ượng
nhóm thứ hai
Dựa vào điều ki dện trong đề bài, ta loại bỏ ần (ghi số 0) các ô (là giao của mỗi hàng
và mỗi c i bộ ữt). Nh ng ô còn lại (không bị loạ ỏ) là kết quả của bài toán
Ví dụ 2.1 :
Ba người thợ hàn, thợ tiện và thợ n điệ đang ngồi trò chuyện trong giờ nghỉ giải lao.
Người thợ hàn nhận xét:
Ba chúng ta làm nghề trùng với tên củ ưa ba chúng ta, nh ng không ai làm nghề trùng
với tên mình cả
Bác Điện h ng ưở ứng:
Bác nói đúng
Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người
Giải Ta thiết lập bảng sau
Theo đề bài, không ai có tên trùng v cới nghề ủa mình, cho nên ta ghi số 0 vào các ô
1 ; 5 và 9. Bác Điện h ng ng nhưở ứ ận xét của bác thợ hàn nên bác Điện không làm
nghề hàn. Ta ghi số 0 vào ô số 7
Nhìn c n. V ột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điệ ậy bác thợ
hàn tên là Ti n. Ta ệ đánh dấu X vào ô số 4
Nhìn hàng 4 ta thấy bác Đ ũ điệ ền không làm ngh hàn c ng không làm nghề iện. Vậy
bác làm nghề tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 8
Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn, cũng không làm nghề tiện.
Vậy bác làm nghề n. 3 điệ Đánh dấu X vào ô số
Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện. Bác Tiện là thợ hàn. Bác Điện làm thợ tiện
Ví dụ 2.2 :
Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí được bọc ba màu khác
nhau: xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuố ọn b c bìa màu đỏ đặ t giữa hai cuố ăn V n và Địa lí,
cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng mộ đị ỗ ốt ngày. Bạn hãy xác nh m i cu n sách
đ ọã b c bìa màu gì?
Giải: Ta có bảng sau
Theo đề bài “cuốn bìa màu đỏ đặt giữa hai cuốn Văn và Địa lí”. Vậy cuốn sách Văn
và Địa lí đều không bọc màu đỏ cho nên cuốn Toán ph 0 ải bọc màu đỏ. Ta ghi số
vào ô 4 và 6, đánh dấu X vào ô 5
Mặt khác, “cuốn Địa lí và cuốn bìa màu xanh mua cùng ngày”. Điều đó có ngh a là ĩ
cuốn Địa lí không bọc màu xanh. Ta ghi số 0 vào ô 3
Nhìn c t n ng không bột thứ ư, ta thấy cuố Địa lí không bọc màu xanh cũ ọc màu đỏ.
Vậy cuốn Địa lí bọc màu vàng. Ta đánh dấu X vào ô 9
Nhìn vào cộ ố ọ đỏ ũ ọt 2 và ô 9 ta thấy cu n Văn không b c màu , c ng không b c màu
vàng. Vậy cuố ọn Văn b c màu xanh. Ta đánh dẫu X vào ô 1
Kết luận : Cuốn V n b n ă ọc màu xanh, cuốn Toán bọc màu đỏ, cuố Địa lí bọc màu
vàng
Ví dụ 2.3 :
Trên bàn có bốn h t p ộp kín được đánh số thứ ự 1 ; 2 ; 3 và 4. Trong mỗi hộ đựng một
trong bốn lo i quạ ả: đào, mậ ặ ạn, bưởi ho c cam. Ba b n Lộc, Đạt và Thanh tham gia
trò ch i nhơ ư sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong mỗ ộ đự đi h p ng quả ế gì, n u ai oán
đ ấ ộ ộ ầúng ít nh t m t h p thì sẽ được ph n thưởng.
Lộc đoán trước :
H nhộp thứ ất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộ ứ ưp th t
đự đng ào
Đạt đ ếoán ti p :
H nh ng ộp thứ ất đự đào, hộp thứ hai đự ộ ứ đự ộng bưởi, h p th ba ng cam và h p thứ ư t
đựng mận
Cuối cùng Thanh đoán
H nh ng mộp thứ ất đự ận, hộp thứ hai đựng cam, hộp th p thứ ba ào và hđự đng ộ ứ ư t
đựng bưởi
Kết thúc cuộc chơi, ban giám khảo công bố c n u không ả ba bạ đề đạt phần thưởng
Bạn hãy cho biết trong mỗi hộp ng quđự ả gì?
Giải : ta thiết lập b ng và ghi vào bả ảng theo lập luận sau
Theo đề bài ta có:
− Lộc không được phần thưởng. V y h nhậ ộp thứ ất không đựng cam, hộp thứ hai
không ng m n, h ng b t không ng đự ậ ộp thứ ba không đự ưởi và hộp thứ ư đự đào. Ta
ghi số 0 vào các ô 4 ; 6 ; 11 và 13
− Đạt không được phần thưởng. V y h nh ng ậ ộp thứ ất không đự đào, hộp thứ hai
không ng b t không đự ưởi, hộp thứ ba không đựng cam và hộp thứ ư đựng mận. Ta
ghi tiếp số 0 vào các ô 1 ; 7 ; 12 và 14
− Thanh cũng không được phần thưởng, c ng l n nh p s 0 ũ ập luậ ư trên rồi ta ghi tiế ố
vào các ô 2; 8 ; 9 và 15
Nhìn hàng thứ hai ta thấ ộy h p thứ nhất không đự đng ào, không đựng mận, c ng ũ
không y nó ng bđựng cam. Vậ đự ưởi. Ta đánh dấu X vào ô 3
Tương t ng d u ( ng ự ta được : hộp thứ hai đự ấ đánh dấu X vào ô 5), hộp thứ ba đự
mận ( u X vào ô 10) và h t đánh dẫ ộp thứ ư đựng cam (đánh dấu X vào ô 16)
Ví dụ 2.4 :
Giờ V n băn cô giáo trả bài kiểm tra. Bố ạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn
đề đạ đ ể ơ ỏ đ ủ ốu t i m 8 trở ờ lên. Gi ra ch i Phương h i iểm c a b n bạn. Tuấ ản tr lời:
Lan không đạt điểm 10, mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm
8
Hùng thì nói :
Mình không đạ đ đạ đ đề đạt iểm 10, Lan không t iểm 9 còn Tuấn và Quân u không t
điểm 8
B iạn hãy cho biết mỗi người đã đạt đ ểm mấy?
Giải: Ta lập bảng và ghi bảng theo lập luận dở ưới
Theo Tuấn ta ghi số 0 vào các o 3 ; 5 ; 8 và 10
Theo Hùng ta ghi số 0 vào các ô 2 ; 7 ; 9 và 12
Vì b n b n u m 10. ố ạ đề đạt điểm 8 trở lên, nên nhìn vào cột 2, ta kết luận Tuấn đạt điể
Tương t vự ới các cột 3 ; 4 và 5 ta kết lu n Hùng ậ đạt điểm 9, Lan đạt điểm 8 còn
Quân điểm 10
Ví dụ 2.5 :
Năm người thợ tên là Da, Điện, Hàn, Tiện và S khác nhau trùng ơn làm năm nghề
với tên của năm người đó, nh cưng không ai có tên trùng với nghề ủa mình. Bác thợ
da lấy em gái c i nghủ ủa bác Da. Tên c a bác thợ da trùng vớ ề c ủa anh vợ mình và vợ
bác chỉ có hai anh em. Bác Tiện khong làm th hàn. ợ s n mà l cơ ại là em rể ủa bác thợ
Bác thợ s ơn và bác Da là hai anh em cùng họ
Bạn hãy cho biết bác Da và bác Tiện làm nghề gì
Vì không ai làm nghề trùng với tên của mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1; 7 ; 13 ; 19
và 25
Bác Ti s ện không làm thợ ơn nên ta ghi số 0 vào ô 24. Mặt khác bác Tiện làm em rể
của bác thợ hàn nên bác Ti n không phệ ải là thợ hàn. Ta ghi số 0 vào ô 14. Nhìn cột
5 ta thấy bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ n điệ
Nếu bác Tiện là thợ da thì theo đề bài, bác Da là thợ tiện. Như v n vậy bác Tiệ ừa là
em rể c n vủa bác thợ tiệ ừa là em rể của bác thợ hàn, mà vợ bác Tiện chỉ có hai anh
em. Điều này vô lí.
Vậy bác Tiện là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 4 và dấu X vào ô 9
Bác Ti n. Ta ghi s ện là thợ điện nên bác Da không phải là thợ điệ ố 0 vào ô 6. Bác thợ
sơn và bác Da là hai anh em cùng họ nên bác Da không là thợ s n. Ta ghi sơ ố 0 vào ô
21
Theo lập luận phần trên thì bác Da không phải là thợ tiện. V y bác Da là thậ ợ hàn. Ta
đánh dấu X vào ô 11
2.2. Phương pháp suy luận n đơn giả
Suy luận n gi c nh . Dđơ ản là phép suy luận không dùng công cụ ủa lôgic mệ đề ưới
đ ộ ố ụây ta xét m t s ví d minh hoạ cho phương pháp giải này
Ví dụ 2.6 :
Một viên quan nước Lỗ đi sứ sang Tề, bị vua Tề xử phạt tội chết và bị hành quyết:
hoặc chém đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyế ảt nhà vua cho sứ gi được nói một
câu và giao hẹn n u, n . S gi mếu nói đúng thì chém đầ ếu nói sai thì treo cổ ứ ả ỉm cười
và nói một câu mà nhờ ó đ đã thoát chết
Bạn hãy cho biết câu nói đó c gi nhủa sử ả ư thế nào?
Phân tích : u ki n cĐiề ệ ủa nhà vua đặt ra là nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai
thì treo cổ. Vì nhà vua cho rằng m v s ột câu nói chỉ có thể đúng hoặc sai, như thế ị ứ
giả chắc chắn s b n kh n ng v s gi s ngh ẽ ị chết. Nhưng nhà vua không tính đế ả ă ị ứ ả ẽ ĩ
ra câu nói mà đem chém đầu thì sứ giả nói sai (cho nên sứ giả không bị chém đầu)
còn n ). Câu nói ếu giđem treo cổ thì sứ ả nói đúng (nên khong bị treo cổ đó là : “Tôi
sẽ bị treo cổ”
Giải : Câu nói của sứ ả gi là: “Tôi sẽ bị treo cổ”
N gi ếu nhà vua đem sứ ả đi chém đầ ứ ửu thì s giả ả nói sai. Mà nói sai thì ph i x treo
cổ chứ không thể chém đầu s gi ứ ả
N s gi giếu nhà vua đem treo cổ ứ ả thì sứ ả nói đúng. Mà nói đúng thì phải đem chém
đầ ứ ổu ch không thể treo c
Sứ gi không b u, không bả ị chém đầ ị treo cổ cho nên đã thoát chết
Ví dụ 2.7 :
Người ta đồ ộn rằng ở m t ngôi đề ọn n rất thiêng do ba vị th trần ngự ị: thần Thật Thà
(luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói
thật, khi nói dối). Các vị thần u ng đề ự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có
người thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của ba vị thần gi ng hố ệt nhau nên người ta
không biết vị thần nào để tin hay không tin
Một hôm, một học giả từ phương xa đến ngôi đền gặp các thần để xin lời thỉnh c u. ầ
Bước vào đền, h h n ngọc giả ỏi thầ ồi bên phải :
Ai ngồi cạnh ngài?
Đó là thần Dối Trá
Tiếp ó h n ngđ ỏi thầ ồi giữa
Ngài là thần gì?
Tôi là thần Khôn Ngoan
Cuối cùng ông ta quay sang h i bên trái ỏi thần ngồ
Ai ngồi cạnh ngài
Đó là thần Thật Thà
Nghe xong học gi c giả kh nh ẳng đị được mỗi vị là thần gì. Bạn hãy cho biết họ ả ó đ
đ ưã suy luận nh thế nào?
Phân tích
Ta nhận xét, cả ba câu hỏi của vị h u nhọc giả đề ằm xác đị ộnh m t thông tin là thần
ngồi giữa là thần gì? Kết quả nh n ậ được các câu trả lời như sau
Thần bên phải : Đó là thần Dối Trá
Thần giở ữa : Tôi là thần Khôn Ngoan
Thần bên trái : Đó là thần Thật Thà
Dựa vào các câu trả l hời, vị ọc giả trước hết đã suy luậ ần để xác định ai là th n Thật
Thà. Ti p theo dế ựa vào câu trả lời của v t Thà thì xác ị thần Thậ đị ứnh được vị thần th
hai, rồi thứ ba
Ngoài ra còn có thể gi n ải bằng cách khác: suy luậ để xác định ai là thần Dối Trá
(hoặc Khôn Ngoan) trước, sau đó xác định hai vị thần còn lại
Giải
Cách 1 : Ta nhận xét
Thần ng n ngồi bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói thầ ồi giữa là thần
Thật Thà
Th ng không phần ngồi giữa cũ ải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn
Ngoan.”
Vậy thần ngồi bên phải là thần Thật Thà. Theo câu trả lời của ngài thì ngồ ữi gi a là
thần Dối Trá. Cuối cùng, thần bên trái là thần Khôn Ngoan
Cách 2 : Ta nhận xét:
Nếu thần ng n Dồi bên trái là thầ ối Trá thì thầ ả ặn bên ph i là thần Thật Thà ho c Khôn
Ngoan. Nếu ngồi bên phải là thần Thật Thà thì ngồi giữa là thần Dố Đi Trá. iều ngài
vô lí, vì bên trái cũng là thần Dối Trá. Nên bên phải là thần Khôn Ngoan thì ngồi
giữa là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì ngài nói : “Tôi là thần Khôn Ngoan”
Vậy bên trái không phải là thần Dối Trá
N n Dếu bên phải là thầ ối Trá thì ngồ ữi gi a là thần Thậ ặt Thà ho c Khôn Ngoan.
Nhưng ngài không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”.
Nếu ngồi giữa là thần Khôn Ngoan thì bên trái là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì
ngài nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà”
Vậy bên phải cũng không phải là thần D n Dối Trá. Vậy, ta suy ra ngồi giữa là thầ ối
Trá. Như vậy bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Ngồi giữa là thần
Thật Thà”. Thế thì bên trái là thần Khôn Ngoan. Cuối cùng, bên phải là th n Thầ ật
Thà.
Cách 3: T ng tươ ự, ta có thể suy luận để xác định ai là thần Khôn Ngoan tr c. Sau ướ
đ địó xác nh hai vị thần còn lại
Ví dụ 2.8 :
ở một xã X có hai làng : dân làng A chuyên nói thật, còn dân làng B chuyên nói dối.
Dân hai làng thường qua lại thăm nhau. M v n ột chàng thanh niên nọ ề thăm bạ ở làng
A. Vừa bước vào xã X, ang ngđ ơ ngác chưa biết đây là làng nào, chàng thanh niên
gặp ngay một cô gái và anh ta hỏi người này một câu. Sau khi nghe trả lời chàng
thanh niên bèn quay ra (vì biết chắc mình đang ở làng B) và sang tìm bạn ở làng bên
cạnh.
Bạn hãy cho biết câu hỏi đó thế nào và câu trả lời đó ra sao mà chàng thanh niên lại
khẳng v y định chắc chắn như ậ
Phân tích: l kh ng nh Để nghe xong câu trả ời người thanh niên đó có thể ẳ đị được
mình ng trong làng A hay làng B thì anh ta phđang đứ ải nghĩ ra mộ ỏt câu h i sao cho
câu tr a cô gái chả lời củ ỉ ph ụ thuộc vào họ đang đứng trong làng nào mà không phụ
thuộc cô gái ấy là người làng nào. Cụ thể hơn : cầ đặn t câu hỏi để cô gái trả lời là
“phải”, n i”, nếu họ đang đứng trong làng A và “không phả ếu h ọ đang đứng trong
làng B
Giải: Câu h ó là : “Có phỏi của người thanh niên đ ải chị là người làng này không?”
Trường h ợp 1 : Họ đang đứng trong làng A : n i làng A thì câu trếu cô gái là ngườ ả
lời là :”Phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là “Phải” (vì dân làng
B chuyên nói dối)
Trường h ng trong làng B. N ợp 2 : Họ đang đứ ở ếu cô gái là người làng A thì câu trả
lời là: “Không phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là : “Không
phải”
Như ọ đ vậy, nếu h ang đứng trong làng A thì câu trả lời chỉ có thể là “Phải”, còn nếu
họ lđang đứng trong làng B thì câu trả ời chỉ có thể là “Không phải”
Người thanh niên quy nh quay ra, vì anh ết đị đã nghe câu trả lời là “Không phải”
Ví dụ 2.9 :
Một hôm anh Quang lấy quyển album ra giới thiệu với mọi ngườ ười. C ng chỉ vào
người đàn ông trong ảnh và hỏi anh Quang : “Người đàn ông này có quan hệ thế nào
với anh?” Anh Quang bèn trả lời : “Bà nội của chị gái vợ anh ấy là chị gái của bà nội
vợ tôi”
Bạn hãy cho biết anh Quang và ng v i nhau thười đàn ông ấy quan hệ ớ ế nào?
Giải : Bà nội c i c i của chị gái vợ anh ấy cũng chính là bà nộ ủa vợ anh ấy. Bà nộ ủa
vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ anh Quang. Vậy vợ anh anh Quang là hai ấy và vợ
chị em con dì con già. Suy ra anh Quang và người đàn ông ấy là hai anh em rể h ọ
Ví dụ 2.10 :
Trong giờ ngoại khóa, th i 6 em nam và 6 em n p ầy giáo gọ ữ ra sân và giao cho lớ
trưởng nhi t p h n n n ệm vụ ậ ợp các bạ đứng thành vòng tròn sao cho không có hai bạ ữ
nào đứng c n v n nạnh nhau và đối diệ ới một bạ ữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam.
Suy nghĩ m x p v n ột lát, lớp trưởng trả lời: “Thưa thầy, không thể ế được như ậy!”. Bạ
lớp phó học tập tiếp luôn: “Nhưng n u bế ớt đi một bạn nam và một bạn n hoữ ặc thêm
một bạn nam và một bạn nữ thì xế ầp được thưa th y!”
Bạn hãy cho biết hai bạn nói đúng hay sai, giải thích tại sao?
Giải : Ta chia n đường tròn thành 12 phầ đều nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm
chia theo thứ ự ừ đế t t 1 n 12
Để hai bạ ả ạn n không ữ đứng cạnh nhau thì ta ph i xếp các b n nữ đứ vào ng ở các
đ ốiểm ghi s lẻ ạ, các b n nam đứng ở các điểm ghi số chẵn (hoặc ngược lại)
Nhìn trên hình vẽ ta thấ đốy i diện với mộ ố ũt bạn mang s lẻ qua tâm đường tròn c ng
là m i diột bạn mang s lố ẻ và đố ện với mộ ốt bạn mang s chẵn qua tâm đường tròn là
một bạn mang s v y n v n nố chẵn. Như ậ đối diệ ới một bạ ữ qua tâm đường tròn là một
bạn nữ (chứ không thể là bạn nam)
Giả s bử ớt đi một bạn nam và mộ ữt bạn n
Ta chia vòng tròn thành 10 phần bằng nhau nh . Ta ư hình vẽ đánh số các điểm chia
theo thứ ự ừ đ t t 1 ên 10. Ta xếp các bạn nữ vào các điểm chia mang số lẻ và các bạn
nam vào các điểm chia mang s c ngố chẵn (hoặ ược lại). Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối
diện v n mang s lới một bạ ố ẻ trên đường tròn là một bạn mang số chẵn. Như đố vậy i
diện v n nới một bạ ữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam và không có hai bạn nữ nào
đứng cạnh nhau
Tương t ng h t nam và mự trườ ợp thêm mộ ột nữ
Vậy hai bạn đã nói đúng
Ví dụ 2.11 :
Một đoàn du khách trên đường đi thăm rừng Cúc Phương. Đến một ngã ba đường h ọ
đ ố đang không biế ẽt r l i nào thì nhìn thấy hai chú bé ang chăn trâu bên cạnh đường.
Họ u ý t u chuyên nói được nghe mọi người lư ừ trước rằng, trong hai cậu có một cậ
thật còn cậu thứ hai chuyên nói dối. Khi được hỏi, các cậu chỉ trả lời: “Đúng” hoặc
“Không”. Như ọng m i người không bi u nào nói thết cậ ật còn cậu nào nói dối.
a, Một người l i gạ ần và đặt hai câu hỏ ội cho m t trong hai cậu bé. Sau khi nghe trả lời
ông ta xác định ng được đường nào đi rừng Cúc Phươ
b, Lát sau, một cô gái khác chỉ hỏi mộ ột trong hai cậu bé m t câu. Sau khi nghe trả
lời cô cũng biết lối nào đi rừng Cúc Phương
Bạn hãy cho biết các câu hỏi đó thế nào?
Phân tích :
a, Để bằng hai câu hỏi cho một cậu bé người đó xác đị ố đ ừnh được l i nào i r ng Cúc
Phương thì người t đó dùng câu hỏi thứ nhấ để xác t hay nói định em đó là nói thậ
dối. Dựa vào đó dùng câu hỏi thứ hai để xác định lối nào đi rừng Cúc Phương
b, b ng m nh Để ằ ột câu hỏi cho một cậu bé, cô gái xác đị được lối nào đi rừng Cúc
Phương thì câu hỏivề một trong hai con đường có đi rừng Cúc Phương hay không và
câu trả l n ời nhậ được không phụ thuộc vào cậu bé đó nói thật hay nói dối
Giải :
a, Tr vào con trâu và hước hết người đó chỉ ỏi một trong hai cậu bé: “Đây là con trâu
có phải không?
Trường h lợp 1 : Cậu bé trả ời “Đúng” thì cậu nói thật. Khi đó du khách chỉ vào một
trong hai con đường và hỏi ti i lếp : “Có phả ối này đi rừng Cúc Phương hay không?”.
Nếu c l ó ng, n u c lậu bé trả ời là “Đúng” thì lối đ đi rừng Cúc Phươ ế ậu bé trả ời là
“Không” thì lối th i rứ hai đ ừng Cúc Phương
Trường h l ó ợp 2 : Cậu bé trả ời là “Không” thì cậu đó nói dối. Sau đ đặt tiếp câu hỏi
như trên. Trong trường hợp này, nếu c ng ậu bé trả lời là “Đúng” thì lối thứ hai đi rừ
Cúc Phương và ngược lại
b, Cô gái chỉ vào m ng và hột con đườ ỏi mộ ỏt trong hai cậ ếu bé: “N u tôi h i bạn cậu
lối này có đi rừng Cúc Phương không thì bạn cậu trả lời thế nào?”
Trường h ó ng. N u cợp 1 : Lối đ đi rừng Cúc Phươ ế ậu bé được hỏi là người nói thật
(cậu thứ hai là người nói dối) thì câu trả l u cời là “Không”. Nế ậu bé được hỏi là
người nói dối (cậu thứ hai là người nói thậ ũt) thì câu trả lời c ng là “Không”
Trường h ng. L ng h p 1 ợp 2 : Lối đó không đi rừng Cúc Phươ ập luận như trong trườ ợ
ta nhận lđược câu trả ời luôn là “Đúng” (cho dù cậu bé được hỏi là người nói thật
hay nói dối)
Qua phân tích trên đây ta thấy : nếu câu trả lời luôn là “Không” thì lối đó đi rừng
Cúc Phương. Ng ng Cúc ược lại, nếu câu trả lời là “Đúng” thì lối đó không đi rừ
Phương.
2.3. Phương pháp l n tình huựa chọ ống
Ví dụ 2.12:
Tổ Toán của một trường trung học phổ thông có năm người : thầy Hùng, thầy Quân,
cô Vân, cô H nh và cô Cúc. Kạ ỳ ngh ỉ hè cả tổ được hai phiếu đi nghỉ mát. Mọi người
đề đề ỗ đề ộu nhườ ưởng nhau, thầ ệy hi u tr ng nghị m i người xuất m t ý kiến. Kế ảt qu
như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi.
2. Thầy Hùng và cô Vân đi.
3. Thầy Quân và cô Hạnh đi
4. Cô Cúc và cô Hạnh đi
5. Thầy Hùng và cô H nh ạ đi
Cuối cùng thầy hiệu trưởng quy n ngh c ngh ó ết định chọ đề ị ủa cô Cúc, vì theo đề ị đ
thì mỗi đề ngh ị đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần
Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó?
Phân tích : n ngh u c n l Để chọ được đề ị thoả mãn yêu cầ ủa đề bài ta lầ ượt xét đề
nghị c n ng xủa từng người. S có hai khẽ ả ă ảy ra
Có mộ ố đề ạ ỏ ỏ đềt trong b n nghị còn l i bác b hoàn toàn. Trường hợp này ta loại b
nghị ó đ
Không có đề ố đề ạ ỏ nghị nào trong b n nghị còn l ibị bác b hoàn toàn. Trường hợp
này ta chọ đề đn nghị ó
Giải: Ta nhận xét
N n ngh t b ếu chọ đề ị thứ nhất thì đề nghị thứ ư ị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể
chọ đền nghị thứ nhất và thứ ư t
N n ngh nghếu chọ đề ị thứ hai thì đề ị thứ ỏ ba bị bác b hoàn toàn. Vậ ểy không th
chọ đền nghị thứ hai và thứ ba
N n ngh nếu chọ đề ị thứ ăm thì mỗ ố đềi đề nghị trong b n nghị còn lạ ải đều tho mãn
một phần và bác bỏ m n ột phầ
Vậy kì nghỉ hè năm đó th y Hùng và cô H nh ầ ạ đi nghỉ mát
Ví dụ 2.13 :
Sau gi t n bu n ờ ập luyệ ổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơ
của quán có tám món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào
măng và canh chua. Toàn đội thống nhất sẽ gọi ba món trong thực a đơn cho bữ ăn.
Nguyện v ng cọ ủa các cầu thủ chia ra thành năm nhóm như sau
Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán và chim quay
Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào và cá rán
Nhóm 3 : Bò xào, cá rán và c xào mố ăng
Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng và canh chua
Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào và canh chua
Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực a đơn củ đội trưởng n ó đã chọn, vì theo thực đơ đ
mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích
Hỏi toàn đội hôm đó n nhđã ă ững món gì?
Giải : Ta nhận xét
N n cếu chọn thực đơ ủa nhóm một thì cả nhóm hai và ba đều không có món nào mà
minh n cưa thích. Vậy không thể chọn thực đơ ủa ba nhóm đầu
N n cếu chọn thực đơ ủa nhóm bốn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa
thích. V chậy không thể ọn thực đơ ủn c a nhóm bốn
N n cếu chọn thực đơ ủa nhóm năm thì mỗ ối nhóm trong b n nhóm còn lại đều có ít
nhất một món mà mình ưa thích
Vậy bữa trưa hôm đó toàn đội đã chọ ự đơn th c n gồm ba món: gà luộc, bò xào và
canh chua
Ví dụ 2.14 :
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở n , ăm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ
Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở t lỉnh nào, các bạn trả ời như sau:
Anh : Tôi quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Ngh An ệ
Bình : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc ở Tiền Giang
Cúc : Tôi cũng quê c Ninh, còn Doan ở Bắ ở Hà Tây
Doan : Tôi quê ở Cần Thơ, còn Anh Hà Tây ở
Nếu không b lạn nào trả ời sai hoàn toàn thì quê của mỗi bạn ở tỉnh nào?
Phân tích
Trước h a là gì? ết ta cần hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩ
Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì
có nghĩa là quê của cả hai ngườiđó đều không ở hai tỉnh đó. Vậy câu trả lời không
sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai người hoặc cả hai người có quê ở đ hai tỉnh ó
Chẳng h lạn, câu trả ời của Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là: hoặc Anh quê ở
Bắc Ninh còn quê của Doan không ở Nghệ An hoặc quê của Anh không ở Bắc Ninh
còn Doan quê ở Ngh Ngh An ệ An hoặc Anh quê ở Bắc Ninh và Doan quê ở ệ
n l lĐể xác định quê quán của mỗi bạn, ta lầ ượt xét câu trả ời của mỗ ỗi người. M i
câu trả lời nói về quê quán của hai người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau
+ Quê của người thứ ấ nh t trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả
lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được
quê của người đó. Tiếp n ng đó ta xác định quê của bố ười còn lại. Nếu có một câu trả
lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả
lời không ở tỉnh ó. Vđ ậy quê của người thứ hai trong câu trả lời làđúng. Tiếp đó ta
tìm quê của bốn người còn lại
+ Quê c hai trong ủa người thứ ấ nh t trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ
câu trả l nh p ời là đúng. Ta xác đị được quê của người này. Tiế đó ta xác định quê của
bốn người còn lại
Giải : Giả s B u không Bử Anh quê ở ắc Ninh thế thì quê của Bình và Cúc đề ở ắc
Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiền Giang và theo Cúc thì Doan quê ở Hà Tây.
Vì Anh quê Hà Tây. Vở Bắc Ninh nên quê của Anh không ở ậy theo An thì An quê
ở ơ ở Cần Th . Cuối cùng còn Bình quê ở Nghệ ạ An (vì bốn b n kia quê bốn tỉnh còn
lại rồi)
Ví dụ 2.15 :
Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt nam, Singapor, Thái Lan và
Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạ ũn D ng, Quang, Tu oán nhấn d ự đ ư
sau:
Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba
Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan thứ ư t
Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì
Kết quả m n d ỗi bạ ự đoán đ ộ độ ộúng m t i và sai m t đội
Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
Giải :
Nếu Singapor đạt giải nhì thì Singapor không đạ ấ ất giải nh t. Vậy (theo Tu n) thì
Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lí vì có hai đội đều đạt giải nhì
N vếu Singapor không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Như ậy, Thái
Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì. Thế thì Inđônêxia không
đạ ả đạ ả ấ ố độ đ đạt gi i nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor t gi i nh t, cu i cùng còn i In ônêxia t
giải tư
Kết luận : Thứ t giự ải của các đội trong Cúp Tiger 98 là :
Nhất : Singapor Nhì : Việt Nam Ba : Thái Lan Tư: Inđônêxia
2.4. Phương pháp biểu đồ Ven
Trong khi gi i ta th ng cong kín ải m t sộ ố bài toán, ngườ ường dùng những đườ để mô
tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Nhờ sự mô tả này ta đi đến lời giải
một cách tường minh và thuận l ng g u ợi. Nhữ đường cong như thế ta sẽ ọi là Biể đồ
ven. Phương pháp gi ng pháp biải dùng biểu đồ Ven ta gọi là phươ ểu đồ Ven.
Ví dụ 2.16 :
Để ph quục vụ cho hội nghị ốc tế, Ban tổ ứ đ độ ộ ch c ã huy ng 30 cán b phiên dịch
tiếng Anh và 25 cán b phiên dộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán bộ ịch
được cả hai thứ ỏ tiếng Anh và Pháp. H i :
a) Ban tổ chức đã huy động t ất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ d dịch được tiếng Anh? Chỉ ịch được tiếng Pháp?
Giải : S l ố ượng cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị có thể
mô tả b u ởi biể đồ Ven ở hình 3.
Nhìn vào sơ đồ ta có :
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh là :
30 − 12 = 18 (người).
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là :
25 − 12 = 13 (người).
Số cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị là :
30 + 13 = 43 (người).
Trả lời : Ban tổ chức đã huy động t ó ất cả 43 cán bộ phiên dịch cho hội nghị, trong đ
có 18 người ch i chỉ dịch được tiếng Anh và 13 ngườ ỉ dịch được tiếng Pháp.
Ví dụ 2.17 :
Có bao nhiêu số có ba chữ ố s là số chẵn hoặc chia hết cho 3 ?
Giải : S các s n có ba ch số ố chẵ ữ ố là :
(998 − 100) : 2 + 1 = 450 (số).
Số các số có ba ch sữ ố chia hết cho 3 là :
(999 − 102) : 3 + 1 = 300 (số)
Dãy các số chia hết cho 3 có ba chữ ố s là :
102, 105, 108, 111, ..., 996, 999.
Trong dãy trên có một n t nửa là số ộ lẻ, m ửa là số chẵn. V có ba chậy có 150 số ữ s ố
chia hết cho 3 là số chẵn.
Bây gi Ven nhờ ta mô tả bài toán bằng biểu đồ ư hình 4.
Nhìn vào sơ đồ ta có:
Số các số chẵn có ba chữ số không chia hết cho 3 là:
450 − 150 = 300 (số).
Số các số có ba ch s n hoữ ố là số chẵ ặc chia hết cho 3 là:
300 + 300 = 600 (số).
Trả lời : Có tất cả 600 số là số chẵn hoặc chia hết cho 3.
Ví dụ 2.18 :
Lớp 9A có 30 em tham gia dạ h ng Trung, trong ó có 25 em nói ội tiếng Anh và tiế đ
đượ đượ được tiếng Anh và 18 em nói c tiế ạng Trung. Hỏi có bao nhiêu b n nói c cả
hai thứ tiếng ?
Giải : Các em học sinh lớp 9A tham gia dạ hội có thể b ng bi u được mô tả ằ ể đồ Ven
ở hình 5.
Số học sinh chỉ nói được tiếng Trung là :
30 − 25 = 5 (em).
Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là :
30 − 18 = 12 (em).
Số em nói được cả hai thứ tiếng là:
30 − (5 + 12) = 13 (em).
Trả lời: Có 13 em nói được cả tiếng Anh và tiếng Trung.
Ví dụ 2.19 :
Trong hội khoẻ Phù ng viên Đổng có 100 vận độ đăng kí dự thi. Mỗi vậ độn ng viên
được đă ự ộng kí d thi m t hoặc hai trong ba môn: ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua. Kết
quả có 30 vận u cđộng viên chỉ thi đấ ờ vua, 53 người đăng kí thi ném tạ và 45 người
đăng kí thi bơi.
Hỏi có bao nhiêu người đăng kí thi đấu cả hai môn: ném tạ và bơi lội?
Giải: Các vậ độn ng viên đăng kí thi đấu có th c mô tể đượ ả bởi hình 6.
Số v n ng kí thi ném t hoậ động viên đă ạ ặc bơi lội là:
100 − 30 = 70 (người)
Số v n ậ động viên đăng kí cả hai môn ném tạ và bơi lội là:
(45 + 53) − 70 = 28 (người).
Trả l n u cời: Có 28 vậ động viên đăng kí thi đấ ả hai môn ném tạ và bơi lội.
Ví dụ 2.20 :
Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗ đạ ử ụ ội i biể ểu có th s d ng m t trong
ba th i biứ tiếng : Nga, Anh, hoặc Pháp. Theo thống kê của Ban t c, có 60 ổ chứ đạ ểu
chỉ nói nói được một trong ba thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ được hai thứ tiếng Anh và
Pháp, 150 đại biểu nói ng Anh và tiđược cả tiế ếng Nga, 170 đại biểu nói được cả
tiếng Nga và tiếng Pháp.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
Giải : S ố đại biểu nói được cả hai thứ tiếng Nga và Pháp hoặc Nga và Anh là:
500 − (60 + 180) = 260 (người)
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là :
(170 + 150) − 260 = 60 (người).
Trả lời: Có 60 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng.
Ví dụ 2.21 :
Hai trăm học sinh trường phổ thông chuyên ng ng Nga, tiữ tham gia dạ hội tiế ếng
Trung và ti n chếng Anh. Có 60 bạ ỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga
và 90 b ng Nga và Trung. ạn nói được tiếng Trung và 20 bạn chỉ nói được hai thứ tiế
Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả ba thứ tiếng ?
Giải : S hố ọc sinh nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung là :
200 − 60 = 140 (bạn).
Số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Nga và Trung là :
(90 + 80) − 140 = 30 (bạn).
Số học sinh nói được cả ba thứ tiếng là :
30 − 20 = 10 (bạn).
Trả lời : Có 10 bạn nói được cả ba thứ tiếng.
Hoạt động
Sinh viên tự đọ c thông tin c nhà sau ơ b n ả ở đó thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các
hoạt động 2.1 đến 2.4 d p ưới đây. Trên lớ đại diện sinh viên sẽ trình bày minh hoạ
kết quả thực hiện d tưới sự ổ chức của giáo viên.
Hoạt động 2.1. Thực hành gi p bải toán bằng phương pháp lậ ảng
Nhiệm vụ
Nhiệm v m vụ 1: Trình bày khái niệ ề ph p b ng ương pháp lậ ả
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán suy luận b ng ph p b ng ằ ương pháp lậ ả
Đánh giá
1. Trong giờ ọ h c nữ công các bạn Cúc, ào, HĐ ồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng.
Bạn làm hoa hồng quay sang nói với Cúc : “Thế là trong ba chúng mình chẳng có ai
làm hoa trùng với tên của mình cả!”. Hỏi ai làm bông hoa nào?
2. Tại một trại hè thiếu nhi quốc tế có một nhóm gồm ba thiếu niên: một người Anh,
một người Pháp và một người Nga. Mỗi người trong số ba bạn này đang học một
trong ba ngoại ngữ: ti ng Anh, tiế ếng Pháp hoặc tiếng Nga. Biết rằng b ng ạn học tiế
Anh lớn h n ng n ơn bạ ười Pháp 1 tuổi. Hãy xác định mõi bạ đang học ngoại ngữ gì ?
3. Ba cô giáo dạy ti i ngếng Nga, Anh, Pháp được giao phụ trách đêm dạ hội ngoạ ữ.
Một cô nói với các em: “Ba cô dạy ba thứ tiếng trùng với tên của các cô, nhưng chỉ
có một cô có tên trùng với thứ tiếng mình dạy”. Cô dạy tiếng Pháp hưởng ứng : “Cô
nói đúng!”. Rồi chỉ vào cô vừa nói, tiếp l y ời: “Rất tiếc cô tên là Nga mà lại không dạ
tiếng Nga”.
Bạn hãy cho biết mỗi cô d y thạ ứ tiếng gì?
4. Các bạn Hùng, Lan, Phượng đến nhà Cúc chơi thấy trên bàn có bốn gói giấy màu
xanh, đỏ, tím, vàng bèn hỏi bạn: “Gói gì vậy?” Cúc trả lời : “Mình có bốn viên bi
xanh, đỏ, tím, vàng đựng trong bốn gói này. Đề ngh ị các bạn thử đoán xem mỗi viên
bi ở trong gói nào?”.
Hùng nhanh nhảu nói :
Theo mình thì bi xanh không ở trong gói đỏ, bi đỏ không ở trong gói tím, bi tím
không ở trong gói vàng còn bi vàng không ở trong gói xanh.
Lan lắc đầu:
Bi xanh không ở trong gói tím, bi đỏ không ở trong gói vàng, bi tím không ở trong
gói xanh còn bi vàng không ở trong gói đỏ.
Phượng chậm rãi nói :
Theo mình thì bi xanh không ở trong gói vàng, bi đỏ không ở trong gói xanh, bi tím
không ở trong gói đỏ còn bi vàng không ở trong gói tím.
Cúc gật đầu khen: “Cả ba bạn u úng cđoán đề đ ả!”.
Bạn hãy cho biết trong mỗi gói đựng viên bi màu gì ?
5. Giờ toán hôm nay thày giáo trả bài ki n Minh; Hùng, Thông, Thái ểm tra, bốn bạ
ngồi cùng bàn đều n bđạt điểm 6 trở lên. Giờ ra chơi Trung hỏi điểm của bố ạn. Minh
trả lời:
Mình và Hùng không đạt t điểm 6, Thông không đạ điểm 7 và Thái không đạ đt iểm
8.
Hùng thì nói :
Mình, Minh và Thông đề đạ đ đạ đ ểu không t iểm 8 còn Thái thì không t i m 7.
Thông tiếp lời :
Mình và Thái không đạ đ đạ đt iểm 9, còn Minh và Hùng lại không t iểm 7.
Cuối cùng, Thái khẳng định :
Mình và Thông không đạ đ đạ đt iểm 6 còn Minh và Hùng không t iểm 9.
B iạn hãy cho biết mỗi người đã đạt đ ểm mấy ?
6. Ba ngh Vàng, Bệ sĩ ạch, Hồ ủng r nhau đi quán uống cà phê. Ngồi trong quán,
người đội mũ trắng nhận xét: “Ba ta đội mũ ớ ủ có màu trùng v i tên c a chúng ta,
nhưng không ai có màu mũ trùng với tên của mình cả”. Ngh Vàng hệ sĩ ưởng ứng:
“Anh nói đúng”.
Bạn hãy cho biết mỗi nghệ s ĩ đội mũ màu gì?
7. Cô Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng h ng đi dự ội thi “Tiếng hát hoa phượ
đỏ đế đế ỏ ỗ ạ đề đạ ộ”. Về n trường các bạn n h i thă ảm, cô tr lời: “M i b n u t m t trong các
giải nhất, nhì, ba ho ngh ặc đặc biệt”. Cô đề ị các bạn thử đoán xem.
Hà đoán ngay:
Theo em thì Phượng ng giđạt gi i nhả ất, Hồ ải nhì còn Lan đạt giải ba.
Bích cho là:
Lan đạ ả ồ đạt gi i nhất, Phượng giải nhì còn H ng t giải ba.
Bạn Ngọc lại đoán:
H ng gi ng giồ ải nhất, Lan giải nhì còn Phượ ải ba.
Nghe xong cô Phương l n ắc đầu nói không bạn nào đạt giải như các em dự đoán. Bạ
hãy cho biết mỗi ng t giười đã đạ ải gì?
8. Điểm thi học kì môn tiếng Việt của ba bạn An, Bình, Huệ u đề đạt từ khá trở lên.
Khi hỏi điểm của ba bạn, Hà nhận lđược câu trả ời như sau:
1) Huệ không m 9. đạt điểm 7, An không đạt điểm 8 còn Bình không đạt điể
2) Bình và Huệ không m 9. đạt điểm 8 còn An không đạt điể
3) An và Bình không đạt t điểm 7 còn Huệ không đạ điểm 9.
B iạn hãy cho biết mỗi người đã đạt đ ểm mấy?
9. Ba thầy giáo V y ba môn văn, Sử, Hoá dạ ăn, sử, hoá, trong đó chỉ có một thầy có
tên trùng với môn mình dạy. H y dỏi m i thỗ ầ ạy môn gì, biết rằng thầy dạy môn hoá ít
tuổi hơn thầy Văn và thầ ửy S .
10. N s n, ăm người thợ ơn, hàn, tiệ điện và mộc tên là Sơn, Hàn, Tiện, Điện và Mộc,
nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Mỗi người mượn và cho nhau
mượn một cuốn sách. Bác Sơn mượn sách củ ủa bác thợ sơn. Nghề c a bác Sơn trùng
với tên của người có sách cho bác mượn. Bác thợ tiện không tên là Mộc nhưng lại
đ ố ủ ộang mượn cu n sách c a bác Hàn. Còn bác M c và bác thợ ơ s n là hai người cùng
phố.
Bạn hãy cho biết bác thợ tiện và thợ sơn tên là gì?
11. Giáo sư Thông nổi tiếng là thông minh nhưng lại hay đãng trí. Ông có một tủ
sách, trong a còn tđ ừ đó t iển x n giếp vào ngăn trên, sách xếp vào ngă ữ ạp chí xếp vào
ngăn d n ông c s ưới cùng. Một lầ ần tìm cuốn “Từ điển Anh − Việt”, cuốn sách “Cơ ở
lôgic toán” và tạp chí “Thế giới mới”. Sau một hồ đố ệ ộ đểi tìm kiếm ng tài li u bề b n
trên bàn làm việc, giáo sư đị khẳng nh rằng thư kí đã xếp cuố ừ đn t iển vào ngăn sách,
cuốn sách và tạp chí vào ngăn t kí thanh minh rạp chí. Cô thư ằng chắc chắn là giáo
sư đã bỏ cả ba tài liệu đó vào ngăn t ừ điển. Còn bà giáo sư lại cho là cuốn t n ừ điể
lẫn trong ngăn tđể ạp chí, cuốn sách và tạp chí thì xếp cả trong ngăn sách. Người
nào cũng cho rằng mình là đúng, thế là một cuộc to tiế ảng x y ra. Vừ đa lúc ó cô con
gái giáo sư bước vào phòng vừa cười v i sai cừa nói: “Mọi ngườ ả rồi”.
Nếu cô con gái nói đúng thì ba tài liệu trên lúc đó đang nằm ở đâu?
12. b nh c ng b n khóm hoa cúc, hu , h ng ở ốn góc vườn trồng cây cả ủa ông nội trồ ố ệ ồ
và dơn. Biết rằng hai góc vườn phía tây và phía bắc không tr , khóm huồng huệ ệ
trồ ững gi a khóm cúc và góc v n phía nam, còn khóm dườ ơn trồ ững gi a khóm hồng
và góc vườn phía bắc.
Bạn hãy cho biết mỗi góc vườn ông nội đã trồng hoa gì ?
13. Giáo sư Châu gửi cho mỗi đồng nghi p c b y nệ ủa mình (ở ả ước khác nhau) một
bức thư kèm theo một bài khảo luận viết bằng tiếng mẹ c đẻ ủa họ. Nhưng do cô thư
kí sơ ý nên đã dẫn n h u qu b y ng nghi n đế ậ ả: không một ai trong số ả đồ ệp nhậ được
bức thư và bài khảo luận mà giáo sư Châu định gửi cho mình, cũ ộng không m t ai
nhận n viđược thư và bài khảo luậ ết bằng cùng một thứ tiếng, Giáo sư người Nga là
chuyên gia về địa chất thì lại nhận vi o được bức thư ết bằng tiếng Ba Lan và bài khả
luận v ng ề sao Hoả mà lẽ ra phải gửi cho giáo sư ười Pháp. Trong khi đó giáo sư
người Pháp lại nhận b n vđược bức thư ằng tiếng Italia cùng bài khảo luậ ề vi sinh mà
lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Hà Lan. Giáo sư người Hà Lan nhận được bức thư
viết bằng tiếng Tây Ban Nha cùng bài khảo luận về môi trường đáng lẽ phải gửi cho
giáo sư Ba Lan. Giáo sư Ba Lan lại nhận n v được bài khảo luậ ề địa chất. Giáo sư
Italia là chuyên gia về chăn nuôi lại nhận bđược bức thư ằng tiếng Đức, còn giáo sư
người Đức là chuyên gia về h n bạt nhân lại nhậ được bức thư ằng tiếng Pháp.
Bạn hãy cho bi t các giáo sế ư ng n ười Đức, Italia và Tây Ban Nha đã nhậ được bài
khảo luận vi Tây Ban Nha n vi ng ết bằng tiếng gì? Giáo sư đã nhậ được bức thư ết bằ
tiếng gì?
14. Thày Vinh v n b ông c sinh gi ừa đưa bố ạn An, Cường, Bình và Đ đi thi họ ỏi về
trường, m n họi người đế ỏi thăm, thày tr t trong các giả l u ời : “Mỗi bạn đề đạt mộ ải:
đặ ệ ấ đềc bi t, nh t, nhì, ba hoặ ếc khuy n khích”. Thày nghị mọ ử đi người th oán xem.
Phan nhanh nhảu nói :
Theo em thì An, Bình giải nhì, còn Cường và Đông giả ếi khuy n khích.
Thanh lắc đầu :
Không phải, mà An, Cường, ông u giĐ đề ải nhất, chỉ có Bình giải ba.
Thịnh thì cho là chỉ có Bình giải nh t giất còn ba bạn u đề đạ ải ba. Toàn lại nhận định:
“Chỉ có Cường và Đông giải nhì còn An và Bình đạt giải khuyến khích”.
Nghe xong thày mỉm cười : “Các em đoán sai cả rồi”.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì?
15. Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, C nhường và Lân hẹn nhau sáng chủ ật
đế đ ủn nhà nhau chơi hoặc cùng nhau i chơi công viên. Lúc 9 giờ sáng ch nhật Tùng
gọi điện n. M Mđến gia đình ba bạ ẹ ạnh cho biết :
M nhà bác, còn Cạnh và Lân không có ở ường thì không ở nhà Lân.
Em gái Cường kh ng ẳ định :
Cả ba anh không có ở nhà em.
Bà Lân thì bảo:
Lân và M nhà Mạnh không có ở nhà bà, Cường không có ở ạnh.
Bạn hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu?
Hoạt động 2.2.
Thực hành giải toán bằng phương pháp suy luận n đơn giả
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp suy luận n gi n đơ ả
Đánh giá
1. Trước vành móng ngựa là ba người đàn ông, họ là người bản x hoứ ặc tên thực
dân. Quan toà được biết khi được hỏi, người bản xứ bao giờ cũng nói thật, còn tên
thự ũc dân bao giờ c ng nói dối, nhưng quan toà không biết trong bọ ọn h ai là người
bản x nh t : “Anh là ai?”. Nhứ, ai là thực dân. Quan toà hỏi người thứ ấ ưng anh ta nói
ngọng nên quan toà không hiểu câu trả lời. Quan toà bèn quay sang h ỏi ng i thườ ứ
hai, rồi người th i th i th i thứ ba : “Ngườ ứ nhất trả lờ ế nào?”. Ngườ ứ ờ hai trả l i : “Anh
ta nói anh ta là người b i thả ứn x ”. Còn ngườ ứ ba lại nói : “Anh ta nói anh ta là thực
dân”.
Bạn hãy cho biết người thứ hai và thứ ba là thực dân hay bản xứ? (Ta giả thiết rằng
ba ng u nhau nói gì). ười này khi nghe nhau nói họ hiể
2. Trên một hòn đả ọo n chỉ có hai bộ lạc sinh sống: Cabơnhắc chuyên nói thật và
Prasin chuyên nói dối. Một du khách đi chơi trên đả ộo gặp m t người dân bản xứ bèn
thuê làm người giúp việc. Đi được một quãng, trông thấy mộ đt người àn ông khác.
Du khách b o ngả ười giúp việc ra hỏi xem người đó thuộc dân tộc nào. Chàng giúp
việc đi về và trả lời : “Anh ta nói rằng anh ta là người Prasin”. Nghe xong du khách
kh uẳng a mình là không thđịnh người giúp việc củ ật thà bèn đ ổi đi mà không thuê
nữa.
Bạn hãy cho biết khẳng nh cđị ủa du khách là đúng hay sai? Tại sao?
3. Ba b n Quân, Hùng và Mạ ạnh v . ừa đạt giải nhất, nhì và ba trong kì thi toán quốc tế
Biết rằng:
a, Không có h c sinh trọ ường chuyên nào đạt giải cao hơn Quân.
b, N p h n m ó thì Quân không phếu Quân đạt giải thấ ơ ột bạn nào đ ải là học sinh
trường chuyên.
c, Chỉ có đúng một bạn không phải là học trường chuyên.
d, N nh ếu Hùng và Minh đạt giải nhì thì Mạ đạt giải cao hơ ởn bạn quê Hải Phòng.
Bạn hãy cho biết mỗi bạn n đã đạt giải nào? Bạn nào không học trường chuyên và bạ
nào quê ở Hải Phòng.
4. Thày Nghiêm được nhà trường c n h c sinh Lê, Huy, Hoàng, Ti n ử đưa bố ọ ế đi thi
đấ đ đạ ả ộu iề ế ản kinh. K t qu có ba em t các gi i nhất, nhì, ba và m t em không t giđạ ải.
Khi về trường mọi người hỏi kết quả, các em trả lời như sau:
Lê: Minh đạt giải nhì hoặc ba.
Huy: Mình đã đạt giải.
Hoàng: Mình đạt gi i nhả ất.
Tiến: Mình không đạt giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói : “Chỉ có ba bạn nói th t, còn mậ ột bạn đã
nói đùa”.
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?
5. Trong giờ ngoại khoá các bạn tham gia một trò chơi như sau: Mỗi bạn chọn 20
hoặc 22 quân cờ (trong đó có một số quân màu đỏ và mộ ốt s quân màu trắng). Sau
đ ỗ ố đó m i bạn xếp s quân cờ ó thành vòng tròn sao cho không có hai quân cùng màu
đứ đố đỏ ũ đỏng cạnh nhau và i diện với quân qua tâm đường tròn c ng là quân .
Ba bạn Lan, Tuấn và Dung vào cuộc chơi : Lan chọn 10 quân trắng và 10 quân đỏ;
Tuấn chọn 11 quân tr còn Dung thì chắng và 11 quân đỏ ọn 12 quân đỏ và 10 quân
trắng.
Bạn Minh đứng ở ngoài nhìn thấy thế bèn nói “Chỉ có Tuấn có thể xếp được còn
Lan và Dung đều không thể x p u c n giế được thoả mãn yêu cầ ủa cuộc chơi”. Bạ ải
thích tại sao?
6. N n n ăm vậ động viên Tuấn, Tú, Kỳ, Anh, Hợp ch y thi. Kạ ết quả không có hai bạ
nào v ng sau Hề n v đích cùng một lúc. Tuấ ề đích trước Tú như ợp. Còn Hợp và Kỳ
không v n về đích kề liền nhau. Anh không về đích kề liề ới Hợp, Tuấn và Kỳ.
Bạn hãy xác định thứ t n ự về đích của năm vậ động viên nói trên.
7. Một du khách muốn tham quan bằng ô tô bốn khu di tích lịch sử A, B, C, D trong
huyện n n dọ. Theo bả đồ chỉ ẫn thì giữa hai khu di tích bất kì đều có ng ô tô nđườ ối
liền nhau và nếu đi bằng con đường qua khu B không qua khu D thì hoặc qua cả hai
khu A, C hoặc không qua cả hai khu đó. Vì trong huyện có nhữ đ đng oạn đường ang
sửa chữa cho nên những con đường qua C, kể c nhả ững con đường qua D lúc đó u đề
không thể qua cả A và B.
Bạn xem có cách nào đi một vòng (có nghĩa là không đi đường nào hai lần) qua
đượ đườc cả bốn khu trên không. Nếu không thì nên chọn ng đi như thế nào để tham
quan được nhiều nhất?
8. Sau khi v quan ụ trộm xảy ra, cơ điều tra thẩm vấn n m nhân vă ật bị tình nghi là
can án và thu được các thông tin sau :
1) Nếu có mặt A thì có mặt hoặc B hoặc C. Ngoài ra chưa khẳng n định chắc chắ
được còn có mộ ữ ốt ai n a trong s nă ậm nhân v t nói trên.
2) D hoặc cùng có mặt với B và C hoặc cả ba đều không có mặt trên hiện trường lúc
xảy ra vụ án.
3) Nếu có mặt D mà không có m t B và C thì có mặ ặt E.
4) Qua xét nghi n có mệm vân tay thấy chắc chắ ặt A lúc xảy ra vụ án.
Với thông tin trên liệu có ai trong số n ng t ăm nhân vật này có thể chứ ỏ được trước
cơ quan điều tra rằng lúc vụ án xảy ra mình không có mặt ở ó? đ
9. Hoàng đế nước nọ mở cuộc thi tài để kén phò mã. Giai đoạn cuối của cuộc thi,
hoàng đế chọn được ba chàng trai đều thông minh. Nhà vua ang phân vân không đ
biết chọn ai thì công chúa đưa ra một sáng kiến: lấy 5 chiếc mũ, 3 chiếc màu đỏ và 2
chiếc màu vàng để ở trên bàn rồi giao hẹn : “Bây gi c u bờ ả ba chàng đề ịt mắt lại, tôi
độ đầ ỗ ộ ũ ũi lên u m i người m t chiếc m và hai m còn lạ ấ ăi tôi sẽ c t đ ỏi. Khi b b ng bịt
mắt ra, ai là người đầu tiên nói đúng mình đang đội mũ gì thì sẽ được kén làm phò
mã”.
Vừa bỏ b ng b t, ba chàng trai im lă ịt mắ ặng quan sát lẫn nhau, lát sau hoàng tử nước
Bỉ nói to lên rằng : “Tôi đội mũ màu đỏ”. Thế là chàng được công chúa kén làm
chồng. Bạn hãy cho biết hoàng tử nước Bỉ n nhđã suy luậ ư thế nào?
10. L b n H nh, ớp 12A cử ạ ạ Đức, Vinh đi thi học sinh giỏi sáu môn Văn, Toán, Lý,
Hoá, Sinh v c p Thành ph n dật và Ngoại ngữ ấ ố, mỗi bạ ự thi hai môn. Nhà trường cho
biết về các em như sau:
(1) Hai bạn thi Văn và Sinh vật là người cùng phố.
(2) Hạnh là học sinh trẻ nhất trong đội tuyển.
(3) Bạn n d ng hĐức, bạ ự thi môn Lý và bạn thi Sinh vật thườ ọc nhóm với nhau.
(4) Bạn dự thi môn Lý nhiều tuổi hơn bạn thi môn Toán.
(5) Bạn thi Ngoại ngữ, bạn thi Toán và Hạnh thường đạt kết quả cao trong các vòng
thi tuyển.
Bạn hãy xác định m ỗi học sinh đã được cử đi dự ữ thi nh ng môn gì?
11. m ng n b n ng ng qu ở ột doanh nghiệp nọ ười ta cần chọ ố ười vào Hội đồ ản trị
(HĐQT) với các chức vụ: chủ ủ ủ ỹ tịch, phó ch tịch, kế toán và th qu . Sáu người được
đề ử ự ọ ứ ụ ử c l a ch n vào các ch c v trên là : Đốc, S u, Hùng, Vinh, Mạnh và Đức.
Khi tìm hiểu, các ng sau : đề ử ữ c viên có nh ng nguyện vọ
(1) Đốc không muốn vào H u anh cĐQT nếu không có Sửu. Nhưng dù có Sử ũng
không muốn làm phó chủ tịch.
(2) Sử ốu không mu n nhận ch c phó chứ ủ tịch và thư kí.
(3) Hùng không muốn công tác với Sửu, n u ế Đức không tham gia.
(4) N c thì Mếu trong HĐQT có Vinh hoặc Đứ ạnh kiên quyết không tham gia
HĐQT.
(5) Vinh c i, nũng từ chố ế Đu H QT có mặt cả Đốc và Đức.
(6) Chỉ có ch vĐức đồng ý làm chủ tị ới điều kiện Hùng không làm phó chủ tịch.
Người ta phải chọ ữn nh ng ai trong số sáu đề ử c viên thođể ả mãn nguyện vọng riêng
của các đề cử viên.
12. Buổi chiều ch o chủ nhật hai mẹ con đi dạ ơi trong công viên. Nhìn thấy người
quen, m i Lan: “Con xem kìa, trẹ nói vớ ước mặt chúng ta là hai người bố và hai
người con cùng đi dạo công viên”. Lan đếm thì ch thỉ ấy có ba người. Bạn hãy giải
thích vì sao?
13. Một hôm cô Thu đến nhà cô Kim chơi. Cô Thu chỉ vào một người trong ảnh và
hỏi : “Người đàn ông này là ai vậy?”. Cô Kim trả l ời: “Em trai của bố ông ấy là bố
của em trai tôi”. Bạn hãy cho biết người trong ảnh có quan hệ thế nào với cô Kim?
14. Hôm đến nhà cô Yến chơi, lúc xem ảnh của gia đình, Nguyệt chỉ vào một người
phụ n n n ữ trong ảnh và hỏi : “Người phụ ữ này có quan hệ thế nào với chị?”. Cô Yế
trả lời: “Ông nội của em chồng cô ấy là em của ông nội chồng tôi”. Bạn hãy cho biết
người phụ n ữ ấy có quan hệ thế nào với cô Yến.
15. Bà A đi cùng một c i cụ già đến gặp ông B. Ông B hỏi bà A: “Bà vớ ụ già này có
quan hệ v ới nhau thế nào?”. Bà A trả lời : “Mẹ chồng tôi có hai chị em mà em vợ
ông ấy là cậu chồng tôi”.
Bạn hãy cho biết bà A và cụ già ấy có quan hệ thế nào với nhau?
16. Trong một buổi sinh hoạt nhóm yêu Toán, ba bạn Thái, Thúy, Bình được phân
công đóng ba vai: vai đội mũ đỏ luôn nói thật, vai đội mũ xanh luôn nói dối còn vai
độ ũ đi m vàng thì hay nói ùa (lúc nói thật, lúc nói dố đi). Bạ ến Hoài không bi t ai óng
vai gì bèn đến h n r ỏi từng bạ ằng: “Bạn Thúy sẽ đội mũ gì?”.
Thái trả l ời: “Thuý đội mũ đỏ”.
Bình lại nói: “Thúy đội mũ xanh”.
Còn Thuý thì kh vàng”. ẳng định: “Tôi sẽ đội mũ
Hỏi bạn Hoài đã suy luận thế nào để biết ai đội mũ gì ?
17. M ng qu nột công chúa của vươ ốc nọ ổi tiếng là thông minh. Khi kén chồng nàng
ra điều kiện: Trong thời gian ba ngày, ai ra được câu hỏi mà nàng không trả lời được
thì công chúa sẽ kén làm chồng. Nhiều chàng trai đến thử tài và đều chịu thua trước
sự hi u biể ết uyên bác của công chúa. Cuối ngày thứ ba, một nhà toán học trẻ tuổi
đế ử đặ ỏn xin th tài. Chàng t câu h i cho công chúa:
Xin công chúa hãy cho biết tôi phả ỏ ời h i câu gì để công chúa không trả l i được ?
Hãy xem xét với câu hỏi này nhà toán học có được kết duyên cùng công chúa hay
không ?
18. mở ột xã kia có hai làng: làng Thực và làng Trạng. Dân làng Thực luôn nói thật
còn dân làng Trạng thì luôn nói dối. Một hôm nhà toán học đi vào một làng trong xã
đ ư ọ ỏ ộ đó, nh ng không rõ là làng nào. Nhà toán h c bèn h i m t người dân trong xã ó
(mà không biết ng i người đó là dân làng nào) : “Bác có phả ười làng này không ạ?”.
Hãy xét xem nhà toán học đang ở trong làng nào, n u câu trế ả lời là :
a) Phải !
b) Không !
Hãy xét trường h p tợ ương tự khi nhà toán học đặt câu hỏi: “Bác có phải người làng
khác đến làng này chơi không ạ?”.
19. Nhân ngày r n mằm Trung Thu, bà chia cho ba cháu Dương, Kiên, Hiề ỗi cháu
một thứ đồ chơi mà mình thích: đèn ông sao, bóng bay và trống ếch. Dương không
thích chơi trống, Kiên không nhận bóng bay còn Hiền thì không thích ch èn và ơi đ
trống.
Hỏi mỗi cháu đã được bà cho món quà gì.
20. Trong kì thi học sinh giỏi, bố ạn b n Giang, Dương, Linh, Thúy đạt bốn giải:
Nhất, nhì, ba và khuyến khích. Biết rằng :
a) Linh không đạt giải nhất mà cũ đạng không t giải khuyến khích.
b) Dương đạt giải nhì còn Giang không đạt giải khuyến khích. Hỏi các bạn Giang,
Linh, Thuý đã đạt giải gì?
21. Trong cuộc chạy thi ngày hội khỏe Phù Đổng, b n b ng, D ng ố ạn An, Bình, Cườ ũ
đạ ố ả ư ỏ ạ đ đạt b n gi i nhất, nhì, ba và t . Khi được h i “B n ã t giải mấ ạ ảy?” thì bốn b n tr
lời như sau :
An : “Tôi giải nhì, còn Bình giải nhất”.
Bình : “Tôi cũng giải nhì còn Dũng giải ba”.
Cường : “Tôi mới là người đạt giải nhì, còn Dũng giải tư”.
Dũng : “Ba bạn lđều thích nói đùa nhưng trong mỗi câu trả ời đều có một phần úng đ
còn một phần sai”.
Nếu D n ũng là người nói thật thì mỗi bạ đã đạt gi i mả ấy?
22. Ba bạn Dương, Nhung, Linh mặc ba chiếc áo màu trắng, xanh, tím và ba chiếc
quần cũng màu trắng, xanh, tím. Biết rằng chỉ có Dương mặc quần áo cùng màu,
còn áo và quần c a Nhung ủ đều không màu trắng, Linh mặc qu n màu xanh. ầ
Hãy xác định màu áo và màu quần của mỗi bạn.
23. Nhân ngày 20−11, ba cô Châu, Loan, Thúy là giáo viên của ba trường Đoàn Kết,
Nguyễn Trãi và Th ng Long dă ạy thao giảng ba môn Toán, Tiếng Việt và Mỹ thuật.
Biết rằng :
a) Cô Châu không ph ng ải giáo viên trườ Đoàn Kết, cô Thủy không phải giáo viên
trường Nguyễn Trãi.
b) Cô giáo trường y môn MĐoàn Kết không dạ ỹ thuật.
c) Cô giáo trường Nguyễn Trãi dạy Toán.
d) Cô Loan dạy Tiếng Việt.
Hỏi mỗi cô là giáo viên của trường nào và dạy môn gì?
24. Trong đại hộ ồ ủi cháu ngoan Bác H c a tỉnh Thái Nguyên, bốn bạn Phương,
Dung, Hiếu, Nhung quê ở b n huy ố ện khác nhau. Khi hỏi : “Các bạn quê ở đâu?” thì
bạn Cúc nhận lđược câu trả ời như sau :
Phương : “Dung quê ở Phổ Yên, còn tôi ở Đồng Hỷ”.
Dung : “Tôi quê ở ng H Yên”. Đồ ỷ, còn Hiếu quê ở Phổ
Hiếu : “Tôi quê ở Đại Từ còn Nhung ở Võ Nhai”.
Xưa nay Nhung vốn là người thật thà không thích nói đùa đã nói với Cúc: “Trong
câu trả lời của mỗ ộ đi bạn chỉ có m t phần úng và một phần sai”.
Hỏi mỗi bạn quê ở huyện nào?
25. Trong một trận thi đấu điền kinh, các vận 1, 2, 3, 4 động viên mang áo số đạt
được bố đầ ư độ đạ ố ủn giải u tiên, nh ng không vận ng viên nào t giải trúng với s áo c a
mình c ng v n 3 không n ả. Biết rằ ậ động viên mang áo số đạt giải nhất, vậ động viên
đạ ả ư ố ả ủ đột gi i t có s áo trùng với gi i c a vận ng viên mang áo số độ 2 mà vận ng viên
mang áo số 2 thì không đạt giải ba.
Hỏi mỗi người đã đạt giải mấy?
26. Trong buổi sinh hoạt Đội, anh phụ trách gọi bốn b n b n nạn nam và bố ạ ữ ra sân
chơi và giao cho ng t p h n đội trưở ậ ợp các bạ đứng thành vòng tròn sao cho không có
hai bạn n ng c n v n nữ nào đứ ạnh nhau và đối diệ ới một bạ ữ qua tâm đường tròn phải
là một bạn nam. Suy nghĩ mộ độ ưt lát, i trưởng trả lời : “Th a anh, không thể xếp
được như độ ư vậy”. Bạn i phó tiếp luôn: “Nh ng nếu thêm một bạ ạn nam và một b n
nữ thì xếp được, thưa anh”.
Bạn nào đã nói đúng? Giải thích tại sao?
Hoạt động 2.3:
Thực hành giải toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống
Đánh giá
1. Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi chạ đạy t ba giải nhất, nhì và ba. Sau khi nghe các
bạn đoán:
Tùng đạt giải ba
Trang không đạ ảt gi i ba.
Linh không đạ ảt gi i nhì.
Tùng bèn trả lời: “Chỉ có một người đ đoán úng”.
Bạn hãy xác định m n y? ỗi bạ đã đạt giải mấ
2. L n n ớp 6A có năm bạ đạt học sinh giỏi xuất sắc nhưng chỉ được cử hai bạ đi dự
Đại hộ ồ ỏi cháu ngoan Bác H . Khi cô giáo h i ý kiến thì các bạ đền u nhường nhau. Cô
đề ỗ ệ nghị m i em giới thi u hai trong số ọ ỏ đ ự đạ nă ạm b n h c sinh gi i xuấ ắt s c để i d i
hội. Kết quả các bạn gi u nhới thiệ ư sau:
1. B n Thông và bạ ạn Minh.
2. Bạn Thái và bạn Tú.
3. B n Hạn Thái và bạ ọc.
4. B n Thông và bạ ạn Tú.
5. B n Thông và bạ ạn Thái.
Cô quyết i i định chọn ngh c ó, mđề ị ủa Tú, vì theo đề nghị đ ỗ đề ngh c n ngị ủa bố ườ
còn lại đều được thoả mãn một phần và bị bác bỏ một phần.
Bạn hãy cho biết bạn nào đã được chọn đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ?
3. B n b n ố ạn Lan, Hà, Đức, Vă được nhà trường cử đi dự thi bốn môn: bóng bàn, đá
cầu, cờ vua và nhảy cao tại Hội khoẻ Phù Đổng. Khi được hỏi mỗi bạn thi đấu môn
gì, các bạn trả lời như sau:
Lan : Mình thi đá cầu ho u cặc đấ ờ vua.
Hà : Mình không thi nhảy cao.
Đức : Mình thi đấu bóng bàn.
Văn : Mình thi nhảy cao.
Nếu chỉ có ba bạn trả lời đúng, còn một bạn lđã trả ời sai thì hai bạn Hà và Vân đã
tham gia thi môn gì ?
4. m i Viở ột trại hè thiếu nhi quốc tế có ba bạn : một ngườ ệt, một người Lào và một
người Thái đang đứng c bi n ạnh nhau bên bờ ển. Các bạ đội mũ ba màu khác nhau và
mặc áo ba màu cũng khác nhau. Cho biết :
(1) Bạn người Lào đội mũ màu đỏ.
(2) Bạn ng ng. ười Thái mặc áo màu trắ
(3) Bạn ng i Vi n. ườ ệt đứng giữa hai bạ
(4) Bạn ng i Vi nh b n ườ ệt đứng cạ ạ đội mũ xanh.
(5) Bạn m ng không ng c nh b n ặc áo hồ đứ ạ ạ đội mũ vàng.
Hỏi bạn m ng ngặc áo hồ ườ ướ ườ ưới n c nào? Bạn đội mũ vàng là ng i n c nào ?
5. Ba người mang quốc tịch Anh, Pháp và Đức ở ba nhà liền nhau trên một đường
phố. Mỗi nhà sơn màu khác nhau và mỗi người làm nghề khác nhau. Cho biết :
(1) Người Pháp ở nhà màu . đỏ
(2) Người Đức là nhạc sĩ.
(3) Nhà người Anh ở giữa.
(4) Nhà màu đỏ ở cạnh nhà màu xanh.
(5) Nhà v nhà thăn ở ứ nhất bên trái.
Hỏi nhà văn có quốc tịch gì? Ai ở nhà màu vàng ?
6. Cup Euro 96 có 4 ng hoà Séc, Anh và Pháp. đội lọt vào vòng bán kết : Đức, Cộ
Trước khi thi đấu ba b oán nhạn Hùng, Trung và Mạnh d ự đ ư sau:
Hùng : Đức nhất và Pháp nhì.
Trung : Đức nhì và Anh thứ ba.
Mạnh : Cộng hoà Séc nhì và Anh thứ t . ư
Kết quả m n d ỗi bạ ự đoán mộ độ đ ột i úng, m t độ ỏ ỗ độ đi sai. H i m i i ã đạt giải mấy ?
7. Nhà trường cử sáu b vua. Các ạn : Hùng, Hà, Lê, Lan, Huy và Văn u cđi thi đấ ờ
bạn trong trường có những d ự đoán sau :
1. Hùng và Lê s ẽ đạt giải.
2. Hà và Huy sẽ đạt giải.
3. Vân và Hùng sẽ đạt giải.
4. Hà và Vân sẽ đạt giải.
5. Lan và Hùng s ẽ đạt giải.
Kết quả chỉ có hai người đạt giải và trong năm dự đoán trên chỉ có một dự đoán sai
hoàn toàn, bố ự đn d oán còn lại chỉ đúng một bạn. Vậy ai đ ảã đạt gi i.
8. Ba b n Trãi, Kim Liên và ạn H ng, Hươ ạnh, Hà là học sinh của ba trường : Nguyễ
Hoàn Kiếm được chọn vào đội tuyển của Thành phố p quđi dự thi học sinh giỏi cấ ốc
gia. Mỗi bạn dự thi một trong ba môn: Văn, Toán ho c Anh vặ ăn. Cho biết :
1. Hà không thi Toán.
2. H n. ương không thi Anh vă
3. B c sinh trạn thi Anh văn là họ ường Nguyễn Trãi.
4. B n hạ ọc sinh trường Kim Liên không thi Toán.
5. H c sinh trương không phải họ ường Hoàn Kiếm.
Hãy xác định mỗi bạn là học sinh trường nào và dự thi môn gì?
9. Ngày chủ nhật, trường PTCS Hùng Vương tổ chức cho học sinh khối 9 đi tham
quan tám danh thắng n ng c ổi tiế ủa thủ đô Hà Nội : Lă ăng Bác, V n Miếu, Vườn thú
Thủ Lệ, công viên Lê nin, Hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột, cầu Thăng Long và b o ả
tàng Lịch sử. Như đng do iều kiện thời gian nên Ban tổ chức quyết định chỉ đi tham
quan bốn trong s t nguyố tám địa danh đó. Khi được hỏi ý ki n, các lế ớp đề đạ ện v ng ọ
như sau:
9A : Th ng Bác, V n thú Thăm Lă ăn Miếu, vườ ủ Lệ và công viên Lênin.
9B : Th ng Bác, hăm Lă ồ Hoàn Kiếm, chùa M ng Long. ột Cột và cầu Thă
9C : Thăm Văn Mi ch sếu, hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột và bảo tàng Lị ử.
9D : Th ng Bác, v n thú Thăm Lă ườ ủ ồ Lệ, h Hoàn Kiếm và Bảo tàng lịch sử.
Hỏi phải chọn nguy n v ng c mãn nguy n ệ ọ ủa lớp nào để ba lớp còn lại được thoả ệ
vọng nhiều nhất.
10. Gia đình Nam có năm người: ông nội, bố ỏ, mẹ, Nam và em Hùng. Khi h i chiều
chủ nhật tuần trước gia đình Nam có những ai xem TV, Nam trả lời:
1. B cố và mẹ bao giờ ũng cùng ngồi xem TV.
2. Hôm đó mẹ và Nam không cùng ngồi xem.
3. Ông không xem khi không có Nam cùng xem.
4. Chiều hôm đó ông và Hùng chỉ có một người không xem TV.
5. Khi Hùng xem thì cả bố và Nam cùng xem.
Với thông tin trên, bạn hãy cho biết chiều chủ nhật trước trong gia đình Nam có
những ai xem TV?
11. Ba cặp v tợ chồng trẻ ổ chức bữa cơm thân mật, mọi người nói chuyện vui vẻ:
Anh ánh : Trong chúng ta, chồ đềng u hơn vợ 5 tuổi.
Cô Loan : Nhưng em là người trẻ nhất trong hội.
Anh Toàn : Tuổi tôi và cô Nga cộng lại là 52
Anh Minh : Tuổi c i bủa sáu chúng ta cộng lạ ằng 151.
Cô Nga : Tuổi tôi và chú Minh cộng lại là 48.
Cô Thu : Th ng biế thì người chẳng quen biết gì chúng ta nghe vậy cũ ết được ai là
vợ, là chồng của ai mà biết tuổi của mỗi người rồi.
Bạn hãy chứng t nh úng. ỏ ận xét của cô Thu là đ
Hoạt động 2.4.
Thực hành giải toán bằng phương pháp biểu đồ Ven
Nhiệm vụ
Nhiệm v m vụ 1: Trình bày khái niệ ề ph u ương pháp biể đồ Ven
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp biểu đồ Ven
Đánh giá
1. H n Y n c t bao nhiêu chi mỏi bạ ế ần ít nhấ ếc quần và bao nhiêu chiếc áo để ỗi ngày
trong tu n tr t kiần b ạn có thể đế ường với mộ ểu trang phục khác nhau ?
2. ó Đội tuy n thi ể đá cầu và thi đấu cờ vua của trường Ngô Sĩ Liên có 15 em, trong đ
có 12 em đá cầu và 8 em đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em thi cả hai môn ?
3. L n n, 15 b n ớp 6A có 18 bạ đăng kí học ngoại khoá môn Vă ạ đăng kí học ngoại
khoá môn Toán, trong đó có 5 bạn đăng kí học cả hai môn Văn và Toán. Hỏi :
a) Có bao nhiêu b ng kí h ng kí hạn chỉ đă ọc Văn ? Chỉ đă ọc Toán ?
b) Có bao nhiêu bạn n hođăng kí học Vă ặc Toán ?
4. Trong một kì thi, các thí sinh được đánh số báo danh từ 1 n 1000. Hđế ỏi có bao
nhiêu thí sinh mang số báo danh là số lẻ hoặc chia hết cho 9 ?
5. B n An ra Hà N ph nh sạ ội thăm nhà người quen ở ố X. Bạn chỉ ớ ố nhà của người
quen là m t cho 3 nhột số lẻ có hai chữ ố s chia hế ưng không nhớ là số nào. Bạn bèn
đ ỏ ừ ố ố ữ ố ế ố ố ủi h i t ng s nhà là s lẻ có hai ch s chia h t cho 3. Nếu s nhà cu i cùng c a
dãy lẻ ph u nhở ố đó là 121 thì bạn An phải gõ cửa nhiề ất bao nhiêu nhà để tìm được
nhà người quen ?
6. Trong các u n d t i Bình Nhđại biể đế ự Festival thanh niên quốc tế ạ ưỡng có một
đ đ ổ ứ ư đế ổoàn cầ ến phiên dịch ti ng Hà Lan mà trước ó Ban t ch c ch a tính n. Ban t
chức gọi điện sang trung tâm giới thiệu phiên dị ư ếch thì cô th kí cho bi t mọi người
đề đ ồ ự ộ ồu i vắng, chỉ mình cô ng i tr c ở cơ quan. Sau m t h i tìm kiếm cô lấy được bản
danh sách 20 ng i có th ườ ể phiên dịch được tiếng Pháp hoặc tiếng Hà Lan, trong số
đ ỉ ộ ứó có 8 người dịch được tiếng Pháp, 15 người ch dịch được m t trong hai th tiếng
nói trên.
Bạn hãy tính giúp cô thư kí : Có bao nhiêu người dịch được tiếng Hà Lan.
7. Đội tuy n thi hể ọc sinh giỏi của tỉnh X có 25 em thi Văn và 27 em thi Toán, trong
đ ừ ừ ỏ độó có 18 em v a thi Văn v a thi Toán. H i i tuyển h c sinh giọ ỏi hai môn Văn và
Toán của tỉnh X có bao nhiêu em?
8. ph quĐể ục vụ cho một hội nghị ốc tế, Ban tổ chức đã huy động 100 phiên dịch.
Mỗi phiên dịch có thể dịch được một hoặc hai trong ba thứ ế ti ng Nga, Anh hoặc
Pháp. Có 39 người ch c ti c tiỉ dịch đượ ếng Anh, 35 người dịch đượ ếng Pháp, 8 người
dịch được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu người chỉ d ng ịch được tiế
Nga ?
9. Trên một hội thảo quốc tế có 30 đại bi i biểu nói được tiếng Trung, 40 đạ ểu nói
đượ được tiế ểng Pháp và 45 đại bi u nói c tiếng Anh. Trong đ đạó có 20 i biểu nói
đượ được cả ế ế ể ti ng Pháp và ti ng Anh, 16 đại bi u nói c tiếng Trung và tiếng Pháp, 12
đạ ế đạ ứi biể ếu nói được ti ng Trung và ti ng Anh và 5 i biể ảu nói được c ba th tiếng.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu ch nói ỉ được một thứ tiế ảng ? Có tất c bao nhiêu đại biểu
tham dự ộ h i nghị ?
10. Trong một kì thi vào một tr i hường đạ ọc có 5000 thí sinh đă ựng kí d thi vào ba
ngành I, II, III. Mỗi thí sinh được đăng kí một hoặc hai trong số ba ngành đó. Có
1300 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành I, 1400 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành II và
100 thí sinh ng kí dđă ự thi ngành I và III. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ dự thi ngành
III ?
11. Theo danh sách đăng kí phụ đạ o ba môn Văn, Toán, Ngoại ngữ ủ c a học sinh
khối 9: Có 40 em đăng kí phụ o V o Toán, trong đạ ăn, 50 em đăng kí phụ đạ đó có 15
em đăng kí phụ o cđạ ả hai môn Vă ản và Toán, trong đó có 15 em đăng kí phụ o cđạ
hai môn Văn và Toán, có 35 em chỉ đă ụ đạ ữ ỏng kí ph o môn Ngoại ng . H i có bao
nhiêu em đăng kí phụ đạ o ?
12. 40 em học sinh của trường X dự thi ba môn: ném tạ, chạy và đá cầu. Trong đội
có 8 em chỉ thi ném tạ, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa
thi chạy vừa thi đá cầu?
13. B ng t r u l y t ng s s sạn hãy chứ ỏ ằng nế ấ ổ ố các nghị ĩ trừ đi các nghị ĩ không phải
là binh sĩ ta t quđược kế ả gi ng nh l y t ng s ố ư ấ ổ ố binh sĩ trừ đi binh sĩ không phải là
nghị s . ĩ
14. H v . M u s d ng ội thảo quốc tế ề tin học có e đại biểu tham dự ỗi đại biể ử ụ được ít
nhất một trong ba thứ tiếng Nga, Anh hoặc Pháp nhưng không ai sử d ng ụ được cả
tiếng Anh và tiếng Pháp. Có a đại bi i biểu nói được tiếng Anh, b đạ ểu nói được tiếng
Pháp và c đại bi i bi t trong ba thểu nói ng Nga, d được tiế đạ ểu chỉ nói được mộ ứ
tiếng nói trên.
Cho biết a + b = c + d.
Bạn hãy cho biết có bao nhiêu đại biểu ch nói ỉ được tiếng Nga và bao nhiêu đại biểu
cần phiên dịch khi nghe các báo cáo bằng tiếng Nga ?
15. Trong một nhà máy thực phẩm xuất khẩu, h ng s s n đồ ộp chiếm hai phần ba tổ ố ả
phẩm xuất khẩu. Khi kiểm tra chất lượng s n phả ẩm người ta phát hiện hai phần ba
số s n phả ẩm trong kho không đạt tiêu chuẩn vệ sinh. Với số liệu trên đây bạn có thể
khẳng nh u nh h p không đị được ít nhất và nhiề ất bao nhiêu phần trăm số đồ ộ đạt tiêu
chuẩn vệ sinh hay không?
16. m p s ng. Theo quy nh, mở ột xí nghiệ ản xuất dép nhựa có 10 phân xưở đị ỗi đôi
dép nhựa có khối lượng là 200 gam. Khi nghiệm thu sản ph ng ẩm của 10 phân xưở
giao nộp, cán bộ OTK được chỉ có 9 phân xưởng s n xuả ất đúng quy cách còn một
phân x ng nào. ưởng s n xu ng không biả ất mỗi đôi chỉ có 190 gam như ết phân xưở
Người cán bộ OTK đã bằng m n ột mã cân phát hiệ được phân xưởng nào làm sai quy
cách.
Bạn hãy cho biết người đó đã cân như thế nào ?
17. N v y ăm chàng trai câu được 5 con cá trong 5 phút. Hỏi cũng với tốc độ câu như ậ
thì 100 chàng trai câu được 100 con cá bao nhiêu lâu?
18. Một người vào cửa hàng hỏi mua một chiếc áo khoác. Bà bán hàng vui tính trả
lời: “Tôi chỉ tính bà tiền cúc của chiếc áo này thôi nhé : Chiếc thứ nhất bà cho tôi 1
nghìn, chiếc thứ hai 2 nghìn và mỗi cúc sau bà lại trả cho tôi gấp ó, đôi chiếc trước đ
còn áo thì tôi biếu không bà đấy”. Người mua hàng đếm thì thấy chiếc áo có 6 chiếc
cúc ở hàng phía trước, 2 chiếc c ở ống tay, 2 chiế ở túi áo ngực và một chiếc dự ữ tr .
Bạn hãy cho biết bà khách hàng phải trả bao nhiêu tiền ?
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.3. CÔNG THỨC
Thông tin cơ bản
3.1. Khái niệm về công thức
Trong toán học ta đã làm quen với bi u thể ức toán học (là dãy kí hiệu chỉ rõ các phép
toán và thứ ự t thực hiện các phép toán trên các số ho nh t mặc các chữ ận giá trị ừ ột
trường số)
Trong lôgic mệnh , ng m công th ng t biđề ười ta xây dựng khái niệ ức tươ ự ểu thức
toán họ ọc trong toán h c
Trong ch 1.1 ta nh) và mủ đề đã làm quen với mệnh đề (xác đị ệnh mđề ở (chưa xác
đị ọ đềnh). Ta sẽ g i chung là các biến mệnh
Cho các biế đền mệnh p, q, r, ... khi dùng các phép lôgic tác động vào chúng, ta sẽ
nhận n m nh n. M nh nh được các biế ệ đề ngày càng phức tạp hơ ỗi mệ đề ư thế và cả
những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác
a, Mỗi bi t công thến mệnh đề là mộ ức
b, N ng ếu P, Q là những công thức thì , P Q, P Q, P Q, cũ đều là công thức
c, Mọi dãy kí hiệu không xác định theo các quy tắc trên đây đều không phải là công
thức
Ví dụ 3.1 :
Từ các biến mệnh p đề p, q, r ta thiết lậ được công thức:
(p q) r
(p q) r
(p q) r
.....................................
3.2. Giá trị chân lí của công thức
Cho công thức P = “p q”
Ta gán cho các biến m nh p, q nhệ đề ững giá trị chân lí xác định, chẳng h n ạ
G(p) = 1 và G(q) = 0 thì p nh nh q là mệ đề sai. Suy ra p q là mệ đề đúng, hay
G(p q) = 1
G(p) = G(q) = 1 thì p q là mệnh đề đúng. Suy ra p q là mệnh đề sai, hay G(p
q) = 0
Như vậy khi gán cho m có mỗi biến m nh ệ đề ặt trong công thứ ộc P m t giá trị chân lí
xác định thì công thức P s nh ( úng hoẽ trở thành một mệ đề đ ặc sai). Nếu P là mệnh
đề đ ứ ị úng (hoặc sai) thì ta nói công th c P có giá tr chân lí bằ ặng 1 (ho c 0) ứng với hệ
chân lí vừa gán cho các biến m nh ệ đề có mặt trong công thứ đc ó
Ví dụ 3.2 :
p c luôn có giá tr ng 0 v là công thứ ị chân lí bằ ới mọ đềi biến mệnh p
Ví dụ 3.3 :
là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 1 v n mới mọi biế ệnh p, q đề
Ví dụ 3.4 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức
Giải :
Dựa vào bảng chân lí trên ta có thể khẳng định:
N u p úng, q úng ế đ đúng thì P đ
Nếu p sai, q đúng thì P sai
Ví dụ 3.5 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức “(p q) r” = Q
Giải
3.3. Sự tương đương lôgic và đẳng thức
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P và Q tương đương lôgic
với nhau, kí hiệu là P Q, nếu v n mới mọi hệ chân lí gán cho các biế ệnh đề có mặt
trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau
Đặc biệ ệ ệt, hai m nh vđề a, b gọi là tương đương lôgic ới nhau, kí hi u
a b, n úng hoếu chúng cùng đ ặc cùng sai
Chú ý
1. Trong lôgic không có khái niệm hai mệnh bđề ằng nhau mà chỉ có khái niệm hai
mệnh t ng đề ươ đương lôgic với nhau
Hai mệnh t ng v nđề ươ đương lôgic có thể ề ội dung chúng hoàn toàn không liên quan
với nhau. Chẳng h n ạ
“Tháng Hai có 30 ngày 2 x 2 = 10”
2. P Q ta gọi là một đẳng thức
3. ng Để chứng minh hai công thức tương đương lôgic với nhau ta thường dùng phươ
pháp l chân lí. Chập bảng giá trị ẳng hạn
Chứng minh đẳng thức sau : p q q p
Nhìn vào bảng trên ta thấy hai công thức p q và q p luôn cùng đúng hoặc cùng
sai. Vậy ta có p q q p
Dưới đây là một số phép tương ng g p đương lôgic thườ ặ
Phủ đị ủ ủ đị nh c a ph nh
(1) p p
Luật Đờ Moóc Găng
Tính chất k t hế ợp của các phép lôgic
(4) (p q) r p (q r)
(5) (p q) r p (q r)
Tính chất giao hoán của các phép lôgic
(6) p q q p
(7) p q q p
(8) p q q p
Tính chất phân phối
(9) p (q r) (p q) (p r)
(10) p (q r) (p q) (p r)
Tính lũy đẳng
(11) p p p
(12) p p p
Biểu diễn phép kéo theo qua các phép lôgic khác
(13) p q
(14) p q
(15) p q
Biểu di ng ễn phép tươ đương qua các phép lôgic khác
(16) p q (p p) q) (q
(17) p q
Ta dùng kí hiệu 1 (ho úng (ho c luôn sai). Ta có các ặc 0) để chỉ biế đền mệnh luôn đ ặ
đẳng thức sau về 0 và 1
(18) p 0 0
(19) p 1 p
(20) p 0 p
(21) p 1 1
(22) p p 1 (luật bài trung)
(23) p p 0 (luật mâu thuẫn)
3.4. Phép biến đổi công thức
Khái niệm m công thức trong lôgic mệnh t nhđề ương tự ư khái niệ biểu thức toán
h học trong toán học; khái niệm đẳng thức tương t nhự ư khái niệm ằng đẳng thức
trong toán học.
Dựa vào các đẳng thức, ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất để chứng minh
một đẳng thức hoặc đưa mộ ứ đơ ơt công th c về dạng n giản h n.
Để cho tiện, ta quy ước :
1. Các phép lôgíc trong một công thức được thực hiện theo thứ ự t ;
Với quy c này, chướ ẳng hạn ta sẽ viết:
p ^ q r
thay cho (p ^ q) r
p v q ^ r u
thay cho [p v (q ^ r)] u
2. Không viết d i mấu ngoặc ở ngoài đối vớ ỗi công thức.
Với quy c này, chướ ẳng hạn, ta sẽ viết :
p ^ q r
Thay cho [(p ^ q) r]
3. N u ph dếu có dấ ủ định trên một công thức nào đó thì ta bỏ ấu ngoặc ở hai đầu
công thức đó.
Chẳng h viạn, ta sẽ ết
^ r
Thay cho ^ r.
Ví dụ 3.6 :
Chứng minh rằng
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) (p q) ^ r.
Biến đổi lần lượt ta có:
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r)
[( ^ q) v ( ^ )] ^ r v (q ^ r)
[ ^ (q v )] ^ r v (q ^ r)
( ^ 1) ^ r v (q ^ r)
( ^ r) v (q ^ r)
( v q) ^ r)
(p q) ^ r
Ví dụ 3.7 :
Rút g n công thọ ức :
( pvq) ^ q
Ta có :
( pvq) ^ q [ v (p v q)] ^ q
[(p v q) v (p v q)] ^ q
(p v q) ^ q
q.
3.5. Mệnh đề liên hợp, điều kiện cần, điều kiện đủ, đ ầiề ệu ki n c n và
đủ
3.5.a Mệnh đề liên hợp
Từ mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó chia hế ể ật cho 2” (1) ta có th thiết l p
được các mệnh đề
“Nếu một số chia hết cho 2 thì nó chia hết cho 4” (2)
“Nếu một số chia hết cho 4 thì nó không chia hết cho 2” (3)
“Nếu một số không chia hết cho 2 thì nó không chia hết cho 4” (4)
Các mệnh đề (1) ; (2) ; (3) ; (4) gọ ữ đềi là nh ng mệnh liên hợp
Một cách tổng quát, ta định nghĩa
Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì
q nh p (2) là mệ đề đảo của (1)
p nh ph n c q (3) là mệ đề ả ủa (1)
q nh ph n o c p (4) là mệ đề ả đả ủa (1)
Các mệnh n, n ng mđề thuậ đảo, phản và phả đảo ta gọi là nhữ ệnh đề liên hợp
áp dụ đẳng ng thức (15) ta có
p q q p
và p q q p
Hay M nh n t ng nh ph n o ệ đề thuậ ươ đương lôgic với mệ đề ả đả
M nh ph n t ng nh o ệ đề ả ươ đương lôgic vơi mệ đề đả
Ví dụ 3.8 :
Thiết lập các m nh p vệ đề liên hợ ới mệ ếnh đề sau: “N u một số chia hết cho 6 thì nó
chia hết cho 3”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh p cđề liên hợ ủa nó là
− Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6
− N không chia hếu một số ết cho 6 thì nó không chia hết cho 3
− N không chia hếu một số ết cho 3 thì nó không chia hết cho 6
Dễ dàng thấy r ng m n nh ằ ệnh đề thuận và phả đảo là các mệ đề đúng còn mệnh đề
đả đềo và phả ện là các m nh sai
Ví dụ 3.9 :
Thiết lập các m nh p vệ đề liên hợ ới mệ ếnh đề sau: “N u tam giác ABC vuông ở A thì
BC2 = AB2 + AC2
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh p cđề liên hợ ủa nó là
− N mãn hếu tam giác ABC thoả ệ thức BC2 = AB2 + AC2 thì nó vuông ở A
− Nếu tam giác ABC không vuông ở A thì BC2 AB2 + AC2
− N mãn h c BC2 = AB2 + AC2 thì nó không ếu tam giác ABC không thoả ệ thứ
vuông ở A
Từ môn hình ở trường phổ thông ta thấy c b nh ả ốn mệ đề trên đều có giá trị chân lí
bằng 1
3.5.b. Điều kiện cần, điều kiệ ề ện đủ, đi u ki n cần đủ
Trong toán học, nếu ta chứng minh được p q là mệnh ng đề đúng thì ta nói rằ
− p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện c n ầ để có p
Trong tr q có thường hợp này, mệnh p đề ể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau,
chẳng hạn:
− Nếu có p thì có q
− p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện c n ầ để có p
− Có p ắt có q
− Muốn có p phải có q
− Có q khi có p
.......................
Trong toán học, nếu ta chứng minh được đồng thời cả hai mệnh p p đề q và q
đề đu úng thì ta nói rằng :
− p là điều kiện cần và đủ để có q
− q là điều kiện cần và đủ đẻ có p
Theo phép tương đương (16) ta có
p q (p q) (q p)
Trong trường hợp này, mệnh di n đề p q có thể ễ đạt bằng nhiều cách khác nhau,
chẳng hạn:
− u ki Điề ện cần và đủ để có p là q
− Để có p, điều kiện cần và đủ là q
− u ki n Điề ệ ắt có và đủ để có p là q
− Có p khi và chỉ khi có q
............................
Trong toán học, mỗi định lí được phát bi u d ng m nh úng p q, ể ưới dạ ột mệ đề đ
trong đ ọó, p g i là giả thiết, q gọi là kết luậ ủn c a định lí.
Ta thiết lập mệnh p c ó. N u q p c nh đề đảo q ủa định lí đ ế ũng là mệ đề đúng thì
ta nói định lí nh lí nh lí đã cho có định lí đảo. Ngược lại, ta nói đị đã cho không có đị
đảo.
Trong trường hợp p c n định lí có định lí đảo, ta thường phát biểu kết hợ ả định lí thuậ
và đảo d ng u ki n c p q. ưới dạ điề ệ ần và đủ
Ví dụ 3.10 :
Hãy xét xem nh lí sau có u tđị định lí đảo hay không : “Nế ứ giác ABCD có hai
đườ đường chéo cắt nhau ở trung đ ỗiểm của m i ng thì nó là hình bình hành”
Nếu có, hãy phát biểu chúng dưới dạng u ki điề ện cần và đủ
Mệnh o cđề đả ủa định lí đã cho là : “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau
ở trung đ ểi m của mỗi đường thì nó là hình bình hành”
Từ môn hình học ở trường phổ thông ta đã biết đ đề đ đị đây là mệnh úng. Vậy nh lí ã
cho có định lí đảo
Kết hợp gi o u nh u ki n cữa định lí thuận và đả được phát biể ư sau: “Điề ệ ần và đủ để
t iứ giác ABCD là hình bình hành là hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung đ ểm của
mỗi đường.”
Ví dụ 3.11 :
Cũng h 3.10 u s t s n v ỏi như ví dụ đối với định lí : “Nế ố ự nhiên a có chữ ố hàng đơ ị
bằng 0 hoặc 5 thì nó chia hết cho 5”
Mệnh o cđề đả ủa định lí đã cho là : “Nếu s tố ự nhiên a chia hết cho 5 thì nó có chữ
số hàng đơn vị b ng 0 hoằ ặc bằng 5”
Từ trường ph nh nh y ổ thông ta đã biết mệ đề đảo là mệ đề đúng. Vậ định lí trên có
định lí đảo.
Kết hợp giữa định lí thuận và đảo ta có :
“Số ự t nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị c ng 0 hoủa nó bằ ặc
5” hoặc “Đ ắiều kiện t có và đủ để ố s tự nhiên a chia hết cho 5 là chữ s n v ố hàng đơ ị
của nó bằng 0 hoặc 5”
3.6. Luật của lôgic mệnh đề
Cho A là một công thức. Ta gọi :
a, A là công thức hằng úng, n ng 1 vđ ếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằ ới mọi hệ chân
lí gán cho các biến m nh ệ đề có mặt trong công thứ đc ó
b, A là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với m i họ ệ chân lí
gán cho các biến m nh ệ đề có mặt trong công thức đó
Mỗi công thức hằng đúng A ta gọi là mộ ủt luật c a lôgic mệ ệnh đề và kí hi u là: A
Mỗi công thức hằng sai ta gọi là một mâu thuẫn.
Ví dụ 3.12 :
a) Công th c p v là hứ ằng đúng. Ta có luật
p ^
b) Công thức p ^ là hằng sai.
c) Chứng minh rằng
p ^ q v
Ta có bảng chân lí
Nhìn vào bảng trên ta có đpcm.
Hoạt động
Sinh viên tự đọ c ở nhà thông tin cơ bản
− Trên lớp chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm thảo lu t hoận mộ ạt động để thực hiện các
nhiệm vụ r n. Sau ng hoồi trình bay kết quả thảo luậ đó giáo viên tổng kết theo từ ạt
độ đng dưới ây:
Hoạt động 3.1. Tìm hiểu khái niệm công thức
Nhiệm vụ:
Nhiệm vụ 1:
Phát biểu nh ngh nh đị ĩa khái niệm công thức của lôgic mệ đề. Minh hoạ các ví dụ về
công thức.
Nhiệm vụ 2: Xây dựng các ví dụ về xác a công thđịnh giá trị chân lí củ ứ.
Đánh giá
1. L p bậ ảng chân lí của các công thức sau:
a) p ^ q (q ^ r)
b) (p r) v (q r)
c) (p ) ^ (p q) v ( )
2. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
a) Công thức (p q) ^ (q p) (p q) luôn có giá trị chân lí bằng 1
b) Công thức p v (q ^ r) p v q v p v r luôn có giá trị chân lí bằng 1
c) Công thức (p chân lí b q) ^ (p r) luôn có giá trị ằng 0.
Hoạt động 3.2.
Thực hành ch c trong lôgic mứng minh các đẳng thứ ệnh đề.
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu nh nghđị ĩa:
− Hai công thức tương đương lôgic.
− Hai mệnh tđề ương đương lôgic.
Minh hoạ các khái ni ó thông qua các ví dệm đ ụ.
Nhiệm vụ 2 : Lập bảng chân lí để chứng minh các đẳng thức (1) − (5).
Sau v v n dđó xây dựng các ví dụ minh hoạ ề ậ ụng mỗ đẳ ứ đ ọi ng th c ó trong toán h c.
Nhiệm vụ 3 : Thực hành biến đổi công thức.
− Nêu các quy ước về s d n ử ụng kí hi u khi biệ ế đổi các công thức.
− Xây dựng hai ví dụ về thực hành biến đổi công thức.
Đánh giá
1. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống :
a) p ^ q q ^ p
b) p ^ q ^
c) ^ q ^ p
e) p ^ q q ^ p
f) p ^ q ^
g) ^ q ^ p
2. Chứng minh các đẳng thức (9) (17). Sau đó minh ho b v v n d ng ạ ằng các ví dụ ề ậ ụ
mỗi đẳng thức đó trong toán học.
3. Hãy biến ng n gi n nhđổi các công thức sau về dạ đơ ả ất:
a) ( p v q) ^ q.
b) p ^ q ^ (p )
a) (p ) v
Hoạt động 3.3. Tìm hiểu về mệnh đề liên hợp
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 :
Trình bày khái niệm về m nh gi nh ệ đề liên hợp. Nêu mối quan hệ ữa các mệ đề thuận,
đả đảo, phản và phản o.
Nhiệm vụ 2 :
Xây dự ộng m t ví dụ trong số ọ h c và một ví dụ trong hình học về thiết lập mệnh đề
liên hợp của mệnh đề đã cho.
Nhiệm vụ 3 :
Trình bày khái niệm đi iều ki n c n, ệ ầ đ ều ki n , u ki . ệ đủ điề ện cần và đủ
Xây dự ộ ụ ố ọ ộ ụ ọng m t ví d trong s h c và m t ví d trong hình h c về ễ ề ệ di n đạt đi u ki n
cần (điều ki n ệ đủ) bằng 5 cách khác nhau.
C u nh n c . ũng yêu cầ ư trên đối với điều kiệ ần và đủ
Nhiệm vụ 4 : Trình bày khái niệm định lí đảo của một định lí.
Xây dự ộ ụ ố ọ ộ ụ ọng m t ví d trong s h c và m t ví d trong hình h c về phát biểu kết hợp
giữa định lí thuận và định lí đảo của một định lí.
Đánh giá
1. Thiết lập mệnh p c nh đề liên hợ ủa các mệ đề sau :
a) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5 .
b) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 3 và 5.
c) Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.
d) Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng.
Đối với nhữ đề đ đạ đng mệnh úng, hãy diễn t bằ ạng ba cách khác nhau dưới d ng iều
kiện cần (đủ).
2. Hãy phát biểu các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học dưới dạng mệnh đề
kéo theo.
Sau nh p cđó hãy thiết lập các mệ đề liên hợ ủa chúng.
3. Thiết lập o cđịnh lí đả ủa định lí sau :
a) Hình bình hành có hai ng chéo bđườ ằng nhau là hình chữ nhật.
b) Nếu tích của hai thừa số chia hết cho 7 thì mộ ừ ố đt trong hai th a s ó phả ếi chia h t
cho 7.
Hoạt động 3.4. Tìm hiểu luật của lôgic mệnh đề
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Phát biểu nh nghđị ĩa các khái niệm
Công thứ đc hằng úng
Công thức hằng sai
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ ọ minh h a về cách chứ ộng minh m t luật
Đánh giá
1. Chứng minh các công thức sau là công thức hằ đng úng, sau đó viết chúng thành
những luật
a, p (p q) q
b, (p q) (p q)
c, (p q q) p
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4. QUY TẮC SUY LUẬN
Thông tin cơ bản
Phân tích mỗi chứng minh toán học ta thấy nó bao gồm một số ữ h u hạn bước suy
luận n giđơ ản. Trong mỗi bước suy luận n gi n dđơ ản ta đã vậ ụ ữ ấng nh ng quy tắc nh t
đị để ừ ữ đề đ ừ đ ộnh t nh ng mệnh ã được th a nhận là úng có thể rút ra m t mệnh mđề ới
Dưới đây ta trình bày những quy t n nh ắc thường dùng trong các bước suy luậ ư thế
Định nghĩa
Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến m nh ệ đề có
mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C
nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn
tới hệ quả lôgic C của chúng
Ta kí hiệu là hoặc A, B = C
Từ nh ngh y r ng đị ĩa ta dễ dàng thấ ằ để chứng minh là một quy tắc suy luận ta chỉ
cần l p bậ ảng giá trị chân lí đối với các công thức A, B, C. Trong đó chỉ ra rằng mỗi
khi A, B nhận giá tr n giá trị chân lí bằng 1 thì C cũng nhậ ị chân lí bằng 1
Ví dụ 4.1 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận
Sau v v n d ng quy t ó trong suy luđó nêu ví dụ minh hoạ ề ậ ụ ắc đ ận toán học
Ta có bảng chân lí
Nhìn vào b ng 1 thì p ảng trên ta thấy mỗi khi p q và q r nhận giá trị chân lí bằ
r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1
Vậy ta có quy t n ắc suy luậ
là quy tắc suy luận b u ắc cầ
Nếu ta chọn
“p q” là mệnh đề “N u a chia hế ết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
“q r” là mệnh sđề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ ố của nó chia hết
cho 3”
áp dụng quy tắc suy lu t cho 6 thì tận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hế ổng các chữ ố s
của nó chia hết cho 3”
Hoạt động
Sinh viên tự đọ c các thông tin cơ b n ả ở nhà.
Trong lớp sinh viên thả đ đạ ỗo luận theo nhóm 3, 4 người. Sau ó i diện m i nhóm
trình bày k c phân công ; ết quả thảo lu i nhận vớ ững nhiệm vụ đượ
Giáo viên tổ ừ đng kết theo t ng hoạt động dưới ây :
Hoạt động 4.1.
Thực hành v n trong suy lu n toán hận dụng các quy tắc suy luậ ậ ọc
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu nh nghđị ĩa
Quy tắc suy luận
Tiền cđề ủa quy tắc
H quệ ả lôgic của quy tắc
Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về chứ ộng minh m t quy tắc suy luận và vận d ng quy tụ ắc suy
luận ó trong suy luđ ận toán học
Đánh giá
Chứng minh các quy tắc suy luận 1, 4 - 20
Sau v v n dđó xây dựng các ví dụ ề ậ ụng mỗi quy tắc suy luận đó :
Trong số ọ h c
Trong hình học
Trong toán cao cấp
Ví dụ 4.2 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận sau :
Nêu ứng d ng cụ ủa nó trong suy luận toán học.
Ta có bảng giá trị chân lí sau:
Từ b n ảng trên ta suy ra quy tắc suy luậ
Ta đã biết “nếu a chia hết cho 3 thì tổ ữ ố ủng các ch s c a nó chia hết cho 3”
Số 146 có tổng các chữ s không chia hố ết cho 3 nên số 146 không chia hết cho 3.
Dưới đây là các quy tắc suy luận thường n dđược vậ ụng trong suy luận toán học:
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5.
Hàm mệnh nh đề - Mệ đề tổng quát và tồn tại
Thông tin cơ bản
5.1 Khái niệm về hàm mệnh đề
Ta xét các ví d sau : ụ
1. “Số ự t nhiên n chia hết cho 3”
về ph ng di n ngôn ngươ ệ ữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính
đ ộ ựúng hoặc sai m t th c tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song
nếu ta thay n bởi một số t ng h n ự nhiên cụ thể. Chẳ ạ
Thay n = 45 ta được mệnh đề đúng: “45 chia hết cho 3”
thay n = 103 ta được mệnh đề sai: “103 chia hết cho 3”
2. “2x + 3 > 17”
Tương t nh , song nự trong ví dụ 1, “2x + 3 > 17” chưa ph i là mả ệ đề ếu ta thay x bởi
một số thực cụ thể, chẳng hạn
Thay x = 10 ta có mệnh đề đúng “2 . 10 + 3 > 17”
Thay x = 1 ta có mệnh đề sai “2 . 1 + 3 > 17”
3. Câu “Ông A là nhà v n “Ông ật lí vĩ nh . Nđại” cũng chưa phải là mệ đề ếu ta chọ
A” là
Niu-tơn ta i”. Nđược mệnh đề đúng “Niu t n là nhà vơ ật lí vĩ đạ ếu ta chọn Ông A” là
“Tố ữ H u” ta được mệnh đề sai. “Tố Hữu là nhà vật lí vĩ đại”
4. Câu “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” ch a phư ải là mệnh . Nđề ếu ta chọn ABCD
là tứ giác trong hình (a) ta được m c mệnh đề sai, hình (b) ta đượ ệnh úng đề đ
hình vẽ
Từ các ví dụ trên ta đi đến nh nghđị ĩa sau:
Những câu có ch n thân nó chứa các biến mà bả ưa phải là mệnh nhđề ưng khi thay
các biến ng ph n t nh ( úng đó bởi nhữ ầ ử xác định thuộc tập X thì nó tr thành mở ệ đề đ
hoặc sai) ta sẽ g ọi là hàm mệnh đề
Tập X gọi là miền xác định; tập các phần t nh ử thuộc X khi thay vào ta được mệ đề
đ ọ ọúng g i là miền đúng; thay vào ta được mệnh đề sai g i là miền sai của hàm mệnh
đó
Ta dùng kí hiệu T(n), F(x), G(y), .......... để chỉ các hàm mệnh đề
Chẳng hạn:
Hàm mệnh t p đề T(n) = “Số ự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tậ
các số ự t nhiên. Tập các số ự t nhiên chia hết cho 3 là miền úng cđ ủa T(n). Tập các
số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n)
Hàm mệnh nhđề “Tứ giác ABCD là hình chữ ật” có miền xác định là tập các
hình t p các hình chứ giác, miền đúng là tậ ữ nhật
5.2. Các phép toán trên hàm mệnh đề
Dựa vào các phép toán trên mệnh nh, hđề (phủ đị ộ ựi, tuyển.....) ta xây d ng các phép
toán tương t nh ự trên các hàm mệ đề
a) Phép phủ đị nh
Cho F(x) là hàm m nh nh cệ đề xác định trên miền X. Ta gọi phủ đị ủa hàm mệnh đề
F(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệ ệu là F(x), sao cho đối với mỗi a X, F(a) là m nh
đề ủ đị ủ đề ph nh c a mệnh F(a)
Chẳng h n, ph nh cạ ủ đị ủa hàm mệnh đề
T(n) = “số ự đề ố ự t nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh T(n) = “s t nhiên n
không chia hết cho 3”
F(x) = “2x + 3 > 17” là hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 17”
b) Phép hội
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi hội của hai hàm
mệnh nh đề F(x) và G(x) là một hàm mệ đề H(x), kí hiệu là H(x) = F(x) G(x), xác
đị ọ đề ộ ủnh trên miền X sao cho với m i a X ta có mệnh H(a) là h i c a hai mệnh đề
F(a) và G(a)
Chẳng h n, h nh ạ ội của hai hàm mệ đề
F(n) = “Số ự t nhiên n chia hết cho 3”
và G(n) = “Số ự t nhiên n chia hết cho 5”
là hàm mệnh đề
H(n) = “Số ự t nhiên n chia hết cho 3 và 5”
Cũng t ng t nh nh ngh ng ươ ự ư trên ta đị ĩa các phép tuyển, phép kéo theo và phép tươ
đương trên các hàm mệnh đề
5.3. Mệnh đề tổng quát
Ta đặt vào tr nh ước hàm mệ đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “với mọi x R” ta được
mệnh đề sai:
“Với mọi x R, 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X.Ta gọi mệnh đề
dạng
“Với mọi x X ta có T(x)”
hoặc “Với mọi x X, T(x)” là mệnh t ng quát (hođề ổ ặc toàn thể, phổ biến, ph ổ
cập,...). Kí hiệu là
x X, T(x) hoặc ( x X) T(x) hoặc T(x) x X
Kí hi u g ng t t bi n, ph cệ ọi là lượ ừ ổng quát (hoặc toàn thể, phổ ế ổ ập, ....)
Ví dụ 5.1 :
“ n N, n là số nguyên tố” là mệnh đề sai
“ n N, 2n là số chẵn” là mệnh úng đề đ
“ x R, x2 + 1 > 0” là mệnh đề đúng
“ x R, x2 1 = 0” là mệnh đề sai
Chú ý
Mệnh tđề ổng quát trong thực tế được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau.
Chẳng h n ạ
Tấ ệ ạt cả người Vi t nam đều nói th o tiếng Anh
Mọ đềi người Việt nam u nói thạo tiếng Anh
Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh
Đã là người Việt nam thì ai chẳ ạ ếng nói th o ti ng Anh
......................................
5.4 Mệnh đề tồn tại
Ta đặt trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “Tồn tại x R sao cho....”
ta được mệnh đề úng đ
“Tồn tại x R sao cho 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi mệnh đề
dạng “Tồn t nh t n tại x X sao cho T(x)” là mệ đề ồ ại. Kí hiệu là
x X : T(x) hoặc T(x)
Ký hi i là lệu g ọ ượng t n từ tồ ại
Ví dụ 5.2 :
“Tồ ố ự ố ố đề đn tại s t nhiên n sao cho n là s nguyên t ” là mệnh úng
“Tồ ố ựn tại s th c x sao cho x2 1 = 0” là mệnh úng đề đ
“Tồ ố ự đền tại s th c x sao cho x2 + 1 = 0” là mệnh sai
Chú ý
1. Trong thực tế, m nh t n t n ệ đề ồ ại còn được diễ đạt dưới những dạng khác nhau,
chẳng hạn:
Tồ ộn tạ ấi ít nh t m t người Việ ạ ết nam nói th o ti ng Anh
Có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh
ít ra cũ ộng có m t người Việt nam nói thạo tiếng Anh
Có nhiều ng i Viườ ệt nam nói thạo tiếng Anh
........................
2. Ta dùng kí hiệu “! x X : T(x)” với nghĩa tồn tại duy nhất một x X sao cho
T(x)”
5.5. Phủ đị ủ nh c a mệnh t n tđề ồ ại và tổng quát
Phủ đị đề ổ nh các mệnh t ng quát và tồ ạn t i i được thiết lập theo quy tắc dướ đây
Ví dụ 5.3 :
M u ọi tam giác đề đều là tam giác cân Có một tam giác đều không phải là tam
giác cân
Người Vi i Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh Có ít nhất một ngườ ệt nam nói
không thạo tiếng Anh
Có mộ ố ự ọ ố ự đềt s t nhiên chia hết cho 3 M i s t nhiên u chia hết cho 3
Có ít nhất mộ ố ự ủt s th c x là nghiệm c a phương trình x2 3x 4 = 0 Mọi số thực x
đề ệ ủu không phải là nghi m c a phương trình x2 3x 4 = 0 Phương trình x2 3x 4
= 0 không có nghiệm thực
Hoạt động.
Sinh viên tự đọ c thông tin ngu n và tài li nhà.Trên lồ ệu tham khảo ở ớp sinh viên thảo
luận theo nhóm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau nằm trong các hoạt động
5.1 và 5.2. Sau đ đạó i diện các nhóm trình bày và giáo viên tổng kết
Hoạt động 5.1: Tìm hiểu khái niệm hàm mệnh đề
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Định nghĩa
Hàm mệnh đề
Miền xác định, mi úng, miền đ ền sai của hàm mệnh đề
Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng ba ví dụ về hàm mệnh nh, mi n đề. Chỉ rõ miền xác đị ề đúng và miền sai
của mỗi hàm mệnh ó đề đ
Nhiệm vụ 3 :
Định nghĩa phép phủ đị ộ nh, phép h i, phép tuyển, phép kéo theo và phép tương
đương giữa hai hàm mệnh đề
Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ví dụ minh họa cho mỗi phép toán nêu trên
Đánh giá
1. Tìm miền đúng c p s tủa các hàm mệnh đề xác định trên tậ ố ự nhiên
a) a chia hết cho 5
b) a chia cho 5 d 4 ư
c) a là số nguyên tố
d) a2 5a + 6 = 0
2. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập các số thực
a, x2 7 < 0
b, 3x2 7x 10 = 0
c, sin2x + cos2x = 1
d, | x 5 | < 6
3. Xây dựng hai ví dụ ề v
Phép phủ nh đị
Phép hội
Phép tuyển
Phép kéo theo
Phép tương ng đươ
Trên các hàm mệnh đề
Hoạt i động 5.2. Tìm hiểu mệnh đề t tổng quát và mệnh đề ồn tạ
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày khái niệm mệnh t nh t n tđề ổng quát và mệ đề ồ ại
Nhiệm vụ 2 : Phát biểu quy tắc phủ đề ổ định mệnh t ng quát và mệnh t n tđề ồ ại
Nhiệm vụ 3 : Xây dựng hai ví dụ ề v
Phủ đị đề ổ nh mệnh t ng quát
Phủ đị đề ồ ạ nh mệnh t n t i
Đánh giá
1. Hãy diễn nh đạt các mệ đề sau bằng lời :
a) x y R R : x + y2 > 1
b) x y R R : x2 - y2 = 0
c) n N m N : n + m chia hết cho 3
d) n N m N: là phân s tố ối giản
e) Sau đó hãy lập m nh ph nh ó ệ đề ủ định của mỗi mệ đề đ
2. Hãy chứ ỏ địng t nhận nh sau là sai “M ng tròn ngoọi hình tứ giác có một đườ ại tiếp
nó”
3. Hãy chứ ỏ địng t nhận nh sau là sai :
a) Có m nhiên mà một số ự t ọi số chẵn u nh h n nó đề ỏ ơ
b) Mọi ng t người đàn ông u có mđề ộ ười i đàn bà là vợ của ngườ ấy
c) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH
Thông tin cơ bản
6.1. Suy luận
Suy luận là rút ra một mệnh mđề ới từ mộ đề đ ữt hay nhiều mệnh ã biết. Nh ng mệnh
đề đ ọ ộ đề ọ ủ ã có g i là tiền đề, m t mệnh nói được rút ra g i là kế ật lu n c a suy luận.
Hai ki n) và ểu suy luận thường gặp là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễ suy
luận nghe có lí (hay suy luận có lí).
a) Suy luận diễn dịch :
Suy luận di n dễ ịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luật
tổng quát (của lôgíc mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết
luận rút ra cũng phải đúng.
Trong lôgíc vị t ng quy t nh ng gừ, ngoài nhữ ắc suy luận của lôgíc mệ đề ta thườ ặp và
vận d n dụng hai quy tắc suy luậ ưới đây:
Có nghĩa là :
Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũ đề đng là mệnh úng.
Ví dụ 6.1 :
M t nhiên có t sọi số ự ổng các chữ ố chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
S số 432135 có tổng các chữ ố chia hết cho 9.
Vậy 432135 chia hết cho 9.
Ví dụ 6.2 :
Nếu tự giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi.
Vậy AC BD.
Ví dụ 6.3 :
Với mọi x R, sin2x + cos2x = 1.
R
Vậy
Trong ba ví dụ nêu trên, các tiền u n d n 1, đề đề đúng, ta đã vậ ụng các quy tắc suy luậ
2 v y các k n c úng. ừa nêu trên. Vì vậ ết luậ ủa chúng phải đ
Ví dụ 6.4 :
672 chia hết cho 3.
672 chia hết cho 4
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề u ng quy tđề đúng, ta đã vận dụ ắc suy luận:
Ví dụ 6.5 :
Từ các tiền đề
Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
N s cếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ ố ủa nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kế luận : “N t cho 6 thì tếu a chia hế ổng các chữ s cố ủa nó chia h t cho 3”. ế
ở đây các tiề đề đền u là nhữ địng nh lí đã được chứng minh trong toán học. Ta đã
vận d ng quy t n bụ ắc suy luậ ắc cầu :
b) Suy luận nghe có lí:
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy
tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền úng đề đ để rút ra một kết
luận. Kết luận này có thể úng mà cđ ũng có thể sai.
Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quang
trọ ọng trong khoa h c và đời sống : giúp chúng ta từ ữ nh ng quan sát cụ thể có thể rút
ra nhữ ảng gi thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ gi ả
thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường s dử ụng là :
Phép quy nạp không hoàn toàn.
Phép t ng t . ươ ự
Ví dụ 6.6 :
Từ các tiền đề :
4 + 3 = 3 + 4
15 + 48 = 48 + 15
243 + 358 = 358 + 243
Ta rút ra kết luận: Tổ ủng c a hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ t cự ủa
các số hạng trong tổ đng ó.
Đ đề đây là phép quy nạ ập không hoàn toàn. Trong phép suy lu n này, các tiền úng và
kết luận rút ra cũng đúng.
Ví dụ 6.7 :
T n ừ các tiề đề:
42 chia hết cho 3
72 chia hết cho 3
132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Nhữ ống s có chữ ố s hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đ ừ ữây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luậ ấn này, xu t phát t nh ng
tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai.
Ví dụ 6.8 :
Từ ng định lí trong hình học phẳng “nếu hai đường thẳng cùng song song với đườ
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Ta đưa ra m t gi t phộ ả thuyết “Hai mặ ẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau”.
Đ ự đ đây là phép suy luận tương t . Giả thuyết nêu ra ở ây là úng.
Ví dụ 6.9 :
Cũng t ừ định lí nêu trên trong ví dụ trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng
song song với đường th ng thẳ ứ ba thì song song với nhau”.
Giả thuyết nêu ở đây là sai.
6.2. Chứng minh
Trong suy luận di n d n ễ ịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vậ
dụng các quy tắc suy luận t n d ng này là ổng quát. Ta gọi phép suy luậ ạ suy luận h p ợ
lôgíc. ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà
không quan tâm đế ộn n i dung, ý ngh trong suy luĩa c a các mủ ệnh đề ận đó.
Trong toán học, n u các tiế ền n u ng đề A, B của suy luậ đề đúng (là nhữ định nghĩa,
tiền hođề ặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là
một k t luế ận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chứng minh m nh ột mệ đề X là vạch rõ rằng X là kết luận lôgíc của các tiền đề
đúng.
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số h u h n bữ ạ ước, trong đó mỗi bước là một
suy lu ó ta ận di n dễ ịch, trong đ đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đ ộó chính là m t phép suy luận
diễn d n úng. ịch với các tiề đề đ
Một phép chứng minh gồm ba phần:
1. Luậ đền là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Luậ ứn c là nhữ đề đ đắ ủ đ địng mệnh mà tính úng n c a nó ã được khẳng nh (thường
là các c chđịnh nghĩa, tiền hođề ặc định lí đã đượ ứng minh trước đó...) dùng làm tiền
đề ỗ trong m i bước suy luận.
3. Luận chứng là những quy tắc suy luận t dổng quát được sử ụng trong mỗi bước
suy luận c ó. ủa chứng minh đ
Như vậy chứ ừng minh t tiền n n kđề A dẫ đế ết luận B (A B) là:
Thiết lập m n di n dột dãy các b c suy luướ ậ ễ ịch.
Trong mỗ đề ế ậ ổi bước ta chỉ rõ tiền , k t luận và quy tắc suy lu n t ng quát được áp
dụng.
Chẳng hạn:
M 6.1- 6.5 là mỗi suy luận trong các ví dụ ột chứng minh (vì các tiền đề trong mỗi
suy luận ng nh ng quy tđều đúng và ta đều áp dụ ữ ắc suy luận tổng quát của lôgíc
mệnh đề).
Xét các suy luận sau :
T n ừ hai tiề đề:
+ Với mọi a, b R, nếu a2 = b2 thì a = b
+ 52 = (5)2
Rút ra kết luận 5 = 5’!
T n ừ hai tiề đề :
+ Nếu t s cổng các chữ ố ủa một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+ 125 có tổng các chữ ố s chia hết cho 3.
Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3.
Trong cả hai suy lu n này, rõ ràng kậ ết luận rút ra đều sai (vì tiền 1 c n đề ủa suy luậ
thứ đề ủ nhất và tiền 2 c a suy luận th hai ứ đều sai). Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc
nhưng không phả ộ ứi là m t ch ng minh.
6.3. Các ph ng gương pháp chứng minh toán học thườ ặp
Có nhiều ph phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một số ương pháp
chứng minh thông dụng nhất.
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp
Cơ s c n bở ủa phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luậ ắc cầu.
Khi chứ ừng minh t tiền n kđề A đế ết luận B b ng phằ ương pháp chứng minh trực
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A A1
A1 A2
—————-
An-1 An
An B.
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận u phđược điề ải chứng minh.
Ví dụ 6.10 :
Ta phân tích ch ứng minh định lí “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở
trung điểm của mỗi đường”.
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề) :
Giả thiết ABCD là hình bình hành
AC cắ ạt BD t i O.
Kết luận OA = OC và OB = OD
Qua phân tích trên đây ta thấy:
Giả thiế ủ đị đề ủ ứt và kết luận c a nh lí là luận c a ch ng minh.
Chứ ủ đị ỗ đềng minh c a nh lí trên có bảy bước, trong m i bước u dùng các định nghĩa
hoặc định lí đã được chứng minh làm luận c d n t ng ứ và ngầm sử ụng một suy luậ ổ
quát làm luận chứng.
ph n ở ổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường bỏ đi nhiều tiề đề
trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn:
A A1 A2 ... An - 1 An B.
Trong phép chứ ứng minh này (và nhiều phép ch ng minh trực tiếp khác) ta thường
sử d ng quy tụ ắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận này
có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
b) Phương pháp chứ ứng minh phản ch ng
Trong trường hợp t n ch n n n k ng ổng quát, muố ứng minh từ tiề đề A dẫ đế ết luận B bằ
phương pháp phản chứng ta tiến hành theo s ơ đồ sau:
Gi A ả sử đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)
A ^ C ^
áp dụ ậng quy tắc suy lu n
Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Đ ọ ưôi khi sơ đồ trên được thu g n nh sau:
Gi A ả sử đ ứ đúng mà B sai (t c úng)
áp dụ ậng quy tắc suy lu n:
Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Ví dụ 6.11 :
Ta phân tích chứng minh định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng
vuông góc với đường th ng thẳ ứ ba thì chúng song song với nhau”.
Định lí được tóm tắ ật như sau (lu n đề).
Giả s v y t ử a không song song với b. Suy ra a cắt b tại M. Như ậ ừ M ta kẻ được hai
đường vuông góc với đường thẳng C.
Mệnh đề này sai, vì nó mâu thuẫn với mệnh úng đề đ đã biết trước “Từ một điểm ở
ngoài m ng thột đườ ẳng ta chỉ k ẻ được mộ ột và chỉ m t đườ đường vuông góc tới ng
thẳng đó”.
Vậy mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt
nhau” là sai. u ng t r nh phĐiề đó chứ ỏ ằng mệ đề ải chứng minh là đúng.
Ví dụ 6.12 :
Chứng minh rằng phương trình bậc nhất:
ax + b = 0 (1)
có không quá một nghiệm.
Giả s ph nh nghử ương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo đị ĩa ta có:
ax1 + b = 0
và ax2 + b = 0
áp dụng tính chất bắc cầu ta có:
ax1 + b = ax1 + b
áp d ng ta có: ụng luật giảm ước đối với phép cộ
ax1 = ax2, a 0
áp dụng luật giảm ước đối với phép nhân ta có:
x1 = x2
Như ừ vậy x1 v a khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có
đ ứiều phải ch ng minh.
c) Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn.
Giả s t p h u hử ậ ữ ạn X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong t p X. ậ
Ta phải chứng minh mệnh đề:
x X, T(x)
là đúng b rằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng tỏ ằng T(a1), T(a2), ...
, T(an) đều là nhữ đề đ ừ đng mệnh úng. T ó kết luận mệnh đề trên là đúng.
ở đây ta áp dụ ắng quy t c suy luận tổng quát:
Ví dụ 6.13 :
Chứng minh rằng tích của năm số ự t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Giả s t d ử n là số ự nhiên và T = n (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4). Gọi D là tập các số ư
của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}
N u s d bế ố ư ằng 0 thì n 5. Suy ra T 5
N u s d bế ố ư ằng 1 thì (n + 4) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ố ư ằng 2 thì (n + 3) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ố ư ằng 3 thì (n + 2) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ố ư ằng 4 thì (n + 1) 5. Suy ra T 5
Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên.
d) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứ đng minh tính chất T(n) úng với mọ ố ự ặ ọ ố ựi s t nhiên n (ho c với m i s t nhiên
n n0) tức là phải chứ đề ổng minh mệnh t ng quát.
n N, T(n) (hoặc n n0, T(n)) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chứng minh G (T(0)) = 1 (hoặ ấc G (T(n0) = 1) hay tính ch t T(n) đúng với n
= 0 ( hoặc n = n0).
Bước 2: Giả ử đ ứ s G (T(k)) = 1 hay tính chất T(n) úng với n = k. Ta ch ng minh G
(T(k + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + 1.
Từ úng vđó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) đ ới mọ ố ự ặ ọi s t nhiên n (ho c với m i số
tự nhiên n n0) hay
n N, T(n) (hoặc n nh n0, T(n)) là mệ đề đúng
Cơ s n tở lôgíc của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luậ ổng quát sau:
Ví dụ 6.14 :
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ úng vđó suy ra công thức trên đ ới mọi n 2
Ví dụ 6.15 :
Cho n điểm trong mặt ph i khi nẳng (n 2). Hỏ ố đ đ ẽi n iểm ó với nhau ta s được bao
nhiêu đoạn thẳng?
Ta chứ ố đng minh s oạn thẳng ó vđếm được khi nối n điểm đ ới nhau là:
V oới n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một đ ạn thẳng. Ta có:
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt
phẳng ta được
đoạn thẳng.
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điể ảm đầu với nhau (theo gi
thiết ở phần trên) ta được:
c thêm k + 1 đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta đượ
đ ữ ố đ đế ố đ đoạ ẳn th ng n a. Vậy s oạ ẳn th ng m được khi n i k + 1 iểm ó với nhau là:
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với
nhau ta sẽ được: đoạ ẳn th ng.
Hoạt động
Sinh viên tự đọ c tài liệu và thông tin nguồn ở nhà. Trên lớp nghe giáo viên giảng để
thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 6.1 và 6.2:
Hoạt động 6.1. Tìm hiểu các phép suy luận.
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày các khái niệm
Suy luận.
Suy luận di n dễ ịch.
Suy luận nghe có lí (phép quy nạp và phép tương tự).
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng ví dụ về suy luận di n dễ ịch trong
S hố ọc
Hình học
Đại số
Trong mỗi suy luận hãy chỉ rõ đã vậ ụ ữn d ng nh ng quy t n tắc suy luậ ổng quát nào
Nhiệm vụ 3: Xây dựng hai ví dụ về suy luận quy nạp không hoàn toàn
Trong đ đề đ ũ đó các tiền đề u úng mà kết luận rút ra c ng úng.
Trong đ đề đ ạó các tiền đề trên u úng mà kết luận rút ra l i sai.
Nhiệm vụ 4 : Xây dựng hai ví dụ ự về suy luận tương t , trong đó
M úng. ột giả thuyết đ
M úng. ột giả thuyết không đ
Đánh giá
1. ng, n n d n quy Điền d vào ô trố ếu là suy luận diễ ịch; q vào ô trống nếu là suy luậ
nạp và vào ô trống, n n t ng t . ếu là suy luậ ươ ự
a) Với m i sọ ố ự t nhiên a, b, c ta có:
a x (b + c) = a x b + a x c
áp dụng:
4 x (25 + 15) = 4 x 25 + 4 x 15
b) Ta có:
Vậy a x (b + c) = a x b + a x c
c) Từ hệ thức cos2 x + sin2 x = 1 ta đưa ra giả thuyết “tg2 x + cotg2 x = 1”
d) Từ đị nh lí trong hình học phẳng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau ta đưa ra giả thuyết trong hình học không gian.
“Hai đường thẳng trong không gian vuông góc với đường th ng thẳ ứ ba thì chúng
song song với nhau”
2. Xây dựng ba ví dụ ễ ố ọ về suy luận di n dịch trong s h c. Chỉ rõ những quy tắc suy
luận t n d ng trong suy lu n ó. ổng quát đã vậ ụ ậ đ
3. C ng hũ ỏi như bài 2 trong hình học.
4. C ng h . ũ ỏi như bài 2 trong đại số
5. Xây dựng hai ví d t ví dụ ề v suy luận quy nạp trong số ọ h c (mộ ụ với các tiền đề
đ ũ đ ộ ụ ớúng và kế ật lu n rút ra c ng úng, m t ví d v i các tiền đề đúng mà kết luận rút ra
lại sai).
6. C ng hũ ỏi như bài 5 trong hình học.
7. C ng h . ũ ỏi như bài 5 trong đại số
8. Xây dựng hai phép suy luận tương tự (một phép đưa ra giả thuyết đúng và một
phép đưa ra giả thuyết sai).
Hoạt động 6.2. Tìm hiểu các phép chứng minh.
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày:
Khái niệm về chứ ọng minh toán h c.
Phân bi ng minh. ệt giữa suy luận và chứ
Nhiệm vụ 2 :
Xác định cấu trúc của một chứng minh toán học. Xây dự ộng m t ví dụ ề v chứng
minh ó. để làm rõ cấu trúc nêu trên trong chứng minh đ
Nhiệm vụ 3 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh trực tiếp:
Nêu cơ s c p. ở ủa phương pháp chứng minh trực tiế
Phân tích sơ c p. đồ ủa phương pháp chứng minh trực tiế
Xây dự ụ ứ ự ố ọ ọng ví d về phương pháp ch ng minh tr c tiếp trong: s h c, hình h c và
đạ ối s .
Nhiệm vụ 4 : Tìm hiểu phép chứ ứng minh phản ch ng.
Nêu củ ủ ứ ứa lôgíc c a phép ch ng minh phản ch ng.
Trình bày s ng pháp chơ n mđồ thực hiệ ột phươ ứng minh bằng ph ng. ản chứ
Xây dự ụ ứ ứ ố ọ ọng ví d về phương pháp ch ng minh phản ch ng trong s h c, hình h c và
đạ ối s .
Nhiệm vụ 5 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn.
Nêu cơ s c p hoàn toàn. ở ủa phép chứng minh quy nạ
Trình bày phương pháp chứ ộ đề ứng minh m t luận bằng phép ch ng minh quy nạp
hoàn toàn.
Xây dự ụ ứng ví d về phép ch ng minh quy nạp hoàn toàn.
Nhiệm vụ 6 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
Nêu củ ủ ứ ọa lôgíc c a phương pháp ch ng minh quy nạp toán h c.
Nêu các bước chứ ọng minh bằng quy nạp toán h c.
Xây dự ụ ứ ọ ố ọ ọng ví d về ch ng minh bằng quy nạp toán h c trong s h c và hình h c.
Đánh giá
1. Hãy phân tích cấu trúc của chứ địng minh nh lí sau trong sách giáo khoa toán 9
“Số đ ủ o c a góc nội tiếp bằng nửa số đ ủ o c a cung bị chắn”.
Cho biết ch c loứ đng minh ó thuộ ại nào?
2. Chứng minh rằng tích của ba số ự t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Cho biết ch c loứng minh trên thuộ ại nào?
3. Xây dựng ba ví dụ về chứng minh quy nạp toán học trong số ọ h c, đại số.
4. Chứ ỗng minh rằng m i phép chia các số ự ộ t nhiên có không quá m t thương.
Cho biết ch c loứng minh thuộ ại nào?
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7.
SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở TIỂU HỌC
Thông tin cơ bản
7.1. Suy luận và chứng minh trong dạy h c mọ ạch số học
Trong dạy h u học mạch số học ở tiể ọ ục ta vận d ng các phép suy luậ ạn quy n p (hoàn
toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương t . Dự ưới đây ta trình bày các phép
suy luận này.
7.1.1. Suy luận quy nạp :
Suy luận quy n p dạ được sử ụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình dạy hình
thành các tính chất, quy t n phép tính, các dắc thực hành bố ấu hiệu chia hết và trong
giải toán số học
Ví dụ 7.1 :
Khi d a biạy tính chất giao hoán của phép cộ ụng, thông qua ví d so sánh giá trị củ ểu
thức a + b và b + a trong bảng sau
Từ b cảng trên học sinh rút ra nhận xét “giá trị ủa a + b và b + a luôn bằng nhau”
Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong mộ ổt t ng
thì tổ đng ó không thay đổi
a + b = b + a
Quá trình phân tích tổ đểng hợp rút ra kết luận trên đây ta vận dụng phép suy luận
quy n n ạp không hoàn toàn mà trong đó tiề đề là các ví dụ trong bảng còn kết luận là
tính chất giao hoán nêu trên
Tương t nh trên, suy lu n quy l ng n d ng d y quy tự ư ậ ạp cũ được vậ ụ để ạ ắc nhân một
số với một tổng
Ví dụ 7.2 :
Thông qua ví dụ so sánh giá trị c c a x (b + c) và a x b và a x c trong b ng ủa biểu thứ ả
sau
học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a x (b + c) và a x b + a x c luôn bằng nhau” rồi
rút ra quy tắc nhân một s i mố vớ ộ ổ ộ ố ộ ổt t ng: Khi nhân m t s với m t t ng, ta có thể
nhân số đ ó với t i cừ ố ủng s hạng c a tổng rồ ộ ếng k t quả lại a x (b + c) = a x b + a x
c
Ví dụ 7.3 :
Khi dạy quy t tắc so sánh các số ự nhiên trong phạm vi 10000 (xem [ ])
a) Thông qua các ví dụ
999 < 1000
10000 > 9999
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc
Trong hai số ự t nhiên
S s h n ố nào ít chữ ố ơn thì bé hơ
Số nào nhiều chữ s h n h n ố ơn thì lớ ơ
b) Thông qua các ví dụ
9000 > 8999
6579 < 6580
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc
N s ng c s t ếu hai số có cùng số chữ ố thì so sánh từ ặp chữ ố ở cùng một hàng, kể ừ
trái sang phải, số ữ ố đầ nào có ch s u tiên lớn h n h n. ơn thì lớ ơ
c) Thông qua các ví dụ:
2345 = 2345
469 = 469
cho học sinh phân tích rồi rút ra kết luận:
N s ng c s u giếu hai số có cùng số chữ ố và từ ặp chữ ố ở cùng một hàng đề ống nhau
thì hai số đ ó bằng nhau
Trong m p không hoàn toàn, ỗi bước trên đây, chúng ta đã vận d n quy nụng suy luậ ạ
trong đó tiền đề ụ là các ví d được xét và kết luận là quy tắc so sánh được rút ra
Ví dụ 7.4 :
Khi d n ch a biạy quy tắc tìm thành phầ ư ết của phép c ng (xem [ ]): Cho hộ ọc sinh
quan sát hình v rẽ ồi điền số vào chỗ chấm trong các phép tính sau
6 + 4 = ............ x + 4 = 10 6 + x = 1
6 = 10 ........ x = 10 ........... x = 10 ...................
4 = 10 ........ x = ................ x = .........................
Từ các ví dụ trên rút ra nhận xét:
Muố ố ứ ổ ừ đ ố ứn tìm s hạng th nhấ ất, ta l y t ng tr i s hạng th hai
Muố ố ứ ổ ừ đ ố ứn tìm s hạng th hai, ta lấy t ng tr i s hạng th nhất
Từ hai nhận xét trên, hướng d n h hẫ ọc sinh rút ra quy tắc: Muốn tìm số ạng chưa
biết, ta lấy tổng trừ hđi số ạng kia
Quy trình suy luận trên ng phép quy nđây ta đã vận dụ ạp không hoàn toàn, trong ó đ
tiền đề là các ví dụ được xét và kết luận là quy tắc nêu trên.
Ví dụ 7.5 :
Khi dạy d u hiấ ệu chia hết cho 5, ta tiến hành như sau (xem [ ])
a) Trong bảng chia cho 5, các số bị chia đều chia hết cho 5.
Đó là: 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Các số này có tận cùng bằng 0 hoặc 5
b) Lấy b y s ất kì số nào có tận cùng bằng 0 hoặc 5 ta thấ ố đó chia hết cho 5
Ví dụ: 1990 : 5 = 390 ; 1995 : 5 = 399
c) Vậy: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
ở ở đây tiền đề là các ví dụ xét mục a và b và kế ậ ấ ệt lu n là d u hi u chia hết cho 5
Phép suy luận quy nạp còn gặp trong quá trình giải toán số ọ h c. Chẳng hạn:
Ví dụ 7.6 :
Viết tiếp hai số ủ hạng c a dãy số sau:
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8.......................
Ta nhận xét
S hố ạng thứ ba là 3 = 1 + 2
S h tố ạng thứ ư là 5 = 2 + 3
S h nố ạng thứ ăm là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số t s hđã cho là: Kể ừ ố ạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổ ủng c a
hai số đứ hạng ng liền trước nó
áp dụng quy luật trên ta có:
S hố ạng thứ sáu là: 5 + 8 = 13
S h bố ạng thứ ảy là: 8 + 13 = 21
Vậy dãy số cần tìm là: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21
ở đây ta đã dùng quy nạp không hoàn toàn để tìm ra quy luật của dãy số (với tiền đề
là các nhận xét phân tích ở trên)
Ví dụ 7.7 :
Thay a bởi chữ ố s thích hợp nh tđể ận được số ự nhiên chia hết cho 3
Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3. B ng pháp thằng phươ ử
chọn ta tìm được a = 0 ; 3 ; 6 ; 9
Vậy các số cần tìm là 270 ; 273 ; 276 và 279
Trong ví dụ này ta đã dùng phép quy nạp hoàn toàn để tìm ra các giá trị thích hợp
của a
7.1.2. Suy diễn
Phép suy diễn được sử ụ d ng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc ã c đ đượ
thiết lập p để giải bài tậ
Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là:
Tiền đề 1 : Là quy tắc hoặc tính chất,.... đã được thiết lập
Tiền 2 :đề Mộ ốt tình hu ng c p vụ thể phù hợ ới quy tắc trên
Kết luận : Vận d ng quy t ng cụ ắc trên để xử lí tình huố ủa bài toán
Ví dụ 7.8 :
Tính giá tr n nhị biểu thức bằng cách thuận tiệ ất
47 x 234 + 234 x 53
= 234 x 47 + 234 x 53
= 234 x (47 + 53)
= 234 x 100 = 23400
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:
V n d a phép nhân ậ ụng tính chất giao hoán củ
V n d ng quy t v ng ậ ụ ắc nhân một số ới một tổ
Ví dụ 7.9 :
Tìm x
x : 25 + 12 = 60
x : 25 = 60 - 12
x : 25 = 48
x = 48 x 25
x = 1200
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn :
V n d ng quy t h ng ậ ụ ắc tìm một số ạng trong phép cộ
V n d ng quy t bậ ụ ắc tìm số ị chia
Ví dụ 7.10 :
Khoanh tròn vào chữ đặ t trước số chia hết cho 5
A. 13450
B. 13408
C. 7945
D. 7954
ở đây ta vậ ễ ề ấ ến dụng phép suy di n, trong đó ti n đề là d u hiệu chia h t cho 5 và tiền
đề ỗ ố đề 2 là m i s trong bài
7.1.3. Phép tương tự
Phép t ng t d y h h ng hươ ự được sử ụng thường xuyên trong dạ ọc mạch số ọc. Chẳ ạn:
T quy t s ng t ng quy từ ắc cộng các số có hai chữ ố, dùng phép tươ ự ta xây dự ắc cộng
các số có ba, bốn và nhiều chữ ố s
Cũng t ng t ươ ự đối với các phép tính
T quy t s ng từ ắc so sánh các số có bốn chữ ố, dùng phép tươ ự ta xây dựng quy tắc so
sánh các số có nhiều chữ ố s
T quy t h ng từ ắc tìm số ạng trong phép cộng, dùng phép tươ ự ta xây dựng quy tắc
tìm thừa số trong phép nhân
7.2. Suy luận và chứng minh trong dạy h c mọ ạch yếu tố hình học
Cũng t ng t h y hươ ự mạch số ọc, trong dạ ọc các yế ậu tố hình học ta thường v n d ng ụ
các phép suy luận quy n ng ạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tươ
tự. Dưới đây ta trình bày các phép suy luận này
7.2.1. Suy luận quy nạp
Suy luận quy n p d ng rạ được sử ụ ộng rãi trong quá trình dạy học xây dựnh công thức
tính chu vi, diện tích và thể tích các hình ở tiểu học. Trong giải toán có nội dung
hình học đôi khi ta cũ ửng s d p ụng phép quy nạ
Ví dụ 7.11 :
Khi d ng công thạy xây dự ức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính chu
vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiề ộu r ng 3dm. Bằng cách quan sát
trên hình vẽ và một số phép biến c sinh tính đổi, họ được chu vi hình chữ nhật là (4 +
3) x 2 = 14 (dm)
Từ u đó rút ra quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiề
rộng rồi nhân 2”
P = (a + b) x 2
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tiền 1 :đề Hình chữ nh ng 4dm và chiật có chiều dài bằ ều rộng 3dm thì có chu vi
bằng (4 + 3) x 2 (= 14dm)
K n:ết luậ Hình chữ ộ nhậ ề ềt có chi u dài a và chi u r ng b có chu vi là (a + b) x 2
Ví dụ 7.12 :
Khi d ng công thạy xây dự ức tính diện tích hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính
diện tích hình ch nh u rữ ật ABCD có chiều dài 4 cm và chiề ộng 3cm”.
Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh tính được diện tích của hình
chữ nhật bằng 12cm2. Từ nhận xét 12 = 4 x 3
Từ nhđó rút ra quy tắc: “Muốn tính diện tích hình chữ ật, ta lấy chiều dài nhân với
chiều r n v ộng (với cùng một đơ ị đo)
S = a x b
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tiền 1 :đề Hình chữ nh u rật có chiều dài 4 cm và chiề ộng 3cm thì có diện tích bằng:
4 x 3 (= 12 cm2)
Kết luận : Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là a x b
Ví dụ 7.13 :
Cho 9 điểm phân biệt. Khi nối tấ ạt cả ể các đi m với nhau ta đượ đc bao nhiêu o n
thẳng ?
Ta nhận xét :
Khi có 2 đ ố điểm, n i lại ta sẽ được 1 oạn thẳng :
1 = 0 + 1
Khi có 3 đ ố điểm, n i lạ ẽi ta s được 3 oạ ẳn th ng :
2 = 0 + 1 + 2
Khi có 4 đ ố điểm, n i lạ ẽi ta s được 6 oạ ẳn th ng :
6 = 0 + 1 + 2 + 3
V oậy khi có n điểm, nối lại ta sẽ được số đ ạn thẳng là :
s = 0 + 1 + 2 +... +(n – 1)
s = nx(n – 1) : 2.
áp dụng : Khi có 9 điểm, nối lại ta sẽ được số đ ạ o n thẳng là:
9x(9 – 1) ; 2 = 36 (đoạn thẳng)
Nhận xét. ở n s d n quy nđây ta đã hai lầ ử ụng phép suy luậ ạp không hoàn toàn :
Lân thứ đ ể ố nhấ ế ật ta rút ra được k t lu n khi có n i m, n i lại ta được số đ ạ o n thẳng là 0
+ 1 + 2 + ... + (n – 1);
Lần thứ hai ta rút ra được tổng trên bằng nx( n – 1 ) : 2.
7.2.2. Suy diễn
Suy diễn d ng r ng h n được sử ụ ộng rãi trong quá trình giải các bài tập hình học. Chẳ ạ
khi giải toán về tính chu vi và diện tích, thể tích các hình.
Ví dụ 7.14 : (Bài 2, trang 87 SGK Toán 3)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 35m, chiều r nh ộng 20m. Tính chu vi mả
đấ đt ó.
Giải : Chu vi mảnh đất đó là
(35 + 20) x 2 = 110(m)
Đáp số : 110m
ở đây ta đã dùng phép suy diễn :
Tiền đề 1 : Hình chữ nh u r ng b ng ật có chiều dài bằng a, chiề ộ ằng b thì có chu vi bằ
(a = b) x 2.
Tiền đề 2 : Mảnh nh ng 35m, chi u r ng bđất hình chữ ật có chiều dài bằ ề ộ ằng 20m.
Kết luận : Chu vi củ đấ đa mảnh t ó bằng (35 + 20) x 2(m).
Hoạt động
Sinh viên ôn l 2.6, t u ại tiểu chủ đề ự đọc SGK toán lớp 3, 4, 5 và thông tin nguồn tiể
chủ đề để 2.7 thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt i động dướ đây :
Hoạt động 7.1.
Tìm hiểu các phép suy luận trong dạ ọy h c số ọ h c ở tiểu học
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Nêu các phép suy luận thường dùng trong dạy h h u học số ọc ở tiể ọc.
Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ v v n d n t ng tề ậ ụng suy luận quy nạp, suy luậ ươ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
D y hạ ọc các quy tắc thực hành 4 phép tính ;
D y h tạ ọc quy tắc so sánh các số ự nhiên ;
Tính giá tr . ị biểu thức số
Hoạt động 7.2. Tìm hiểu các phép suy luận trong dạy học hình học ở
tiểu học.
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 :
Nêu các phép suy lu ng dùng trong dận thườ ạy h u học hình học ở tiể ọc.
Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ v v n d n t ng tề ậ ụng suy luận quy nạp, suy luậ ươ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
Trong dạy học hình thành các công thức tính chu vi của các hình ;
D y hạ ọc hình thành công thức tính diện tích các hình ;
D y hạ ọc hình thành công thức tính thể tích các hình ;
D y giạ ải toán có nội dung hình học.
Thông tin phản hồi
Tiểu chủ đề 2.1. Mệnh đề và các phép lôgíc
Hoạt động 1.1
1. b ; c ; f ; h
2. a, 1 b, 1 c, 0
3. a, s b, s
Hoạt động 1.2
1. a, 5 x 7 35 (s)
b, 24 chia hết cho 5 (đ)
c, Hình vuông không có bố ằn cạnh b ng nhau (s)
d, Trời không mưa
e, An không cao hơn Thọ
f, 40 30 (đ)
2. a, “15 nh n 20” (ỏ hơ đ)
“15 lớn h n hoơ ặc bằng 20” (s)
“15 nhỏ hơn 20” (đ)
“15 nhỏ hơn 20” (đ)
b, “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
(đ)
Tương tự câu a
Hoạt động 1.3
1. a, 5 lớn h ng nh h n 10 ơn 3 như ỏ ơ
b, 5 không l n h n 3 nh ng nh h n 10 ớ ơ ư ỏ ơ
c, d tương t ự
b, ; c, tương tự
Hoạt động 1.6
1. a, Đ b, S c, Đ d, S
e, Đ f, S
2. a, “Số ự t nhiên a có tổng các chữ ố s chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó chia hết
cho 3”
b, “Số ự t nhiên a có tổng các chữ ố s chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó không
chia hết cho 3”
c , d tương t ự
3. G (b a) = 0 G (a) = 0 và G(b) = 0
4. G (a b) = G (a b) = 0 và G (a b) = G (b a) = 1
Tiểu chủ đề 2.2. Các bài toán về suy luận đơn giản
Hoạt động 2.1
Xem bài 1 n bài 15 (trang 91 đế đến trang 97 - trong sách suy luận lôgíc)
Hoạt động 2.2
Xem bài 16 đến 41 (trang 97 đến trang 102 - suy luận lôgíc)
Hoạt động 2.3
Xem bài 42 đến 52 trang 102 đến 104
Hoạt động 2.4
Xem bài 53 đến 70 trang 105 đến 107
2. a, a b b, a b
c, a b d, a b
e, a b
3. T ng t ươ ự
4. T p c nh ứ giác ABCD có các cặ ạ đối song song và bằng nhau, có hai đường chéo
cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường, có hai góc kề bù nhau và hai góc đối diện
bằng nhau
a, Mệnh úng đề đ
b, Mệnh đề sai
Hoạt động 1.4
1. a, Đ b, Đ c, S d, S
2. a, 44 chia hết cho 2 ho c 3 (ặ Đ)
b, 44 chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 (Đ)
c, d, e, b, g tương t ự
Hoạt động 1.5
1. a, Đ b, Đ c, S d, Đ e, Đ
2. a, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó chia hết chia hết cho 2 và 3 (Đ)
b, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho 2 ho c 3 (S) ặ
c, d, e, f, g, h t ng t ươ ự
3. a, G (a) = G (b) = 1 hoặc G (a) = 0, G (b) = 1
Tiểu chủ đề 2.3. Công thức
Hoạt động 3.1
1. Xem bài giảng
2. a, Đ b, S c, S
Hoạt động 3.2
1. a, Đ b, S
c, d, e, f, g t ng t ươ ự
2. a, (p q p q) q q
b, (p q) (p p) p p
c, (p q) (p q) p q
Hoạt động 3.3
1. a, + Nếu một số chia hết cho 5 thì nó chia hết cho 15 (S)
+ Nếu một số không chia h t cho 5 (S) ết cho 15 thì nó không chia hế
+ Nếu một số không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
b, + Nếu một số chia hết cho 3 và 5 thì nó chia hết cho 15 (Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 3 hoặc 5
(Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 3 hoặc 5 thì nó không chia hết cho 15
(Đ)
Ta diễn nh n c đạt mệ đề trên dưới dạng kiệ ần và đủ
Mộ ố ết s chia hết cho 15 khi và chỉ khi nó chia h t cho 3 và 5
Để mộ ố đ ệ đủ ết s chia hết cho 15, iều ki n cần và là nó chia h t cho 3 và 5
Đ ầ đủ để ộ ố ếiều kiện c n và m t s chia hết cho 15 là nó chia h t cho 3 và 5
c, d tương t ự
3. a, Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau
b, Tương t ự
Hoạt động 3.4
1. G ó ợi ý: lập bảng giá trị chân lí của mỗi công thức đ
Tiểu chủ đề 2.4. Quy tắc suy luận
Hoạt động 4.1
Xem ví dụ 4.1 và 4.2
Tiểu chủ đề 2.5. Hàm mệnh nh nh đề - mệ đề t ng quát và mổ ệ
đề tồn tại
Hoạt động 5.1
1. a, Miền nh đúng của hàm mệ đề này là tập các số ự ữ ố t nhiên có ch s hàng
đơn vị bằng 0 hoặc 5
b, Miền nh t sđúng của hàm mệ đề này là tập các số ự nhiên có chữ ố hàng
đơn vị bằng 4 hoặc 9
c, d tương t ự
2. a, MĐ = (- ; )
b, MĐ = -1 ;
c, MĐ = R
d, MĐ = (-1 ; 11)
Hoạt động 5.2
1. a, Tồn tại s i mố thực x sao cho vớ ọ ố ựi s th c y ta có:
x + y2 > 1
Mệnh ph đề ủ định: Với mọi số thực x tồn tại số thực y sao cho x + y2 1
b, c, d tương tự
2. Chẳng h n hình bình hành ạ
3. a, Ta chỉ ra mệnh ph t n tđề ủ định: Mọi số ự nhiên tồ ại một số chẵn l n hớ ơn
nó
Thật v i sậy, vớ ố ự t nhiên ta chọn 2n là số chẵn l n h n nó ớ ơ
b,c tương t ự
Tiểu chủ đề 2.6. Suy luận và chứng minh
Hoạt động 6.1
1 a, d b, q c, d,
Hoạt động 6.2
1. Gợi ý: xem ví dụ 6.10
2. Xem ví dụ 6.13
4. Xem ví dụ 6.12
| 1/202
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NGUYỄN TIẾN TRUNG GIÁO TRÌNH
Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp Và Logic Toán
Ebook.moet.gov.vn, 2008
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO Tổng biên tập LÊ A
Biên tập nội dung: NGUYỄN TIẾN TRUNG
Thiết kế sách và Biên tập mĩ thuật: VIỆT QUANG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG
LỜI NÓI ĐẦU
Để góp phần đổi mới công tác đào tạo và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự
án phát triển giáo viên tiểu học đã tổ chức biên soạn các môđun đào tạo và
bồi dửỡng giáo viên theo chửơng trình Cao đẳng Sử phạm và chửơng trình
liên thông từ Trung học Sử phạm lên Cao đẳng Sử phạm. Việc biên soạn
các môđun nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật
những đổi mới về nội dung, phửơng pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết
quả giáo dục tiểu học theo chửơng trình, SGK tiểu học mới
Điểm mới của tài liệu viết theo môđun là việc thiết kế các hoạt động, nhằm
tích cực hoá các hoạt động của ngửời học, kích thích óc sáng tạo và khả
năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả học tập của ngửời
học; chú trọng sử dụng nhiều phửơng tiện truyền đạt khác nhau (tài liệu in,
băng hình,...) giúp cho ngửời học ễ d học, ễ
d hiểu và gây đửợc hứng thú học tập.
Môđun Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgic toán do nhóm tác giả trửờng Đại
học Sử phạm Hà Nội biên soạn.
Môđun Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgic toán có thời lửợng bằng 2 đơn vị
học trình, bao gồm 2 chủ đề:
Chủ đề 1: Cơ sở của lí thuyết tập hợp
Chủ đề 2: Cơ sở của lôgic toán
Lần đầu tiên, tài liệu đửợc biên soạn theo chửơng trình và phửơng pháp
mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban điều phối
Dự án rất mong nhận đửợc những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc,
đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên các trửờng Sử phạm, giáo viên tiểu học trong cả nửớc. Xin trân trọng cảm ơn!
DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC
CHỦ ĐỀ 1
Cơ sở lí thuyết tập hợp I.Mục tiêu
Kiến thức : Người học
− Hiểu các khái niệm về tập hợp, quan hệ, ánh xạ và biết xây dựng các ví
dụ minh hoạ cho mỗi khái niệm đó.
− Nắm được định nghĩa của các phép toán trên tập hợp và ánh xạ. Phát biểu
và chứng minh các tính chất của chúng Kỹ năng :
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng
− Thiết lập các phép toán trên tập hợp và ánh ạ x
− Vận dụng các kiến thức về tập hợp và ánh ạ x trong toán học
− Các quan hệ tương đương và thứ tự Thái độ:
− Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí tập hợp toán dạy và học toán
II. Giới thiệu chủ đề : STT
Tên tiểu chủ đề Trang 1 Tập hợp 2
Các phép toán trên tập hợp 3 Quan hệ 4 Quan hệ tương đương 5 Quan hệ thứ tự 6 Ánh xạ 7
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược 8
ảnh và tạo ảnh qua một ánh xạ
III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun Kiến thức:
Nắm được kiến thức toán học trong chương trình toán PTTH Đồ dùng dạy học:
Một số thiết bị sử dụng trong khi ổ
t chức các hoạt động dạy học: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, bảng phoóc mi ca... Tài liệu tham khảo:
Các tài liệu trong thư mục của giáo trình
IV. Nội dung (Xem các tiểu chủ đề 1.1 – 1.8) Form at t ed: Heading02
Tài liệu tham khảo Form at t ed: Heading01
[1] Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài: Số học và lôgíc toán – NXB Giáo dục – 1996.
[2]Trần Diên Hiển : Các bài toán về suy luận lôgíc – NXB Giáo dục – 2001.
[3] Trần Diên Hiển : Lôgíc giải trí – NXB Khoa học và kĩ thuật – 1993.
[4] Đỗ Đình Hoan và tập t ể
h tác giả : Toán 1 – NXB giáo dục – 2004.
[5] Đỗ Đình Hoan và tập t ể h tác g ả
i : Toán 2 – NXB Giáo dục – 2004.
[6] Đỗ Đình Hoan và tập t ể
h tác giả : Toán 3 – NXB Giáo dục – 2004
[7] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 4 – NXB Giáo dục – 2005.
[8] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 5 – NXB Giáo dục – 2004.
[9] Xavier Roegiers : Guide Mathématique de base Pari – 1993.
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.1. TẬP HỢP
Thông tin cơ bản
1. Khái niệm tập hợp − Tập con − các tập hợp bằng nhau 1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học. Khái niệm tập
hợp không được định nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ: Tập hợp các
học sinh của một lớp học, tập hợp các cầu thủ của một đội bóng, tập hợp
các cuốn sách trên một giá sách, tập hợp các số tự nhiên,...
Mụn toán học nghiên cứu các tính chất chung của tập hợp, không phụ thuộc
vào tính chất của các đối tượng cấu thành nên tập hợp được xem là cơ sở
của Toán học hiện đại, và được gọi là lí thuyết tập hợp. Khác với nhiều
ngành Toán học khác mà sự phát triển là kết q ả
u có được từ những cố gắng
không mệt mỏi của nhiều tài năng toán học, cuộc đấu tranh với “vô cực” và
tiếp theo đó, sự sáng tạo nên lí thuyết tập hợp là công trình của chỉ một
người: Gioócgiơ − Căngtơ (Georg Cantor 1845 − 1918), nhà toán học Đức gốc Do Thái.
Các đối tượng cấu thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp
đó. Người ta thường kí hiệu các tập hợp bởi các chữ A, B, C, X, Y, Z,... và
các phần tử của tập hợp bởi các chữ a, b, c, x, y, z, ...
Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a A (đọc là a thuộc tập hợp A).
Nếu a không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta v ế i t a A (đọc là a
không thuộc tập hợp A).
Có hai cách xác định một tập hợp:
z Cách thứ nhất là liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. ậ T p hợp A gồm
bốn số tự nhiên 1, 3, 5, 7 được viết là: A = {1, 3, 5, 7}.
Tập hợp B gồm ba phần tử là các chữ a, b, c được viết là: B = {a, b, c}.
z Cách thứ hai là nêu lên một tính chất chung của các phần tử của tập hợp,
nhờ đó có thể nhận biết được các phần tử của tập hợp và các đối tượng
không phải là những phần tử của nó. Chẳng hạn, Ví dụ 1.1 :
Cho tập hợp C các ước số của 8. Khi đó, các số 1, 2, 4, 8 là n ữ h ng phần tử
của C, còn các số 3, 5, 6, 13 không phải là những phần tử của C. Người ta thường viết:
C = {x : x là ước số của 8},
đọc là C là tập hợp các phần tử x sao cho x là ước số của 8 : x biểu thị mỗi
phần tử của tập hợp C. Ví dụ 1.2 :
Nếu D là tập hợp các nước thuộc châu á thì Việt Nam, Trung Quốc, Lào là
những phần tử của tập hợp D, còn Pháp, Angiêri, Canađa không phải là
những phần tử của D. Ta viết:
D = {x : x là nước thuộc châu á}
Người ta thường biểu thị tập hợp A bởi một đường cong kín gọi là lược đồ ven (Venn). Hình 1
Nếu chẳng hạn tập hợp Acó 4 phần tử a, b, c, d thì trên lược đồ đó mỗi phần tử đã đư c
ợ biểu diễn bởi một điểm nằm trong đư n ờ g cong kín.
Các điểm e và f biểu diễn những đối tượng không phải là phần tử của tập hợp A.
Các tập hợp trong các ví dụ đã nêu chỉ có một số hữu hạn phần tử. Ta gọi
chúng là những tập hợp hữu hạn.
Tập hợp có vô số phần tử được gọi là tập hợp vô hạn.
Chẳng hạn, tập hợp các hình chữ nhật có các kích thước tuỳ ý là một tập
hợp vô hạn, vì ta không thể l ệ
i t kê tất cả các phần tử của nó. Tương tự, tập
hợp A các số tự nhiên bội của 3 ũ c ng là ộ m t tập hợp vô hạn.
Tập hợp A được biểu diễn bởi lược đồ Ven trong Hình 2. Vì không thể biểu
diễn tất cả các phần tử của A, ta chỉ đưa vào hình một ố s điểm có tên và
một số điểm khác không có tên. Ngoài ra còn ghi chú thêm rằng sự biểu
diễn tập hợp là không đầy đủ. Người ta cũng viết: A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} Hình 2
Hiển nhiên mỗi phần tử tiếp sau đư c
ợ xác định một cách dễ dàng.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là φ.
Chẳng hạn, tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 2 = 0 là tập hợp rỗng. Ta viết: {x ∈ R : x2 + 2 = 0} = φ.
(R là tập hợp các số thực).
Tập hợp các số (tự nhiên) chẵn là ước số của 15 là tập hợp rỗng:
{x ∈ N: x là ước số chẵn của 15} = φ.
Tập hợp chỉ có một phần tử gọi là tập một p ầ
h n tử. Chẳng hạn, tập hợp các
thủ đô của một nước là tập một phần tử.
Tập hợp chỉ có một phần tử a được kí hiệu là {a}.
Như vậy tập hợp E các nghiệm thực của phương trình 3x − 21 = 0 là ậ t p
một phần tử: E = {7}. Tập hợp T các tỉ số của độ dài mỗi đường tròn và
đường kính của nó là tập ộ m t phần tử: T = {π}.
1.2. Tập con của một tập hợp  Các tập hợp bằng nhau Form at t ed: Heading04
a) Tập hợp A được gọi là một tập con của tập hợp X nếu mọi phần tử của A
Form at t ed: Font: Times New Roman đều là những phần ử t của X. Hình 3 Ví dụ 1.3 :
Tập hợp A = {a, b, c, d} là tập hợp con của tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}. Khi đó ta viết:
(1) A ⊂ X (đọc là A chứa trong X), hoặc
(2) X ⊃ A (đọc là X chứa A).
Ký hiệu ⊂ được gọi là dấu bao hàm. Hệ thức (1) hoặc (2) gọi là một bao hàm thức. Ví dụ 1.4 :
Tập hợp C các hình chữ nhật là một tập con của tập hợp B các hình bình
hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành: C ⊂ B (C chứa trong B). Hình 4 Ví dụ 1.5 ;
Tập hợp N các số tự nhiên là một tập con của tập hợp Z các số nguyên: N ⊂ Z.
Tập hợp Q các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp R các số t ự h c (vì mỗi số
hữu tỉ là một số t ự h c): Q ⊂ R.
Hiển nhiên tập hợp X là một tập hợp con của X. ế
N u A là một tập con của
X và A ≠ X thì A gọi là một tập con thực sự của X. Trong ví dụ 3, A là một
tập con thực sự của X. Trong Ví dụ 4, C là một tập thực sự của B.
Tập hợp A không phải là một tập hợp con của tập hợp X nếu có ít nhất một
phần tử của A không thuộc X. Khi đó, ta viết: A ⊄ X (hoặc X ⊃ A)
và biểu thị quan hệ này bằng lược đồ trong Hình 5. Hình 5 Ví dụ 1.6 : Nếu A = {a, b, c, d, e} và X = {a, b, c, f, g} thì A ⊄ X. Hình 6 Ví dụ 1.7 :
Tập hợp C các hình chữ nhật không phải là một tập con của tập hợp T các hình thoi: C ⊄ T.
Thật vậy, hình chữ nhật có chiều dài khác chiều rộng không phải là một hình thoi.
b) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A là một
phần tử của B và mỗi phần tử của B là một phần tử của A. Khi đó ta viết A = B. Ví dụ 1.8 :
Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 - 1 = 0 bằng tập hợp gồm hai số -1 và 1:
{x ∈ R : x2 − 1 = 0} = {−1, 1}. Ví dụ 1.9 :
Nếu A là tập hợp các số nguyên chia hết cho 2 và 3 và B là tập hợp các số
nguyên chia hết cho 6 thì A = B. Thật vậy, một số nguyên chia hết đồng
thời cho 2 và 3 khi và chỉ khi nó chia hết cho 6. Như vậy một ố s nguyên là
một phần tử của A khi và chỉ khi nó là một phần tử của B. Do đó A và B có cùng các phần tử.
Từ định nghĩa tập con và các tập hợp ằ b ng nhau dễ dàng suy ra:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có: (i) φ ⊂ A, (ii) A ⊂ A,
(iii) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C,
(iv) Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B,
(v) Nếu A ≠ B thì A ⊄ B hoặc B A.
(ii) gọi là tính phản xạ, (iii) gọi là tính bắc cầu, (iv) gọi là tính phản ð?i xứng).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (iv) và (v).
(iv) Giả sử A ⊂ B và B ⊂ A. Khi đó mỗi phần tử của A là một phần tử của
B và mỗi phần tử của B là ộ
m t phần tử của A. Theo định nghĩa của hai tập
hợp bằng nhau, từ đó suy ra A = B.
(v) Ta chứng minh (v) suy ra từ (iv) bằng phản chứng. Thật vậy, nếu A ⊂ B
và B ⊂ A thì A = B. Điều này trái với giả thiết.
1.3. Tập hợp những tập hợp Form at t ed: Heading04
Ta xem một đội bóng của một câu lạc bộ bóng đá Anh, kí hiệu bởi A, là
một tập hợp cầu thủ. Các phần tử của tập hợp này là những cầu thủ: A = {a , a , ..., am}. 1 2
Ta cũng có thể xét tập hợp E các đội bóng ủ
c a các câu lạc bộ bóng đá Anh.
Các phần tử của tập hợp này là n ữ
h ng đội bóng: Acxơnan (Arsenal),
Manchétxtơ − Iunaitiđơ (Manchester−United), Trenxi (Chelsea), ..., Niu −
Cátxơn (New − Castle), Livơpunlơ (Liverpool). E = {A, M, T, ...., N, L} Hình 7
Tập hợp E vừa nêu là một tập hợp những tập hợp vì các phần của của E là những tập hợp. Ta có:
a ∈ A : a là một cầu thủ của đội bóng A, 1 1
A ∈ E : đội bóng A thuộc tập hợp các đội bóng của các câu lạc bộ bóng đá Anh.
Không thể viết a 1∈ E vì mỗi phần tử của E là một đội bóng chứ không phải là một cầu thủ. Ta xét một ví dụ khác:
Trường trung học phổ thông Nguyễn Trãi có 5 lớp 10: 10A, 10B, 10C, 10D và 10E.
Ta xem lớp 10A, kí hiệu bởi A, là một tập hợp học sinh. Các phần tử của
tập hợp này là những học sinh. Ta viết: A = {a , a , ..., am}. 1 2
Ta cũng có thể nói đến tập hợp E các lớp khối 10 của trường. Các phần tử
của tập hợp này là các lớp khối 10 của trường. E = {A, B, C, D, E}.
Tập hợp các lớp khối 10 của trường là một tập hợp những tập hợp.
1.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn Form at t ed: Heading04
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử từ
A có cả thảy bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n = 0, 1, 2, 3, 4.
a) Với n = 0, ta có A = φ.
Hiển nhiên φ chỉ có một tập con; đó là chính nó, tập hợp φ. Vậy tập hợp
không có phần tử nào có một tập con. b) n = 1.
Giả sử A là tập hợp một phần tử: A = {a} (a là phần tử duy nhất của A).
Khi đó, các tập hợp φ và {a} là tất cả các tập con của A.
Vậy A có cả thảy 2 tập con.
Nếu kí hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp A thì ta có:
P(φ) = {φ} và P ({a}) = {φ, {a}}. c) n = 2.
Giả sử tập hợp A có 2 phần tử a và b: A = {a, b}. Khi đó A có các tập con sau: φ, {a{, {b} và {a, b}.
Đó là tất cả các tập con của A:
P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
Vậy A có cả thảy 4 tập con. d) n = 3.
Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời dự khai mạc một
cuộc triển lãm (ba người được mời độc lập với nhau).
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng (a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẽ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân cành đ u
ề có được từ cặp “đến, không”. Hình 8
Trên Hình 8, ta thấy có cả thảy 8 khả năng, mỗi k ả h năng tương ứng với
một tập con của A = {a, b, c}, kể cả tập con là φ.
Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; φ}.
Vậy tập hợp A = {a, b, c} có cả thảy 8 tập con. e) n = 4.
Giả sử tập hợp B có bốn phần tử a, b, c, d : B = {a, b, c, d{. Có thể nghĩ đến
một người thứ tư, d, cũng được mời đến dự khai mạc triển lãm. Khi đó, từ
mỗi trường hợp trong 8 trường hợp vừa nêu trong d), sẽ có hai khả năng,
tuỳ thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc. Do đó tập hợp tất cả
các tập con của tập hợp B là: P (B) = P ({a, b, c, d})
= {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b; c}; {a}; {b}; {c}; φ;
{a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {d}}.
Vậy tập hợp B = {a, b, c, d} có cả thảy 16 tập con.
Đó là 8 tập con của tập hợp A = {a, b, c} và 8 tập hợp mới, nhận được bằng
cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A. Như vậy,
Tập hợp φ có cả thảy 1 = 20 tập con.
Tập hợp có 1 phần tử có cả thảy 2 = 21 tập con.
Tập hợp có 2 phần tử có cả thảy 4 = 22 tập con.
Tập hợp có 3 phần tử có cả thảy 8 = 23 tập con.
Tập hợp có 4 phần tử có cả thảy 16 = 24 tập hợp con, ...
Bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng tập hợp có n
phần tử có cả thảy 2n tập hợp con.
Hoạt động 1.1. tìm hiểu các khái niệm cơ bản của tập hợp
Sinh viiên tự đọc thông tin nguồn để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây:
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về:
− Khái niệm tập hợp, các phần tử của một tập hợp.
− Hai cách xác định một tập hợp:
• Liệt kê các phần tử của tập hợp.
• Nêu lên được một tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
− Tập hợp φ (cho các ví dụ về tập hợp φ).
− Cách biểu diễn một tập hợp ( ữ
h u hạn và vô hạn) bằng lược đồ Ven. Nhiệm vụ 2
Thảo luận để có thể giải thích đư c ợ các nội dung sau:
− Định nghĩa tập con của một tập hợp và các tập hợp bằng nhau. (Phân biệt
được các phần tử và các tập con của một tập hợp cho trước).
− Cách biểu diễn tập con của một tập hợp bằng lược đồ Ven.
− Một vài tính chất ủ
c a quan hệ bao hàm. (Nêu và chứng minh được các tính chất đó). Nhiệm vụ 3:
− Hiểu được thế nào là tập hợp của một số tập hợp. (Hãy cho một vài ví dụ
về tập hợp những tập hợp).
− Liệt kê được tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử với n = 1, 2, 3, 4, 5.
− Biết cách tính số các tập hợp con của một tập hợp hữu hạn.
Đánh giá hoạt động 1.1
1. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3 lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40;
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 30 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập hợp các ước tự nhiên của 36.
2. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a) A = {x ∈ N : 2x2 − 15x + 13 < 0};
b) B = {x ∈⏐R: 2x3 + 5x2 + 3x = 0};
c) C = {x ∈ Z : 6x2 + x − 1 = 0}. 3. Cho các tập hợp
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};
B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}; 2 4 8 16 32 64 − , , − , ,− , 1 1 1 1 1 1 C = {1, }
Hãy nêu một tính chất đặc trưng của các phần tử của mỗi tập hợp đã cho
(tức là tính chất, nhờ đó nhận biết được một đối tượng là phần tử hay không
phải là phần tử của tập hợp đã cho). 4. Cho các tập hợp
A = {x ∈ N : x4 − 4 < 0};
B = {x ∈ N : 2x2 − x < 10};
C = {x ∈ R : x2 + 20 < 11};
D = {x ∈ R : (x2 + 1) (2x − 1) > 0}. Chứng minh rằng: A ⊂ B và C ⊂ D.
5. Cho A là tập hợp các ước tự nhiên của 30 và
B = {x ∈ N : 4x2 − 4x > 3}.
Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: ± A ⊂ B ; ± B ⊂ A; ± A ⊄ B; ± B ⊂ A
6. Gọi C là tập hợp các tam giác cân, D là tập hợp các tam giác đều và V là
tập hợp các tam giác vuông. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống. ± V ⊂ C; ± C ⊂ V; ± V ⊄ C; ± C ⊂ V ± D ⊂ C; ± C ⊂ D; ± D ⊄ V; ± V ⊂ D
7. Gọi A là tập hợp các chữ số 135x sao cho số tự nhiên chia hết cho 4 và
B là tập hợp các chữ số 137y sao cho số tự nhiên chia hết cho 2. Chứng minh rằng: A = B
8. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: ± a ∈ A ± {a} ∈ A
± {a} ∈ A ± {a, b} ∈ A
± {a, b} ⊂ A ± b ⊂ {b, c}
± {b} ⊂ {b, c} ± {b} ⊂ {b, c}
9. Cho tập hợp A = {a , a , a }. Gọi P (A) là tập hợp tất cả các tập hợp con 1 2 3 của tập hợp A.
a) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(A).
b) P(A) có bao nhiêu phần tử ?
10. Cho tập hợp B = {a , a , a , a }. Gọi P(B) là tập hợp tất cả các tập hợp 1 2 3 4
con của tập hợp Aa) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(B).
b) P(B) có bao nhiêu phần tử?
11. Cho các tập hợp A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d}. Trong hai cách viết sau
đây, cái nào đúng, cái nào sai?
a) P(A) ∈ P(B) ; b) P(A) ∈ P(B). 12. Bằng phư n
ơ g pháp quy nạp, hãy chứng minh rằng nếu tập hợp A có n
phần tử thì nó có cả thảy 2n tập con. Form at t ed: Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP
Thông tin cơ bản
2.1. Giao của các tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử chung
của hai tập hợp đó, kí hiệu là: A ∩ B (đọc là A giao B)
Từ định nghĩa của A ∩ B suy ra rằng x ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B. Ta viết:
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. Ví dụ 2.1 :
Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 4 và B là tập hợp các bội tự nhiên của 6:
A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}; B = {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
thì A ∩ B là tập hợp các bội tự nhiên của 12: A ∩ B = {0, 12, 24, 36...} Hình 9 Ví dụ 2.2 : Cho tập hợp
A = {x ∈ ⏐R : 2x − 1 < 0}.
Tìm A ∩ N (N là tập hợp các số tự nhiên). Ta có: A = {x ∈ ⏐R : x < } Do đó: A ∩ N = {0}. Hình 10
Hai tập hợp A và B gọi là không giao nhau hoặc rời nhau nếu A ∩ B = φ. Ví dụ 2.3 :
Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác vuông thì
D và V là hai tập hợp rời nhau.
Thật vậy, một tam giác không thể vừa đều ừ v a vuông. Do đó: D ∩ V = φ
Phần có các đường gạch chéo trong Hình 11 biểu thị tập hợp φ. Hình 11
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A B x ∉ A hoặc x ∉ B.
b) Đối với hai tập hợp A và B bất kì, ta có lược đồ Ven dưới đây. Lược đồ
chỉ ra bốn miền được đánh số I, II, III, IV. Các miền này được làm rõ bởi một cây chẽ đôi. Hình 12
Người ta cũng biểu diễn bốn miền nay trong một bảng của hai tập hợp A,
B. Bảng này được gọi là lược đồ Carôlơ (Caroll). Hình 13 Ví dụ 2.4 :
Gọi A là tập hợp các ước tự nhiên của 6 và B là tập hợp các ước tự nhiên
của 8. Các miền I, II, III, IV được cho trong lược đồ Ven là lược đồ Carôlơ trong Hình 13.
Một số tính chất của phép lấy giao các tập hợp
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp, dễ dàng chứng minh được các đẳng thức sau: c) Với các tập hợp ấ b t kì A, B, C, ta có: (i) A ∩ B = B ∩ A, (ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (iii) φ ∩ A = φ, (iv) A ∩ A = A
Đẳng thức (ii) cho phép, khi ấ l y giao của một ố
s hữu hạn tập hợp, bỏ các
dấu ngoặc hoặc chỉ thứ tự phép lấy giao.
Quan hệ giữa bao hàm thức và giao của các tập hợp được cho trong định lí sau:
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có: (i) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
(ii) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ B ∩ C,
(iii) Nếu A ∩ B và C ∩ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D, (iv) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A. Chứng minh:
(ii) giả sử A ⊂ B, A ⊂ C và x là một phần tử bất kì của A. Khi đó, x ∈ B và
x ∈ C; do đó x ∈ B ∩ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ B, do đó x ∈ A ∩ B . Từ
đó ta có A ⊂ A ∩ B. Mặt khác, theo (i), A ∩ B ⊂ A. Từ hai bao hàm thức trên suy ra A ∩ B = A.
(⇐) giả sử A ∩ B = A. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ A ∩ B ; do đó x ∈ B. Vậy A ⊂ B .
e) Các mảnh lôgic Điênétxơ (Diénès) Đó là một ộ
b gồm 48 mảnh gỗ, đôi ộ
m t được phân biệt bởi ít nhất là một
thuộc tính (tiêu chuẩn) và nhiều nhất là bốn thuộc tính.
Mỗi mảnh gỗ được xác định bởi bốn thuộc tính:
Có 24 mảnh cùng độ dày.
Mỗi mảnh được xác định bởi bốn chữ tượng trưng cho bốn th ộ u c tính, nhờ
đó phân biệt được nó với các mảnh khác. Bốn th ộ
u c tính được nhắc đến theo thứ tự sau:
Hình dạng − Độ lớn − Màu sắc − Độ dày. Hình 14 Hình 14 Chẳng hạn, VLĐD hay CBXM
Hình vuông lớn đỏ dày Hình chữ nhật bé xanh mỏng.
Tập hợp tất cả các mảnh lôgic Điênétxơ được kí hiệu là L0
Các tập con những mảnh lôgic được kí hiệu bởi một, hai hoặc ba chữ.
Chẳng hạn, V là tập hợp các mảnh hình vuông và XM là tập hợp các mảnh
xanh mỏng. Lược đồ Ven của hai tập hợp này được cho trong Hình 15. Dễ thấy.
V ∩ XM = {x : x là một mảnh vuông xanh mỏng} = {VBXM, VLXM} Hình 15
2.2. Hợp của các tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử thuộc ít
nhất một trong hai tập hợp đó, kí hiệu là A ∪ B (đọc là A hợp B).
Từ định nghĩa của A ∪ B suy ra rằng:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. Ví dụ 2.5 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} Ví dụ 2.6 :
Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp các số t ự h c.
Hợp của tập hợp Z các số nguyên và tạp hợp Q các số hữu tỉ là tập hợp Q: Z ∪ Q = Q.
Từ định nghĩa hợp của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A và x ∉ B. Ví dụ 2.7 :
Xét tập hợp T các mảnh tam giác và tập hợp X các mảnh có màu xanh
trong bộ các mảnh Lôgic Điênétxơ. Khi đó T ∪ X là tập hợp các phần tử
thuộc T hoặc thuộc X. Đó là tập hợp các mảnh hình tam giác hoặc có màu xanh. Hình 16
TUX là tập hợp các mảnh tam giác hoặc xanh.
Một số tính chất của phép lấy hợp các tập hợp
Từ định nghĩa của hợp các tập hợp dễ dàng suy ra:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, (i) A ∪ B = B ∪ A, (ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (iii) φ ∪ A = A, (iv) A ∪ A = A.
Đẳng thứ (ii) cho phép, khi lấy hợp của một ố
s hữu hạn tập hợp, bỏ các dấu
ngoặc chỉ thứ tự các phép lấy hợp.
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hợp được cho trong định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, (i) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,
(ii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C,
(iii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì A B ⊂ C ∪ D, (iv) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B. Chứng minh
(ii) giả sử A ⊂ C và B ⊂ C. Khi đó, nếu x ∈ A ⊂ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B.
Do đó x ∈ C. Vậy A ∪ B ⊂ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A ∪ B thì x B hoặc x A B, do đó
x B. Vậy A B B. Mặt khác, theo (i), ta có B A B. Từ hai bao hàm thức
vừa nêu suy ra A ∪ B = B.
(⇐) Giả sử A ∪ B = B. Khi đó, theo (i), ta có: A ⊂ A ∪ B = B.
Định lí sau nêu lên quan hệ giữa hai phép ấ
l y hợp và giao của các tập ợ h p.
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, (i) A ∩ (A ∪ B) = A, (ii) (A ∩ B) ∪ B = B,
(iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Chứng minh
(i) Vì A ⊂ A ∪ B nên A ∩ (A ∪ B) = A (theo (iv) trong 1.d)).
(ii) Vì A ∩ B ⊂ B nên (A ∩ B) ∪ B = B (theo (iv) trong c)
(iii) Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C.
Do đó x ∈ A và x ∈ B hoặc x ∈ C. Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B. Do
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Tương tự, nếu x A và x C thì x ∪ A ∩ C. DO
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Vậy: A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1)
Đảo lại, nếu x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) thì x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C.
Nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B ⊂ B ∪ C; do đó x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Nếu x ∈ A ∩ C thì, chứng minh tương tự, ta cũng được x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vậy: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) (2)
Từ hai bao hàm thức (1) và (2) suy ra đẳng thức trong (iii) cần chứng minh:
(iv) được chứng minh tương tự
Công thức (iii) cho thấy phép hợp có tính phân phối đối với phép giao;
công thức (iv) cho thấy phép giao có tính phân phối đối với phép hợp.
2.3. Hiệu của hai tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B, kí hiệu là A \ B (đọc là A trừ B).
Từ định nghĩa của A \ B suy ra:
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B.
Ví dụ 2.8 : Cho hai tập hợp:
A = {a, b, c, d, e, f}, B = (c, e, g, h, k}. Khi đó: A \ B = {a, b, d, f} Ví dụ 2.9 :
Gọi C là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi. Khi đó, C \
T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi (Hình 18). Hình 17 Hình 18
Đó cũng chính là tập hợp các hình chữ nhật mà không p ả h i là hình vuông. Ví dụ 2.10 :
Hiệu của tập hợp các số thực và tập hợp các số hữu ỉ
t là tập hợp các số vô
tỉ. Hiệu của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp Z là tập hợp rỗng: N \ Z = φ.
Từ định nghĩa hiệu hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A \ B ⇔ x ∉ A hoặc x ∈ B.
Một số tính chất của phép trừ
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hiệu hai tập hợp được cho trong định lí sau:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có: (i) A \ B ⊂ A,
(ii) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A \ D ⊂ B \ C,
(iii) Nếu C ⊂ D thì A \ D A \ C, (iv) A ⊂ B ⇔ A \ B = φ. Chứng minh:
(ii) Nếu x ∈ A \ D thì x ∈ A và x ∉ D. Vì A ⊂ B và x ∈ A nên x ∈ B. Vì C
⊂ D và x ∉ D nên x ∉ C. Như vậy, ta có x ∈ B và x ∉ C; do đó x ∈ B \ C. Vậy A \ D ⊂ B \ C.
(iii) Vì A ⊂ A nên trong (ii), thay B bởi A, ta được (iii).
(iv) suy ra từ định nghĩa hiệu của hai tập hợp.
Quan hệ giữa phép trừ với hai phép hợp và giao các tập hợp được nêu trong định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có: (i)
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),
(ii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
((i) và (ii) được gọi là cac công thức Moocgăng (Morgan)). Chứng minh:
(i) x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B ∪ C.
x ∉ B ∪ C ⇔ x ∉ B và x ∉ C. Do đó:
x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B và x ∉ C
⇔ x ∈ A \ B và x ∈ A \ C.
⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).
Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) được chứng minh tương tự.
2.4. Không gian. Phần bù của một tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Trong các ứng dụng của lí thuyết tập hợp, các tập hợp được xét thường là
các tập con của một tập hợp X cho trước. Tập hợp X được gọi là không gian.
Chẳng hạn, trong số học, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp N các số
tự nhiên. Khi đó, ta có không gian N. Trong giải tích, tập hợp ⏐R các số
thực được xem là không gian và trong hình học, tập hợp các điểm của
không gian Ơclit được xem là không gian.
Khi nghiên cứu các tập con của một không gian X, người ta thường đồng
nhất một tập hợp con A của X với một tính chất đặc trưng T của các phần
tử của A: Chỉ các phần tử của A có tính chất T, các phần tử khác của X
không có tính chất đó. Khi đó, thay cho x ∈ A, ta nói x có tính chất T.
Chẳng hạn, tập hợp P các số nguyên tố là một tập hợp con của không gian
N các số tự nhiên. Thay cho x P, ta nói rằng x là một ố s nguyên tố. Tương
tự, tập hợp N các nghiệm thực của phương trình (x2 − 2) (x2 + x − 6) = 0 là
một tập hợp con của không gian ⏐R các số thực. Thay cho x ∈ N, là nói
rằng x là một nghiệm thực của phương trình vừa xét.
b) Giả sử X là một không gian và A là một tập con của X. Tập hợp X \ A
được gọi là phần bù của A và đ ược kí hiệu là CA. Hình 19
Chú ý rằng phần bù của một tập hợp phụ thuộc vào không gian chứa nó.
Chẳng hạn, tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4} có phần bù trong không gian N các số tự nhiên là tập ợ h p các số tự nhiên ớ
l n hơn 4, nhưng trong không gian Z
các số nguyên, phần bù của A là tập hợp gồm các số nguyên âm và các số nguyên lớn hơn 4.
Từ định nghĩa phần bù của một tập hợp suy ra ằ r ng:
Nếu X là một không gian và A ⊂ X thì với mọi x ∈ X, x ∈ CA ⇔ x ∉ A.
Một số tính chất của phần bù của tập hợp
Từ định nghĩa của phần bù một tập hợp, dễ dàng chứng minh được rằng:
c) Với các tập con bất kì A, B của không gian X, ta có: (i) X ∩ A = A, (ii) X ∪ A = X, (iii) CX = φ, (iv) Cφ = X, (v) CCA = A, (vi) A ⊂ B ⇔ CB ⊂ CA. Chứng minh
(v) Nếu x ∈ C(CA) thì x ∉ CA; do đó x ∈ A.
Vậy CCA ⊂ A. Đảo lại, nếu x ∈ A thì x ∉ CA, do đó x ∈ C(CA). Vậy A ⊂
CCA. Từ hai bao hàm thức vừa nêu suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Quan hệ giữa một tập hợp bất kì ớ v i p ầ
h n bù của nó trong không gian.
d) Với mọi tập con A của không gian X, ta có: (i) A ∪ CA = X, (ii) A ∩ CA = φ. Chứng minh
(i) Nếu x ∈ X thì x ∈ A hoặc x ∉ A, do đó x thuộc ít nhất một trong hai tập
hợp A và CA, tức là x ∈ A ∪ CA. Đảo lại, nếu x ∈ A ∪ CA thì x thuộc ít
nhất một trong hai tập hợp A và CA. Vì cả hai tập hợp này đều là những tập
hợp con của X nên x ∈ X. Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) Nếu x ∈ A ∩ CA thì x ∈ A và x ∈ CA, tức là x ∈ A và x ∉ A, điều này
là vô lí. Vậy tập hợp A ∩ CA không có phần tử nào, tức là A ∩ CA = φ.
Từ định lí 3 c) và định nghĩa phần bù của tập hợp suy ra rằng:
e) Với hai tập hợp con bất kì A, B ủ c a không gian X, ta có: (i) C(A ∪ B) = (CA ∩ CB, (ii) C(A ∩ B) = CA ∪ CB.
Như vậy, phần bù của tập hợp hai tập hợp bằng giao các phần bù của chúng
và phần bù của giao hai tập hợp bằng hợp các phần bù của chúng.
(i) và (ii) gọi là các công thức Moócgăng.
Quan hệ giữa hiệu của hai tập hợp con bất kì của một không gian với các
phép lấy phần bù, hợp và giao được nêu trong định lí sau:
f) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, ta có: (i) A \ B = A ∩ [B, (ii) A \ B = C(CA ∪ B). Chứng minh
(i) x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
⇔ x ∈ A và x ∈ [B ⇔ x ∈ A ∩ [B.
Do đó ta có đẳng thức trong (i).
(ii) Theo (v) trong c), ta có: A \ B = CC(A \ B).
Từ (i) và (ii) trong e) suy ra:
[(A \ B) = [(A ∩ [B) = [A ∪ [[B = [A ∪ B Do đó: A \ B = C(CA ∪ B)
Định lí sau thường được sử dụng trong t ự h c hành:
g) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, (i) A ⊂ B ⇔ A ∩ [B = φ,
(ii) A ⊂ B ⇔ [A ∪ B = X. Chứng minh
(i) Ta biết rằng A ⊂ B khi và chỉ khi A \ B = φ. Mặt khac,ta co A \ B = A ∩
[B (xem (i) trong f)). Từ đó suy ra đẳng thức cần c ứ h ng minh:
(ii) Theo (i), chỉ cần chứng minh
A ∩ {B = φ ⇔ [A ∪ B = X.
Thật vậy, các điều kiện sau là tương đương: A ∩ CB = φ, C(A ∩ CB) = X,
CA ∪ CCB = X (suy ra từ công thức Đờ−Mooc−găng) CA ∪ B = X b. hoạt động.
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản, sau đó thảo luận theo nhóm 2, 3 người để
thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Mỗi nhóm cử đại diện trình bày để giáo viên tổng kết: Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa giao của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm giao của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven và lược đồ Carôlơ đối với hai tập hợp A và B cho trước.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy giao các tập hợp. Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa hợp của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hợp của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hợp hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy hợp các tập hợp.
− Nắm vững quan hệ giữa phép lấy hợp và lấy giao các tập hợp. Nhiệm vụ 3: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa hiệu của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hiệu của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hiệu của hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép trừ tập hợp:
z Quan hệ giữa phép trừ và bao hàm thức.
z Quan hệ giữa phép trừ và phép lấy hợp và giao các tập hợp. Nhiệm vụ 4: Form at t ed: Heading03 − Nắm vững khái n ệ
i m không gian và định nghĩa phần bù của một tập hợp
và có kí năng thành thạo trong việc tìm phần bù của một tập hợp cho trước.
− Nắm vững một số tính chất của phần bù của tập ợ h p:
z Quan hệ giữa một tập hợp con của một không gian với phần bù của nó.
z Phép lấy phần bù của hợp và giao của hai tập hợp (các công thức Moócgăng).
z Quan hệ giữa phần bù của tập hợp và bao hàm thức.
z Quan hệ giữa phần bù của tập hợp với phép trừ các tập hợp. Form at t ed: Heading02
Đánh giá hoạt động 1. 2
1. Gọi A là tập hợp các số lẻ giữa 10 và 40 (lớn hơn 10 và nhỏ hơn 40) và B
là tập hợp các số nguyên tố giữa 10 và 40.
a) Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và B \ A.
b) Lập lược đồ Ven đối với hai tập hợp A và B.
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5.
a) Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và B \ A.
b) Lập sơ đồ Ven đối với A và B.
3. Gọi V là tập hợp các tam giác vuông và C là tập hợp các tam giác cân.
a) Tìm các tập hợp V ∩ C, V ∪ C, V \ C và C \ V.
b) Lập lược đồ Ven đối với hai tập hợp V và C.
4. Cho hai tập hợp A = {x ∈ ⏐R : |x| ≥ 5} và B = {x ∈ ⏐R : −6 ≤ x < 0}
Tìm các tập hợp A B, A B, A \ B và B \ A.
5. Tìm hai tập hợp E và F những mảnh lôgic Điênétxơ (E, F ∈ L0) trong
mỗi lược đồ dưới đây biết rằng mỗi tập hợp được xác định bởi hai th ộ u c
tính và giao E ∩ F là tập một điểm: Hình 20
6. Trong tập hợp L0 các mảnh lôgic Điênétxơ, gọi N là tập hợp các mảnh
nâu, BN là tập hợp các mảnh bé nâu và V là tập hợp các hình vuông.
a) Xác định các miền II, IV và V bằng cách nêu một tính chất đặc trưng của
các phần tử của mỗi miền.
b) Tính số phần tử của mỗi miền. Hình 21
7. Chứng minh rằng với các tập hợp bất kì A, B, ta có:
a) A \ B = A \ (A ∩ B) ; b) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); c) A \ (A \ B) = A ∩ B.
8. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì, ta có:
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;
b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;
c) (A ∪ B) \ C) = (A \ C) ∪ (B \ C);
d) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
9. Chứng minh rằng với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X,
nếu [A ∪ [B = [A và B ⊂ A thì A = B.
10. Chứng minh rằng với hai tập hợp con A và B bất kì của không gian X, A ⊂ B ⇔ [A ∩ [B = [B.
11. Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∆ B, là tập hợp các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B nhưng không thuộc đồng thời cả hai tập hợp đó:
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A). Chứng minh rằng: a) A ∆ B = φ ⇔ A = B, b) A ∆ B = B ∆ A,
c) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C),
d) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C),
e) A ∪ B = A ∆ B ∆ (A ∩ B), f) A \ B = A ∆ (A ∩ B).
12. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì, A ∆ B = C ⇒ B = A ∆ C.
13. Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, ta định nghĩa hợp và
giao của hai tập hợp đó dựa vào quan hệ bao hàm như sau:
A B là tập con nhỏ nhất của X chứa A và B,
A B là tập con lớn nhất của X chứa trong A và trong B.
a) Chứng minh các định nghĩa này tương đương với các định nghĩa đã biết.
b) áp dụng các định nghĩa vừa nêu, hãy chứng minh các khẳng định sau: (i) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B,
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(iii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
A, B, C là những tập con bất kì của không gian X.
14. Cho không gian (tập hợp X). Tập hợp các tập con A , A , ..., Am gọi là 1 2
một phép phân hoạch của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn. (i)
Ai ≠ φ với i = 1, 2, ..., m,
(ii) Ai ∩ Aj = φ với i ≠ j (tức là các tập hợp A , A , ..., Am đôi một rời 1 2 nhau), (iii) A1 A2 ... Am = X.
Chứng minh rằng mỗi tập các tập con sau đây của L0 là một phép phân hoạch của L0: a) {Đ, X, N}; b) {C, V, T, H}; c) {LM, BM, LD, BD}; d) BĐ, LX, BX, LĐ, N}.
15. Gọi A là tập hợp các bội tự nhiên của 3, B là tập hợp các số tự nhiên n
sao cho n − 1 là một bội tự nhiên của 3 và C là tập hợp các số tự nhiên n
sao cho n − 2 là một bội tự nhiên của 3. Chứng minh rằng:
{A, B, C} là một phép phân hoạch của không gian N.
16. Với một tập hợp hữu hạn A bất kì, kí hiệu N (A) chỉ số phần tử của A.
Chứng minh rằng với hai ậ t p hợp ữ h u ạ h n A, B bất kì, ta có:
N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B).
17. Cho ba tập hợp hữu hạn A, B, C. Chứng minh rằng:
N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) + N (A ∩ B ∩ C) − N (A ∩ B) − N (A ∩ C) − N (B ∩ C).
18. Trong một lớp học ngoại ngữ, tập hợp A các học viên nữ có 4 phần tử,
tập hợp B các học viên từ 20 tuổi trở lên có 5 phần tử. Có 3 học viên nữ từ
20 tuổi trở lên. Tìm số phần tử của tập hợp A ∪ B.
19. Trên một bãi để xe, có 42 xe gồm taxi và xe buýt. Có 14 xe màu vàng
và 37 xe buýt hoặc xe không có màu vàng. Hỏi trên bãi để xe có bao nhiêu xe buýt vàng?
20. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16
em học khá môn Văn và 17 em học khá môn Tiếng Anh. Có 5 em học khá
cả hai môn Văn và Toán, 8 em học khá cả hai môn Toán và Anh, 6 em học
khá cả hai môn Văn và Anh, và 2 em học khá cả ba môn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ học khá môn Toán? Chỉ học khá môn Văn?
Chỉ học khá môn Anh? Không học khá môn nào? Form at t ed: Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ
Thông tin cơ bản 3.1. Quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading03
3.1.1. Tích Đềcác của các tập hợp Form at t ed: Heading04 a) Cặp thứ tự
Ta biết rằng tập hợp gồm hai phần tử a và b được kí hiệu là {a, b}. Kí hiệu
{b, a} cũng chỉ tập hợp đó, tức là {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiều
trường hợp người ta quan tâm đến thứ tự của hai phần tử: a đứng trước, b
đứng sau hay b đứng trước, a đứng sau. Khi đó người ta được hai dãy được
sắp theo thứ tự khác nhau: Dãy a, b và dãy b, a. Đó là hai dãy khác nhau,
trừ phi a = b. Mỗi dãy được gọi là một cặp thứ tự của hai phần tử. Như vậy,
Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng
sau gọi là một cặp thứ tự, kí hiệu là (a, b); a gọi là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng sau.
Nếu a ạ b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp thứ tự khác nhau.
Hai cặp thứ tự (a, b) và (c, d) là bằng nhau khi và chỉ khi a = b và c = d.
Cặp thứ tự (a, b) được biểu diễn bởi một mũi tên đi ừ
t phần tử đứng trước a
đến phần tử đứng sau b. Hình 1
Nếu a = b thì mũi tên trở thành một vòng. Ví dụ 3.1 :
Kết quả của một trận bóng đá là: (3; 1), (1; 3); (2; 0). Cặp thứ tự (3; 1) được
hiểu là trên sân nhà, đội chủ nhà đã thắng đội khách: Đội chủ nhà đã ghi
được 3 bàn còn đội khách chỉ ghi được 1 bàn. Cặp thứ tự (1; 3) cho biết đội
chủ nhà đã thua đội khách: Trong trận đấu, đội chủ nhà chỉ ghi được 1 bàn,
trong khi đội khách ghi được 3 bàn. Ví dụ 3.2 :
Diện tích của các nước trên thế giới (tính trên một ngàn km2) cũng được ghi
bằng các cặp thứ tự, chẳng hạn:
(Tây Ban Nha; 500), (Italia; 300), (Việt Nam, 330) Ví dụ 3.3 :
Mỗi số phức là một cặp thứ tự (a, b) của hai ố s t ự
h c. Ta biết rằng hai số
thực a và b khác nhau thì (a, b) và (b, a) là hai số phức khác nhau; Hai số
phức (a, b) và (c, d) bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng
nhau và phần ảo bằng nhau, tức là a = c và b = d.
b) Tích Đêcác của hai tập hợp.
Cho hai tập hợp X và Y. Tập hợp tất cả các cặp thứ tự (x, y) trong đó x ∈
X, y ∈ Y gọi là tích Đêcác của hai tập hợp X, Y và được kí hiệu là X x Y. Như vậy,
X x Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}. Ví dụ 3.4:
Cho hai tập hợp X = {x , x } và Y = {y , y , y }. 1 2 1 2 3 Khi đó
X x Y = {(x , y ), (x , y ), (x ), (x ), (x , y ), (x )} 1 1 2 1, y3 ,2 y1 2 2 ,2 y 1 3 Hình 2
Trong Hình 2 a), mỗi phần tử của X x Y được biểu diễn bởi một ũ m i tên đi
từ tập hợp X vào tập hợp Y. Người ta gọi đó là lược đồ hình tên. Trong
hình 2 b), các phần tử của X x Y được biểu diễn bởi các điểm của một lưới
xác định bởi hai tập hợp X và Y. Người ta gọi đó là lược đồ Đêcác.
Trong trường hợp tập hợp X hoặc tập hợp Y có vô số phần tử, ta chỉ có thể
sử dụng lược đồ Đêcác. Ví dụ 3.5 :
Tích Đêcác của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp ⏐R các số t ự h c là tập hợp.
N x ⏐R = {(x, y) : x N, y ⏐R}.
Trong mặt phẳng toạ độ, N x ⏐R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của
các đường thẳng x = 0, x = 1, x = 2, ... Hình 3 Điểm (2; ) ằ
n m trên đường thẳng x = 2, các điểm (3; ) và (4; −2,2), theo thứ
tự, nằm trên các đường thẳng x = 3 và x = 4.
Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X2. Như vậy,
X2 = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X}. Ví dụ 3.6 :
Cho tập hợp X = {a, b}. Tìm tập hợp X2. Ta có:
X2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. Ví dụ 3.7 :
Cho tập hợp X = [1,5; 4] = {x ∈ ⏐R = 1,5 ≤ x ≤ 4}. Tìm X2. Ta có: X2 = [1,5; 4] x (1,5; 4]
= {(x, y) : 1,5 x 4; 1,5 ≤ y ≤ 4}. Hình 4
Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp X2 được biểu diễn bởi tập ợ h p các điểm
của hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 và y = 4 (Hình 4).
c) Ta mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp.
Cho m tập hợp X , X , ..., Xm. Tập hợp các dãy m phần tử (x , x , ..., xm), 1 2 1 2
trong đó x ∈ X , x ∈ X , ..., xn ∈ Xm gọi là tích Đêcác của m tập hợp X , 1 1 2 2 1
X , ..., Xm và được kí hiệu là X x X x... x Xm. 2 1 2
X1 x X2 x... x Xm = {(x , x , ..., xm) : x ∈ X1, ... xm ∈ Xm}. 1 2 1
Nếu X = X = ... = Xm thì tập hợp X x X x... x Xm được kí hiệu là Xm. 1 2 1 2
Như vậy X là tập hợp các dãy m phần tử (x , x , ..., xm), trong đó x1, ..., xm 1 2 ∈ X. Ví dụ 3.8 :
Tích Đêcác R3, trong đó R là tập hợp các số thực là không gian Ơclit ba
chiều, tích Đêcác Rm là không gian Ơclit m chiều. Ví dụ 3.9 :
Tìm các ước số của 4312. Ta có: 4312 = 22 x 72 x 11.
Mọi ước số của 4312 có dạng 2a x 7b x 11c, với a = 0, 1, 2 hoặc 3, b = 0, 1 hoặc 2, c = 0 hoặc 1.
Đặt X = {20, 21, 22, 23}, Y = {7 ,0 71, 72}, C = {110, 111}. Khi đó, với ọ m i (x, y,
z) ∈ X x Y x Z, tích xyz là một ước của 4312.
3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading04
Ta đã biết có thể đồng nhất một tập hợp con A của một không gian X với
mọt tính chất T nào đó của các phần tử của không gian X: Chỉ các phần tử
của A có tính chất T, các phần tử của X không thuộc A không có tính chất đó. Nói một cách khác,
x có tính chất T ⇔ x ∈ A
(xem mục 4, hoạt động 2, chủ đề 1).
Trong toán học người ta thường quan tâm đến các tính chất của các cặp thứ
tự, tức là các tính chất của các phần tử của tích Đêcác. Các tính chất đó
được gọi là những quan hệ hai ngôi, gọi tắt là quan ệ h . Theo nhận xét vừa
nêu ở trên, có thể xem các quan hệ hai ngôi là các tập hợp con của các tích
Đêcác. Điều này sẽ được làm sáng tỏ qua các ví dụ. Ví dụ 3.10 :
Ta kí hiệu P = P (⏐R) là tập hợp tất ả
c các tập con của tập hợp số t ự h c ⏐R.
Giữa số thực và tập hợp số thực {1, , 5} có quan hệ “phần tử thuộc tập
hợp”, tức là quan hệ ∈ {1, , 5}. Một cách tổng quát, có quan hệ này giữa
một số thực x và một tập con A của ⏐R khi và chỉ khi x ∈ A. Quan hệ vừa
nêu là một tính chất của các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈⏐R, A P. Cặp
thứ tự (x, A) trong đó x ∈⏐R, A ∈ P có tính chất này khi và chỉ khi x ∈ A.
Vì vậy có thể xem quan hệ được xét là một tập con của tích Đêcác ⏐R x P;
tập con này được tạo nên bởi các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈ A. Ví dụ 3.11:
Ta nói rằng giữa các số nguyên dương 2 và 8, hoặc 3 và 15, hoặc 7 và 14 có
quan hệ chia hết : 2 chia hết 8, 3 chia hết 15 và 7 chia hết 14. Một cách tổng
quát, có quan hệ chia hết giữa hai số nguyên dư n
ơ g x và y khi và chỉ khi x
chia hết y. Quan hệ chia hết là một tính chất của các cặp thứ tự (x, y), trong
đó x ∈ N*, y ∈ N*. Cặp thứ tự (x, y), trong đó x ∈ N*, y ∈ N* có tính chất
này khi và chỉ khi x chia hết y. Vì vậy, có thể xem quan hệ chia hết là một
tập con của tích Đêcác N* x N* = (N*)2. Tập con này được tạo nên bởi các
cặp thứ tự (x, y), trong đó x và y là hai số nguyên dương sao cho x chia hết y.
Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa:
Cho hai tập hợp X và Y. Tập con R của tích Đêcác X x Y gọi là một quan hệ hai ngôi trên X x Y.
Nếu R là một tập con của tích Đêcác X x X thì ta nói rằng R là một quan hệ
hai ngôi trên X (thay cho “R là một quan hệ hai ngôi trên X x X”.).
Nếu R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y và (x, y) ∈ ℜ thì ta viết x ℜ y và
đọc là x có quan hệ R với y.
Nếu (x, y) R thì ta viết x R y và đọc là x không có quan hệ R với y). Quan
hệ hai ngôi thường được gọi tắt là quan hệ. Ví dụ 3.12 :
Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {1, 4} và Y = {A, B}. Gọi R là
quan hệ “phần tử thuộc tập hợp” trên X x Y. Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có:
R = {(1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}.
Các phần tử của R, tức là các cặp thứ tự, được biểu diễn trong hai lược đồ sau: Hình 5 Ví dụ 3.13 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5, 8, 15}. Hãy tìm quan hệ chia hết R trên X.
Ta hiểu R là quan hệ hai ngôi trên X x X.
Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có:
R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}. Các phần
tử của R được biểu diễn trong hai lược đồ sau: Hình 6
Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y.
Tập hợp các phần tử đứng trước của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R
gọi là tập xác định của quan hệ R, kí hiệu là D (R).
Như vậy, phần tử x ∈ X thuộc D (R) khi và chỉ khi tồn tại một phần tử y ∈ Y sao cho x R y:
x ∈ D (R) ⇔ tồn tại y ∈ Y sao cho x R y.
hay D (R) = {x ∈ X: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R y}.
Tập hợp các phần tử đứng sau của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R gọi
là tập ảnh (gọi tắt là ảnh) của quan hệ R, kí hiệu là D* (R).
Như vậy, phần tử y ∈ Y thuộc D* (R) khi và chỉ khi tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho x R y:
y ∈ D* (R) ⇔ tồn tại x ∈ X sao cho x R y,
hay D* (R) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ X sao cho x R y}.
Chẳng hạn, với quan hệ hai ngôi R trong ví dụ 12, ta có:
D* (R) = {1, 2, 4} , D* (R) = {A, B} = Y. Ví dụ 3.14 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5} và Y = N. Gọi R là quan hệ chia hết trên X x N,
tức là x R y khi và chỉ khi x là ước số của y. Khi đó. D* (R) = X = {2, 3, 5},
và D* (R) tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2, 3 hoặc 5:
D* (R) = {2m : m ∈ N} ∪ {3n : n ∈ N} ∪ {5k : k ∈ N}.
Có thể biểu diễn quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Rcác số thực bởi lược đồ
Đêcác. Quan hệ R được biểu diễn bởi một tập con của mặt phẳng t ạ o độ
Oxy. Tập xác định D (R) của quan hệ R được biểu diễn bởi hình chiếu của
R trên trục hoành Ox; tập ảnh D* (R) của quan hệ ℜ được biểu diễn bởi
hình chiếu của R trên trục tung Oy (Hình 7). Hình 7 Hình 8
Trong Hình 8, ta có lược đồ biểu diễn quan hệ hai ngôi R trên ⏐R (R = ⏐R2)
xác định như sau: Với mọi (x, y) ⏐R2, x R y khi và chỉ khi x2 = y. Dễ dàng thấy rằng:
D (R) = ⏐R và D*(R = [0, + ∞) = x : x ≥ 0
3.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading04
a) Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phản xạ nếu với mọi x ∈ X, ta đều có x R x. Ví dụ 3.15 :
Quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên dương N* là phản xạ vì với mọi ố s
nguyên dương x, x chia hết x.
• Quan hệ ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) trên tập hợp các số t ự h c ⏐R là phản xạ vì
với mọi x ∈ ⏐R, x ≤ x.
• Giả sử A là một tập hợp các mảnh lôgíc (A ⊂ L0). Quan hệ RA “có cùng
màu với” (mảnh x có cùng màu với mảnh y) hiển nhiên là phản xạ (Hình 9). Hình 9 Hình 10
Nếu R là một quan hệ phản xạ trên A thì lược đồ hình tên của nó có một
vòng tại mỗi điểm của A (Hình 9).
• Quan hệ “là bình phương của” trên N không phải là một quan hệ phản xạ
vì chỉ có hệ số 0 và 1 là bình phương của chính nó (Hình 10).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên X không phải là phản xạ thì lược đồ hình tên
của nó có ít nhất một điểm tại đó không có vòng.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là đối phản xạ nếu với mọi x ∈ X, x
đều không có quan hệ R với x, tức là không xảy ra x R x.
Nói một cách khác, R là đối phản xạ nếu
(x, x) ∉ R với mọi x ∈ X. Ví dụ 3.16 :
Quan hệ “<” trên ⏐R là đối phản xạ vì ớ
v i mọi x ∈ ⏐R, đều không có x < x.
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối phản xạ thì lược đồ tên của nó
không có một vòng nào (Hình 11). Hình 11 Hình 12
• Quan hệ “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một mặt
phẳng là đối phản xạ vì mọi đường thẳng đều không vuông góc với chính nó.
• Quan hệ “là bố của” trên một tập hợp người cho t ư
r ớc là đối phản xạ.
b) Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y ⇒ y R x. Ví dụ 3.17 :
Giả sử X là một tập hợp khác . Tập hợp: R = {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X2
gọi là quan hệ đồng nhất trên X.
Như vậy, với mọi x, y ∈ X, x R y ⇔ x = y.
Dễ thấy quan hệ đồng nhất trên X là đối xứng.
• Quan hệ “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một mặt phẳng là đối xứng.
• Quan hệ “là anh hoặc em trai của” trên một tập hợp trẻ em là đối xứng (Hình 12).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối xứng thì trong lược đồ hình
tên của nó, hễ có một mũi tên đi từ x đến y, ắt có một ũ m i tên đi từ y đến x.
Chú ý rằng giữa hai điểm x và y có thể không có mũi tên nào, nhưng nếu đã
có thì tất phải có hai mũi tên đi ngược hướng nhau.
• Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4}. Quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” (≤) trên A
không phải là một quan hệ đối xứng (Hình 13). Hình 13 Hình 14
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X không phải là một quan hệ đối xứng
thì trên lược đồ tên của R có ít nhất một mũi tên đi từ x đến y mà không có
mũi tên ngược từ y đến x.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phi đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y ⇒ y R x.
Nói một cách khác, R là phi đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R. Ví dụ 3.18 :
• Quan hệ hai ngôi “<” (nhỏ hơn) trên tập hợp các số t ự h c ⏐R là phi đối
xứng vì với hai số thực bất kì x, y, các điều kiện x < y và y < x loại trừ nhau.
• Gọi R là quan hệ hai ngôi xác định trên ậ
t p hợp các số nguyên dương N*
xác định bởi: x R y khi và chỉ khi x = 2y R là một quan hệ phi đối xứng vì
với mọi x, y ∈ N* không thể đồng thời xảy ra x = 2y và y = 2a (Hình 14).
Nếu R là một quan hệ phi đối xứng trên tập hợp X thì trên lược đồ hình tên
của R, giữa hai điểm khác nhau x, y ∈ X, hoặc không có mũi tên nào, hoặc
chỉ có một mũi tên (không có mũi tên ngược) (Hình 14).
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phản đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y và y R x ⇒ x = y. Ví dụ 3.19 :
• Quan hệ hai ngôi “” trên tập hợp ⏐R là phản đối xứng vì với hai số thực
bất kì x, y, hai điều kiện x y và y x kéo theo x = y.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ phản đối xứng.
c) Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là bắc cầu nếu với mọi x, y, z ∈ X, x R y và y R z ⇒ x R z. Hình 15
Trên lược đồ hình tên của quan hệ bắc cầu R, ế
n u có một mũi tên đi từ x
đến y và một mũi tên đi từ y đến z thì có một mũi tên đi từ x đến z. (Hình 15). Ví dụ 3.20 :
• Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp các số tự nhiên là bắc cầu vì với
mọi x, y, z N, nếu x là một ước số của y và y là một ước số của z thì x là một ước số của z.
• Quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp ⏐R là bắc cầu.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ bắc cầu.
3.4. Quan hệ ngược – Hợp của hai quan hệ Form at t ed: Heading04
a) Quan hệ ngược của một quan hệ cho trước
Cho hai tập hợp X, Y và quan hệ hai ngôi R trên X x Y. Quan hệ ngược của
quan hệ R, kí hiệu là R−1, là quan hệ hai ngôi trên Y x X xác định như sau:
Với mọi y ∈ Y, x ∈ X, y R−1 x x R y.
(tức là (y, x) R−1 ⇔ (x, y) ∈ R). Ví dụ 3.21:
Gọi X là tập hợp năm thành phố
X = {Hà Nội, Cần Thơ, Bắc Kinh, Viên Chăn, Nam Kinh} = {h, c, b, v, n},
Y là tập hợp hai nước.
Y = {Việt Nam, Trung Quốc} = {V, T},
và R là quan hệ “là một Thành phố của”
R là quan hệ hai ngôi trên X x Y:
R = {(h, V), (c, V), (b, T), (n, T)}. Hình 16
Quan hệ ngược R−1 của R là quan ệ h hai ngôi trên Y x X.
R−1 = {(V, h), (V, c), (T, b), (T, n)}. Hình 17
Các điểm biểu diễn các cặp thứ tự của R−1 đối xứng với các điểm biểu diễn
các cặp thứ tự của R qua đường phân giác thứ nhất. Ví dụ3.22 :
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R “là bình phương của” trên X:
R = {(0, 0), (1, ), (4, 2), (9, 3)}.
Quan hệ ngược của R là quan hệ R−1 “là căn bậc hai của” trên X:
R−1 = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}. Hình 18 b) Hợp của hai quan hệ
Cho ba tập hợp X, Y, Z, quan hệ R trên X x Y và quan hệ R trên Y x Z. 1 2
Quan hệ R trên X x Z gồm các cặp thứ tự (x, z) ∈ X x Z thoả mãn điều kiện sau:
Tồn tại một phần tử y ∈ Y sao cho x R y và y R z gọi là hợp của hai quan 1 2
hệ R và R , kí hiệu là R . 1 2 2 ° R1 Như vậy, R = R
= {(x, z) X x Z: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R y và y R z}. 2 ° R1 1 2
Ví dụ 3.23 : Cho ba tập hợp
Tập hợp các bà X = {Mai, Tuyết} (thế hệ thứ nhất), tập hợp các anh chị Y =
{Dungx, Loan, Cường} (thế hệ thứ hai), tập hợp các cháu Z = {Khôi, Nga, Hùng, Vân} (thế hệ t ứ h ba), và hai quan hệ:
Quan hệ R “là mẹ của” trên X x Y: 1
R = {(Mai, Dũng), (Tuyết, Loan), (Tu ế
y t, Cường)}, quan hệ R “là 1 2 bố của” trên Y x Z:
R = {(Dũng, Khôi), (Dũng, Nga), (Cường, Vân)}. 2 Hình 18 Quan hệ hợp R
của hai quan hệ R và R là quan hệ “là bà nội của” trên 2 ° R1 1 2 X x Z;
R R = {(Mai, Khôi), (Mai, Nga), (Tuyết, Vân)}. Hình 19 Ví dụ 3.24 :
Cho quan hệ R “là một nửa của” trên tập hợp N* các số nguyên dương và 1
quan hệ R “gấp bốn lần” trên N*. 2 Tìm R 2 ° R1 Ta có:
R = {(1; 2), (2; 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), ...} 1
R = {(4; 1), (8; 2), (12, 3), (16, 4), (20, 5), ...} 2 Hình 20 R
là một quan hệ trên N*: 2 ° R1
R 2° R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), ...}. 1 R
là quan hệ “gấp đôi” trên N*. 2 ° R1
Có thể biểu diễn tập hợp N* chỉ bởi một đường cong kín.
Khi đó, để khỏi lẫn, phải phân biệt các mũi tên biểu diễn các cặp thứ tự của R , R và R . 1 2 1 ° R2 Hình 21
Trong hình các cặp thứ tự của các quan hệ R và R , theo thứ tự, 1 ° R2 2 ° R1 được biểu d ễ
i n bởi các mũi tên xanh, mũi tên có nét gạch và mũi tên đỏ.
B. Hoạt động. tìm hiểu khái niệm tính đề các và quan hệ hai ngôi. Nhi•m v•: Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững định nghĩa tich Đêcác của hai tập hợp và của một ố s hữu hạn tập hợp.
− Biết biểu diễn tích Đêcác của hai tập hợp bằng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác. Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững định nghĩa quan hệ hai ngôi trên X x Y và trên X.
− Có kĩ năng thành thạo trong việc xác định các cặp thứ tự của một quan hệ
hai ngôi trong các tình huống khác nhau.
− Biểu diễn được quan hệ hai ngôi bằng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác. Nhiệm vụ 3 Form at t ed: Heading04
− Nắm vững các tính c ấ
h t phản xạ, đối xứng và bắc cầu của quan hệ hai ngôi.
− Có kĩ năng nhận biết một quan ệ
h hai ngôi cho trước có các tính c ấ h t đó hay không?
− Có kĩ năng biểu diễn các quan hệ hai ngôi có các tính chất đã nêu bằng lược đồ hình tên. Nhiệm vụ 4: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững các định nghĩa của quan hệ ngược của một quan hệ hai ngôi
cho trước và quan hệ hợp của hai quan hệ hai ngôi cho trước.
− Có kĩ năng thành thạo trong việc xác định quan hệ ngược và quan hệ hợp.
− Biểu diễn thành thạo các cặp thứ tự của quan hệ ngược và quan hệ hợp
bằng lược đồ hình tên.
Đánh giá hoạt động 3.1 Form at t ed: Heading02
1. Cho ba tập hợp X, Y, Z. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ ( A x C),
b) (B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A),
c) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C),
d) (B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A),
e) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C),
f) (B \ C) x A = (B x A) \ (C x A).
2. Cho ba tập hợp A, B và C ≠ φ. Chứng minh rằng:
a) A ⊂ B ⇔ A x C ⊂ B x C,
b) A ⊂ B ⇔ C x A ⊂ C x B.
3. Giả sử tập hợp X có m phần ử
t và tập hợp Y có n phần tử. Chứng minh
rằng tập hợp X x Y có mn phần tử.
4. Giả sử tập hợp Xk có nk phần tử, k = 1, 2, ...m.
Chứng minh rằng tập hợp X x X x ... x Xm có n n ... nm phần tử. 1 2 1 2
5. Cho hai tập hợp A = {2, 4, 7, 9} và B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}.
Tìm quan hệ “chia hết” R trên A x B và biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
6. Cho tập hợp X = {1, 2, 7, 8}. Tìm quan hệ “chia hết” R trên X và biểu
hiện quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
7. Cho tập hợp X = {1, 2, 6, 7, 8}. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên X và
biểu diễn R bằng lược đồ hình tên.
8. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên tập hợp các số nguyên dương N* và
biểu hiện R bằng lược đồ hình tên.
9. Cho các tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, A = {1, 2, 9}, B = {4, 9}, C = {6,
7, 8} và Y = {A, B, C}. Tìm quan hệ R “phần tử thuộc tập hợp” trên X x Y.
Biểu diễn quan hệ này bằng lược đồ hình tên.
10. Cho các tập hợp A = {1, 2}, B = {1, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 7, 8} và
X = {A, B, C}. Tìm quan hệ bao hàm “chứa trong” R trên X.
(Quan hệ bao hàm “chứa trong” ℜ đư c
ợ cho bởi A ℜ B khi và chỉ khi A B).
11. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 5, 7}. Tìm quan hệ “nhỏ hơn” (<) trên X
(quan hệ “nhỏ hơn” đư c
ợ hiểu theo nghĩa thông thường).
12. Gọi R là quan hệ “<” trên ⏐R và R là quan hệ “≠” trên ⏐R. Hãy biểu 1 2
diễn R và R bằng lược đồ Đêcác. 1 2
13. Chứng minh rằng nếu tập hợp X có m phần tử và tập hợp Y có n phần
tử thì có 2mn quan hệ hai ngôi trên X x Y.
14. Quan hệ “song song hoặc trùng nhau với” trên tập hợp tất cả các đường
thẳng của một mặt phẳng có phải là một quan hệ phản xạ, đối xứng, bắc cầu hay không?
15. Trong một mặt phẳng cho một điểm O cố định. Gọi X là tập hợp các điểm ủ
c a mặt phẳng và là quan hệ hai ngôi trên X xác định bởi: x R y khi
và chỉ khi x là điểm đối xứng của điểm y qua điểm O.
Hãy nêu các tính chất (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) của R.
16. Nêu các tính chất (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) của quan hệ “chia hết
cho” trên tập hợp N* các số nguyên dương.
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do đó nó là một quan hệ tương đương trên N.
4.2. Các lớp tương đương và tập thương Form at t ed: Heading03
a) Giả sử X là một tập hợp khác φ và ~ là một quan hệ tương đương trên X.
Với mỗi phần tử x ∈ X, ta kí hiệu là tập hợp các phần tử y ∈ X sao cho x ~ y: = {y ∈ X : x ~ y}.
Tập hợp gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X cú đại diện là phần
tử x. Tập hợp chia lớp tương đương của quan hệ trên X đư c ợ gọi là tập thương, kí hiệu là X/~. Hình 24
Các tính chất cơ bản của các lớp tương đương của quan hệ ~ được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X ≠ φ. Khi đó: (i) Với mọi x ∈ X, x ∈ ,
(ii) Với mọi x , x ∈ X, = ⇔ x ~ x , 1 2 1 2 1 2
(iii) Với mọi x , x ∈ X, nếu Thì = φ. 2 1 2 1 1 2 Chứng minh:
(i) Vì quan hệ ~ là phản xạ nên với mọi x ∈ X, x ~ x. Do đó x ∈ .
(ii) Giả sử = . Theo (i), ta có x ∈ ; do đó x ∈ . Vậy x ~ x . Đảo lại, giả 1 2 1 1 1 2 1 2
sử x ~ x . Khi đó nếu x ; thì x ~ x , do đó x ~ x vì quan hệ ~ là bắc cầu. 1 2 1 1 2
Vậy ⊂ . Tương tự, ta có . T hai bao hàm thức trên suy ra = . 2 1 ừ 1 2 1 2
(iii) Giả sử ∩ ≠ φ. Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho x ∈ và x ∈ . Do đó x ~ 2 1 1 2 1
x và x ~ x. Từ đó, ta có x ~ x và x ~ x . Do đó x ~ x . Theo (ii), từ đ 2 1 2 1 2 ó suy ra = . 1 2
Từ định lí trên suy ra định lí sau gọi là nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương.
c) Định lí: Quan hệ tương đương ~ trên tập hợp X ≠ φ chia X thành các tập
con khác đôi một rời nhau (các tập hợp con đó là các lớp tương đư n ơ g của
quan hệ ~) sao cho hai phần tử x, y của tập hợp X thuộc cùng một tập con
khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.
Tập thương X / ~ là một phép phân hoạch tập hợp X. (Xem bài tập 14 trong
Hoạt động 2, Chủ đề 1).
d) Ví dụ về tập thương. Ta trở lại ố b n ví dụ đã nêu.
• Trong Ví dụ 1, quan hệ tương đương ~ trên ⏐R chia tập hợp ⏐R thành các
lớp tương đương. Dễ dàng nhận thấy rằng tất cả các số nguyên thuộc cùng
một lớp tương đương và ngoài các số nguyên không có một số thực nào
thuộc lớp tương đương đó.
• Trong Ví dụ 2, quan hệ tương đương ~ trên X chia tập hợp các Vectơ
buộc trong mặt phẳng ⏐R2 thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương
đương được gọi là một véctơ tự do: Đó là tập hợp ấ t t ả c các vectơ buộc
tương đương với một vectơ buộc cho trước. (Trong sách giáo khoa toán ở
trường phổ thông hai vectơ tương đương được gọi là bằng nhau; đó là hai
vectơ cùng hướng có độ dài bằng nhau, xem hình 25). Hình 25
• Trong ví dụ 3, quan hệ tương đương ~ trên D chia tập hợp các đường
thẳng trong mặt phẳng ⏐R2 thành các lớp tương đương. Mỗi ớ l p tương
đương được gọi là một phương. Đó là tập hợp tất ả
c các đường thẳng trong
mặt phẳng ⏐R2 song song hoặc trùng với một đường thẳng cho trư c ớ trong mặt phẳng này Hình 26
• Trong Ví dụ 4, quan hệ “có cùng số dư với... trong phép chia cho 3” chia
tập hợp N thành ba lớp tương đương: . Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều
thuộc lớp . Mọi số tự nhiên có số dư là 1 trong phép chia cho 3 đều thuộc
lớp. Mọi số tự nhiên có số dư là 2 trong phép chia cho 3 đều thuộc lớp . Ta lấy thêm một ví dụ. Hình 27 Ví dụ 4.5 :
Xét quan hệ hai ngôi “cùng màu với” trên tập hợp L0 các mảnh lôgic Điênétxơ.
Dễ dàng thấy rằng đó là một quan hệ tương đương trên L0. Quan hệ này
chia L0 thành ba lớp tương đương: Đ, X, N.
Đ là tập hợp các mảnh màu đỏ, X là tập hợp các mảnh màu xanh và N là
tập hợp các mảnh màu nâu. Mỗi lớp tương đương có 16 mảnh với hình
dạng, độ lớn và độ dày khác nhau Hình 28
4.3. ứng dụng của nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương
a) Xây dựng tập hợp các số nguyên Ta nhắc lại ằ
r ng kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên và N2 = N x N chỉ tập
hợp tất cả các cặp thứ tự (m, n), trong đó m và n là những số tự nhiên.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên N x N xác định bởi (m , n ) ~ (m , n ) khi và 1 1 2 2 chỉ khi m + n = m . 2 + n 1 2 1
Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên N x N.
Thật vậy, vì với mọi (m, n) ∈ N x N, ta có m + n = m + n, nên (m, n) ~ (m,
n). Do đó quan hệ ~ là phản xạ. Dễ ràng thấy rằng quan hệ ~ là đối xứng.
Cuối cùng nếu (m , n ) ~ (m , n ) và (m , n ) ~ (m , n ) thì m + n = m + n và 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 2 1 m + n = m + n . Do đó m + m = m + m ⇔ m + n = m 3 + n 2 1 + n2 2 + n3 2 + n 2 3 3 1 2 1 3 3
+ n , tức là (m , n ) tương đương (m , n ). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu. 1 1 1 3 3
Quan hệ tương đương ~ trên N x N chia tập hợp N x N thành các lớp tương
đương đôi một rời nhau. Các lớp tương đư n
ơ g của quan hệ ~ trên tập hợp N x N được gọi là các số nguyên. Dễ dàng thấy rằng:
• (0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) , (3, 3), ...
Lớp tương đương (0, 0)~ có đại diện là phần tử (0, 0) gọi là số nguyên 0.
• Các lớp tương đương (m, n) ~có đại diện là phần tử (m, n) trong đó m > n
và m = n + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên dương k = 1, 2, ...
• Các lớp tương đương (m, n)~ có đại diện là phần tử (m, n) trong đó m < n
và n = m + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên âm −k = −1, −2, −3, ...
Phép cộng và phép nhân trong tập hợp các số nguyên, tức là trong tập
thương N x N / ~ được định nghĩa như sau:
(m , n )~ + (m , n )~ = (m + m , n + n )~. 1 1 2 2 1 2 1 2 (m ,n ) . (m ) = (m m + n n , m n + n m ) 1 ,2n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Người ta chứng minh được rằng các phép toán được xác định như trên
không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện của các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả mãn các quy tắc về số học đã biết trong tập
hợp các số tự nhiên N; hơn nữa, trong tập hợp các số nguyên, có t ể h t ự h c
hiện phép trừ đối với hai số bất kì.
b) Xây dựng tập hợp các số hữu ỉt
Ta kí hiệu Z là tập hợp các số nguyên, Z* là tập hợp các số nguyên khác 0.
Tích Đêcác Z x Z* là tập hợp các cặp thứ tự (m, n), trong đó m là một số
nguyên và n là một số nguyên khác 0.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập hợp Z x Z* xác định như sau:
(m , n ) ~ (m , n ) khi và chỉ khi m n = m . 2 n 1 1 2 2 1 2 1
(Chẳng hạn, ta có (2, 3) ~ (4, 6), (3, 5) ~ (18, 30),
(-3, 7) ~ (-12, 28), (-3, 7) ~ (6, − 14)
Ta chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên Z x Z*.
Thật vậy, dễ thấy quan hệ ~ là phản xạ và đối xứng.
Nếu (m , n ) ~ (m , n ) và (m , n ) ~ (m , n ) thì 1 1 2 2 2 2 3 3 m n = m n và m n = m n (1) 1 2 2 1 2 3 3 2 Do đó: m n m n = m n
n ⇔ m m n = m n m , vì n ≠ 0. Từ đó suy ra rằng nếu m 2 3 2 1m 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2
khỏc 0 thì m n = m n ; do đó (m , n ) ~ (m , n ). Nếu m = 0 thì từ hai đẳng 1 3 3 1 1 1 3 3 2
thức trong (1) suy ra m = 0 và m = 0. Do đó ta ũ
c ng có m n = m n , tức là 1 3 1 3 3 1
(m , n ) ~ (m , n ). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu. 1 1 3 3
Quan hệ tương đương ~ trên Z x Z* chia tập hợp Z x Z* thành các lớp tương đư n ơ g đôi một rời nhau.
Các lớp tương đương của quan hệ tương đương ~ trên Z x Z* gọi là các số hữu tỉ.
Lớp tương đương (m, n)~ có đại diện là phần tử (m, n) xác định số hữu tỉ,
kí hiệm là . Hai cặp thứ tự (m , n ) và (m
) thuộc cùng một lớp tương 1 2, n 1 2
đương, tức là m n = m n , xác định cùng một số hữu tỉ. Như vậy, hai số hữu 1 2 2 1 tỉ là bằng nhau.
Phép cộng và phép nhân trong tậphợp các số hữu tỉ, tức là trong tập thương
Z x Z*/~ được định nghĩa như sau:
(m , n )~ + (m , n )~ = (m n + n m , n )~, 2 1n 1 1 2 2 1 2 1 2
(m , n )~ . (m , n )~ = (m m , n n )~ 1 1 2 2 1 2 1 2
Người ta chứng minh được rằng hai phép toán được xác định như trên
không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện của các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả mãn các quy tắc về số học trong tập hợp các
số nguyên; hơn nữa, trong tập hợp các số hữu tỉ phép chia cho một số khác
không bao giờ cũng thực hiện được.
Hoạt động 4.1. Tìm hiểu về quan hệ tương đương Nhiệm vụ:
Nhi•m v• 1: Đọc các thông tin cơ bản để có được các kiến thức về:
− Định nghĩa quan hệ tương đương.
− Định nghĩa lớp tương đương, tập thương.
− Một số ví dụ về quan hệ tương đương, tập t ư h ơng. Nhiệm vụ 2:
Trình bày và thấy được tầm quan trọng của nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương:
− Quan hệ tương đương trên một tập hợp chia tập hợp đó thành các lớp tương đư n ơ g đội một rời nhau.
− Biết vận dụng một cách sinh động nguyên lí này trong các ví dụ và ứng dụng khác nhau. Đánh giá h ạ o t động 4.1 1. Gọi ~ , ~
, theo thứ tự, là quan hệ hai ngôi “có cùng hình dạng với”, 1 2 và ~3
“có cùng độ lớn với” và “có cùng độ dày ớ
v i” trên tập hợp L0 các mảnh lôgic.
a) Chứng minh rằng chúng là những quan hệ tương đương trên L0.
b) Mỗi quan hệ đó chia tập hợp L0 thành mấy lớp tương đương?
2. Gọi R là quan hệ hai ngôi “có cùng số dư với... trong phép chia cho 4” trên tập hợp N.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên tập hợp N.
b) Quan hệ tương đương R trên N chia tập hợp N thành mấy lớp tương
đương? Hãy vẽ sơ đồ Ven biểu d ễ i n các lớp tương đ ương của quan hệ R.
3. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5} và P = P(X) là tập hợp các tập con của X.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên P xác định bởi: A ~ B khi và chỉ khi N (A) = N (B)
Trong đó N (C) là số phần tử của tập hợp C ⊂ X.
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên P.
b) Tìm lớp tương đương của quan hệ ~ trên P, có đại diện là phần tử {1, 3} của P.
4. Gọi X = ⏐R2 là tập hợp các điểm của mặt phẳng và ~ là quan hệ hai ngôi
trên tập hợp ⏐R2 xác định bởi:
(x , y ) ~ (x , y ) khi và chỉ khi . 1 1 2 2
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đư n ơ g trên ⏐R2.
b) Tìm tập thương ⏐R2/ ~.
5. Cho một tập hợp X ≠ φ. Chứng minh rằng quan hệ đồng nhất R trên X là
một quan hệ tương đương trên X và tìm tập thương X/R.
6. Gọi D là tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẳng và a là một
đường thẳng cho trước trong mặt phẳng đó. Gọi R là quan hệ hai ngôi trên
D xác định như sau: Với mọi x, y ∈ D, x R y khi và chỉ khi x ∩ a ≠ φ và y ∩ a ≠ φ.
R có phải là một quan hệ tương đương trên D hay không?
7. Cho các tập con của ⏐R2: A = {x ∈⏐R : 1 ≤ x < 7}, B = {x ∈⏐R : x < −2}
và C = {x ∈⏐R : 5 < x ≤ 10). Tồn tại hay không một quan hệ tương đương
R trên tập hợp R sao cho các tập hợp A, B, C là những lớp tương đư n ơ g của quan hệ R
8. Giả sử X là một tập hợp khác φ, A , A, ..., Am là những tập con khác rỗng đôi một rời nhau của X và 1 2 = X. Gọi
~ là quan hệ hai ngôi trên X xác định như sau:
Với mọi x, y ∈ X, x ~ y khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên k ∈ {1, 2, ...,
m} sao cho x ∈ Ak và y ∈ Ak.
Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và tìm các lớp tương đư n
ơ g của quan hệ ~ trên X.
9. Cho một tập hợp X ≠ φ và một phần tử a ∈ X. Gọi P = P (X) là tập hợp
các tập con của X và ~ là quan hệ hai ngôi trên P xác định như sau:
Với mọi A, B ∈ P, A ~ B khi và chỉ khi A = B hoặc a ∉ A ∪ B.
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đư n ơ g trên tập hợp P. b) Tìm tập thương P/~.
10. Ký hiệu C* chỉ tập hợp các số phức có phần thực khác 0. Gọi R là quan
hệ hai ngôi trên C* xác định bởi (a + bi) R (c + di) khi và chỉ khi ac > 0.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên ⊄*.
b) Minh hoạ hình học các lớp tương đương của quan hệ R.
Tiểu chủ đề 1.5. Quan hệ thứ tự Thông tin cơ bản
Form at t ed: Heading03, Space 5.1. Định nghĩa: Before: 0 pt Form at t ed: Heading04
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó là
phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng, tức là nếu R thoả mãn các điều kiện sau:
a) Với mọi x ∈ X, x R x,
b) Với mọi x, y, z ∈ X, (x R y và y R z) ⇒ x R z,
c) Với mọi x, y ∈ X, (x R y và y R x) ⇒ x = y.
Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự là “≤”. Như vậy x R y được viết là
x ≤ y, đọc là x nhỏ hơn hoặc bằng y, hay y lớn hơn hoặc bằng x.
Nếu ≤ là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì cặp (X, ≤) gọi là ộ m t tập
hợp sắp thứ tự. Người ta cũng gọi X là ộ m t tập hợp sắp t ứ h tự khi chỉ nói
tới một quan hệ thứ tự nào đó trên X. Ví dụ 5.1:
Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp N* là một quan hệ thứ tự trên N* vì:
Với mọi số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n),
Với mọi m, n, k N*, (m / n và n / k) m / k,
Với mọi m, n N*, (m / n và n / m) m = n, Ví dụ 5.2:
Cho tập hợp X ≠ φ và tập hợp Q n ữ
h ng tập con của X (Q ⊂ P(X)), Q ≠ φ.
Quan hệ hai ngôi “chứa trong” trên Q là một quan hệ thứ tự vì: Với mọi A ∈ Q, A ⊂ A,
Với mọi A, B, C ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C,
Với mọi A, B ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ A) ⇒ A = B. Ví dụ 5.3:
Nếu X là một tập con khác φ của tập hợp các số thực thì quan hệ hai ngôi
“≤” trên X là một quan hệ thứ tự vì với mọi x, y, z ∈ X, ta có:
x ≤ x, (x ≤ y và y ≤ z) ⇒ x ≤ z, (x ≤ y và y ≤ x) ⇒ x = y.
Để phân biệt quan hệ t ứ
h tự ≤ trên một tập hợp X tuỳ ý với quan hệ ≤ trên
R, ta gọi quan hệ sau là quan hệ thứ tự thông thư n ờ g trên R. Ví dụ 5.4:
Xét các quan hệ hai ngôi trên các tập hợp X, Y, Z được biểu diễn bởi các
lược đồ hình tên trong hình 29 Hình 29
Trong lược đồ hình tên 29 a), quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X = {a, b}
được xác định bởi: a R a, b R b, a R b.
Dễ dàng thấy rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
• Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Y = {a, b, c} được biểu diễn bởi lược đồ
hình tên 29 b) không phải là một quan hệ thứ tự trên tập hợp Y vì nó không
phải là quan hệ phản đối xứng : a R b, b R a và a ≠ b.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Z = {a, b, c, d} được biểu diễn bởi lược đồ
hình tên 29 c) không phải là một quan hệ thứ tự trên Z vì nó không phải là
quan hệ bắc cầu: a R b và b R c nhưng không có a R c.
5.2. Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt Form at t ed: Heading04
a) Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là quan hệ thứ tự
nghiêm ngặt nếu nó là đối p ả
h n xạ và bắc cầu, tức là ế n u R thoả mãn các điều kiện sau:
a) Với mọi x ∈ X, không có x R x, tức là (x, x) ∉ R,
b) Với mọi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z.
Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt R thường được kí hiệu là “<”. Như vậy, x R y
được viết là x < y, đọc là x đứng trước y. Ví dụ 5.5:
Dễ dàng thấy rằng quan hệ hai ngôi “lớn hơn” (theo nghĩa thông thường)
(>) trên tập hợp R là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Quan hệ hai ngôi “đắt hơn” trên một tập hợp các mặt hàng cũng là một
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Chú ý rằng quan hệ thứ tự nghiêm ngặt không phải là một quan hệ thứ tự.
Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ
h tự nghiêm ngặt được cho trong hai định lí sau. b) Định lí
Nếu là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì quan hệ hai ngôi < trên X xác
định bởi x < y khi và chỉ khi x ≤ y và x ≠ y, là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X. Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ < suy ra rằng < không phải là một quan hệ đối
phản xạ. Ta chứng minh < là bắc cầu. Thật vậy, giả sử x < y và y < z. Khi
đó, x ≤ y, y ≤ z, x ≤ y và y ≠ z. Vì là một quan hệ bắc cầu nên từ đó suy ra
x ≤ z. Nếu x = z thì ta có z ≤ y và y ≤ z. Do đó y = z (suy ra từ tính phản đối
xứng của quan hệ ≤); điều này mâu thuẫn với y ≤ z. Vậy x ≤ z. Như vậy, ta
có x ≤ z và x ≠ z, tức là x < z. Đảo lại, ta có: c) Định lí
Nếu < là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp X thì quan hệ hai
ngôi ≤ trên X xác định bởi: x ≤ y khi và chỉ khi x < y hoặc x = y, là một quan hệ thứ tự trên X. Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ ≤ suy ra rằng ≤ là một quan hệ phản xạ. Ta
chứng minh ≤ là quan hệ bắc cầu.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ z. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < z hoặc y =
z. Nếu x < y và y < z thì x < z; do đó x z. Nếu x < y và y = z thì x < z; do
đó x ≤ z. Nếu x = y và y < z thì x < z; do đó x ≤ z. Cuối cùng nếu x = y và y
= z thì x = z, do đó x ≤ z.
≤ là quan hệ phản đối xứng.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ x. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < x hoặc y =
x. Hai điều kiện x < y và y < x loại trừ nhau vì nếu xảy ra đồng thời hai
điều kiện này thì ta có x < x điều này không thể vì < là quan hệ đối p ả h n xạ.
Hai điều kiện x < y và y = x loại trừ lẫn nhau. Hai điều kiện x = y và y < x
cũng loại trừ nhau. Do đó chỉ có thể xảy ra một trường hợp x = y và y = x.
Như vậy các điều kiện x ≤ y và y ≤ x kéo theo x = y.
Giả sử là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X và x, y là hai phần tử của X.
Ta nói rằng x đứng trước y nếu x ≤ y và x ≠ y. Khi đó, ta viết x < y (< là
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X nói trong Định lí b).
5.3. Quan hệ thứ tự toàn phần và quan hệ thứ ự t bộ p ậ h n. Form at t ed: Heading04
Quan hệ thứ tự ≤ trên tập hợp X gọi là toàn phần nếu với hai p ầ h n tử bất kì
x, y của X, ta có x ≤ y hoặc y ≤ x.
Trong lược đồ hình tên của quan hệ thứ tự toàn phần trên ậ t p hợp X, các
phần tử của X đôi một được nối với nhau bởi ít nhất một mũi tên.
Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử x, y của X sao cho cả hai điều kiện x ≤ y và y
≤ x đều không xảy ra thì ≤ gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Ví dụ 5.6:
Quan hệ thứ tự “≤” (theo nghĩa thông thường) trên tập hợp R là toàn phần.
Quan hệ “chia hết” trên tập hợp N* là quan hệ thứ tự bộ phận vì chẳng hạn
số nguyên 3 và 7 là không so sánh được”. Ta không có 3 / 7, cũng không có 7 / 3.
Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt < trên tập hợp X được gọi là toàn phần nếu với
hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X, ta có x < y hoặc y < x.
Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau x, y của X sao cho cả hai điều
kiện x < y và y < x đều không xảy ra thì quan hệ < được gọi là bộ phận. Ví dụ 5.7 :
Xét các quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ h tự nghiêm ngặt b ể i u diễn bởi các
lược đồ hình tên trong hình 29 dưới đây. Hình 30
Quan hệ thứ tự trên tập hợp A được b ể i u diễn ở
b i lược đồ hình tên 30 a) là
toàn phần. Quan hệ thứ tự trên tập hợp B trong Hình 30 b) là bộ phận. Quan
hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp C trong Hình 30 c) là toàn phần. Lược
đồ hình tên trong Hình 30 c) biểu diễn quan hệ thứ tự nghiêm ngặt bộ phận trên tập hợp D.
5.4. Các phần tử tối đại, tối tiểu Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X được gọi là tối 0
đại nếu nó không đứng trước bất kì một phần tử nào của X, tức là không
tồn tại x ∈ X sao cho x < x. 0
Nói một cách khác, x ∈ X là phần tử tối đại nếu không tồn tại x ∈ X sao 0 cho x ∈ x và x ≠ x. 0 0
Điều kiện này tương đương với điều kiện sau:
Với mọi x ∈ X, nếu x ∈ x thì x = x . 0 0 Ví dụ 5.8:
Cho tập hợp X ≠ φ. Gọi P = P(X) là tập tất cả các tập con của X. Ta biết
rằng quan hệ hai ngôi “⊂” trên P là một quan hệ thứ tự. Do đó (P, ⊂) là một
tập hợp sắp thứ tự. Ta chứng minh X là phần tử tối đại của P.
Thật vậy, giả sử A P và X A. Khi đó, ta có A X và X A. Do đó A = X.
Vậy X là phần tử tối đại. Mọi tập hợp A ∈ P khác X đều không phải là
phần tử tối đại vì A ⊂ X. Như vậy X là phần tử tối đại duy nhất. Ví dụ 5.9 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và là quan hệ trên X xác định
như sau: Với mọi m, n ∈ X, m ≤ n khi và chỉ khi m chia hết cho n.
Dễ dàng thấy rằng là một quan hệ thứ tự trên X. Ta chứng minh rằng mỗi
số nguyên tố đều là một phần tử tối đại. Thật ậ
v y, nếu p là một số nguyên
tố và n ∈ X, p ≤ n thì n = p. Do đó p là một phần tử tối đại. Như vậy tập
hợp sắp thứ tự X có vô số phần tử tối đại. Ví dụ 5.10 :
Kí hiệu ≤ là quan hệ “chia hết” trên ậ
t p hợp N*: Với m, n nguyên dương, m
≤ n khi và chỉ khi m : n.
Tập hợp sắp thứ tự N* không có phần tử tối đại vì với mọi n ≤ N*, ta có n :
2n và 2n ≠ n, tức là n ≤ 2n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể có một h ặ o c nhiều
phần tử tối đại, cũng có thể không có phần tử tối đại nào.
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử
tối đại được biểu diễn bởi một điểm mà từ đó không có một mũi tên nào đi
đến các điểm khác. Trong hình 31, c và d là hai phần tử tối đại của tập hợp sắp thứ tự X. Hình 31
b) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự. Phần tử x ∈ X gọi là tối tiểu nếu 0
không có một phần tử nào của X đứng trước nó, tức là không tồn tại x ∈ X, x ≠ x sao cho x ≤ x .0 0
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n ử t
tối tiểu được biểu diễn bởi một điểm mà không có bất kì một mũi tên nào đi
từ các điểm khác đến điểm đó. Trong Hình 30, a và d và hai điểm tối tiểu
của tập hợp sắp thứ tự X. Chú ý rằng d cũng là điểm ố t i dại của X. Ví dụ 5.11 :
Giả sử P là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X ≠ φ. Khi đó, tập hợp
sắp thứ tự (P, ⊂) có một phần tử tối tiểu duy nhất, đó là tập hợp φ. Thật
vậy, với mọi A ∈ P mà A ⊂ φ, ta có A = φ. Do đó là phần tử tối tiểu. Ngoài
ra, với mọi A ∈ P mà A ≠ φ, ta có φ ⊂ A. Do đó A không phải là phần tử tối tiểu. Ví dụ 5.12 :
Giả sử X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1. Ta biét rằng (X, :) là một tập
hợp sắp thứ tự (kí hiệu : chỉ quan hệ “chia hết” trên X). ế N u p là một số
nguyên tố thì với mọi n ∈ X, mà n : p, ta có n = p. Do đó p là một phần tử
tối tiểu của tập hợp sắp thứ tự X. Như vậy, X có vô số phần tử tối tiểu, đó là
tất cả các số nguyên tố. Ví dụ 5.13 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho”
trên X (Xem ví dụ 9). Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) không có phần tử tối tiểu vì
với mọi n ∈ X, ta có 2n chia hết cho n và 2n ≠ n, tức là 2n ≤ n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể có một h ặ o c nhiều
phần tử tối tiểu và cũng có thể không có phần tử tối tiểu nào.
5.5. Các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X gọi là lớn nhất 0
nếu: x ∈ x với mọi x ∈ X. 0
b) Định lí: Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần tử lớn nhất.
Phần tử lớn nhất là tối đ i ạ . Chứng minh
Giả sử x và x là những phần tử lớn nhất trong ậ
t p hợp sắp thứ tự X. Khi 0 1 đó: x ≤ x với mọi x ∈ X 0 và x ≤ x với mọi x ∈ X. 1
Do đó x ≤ x và x ≤ . Vì quan hệ ≤ là phản đối xứng nên từ đó suy ra x = 0 0 x 1 1 1
x . Vậy phần tử lớn n ấ
h t, nếu có, là duy nhất. 0
Giả sử x là phần tử ớn nhất trong (X, ≤). Khi đó, với mọi x ∈ X, nếu x ≤ x 0 l 0
thì vì ta cũng có x ≤ x (suy ra từ định nghĩa của x ) nên x = x . Vậy x là 0 0 0 0 phần tử tối đại
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n tử
lớn nhất được biểu diễn bởi một điểm mà tại mỗi điểm của tập hợp đều có
một mũi tên đi từ đó đến điểm đã nêu. Hình 32
Trong Hình 32, d là phần lớn nhất của tập hợp sắp thứ tự A. Ví dụ 5.14 :
Trong tập hợp sắp thứ tự (P, ⊂) (P = P (X) là tập hợp tất ả c các tập con của
hợp X ≠ φ), tập hợp X là phần ử t lớn n ấ h t. • Tập hợp ắ
s p thứ tự (N*, :) không có phần tử tối đại. Do đó, theo Định lí
b), tập hợp N* không có phần tử lớn nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự (X, ≤), trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn
hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong tập hợp này không có
phần tử lớn nhất vì với mỗi n ∈ X, số n + 1 không chia hết cho n. Để ý rằng
trong (X, ≤) có vô số phần tử tối đại (xem Ví dụ 9).
c) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X gọi là nhỏ nhất 0 nếu
x ≤ x với mọi x ∈ X. Tương tự như trong Định lí b), dễ dàng chứng minh 0 được rằng.
d) Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần tử nhỏ nhất. Phần tử
nhỏ nhất là tối tiểu.
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n tử
nhỏ nhất được biểu diễn bởi một điểm mà từ đó có các mũi tên đi đến mọi
điểm Hình 33 khác của tập hợp. Hình 33
Hình 33, a là phần tử nhỏ nhất của tập hợp ắ s p thứ tự A. Ví dụ 5.15:
• Trong tập hợp sắp thứ tự (P, ⊂), trong đó P là tập ợ h p tất cả các tập con
của tập hợp X ≠ φ, φ là phần tử nhỏ nhất duy nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự (X, ≤), trong đó x là tập hợp các số nguyên lớn hơn
1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong Ví dụ 13, ta biết rằng trong
X không có phần tử tối tiểu. Do đó, theo Định lí d), tập hợp sắp thứ tự X
không có phần tử nhỏ nhất. • Tập hợp ắ
s p thứ tự (X, :), trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1
và : là quan hệ “chia hết” trên X, không có phần tử nhỏ nhất vì với mọi n ∈
X, n không chia hết n + 1. Để ý rằng tập hợp sắp thứ tự này có vô số phần
tử tối tiểu (xem Ví dụ 12).
5.6. Các tập con của một tập sắp thứ tự. Bổ đề Doóc −nơ (Zorn). Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự và A là một tập con của X. Gọi A
là quan hệ hai ngôi xác định trên tập hợp A như sau: Với mọi x, y ∈ A, x ≤ A y khi và chỉ khi x ≤ y.
Dễ dàng thấy rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên A. Tập hợp sắp t ứ h tự (A, A
≤ ) gọi là tập con sắp thứ tự của tập hợp sắp thứ tự (X, ≤). A
Thay cho (A, ≤ ) người ta viết (A, ≤). Khi nói A là một tập con của tập hợp A
sắp thứ tự (X, ≤) mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu A là tập hợp sắp thứ tự (A, ≤).
b) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Tập con A của X gọi là dây xích
nếu với mọi x, y ∈ X, x ≤ y hoặc y ≤ x.
Nói một cách khác, A là một dãy sích nếu quan hệ thứ tự ≤ trên A là toàn A phần. Ví dụ 5.16 :
• Tập con A = {5, 15, 60} là một dây xích trong tập hợp sắp thứ tự (N*, :).
• Tập con B = {3, 6, 12, 18} không phải là một dõy xích trong tập hợp sắp
thứ tự (N*, ≤), trong đó ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên N vì 18 không chia hết cho 12.
c) Phần tử chặn trên, chặn dưới
Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự và A là một tập hợp con của X. (i)
x ∈ X gọi là phần tử chặn trên của A nếu x ≤ x ới mọi x ∈ A. 0 v 0
(ii) x ∈ X gọi là phần tử chặn dưới của A nếu x ≤ x với mọi x ∈ A. 0 0 Ví dụ 5.17 :
Xét tập hợp sắp thứ tự (N*, :) và tập con A = {10, 15, 20}.
Dễ dàng thấy rằng các số 60, 120, 180, ... là những phần tử chặn trên của A
và các số 1, 5 là các phần tử chặn dưới của A. Ví dụ 5.18 :
Xét hai tập con Z (là tập các số nguyên) và X = {x ∈ R : −1 ≤ x < 3} của
tập hợp sắp thứ tự (R, ≤) (≤ là quan hệ thứ tự thông thường trên R).
Dễ dàng thấy rằng trong R không có phần tử chặn trên cũng không có phần
tử chặn dưới của Z, mỗi số thực lớn hơn hoặc bằng 3 đều là một phần tử
chặn trên của A và mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −1 là một p ầ h n tử chặn dưới của A.
Như vậy, một tập con của một ậ t p hợp sắp t ứ
h tự có thể có một hoặc nhiều,
cũng có thể không có phần tử chặn trên, chặn dưới.
Bổ đề mà ta thừa nhận sau đây là một định lí quan trọng được áp dụng ð?
chứng minh nhiều định lí.
d) Bổ đề Zooc−nơ. Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự. Nếu trong X
mỗi dây xích đều có một phần tử chặn trên thì trong X có phần tử tối đại.
Hoạt động. Tìm hiểu ề
v quan hệ thứ tự Form at t ed: Heading02 Nhiệm vụ: Delet ed:
Form at t ed: Heading03, Space
Sinh viên đọc thông tin cơ bản đ
ể thực hiện các nhiệm vụ sau Before: 0 pt Nhiệm vụ 1 Form at t ed: Heading04
Trình bày các khái niệm quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ h tự nghiêm ngặt,
quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận. Lí giải một ố
s quan hệ thứ tự thường gặp như quan hệ “chia hết”, quan hệ
“chia hết cho” trên tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” trên một tập hợp những
tập hợp ,quan hệ (nhỏ hơn hoặc bằng theo nghĩa thông thường) trên tập hợp R.
Nhận biết một quan hệ cho trước trên một tập hợp có phải là một quan hệ
thứ tự hay không, biết cho các ví dụ về quan hệ thứ tự.
− Biểu diễn một số quan hệ thứ tự và quan hệ thứ tự nghiêm ngặt ằ b ng lược đồ hình tên. Nhiệm vụ 2 Form at t ed: Heading04
Trình bày các khái niệm phần tử tối đại, tối tiểu, phần tử lớn nhất, nhỏ
nhất, phần tử chặn trên, chặn dư i
ớ , dây xích trong một tập hợp sắp thứ tự.
Tìm các phần tử đó nêu trong một tập hợp sắp thứ tự cho trước.
− Biểu diễn được các phần tử này trong một số quan hệ thứ tự bằng lược đồ hình tên.
Đánh giá hoạt động 5.1 Form at t ed: Heading02
1. Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36}. Gọi ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Chứng minh ≤ là một quan hệ thứ tự trên X.
b) Quan hệ thứ tự ≤ trên X có phải là toàn phần không?
2. Cho tập hợp A = {3, 6, 12, 36, 48}. Quan hệ “chia hết cho” trên A có
phải là một quan hệ thứ tự không? Nếu có, nó có phải là một quan hệ toàn phần không?
3. Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp C các số phức xác định như sau:
Với mọi a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) ℜ (c + di) khi và chỉ khi a ≤ c và b ≤ d.
a) Chứng minh rằng ℜ là một quan hệ thứ tự trên C.
b) R có phải là toàn phần không?
4. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và quan hệ hai ngôi R xác định trên
X như sau: Với mọi x, y ∈ X, x R y khi và chỉ khi x ≤ y và 2 : (x − y).
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
b) R có phải là toàn phần không?
c) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
5. Giả sử X là tập hợp tất cả các dãy số thực và R là quan hệ hai ngôi trên X
xác định như sau: Với mọi dãy số thực (xn) và (yn), (xn) R (yn) khi và chỉ
khi tồn tại một số nguyên dương m sao cho xn ≤ yn với mọi n > m.
a) Chứng minh quan hệ R là phản xạ và bắc cầu.
b) R có phải là quan hệ thứ tự hay không?
6. Có thể xác định được bao nhiêu quan hệ thứ tự.
Trên một tập hợp có hai phần tử?
7. Cho tập hợp sắp thứ tự (X, ), trong đó
X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} và ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của X.
b) Tìm phần tử lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của X.
8. Cho tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) ớ
v i X = {35, 36, 3 ,7 38, 39} và là quan hệ
“chia hết cho” trên X. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của X.
9. Các lược đồ hình tên trong Hình 34 dưới đây biểu diễn các quan hệ hai
ngôi RA, RB, RC, theo thứ tự, trên các tập hợp A, B, C. Quan hệ nào trong
ba quan hệ đó là quan hệ thứ tự? Hình 34
10. Hai lược đồ hình tên trong Hình 35 dưới đây biểu diễn quan hệ hai ngôi
R và ϕ, theo thứ tự, trên tập hợp X và Y.
a) Chứng minh rằng R là quan hệ thứ tự trên X và Y là quan hệ thứ tự trên Y.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu và phần tử lớn nhất, n ỏ h nhất của mỗi tập hợp X và Y. Hình 35
11. Cho ví dụ về một tập hợp sắp t ứ
h tự có m phần tử vừa là tối đại ừ v a là tối tiểu.
Hướng dẫn. Xem lược đồ trong Hình 35a)
12. Cho ví dụ về một tập hợp sắp thứ tự có
a) m + 1 phần tử, trong đó có k phần tối đại và một phần tử tối tiểu,
b) m + 1 phần tử, trong đó có k phần tử tối tiểu và một p ầ h n tử tối đại.
13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn hình tròn D , D , D : D và D 2 ,3 D 1 4 1 2
đều có tâm là điểm ố
g c (0, 0) và có bán kính theo thứ tự, là 1 và 2, D có 3
tâm là điểm (2, 0) và bán kính là 1, D có tâm là điểm (−2, 0) và bán kính là 4
4. Gọi X là tập hợp 4 hình tròn đã cho : X = {D , D , D , } và ⊂ là quan hệ 3 D 1 2 4 “chứa trong” trên X.
a) Hãy biểu diễn quan hệ ⊂ bằng lược đồ hình tên.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu và phần tử lớn nhất, nhỏ nhất ( ế n u có)
của tập hợp sắp thứ tự X.
14. Cho hai tập con A = {9, 18, 36, 72, 216} và B = {7, 14, 28, 56, 84} của
tập hợp N*. A và B có phải là dây xích trong tập hợp sắp thứ tự N* với
quan hệ “chia hết” hay không?
15. Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{7, 11} và B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} trong tập hợp sắp thứ tự {N*, ≤}, trong
đó ≤ là quan hệ “chia hết” trên ậ t p hợp N*.
16. Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{6, 9, 15} và B = {35, 36, 37, ...} trong tập hợp sắp thứ tự {N*, ≤}, trong đó ≤
là quan hệ “chia hết cho” trên tập hợp N*.
17. Giả sử {R, ≤} là ậ t p hợp sắp t ứ
h tự, trong đó ≤ là quan hệ “nhỏ hơn
hoặc bằng” (thông thường) trên tập hợp các ố s t ự h c ≤.
a) Tìm các phần tử chặn trên và các phần tử chặn dưới của tập hợp A = [−7,
3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} trong R.
b) Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của tập hợp N các số tự nhiên.
18. Chứng minh rằng trong mỗi tập con hữu hạn khác rỗng A của tập hợp
sắp thứ tự (X, ≤) luôn tồn tại phần tử tối đại và phần tử tối tiểu. Nếu ngoài
ra, A là một dây xích thì tồn tại phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của A. Form at t ed: Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ
Thông tin cơ bản
ánh xạ và hàm số, một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, là những khái niệm
quen thuộc với chúng ta đã từ lâu. Đây là những khái niệm quan trọng,
thường gặp không chỉ trong mọi bộ môn toán học mà cả trong vật lí, hoá
học,... cũng như trong các ngành khoa học, kĩ thuật khác. Chủ đề này dành
riêng cho việc giới thiệu định nghĩa, các khái niệm cơ bản về ánh xạ và một
số tính chất chung của ánh xạ. 6.1. Định nghĩa ánh xạ Form at t ed: Heading03 Ta xét một số ví dụ Ví dụ 6.1 :
Giả sử X là tập hợp gồm 7 em học sinh của một trường trung học phổ
thông, trong đó 5 em Cường, Luân, Thái, Mai, Hạnh là học sinh khối 10,
hai em Nguyệt, Việt là học sinh khối 11: X = {c, l, t, m, h, n, v},
Y là tập hợp gồm 5 lớp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E của trường Y = {A, B, C, D, E},
và R là quan hệ hai ngôi “là học sinh của lớp” trên X x Y, xác định bởi:
R = {(c, A), (l, B), (t, B), (m, C), (h, D)}.
((<, A) ∈ R hay c R A đư c
ợ hiểu “Cường là học sinh lớp 10A”).
Lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R được cho trong Hình 1 dưới đây.
Ta thấy 5 phần tử c, l, t, m, h của tập hợp X có quan hệ R với những phần
tử trong tập hợp Y, còn hai phần tử n, v không có quan hệ R với bất cứ một
phần tử nào của Y. Như vậy, ta có D (R) ≠ X,
D(R) là tập xác định của quan hệ R: D (R) = (c, l, t, m, h}.
“là học sinh của lớp” Hình 1
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R ta thấy từ mỗi điểm c, l, t, m, h
có một mũi tên đi ra và không có mũi tên nào đi từ hai điểm n và v. Ví dụ 6.2 :
Giả sử X là tập hợp gồm 5 ông: Hùng, Cung, San, Việt, T ấ u n ở trong một nhà của khu tập thể: X = {h, s, c, v, t},
Y là tập hợp gồm 6 em: Dũng, Anh, Loan, Đào, Mạnh, Kiệt, ở nhà đó: Y = {d, a, l, đ, m, k},
và ϕ là quan hệ hai ngôi “là bố của” trên X x Y xác định bởi:
ϕ = {(h, d), (s, a), (s, l), (c, đ), (v, m), (t, k)}.
((h, d) ∈ φ hay h ϕ d có nghĩa “Ông Hùng là bố của em Dũng”).
Khác với Ví dụ 1, ở đây mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ ϕ với
một phần tử nào đó của Y, tức là D (ϕ) = X. Trên lược đồ hình tên biểu
diễn quan hệ ϕ (Hình 2), ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp X đều có mũi tên
đi ra. Ngoài ra, phần tử s ủ
c a X có quan hệ ϕ với hai phần tử a và l của Y.
Trên lược đồ hình tên, ta thấy có hai mũi tên từ điểm s đi ra. Hình 2 Ví dụ 6.3 : Giả sử X là tập ợ
h p gồm 7 học sinh: Dũng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường, Quỳnh, Việt: X = {d, m, h, t, c, q, v},
Y là tập hợp gồm một số họ: Nguyễn, Lê, Trần, Đặng, Huỳnh, Vũ: Y = {N, L, T, Đ, H, V},
và ρ là quan hệ “có họ là” trên X x Y xác định bởi
ρ = {(d, N), (m, N), (h, L), (t, T), (c, T), (q, Đ), (v, H)}.
((d, N) ∈ ρ hay d ρ N có nghĩa “Dũng có họ là Nguyễn”).
Trong ví dụ này, mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần
tử nào đó của tập hợp Y, tức là D (ρ) = X. Ngoài ra, mỗi phần tử của X chỉ
có quan hệ ρ với một phần ử t duy nhất của Y. Hình 3
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ ρ, ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp
X đều có một mũi tên đi ra. Hơn nữa, không có điểm nào của X mà từ đó có quá một ũ m i tên đi ra.
Tóm lại, quan hệ hai ngôi ρ trên X x Y thoả mãn điều kiện sau:
Với mỗi phần tử x của tập hợp X, tồn tại một phần tử duy nhất y của tập hợp Y sao cho x ρ y.
Quan hệ ρ được gọi là một ánh xạ. Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: Giả sử X và Y là hai tập hợp. Quan hệ hai ngôi f trên X x Y
gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại một phần
tử duy nhất y ∈ Y sao cho x f y.
ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y được kí hiệu là: f : X → Y.
Nếu x là một phần tử của tập hợp X thì phần tử y của tập hợp Y sao cho x f
y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).
Hiển nhiên ánh xạ f được xác định nếu ảnh f (x) của mỗi phần tử x X đều
được xác định. Vì vậy người ta còn dùng kí hiệu x → f (x), x ∈ X hoặc x y,
x ∈ X để chỉ anh xạ f.
Trong trường hợp X là một tập hợp hữu hạn, người ta thường cho ánh xạ
dưới dạng một bảng gồm hai hàng. Các phần tử của tập hợp X được ghi ở
hàng trên. ảnh tương ứng chúng (những phần tử của tập hợp Y) được ghi ở
hàng dưới. Chẳng hạn, ánh xạ ρ : X → Y trong Ví dụ 3 đư c ợ cho ở bảng sau:
Trước kia ta nói “d có quan hệ ρ với N” và viết d ρ N. Bây giờ ta nói “N là
ảnh của d qua ánh xạ ρ” và viết: N = ρ (d).
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y.
Khi đó, X được gọi là tập xác định của ánh xạ f. Tập hợp các ảnh f (x) của
tất cả các phần tử x của tập hợp X được gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu là f (X).
Như vậy, với mọi y ∈ Y,
y ∈ f (X) khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho y = f (x), tức là:
f(X) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x)}.
Hiển nhiên f (X) là một tập con của Y. Tập hợp Y chứa ảnh của ánh xạ f
được gọi là tập đến (hoặc tập đích) ủ c a f.
Trở lại các ví dụ đã xét, ta thấy quan hệ ℜ trong Ví dụ 1 là quan hệ ρ trong
Ví dụ 2 không phải là những ánh xạ. Hiển nhiên quan hệ ρ trong Ví dụ 3 là
một ánh xạ như đã nêu. Tập xác định của ánh xạ ρ là X.
ρ (d) = N, ρ (m) = N, ρ (h) = L, ..., ρ (v) = H. ảnh của ánh ạ x là:
ρ (X) = {N, L, T, Đ, H} ⊂ Y.
Không có phần tử nào của tập hợp X có quan hệ ℜ với phần tử V ∈ Y, tức
là V không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X. Như vậy ρ(X) là một tập con thực sự của Y, tức là ρ(X) ⊂ Y và ρ(X) ≠ Y. Ví dụ 6.4 :
Cho tập hợp X = {a, b, c} và ánh xạ f: X → N xác định bởi bảng sau:
a) Biểu diễn ánh xạ f bằng lược đồ hình tên. b) Tìm ảnh của f.
a) Lược đồ hình tên của ánh xạ f được cho trong Hình 4 dưới đây: Hình 4
b) ảnh của ánh xạ f là : f (X) = {1, 3, 5}.
f (X) là một tập con thực sự của N.
ánh xạ mà tập xác định và tập đ n
ế đều là những tập hợp số (như N, Z, Q,
⏐R, C hoặc các tập con của chúng) thường được cho bởi một công thức.
Chẳng hạn, khi cho hàm số : f : ⏐R* → ⏐R
xác định bởi công thức : x → f(x) = ,
ta hiểu rằng mỗi số thực x ≠ 0 nhận một phần tử duy nhất y = ∈⏐R làm ảnh của nó qua ánh xạ f.
(Kí hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác không :⏐R* = ⏐R\{0}). Ví dụ 6.5 :
ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định bởi công thức x f(x) = sin x là một ánh xạ từ
tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R.
Tập xác định của hàm số f là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh xạ
là tập hợp: f (⏐R) = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1},
vì với mọi số thực y, y f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = sin x
Điểu này xảy ra khi và chỉ khi −1 ≤ y ≤ 1 Ví dụ 6.6 :
ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi công thức x → f(x) = x2 + 1 là một ánh xạ
từ tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R.
Tập xác định của ánh xạ này là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh
xạ: f (⏐R) = {y ∈ ⏐R : y ≥ 1},
vì với mọi số thực y, y ∈ f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = x2 + 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi y ≥ 1. Ví dụ 6.7 :
Giả sử X là một tập hợp cho trước tuỳ ý. ánh xạ I: X → X xác định bởi x →
I (x) = x là một ánh xạ từ X vào X.
Tập xác định của ánh xạ I là X. Tập đến của I cũng là X. Hiển nhiên ảnh
của ánh xạ I là I (X) = X.
I được gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X. Khi có nhiều tập hợp X, Y,
... được đồng thời đề cập đến, để phân b ệ
i t, người ta dùng các kí h ệ i u IX,
IY, ... để chỉ các ánh xạ đồng nhất trên các tập hợp X, Y, ... Ví dụ 6.8 :
Phép cộng trên tập hợp các số thực ⏐R là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R2 = ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R:
ánh xạ f: ⏐R x ⏐R → ⏐R xác định bởi: (x, y) → f (x, y) = x + y là một ánh
xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R.
(ảnh của phần tử (x, y) ∈ ⏐R x ⏐R qua ánh xạ f được kí hiệu là f (x, y) thay cho f ((x, y))).
Tập xác định của ánh xạ f là ⏐R x⏐R. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy
rằng ảnh của f là f (⏐R x ⏐R) = ⏐R.
Tương tự, phép trừ và phép nhân trên tập hợp ⏐R cũng là những ánh xạ từ
tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R. Ví dụ 6.9 :
Ký hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác 0: ⏐R* = ⏐R \ {0}. Phép chia
trên ⏐R la f một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập ợ h p ⏐R:
ánh xạ f : ⏐R x ⏐R* → ⏐R xác định bởi (x, y) → f (x, y) =
là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập hợp ⏐R.
Tập xác định của f là ⏐R x ⏐R*. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy rằng
ảnh của f là tập hợp f (⏐R x ⏐R*) = ⏐R. 6.2. ánh xạ bằng nhau Form at t ed: Heading03
Giả sử X và Y là hai tập hợp, f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ta nói rằng
hai ánh xạ f và g là bằng nhau, và viết f = g, nếu f (x) = g (x) với mọi x X.
Chẳng hạn, ánh xạ f : ⏐R → ⏐R x → f (x) = x3 − 1
và ánh xạ g: ⏐R → ⏐R
x → g (x) = (x − 1) (x2 + x + 1)
là hai ánh xạ bằng nhau.
6.3. Thu hẹp và thác triển ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y và A là một tập con của X.
ánh xạ g : A → Y xác định bởi g (x) = f (x) với mọi x ∈ A,
Gọi là ánh xạ thu hẹp (gọi tắt là thu hẹp) của ánh xạ f trên tập hợp A và được kí hiệu là f/A.
Như vậy, f/A : A → Y là ánh xạ xác định bởi: x f/A (x) = f(x). Ví dụ 6.10 :
Giả sử f: ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi:
A và B là hai tập con của ⏐R với :
A = {x ∈⏐R : x ≥ 0} và B = {x ∈⏐R : x < 0}.
Khi đó, ánh xạ thu hẹp của f trên A là: f/A: A →⏐R x → f/A (x) = ,
và ánh xạ thu hẹp của f trên B là: f/B: B → ⏐R x → f/B(x) = .
b) Giả sử X, Y là hai tập hợp, A là một tập con của X, f: A → Y và F: X →
Y là những ánh xạ. Nếu F/A = f, tức là F (x) = f (x) với mọi x ∈ A thì ánh
xạ F được gọi là ánh xạ thác triển (gọi tắt là thác triển) của ánh xạ f lên tập hợp X. Ví dụ 6.11 :
Giả sử f : Q → {0, 1} là ánh xạ từ tập hợp các số hữu ỉ t Q vào tập hợp {0, 1} xác định bởi:
f (x) = 1, với mọi x ∈ Q,
và D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi:
Khi đó, ánh xạ D là thác triển của ánh xạ f (từ tập con Q của ⏐R) lên tập
hợp ⏐R. ánh xạ D được gọi là hàm số Điritslê (Diritchlet).
(Điritslê Pitơ Guxtao Lơgiơn (Diritchlet Peter Gustav Lejeune, 1805 −
1859) là nhà toán học Đức).
6.4. Hợp của các ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. ánh xạ
h : X → Z xác định bởi x → h(x) = g [f(x)]
gọi là ánh xạ hợp của hai ánh xạ f và g, kí hiệu là gof.
Như vậy, gof: X → Z là ánh xạ xác định bởi: (gof) (x) = g[f(x)], x ∈ X.
(Trong kí hiệu ánh xạ hợp “gof” của ánh xạ f và g, hãy chú ý đến thứ tự của
hai ánh xạ: g được viết trước f).
Lược đồ sau giúp ta nhớ định nghĩa ánh xạ hợp dễ hơn. Hình 5 Ví dụ 6.12 : (i) cho hai ánh xạ. f: ⏐R → ⏐R x → f (x) = 2 x − và g : ⏐R → ⏐R x → f (x) = sin x.
Khi đó, ánh xạ hợp của f và g là: gof : ⏐R → ⏐R
x → (gof) (x) = sin (2x − ). (ii) cho hai ánh xạ f : ⏐R+ ⏐R x → f (x) =
(Ký hiệu ⏐R+ chỉ tập hợp các số thực không âm), và g: R → ⏐R x → g (x) = cos x.
Khi đó, ảnh xạ hợp của f và g là: gof: ⏐R → ⏐R
x → (fog) (x) = 2 sin x − . Như vậy fog gof.
Người ta nói rằng phép hợp các ánh xạ không có tính giao hoán. Ví dụ 6.12 : Cho hai ánh xạ f : ⏐R → ⏐R x → f (x) = ⏐x⏐ và g : ⏐R+ → P (⏐R)
x → g(x) = [−x, x] = {ξ → ⏐R : −x ≤ ξ ≤ x}
(P (⏐R) là tập hợp các ậ t p con của ⏐R).
ánh xạ hợp của f và g là: gof : ⏐R → P (⏐R)
x → (gof) (x) = [−⏐x⏐, ⏐x⏐] Ví dụ 6.13 :
Dễ dàng thấy rằng với mọi ánh ạ x f : X → Y, fo IX = f và IY of = f,
trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng nhất trên X và Y.
Khi đó, ta nói rằng các lược đồ sau là giao hoán. Hình 6
Định lí sau đây cho thấy phép hợp các ánh xạ có tính kết hợp. c) Định lí
Với mọi ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z và h : Z → V, ho (gof) = (hog) of. Chứng minh
Dễ thấy ho (gof) và (hog) of đều là những ánh xạ từ X đến V Hình 7 Ta chứng minh:
(1) [ho (gof)] (x) = [(hog) of] (x) với mọi x ∈ X.
Thật vậy, với mọi x ∈ X, ta có
(2) [ho (gof)] (x) = h ((gof) (x)) = h (g (f(x))) và
(3) [(hog) of] (x) = (hog) (f(x)) = h (g (f(x))).
Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh.
6.5. Hàm số − Dãy và dãy số. Form at t ed: Heading03
Giả sử fi X → Y là một ánh xạ. Nếu tập đến Y của f là ậ t p hợp số thực thì f
: X → ⏐R được gọi là một hàm số thực.
Nếu Y = C thì ánh xạ f : X → C được gọi là một hàm số phức.
Nếu tập xác định X của f là tập hợp các số nguyên dương N* (hoặc tập hợp
các số tự nhiên N) thì ánh xạ f : N* → Y
(hoặc f : N → Y) được gọi là một dãy vô hạn (gọi tắt là dãy) phần tử của Y.
Giả sử f : N* → Y là một dãy phần tử của Y. Với mỗi số nguyên dương n,
đặt yn = f (n); yn là ảnh của n qua ánh xạ f. Người ta thường dùng kí hiệu
(y , y , ..., yn, ...) hoặc (yn) để chỉ dãy f (vì một ánh xạ được xác định bởi 1 2 ảnh của các p ầ h n tử của nó).
Đặc biệt, nếu X = N* (hoặc N) và Y = ⏐R thì ánh xạ f: N* → ⏐R được gọi
là một dãy số thực. ánh xạ f : N* → C (hoặc f : N → C) được gọi là ộ m t dãy số phức.
Nếu X = {1, 2, ..., m} thì ánh xạ f : X → Y được gọi là một dãy (hữu hạn)
m phần tử của Y. Đặt yk = f (k), k = 1, ..., m. Dãy m phần tử của Y thường
được kí hiệu là (y , y , ..., ym). 1 2
Khi xét các hàm số thực f : X → ⏐R hoặc hàm số phức f : X → C, người ta
gọi ảnh f (x) của phần tử x qua ánh xạ f là giá trị của hàm số f tại điểm x và
gọi ảnh f (X) của f là tập các giá trị của hàm số f.
Chẳng hạn, với hàm số f : ⏐R ⏐R, x f (x) = sin x, giá trị của hàm số tại
điểm x = là f () = sin = và tập các giá trị của hàm số là f (⏐R) = {y ∈ ⏐R: −1 ≤ y ≤ 1}.
Trong một số trường hợp người ta cho hàm số thực f xác định trên một tập
con X nào đó của ⏐R bởi một công thức mà không cho trước tập hợp X.
Khi đó, ta hiểu tập xác định X của hàm số f là tập hợp tất cả các số thực x
sao cho f (x) có nghĩa. Chẳng hạn, tập xác đ n
ị h của hàm số thực f(x) = là tập hợp: X = {x ∈ ⏐R : x ≤ 1}.
B. Hoạt động 6.1. Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về ánh xạ Form at t ed: Heading02 Nhiệm vụ: Delet ed:
Sinh viên thảo luận theo nhóm 3 − 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau Form at t ed: Heading03
rồi cử đại diện nhóm trình bày Nhiệm vụ 1 Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về quan hệ hai ngôi không phải là ánh ạ x và biểu diễn quan
hệ đó bằng lược đồ hình tên.
− Cho ba ví dụ về ánh xạ mà tập xác định và tập đến đều không phải là
những hàm số, biểu diễn ánh xạ đó bằng lược đồ hình tên và tìm ảnh của chúng.
− Cho bốn ví dụ về ánh xạ mà tập xác định là N, N*, Z, Q, ⏐R hoặc tập con
của chúng và chỉ ra tập xác định và ảnh của các ánh xạ đó.
− Cho ví dụ về ánh xạ có tập xác định là tập hợp số thực {x ∈ ⏐R : x ≥ 0}
và ảnh là tập hợp { x ∈ ⏐R : 0 ≤ x < 1}. Nhiệm vụ 2 Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về hai ánh xạ bằng nhau. − Hai ánh xạ. f : ⏐R+ →⏐R x → f (x) = và g : ⏐R+ →⏐R x → g(x) = x − 1
Có phải là hai ánh xạ bằng nhau hay không? Nhiệm vụ 3 Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ về ánh xạ thu ẹ h p và ánh xạ thác tr ể i n của một ánh xạ cho trước.
− Cho hai ví dụ về một cặp ánh xạ f, g : X → Y khác nhau nhưng f/ = g/ , A A
A là một tập con của X.
− Cho ba tập hợp A, B, X, trong đó A ⊂ B ⊂ X. Tìm quan hệ giữa các ánh xạ. f/ , (f/ )/A và f/ . A B A ⊂ B Nhiệm vụ 4 Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho ánh xạ hợp gof tồn tại nhưng
không tồn tại ánh xạ hợp fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại nhưng gof ≠ fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại, hơn nữa gof = fog. Đánh giá h ạ o t động 6.1 Delet ed:
1. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Form at t ed: Heading02
Y = {0, 1, 2, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R trên X x Y xác định bởi:
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}.
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
2. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} và quan hệ hai
ngôi R trên A x B xác định bởi:
ℜ = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}.
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
3. Cho hai tập hợp X = {3, 5, 7, 12}, Y = {1, 6, 13, 17, 35, 36} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” ϕ trên X x Y.
(Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x ϕ y khi và chỉ khi x chia hết y)/ a) Tìm quan hệ ϕ. b) Biểu d ễ
i n quan hệ ϕ bằng lược đồ hình tên.
c) ϕ có phải là một ánh xạ không?
4. Cho hai tập hợp A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {11, 13, 18, 35, 101} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” f trên A x B.
a) Tìm quan hệ f và biểu diễn f bằng lược đồ hình tên.
b) f có phải là một ánh xạ không? Tìm tập xác định và ảnh của f (nếu f là ánh xạ).
5. Lớp 12A của một trường trung học phổ thông có 40 học sinh. Một số em
ở độ tuổi 18, số còn lại ở độ t ổ
u i 17. Gọi X là tập hợp các học sinh lớp 12A,
Y = {17, 18} và R là quan hệ hai ngôi trên X x Y xác định như sau:
Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x R y khi và chỉ khi y là tuổi của học sinh x.
a) R có phải là một ánh xạ không?
b) Tìm tập xác định và ảnh của R (nếu R là một ánh xạ).
6. Tập hợp X có n phần tử, tập hợp Y có một phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y?
7. Tập hợp X có một phần tử, tập hợp Y có m phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y?
8. Hai tập hợp X và Y đều có hai phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y.
9. Chứng minh rằng nếu tập hợp X có n phần tử và tập hợp Y có m phần tử
thì có mn ánh xạ từ X vào Y. Hướng dẫn:
Giả sử m là một số nguyên dương t ỳ
u ý và Y = {y , y , ..., ym}. Ta ch ng 1 2 ứ
minh điều khẳng định bằng phương pháp quy nạp theo n. Giả sử n = 1 và X
= {x }. Khi đó có m1 = m ánh xạ từ X vào Y; các ánh xạ đó được xác định 1
như sau: f (x ) = y , f (x ) = y , ... , fm (x ) = ym. Giả sử điều khẳng định 1 1 1 2 1 2 1
đúng cho n, tức là có mn ánh xạ từ tập hợp X = {x , x , ..., xn} (có n phần 1 2
tử) vào tập hợp Y. Ta chứng minh có mn + 1 ánh xạ từ tập hợp X = {x , x , ..., 1 2
xn, xn } vào tập hợp Y. Chia tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y thành m + 1
tập con đôi một rời nhau như sau: Tập con thứ nhất gồm tất ả c các ánh xạ f
: X → Y sao cho f (xn ) = y , tập con thứ hai gồm tất cả các ánh xạ f : X → + 1 1
Y sao cho f (xn ) = y ,..., tập con thứ m gồm tất cả các ánh xạ f X → Y sao + 1 2 1
cho f (xn ) = ym. Hãy chỉ ra rằng mỗi tập con đó có mn phần tử. + 1
10. Ký hiệu P = P (⏐R) chỉ tập hợp tất ả
c các tập con của tập hợp các số
thực ⏐R. Cho ánh xạ f : ⏐R → P xác định bởi công thức:
f(x) = {y ∈⏐R : y ≤ ⏐x⏐ Tìm f(-2), f(0) và f (x2).
11. Cho tập hợp X = {x ∈ ⏐R : 0 ≤ x ≤ 2} và ánh xạ f : X → ⏐R xác định bởi:
Tìm ảnh f (X) của ánh xạ f.
12. Hai ánh xạ f; g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: f (x) = và g (x) =
có phải là những ánh xạ bằng nhau hay không?
13. Cùng câu hỏi của bài tập 12 đối với hai ánh xạ u, v : ⏐R → ⏐R xác định bởi: và v (x) = .
14. Tìm các ánh xạ hợp gof và fog (nếu có) của mỗi cặp hàm số sau đây.
Nếu không tồn tại gof hoặc fog thì giải thích lí do:
a) f : ⏐R+ →⏐R và g : ⏐R →⏐R
x → f(x) = lnx x → g(x) = ex
( là tập hợp các số thực dương: = {x ∈ ⏐R : x > 0};
b) f : ⏐R* → ⏐R và g : ⏐R* → ⏐R
x → f (x) = hvx x → g(x) = cos x.
15. Cho hai ánh xạ f, g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: và g(x) = x + 1.
a) ảnh của ánh xạ h : ⏐R → ⏐R phải thoả mãn điều kiện nào để có foh = goh?
b) Tìm ba hàm số h : ⏐R → ⏐R mà ảnh h (⏐R) là một tập hợp vô hạn (tức
là tập hợp có vô số phần tử) sao cho foh = goh.
16. Cho hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định bởi:
f(x) = và g(x) = −2x2 + 33.
Tìm tập con X của ⏐R sao cho: f/ = g/ . X X
17. Cùng câu hỏi của bài tập 16 đối với hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định bởi: f(x) = , g(x) = 3 − x2.
18. Giả sử A là một tập con của tập hợp X. ánh xạ
jA : A → X xác định bởi x → jA (x) = x
gọi là phép nhúng tập con A vào tập hợp X.
Chứng minh rằng với mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi A ⊂ X, ta đều có: f/ = fo jA. A
19. Tìm tập xác định và tập các giá trị của hàm số f(x) =
20. Chứng minh rằng nếu Y là một tập hợp có m phần tử thì tồn tại mn dãy n phần tử của Y.
Hướng dẫn. áp dụng bài tập 9.
21. Giả sử X và Y là hai tập hợp bất kì. Ký hiệu YX chỉ tập hợp tất cả các ánh xạ f : X → Y.
Giả sử X, Y, Z là ba tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ cho trước. ánh xạ df : ZY → ZX xác định bởi ϕ → df(ϕ) = ϕ f 0
gọi là ánh xạ cảm ứng b?i ánh xạ f.
Cho bốn tập hợp X, Y, Z, W và ϕ f ∈ ZX 0
hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z.
Gọi df : WY → WX, dg : WZ → WY và dgof : WZ → WX, theo thứ tự, là
ánh xạ cảm ứng bởi f, g và gof. Chứng minh rằng dgof = df . dg.
22. Kí hiệu ⏐R⏐R chỉ tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập R vào chính nó (xem
bài tập 21). Gọi ≤ là quan hệ hai ngôi trên RR xác định như sau: Với mọi f, g ∈⏐R⏐R,
f ≤ g khi và chỉ khi f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈⏐R.
a) Chứng minh rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên ⏐R⏐R.
b) Chứng minh rằng trong tập hợp sắp thứ tự ⏐R⏐R không có phần tử tối
đại và phần tử tối t ể i u.
23. Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X. ánh xạ: π : X → X/R x → (x) =
trong đó là lớp tương đương chứa phần tử x ∈ X gọi là, ánh xạ thương.
Giả sử RX và RY, theo thứ tự, là hai quan hệ tương đương trên hai tập hợp
X, Y và f : X → Y là một ánh xạ sao cho với mọi x , x ∈ X, 1 2 x RXx ⇒ f(x ) RY f(x ). 1 2 1 2
Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ F : X / RX → Y/RY sao cho lược đồ sau giao hoán.
Ngoài ra, nếu f(X) = Y thì F (X/RX) = Y/RY.
(π và π là hai ánh xạ thương). X Y
Form at t ed: Heading01, Line spacing: single
Tiểu chủ đề 1.7.
đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
Thông tin cơ bản Delet ed: 7.1. Đơn ánh
Form at t ed: Heading02, Space Before: 0 pt
Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau: Form at t ed: Heading03
Ví dụ 7.1: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e},
Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y,
g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây:
Hai ánh xạ f và g được biểu diễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới đây. Hình 2
Ta thấy ba phần tử b, d, e ủ
c a tập hợp X đều có ảnh qua ánh xạ f là phần tử
2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ba điểm b, d, e của X đều đi đến điểm 2 ủ
c a Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b,
c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh xạ g là những phần tử đôi một
khác nhau của tập hợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũi tên từ hai điểm khác
nhau của X đi đến hai điểm khác nhau của Y. Nói một cách khác, hai phần
tử khác nhau bất kì của tập hợp X có ảnh qua ánh xạ g là hai phần tử khác
nhau của tập hợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh.
Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác
nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y,
tức là với mọi x , x ∈ X, 1 2 x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2
Hiển nhiên, điều kiện trên tương đương với điều kiện sau: Với ọ m i x , x ∈ 1 2 X, f(x ) = f(x ) ⇒ x = x 1 2 1 2
Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là một đơn ánh. Ví dụ 7.2 :
(i) Ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = x2 không phải là một đơn ánh vì
chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1.
(ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số nguyên dương m,
n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ .
(iii) Ánh xạ ϕ : ⏐R →⏐R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn
ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤
} thì ánh xạ /A : A → ⏐R, thu hẹp của trên tập con A của ⏐R là một đơn ánh.
Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt
B = {x ∈⏐R : 0 ≤ x ≤ π} thì ánh xạ /B : B →⏐R, thu hẹp của trên tập con B
của ⏐R là một đơn ánh.
ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi h(x) = ⏐x⏐ không phải là một đơn ánh
nhưng ánh xạ h/R+ ⏐R, thu hẹp của h trên tập hợp ⏐R+ các số nguyên không âm R+ là một đơn ánh.
(iv) Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh và A là một tập con
của tập hợp X thì ánh xạ f/A : A → Y, thu hẹp của f trên A, là một đơn ánh. 7.2. Toàn ánh Form at t ed: Heading03
Ta trở lại xét hai ánh ạ x f và g trong Ví dụ 2.1.
ảnh của ánh xạ f là f(X) = {1, 2, 3}. Mỗi p ầ
h n tử 4, 5, 6,7, 8 của Y không
phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X qua ánh xạ f; f(X) là một tập
con thực sự của Y, tức là f(X) ⊂ Y và f(X) ≠ Y. Tương tự, ảnh của ánh xạ g
là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mỗi phần tử 2, 5, 8 của Y không nhận một p ầ h n tử
nào của Y làm ảnh của nó qua ánh xạ g. g(X) cũng là một tập con thực sự của Y. Ta xét một ví dụ khác. Ví dụ 7.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh xạ ϕ : X → Y cho bởi bảng sau:
ánh xạ ϕ được biểu d ễ
i n bởi lược đồ hình tên trong hình 9 Hình 9
Khác với hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 1, ở đây ảnh của ϕ là ϕ(X) = {M, N,
P, Q} = Y. Như vậy mỗi p ầ
h n tử của Y dều là ảnh của một phần tử nào đó
của X qua ánh xạ ϕ. Người ta gọi ánh xạ ϕ là một toàn ánh.
Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa
ánh xạ f: X → Y được gọi là một toàn ánh nếu ảnh của ánh xạ f bằng tập đến của ánh xạ, ứ t c là: f(X) = Y.
Từ định nghĩa của toàn ánh suy ra rằng f : X → Y là một toàn ánh khi và
chỉ khi với mỗi y ∈ Y, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y.
Hiển nhiên các ánh xạ f và g trong Ví dụ 1 không phải là những toàn ánh. Ví dụ 7.4:
(i) Đặt A = {x ⏐R : < x < }. Ánh xạ f : A → ⏐R xác định bởi f(x) = tgx là
một toàn ánh vì với mọi y ∈⏐R, tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = tgx = y.
(ii) ánh xạ g : ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = ⏐x⏐ không phải là một toàn
ánh vì ảnh của ánh xạ là tập hợp g(⏐R) = {⏐x⏐ : x ∈ ⏐R} = ⏐R+; đó là một
tập con thực sự của ⏐R. Tuy nhiên ánh xạ ϕ : ⏐R → ⏐R+ xác định bởi ϕ(x)
= ⏐x⏐ là một toàn ánh vì ϕ(⏐R) = ⏐R+.
(iii) ánh xạ h : ⏐R → ⏐Rxác định bởi h(x) = sinx không phải là một toàn
ánh vì h(⏐R) = {sin x : x ∈⏐R} = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1} ≠⏐R.
Tuy nhiên, nếu đặt A = {−1 ≤ y ≤ 1} thì ánh xạ ϕ : ⏐R → A xác định bởi
ϕ(x) = sin x là một toàn ánh.
Toàn ánh f : X Y còn được gọi là ánh xạ từ X lên Y. Chẳng hạn, người ta
gọi toàn ánh ϕ : ⏐R →⏐R+ x → ϕ(x) = ⏐x⏐ là ánh xạ từ ⏐R lên ⏐R+ hoặc toàn ánh từ X lên Y.
Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một toàn ánh thì thay tập
đến Y bởi ảnh f(X) của f, ta được toàn ánh ϕ : X → f(X), x → ϕ (x) = f(x) từ X lên f(X). 7.3. Song ánh Form at t ed: Heading03
Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y gọi là một song ánh nếu nó vừa là một đơn
ánh vừa là một toàn ánh.
f là một toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y, tức là với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈
X sao cho f(x) = y. Nếu x’ là một phần tử của X sao cho f(x’) = y thì f(x’) =
f(x). Vì f là một đơn ánh nên từ đó suy ra x’ = x. Do đó
ánh xạ f : X → Y là một song ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử y ∈ Y, tồn
tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y. Ví dụ 7.5:
(i) Dễ dàng thấy rằng ánh xạ f : ⏐R+ →⏐R+ xác đ n
ị h bởi f(x) = x là một 2
toán ánh. Vì với hai số thực x , x không âm bất kì, nếu x ≠ x thì f(x1) = = 1 2 1 2
= f(x ) nên f cũng là một đơn ánh. Do đó f là một song ánh từ ⏐R+ lên ⏐R+. 2
(ii) ánh xạ g: →⏐R xác định bởi g(x) = lnx là một song ánh từ lên ⏐R vì
với mỗi số thực y, tồn tại một số dương duy nhất x sao cho lnx = y. ( là tập
hợp các số thực dương: = {x ∈⏐R : x > 0}).
(iii) ánh xạ h : ⏐R → Xác định bởi h(x) = ex là một song ánh với mỗi số
dương y, tồn tại một số thực duy nhất x sao cho f(x) = ex = y.
(iv) ánh xạ ϕ : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = là một song ánh vì với mỗi số
thực không âm y, tồn tại một thực không âm duy nhất x sao cho ϕ (x) = = y.
(v) Đặt A = {x ∈⏐R: 0 < x < π}. ánh xạ ψ : A →⏐R xác định bởi g(x) =
cotgx là một song ánh từ A lên ⏐R vì với mỗi số thực y, tồn tại ộ m t phần tử
duy nhất x ∈ A sao cho ψ (x) = cotgx = y. 7.4. ánh xạ ngược Form at t ed: Heading03
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó, với
mỗi phần tử y ∈ Y, tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y.
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập ợ h p Y. ánh xạ: g : Y → X
xác định bởi: y → g(y) = x,
trong đó x là phần tử duy nhất của X sao cho f(x) = y, gọi là ánh xạ ngược
của ánh xạ f. ánh xạ ngược của song ánh f : X → Y được kí hiệu là f−1.
Tính chất đặc trưng của ánh ạ
x ngược được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Nếu f : X → Y là một song ánh và f : Y → X là ánh ạ x ngược
của f thì với mọi x ∈ X, y ∈ Y, f−1 −
(f(x)) = x và f (f 1 (y)) = y, (1)
tức là: f = Ix và fo f−1 = IY, trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng
nhất trên tập hợp X và tập hợp Y.
Nói một cách khác, hai lược đồ sau là giao hoán. Hình 10
Chứng minh: Giả sử y là một phần tử bất kì của Y. Khi đó f−1(y) = x, trong
đó x là phần tử duy nhất ủ
c a X sao cho f(x) = y. Do đó f (f−1 (y)) = f(x) = y.
Ta đã chứng minh hệ thức thứ hai trong (1). Nếu x là một phần tử bất kì của
X thì y = f(x) ∈ Y. Vì f là một đơn ánh nên x là phần tử duy nhất có ảnh
qua ánh xạ f là y. Do đó f−1(y) = x và ta có f−1 (f(x)) = f−1(y) = x.
Ta sẽ thấy f−1 là ánh xạ duy nhất thoả mãn đồng thời hai hệ thức trong (1).
Đó là hệ quả của định lí sau:
c) Định lí. Giả sử hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → X thoả mãn các hệ t ứ h c sau:
g (f(x)) = x với mọi x ∈ X và f (g (y)) = y với mọi y ∈ Y (2) Khi đó
(i) f và g là những song ánh.
(ii) g là ánh xạ ngược của f. Chứng minh :
Trước hết ta chứng minh f là một song ánh. Với mỗi y ∈ Y, x = g(y) là một
phần tử của X. Theo giả thiết, ta có f(x) = f(g(y)) = y. Do đó f là một toàn ánh.
Với hai phần tử bất kì x , x ∈ X, nếu f(x = f(x ) thì g(f(x ) = g (f(x )). Do 1 2 1 2 1 2
đó, từ hệ thức thứ nhất trong (2) suy ra x = x . Vậy f là một đơn ánh. f vừa 1 2
là toàn ánh vừa là đơn ánh nên nó là một song ánh. Tương tự, g cũng là một song ánh.
Bây giờ ta chứng minh g là ánh xạ ngược của X, tức là g(y) = f−1 (y) với mọi
y ∈ Y. Thật vậy, giả sử y là một phần tử bất kì của Y và g (y) = x. Từ hệ
thức thứ hai trong (2) suy ra f(x) = f(g(y)) = y. Vì f là một đơn ánh nên x là
phần tử duy nhất của x có ảnh là y qua ánh xạ f. Do đó f−1(y) = x = g(y).
Từ định lí trên suy ra rằng:
d) Nếu g : Y → X là ánh xạ ngược của ánh xạ f : X → Y thì f là ánh xạ
ngược của g. Do đó: (f−1 −)1 = f.
Quan hệ giữa các ánh xạ ngược f− và g−1 của hai song ánh f : X → Y và g : Y
→ Z với ánh xạ ngược (gof)−1 của ánh xạ hợp gof Z được cho trong định lí sau.
e) Định lí Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó
(i) Nếu f và g là những đơn ánh thì ánh xạ hợp gof là một đơn ánh.
(ii) Nếu f và g là những toàn ánh thì gof là một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì gof là một song ánh, và (gof)−1 = f−1 . g−1,
tức là lược đồ sau là giao hoán. Hình 11 Chứng minh Đặt h = gof.
(i) Với mọi x , x ∈ X, nếu x ∈ x thì do f là một đơn ánh nên f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2 1 2
Vì g là một đơn ánh nên g(f(x )) ≠ g(f(x )), tức là h(x ) ≠ h(x ). Vậy h = gof 1 2 1 2 là một đơn ánh.
(ii) Giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g : Y → Z là một toàn ánh nên
tồn tại y ∈ Y sao cho g(y) = z. Lại vì f : X → Y là một toàn ánh nên tồn tại
x ∈ X sao cho f(x) = y. Do đó g(f(x)) = g(y) = z, tức là h(x) = z. Vậy h là một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì f và g vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Do đó từ (i) và (i) suy ra rằng h = gof cũng vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh,
tức là gof là một song ánh. Do đó tồn tại các ánh xạ ngược f−1 : Y → X, g−1 :
Z → Y và (gof)−1 : Z → X. Ta chứng minh:
(gof)−1 (z) = f−1 (g−1 (z)) với mọi z ∈ Z.
Thật vậy, giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g là một song ánh nên tồn
tại một phần tử duy nhất y ∈ Y sao cho: g(y) = z (1)
Vì f là một song ánh nên tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho: f(x) = y (2)
Từ (1) và (2) suy ra g (f(x)) = g(y) = z, tức là: h(x) = z (3)
Vì g, f, h là những song ánh nên từ (1), (2), (3) suy ra:
g−1(z) = y, f−1(y) = x và h−1 (z) = x. Do đó: f−1 − − −
(g 1(z)) = f 1 (y) = x = h 1 (z). f) Hoán vị của một ậ t p hợp
Giả sử X là một tập hợp cho trước. Mỗi song ánh f : X → X từ tập hợp X
lên X gọi là một hoán vị của tập hợp X.
Hiển nhiên ánh xạ đồng nhất IX trên tập hợp X là một hoán vị của tập hợp X.
Từ định lí e) suy ra rằng ánh xạ hợp của hai hoán vị của tập hợp X là một
hoán vị của tập hợp X.
Nếu X là một tập hợp hữu hạn, chẳng hạn X có n phần tử thì định nghĩa của
hoán vị nêu trên tương đư n ơ g với đ n
ị h nghĩa hoán vị của một tập hợp n
phần tử mà ta đã biết trong sách giáo khoa toán ở bậc phổ thông trung học.
Hoạt động 7.1. Tìm hiểu đơn ánh, toàn ánh và song ánh
Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi t ả h o l ậ
u n theo nhóm 2 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ Form at t ed: Heading03 Nhiệm vụ 1 : Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về ánh xạ không phải là đơn ánh cũng không phải là toàn ánh.
− Cho ba ví dụ về đơn ánh không phải là toàn ánh.
− Cho ba ví dụ về toán ánh không phải là đơn ánh.
− Cho ba ví dụ về ánh xạ f : X → Y không phải là đơn ánh nhưng thu hẹp
f/ của nó trên một tập con A của X là ộ m t đơn ánh. A
− Cho n ánh xạ f : X → X , f : X → X , ... fn = Xn → Xn và đặt h = fn . 1 1 2 1 2 −1 fn . ... . f : X → Xn. −1 1
• Nếu h ... hn là những đơn ánh thì h có phải là một đơn ánh hay không? 1
• Nếu h , ..., hn là những toàn ánh thì h có phải là một toàn ánh hay không? 1
• Nếu h , ..., hn là những song ánh thì h có phải là một song ánh hay không? 1 Nhiệm vụ 2 :
− Tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử cho m < n. Tồn tại hay
không một toàn ánh từ X lên Y?
− Tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử. Giả sử m > n. ồ T n tại
hay không một đơn ánh từ X vào Y?
− Cho hai ví dụ về ánh xạ f : X → Y không p ả
h i là song ánh nhưng ánh xạ
thu hẹp h = f/ của f trên một tập hợp con A của X là một song ánh. Tìm A ánh xạ ngược của h.
− Tìm hai cặp ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z sao cho f không phải là một
toàn ánh nhưng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
Đánh giá hoạt động 7.1
1. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai ánh xạ f : A
→ B, g : A → B xác định bởi hai bảng sau:
a) Biểu diễn các ánh xạ f và g bởi lược đồ hình tên.
b) f và g có phải là đơn ánh không?
2. Cho hai tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Y = {a, b, c, d, e, f} và hai
ánh xạ f, g : X → Y xác định bởi các bảng sau: xạ f, g : X
a) Biểu diễn f và g bởi lược đồ hình tên.
b) Chứng minh rằng f và g là những song ánh và tìm ánh xạ ngược của f và g.
4. Cho hai số thực a, b, a ≠ 0. Chứng minh rằng ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác
định bởi f(x) = ax + b là một song ánh và tìm ánh xạ ngược của f.
5. Chứng minh rằng các ánh xạ sau đây là những song ánh và tìm ánh xạ
ngược của mỗi ánh xạ đó:
a) f : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = ,
b) g : ⏐R →⏐R xác định bởi g(x) = x3,
c) h : ⏐R* →⏐R*, x → h(x) = ,
d) u : A → A, x → u(x) = , trong đó A =⏐R \ {1}
6. Giả sử C là tập hợp các điểm của đường tròn đường kính AB và D là tập
hợp các điểm của tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B. Với mỗi điểm M ∈
D, gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với đường tròn.
a) ánh xạ f : D → C xác định bởi f(M) = N có phải là một đơn ánh hay không?
b) f có phải là một song ánh hay không?
7. Cho tập hợp số thực A = {x ∈⏐R : −1 ≤ x ≤ 1} và hai ánh xạ f : ⏐R
→⏐R, g : ⏐R → A xác định bởi
Chứng minh rằng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
8. Giả sử f : X ∈ X là một toàn ánh ừ
t tập hợp X lên X. Chứng minh rằng
nếu fof = f thì f là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X.
9. Cho ba ánh xạ f, g : X → Y và h : Y → Z. Chứng minh rằng nếu h là một
đơn ánh và hof = hog thì f = g.
10. Cho ba tập hợp X, Y, Z và ánh xạ f : Y → Z có tính chất sau: Với mọi
ánh xạ u, v : X → Y, fou = fov ⇒ u = v.
Chứng minh rằng f là một đơn ánh.
11. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu ánh xạ hợp h = gof là một đơn ánh thì f là một đơn ánh,
b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh,
c) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì g và f là những toàn ánh.
12. Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai toàn ánh thoả mãn đẳng thức gof = IX.
Chứng minh rằng g là ánh xạ ngược của f.
13. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai hoán vị f : A → A và g : A →
A của tập hợp A xác định bởi:
Tìm các hoán vị hợp gof và fog.
14. Giả sử X và Y là hai tập hợp có n phần tử (N(X) = n và N(Y) = n).
Chứng minh rằng có tất cả n! song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y.
Từ đó suy ra rằng số hoán vị của một tập hợp n phần tử là n! Hướng dẫn :
Điều khẳng định đúng với n = 1. Thật ậ
v y, giả sử X = {a } và Y = {b }. Chỉ 1 1
có một song ánh từ X lên Y : đó là ánh xạ f : X → Y xác định bởi f (a ) = b . 1 1
Như vậy, nếu X và Y là những tập ợ
h p có một phần tử thì có 1 = 1! song ánh từ X lên Y.
Giả sử điều khẳng định đúng với n, ứ
t c là có n! song ánh từ tập hợp X lên
tập hợp Y, nếu X và Y đều có n phần tử. Ta chứng minh điều khẳng định
đúng cho n + 1. Thật vậy, giả sử X = {a , a , ..., an, an } và Y = {b , b , ... , 1 2 + 1 1 2
bn, bn }. Phải chứng minh có cả thảy (n + 1) ! song ánh từ X lên Y. Ta chia +1
tập hợp tất cả các song ánh từ X lên Y thành n + 1 tập con như sau:
Tập con thứ nhất A gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an ) = b . 1 +1 1
Tập con thứ hai A gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f(an ) = b , ... 2 +1 2
. Tập con thứ n + 1 An gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an ) +1 +1
= bn . Các tập con A , ..., An đôi ộ
m t rời nhau. Hãy chứng minh rằng mỗi +1 1 +1
tập hợp Ak có n! phần tử, k = 1, 2, ..., n + 1.
15. Giả sử tập hợp X có k phần ử
t , tập hợp Y có n phần tử, k ≤ n. Chứng
minh rằng có cả thảy n (n − 1) ... (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Hướng dẫn :
Ta chứng minh điều khẳng định bằng phép quy nạp theo k. Điều khẳng
định đúng với k = 1. Giả sử X = {x } và Y = {y , y , ..., yn}, n là một số 1 1 2
nguyên dương bất kì, n > 1. Khi đó, có cả thảy n đ n
ơ ánh từ X vào Y: Đó là
các ánh xạ f : X → Y, x → f (x ) = y , ánh xạ f : X → Y , x → f (x ) = y , 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
..., ánh xạ fn : X → Y, x → fn (x ) = yn. Giả sử điều khẳng định đúng cho 1 1
k, tức là nếu X có k phần tử và Y có n phần tử, k n thì có cả thảy n (n − 1)
... (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Ta chứng minh điều khẳng định đúng
cho k + 1, tức là nếu tập hợp X có k + 1 phần tử và tập hợp Y có n phần tử,
k + 1 ≤ n thì có cả thảy n (n − 1) ... (n − (k + 1) + 1) đơn ánh từ X vào Y.
Thật vậy, giả sử X = {x , x , ..., xk, xk }, Y = {y , y , ..., yn}. Chia tậ ợp 1 2 p h 1 2 +1
tất cả các đơn ánh từ X vào Y thành n tập con như sau: Tập con A gồm tất 1
cả các đơn ánh f : X → Y sao cho f (xk ) = y , tập con A gồm tất cả các +1 1 2
đơn ánh f : X Y sao cho f (xk ) = y , ..., tập con An gồm tất cả các đơn ánh +1 2
f : X → Y sao cho f (xk ) = yn. Các tập con A , ..., An đôi một rời nhau. +1 1
Hãy chứng minh rằng mỗi tập con Ak có (n − 1) (n − 2) ... ((n − 1) − k + 1). Form at t ed: Heading01
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.8. ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA MỘT ÁNH XẠ
Thông tin cơ bản
8.1. ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và A là một tập con của X.
Tập hợp các ảnh của tất cả các phần tử của A qua ánh xạ f gọi là ảnh ủ c a
tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu là f(A).
Như vậy, với mọi x ∈ Y, y f(A) khi và chỉ khi tồn tại x A sao cho y = f(x).
Do đó: f(A) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Ví dụ 8.1 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và ánh xạ f : X →
Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 1 dưới đây. Hình 1
Cho hai tập con A và B của X : A = {a, c, e}; B = {a, d}. ảnh của A và B
qua ánh xạ f là: f(A) = {1, 2}; f (B) = {1, 5}. Ví dụ 8.2 :
(i) Giả sử f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f (x) = x2, A = {, 3, 7} và ⏐R−
là tập hợp các số thực không dương, ⏐R− = {x ∈ ⏐R: x ≤ 0}. Khi đó:
f(A) = {2, 9, 49} và f (⏐R−) = ⏐R+.
(ii) Giả sử D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi: 1 với x ∈ Q, D(x) = 0 với x ∈⏐R\ Q.
(D là hàm số Điritslê). Tìm ảnh của các tập hợp
A = {1, −1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh xạ D. Ta có:
f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1}.
(iii) Cho ánh xạ f: ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = −3x và các tập hợp số thực
A = {x ∈⏐R : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈⏐R : x < −1}.
ảnh của A và B qua ánh xạ f là:
f(A) = {y ∈⏐R : −15 ≤ y ≤ −6} và f(B) = {y ∈⏐R : y > 3}.
Một vài tính chất của ảnh b) Định lí
Cho ánh xạ f : X → Y và các tập con A, B của X. Khi đó: (i)
Nếu A ⊂ B thì f(A) ⊂ f(B),
(ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f(B),
(iii) f (A ∩ B) f(A) ∩ f(B). Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f(A) thì tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Vì A ⊂ B nên từ đó suy
ra x ∈ B và y = f (x). Do đó y ∈ f(B). Vậy f(A) ∈ f(B).
(ii) Vì A ⊂ A ∪ B nên, theo (i), ta có f(A) ⊂ f(A ∪ B).
Tương tự, f(B) ⊂ f(A ∪ B). Do đó
(1) f(A) ∪ f(B) ⊂ f (A ∪ B).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược (2) f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B).
Giả sử y là một điểm bất kì của f(A ∪ B). Khi đó, tồn tại x ∈ A ∪ B sao
cho y = f(x). Vì x ∈ A ∪ B nên x ∈ A hoặc x ∈ B. Nếu x ∈ A thì y = f(x) ∈
f(A), do đó y ∈ f(A) ∪ f(B). Nếu x ∈ B thì y ∈ f(B); do đó y ∈ f(A) ∪
f(B). Ta đã chứng minh (2). Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh.
(iii) Vì A ∩ B ⊂ A nên, theo (i), ta có f (A ∩ B) ⊂ f (A),
Tương tự, f(A ∩ B) ⊂ f(B). Do đó f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f(B). Chú ý :
Trong (iii), không thể thay dấu bởi dấu =. Chẳng hạn, xét ánh xạ f : ⏐R
→⏐R xác định bởi f(x) = x2 và các tập số thực ⏐R+ = {x ∈⏐R : x ≥ 0}, ⏐R−
= {x ∈⏐R : x ≥ 0}. Khi đó ⏐R+ ∩ ⏐R− = {0}; f (⏐R+ ∩ ⏐R−) = f ({0}) = {0};
f(⏐R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+ và f(⏐R+ và f (⏐R+) ∩ f ⏐
( R−) = ⏐R+. Như vậy, f
(⏐R+ ∩ ⏐R−} là một tập con thực sự của f (⏐R+) ∩ f(⏐R−).
Tuy nhiên, nếu f : X → Y là một đơn ánh thì bao hàm thức (iii) trở thành đẳng thức. c) Định lí
Nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con A, B bất kì của X, ta đều có: f (A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). Chứng minh
Theo định lí b), (iii), ta có f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). Ta chứng minh:
(1) f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B).
Giả sử y ∈ f(A) ∩ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, ồ t n tại x ∈ A 1
sao cho y = f(x ) và tồn tại x ∈ B sao cho y ∈ f(x ). Từ đó ta có f(x ) = 1 2 2 1
f(x ). Vì f là một đơn ánh nên đẳng thức vừa nêu kéo theo x = x . Như vậy, 2 1 2
ta có x ∈ A, x ∈ B và y = f(x ), tức là x ∈ A ∩ B và y = f(x ). Do đó y ∈ f 1 1 1 1 1
(A ∩ B).Từ đó có đẳng thức (1) cần chứng minh . d) Định lí
Nếu f : X → Y là một ánh xạ thì với hai tập con bất kì của X, ta có: f(A) \ f(B) ⊂ f (A\B). Chứng minh
Giả sử y ∈ f(A) \ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, ồ t n tại x ∈ A 1
sao cho f(x) = y. Hiển nhiên x ∉ B (vì nếu x ∈ B thì y = f(x) ∉ f(B)). Như 2
vậy, ta có x ∈ A, x ∉ B và y = f(x), tức là x ∈ A \ B và y = f(x). Do đó y ∈
f (A\B). Từ đó ta có bao hàm thức cần chứng minh. Chú ý
Trong bao hàm thức của định lí không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =.
Ta lấy lại ví dụ vừa xét: f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = x2, ⏐R+ và
⏐R− là hai tập con của ⏐R. Khi đó, f ⏐
( R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+, f(⏐R+) \
f(⏐R−) = ⏐R+ \⏐R+ = φ, ⏐R+ \⏐R− = ⏐R+ \{0} = , f(⏐R+ \⏐R−) = f () = .
Ta thấy f (⏐R+) \ f (⏐R−) là tập con của f (⏐R+\⏐R−) và f (⏐R+) \ f ⏐ ( R−) ≠ f (⏐R+ \⏐R−).
Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu f : X → Y là một
đơn ánh thì bao hàm thức trong Định lí d) trở thành đẳng thức.
8.2. Tạo ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ a) Định nghĩa:
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và C là một tập con của Y. Tập hợp tất cả
các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ C gọi là tạo ảnh của tập hợp C qua ánh
xạ f, kí hiệu là f−1(C).
Như vậy, với mọi x ∈ X,
x ∈ f−1(C) khi và chỉ khi f(x) ∈ C.
f−1 (C) = {x ∈ X : f(x) ∈ C}.
Chú ý rằng trong kí hiệu f−1(C), f−1 không phải là ánh xạ ngược của f. Với
mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi tập con C của Y, tạo ảnh f−1 (C) của C
luôn tồn tại, trong khi chỉ song ánh f mới có ánh xạ ngược. Hiển nhiên f1(Y) = X. Ví dụ 8.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f :
X → Y xác định bởi bảng sau:
(i) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên.
(ii) Tìm tạo ảnh của các tập hợp C = {M, N, P} và D = {P, Q, R} qua ánh xạ f.
(i) ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 2. Hình 2
(ii) Tạo ảnh của các tập hợp C và D qua ánh xạ f là f−1(C) = {a, b, c, d, f}; f−1(D) = {d, e, g}. Ví dụ 8.4 :
(i) Giả sử f : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = ⏐x⏐, C = {y ⏐R : 1 ≤ y
≤ 3}. Khi đó: f−1(C) = {1 ≤ x ≤ 3} ∪ − { 3 ≤ x ≤ −1}.
(ii) Cho ánh xạ g: ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = sin x, C = {−1, 1}, D =
{0}. Khi đó: g−1(C) = { + kπ : k ∈ Z} ; g−1(D) = {k : k ∈ Z}.
(iii) Với ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi
C = {y ∈⏐R : −1 ≤ y < 1}, D = {y ∈⏐R : y ≥ 1}, E = {y ∈⏐R : y > 3}.
Ta có: f−1(C) = ⏐R \ Q; h−1 1 (D) = Q; h− (D) = φ.
Một vài tính chất của tạo ảnh b) Định lí
Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, C và D là những tập con của Y. Khi đó: (i)
Nếu C ⊂ D thì f−1(C) ⊂ f−1(D),
(ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D),
(iii) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D),
(iv) f−1 (C\D) = f−1 (C) \f−1 D). Chứng minh
(i) Giả sử C ⊂ D. Nếu x ∈ f−1 (C) thì f(x) ∈ C. Vì C ⊂ D nên f(x) ∈ D; do đó x ∈ f−1 (D).
(ii) Vì C ⊂ C ∪ D nên, theo (i), ta có f−1 (C) ⊂ f−1 (C ∪ D).
Tương tự, ta có f−1(D) f−1 (C ∪ D). Do đó:
(1) f−1 (C) ∪ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∪ D).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược
(2) f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (C) ∪ f−1 (D).
Thật vậy, nếu x ∈ f−1 (C ∪ D) thì f(x) ∈ C ∪ D. Do đó f(x) ∈ C hoặc f(x) ∈
D. Nếu f(x) ∈ C thì x ∈ f−1 (C); do đó x ∈ f−1 (C) ∪ f−1 (D). Nếu f(x) ∈ D thì
x ∈ f−1(D), do đó x ∈ f−1(C) ∪ f−1(D). Từ đó ta có bao ham fthức (2). Từ (1)
và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh.
(iii) Vì C ∩ D ⊂ C nên f−1 (C ∩ D) ⊂ f−1 (C). Tương tự,
ta có f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (D). Do đó
(3) f−1(C ∩ D) ⊂ f−1 (C) ∩ f−1 (C) ∩ f−1 (D). Ta chứng minh:
(4) f−1 (C) ∩ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∩ D).
Thật vậy, nếu x ∈ f−1 1
(C) ∩ f− (D) thì x ∈ f−1 (C) và x ∈ f−1 (D).
Do đó f(x) ∈ C và f(x) ∈ D. Từ đó suy ra f(x) ∈ C ∩ D; do đó x ∈ f−1 (C ∩
D). Ta đã chứng minh (4). Từ (3) và (4) suy ra đẳng thức (iii).
(iv) Các điều kiện sau là tương đương: x ∈ f−1 (C \ D), f(x) ∈ C \ D, f(x) ∈ C và f(x) ∉ D,
x ∈ f−1(C) và x ∉ f−1 (D), x ∈ f−1(C) \ f−1(D).
Do đó ta có đẳng thức (iv) .
Quan hệ giữa ảnh và tạo ảnh được cho trong định lí sau: c) Định lí
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y. Khi đó:
(i) Với mọi tập con C của Y, ta có: (1) f(f−1(C)) ⊂ C,
(ii) Với mọi tập con A của X, ta có: (2) A ⊂ f−1 (f(A)). Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f (f−1(C)) thì tồn tại x ∈ f−1 (C) sao cho y = f(x).
Vì x ∈ f−1 (C) nên f (x) ∈ C, tức là y ∈ C. Do đó f (f−1(C)) ⊂ C.
(ii) Nếu x A thì f (x) f(A). Do đó x thuộc tạo ảnh của tập hợp f(A) qua ánh
xạ f, tức là x f−1 (f(A)). Vậy A f−1 (f(A)) . Chú ý:
(i) Trong bao hàm thức (1) không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.5 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f : X → Y
xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 3. Hình 3
Với tập con C = {M, N, P, R} của tập hợp Y, ta có: f−1(C) = {a, b, c}, f(f1(C)) = {M, N}.
Ta thấy f(f−1(C)) là một tập con thực sự của C, ứ t c là f (f−1(C)) ≠ C.
Một ví dụ khác: Giả sử g : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi g(x) = x2 và C
= {x ∈⏐R : x ≥ −1} là một tập con của ⏐R. Khi đó, ta có f−1(C) = ⏐R và f(f−1(C)) = ⏐R+.
ở đây, ta lại thấy f (f−1(C)) là một tập con thực sự của C.
Trong phần câu hỏi và bài tập ta sẽ chứng minh rằng nếu C ⊂ f(X) thì bao
hàm thức (1) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
(ii) Trong bao hàm thức (2), không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.6 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f},
Y = {M, N, P, Q, R, S, T} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 4. Hình 4
Với tập con A = {a, b, c} của tập hợp X, ta có: f(A) = {M, N, P} và f−1 (fA)) = {a, b, c, d, e}.
Ta thấy A là một tập con thực sự của tập hợp f−1 (f(A)).
Ta xét một ví dụ khác: cho ánh xạ D : ⏐R → {0, 1} xác định bởi: 1 với x ∈ Q, D(x) = 0 với x ∈⏐R \ Q. (D là hàm số Điritslê).
Với tập con A = {−1, } của ⏐R, ta có:
D(A) = {1} và D−1 (D(A)) = d−1({1}) = Q.
A là một tập con thực sự của D−1 (D(A)).
Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu ánh xạ f : X → Y
là một đơn ánh thì bao hàm thức (2) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
d) Quan hệ giữa tạo ảnh của một tập hợp qua một song ánh và ảnh của tập
hợp đó qua ánh xạ ngược của song ánh.
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó f có
ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X. Ta sẽ chỉ ra ằ r ng nếu C là một ậ t p con của Y
thì tạo ảnh f−1 (C) của tập hợp C qua ánh xạ f và ảnh g(C) của tập hợp C qua
ánh xạ g = f−1 là hai tập hợp bằng nhau: g (C) = f−1(C).
Thật vậy, với mọi x ∈ X, các điều kiện sau là tương đương: x ∈ g(C), Tồn tại y ∈ C sao cho g(y) = x, f(x) = y và y ∈ C x ∈ f−1(C). Vậy g(C) = f−1(C).
Ta minh hoạ điều khẳng định vừa nêu qua một ví dụ. Ví dụ 8.7 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và song ánh f : X
→ Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 5 Hình 5
ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X của f được cho trong bảng sau:
Với tập con C = {1, 2, 3, 4} của tập hợp Y :
Tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f là: f−1(C) = {a, b, c, d}
ảnh của tập hợp C qua ánh xạ ngược g = f−1 của C là g(C) = {a, d, b, c}. Ta thấy g(C) = f−1 (C). Như vậy,
• Nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một song ánh và C là ộ m t tập con
của Y thì kí hiệu f−1 (C) chỉ tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f. (Trong
trường này f không có ánh xạ ngược).
• Nếu ánh xạ f : X → Y là một song ánh và C là một ậ t p con của Y thì ảnh
(f−1) (C) của C qua ánh xạ ngược f−1 : Y → X của f cũng là tạo ảnh f−1 (C) của C qua ánh xạ f.
Hoạt động 8.1. Thực hành xác định ảnh và tạo ảnh của tạp
hợp qua ánh xạ Nhiệm vụ: Form at t ed: Heading03
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thảo l ậ
u n theo nhóm 2, 3 người để
thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về ảnh của một tập hợp qua một ánh ạ x . Biểu diễn các ánh
xạ bởi những lược đồ hình tên và ảnh của tập hợp bởi lược đồ Ven
− Cho ba ví dụ về tạo ảnh của một ậ
t p hợp qua một ánh xạ. Biểu diễn các
ánh xạ đó bởi những lược đồ hình tên và tạo ảnh bởi lược đồ Ven Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (iii) của định lí 1b,1d), không
thể thay dấu bởi dấu =. Nhiệm vụ 3: Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (1) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =.
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (2) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =. Đánh giá h ạ o t động 8.1
1. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f , g , h⎬ ;
Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ⎬ 9 ,
ánh xạ f: X → Y xác định bởi bảng sau
và hai tập con A , B của X : A = ⎨a , b , c⎬ ; B = ⎨c , d , h⎬
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven
b) Tìm f(A), f(B) , f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), A ∩ B, f(A) ∩ f(B) và f(A ∩ B)
c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A ∩ B) và f(A) ∩ f(B)
2. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6⎬, Y = ⎨m , n , p , q , r , s , t⎬
ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và hai tập con A = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , ⎨B = 4 , 5 , 6⎬ của X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven
b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B và f(A \ B)
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A \ B) và f(A) \ f(B)
3. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con
bất kì A và B của X, ta có: f( A \ B) = f(A) \ f(B)
4. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f⎬ , Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và tập con C = ⎨1 , 2 , 3 , 7 , 8⎬ của X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp C bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp f−1 (C) và f (f−1(C))
c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp C và f (f−1(C)).
5. Cho ánh xạ f. Chứng minh rằng với mọi tập con C của f(X) ta có f(f−1(C)) = C
6. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8⎬, Y = ⎨a , b , c , d , e , f,
g⎬, ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và tập con A = ⎨3 , 4 , 5⎬ của tập hợp X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp A bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp A và f−1 (f(A))
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A) và f−1 (f(A))
7. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì ớ v i mọi tập
con A của X ta có: A = f−1 (f(A))
8. Cho ánh xạ f: X → R và hai tập hợp A, B, A ⊂ X, B ⊂ R. Tìm ảnh f(A)
và tạo ảnh f−1 (B) trong mỗi trường hợp sau
a) f(x) = sin 2x ; X = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 6Π⎬,
A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ ⎬ U ⎨x ε R : Π ≤ x ≤ + Π⎬ B = y R : −1 y 0⎬
b) f(x) = | x2 − 4| , X = R , A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 2 ≤ y ≤ 4⎬
c) f(x) = | x2 − 2x| , X = R , A = ⎨x ε R : | x| ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ ⎬
9. Cho ánh xạ f: R → R xác định bởi f(x) = |x + 1| và tập hợp A = ⎨x ε R; 1
≤ x ≤ 2⎬ Tìm f(A) và f−1(f(A))
10. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = x8 + x4 + 1, A = ⎨x ε R : |x|
2⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ 1⎬. Tìm ảnh f(A) và tạo ảnh f−1(B)
11. Giả sử R [x] là tập hợp các đa t ứ
h c với các hệ số thực và Rn[x] là tập
hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, với các hệ số thực và g: Rn[x]
→ R[x] là ánh xạ xác định bởi g(P) = P(x2 + 1)
a) Tìm ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1
b) Tìm tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 và tạo ảnh của tập hợp chỉ
có một phần tử là đa thức x2 + 1
12. Cho ánh xạ f: X → Y. A → X , B → Y
Chứng minh rằng: f(A ∩ f−1 (B)) = f(A) ∩ B
13. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, A là một ậ
t p con của X, B là một tập
con của Y và g = f/ . Chứng minh rằng g−1(B) = A ∩ f−1(B) A
14. Chứng minh rằng toàn ánh f: X → Y từ tập hợp X lên tập hợp Y là một
song ánh khi và chỉ khi tạo ảnh của mỗi tập con một phần tử của Y là một
tập con một phần tử của X
15. Cho ánh xạ f : X → Y và g: Y → W. Gọi h: X x Y → V x W là ánh xạ
xác định bởi (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y))
Chứng minh rằng nếu M ⊂ V, N ⊂ W thì h−1(M x N) = f−1 (M) x g−1 (N)
(ánh xạ h được gọi là tích của hai ánh xạ f và g, và đư c ợ kí hiệu là f x g)
16. Cho hai ánh xạ f: X → Y và g: X → Z. Gọi h: X → Y x Z là ánh xạ xác
định bởi x → h(x) = (f(x), g(x)).
Chứng minh rằng nếu B ⊂ Y, C ⊂ Z thì h−1 −
(B x C) = f 1 (B) ∩ f−1 (C) (ánh xạ
h được gọi là ánh xạ phức)
Thông tin phản hồi cho chủ đề 1 Form at t ed: Heading01
CƠ SỞ CỦA LÍ THUYẾT TẬP HỢP
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. TẬP HỢP
Hoạt động 1.1 Form at t ed: Heading02
Khái niệm Tập hợp. Tập con. Các tập hợp bằng nhau. 1. a)
A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} b) B = {31, 37, 41, 43, 47} c)
C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 2. a) A = {2, 3, 4, 5, 6} b) B = {0, −1, − }; c) C = φ. 3.
a) A là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu là 3 và công sai là 4
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 16 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là . 5. S, S, Đ, Đ. 6. S, S, Đ, Đ. 7. Đ, S, Đ, Đ. 8. Đ, S, Đ, S. Đ, Đ, S, Đ.
9. (A) = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a
, a }, {a , a }, {a , a , a }}. 2 3 1 2}, {a 1 1 3 2 3 1 2 3 b) P (A) có 8 phần tử.
10. a) B = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }, {a , a , a }, 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
a , {a , a }, {a , a }, {a , a }, 4 1 4 2 4 3 4 {a , a , a }, {a , a }, {a }, {a , a , a }}. 2 4 1 ,3 a4 ,2 a ,3 a4 1 2 ,3 a 1 4 b P(B) có 16 phần tử. 11. a) Sai; b) Đúng.
12. Hiển nhiên điều khẳng định đúng với n = 0. Giả sử điều khẳng định
đúng với n, tức là tập hợp A = {a , a , ..., an} có 2n tập con. Ta chứng minh 1 2
tập hợp B = {a , a , ..., an, an } có 2n + 1 tập con. Chia các ậ t p con của B làm 1 2 + 1 hai loại:
(i) Các tập con của B không chứa an , + 1
(ii) Các tập con của B chứa an + 1
Dễ thấy mỗi loại đều có 2n phần tử.
Hoạt động 2.1 Form at t ed: Heading02
Các phép toán trên các tập hợp 1. Vì B ⊂ A nên:
A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ.
A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}.
2. a) A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5:
A ∪ B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, ...}.
A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A ∩ B là tập hợp
các bội tự nhiên của 10:
A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, ...} = {10n : n ∈ N}.
A \ B là tập hợp các số chẵn không phải là bội của 5:
A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, ...}.
A \ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N.
B \ A là tập hợp các số lẻ bội của 5:
B \ A = {5, 15, 25, 35, ...} = {10n + 5 : n ∈ N}.
3. a) V ∩ C là tập hợp các tam giác vuông cân.
V ∪ C là tập hợp các tam giác vuông hoặc cân.
V \ C là tập hợp các tam giác vuông nhưng không cân.
C \ V là tập hợp các tam giác cân nhưng không vuông.
4. A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: −5 ≤ x ≤ −5};
A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ 5}; B \ A = {x ∈ R : −5 < x < 0}.
5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB; c) E = HD; F = BX.
6. a) Miền II chứa các mảnh bé màu nâu, không phải là hình vuông.
Miền IV chứa các mảnh hình vuông lớn màu nâu.
Miền V chứa các mảnh hình vuông màu đỏ và xanh. b) Miền II chứa 6 mảnh. Miền IV chứa 2 mảnh. Miền V chứa 8 mảnh.
18. Tập hợp A ∪ B có 6 phần tử.
19. Gọi A là tập hợp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng.
Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử.
Gọi B là tập hợp các xe buýt
Tập hợp A ∪ B có 37 phần tử.
B \ A là tập hợp các xe buýt vàng. Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), trong đó B
\ A và A là hai tập hợp không giao nhau. Từ đó dễ dàng tính được có 9 xe buýt vàng.
20. 4 học sinh chỉ học khá môn Toán, 7 em chỉ học khá môn Văn, 5 em chỉ
học khá môn Anh; 9 em không học khá môn nào.
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. QUAN HỆ
Hoạt động 3.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ hai ngôi
5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}.
6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/
7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), (8, 8}.
8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), ...}.
9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}.
10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}.
11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}.
12. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 được biểu diễn bởi tập hợp các
điểm của nửa mặt p ẳ
h ng nằm phía trên đường phân giác thứ nhất y = x, ậ t p
hợp R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của mặt phẳng không nằm trên 2
đường phân giác thứ nhất.
14. Đó là quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
15. R là một quan hệ đối xứng nhưng không phản xạ và không bắc ầ c u.
16. Đó là quan hệ phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứng.
17. Quan hệ R trên Y là phản xạ; R và R i là những quan hệ 2 không ph 1 ả 2 phản xạ.
18. Quan hệ R trên Y là đối xứng. Không có quan hệ nào là bắc cầu. 2
20. R−1 = {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), ...} = ((7n, n) : n N*}.
22. R . R 1= {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), ...} 2 = {(3n, n + 5) : n ∈ N*}.
R . R = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), ...} 1 2
= {(3n − 2, n + 1) : n ∈ N*}.
Hoạt động 4.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ tương đư n ơ g 1.
~ chia L0 thành 4 lớp tương đương. 1
~ chia L0 thành 2 lớp tương đương. 2
~ chia L0 thành 2 lớp tương đương với. 3
2. b) Quan hệ tương đương R trên N chia N thành bốn lớp tương đương.
3. b) {1, 3}~ = {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{,
{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}.
4. b) Tập thương R2/~ là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là điểm ố g c và điểm ố g c. 5. X/R = {{x} : x ∈ X}.
6. R không phải là một quan hệ phản xạ.
7. Không tồn tại một quan hệ tương đương R thoả mãn điều kiện đã nêu vì A ∩ C ≠ φ. 8. X/~ = {A, A , ..., Am}. 2
9. Với mỗi tập con A chứa a của X, Â = {A} (lớp tương đương chứa A là
tập hợp một phần tử). Mọi tập hợp con của X không chứa a đều tương
đương với nhau, chúng tạo nên một lớp tương đương của quan hệ ~. ậ V y
P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ ,
trong đó B là một tập con của X không chứa a, là tập hợp tất cả các tập con của X không chứa a.
10. Tập thương C*/R có hai phần tử: Tập hợp các điểm của hai nửa mặt
phẳng bên phải và bên trái của trục tung tạo nên hai lớp tương đương của quan hệ R.
Hoạt động 5.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ thứ tự
1. B) ≤ là quan hệ toàn phần.
2. Đó không phải là một quan hệ toàn phần. 3. b) Không. 4. b) Không.
5. R không phản đối xứng. 6. Ba quan hệ thứ tự.
7. a) 40 là phần tử tối đại; 2 và 5 là n ữ h ng phần ử t tối t ể i u.
b) 40 là phần tử lớn nhất của X; X không có phần ử t nhỏ nhất.
8. 35 là giá trị lớn nhất của X; 3 9là giá trị nhỏ nhất của x.
9. RC là quan hệ thứ tự trên C.
10. b) Mỗi phần tử của X đều là một phần tử tối đại, đồng thời là phần tử
tối tiểu. Tập hợp sắp thứ tự X không có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
a, e, f là các phần tử tối tiểu của Y; c là phần tử tối đại, ũ c ng là phần tử lớn nhất của Y.
13. b) D là phần tử tối tiểu; D là phần tử t i tiểu, c ng là phần tử tối đại. D 3 ố ũ 1 4
là phần tử tối đại. Tập sắp t ứ
h tự X không có phần tử nhỏ nhất và không có phần tử lớn nhất.
14. A là dây xích, B không phải là dây xích.
15. 1 là phần tử chặn dưới của A;
Các số 77n, n ∈ N* là các phần tử chặn trên của A.
1 và 3 là các phần tử chặn dưới của B; B không có phần tử chặn trên.
16. 1 và 3 là các phần tử chặn trên của A. Các số 90n, n ∈ N* là các phần tử chặn dưới của A. Các số 1, 3, 32, 33 4
, 3 , 35 là các phần tử chặn trên của B. Không có phần tử
chặn dưới của B trong {N*, ≤}.
17. a) Mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −7 đều là một phần tử chặn dư i ớ của A; mỗi số thực lớn ơ
h n hoặc bằng 3 đều là một phần tử chặn trên ủ c a A.
b) Số không và các số thực âm là các phần tử chặn dưới của N. Không có
phần tử chặn trên của N trong R.
TIỂU CHỦ ĐỀ 1.6. ÁNH XẠ Form at t ed: Heading01
Hoạt động 6. 1 Form at t ed: Heading02
Định nghĩa và các khái niệm cơ bản về ánh xạ
1. b) R không phải là một ánh xạ.
2. b) R không phải là một ánh xạ.
3. c) ϕ không phải là một ánh xạ.
4. b) f là một ánh xạ. Tập xác định của f l à A; f(A) = {18, 35}. 5. a) R là một ánh xạ.
b) Tập xác định của ánh xạ R là X; ảnh của ánh xạ là R(X) = {17, 18{
6. Có một ánh xạ từ X vào Y.
7. Có m ánh xạ t ừ X vào Y. 8. 4 ánh xạ.
10. f(−2) = {x ∈ R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ R : x ≤ 0}; f(x2) = {y ∈ R : y ≤ x2}.
11. f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : 1 < x ≤ }.
12. f và g là hai ánh xạ bằng nhau.
13. u và v là hai ánh xạ bằng nhau.
14. a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x ∈ R.
b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R*.
c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ .
15. a) h (R) không chứa hai số htực −2 và 1. b) áp dụng a).
16. X = {3, } hoặc X là một tập con của tập hợp {3, }.
17. X = {−1, 1} hoặc X là một tập con của tập hợp {−1, 1}.
19. Tập xác định của f là: X = . f (X) = {0}.
Hoạt động 7.1 Form at t ed: Heading02
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
1. b) f không phải là một đơn ánh; g là một đơn ánh.
2. b) f không phải là một toàn ánh; g là một toàn ánh.
3. b) ánh xạ ngược của f và g được cho trong hai bảng sau: 4. f−1 (y) = − , y ∈ R.
5. a) f−1 : R+ → R+, y → f−1 2 (y) = y .
b) g−1 : R → R, y → g−1 (y) = .
c) h−1 : R* → R*, y → h−1 (y) =
d) u−1 : A → A, y → u−1 (y) = . 6. a) f là một đơn ánh.
b) f không phải là một song ánh. 13.
Hoạt động 8.1 Form at t ed: Heading02
ảnh và tạo của một tập hợp qua một ánh xạ
1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B = {c{;
f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4}.
c) f (A ∩ B) là một tập con thực sự của f (A) ∩ f (B).
2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p};
A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}.
c) f (A) \ f(B) là một tập con thực sự của f (A\B).
4. b) f−1 (C) = {a, b, c}; f (f−1 (C)) = {1, 2, 3}.
c) f (f−1 (C)) là một tập con thực sự của C.
6. b) f (A) = {b, c}; f−1 (f(A)) = {2, 3, 4, 5}.
c) A là một tập con thực ự s của f−1 (f(A)). 8. a) f(A) = {y R : 0 y 1};
f−1 (B) = {y ∈ R : ≤ x ≤ π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 2π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ π}
b) f(A) = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 4};
f1 (B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ }
c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3};
f−1(B) = {x ∈ R : 1 − ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 1 + }.
9. f(A) = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 3};
f−1 (f(A)) = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤
2} ∪ { x ∈ R : −4 ≤ x ≤ −3}.
10. f(A) = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 273}; f−1(B) = {0}.
11. a) ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1 là tập hợp các đa thức có bậc
0 và các đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã2 + b.
b) Tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 là tập hợp các đa thức có bậc 0.
Tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x2 + 1 là tập hợp chỉ có
một phần tử là đa thức Q(x) = x. CHỦ ĐỀ 2 CƠ SỞ LÔGIC TOÁN I. Mục tiêu
Kiến thức : Người học nắm đươc những kiến thức về :
 Cơ sở của lôgic mệnh đề
 Các phép suy luận thường gặp
 Các phép chứng minh thường gặp
 Vận dụng các phép suy luận và chứng minh trong dạy và học toán
Kỹ năng : Hình thành và rèn luyện cho người học các kĩ năng :
 Phân tích cấu trúc của các mệ đề nh : phủ đị ộ
nh, h i, tuyển, tương đương thường gặp
và xác định giá trị chân lí của chúng
 Vận dụng các phép tư ng ơ đương lôgic thư ng g ờ ặp trong toán học
 Phân tích các phép suy luận và chứng minh trong dạ ọ y h c toán ở tiểu học Thái độ : Chủ độ
ng tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lôgic mệnh đề trong dạy và học toán
II. Giới thiệu tiểu mô đun STT Tên tiểu chủ đề Trang 1
Mệnh đề và các phép logic 2
Các bài toán về suy luận đơn giản 3 Công thức 4 Quy tắc suy luận 5
Hàm mệnh đề - Mệnh đ t
ề ổng quát và mệnh đề t n t ồ ại 6 Suy luận và chứng minh 7
Suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học
III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun * Kiến thức
 Nắm được kiến thức toán học ở trư ng ph ờ ổ thông
 Nắm được kiến thức của chương trình Trung học Sư phạm. * Đ dùng d ồ ạy học
 Một số thiết bị dạy học sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, tranh ảnh....
 Giấy trong, bút dạ, bảng phoócmica * Tài liệu tham khảo IV. Nội dung
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1. MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP LÔGIC Thông tin cơ bản
1.1. Mệnh đề
Trong môn tiếng Việt ở trường ph t
ổ hông, chúng ta đã làm quen với khái niệm về
cõu. Các câu thường gặp có thể chia thành hai loại : loại thứ ấ nh t gồm n ữ h ng câu
phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan. Mỗi câu như thế được hiểu là
một mệnh đề. Loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính úng ho đ ặc sai một thực tế khách quan nào Để kí hiệ ệ
u các m nh đề ta dùng các chữ cái a, b, c.... Trong lôgic ta không quan tâm đến cấu trúc n ữ g pháp của các mệ đề
nh mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai”
của chúng. Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu là
G(a) = 1, nếu a là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu là G(a) = 0 Chẳng hạn, các câu + “Hà Nội là thủ đ
ô của nước Việt Nam” là mệnh đề đ úng
+ “Nước Pháp nằm ở Châu Phi” là mệnh đề sai
+ “Tháng Giêng có 30 ngày” là mệnh đề sai
+ “15 là số lẻ” là mệnh đề úng đ
+ “Số 35 chia hết cho 3” là mệnh đề sai
+ “12 lớn hơn 20” là mệnh đề sai
+ “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông” là mệnh đề sai Các câu
+ “2 nhân 2 bằng mấy?”
+ “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?”
+ “Bộ phim này hay quá!”
+ “Tất cả chúng ta hãy i đ học đúng giờ!” đều không phải là mệ đề
nh . Nội chung, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh và câu
cảm thán đều không phải là mệnh đề Chú ý
1. Trong thực tế ta gặp những mệ đề
nh mở là những mệnh đề mà giá trị đúng, sai
của nó phụ thuộc vào những điều kiện nhất định (thời gian, địa điểm,...) Nó đúng ở
thời gian, địa điểm này nhưng lại sai ở thời gian, địa điẻm khác. Song ở bất kì thời
điểm nào, địa điểm nào nó cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:
+ Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự + Trời nắng nóng
+ Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái
+ 12 giờ trưa hôm nay tôi đang ở Hà Nội
2. Để kí hiệu a là mệnh đề “2 + 2 = 5” ta viết a = “2 + 2 = 5”
3. Ta thừa nhận các luật sau đầy của lôgic mệnh đề
a) Luật bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không úng c đ ũng không sai
b) Luật mâu thuẫn (hay còn gọi là luật phi mâu thuẫn): không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai
1.2. Các phép lôgic
Khi có hai số a và b, dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tác động vào hai số đ ó
ta sẽ có những số mới (gọi là tổng hiệu, tích, thương của hai s ố đó)
Khi có hai mệnh đề a và b, người ta cũng xây d n
ự g các phép toán tác động vào hai mệnh đề ó
đ để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta lần lượt xây dựng các phép toán đó
1.2.1. Phép phủ định
mệnh đề a = “Nhôm là một kim loại” ta thiết lập được mệnh đề
a = “Nhôm không phải là kim loại”
a = “Không phải nhôm là kim loại”
Từ mệnh đề b = “Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập được mệnh đề
b = “Số 30 không chia hết cho 4” hoặc
b = “Không phải 30 chia hết cho 4”
Mệnh đề a (hoặc b) là mệnh đề ph
ủ định của mệnh đề a (hoặc b)
Rõ ràng, a là mệnh đề đúng còn mệnh đề a là mệ đề nh sai; mệ đề nh b sai còn mệnh đề b là đúng Vậy ph
ủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai khi a
đúng. Bảng chân lí của phép phủ đị
nh được cho bởi bảng sau Ví dụ 1.1 : Phủ đị
nh của mệnh đề “Tháng Ba có 31 ngày” là mệnh đề “Tháng Ba không có 31
ngày’ hoặc “Không phải tháng Ba có 31 ngày” Ví dụ 1.2 : Phủ đị
nh của mệnh đề “8 lớn hơn 12” là mệnh đề “8 không lớn hơn 12” hoặc “8 nh ỏ hơn hoặc bằng 12” Chú ý : Phủ đị
nh của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:
“Nhôm không phải là kim loại”
“Không phải nhôm là kim loại”
“Nhôm đâu có phải là kim loại”
“Nói nhôm là kim loại không đúng” hoặc “25 không lớn hơn 10”
“25 nhỏ hơn hoặc bằng 10”
“Không phải 25 lớn hơn 10”
“25 đâu có lớn hơn 10”
“Nói 25 lớn hơn 10 là sai” ...................
1.1.2. Phép hội Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có bốn mùa” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi năm có 12 tháng và bốn mùa” Hoặc từ hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” b = “36 chia hết cho 9” Ta thiết lập mệnh đề
c = “36 là số chẵn chia hết cho 9”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là hội của hai mệ đề nh a và b đã cho
Vậy hội của hai mệnh đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a và b, kí hiệu là c = a b, đúng khi cả hai mệ đề
nh a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Giá trị chân lí của phép hội được xác định bởi bảng sau
Chú ý : Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề ó b đ ởi
liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đ ó là: mà, nhưng, song,
song le, đồng thời, vẫn, cùng.... hoặc dùng dấu phảy hoặc không dùng liên t g ừ ì Ví dụ 1.3 :
“Thành phố Hà Nội là thủ đ ư
ô nh ng không phải là thành phố lớn nhất của cả nước”
là hội của hai mệnh đề a = “thành phố Hà ộ N i là thủ đ
ô của cả nước” và b = “thành
phố Hà Nội không phải là thành phố lớn nhất cả nước”
Rõ ràng G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.4 :
“Lúc 12 giờ trưa nay Hư n
ơ g có mặt ở Hà Nội và ở Bắc Ninh” là hội của hai mệnh
đề a = “Lúc 12 giờ t ư
r a nay Hương có mặt ở Hà ộ
N i” và b = “Lúc 12 g ờ i trưa nay
Hương có mặt ở Bắc Ninh”
Rõ ràng hai mệnh đề này không thể cùng úng nên G (a đ b) = 0 Ví dụ 1.5 :
“36 là số chẵn chia hết cho 5” là hội của hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” và b = “36 chia hết cho 5”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G (a b) = 0 Ví dụ 1.6 :
“Số e lớn hơn 2 nh ng nh ư h
ỏ ơn 3” là hội của hai mệnh đề a = “e > 2” và b = “e < 3”.
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.7 :
Anh Hùng nói thạo tiếng Anh mà không biết tiếng Đức Ví dụ 1.8 :
Cường vừa trẻ, đẹp trai, học giỏi mà lại có nhiều tài lẻ
Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nh ng l ư
ại không có nghĩa của mệ đề nh hội.
Chẳng hạn: “Tập số âm và tập s d
ố ương là hai tập con rời nhau của tập số thực”
“Nhà Thanh nuôi được 15 con gà và vịt”
1.1.3. Phép tuyển Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có 52 tuần” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần” Hoặc từ hai mệnh đề
a = “50 là số nguyên tố” b = “50 chia hết cho 5” Ta thiết lập mệnh đề
c = “50 là số nguyên tố hoặc chia hết cho 5”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho
Vậy tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệ đề
nh c, đọc là a hoặc b, kí hiệu c = a b,
đúng khi ít nhất một trong hai mệ đề
nh a, b là đúng và sai khi cả hai mệnh đề a, b cùng sai
Giá trị chân lí của phép tuyển được xác định bởi bảng sau Ví dụ 1.9 :
“Mỗi năm có bốn mùa hoặc mỗi tuần có bảy ngày” là tuyển của hai mệnh đề a =
“Mỗi năm có bốn mùa” và b = “Mỗi tuần có bảy ngày”
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.10 : “20 là số tròn ch c
ụ hoặc chia hết cho 3” là tuyển của hai mệnh đề
a = “20 là số tròn chục” và b = “20 chia hết cho 3”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G(a b) = 1 Ví dụ 1.11 :
“Tháng Hai có 31 ngày hoặc 3 + 3 = 1” là tuyển của hai mệnh đề
a = “tháng Hai có 31 ngày” và b = “3 + 3 = 1”
ở đây G(a) = G(b) = 0 nên G(a b) = 0 Ví dụ 1.12 :
“Cô An chưa có gia đình hay là đã tốt nghiệp đại học” Chú ý :
1. Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên
từ “hoặc” (hay một liên từ khác cùng loại)
2. Khi thiết lập mệnh đề tuyển của nh ề
i u mệnh đề, ta dùng dấu chấm phảy thay cho liên từ “hoặc”
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”
3. Liên từ “hoặc” trong thực tế thường đư c
ợ dùng với hai nghĩa: loại trừ và không
loại trừ. Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b
Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b
Chẳng hạn: “Hôm nay là hoặc Ch nh ủ
ật hoặc thứ Bảy” là phép tuyển loại trừ
“24 là số chẵn hoặc chia hết cho 3”
“Hôm nay là Chủ nhật hoặc ngày lễ” là những phép tuyển không loại trừ
Dưới đây, nếu không nói gì thêm, ta sẽ chỉ xét các phép tuyển không loại trừ 1.1.4. Phép kéo theo Từ hai mệnh đề
a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ s c ố hia hết cho 3” và
b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Nếu số tự nhiên a có tổng các ch s
ữ ố chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3” Hoặc từ hai mệnh đề:
a = “Trời vừa mưa rào” b = “Đường ph b ố ị ướt” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Nếu trời vừa mưa rào thì đường phố bị ướt”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề a và b
Vậy mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, sai khi a đúng mà b sai
và đúng trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh đề a b được xác định bởi bảng sau: Chú ý
1. Mệnh đề “a kéo theo b” thư ng ờ
được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “nếu a thì b” “a suy ra b” “có a thì có b” ........................
2. Ta có thể minh họa bảng giá trị chân lí trên qua ví dụ sau:
“Nếu trời mưa rào thì đườ ố ng ph bị ướt” a b
Mệnh đề này sai, nếu trời mưa rào (a đúng) mà đường ph không ố ướt (b sai). Mệnh
đề này đúng trong các trường hợp còn lại
 Trời vừa mưa rào (a đúng) và đường p ố h bị ướt (b đúng)
 Trời không mưa rào (a sai) và đường p ố
h không bị ướt (b đúng)
 Trời không mưa rào (a sai) và đường p ố
h bị ướt (b sai) (có thể do nước máy chảy tràn ra đường,... Ví dụ 1.13 :
“Số 45 có tận cùng bằng 5 nên nó chia hết cho 5”. Mệnh đề này úng đ Ví dụ 1.14 :
“Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng” là mệnh đề úng đ Ví dụ 1.15 :
“Nếu mỗi năm có 10 tháng thì mỗi tuần có 10 ngày” là mệ đề nh đ úng Ví dụ 1.16 :
“Nếu mỗi năm có 12 tháng thì 2 + 2 = 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.17 :
“Số 243 có tổng các chữ s c
ố hia hết cho 9 suy ra nó chia hết cho 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.18 :
“Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Mỹ” là mệnh đề úng, đ
vì ở đây cả hai mệnh đề a và b đều sai Chú ý
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm
đến mối quan hệ về ộ n i dung của hai mệ đề nh đ
ó. Không phân biệt trường hợp a có
phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng
2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn:
“Bao giờ bánh đúc có xương
Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng” hoặc
“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”
1.1.5. Phép tương đương Từ hai mệnh đề
a = “Hình chữ nhật có một góc nhọn” và
b = “ 200 là số nguyên tố” ta thiết lập mệnh đề
c = “Hình chữ nhật có một góc nhọn khi và chỉ khi 200 là số nguyên tố” Hoặc từ hai mệnh đề
a = “Số 45 có tận cùng bằng 5” và
b = “Số 45 chia hết cho 5” ta thiết lập mệnh đề
c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 5”
Trong mỗi ví dụ nêu trên, mệnh đề c là mệnh đề tương đươ đ
ng ược thiết lập từ hai mệnh đề đã cho Vậy mệnh đề a tư ng ơ
đương b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, đúng khi cả hai mệnh
đề a, b cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh đề tư ng ơ đư ng ơ
được xác định bởi bảng sau Chú ý
Trong thực tế mệnh đề “a tư ng ơ
đương b” còn được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: “a khi và chỉ khi b”
“a nếu và chỉ nếu b”
.................................. Ví dụ 1.19 :
“Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay xung quanh mặt trời” là mệnh đề đúng Ví dụ 1.20 :
“ 3 < 7 khi và chỉ khi 70 chia hết cho 3” là mệnh đề sai Ví dụ 1.21 :
“Tổng các góc trong một tam giác bằng 900 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố” là mệnh đề sai Ví dụ 1.22 :
“Tháng Hai có 31 ngày khi và chỉ khi 2 x 2 = 11” là mệnh đề úng đ
Hoạt động : Tìm hiểu khái niệm mệnh đề Nhiệm vụ : Sinh viên tự đọ
c thông tin cơ bản sau đó thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực
hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 1.1 đến 1.6 dưới đây : Nhiệm vụ 1 :
Xây dựng haiví dụ về mệ đề nh đ
úng trong mỗi lĩnh vực s h
ố ọc,hình học và d?i s ng, ố xã hội. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề sai trong mỗi lĩnh vực s h
ố ọc,hình học và dời sống, xã hội. Nhiệm vụ 3 :
Viết bốn câu không phải là mệnh đề Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ba ví dụ về mệnh đề mở (hoặc mệnh đề chưa xác định) Nhiệm vụ 5 :
Phát biểu luật bài trung và luật mâu thuẫn của lôgic mệnh đề Đánh giá
1. Đánh dấu x vào ô trống đặt sau câu là mệnh đề
a, Bạn An học năm thứ mấy? b, 2 x 5 = 11 c, 23 là số nguyên tố
d, 17 có phải là số nguyên tố không?
e, Đội tuyển Việt Nam hôm nay đá hay quá!
f, Tổng các góc trong một tứ giác lồi bằng 3600 g, Hãy nêu một ví d v ụ ề mệnh đề !
h, ở Hà Nội sáng nay có mưa rào
i, Bạn nào có thể cho biết mệnh đề là gì?
2. Viết giá trị chân lí của các mệnh đề sau vào ô tr ng ố
a, “3 không lớn hơn 7” b, “Số ữ
h u tỉ không phải là số vô tỉ”
c, “Hai đường chéo của hình thang có độ dài bằng nhau”
3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, Có mệnh đề vừa úng l đ ại vừa sai
b, Có mệnh đề không úng c đ ũng không sai
Hoạt động 1.2. Tìm hiểu phép phủ định Nhiệm vụ :
Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề ph ủ định Nhiệm vụ 2 : Xây dự ố
ng b n ví dụ về phép phủ đị nh mệ đề nh trong số ọ h c trong hình h c ọ , trong đời sống, xã ộ h i
Sau đó tìm giá trị chân lí c a chúng và di ủ
ễn đạt mỗi mệnh đề ph ủ định bằng các cách khác nhau Đánh giá
1. Thiết lập mệnh đề ph
ủ định của các mệnh đề sau a, 5 x 7 = 35 b, 24 không chia hết cho 5
c, Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau d, Trời mưa e, An cao hơn Thọ f, 40 < 30
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 2. Tìm mệnh đề ph
ủ định của các mệnh đề sau a,
“15 lớn hơn hoặc bằng 20” “15 không nhỏ hơn 20”
“Không phải 15 nhỏ hơn 20”
“Nói 15 nhỏ hơn 20 là không đúng” b,
“Hình bình hành không có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
“Hai đường chéo của hình bình hành không cắt nhau ở trung điểm ủ c a mỗi đường”
“Không phải hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
“Nói hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm ủ c a mỗi
đường là không đúng”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Hoạt động 1.3. Tìm hiểu phép hội Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề hội
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề hội  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Trong các mệnh đề ó đ được sử d ng nh ụ ững liên từ khác nhau
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Đánh giá 1. Cho các mệnh đề
a = “3 < 5” và b = “5 < 10”
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành lời a, a b b, a b c, a b d, a b 2. Cho các mệnh đề a = “Trời nắng” và b = “Trời nóng” Viết dư i
ớ dạng kí hiệu các mệnh đề sau
a, “Trời vừa nắng lại vừa nóng”
b, “Trời không nắng nhưng nóng”
c, “Trời đã nắng lại nóng” d, “Trời nắng như đ ng âu có nóng”
e, “Trời không nắng cũng chẳng nóng” 3. Cho các mệnh đề
a = “30 là số tròn chục” b = “30 chia hết cho 5”
c = “30 không chia hết cho 4” Hãy viết dư i
ớ dạng kí hiệu các mệnh đề sau
a, “30 là số tròn chục chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4”
b, “30 là số tròn chục không chia hết cho cả 4 và 5”
c, “30 là số tròn chục không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
4. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau ây thành l đ ời a b c d e trong đó:
a = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song”
b = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau”
c = “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
d = “Tứ giác ABCD có hai góc kề bù nhau”
e = “Tứ giác ABCD có hai góc đối diện bằng nhau”
Sau đó tìm giá trị chân lí của nó trong trư ng h ờ ợp : a, ABCD là hình bình hành b, ABCD là hình thang
Hoạt động 1.4. Tìm hiểu phép tuyển Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tuyển
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép tuyển  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố a, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3” b, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 7” c, “7 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3” d, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc 3” e, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc nhỏ hơn 3” 2. Cho các mệnh đề a = “44 chia hết cho 2” b = “44 chia hết cho 3”
Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau : a, a b b, a b c, a b d, a b e, a b f, a b g, a b h, a b
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
3. Đánh dấu x vào ô trống, nếu là phép tuyển loại trừ
a, Nhà toán học Galoa chết năm 20 hoặc 21 tuổi
b, Tiểu sử của nhà toán học Galoa có thể tìm đọc trong báo “Toán học và tuổi
trẻ” hoặc cuốn “Chuyện kể về các nhà toán h c ọ ” c, Số t n
ự hiên a chia hết cho 2 hoặc 3 d, S t
ố ự nhiên a là số chẵn hoặc lẻ
e, Số tự nhiên a có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
f, Số tự nhiên a chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
Hoạt động 1.5. Tìm hiểu phép kéo theo Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề kéo theo
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép kéo theo  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Sau ó di đ
ễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, Nếu 3 < 7 thì 15 chia hết cho 5
b, Nếu 20 là số nguyên tố thì 2 x 5 = 10
c, Hình chữ nhất có bốn góc vuông suy ra 18 chia hết cho 5
d, Tổng các góc trong một tam giác bằng 3600 khi 2 x 2 = 11
e, 3 2 nếu 35 chia hết cho 3 2. Cho các mệnh đề a = “42 chia hết cho 6”
b = “42 chia hết cho 2 và 3”
Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau a, a b b, a c, b d, e, b a f, b g, a h,
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 3. Cho biết
a, G (a b) = G (a b) = 1 và G (a b) = 0
Tìm giá trị chân lí của mệnh đề a, b b, G (a b) = 1. Tìm G (a b) c, G ( b) = 1. Tìm G (a b)
Hoạt động 1.6. Tìm hiểu phép tương đương Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tương đư ng ơ
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề tương đư ng ơ  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Sau ó di đ
ễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, 5 < 8 khi và chỉ khi 21 chia hết cho 3
b, 2 + 3 = 10 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố
c, Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi phân số là tối giản
d, Hình chữ nhật có bốn góc vuông khi và chỉ khi phân số lớn hơn 1
e, Tháng Ba có 28 ngày khi và chỉ khi Việt Nam nằm ở châu Âu
f, Mỗi tuần có 7 ngày nếu và chỉ nếu Pari là thủ đ o của Trung Quốc 2. Cho các mệnh đề
a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ s c ố hia hết cho 3”
b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3”
Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề sau a, b, c, d,
3. Cho biết G(a b) = 1, G() = 0
Tìm giá trị chân lí của ; a ; b
4. Cho biết G() = 1. Có thể nói gì về giá trị chân lí của , , và Tiểu chủ đề 2.2.
Các bài toán về suy luận đơn giản Thông tin cơ bản
Suy luận đơn giản là những phép suy luận không dùng những công cụ của lôgic mệnh đề (phép ph
ủ định, phép hội, phép tuyển....). Các bài toán về suy lu n ậ đơn gi n
ả là những bài toán khi giải chỉ cầ ậ n v n d ng nh ụ
ững phép suy luận đơn giản
Khi giải các bài toán về suy luận đơn giản, đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng một cách sáng tạ ữ
o nh ng kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về thiên nhiên, xã
hội và phong tục tập quán trong đời sống sinh hoạt hàng ngày
Dưới đây ta lần lượt nghiên cứu các phương pháp thư ng s ờ d
ử ụng khi giải các bài toán dạng này
2.1. Phương pháp lập bảng
Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng thư ng xu ờ ất hiện hai nhóm i đố tượng
(chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, hoặc vận động viên và giải thư ng, ho ở ặc tên
sách và màu bìa...). Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột
ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đ i ố tượng nhóm thứ hai
Dựa vào điều kiện trong đề bài, ta loại b d
ỏ ần (ghi số 0) các ô (là giao của mỗi hàng
và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán Ví dụ 2.1 :
Ba người thợ hàn, thợ tiện và thợ điện đang ngồi trò chuyện trong giờ nghỉ giải lao.
Người thợ hàn nhận xét:
 Ba chúng ta làm nghề trùng với tên của ba chúng ta, nhưng không ai làm nghề trùng với tên mình cả Bác Điện hư ng ở ứng:  Bác nói đúng
Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người
Giải Ta thiết lập bảng sau
Theo đề bài, không ai có tên trùng với nghề của mình, cho nên ta ghi số 0 vào các ô
1 ; 5 và 9. Bác Điện hư ng ở ng nh ứ
ận xét của bác thợ hàn nên bác Điện không làm
nghề hàn. Ta ghi số 0 vào ô số 7
 Nhìn cột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điện. Vậy bác thợ
hàn tên là Tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 4
 Nhìn hàng 4 ta thấy bác Điện không làm nghề hàn cũng không làm nghề đ iện. Vậy
bác làm nghề tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 8
 Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn, cũng không làm nghề tiện.
Vậy bác làm nghề điện. Đánh dấu X vào ô s 3 ố
Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện. Bác Tiện là thợ hàn. Bác Điện làm thợ tiện Ví dụ 2.2 :
Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí được bọc ba màu khác
nhau: xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuốn bọc bìa màu đỏ đặ
t giữa hai cuốn Văn và Địa lí,
cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì?
Giải: Ta có bảng sau
Theo đề bài “cuốn bìa màu đỏ đặt giữa hai cuốn Văn và Địa lí”. Vậy cuốn sách Văn
và Địa lí đều không bọc màu đỏ cho nên cuốn Toán phải bọc màu đỏ. Ta ghi s 0 ố
vào ô 4 và 6, đánh dấu X vào ô 5
Mặt khác, “cuốn Địa lí và cuốn bìa màu xanh mua cùng ngày”. Điều đó có nghĩa là
cuốn Địa lí không bọc màu xanh. Ta ghi số 0 vào ô 3
 Nhìn cột thứ tư, ta thấy cu n
ố Địa lí không bọc màu xanh cũng không bọc màu đỏ.
Vậy cuốn Địa lí bọc màu vàng. Ta đánh dấu X vào ô 9
 Nhìn vào cột 2 và ô 9 ta thấy cuốn Vă ọ n không b c màu đỏ, cũ ọ ng không b c màu vàng. Vậy cuốn Vă ọ
n b c màu xanh. Ta đánh dẫu X vào ô 1
Kết luận : Cuốn Văn bọc màu xanh, cuốn Toán bọc màu đỏ, cu n ố Địa lí bọc màu vàng Ví dụ 2.3 :
Trên bàn có bốn hộp kín được đánh số th t
ứ ự 1 ; 2 ; 3 và 4. Trong mỗi hộp đựng một
trong bốn loại quả: đào, mận, bưởi hoặc cam. Ba bạn Lộc, Đạt và Thanh tham gia
trò chơi như sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong mỗi hộ đự
p ng quả gì, nếu ai đoán
đúng ít nhất một hộp thì sẽ được phần thưởng. Lộc đoán trước :  Hộp th nh ứ
ất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộp thứ tư đự đ ng ào Đạt đoán tiếp :  Hộp th nh ứ ất ng đự
đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam và hộp thứ tư đựng mận Cuối cùng Thanh đoán  Hộp th nh ứ ất ng m đự
ận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đự à đ ng o và h p ộ thứ tư đựng bưởi
Kết thúc cuộc chơi, ban giám khảo công bố cả ba bạn đều không đạt phần thưởng
Bạn hãy cho biết trong mỗi hộp ng qu đự ả gì?
Giải : ta thiết lập bảng và ghi vào bảng theo lập luận sau Theo đề bài ta có:
− Lộc không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không đựng cam, hộp thứ hai
không đựng mận, hộp thứ ba không ng b đự ưởi và hộp th t ứ ư không ng đự đào. Ta
ghi số 0 vào các ô 4 ; 6 ; 11 và 13
− Đạt không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không ng đự đào, hộp thứ hai
không đựng bưởi, hộp thứ ba không đựng cam và hộp thứ t không ư đựng mận. Ta
ghi tiếp số 0 vào các ô 1 ; 7 ; 12 và 14
− Thanh cũng không được phần thưởng, c ng l ũ
ập luận như trên rồi ta ghi tiếp s 0 ố vào các ô 2; 8 ; 9 và 15 Nhìn hàng thứ hai ta thấ ộ
y h p thứ nhất không đự đ
ng ào, không đựng mận, c ng ũ
không đựng cam. Vậy nó đựng bưởi. Ta đánh dấu X vào ô 3
Tương tự ta được : hộp thứ hai đựng dấu (đánh dấu X vào ô 5), hộp thứ ba ng đự
mận (đánh dẫu X vào ô 10) và hộp thứ t
ư đựng cam (đánh dấu X vào ô 16) Ví dụ 2.4 :
Giờ Văn cô giáo trả bài kiểm tra. B n b ố
ạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn đề đạ
u t điểm 8 trở lên. G ờ i ra chơi Phươ ỏ ng h i điểm ủ
c a bốn bạn. Tuấn trả lời:
 Lan không đạt điểm 10, mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm 8 Hùng thì nói :
 Mình không đạt điểm 10, Lan không đạt điểm 9 còn Tuấn và Quân đề đạ u không t điểm 8
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy?
Giải: Ta lập bảng và ghi bảng theo lập luận ở dưới
Theo Tuấn ta ghi số 0 vào các o 3 ; 5 ; 8 và 10
Theo Hùng ta ghi số 0 vào các ô 2 ; 7 ; 9 và 12 Vì b n b ố
ạn đều đạt điểm 8 trở lên, nên nhìn vào cột 2, ta kết luận Tuấn đạt điểm 10. Tương t v
ự ới các cột 3 ; 4 và 5 ta kết luận Hùng đạt điểm 9, Lan đạt điểm 8 còn Quân điểm 10 Ví dụ 2.5 :
Năm người thợ tên là Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm năm nghề khác nhau trùng
với tên của năm người đó, nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Bác thợ da lấy em gái củ ủ
a bác Da. Tên c a bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ
bác chỉ có hai anh em. Bác Tiện khong làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn.
Bác thợ sơn và bác Da là hai anh em cùng h ọ
Bạn hãy cho biết bác Da và bác Tiện làm nghề gì
Vì không ai làm nghề trùng với tên của mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1; 7 ; 13 ; 19 và 25
Bác Tiện không làm thợ sơn nên ta ghi số 0 vào ô 24. Mặt khác bác Tiện làm em rể
của bác thợ hàn nên bác Tiện không phải là thợ hàn. Ta ghi số 0 vào ô 14. Nhìn cột
5 ta thấy bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện
Nếu bác Tiện là thợ da thì theo đề bài, bác Da là thợ tiện. Như vậy bác Tiện vừa là
em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn, mà vợ bác Tiện chỉ có hai anh em. Điều này vô lí.
Vậy bác Tiện là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 4 và dấu X vào ô 9
Bác Tiện là thợ điện nên bác Da không phải là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 6. Bác thợ
sơn và bác Da là hai anh em cùng họ nên bác Da không là thợ sơn. Ta ghi số 0 vào ô 21
Theo lập luận phần trên thì bác Da không phải là thợ tiện. Vậy bác Da là thợ hàn. Ta đánh dấu X vào ô 11
2.2. Phương pháp suy luận đơn giản
Suy luận đơn giản là phép suy luận không dùng công c c
ụ ủa lôgic mệnh đề. Dưới
đây ta xét một số ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải này Ví dụ 2.6 :
Một viên quan nước Lỗ đi sứ sang Tề, bị vua Tề xử phạt tội chết và bị hành quyết:
hoặc chém đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyết nhà vua cho sứ giả được nói một
câu và giao hẹn nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì treo c . S ổ ứ giả mỉm cười
và nói một câu mà nhờ đó đã thoát chết
Bạn hãy cho biết câu nói đó của s gi ử ả như thế nào?
Phân tích : Điều kiện của nhà vua đặt ra là nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai
thì treo cổ. Vì nhà vua cho rằng một câu nói chỉ có thể đúng hoặc sai, như thế vị sứ
giả chắc chắn sẽ bị chết. Nhưng nhà vua không tính đến khả năng vị sứ giả sẽ nghĩ
ra câu nói mà đem chém đầu thì sứ giả nói sai (cho nên sứ giả không bị chém đầu)
còn nếu đem treo cổ thì sứ giả nói đúng (nên khong bị treo c )
ổ . Câu nói đó là : “Tôi sẽ bị treo cổ”
Giải : Câu nói của sứ giả là: “Tôi sẽ bị treo cổ”
 Nếu nhà vua đem sứ giả đi chém đầu thì sứ giả nói sai. Mà nói sai thì p ả h i xử treo
cổ chứ không thể chém đầu s gi ứ ả
 Nếu nhà vua đem treo c s ổ gi ứ ả thì s gi
ứ ả nói đúng. Mà nói đúng thì phải đem chém
đầu chứ không thể treo cổ
Sứ giả không bị chém đầu, không bị treo cổ cho nên đã thoát chết Ví dụ 2.7 :
Người ta đồn rằng ở một ngôi đề ọ
n n rất thiêng do ba vị thần ng t ự rị: thần Thật Thà
(luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói
thật, khi nói dối). Các vị thần đều ng
ự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có
người thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của ba vị thần gi ng h ố ệt nhau nên người ta
không biết vị thần nào để tin hay không tin
Một hôm, một học giả từ phương xa đến ngôi đền gặp các thần để xin lời thỉnh cầu.
Bước vào đền, học giả hỏi thần ngồi bên phải :  Ai ngồi cạnh ngài?
 Đó là thần Dối Trá Tiếp ó h đ ỏi thần ngồi giữa  Ngài là thần gì?
 Tôi là thần Khôn Ngoan
Cuối cùng ông ta quay sang hỏi thần ng i ồ bên trái  Ai ngồi cạnh ngài
 Đó là thần Thật Thà
Nghe xong học giả khẳng định được mỗi vị là thần gì. Bạn hãy cho biết h c ọ giả ó đ
đã suy luận như thế nào? Phân tích
Ta nhận xét, cả ba câu hỏi của vị học giả đều nhằm xác định một thông tin là thần
ngồi giữa là thần gì? Kết quả nhận được các câu trả lời như sau
Thần bên phải : Đó là thần Dối Trá
Thần ở giữa : Tôi là thần Khôn Ngoan
Thần bên trái : Đó là thần Thật Thà
Dựa vào các câu trả lời, vị học giả trước hết đã suy luận để xác định ai là thần Thật
Thà. Tiếp theo dựa vào câu trả lời của vị thần Thật Thà thì xác định được vị thần thứ hai, rồi thứ ba
Ngoài ra còn có thể giải bằng cách khác: suy luận để xác định ai là thần Dối Trá
(hoặc Khôn Ngoan) trước, sau đó xác định hai vị thần còn lại Giải
Cách 1 : Ta nhận xét
 Thần ngồi bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói thần ngồi giữa là thần Thật Thà  Thần ngồi giữa c n
ũ g không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan.”
Vậy thần ngồi bên phải là thần Thật Thà. Theo câu trả lời của ngài thì ngồi giữa là
thần Dối Trá. Cuối cùng, thần bên trái là thần Khôn Ngoan
Cách 2 : Ta nhận xét:
Nếu thần ngồi bên trái là thần Dối Trá thì thần bên p ả
h i là thần Thật Thà hoặc Khôn
Ngoan. Nếu ngồi bên phải là thần Thật Thà thì ngồi giữa là thần Dối Trá. Điều ngài
vô lí, vì bên trái cũng là thần Dối Trá. Nên bên phải là thần Khôn Ngoan thì ngồi
giữa là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì ngài nói : “Tôi là thần Khôn Ngoan”
Vậy bên trái không phải là thần Dối Trá
 Nếu bên phải là thần Dối Trá thì ngồi giữa là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan.
Nhưng ngài không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”.
Nếu ngồi giữa là thần Khôn Ngoan thì bên trái là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì
ngài nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà”
Vậy bên phải cũng không phải là thần Dối Trá. Vậy, ta suy ra ngồi giữa là thần Dối
Trá. Như vậy bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Ngồi giữa là thần
Thật Thà”. Thế thì bên trái là thần Khôn Ngoan. Cuối cùng, bên phải là thần Thật Thà. Cách 3: Tư ng t ơ
ự, ta có thể suy luận để xác định ai là thần Khôn Ngoan trư c ớ . Sau
đó xác định hai vị thần còn lại Ví dụ 2.8 :
ở một xã X có hai làng : dân làng A chuyên nói thật, còn dân làng B chuyên nói dối.
Dân hai làng thường qua lại thăm nhau. Một chàng thanh niên n v ọ ề thăm bạn ở làng A. Vừa bước vào xã X, a
đ ng ngơ ngác chưa biết đây là làng nào, chàng thanh niên
gặp ngay một cô gái và anh ta hỏi người này một câu. Sau khi nghe trả lời chàng
thanh niên bèn quay ra (vì biết chắc mình đang ở làng B) và sang tìm bạn ở làng bên cạnh.
Bạn hãy cho biết câu hỏi đó thế nào và câu trả lời đó ra sao mà chàng thanh niên lại
khẳng định chắc chắn như vậy
Phân tích: Để nghe xong câu trả lời người thanh niên đó có thể khẳng định được
mình đang đứng trong làng A hay làng B thì anh ta phải nghĩ ra một câu hỏi sao cho câu trả lời c a
ủ cô gái chỉ phụ thuộc vào h
ọ đang đứng trong làng nào mà không ph ụ
thuộc cô gái ấy là người làng nào. Cụ thể hơn : cầ đặ
n t câu hỏi để cô gái trả lời là
“phải”, nếu họ đang đứng trong làng A và “không phải”, nếu h ọ đang đứng trong làng B
Giải: Câu hỏi của người thanh niên ó
đ là : “Có phải chị là người làng này không?” Trường hợp 1 : H
ọ đang đứng trong làng A : nếu cô gái là ngư i ờ làng A thì câu trả
lời là :”Phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là “Phải” (vì dân làng B chuyên nói dối) Trường hợp 2 : H
ọ đang đứng ở trong làng B. Nếu cô gái là người làng A thì câu trả
lời là: “Không phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là : “Không phải” Như vậy, nế ọ u h đ
ang đứng trong làng A thì câu trả lời chỉ có thể là “Phải”, còn nếu
họ đang đứng trong làng B thì câu trả lời chỉ có thể là “Không phải”
Người thanh niên quyết định quay ra, vì anh đã nghe câu trả lời là “Không phải” Ví dụ 2.9 :
Một hôm anh Quang lấy quyển album ra giới thiệu với mọi người. Cường chỉ vào
người đàn ông trong ảnh và hỏi anh Quang : “Người đàn ông này có quan hệ thế nào
với anh?” Anh Quang bèn trả lời : “Bà nội của chị gái vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ tôi”
Bạn hãy cho biết anh Quang và người đàn ông ấy quan hệ với nhau thế nào?
Giải : Bà nội của chị gái vợ anh ấy cũng chính là bà n i
ộ của vợ anh ấy. Bà n i ộ của
vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ anh Quang. Vậy vợ anh ấy và vợ anh Quang là hai
chị em con dì con già. Suy ra anh Quang và người đàn ông ấy là hai anh em rể h ọ Ví dụ 2.10 :
Trong giờ ngoại khóa, thầy giáo g i 6 em nam và 6 em n ọ
ữ ra sân và giao cho lớp trưởng nhiệm v t
ụ ập hợp các bạn đứng thành vòng tròn sao cho không có hai bạn nữ
nào đứng cạnh nhau và đối diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam.
Suy nghĩ một lát, lớp trưởng trả lời: “Thưa thầy, không thể xếp được như vậy!”. Bạn
lớp phó học tập tiếp luôn: “Nhưng nếu bớt đi một bạn nam và một bạn n ho ữ ặc thêm
một bạn nam và một bạn nữ thì xếp được thưa thầy!”
Bạn hãy cho biết hai bạn nói đúng hay sai, giải thích tại sao?
Giải : Ta chia đường tròn thành 12 phần đều nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm
chia theo thứ tự từ đế 1 n 12 Để hai bạn n không ữ
đứng cạnh nhau thì ta phải xếp các bạn nữ vào đứng ở các
điểm ghi số lẻ, các bạn nam đứng ở các điểm ghi số chẵn (hoặc ngược lại)
Nhìn trên hình vẽ ta thấ đố
y i diện với một bạn mang số lẻ qua tâm đường tròn cũng là một bạn mang s l ố ẻ và i
đố diện với một bạn mang số chẵn qua tâm đường tròn là
một bạn mang số chẵn. Nh v
ư ậy đối diện với một bạn nữ qua tâm đường tròn là một
bạn nữ (chứ không thể là bạn nam) Giả s b
ử ớt đi một bạn nam và một bạ ữ n n
Ta chia vòng tròn thành 10 phần bằng nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm chia theo thứ tự từ đ
1 ên 10. Ta xếp các bạn nữ vào các điểm chia mang số lẻ và các bạn
nam vào các điểm chia mang số chẵn (hoặc ngược lại). Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối
diện với một bạn mang s l
ố ẻ trên đường tròn là một bạn mang số chẵn. Như vậ đố y i
diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam và không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau Tương tự trư ng h ờ ợp thêm m t nam và m ộ ột nữ
Vậy hai bạn đã nói đúng Ví dụ 2.11 :
Một đoàn du khách trên đường đi thăm rừng Cúc Phương. Đến một ngã ba đường h ọ
đang không biết rẽ lối nào thì nhìn thấy hai chú bé đang chăn trâu bên cạnh đường.
Họ được nghe mọi người l u ý t ư
ừ trước rằng, trong hai cậu có một cậu chuyên nói
thật còn cậu thứ hai chuyên nói dối. Khi được hỏi, các cậu chỉ trả lời: “Đúng” hoặc
“Không”. Nhưng mọi người không biết cậu nào nói thật còn cậu nào nói dối.
a, Một người lại gần và đặt hai câu hỏi cho một trong hai cậu bé. Sau khi nghe trả lời
ông ta xác định được đường nào đi rừng Cúc Phư ng ơ
b, Lát sau, một cô gái khác chỉ hỏi một trong hai cậu bé một câu. Sau khi nghe trả
lời cô cũng biết lối nào đi rừng Cúc Phương
Bạn hãy cho biết các câu hỏi đó thế nào? Phân tích :
a, Để bằng hai câu hỏi cho một cậu bé người đó xác định được lối nào đi rừng Cúc
Phương thì người đó dùng câu hỏi thứ nhất để xác định em đó là nói thật hay nói
dối. Dựa vào đó dùng câu hỏi thứ hai để xác định lối nào đi rừng Cúc Phương b, Đ b
ể ằng một câu hỏi cho một cậu bé, cô gái xác định được lối nào đi rừng Cúc
Phương thì câu hỏivề một trong hai con đường có đi rừng Cúc Phương hay không và
câu trả lời nhận được không phụ thuộc vào cậu bé đó nói thật hay nói dối Giải :
a, Trước hết người đó chỉ vào con trâu và hỏi một trong hai cậu bé: “Đây là con trâu có phải không?
Trường hợp 1 : Cậu bé trả lời “Đúng” thì cậu nói thật. Khi đó du khách chỉ vào một
trong hai con đường và hỏi tiếp : “Có phải lối này đi rừng Cúc Phương hay không?”.
Nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối ó đ đi rừng Cúc Phư ng, n ơ
ếu cậu bé trả lời là
“Không” thì lối thứ hai i đ rừng Cúc Phương
Trường hợp 2 : Cậu bé trả lời là “Không” thì cậu đó nói dối. Sau ó đ đặt tiếp câu hỏi
như trên. Trong trường hợp này, nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối thứ hai đi r ng ừ
Cúc Phương và ngược lại
b, Cô gái chỉ vào một con đư n
ờ g và hỏi một trong hai cậu bé: “ ế N u tôi hỏi bạn cậu
lối này có đi rừng Cúc Phương không thì bạn cậu trả lời thế nào?” Trường hợp 1 : Lối ó đ đi rừng Cúc Phư ng. N ơ
ếu cậu bé được hỏi là người nói thật
(cậu thứ hai là người nói dối) thì câu trả lời là “Không”. Nếu cậu bé được hỏi là
người nói dối (cậu thứ hai là người nói thật) thì câu trả lời cũng là “Không”
Trường hợp 2 : Lối đó không đi rừng Cúc Phư ng. L ơ
ập luận như trong trư ng h ờ ợp 1
ta nhận được câu trả lời luôn là “Đúng” (cho dù cậu bé được hỏi là người nói thật hay nói dối)
Qua phân tích trên đây ta thấy : nếu câu trả lời luôn là “Không” thì lối đó đi rừng
Cúc Phương. Ngược lại, nếu câu trả lời là “Đúng” thì lối đó không đi rừng Cúc Phương.
2.3. Phương pháp lựa chọn tình huống Ví dụ 2.12:
Tổ Toán của một trường trung học phổ thông có năm người : thầy Hùng, thầy Quân,
cô Vân, cô Hạnh và cô Cúc. Kỳ nghỉ hè cả t
ổ được hai phiếu đi nghỉ mát. Mọi người
đều nhường nhau, thầy h ệ i u t ư r ở đề
ng nghị mỗi người đề xuất ộ m t ý kiến. Kết quả như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi.
2. Thầy Hùng và cô Vân đi.
3. Thầy Quân và cô Hạnh đi
4. Cô Cúc và cô Hạnh đi
5. Thầy Hùng và cô Hạnh đi
Cuối cùng thầy hiệu trưởng quyết định ch n
ọ đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị ó đ
thì mỗi đề nghị đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần
Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó?
Phân tích : Để ch n
ọ được đề nghị thoả mãn yêu cầu của đề bài ta lần lượt xét đ ề
nghị của từng người. Sẽ có hai khả năng xảy ra  Có một trong bố đề
n nghị còn lại bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị ó đ
 Không có đề nghị nào trong ố b đề
n nghị còn lạibị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta chọ đề n nghị đ ó
Giải: Ta nhận xét  Nếu ch n
ọ đề nghị thứ nhất thì đề nghị th t
ứ ư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọ đề
n nghị thứ nhất và thứ tư  Nếu ch n
ọ đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọ đề
n nghị thứ hai và thứ ba  Nếu ch n ọ đề nghị th n
ứ ăm thì mỗi đề nghị trong bốn đề nghị còn lại đều th ả o mãn
một phần và bác bỏ một phần
Vậy kì nghỉ hè năm đó thầy Hùng và cô Hạnh đi nghỉ mát Ví dụ 2.13 :
Sau giờ tập luyện buổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơn
của quán có tám món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào
măng và canh chua. Toàn đội thống nhất sẽ gọi ba món trong thực đơn cho bữa ăn. Nguyện v ng c ọ
ủa các cầu thủ chia ra thành năm nhóm như sau
Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán và chim quay
Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào và cá rán
Nhóm 3 : Bò xào, cá rán và c ố xào măng
Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng và canh chua
Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào và canh chua
Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực đơn c a
ủ đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn ó đ
mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích
Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn những món gì?
Giải : Ta nhận xét
 Nếu chọn thực đơn của nhóm một thì cả nhóm hai và ba đều không có món nào mà
minh ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của ba nhóm đầu
 Nếu chọn thực đơn của nhóm bốn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa
thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm bốn
 Nếu chọn thực đơn của nhóm năm thì mỗi nhóm trong bốn nhóm còn lại đều có ít
nhất một món mà mình ưa thích
Vậy bữa trưa hôm đó toàn đội đã chọn thực đơn gồm ba món: gà luộc, bò xào và canh chua Ví dụ 2.14 :
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ,
Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời như sau:
Anh : Tôi quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Nghệ An
Bình : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc ở Tiền Giang
Cúc : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Hà Tây
Doan : Tôi quê ở Cần Thơ, còn Anh ở Hà Tây
Nếu không bạn nào trả lời sai hoàn toàn thì quê của mỗi bạn ở tỉnh nào? Phân tích
 Trước hết ta cần hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩa là gì?
Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì
có nghĩa là quê của cả hai ngườiđó đều không ở hai tỉnh đó. Vậy câu trả lời không
sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai người hoặc cả hai người có quê ở hai tỉ đ nh ó
Chẳng hạn, câu trả lời của Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là: hoặc Anh quê ở
Bắc Ninh còn quê của Doan không ở Nghệ An hoặc quê của Anh không ở Bắc Ninh
còn Doan quê ở Nghệ An hoặc Anh quê ở Bắc Ninh và Doan quê ở Nghệ An
 Để xác định quê quán của mỗi bạn, ta lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi
câu trả lời nói về quê quán của hai người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau + Quê của người thứ ấ
nh t trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả
lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được
quê của người đó. Tiếp đó ta xác định quê của b n ng ố
ười còn lại. Nếu có một câu trả
lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả lời không ở tỉnh ó. V đ
ậy quê của người thứ hai trong câu trả lời làđúng. Tiếp đó ta
tìm quê của bốn người còn lại + Quê của người thứ ấ
nh t trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ hai trong
câu trả lời là đúng. Ta xác định được quê của người này. Tiếp đó ta xác định quê của bốn người còn lại
Giải : Giả sử Anh quê ở Bắc Ninh thế thì quê của Bình và Cúc đều không ở Bắc
Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiền Giang và theo Cúc thì Doan quê ở Hà Tây.
Vì Anh quê ở Bắc Ninh nên quê của Anh không ở Hà Tây. Vậy theo An thì An quê ở Cần T ơ
h . Cuối cùng còn Bình quê ở Nghệ An (vì bố ạ n b n kia quê ở bốn tỉnh còn lại rồi) Ví dụ 2.15 :
Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt nam, Singapor, Thái Lan và
Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự o đ án như sau:
Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba
Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan thứ tư
Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì
Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội
Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? Giải :
 Nếu Singapor đạt giải nhì thì Singapor không đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì
Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lí vì có hai đội đều đạt giải nhì
 Nếu Singapor không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Nh v ư ậy, Thái
Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì. Thế thì Inđônêxia không
đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor đạt giải nhất, cuối cùng còn độ i Inđônêxia đạ t giải tư
Kết luận : Thứ t gi
ự ải của các đội trong Cúp Tiger 98 là : Nhất : Singapor Nhì : Việt Nam
Ba : Thái Lan Tư: Inđônêxia
2.4. Phương pháp biểu đồ Ven Trong khi giải m t ộ số bài toán, ngư i
ờ ta thường dùng những đư n ờ g cong kín để mô
tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Nhờ sự mô tả này ta đi đến lời giải
một cách tường minh và thuận lợi. Những đường cong như thế ta sẽ gọi là Biểu đồ
ven. Phương pháp giải dùng biểu đồ Ven ta gọi là phư n ơ g pháp biểu đồ Ven. Ví dụ 2.16 :
Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, Ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch
tiếng Anh và 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán b p ộ hiên dịch
được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. ỏ H i :
a) Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh? Chỉ dịch được tiếng Pháp?
Giải : Số lượng cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị có thể
mô tả bởi biểu đồ Ven ở hình 3. Nhìn vào sơ đồ ta có :
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh là : 30 − 12 = 18 (người).
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là : 25 − 12 = 13 (người).
Số cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị là : 30 + 13 = 43 (người).
Trả lời : Ban tổ chức đã huy động tất cả 43 cán bộ phiên dịch cho hội nghị, trong đó
có 18 người chỉ dịch được tiếng Anh và 13 ngư i
ờ chỉ dịch được tiếng Pháp. Ví dụ 2.17 :
Có bao nhiêu số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 ?
Giải : Số các số chẵn có ba chữ số là :
(998 − 100) : 2 + 1 = 450 (số). Số các số có ba ch s
ữ ố chia hết cho 3 là :
(999 − 102) : 3 + 1 = 300 (số)
Dãy các số chia hết cho 3 có ba chữ số là :
102, 105, 108, 111, ..., 996, 999.
Trong dãy trên có một nửa là số lẻ, m t
ộ nửa là số chẵn. Vậy có 150 s có ba ch ố ữ s ố
chia hết cho 3 là số chẵn.
Bây giờ ta mô tả bài toán bằng biểu V đồ en như hình 4. Nhìn vào sơ đồ ta có:
Số các số chẵn có ba chữ số không chia hết cho 3 là: 450 − 150 = 300 (số). Số các số có ba ch s
ữ ố là số chẵn hoặc chia hết cho 3 là: 300 + 300 = 600 (số).
Trả lời : Có tất cả 600 số là số chẵn hoặc chia hết cho 3. Ví dụ 2.18 :
Lớp 9A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Trung, trong ó có 25 em đ nói
được tiếng Anh và 18 em đ
nói ược tiếng Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả hai thứ tiếng ?
Giải : Các em học sinh lớp 9A tham gia dạ hội có thể được mô tả bằng biểu đồ Ven ở hình 5.
Số học sinh chỉ nói được tiếng Trung là : 30 − 25 = 5 (em).
Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là : 30 − 18 = 12 (em).
Số em nói được cả hai thứ tiếng là: 30 − (5 + 12) = 13 (em).
Trả lời: Có 13 em nói được cả tiếng Anh và tiếng Trung. Ví dụ 2.19 :
Trong hội khoẻ Phù Đổng có 100 vận n
độ g viên đăng kí dự thi. Mỗi vậ độ n ng viên
được đăng kí dự thi một hoặc hai trong ba môn: ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua. Kết
quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng kí thi ném tạ và 45 người đăng kí thi bơi.
Hỏi có bao nhiêu người đăng kí thi đấu cả hai môn: ném tạ và bơi lội?
Giải: Các vậ độ
n ng viên đăng kí thi đấu có thể được mô tả bởi hình 6.
Số vận động viên đăng kí thi ném tạ hoặc bơi lội là: 100 − 30 = 70 (người)
Số vận động viên đăng kí cả hai môn ném tạ và bơi lội là:
(45 + 53) − 70 = 28 (người).
Trả lời: Có 28 vận động viên đăng kí thi đ u c ấ
ả hai môn ném tạ và bơi lội. Ví dụ 2.20 :
Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu có thể sử ụ d ng một trong
ba thứ tiếng : Nga, Anh, hoặc Pháp. Theo thống kê của Ban tổ chức, có 60 đại biểu
chỉ nói được một trong ba thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Anh và
Pháp, 150 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga, 170 đại biểu nói được cả
tiếng Nga và tiếng Pháp.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
Giải : Số đại biểu nói được cả hai thứ tiếng Nga và Pháp hoặc Nga và Anh là:
500 − (60 + 180) = 260 (người)
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là :
(170 + 150) − 260 = 60 (người).
Trả lời: Có 60 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng. Ví dụ 2.21 :
Hai trăm học sinh trường phổ thông chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, tiếng
Trung và tiếng Anh. Có 60 bạn chỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga
và 90 bạn nói được tiếng Trung và 20 bạn chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và Trung.
Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả ba thứ tiếng ?
Giải : Số học sinh nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung là : 200 − 60 = 140 (bạn).
Số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Nga và Trung là :
(90 + 80) − 140 = 30 (bạn).
Số học sinh nói được cả ba thứ tiếng là : 30 − 20 = 10 (bạn).
Trả lời : Có 10 bạn nói được cả ba thứ tiếng. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c thông tin cơ bản ở nhà sau đó thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các
hoạt động 2.1 đến 2.4 dưới đây. Trên lớp đại diện sinh viên sẽ trình bày minh hoạ
kết quả thực hiện dưới sự tổ chức của giáo viên.
Hoạt động 2.1. Thực hành giải toán bằng phương pháp lập bảng Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Trình bày khái niệm về phương pháp lập bảng
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán suy luận bằng phương pháp lập bảng Đánh giá 1. Trong giờ ọ
h c nữ công các bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng.
Bạn làm hoa hồng quay sang nói với Cúc : “Thế là trong ba chúng mình chẳng có ai
làm hoa trùng với tên của mình cả!”. Hỏi ai làm bông hoa nào?
2. Tại một trại hè thiếu nhi quốc tế có một nhóm gồm ba thiếu niên: một người Anh,
một người Pháp và một người Nga. Mỗi người trong số ba bạn này đang học một
trong ba ngoại ngữ: tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Nga. Biết rằng bạn học tiếng
Anh lớn hơn bạn người Pháp 1 tuổi. Hãy xác định mõi bạn đang học ngoại ngữ gì ?
3. Ba cô giáo dạy tiếng Nga, Anh, Pháp được giao phụ trách đêm dạ hội ngoại ngữ.
Một cô nói với các em: “Ba cô dạy ba thứ tiếng trùng với tên của các cô, nhưng chỉ
có một cô có tên trùng với thứ tiếng mình dạy”. Cô dạy tiếng Pháp hưởng ứng : “Cô
nói đúng!”. Rồi chỉ vào cô vừa nói, tiếp lời: “Rất tiếc cô tên là Nga mà lại không dạy tiếng Nga”.
Bạn hãy cho biết mỗi cô dạy thứ tiếng gì?
4. Các bạn Hùng, Lan, Phượng đến nhà Cúc chơi thấy trên bàn có bốn gói giấy màu
xanh, đỏ, tím, vàng bèn hỏi bạn: “Gói gì vậy?” Cúc trả lời : “Mình có bốn viên bi
xanh, đỏ, tím, vàng đựng trong bốn gói này. Đề nghị các bạn th ử đoán xem mỗi viên bi ở trong gói nào?”. Hùng nhanh nhảu nói :
 Theo mình thì bi xanh không ở trong gói đỏ, bi đỏ không ở trong gói tím, bi tím
không ở trong gói vàng còn bi vàng không ở trong gói xanh. Lan lắc đầu:
 Bi xanh không ở trong gói tím, bi đỏ không ở trong gói vàng, bi tím không ở trong
gói xanh còn bi vàng không ở trong gói đỏ. Phượng chậm rãi nói :
 Theo mình thì bi xanh không ở trong gói vàng, bi đỏ không ở trong gói xanh, bi tím
không ở trong gói đỏ còn bi vàng không ở trong gói tím.
Cúc gật đầu khen: “Cả ba bạn đoán đ u ề úng c đ ả!”.
Bạn hãy cho biết trong mỗi gói đựng viên bi màu gì ?
5. Giờ toán hôm nay thày giáo trả bài kiểm tra, bốn bạn Minh; Hùng, Thông, Thái
ngồi cùng bàn đều đạt điểm 6 trở lên. Giờ ra chơi Trung hỏi điểm của b n b ố ạn. Minh trả lời:
Mình và Hùng không đạt điểm 6, Thông không đạt điểm 7 và Thái không đạt điểm 8. Hùng thì nói :
 Mình, Minh và Thông đề đạ
u không t điểm 8 còn Thái thì không đạt điểm 7. Thông tiếp lời :
 Mình và Thái không đạt đ
iểm 9, còn Minh và Hùng lại không đạt điểm 7.
Cuối cùng, Thái khẳng định :
 Mình và Thông không đạt điểm 6 còn Minh và Hùng không đạt điểm 9.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy ?
6. Ba nghệ sĩ Vàng, Bạch, Hồ ủ
ng r nhau đi quán uống cà phê. Ngồi trong quán,
người đội mũ trắng nhận xét: “Ba ta đội mũ có màu trùng với tên của chúng ta,
nhưng không ai có màu mũ trùng với tên của mình cả”. Nghệ sĩ Vàng hưởng ứng: “Anh nói đúng”.
Bạn hãy cho biết mỗi nghệ sĩ đội mũ màu gì?
7. Cô Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng đi d h
ự ội thi “Tiếng hát hoa phư ng ợ đỏ”. Về đế n trường các bạ đế n ỏ n h i thăm, cô t ả r lời: “Mỗi bạ đề n đạ u t một trong các
giải nhất, nhì, ba hoặc đặc biệt”. Cô đề nghị các bạn th ử đoán xem. Hà đoán ngay:
 Theo em thì Phượng đạt giải nhất, H ng gi ồ
ải nhì còn Lan đạt giải ba. Bích cho là:
 Lan đạt giải nhất, Phượng giải nhì còn Hồ đạ ng t giải ba. Bạn Ngọc lại đoán:  H ng gi ồ
ải nhất, Lan giải nhì còn Phư ng gi ợ ải ba.
Nghe xong cô Phương lắc đầu nói không bạn nào đạt giải như các em dự đoán. Bạn
hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì?
8. Điểm thi học kì môn tiếng Việt của ba bạn An, Bình, Huệ đều đạt từ khá trở lên.
Khi hỏi điểm của ba bạn, Hà nhận được câu trả lời như sau:
1) Huệ không đạt điểm 7, An không đạt điểm 8 còn Bình không đạt điểm 9.
2) Bình và Huệ không đạt điểm 8 còn An không đạt điểm 9.
3) An và Bình không đạt điểm 7 còn Huệ không đạt điểm 9.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy?
9. Ba thầy giáo Văn, Sử, Hoá dạy ba môn văn, sử, hoá, trong đó chỉ có một thầy có
tên trùng với môn mình dạy. Hỏi mỗi thầy dạy môn gì, biết rằng thầy dạy môn hoá ít
tuổi hơn thầy Văn và thầy Sử.
10. Năm người thợ sơn, hàn, tiện, điện và mộc tên là Sơn, Hàn, Tiện, Điện và Mộc,
nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Mỗi người mượn và cho nhau
mượn một cuốn sách. Bác Sơn mượn sách của bác thợ sơn. Nghề của bác Sơn trùng
với tên của người có sách cho bác mượn. Bác thợ tiện không tên là Mộc nhưng lại
đang mượn cuốn sách của bác Hàn. Còn bác Mộc và bác thợ ơ s n là hai người cùng phố.
Bạn hãy cho biết bác thợ tiện và thợ sơn tên là gì?
11. Giáo sư Thông nổi tiếng là thông minh nhưng lại hay đãng trí. Ông có một tủ sách, trong đó từ đ
iển xếp vào ngăn trên, sách xếp vào ngăn gi a
ữ còn tạp chí xếp vào
ngăn dưới cùng. Một lần ông cần tìm cuốn “Từ điển Anh − Việt”, cuốn sách “Cơ sở
lôgic toán” và tạp chí “Thế giới mới”. Sau một hồi tìm kiếm đố ng tài liệu bề ộ b để n
trên bàn làm việc, giáo sư khẳ đị
ng nh rằng thư kí đã xếp cuốn từ đ iển vào ngăn sách,
cuốn sách và tạp chí vào ngăn tạp chí. Cô th kí thanh minh r ư ằng chắc chắn là giáo
sư đã bỏ cả ba tài liệu đó vào ngăn t
ừ điển. Còn bà giáo sư lại cho là cuốn t ừ điển
lẫn trong ngăn để tạp chí, cuốn sách và tạp chí thì xếp cả trong ngăn sách. Người
nào cũng cho rằng mình là đúng, thế là một cuộc to tiế ả
ng x y ra. Vừa lúc đó cô con
gái giáo sư bước vào phòng vừa cười vừa nói: “Mọi ngư i ờ sai cả rồi”.
Nếu cô con gái nói đúng thì ba tài liệu trên lúc đó đang nằm ở đâu?
12. ở bốn góc vườn trồng cây cảnh của ông nội tr ng b ồ n khóm hoa cúc, hu ố ệ, h ng ồ
và dơn. Biết rằng hai góc vườn phía tây và phía bắc không trồng huệ, khóm huệ
trồng giữa khóm cúc và góc vư n
ờ phía nam, còn khóm dơn trồng giữa khóm hồng và góc vườn phía bắc.
Bạn hãy cho biết mỗi góc vườn ông nội đã trồng hoa gì ?
13. Giáo sư Châu gửi cho mỗi đồng nghiệp của mình (ở bảy nước khác nhau) một
bức thư kèm theo một bài khảo luận viết bằng tiếng mẹ đẻ của họ. Nhưng do cô th ư
kí sơ ý nên đã dẫn đến hậu quả: không một ai trong s b ố ảy ng nghi đồ ệp nhận được
bức thư và bài khảo luận mà giáo sư Châu định gửi cho mình, cũng không một ai
nhận được thư và bài khảo luận viết bằng cùng một thứ tiếng, Giáo sư người Nga là
chuyên gia về địa chất thì lại nhận được bức thư viết bằng tiếng Ba Lan và bài khảo
luận về sao Hoả mà lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Pháp. Trong khi đó giáo sư
người Pháp lại nhận được bức th b
ư ằng tiếng Italia cùng bài khảo luận về vi sinh mà
lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Hà Lan. Giáo sư người Hà Lan nhận được bức thư
viết bằng tiếng Tây Ban Nha cùng bài khảo luận về môi trường đáng lẽ phải gửi cho
giáo sư Ba Lan. Giáo sư Ba Lan lại nhận được bài khảo luận về địa chất. Giáo s ư
Italia là chuyên gia về chăn nuôi lại nhận được bức th b
ư ằng tiếng Đức, còn giáo sư
người Đức là chuyên gia về hạt nhân lại nhận được bức th b ư ằng tiếng Pháp.
Bạn hãy cho biết các giáo sư người Đức, Italia và Tây Ban Nha đã nhận được bài
khảo luận viết bằng tiếng gì? Giáo sư Tây Ban Nha đã nhận được bức th vi ư ết bằng tiếng gì?
14. Thày Vinh vừa đưa b n b ố
ạn An, Cường, Bình và Đông đi thi h c sinh gi ọ ỏi về
trường, mọi người đến hỏi thăm, thày trả lời : “Mỗi bạn đều đạt m t ộ trong các giải:
đặc biệt, nhất, nhì, ba hoặc khuyến khích”. Thày đề nghị mọi người thử đ oán xem. Phan nhanh nhảu nói :
 Theo em thì An, Bình giải nhì, còn Cường và Đông giải khuyến khích. Thanh lắc đầu :
 Không phải, mà An, Cường, Đông đều giải nhất, chỉ có Bình giải ba.
Thịnh thì cho là chỉ có Bình giải nhất còn ba bạn đều đạt giải ba. Toàn lại nhận định:
“Chỉ có Cường và Đông giải nhì còn An và Bình đạt giải khuyến khích”.
Nghe xong thày mỉm cười : “Các em đoán sai cả rồi”.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì?
15. Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, Cường và Lân hẹn nhau sáng ch nh ủ ật
đến nhà nhau chơi hoặc cùng nhau đ
i chơi công viên. Lúc 9 giờ sáng chủ nhật Tùng
gọi điện đến gia đình ba bạn. Mẹ Mạnh cho biết :
 Mạnh và Lân không có ở nhà bác, còn Cường thì không ở nhà Lân.
Em gái Cường khẳng định :
 Cả ba anh không có ở nhà em. Bà Lân thì bảo:
 Lân và Mạnh không có ở nhà bà, Cường không có ở nhà Mạnh.
Bạn hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu?
Hoạt động 2.2.
Thực hành giải toán bằng phương pháp suy luận đơn giản
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp suy luận đ n gi ơ ản Đánh giá
1. Trước vành móng ngựa là ba người đàn ông, họ là người bản xứ hoặc tên thực
dân. Quan toà được biết khi được hỏi, người bản xứ bao giờ cũng nói thật, còn tên
thực dân bao giờ cũng nói dối, nhưng quan toà không biết trong bọ ọ n h ai là người
bản xứ, ai là thực dân. Quan toà hỏi người th nh ứ
ất : “Anh là ai?”. Nhưng anh ta nói
ngọng nên quan toà không hiểu câu trả lời. Quan toà bèn quay sang hỏi ngư i ờ th ứ
hai, rồi người thứ ba : “Ngư i
ờ thứ nhất trả lời thế nào?”. Ngư i
ờ thứ hai trả lời : “Anh
ta nói anh ta là người bả ứ n x ”. Còn ngư i
ờ thứ ba lại nói : “Anh ta nói anh ta là thực dân”.
Bạn hãy cho biết người thứ hai và thứ ba là thực dân hay bản xứ? (Ta giả thiết rằng
ba người này khi nghe nhau nói họ hiểu nhau nói gì). 2. Trên một hòn đả ọ
o n chỉ có hai bộ lạc sinh sống: Cabơnhắc chuyên nói thật và
Prasin chuyên nói dối. Một du khách đi chơi trên đảo gặp một người dân bản xứ bèn
thuê làm người giúp việc. Đi được một quãng, trông thấy một người đàn ông khác.
Du khách bảo người giúp việc ra hỏi xem người đó thuộc dân tộc nào. Chàng giúp
việc đi về và trả lời : “Anh ta nói rằng anh ta là người Prasin”. Nghe xong du khách
khẳng định người giúp việc c a mình là không th ủ ật thà bèn u đ ổi đi mà không thuê nữa.
Bạn hãy cho biết khẳng định của du khách là đúng hay sai? Tại sao?
3. Ba bạn Quân, Hùng và Mạnh vừa đạt giải nhất, nhì và ba trong kì thi toán quốc tế. Biết rằng: a, Không có h c sinh tr ọ
ường chuyên nào đạt giải cao hơn Quân.
b, Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào ó thì Quân không ph đ ải là học sinh trường chuyên.
c, Chỉ có đúng một bạn không phải là học trường chuyên.
d, Nếu Hùng và Minh đạt giải nhì thì Mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng.
Bạn hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải nào? Bạn nào không học trường chuyên và bạn nào quê ở Hải Phòng.
4. Thày Nghiêm được nhà trường c ử đưa b n h ố c sinh Lê, Huy, Hoàng, Ti ọ ến đi thi đấ đ u iền kinh. ế K t quả đạ
có ba em t các giải nhất, nhì, ba và ộ m t em không đạt giải.
Khi về trường mọi người hỏi kết quả, các em trả lời như sau:
Lê: Minh đạt giải nhì hoặc ba.
Huy: Mình đã đạt giải.
Hoàng: Mình đạt giải nhất.
Tiến: Mình không đạt giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói : “Chỉ có ba bạn nói thật, còn một bạn đã nói đùa”.
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?
5. Trong giờ ngoại khoá các bạn tham gia một trò chơi như sau: Mỗi bạn chọn 20
hoặc 22 quân cờ (trong đó có một số quân màu đỏ và một số quân màu trắng). Sau
đó mỗi bạn xếp số quân cờ đ
ó thành vòng tròn sao cho không có hai quân cùng màu
đứng cạnh nhau và đối diện với quân đỏ qua tâm đường tròn cũng là quân đỏ.
Ba bạn Lan, Tuấn và Dung vào cuộc chơi : Lan chọn 10 quân trắng và 10 quân đỏ;
Tuấn chọn 11 quân trắng và 11 quân c
đỏ òn Dung thì chọn 12 quân đỏ và 10 quân trắng.
Bạn Minh đứng ở ngoài nhìn thấy thế bèn nói “Chỉ có Tuấn có thể xếp được còn
Lan và Dung đều không thể xếp được thoả mãn yêu cầu của cuộc chơi”. Bạn giải thích tại sao?
6. Năm vận động viên Tuấn, Tú, Kỳ, Anh, Hợp chạy thi. Kết quả không có hai bạn
nào về đích cùng một lúc. Tuấn về đích trước Tú nh n
ư g sau Hợp. Còn Hợp và Kỳ
không về đích kề liền nhau. Anh không về đích kề liền với Hợp, Tuấn và Kỳ.
Bạn hãy xác định thứ tự về đích của năm vận động viên nói trên.
7. Một du khách muốn tham quan bằng ô tô bốn khu di tích lịch sử A, B, C, D trong
huyện nọ. Theo bản đồ chỉ dẫn thì giữa hai khu di tích bất kì đều có đư n ờ g ô tô nối
liền nhau và nếu đi bằng con đường qua khu B không qua khu D thì hoặc qua cả hai
khu A, C hoặc không qua cả hai khu đó. Vì trong huyện có nhữ đ ng oạn đườ đ ng ang
sửa chữa cho nên những con đường qua C, kể cả những con đường qua D lúc đó đều
không thể qua cả A và B.
Bạn xem có cách nào đi một vòng (có nghĩa là không đi đường nào hai lần) qua
được cả bốn khu trên không. Nếu không thì nên chọ đ
n ường đi như thế nào để tham quan được nhiều nhất?
8. Sau khi vụ trộm xảy ra, cơ quan điều tra thẩm vấn năm nhân vật bị tình nghi là
can án và thu được các thông tin sau :
1) Nếu có mặt A thì có mặt hoặc B hoặc C. Ngoài ra chưa khẳng định chắc chắn
được còn có một ai nữa trong số năm nhân ậ v t nói trên.
2) D hoặc cùng có mặt với B và C hoặc cả ba đều không có mặt trên hiện trường lúc xảy ra vụ án.
3) Nếu có mặt D mà không có mặt B và C thì có mặt E.
4) Qua xét nghiệm vân tay thấy chắc chắn có mặt A lúc xảy ra vụ án.
Với thông tin trên liệu có ai trong số năm nhân vật này có thể ch ng t ứ ỏ được trước
cơ quan điều tra rằng lúc vụ án xảy ra mình không có mặt ở ó? đ
9. Hoàng đế nước nọ mở cuộc thi tài để kén phò mã. Giai đoạn cuối của cuộc thi,
hoàng đế chọn được ba chàng trai đều thông minh. Nhà vua a đ ng phân vân không
biết chọn ai thì công chúa đưa ra một sáng kiến: lấy 5 chiếc mũ, 3 chiếc màu đỏ và 2
chiếc màu vàng để ở trên bàn rồi giao hẹn : “Bây giờ cả ba chàng đều bịt mắt lại, tôi
đội lên đầu mỗi người một chiếc mũ và hai mũ còn lại tôi sẽ cất đi. Khi bỏ ă b ng bịt
mắt ra, ai là người đầu tiên nói đúng mình đang đội mũ gì thì sẽ được kén làm phò mã”.
Vừa bỏ băng bịt mắt, ba chàng trai im lặng quan sát lẫn nhau, lát sau hoàng tử nước
Bỉ nói to lên rằng : “Tôi đội mũ màu đỏ”. Thế là chàng được công chúa kén làm
chồng. Bạn hãy cho biết hoàng tử nước Bỉ đã suy luận như thế nào? 10. Lớp 12A c b
ử ạn Hạnh, Đức, Vinh đi thi học sinh giỏi sáu môn Văn, Toán, Lý,
Hoá, Sinh vật và Ngoại ngữ cấp Thành phố, mỗi bạn dự thi hai môn. Nhà trường cho biết về các em như sau:
(1) Hai bạn thi Văn và Sinh vật là người cùng phố.
(2) Hạnh là học sinh trẻ nhất trong đội tuyển.
(3) Bạn Đức, bạn dự thi môn Lý và bạn thi Sinh vật thư ng h ờ ọc nhóm với nhau.
(4) Bạn dự thi môn Lý nhiều tuổi hơn bạn thi môn Toán.
(5) Bạn thi Ngoại ngữ, bạn thi Toán và Hạnh thường đạt kết quả cao trong các vòng thi tuyển.
Bạn hãy xác định mỗi học sinh đã được c
ử đi dự thi những môn gì?
11. ở một doanh nghiệp n ng ọ ười ta cần ch n b ọ n ng ố ười vào Hội ng qu đồ ản trị
(HĐQT) với các chức vụ: chủ tịch, phó chủ tịch, kế toán và t ủ h ỹ qu . Sáu người được
đề cử lựa chọn vào các c ứ
h c vụ trên là : Đốc, Sửu, Hùng, Vinh, Mạnh và Đức.
Khi tìm hiểu, các đề cử viên có những nguyện v n ọ g sau :
(1) Đốc không muốn vào HĐQT nếu không có Sửu. Nhưng dù có Sửu anh cũng
không muốn làm phó chủ tịch.
(2) Sửu không muốn nhận chức phó chủ tịch và thư kí.
(3) Hùng không muốn công tác với Sửu, nếu Đức không tham gia.
(4) Nếu trong HĐQT có Vinh hoặc Đ c
ứ thì Mạnh kiên quyết không tham gia HĐQT. (5) Vinh cũng từ ch i
ố , nếu HĐQT có mặt cả Đốc và Đức.
(6) Chỉ có Đức đồng ý làm chủ tịch với điều kiện Hùng không làm phó chủ tịch. Người ta phải chọ ữ
n nh ng ai trong số sáu đề cử viên để thoả mãn nguyện vọng riêng của các đề cử viên.
12. Buổi chiều chủ nhật hai mẹ con đi dạo chơi trong công viên. Nhìn thấy người
quen, mẹ nói với Lan: “Con xem kìa, trước mặt chúng ta là hai người bố và hai
người con cùng đi dạo công viên”. Lan đếm thì chỉ thấy có ba người. Bạn hãy giải thích vì sao?
13. Một hôm cô Thu đến nhà cô Kim chơi. Cô Thu chỉ vào một người trong ảnh và
hỏi : “Người đàn ông này là ai vậy?”. Cô Kim trả lời: “Em trai của bố ông ấy là bố
của em trai tôi”. Bạn hãy cho biết người trong ảnh có quan hệ thế nào với cô Kim?
14. Hôm đến nhà cô Yến chơi, lúc xem ảnh của gia đình, Nguyệt chỉ vào một người
phụ nữ trong ảnh và hỏi : “Người ph n
ụ ữ này có quan hệ thế nào với chị?”. Cô Yến
trả lời: “Ông nội của em chồng cô ấy là em của ông nội chồng tôi”. Bạn hãy cho biết
người phụ nữ ấy có quan hệ thế nào với cô Yến.
15. Bà A đi cùng một cụ già đến gặp ông B. Ông B hỏi bà A: “Bà với cụ già này có
quan hệ với nhau thế nào?”. Bà A trả lời : “Mẹ chồng tôi có hai chị em mà em vợ
ông ấy là cậu chồng tôi”.
Bạn hãy cho biết bà A và cụ già ấy có quan hệ thế nào với nhau?
16. Trong một buổi sinh hoạt nhóm yêu Toán, ba bạn Thái, Thúy, Bình được phân
công đóng ba vai: vai đội mũ đỏ luôn nói thật, vai đội mũ xanh luôn nói dối còn vai
đội mũ vàng thì hay nói đùa (lúc nói thật, lúc nói dối). Bạn Hoài không biết ai đóng
vai gì bèn đến hỏi từng bạn rằng: “Bạn Thúy sẽ đội mũ gì?”.
Thái trả lời: “Thuý đội m ũ đỏ”.
Bình lại nói: “Thúy đội mũ xanh”.
Còn Thuý thì khẳng định: “Tôi sẽ đội m v ũ àng”.
Hỏi bạn Hoài đã suy luận thế nào để biết ai đội mũ gì ?
17. Một công chúa của vư ng qu ơ ốc n n
ọ ổi tiếng là thông minh. Khi kén chồng nàng
ra điều kiện: Trong thời gian ba ngày, ai ra được câu hỏi mà nàng không trả lời được
thì công chúa sẽ kén làm chồng. Nhiều chàng trai đến thử tài và đều chịu thua trước
sự hiểu biết uyên bác của công chúa. Cuối ngày thứ ba, một nhà toán học trẻ tuổi đến xin thử đặ
tài. Chàng t câu hỏi cho công chúa:
 Xin công chúa hãy cho biết tôi phải hỏi câu gì để công chúa không trả ờ l i được ?
Hãy xem xét với câu hỏi này nhà toán học có được kết duyên cùng công chúa hay không ?
18. ở một xã kia có hai làng: làng Thực và làng Trạng. Dân làng Thực luôn nói thật
còn dân làng Trạng thì luôn nói dối. Một hôm nhà toán học đi vào một làng trong xã đ ư
ó, nh ng không rõ là làng nào. Nhà toán học bèn ỏ
h i một người dân trong xã đó
(mà không biết người đó là dân làng nào) : “Bác có phải người làng này không ạ?”.
Hãy xét xem nhà toán học đang ở trong làng nào, nếu câu trả lời là : a) Phải ! b) Không !
Hãy xét trường hợp tương tự khi nhà toán học đặt câu hỏi: “Bác có phải người làng
khác đến làng này chơi không ạ?”.
19. Nhân ngày rằm Trung Thu, bà chia cho ba cháu Dương, Kiên, Hiền mỗi cháu
một thứ đồ chơi mà mình thích: đèn ông sao, bóng bay và trống ếch. Dương không
thích chơi trống, Kiên không nhận bóng bay còn Hiền thì không thích chơi è đ n và trống.
Hỏi mỗi cháu đã được bà cho món quà gì.
20. Trong kì thi học sinh giỏi, bố ạ
n b n Giang, Dương, Linh, Thúy đạt bốn giải:
Nhất, nhì, ba và khuyến khích. Biết rằng :
a) Linh không đạt giải nhất mà cũ đạ
ng không t giải khuyến khích.
b) Dương đạt giải nhì còn Giang không đạt giải khuyến khích. Hỏi các bạn Giang,
Linh, Thuý đã đạt giải gì?
21. Trong cuộc chạy thi ngày hội khỏe Phù Đổng, b n b ố ạn An, Bình, Cư ng, D ờ ng ũ
đạt bốn giải nhất, nhì, ba và tư. Khi được hỏi “Bạ đ
n ã đạt giải mấy?” thì bố ạ n b n trả lời như sau :
An : “Tôi giải nhì, còn Bình giải nhất”.
Bình : “Tôi cũng giải nhì còn Dũng giải ba”.
Cường : “Tôi mới là người đạt giải nhì, còn Dũng giải tư”.
Dũng : “Ba bạn đều thích nói đùa nhưng trong mỗi câu trả lời đều có một phần úng đ còn một phần sai”.
Nếu Dũng là người nói thật thì mỗi bạn đã đạt giải mấy?
22. Ba bạn Dương, Nhung, Linh mặc ba chiếc áo màu trắng, xanh, tím và ba chiếc
quần cũng màu trắng, xanh, tím. Biết rằng chỉ có Dương mặc quần áo cùng màu, còn áo và quần c a Nhung ủ
đều không màu trắng, Linh mặc quần màu xanh.
Hãy xác định màu áo và màu quần của mỗi bạn.
23. Nhân ngày 20−11, ba cô Châu, Loan, Thúy là giáo viên của ba trường Đoàn Kết,
Nguyễn Trãi và Thăng Long dạy thao giảng ba môn Toán, Tiếng Việt và Mỹ thuật. Biết rằng :
a) Cô Châu không phải giáo viên trư ng ờ
Đoàn Kết, cô Thủy không phải giáo viên trường Nguyễn Trãi.
b) Cô giáo trường Đoàn Kết không dạy môn Mỹ thuật.
c) Cô giáo trường Nguyễn Trãi dạy Toán.
d) Cô Loan dạy Tiếng Việt.
Hỏi mỗi cô là giáo viên của trường nào và dạy môn gì?
24. Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ của tỉnh Thái Nguyên, bốn bạn Phương,
Dung, Hiếu, Nhung quê ở b n huy ố
ện khác nhau. Khi hỏi : “Các bạn quê ở đâu?” thì
bạn Cúc nhận được câu trả lời như sau :
Phương : “Dung quê ở Phổ Yên, còn tôi ở Đồng Hỷ”.
Dung : “Tôi quê ở Đ ng H ồ
ỷ, còn Hiếu quê ở Ph Yên”. ổ
Hiếu : “Tôi quê ở Đại Từ còn Nhung ở Võ Nhai”.
Xưa nay Nhung vốn là người thật thà không thích nói đùa đã nói với Cúc: “Trong
câu trả lời của mỗi bạn chỉ có một phầ đ
n úng và một phần sai”.
Hỏi mỗi bạn quê ở huyện nào?
25. Trong một trận thi đấu điền kinh, các vận động viên mang áo s 1, 2, 3, 4 ố đạt
được bốn giải đầu tiên, nhưng không vậ độ
n ng viên nào đạt giải trúng với số áo của
mình cả. Biết rằng vận động viên mang áo s 3 không ố
đạt giải nhất, vận động viên đạt giải tư có ố
s áo trùng với giải của vậ độ
n ng viên mang áo số 2 mà vậ độ n ng viên
mang áo số 2 thì không đạt giải ba.
Hỏi mỗi người đã đạt giải mấy?
26. Trong buổi sinh hoạt Đội, anh phụ trách gọi bốn bạn nam và b n b ố ạn nữ ra sân
chơi và giao cho đội trư ng t ở
ập hợp các bạn đứng thành vòng tròn sao cho không có
hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau và đối diện với một bạn nữ qua tâm đường tròn phải
là một bạn nam. Suy nghĩ một lát, đội trưởng trả lời : “Thưa anh, không thể xếp
được như vậy”. Bạ độ
n i phó tiếp luôn: “Nhưng nếu thêm một bạn nam và một bạn
nữ thì xếp được, thưa anh”.
Bạn nào đã nói đúng? Giải thích tại sao?
Hoạt động 2.3:
Thực hành giải toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống
Đánh giá
1. Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi chạ đạ
y t ba giải nhất, nhì và ba. Sau khi nghe các bạn đoán:  Tùng đạt giải ba
 Trang không đạt giải ba.
 Linh không đạt giải nhì.
Tùng bèn trả lời: “Chỉ có một người đoán đúng”.
Bạn hãy xác định mỗi bạn đã đạt giải mấy?
2. Lớp 6A có năm bạn đạt học sinh giỏi xuất sắc nhưng chỉ được cử hai bạn đi d ự
Đại hội cháu ngoan Bác Hồ. Khi cô giáo hỏi ý kiến thì các bạ đề n u nhường nhau. Cô
đề nghị mỗi em giới thiệu hai trong số năm ạ b ọ
n h c sinh giỏi xuất sắc để đ i dự đạ i
hội. Kết quả các bạn giới thiệu như sau:
1. Bạn Thông và bạn Minh. 2. Bạn Thái và bạn Tú.
3. Bạn Thái và bạn Học.
4. Bạn Thông và bạn Tú.
5. Bạn Thông và bạn Thái.
Cô quyết định chọn đề nghị của Tú, vì theo đề nghị ó, m đ i ỗ đề nghị của b n ng ố ư i ờ
còn lại đều được thoả mãn một phần và bị bác bỏ một phần.
Bạn hãy cho biết bạn nào đã được chọn đi d
ự đại hội cháu ngoan Bác Hồ? 3. B n b ố
ạn Lan, Hà, Đức, Văn được nhà trường c
ử đi dự thi bốn môn: bóng bàn, đá
cầu, cờ vua và nhảy cao tại Hội khoẻ Phù Đổng. Khi được hỏi mỗi bạn thi đấu môn
gì, các bạn trả lời như sau:
Lan : Mình thi đá cầu hoặc đấu cờ vua.
Hà : Mình không thi nhảy cao.
Đức : Mình thi đấu bóng bàn. Văn : Mình thi nhảy cao.
Nếu chỉ có ba bạn trả lời đúng, còn một bạn đã trả lời sai thì hai bạn Hà và Vân đã tham gia thi môn gì ?
4. ở một trại hè thiếu nhi quốc tế có ba bạn : một ngư i Vi ờ
ệt, một người Lào và một
người Thái đang đứng cạnh nhau bên bờ biển. Các bạn đội mũ ba màu khác nhau và
mặc áo ba màu cũng khác nhau. Cho biết :
(1) Bạn người Lào đội mũ màu đỏ.
(2) Bạn người Thái mặc áo màu trắng. (3) Bạn ngư i Vi ờ
ệt đứng giữa hai bạn. (4) Bạn ngư i Vi ờ
ệt đứng cạnh bạn đội mũ xanh.
(5) Bạn mặc áo h ng không ồ
đứng cạnh bạn đội mũ vàng. Hỏi bạn mặc áo h ng ng ồ
ười nước nào? Bạn đội mũ vàng là người nước nào ?
5. Ba người mang quốc tịch Anh, Pháp và Đức ở ba nhà liền nhau trên một đường
phố. Mỗi nhà sơn màu khác nhau và mỗi người làm nghề khác nhau. Cho biết :
(1) Người Pháp ở nhà màu . đỏ
(2) Người Đức là nhạc sĩ.
(3) Nhà người Anh ở giữa.
(4) Nhà màu đỏ ở cạnh nhà màu xanh.
(5) Nhà văn ở nhà thứ nhất bên trái.
Hỏi nhà văn có quốc tịch gì? Ai ở nhà màu vàng ?
6. Cup Euro 96 có 4 đội lọt vào vòng bán kết : Đức, C ng hoà Séc, Anh và Pháp. ộ
Trước khi thi đấu ba bạn Hùng, Trung và Mạnh d ự o đ án như sau:
Hùng : Đức nhất và Pháp nhì.
Trung : Đức nhì và Anh thứ ba.
Mạnh : Cộng hoà Séc nhì và Anh thứ tư.
Kết quả mỗi bạn dự đoán một đội đúng, một đội sai. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy ?
7. Nhà trường cử sáu bạn : Hùng, Hà, Lê, Lan, Huy và Văn đi thi đấu cờ vua. Các
bạn trong trường có những dự đoán sau :
1. Hùng và Lê sẽ đạt giải.
2. Hà và Huy sẽ đạt giải.
3. Vân và Hùng sẽ đạt giải.
4. Hà và Vân sẽ đạt giải.
5. Lan và Hùng sẽ đạt giải.
Kết quả chỉ có hai người đạt giải và trong năm dự đoán trên chỉ có một dự đoán sai hoàn toàn, bố ự n d đ
oán còn lại chỉ đúng một bạn. Vậy ai đã đạt giải. 8. Ba bạn Hư ng, H ơ
ạnh, Hà là học sinh của ba trường : Nguyễn Trãi, Kim Liên và
Hoàn Kiếm được chọn vào đội tuyển của Thành phố đi dự thi học sinh giỏi cấp quốc
gia. Mỗi bạn dự thi một trong ba môn: Văn, Toán hoặc Anh văn. Cho biết : 1. Hà không thi Toán.
2. Hương không thi Anh văn.
3. Bạn thi Anh văn là h c sinh tr ọ ường Nguyễn Trãi.
4. Bạn học sinh trường Kim Liên không thi Toán.
5. Hương không phải h c sinh tr ọ ường Hoàn Kiếm.
Hãy xác định mỗi bạn là học sinh trường nào và dự thi môn gì?
9. Ngày chủ nhật, trường PTCS Hùng Vương tổ chức cho học sinh khối 9 đi tham
quan tám danh thắng nổi tiếng của th
ủ đô Hà Nội : Lăng Bác, ă V n Miếu, Vườn thú
Thủ Lệ, công viên Lê nin, Hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột, cầu Thăng Long và bảo tàng Lịch sử. Như đ
ng do iều kiện thời gian nên Ban tổ chức quyết định chỉ đi tham
quan bốn trong số tám địa danh đó. Khi được hỏi ý kiến, các lớp đề đạt nguyện v ng ọ như sau:
9A : Thăm Lăng Bác, Văn Miếu, vư n
ờ thú Thủ Lệ và công viên Lênin.
9B : Thăm Lăng Bác, hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột và cầu Thăng Long.
9C : Thăm Văn Miếu, hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột và bảo tàng Lịch sử. 9D : Thăm Lăng Bác, vư n ờ thú Thủ Lệ ồ
, h Hoàn Kiếm và Bảo tàng lịch sử.
Hỏi phải chọn nguyện v ng c ọ
ủa lớp nào để ba lớp còn lại được thoả mãn nguyện vọng nhiều nhất.
10. Gia đình Nam có năm người: ông nội, bố, mẹ, Nam và em Hùng. Khi hỏi chiều
chủ nhật tuần trước gia đình Nam có những ai xem TV, Nam trả lời:
1. Bố và mẹ bao giờ cũng cùng ngồi xem TV.
2. Hôm đó mẹ và Nam không cùng ngồi xem.
3. Ông không xem khi không có Nam cùng xem.
4. Chiều hôm đó ông và Hùng chỉ có một người không xem TV.
5. Khi Hùng xem thì cả bố và Nam cùng xem.
Với thông tin trên, bạn hãy cho biết chiều chủ nhật trước trong gia đình Nam có những ai xem TV?
11. Ba cặp vợ chồng trẻ tổ chức bữa cơm thân mật, mọi người nói chuyện vui vẻ:
Anh ánh : Trong chúng ta, chồ đề ng u hơn vợ 5 tuổi.
Cô Loan : Nhưng em là người trẻ nhất trong hội.
Anh Toàn : Tuổi tôi và cô Nga cộng lại là 52
Anh Minh : Tuổi của sáu chúng ta cộng lại bằng 151.
Cô Nga : Tuổi tôi và chú Minh cộng lại là 48.
Cô Thu : Thế thì người chẳng quen biết gì chúng ta nghe vậy c ng bi ũ ết được ai là
vợ, là chồng của ai mà biết tuổi của mỗi người rồi. Bạn hãy chứng t nh ỏ
ận xét của cô Thu là úng. đ
Hoạt động 2.4.
Thực hành giải toán bằng phương pháp biểu đồ Ven
Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Trình bày khái niệm về phương pháp biểu đồ Ven
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp biểu đồ Ven Đánh giá
1. Hỏi bạn Yến cần ít nhất bao nhiêu chiếc quần và bao nhiêu chiếc áo đ m ể ỗi ngày
trong tuần bạn có thể đến trường với m t
ộ kiểu trang phục khác nhau ?
2. Đội tuyển thi đá cầu và thi đấu cờ vua của trường Ngô Sĩ Liên có 15 em, trong ó đ
có 12 em đá cầu và 8 em đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em thi cả hai môn ?
3. Lớp 6A có 18 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 15 bạn đăng kí học ngoại
khoá môn Toán, trong đó có 5 bạn đăng kí học cả hai môn Văn và Toán. Hỏi :
a) Có bao nhiêu bạn chỉ đă
ng kí học Văn ? Chỉ đ n ă g kí học Toán ?
b) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán ?
4. Trong một kì thi, các thí sinh được đánh số báo danh từ 1 đến 1000. Hỏi có bao
nhiêu thí sinh mang số báo danh là số lẻ hoặc chia hết cho 9 ?
5. Bạn An ra Hà Nội thăm nhà người quen ở phố X. Bạn chỉ nhớ số nhà của người
quen là một số lẻ có hai chữ số chia hết cho 3 nhưng không nhớ là số nào. Bạn bèn
đi hỏi từng số nhà là số lẻ có hai chữ ố
s chia hết cho 3. Nếu số nhà cuối cùng của dãy lẻ ở ph
ố đó là 121 thì bạn An phải gõ cửa nhiều nhất bao nhiêu nhà để tìm được nhà người quen ?
6. Trong các đại biểu đ n d ế
ự Festival thanh niên quốc tế tại Bình Nhưỡng có một
đoàn cần phiên dịch t ế i ng Hà Lan mà trước đ ổ ó Ban t chức c ư h a tính đến. Ban ổ t
chức gọi điện sang trung tâm giới thiệu phiên dịch thì cô thư kí cho biết mọi người đề đ
u i vắng, chỉ mình cô ngồi trực ở cơ quan. Sau ộ
m t hồi tìm kiếm cô lấy được bản danh sách 20 ngư i có th ờ
ể phiên dịch được tiếng Pháp hoặc tiếng Hà Lan, trong s ố
đó có 8 người dịch được tiếng Pháp, 15 người chỉ dịch được một trong hai thứ tiếng nói trên.
Bạn hãy tính giúp cô thư kí : Có bao nhiêu người dịch được tiếng Hà Lan.
7. Đội tuyển thi học sinh giỏi của tỉnh X có 25 em thi Văn và 27 em thi Toán, trong
đó có 18 em vừa thi Văn ừ
v a thi Toán. Hỏi đội tuyển h c sinh gi ọ ỏi hai môn Văn và
Toán của tỉnh X có bao nhiêu em? 8. Đ ph ể
ục vụ cho một hội nghị quốc tế, Ban tổ chức đã huy động 100 phiên dịch.
Mỗi phiên dịch có thể dịch được một hoặc hai trong ba thứ tiếng Nga, Anh hoặc
Pháp. Có 39 người chỉ dịch đư c
ợ tiếng Anh, 35 người dịch được tiếng Pháp, 8 người
dịch được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu người chỉ dịch được tiếng Nga ?
9. Trên một hội thảo quốc tế có 30 đại biểu nói được tiếng Trung, 40 đại biểu nói
được tiếng Pháp và 45 đại biểu nói được tiếng Anh. Trong đó có 20 đại biểu nói
được cả tiếng Pháp và tiếng Anh, 16 đại biểu nói được tiếng Trung và tiếng Pháp, 12
đại biểu nói được tiếng Trung và tiếng Anh và 5 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được một thứ tiếng ? Có tất cả bao nhiêu đại biểu tham dự ộ h i nghị ?
10. Trong một kì thi vào một trường đại học có 5000 thí sinh đăng kí dự thi vào ba
ngành I, II, III. Mỗi thí sinh được đăng kí một hoặc hai trong số ba ngành đó. Có
1300 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành I, 1400 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành II và
100 thí sinh đăng kí dự thi ngành I và III. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ dự thi ngành III ?
11. Theo danh sách đăng kí phụ đạ
o ba môn Văn, Toán, Ngoại ngữ của học sinh
khối 9: Có 40 em đăng kí phụ đạo Văn, 50 em đăng kí ph
ụ đạo Toán, trong đó có 15
em đăng kí phụ đạo cả hai môn Văn và Toán, trong đó có 15 em đăng kí phụ đạo cả
hai môn Văn và Toán, có 35 em chỉ đăng kí phụ đạ
o môn Ngoại ngữ. Hỏi có bao
nhiêu em đăng kí phụ đạ o ?
12. 40 em học sinh của trường X dự thi ba môn: ném tạ, chạy và đá cầu. Trong đội
có 8 em chỉ thi ném tạ, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa
thi chạy vừa thi đá cầu? 13. Bạn hãy ch ng t ứ r ỏ ằng nếu lấy t ng s ổ
ố các nghị sĩ trừ đi các nghị sĩ không phải
là binh sĩ ta được kết quả gi ng nh ố ư lấy t ng s ổ ố binh sĩ tr
ừ đi binh sĩ không phải là nghị sĩ.
14. Hội thảo quốc tế về tin học có e đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu s d ử ng ụ được ít
nhất một trong ba thứ tiếng Nga, Anh hoặc Pháp nhưng không ai sử d ng ụ được cả
tiếng Anh và tiếng Pháp. Có a đại biểu nói được tiếng Anh, b đại biểu nói được tiếng
Pháp và c đại biểu nói được tiếng Nga, d đại biểu chỉ nói được m t ộ trong ba thứ tiếng nói trên. Cho biết a + b = c + d.
Bạn hãy cho biết có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga và bao nhiêu đại biểu
cần phiên dịch khi nghe các báo cáo bằng tiếng Nga ?
15. Trong một nhà máy thực phẩm xuất khẩu, h
đồ ộp chiếm hai phần ba t ng s ổ s ố ản
phẩm xuất khẩu. Khi kiểm tra chất lượng sản phẩm người ta phát hiện hai phần ba
số sản phẩm trong kho không đạt tiêu chuẩn vệ sinh. Với số liệu trên đây bạn có thể
khẳng định được ít nhất và nhiều nhất bao nhiêu phần trăm s ố h đồ p không ộ đạt tiêu chuẩn vệ sinh hay không?
16. ở một xí nghiệp sản xuất dép nhựa có 10 phân xư ng. Theo quy ở định, mỗi đôi
dép nhựa có khối lượng là 200 gam. Khi nghiệm thu sản phẩm của 10 phân xư ng ở
giao nộp, cán bộ OTK được chỉ có 9 phân xưởng sản xuất đúng quy cách còn một
phân xưởng sản xuất mỗi đôi chỉ có 190 gam nhưng không biết phân xư n ở g nào.
Người cán bộ OTK đã bằng một mã cân phát hiện được phân xưởng nào làm sai quy cách.
Bạn hãy cho biết người đó đã cân như thế nào ?
17. Năm chàng trai câu được 5 con cá trong 5 phút. Hỏi cũng với tốc độ câu như vậy
thì 100 chàng trai câu được 100 con cá bao nhiêu lâu?
18. Một người vào cửa hàng hỏi mua một chiếc áo khoác. Bà bán hàng vui tính trả
lời: “Tôi chỉ tính bà tiền cúc của chiếc áo này thôi nhé : Chiếc thứ nhất bà cho tôi 1
nghìn, chiếc thứ hai 2 nghìn và mỗi cúc sau bà lại trả cho tôi gấp đôi chiếc trước ó, đ
còn áo thì tôi biếu không bà đấy”. Người mua hàng đếm thì thấy chiếc áo có 6 chiếc
cúc ở hàng phía trước, 2 chiếc ở ống tay, 2 chiếc ở túi áo ngực và một chiếc dự trữ.
Bạn hãy cho biết bà khách hàng phải trả bao nhiêu tiền ?
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.3. CÔNG THỨC Thông tin cơ bản
3.1. Khái niệm về công thức
Trong toán học ta đã làm quen với biểu thức toán học (là dãy kí hiệu chỉ rõ các phép
toán và thứ tự thực hiện các phép toán trên các số hoặc các ch nh ữ ận giá trị t m ừ ột trường số)
Trong lôgic mệnh đề, người ta xây dựng khái niệm công thức tư ng t ơ bi ự ểu thức toán học trong toán học Trong chủ đề
1.1 ta đã làm quen với mệnh đề (xác định) và mệnh đề mở (chưa xác định). Ta sẽ ọ g i chung là các biến mệ đề nh Cho các biến mệ đề
nh p, q, r, ... khi dùng các phép lôgic tác động vào chúng, ta sẽ
nhận được các biến mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả
những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác
a, Mỗi biến mệnh đề là m t ộ công thức
b, Nếu P, Q là những công thức thì , P Q, P Q, P Q, c ng ũ đều là công thức
c, Mọi dãy kí hiệu không xác định theo các quy tắc trên đây đều không phải là công thức Ví dụ 3.1 :
Từ các biến mệnh đề p, q, r ta thiết lập được công thức: (p q) r (p q) r (p q) r
.....................................
3.2. Giá trị chân lí của công thức
Cho công thức P = “p q”
Ta gán cho các biến mệnh đề p, q những giá trị chân lí xác định, chẳng hạn
 G(p) = 1 và G(q) = 0 thì p q là mệnh đề sai. Suy ra p q là mệnh đề đúng, hay G(p q) = 1
 G(p) = G(q) = 1 thì p q là mệnh đề đúng. Suy ra p q là mệnh đề sai, hay G(p q) = 0
Như vậy khi gán cho mỗi biến mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lí
xác định thì công thức P sẽ trở thành một mệnh đề ( úng ho đ ặc sai). Nếu P là mệnh đề đ
úng (hoặc sai) thì ta nói công thứ ị
c P có giá tr chân lí bằng 1 (h ặ o c 0) ứng với hệ
chân lí vừa gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó Ví dụ 3.2 :
p là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 0 với mọi biến mệ đề nh p Ví dụ 3.3 :
là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 1 với mọi biến mệnh đề p, q Ví dụ 3.4 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức Giải :
Dựa vào bảng chân lí trên ta có thể khẳng định:  Nếu p úng, q đ đúng thì P úng đ
 Nếu p sai, q đúng thì P sai Ví dụ 3.5 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức “(p q) r” = Q Giải
3.3. Sự tương đương lôgic và đẳng thức
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P và Q tương đương lôgic
với nhau, kí hiệu là P Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt
trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau Đặc biệt, hai ệ
m nh đề a, b gọi là tương đương lôgic với nhau, kí hiệu
a b, nếu chúng cùng úng ho đ ặc cùng sai Chú ý
1. Trong lôgic không có khái niệm hai mệnh đề bằng nhau mà chỉ có khái niệm hai mệnh đề tư ng ơ đương lôgic với nhau Hai mệnh đề tư ng ơ
đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không liên quan với nhau. Chẳng hạn
“Tháng Hai có 30 ngày 2 x 2 = 10”
2. P Q ta gọi là một đẳng thức
3. Để chứng minh hai công thức tương đương lôgic với nhau ta thường dùng phư ng ơ
pháp lập bảng giá trị chân lí. Chẳng hạn
Chứng minh đẳng thức sau : p q q p
Nhìn vào bảng trên ta thấy hai công thức p q và q p luôn cùng đúng hoặc cùng sai. Vậy ta có p q q p
Dưới đây là một số phép tương đương lôgic thư ng g ờ ặp Phủ đị nh củ ủ a ph đị nh (1) p p
Luật Đờ Moóc Găng
Tính chất kết hợp của các phép lôgic (4) (p q) r p (q r) (5) (p q) r p (q r)
Tính chất giao hoán của các phép lôgic (6) p q q p (7) p q q p (8) p q q p
Tính chất phân phối (9) p (q r) (p q) (p r) (10) p (q r) (p q) (p r)
Tính lũy đẳng (11) p p p (12) p p p
Biểu diễn phép kéo theo qua các phép lôgic khác (13) p q (14) p q (15) p q 
Biểu diễn phép tư ng ơ
đương qua các phép lôgic khác (16) p q (p q) (q p) (17) p q
Ta dùng kí hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ biến mệ đề nh luôn ú
đ ng (hoặc luôn sai). Ta có các
đẳng thức sau về 0 và 1 (18) p 0 0 (19) p 1 p (20) p 0 p (21) p 1 1
(22) p p 1 (luật bài trung)
(23) p p 0 (luật mâu thuẫn)
3.4. Phép biến đổi công thức
Khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương t nh ự
ư khái niệm biểu thức toán
học trong toán học; khái niệm đẳng thức tương tự như khái niệm h
ằng đẳng thức trong toán học.
Dựa vào các đẳng thức, ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất để chứng minh
một đẳng thức hoặc đưa một công thức về dạ đơ ng n giả ơ n h n.
Để cho tiện, ta quy ước :
1. Các phép lôgíc trong một công thức được thực hiện theo thứ tự ;  Với quy ư c
ớ này, chẳng hạn ta sẽ viết: p ^ q r thay cho (p ^ q) r p v q ^ r u thay cho [p v (q ^ r)] u
2. Không viết dấu ngoặc ở ngoài đối với mỗi công thức. Với quy ư c
ớ này, chẳng hạn, ta sẽ viết : p ^ q r Thay cho [(p ^ q) r] 3. Nếu có dấu ph
ủ định trên một công thức nào đó thì ta b d
ỏ ấu ngoặc ở hai đầu công thức đó. Chẳng hạn, ta sẽ viết ^ r Thay cho ^ r. Ví dụ 3.6 : Chứng minh rằng
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) (p q) ^ r.
Biến đổi lần lượt ta có:
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r)
[( ^ q) v ( ^ )] ^ r v (q ^ r) [ ^ (q v )] ^ r v (q ^ r) ( ^ 1) ^ r v (q ^ r) ( ^ r) v (q ^ r) ( v q) ^ r) (p q) ^ r Ví dụ 3.7 : Rút g n ọ công thức : ( pvq) ^ q Ta có : ( pvq) ^ q [ v (p v q)] ^ q [(p v q) v (p v q)] ^ q (p v q) ^ q q.
3.5. Mệnh đề liên hợp, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
3.5.a Mệnh đề liên hợp
Từ mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2” (1) ta có thể thiết lập được các mệnh đề
“Nếu một số chia hết cho 2 thì nó chia hết cho 4” (2)
“Nếu một số chia hết cho 4 thì nó không chia hết cho 2” (3)
“Nếu một số không chia hết cho 2 thì nó không chia hết cho 4” (4)
Các mệnh đề (1) ; (2) ; (3) ; (4) gọi là những mệ đề nh liên hợp
Một cách tổng quát, ta định nghĩa
Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì
q p (2) là mệnh đề đảo của (1)
p q (3) là mệnh đề phản của (1)
q p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo ta gọi là nh ng m ữ ệnh đề liên hợp áp dụ đẳ ng ng thức (15) ta có p q q p và p q q p
Hay  Mệnh đề thuận tư ng ơ
đương lôgic với mệnh đề phản đảo
 Mệnh đề phản tư ng ơ
đương lôgic vơi mệnh đề đảo Ví dụ 3.8 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6
− Nếu một s không chia h ố
ết cho 6 thì nó không chia hết cho 3
− Nếu một s không chia h ố
ết cho 3 thì nó không chia hết cho 6
Dễ dàng thấy rằng mệnh đề thuận và phản đảo là các mệnh đề đúng còn mệnh đề
đảo và phản là các mệ đề nh sai Ví dụ 3.9 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu tam giác ABC vuông ở A thì BC2 = AB2 + AC2
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức BC2 = AB2 + AC2 thì nó vuông ở A
− Nếu tam giác ABC không vuông ở A thì BC2 AB2 + AC2
− Nếu tam giác ABC không thoả mãn hệ th c BC2 = AB2 + AC2 thì nó không ứ vuông ở A
Từ môn hình ở trường phổ thông ta thấy cả bốn mệnh đề trên đều có giá trị chân lí bằng 1
3.5.b. Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ
Trong toán học, nếu ta chứng minh được p q là mệnh đề đúng thì ta nói rằng − p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện cần để có p
Trong trường hợp này, mệnh đề p q có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: − Nếu có p thì có q − p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện cần để có p − Có p ắt có q − Muốn có p phải có q − Có q khi có p .......................
Trong toán học, nếu ta chứng minh được đồng thời cả hai mệnh đề p q và q p đề đ u úng thì ta nói rằng :
− p là điều kiện cần và đủ để có q
− q là điều kiện cần và đủ đẻ có p
Theo phép tương đương (16) ta có p q (p q) (q p)
Trong trường hợp này, mệnh đề p q có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: − Điều kiện cần và đủ để có p là q
− Để có p, điều kiện cần và đủ là q
− Điều kiện ắt có và đủ để có p là q
− Có p khi và chỉ khi có q ............................
Trong toán học, mỗi định lí được phát biểu dưới d ng m ạ
ột mệnh đề úng p đ q,
trong đó, p gọi là giả thiết, q gọi là kết luận của định lí.
Ta thiết lập mệnh đề đảo q p của định lí ó. N đ
ếu q p cũng là mệnh đề đúng thì
ta nói định lí đã cho có định lí đảo. Ngược lại, ta nói định lí đã cho không có định lí đảo.
Trong trường hợp định lí có định lí đảo, ta thường phát biểu kết hợp cả định lí thuận
và đảo dưới dạng điều kiện cần và p q. đủ Ví dụ 3.10 :
Hãy xét xem định lí sau có định lí đảo hay không : “Nếu tứ giác ABCD có hai
đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”
Nếu có, hãy phát biểu chúng dưới dạng điều kiện cần và đủ
Mệnh đề đảo của định lí đã cho là : “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau
ở trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”
Từ môn hình học ở trường phổ thông ta đã biết đây là mệ đề nh đ úng. Vậ đị y nh lí đã cho có định lí đảo
Kết hợp giữa định lí thuận và đảo được phát biểu như sau: “Điều kiện cần và đủ để
tứ giác ABCD là hình bình hành là hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung i đ ểm của mỗi đường.” Ví dụ 3.11 : Cũng hỏi như ví d 3.10 ụ
đối với định lí : “Nếu s t ố ự nhiên a có ch s ữ ố hàng đơn vị
bằng 0 hoặc 5 thì nó chia hết cho 5”
Mệnh đề đảo của định lí đã cho là : “Nếu s t
ố ự nhiên a chia hết cho 5 thì nó có chữ
số hàng đơn vị bằng 0 hoặc bằng 5”
Từ trường phổ thông ta đã biết mệnh đề đảo là mệnh đề đúng. Vậy định lí trên có định lí đảo.
Kết hợp giữa định lí thuận và đảo ta có :
“Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0 hoặc
5” hoặc “Điều kiệ ắ n t có và đủ để
số tự nhiên a chia hết cho 5 là chữ số hàng đơn vị
của nó bằng 0 hoặc 5”
3.6. Luật của lôgic mệnh đề
Cho A là một công thức. Ta gọi :
a, A là công thức hằng úng, n đ
ếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 1 với mọi hệ chân
lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó
b, A là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với m i ọ hệ chân lí
gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó
Mỗi công thức hằng đúng A ta gọi là một luật của lôgic mệnh đề và kí hiệu là: A
Mỗi công thức hằng sai ta gọi là một mâu thuẫn. Ví dụ 3.12 :
a) Công thức p v là hằng đúng. Ta có luật p ^
b) Công thức p ^ là hằng sai. c) Chứng minh rằng p ^ q v Ta có bảng chân lí
Nhìn vào bảng trên ta có đpcm. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c ở nhà thông tin cơ bản
− Trên lớp chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm thảo luận m t
ộ hoạt động để thực hiện các
nhiệm vụ rồi trình bay kết quả thảo luận. Sau đó giáo viên tổng kết theo t ng ho ừ ạt động dưới đây:
Hoạt động 3.1. Tìm hiểu khái niệm công thức Nhiệm vụ: Nhiệm vụ 1: Phát biểu đ nh ngh ị
ĩa khái niệm công thức của lôgic mệnh đề. Minh hoạ các ví dụ về công thức.
Nhiệm vụ 2: Xây dựng các ví dụ về xác định giá trị chân lí c a ủ công thứ. Đánh giá
1. Lập bảng chân lí của các công thức sau: a) p ^ q (q ^ r) b) (p r) v (q r) c) (p ) ^ (p q) v ( )
2. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
a) Công thức (p q) ^ (q p) (p q) luôn có giá trị chân lí bằng 1
b) Công thức p v (q ^ r) p v q v p v r luôn có giá trị chân lí bằng 1
c) Công thức (p q) ^ (p r) luôn có giá trị chân lí bằng 0.
Hoạt động 3.2.
Thực hành chứng minh các đẳng thức trong lôgic mệnh đề. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu đ nh ngh ị ĩa:
− Hai công thức tương đương lôgic.
− Hai mệnh đề tương đương lôgic.
Minh hoạ các khái niệm ó đ thông qua các ví dụ.
Nhiệm vụ 2 : Lập bảng chân lí để chứng minh các đẳng thức (1) − (5).
Sau đó xây dựng các ví dụ minh hoạ về vận dụng mỗi đẳng t ứ h c đó trong toán học.
Nhiệm vụ 3 : Thực hành biến đổi công thức.
− Nêu các quy ước về s d
ử ụng kí hiệu khi biến đổi các công thức.
− Xây dựng hai ví dụ về thực hành biến đổi công thức. Đánh giá
1. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống : a) p ^ q q ^ p b) p ^ q  ^ c) ^ q  ^ p e) p ^ q q ^ p f) p ^ q  ^ g) ^ q  ^ p
2. Chứng minh các đẳng thức (9)  (17). Sau đó minh hoạ bằng các ví d v ụ ề vận d ng ụ
mỗi đẳng thức đó trong toán học.
3. Hãy biến đổi các công thức sau về dạng đơn giản nhất: a) ( p v q) ^ q. b) p ^ q ^ (p ) a) (p ) v
Hoạt động 3.3. Tìm hiểu về mệnh đề liên hợp Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 :
Trình bày khái niệm về mệnh đề liên hợp. Nêu mối quan hệ giữa các mệnh đề thuận, đảo, phản và phả đả n o. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về thiết lập mệnh đề
liên hợp của mệnh đề đã cho. Nhiệm vụ 3 :
Trình bày khái niệm điều kiện cần, i đ ều kiện ,
đủ điều kiện cần và . đủ
 Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về diễn đạt điều kiện
cần (điều kiện đủ) bằng 5 cách khác nhau.
 Cũng yêu cầu như trên đối với điều kiện cần và . đủ
Nhiệm vụ 4 : Trình bày khái niệm định lí đảo của một định lí.
 Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về phát biểu kết hợp
giữa định lí thuận và định lí đảo của một định lí. Đánh giá
1. Thiết lập mệnh đề liên hợp của các mệnh đề sau :
a) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5 .
b) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 3 và 5.
c) Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.
d) Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng. Đối với những mệ đề nh đ úng, hãy diễ đạ
n t bằng ba cách khác nhau dưới dạ đ ng iều kiện cần (đủ).
2. Hãy phát biểu các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học dưới dạng mệnh đề kéo theo.
Sau đó hãy thiết lập các mệnh đề liên hợp của chúng.
3. Thiết lập định lí đ o c ả ủa định lí sau :
a) Hình bình hành có hai đư n
ờ g chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
b) Nếu tích của hai thừa số chia hết cho 7 thì một trong hai thừa số đ ó phải chia hết cho 7.
Hoạt động 3.4. Tìm hiểu luật của lôgic mệnh đề Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Phát biểu định nghĩa các khái niệm  Công thức hằ đ ng úng  Công thức hằng sai
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ ọ
minh h a về cách chứng minh một luật Đánh giá
1. Chứng minh các công thức sau là công thức hằ đ
ng úng, sau đó viết chúng thành những luật a, p (p q) q b, (p q) (p q) c, (p q q) p
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4. QUY TẮC SUY LUẬN Thông tin cơ bản
Phân tích mỗi chứng minh toán học ta thấy nó bao gồm một số ữ h u hạn bước suy
luận đơn giản. Trong mỗi bước suy luận đơn giản ta đã vận dụ ữ ng nh ng quy tắc nhất đị để nh từ n ữ h ng mệ đề nh đ ã được t ừ
h a nhận là đúng có thể rút ra một mệnh đề mới
Dưới đây ta trình bày những quy tắc thường dùng trong các bước suy luận như thế Định nghĩa
Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến mệnh đề có
mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C
nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn
tới hệ quả lôgic C của chúng
Ta kí hiệu là hoặc A, B = C
Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy rằng để chứng minh là một quy tắc suy luận ta chỉ
cần lập bảng giá trị chân lí đối với các công thức A, B, C. Trong đó chỉ ra rằng mỗi
khi A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 thì C cũng nhận giá trị chân lí bằng 1 Ví dụ 4.1 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận
Sau đó nêu ví dụ minh hoạ về vận d ng quy t ụ ắc ó trong suy lu đ ận toán học Ta có bảng chân lí
Nhìn vào bảng trên ta thấy mỗi khi p q và q r nhận giá trị chân lí bằng 1 thì p
r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1
Vậy ta có quy tắc suy luận
là quy tắc suy luận bắc cầu Nếu ta chọn 
“p q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3” 
“q r” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3” Hoạt động Sinh viên tự đọ
c các thông tin cơ bản ở nhà.
 Trong lớp sinh viên thảo luận theo nhóm 3, 4 người. Sau đ đạ ó i diện mỗi nhóm
trình bày kết quả thảo luận với những nhiệm vụ đư c ợ phân công ;
 Giáo viên tổng kết theo từng hoạt động dưới đây :
Hoạt động 4.1.
Thực hành vận dụng các quy tắc suy luận trong suy luận toán học Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu định nghĩa  Quy tắc suy luận
 Tiền đề của quy tắc
 Hệ quả lôgic của quy tắc Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về chứng minh một quy tắc suy luận và vận d ng quy t ụ ắc suy luận ó trong suy lu đ ận toán học Đánh giá
Chứng minh các quy tắc suy luận 1, 4 - 20
Sau đó xây dựng các ví d v
ụ ề vận dụng mỗi quy tắc suy luận đó :  Trong số ọ h c  Trong hình học  Trong toán cao cấp Ví dụ 4.2 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận sau :
Nêu ứng dụng của nó trong suy luận toán học.
Ta có bảng giá trị chân lí sau:
Từ bảng trên ta suy ra quy tắc suy luận
Ta đã biết “nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ ố
s của nó chia hết cho 3”
Số 146 có tổng các chữ s không chia h ố
ết cho 3 nên số 146 không chia hết cho 3.
Dưới đây là các quy tắc suy luận thường được vận dụng trong suy luận toán học: TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5.
Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát và tồn tại Thông tin cơ bản
5.1 Khái niệm về hàm mệnh đề Ta xét các ví d s ụ au :
1. “Số tự nhiên n chia hết cho 3” về phư ng di ơ
ện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính
đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song
nếu ta thay n bởi một số tự nhiên cụ thể. Chẳng hạn
 Thay n = 45 ta được mệnh đề đúng: “45 chia hết cho 3”
 thay n = 103 ta được mệnh đề sai: “103 chia hết cho 3” 2. “2x + 3 > 17”
Tương tự trong ví dụ 1, “2x + 3 > 17” chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi
một số thực cụ thể, chẳng hạn
 Thay x = 10 ta có mệnh đề đúng “2 . 10 + 3 > 17”
 Thay x = 1 ta có mệnh đề sai “2 . 1 + 3 > 17”
3. Câu “Ông A là nhà vật lí vĩ đại” cũng chưa phải là mệnh đề. Nếu ta ch n ọ “Ông A” là
Niu-tơn ta được mệnh đề đúng “Niu tơn là nhà vật lí vĩ đại”. Nếu ta chọn Ông A” là
“Tố Hữu” ta được mệnh đề sai. “Tố Hữu là nhà vật lí vĩ đại”
4. Câu “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” ch a
ư phải là mệnh đề. Nếu ta chọn ABCD
là tứ giác trong hình (a) ta được mệnh đề sai, hình (b) ta đư c ợ mệnh đề đúng hình vẽ
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi thay
các biến đó bởi nh ng ph ữ
ần tử xác định thuộc tập X thì nó trở thành mệnh đề ( úng đ
hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề
Tập X gọi là miền xác định; tập các phần tử thuộc X khi thay vào ta được mệnh đề đ ọ
úng g i là miền đúng; thay vào ta được mệnh đề sai gọi là miền sai của hàm mệnh đó
Ta dùng kí hiệu T(n), F(x), G(y), .......... để chỉ các hàm mệnh đề Chẳng hạn: 
Hàm mệnh đề T(n) = “S t
ố ự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tập
các số tự nhiên. Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 là miền úng c đ ủa T(n). Tập các
số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n) 
Hàm mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình ch nh ữ
ật” có miền xác định là tập các
hình tứ giác, miền đúng là tập các hình chữ nhật
5.2. Các phép toán trên hàm mệnh đề
Dựa vào các phép toán trên mệnh đề (ph
ủ định, hội, tuyển.....) ta xây ự d ng các phép
toán tương tự trên các hàm mệnh đề a) Phép phủ đị nh
Cho F(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi ph ủ đ nh c ị ủa hàm mệnh đề
F(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu là F(x), sao cho đối với mỗi a X, F(a) là mệnh đề ủ ph đị nh của mệ đề nh F(a) Chẳng hạn, ph
ủ định của hàm mệnh đề  T(n) = “số ự
t nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh đề T(n) = “số tự nhiên n không chia hết cho 3” 
F(x) = “2x + 3 > 17” là hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 17” b) Phép hội
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi hội của hai hàm
mệnh đề F(x) và G(x) là một hàm mệnh đề H(x), kí hiệu là H(x) = F(x) G(x), xác
định trên miền X sao cho với mọi a X ta có mệ đề
nh H(a) là hội của hai mệnh đề F(a) và G(a)
Chẳng hạn, hội của hai hàm mệnh đề
F(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” và
G(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 5” là hàm mệnh đề
H(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3 và 5” Cũng tư ng t ơ nh ự
ư trên ta định nghĩa các phép tuyển, phép kéo theo và phép tư ng ơ
đương trên các hàm mệnh đề
5.3. Mệnh đề tổng quát
Ta đặt vào trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “với mọi x R” ta được mệnh đề sai:
“Với mọi x R, 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X.Ta gọi mệnh đề dạng
“Với mọi x X ta có T(x)”
hoặc “Với mọi x X, T(x)” là mệnh đề t ng quát (ho ổ
ặc toàn thể, phổ biến, ph ổ cập,...). Kí hiệu là
x X, T(x) hoặc ( x X) T(x) hoặc T(x) x X Kí hiệu gọi là lư ng t ợ
ừ tổng quát (hoặc toàn thể, ph bi ổ ến, ph c ổ ập, ....) Ví dụ 5.1 :
“ n N, n là số nguyên tố” là mệnh đề sai
“ n N, 2n là số chẵn” là mệnh đề đúng
“ x R, x2 + 1 > 0” là mệnh đề đúng
“ x R, x2  1 = 0” là mệnh đề sai Chú ý
Mệnh đề tổng quát trong thực tế được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn  Tất cả người V ệ
i t nam đều nói thạo tiếng Anh 
Mọi người Việt nam đều nói thạo tiếng Anh 
Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh 
Đã là người Việt nam thì ai chẳng nói thạo tiếng Anh
......................................
5.4 Mệnh đề tồn tại
Ta đặt trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “Tồn tại x R sao cho....” ta được mệnh đề úng đ
“Tồn tại x R sao cho 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi mệnh đề
dạng “Tồn tại x X sao cho T(x)” là mệnh đề t n t ồ ại. Kí hiệu là  x X : T(x) hoặc T(x) Ký hiệu g  i ọ là lượng từ t n t ồ ại Ví dụ 5.2 :  “Tồn tại số ự
t nhiên n sao cho n là số nguyên tố” là mệ đề nh đ úng  “Tồn tại số t ự h 
c x sao cho x2 1 = 0” là mệnh đề úng đ  “Tồn tại số t ự
h c x sao cho x2 + 1 = 0” là mệ đề nh sai Chú ý
1. Trong thực tế, mệnh đề t n t
ồ ại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn: 
Tồn tại ít nhất một người Việt nam nói thạo tiếng Anh 
Có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh 
ít ra cũng có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh  Có nhiều ngư i Vi ờ
ệt nam nói thạo tiếng Anh ........................
2. Ta dùng kí hiệu “! x X : T(x)” với nghĩa tồn tại duy nhất một x X sao cho T(x)”
5.5. Phủ định của mệnh đề t n t ồ ại và tổng quát Phủ đị nh các mệ đề
nh tổng quát và tồn tại được thiết lập theo quy tắc dư i ớ đây Ví dụ 5.3 :
 Mọi tam giác đều đều là tam giác cân Có một tam giác đều không phải là tam giác cân
 Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh Có ít nhất một ngư i Vi ờ ệt nam nói không thạo tiếng Anh
 Có một số tự nhiên chia hết cho 3 Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 3
 Có ít nhất một số thực x là nghiệm ủ c a phương trình x2   3x 4 = 0 Mọi số thực x
đều không phải là nghiệm ủ c a phương trình x2  
3x 4 = 0 Phương trình x2   3x 4
= 0 không có nghiệm thực Hoạt động. Sinh viên tự đọ c thông tin ngu n
ồ và tài liệu tham khảo ở nhà.Trên lớp sinh viên thảo
luận theo nhóm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau nằm trong các hoạt động 5.1 và 5.2. Sau đ đạ
ó i diện các nhóm trình bày và giáo viên tổng kết
Hoạt động 5.1: Tìm hiểu khái niệm hàm mệnh đề Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Định nghĩa  Hàm mệnh đề 
Miền xác định, miền úng, đ
miền sai của hàm mệnh đề Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng ba ví dụ về hàm mệnh đề. Chỉ rõ miền xác định, miền đúng và miền sai
của mỗi hàm mệnh đề ó đ Nhiệm vụ 3 :
Định nghĩa phép phủ đị
nh, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo và phép tương
đương giữa hai hàm mệnh đề Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ví dụ minh họa cho mỗi phép toán nêu trên Đánh giá
1. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập s t ố ự nhiên a) a chia hết cho 5 b) a chia cho 5 d 4 ư c) a là số nguyên tố d) a2  5a + 6 = 0
2. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập các số thực a, x2  7 < 0 b, 3x2 7x   10 = 0 c, sin2x + cos2x = 1 d, | x  5 | < 6
3. Xây dựng hai ví dụ ề v  Phép phủ định  Phép hội  Phép tuyển  Phép kéo theo  Phép tương đư ng ơ Trên các hàm mệnh đề
Hoạt động 5.2. Tìm hiểu mệnh đề tổng quát và mệnh đề tồn tại Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày khái niệm mệnh đề tổng quát và mệnh đề t n t ồ ại
Nhiệm vụ 2 : Phát biểu quy tắc phủ định mệ đề
nh tổng quát và mệnh đề t n t ồ ại
Nhiệm vụ 3 : Xây dựng hai ví dụ ề v  Phủ đị nh mệ đề nh tổng quát  Phủ đị nh mệ đề nh tồn tại Đánh giá
1. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau bằng lời : a)  x R y  R : x + y2 > 1 b)  x R y  R : x2 - y2 = 0
c)  n N  m N : n + m chia hết cho 3 d) n N  m N: là phân s t ố ối giản
e) Sau đó hãy lập mệnh đề ph
ủ định của mỗi mệnh đề ó đ
2. Hãy chứng tỏ nhậ đị
n nh sau là sai “Mọi hình tứ giác có một đư n ờ g tròn ngoại tiếp nó”
3. Hãy chứng tỏ nhậ đị n nh sau là sai :
a) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nh h ỏ ơn nó
b) Mọi người đàn ông đều có m t
ộ người đàn bà là vợ của ngư i ờ ấy
c) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH Thông tin cơ bản
6.1. Suy luận
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệ đề nh đã biết. N ữ h ng mệnh đề đ
ã có gọi là tiền đề, một mệ đề
nh nói được rút ra gọi là kết l ậ u n của suy luận.
Hai kiểu suy luận thường gặp là: suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) và suy
luận nghe có lí (hay suy luận có lí). a) Suy luận diễn dịch :
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luật
tổng quát (của lôgíc mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết
luận rút ra cũng phải đúng.
Trong lôgíc vị từ, ngoài nh ng quy t ữ
ắc suy luận của lôgíc mệnh đề ta thư ng g ờ ặp và
vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây: Có nghĩa là :
Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đ úng. Ví dụ 6.1 :  Mọi s t ố nhiên có t ự
ổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
 Số 432135 có tổng các ch s ữ ố chia hết cho 9.
Vậy 432135 chia hết cho 9. Ví dụ 6.2 :
Nếu tự giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
 Tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy AC BD. Ví dụ 6.3 :
 Với mọi x R, sin2x + cos2x = 1.  R Vậy
Trong ba ví dụ nêu trên, các tiền đề đ u
ề đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,
2 vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải úng. đ Ví dụ 6.4 :  672 chia hết cho 3.  672 chia hết cho 4
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận d ng quy t ụ ắc suy luận: Ví dụ 6.5 : Từ các tiền đề
 Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
 Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ s c
ố ủa nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kế luận : “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ s c
ố ủa nó chia hết cho 3”. ở đây các tiề đề n đề u là nhữ đị
ng nh lí đã được chứng minh trong toán học. Ta đã vận d ng quy t ụ ắc suy luận bắc cầu : b) Suy luận nghe có lí:
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy
tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề úng đ để rút ra một kết
luận. Kết luận này có thể úng m đ à cũng có thể sai.
Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quang
trọng trong khoa học và đời sống : giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể có thể rút
ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả
thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường s d ử ụng là :
 Phép quy nạp không hoàn toàn.  Phép tư ng t ơ ự. Ví dụ 6.6 : Từ các tiền đề :  4 + 3 = 3 + 4  15 + 48 = 48 + 15  243 + 358 = 358 + 243
Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng trong tổ đ ng ó.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, các tiền đề đ úng và
kết luận rút ra cũng đúng. Ví dụ 6.7 : Từ các tiền đề:  42 chia hết cho 3  72 chia hết cho 3  132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất phát từ ữ nh ng
tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai. Ví dụ 6.8 :
Từ định lí trong hình học phẳng “nếu hai đường thẳng cùng song song với đư ng ờ
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”. Ta đưa ra m t
ộ giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau”.
Đây là phép suy luận tương tự. Giả thuyết nêu ra ở đ ây là đúng. Ví dụ 6.9 : Cũng t
ừ định lí nêu trên trong ví dụ trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng
song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Giả thuyết nêu ở đây là sai.
6.2. Chứng minh
Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận
dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy luận hợp
lôgíc. ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm đế ộ n n i dung, ý nghĩa c a
ủ các mệnh đề trong suy luận đó.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là nh ng ữ định nghĩa,
tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là
một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chứng minh một mệnh đề X là vạch rõ rằng X là kết luận lôgíc của các tiền đề đúng.
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số h u h ữ
ạn bước, trong đó mỗi bước là một
suy luận diễn dịch, trong ó
đ ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép suy luận
diễn dịch với các tiền đề úng. đ
Một phép chứng minh gồm ba phần: 1. Luậ đề n
là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Luận cứ là những mệnh đề mà tính đ đắ
úng n của nó đã được khẳ đị ng nh (thường
là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã đư c
ợ chứng minh trước đó...) dùng làm tiền
đề trong mỗi bước suy luận.
3. Luận chứng là những quy tắc suy luận tổng quát được s d ử ụng trong mỗi bước
suy luận của chứng minh ó. đ
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B (A B) là:
 Thiết lập một dãy các bư c ớ suy luận diễn dịch.
 Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiề đề n ế
, k t luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng. Chẳng hạn:
 Mỗi suy luận trong các ví d 6.1- 6.5 là m ụ
ột chứng minh (vì các tiền đề trong mỗi
suy luận đều đúng và ta đều áp d ng nh ụ
ững quy tắc suy luận tổng quát của lôgíc mệnh đề).
 Xét các suy luận sau : Từ hai tiền đề:
+ Với mọi a, b R, nếu a2 = b2 thì a = b + 52 = (5)2
Rút ra kết luận 5 = 5’! Từ hai tiền đề : + Nếu tổng các ch s ữ c
ố ủa một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+ 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3.
Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền đề 1 của suy luận thứ nhất và tiề đề
n 2 của suy luận thứ hai đều sai). Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc
nhưng không phải là một chứng minh.
6.3. Các phương pháp chứng minh toán học thường gặp
Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một s ph ố ương pháp
chứng minh thông dụng nhất.
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau: A A1 A1 A2 —————- An-1 An An B.
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh. Ví dụ 6.10 :
Ta phân tích chứng minh định lí “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở
trung điểm của mỗi đường”.
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề) : Giả thiết ABCD là hình bình hành AC cắt BD tại O. Kết luận OA = OC và OB = OD
Qua phân tích trên đây ta thấy:
 Giả thiết và kết luận của đị nh lí là luậ đề n của chứng minh.
 Chứng minh của định lí trên có bảy bước, trong mỗi bước đều dùng các định nghĩa
hoặc định lí đã được chứng minh làm luận cứ và ngầm s d
ử ụng một suy luận t ng ổ quát làm luận chứng.
 ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường b ỏ đi nhiều tiền đề
trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn: A A1 A2 ... An - 1 An B.
 Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác) ta thường sử d ng quy t ụ
ắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận này
có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
b) Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, mu n ch ố
ứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B bằng
phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:  Giả s A
ử đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)  A ^ C ^
 áp dụng quy tắc suy luận
Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọ ư n nh sau:  Giả s A
ử đúng mà B sai (tức đúng) 
 áp dụng quy tắc suy luận:
Ta rút ra kết luận A B là đúng. Ví dụ 6.11 :
Ta phân tích chứng minh định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng
vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Định lí được tóm tắt như sau (luận đề).
Giả sử a không song song với b. Suy ra a cắt b tại M. Nh v
ư ậy từ M ta kẻ được hai
đường vuông góc với đường thẳng C.
Mệnh đề này sai, vì nó mâu thuẫn với mệnh đề úng đ
đã biết trước “Từ một điểm ở ngoài một đư n
ờ g thẳng ta chỉ kẻ được một và chỉ một đường vuông góc tới đường thẳng đó”.
Vậy mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt
nhau” là sai. Điều đó ch ng t ứ r
ỏ ằng mệnh đề phải chứng minh là đúng. Ví dụ 6.12 :
Chứng minh rằng phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (1)
có không quá một nghiệm. Giả s ph ử
ương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có: ax1 + b = 0 và ax2 + b = 0
áp dụng tính chất bắc cầu ta có: ax1 + b = ax1 + b
áp dụng luật giảm ước đối với phép c n ộ g ta có: ax1 = ax2, a 0
áp dụng luật giảm ước đối với phép nhân ta có: x1 = x2
Như vậy x1 vừa khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn. Giả s t
ử ập hữu hạn X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X.
Ta phải chứng minh mệnh đề:  x X, T(x)
là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng t r ỏ ằng T(a1), T(a2), ...
, T(an) đều là những mệ đề nh đ úng. Từ đ
ó kết luận mệnh đề trên là đúng.
ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát: Ví dụ 6.13 :
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5. Giả sử n là s t
ố ự nhiên và T = n (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4). Gọi D là tập các s d ố ư
của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}  Nếu s d
ố ư bằng 0 thì n 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 1 thì (n + 4) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 2 thì (n + 3) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 3 thì (n + 2) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 4 thì (n + 1) 5. Suy ra T 5
Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên.
d) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên
n n0) tức là phải chứng minh mệ đề nh tổng quát.
 n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chứng minh G (T(0)) = 1 (hoặc G (T(n0) = 1) hay tính chất T(n) đúng với n = 0 ( hoặc n = n0).
Bước 2: Giả sử G (T(k)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k. Ta chứng minh G
(T(k + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + 1.
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) úng v đ
ới mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0) hay
 n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) là mệnh đề đúng
Cơ sở lôgíc của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luận tổng quát sau: Ví dụ 6.14 :
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ đó suy ra công thức trên úng v đ ới mọi n 2 Ví dụ 6.15 :
Cho n điểm trong mặt phẳng (n 2). H i ỏ khi nối n đ iểm đ
ó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thẳng? Ta chứng minh số đ
oạn thẳng đếm được khi nối n điểm ó v đ ới nhau là:
Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một o đ ạn thẳng. Ta có:
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt phẳng ta được đoạn thẳng.
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau (theo g ả i
thiết ở phần trên) ta được:
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta đư c thêm k + 1 ợ
đoạn thẳng nữa. Vậy số đ oạn thẳ đế
ng m được khi nối k + 1 điểm đ ó với nhau là:
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với nhau ta sẽ được: đoạn thẳng. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c tài liệu và thông tin nguồn ở nhà. Trên lớp nghe giáo viên giảng để
thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 6.1 và 6.2:
Hoạt động 6.1. Tìm hiểu các phép suy luận. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày các khái niệm  Suy luận.  Suy luận diễn dịch.
 Suy luận nghe có lí (phép quy nạp và phép tương tự).
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng ví dụ về suy luận diễn dịch trong  S h ố ọc  Hình học  Đại s ố
Trong mỗi suy luận hãy chỉ rõ đã vậ ụ n d ữ
ng nh ng quy tắc suy luận tổng quát nào
Nhiệm vụ 3: Xây dựng hai ví dụ về suy luận quy nạp không hoàn toàn
 Trong đó các tiền đề đề u đ
úng mà kết luận rút ra cũ đ ng úng.
 Trong đó các tiền đề trên đề đ
u úng mà kết luận rút ra lại sai.
Nhiệm vụ 4 : Xây dựng hai ví dụ về suy luận tương tự, trong đó
 Một giả thuyết úng. đ
 Một giả thuyết không úng. đ Đánh giá 1. Điền d vào ô tr ng, n ố
ếu là suy luận diễn dịch; q vào ô trống nếu là suy luận quy
nạp và vào ô trống, nếu là suy luận tư ng t ơ ự. a) Với m i
ọ số tự nhiên a, b, c ta có: a x (b + c) = a x b + a x c áp dụng:
4 x (25 + 15) = 4 x 25 + 4 x 15 b) Ta có:
Vậy a x (b + c) = a x b + a x c
c) Từ hệ thức cos2 x + sin2 x = 1 ta đưa ra giả thuyết “tg2 x + cotg2 x = 1” d) Từ đị
nh lí trong hình học phẳng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau ta đưa ra giả thuyết trong hình học không gian.
“Hai đường thẳng trong không gian vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”
2. Xây dựng ba ví dụ về suy luận diễn dịch trong số ọ
h c. Chỉ rõ những quy tắc suy
luận tổng quát đã vận d ng trong suy lu ụ ận ó. đ 3. C ng h ũ
ỏi như bài 2 trong hình học. 4. C ng h ũ
ỏi như bài 2 trong đại s . ố
5. Xây dựng hai ví dụ ề
v suy luận quy nạp trong số ọ h c (m t
ộ ví dụ với các tiền đ ề
đúng và kết luận rút ra cũng đúng, một ví dụ ớ
v i các tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai). 6. C ng h ũ
ỏi như bài 5 trong hình học. 7. C ng h ũ
ỏi như bài 5 trong đại s . ố
8. Xây dựng hai phép suy luận tương tự (một phép đưa ra giả thuyết đúng và một
phép đưa ra giả thuyết sai).
Hoạt động 6.2. Tìm hiểu các phép chứng minh. Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 : Trình bày:
 Khái niệm về chứng minh toán học.
 Phân biệt giữa suy luận và chứng minh. Nhiệm vụ 2 :
Xác định cấu trúc của một chứng minh toán học. Xây dựng một ví dụ ề v chứng
minh để làm rõ cấu trúc nêu trên trong chứng minh ó. đ
Nhiệm vụ 3 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh trực tiếp:
 Nêu cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp.  Phân tích sơ c
đồ ủa phương pháp chứng minh trực tiếp.
 Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh trực tiếp trong: ố s ọ h c, hình ọ h c và đại số.
Nhiệm vụ 4 : Tìm hiểu phép chứng minh phản chứng.
 Nêu của lôgíc của phép chứng minh phản chứng.
 Trình bày sơ đồ thực hiện một phư n
ơ g pháp chứng minh bằng phản chứng.
 Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh phản chứng trong số ọ h c, hình ọ h c và đại số.
Nhiệm vụ 5 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn.
 Nêu cơ sở của phép chứng minh quy nạp hoàn toàn.
 Trình bày phương pháp chứng minh một luậ đề n bằng phép c ứ h ng minh quy nạp hoàn toàn.
 Xây dựng ví dụ về phép c ứ
h ng minh quy nạp hoàn toàn.
Nhiệm vụ 6 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
 Nêu của lôgíc của phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
 Nêu các bước chứng minh bằng quy nạp toán học.
 Xây dựng ví dụ về chứng minh bằng quy nạp toán học trong số ọ h c và hình học. Đánh giá
1. Hãy phân tích cấu trúc của chứ đị
ng minh nh lí sau trong sách giáo khoa toán 9 “Số đ
o của góc nội tiếp bằng nửa số đ o của cung bị chắn”.
Cho biết chứng minh đó thu c ộ loại nào?
2. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Cho biết chứng minh trên thu c ộ loại nào?
3. Xây dựng ba ví dụ về chứng minh quy nạp toán học trong số ọ h c, đại số.
4. Chứng minh rằng mỗi phép chia các số tự nhiên có không quá một thương. Cho biết chứng minh thu c ộ loại nào? TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7.
SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC Thông tin cơ bản
7.1. Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch số học
Trong dạy học mạch số học ở tiểu học ta vậ ụ
n d ng các phép suy luận quy ạ n p (hoàn
toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương t . D ự
ưới đây ta trình bày các phép suy luận này.
7.1.1. Suy luận quy nạp :
Suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình dạy hình
thành các tính chất, quy tắc thực hành b n
ố phép tính, các dấu hiệu chia hết và trong giải toán số học Ví dụ 7.1 :
Khi dạy tính chất giao hoán của phép cộng, thông qua ví dụ so sánh giá trị c a ủ biểu
thức a + b và b + a trong bảng sau
Từ bảng trên học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a + b và b + a luôn bằng nhau”
Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổ đ ng ó không thay đổi a + b = b + a
Quá trình phân tích tổng hợ để
p rút ra kết luận trên đây ta vận dụng phép suy luận
quy nạp không hoàn toàn mà trong đó tiền đề là các ví dụ trong bảng còn kết luận là
tính chất giao hoán nêu trên Tương t nh ự
ư trên, suy luận quy lạp c ng ũ được vận d ng ụ
để dạy quy tắc nhân một số với một tổng Ví dụ 7.2 :
Thông qua ví dụ so sánh giá trị của biểu thức a x (b + c) và a x b và a x c trong bảng sau
học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a x (b + c) và a x b + a x c luôn bằng nhau” rồi
rút ra quy tắc nhân một số với một tổng: Khi nhân một số với ộ m t tổng, ta có thể nhân số đ
ó với từng số hạng của tổng r i ồ cộ ế
ng k t quả lại a x (b + c) = a x b + a x c Ví dụ 7.3 :
Khi dạy quy tắc so sánh các s t
ố ự nhiên trong phạm vi 10000 (xem [ ]) a) Thông qua các ví dụ 999 < 1000 10000 > 9999
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc Trong hai số tự nhiên  Số nào ít ch s ữ h ố ơn thì bé hơn
Số nào nhiều chữ s h ố ơn thì lớn hơn b) Thông qua các ví dụ 9000 > 8999 6579 < 6580
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc
 Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh t ng c ừ ặp chữ s
ố ở cùng một hàng, kể t ừ
trái sang phải, số nào có chữ số đầ
u tiên lớn hơn thì lớn hơn. c) Thông qua các ví dụ: 2345 = 2345 469 = 469
cho học sinh phân tích rồi rút ra kết luận:
 Nếu hai số có cùng số chữ số và t ng c ừ ặp ch s ữ
ố ở cùng một hàng đều giống nhau thì hai số đ ó bằng nhau
Trong mỗi bước trên đây, chúng ta đã vận dụng suy luận quy nạp không hoàn toàn,
trong đó tiền đề là các ví dụ được xét và kết luận là quy tắc so sánh được rút ra Ví dụ 7.4 :
Khi dạy quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép c n
ộ g (xem [ ]): Cho học sinh
quan sát hình vẽ rồi điền số vào chỗ chấm trong các phép tính sau 6 + 4 = ............ x + 4 = 10 6 + x = 1 6 = 10 ........
x = 10 ........... x = 10 ................... 4 = 10 ........ x = ................ x = .........................
Từ các ví dụ trên rút ra nhận xét:
 Muốn tìm số hạng thứ nhất, ta lấy tổng trừ đ i số hạng thứ hai
 Muốn tìm số hạng thứ hai, ta lấy tổng t ừ r đ i số hạng thứ nhất
Từ hai nhận xét trên, hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc: Muốn tìm s h ố ạng chưa
biết, ta lấy tổng trừ đi s h ố ạng kia
Quy trình suy luận trên đây ta đã vận d n
ụ g phép quy nạp không hoàn toàn, trong ó đ tiền đề là các ví d
ụ được xét và kết luận là quy tắc nêu trên. Ví dụ 7.5 :
Khi dạy dấu hiệu chia hết cho 5, ta tiến hành như sau (xem [ ])
a) Trong bảng chia cho 5, các số bị chia đều chia hết cho 5.
Đó là: 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Các số này có tận cùng bằng 0 hoặc 5
b) Lấy bất kì số nào có tận cùng bằng 0 hoặc 5 ta thấy s ố đó chia hết cho 5
Ví dụ: 1990 : 5 = 390 ; 1995 : 5 = 399
c) Vậy: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
ở đây tiền đề là các ví dụ xét ở mục a và b và kết l ậ
u n là dấu hiệu chia hết cho 5
Phép suy luận quy nạp còn gặp trong quá trình giải toán số ọ h c. Chẳng hạn: Ví dụ 7.6 :
Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8....................... Ta nhận xét  S h
ố ạng thứ ba là 3 = 1 + 2  S h ố ạng th t ứ ư là 5 = 2 + 3  S h ố ạng th n ứ ăm là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ s h
ố ạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạ đứ ng ng liền trước nó
áp dụng quy luật trên ta có:  S h
ố ạng thứ sáu là: 5 + 8 = 13  S h ố ạng th b ứ ảy là: 8 + 13 = 21
Vậy dãy số cần tìm là: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21
ở đây ta đã dùng quy nạp không hoàn toàn để tìm ra quy luật của dãy số (với tiền đề
là các nhận xét phân tích ở trên) Ví dụ 7.7 :
Thay a bởi chữ số thích hợp để nhận được s t
ố ự nhiên chia hết cho 3
Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3. Bằng phư n ơ g pháp thử
chọn ta tìm được a = 0 ; 3 ; 6 ; 9
Vậy các số cần tìm là 270 ; 273 ; 276 và 279
Trong ví dụ này ta đã dùng phép quy nạp hoàn toàn để tìm ra các giá trị thích hợp của a
7.1.2. Suy diễn
Phép suy diễn được sử ụ
d ng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc ã đ đư c ợ
thiết lập để giải bài tập
Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là:
Tiền đề 1 : Là quy tắc hoặc tính chất,.... đã được thiết lập
Tiền đề 2 : Một tình huống cụ thể phù hợp với quy tắc trên
Kết luận : Vận d ng quy t ụ
ắc trên để xử lí tình hu ng c ố ủa bài toán Ví dụ 7.8 :
Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất 47 x 234 + 234 x 53 = 234 x 47 + 234 x 53 = 234 x (47 + 53) = 234 x 100 = 23400
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:
 Vận dụng tính chất giao hoán c a phép nhân ủ  Vận d ng quy t ụ ắc nhân một s v ố ới một t ng ổ Ví dụ 7.9 : Tìm x x : 25 + 12 = 60 x : 25 = 60 - 12 x : 25 = 48 x = 48 x 25 x = 1200
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn :  Vận d ng quy t ụ ắc tìm một s h ố ạng trong phép c ng ộ  Vận d ng quy t ụ ắc tìm s b ố ị chia Ví dụ 7.10 : Khoanh tròn vào chữ đặ
t trước số chia hết cho 5 A. 13450 B. 13408 C. 7945 D. 7954
ở đây ta vận dụng phép suy diễn, trong đó tiền đề là dấu hiệu chia hết cho 5 và tiền
đề 2 là mỗi số trong đề bài
7.1.3. Phép tương tự Phép tư ng t ơ ự được s d
ử ụng thường xuyên trong dạy học mạch s h ố ọc. Chẳng hạn:  T quy t ừ
ắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tư ng t ơ
ự ta xây dựng quy tắc cộng
các số có ba, bốn và nhiều chữ số Cũng tư ng t ơ
ự đối với các phép tính  T quy t ừ
ắc so sánh các số có bốn ch s ữ ố, dùng phép tư ng t ơ
ự ta xây dựng quy tắc so
sánh các số có nhiều chữ số  T quy t ừ ắc tìm s h
ố ạng trong phép cộng, dùng phép tư ng t ơ ự ta xây dựng quy tắc
tìm thừa số trong phép nhân
7.2. Suy luận và chứng minh trong dạy học mạch yếu tố hình học Cũng tư ng t ơ ự mạch s h
ố ọc, trong dạy học các yếu tố hình học ta thường ậ v n d ng ụ
các phép suy luận quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tư ng ơ
tự. Dưới đây ta trình bày các phép suy luận này
7.2.1. Suy luận quy nạp
Suy luận quy nạp được sử d ng r ụ
ộng rãi trong quá trình dạy học xây dựnh công thức
tính chu vi, diện tích và thể tích các hình ở tiểu học. Trong giải toán có nội dung
hình học đôi khi ta cũng sử dụng phép quy nạp Ví dụ 7.11 :
Khi dạy xây dựng công thức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính chu
vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm. Bằng cách quan sát
trên hình vẽ và một số phép biến đổi, h c sinh tính ọ
được chu vi hình chữ nhật là (4 + 3) x 2 = 14 (dm)
Từ đó rút ra quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng rồi nhân 2” P = (a + b) x 2
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tiền đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài bằng 4dm và chiều rộng 3dm thì có chu vi bằng (4 + 3) x 2 (= 14dm) Kết lu n:
ậ Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b có chu vi là (a + b) x 2 Ví dụ 7.12 :
Khi dạy xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính diện tích hình ch nh ữ
ật ABCD có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm”.
Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh tính được diện tích của hình
chữ nhật bằng 12cm2. Từ nhận xét 12 = 4 x 3
Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với
chiều rộng (với cùng một đơn vị đo) S = a x b
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tiền đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm thì có diện tích bằng: 4 x 3 (= 12 cm2)
Kết luận : Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là a x b Ví dụ 7.13 :
Cho 9 điểm phân biệt. Khi nối tất cả các điểm với nhau ta được bao nhiêu đ ạ o n thẳng ? Ta nhận xét :  Khi có 2 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 1 đoạn thẳng : 1 = 0 + 1  Khi có 3 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 3 đoạn thẳng : 2 = 0 + 1 + 2  Khi có 4 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 6 đoạn thẳng : 6 = 0 + 1 + 2 + 3
Vậy khi có n điểm, nối lại ta sẽ được s ố o đ ạn thẳng là : s = 0 + 1 + 2 +... +(n – 1) s = nx(n – 1) : 2.
áp dụng : Khi có 9 điểm, nối lại ta sẽ được số đ ạ o n thẳng là:
9x(9 – 1) ; 2 = 36 (đoạn thẳng)
Nhận xét. ở đây ta đã hai lần sử dụng phép suy luận quy nạp không hoàn toàn :
 Lân thứ nhất ta rút ra được kết luận khi có n đ iểm, ố n i lại ta được số đ ạ o n thẳng là 0 + 1 + 2 + ... + (n – 1);
 Lần thứ hai ta rút ra được tổng trên bằng nx( n – 1 ) : 2.
7.2.2. Suy diễn
Suy diễn được sử d ng r ụ
ộng rãi trong quá trình giải các bài tập hình học. Chẳng hạn
khi giải toán về tính chu vi và diện tích, thể tích các hình.
Ví dụ 7.14 : (Bài 2, trang 87 SGK Toán 3)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 35m, chiều rộng 20m. Tính chu vi mảnh đất đó.
Giải : Chu vi mảnh đất đó là (35 + 20) x 2 = 110(m) Đáp số : 110m
ở đây ta đã dùng phép suy diễn :
Tiền đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều r ng b ộ
ằng b thì có chu vi bằng (a = b) x 2.
Tiền đề 2 : Mảnh đất hình ch nh ữ
ật có chiều dài bằng 35m, chiều r ng b ộ ằng 20m.
Kết luận : Chu vi của mả đấ
nh t đó bằng (35 + 20) x 2(m). Hoạt động
Sinh viên ôn lại tiểu ch ủ đề 2.6, t
ự đọc SGK toán lớp 3, 4, 5 và thông tin nguồn tiểu chủ đề
2.7 để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dư i ớ đây :
Hoạt động 7.1.
Tìm hiểu các phép suy luận trong dạ ọ y h c số ọ h c ở tiểu học Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Nêu các phép suy luận thường dùng trong dạy học s h ố ọc ở tiểu học. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tư ng t ơ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
 Dạy học các quy tắc thực hành 4 phép tính ;
 Dạy học quy tắc so sánh các s t ố ự nhiên ;
 Tính giá trị biểu thức s . ố
Hoạt động 7.2. Tìm hiểu các phép suy luận trong dạy học hình học ở
tiểu học. Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 :
Nêu các phép suy luận thư n
ờ g dùng trong dạy học hình học ở tiểu học. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tư ng t ơ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
 Trong dạy học hình thành các công thức tính chu vi của các hình ;
 Dạy học hình thành công thức tính diện tích các hình ;
 Dạy học hình thành công thức tính thể tích các hình ;
 Dạy giải toán có nội dung hình học. Thông tin phản hồi
Tiểu chủ đề 2.1. Mệnh đề và các phép lôgíc Hoạt động 1.1 1. b ; c ; f ; h 2. a, 1 b, 1 c, 0 3. a, s b, s Hoạt động 1.2 1. a, 5 x 7 35 (s) b, 24 chia hết cho 5 (đ)
c, Hình vuông không có bốn cạ ằ nh b ng nhau (s) d, Trời không mưa e, An không cao hơn Thọ f, 40 30 (đ) 2.
a, “15 nhỏ hơn 20” (đ)
“15 lớn hơn hoặc bằng 20” (s) “15 nhỏ hơn 20” (đ) “15 nhỏ hơn 20” (đ)
b, “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” (đ) Tương tự câu a Hoạt động 1.3 1. a, 5 lớn hơn 3 nhưng nh h ỏ ơn 10
b, 5 không lớn hơn 3 nhưng nh h ỏ ơn 10 c, d tương tự b, ; c, tương tự Hoạt động 1.6 1. a, Đ b, S c, Đ d, S e, Đ f, S 2.
a, “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó chia hết cho 3”
b, “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó không chia hết cho 3” c , d tương tự 3. G (b a) = 0 G (a) = 0 và G(b) = 0 4.
G (a b) = G (a b) = 0 và G (a b) = G (b a) = 1
Tiểu chủ đề 2.2. Các bài toán về suy luận đơn giản Hoạt động 2.1
Xem bài 1 đến bài 15 (trang 91 đến trang 97 - trong sách suy luận lôgíc) Hoạt động 2.2
Xem bài 16 đến 41 (trang 97 đến trang 102 - suy luận lôgíc) Hoạt động 2.3
Xem bài 42 đến 52 trang 102 đến 104 Hoạt động 2.4
Xem bài 53 đến 70 trang 105 đến 107 2. a, a b b, a b c, a b d, a b e, a b 3. Tư ng t ơ ự
4. Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, có hai đường chéo
cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường, có hai góc kề bù nhau và hai góc đối diện bằng nhau a, Mệnh đề úng đ b, Mệnh đề sai Hoạt động 1.4 1. a, Đ b, Đ c, S d, S 2.
a, 44 chia hết cho 2 hoặc 3 (Đ)
b, 44 chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 (Đ) c, d, e, b, g tương t ự Hoạt động 1.5 1. a, Đ b, Đ c, S d, Đ e, Đ 2.
a, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó chia hết chia hết cho 2 và 3 (Đ)
b, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho 2 hoặc 3 (S) c, d, e, f, g, h tư ng t ơ ự 3.
a, G (a) = G (b) = 1 hoặc G (a) = 0, G (b) = 1
Tiểu chủ đề 2.3. Công thức Hoạt động 3.1 1. Xem bài giảng 2. a, Đ b, S c, S Hoạt động 3.2 1. a, Đ b, S c, d, e, f, g tư ng t ơ ự 2. a, (p q p q) q q b, (p q) (p p) p p c, (p q) (p q) p q Hoạt động 3.3 1.
a, + Nếu một số chia hết cho 5 thì nó chia hết cho 15 (S)
+ Nếu một số không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 5 (S)
+ Nếu một số không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
b, + Nếu một số chia hết cho 3 và 5 thì nó chia hết cho 15 (Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 3 hoặc 5 (Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 3 hoặc 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
Ta diễn đạt mệnh đề trên dưới dạng kiện cần và đủ 
Một số chia hết cho 15 khi và chỉ khi nó chia ế h t cho 3 và 5 
Để một số chia hết cho 15, đ
iều kiện cần và đủ là nó chia hết cho 3 và 5 
Điều kiện cần và đủ để
một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 3 và 5 c, d tương tự 3.
a, Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau b, Tương t ự Hoạt động 3.4
1. Gợi ý: lập bảng giá trị chân lí của mỗi công thức ó đ
Tiểu chủ đề 2.4. Quy tắc suy luận Hoạt động 4.1 Xem ví dụ 4.1 và 4.2
Tiểu chủ đề 2.5. Hàm mệnh đề - mệnh đề tổng quát và mệnh đề tồn tại Hoạt động 5.1 1.
a, Miền đúng của hàm mệnh đề này là tập các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5
b, Miền đúng của hàm mệnh đề này là tập các s t
ố ự nhiên có chữ số hàng đơn vị bằng 4 hoặc 9 c, d tương tự 2. a, MĐ = (- ; ) b, MĐ = -1 ; c, MĐ = R d, MĐ = (-1 ; 11) Hoạt động 5.2 1.
a, Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y ta có: x + y2 > 1 Mệnh đề ph
ủ định: Với mọi số thực x tồn tại số thực y sao cho x + y2 1 b, c, d tương tự 2.
Chẳng hạn hình bình hành 3.
a, Ta chỉ ra mệnh đề ph ủ định: Mọi s t ố ự nhiên t n t
ồ ại một số chẵn lớn hơn nó
Thật vậy, với số tự nhiên ta chọn 2n là số chẵn lớn hơn nó b,c tương tự
Tiểu chủ đề 2.6. Suy luận và chứng minh Hoạt động 6.1 1 a, d b, q c, d, Hoạt động 6.2 1. Gợi ý: xem ví dụ 6.10 2. Xem ví dụ 6.13 4. Xem ví dụ 6.12