-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Giáo trình Không gian mêtric | Đại học Huế
Giáo trình Không gian mêtric | Đại học Huế. Tài liệu gồm 88 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xenm!
Môn: Đại số tuyến tính (HCE) 1 tài liệu
Trường: Đại học Huế 272 tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
Đ I H C HU
TRUNG TÂM ĐÀO T O T XA TS. NGUY N HOÀNG GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN MÊTRIC (C S GI I TÍCH) Hu - 2007 1 M C L C
L I NÓI Đ U ...........................................................................................................3
A. KI N TH C B SUNG....................................................................................... 5
§ 1 T P H P S TH C ....................................................................................... 5 §2. L C L
NG C A CÁC T P H P ............................................................ 10
B. KHÔNG GIAN MÊTRIC.................................................................................... 16
§1. KHÁI NI M MÊTRIC. ................................................................................. 16
BÀI T P............................................................................................................... 21
§2.T P M VÀ T P ĐÓNG..............................................................................23
BÀI T P............................................................................................................... 30
§3. ÁNH X LIÊN T C ..................................................................................... 32
BÀI T P............................................................................................................... 37
$4 KHÔNG GIAN MÊTRIC Đ Y Đ ...............................................................38
BÀI T P............................................................................................................... 50
§5 KHÔNG GIAN COMPACT ........................................................................... 52
BÀI T P............................................................................................................... 67
§6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG ..................................................................... 69
BÀI T P............................................................................................................... 71 C. L I GI I VÀ H
NG D N ............................................................................. 72
PH N A ............................................................................................................... 72
PH N B ............................................................................................................... 73
TÀI LI U THAM KH O........................................................................................ 87 2 L I NÓI Đ U Giáo trình này đ
c vi t d a trên bài gi ng cho sinh viên khoa Toán tr ng
ĐHSP Hu trong nh ng năm vừa qua. Học ph n này có m c đích trang bị nh ng
ki n th c căn b n về gi i tích hi n đ i mà b t c sinh viên Toán nào cũng ph i nắm đ
c. Khác v i gi i tích c điển, trong đó ng i ta làm vi c ch y u trên
t p IRk các b k s th c, đây các khái ni m cơ b n c a gi i thích nh lân c n, gi i h n liên t c… đ
c xét trong không gian t ng quát hơn mà ph n tử c a nó có thể là các đ i t
ng tuỳ ý mi n sao có thể xác định đ c kho ng cách gi a
hai ph n tử đó. Ngoài m t cách b n ch t và sâu sắc nh ng ki n th c về gi i thích
c điển đã học trong nh ng năm tr
c, cũng nh chu n bị để học t t các học
ph n ti p theo nh lý thuy t đ đo, tích phân, gi i tích hàm…
Các khá nhiều sách vi t về không gian mêtric, tuy nhiên ng i ta th ng
chỉ trình bày nh ng ki n th c đ dùng cho m c đích c a cu n sách đó nên ch a
có m t giáo trình t ơng đ i hoàn chỉnh riêng cho ph n lý thuy t này. đây, b n
đọc s th y nhiều bài t p đ c đ a vào v i t cách rèn luy n t duy và đ ng th i
cũng có thể xem nh bài b sung lý thuy t. Ph n l n các bài t p đều có l i gi n
tóm tắt hoặc chi ti t. Điều này có l s mang l i l i ích thi t th c r t h n ch và
cũng có ít sách gi i bài t p để giúp cho sinh viên trong lúc học t p.
Để học t t học ph n này, về nguyên tắc sinh viên chỉ c n nắm đ c nh ng
ki n th c sơ c p về lý thuy t t p h p và ánh x , phép qui n p và các suy lu n
logic toán học. C n ph i bi t di n t m t m nh đề bằng nhiều m nh đề t ơng
đ ơng v i nó cũng nh hiểu và v n d ng cách ch ng minh hay xây d ng các đ i t
ng bằng qui n p h u h n. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nh t là làm
đ c các bài t p. đây, ngôn ng hình học đ c dùng để di n t các khái ni m
không gian mêtric, nh ng đôi lúc có nh ng v n đề v t ra kh i tr c giác và suy lu n ch quan thông th
ng. Do đó v i từng khái ni m, ng i học nh t thi t ph i hiểu th u đ
c định nghĩa, t mình tìm đ
c nh ng ví d minh họa cho các
định nghĩa đó. Nh Dieudonne đã nói:... tr c quan hình học, cùng v i s đề
phòng thích đáng là m t ng i h ng d n r t đáng tin t ng trong hoàn c nh t ng quát… Cu n sách đ
c chia làm hai ph n. Ph n ki n th c b sung nêu l i m t cách
có h th ng các tính ch t c a t p s th c IR. Sinh viên tăng c ng chú ý đ n khái
ni m infimum và suptemum c a m t t p s th c và c n sử d ng m t cách thành 3
th o, biên so n. Về khái ni m l c l ng t p h p, c n nắm đ c trong tr ng h p nào thì m t t p là đ m đ c,
Ph n th hai là ph n chính c a ch ơng trình. Có nhiều con đ ng để trình
bày các khái ni m. đây chúng tôi chọn cách ti p c n v i ngôn ng th ng dùng, m t mặt để ng
i học d nh , mặt khác ph n nào gi i thích lý do đ a ra
tên gọi nh v y. Tuy nhiên, nh t thi t ph i đ
c hiểu theo đúng định nghĩa. Các
khái ni m quan trọng ph i kể đ n là h i t , m , đóng, liên t c, đ y đ ,
compact… Đặc tr ng ph n này là nặng về suy lu n hơn tính toán, hơn n a nhiều
thu t ng ch ng ch t lên nhau làm ng
i m i học th y lúng túng. Vì th sinh
viên nên tìm thêm ví d và hình nh tr c quan để d nh . Sau khi nắm đ c lý
thuy t, các b n t mình gi i các bài t p c n th n tr c khi xem l i gi i. Các bài
t p khó hơn có đánh d u * dành cho sinh viên khá, và ph i có th i gian nghiền ng m nhiều hơn.
Tác gi xin cám ơn các b n trong t Gi i tích khoa Toán tr ng ĐHSP Hu
đã đ ng viên góp ý khi vi t cu n sách này. Mong đ c nh n đ c nh ng phê
bình c a các đ ng nghi p g n xa. Tác gi 4 A. KI N TH C B SUNG § 1 T P H P S TH C
Chúng ta đã ti p xúc nhiều v i t p h p s th c từ ch ơng trình toán b c
ph thông. Có nhiều cách xây d ng t p h p s th c, chẳng h n dùng nhát cắt
Dedekind, các dãy cơ b n…. c a t p h p s h u tỉ Q. đây v i m c đích là h
th ng l i nh ng ki n th c c n thi t cho gi i tích, chúng tôi s chọn m t s m nh
đề cơ b n làm tiền đề để định nghĩa t p h p s th c. Các tính ch t còn l i đ c
suy từ các tiên đề này. 1.1. Đ nh nghĩa:
T p h p s th c, ký hi u IR là m t t p cùng v i các phép toán cọng + và
nhân . xác định trên đó, tho mãn các tiên đề sau:
I. (IR, +) là m t nhóm cọng Abel, t c là v i mọi x, y, z thu c IR ta có: x + y = y + x
x + (y + z) = (x + y) + z
(∃ 0 ∈ IR ) (∀ x ∈ IR ): x + 0 = 0 + x= x
(∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = 0
II. (IR*,.) là m t nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là v i mọi x,
y, z thu c IR*, ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR*) : x1= 1x = x
(∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1
( đây để cho gọn, ta vi t xy thay cho x.y)
III. Phép nhân có tính ch t phân ph i đ i v i phép cọng:
V i mọi x,y thu c IR ta có: x(y + z) = xy+ xz
Nh th IR cùng v i các phép toán cọng và nhân l p thành m t tr ng IV. IR là m t tr ng đ
c sắp th t , nghĩa là trong IR có xác định m t quan h th t ‘≤’ tho : 5
1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z
2. x ≤ y và y ≤ z t ơng đ ơng x = y
3.V i hai ph n tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x
4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z v i mọi z ∈ IR
5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy
N u x ≤ y và x ≠ y thì ta vi t x < y hay y > x .
V. Ta gọi m t nhát cắt trong IR là m t cặp (A,B) các t p con c a IR sao cho A,
B khác tr ng, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và v i mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b .
Tiên đề Dedekink. IR là m t tr ng đ
c sắp liên t c, nghĩa là: V i mỗi
nhát cắt (A,B) c a t p IR đều x y ra: hoặc có m t ph n tử l n nh t trong A hoặc
có m t ph n tử nh nh t trong B và không thể vừa có ph n tử l n nh t trong A,
vừa có ph n tử nh nh t trong B.
Ph n tử l n nh t trong A (hoặc ph n tử nh nh t trong B) gọi là biên c a
nhát cắt (A,B). T p h p s th c cũng gọi là đ ng thẳng th c.
1.2. Các tính ch t c b n:
1.2.1 Supremum và infimum :
Cho M là m t t p con khác tr ng c a IR. S x ∈ IR đ c gọi là m t c n trên
c a M n u v i mọi y ∈ M thì y ≤ x, s x ∈ IR gọi là c n d i c a M n u x ≤ y v i
mọi y ∈ M. T t nhiên n u x là c n trên (t ơng ng, c n d i) thì v i mọi x1 > x (
t. … x1 < x) cũng là c n trên (t. c n d i) c a t p M.
C n trên bé nh t (n u có) c a t p M đ
c gọi là supremum c a t p M, ký
hi u sup M. Nh v y, α = sup M khi và chỉ khi
i)∀x ∈ M: x ≤ α ii)
(∀α’∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α’< x
(Điều ki n ii) nói rằng vì α là c n trên bé nh t nên n u α’ thì α’ không
còn là c n trên c a M, do đó α’ không thể l n hơn t t c các x thu c M). T ơng t , c n d
i l n nh t (n u có) c a t p M gọi là infimum c a t p M
ký hi u là inf M. Do định nghĩa, β = inf M khi và chỉ khi
i)∀x ∈ M: β ≤ x ii)
(∀ β’ > β) (∃ x ∈ M) : x < β’
Nguyên lý supremum: Mọi t p con khác tr ng c a IR có c n trên thì ph i
có supremum. Cũng v y, mọi t p con khác tr ng c a IR có c n d i thì ph i có infimum.
Chứng minh: Gi sử M ≠ Ø và c là m t c n trên c a M. Ta hãy xét các t p h p sau: 6 A
={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a}; B
={y Є IR : (∀aЄ M) a < y}.
Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì v i c’ > c thì c’Є B. V i mọi z Є IR thì
hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. N u z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a
< z hay z < z, vô lý nên A∩B = Ø. Hơn n a, n u x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y v i
a nào đó thu c M nên x < y. Theo định nghĩa, (A,B) là m t nhát cắt c a IR. Gọi
m là biên c a (A,B). Khi đó ta s có m = sup A. Th c v y, chẳng h n m ∈ A thì
theo định nghĩa s có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a. Còn n u m Є B thì
∀a ∈ M : a < m. N u m’ < m thì m’∉ B t c là m’ ∈ A, hơn n a m’ không ph i
là ph n tử l n nh t trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m’< m’’ ≤ a < m. Ph n còn
l i c a định lý ch ng minh t ơng t .
Chú ý: Gi sử M là m t t p con khác rỗng c a IR nh ng không có c n trên nào c . Khi đó ta quy
c sup M = + ∞. T ơng t , n u M không có c n d i, ta quy c inf M = - ∞.
1.2.2 Ta gọi các s a ∈ IR , a > 0 là s d ơng, a < 0 là s âm và đặt ⎪x⎪ n u
x ≥ 0; ⎪x⎪= - x n u x < 0 và gọi ⎪x⎪là giá trị tuy t đ i c a s th c x. S a ∈ IR
gọi là gi i h n c a dãy s (x ⊂ n)n
IR và ký hi u lim x = a n u: n n→∞
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ < ε Dãy (x ≤ ≥
n)n gọi là đơn đi u tăng (t. gi m) n u xn xn+1 (t. xn xn+1) v i mọi
n ∈ N bị chặn trên (t. d i) n u t p {xn} có c n trên (t. ., d i) h i t n u (xn) có gi i h n.
Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơn đi u tăng (t. .,gi m) và bị chặn trên (t. ., d i) đều h i t .
Ch ng minh: Gi sử (xn)n là m t dãy đơn đi u tăng và bị chặn trên. Theo
nguyên lý supremum, t p {xn} có m t supremum α. V i ε > 0 cho tr c, theo điều
ki n ii) có s nguyên n0 sao cho α – ε < xn0. Mặt khác, theo tính đơn đi u tăng c a dãy (x ≤
n), ta có α – ε < xn0 xn < α + ε v i mọi n ≥ n0. Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε
v i mọi n ≥ n0. Nh v y dãy (xn) h i t về α. Tr
ng h p (xn) là dãy đơn đi u gi m, bị chặn d i cũng đ c ch ng minh t ơng t .
1.2.3. Các ph n tử c a t p IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ... và -1, -2, -3… gọi
là các s nguyên, ký hi u t p các s nguyên là Z. T p Z không có c n trên và c n d
i. Th t v y, n u Z có c n trên α thì dãy đơn đi u tăng 1, 2, 3… ph i có gi i
h n α; lúc đó α – 1 < p v i m t p nào đó c a Z và thành ra α < p + 1 trái v i α là a
c n trên. Ký hi u Q = { ab-1 = , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là t p h p các s b
h u tỉ, còn N là t p s nguyên d ơng (s t nhiên) ta có bao hàm th c sau: 7
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
Nguyên lý Archimède: Cho hai s th c a, b b t kỳ v i a > 0. Khi đó t n t i n
Є N sao cho b < na.
Th c v y, do N không bị chặn trên (t c là không có c n trên) nên v i s b b
th c s có n ∈ N để < n hay b < na a a 1.2.4. Các t p
(a, b) = {x ∈ IR : a < x < b } và
[a,b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} l n l
t gọi là kho ng (hay kho ng m ) và đo n (hay kho ng đóng). M t dãy đo n {[a − =
n, bn]} gọi là thắt l i n u [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] và lim (b a ) 0 n n n →∞
Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đo n thắt l i có m t ph n tử duy nh t chung cho t t c các đo n y.
Chứng minh: Gi sử ([an, bn])n là dãy đo n thắt l i. Ta có: a ≤ ≤ ≤
1 a2 …≤ an+1 ≤ …≤ bn+1 bn … ≤ b1
v i mọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an)n tăng, bị chặn trên (b i b1
chẳng h n) nên h i t về s ξ = sup {an}. Nh th an ≤ ξ v i mọi n. N u ξ ∉
[ano, bno] v i m t n0 nào đó thì ắt hẳn bno < ξ. Đặt ε = ξ - bno. Khi đó v i n đ l n thì
ξ - a n < ξ - bno t c là bno < an! vô lý. V y ξ Є [an,bn] v i mọi n. Mặt khác, n u có
ξ’ Є[an,bn] v i mọi n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ bn – an. Do đó
0 ≤⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ lim(b a n − ) n = 0 n→∞
hay⎥ ξ-ξ’⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ’
1.2.5. Dãy (xn) đ
c gọi là bị chặn n u nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn d
i. Điều này t ơng đ ơng v i:
(∃a ∈ IR)(∀ n ∈ N):⎟ x ⎟ n ≤ a
Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy s th c bị chặn (xn)n đều có m t dãy con h i t .
Chứng minh: Theo gi thi t, t n t i s a sao cho v i mọi n Є N ta có – a ≤
xn ≤ a. Trong hai giai đo n [-a,0] và [0,a] ph i có m t đo n ch a vô s các ph n
tử xn (n u không, hoá ra (xn)n chỉ có h u h n các s h ng). Ta gọi đo n này là a [a 1+ b1
1,b1].Chia hai đo n này bằng điểm gi a c1=
. Trong hai đo n [a 2 1,c1] và
[c1,b1] cũng có m t đo n ch a vô s các xn, ký hi u đo n này là [a2,b2] và l i a + b
chia đôi đo n này b i điểm gi a c 2 2 2 =
v.v... Ti p t c quá trình đó ta thu 2 8
đ c m t dãy đo n thắt l i [ak, bk] (vì hiển nhiên [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] và bk – ak a =
→ 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đo n này có duy nh t ph n tử k 2 ∞
chung ξ Є I[a ,b ]. Vì m k k
ỗi đo n [ak, bk] ch a vô s các ph n tử xn nên ta k 1 =
hãy l y ph n tử x ∈ ∈ n1
[a1, b1] r i xn2 [a2, b2] v i n2 > n1, xn3 ∈ [a3, b3], n3 >
n2… khi đó (xnk)k là dãy con c a dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), nghĩa
là dãy (xnk) h i t về ξ.
1.2.6 Dãy s th c (xn)n đ
c gọi là dãy cơ b n (hay dãy Cauchy) n u:
(∀ε > 0)(∃ n ⎪
0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm < ε
Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy s th c cơ b n thì ph i h i t : Chứng minh: Tr
c h t ta ch ng minh rằng n u (xn)n cơ b n thì nó ph i bị
chặn. V i ε = 1, t n t i n ⎪ ≤
0 để v i mọi n ≥ n0 ta có ⎪xn –xno < 1 hay xno - 1≤ xn x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ≤
no + 1. Đặt a = max { x1 ,…,⎪xno , ⎪xno +1}, khi y v i mọi n thì -a ≤ xn a. Do
đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy (xn)n có m t dãy con x h i t về k n
ξ. Bây gi v i ε > 0 cho tr c s có n ⎪
0 sao cho v i m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm < ε/2 do
(xn)n cơ b n. Mặt khác x → ξ nên cũng t n t i s m0 để n u n ≥ m0 thì | x – ξ| < k n k n ε/2. Đặt n ’
0’ = max(n0, m0) khi đó n u n > n0 thì ⎪x ⎪
n – ξ ⎪ ≤ xn – x
⎪ +⎪ x – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε. k n k n
V y dãy (xn)n cũng h i t về ξ và điều này k t thúc vi c ch ng minh.
1.2.7. Tính trù m t c a t p Q trong IR:
Đ nh lý: V i mỗi cặp s th c (a;b), a < b bao gi cũng t n t i m t s h u tỉ
r sao cho a < r < b.
Chứng minh: Do t p IR có tính ch t Archimède nên có s nguyên n để n >
1 hay b - a > 1/n. T ơng t , có s nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là s nguyên bé b-a q-1 q-1
nh t tho mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay
< b. Lúc này a < vì n u a ≥ n n q-1 q-1 q q-1
s d n đ n b-a ≤ b - < -
= 1/n trái v i b-a > 1/n tr lên. V y ta n n n n q-1 tìm đ c s h u tỉ r = ∈ (a,b) n
S ki n phát biểu b i định lý trên đ
c gọi là t p s h u tỉ Q trù m t trong
t p s th c IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong kho ng (a,b) có ch a vô s s h u tỉ. 9 §2. L C L NG C A CÁC T P H P
Cho m t t p h p A, có các ph n tử là nh ng đ i t ng nào đó. Ta ch a
quan tâm đ n b n ch t các đ i t ng này. Tr
c h t hãy thử để ý đ n “s l ng”
các ph n tử c a t p h p A. Có thể x y ra m t trong hai kh năng: - N u đ m h t đ
c các ph n tử c a t p h p A thì A đ c gọi là t p h u
h n và s nguyên cu i cùng đ m t i chính là s l ng các ph n tử c a t p h p A.
- N u vi c đ m các ph n tử c a t p h p A không thể nào k t thúc đ c thì t p h p A đ c gọi là t p h p vô h n.
- Bây gi chúng ta mu n so sánh “s l
ng” các ph n tử c a hai t p A, B.
N u trong hai t p này có ít nh t m t t p h u h n thì vi c so sánh tr nên d dàng
nh vi c đ m các ph n tử. Tr
ng h p c A l n B đề vô h n thì cách đ m không
thể th c hi n nên ch a so sánh đ
c. Ta xét ví d sau. Ký hi u B là t p h p các s t nhiên chẵn:
B = {2,4,6,…, 2n,…}
Hiển nhiên B là t p con th c s c a t p s t nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuy
nhiên chúng ta không thể qu quy t rằng “s l
ng” các ph n tử c a N nhiều g p đôi “s l ng” các ph n tử c a B.
Mặt khác, th c ch t c a vi c đ m là th c hi n m t đơn ánh từ t p ta đ m
vào t p s t nhiên N và mu n bi t hai t p h p có cùng s l ng hay không, ta
chỉ c n xem có thể thi t l p m t song ánh gi a hai t p này ( t c là có thể cho
t ơng ng mỗi ph n tử c a t p này v i m t và chỉ m t ph n tử c a t p kia) hay
không. Bằng ph ơng pháp này, vi c so sánh “s l
ng” ph n tử c a t p h u h n
hay vô h n v n còn hi u l c. 2.1. T p h p t ng đ ng:
2.1.1. Đ nh nghĩa: Ta nói hai t p h p A, B là t ơng đ ơng v i nhau n u
t n t i m t song ánh từ A lên B. 2.1.2. Ví d :
1. Hai t p h p h u h n có cùng m t s l
ng các ph n tử thì t ơng đ ơng v i nhau.
2. ví d trong ph n m đ u, hai t p B = {2,4,...,2n,…} và N t ơng đ ơng
v i nhau vì ta có m t song ánh từ N lên B xác định b i n → 2n, n ∈ N. Nh n xét: T p B có đ
c từ N sau khi b đi t t c các s nguyên lẻ nh ng
B v n t ơng đ ơng v i N. Điều này không thể x y ra đ i v i các t p h u h n. 10
Do v y, ta có định nghĩa khác (t ơng đ ơng v i định nghĩa tr c) về t p h u h n và vô h n nh sau: T p A đ
c gọi là vô h n n u A t ơng đ ơng v i m t t p con th c s c a nó. T p A đ
c gọi là h u h n n u A không ph i là t p vô h n.
3. T p (0,1) t ơng đ ơng v i t p (a,b) v i a, b b t kỳ thu c IR , a < b, nh
song ánh (0,1) ∋ x → y= (b-a)x + a ⎛ π π ⎞
4.T p h p ⎜− , ⎟ t ơng đ ơng v i t p IR b i song ánh ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ π π ⎞
f : ⎜− , ⎟ → IR : x → y = f(x) = tg x ⎝ 2 2 ⎠
Khi hai t p h p t ơng đ ơng v i nhau ta b o chúng có cùng l c l ng hay
cùng b n s . Đ i v i các t p h u h n, rõ ràng hai t p có cùng l c l ng khi và chỉ khi chúng có cùng s l
ng các ph n tử. Do đó ta đ ng nh t l c l ng c a
t p có n ph n tử là n. L c l
ng c a t p A (h u h n hay vô h n) đ c ký hi u là
A hay card A. Nh v y ví d card{1,2,3,4,5} = 5, card {a,b,c} = 3
N u t p h p B t ơng đ ơng v i m t con th c s c a A nh ng không t ơng
đ ơng v i A thì ta nói l c l ng c a B nh hơn l c l ng c a A ký hi u B < A hoặc cũng gọi l c l ng c a A l n hơn l c l
ng c a B, ký hi u A > B . Ng i ta ch ng minh đ
c rằng, cho hai t p A, B b t kỳ bao gi cũng x y
ra m t và chỉ m t trong ba tr ng h p.
1. X y A = B (t c là A, B t ơng đ ơng v i nhau) 2 X y A < B
3. X y A > B 2.2. T p h p đ m đ c:
2.2.1. Đ nh nghĩa: T p h p A đ c gọi là t p h p đ m đ c n u A t ơng
đ ơng v i t p s t nhiên N. Nói cách khác, A đ m đ c n u và chỉ n u t n t i
m t song ánh từ N lên A. Khi đó ta cũng nói A có l c l ng đ m đ c.
Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có:
N Э n → a (n) = an Є A
Nh v y có thể nói t p h p đ m đ
c là m t t p mà các phân tử c a nó có
thể đánh s thành m t dãy vô h n. a1, a2, a3,…,an,… 11 2.2.2. Ví d :
1. T p h p các s t nhiên chẵn, các s t nhiên lẻ đều là các t p đ m đ c. Th t v y, theo m c tr
c, card {2,4,6…} = cardN, còn E = { 1,3,5,...,2n +1,…}
t ơng đ ơng v i N nh song ánh. N Э n → 2n + 1 Є E
2. T p Z có s nguyên là đ m đ
c. Để ch ng t điều đó, ta xét ánh x f : N→Z cho b i : n n u n chẵn 2 n → f(n) = ‘ 1- n n u n lẻ 2
D dàng kiểm tra f là song ánh ta có đ c k t lu n
3. T p các s h u tỉ Q là đ m đ
c. Th t v y, m t s h u tỉ có thể vi t đ p
c duy nh t thành m t phân s t i gi n
, q > 0. Ta hãy t m gọi t ng |p| + q q p là “h ng” c a s h u tỉ
. Rõ ràng t p h p t p h p các phân s có h ng cho q 0 1 −1 tr
c là h u h n, ví d : phân s có h ng 1 là = 0, h ng 2 là và , h ng 3 1 1 1 2 1 − 2 −1 là , , ,
,... Hơn n a mỗi s h u tỉ đều có h ng xác định nên ta có thể 1 2 1 2
đánh s h u tỉ thành dãy theo th t tăng d n c a h ng, t c là bắt đ u đánh s
các s h ng 1 r i ti p theo các s h ng 2, h ng 3,…V y các ph n tử c a Q có thể
sắp x p thành dãy Q đ m đ c.
Ti p theo, chúng ta thi t l p các định lý cơ b n c a t p đ m đ c.
2.2.3. Đ nh lý: Mọi t p vô h n luôn luôn có ch a m t t p con đ m đ c.
Chứng minh: Gi sử M là t p vô h n. L y ra m t ph n tử b t kỳ a Є 1 M. Khi đó M \ {a Є Є
1} vô h n nên l y ti p ph n tử a2
M\ {a1} r i a3 M {a1,a2} v.v … Quá trình này đ c ti p t c mãi và ta thu đ c t p đ m đ c A = {a1, a2,…} ⊂ M
2.2.4 Đ nh lý: Mọi t p con c a m t t p đ m đ c thì ph i là t p h u h n hoặc đ m đ c.
Chứng minh: Gi sử A = {a1, a2,…} là t p đ m đ c và B là m t t p con
c a A. Gọi an1, an2,... Là các ph n tử c a A thu c t p h p B theo th t tăng d n
trong A. N u trong các s n1, n2,... có s l n nh t thì B là h u h n. Tr ng h p 12
trái l i, các ph n tử c a B đ
c sắp thành dãy vô h n an1, an2,... nên B đ m đ c.
2.2.5. Đ nh lý: H p m t họ h u h n hay đ m đ c các t p đ m đ c là m t t p đ m đ c.
Chứng minh: Cho A1, A2,… là dãy các t p đ m đ c. Ta có thể gi thi t các
t p này không giao nhau vì n u khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1
U A2),... Các t p Bi này h u h n hoặc đ m đ c, không giao nhau và ∞ ∞
U A = U B . Bây gi ta s i ắp x p các ph n tử c a A i
1,A2,... thành m t b ng vô h n i=1 i=1 nh sau: A1 : a11 a12 a13 .... A2 : a21 a22 a23 .... A3 : a31 a32 a33 .... . . . . ...
Ta hãy đánh s t t c các ph n tử này theo “đ
ng chéo” từ trái lên phía trên. Do mỗi đ
ng chéo có h u h n ph n tử nên có thể đánh s th t trên
đ ng chéo th nh t r i đ ng chéo th hai, th ba,... nh sau:
a11, a21, a12, a31, a22, a13,… ∞
V y t t c các ph n tử c a t p A = A
U i đ c đánh s thành m t dãy nên i=1 t p A đ m đ c.
Nhận xét: Trong cách ch ng minh ta th y n u m t s h u h n hay đ m
đ c các t p Ai (không ph i t t c ) đ c thay bằng các t p h u h n thì k t lu n
c a định lý không thay đ i.
2.2.6. Đ nh lý: Khi thêm m t t p h p h u h n hay đ m đ c vào m t t p vô h n M thì l c l ng c a nó không thay đ i.
Chứng minh: Gi sử A là t p h u h n hay đ m đ c. Ký hi u N = M ∪ A.
Theo định lý 2.2.3, t n t i m t t p đ m đ
c B ⊂ M. Đặt M’= M\B, ta có M =
M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A. Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là t p đ m đ c nên
t n t i song ánh f gi a B và B ∪ A. Ta đặt:
g : M = M’ ∪ B → N = M’∪ (B ∪ A) x n u x Є M’ g (x) =
f(x) n u x Є B
Nh th g là song ánh từ M lên N nên card M = Card N. 13
Theo định lý này ta th y kho ng (a,b) t ơng đ ơng v i đo n [a,b]. Hơn n a
(a,b) t ơng đ ơng v i IR nên [a,b] cũng t ơng đ ơng v i IR.
Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta th y l c l ng đ m đ c là l c l
ng “bé nh t” trong các l c l ng c a t p vô h n.
2.2.7. Đ nh lý: T p h p t t c các dãy h u h n có thể thành l p đ c v i
t t c các ph n tử c a m t t p h p đ m đ c là t p đ m đ c.
Chứng minh: Gi sử A = {a1,a2,...} là m t t p đ m đ c. Ký hi u Sm là t p ∞
các dãy có đúng m ph n tử c a A d ng (a =
i1, ai2,...aim). Đặt S S . Ta ch ng minh U m m=1 S đ m đ c. Tr c h t S1 = A đ m đ
c. Bằng qui n p, gi sử Sm đ m đ c, hãy l y a Є k
A và ký hi u Skm+1 là t p h p t t c các dãy có d ng (ai1, ai2,…,aim,
ak). Gi a Skm+1 và Sm có m t song ánh cho b i (ai1, ai2,…,aim,ak) → ∞ (a k
i1,ai2,…,aim). nên Skm+1 đ m đ
c. Mặt khác vì Sm+1 = U S nên S m 1 + m+1 đ m k 1 =
đ c theo định lý 2.2.5. Cũng từ định lý này, S là m t t p đ m đ c.
2.2.8. H qu : T p h p t t c các đa th c P(x) = a0 +a1x +...anxn (n b t kỳ)
l y giá trị trong IR v i các h s h u tỉ a0,a1,…, an là đ m đ c.
Chứng minh: Mỗi đa th c t ơng ng v i m t và chỉ m t dãy h u h n các h
s h u tỉ c a nó. Vì t p Q đ m đ
c nên theo định lý 2.2.7, t p t t c các dãy
h u h n các s h u tỉ là đ m đ
c nên t p các đa th c này đ m đ c. 2.3. L c l ng continum:
Ta đã xét các ví d và thi t l p các định lý về các t p h p đ m đ c. V y có
t p h p vô h n nào không ph i là t p đ m đ
c hay không? Định lý sau đây cho
ta câu tr l i khẳng định.
2.3.1. Đ nh lý. T p h p các s th c IR là t p vô h n không đ m đ c.
Chứng minh: Trong ví d Định lý 2.2.6 ta th y IR t ơng đ ơng v i đo n
[0,1]. Do đó chỉ c n ch ng minh [0,1] không đ m đ
c. Gi sử trái l i [0,1] là
đ m đ c. Khi đó các ph n tử c a nó đ c đánh s thành dãy x1,x2,..xn,… Chia
cho [0,1] thành 3 đo n bằng nhau và gọi đo n không ch a x1 là ∆1. L i chia ti p
∆1 thành 3 đo n bằng nhau n a và gọi ∆2 là đo n không ch a x2,… Ti p t c quá 1 trình này ta thu đ c dãy đo n ∆ ⊃∆ ⊃ 1 2
... v i ∆n có đ dài là |∆n| = 3n sao cho x ∉ Đ n ∆n.
ây là dãy đo n thắt l i nên theo nguyên lý Cantor, t n t i ξ ∞ Є I ∆ ⊂ [ 1,
0 ]. Do đó ξ ph i trùng v i m t xno nào đó. Vì ξ Є ∆n v i mọi n nên 1 = n n x Є no
∆no. Điều này mâu thu n v i cách xây d ng các đo n ∆n. V y đo n [0,1] không ph i là t p đ m đ c. 14 Nhận xét: 1
1. Đặt a = { : n Є N). Rõ ràng A là t p đ m đ c và ch a trong đo n [0,1]. n Do đó l c l
ng đo n [0,1] (hay IR) l n hơn l c l ng đ m đ c. Ng i ta gọi l c l ng này là l c l ng continum hay l c l ng c.
2. T p h p s th c bằng h p c a s h u tỉ và s vô tỉ. Do t p s h u tỉ đ m
đ c nên t p s vô tỉ không đ m đ c và cũng có l c l ng là c. BÀI TẬP
1.Hãy thi t l p m t song ánh gi a hai t p (0,1) và [0,1]
2.Ch ng minh t p các điểm gián đo n c a m t hàm s đơn đi u xác định
trên [a,b] là h u h n hoặc đ m đ c.
3. Gi sử E là m t t p con c a t p s th c IR có tính ch t |x-y| > 1 v i mọi x, y
Є E. Ch ng minh E là m t t p h u h n hoặc đ m đ c.
4. Gi sử E là m t t p vô h n. D là m t t p con h u h n hay đ m đ c c a
E sao cho E\D vô h n. Ch ng minh E\D có cùng l c l ng v i E.
5. Cho A và B là các t p đ m đ
c. Ch ng minh A × B là t p đ m đ c.
6*. Ký hi u E là t p h p t t c các dãy s (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1.
Ch ng minh E là t p h p không đ m đ c. (Th c ra E có l c l ng c) 15 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC
§1. KHÁI NIỆM MÊTRIC.
Phép toán đặc tr ng c a môn gi i tích là phép toán l y gi i h n. Để di n t
khái ni m này ta ph i tìm cách xác định m c đ “ xa”, “g n’’ gi a các đ i t
ng. Các m cs đ “xa”, “g n” đó có thể đ a vào m t cách khá t nhiên thông
qua kháis ni m kho ng cách hay mêtric đ
c chính xác hoá b i các định nghĩa sau đây. 1.1. Đ nh nghĩa:
Gi sử X là m t t p tuỳ ý khác tr ng cho tr c, m t mêtric ( hay kho ng
cách) trên X là m t hàm s d: X × X→ IR tho mãn 3 tiên đề sau đây:
1) d(x, y) ≥ 0, v i mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
2) d(x, y) = d(y, x) v i mọi x, y Є X, (tính đ i x ng).
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),v i mọi x, y, z Є X (b t đẳng th c tam giác).
Khi đó t p X v i mêtric d đã cho gọi là m t không gian mêtric và ký hi u là
(X,d). Đôi khi để đơn gi n và n u mêtric d đ
c xác định rõ ràng, ta chỉ ký hi u X.
Bằng ngôn ng hình học, ph n tử x ∈ X gọi là điểm c a không gian X, s
th c d ơng (hay bằng 0) d(x,y) gọi là kho ng cách gi a 2 điểm x và y. 1.2. Các ví d :
1.2.1. Gi sử M là t p h p con khác tr ng c a t p s th c IR. Ta hãy đặt
d(x,y) = | x-y | v i x,y ∈ M. Khi đó nh các tính ch t quen thu c c a giá trị tuy t
đ i, ta kiểm tra d dàng (M, d) là m t không gian mêtric.
1.2.2. Ký hi u IRk = {(x1,...xk) : xi Є IR, i = ,
1 k } là t p h p các b k s th c.
V i x = (x1,…,xk), y = (y1,...,yk) thu c IRk, ta đặt: k d(x,y) = ∑(xi - yi)2 i =1
Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ c n kiểm tra tiên đề 3) t c là ch ng minh: k k k i i 2 ( x ∑ − z ) ≤ i i 2 ( x ∑ − y ) + i i 2 ( y ∑ − z ) i 1 = i 1 = i 1 =
Đặt ai = xi – yi, bi = yi – zi khi đó ai+ bi = xi - zi Ta l i có : 16 k k k k d2(x,z) = ∑(a 2 2
i+bi)2 = ∑ai = ∑bi + 2 ∑ai bi i =1 i =1 i =1 i =1
Áp d ng b t đẳng th c Cauchy – Schawrz cho s h ng sau cùng ta đ c: k k k k
d2(x,z) ≤ ∑a 2 2 i + ∑bi + 2 ∑a2i ∑b2i i =1 i =1 i =1 i =1 k k ≤ ( ∑a2 i + ∑b2i )2 i =1 i =1
Từ đó l y căn hai v và tr l i v i ký hi u cũ, ta có:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
V y (IRk,d) là m t không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thông th ng trên IRk. Chú ý:
1. Khi k = 1 ta tr về ví d 1.2.1 v i M = IR
2. Khi xét IRk mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui c là xét IRk v i mêtric thông th ng.
1.2.3. Gi sử X là m t t p tuỳ ý khác tr ng. Ta đặt 0, n u x = y d(x,y) = 1, n u x ≠ y
v i mọi x, y Є X. Ta hãy kiểm tra d là m t mêtric trên X. Tiên đề 1) và 2) đ
c nghi m đúng. Tiên đề 3 có d ng:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
i. N u x ≠ z thì d(x,z) = 1 còn v sau ≥ 1
ii) x = z thì d(x,z) = 0 còn v sau ≥ 0
V y tiên đề 3) cũng tho mãn nên (X,d) tr thành m t không gian mêtric.
Mêtric d này gọi là mêtric t m th ng trên X.
1.2.4. Ký hi u t p h p các hàm liên t c
f : [a,b] → IR là C v i hàm f,g thu c C ta hãy a a đặt [ b,] [ b,] d(f,g) = − [ a b , ] max f ( x ) g( x )
Vì f,g là các hàm liên t c trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng v y. Do đó giá trị
l n nh t c a hàm ⎪f - g⎪ đ t đ c trên kho ng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định.
Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên. Tiên đề 3) suy ra từ
∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪ 17 ≤ − + − [ a b , ] max f ( x ) g( x ) [a b,] max g( x ) ( h x ) nên − ≤ − + − [ a b , ] max f ( x ) ( h x ) [a b,] max f ( x ) g( x ) [a b,] max g( x ) ( h x )
hay d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) v i mọi f,g,h∈C . Không gian mêtric này th ng [a b,]
đ c ký hi u gọn là C . [a b,]
1.2.5 Cũng trên t p h p C a ] ta đặt [ b, b
d(f,g) = ∫ f ( x ) − g( x )dx a
Các tiên đề 2)-3) d dàng kiểm tra. Ta có d(f,g) ≥ 0. N u d(f,g) = 0 t c là b
∫ f ( x)− g( x)dx = 0. Gi sử f ≠ g khi y có x0 ∈[a,b] để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 v i a
mọi x ∈[α,β] nào đó ch a trong [a,b]. Nh v y b β β
f (x) − g(x) dx ≥ f (x) − g(x) dx ≥ εdx = ε (α − β ) > . 0 ∫ ∫ ∫ a α α
Điều này mâu thu n. V y f = g Không gian metric này đ c ký hi u là L C [a b]. ,
Nh n xét: Qua các ví d trên, ta th y có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên
cùng m t t p X (t t nhiên s nh n đ
c các không gian mêtric khác nhau). Tùy m c đích nghiên c u, ng
i ta s chọn mêtric nào phù h p v i yêu c u.
1.3. M t s tính ch t đ n gi n
Gi sử (X,d) là m t không gian metric, ta có:
1.3.1 Cho x1,...,xn là các điểm c a X. Khi đó ta có b t đẳng th c tam giác m r ng:
d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) +...+d(xn-1,xn) Tính ch t này đ
c suy từ tiên đề 3 và l p lu n qui n p.
1.3.2. V i mọi x,y,u,v thu c X ta có b t đẳng th c t giác:
⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v)
Th c v y ta áp dung 1.3.1 ta có
d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) hay
d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v)
Thay đ i vai trò c a x,y cho u,v ta l i đ c
d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v) 18 Nh v y có đ c điều ph i ch ng minh
1.3.3. Cho A,B là hai t p con khác tr ng trong không gian mêtric X. Đặt d ( ,
A B) = inf d(x, y)
x∈A, y B ∈
và gọi s th c d(A,B) này là kho ng cách gi a hai t p A và B. N u A = {a} ta
vi t d(A,B) = d(a,B) và gọi là kho ng cách từ điểm a đ n t p B. Để ý rằng n u A
∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nh ng điều ng c l i nói chung không đúng.
Cho x,y ∈X, v i mọi z ∈ A ta có
⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y)
Th c v y v i x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A. Do đó
d(x,A) ≤ d(x,y) +inf d( y, z) z∈A hay
d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y)
T ơng t d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y). Từ đó k t qu đ c ch ng minh.
1.4. Không gian metric con và không gian metric tích.
1.4.1. Đ nh nghĩa. Gi sử (X,d) là m t không gian metric và Y là m t t p con
khác tr ng c a X. N u xét hàm thu hẹp d’ c a hàm d lên t p Y x Y : d\Y x Y thì hiển
nhiên d’ là m t metric trên Y. Ta gọi d’ là mêtric c m sinh b i d lên Y. V i mêtric
c m sinh này, (Y,d’’) đ
c gọi là không gian mêtric con c a không mêtric (X, d).
1.4.2 Đ nh nghĩa: Gi sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý.
Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY(y1, y2)
D dàng kiểm tra để th y rằng d là m t mêtric trên t p X × Y. Khi đó không
gian ( X × Y,d) đ c gọi là tích c a các không gian mêtric X và Y.
1.5. S h i t trong không gian mêtric:
Các khái ni m h i và gi i h n trong không gian mêtric X b t kỳ đ c định
nghĩa m t cách t ơng t trong t p IR v i vi c thay |x-y| bằng kho ng cách gi a
hai ph n tử d(x,y). M t dãy trong không gian mêtric (X, d) là m t ánh x .
Ta cũng dùng kí hi u quen thu c là dãy (x Є n)n
N. Gi sử nk là m t dãy tăng
th c s các s nguyên d ơng. Khi đó dãy (xnk)k đ c gọi là m t dãy con c a dãy (xn).
1.5.1. Đ nh nghĩa: Gi sử X là m t không gian mêtric và (xn)n là m t dãy
trong X. Ta nói dãy (xn)n h i t đ n x∈X n u kho ng cách gi a xn và x d n đ n 0
khi n → ∞. Lúc đó x đ
c gọi là gi i h n c a dãy xn và ta s ký hi u lim x = x n n→∞ hay x → n
x, n → ∞. Di n t l i, ta có 19
( lim x = x ) ⇔ (limd(x , x) n = ) 0 n n→∞ n→∞
⇔ (∀ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : d(xn, x) < ε)
1.5.2. Các tính ch t.
Cho (xn)n, (yn)n là các dãy trong không gian mêtric X. Ta có
a. N u dãy (xn)n h i t đ n x Є X thì mọi dã con (xnk)k c a dãy (xn)n cũng h i t đ n x.
b. Gi i h n c a m t dãy h i t là duy nh t c. N u x → → n x, yn
y thì d(xn, yn) → d(x,y) khi n → ∞ Chứng minh:
a. Gi sử (nk)k là dãy tăng th c s các s nguyên. Cho ε > 0 t n t i s nguyên n ≥
0 sao cho d(xn, x) < ε khi n ≥ n0. Từ đó v i mọi nk nk0 ≥ n0 nên d(xnk,
x) < ε nghĩa là dãy con x → nk x, k → ∞ b. Gi sử x → → n x và xn
x’. Khi đó từ b t đẳng th c tam giác ta có:
d(x, x’) ≤ d(xn, x) + d(xn, x’)
Cho n → ∞ thì
0 ≤ d(x, x’) ≤ lim d (x , x) n
+ lim d(x , x') n = 0 n→∞ n→∞
V y d(x, x’) = 0 hay x = x’.
c. Theo b t đẳng th c t giác (1.3.2.) ta có:
|d(xn,yn) – d(x, y)| ≤ d(xn,x) + d(yn,y).
Qua gi i khi n→ ∞ ta nh n đ c k t qu . 1.5.3. Các ví d :
a. H i t trong IRk. Trong IRk v i mêtric thông th ng, ta xét dãy sau: (x k n)n : xn = ( 1 x ,..., x ) . n n
Theo định nghĩa dãy (x k
n)n h i t về điểm x0 = ( 1
x ,..., x ) khi và ch n n ỉ khi d(xn, x0) → 0 (n→ ∞) hay 1/ 2 ⎡ k i i ⎤ ( ∑ x x x x v i mọi i = 1,...,k n − )2
→ 0 ⇔ ( in − i )2 → 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎣1 1= ⎦ ⇔ |x i i
n – xo | → 0, v i mọi i = 1,...,k ⇔ x i i
n – xo v i mọi i = 1,...,k
V y s h i t c a m t dãy trong IRk chính là s h i t theo to đ (thành
ph n) c a dãy. Đặc bi t, v i k = 1 thì đây chính là s h i t cu m t dãy s th c thông th ng.
b. H i t trong C[a,b]. Gi sử (xn)n là m t dãy (dãy hàm) trong C[a,b] h i t về
x ∈ C[a,b]. Theo định nghĩa, ta có: 20