Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và Logic toán | Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và Logic toán | Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 202 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!Giao

NGUYN TIN TRUNG
GIÁO TRÌNH
Cơ S Lý Thuyết Tp Hp
Và Logic Toán
Ebook.moet.gov.vn, 2008
Chu trách nhim xut bn:
Ch tch HĐQT kiêm Tng Giám đốc NGÔ TRN ÁI
Giám đốc ĐINH NGC BO
Phó Tng Giám đốc kiêm Tng biên tp NGUYN QUÝ THAO
Tng biên tp LÊ A
Biên tp ni dung:
NGUYN TIN TRUNG
Thiết kế sách và Biên tp mĩ thut:
VIT QUANG
Trình bày bìa:
PHM VIT QUANG
LI NÓI ĐẦU
Để góp ph n đổi mi công tác đào t o và bi dưỡng giáo viên tiu hc, D
án phát trin giáo viên tiu hc đã t ch c biên son các đun đào to
bi dửỡng giáo viên theo chửơng trình Cao đẳng S phm chửơng trình
liên thông t Trung hc S phm lên Cao đẳng S phm. Vic biên son
các đun nhm nâng cao năng lc chuyên môn, nghip v, cp nht
nhng đổi mi v ni dung, phửơng pháp dy hc kim tra, đánh giá kết
qu giáo dc tiu h u hc theo chửơng trình, SGK ti c mi
Đ ếi m mi ca tài li u vi t theo môđunvi ế ếc thi t k các hot động, nhm
tích cc hoá các ho a ngt động c ửời hc, kích thích óc sáng to kh
năng gii quyết vn đề, t giám sát đánh giá kết qu h c tp c a ngửời
hc; chú trng s dng nhi u phửơng ti n truyn đạt khác nhau (tài liu in,
băng hình,...) giúp cho ngửời h c d hc, d hi u và gây đửợc hng thú hc
tp.
đun Cơ s thuyế t t p hp lôgic toán do nhóm tác gi trửờng Đại
hc S phm Hà Ni biên son.
đun Cơ s thuyế t t p h p lôgic toán th i lửợng b ng 2 n vđơ
hc trình, bao gm 2 ch đề:
Ch đề 1: Cơ s c a lí thuyết tp hp
Ch đề 2: Cơ s c a lôgic toán
Ln đầu tiên, tài liu đửợc biên son theo chửơng trình phửơng pháp
mi, chc chn không tránh khi nhng thiếu sót nht định. Ban điu phi
D án rt mong nhn đửợc nhng ý kiến đóng góp chân thành ca bn đọc,
đặ độc bit là i ngũ ging viên, sinh viên các trửờng S phm, giáo viên tiu
hc trong c nửớc.
Xin trân trng cm ơn!
D ÁN PHÁT TRIN GIÁO VIÊN TIU HC
CH ĐỀ 1
Cơ s lí thuyết tp hp
I.Mc tiêu
Kiến thc : Người hc
Hiu các khái nim v tp hp, quan h, ánh x biết xây dng các
d minh ho cho m i khái nim đó.
Nm được định nghĩa ca các phép toán trên tp hp và ánh x. Phát biu
và chng minh các tính cht ca chúng
K năng :
Hình thành và rèn cho người hc các kĩ năng
Thiết lp các phép toán trên t p hp và ánh x
Vn d ng các kiế n thc v t p h p và ánh x trong toán h c
Các quan h tương đương và th t
Thái độ:
Ch động tìm tòi, phát hin và khám phá các ng dng ca lí tp hp toán
dy và hc toán
II. Gii thiu ch đề :
STT Tên tiu ch đề Trang
1 Tp hp
2 Các phép toán trên tp hp
3 Quan h
4 Quan h tương đương
5 Quan h th t
6 Ánh x
7 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh x ngược
8 nh và to nh qua mt ánh x
III. Điu kin cn thiết để thc hin môđun
Kiến thc:
Nm được kiến thc toán hc trong chương trình toán PTTH
Đồ dùng dy hc:
Mt s thiết b s d ng trong khi t chc các hot động dy h c: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, bng phoóc mi ca...
Tài liu tham kho:
Các tài liu trong thư mc ca giáo trình
IV. Ni dung (Xem các tiu ch đề 1.1 – 1.8)
Tài liu tham kho
[1] Phan Hu Chân Nguyn Tiến i: S hc lôgíc toán NXB Giáo
dc – 1996.
[2]Trn Diên Hin : Các bài toán v suy lun lôgíc – NXB Giáo dc – 2001.
[3] Trn Diên Hin : Lôgíc gii trí – NXB Khoa hc và kĩ thut – 1993.
[4] Đỗ Đình Hoan và t p th tác gi : Toán 1 – NXB giáo dc – 2004.
[5] Đỗ Đình Hoan và t p th tác gi : Toán 2 – NXB Giáo dc – 2004.
[6] Đỗ Đình Hoan và t p th tác gi : Toán 3 – NXB Giáo dc – 2004
[7] Đỗ Đình Hoan và tp th tác gi : Toán 4 – NXB Giáo dc – 2005.
[8] Đỗ Đình Hoan và tp th tác gi : Toán 5 – NXB Giáo dc – 2004.
[9] Xavier Roegiers : Guide Mathématique de base Pari – 1993.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading01
TIU CH ĐỀ 1.1. TP HP
Thông tin cơ bn
1. Khái nim tp hp
Tp con
các tp hp bng nhau
1.1. Khái nim tp hp
Tp hp m t trong các khái ni m cơ bn ca Toán hc. Khái nim tp
hp không được định nghĩa ch được t qua các d : Tp hp các
hc sinh ca mt lp hc, tp hp các cu th ca mt đội bóng, tp hp
các cun sách trên mt giá sách, tp hp các s t nhiên,...
Mn toán hc nghiên cu các tính cht chung ca tp hp, không ph thu c
vào tính cht ca các đối tượng cu thành nên tp hp được xem cơ s
ca Toán hc hin đại, được gi thuyết tp hp. Khác vi nhiu
ngành Toán hc khác mà s phát trin là kế t qu được t nh ng c gng
không m i “vô ct mi ca nhiu tài năng toán hc, cuc đấu tranh v c”
tiếp theo đó, s sáng to nên thuyết tp hp công trình ca ch mt
ng ngtười: Gioócgiơ Că ơ (Georg Cantor 1845 1918), nhà toán hc Đức
gc Do Thái.
Các đối t t tượng cu thành m p hp được gi các phn t ca tp hp
đó. Người ta thường hi u các t p hp bi các ch A, B, C, X, Y, Z,... và
các phn t ca tp hp bi các ch a, b, c, x, y, z, ...
Nếu a mt phn t ca tp hp A thì ta viế t a A (đọc a thuc t p hp
A).
Nếu a không phi mt phn t ca t ếp hp A thì ta vi t a A (đọc a
không thuc t p h p A).
Có hai cách xác định mt tp hp:
z Cách th nht lit tt c các phn t ca t p hp. T p hp A gm
bn s t nhiên 1, 3, 5, 7 được viết là:
A = {1, 3, 5, 7}.
Tp hp B gm ba phn t là các ch a, b, c được viết là:
B = {a, b, c}.
z Cách th hai nêu lên mt tính cht chung ca các phn t ca tp hp,
nh đó th nh n bi n t ết được các ph ca tp hp các đối tượng
không ph n ti là nhng ph ca nó. Chng hn,
Ví d 1.1 :
Cho tp hp C các ước s c đa 8. Khi ó, các s 1, 2, 4, 8 là nh ng phn t
ca C, còn các s 3, 5, 6, 13 không phi nhng phn t ca C. Người ta
thường viết:
C = {x : x là ước s ca 8},
đọc là C tp hp các phn t x sao cho x ước s ca 8 : x biu th mi
phn t p h ca t p C.
Ví d 1.2 :
Nếu D tp hp các nước thuc châu á thì Vit Nam, Trung Quc, Lào
nhng phn t c đa tp hp D, còn Pháp, Angiêri, Cana a không phi
nhng phn t ca D. Ta viết:
D = {x : x là nước thuc châu á}
Người ta thường biu th tp hp A bi mt đưng cong kín gi lược đồ
ven (Venn).
Hình 1
Nếu ch n t p hng h p Acó 4 phn t a, b, c, d thì trên lược đồ đó mi
phn t c bi đã đượ u din b ng cong kín. i mt đim nm trong đườ
Các đim e f bi u di n nh ng đối tượng không ph n ti ph ca tp
hp A.
Các tp h mp trong các d đã nêu ch t s h u h n ph n t . Ta gi
chúng là nh ng t p h u h p h n.
Tp hp có vô s phn t được gi là tp hp vô hn.
Chng h nhn, tp hp các hình ch t các kích thước tu ý mt tp
hp hn, ta không th li t t t c các ph n t ca nó. Tương t , t p
hp A các s t nhiên b i c ũ a 3 c ng là m t tp h p vô h n.
T p hp A được biu di n bi lược đồ Ven trong Hình 2. Vì không th bi u
din t n tt c các ph c đa A, ta ch đưa vào hình m t s im tên
m it s đ m khác không tên. Ngoài ra còn ghi chú thêm rng s biu
din t p là không p h đầy đủ.
Người ta cũng viết:
A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
Hình 2
Hin nhiên m c xác i phn t tiếp sau đượ định mt cách d dàng.
Tp hp không có phn t nào được gi là tp hp rng, kí hiu là φ.
Chng h p h p các nghi a phn, t m thc c ương trình x
2
+ 2 = 0 là tp hp
rng. Ta viết:
{x R : x
2
+ 2 = 0} = φ.
(R là tp hp các s thc).
Tp hp các s (t nhiên) chn là ước s ca 15 là tp hp rng:
{x N: x là ước s chn ca 15} = φ.
Tp hp ch mt phn t gi là t p m t ph n t. Chng hn, tp hp các
th đô ca mt nước là tp mt phn t.
Tp hp ch có mt phn t a được kí hiu là {a}.
Như v y tp hp E các nghim thc ca phương trình 3x 21 = 0 t p
mt phn t: E = {7}. Tp hp T các t s ca độ dài mi đường tròn
đường kính c a nó là tp m t phn t: T = {π}.
1.2. Tp con ca m p ht t p Các t p hp bng nhau
a) Tp h p con c a t p h u m n tp A được gi là mt t p X nế i ph ca A
đều là nh ng phn t ca X.
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Font: Times New
Roman
Hình 3
Ví d 1.3 :
Tp hp A = {a, b, c, d} là tp hp con ca tp hp X = {a, b, c, d, e, f}.
Khi đó ta viết:
(1) A X (đọc là A cha trong X),
hoc
(2) X A (đọc là X cha A).
hiu được gi du bao hàm. H thc (1) hoc (2) gi mt bao
hàm thc.
Ví d 1.4 :
Tp hp C các hình ch nht mt tp con ca tp hp B các hình bình
hành vì mi hình ch nht là mt hình bình hành:
C B (C cha trong B).
Hình 4
Ví d 1.5 ;
Tp hp N các s t nhiên là mt tp con c a tp hp Z các s nguyên: N
Z.
Tp hp Q các s hu t là mt tp con ca tp h p R các s th c (vì m i s
hu t là mt s th c): Q R.
Hin nhiên tp h p X m t t ếp hp con ca X. N u A m t tp con c a
X và A X thì A gi là m t tp con thc s c a X. Trong ví d 3, A là m t
tp con thc s ca X. Trong Ví d 4, C là mt tp thc s ca B.
Tp hp A không phi là mt tp h p con c a tp hp X nếu có ít nht mt
phn t ca A không thuc X.
Khi đó, ta viết:
A X (hoc X A)
và biu th quan h này b ng lược đồ trong Hình 5.
Hình 5
Ví d 1.6 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}
và X = {a, b, c, f, g}
thì A X.
Hình 6
Ví d 1.7 :
Tp hp C các hình ch nht không phi mt tp con ca tp hp T các
hình thoi: C T.
Tht vy, hình ch nh t chi u dài khác chiu rng không phi mt
hình thoi.
b) Hai tp h ng nhau np A và B được gi là b ếu m n ti ph ca A là mt
phn t ca B và mi phn t c đa B m t phn t c a A. Khi ó ta viết A
= B.
Ví d 1.8 :
Tp hp các nghim thc ca phương trình x
2
- 1 = 0 bng t p h p g m hai
s -1 và 1:
{x R : x
2
1 = 0} = {1, 1}.
Ví d 1.9 :
Nếu A tp hp các s nguyên chia hết cho 2 3 B t p các sp h
nguyên chia hết cho 6 thì A = B. Tht vy, mt s nguyên chia hết đồng
thi cho 2 3 khi ch khi chia hết cho 6. Như vy m t s nguyên
mt phn t ca A khi và ch khi nó là mt phn t c đa B. Do ó A và B
cùng các phn t.
T định nghĩa tp con và các t p hp b ng nhau d dàng suy ra:
c) V i các tp h p bt kì A, B, C, ta có:
(i) φ A,
(ii) A A,
(iii) Nếu A B và B C thì A C,
(iv) Nếu A B và B A thì A = B,
(v) Nếu A B thì A B hoc B A.
(ii) gi tính phn x, (iii) gi tính bc cu, (iv) gi tính phn ð?i
xng).
Chng minh. Ta s chng minh (iv) và (v).
(iv) Gi s A B B A. Khi đ ó m i phn t ca A mt phn t ca
B mi phn t c a B m t phn t ca A. Theo định nghĩa ca hai tp
hp bng nhau, t đó suy ra A = B.
(v) Ta chng minh (v) suy ra t (iv) bng ph n ch ng. Tht vy, nếu A B
và B A thì A = B. Điu này trái vi gi thiết.
1.3. Tp h p nh ng tp hp
Ta xem mt đội bóng ca mt câu lc b bóng á Anh, hi u bđ i A,
mt tp hp cu th. Các phn t ca tp hp này là nhng cu th:
A = {a
1
, a
2
, ..., am}.
Ta cũng có th xét tp h p E các đội bóng c a các câu l c b bóng đá Anh.
Các phn t ca tp h p này nh ng đội bóng: Acxơnan (Arsenal),
Manchétxtơ Iunaitiđơ (ManchesterUnited), Trenxi (Chelsea), ..., Niu
Cátxơn (New Castle), Livơpunlơ (Liverpool).
E = {A, M, T, ...., N, L}
Form at t ed:
Heading04
Hình 7
Tp hp E va nêu mt tp hp nhng tp hp các phn ca ca E
nhng tp hp.
Ta có:
a
1
A : a
1
là mt cu th ca đội bóng A,
A E : đội bóng A thuc t p các a các câu l c bp h đội bóng c bóng đá
Anh.
Không th viết a
1
E vì mi phn t ca E là mt đội bóng ch không phi
là mt cu th.
Ta xét mt ví d khác:
Trường trung hc ph thông Nguyn Trãi có 5 lp 10: 10A, 10B, 10C, 10D
và 10E.
Ta xem lp 10A, hiu b p h p h n ti A, mt t c sinh. Các ph ca
tp hp này là nhng hc sinh. Ta viết:
A = {a
1
, a
2
, ..., am}.
Ta cũng th nói đến tp hp E các lp khi 10 ca trường. Các phn t
ca tp hp này là các lp khi 10 ca trường.
E = {A, B, C, D, E}.
Tp hp các lp khi 10 ca trường là mt tp hp nhng tp hp.
1.4. S tp con ca mt tp hp hu hn
Mt câu hi t nhiên được đặt ra là: Nếu A mt tp hp n phn t t
A có c thy bao nhiêu tp con? Ta ch xét trường hp: n = 0, 1, 2, 3, 4.
a) Vi n = 0, ta có A = φ.
Hin nhiên φ ch m p con; t t đó chính nó, tp h p hp φ. Vy t p
không có ph n t nào có mt tp con.
b) n = 1.
Form at t ed:
Heading04
Gi s A tp h p mt phn t : A = {a} (a phn t duy nht ca A).
Khi đó, các tp hp φ và {a} là tt c các tp con c a A.
Vy A có c thy 2 tp con.
Nếu kí hiu P(A) là tp hp tt c các tp con ca tp hp A thì ta có:
P(φ) = {φ} và P ({a}) = {φ, {a}}.
c) n = 2.
Gi s tp h p A 2 phn t a b: A = {a, b}. Khi đó A các tp con
sau:
φ, {a{, {b} và {a, b}.
Đó là tt c các tp con ca A:
P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
Vy A có c thy 4 tp con.
d) n = 3.
Để d hình dung, ta xét bài toán sau:
Gi sba người a, b c ca mt tp hp A được mi d khai mc mt
cuc trin lãm (ba người được mi độc lp vi nhau).
Hi th bao nhiêu s kết hp khác nhau v s mt c a m i người
trong ngày khai mc trin lãm?
Ta hãy xét mi kh năng (a đến hoc không, b đến hoc không, c n hođế c
không) biu din chúng trên mt cây ch đôi, tc mt cây mi s
phân cành u có đề được t cp “đến, không”.
Hình 8
Trên Hình 8, ta thy có c thy 8 kh nă ng, mi kh năng tương ng v i
mt tp con ca A = {a, b, c}, k c tp con là φ.
Tp hp tt c các tp con ca A là:
P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; φ}.
Vy tp hp A = {a, b, c} có c thy 8 tp con.
e) n = 4.
Gi s tp hp B có bn phn t a, b, c, d : B = {a, b, c, d{. Có th nghĩ đến
mt người th tư ũ, d, c ng được mi đến d khai mc trin lãm. Khi đó, t
mi trường hp trong 8 trường hp va nêu trong d), s hai kh năng,
tu thuc vào vi c d n hay không n d đế đế khai mc. Do đó tp hp tt c
các tp con ca tp hp B là:
P (B) = P ({a, b, c, d})
= {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b; c}; {a}; {b}; {c}; φ;
{a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d};
{d}}.
Vy tp hp B = {a, b, c, d} có c thy 16 tp con.
Đó là 8 t p con ca t p hp A = {a, b, c} và 8 tp hp mi, nhn được bng
cách thêm d vào mi tp hp con ca A.
Như vy,
Tp hp φ có c thy 1 = 2
0
tp con.
Tp hp có 1 phn t có c thy 2 = 2
1
tp con.
Tp hp có 2 phn t có c thy 4 = 2
2
tp con.
Tp hp có 3 phn t có c thy 8 = 2
3
tp con.
Tp hp có 4 phn t có c thy 16 = 2
4
tp hp con, ...
Bng phương pháp quy np, th chng minh được rng t p h p n
ph
n t có c thy 2
n
tp hp con.
Hot động 1.1. tìm hiu các khái nim cơ bn ca tp hp
Sinh viiên t đọc thông tin ngun để thc hin các nhim v dưới đây:
Nhim v
Nhim v 1: Tìm hiu v:
Khái nim tp hp, các phn t ca mt tp hp.
Hai cách xác định mt tp hp:
Lit kê các phn t ca tp hp.
Nêu lên được mt tính cht đặc trưng c n ta các ph ca tp hp.
Tp hp φ (cho các ví d v t p hp φ).
Cách biu din mt tp h p (h u h n và vô hn) bng lược đồ Ven.
Nhim v 2
Tho lun để có th c các n gii thích đượ i dung sau:
Định nghĩa tp con ca mt tp hp và các tp hp bng nhau. (Phân bit
được các phn t và các tp con ca mt tp hp cho trước).
Cách biu din t p hp con ca mt t p bng lược đồ Ven.
M t vài tính cht c a quan h bao hàm. (Nêu chng minh được các
tính cht đó).
Nhim v 3:
Hiu được thế nào tp hp ca mt s tp h p. (Hãy cho m t vài ví d
v tp hp nhng tp hp).
Lit được t các tt c p con ca mt tp h p có n ph n t vi n = 1, 2,
3, 4, 5.
Biết cách tính s các tp h p hp con ca mt t p hu hn.
Đánh giá hot động 1.1
1. Hãy lit kê các phn t a các t p h c p sau:
a) A là tp hp các bi t nhiên ca 3 ln hơn 20 và nh hơn 40;
b) B là tp hp các s nguyên t ln hơn 30 và nh hơn 50;
c) C là tp hp các ước t a 36. nhiên c
2. Hãy lit kê các phn t a các t c p hp sau:
a) A = {x N : 2x
2
15x + 13 < 0};
b) B = {x
R: 2x
3
+ 5x
2
+ 3x = 0};
c) C = {x Z : 6x
2
+ x 1 = 0}.
3. Cho các tp hp
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};
B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};
C = {1,
64
1
,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
}
Hãy nêu mt tính cht đc trưng ca các phn t c đa mi tp hp ã cho
(tc là tính cht, nh đó nhn biết t được m đối tượng là phn t hay không
phi là phn t a t c p hp đã cho).
4. Cho các tp hp
A = {x N : x4 4 < 0};
B = {x N : 2x
2
x < 10};
C = {x R : x
2
+ 20 < 11};
D = {x R : (x
2
+ 1) (2x 1) > 0}.
Chng minh rng:
A B và C D.
5. Cho A là tp hp các a 30 và ước t nhiên c
B = {x N : 4x
2
4x > 3}.
Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trng:
±
A B ;
±
B A;
±
A A B;
±
B
6. G p h u và V là i C là tp hp các tam giác cân, D là t p các tam giác đề
tp hp các tam giác vuông. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trng.
±
V C;
±
C V;
±
V C;
±
C V
±
D C;
±
C D;
±
D V;
±
V D
7. Gi A tp hp các ch s 135x sao cho s t nhiên chia h t cho 4 ế
B tp hp các ch s 137y sao cho s t nhiên chia hết cho 2. Chng
minh rng: A = B
8. Cho tp h p A = {a, b, c}. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trng:
±
a A A A
±
{a} {a} A
±
±
{a, b}
±
{a, b} A
±
b {b, c}
±
{b} {b, c}
±
{b} {b, c}
9. Cho tp hp A = {a
1
, a
2
, a
3
}. Gi P (A) tp h p t t c các tp hp con
ca tp hp A.
a) Hãy lit kê tt c các phn t ca P(A).
b) P(A) có bao nhiêu ph n t ?
10. Cho tp hp B = {a
1
, a
2
, a
3
, a
4
}. Gi P(B) t p hp t t c các t p hp
con ca tp hp Aa) Hãy lit kê tt c các phn t ca P(B).
b) P(B) có bao nhiêu ph n t ?
11. Cho các tp hp A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d}. Trong hai cách viết sau
đây, cái nào đúng, cái nào sai?
a) P(A) P(B) ; b) P(A) P(B).
12. Bng ph ng pháp quy n ng n p hươ p, hãy chng minh r ếu t p A n
phn t thì nó có c thy 2
n
tp con.
Form at t ed:
Heading01
TIU CH ĐỀ 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TP
HP
Thông tin cơ bn
2.1. Giao ca các tp hp
a) Giao ca hai tp hp A B tp h p t chung o nên bi các phn t
ca hai tp hp đó, kí hiu là:
A B (đọc là A giao B)
T đnh nghĩa ca A B suy ra r ng x A B khi và ch khi x A x
B. Ta viết:
x A B x A và x B.
Ví d 2.1 :
Nếu A tp hp các bi t nhiên ca 4 B tp hp các bi t nhiên
ca 6:
A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}; B = {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
thì A B là tp hp các bi t nhiên ca 12:
A B = {0, 12, 24, 36...}
Hình 9
Ví d 2.2 :
Cho tp hp
A = {x
R : 2x 1 < 0}.
Tìm A N (N là tp hp các s t nhiên).
Ta có:
A = {x
R : x < }
Do đó:
A N = {0}.
Form at t ed:
Heading03
Hình 10
Hai tp hp A và B gi là không giao nhau hoc ri nhau nếu A B = φ.
Ví d 2.3 :
Nếu D tp hp các tam giác đều V tp hp các tam giác vuông thì
D và V là hai tp hp ri nhau.
Tht vy, mt tam giác không th v a đều v a vuông.
Do đó: D V = φ
Phn có các đường g ch chéo trong Hình 11 bi u th tp hp φ.
Hình 11
T định nghĩa giao ca hai tp hp suy ra rng:
x A B x A hoc x B.
b) Đối vi hai tp hp A B bt kì, ta lược đồ Ven dưới đây. Lược đồ
ch ra bn min được đánh s n này I, II, III, IV. Các mi được làm bi
mt cây ch đôi.
Hình 12
Người ta cũng bi p hu din bn min nay trong mt bng ca hai t p A,
B. Bng này được gi là lược đồ Carôlơ (Caroll).
Hình 13
Ví d 2.4 :
Gi A tp hp các ước t nhiên ca 6 B tp hp các ước t nhiên
ca 8. Các min I, II, III, IV được cho trong lượ ược đồ Ven là l c đồ Carôlơ
trong Hình 13.
Mt s t c tính ch a phép l p hy giao các t p
T định nghĩa giao ca hai tp hp, d dàng chng minh được các đẳng
thc sau:
c) Vi các t p hp b t kì A, B, C, ta có:
(i) A B = B A,
(ii) (A B) C = A (B C),
(iii) φ A = φ,
(iv) A A = A
Đẳng th c (ii) cho phép, khi l y giao c a mt s h u h n t p h p, b các
du ngoc hoc ch th t phép ly giao.
Quan h a bao hàm th gi c giao ca các tp hp được cho trong nh đị
sau:
d) Vi các tp hp bt kì A, B, C, D, ta có:
(i) A B A, A B B,
(ii) Nếu A B và A C thì A B C,
(iii) Nếu A B và C D thì A C B D,
(iv) A B A B = A.
Chng minh:
(ii) gi s A B, A C và x là mt phn t bt kì ca A. Khi đó, x B và
x C; do đó x B C.
(iv) () Gi s A B. Khi đó, nếu x A thì x B, do đó x A B . T
đó ta A A B. Mt khác, theo (i), A B A. T hai bao hàm thc
trên suy ra A B = A.
() gi s A B = A. Khi đó, nếu x A thì x A B ; do đó x B.
Vy A B .
e) Các mnh lôgic Điênétxơ (Diénès)
Đó m t b g đ m 48 mnh g , ôi m t được phân bit bi ít nht là mt
thuc tính (tiêu chu c tính. n) và nhiu nht là bn thu
Mi mnh g được xác định bi bn thuc tính:
Có 24 mnh cùng độ dày.
Mi mnh được xác định b n chi b tượng trư ng cho b n thu c tính, nh
đ ó phân bit được vi các mnh khác. B n thu c tính được nhc đến
theo th t sau:
Hình dng n Độ l Màu sc Độ dày.
Hình 14
Hình 14
Chng hn,
VLĐD hay CBXM
Hình vuông ln đỏ dày Hình ch nht bé xanh mng.
Tp hp tt c các mnh lôgic Điênétxơ được kí hiu là L
0
Các tp con nhng mnh lôgic được kí hiu bi mt, hai hoc ba ch.
Chng hn, V là tp hp các mnh hình vuông XM tp hp các mnh
xanh mng. Lược đồ Ven ca hai t p hp này được cho trong Hình 15. D
thy.
V XM = {x : x là mt mnh vuông xanh mng}
= {VBXM, VLXM}
Hình 15
2.2. Hp c p ha các t p
a) Hp ca hai tp h p t c ít p A B tp h o nên b n ti các ph thu
nht m t trong hai t p hp đó, kí hiu là A
B (đọc là A hp B).
T định nghĩa ca A B suy ra rng:
x A B x A hoc x B.
Ví d 2.5 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì
A B = {a, b, c, d, e, f, g}
Ví d 2.6 :
Hp ca tp hp các s hu t và tp h p các s vô t là tp hp các s th c.
Hp ca tp hp Z các s nguyên tp hp Q các s h u t tp h p Q:
Z Q = Q.
T định nghĩa hp ca hai tp hp suy ra rng:
x A B x A và x B.
Ví d 2.7 :
Xét tp hp T các mnh tam giác tp hp X c mnh màu xanh
trong b các mnh Lôgic Điênétxơ. Khi đó T X tp hp các ph n t
thuc T hoc thuc X. Đó tp hp các mnh hình tam giác hoc màu
xanh.
Form at t ed:
Heading03
Hình 16
TUX là tp hp các mnh tam giác hoc xanh.
Mt s tính cht ca phép ly h p hp các t p
T định nghĩa ca hp các t p h p d dàng suy ra:
b) Vi các tp hp bt kì A, B, C,
(i) A B = B A,
(ii) (A B) C = A (B C),
(iii) φ A = A,
(iv) A A = A.
Đẳng th (ii) cho phép, khi ly hp ca m t s hu hn tp h p, b các du
ngoc ch th t các phép ly hp.
Quan h gia bao hàm thc và phép ly hp được cho trong định lí sau:
c) Vi các tp hp bt kì A, B, C, D,
(i) A A B, B A B,
(ii) Nếu A C và B C thì A B C,
(iii) Nếu A C và B D thì A B C D,
(iv) A B A B = B.
Chng minh
(ii) gi s A C B C. Khi đó, nế u x A B thì x A ho c x B.
Do đó x C. Vy A B C.
(iv) () Gi s A B. Khi đó, nếu x A B thì x B hoc x A B, do đó
x B. Vy A B B. Mt khác, theo (i), ta có B A B. T hai bao hàm thc
va nêu suy ra A B = B.
() Gi s A B = B. Khi đó, theo (i), ta có:
A A B = B.
Định lí sau nêu lên quan h gi a hai phép l y h p và giao c a các tp h p.
d) Vi các tp hp bt kì A, B, C,
(i) A (A B) = A,
(ii) (A B) B = B,
(iii) A (B C) = (A B) (A C),
(iv) A (B C) = (A B) (A C).
Chng minh
(i) Vì A A B nên A (A B) = A (theo (iv) trong 1.d)).
(ii) Vì A B B nên (A B) B = B (theo (iv) trong c)
(iii) Gi s x A (B C). Khi đó x A và x B C.
Do đó x c x A và x B ho C. Nếu x A và x B thì x A B. Do
đó x (A B) (A C). Tương t u x A và x C thì x , nế A C. DO
đó x (A B) (A C). Vy:
A (B C) (A B) (A C) (1)
Đảo li, nếu x (A (A B) C) thì x A B hoc x A C.
Nếu x A B thì x A và x B B C; do đó x A (B C).
Nếu x A C thì, chng minh tương t, ta cũng được x A (B C).
Vy:
(A B) (A C) A (B C) (2)
T hai bao hàm thc (1) và (2) suy ra đẳng th ng minh: c trong (iii) cn ch
(iv) được chng minh tương t
Công thc (iii) cho thy phép hp tính phân phi đối vi phép giao;
công thc (iv) cho thy phép giao có tính phân phi đối vi phép hp.
2.3. Hiu ca hai tp hp
a) Hiu c p h p h p các ph n ta hai t p A B t thuc A nhưng
không thuc B, kí hiu là A \ B (đọc là A tr B).
T định nghĩa ca A \ B suy ra:
x A \ B x A và x B.
Form at t ed:
Heading03
Ví d 2.8 : Cho hai tp hp:
A = {a, b, c, d, e, f}, B = (c, e, g, h, k}.
Khi đó:
A \ B = {a, b, d, f}
Ví d 2.9 :
Gi C tp hp các hình ch nht, T tp hp các hình thoi. Khi đó, C \
T là tp hp các hình ch nht mà không phi là hình thoi (Hình 18).
Hình 17 Hình 18
Đó cũng chính là t p hp các hình ch nh t mà không ph i là hình vuông.
Ví d 2.10 :
Hiu c p ha t p các s thc và tp hp các s h u t tp hp các s
t. Hiu ca tp hp N các s t nhiên và t p hp Z là t p hp rng: N \ Z =
φ.
T định nghĩa hiu hai tp hp suy ra rng:
x A \ B x A hoc x B.
Mt s tính cht ca phép tr
Quan h gi c phép la bao hàm th y hiu hai tp hp được cho trong
định lí sau:
b) Vi các tp hp bt kì A, B, C, D, ta có:
(i) A \ B A,
(ii) Nếu A B và C D thì A \ D B \ C,
(iii) Nếu C D thì A \ D A \ C,
(iv) A φ B A \ B = .
Chng minh:
(ii) Nếu x A \ D thì x A và x D. Vì A B và x A nên x B. Vì C
D và x D nên x C. Như vy, ta có x B và x C; do đó x B \ C.
Vy A \ D B \ C.
(iii) Vì A A nên trong (ii), thay B bi A, ta được (iii).
(iv) suy ra t định nghĩa hi u c p h a hai t p.
Quan h gia phép tr vi hai phép hp và giao các tp hp được nêu trong
định lí sau:
c) Vi các tp hp bt kì A, B, C, ta có:
(i) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C),
(ii) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).
((i) và (ii) được gi là cac công thc Moocgăng (Morgan)).
Chng minh:
(i) x A \ (B C) x A và x B C.
x B C x B và x C.
Do đó:
x A \ (B C) x A và x B và x C
x A \ B và x A \ C.
x (A \ B) (A \ C).
T đó ta có đẳng thc (i).
(ii) được chng minh tương t.
2.4. Không gian. Phn bù ca mt tp hp
a) Trong các ng d p h p hng ca lí thuyết t p, các t p được xét thường là
các tp con ca mt tp hp X cho trước. Tp hp X được gi không
gian.
Chng hn, trong s h c, người ta ch xét các tp con c a tp hp N các s
t nhiên. Khi đó, ta không gian N. Trong gii tích, tp hp
R c s
thc được xem không gian trong hình hc, tp hp các đim ca
không gian Ơclit được xem là không gian.
Khi nghiên cu các tp con ca mt không gian X, người ta thường đồng
nht m t t p hp con A ca X vi mt tính cht đặc trưng T ca các phn
t ca A: Ch các phn t c a A tính cht T, các phn t khác c a X
không tính cht đó. Khi đó, thay cho x A, ta nói x tính cht T.
Chng h nguyên t p con cn, tp h p P các s mt tp h a không gian
N các s t nhiên. Thay cho x P, ta nói rng x m t s nguyên t . Tương
Form at t ed:
Heading03
t, tp hp N các nghim th c c a phương trình (x
2
2) (x
2
+ x 6) = 0
mt tp hp con ca không gian
R các s thc. Thay cho x N, nói
rng x là m c ct nghim th a phương trình va xét.
b) Gi s X m t không gian A m t tp con c a X. Tp hp X \ A
đượ được gi là phn bù ca A và c kí hiu là CA.
Hình 19
Chú ý rng phn c p h p pha mt t thuc vào không gian cha nó.
Chng hn, tp hp A = {0, 1, 2, 3, 4} phn trong không gian N các
s t nhiên tp h p các s t ơ ư nhiên l n h n 4, nh ng trong không gian Z
các s nguyên âm các s nguyên, ph n c p h a A t p gm các s
nguyên ln hơn 4.
T định nghĩa phn bù ca mt tp h p suy ra r ng:
Nếu X là mt không gian và A X thì vi mi x X,
x CA x A.
Mt s tính cht ca phn bù ca tp hp
T định nghĩa ca phn bù mt tp hp, d dàng chng minh được rng:
c) Vi các tp con bt kì A, B ca không gian X, ta có:
(i) X A = A,
(ii) X A = X,
(iii) CX = φ,
(iv) Cφ = X,
(v) CCA = A,
(vi) A B CB CA.
Chng minh
(v) Nếu x C(CA) thì x CA; do đó x A.
Vy CCA A. Đảo li, nếu x A thì x CA, do đó x C(CA). Vy A
CCA. T hai bao hàm thc va nêu suy ra đẳng thc cn chng minh.
Quan h gia mt t p h p bt kì v i ph n bù ca nó trong không gian.
d) Vi mi tp con A ca không gian X, ta có:
(i) A CA = X,
(ii) A φ CA = .
Chng minh
(i) Nếu x X thì x A hoc x A, do đó x thuc ít nht mt trong hai tp
hp A CA, tc x A CA. Đảo li, nếu x A CA thì x thuc ít
nht mt trong hai tp hp A và CA. Vì c hai tp hp này đều là nhng tp
hp con ca X nên x X. T đó ta có đẳng thc (i).
(ii) Nếu x A CA thì x A và x CA, tc là x A và x A, điu này
là vô lí. Vy tp hp A CA không có phn t nào, tc là A CA = φ.
T định lí 3 c) và định nghĩa ph n bù ca t p hp suy ra r ng:
e) Vi hai tp hp con b t kì A, B c a không gian X, ta có:
(i) C(A B) = (CA CB,
(ii) C(A B) = CA CB.
Như vy, ph n bù c p h p h p b n bù c a chúng a t p hai t ng giao các ph
và phn bù ca giao hai tp hp b p các phng h n bù ca chúng.
(i) và (ii) gi là các công thc Moócgăng.
Quan h gi u ca hi a hai tp hp con bt ca mt không gian vi các
phép ly phn bù, hp và giao được nêu trong định lí sau:
f) Vi hai tp hp con bt kì A, B ca không gian X, ta có:
(i) A \ B = A [B,
(ii) A \ B = C(CA B).
Chng minh
(i) x A \ B x A và x B
x A và x [B x A [B.
Do đó ta có đẳng thc trong (i).
(ii) Theo (v) trong c), ta có:
A \ B = CC(A \ B).
T (i) và (ii) trong e) suy ra:
[(A \ B) = [(A [B) = [A [[B = [A B
Do đó: A \ B = C(CA B)
Định lí sau thường được s dng trong th c hành:
g) Vi hai tp hp con bt kì A, B ca không gian X,
(i) A φ B A [B = ,
(ii) A B [A B = X.
Chng minh
(i) Ta biết rng A B khi và ch khi A \ B = φ. Mt khac,ta co A \ B = A
[B (xem (i) trong f)). T đó suy ra đẳng th c cn ch ng minh:
(ii) Theo (i), ch cn chng minh
A {B = φ [A B = X.
Tht vy, các điu kin sau là tương đương:
A CB = φ,
C(A CB) = X,
CA CCB = X (suy ra t công th c Đờ Mooc găng)
CA B = X
b. hot động.
Sinh viên t đọc thông tin cơ bn, sau đó th o lu n theo nhóm 2, 3 người để
thc hi n các nhi m v dưới đ ây. M i nhóm c đạ đểi din trình bày giáo
viên tng kết:
Nhim v
Nhim v 1:
Nm vng định nghĩa giao ca hai tp hp và có kĩ năng thành tho trong
vic tìm giao ca hai tp hp cho trước.
Lp được lược đồ Ven lược đồ Carôlơ đối vi hai tp hp A B cho
trước.
Nm vng các tính cht ca phép ly giao các tp hp.
Nhim v 2:
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
Nm vng định nghĩa hp c p ha hai t p kĩ năng thành tho trong
vic tìm hp ca hai tp hp cho trước.
Lp được lược đồ Ven ca hp hai tp hp.
Nm vng các tính cht ca phép ly hp các tp hp.
Nm vng quan h gia phép ly hp và ly giao các tp hp.
Nhim v 3:
Nm vng định nghĩa hiu ca hai tp hp và có kĩ năng thành tho trong
vic tìm hiu ca hai tp hp cho trước.
Lp được lược đồ Ven ca hiu ca hai tp hp.
Nm vng các tính cht ca phép tr tp hp:
z Quan h gia phép tr và bao hàm thc.
z Quan h gia phép tr và phép ly hp và giao các tp hp.
Nhim v 4:
N m vng khái ni m không gian định nghĩa ph n c p h a mt t p
năng thành tho trong vic tìm phn ca mt tp hp cho
trước.
Nm vng mt s t c tính ch a ph n bù ca tp h p:
z Quan h gia m t tp hp con c a mt không gian vi phn bù ca nó.
z Phép ly phn ca hp giao ca hai tp hp (các công thc
Moócgăng).
z Quan h gi p ha phn bù ca t p và bao hàm thc.
z Quan h gi p ha phn bù ca t p vi phép tr các tp hp.
Đánh giá hot động 1. 2
1. G gii A là tp hp các s l a 10 và 40 (ln hơn 10 và nh hơn 40) và B
là tp hp các s nguyên t gia 10 và 40.
a) Tìm các t p h p A B, A B, A \ B và B \ A.
b) Lp l p hược đồ Ven đối vi hai t p A và B.
2. Gi A là tp h p hp các s t nhiên chia hết cho 2 B là t p các s t
nhiên chia hết cho 5.
a) Tìm các t p h p A B, A B, A \ B và B \ A.
b) Lp sơ đồ Ven đối vi A và B.
3. Gi V là tp h p hp các tam giác vuông và C là t p các tam giác cân.
a) Tìm các t p h p V C, V C, V \ C và C \ V.
b) Lp l p hược đồ Ven đối vi hai t p V và C.
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading02
4. Cho hai tp hp A = {x
R : |x| 5} và B = {x
R : 6 x < 0}
Tìm các tp hp A B, A B, A \ B và B \ A.
5. Tìm hai tp hp E F nhng mnh lôgic Điênétxơ (E, F L
0
) trong
mi lược đồ dưới đ ây biế t rng mi t p h p được xác định b i hai thu c
tính và giao E F là tp mt đim:
Hình 20
6. Trong tp hp L
0
các mnh lôgic Điênétxơ, gi N tp hp các mnh
nâu, BN là tp hp các mnh bé nâu và V là tp hp các hình vuông.
a) Xác định các min II, IV và V bng cách nêu mt tính cht đặc trưng ca
các phn t ca mi min.
b) Tính s phn t ca mi min.
Hình 21
7. Chng minh rng vi các tp hp bt kì A, B, ta có:
a) A \ B = A \ (A B) ; b) A = (A B) (A \ B);
c) A \ (A \ B) = A B.
8. Chng minh rng vi ba tp hp A, B, C bt kì, ta có:
a) A \ (B C) = (A \ B) \ C;
b) A (B \ C) = (A B) \ C;
c) (A B) \ C) = (A \ C) (B \ C);
d) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C).
9. Chng minh rng vi hai tp hp con bt kì A, B ca không gian X,
nếu [A [B = [A và B A thì A = B.
10. Chng minh rng vi hai tp hp con A và B bt kì ca không gian X,
A B [A [B = [B.
11. Hiu đối xng c p ha hai t p A B, hiu A B, tp hp các
phn t thuc A hoc thuc B nhưng không thuc đồng thi c hai tp hp
đó:
A B = (A \ B) (B \ A).
Chng minh rng:
a) A B = φ A = B,
b) A B = B A,
c) (A B) C = A (B C),
d) A (B C) = (A B) (A C),
e) A B = A B (A B),
f) A \ B = A (A B).
12. Chng minh rng vi ba tp hp A, B, C bt kì,
A B = C B = A C.
13. Vi hai tp h p con b nh ngh p t kì A, B ca không gian X, ta đị ĩa h
giao ca hai tp hp đó da vào quan h bao hàm như sau:
A B là tp con nh nht ca X cha A và B,
A B là tp con l n nh t ca X cha trong A và trong B.
a) Chng minh các định nghĩa này tương đương vi các định nghĩa đã biết.
b) áp dng các định nghĩa va nêu, hãy chng minh các khng định sau:
(i) A B A B = B,
(ii) (A B) C = A (B C),
(iii) (A B) C = (A C) (B C),
A, B, C là nhng t p con b t kì ca không gian X.
14. Cho không gian (tp h p X). T p h p các tp con A
1
, A
2
, ..., Am gi
m it phép phân hoch ca X nếu các đ u kin sau được tho mãn.
(i) Ai φ vi i = 1, 2, ..., m,
(ii) Ai Aj = φ v i i j (t c các tp hp A
1
, A
2
, ..., Am đôi mt ri
nhau),
(iii) A1 A2 ... Am = X.
Chng minh r ng m i t p các t p con sau đây c a L
0
mt phép phân
hoch ca L
0
:
a) {Đ, X, N};
b) {C, V, T, H};
c) {LM, BM, LD, BD};
d) BĐ, LX, BX, LĐ, N}.
15. Gi A tp h p hp các bi t nhiên ca 3, B t p các s t nhiên n
sao cho n 1 mt bi t nhiên ca 3 C tp hp các s t nhiên n
sao cho n 2 là mt b i t nhiên ca 3. Chng minh rng:
{A, B, C} là mt phép phân hoch ca không gian N.
16. Vi mt tp h u hp h n A bt kì, hiu N (A) ch s phn t ca A.
Chng minh r ng vi hai t p h p h u h n A, B bt kì, ta có:
N (A B) = N (A) + N (B) N (A B).
17. Cho ba tp h p h u hn A, B, C. Chng minh rng:
N (A B C) = N (A) + N (B) + N (C) + N (A B C) N (A B)
N (A C) N (B C).
18. Trong mt lp hc ngoi ng, tp h p A các hc viên n 4 phn t,
tp hp B các hc viên t 20 tui tr lên 5 phn t. 3 hc viên n t
20 tui tr lên. Tìm s phn t p h ca t p A B.
19. Trên mt bãi đ xe, 42 xe gm taxi xe buýt. 14 xe màu vàng
37 xe buýt hoc xe không màu vàng. Hi trên bãi để xe bao nhiêu
xe buýt vàng?
20. Mt lp h ó 15 em hc 40 hc sinh, trong đ c khá môn Toán, 16
em h c khá môn Văn 17 em h c khá môn Tiếng Anh. 5 em h c khá
c hai môn Văn Toán, 8 em hc khá c hai môn Toán và Anh, 6 em hc
khá c hai môn Văn và Anh, và 2 em hc khá c ba môn.
Hi bao nhiêu hc sinh ch hc khá môn Toán? Ch hc khá môn Văn?
Ch hc khá môn Anh? Không hc khá môn nào?
Form at t ed:
Heading01
TIU CH ĐỀ 1.3. QUAN H
Thông tin cơ bn
3.1. Quan h hai ngôi
3.1.1. Tích Đềcác ca các tp hp
a) Cp th t
Ta biế t rng t p h p gm hai phn t a b được hiu {a, b}. Kí hiu
{b, a} cũng ch tp hp đ ó, t c {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiu
trường hp người ta quan tâm đến th t ca hai phn t: a đứng trước, b
đứ đứ đứng sau hay b ng trước, a ng sau. Khi đó người ta được hai dãy được
sp theo th t khác nhau: Dãy a, b dãy b, a. Đó hai dãy khác nhau,
tr phi a = b. Mi dãy được gi là mt cp th t c a hai phn t. Như vy,
Dãy gm hai đối tượng a b, được sp theo th t a đứng trước, b đứng
sau gi mt cp th t, hiu (a, b); a gi là phn t đứng trước, b là
phn t đứng sau.
Nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cp th t khác nhau.
Hai cp th t (a, b) và (c, d) là bng nhau khi và ch khi a = b và c = d.
Cp th t (a, b) được biu din b i mt mũ đi tên i t phn t đứng trước a
đế đứn phn t ng sau b.
Hình 1
Nếu a = b thì mũi tên tr thành mt vòng.
Ví d 3.1 :
Kết qu ca mt trn bóng đá là: (3; 1), (1; 3); (2; 0). Cp th t (3; 1) được
hiu trên sân nhà, đội ch nhà đã thng đội khách: Đội ch nhà đã ghi
được 3 bàn còn đội khách ch ghi được 1 bàn. Cp th t (1; 3) cho biết đội
ch nhà đã thua đội khách: Trong trn đấu, đội ch nhà ch ghi được 1 bàn,
trong khi đội khách ghi được 3 bàn.
Ví d 3.2 :
Din tích ca các nước trên thế gii (tính trên m ũt ngàn km
2
) c ng được ghi
bng các cp th t, chng hn:
(Tây Ban Nha; 500), (Italia; 300), (Vit Nam, 330)
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Ví d 3.3 :
Mi s phc mt cp th t (a, b) c a hai s th c. Ta biết rng hai s
thc a b khác nhau thì (a, b) (b, a) hai s phc khác nhau; Hai s
phc (a, b) (c, d) bng nhau khi ch khi chúng phn thc bng
nhau và phn o bng nhau, tc là a = c và b = d.
b) Tích Đêcác ca hai tp hp.
Cho hai tp h p h p t p thp X Y. T t c các c t (x, y) trong đó x
X, y Y g i là tích Đêcác ca hai tp hp X, Y và được kí hiu là X x Y.
Như vy,
X x Y = {(x, y) : x X, y Y}.
Ví d 3.4:
Cho hai tp hp X = {x
1
, x
2 1 2 3
} và Y = {y , y , y }.
Khi đó
X x Y = {(x
1
, y , y , y , y
1
), (x
1
, y
2
), (x
1 3
), (x
2 1
), (x
2
, y
2
), (x
2 3
)}
Hình 2
Trong Hình 2 a), m n ti ph c ũ đa X x Y được bi u di n bi mt m i tên i
t tp h p X vào tp h p Y. Người ta gi đó lược đồ hình tên. Trong
hình 2 b), các ph n t c a X x Y được biu din b i các đi m ca mt lưới
xác c định bi hai tp hp X và Y. Người ta gi đó là lượ đồ Đêcác.
Trong trường hp t p h p X hoc tp hp Y có s phn t , ta ch th
s dng lược đồ Đêcác.
Ví d 3.5 :
Tích Đêcác ca tp hp N các s t nhiên tp h p
R các s th c tp
hp.
N x
R = {(x, y) : x N, y
R}.
Trong m n bt phng to độ, N x
R được bi u di i tp hp các đim ca
các đường thng x = 0, x = 1, x = 2, ...
Hình 3
Đi m (2; ) n m trên đường th ng x = 2, các đi m (3; ) và (4; 2,2), theo th
t, nm trên các đường thng x = 3 và x = 4.
Nếu Y = X thì tp hp X x X còn được kí hiu là X
2
. Như vy,
X
2
= {(x, y) : x X, y X}.
Ví d 3.6 :
Cho tp hp X = {a, b}. Tìm tp hp X
2
.
Ta có:
X
2
= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
Ví d 3.7 :
Cho tp hp X = [1,5; 4] = {x
R = 1,5 x 4}. Tìm X
2
.
Ta có:
X
2
= [1,5; 4] x (1,5; 4]
= {(x, y) : 1,5 x 4; 1,5 y 4}.
Hình 4
Trong mt phng to độ, tp hp X
2
được bi u din b i tp h p các đim
ca hình vuông gii hn bi các đường thng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 y =
4 (Hình 4).
c) Ta m r ĩng định ngh a tích Đêcác cho mt s hu hn tp hp.
Cho m tp h p X
1 2
, X , ..., Xm. Tp h p các dãy m phn t (x
1
, x
2
, ..., xm),
trong đó x
1
X
1
, x
2
X
2
, ..., xn Xm gi là tích Đêcác ca m tp hp X
1
,
X
2
, ..., Xm và được kí hiu là X
1
x X
2
x... x Xm.
X1 x X2 x... x Xm = {(x
1
, x
2
, ..., xm) : x
1
X1, ... xm Xm}.
Nếu X
1
= X
2
= ... = Xm thì tp hp X
1
x X
2
x... x Xm được hiu Xm.
Như vy X là tp h p các dãy m ph n t (x
1
, x
2
, ..., xm), trong đó x1, ..., xm
X.
Ví d 3.8 :
Tích Đêcác R
3
, trong ó R tđ p hp các s thc không gian Ơclit ba
chiu, tích Đêcác Rm là không gian Ơclit m chiu.
Ví d 3.9 :
Tìm các ước s ca 4312.
Ta có: 4312 = 2
2
x 7
2
x 11.
Mi ước s ca 4312 dng 2
a
x 7
b
x 11
c
, vi a = 0, 1, 2 hoc 3, b = 0, 1
hoc 2, c = 0 hoc 1.
Đặt X = {2
0
, 2
1
, 2 , 7
2
, 2
3
}, Y = {7
0 1
, 7
2
}, C = {11
0
, 11
1
}. Khi đ ó, vi m i (x, y,
z) X x Y x Z, tích xyz là mt ước ca 4312.
3.2. Định nghĩa quan h hai ngôi
Ta đã biết th đồng nht mt tp hp con A ca mt không gian X vi
mt tính cht T nào đó ca các phn t ca không gian X: Ch các phn t
ca A tính cht T, các phn t c a X không thu c A không tính cht
đ ó. Nói m t cách khác,
x có tính cht T x A
(xem mc 4, hot động 2, ch đề 1).
Trong toán hc ng p thười ta thường quan tâm đến các tính cht ca các c
t, tc các tính cht ca các phn t c đa tích Đêcác. Các tính cht ó
được gi nh ng quan h hai ngôi, gi tt quan h . Theo nhn xét va
nêu trên,th xem các quan h p h hai ngôi các t p con ca các tích
Đ Đêcác. iu này s được làm sáng t qua các ví d.
Ví d 3.10 :
Ta hi u P = P (
R) t p hp t t c các t p con ca t p h p s th c
R.
Gia s thc t p h p s n t thc {1, , 5} quan h “ph thuc tp
hp”, tc quan h {1, , 5}. Mt cách tng quát, quan h này gi a
mt s th c x mt tp con A ca
R khi ch khi x A. Quan h va
nêu mt tính cht ca các cp th t (x, A), trong đó x
R, A P. Cp
th t (x, A) trong đó x
R, A P tính cht này khi và ch khi x A.
vy th xem quan h được xét mt tp con ca tích Đêcác
R x P;
tp con này được to nên bi các cp th t (x, A), trong đó x A.
Ví d 3.11:
Ta nói rng gia các s nguyên dương 2 và 8, hoc 3 và 15, hoc 7 và 14 có
quan h chia hết : 2 chia hết 8, 3 chia hết 15 và 7 chia hết 14. Mt cách tng
quát, quan h chia hết gia hai s nguyên d ng x y khi chươ khi x
chia hết y. Quan h chia hết là mt tính cht ca các cp th t (x, y), trong
đó x N*, y N*. Cp th t (x, y), trong đó x N*, y N* có tính cht
này khi ch khi x chia hết y. vy, th xem quan h chia hết mt
tp con ca tích Đêcác N* x N* = (N*)
2
. Tp con này được to nên bi các
cp th t (x, y), trong đó x và y là hai s nguyên dương sao cho x chia hết
y.
Mt cách tng quát, ta có:
Định nghĩa:
Form at t ed:
Heading04
Cho hai tp hp X Y. Tp con R ca tích Đêcác X x Y gi mt quan
h hai ngôi trên X x Y.
Nếu R là mt tp con ca tích Đêcác X x X thì ta nói rng R là mt quan h
hai ngôi trên X (thay cho “R là mt quan h hai ngôi trên X x X”.).
Nếu R là mt quan h hai ngôi trên X x Y và (x, y) thì ta vi t x ế y và
đọc là x có quan h R vi y.
Nếu (x, y) R thì ta viết x R y đọc là x không có quan h R vi y). Quan
h hai ngôi thường được gi tt là quan h.
Ví d 3.12 :
Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {1, 4} Y = {A, B}. Gi R
quan h “ph n t thuc tp h p” trên X x Y. Theo định ngh a quan hĩ hai
ngôi, ta có:
R = {(1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}.
Các phn t c a R, t c các cp th t, được biu din trong hai lược đồ
sau:
Hình 5
Ví d 3.13 :
Cho tp hp X = {2, 3, 5, 8, 15}. Hãy tìm quan h chia hết R trên X.
Ta hiu R là quan h hai ngôi trên X x X.
Theo định nghĩa quan h hai ngôi, ta có:
R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}. Các phn
t ca R được biu din trong hai lược đồ sau:
Hình 6
Gi s R là mt quan h hai ngôi trên X x Y.
Tp hp các phn t đứng trước ca các cp th t (x, y) thuc quan h R
gi là tp xác định ca quan h R, kí hi u là D (R).
Như vy, phn t x X thuc D (R) khi ch khi tn ti mt phn t y
Y sao cho x R y:
x D (R) tn ti y Y sao cho x R y.
hay D (R) = {x X: Tn ti y Y sao cho x R y}.
Tp hp các ph n t đứng sau ca các cp th t (x, y) thuc quan h R gi
là tp nh (gi tt là nh) ca quan h R, kí hiu là D* (R).
Như vy, phn t y Y thuc D* (R) khi ch khi tn ti mt phn t x
X sao cho x R y:
y D* (R) tn ti x X sao cho x R y,
hay D* (R) = {y Y: Tn ti x X sao cho x R y}.
Chng hn, vi quan h hai ngôi R trong ví d 12, ta có:
D* (R) = {1, 2, 4} , D* (R) = {A, B} = Y.
Ví d 3.14 :
Cho tp hp X = {2, 3, 5} Y = N. Gi R quan h chia hết trên X x N,
tc là x R y khi và ch khi x là ước s ca y. Khi đó.
D* (R) = X = {2, 3, 5},
và D* (R) tp hp tt c các s t nhiên chia hết cho 2, 3 hoc 5:
D* (R) = {2m : m N} {3n : n N} {5k : k N}.
th biu di n quan h hai ngôi R trên tp hp Rcác s thc bi lược đồ
Đêcác. Quan h R được bi u di n bi mt t p con ca m t ph ng to độ
Oxy. Tp xác a quan h u diđịnh D (R) c R được bi n bi hình chiếu ca
R trên tr c hoành Ox; t p nh D* (R) c a quan h được biu di n bi
hình chi a R trên trếu c c tung Oy (Hình 7).
Hình 7 Hình 8
Trong Hình 8, ta có lược đồ biu din quan h hai ngôi R trên
R (R =
R
2
)
xác định như sau: Vi mi (x, y)
R
2
, x R y khi ch khi x
2
= y. D dàng
thy rng:
D (R) =
R và D*(R = [0, + ) = x : x 0
3.3. Mt s tính cht thường gp ca quan h hai ngôi
a) Quan h hai ngôi R trên tp hp X gi phn x nếu vi mi x
X, ta
đều có x R x.
Ví d 3.15 :
Quan h chia hết trên tp hp s nguyên dương N* là phn x vì vi m i s
nguyên dương x, x chia hết x.
Quan h (nh hơn hoc bng) trên t p h p các s th c
R là ph n x
vi mi x
R, x x.
Gi s A mt tp h p các mnh lôgíc (A L
0
). Quan h RA “có cùng
màu vi” (mnh x cùng màu vi mnh y) hi n nhiên ph n x (Hình
9).
Form at t ed:
Heading04
Hình 9 Hình 10
Nếu R mt quan h ph n x trên A thì lược đồ hình n ca mt
vòng ti mi đim ca A (Hình 9).
Quan h “là bình phương c pha” trên N không phi mt quan h n x
vì ch có h s 0 và 1 là bình phương c a chính nó (Hình 10).
Nếu quan h hai ngôi R trên X không phi phn x thì lược đồ hình tên
ca nó có ít nht mt đim ti đó không có vòng.
Quan h hai ngôi R trên tp hp X gi đối phn x nếu vi mi x X, x
đều không có quan h R vi x, tc là không xy ra x R x.
Nói mt cách khác, R là đối phn x nếu
(x, x) R vi mi x X.
Ví d 3.16 :
Quan h “<” trên
R là đối phn x vì v i mi x
R, đều không có x < x.
Nếu quan h hai ngôi R trên tp hp X là đối phn x thì lược đồ tên ca nó
không có mt vòng nào (Hình 11).
Hình 11 Hình 12
Quan h “vuông góc v p hi” trên t p các đường thng ca mt mt
phng đối phn x mi đường thng đều không vuông góc vi chính
nó.
Quan h “là b ca” trên mt tp hp ngườ ưới cho tr c là đối phn x.
b) Quan h hai ngôi
trên tp h u vp X gi là đối xng nế i mi x, y
X,
x R y
y R x.
Ví d 3.17 :
Gi s X là mt tp hp khác . Tp hp:
R = {(x, x) : x X} X2
gi là quan h đồng nht trên X.
Như vy, vi mi x, y X,
x R y x = y.
D thy quan h đồng nht trên X là đối xng.
Quan h “vuông góc v p hi” trên t p các đường thng ca mt mt
phng là đối xng.
Quan h “là anh ho p hc em trai ca” trên mt t p tr em đối xng
(Hình 12).
Nếu quan h hai ngôi R trên tp hp X đối xng thì trong lược đồ hình
tên ca nó, hmt mũi tên đ đi t x đến y, t có m ũt m i tên i t y đến x.
Chú ý rng gia hai đim x và y có th không có mũi tên nào, nhưng nếu đã
có thì tt ph i có hai m ũi tên đi ngượ ước h ng nhau.
Cho tp hp A = {1, 2, 3, 4}. Quan h “nh hơn ho c b ng” () trên A
không phi là mt quan h đối xng (Hình 13).
Hình 13 Hình 14
Nếu quan h hai ngôi R trên tp hp X không phi là mt quan h đối xng
thì trên lược đồ tên ca R có ít nht m i tt mũi tên đ x đến y không
mũi tên ngược t y đến x.
Quan h hai ngôi R trên tp hp X gi phi đi xng nếu vi mi x, y
X,
x R y y R x.
Nói mt cách khác, R là phi đối x i mng nếu v i x, y X
(x, y) R (y, x) R.
Ví d 3.18 :
Quan h hai ngôi “<” (nh hơ n) trên tp h p các s th c
R phi đối
xng vi hai s thc bt x, y, các điu kin x < y y < x loi tr
nhau.
G i R quan h hai ngôi xác định trên t p hp các s nguyên dương N*
xác định bi: x R y khi ch khi x = 2y R là mt quan h phi đối xng
vi mi x, y N* không th đồng thi xy ra x = 2y và y = 2a (Hình 14).
Nếu R là mt quan h phi đối xng trên tp hp X thì trên lược đồ hình tên
ca R, gia hai đim khác nhau x, y X, hoc không có mũi tên nào, hoc
ch có mt mũi tên (không có mũi tên ngược) (Hình 14).
Quan h hai ngôi R trên tp h u vp X gi là ph ngn đối x nế i mi x, y
X,
x R y và y R x x = y.
Ví d 3.19 :
Quan h hai ngôi “” trên tp hp
R là phn đối xng vi hai s thc
bt kì x, y, hai điu kin x y và y x kéo theo x = y.
Quan h hai ngôi “vuông góc vi” trên tp hp các đường thng ca mt
mt phng không phi là mt quan h phn đối xng.
c) Quan h hai ngôi
trên tp hp X gi bc cu nếu vi mi x, y, z
X,
x R y và y R z x R z.
Hình 15
Trên lược đồ hình tên ca quan h b ếc c u R, n u m đt mũi tên i t x
đến y m đt mũi tên i t y đến z thì m đt mũi tên i t x đến z. (Hình
15).
Ví d 3.20 :
Quan h hai ngôi “chia hết” trên tp hp các s t nhiên là b c c u vì vi
mi x, y, z N, nếu x mt ước s c a y y m t ước s ca z thì x
mt ước s ca z.
Quan h hai ngôi “<” trên tp hp
R là bc cu.
Quan h hai ngôi “vuông góc vi” trên tp hp các đường thng ca mt
mt phng không phi là mt quan h bc cu.
3.4. Quan h ngược – Hp ca hai quan h
a) Quan h ngược ca mt quan h cho trước
Form at t ed:
Heading04
Cho hai tp hp X, Y và quan h hai ngôi R trên X x Y. Quan h ngược ca
quan h nh nh R, hi u R
1
, quan h hai ngôi trên Y x X xác đị ư sau:
Vi mi y Y, x X, y R
1
x x R y.
(tc là (y, x) R
1
(x, y) R).
Ví d 3.21:
Gi X là tp hp năm thành ph
X = {Hà Ni, Cn Thơ, Bc Kinh, Viên Chăn, Nam Kinh} = {h, c, b, v, n},
Y là tp hp hai nước.
Y = {Vit Nam, Trung Quc} = {V, T},
và R là quan h “là mt Thành ph ca”
R là quan h hai ngôi trên X x Y:
R = {(h, V), (c, V), (b, T), (n, T)}.
Hình 16
Quan h
ngược R
1
c a R là quan h hai ngôi trên Y x X.
R
1
= {(V, h), (V, c), (T, b), (T, n)}.
Hình 17
Các đim biu din các cp th t c đa R
1
đối xng vi các im bi u di n
các cp th t c a R qua đường phân giác th nh t.
Ví d3.22 :
Cho tp hp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} quan h hai ngôi R “là bình
phương ca” trên X:
R = {(0, 0), (1, ), (4, 2), (9, 3)}.
Quan h ngược ca R là quan h R
1
“là căn bc hai ca” trên X:
R
1
= {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
Hình 18
b) Hp ca hai quan h
Cho ba tp hp X, Y, Z, quan h R
1
trên X x Y quan h R
2
trên Y x Z.
Quan h R trên X x Z gm các cp th t (x, z) X x Z tho mãn điu kin
sau:
Tn ti mt phn t y Y sao cho x R
1
y y R
2
z gi hp ca hai quan
h R
1
và R
2
, kí hiu là R
2
°
R
1
.
Như vy,
R = R
2
°
R
1
= {(x, z) X x Z: Tn ti y Y sao cho x R
1
y và y R
2
z}.
Ví d 3.23 : Cho ba tp hp
Tp hp các bà X = {Mai, Tuyết} (thế h th nht), tp hp các anh ch Y =
{Dungx, Loan, Cường} (thế h th hai), tp h p các cháu Z = {Khôi, Nga,
Hùng, Vân} (thế h th ba), và hai quan h:
Quan h R
1
“là m ca” trên X x Y:
R
1
= {(Mai, Dũng), (Tuyế ết, Loan), (Tuy t, Cường)}, quan h R
2
“là
b ca” trên Y x Z:
R
2
= {(Dũng, Khôi), (Dũng, Nga), (Cường, Vân)}.
Hình 18
Quan h h Rp R
2
°
1
c Ra hai quan h
1
và R
2
là quan h “là bà ni ca” trên
X x Z;
R
R = {(Mai, Khôi), (Mai, Nga), (Tuyết, Vân)}.
Hình 19
Ví d 3.24 :
Cho quan h R
1
“là mt na ca” trên tp hp N* các s nguyên dương và
quan h R
2
“gp bn ln” trên N*.
Tìm R
2
°
R
1
Ta có:
R
1
= {(1; 2), (2; 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), ...}
R
2
= {(4; 1), (8; 2), (12, 3), (16, 4), (20, 5), ...}
Hình 20
R
2
°
R
1
là mt quan h trên N*:
R
2 1
°
R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), ...}.
R
2
°
R
1
là quan h “gp đôi” trên N*.
Có th biu di p N* chn tp h bi mt đường cong kín.
Khi đó, để khi ln, ph u dii phân bit các mũi tên bi n các cp th t ca
R
1
, R
2
và R
1
°
R
2
.
Hình 21
Trong hình các cp th t ca các quan h R
1
°
R
2
R
2
°
R
1
, theo th t,
được bi u di n bi các mũi tên xanh, mũi tên có nét gch và mũi tên đỏ.
B. Hot động. tìm hiu khái nim tính đề các và quan h hai
ngôi.
Nhi•m v•:
Nhim v 1:
Nm vng định nghĩa tich Đêcác ca hai tp hp c a mt s hu hn
tp hp.
Biết biu din tích p hĐêcác ca hai t p b ng l ược đồ hình tên lược
đồ Đêcác.
Nhim v 2:
Nm vng định nghĩa quan h hai ngôi trên X x Y và trên X.
Có kĩ năng thành th o trong vi c xác định các cp th t c a m t quan h
hai ngôi trong các tình hung khác nhau.
Biu din được quan h hai ngôi bng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác.
Nhim v 3
N m vng các tính ch t ph n x, đối xng bc c u ca quan h hai
ngôi.
kĩ nă ng nh n biết mt quan h hai ngôi cho trước các tính ch t đó
hay không?
kĩ nă ng bi u di n các quan h hai ngôi các tính ch t đã nêu b ng
lược đồ hình tên.
Nhim v 4:
Nm v ĩng các định ngh a c a quan h ngược c a m t quan h hai ngôi
cho trước và quan h hp ca hai quan h hai ngôi cho trước.
Có kĩ năng thành tho trong vic xác định quan h ngược và quan h hp.
Biu din thành tho các cp th t ca quan h ngược quan h hp
bng lược đồ hình tên.
Đánh giá hot động 3.1
1. Cho ba tp hp X, Y, Z. Chng minh các đẳng thc sau:
a) A x (B C) = (A x B) ( A x C),
b) (B C) x A = (B x A) (C x A),
c) A x (B C) = (A x B) (A x C),
d) (B C) x A = (B x A) (C x A),
e) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C),
f) (B \ C) x A = (B x A) \ (C x A).
2. Cho ba tp hp A, B và C φ. Chng minh rng:
a) A B A x C B x C,
b) A B C x A C x B.
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
3. Gi s t p h p X m phn t tp hp Y n ph n t . Ch ng minh
rng tp hp X x Y có mn phn t.
4. Gi s t p hp Xk có nk phn t, k = 1, 2, ...m.
Chng minh rng tp hp X
1
x X
2
x ... x Xm có n
1
n
2
... nm phn t.
5. Cho hai tp hp A = {2, 4, 7, 9} và B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}.
Tìm quan h “chia hết” R trên A x B bi u di n quan h R b ng lược đồ
hình tên.
6. Cho tp h p X = {1, 2, 7, 8}. Tìm quan h “chia hết” R trên X biu
hin quan h R bng lược đồ hình tên.
7. Cho tp hp X = {1, 2, 6, 7, 8}. Tìm quan h “chia hết cho” R trên X
biu din R bng lược đồ hình tên.
8. m quan h “chia hết cho” R trên tp hp các s nguyên dương N*
biu hin R bng lược đồ hình tên.
9. Cho các tp hp X = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, A = {1, 2, 9}, B = {4, 9}, C = {6,
7, 8} và Y = {A, B, C}. Tìm quan h R “phn t p” trên X x Y. thuc tp h
Biu din quan h này b ng lược đồ hình tên.
10. Cho các tp hp A = {1, 2}, B = {1, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 7, 8} và
X = {A, B, C}. Tìm quan h bao hàm “cha trong” R trên X.
(Quan h bao hàm “ch c cho ba trong” đượ i A B khi ch khi A
B).
11. Cho tp hp X = {1, 2, 3, 5, 7}. Tìm quan h “nh hơn” (<) trên X
(quan h “nh c hi hơn” đượ u theo nghĩa thông thường).
12. Gi R
1
quan h “<” trên
R R
2
quan h trên
R. y biu
din R
1
và R
2
bng lược đồ Đêcác.
13. Chng minh rng n u t p h n t t p hế p X m ph p Y n phn
t thì có 2
mn
quan h hai ngôi trên X x Y.
14. Quan h “song song hoc trùng nhau vi” trên tp h p t t c các đường
thng ca mt mt phng có phi là mt quan h phn x, đối xng, bc cu
hay không?
15. Trong mt mt phng cho mt đim O c định. Gi X tp hp các
đ im c a m t phng quan h hai ngôi trên X xác định bi: x R y khi
và ch khi x là đi i im đối xng ca đ m y qua đ m O.
Hãy nêu các tính cht (phn x u) c, đối xng, b c c a R.
16. Nêu các tính cht (phn x ng, b a quan h, đối x c cu) c “chia hết
cho” trên tp hp N* các s nguyên dương.
phn x ng b, đối x c cu. Do đó mt quan h tương đương trên
N.
4.2. Các lp tương đương và tp thương
a) Gi s X là mt tp h p khác φ và ~ là mt quan h tương đương trên X.
Vi mi phn t x X, ta kí hiu là t p h p các ph n t y X sao cho x ~
y:
= {y X : x ~ y}.
Tp hp gi lp tương đương ca quan h ~ trên X đại din phn
t x. Tp hp chia lp tương đương ca quan h c g trên X đượ i tp
thương, kí hiu là X/~.
Hình 24
Các tính cht cơ bn c a các lp tương đương c a quan h ~ được cho
trong định lí sau:
b) Định lí: Gi s ~ mt quan h tương đương trên tp hp X φ. Khi
đó:
(i) Vi mi x X, x ,
(ii) Vi m i x
1
, x
2
X,
1
=
2
x
1
~ x
2
,
(iii) Vi m i x
1
, x
2
X, nếu
1
2
Thì
1 2
= φ.
Chng minh:
(i) Vì quan h ~ là phn x nên vi mi x X, x ~ x. Do đó x .
(ii) Gi s
1
=
2
. Theo (i), ta có x
1 1
; do ó xđ
1
2 1
. Vy x ~ x
2
. Đo li, gi
s x
1
~ x
2 2
. Khi đó nếu x
1
; thì x ~ x
1
, do đó x ~ x quan h ~ b c c u.
Vy
1
2
. Tương t , ta có
2
1
. T hai bao hàm thc trên suy ra
1
=
2
.
(iii) Gi s
1
2
φ. Khi đó, tn ti x X sao cho x
1
và x
2
. Do đó x
1
~
x x ó suy
2
~ x. T đó, ta có x
1
~ x x ~ x
2
. Do đó x
1
~ x
2
. Theo (ii), t đ
ra
1
=
2
.
Form at t ed:
Heading03
T định trên suy ra định sau gi nguyên đồng nht các phn t
tương đương.
c) Định lí: Quan h tương đương ~ trên tp hp X φ chia X thành các tp
con khác p h p con p t ng cđôi mt ri nhau (các t đó là các l ương đươ a
quan h ~) sao cho hai phn t p h c cùng m p con x, y ca t p X thu t t
khi và ch khi chúng tương đương vi nhau.
Tp thương X / ~ là mt phép phân hoch tp hp X. (Xem bài tp 14 trong
Hot động 2, Ch đề 1).
d) Ví d v t p thương.
Ta tr đ li b n ví d ã nêu.
Trong Ví d 1, quan h tương đương ~ trên
R chia tp hp
R thành các
lp tương đương. D dàng nh ng tn thy r t c các s nguyên thuc cùng
mt lp tương đương ngoài các s nguyên không mt s th c nào
thuc lp tương đương đó.
Trong d 2, quan h tương đương ~ trên X chia tp hp các Vectơ
buc trong mt phng
R
2
thành các lp tương đương. Mi lp tương
đươ đượng c gi mt véctơ t ơ do: Đó t p hp t t c các vect buc
tương đương vi mt vectơ buc cho trước. (Trong sách giáo khoa toán
trường ph thông hai vectơ tương đương được g đi bng nhau; ó hai
vectơ cùng hướng có độ dài bng nhau, xem hình 25).
Hình 25
Trong d 3, quan h tương đương ~ trên D chia tp hp các đường
thng trong mt phng
R
2
thành các l p tương đương. Mi l p tương
đươ đượ đường c gi mt phương. Đó là t p hp t t c các ng thng trong
mt phng
R
2
song song hoc trùng v c trong i mt đường thng cho trướ
mt phng này
Hình 26
Trong Ví d 4, quan h “có cùng s dư v i... trong phép chia cho 3” chia
tp hp N thành ba lp tương đương: . Mi s t nhiên chia hết cho 3 đều
thuc lp . Mi s t nhiên s dư 1 trong phép chia cho 3 đều thuc
lp. Mi s t ư nhiên có s d 2 trong phép chia cho 3 đều thuc lp . Ta
ly thêm mt ví d.
Hình 27
Ví d 4.5 :
Xét quan h hai ngôi “cùng màu vi” trên tp h nh lôgic p L
0
các m
Điênétxơ.
D dàng thy rng đó m t quan h tương đương trên L
0
. Quan h này
chia L
0
thành ba lp tương đương: Đ, X, N.
Đ tp hp các mnh màu đỏ, X tp hp các mnh màu xanh N
tp hp các mnh màu nâu. Mi lp tương đương 16 mnh vi hình
dng, độ ln và độ dày khác nhau
Hình 28
4.3. ng d ng c a nguyên lí đồng nht các phn t tương ng đươ
a) Xây dng tp hp các s nguyên
Ta nhc l i r ng kí hi u N ch tp hp các s t nhiên và N
2
= N x N ch tp
hp tt c các cp th t (m, n), trong đó m và n là nhng s t nhiên.
Gi ~ quan h hai ngôi trên N x N xác định bi (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) khi
ch khi m
1
+ n
2
= m + n
2 1
.
Quan h ~ là mt quan h tương đương trên N x N.
Tht vy, vì vi mi (m, n) N x N, ta có m + n = m + n, nên (m, n) ~ (m,
n). Do đó quan h n x ng quan h ~ ph . D ràng thy r ~ đối xng.
Cui cùng nếu (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) và (m
2 2
, n ) ~ (m
3
, n
3
) thì m
1 2 2 1
+ n = m + n
m
2
+ n
3
= m
3
+ n + n + n + n
2
. Do đó m
1 2
+ m
2 3
= m
2 1
+ m + n
3 2
m
1
+ n
3
= m
3
+ n
1
, tc là (m
1
, n
1
) tương đương (m
3
, n
3
). Vy quan h ~ là bc cu.
Quan h tương đương ~ trên N x N chia tp hp N x N thành các lp tương
đương đôi mt ri nhau.
Các lp t ng c a quan h p hương đươ ~ trên t p N x N được gi các s
nguyên.
D dàng thy rng:
(0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) , (3, 3), ...
Lp tương đương (0, 0)
~
đại di i là sn là phn t (0, 0) g nguyên 0.
c lp tương đương (m, n) n t
~
đại din ph (m, n) trong đó m > n
và m = n + k, k = 1, 2, ... xác định các s nguyên dương k = 1, 2, ...
c lp tương đương (m, n)
~
n tđại din là ph (m, n) trong đó m < n
và n = m + k, k = 1, 2, ... xác định các s nguyên âm k = 1, 2, 3, ...
Phép c ng phép nhân trong t nguyên, t p hp các s c trong tp
thương N x N / ~ được định nghĩa như sau:
(m
1
, n
1
)
~
+ (m
2
, n
2
)
~
= (m
1
+ m
2
, n
1 2
+ n )
~
.
(m
1
,n ,n
1
) . (m
2 2
) = (m
1
m
2
+ n
1
n
2
, m
1 2 1 2
n + n m )
Người ta chng minh được rng các phép toán được xác nh nhđị ư trên
không ph c vào vi n các ph n t n c thu c ch đại di a các lp tương
đương, c phép toán đó tho mãn các quy tc v s hc đã biết trong tp
hp các s t nhiên N; hơn n a, trong t p hp các s nguyên, th th c
hin phép tr đối vi hai s t kì. b
b) Xây dng tp hp các s hu t
Ta hiu Z tp hp các s nguyên, Z* t p các sp h nguyên khác 0.
Tích Đêcác Z x Z* tp hp các cp th t (m, n), trong đó m mt s
nguyên và n là mt s nguyên khác 0.
Gi ~ là quan h hai ngôi trên tp hp Z x Z* xác định như sau:
(m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) khi và ch khi m
1
n n
2
= m
2 1
.
(Chng hn, ta có (2, 3) ~ (4, 6), (3, 5) ~ (18, 30),
(-3, 7) ~ (-12, 28), (-3, 7) ~ (6, 14)
Ta chng minh ~ là mt quan h tương đương trên Z x Z*.
Tht vy, d thy quan h ~ là phn xđối xng.
Nếu (m
1
, n
1
) ~ (m
2
, n
2
) và (m
2 2
, n ) ~ (m
3
, n
3
) thì
m
1 2 2
n = m
2 1
n và m n
3
= m
3 2
n (1)
Do đó:
m
1
n
2
m m
2
n
3
= m
2
n
1 3
n
2
m
1
m
2
n
3 1 3
= m
2
n m , vì n
2
0. T đó suy ra rng nếu m
2
khc 0 thì m
1
n
3
= m
3
n
1
; do đó (m
1 1
, n ) ~ (m
3 3
, n ). Nếu m
2
= 0 thì t hai đẳng
thc trong (1) suy ra m
1
= 0 m
3
= 0. Do đ ũó ta c ng có m
1
n
3
= m
3
n
1
, tc
(m
1
, n
1
) ~ (m
3
, n
3
). Vy quan h ~ là bc cu.
Quan h tương đương ~ trên Z x Z* chia tp h p Z x Z* thành các l p
tương ng đươ đôi mt ri nhau.
Các lp t a quan hương đương c tương đương ~ trên Z x Z* gi là các s
hu t.
Lp tương đương (m, n)~ đại din phn t (m, n) xác định s h u t ,
him . Hai cp th t (m
1
, n , n
1
) (m
2 2
) thuc cùng mt lp tương
đương, tc là m
1
n
2
= m
2
n
1
, xác đnh cùng mt s h ưu t . Nh vy, hai s hu
t là bng nhau.
Phép cng và phép nhân trong tphp các s hu t, tc là trong tp thương
Z x Z*/~ được định nghĩa như sau:
(m
1
, n
1
)
~
+ (m
2
, n
2
)
~
= (m
1
n
2
+ n
1
m n
2
, n
1 2
)
~
,
(m
1
, n
1
)
~
. (m
2
, n
2
)
~
= (m
1 2
m , n
1
n
2
)
~
Người ta chng minh đưc rng hai phép toán được xác định như trên
không ph c vào vi n các ph n t n c thu c ch đại di a các lp tương
đương, các phép toán đó tho mãn các quy tc v s h c trong tp h p các
s nguyên; hơn na, trong tp hp các s hu t phép chia cho mt s khác
không bao gi cũng thc hin được.
Hot động 4.1. Tìm hiu v quan h tương đương
Nhim v:
Nhi•m v• 1: Đọc các thông tin cơ b ến đểđược các ki n th c v :
Định nghĩa quan h tương đương.
Định nghĩa lp tương đương, tp thương.
Mt s ví d v quan h tươ ương đương, tp th ng.
Nhim v 2:
Trình bày và thy được tm quan trng ca nguyên lí ng nh n tđồ t các ph
tương đương:
Quan h tương đương trên mt tp h p chia tp h p đó thành các l p
tương ng đươ đội m t r i nhau.
Biết vn d ng m t cách sinh động nguyên này trong các d ng
dng khác nhau.
Đ ánh giá ho t động 4.1
1. G và ~i ~
1
, ~
2 3
, theo th t, là quan h hai ngôi “có cùng hình dng vi”,
“có cùng độ l n vi” “có cùng độ dày v i” trên tp hp L
0
các mnh
lôgic.
a) Chng minh rng chúng là nhng quan h tương đương trên L
0
.
b) Mi quan h đó chia tp hp L
0
thành my lp tương đương?
2. Gi R quan h hai ngôi “có cùng s dư vi... trong phép chia cho 4”
trên tp hp N.
a) Chng minh rng R là mt quan h tương đương trên tp hp N.
b) Quan h tương đương R trên N chia tp hp N thành my lp tương
đươ đương? Hãy v sơ đồ Ven bi u di n các lp tương ng ca quan h R.
3. Cho tp h p h p con cp X = {1, 2, 3, 4, 5} và P = P(X) là t p các t a X.
Gi ~ là quan h hai ngôi trên P xác định bi: A ~ B khi và ch khi N (A) =
N (B)
Trong đó N (C) là s phn t ca tp hp C X.
a) Chng minh rng ~ là mt quan h tương đương trên P.
b) Tìm lp tương đương c a quan h ~ trên P, đại din phn t {1, 3}
ca P.
4. Gi X =
R
2
tp hp các đim ca mt phng ~ là quan h hai ngôi
trên tp hp
R
2
xác định bi:
(x
1
, y
1
) ~ (x
2
, y
2
) khi và ch khi
.
a) Chng minh rng ~ là m ng trên t quan h tương đươ
R
2
.
b) Tìm tp thương
R
2
/ ~.
5. Cho mt tp hp X φ. Chng minh rng quan h ng nh đồ t R trên X
mt quan h tương đương trên X và tìm tp thương X/R.
6. Gi D tp hp các đường thng trong mt mt phng a mt
đường th ng cho trước trong mt phng đ ó. G i R quan h hai ngôi trên
D xác định như sau: Vi mi x, y D, x R y khi ch khi x a φ và y
a φ.
R có phi là mt quan h tương đương trên D hay không?
7. Cho các tp con ca
R
2
: A = {x
R
: 1 x < 7}, B = {x
R : x < 2}
C = {x
R : 5 < x 10). Tn ti hay không mt quan h tương đương
R trên tp hp R sao cho các tp hp A, B, C là nhng l p t ng c ương đươ a
quan h R
8. Gi s X là mt tp hp khác φ, A
1
, A
2
, ..., Am là nhng tp con khác rng đôi mt ri nhau ca X và
= X. Gi
~ là quan h hai ngôi trên X xác định như sau:
Vi mi x, y X, x ~ y khi ch khi tn ti mt s nguyên k {1, 2, ...,
m} sao cho x Ak và y Ak.
Chng minh rng ~ mt quan h tương đương trên tp hp X tìm các
lp t ng cương đươ a quan h ~ trên X.
9. Cho mt tp hp X φ m n t p ht ph a X. Gi P = P (X) t p
các tp con ca X và ~ là quan h hai ngôi trên P xác định như sau:
Vi mi A, B P, A ~ B khi và ch khi A = B hoc a A B.
a) Chng minh rng ~ là m ng trên tt quan h tương đươ p hp P.
b) Tìm tp thương P/~.
10. Ký hiu C* ch tp h ph c có php các s n thc khác 0. Gi R là quan
h hai ngôi trên C* xác định bi (a + bi) R (c + di) khi và ch khi ac > 0.
a) Chng minh rng R là mt quan h tương đương trên *.
b) Minh ho hình hc các lp tương đương ca quan h R.
Tiu ch đề 1.5. Quan h th t
Thông tin cơ bn
5.1. Định nghĩa:
Quan h hai ngôi R trên tp hp X được gi quan h th t nếu là
phn x u ph u ki, bc c n đối xng, tc nếu R tho mãn các đi n
sau:
a) Vi mi x X, x R x,
b) Vi mi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z,
c) Vi mi x, y X, (x R y và y R x) x = y.
Người ta thường kí hiu quan h th t là “”. Như vy x R y được viết
x y, đọc là x nh hơn hoc bng y, hay y ln hơn hoc bng x.
Form at t ed:
Heading03, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading04
Nếu mt quan h th t trên tp h p X thì c p (X, ) g i m t t p
hp sp th t. Người ta cũ ng gi X m t tp h p sp th t khi ch nói
ti mt quan h th t nào đó trên X.
Ví d 5.1:
Quan h hai ngôi “chia hết” trên tp hp N* mt quan h th t trên N*
vì:
Vi mi s nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n),
Vi mi m, n, k N*, (m / n và n / k) m / k,
Vi mi m, n N*, (m / n và n / m) m = n,
Ví d 5.2:
Cho tp hp X ≠ φ tp h p Q nh ng tp con ca X (Q P(X)), Q ≠ φ.
Quan h hai ngôi “cha trong” trên Q là mt quan h th t vì:
Vi mi A Q, A A,
Vi mi A, B, C Q, (A B và B C) A C,
Vi mi A, B Q, (A B và B A) A = B.
Ví d 5.3:
Nếu X mt tp con khác φ c a tp hp các s thc thì quan h hai ngôi
” trên X là mt quan h th t vì vi mi x, y, z X, ta có:
x x, (x y và y z) x) x z, (x y và y x = y.
Để phân bi t quan h th t trên mt tp h p X tu ý v i quan h trên
R, ta gi quan h sau là quan h th t thông th ng trên R. ườ
Ví d 5.4:
Xét các quan h hai ngôi trên các tp hp X, Y, Z được biu din bi các
lược đồ hình tên trong hình 29
Hình 29
Trong lược đồ hình tên 29 a), quan h hai ngôi R trên tp hp X = {a, b}
được xác định bi: a R a, b R b, a R b.
D dàng thy rng R là mt quan h th t trên X.
Quan h hai ngôi R trên tp hp Y = {a, b, c} được bi u di n b i lược đồ
hình tên 29 b) không phi là mt quan h th t trên tp hp Y vì nó không
phi là quan h phn đối xng : a R b, b R a và a b.
Quan h hai ngôi R trên tp h u di n bp Z = {a, b, c, d} được bi i lược đồ
hình tên 29 c) không phi mt quan h th t trên Z không phi
quan h bc cu: a R b và b R c nhưng không có a R c.
5.2. Quan h th t nghiêm ngt
a) Định ngh quan hĩa: Quan h hai ngôi trên tp hp X gi th t
nghiêm ngt nế ếu đối ph n x b c c u, tc n u R tho mãn các
điu kin sau:
a) Vi mi x X, không có x R x, tc là (x, x) R,
b) Vi mi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z.
Quan h th t ư nghiêm ng t R thường được hi u “<”. Nh vy, x R y
được viết là x < y, đọ đức là x ng trước y.
Ví d 5.5:
D dàng thy rng quan h n h hai ngôi “l ơn” (theo nghĩa thông thường)
(>) trên tp hp R là mt quan h th t nghiêm ngt.
Quan h hai ngôi đắt hơn” trên m t hàng ct tp hp các m ũng mt
quan h th t nghiêm ngt.
Chú ý rng quan h th t nghiêm ngt không phi là mt quan h th t.
Mi liên h gia quan h th t quan h th t nghiêm ngt được cho
trong hai định lí sau.
b) Định lí
Nếu là m t quan h th t trên tp h p X thì quan h hai ngôi < trên X xác
định bi x < y khi và ch khi x y x y, mt quan h th t nghiêm
ngt trên X.
Chng minh :
T định nghĩa ca quan h < suy ra rng < không phi mt quan h đối
phn x. Ta chng minh < bc cu. Tht vy, gi s x < y y < z. Khi
đó, x y, y z, x y và y z. Vì là m bt quan h c cu nên t đó suy ra
x z. Nếu x = z thì ta có z y và y z. Do ó y = z (suy ra tđ tính phn đối
xng ca quan h ); điu này mâu thun vi y z. Vy x z. Như vy, ta
có x z và x z, tc là x < z.
Form at t ed:
Heading04
Đảo li, ta có:
c) Định lí
Nếu < mt quan h th t nghiêm ngt trên tp h p X thì quan h hai
ngôi trên X xác định bi: x y khi ch khi x < y hoc x = y, mt
quan h th t trên X.
Chng minh :
T định nghĩa ca quan h suy ra rng mt quan h n x ph . Ta
chng minh là quan h bc cu.
Tht vy, gi s x y và y z. Khi đó, x < y hoc x = y y < z hoc y =
z. Nếu x < y y < z thì x < z; do đó x z. Nếu x < y y = z thì x < z; do
đ đó x z. Nếu x = y và y < z thì x < z; do ó x z. Cui cùng nếu x = y và y
= z thì x = z, do đó x z.
là quan h phn đối xng.
Tht vy, gi s x y và y x. Khi đó, x < y hoc x = y và y < x hoc y =
x. Hai điu kin x < y y < x loi tr nhau nếu xy ra đồng thi hai
đi u kin này thì ta có x < x đi u này không th vì < là quan h đối ph n x.
Hai điu kin x < y y = x loi tr l n nhau. Hai điu ki n x = y y < x
cũng loi tr nhau. Do đó ch th xy ra mt trường h p x = y y = x.
Như vy các điu kin x y và y x kéo theo x = y.
Gi s mt quan h th t trên tp h p X x, y hai phn t ca X.
Ta nói rng x đứng trước y nếu x y x y. Khi đó, ta viết x < y (<
quan h th t nghiêm ngt trên X nói trong Định lí b).
5.3. Quan h th t toàn phn và quan h th t b ph n.
Quan h th t trên t ế p hp X gi toàn phn n u vi hai ph n t bt
x, y ca X, ta có x y hoc y x.
Trong l a quan hược đồ hình tên c th t toàn ph n trên t p hp X, các
phn t ca X đôi mt được ni vi nhau bi ít nht m t m ũi tên.
Nếu tn ti ít nht hai phn t x, y ca X sao cho c hai điu kin x y và y
x đều không xy ra thì gi là quan h th t b phn.
Ví d 5.6:
Quan h th t (theo nghĩa thông th p hường) trên t p R toàn phn.
Quan h “chia hết” trên tp hp N* là quan h th t b phn ch ng h n
s nguyên 3 và 7 là không so sánh được”. Ta không có 3 / 7, cũng không có
7 / 3.
Quan h th t n nghiêm ngt < trên tp hp X được gi là toàn phn ếu vi
hai phn t khác nhau bt kì x, y ca X, ta có x < y hoc y < x.
Form at t ed:
Heading04
Nếu t n t i ít nht hai phn t khác nhau x, y ca X sao cho c hai điu
kin x < y và y < x đều không xy ra thì quan h < được gi là b phn.
Ví d 5.7 :
Xét các quan h th t quan h th t nghiêm ng t bi u din b i các
lược đồ hình tên trong hình 29 dưới đây.
Hình 30
Quan h th t trên t p hp A được bi u din b i lược đồ hình tên 30 a)
toàn phn. Quan h th t trên tp hp B trong Hình 30 b) là b phn. Quan
h th t nghiêm ngt trên tp h p C trong Hình 30 c) toàn phn. Lược
đồ hình tên trong Hình 30 c) biu din quan h th t nghiêm ng t b phn
trên tp hp D.
5.4. Các phn t ti đại, ti tiu
a) Gi s (X, ) mt tp h p sp th t . Phn t x
0
X được gi ti
đạ đứi nếu không ng trước bt mt phn t nào ca X, tc không
tn ti x X sao cho x
0
< x.
Nói mt cách khác, x
0
X phn t ti đại nếu không tn ti x X sao
cho x
0
x và x
0
x.
Điu ki n này tương đương vi điu ki n sau:
Vi mi x X, nếu x
0
x thì x = x
0
.
Ví d 5.8:
Cho tp hp X ≠ φ. Gi P = P(X) tp tt c các tp con ca X. Ta biết
rng quan h hai ngôi “ trên P là mt quan h th t. Do đó (P, ) là mt
tp hp sp th t. Ta chng minh X là phn t ti đại ca P.
Form at t ed:
Heading04
Tht vy, gi s A P X A. Khi đó, ta A X X A. Do đó A = X.
Vy X phn t ti đạ đềi. Mi tp hp A P khác X u không phi
phn t ti đại vì A X. Như vy X là phn t ti đại duy nht.
Ví d 5.9 :
Gi X tp hp các s nguyên ln hơn 1 quan h trên X xác định
như sau: Vi mi m, n X, m n khi và ch khi m chia hết cho n.
D dàng thy rng mt quan h th t trên X. Ta chng minh rng mi
s nguyên t đều mt phn t t i đại. Th t v y, nếu p m t s nguyên
t n X, p n thì n = p. Do đó p m t ph n t ti đại. Như v y t p
hp sp th t X có vô s phn t t i đại.
Ví d 5.10 :
Kí hiu là quan h “chia hết” trên t p h p N*: V i m, n nguyên dương, m
n khi và ch khi m : n.
Tp hp sp th t N* không có phn t ti đại vì vi mi n N*, ta có n :
2n và 2n n, tc là n 2n và 2n n.
Các d trên cho thy mt tp hp sp th t th mt ho c nhi u
phn t ti đại, cũng có th không có ph n t ti đại nào.
Trong l u di n quan hược đồ hình tên bi th t trên mt tp hp, phn t
t ii i t đạ được biu din bi m đ m t đó không có mt mũi tên nào đi
đến các đim khác. Trong hình 31, c d hai phn t ti đại ca tp hp
sp th t X.
Hình 31
b) Gi s (X, ) là mt tp hp sp th t x. Phn t
0
X gi là ti tiu nếu
không có m n tt ph nào c a X đứng trước nó, tc là không t n ti x X,
x x
0
sao cho x x .
0
Trong l u di n quan hược đồ hình tên bi th t trên mt t p hp, ph n t
t ii tiu được biu di n b i mt đ m mà không có bt kì mt mũi tên nào đi
t i i các đ m khác đến đ m đó. Trong Hình 30, a d hai đim ti tiu
ca tp hp sp th t X. Chú ý rng d cũng là đ im t i di ca X.
Ví d 5.11 :
Gi s P tp h p tt c các t p con ca t p hp X ≠ φ. Khi đó, tp hp
sp th t (P, ) mt phn t t đi tiu duy nht, ó tp hp φ. Tht
vy, vi mi A P mà A φ, ta có A = φ. Do đó là phn t ti tiu. Ngoài
ra, vi mi A P A φ, ta φ A. Do đó A không phi phn t
ti tiu.
Ví d 5.12 :
Gi s X tp h p các s nguyên l n h ơn 1. Ta biét rng (X, :) mt tp
hp sp th t (kí hiu : ch ế quan h “chia hết” trên X). N u p m t s
nguyên t thì vi mi n X, mà n : p, ta n = p. Do đó p mt phn t
ti tiu ca tp h p s p th t X. Như vy, X có vô s phn t ti tiu, đó là
tt c các s nguyên t.
Ví d 5.13 :
Gi X tp hp các s nguyên ln hơn 1 quan h “chia hết cho”
trên X (Xem ví d i ti 9). T p sp h p th t (X, ) không có phn t t u vì
vi mi n X, ta có 2n chia hết cho n và 2n n, tc là 2n n và 2n n.
Các d trên cho thy mt tp hp sp th t th mt ho c nhiu
phn t u và c n t ti ti ũng có th không có ph ti tiu nào.
5.5. Các phn t n nh l t, nh nht
a) Gi s (X, ) mt tp h p sp th t . Phn t x
0
X gi ln nht
nếu: x x
0
vi mi x X.
b) Định lí: Tp h p s p th t (X, ) có nhiu nht là mt phn t n nh l t.
Phn t ln nht là ti i. đạ
Chng minh
Gi s x
0
x
1
nhng phn t l n nh t trong t p h p sp th t X. Khi
đó:
x x
0
vi mi x X
x x
1
vi mi x X.
Do đó x
1
x x
0
và x
0
1
. Vì quan h là phn đối xng nên t đó suy ra x
1
=
x
0
. Vy ph n t l n nh t, nếu có, là duy nht.
Form at t ed:
Heading04
Gi s x l
0
là phn t n nht trong (X, ). Khi đó, v i mi x X, nếu x
0
x
thì ta cũng x x
0 0
(suy ra t ĩ định ngh a ca x ) nên x = x
0
. Vy x
0
phn t ti đại
Trong l u di n quan hược đồ hình tên bi th t trên mt t p hp, ph n t
l i in nh u dit được bi n bi mt đ m ti mi đ m ca tp h u p đề
m it mũi tên đi t đó đến đ m đã nêu.
Hình 32
Trong Hình 32, d là phn ln nht ca tp h p s p th t A.
Ví d 5.14 :
Trong t p h p s p th t (P, ) (P = P (X) là t p hp t t c các tp con ca
hp X ≠ φ), t p h p X là phn t l n nh t.
T p hp s p th t (N*, :) không phn t ti đại. Do đó, theo Đnh
b), tp hp N* không có phn t ln nht.
Xét tp h p s p th t (X, ), trong đó X tp h p các s nguyên l n
hơn 1 quan h “chia hết cho” trên X. Trong tp h p này không
phn t ln nht vì vi mi n X, s n + 1 không chia hết cho n. Để ý rng
trong (X, ) có vô s phn t ti đại (xem Ví d 9).
c) Gi s (X, ) mt t p hp s p th t . Phn t x
0
X gi nh nht
nếu
x
0
x vi mi x X. Tương t như trong Định b), d dàng chng minh
được rng.
d) Tp h p s nh nh n t p th t (X, ) có nhiu nht là mt phn t t. Ph
nh nht là ti tiu.
Trong l u di n quan hược đồ hình tên bi th t trên mt t p hp, ph n t
nh nht t i được biu din bi m đim t đó các mũi tên đ đến mi
đim Hình 33 khác ca tp hp.
Hình 33
Hình 33, a là phn t nh nh t ca tp hp s p th t A.
Ví d 5.15:
Trong t p h p sp th t (P, ), trong đó P tp h p tt c các t p con
ca tp hp X ≠ φ, φ là phn t nh nht duy nht.
Xét tp hp sp th t (X, ), trong đó x là tp hp các s nguyên ln hơn
1 quan h “chia hết cho” trên X. Trong d 13, ta biết rng trong
X không phn t ti ti u. Do đó, theo Định d), t p hp sp th t X
không có ph n t nh nht.
T p hp s p th t (X, :), trong đó X tp h p các s nguyên l n hơn 1
và : là quan h “chia hết” trên X, không có phn t nh nht vì vi mi n
X, n không chia hết n + 1. Để ý r p h này s phng t p sp th t n
t ti tiu (xem Ví d 12).
5.6. Các tp con ca mt tp sp th t . B đề Doóc
nơ (Zorn).
a) Gi s (X, ) là mt tp h p sp th t và A là m t tp con c a X. Gi A
là quan h hai ngôi xác định trên tp hp A như sau: Vi mi x, y A, x
A
y khi và ch khi x y.
D dàng thy rng
A
mt quan h th t trên A. Tp h p sp th t (A,
A
) gi là tp con sp th t ca tp hp sp th t (X, ).
Thay cho (A,
A
) người ta viết (A, ). Khi nói A là mt tp con c p ha t p
sp th t (X, ) không gii thích thêm thì ta hiu A tp hp sp
th t (A, ).
b) Gi s (X, ) là mt tp hp sp th t . Tp con A c a X gi là dây xích
nếu vi mi x, y X, x y hoc y x.
Nói mt cách khác, A mt dãy sích nếu quan h th t
A
trên A toàn
phn.
Ví d 5.16 :
Form at t ed:
Heading04
Tp con A = {5, 15, 60} là mt dây xích trong tp hp sp th t (N*, :).
T p con B = {3, 6, 12, 18} không ph i là mt dõy xích trong tp hp s p
th t (N*, ), trong đó là quan h “chia hết cho” trên N vì 18 không chia
hết cho 12.
c) Ph n t ch n trên, chn dưới
Gi s (X, ) là mt tp h p s p th t và A là mt tp hp con ca X.
(i) x
0
X gi là phn t chn trên ca A nếu x x v
0
i mi x A.
(ii) x
0
X gi là phn t chn dưới ca A nếu x
0
x vi mi x A.
Ví d 5.17 :
Xét tp h p s p th t (N*, :) và tp con A = {10, 15, 20}.
D dàng thy rng các s 60, 120, 180, ... nhng ph n t chn trên ca A
và các s 1, 5 là các phn t chn dưới ca A.
Ví d 5.18 :
Xét hai tp con Z (là tp các s nguyên) và X = {x R : 1 x < 3} ca
tp hp sp th t (R, ) ( là quan h th t thông thường trên R).
D dàng thy rng trong R không có phn t ng không ph chn trên cũ n
t chn dưới ca Z, mi s thc ln hơn ho ng 3 n tc b đều mt ph
chn trên ca A và mi s thc nh hơ n ho c bng 1 là mt ph n t chn
dưới ca A.
Như vy, mt t p con ca mt t p h p sp th tth có mt hoc nhi u,
cũng có th không có phn t chn trên, chn dưới.
B đề ta tha nhn sau đây mt định quan trng được áp dng ð?
chng minh nhiu định lí.
d) B đề Zoocnơ. Gi s (X, ) mt tp hp sp th t. Nếu trong X
mi dây xích đều có m n tt ph chn trên thì trong X có phn t ti đại.
Hot động. Tìm hi u v quan h th t
Nhim v:
Sinh viên đọc thông tin c thơ bn để c hin các nhim v sau
Nhim v 1
Trình bày các khái nim quan h th t quan h th t nghiêm ngt,
quan h th t toàn phn và b phn.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading03, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading04
Delet ed:
gii m t s quan h th t ư thường gp nh quan h “chia hế t”, quan h
“chia hết cho” trên tp hp N*, quan h “bao hàm” trên mt tp hp nhng
tp hp ,quan h (nh hơ ĩn ho c b ng theo ngh a thông thường) trên tp
hp R.
Nhn bi p h p phết mt quan h cho trước trên mt t i mt quan h
th t hay không, biết cho các ví d v t quan h th .
Biu din mt s quan h th t và quan h th t nghiêm ng t b ng lược
đồ hình tên.
Nhim v 2
Trình bày các khái nim phn t ti đại, ti ti u, ph n t ln nht, nh
nht, ph n trên, chn t ch n d i, dây xích trong m p hướ t t p sp th t.
Tìm các phn t đó nêu trong mt tp hp sp th t cho trước.
Biu din được các phn t này trong mt s quan h th t bng lược đồ
hình tên.
Đánh giá hot động 5.1
1. Cho tp hp X = {1, 3, 9, 18, 36}. Gi là quan h “chia hết” trên X.
a) Chng minh là mt quan h th t trên X.
b) Quan h th t trên X có phi là toàn phn không?
2. Cho tp hp A = {3, 6, 12, 36, 48}. Quan h “chia hết cho” trên A
phi m tht quan h t không? Nế u có, ph i mt quan h toàn
phn không?
3. Cho R quan h hai ngôi trên tp h php C các s c xác định như sau:
Vi mi a + bi, c + di C, (a + bi) (c + di) khi và ch khi a c và b d.
a) Chng minh rng là mt quan h th t trên C.
b) R có phi là toàn phn không?
4. Cho tp hp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} quan h hai ngôi R xác định trên
X như sau: Vi mi x, y X, x R y khi và ch khi x y và 2 : (x y).
a) Chng minh rng R là mt quan h th t trên X.
b) R có phi là toàn phn không?
c) Biu din quan h ng l R b ược đồ hình tên.
5. Gi s X là tp hp tt c th các dãy s c và R là quan h hai ngôi trên X
xác định như sau: Vi mi dãy s thc (xn) (yn), (xn) R (yn) khi và ch
khi tn ti mt s i m nguyên dương m sao cho xn yn v i n > m.
a) Chng minh quan h R là phn x và bc cu.
b) R có ph i là quan h th t hay không?
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
6. Có th xác định được bao nhiêu quan h th t.
Trên mt tp hp có hai phn t?
7. Cho tp h p s p th t (X, ), trong đó
X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} và là quan h “chia hết” trên X.
a) Tìm các ph n t ti đại và ti tiu ca X.
b) Tìm phn t ln nht và nh nht (nếu có) ca X.
8. Cho tp hp sp th t (X, ) v i X = {3
5
, 3
6
, 3 , 3
7 8
, 3
9
} quan h
“chia hết cho” trên X. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nh t ca X.
9. Các lược đồ hình tên trong Hình 34 dưới đây biu di n các quan h hai
ngôi RA, RB, RC, theo th t, trên các tp hp A, B, C. Quan h nào trong
ba quan h đó là quan h th t?
Hình 34
10. Hai lược đồ hình tên trong Hình 35 dưới đây biu di n quan h hai ngôi
R và ϕ, theo th t, trên tp hp X và Y.
a) Chng minh r ng R quan h th t trên X và Y là quan h th t trên
Y.
b) Tìm các phn t ti đại, ti tiu phn t l n nht, nh nht ca mi
tp hp X và Y.
Hình 35
11. Cho d v mt tp h p sp th t m phn t v a ti đại v a
ti tiu.
Hướng dn. Xem lược đồ trong Hình 35a)
12. Cho ví d v m t tp hp sp th t
a) m + 1 phn t, trong đó có k phn ti đại và mt phn t ti tiu,
b) m + 1 phn t, trong đ ó có k ph n t t i ti u và mt ph n t ti i. đạ
13. Trong mt phng to độ Oxy cho bn hình tròn D
1
, D , D
2
, D
3 4
: D
1
D
2
đều tâm đ im g c (0, 0) bán kính theo th t, 1 2, D
3
tâm là đim (2, 0) và bán kính là 1, D
4
có tâm là đim (2, 0) và bán kính là
4. Gi X là tp hp 4 hình tròn ã cho : X = {Dđ
1
, D
2
, D , D
3 4
} và là quan h
“cha trong” trên X.
a) Hãy biu din quan h bng lược đồ hình tên.
b) Tìm các phn t ti đại, ti ti u ph n t ln nh ết, nh nh t (n u có)
ca tp hp sp th t X.
14. Cho hai tp con A = {9, 18, 36, 72, 216} và B = {7, 14, 28, 56, 84} ca
tp hp N*. A B phi dây xích trong tp hp sp th t N* v i
quan h “chia hết” hay không?
15. Tìm các phn t n d chn trên ch ưới (nếu có) ca mi tp con A =
{7, 11} B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} trong tp hp s p th t {N*, }, trong
đó là quan h “chia hế t” trên t p hp N*.
16. Tìm các phn t n d chn trên ch ưới (nếu có) ca mi tp con A =
{6, 9, 15} và B = {3
5
, 3
6
, 3 t
7
, ...} trong tp hp sp th {N*, }, trong đó
là quan h “chia hết cho” trên tp hp N*.
17. Gi s {R, } t p hp sp th t, trong đ ó quan h “nh hơn
hoc bng” (thông thường) trên tp h p các s th c .
a) Tìm các phn t chn trên và các phn t chn dưới ca tp hp A = [7,
3) = {x R : 7 x < 3} trong R.
b) Tìm các phn t n d chn trên và ch ưới (nếu có) c a tp hp N các s t
nhiên.
18. Chng minh r u hng trong mi tp con h n khác rng A ca tp hp
sp th t (X, ) luôn tn ti phn t ti đại phn t ti ti ếu. N u ngoài
ra, A là m t dây xích thì t i ph n t n t ln nht và phn t nh nht ca A.
Form at t ed:
Heading01
TIU CH ĐỀ 1.6. ÁNH X
Thông tin cơ bn
ánh x hàm s, mt trường hp đặc bit c a ánh x , là nhng khái nim
quen thuc v ã ti chúng ta đ lâu. Đây nhng khái nim quan trng,
thường gp không ch trong mi b môn toán hc c trong vt lí, hoá
hc,... cũng như trong các ngành khoa hc, kĩ thut khác. Ch đề này dành
riêng cho vic gii thiu định nghĩa, các khái nim cơ bn v ánh x và mt
s tính cht chung ca ánh x.
6.1. Định nghĩa ánh x
Ta xét mt s ví d
Ví d 6.1 :
Gi s X tp h c php gm 7 em hc sinh ca mt trường trung h
thông, trong đó 5 em Cường, Luân, Thái, Mai, Hnh hc sinh khi 10,
hai em Nguyt, Vi t là h c sinh khi 11:
X = {c, l, t, m, h, n, v},
Y là tp hp gm 5 lp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E ca trường
Y = {A, B, C, D, E},
và R là quan h hai ngôi “là hc sinh ca lp” trên X x Y, xác định bi:
R = {(c, A), (l, B), (t, B), (m, C), (h, D)}.
((<, A) c hi R hay c R A đượ u “Cường là hc sinh lp 10A”).
Lược đồ hình tên biu din quan h R được cho trong Hình 1 dưới đây.
Ta thy 5 phn t c, l, t, m, h c a tp h p X quan h R vi nhng phn
t trong tp hp Y, còn hai phn t n, v không có quan h R vi bt c mt
phn t nào ca Y. Như vy, ta có D (R) X,
D(R) là tp xác định ca quan h R: D (R) = (c, l, t, m, h}.
“là hc sinh ca lp”
Form at t ed:
Heading03
Hình 1
Trên lược đồ hình tên biu di n quan h R ta thy t mi đim c, l, t, m, h
có mt mũi tên đi ra và không có mũi tên nào đi t hai đim n và v.
Ví d 6.2 :
Gi s X tp h p gm 5 ông: Hùng, Cung, San, Vi t, Tu n trong mt
nhà ca khu tp th:
X = {h, s, c, v, t},
Y là tp hp gm 6 em: Dũng, Anh, Loan, Đào, Mnh, Kit, nhà đó:
Y = {d, a, l, đ, m, k},
ϕ là quan h hai ngôi “là b ca” trên X x Y xác định bi:
ϕ = {(h, d), (s, a), (s, l), (c, đ), (v, m), (t, k)}.
((h, d) φ hay h ϕ d có nghĩa “Ông Hùng là b ca em Dũng”).
Khác vi d 1, đây mi phn t ca t p hp X đều quan h ϕ vi
mt phn t nào ó cđ a Y, tc D (ϕ) = X. Trên lược đồ hình tên biu
din quan h ϕ (Hình 2), ta thy t mi đ im c a tp hp X đều mũi tên
đ i ra. Ngoài ra, phn t s c a X quan h ϕ v i hai phn t a l ca Y.
Trên lược đồ hình tên, ta thy có hai mũi tên t đim s đi ra.
Hình 2
Ví d 6.3 :
Gi s X tp h p gm 7 h ũc sinh: D ng, Mai, Hnh, Tun, Cường,
Qunh, Vit:
X = {d, m, h, t, c, q, v},
Y là tp hp gm mt s h: Nguyn, Lê, Trn, Đặng, Hunh, Vũ:
Y = {N, L, T, Đ, H, V},
ρ là quan h “có h là” trên X x Y xác định bi
ρ = {(d, N), (m, N), (h, L), (t, T), (c, T), (q, Đ), (v, H)}.
((d, N) ρ hay d ρ N có nghĩa “Dũng có h là Nguyn”).
Trong d này, mi phn t ca tp hp X đều quan h vi mt phn
t nào ó c p hđ a t p Y, tc là D (ρ) = X. Ngoài ra, mi phn t ca X ch
có quan h ρ v i mt phn t duy nht ca Y.
Hình 3
Trên lược đồ hình tên biu di n quan h ρ, ta thy t m i đim c a tp hp
X đều mt mũi tên đi ra. Hơn n a, không m nào c đi a X t đó
có quá m ũt m i tên đi ra.
Tóm li, quan h hai ngôi ρ trên X x Y tho mãn điu kin sau:
Vi mi phn t x ca tp hp X, tn ti mt phn t duy nht y ca tp
hp Y sao cho x ρ y.
Quan h ρ được gi là mt ánh x. Mt cách tng quát, ta có:
Định nghĩa: Gi s X Y hai tp h p. Quan h hai ngôi f trên X x Y
gi mt ánh x t X vào Y nếu v ph n t n ti mi x X, t i mt phn
t duy nht y Y sao cho x f y.
ánh x f t tp hp X vào tp hp Y được kí hiu là:
f : X Y.
Nếu x là mt phn t ca tp hp X thì phn t y ca tp hp Y sao cho x f
y được gi là nh ca x qua ánh x f và được kí hiu là f (x).
Hin nhiên ánh x f được xác a mđịnh nếu nh f (x) c i phn t x X đều
được xác định. Vì vy người ta còn dùng kí hiu x f (x), x X hoc x y,
x X để ch anh x f.
Trong tr p h u hường hp X mt t p h n, người ta thường cho ánh x
dưới dng mt bng gm hai hàng. Các phn t ca tp hp X được ghi
hàng trên. nh t n tương ng chúng (nhng ph ca tp h p Y) được ghi
hàng d ng h Y trong d 3 c cho ưới. Ch n, ánh x ρ : X đượ bng
sau:
Trước kia ta nói “d có quan h ρ vi N” viết d ρ N. Bây gi ta nói “N là
ếnh ca d qua ánh x ρvà vi t: N = ρ (d).
Gi s f : X Y là mt ánh x t tp hp X vào tp hp Y.
Khi đó, X được gi tp xác định ca ánh x f. Tp hp các nh f (x) ca
tt c các phn t x c p ha t p X được gi nh ca ánh x f, kí hiu là f
(X).
Như vy, vi mi y Y,
y f (X) khi và ch khi tn ti x X sao cho y = f (x), tc là:
f(X) = {y Y : tn ti x X sao cho y = f(x)}.
Hin nhiên f (X) mt tp con ca Y. Tp h nh c a ánh xp Y cha f
được g đ i là tp đến (hoc tp ích) c a f.
Tr li các ví d đã xét, ta thy quan h trong Ví d 1 là quan h ρ trong
Ví d 2 không ph ng ánh xi là nh . Hin nhiên quan h ρ trong Ví d 3 là
mt ánh x như đã nêu. Tp xác định ca ánh x ρ là X.
ρ (d) = N, ρ (m) = N, ρ (h) = L, ..., ρ (v) = H.
nh ca ánh x là:
ρ (X) = {N, L, T, Đ, H} Y.
Không có phn t nào c a tp hp X quan h vi phn t V Y, tc
V không phi nh ca bt mt phn t nào ca X. Như vy ρ(X) là
mt tp con thc s ca Y, tc
ρ (X) Y và ρ(X) Y.
Ví d 6.4 :
Cho tp hp X = {a, b, c} và ánh x f: X N xác định bi bng sau:
a) Biu di n ánh x f bng lược đồ hình tên.
b) Tìm nh ca f.
a) Lược đồ hình tên ca ánh x f được cho trong Hình 4 dưới đây:
Hình 4
b) nh ca ánh x f là :
f (X) = {1, 3, 5}.
f (X) là mt tp con thc s ca N.
ánh x tp xác nh tđị p n đế đều nhng t p sp h (như N, Z, Q,
R, C ho c các t p con ca chúng) thường được cho bi mt công thc.
Chng hn, khi cho hàm s :
f :
R* R
xác định bi công thc : x f(x) = ,
ta hiu r n mng m c x i s th 0 nh t phn t duy nht y =
R làm nh
ca nó qua ánh x f.
(Kí hiu
R* ch tp hp các s thc khác không :
R* =
R\{0}).
Ví d 6.5 :
ánh x nh b f :
R
R xác đị i công thc x f(x) = sin x mt ánh x t
tp hp các s thc
R vào
R.
Tp xác định ca hàm s f
R. Tp đến ca f cũng
R. nh ca ánh x
là tp hp: f (
R) = {y
R : 1 y 1},
vì vi m thi s c y, y f (
R) khi và ch khi y = f (x) = sin x
Điu này xy ra khi và ch khi 1 y 1
Ví d 6.6 :
ánh x c x f :
R
R xác định bi công th f(x) = x
2
+ 1 là mt ánh x
t tp hp các s thc
R vào
R.
Tp xác định ca ánh x này là
R. Tp đến ca f cũng
R. nh ca ánh
x: f (
R) = {y
R : y 1},
vì vi m thi s c y, y f (
R) khi và ch khi y = f (x) = x
2
+ 1.
Điu này xy ra khi và ch khi y 1.
Ví d 6.7 :
Gi s X là mt tp hp cho trước tu ý. ánh x I: X X xác định bi x
I (x) = x là mt ánh x t X vào X.
Tp xác định ca ánh x I X. Tp đến c ũa I c ng X. Hi n nhiên nh
ca ánh x I là I (X) = X.
I được gi ánh x đồng nht trên tp h u t p hp X. Khi nhi p X, Y,
... được đồng thi đề c p đến, để phân bi t, người ta dùng các hi u IX,
IY, ... để ch các ánh x p h đồng nht trên các t p X, Y, ...
Ví d 6.8 :
Phép c p hng trên t p các s thc
R là mt ánh x t tp h p
R
2
=
R x
R vào tp hp R:
ánh x f:
R x
R
R xác định bi: (x, y) f (x, y) = x + y mt ánh
x t tp hp
R x
R vào tp hp
R.
(nh ca phn t (x, y)
R x
R qua ánh x f được kí hiu là f (x, y) thay
cho f ((x, y))).
Tp xác định ca ánh x f
R x
R. Tp đến ca f
R. D dàng thy
rng nh ca f là f (
R x
R) =
R.
Tương t, phép tr phép nhân trên tp hp
R cũng nhng ánh x t
tp hp
R x
R vào tp hp
R.
Ví d 6.9 :
hiu
R* ch tp hp các s thc khác 0:
R* =
R \ {0}. Phép chia
trên
R la f mt ánh x t tp h p
R x
R* vào tp h p
R:
ánh x f :
R x
R*
R xác định bi (x, y) f (x, y) =
là mt ánh x t tp hp
R x
R* vào tp hp
R.
Tp xác định ca f
R x
R*. Tp ng đến ca f
R. D dàng thy r
nh ca f là tp hp f (
R x
R*) =
R.
6.2. ánh x bng nhau
Gi s X Y hai tp hp, f g hai ánh x t X vào Y. Ta nói rng
hai ánh x f và g là bng nhau, và viết f = g, nếu f (x) = g (x) vi mi x X.
Chng hn, ánh x f :
R
R
x f (x) = x
3
1
và ánh x g:
R R
x g (x) = (x 1) (x
2
+ x + 1)
là hai ánh x bng nhau.
6.3. Thu hp và thác trin ánh x
a) Gi s f : X Y mt ánh x t t p hp X vào t p hp Y A mt
tp con ca X.
ánh x g : A Y xác định bi g (x) = f (x) vi mi x A,
Gi ánh x thu hp (gi tt thu hp) ca ánh x f trên tp hp A và
được kí hiu là f/A.
Như vy, f/A : A Y là ánh x xác định bi:
x f/A (x) = f(x).
Ví d 6.10 :
Gi s f:
R
R là ánh x xác định bi:
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading03
A và B là hai tp con ca
R vi :
A = {x
R : x 0} và B = {x
R : x < 0}.
Khi đó, ánh x thu hp ca f trên A là:
f/A: A
R
x f/A (x) = ,
và ánh x thu hp ca f trên B là: f/B: B
R
x f/B(x) = .
b) Gi s X, Y là hai tp hp, A là mt tp con ca X, f: A Y và F: X
Y nhng ánh x. Nếu F/A = f, tc F (x) = f (x) vi mi x A thì ánh
x F được gi ánh x thác trin (gi tt là thác trin) ca ánh x f lên tp
hp X.
Ví d 6.11 :
Gi s f : Q {0, 1} ánh x t tp hp các s h u t Q vào tp h p {0,
1} xác định bi:
f (x) = 1, vi mi x Q,
và D :
R {0, 1} là ánh x xác định bi:
Khi đó, ánh x D thác trin ca ánh x f (t tp con Q ca
R) lên tp
hp
R. ánh x D được gi là hàm s Điritslê (Diritchlet).
(Điritslê Pitơ Guxtao Lơgiơn (Diritchlet Peter Gustav Lejeune, 1805
1859) là nhà toán hc Đức).
6.4. Hp ca các ánh x
a) Cho hai ánh x f : X Y và g : Y Z. ánh x
h : X Z xác định bi
x h(x) = g [f(x)]
gi là ánh x hp ca hai ánh x f và g, kí hiu là gof.
Form at t ed:
Heading03
Như vy, gof: X Z là ánh x xác định bi:
(gof) (x) = g[f(x)], x X.
(Trong kí hiu ánh x p “gof” c a ánh x h f và g, hãy chú ý đến th t ca
hai ánh x: g được viết trước f).
Lược đồ sau giúp ta nh định nghĩa ánh x hp d hơn.
Hình 5
Ví d 6.12 :
(i) cho hai ánh x.
f:
R R
x f (x) = 2 x
g :
R R
x f (x) = sin x.
Khi đó, ánh x hp ca f và g là:
gof :
R R
x (gof) (x) = sin (2x ).
(ii) cho hai ánh x
f :
R
+
R
x f (x) =
(Ký hiu
R+ ch tp hp các s thc không âm), và
g: R
R
x g (x) = cos x.
Khi đó, nh x hp ca f và g là:
gof:
R R
x (fog) (x) = 2 sin x .
Như vy fog gof.
Người ta nói rng phép hp các ánh x không có tính giao hoán.
Ví d 6.12 :
Cho hai ánh x
f :
R R
x f (x) =
x
g :
R
+
P (
R)
x g(x) = [x, x] = {ξ
R : x ξ x}
(P (
R) là tp h p các t p con c a
R).
ánh x hp ca f và g là:
gof :
R P ( R)
x , (gof) (x) = [
x
x
]
Ví d 6.13 :
D dàng thy r ng vi mi ánh x f : X Y,
fo IX = f và IY of = f,
trong đó IX và IY, theo th t, là ánh x đồng nht trên X và Y.
Khi đó, ta nói rng các lược đồ sau là giao hoán.
Hình 6
Định lí sau đây cho thy phép hp các ánh x có tính kết hp.
c) Định lí
Vi mi ánh x f : X Y, g : Y Z và h : Z V,
ho (gof) = (hog) of.
Chng minh
D thy ho (gof) và (hog) of đều là nhng ánh x t X đến V
Hình 7
Ta chng minh:
(1) [ho (gof)] (x) = [(hog) of] (x) vi mi x X.
Tht vy, vi mi x X, ta có
(2) [ho (gof)] (x) = h ((gof) (x)) = h (g (f(x)))
(3) [(hog) of] (x) = (hog) (f(x)) = h (g (f(x))).
T hai đẳng thc (2) và (3) suy ra đẳng thc (1) cn chng minh.
6.5. Hàm s
Dãy và dãy s.
Gi s fi X Y là m t ánh x . Nếu tp đến Y ca f là t p hp s thc thì f
: X
R được gi là mt hàm s thc.
Nếu Y = C thì ánh x f : X C được gi là mt hàm s phc.
Nếu t p xác định X ca f là tp h nguyên d p hp các s ương N* (hoc t p
các s t nhiên N) thì ánh x f : N* Y
(hoc f : N Y) được gi là mt dãy vô hn (gi tt là dãy) phn t ca Y.
Gi s f : N* Y mt dãy phn t c a Y. Vi mi s nguyên dương n,
đặt yn = f (n); yn nh ca n qua ánh x f. Ngườ ười ta th ng dùng hi u
(y
1
, y
2
, ..., yn, ...) hoc (yn) để ch dãy f (vì mt ánh x được xác đnh bi
nh ca các ph n t ca nó).
Đặc bit, nếu X = N* (hoc N) và Y =
R thì ánh x f: N* R được gi
mt dãy s thc. ánh x f : N* C (hoc f : N C) được g i m t
dãy s phc.
Nếu X = {1, 2, ..., m} thì ánh x f : X Y được gi là mt dãy (hu hn)
m phn t ca Y. Đặt yk = f (k), k = 1, ..., m. Dãy m phn t ca Y thường
được kí hiu là (y
1
, y
2
, ..., ym).
Form at t ed:
Heading03
Khi xét các hàm s thc f : X c f : X
R hoc hàm s ph C, người ta
gi nh f (x) ca phn t x qua ánh x f là giá tr ca hàm s f ti đim x và
gi nh f (X) ca f là tp các giá tr ca hàm s f.
Chng hn, vi hàm s f :
R
R, x f (x) = sin x, giá tr c a hàm s ti
đim x = f () = sin = và tp các giá tr c a hàm s là f (
R) = {y
R:
1 y 1}.
Trong mt s tr ường hp người ta cho hàm s thc f xác định trên mt tp
con X nào đó c p ha
R bi mt công thc không cho trước t p X.
Khi đó, ta hiu tp xác p h p t c x định X ca hàm s f t t c th các s
sao cho f (x) nghĩa. Chng hn, tp xác nh cđị a hàm s thc f(x) =
tp hp:
X = {x
R : x 1}.
B. Hot động 6.1. Tìm hiu các khái nim cơ bn v ánh x
Nhim v:
Sinh viên tho lun theo nhóm 3 sau 4 người để thc hi n các nhi m v
ri c đại din nhóm trình bày
Nhim v 1
Cho ba d v quan h hai ngôi không phi ánh x biu di n quan
h đó bng lược đồ hình tên.
Cho ba d v ánh x tp xác định t p n đế đều không ph i
nhng hàm s u di n ánh x ng l nh c, bi đó b ược đồ hình tên tìm a
chúng.
Cho bn ví d v ánh x p xác mà t định là N, N*, Z, Q,
R hoc tp con
ca chúng và ch ra tp xác định và nh ca các ánh x đó.
Cho d v ánh x t p xác định tp hp s thc {x
R : x 0}
nh là tp hp { x
R : 0 x < 1}.
Nhim v 2
Cho ba ví d v hai ánh x bng nhau.
Hai ánh x.
f :
R
+
R
x f (x) =
g :
R
+
R
x g(x) = x 1
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Delet ed:
Có phi là hai ánh x bng nhau hay không?
Nhim v 3
Cho hai d v ánh x thu h p ánh x thác tri n ca mt ánh x cho
trước.
Cho hai d v mt cp ánh x ư f, g : X Y khác nhau nh ng f/
A
= g/
A
,
A là mt tp con ca X.
Cho ba tp hp A, B, X, trong đó A B X. Tìm quan h gia các ánh
x.
f/
A
, (f/
B
)/A và f/
A B
.
Nhim v 4
Cho hai d v các ánh x f g sao cho ánh x hp gof tn ti nhưng
không t n t i ánh x hp fog.
Cho hai d v các ánh x f g sao cho gof fog đều tn ti nhưng
gof fog.
Cho hai ví d v các ánh x f và g sao cho gof và fog đều tn ti, hơn na
gof = fog.
Đ ánh giá ho t động 6.1
1. Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e},
Y = {0, 1, 2, 5, 7, 9} và quan h hai ngôi R trên X x Y xác định bi:
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}.
a) Biu din quan h ng l R b ược đồ hình tên.
b) R có phi là mt ánh x không?
2. Cho hai tp hp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} quan h hai
ngôi R trên A x B xác định bi:
= {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}.
a) Biu din quan h ng l R b ược đồ hình tên.
b) R có phi là mt ánh x không?
3. Cho hai tp hp X = {3, 5, 7, 12}, Y = {1, 6, 13, 17, 35, 36} quan h
hai ngôi “chia hết” ϕ trên X x Y.
(Vi mi x X, y Y, x ϕ y khi và ch khi x chia hết y)/
a) Tìm quan h ϕ.
b) Bi u di n quan h ϕ b ng lược đồ hình tên.
c) ϕ có phi là mt ánh x không?
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading02
Delet ed:
4. Cho hai tp hp A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {11, 13, 18, 35, 101} và quan h
hai ngôi “chia hết” f trên A x B.
a) Tìm quan h f và biu di ng ln f b ược đồ hình tên.
b) f phi mt ánh x không? Tìm tp xác định nh ca f (nếu f
ánh x).
5. Lp 12A ca mt trường trung hc ph thông có 40 hc sinh. Mt s em
độ tu i 18, s còn li độ tu i 17. Gi X là tp hp các hc sinh lp 12A,
Y = {17, 18} và R là quan h hai ngôi trên X x Y xác định như sau:
Vi mi x X, y Y, x R y khi và ch khi y là tu i ca hc sinh x.
a) R có phi là mt ánh x không?
b) Tìm tp xác định và nh ca R (nếu R là mt ánh x).
6. Tp hp X có n phn t, tp h n tp Y có mt ph . Hi có bao nhiêu ánh
x t X vào Y?
7. T p h n t p X mt ph , t p hp Y m ph n t. Hi bao nhiêu
ánh x t X vào Y?
8. Hai tp h n tp X và Y đều có hai ph . Hi có bao nhiêu ánh x t X vào
Y.
9. Chng minh r ng n u t p h n t t p h ế p X có n ph p Y có m phn t
thì có mn ánh x t X vào Y.
Hướng dn:
Gi s m m t s nguyên dương tu ý Y = {y
1
, y
2
, ..., ym}. Ta ch ng
minh ng điu kh định b ng ph ương pháp quy np theo n. Gi s n = 1 và X
= {x
1
}. Khi đó m
1
= m ánh x t X vào Y; các ánh x đó được xác định
như sau: f
1
(x
1
) = y
1
, f
2
(x
1
) = y
2
, ... , fm (x
1
) = ym. Gi s điu khng nh đị
đúng cho n, tc mn ánh x t tp hp X = {x
1
, x
2
, ..., xn} (n phn
t) vào tp hp Y. Ta chng minh có mn
+ 1
ánh x t tp hp X = {x
1
, x
2
, ...,
xn, xn
+ 1
} vào tp h p hp Y. Chia t p tt c các ánh x t X vào Y thành m
tp con đôi mt ri nhau như sau: Tp con th nh t gm t t c các ánh x f
: X Y sao cho f (xn
+ 1
) = y
1
, tp con th hai gm tt c các ánh x f : X
Y sao cho f (xn
+ 1
) = y
2
,..., tp con th m gm tt c các ánh x f
1
X Y sao
cho f (xn
+ 1
) = ym. Hãy ch đ ra rng mi tp con ó có mn phn t.
10. hiu P = P (
R) ch t p hp tt c các t p con ca tp hp các s
thc
R. Cho ánh x f :
R P xác định bi công thc:
f(x) = {y
R : y
x
Tìm f(-2), f(0) và f (x2).
11. Cho tp hp X = {x
R : 0 x 2} ánh x f : X
R xác định
bi:
Tìm nh f (X) ca ánh x f.
12. Hai ánh x f; g :
R
R xác định bi:
f (x) =
g (x) =
có ph ng ánh xi là nh bng nhau hay không?
13. Cùng câu hi ca bài tp 12 đối vi hai ánh x u, v : R xác
R
định
bi:
v (x) =
.
14. Tìm các ánh x hp gof fog (nếu có) ca mi cp hàm s sau đây.
Nếu không tn ti gof hoc fog thì gii thích lí do:
a) f :
R
+
R và g :
R
R
x f(x) = lnx x g(x) = ex
(
là tp hp các s thc dương: = {x
R : x > 0};
b) f :
R*
R và g :
R*
R
x f (x) = hvx x g(x) = cos x.
15. Cho hai ánh x f, g :
R
R xác định bi:
và g(x) = x + 1.
a) nh ca ánh x h :
R
R phi tho n điu kin nào để foh =
goh?
b) Tìm ba hàm s h :
R
R nh h (
R) mt tp hp hn (tc
là tp hp có vô s phn t) sao cho foh = goh.
16. Cho hai hàm s f, g :
R
R xác định bi:
f(x) =
và g(x) = 2x
2
+ 33.
Tìm tp con X ca
R sao cho:
f/
X
= g/
X
.
17. Cùng câu hi ca bài tp 16 đối vi hai hàm s f, g :
R
R xác định
bi:
f(x) = , g(x) = 3 x2.
18. Gi s A là mt tp con ca tp hp X. ánh x
jA : A X xác định bi
x jA (x) = x
gi là phép nhúng tp con A vào tp hp X.
Chng minh rng vi mi ánh x f : X Y và vi mi A X, ta đều có:
f/
A
= fo jA.
19. Tìm tp xác định và tp các giá tr ca hàm s
f(x) =
20. Chng minh rng nếu Y là mt tp hp có m phn t n t thì t i mn dãy
n phn t ca Y.
Hướng dn. áp dng bài tp 9.
21. Gi s X Y hai tp h p bt kì. hiu YX ch t p hp t t c các
ánh x f : X Y.
Gi s X, Y, Z là ba tp hp và f : X Y là mt ánh x cho trước.
ánh x
df : ZY ZX
xác định bi
ϕ → df(ϕ) = ϕ
0
f
gi là ánh x cm ng b?i ánh x f.
Cho bn tp hp X, Y, Z, W và ϕ
0
f ZX
hai ánh x f : X Y và g : Y Z.
Gi df : WY WX, dg : WZ WY và dgof : WZ WX, theo th t,
ánh x cm ng bi f, g và gof. Chng minh rng
dgof = df
. dg.
22. hi
u
R
R
ch tp h p t t c các ánh x t tp R vào chính (xem
bài tp 21). Gi là quan h hai ngôi trên RR xác định như sau:
V
i mi f, g
R
R
,
f g khi và ch g(x) v khi f (x) i mi x
R.
a) Ch
ng minh rng là mt quan h th t trên
R
R
.
b) Ch
ng minh r p thng trong tp h p s t
R
R
không phn t ti
đại và ph n t ti ti u.
23. Gi s t R là mt quan h ương đương trên tp hp X.
ánh x: π : X X/R
x (x) =
trong đó là lp tương đương ch a ph n t x X gi là, ánh x thương.
Gi s RX RY, theo th t, hai quan h tương đương trên hai tp hp
X, Y và f : X Y là mt ánh x sao cho vi mi x
1
, x
2
X,
x
1 2
RXx f(x
1
) RY f(x
2
).
Chng minh rng tn t i ánh x F : X / RX Y/RY sao cho lược đồ sau
giao hoán.
Ngoài ra, nếu f(X) = Y thì F (X/RX) = Y/RY.
(π
X
π
Y
là hai ánh x thương).
Form at t ed:
Heading01, Line
spacing: single
Tiu ch đề 1.7.
đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh x ngược
Thông tin cơ bn
7.1. Đơn ánh
Ta xét các ánh x trong ví d sau:
Ví d 7.1: Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e},
Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh x f : X Y,
g : X Y xác định b?i các bng sau đây:
Hai ánh x f và g được bi u di n bi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới
đây.
Hình 2
Ta thy ba ph n t b, d, e c a t p hp X đều có nh qua ánh x f là ph n t
2 ca tp hp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên t ba đim b, d, e c a X đều
đ đ i đến im 2 c a Y. Điu này không xy ra vi ánh x g. Các phn t a, b,
c, d, e ca tp hp X các nh qua ánh x ng ph n t g nh đôi mt
khác nhau c p ha t p Y. Trong lược đồ 8 b), các mũ đi tên t hai im khác
nhau c m khác nhau ca X đi đến hai đi a Y. Nói mt cách khác, hai phn
Form at t ed:
Heading02, Space
Before: 0 pt
Form at t ed:
Heading03
Delet ed:
t khác nhau b p ht ca t p X nh qua ánh x n t g hai ph khác
nhau c p ha t p Y. Ánh x g được gi là mt đơn ánh.
Mt cách tng quát, ta có:
Định nghĩa: ánh x f: X Y gi mt đơn ánh nếu hai phn t khác
nhau bt ca tp Xnh qua f hai phn t khác nhau c a tp hp Y,
tc là vi mi x
1
, x
2
X,
x
1 2
x f(x
1
) f(x
2
).
Hin nhiên, điu ki n trên tương đương vi đi u ki n sau: V i m i x
1
, x
2
X,
f(x
1
) = f(x
2
) x
1
= x
2
Theo định nghĩa va nêu, hin nhiên ánh x f trong d 1 không phi
mt đơn ánh.
Ví d 7.2 :
(i) Ánh x f :
R
R xác định bi f(x) = x
2
không phi là mt đơn ánh vì
chng hn, f(1) = f(1) = 1.
(ii) Ánh x g : N* Q xác định bi g(n) = mt đơn ánh vi hai s
nguyên dương m,
n bt kì, nếu m n thì .
(iii) Ánh x ϕ :
R
R xác định bi (x) = sin x không phi mt đơn
ánh vì chng hn, ϕ(0) = ϕ (π ) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x
R : x
} thì ánh x /A : A
R, thu hp ca trên tp con A ca
R mt đơn
ánh.
Tương t, ánh x (x) = cos x không phi là mt đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dt
B = {x
R : 0 x π} thì ánh x /B : B
R, thu hp ca trên tp con B
ca
R là mt đơn ánh.
ánh x không ph h :
R
R xác định bi h(x) =
x
i mt đơn ánh
nhưng ánh x h/R
+
R, thu hp ca h trên tp hp
R
+
các s nguyên không
âm R
+
là mt đơn ánh.
(iv) Hin nhiên, nếu ánh x f : X Y là mt đơn ánh A mt tp con
ca tp hp X thì ánh x f/A : A Y, thu hp ca f trên A, là mt đơn ánh.
7.2. Toàn ánh
Ta tr li xét hai ánh x f và g trong Ví d 2.1.
Form at t ed:
Heading03
nh c a ánh x f f(X) = {1, 2, 3}. M i ph n t 4, 5, 6,7, 8 ca Y không
phi nh ca bt mt phn t nào ca X qua ánh x f; f(X) là mt tp
con thc s ca Y, tc là f(X) Y và f(X) Y. Tương t nh c a ánh x, g
là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mi ph n t 2, 5, 8 ca Y không nhn mt ph n t
nào c nh c a qua ánh xa Y làm g. g(X) c ng mũ t tp con thc s
ca Y.
Ta xét mt ví d khác.
Ví d 7.3 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh x ϕ : X
Y cho bi bng sau:
ánh x ϕ được bi u di n bi lược đồ hình tên trong hình 9
Hình 9
Khác vi hai ánh x f và g trong Ví d 1, đây nh ca ϕ ϕ(X) = {M, N,
P, Q} = Y. Như v y mi ph n t c a Y d u nh ca m t phn t nào đó
ca X qua ánh x ϕ. Người ta gi ánh x ϕ là mt toàn ánh.
Mt cách tng quát, ta có:
Định nghĩa
ánh x nh c a ánh x f: X Y được gi mt toàn ánh nếu f bng tp
đến c a ánh x, t c là: f(X) = Y.
T định nghĩa ca toàn ánh suy ra rng f : X Y mt toàn ánh khi
ch khi v i ít nhi mi y Y, tn t t mt phn t x X sao cho f(x) = y.
Hin nhiên các ánh x f và g trong Ví d 1 không phi là nhng toàn ánh.
Ví d 7.4:
(i) Đặt A = {x
R : < x < }. Ánh x f : A
R xác định bi f(x) = tgx
mt toàn ánh vì vi mi y
R, tn ti x A sao cho f (x) = tgx = y.
(ii) ánh x g :
R
R xác định bi g(x) = t toàn
x
không phi m
ánh vì nh c a ánh x tp h p g(
R) = {
x
: x
R} =
R
+
; đó mt
tp con thc s ca
R. Tuy nhiên ánh x ϕ :
R
R
+
xác định bi ϕ(x)
=
x
là mt toàn ánh vì ϕ(
R) =
R
+
.
(iii) ánh x h :
R
Rxác định bi h(x) = sinx không phi m t toàn
ánh vì h(
R) = {sin x : x
R} = {y
R : 1 y 1}
R.
Tuy nhiên, nếu 1 đặt A = { y 1} thì ánh x ϕ :
R A xác định bi
ϕ(x) = sin x là mt toàn ánh.
Toàn ánh f : X Y còn được gi ánh x t X lên Y. Chng hn, người ta
gi toàn ánh ϕ :
R
R
+
x ϕ(x) =
x
ánh x t
R lên
R
+
hoc
toàn ánh t X lên Y.
Hin nhiên, nếu ánh x f : X Y không phi mt toàn ánh thì thay tp
đến Y bi nh f(X) ca f, ta được toàn ánh ϕ : X f(X), x ϕ (x) = f(x)
t X lên f(X).
7.3. Song ánh
Định nghĩa: ánh x u v f : X Y gi mt song ánh nế a mt đơn
ánh va là mt toàn ánh.
f là mt toàn ánh khi ch khi f(X) = Y, tc là vi mi y Y, tn ti x
X sao cho f(x) = y. Nếu x’ là mt phn t ca X sao cho f(x’) = y thì f(x’) =
f(x). Vì f là mt đơn ánh nên t đó suy ra x’ = x. Do đó
ánh x f : X
Y là mt song ánh khi ch khi vi mi phn t y
Y, tn
ti mt phn t duy nht x
X sao cho f(x) = y.
Ví d 7.5:
(i) D dàng thy rng ánh x xác nh b f :
R
+
R
+
đị i f(x) = x
2
mt
toán ánh. Vì vi hai s thc x
1
, x
2
không âm b u xt kì, nế
1
x
2
thì f(x1) = =
= f(x
2
) nên f cũng là mt đơn ánh. Do đó f là mt song ánh t
R
+
lên
R
+
.
(ii) ánh x g:
R xác định bi g(x) = lnx mt song ánh t lên
R
vi mi s thc y, tn ti mt s dương duy nht x sao cho lnx = y. ( là tp
hp các s thc dương: = {x
R : x > 0}).
(iii) ánh x h :
R Xác định bi h(x) = ex mt song ánh vi mi s
dương y, tn ti m t s thc duy nht x sao cho f(x) = ex = y.
Form at t ed:
Heading03
(iv) ánh x ϕ :
R
+
R
+
xác định bi f(x) = là mt song ánh vì vi mi s
thc không âm y, tn ti mt thc không âm duy nht x sao cho ϕ (x) = =
y.
(v) Đặt A = {x
R: 0 < x < π}. ánh x ψ : A i g(x) =
R xác định b
cotgx là mt song ánh t A lên
R vì vi m i s thc y, t n ti m t phn t
duy nht x A sao cho ψ (x) = cotgx = y.
7.4. ánh x ngược
Gi s f : X Y mt song ánh t tp h p X lên tp h p Y. Khi đó, vi
mi phn t y Y, tn ti mt phn t duy nht x X sao cho f(x) = y.
a) Định nghĩa: Gi s f : X Y mt song ánh t tp h p X lên tp h p
Y. ánh x: g : Y X
xác định bi: y g(y) = x,
trong đó x phn t duy nht ca X sao cho f(x) = y, gi ánh x ngược
ca ánh x f. ánh x ngược ca song ánh f : X Y được kí hiu là f
1
.
Tính cht đặc trư ng ca ánh x ngược được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Nế u f : X Y mt song ánh f : Y X ánh x ngược
ca f thì vi mi x X, y Y,
f
1
(f(x)) = x và f (f
1
(y)) = y, (1)
tc là: f = Ix fo f
1
= IY, trong đó IX IY, theo th t, ánh x đồng
nht trên tp h p hp X và t p Y.
Nói mt cách khác, hai lược đồ sau là giao hoán.
Hình 10
Chng minh: Gi s y mt phn t bt kì c đa Y. Khi ó f
1
(y) = x, trong
đ đó x là phn t duy nht c a X sao cho f(x) = y. Do ó f (f
1
(y)) = f(x) = y.
Ta đã chng minh h u x là m thc th hai trong (1). Nế t phn t bt kì ca
X thì y = f(x) Y. f mt đơn ánh nên x phn t duy nht nh
qua ánh x f là y. Do đó f
1
(y) = x và ta có f
1
(f(x)) = f
1
(y) = x.
Form at t ed:
Heading03
Ta s thy f
1
ánh x duy nht tho mãn đồng thi hai h thc trong (1).
Đó là h qu ca định lí sau:
c) Định lí. Gi s hai ánh x f : X Y và g : Y X tho mãn các h th c
sau:
g (f(x)) = x vi mi x X và f (g (y)) = y vi mi y Y
(2)
Khi đó
(i) f và g là nhng song ánh.
(ii) g là ánh x ngược c a f.
Chng minh :
Trước hết ta chng minh f là mt song ánh. Vi m i y Y, x = g(y) là mt
phn t ca X. Theo gi thiết, ta f(x) = f(g(y)) = y. Do đó f mt toàn
ánh.
Vi hai phn t bt x
1
, x
2
X, nếu f(x
1
= f(x
2
) thì g(f(x
1
) = g (f(x
2
)). Do
đó, t h th c th nh t trong (2) suy ra x
1
= x
2
. Vy f mt đơn ánh. f va
là toàn ánh va là đơn ánh nên nó là mt song ánh. Tương t, g cũng là mt
song ánh.
Bây gi ta chng minh g là ánh x c là g(y) = f ngược ca X, t
1
(y) vi mi
y Y. Tht vy, gi s y là mt phn t bt ca Y g (y) = x. T h
thc th hai trong (2) suy ra f(x) = f(g(y)) = y. Vì f là mt đơn ánh nên x
phn t duy nht ca x có nh là y qua ánh x f. Do đó f
1
(y) = x = g(y).
T định lí trên suy ra rng:
d) Nếu g : Y X ánh x ngược ca ánh x f : X Y thì f ánh x
ngược ca g. Do đó: (f
1
)
1
= f.
Quan h gi nga các ánh x ược f
và g
1
ca hai song ánh f : X Y và g : Y
Z vi ánh x ngược (gof)
1
ca ánh x hp gof Z được cho trong định
sau.
e) Định lí Cho hai ánh x f : X Y và g : Y Z. Khi đó
(i) Nếu f và g là nhng đơn ánh thì ánh x hp gof là mt đơn ánh.
(ii) Nếu f và g là nhng toàn ánh thì gof là mt toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là nhng song ánh thì gof là mt song ánh, và
(gof)
1
= f
1
. g
1
,
tc là lược đồ sau là giao hoán.
Hình 11
Chng minh
Đặt h = gof.
(i) Vi mi x
1
, x
2
X, nếu x
1
x
2
thì do f mt đơn ánh nên f(x
1
) f(x
2
).
g mt đơn ánh nên g(f(x
1
)) g(f(x
2
)), tc h(x
1
) h(x
2
). Vy h = gof
là mt đơn ánh.
(ii) Gi s z là m t phn t bt ca Z. g : Y Z là mt toàn ánh nên
tn t n ti y Y sao cho g(y) = z. Li vì f : X Y là mt toàn ánh nên t i
x X sao cho f(x) = y. Do đó g(f(x)) = g(y) = z, tc h(x) = z. Vy h
mt toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là nhng song ánh thì f và g va là đơn ánh va là toàn ánh.
Do đó t n ánh v (i) (i) suy ra rng h = gof cũng va là đơ a là toàn ánh,
tc là gof là mt song ánh. Do đó tn ti các ánh x ngược f
1
: Y X, g
1
:
Z Y và (gof)
1
: Z X. Ta chng minh:
(gof)
1
(z) = f
1
(g
1
(z)) vi mi z Z.
Tht vy, gi s z là mt phn t bt kì ca Z. Vì g là mt song ánh nên tn
ti mt phn t duy nht y Y sao cho: g(y) = z (1)
Vì f là mt song ánh nên tn t n ti mt ph duy nht x X sao cho: f(x) =
y (2)
T (1) và (2) suy ra g (f(x)) = g(y) = z, tc là: h(x) = z (3)
Vì g, f, h là nh ng song ánh nên t (1), (2), (3) suy ra:
g
1
(z) = y, f
1
(y) = x và h
1
(z) = x. Do đó:
f
1
(g
1
(z)) = f
1
(y) = x = h
1
(z).
f) Hoán v c a m t t p hp
Gi s X mt tp h p cho trước. Mi song ánh f : X X t tp hp X
lên X gi là mt hoán v ca tp hp X.
Hin nhiên ánh x p h đồng nht IX trên t p X mt hoán v ca tp hp
X.
T định e) suy ra rng ánh x hp ca hai hoán v ca t p h p X mt
hoán v ca tp hp X.
Nếu X là mt tp hp hu hn, chng hn X có n phn t thì định nghĩa ca
hoán v ng v nh ngh nêu trên tương đươ i đị ĩa hoán v ca mt tp hp n
phn t mà ta đã bi c phết trong sách giáo khoa toán b thông trung hc.
Hot động 7.1. Tìm hiu đơn ánh, toàn ánh và song ánh
Sinh viên đọc thông tin cơ b n ri th o lu n theo nhóm 2 người để thc
hin các nhim v sau:
Nhim v
Nhim v 1 :
Cho ba d v ánh x không phi đơn ánh cũng không phi toàn
ánh.
Cho ba ví d v đơn ánh không phi là toàn ánh.
Cho ba ví d v toán ánh không phi là đơn ánh.
Cho ba d v ánh x f : X Y không phi đơn ánh nhưng thu hp
f/
A
ca nó trên m t tp con A ca X là m t đơn ánh.
Cho n ánh x f
1
: X X
1
, f
2 1
: X X
2
, ... fn = Xn
1
Xn đặt h = fn .
fn
1
. ... . f
1
: X Xn.
Nếu h
1
... hn là nhng đơn ánh thì h có phi là mt đơn ánh hay không?
Nếu h
1
, ..., hn là nhng toàn ánh thì h có phi là mt toàn ánh hay không?
Nếu h
1
, ..., hn là nhng song ánh thì h có phi là mt song ánh hay không?
Nhim v 2 :
Tp h p X m phn t , tp hp Y n phn t cho m < n. Tn ti hay
không mt toàn ánh t X lên Y?
Tp h p X m phn t , tp h p Y n phn t. Gi s m > n. T n ti
hay không mt đơn ánh t X vào Y?
Cho hai d v ánh x f : X Y không ph i song ánh nhưng ánh x
thu hp h = f/
A
c a f trên mt tp hp con A c a X m t song ánh. Tìm
ánh x ngược ca h.
Tìm hai cp ánh x f : X Y g : Y Z sao cho f không phi là mt
toàn ánh nhưng ánh x hp gof là mt toàn ánh.
Đánh giá hot động 7.1
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
1. Cho hai tp hp A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai ánh x f : A
B, g : A B xác định bi hai bng sau:
a) Biu di n các ánh x f và g bi lược đồ hình tên.
b) f và g có phi là đơn ánh không?
2. Cho hai tp hp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Y = {a, b, c, d, e, f} và hai
ánh x nh b f, g : X Y xác đị i các bng sau:
x f, g : X
a) Biu din f và g bi lược đồ hình tên.
b) Chng minh rng f và g nhng song ánh và tìm ánh x ngược c a f
g.
4. Cho hai s thc a, b, a R xác 0. Chng minh rng ánh x f :
R
định bi f(x) = ax + b là mt song ánh và tìm ánh x ngược ca f.
5. Chng minh r ng các ánh x sau đây nhng song ánh tìm ánh x
ngược ca mi ánh x đó:
a) f :
R
+
R
+
xác định bi f(x) = ,
b) g : i g(x) = x
R
R xác nh bđị
3
,
c) h :
R*
R*, x h(x) = ,
d) u : A A, x u(x) =
, trong đó A =
R \ {1}
6. Gi s C tp hp các đim ca đường tròn đường kính AB D là tp
hp các đim ca tiếp tuyến vi đường tròn ti đim B. Vi mi đim M
D, gi N là giao đim ca đường thng AM vi đường tròn.
a) ánh x f : D C xác định bi f(M) = N phi mt đơn ánh hay
không?
b) f có phi là mt song ánh hay không?
7. Cho t p h p s thc A = {x
R : 1 x 1} hai ánh x f :
R
R, g :
R A xác định bi
Chng minh rng ánh x hp gof là mt toàn ánh.
8. Gi s f : X X mt toàn ánh t tp hp X lên X. Chng minh rng
nếu fof = f thì f là ánh x đồng nht trên tp hp X.
9. Cho ba ánh x f, g : X Y và h : Y Z. Chng minh rng nếu h là mt
đơn ánh và hof = hog thì f = g.
10. Cho ba tp hp X, Y, Z ánh x f : Y Z có tính cht sau: Vi mi
ánh x u, v : X Y, fou = fov u = v.
Chng minh rng f là mt đơn ánh.
11. Cho hai ánh x f : X Y và g : Y Z. Chng minh rng:
a) Nếu ánh x hp h = gof là mt t đơn ánh thì f là m đơn ánh,
b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh,
c) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì g và f là nhng toàn ánh.
12. Gi s f : X Y và g : Y X là hai toàn ánh tho mãn đẳng thc gof
= IX.
Chng minh rng g là ánh x ngược ca f.
13. Cho tp hp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} hai hoán v f : A A và g : A
A ca tp hp A xác định bi:
Tìm các hoán v hp gof và fog.
14. Gi s X Y hai tp h p n phn t (N(X) = n N(Y) = n).
Chng minh rng có tt c n! song ánh t tp hp X lên tp hp Y.
T đó suy ra rng s hoán v ca mt tp hp n phn t là n!
Hướng dn :
Điu kh ng định đúng vi n = 1. Th t v y, gi s X = {a
1
} và Y = {b
1
}. Ch
có mt song ánh t X lên Y : đó là ánh x f : X Y xác định bi f (a
1
) = b
1
.
Như v ế y, n u X Y nh ng tp h p mt phn t thì 1 = 1! song
ánh t X lên Y.
Gi s đi u kh ng nh đị đúng v i n, t c n! song ánh t tp hp X lên
tp hp Y, n u X Y ế đều n phn t. Ta chng minh điu khng nh đị
đúng cho n + 1. Tht vy, gi s X = {a
1
, a
2
, ..., an, an
+ 1
} và Y = {b
1 2
, b , ... ,
bn, bn
+1
}. Phi chng minh có c y (n + 1) ! song ánh t th X lên Y. Ta chia
tp hp tt c các song ánh t X lên Y thành n + 1 tp con như sau:
Tp con th nht A
1
gm tt c các song ánh f : X Y sao cho f (an
+1
) = b
1
.
Tp con th hai A
2
gm tt c các song ánh f : X Y sao cho f(an
+1
) = b
2
, ...
. Tp con th n + 1 An
+1
gm tt c các song ánh f : X Y sao cho f (an
+1
)
= bn
+1
. Các tp con A
1
, ..., An
+1
đ ôi m t r i nhau. Hãy ch ng minh rng mi
tp hp Ak có n! phn t, k = 1, 2, ..., n + 1.
15. Gi s t p h p X k phn t , t p hp Y n phn t n. Ch, k ng
minh r ng có c thy n (n 1) ... (n k + 1) đơn ánh t X vào Y.
Hướng dn :
Ta chng minh nh b ng phép quy n p theo k. u khđiu khng đị Đi ng
định đúng vi k = 1. Gi s X = {x
1
} Y = {y
1
, y
2
, ..., yn}, n mt s
nguyên d n ánh tương bt kì, n > 1. Khi đó, có c thy n đơ X vào Y: Đó là
các ánh x f
1
: X Y, x
1
f
1 1
(x ) = y
1
, ánh x f
2
: X
2
Y
2
, x
1
f
2 1
(x ) = y
2
,
..., ánh x fn : X Y, x
1
fn (x
1
) = yn. Gi s điu khng định đúng cho
k, tc nếu X có k phn t n tY n ph , k n thì có c thy n (n 1)
... (n k + 1) n ánh t ng minh u khđơ X vào Y. Ta ch đi ng nh úng đị đ
cho k + 1, tc là nếu t n tp hp X có k + 1 ph t p h p Y có n phn t,
k + 1 n thì c thy n (n 1) ... (n (k + 1) + 1) đơn ánh t X vào Y.
Tht vy, gi s X = {x
1
, x
2
, ..., xk, xk
+1
}, Y = {y p h
1
, y
2
, ..., yn}. Chia t p
tt c các đơn ánh t X vào Y thành n tp con nh p con Aư sau: T
1
gm tt
c các đơn ánh f : X Y sao cho f (xk
+1
) = y
1
, tp con A
2
gm tt c các
đơn ánh f : X Y sao cho f (xk
+1
) = y
2
, ..., tp con An gm tt c các đơn ánh
f : X Y sao cho f (xk
+1
) = yn. Các tp con A
1
, ..., An đôi mt ri nhau.
Hãy chng minh rng mi tp con Ak có (n 1) (n 2) ... ((n 1) k + 1).
Form at t ed:
Heading01
TIU CH ĐỀ 1.8. NH VÀ T O NH QUA MT ÁNH
X
Thông tin cơ bn
8.1. nh ca mt tp hp qua mt ánh x
a) Định nghĩa: Gi s f : X Y mt ánh x A là mt tp con ca X.
Tp hp các nh ca tt c các phn t ca A qua ánh x f gi nh c a
tp hp A qua ánh x f, kí hiu là f(A).
Như vy, vi mi x Y, y f(A) khi và ch khi t n ti x A sao cho y = f(x).
Do đó: f(A) = {y Y: Tn ti x A sao cho y = f (x).
Ví d 8.1 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và ánh x f : X
Y xác định bi bng sau:
ánh x f được biu din bi lược đồ hình tên trong Hình 1 dưới đây.
Hình 1
Cho hai tp con A B ca X : A = {a, c, e}; B = {a, d}. nh ca A B
qua ánh x f là: f(A) = {1, 2}; f (B) = {1, 5}.
Ví d 8.2 :
(i) Gi s f :
R
R là ánh x xác định b i f (x) = x
2
, A = {, 3, 7}
R
là tp hp các s thc không dương,
R
= {x
R: x 0}. Khi đó:
f(A) = {2, 9, 49} và f (
R
) =
R
+
.
(ii) Gi s D :
R {0, 1} là ánh x xác định bi:
1 vi x Q,
Form at t ed:
Heading03
D(x) =
0 vi x
R\ Q.
(D là hàm s Điritslê). Tìm nh ca các tp hp
A = {1, 1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh x D.
Ta có:
f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1}.
(iii) Cho ánh x f:
R
R xác định bi f(x) = 3x và các tp hp s thc
A = {x
R : 2 x 5}, B = {x
R : x < 1}.
nh ca A và B qua ánh x f là:
f(A) = {y
R : 15 y 6} và f(B) = {y
R : y > 3}.
Mt vài tính cht ca nh
b) Định lí
Cho ánh x f : X Y và các tp con A, B ca X. Khi đó:
(i) Nếu A B thì f(A) f(B),
(ii) f (A B) = f (A) f(B),
(iii) f (A B) f(A) f(B).
Chng minh
(i) Nếu y f(A) thì tn ti x A sao cho y = f (x). Vì A B nên t đó suy
ra x B và y = f (x). Do đó y f(B). Vy f(A) f(B).
(ii) Vì A A B nên, theo (i), ta có f(A) f(A B).
Tương t, f(B) f(A B). Do đó
(1) f(A) f(B) f (A B).
Ta chng minh bao hàm thc ngược
(2) f(A B) f(A) f(B).
Gi s y mt đim bt ca f(A B). Khi đó, tn ti x A B sao
cho y = f(x). Vì x A B nên x A hoc x B. Nếu x A thì y = f(x)
f(A), do đó y f(A) f(B). Nếu x B thì y f(B); do đó y f(A)
f(B). Ta đã chng minh (2). T (1) (2) suy ra đẳng thc (ii) cn chng
minh.
(iii) Vì A B A nên, theo (i), ta có f (A B) f (A),
Tương t, f(A B) f(B). Do đó f(A B) f (A) f(B).
Chú ý :
Trong (iii), không th thay du bi du =. Chng hn, xét ánh x f :
R
R xác định bi f(x) = x
2
các tp s thc
R
+
= {x
R : x 0},
R
= {x
R : x 0}. Khi đó
R
+
R
= {0}; f (
R
+
R
) = f ({0}) = {0};
f(
R
+
) =
R
+
, f(
R
) = R
+
f( R
+
f ( R
+
) f( R
) = R
+
. Như vy, f
(
R
+
R
} là mt tp con thc s ca f (
R
+
) f(
R
).
Tuy nhiên, nếu f : X n ánh thì bao hàm th Y mt đơ c (iii) tr thành
đẳng thc.
c) Định lí
Nếu ánh x f : X Ymt đơn ánh thì vi hai tp con A, B bt kì ca X,
ta đều có:
f (A B) = f(A) f(B).
Chng minh
Theo định lí b), (iii), ta có f(A B) f(A) f(B). Ta chng minh:
(1) f(A) f(B) f(A B).
Gi s y f(A) f(B). Khi đ đ ó y f(A) y f(B). Do ó, t n ti x
1
A
sao cho y = f(x
1
) tn ti x
2
B sao cho y f(x
2
). T đó ta f(x
1
) =
f(x
2
). Vì f mt đơ đn ánh nên ng thc va nêu kéo theo x
1
= x
2
. Như vy,
ta có x
1
A, x
1
B và y = f(x
1
), tc là x
1
A B và y = f(x
1
). Do đó y f
(A B).T đó có đẳng thc (1) cn chng minh .
d) Định lí
Nếu f : X Y là mt ánh x thì vi hai tp con bt kì ca X, ta có:
f(A) \ f(B) f (A\B).
Chng minh
Gi s y f(A) \ f(B). Khi đ đ ó y f(A) y f(B). Do ó, t n ti x
1
A
sao cho f(x) = y. Hin nhiên x
2
B (vì nếu x B thì y = f(x) f(B)). Như
vy, ta x A, x B và y = f(x), tc là x A \ B và y = f(x). Do đó y
f (A\B). T đó ta có bao hàm thc cn chng minh.
Chú ý
Trong bao hàm thc ca định lí không th thay du bi du =.
Ta ly li ví d va xét: f :
R
R là ánh x xác định bi f(x) = x
2
,
R
+
R
hai tp con ca
R. Khi đó, f( R
+
) =
R
+
, f( R
) = R
+
, f( R
+
) \
f(
R
) =
R
+
\
R
+
= φ, \
R
+
R
=
R
+
\{0} = , f(
R
+
\
R
) = f () = .
Ta thy f (
R
+
) \ f (
R
) tp con ca f (
R
+
\
R
) f (
R
+
) \ f ( R
) f
(
R
+
\
R
).
Trong ph n câu h ng n i và bài tp, ta s ch ng minh r ếu f : X Y là mt
đơn ánh thì bao hàm thc trong ng thĐịnh lí d) tr thành đẳ c.
8.2. To nh ca m p ht t p qua mt ánh x
a) Định nghĩa:
Gi s f : X Y mt ánh x C mt tp con ca Y. Tp hp tt c
các phn t x X sao cho f(x) C gi to nh c p ha t p C qua ánh
x f, kí hiu là f
1
(C).
Như vy, vi mi x X,
x
f
1
(C) khi và ch khi f(x) C.
f
1
(C) = {x X : f(x) C}.
Chú ý rng trong hiu f
1
(C), f
1
không ph ngi ánh x ược ca f. Vi
mi ánh x f : X Y vi mi tp con C ca Y, to nh f
1
(C) ca C
luôn t i, trong khi chn t song ánh f mi có ánh x ngược.
Hin nhiên f
1
(Y) = X.
Ví d 8.3 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} ánh x f :
X Y xác định bi bng sau:
(i) Biu din ánh x f bi lược đồ hình tên.
(ii) Tìm to nh c p ha các t p C = {M, N, P} D = {P, Q, R} qua ánh
x f.
(i) ánh x f được biu din bi lược đồ hình tên trong Hình 2.
Hình 2
(ii) To nh ca các tp hp C D qua ánh x f f
1
(C) = {a, b, c, d, f};
f
1
(D) = {d, e, g}.
Ví d 8.4 :
(i) Gi s f :
R
R là ánh x xác định bi f(x) =
x
, C = {y
R : 1 y
3}. Khi đó: f
1
(C) = {1 x 3} { 3 x ≤ −1}.
(ii) Cho ánh x g:
R
R xác định bi g(x) = sin x, C = {1, 1}, D =
{0}. Khi đó: g
1
(C) = { + kπ : k Z} ; g
1
(D) = {k : k Z}.
(iii) Vi ánh x h :
R
R xác định bi
C = {y
R : 1 y < 1}, D = {y
R : y 1}, E = {y
R : y >
3}.
Ta có: f
1
(C) =
R \ Q; h
1 1
(D) = Q; h
(D) = φ.
Mt vài tính cht ca to nh
b) Định lí
Gi s f: X Y là mt ánh x, C và D là nhng tp con ca Y. Khi đó:
(i) Nếu C D thì f
1
(C) f
1
(D),
(ii) f1 (C D) = f
1
(C) f
1
(D),
(iii) f1 (C D) = f
1
(C) f
1
(D),
(iv) f1 (C\D) = f
1
(C) \f
1
D).
Chng minh
(i) Gi
s C D. Nếu x f
1
(C) thì f(x) C. C D nên f(x) D; do
đó x f
1
(D).
(ii) Vì C C D nên, theo (i), ta có f
1
(C) f
1
(C D).
T
ương t, ta có f
1
(D) f
1
(C D). Do đó:
(1) f
1
(C) f
1
(D) f
1
(C D).
Ta chng minh bao hàm thc ngược
(2) f
1
(C D) f
1
(C) f
1
(D).
Th
t vy, nếu x f
1
(C D) thì f(x) C D. Do đó f(x) C hoc f(x)
D. N
ếu f(x) C thì x f
1
(C); do đó x f
1
(C) f
1
(D). Nếu f(x) D thì
x
f
1
(D), do đó x f
1
(C) f
1
(D). T đó ta bao ham fth c (2). T (1)
và (2) suy ra đẳng th c (ii) cn ch ng minh.
(iii) Vì C D C nên f
1
(C D) f
1
(C). Tương t,
ta có f
1
(C D) f
1
(D). Do đó
(3) f
1
(C D) f
1
(C) f
1
(C) f
1
(D).
Ta chng minh:
(4) f
1
(C) f
1
(D) f
1
(C D).
Th
t vy, nếu x f
1 1
(C) f
(D) thì x f
1
(C) và x f
1
(D).
Do
đó f(x) C và f(x) D. T đó suy ra f(x) C D; do đó x f
1
(C
D). Ta đã chng minh (4). T (3) và (4) suy ra đẳng thc (iii).
(iv) Các điu kin sau là tương đương:
x f
1
(C \ D),
f(x) C \ D,
f(x) C và f(x) D,
x f
1
(C) và x f
1
(D),
x f
1
(C) \ f
1
(D).
Do đó ta có đẳng thc (iv) .
Quan h gi nh và ta o nh được cho trong định lí sau:
c) Định lí
Gi s f : X Y là mt ánh x t tp hp X vào tp hp Y. Khi đó:
(i) Vi m i t p con C ca Y, ta có:
(1) f(f
1
(C)) C,
(ii) Vi mi tp con A ca X, ta có:
(2) A f
1
(f(A)).
Chng minh
(i) Nếu y f (f
1
(C)) thì tn ti x f
1
(C) sao cho y = f(x).
Vì x
f
1
(C) nên f (x) C, tc là y C. Do đó f (f
1
(C)) C.
(ii) Nếu x A thì f (x) f(A). Do đó x thuc to nh ca tp hp f(A) qua ánh
x f, tc là x f1 (f(A)). Vy A f1 (f(A)) .
Chú ý:
(i) Trong bao hàm thc (1) không th thay du bi du =. Ta t d
sau:
Ví d 8.5 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} ánh x f : X Y
xác định bi bng sau:
ánh x f được biu din bi lược đồ hình tên trong Hình 3.
Hình 3
Vi tp con C = {M, N, P, R} ca tp hp Y, ta có: f
1
(C) = {a, b, c},
f(f
1
(C)) = {M, N}.
Ta th
y f(f
1
(C)) là mt tp con th c s ca C, t c là f (f
1
(C)) C.
Mt d khác: Gi s g :
R
R là ánh x xác định bi g(x) = x
2
C
= {x
R : x 1} mt tp con ca
R. Khi đó, ta có f
1
(C) =
R
f(f
1
(C)) =
R
+
.
đây, ta li thy f (f
1
(C)) là mt tp con thc s ca C.
Trong phn câu h ng ni bài tp ta s chng minh r ếu C f(X) thì bao
hàm thc (1) trong Định lí c) tr thành đẳng thc.
(ii) Trong bao hàm thc (2), không th thay du bi du =.
Ta xét ví d sau:
Ví d 8.6 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e, f},
Y = {M, N, P, Q, R, S, T} và ánh x f : X Y xác định bi bng sau:
ánh x n b được biu di i lược đồ hình tên trong Hình 4.
Hình 4
Vi tp con A = {a, b, c} ca tp hp X, ta có: f(A) = {M, N, P} và f
1
(fA))
= {a, b, c, d, e}.
Ta thy A là mt tp con th c s ca tp hp f
1
(f(A)).
Ta xét mt ví d khác: cho ánh x D :
R {0, 1} xác định bi:
D(x) =
1 vi x Q,
0 vi x
R \ Q.
(D là hàm s Điritslê).
Vi tp con A = {1, } ca
R, ta có:
D(A) = {1} và D
1
(D(A)) = d
1
({1}) = Q.
A là mt tp con thc s a D c
1
(D(A)).
Trong ph u ánh xn câu hi và bài tp, ta s chng minh r ng n ế f : X Y
là mt đơn ánh thì bao hàm thc (2) trong Định lí c) tr thành đẳng thc.
d) Quan h gia to nh ca mt tp hp qua m nh ct song ánh a tp
hp đó qua ánh x ngược ca song ánh.
Gi s f : X Y mt song ánh t tp h đp X lên tp h p Y. Khi ó f
ánh x ng ược g = f
1
: Y X. Ta s ch ra r ng nếu C là mt t p con ca Y
thì to nh f
1
(C) c f và a tp hp C qua ánh x nh g(C) ca tp hp C qua
ánh x
g = f
1
là hai t p hp b ng nhau: g (C) = f
1
(C).
Tht vy, vi mi x X, các đi u ki n sau là tương đương:
x g(C),
Tn ti y C sao cho g(y) = x,
f(x) = y và y C
x f
1
(C).
Vy g(C) = f
1
(C).
Ta minh ho điu khng định va nêu qua mt ví d.
Ví d 8.7 :
Cho hai tp hp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và song ánh f : X
Y xác định bi bng sau:
ánh x f được biu din bi lược đồ hình tên trong Hình 5
Hình 5
ánh x ngược g = f
1
: Y X ca f được cho trong bng sau:
Vi tp con C = {1, 2, 3, 4} ca tp hp Y :
To nh ca tp hp C qua ánh x f là:
f
1
(C) = {a, b, c, d}
nh ca tp hp C qua ánh x ngược g = f
1
ca C là
g(C) = {a, d, b, c}.
Ta thy g(C) = f
1
(C).
Như vy,
Nế u ánh x f : X Y không ph i m t song ánh C m t tp con
c
a Y thì hiu f
1
(C) ch to nh ca t p hp C qua ánh x f. (Trong
trường này f không có ánh x ngược).
Nế u ánh x f : X Y mt song ánh và C là mt t p con ca Y thì nh
(f
1
) (C) ca C qua ánh x ngược f
1
: Y X ca f cũng là to nh f
1
(C) ca
C qua ánh x f.
Hot động 8.1. Thc hành xác định o nh và t nh ca tp
hp qua ánh x
Nhim v:
Sinh viên t đọc thông tin cơ bn sau đó th o lu n theo nhóm 2, 3 người để
thc hin các nhim v sau:
Nhim v 1:
Cho ba d v nh ca mt t p hp qua mt ánh x . Bi u di n các ánh
x bi nhng lược đồ hình tên và nh ca tp hp bi lược đồ Ven
Cho ba d v t o nh c a m t t p hp qua mt ánh x . Bi u din các
ánh x đó bi nhng lược đồ hình tên và to nh bi lược đồ Ven
Nhim v 2:
Cho hai d chng t trong bao hàm thc (iii) ca định lí 1b,1d), không
th thay du bi du =.
Nhim v 3:
Cho hai ví d chng t trong bao hàm thc (1) ca Định lí 2c), không th
thay du bi du =.
Cho hai ví d chng t trong bao hàm thc (2) ca Định lí 2c), không th
thay du bi du =.
Đ ánh giá ho t động 8.1
1. Cho hai tp hp X = a , b , c , d , e , f , g , h ;
Y = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,
ánh x f: X Y xác định bi bng sau
Form at t ed:
Heading03
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
Form at t ed:
Heading04
và hai tp con A , B ca X : A = a , b , c ; B = c , d , h
a) Biu di p hn ánh x hình tên các t f bi lược đồ p A, B bi lược đồ
Ven
b) Tìm f(A), f(B) , f(A B), f(A) f(B), A B, f(A) f(B) và f(A B)
c) Nếu mi quan h gia hai tp hp f(A B) và f(A) f(B)
2. Cho hai tp hp X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6, Y = m , n , p , q , r , s , t
ánh x nh b f : X Y xác đị i bng
và hai tp con A = 1 , 2 , 3 , 4 , B = 4 , 5 , 6 ca X
a) Biu di p hn ánh x hình tên các t f bi lược đồ p A, B bi lược đồ
Ven
b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B và f(A \ B)
c) Nêu mi quan h gia hai tp hp f(A \ B) và f(A) \ f(B)
3. Chng minh rng nếu ánh x f: X Y là mt đơn ánh thì vi hai tp con
bt kì A và B ca X, ta có:
f( A \ B) = f(A) \ f(B)
4. Cho hai tp hp X = a , b , c , d , e , f , Y = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
ánh x nh b f : X Y xác đị i bng
và tp con C = 1 , 2 , 3 , 7 , 8 ca X
a) Biu di n ánh x p h f bi lược đồ hình tên và t p C bi lược đồ Ven
b) Tìm các tp hp f
1
(C) và f (f
1
(C))
c) Nếu mi quan h gia hai t p C và f (fp h
1
(C)).
5. Cho ánh x f. Chng minh rng vi m i t p con C ca f(X) ta có f(f
1
(C))
= C
6. Cho hai tp hp X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, Y = a , b , c , d , e , f,
g, ánh x f : X Y xác định bi bng
và tp con A = 3 , 4 , 5 ca tp hp X
a) Biu di n ánh x p h f bi lược đồ hình tên và t p A bi lược đồ Ven
b) Tìm các tp hp A và f
1
(f(A))
c) Nêu mi quan h gia hai tp hp f(A) và f
1
(f(A))
7. Chng minh rng nếu ánh x f: X Y mt đơn ánh thì v i mi tp
con A ca X ta có: A = f
1
(f(A))
8. Cho ánh x f: X R hai tp hp A, B, A X, B R. Tìm nh f(A)
và t nh fo
1
(B) trong mi trường hp sau
a) f(x) = sin 2x ; X = x ε R : 0 x 6Π,
A = x ε ε R : 0 x U x R : Π x + Π
B = y R : 1 y 0
b) f(x) = | x
2
4| , X = R , A = x ε R : 0 x 1, B = y ε R : 2 y 4
c) f(x) = | x2 2x| , X = R , A = x ε R : | x| 1, B = y ε R : 0 y
9. Cho ánh x f: R R xác định bi f(x) = |x + 1| và tp hp A = x ε R; 1
x 2 Tìm f(A) và f
1
(f(A))
10. Cho ánh x f : R R xác định bi f(x) = x
8
+ x
4
+ 1, A = x ε R : |x|
2, B = y ε R : 0 y 1. Tìm nh f(A) và to nh f
1
(B)
11. Gi s R [x] tp h p các đa th c vi các h s thc Rn[x] tp
hp các đa thc có bc nh hơn hoc b ng n, v i các h s thc và g: Rn[x]
R[x] là ánh x xác định bi g(P) = P(x
2
+ 1)
a) Tìm nh ca tp hp các đa thc có bc 1
b) Tìm to o nh c p ha t p các c có bđa th c 0 t nh ca tp hp ch
có mt phn t a thđ c x
2
+ 1
12. Cho ánh x f: X Y. A X , B Y
Ch
ng minh rng: f(A f
1
(B)) = f(A) B
13. Gi s f: X Y mt ánh x , A mt t p con ca X, B mt tp
con ca Y và g = f/
A
. Chng minh rng g
1
(B) = A f
1
(B)
14. Chng minh rng toàn ánh f: X Y t tp h p X lên t p h p Y mt
song ánh khi ch khi to nh c p con m n ta mi t t ph ca Y mt
tp con mt phn t ca X
15. Cho ánh x f : X Y g: Y W. Gi h: X x Y V x W là ánh x
xác định bi (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y))
Chng minh rng nếu M V, N W thì h
1
(M x N) = f
1
(M) x g
1
(N)
(ánh x h c kí hiđược gi là tích ca hai ánh x f và g, và đượ u là f x g)
16. Cho hai ánh x f: X Y và g: X Z. Gi h: X Y x Z là ánh x xác
định bi x h(x) = (f(x), g(x)).
Ch
ng minh rng nếu B Y, C Z thì h
1
(B x C) = f
1
(B) f
1
(C) (ánh x
h được gi là ánh x phc)
Thông tin phn hi cho ch đề 1
Form at t ed:
Heading01
CƠ S CA LÍ THUYT TP HP
TIU CH ĐỀ 1.2. TP HP
Hot động 1.1
Khái nim Tp hp. Tp con. Các tp hp bng nhau.
1. a) A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}
b) B = {31, 37, 41, 43, 47}
c) C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
2. a) A = {2, 3, 4, 5, 6}
b) B = {0, 1, }; c) C = φ.
3. a) A là t p h p b ng s u c p s hng đầ a c cng có s hng đầu là 3
và công sai là 4
b) B là tp hp các s nguyên t ln hơn 16 và nh hơn 50;
c) C tp h p b ng s h ng đầu ca c p s nhân s hng đầu 1
công bi là .
5. S, S, Đ, Đ.
6. S, S, Đ, Đ.
7. Đ, S, Đ, Đ.
8. Đ, S, Đ, S.
Đ, Đ, S, Đ.
9. (A) = {φ, {a
1
}, {a }, {a
2
}, {a
3
}, {a
1
, a
2 1
, a
3
}, {a
2
, a
3
}, {a
1
, a
2
, a
3
}}.
b) P (A) có 8 phn t.
10. a) B = {φ, {a
1
}, {a
2
}, {a
3
}, {a
1
, a
2
}, {a
1
, a
3
}, {a
2
, a
3
}, {a
1
, a
2
, a
3
},
a
4 1 4 2 3 4
, {a , a }, {a , a
4
}, {a , a },
{a
1
, a , a , a , a , a
2
, a
4
}, {a
1
, a
3 4
}, {a
2 3 4
}, {a
1
, a
2
, a
3 4
}}.
b P(B) có 16 phn t.
11. a) Sai; b) Đúng.
12. Hin nhiên điu khng định đúng vi n = 0. Gi s điu khng định
đúng v i n, tc tp h p A = {a
1
, a
2
, ..., an} 2
n
tp con. Ta chng minh
tp hp B = {a
1
, a
2
, ..., an, an
+ 1
} có 2
n + 1
t p con. Chia các t p con ca B làm
hai loi:
(i) Các tp con ca B không cha an
+ 1
,
(ii) Các tp con ca B cha an
+ 1
D thy mi loi đều có 2
n
phn t.
Form at t ed:
Heading02
Hot động 2.1
Các phép toán trên các tp hp
1. Vì B A nên:
A B = A, A B = B, B \ A = φ.
A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}.
2. a) A B là tp hp các s t nhiên chia hế ết cho 2 hoc chia h t cho 5:
A B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, ...}.
A B là tp hp các s t nhiên có mt trong các dng sau:
10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A B tp hp
các bi t nhiên ca 10:
A B = {0, 10, 20, 30, 40, ...} = {10n : n N}.
A \ B là tp hp các s chn không phi là bi ca 5:
A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, ...}.
A \ B là tp hp các s t nhiên có mt trong các dng sau:
10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n N.
B \ A là tp hp các s l bi ca 5:
B \ A = {5, 15, 25, 35, ...} = {10n + 5 : n N}.
3. a) V C là tp hp các tam giác vuông cân.
V C là tp hp các tam giác vuông hoc cân.
V \ C là tp hp các tam giác vuông nhưng không cân.
C \ V là tp hp các tam giác cân nhưng không vuông.
4. A B = {x R : x < 0} {x R; x 5}; A B = {x R: 5 x
5};
A \ B = {x R : x < 6} {x R : x 5}; B \ A = {x R : 5 < x < 0}.
5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB;
c) E = HD; F = BX.
6. a) Min II cha các mnh bé màu nâu, không phi là hình vuông.
Min IV cha các mnh hình vuông ln màu nâu.
Min V cha các mnh hình vuông màu đỏ và xanh.
b) Min II cha 6 mnh.
Min IV cha 2 mnh.
Min V cha 8 mnh.
Form at t ed:
Heading02
18. Tp hp A B có 6 phn t.
19. Gi A là tp hp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng.
Tp hp A có: 42 14 = 18 phn t.
Gi B là tp hp các xe buýt
T . p hp A B có 37 phn t
B \ A là tp hp các xe buýt vàng. Ta có: A B = A (B \ A), trong đó B
\ A A hai tp hp không giao nhau. T đó d dàng tính được 9 xe
buýt vàng.
20. 4 hc sinh ch hc khá môn Toán, 7 em ch hc khá môn Văn, 5 em ch
hc khá môn Anh; 9 em không hc khá môn nào.
TIU CH ĐỀ 1.3. QUAN H
Hot động 3.1
Quan h hai ngôi
5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}.
6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/
7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2),
(8, 8}.
8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), ...}.
9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}.
10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}.
11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}.
12. Trong mt phng to độ, tp hp R1 được bi u di n b i tp hp các
đi m ca na m t ph ng n m phía trên đường phân giác th nh t y = x, t p
hp R
2
được bi n b p h ng không nu di i t p các đim ca mt ph m trên
đường phân giác th nh t.
14. Đó là quan h phn x, đối xng và bc cu.
15. R là mt quan h đối xng nhưng không phn x và không b c c u.
16. ng. Đó là quan h phn x, bc cu nhưng không đối x
17. Quan h R
2
trên Y phn x ; R
1
R không ph
2
i nhng quan h
phn x.
18. Quan h R
2
trên Y là đối xng. Không có quan h nào là bc cu.
20. R
1
= {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), ...}
Form at t ed:
Heading02
= ((7n, n) : n N*}.
22. R
2
. R = {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), ...}
1
= {(3n, n + 5) : n N*}.
R
1 2
. R = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), ...}
= {(3n 2, n + 1) : n N*}.
Hot động 4.1
Quan h tương ng đươ
1. ~
1
chia L
0
thành 4 lp tương đương.
~
2
chia L
0
thành 2 lp tương đương.
~
3
chia L
0
thành 2 lp tương đương vi.
2. b) Quan h tươ ương đương R trên N chia N thành bn lp t ng đương.
3. b) {1, 3}
~
= {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{,
{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}.
4. b) Tp thương R
2
/~ là tp hp các đường tròn trong mt phng tâm
đ đ im g c và im g c.
5. X/R = {{x} : x X}.
6. R không phi là mt quan h phn x.
7. Không tn ti mt quan h tương đương R tho mãn đ điu kin ã nêu
A C ≠ φ.
8. X/~ = {A, A
2
, ..., Am}.
9. V p t ng chi mi tp con A cha a ca X, Â = {A} (l ương đươ a A
tp hp mt phn t). Mi tp h p con c a X không cha a đều tương
đương vi nhau, chúng to nên m p tt l ương đương c a quan h ~. V y
P / ~ = {{A}; a A X} ,
trong đó B là mt tp con ca X không cha a, là tp hp tt c các tp con
ca X không cha a.
10. Tp thương C*/R hai phn t p h: T p các đim ca hai na mt
phng bên ph p ti bên trái ca trc tung to nên hai l ương đương ca
quan h R.
Hot động 5.1
Quan h th t
1. B) là quan h toàn phn.
2. Đó không phi là mt quan h toàn phn.
3. b) Không.
Form at t ed:
Heading02
Form at t ed:
Heading02
4. b) Không.
5. R không phn đối xng.
6. Ba quan h th t.
7. a) 40 là ph n t ti đại; 2 và 5 là nh ng phn t ti ti u.
b) 40 là ph n t l n nht ca X; X không có phn t nh nht.
8. 3
5
là giá tr là giá tr ln nht ca X; 3
9
nh nh t ca x.
9. RC là quan h th t trên C.
10. b) Mi phn t ca X đều mt phn t ti đại, đồng thi phn t
ti tiu. Tp hp sp th t X không phn t ln nht phn t nh
nht.
a, e, f là các phn t t i tiu ca Y; c phn t t ũi đại, c ng là phn t ln
nht ca Y.
13. b) D
1
là phn t t ũi tiu; D
3
là phn t t i tiu, c ng là phn t t i đại. D
4
là phn t ti đại. Tp s p th t X không có phn t nh nh t và không
phn t ln nht.
14. A là dây xích, B không phi là dây xích.
15. 1 là phn t chn dưới ca A;
Các s 77n, n N* là các phn t chn trên ca A.
1 và 3 là các phn t ch chn dưới ca B; B không có phn t n trên.
16. 1 3 các ph n t chn trên ca A. Các s 90n, n N* các phn
t chn dưới ca A.
Các s
1, 3, 3
2
, 3
3 4
, 3 , 3
5
các ph n t ch n trên ca B. Không phn t
chn dưới ca B trong {N*, }.
17. a) Mi s th i cc nh n d hơn hoc bng 7 đều là mt phn t ch ướ a
A; mi s th ơc l n h n hoc bng 3 đều là mt phn t chn trên c a A.
b) S không các s n t n d thc âm các ph ch ưới ca N. Không
phn t chn trên ca N trong R.
TIU CH ĐỀ 1.6. ÁNH X
Hot động 6. 1
Định nghĩa và các khái nim cơ bn v ánh x
1. b) R không phi là mt ánh x.
2. b) R không phi là mt ánh x.
3. c) ϕ không phi là mt ánh x.
Form at t ed:
Heading01
Form at t ed:
Heading02
4. b) f là mt ánh x. Tp xác định ca f l à A;
f(A) = {18, 35}.
5. a) R là mt ánh x.
b) T là R(X) = {17, 18{ p xác đnh ca ánh x R là X; nh ca ánh x
6. Có mt ánh x t X vào Y.
7. Có m ánh x t X vào Y.
8. 4 ánh x.
10. f(2) = {x R : x R : x 2}; f(0) = {x 0};
f(x
2
) = {y R : y x
2
}.
11. f (X) = {x R : 1 x 0} {x R : 1 < x }.
12. f và g là hai ánh x bng nhau.
13. u và v là hai ánh x bng nhau.
14. a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x R.
b) gof không tn ti; (fog) (x) = ln , x R*.
c) gof không tn ti; (fog) (x) = ln (cos x), x .
15. a) h (R) không cha hai s htc 2 và 1.
b) áp dng a).
16. X = {3, } hoc X là mt tp con ca tp hp {3, }.
17. X = {1, 1} hoc X là mt tp con c p {a tp h 1, 1}.
19. Tp xác định ca f là: X = .
f (X) = {0}.
Hot động 7.1
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh x ngược
1. b) f không phi là mt t đơn ánh; g là m đơn ánh.
2. b) f không phi là mt toàn ánh; g là mt toàn ánh.
3. b) ánh x ngược ca f và g được cho trong hai bng sau:
Form at t ed:
Heading02
4. f
1
(y) = , y R.
5. a) f
1
: R
+
R
+
, y f
1 2
(y) = y .
b) g
1
: R R, y g
1
(y) = .
c) h
1
: R* R*, y h
1
(y) =
d) u
1
: A A, y u
1
(y) = .
6. a) f là mt đơn ánh.
b) f không phi là mt song ánh.
13.
Hot động 8.1
nh và t o ca mt tp hp qua mt ánh x
1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A B) = {1, 2, 4, 8}, A B =
{c{;
f (A) f (B) = {2, 4}; f (A B) = {4}.
c) f (A B) là mt tp con thc s ca f (A) f (B).
Form at t ed:
Heading02
2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p};
A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}.
c) f (A) \ f(B) là mt tp con thc s ca f (A\B).
4. b) f
1
(C) = {a, b, c}; f (f
1
(C)) = {1, 2, 3}.
c) f (f
1
(C)) là mt tp con th c s c a C.
6. b) f (A) = {b, c}; f
1
(f(A)) = {2, 3, 4, 5}.
c) A là mt tp con th c s ca f
1
(f(A)).
8. a) f(A) = {y R : 0 y 1};
f
1
(B) = {y R : x π} {x R : π x 2 } {x R : x π}
b) f(A) = {y R : 3 y 4};
f
1
(B) = {x R : x } {x R : 2 x } {x R : x }
c) f(A) = {y R : ) y 3};
f
1
(B) = {x R : 1 x } {x R : x 1 + }.
9. f(A) = {y R : 2 y 3};
f
1
(f(A)) = {x R : 1 x 2} { x R : 4 x 3}.
10. f(A) = {y R : 1 y 273}; f
1
(B) = {0}.
11. a) nh ca tp hp các đa thc có b a thc 1 tp hp các đ c có bc
0 và các đa thc bc hai có dng P(x) = ã
2
+ b.
b) To nh c p ha t p các đa thc có bc 0 là tp hp các đa thc có bc 0.
To nh ca tp hp ch mt phn t đa thc x
2
+ 1 tp h p ch
mt phn tđa thc Q(x) = x.
CH ĐỀ 2
CƠ S LÔGIC TOÁN
I. Mc tiêu
Kiến th n thc : Người hc nm đươc nhng kiế c v :
C s c nh ơ a lôgic m đề
Các phép suy lun thường g p
Các phép chng minh thường gp
V n d ng các phép suy lun và chng minh trong dy và hc toán
K n năng : Hình thành và rèn luyn cho người hc các kĩ ăng :
Phân tích cu trúc c đề đị a các mnh : ph nh, h i, tuyn, tương đương thường gp
và xác định giá tr chân lí ca chúng
V n d ng ng g ng các phép tươ đương lôgic thườ p trong toán hc
Phân tích các phép suy lun và ch ng minh trong dy h c toán tiu hc
Thái độ :
Ch độ ng tìm tòi, phát hin và khám phá các ng d ng c a lôgic mnh y đề trong d
và hc toán
II. Gii thiu tiu mô đun
STT Tên tiu ch đề Trang
1 Mnh đề và các phép logic
2 Các bài toán v suy lun n giđơ n
3 Công thc
4 Quy tc suy lun
5 Hàm mnh nh t nh n tđề - M đề ng quát và m đề t i
6 Suy lun và chng minh
7 Suy lun và chng minh trong dy hc toán tiu hc
III. n môĐiu kin cn thiết để thc hi đun
* Kiến thc
N ng phm được kiến thc toán hc trườ thông
N phm được kiến thc ca chương trình Trung hc Sư m.
* dùng d y hĐồ c
M d y h dt s thiết b c s ng trong khi t chc các hot động: máy chiếu
projector, máy chi ng, tranh ếu đa nă nh....
Giy trong, bút d, b ng phoócmica
* Tài liu tham kh o
IV. Ni dung
TIU CH ĐỀ 2.1. MNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP LÔGIC
Thông tin cơ bn
1.1. Mnh đề
Trong môn ti thông, chúng ta ếng Vit trường ph đã làm quen vi khái nim v
cõu. Các câu thường gp có th chia thành hai loi : lo i th nh t g m nh ng câu
phn ánh tính đúng ho c sai mt thc tế khách quan. Mi câu như thế được hiu là
mt mnh úng hođề. Loi th hai gm nhng câu không phn ánh tính đ c sai mt
thc tế khách quan nào
Để kí hi u các m nh ta dùng các chđề cái a, b, c.... Trong lôgic ta không quan tâm
đế đề đế đn cu trúc ng pháp c a các mnh mà ch quan tâm n tính “ úng” hoc “sai”
ca chúng. Nếu a là mnh đề đúng thì ta nói nó có giá tr chân lí bng 1, kí hiu là
G(a) = 1, nếu a là mnh đề sai thì ta nói nó có giá tr chân lí bng 0, kí hiu là G(a) =
0
Chng hn, các câu
+ “Hà Ni là th đ ô c a nước Vit Nam” là mnh đề đ úng
+ “Nước Pháp nm Châu Phi” là mnh đề sai
+ “Tháng Giêng có 30 ngày” là mnh đề sai
+ “15 là s l” là mnh úng đề đ
+ “S 35 chia hết cho 3” là mnh đề sai
+ “12 l n 20” là mn hơ nh đề sai
+ “T giác có b ng nhau là hình vuông” là mn cnh b nh đề sai
Các câu
+ “2 nhân 2 bng my?”
+ “Anh tt nghip ph thông năm nào?”
+ “B phim này hay quá!”
+ “Tt c i h chúng ta hãy đ c đúng gi!”
đề đề u không phi là mnh . N i chung, nh ng câu nghi vn, câu m nh l nh và câu
cm thán đều không phi là mnh đề
Chú ý
1. Trong thc tế ta gp nh đềng mnh m là nhng mnh đề mà giá tr đúng, sai
ca nó ph thuc vào nhng điu ki n nh t định (thi gian, địa đim,...) Nó đúng
thi gian, địa đim này nhưng li sai thi gian, địa đim khác. Song bt kì thi
đ đị đ ũ đim nào, a im nào nó c ng luôn có giá tr chân lí úng hoc sai. Chng hn:
+ Sinh viên năm th nht đang tp quân s
+ Tri nng nóng
+ Năng sut lúa năm nay cao hơn n m ngoái ă
+ 12 gi trưa hôm nay tôi đang Hà Ni
2. nh Để kí hiu a là m đề “2 + 2 = 5” ta viết
a = “2 + 2 = 5”
3. Ta tha nhn các lut sau đầ y c a lôgic mnh đề
a) Lut bài trung: Mi mnh phđề i ho c đúng ho c sai, không có m nh đề nào
không úng cđ ũng không sai
b) Lut mâu thu n (hay còn g i là lu t phi mâu thu n): không có mnh đề nào va
đ úng li v a sai
1.2. Các phép lôgic
Khi có hai s a và b, dùng các phép toán cng, tr, nhân, chia tác động vào hai s đ ó
ta s có nh ng s mi (gi là tng hiu, tích, thương c a hai s đó)
Khi có hai mnh đề a và b, người ta cũng xây d ng các phép toán tác động vào hai
mnh ó nh n nh mđề đ để được nhng m đề i. Dướ ượi đây ta ln l t xây dng các
phép toán đó
1.2.1. Phép ph định
mnh đề a = “Nhôm là mt kim loi” ta thiết lp được mnh đề
a = “Nhôm không phi là kim loi”
a = “Không phi nhôm là kim loi”
T mnh p đề b = “S 30 chia hết cho 4” ta thiết l được mnh đề
b = “S ế 30 không chia h t cho 4”
hoc b = “Không phi 30 chia hết cho 4”
Mnh đề a (hoc b) là mnh ph nh cđề đị a mnh đề a (hoc b)
Rõ ràng, a là mnh đề đúng còn mnh đề đề đề a là mnh sai; mnh b sai còn mnh
đề đ b là úng
Vy ph nh c nh nh đị a m đề a là mt m đề, kí hiu là , đúng khi a sai và sai khi a
đ địúng. Bng chân lí c a phép ph nh được cho bi bng sau
Ví d 1.1 :
Ph đị nh c a mnh nh đề “Tháng Ba có 31 ngày” là m đề “Tháng Ba không có 31
ngày’ hoc “Không phi tháng Ba có 31 ngày”
Ví d 1.2 :
Ph đị nh c a mnh “8 l n h nh n h đề ơn 12” là m đề “8 không l ơn 12” hoc “8 nh
hơn hoc bng 12”
Chú ý :
Ph đị nh c a mt mnh n ng hđề có nhiu cách di đạt khác nhau, ch n:
“Nhôm không phi là kim loi”
“Không phi nhôm là kim loi”
“Nhôm đâu có ph i là kim lo i”
“Nói nhôm là kim loi không đúng”
hoc
“25 không ln hơn 10”
“25 nh hơn hoc bng 10”
“Không phi 25 ln hơn 10”
“25 đâu có ln hơn 10”
“Nói 25 ln hơn 10 là sai”
...................
1.1.2. Phép hi
T hai mnh đề
a = “Mi năm có 12 tháng”
b = “Mi năm có bn mùa”
Ta thiết lp mnh đề
c = “Mi nă m có 12 tháng và b n mùa”
Hoc t hai mnh đề
a = “36 là s chn”
b = “36 chia hết cho 9”
Ta thiết lp mnh đề
c = “36 là s chn chia hết cho 9”
Trong mi ví d trên đây, mnh đề c là hi c đề đa hai mnh a và b ã cho
Vy h nh i ca hai m đề a; b là mt mnh đề c, đọc là a và b, kí hiu là c = a b,
đ đề đúng khi c hai mnh a, b cùng úng và sai trong các trường hp còn li.
Giá tr chân lí ca phép hi được xác định bi bng sau
Chú ý : p m h nh Để thiết l nh đề i ca hai m đề a, b ta ghép hai mnh ó bđề đ i
liên t “và” hay mt liên t khác cùng loi. Nhng liên t đ ó là: mà, nhưng, song,
song le, đồng thi, v n, cùng.... hoc dùng du ph y ho c không dùng liên t
Ví d 1.3 :
“Thành ph Hà Ni là th đ ư ô nh ng không phi là thành ph ln nh nt ca c ước”
là hi ca hai mnh đề a = “thành ph đ Hà N i là th ô c a c nước” và b = “thành
ph Hà Ni không phi là thành ph l nn nht c ước”
Rõ ràng G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví d 1.4 :
“Lúc 12 gi ng có m trưa nay Hươ t Hà Ni và Bc Ninh” là hi ca hai mnh
đề ư ư a = “Lúc 12 gi tr a nay Hương có mt Hà N i” và b = “Lúc 12 gi tr a nay
Hương có mt Bc Ninh”
Rõ ràng hai mnh úng nên G (a đề này không th cùng đ b) = 0
Ví d 1.5 :
“36 là s chn chia hết cho 5” là hi ca hai m nh đề a = “36 là s ch n” và b = “36
chia hết cho 5”
đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G (a b) = 0
Ví d 1.6 :
“S e ln h n 2 nh ng nh h nh ơ ư ơn 3” là hi ca hai m đề a = “e > 2” và b = “e < 3”.
đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví d 1.7 :
Anh Hùng nói tho tiếng Anh mà không biết tiếng Đức
Ví d 1.8 :
Cường v , a tr đẹp trai, hc gii mà li có nhiu tài l
Chú ý: nh ng l i không có nghĐôi khi trong m đề có liên t “và” như ĩa c đềa mnh
hi.
Chng h p s p s dn: “T âm và t ương là hai tp con ri nhau ca tp s thc”
“Nhà Thanh nuôi được 15 con gà và vt”
1.1.3. Phép tuyn
T hai mnh đề
a = “Mi năm có 12 tháng”
b = “Mi năm có 52 tun”
Ta thiết lp mnh đề
c = “Mi năm có 12 tháng hoc 52 tun”
Hoc t hai mnh đề
a = “50 là s nguyên t
b = “50 chia hết cho 5”
Ta thiết lp mnh đề
c = “50 là s nguyên t hoc chia hết cho 5”
Trong mi ví d trên đây, mnh đề c là tuyn ca hai mnh đề đã cho
Vy tuyn c nh a hai m đề a, b là m đề đọt mnh c, c là a hoc b, kí hiu c = a b,
đ đề đúng khi ít nht m t trong hai mnh a, b là úng và sai khi c hai mnh đề a, b
cùng sai
Giá tr chân lí ca phép tuyn nh bđược xác đị i bng sau
Ví d 1.9 :
“Mi năm có bn mùa hoc m i tu n có b y ngày” là tuyn c a hai mnh đề a =
“Mi năm có bn mùa” và b = “Mi tun có by ngày”
đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1
Ví d 1.10 :
“20 là s c ho tròn ch c chia hết cho 3” là tuyn c nh a hai m đề
a = “20 là s tròn chc” và b = “20 chia hết cho 3”
đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G(a b) = 1
Ví d 1.11 :
“Tháng Hai có 31 ngày hoc 3 + 3 = 1” là tuyn ca hai mnh đề
a = “tháng Hai có 31 ngày” và b = “3 + 3 = 1”
đây G(a) = G(b) = 0 nên G(a b) = 0
Ví d 1.12 :
“Cô An chưa có gia đình hay là đã tt nghip đại hc”
Chú ý :
1. p m nh n cĐể thiết l đề tuy a hai m nh đề a, b ta ghép hai m nh đề đó bi liên
t “hoc” (hay mt liên t khác cùng loi)
2. Khi thiết lp m nh đề tuy n ca nhi u m nh đề, ta dùng du ch m phy thay cho
liên t “hoc”
Chng hn: “S có tn cùng bng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoc 8 thì chia hết cho 2”
3. Liên t c dùng v “hoc” trong thc tế thường đượ i hai nghĩa: loi tr và không
loi tr i tr. Phép tuyn “hoc a hoc b” là phép tuyn lo để ch a hoc b nhưng
không th c n b a l
Phép tuyn “a hoc b” là phép tuyn không loi tr c n để ch a hoc b và có th a l
b
Chng h nh B n: “Hôm nay là hoc Ch t hoc th y” là phép tuyn loi tr
“24 là s chn hoc chia hết cho 3”
“Hôm nay là Ch nht hoc ngày l” là nhng phép tuyn không loi
tr
Dưới đây, n u không nói gì thêm, ta sế ch xét các phép tuyn không loi tr
1.1.4. Phép kéo theo
T hai mnh đề
a = “S t nhiên a có tng các ch chia h s ết cho 3”
b = “S t nhiên a chia hết cho 3”
Ta thiết lp mnh đề
c = “Nếu s s t nhiên a có tng các ch chia hết cho 3 thì nó chia hết cho
3”
Hoc t hai mnh đề:
a = “Tri va mưa rào”
b = “Đường ph b ướt”
Ta thiết lp mnh đề
c = “N u trế i va mưa rào thì đường ph b ướt”
Trong mi ví d trên đây, mnh đề c là m ếnh đề kéo theo thi t l p t hai m nh đề a
và b
Vy mnh đề a kéo theo b là mt mnh đề, kí hiu là a b, sai khi a đúng mà b sai
đúng trong các trường hp còn li
Giá tr chân lí ca mnh b đề a được xác định bi bng sau:
Chú ý
1. M nh ng n đề “a kéo theo b” thườ được di đạt dưới nhiu hình thc khác nhau,
chng hn:
“nếu a thì b”
“a suy ra b”
“có a thì có b”
........................
2. Ta có th minh ha bng giá tr chân lí trên qua ví d sau:
“Nếu tri mưa rào tđườ ng ph b ướt”
a b
Mnh này sai, nđề ếu tri mưa rào (a đúng) mà đường ph không nh ướt (b sai). M
đề đ này úng trong các trường hp còn li
Tri v ư đ đa m a rào (a úng) và đường ph b ướt (b úng)
Tri không mư đa rào (a sai) và đường ph không b ướt (b úng)
Tri không mư a rào (a sai) và đường ph b ướt (b sai) (có th do nước máy chy
tràn ra đường,...
Ví d 1.13 :
“S 45 có t n cùng b ng 5 nên nó chia hết cho 5”. Mnh úng đề này đ
Ví d 1.14 :
“Nếu dây tóc bóng đèn có dòng đin chy qua thì bóng đèn sáng” là mnh úng đề đ
Ví d 1.15 :
“Nếu mi năm có 10 tháng thì m đề đi tu n có 10 ngày” là m nh úng
Ví d 1.16 :
“Nếu mi năm có 12 tháng thì 2 + 2 = 5” là mnh đề sai
Ví d 1.17 :
“S 243 có tng các ch chia h s ết cho 9 suy ra nó chia hết cho 5” là mnh đề sai
Ví d 1.18 :
“Nếu mt tri quay quanh trái đất thì Vit Nam nm châu M” là mnh úng, đề đ
nh đây c hai m đề a và b đều sai
Chú ý
1. Trong lôgic, khi xét giá tr chân lí ca mnh b ngđề a ười ta không quan tâm
đế đề đn m i quan h v n i dung c a hai mnh ó. Không phân bit trường hp a có
phi là nguyên nhân để có b hay không, mà ch quan tâm đến tính đúng, sai ca
chúng
2. Trong văn hc, mnh đề kéo theo còn được din đạt bng nhiu hình thc phong
phú. Chng hn:
“Bao gi bánh đúc có xương
B y gi m dì gh i thương con chng”
hoc “Chun chun bay thp thì mưa,
Bay cao thì nng, bay va thì râm”
1.1.5. Phép tương đương
T hai mnh đề
a = “Hình ch nht có mt góc nhn”
b = “ 200 là s nguyên t
ta thiết lp mnh đề
c = “Hình ch nht có mt góc nhn khi và ch khi 200 là s nguyên t
Hoc t hai mnh đề
a = “S 45 có tn cùng b ng 5”
b = “S 45 chia hết cho 5”
ta thiết lp mnh đề
c = “S 45 có tn cùng bng 5 khi và ch khi nó chia h ết cho 5”
Trong mi ví d nêu trên, mnh đề c là m nh tđề ương đươ đượng c thiết l p t hai
mnh đề đã cho
Vy mnh ng đ a tươ đương b là mt m nh đề, kí hi u là a b, đ úng khi c hai m nh
đề đ a, b cùng úng hoc cùng sai và sai trong các trường hp còn li
Giá tr chân lí ca mnh t ng ng nh bđề ươ đươ được xác đị i bng sau
Chú ý
Trong thc tế m nh “a t ng n đề ươ đương b” còn được di đạt dưới nhiu hình thc
khác nhau. Chng hn:
“a khi và ch khi b”
“a nếu và ch nếu b”
..................................
Ví d 1.19 :
“Tháng 12 có 31 ngày khi và ch khi trái đất quay xung quanh mt tri” là mnh đề
đúng
Ví d 1.20 :
“ 3 < 7 khi và ch khi 70 chia hết cho 3” là mnh đề sai
Ví d 1.21 :
“Tng các góc trong mt tam giác bng 900 n nếu và ch ếu 13 là s nguyên t” là
mnh đề sai
Ví d 1.22 :
“Tháng Hai có 31 ngày khi và ch khi 2 x 2 = 11” là mnh úng đề đ
Hot động : Tìm hiu khái nim mnh đề
Nhim v :
Sinh viên t đọ c thông tin cơ b n theo nhóm 3, 4 ngn sau đó th o lu ười để thc
hin các nhim v nêu trong các hot động 1.1 n 1.6 dđế ưới đây :
Nhim v 1 :
Xây dng haiví d đề đ v mnh úng trong mi lĩnh v h ng, c s c,hình hc và d?i s
xã hi.
Nhim v 2 :
Xây dng hai ví d v mnh nh v hđề sai trong mi lĩ c s c,hình hc và di sng,
xã hi.
Nhim v 3 :
Viết bn câu không phi là mnh đề
Nhim v 4 :
Xây dng ba ví d đề v mnh m (hoc mnh đề chưa xác định)
Nhim v 5 :
Phát biu lut bài trung và lut mâu thun ca lôgic mnh đề
Đánh giá
1. nh Đánh du x vào ô trng đặt sau câu là m đề
a, Bn An hc năm th my?
b, 2 x 5 = 11
c, 23 là s nguyên t
d, 17 có phi là s nguyên t không?
e, Đội tuyn Vit Nam hôm nay đá hay quá!
f, Tng các góc trong mt t giác li bng 3600
g, Hãy nêu m vt ví d mnh đề !
h, Hà Ni sáng nay có mưa rào
i, Bn nào có th cho bi ết mnh đề là gì?
2. Viết giá tr chân lí ca các mnh ng đề sau vào ô tr
a, “3 không l n 7” n hơ
b, “S h u t không phi là s vô t
c, “Hai đường chéo ca hình thang có độ dài bng nhau”
3. ng Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr
a, Có mnh v úng lđề a đ i va sai
b, Có mnh không úng cđề đ ũng không sai
Hot động 1.2. Tìm hiu phép ph đnh
Nhim v :
Nhim v 1 : Lp b nh ph nh ng chân lí ca m đề đị
Nhim v 2 :
Xây d ng b n ví d v phép ph đị đề nh mnh trong s c, trong h c trong hình h
đờ i s ng, xã h i
Sau a chúng và di n đó tìm giá tr chân lí c đạt mi mnh nh bđề ph đị ng các cách
khác nhau
Đánh giá
1. Thiết lp mnh ph nh c nh đề đị a các m đề sau
a, 5 x 7 = 35
b, 24 không chia hết cho 5
c, Hình vuông có b n c nh bng nhau
d, Tri mưa
e, An cao hơn Th
f, 40 < 30
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
2. Tìm mnh đề ph nh định ca các m đề sau
a, “15 ln hơn hoc bng 20”
“15 không nh hơn 20”
“Không phi 15 nh hơn 20”
“Nói 15 nh hơn 20 là không đúng”
b, “Hình bình hành không có hai đường chéo ct nhau trung đim ca mi
đường”
“Hai đường chéo c đ a hình bình hành không ct nhau trung im c a m i
đường”
“Không phi hai đường chéo ca hình bình hành ct nhau trung đim ca
mi đường”
“Nói hai đườ đ ng chéo c a hình bình hành ct nhau trung i m c a m i
đường là không đúng”
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
Hot i động 1.3. Tìm hiu phép h
Nhim v
Nhim v 1 : Lp b nh hng chân lí ca m đề i
Nhim v 2 : Xây dng hai ví d v mnh hđề i
Trong s h c
Trong hình hc
Trong đờ i s ng xã h i
Trong các mnh ó d ng nhđề đ được s ng liên t khác nhau
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
Đánh giá 1. Cho các mnh đề
a = “3 < 5” và b = “5 < 10”
Hãy din nh đạt các m đề sau thành li
a, a b b, a b
c, a b d, a b
2. Cho các mnh đề
a = “Tri nng”
b = “Tri nóng”
Viết d i dướ ng kí hiu các m nh đề sau
a, “Tri v i va nng l a nóng”
b, “Tri không nng nhưng nóng”
c, “Tri đã nng li nóng”
d, “Tri nng như đng âu có nóng”
e, “Tri không nng cũng chng nóng”
3. Cho các mnh đề
a = “30 là s tròn chc”
b = “30 chia hết cho 5”
c = “30 không chia hết cho 4”
Hãy viết d i dướ ng kí hiu các mnh đề sau
a, “30 là s tròn chc chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4”
b, “30 là s tròn chc không chia hết cho c 4 và 5”
c, “30 là s tròn chc không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4”
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
4. Hãy din nh ây thành lđạt các m đề sau đ i
a b c d e
trong đó:
a = “T giác ABCD có các cp c nh đối song song”
b = “T giác ABCD có các cp c nh đối bng nhau”
c = “T giác ABCD có hai đường chéo ct nhau trung đim ca mi
đường”
d = “T giác ABCD có hai góc k bù nhau”
e = “T giác ABCD có hai góc đối din bng nhau”
Sau ng hđó tìm giá tr chân lí ca nó trong trườ p :
a, ABCD là hình bình hành
b, ABCD là hình thang
Hot động 1.4. Tìm hiu phép tuyn
Nhim v
Nhim v 1: Lp bng chân lí ca mnh đề tuyn
Nhim v 2: Xây dng hai ví d v phép tuyn
Trong s h c
Trong hình hc
Trong đờ i s ng xã h i
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
Đánh giá
1. M nh ng đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr
a, “3 nh ơ h n hoc bng 3”
b, “3 nh ơ h n hoc bng 7”
c, “7 nh ơ h n hoc bng 3”
d, “4 nh ơ h n 2 hoc 3”
e, “4 nh ơ h n 2 hoc nh hơn 3”
2. Cho các mnh đề
a = “44 chia hết cho 2”
b = “44 chia hết cho 3”
Hãy phát bi u thành l i các mnh đề sau :
a, a b b, a b
c, a b d, a b
e, a b f, a b
g, a b h, a b
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
3. Đánh du x vào ô trng, nếu là phép tuyn loi tr
a, Nhà toán hc Galoa chết năm 20 hoc 21 tui
b, Tiu s c a nhà toán hc Galoa có th tìm đọc trong báo “Toán hc và tui
tr” hoc cu c” n “Chuyn k v các nhà toán h
c, S nhiên a chia h t ết cho 2 hoc 3
d, S t n ho nhiên a là s ch c l
e, S t nhiên a có tn cùng bng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoc 8
f, S t nhiên a chia hết cho 2 thì có tn cùng bng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoc 8
Hot động 1.5. Tìm hiu phép kéo theo
Nhim v
Nhim v 1: Lp b nh kéo theo ng chân lí ca m đề
Nhim v 2: Xây d ng hai ví d v phép kéo theo
Trong s h c
Trong hình hc
Trong đờ i s ng xã h i
Sau ó di n đ đạt chúng thành các cách khác nhau r i tìm giá tr chân lí c a chúng
Đánh giá
1. M nh ng đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr
a, Nếu 3 < 7 thì 15 chia hết cho 5
b, N ếu 20 là s nguyên t thì 2 x 5 = 10
c, Hình ch nht có bn góc vuông suy ra 18 chia hết cho 5
d, Tng các góc trong mt tam giác bng 3600 khi 2 x 2 = 11
e, 3 2 n ếu 35 chia hết cho 3
2. Cho các mnh đề
a = “42 chia hết cho 6”
b = “42 chia h t cho 2 và 3” ế
Hãy phát bi u thành l i các mnh đề sau
a, a b b, a
c, b d,
e, b a f, b
g, a h,
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
3. Cho biết
a, G (a b) = G (a b) = 1 và G (a b) = 0
Tìm giá tr chân lí ca mnh đề a, b
b, G (a b) = 1. Tìm G (a b)
c, G ( b) = 1. Tìm G (a b)
Hot động 1.6. Tìm hiu phép tương ng đươ
Nhim v
Nhim v 1: Lp bng chân lí ca mnh t ng đề ương đươ
Nhim v 2: Xây dng hai ví d v mnh t ng ng đề ươ đươ
Trong s h c
Trong hình hc
Trong đờ i s ng xã h i
Sau ó di n đ đạt chúng thành các cách khác nhau r i tìm giá tr chân lí c a chúng
Đánh giá
1. M nh ng đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr
a, 5 < 8 khi và ch khi 21 chia h t cho 3 ế
b, 2 + 3 = 10 nếu và ch nếu 13 là s nguyên t
c, Hình thoi có hai đường chéo bng nhau khi và ch khi phân s là ti gin
d, Hình ch nht có bn góc vuông khi và ch khi phân s l n hơn 1
e, Tháng Ba có 28 ngày khi và ch khi Vit Nam nm châu Âu
f, Mi tun có 7 ngày nếu và ch nếu Pari là th đ o c a Trung Quc
2. Cho các mnh đề
a = “S t nhiên a có tng các ch chia h s ết cho 3”
b = “S t nhiên a chia hết cho 3”
Hãy din nh sau đạt thành li các m đề
a, b,
c, d,
3. Cho biết G(a b) = 1, G() = 0
Tìm giá tr chân lí ca ; a ; b
4. Cho biết G() = 1. Có th nói gì v giá tr chân lí ca , ,
Tiu ch đề 2.2.
Các bài toán v suy lun đơn gin
Thông tin cơ bn
Suy lu n là nh ng phép suy lun n giđơ n không dùng nhng công c c a lôgic
mnh đề (phép ph định, phép hi, phép tuyn....). Các bài toán v n n suy lu đơ
gi n là nh ng bài toán khi gi i ch c n v n d ng nh ng phép suy lu n n giđơ n
Khi gii các bài toán v suy lu n n, đơn gi đòi hi chúng ta phi biết vn dng mt
cách sáng t o nh ng kiến thc toán hc đơn gi n, nh ng hi u bi ết v thiên nhiên, xã
hi và phong tc tp quán trong đời sng sinh hot hàng ngày
Dưới đây ta ln l ng s dượt nghiên cu các phương pháp thườ ng khi gii các bài
toán dng này
2.1. Phương pháp lp bng
Các bài toán gii b i tng phương pháp lp b ng xung thườ t hin hai nhóm đố ượng
(chng h nghi n ng, hon tên người và ngh p, hoc v động viên và gii thưở c tên
sách và màu bìa...). Khi gii ta thiết lp m t bng gm các hàng và các c t. Các ct
ta lit kê các đối t i tượng thuc nhóm th nht, còn các hàng ta lit kê các đố ượng
nhóm th hai
Da vào điu ki dn trong đề bài, ta loi b n (ghi s 0) các ô (là giao ca mi hàng
và mi c i b t). Nh ng ô còn li (không b lo ) là kết qu ca bài toán
Ví d 2.1 :
Ba người th hàn, th tin và th n đi đang ngi trò chuyn trong gi ngh gii lao.
Người th hàn nhn xét:
Ba chúng ta làm ngh trùng vi tên c ưa ba chúng ta, nh ng không ai làm ngh trùng
vi tên mình c
Bác Đin h ng ưở ng:
Bác nói đúng
Bn hãy cho biết tên và ngh nghip ca mi người
Gii Ta thiết lp bng sau
Theo đề bài, không ai có tên trùng v ci ngh a mình, cho nên ta ghi s 0 vào các ô
1 ; 5 và 9. Bác Đin h ng ng nhưở n xét ca bác th hàn nên bác Đin không làm
ngh hàn. Ta ghi s 0 vào ô s 7
Nhìn c n. V t 2 ta thy bác th hàn không tên là Hàn, không tên là Đi y bác th
hàn tên là Ti n. Ta đánh du X vào ô s 4
Nhìn hàng 4 ta thy bác Đ ũ đi n không làm ngh hàn c ng không làm ngh in. Vy
bác làm ngh tin. Ta đánh du X vào ô s 8
Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thy bác Hàn không làm ngh hàn, cũng không làm ngh tin.
Vy bác làm ngh n. 3 đi Đánh du X vào ô s
Kết lun: Bác Hàn làm th đin. Bác Tin là th hàn. Bác Đin làm th tin
Ví d 2.2 :
Trên bàn là ba cun sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí được bc ba màu khác
nhau: xanh, đỏ, vàng. Cho biết cu n b c bìa màu đỏ đặ t gia hai cu ăn V n và Địa lí,
cun Địa lí và cun màu xanh mua cùng m đị t ngày. Bn hãy xác nh m i cu n sách
đ ã b c bìa màu gì?
Gii: Ta có bng sau
Theo đề bài “cun bìa màu đỏ đặt gia hai cun Văn và Địa lí”. Vy cun sách Văn
Địa lí đều không bc màu đỏ cho nên cun Toán ph 0 i bc màu đỏ. Ta ghi s
vào ô 4 và 6, đánh du X vào ô 5
Mt khác, “cun Địa lí và cun bìa màu xanh mua cùng ngày”. Điu đó có ngh a là ĩ
cun Địa lí không bc màu xanh. Ta ghi s 0 vào ô 3
Nhìn c t n ng không bt th ư, ta thy cu Địa lí không bc màu xanh cũ c màu đỏ.
Vy cun Địa lí bc màu vàng. Ta đánh du X vào ô 9
Nhìn vào c đỏ ũ t 2 và ô 9 ta thy cu n Văn không b c màu , c ng không b c màu
vàng. Vy cu n Văn b c màu xanh. Ta đánh du X vào ô 1
Kết lun : Cun V n b n ă c màu xanh, cun Toán bc màu đỏ, cu Địa lí bc màu
vàng
Ví d 2.3 :
Trên bàn có bn h t p p kín được đánh s th 1 ; 2 ; 3 và 4. Trong mi h đựng mt
trong bn lo i qu : đào, m n, bưởi ho c cam. Ba b n Lc, Đạt và Thanh tham gia
trò ch i nhơ ư sau: Mi bn ln lượt đoán trong m đự đi h p ng qu ế gì, n u ai oán
đ úng ít nh t m t h p thì s được ph n thưởng.
Lc đoán trước :
H nhp th t đựng cam, hp th hai đựng mn, hp th ba đựng bưởi và h ưp th t
đự đng ào
Đạt đ ếoán ti p :
H nh ng p th t đự đào, hp th hai đự đự ng bưởi, h p th ba ng cam và h p th ư t
đựng mn
Cui cùng Thanh đoán
H nh ng mp th t đự n, hp th hai đựng cam, hp th p th ba ào và hđự đng ư t
đựng bưởi
Kết thúc cuc chơi, ban giám kho công b c n u không ba b đề đạt phn thưởng
Bn hãy cho biết trong mi hp ng quđự gì?
Gii : ta thiết lp b ng và ghi vào b ng theo lp lun sau
Theo đề bài ta có:
Lc không được phn thưởng. V y h nh p th t không đựng cam, hp th hai
không ng m n, h ng b t không ng đự p th ba không đự ưởi và hp th ư đự đào. Ta
ghi s 0 vào các ô 4 ; 6 ; 11 và 13
Đạt không được phn thưởng. V y h nh ng p th t không đự đào, hp th hai
không ng b t không đự ưởi, hp th ba không đựng cam và hp th ư đựng mn. Ta
ghi tiếp s 0 vào các ô 1 ; 7 ; 12 và 14
Thanh cũng không được phn thưởng, c ng l n nh p s 0 ũ p lu ư trên ri ta ghi tiế
vào các ô 2; 8 ; 9 và 15
Nhìn hàng th hai ta th y h p th nht không đự đng ào, không đựng mn, c ng ũ
không y nó ng bđựng cam. V đự ưởi. Ta đánh du X vào ô 3
Tương t ng d u ( ng ta được : hp th hai đự đánh du X vào ô 5), hp th ba đự
mn ( u X vào ô 10) và h t đánh d p th ư đựng cam (đánh du X vào ô 16)
Ví d 2.4 :
Gi V n băn cô giáo tr bài kim tra. B n Tun, Hùng, Lan, Quân ngi cùng bàn
đề đạ đ ơ đ u t i m 8 tr lên. Gi ra ch i Phương h i im c a b n bn. Tu n tr li:
Lan không đạt đim 10, mình và Quân không đạt đim 9 còn Hùng không đạt đim
8
Hùng thì nói :
Mình không đạ đ đạ đ đề đạt im 10, Lan không t im 9 còn Tun và Quân u không t
đim 8
B in hãy cho biết mi người đã đạt đ m my?
Gii: Ta lp bng và ghi bng theo lp lun d ưới
Theo Tun ta ghi s 0 vào các o 3 ; 5 ; 8 và 10
Theo Hùng ta ghi s 0 vào các ô 2 ; 7 ; 9 và 12
Vì b n b n u m 10. đề đạt đim 8 tr lên, nên nhìn vào ct 2, ta kết lun Tun đạt đi
Tương t v i các ct 3 ; 4 và 5 ta kết lu n Hùng đạt đim 9, Lan đạt đim 8 còn
Quân đim 10
Ví d 2.5 :
Năm người th tên là Da, Đin, Hàn, Tin và S khác nhau trùng ơn làm năm ngh
vi tên ca năm người đó, nh cưng không ai có tên trùng vi ngh a mình. Bác th
da ly em gái c i ngh a bác Da. Tên c a bác th da trùng v c a anh v mình và v
bác ch có hai anh em. Bác Tin khong làm th hàn. s n mà l cơ i là em r a bác th
Bác th s ơn và bác Da là hai anh em cùng h
Bn hãy cho biết bác Da và bác Tin làm ngh
Vì không ai làm ngh trùng vi tên ca mình nên ta ghi s 0 vào các ô 1; 7 ; 13 ; 19
và 25
Bác Ti s n không làm th ơn nên ta ghi s 0 vào ô 24. Mt khác bác Tin làm em r
ca bác th hàn nên bác Ti n không ph i là th hàn. Ta ghi s 0 vào ô 14. Nhìn ct
5 ta thy bác Tin ch có th là th da hoc th n đi
Nếu bác Tin là th da thì theo đề bài, bác Da là th tin. Như v n vy bác Ti a là
em r c n va bác th ti a là em r ca bác th hàn, mà v bác Tin ch có hai anh
em. Điu này vô lí.
Vy bác Tin là th đin. Ta ghi s 0 vào ô 4 và du X vào ô 9
Bác Ti n. Ta ghi s n là th đin nên bác Da không phi là th đi 0 vào ô 6. Bác th
sơn và bác Da là hai anh em cùng h nên bác Da không là th s n. Ta ghi sơ 0 vào ô
21
Theo lp lun phn trên thì bác Da không phi là th tin. V y bác Da là th hàn. Ta
đánh du X vào ô 11
2.2. Phương pháp suy lun n đơn gi
Suy lun n gi c nh . Dđơ n là phép suy lun không dùng công c a lôgic m đề ưới
đ ây ta xét m t s ví d minh ho cho phương pháp gii này
Ví d 2.6 :
Mt viên quan nước L đi s sang T, b vua T x pht ti chết và b hành quyết:
hoc chém đầu hoc treo c. Trước khi hành quyế t nhà vua cho s gi được nói mt
câu và giao hn n u, n . S gi mếu nói đúng thì chém đầ ếu nói sai thì treo c m cười
và nói mt câu mà nh ó đ đã thoát chết
Bn hãy cho biết câu nói đó c gi nha s ư thế nào?
Phân tích : u ki n cĐi a nhà vua đặt ra là nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai
thì treo c. Vì nhà vua cho rng m v s t câu nói ch có th đúng hoc sai, như thế
gi chc chn s b n kh n ng v s gi s ngh chết. Nhưng nhà vua không tính đế ă ĩ
ra câu nói mà đem chém đầu thì s gi nói sai (cho nên s gi không b chém đầu)
còn n ). Câu nói ếu giđem treo c thì s nói đúng (nên khong b treo c đó là : “Tôi
s b treo c
Gii : Câu nói ca s gi là: “Tôi s b treo c
N gi ếu nhà vua đem s đi chém đầ u thì s gi nói sai. Mà nói sai thì ph i x treo
c ch không th chém đầu s gi
N s gi giếu nhà vua đem treo c thì s nói đúng. Mà nói đúng thì phi đem chém
đầ u ch không th treo c
S gi không b u, không b chém đầ treo c cho nên đã thoát chết
Ví d 2.7 :
Người ta đồ n rng m t ngôi đề n n rt thiêng do ba v th trn ng : thn Tht Thà
(luôn luôn nói tht), thn Di Trá (luôn luôn nói di) và thn Khôn Ngoan (khi nói
tht, khi nói di). Các v thn u ng đề trên b th và sn sàng tr li câu hi khi có
người thnh cu. Nhưng vì hình dng ca ba v thn gi ng h t nhau nên người ta
không biết v thn nào để tin hay không tin
Mt hôm, mt hc gi t phương xa đến ngôi đền gp các thn để xin li thnh c u.
Bước vào đền, h h n ngc gi i th i bên phi :
Ai ngi cnh ngài?
Đó là thn Di Trá
Tiếp ó h n ngđ i th i gia
Ngài là thn gì?
Tôi là thn Khôn Ngoan
Cui cùng ông ta quay sang h i bên trái i thn ng
Ai ngi cnh ngài
Đó là thn Tht Thà
Nghe xong hc gi c gi kh nh ng đị được mi v là thn gì. Bn hãy cho biết h ó đ
đ ưã suy lun nh thế nào?
Phân tích
Ta nhn xét, c ba câu hi ca v h u nhc gi đề m xác đị nh m t thông tin là thn
ngi gia là thn gì? Kết qu nh n được các câu tr li như sau
Thn bên phi : Đó là thn Di Trá
Thn gi a : Tôi là thn Khôn Ngoan
Thn bên trái : Đó là thn Tht Thà
Da vào các câu tr l hi, v c gi trước hết đã suy lu n để xác định ai là th n Tht
Thà. Ti p theo dế a vào câu tr li ca v t Thà thì xác thn Th đị nh được v thn th
hai, ri th ba
Ngoài ra còn có th gi n i bng cách khác: suy lu để xác định ai là thn Di Trá
(hoc Khôn Ngoan) trước, sau đó xác định hai v thn còn li
Gii
Cách 1 : Ta nhn xét
Thn ng n ngi bên trái không phi là thn Tht Thà, vì ngài nói th i gia là thn
Tht Thà
Th ng không phn ngi gia cũ i là thn Tht Thà, vì ngài nói: “Tôi là thn Khôn
Ngoan.”
Vy thn ngi bên phi là thn Tht Thà. Theo câu tr li ca ngài thì ng i gi a là
thn Di Trá. Cui cùng, thn bên trái là thn Khôn Ngoan
Cách 2 : Ta nhn xét:
Nếu thn ng n Di bên trái là th i Trá thì th n bên ph i là thn Tht Thà ho c Khôn
Ngoan. Nếu ngi bên phi là thn Tht Thà thì ngi gia là thn D Đi Trá. iu ngài
vô lí, vì bên trái cũng là thn Di Trá. Nên bên phi là thn Khôn Ngoan thì ngi
gia là thn Tht Thà. Điu này vô lí, vì ngài nói : “Tôi là thn Khôn Ngoan”
Vy bên trái không phi là thn Di Trá
N n Dếu bên phi là th i Trá thì ng i gi a là thn Th t Thà ho c Khôn Ngoan.
Nhưng ngài không phi là thn Tht Thà, vì ngài nói: “Tôi là thn Khôn Ngoan”.
Nếu ngi gia là thn Khôn Ngoan thì bên trái là thn Tht Thà. Điu này vô lí, vì
ngài nói: “Ngi gia là thn Tht Thà”
Vy bên phi cũng không phi là thn D n Di Trá. Vy, ta suy ra ngi gia là th i
Trá. Như vy bên trái không phi là thn Tht Thà, vì ngài nói: “Ngi gia là thn
Tht Thà”. Thế thì bên trái là thn Khôn Ngoan. Cui cùng, bên phi là th n Th t
Thà.
Cách 3: T ng tươ , ta có th suy lun để xác định ai là thn Khôn Ngoan tr c. Sau ướ
đ địó xác nh hai v thn còn li
Ví d 2.8 :
mt xã X có hai làng : dân làng A chuyên nói tht, còn dân làng B chuyên nói di.
Dân hai làng thường qua li thăm nhau. M v n t chàng thanh niên n thăm b làng
A. Va bước vào xã X, ang ngđ ơ ngác chưa biết đây là làng nào, chàng thanh niên
gp ngay mt cô gái và anh ta hi người này mt câu. Sau khi nghe tr li chàng
thanh niên bèn quay ra (vì biết chc mình đang làng B) và sang tìm bn làng bên
cnh.
Bn hãy cho biết câu hi đó thế nào và câu tr li đó ra sao mà chàng thanh niên li
khng v y định chc chn như
Phân tích: l kh ng nh Để nghe xong câu tr i người thanh niên đó có th đị được
mình ng trong làng A hay làng B thì anh ta phđang đứ i nghĩ ra m t câu h i sao cho
câu tr a cô gái ch li c ph thuc vào h đang đứng trong làng nào mà không ph
thuc cô gái y là người làng nào. C th hơn : c đặn t câu hi để cô gái tr li là
“phi”, n i”, nếu h đang đứng trong làng A và “không ph ếu h đang đứng trong
làng B
Gii: Câu h ó là : “Có phi ca người thanh niên đ i ch là người làng này không?”
Trường h p 1 : H đang đứng trong làng A : n i làng A thì câu trếu cô gái là ngườ
li là :”Phi”; nếu cô gái là người làng B thì câu tr li cũng là “Phi” (vì dân làng
B chuyên nói di)
Trường h ng trong làng B. N p 2 : H đang đứ ếu cô gái là người làng A thì câu tr
li là: “Không phi”; nếu cô gái là người làng B thì câu tr li cũng là : “Không
phi”
Như đ vy, nếu h ang đứng trong làng A thì câu tr li ch có th là “Phi”, còn nếu
h lđang đứng trong làng B thì câu tr i ch có th là “Không phi”
Người thanh niên quy nh quay ra, vì anh ết đị đã nghe câu tr li là “Không phi”
Ví d 2.9 :
Mt hôm anh Quang ly quyn album ra gii thiu vi mi ngườ ười. C ng ch vào
người đàn ông trong nh và hi anh Quang : “Người đàn ông này có quan h thế nào
vi anh?” Anh Quang bèn tr li : “Bà ni ca ch gái v anh y là ch gái ca bà ni
v tôi”
Bn hãy cho biết anh Quang và ng v i nhau thười đàn ông y quan h ế nào?
Gii : Bà ni c i c i ca ch gái v anh y cũng chính là bà n a v anh y. Bà n a
v anh y là ch gái ca bà ni v anh Quang. Vy v anh anh Quang là hai y và v
ch em con dì con già. Suy ra anh Quang và người đàn ông y là hai anh em r h
Ví d 2.10 :
Trong gi ngoi khóa, th i 6 em nam và 6 em n p y giáo g ra sân và giao cho l
trưởng nhi t p h n n n m v p các b đứng thành vòng tròn sao cho không có hai b
nào đứng c n v n nnh nhau và đối di i mt b qua tâm vòng tròn là mt bn nam.
Suy nghĩ m x p v n t lát, lp trưởng tr li: “Thưa thy, không th ế được như y!”. B
lp phó hc tp tiếp luôn: “Nhưng n u bế t đi mt bn nam và mt bn n ho c thêm
mt bn nam và mt bn n thì xế p được thưa th y!”
Bn hãy cho biết hai bn nói đúng hay sai, gii thích ti sao?
Gii : Ta chia n đường tròn thành 12 ph đều nhau như hình v. Ta đánh s các đim
chia theo th đế t t 1 n 12
Để hai b n n không đứng cnh nhau thì ta ph i xếp các b n n đứ vào ng các
đ im ghi s l , các b n nam đứng các đim ghi s chn (hoc ngược li)
Nhìn trên hình v ta th đốy i din vi m ũt bn mang s l qua tâm đường tròn c ng
là m i dit bn mang s l đố n vi m t bn mang s chn qua tâm đường tròn là
mt bn mang s v y n v n n chn. Như đối di i mt b qua tâm đường tròn là mt
bn n (ch không th là bn nam)
Gi s b t đi mt bn nam và m t bn n
Ta chia vòng tròn thành 10 phn bng nhau nh . Ta ư hình v đánh s các đim chia
theo th đ t t 1 ên 10. Ta xếp các bn n vào các đim chia mang s l và các bn
nam vào các đim chia mang s c ng chn (ho ược li). Nhìn trên hình v ta thy đối
din v n mang s li mt b trên đường tròn là mt bn mang s chn. Như đố vy i
din v n ni mt b qua tâm vòng tròn là mt bn nam và không có hai bn n nào
đứng cnh nhau
Tương t ng h t nam và m trườ p thêm m t n
Vy hai bn đã nói đúng
Ví d 2.11 :
Mt đoàn du khách trên đường đi thăm rng Cúc Phương. Đến mt ngã ba đường h
đ đang không biế t r l i nào thì nhìn thy hai chú bé ang chăn trâu bên cnh đường.
H u ý t u chuyên nói được nghe mi người lư trước rng, trong hai cu có mt c
tht còn cu th hai chuyên nói di. Khi được hi, các cu ch tr li: “Đúng” hoc
“Không”. Như ng m i người không bi u nào nói thết c t còn cu nào nói di.
a, Mt người l i g n và đặt hai câu h i cho m t trong hai cu bé. Sau khi nghe tr li
ông ta xác định ng được đường nào đi rng Cúc Phươ
b, Lát sau, mt cô gái khác ch hi m t trong hai cu bé m t câu. Sau khi nghe tr
li cô cũng biết li nào đi rng Cúc Phương
Bn hãy cho biết các câu hi đó thế nào?
Phân tích :
a, Để bng hai câu hi cho mt cu bé người đó xác đị đ nh được l i nào i r ng Cúc
Phương thì người t đó dùng câu hi th nh để xác t hay nói định em đó là nói th
di. Da vào đó dùng câu hi th hai để xác định li nào đi rng Cúc Phương
b, b ng m nh Để t câu hi cho mt cu bé, cô gái xác đị được li nào đi rng Cúc
Phương thì câu hiv mt trong hai con đường có đi rng Cúc Phương hay không và
câu tr l n i nh được không ph thuc vào cu bé đó nói tht hay nói di
Gii :
a, Tr vào con trâu và hước hết người đó ch i mt trong hai cu bé: “Đây là con trâu
có phi không?
Trường h lp 1 : Cu bé tr i “Đúng” thì cu nói tht. Khi đó du khách ch vào mt
trong hai con đường và hi ti i lếp : “Có ph i này đi rng Cúc Phương hay không?”.
Nếu c l ó ng, n u c lu bé tr i làĐúng” thì li đ đi rng Cúc Phươ ế u bé tr i là
“Không” thì li th i r hai đ ng Cúc Phương
Trường h l ó p 2 : Cu bé tr i là “Không” thì cu đó nói di. Sau đ đặt tiếp câu hi
như trên. Trong trường hp này, nếu c ng u bé tr li là “Đúng” thì li th hai đi r
Cúc Phương và ngược li
b, Cô gái ch vào m ng và ht con đườ i m t trong hai c ếu bé: “N u tôi h i bn cu
li này có đi rng Cúc Phương không thì bn cu tr li thế nào?”
Trường h ó ng. N u cp 1 : Li đ đi rng Cúc Phươ ế u bé được hi là người nói tht
(cu th hai là người nói di) thì câu tr l u ci là “Không”. Nế u bé được hi là
người nói di (cu th hai là người nói th ũt) thì câu tr li c ng là “Không”
Trường h ng. L ng h p 1 p 2 : Li đó không đi rng Cúc Phươ p lun như trong trườ
ta nhn lđược câu tr i luôn là “Đúng” (cho dù cu bé được hi là người nói tht
hay nói di)
Qua phân tích trên đây ta thy : nếu câu tr li luôn là “Không” thì li đó đi rng
Cúc Phương. Ng ng Cúc ược li, nếu câu tr li là “Đúng” thì li đó không đi r
Phương.
2.3. Phương pháp l n tình hua ch ng
Ví d 2.12:
T Toán ca mt trường trung hc ph thông có năm người : thy Hùng, thy Quân,
cô Vân, cô H nh và cô Cúc. K ngh hè c t được hai phiếu đi ngh mát. Mi người
đề đề đề u nhườ ưởng nhau, th y hi u tr ng ngh m i người xut m t ý kiến. Kế t qu
như sau:
1. Thy Hùng và thy Quân đi.
2. Thy Hùng và cô Vân đi.
3. Thy Quân và cô Hnh đi
4. Cô Cúc và cô Hnh đi
5. Thy Hùng và cô H nh đi
Cui cùng thy hiu trưởng quy n ngh c ngh ó ết định ch đề a cô Cúc, vì theo đề đ
thì mi đề ngh đều tho mãn mt phn và bác b mt phn
Bn hãy cho biết ai đã đi ngh mát trong kì nghđó?
Phân tích : n ngh u c n l Để ch được đề tho mãn yêu c a đề bài ta l ượt xét đề
ngh c n ng xa tng người. S có hai kh ă y ra
Có m đề đềt trong b n ngh còn l i bác b hoàn toàn. Trường hp này ta loi b
ngh ó đ
Không có đề đề ngh nào trong b n ngh còn l ib bác b hoàn toàn. Trường hp
này ta ch đề đn ngh ó
Gii: Ta nhn xét
N n ngh t b ếu ch đề th nht thì đề ngh th ư bác b hoàn toàn. Vy không th
ch đền ngh th nht và th ư t
N n ngh nghếu ch đề th hai thì đề th ba bc b hoàn toàn. V y không th
ch đền ngh th hai và th ba
N n ngh nếu ch đề th ăm thì m đềi đề ngh trong b n ngh còn l i đều tho mãn
mt phn và bác b m n t ph
Vy kì ngh hè năm đó th y Hùng và cô H nh đi ngh mát
Ví d 2.13 :
Sau gi t n bu n p luy i sáng đội tuyn th thao r nhau vào quán ăn trưa. Thc đơ
ca quán có tám món: gà luc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, c xào
măng và canh chua. Toàn đội thng nht s gi ba món trong thc a đơn cho b ăn.
Nguyn v ng c a các cu th chia ra thành năm nhóm như sau
Nhóm 1 : Gà luc, nem rán và chim quay
Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào và cá rán
Nhóm 3 : Bò xào, cá rán và c xào m ăng
Nhóm 4 : Nem rán, c xào măng và canh chua
Nhóm 5 : Gà luc, bò xào và canh chua
Cui cùng toàn đội đồng ý vi thc a đơn c đội trưởng n ó đã chn, vì theo thc đơ đ
mi nhóm đều có ít nht mt món mà mình ưa thích
Hi toàn đội hôm đó n nhđã ă ng món gì?
Gii : Ta nhn xét
N n cếu chn thc đơ a nhóm mt thì c nhóm hai và ba đều không có món nào mà
minh n cưa thích. Vy không th chn thc đơ a ba nhóm đầu
N n cếu chn thc đơ a nhóm bn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa
thích. V chy không th n thc đơ n c a nhóm bn
N n cếu chn thc đơ a nhóm năm thì m i nhóm trong b n nhóm còn li đều có ít
nht mt món mà mình ưa thích
Vy ba trưa hôm đó toàn đội đã ch đơn th c n gm ba món: gà luc, bò xào và
canh chua
Ví d 2.14 :
Năm bn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê n , ăm tnh: Bc Ninh, Hà Tây, Cn Thơ
Ngh An, Tin Giang. Khi được hi quê t lnh nào, các bn tr i như sau:
Anh : Tôi quê Bc Ninh, còn Doan Ngh An
Bình : Tôi cũng quê Bc Ninh, còn Cúc Tin Giang
Cúc : Tôi cũng quê c Ninh, còn Doan B Hà Tây
Doan : Tôi quê Cn Thơ, còn Anh Hà Tây
Nếu không b ln nào tr i sai hoàn toàn thì quê ca mi bn tnh nào?
Phân tích
Trước h a là gì? ết ta cn hiu “không bn nào tr li sai hoàn toàn” nghĩ
Mi câu tr li đều nói v quê quán ca hai người. Nếu câu tr li sai hoàn toàn thì
có nghĩa là quê ca c hai ngườiđó đều không hai tnh đó. Vy câu tr li không
sai hoàn toàn có nghĩa là mt trong hai người hoc c hai người có quê đ hai tnh ó
Chng h ln, câu tr i ca Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là: hoc Anh quê
Bc Ninh còn quê ca Doan không Ngh An hoc quê ca Anh không Bc Ninh
còn Doan quê Ngh Ngh An An hoc Anh quê Bc Ninh và Doan quê
n l lĐể xác định quê quán ca mi bn, ta l ượt xét câu tr i ca m i người. M i
câu tr li nói v quê quán ca hai người. Ta ln lượt xét các trường hp sau
+ Quê ca người th nh t trong câu tr li là đúng. Bng suy lun ta xét các câu tr
li ca bn người còn li. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được
quê ca người đó. Tiếp n ng đó ta xác định quê ca b ười còn li. Nếu có mt câu tr
li (trong bn câu còn li) b sai hoàn toàn thì quê ca người th nht trong câu tr
li không tnh ó. Vđ y quê ca người th hai trong câu tr li làđúng. Tiếp đó ta
tìm quê ca bn người còn li
+ Quê c hai trong a người th nh t trong câu tr li là sai. Vy quê ca người th
câu tr l nh p i là đúng. Ta xác đị được quê ca người này. Tiế đó ta xác định quê ca
bn người còn li
Gii : Gi s B u không B Anh quê c Ninh thế thì quê ca Bình và Cúc đề c
Ninh. Vy theo Bình thì Cúc quê Tin Giang và theo Cúc thì Doan quê Hà Tây.
Vì Anh quê Hà Tây. V Bc Ninh nên quê ca Anh không y theo An thì An quê
ơ Cn Th . Cui cùng còn Bình quê Ngh An (vì bn b n kia quê bn tnh còn
li ri)
Ví d 2.15 :
Cúp Tiger 98 có 4 đội lt vào vòng bán kết: Vit nam, Singapor, Thái Lan và
Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba b ũn D ng, Quang, Tu oán nhn d đ ư
sau:
Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba
Quang : Vit Nam nhì, còn Thái Lan th ư t
Tun : Singapor nht và Inđônêxia nhì
Kết qu m n d i b đoán đ độ úng m t i và sai m t đội
Hi mi đội đã đạt gii my?
Gii :
Nếu Singapor đạt gii nhì thì Singapor không đạ t gii nh t. Vy (theo Tu n) thì
Inđônêxia đạt gii nhì. Điu này vô lí vì có hai đội đều đạt gii nhì
N vếu Singapor không đạt gii nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt gii ba. Như y, Thái
Lan không đạt gii tư. Theo Quang, Vit Nam đạt gii nhì. Thế thì Inđônêxia không
đạ đạ độ đ đạt gi i nhì. Vy theo Tun, Singapor t gi i nh t, cu i cùng còn i In ônêxia t
gii tư
Kết lun : Th t gi i ca các đội trong Cúp Tiger 98 là :
Nht : Singapor Nhì : Vit Nam Ba : Thái Lan Tư: Inđônêxia
2.4. Phương pháp biu đồ Ven
Trong khi gi i ta th ng cong kín i m t s i toán, ngườ ường dùng nhng đườ để
t mi quan h gia các đại lượng trong bài toán. Nh s mô t này ta đi đến li gii
mt cách tường minh và thun l ng g u i. Nh đường cong như thế ta s i là Bi đồ
ven. Phương pháp gi ng pháp bii dùng biu đồ Ven ta gi là phươ u đồ Ven.
Ví d 2.16 :
Để ph quc v cho hi ngh c tế, Ban t đ độ ch c ã huy ng 30 cán b phiên dch
tiếng Anh và 25 cán b phiên d phiên dch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán b ch
được c hai th tiếng Anh và Pháp. H i :
a) Ban t chc đã huy động t t c bao nhiêu cán b phiên dch cho hi ngh đó?
b) Có bao nhiêu cán b ch d dch được tiếng Anh? Ch ch được tiếng Pháp?
Gii : S l ượng cán b phiên dch được Ban t chc huy động cho hi ngh có th
mô t b u i bi đồ Ven hình 3.
Nhìn vào sơ đồ ta có :
S cán b ch phiên dch được tiếng Anh là :
30 12 = 18 (người).
S cán b ch phiên dch được tiếng Pháp là :
25 12 = 13 (người).
S cán b phiên dch được Ban t chc huy động cho hi ngh là :
30 + 13 = 43 (người).
Tr li : Ban t chc đã huy động t ó t c 43 cán b phiên dch cho hi ngh, trong đ
có 18 người ch i ch dch được tiếng Anh và 13 ngườ dch được tiếng Pháp.
Ví d 2.17 :
Có bao nhiêu s có ba ch s là s chn hoc chia hết cho 3 ?
Gii : S các s n có ba ch s ch :
(998 100) : 2 + 1 = 450 (s).
S các s có ba ch s chia hết cho 3 là :
(999 102) : 3 + 1 = 300 (s)
Dãy các s chia hết cho 3 có ba ch s là :
102, 105, 108, 111, ..., 996, 999.
Trong dãy trên có mt n t na là s l, m a là s chn. V có ba chy có 150 s s
chia hết cho 3 là s chn.
Bây gi Ven nh ta mô t bài toán bng biu đồ ư hình 4.
Nhìn vào sơ đồ ta có:
S các s chn có ba ch s không chia hết cho 3 là:
450 150 = 300 (s).
S các s có ba ch s n ho là s ch c chia hết cho 3 là:
300 + 300 = 600 (s).
Tr li : Có tt c 600 s là s chn hoc chia hết cho 3.
Ví d 2.18 :
Lp 9A có 30 em tham gia d h ng Trung, trong ó có 25 em nói i tiếng Anh và tiế đ
đượ đượ được tiếng Anh và 18 em nói c tiế ng Trung. Hi có bao nhiêu b n nói c c
hai th tiếng ?
Gii : Các em hc sinh lp 9A tham gia d hi có th b ng bi u được mô t đồ Ven
hình 5.
S hc sinh ch nói được tiếng Trung là :
30 25 = 5 (em).
S hc sinh ch nói được tiếng Anh là :
30 18 = 12 (em).
S em nói được c hai th tiếng là:
30 (5 + 12) = 13 (em).
Tr li: Có 13 em nói được c tiếng Anh và tiếng Trung.
Ví d 2.19 :
Trong hi kho Phù ng viên Đổng có 100 vn độ đăng kí d thi. Mi v độn ng viên
được đă ng kí d thi m t hoc hai trong ba môn: ném t, bơi li hoc đấu c vua. Kết
qu có 30 vn u cđộng viên ch thi đấ vua, 53 người đăng kí thi ném t và 45 người
đăng kí thi bơi.
Hi có bao nhiêu người đăng kí thi đấu c hai môn: ném t và bơi li?
Gii: Các v độn ng viên đăng kí thi đấu có th c mô t đượ bi hình 6.
S v n ng kí thi ném t ho động viên đă c bơi li là:
100 30 = 70 (người)
S v n động viên đăng kí c hai môn ném t và bơi li là:
(45 + 53) 70 = 28 (người).
Tr l n u ci: Có 28 v động viên đăng kí thi đấ hai môn ném t và bơi li.
Ví d 2.20 :
Trong mt hi ngh có 500 đại biu tham d, m đạ i i bi u có th s d ng m t trong
ba th i bi tiếng : Nga, Anh, hoc Pháp. Theo thng kê ca Ban t c, có 60 ch đạ u
ch nói nói được mt trong ba th tiếng, 180 đại biu ch được hai th tiếng Anh và
Pháp, 150 đại biu nói ng Anh và tiđược c tiế ếng Nga, 170 đại biu nói được c
tiếng Nga và tiếng Pháp.
Hi có bao nhiêu đại biu nói được c ba th tiếng?
Gii : S đại biu nói được c hai th tiếng Nga và Pháp hoc Nga và Anh là:
500 (60 + 180) = 260 (người)
S đại biu nói được c ba th tiếng là :
(170 + 150) 260 = 60 (người).
Tr li: Có 60 đại biu nói được c ba th tiếng.
Ví d 2.21 :
Hai trăm hc sinh trường ph thông chuyên ng ng Nga, ti tham gia d hi tiế ếng
Trung và ti n chếng Anh. Có 60 b nói được tiếng Anh, 80 bn nói được tiếng Nga
và 90 b ng Nga và Trung. n nói được tiếng Trung và 20 bn ch nói được hai th tiế
Hi có bao nhiêu bn nói được c ba th tiếng ?
Gii : S h c sinh nói được tiếng Nga hoc tiếng Trung là :
200 60 = 140 (bn).
S hc sinh nói được c hai th tiếng Nga và Trung là :
(90 + 80) 140 = 30 (bn).
S hc sinh nói được c ba th tiếng là :
30 20 = 10 (bn).
Tr li : Có 10 bn nói được c ba th tiếng.
Hot động
Sinh viên t đọ c thông tin c nhà sau ơ b n đó thc hin các nhim v nêu trong các
hot động 2.1 đến 2.4 d p ưới đây. Trên l đại din sinh viên s trình bày minh ho
kết qu thc hin d tưới s chc ca giáo viên.
Hot động 2.1. Thc hành gi p bi toán bng phương pháp l ng
Nhim v
Nhim v m v 1: Trình bày khái ni ph p b ng ương pháp l
Nhim v 2: Xây dng ba ví d v gii toán suy lun b ng ph p b ng ương pháp l
Đánh giá
1. Trong gi h c n công các bn Cúc, ào, HĐ ng làm ba bông hoa cúc, đào, hng.
Bn làm hoa hng quay sang nói vi Cúc : “Thế là trong ba chúng mình chng có ai
làm hoa trùng vi tên ca mình c!”. Hi ai làm bông hoa nào?
2. Ti mt tri hè thiếu nhi quc tế có mt nhóm gm ba thiếu niên: mt người Anh,
mt người Pháp và mt người Nga. Mi người trong s ba bn này đang hc mt
trong ba ngoi ng: ti ng Anh, tiế ếng Pháp hoc tiếng Nga. Biết rng b ng n hc tiế
Anh ln h n ng n ơn b ười Pháp 1 tui. Hãy xác định mõi b đang hc ngoi ng gì ?
3. Ba cô giáo dy ti i ngếng Nga, Anh, Pháp được giao ph trách đêm d hi ngo .
Mt cô nói vi các em: “Ba cô dy ba th tiếng trùng vi tên ca các cô, nhưng ch
có mt cô có tên trùng vi th tiếng mình dy”. Cô dy tiếng Pháp hưởng ng : “Cô
nói đúng!”. Ri ch vào cô va nói, tiếp l y i: “Rt tiếc cô tên là Nga mà li không d
tiếng Nga”.
Bn hãy cho biết mi cô d y th tiếng gì?
4. Các bn Hùng, Lan, Phượng đến nhà Cúc chơi thy trên bàn có bn gói giy màu
xanh, đỏ, tím, vàng bèn hi bn: “Gói gì vy?” Cúc tr li : “Mình có bn viên bi
xanh, đỏ, tím, vàng đựng trong bn gói này. Đề ngh các bn th đoán xem mi viên
bi trong gói nào?”.
Hùng nhanh nhu nói :
Theo mình thì bi xanh không trong gói đỏ, bi đỏ không trong gói tím, bi tím
không trong gói vàng còn bi vàng không trong gói xanh.
Lan lc đầu:
Bi xanh không trong gói tím, bi đỏ không trong gói vàng, bi tím không trong
gói xanh còn bi vàng không trong gói đỏ.
Phượng chm rãi nói :
Theo mình thì bi xanh không trong gói vàng, bi đỏ không trong gói xanh, bi tím
không trong gói đỏ còn bi vàng không trong gói tím.
Cúc gt đầu khen: “C ba bn u úng cđoán đề đ !”.
Bn hãy cho biết trong mi gói đựng viên bi màu gì ?
5. Gi toán hôm nay thày giáo tr bài ki n Minh; Hùng, Thông, Thái m tra, bn b
ngi cùng bàn đều n bđạt đim 6 tr lên. Gi ra chơi Trung hi đim ca b n. Minh
tr li:
Mình và Hùng không đạt t đim 6, Thông không đạ đim 7 và Thái không đạ đt im
8.
Hùng thì nói :
Mình, Minh và Thông đề đạ đ đạ đ u không t im 8 còn Thái thì không t i m 7.
Thông tiếp li :
Mình và Thái không đạ đ đạ đt im 9, còn Minh và Hùng li không t im 7.
Cui cùng, Thái khng định :
Mình và Thông không đạ đ đạ đt im 6 còn Minh và Hùng không t im 9.
B in hãy cho biết mi người đã đạt đ m my ?
6. Ba ngh Vàng, B sĩ ch, H ng r nhau đi quán ung cà phê. Ngi trong quán,
người đội mũ trng nhn xét: “Ba ta đội mũ có màu trùng v i tên c a chúng ta,
nhưng không ai có màu mũ trùng vi tên ca mình c”. Ngh Vàng h sĩ ưởng ng:
“Anh nói đúng”.
Bn hãy cho biết mi ngh s ĩ đội mũ màu gì?
7. Cô Phương đưa ba bn Lan, Hng, Phượng h ng đi d i thi “Tiếng hát hoa phượ
đỏ đế đế đề đạ ”. V n trường các bn n h i thă m, cô tr li: “M i b n u t m t trong các
gii nht, nhì, ba ho ngh c đặc bit”. Cô đề các bn th đoán xem.
đoán ngay:
Theo em thì Phượng ng giđạt gi i nh t, H i nhì còn Lan đạt gii ba.
Bích cho là:
Lan đạ đạt gi i nht, Phượng gii nhì còn H ng t gii ba.
Bn Ngc li đoán:
H ng gi ng gi i nht, Lan gii nhì còn Phượ i ba.
Nghe xong cô Phương l n c đầu nói không bn nào đạt gii như các em d đoán. B
hãy cho biết mi ng t giười đã đạ i gì?
8. Đim thi hc kì môn tiếng Vit ca ba bn An, Bình, Hu u đề đạt t khá tr lên.
Khi hi đim ca ba bn, Hà nhn lđược câu tr i như sau:
1) Hu không m 9. đạt đim 7, An không đạt đim 8 còn Bình không đạt đi
2) Bình và Hu không m 9. đạt đim 8 còn An không đạt đi
3) An và Bình không đạt t đim 7 còn Hu không đạ đim 9.
B in hãy cho biết mi người đã đạt đ m my?
9. Ba thy giáo V y ba môn văn, S, Hoá d ăn, s, hoá, trong đó ch có mt thy có
tên trùng vi môn mình dy. H y di m i th y môn gì, biết rng thy dy môn hoá ít
tui hơn thy Văn và th y S .
10. N s n, ăm người th ơn, hàn, ti đin và mc tên là Sơn, Hàn, Tin, Đin và Mc,
nhưng không ai có tên trùng vi ngh ca mình. Mi người mượn và cho nhau
mượn mt cun sách. Bác Sơn mượn sách c a bác th sơn. Ngh c a bác Sơn trùng
vi tên ca người có sách cho bác mượn. Bác th tin không tên là Mc nhưng li
đ ang mượn cu n sách c a bác Hàn. Còn bác M c và bác th ơ s n là hai người cùng
ph.
Bn hãy cho biết bác th tin và th sơn tên là gì?
11. Giáo sư Thông ni tiếng là thông minh nhưng li hay đãng trí. Ông có mt t
sách, trong a còn tđ đó t in x n giếp vào ngăn trên, sách xếp vào ngă p chí xếp vào
ngăn d n ông c s ưới cùng. Mt l n tìm cun “T đin Anh Vit”, cun sách “Cơ
lôgic toán” và tp chí “Thế gii mi”. Sau mt h đố đểi tìm kiếm ng tài li u b b n
trên bàn làm vic, giáo sư đị khng nh rng thưđã xếp cu đn t in vào ngăn sách,
cun sách và tp chí vào ngăn t kí thanh minh rp chí. Cô thư ng chc chn là giáo
sư đã b c ba tài liu đó vào ngăn t đin. Còn bà giáo sư li cho là cun t n đi
ln trong ngăn tđể p chí, cun sách và tp chí thì xếp c trong ngăn sách. Người
nào cũng cho rng mình là đúng, thế là mt cuc to tiế ng x y ra. V đa lúc ó cô con
gái giáo sư bước vào phòng va cười v i sai ca nói: “Mi ngườ ri”.
Nếu cô con gái nói đúng thì ba tài liu trên lúc đó đang nm đâu?
12. b nh c ng b n khóm hoa cúc, hu , h ng n góc vườn trng cây c a ông ni tr
và dơn. Biết rng hai góc vườn phía tây và phía bc không tr , khóm hung hu
tr ng gi a khóm cúc và góc v n phía nam, còn khóm dườ ơn tr ng gi a khóm hng
và góc vườn phía bc.
Bn hãy cho biết mi góc vườn ông ni đã trng hoa gì ?
13. Giáo sư Châu gi cho mi đồng nghi p c b y n a mình ( ước khác nhau) mt
bc thư kèm theo mt bài kho lun viết bng tiếng m c đẻ a h. Nhưng do cô thư
kí sơ ý nên đã dn n h u qu b y ng nghi n đế : không mt ai trong s đồ p nh được
bc thư và bài kho lun mà giáo sư Châu định gi cho mình, cũ ng không m t ai
nhn n viđược thư và bài kho lu ết bng cùng mt th tiếng, Giáo sư người Nga là
chuyên gia v địa cht thì li nhn vi o được bc thư ết bng tiếng Ba Lan và bài kh
lun v ng sao Ho mà l ra phi gi cho giáo sư ười Pháp. Trong khi đó giáo sư
người Pháp li nhn b n vđược bc thư ng tiếng Italia cùng bài kho lu vi sinh mà
l ra phi gi cho giáo sư người Hà Lan. Giáo sư người Hà Lan nhn được bc thư
viết bng tiếng Tây Ban Nha cùng bài kho lun v môi trường đáng l phi gi cho
giáo sư Ba Lan. Giáo sư Ba Lan li nhn n v được bài kho lu địa cht. Giáo sư
Italia là chuyên gia v chăn nuôi li nhn bđược bc thư ng tiếng Đức, còn giáo sư
người Đức là chuyên gia v h n bt nhân li nh được bc thư ng tiếng Pháp.
Bn hãy cho bi t các giáo sế ư ng n ười Đức, Italia và Tây Ban Nha đã nh được bài
kho lun vi Tây Ban Nha n vi ng ết bng tiếng gì? Giáo sư đã nh được bc thư ết b
tiếng gì?
14. Thày Vinh v n b ông c sinh gi a đưa b n An, Cường, Bình và Đ đi thi h i v
trường, m n hi người đế i thăm, thày tr t trong các gi l u i : “Mi bn đề đạt m i:
đặ đềc bi t, nh t, nhì, ba ho ếc khuy n khích”. Thày ngh m đi người th oán xem.
Phan nhanh nhu nói :
Theo em thì An, Bình gii nhì, còn Cường và Đông gi ếi khuy n khích.
Thanh lc đầu :
Không phi, mà An, Cường, ông u giĐ đề i nht, ch có Bình gii ba.
Thnh thì cho là ch có Bình gii nh t git còn ba bn u đề đạ i ba. Toàn li nhn định:
“Ch có Cường và Đông gii nhì còn An và Bình đạt gii khuyến khích”.
Nghe xong thày mm cười : “Các em đoán sai c ri”.
Bn hãy cho biết mi người đã đạt gii gì?
15. Chiu th by Tùng nghe ba bn Mnh, C nhưng và Lân hn nhau sáng ch t
đế đ n nhà nhau chơi hoc cùng nhau i chơi công viên. Lúc 9 gi sáng ch nht Tùng
gi đin n. M Mđến gia đình ba b nh cho biết :
M nhà bác, còn Cnh và Lân không có ường thì không nhà Lân.
Em gái Cường kh ng định :
C ba anh không có nhà em.
Bà Lân thì bo:
Lân và M nhà Mnh không có nhà bà, Cường không có nh.
Bn hãy cho biết ba bn lúc y đang đâu?
Hot động 2.2.
Thc hành gii toán bng phương pháp suy lun n đơn gi
Nhim v
Nhim v: Xây dng ba ví d v gii toán bng phương pháp suy lun n gi n đơ
Đánh giá
1. Trước vành móng nga là ba người đàn ông, h là người bn x ho c tên thc
dân. Quan toà được biết khi được hi, người bn x bao gi cũng nói tht, còn tên
th ũc dân bao gi c ng nói di, nhưng quan toà không biết trong b n h ai là người
bn x nh t : “Anh là ai?”. Nh, ai là thc dân. Quan toà hi người th ưng anh ta nói
ngng nên quan toà không hiu câu tr li. Quan toà bèn quay sang h i ng i thườ
hai, ri người th i th i th i th ba : “Ngườ nht tr l ế nào?”. Ngườ hai tr l i : “Anh
ta nói anh ta là người b i th n x ”. Còn ngườ ba li nói : “Anh ta nói anh ta là thc
dân”.
Bn hãy cho biết người th hai và th ba là thc dân hay bn x? (Ta gi thiết rng
ba ng u nhau nói gì). ười này khi nghe nhau nói h hi
2. Trên mt hòn đả o n ch có hai b lc sinh sng: Cabơnhc chuyên nói tht và
Prasin chuyên nói di. Mt du khách đi chơi trên đả o gp m t người dân bn x bèn
thuê làm người giúp vic. Đi được mt quãng, trông thy m đt người àn ông khác.
Du khách b o ng ười giúp vic ra hi xem người đó thuc dân tc nào. Chàng giúp
vic đi v và tr li : “Anh ta nói rng anh ta là người Prasin”. Nghe xong du khách
kh ung a mình là không thđịnh người giúp vic c t thà bèn đ i đi mà không thuê
na.
Bn hãy cho biết khng nh cđị a du khách là đúng hay sai? Ti sao?
3. Ba b n Quân, Hùng và M nh v . a đạt gii nht, nhì và ba trong kì thi toán quc tế
Biết rng:
a, Không có h c sinh tr ường chuyên nào đạt gii cao hơn Quân.
b, N p h n m ó thì Quân không phếu Quân đạt gii th ơ t bn nào đ i là hc sinh
trường chuyên.
c, Chđúng mt bn không phi là hc trường chuyên.
d, N nh ếu Hùng và Minh đạt gii nhì thì M đạt gii cao hơ n bn quê Hi Phòng.
Bn hãy cho biết mi bn n đã đạt gii nào? Bn nào không hc trường chuyên và b
nào quê Hi Phòng.
4. Thày Nghiêm được nhà trường c n h c sinh Lê, Huy, Hoàng, Ti n đưa b ế đi thi
đấ đ đạ u i ế n kinh. K t qu có ba em t các gi i nht, nhì, ba và m t em không t giđạ i.
Khi v trường mi người hi kết qu, các em tr li như sau:
Lê: Minh đạt gii nhì hoc ba.
Huy: Mình đã đạt gii.
Hoàng: Mình đạt gi i nh t.
Tiến: Mình không đạt gii.
Nghe xong thy Nghiêm mm cười và nói : “Ch có ba bn nói th t, còn m t bn đã
nói đùa”.
Bn hãy cho biết hc sinh nào đã nói đùa, ai đạt gii nht và ai không đạt gii?
5. Trong gi ngoi khoá các bn tham gia mt trò chơi như sau: Mi bn chn 20
hoc 22 quân c (trong đó có mt s quân màu đỏ và m t s quân màu trng). Sau
đ đó m i bn xếp s quân c ó thành vòng tròn sao cho không có hai quân cùng màu
đứ đố đỏ ũ đỏng cnh nhau và i din vi quân qua tâm đường tròn c ng là quân .
Ba bn Lan, Tun và Dung vào cuc chơi : Lan chn 10 quân trng và 10 quân đỏ;
Tun chn 11 quân tr còn Dung thì chng và 11 quân đỏ n 12 quân đỏ và 10 quân
trng.
Bn Minh đứng ngoài nhìn thy thế bèn nói “Ch có Tun có th xếp được còn
Lan và Dung đều không th x p u c n giế được tho mãn yêu c a cuc chơi”. B i
thích ti sao?
6. N n n ăm v động viên Tun, Tú, K, Anh, Hp ch y thi. K ết qu không có hai b
nào v ng sau H n v đích cùng mt lúc. Tu đích trước Tú như p. Còn Hp và K
không v n v đích k lin nhau. Anh không v đích k li i Hp, Tun và K.
Bn hãy xác định th t n v đích ca năm v động viên nói trên.
7. Mt du khách mun tham quan bng ô tô bn khu di tích lch s A, B, C, D trong
huyn n n d. Theo b đồ ch n thì gia hai khu di tích bt kì đều có ng ô tô nđườ i
lin nhau và nếu đi bng con đường qua khu B không qua khu D thì hoc qua c hai
khu A, C hoc không qua c hai khu đó. Vì trong huyn có nh đ đng on đường ang
sa cha cho nên nhng con đường qua C, k c nh ng con đường qua D lúc đó u đề
không th qua c A và B.
Bn xem có cách nào đi mt vòng (có nghĩa là không đi đường nào hai ln) qua
đượ đườc c bn khu trên không. Nếu không thì nên chn ng đi như thế nào để tham
quan được nhiu nht?
8. Sau khi v quan trm xy ra, cơ điu tra thm vn n m nhân vă t b tình nghi là
can án và thu được các thông tin sau :
1) Nếu có mt A thì có mt hoc B hoc C. Ngoài ra chưa khng n định chc ch
được còn có m t ai n a trong s nă m nhân v t nói trên.
2) D hoc cùng có mt vi B và C hoc c ba đều không có mt trên hin trường lúc
xy ra v án.
3) Nếu có mt D mà không có m t B và C thì có m t E.
4) Qua xét nghi n có mm vân tay thy chc ch t A lúc xy ra v án.
Vi thông tin trên liu có ai trong s n ng t ăm nhân vt này có th ch được trước
cơ quan điu tra rng lúc v án xy ra mình không có mt ó? đ
9. Hoàng đế nước n m cuc thi tài để kén phò mã. Giai đon cui ca cuc thi,
hoàng đế chn được ba chàng trai đều thông minh. Nhà vua ang phân vân không đ
biết chn ai thì công chúa đưa ra mt sáng kiến: ly 5 chiếc mũ, 3 chiếc màu đỏ và 2
chiếc màu vàng để trên bàn ri giao hn : “Bây gi c u b ba chàng đề t mt li, tôi
độ đầ ũ ũi lên u m i người m t chiếc m và hai m còn l ăi tôi s c t đ i. Khi b b ng bt
mt ra, ai là người đầu tiên nói đúng mình đang đội mũ gì thì s được kén làm phò
mã”.
Va b b ng b t, ba chàng trai im lă t m ng quan sát ln nhau, lát sau hoàng t nước
B nói to lên rng : “Tôi đội mũ màu đỏ”. Thế là chàng được công chúa kén làm
chng. Bn hãy cho biết hoàng t nước B n nhđã suy lu ư thế nào?
10. L b n H nh, p 12A c Đức, Vinh đi thi hc sinh gii sáu môn Văn, Toán, Lý,
Hoá, Sinh v c p Thành ph n dt và Ngoi ng , mi b thi hai môn. Nhà trường cho
biết v các em như sau:
(1) Hai bn thi Văn và Sinh vt là người cùng ph.
(2) Hnh là hc sinh tr nht trong đội tuyn.
(3) Bn n d ng hĐức, b thi môn Lý và bn thi Sinh vt thườ c nhóm vi nhau.
(4) Bn d thi môn Lý nhiu tui hơn bn thi môn Toán.
(5) Bn thi Ngoi ng, bn thi Toán và Hnh thường đạt kết qu cao trong các vòng
thi tuyn.
Bn hãy xác định m i hc sinh đã được c đi d thi nh ng môn gì?
11. m ng n b n ng ng qu t doanh nghip n ười ta cn ch ười vào Hi đồ n tr
(HĐQT) vi các chc v: ch tch, phó ch tch, kế toán và th qu . Sáu người được
đề c l a ch n vào các ch c v trên là : Đốc, S u, Hùng, Vinh, Mnh và Đức.
Khi tìm hiu, các ng sau : đề c viên có nh ng nguyn v
(1) Đốc không mun vào H u anh cĐQT nếu không có Su. Nhưng dù có S ũng
không mun làm phó ch tch.
(2) S u không mu n nhn ch c phó ch tch và thư kí.
(3) Hùng không mun công tác vi Su, n u ế Đức không tham gia.
(4) N c thì Mếu trong HĐQT có Vinh hoc Đứ nh kiên quyết không tham gia
HĐQT.
(5) Vinh c i, nũng t ch ế Đu H QT có mt c Đốc và Đức.
(6) Ch ch vĐức đồng ý làm ch t i điu kin Hùng không làm phó ch tch.
Người ta phi ch n nh ng ai trong s sáu đề c viên thođể mãn nguyn vng riêng
ca các đề c viên.
12. Bui chiu ch o ch nht hai m con đi d ơi trong công viên. Nhìn thy người
quen, m i Lan: “Con xem kìa, tr nói v ước mt chúng ta là hai người b và hai
người con cùng đi do công viên”. Lan đếm thì ch th y có ba người. Bn hãy gii
thích vì sao?
13. Mt hôm cô Thu đến nhà cô Kim chơi. Cô Thu ch vào mt người trong nh và
hi : “Người đàn ông này là ai vy?”. Cô Kim tr l i: “Em trai ca b ông y là b
ca em trai tôi”. Bn hãy cho biết người trong nh có quan h thế nào vi cô Kim?
14. Hôm đến nhà cô Yến chơi, lúc xem nh ca gia đình, Nguyt ch vào mt người
ph n n n trong nh và hi : “Người ph này có quan h thế nào vi ch?”. Cô Yế
tr li: “Ông ni ca em chng cô y là em ca ông ni chng tôi”. Bn hãy cho biết
người ph n y có quan h thế nào vi cô Yến.
15. Bà A đi cùng mt c i c già đến gp ông B. Ông B hi bà A: “Bà v già này có
quan h v i nhau thế nào?”. Bà A tr li : “M chng tôi có hai ch em mà em v
ông y là cu chng tôi”.
Bn hãy cho biết bà A và c già y có quan h thế nào vi nhau?
16. Trong mt bui sinh hot nhóm yêu Toán, ba bn Thái, Thúy, Bình được phân
công đóng ba vai: vai đội mũ đỏ luôn nói tht, vai đội mũ xanh luôn nói di còn vai
độ ũ đi m ng thì hay nói ùa (lúc nói tht, lúc nói d đi). B ến Hoài không bi t ai óng
vai gì bèn đến h n r i tng b ng: “Bn Thúy s đội mũ gì?”.
Thái tr l i: “Thuý đội mũ đỏ”.
Bình li nói: “Thúy đội mũ xanh”.
Còn Thuý thì kh vàng”. ng định: “Tôi s đội mũ
Hi bn Hoài đã suy lun thế nào để biết ai đội mũ gì ?
17. M ng qu nt công chúa ca vươ c n i tiếng là thông minh. Khi kén chng nàng
ra điu kin: Trong thi gian ba ngày, ai ra được câu hi mà nàng không tr li được
thì công chúa s kén làm chng. Nhiu chàng trai đến th tài và đều chu thua trước
s hi u bi ết uyên bác ca công chúa. Cui ngày th ba, mt nhà toán hc tr tui
đế đặ n xin th tài. Chàng t câu h i cho công chúa:
Xin công chúa hãy cho biết tôi ph i h i câuđể công chúa không tr l i được ?
Hãy xem xét vi câu hi này nhà toán hc có được kết duyên cùng công chúa hay
không ?
18. m t xã kia có hai làng: làng Thc và làng Trng. Dân làng Thc luôn nói tht
còn dân làng Trng thì luôn nói di. Mt hôm nhà toán hc đi vào mt làng trong xã
đ ư đó, nh ng không rõ là làng nào. Nhà toán h c bèn h i m t người dân trong xã ó
(mà không biết ng i người đó là dân làng nào) : “Bác có ph ười làng này không ?”.
Hãy xét xem nhà toán hc đang trong làng nào, n u câu trế li là :
a) Phi !
b) Không !
Hãy xét trường h p t ương t khi nhà toán hc đặt câu hi: “Bác có phi người làng
khác đến làng này chơi không ?”.
19. Nhân ngày r n mm Trung Thu, bà chia cho ba cháu Dương, Kiên, Hi i cháu
mt th đồ chơi mà mình thích: đèn ông sao, bóng bay và trng ếch. Dương không
thích chơi trng, Kiên không nhn bóng bay còn Hin thì không thích ch èn và ơi đ
trng.
Hi mi cháu đã được bà cho món quà gì.
20. Trong kì thi hc sinh gii, b n b n Giang, Dương, Linh, Thúy đạt bn gii:
Nht, nhì, ba và khuyến khích. Biết rng :
a) Linh không đạt gii nht mà cũ đạng không t gii khuyến khích.
b) Dương đạt gii nhì còn Giang không đạt gii khuyến khích. Hi các bn Giang,
Linh, Thuý đã đạt gii gì?
21. Trong cuc chy thi ngày hi khe Phù Đổng, b n b ng, D ng n An, Bình, Cườ ũ
đạ ư đ đạt b n gi i nht, nhì, ba và t . Khi được h i “B n ã t gii m y?” thì bn b n tr
li như sau :
An : “Tôi gii nhì, còn Bình gii nht”.
Bình : “Tôi cũng gii nhì còn Dũng gii ba”.
Cường : “Tôi mi là người đạt gii nhì, còn Dũng gii tư”.
Dũng : “Ba bn lđều thích nói đùa nhưng trong mi câu tr i đều có mt phn úng đ
còn mt phn sai”.
Nếu D n ũng là người nói tht thì mi b đã đạt gi i m y?
22. Ba bn Dương, Nhung, Linh mc ba chiếc áo màu trng, xanh, tím và ba chiếc
qun cũng màu trng, xanh, tím. Biết rng ch có Dương mc qun áo cùng màu,
còn áo và qun c a Nhung đều không màu trng, Linh mc qu n màu xanh.
Hãy xác định màu áo và màu qun ca mi bn.
23. Nhân ngày 2011, ba cô Châu, Loan, Thúy là giáo viên ca ba trường Đoàn Kết,
Nguyn Trãi và Th ng Long dă y thao ging ba môn Toán, Tiếng Vit và M thut.
Biết rng :
a) Cô Châu không ph ng i giáo viên trườ Đoàn Kết, cô Thy không phi giáo viên
trường Nguyn Trãi.
b) Cô giáo trường y môn MĐoàn Kết không d thut.
c) Cô giáo trường Nguyn Trãi dy Toán.
d) Cô Loan dy Tiếng Vit.
Hi mi cô là giáo viên ca trường nào và dy môn gì?
24. Trong đại h i cháu ngoan Bác H c a tnh Thái Nguyên, bn bn Phương,
Dung, Hiếu, Nhung quê b n huy n khác nhau. Khi hi : “Các bn quê đâu?” thì
bn Cúc nhn lđược câu tr i như sau :
Phương : “Dung quê Ph Yên, còn tôi Đồng H”.
Dung : “Tôi quê ng H Yên”. Đồ , còn Hiếu quê Ph
Hiếu : “Tôi quê Đại T còn Nhung Võ Nhai”.
Xưa nay Nhung vn là người tht thà không thích nói đùa đã nói vi Cúc: “Trong
câu tr li ca m đi bn ch có m t phn úng và mt phn sai”.
Hi mi bn quê huyn nào?
25. Trong mt trn thi đấu đin kinh, các vn 1, 2, 3, 4 động viên mang áo s đạt
được b đầ ư độ đạ n gii u tiên, nh ng không vn ng viên nào t gii trúng vi s áo c a
mình c ng v n 3 không n . Biết r động viên mang áo s đạt gii nht, v động viên
đạ ư đột gi i t có s áo trùng vi gi i c a vn ng viên mang áo s độ 2 mà vn ng viên
mang áo s 2 thì không đạt gii ba.
Hi mi người đã đạt gii my?
26. Trong bui sinh hot Đội, anh ph trách gi bn b n b n nn nam và b ra sân
chơi và giao cho ng t p h n đội trưở p các b đứng thành vòng tròn sao cho không có
hai bn n ng c n v n n nào đứ nh nhau và đối di i mt b qua tâm đường tròn phi
là mt bn nam. Suy nghĩ m độ ưt lát, i trưởng tr li : “Th a anh, không th xếp
được như độ ư vy”. Bn i phó tiếp luôn: “Nh ng nếu thêm mt b n nam và mt b n
n thì xếp được, thưa anh”.
Bn nào đã nói đúng? Gii thích ti sao?
Hot động 2.3:
Thc hành gii toán bng phương pháp la chn tình hung
Nhim v
Nhim v: Xây dng ba ví d v gii toán bng phương pháp la chn tình hung
Đánh giá
1. Ba bn Tùng, Trang, Linh thi ch đạy t ba gii nht, nhì và ba. Sau khi nghe các
bn đoán:
Tùng đạt gii ba
Trang không đạ t gi i ba.
Linh không đạ t gi i nhì.
Tùng bèn tr li: “Ch có mt người đ đn úng”.
Bn hãy xác định m n y? i b đã đạt gii m
2. L n n p 6A có năm b đạt hc sinh gii xut sc nhưng ch được c hai b đi d
Đại h i cháu ngoan Bác H . Khi cô giáo h i ý kiến thì các b đền u nhường nhau. Cô
đề ngh m i em gii thi u hai trong s đ đạ nă m b n h c sinh gi i xu t s c để i d i
hi. Kết qu các bn gi u nhi thi ư sau:
1. B n Thông và b n Minh.
2. Bn Thái và bn Tú.
3. B n Hn Thái và b c.
4. B n Thông và b n Tú.
5. B n Thông và b n Thái.
Cô quyết i i định chn ngh c ó, mđề a Tú, vì theo đề ngh đ đề ngh c n ng a b ườ
còn li đều được tho mãn mt phn và b bác b mt phn.
Bn hãy cho biết bn nào đã được chn đi d đại hi cháu ngoan Bác H?
3. B n b n n Lan, Hà, Đức, Vă được nhà trường c đi d thi bn môn: bóng bàn, đá
cu, c vua và nhy cao ti Hi kho Phù Đổng. Khi được hi mi bn thi đấu môn
gì, các bn tr li như sau:
Lan : Mình thi đá cu ho u cc đấ vua.
Hà : Mình không thi nhy cao.
Đức : Mình thi đấu bóng bàn.
Văn : Mình thi nhy cao.
Nếu ch có ba bn tr li đúng, còn mt bn lđã tr i sai thì hai bn Hà và Vân đã
tham gia thi môn gì ?
4. m i Vi t tri hè thiếu nhi quc tế có ba bn : mt ngườ t, mt người Lào và mt
người Thái đang đứng c bi n nh nhau bên b n. Các b đội mũ ba màu khác nhau và
mc áo ba màu cũng khác nhau. Cho biết :
(1) Bn người Lào đội mũ màu đỏ.
(2) Bn ng ng. ười Thái mc áo màu tr
(3) Bn ng i Vi n. ườ t đứng gia hai b
(4) Bn ng i Vi nh b n ườ t đứng c đội mũ xanh.
(5) Bn m ng không ng c nh b n c áo h đứ đội mũ vàng.
Hi bn m ng ngc áo h ườ ướ ườ ưới n c nào? Bn đội mũ vàng là ng i n c nào ?
5. Ba người mang quc tch Anh, Pháp và Đức ba nhà lin nhau trên mt đường
ph. Mi nhà sơn màu khác nhau và mi người làm ngh khác nhau. Cho biết :
(1) Người Pháp nhà màu . đỏ
(2) Người Đức là nhc sĩ.
(3) Nhà người Anh gia.
(4) Nhà màu đỏ cnh nhà màu xanh.
(5) Nhà v nhà thăn nht bên trái.
Hi nhà văn có quc tch gì? Ai nhà màu vàng ?
6. Cup Euro 96 có 4 ng hoà Séc, Anh và Pháp. đội lt vào vòng bán kết : Đức, C
Trước khi thi đấu ba b oán nhn Hùng, Trung và Mnh d đ ư sau:
Hùng : Đức nht và Pháp nhì.
Trung : Đức nhì và Anh th ba.
Mnh : Cng hoà Séc nhì và Anh th t . ư
Kết qu m n d i b đoán m độ đ t i úng, m t độ độ đi sai. H i m i i ã đạt gii my ?
7. Nhà trường c sáu b vua. Các n : Hùng, Hà, Lê, Lan, Huy và Văn u cđi thi đấ
bn trong trường có nhng d đoán sau :
1. Hùng và Lê s đạt gii.
2. Hà và Huy s đạt gii.
3. Vân và Hùng s đạt gii.
4. Hà và Vân s đạt gii.
5. Lan và Hùng s đạt gii.
Kết qu ch có hai người đạt gii và trong năm d đoán trên ch có mt d đoán sai
hoàn toàn, b đn d oán còn li ch đúng mt bn. Vy ai đ ã đạt gi i.
8. Ba b n Trãi, Kim Liên và n H ng, Hươ nh, Hà là hc sinh ca ba trường : Nguy
Hoàn Kiếm được chn vào đội tuyn ca Thành ph p quđi d thi hc sinh gii c c
gia. Mi bn d thi mt trong ba môn: Văn, Toán ho c Anh v ăn. Cho biết :
1. Hà không thi Toán.
2. H n. ương không thi Anh vă
3. B c sinh trn thi Anh văn là h ường Nguyn Trãi.
4. B n h c sinh trường Kim Liên không thi Toán.
5. H c sinh trương không phi h ường Hoàn Kiếm.
Hãy xác định mi bn là hc sinh trường nào và d thi môn gì?
9. Ngày ch nht, trường PTCS Hùng Vương t chc cho hc sinh khi 9 đi tham
quan tám danh thng n ng c i tiế a th đô Hà Ni : Lă ăng Bác, V n Miếu, Vườn thú
Th L, công viên Lê nin, H Hoàn Kiếm, chùa Mt Ct, cu Thăng Long và b o
tàng Lch s. Như đng do iu kin thi gian nên Ban t chc quyết định ch đi tham
quan bn trong s t nguy tám địa danh đó. Khi được hi ý ki n, các lế p đề đạ n v ng
như sau:
9A : Th ng Bác, V n thú Thăm Lă ăn Miếu, vườ L và công viên Lênin.
9B : Th ng Bác, hăm Lă Hoàn Kiếm, chùa M ng Long. t Ct và cu Thă
9C : Thăm Văn Mi ch sếu, h Hoàn Kiếm, chùa Mt Ct và bo tàng L .
9D : Th ng Bác, v n thú Thăm Lă ườ L, h Hoàn Kiếm và Bo tàng lch s.
Hi phi chn nguy n v ng c mãn nguy n a lp nào để ba lp còn li được tho
vng nhiu nht.
10. Gia đình Nam có năm người: ông ni, b , m, Nam và em Hùng. Khi h i chiu
ch nht tun trước gia đình Nam có nhng ai xem TV, Nam tr li:
1. B c và m bao gi ũng cùng ngi xem TV.
2. Hôm đó m và Nam không cùng ngi xem.
3. Ông không xem khi không có Nam cùng xem.
4. Chiu hôm đó ông và Hùng ch có mt người không xem TV.
5. Khi Hùng xem thì c b và Nam cùng xem.
Vi thông tin trên, bn hãy cho biết chiu ch nht trước trong gia đình Nam có
nhng ai xem TV?
11. Ba cp v t chng tr chc ba cơm thân mt, mi người nói chuyn vui v:
Anh ánh : Trong chúng ta, ch đềng u hơn v 5 tui.
Cô Loan : Nhưng em là người tr nht trong hi.
Anh Toàn : Tui tôi và cô Nga cng li là 52
Anh Minh : Tui c i ba sáu chúng ta cng l ng 151.
Cô Nga : Tui tôi và chú Minh cng li là 48.
Cô Thu : Th ng biế thì người chng quen biết gì chúng ta nghe vy cũ ết được ai là
v, là chng ca ai mà biết tui ca mi người ri.
Bn hãy chng t nh úng. n xét ca cô Thu là đ
Hot động 2.4.
Thc hành gii toán bng phương pháp biu đồ Ven
Nhim v
Nhim v m v 1: Trình bày khái ni ph u ương pháp bi đồ Ven
Nhim v 2: Xây dng ba ví d v gii toán bng phương pháp biu đồ Ven
Đánh giá
1. H n Y n c t bao nhiêu chi mi b ế n ít nh ếc qun và bao nhiêu chiếc áo để i ngày
trong tu n tr t kin b n có th đế ường vi m u trang phc khác nhau ?
2. ó Đội tuy n thi đá cu và thi đấu c vua ca trường Ngô Sĩ Liên có 15 em, trong đ
có 12 em đá cu và 8 em đấu c vua. Hi có bao nhiêu em thi c hai môn ?
3. L n n, 15 b n p 6A có 18 b đăng kí hc ngoi khoá môn Vă đăng kí hc ngoi
khoá môn Toán, trong đó có 5 bn đăng kí hc c hai môn Văn và Toán. Hi :
a) Có bao nhiêu b ng kí h ng kí hn ch đă c Văn ? Ch đă c Toán ?
b) Có bao nhiêu bn n hođăng kí hc Vă c Toán ?
4. Trong mt kì thi, các thí sinh được đánh s báo danh t 1 n 1000. Hđế i có bao
nhiêu thí sinh mang s báo danh là s l hoc chia hết cho 9 ?
5. B n An ra Hà N ph nh s i thăm nhà người quen X. Bn ch nhà ca người
quen là m t cho 3 nht s l có hai ch s chia hế ưng không nh là s nào. Bn bèn
đ ế i h i t ng s nhà là s l có hai ch s chia h t cho 3. Nếu s nhà cu i cùng c a
dãy l ph u nh đó là 121 thì bn An phi gõ ca nhi t bao nhiêu nhà để tìm được
nhà người quen ?
6. Trong các u n d t i Bình Nhđại bi đế Festival thanh niên quc tế ưỡng có mt
đ đ ư đế oàn c ến phiên dch ti ng Hà Lan mà trước ó Ban t ch c ch a tính n. Ban t
chc gi đin sang trung tâm gii thiu phiên d ư ếch thì cô th kí cho bi t mi người
đề đ u i vng, ch mình cô ng i tr c cơ quan. Sau m t h i tìm kiếm cô ly được bn
danh sách 20 ng i có th ư phiên dch được tiếng Pháp hoc tiếng Hà Lan, trong s
đ ó có 8 người dch được tiếng Pháp, 15 người ch dch được m t trong hai th tiếng
nói trên.
Bn hãy tính giúp cô thư kí : Có bao nhiêu người dch được tiếng Hà Lan.
7. Đội tuy n thi h c sinh gii ca tnh X có 25 em thi Văn và 27 em thi Toán, trong
đ độó có 18 em v a thi Văn v a thi Toán. H i i tuyn h c sinh gi i hai môn Văn và
Toán ca tnh X có bao nhiêu em?
8. ph quĐể c v cho mt hi ngh c tế, Ban t chc đã huy động 100 phiên dch.
Mi phiên dch có th dch được mt hoc hai trong ba th ế ti ng Nga, Anh hoc
Pháp. Có 39 người ch c ti c ti dch đượ ếng Anh, 35 người dch đượ ếng Pháp, 8 người
dch được c tiếng Anh và tiếng Nga. Hi có bao nhiêu người ch d ng ch được tiế
Nga ?
9. Trên mt hi tho quc tế có 30 đại bi i biu nói được tiếng Trung, 40 đạ u nói
đượ được tiế ng Pháp và 45 đại bi u nói c tiếng Anh. Trong đ đạó có 20 i biu nói
đượ được c ế ế ti ng Pháp và ti ng Anh, 16 đại bi u nói c tiếng Trung và tiếng Pháp, 12
đạ ế đạ i bi ếu nói được ti ng Trung và ti ng Anh và 5 i bi u nói được c ba th tiếng.
Hi có bao nhiêu đại biu ch nói được mt th tiế ng ? Có tt c bao nhiêu đại biu
tham d h i ngh ?
10. Trong mt kì thi vào mt tr i hường đạ c có 5000 thí sinh đă ng kí d thi vào ba
ngành I, II, III. Mi thí sinh được đăng kí mt hoc hai trong s ba ngành đó. Có
1300 thí sinh ch đăng kí d thi ngành I, 1400 thí sinh ch đăng kí d thi ngành II và
100 thí sinh ng kí dđă thi ngành I và III. Hi có bao nhiêu thí sinh ch d thi ngành
III ?
11. Theo danh sách đăng kí ph đạ o ba môn Văn, Toán, Ngoi ng c a hc sinh
khi 9: Có 40 em đăng kí ph o V o Toán, trong đạ ăn, 50 em đăng kí ph đạ đó có 15
em đăng kí ph o cđạ hai môn Vă n và Toán, trong đó có 15 em đăng kí ph o cđạ
hai môn Văn và Toán, có 35 em ch đă đạ ng kí ph o môn Ngoi ng . H i có bao
nhiêu em đăng kí ph đạ o ?
12. 40 em hc sinh ca trường X d thi ba môn: ném t, chy và đá cu. Trong đội
có 8 em ch thi ném t, 20 em thi chy và 18 em thi đá cu. Hi có bao nhiêu em va
thi chy va thi đá cu?
13. B ng t r u l y t ng s s sn hãy ch ng nế các ngh ĩ tr đi các ngh ĩ không phi
là binh sĩ ta t quđược kế gi ng nh l y t ng s ư binh sĩ tr đi binh sĩ không phi là
ngh s . ĩ
14. H v . M u s d ng i tho quc tế tin hc có e đại biu tham d i đại bi được ít
nht mt trong ba th tiếng Nga, Anh hoc Pháp nhưng không ai s d ng được c
tiếng Anh và tiếng Pháp. Có a đại bi i biu nói được tiếng Anh, b đạ u nói được tiếng
Pháp và c đại bi i bi t trong ba thu nói ng Nga, d được tiế đạ u ch nói được m
tiếng nói trên.
Cho biết a + b = c + d.
Bn hãy cho biết có bao nhiêu đại biu ch nói được tiếng Nga và bao nhiêu đại biu
cn phiên dch khi nghe các báo cáo bng tiếng Nga ?
15. Trong mt nhà máy thc phm xut khu, h ng s s n đồ p chiếm hai phn ba t
phm xut khu. Khi kim tra cht lượng s n ph m người ta phát hin hai phn ba
s s n ph m trong kho không đạt tiêu chun v sinh. Vi s liu trên đây bn có th
khng nh u nh h p không đị được ít nht và nhi t bao nhiêu phn trăm s đồ đạt tiêu
chun v sinh hay không?
16. m p s ng. Theo quy nh, m t xí nghi n xut dép nha có 10 phân xưở đị i đôi
dép nha có khi lượng là 200 gam. Khi nghim thu sn ph ng m ca 10 phân xưở
giao np, cán b OTK được ch có 9 phân xưởng s n xu t đúng quy cách còn mt
phân x ng nào. ưởng s n xu ng không bi t mi đôi ch có 190 gam như ết phân xưở
Người cán b OTK đã bng m n t mã cân phát hi được phân xưởng nào làm sai quy
cách.
Bn hãy cho biết người đó đã cân như thế nào ?
17. N v y ăm chàng trai câu được 5 con cá trong 5 phút. Hi cũng vi tc độ câu như
thì 100 chàng trai câu được 100 con cá bao nhiêu lâu?
18. Mt người vào ca hàng hi mua mt chiếc áo khoác. Bà bán hàng vui tính tr
li: “Tôi ch tính bà tin cúc ca chiếc áo này thôi nhé : Chiếc th nht bà cho tôi 1
nghìn, chiếc th hai 2 nghìn và mi cúc sau bà li tr cho tôi gp ó, đôi chiếc trước đ
còn áo thì tôi biếu không bà đấy”. Người mua hàng đếm thì thy chiếc áo có 6 chiếc
cúc hàng phía trước, 2 chiếc c ng tay, 2 chiế túi áo ngc và mt chiếc d tr .
Bn hãy cho biết bà khách hàng phi tr bao nhiêu tin ?
TIU CH ĐỀ 2.3. CÔNG THC
Thông tin cơ bn
3.1. Khái nim v công thc
Trong toán hc ta đã làm quen vi bi u th c toán hc (là dãy kí hiu ch rõ các phép
toán và th t thc hin các phép toán trên các s ho nh t mc các ch n giá tr t
trường s)
Trong lôgic mnh , ng m công th ng t biđề ười ta xây dng khái ni c tươ u thc
toán h c trong toán h c
Trong ch 1.1 ta nh) và m đề đã làm quen vi mnh đề (xác đị nh mđề (chưa xác
đị đềnh). Ta s g i chung là các biến mnh
Cho các biế đền mnh p, q, r, ... khi dùng các phép lôgic tác động vào chúng, ta s
nhn n m nh n. M nh nh được các biế đề ngày càng phc tp hơ i m đề ư thế và c
nhng mnh đề xut phát ta gi là công thc. Hay nói cách khác
a, Mi bi t công thến mnh đề là m c
b, N ng ếu P, Q là nhng công thc thì , P Q, P Q, P Q, cũ đều là công thc
c, Mi dãy kí hiu không xác định theo các quy tc trên đây đều không phi là công
thc
Ví d 3.1 :
T các biến mnh p đề p, q, r ta thiết l được công thc:
(p q) r
(p q) r
(p q) r
.....................................
3.2. Giá tr chân lí ca công thc
Cho công thc P = “p q”
Ta gán cho các biến m nh p, q nh đề ng giá tr chân lí xác định, chng h n
G(p) = 1 và G(q) = 0 thì p nh nh q là m đề sai. Suy ra p q là m đề đúng, hay
G(p q) = 1
G(p) = G(q) = 1 thì p q là mnh đề đúng. Suy ra p q là mnh đề sai, hay G(p
q) = 0
Như vy khi gán cho m có mi biến m nh đề t trong công th c P m t giá tr chân lí
xác định thì công thc P s nh ( úng ho tr thành mt m đề đ c sai). Nếu P là mnh
đề đ úng (hoc sai) thì ta nói công th c P có giá tr chân lí b ng 1 (ho c 0) ng vi h
chân lí va gán cho các biến m nh đề có mt trong công th đc ó
Ví d 3.2 :
p c luôn có giá tr ng 0 v là công th chân lí b i m đềi biến mnh p
Ví d 3.3 :
là công thc luôn có giá tr chân lí bng 1 v n mi mi biế nh p, q đề
Ví d 3.4 :
Lp bng giá tr chân lí ca công thc
Gii :
Da vào bng chân lí trên ta có th khng định:
N u p úng, q úng ế đ đúng thì P đ
Nếu p sai, q đúng thì P sai
Ví d 3.5 :
Lp bng giá tr chân lí ca công thc “(p q) r” = Q
Gii
3.3. S tương đương lôgic và đẳng thc
Cho P và Q là hai công thc. Ta nói rng hai công thc P và Q tương đương lôgic
vi nhau, kí hiu là P Q, nếu v n mi mi h chân lí gán cho các biế nh đề có mt
trong hai công thc đó thì chúng luôn nhn giá tr chân lí như nhau
Đặc bi t, hai m nh vđề a, b gi là tương đương lôgic i nhau, kí hi u
a b, n úng hoếu chúng cùng đ c cùng sai
Chú ý
1. Trong lôgic không có khái nim hai mnh bđề ng nhau mà ch có khái nim hai
mnh t ng đề ươ đương lôgic vi nhau
Hai mnh t ng v nđề ươ đương lôgic có th i dung chúng hoàn toàn không liên quan
vi nhau. Chng h n
“Tháng Hai có 30 ngày 2 x 2 = 10”
2. P Q ta gi là mt đẳng thc
3. ng Để chng minh hai công thc tương đương lôgic vi nhau ta thường dùng phươ
pháp l chân lí. Chp bng giá tr ng hn
Chng minh đẳng thc sau : p q q p
Nhìn vào bng trên ta thy hai công thc p q và q p luôn cùng đúng hoc cùng
sai. Vy ta có p q q p
Dưới đây là mt s phép tương ng g p đương lôgic thườ
Ph đị đị nh c a ph nh
(1) p p
Lut Đờ Moóc Găng
Tính cht k t hế p ca các phép lôgic
(4) (p q) r p (q r)
(5) (p q) r p (q r)
Tính cht giao hoán ca các phép lôgic
(6) p q q p
(7) p q q p
(8) p q q p
Tính cht phân phi
(9) p (q r) (p q) (p r)
(10) p (q r) (p q) (p r)
Tính lũy đẳng
(11) p p p
(12) p p p
Biu din phép kéo theo qua các phép lôgic khác
(13) p q
(14) p q
(15) p q
Biu di ng n phép tươ đương qua các phép lôgic khác
(16) p q (p p) q) (q
(17) p q
Ta dùng kí hiu 1 (ho úng (ho c luôn sai). Ta có các c 0) để ch biế đền mnh luôn đ
đẳng thc sau v 0 và 1
(18) p 0 0
(19) p 1 p
(20) p 0 p
(21) p 1 1
(22) p p 1 (lut bài trung)
(23) p p 0 (lut mâu thun)
3.4. Phép biến đổi công thc
Khái nim m công thc trong lôgic mnh t nhđề ương t ư khái ni biu thc toán
h hc trong toán hc; khái nim đẳng thc tương t nh ư khái nim ng đẳng thc
trong toán hc.
Da vào các đẳng thc, ta có th thc hin phép biến đổi đồng nht để chng minh
mt đẳng thc hoc đưa m đơ ơt công th c v dng n gin h n.
Để cho tin, ta quy ước :
1. Các phép lôgíc trong mt công thc được thc hin theo th t ;
Vi quy c này, chướ ng hn ta s viết:
p ^ q r
thay cho (p ^ q) r
p v q ^ r u
thay cho [p v (q ^ r)] u
2. Không viết d i mu ngoc ngoài đối v i công thc.
Vi quy c này, chướ ng hn, ta s viết :
p ^ q r
Thay cho [(p ^ q) r]
3. N u ph dếu có d định trên mt công thc nào đó thì ta b u ngoc hai đầu
công thc đó.
Chng h vin, ta s ết
^ r
Thay cho ^ r.
Ví d 3.6 :
Chng minh rng
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) (p q) ^ r.
Biến đổi ln lượt ta có:
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r)
[( ^ q) v ( ^ )] ^ r v (q ^ r)
[ ^ (q v )] ^ r v (q ^ r)
( ^ 1) ^ r v (q ^ r)
( ^ r) v (q ^ r)
( v q) ^ r)
(p q) ^ r
Ví d 3.7 :
Rút g n công th c :
( pvq) ^ q
Ta có :
( pvq) ^ q [ v (p v q)] ^ q
[(p v q) v (p v q)] ^ q
(p v q) ^ q
q.
3.5. Mnh đề liên hp, điu kin cn, điu kin đủ, đ i u ki n c n và
đủ
3.5.a Mnh đề liên hp
T mnh đề “Nếu mt s chia hết cho 4 thì nó chia hế t cho 2” (1) ta có th thiết l p
được các mnh đề
“Nếu mt s chia hết cho 2 thì nó chia hết cho 4” (2)
“Nếu mt s chia hết cho 4 thì nó không chia hết cho 2” (3)
“Nếu mt s không chia hết cho 2 thì nó không chia hết cho 4” (4)
Các mnh đề (1) ; (2) ; (3) ; (4) g đềi là nh ng mnh liên hp
Mt cách tng quát, ta định nghĩa
Nếu ta gi p q (1) là mnh đề thun thì
q nh p (2) là m đề đảo ca (1)
p nh ph n c q (3) là m đề a (1)
q nh ph n o c p (4) là m đề đả a (1)
Các mnh n, n ng mđề thu đảo, phn và ph đảo ta gi là nh nh đề liên hp
áp d đẳng ng thc (15) ta có
p q q p
p q q p
Hay M nh n t ng nh ph n o đề thu ươ đương lôgic vi m đề đả
M nh ph n t ng nh o đề ươ đương lôgic vơi m đề đả
Ví d 3.8 :
Thiết lp các m nh p v đề liên h i m ếnh đề sau: “N u mt s chia hết cho 6 thì nó
chia hết cho 3”
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
Các mnh p cđ liên h a nó là
Nếu mt s chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6
N không chia hếu mt s ết cho 6 thì nó không chia hết cho 3
N không chia hếu mt s ết cho 3 thì nó không chia hết cho 6
D dàng thy r ng m n nh nh đề thun và ph đảo là các m đề đúng còn mnh đề
đả đềo và ph n là các m nh sai
Ví d 3.9 :
Thiết lp các m nh p v đề liên h i m ếnh đề sau: “N u tam giác ABC vuông A thì
BC2 = AB2 + AC2
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng
Các mnh p cđ liên h a nó là
N mãn hếu tam giác ABC tho thc BC2 = AB2 + AC2 thì nó vuông A
Nếu tam giác ABC không vuông A thì BC2 AB2 + AC2
N mãn h c BC2 = AB2 + AC2 thì nó không ếu tam giác ABC không tho th
vuông A
T môn hình trường ph thông ta thy c b nh n m đề trên đều có giá tr chân lí
bng 1
3.5.b. Điu kin cn, điu ki n đủ, đi u ki n cn đủ
Trong toán hc, nếu ta chng minh được p q là mnh ng đề đúng thì ta nói r
p là điu kin đủ để có q
q là điu kin c n để có p
Trong tr q có thường hp này, mnh p đề din đạt bng nhiu cách khác nhau,
chng hn:
Nếu có p thì có q
p là điu kin đủ để có q
q là điu kin c n để có p
Có p t có q
Mun có p phi có q
Có q khi có p
.......................
Trong toán hc, nếu ta chng minh được đồng thi c hai mnh p p đề q và q
đề đu úng thì ta nói rng :
p là điu kin cn và đủ để có q
q là điu kin cn và đủ đẻ có p
Theo phép tương đương (16) ta có
p q (p q) (q p)
Trong trường hp này, mnh di n đề p q có th đạt bng nhiu cách khác nhau,
chng hn:
u ki Đi n cn và đủ để có p là q
Để có p, điu kin cn và đủ là q
u ki n Đi t có và đủ để có p là q
Có p khi và ch khi có q
............................
Trong toán hc, mi định lí được phát bi u d ng m nh úng p q, ưới d t m đề đ
trong đ ó, p g i là gi thiết, q gi là kết lu n c a định lí.
Ta thiết lp mnh p c ó. N u q p c nh đề đảo q a định lí đ ế ũng là m đề đúng thì
ta nói định lí nh lí nh lí đã cho có định lí đảo. Ngược li, ta nói đị đã cho không có đị
đảo.
Trong trường hp p c n định lí có định lí đảo, ta thường phát biu kết h định lí thu
đảo d ng u ki n c p q. ưới d đi n và đủ
Ví d 3.10 :
Hãy xét xem nh lí sau có u tđị định lí đảo hay không : “Nế giác ABCD có hai
đườ đường chéo ct nhau trung đ im ca m i ng thì nó là hình bình hành”
Nếu có, hãy phát biu chúng dưới dng u ki đi n cn và đủ
Mnh o cđề đả a định lí đã cho là : “Nếu t giác ABCD có hai đường chéo ct nhau
trung đ i m ca mi đường thì nó là hình bình hành”
T môn hình hc trường ph thông ta đã biết đ đề đ đị đây là mnh úng. Vy nh lí ã
cho có định lí đảo
Kết hp gi o u nh u ki n ca định lí thun và đả được phát bi ư sau: “Đi n và đủ để
t i giác ABCD là hình bình hành là hai đường chéo ca nó ct nhau trung đ m ca
mi đường.”
Ví d 3.11 :
Cũng h 3.10 u s t s n v i như ví d đối vi định lí : “Nế nhiên a có ch hàng đơ
bng 0 hoc 5 thì nó chia hết cho 5”
Mnh o cđề đả a định lí đã cho là : “Nếu s t nhiên a chia hết cho 5 thì nó có ch
s hàng đơn v b ng 0 ho c bng 5”
T trường ph nh nh y thông ta đã biết m đề đảo là m đề đúng. V định lí trên có
định lí đảo.
Kết hp gia định lí thun và đảo ta có :
“S t nhiên a chia hết cho 5 khi và ch khi ch s hàng đơn v c ng 0 hoa nó b c
5” hoc “Đ iu kin t có và đủ để s t nhiên a chia hết cho 5 là ch s n v hàng đơ
ca nó bng 0 hoc 5”
3.6. Lut ca lôgic mnh đề
Cho A là mt công thc. Ta gi :
a, A là công thc hng úng, n ng 1 vđ ếu nó luôn nhn giá tr chân lí b i mi h chân
lí gán cho các biến m nh đề có mt trong công th đc ó
b, A là công thc hng sai, nếu nó luôn nhn giá tr chân lí bng 0 vi m i h chân lí
gán cho các biến m nh đề có mt trong công thc đó
Mi công thc hng đúng A ta gi là m t lut c a lôgic m nh đề và kí hi u là: A
Mi công thc hng sai ta gi là mt mâu thun.
Ví d 3.12 :
a) Công th c p v là h ng đúng. Ta có lut
p ^
b) Công thc p ^ là hng sai.
c) Chng minh rng
p ^ q v
Ta có bng chân lí
Nhìn vào bng trên ta có đpcm.
Hot động
Sinh viên t đọ c nhà thông tin cơ bn
Trên lp chia thành 4 nhóm, mi nhóm tho lu t hon m t động để thc hin các
nhim v r n. Sau ng hoi trình bay kết qu tho lu đó giáo viên tng kết theo t t
độ đng dưới ây:
Hot động 3.1. Tìm hiu khái nim công thc
Nhim v:
Nhim v 1:
Phát biu nh ngh nh đị ĩa khái nim công thc ca lôgic m đề. Minh ho các ví d v
công thc.
Nhim v 2: Xây dng các ví d v xác a công thđịnh giá tr chân lí c .
Đánh giá
1. L p b ng chân lí ca các công thc sau:
a) p ^ q (q ^ r)
b) (p r) v (q r)
c) (p ) ^ (p q) v ( )
2. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trng:
a) Công thc (p q) ^ (q p) (p q) luôn có giá tr chân lí bng 1
b) Công thc p v (q ^ r) p v q v p v r luôn có giá tr chân lí bng 1
c) Công thc (p chân lí b q) ^ (p r) luôn có giá tr ng 0.
Hot động 3.2.
Thc hành ch c trong lôgic mng minh các đẳng th nh đề.
Nhim v
Nhim v 1 : Phát biu nh nghđị ĩa:
Hai công thc tương đương lôgic.
Hai mnh tđề ương đương lôgic.
Minh ho các khái ni ó thông qua các ví dm đ .
Nhim v 2 : Lp bng chân lí để chng minh các đẳng thc (1) (5).
Sau v v n dđó xây dng các ví d minh ho ng m đẳ đ i ng th c ó trong toán h c.
Nhim v 3 : Thc hành biến đổi công thc.
Nêu các quy ước v s d n ng kí hi u khi bi ế đổi các công thc.
Xây dng hai ví d v thc hành biến đổi công thc.
Đánh giá
1. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trng :
a) p ^ q q ^ p
b) p ^ q ^
c) ^ q ^ p
e) p ^ q q ^ p
f) p ^ q ^
g) ^ q ^ p
2. Chng minh các đẳng thc (9) (17). Sau đó minh ho b v v n d ng ng các ví d
mi đẳng thc đó trong toán hc.
3. Hãy biến ng n gi n nhđổi các công thc sau v d đơ t:
a) ( p v q) ^ q.
b) p ^ q ^ (p )
a) (p ) v
Hot động 3.3. Tìm hiu v mnh đ liên hp
Nhim v
Nhim v 1 :
Trình bày khái nim v m nh gi nh đề liên hp. Nêu mi quan h a các m đề thun,
đả đảo, phn và phn o.
Nhim v 2 :
Xây d ng m t ví d trong s h c và mt ví d trong hình hc v thiết lp mnh đề
liên hp ca mnh đề đã cho.
Nhim v 3 :
Trình bày khái nim đi iu ki n c n, đ u ki n , u ki . đủ đi n cn và đủ
Xây d ng m t ví d trong s h c và m t ví d trong hình h c v di n đạt đi u ki n
cn (điu ki n đủ) bng 5 cách khác nhau.
C u nh n c . ũng yêu c ư trên đối vi điu ki n và đủ
Nhim v 4 : Trình bày khái nim định lí đảo ca mt định lí.
Xây d ng m t ví d trong s h c và m t ví d trong hình h c v phát biu kết hp
gia định lí thun và định lí đảo ca mt định lí.
Đánh giá
1. Thiết lp mnh p c nh đề liên h a các m đề sau :
a) Nếu mt s chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5 .
b) Nếu mt s chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 3 và 5.
c) Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bng nhau.
d) Nếu mt t giác có hai đường chéo vuông góc vi nhau thì nó là hình thoi.
Sau đó tìm giá tr chân lí ca chúng.
Đối vi nh đề đ đạ đng mnh úng, hãy din t b ng ba cách khác nhau dưới d ng iu
kin cn (đủ).
2. Hãy phát biu các du hiu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 tiu hc dưới dng mnh đề
kéo theo.
Sau nh p cđó hãy thiết lp các m đề liên h a chúng.
3. Thiết lp o cđịnhđả a định lí sau :
a) Hình bình hành có hai ng chéo bđườ ng nhau là hình ch nht.
b) Nếu tích ca hai tha s chia hết cho 7 thì m đt trong hai th a s ó ph ếi chia h t
cho 7.
Hot động 3.4. Tìm hiu lut ca lôgic mnh đề
Nhim v
Nhim v 1: Phát biu nh nghđị ĩa các khái nim
Công th đc hng úng
Công thc hng sai
Nhim v 2: Xây dng hai ví d minh h a v cách ch ng minh m t lut
Đánh giá
1. Chng minh các công thc sau là công thc h đng úng, sau đó viết chúng thành
nhng lut
a, p (p q) q
b, (p q) (p q)
c, (p q q) p
TIU CH ĐỀ 2.4. QUY TC SUY LUN
Thông tin cơ bn
Phân tích mi chng minh toán hc ta thy nó bao gm mt s h u hn bước suy
lun n giđơ n. Trong mi bước suy lun n gi n dđơ n ta đã v ng nh ng quy tc nh t
đị để đề đ đ nh t nh ng mnh ã được th a nhn là úng có th rút ra m t mnh mđề i
Dưới đây ta trình bày nhng quy t n nh c thường dùng trong các bước suy lu ư thế
Định nghĩa
Cho A, B, C là nhng công thc. Nếu tt c các h chân lí ca các biến m nh đề
mt trong các công thc đó làm cho A, B nhn giá tr chân lí bng 1 cũng làm cho C
nhn giá tr chân lí bng 1 thì ta nói có mt quy tc suy lun t các tiên đề A, B dn
ti h qu lôgic C ca chúng
Ta kí hiu là hoc A, B = C
T nh ngh y r ng đị ĩa ta d dàng th để chng minh là mt quy tc suy lun ta ch
cn l p b ng giá tr chân lí đối vi các công thc A, B, C. Trong đó ch ra rng mi
khi A, B nhn giá tr n giá tr chân lí bng 1 thì C cũng nh chân lí bng 1
Ví d 4.1 :
Chng minh rng ta có quy tc suy lun
Sau v v n d ng quy t ó trong suy luđó nêu ví d minh ho c đ n toán hc
Ta có bng chân lí
Nhìn vào b ng 1 thì p ng trên ta thy mi khi p q và q r nhn giá tr chân lí b
r cũng nhn giá tr chân lí bng 1
Vy ta có quy t n c suy lu
là quy tc suy lun b u c c
Nếu ta chn
“p q” là mnh đề “N u a chia hế ết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
“q r” là mnh sđề “Nếu a chia hết cho 3 thì tng các ch ca nó chia hết
cho 3”
áp dng quy tc suy lu t cho 6 thì tn bc cu ta có: “Nếu a chia hế ng các ch s
ca nó chia hết cho 3”
Hot động
Sinh viên t đọ c các thông tin cơ b n nhà.
Trong lp sinh viên th đ đạ o lun theo nhóm 3, 4 người. Sau ó i din m i nhóm
trình bày k c phân công ; ết qu tho lu i nhn v ng nhim v đượ
Giáo viên t đng kết theo t ng hot động dưới ây :
Hot động 4.1.
Thc hành v n trong suy lu n toán hn dng các quy tc suy lu c
Nhim v
Nhim v 1 : Phát biu nh nghđị ĩa
Quy tc suy lun
Tin cđề a quy tc
H qu lôgic ca quy tc
Nhim v 2 :
Xây dng hai ví d v ch ng minh m t quy tc suy lun và vn d ng quy t c suy
lun ó trong suy luđ n toán hc
Đánh giá
Chng minh các quy tc suy lun 1, 4 - 20
Sau v v n dđó xây dng các ví d ng mi quy tc suy lun đó :
Trong s h c
Trong hình hc
Trong toán cao cp
Ví d 4.2 :
Chng minh rng ta có quy tc suy lun sau :
Nêu ng d ng c a nó trong suy lun toán hc.
Ta có bng giá tr chân lí sau:
T b n ng trên ta suy ra quy tc suy lu
Ta đã biết “nếu a chia hết cho 3 thì t ng các ch s c a nó chia hết cho 3”
S 146 có tng các ch s không chia h ết cho 3 nên s 146 không chia hết cho 3.
Dưới đây là các quy tc suy lun thường n dđược v ng trong suy lun toán hc:
TIU CH ĐỀ 2.5.
Hàm mnh nh đề - M đề tng quát và tn ti
Thông tin cơ bn
5.1 Khái nim v hàm mnh đề
Ta xét các ví d sau :
1. “S t nhiên n chia hết cho 3”
v ph ng di n ngôn ngươ thì đây là mt câu. Nhưng câu này chưa phn ánh tính
đ úng hoc sai m t th c tế khách quan nào, cho nên nó chưa phi là mnh đề. Song
nếu ta thay n bi mt s t ng h n nhiên c th. Ch
Thay n = 45 ta được mnh đề đúng: “45 chia hết cho 3”
thay n = 103 ta được mnh đề sai: “103 chia hết cho 3”
2. “2x + 3 > 17”
Tương t nh , song n trong ví d 1, “2x + 3 > 17” chưa ph i là m đề ếu ta thay x bi
mt s thc c th, chng hn
Thay x = 10 ta có mnh đề đúng “2 . 10 + 3 > 17”
Thay x = 1 ta có mnh đề sai “2 . 1 + 3 > 17”
3. Câu “Ông A là nhà v n “Ông t lí vĩ nh . Nđại” cũng chưa phi là m đề ếu ta ch
A” là
Niu-tơn ta i”. Nđược mnh đề đúng “Niu t n là nhà vơ t lí vĩ đạ ếu ta chn Ông A” là
“T H u” ta được mnh đề sai. “T Hu là nhà vt lí vĩ đại”
4. Câu “T giác ABCD là hình ch nht” ch a phư i là mnh . Nđề ếu ta chn ABCD
là t giác trong hình (a) ta được m c mnh đề sai, hình (b) ta đượ nh úng đề đ
hình v
T các ví d trên ta đi đến nh nghđị ĩa sau:
Nhng câu có ch n thân nó cha các biến mà b ưa phi là mnh nhđề ưng khi thay
các biến ng ph n t nh ( úng đó bi nh xác định thuc tp X thì nó tr thành m đề đ
hoc sai) ta s g i là hàm mnh đề
Tp X gi là min xác định; tp các phn t nh thuc X khi thay vào ta được m đề
đ úng g i là min đúng; thay vào ta được mnh đề sai g i là min sai ca hàm mnh
đó
Ta dùng kí hiu T(n), F(x), G(y), .......... để ch các hàm mnh đề
Chng hn:
Hàm mnh t p đề T(n) = “S nhiên n chia hết cho 3” có min xác định là t
các s t nhiên. Tp các s t nhiên chia hết cho 3 là min úng cđ a T(n). Tp các
s t nhiên không chia hết cho 3 là min sai ca T(n)
Hàm mnh nhđề “T giác ABCD là hình ch t” có min xác định là tp các
hình t p các hình ch giác, min đúng là t nht
5.2. Các phép toán trên hàm mnh đề
Da vào các phép toán trên mnh nh, hđề (ph đị i, tuyn.....) ta xây d ng các phép
toán tương t nh trên các hàm m đề
a) Phép ph đị nh
Cho F(x) là hàm m nh nh c đề xác định trên min X. Ta gi ph đị a hàm mnh đề
F(x) là mt hàm mnh đề, kí hi u là F(x), sao cho đối vi mi a X, F(a) là m nh
đề đị đề ph nh c a mnh F(a)
Chng h n, ph nh c đị a hàm mnh đề
T(n) = “s đề t nhiên n chia hết cho 3” là hàm mnh T(n) = “s t nhiên n
không chia hết cho 3”
F(x) = “2x + 3 > 17” là hàm mnh đề F(x) = “2x + 3 17”
b) Phép hi
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mnh đề xác định trên tp X. Ta gi hi ca hai hàm
mnh nh đề F(x) và G(x) là mt hàm m đề H(x), kí hiu là H(x) = F(x) G(x), xác
đị đề nh trên min X sao cho vi m i a X ta có mnh H(a) là h i c a hai mnh đề
F(a) và G(a)
Chng h n, h nh i ca hai hàm m đề
F(n) = “S t nhiên n chia hết cho 3”
G(n) = “S t nhiên n chia hết cho 5”
là hàm mnh đề
H(n) = “S t nhiên n chia hết cho 3 và 5”
Cũng t ng t nh nh ngh ng ươ ư trên ta đị ĩa các phép tuyn, phép kéo theo và phép tươ
đương trên các hàm mnh đề
5.3. Mnh đề tng quát
Ta đặt vào tr nh ước hàm m đề F(x) = “2x + 3 > 17” cm t “vi mi x R” ta được
mnh đề sai:
“Vi mi x R, 2x + 3 > 17”
Mt cách tng quát, cho T(x) là hàm mnh đề xác định trên min X.Ta gi mnh đề
dng
“Vi mi x X ta có T(x)”
hoc “Vi mi x X, T(x)” là mnh t ng quát (hođề c toàn th, ph biến, ph
cp,...). Kí hiu là
x X, T(x) hoc ( x X) T(x) hoc T(x) x X
Kí hi u g ng t t bi n, ph c i là lượ ng quát (hoc toàn th, ph ế p, ....)
Ví d 5.1 :
n N, n là s nguyên t” là mnh đề sai
n N, 2n là s chn” là mnh úng đề đ
x R, x2 + 1 > 0” là mnh đề đúng
x R, x2 1 = 0” là mnh đề sai
Chú ý
Mnh tđề ng quát trong thc tế được din đạt dưới nhiu hình thc khác nhau.
Chng h n
T t c người Vi t nam đều nói th o tiếng Anh
M đềi người Vit nam u nói tho tiếng Anh
Người Vit nam nào chng nói tho tiếng Anh
Đã là người Vit nam thì ai ch ếng nói th o ti ng Anh
......................................
5.4 Mnh đề tn ti
Ta đặt trước hàm mnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cm t “Tn ti x R sao cho....”
ta được mnh đề úng đ
“Tn ti x R sao cho 2x + 3 > 17”
Mt cách tng quát, cho T(x) là hàm mnh đề xác định trên min X. Ta gi mnh đề
dng “Tn t nh t n ti x X sao cho T(x)” là m đề i. Kí hiu là
x X : T(x) hoc T(x)
Ký hi i là lu g ượng t n t t i
Ví d 5.2 :
“T đề đn ti s t nhiên n sao cho n là s nguyên t ” là mnh úng
“T n ti s th c x sao cho x2 1 = 0” là mnh úng đề đ
“T đền ti s th c x sao cho x2 + 1 = 0” là mnh sai
Chú ý
1. Trong thc tế, m nh t n t n đề i còn được di đạt dưới nhng dng khác nhau,
chng hn:
T n t i ít nh t m t người Vi ết nam nói th o ti ng Anh
Có mt người Vit nam nói tho tiếng Anh
ít ra cũ ng có m t người Vit nam nói tho tiếng Anh
Có nhiu ng i Viườ t nam nói tho tiếng Anh
........................
2. Ta dùng kí hiu “! x X : T(x)” vi nghĩa tn ti duy nht mt x X sao cho
T(x)”
5.5. Ph đị nh c a mnh t n tđề i và tng quát
Ph đị đề nh các mnh t ng quát và t n t i i được thiết lp theo quy tc dướ đây
Ví d 5.3 :
M u i tam giác đề đều là tam giác cân Có mt tam giác đều không phi là tam
giác cân
Người Vi i Vit nam nào chng nói tho tiếng Anh Có ít nht mt ngườ t nam nói
không tho tiếng Anh
Có m đềt s t nhiên chia hết cho 3 M i s t nhiên u chia hết cho 3
Có ít nht m t s th c x là nghim c a phương trình x2 3x 4 = 0 Mi s thc x
đề u không phi là nghi m c a phương trình x2 3x 4 = 0 Phương trình x2 3x 4
= 0 không có nghim thc
Hot động.
Sinh viên t đọ c thông tin ngu n và tài li nhà.Trên l u tham kho p sinh viên tho
lun theo nhóm 2, 3 người để thc hin các nhim v sau nm trong các hot động
5.1 và 5.2. Sau đ đạó i din các nhóm trình bày và giáo viên tng kết
Hot động 5.1: Tìm hiu khái nim hàm mnh đề
Nhim v
Nhim v 1 : Định nghĩa
Hàm mnh đề
Min xác định, mi úng, min đ n sai ca hàm mnh đề
Nhim v 2 :
Xây dng ba ví d v hàm mnh nh, mi n đề. Ch rõ min xác đị đúng và min sai
ca mi hàm mnh ó đề đ
Nhim v 3 :
Định nghĩa phép ph đị nh, phép h i, phép tuyn, phép kéo theo và phép tương
đương gia hai hàm mnh đề
Nhim v 4 :
Xây dng ví d minh ha cho mi phép toán nêu trên
Đánh giá
1. Tìm min đúng c p s ta các hàm mnh đề xác định trên t nhiên
a) a chia hết cho 5
b) a chia cho 5 d 4 ư
c) a là s nguyên t
d) a2 5a + 6 = 0
2. Tìm min đúng ca các hàm mnh đề xác định trên tp các s thc
a, x2 7 < 0
b, 3x2 7x 10 = 0
c, sin2x + cos2x = 1
d, | x 5 | < 6
3. Xây dng hai ví d v
Phép ph nh đị
Phép hi
Phép tuyn
Phép kéo theo
Phép tương ng đươ
Trên các hàm mnh đề
Hot i động 5.2. Tìm hiu mnh đề t tng quát và mnh đề n t
Nhim v
Nhim v 1 : Trình bày khái nim mnh t nh t n tđề ng quát và m đề i
Nhim v 2 : Phát biu quy tc ph đề đnh mnh t ng quát và mnh t n tđề i
Nhim v 3 : Xây dng hai ví d v
Ph đị đề nh mnh t ng quát
Ph đị đề nh mnh t n t i
Đánh giá
1. Hãy din nh đạt các m đề sau bng li :
a) x y R R : x + y2 > 1
b) x y R R : x2 - y2 = 0
c) n N m N : n + m chia hết cho 3
d) n N m N: là phân s t i gin
e) Sau đó hãy lp m nh ph nh ó đề định ca mi m đề đ
2. Hãy ch địng t nhn nh sau là sai “M ng tròn ngoi hình t giác có mt đườ i tiếp
nó”
3. Hãy ch địng t nhn nh sau là sai :
a) Có m nhiên mà mt s t i s chn u nh h n nó đề ơ
b) Mi ng t người đàn ông u có mđề ười i đàn bà là v ca ngườ y
c) Mi tháng đều có ba ngày ch nht là ngày l
TIU CH ĐỀ 2.6. SUY LUN VÀ CHNG MINH
Thông tin cơ bn
6.1. Suy lun
Suy lun là rút ra mt mnh mđề i t m đề đ t hay nhiu mnh ã biết. Nh ng mnh
đề đ đề ã có g i là tin đề, m t mnh nói được rút ra g i là kế t lu n c a suy lun.
Hai ki n) và u suy lun thường gp là: suy lun din dch (hay còn gi là suy di suy
lun nghe có lí (hay suy lun có lí).
a) Suy lun din dch :
Suy lun di n d ch (hay còn gi là suy din) là suy lun theo nhng quy tc suy lut
tng quát (ca lôgíc mnh đề). Trong suy lun din dch, nếu các tin đề đúng thì kết
lun rút ra cũng phi đúng.
Trong lôgíc v t ng quy t nh ng g, ngoài nh c suy lun ca lôgíc m đề ta thườ p và
vn d n dng hai quy tc suy lu ưới đây:
Có nghĩa là :
Nếu P(x) Q(x) đúng vi mi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũ đề đng là mnh úng.
Ví d 6.1 :
M t nhiên có t si s ng các ch chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
S s 432135 có tng các ch chia hết cho 9.
Vy 432135 chia hết cho 9.
Ví d 6.2 :
Nếu t giác là hình thoi thì hai đường chéo ca nó vuông góc vi nhau.
T giác ABCD là hình thoi.
Vy AC BD.
Ví d 6.3 :
Vi mi x R, sin2x + cos2x = 1.
R
Vy
Trong ba ví d nêu trên, các tin u n d n 1, đề đề đúng, ta đã v ng các quy tc suy lu
2 v y các k n c úng. a nêu trên. Vì v ết lu a chúng phi đ
Ví d 6.4 :
672 chia hết cho 3.
672 chia hết cho 4
Vy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví d này, các tin đề u ng quy tđề đúng, ta đã vn d c suy lun:
Ví d 6.5 :
T các tin đề
Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
N s cếu a chia hết cho 3 thì tng các ch a nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kế lun : “N t cho 6 thì tếu a chia hế ng các ch s c a nó chia h t cho 3”. ế
đây các ti đề đền u là nh địng nh lí đã được chng minh trong toán hc. Ta đã
vn d ng quy t n b c suy lu c cu :
b) Suy lun nghe có lí:
Suy lun nghe có lí (hay còn gi là suy lun có lí) là suy lun không theo mt quy
tc suy lun tng quát nào. Nó ch xut phát t nhng tin úng đề đ để rút ra mt kết
lun. Kết lun này có th úng mà cđ ũng có th sai.
Mc du suy lun nghe có lí có hn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rt quang
tr ng trong khoa h c và đời sng : giúp chúng ta t nh ng quan sát c th có th rút
ra nh ng gi thuyết, phán đoán để ri sau đó tìm cách chng minh cht ch gi
thuyết đó. Nó đặt cơ s cho nhiu phát minh trong khoa hc.
Trong toán hc, hai kiu suy lun nghe có lí thường s d ng là :
Phép quy np không hoàn toàn.
Phép t ng t . ươ
Ví d 6.6 :
T các tin đề :
4 + 3 = 3 + 4
15 + 48 = 48 + 15
243 + 358 = 358 + 243
Ta rút ra kết lun: T ng c a hai s t nhiên không thay đổi khi ta thay đổi th t c a
các s hng trong t đng ó.
Đ đề đây là phép quy n p không hoàn toàn. Trong phép suy lu n này, các tin úng và
kết lun rút ra cũng đúng.
Ví d 6.7 :
T n các ti đề:
42 chia hết cho 3
72 chia hết cho 3
132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết lun: Nh ng s có ch s hàng đơn v bng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đ ây là phép quy np không hoàn toàn. Trong phép suy lu n này, xu t phát t nh ng
tin đề đúng mà kết lun rút ra li sai.
Ví d 6.8 :
T ng định lí trong hình hc phng “nếu hai đường thng cùng song song vi đườ
thng th ba thì chúng song song vi nhau”.
Ta đưa ra m t gi t ph thuyết “Hai m ng cùng song song vi mt mt phng th ba
thì chúng song song vi nhau”.
Đ đ đây là phép suy lun tương t . Gi thuyết nêu ra ây là úng.
Ví d 6.9 :
Cũng t định lí nêu trên trong ví d trên ta đưa ra gi thuyết “Hai mt phng cùng
song song vi đường th ng th ba thì song song vi nhau”.
Gi thuyết nêu đây là sai.
6.2. Chng minh
Trong suy lun di n d n ch, t các tin đề A, B ta rút ra kết lun C bng cách v
dng các quy tc suy lun t n d ng này là ng quát. Ta gi phép suy lu suy lun h p
lôgíc. đây chúng ta ch quan tâm đến hình thc hay cu trúc ca suy lun mà
không quan tâm đế n n i dung, ý ngh trong suy luĩa c a các m nh đề n đó.
Trong toán hc, n u các tiế n n u ng đề A, B ca suy lu đề đúng (là nh định nghĩa,
tin hođề c định lí đã được chng minh trước đó) ta rút ra kết lun C thì ta nói C là
mt k t luế n chng minh, còn suy lun đó là mt chng minh.
Vy chng minh m nh t m đề X là vch rõ rng X là kết lun lôgíc ca các tin đề
đúng.
Mi chng minh toán hc bao gm mt s h u h n b ước, trong đó mi bước là mt
suy lu ó ta n di n d ch, trong đ đã vn dng mt quy tc suy lun tng quát.
Trong trường hp chng minh ch gm mt bước thì đ ó chính là m t phép suy lun
din d n úng. ch vi các ti đề đ
Mt phép chng minh gm ba phn:
1. Lu đền là mnh đề ta phi chng minh.
2. Lu n c là nh đề đ đắ đ địng mnh mà tính úng n c a nó ã được khng nh (thường
là các c chđịnh nghĩa, tin hođề c định lí đã đượ ng minh trước đó...) dùng làm tin
đề trong m i bước suy lun.
3. Lun chng là nhng quy tc suy lun t dng quát được s ng trong mi bước
suy lun c ó. a chng minh đ
Như vy ch ng minh t tin n n kđề A d đế ết lun B (A B) là:
Thiết lp m n di n dt dãy các b c suy luướ ch.
Trong m đề ế i bước ta ch rõ tin , k t lun và quy tc suy lu n t ng quát được áp
dng.
Chng hn:
M 6.1- 6.5 là mi suy lun trong các ví d t chng minh (vì các tin đề trong mi
suy lun ng nh ng quy tđều đúng và ta đều áp d c suy lun tng quát ca lôgíc
mnh đề).
Xét các suy lun sau :
T n hai ti đề:
+ Vi mi a, b R, nếu a2 = b2 thì a = b
+ 52 = (5)2
Rút ra kết lun 5 = 5’!
T n hai ti đề :
+ Nếu t s cng các ch a mt s chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+ 125 có tng các ch s chia hết cho 3.
Rút ra kết lun 125 chia hết cho 3.
Trong c hai suy lu n này, rõ ràng k ết lun rút ra đều sai (vì tin 1 c n đề a suy lu
th đề nht và tin 2 c a suy lun th hai đều sai). Vy chúng là suy lun hp lôgíc
nhưng không ph i là m t ch ng minh.
6.3. Các ph ng gương pháp chng minh toán hc thườ p
Có nhiu ph phương pháp chng minh, dưới đây ta trình bày mt s ương pháp
chng minh thông dng nht.
a) Phương pháp chng minh trc tiếp
Cơ s c n b a phương pháp chng minh trc tiếp là quy tc suy lu c cu.
Khi ch ng minh t tin n kđề A đế ết lun B b ng ph ương pháp chng minh trc
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau:
A A1
A1 A2
—————-
An-1 An
An B.
áp dng quy tc suy lun bc cu ta nhn u phđược đi i chng minh.
Ví d 6.10 :
Ta phân tích ch ng minh định lí “Hình bình hành có hai đường chéo ct nhau
trung đim ca mi đường”.
Định lí được tóm tt như sau (Lun đề) :
Gi thiết ABCD là hình bình hành
AC c t BD t i O.
Kết lun OA = OC và OB = OD
Qua phân tích trên đây ta thy:
Gi thiế đị đề t và kết lun c a nh lí là lun c a ch ng minh.
Ch đị đềng minh c a nh lí trên có by bước, trong m i bước u dùng các định nghĩa
hoc định lí đã được chng minh làm lun c d n t ng và ngm s ng mt suy lu
quát làm lun chng.
ph n thông, trong các chng minh toán hc người ta thường b đi nhiu ti đề
trong mi bước suy lun. Vì vy chng minh được thc hin theo sơ đồ thu gn:
A A1 A2 ... An - 1 An B.
Trong phép ch ng minh này (và nhiu phép ch ng minh trc tiếp khác) ta thường
s d ng quy t c suy lun kết lun và suy lun bc cu. Vì vy hai phép suy lun này
có vai trò đặc bit quan trng trong chng minh trc tiếp.
b) Phương pháp ch ng minh phn ch ng
Trong trường hp t n ch n n n k ng ng quát, mu ng minh t ti đề A d đế ết lun B b
phương pháp phn chng ta tiến hành theo s ơ đồ sau:
Gi A s đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)
A ^ C ^
áp d ng quy tc suy lu n
Ta rút ra kết lun A B là đúng.
Đ ưôi khi sơ đồ trên được thu g n nh sau:
Gi A s đ đúng mà B sai (t c úng)
áp d ng quy tc suy lu n:
Ta rút ra kết lun A B là đúng.
Ví d 6.11 :
Ta phân tích chng minh định lí trong hình hc phng “Nếu hai đường thng cùng
vuông góc vi đường th ng th ba thì chúng song song vi nhau”.
Định lí được tóm t t như sau (lu n đề).
Gi s v y t a không song song vi b. Suy ra a ct b ti M. Như M ta k được hai
đường vuông góc vi đường thng C.
Mnh đề này sai, vì nó mâu thun vi mnh úng đề đ đã biết trước “T mt đim
ngoài m ng tht đườ ng ta ch k được m t và ch m t đườ đường vuông góc ti ng
thng đó”.
Vy mnh đề “Hai đường thng cùng vuông góc vi đường thng th ba thì ct
nhau” là sai. u ng t r nh phĐi đó ch ng m đề i chng minh là đúng.
Ví d 6.12 :
Chng minh rng phương trình bc nht:
ax + b = 0 (1)
có không quá mt nghim.
Gi s ph nh ngh ương trình (1) có hai nghim phân bit x1 và x2. Theo đị ĩa ta có:
ax1 + b = 0
ax2 + b = 0
áp dng tính cht bc cu ta có:
ax1 + b = ax1 + b
áp d ng ta có: ng lut gim ước đối vi phép c
ax1 = ax2, a 0
áp dng lut gim ước đối vi phép nhân ta có:
x1 = x2
Như vy x1 v a khác li va bng x2. Điu này trái vi lut mâu thun. Vy ta có
đ iu phi ch ng minh.
c) Phương pháp chng minh quy np hoàn toàn.
Gi s t p h u h n X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mnh đề xác định trong t p X.
Ta phi chng minh mnh đề:
x X, T(x)
đúng b rng phương pháp quy np hoàn toàn. Ta cn chng t ng T(a1), T(a2), ...
, T(an) đều là nh đề đ đng mnh úng. T ó kết lun mnh đề trên là đúng.
đây ta áp d ng quy t c suy lun tng quát:
Ví d 6.13 :
Chng minh rng tích ca năm s t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
Gi s t d n là s nhiên và T = n (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4). Gi D là tp các s ư
ca phép chia n cho 5. Vy D = {0, 1, 2, 3, 4}
N u s d bế ư ng 0 thì n 5. Suy ra T 5
N u s d bế ư ng 1 thì (n + 4) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ư ng 2 thì (n + 3) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ư ng 3 thì (n + 2) 5. Suy ra T 5
N u s d bế ư ng 4 thì (n + 1) 5. Suy ra T 5
Vy T chia hết cho 5 vi mi s t nhiên.
d) Phương pháp chng minh quy np toán hc
Để ch đng minh tính cht T(n) úng vi m i s t nhiên n (ho c vi m i s t nhiên
n n0) tc là phi ch đề ng minh mnh t ng quát.
n N, T(n) (hoc n n0, T(n)) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chng minh G (T(0)) = 1 (ho c G (T(n0) = 1) hay tính ch t T(n) đúng vi n
= 0 ( hoc n = n0).
Bước 2: Gi đ s G (T(k)) = 1 hay tính cht T(n) úng vi n = k. Ta ch ng minh G
(T(k + 1) = 1) hay tính cht T(n) cũng đúng vi n = k + 1.
T úng vđó ta rút ra kết lun: tính cht T(n) đ i m i s t nhiên n (ho c vi m i s
t nhiên n n0) hay
n N, T(n) (hoc n nh n0, T(n)) là m đề đúng
Cơ s n t lôgíc ca phương pháp chng minh này là quy tc suy lu ng quát sau:
Ví d 6.14 :
Vy công thc trên đúng vi n = k + 1
T úng vđó suy ra công thc trên đ i mi n 2
Ví d 6.15 :
Cho n đim trong mt ph i khi nng (n 2). H đ đ i n im ó vi nhau ta s được bao
nhiêu đon thng?
Ta ch đng minh s on thng ó vđếm được khi ni n đim đ i nhau là:
V oi n = 2 ni hai đim cho trước ta được mt đ n thng. Ta có:
Vy công thc trên đúng vi n = 2.
Gi s công thc trên đúng vi n = k. Tc là khi ni k đim cho trước trong mt
phng ta được
đon thng.
Gi s trong mt phng cho trước k + 1 đim, khi ni k đi m đầu vi nhau (theo gi
thiết phn trên) ta được:
c thêm k + 1 đon thng. Bây gi ta ni đim th k + 1 vi k đim còn li ta đượ
đ đ đế đ đo n th ng n a. Vy s o n th ng m được khi n i k + 1 im ó vi nhau là:
Vy công thc trên đúng vi n = k + 1.
T đó suy ra: Nếu cho trước n đim phân bit trong mt phng thì ni chúng vi
nhau ta s được: đo n th ng.
Hot động
Sinh viên t đọ c tài liu và thông tin ngun nhà. Trên lp nghe giáo viên ging để
thc hin các nhim v nêu trong các hot động 6.1 và 6.2:
Hot động 6.1. Tìm hiu các phép suy lun.
Nhim v
Nhim v 1 : Trình bày các khái nim
Suy lun.
Suy lun di n d ch.
Suy lun nghe có lí (phép quy np và phép tương t).
Nhim v 2 : Xây dng ví d v suy lun di n d ch trong
S h c
Hình hc
Đại s
Trong mi suy lun hãy chđã v n d ng nh ng quy t n tc suy lu ng quát nào
Nhim v 3: Xây dng hai ví d v suy lun quy np không hoàn toàn
Trong đ đề đ ũ đó các tin đề u úng mà kết lun rút ra c ng úng.
Trong đ đề đ ó các tin đề trên u úng mà kết lun rút ra l i sai.
Nhim v 4 : Xây dng hai ví d v suy lun tương t , trong đó
M úng. t gi thuyết đ
M úng. t gi thuyết không đ
Đánh giá
1. ng, n n d n quy Đin d vào ô tr ếu là suy lun di ch; q vào ô trng nếu là suy lu
np và vào ô trng, n n t ng t . ếu là suy lu ươ
a) Vi m i s t nhiên a, b, c ta có:
a x (b + c) = a x b + a x c
áp dng:
4 x (25 + 15) = 4 x 25 + 4 x 15
b) Ta có:
Vy a x (b + c) = a x b + a x c
c) T h thc cos2 x + sin2 x = 1 ta đưa ra gi thuyết “tg2 x + cotg2 x = 1”
d) T đị nh lí trong hình hc phng “Hai đường thng cùng vuông góc vi đường
thng th ba thì song song vi nhau ta đưa ra gi thuyết trong hình hc không gian.
“Hai đường thng trong không gian vuông góc vi đường th ng th ba thì chúng
song song vi nhau”
2. Xây dng ba ví d v suy lun di n dch trong s h c. Ch rõ nhng quy tc suy
lun t n d ng trong suy lu n ó. ng quát đã v đ
3. C ng hũ i như bài 2 trong hình hc.
4. C ng h . ũ i như bài 2 trong đại s
5. Xây dng hai ví d t ví d v suy lun quy np trong s h c (m vi các tin đề
đ ũ đ úng và kế t lu n rút ra c ng úng, m t ví d v i các tin đề đúng mà kết lun rút ra
li sai).
6. C ng hũ i như bài 5 trong hình hc.
7. C ng h . ũ i như bài 5 trong đại s
8. Xây dng hai phép suy lun tương t (mt phép đưa ra gi thuyết đúng và mt
phép đưa ra gi thuyết sai).
Hot động 6.2. Tìm hiu các phép chng minh.
Nhim v
Nhim v 1 : Trình bày:
Khái nim v ch ng minh toán h c.
Phân bi ng minh. t gia suy lun và ch
Nhim v 2 :
Xác định cu trúc ca mt chng minh toán hc. Xây d ng m t ví d v chng
minh ó. để làm rõ cu trúc nêu trên trong chng minh đ
Nhim v 3 : Tìm hiu phương pháp chng minh trc tiếp:
Nêu cơ s c p. a phương pháp chng minh trc tiế
Phân tích sơ c p. đồ a phương pháp chng minh trc tiế
Xây d ng ví d v phương pháp ch ng minh tr c tiếp trong: s h c, hình h c và
đạ i s .
Nhim v 4 : Tìm hiu phép ch ng minh phn ch ng.
Nêu c a lôgíc c a phép ch ng minh phn ch ng.
Trình bày s ng pháp chơ n mđồ thc hi t phươ ng minh bng ph ng. n ch
Xây d ng ví d v phương pháp ch ng minh phn ch ng trong s h c, hình h c và
đạ i s .
Nhim v 5 : Tìm hiu phương pháp chng minh quy np hoàn toàn.
Nêu cơ s c p hoàn toàn. a phép chng minh quy n
Trình bày phương pháp ch đề ng minh m t lun bng phép ch ng minh quy np
hoàn toàn.
Xây d ng ví d v phép ch ng minh quy np hoàn toàn.
Nhim v 6 : Tìm hiu phương pháp chng minh quy np toán hc:
Nêu c a lôgíc c a phương pháp ch ng minh quy np toán h c.
Nêu các bước ch ng minh bng quy np toán h c.
Xây d ng ví d v ch ng minh bng quy np toán h c trong s h c và hình h c.
Đánh giá
1. Hãy phân tích cu trúc ca ch địng minh nh lí sau trong sách giáo khoa toán 9
“S đ o c a góc ni tiếp bng na s đ o c a cung b chn”.
Cho biết ch c lo đng minh ó thu i nào?
2. Chng minh rng tích ca ba s t nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Cho biết ch c long minh trên thu i nào?
3. Xây dng ba ví d v chng minh quy np toán hc trong s h c, đại s.
4. Ch ng minh rng m i phép chia các s t nhiên có không quá m t thương.
Cho biết ch c long minh thu i nào?
TIU CH ĐỀ 2.7.
SUY LUN VÀ CHNG MINH TRONG DY HC TOÁN
TIU HC
Thông tin cơ bn
7.1. Suy lun và chng minh trong dy h c m ch s hc
Trong dy h u hc mch s hc ti c ta vn d ng các phép suy lu n quy n p (hoàn
toàn và không hoàn toàn), suy din và phép tương t . D ưới đây ta trình bày các phép
suy lun này.
7.1.1. Suy lun quy np :
Suy lun quy n p d được s ng thường xuyên và rng rãi trong quá trình dy hình
thành các tính cht, quy t n phép tính, các dc thc hành b u hiu chia hết và trong
gii toán s hc
Ví d 7.1 :
Khi d a biy tính cht giao hoán ca phép c ng, thông qua ví d so sánh giá tr c u
thc a + b và b + a trong bng sau
T b cng trên hc sinh rút ra nhn xét “giá tr a a + b và b + a luôn bng nhau”
Ri rút ra tính cht giao hoán ca phép cng: khi đổi ch các s hng trong m t t ng
thì t đng ó không thay đổi
a + b = b + a
Quá trình phân tích t đểng hp rút ra kết lun trên đây ta vn dng phép suy lun
quy n n p không hoàn toàn mà trong đó ti đề là các ví d trong bng còn kết lun là
tính cht giao hoán nêu trên
Tương t nh trên, suy lu n quy l ng n d ng d y quy t ư p cũ được v để c nhân mt
s vi mt tng
Ví d 7.2 :
Thông qua ví d so sánh giá tr c c a x (b + c) và a x b và a x c trong b ng a biu th
sau
hc sinh rút ra nhn xét “giá tr ca a x (b + c) và a x b + a x c luôn bng nhau” ri
rút ra quy tc nhân mt s i m v t t ng: Khi nhân m t s vi m t t ng, ta có th
nhân s đ ó vi t i c ng s hng c a tng r ếng k t qu li a x (b + c) = a x b + a x
c
Ví d 7.3 :
Khi dy quy t tc so sánh các s nhiên trong phm vi 10000 (xem [ ])
a) Thông qua các ví d
999 < 1000
10000 > 9999
cho hc sinh nhn xét ri rút ra quy tc
Trong hai s t nhiên
S s h n nào ít ch ơn thì bé hơ
S nào nhiu ch s h n h n ơn thì l ơ
b) Thông qua các ví d
9000 > 8999
6579 < 6580
cho hc sinh nhn xét ri rút ra quy tc
N s ng c s t ếu hai s có cùng s ch thì so sánh t p ch cùng mt hàng, k
trái sang phi, s đầ nào có ch s u tiên ln h n h n. ơn thì l ơ
c) Thông qua các ví d:
2345 = 2345
469 = 469
cho hc sinh phân tích ri rút ra kết lun:
N s ng c s u giếu hai s có cùng s ch và t p ch cùng mt hàng đề ng nhau
thì hai s đ ó bng nhau
Trong m p không hoàn toàn, i bước trên đây, chúng ta đã vn d n quy nng suy lu
trong đó tin đề là các ví d được xét và kết lun là quy tc so sánh được rút ra
Ví d 7.4 :
Khi d n ch a biy quy tc tìm thành ph ư ết ca phép c ng (xem [ ]): Cho h c sinh
quan sát hình v r i đin s vào ch chm trong các phép tính sau
6 + 4 = ............ x + 4 = 10 6 + x = 1
6 = 10 ........ x = 10 ........... x = 10 ...................
4 = 10 ........ x = ................ x = .........................
T các ví d trên rút ra nhn xét:
Mu đ n tìm s hng th nh t, ta l y t ng tr i s hng th hai
Mu đ n tìm s hng th hai, ta ly t ng tr i s hng th nht
T hai nhn xét trên, hướng d n h h c sinh rút ra quy tc: Mun tìm s ng chưa
biết, ta ly tng tr hđi s ng kia
Quy trình suy lun trên ng phép quy nđây ta đã vn d p không hoàn toàn, trong ó đ
tin đề là các ví d được xét và kết lun là quy tc nêu trên.
Ví d 7.5 :
Khi dy d u hi u chia hết cho 5, ta tiến hành như sau (xem [ ])
a) Trong bng chia cho 5, các s b chia đều chia hết cho 5.
Đó là: 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Các s này có tn cùng bng 0 hoc 5
b) Ly b y s t kì s nào có tn cùng bng 0 hoc 5 ta th đó chia hết cho 5
Ví d: 1990 : 5 = 390 ; 1995 : 5 = 399
c) Vy: Các s có tn cùng bng 0 hoc 5 thì chia hết cho 5
đây tin đề là các ví d xét mc a và b và kế t lu n là d u hi u chia hết cho 5
Phép suy lun quy np còn gp trong quá trình gii toán s h c. Chng hn:
Ví d 7.6 :
Viết tiếp hai s hng c a dãy s sau:
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8.......................
Ta nhn xét
S h ng th ba là 3 = 1 + 2
S h t ng th ư là 5 = 2 + 3
S h n ng th ăm là 8 = 3 + 5
Vy quy lut ca dãy s t s hđã cho là: K ng th ba, mi s hng bng t ng c a
hai s đứ hng ng lin trước nó
áp dng quy lut trên ta có:
S h ng th sáu là: 5 + 8 = 13
S h b ng th y là: 8 + 13 = 21
Vy dãy s cn tìm là: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21
đây ta đã dùng quy np không hoàn toàn để tìm ra quy lut ca dãy s (vi tin đề
là các nhn xét phân tích trên)
Ví d 7.7 :
Thay a bi ch s thích hp nh tđể n được s nhiên chia hết cho 3
Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3. B ng pháp thng phươ
chn ta tìm được a = 0 ; 3 ; 6 ; 9
Vy các s cn tìm là 270 ; 273 ; 276 và 279
Trong ví d này ta đã dùng phép quy np hoàn toàn để tìm ra các giá tr thích hp
ca a
7.1.2. Suy din
Phép suy din được s d ng trong các tiết luyn tp: vn dng mt quy tc ã c đ đượ
thiết lp p để gii bài t
Cu trúc ca các phép suy lun đây thường là:
Tin đề 1 : Là quy tc hoc tính cht,.... đã được thiết lp
Tin 2 :đề M t tình hu ng c p v th phù h i quy tc trên
Kết lun : Vn d ng quy t ng c c trên để x lí tình hu a bài toán
Ví d 7.8 :
Tính giá tr n nh biu thc bng cách thun ti t
47 x 234 + 234 x 53
= 234 x 47 + 234 x 53
= 234 x (47 + 53)
= 234 x 100 = 23400
đây ta đã hai ln áp dng phép suy din:
V n d a phép nhân ng tính cht giao hoán c
V n d ng quy t v ng c nhân mt s i mt t
Ví d 7.9 :
Tìm x
x : 25 + 12 = 60
x : 25 = 60 - 12
x : 25 = 48
x = 48 x 25
x = 1200
đây ta đã hai ln áp dng phép suy din :
V n d ng quy t h ng c tìm mt s ng trong phép c
V n d ng quy t b c tìm s chia
Ví d 7.10 :
Khoanh tròn vào ch đặ t trước s chia hết cho 5
A. 13450
B. 13408
C. 7945
D. 7954
đây ta v ến dng phép suy di n, trong đó ti n đề là d u hiu chia h t cho 5 và tin
đề đề 2 là m i s trong bài
7.1.3. Phép tương t
Phép t ng t d y h h ng hươ được s ng thường xuyên trong d c mch s c. Ch n:
T quy t s ng t ng quy t c cng các s có hai ch , dùng phép tươ ta xây d c cng
các s có ba, bn và nhiu ch s
Cũng t ng t ươ đối vi các phép tính
T quy t s ng t c so sánh các s có bn ch , dùng phép tươ ta xây dng quy tc so
sánh các s có nhiu ch s
T quy t h ng t c tìm s ng trong phép cng, dùng phép tươ ta xây dng quy tc
tìm tha s trong phép nhân
7.2. Suy lun và chng minh trong dy h c m ch yếu t hình hc
Cũng t ng t h y hươ mch s c, trong d c các yế u t hình hc ta thường v n d ng
các phép suy lun quy n ng p (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy din và phép tươ
t. Dưới đây ta trình bày các phép suy lun này
7.2.1. Suy lun quy np
Suy lun quy n p d ng r được s ng rãi trong quá trình dy hc xây dnh công thc
tính chu vi, din tích và th tích các hình tiu hc. Trong gii toán có ni dung
hình hc đôi khi ta cũ ng s d p ng phép quy n
Ví d 7.11 :
Khi d ng công thy xây d c tính chu vi hình ch nht, thông qua bài toán “Tính chu
vi hình ch nht ABCD có chiu dài 4dm và chi u r ng 3dm. Bng cách quan sát
trên hình v và mt s phép biến c sinh tính đổi, h được chu vi hình ch nht là (4 +
3) x 2 = 14 (dm)
T u đó rút ra quy tc: Mun tính chu vi hình ch nht, ta ly chiu dài cng vi chi
rng ri nhân 2”
P = (a + b) x 2
đây ta s dng phép quy np không hoàn toàn
Tin 1 :đề Hình ch nh ng 4dm và chit có chiu dài b u rng 3dm thì có chu vi
bng (4 + 3) x 2 (= 14dm)
K n:ết lu Hình ch nh t có chi u dài a và chi u r ng b có chu vi là (a + b) x 2
Ví d 7.12 :
Khi d ng công thy xây d c tính din tích hình ch nht, thông qua bài toán “Tính
din tích hình ch nh u r t ABCD có chiu dài 4 cm và chi ng 3cm”.
Bng cách quan sát và phân tích trên hình v, hc sinh tính được din tích ca hình
ch nht bng 12cm2. T nhn xét 12 = 4 x 3
T nhđó rút ra quy tc: “Mun tính din tích hình ch t, ta ly chiu dài nhân vi
chiu r n v ng (vi cùng mt đơ đo)
S = a x b
đây ta s dng phép quy np không hoàn toàn
Tin 1 :đề Hình ch nh u rt có chiu dài 4 cm và chi ng 3cm thì có din tích bng:
4 x 3 (= 12 cm2)
Kết lun : Hình ch nht có chiu dài a và chiu rng b thì có din tích là a x b
Ví d 7.13 :
Cho 9 đim phân bit. Khi ni t t c các đi m vi nhau ta đượ đc bao nhiêu o n
thng ?
Ta nhn xét :
Khi có 2 đ đim, n i li ta s được 1 on thng :
1 = 0 + 1
Khi có 3 đ đim, n i l i ta s được 3 o n th ng :
2 = 0 + 1 + 2
Khi có 4 đ đim, n i l i ta s được 6 o n th ng :
6 = 0 + 1 + 2 + 3
V oy khi có n đim, ni li ta s được s đ n thng là :
s = 0 + 1 + 2 +... +(n – 1)
s = nx(n – 1) : 2.
áp dng : Khi có 9 đim, ni li ta s được s đ o n thng là:
9x(9 – 1) ; 2 = 36 (đon thng)
Nhn xét. n s d n quy nđây ta đã hai l ng phép suy lu p không hoàn toàn :
Lân th đ nh ế t ta rút ra được k t lu n khi có n i m, n i li ta được s đ o n thng là 0
+ 1 + 2 + ... + (n – 1);
Ln th hai ta rút ra được tng trên bng nx( n – 1 ) : 2.
7.2.2. Suy din
Suy din d ng r ng h n được s ng rãi trong quá trình gii các bài tp hình hc. Ch
khi gii toán v tính chu vi và din tích, th tích các hình.
Ví d 7.14 : (Bài 2, trang 87 SGK Toán 3)
Mt mnh đất hình ch nht có chiu dài 35m, chiu r nh ng 20m. Tính chu vi m
đấ đt ó.
Gii : Chu vi mnh đất đó là
(35 + 20) x 2 = 110(m)
Đáp s : 110m
đây ta đã dùng phép suy din :
Tin đề 1 : Hình ch nh u r ng b ng t có chiu dài bng a, chi ng b thì có chu vi b
(a = b) x 2.
Tin đề 2 : Mnh nh ng 35m, chi u r ng bđất hình ch t có chiu dài b ng 20m.
Kết lun : Chu vi c đấ đa mnh t ó bng (35 + 20) x 2(m).
Hot động
Sinh viên ôn l 2.6, t u i tiu ch đề đọc SGK toán lp 3, 4, 5 và thông tin ngun ti
ch đề để 2.7 thc hin các nhim v nêu trong các hot i động dướ đây :
Hot động 7.1.
Tìm hiu các phép suy lun trong d y h c s h c tiu hc
Nhim v
Nhim v 1 : Nêu các phép suy lun thường dùng trong dy h h u hc s c ti c.
Nhim v 2 :
Xây dng 2 ví d minh ho v v n d n t ng t ng suy lun quy np, suy lu ươ và suy
din trong mi trường hp sau :
D y h c các quy tc thc hành 4 phép tính ;
D y h t c quy tc so sánh các s nhiên ;
Tính giá tr . biu thc s
Hot động 7.2. Tìm hiu các phép suy lun trong dy hc hình hc
tiu hc.
Nhim v
Nhim v 1 :
Nêu các phép suy lu ng dùng trong dn thườ y h u hc hình hc ti c.
Nhim v 2 :
Xây dng 2 ví d minh ho v v n d n t ng t ng suy lun quy np, suy lu ươ và suy
din trong mi trường hp sau :
Trong dy hc hình thành các công thc tính chu vi ca các hình ;
D y h c hình thành công thc tính din tích các hình ;
D y h c hình thành công thc tính th tích các hình ;
D y gi i toán có ni dung hình hc.
Thông tin phn hi
Tiu ch đề 2.1. Mnh đề và các phép lôgíc
Hot động 1.1
1. b ; c ; f ; h
2. a, 1 b, 1 c, 0
3. a, s b, s
Hot động 1.2
1. a, 5 x 7 35 (s)
b, 24 chia hết cho 5 (đ)
c, Hình vuông không có b n cnh b ng nhau (s)
d, Tri không mưa
e, An không cao hơn Th
f, 40 30 (đ)
2. a, “15 nh n 20” ( hơ đ)
“15 ln h n hoơ c bng 20” (s)
“15 nh hơn 20” (đ)
“15 nh hơn 20” (đ)
b, “Hình bình hành có hai đường chéo ct nhau trung đim ca mi đường”
(đ)
Tương t câu a
Hot động 1.3
1. a, 5 ln h ng nh h n 10 ơn 3 như ơ
b, 5 không l n h n 3 nh ng nh h n 10 ơ ư ơ
c, d tương t
b, ; c, tương t
Hot động 1.6
1. a, Đ b, S c, Đ d, S
e, Đ f, S
2. a, “S t nhiên a có tng các ch s chia hết cho 3 khi và ch khi nó chia hết
cho 3”
b, “S t nhiên a có tng các ch s chia hết cho 3 khi và ch khi nó không
chia hết cho 3”
c , d tương t
3. G (b a) = 0 G (a) = 0 và G(b) = 0
4. G (a b) = G (a b) = 0 và G (a b) = G (b a) = 1
Tiu ch đề 2.2. Các bài toán v suy lun đơn gin
Hot động 2.1
Xem bài 1 n bài 15 (trang 91 đế đến trang 97 - trong sách suy lun lôgíc)
Hot động 2.2
Xem bài 16 đến 41 (trang 97 đến trang 102 - suy lun lôgíc)
Hot động 2.3
Xem bài 42 đến 52 trang 102 đến 104
Hot động 2.4
Xem bài 53 đến 70 trang 105 đến 107
2. a, a b b, a b
c, a b d, a b
e, a b
3. T ng t ươ
4. T p c nh giác ABCD có các c đối song song và bng nhau, có hai đường chéo
ct nhau trung đim ca mi đường, có hai góc k bù nhau và hai góc đối din
bng nhau
a, Mnh úng đề đ
b, Mnh đề sai
Hot động 1.4
1. a, Đ b, Đ c, S d, S
2. a, 44 chia hết cho 2 ho c 3 ( Đ)
b, 44 chia hết cho 2 hoc không chia hết cho 3 (Đ)
c, d, e, b, g tương t
Hot động 1.5
1. a, Đ b, Đ c, S d, Đ e, Đ
2. a, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó chia hết chia hết cho 2 và 3 (Đ)
b, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho 2 ho c 3 (S)
c, d, e, f, g, h t ng t ươ
3. a, G (a) = G (b) = 1 hoc G (a) = 0, G (b) = 1
Tiu ch đề 2.3. Công thc
Hot động 3.1
1. Xem bài ging
2. a, Đ b, S c, S
Hot động 3.2
1. a, Đ b, S
c, d, e, f, g t ng t ươ
2. a, (p q p q) q q
b, (p q) (p p) p p
c, (p q) (p q) p q
Hot động 3.3
1. a, + Nếu mt s chia hết cho 5 thì nó chia hết cho 15 (S)
+ Nếu mt s không chia h t cho 5 (S) ết cho 15 thì nó không chia hế
+ Nếu mt s không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
b, + Nếu mt s chia hết cho 3 và 5 thì nó chia hết cho 15 (Đ)
+ Nếu mt s không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 3 hoc 5
(Đ)
+ Nếu mt s không chia hết cho 3 hoc 5 thì nó không chia hết cho 15
(Đ)
Ta din nh n c đạt m đề trên dưới dng ki n và đủ
M ết s chia hết cho 15 khi và ch khi nó chia h t cho 3 và 5
Để m đ đủ ết s chia hết cho 15, iu ki n cn và là nó chia h t cho 3 và 5
Đ đủ để ếiu kin c n và m t s chia hết cho 15 là nó chia h t cho 3 và 5
c, d tương t
3. a, Nếu mt t giác là hình ch nht thì hai đường chéo ca nó bng nhau
b, Tương t
Hot động 3.4
1. G ó i ý: lp bng giá tr chân lí ca mi công thc đ
Tiu ch đề 2.4. Quy tc suy lun
Hot động 4.1
Xem ví d 4.1 và 4.2
Tiu ch đề 2.5. Hàm mnh nh nh đề - m đề t ng quát và m
đề tn ti
Hot động 5.1
1. a, Min nh đúng ca hàm m đề này là tp các s t nhiên có ch s hàng
đơn v bng 0 hoc 5
b, Min nh t sđúng ca hàm m đề này là tp các s nhiên có ch hàng
đơn v bng 4 hoc 9
c, d tương t
2. a, MĐ = (- ; )
b, MĐ = -1 ;
c, MĐ = R
d, MĐ = (-1 ; 11)
Hot động 5.2
1. a, Tn ti s i m thc x sao cho v i s th c y ta có:
x + y2 > 1
Mnh ph đề định: Vi mi s thc x tn ti s thc y sao cho x + y2 1
b, c, d tương t
2. Chng h n hình bình hành
3. a, Ta ch ra mnh ph t n tđề định: Mi s nhiên t i mt s chn l n h ơn
Tht v i sy, v t nhiên ta chn 2n là s chn l n h n nó ơ
b,c tương t
Tiu ch đề 2.6. Suy lun và chng minh
Hot động 6.1
1 a, d b, q c, d,
Hot động 6.2
1. Gi ý: xem ví d 6.10
2. Xem ví d 6.13
4. Xem ví d 6.12
| 1/202

Preview text:

NGUYN TIN TRUNG GIÁO TRÌNH
Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp Và Logic Toán
Ebook.moet.gov.vn, 2008
Chu trách nhim xut bn:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO Tổng biên tập LÊ A
Biên tp ni dung: NGUYỄN TIẾN TRUNG
Thiết kế sách và Biên tp mĩ thut: VIỆT QUANG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG
LI NÓI ĐẦU
Để góp phần đổi mới công tác đào tạo và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự
án phát triển giáo viên tiểu học đã tổ chức biên soạn các môđun đào tạo và
bồi dửỡng giáo viên theo chửơng trình Cao đẳng Sử phạm và chửơng trình
liên thông từ Trung học Sử phạm lên Cao đẳng Sử phạm. Việc biên soạn
các môđun nhằm nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật
những đổi mới về nội dung, phửơng pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết
quả giáo dục tiểu học theo chửơng trình, SGK tiểu học mới
Điểm mới của tài liệu viết theo môđun là việc thiết kế các hoạt động, nhằm
tích cực hoá các hoạt động của ngửời học, kích thích óc sáng tạo và khả
năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả học tập của ngửời
học; chú trọng sử dụng nhiều phửơng tiện truyền đạt khác nhau (tài liệu in,
băng hình,...) giúp cho ngửời học ễ d học, ễ
d hiểu và gây đửợc hứng thú học tập.
Môđun Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgic toán do nhóm tác giả trửờng Đại
học Sử phạm Hà Nội biên soạn.
Môđun Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgic toán có thời lửợng bằng 2 đơn vị
học trình, bao gồm 2 chủ đề:
Chủ đề 1: Cơ sở của lí thuyết tập hợp
Chủ đề 2: Cơ sở của lôgic toán
Lần đầu tiên, tài liệu đửợc biên soạn theo chửơng trình và phửơng pháp
mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Ban điều phối
Dự án rất mong nhận đửợc những ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc,
đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên các trửờng Sử phạm, giáo viên tiểu học trong cả nửớc. Xin trân trọng cảm ơn!
DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC
CH ĐỀ 1
Cơ s lí thuyết tp hp I.Mc tiêu
Kiến thức : Người học
− Hiểu các khái niệm về tập hợp, quan hệ, ánh xạ và biết xây dựng các ví
dụ minh hoạ cho mỗi khái niệm đó.
− Nắm được định nghĩa của các phép toán trên tập hợp và ánh xạ. Phát biểu
và chứng minh các tính chất của chúng Kỹ năng :
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng
− Thiết lập các phép toán trên tập hợp và ánh ạ x
− Vận dụng các kiến thức về tập hợp và ánh ạ x trong toán học
− Các quan hệ tương đương và thứ tự Thái độ:
− Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí tập hợp toán dạy và học toán
II. Gii thiu ch đề : STT
Tên tiu ch đề Trang 1 Tập hợp 2
Các phép toán trên tập hợp 3 Quan hệ 4 Quan hệ tương đương 5 Quan hệ thứ tự 6 Ánh xạ 7
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược 8
ảnh và tạo ảnh qua một ánh xạ
III. Điu kin cn thiết để thc hin môđun Kiến thức:
Nắm được kiến thức toán học trong chương trình toán PTTH Đồ dùng dạy học:
Một số thiết bị sử dụng trong khi ổ
t chức các hoạt động dạy học: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, bảng phoóc mi ca... Tài liệu tham khảo:
Các tài liệu trong thư mục của giáo trình
IV. Ni dung (Xem các tiu ch đề 1.1 – 1.8) Form at t ed: Heading02
Tài liu tham kho Form at t ed: Heading01
[1] Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài: Số học và lôgíc toán – NXB Giáo dục – 1996.
[2]Trần Diên Hiển : Các bài toán về suy luận lôgíc – NXB Giáo dục – 2001.
[3] Trần Diên Hiển : Lôgíc giải trí – NXB Khoa học và kĩ thuật – 1993.
[4] Đỗ Đình Hoan và tập t ể
h tác giả : Toán 1 – NXB giáo dục – 2004.
[5] Đỗ Đình Hoan và tập t ể h tác g ả
i : Toán 2 – NXB Giáo dục – 2004.
[6] Đỗ Đình Hoan và tập t ể
h tác giả : Toán 3 – NXB Giáo dục – 2004
[7] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 4 – NXB Giáo dục – 2005.
[8] Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả : Toán 5 – NXB Giáo dục – 2004.
[9] Xavier Roegiers : Guide Mathématique de base Pari – 1993.
TIU CH ĐỀ 1.1. TP HP
Thông tin cơ bn
1. Khái niệm tập hợp − Tập con − các tập hợp bằng nhau 1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học. Khái niệm tập
hợp không được định nghĩa mà chỉ được mô tả qua các ví dụ: Tập hợp các
học sinh của một lớp học, tập hợp các cầu thủ của một đội bóng, tập hợp
các cuốn sách trên một giá sách, tập hợp các số tự nhiên,...
Mụn toán học nghiên cứu các tính chất chung của tập hợp, không phụ thuộc
vào tính chất của các đối tượng cấu thành nên tập hợp được xem là cơ sở
của Toán học hiện đại, và được gọi là lí thuyết tập hợp. Khác với nhiều
ngành Toán học khác mà sự phát triển là kết q ả
u có được từ những cố gắng
không mệt mỏi của nhiều tài năng toán học, cuộc đấu tranh với “vô cực” và
tiếp theo đó, sự sáng tạo nên lí thuyết tập hợp là công trình của chỉ một
người: Gioócgiơ − Căngtơ (Georg Cantor 1845 − 1918), nhà toán học Đức gốc Do Thái.
Các đối tượng cấu thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp
đó. Người ta thường kí hiệu các tập hợp bởi các chữ A, B, C, X, Y, Z,... và
các phần tử của tập hợp bởi các chữ a, b, c, x, y, z, ...
Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a A (đọc là a thuộc tập hợp A).
Nếu a không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta v ế i t a A (đọc là a
không thuộc tập hợp A).
Có hai cách xác định một tập hợp:
z Cách thứ nhất là liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. ậ T p hợp A gồm
bốn số tự nhiên 1, 3, 5, 7 được viết là: A = {1, 3, 5, 7}.
Tập hợp B gồm ba phần tử là các chữ a, b, c được viết là: B = {a, b, c}.
z Cách thứ hai là nêu lên một tính chất chung của các phần tử của tập hợp,
nhờ đó có thể nhận biết được các phần tử của tập hợp và các đối tượng
không phải là những phần tử của nó. Chẳng hạn, Ví dụ 1.1 :
Cho tập hợp C các ước số của 8. Khi đó, các số 1, 2, 4, 8 là n ữ h ng phần tử
của C, còn các số 3, 5, 6, 13 không phải là những phần tử của C. Người ta thường viết:
C = {x : x là ước số của 8},
đọc là C là tập hợp các phần tử x sao cho x là ước số của 8 : x biểu thị mỗi
phần tử của tập hợp C. Ví dụ 1.2 :
Nếu D là tập hợp các nước thuộc châu á thì Việt Nam, Trung Quốc, Lào là
những phần tử của tập hợp D, còn Pháp, Angiêri, Canađa không phải là
những phần tử của D. Ta viết:
D = {x : x là nước thuộc châu á}
Người ta thường biểu thị tập hợp A bởi một đường cong kín gọi là lược đồ ven (Venn). Hình 1
Nếu chẳng hạn tập hợp Acó 4 phần tử a, b, c, d thì trên lược đồ đó mỗi phần tử đã đư c
ợ biểu diễn bởi một điểm nằm trong đư n ờ g cong kín.
Các điểm e và f biểu diễn những đối tượng không phải là phần tử của tập hợp A.
Các tập hợp trong các ví dụ đã nêu chỉ có một số hữu hạn phần tử. Ta gọi
chúng là những tập hợp hữu hạn.
Tập hợp có vô số phần tử được gọi là tập hợp vô hạn.
Chẳng hạn, tập hợp các hình chữ nhật có các kích thước tuỳ ý là một tập
hợp vô hạn, vì ta không thể l ệ
i t kê tất cả các phần tử của nó. Tương tự, tập
hợp A các số tự nhiên bội của 3 ũ c ng là ộ m t tập hợp vô hạn.
Tập hợp A được biểu diễn bởi lược đồ Ven trong Hình 2. Vì không thể biểu
diễn tất cả các phần tử của A, ta chỉ đưa vào hình một ố s điểm có tên và
một số điểm khác không có tên. Ngoài ra còn ghi chú thêm rằng sự biểu
diễn tập hợp là không đầy đủ. Người ta cũng viết: A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} Hình 2
Hiển nhiên mỗi phần tử tiếp sau đư c
ợ xác định một cách dễ dàng.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là φ.
Chẳng hạn, tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 + 2 = 0 là tập hợp rỗng. Ta viết: {x ∈ R : x2 + 2 = 0} = φ.
(R là tập hợp các số thực).
Tập hợp các số (tự nhiên) chẵn là ước số của 15 là tập hợp rỗng:
{x ∈ N: x là ước số chẵn của 15} = φ.
Tập hợp chỉ có một phần tử gọi là tập một p ầ
h n tử. Chẳng hạn, tập hợp các
thủ đô của một nước là tập một phần tử.
Tập hợp chỉ có một phần tử a được kí hiệu là {a}.
Như vậy tập hợp E các nghiệm thực của phương trình 3x − 21 = 0 là ậ t p
một phần tử: E = {7}. Tập hợp T các tỉ số của độ dài mỗi đường tròn và
đường kính của nó là tập ộ m t phần tử: T = {π}.
1.2. Tập con của một tập hợp  Các tập hợp bằng nhau Form at t ed: Heading04
a) Tập hợp A được gọi là một tập con của tập hợp X nếu mọi phần tử của A
Form at t ed: Font: Times New Roman đều là những phần ử t của X. Hình 3 Ví dụ 1.3 :
Tập hợp A = {a, b, c, d} là tập hợp con của tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}. Khi đó ta viết:
(1) A ⊂ X (đọc là A chứa trong X), hoặc
(2) X ⊃ A (đọc là X chứa A).
Ký hiệu ⊂ được gọi là dấu bao hàm. Hệ thức (1) hoặc (2) gọi là một bao hàm thức. Ví dụ 1.4 :
Tập hợp C các hình chữ nhật là một tập con của tập hợp B các hình bình
hành vì mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành: C ⊂ B (C chứa trong B). Hình 4 Ví dụ 1.5 ;
Tập hợp N các số tự nhiên là một tập con của tập hợp Z các số nguyên: N ⊂ Z.
Tập hợp Q các số hữu tỉ là một tập con của tập hợp R các số t ự h c (vì mỗi số
hữu tỉ là một số t ự h c): Q ⊂ R.
Hiển nhiên tập hợp X là một tập hợp con của X. ế
N u A là một tập con của
X và A ≠ X thì A gọi là một tập con thực sự của X. Trong ví dụ 3, A là một
tập con thực sự của X. Trong Ví dụ 4, C là một tập thực sự của B.
Tập hợp A không phải là một tập hợp con của tập hợp X nếu có ít nhất một
phần tử của A không thuộc X. Khi đó, ta viết: A ⊄ X (hoặc X ⊃ A)
và biểu thị quan hệ này bằng lược đồ trong Hình 5. Hình 5 Ví dụ 1.6 : Nếu A = {a, b, c, d, e} và X = {a, b, c, f, g} thì A ⊄ X. Hình 6 Ví dụ 1.7 :
Tập hợp C các hình chữ nhật không phải là một tập con của tập hợp T các hình thoi: C ⊄ T.
Thật vậy, hình chữ nhật có chiều dài khác chiều rộng không phải là một hình thoi.
b) Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A là một
phần tử của B và mỗi phần tử của B là một phần tử của A. Khi đó ta viết A = B. Ví dụ 1.8 :
Tập hợp các nghiệm thực của phương trình x2 - 1 = 0 bằng tập hợp gồm hai số -1 và 1:
{x ∈ R : x2 − 1 = 0} = {−1, 1}. Ví dụ 1.9 :
Nếu A là tập hợp các số nguyên chia hết cho 2 và 3 và B là tập hợp các số
nguyên chia hết cho 6 thì A = B. Thật vậy, một số nguyên chia hết đồng
thời cho 2 và 3 khi và chỉ khi nó chia hết cho 6. Như vậy một ố s nguyên là
một phần tử của A khi và chỉ khi nó là một phần tử của B. Do đó A và B có cùng các phần tử.
Từ định nghĩa tập con và các tập hợp ằ b ng nhau dễ dàng suy ra:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có: (i) φ ⊂ A, (ii) A ⊂ A,
(iii) Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C,
(iv) Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B,
(v) Nếu A ≠ B thì A ⊄ B hoặc B A.
(ii) gọi là tính phản xạ, (iii) gọi là tính bắc cầu, (iv) gọi là tính phản ð?i xứng).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (iv) và (v).
(iv) Giả sử A ⊂ B và B ⊂ A. Khi đó mỗi phần tử của A là một phần tử của
B và mỗi phần tử của B là ộ
m t phần tử của A. Theo định nghĩa của hai tập
hợp bằng nhau, từ đó suy ra A = B.
(v) Ta chứng minh (v) suy ra từ (iv) bằng phản chứng. Thật vậy, nếu A ⊂ B
và B ⊂ A thì A = B. Điều này trái với giả thiết.
1.3. Tập hợp những tập hợp Form at t ed: Heading04
Ta xem một đội bóng của một câu lạc bộ bóng đá Anh, kí hiệu bởi A, là
một tập hợp cầu thủ. Các phần tử của tập hợp này là những cầu thủ: A = {a , a , ..., am}. 1 2
Ta cũng có thể xét tập hợp E các đội bóng ủ
c a các câu lạc bộ bóng đá Anh.
Các phần tử của tập hợp này là n ữ
h ng đội bóng: Acxơnan (Arsenal),
Manchétxtơ − Iunaitiđơ (Manchester−United), Trenxi (Chelsea), ..., Niu −
Cátxơn (New − Castle), Livơpunlơ (Liverpool). E = {A, M, T, ...., N, L} Hình 7
Tập hợp E vừa nêu là một tập hợp những tập hợp vì các phần của của E là những tập hợp. Ta có:
a ∈ A : a là một cầu thủ của đội bóng A, 1 1
A ∈ E : đội bóng A thuộc tập hợp các đội bóng của các câu lạc bộ bóng đá Anh.
Không thể viết a 1∈ E vì mỗi phần tử của E là một đội bóng chứ không phải là một cầu thủ. Ta xét một ví dụ khác:
Trường trung học phổ thông Nguyễn Trãi có 5 lớp 10: 10A, 10B, 10C, 10D và 10E.
Ta xem lớp 10A, kí hiệu bởi A, là một tập hợp học sinh. Các phần tử của
tập hợp này là những học sinh. Ta viết: A = {a , a , ..., am}. 1 2
Ta cũng có thể nói đến tập hợp E các lớp khối 10 của trường. Các phần tử
của tập hợp này là các lớp khối 10 của trường. E = {A, B, C, D, E}.
Tập hợp các lớp khối 10 của trường là một tập hợp những tập hợp.
1.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn Form at t ed: Heading04
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Nếu A là một tập hợp có n phần tử từ
A có cả thảy bao nhiêu tập con? Ta chỉ xét trường hợp: n = 0, 1, 2, 3, 4.
a) Với n = 0, ta có A = φ.
Hiển nhiên φ chỉ có một tập con; đó là chính nó, tập hợp φ. Vậy tập hợp
không có phần tử nào có một tập con. b) n = 1.
Giả sử A là tập hợp một phần tử: A = {a} (a là phần tử duy nhất của A).
Khi đó, các tập hợp φ và {a} là tất cả các tập con của A.
Vậy A có cả thảy 2 tập con.
Nếu kí hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp A thì ta có:
P(φ) = {φ} và P ({a}) = {φ, {a}}. c) n = 2.
Giả sử tập hợp A có 2 phần tử a và b: A = {a, b}. Khi đó A có các tập con sau: φ, {a{, {b} và {a, b}.
Đó là tất cả các tập con của A:
P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}.
Vậy A có cả thảy 4 tập con. d) n = 3.
Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau:
Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời dự khai mạc một
cuộc triển lãm (ba người được mời độc lập với nhau).
Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người
trong ngày khai mạc triển lãm?
Ta hãy xét mọi khả năng (a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc
không) và biểu diễn chúng trên một cây chẽ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân cành đ u
ề có được từ cặp “đến, không”. Hình 8
Trên Hình 8, ta thấy có cả thảy 8 khả năng, mỗi k ả h năng tương ứng với
một tập con của A = {a, b, c}, kể cả tập con là φ.
Tập hợp tất cả các tập con của A là:
P ({a, b, c}) = {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; φ}.
Vậy tập hợp A = {a, b, c} có cả thảy 8 tập con. e) n = 4.
Giả sử tập hợp B có bốn phần tử a, b, c, d : B = {a, b, c, d{. Có thể nghĩ đến
một người thứ tư, d, cũng được mời đến dự khai mạc triển lãm. Khi đó, từ
mỗi trường hợp trong 8 trường hợp vừa nêu trong d), sẽ có hai khả năng,
tuỳ thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc. Do đó tập hợp tất cả
các tập con của tập hợp B là: P (B) = P ({a, b, c, d})
= {{a, b, c}; {a, b}; {a, c}; {b; c}; {a}; {b}; {c}; φ;
{a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {d}}.
Vậy tập hợp B = {a, b, c, d} có cả thảy 16 tập con.
Đó là 8 tập con của tập hợp A = {a, b, c} và 8 tập hợp mới, nhận được bằng
cách thêm d vào mỗi tập hợp con của A. Như vậy,
Tập hợp φ có cả thảy 1 = 20 tập con.
Tập hợp có 1 phần tử có cả thảy 2 = 21 tập con.
Tập hợp có 2 phần tử có cả thảy 4 = 22 tập con.
Tập hợp có 3 phần tử có cả thảy 8 = 23 tập con.
Tập hợp có 4 phần tử có cả thảy 16 = 24 tập hợp con, ...
Bằng phương pháp quy nạp, có thể chứng minh được rằng tập hợp có n
phần tử có cả thảy 2n tập hợp con.
Hot động 1.1. tìm hiu các khái nim cơ bn ca tp hp
Sinh viiên tự đọc thông tin nguồn để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây:
Nhim v
Nhiệm vụ 1: Tìm hiểu về:
− Khái niệm tập hợp, các phần tử của một tập hợp.
− Hai cách xác định một tập hợp:
• Liệt kê các phần tử của tập hợp.
• Nêu lên được một tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
− Tập hợp φ (cho các ví dụ về tập hợp φ).
− Cách biểu diễn một tập hợp ( ữ
h u hạn và vô hạn) bằng lược đồ Ven. Nhiệm vụ 2
Thảo luận để có thể giải thích đư c ợ các nội dung sau:
− Định nghĩa tập con của một tập hợp và các tập hợp bằng nhau. (Phân biệt
được các phần tử và các tập con của một tập hợp cho trước).
− Cách biểu diễn tập con của một tập hợp bằng lược đồ Ven.
− Một vài tính chất ủ
c a quan hệ bao hàm. (Nêu và chứng minh được các tính chất đó). Nhiệm vụ 3:
− Hiểu được thế nào là tập hợp của một số tập hợp. (Hãy cho một vài ví dụ
về tập hợp những tập hợp).
− Liệt kê được tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử với n = 1, 2, 3, 4, 5.
− Biết cách tính số các tập hợp con của một tập hợp hữu hạn.
Đánh giá hot động 1.1
1. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3 lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40;
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 30 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập hợp các ước tự nhiên của 36.
2. Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:
a) A = {x ∈ N : 2x2 − 15x + 13 < 0};
b) B = {x ∈⏐R: 2x3 + 5x2 + 3x = 0};
c) C = {x ∈ Z : 6x2 + x − 1 = 0}. 3. Cho các tập hợp
A = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27};
B = {17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}; 2 4 8 16 32 64 − , , − , ,− , 1 1 1 1 1 1 C = {1, }
Hãy nêu một tính chất đặc trưng của các phần tử của mỗi tập hợp đã cho
(tức là tính chất, nhờ đó nhận biết được một đối tượng là phần tử hay không
phải là phần tử của tập hợp đã cho). 4. Cho các tập hợp
A = {x ∈ N : x4 − 4 < 0};
B = {x ∈ N : 2x2 − x < 10};
C = {x ∈ R : x2 + 20 < 11};
D = {x ∈ R : (x2 + 1) (2x − 1) > 0}. Chứng minh rằng: A ⊂ B và C ⊂ D.
5. Cho A là tập hợp các ước tự nhiên của 30 và
B = {x ∈ N : 4x2 − 4x > 3}.
Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: ± A ⊂ B ; ± B ⊂ A; ± A ⊄ B; ± B ⊂ A
6. Gọi C là tập hợp các tam giác cân, D là tập hợp các tam giác đều và V là
tập hợp các tam giác vuông. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống. ± V ⊂ C; ± C ⊂ V; ± V ⊄ C; ± C ⊂ V ± D ⊂ C; ± C ⊂ D; ± D ⊄ V; ± V ⊂ D
7. Gọi A là tập hợp các chữ số 135x sao cho số tự nhiên chia hết cho 4 và
B là tập hợp các chữ số 137y sao cho số tự nhiên chia hết cho 2. Chứng minh rằng: A = B
8. Cho tập hợp A = {a, b, c}. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: ± a ∈ A ± {a} ∈ A
± {a} ∈ A ± {a, b} ∈ A
± {a, b} ⊂ A ± b ⊂ {b, c}
± {b} ⊂ {b, c} ± {b} ⊂ {b, c}
9. Cho tập hợp A = {a , a , a }. Gọi P (A) là tập hợp tất cả các tập hợp con 1 2 3 của tập hợp A.
a) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(A).
b) P(A) có bao nhiêu phần tử ?
10. Cho tập hợp B = {a , a , a , a }. Gọi P(B) là tập hợp tất cả các tập hợp 1 2 3 4
con của tập hợp Aa) Hãy liệt kê tất cả các phần tử của P(B).
b) P(B) có bao nhiêu phần tử?
11. Cho các tập hợp A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d}. Trong hai cách viết sau
đây, cái nào đúng, cái nào sai?
a) P(A) ∈ P(B) ; b) P(A) ∈ P(B). 12. Bằng phư n
ơ g pháp quy nạp, hãy chứng minh rằng nếu tập hợp A có n
phần tử thì nó có cả thảy 2n tập con. Form at t ed: Heading01
TIU CH ĐỀ 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TP HP
Thông tin cơ bn
2.1. Giao của các tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử chung
của hai tập hợp đó, kí hiệu là: A ∩ B (đọc là A giao B)
Từ định nghĩa của A ∩ B suy ra rằng x ∈ A ∩ B khi và chỉ khi x ∈ A và x ∈ B. Ta viết:
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. Ví dụ 2.1 :
Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 4 và B là tập hợp các bội tự nhiên của 6:
A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}; B = {0, 6, 12, 18, 24, 30...}
thì A ∩ B là tập hợp các bội tự nhiên của 12: A ∩ B = {0, 12, 24, 36...} Hình 9 Ví dụ 2.2 : Cho tập hợp
A = {x ∈ ⏐R : 2x − 1 < 0}.
Tìm A ∩ N (N là tập hợp các số tự nhiên). Ta có: A = {x ∈ ⏐R : x < } Do đó: A ∩ N = {0}. Hình 10
Hai tập hợp A và B gọi là không giao nhau hoặc rời nhau nếu A ∩ B = φ. Ví dụ 2.3 :
Nếu D là tập hợp các tam giác đều và V là tập hợp các tam giác vuông thì
D và V là hai tập hợp rời nhau.
Thật vậy, một tam giác không thể vừa đều ừ v a vuông. Do đó: D ∩ V = φ
Phần có các đường gạch chéo trong Hình 11 biểu thị tập hợp φ. Hình 11
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A B x ∉ A hoặc x ∉ B.
b) Đối với hai tập hợp A và B bất kì, ta có lược đồ Ven dưới đây. Lược đồ
chỉ ra bốn miền được đánh số I, II, III, IV. Các miền này được làm rõ bởi một cây chẽ đôi. Hình 12
Người ta cũng biểu diễn bốn miền nay trong một bảng của hai tập hợp A,
B. Bảng này được gọi là lược đồ Carôlơ (Caroll). Hình 13 Ví dụ 2.4 :
Gọi A là tập hợp các ước tự nhiên của 6 và B là tập hợp các ước tự nhiên
của 8. Các miền I, II, III, IV được cho trong lược đồ Ven là lược đồ Carôlơ trong Hình 13.
Một số tính chất của phép lấy giao các tập hợp
Từ định nghĩa giao của hai tập hợp, dễ dàng chứng minh được các đẳng thức sau: c) Với các tập hợp ấ b t kì A, B, C, ta có: (i) A ∩ B = B ∩ A, (ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (iii) φ ∩ A = φ, (iv) A ∩ A = A
Đẳng thức (ii) cho phép, khi ấ l y giao của một ố
s hữu hạn tập hợp, bỏ các
dấu ngoặc hoặc chỉ thứ tự phép lấy giao.
Quan hệ giữa bao hàm thức và giao của các tập hợp được cho trong định lí sau:
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có: (i) A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
(ii) Nếu A ⊂ B và A ⊂ C thì A ⊂ B ∩ C,
(iii) Nếu A ∩ B và C ∩ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D, (iv) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A. Chứng minh:
(ii) giả sử A ⊂ B, A ⊂ C và x là một phần tử bất kì của A. Khi đó, x ∈ B và
x ∈ C; do đó x ∈ B ∩ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ B, do đó x ∈ A ∩ B . Từ
đó ta có A ⊂ A ∩ B. Mặt khác, theo (i), A ∩ B ⊂ A. Từ hai bao hàm thức trên suy ra A ∩ B = A.
(⇐) giả sử A ∩ B = A. Khi đó, nếu x ∈ A thì x ∈ A ∩ B ; do đó x ∈ B. Vậy A ⊂ B .
e) Các mảnh lôgic Điênétxơ (Diénès) Đó là một ộ
b gồm 48 mảnh gỗ, đôi ộ
m t được phân biệt bởi ít nhất là một
thuộc tính (tiêu chuẩn) và nhiều nhất là bốn thuộc tính.
Mỗi mảnh gỗ được xác định bởi bốn thuộc tính:
Có 24 mảnh cùng độ dày.
Mỗi mảnh được xác định bởi bốn chữ tượng trưng cho bốn th ộ u c tính, nhờ
đó phân biệt được nó với các mảnh khác. Bốn th ộ
u c tính được nhắc đến theo thứ tự sau:
Hình dạng − Độ lớn − Màu sắc − Độ dày. Hình 14 Hình 14 Chẳng hạn, VLĐD hay CBXM
Hình vuông lớn đỏ dày Hình chữ nhật bé xanh mỏng.
Tập hợp tất cả các mảnh lôgic Điênétxơ được kí hiệu là L0
Các tập con những mảnh lôgic được kí hiệu bởi một, hai hoặc ba chữ.
Chẳng hạn, V là tập hợp các mảnh hình vuông và XM là tập hợp các mảnh
xanh mỏng. Lược đồ Ven của hai tập hợp này được cho trong Hình 15. Dễ thấy.
V ∩ XM = {x : x là một mảnh vuông xanh mỏng} = {VBXM, VLXM} Hình 15
2.2. Hợp của các tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử thuộc ít
nhất một trong hai tập hợp đó, kí hiệu là A ∪ B (đọc là A hợp B).
Từ định nghĩa của A ∪ B suy ra rằng:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. Ví dụ 2.5 :
Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} Ví dụ 2.6 :
Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp các số t ự h c.
Hợp của tập hợp Z các số nguyên và tạp hợp Q các số hữu tỉ là tập hợp Q: Z ∪ Q = Q.
Từ định nghĩa hợp của hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A và x ∉ B. Ví dụ 2.7 :
Xét tập hợp T các mảnh tam giác và tập hợp X các mảnh có màu xanh
trong bộ các mảnh Lôgic Điênétxơ. Khi đó T ∪ X là tập hợp các phần tử
thuộc T hoặc thuộc X. Đó là tập hợp các mảnh hình tam giác hoặc có màu xanh. Hình 16
TUX là tập hợp các mảnh tam giác hoặc xanh.
Một số tính chất của phép lấy hợp các tập hợp
Từ định nghĩa của hợp các tập hợp dễ dàng suy ra:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, (i) A ∪ B = B ∪ A, (ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (iii) φ ∪ A = A, (iv) A ∪ A = A.
Đẳng thứ (ii) cho phép, khi lấy hợp của một ố
s hữu hạn tập hợp, bỏ các dấu
ngoặc chỉ thứ tự các phép lấy hợp.
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hợp được cho trong định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, (i) A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,
(ii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C,
(iii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì A B ⊂ C ∪ D, (iv) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B. Chứng minh
(ii) giả sử A ⊂ C và B ⊂ C. Khi đó, nếu x ∈ A ⊂ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B.
Do đó x ∈ C. Vậy A ∪ B ⊂ C.
(iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A ∪ B thì x B hoặc x A B, do đó
x B. Vậy A B B. Mặt khác, theo (i), ta có B A B. Từ hai bao hàm thức
vừa nêu suy ra A ∪ B = B.
(⇐) Giả sử A ∪ B = B. Khi đó, theo (i), ta có: A ⊂ A ∪ B = B.
Định lí sau nêu lên quan hệ giữa hai phép ấ
l y hợp và giao của các tập ợ h p.
d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, (i) A ∩ (A ∪ B) = A, (ii) (A ∩ B) ∪ B = B,
(iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
(iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Chứng minh
(i) Vì A ⊂ A ∪ B nên A ∩ (A ∪ B) = A (theo (iv) trong 1.d)).
(ii) Vì A ∩ B ⊂ B nên (A ∩ B) ∪ B = B (theo (iv) trong c)
(iii) Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C.
Do đó x ∈ A và x ∈ B hoặc x ∈ C. Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B. Do
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Tương tự, nếu x A và x C thì x ∪ A ∩ C. DO
đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Vậy: A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1)
Đảo lại, nếu x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) thì x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C.
Nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B ⊂ B ∪ C; do đó x ∈ A ∩ (B ∪ C).
Nếu x ∈ A ∩ C thì, chứng minh tương tự, ta cũng được x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vậy: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) (2)
Từ hai bao hàm thức (1) và (2) suy ra đẳng thức trong (iii) cần chứng minh:
(iv) được chứng minh tương tự
Công thức (iii) cho thấy phép hợp có tính phân phối đối với phép giao;
công thức (iv) cho thấy phép giao có tính phân phối đối với phép hợp.
2.3. Hiệu của hai tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng
không thuộc B, kí hiệu là A \ B (đọc là A trừ B).
Từ định nghĩa của A \ B suy ra:
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B.
Ví dụ 2.8 : Cho hai tập hợp:
A = {a, b, c, d, e, f}, B = (c, e, g, h, k}. Khi đó: A \ B = {a, b, d, f} Ví dụ 2.9 :
Gọi C là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi. Khi đó, C \
T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi (Hình 18). Hình 17 Hình 18
Đó cũng chính là tập hợp các hình chữ nhật mà không p ả h i là hình vuông. Ví dụ 2.10 :
Hiệu của tập hợp các số thực và tập hợp các số hữu ỉ
t là tập hợp các số vô
tỉ. Hiệu của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp Z là tập hợp rỗng: N \ Z = φ.
Từ định nghĩa hiệu hai tập hợp suy ra rằng:
x ∉ A \ B ⇔ x ∉ A hoặc x ∈ B.
Một số tính chất của phép trừ
Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hiệu hai tập hợp được cho trong định lí sau:
b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, ta có: (i) A \ B ⊂ A,
(ii) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A \ D ⊂ B \ C,
(iii) Nếu C ⊂ D thì A \ D A \ C, (iv) A ⊂ B ⇔ A \ B = φ. Chứng minh:
(ii) Nếu x ∈ A \ D thì x ∈ A và x ∉ D. Vì A ⊂ B và x ∈ A nên x ∈ B. Vì C
⊂ D và x ∉ D nên x ∉ C. Như vậy, ta có x ∈ B và x ∉ C; do đó x ∈ B \ C. Vậy A \ D ⊂ B \ C.
(iii) Vì A ⊂ A nên trong (ii), thay B bởi A, ta được (iii).
(iv) suy ra từ định nghĩa hiệu của hai tập hợp.
Quan hệ giữa phép trừ với hai phép hợp và giao các tập hợp được nêu trong định lí sau:
c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, ta có: (i)
A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C),
(ii) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
((i) và (ii) được gọi là cac công thức Moocgăng (Morgan)). Chứng minh:
(i) x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B ∪ C.
x ∉ B ∪ C ⇔ x ∉ B và x ∉ C. Do đó:
x ∈ A \ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A và x ∉ B và x ∉ C
⇔ x ∈ A \ B và x ∈ A \ C.
⇔ x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C).
Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) được chứng minh tương tự.
2.4. Không gian. Phần bù của một tập hợp Form at t ed: Heading03
a) Trong các ứng dụng của lí thuyết tập hợp, các tập hợp được xét thường là
các tập con của một tập hợp X cho trước. Tập hợp X được gọi là không gian.
Chẳng hạn, trong số học, người ta chỉ xét các tập con của tập hợp N các số
tự nhiên. Khi đó, ta có không gian N. Trong giải tích, tập hợp ⏐R các số
thực được xem là không gian và trong hình học, tập hợp các điểm của
không gian Ơclit được xem là không gian.
Khi nghiên cứu các tập con của một không gian X, người ta thường đồng
nhất một tập hợp con A của X với một tính chất đặc trưng T của các phần
tử của A: Chỉ các phần tử của A có tính chất T, các phần tử khác của X
không có tính chất đó. Khi đó, thay cho x ∈ A, ta nói x có tính chất T.
Chẳng hạn, tập hợp P các số nguyên tố là một tập hợp con của không gian
N các số tự nhiên. Thay cho x P, ta nói rằng x là một ố s nguyên tố. Tương
tự, tập hợp N các nghiệm thực của phương trình (x2 − 2) (x2 + x − 6) = 0 là
một tập hợp con của không gian ⏐R các số thực. Thay cho x ∈ N, là nói
rằng x là một nghiệm thực của phương trình vừa xét.
b) Giả sử X là một không gian và A là một tập con của X. Tập hợp X \ A
được gọi là phần bù của A và đ ược kí hiệu là CA. Hình 19
Chú ý rằng phần bù của một tập hợp phụ thuộc vào không gian chứa nó.
Chẳng hạn, tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4} có phần bù trong không gian N các số tự nhiên là tập ợ h p các số tự nhiên ớ
l n hơn 4, nhưng trong không gian Z
các số nguyên, phần bù của A là tập hợp gồm các số nguyên âm và các số nguyên lớn hơn 4.
Từ định nghĩa phần bù của một tập hợp suy ra ằ r ng:
Nếu X là một không gian và A ⊂ X thì với mọi x ∈ X, x ∈ CA ⇔ x ∉ A.
Một số tính chất của phần bù của tập hợp
Từ định nghĩa của phần bù một tập hợp, dễ dàng chứng minh được rằng:
c) Với các tập con bất kì A, B của không gian X, ta có: (i) X ∩ A = A, (ii) X ∪ A = X, (iii) CX = φ, (iv) Cφ = X, (v) CCA = A, (vi) A ⊂ B ⇔ CB ⊂ CA. Chứng minh
(v) Nếu x ∈ C(CA) thì x ∉ CA; do đó x ∈ A.
Vậy CCA ⊂ A. Đảo lại, nếu x ∈ A thì x ∉ CA, do đó x ∈ C(CA). Vậy A ⊂
CCA. Từ hai bao hàm thức vừa nêu suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Quan hệ giữa một tập hợp bất kì ớ v i p ầ
h n bù của nó trong không gian.
d) Với mọi tập con A của không gian X, ta có: (i) A ∪ CA = X, (ii) A ∩ CA = φ. Chứng minh
(i) Nếu x ∈ X thì x ∈ A hoặc x ∉ A, do đó x thuộc ít nhất một trong hai tập
hợp A và CA, tức là x ∈ A ∪ CA. Đảo lại, nếu x ∈ A ∪ CA thì x thuộc ít
nhất một trong hai tập hợp A và CA. Vì cả hai tập hợp này đều là những tập
hợp con của X nên x ∈ X. Từ đó ta có đẳng thức (i).
(ii) Nếu x ∈ A ∩ CA thì x ∈ A và x ∈ CA, tức là x ∈ A và x ∉ A, điều này
là vô lí. Vậy tập hợp A ∩ CA không có phần tử nào, tức là A ∩ CA = φ.
Từ định lí 3 c) và định nghĩa phần bù của tập hợp suy ra rằng:
e) Với hai tập hợp con bất kì A, B ủ c a không gian X, ta có: (i) C(A ∪ B) = (CA ∩ CB, (ii) C(A ∩ B) = CA ∪ CB.
Như vậy, phần bù của tập hợp hai tập hợp bằng giao các phần bù của chúng
và phần bù của giao hai tập hợp bằng hợp các phần bù của chúng.
(i) và (ii) gọi là các công thức Moócgăng.
Quan hệ giữa hiệu của hai tập hợp con bất kì của một không gian với các
phép lấy phần bù, hợp và giao được nêu trong định lí sau:
f) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, ta có: (i) A \ B = A ∩ [B, (ii) A \ B = C(CA ∪ B). Chứng minh
(i) x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
⇔ x ∈ A và x ∈ [B ⇔ x ∈ A ∩ [B.
Do đó ta có đẳng thức trong (i).
(ii) Theo (v) trong c), ta có: A \ B = CC(A \ B).
Từ (i) và (ii) trong e) suy ra:
[(A \ B) = [(A ∩ [B) = [A ∪ [[B = [A ∪ B Do đó: A \ B = C(CA ∪ B)
Định lí sau thường được sử dụng trong t ự h c hành:
g) Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, (i) A ⊂ B ⇔ A ∩ [B = φ,
(ii) A ⊂ B ⇔ [A ∪ B = X. Chứng minh
(i) Ta biết rằng A ⊂ B khi và chỉ khi A \ B = φ. Mặt khac,ta co A \ B = A ∩
[B (xem (i) trong f)). Từ đó suy ra đẳng thức cần c ứ h ng minh:
(ii) Theo (i), chỉ cần chứng minh
A ∩ {B = φ ⇔ [A ∪ B = X.
Thật vậy, các điều kiện sau là tương đương: A ∩ CB = φ, C(A ∩ CB) = X,
CA ∪ CCB = X (suy ra từ công thức Đờ−Mooc−găng) CA ∪ B = X b. hoạt động.
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản, sau đó thảo luận theo nhóm 2, 3 người để
thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Mỗi nhóm cử đại diện trình bày để giáo viên tổng kết: Nhim v Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa giao của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm giao của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven và lược đồ Carôlơ đối với hai tập hợp A và B cho trước.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy giao các tập hợp. Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa hợp của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hợp của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hợp hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép lấy hợp các tập hợp.
− Nắm vững quan hệ giữa phép lấy hợp và lấy giao các tập hợp. Nhiệm vụ 3: Form at t ed: Heading03
− Nắm vững định nghĩa hiệu của hai tập hợp và có kĩ năng thành thạo trong
việc tìm hiệu của hai tập hợp cho trước.
− Lập được lược đồ Ven của hiệu của hai tập hợp.
− Nắm vững các tính chất của phép trừ tập hợp:
z Quan hệ giữa phép trừ và bao hàm thức.
z Quan hệ giữa phép trừ và phép lấy hợp và giao các tập hợp. Nhiệm vụ 4: Form at t ed: Heading03 − Nắm vững khái n ệ
i m không gian và định nghĩa phần bù của một tập hợp
và có kí năng thành thạo trong việc tìm phần bù của một tập hợp cho trước.
− Nắm vững một số tính chất của phần bù của tập ợ h p:
z Quan hệ giữa một tập hợp con của một không gian với phần bù của nó.
z Phép lấy phần bù của hợp và giao của hai tập hợp (các công thức Moócgăng).
z Quan hệ giữa phần bù của tập hợp và bao hàm thức.
z Quan hệ giữa phần bù của tập hợp với phép trừ các tập hợp. Form at t ed: Heading02
Đánh giá hot động 1. 2
1. Gọi A là tập hợp các số lẻ giữa 10 và 40 (lớn hơn 10 và nhỏ hơn 40) và B
là tập hợp các số nguyên tố giữa 10 và 40.
a) Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và B \ A.
b) Lập lược đồ Ven đối với hai tập hợp A và B.
2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 5.
a) Tìm các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và B \ A.
b) Lập sơ đồ Ven đối với A và B.
3. Gọi V là tập hợp các tam giác vuông và C là tập hợp các tam giác cân.
a) Tìm các tập hợp V ∩ C, V ∪ C, V \ C và C \ V.
b) Lập lược đồ Ven đối với hai tập hợp V và C.
4. Cho hai tập hợp A = {x ∈ ⏐R : |x| ≥ 5} và B = {x ∈ ⏐R : −6 ≤ x < 0}
Tìm các tập hợp A B, A B, A \ B và B \ A.
5. Tìm hai tập hợp E và F những mảnh lôgic Điênétxơ (E, F ∈ L0) trong
mỗi lược đồ dưới đây biết rằng mỗi tập hợp được xác định bởi hai th ộ u c
tính và giao E ∩ F là tập một điểm: Hình 20
6. Trong tập hợp L0 các mảnh lôgic Điênétxơ, gọi N là tập hợp các mảnh
nâu, BN là tập hợp các mảnh bé nâu và V là tập hợp các hình vuông.
a) Xác định các miền II, IV và V bằng cách nêu một tính chất đặc trưng của
các phần tử của mỗi miền.
b) Tính số phần tử của mỗi miền. Hình 21
7. Chứng minh rằng với các tập hợp bất kì A, B, ta có:
a) A \ B = A \ (A ∩ B) ; b) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); c) A \ (A \ B) = A ∩ B.
8. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì, ta có:
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;
b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;
c) (A ∪ B) \ C) = (A \ C) ∪ (B \ C);
d) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
9. Chứng minh rằng với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X,
nếu [A ∪ [B = [A và B ⊂ A thì A = B.
10. Chứng minh rằng với hai tập hợp con A và B bất kì của không gian X, A ⊂ B ⇔ [A ∩ [B = [B.
11. Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∆ B, là tập hợp các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B nhưng không thuộc đồng thời cả hai tập hợp đó:
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A). Chứng minh rằng: a) A ∆ B = φ ⇔ A = B, b) A ∆ B = B ∆ A,
c) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C),
d) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C),
e) A ∪ B = A ∆ B ∆ (A ∩ B), f) A \ B = A ∆ (A ∩ B).
12. Chứng minh rằng với ba tập hợp A, B, C bất kì, A ∆ B = C ⇒ B = A ∆ C.
13. Với hai tập hợp con bất kì A, B của không gian X, ta định nghĩa hợp và
giao của hai tập hợp đó dựa vào quan hệ bao hàm như sau:
A B là tập con nhỏ nhất của X chứa A và B,
A B là tập con lớn nhất của X chứa trong A và trong B.
a) Chứng minh các định nghĩa này tương đương với các định nghĩa đã biết.
b) áp dụng các định nghĩa vừa nêu, hãy chứng minh các khẳng định sau: (i) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B,
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
(iii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
A, B, C là những tập con bất kì của không gian X.
14. Cho không gian (tập hợp X). Tập hợp các tập con A , A , ..., Am gọi là 1 2
một phép phân hoạch của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn. (i)
Ai ≠ φ với i = 1, 2, ..., m,
(ii) Ai ∩ Aj = φ với i ≠ j (tức là các tập hợp A , A , ..., Am đôi một rời 1 2 nhau), (iii) A1 A2 ... Am = X.
Chứng minh rằng mỗi tập các tập con sau đây của L0 là một phép phân hoạch của L0: a) {Đ, X, N}; b) {C, V, T, H}; c) {LM, BM, LD, BD}; d) BĐ, LX, BX, LĐ, N}.
15. Gọi A là tập hợp các bội tự nhiên của 3, B là tập hợp các số tự nhiên n
sao cho n − 1 là một bội tự nhiên của 3 và C là tập hợp các số tự nhiên n
sao cho n − 2 là một bội tự nhiên của 3. Chứng minh rằng:
{A, B, C} là một phép phân hoạch của không gian N.
16. Với một tập hợp hữu hạn A bất kì, kí hiệu N (A) chỉ số phần tử của A.
Chứng minh rằng với hai ậ t p hợp ữ h u ạ h n A, B bất kì, ta có:
N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B).
17. Cho ba tập hợp hữu hạn A, B, C. Chứng minh rằng:
N (A ∪ B ∪ C) = N (A) + N (B) + N (C) + N (A ∩ B ∩ C) − N (A ∩ B) − N (A ∩ C) − N (B ∩ C).
18. Trong một lớp học ngoại ngữ, tập hợp A các học viên nữ có 4 phần tử,
tập hợp B các học viên từ 20 tuổi trở lên có 5 phần tử. Có 3 học viên nữ từ
20 tuổi trở lên. Tìm số phần tử của tập hợp A ∪ B.
19. Trên một bãi để xe, có 42 xe gồm taxi và xe buýt. Có 14 xe màu vàng
và 37 xe buýt hoặc xe không có màu vàng. Hỏi trên bãi để xe có bao nhiêu xe buýt vàng?
20. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16
em học khá môn Văn và 17 em học khá môn Tiếng Anh. Có 5 em học khá
cả hai môn Văn và Toán, 8 em học khá cả hai môn Toán và Anh, 6 em học
khá cả hai môn Văn và Anh, và 2 em học khá cả ba môn.
Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ học khá môn Toán? Chỉ học khá môn Văn?
Chỉ học khá môn Anh? Không học khá môn nào? Form at t ed: Heading01
TIU CH ĐỀ 1.3. QUAN H
Thông tin cơ bn 3.1. Quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading03
3.1.1. Tích Đềcác của các tập hợp Form at t ed: Heading04 a) Cặp thứ tự
Ta biết rằng tập hợp gồm hai phần tử a và b được kí hiệu là {a, b}. Kí hiệu
{b, a} cũng chỉ tập hợp đó, tức là {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiều
trường hợp người ta quan tâm đến thứ tự của hai phần tử: a đứng trước, b
đứng sau hay b đứng trước, a đứng sau. Khi đó người ta được hai dãy được
sắp theo thứ tự khác nhau: Dãy a, b và dãy b, a. Đó là hai dãy khác nhau,
trừ phi a = b. Mỗi dãy được gọi là một cặp thứ tự của hai phần tử. Như vậy,
Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng
sau gọi là một cặp thứ tự, kí hiệu là (a, b); a gọi là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng sau.
Nếu a ạ b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp thứ tự khác nhau.
Hai cặp thứ tự (a, b) và (c, d) là bằng nhau khi và chỉ khi a = b và c = d.
Cặp thứ tự (a, b) được biểu diễn bởi một mũi tên đi ừ
t phần tử đứng trước a
đến phần tử đứng sau b. Hình 1
Nếu a = b thì mũi tên trở thành một vòng. Ví dụ 3.1 :
Kết quả của một trận bóng đá là: (3; 1), (1; 3); (2; 0). Cặp thứ tự (3; 1) được
hiểu là trên sân nhà, đội chủ nhà đã thắng đội khách: Đội chủ nhà đã ghi
được 3 bàn còn đội khách chỉ ghi được 1 bàn. Cặp thứ tự (1; 3) cho biết đội
chủ nhà đã thua đội khách: Trong trận đấu, đội chủ nhà chỉ ghi được 1 bàn,
trong khi đội khách ghi được 3 bàn. Ví dụ 3.2 :
Diện tích của các nước trên thế giới (tính trên một ngàn km2) cũng được ghi
bằng các cặp thứ tự, chẳng hạn:
(Tây Ban Nha; 500), (Italia; 300), (Việt Nam, 330) Ví dụ 3.3 :
Mỗi số phức là một cặp thứ tự (a, b) của hai ố s t ự
h c. Ta biết rằng hai số
thực a và b khác nhau thì (a, b) và (b, a) là hai số phức khác nhau; Hai số
phức (a, b) và (c, d) bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng
nhau và phần ảo bằng nhau, tức là a = c và b = d.
b) Tích Đêcác của hai tập hợp.
Cho hai tập hợp X và Y. Tập hợp tất cả các cặp thứ tự (x, y) trong đó x ∈
X, y ∈ Y gọi là tích Đêcác của hai tập hợp X, Y và được kí hiệu là X x Y. Như vậy,
X x Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}. Ví dụ 3.4:
Cho hai tập hợp X = {x , x } và Y = {y , y , y }. 1 2 1 2 3 Khi đó
X x Y = {(x , y ), (x , y ), (x ), (x ), (x , y ), (x )} 1 1 2 1, y3 ,2 y1 2 2 ,2 y 1 3 Hình 2
Trong Hình 2 a), mỗi phần tử của X x Y được biểu diễn bởi một ũ m i tên đi
từ tập hợp X vào tập hợp Y. Người ta gọi đó là lược đồ hình tên. Trong
hình 2 b), các phần tử của X x Y được biểu diễn bởi các điểm của một lưới
xác định bởi hai tập hợp X và Y. Người ta gọi đó là lược đồ Đêcác.
Trong trường hợp tập hợp X hoặc tập hợp Y có vô số phần tử, ta chỉ có thể
sử dụng lược đồ Đêcác. Ví dụ 3.5 :
Tích Đêcác của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp ⏐R các số t ự h c là tập hợp.
N x ⏐R = {(x, y) : x N, y ⏐R}.
Trong mặt phẳng toạ độ, N x ⏐R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của
các đường thẳng x = 0, x = 1, x = 2, ... Hình 3 Điểm (2; ) ằ
n m trên đường thẳng x = 2, các điểm (3; ) và (4; −2,2), theo thứ
tự, nằm trên các đường thẳng x = 3 và x = 4.
Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X2. Như vậy,
X2 = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ X}. Ví dụ 3.6 :
Cho tập hợp X = {a, b}. Tìm tập hợp X2. Ta có:
X2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}. Ví dụ 3.7 :
Cho tập hợp X = [1,5; 4] = {x ∈ ⏐R = 1,5 ≤ x ≤ 4}. Tìm X2. Ta có: X2 = [1,5; 4] x (1,5; 4]
= {(x, y) : 1,5 x 4; 1,5 ≤ y ≤ 4}. Hình 4
Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp X2 được biểu diễn bởi tập ợ h p các điểm
của hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 và y = 4 (Hình 4).
c) Ta mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp.
Cho m tập hợp X , X , ..., Xm. Tập hợp các dãy m phần tử (x , x , ..., xm), 1 2 1 2
trong đó x ∈ X , x ∈ X , ..., xn ∈ Xm gọi là tích Đêcác của m tập hợp X , 1 1 2 2 1
X , ..., Xm và được kí hiệu là X x X x... x Xm. 2 1 2
X1 x X2 x... x Xm = {(x , x , ..., xm) : x ∈ X1, ... xm ∈ Xm}. 1 2 1
Nếu X = X = ... = Xm thì tập hợp X x X x... x Xm được kí hiệu là Xm. 1 2 1 2
Như vậy X là tập hợp các dãy m phần tử (x , x , ..., xm), trong đó x1, ..., xm 1 2 ∈ X. Ví dụ 3.8 :
Tích Đêcác R3, trong đó R là tập hợp các số thực là không gian Ơclit ba
chiều, tích Đêcác Rm là không gian Ơclit m chiều. Ví dụ 3.9 :
Tìm các ước số của 4312. Ta có: 4312 = 22 x 72 x 11.
Mọi ước số của 4312 có dạng 2a x 7b x 11c, với a = 0, 1, 2 hoặc 3, b = 0, 1 hoặc 2, c = 0 hoặc 1.
Đặt X = {20, 21, 22, 23}, Y = {7 ,0 71, 72}, C = {110, 111}. Khi đó, với ọ m i (x, y,
z) ∈ X x Y x Z, tích xyz là một ước của 4312.
3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading04
Ta đã biết có thể đồng nhất một tập hợp con A của một không gian X với
mọt tính chất T nào đó của các phần tử của không gian X: Chỉ các phần tử
của A có tính chất T, các phần tử của X không thuộc A không có tính chất đó. Nói một cách khác,
x có tính chất T ⇔ x ∈ A
(xem mục 4, hoạt động 2, chủ đề 1).
Trong toán học người ta thường quan tâm đến các tính chất của các cặp thứ
tự, tức là các tính chất của các phần tử của tích Đêcác. Các tính chất đó
được gọi là những quan hệ hai ngôi, gọi tắt là quan ệ h . Theo nhận xét vừa
nêu ở trên, có thể xem các quan hệ hai ngôi là các tập hợp con của các tích
Đêcác. Điều này sẽ được làm sáng tỏ qua các ví dụ. Ví dụ 3.10 :
Ta kí hiệu P = P (⏐R) là tập hợp tất ả
c các tập con của tập hợp số t ự h c ⏐R.
Giữa số thực và tập hợp số thực {1, , 5} có quan hệ “phần tử thuộc tập
hợp”, tức là quan hệ ∈ {1, , 5}. Một cách tổng quát, có quan hệ này giữa
một số thực x và một tập con A của ⏐R khi và chỉ khi x ∈ A. Quan hệ vừa
nêu là một tính chất của các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈⏐R, A P. Cặp
thứ tự (x, A) trong đó x ∈⏐R, A ∈ P có tính chất này khi và chỉ khi x ∈ A.
Vì vậy có thể xem quan hệ được xét là một tập con của tích Đêcác ⏐R x P;
tập con này được tạo nên bởi các cặp thứ tự (x, A), trong đó x ∈ A. Ví dụ 3.11:
Ta nói rằng giữa các số nguyên dương 2 và 8, hoặc 3 và 15, hoặc 7 và 14 có
quan hệ chia hết : 2 chia hết 8, 3 chia hết 15 và 7 chia hết 14. Một cách tổng
quát, có quan hệ chia hết giữa hai số nguyên dư n
ơ g x và y khi và chỉ khi x
chia hết y. Quan hệ chia hết là một tính chất của các cặp thứ tự (x, y), trong
đó x ∈ N*, y ∈ N*. Cặp thứ tự (x, y), trong đó x ∈ N*, y ∈ N* có tính chất
này khi và chỉ khi x chia hết y. Vì vậy, có thể xem quan hệ chia hết là một
tập con của tích Đêcác N* x N* = (N*)2. Tập con này được tạo nên bởi các
cặp thứ tự (x, y), trong đó x và y là hai số nguyên dương sao cho x chia hết y.
Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa:
Cho hai tập hợp X và Y. Tập con R của tích Đêcác X x Y gọi là một quan hệ hai ngôi trên X x Y.
Nếu R là một tập con của tích Đêcác X x X thì ta nói rằng R là một quan hệ
hai ngôi trên X (thay cho “R là một quan hệ hai ngôi trên X x X”.).
Nếu R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y và (x, y) ∈ ℜ thì ta viết x ℜ y và
đọc là x có quan hệ R với y.
Nếu (x, y) R thì ta viết x R y và đọc là x không có quan hệ R với y). Quan
hệ hai ngôi thường được gọi tắt là quan hệ. Ví dụ 3.12 :
Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {1, 4} và Y = {A, B}. Gọi R là
quan hệ “phần tử thuộc tập hợp” trên X x Y. Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có:
R = {(1, A), (1, B), (2, A), (4, B)}.
Các phần tử của R, tức là các cặp thứ tự, được biểu diễn trong hai lược đồ sau: Hình 5 Ví dụ 3.13 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5, 8, 15}. Hãy tìm quan hệ chia hết R trên X.
Ta hiểu R là quan hệ hai ngôi trên X x X.
Theo định nghĩa quan hệ hai ngôi, ta có:
R = {(2, 2), (2, 8), (3, 3), (3, 15), (5, 5), (5, 15), (8, 8), (15, 15)}. Các phần
tử của R được biểu diễn trong hai lược đồ sau: Hình 6
Giả sử R là một quan hệ hai ngôi trên X x Y.
Tập hợp các phần tử đứng trước của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R
gọi là tập xác định của quan hệ R, kí hiệu là D (R).
Như vậy, phần tử x ∈ X thuộc D (R) khi và chỉ khi tồn tại một phần tử y ∈ Y sao cho x R y:
x ∈ D (R) ⇔ tồn tại y ∈ Y sao cho x R y.
hay D (R) = {x ∈ X: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R y}.
Tập hợp các phần tử đứng sau của các cặp thứ tự (x, y) thuộc quan hệ R gọi
là tập ảnh (gọi tắt là ảnh) của quan hệ R, kí hiệu là D* (R).
Như vậy, phần tử y ∈ Y thuộc D* (R) khi và chỉ khi tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho x R y:
y ∈ D* (R) ⇔ tồn tại x ∈ X sao cho x R y,
hay D* (R) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ X sao cho x R y}.
Chẳng hạn, với quan hệ hai ngôi R trong ví dụ 12, ta có:
D* (R) = {1, 2, 4} , D* (R) = {A, B} = Y. Ví dụ 3.14 :
Cho tập hợp X = {2, 3, 5} và Y = N. Gọi R là quan hệ chia hết trên X x N,
tức là x R y khi và chỉ khi x là ước số của y. Khi đó. D* (R) = X = {2, 3, 5},
và D* (R) tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2, 3 hoặc 5:
D* (R) = {2m : m ∈ N} ∪ {3n : n ∈ N} ∪ {5k : k ∈ N}.
Có thể biểu diễn quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Rcác số thực bởi lược đồ
Đêcác. Quan hệ R được biểu diễn bởi một tập con của mặt phẳng t ạ o độ
Oxy. Tập xác định D (R) của quan hệ R được biểu diễn bởi hình chiếu của
R trên trục hoành Ox; tập ảnh D* (R) của quan hệ ℜ được biểu diễn bởi
hình chiếu của R trên trục tung Oy (Hình 7). Hình 7 Hình 8
Trong Hình 8, ta có lược đồ biểu diễn quan hệ hai ngôi R trên ⏐R (R = ⏐R2)
xác định như sau: Với mọi (x, y) ⏐R2, x R y khi và chỉ khi x2 = y. Dễ dàng thấy rằng:
D (R) = ⏐R và D*(R = [0, + ∞) = x : x ≥ 0
3.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi Form at t ed: Heading04
a) Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phản xạ nếu với mọi x ∈ X, ta đều có x R x. Ví dụ 3.15 :
Quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên dương N* là phản xạ vì với mọi ố s
nguyên dương x, x chia hết x.
• Quan hệ ≤ (nhỏ hơn hoặc bằng) trên tập hợp các số t ự h c ⏐R là phản xạ vì
với mọi x ∈ ⏐R, x ≤ x.
• Giả sử A là một tập hợp các mảnh lôgíc (A ⊂ L0). Quan hệ RA “có cùng
màu với” (mảnh x có cùng màu với mảnh y) hiển nhiên là phản xạ (Hình 9). Hình 9 Hình 10
Nếu R là một quan hệ phản xạ trên A thì lược đồ hình tên của nó có một
vòng tại mỗi điểm của A (Hình 9).
• Quan hệ “là bình phương của” trên N không phải là một quan hệ phản xạ
vì chỉ có hệ số 0 và 1 là bình phương của chính nó (Hình 10).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên X không phải là phản xạ thì lược đồ hình tên
của nó có ít nhất một điểm tại đó không có vòng.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là đối phản xạ nếu với mọi x ∈ X, x
đều không có quan hệ R với x, tức là không xảy ra x R x.
Nói một cách khác, R là đối phản xạ nếu
(x, x) ∉ R với mọi x ∈ X. Ví dụ 3.16 :
Quan hệ “<” trên ⏐R là đối phản xạ vì ớ
v i mọi x ∈ ⏐R, đều không có x < x.
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối phản xạ thì lược đồ tên của nó
không có một vòng nào (Hình 11). Hình 11 Hình 12
• Quan hệ “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một mặt
phẳng là đối phản xạ vì mọi đường thẳng đều không vuông góc với chính nó.
• Quan hệ “là bố của” trên một tập hợp người cho t ư
r ớc là đối phản xạ.
b) Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y ⇒ y R x. Ví dụ 3.17 :
Giả sử X là một tập hợp khác . Tập hợp: R = {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X2
gọi là quan hệ đồng nhất trên X.
Như vậy, với mọi x, y ∈ X, x R y ⇔ x = y.
Dễ thấy quan hệ đồng nhất trên X là đối xứng.
• Quan hệ “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một mặt phẳng là đối xứng.
• Quan hệ “là anh hoặc em trai của” trên một tập hợp trẻ em là đối xứng (Hình 12).
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là đối xứng thì trong lược đồ hình
tên của nó, hễ có một mũi tên đi từ x đến y, ắt có một ũ m i tên đi từ y đến x.
Chú ý rằng giữa hai điểm x và y có thể không có mũi tên nào, nhưng nếu đã
có thì tất phải có hai mũi tên đi ngược hướng nhau.
• Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4}. Quan hệ “nhỏ hơn hoặc bằng” (≤) trên A
không phải là một quan hệ đối xứng (Hình 13). Hình 13 Hình 14
Nếu quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X không phải là một quan hệ đối xứng
thì trên lược đồ tên của R có ít nhất một mũi tên đi từ x đến y mà không có
mũi tên ngược từ y đến x.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phi đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y ⇒ y R x.
Nói một cách khác, R là phi đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X
(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R. Ví dụ 3.18 :
• Quan hệ hai ngôi “<” (nhỏ hơn) trên tập hợp các số t ự h c ⏐R là phi đối
xứng vì với hai số thực bất kì x, y, các điều kiện x < y và y < x loại trừ nhau.
• Gọi R là quan hệ hai ngôi xác định trên ậ
t p hợp các số nguyên dương N*
xác định bởi: x R y khi và chỉ khi x = 2y R là một quan hệ phi đối xứng vì
với mọi x, y ∈ N* không thể đồng thời xảy ra x = 2y và y = 2a (Hình 14).
Nếu R là một quan hệ phi đối xứng trên tập hợp X thì trên lược đồ hình tên
của R, giữa hai điểm khác nhau x, y ∈ X, hoặc không có mũi tên nào, hoặc
chỉ có một mũi tên (không có mũi tên ngược) (Hình 14).
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X gọi là phản đối xứng nếu với mọi x, y ∈ X, x R y và y R x ⇒ x = y. Ví dụ 3.19 :
• Quan hệ hai ngôi “” trên tập hợp ⏐R là phản đối xứng vì với hai số thực
bất kì x, y, hai điều kiện x y và y x kéo theo x = y.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ phản đối xứng.
c) Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là bắc cầu nếu với mọi x, y, z ∈ X, x R y và y R z ⇒ x R z. Hình 15
Trên lược đồ hình tên của quan hệ bắc cầu R, ế
n u có một mũi tên đi từ x
đến y và một mũi tên đi từ y đến z thì có một mũi tên đi từ x đến z. (Hình 15). Ví dụ 3.20 :
• Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp các số tự nhiên là bắc cầu vì với
mọi x, y, z N, nếu x là một ước số của y và y là một ước số của z thì x là một ước số của z.
• Quan hệ hai ngôi “<” trên tập hợp ⏐R là bắc cầu.
• Quan hệ hai ngôi “vuông góc với” trên tập hợp các đường thẳng của một
mặt phẳng không phải là một quan hệ bắc cầu.
3.4. Quan hệ ngược – Hợp của hai quan hệ Form at t ed: Heading04
a) Quan hệ ngược của một quan hệ cho trước
Cho hai tập hợp X, Y và quan hệ hai ngôi R trên X x Y. Quan hệ ngược của
quan hệ R, kí hiệu là R−1, là quan hệ hai ngôi trên Y x X xác định như sau:
Với mọi y ∈ Y, x ∈ X, y R−1 x x R y.
(tức là (y, x) R−1 ⇔ (x, y) ∈ R). Ví dụ 3.21:
Gọi X là tập hợp năm thành phố
X = {Hà Nội, Cần Thơ, Bắc Kinh, Viên Chăn, Nam Kinh} = {h, c, b, v, n},
Y là tập hợp hai nước.
Y = {Việt Nam, Trung Quốc} = {V, T},
và R là quan hệ “là một Thành phố của”
R là quan hệ hai ngôi trên X x Y:
R = {(h, V), (c, V), (b, T), (n, T)}. Hình 16
Quan hệ ngược R−1 của R là quan ệ h hai ngôi trên Y x X.
R−1 = {(V, h), (V, c), (T, b), (T, n)}. Hình 17
Các điểm biểu diễn các cặp thứ tự của R−1 đối xứng với các điểm biểu diễn
các cặp thứ tự của R qua đường phân giác thứ nhất. Ví dụ3.22 :
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R “là bình phương của” trên X:
R = {(0, 0), (1, ), (4, 2), (9, 3)}.
Quan hệ ngược của R là quan hệ R−1 “là căn bậc hai của” trên X:
R−1 = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}. Hình 18 b) Hợp của hai quan hệ
Cho ba tập hợp X, Y, Z, quan hệ R trên X x Y và quan hệ R trên Y x Z. 1 2
Quan hệ R trên X x Z gồm các cặp thứ tự (x, z) ∈ X x Z thoả mãn điều kiện sau:
Tồn tại một phần tử y ∈ Y sao cho x R y và y R z gọi là hợp của hai quan 1 2
hệ R và R , kí hiệu là R . 1 2 2 ° R1 Như vậy, R = R
= {(x, z) X x Z: Tồn tại y ∈ Y sao cho x R y và y R z}. 2 ° R1 1 2
Ví dụ 3.23 : Cho ba tập hợp
Tập hợp các bà X = {Mai, Tuyết} (thế hệ thứ nhất), tập hợp các anh chị Y =
{Dungx, Loan, Cường} (thế hệ thứ hai), tập hợp các cháu Z = {Khôi, Nga, Hùng, Vân} (thế hệ t ứ h ba), và hai quan hệ:
Quan hệ R “là mẹ của” trên X x Y: 1
R = {(Mai, Dũng), (Tuyết, Loan), (Tu ế
y t, Cường)}, quan hệ R “là 1 2 bố của” trên Y x Z:
R = {(Dũng, Khôi), (Dũng, Nga), (Cường, Vân)}. 2 Hình 18 Quan hệ hợp R
của hai quan hệ R và R là quan hệ “là bà nội của” trên 2 ° R1 1 2 X x Z;
R R = {(Mai, Khôi), (Mai, Nga), (Tuyết, Vân)}. Hình 19 Ví dụ 3.24 :
Cho quan hệ R “là một nửa của” trên tập hợp N* các số nguyên dương và 1
quan hệ R “gấp bốn lần” trên N*. 2 Tìm R 2 ° R1 Ta có:
R = {(1; 2), (2; 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), ...} 1
R = {(4; 1), (8; 2), (12, 3), (16, 4), (20, 5), ...} 2 Hình 20 R
là một quan hệ trên N*: 2 ° R1
R 2° R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), ...}. 1 R
là quan hệ “gấp đôi” trên N*. 2 ° R1
Có thể biểu diễn tập hợp N* chỉ bởi một đường cong kín.
Khi đó, để khỏi lẫn, phải phân biệt các mũi tên biểu diễn các cặp thứ tự của R , R và R . 1 2 1 ° R2 Hình 21
Trong hình các cặp thứ tự của các quan hệ R và R , theo thứ tự, 1 ° R2 2 ° R1 được biểu d ễ
i n bởi các mũi tên xanh, mũi tên có nét gạch và mũi tên đỏ.
B. Hot động. tìm hiu khái nim tính đề các và quan h hai ngôi. Nhi•m v•: Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững định nghĩa tich Đêcác của hai tập hợp và của một ố s hữu hạn tập hợp.
− Biết biểu diễn tích Đêcác của hai tập hợp bằng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác. Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững định nghĩa quan hệ hai ngôi trên X x Y và trên X.
− Có kĩ năng thành thạo trong việc xác định các cặp thứ tự của một quan hệ
hai ngôi trong các tình huống khác nhau.
− Biểu diễn được quan hệ hai ngôi bằng lược đồ hình tên và lược đồ Đêcác. Nhiệm vụ 3 Form at t ed: Heading04
− Nắm vững các tính c ấ
h t phản xạ, đối xứng và bắc cầu của quan hệ hai ngôi.
− Có kĩ năng nhận biết một quan ệ
h hai ngôi cho trước có các tính c ấ h t đó hay không?
− Có kĩ năng biểu diễn các quan hệ hai ngôi có các tính chất đã nêu bằng lược đồ hình tên. Nhiệm vụ 4: Form at t ed: Heading04
− Nắm vững các định nghĩa của quan hệ ngược của một quan hệ hai ngôi
cho trước và quan hệ hợp của hai quan hệ hai ngôi cho trước.
− Có kĩ năng thành thạo trong việc xác định quan hệ ngược và quan hệ hợp.
− Biểu diễn thành thạo các cặp thứ tự của quan hệ ngược và quan hệ hợp
bằng lược đồ hình tên.
Đánh giá hot động 3.1 Form at t ed: Heading02
1. Cho ba tập hợp X, Y, Z. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ ( A x C),
b) (B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A),
c) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C),
d) (B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A),
e) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C),
f) (B \ C) x A = (B x A) \ (C x A).
2. Cho ba tập hợp A, B và C ≠ φ. Chứng minh rằng:
a) A ⊂ B ⇔ A x C ⊂ B x C,
b) A ⊂ B ⇔ C x A ⊂ C x B.
3. Giả sử tập hợp X có m phần ử
t và tập hợp Y có n phần tử. Chứng minh
rằng tập hợp X x Y có mn phần tử.
4. Giả sử tập hợp Xk có nk phần tử, k = 1, 2, ...m.
Chứng minh rằng tập hợp X x X x ... x Xm có n n ... nm phần tử. 1 2 1 2
5. Cho hai tập hợp A = {2, 4, 7, 9} và B = {1, 3, 4, 5, 12, 14}.
Tìm quan hệ “chia hết” R trên A x B và biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
6. Cho tập hợp X = {1, 2, 7, 8}. Tìm quan hệ “chia hết” R trên X và biểu
hiện quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
7. Cho tập hợp X = {1, 2, 6, 7, 8}. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên X và
biểu diễn R bằng lược đồ hình tên.
8. Tìm quan hệ “chia hết cho” R trên tập hợp các số nguyên dương N* và
biểu hiện R bằng lược đồ hình tên.
9. Cho các tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, A = {1, 2, 9}, B = {4, 9}, C = {6,
7, 8} và Y = {A, B, C}. Tìm quan hệ R “phần tử thuộc tập hợp” trên X x Y.
Biểu diễn quan hệ này bằng lược đồ hình tên.
10. Cho các tập hợp A = {1, 2}, B = {1, 5, 7}, C = {1, 2, 5, 7, 8} và
X = {A, B, C}. Tìm quan hệ bao hàm “chứa trong” R trên X.
(Quan hệ bao hàm “chứa trong” ℜ đư c
ợ cho bởi A ℜ B khi và chỉ khi A B).
11. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 5, 7}. Tìm quan hệ “nhỏ hơn” (<) trên X
(quan hệ “nhỏ hơn” đư c
ợ hiểu theo nghĩa thông thường).
12. Gọi R là quan hệ “<” trên ⏐R và R là quan hệ “≠” trên ⏐R. Hãy biểu 1 2
diễn R và R bằng lược đồ Đêcác. 1 2
13. Chứng minh rằng nếu tập hợp X có m phần tử và tập hợp Y có n phần
tử thì có 2mn quan hệ hai ngôi trên X x Y.
14. Quan hệ “song song hoặc trùng nhau với” trên tập hợp tất cả các đường
thẳng của một mặt phẳng có phải là một quan hệ phản xạ, đối xứng, bắc cầu hay không?
15. Trong một mặt phẳng cho một điểm O cố định. Gọi X là tập hợp các điểm ủ
c a mặt phẳng và là quan hệ hai ngôi trên X xác định bởi: x R y khi
và chỉ khi x là điểm đối xứng của điểm y qua điểm O.
Hãy nêu các tính chất (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) của R.
16. Nêu các tính chất (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) của quan hệ “chia hết
cho” trên tập hợp N* các số nguyên dương.
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do đó nó là một quan hệ tương đương trên N.
4.2. Các lớp tương đương và tập thương Form at t ed: Heading03
a) Giả sử X là một tập hợp khác φ và ~ là một quan hệ tương đương trên X.
Với mỗi phần tử x ∈ X, ta kí hiệu là tập hợp các phần tử y ∈ X sao cho x ~ y: = {y ∈ X : x ~ y}.
Tập hợp gọi là lớp tương đương của quan hệ ~ trên X cú đại diện là phần
tử x. Tập hợp chia lớp tương đương của quan hệ trên X đư c ợ gọi là tập thương, kí hiệu là X/~. Hình 24
Các tính chất cơ bản của các lớp tương đương của quan hệ ~ được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X ≠ φ. Khi đó: (i) Với mọi x ∈ X, x ∈ ,
(ii) Với mọi x , x ∈ X, = ⇔ x ~ x , 1 2 1 2 1 2
(iii) Với mọi x , x ∈ X, nếu Thì = φ. 2 1 2 1 1 2 Chứng minh:
(i) Vì quan hệ ~ là phản xạ nên với mọi x ∈ X, x ~ x. Do đó x ∈ .
(ii) Giả sử = . Theo (i), ta có x ∈ ; do đó x ∈ . Vậy x ~ x . Đảo lại, giả 1 2 1 1 1 2 1 2
sử x ~ x . Khi đó nếu x ; thì x ~ x , do đó x ~ x vì quan hệ ~ là bắc cầu. 1 2 1 1 2
Vậy ⊂ . Tương tự, ta có . T hai bao hàm thức trên suy ra = . 2 1 ừ 1 2 1 2
(iii) Giả sử ∩ ≠ φ. Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho x ∈ và x ∈ . Do đó x ~ 2 1 1 2 1
x và x ~ x. Từ đó, ta có x ~ x và x ~ x . Do đó x ~ x . Theo (ii), từ đ 2 1 2 1 2 ó suy ra = . 1 2
Từ định lí trên suy ra định lí sau gọi là nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương.
c) Định lí: Quan hệ tương đương ~ trên tập hợp X ≠ φ chia X thành các tập
con khác đôi một rời nhau (các tập hợp con đó là các lớp tương đư n ơ g của
quan hệ ~) sao cho hai phần tử x, y của tập hợp X thuộc cùng một tập con
khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.
Tập thương X / ~ là một phép phân hoạch tập hợp X. (Xem bài tập 14 trong
Hoạt động 2, Chủ đề 1).
d) Ví dụ về tập thương. Ta trở lại ố b n ví dụ đã nêu.
• Trong Ví dụ 1, quan hệ tương đương ~ trên ⏐R chia tập hợp ⏐R thành các
lớp tương đương. Dễ dàng nhận thấy rằng tất cả các số nguyên thuộc cùng
một lớp tương đương và ngoài các số nguyên không có một số thực nào
thuộc lớp tương đương đó.
• Trong Ví dụ 2, quan hệ tương đương ~ trên X chia tập hợp các Vectơ
buộc trong mặt phẳng ⏐R2 thành các lớp tương đương. Mỗi lớp tương
đương được gọi là một véctơ tự do: Đó là tập hợp ấ t t ả c các vectơ buộc
tương đương với một vectơ buộc cho trước. (Trong sách giáo khoa toán ở
trường phổ thông hai vectơ tương đương được gọi là bằng nhau; đó là hai
vectơ cùng hướng có độ dài bằng nhau, xem hình 25). Hình 25
• Trong ví dụ 3, quan hệ tương đương ~ trên D chia tập hợp các đường
thẳng trong mặt phẳng ⏐R2 thành các lớp tương đương. Mỗi ớ l p tương
đương được gọi là một phương. Đó là tập hợp tất ả
c các đường thẳng trong
mặt phẳng ⏐R2 song song hoặc trùng với một đường thẳng cho trư c ớ trong mặt phẳng này Hình 26
• Trong Ví dụ 4, quan hệ “có cùng số dư với... trong phép chia cho 3” chia
tập hợp N thành ba lớp tương đương: . Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 đều
thuộc lớp . Mọi số tự nhiên có số dư là 1 trong phép chia cho 3 đều thuộc
lớp. Mọi số tự nhiên có số dư là 2 trong phép chia cho 3 đều thuộc lớp . Ta lấy thêm một ví dụ. Hình 27 Ví dụ 4.5 :
Xét quan hệ hai ngôi “cùng màu với” trên tập hợp L0 các mảnh lôgic Điênétxơ.
Dễ dàng thấy rằng đó là một quan hệ tương đương trên L0. Quan hệ này
chia L0 thành ba lớp tương đương: Đ, X, N.
Đ là tập hợp các mảnh màu đỏ, X là tập hợp các mảnh màu xanh và N là
tập hợp các mảnh màu nâu. Mỗi lớp tương đương có 16 mảnh với hình
dạng, độ lớn và độ dày khác nhau Hình 28
4.3. ứng dụng của nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương
a) Xây dựng tập hợp các số nguyên Ta nhắc lại ằ
r ng kí hiệu N chỉ tập hợp các số tự nhiên và N2 = N x N chỉ tập
hợp tất cả các cặp thứ tự (m, n), trong đó m và n là những số tự nhiên.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên N x N xác định bởi (m , n ) ~ (m , n ) khi và 1 1 2 2 chỉ khi m + n = m . 2 + n 1 2 1
Quan hệ ~ là một quan hệ tương đương trên N x N.
Thật vậy, vì với mọi (m, n) ∈ N x N, ta có m + n = m + n, nên (m, n) ~ (m,
n). Do đó quan hệ ~ là phản xạ. Dễ ràng thấy rằng quan hệ ~ là đối xứng.
Cuối cùng nếu (m , n ) ~ (m , n ) và (m , n ) ~ (m , n ) thì m + n = m + n và 1 1 2 2 2 2 3 3 1 2 2 1 m + n = m + n . Do đó m + m = m + m ⇔ m + n = m 3 + n 2 1 + n2 2 + n3 2 + n 2 3 3 1 2 1 3 3
+ n , tức là (m , n ) tương đương (m , n ). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu. 1 1 1 3 3
Quan hệ tương đương ~ trên N x N chia tập hợp N x N thành các lớp tương
đương đôi một rời nhau. Các lớp tương đư n
ơ g của quan hệ ~ trên tập hợp N x N được gọi là các số nguyên. Dễ dàng thấy rằng:
• (0, 0) ~ (1, 1) ~ (2, 2) , (3, 3), ...
Lớp tương đương (0, 0)~ có đại diện là phần tử (0, 0) gọi là số nguyên 0.
• Các lớp tương đương (m, n) ~có đại diện là phần tử (m, n) trong đó m > n
và m = n + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên dương k = 1, 2, ...
• Các lớp tương đương (m, n)~ có đại diện là phần tử (m, n) trong đó m < n
và n = m + k, k = 1, 2, ... xác định các số nguyên âm −k = −1, −2, −3, ...
Phép cộng và phép nhân trong tập hợp các số nguyên, tức là trong tập
thương N x N / ~ được định nghĩa như sau:
(m , n )~ + (m , n )~ = (m + m , n + n )~. 1 1 2 2 1 2 1 2 (m ,n ) . (m ) = (m m + n n , m n + n m ) 1 ,2n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Người ta chứng minh được rằng các phép toán được xác định như trên
không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện của các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả mãn các quy tắc về số học đã biết trong tập
hợp các số tự nhiên N; hơn nữa, trong tập hợp các số nguyên, có t ể h t ự h c
hiện phép trừ đối với hai số bất kì.
b) Xây dựng tập hợp các số hữu ỉt
Ta kí hiệu Z là tập hợp các số nguyên, Z* là tập hợp các số nguyên khác 0.
Tích Đêcác Z x Z* là tập hợp các cặp thứ tự (m, n), trong đó m là một số
nguyên và n là một số nguyên khác 0.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên tập hợp Z x Z* xác định như sau:
(m , n ) ~ (m , n ) khi và chỉ khi m n = m . 2 n 1 1 2 2 1 2 1
(Chẳng hạn, ta có (2, 3) ~ (4, 6), (3, 5) ~ (18, 30),
(-3, 7) ~ (-12, 28), (-3, 7) ~ (6, − 14)
Ta chứng minh ~ là một quan hệ tương đương trên Z x Z*.
Thật vậy, dễ thấy quan hệ ~ là phản xạ và đối xứng.
Nếu (m , n ) ~ (m , n ) và (m , n ) ~ (m , n ) thì 1 1 2 2 2 2 3 3 m n = m n và m n = m n (1) 1 2 2 1 2 3 3 2 Do đó: m n m n = m n
n ⇔ m m n = m n m , vì n ≠ 0. Từ đó suy ra rằng nếu m 2 3 2 1m 1 2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 2
khỏc 0 thì m n = m n ; do đó (m , n ) ~ (m , n ). Nếu m = 0 thì từ hai đẳng 1 3 3 1 1 1 3 3 2
thức trong (1) suy ra m = 0 và m = 0. Do đó ta ũ
c ng có m n = m n , tức là 1 3 1 3 3 1
(m , n ) ~ (m , n ). Vậy quan hệ ~ là bắc cầu. 1 1 3 3
Quan hệ tương đương ~ trên Z x Z* chia tập hợp Z x Z* thành các lớp tương đư n ơ g đôi một rời nhau.
Các lớp tương đương của quan hệ tương đương ~ trên Z x Z* gọi là các số hữu tỉ.
Lớp tương đương (m, n)~ có đại diện là phần tử (m, n) xác định số hữu tỉ,
kí hiệm là . Hai cặp thứ tự (m , n ) và (m
) thuộc cùng một lớp tương 1 2, n 1 2
đương, tức là m n = m n , xác định cùng một số hữu tỉ. Như vậy, hai số hữu 1 2 2 1 tỉ là bằng nhau.
Phép cộng và phép nhân trong tậphợp các số hữu tỉ, tức là trong tập thương
Z x Z*/~ được định nghĩa như sau:
(m , n )~ + (m , n )~ = (m n + n m , n )~, 2 1n 1 1 2 2 1 2 1 2
(m , n )~ . (m , n )~ = (m m , n n )~ 1 1 2 2 1 2 1 2
Người ta chứng minh được rằng hai phép toán được xác định như trên
không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện của các lớp tương
đương, các phép toán đó thoả mãn các quy tắc về số học trong tập hợp các
số nguyên; hơn nữa, trong tập hợp các số hữu tỉ phép chia cho một số khác
không bao giờ cũng thực hiện được.
Hot động 4.1. Tìm hiu v quan h tương đương Nhiệm vụ:
Nhi•m v• 1: Đọc các thông tin cơ bản để có được các kiến thức về:
− Định nghĩa quan hệ tương đương.
− Định nghĩa lớp tương đương, tập thương.
− Một số ví dụ về quan hệ tương đương, tập t ư h ơng. Nhiệm vụ 2:
Trình bày và thấy được tầm quan trọng của nguyên lí đồng nhất các phần tử tương đương:
− Quan hệ tương đương trên một tập hợp chia tập hợp đó thành các lớp tương đư n ơ g đội một rời nhau.
− Biết vận dụng một cách sinh động nguyên lí này trong các ví dụ và ứng dụng khác nhau. Đánh giá h o t động 4.1 1. Gọi ~ , ~
, theo thứ tự, là quan hệ hai ngôi “có cùng hình dạng với”, 1 2 và ~3
“có cùng độ lớn với” và “có cùng độ dày ớ
v i” trên tập hợp L0 các mảnh lôgic.
a) Chứng minh rằng chúng là những quan hệ tương đương trên L0.
b) Mỗi quan hệ đó chia tập hợp L0 thành mấy lớp tương đương?
2. Gọi R là quan hệ hai ngôi “có cùng số dư với... trong phép chia cho 4” trên tập hợp N.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên tập hợp N.
b) Quan hệ tương đương R trên N chia tập hợp N thành mấy lớp tương
đương? Hãy vẽ sơ đồ Ven biểu d ễ i n các lớp tương đ ương của quan hệ R.
3. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5} và P = P(X) là tập hợp các tập con của X.
Gọi ~ là quan hệ hai ngôi trên P xác định bởi: A ~ B khi và chỉ khi N (A) = N (B)
Trong đó N (C) là số phần tử của tập hợp C ⊂ X.
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên P.
b) Tìm lớp tương đương của quan hệ ~ trên P, có đại diện là phần tử {1, 3} của P.
4. Gọi X = ⏐R2 là tập hợp các điểm của mặt phẳng và ~ là quan hệ hai ngôi
trên tập hợp ⏐R2 xác định bởi:
(x , y ) ~ (x , y ) khi và chỉ khi . 1 1 2 2
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đư n ơ g trên ⏐R2.
b) Tìm tập thương ⏐R2/ ~.
5. Cho một tập hợp X ≠ φ. Chứng minh rằng quan hệ đồng nhất R trên X là
một quan hệ tương đương trên X và tìm tập thương X/R.
6. Gọi D là tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẳng và a là một
đường thẳng cho trước trong mặt phẳng đó. Gọi R là quan hệ hai ngôi trên
D xác định như sau: Với mọi x, y ∈ D, x R y khi và chỉ khi x ∩ a ≠ φ và y ∩ a ≠ φ.
R có phải là một quan hệ tương đương trên D hay không?
7. Cho các tập con của ⏐R2: A = {x ∈⏐R : 1 ≤ x < 7}, B = {x ∈⏐R : x < −2}
và C = {x ∈⏐R : 5 < x ≤ 10). Tồn tại hay không một quan hệ tương đương
R trên tập hợp R sao cho các tập hợp A, B, C là những lớp tương đư n ơ g của quan hệ R
8. Giả sử X là một tập hợp khác φ, A , A, ..., Am là những tập con khác rỗng đôi một rời nhau của X và 1 2 = X. Gọi
~ là quan hệ hai ngôi trên X xác định như sau:
Với mọi x, y ∈ X, x ~ y khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên k ∈ {1, 2, ...,
m} sao cho x ∈ Ak và y ∈ Ak.
Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đương trên tập hợp X và tìm các lớp tương đư n
ơ g của quan hệ ~ trên X.
9. Cho một tập hợp X ≠ φ và một phần tử a ∈ X. Gọi P = P (X) là tập hợp
các tập con của X và ~ là quan hệ hai ngôi trên P xác định như sau:
Với mọi A, B ∈ P, A ~ B khi và chỉ khi A = B hoặc a ∉ A ∪ B.
a) Chứng minh rằng ~ là một quan hệ tương đư n ơ g trên tập hợp P. b) Tìm tập thương P/~.
10. Ký hiệu C* chỉ tập hợp các số phức có phần thực khác 0. Gọi R là quan
hệ hai ngôi trên C* xác định bởi (a + bi) R (c + di) khi và chỉ khi ac > 0.
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên ⊄*.
b) Minh hoạ hình học các lớp tương đương của quan hệ R.
Tiu ch đề 1.5. Quan h th t Thông tin cơ bản
Form at t ed: Heading03, Space 5.1. Định nghĩa: Before: 0 pt Form at t ed: Heading04
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó là
phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng, tức là nếu R thoả mãn các điều kiện sau:
a) Với mọi x ∈ X, x R x,
b) Với mọi x, y, z ∈ X, (x R y và y R z) ⇒ x R z,
c) Với mọi x, y ∈ X, (x R y và y R x) ⇒ x = y.
Người ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự là “≤”. Như vậy x R y được viết là
x ≤ y, đọc là x nhỏ hơn hoặc bằng y, hay y lớn hơn hoặc bằng x.
Nếu ≤ là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì cặp (X, ≤) gọi là ộ m t tập
hợp sắp thứ tự. Người ta cũng gọi X là ộ m t tập hợp sắp t ứ h tự khi chỉ nói
tới một quan hệ thứ tự nào đó trên X. Ví dụ 5.1:
Quan hệ hai ngôi “chia hết” trên tập hợp N* là một quan hệ thứ tự trên N* vì:
Với mọi số nguyên dương n, ta có n / n (n chia hết n),
Với mọi m, n, k N*, (m / n và n / k) m / k,
Với mọi m, n N*, (m / n và n / m) m = n, Ví dụ 5.2:
Cho tập hợp X ≠ φ và tập hợp Q n ữ
h ng tập con của X (Q ⊂ P(X)), Q ≠ φ.
Quan hệ hai ngôi “chứa trong” trên Q là một quan hệ thứ tự vì: Với mọi A ∈ Q, A ⊂ A,
Với mọi A, B, C ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C,
Với mọi A, B ∈ Q, (A ⊂ B và B ⊂ A) ⇒ A = B. Ví dụ 5.3:
Nếu X là một tập con khác φ của tập hợp các số thực thì quan hệ hai ngôi
“≤” trên X là một quan hệ thứ tự vì với mọi x, y, z ∈ X, ta có:
x ≤ x, (x ≤ y và y ≤ z) ⇒ x ≤ z, (x ≤ y và y ≤ x) ⇒ x = y.
Để phân biệt quan hệ t ứ
h tự ≤ trên một tập hợp X tuỳ ý với quan hệ ≤ trên
R, ta gọi quan hệ sau là quan hệ thứ tự thông thư n ờ g trên R. Ví dụ 5.4:
Xét các quan hệ hai ngôi trên các tập hợp X, Y, Z được biểu diễn bởi các
lược đồ hình tên trong hình 29 Hình 29
Trong lược đồ hình tên 29 a), quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X = {a, b}
được xác định bởi: a R a, b R b, a R b.
Dễ dàng thấy rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
• Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Y = {a, b, c} được biểu diễn bởi lược đồ
hình tên 29 b) không phải là một quan hệ thứ tự trên tập hợp Y vì nó không
phải là quan hệ phản đối xứng : a R b, b R a và a ≠ b.
Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp Z = {a, b, c, d} được biểu diễn bởi lược đồ
hình tên 29 c) không phải là một quan hệ thứ tự trên Z vì nó không phải là
quan hệ bắc cầu: a R b và b R c nhưng không có a R c.
5.2. Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt Form at t ed: Heading04
a) Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi ℜ trên tập hợp X gọi là quan hệ thứ tự
nghiêm ngặt nếu nó là đối p ả
h n xạ và bắc cầu, tức là ế n u R thoả mãn các điều kiện sau:
a) Với mọi x ∈ X, không có x R x, tức là (x, x) ∉ R,
b) Với mọi x, y, z X, (x R y và y R z) x R z.
Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt R thường được kí hiệu là “<”. Như vậy, x R y
được viết là x < y, đọc là x đứng trước y. Ví dụ 5.5:
Dễ dàng thấy rằng quan hệ hai ngôi “lớn hơn” (theo nghĩa thông thường)
(>) trên tập hợp R là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Quan hệ hai ngôi “đắt hơn” trên một tập hợp các mặt hàng cũng là một
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt.
Chú ý rằng quan hệ thứ tự nghiêm ngặt không phải là một quan hệ thứ tự.
Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ
h tự nghiêm ngặt được cho trong hai định lí sau. b) Định lí
Nếu là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X thì quan hệ hai ngôi < trên X xác
định bởi x < y khi và chỉ khi x ≤ y và x ≠ y, là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X. Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ < suy ra rằng < không phải là một quan hệ đối
phản xạ. Ta chứng minh < là bắc cầu. Thật vậy, giả sử x < y và y < z. Khi
đó, x ≤ y, y ≤ z, x ≤ y và y ≠ z. Vì là một quan hệ bắc cầu nên từ đó suy ra
x ≤ z. Nếu x = z thì ta có z ≤ y và y ≤ z. Do đó y = z (suy ra từ tính phản đối
xứng của quan hệ ≤); điều này mâu thuẫn với y ≤ z. Vậy x ≤ z. Như vậy, ta
có x ≤ z và x ≠ z, tức là x < z. Đảo lại, ta có: c) Định lí
Nếu < là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp X thì quan hệ hai
ngôi ≤ trên X xác định bởi: x ≤ y khi và chỉ khi x < y hoặc x = y, là một quan hệ thứ tự trên X. Chứng minh :
Từ định nghĩa của quan hệ ≤ suy ra rằng ≤ là một quan hệ phản xạ. Ta
chứng minh ≤ là quan hệ bắc cầu.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ z. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < z hoặc y =
z. Nếu x < y và y < z thì x < z; do đó x z. Nếu x < y và y = z thì x < z; do
đó x ≤ z. Nếu x = y và y < z thì x < z; do đó x ≤ z. Cuối cùng nếu x = y và y
= z thì x = z, do đó x ≤ z.
≤ là quan hệ phản đối xứng.
Thật vậy, giả sử x ≤ y và y ≤ x. Khi đó, x < y hoặc x = y và y < x hoặc y =
x. Hai điều kiện x < y và y < x loại trừ nhau vì nếu xảy ra đồng thời hai
điều kiện này thì ta có x < x điều này không thể vì < là quan hệ đối p ả h n xạ.
Hai điều kiện x < y và y = x loại trừ lẫn nhau. Hai điều kiện x = y và y < x
cũng loại trừ nhau. Do đó chỉ có thể xảy ra một trường hợp x = y và y = x.
Như vậy các điều kiện x ≤ y và y ≤ x kéo theo x = y.
Giả sử là một quan hệ thứ tự trên tập hợp X và x, y là hai phần tử của X.
Ta nói rằng x đứng trước y nếu x ≤ y và x ≠ y. Khi đó, ta viết x < y (< là
quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trên X nói trong Định lí b).
5.3. Quan hệ thứ tự toàn phần và quan hệ thứ ự t bộ p ậ h n. Form at t ed: Heading04
Quan hệ thứ tự ≤ trên tập hợp X gọi là toàn phần nếu với hai p ầ h n tử bất kì
x, y của X, ta có x ≤ y hoặc y ≤ x.
Trong lược đồ hình tên của quan hệ thứ tự toàn phần trên ậ t p hợp X, các
phần tử của X đôi một được nối với nhau bởi ít nhất một mũi tên.
Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử x, y của X sao cho cả hai điều kiện x ≤ y và y
≤ x đều không xảy ra thì ≤ gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Ví dụ 5.6:
Quan hệ thứ tự “≤” (theo nghĩa thông thường) trên tập hợp R là toàn phần.
Quan hệ “chia hết” trên tập hợp N* là quan hệ thứ tự bộ phận vì chẳng hạn
số nguyên 3 và 7 là không so sánh được”. Ta không có 3 / 7, cũng không có 7 / 3.
Quan hệ thứ tự nghiêm ngặt < trên tập hợp X được gọi là toàn phần nếu với
hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X, ta có x < y hoặc y < x.
Nếu tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau x, y của X sao cho cả hai điều
kiện x < y và y < x đều không xảy ra thì quan hệ < được gọi là bộ phận. Ví dụ 5.7 :
Xét các quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ h tự nghiêm ngặt b ể i u diễn bởi các
lược đồ hình tên trong hình 29 dưới đây. Hình 30
Quan hệ thứ tự trên tập hợp A được b ể i u diễn ở
b i lược đồ hình tên 30 a) là
toàn phần. Quan hệ thứ tự trên tập hợp B trong Hình 30 b) là bộ phận. Quan
hệ thứ tự nghiêm ngặt trên tập hợp C trong Hình 30 c) là toàn phần. Lược
đồ hình tên trong Hình 30 c) biểu diễn quan hệ thứ tự nghiêm ngặt bộ phận trên tập hợp D.
5.4. Các phần tử tối đại, tối tiểu Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X được gọi là tối 0
đại nếu nó không đứng trước bất kì một phần tử nào của X, tức là không
tồn tại x ∈ X sao cho x < x. 0
Nói một cách khác, x ∈ X là phần tử tối đại nếu không tồn tại x ∈ X sao 0 cho x ∈ x và x ≠ x. 0 0
Điều kiện này tương đương với điều kiện sau:
Với mọi x ∈ X, nếu x ∈ x thì x = x . 0 0 Ví dụ 5.8:
Cho tập hợp X ≠ φ. Gọi P = P(X) là tập tất cả các tập con của X. Ta biết
rằng quan hệ hai ngôi “⊂” trên P là một quan hệ thứ tự. Do đó (P, ⊂) là một
tập hợp sắp thứ tự. Ta chứng minh X là phần tử tối đại của P.
Thật vậy, giả sử A P và X A. Khi đó, ta có A X và X A. Do đó A = X.
Vậy X là phần tử tối đại. Mọi tập hợp A ∈ P khác X đều không phải là
phần tử tối đại vì A ⊂ X. Như vậy X là phần tử tối đại duy nhất. Ví dụ 5.9 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và là quan hệ trên X xác định
như sau: Với mọi m, n ∈ X, m ≤ n khi và chỉ khi m chia hết cho n.
Dễ dàng thấy rằng là một quan hệ thứ tự trên X. Ta chứng minh rằng mỗi
số nguyên tố đều là một phần tử tối đại. Thật ậ
v y, nếu p là một số nguyên
tố và n ∈ X, p ≤ n thì n = p. Do đó p là một phần tử tối đại. Như vậy tập
hợp sắp thứ tự X có vô số phần tử tối đại. Ví dụ 5.10 :
Kí hiệu ≤ là quan hệ “chia hết” trên ậ
t p hợp N*: Với m, n nguyên dương, m
≤ n khi và chỉ khi m : n.
Tập hợp sắp thứ tự N* không có phần tử tối đại vì với mọi n ≤ N*, ta có n :
2n và 2n ≠ n, tức là n ≤ 2n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể có một h ặ o c nhiều
phần tử tối đại, cũng có thể không có phần tử tối đại nào.
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, phần tử
tối đại được biểu diễn bởi một điểm mà từ đó không có một mũi tên nào đi
đến các điểm khác. Trong hình 31, c và d là hai phần tử tối đại của tập hợp sắp thứ tự X. Hình 31
b) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự. Phần tử x ∈ X gọi là tối tiểu nếu 0
không có một phần tử nào của X đứng trước nó, tức là không tồn tại x ∈ X, x ≠ x sao cho x ≤ x .0 0
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n ử t
tối tiểu được biểu diễn bởi một điểm mà không có bất kì một mũi tên nào đi
từ các điểm khác đến điểm đó. Trong Hình 30, a và d và hai điểm tối tiểu
của tập hợp sắp thứ tự X. Chú ý rằng d cũng là điểm ố t i dại của X. Ví dụ 5.11 :
Giả sử P là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp X ≠ φ. Khi đó, tập hợp
sắp thứ tự (P, ⊂) có một phần tử tối tiểu duy nhất, đó là tập hợp φ. Thật
vậy, với mọi A ∈ P mà A ⊂ φ, ta có A = φ. Do đó là phần tử tối tiểu. Ngoài
ra, với mọi A ∈ P mà A ≠ φ, ta có φ ⊂ A. Do đó A không phải là phần tử tối tiểu. Ví dụ 5.12 :
Giả sử X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1. Ta biét rằng (X, :) là một tập
hợp sắp thứ tự (kí hiệu : chỉ quan hệ “chia hết” trên X). ế N u p là một số
nguyên tố thì với mọi n ∈ X, mà n : p, ta có n = p. Do đó p là một phần tử
tối tiểu của tập hợp sắp thứ tự X. Như vậy, X có vô số phần tử tối tiểu, đó là
tất cả các số nguyên tố. Ví dụ 5.13 :
Gọi X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho”
trên X (Xem ví dụ 9). Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) không có phần tử tối tiểu vì
với mọi n ∈ X, ta có 2n chia hết cho n và 2n ≠ n, tức là 2n ≤ n và 2n ≠ n.
Các ví dụ trên cho thấy một tập hợp sắp thứ tự có thể có một h ặ o c nhiều
phần tử tối tiểu và cũng có thể không có phần tử tối tiểu nào.
5.5. Các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X gọi là lớn nhất 0
nếu: x ∈ x với mọi x ∈ X. 0
b) Định lí: Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần tử lớn nhất.
Phần tử lớn nhất là tối đ i ạ . Chứng minh
Giả sử x và x là những phần tử lớn nhất trong ậ
t p hợp sắp thứ tự X. Khi 0 1 đó: x ≤ x với mọi x ∈ X 0 và x ≤ x với mọi x ∈ X. 1
Do đó x ≤ x và x ≤ . Vì quan hệ ≤ là phản đối xứng nên từ đó suy ra x = 0 0 x 1 1 1
x . Vậy phần tử lớn n ấ
h t, nếu có, là duy nhất. 0
Giả sử x là phần tử ớn nhất trong (X, ≤). Khi đó, với mọi x ∈ X, nếu x ≤ x 0 l 0
thì vì ta cũng có x ≤ x (suy ra từ định nghĩa của x ) nên x = x . Vậy x là 0 0 0 0 phần tử tối đại
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n tử
lớn nhất được biểu diễn bởi một điểm mà tại mỗi điểm của tập hợp đều có
một mũi tên đi từ đó đến điểm đã nêu. Hình 32
Trong Hình 32, d là phần lớn nhất của tập hợp sắp thứ tự A. Ví dụ 5.14 :
Trong tập hợp sắp thứ tự (P, ⊂) (P = P (X) là tập hợp tất ả c các tập con của
hợp X ≠ φ), tập hợp X là phần ử t lớn n ấ h t. • Tập hợp ắ
s p thứ tự (N*, :) không có phần tử tối đại. Do đó, theo Định lí
b), tập hợp N* không có phần tử lớn nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự (X, ≤), trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn
hơn 1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong tập hợp này không có
phần tử lớn nhất vì với mỗi n ∈ X, số n + 1 không chia hết cho n. Để ý rằng
trong (X, ≤) có vô số phần tử tối đại (xem Ví dụ 9).
c) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Phần tử x ∈ X gọi là nhỏ nhất 0 nếu
x ≤ x với mọi x ∈ X. Tương tự như trong Định lí b), dễ dàng chứng minh 0 được rằng.
d) Tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) có nhiều nhất là một phần tử nhỏ nhất. Phần tử
nhỏ nhất là tối tiểu.
Trong lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp, p ầ h n tử
nhỏ nhất được biểu diễn bởi một điểm mà từ đó có các mũi tên đi đến mọi
điểm Hình 33 khác của tập hợp. Hình 33
Hình 33, a là phần tử nhỏ nhất của tập hợp ắ s p thứ tự A. Ví dụ 5.15:
• Trong tập hợp sắp thứ tự (P, ⊂), trong đó P là tập ợ h p tất cả các tập con
của tập hợp X ≠ φ, φ là phần tử nhỏ nhất duy nhất.
• Xét tập hợp sắp thứ tự (X, ≤), trong đó x là tập hợp các số nguyên lớn hơn
1 và ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên X. Trong Ví dụ 13, ta biết rằng trong
X không có phần tử tối tiểu. Do đó, theo Định lí d), tập hợp sắp thứ tự X
không có phần tử nhỏ nhất. • Tập hợp ắ
s p thứ tự (X, :), trong đó X là tập hợp các số nguyên lớn hơn 1
và : là quan hệ “chia hết” trên X, không có phần tử nhỏ nhất vì với mọi n ∈
X, n không chia hết n + 1. Để ý rằng tập hợp sắp thứ tự này có vô số phần
tử tối tiểu (xem Ví dụ 12).
5.6. Các tập con của một tập sắp thứ tự. Bổ đề Doóc −nơ (Zorn). Form at t ed: Heading04
a) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự và A là một tập con của X. Gọi A
là quan hệ hai ngôi xác định trên tập hợp A như sau: Với mọi x, y ∈ A, x ≤ A y khi và chỉ khi x ≤ y.
Dễ dàng thấy rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên A. Tập hợp sắp t ứ h tự (A, A
≤ ) gọi là tập con sắp thứ tự của tập hợp sắp thứ tự (X, ≤). A
Thay cho (A, ≤ ) người ta viết (A, ≤). Khi nói A là một tập con của tập hợp A
sắp thứ tự (X, ≤) mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu A là tập hợp sắp thứ tự (A, ≤).
b) Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp t ứ
h tự. Tập con A của X gọi là dây xích
nếu với mọi x, y ∈ X, x ≤ y hoặc y ≤ x.
Nói một cách khác, A là một dãy sích nếu quan hệ thứ tự ≤ trên A là toàn A phần. Ví dụ 5.16 :
• Tập con A = {5, 15, 60} là một dây xích trong tập hợp sắp thứ tự (N*, :).
• Tập con B = {3, 6, 12, 18} không phải là một dõy xích trong tập hợp sắp
thứ tự (N*, ≤), trong đó ≤ là quan hệ “chia hết cho” trên N vì 18 không chia hết cho 12.
c) Phần tử chặn trên, chặn dưới
Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự và A là một tập hợp con của X. (i)
x ∈ X gọi là phần tử chặn trên của A nếu x ≤ x ới mọi x ∈ A. 0 v 0
(ii) x ∈ X gọi là phần tử chặn dưới của A nếu x ≤ x với mọi x ∈ A. 0 0 Ví dụ 5.17 :
Xét tập hợp sắp thứ tự (N*, :) và tập con A = {10, 15, 20}.
Dễ dàng thấy rằng các số 60, 120, 180, ... là những phần tử chặn trên của A
và các số 1, 5 là các phần tử chặn dưới của A. Ví dụ 5.18 :
Xét hai tập con Z (là tập các số nguyên) và X = {x ∈ R : −1 ≤ x < 3} của
tập hợp sắp thứ tự (R, ≤) (≤ là quan hệ thứ tự thông thường trên R).
Dễ dàng thấy rằng trong R không có phần tử chặn trên cũng không có phần
tử chặn dưới của Z, mỗi số thực lớn hơn hoặc bằng 3 đều là một phần tử
chặn trên của A và mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −1 là một p ầ h n tử chặn dưới của A.
Như vậy, một tập con của một ậ t p hợp sắp t ứ
h tự có thể có một hoặc nhiều,
cũng có thể không có phần tử chặn trên, chặn dưới.
Bổ đề mà ta thừa nhận sau đây là một định lí quan trọng được áp dụng ð?
chứng minh nhiều định lí.
d) Bổ đề Zooc−nơ. Giả sử (X, ≤) là một tập hợp sắp thứ tự. Nếu trong X
mỗi dây xích đều có một phần tử chặn trên thì trong X có phần tử tối đại.
Hot động. Tìm hiu
v quan h th t Form at t ed: Heading02 Nhiệm vụ: Delet ed:
Form at t ed: Heading03, Space
Sinh viên đọc thông tin cơ bản đ
ể thực hiện các nhiệm vụ sau Before: 0 pt Nhiệm vụ 1 Form at t ed: Heading04
Trình bày các khái niệm quan hệ thứ tự và quan hệ t ứ h tự nghiêm ngặt,
quan hệ thứ tự toàn phần và bộ phận. Lí giải một ố
s quan hệ thứ tự thường gặp như quan hệ “chia hết”, quan hệ
“chia hết cho” trên tập hợp N*, quan hệ “bao hàm” trên một tập hợp những
tập hợp ,quan hệ (nhỏ hơn hoặc bằng theo nghĩa thông thường) trên tập hợp R.
Nhận biết một quan hệ cho trước trên một tập hợp có phải là một quan hệ
thứ tự hay không, biết cho các ví dụ về quan hệ thứ tự.
− Biểu diễn một số quan hệ thứ tự và quan hệ thứ tự nghiêm ngặt ằ b ng lược đồ hình tên. Nhiệm vụ 2 Form at t ed: Heading04
Trình bày các khái niệm phần tử tối đại, tối tiểu, phần tử lớn nhất, nhỏ
nhất, phần tử chặn trên, chặn dư i
ớ , dây xích trong một tập hợp sắp thứ tự.
Tìm các phần tử đó nêu trong một tập hợp sắp thứ tự cho trước.
− Biểu diễn được các phần tử này trong một số quan hệ thứ tự bằng lược đồ hình tên.
Đánh giá hot động 5.1 Form at t ed: Heading02
1. Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36}. Gọi ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Chứng minh ≤ là một quan hệ thứ tự trên X.
b) Quan hệ thứ tự ≤ trên X có phải là toàn phần không?
2. Cho tập hợp A = {3, 6, 12, 36, 48}. Quan hệ “chia hết cho” trên A có
phải là một quan hệ thứ tự không? Nếu có, nó có phải là một quan hệ toàn phần không?
3. Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp C các số phức xác định như sau:
Với mọi a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) ℜ (c + di) khi và chỉ khi a ≤ c và b ≤ d.
a) Chứng minh rằng ℜ là một quan hệ thứ tự trên C.
b) R có phải là toàn phần không?
4. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và quan hệ hai ngôi R xác định trên
X như sau: Với mọi x, y ∈ X, x R y khi và chỉ khi x ≤ y và 2 : (x − y).
a) Chứng minh rằng R là một quan hệ thứ tự trên X.
b) R có phải là toàn phần không?
c) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
5. Giả sử X là tập hợp tất cả các dãy số thực và R là quan hệ hai ngôi trên X
xác định như sau: Với mọi dãy số thực (xn) và (yn), (xn) R (yn) khi và chỉ
khi tồn tại một số nguyên dương m sao cho xn ≤ yn với mọi n > m.
a) Chứng minh quan hệ R là phản xạ và bắc cầu.
b) R có phải là quan hệ thứ tự hay không?
6. Có thể xác định được bao nhiêu quan hệ thứ tự.
Trên một tập hợp có hai phần tử?
7. Cho tập hợp sắp thứ tự (X, ), trong đó
X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} và ≤ là quan hệ “chia hết” trên X.
a) Tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của X.
b) Tìm phần tử lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của X.
8. Cho tập hợp sắp thứ tự (X, ≤) ớ
v i X = {35, 36, 3 ,7 38, 39} và là quan hệ
“chia hết cho” trên X. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của X.
9. Các lược đồ hình tên trong Hình 34 dưới đây biểu diễn các quan hệ hai
ngôi RA, RB, RC, theo thứ tự, trên các tập hợp A, B, C. Quan hệ nào trong
ba quan hệ đó là quan hệ thứ tự? Hình 34
10. Hai lược đồ hình tên trong Hình 35 dưới đây biểu diễn quan hệ hai ngôi
R và ϕ, theo thứ tự, trên tập hợp X và Y.
a) Chứng minh rằng R là quan hệ thứ tự trên X và Y là quan hệ thứ tự trên Y.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu và phần tử lớn nhất, n ỏ h nhất của mỗi tập hợp X và Y. Hình 35
11. Cho ví dụ về một tập hợp sắp t ứ
h tự có m phần tử vừa là tối đại ừ v a là tối tiểu.
Hướng dẫn. Xem lược đồ trong Hình 35a)
12. Cho ví dụ về một tập hợp sắp thứ tự có
a) m + 1 phần tử, trong đó có k phần tối đại và một phần tử tối tiểu,
b) m + 1 phần tử, trong đó có k phần tử tối tiểu và một p ầ h n tử tối đại.
13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho bốn hình tròn D , D , D : D và D 2 ,3 D 1 4 1 2
đều có tâm là điểm ố
g c (0, 0) và có bán kính theo thứ tự, là 1 và 2, D có 3
tâm là điểm (2, 0) và bán kính là 1, D có tâm là điểm (−2, 0) và bán kính là 4
4. Gọi X là tập hợp 4 hình tròn đã cho : X = {D , D , D , } và ⊂ là quan hệ 3 D 1 2 4 “chứa trong” trên X.
a) Hãy biểu diễn quan hệ ⊂ bằng lược đồ hình tên.
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu và phần tử lớn nhất, nhỏ nhất ( ế n u có)
của tập hợp sắp thứ tự X.
14. Cho hai tập con A = {9, 18, 36, 72, 216} và B = {7, 14, 28, 56, 84} của
tập hợp N*. A và B có phải là dây xích trong tập hợp sắp thứ tự N* với
quan hệ “chia hết” hay không?
15. Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{7, 11} và B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} trong tập hợp sắp thứ tự {N*, ≤}, trong
đó ≤ là quan hệ “chia hết” trên ậ t p hợp N*.
16. Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của mỗi tập con A =
{6, 9, 15} và B = {35, 36, 37, ...} trong tập hợp sắp thứ tự {N*, ≤}, trong đó ≤
là quan hệ “chia hết cho” trên tập hợp N*.
17. Giả sử {R, ≤} là ậ t p hợp sắp t ứ
h tự, trong đó ≤ là quan hệ “nhỏ hơn
hoặc bằng” (thông thường) trên tập hợp các ố s t ự h c ≤.
a) Tìm các phần tử chặn trên và các phần tử chặn dưới của tập hợp A = [−7,
3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} trong R.
b) Tìm các phần tử chặn trên và chặn dưới (nếu có) của tập hợp N các số tự nhiên.
18. Chứng minh rằng trong mỗi tập con hữu hạn khác rỗng A của tập hợp
sắp thứ tự (X, ≤) luôn tồn tại phần tử tối đại và phần tử tối tiểu. Nếu ngoài
ra, A là một dây xích thì tồn tại phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất của A. Form at t ed: Heading01
TIU CH ĐỀ 1.6. ÁNH X
Thông tin cơ bn
ánh xạ và hàm số, một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, là những khái niệm
quen thuộc với chúng ta đã từ lâu. Đây là những khái niệm quan trọng,
thường gặp không chỉ trong mọi bộ môn toán học mà cả trong vật lí, hoá
học,... cũng như trong các ngành khoa học, kĩ thuật khác. Chủ đề này dành
riêng cho việc giới thiệu định nghĩa, các khái niệm cơ bản về ánh xạ và một
số tính chất chung của ánh xạ. 6.1. Định nghĩa ánh xạ Form at t ed: Heading03 Ta xét một số ví dụ Ví dụ 6.1 :
Giả sử X là tập hợp gồm 7 em học sinh của một trường trung học phổ
thông, trong đó 5 em Cường, Luân, Thái, Mai, Hạnh là học sinh khối 10,
hai em Nguyệt, Việt là học sinh khối 11: X = {c, l, t, m, h, n, v},
Y là tập hợp gồm 5 lớp 10A, 10B, 10C, 10D, 10E của trường Y = {A, B, C, D, E},
và R là quan hệ hai ngôi “là học sinh của lớp” trên X x Y, xác định bởi:
R = {(c, A), (l, B), (t, B), (m, C), (h, D)}.
((<, A) ∈ R hay c R A đư c
ợ hiểu “Cường là học sinh lớp 10A”).
Lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R được cho trong Hình 1 dưới đây.
Ta thấy 5 phần tử c, l, t, m, h của tập hợp X có quan hệ R với những phần
tử trong tập hợp Y, còn hai phần tử n, v không có quan hệ R với bất cứ một
phần tử nào của Y. Như vậy, ta có D (R) ≠ X,
D(R) là tập xác định của quan hệ R: D (R) = (c, l, t, m, h}.
“là học sinh của lớp” Hình 1
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ R ta thấy từ mỗi điểm c, l, t, m, h
có một mũi tên đi ra và không có mũi tên nào đi từ hai điểm n và v. Ví dụ 6.2 :
Giả sử X là tập hợp gồm 5 ông: Hùng, Cung, San, Việt, T ấ u n ở trong một nhà của khu tập thể: X = {h, s, c, v, t},
Y là tập hợp gồm 6 em: Dũng, Anh, Loan, Đào, Mạnh, Kiệt, ở nhà đó: Y = {d, a, l, đ, m, k},
và ϕ là quan hệ hai ngôi “là bố của” trên X x Y xác định bởi:
ϕ = {(h, d), (s, a), (s, l), (c, đ), (v, m), (t, k)}.
((h, d) ∈ φ hay h ϕ d có nghĩa “Ông Hùng là bố của em Dũng”).
Khác với Ví dụ 1, ở đây mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ ϕ với
một phần tử nào đó của Y, tức là D (ϕ) = X. Trên lược đồ hình tên biểu
diễn quan hệ ϕ (Hình 2), ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp X đều có mũi tên
đi ra. Ngoài ra, phần tử s ủ
c a X có quan hệ ϕ với hai phần tử a và l của Y.
Trên lược đồ hình tên, ta thấy có hai mũi tên từ điểm s đi ra. Hình 2 Ví dụ 6.3 : Giả sử X là tập ợ
h p gồm 7 học sinh: Dũng, Mai, Hạnh, Tuấn, Cường, Quỳnh, Việt: X = {d, m, h, t, c, q, v},
Y là tập hợp gồm một số họ: Nguyễn, Lê, Trần, Đặng, Huỳnh, Vũ: Y = {N, L, T, Đ, H, V},
và ρ là quan hệ “có họ là” trên X x Y xác định bởi
ρ = {(d, N), (m, N), (h, L), (t, T), (c, T), (q, Đ), (v, H)}.
((d, N) ∈ ρ hay d ρ N có nghĩa “Dũng có họ là Nguyễn”).
Trong ví dụ này, mỗi phần tử của tập hợp X đều có quan hệ với một phần
tử nào đó của tập hợp Y, tức là D (ρ) = X. Ngoài ra, mỗi phần tử của X chỉ
có quan hệ ρ với một phần ử t duy nhất của Y. Hình 3
Trên lược đồ hình tên biểu diễn quan hệ ρ, ta thấy từ mỗi điểm của tập hợp
X đều có một mũi tên đi ra. Hơn nữa, không có điểm nào của X mà từ đó có quá một ũ m i tên đi ra.
Tóm lại, quan hệ hai ngôi ρ trên X x Y thoả mãn điều kiện sau:
Với mỗi phần tử x của tập hợp X, tồn tại một phần tử duy nhất y của tập hợp Y sao cho x ρ y.
Quan hệ ρ được gọi là một ánh xạ. Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: Giả sử X và Y là hai tập hợp. Quan hệ hai ngôi f trên X x Y
gọi là một ánh xạ từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại một phần
tử duy nhất y ∈ Y sao cho x f y.
ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y được kí hiệu là: f : X → Y.
Nếu x là một phần tử của tập hợp X thì phần tử y của tập hợp Y sao cho x f
y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f (x).
Hiển nhiên ánh xạ f được xác định nếu ảnh f (x) của mỗi phần tử x X đều
được xác định. Vì vậy người ta còn dùng kí hiệu x → f (x), x ∈ X hoặc x y,
x ∈ X để chỉ anh xạ f.
Trong trường hợp X là một tập hợp hữu hạn, người ta thường cho ánh xạ
dưới dạng một bảng gồm hai hàng. Các phần tử của tập hợp X được ghi ở
hàng trên. ảnh tương ứng chúng (những phần tử của tập hợp Y) được ghi ở
hàng dưới. Chẳng hạn, ánh xạ ρ : X → Y trong Ví dụ 3 đư c ợ cho ở bảng sau:
Trước kia ta nói “d có quan hệ ρ với N” và viết d ρ N. Bây giờ ta nói “N là
ảnh của d qua ánh xạ ρ” và viết: N = ρ (d).
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y.
Khi đó, X được gọi là tập xác định của ánh xạ f. Tập hợp các ảnh f (x) của
tất cả các phần tử x của tập hợp X được gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu là f (X).
Như vậy, với mọi y ∈ Y,
y ∈ f (X) khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho y = f (x), tức là:
f(X) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X sao cho y = f(x)}.
Hiển nhiên f (X) là một tập con của Y. Tập hợp Y chứa ảnh của ánh xạ f
được gọi là tập đến (hoặc tập đích) ủ c a f.
Trở lại các ví dụ đã xét, ta thấy quan hệ ℜ trong Ví dụ 1 là quan hệ ρ trong
Ví dụ 2 không phải là những ánh xạ. Hiển nhiên quan hệ ρ trong Ví dụ 3 là
một ánh xạ như đã nêu. Tập xác định của ánh xạ ρ là X.
ρ (d) = N, ρ (m) = N, ρ (h) = L, ..., ρ (v) = H. ảnh của ánh ạ x là:
ρ (X) = {N, L, T, Đ, H} ⊂ Y.
Không có phần tử nào của tập hợp X có quan hệ ℜ với phần tử V ∈ Y, tức
là V không phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X. Như vậy ρ(X) là một tập con thực sự của Y, tức là ρ(X) ⊂ Y và ρ(X) ≠ Y. Ví dụ 6.4 :
Cho tập hợp X = {a, b, c} và ánh xạ f: X → N xác định bởi bảng sau:
a) Biểu diễn ánh xạ f bằng lược đồ hình tên. b) Tìm ảnh của f.
a) Lược đồ hình tên của ánh xạ f được cho trong Hình 4 dưới đây: Hình 4
b) ảnh của ánh xạ f là : f (X) = {1, 3, 5}.
f (X) là một tập con thực sự của N.
ánh xạ mà tập xác định và tập đ n
ế đều là những tập hợp số (như N, Z, Q,
⏐R, C hoặc các tập con của chúng) thường được cho bởi một công thức.
Chẳng hạn, khi cho hàm số : f : ⏐R* → ⏐R
xác định bởi công thức : x → f(x) = ,
ta hiểu rằng mỗi số thực x ≠ 0 nhận một phần tử duy nhất y = ∈⏐R làm ảnh của nó qua ánh xạ f.
(Kí hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác không :⏐R* = ⏐R\{0}). Ví dụ 6.5 :
ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác định bởi công thức x f(x) = sin x là một ánh xạ từ
tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R.
Tập xác định của hàm số f là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh xạ
là tập hợp: f (⏐R) = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1},
vì với mọi số thực y, y f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = sin x
Điểu này xảy ra khi và chỉ khi −1 ≤ y ≤ 1 Ví dụ 6.6 :
ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi công thức x → f(x) = x2 + 1 là một ánh xạ
từ tập hợp các số thực ⏐R vào ⏐R.
Tập xác định của ánh xạ này là ⏐R. Tập đến của f cũng là ⏐R. ảnh của ánh
xạ: f (⏐R) = {y ∈ ⏐R : y ≥ 1},
vì với mọi số thực y, y ∈ f (⏐R) khi và chỉ khi y = f (x) = x2 + 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi y ≥ 1. Ví dụ 6.7 :
Giả sử X là một tập hợp cho trước tuỳ ý. ánh xạ I: X → X xác định bởi x →
I (x) = x là một ánh xạ từ X vào X.
Tập xác định của ánh xạ I là X. Tập đến của I cũng là X. Hiển nhiên ảnh
của ánh xạ I là I (X) = X.
I được gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X. Khi có nhiều tập hợp X, Y,
... được đồng thời đề cập đến, để phân b ệ
i t, người ta dùng các kí h ệ i u IX,
IY, ... để chỉ các ánh xạ đồng nhất trên các tập hợp X, Y, ... Ví dụ 6.8 :
Phép cộng trên tập hợp các số thực ⏐R là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R2 = ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R:
ánh xạ f: ⏐R x ⏐R → ⏐R xác định bởi: (x, y) → f (x, y) = x + y là một ánh
xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R.
(ảnh của phần tử (x, y) ∈ ⏐R x ⏐R qua ánh xạ f được kí hiệu là f (x, y) thay cho f ((x, y))).
Tập xác định của ánh xạ f là ⏐R x⏐R. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy
rằng ảnh của f là f (⏐R x ⏐R) = ⏐R.
Tương tự, phép trừ và phép nhân trên tập hợp ⏐R cũng là những ánh xạ từ
tập hợp ⏐R x ⏐R vào tập hợp ⏐R. Ví dụ 6.9 :
Ký hiệu ⏐R* chỉ tập hợp các số thực khác 0: ⏐R* = ⏐R \ {0}. Phép chia
trên ⏐R la f một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập ợ h p ⏐R:
ánh xạ f : ⏐R x ⏐R* → ⏐R xác định bởi (x, y) → f (x, y) =
là một ánh xạ từ tập hợp ⏐R x ⏐R* vào tập hợp ⏐R.
Tập xác định của f là ⏐R x ⏐R*. Tập đến của f là ⏐R. Dễ dàng thấy rằng
ảnh của f là tập hợp f (⏐R x ⏐R*) = ⏐R. 6.2. ánh xạ bằng nhau Form at t ed: Heading03
Giả sử X và Y là hai tập hợp, f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ta nói rằng
hai ánh xạ f và g là bằng nhau, và viết f = g, nếu f (x) = g (x) với mọi x X.
Chẳng hạn, ánh xạ f : ⏐R → ⏐R x → f (x) = x3 − 1
và ánh xạ g: ⏐R → ⏐R
x → g (x) = (x − 1) (x2 + x + 1)
là hai ánh xạ bằng nhau.
6.3. Thu hẹp và thác triển ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y và A là một tập con của X.
ánh xạ g : A → Y xác định bởi g (x) = f (x) với mọi x ∈ A,
Gọi là ánh xạ thu hẹp (gọi tắt là thu hẹp) của ánh xạ f trên tập hợp A và được kí hiệu là f/A.
Như vậy, f/A : A → Y là ánh xạ xác định bởi: x f/A (x) = f(x). Ví dụ 6.10 :
Giả sử f: ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi:
A và B là hai tập con của ⏐R với :
A = {x ∈⏐R : x ≥ 0} và B = {x ∈⏐R : x < 0}.
Khi đó, ánh xạ thu hẹp của f trên A là: f/A: A →⏐R x → f/A (x) = ,
và ánh xạ thu hẹp của f trên B là: f/B: B → ⏐R x → f/B(x) = .
b) Giả sử X, Y là hai tập hợp, A là một tập con của X, f: A → Y và F: X →
Y là những ánh xạ. Nếu F/A = f, tức là F (x) = f (x) với mọi x ∈ A thì ánh
xạ F được gọi là ánh xạ thác triển (gọi tắt là thác triển) của ánh xạ f lên tập hợp X. Ví dụ 6.11 :
Giả sử f : Q → {0, 1} là ánh xạ từ tập hợp các số hữu ỉ t Q vào tập hợp {0, 1} xác định bởi:
f (x) = 1, với mọi x ∈ Q,
và D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi:
Khi đó, ánh xạ D là thác triển của ánh xạ f (từ tập con Q của ⏐R) lên tập
hợp ⏐R. ánh xạ D được gọi là hàm số Điritslê (Diritchlet).
(Điritslê Pitơ Guxtao Lơgiơn (Diritchlet Peter Gustav Lejeune, 1805 −
1859) là nhà toán học Đức).
6.4. Hợp của các ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. ánh xạ
h : X → Z xác định bởi x → h(x) = g [f(x)]
gọi là ánh xạ hợp của hai ánh xạ f và g, kí hiệu là gof.
Như vậy, gof: X → Z là ánh xạ xác định bởi: (gof) (x) = g[f(x)], x ∈ X.
(Trong kí hiệu ánh xạ hợp “gof” của ánh xạ f và g, hãy chú ý đến thứ tự của
hai ánh xạ: g được viết trước f).
Lược đồ sau giúp ta nhớ định nghĩa ánh xạ hợp dễ hơn. Hình 5 Ví dụ 6.12 : (i) cho hai ánh xạ. f: ⏐R → ⏐R x → f (x) = 2 x − và g : ⏐R → ⏐R x → f (x) = sin x.
Khi đó, ánh xạ hợp của f và g là: gof : ⏐R → ⏐R
x → (gof) (x) = sin (2x − ). (ii) cho hai ánh xạ f : ⏐R+ ⏐R x → f (x) =
(Ký hiệu ⏐R+ chỉ tập hợp các số thực không âm), và g: R → ⏐R x → g (x) = cos x.
Khi đó, ảnh xạ hợp của f và g là: gof: ⏐R → ⏐R
x → (fog) (x) = 2 sin x − . Như vậy fog gof.
Người ta nói rằng phép hợp các ánh xạ không có tính giao hoán. Ví dụ 6.12 : Cho hai ánh xạ f : ⏐R → ⏐R x → f (x) = ⏐x⏐ và g : ⏐R+ → P (⏐R)
x → g(x) = [−x, x] = {ξ → ⏐R : −x ≤ ξ ≤ x}
(P (⏐R) là tập hợp các ậ t p con của ⏐R).
ánh xạ hợp của f và g là: gof : ⏐R → P (⏐R)
x → (gof) (x) = [−⏐x⏐, ⏐x⏐] Ví dụ 6.13 :
Dễ dàng thấy rằng với mọi ánh ạ x f : X → Y, fo IX = f và IY of = f,
trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng nhất trên X và Y.
Khi đó, ta nói rằng các lược đồ sau là giao hoán. Hình 6
Định lí sau đây cho thấy phép hợp các ánh xạ có tính kết hợp. c) Định lí
Với mọi ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z và h : Z → V, ho (gof) = (hog) of. Chứng minh
Dễ thấy ho (gof) và (hog) of đều là những ánh xạ từ X đến V Hình 7 Ta chứng minh:
(1) [ho (gof)] (x) = [(hog) of] (x) với mọi x ∈ X.
Thật vậy, với mọi x ∈ X, ta có
(2) [ho (gof)] (x) = h ((gof) (x)) = h (g (f(x))) và
(3) [(hog) of] (x) = (hog) (f(x)) = h (g (f(x))).
Từ hai đẳng thức (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) cần chứng minh.
6.5. Hàm số − Dãy và dãy số. Form at t ed: Heading03
Giả sử fi X → Y là một ánh xạ. Nếu tập đến Y của f là ậ t p hợp số thực thì f
: X → ⏐R được gọi là một hàm số thực.
Nếu Y = C thì ánh xạ f : X → C được gọi là một hàm số phức.
Nếu tập xác định X của f là tập hợp các số nguyên dương N* (hoặc tập hợp
các số tự nhiên N) thì ánh xạ f : N* → Y
(hoặc f : N → Y) được gọi là một dãy vô hạn (gọi tắt là dãy) phần tử của Y.
Giả sử f : N* → Y là một dãy phần tử của Y. Với mỗi số nguyên dương n,
đặt yn = f (n); yn là ảnh của n qua ánh xạ f. Người ta thường dùng kí hiệu
(y , y , ..., yn, ...) hoặc (yn) để chỉ dãy f (vì một ánh xạ được xác định bởi 1 2 ảnh của các p ầ h n tử của nó).
Đặc biệt, nếu X = N* (hoặc N) và Y = ⏐R thì ánh xạ f: N* → ⏐R được gọi
là một dãy số thực. ánh xạ f : N* → C (hoặc f : N → C) được gọi là ộ m t dãy số phức.
Nếu X = {1, 2, ..., m} thì ánh xạ f : X → Y được gọi là một dãy (hữu hạn)
m phần tử của Y. Đặt yk = f (k), k = 1, ..., m. Dãy m phần tử của Y thường
được kí hiệu là (y , y , ..., ym). 1 2
Khi xét các hàm số thực f : X → ⏐R hoặc hàm số phức f : X → C, người ta
gọi ảnh f (x) của phần tử x qua ánh xạ f là giá trị của hàm số f tại điểm x và
gọi ảnh f (X) của f là tập các giá trị của hàm số f.
Chẳng hạn, với hàm số f : ⏐R ⏐R, x f (x) = sin x, giá trị của hàm số tại
điểm x = là f () = sin = và tập các giá trị của hàm số là f (⏐R) = {y ∈ ⏐R: −1 ≤ y ≤ 1}.
Trong một số trường hợp người ta cho hàm số thực f xác định trên một tập
con X nào đó của ⏐R bởi một công thức mà không cho trước tập hợp X.
Khi đó, ta hiểu tập xác định X của hàm số f là tập hợp tất cả các số thực x
sao cho f (x) có nghĩa. Chẳng hạn, tập xác đ n
ị h của hàm số thực f(x) = là tập hợp: X = {x ∈ ⏐R : x ≤ 1}.
B. Hot động 6.1. Tìm hiu các khái nim cơ bn v ánh x Form at t ed: Heading02 Nhiệm vụ: Delet ed:
Sinh viên thảo luận theo nhóm 3 − 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau Form at t ed: Heading03
rồi cử đại diện nhóm trình bày Nhiệm vụ 1 Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về quan hệ hai ngôi không phải là ánh ạ x và biểu diễn quan
hệ đó bằng lược đồ hình tên.
− Cho ba ví dụ về ánh xạ mà tập xác định và tập đến đều không phải là
những hàm số, biểu diễn ánh xạ đó bằng lược đồ hình tên và tìm ảnh của chúng.
− Cho bốn ví dụ về ánh xạ mà tập xác định là N, N*, Z, Q, ⏐R hoặc tập con
của chúng và chỉ ra tập xác định và ảnh của các ánh xạ đó.
− Cho ví dụ về ánh xạ có tập xác định là tập hợp số thực {x ∈ ⏐R : x ≥ 0}
và ảnh là tập hợp { x ∈ ⏐R : 0 ≤ x < 1}. Nhiệm vụ 2 Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về hai ánh xạ bằng nhau. − Hai ánh xạ. f : ⏐R+ →⏐R x → f (x) = và g : ⏐R+ →⏐R x → g(x) = x − 1
Có phải là hai ánh xạ bằng nhau hay không? Nhiệm vụ 3 Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ về ánh xạ thu ẹ h p và ánh xạ thác tr ể i n của một ánh xạ cho trước.
− Cho hai ví dụ về một cặp ánh xạ f, g : X → Y khác nhau nhưng f/ = g/ , A A
A là một tập con của X.
− Cho ba tập hợp A, B, X, trong đó A ⊂ B ⊂ X. Tìm quan hệ giữa các ánh xạ. f/ , (f/ )/A và f/ . A B A ⊂ B Nhiệm vụ 4 Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho ánh xạ hợp gof tồn tại nhưng
không tồn tại ánh xạ hợp fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại nhưng gof ≠ fog.
− Cho hai ví dụ về các ánh xạ f và g sao cho gof và fog đều tồn tại, hơn nữa gof = fog. Đánh giá h o t động 6.1 Delet ed:
1. Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Form at t ed: Heading02
Y = {0, 1, 2, 5, 7, 9} và quan hệ hai ngôi R trên X x Y xác định bởi:
R = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (e, 9)}.
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
2. Cho hai tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} và quan hệ hai
ngôi R trên A x B xác định bởi:
ℜ = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, d), (5, e), (3, c)}.
a) Biểu diễn quan hệ R bằng lược đồ hình tên.
b) R có phải là một ánh xạ không?
3. Cho hai tập hợp X = {3, 5, 7, 12}, Y = {1, 6, 13, 17, 35, 36} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” ϕ trên X x Y.
(Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x ϕ y khi và chỉ khi x chia hết y)/ a) Tìm quan hệ ϕ. b) Biểu d ễ
i n quan hệ ϕ bằng lược đồ hình tên.
c) ϕ có phải là một ánh xạ không?
4. Cho hai tập hợp A = {2, 3, 5, 7, 9} , B = {11, 13, 18, 35, 101} và quan hệ
hai ngôi “chia hết” f trên A x B.
a) Tìm quan hệ f và biểu diễn f bằng lược đồ hình tên.
b) f có phải là một ánh xạ không? Tìm tập xác định và ảnh của f (nếu f là ánh xạ).
5. Lớp 12A của một trường trung học phổ thông có 40 học sinh. Một số em
ở độ tuổi 18, số còn lại ở độ t ổ
u i 17. Gọi X là tập hợp các học sinh lớp 12A,
Y = {17, 18} và R là quan hệ hai ngôi trên X x Y xác định như sau:
Với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x R y khi và chỉ khi y là tuổi của học sinh x.
a) R có phải là một ánh xạ không?
b) Tìm tập xác định và ảnh của R (nếu R là một ánh xạ).
6. Tập hợp X có n phần tử, tập hợp Y có một phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y?
7. Tập hợp X có một phần tử, tập hợp Y có m phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y?
8. Hai tập hợp X và Y đều có hai phần tử. Hỏi có bao nhiêu ánh xạ từ X vào Y.
9. Chứng minh rằng nếu tập hợp X có n phần tử và tập hợp Y có m phần tử
thì có mn ánh xạ từ X vào Y. Hướng dẫn:
Giả sử m là một số nguyên dương t ỳ
u ý và Y = {y , y , ..., ym}. Ta ch ng 1 2 ứ
minh điều khẳng định bằng phương pháp quy nạp theo n. Giả sử n = 1 và X
= {x }. Khi đó có m1 = m ánh xạ từ X vào Y; các ánh xạ đó được xác định 1
như sau: f (x ) = y , f (x ) = y , ... , fm (x ) = ym. Giả sử điều khẳng định 1 1 1 2 1 2 1
đúng cho n, tức là có mn ánh xạ từ tập hợp X = {x , x , ..., xn} (có n phần 1 2
tử) vào tập hợp Y. Ta chứng minh có mn + 1 ánh xạ từ tập hợp X = {x , x , ..., 1 2
xn, xn } vào tập hợp Y. Chia tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y thành m + 1
tập con đôi một rời nhau như sau: Tập con thứ nhất gồm tất ả c các ánh xạ f
: X → Y sao cho f (xn ) = y , tập con thứ hai gồm tất cả các ánh xạ f : X → + 1 1
Y sao cho f (xn ) = y ,..., tập con thứ m gồm tất cả các ánh xạ f X → Y sao + 1 2 1
cho f (xn ) = ym. Hãy chỉ ra rằng mỗi tập con đó có mn phần tử. + 1
10. Ký hiệu P = P (⏐R) chỉ tập hợp tất ả
c các tập con của tập hợp các số
thực ⏐R. Cho ánh xạ f : ⏐R → P xác định bởi công thức:
f(x) = {y ∈⏐R : y ≤ ⏐x⏐ Tìm f(-2), f(0) và f (x2).
11. Cho tập hợp X = {x ∈ ⏐R : 0 ≤ x ≤ 2} và ánh xạ f : X → ⏐R xác định bởi:
Tìm ảnh f (X) của ánh xạ f.
12. Hai ánh xạ f; g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: f (x) = và g (x) =
có phải là những ánh xạ bằng nhau hay không?
13. Cùng câu hỏi của bài tập 12 đối với hai ánh xạ u, v : ⏐R → ⏐R xác định bởi: và v (x) = .
14. Tìm các ánh xạ hợp gof và fog (nếu có) của mỗi cặp hàm số sau đây.
Nếu không tồn tại gof hoặc fog thì giải thích lí do:
a) f : ⏐R+ →⏐R và g : ⏐R →⏐R
x → f(x) = lnx x → g(x) = ex
( là tập hợp các số thực dương: = {x ∈ ⏐R : x > 0};
b) f : ⏐R* → ⏐R và g : ⏐R* → ⏐R
x → f (x) = hvx x → g(x) = cos x.
15. Cho hai ánh xạ f, g : ⏐R → ⏐R xác định bởi: và g(x) = x + 1.
a) ảnh của ánh xạ h : ⏐R → ⏐R phải thoả mãn điều kiện nào để có foh = goh?
b) Tìm ba hàm số h : ⏐R → ⏐R mà ảnh h (⏐R) là một tập hợp vô hạn (tức
là tập hợp có vô số phần tử) sao cho foh = goh.
16. Cho hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định bởi:
f(x) = và g(x) = −2x2 + 33.
Tìm tập con X của ⏐R sao cho: f/ = g/ . X X
17. Cùng câu hỏi của bài tập 16 đối với hai hàm số f, g : ⏐R →⏐R xác định bởi: f(x) = , g(x) = 3 − x2.
18. Giả sử A là một tập con của tập hợp X. ánh xạ
jA : A → X xác định bởi x → jA (x) = x
gọi là phép nhúng tập con A vào tập hợp X.
Chứng minh rằng với mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi A ⊂ X, ta đều có: f/ = fo jA. A
19. Tìm tập xác định và tập các giá trị của hàm số f(x) =
20. Chứng minh rằng nếu Y là một tập hợp có m phần tử thì tồn tại mn dãy n phần tử của Y.
Hướng dẫn. áp dụng bài tập 9.
21. Giả sử X và Y là hai tập hợp bất kì. Ký hiệu YX chỉ tập hợp tất cả các ánh xạ f : X → Y.
Giả sử X, Y, Z là ba tập hợp và f : X → Y là một ánh xạ cho trước. ánh xạ df : ZY → ZX xác định bởi ϕ → df(ϕ) = ϕ f 0
gọi là ánh xạ cảm ứng b?i ánh xạ f.
Cho bốn tập hợp X, Y, Z, W và ϕ f ∈ ZX 0
hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z.
Gọi df : WY → WX, dg : WZ → WY và dgof : WZ → WX, theo thứ tự, là
ánh xạ cảm ứng bởi f, g và gof. Chứng minh rằng dgof = df . dg.
22. Kí hiệu ⏐R⏐R chỉ tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập R vào chính nó (xem
bài tập 21). Gọi ≤ là quan hệ hai ngôi trên RR xác định như sau: Với mọi f, g ∈⏐R⏐R,
f ≤ g khi và chỉ khi f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈⏐R.
a) Chứng minh rằng ≤ là một quan hệ thứ tự trên ⏐R⏐R.
b) Chứng minh rằng trong tập hợp sắp thứ tự ⏐R⏐R không có phần tử tối
đại và phần tử tối t ể i u.
23. Giả sử R là một quan hệ tương đương trên tập hợp X. ánh xạ: π : X → X/R x → (x) =
trong đó là lớp tương đương chứa phần tử x ∈ X gọi là, ánh xạ thương.
Giả sử RX và RY, theo thứ tự, là hai quan hệ tương đương trên hai tập hợp
X, Y và f : X → Y là một ánh xạ sao cho với mọi x , x ∈ X, 1 2 x RXx ⇒ f(x ) RY f(x ). 1 2 1 2
Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ F : X / RX → Y/RY sao cho lược đồ sau giao hoán.
Ngoài ra, nếu f(X) = Y thì F (X/RX) = Y/RY.
(π và π là hai ánh xạ thương). X Y
Form at t ed: Heading01, Line spacing: single
Tiu ch đề 1.7.
đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh x ngược
Thông tin cơ bn Delet ed: 7.1. Đơn ánh
Form at t ed: Heading02, Space Before: 0 pt
Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau: Form at t ed: Heading03
Ví dụ 7.1: Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e},
Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y,
g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây:
Hai ánh xạ f và g được biểu diễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới đây. Hình 2
Ta thấy ba phần tử b, d, e ủ
c a tập hợp X đều có ảnh qua ánh xạ f là phần tử
2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ba điểm b, d, e của X đều đi đến điểm 2 ủ
c a Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b,
c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh xạ g là những phần tử đôi một
khác nhau của tập hợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũi tên từ hai điểm khác
nhau của X đi đến hai điểm khác nhau của Y. Nói một cách khác, hai phần
tử khác nhau bất kì của tập hợp X có ảnh qua ánh xạ g là hai phần tử khác
nhau của tập hợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh.
Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác
nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y,
tức là với mọi x , x ∈ X, 1 2 x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2
Hiển nhiên, điều kiện trên tương đương với điều kiện sau: Với ọ m i x , x ∈ 1 2 X, f(x ) = f(x ) ⇒ x = x 1 2 1 2
Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là một đơn ánh. Ví dụ 7.2 :
(i) Ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = x2 không phải là một đơn ánh vì
chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1.
(ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số nguyên dương m,
n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ .
(iii) Ánh xạ ϕ : ⏐R →⏐R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn
ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤
} thì ánh xạ /A : A → ⏐R, thu hẹp của trên tập con A của ⏐R là một đơn ánh.
Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt
B = {x ∈⏐R : 0 ≤ x ≤ π} thì ánh xạ /B : B →⏐R, thu hẹp của trên tập con B
của ⏐R là một đơn ánh.
ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi h(x) = ⏐x⏐ không phải là một đơn ánh
nhưng ánh xạ h/R+ ⏐R, thu hẹp của h trên tập hợp ⏐R+ các số nguyên không âm R+ là một đơn ánh.
(iv) Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh và A là một tập con
của tập hợp X thì ánh xạ f/A : A → Y, thu hẹp của f trên A, là một đơn ánh. 7.2. Toàn ánh Form at t ed: Heading03
Ta trở lại xét hai ánh ạ x f và g trong Ví dụ 2.1.
ảnh của ánh xạ f là f(X) = {1, 2, 3}. Mỗi p ầ
h n tử 4, 5, 6,7, 8 của Y không
phải là ảnh của bất kì một phần tử nào của X qua ánh xạ f; f(X) là một tập
con thực sự của Y, tức là f(X) ⊂ Y và f(X) ≠ Y. Tương tự, ảnh của ánh xạ g
là g(X) = {1, 3, 4, 6, 7}. Mỗi phần tử 2, 5, 8 của Y không nhận một p ầ h n tử
nào của Y làm ảnh của nó qua ánh xạ g. g(X) cũng là một tập con thực sự của Y. Ta xét một ví dụ khác. Ví dụ 7.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f} và Y = {M, N, P, Q}. Xét ánh xạ ϕ : X → Y cho bởi bảng sau:
ánh xạ ϕ được biểu d ễ
i n bởi lược đồ hình tên trong hình 9 Hình 9
Khác với hai ánh xạ f và g trong Ví dụ 1, ở đây ảnh của ϕ là ϕ(X) = {M, N,
P, Q} = Y. Như vậy mỗi p ầ
h n tử của Y dều là ảnh của một phần tử nào đó
của X qua ánh xạ ϕ. Người ta gọi ánh xạ ϕ là một toàn ánh.
Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa
ánh xạ f: X → Y được gọi là một toàn ánh nếu ảnh của ánh xạ f bằng tập đến của ánh xạ, ứ t c là: f(X) = Y.
Từ định nghĩa của toàn ánh suy ra rằng f : X → Y là một toàn ánh khi và
chỉ khi với mỗi y ∈ Y, tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho f(x) = y.
Hiển nhiên các ánh xạ f và g trong Ví dụ 1 không phải là những toàn ánh. Ví dụ 7.4:
(i) Đặt A = {x ⏐R : < x < }. Ánh xạ f : A → ⏐R xác định bởi f(x) = tgx là
một toàn ánh vì với mọi y ∈⏐R, tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = tgx = y.
(ii) ánh xạ g : ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = ⏐x⏐ không phải là một toàn
ánh vì ảnh của ánh xạ là tập hợp g(⏐R) = {⏐x⏐ : x ∈ ⏐R} = ⏐R+; đó là một
tập con thực sự của ⏐R. Tuy nhiên ánh xạ ϕ : ⏐R → ⏐R+ xác định bởi ϕ(x)
= ⏐x⏐ là một toàn ánh vì ϕ(⏐R) = ⏐R+.
(iii) ánh xạ h : ⏐R → ⏐Rxác định bởi h(x) = sinx không phải là một toàn
ánh vì h(⏐R) = {sin x : x ∈⏐R} = {y ∈⏐R : −1 ≤ y ≤ 1} ≠⏐R.
Tuy nhiên, nếu đặt A = {−1 ≤ y ≤ 1} thì ánh xạ ϕ : ⏐R → A xác định bởi
ϕ(x) = sin x là một toàn ánh.
Toàn ánh f : X Y còn được gọi là ánh xạ từ X lên Y. Chẳng hạn, người ta
gọi toàn ánh ϕ : ⏐R →⏐R+ x → ϕ(x) = ⏐x⏐ là ánh xạ từ ⏐R lên ⏐R+ hoặc toàn ánh từ X lên Y.
Hiển nhiên, nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một toàn ánh thì thay tập
đến Y bởi ảnh f(X) của f, ta được toàn ánh ϕ : X → f(X), x → ϕ (x) = f(x) từ X lên f(X). 7.3. Song ánh Form at t ed: Heading03
Định nghĩa: ánh xạ f : X → Y gọi là một song ánh nếu nó vừa là một đơn
ánh vừa là một toàn ánh.
f là một toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y, tức là với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈
X sao cho f(x) = y. Nếu x’ là một phần tử của X sao cho f(x’) = y thì f(x’) =
f(x). Vì f là một đơn ánh nên từ đó suy ra x’ = x. Do đó
ánh xạ f : X → Y là một song ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử y ∈ Y, tồn
tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y. Ví dụ 7.5:
(i) Dễ dàng thấy rằng ánh xạ f : ⏐R+ →⏐R+ xác đ n
ị h bởi f(x) = x là một 2
toán ánh. Vì với hai số thực x , x không âm bất kì, nếu x ≠ x thì f(x1) = = 1 2 1 2
= f(x ) nên f cũng là một đơn ánh. Do đó f là một song ánh từ ⏐R+ lên ⏐R+. 2
(ii) ánh xạ g: →⏐R xác định bởi g(x) = lnx là một song ánh từ lên ⏐R vì
với mỗi số thực y, tồn tại một số dương duy nhất x sao cho lnx = y. ( là tập
hợp các số thực dương: = {x ∈⏐R : x > 0}).
(iii) ánh xạ h : ⏐R → Xác định bởi h(x) = ex là một song ánh với mỗi số
dương y, tồn tại một số thực duy nhất x sao cho f(x) = ex = y.
(iv) ánh xạ ϕ : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = là một song ánh vì với mỗi số
thực không âm y, tồn tại một thực không âm duy nhất x sao cho ϕ (x) = = y.
(v) Đặt A = {x ∈⏐R: 0 < x < π}. ánh xạ ψ : A →⏐R xác định bởi g(x) =
cotgx là một song ánh từ A lên ⏐R vì với mỗi số thực y, tồn tại ộ m t phần tử
duy nhất x ∈ A sao cho ψ (x) = cotgx = y. 7.4. ánh xạ ngược Form at t ed: Heading03
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó, với
mỗi phần tử y ∈ Y, tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y.
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập ợ h p Y. ánh xạ: g : Y → X
xác định bởi: y → g(y) = x,
trong đó x là phần tử duy nhất của X sao cho f(x) = y, gọi là ánh xạ ngược
của ánh xạ f. ánh xạ ngược của song ánh f : X → Y được kí hiệu là f−1.
Tính chất đặc trưng của ánh ạ
x ngược được cho trong định lí sau:
b) Định lí: Nếu f : X → Y là một song ánh và f : Y → X là ánh ạ x ngược
của f thì với mọi x ∈ X, y ∈ Y, f−1 −
(f(x)) = x và f (f 1 (y)) = y, (1)
tức là: f = Ix và fo f−1 = IY, trong đó IX và IY, theo thứ tự, là ánh xạ đồng
nhất trên tập hợp X và tập hợp Y.
Nói một cách khác, hai lược đồ sau là giao hoán. Hình 10
Chứng minh: Giả sử y là một phần tử bất kì của Y. Khi đó f−1(y) = x, trong
đó x là phần tử duy nhất ủ
c a X sao cho f(x) = y. Do đó f (f−1 (y)) = f(x) = y.
Ta đã chứng minh hệ thức thứ hai trong (1). Nếu x là một phần tử bất kì của
X thì y = f(x) ∈ Y. Vì f là một đơn ánh nên x là phần tử duy nhất có ảnh
qua ánh xạ f là y. Do đó f−1(y) = x và ta có f−1 (f(x)) = f−1(y) = x.
Ta sẽ thấy f−1 là ánh xạ duy nhất thoả mãn đồng thời hai hệ thức trong (1).
Đó là hệ quả của định lí sau:
c) Định lí. Giả sử hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → X thoả mãn các hệ t ứ h c sau:
g (f(x)) = x với mọi x ∈ X và f (g (y)) = y với mọi y ∈ Y (2) Khi đó
(i) f và g là những song ánh.
(ii) g là ánh xạ ngược của f. Chứng minh :
Trước hết ta chứng minh f là một song ánh. Với mỗi y ∈ Y, x = g(y) là một
phần tử của X. Theo giả thiết, ta có f(x) = f(g(y)) = y. Do đó f là một toàn ánh.
Với hai phần tử bất kì x , x ∈ X, nếu f(x = f(x ) thì g(f(x ) = g (f(x )). Do 1 2 1 2 1 2
đó, từ hệ thức thứ nhất trong (2) suy ra x = x . Vậy f là một đơn ánh. f vừa 1 2
là toàn ánh vừa là đơn ánh nên nó là một song ánh. Tương tự, g cũng là một song ánh.
Bây giờ ta chứng minh g là ánh xạ ngược của X, tức là g(y) = f−1 (y) với mọi
y ∈ Y. Thật vậy, giả sử y là một phần tử bất kì của Y và g (y) = x. Từ hệ
thức thứ hai trong (2) suy ra f(x) = f(g(y)) = y. Vì f là một đơn ánh nên x là
phần tử duy nhất của x có ảnh là y qua ánh xạ f. Do đó f−1(y) = x = g(y).
Từ định lí trên suy ra rằng:
d) Nếu g : Y → X là ánh xạ ngược của ánh xạ f : X → Y thì f là ánh xạ
ngược của g. Do đó: (f−1 −)1 = f.
Quan hệ giữa các ánh xạ ngược f− và g−1 của hai song ánh f : X → Y và g : Y
→ Z với ánh xạ ngược (gof)−1 của ánh xạ hợp gof Z được cho trong định lí sau.
e) Định lí Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó
(i) Nếu f và g là những đơn ánh thì ánh xạ hợp gof là một đơn ánh.
(ii) Nếu f và g là những toàn ánh thì gof là một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì gof là một song ánh, và (gof)−1 = f−1 . g−1,
tức là lược đồ sau là giao hoán. Hình 11 Chứng minh Đặt h = gof.
(i) Với mọi x , x ∈ X, nếu x ∈ x thì do f là một đơn ánh nên f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2 1 2
Vì g là một đơn ánh nên g(f(x )) ≠ g(f(x )), tức là h(x ) ≠ h(x ). Vậy h = gof 1 2 1 2 là một đơn ánh.
(ii) Giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g : Y → Z là một toàn ánh nên
tồn tại y ∈ Y sao cho g(y) = z. Lại vì f : X → Y là một toàn ánh nên tồn tại
x ∈ X sao cho f(x) = y. Do đó g(f(x)) = g(y) = z, tức là h(x) = z. Vậy h là một toàn ánh.
(iii) Nếu f và g là những song ánh thì f và g vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Do đó từ (i) và (i) suy ra rằng h = gof cũng vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh,
tức là gof là một song ánh. Do đó tồn tại các ánh xạ ngược f−1 : Y → X, g−1 :
Z → Y và (gof)−1 : Z → X. Ta chứng minh:
(gof)−1 (z) = f−1 (g−1 (z)) với mọi z ∈ Z.
Thật vậy, giả sử z là một phần tử bất kì của Z. Vì g là một song ánh nên tồn
tại một phần tử duy nhất y ∈ Y sao cho: g(y) = z (1)
Vì f là một song ánh nên tồn tại một phần tử duy nhất x ∈ X sao cho: f(x) = y (2)
Từ (1) và (2) suy ra g (f(x)) = g(y) = z, tức là: h(x) = z (3)
Vì g, f, h là những song ánh nên từ (1), (2), (3) suy ra:
g−1(z) = y, f−1(y) = x và h−1 (z) = x. Do đó: f−1 − − −
(g 1(z)) = f 1 (y) = x = h 1 (z). f) Hoán vị của một ậ t p hợp
Giả sử X là một tập hợp cho trước. Mỗi song ánh f : X → X từ tập hợp X
lên X gọi là một hoán vị của tập hợp X.
Hiển nhiên ánh xạ đồng nhất IX trên tập hợp X là một hoán vị của tập hợp X.
Từ định lí e) suy ra rằng ánh xạ hợp của hai hoán vị của tập hợp X là một
hoán vị của tập hợp X.
Nếu X là một tập hợp hữu hạn, chẳng hạn X có n phần tử thì định nghĩa của
hoán vị nêu trên tương đư n ơ g với đ n
ị h nghĩa hoán vị của một tập hợp n
phần tử mà ta đã biết trong sách giáo khoa toán ở bậc phổ thông trung học.
Hot động 7.1. Tìm hiu đơn ánh, toàn ánh và song ánh
Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi t ả h o l ậ
u n theo nhóm 2 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ Form at t ed: Heading03 Nhiệm vụ 1 : Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về ánh xạ không phải là đơn ánh cũng không phải là toàn ánh.
− Cho ba ví dụ về đơn ánh không phải là toàn ánh.
− Cho ba ví dụ về toán ánh không phải là đơn ánh.
− Cho ba ví dụ về ánh xạ f : X → Y không phải là đơn ánh nhưng thu hẹp
f/ của nó trên một tập con A của X là ộ m t đơn ánh. A
− Cho n ánh xạ f : X → X , f : X → X , ... fn = Xn → Xn và đặt h = fn . 1 1 2 1 2 −1 fn . ... . f : X → Xn. −1 1
• Nếu h ... hn là những đơn ánh thì h có phải là một đơn ánh hay không? 1
• Nếu h , ..., hn là những toàn ánh thì h có phải là một toàn ánh hay không? 1
• Nếu h , ..., hn là những song ánh thì h có phải là một song ánh hay không? 1 Nhiệm vụ 2 :
− Tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử cho m < n. Tồn tại hay
không một toàn ánh từ X lên Y?
− Tập hợp X có m phần tử, tập hợp Y có n phần tử. Giả sử m > n. ồ T n tại
hay không một đơn ánh từ X vào Y?
− Cho hai ví dụ về ánh xạ f : X → Y không p ả
h i là song ánh nhưng ánh xạ
thu hẹp h = f/ của f trên một tập hợp con A của X là một song ánh. Tìm A ánh xạ ngược của h.
− Tìm hai cặp ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z sao cho f không phải là một
toàn ánh nhưng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
Đánh giá hoạt động 7.1
1. Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai ánh xạ f : A
→ B, g : A → B xác định bởi hai bảng sau:
a) Biểu diễn các ánh xạ f và g bởi lược đồ hình tên.
b) f và g có phải là đơn ánh không?
2. Cho hai tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Y = {a, b, c, d, e, f} và hai
ánh xạ f, g : X → Y xác định bởi các bảng sau: xạ f, g : X
a) Biểu diễn f và g bởi lược đồ hình tên.
b) Chứng minh rằng f và g là những song ánh và tìm ánh xạ ngược của f và g.
4. Cho hai số thực a, b, a ≠ 0. Chứng minh rằng ánh xạ f : ⏐R →⏐R xác
định bởi f(x) = ax + b là một song ánh và tìm ánh xạ ngược của f.
5. Chứng minh rằng các ánh xạ sau đây là những song ánh và tìm ánh xạ
ngược của mỗi ánh xạ đó:
a) f : ⏐R+ →⏐R+ xác định bởi f(x) = ,
b) g : ⏐R →⏐R xác định bởi g(x) = x3,
c) h : ⏐R* →⏐R*, x → h(x) = ,
d) u : A → A, x → u(x) = , trong đó A =⏐R \ {1}
6. Giả sử C là tập hợp các điểm của đường tròn đường kính AB và D là tập
hợp các điểm của tiếp tuyến với đường tròn tại điểm B. Với mỗi điểm M ∈
D, gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với đường tròn.
a) ánh xạ f : D → C xác định bởi f(M) = N có phải là một đơn ánh hay không?
b) f có phải là một song ánh hay không?
7. Cho tập hợp số thực A = {x ∈⏐R : −1 ≤ x ≤ 1} và hai ánh xạ f : ⏐R
→⏐R, g : ⏐R → A xác định bởi
Chứng minh rằng ánh xạ hợp gof là một toàn ánh.
8. Giả sử f : X ∈ X là một toàn ánh ừ
t tập hợp X lên X. Chứng minh rằng
nếu fof = f thì f là ánh xạ đồng nhất trên tập hợp X.
9. Cho ba ánh xạ f, g : X → Y và h : Y → Z. Chứng minh rằng nếu h là một
đơn ánh và hof = hog thì f = g.
10. Cho ba tập hợp X, Y, Z và ánh xạ f : Y → Z có tính chất sau: Với mọi
ánh xạ u, v : X → Y, fou = fov ⇒ u = v.
Chứng minh rằng f là một đơn ánh.
11. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Chứng minh rằng:
a) Nếu ánh xạ hợp h = gof là một đơn ánh thì f là một đơn ánh,
b) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh,
c) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì g và f là những toàn ánh.
12. Giả sử f : X → Y và g : Y → X là hai toàn ánh thoả mãn đẳng thức gof = IX.
Chứng minh rằng g là ánh xạ ngược của f.
13. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và hai hoán vị f : A → A và g : A →
A của tập hợp A xác định bởi:
Tìm các hoán vị hợp gof và fog.
14. Giả sử X và Y là hai tập hợp có n phần tử (N(X) = n và N(Y) = n).
Chứng minh rằng có tất cả n! song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y.
Từ đó suy ra rằng số hoán vị của một tập hợp n phần tử là n! Hướng dẫn :
Điều khẳng định đúng với n = 1. Thật ậ
v y, giả sử X = {a } và Y = {b }. Chỉ 1 1
có một song ánh từ X lên Y : đó là ánh xạ f : X → Y xác định bởi f (a ) = b . 1 1
Như vậy, nếu X và Y là những tập ợ
h p có một phần tử thì có 1 = 1! song ánh từ X lên Y.
Giả sử điều khẳng định đúng với n, ứ
t c là có n! song ánh từ tập hợp X lên
tập hợp Y, nếu X và Y đều có n phần tử. Ta chứng minh điều khẳng định
đúng cho n + 1. Thật vậy, giả sử X = {a , a , ..., an, an } và Y = {b , b , ... , 1 2 + 1 1 2
bn, bn }. Phải chứng minh có cả thảy (n + 1) ! song ánh từ X lên Y. Ta chia +1
tập hợp tất cả các song ánh từ X lên Y thành n + 1 tập con như sau:
Tập con thứ nhất A gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an ) = b . 1 +1 1
Tập con thứ hai A gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f(an ) = b , ... 2 +1 2
. Tập con thứ n + 1 An gồm tất cả các song ánh f : X → Y sao cho f (an ) +1 +1
= bn . Các tập con A , ..., An đôi ộ
m t rời nhau. Hãy chứng minh rằng mỗi +1 1 +1
tập hợp Ak có n! phần tử, k = 1, 2, ..., n + 1.
15. Giả sử tập hợp X có k phần ử
t , tập hợp Y có n phần tử, k ≤ n. Chứng
minh rằng có cả thảy n (n − 1) ... (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Hướng dẫn :
Ta chứng minh điều khẳng định bằng phép quy nạp theo k. Điều khẳng
định đúng với k = 1. Giả sử X = {x } và Y = {y , y , ..., yn}, n là một số 1 1 2
nguyên dương bất kì, n > 1. Khi đó, có cả thảy n đ n
ơ ánh từ X vào Y: Đó là
các ánh xạ f : X → Y, x → f (x ) = y , ánh xạ f : X → Y , x → f (x ) = y , 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
..., ánh xạ fn : X → Y, x → fn (x ) = yn. Giả sử điều khẳng định đúng cho 1 1
k, tức là nếu X có k phần tử và Y có n phần tử, k n thì có cả thảy n (n − 1)
... (n − k + 1) đơn ánh từ X vào Y. Ta chứng minh điều khẳng định đúng
cho k + 1, tức là nếu tập hợp X có k + 1 phần tử và tập hợp Y có n phần tử,
k + 1 ≤ n thì có cả thảy n (n − 1) ... (n − (k + 1) + 1) đơn ánh từ X vào Y.
Thật vậy, giả sử X = {x , x , ..., xk, xk }, Y = {y , y , ..., yn}. Chia tậ ợp 1 2 p h 1 2 +1
tất cả các đơn ánh từ X vào Y thành n tập con như sau: Tập con A gồm tất 1
cả các đơn ánh f : X → Y sao cho f (xk ) = y , tập con A gồm tất cả các +1 1 2
đơn ánh f : X Y sao cho f (xk ) = y , ..., tập con An gồm tất cả các đơn ánh +1 2
f : X → Y sao cho f (xk ) = yn. Các tập con A , ..., An đôi một rời nhau. +1 1
Hãy chứng minh rằng mỗi tập con Ak có (n − 1) (n − 2) ... ((n − 1) − k + 1). Form at t ed: Heading01
TIU CH ĐỀ 1.8. NH VÀ TO NH QUA MT ÁNH X
Thông tin cơ bn
8.1. ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ Form at t ed: Heading03
a) Định nghĩa: Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và A là một tập con của X.
Tập hợp các ảnh của tất cả các phần tử của A qua ánh xạ f gọi là ảnh ủ c a
tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu là f(A).
Như vậy, với mọi x ∈ Y, y f(A) khi và chỉ khi tồn tại x A sao cho y = f(x).
Do đó: f(A) = {y ∈ Y: Tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Ví dụ 8.1 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và ánh xạ f : X →
Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 1 dưới đây. Hình 1
Cho hai tập con A và B của X : A = {a, c, e}; B = {a, d}. ảnh của A và B
qua ánh xạ f là: f(A) = {1, 2}; f (B) = {1, 5}. Ví dụ 8.2 :
(i) Giả sử f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f (x) = x2, A = {, 3, 7} và ⏐R−
là tập hợp các số thực không dương, ⏐R− = {x ∈ ⏐R: x ≤ 0}. Khi đó:
f(A) = {2, 9, 49} và f (⏐R−) = ⏐R+.
(ii) Giả sử D : ⏐R → {0, 1} là ánh xạ xác định bởi: 1 với x ∈ Q, D(x) = 0 với x ∈⏐R\ Q.
(D là hàm số Điritslê). Tìm ảnh của các tập hợp
A = {1, −1, 0,5, 1, 118}, B = {, , e}, C = {, 100} qua ánh xạ D. Ta có:
f(A) = {1}; f(B) = {0}; f(C) = {0, 1}.
(iii) Cho ánh xạ f: ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = −3x và các tập hợp số thực
A = {x ∈⏐R : 2 ≤ x ≤ 5}, B = {x ∈⏐R : x < −1}.
ảnh của A và B qua ánh xạ f là:
f(A) = {y ∈⏐R : −15 ≤ y ≤ −6} và f(B) = {y ∈⏐R : y > 3}.
Một vài tính chất của ảnh b) Định lí
Cho ánh xạ f : X → Y và các tập con A, B của X. Khi đó: (i)
Nếu A ⊂ B thì f(A) ⊂ f(B),
(ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f(B),
(iii) f (A ∩ B) f(A) ∩ f(B). Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f(A) thì tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x). Vì A ⊂ B nên từ đó suy
ra x ∈ B và y = f (x). Do đó y ∈ f(B). Vậy f(A) ∈ f(B).
(ii) Vì A ⊂ A ∪ B nên, theo (i), ta có f(A) ⊂ f(A ∪ B).
Tương tự, f(B) ⊂ f(A ∪ B). Do đó
(1) f(A) ∪ f(B) ⊂ f (A ∪ B).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược (2) f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B).
Giả sử y là một điểm bất kì của f(A ∪ B). Khi đó, tồn tại x ∈ A ∪ B sao
cho y = f(x). Vì x ∈ A ∪ B nên x ∈ A hoặc x ∈ B. Nếu x ∈ A thì y = f(x) ∈
f(A), do đó y ∈ f(A) ∪ f(B). Nếu x ∈ B thì y ∈ f(B); do đó y ∈ f(A) ∪
f(B). Ta đã chứng minh (2). Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh.
(iii) Vì A ∩ B ⊂ A nên, theo (i), ta có f (A ∩ B) ⊂ f (A),
Tương tự, f(A ∩ B) ⊂ f(B). Do đó f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f(B). Chú ý :
Trong (iii), không thể thay dấu bởi dấu =. Chẳng hạn, xét ánh xạ f : ⏐R
→⏐R xác định bởi f(x) = x2 và các tập số thực ⏐R+ = {x ∈⏐R : x ≥ 0}, ⏐R−
= {x ∈⏐R : x ≥ 0}. Khi đó ⏐R+ ∩ ⏐R− = {0}; f (⏐R+ ∩ ⏐R−) = f ({0}) = {0};
f(⏐R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+ và f(⏐R+ và f (⏐R+) ∩ f ⏐
( R−) = ⏐R+. Như vậy, f
(⏐R+ ∩ ⏐R−} là một tập con thực sự của f (⏐R+) ∩ f(⏐R−).
Tuy nhiên, nếu f : X → Y là một đơn ánh thì bao hàm thức (iii) trở thành đẳng thức. c) Định lí
Nếu ánh xạ f : X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con A, B bất kì của X, ta đều có: f (A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). Chứng minh
Theo định lí b), (iii), ta có f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B). Ta chứng minh:
(1) f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩ B).
Giả sử y ∈ f(A) ∩ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, ồ t n tại x ∈ A 1
sao cho y = f(x ) và tồn tại x ∈ B sao cho y ∈ f(x ). Từ đó ta có f(x ) = 1 2 2 1
f(x ). Vì f là một đơn ánh nên đẳng thức vừa nêu kéo theo x = x . Như vậy, 2 1 2
ta có x ∈ A, x ∈ B và y = f(x ), tức là x ∈ A ∩ B và y = f(x ). Do đó y ∈ f 1 1 1 1 1
(A ∩ B).Từ đó có đẳng thức (1) cần chứng minh . d) Định lí
Nếu f : X → Y là một ánh xạ thì với hai tập con bất kì của X, ta có: f(A) \ f(B) ⊂ f (A\B). Chứng minh
Giả sử y ∈ f(A) \ f(B). Khi đó y ∈ f(A) và y ∈ f(B). Do đó, ồ t n tại x ∈ A 1
sao cho f(x) = y. Hiển nhiên x ∉ B (vì nếu x ∈ B thì y = f(x) ∉ f(B)). Như 2
vậy, ta có x ∈ A, x ∉ B và y = f(x), tức là x ∈ A \ B và y = f(x). Do đó y ∈
f (A\B). Từ đó ta có bao hàm thức cần chứng minh. Chú ý
Trong bao hàm thức của định lí không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =.
Ta lấy lại ví dụ vừa xét: f : ⏐R →⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = x2, ⏐R+ và
⏐R− là hai tập con của ⏐R. Khi đó, f ⏐
( R+) = ⏐R+, f(⏐R−) = ⏐R+, f(⏐R+) \
f(⏐R−) = ⏐R+ \⏐R+ = φ, ⏐R+ \⏐R− = ⏐R+ \{0} = , f(⏐R+ \⏐R−) = f () = .
Ta thấy f (⏐R+) \ f (⏐R−) là tập con của f (⏐R+\⏐R−) và f (⏐R+) \ f ⏐ ( R−) ≠ f (⏐R+ \⏐R−).
Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu f : X → Y là một
đơn ánh thì bao hàm thức trong Định lí d) trở thành đẳng thức.
8.2. Tạo ảnh của một tập hợp qua một ánh xạ a) Định nghĩa:
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ và C là một tập con của Y. Tập hợp tất cả
các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ C gọi là tạo ảnh của tập hợp C qua ánh
xạ f, kí hiệu là f−1(C).
Như vậy, với mọi x ∈ X,
x ∈ f−1(C) khi và chỉ khi f(x) ∈ C.
f−1 (C) = {x ∈ X : f(x) ∈ C}.
Chú ý rằng trong kí hiệu f−1(C), f−1 không phải là ánh xạ ngược của f. Với
mọi ánh xạ f : X → Y và với mọi tập con C của Y, tạo ảnh f−1 (C) của C
luôn tồn tại, trong khi chỉ song ánh f mới có ánh xạ ngược. Hiển nhiên f1(Y) = X. Ví dụ 8.3 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f, g}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f :
X → Y xác định bởi bảng sau:
(i) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên.
(ii) Tìm tạo ảnh của các tập hợp C = {M, N, P} và D = {P, Q, R} qua ánh xạ f.
(i) ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 2. Hình 2
(ii) Tạo ảnh của các tập hợp C và D qua ánh xạ f là f−1(C) = {a, b, c, d, f}; f−1(D) = {d, e, g}. Ví dụ 8.4 :
(i) Giả sử f : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi f(x) = ⏐x⏐, C = {y ⏐R : 1 ≤ y
≤ 3}. Khi đó: f−1(C) = {1 ≤ x ≤ 3} ∪ − { 3 ≤ x ≤ −1}.
(ii) Cho ánh xạ g: ⏐R → ⏐R xác định bởi g(x) = sin x, C = {−1, 1}, D =
{0}. Khi đó: g−1(C) = { + kπ : k ∈ Z} ; g−1(D) = {k : k ∈ Z}.
(iii) Với ánh xạ h : ⏐R → ⏐R xác định bởi
C = {y ∈⏐R : −1 ≤ y < 1}, D = {y ∈⏐R : y ≥ 1}, E = {y ∈⏐R : y > 3}.
Ta có: f−1(C) = ⏐R \ Q; h−1 1 (D) = Q; h− (D) = φ.
Một vài tính chất của tạo ảnh b) Định lí
Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, C và D là những tập con của Y. Khi đó: (i)
Nếu C ⊂ D thì f−1(C) ⊂ f−1(D),
(ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D),
(iii) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D),
(iv) f−1 (C\D) = f−1 (C) \f−1 D). Chứng minh
(i) Giả sử C ⊂ D. Nếu x ∈ f−1 (C) thì f(x) ∈ C. Vì C ⊂ D nên f(x) ∈ D; do đó x ∈ f−1 (D).
(ii) Vì C ⊂ C ∪ D nên, theo (i), ta có f−1 (C) ⊂ f−1 (C ∪ D).
Tương tự, ta có f−1(D) f−1 (C ∪ D). Do đó:
(1) f−1 (C) ∪ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∪ D).
Ta chứng minh bao hàm thức ngược
(2) f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (C) ∪ f−1 (D).
Thật vậy, nếu x ∈ f−1 (C ∪ D) thì f(x) ∈ C ∪ D. Do đó f(x) ∈ C hoặc f(x) ∈
D. Nếu f(x) ∈ C thì x ∈ f−1 (C); do đó x ∈ f−1 (C) ∪ f−1 (D). Nếu f(x) ∈ D thì
x ∈ f−1(D), do đó x ∈ f−1(C) ∪ f−1(D). Từ đó ta có bao ham fthức (2). Từ (1)
và (2) suy ra đẳng thức (ii) cần chứng minh.
(iii) Vì C ∩ D ⊂ C nên f−1 (C ∩ D) ⊂ f−1 (C). Tương tự,
ta có f−1 (C ∪ D) ⊂ f−1 (D). Do đó
(3) f−1(C ∩ D) ⊂ f−1 (C) ∩ f−1 (C) ∩ f−1 (D). Ta chứng minh:
(4) f−1 (C) ∩ f−1(D) ⊂ f−1 (C ∩ D).
Thật vậy, nếu x ∈ f−1 1
(C) ∩ f− (D) thì x ∈ f−1 (C) và x ∈ f−1 (D).
Do đó f(x) ∈ C và f(x) ∈ D. Từ đó suy ra f(x) ∈ C ∩ D; do đó x ∈ f−1 (C ∩
D). Ta đã chứng minh (4). Từ (3) và (4) suy ra đẳng thức (iii).
(iv) Các điều kiện sau là tương đương: x ∈ f−1 (C \ D), f(x) ∈ C \ D, f(x) ∈ C và f(x) ∉ D,
x ∈ f−1(C) và x ∉ f−1 (D), x ∈ f−1(C) \ f−1(D).
Do đó ta có đẳng thức (iv) .
Quan hệ giữa ảnh và tạo ảnh được cho trong định lí sau: c) Định lí
Giả sử f : X → Y là một ánh xạ từ tập hợp X vào tập hợp Y. Khi đó:
(i) Với mọi tập con C của Y, ta có: (1) f(f−1(C)) ⊂ C,
(ii) Với mọi tập con A của X, ta có: (2) A ⊂ f−1 (f(A)). Chứng minh
(i) Nếu y ∈ f (f−1(C)) thì tồn tại x ∈ f−1 (C) sao cho y = f(x).
Vì x ∈ f−1 (C) nên f (x) ∈ C, tức là y ∈ C. Do đó f (f−1(C)) ⊂ C.
(ii) Nếu x A thì f (x) f(A). Do đó x thuộc tạo ảnh của tập hợp f(A) qua ánh
xạ f, tức là x f−1 (f(A)). Vậy A f−1 (f(A)) . Chú ý:
(i) Trong bao hàm thức (1) không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.5 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d}, Y = {M, N, P, Q, R} và ánh xạ f : X → Y
xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 3. Hình 3
Với tập con C = {M, N, P, R} của tập hợp Y, ta có: f−1(C) = {a, b, c}, f(f1(C)) = {M, N}.
Ta thấy f(f−1(C)) là một tập con thực sự của C, ứ t c là f (f−1(C)) ≠ C.
Một ví dụ khác: Giả sử g : ⏐R → ⏐R là ánh xạ xác định bởi g(x) = x2 và C
= {x ∈⏐R : x ≥ −1} là một tập con của ⏐R. Khi đó, ta có f−1(C) = ⏐R và f(f−1(C)) = ⏐R+.
ở đây, ta lại thấy f (f−1(C)) là một tập con thực sự của C.
Trong phần câu hỏi và bài tập ta sẽ chứng minh rằng nếu C ⊂ f(X) thì bao
hàm thức (1) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
(ii) Trong bao hàm thức (2), không thể thay dấu ⊂ bởi dấu =. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 8.6 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f},
Y = {M, N, P, Q, R, S, T} và ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 4. Hình 4
Với tập con A = {a, b, c} của tập hợp X, ta có: f(A) = {M, N, P} và f−1 (fA)) = {a, b, c, d, e}.
Ta thấy A là một tập con thực sự của tập hợp f−1 (f(A)).
Ta xét một ví dụ khác: cho ánh xạ D : ⏐R → {0, 1} xác định bởi: 1 với x ∈ Q, D(x) = 0 với x ∈⏐R \ Q. (D là hàm số Điritslê).
Với tập con A = {−1, } của ⏐R, ta có:
D(A) = {1} và D−1 (D(A)) = d−1({1}) = Q.
A là một tập con thực sự của D−1 (D(A)).
Trong phần câu hỏi và bài tập, ta sẽ chứng minh rằng nếu ánh xạ f : X → Y
là một đơn ánh thì bao hàm thức (2) trong Định lí c) trở thành đẳng thức.
d) Quan hệ giữa tạo ảnh của một tập hợp qua một song ánh và ảnh của tập
hợp đó qua ánh xạ ngược của song ánh.
Giả sử f : X → Y là một song ánh từ tập hợp X lên tập hợp Y. Khi đó f có
ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X. Ta sẽ chỉ ra ằ r ng nếu C là một ậ t p con của Y
thì tạo ảnh f−1 (C) của tập hợp C qua ánh xạ f và ảnh g(C) của tập hợp C qua
ánh xạ g = f−1 là hai tập hợp bằng nhau: g (C) = f−1(C).
Thật vậy, với mọi x ∈ X, các điều kiện sau là tương đương: x ∈ g(C), Tồn tại y ∈ C sao cho g(y) = x, f(x) = y và y ∈ C x ∈ f−1(C). Vậy g(C) = f−1(C).
Ta minh hoạ điều khẳng định vừa nêu qua một ví dụ. Ví dụ 8.7 :
Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e, f}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và song ánh f : X
→ Y xác định bởi bảng sau:
ánh xạ f được biểu diễn bởi lược đồ hình tên trong Hình 5 Hình 5
ánh xạ ngược g = f−1 : Y → X của f được cho trong bảng sau:
Với tập con C = {1, 2, 3, 4} của tập hợp Y :
Tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f là: f−1(C) = {a, b, c, d}
ảnh của tập hợp C qua ánh xạ ngược g = f−1 của C là g(C) = {a, d, b, c}. Ta thấy g(C) = f−1 (C). Như vậy,
• Nếu ánh xạ f : X → Y không phải là một song ánh và C là ộ m t tập con
của Y thì kí hiệu f−1 (C) chỉ tạo ảnh của tập hợp C qua ánh xạ f. (Trong
trường này f không có ánh xạ ngược).
• Nếu ánh xạ f : X → Y là một song ánh và C là một ậ t p con của Y thì ảnh
(f−1) (C) của C qua ánh xạ ngược f−1 : Y → X của f cũng là tạo ảnh f−1 (C) của C qua ánh xạ f.
Hot động 8.1. Thc hành xác định nh và to nh ca tp
h
p qua ánh x Nhiệm vụ: Form at t ed: Heading03
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản sau đó thảo l ậ
u n theo nhóm 2, 3 người để
thực hiện các nhiệm vụ sau: Nhiệm vụ 1: Form at t ed: Heading04
− Cho ba ví dụ về ảnh của một tập hợp qua một ánh ạ x . Biểu diễn các ánh
xạ bởi những lược đồ hình tên và ảnh của tập hợp bởi lược đồ Ven
− Cho ba ví dụ về tạo ảnh của một ậ
t p hợp qua một ánh xạ. Biểu diễn các
ánh xạ đó bởi những lược đồ hình tên và tạo ảnh bởi lược đồ Ven Nhiệm vụ 2: Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (iii) của định lí 1b,1d), không
thể thay dấu bởi dấu =. Nhiệm vụ 3: Form at t ed: Heading04
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (1) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =.
− Cho hai ví dụ chứng tỏ trong bao hàm thức (2) của Định lí 2c), không thể thay dấu bởi dấu =. Đánh giá h o t động 8.1
1. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f , g , h⎬ ;
Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ⎬ 9 ,
ánh xạ f: X → Y xác định bởi bảng sau
và hai tập con A , B của X : A = ⎨a , b , c⎬ ; B = ⎨c , d , h⎬
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven
b) Tìm f(A), f(B) , f(A ∪ B), f(A) ∪ f(B), A ∩ B, f(A) ∩ f(B) và f(A ∩ B)
c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A ∩ B) và f(A) ∩ f(B)
2. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6⎬, Y = ⎨m , n , p , q , r , s , t⎬
ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và hai tập con A = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , ⎨B = 4 , 5 , 6⎬ của X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và các tập hợp A, B bởi lược đồ Ven
b) Tìm f(A), f(B), f(A) \ f(B), A \ B và f(A \ B)
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A \ B) và f(A) \ f(B)
3. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì với hai tập con
bất kì A và B của X, ta có: f( A \ B) = f(A) \ f(B)
4. Cho hai tập hợp X = ⎨a , b , c , d , e , f⎬ , Y = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và tập con C = ⎨1 , 2 , 3 , 7 , 8⎬ của X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp C bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp f−1 (C) và f (f−1(C))
c) Nếu mối quan hệ giữa hai tập hợp C và f (f−1(C)).
5. Cho ánh xạ f. Chứng minh rằng với mọi tập con C của f(X) ta có f(f−1(C)) = C
6. Cho hai tập hợp X = ⎨1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8⎬, Y = ⎨a , b , c , d , e , f,
g⎬, ánh xạ f : X → Y xác định bởi bảng
và tập con A = ⎨3 , 4 , 5⎬ của tập hợp X
a) Biểu diễn ánh xạ f bởi lược đồ hình tên và tập hợp A bởi lược đồ Ven
b) Tìm các tập hợp A và f−1 (f(A))
c) Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp f(A) và f−1 (f(A))
7. Chứng minh rằng nếu ánh xạ f: X → Y là một đơn ánh thì ớ v i mọi tập
con A của X ta có: A = f−1 (f(A))
8. Cho ánh xạ f: X → R và hai tập hợp A, B, A ⊂ X, B ⊂ R. Tìm ảnh f(A)
và tạo ảnh f−1 (B) trong mỗi trường hợp sau
a) f(x) = sin 2x ; X = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 6Π⎬,
A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ ⎬ U ⎨x ε R : Π ≤ x ≤ + Π⎬ B = y R : −1 y 0⎬
b) f(x) = | x2 − 4| , X = R , A = ⎨x ε R : 0 ≤ x ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 2 ≤ y ≤ 4⎬
c) f(x) = | x2 − 2x| , X = R , A = ⎨x ε R : | x| ≤ 1⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ ⎬
9. Cho ánh xạ f: R → R xác định bởi f(x) = |x + 1| và tập hợp A = ⎨x ε R; 1
≤ x ≤ 2⎬ Tìm f(A) và f−1(f(A))
10. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f(x) = x8 + x4 + 1, A = ⎨x ε R : |x|
2⎬, B = ⎨y ε R : 0 ≤ y ≤ 1⎬. Tìm ảnh f(A) và tạo ảnh f−1(B)
11. Giả sử R [x] là tập hợp các đa t ứ
h c với các hệ số thực và Rn[x] là tập
hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, với các hệ số thực và g: Rn[x]
→ R[x] là ánh xạ xác định bởi g(P) = P(x2 + 1)
a) Tìm ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1
b) Tìm tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 và tạo ảnh của tập hợp chỉ
có một phần tử là đa thức x2 + 1
12. Cho ánh xạ f: X → Y. A → X , B → Y
Chứng minh rằng: f(A ∩ f−1 (B)) = f(A) ∩ B
13. Giả sử f: X → Y là một ánh xạ, A là một ậ
t p con của X, B là một tập
con của Y và g = f/ . Chứng minh rằng g−1(B) = A ∩ f−1(B) A
14. Chứng minh rằng toàn ánh f: X → Y từ tập hợp X lên tập hợp Y là một
song ánh khi và chỉ khi tạo ảnh của mỗi tập con một phần tử của Y là một
tập con một phần tử của X
15. Cho ánh xạ f : X → Y và g: Y → W. Gọi h: X x Y → V x W là ánh xạ
xác định bởi (x, y) h (x, y) = (f(x), g(y))
Chứng minh rằng nếu M ⊂ V, N ⊂ W thì h−1(M x N) = f−1 (M) x g−1 (N)
(ánh xạ h được gọi là tích của hai ánh xạ f và g, và đư c ợ kí hiệu là f x g)
16. Cho hai ánh xạ f: X → Y và g: X → Z. Gọi h: X → Y x Z là ánh xạ xác
định bởi x → h(x) = (f(x), g(x)).
Chứng minh rằng nếu B ⊂ Y, C ⊂ Z thì h−1 −
(B x C) = f 1 (B) ∩ f−1 (C) (ánh xạ
h được gọi là ánh xạ phức)
Thông tin phn hi cho ch đề 1 Form at t ed: Heading01
CƠ S CA LÍ THUYT TP HP
TIU CH ĐỀ 1.2. TP HP
Hot động 1.1 Form at t ed: Heading02
Khái niệm Tập hợp. Tập con. Các tập hợp bằng nhau. 1. a)
A = [21, 24, 27, 30, 33, 36, 39} b) B = {31, 37, 41, 43, 47} c)
C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 2. a) A = {2, 3, 4, 5, 6} b) B = {0, −1, − }; c) C = φ. 3.
a) A là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu là 3 và công sai là 4
b) B là tập hợp các số nguyên tố lớn hơn 16 và nhỏ hơn 50;
c) C là tập hợp bảng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu là 1 và công bội là . 5. S, S, Đ, Đ. 6. S, S, Đ, Đ. 7. Đ, S, Đ, Đ. 8. Đ, S, Đ, S. Đ, Đ, S, Đ.
9. (A) = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a
, a }, {a , a }, {a , a , a }}. 2 3 1 2}, {a 1 1 3 2 3 1 2 3 b) P (A) có 8 phần tử.
10. a) B = {φ, {a }, {a }, {a }, {a , a }, {a , a }, {a , a }, {a , a , a }, 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
a , {a , a }, {a , a }, {a , a }, 4 1 4 2 4 3 4 {a , a , a }, {a , a }, {a }, {a , a , a }}. 2 4 1 ,3 a4 ,2 a ,3 a4 1 2 ,3 a 1 4 b P(B) có 16 phần tử. 11. a) Sai; b) Đúng.
12. Hiển nhiên điều khẳng định đúng với n = 0. Giả sử điều khẳng định
đúng với n, tức là tập hợp A = {a , a , ..., an} có 2n tập con. Ta chứng minh 1 2
tập hợp B = {a , a , ..., an, an } có 2n + 1 tập con. Chia các ậ t p con của B làm 1 2 + 1 hai loại:
(i) Các tập con của B không chứa an , + 1
(ii) Các tập con của B chứa an + 1
Dễ thấy mỗi loại đều có 2n phần tử.
Hot động 2.1 Form at t ed: Heading02
Các phép toán trên các tập hợp 1. Vì B ⊂ A nên:
A ∪ B = A, A ∩ B = B, B \ A = φ.
A \ B = {15, 21, 25, 27, 33, 35, 39}.
2. a) A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5:
A ∪ B = {0. 2. 4. 5. 6. 8. 10. 12. 14. 15. 16. 18. 20, ...}.
A ∪ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n, 10n + 2, 10n + 4, 10n + 5, 10n + 6, 10n + 8, n N. A ∩ B là tập hợp
các bội tự nhiên của 10:
A ∩ B = {0, 10, 20, 30, 40, ...} = {10n : n ∈ N}.
A \ B là tập hợp các số chẵn không phải là bội của 5:
A \ B = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, ...}.
A \ B là tập hợp các số tự nhiên có một trong các dạng sau:
10n + 2, 10n + 4, 10n + 6, 10n + 8, n ∈ N.
B \ A là tập hợp các số lẻ bội của 5:
B \ A = {5, 15, 25, 35, ...} = {10n + 5 : n ∈ N}.
3. a) V ∩ C là tập hợp các tam giác vuông cân.
V ∪ C là tập hợp các tam giác vuông hoặc cân.
V \ C là tập hợp các tam giác vuông nhưng không cân.
C \ V là tập hợp các tam giác cân nhưng không vuông.
4. A ∪ B = {x ∈ R : x < 0} ∪ {x ∈ R; x ≥ 5}; A ∩ B = {x R: −5 ≤ x ≤ −5};
A \ B = {x ∈ R : x < −6} ∪ {x ∈ R : x ≥ 5}; B \ A = {x ∈ R : −5 < x < 0}.
5. a) E = LM; F = TX; b) E = ND, F = HB; c) E = HD; F = BX.
6. a) Miền II chứa các mảnh bé màu nâu, không phải là hình vuông.
Miền IV chứa các mảnh hình vuông lớn màu nâu.
Miền V chứa các mảnh hình vuông màu đỏ và xanh. b) Miền II chứa 6 mảnh. Miền IV chứa 2 mảnh. Miền V chứa 8 mảnh.
18. Tập hợp A ∪ B có 6 phần tử.
19. Gọi A là tập hợp các xe (taxi và buýt) có màu khác màu vàng.
Tập hợp A có: 42 − 14 = 18 phần tử.
Gọi B là tập hợp các xe buýt
Tập hợp A ∪ B có 37 phần tử.
B \ A là tập hợp các xe buýt vàng. Ta có: A ∪ B = A ∪ (B \ A), trong đó B
\ A và A là hai tập hợp không giao nhau. Từ đó dễ dàng tính được có 9 xe buýt vàng.
20. 4 học sinh chỉ học khá môn Toán, 7 em chỉ học khá môn Văn, 5 em chỉ
học khá môn Anh; 9 em không học khá môn nào.
TIU CH ĐỀ 1.3. QUAN H
Hot động 3.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ hai ngôi
5. R = {(2, 4), (2, 12), (2, 14), (4, 4), (4, 12), (7, 14)}.
6. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 7), (1, 8), (2, 2), (2, 8), (7, 7), (8, 8)}/
7. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 6), (7, 1), (7, 7), (8, 1), (8, 2), (8, 8}.
8. R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), ...}.
9. R = {(1, A), (2, A), (4, B), (7, C)}.
10. R = {(A, A), (A, C), (B, B), (B, C), (C, C)}.
11. R {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7}.
12. Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp R1 được biểu diễn bởi tập hợp các
điểm của nửa mặt p ẳ
h ng nằm phía trên đường phân giác thứ nhất y = x, ậ t p
hợp R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của mặt phẳng không nằm trên 2
đường phân giác thứ nhất.
14. Đó là quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
15. R là một quan hệ đối xứng nhưng không phản xạ và không bắc ầ c u.
16. Đó là quan hệ phản xạ, bắc cầu nhưng không đối xứng.
17. Quan hệ R trên Y là phản xạ; R và R i là những quan hệ 2 không ph 1 ả 2 phản xạ.
18. Quan hệ R trên Y là đối xứng. Không có quan hệ nào là bắc cầu. 2
20. R−1 = {(7, 1), (14, 2), (21, 3), (28, 4), ...} = ((7n, n) : n N*}.
22. R . R 1= {(3, 6), (6, 7), (9, 8), (12, 9), (15, 10), ...} 2 = {(3n, n + 5) : n ∈ N*}.
R . R = {(1, 2), (4, 3), (7, 4), (10, 5), ...} 1 2
= {(3n − 2, n + 1) : n ∈ N*}.
Hot động 4.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ tương đư n ơ g 1.
~ chia L0 thành 4 lớp tương đương. 1
~ chia L0 thành 2 lớp tương đương. 2
~ chia L0 thành 2 lớp tương đương với. 3
2. b) Quan hệ tương đương R trên N chia N thành bốn lớp tương đương.
3. b) {1, 3}~ = {{1, 2}, {1, 3{, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3{,
{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}.
4. b) Tập thương R2/~ là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng có tâm là điểm ố g c và điểm ố g c. 5. X/R = {{x} : x ∈ X}.
6. R không phải là một quan hệ phản xạ.
7. Không tồn tại một quan hệ tương đương R thoả mãn điều kiện đã nêu vì A ∩ C ≠ φ. 8. X/~ = {A, A , ..., Am}. 2
9. Với mỗi tập con A chứa a của X, Â = {A} (lớp tương đương chứa A là
tập hợp một phần tử). Mọi tập hợp con của X không chứa a đều tương
đương với nhau, chúng tạo nên một lớp tương đương của quan hệ ~. ậ V y
P / ~ = {{A}; a ∈ A ⊂ X} ∪ ,
trong đó B là một tập con của X không chứa a, là tập hợp tất cả các tập con của X không chứa a.
10. Tập thương C*/R có hai phần tử: Tập hợp các điểm của hai nửa mặt
phẳng bên phải và bên trái của trục tung tạo nên hai lớp tương đương của quan hệ R.
Hot động 5.1 Form at t ed: Heading02 Quan hệ thứ tự
1. B) ≤ là quan hệ toàn phần.
2. Đó không phải là một quan hệ toàn phần. 3. b) Không. 4. b) Không.
5. R không phản đối xứng. 6. Ba quan hệ thứ tự.
7. a) 40 là phần tử tối đại; 2 và 5 là n ữ h ng phần ử t tối t ể i u.
b) 40 là phần tử lớn nhất của X; X không có phần ử t nhỏ nhất.
8. 35 là giá trị lớn nhất của X; 3 9là giá trị nhỏ nhất của x.
9. RC là quan hệ thứ tự trên C.
10. b) Mỗi phần tử của X đều là một phần tử tối đại, đồng thời là phần tử
tối tiểu. Tập hợp sắp thứ tự X không có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
a, e, f là các phần tử tối tiểu của Y; c là phần tử tối đại, ũ c ng là phần tử lớn nhất của Y.
13. b) D là phần tử tối tiểu; D là phần tử t i tiểu, c ng là phần tử tối đại. D 3 ố ũ 1 4
là phần tử tối đại. Tập sắp t ứ
h tự X không có phần tử nhỏ nhất và không có phần tử lớn nhất.
14. A là dây xích, B không phải là dây xích.
15. 1 là phần tử chặn dưới của A;
Các số 77n, n ∈ N* là các phần tử chặn trên của A.
1 và 3 là các phần tử chặn dưới của B; B không có phần tử chặn trên.
16. 1 và 3 là các phần tử chặn trên của A. Các số 90n, n ∈ N* là các phần tử chặn dưới của A. Các số 1, 3, 32, 33 4
, 3 , 35 là các phần tử chặn trên của B. Không có phần tử
chặn dưới của B trong {N*, ≤}.
17. a) Mỗi số thực nhỏ hơn hoặc bằng −7 đều là một phần tử chặn dư i ớ của A; mỗi số thực lớn ơ
h n hoặc bằng 3 đều là một phần tử chặn trên ủ c a A.
b) Số không và các số thực âm là các phần tử chặn dưới của N. Không có
phần tử chặn trên của N trong R.
TIU CH ĐỀ 1.6. ÁNH X Form at t ed: Heading01
Hot động 6. 1 Form at t ed: Heading02
Định nghĩa và các khái niệm cơ bản về ánh xạ
1. b) R không phải là một ánh xạ.
2. b) R không phải là một ánh xạ.
3. c) ϕ không phải là một ánh xạ.
4. b) f là một ánh xạ. Tập xác định của f l à A; f(A) = {18, 35}. 5. a) R là một ánh xạ.
b) Tập xác định của ánh xạ R là X; ảnh của ánh xạ là R(X) = {17, 18{
6. Có một ánh xạ từ X vào Y.
7. Có m ánh xạ t ừ X vào Y. 8. 4 ánh xạ.
10. f(−2) = {x ∈ R : x ≤ 2}; f(0) = {x ∈ R : x ≤ 0}; f(x2) = {y ∈ R : y ≤ x2}.
11. f (X) = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} ∪ {x ∈ R : 1 < x ≤ }.
12. f và g là hai ánh xạ bằng nhau.
13. u và v là hai ánh xạ bằng nhau.
14. a) gof) (x) = x, x > 0; (fog) (x) = x, x ∈ R.
b) gof không tồn tại; (fog) (x) = −ln , x ∈ R*.
c) gof không tồn tại; (fog) (x) = ln (cos x), x ∈ .
15. a) h (R) không chứa hai số htực −2 và 1. b) áp dụng a).
16. X = {3, } hoặc X là một tập con của tập hợp {3, }.
17. X = {−1, 1} hoặc X là một tập con của tập hợp {−1, 1}.
19. Tập xác định của f là: X = . f (X) = {0}.
Hot động 7.1 Form at t ed: Heading02
Đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược
1. b) f không phải là một đơn ánh; g là một đơn ánh.
2. b) f không phải là một toàn ánh; g là một toàn ánh.
3. b) ánh xạ ngược của f và g được cho trong hai bảng sau: 4. f−1 (y) = − , y ∈ R.
5. a) f−1 : R+ → R+, y → f−1 2 (y) = y .
b) g−1 : R → R, y → g−1 (y) = .
c) h−1 : R* → R*, y → h−1 (y) =
d) u−1 : A → A, y → u−1 (y) = . 6. a) f là một đơn ánh.
b) f không phải là một song ánh. 13.
Hot động 8.1 Form at t ed: Heading02
ảnh và tạo của một tập hợp qua một ánh xạ
1. b) f(A) = {1, 2, 4}; f (B) = {4, 2, 8}; f (A ∪ B) = {1, 2, 4, 8}, A ∩ B = {c{;
f (A) ∩ f (B) = {2, 4}; f (A ∩ B) = {4}.
c) f (A ∩ B) là một tập con thực sự của f (A) ∩ f (B).
2. b) f(A) = {p, r, q{, f(B) = {q, r, t}; f (A) \ f (B) = {p};
A \ B = {1, 2, 3}; f (A \ B} = {p, r}.
c) f (A) \ f(B) là một tập con thực sự của f (A\B).
4. b) f−1 (C) = {a, b, c}; f (f−1 (C)) = {1, 2, 3}.
c) f (f−1 (C)) là một tập con thực sự của C.
6. b) f (A) = {b, c}; f−1 (f(A)) = {2, 3, 4, 5}.
c) A là một tập con thực ự s của f−1 (f(A)). 8. a) f(A) = {y R : 0 y 1};
f−1 (B) = {y ∈ R : ≤ x ≤ π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 2π} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ π}
b) f(A) = {y ∈ R : 3 ≤ y ≤ 4};
f1 (B) = {x ∈ R : ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ −} ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ }
c) f(A) = {y ∈ R : ) ≤ y ≤ 3};
f−1(B) = {x ∈ R : 1 − ≤ x ≤ } ∪ {x ∈ R : ≤ x ≤ 1 + }.
9. f(A) = {y ∈ R : 2 ≤ y ≤ 3};
f−1 (f(A)) = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤
2} ∪ { x ∈ R : −4 ≤ x ≤ −3}.
10. f(A) = {y ∈ R : 1 ≤ y ≤ 273}; f−1(B) = {0}.
11. a) ảnh của tập hợp các đa thức có bậc ≤ 1 là tập hợp các đa thức có bậc
0 và các đa thức bậc hai có dạng P(x) = ã2 + b.
b) Tạo ảnh của tập hợp các đa thức có bậc 0 là tập hợp các đa thức có bậc 0.
Tạo ảnh của tập hợp chỉ có một phần tử là đa thức x2 + 1 là tập hợp chỉ có
một phần tử là đa thức Q(x) = x. CHỦ ĐỀ 2 CƠ SỞ LÔGIC TOÁN I. Mục tiêu
Kiến thức : Người học nắm đươc những kiến thức về :
 Cơ sở của lôgic mệnh đề
 Các phép suy luận thường gặp
 Các phép chứng minh thường gặp
 Vận dụng các phép suy luận và chứng minh trong dạy và học toán
Kỹ năng : Hình thành và rèn luyện cho người học các kĩ năng :
 Phân tích cấu trúc của các mệ đề nh : phủ đị ộ
nh, h i, tuyển, tương đương thường gặp
và xác định giá trị chân lí của chúng
 Vận dụng các phép tư ng ơ đương lôgic thư ng g ờ ặp trong toán học
 Phân tích các phép suy luận và chứng minh trong dạ ọ y h c toán ở tiểu học Thái độ : Chủ độ
ng tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lôgic mệnh đề trong dạy và học toán
II. Giới thiệu tiểu mô đun STT Tên tiểu chủ đề Trang 1
Mệnh đề và các phép logic 2
Các bài toán về suy luận đơn giản 3 Công thức 4 Quy tắc suy luận 5
Hàm mệnh đề - Mệnh đ t
ề ổng quát và mệnh đề t n t ồ ại 6 Suy luận và chứng minh 7
Suy luận và chứng minh trong dạy học toán ở tiểu học
III. Điều kiện cần thiết để thực hiện môđun * Kiến thức
 Nắm được kiến thức toán học ở trư ng ph ờ ổ thông
 Nắm được kiến thức của chương trình Trung học Sư phạm. * Đ dùng d ồ ạy học
 Một số thiết bị dạy học sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động: máy chiếu
projector, máy chiếu đa năng, tranh ảnh....
 Giấy trong, bút dạ, bảng phoócmica * Tài liệu tham khảo IV. Nội dung
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1. MỆNH ĐỀ VÀ CÁC PHÉP LÔGIC Thông tin cơ bản
1.1. Mnh đề
Trong môn tiếng Việt ở trường ph t
ổ hông, chúng ta đã làm quen với khái niệm về
cõu. Các câu thường gặp có thể chia thành hai loại : loại thứ ấ nh t gồm n ữ h ng câu
phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan. Mỗi câu như thế được hiểu là
một mệnh đề. Loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính úng ho đ ặc sai một thực tế khách quan nào Để kí hiệ ệ
u các m nh đề ta dùng các chữ cái a, b, c.... Trong lôgic ta không quan tâm đến cấu trúc n ữ g pháp của các mệ đề
nh mà chỉ quan tâm đến tính “đúng” hoặc “sai”
của chúng. Nếu a là mệnh đề đúng thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 1, kí hiệu là
G(a) = 1, nếu a là mệnh đề sai thì ta nói nó có giá trị chân lí bằng 0, kí hiệu là G(a) = 0 Chẳng hạn, các câu + “Hà Nội là thủ đ
ô của nước Việt Nam” là mệnh đề đ úng
+ “Nước Pháp nằm ở Châu Phi” là mệnh đề sai
+ “Tháng Giêng có 30 ngày” là mệnh đề sai
+ “15 là số lẻ” là mệnh đề úng đ
+ “Số 35 chia hết cho 3” là mệnh đề sai
+ “12 lớn hơn 20” là mệnh đề sai
+ “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông” là mệnh đề sai Các câu
+ “2 nhân 2 bằng mấy?”
+ “Anh tốt nghiệp phổ thông năm nào?”
+ “Bộ phim này hay quá!”
+ “Tất cả chúng ta hãy i đ học đúng giờ!” đều không phải là mệ đề
nh . Nội chung, những câu nghi vấn, câu mệnh lệnh và câu
cảm thán đều không phải là mệnh đề Chú ý
1. Trong thực tế ta gặp những mệ đề
nh mở là những mệnh đề mà giá trị đúng, sai
của nó phụ thuộc vào những điều kiện nhất định (thời gian, địa điểm,...) Nó đúng ở
thời gian, địa điểm này nhưng lại sai ở thời gian, địa điẻm khác. Song ở bất kì thời
điểm nào, địa điểm nào nó cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Chẳng hạn:
+ Sinh viên năm thứ nhất đang tập quân sự + Trời nắng nóng
+ Năng suất lúa năm nay cao hơn năm ngoái
+ 12 giờ trưa hôm nay tôi đang ở Hà Nội
2. Để kí hiệu a là mệnh đề “2 + 2 = 5” ta viết a = “2 + 2 = 5”
3. Ta thừa nhận các luật sau đầy của lôgic mệnh đề
a) Lut bài trung: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không úng c đ ũng không sai
b) Lut mâu thun (hay còn gi là lut phi mâu thun): không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai
1.2. Các phép lôgic
Khi có hai số a và b, dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia tác động vào hai số đ ó
ta sẽ có những số mới (gọi là tổng hiệu, tích, thương của hai s ố đó)
Khi có hai mệnh đề a và b, người ta cũng xây d n
ự g các phép toán tác động vào hai mệnh đề ó
đ để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta lần lượt xây dựng các phép toán đó
1.2.1. Phép ph định
mệnh đề a = “Nhôm là một kim loại” ta thiết lập được mệnh đề
a = “Nhôm không phải là kim loại”
a = “Không phải nhôm là kim loại”
Từ mệnh đề b = “Số 30 chia hết cho 4” ta thiết lập được mệnh đề
b = “Số 30 không chia hết cho 4” hoặc
b = “Không phải 30 chia hết cho 4”
Mệnh đề a (hoặc b) là mệnh đề ph
ủ định của mệnh đề a (hoặc b)
Rõ ràng, a là mệnh đề đúng còn mệnh đề a là mệ đề nh sai; mệ đề nh b sai còn mệnh đề b là đúng Vậy ph
ủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là , đúng khi a sai và sai khi a
đúng. Bảng chân lí của phép phủ đị
nh được cho bởi bảng sau Ví dụ 1.1 : Phủ đị
nh của mệnh đề “Tháng Ba có 31 ngày” là mệnh đề “Tháng Ba không có 31
ngày’ hoặc “Không phải tháng Ba có 31 ngày” Ví dụ 1.2 : Phủ đị
nh của mệnh đề “8 lớn hơn 12” là mệnh đề “8 không lớn hơn 12” hoặc “8 nh ỏ hơn hoặc bằng 12” Chú ý : Phủ đị
nh của một mệnh đề có nhiều cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:
“Nhôm không phải là kim loại”
“Không phải nhôm là kim loại”
“Nhôm đâu có phải là kim loại”
“Nói nhôm là kim loại không đúng” hoặc “25 không lớn hơn 10”
“25 nhỏ hơn hoặc bằng 10”
“Không phải 25 lớn hơn 10”
“25 đâu có lớn hơn 10”
“Nói 25 lớn hơn 10 là sai” ...................
1.1.2. Phép hi Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có bốn mùa” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi năm có 12 tháng và bốn mùa” Hoặc từ hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” b = “36 chia hết cho 9” Ta thiết lập mệnh đề
c = “36 là số chẵn chia hết cho 9”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là hội của hai mệ đề nh a và b đã cho
Vậy hội của hai mệnh đề a; b là một mệnh đề c, đọc là a và b, kí hiệu là c = a b, đúng khi cả hai mệ đề
nh a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Giá trị chân lí của phép hội được xác định bởi bảng sau
Chú ý : Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề ó b đ ởi
liên từ “và” hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đ ó là: mà, nhưng, song,
song le, đồng thời, vẫn, cùng.... hoặc dùng dấu phảy hoặc không dùng liên t g ừ ì Ví dụ 1.3 :
“Thành phố Hà Nội là thủ đ ư
ô nh ng không phải là thành phố lớn nhất của cả nước”
là hội của hai mệnh đề a = “thành phố Hà ộ N i là thủ đ
ô của cả nước” và b = “thành
phố Hà Nội không phải là thành phố lớn nhất cả nước”
Rõ ràng G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.4 :
“Lúc 12 giờ trưa nay Hư n
ơ g có mặt ở Hà Nội và ở Bắc Ninh” là hội của hai mệnh
đề a = “Lúc 12 giờ t ư
r a nay Hương có mặt ở Hà ộ
N i” và b = “Lúc 12 g ờ i trưa nay
Hương có mặt ở Bắc Ninh”
Rõ ràng hai mệnh đề này không thể cùng úng nên G (a đ b) = 0 Ví dụ 1.5 :
“36 là số chẵn chia hết cho 5” là hội của hai mệnh đề a = “36 là số chẵn” và b = “36 chia hết cho 5”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G (a b) = 0 Ví dụ 1.6 :
“Số e lớn hơn 2 nh ng nh ư h
ỏ ơn 3” là hội của hai mệnh đề a = “e > 2” và b = “e < 3”.
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.7 :
Anh Hùng nói thạo tiếng Anh mà không biết tiếng Đức Ví dụ 1.8 :
Cường vừa trẻ, đẹp trai, học giỏi mà lại có nhiều tài lẻ
Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ “và” nh ng l ư
ại không có nghĩa của mệ đề nh hội.
Chẳng hạn: “Tập số âm và tập s d
ố ương là hai tập con rời nhau của tập số thực”
“Nhà Thanh nuôi được 15 con gà và vịt”
1.1.3. Phép tuyn Từ hai mệnh đề
a = “Mỗi năm có 12 tháng”
b = “Mỗi năm có 52 tuần” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Mỗi năm có 12 tháng hoặc 52 tuần” Hoặc từ hai mệnh đề
a = “50 là số nguyên tố” b = “50 chia hết cho 5” Ta thiết lập mệnh đề
c = “50 là số nguyên tố hoặc chia hết cho 5”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là tuyển của hai mệnh đề đã cho
Vậy tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệ đề
nh c, đọc là a hoặc b, kí hiệu c = a b,
đúng khi ít nhất một trong hai mệ đề
nh a, b là đúng và sai khi cả hai mệnh đề a, b cùng sai
Giá trị chân lí của phép tuyển được xác định bởi bảng sau Ví dụ 1.9 :
“Mỗi năm có bốn mùa hoặc mỗi tuần có bảy ngày” là tuyển của hai mệnh đề a =
“Mỗi năm có bốn mùa” và b = “Mỗi tuần có bảy ngày”
ở đây G(a) = G(b) = 1 nên G (a b) = 1 Ví dụ 1.10 : “20 là số tròn ch c
ụ hoặc chia hết cho 3” là tuyển của hai mệnh đề
a = “20 là số tròn chục” và b = “20 chia hết cho 3”
ở đây G(a) = 1 và G(b) = 0 nên G(a b) = 1 Ví dụ 1.11 :
“Tháng Hai có 31 ngày hoặc 3 + 3 = 1” là tuyển của hai mệnh đề
a = “tháng Hai có 31 ngày” và b = “3 + 3 = 1”
ở đây G(a) = G(b) = 0 nên G(a b) = 0 Ví dụ 1.12 :
“Cô An chưa có gia đình hay là đã tốt nghiệp đại học” Chú ý :
1. Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên
từ “hoặc” (hay một liên từ khác cùng loại)
2. Khi thiết lập mệnh đề tuyển của nh ề
i u mệnh đề, ta dùng dấu chấm phảy thay cho liên từ “hoặc”
Chẳng hạn: “Số có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2”
3. Liên từ “hoặc” trong thực tế thường đư c
ợ dùng với hai nghĩa: loại trừ và không
loại trừ. Phép tuyển “hoặc a hoặc b” là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn b
Phép tuyển “a hoặc b” là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b
Chẳng hạn: “Hôm nay là hoặc Ch nh ủ
ật hoặc thứ Bảy” là phép tuyển loại trừ
“24 là số chẵn hoặc chia hết cho 3”
“Hôm nay là Chủ nhật hoặc ngày lễ” là những phép tuyển không loại trừ
Dưới đây, nếu không nói gì thêm, ta sẽ chỉ xét các phép tuyển không loại trừ 1.1.4. Phép kéo theo Từ hai mệnh đề
a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ s c ố hia hết cho 3” và
b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Nếu số tự nhiên a có tổng các ch s
ữ ố chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3” Hoặc từ hai mệnh đề:
a = “Trời vừa mưa rào” b = “Đường ph b ố ị ướt” Ta thiết lập mệnh đề
c = “Nếu trời vừa mưa rào thì đường phố bị ướt”
Trong mỗi ví dụ trên đây, mệnh đề c là mệnh đề kéo theo thiết lập từ hai mệnh đề a và b
Vậy mệnh đề a kéo theo b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, sai khi a đúng mà b sai
và đúng trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh đề a b được xác định bởi bảng sau: Chú ý
1. Mệnh đề “a kéo theo b” thư ng ờ
được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: “nếu a thì b” “a suy ra b” “có a thì có b” ........................
2. Ta có thể minh họa bảng giá trị chân lí trên qua ví dụ sau:
“Nếu trời mưa rào thì đườ ố ng ph bị ướt” a b
Mệnh đề này sai, nếu trời mưa rào (a đúng) mà đường ph không ố ướt (b sai). Mệnh
đề này đúng trong các trường hợp còn lại
 Trời vừa mưa rào (a đúng) và đường p ố h bị ướt (b đúng)
 Trời không mưa rào (a sai) và đường p ố
h không bị ướt (b đúng)
 Trời không mưa rào (a sai) và đường p ố
h bị ướt (b sai) (có thể do nước máy chảy tràn ra đường,... Ví dụ 1.13 :
“Số 45 có tận cùng bằng 5 nên nó chia hết cho 5”. Mệnh đề này úng đ Ví dụ 1.14 :
“Nếu dây tóc bóng đèn có dòng điện chạy qua thì bóng đèn sáng” là mệnh đề úng đ Ví dụ 1.15 :
“Nếu mỗi năm có 10 tháng thì mỗi tuần có 10 ngày” là mệ đề nh đ úng Ví dụ 1.16 :
“Nếu mỗi năm có 12 tháng thì 2 + 2 = 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.17 :
“Số 243 có tổng các chữ s c
ố hia hết cho 9 suy ra nó chia hết cho 5” là mệnh đề sai Ví dụ 1.18 :
“Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Mỹ” là mệnh đề úng, đ
vì ở đây cả hai mệnh đề a và b đều sai Chú ý
1. Trong lôgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta không quan tâm
đến mối quan hệ về ộ n i dung của hai mệ đề nh đ
ó. Không phân biệt trường hợp a có
phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng
2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình thức phong phú. Chẳng hạn:
“Bao giờ bánh đúc có xương
Bấy giờ dì ghẻ mới thương con chồng” hoặc
“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa,
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”
1.1.5. Phép tương đương Từ hai mệnh đề
a = “Hình chữ nhật có một góc nhọn” và
b = “ 200 là số nguyên tố” ta thiết lập mệnh đề
c = “Hình chữ nhật có một góc nhọn khi và chỉ khi 200 là số nguyên tố” Hoặc từ hai mệnh đề
a = “Số 45 có tận cùng bằng 5” và
b = “Số 45 chia hết cho 5” ta thiết lập mệnh đề
c = “Số 45 có tận cùng bằng 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 5”
Trong mỗi ví dụ nêu trên, mệnh đề c là mệnh đề tương đươ đ
ng ược thiết lập từ hai mệnh đề đã cho Vậy mệnh đề a tư ng ơ
đương b là một mệnh đề, kí hiệu là a b, đúng khi cả hai mệnh
đề a, b cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại
Giá trị chân lí của mệnh đề tư ng ơ đư ng ơ
được xác định bởi bảng sau Chú ý
Trong thực tế mệnh đề “a tư ng ơ
đương b” còn được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn: “a khi và chỉ khi b”
“a nếu và chỉ nếu b”
.................................. Ví dụ 1.19 :
“Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay xung quanh mặt trời” là mệnh đề đúng Ví dụ 1.20 :
“ 3 < 7 khi và chỉ khi 70 chia hết cho 3” là mệnh đề sai Ví dụ 1.21 :
“Tổng các góc trong một tam giác bằng 900 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố” là mệnh đề sai Ví dụ 1.22 :
“Tháng Hai có 31 ngày khi và chỉ khi 2 x 2 = 11” là mệnh đề úng đ
Hot động : Tìm hiu khái nim mnh đề Nhiệm vụ : Sinh viên tự đọ
c thông tin cơ bản sau đó thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực
hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 1.1 đến 1.6 dưới đây : Nhiệm vụ 1 :
Xây dựng haiví dụ về mệ đề nh đ
úng trong mỗi lĩnh vực s h
ố ọc,hình học và d?i s ng, ố xã hội. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề sai trong mỗi lĩnh vực s h
ố ọc,hình học và dời sống, xã hội. Nhiệm vụ 3 :
Viết bốn câu không phải là mệnh đề Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ba ví dụ về mệnh đề mở (hoặc mệnh đề chưa xác định) Nhiệm vụ 5 :
Phát biểu luật bài trung và luật mâu thuẫn của lôgic mệnh đề Đánh giá
1. Đánh dấu x vào ô trống đặt sau câu là mệnh đề
a, Bạn An học năm thứ mấy? b, 2 x 5 = 11 c, 23 là số nguyên tố
d, 17 có phải là số nguyên tố không?
e, Đội tuyển Việt Nam hôm nay đá hay quá!
f, Tổng các góc trong một tứ giác lồi bằng 3600 g, Hãy nêu một ví d v ụ ề mệnh đề !
h, ở Hà Nội sáng nay có mưa rào
i, Bạn nào có thể cho biết mệnh đề là gì?
2. Viết giá trị chân lí của các mệnh đề sau vào ô tr ng ố
a, “3 không lớn hơn 7” b, “Số ữ
h u tỉ không phải là số vô tỉ”
c, “Hai đường chéo của hình thang có độ dài bằng nhau”
3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, Có mệnh đề vừa úng l đ ại vừa sai
b, Có mệnh đề không úng c đ ũng không sai
Hot động 1.2. Tìm hiu phép ph định Nhiệm vụ :
Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề ph ủ định Nhiệm vụ 2 : Xây dự ố
ng b n ví dụ về phép phủ đị nh mệ đề nh trong số ọ h c trong hình h c ọ , trong đời sống, xã ộ h i
Sau đó tìm giá trị chân lí c a chúng và di ủ
ễn đạt mỗi mệnh đề ph ủ định bằng các cách khác nhau Đánh giá
1. Thiết lập mệnh đề ph
ủ định của các mệnh đề sau a, 5 x 7 = 35 b, 24 không chia hết cho 5
c, Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau d, Trời mưa e, An cao hơn Thọ f, 40 < 30
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 2. Tìm mệnh đề ph
ủ định của các mệnh đề sau a,
“15 lớn hơn hoặc bằng 20” “15 không nhỏ hơn 20”
“Không phải 15 nhỏ hơn 20”
“Nói 15 nhỏ hơn 20 là không đúng” b,
“Hình bình hành không có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
“Hai đường chéo của hình bình hành không cắt nhau ở trung điểm ủ c a mỗi đường”
“Không phải hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
“Nói hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau ở trung điểm ủ c a mỗi
đường là không đúng”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Hot động 1.3. Tìm hiu phép hi Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Lập bảng chân lí của mệnh đề hội
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề hội  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Trong các mệnh đề ó đ được sử d ng nh ụ ững liên từ khác nhau
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Đánh giá 1. Cho các mệnh đề
a = “3 < 5” và b = “5 < 10”
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau thành lời a, a b b, a b c, a b d, a b 2. Cho các mệnh đề a = “Trời nắng” và b = “Trời nóng” Viết dư i
ớ dạng kí hiệu các mệnh đề sau
a, “Trời vừa nắng lại vừa nóng”
b, “Trời không nắng nhưng nóng”
c, “Trời đã nắng lại nóng” d, “Trời nắng như đ ng âu có nóng”
e, “Trời không nắng cũng chẳng nóng” 3. Cho các mệnh đề
a = “30 là số tròn chục” b = “30 chia hết cho 5”
c = “30 không chia hết cho 4” Hãy viết dư i
ớ dạng kí hiệu các mệnh đề sau
a, “30 là số tròn chục chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 4”
b, “30 là số tròn chục không chia hết cho cả 4 và 5”
c, “30 là số tròn chục không chia hết cho 5 mà chia hết cho 4”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
4. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau ây thành l đ ời a b c d e trong đó:
a = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song”
b = “Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau”
c = “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường”
d = “Tứ giác ABCD có hai góc kề bù nhau”
e = “Tứ giác ABCD có hai góc đối diện bằng nhau”
Sau đó tìm giá trị chân lí của nó trong trư ng h ờ ợp : a, ABCD là hình bình hành b, ABCD là hình thang
Hot động 1.4. Tìm hiu phép tuyn Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tuyển
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép tuyển  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố a, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3” b, “3 nhỏ ơ h n hoặc bằng 7” c, “7 nhỏ ơ h n hoặc bằng 3” d, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc 3” e, “4 nhỏ ơ h n 2 hoặc nhỏ hơn 3” 2. Cho các mệnh đề a = “44 chia hết cho 2” b = “44 chia hết cho 3”
Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau : a, a b b, a b c, a b d, a b e, a b f, a b g, a b h, a b
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
3. Đánh dấu x vào ô trống, nếu là phép tuyển loại trừ
a, Nhà toán học Galoa chết năm 20 hoặc 21 tuổi
b, Tiểu sử của nhà toán học Galoa có thể tìm đọc trong báo “Toán học và tuổi
trẻ” hoặc cuốn “Chuyện kể về các nhà toán h c ọ ” c, Số t n
ự hiên a chia hết cho 2 hoặc 3 d, S t
ố ự nhiên a là số chẵn hoặc lẻ
e, Số tự nhiên a có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
f, Số tự nhiên a chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0 ; 2 ; 4 ; 6 hoặc 8
Hot động 1.5. Tìm hiu phép kéo theo Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề kéo theo
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về phép kéo theo  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Sau ó di đ
ễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, Nếu 3 < 7 thì 15 chia hết cho 5
b, Nếu 20 là số nguyên tố thì 2 x 5 = 10
c, Hình chữ nhất có bốn góc vuông suy ra 18 chia hết cho 5
d, Tổng các góc trong một tam giác bằng 3600 khi 2 x 2 = 11
e, 3 2 nếu 35 chia hết cho 3 2. Cho các mệnh đề a = “42 chia hết cho 6”
b = “42 chia hết cho 2 và 3”
Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau a, a b b, a c, b d, e, b a f, b g, a h,
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng 3. Cho biết
a, G (a b) = G (a b) = 1 và G (a b) = 0
Tìm giá trị chân lí của mệnh đề a, b b, G (a b) = 1. Tìm G (a b) c, G ( b) = 1. Tìm G (a b)
Hot động 1.6. Tìm hiu phép tương đương Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Lập bảng chân lí của mệnh đề tương đư ng ơ
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ về mệnh đề tương đư ng ơ  Trong số ọ h c  Trong hình học
 Trong đời sống xã hội Sau ó di đ
ễn đạt chúng thành các cách khác nhau rồi tìm giá trị chân lí của chúng Đánh giá
1. Mệnh đề đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô tr ng ố
a, 5 < 8 khi và chỉ khi 21 chia hết cho 3
b, 2 + 3 = 10 nếu và chỉ nếu 13 là số nguyên tố
c, Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi phân số là tối giản
d, Hình chữ nhật có bốn góc vuông khi và chỉ khi phân số lớn hơn 1
e, Tháng Ba có 28 ngày khi và chỉ khi Việt Nam nằm ở châu Âu
f, Mỗi tuần có 7 ngày nếu và chỉ nếu Pari là thủ đ o của Trung Quốc 2. Cho các mệnh đề
a = “Số tự nhiên a có tổng các chữ s c ố hia hết cho 3”
b = “Số tự nhiên a chia hết cho 3”
Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề sau a, b, c, d,
3. Cho biết G(a b) = 1, G() = 0
Tìm giá trị chân lí của ; a ; b
4. Cho biết G() = 1. Có thể nói gì về giá trị chân lí của , , và Tiểu chủ đề 2.2.
Các bài toán về suy luận đơn giản Thông tin cơ bản
Suy luận đơn giản là những phép suy luận không dùng những công cụ của lôgic mệnh đề (phép ph
ủ định, phép hội, phép tuyển....). Các bài toán v suy lu n ậ đơn gi n
ả là những bài toán khi giải chỉ cầ ậ n v n d ng nh ụ
ững phép suy luận đơn giản
Khi giải các bài toán về suy luận đơn giản, đòi hỏi chúng ta phải biết vận dụng một cách sáng tạ ữ
o nh ng kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về thiên nhiên, xã
hội và phong tục tập quán trong đời sống sinh hoạt hàng ngày
Dưới đây ta lần lượt nghiên cứu các phương pháp thư ng s ờ d
ử ụng khi giải các bài toán dạng này
2.1. Phương pháp lp bng
Các bài toán giải bằng phương pháp lập bảng thư ng xu ờ ất hiện hai nhóm i đố tượng
(chẳng hạn tên người và nghề nghiệp, hoặc vận động viên và giải thư ng, ho ở ặc tên
sách và màu bìa...). Khi giải ta thiết lập một bảng gồm các hàng và các cột. Các cột
ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, còn các hàng ta liệt kê các đ i ố tượng nhóm thứ hai
Dựa vào điều kiện trong đề bài, ta loại b d
ỏ ần (ghi số 0) các ô (là giao của mỗi hàng
và mỗi cột). Những ô còn lại (không bị loại bỏ) là kết quả của bài toán Ví dụ 2.1 :
Ba người thợ hàn, thợ tiện và thợ điện đang ngồi trò chuyện trong giờ nghỉ giải lao.
Người thợ hàn nhận xét:
 Ba chúng ta làm nghề trùng với tên của ba chúng ta, nhưng không ai làm nghề trùng với tên mình cả Bác Điện hư ng ở ứng:  Bác nói đúng
Bạn hãy cho biết tên và nghề nghiệp của mỗi người
Gii Ta thiết lập bảng sau
Theo đề bài, không ai có tên trùng với nghề của mình, cho nên ta ghi số 0 vào các ô
1 ; 5 và 9. Bác Điện hư ng ở ng nh ứ
ận xét của bác thợ hàn nên bác Điện không làm
nghề hàn. Ta ghi số 0 vào ô số 7
 Nhìn cột 2 ta thấy bác thợ hàn không tên là Hàn, không tên là Điện. Vậy bác thợ
hàn tên là Tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 4
 Nhìn hàng 4 ta thấy bác Điện không làm nghề hàn cũng không làm nghề đ iện. Vậy
bác làm nghề tiện. Ta đánh dấu X vào ô số 8
 Nhìn hàng 2 và ô 8 ta thấy bác Hàn không làm nghề hàn, cũng không làm nghề tiện.
Vậy bác làm nghề điện. Đánh dấu X vào ô s 3 ố
Kết luận: Bác Hàn làm thợ điện. Bác Tiện là thợ hàn. Bác Điện làm thợ tiện Ví dụ 2.2 :
Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán và Địa lí được bọc ba màu khác
nhau: xanh, đỏ, vàng. Cho biết cuốn bọc bìa màu đỏ đặ
t giữa hai cuốn Văn và Địa lí,
cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì?
Gii: Ta có bảng sau
Theo đề bài “cuốn bìa màu đỏ đặt giữa hai cuốn Văn và Địa lí”. Vậy cuốn sách Văn
và Địa lí đều không bọc màu đỏ cho nên cuốn Toán phải bọc màu đỏ. Ta ghi s 0 ố
vào ô 4 và 6, đánh dấu X vào ô 5
Mặt khác, “cuốn Địa lí và cuốn bìa màu xanh mua cùng ngày”. Điều đó có nghĩa là
cuốn Địa lí không bọc màu xanh. Ta ghi số 0 vào ô 3
 Nhìn cột thứ tư, ta thấy cu n
ố Địa lí không bọc màu xanh cũng không bọc màu đỏ.
Vậy cuốn Địa lí bọc màu vàng. Ta đánh dấu X vào ô 9
 Nhìn vào cột 2 và ô 9 ta thấy cuốn Vă ọ n không b c màu đỏ, cũ ọ ng không b c màu vàng. Vậy cuốn Vă ọ
n b c màu xanh. Ta đánh dẫu X vào ô 1
Kết lun : Cuốn Văn bọc màu xanh, cuốn Toán bọc màu đỏ, cu n ố Địa lí bọc màu vàng Ví dụ 2.3 :
Trên bàn có bốn hộp kín được đánh số th t
ứ ự 1 ; 2 ; 3 và 4. Trong mỗi hộp đựng một
trong bốn loại quả: đào, mận, bưởi hoặc cam. Ba bạn Lộc, Đạt và Thanh tham gia
trò chơi như sau: Mỗi bạn lần lượt đoán trong mỗi hộ đự
p ng quả gì, nếu ai đoán
đúng ít nhất một hộp thì sẽ được phần thưởng. Lộc đoán trước :  Hộp th nh ứ
ất đựng cam, hộp thứ hai đựng mận, hộp thứ ba đựng bưởi và hộp thứ tư đự đ ng ào Đạt đoán tiếp :  Hộp th nh ứ ất ng đự
đào, hộp thứ hai đựng bưởi, hộp thứ ba đựng cam và hộp thứ tư đựng mận Cuối cùng Thanh đoán  Hộp th nh ứ ất ng m đự
ận, hộp thứ hai đựng cam, hộp thứ ba đự à đ ng o và h p ộ thứ tư đựng bưởi
Kết thúc cuộc chơi, ban giám khảo công bố cả ba bạn đều không đạt phần thưởng
Bạn hãy cho biết trong mỗi hộp ng qu đự ả gì?
Gii : ta thiết lập bảng và ghi vào bảng theo lập luận sau Theo đề bài ta có:
− Lộc không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không đựng cam, hộp thứ hai
không đựng mận, hộp thứ ba không ng b đự ưởi và hộp th t ứ ư không ng đự đào. Ta
ghi số 0 vào các ô 4 ; 6 ; 11 và 13
− Đạt không được phần thưởng. Vậy hộp thứ nhất không ng đự đào, hộp thứ hai
không đựng bưởi, hộp thứ ba không đựng cam và hộp thứ t không ư đựng mận. Ta
ghi tiếp số 0 vào các ô 1 ; 7 ; 12 và 14
− Thanh cũng không được phần thưởng, c ng l ũ
ập luận như trên rồi ta ghi tiếp s 0 ố vào các ô 2; 8 ; 9 và 15 Nhìn hàng thứ hai ta thấ ộ
y h p thứ nhất không đự đ
ng ào, không đựng mận, c ng ũ
không đựng cam. Vậy nó đựng bưởi. Ta đánh dấu X vào ô 3
Tương tự ta được : hộp thứ hai đựng dấu (đánh dấu X vào ô 5), hộp thứ ba ng đự
mận (đánh dẫu X vào ô 10) và hộp thứ t
ư đựng cam (đánh dấu X vào ô 16) Ví dụ 2.4 :
Giờ Văn cô giáo trả bài kiểm tra. B n b ố
ạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn đề đạ
u t điểm 8 trở lên. G ờ i ra chơi Phươ ỏ ng h i điểm ủ
c a bốn bạn. Tuấn trả lời:
 Lan không đạt điểm 10, mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm 8 Hùng thì nói :
 Mình không đạt điểm 10, Lan không đạt điểm 9 còn Tuấn và Quân đề đạ u không t điểm 8
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy?
Gii: Ta lập bảng và ghi bảng theo lập luận ở dưới
Theo Tuấn ta ghi số 0 vào các o 3 ; 5 ; 8 và 10
Theo Hùng ta ghi số 0 vào các ô 2 ; 7 ; 9 và 12 Vì b n b ố
ạn đều đạt điểm 8 trở lên, nên nhìn vào cột 2, ta kết luận Tuấn đạt điểm 10. Tương t v
ự ới các cột 3 ; 4 và 5 ta kết luận Hùng đạt điểm 9, Lan đạt điểm 8 còn Quân điểm 10 Ví dụ 2.5 :
Năm người thợ tên là Da, Điện, Hàn, Tiện và Sơn làm năm nghề khác nhau trùng
với tên của năm người đó, nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Bác thợ da lấy em gái củ ủ
a bác Da. Tên c a bác thợ da trùng với nghề của anh vợ mình và vợ
bác chỉ có hai anh em. Bác Tiện khong làm thợ sơn mà lại là em rể của bác thợ hàn.
Bác thợ sơn và bác Da là hai anh em cùng h ọ
Bạn hãy cho biết bác Da và bác Tiện làm nghề gì
Vì không ai làm nghề trùng với tên của mình nên ta ghi số 0 vào các ô 1; 7 ; 13 ; 19 và 25
Bác Tiện không làm thợ sơn nên ta ghi số 0 vào ô 24. Mặt khác bác Tiện làm em rể
của bác thợ hàn nên bác Tiện không phải là thợ hàn. Ta ghi số 0 vào ô 14. Nhìn cột
5 ta thấy bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện
Nếu bác Tiện là thợ da thì theo đề bài, bác Da là thợ tiện. Như vậy bác Tiện vừa là
em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn, mà vợ bác Tiện chỉ có hai anh em. Điều này vô lí.
Vậy bác Tiện là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 4 và dấu X vào ô 9
Bác Tiện là thợ điện nên bác Da không phải là thợ điện. Ta ghi số 0 vào ô 6. Bác thợ
sơn và bác Da là hai anh em cùng họ nên bác Da không là thợ sơn. Ta ghi số 0 vào ô 21
Theo lập luận phần trên thì bác Da không phải là thợ tiện. Vậy bác Da là thợ hàn. Ta đánh dấu X vào ô 11
2.2. Phương pháp suy lun đơn gin
Suy luận đơn giản là phép suy luận không dùng công c c
ụ ủa lôgic mệnh đề. Dưới
đây ta xét một số ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải này Ví dụ 2.6 :
Một viên quan nước Lỗ đi sứ sang Tề, bị vua Tề xử phạt tội chết và bị hành quyết:
hoặc chém đầu hoặc treo cổ. Trước khi hành quyết nhà vua cho sứ giả được nói một
câu và giao hẹn nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai thì treo c . S ổ ứ giả mỉm cười
và nói một câu mà nhờ đó đã thoát chết
Bạn hãy cho biết câu nói đó của s gi ử ả như thế nào?
Phân tích : Điều kiện của nhà vua đặt ra là nếu nói đúng thì chém đầu, nếu nói sai
thì treo cổ. Vì nhà vua cho rằng một câu nói chỉ có thể đúng hoặc sai, như thế vị sứ
giả chắc chắn sẽ bị chết. Nhưng nhà vua không tính đến khả năng vị sứ giả sẽ nghĩ
ra câu nói mà đem chém đầu thì sứ giả nói sai (cho nên sứ giả không bị chém đầu)
còn nếu đem treo cổ thì sứ giả nói đúng (nên khong bị treo c )
ổ . Câu nói đó là : “Tôi sẽ bị treo cổ”
Gii : Câu nói của sứ giả là: “Tôi sẽ bị treo cổ”
 Nếu nhà vua đem sứ giả đi chém đầu thì sứ giả nói sai. Mà nói sai thì p ả h i xử treo
cổ chứ không thể chém đầu s gi ứ ả
 Nếu nhà vua đem treo c s ổ gi ứ ả thì s gi
ứ ả nói đúng. Mà nói đúng thì phải đem chém
đầu chứ không thể treo cổ
Sứ giả không bị chém đầu, không bị treo cổ cho nên đã thoát chết Ví dụ 2.7 :
Người ta đồn rằng ở một ngôi đề ọ
n n rất thiêng do ba vị thần ng t ự rị: thần Thật Thà
(luôn luôn nói thật), thần Dối Trá (luôn luôn nói dối) và thần Khôn Ngoan (khi nói
thật, khi nói dối). Các vị thần đều ng
ự ở trên bệ thờ và sẵn sàng trả lời câu hỏi khi có
người thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của ba vị thần gi ng h ố ệt nhau nên người ta
không biết vị thần nào để tin hay không tin
Một hôm, một học giả từ phương xa đến ngôi đền gặp các thần để xin lời thỉnh cầu.
Bước vào đền, học giả hỏi thần ngồi bên phải :  Ai ngồi cạnh ngài?
 Đó là thần Dối Trá Tiếp ó h đ ỏi thần ngồi giữa  Ngài là thần gì?
 Tôi là thần Khôn Ngoan
Cuối cùng ông ta quay sang hỏi thần ng i ồ bên trái  Ai ngồi cạnh ngài
 Đó là thần Thật Thà
Nghe xong học giả khẳng định được mỗi vị là thần gì. Bạn hãy cho biết h c ọ giả ó đ
đã suy luận như thế nào? Phân tích
Ta nhận xét, cả ba câu hỏi của vị học giả đều nhằm xác định một thông tin là thần
ngồi giữa là thần gì? Kết quả nhận được các câu trả lời như sau
Thần bên phải : Đó là thần Dối Trá
Thần ở giữa : Tôi là thần Khôn Ngoan
Thần bên trái : Đó là thần Thật Thà
Dựa vào các câu trả lời, vị học giả trước hết đã suy luận để xác định ai là thần Thật
Thà. Tiếp theo dựa vào câu trả lời của vị thần Thật Thà thì xác định được vị thần thứ hai, rồi thứ ba
Ngoài ra còn có thể giải bằng cách khác: suy luận để xác định ai là thần Dối Trá
(hoặc Khôn Ngoan) trước, sau đó xác định hai vị thần còn lại Gii
Cách 1 : Ta nhận xét
 Thần ngồi bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói thần ngồi giữa là thần Thật Thà  Thần ngồi giữa c n
ũ g không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan.”
Vậy thần ngồi bên phải là thần Thật Thà. Theo câu trả lời của ngài thì ngồi giữa là
thần Dối Trá. Cuối cùng, thần bên trái là thần Khôn Ngoan
Cách 2 : Ta nhận xét:
Nếu thần ngồi bên trái là thần Dối Trá thì thần bên p ả
h i là thần Thật Thà hoặc Khôn
Ngoan. Nếu ngồi bên phải là thần Thật Thà thì ngồi giữa là thần Dối Trá. Điều ngài
vô lí, vì bên trái cũng là thần Dối Trá. Nên bên phải là thần Khôn Ngoan thì ngồi
giữa là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì ngài nói : “Tôi là thần Khôn Ngoan”
Vậy bên trái không phải là thần Dối Trá
 Nếu bên phải là thần Dối Trá thì ngồi giữa là thần Thật Thà hoặc Khôn Ngoan.
Nhưng ngài không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Tôi là thần Khôn Ngoan”.
Nếu ngồi giữa là thần Khôn Ngoan thì bên trái là thần Thật Thà. Điều này vô lí, vì
ngài nói: “Ngồi giữa là thần Thật Thà”
Vậy bên phải cũng không phải là thần Dối Trá. Vậy, ta suy ra ngồi giữa là thần Dối
Trá. Như vậy bên trái không phải là thần Thật Thà, vì ngài nói: “Ngồi giữa là thần
Thật Thà”. Thế thì bên trái là thần Khôn Ngoan. Cuối cùng, bên phải là thần Thật Thà. Cách 3: Tư ng t ơ
ự, ta có thể suy luận để xác định ai là thần Khôn Ngoan trư c ớ . Sau
đó xác định hai vị thần còn lại Ví dụ 2.8 :
ở một xã X có hai làng : dân làng A chuyên nói thật, còn dân làng B chuyên nói dối.
Dân hai làng thường qua lại thăm nhau. Một chàng thanh niên n v ọ ề thăm bạn ở làng A. Vừa bước vào xã X, a
đ ng ngơ ngác chưa biết đây là làng nào, chàng thanh niên
gặp ngay một cô gái và anh ta hỏi người này một câu. Sau khi nghe trả lời chàng
thanh niên bèn quay ra (vì biết chắc mình đang ở làng B) và sang tìm bạn ở làng bên cạnh.
Bạn hãy cho biết câu hỏi đó thế nào và câu trả lời đó ra sao mà chàng thanh niên lại
khẳng định chắc chắn như vậy
Phân tích: Để nghe xong câu trả lời người thanh niên đó có thể khẳng định được
mình đang đứng trong làng A hay làng B thì anh ta phải nghĩ ra một câu hỏi sao cho câu trả lời c a
ủ cô gái chỉ phụ thuộc vào h
ọ đang đứng trong làng nào mà không ph ụ
thuộc cô gái ấy là người làng nào. Cụ thể hơn : cầ đặ
n t câu hỏi để cô gái trả lời là
“phải”, nếu họ đang đứng trong làng A và “không phải”, nếu h ọ đang đứng trong làng B
Gii: Câu hỏi của người thanh niên ó
đ là : “Có phải chị là người làng này không?” Trường hợp 1 : H
ọ đang đứng trong làng A : nếu cô gái là ngư i ờ làng A thì câu trả
lời là :”Phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là “Phải” (vì dân làng B chuyên nói dối) Trường hợp 2 : H
ọ đang đứng ở trong làng B. Nếu cô gái là người làng A thì câu trả
lời là: “Không phải”; nếu cô gái là người làng B thì câu trả lời cũng là : “Không phải” Như vậy, nế ọ u h đ
ang đứng trong làng A thì câu trả lời chỉ có thể là “Phải”, còn nếu
họ đang đứng trong làng B thì câu trả lời chỉ có thể là “Không phải”
Người thanh niên quyết định quay ra, vì anh đã nghe câu trả lời là “Không phải” Ví dụ 2.9 :
Một hôm anh Quang lấy quyển album ra giới thiệu với mọi người. Cường chỉ vào
người đàn ông trong ảnh và hỏi anh Quang : “Người đàn ông này có quan hệ thế nào
với anh?” Anh Quang bèn trả lời : “Bà nội của chị gái vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ tôi”
Bạn hãy cho biết anh Quang và người đàn ông ấy quan hệ với nhau thế nào?
Gii : Bà nội của chị gái vợ anh ấy cũng chính là bà n i
ộ của vợ anh ấy. Bà n i ộ của
vợ anh ấy là chị gái của bà nội vợ anh Quang. Vậy vợ anh ấy và vợ anh Quang là hai
chị em con dì con già. Suy ra anh Quang và người đàn ông ấy là hai anh em rể h ọ Ví dụ 2.10 :
Trong giờ ngoại khóa, thầy giáo g i 6 em nam và 6 em n ọ
ữ ra sân và giao cho lớp trưởng nhiệm v t
ụ ập hợp các bạn đứng thành vòng tròn sao cho không có hai bạn nữ
nào đứng cạnh nhau và đối diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam.
Suy nghĩ một lát, lớp trưởng trả lời: “Thưa thầy, không thể xếp được như vậy!”. Bạn
lớp phó học tập tiếp luôn: “Nhưng nếu bớt đi một bạn nam và một bạn n ho ữ ặc thêm
một bạn nam và một bạn nữ thì xếp được thưa thầy!”
Bạn hãy cho biết hai bạn nói đúng hay sai, giải thích tại sao?
Gii : Ta chia đường tròn thành 12 phần đều nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm
chia theo thứ tự từ đế 1 n 12 Để hai bạn n không ữ
đứng cạnh nhau thì ta phải xếp các bạn nữ vào đứng ở các
điểm ghi số lẻ, các bạn nam đứng ở các điểm ghi số chẵn (hoặc ngược lại)
Nhìn trên hình vẽ ta thấ đố
y i diện với một bạn mang số lẻ qua tâm đường tròn cũng là một bạn mang s l ố ẻ và i
đố diện với một bạn mang số chẵn qua tâm đường tròn là
một bạn mang số chẵn. Nh v
ư ậy đối diện với một bạn nữ qua tâm đường tròn là một
bạn nữ (chứ không thể là bạn nam) Giả s b
ử ớt đi một bạn nam và một bạ ữ n n
Ta chia vòng tròn thành 10 phần bằng nhau như hình vẽ. Ta đánh số các điểm chia theo thứ tự từ đ
1 ên 10. Ta xếp các bạn nữ vào các điểm chia mang số lẻ và các bạn
nam vào các điểm chia mang số chẵn (hoặc ngược lại). Nhìn trên hình vẽ ta thấy đối
diện với một bạn mang s l
ố ẻ trên đường tròn là một bạn mang số chẵn. Như vậ đố y i
diện với một bạn nữ qua tâm vòng tròn là một bạn nam và không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau Tương tự trư ng h ờ ợp thêm m t nam và m ộ ột nữ
Vậy hai bạn đã nói đúng Ví dụ 2.11 :
Một đoàn du khách trên đường đi thăm rừng Cúc Phương. Đến một ngã ba đường h ọ
đang không biết rẽ lối nào thì nhìn thấy hai chú bé đang chăn trâu bên cạnh đường.
Họ được nghe mọi người l u ý t ư
ừ trước rằng, trong hai cậu có một cậu chuyên nói
thật còn cậu thứ hai chuyên nói dối. Khi được hỏi, các cậu chỉ trả lời: “Đúng” hoặc
“Không”. Nhưng mọi người không biết cậu nào nói thật còn cậu nào nói dối.
a, Một người lại gần và đặt hai câu hỏi cho một trong hai cậu bé. Sau khi nghe trả lời
ông ta xác định được đường nào đi rừng Cúc Phư ng ơ
b, Lát sau, một cô gái khác chỉ hỏi một trong hai cậu bé một câu. Sau khi nghe trả
lời cô cũng biết lối nào đi rừng Cúc Phương
Bạn hãy cho biết các câu hỏi đó thế nào? Phân tích :
a, Để bằng hai câu hỏi cho một cậu bé người đó xác định được lối nào đi rừng Cúc
Phương thì người đó dùng câu hỏi thứ nhất để xác định em đó là nói thật hay nói
dối. Dựa vào đó dùng câu hỏi thứ hai để xác định lối nào đi rừng Cúc Phương b, Đ b
ể ằng một câu hỏi cho một cậu bé, cô gái xác định được lối nào đi rừng Cúc
Phương thì câu hỏivề một trong hai con đường có đi rừng Cúc Phương hay không và
câu trả lời nhận được không phụ thuộc vào cậu bé đó nói thật hay nói dối Gii :
a, Trước hết người đó chỉ vào con trâu và hỏi một trong hai cậu bé: “Đây là con trâu có phải không?
Trường hợp 1 : Cậu bé trả lời “Đúng” thì cậu nói thật. Khi đó du khách chỉ vào một
trong hai con đường và hỏi tiếp : “Có phải lối này đi rừng Cúc Phương hay không?”.
Nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối ó đ đi rừng Cúc Phư ng, n ơ
ếu cậu bé trả lời là
“Không” thì lối thứ hai i đ rừng Cúc Phương
Trường hợp 2 : Cậu bé trả lời là “Không” thì cậu đó nói dối. Sau ó đ đặt tiếp câu hỏi
như trên. Trong trường hợp này, nếu cậu bé trả lời là “Đúng” thì lối thứ hai đi r ng ừ
Cúc Phương và ngược lại
b, Cô gái chỉ vào một con đư n
ờ g và hỏi một trong hai cậu bé: “ ế N u tôi hỏi bạn cậu
lối này có đi rừng Cúc Phương không thì bạn cậu trả lời thế nào?” Trường hợp 1 : Lối ó đ đi rừng Cúc Phư ng. N ơ
ếu cậu bé được hỏi là người nói thật
(cậu thứ hai là người nói dối) thì câu trả lời là “Không”. Nếu cậu bé được hỏi là
người nói dối (cậu thứ hai là người nói thật) thì câu trả lời cũng là “Không”
Trường hợp 2 : Lối đó không đi rừng Cúc Phư ng. L ơ
ập luận như trong trư ng h ờ ợp 1
ta nhận được câu trả lời luôn là “Đúng” (cho dù cậu bé được hỏi là người nói thật hay nói dối)
Qua phân tích trên đây ta thấy : nếu câu trả lời luôn là “Không” thì lối đó đi rừng
Cúc Phương. Ngược lại, nếu câu trả lời là “Đúng” thì lối đó không đi rừng Cúc Phương.
2.3. Phương pháp la chn tình hung Ví dụ 2.12:
Tổ Toán của một trường trung học phổ thông có năm người : thầy Hùng, thầy Quân,
cô Vân, cô Hạnh và cô Cúc. Kỳ nghỉ hè cả t
ổ được hai phiếu đi nghỉ mát. Mọi người
đều nhường nhau, thầy h ệ i u t ư r ở đề
ng nghị mỗi người đề xuất ộ m t ý kiến. Kết quả như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi.
2. Thầy Hùng và cô Vân đi.
3. Thầy Quân và cô Hạnh đi
4. Cô Cúc và cô Hạnh đi
5. Thầy Hùng và cô Hạnh đi
Cuối cùng thầy hiệu trưởng quyết định ch n
ọ đề nghị của cô Cúc, vì theo đề nghị ó đ
thì mỗi đề nghị đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần
Bạn hãy cho biết ai đã đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó?
Phân tích : Để ch n
ọ được đề nghị thoả mãn yêu cầu của đề bài ta lần lượt xét đ ề
nghị của từng người. Sẽ có hai khả năng xảy ra  Có một trong bố đề
n nghị còn lại bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị ó đ
 Không có đề nghị nào trong ố b đề
n nghị còn lạibị bác bỏ hoàn toàn. Trường hợp này ta chọ đề n nghị đ ó
Gii: Ta nhận xét  Nếu ch n
ọ đề nghị thứ nhất thì đề nghị th t
ứ ư bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọ đề
n nghị thứ nhất và thứ tư  Nếu ch n
ọ đề nghị thứ hai thì đề nghị thứ ba bị bác bỏ hoàn toàn. Vậy không thể chọ đề
n nghị thứ hai và thứ ba  Nếu ch n ọ đề nghị th n
ứ ăm thì mỗi đề nghị trong bốn đề nghị còn lại đều th ả o mãn
một phần và bác bỏ một phần
Vậy kì nghỉ hè năm đó thầy Hùng và cô Hạnh đi nghỉ mát Ví dụ 2.13 :
Sau giờ tập luyện buổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào quán ăn trưa. Thực đơn
của quán có tám món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bò xào, cá rán, ốc xào
măng và canh chua. Toàn đội thống nhất sẽ gọi ba món trong thực đơn cho bữa ăn. Nguyện v ng c ọ
ủa các cầu thủ chia ra thành năm nhóm như sau
Nhóm 1 : Gà luộc, nem rán và chim quay
Nhóm 2 : Đậu rán, bò xào và cá rán
Nhóm 3 : Bò xào, cá rán và c ố xào măng
Nhóm 4 : Nem rán, ốc xào măng và canh chua
Nhóm 5 : Gà luộc, bò xào và canh chua
Cuối cùng toàn đội đồng ý với thực đơn c a
ủ đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn ó đ
mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích
Hỏi toàn đội hôm đó đã ăn những món gì?
Gii : Ta nhận xét
 Nếu chọn thực đơn của nhóm một thì cả nhóm hai và ba đều không có món nào mà
minh ưa thích. Vậy không thể chọn thực đơn của ba nhóm đầu
 Nếu chọn thực đơn của nhóm bốn thì nhóm hai không có món nào mà mình ưa
thích. Vậy không thể chọn thực đơn của nhóm bốn
 Nếu chọn thực đơn của nhóm năm thì mỗi nhóm trong bốn nhóm còn lại đều có ít
nhất một món mà mình ưa thích
Vậy bữa trưa hôm đó toàn đội đã chọn thực đơn gồm ba món: gà luộc, bò xào và canh chua Ví dụ 2.14 :
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An quê ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây, Cần Thơ,
Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi quê ở tỉnh nào, các bạn trả lời như sau:
Anh : Tôi quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Nghệ An
Bình : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Cúc ở Tiền Giang
Cúc : Tôi cũng quê ở Bắc Ninh, còn Doan ở Hà Tây
Doan : Tôi quê ở Cần Thơ, còn Anh ở Hà Tây
Nếu không bạn nào trả lời sai hoàn toàn thì quê của mỗi bạn ở tỉnh nào? Phân tích
 Trước hết ta cần hiểu “không bạn nào trả lời sai hoàn toàn” nghĩa là gì?
Mỗi câu trả lời đều nói về quê quán của hai người. Nếu câu trả lời sai hoàn toàn thì
có nghĩa là quê của cả hai ngườiđó đều không ở hai tỉnh đó. Vậy câu trả lời không
sai hoàn toàn có nghĩa là một trong hai người hoặc cả hai người có quê ở hai tỉ đ nh ó
Chẳng hạn, câu trả lời của Anh không sai hoàn toàn, có nghĩa là: hoặc Anh quê ở
Bắc Ninh còn quê của Doan không ở Nghệ An hoặc quê của Anh không ở Bắc Ninh
còn Doan quê ở Nghệ An hoặc Anh quê ở Bắc Ninh và Doan quê ở Nghệ An
 Để xác định quê quán của mỗi bạn, ta lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi
câu trả lời nói về quê quán của hai người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau + Quê của người thứ ấ
nh t trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả
lời của bốn người còn lại. Nếu không có câu nào sai hoàn toàn thì ta xác định được
quê của người đó. Tiếp đó ta xác định quê của b n ng ố
ười còn lại. Nếu có một câu trả
lời (trong bốn câu còn lại) bị sai hoàn toàn thì quê của người thứ nhất trong câu trả lời không ở tỉnh ó. V đ
ậy quê của người thứ hai trong câu trả lời làđúng. Tiếp đó ta
tìm quê của bốn người còn lại + Quê của người thứ ấ
nh t trong câu trả lời là sai. Vậy quê của người thứ hai trong
câu trả lời là đúng. Ta xác định được quê của người này. Tiếp đó ta xác định quê của bốn người còn lại
Gii : Giả sử Anh quê ở Bắc Ninh thế thì quê của Bình và Cúc đều không ở Bắc
Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc quê ở Tiền Giang và theo Cúc thì Doan quê ở Hà Tây.
Vì Anh quê ở Bắc Ninh nên quê của Anh không ở Hà Tây. Vậy theo An thì An quê ở Cần T ơ
h . Cuối cùng còn Bình quê ở Nghệ An (vì bố ạ n b n kia quê ở bốn tỉnh còn lại rồi) Ví dụ 2.15 :
Cúp Tiger 98 có 4 đội lọt vào vòng bán kết: Việt nam, Singapor, Thái Lan và
Inđônêxia. Trước khi vào đấu vòng bán kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự o đ án như sau:
Dũng : Singapor nhì, còn Thái Lan ba
Quang : Việt Nam nhì, còn Thái Lan thứ tư
Tuấn : Singapor nhất và Inđônêxia nhì
Kết quả mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội
Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? Gii :
 Nếu Singapor đạt giải nhì thì Singapor không đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì
Inđônêxia đạt giải nhì. Điều này vô lí vì có hai đội đều đạt giải nhì
 Nếu Singapor không đạt giải nhì thì theo Dũng, Thái Lan đạt giải ba. Nh v ư ậy, Thái
Lan không đạt giải tư. Theo Quang, Việt Nam đạt giải nhì. Thế thì Inđônêxia không
đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapor đạt giải nhất, cuối cùng còn độ i Inđônêxia đạ t giải tư
Kết lun : Thứ t gi
ự ải của các đội trong Cúp Tiger 98 là : Nhất : Singapor Nhì : Việt Nam
Ba : Thái Lan Tư: Inđônêxia
2.4. Phương pháp biu đồ Ven Trong khi giải m t ộ số bài toán, ngư i
ờ ta thường dùng những đư n ờ g cong kín để mô
tả mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Nhờ sự mô tả này ta đi đến lời giải
một cách tường minh và thuận lợi. Những đường cong như thế ta sẽ gọi là Biểu đồ
ven. Phương pháp giải dùng biểu đồ Ven ta gọi là phư n ơ g pháp biểu đồ Ven. Ví dụ 2.16 :
Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, Ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch
tiếng Anh và 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán b p ộ hiên dịch
được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. ỏ H i :
a) Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh? Chỉ dịch được tiếng Pháp?
Gii : Số lượng cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị có thể
mô tả bởi biểu đồ Ven ở hình 3. Nhìn vào sơ đồ ta có :
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Anh là : 30 − 12 = 18 (người).
Số cán bộ chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là : 25 − 12 = 13 (người).
Số cán bộ phiên dịch được Ban tổ chức huy động cho hội nghị là : 30 + 13 = 43 (người).
Tr li : Ban tổ chức đã huy động tất cả 43 cán bộ phiên dịch cho hội nghị, trong đó
có 18 người chỉ dịch được tiếng Anh và 13 ngư i
ờ chỉ dịch được tiếng Pháp. Ví dụ 2.17 :
Có bao nhiêu số có ba chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3 ?
Gii : Số các số chẵn có ba chữ số là :
(998 − 100) : 2 + 1 = 450 (số). Số các số có ba ch s
ữ ố chia hết cho 3 là :
(999 − 102) : 3 + 1 = 300 (số)
Dãy các số chia hết cho 3 có ba chữ số là :
102, 105, 108, 111, ..., 996, 999.
Trong dãy trên có một nửa là số lẻ, m t
ộ nửa là số chẵn. Vậy có 150 s có ba ch ố ữ s ố
chia hết cho 3 là số chẵn.
Bây giờ ta mô tả bài toán bằng biểu V đồ en như hình 4. Nhìn vào sơ đồ ta có:
Số các số chẵn có ba chữ số không chia hết cho 3 là: 450 − 150 = 300 (số). Số các số có ba ch s
ữ ố là số chẵn hoặc chia hết cho 3 là: 300 + 300 = 600 (số).
Tr li : Có tất cả 600 số là số chẵn hoặc chia hết cho 3. Ví dụ 2.18 :
Lớp 9A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Trung, trong ó có 25 em đ nói
được tiếng Anh và 18 em đ
nói ược tiếng Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả hai thứ tiếng ?
Gii : Các em học sinh lớp 9A tham gia dạ hội có thể được mô tả bằng biểu đồ Ven ở hình 5.
Số học sinh chỉ nói được tiếng Trung là : 30 − 25 = 5 (em).
Số học sinh chỉ nói được tiếng Anh là : 30 − 18 = 12 (em).
Số em nói được cả hai thứ tiếng là: 30 − (5 + 12) = 13 (em).
Tr li: Có 13 em nói được cả tiếng Anh và tiếng Trung. Ví dụ 2.19 :
Trong hội khoẻ Phù Đổng có 100 vận n
độ g viên đăng kí dự thi. Mỗi vậ độ n ng viên
được đăng kí dự thi một hoặc hai trong ba môn: ném tạ, bơi lội hoặc đấu cờ vua. Kết
quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng kí thi ném tạ và 45 người đăng kí thi bơi.
Hỏi có bao nhiêu người đăng kí thi đấu cả hai môn: ném tạ và bơi lội?
Gii: Các vậ độ
n ng viên đăng kí thi đấu có thể được mô tả bởi hình 6.
Số vận động viên đăng kí thi ném tạ hoặc bơi lội là: 100 − 30 = 70 (người)
Số vận động viên đăng kí cả hai môn ném tạ và bơi lội là:
(45 + 53) − 70 = 28 (người).
Trả lời: Có 28 vận động viên đăng kí thi đ u c ấ
ả hai môn ném tạ và bơi lội. Ví dụ 2.20 :
Trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự, mỗi đại biểu có thể sử ụ d ng một trong
ba thứ tiếng : Nga, Anh, hoặc Pháp. Theo thống kê của Ban tổ chức, có 60 đại biểu
chỉ nói được một trong ba thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Anh và
Pháp, 150 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga, 170 đại biểu nói được cả
tiếng Nga và tiếng Pháp.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?
Gii : Số đại biểu nói được cả hai thứ tiếng Nga và Pháp hoặc Nga và Anh là:
500 − (60 + 180) = 260 (người)
Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là :
(170 + 150) − 260 = 60 (người).
Trả lời: Có 60 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng. Ví dụ 2.21 :
Hai trăm học sinh trường phổ thông chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, tiếng
Trung và tiếng Anh. Có 60 bạn chỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga
và 90 bạn nói được tiếng Trung và 20 bạn chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và Trung.
Hỏi có bao nhiêu bạn nói được cả ba thứ tiếng ?
Gii : Số học sinh nói được tiếng Nga hoặc tiếng Trung là : 200 − 60 = 140 (bạn).
Số học sinh nói được cả hai thứ tiếng Nga và Trung là :
(90 + 80) − 140 = 30 (bạn).
Số học sinh nói được cả ba thứ tiếng là : 30 − 20 = 10 (bạn).
Tr li : Có 10 bạn nói được cả ba thứ tiếng. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c thông tin cơ bản ở nhà sau đó thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các
hoạt động 2.1 đến 2.4 dưới đây. Trên lớp đại diện sinh viên sẽ trình bày minh hoạ
kết quả thực hiện dưới sự tổ chức của giáo viên.
Hot động 2.1. Thc hành gii toán bng phương pháp lp bng Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Trình bày khái niệm về phương pháp lập bảng
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán suy luận bằng phương pháp lập bảng Đánh giá 1. Trong giờ ọ
h c nữ công các bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba bông hoa cúc, đào, hồng.
Bạn làm hoa hồng quay sang nói với Cúc : “Thế là trong ba chúng mình chẳng có ai
làm hoa trùng với tên của mình cả!”. Hỏi ai làm bông hoa nào?
2. Tại một trại hè thiếu nhi quốc tế có một nhóm gồm ba thiếu niên: một người Anh,
một người Pháp và một người Nga. Mỗi người trong số ba bạn này đang học một
trong ba ngoại ngữ: tiếng Anh, tiếng Pháp hoặc tiếng Nga. Biết rằng bạn học tiếng
Anh lớn hơn bạn người Pháp 1 tuổi. Hãy xác định mõi bạn đang học ngoại ngữ gì ?
3. Ba cô giáo dạy tiếng Nga, Anh, Pháp được giao phụ trách đêm dạ hội ngoại ngữ.
Một cô nói với các em: “Ba cô dạy ba thứ tiếng trùng với tên của các cô, nhưng chỉ
có một cô có tên trùng với thứ tiếng mình dạy”. Cô dạy tiếng Pháp hưởng ứng : “Cô
nói đúng!”. Rồi chỉ vào cô vừa nói, tiếp lời: “Rất tiếc cô tên là Nga mà lại không dạy tiếng Nga”.
Bạn hãy cho biết mỗi cô dạy thứ tiếng gì?
4. Các bạn Hùng, Lan, Phượng đến nhà Cúc chơi thấy trên bàn có bốn gói giấy màu
xanh, đỏ, tím, vàng bèn hỏi bạn: “Gói gì vậy?” Cúc trả lời : “Mình có bốn viên bi
xanh, đỏ, tím, vàng đựng trong bốn gói này. Đề nghị các bạn th ử đoán xem mỗi viên bi ở trong gói nào?”. Hùng nhanh nhảu nói :
 Theo mình thì bi xanh không ở trong gói đỏ, bi đỏ không ở trong gói tím, bi tím
không ở trong gói vàng còn bi vàng không ở trong gói xanh. Lan lắc đầu:
 Bi xanh không ở trong gói tím, bi đỏ không ở trong gói vàng, bi tím không ở trong
gói xanh còn bi vàng không ở trong gói đỏ. Phượng chậm rãi nói :
 Theo mình thì bi xanh không ở trong gói vàng, bi đỏ không ở trong gói xanh, bi tím
không ở trong gói đỏ còn bi vàng không ở trong gói tím.
Cúc gật đầu khen: “Cả ba bạn đoán đ u ề úng c đ ả!”.
Bạn hãy cho biết trong mỗi gói đựng viên bi màu gì ?
5. Giờ toán hôm nay thày giáo trả bài kiểm tra, bốn bạn Minh; Hùng, Thông, Thái
ngồi cùng bàn đều đạt điểm 6 trở lên. Giờ ra chơi Trung hỏi điểm của b n b ố ạn. Minh trả lời:
Mình và Hùng không đạt điểm 6, Thông không đạt điểm 7 và Thái không đạt điểm 8. Hùng thì nói :
 Mình, Minh và Thông đề đạ
u không t điểm 8 còn Thái thì không đạt điểm 7. Thông tiếp lời :
 Mình và Thái không đạt đ
iểm 9, còn Minh và Hùng lại không đạt điểm 7.
Cuối cùng, Thái khẳng định :
 Mình và Thông không đạt điểm 6 còn Minh và Hùng không đạt điểm 9.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy ?
6. Ba nghệ sĩ Vàng, Bạch, Hồ ủ
ng r nhau đi quán uống cà phê. Ngồi trong quán,
người đội mũ trắng nhận xét: “Ba ta đội mũ có màu trùng với tên của chúng ta,
nhưng không ai có màu mũ trùng với tên của mình cả”. Nghệ sĩ Vàng hưởng ứng: “Anh nói đúng”.
Bạn hãy cho biết mỗi nghệ sĩ đội mũ màu gì?
7. Cô Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng đi d h
ự ội thi “Tiếng hát hoa phư ng ợ đỏ”. Về đế n trường các bạ đế n ỏ n h i thăm, cô t ả r lời: “Mỗi bạ đề n đạ u t một trong các
giải nhất, nhì, ba hoặc đặc biệt”. Cô đề nghị các bạn th ử đoán xem. Hà đoán ngay:
 Theo em thì Phượng đạt giải nhất, H ng gi ồ
ải nhì còn Lan đạt giải ba. Bích cho là:
 Lan đạt giải nhất, Phượng giải nhì còn Hồ đạ ng t giải ba. Bạn Ngọc lại đoán:  H ng gi ồ
ải nhất, Lan giải nhì còn Phư ng gi ợ ải ba.
Nghe xong cô Phương lắc đầu nói không bạn nào đạt giải như các em dự đoán. Bạn
hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì?
8. Điểm thi học kì môn tiếng Việt của ba bạn An, Bình, Huệ đều đạt từ khá trở lên.
Khi hỏi điểm của ba bạn, Hà nhận được câu trả lời như sau:
1) Huệ không đạt điểm 7, An không đạt điểm 8 còn Bình không đạt điểm 9.
2) Bình và Huệ không đạt điểm 8 còn An không đạt điểm 9.
3) An và Bình không đạt điểm 7 còn Huệ không đạt điểm 9.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt i đ ểm mấy?
9. Ba thầy giáo Văn, Sử, Hoá dạy ba môn văn, sử, hoá, trong đó chỉ có một thầy có
tên trùng với môn mình dạy. Hỏi mỗi thầy dạy môn gì, biết rằng thầy dạy môn hoá ít
tuổi hơn thầy Văn và thầy Sử.
10. Năm người thợ sơn, hàn, tiện, điện và mộc tên là Sơn, Hàn, Tiện, Điện và Mộc,
nhưng không ai có tên trùng với nghề của mình. Mỗi người mượn và cho nhau
mượn một cuốn sách. Bác Sơn mượn sách của bác thợ sơn. Nghề của bác Sơn trùng
với tên của người có sách cho bác mượn. Bác thợ tiện không tên là Mộc nhưng lại
đang mượn cuốn sách của bác Hàn. Còn bác Mộc và bác thợ ơ s n là hai người cùng phố.
Bạn hãy cho biết bác thợ tiện và thợ sơn tên là gì?
11. Giáo sư Thông nổi tiếng là thông minh nhưng lại hay đãng trí. Ông có một tủ sách, trong đó từ đ
iển xếp vào ngăn trên, sách xếp vào ngăn gi a
ữ còn tạp chí xếp vào
ngăn dưới cùng. Một lần ông cần tìm cuốn “Từ điển Anh − Việt”, cuốn sách “Cơ sở
lôgic toán” và tạp chí “Thế giới mới”. Sau một hồi tìm kiếm đố ng tài liệu bề ộ b để n
trên bàn làm việc, giáo sư khẳ đị
ng nh rằng thư kí đã xếp cuốn từ đ iển vào ngăn sách,
cuốn sách và tạp chí vào ngăn tạp chí. Cô th kí thanh minh r ư ằng chắc chắn là giáo
sư đã bỏ cả ba tài liệu đó vào ngăn t
ừ điển. Còn bà giáo sư lại cho là cuốn t ừ điển
lẫn trong ngăn để tạp chí, cuốn sách và tạp chí thì xếp cả trong ngăn sách. Người
nào cũng cho rằng mình là đúng, thế là một cuộc to tiế ả
ng x y ra. Vừa lúc đó cô con
gái giáo sư bước vào phòng vừa cười vừa nói: “Mọi ngư i ờ sai cả rồi”.
Nếu cô con gái nói đúng thì ba tài liệu trên lúc đó đang nằm ở đâu?
12. ở bốn góc vườn trồng cây cảnh của ông nội tr ng b ồ n khóm hoa cúc, hu ố ệ, h ng ồ
và dơn. Biết rằng hai góc vườn phía tây và phía bắc không trồng huệ, khóm huệ
trồng giữa khóm cúc và góc vư n
ờ phía nam, còn khóm dơn trồng giữa khóm hồng và góc vườn phía bắc.
Bạn hãy cho biết mỗi góc vườn ông nội đã trồng hoa gì ?
13. Giáo sư Châu gửi cho mỗi đồng nghiệp của mình (ở bảy nước khác nhau) một
bức thư kèm theo một bài khảo luận viết bằng tiếng mẹ đẻ của họ. Nhưng do cô th ư
kí sơ ý nên đã dẫn đến hậu quả: không một ai trong s b ố ảy ng nghi đồ ệp nhận được
bức thư và bài khảo luận mà giáo sư Châu định gửi cho mình, cũng không một ai
nhận được thư và bài khảo luận viết bằng cùng một thứ tiếng, Giáo sư người Nga là
chuyên gia về địa chất thì lại nhận được bức thư viết bằng tiếng Ba Lan và bài khảo
luận về sao Hoả mà lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Pháp. Trong khi đó giáo sư
người Pháp lại nhận được bức th b
ư ằng tiếng Italia cùng bài khảo luận về vi sinh mà
lẽ ra phải gửi cho giáo sư người Hà Lan. Giáo sư người Hà Lan nhận được bức thư
viết bằng tiếng Tây Ban Nha cùng bài khảo luận về môi trường đáng lẽ phải gửi cho
giáo sư Ba Lan. Giáo sư Ba Lan lại nhận được bài khảo luận về địa chất. Giáo s ư
Italia là chuyên gia về chăn nuôi lại nhận được bức th b
ư ằng tiếng Đức, còn giáo sư
người Đức là chuyên gia về hạt nhân lại nhận được bức th b ư ằng tiếng Pháp.
Bạn hãy cho biết các giáo sư người Đức, Italia và Tây Ban Nha đã nhận được bài
khảo luận viết bằng tiếng gì? Giáo sư Tây Ban Nha đã nhận được bức th vi ư ết bằng tiếng gì?
14. Thày Vinh vừa đưa b n b ố
ạn An, Cường, Bình và Đông đi thi h c sinh gi ọ ỏi về
trường, mọi người đến hỏi thăm, thày trả lời : “Mỗi bạn đều đạt m t ộ trong các giải:
đặc biệt, nhất, nhì, ba hoặc khuyến khích”. Thày đề nghị mọi người thử đ oán xem. Phan nhanh nhảu nói :
 Theo em thì An, Bình giải nhì, còn Cường và Đông giải khuyến khích. Thanh lắc đầu :
 Không phải, mà An, Cường, Đông đều giải nhất, chỉ có Bình giải ba.
Thịnh thì cho là chỉ có Bình giải nhất còn ba bạn đều đạt giải ba. Toàn lại nhận định:
“Chỉ có Cường và Đông giải nhì còn An và Bình đạt giải khuyến khích”.
Nghe xong thày mỉm cười : “Các em đoán sai cả rồi”.
Bạn hãy cho biết mỗi người đã đạt giải gì?
15. Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, Cường và Lân hẹn nhau sáng ch nh ủ ật
đến nhà nhau chơi hoặc cùng nhau đ
i chơi công viên. Lúc 9 giờ sáng chủ nhật Tùng
gọi điện đến gia đình ba bạn. Mẹ Mạnh cho biết :
 Mạnh và Lân không có ở nhà bác, còn Cường thì không ở nhà Lân.
Em gái Cường khẳng định :
 Cả ba anh không có ở nhà em. Bà Lân thì bảo:
 Lân và Mạnh không có ở nhà bà, Cường không có ở nhà Mạnh.
Bạn hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu?
Hot động 2.2.
Th
c hành gii toán bng phương pháp suy lun đơn gin
Nhi
m v
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp suy luận đ n gi ơ ản Đánh giá
1. Trước vành móng ngựa là ba người đàn ông, họ là người bản xứ hoặc tên thực
dân. Quan toà được biết khi được hỏi, người bản xứ bao giờ cũng nói thật, còn tên
thực dân bao giờ cũng nói dối, nhưng quan toà không biết trong bọ ọ n h ai là người
bản xứ, ai là thực dân. Quan toà hỏi người th nh ứ
ất : “Anh là ai?”. Nhưng anh ta nói
ngọng nên quan toà không hiểu câu trả lời. Quan toà bèn quay sang hỏi ngư i ờ th ứ
hai, rồi người thứ ba : “Ngư i
ờ thứ nhất trả lời thế nào?”. Ngư i
ờ thứ hai trả lời : “Anh
ta nói anh ta là người bả ứ n x ”. Còn ngư i
ờ thứ ba lại nói : “Anh ta nói anh ta là thực dân”.
Bạn hãy cho biết người thứ hai và thứ ba là thực dân hay bản xứ? (Ta giả thiết rằng
ba người này khi nghe nhau nói họ hiểu nhau nói gì). 2. Trên một hòn đả ọ
o n chỉ có hai bộ lạc sinh sống: Cabơnhắc chuyên nói thật và
Prasin chuyên nói dối. Một du khách đi chơi trên đảo gặp một người dân bản xứ bèn
thuê làm người giúp việc. Đi được một quãng, trông thấy một người đàn ông khác.
Du khách bảo người giúp việc ra hỏi xem người đó thuộc dân tộc nào. Chàng giúp
việc đi về và trả lời : “Anh ta nói rằng anh ta là người Prasin”. Nghe xong du khách
khẳng định người giúp việc c a mình là không th ủ ật thà bèn u đ ổi đi mà không thuê nữa.
Bạn hãy cho biết khẳng định của du khách là đúng hay sai? Tại sao?
3. Ba bạn Quân, Hùng và Mạnh vừa đạt giải nhất, nhì và ba trong kì thi toán quốc tế. Biết rằng: a, Không có h c sinh tr ọ
ường chuyên nào đạt giải cao hơn Quân.
b, Nếu Quân đạt giải thấp hơn một bạn nào ó thì Quân không ph đ ải là học sinh trường chuyên.
c, Chỉ có đúng một bạn không phải là học trường chuyên.
d, Nếu Hùng và Minh đạt giải nhì thì Mạnh đạt giải cao hơn bạn quê ở Hải Phòng.
Bạn hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải nào? Bạn nào không học trường chuyên và bạn nào quê ở Hải Phòng.
4. Thày Nghiêm được nhà trường c ử đưa b n h ố c sinh Lê, Huy, Hoàng, Ti ọ ến đi thi đấ đ u iền kinh. ế K t quả đạ
có ba em t các giải nhất, nhì, ba và ộ m t em không đạt giải.
Khi về trường mọi người hỏi kết quả, các em trả lời như sau:
Lê: Minh đạt giải nhì hoặc ba.
Huy: Mình đã đạt giải.
Hoàng: Mình đạt giải nhất.
Tiến: Mình không đạt giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói : “Chỉ có ba bạn nói thật, còn một bạn đã nói đùa”.
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt giải?
5. Trong giờ ngoại khoá các bạn tham gia một trò chơi như sau: Mỗi bạn chọn 20
hoặc 22 quân cờ (trong đó có một số quân màu đỏ và một số quân màu trắng). Sau
đó mỗi bạn xếp số quân cờ đ
ó thành vòng tròn sao cho không có hai quân cùng màu
đứng cạnh nhau và đối diện với quân đỏ qua tâm đường tròn cũng là quân đỏ.
Ba bạn Lan, Tuấn và Dung vào cuộc chơi : Lan chọn 10 quân trắng và 10 quân đỏ;
Tuấn chọn 11 quân trắng và 11 quân c
đỏ òn Dung thì chọn 12 quân đỏ và 10 quân trắng.
Bạn Minh đứng ở ngoài nhìn thấy thế bèn nói “Chỉ có Tuấn có thể xếp được còn
Lan và Dung đều không thể xếp được thoả mãn yêu cầu của cuộc chơi”. Bạn giải thích tại sao?
6. Năm vận động viên Tuấn, Tú, Kỳ, Anh, Hợp chạy thi. Kết quả không có hai bạn
nào về đích cùng một lúc. Tuấn về đích trước Tú nh n
ư g sau Hợp. Còn Hợp và Kỳ
không về đích kề liền nhau. Anh không về đích kề liền với Hợp, Tuấn và Kỳ.
Bạn hãy xác định thứ tự về đích của năm vận động viên nói trên.
7. Một du khách muốn tham quan bằng ô tô bốn khu di tích lịch sử A, B, C, D trong
huyện nọ. Theo bản đồ chỉ dẫn thì giữa hai khu di tích bất kì đều có đư n ờ g ô tô nối
liền nhau và nếu đi bằng con đường qua khu B không qua khu D thì hoặc qua cả hai
khu A, C hoặc không qua cả hai khu đó. Vì trong huyện có nhữ đ ng oạn đườ đ ng ang
sửa chữa cho nên những con đường qua C, kể cả những con đường qua D lúc đó đều
không thể qua cả A và B.
Bạn xem có cách nào đi một vòng (có nghĩa là không đi đường nào hai lần) qua
được cả bốn khu trên không. Nếu không thì nên chọ đ
n ường đi như thế nào để tham quan được nhiều nhất?
8. Sau khi vụ trộm xảy ra, cơ quan điều tra thẩm vấn năm nhân vật bị tình nghi là
can án và thu được các thông tin sau :
1) Nếu có mặt A thì có mặt hoặc B hoặc C. Ngoài ra chưa khẳng định chắc chắn
được còn có một ai nữa trong số năm nhân ậ v t nói trên.
2) D hoặc cùng có mặt với B và C hoặc cả ba đều không có mặt trên hiện trường lúc xảy ra vụ án.
3) Nếu có mặt D mà không có mặt B và C thì có mặt E.
4) Qua xét nghiệm vân tay thấy chắc chắn có mặt A lúc xảy ra vụ án.
Với thông tin trên liệu có ai trong số năm nhân vật này có thể ch ng t ứ ỏ được trước
cơ quan điều tra rằng lúc vụ án xảy ra mình không có mặt ở ó? đ
9. Hoàng đế nước nọ mở cuộc thi tài để kén phò mã. Giai đoạn cuối của cuộc thi,
hoàng đế chọn được ba chàng trai đều thông minh. Nhà vua a đ ng phân vân không
biết chọn ai thì công chúa đưa ra một sáng kiến: lấy 5 chiếc mũ, 3 chiếc màu đỏ và 2
chiếc màu vàng để ở trên bàn rồi giao hẹn : “Bây giờ cả ba chàng đều bịt mắt lại, tôi
đội lên đầu mỗi người một chiếc mũ và hai mũ còn lại tôi sẽ cất đi. Khi bỏ ă b ng bịt
mắt ra, ai là người đầu tiên nói đúng mình đang đội mũ gì thì sẽ được kén làm phò mã”.
Vừa bỏ băng bịt mắt, ba chàng trai im lặng quan sát lẫn nhau, lát sau hoàng tử nước
Bỉ nói to lên rằng : “Tôi đội mũ màu đỏ”. Thế là chàng được công chúa kén làm
chồng. Bạn hãy cho biết hoàng tử nước Bỉ đã suy luận như thế nào? 10. Lớp 12A c b
ử ạn Hạnh, Đức, Vinh đi thi học sinh giỏi sáu môn Văn, Toán, Lý,
Hoá, Sinh vật và Ngoại ngữ cấp Thành phố, mỗi bạn dự thi hai môn. Nhà trường cho biết về các em như sau:
(1) Hai bạn thi Văn và Sinh vật là người cùng phố.
(2) Hạnh là học sinh trẻ nhất trong đội tuyển.
(3) Bạn Đức, bạn dự thi môn Lý và bạn thi Sinh vật thư ng h ờ ọc nhóm với nhau.
(4) Bạn dự thi môn Lý nhiều tuổi hơn bạn thi môn Toán.
(5) Bạn thi Ngoại ngữ, bạn thi Toán và Hạnh thường đạt kết quả cao trong các vòng thi tuyển.
Bạn hãy xác định mỗi học sinh đã được c
ử đi dự thi những môn gì?
11. ở một doanh nghiệp n ng ọ ười ta cần ch n b ọ n ng ố ười vào Hội ng qu đồ ản trị
(HĐQT) với các chức vụ: chủ tịch, phó chủ tịch, kế toán và t ủ h ỹ qu . Sáu người được
đề cử lựa chọn vào các c ứ
h c vụ trên là : Đốc, Sửu, Hùng, Vinh, Mạnh và Đức.
Khi tìm hiểu, các đề cử viên có những nguyện v n ọ g sau :
(1) Đốc không muốn vào HĐQT nếu không có Sửu. Nhưng dù có Sửu anh cũng
không muốn làm phó chủ tịch.
(2) Sửu không muốn nhận chức phó chủ tịch và thư kí.
(3) Hùng không muốn công tác với Sửu, nếu Đức không tham gia.
(4) Nếu trong HĐQT có Vinh hoặc Đ c
ứ thì Mạnh kiên quyết không tham gia HĐQT. (5) Vinh cũng từ ch i
ố , nếu HĐQT có mặt cả Đốc và Đức.
(6) Chỉ có Đức đồng ý làm chủ tịch với điều kiện Hùng không làm phó chủ tịch. Người ta phải chọ ữ
n nh ng ai trong số sáu đề cử viên để thoả mãn nguyện vọng riêng của các đề cử viên.
12. Buổi chiều chủ nhật hai mẹ con đi dạo chơi trong công viên. Nhìn thấy người
quen, mẹ nói với Lan: “Con xem kìa, trước mặt chúng ta là hai người bố và hai
người con cùng đi dạo công viên”. Lan đếm thì chỉ thấy có ba người. Bạn hãy giải thích vì sao?
13. Một hôm cô Thu đến nhà cô Kim chơi. Cô Thu chỉ vào một người trong ảnh và
hỏi : “Người đàn ông này là ai vậy?”. Cô Kim trả lời: “Em trai của bố ông ấy là bố
của em trai tôi”. Bạn hãy cho biết người trong ảnh có quan hệ thế nào với cô Kim?
14. Hôm đến nhà cô Yến chơi, lúc xem ảnh của gia đình, Nguyệt chỉ vào một người
phụ nữ trong ảnh và hỏi : “Người ph n
ụ ữ này có quan hệ thế nào với chị?”. Cô Yến
trả lời: “Ông nội của em chồng cô ấy là em của ông nội chồng tôi”. Bạn hãy cho biết
người phụ nữ ấy có quan hệ thế nào với cô Yến.
15. Bà A đi cùng một cụ già đến gặp ông B. Ông B hỏi bà A: “Bà với cụ già này có
quan hệ với nhau thế nào?”. Bà A trả lời : “Mẹ chồng tôi có hai chị em mà em vợ
ông ấy là cậu chồng tôi”.
Bạn hãy cho biết bà A và cụ già ấy có quan hệ thế nào với nhau?
16. Trong một buổi sinh hoạt nhóm yêu Toán, ba bạn Thái, Thúy, Bình được phân
công đóng ba vai: vai đội mũ đỏ luôn nói thật, vai đội mũ xanh luôn nói dối còn vai
đội mũ vàng thì hay nói đùa (lúc nói thật, lúc nói dối). Bạn Hoài không biết ai đóng
vai gì bèn đến hỏi từng bạn rằng: “Bạn Thúy sẽ đội mũ gì?”.
Thái trả lời: “Thuý đội m ũ đỏ”.
Bình lại nói: “Thúy đội mũ xanh”.
Còn Thuý thì khẳng định: “Tôi sẽ đội m v ũ àng”.
Hỏi bạn Hoài đã suy luận thế nào để biết ai đội mũ gì ?
17. Một công chúa của vư ng qu ơ ốc n n
ọ ổi tiếng là thông minh. Khi kén chồng nàng
ra điều kiện: Trong thời gian ba ngày, ai ra được câu hỏi mà nàng không trả lời được
thì công chúa sẽ kén làm chồng. Nhiều chàng trai đến thử tài và đều chịu thua trước
sự hiểu biết uyên bác của công chúa. Cuối ngày thứ ba, một nhà toán học trẻ tuổi đến xin thử đặ
tài. Chàng t câu hỏi cho công chúa:
 Xin công chúa hãy cho biết tôi phải hỏi câu gì để công chúa không trả ờ l i được ?
Hãy xem xét với câu hỏi này nhà toán học có được kết duyên cùng công chúa hay không ?
18. ở một xã kia có hai làng: làng Thực và làng Trạng. Dân làng Thực luôn nói thật
còn dân làng Trạng thì luôn nói dối. Một hôm nhà toán học đi vào một làng trong xã đ ư
ó, nh ng không rõ là làng nào. Nhà toán học bèn ỏ
h i một người dân trong xã đó
(mà không biết người đó là dân làng nào) : “Bác có phải người làng này không ạ?”.
Hãy xét xem nhà toán học đang ở trong làng nào, nếu câu trả lời là : a) Phải ! b) Không !
Hãy xét trường hợp tương tự khi nhà toán học đặt câu hỏi: “Bác có phải người làng
khác đến làng này chơi không ạ?”.
19. Nhân ngày rằm Trung Thu, bà chia cho ba cháu Dương, Kiên, Hiền mỗi cháu
một thứ đồ chơi mà mình thích: đèn ông sao, bóng bay và trống ếch. Dương không
thích chơi trống, Kiên không nhận bóng bay còn Hiền thì không thích chơi è đ n và trống.
Hỏi mỗi cháu đã được bà cho món quà gì.
20. Trong kì thi học sinh giỏi, bố ạ
n b n Giang, Dương, Linh, Thúy đạt bốn giải:
Nhất, nhì, ba và khuyến khích. Biết rằng :
a) Linh không đạt giải nhất mà cũ đạ
ng không t giải khuyến khích.
b) Dương đạt giải nhì còn Giang không đạt giải khuyến khích. Hỏi các bạn Giang,
Linh, Thuý đã đạt giải gì?
21. Trong cuộc chạy thi ngày hội khỏe Phù Đổng, b n b ố ạn An, Bình, Cư ng, D ờ ng ũ
đạt bốn giải nhất, nhì, ba và tư. Khi được hỏi “Bạ đ
n ã đạt giải mấy?” thì bố ạ n b n trả lời như sau :
An : “Tôi giải nhì, còn Bình giải nhất”.
Bình : “Tôi cũng giải nhì còn Dũng giải ba”.
Cường : “Tôi mới là người đạt giải nhì, còn Dũng giải tư”.
Dũng : “Ba bạn đều thích nói đùa nhưng trong mỗi câu trả lời đều có một phần úng đ còn một phần sai”.
Nếu Dũng là người nói thật thì mỗi bạn đã đạt giải mấy?
22. Ba bạn Dương, Nhung, Linh mặc ba chiếc áo màu trắng, xanh, tím và ba chiếc
quần cũng màu trắng, xanh, tím. Biết rằng chỉ có Dương mặc quần áo cùng màu, còn áo và quần c a Nhung ủ
đều không màu trắng, Linh mặc quần màu xanh.
Hãy xác định màu áo và màu quần của mỗi bạn.
23. Nhân ngày 20−11, ba cô Châu, Loan, Thúy là giáo viên của ba trường Đoàn Kết,
Nguyễn Trãi và Thăng Long dạy thao giảng ba môn Toán, Tiếng Việt và Mỹ thuật. Biết rằng :
a) Cô Châu không phải giáo viên trư ng ờ
Đoàn Kết, cô Thủy không phải giáo viên trường Nguyễn Trãi.
b) Cô giáo trường Đoàn Kết không dạy môn Mỹ thuật.
c) Cô giáo trường Nguyễn Trãi dạy Toán.
d) Cô Loan dạy Tiếng Việt.
Hỏi mỗi cô là giáo viên của trường nào và dạy môn gì?
24. Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ của tỉnh Thái Nguyên, bốn bạn Phương,
Dung, Hiếu, Nhung quê ở b n huy ố
ện khác nhau. Khi hỏi : “Các bạn quê ở đâu?” thì
bạn Cúc nhận được câu trả lời như sau :
Phương : “Dung quê ở Phổ Yên, còn tôi ở Đồng Hỷ”.
Dung : “Tôi quê ở Đ ng H ồ
ỷ, còn Hiếu quê ở Ph Yên”. ổ
Hiếu : “Tôi quê ở Đại Từ còn Nhung ở Võ Nhai”.
Xưa nay Nhung vốn là người thật thà không thích nói đùa đã nói với Cúc: “Trong
câu trả lời của mỗi bạn chỉ có một phầ đ
n úng và một phần sai”.
Hỏi mỗi bạn quê ở huyện nào?
25. Trong một trận thi đấu điền kinh, các vận động viên mang áo s 1, 2, 3, 4 ố đạt
được bốn giải đầu tiên, nhưng không vậ độ
n ng viên nào đạt giải trúng với số áo của
mình cả. Biết rằng vận động viên mang áo s 3 không ố
đạt giải nhất, vận động viên đạt giải tư có ố
s áo trùng với giải của vậ độ
n ng viên mang áo số 2 mà vậ độ n ng viên
mang áo số 2 thì không đạt giải ba.
Hỏi mỗi người đã đạt giải mấy?
26. Trong buổi sinh hoạt Đội, anh phụ trách gọi bốn bạn nam và b n b ố ạn nữ ra sân
chơi và giao cho đội trư ng t ở
ập hợp các bạn đứng thành vòng tròn sao cho không có
hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau và đối diện với một bạn nữ qua tâm đường tròn phải
là một bạn nam. Suy nghĩ một lát, đội trưởng trả lời : “Thưa anh, không thể xếp
được như vậy”. Bạ độ
n i phó tiếp luôn: “Nhưng nếu thêm một bạn nam và một bạn
nữ thì xếp được, thưa anh”.
Bạn nào đã nói đúng? Giải thích tại sao?
Hot động 2.3:
Th
c hành gii toán bng phương pháp la chn tình hung
Nhi
m v
Nhiệm vụ: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp lựa chọn tình huống
Đánh giá
1. Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi chạ đạ
y t ba giải nhất, nhì và ba. Sau khi nghe các bạn đoán:  Tùng đạt giải ba
 Trang không đạt giải ba.
 Linh không đạt giải nhì.
Tùng bèn trả lời: “Chỉ có một người đoán đúng”.
Bạn hãy xác định mỗi bạn đã đạt giải mấy?
2. Lớp 6A có năm bạn đạt học sinh giỏi xuất sắc nhưng chỉ được cử hai bạn đi d ự
Đại hội cháu ngoan Bác Hồ. Khi cô giáo hỏi ý kiến thì các bạ đề n u nhường nhau. Cô
đề nghị mỗi em giới thiệu hai trong số năm ạ b ọ
n h c sinh giỏi xuất sắc để đ i dự đạ i
hội. Kết quả các bạn giới thiệu như sau:
1. Bạn Thông và bạn Minh. 2. Bạn Thái và bạn Tú.
3. Bạn Thái và bạn Học.
4. Bạn Thông và bạn Tú.
5. Bạn Thông và bạn Thái.
Cô quyết định chọn đề nghị của Tú, vì theo đề nghị ó, m đ i ỗ đề nghị của b n ng ố ư i ờ
còn lại đều được thoả mãn một phần và bị bác bỏ một phần.
Bạn hãy cho biết bạn nào đã được chọn đi d
ự đại hội cháu ngoan Bác Hồ? 3. B n b ố
ạn Lan, Hà, Đức, Văn được nhà trường c
ử đi dự thi bốn môn: bóng bàn, đá
cầu, cờ vua và nhảy cao tại Hội khoẻ Phù Đổng. Khi được hỏi mỗi bạn thi đấu môn
gì, các bạn trả lời như sau:
Lan : Mình thi đá cầu hoặc đấu cờ vua.
Hà : Mình không thi nhảy cao.
Đức : Mình thi đấu bóng bàn. Văn : Mình thi nhảy cao.
Nếu chỉ có ba bạn trả lời đúng, còn một bạn đã trả lời sai thì hai bạn Hà và Vân đã tham gia thi môn gì ?
4. ở một trại hè thiếu nhi quốc tế có ba bạn : một ngư i Vi ờ
ệt, một người Lào và một
người Thái đang đứng cạnh nhau bên bờ biển. Các bạn đội mũ ba màu khác nhau và
mặc áo ba màu cũng khác nhau. Cho biết :
(1) Bạn người Lào đội mũ màu đỏ.
(2) Bạn người Thái mặc áo màu trắng. (3) Bạn ngư i Vi ờ
ệt đứng giữa hai bạn. (4) Bạn ngư i Vi ờ
ệt đứng cạnh bạn đội mũ xanh.
(5) Bạn mặc áo h ng không ồ
đứng cạnh bạn đội mũ vàng. Hỏi bạn mặc áo h ng ng ồ
ười nước nào? Bạn đội mũ vàng là người nước nào ?
5. Ba người mang quốc tịch Anh, Pháp và Đức ở ba nhà liền nhau trên một đường
phố. Mỗi nhà sơn màu khác nhau và mỗi người làm nghề khác nhau. Cho biết :
(1) Người Pháp ở nhà màu . đỏ
(2) Người Đức là nhạc sĩ.
(3) Nhà người Anh ở giữa.
(4) Nhà màu đỏ ở cạnh nhà màu xanh.
(5) Nhà văn ở nhà thứ nhất bên trái.
Hỏi nhà văn có quốc tịch gì? Ai ở nhà màu vàng ?
6. Cup Euro 96 có 4 đội lọt vào vòng bán kết : Đức, C ng hoà Séc, Anh và Pháp. ộ
Trước khi thi đấu ba bạn Hùng, Trung và Mạnh d ự o đ án như sau:
Hùng : Đức nhất và Pháp nhì.
Trung : Đức nhì và Anh thứ ba.
Mạnh : Cộng hoà Séc nhì và Anh thứ tư.
Kết quả mỗi bạn dự đoán một đội đúng, một đội sai. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy ?
7. Nhà trường cử sáu bạn : Hùng, Hà, Lê, Lan, Huy và Văn đi thi đấu cờ vua. Các
bạn trong trường có những dự đoán sau :
1. Hùng và Lê sẽ đạt giải.
2. Hà và Huy sẽ đạt giải.
3. Vân và Hùng sẽ đạt giải.
4. Hà và Vân sẽ đạt giải.
5. Lan và Hùng sẽ đạt giải.
Kết quả chỉ có hai người đạt giải và trong năm dự đoán trên chỉ có một dự đoán sai hoàn toàn, bố ự n d đ
oán còn lại chỉ đúng một bạn. Vậy ai đã đạt giải. 8. Ba bạn Hư ng, H ơ
ạnh, Hà là học sinh của ba trường : Nguyễn Trãi, Kim Liên và
Hoàn Kiếm được chọn vào đội tuyển của Thành phố đi dự thi học sinh giỏi cấp quốc
gia. Mỗi bạn dự thi một trong ba môn: Văn, Toán hoặc Anh văn. Cho biết : 1. Hà không thi Toán.
2. Hương không thi Anh văn.
3. Bạn thi Anh văn là h c sinh tr ọ ường Nguyễn Trãi.
4. Bạn học sinh trường Kim Liên không thi Toán.
5. Hương không phải h c sinh tr ọ ường Hoàn Kiếm.
Hãy xác định mỗi bạn là học sinh trường nào và dự thi môn gì?
9. Ngày chủ nhật, trường PTCS Hùng Vương tổ chức cho học sinh khối 9 đi tham
quan tám danh thắng nổi tiếng của th
ủ đô Hà Nội : Lăng Bác, ă V n Miếu, Vườn thú
Thủ Lệ, công viên Lê nin, Hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột, cầu Thăng Long và bảo tàng Lịch sử. Như đ
ng do iều kiện thời gian nên Ban tổ chức quyết định chỉ đi tham
quan bốn trong số tám địa danh đó. Khi được hỏi ý kiến, các lớp đề đạt nguyện v ng ọ như sau:
9A : Thăm Lăng Bác, Văn Miếu, vư n
ờ thú Thủ Lệ và công viên Lênin.
9B : Thăm Lăng Bác, hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột và cầu Thăng Long.
9C : Thăm Văn Miếu, hồ Hoàn Kiếm, chùa Một Cột và bảo tàng Lịch sử. 9D : Thăm Lăng Bác, vư n ờ thú Thủ Lệ ồ
, h Hoàn Kiếm và Bảo tàng lịch sử.
Hỏi phải chọn nguyện v ng c ọ
ủa lớp nào để ba lớp còn lại được thoả mãn nguyện vọng nhiều nhất.
10. Gia đình Nam có năm người: ông nội, bố, mẹ, Nam và em Hùng. Khi hỏi chiều
chủ nhật tuần trước gia đình Nam có những ai xem TV, Nam trả lời:
1. Bố và mẹ bao giờ cũng cùng ngồi xem TV.
2. Hôm đó mẹ và Nam không cùng ngồi xem.
3. Ông không xem khi không có Nam cùng xem.
4. Chiều hôm đó ông và Hùng chỉ có một người không xem TV.
5. Khi Hùng xem thì cả bố và Nam cùng xem.
Với thông tin trên, bạn hãy cho biết chiều chủ nhật trước trong gia đình Nam có những ai xem TV?
11. Ba cặp vợ chồng trẻ tổ chức bữa cơm thân mật, mọi người nói chuyện vui vẻ:
Anh ánh : Trong chúng ta, chồ đề ng u hơn vợ 5 tuổi.
Cô Loan : Nhưng em là người trẻ nhất trong hội.
Anh Toàn : Tuổi tôi và cô Nga cộng lại là 52
Anh Minh : Tuổi của sáu chúng ta cộng lại bằng 151.
Cô Nga : Tuổi tôi và chú Minh cộng lại là 48.
Cô Thu : Thế thì người chẳng quen biết gì chúng ta nghe vậy c ng bi ũ ết được ai là
vợ, là chồng của ai mà biết tuổi của mỗi người rồi. Bạn hãy chứng t nh ỏ
ận xét của cô Thu là úng. đ
Hot động 2.4.
Th
c hành gii toán bng phương pháp biu đồ Ven
Nhi
m v
Nhiệm vụ 1: Trình bày khái niệm về phương pháp biểu đồ Ven
Nhiệm vụ 2: Xây dựng ba ví dụ về giải toán bằng phương pháp biểu đồ Ven Đánh giá
1. Hỏi bạn Yến cần ít nhất bao nhiêu chiếc quần và bao nhiêu chiếc áo đ m ể ỗi ngày
trong tuần bạn có thể đến trường với m t
ộ kiểu trang phục khác nhau ?
2. Đội tuyển thi đá cầu và thi đấu cờ vua của trường Ngô Sĩ Liên có 15 em, trong ó đ
có 12 em đá cầu và 8 em đấu cờ vua. Hỏi có bao nhiêu em thi cả hai môn ?
3. Lớp 6A có 18 bạn đăng kí học ngoại khoá môn Văn, 15 bạn đăng kí học ngoại
khoá môn Toán, trong đó có 5 bạn đăng kí học cả hai môn Văn và Toán. Hỏi :
a) Có bao nhiêu bạn chỉ đă
ng kí học Văn ? Chỉ đ n ă g kí học Toán ?
b) Có bao nhiêu bạn đăng kí học Văn hoặc Toán ?
4. Trong một kì thi, các thí sinh được đánh số báo danh từ 1 đến 1000. Hỏi có bao
nhiêu thí sinh mang số báo danh là số lẻ hoặc chia hết cho 9 ?
5. Bạn An ra Hà Nội thăm nhà người quen ở phố X. Bạn chỉ nhớ số nhà của người
quen là một số lẻ có hai chữ số chia hết cho 3 nhưng không nhớ là số nào. Bạn bèn
đi hỏi từng số nhà là số lẻ có hai chữ ố
s chia hết cho 3. Nếu số nhà cuối cùng của dãy lẻ ở ph
ố đó là 121 thì bạn An phải gõ cửa nhiều nhất bao nhiêu nhà để tìm được nhà người quen ?
6. Trong các đại biểu đ n d ế
ự Festival thanh niên quốc tế tại Bình Nhưỡng có một
đoàn cần phiên dịch t ế i ng Hà Lan mà trước đ ổ ó Ban t chức c ư h a tính đến. Ban ổ t
chức gọi điện sang trung tâm giới thiệu phiên dịch thì cô thư kí cho biết mọi người đề đ
u i vắng, chỉ mình cô ngồi trực ở cơ quan. Sau ộ
m t hồi tìm kiếm cô lấy được bản danh sách 20 ngư i có th ờ
ể phiên dịch được tiếng Pháp hoặc tiếng Hà Lan, trong s ố
đó có 8 người dịch được tiếng Pháp, 15 người chỉ dịch được một trong hai thứ tiếng nói trên.
Bạn hãy tính giúp cô thư kí : Có bao nhiêu người dịch được tiếng Hà Lan.
7. Đội tuyển thi học sinh giỏi của tỉnh X có 25 em thi Văn và 27 em thi Toán, trong
đó có 18 em vừa thi Văn ừ
v a thi Toán. Hỏi đội tuyển h c sinh gi ọ ỏi hai môn Văn và
Toán của tỉnh X có bao nhiêu em? 8. Đ ph ể
ục vụ cho một hội nghị quốc tế, Ban tổ chức đã huy động 100 phiên dịch.
Mỗi phiên dịch có thể dịch được một hoặc hai trong ba thứ tiếng Nga, Anh hoặc
Pháp. Có 39 người chỉ dịch đư c
ợ tiếng Anh, 35 người dịch được tiếng Pháp, 8 người
dịch được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu người chỉ dịch được tiếng Nga ?
9. Trên một hội thảo quốc tế có 30 đại biểu nói được tiếng Trung, 40 đại biểu nói
được tiếng Pháp và 45 đại biểu nói được tiếng Anh. Trong đó có 20 đại biểu nói
được cả tiếng Pháp và tiếng Anh, 16 đại biểu nói được tiếng Trung và tiếng Pháp, 12
đại biểu nói được tiếng Trung và tiếng Anh và 5 đại biểu nói được cả ba thứ tiếng.
Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được một thứ tiếng ? Có tất cả bao nhiêu đại biểu tham dự ộ h i nghị ?
10. Trong một kì thi vào một trường đại học có 5000 thí sinh đăng kí dự thi vào ba
ngành I, II, III. Mỗi thí sinh được đăng kí một hoặc hai trong số ba ngành đó. Có
1300 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành I, 1400 thí sinh chỉ đăng kí dự thi ngành II và
100 thí sinh đăng kí dự thi ngành I và III. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ dự thi ngành III ?
11. Theo danh sách đăng kí phụ đạ
o ba môn Văn, Toán, Ngoại ngữ của học sinh
khối 9: Có 40 em đăng kí phụ đạo Văn, 50 em đăng kí ph
ụ đạo Toán, trong đó có 15
em đăng kí phụ đạo cả hai môn Văn và Toán, trong đó có 15 em đăng kí phụ đạo cả
hai môn Văn và Toán, có 35 em chỉ đăng kí phụ đạ
o môn Ngoại ngữ. Hỏi có bao
nhiêu em đăng kí phụ đạ o ?
12. 40 em học sinh của trường X dự thi ba môn: ném tạ, chạy và đá cầu. Trong đội
có 8 em chỉ thi ném tạ, 20 em thi chạy và 18 em thi đá cầu. Hỏi có bao nhiêu em vừa
thi chạy vừa thi đá cầu? 13. Bạn hãy ch ng t ứ r ỏ ằng nếu lấy t ng s ổ
ố các nghị sĩ trừ đi các nghị sĩ không phải
là binh sĩ ta được kết quả gi ng nh ố ư lấy t ng s ổ ố binh sĩ tr
ừ đi binh sĩ không phải là nghị sĩ.
14. Hội thảo quốc tế về tin học có e đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu s d ử ng ụ được ít
nhất một trong ba thứ tiếng Nga, Anh hoặc Pháp nhưng không ai sử d ng ụ được cả
tiếng Anh và tiếng Pháp. Có a đại biểu nói được tiếng Anh, b đại biểu nói được tiếng
Pháp và c đại biểu nói được tiếng Nga, d đại biểu chỉ nói được m t ộ trong ba thứ tiếng nói trên. Cho biết a + b = c + d.
Bạn hãy cho biết có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga và bao nhiêu đại biểu
cần phiên dịch khi nghe các báo cáo bằng tiếng Nga ?
15. Trong một nhà máy thực phẩm xuất khẩu, h
đồ ộp chiếm hai phần ba t ng s ổ s ố ản
phẩm xuất khẩu. Khi kiểm tra chất lượng sản phẩm người ta phát hiện hai phần ba
số sản phẩm trong kho không đạt tiêu chuẩn vệ sinh. Với số liệu trên đây bạn có thể
khẳng định được ít nhất và nhiều nhất bao nhiêu phần trăm s ố h đồ p không ộ đạt tiêu chuẩn vệ sinh hay không?
16. ở một xí nghiệp sản xuất dép nhựa có 10 phân xư ng. Theo quy ở định, mỗi đôi
dép nhựa có khối lượng là 200 gam. Khi nghiệm thu sản phẩm của 10 phân xư ng ở
giao nộp, cán bộ OTK được chỉ có 9 phân xưởng sản xuất đúng quy cách còn một
phân xưởng sản xuất mỗi đôi chỉ có 190 gam nhưng không biết phân xư n ở g nào.
Người cán bộ OTK đã bằng một mã cân phát hiện được phân xưởng nào làm sai quy cách.
Bạn hãy cho biết người đó đã cân như thế nào ?
17. Năm chàng trai câu được 5 con cá trong 5 phút. Hỏi cũng với tốc độ câu như vậy
thì 100 chàng trai câu được 100 con cá bao nhiêu lâu?
18. Một người vào cửa hàng hỏi mua một chiếc áo khoác. Bà bán hàng vui tính trả
lời: “Tôi chỉ tính bà tiền cúc của chiếc áo này thôi nhé : Chiếc thứ nhất bà cho tôi 1
nghìn, chiếc thứ hai 2 nghìn và mỗi cúc sau bà lại trả cho tôi gấp đôi chiếc trước ó, đ
còn áo thì tôi biếu không bà đấy”. Người mua hàng đếm thì thấy chiếc áo có 6 chiếc
cúc ở hàng phía trước, 2 chiếc ở ống tay, 2 chiếc ở túi áo ngực và một chiếc dự trữ.
Bạn hãy cho biết bà khách hàng phải trả bao nhiêu tiền ?
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.3. CÔNG THỨC Thông tin cơ bản
3.1. Khái nim v công thc
Trong toán học ta đã làm quen với biểu thức toán học (là dãy kí hiệu chỉ rõ các phép
toán và thứ tự thực hiện các phép toán trên các số hoặc các ch nh ữ ận giá trị t m ừ ột trường số)
Trong lôgic mệnh đề, người ta xây dựng khái niệm công thức tư ng t ơ bi ự ểu thức toán học trong toán học Trong chủ đề
1.1 ta đã làm quen với mệnh đề (xác định) và mệnh đề mở (chưa xác định). Ta sẽ ọ g i chung là các biến mệ đề nh Cho các biến mệ đề
nh p, q, r, ... khi dùng các phép lôgic tác động vào chúng, ta sẽ
nhận được các biến mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả
những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác
a, Mỗi biến mệnh đề là m t ộ công thức
b, Nếu P, Q là những công thức thì , P Q, P Q, P Q, c ng ũ đều là công thức
c, Mọi dãy kí hiệu không xác định theo các quy tắc trên đây đều không phải là công thức Ví dụ 3.1 :
Từ các biến mệnh đề p, q, r ta thiết lập được công thức: (p q) r (p q) r (p q) r
.....................................
3.2. Giá tr chân lí ca công thc
Cho công thức P = “p q”
Ta gán cho các biến mệnh đề p, q những giá trị chân lí xác định, chẳng hạn
 G(p) = 1 và G(q) = 0 thì p q là mệnh đề sai. Suy ra p q là mệnh đề đúng, hay G(p q) = 1
 G(p) = G(q) = 1 thì p q là mệnh đề đúng. Suy ra p q là mệnh đề sai, hay G(p q) = 0
Như vậy khi gán cho mỗi biến mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lí
xác định thì công thức P sẽ trở thành một mệnh đề ( úng ho đ ặc sai). Nếu P là mệnh đề đ
úng (hoặc sai) thì ta nói công thứ ị
c P có giá tr chân lí bằng 1 (h ặ o c 0) ứng với hệ
chân lí vừa gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó Ví dụ 3.2 :
p là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 0 với mọi biến mệ đề nh p Ví dụ 3.3 :
là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 1 với mọi biến mệnh đề p, q Ví dụ 3.4 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức Gii :
Dựa vào bảng chân lí trên ta có thể khẳng định:  Nếu p úng, q đ đúng thì P úng đ
 Nếu p sai, q đúng thì P sai Ví dụ 3.5 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức “(p q) r” = Q Gii
3.3. S tương đương lôgic và đẳng thc
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P và Q tương đương lôgic
với nhau, kí hiệu là P Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt
trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau Đặc biệt, hai ệ
m nh đề a, b gọi là tương đương lôgic với nhau, kí hiệu
a b, nếu chúng cùng úng ho đ ặc cùng sai Chú ý
1. Trong lôgic không có khái niệm hai mệnh đề bằng nhau mà chỉ có khái niệm hai mệnh đề tư ng ơ đương lôgic với nhau Hai mệnh đề tư ng ơ
đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không liên quan với nhau. Chẳng hạn
“Tháng Hai có 30 ngày 2 x 2 = 10”
2. P Q ta gọi là một đẳng thức
3. Để chứng minh hai công thức tương đương lôgic với nhau ta thường dùng phư ng ơ
pháp lập bảng giá trị chân lí. Chẳng hạn
Chứng minh đẳng thức sau : p q q p
Nhìn vào bảng trên ta thấy hai công thức p q và q p luôn cùng đúng hoặc cùng sai. Vậy ta có p q q p
Dưới đây là một số phép tương đương lôgic thư ng g ờ ặp Phủ đị nh củ ủ a ph đị nh (1) p p
Lut Đờ Moóc Găng
Tính cht kết hp ca các phép lôgic (4) (p q) r p (q r) (5) (p q) r p (q r)
Tính cht giao hoán ca các phép lôgic (6) p q q p (7) p q q p (8) p q q p
Tính cht phân phi (9) p (q r) (p q) (p r) (10) p (q r) (p q) (p r)
Tính lũy đẳng (11) p p p (12) p p p
Biu din phép kéo theo qua các phép lôgic khác (13) p q (14) p q (15) p q 
Biu din phép tư ng ơ
đương qua các phép lôgic khác (16) p q (p q) (q p) (17) p q
Ta dùng kí hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ biến mệ đề nh luôn ú
đ ng (hoặc luôn sai). Ta có các
đẳng thc sau v 0 và 1 (18) p 0 0 (19) p 1 p (20) p 0 p (21) p 1 1
(22) p p 1 (luật bài trung)
(23) p p 0 (luật mâu thuẫn)
3.4. Phép biến đổi công thc
Khái niệm công thc trong lôgic mệnh đề tương t nh ự
ư khái niệm biu thc toán
hc trong toán học; khái niệm đẳng thc tương tự như khái niệm h
ng đẳng thc trong toán học.
Dựa vào các đẳng thức, ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất để chứng minh
một đẳng thức hoặc đưa một công thức về dạ đơ ng n giả ơ n h n.
Để cho tiện, ta quy ước :
1. Các phép lôgíc trong một công thức được thực hiện theo thứ tự ;  Với quy ư c
ớ này, chẳng hạn ta sẽ viết: p ^ q r thay cho (p ^ q) r p v q ^ r u thay cho [p v (q ^ r)] u
2. Không viết dấu ngoặc ở ngoài đối với mỗi công thức. Với quy ư c
ớ này, chẳng hạn, ta sẽ viết : p ^ q r Thay cho [(p ^ q) r] 3. Nếu có dấu ph
ủ định trên một công thức nào đó thì ta b d
ỏ ấu ngoặc ở hai đầu công thức đó. Chẳng hạn, ta sẽ viết ^ r Thay cho ^ r. Ví dụ 3.6 : Chứng minh rằng
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) (p q) ^ r.
Biến đổi lần lượt ta có:
( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r)
[( ^ q) v ( ^ )] ^ r v (q ^ r) [ ^ (q v )] ^ r v (q ^ r) ( ^ 1) ^ r v (q ^ r) ( ^ r) v (q ^ r) ( v q) ^ r) (p q) ^ r Ví dụ 3.7 : Rút g n ọ công thức : ( pvq) ^ q Ta có : ( pvq) ^ q [ v (p v q)] ^ q [(p v q) v (p v q)] ^ q (p v q) ^ q q.
3.5. Mnh đề liên hp, điu kin cn, điu kin đủ, điu kin cn và đủ
3.5.a M
nh đề liên hp
Từ mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2” (1) ta có thể thiết lập được các mệnh đề
“Nếu một số chia hết cho 2 thì nó chia hết cho 4” (2)
“Nếu một số chia hết cho 4 thì nó không chia hết cho 2” (3)
“Nếu một số không chia hết cho 2 thì nó không chia hết cho 4” (4)
Các mệnh đề (1) ; (2) ; (3) ; (4) gọi là những mệ đề nh liên hợp
Một cách tổng quát, ta định nghĩa
Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì
q p (2) là mệnh đề đảo của (1)
p q (3) là mệnh đề phản của (1)
q p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo ta gọi là nh ng m ữ ệnh đề liên hợp áp dụ đẳ ng ng thức (15) ta có p q q p và p q q p
Hay  Mệnh đề thuận tư ng ơ
đương lôgic với mệnh đề phản đảo
 Mệnh đề phản tư ng ơ
đương lôgic vơi mệnh đề đảo Ví dụ 3.8 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6
− Nếu một s không chia h ố
ết cho 6 thì nó không chia hết cho 3
− Nếu một s không chia h ố
ết cho 3 thì nó không chia hết cho 6
Dễ dàng thấy rằng mệnh đề thuận và phản đảo là các mệnh đề đúng còn mệnh đề
đảo và phản là các mệ đề nh sai Ví dụ 3.9 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu tam giác ABC vuông ở A thì BC2 = AB2 + AC2
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng
Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức BC2 = AB2 + AC2 thì nó vuông ở A
− Nếu tam giác ABC không vuông ở A thì BC2 AB2 + AC2
− Nếu tam giác ABC không thoả mãn hệ th c BC2 = AB2 + AC2 thì nó không ứ vuông ở A
Từ môn hình ở trường phổ thông ta thấy cả bốn mệnh đề trên đều có giá trị chân lí bằng 1
3.5.b. Điu kin cn, điu kin đủ, điu kin cn đủ
Trong toán học, nếu ta chứng minh được p q là mệnh đề đúng thì ta nói rằng − p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện cần để có p
Trong trường hợp này, mệnh đề p q có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: − Nếu có p thì có q − p là điều kiện đủ để có q
− q là điều kiện cần để có p − Có p ắt có q − Muốn có p phải có q − Có q khi có p .......................
Trong toán học, nếu ta chứng minh được đồng thời cả hai mệnh đề p q và q p đề đ u úng thì ta nói rằng :
− p là điều kiện cần và đủ để có q
− q là điều kiện cần và đủ đẻ có p
Theo phép tương đương (16) ta có p q (p q) (q p)
Trong trường hợp này, mệnh đề p q có thể diễn đạt bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn: − Điều kiện cần và đủ để có p là q
− Để có p, điều kiện cần và đủ là q
− Điều kiện ắt có và đủ để có p là q
− Có p khi và chỉ khi có q ............................
Trong toán học, mi định lí được phát biu dưới d ng m
t mnh đề úng p đ q,
trong đó, p gi là gi thiết, q gi là kết lun ca định lí.
Ta thiết lập mệnh đề đảo q p của định lí ó. N đ
ếu q p cũng là mệnh đề đúng thì
ta nói định lí đã cho có định lí đảo. Ngược lại, ta nói định lí đã cho không có định lí đảo.
Trong trường hợp định lí có định lí đảo, ta thường phát biểu kết hợp cả định lí thuận
và đảo dưới dạng điều kiện cần và p q. đủ Ví dụ 3.10 :
Hãy xét xem định lí sau có định lí đảo hay không : “Nếu tứ giác ABCD có hai
đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”
Nếu có, hãy phát biểu chúng dưới dạng điều kiện cần và đủ
Mệnh đề đảo của định lí đã cho là : “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau
ở trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”
Từ môn hình học ở trường phổ thông ta đã biết đây là mệ đề nh đ úng. Vậ đị y nh lí đã cho có định lí đảo
Kết hợp giữa định lí thuận và đảo được phát biểu như sau: “Điều kiện cần và đủ để
tứ giác ABCD là hình bình hành là hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung i đ ểm của mỗi đường.” Ví dụ 3.11 : Cũng hỏi như ví d 3.10 ụ
đối với định lí : “Nếu s t ố ự nhiên a có ch s ữ ố hàng đơn vị
bằng 0 hoặc 5 thì nó chia hết cho 5”
Mệnh đề đảo của định lí đã cho là : “Nếu s t
ố ự nhiên a chia hết cho 5 thì nó có chữ
số hàng đơn vị bằng 0 hoặc bằng 5”
Từ trường phổ thông ta đã biết mệnh đề đảo là mệnh đề đúng. Vậy định lí trên có định lí đảo.
Kết hợp giữa định lí thuận và đảo ta có :
“Số tự nhiên a chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0 hoặc
5” hoặc “Điều kiệ ắ n t có và đủ để
số tự nhiên a chia hết cho 5 là chữ số hàng đơn vị
của nó bằng 0 hoặc 5”
3.6. Lut ca lôgic mnh đề
Cho A là một công thức. Ta gọi :
a, A là công thức hằng úng, n đ
ếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 1 với mọi hệ chân
lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó
b, A là công thức hằng sai, nếu nó luôn nhận giá trị chân lí bằng 0 với m i ọ hệ chân lí
gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó
Mỗi công thức hằng đúng A ta gọi là một luật của lôgic mệnh đề và kí hiệu là: A
Mỗi công thức hằng sai ta gọi là một mâu thuẫn. Ví dụ 3.12 :
a) Công thức p v là hằng đúng. Ta có luật p ^
b) Công thức p ^ là hằng sai. c) Chứng minh rằng p ^ q v Ta có bảng chân lí
Nhìn vào bảng trên ta có đpcm. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c ở nhà thông tin cơ bản
− Trên lớp chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm thảo luận m t
ộ hoạt động để thực hiện các
nhiệm vụ rồi trình bay kết quả thảo luận. Sau đó giáo viên tổng kết theo t ng ho ừ ạt động dưới đây:
Hot động 3.1. Tìm hiu khái nim công thc Nhiệm vụ: Nhiệm vụ 1: Phát biểu đ nh ngh ị
ĩa khái niệm công thức của lôgic mệnh đề. Minh hoạ các ví dụ về công thức.
Nhiệm vụ 2: Xây dựng các ví dụ về xác định giá trị chân lí c a ủ công thứ. Đánh giá
1. Lập bảng chân lí của các công thức sau: a) p ^ q (q ^ r) b) (p r) v (q r) c) (p ) ^ (p q) v ( )
2. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
a) Công thức (p q) ^ (q p) (p q) luôn có giá trị chân lí bằng 1
b) Công thức p v (q ^ r) p v q v p v r luôn có giá trị chân lí bằng 1
c) Công thức (p q) ^ (p r) luôn có giá trị chân lí bằng 0.
Hot động 3.2.
Th
c hành chng minh các đẳng thc trong lôgic mnh đề. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu đ nh ngh ị ĩa:
− Hai công thức tương đương lôgic.
− Hai mệnh đề tương đương lôgic.
Minh hoạ các khái niệm ó đ thông qua các ví dụ.
Nhiệm vụ 2 : Lập bảng chân lí để chứng minh các đẳng thức (1) − (5).
Sau đó xây dựng các ví dụ minh hoạ về vận dụng mỗi đẳng t ứ h c đó trong toán học.
Nhiệm vụ 3 : Thực hành biến đổi công thức.
− Nêu các quy ước về s d
ử ụng kí hiệu khi biến đổi các công thức.
− Xây dựng hai ví dụ về thực hành biến đổi công thức. Đánh giá
1. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống : a) p ^ q q ^ p b) p ^ q  ^ c) ^ q  ^ p e) p ^ q q ^ p f) p ^ q  ^ g) ^ q  ^ p
2. Chứng minh các đẳng thức (9)  (17). Sau đó minh hoạ bằng các ví d v ụ ề vận d ng ụ
mỗi đẳng thức đó trong toán học.
3. Hãy biến đổi các công thức sau về dạng đơn giản nhất: a) ( p v q) ^ q. b) p ^ q ^ (p ) a) (p ) v
Hot động 3.3. Tìm hiu v mnh đề liên hp Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 :
Trình bày khái niệm về mệnh đề liên hợp. Nêu mối quan hệ giữa các mệnh đề thuận, đảo, phản và phả đả n o. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về thiết lập mệnh đề
liên hợp của mệnh đề đã cho. Nhiệm vụ 3 :
Trình bày khái niệm điều kiện cần, i đ ều kiện ,
đủ điều kiện cần và . đủ
 Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về diễn đạt điều kiện
cần (điều kiện đủ) bằng 5 cách khác nhau.
 Cũng yêu cầu như trên đối với điều kiện cần và . đủ
Nhiệm vụ 4 : Trình bày khái niệm định lí đảo của một định lí.
 Xây dựng một ví dụ trong số ọ
h c và một ví dụ trong hình học về phát biểu kết hợp
giữa định lí thuận và định lí đảo của một định lí. Đánh giá
1. Thiết lập mệnh đề liên hợp của các mệnh đề sau :
a) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5 .
b) Nếu một số chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 3 và 5.
c) Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau.
d) Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng. Đối với những mệ đề nh đ úng, hãy diễ đạ
n t bằng ba cách khác nhau dưới dạ đ ng iều kiện cần (đủ).
2. Hãy phát biểu các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9 ở tiểu học dưới dạng mệnh đề kéo theo.
Sau đó hãy thiết lập các mệnh đề liên hợp của chúng.
3. Thiết lập định lí đ o c ả ủa định lí sau :
a) Hình bình hành có hai đư n
ờ g chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
b) Nếu tích của hai thừa số chia hết cho 7 thì một trong hai thừa số đ ó phải chia hết cho 7.
Hot động 3.4. Tìm hiu lut ca lôgic mnh đề Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1: Phát biểu định nghĩa các khái niệm  Công thức hằ đ ng úng  Công thức hằng sai
Nhiệm vụ 2: Xây dựng hai ví dụ ọ
minh h a về cách chứng minh một luật Đánh giá
1. Chứng minh các công thức sau là công thức hằ đ
ng úng, sau đó viết chúng thành những luật a, p (p q) q b, (p q) (p q) c, (p q q) p
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4. QUY TẮC SUY LUẬN Thông tin cơ bản
Phân tích mỗi chứng minh toán học ta thấy nó bao gồm một số ữ h u hạn bước suy
luận đơn giản. Trong mỗi bước suy luận đơn giản ta đã vận dụ ữ ng nh ng quy tắc nhất đị để nh từ n ữ h ng mệ đề nh đ ã được t ừ
h a nhận là đúng có thể rút ra một mệnh đề mới
Dưới đây ta trình bày những quy tắc thường dùng trong các bước suy luận như thế Định nghĩa
Cho A, B, C là những công thức. Nếu tất cả các hệ chân lí của các biến mệnh đề có
mặt trong các công thức đó làm cho A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 cũng làm cho C
nhận giá trị chân lí bằng 1 thì ta nói có một quy tắc suy luận từ các tiên đề A, B dẫn
tới hệ quả lôgic C của chúng
Ta kí hiệu là hoặc A, B = C
Từ định nghĩa ta dễ dàng thấy rằng để chứng minh là một quy tắc suy luận ta chỉ
cần lập bảng giá trị chân lí đối với các công thức A, B, C. Trong đó chỉ ra rằng mỗi
khi A, B nhận giá trị chân lí bằng 1 thì C cũng nhận giá trị chân lí bằng 1 Ví dụ 4.1 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận
Sau đó nêu ví dụ minh hoạ về vận d ng quy t ụ ắc ó trong suy lu đ ận toán học Ta có bảng chân lí
Nhìn vào bảng trên ta thấy mỗi khi p q và q r nhận giá trị chân lí bằng 1 thì p
r cũng nhận giá trị chân lí bằng 1
Vậy ta có quy tắc suy luận
là quy tắc suy luận bắc cầu Nếu ta chọn 
“p q” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3” 
“q r” là mệnh đề “Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3”
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta có: “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3” Hoạt động Sinh viên tự đọ
c các thông tin cơ bản ở nhà.
 Trong lớp sinh viên thảo luận theo nhóm 3, 4 người. Sau đ đạ ó i diện mỗi nhóm
trình bày kết quả thảo luận với những nhiệm vụ đư c ợ phân công ;
 Giáo viên tổng kết theo từng hoạt động dưới đây :
Hot động 4.1.
Th
c hành vn dng các quy tc suy lun trong suy lun toán hc Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Phát biểu định nghĩa  Quy tắc suy luận
 Tiền đề của quy tắc
 Hệ quả lôgic của quy tắc Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng hai ví dụ về chứng minh một quy tắc suy luận và vận d ng quy t ụ ắc suy luận ó trong suy lu đ ận toán học Đánh giá
Chứng minh các quy tắc suy luận 1, 4 - 20
Sau đó xây dựng các ví d v
ụ ề vận dụng mỗi quy tắc suy luận đó :  Trong số ọ h c  Trong hình học  Trong toán cao cấp Ví dụ 4.2 :
Chứng minh rằng ta có quy tắc suy luận sau :
Nêu ứng dụng của nó trong suy luận toán học.
Ta có bảng giá trị chân lí sau:
Từ bảng trên ta suy ra quy tắc suy luận
Ta đã biết “nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ ố
s của nó chia hết cho 3”
Số 146 có tổng các chữ s không chia h ố
ết cho 3 nên số 146 không chia hết cho 3.
Dưới đây là các quy tắc suy luận thường được vận dụng trong suy luận toán học: TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5.
Hàm mệnh đề - Mệnh đề tổng quát và tồn tại Thông tin cơ bản
5.1 Khái nim v hàm mnh đề Ta xét các ví d s ụ au :
1. “Số tự nhiên n chia hết cho 3” về phư ng di ơ
ện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính
đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song
nếu ta thay n bởi một số tự nhiên cụ thể. Chẳng hạn
 Thay n = 45 ta được mệnh đề đúng: “45 chia hết cho 3”
 thay n = 103 ta được mệnh đề sai: “103 chia hết cho 3” 2. “2x + 3 > 17”
Tương tự trong ví dụ 1, “2x + 3 > 17” chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi
một số thực cụ thể, chẳng hạn
 Thay x = 10 ta có mệnh đề đúng “2 . 10 + 3 > 17”
 Thay x = 1 ta có mệnh đề sai “2 . 1 + 3 > 17”
3. Câu “Ông A là nhà vật lí vĩ đại” cũng chưa phải là mệnh đề. Nếu ta ch n ọ “Ông A” là
Niu-tơn ta được mệnh đề đúng “Niu tơn là nhà vật lí vĩ đại”. Nếu ta chọn Ông A” là
“Tố Hữu” ta được mệnh đề sai. “Tố Hữu là nhà vật lí vĩ đại”
4. Câu “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” ch a
ư phải là mệnh đề. Nếu ta chọn ABCD
là tứ giác trong hình (a) ta được mệnh đề sai, hình (b) ta đư c ợ mệnh đề đúng hình vẽ
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi thay
các biến đó bởi nh ng ph ữ
ần tử xác định thuộc tập X thì nó trở thành mệnh đề ( úng đ
hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mnh đề
Tập X gọi là min xác định; tập các phần tử thuộc X khi thay vào ta được mệnh đề đ ọ
úng g i là min đúng; thay vào ta được mệnh đề sai gọi là min sai của hàm mệnh đó
Ta dùng kí hiệu T(n), F(x), G(y), .......... để chỉ các hàm mệnh đề Chẳng hạn: 
Hàm mệnh đề T(n) = “S t
ố ự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tập
các số tự nhiên. Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 là miền úng c đ ủa T(n). Tập các
số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n) 
Hàm mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình ch nh ữ
ật” có miền xác định là tập các
hình tứ giác, miền đúng là tập các hình chữ nhật
5.2. Các phép toán trên hàm mnh đề
Dựa vào các phép toán trên mệnh đề (ph
ủ định, hội, tuyển.....) ta xây ự d ng các phép
toán tương tự trên các hàm mệnh đề a) Phép phủ đị nh
Cho F(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi ph ủ đ nh c ị ủa hàm mệnh đề
F(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu là F(x), sao cho đối với mỗi a X, F(a) là mệnh đề ủ ph đị nh của mệ đề nh F(a) Chẳng hạn, ph
ủ định của hàm mệnh đề  T(n) = “số ự
t nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh đề T(n) = “số tự nhiên n không chia hết cho 3” 
F(x) = “2x + 3 > 17” là hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 17” b) Phép hội
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi hội của hai hàm
mệnh đề F(x) và G(x) là một hàm mệnh đề H(x), kí hiệu là H(x) = F(x) G(x), xác
định trên miền X sao cho với mọi a X ta có mệ đề
nh H(a) là hội của hai mệnh đề F(a) và G(a)
Chẳng hạn, hội của hai hàm mệnh đề
F(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” và
G(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 5” là hàm mệnh đề
H(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3 và 5” Cũng tư ng t ơ nh ự
ư trên ta định nghĩa các phép tuyển, phép kéo theo và phép tư ng ơ
đương trên các hàm mệnh đề
5.3. Mnh đề tng quát
Ta đặt vào trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “với mọi x R” ta được mệnh đề sai:
“Với mọi x R, 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X.Ta gọi mệnh đề dạng
“Với mọi x X ta có T(x)”
hoặc “Với mọi x X, T(x)” là mệnh đề t ng quát (ho ổ
ặc toàn thể, phổ biến, ph ổ cập,...). Kí hiệu là
x X, T(x) hoặc ( x X) T(x) hoặc T(x) x X Kí hiệu gọi là lư ng t ợ
ừ tổng quát (hoặc toàn thể, ph bi ổ ến, ph c ổ ập, ....) Ví dụ 5.1 :
“ n N, n là số nguyên tố” là mệnh đề sai
“ n N, 2n là số chẵn” là mệnh đề đúng
“ x R, x2 + 1 > 0” là mệnh đề đúng
“ x R, x2  1 = 0” là mệnh đề sai Chú ý
Mệnh đề tổng quát trong thực tế được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn  Tất cả người V ệ
i t nam đều nói thạo tiếng Anh 
Mọi người Việt nam đều nói thạo tiếng Anh 
Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh 
Đã là người Việt nam thì ai chẳng nói thạo tiếng Anh
......................................
5.4 Mnh đề tn ti
Ta đặt trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “Tồn tại x R sao cho....” ta được mệnh đề úng đ
“Tồn tại x R sao cho 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi mệnh đề
dạng “Tồn tại x X sao cho T(x)” là mệnh đề t n t ồ ại. Kí hiệu là  x X : T(x) hoặc T(x) Ký hiệu g  i ọ là lượng từ t n t ồ ại Ví dụ 5.2 :  “Tồn tại số ự
t nhiên n sao cho n là số nguyên tố” là mệ đề nh đ úng  “Tồn tại số t ự h 
c x sao cho x2 1 = 0” là mệnh đề úng đ  “Tồn tại số t ự
h c x sao cho x2 + 1 = 0” là mệ đề nh sai Chú ý
1. Trong thực tế, mệnh đề t n t
ồ ại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn: 
Tồn tại ít nhất một người Việt nam nói thạo tiếng Anh 
Có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh 
ít ra cũng có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh  Có nhiều ngư i Vi ờ
ệt nam nói thạo tiếng Anh ........................
2. Ta dùng kí hiệu “! x X : T(x)” với nghĩa tồn tại duy nhất một x X sao cho T(x)”
5.5. Phủ định của mệnh đề t n t ồ ại và tổng quát Phủ đị nh các mệ đề
nh tổng quát và tồn tại được thiết lập theo quy tắc dư i ớ đây Ví dụ 5.3 :
 Mọi tam giác đều đều là tam giác cân Có một tam giác đều không phải là tam giác cân
 Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh Có ít nhất một ngư i Vi ờ ệt nam nói không thạo tiếng Anh
 Có một số tự nhiên chia hết cho 3 Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 3
 Có ít nhất một số thực x là nghiệm ủ c a phương trình x2   3x 4 = 0 Mọi số thực x
đều không phải là nghiệm ủ c a phương trình x2  
3x 4 = 0 Phương trình x2   3x 4
= 0 không có nghiệm thực Hoạt động. Sinh viên tự đọ c thông tin ngu n
ồ và tài liệu tham khảo ở nhà.Trên lớp sinh viên thảo
luận theo nhóm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau nằm trong các hoạt động 5.1 và 5.2. Sau đ đạ
ó i diện các nhóm trình bày và giáo viên tổng kết
Hot động 5.1: Tìm hiu khái nim hàm mnh đề Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Định nghĩa  Hàm mệnh đề 
Miền xác định, miền úng, đ
miền sai của hàm mệnh đề Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng ba ví dụ về hàm mệnh đề. Chỉ rõ miền xác định, miền đúng và miền sai
của mỗi hàm mệnh đề ó đ Nhiệm vụ 3 :
Định nghĩa phép phủ đị
nh, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo và phép tương
đương giữa hai hàm mệnh đề Nhiệm vụ 4 :
Xây dựng ví dụ minh họa cho mỗi phép toán nêu trên Đánh giá
1. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập s t ố ự nhiên a) a chia hết cho 5 b) a chia cho 5 d 4 ư c) a là số nguyên tố d) a2  5a + 6 = 0
2. Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập các số thực a, x2  7 < 0 b, 3x2 7x   10 = 0 c, sin2x + cos2x = 1 d, | x  5 | < 6
3. Xây dựng hai ví dụ ề v  Phép phủ định  Phép hội  Phép tuyển  Phép kéo theo  Phép tương đư ng ơ Trên các hàm mệnh đề
Hot động 5.2. Tìm hiu mnh đề tng quát và mnh đề tn ti Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày khái niệm mệnh đề tổng quát và mệnh đề t n t ồ ại
Nhiệm vụ 2 : Phát biểu quy tắc phủ định mệ đề
nh tổng quát và mệnh đề t n t ồ ại
Nhiệm vụ 3 : Xây dựng hai ví dụ ề v  Phủ đị nh mệ đề nh tổng quát  Phủ đị nh mệ đề nh tồn tại Đánh giá
1. Hãy diễn đạt các mệnh đề sau bằng lời : a)  x R y  R : x + y2 > 1 b)  x R y  R : x2 - y2 = 0
c)  n N  m N : n + m chia hết cho 3 d) n N  m N: là phân s t ố ối giản
e) Sau đó hãy lập mệnh đề ph
ủ định của mỗi mệnh đề ó đ
2. Hãy chứng tỏ nhậ đị
n nh sau là sai “Mọi hình tứ giác có một đư n ờ g tròn ngoại tiếp nó”
3. Hãy chứng tỏ nhậ đị n nh sau là sai :
a) Có một số tự nhiên mà mọi số chẵn đều nh h ỏ ơn nó
b) Mọi người đàn ông đều có m t
ộ người đàn bà là vợ của ngư i ờ ấy
c) Mỗi tháng đều có ba ngày chủ nhật là ngày lẻ
TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6. SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH Thông tin cơ bản
6.1. Suy lun
Suy luận là rút ra một mệnh đề mới từ một hay nhiều mệ đề nh đã biết. N ữ h ng mệnh đề đ
ã có gọi là tin đề, một mệ đề
nh nói được rút ra gọi là kết l u n của suy luận.
Hai kiểu suy luận thường gặp là: suy lun din dch (hay còn gọi là suy diễn) và suy
lu
n nghe có lí (hay suy luận có lí). a) Suy luận diễn dịch :
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luật
tổng quát (của lôgíc mệnh đề). Trong suy luận diễn dịch, nếu các tiền đề đúng thì kết
luận rút ra cũng phải đúng.
Trong lôgíc vị từ, ngoài nh ng quy t ữ
ắc suy luận của lôgíc mệnh đề ta thư ng g ờ ặp và
vận dụng hai quy tắc suy luận dưới đây: Có nghĩa là :
Nếu P(x) Q(x) đúng với mọi x X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là mệnh đề đ úng. Ví dụ 6.1 :  Mọi s t ố nhiên có t ự
ổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.
 Số 432135 có tổng các ch s ữ ố chia hết cho 9.
Vậy 432135 chia hết cho 9. Ví dụ 6.2 :
Nếu tự giác là hình thoi thì hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.
 Tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy AC BD. Ví dụ 6.3 :
 Với mọi x R, sin2x + cos2x = 1.  R Vậy
Trong ba ví dụ nêu trên, các tiền đề đ u
ề đúng, ta đã vận dụng các quy tắc suy luận 1,
2 vừa nêu trên. Vì vậy các kết luận của chúng phải úng. đ Ví dụ 6.4 :  672 chia hết cho 3.  672 chia hết cho 4
Vậy 672 chia hết cho 3 và 4.
Trong ví dụ này, các tiền đề đều đúng, ta đã vận d ng quy t ụ ắc suy luận: Ví dụ 6.5 : Từ các tiền đề
 Nếu a chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
 Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ s c
ố ủa nó chia hết cho 3.
Ta rút ra kế luận : “Nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ s c
ố ủa nó chia hết cho 3”. ở đây các tiề đề n đề u là nhữ đị
ng nh lí đã được chứng minh trong toán học. Ta đã vận d ng quy t ụ ắc suy luận bắc cầu : b) Suy luận nghe có lí:
Suy luận nghe có lí (hay còn gọi là suy luận có lí) là suy luận không theo một quy
tắc suy luận tổng quát nào. Nó chỉ xuất phát từ những tiền đề úng đ để rút ra một kết
luận. Kết luận này có thể úng m đ à cũng có thể sai.
Mặc dầu suy luận nghe có lí có hạn chế nêu trên nhưng nó có ý nghĩa rất quang
trọng trong khoa học và đời sống : giúp chúng ta từ những quan sát cụ thể có thể rút
ra những giả thuyết, phán đoán để rồi sau đó tìm cách chứng minh chặt chẽ giả
thuyết đó. Nó đặt cơ sở cho nhiều phát minh trong khoa học.
Trong toán học, hai kiểu suy luận nghe có lí thường s d ử ụng là :
 Phép quy nạp không hoàn toàn.  Phép tư ng t ơ ự. Ví dụ 6.6 : Từ các tiền đề :  4 + 3 = 3 + 4  15 + 48 = 48 + 15  243 + 358 = 358 + 243
Ta rút ra kết luận: Tổng của hai số tự nhiên không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng trong tổ đ ng ó.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, các tiền đề đ úng và
kết luận rút ra cũng đúng. Ví dụ 6.7 : Từ các tiền đề:  42 chia hết cho 3  72 chia hết cho 3  132 chia hết cho 3
Ta rút ra kết luận: Những số có chữ số hàng đơn vị bằng 2 thì nó chia hết cho 3.
Đây là phép quy nạp không hoàn toàn. Trong phép suy luận này, xuất phát từ ữ nh ng
tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai. Ví dụ 6.8 :
Từ định lí trong hình học phẳng “nếu hai đường thẳng cùng song song với đư ng ờ
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”. Ta đưa ra m t
ộ giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau”.
Đây là phép suy luận tương tự. Giả thuyết nêu ra ở đ ây là đúng. Ví dụ 6.9 : Cũng t
ừ định lí nêu trên trong ví dụ trên ta đưa ra giả thuyết “Hai mặt phẳng cùng
song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Giả thuyết nêu ở đây là sai.
6.2. Chng minh
Trong suy luận diễn dịch, từ các tiền đề A, B ta rút ra kết luận C bằng cách vận
dụng các quy tắc suy luận tổng quát. Ta gọi phép suy luận dạng này là suy lun hp
lôgíc
. ở đây chúng ta chỉ quan tâm đến hình thức hay cấu trúc của suy luận mà không quan tâm đế ộ n n i dung, ý nghĩa c a
ủ các mệnh đề trong suy luận đó.
Trong toán học, nếu các tiền đề A, B của suy luận đều đúng (là nh ng ữ định nghĩa,
tiền đề hoặc định lí đã được chứng minh trước đó) ta rút ra kết luận C thì ta nói C là
một kết luận chứng minh, còn suy luận đó là một chứng minh.
Vậy chng minh mt mnh đề X là vch rõ rng X là kết lun lôgíc ca các tin đề đúng.
Mỗi chứng minh toán học bao gồm một số h u h ữ
ạn bước, trong đó mỗi bước là một
suy luận diễn dịch, trong ó
đ ta đã vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước thì đó chính là một phép suy luận
diễn dịch với các tiền đề úng. đ
Một phép chứng minh gồm ba phần: 1. Luậ đề n
là mệnh đề ta phải chứng minh.
2. Lun cứ là những mệnh đề mà tính đ đắ
úng n của nó đã được khẳ đị ng nh (thường
là các định nghĩa, tiền đề hoặc định lí đã đư c
ợ chứng minh trước đó...) dùng làm tiền
đề trong mỗi bước suy luận.
3. Lun chng là những quy tắc suy luận tổng quát được s d ử ụng trong mỗi bước
suy luận của chứng minh ó. đ
Như vậy chứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B (A B) là:
 Thiết lập một dãy các bư c ớ suy luận diễn dịch.
 Trong mỗi bước ta chỉ rõ tiề đề n ế
, k t luận và quy tắc suy luận tổng quát được áp dụng. Chẳng hạn:
 Mỗi suy luận trong các ví d 6.1- 6.5 là m ụ
ột chứng minh (vì các tiền đề trong mỗi
suy luận đều đúng và ta đều áp d ng nh ụ
ững quy tắc suy luận tổng quát của lôgíc mệnh đề).
 Xét các suy luận sau : Từ hai tiền đề:
+ Với mọi a, b R, nếu a2 = b2 thì a = b + 52 = (5)2
Rút ra kết luận 5 = 5’! Từ hai tiền đề : + Nếu tổng các ch s ữ c
ố ủa một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 3.
+ 125 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Rút ra kết luận 125 chia hết cho 3.
Trong cả hai suy luận này, rõ ràng kết luận rút ra đều sai (vì tiền đề 1 của suy luận thứ nhất và tiề đề
n 2 của suy luận thứ hai đều sai). Vậy chúng là suy luận hợp lôgíc
nhưng không phi là mt chng minh.
6.3. Các phương pháp chng minh toán hc thường gp
Có nhiều phương pháp chứng minh, dưới đây ta trình bày một s ph ố ương pháp
chứng minh thông dụng nhất.
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp
Cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp là quy tắc suy luận bắc cầu.
Khi chứng minh từ tiền đề A đến kết luận B bằng phương pháp chứng minh trực
tiếp, ta tiến hành theo sơ đồ sau: A A1 A1 A2 —————- An-1 An An B.
áp dụng quy tắc suy luận bắc cầu ta nhận được điều phải chứng minh. Ví dụ 6.10 :
Ta phân tích chứng minh định lí “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở
trung điểm của mỗi đường”.
Định lí được tóm tắt như sau (Luận đề) : Giả thiết ABCD là hình bình hành AC cắt BD tại O. Kết luận OA = OC và OB = OD
Qua phân tích trên đây ta thấy:
 Giả thiết và kết luận của đị nh lí là luậ đề n của chứng minh.
 Chứng minh của định lí trên có bảy bước, trong mỗi bước đều dùng các định nghĩa
hoặc định lí đã được chứng minh làm luận cứ và ngầm s d
ử ụng một suy luận t ng ổ quát làm luận chứng.
 ở phổ thông, trong các chứng minh toán học người ta thường b ỏ đi nhiều tiền đề
trong mỗi bước suy luận. Vì vậy chứng minh được thực hiện theo sơ đồ thu gọn: A A1 A2 ... An - 1 An B.
 Trong phép chứng minh này (và nhiều phép chứng minh trực tiếp khác) ta thường sử d ng quy t ụ
ắc suy luận kết luận và suy luận bắc cầu. Vì vậy hai phép suy luận này
có vai trò đặc biệt quan trọng trong chứng minh trực tiếp.
b) Phương pháp chứng minh phản chứng
Trong trường hợp tổng quát, mu n ch ố
ứng minh từ tiền đề A dẫn đến kết luận B bằng
phương pháp phản chứng ta tiến hành theo sơ đồ sau:  Giả s A
ử đúng mà B sai (G (A ^ ) = 1)  A ^ C ^
 áp dụng quy tắc suy luận
Ta rút ra kết luận A B là đúng.
Đôi khi sơ đồ trên được thu gọ ư n nh sau:  Giả s A
ử đúng mà B sai (tức đúng) 
 áp dụng quy tắc suy luận:
Ta rút ra kết luận A B là đúng. Ví dụ 6.11 :
Ta phân tích chứng minh định lí trong hình học phẳng “Nếu hai đường thẳng cùng
vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Định lí được tóm tắt như sau (luận đề).
Giả sử a không song song với b. Suy ra a cắt b tại M. Nh v
ư ậy từ M ta kẻ được hai
đường vuông góc với đường thẳng C.
Mệnh đề này sai, vì nó mâu thuẫn với mệnh đề úng đ
đã biết trước “Từ một điểm ở ngoài một đư n
ờ g thẳng ta chỉ kẻ được một và chỉ một đường vuông góc tới đường thẳng đó”.
Vậy mệnh đề “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì cắt
nhau” là sai. Điều đó ch ng t ứ r
ỏ ằng mệnh đề phải chứng minh là đúng. Ví dụ 6.12 :
Chứng minh rằng phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (1)
có không quá một nghiệm. Giả s ph ử
ương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Theo định nghĩa ta có: ax1 + b = 0 và ax2 + b = 0
áp dụng tính chất bắc cầu ta có: ax1 + b = ax1 + b
áp dụng luật giảm ước đối với phép c n ộ g ta có: ax1 = ax2, a 0
áp dụng luật giảm ước đối với phép nhân ta có: x1 = x2
Như vậy x1 vừa khác lại vừa bằng x2. Điều này trái với luật mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) Phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn. Giả s t
ử ập hữu hạn X = {a1, a2, ... , an}
và T(x) là hàm mệnh đề xác định trong tập X.
Ta phải chứng minh mệnh đề:  x X, T(x)
là đúng bằng phương pháp quy nạp hoàn toàn. Ta cần chứng t r ỏ ằng T(a1), T(a2), ...
, T(an) đều là những mệ đề nh đ úng. Từ đ
ó kết luận mệnh đề trên là đúng.
ở đây ta áp dụng quy tắc suy luận tổng quát: Ví dụ 6.13 :
Chứng minh rằng tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5. Giả sử n là s t
ố ự nhiên và T = n (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4). Gọi D là tập các s d ố ư
của phép chia n cho 5. Vậy D = {0, 1, 2, 3, 4}  Nếu s d
ố ư bằng 0 thì n 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 1 thì (n + 4) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 2 thì (n + 3) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 3 thì (n + 2) 5. Suy ra T 5  Nếu s d
ố ư bằng 4 thì (n + 1) 5. Suy ra T 5
Vậy T chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên.
d) Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Để chứng minh tính chất T(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên
n n0) tức là phải chứng minh mệ đề nh tổng quát.
 n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) đúng.
Ta tiến hành theo các bước dưới đây:
Bước 1: Chứng minh G (T(0)) = 1 (hoặc G (T(n0) = 1) hay tính chất T(n) đúng với n = 0 ( hoặc n = n0).
Bước 2: Giả sử G (T(k)) = 1 hay tính chất T(n) đúng với n = k. Ta chứng minh G
(T(k + 1) = 1) hay tính chất T(n) cũng đúng với n = k + 1.
Từ đó ta rút ra kết luận: tính chất T(n) úng v đ
ới mọi số tự nhiên n (hoặc với mọi số tự nhiên n n0) hay
 n N, T(n) (hoặc  n n0, T(n)) là mệnh đề đúng
Cơ sở lôgíc của phương pháp chứng minh này là quy tắc suy luận tổng quát sau: Ví dụ 6.14 :
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ đó suy ra công thức trên úng v đ ới mọi n 2 Ví dụ 6.15 :
Cho n điểm trong mặt phẳng (n 2). H i ỏ khi nối n đ iểm đ
ó với nhau ta sẽ được bao nhiêu đoạn thẳng? Ta chứng minh số đ
oạn thẳng đếm được khi nối n điểm ó v đ ới nhau là:
Với n = 2 nối hai điểm cho trước ta được một o đ ạn thẳng. Ta có:
Vậy công thức trên đúng với n = 2.
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức là khi nối k điểm cho trước trong mặt phẳng ta được đoạn thẳng.
Giả sử trong mặt phẳng cho trước k + 1 điểm, khi nối k điểm đầu với nhau (theo g ả i
thiết ở phần trên) ta được:
đoạn thẳng. Bây giờ ta nối điểm thứ k + 1 với k điểm còn lại ta đư c thêm k + 1 ợ
đoạn thẳng nữa. Vậy số đ oạn thẳ đế
ng m được khi nối k + 1 điểm đ ó với nhau là:
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1.
Từ đó suy ra: Nếu cho trước n điểm phân biệt trong mặt phẳng thì nối chúng với nhau ta sẽ được: đoạn thẳng. Hoạt động Sinh viên tự đọ
c tài liệu và thông tin nguồn ở nhà. Trên lớp nghe giáo viên giảng để
thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động 6.1 và 6.2:
Hot động 6.1. Tìm hiu các phép suy lun. Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Trình bày các khái niệm  Suy luận.  Suy luận diễn dịch.
 Suy luận nghe có lí (phép quy nạp và phép tương tự).
Nhiệm vụ 2 : Xây dựng ví dụ về suy luận diễn dịch trong  S h ố ọc  Hình học  Đại s ố
Trong mỗi suy luận hãy chỉ rõ đã vậ ụ n d ữ
ng nh ng quy tắc suy luận tổng quát nào
Nhiệm vụ 3: Xây dựng hai ví dụ về suy luận quy nạp không hoàn toàn
 Trong đó các tiền đề đề u đ
úng mà kết luận rút ra cũ đ ng úng.
 Trong đó các tiền đề trên đề đ
u úng mà kết luận rút ra lại sai.
Nhiệm vụ 4 : Xây dựng hai ví dụ về suy luận tương tự, trong đó
 Một giả thuyết úng. đ
 Một giả thuyết không úng. đ Đánh giá 1. Điền d vào ô tr ng, n ố
ếu là suy luận diễn dịch; q vào ô trống nếu là suy luận quy
nạp và vào ô trống, nếu là suy luận tư ng t ơ ự. a) Với m i
ọ số tự nhiên a, b, c ta có: a x (b + c) = a x b + a x c áp dụng:
4 x (25 + 15) = 4 x 25 + 4 x 15 b) Ta có:
Vậy a x (b + c) = a x b + a x c
c) Từ hệ thức cos2 x + sin2 x = 1 ta đưa ra giả thuyết “tg2 x + cotg2 x = 1” d) Từ đị
nh lí trong hình học phẳng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau ta đưa ra giả thuyết trong hình học không gian.
“Hai đường thẳng trong không gian vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”
2. Xây dựng ba ví dụ về suy luận diễn dịch trong số ọ
h c. Chỉ rõ những quy tắc suy
luận tổng quát đã vận d ng trong suy lu ụ ận ó. đ 3. C ng h ũ
ỏi như bài 2 trong hình học. 4. C ng h ũ
ỏi như bài 2 trong đại s . ố
5. Xây dựng hai ví dụ ề
v suy luận quy nạp trong số ọ h c (m t
ộ ví dụ với các tiền đ ề
đúng và kết luận rút ra cũng đúng, một ví dụ ớ
v i các tiền đề đúng mà kết luận rút ra lại sai). 6. C ng h ũ
ỏi như bài 5 trong hình học. 7. C ng h ũ
ỏi như bài 5 trong đại s . ố
8. Xây dựng hai phép suy luận tương tự (một phép đưa ra giả thuyết đúng và một
phép đưa ra giả thuyết sai).
Hot động 6.2. Tìm hiu các phép chng minh. Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 : Trình bày:
 Khái niệm về chứng minh toán học.
 Phân biệt giữa suy luận và chứng minh. Nhiệm vụ 2 :
Xác định cấu trúc của một chứng minh toán học. Xây dựng một ví dụ ề v chứng
minh để làm rõ cấu trúc nêu trên trong chứng minh ó. đ
Nhiệm vụ 3 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh trực tiếp:
 Nêu cơ sở của phương pháp chứng minh trực tiếp.  Phân tích sơ c
đồ ủa phương pháp chứng minh trực tiếp.
 Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh trực tiếp trong: ố s ọ h c, hình ọ h c và đại số.
Nhiệm vụ 4 : Tìm hiểu phép chứng minh phản chứng.
 Nêu của lôgíc của phép chứng minh phản chứng.
 Trình bày sơ đồ thực hiện một phư n
ơ g pháp chứng minh bằng phản chứng.
 Xây dựng ví dụ về phương pháp chứng minh phản chứng trong số ọ h c, hình ọ h c và đại số.
Nhiệm vụ 5 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp hoàn toàn.
 Nêu cơ sở của phép chứng minh quy nạp hoàn toàn.
 Trình bày phương pháp chứng minh một luậ đề n bằng phép c ứ h ng minh quy nạp hoàn toàn.
 Xây dựng ví dụ về phép c ứ
h ng minh quy nạp hoàn toàn.
Nhiệm vụ 6 : Tìm hiểu phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
 Nêu của lôgíc của phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
 Nêu các bước chứng minh bằng quy nạp toán học.
 Xây dựng ví dụ về chứng minh bằng quy nạp toán học trong số ọ h c và hình học. Đánh giá
1. Hãy phân tích cấu trúc của chứ đị
ng minh nh lí sau trong sách giáo khoa toán 9 “Số đ
o của góc nội tiếp bằng nửa số đ o của cung bị chắn”.
Cho biết chứng minh đó thu c ộ loại nào?
2. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
Cho biết chứng minh trên thu c ộ loại nào?
3. Xây dựng ba ví dụ về chứng minh quy nạp toán học trong số ọ h c, đại số.
4. Chứng minh rằng mỗi phép chia các số tự nhiên có không quá một thương. Cho biết chứng minh thu c ộ loại nào? TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7.
SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC Thông tin cơ bản
7.1. Suy lun và chng minh trong dy hc mch s hc
Trong dạy học mạch số học ở tiểu học ta vậ ụ
n d ng các phép suy luận quy ạ n p (hoàn
toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tương t . D ự
ưới đây ta trình bày các phép suy luận này.
7.1.1. Suy lun quy np :
Suy luận quy nạp được sử dụng thường xuyên và rộng rãi trong quá trình dạy hình
thành các tính chất, quy tắc thực hành b n
ố phép tính, các dấu hiệu chia hết và trong giải toán số học Ví dụ 7.1 :
Khi dạy tính chất giao hoán của phép cộng, thông qua ví dụ so sánh giá trị c a ủ biểu
thức a + b và b + a trong bảng sau
Từ bảng trên học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a + b và b + a luôn bằng nhau”
Rồi rút ra tính chất giao hoán của phép cộng: khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổ đ ng ó không thay đổi a + b = b + a
Quá trình phân tích tổng hợ để
p rút ra kết luận trên đây ta vận dụng phép suy luận
quy nạp không hoàn toàn mà trong đó tiền đề là các ví dụ trong bảng còn kết luận là
tính chất giao hoán nêu trên Tương t nh ự
ư trên, suy luận quy lạp c ng ũ được vận d ng ụ
để dạy quy tắc nhân một số với một tổng Ví dụ 7.2 :
Thông qua ví dụ so sánh giá trị của biểu thức a x (b + c) và a x b và a x c trong bảng sau
học sinh rút ra nhận xét “giá trị của a x (b + c) và a x b + a x c luôn bằng nhau” rồi
rút ra quy tắc nhân một số với một tổng: Khi nhân một số với ộ m t tổng, ta có thể nhân số đ
ó với từng số hạng của tổng r i ồ cộ ế
ng k t quả lại a x (b + c) = a x b + a x c Ví dụ 7.3 :
Khi dạy quy tắc so sánh các s t
ố ự nhiên trong phạm vi 10000 (xem [ ]) a) Thông qua các ví dụ 999 < 1000 10000 > 9999
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc Trong hai số tự nhiên  Số nào ít ch s ữ h ố ơn thì bé hơn
Số nào nhiều chữ s h ố ơn thì lớn hơn b) Thông qua các ví dụ 9000 > 8999 6579 < 6580
cho học sinh nhận xét rồi rút ra quy tắc
 Nếu hai số có cùng số chữ số thì so sánh t ng c ừ ặp chữ s
ố ở cùng một hàng, kể t ừ
trái sang phải, số nào có chữ số đầ
u tiên lớn hơn thì lớn hơn. c) Thông qua các ví dụ: 2345 = 2345 469 = 469
cho học sinh phân tích rồi rút ra kết luận:
 Nếu hai số có cùng số chữ số và t ng c ừ ặp ch s ữ
ố ở cùng một hàng đều giống nhau thì hai số đ ó bằng nhau
Trong mỗi bước trên đây, chúng ta đã vận dụng suy luận quy nạp không hoàn toàn,
trong đó tiền đề là các ví dụ được xét và kết luận là quy tắc so sánh được rút ra Ví dụ 7.4 :
Khi dạy quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép c n
ộ g (xem [ ]): Cho học sinh
quan sát hình vẽ rồi điền số vào chỗ chấm trong các phép tính sau 6 + 4 = ............ x + 4 = 10 6 + x = 1 6 = 10 ........
x = 10 ........... x = 10 ................... 4 = 10 ........ x = ................ x = .........................
Từ các ví dụ trên rút ra nhận xét:
 Muốn tìm số hạng thứ nhất, ta lấy tổng trừ đ i số hạng thứ hai
 Muốn tìm số hạng thứ hai, ta lấy tổng t ừ r đ i số hạng thứ nhất
Từ hai nhận xét trên, hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc: Muốn tìm s h ố ạng chưa
biết, ta lấy tổng trừ đi s h ố ạng kia
Quy trình suy luận trên đây ta đã vận d n
ụ g phép quy nạp không hoàn toàn, trong ó đ tiền đề là các ví d
ụ được xét và kết luận là quy tắc nêu trên. Ví dụ 7.5 :
Khi dạy dấu hiệu chia hết cho 5, ta tiến hành như sau (xem [ ])
a) Trong bảng chia cho 5, các số bị chia đều chia hết cho 5.
Đó là: 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Các số này có tận cùng bằng 0 hoặc 5
b) Lấy bất kì số nào có tận cùng bằng 0 hoặc 5 ta thấy s ố đó chia hết cho 5
Ví dụ: 1990 : 5 = 390 ; 1995 : 5 = 399
c) Vậy: Các số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5
ở đây tiền đề là các ví dụ xét ở mục a và b và kết l ậ
u n là dấu hiệu chia hết cho 5
Phép suy luận quy nạp còn gặp trong quá trình giải toán số ọ h c. Chẳng hạn: Ví dụ 7.6 :
Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8....................... Ta nhận xét  S h
ố ạng thứ ba là 3 = 1 + 2  S h ố ạng th t ứ ư là 5 = 2 + 3  S h ố ạng th n ứ ăm là 8 = 3 + 5
Vậy quy luật của dãy số đã cho là: Kể từ s h
ố ạng thứ ba, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạ đứ ng ng liền trước nó
áp dụng quy luật trên ta có:  S h
ố ạng thứ sáu là: 5 + 8 = 13  S h ố ạng th b ứ ảy là: 8 + 13 = 21
Vậy dãy số cần tìm là: 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21
ở đây ta đã dùng quy np không hoàn toàn để tìm ra quy luật của dãy số (với tiền đề
là các nhận xét phân tích ở trên) Ví dụ 7.7 :
Thay a bởi chữ số thích hợp để nhận được s t
ố ự nhiên chia hết cho 3
Vì n chia hết cho 3 nên 2 + 7 + a = 9 + a chia hết cho 3. Bằng phư n ơ g pháp thử
chọn ta tìm được a = 0 ; 3 ; 6 ; 9
Vậy các số cần tìm là 270 ; 273 ; 276 và 279
Trong ví dụ này ta đã dùng phép quy np hoàn toàn để tìm ra các giá trị thích hợp của a
7.1.2. Suy din
Phép suy diễn được sử ụ
d ng trong các tiết luyện tập: vận dụng một quy tắc ã đ đư c ợ
thiết lập để giải bài tập
Cấu trúc của các phép suy luận ở đây thường là:
Tin đề 1 : Là quy tắc hoặc tính chất,.... đã được thiết lập
Tin đề 2 : Một tình huống cụ thể phù hợp với quy tắc trên
Kết lun : Vận d ng quy t ụ
ắc trên để xử lí tình hu ng c ố ủa bài toán Ví dụ 7.8 :
Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất 47 x 234 + 234 x 53 = 234 x 47 + 234 x 53 = 234 x (47 + 53) = 234 x 100 = 23400
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn:
 Vận dụng tính chất giao hoán c a phép nhân ủ  Vận d ng quy t ụ ắc nhân một s v ố ới một t ng ổ Ví dụ 7.9 : Tìm x x : 25 + 12 = 60 x : 25 = 60 - 12 x : 25 = 48 x = 48 x 25 x = 1200
ở đây ta đã hai lần áp dụng phép suy diễn :  Vận d ng quy t ụ ắc tìm một s h ố ạng trong phép c ng ộ  Vận d ng quy t ụ ắc tìm s b ố ị chia Ví dụ 7.10 : Khoanh tròn vào chữ đặ
t trước số chia hết cho 5 A. 13450 B. 13408 C. 7945 D. 7954
ở đây ta vận dụng phép suy diễn, trong đó tiền đề là dấu hiệu chia hết cho 5 và tiền
đề 2 là mỗi số trong đề bài
7.1.3. Phép tương t Phép tư ng t ơ ự được s d
ử ụng thường xuyên trong dạy học mạch s h ố ọc. Chẳng hạn:  T quy t ừ
ắc cộng các số có hai chữ số, dùng phép tư ng t ơ
ự ta xây dựng quy tắc cộng
các số có ba, bốn và nhiều chữ số Cũng tư ng t ơ
ự đối với các phép tính  T quy t ừ
ắc so sánh các số có bốn ch s ữ ố, dùng phép tư ng t ơ
ự ta xây dựng quy tắc so
sánh các số có nhiều chữ số  T quy t ừ ắc tìm s h
ố ạng trong phép cộng, dùng phép tư ng t ơ ự ta xây dựng quy tắc
tìm thừa số trong phép nhân
7.2. Suy lun và chng minh trong dy hc mch yếu t hình hc Cũng tư ng t ơ ự mạch s h
ố ọc, trong dạy học các yếu tố hình học ta thường ậ v n d ng ụ
các phép suy luận quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn), suy diễn và phép tư ng ơ
tự. Dưới đây ta trình bày các phép suy luận này
7.2.1. Suy lun quy np
Suy luận quy nạp được sử d ng r ụ
ộng rãi trong quá trình dạy học xây dựnh công thức
tính chu vi, diện tích và thể tích các hình ở tiểu học. Trong giải toán có nội dung
hình học đôi khi ta cũng sử dụng phép quy nạp Ví dụ 7.11 :
Khi dạy xây dựng công thức tính chu vi hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính chu
vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4dm và chiều rộng 3dm. Bằng cách quan sát
trên hình vẽ và một số phép biến đổi, h c sinh tính ọ
được chu vi hình chữ nhật là (4 + 3) x 2 = 14 (dm)
Từ đó rút ra quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng rồi nhân 2” P = (a + b) x 2
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tin đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài bằng 4dm và chiều rộng 3dm thì có chu vi bằng (4 + 3) x 2 (= 14dm) Kết lu n:
ậ Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b có chu vi là (a + b) x 2 Ví dụ 7.12 :
Khi dạy xây dựng công thức tính diện tích hình chữ nhật, thông qua bài toán “Tính diện tích hình ch nh ữ
ật ABCD có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm”.
Bằng cách quan sát và phân tích trên hình vẽ, học sinh tính được diện tích của hình
chữ nhật bằng 12cm2. Từ nhận xét 12 = 4 x 3
Từ đó rút ra quy tắc: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật, ta lấy chiều dài nhân với
chiều rộng (với cùng một đơn vị đo) S = a x b
ở đây ta sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn
Tin đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài 4 cm và chiều rộng 3cm thì có diện tích bằng: 4 x 3 (= 12 cm2)
Kết lun : Hình chữ nhật có chiều dài a và chiều rộng b thì có diện tích là a x b Ví dụ 7.13 :
Cho 9 điểm phân biệt. Khi nối tất cả các điểm với nhau ta được bao nhiêu đ ạ o n thẳng ? Ta nhận xét :  Khi có 2 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 1 đoạn thẳng : 1 = 0 + 1  Khi có 3 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 3 đoạn thẳng : 2 = 0 + 1 + 2  Khi có 4 điểm, ố
n i lại ta sẽ được 6 đoạn thẳng : 6 = 0 + 1 + 2 + 3
Vậy khi có n điểm, nối lại ta sẽ được s ố o đ ạn thẳng là : s = 0 + 1 + 2 +... +(n – 1) s = nx(n – 1) : 2.
áp dụng : Khi có 9 điểm, nối lại ta sẽ được số đ ạ o n thẳng là:
9x(9 – 1) ; 2 = 36 (đoạn thẳng)
Nhận xét. ở đây ta đã hai lần sử dụng phép suy luận quy nạp không hoàn toàn :
 Lân thứ nhất ta rút ra được kết luận khi có n đ iểm, ố n i lại ta được số đ ạ o n thẳng là 0 + 1 + 2 + ... + (n – 1);
 Lần thứ hai ta rút ra được tổng trên bằng nx( n – 1 ) : 2.
7.2.2. Suy din
Suy diễn được sử d ng r ụ
ộng rãi trong quá trình giải các bài tập hình học. Chẳng hạn
khi giải toán về tính chu vi và diện tích, thể tích các hình.
Ví dụ 7.14 : (Bài 2, trang 87 SGK Toán 3)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 35m, chiều rộng 20m. Tính chu vi mảnh đất đó.
Giải : Chu vi mảnh đất đó là (35 + 20) x 2 = 110(m) Đáp số : 110m
ở đây ta đã dùng phép suy diễn :
Tin đề 1 : Hình chữ nhật có chiều dài bằng a, chiều r ng b ộ
ằng b thì có chu vi bằng (a = b) x 2.
Tin đề 2 : Mảnh đất hình ch nh ữ
ật có chiều dài bằng 35m, chiều r ng b ộ ằng 20m.
Kết lun : Chu vi của mả đấ
nh t đó bằng (35 + 20) x 2(m). Hoạt động
Sinh viên ôn lại tiểu ch ủ đề 2.6, t
ự đọc SGK toán lớp 3, 4, 5 và thông tin nguồn tiểu chủ đề
2.7 để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dư i ớ đây :
Hot động 7.1.
Tìm hiểu các phép suy luận trong dạ ọ y h c số ọ h c ở tiểu học Nhiệm vụ
Nhiệm vụ 1 : Nêu các phép suy luận thường dùng trong dạy học s h ố ọc ở tiểu học. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tư ng t ơ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
 Dạy học các quy tắc thực hành 4 phép tính ;
 Dạy học quy tắc so sánh các s t ố ự nhiên ;
 Tính giá trị biểu thức s . ố
Hot động 7.2. Tìm hiu các phép suy lun trong dy hc hình hc
ti
u hc. Nhiệm vụ Nhiệm vụ 1 :
Nêu các phép suy luận thư n
ờ g dùng trong dạy học hình học ở tiểu học. Nhiệm vụ 2 :
Xây dựng 2 ví dụ minh hoạ về vận dụng suy luận quy nạp, suy luận tư ng t ơ ự và suy
diễn trong mỗi trường hợp sau :
 Trong dạy học hình thành các công thức tính chu vi của các hình ;
 Dạy học hình thành công thức tính diện tích các hình ;
 Dạy học hình thành công thức tính thể tích các hình ;
 Dạy giải toán có nội dung hình học. Thông tin phản hồi
Tiểu chủ đề 2.1. Mệnh đề và các phép lôgíc Hoạt động 1.1 1. b ; c ; f ; h 2. a, 1 b, 1 c, 0 3. a, s b, s Hoạt động 1.2 1. a, 5 x 7 35 (s) b, 24 chia hết cho 5 (đ)
c, Hình vuông không có bốn cạ ằ nh b ng nhau (s) d, Trời không mưa e, An không cao hơn Thọ f, 40 30 (đ) 2.
a, “15 nhỏ hơn 20” (đ)
“15 lớn hơn hoặc bằng 20” (s) “15 nhỏ hơn 20” (đ) “15 nhỏ hơn 20” (đ)
b, “Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường” (đ) Tương tự câu a Hoạt động 1.3 1. a, 5 lớn hơn 3 nhưng nh h ỏ ơn 10
b, 5 không lớn hơn 3 nhưng nh h ỏ ơn 10 c, d tương tự b, ; c, tương tự Hoạt động 1.6 1. a, Đ b, S c, Đ d, S e, Đ f, S 2.
a, “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó chia hết cho 3”
b, “Số tự nhiên a có tổng các chữ số chia hết cho 3 khi và chỉ khi nó không chia hết cho 3” c , d tương tự 3. G (b a) = 0 G (a) = 0 và G(b) = 0 4.
G (a b) = G (a b) = 0 và G (a b) = G (b a) = 1
Tiểu chủ đề 2.2. Các bài toán về suy luận đơn giản Hoạt động 2.1
Xem bài 1 đến bài 15 (trang 91 đến trang 97 - trong sách suy luận lôgíc) Hoạt động 2.2
Xem bài 16 đến 41 (trang 97 đến trang 102 - suy luận lôgíc) Hoạt động 2.3
Xem bài 42 đến 52 trang 102 đến 104 Hoạt động 2.4
Xem bài 53 đến 70 trang 105 đến 107 2. a, a b b, a b c, a b d, a b e, a b 3. Tư ng t ơ ự
4. Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, có hai đường chéo
cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường, có hai góc kề bù nhau và hai góc đối diện bằng nhau a, Mệnh đề úng đ b, Mệnh đề sai Hoạt động 1.4 1. a, Đ b, Đ c, S d, S 2.
a, 44 chia hết cho 2 hoặc 3 (Đ)
b, 44 chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 (Đ) c, d, e, b, g tương t ự Hoạt động 1.5 1. a, Đ b, Đ c, S d, Đ e, Đ 2.
a, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó chia hết chia hết cho 2 và 3 (Đ)
b, Nếu 42 chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho 2 hoặc 3 (S) c, d, e, f, g, h tư ng t ơ ự 3.
a, G (a) = G (b) = 1 hoặc G (a) = 0, G (b) = 1
Tiểu chủ đề 2.3. Công thức Hoạt động 3.1 1. Xem bài giảng 2. a, Đ b, S c, S Hoạt động 3.2 1. a, Đ b, S c, d, e, f, g tư ng t ơ ự 2. a, (p q p q) q q b, (p q) (p p) p p c, (p q) (p q) p q Hoạt động 3.3 1.
a, + Nếu một số chia hết cho 5 thì nó chia hết cho 15 (S)
+ Nếu một số không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 5 (S)
+ Nếu một số không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
b, + Nếu một số chia hết cho 3 và 5 thì nó chia hết cho 15 (Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 15 thì nó không chia hết cho 3 hoặc 5 (Đ)
+ Nếu một số không chia hết cho 3 hoặc 5 thì nó không chia hết cho 15 (Đ)
Ta diễn đạt mệnh đề trên dưới dạng kiện cần và đủ 
Một số chia hết cho 15 khi và chỉ khi nó chia ế h t cho 3 và 5 
Để một số chia hết cho 15, đ
iều kiện cần và đủ là nó chia hết cho 3 và 5 
Điều kiện cần và đủ để
một số chia hết cho 15 là nó chia hết cho 3 và 5 c, d tương tự 3.
a, Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau b, Tương t ự Hoạt động 3.4
1. Gợi ý: lập bảng giá trị chân lí của mỗi công thức ó đ
Tiểu chủ đề 2.4. Quy tắc suy luận Hoạt động 4.1 Xem ví dụ 4.1 và 4.2
Tiểu chủ đề 2.5. Hàm mệnh đề - mệnh đề tổng quát và mệnh đề tồn tại Hoạt động 5.1 1.
a, Miền đúng của hàm mệnh đề này là tập các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5
b, Miền đúng của hàm mệnh đề này là tập các s t
ố ự nhiên có chữ số hàng đơn vị bằng 4 hoặc 9 c, d tương tự 2. a, MĐ = (- ; ) b, MĐ = -1 ; c, MĐ = R d, MĐ = (-1 ; 11) Hoạt động 5.2 1.
a, Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y ta có: x + y2 > 1 Mệnh đề ph
ủ định: Với mọi số thực x tồn tại số thực y sao cho x + y2 1 b, c, d tương tự 2.
Chẳng hạn hình bình hành 3.
a, Ta chỉ ra mệnh đề ph ủ định: Mọi s t ố ự nhiên t n t
ồ ại một số chẵn lớn hơn nó
Thật vậy, với số tự nhiên ta chọn 2n là số chẵn lớn hơn nó b,c tương tự
Tiểu chủ đề 2.6. Suy luận và chứng minh Hoạt động 6.1 1 a, d b, q c, d, Hoạt động 6.2 1. Gợi ý: xem ví dụ 6.10 2. Xem ví dụ 6.13 4. Xem ví dụ 6.12