Giáo trình Đại số hiện đại (Phần 1 Đại số trừu tượng) môn Cấu trúc đại số | Đại học Sư phạm Hà Nội
Trên một tập hợp có thể xác định nhiều phép toán để lập nên một cấu trúc đại số. Tập hợp các số nguyên z là một ví dụ điển hình với hai phép toán "cộng" và "nhân" quen biết mà phép nhân có tính phân phối với phép cộng. Tài liệu được sưu tầm gồm 121 trang, giúp bạn ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình từ đó học tập tốt và có kết quả cao. Mời các bạn đón xem.
Môn: Cấu trúc đại số (CTDS) 11 tài liệu
Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
lOMoAR cPSD| 57855709 Chương III
VÀNH, TRƯỜNG VÀ VÀNH ĐA THỨC
Trên một tập hợp có thể xác định nhiều phép toán để lập nên một cấu
trúc đại số. Tập hợp các số nguyên z là một ví dụ điển hình với hai phép
toán ”cộng” và ’■ nhân'’ quen biết mà phép nhân có tính phân phối với phép
cộng. Chương này chính là dành cho việc nghiên cứu một cách mờ đầu và cô
đọng những cấu trúc đại số được xác định bời hai phép toán.
§1. Các đinh nghĩa và ví du
1.1 . Đinh nghĩa, (i). Một tập hợp
R được gọi là một
vành nếu trên R có
liai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao
cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
( R\ ) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.
( /?■>) Phép nhân trên /? là kết hợp và có đơn vị.
{ R:ị) Luật phân phối
: Phcp nhân là phân phối đối với phép cộng. Tức. với các phần tir
.V. ụ, z G R tuy ý, ta luôn có { x + y)z = xz
+ yz và z(x + y) = zx + zy.
Như thông thường ta ký hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của R
là en và phần tử không của nhóm Abel cộng của
R là 0/Ị. Trường hợp vành
/? đã xác định cụ thể trước thì ta ký hiệu đơn giản
1 cho phần tử đơn vị và
0 cho phần từ không của R.
Một vành R được gọi là vành giao hoán. Iiếu phép nhản của R thỏa mãn thêm điều kiện
xy — yx , Vx. y e R.
Cần chú ý ờ đây rằng trong các giáo trình về đại số kết hợp một vành không
đòi hòi phải có đơn vị. Tuy nhiên, trong nhiều hướng nghiên cứu khác thì
luôn cần già thiết thèm sự tồn tại đơn vị cùa một vành và chúng ta đi theo hướng này.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 64
Giáo trình đại số hiện đại ( ii). Một vành
R được gọi là một
trường , nếu R là một vành giao hoán
và mọi phần tử khác không của
R đều có nghịch đào. Nghĩa là tập hợp fí* = R \ {
0} l ập thành một nhóm đối với phép nhân của R.
Trước hết ta tóm tắt một số tính chất đơn giản nhất về vành và trirờng. 1.2 ể Tính chất. Cho
R là một vành. Khi đó ta có các tính chất sau đảv. 1 ) J'0 = Ox = 0, Vx €
R. Thật vậy, từ luật phân phối của phcp Iihân đối với phép cộng
Ox + X — Ox + \x — (0 + 1 ) x — X
ta suy ra 0.r = 0. Tương tự, ta cũng có xO - 0.
2) Nếu R có ít nhất hai phần tử thì 0^1. Thật vậy. nếu 0 = 1 thì X = x\ = xQ = 0. Va- G /?.
3) (- x)y = —(xy ) với hai phần từ
x,y G R tuỳ ý. Thật vậy. từ
xy + (- x)y = (x
+ {- x))y = Oy = 0
ta suy ra { —x)y là phần tử đối của xy. 4) Trên vành
R ta xây dựng phép ”trừ” như sau:
X - y — X + (-y), Vx. y € R.
Khi đó phép nhân là phản phối với phép trừ, tức
{ x - y)z = xz - yz
và z(x - y) = zx - zy
, V.T. y. z e R. Thật vậy. từ { x - y)z + yz
= (x - y + y)z = xz
ta suy ra ( x — y)z = xz — yz. Đẳng thức thứ hai cũng được chứng minh tương tự.
5) Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh sự phân phối của phép nhản đối
với phép cộng cho nhiều phần từ như sau: ( y 1+ + y,,)x = yix
+ ... + ynx và x(yi + ... + y n) = xyi + + xyn.
6 ) Một phần tư khác không
a G R được gọi là một
ước của không, nếu
tồn tại một phần tử khác không
b E R sao cho ab = ba = 0. Khi đó vành R
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 65
không có phần tử nào là ước của không, khi và chi khi luật giản ước trái VO / ie i?, Va.
b e R, xa — xb =>■ a = b
hoặc luật giản ước phải
VO 7 -X e R. Va. ò e R, ax = bx ==>• a = b được thòa mãn trong
R. Thật vậy, giả sử
R không có ước của không. Từ
xa = xb kéo theo x(a - b) = 0. từ đây suy ra
a = b vì X Ỷ 0- Luật giản ước
phải cũng được chứng minh tương tự. Ngược lại. giả sử chẳng hạn trên R
có luật giản ước trái. Khi đó. với hai phần tử
a.b e R tuỳ ý sao cho ab = 0
và a Ỷ 0 . từ ab — aữ ta suy ra theo luật giản ước rằng 6 = 0 .
Một vành giao hoán không có ước của không được gọi là một miền nguyên. 7)
Nếu R là một trường thì
R không có ước của không, suy ra là một
miền nguyên. Thật vậy, cho
xy = 0. nếu X ^ 0 thì y = {x~ìx)y = x~lxy = 0 .
1.3 . Ví du. 1) Ta ký hiệu z là tập hợp tất cả các số nguyên, Q là tập hợp
tất cả cả số hữu tỷ và Z
,1 là tập hợp tất cả các số nguyên môđun 71, với n là
một số nguyên dương nào đó. Khi đó. với các phép toán nhân và cộng các
số thông thường ta thấy ngay rằng:
- z là một vành giao hoán, hơn nữa nó là một miền nguyên nhưng không phải là một trường. - Q là một trường.
- z„ là một vành giao hoán, nhưng không là một miền nguyên nếu n
không là một số nguyên tố. Thật vậy. giả sử
n — kl với k và / là hai số
nguyên dương khác không và thực sự nhỏ hơn 77. rõ ràng
k ^ 0(mod n) và
ỉ 0 (niod rì) nlnmg ki = 0(mod n). Trường hợp
n là một số nguyên tố, ta
có thể chứng minh dề dàng rằng z„ là một trường. 2 ) Cho tập hợp
Mn( R) gồm tất cả các ma trận vuông cấp n có hệ số
trong tập hợp các số thực R. Dễ kiểm tra thấy rằng
Mn( R) lập thành một
vành với phép cộng và nhân ma trận thông thường. Hơn nữa, nếu n > 2 thì
vành này không là vành giao hoán.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 66
Giáo trình đạt số hiện đại
3) Cho s là một tập hợp và
R là một vành. Khi đó tập hợp M(S. R) tất cả các ánh xạ / :
s —» R lập thành một vành với phép cộng và nhản như sau:
( / + g){s) = f(s) + g{s). Vs € s. Ư9)(s) = f(s)g(s), Vs G s.
Phần tử không của vành này là ánh xạ hằng cho giá trị là phần tử không của
R và phần tử đơn vị của nó là ánh xạ hằng cho giá trị là phần tử đơn vị của
R. Rõ ràng M(S, R ) là giao hoán khi và chỉ khi
R là một vành giao hoán.
4) Cho A là một nhóm Abel. Xét tập hợp End(A) tất cả các đồng cấu
nhóm từ A vào A. Với phép cộng là cộng các ánh xạ thông thường và phép
nhân là phép lấy ánh xạ hợp thành, ta có thể kiểm tra một cách không khó
khăn được rằng End(Ẩ) với các phép toán này lập thành một vành và vành
này nói chung không là vành không giao hoán. 1.4 Ề Đinh nghĩa. Cho
R là một vành. Nếu tồn tại một số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho
nl — 0. thì ta nói rằng vành
R có đặc số n. Trường hợp
ngược lại, không tồn tại số tự nhiên
n Iiào để nl = 0 thì ta nói
R có đặc số 0 . Đặc số của vành
R được ký hiệu là ch ( R ). lể5. Mênh đề. Các
mệnh đề sau là đúng đối với mọi miền nguvcn R. ( i) Nếu ch(R
) = 0 thì cấp cùa mọi phần tủ trong nhóm Abel cộng của R đều là vô hạn.
( ii) Nếu ch(R) = n, với n là một số nguvên dương, thì cấp cùa mọi phần
tử trong nhóm Abcl cộng của R đcu là n và hun nửa, n phải là một số nguyên tố.
Chứng minh. (i). Giả sử ngược lại, tồn tại một phần tử khác không X € R
và một số nguyên dương
n sao cho ĨỈX = 0. Từ đây ta suy ra n(lx) = (ríl)a: — Ox = 0.
Do R là miền nguyên, nên nl = 0. Điều này kéo theo ch(/ỉ) < n. mâu thuẫn với giả thiết là
R có đặc số không.
( ii). Kết luận đầu của mệnh đề lập tức được suy ra, nếu ta chứng minh
được rằng: với hai phần từ khác không
x.y G R tuỳ ý và m là một số Iiguyên.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 67
từ rn.v = 0 kéo theo
mụ = 0. Thật vậy, từ x{my) = m(xy) =
(■ mx)y = Oy = 0 ta suy ra. đo
R là miền nguyên rằng
my = 0. Bây giờ giả sử ngược lại rằng
n không phải là một số nguyên tố, tức tồn tại hai số nguyên dương p.q thực
sự nhò hơn 77 sao cho n = pq. Khi đóta có
{ pì)(ql)=pqì = n\ = 0 . Từ đày suy ra. do
R là miền nguyên, pl = 0 hoặc
q\ = 0. Trường hợp nào cùng đi đến ch
( R) < n. Vậy n phải là một số nguyên tố. □
Ịị2. Iđêan và đồng cấu vành
2.1 Đinh nghĩa, (i) Một tập hợp COI
1 A của một vành R được gọi là một
vành con cùa R. nếu .4 lập thành một nhóm con Abel với phép cộng của R và
đóng đối với phép nhàn, tức ab e A. Va.b G A. Trường hợp R là một trường thì một vành COI1
của R được
gọi là một trường con
nếu nó là một trường với các phép toán trên fí. ( ii)
Một tập hợp con a của một vành
R được gọi là một iđêan trái (hoặc
iđêan phải ) của /?, Iiếu a là một vành con của
R và thỏa mãn tính chất
Ra c a (hoặc a/? c a).
Nếu a vừa là iđõan phải vừa là iđêan trái của /? thì được gọi là một iđèan cùa /?.
Chú ý rằng, ta không đòi hỏi một vành con
A của vành R phải chứa đơn
vị cùa R. liên Iiói chung một vành con chưa phải là một vành. Rõ ràng R và
{0} l à những iđêan của
R. Một iđêan (trái, phải) của
R khác với R được gọi là iđêan (trái, phải) thực sự. 2.2 . Mênh đề.
Giao cùa một họ bất kỳ các vành con (hoặc iđêan trái, phải)
cùa một vành R cho trước là một vành con (hoặc iđẽan
trái, phãi) của R.
Chứng minh. Giả sử
( Aj)i£Ị là một họ các vành con (hoặc iđêan trái phải) cùa /?. Đặt
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 68
Giáo trình đại số hiện đại Theo II. (2.4) thì
A là một nhóm con của nhóm Abel cộng R. Hiển nhiên là
A đóng với phép nhản của
R. vì mỗi Aị đều đóng với phép nhân đó (hoặc
RA ç A hoặc AR ç A vì mỗi Al đều có các tính chất tương ứng). □
Cho s là một tập hợp con của một vành
R. Khi đó, giao của tất cả các
vành con (hoặc iđêan trái, phải) của
R chứa s theo (2.2) lại là một vành con
( hoặc iđêan trái, phải) của
R. Vành con (hoặc iđêan trái, phải) này được gọi
là vành con (hoặc iđêan trái, phải) sinh bời s
và s được gọi là hệ sinh của
chúng. Đối với iđêan trái sinh bời một tập hợp
s ta thường ký hiệu là ¿(S)
hoặc R(S). Tương tự ta ký hiệu cho iđêan phải
sinh bời s là { S)n hoặc ( S)R.
Còn với iđêan sinh bới 5 thì ký hiệu đơn giản là (5) (khi vành R đã xác định
trước). Cho X là một phần tử tuỳ ý của vành /?, thì các tạp hạp Rx.xR và
RxR là những ví dụ đơn giản cho các iđêan trái, phải và iđêan của R có một
phần tử sinh là X, chúng được gọi một cách tương ứng là iđêan trái, pháỉ
chính hoặc iđêan chính của R. Một vành giao hoán
R mà mọi iđéan đều là
iđêan chính thì được gọi là vành iđêan chính.
Bây giờ cho a là một iđêan của một vành
R. Vì a là nhóm con của nhóm Abel cộng của
R. nên theo II. (3.7) ta có nhóm thương
R/a của tất cả các
lớp ghép {x + a}xe/Ị. Ta sẽ chứng minh rằng
R/a có cấu trúc của một vành. 2.3 . Đinh lý.
Cho a là một iđêan của một vành R. Khi đó R /a là một vành
với phép nhân được định nghĩa như sau:
( x + a)(y + a) = xy + a, Vx. y e R.
Chúng minh. Trước hết ta chứng minh phép nhân được xác định như trén
là có nghĩa, tức là nó không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của lớp ghép.
Cụ thể, cho a = X (mod a) và
b = y (mod a), ta phải chứng minh rằng
ab = xy (mod a).
Thật vậy, tồn tại theo giả thiết hai phần tử c. d £ a sao cho
a = X + c và b — y + d.
Khi đó nhờ luật phân phối của R. ta có
ab = (x + c)(y + d) = xy + ( xd + cy + cd ).
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 69
Rõ ràng xd + cy + cd € a vì a là một iđêan. Từ đây ta suy ra
ab — xy G a là
điều cần chứng minh. Dễ thấy lớp ghép 1 + a là phần tử đơn vị đối với phép
nhân trên. Việc chứng minh phép nhân định nghĩa như trên phân phối với
phép cộng các lớp ghép của
R/a là hiển Iiliiên dựa vào tính phân phối của
phép nhân đối với phép cộng trong vành
R. Vậy R/a là một vành. □
Vành R/a xác định như trên được gọi là
vành thương của R theo iđêan a. 2.4 . Đinh nghĩa. Cho
R và 5 là hai vành tuỳ ý. Một ánh xạ
ĩ : R —> s
được gọi là một đồng cấu vành, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau với mọi
phần tử x.y € R
f(x + y) = f(x) + f(y), f(ry) = f(x)f(y).
Đống cấu vành / được gọi là
đơn cấu. toàn cấu
hay đẳng cấu nếu ánh
xạ f tương ứng là đơn cấu. toàn cấu hay đẳng cấu. 2.5 . Bổ đề.
Cho f : R —+ s là một đòng cấu vành từ vành R vào vành s.
Khi đó tập hợp ảnh Im (/) = f(R)
là một vành con của s và hạt nhàn Ker(/) = r 1(0s)
là một iđcan của R.
Chứng minh. Ta đã biết trong chương II về nhóm rằng Im(/) và Ker(/)
tương ứng là những nhóm C
011 của nhóm Abel cộng của 5 và R. Hiển nhiên
Ini(/) đóng đối với phép nhản của
s. nên Im( f) là một vành con của 5. Ngoài ra, với các phần tử
(1 E Ker ( /) và X G R tuy ý ta có . f{ax) = f(a)f
(.r) = 0 f(x) = 0 và /(xo) = /(x)/(o) = f(x )0 = 0 . Đicu này kéo theo
ax.xa € Ker(/). Vậy Ker(/) là một iđêan của R. □ 2.6
. Chú ýẳ Bảy giờ ta xét lớp ÍH tất cả các vành mà cấu xạ giữa hai vật
R. s 9 ÍH là đồng cấu vèilll yà tích cùa hai cấu xa chính là ánh xa han thành
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 70
Giáo trinh đại số
hiện đại
Dễ chứng minh được rằng hợp thành của hai đồng cấu vành lại là một đồng
cấu vành. Khi đó, rõ ràng SR thỏa mãn các tiên đề
( K i). (A >). (A.ỉ) trong II.
(5.1) nên lập thành một phạm trù gọi là
phạm trù các vành. Từ háy giờ trớ
đi, khi nói tới một đồng cấu ta hiểu nó là một đồng cấu nhóm nếu ta đang
xét trong phạm trù các nhóm
0 . hay là một đồng cấu vành nếu ta đang làm
việc với phạm trù các vành ÍK.
2.7 . Ví du. 1) Cho a là iđẻan của một vành R. Xét vành thương R a như
đã định nghĩa trong (2.3). Ta đã biết rằng ánh xạ
p : R ---- R/a. p(x) = X + a. v.r e R
là một toàn cấu chính tắc từ nhóm Abel c ộng của
R lén nhóm cộng cùa R/a. Vì p(xy) = xy + a = (x +
a)(y + a) = p(x)p(y).
nên p cũng là một toàn cấu vành. Hơn nửa. ta có a = Ker(p).
Như vậy, kết hợp với (2.6) ta đã chứng minh được mệnh đề sau đây:
Một tập hợp con a cùa vành R là một iđêan khi và chi khi tòn tại một
đồng cấu f : R —- 5 tủ R vào một vành s sao cho a — Ker(/j. 2)
Xét vành các tự đồng cấu nhóm Abel cộng End
( R ) = E của một vành
R (xem Ví dụ 1.2. (4)). Cho
a € R là một phần tử tuv ý. Ta xét ánh xạ
ỉa : R ---- ’ R- fa(x) = ax. Vx R
gọi là phép nhãn trái với a. Rõ ràng fu là một tự đồng cấu của nhóm Abel
cộng R vào chính nó. Khi đó. ta dễ dàng chứng minh được rằng ánh xạ
/ : R —’ E xác định bời f(x) — Vx G R
là một đồng cấu vành. Hơn nữa. nếu
f(x) = fj = 0 thì phải cỏ 0 = /x(l) =
xl = X. Điều này chứng tò / là một đơn cấu.
Hoàn toàn tương tự ta có thể xây dựng được một đơn cấu từ R vào E bằng phép nhản phải.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, tnrờng và đa thức 71
Bây giờ. cho f :
R —■* s là một đồng cấu từ vành
R vào vành s và a. b
là những iđêan tương ứng của
R và s sao cho /(a) Ç b. Khi đó ta thấy ràng / cảm sinh một ánh xạ
r : R/a — s/b. được xác định bời
f*(x + a) = X + b.
Hail nửa. /* là một đồng cấu vành làm cho biểu đồ sau giao hoán p Q
R/a — * s/b. tức là /* o p = q o /,
trong đó p. q là những toàn cấu chính tắc. /* được gọi là
đòng cấu cảm sinh
của f. Trường hợp đặc biệt, nếu / là một toàn cấu, a = Ker / và b = 0. thì
s/b = s và f* là một đằng cấu. Nói cách khác, ta đã chứng minh được định
lý về đẳng cấu sau đây. 2.8 . Đinh lýễ
Cho f : R —» s là một toàn cấu từ vành R vào vành s. Khi
đó đòng cấu cảm sinh r :i?/Ker/—>5
là Iìiột dằng cấu.
Trờ lại với phạm trù các vành ÍR . Khi đó ta có định lý về sự tồn tại tích
và đối tích trong phạm trù này mà chứng minh của nó được suy ra dễ dàng
từ sự tồn tại của tích và đối tích trong phạm trù các nhóm Abel. 2 ẳ9Ế Đinh lý.
Tích và đối tích tồn tại trong phạm trù các vành ÍR.
Chứng minh. Với một họ
( R,)i£Ị các vành cho trước ta xem họ này như là họ
các nhóm Abel với phép toán cộng. Khi đó tích trực tiếp
R = Yl &ĩ Rị. (Pì)íg/.
trong đó p, là các toàn cấu chính tắc nhóm, là tích và tổng trực tiếp X —
( j,),ei - trong đó
j, là các đơn cấu chính tắc nhóm, là đối tích của
họ nhóm này trong phạm trù các nhóm Abel
21 (xem Định lý 6.1, Chương
II). Bây giờ ta định nghĩa phép nhân trẽii^i? (suy ra cho cả trên À”) chính là
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 72
'Giáo trinh đại số hiện đại
phép nhản từng thành phần, tức với a — (a,)i£Ị, b = ( b,),ei £ R ta xác định
ab = (a? 6 ,)iG/. Khi đó dễ dàng thấy rằng các đồng cấu
p, và ji là những đồng cấu vành. Vậy
R là tích và X là đối tích của họ (/?,),£/ trong phạm trù các vành ÍH. _
§3ế Vành giao hoán
Ta giả thiết mọi vành được xét trong tiết này đều là vành giao hoán,
như vậy các khái niệm về iđêan trái, iđêan phải là trùng nhau và chúng đều là những iđêan.
3.1 ế Đinh nghĩa, (i) Một iđêan thực sự a của một vành
R được gọi là ìđèan nguyên sơ, nếu xy G a. vả y ị a => 3n : xn E a.
( ii) Iđêan thực sự p được gọi là
iđêan nguyên tố. nếu
xy € p ==ỉ> xEp hoặc y e p.
( iii) Iđêan m được gọi là
iđêan cực đại. nếu m là phần tử cực đại (theo
quan hệ bao hàm) trong tập hợp tất cả các iđêan thực sự của R.
( iv) Cho a là một iđêan của
R. Tập hợp Rad(/?) xác định bời Rad(a) = {x G
R I 3 n : x"Efl}
được gọi là cản của a. Dẻ thấy. Rad(a) củng là một iđêan của R. Đặc biệt,
căn của iđêan không {0} được gọi là
căn luỹ linh của R và được ký hiệu là Rad(i?). Tức V
Rad(i?) = {x e R\3n:xn = 0 }.
Một phần tử của Rad(i?) được gọi là phần tủ luỹ linh của R.
Trước hết ta nêu lên những tính chất đơn giàn nhất được suy ra từ các
định nghĩa trên trong mệnh đề sau đáy. 3.2 . Mệnh đe.
Cho a là một iđêan của vành fí. Khi đó các mệnh đẽ sau là đ úng:
( i ) a là iđêan nguyên tố khi và chi khi R/a là một miền nguyên.
( ii ) a là iđóan cục đại khi và chi khi R/a là một trường.
( iii ) a là iđôan nguyên sơ khi đó
Rad(a) là iđcan nguyên tố.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 73 ( iv)
Một iđèan cực đại luôn là iđêan nguvên tố. một iđôan nguyên tố luôn,
là iđôan nguyên sơ.
Chứng minh. (i). Giả sử a là một iđẻan nguyên tố và
x.y G R là hai phần tử tuy ý của R mà ( x + a)(y + a) = xy + a = 0 + a. Từ đày ta suy ra
xy € a. Do a là iđêan nguyên tố. nên một trong hai phần tử
X. ụ phải nằm trong iđêan a. chẳng hạn .r
6 a. Điều này chứng tỏ R/ữ là một
miền nguyên. Chiều ngược lại cùng dề dàng được chứng minh tương tự.
Rỏ ràng (ii) là một hệ quà trực tiếp của (i); (iii) và (iv) là hiển nhiên
được suy ra từ các định nghĩa iđêan nguyên tố. iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại. □
Chú ý rằng các mệnh đề ngược của (iv) trong (3.2) là không đúng. Điều
đó ta sẽ thấy trong ví dụ dưới đây.
3.3 . Ví du. Trong vanh các số nguyên z thì tập hợp
7 ỉZ = { nk I k 6 Z} là một iđêan.
1) Dề kiểm tra được với mỗi số tự nhiên
n rằng, liến n là một số nguyên
tố thì vành các lớp thặng dư theo môđun n : z„ = Z/nZ là một miền nguyên
và hưn nửa nó là một trường. Vậy. theo (3.2). (i) thì
n z là một iđèan nguyên tố khi và chi khi
n là một số nguyên tố và khi đó nó củng là một iđêan cực
đại nhờ vào Tính chất (ii). (3.2). Ngoài ra. ta biết z là một miền nguyên,
nên { 0 }l à iđẻan nguyên tố của z nhưng không là iđêan cực đại vì nó chứa
thực sự trong mọi iđèan nguyên tố
pZ. với p là một số nguyên tố.
2) Cho p là một số nguyên tố và Q là một số tự nhiẻn tuỳ ý. Ta thấy ngay rằng Rad(pQZ) = pZ
là iđẽan cực đại. Điều này chứng tỏ (xem bài tập
11 ) rằng pQZ là một iđêan nguyên sơ của z. Vậy.
n z là iđêan nguyên sơ khi và chi khi n là luỹ thừa
của một số nguyèn tố. Do đó ta có ngay phản ví dụ cho mệnh đề ngược của
mệnh đề thứ hai trong (iv), (3.2), chằng hạn. 32z là iđêan nguyên sơ nhưng
không là iđêan nguyên tố.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 J4
Giáo trình đại số hiện đại 3 4. BỔ đề. Trong một
vành giao hoán R luôn tòn tại ít nhất một iđẽan cực đại.
Chứng minh. Xét tập hợp
n tất cả các iđêan khác với
R. Khi đó fỉ với thứ
tự bao hàm theo nghĩa tập hợp sẽ lập thành một tập hợp được sắp bộ phận. Vì {0} e Ü nên Í7 0 . Giả sử
ai < C 12 < 0.-5 < •••
là một xích tuỳ ý các iđêan trong Í1 Rõ ràng ÓC' a= |Ja* i= 1 lại là một iđêan của R. Hơn nữa,
0 € fỉ. Vì, nếu 1 G a, thì tồn tại một iđêan
an trong xích sao cho 1 e a„, tức an =
R. Vậy mọi xích trong fỉ đều bị chặn.
Khi đó theo bổ đề Kuratowski-Zorn trong
có ít nhất một phàn tử cực đại
m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan cực đại của R. □ 3.5 . Hê quả. Mọi
iđêan thực sự của một vành giao hoán luôn nằm trong
một iđêan cực đại.
Chứng minh. Cho a là một iđêan thực sự của vành giao hoán R. Xét vành
R/a rồi áp dụng (3.4) ta được ngay điều cần chứng minh. □
Một vành giao hoán được gọi là vành địa phương, nếu nó chì có một
iđêan cực đại duy nhất. Khi đó, theo Hệ quả 3.5 thì mọi iđêan thực sự của
một vành địa phương đều nằm trong iđêan cực đại duy nhất của nó. Đảy là
lớp vành giao hoán rất quan trọng, có nhiều ứng dụng trong hình học đại số.
Bây giờ, ngoài giao của những iđêan ta xác định thêm một số phép toán trên iđêan.
- Tổng của hai iđêan a và b trong một vành
R là tập hợp xác định bời
a + b = { a + b I a € a, b 6 b}.
Rõ ràng a -f b là một iđêan và nó chính là iđêan bé nhất chứa a và b.
- Tích của hai iđêan a và b trong một vành
R là iđêan xác định bỡi
ab = {]T albl I dị e a, bi G b, phép lấy tổng là hữu hạn }
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 75
Khi đó, không khó khăn ta có thê chứng minh các iđẻan này thòa ũiãai bao hàm thức sau đây. abCaflbÇa + b.
Một cách tương tự. ta có thể mờ rộng khái niệm iđêan tông ai và
tích riie/ a' ch° m9t họ tuv V các iđêan (a,),e/ cho trước.
Có rất nhiều các quan hệ thú vị giữa các iđêan nguyên sơ, nguyên tố và
iđêan căn trong vành giao hoán. Định lý sau đây là một minh họa cho điều này. 3.6 ế Định lý.
Căn luỹ linh Rad(/?) của
một vành giao hoán R là giao cua
tất cà các idean nguvôn tố cùa R.
Chứng minh. Ta gọi 91 là iđêan được xác định bời giao của tất cả các iđêan nguyên tố của
R. Cho X e Rad(/?) và p là một iđêan nguyên tố tuỳ ý của R.
Khi đó tồn tại một số tự nhiên rì sao cho
xn =0 ep.
Từ đây ta suy ra, dựa vào tính nguyên tố của p,
X € p. Tức ta đã chứng minh được Rad(i?) Ç m.
Đè chứng minh bao hàm thức ngược lại. ta chỉ cần chỉ ra rằng, với một phần
tử 0 7 ^ X € R cho trước.
1 ' ệ Rad(Z?) ==> X Ệ ữt.
Thật vậy. xét tập hợp E tất cả các iđêan a của R có tính chất xn Ệ a, với mọi số tự nhiên
77 . Rõ ràng £ là một tập hợp được sắp thứ tự với quan hệ
bao hàm theo nghĩa tập hợp và E
Ỷ 0' V1 {0} G E. Giả sử 0 ] 2 < CI 3 <...
là một xích tuỳ ý các iđèan trong E. Rõ ràng oc a = u a, ỉ— 1 lại là một iđêan của R. Hơn nửa,
aeE. Vì. nếu tồn tại một số tự nhiên n
đế xn G a. thì cùng tồn tại một số tự nhiên
k sao cho xn e ak. Vậy mọi xích
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 76
Giáo trình đại số hiện đại
trong £ đều bị chặn, nên theo bô đề Kuratowski-Zorn phải tồn tại một phần
tử cực đại p trong E. Nếu p là iđêan nguyên tố, thì ta suy ra X Ệ và mệnh
đề được chứng minh xong. Giả sứ ngược lại rằng, p không là iđẻan nguyên
tố. Khi đó, tồn tại hai phần tử
a.b ị p mà ab e p. Điều này chứng tò p nằm
thực sự trong các iđêan
aR + p và bR + p, nghĩa là hai iđèan này không thuộc
vào tập hợp E. Vậy. tồn tại hai số tự nhiên n. m sao cho
xn e aR + p và xm ebR + p. Từ đây ta suy ra
xnm 6 ( aR + p ){ bR + p) = abR + p = p.
Điều này mâu thuẫn với tính chất p
6 E. Định lý được chứng minh hoàn toàn. □ 3.7 ẽ Đinh lýễ Cho ai,...,a„
là những iđêan trong một vành giao hoán R
thỏa mãn tính chất
a1 + a j — R. Vi ^ j.
Khi đó các mệnh đề sau là đúng: 0). n n fWn* i=l i - =l
(i i) Với mỗi họ tuỳ ý {xi,...,xn}
các phằn tứ của R. luôn tòn tại một
phần tứ X G R sao cho
X = Xị(mod a¿), Vz =
Chứng minh. (i). Ta chứng minh (i) bằng quy nạp theo
n. Với Tì — 2. ta dễ
dàng chứng minh được rằng
( dj + 02 )( ai n Q 2 ) Ç aia - 2 - Vì aia2 ç
n a2 và ai + Ũ 2 = R , nên suy ra
ai n 02 = Ũ\ữ2-
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 77
Giả sử ta đã chứng minh được cho trường hợp n — 1 iđêan di,a„_i. Đặt Tỉ —1 n—1 b= 0 = ỊỊ*- i=l 1=1
Vì a, + a„ — R. Vi = 1 ......n — 1 , nên tồn tại những phần từ Xi €
a, và Ui G an
sao cho Xi + y, = 1. Từ đây ta suy ra n — 1 71 — 1 n*= n< i - - i(mod “")■ i=l i=l Điều này chứng tỏ
a„ + b = R. Áp dụng một lần nửa trường hợp n = 2 cho
các iđêan an và b, ta được n Tì
Pl a, = b n an = ban = a¿ .
(i i). Ta cũng chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo
n. Với n = 2, do
Ql + a 2 = R' nên tồn tại các phần từ ai e ai và
<22 € a - sao cho ữi + 02 = 1 . 2
Khi đó. X — aịX -2 + a-ỵXi chính là phần từ thòa mãn các đòi hỏi của mệnh đề.
Bây giờ. giả sử mệnh đề đã được chứng minh cho 71 — 1 iđêan di,a„_i, tức tồn tại Xo € R đẽ
Xo = Xi(modai), Vỉ = 1,.... 77 — 1.
Hoàn toàn tương tự như chứng minh
ờ phần (i). ta có an + aj.-.a,,-! = R.
Vậy. theo giả thiết quy nạp với
n = 2 cho các iđẽan an và phải tồn
tại phần tử X £ R sao cho
_ Ị io(mốĩai...a„_i), [ j-n(mod Oi ).
Vậy X chính là phần tử cần tìm. □
Định lý sau đây tuy chứng minh đơn giản nhưng là một kỹ thuật rất
quan trọng, thường xuyên được sử dụng trong Đại số giao hoán.
3.8 . Định lý tránh nguyên tố. Các
mệnh đề sau là đúng cho một vành giao hoán R.
( i) Cho Pi .........p„ là những iđêan nguyên tố và
a một iđẽan cua R. Già
sù a % pj. Vỉ' = 1.........n khi đó a 2 u"= 1 pj.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 78
Giáo trình đại số hiện đại
( ii) Cho a,......... an là những iđêan và
p là một iđêan nguyên tố cùa R.
Nếu n"=1a, ç p thì khi đó tòn tại một chi số i sao cho
a, Ç p. Hơn nửa. khi n'Ljd, = p
thì tòn tại một chỉ số i sao cho a, = p.
'Chứng minh, (i) Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo
n. Khi n = 1 thì
kết luận là hiển nhiên. Giả sử (i) đã được chứng minh cho trường hợp 77 - 1 .
tức a <2 Uỉ 9 éípM Ví = 1,... ,
n. Vậy tồn tại những phần từ xt G a\u,^fp,. V/ =
1 .........n. Nếu xt Ệ Pí với một số t nào đó, suy ra
Xị e a \ u"= 1 p, và mệnh đề
được chứng minh. Trái lại, giả sử
Xị G w = 1......... n. Xét phần tư n 1= 1
trong đó X\X 2 ■.. Xi...
xn ký hiệu cho tích của các phần tử X\ xn sau khi bỏ đi phần tử
Xị. Rõ ràng X e a. Trong khi, nếu ĩ G p|. kéo theo
X\X 2 ■ ■ ■ Xi
... xn e pi- Từ đây ta suy ra sự tồn tại một s 6 t ^ i sao cho
Xt G p¿. Điều này mâu thuẫn với cách chọn của
xt và (i) được chứng minh,
( ii). Giả sử mệnh đề sai, tức a, 2 p, Vĩ = 1,... , n. Khi đó tồn tại nliững
phần tử Hi G a, \ p, Vi = 1,... ,
n. Đặt y — yi ... yn ta suy ra y G n "=1 a, ç p.
Vậy phải tồn tại một chỉ số
i sao cho yl G p và điều này trái với cách chọn
Ị/ị. Bây giờ, nếu n”=1aj = p thì với qhỉ số í ờ trên ta có p ç a, C p. Điều này
chứng tò a¡ = p và định lý được chứng minh. □
§4. Vành các phân thức
Ta đã biết, trường số hữu tỷ Q được xây dựng từ vành các số nguyên
z bằng cách thêm vào z các phản số hữu tỷ. Việc làm nhir vậy có thế mỡ
rộng một cách dễ dàng cho một miền nguyên tuỳ ý để nhận được trường các
thương của miền nguyên này. Mục đích của ta trong tiết này là mờ rộng một
lần nửa khái niệm trường thương của các miền nguyên cho một vành giao
hoàn tưỳ ý. Vậy cả trong tiết này, chúng ta vẫn giả thiết mọi vành được xét đến là giao hoán.
4.1 . Đinh nghĩa. Một tập hợp con s của một vành R được gọi là tập nhân
đóng , nếu 1 G s và xy G s', Vx. y e s.
Bây giờ ta sẽ xây dựng một vành giao hoán mới
S~ỈR gọi là vành các phân thúc như sau:
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, truờng và đa thức 79 Trên tích Descartes 5 X
R ta xét một quan nệ ~ xác định bởi: với s. t .€
s. a.b 6 R ,
( s, a) ~ (í, 6) <=> 3u e 5 sao cho u(at — sb) = 0.
Rõ ràng quan hệ này là phàn xạ và đối xứng. Để chứng minh nó cũng là quan hệ bắc càu, già sử
( s.a ) ~ ( t.b ) và (í, b) ~ (u.c). Khi đó tồn tại v,w E s sao cho
v(at — bs ) = 0 và w(bu — ct) = 0 .
Thế ò từ hai phương trình này. ta đi đến
tvw(au — cs) = 0 .
Vì s là tập nhân đóng nên
tvw e 5. từ đây kéo theo (
s,a ) ~ («, c). Vậy ~ là
một quan hệ tương đương. Ta ký hiệu
a/s là lớp tương đương của phần tử
( s.a ) và S~lR là'tập hợp tất cả các lớp tương đương này. 4.2 . Định lý.
Sừ dụng các kv hiệu ở trên thì s R là 1 một vành giao hoán
với cấc phép toán được xác định như sau:
Vs, t e s, a,b e R. ( a/s) +
( b/t ) = { at
+ bs)/st ,
( a/s)(b/t
) = ab/st.
Chứng minh. Trước hết ta cần chứng minh rằng, các định nghĩa ờ trên là
không phụ thuộc vào cách chọn đại diện. Thật vậy, giả sử a/s = d\/s\ và
b/t = b\/t\. Ta cần chứng tò rằng ( a
t + bs)/st = (diti
+ bịSi) / Sịtị.
Theo giả thiết, tồn tại hai phần tử u.v e s sao cho
u(as 1 — ais) = 0 và v(bt 1 — bit) = 0 .
Nhản đằng thức thứ nhất với
vtt 1 và đẳng thức thứ hai với
ussị rồi cộng chúng lại và rút uv ra. ta được uv(sitị(at
+ bs) - st(aiti
+ biSi)) = 0.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 80
Giáo trình đại số hiện đại
Đó chính là điều ta càn chứng minh. Bằng phương pháp hoàn toàn tương tự.
ta củng chứng minh được phép nhản xác định như trên là khóng phụ.thuộc
vào cách chọn đại diện. Hơn nữa. khỏng khó khăn có thê kiểm tra được các
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề để
S^1R lập thành một vành giao hoán
với phần tử đơn vị là 1/1. □
Từ đinh nehĩa của vành các phán thức ta xác định được một ánh xạ
ỉ ■ R —» S~lR. f(x) = x/ 1.
Rõ ràng ánh xạ này là một đồng cấu vành (nói chung nó không phải là một
đơn cấu). Hơn nữa, vành
R và đồng cấu / có các tính chất: 1 ) Mọi phàn tử thuộc
f(S) đều khả nghịch trong s~} R.
2) f(a) = 0 => 3 .S 6 S. as = 0. 3) Mọi phần tử của
S~iR đều có dạng /
( a)f(s)~l với a G R và s G s nào đó.
Chú ý này làm vành các phân thức có tính chất phổ dụng như sau. 4.3 . Đinh lý.
Cho g : R —* X là một đòng cấu giữa các vành giao hoán.
Khi đó các mệnh đề sau là đúng:
( i) Nếu mọi phần tủ thuộc g(S) đều khà nghịch trong X. thì tòn tại duy
nhất một đòng cấu h
: S~lR —■> X sao cho g — h o f.
( ii) Nếu g thỏa mãn các điều kiện
1) Mọi phần tủ thuộc g(S
) đều khà nghịch trong X:
2) g{ò) — 0 => ELs € S, as = 0:
3) Mọi phần từ của X đều có dạng f(a)f(s)~l với a € R và s e s nào đó.
Khi đó. tòn tại duy nhất một đằng cấu h
: s~l R —» X sao cho g = ho f.
Chúng minh. (i). Trước hết. ta chứng minh rằng tương ứng
h : s~l R —- X xác định bời
h{a/s) = g(a)(g(s))~1
là một đồng cấu. Thật vậy. tương ứng trên hiển nhiên là một đồng cấu nếu
nó là một ánh xạ. Giả sử
a/s = bịt. Khi đó. tồn tại một phần tử lí G 5 bao
cho u(at — bs) = 0. Từ đây suy ra g(u)(g(a)g(t)
- g{b)g(s)) = 0.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709
Chương III. Vành, trường và đa thức 81
Vì g(u) khả nghịch trong
X. nên g(a)(gịsỴ)~l = g(b){g(t))~l. Theo cách xác
định của h rõ ràng ta có
q = h o /. Ta chứng minh tính duy nhất của h. Giả
sử h' : s~l fí —> X mà g = h' o f. Cho a e R và s E s tuỳ ý, ta có
h'{a/s) = h!(a/l)h'{l/s) = /ỉ'(/(a))(/ỉ'(/(s)))_1 = g(a)(g{s))~l. Vậy /ỉ' = h. (i i). Theo (i) ta chi CÒ
11 phải chứng minh đồng cấu
h : S~lR —* X xác định bời
hịa/s) = g{a){g(s))~l
là một đẳng cấu. Rõ ràng
h là một toàn cấu do tính chất 3). Đè chứng minh
h là đơn cấu, ta xét hạt nhân của đồng cấu này. Giả sử h(a/s) = 0 . tức
g(a) = 0. Theo 2) phải tồn tại
t € s sao cho at = 0. nghĩa là a/s — 0/t. Vậy Ker / = 0. □ 4.4 . Chú ý.
1 ) Clio R là một vành giao hoán và
s là một tập nhân đóng của R. Xét họ R 5 tất cả các cặp
( f .X ). trong đó X là một vành giao hoán
và / : R —* X là một đồng cấu vành sao cho mọi phần từ của f{S) khả
nghịch trong À'. Một cấu xạ giữa hai cặp
( f.X ) và ( g.Y
) là một đồng cấu
vành h : X —* Y sao cho g = h o f. Không khó khăn ta có thể thấy R.S là
một phạm trù với tích của hai cấu xạ là ánh xạ hợp thành. Khi đó. dựa vào
Định lý 4.3 và định nghĩa vật phổ dụng của phạm trù (xem III. (5.10)) thì
S~lR không gì khác là vật phô dụng trong phạm trù R-,. 2) Rõ ràng, nếu 0
6 5. thì s~lR = 0. Vì vậy người ta thường đòi hỏi thêm điều kiện
0 0 5 trong định nghĩa tập nhân đóng.
Clio I là iđêan của một vành giao hoán
R và s là một tập nhân đóng
trong R. Khi đó dề kiêm tra thấy rằng tập hợp
S~lI = {a/s|a el.se S} là một iđêan của s~l R. 4.5 . Mênh đề.
Cho s là một tập nhàn đóng và I là một iđẽan của R. Khi
đó S~]I = S~lR khi và chi khi / n 5 # 0.
Chứng minh. Già sử
S~lI = s~] R. Khi đó s~l I chứa phần tử đơn vị 1 /1
của S~lR. tức tồn tại những phần từ Ö € / và s £ s sao cho 1/1 = a/s. Suv
ra tồn tại t e s để t(a - s) = 0. Điều này chứng tò phần tử
ta = ts thuộc vào
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com) lOMoAR cPSD| 57855709 g 2
Giáo trình đại số
hiện đại
Ị n s. Ngược lại. giả sử tồn tại sein s.
Khi đó s/s = 1/1 € S~lI. suy ra S~lI = S~lR. □
4 . 6 ẻ Ví dụ. Ta hãy xét một số tập nhân đóng quen biết nhưng rất quan trọng.
1 ) Cho R là một vành và
s là tập hợp tất cả các phần tử khà nghịch của
/?. Rõ ràng s là một tập nhân đổng và trong trường hợp này ta có S~lR = R.
2) Cho R là một miền nguyên
và s = R \ {0} là một tập nhân đóng. Khi
đó s~' R là một trường, gọi là trường phán thức của miền nguyên R.
3) Xét s là tập tất cả các phần tử không là ước của không của một vành
R. Vì tích hai phần từ không là ước của không lại là một phần từ không là
ước của không nên 5 là một tập nhân đóng. Khi đó vành
S~lR được gọi là
vành phân thức toàn phần của R.
4) Cho p là một iđêan nguyên tố của một vành
R. Dựa vào tính nguyên
tố của p ta thấv ngay rằng, tập hợp
s = R \ p là một tập nhân đóng. Trong
trường hợp này, vành các phân thức
S~lR được ký hiệu là Rp. Rõ ràng tập
hợp tất cà các phần tử của
Rp có dạng a/s với a G p. .s Ệ p lập thành một iđêan m của 7?p. Nếu
a/s ị m. thì a ị p. nghĩa là
a/s khả nghịch trong Rv.
Điều này nói lên rằng m là iđêan cực đại duy nhất của
Rp (xem bài tập 20).
tức R p là một vành địa phương. Quá trình từ
R đến Rp được gọi là địa
phương hoá và vành Rp được gọi là
vành đìa phương hoá
của R tại iđéan p.
5) Cho / € R là một phần tử khác 0. khi đó tập hợp s = {/"}n >0 là một
tập nhân đóng. Trường hợp này ta cũng viết
R ị thay cho S~1R.
6 ) Trường hợp đặc biệt.
R = z là vành các số nguyên và p = (pjZ. p là
một số nguyên tố. Khi đó.
Rp — { các số hữu tỷ
m/n, n không chia hết cho p}. Và, với / # 0. thì
Rf = { các số hữu tỷ mà mẫu số là luỹ thừa của /}.
Downloaded by My L? (mymylu9x@gmail.com)