161 trang 79 lượt tải

Giáo trình môn Tóan cao cấp 1 | Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ

158

Giáo trình môn Tóan cao cấp 1 | Đại học Kỹ thuật Công nghệ - Cần Thơ. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 261 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Tóan cao cấp 1 (CT) 1 tài liệu

Trường: Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ 98 tài liệu

Tác giả:

Profile

48 Nguyễn Thị Anh Thơ

11 tháng trước
Danh sách Quiz
/161
Líi nâi ¦u
Håc ph¦n To¡n cao c§p 1 l håc ph¦n cì sð nh¬m cung c§p cho sinh vi¶n ¤i
håc c¡c khèi ngnh k¾ thuªt v kinh t¸ nhúng ki¸n thùc to¡n c¦n thi¸t º hé trñ
cho c¡c ki¸n thùc chuy¶n ngnh. Gi¡o tr¼nh ny gçm c¡c ch÷ìng sau:
Ch֓ng 1:
Ma trªn - ành thùc
; Ch֓ng 2:
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
;
Ch֓ng 3:
Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
; Ch֓ng 4:
Ph²p t½nh vi ph¥n
hm mët bi¸n
; Ch֓ng 5:
Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
.
Ba ch÷ìng cuèi bao gçm c¡c ki¸n thùc, trong â câ mët sè nëi dung sinh vi¶n
¢ ÷ñc håc ð bªc trung håc phê thæng. Do â, mët sè nëi dung trong ph¦n ny
chóng tæi y¶u c¦u sinh vi¶n tü nghi¶n cùu.
Trong gi¡o tr¼nh câ nhúng ành l½ y¶u c¦u sinh vi¶n ch§p nhªn m khæng
chùng minh, v¼ c¡ch chùng minh phùc t¤p, chõ y¸u lm th¸ no º sinh vi¶n
hiºu v vªn döng vo vi»c gi£i bi tªp. Tuy nhi¶n, khi ¢ hiºu c¡c ki¸n thùc
÷ñc tr¼nh by trong gi¡o tr¼nh mët c¡ch vúng chc th¼ sinh vi¶n câ thº tü trang
bà cho m¼nh c¡c ki¸n thùc chuy¶n s¥u v· vi t½ch ph¥n theo y¶u c¦u cõa cæng vi»c
khi ra tr÷íng ho°c câ nhu c¦u håc tªp l¶n cao trong t÷ìng lai.
Gi¡o tr¼nh l ti li»u håc tªp thi¸t thüc èi vîi sinh vi¶n çng thíi công l
ti li»u gi£ng d¤y èi vîi gi£ng vi¶n Bë mæn To¡n cõa tr÷íng ¤i håc Nam C¦n
Thì.
Chóng tæi mong ân nhªn v ch¥n thnh bi¸t ìn nhúng âng gâp cõa ng÷íi
åc v· nhúng thi¸u sât cõa gi¡o tr¼nh ny c£ v· nëi dung l¨n h¼nh thùc.
Sau còng, chóng tæi xin ÷ñc by tä láng bi¸t ìn ch¥n thnh ¸n th¦y cæ
i
ii
Líi nâi ¦u
trong Bë Mæn To¡n tr÷íng ¤i håc Nam C¦n Thì ¢ ëng vi¶n v t¤o i·u
ki»n thuªn lñi º hon thnh gi¡o tr¼nh ny.
Nhâm bi¶n tªp gi¡o tr¼nh
Möc löc
Líi nâi ¦u i
1 Ma trªn - ành thùc 1
1.1 Ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ành thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Ma trªn nghàch £o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 37
2.1 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 BI TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc 63
3.1 Kh¡i ni»m tªp hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Hm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Giîi h¤n cõa d¢y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Giîi h¤n cõa hm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6 Væ còng b² v væ còng lîn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 Hm sè li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
iii
iv
Möc löc
4 Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n 105
4.1 ¤o hm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Qui tc L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 Kh£o s¡t hm sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n 131
5.1 Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 T½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ti li»u tham kh£o 157
Ch֓ng 1
Ma trªn - ành thùc
1.1 Ma trªn
Sau khi håc xong ch÷ìng ny, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu c¡c kh¡i ni»m v· ma trªn, c¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn, c¡c ph²p bi¸n
êi sì c§p tr¶n dáng, ma trªn bªc thang v h¤ng cõa ma trªn.
- Thüc hi»n ÷ñc c¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn.
- Vªn döng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p º ÷a mët ma trªn v· d¤ng bªc thang.
- Hiºu c¡c kh¡i ni»m v· ành thùc, c¡c c¡ch t½nh ành thùc, ùng döng cõa
ành thùc v ma trªn nghàch £o.
1.1.1 Kh¡i ni»m v· ma trªn
Mët ma trªn c§p
m × n
l mët b£ng gçm
m × n
sè ÷ñc sp thnh
m
dáng
v
n
cët câ d¤ng nh÷ sau:
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
.
1
2
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Trong â,
a
ij
∈ R
÷ñc gåi l
ph¦n tû
n¬m ð dáng thù
i
cët thù
j.
Ma trªn
th÷íng ÷ñc kþ hi»u bði c¡c chú in hoa
A, B, C, ...
º ch¿
A
l ma trªn c§p
m ×n
gçm c¡c ph¦n tû
a
ij
ta k½ hi»u
A = (a
ij
)
m×n
.
V½ dö 1.1.1
(i)
A =
1 2 3
4 5 6
l ma trªn c§p
2 × 3
v
a
11
= 1, a
21
= 4.
(ii)
B =
1 0 3
2 −5 6
−2 3 −3
1 0 2
l ma trªn c§p
4 × 3
.
V½ dö 1.1.2
Cho ma trªn
A =
1 4 3
2 0 1
.
T½nh
a
11
+ a
21
− 2a
13
.
Gi£i.
Ta câ:
a
11
+ a
21
− 2a
13
= 1 + 2 − 2.3 = −3.
Khi sè dáng b¬ng vîi sè cët, tùc l
m = n
, th¼ ma trªn ÷ñc gåi l
ma trªn
vuæng
c§p
n
.
V½ dö 1.1.3
(i)
X =
2 0
5 3
l ma trªn vuæng c§p 2.
(ii)
Y =
−1 1 3
3 0 −2
2 −1 3
l ma trªn vuæng c§p 3.
Trong ma trªn vuæng, c¡c ph¦n tû
a
11
, a
22
, ..., a
nn
÷ñc gåi l c¡c
ph¦n tû ch²o
.
÷íng th¯ng xuy¶n qua c¡c ph¦n tû ch²o ÷ñc gåi l
÷íng ch²o ch½nh
.
V½ dö 1.1.4
(i) Ma trªn vuæng
2 4
−3 1
câ c¡c ph¦n tû ch²o l
2, 1.
1.1. Ma trªn
3
(ii) Ma trªn vuæng
1 2 3
−2 0 3
0 1 −3
câ c¡c ph¦n tû ch²o l
1, 0, −3.
* Hai ma trªn
A
v
B
gåi l
b¬ng nhau
n¸u chóng còng c§p v c¡c ph¦n tû t÷ìng
ùng b¬ng nhau.
V½ dö 1.1.5
Cho hai ma trªn
A =
1 x + 1
2 3y
v
B =
1 4
2 6
. T¼m
x, y
º
A = B
.
Gi£i.
Ta câ:
A = B
khi v ch¿ khi
x + 1 = 4
3y = 6
hay
x = 3
y = 2
.
1.1.2 Mët sè ma trªn °c bi»t
(a)
Ma trªn khæng
c§p
m × n
l ma trªn m t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa nâ ·u
l 0 v ÷ñc k½ hi»u l
O
m×n
.
V½ dö 1.1.6
Ma trªn
0 0 0
0 0 0
l ma trªn khæng c§p
2 × 3
.
(b) Ma trªn vuæng
A
c§p
n
câ t§t c£ c¡c ph¦n tû b¶n ngoi ÷íng ch²o ·u
b¬ng 0 ÷ñc gåi l
ma trªn ch²o
.
A =
a
11
0 ... 0
0 a
22
... 0
... ... ... ...
0 0 ... a
nn
V½ dö 1.1.7
A =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
l ma trªn ch²o c§p 3.
4
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(c) Ma trªn ch²o c§p
n
câ t§t c£ c¡c ph¦n tû ch²o ·u b¬ng 1 ÷ñc gåi l
ma
trªn ìn và c§p
n
. K½ hi»u l
I
n
.
I
n
=
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
.
V½ dö 1.1.8
(i)
I
2
=
1 0
0 1
l ma trªn ìn và c§p 2.
(ii)
I
3
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
l ma trªn ìn và c§p 3.
(iii)
I
4
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
l ma trªn ìn và c§p 4.
(d) Ma trªn vuæng
A
c§p
n
÷ñc gåi l
ma trªn tam gi¡c tr¶n
(
d֔i
) n¸u måi
ph¦n tû n¬m d÷îi (tr¶n) ÷íng ch²o ch½nh ·u b¬ng 0.
a
11
a
12
... a
1n
0 a
22
... a
2n
... ... ... ...
0 0 ... a
nn
,
a
11
0 ... 0
a
21
a
22
... 0
... ... ... 0
a
n1
a
n2
... a
nn
.
V½ dö 1.1.9
(i)
A =
1 2 −3
0 1 −4
0 0 5
l ma trªn tam gi¡c tr¶n.
1.1. Ma trªn
5
(ii)
B =
1 0 0
−2 1 0
7 −3 1
l ma trªn tam gi¡c d÷îi.
Ma trªn tam gi¡c tr¶n v ma trªn tam gi¡c d÷îi ÷ñc gåi chung l
ma trªn tam
gi¡c
.
1.1.3 C¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn
(a) Ph²p cëng hai ma trªn
Têng cõa hai ma trªn còng c§p
A = (a
ij
)
m×n
v
B = (b
ij
)
m×n
l mët ma trªn
C = (c
ij
)
m×n
,
vîi
c
ij
= a
ij
+ b
ij
. K½ hi»u l
C = A + B
.
V½ dö 1.1.10
Cho hai ma trªn
A =
0 1 3
4 2 3
v
B =
2 −1 1
0 1 2
.
H¢y t½nh
A + B
.
Gi£i.
Ta câ:
A + B =
0 1 3
4 2 3
+
2 −1 1
0 1 2
=
0 + 2 1 − 1 3 + 1
4 + 0 2 + 1 3 + 2
=
2 0 4
4 3 5
.
Vªy:
A + B =
2 0 4
4 3 5
.
* T½nh ch§t cõa ph²p cëng
(i)
A + B = B + A
(t½nh giao ho¡n cõa ph²p cëng).
(ii)
A + (B + C) = (A + B) + C
(t½nh k¸t hñp cõa ph²p cëng).
(iii)
A + O = O + A = A,
(
O
l ma trªn khæng).
6
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(b) Ph²p nh¥n mët sè vîi ma trªn
T½ch cõa sè
k
vîi
A = (a
ij
)
m×n
l mët ma trªn
C = (c
ij
)
m×n
vîi
c
ij
= k.a
ij
, ∀i, j.
V½ dö 1.1.11
Cho ma trªn
A =
1 2
−1 0
. T½nh
2A
v
−3A
.
Gi£i.
Ta câ:
2A = 2
1 2
−1 0
=
2.1 2.2
2.(−1) 2.0
=
2 4
−2 0
.
T÷ìng tü:
−3A = −3
1 2
−1 0
=
−3 −6
3 0
.
V½ dö 1.1.12
Cho ma trªn
A =
1 2
2 1
, B =
1 0
3 4
. T¼m ma trªn
X,
sao cho
2A + X = B.
Gi£i.
Gåi:
X =
a b
c d
.
Khi â, ta câ
2
1 2
2 1
+
a b
c d
=
1 0
3 4
⇔
2 + a 4 + b
4 + c 2 + d
=
1 0
3 4
⇔
2 + a = 1
4 + b = 0
4 + c = 3
2 + d = 4
⇔
a = −1
b = −4
c = 1
d = 2
.
Vªy
X =
−1 −4
1 2
.
* T½nh ch§t cõa ph²p nh¥n mët sè vîi ma trªn
(i)
a(A + B) = aA + aB, ∀a ∈ R
.
(ii)
(a + b)A = aA + bA, ∀a, b ∈ R
.
(iii)
(ab)A = a(bA), ∀a, b ∈ R
.
1.1. Ma trªn
7
(iv)
1A = A
.
(v)
a(AB) = (aA)B = A(aB), ∀a ∈ R
.
(vi)
0.A = O, O
l ma trªn khæng.
(c) Ph²p nh¥n hai ma trªn
Cho ma trªn
A
c§p
m×n
v ma trªn
B
c§p
n×p
. Ta nâi t½ch cõa hai ma trªn
A
v
B
câ c§p
m×p
, k½ hi»u
AB
, l mët ma trªn
C = (c
ik
)
m×p
,
vîi
c
ik
=
n
X
j=1
a
ij
b
jk
.
Ta th§y r¬ng t½ch
AB
tçn t¤i th¼ sè cët cõa
A
b¬ng sè dáng
B
. Ph¦n tû
c
ik
÷ñc thnh lªp b¬ng têng c¡c t½ch t÷ìng ùng cõa c¡c ph¦n tû dáng thù
i
cõa
A
v cët thù
k
cõa
B
. Khi â, sè dáng cõa ma trªn
AB
b¬ng sè dáng cõa
A
v sè
cët cõa
AB
b¬ng sè cët cõa
B
.
V½ dö 1.1.13
Cho hai ma trªn
A =
1 1
2 1
v
B =
1 2 1
0 1 4
.
H¢y t½nh
AB
.
Gi£i.
Ta câ:
AB =
1 1
2 1
1 2 1
0 1 4
=
1.1 + 1.0 1.2 + 1.1 1.1 + 1.4
2.1 + 1.0 2.2 + 1.1 2.1 + 1.4
=
1 3 5
2 5 6
.
Vªy :
AB =
1 3 5
2 5 6
.
V½ dö 1.1.14
Cho hai ma trªn
A =
1 4
3 2
1 0
v
B =
1 6 1
1 0 4
.
T½nh
AB
v
BA
.
Gi£i.
8
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Ta câ:
AB =
1 4
3 2
1 0
.
1 6 1
1 0 4
=
5 6 17
5 18 11
1 6 1
.
T÷ìng tü:
BA =
1 6 1
1 0 4
.
1 4
3 2
1 0
=
20 16
5 4
.
Vªy:
AB =
5 6 17
5 18 11
1 6 1
, BA =
20 16
5 4
.
V½ dö 1.1.15
Cho hai ma trªn
A =
1 1 0
0 1 0
v
B =
1 0 0
1 1 0
0 0 1
.
T½nh
AB
v
BA
.
Gi£i.
Ta câ:
AB =
1 1 0
0 1 0
1 0 0
1 1 0
0 0 1
=
2 1 0
1 1 0
.
Tuy nhi¶n, t½ch
BA
khæng thüc hi»n ÷ñc v¼ sè cët cõa ma trªn
B
khæng b¬ng
sè dáng cõa ma trªn
A
. Vªy
AB =
2 1 0
1 1 0
, BA
khæng tçn t¤i.
Tø c¡c v½ dö tr¶n ta th§y r¬ng:
(i) Câ thº tçn t¤i
AB
nh÷ng khæng tçn t¤i
BA
v ng÷ñc l¤i.
(ii) V· m°t têng qu¡t th¼
AB = BA
.
* T½nh ch§t cõa ph²p nh¥n hai ma trªn
(i)
A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC
(t½nh ph¥n phèi cõa ph²p nh¥n
èi vîi ph²p cëng).
1.1. Ma trªn
9
(ii)
(AB)C = A(BC)
(t½nh k¸t hñp cõa ph²p nh¥n).
(iii)
AI
n
= I
n
A = A
.
(iv)
AO = OA = O
.
(d) Ph²p chuyºn và
Chuyºn và cõa
A = (a
ij
)
m×n
l ma trªn
A
T
= (a
ji
)
n×m
.
V½ dö 1.1.16
Cho
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
.
Khi â,
A
T
=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
.
* T½nh ch§t cõa ph²p chuyºn và
(i)
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
.
(ii)
(A
T
)
T
= A
.
(iii)
(kA)
T
= k( A)
T
.
(iv)
(AB)
T
= B
T
A
T
.
Chóng ta xem x²t th¶m mët sè v½ dö li¶n quan ¸n c¡c ph²p to¡n cõa ma trªn
÷ñc giîi thi»u ð tr¶n
V½ dö 1.1.17
T¼m ma trªn
X
thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh sau:
2 5
1 3
X =
4 −6
2 1
.
Gi£i.
Gåi:
X =
a b
c d
.
Khi â,
2 5
1 3
a b
c d
=
4 −6
2 1
10
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
⇔
2a + 5c 2b + 5d
a + 3c b + 3d
=
4 −6
2 1
⇔
2a + 5c = 4
a + 3c = 2
2b + 5d = −6
b + 3d = 1
⇔
a = 2
b = −23
c = 0
d = 8
.
Vªy
X =
2 −23
0 8
.
V½ dö 1.1.18
T¼m ma trªn
X
thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh sau:
X
1 2 3
3 1 1
=
7 4 5
.
Gi£i.
Gåi:
X =
a b
.
Khi â,
a b
1 2 3
3 1 1
=
7 4 5
⇔
a + 3b 2a + b 3a + b
=
7 4 5
⇔
a + 3b = 7
2a + b = 4
3a + b = 5
⇔
a = 1
b = 2
.
Vªy
X =
1 2
.
1.1.4 C¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n dáng
Cho ma trªn
A = (a
ij
)
m×n
,
(m ≥ 2)
, dáng thù
i
cõa
A
÷ñc k½ hi»u l
d
i
. Khi
â, c¡c ph²p bi¸n êi sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c
ph²p bi¸n êi sì c§p dáng
tr¶n
A
.
(i)
Ph²p êi dáng
: êi ché hai dáng
d
i
v
d
j
cho nhau, cán nhúng dáng kh¡c
giú nguy¶n. K½ hi»u:
d
i
↔ d
j
.
V½ dö 1.1.19
A =
1 2 1
1 5 2
0 1 4
d
1
↔d
3
−−−−→
0 1 4
1 5 2
1 2 1
.
1.1. Ma trªn
11
(ii)
Ph²p t¿ l» hâa
: Nh¥n vo mët dáng
d
i
vîi mët sè thüc
k = 0,
cán nhúng
dáng kh¡c giú nguy¶n. K½ hi»u:
kd
i
.
V½ dö 1.1.20
A =
1 2 3
2 0 1
3 2 1
2d
1
−−−−→
2 4 6
2 0 1
3 2 1
−3d
3
−−−−→
2 4 6
2 0 1
−9 −6 −3
.
(iii)
Ph²p thay th¸ dáng
: Thay
d
i
bði
d
i
cëng vîi
k
l¦n
d
j
, cán nhúng dáng kh¡c
giú nguy¶n. K½ hi»u:
d
i
+ kd
j
.
V½ dö 1.1.21
A =
1 1 2
2 3 5
1 1 4
d
2
−2d
1
−−−−→
1 1 2
0 1 1
1 1 4
d
3
−d
1
−−−−→
1 1 2
0 1 1
0 0 2
.
*
Chó þ r¬ng trong t½nh to¡n ta th÷íng k¸t hñp ph²p bi¸n êi (ii) v (iii)
l¤i vîi nhau. Khi â ta ÷ñc ph²p bi¸n êi (iv) nh÷ sau:
(iv) Thay
d
i
bði
kd
i
cëng vîi
ld
j
, cán nhúng dáng kh¡c giú nguy¶n. K½ hi»u:
kd
i
+ ld
j
.
V½ dö 1.1.22
A =
2 1 2
3 1 4
1 0 3
2d
2
−3d
1
−−−−→
2 1 2
0 −1 2
1 0 3
.
1.1.5 Ma trªn bªc thang dáng
N¸u mët dáng cõa ma trªn câ ½t nh§t mët ph¦n tû kh¡c khæng th¼ ta gåi â
l
dáng kh¡c khæng
. Ng÷ñc l¤i, n¸u t§t c£ c¡c ph¦n tû n¬m tr¶n mët dáng ·u
b¬ng 0 th¼ ta gåi â l
dáng khæng
. Ph¦n tû kh¡c khæng ¦u ti¶n t½nh tø tr¡i
sang ph£i cõa mët dáng ÷ñc gåi l
ph¦n tû cì sð
cõa ma trªn.
Ma trªn
A
÷ñc gåi l
ma trªn bªc thang dáng
n¸u
A
thäa m¢n hai i·u ki»n
sau:
(i) Dáng khæng (n¸u câ) n¬m ph½a d÷îi b§t k¼ dáng kh¡c khæng no cõa ma
trªn.
12
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(ii) N¸u
A
câ ½t nh§t hai dáng kh¡c khæng th¼ èi vîi hai dáng kh¡c khæng tòy
þ, ph¦n tû cì sð cõa dáng ph½a d÷îi luæn ð b¶n ph£i ph¦n tû cì sð cõa
dáng tr¶n.
V½ dö 1.1.23
C¡c ma trªn sau l ma trªn bªc thang dáng.
(i)
A =
1 2
0 1
.
(ii)
B =
1 4 6 3
0 6 −2 0
0 0 0 −1
.
(iii)
C =
2 4 6 3 9
0 0 2 0 1
0 0 0 3 1
0 0 0 0 0
.
Dòng ph²p bi¸n êi sì c§p ÷a mët ma trªn v· d¤ng bªc thang dáng
Måi ma trªn ·u câ thº ÷a v· d¤ng bªc thang dáng b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi
sì c§p tr¶n dáng. Ta x²t v½ dö sau.
V½ dö 1.1.24
÷a c¡c ma trªn sau v· d¤ng bªc thang dáng.
(i)
A =
1 2
2 −2
.
(ii)
B =
1 1 1
2 3 5
−1 0 3
.
1.1. Ma trªn
13
(iii)
C =
1 −2 0 1 −3
3 −1 −2 0 1
2 1 −2 −1 4
1 3 −2 −4 7
.
Gi£i.
(i) Ta câ:
A =
1 2
2 −2
d
2
−2d
1
−−−−→
1 2
0 −6
.
(ii) Ta câ:
B =
1 1 1
2 3 5
−1 0 3
d
2
−2d
1
−−−−−→
d
3
+ d
1
1 1 1
0 1 3
0 1 4
d
3
−d
2
−−−−→
1 1 1
0 1 3
0 0 1
.
(iii) Ta câ:
C =
1 −2 0 −1 −3
3 −1 −2 0 1
2 1 −2 −1 4
1 3 −2 −4 7
d
2
−3d
1
−−−−−−−−→
d
3
− 2d
1
d
4
− d
1
1 −2 0 −1 −3
0 5 −2 −3 10
0 5 −2 −3 10
0 5 −2 −3 10
d
3
−d
2
−−−−−→
d
4
− d
2
1 −2 0 −1 −3
0 5 −2 −3 10
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
1.1.6 H¤ng cõa ma trªn
H¤ng cõa ma trªn
A
l sè dáng kh¡c khæng trong d¤ng bªc thang dáng cõa
A
. K½ hi»u:
r(A)
.
V½ dö 1.1.25
T¼m h¤ng cõa c¡c ma trªn sau:
(i)
A =
1 0 1
2 1 3
−1 2 4
.
14
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(ii)
B =
2 −1 3 −2 4
4 −2 5 1 7
2 −1 1 8 2
.
Gi£i.
(i) Ta câ:
A =
1 0 1
2 1 3
−1 2 4
d
2
−2d
1
−−−−−→
d
3
+ d
1
1 0 1
0 1 1
0 2 5
d
3
−2d
2
−−−−→
1 0 1
0 1 1
0 0 3
.
Vªy
r(A) = 3
.
(ii) Ta câ:
B =
2 −1 3 −2 4
4 −2 5 1 7
2 −1 1 8 2
d
2
−2d
1
−−−−−→
d
3
− d
1
2 −1 3 −2 4
0 0 −1 5 −1
0 0 −2 10 −2
d
3
−2d
2
−−−−→
2 −1 3 −2 4
0 0 −1 5 −1
0 0 0 0 0
.
Vªy
r(B) = 2
.
Nhªn x²t.
H¤ng cõa ma trªn khæng thay êi khi ta thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n
êi sì c§p tr¶n dáng.
1.2 ành thùc
1.2.1 Kh¡i ni»m ành thùc
Cho ma trªn vuæng
A
c§p
n
. ành thùc cõa ma trªn
A
, kþ hi»u l
detA
ho°c
|A|
l mët sè thüc câ ÷ñc b¬ng qui n¤p theo
n
nh÷ sau:
(a) Vîi
n = 1, A = (a
11
)
th¼
|A| = a
11
.
V½ dö 1.2.1
ành thùc cõa ma trªn
A = (−5)
l -5.
1.2. ành thùc
15
(b) Vîi
n = 2, A =
a
11
a
12
a
21
a
22
th¼
|A| =
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
21
a
12
.
V½ dö 1.2.2
T½nh ành thùc cõa c¡c ma trªn sau:
(i)
A =
1 2
3 4
.
(ii)
B =
sin x −cos x
cos x sin x
.
Gi£i.
(i) Ta câ:
|A| =
1 2
3 4
= 1.4 − 3.2 = − 2
.
(ii) Ta câ:
|B| =
sin x −cos x
cos x sin x
= sin
2
x + cos
2
x = 1
.
(c) Vîi
n = 3, A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
th¼
|A| = a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
− a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+ a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
.
V½ dö 1.2.3
T½nh ành thùc cõa ma trªn sau:
A =
1 2 1
3 2 4
2 −1 1
.
Gi£i.
Ta câ:
|A| =
1 2 1
3 2 4
2 −1 1
= 1.
2 4
−1 1
− 2.
3 4
2 1
+ 1.
3 2
2 −1
= 6 + 10 − 7 = 9.
16
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Nhªn x²t:
Ta câ thº t½nh ành thùc c§p 3 b¬ng
qui tc Sarrus
nh÷ sau:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
21
a
32
a
13
−a
13
a
22
a
31
− a
23
a
32
a
11
− a
21
a
12
a
33
.
V½ dö 1.2.4
2 2 1
1 2 5
2 1 3
= 2.2.3 + 2.5.2 + 1.1.1 − 2.2.1 − 1.2.3 − 2.5.1 = 13 .
(d) Vîi
A
l ma trªn vuæng c§p
n
th¼
|A| = a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ ... + a
1n
A
1n
=
n
X
j=1
a
1j
A
1j
.
Trong â,
A
1j
= (−1 )
1+j
|M
1j
|
vîi
M
1j
l ma trªn câ ÷ñc b¬ng c¡ch bä i
dáng
1
v cët
j
tø ma trªn
A
.
V½ dö 1.2.5
T½nh ành thùc cõa ma trªn sau:
A =
1 3 0 2
4 1 2 −1
3 1 0 2
2 3 3 5
.
Gi£i.
Ta câ:
|A| =
1 3 0 2
4 1 2 −1
3 1 0 2
2 3 3 5
= (−1)
1+1
.1.
1 2 −1
1 0 2
3 3 5
+ (−1)
1+2
.3.
4 2 −1
3 0 2
2 3 5
+(−1)
1+3
.0.
4 1 −1
3 1 2
2 3 5
+ (−1)
1+4
.2.
4 1 2
3 1 0
2 3 3
= 1.(−7) − 3.(−55) − 2.17 = 124.
1.2. ành thùc
17
1.2.2 T½nh ch§t cì b£n cõa ành thùc
(a) T½nh ch§t 1.
ành thùc khæng thay êi khi êi dáng thnh cët v ng÷ñc l¤i. Do â, t½nh
ch§t no cõa ành thùc óng vîi dáng th¼ công óng cho cët.
V½ dö 1.2.6
1 2 0
3 4 5
6 −1 0
=
1 3 6
2 4 −1
0 5 0
.
(b) T½nh ch§t 2.
N¸u ành thùc câ chùa dáng khæng th¼ ành thùc b¬ng 0.
V½ dö 1.2.7
3 4 −6 7
3 4 5 4
0 0 0 0
2 −4 6 1
= 0
.
(c) T½nh ch§t 3.
N¸u ành thùc câ chùa 2 dáng t¿ l» th¼ ành thùc b¬ng 0.
V½ dö 1.2.8
1 2 3 4
3 6 9 12
1 4 5 0
2 1 4 6
= 0
.
(d) T½nh ch§t 4.
Thøa sè chung cõa mët dáng câ thº ÷a ra ngoi d§u ành thùc.
V½ dö 1.2.9
2 4 6
−1 0 2
3 −5 4
= 2.
1 2 3
−1 0 2
3 5 4
.
18
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(e) T½nh ch§t 5.
N¸u ta êi ché 2 dáng cõa ành thùc th¼ ành thùc â êi d§u.
V½ dö 1.2.10
1 3 −6
1 4 −2
2 5 1
= −
1 4 −2
1 3 −6
2 5 1
.
(f) T½nh ch§t 6.
ành thùc khæng thay êi n¸u ta cëng vo mët dáng vîi
k
l¦n mët dáng kh¡c.
V½ dö 1.2.11
1 2 3
0 1 2
1 3 5
=
1 2 3
0 1 2
0 1 2
= 0
.
(g) T½nh ch§t 7.
ành thùc cõa ma trªn câ d¤ng tam gi¡c b¬ng t½ch t§t c£ c¡c sè tr¶n ÷íng
ch²o.
V½ dö 1.2.12
(i)
1 3 4
0 2 −1
0 0 4
= 1.2.4 = 8.
(ii)
−1 0 0
2 3 0
−3 4 5
= −1.3.5 = −15.
V½ dö 1.2.13
T½nh ành thùc cõa ma trªn sau:
A =
1 0 1
2 1 3
−1 2 4
.
Gi£i.
Ta câ:
A =
1 0 1
2 1 3
−1 2 4
d
2
−2d
1
−−−−−→
d
3
+ d
1
1 0 1
0 1 1
0 2 5
d
3
−2d
2
−−−−→
1 0 1
0 1 1
0 0 3
.
Vªy
|A| = 1.1.3 = 3.
1.2. ành thùc
19
1.2.3 Cæng thùc khai triºn ành thùc
ành thùc cõa ma trªn vuæng
A
câ thº khai triºn theo dáng thù
i
ho°c cët
thù
j
b§t k¼, tùc l:
(i) Khai triºn theo dáng thù
i
:
|A| = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ ... + a
in
A
in
=
n
X
j=1
a
ij
A
ij
.
(ii) Khai triºn theo cët thù
j
:
|A| = a
1j
A
11
+ a
2j
A
2j
+ ... + a
nj
A
nj
=
n
X
i=1
a
ij
A
ij
Trong â
A
ij
= (−1)
i+j
|M
ij
|
v
M
ij
l ma trªn câ ÷ñc b¬ng c¡ch bä i dáng
i
v cët
j
cõa ma trªn
A
.
Nh÷ vªy, khi t½nh ành thùc ta n¶n khai triºn theo dáng ho°c cët câ nhi·u
sè 0 nh§t º vi»c t½nh to¡n ÷ñc ìn gi£n hìn.
V½ dö 1.2.14
T½nh
|A|
vîi
A =
1 2 3
0 2 0
4 1 2
.
Gi£i.
Khai triºn ành thùc theo dáng 2 ta câ
|A| = 2.
1 3
4 2
= 2(2 − 12) = −2 0
.
V½ dö 1.2.15
T½nh
|B|
vîi
B =
0 1 0 2
2 3 2 3
4 1 2 4
0 1 0 0
.
Gi£i.
Khai triºn ành thùc theo dáng 4 ta câ:
|B| = 1.
0 0 2
2 2 3
4 2 4
.
20
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Ti¸p töc khai triºn ành thùc mîi ny theo dáng 1, ta ÷ñc:
|B| = 1.2.
2 2
4 2
= 1.2.(2.2 − 4.2) = −8.
1.3 Ma trªn nghàch £o
1.3.1 ành ngh¾a
Ma trªn vuæng
A
c§p
n
÷ñc gåi l
kh£ nghàch
n¸u tçn t¤i ma trªn vuæng
B
c§p
n
sao cho:
AB = BA = I
n
,
vîi
I
n
l ma trªn ìn và c§p
n
. Khi â, ma trªn
B
÷ñc gåi l
ma trªn nghàch
£o
cõa
A
v kþ hi»u l
B = A
−1
.
V½ dö 1.3.1
Ma trªn
A =
2 5
1 3
câ ma trªn nghàch £o l
B =
3 −5
−1 2
.
Thªt vªy, ta câ:
AB =
1 0
0 1
= I
2
v
BA =
1 0
0 1
= I
2
.
1.3.2 T½nh ch§t cõa ma trªn nghàch £o
(a) Ma trªn nghàch £o cõa ma trªn
A
n¸u câ l duy nh§t.
(b) N¸u
A
kh£ nghàch th¼
αA (α = 0)
công kh£ nghàch v
(αA)
−1
=
1
α
A
−1
.
(c) N¸u
A, B
kh£ nghàch th¼
AB
công kh£ nghàch v
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
(d) N¸u
A
kh£ nghàch th¼
A
T
công kh£ nghàch v
(A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
.
1.3. Ma trªn nghàch £o
21
1.3.3 T¼m ma trªn nghàch £o b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p
Cho ma trªn vuæng
A
c§p
n
. º t¼m ma trªn nghàch £o cõa
A
b¬ng c¡c
ph²p bi¸n êi sì c§p, ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau ¥y:
B÷îc 1: Lªp ma trªn
(A|I
n
)
.
B÷îc 2: Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p dáng ÷a
(A|I
n
)
v· d¤ng
(A
′
|B)
.
Khi â:
(i) N¸u
A
′
= I
n
th¼
A
kh£ nghàch v
A
−1
= B
.
(ii) N¸u
A
′
= I
n
th¼
A
khæng kh£ nghàch.
V½ dö 1.3.2
Cho
A =
1 1 1
0 1 1
1 0 1
. T¼m
A
−1
(n¸u câ).
Gi£i.
Ta câ:
(A|I
3
) =
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
d
1
−d
2
−−−−→
1 0 0
0 1 1
1 0 1
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
d
3
−d
1
−−−−→
1 0 0
0 1 1
0 0 1
1 −1 0
0 1 0
−1 1 1
d
2
−d
3
−−−−→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −1 0
1 0 −1
−1 1 1
.
Vªy
A
−1
=
1 −1 0
1 0 −1
−1 1 1
.
V½ dö 1.3.3
X²t xem
A =
1 2 3
1 1 1
2 4 6
câ ph£i l ma trªn kh£ nghàch khæng?
Gi£i.
Ta câ:
22
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(A|I
3
) =
1 2 3
1 1 1
2 4 6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
d
3
−2d
1
−−−−→
1 2 3
1 1 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
−2 0 1
.
Suy ra
A
khæng kh£ nghàch.
1.3.4 T¼m ma trªn nghàch £o b¬ng ành thùc
Cho
A
l ma trªn vuæng c§p
n
v °t
C = (c
ij
)
vîi
c
ij
= (−1)
i+j
|M
ij
|
. Khi â,
ta câ k¸t qu£ sau:
Ma trªn vuæng
A
kh£ nghàch khi v ch¿ khi
|A| = 0
. Hìn núa, ma trªn nghàch
£o cõa
A
÷ñc x¡c ành theo cæng thùc:
A
−1
=
1
|A|
C
T
.
V½ dö 1.3.4
T¼m
m
º ma trªn sau kh£ nghàch
A =
1 2 m
0 −1 2
3 m 1
.
Gi£i.
Ta câ
|A| = m+ 11
. Ma trªn
A
kh£ nghàch khi v ch¿ khi
m+ 11 = 0
hay
m = −11
.
V½ dö 1.3.5
T¼m ma trªn nghàch £o cõa ma trªn
A =
1 2 3
2 5 3
1 0 8
.
Gi£i.
Ta câ:
detA = −1 = 0
n¶n
A
kh£ nghàch.
c
11
= 40 c
12
= −13 c
13
= −5 c
21
= −16 c
22
= 5
1.3. Ma trªn nghàch £o
23
c
23
= 2 c
31
= −9 c
32
= 3 c
33
= 1.
Do â
C =
40 −13 −5
−16 5 2
−9 3 1
⇒ C
T
=
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
.
Vªy
A
−1
=
1
−1
C
T
=
−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
.
BI TP
1. Cho c¡c ma trªn
A =
1 1 2
2 2 3
v
B =
3 1 2
1 1 1
.
T½nh
A + 2B
.
2. Cho c¡c ma trªn
A =
2 1 −1
0 −2 −4
v
B =
2 1 0
−3 2 1
.
(a) T½nh
3A + 2B
.
(b) T½nh
2A − B
.
(c) T½nh
A
T
A
v
AA
T
.
3. Cho c¡c ma trªn
A =
2 −1
3 4
,
B =
4 −1
2 −1
v
C =
2 3
−1 0
. T½nh
2A + 3B − 4C
.
4. T¼m
x, y, z, w
bi¸t r¬ng:
3
x y
z w
=
x 6
−1 2w
+
4 x + y
z + w 3
.
5. T½nh c¡c t½ch sau ¥y:
24
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(a)
3 2 1
0 1 2
1
2
3
. (c)
2 1 1
3 0 1
3 1
2 1
1 0
.
(b)
1 −3 2
3 −4 1
2 −5 3
2 5 6
1 2 5
1 3 2
. (d)
5 0 2 3
4 1 5 3
3 1 −1 2
6
−2
7
4
.
6. Thüc hi»n ph²p nh¥n
AB
v
BA
, trong â:
(a)
A =
2 3
2 1
1 2
; B =
1 0 1
3 2 3
.
(b)
A =
1 2 −1
3 0 1
; B =
−1 1 3 2
2 1 −3 −1
1 0 2 −2
.
(c)
A =
4 −1 3
2 3 1
1 0 −3
; B =
1 3 2
4 2 −1
1 0 −3
.
7. Cho c¡c ma trªn
A =
1 1 2
2 0 1
,
B =
2 −1
1 −1
2 0
v
C =
0 1
1 1
. T½nh
ABC
.
8. Cho ma trªn
A =
1 1
0 1
. T½nh
A
n
= A.A...A
(
n
l¦n ma trªn
A
),
n ∈ N
.
1.3. Ma trªn nghàch £o
25
9. Cho c¡c ma trªn
A =
1 3
2 −1
v
B =
1 2 −1
−2 0 1
0 1 3
.
T¼m ma trªn
X
sao cho:
(a)
2A + X = 3I
2
.
(b)
2X + 3B = I
3
.
10. T¼m ma trªn
X
thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh:
(a)
−1 2
−3 1
.X =
2 3
4 1
.
(b)
X.
1 3
2 5
=
5 2
0 1
.
11. ÷a c¡c ma trªn sau v· d¤ng bªc thang dáng:
(a)
A =
1 1
2 3
. (b)
B =
1 2 3
1 2 2
1 3 2
.
(c)
C =
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
.
(d)
D =
1 1 −5 6 2
1 2 −4 7 3
2 2 8 14 9
.
12. X¡c ành h¤ng cõa c¡c ma trªn sau:
26
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(a)
A =
1 1 7
1 2 3
1 3 5
.
(b)
B =
1 1 −3
−1 0 2
−3 5 0
.
(c)
C =
1 2 −1 3
3 7 0 1
2 2 1 −2
.
(d)
D =
1 0 5 −1
1 1 −2 3
3 −1 8 1
1 3 −9 7
.
(e)
E =
2 1 3 4
2 1 6 6
4 2 3 6
6 3 9 13
.
(f)
F =
0 2 −4
−1 −4 5
3 1 7
0 5 −10
2 3 0
.
13. T¼m
m
º h¤ng cõa ma trªn sau ¥y b¬ng 2.
A =
1 2 3
1 3 5
2 4 m + 4
1 4 7
.
14. Bi»n luªn theo
m
h¤ng cõa c¡c ma trªn sau:
(a)
A =
1 1 −3
2 1 m
1 m 3
.
(b)
B =
m 5m − m
2m m 10m
m 2m 3m
−m 4m −11m
.
1.3. Ma trªn nghàch £o
27
15. T¼m
m
º ma trªn sau câ h¤ng nhä nh§t.
P =
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 m
.
16. T½nh c¡c ành thùc c§p 2 sau ¥y:
(a)
3 3
−2 4
. (b)
a + 1 a
a a − 1
.
17. T¼m
x
sao cho:
x 4x
1 2x
= 0.
18. T½nh c¡c ành thùc c§p 3 sau ¥y:
(a)
2 1 1
0 5 −2
1 −3 4
. (b)
7 6 5
1 2 1
3 −2 1
.
(c)
1 2 3
4 2 −3
0 2 −4
. (d)
1 1 1
4 2 3
0 1 4
.
19. T½nh c¡c ành thùc c§p 4 sau ¥y:
(a)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
. (b)
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
.
28
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
20. T¼m
m
º
∆ = 0
vîi
∆ =
2 2m + 2 4
m + 1 2m + 1 2
1 2 2m
.
21. T¼m
m
º
∆ > 0
vîi
∆ =
2m + 2 1 4
m + 3 1 m
3 1 m
.
22. T½nh c¡c ành thùc sau.
(a)
6 0 0 5
1 7 2 −5
2 0 0 0
8 3 1 8
. (b)
0 6 0 1
0 7 2 −5
0 4 1 0
2 3 1 6
.
23. H¢y t½nh ành thùc sau ¥y b¬ng c¡ch khai triºn theo dáng thù ba.
1 0 −1 1
0 −1 − 1 1
a b c d
−1 −1 1 0
.
24. T½nh ành thùc sau b¬ng c¡ch khai triºn theo cët thù t÷.
2 1 1 x
1 2 1 y
1 1 2 z
1 1 1 t
.
25. T½nh c¡c ành thùc sau.
1.3. Ma trªn nghàch £o
29
(a)
D
1
=
1 a b + c
1 b c + a
1 c a + b
. (b)
D
2
=
a b c
a + x b + x c + x
a + y b + y c + y
.
26. Gi£i ph÷ìng tr¼nh:
(a)
x x 1 x
x 1 1 1
x x 2 1
x x 1 3
= 0.
(b)
1 x x
2
x
3
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
= 0.
27. Cho ma trªn
A =
1 2 3
2 1 3
2 −2 m
.
T¼m
m
º ma trªn
A
kh£ nghàch.
28. T¼m
m
º ma trªn
P =
1 m + 1 2
m 2m − 1 2 − 2m
1 2 2m
kh£ nghàch.
29. T¼m
m
º ma trªn
A =
1 1 0
1 m 1
0 2 1
kh£ nghàch. Khi â t¼m
A
−1
.
30. Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p t¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn
sau (n¸u câ).
30
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(a)
A =
1 0 2
2 1 3
4 1 8
.
(b)
B =
1 2 2
−1 −1 5
2 7 −3
.
(c)
C =
1 3 −4
1 5 −1
3 1 −6
. (d)
D =
2 5 7
6 3 4
5 −2 −3
.
31. Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p t¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn
sau (n¸u câ).
(a)
A =
0 0 1 −1
0 3 1 4
2 7 6 −1
1 2 2 −1
.
(b)
B =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
.
(c)
C =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
.
(d)
D =
1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 0
.
32. T¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn sau (n¸u câ) b¬ng ành thùc.
1.3. Ma trªn nghàch £o
31
(a)
A =
2 −1
3 3
.
(b)
B =
−1 2
3 −6
.
(c)
C =
1 4 2
−1 0 1
2 2 3
.
(d)
D =
2 1 −1
0 1 3
2 1 1
.
(e)
E =
0 5 −1
0 8 3
3 1 −4
.
(f)
F =
3 1 −3
2 1 −1
3 1 0
.
P SÈ
1.
A + 2B =
7 3 5
4 5 5
.
2.
(a)
3A + 2B =
10 5 −3
−6 −2 −10
.
(b)
2A − B =
2 1 −2
3 −6 −9
.
(c)
A
T
A =
4 2 −2
2 5 7
−2 7 17
; AA
T
=
6 2
2 20
.
3.
2A + 3B − 4C =
8 −17
16 5
.
4.
x = 2, y = 4, z = 1, w = 3
.
5.
(a)
10
8
.
(c)
9 3
10 3
.
32
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(b)
0 5 −5
3 10 0
2 9 −7
.
(d)
56
69
17
.
6.
(a)
AB =
11 6 11
5 2 5
7 4 7
, BA =
3 5
13 17
.
(b)
AB =
2 3 −5 2
−2 3 11 4
, BA
khæng tçn t¤i.
(c)
AB =
3 10 0
15 12 −2
−2 3 11
, BA =
12 8 0
19 2 17
1 −1 12
.
7.
ABC =
−2 5
−2 4
.
8.
A
n
=
1 n
0 1
.
9.
(a)
X =
1 −6
−4 5
.
(b)
X =
−1 3
3
2
3
1
2
−
3
2
0 −
3
2
−4
.
10.
(a)
X =
−
6
5
1
5
2
5
8
5
.
(b)
X =
−21 13
2 −1
.
11.
(a)
1 1
0 1
.
(c)
1 4 7 10
0 −3 −6 −9
0 0 0 0
.
1.3. Ma trªn nghàch £o
33
(b)
1 2 0
0 1 −1
0 0 −1
.
(d)
1 1 −5 6 2
0 1 1 1 1
0 0 18 2 5
0 0 0 0 0
.
12. (a)
r(A) = 3.
(b)
r(B) = 2.
(c)
r(C) = 3.
(d)
r(D) = 3.
(e)
r(E) = 3.
(f)
r(F ) = 2.
13.
m = 2
.
14.
(a) N¸u
m = 0
ho°c
m = −5
th¼
r(A) = 2
. N¸u
m = 0
v
m = −5
th¼
r(A) = 3.
(b) N¸u
m = 0
th¼
r(B) = 0
. N¸u
m = 0
th¼
r(B) = 2
.
15.
m = 7.
16. (a)
18.
(b)
−1
.
17.
x = 0, x = 2
.
18. (a)
21.
(b)
0.
(c)
54.
(d)
−7.
19. (a)
48.
(b)
160.
20.
m = −1, m = 1, m = 0
.
21.
0 < m < 4.
22. (a)
10.
(b)
−58.
23.
−a + b + d.
24.
−x − y − z + 4t.
25. (a)
D
1
= 0.
(b)
D
2
= 0.
26. (a)
x = 0, x = 1, x = 3.
(b)
x = 2, x = 3, x = 4.
27.
m = 0
.
28.
m = ±1
v
m = 0
.
34
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
29.
m = 3
v
A
−1
=
1
m − 3
m − 2 −1 1
−1 1 −1
2 −2 m − 1
.
30.
(a)
A
−1
=
5 2 −2
−4 0 1
−2 −1 1
.
(c)
C
−1
=
1
36
−29 14 17
3 6 −3
−14 8 2
.
(b)
B
−1
=
1
28
32 −20 −12
−7 7 7
5 3 −1
.
(d)
D
−1
=
1 −1 1
−38 41 −34
27 −29 24
.
31.
(a)
A
−1
=
1
6
−1 3 −7 20
−7 −3 5 −10
9 3 −3 6
3 3 −3 6
.
(c)
C
−1
=
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
.
(b)
B
−1
=
1
4
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
.
(d)
D
−1
=
0 0 0 1
1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
.
32.
(a)
A
−1
=
1
9
3 1
−3 2
.
(d)
D
−1
=
1
2
−1 −1 2
3 2 −3
−1 0 1
.
(b)
B
−1
khæng tçn t¤i. (e)
E
−1
=
1
69
−35 19 23
9 3 0
−24 15 0
.
1.3. Ma trªn nghàch £o
35
(c)
C
−1
=
1
14
−2 −8 4
5 −1 − 3
−2 6 4
.
(f)
F
−1
=
1
14
−1 −3 2
−3 9 −3
−1 0 1
.
TI LIU CN ÅC
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 1 v bi tªp to¡n cao
c§p tªp 1
, NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 1
, NXB HQG H Nëi
- 2006.
36
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Ch֓ng 2
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
Sau khi håc xong ch÷ìng ny, ng÷íi håc câ thº:
- Gi£i ÷ñc c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Gauss vîi h»
têng qu¡t v ph÷ìng ph¡p Cramer vîi h» câ sè ph÷ìng tr¼nh b¬ng sè ©n.
- Bi»n luªn theo tham sè c¡c v§n · nh÷ h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m, væ
nghi»m ho°c væ sè nghi»m.
- Hiºu c¡c mæ h¼nh tuy¸n t½nh ùng döng vo thüc t¸ nh÷ mæ h¼nh c¥n b¬ng
thà tr÷íng, mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n, mæ h¼nh IS-LM v mæ
h¼nh c¥n èi li¶n ngnh.
2.1 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
(a) Mët
h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
l mët h» thèng gçm
m
ph÷ìng tr¼nh v
n
©n sè câ d¤ng:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.. . . . . ..... . . . ..... . . . ...... . . . ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(2.1)
37
38
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
trong â
a
ij
, b
i
l c¡c h» sè cho tr÷îc v
x
j
l c¡c ©n sè.
Khi
m = n
th¼ h» (2.1) l h» gçm
n
ph÷ìng tr¼nh v
n
©n.
Khi
b
i
= 0
vîi måi
i
th¼ ta ÷ñc h» sau:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= 0
.. . . . . ..... . . . ..... . . . ...... . . . ..
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= 0
(2.2)
H» (2.2) ÷ñc gåi l
h» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t
.
V½ dö 2.1.1
(i) H» ph÷ìng tr¼nh
2x
1
+ 4 x
2
− 3 x
3
+ 2 x
4
= 7
5x
1
− 1 0x
2
+ 8 x
3
+ x
4
= 2
x
1
+ 5 x
2
− 3 x
3
+ 3x
4
= 4
l h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gçm câ 3 ph÷ìng tr¼nh 4 ©n sè.
(ii) H» ph÷ìng tr¼nh
2x
1
− 5 x
2
+ x
3
= 0
4x
1
− 2 x
3
= 0
l mët h» thu¦n nh§t gçm 2 ph÷ìng tr¼nh 3 ©n.
(b) Nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.1) l mët bë sè
(c
1
, c
2
, ..., c
n
)
sao cho khi
ta thay
x
1
= c
1
, x
2
= c
2
, ..., x
n
= c
n
vo (2.1) th¼ ta câ
m
¯ng thùc luæn óng.
Qu¡ tr¼nh t¼m tªp hñp nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gåi l
gi£i h»
ph÷ìng tr¼nh
. Mët h» ph÷ìng tr¼nh câ thº câ nghi»m ho°c væ nghi»m.
(c) Hai h» ph÷ìng tr¼nh câ sè ©n b¬ng nhau ÷ñc gåi l
t÷ìng ÷ìng
n¸u
chóng câ còng tªp hñp nghi»m.
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
39
2.1.2 D¤ng ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
X²t h» ph÷ìng tr¼nh
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.. . . . . ..... . . . ..... . . . ...... . . . ...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
.
Khi â: ma trªn
A =
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
21
... a
2n
... ... ... ...
a
m1
a
m2
... a
mn
÷ñc gåi l
ma trªn h» sè
.
Ma trªn
B =
b
1
b
2
...
b
m
÷ñc gåi l
ma trªn cët tü do
.
Ma trªn
¯
A = (A|B) =
a
11
a
12
... a
1n
b
1
a
21
a
22
... a
2n
b
2
... ... ... ...
...
a
m1
a
m2
... a
mn
b
m
÷ñc gåi l
ma trªn bê
sung
.
Ma trªn
X =
x
1
x
2
...
x
n
÷ñc gåi l
ma trªn ©n sè
hay
ma trªn ©n
.
Vîi ph²p nh¥n ma trªn vîi ma trªn th¼ h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ÷ñc vi¸t d÷îi
d¤ng
AX = B,
40
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
v ta gåi ¥y l
d¤ng ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh
¢ cho.
N¸u h» thu¦n nh§t th¼
B
l ma trªn khæng.
V½ dö 2.1.2
Cho h» ph÷ìng tr¼nh
x
1
+ 2 x
2
+ x
3
− x
4
= 0
2x
1
+ x
3
+ x
4
= 3
x
2
+ x
4
= 1
.
Khi â ta câ:
A =
1 2 1 −1
2 0 1 1
0 1 0 1
,
¯
A =
1 2 1 −1
0
2 0 1 1
3
0 1 0 1
1
,
B =
0
3
1
, X =
x
1
x
2
x
3
x
4
.
H» ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m l
(1, 0, 0, 1)
.
Chó þ:
Ta câ thº vi¸t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng
X =
1
0
0
1
ho°c
x
1
= 1
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
= 1
.
2.1.3 ành lþ Kronecker-Capelli
Cho h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
n
©n, câ ma trªn h» sè l
A
v ma trªn bê
sung l
¯
A
. Khi â:
(i) N¸u
r(A) < r(
¯
A)
th¼ h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.
(ii) N¸u
r(A) = r(
¯
A) = n
th¼ h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
41
(iii) N¸u
r(A) = r(
¯
A) < n
th¼ h» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m phö thuëc vo
n − r(A)
©n tü do.
V½ dö 2.1.3
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh sau theo tham sè
m
:
mx
1
+ x
2
+ x
3
= 1
x
1
+ mx
2
+ x
3
= 1
x
1
+ x
2
+ mx
3
= 1
.
Gi£i.
Ta câ:
¯
A =
m 1 1
1
1 m 1
1
1 1 m
1
d
1
↔d
3
−−−−→
1 1 m
1
1 m 1
1
m 1 1
1
d
2
−d
1
−−−−−−−−→
d
3
− md
1
1 1 m
1
0 m − 1 1 − m
0
0 1 − m 1 − m
2
1 − m
d
3
+d
2
−−−−→
1 1 m
1
0 m − 1 1 − m
0
0 0 (1 − m)(m + 2)
1 − m
.
−
Vîi
m = 1
v
m = −2
th¼
r(A) = r(
¯
A) = n
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m
duy nh§t. H» t÷ìng ÷ìng vîi:
mx
1
+ x
2
+ x
3
= 1
(m − 1)x
2
+ ( 1 − m)x
3
= 0
(1 − m)( m + 2)x
3
= 1 − m
.
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l
x
1
=
m
m + 2
, x
2
=
1
m + 2
, x
3
=
1
m + 2
.
−
Vîi
m = 1
th¼
r(A) = r(
¯
A) < n
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m. H»
ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi:
x
1
+ x
2
+ x
3
= 1.
Chån
x
2
, x
3
l ©n tü do th¼
x
1
= −x
2
− x
3
.
−
Vîi
m = −2
th¼
r(A) < r(
¯
A)
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.
42
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
2.1.4 Thuªt to¡n Gauss
B֔c 1
: Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n dáng ÷a ma trªn bê sung
v· d¤ng bªc thang. Tø â suy ra
r(A)
v
r(
¯
A)
v k¸t luªn h» ph÷ìng tr¼nh câ
nghi»m hay væ nghi»m. N¸u h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m, ta chuyºn sang b÷îc 2.
B֔c 2
: Vi¸t ra h» ph÷ìng tr¼nh mîi t÷ìng ÷ìng vîi h» ph÷ìng tr¼nh ¢
cho v suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh.
V½ dö 2.1.4
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x
1
+ x
2
− x
3
= 0
3x
1
− 2 x
2
+ x
3
= 2
2x
1
− x
2
+ x
3
= 3
.
Gi£i.
Ta câ:
¯
A =
1 1 −1
0
3 −2 1
2
2 −1 1
3
d
2
−3d
1
−−−−−−−−→
d
3
− 2d
1
1 1 −1
0
0 −5 4
2
0 −3 3
3
5d
3
−3d
2
−−−−→
1 −1 1
0
0 −5 4
2
0 0 3
9
.
Ta th§y
r(
¯
A) = r(A) = 3
n¶n h» câ nghi»m duy nh§t.
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» ph÷ìng tr¼nh sau :
x
1
+ x
2
− x
3
= 0
−5x
2
+ 4x
3
= 2
3x
3
= 9
.
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (th¸ ng÷ñc l¶n) l:
x
1
= 1
x
2
= 2
x
3
= 3
.
V½ dö 2.1.5
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x
1
+ x
2
+ 3 x
3
= 3
2x
1
+ 2x
2
+ 6 x
3
= 9
.
Gi£i.
Ta câ:
¯
A =
1 1 3
3
2 2 6 9
d
2
−2d
1
−−−−→
1 1 3
3
0 0 0 3
.
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
43
Ta th§y
r(
¯
A) = 2, r(A) = 1
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.
V½ dö 2.1.6
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= 2
x
1
− x
3
+ 2 x
4
= 0
−x
1
+ 2x
2
− 2 x
3
+ 7 x
4
= −7
2x
1
− x
2
− x
3
= 3
.
Gi£i.
Ta câ :
¯
A =
1 −1 1 −1
1 0 −1 2
−1 2 −2 7
2 −1 − 1 0
2
0
−7
3
d
2
−d
1
−−−−−−−−→
d
3
+ d
1
d
4
− 2d
1
1 −1 1 −1
0 1 −2 3
0 1 −1 6
0 1 −3 2
2
−2
−5
−1
d
3
−d
2
−−−−−→
d
4
− d
2
1 −1 1 −1
0 1 −2 3
0 0 1 3
0 0 −1 −1
2
−2
−3
1
d
4
+d
3
−−−−→
1 −1 1 −1
0 1 −2 3
0 0 1 3
0 0 0 2
2
−2
−3
−2
.
V¼
r(
¯
A) = r(A) = 4
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» :
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= 2
x
2
− 2 x
3
+ 3 x
4
= −2
x
3
+ 3 x
4
= −3
2x
4
= −2
.
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l:
X = ( 2, 1, 0, − 1 ).
2.1.5 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= 0
.. . . . . ..... . . . ..... . . . ...... . . . ..
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= 0
(2.3)
Tr÷îc h¸t, ta câ mët sè nhªn x²t sau:
44
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
(i) Ma trªn h» sè v ma trªn bê sung cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.3) luæn câ h¤ng
b¬ng nhau n¶n h» ph÷ìng tr¼nh luæn câ nghi»m. Ngoi ra, ta ch¿ c¦n x²t
ma trªn h» sè m khæng c¦n x²t ma trªn bê sung.
(ii) H» ph÷ìng tr¼nh (2.3) luæn nhªn
(0, 0, ..., 0)
lm nghi»m. Nghi»m ny ÷ñc
gåi l
nghi»m t¦m th÷íng
hay
nghi»m khæng
.
Düa vo ành l½ Kronecker-Capelli ta suy ra:
(a) H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m t¦m th÷íng khi v ch¿ khi
r(A)
b¬ng sè ©n.
(b) H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m khæng t¦m th÷íng khi v ch¿ khi
r(A)
b² hìn sè ©n.
°c bi»t, khi
A
l ma trªn vuæng th¼:
H» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m nghi»m t¦m th÷íng khi v ch¿ khi
|A| = 0
.
H» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m khi v ch¿ khi
|A| = 0
.
V½ dö 2.1.7
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
x
1
+ 2 x
2
+ x
3
− x
4
= 0
2x
1
− 2 x
2
− 2 x
3
− 2 x
4
= 0
x
1
+ x
2
+ 2 x
3
− 2 x
4
= 0
4x
1
+ 3 x
2
+ 2 x
3
− 5 x
4
= 0
.
Gi£i.
Ta câ :
¯
A =
1 2 1 −1
2 −2 −2 −2
1 3 2 −2
4 3 2 −5
d
2
−2d
1
−−−−−−−−→
d
3
− d
1
d
4
− 4d
1
1 2 1 −1
0 −6 −4 0
0 1 1 −1
0 −5 −2 −1
d
2
↔d
3
−−−−→
1 2 1 −1
0 1 1 −1
0 −6 −4 0
0 −5 −2 −1
d
1
−2d
2
−−−−−−−−→
d
3
+ 6d
2
d
4
+ 5d
2
1 0 −1 1
0 1 1 −1
0 0 2 −6
0 0 3 −6
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
45
1
2
d
3
−−→
1
3
d
4
1 0 −1 1
0 1 1 −1
0 0 1 −3
0 0 1 −2
d
1
+d
3
−−−−−−−→
d
2
− d
3
d
4
− d
3
1 0 0 −2
0 1 0 2
0 0 1 −3
0 0 0 1
.
Suy ra
r(A) = 4
v b¬ng sè ©n n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t:
X = ( 0, 0, 0, 0 ) .
2.1.6 H» ph÷ìng tr¼nh Cramer
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gçm
n
ph÷ìng tr¼nh v
n
©n:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.. . . . . ..... . . . ..... . . . ...... . . . ..
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
(2.4)
H» ph÷ìng tr¼nh (2.4) ÷ñc gåi l h» Cramer n¸u
|A| = 0
.
(a)
Ph÷ìng ph¡p ma trªn nghàch £o
Vi¸t l¤i h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) ð d¤ng ma trªn
AX = B
. Tø â suy ra
X =
A
−1
B
. Nh÷ vªy vi»c gi£i h» ph÷ìng tr¼nh ny t÷ìng ÷ìng vîi vi»c t¼m ma trªn
nghàch £o cõa
A
.
V½ dö 2.1.8
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
2x
1
+ 4 x
2
+ 3 x
3
= 4
3x
1
+ x
2
− 2 x
3
= −2
4x
1
+ 11 x
2
+ 7 x
3
= 7
.
Gi£i.
46
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
Ta câ:
A =
3 2 1
2 3 1
2 1 3
. Ma trªn nghàch £o cõa
A
l:
A
−1
=
1
29
29 5 −11
−29 2 13
29 −6 10
.
Suy ra
X =
x
1
x
2
x
3
= A
−1
B =
1
29
29 5 −11
−29 2 13
29 −6 10
4
−2
7
=
1
−1
2
.
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l:
X = ( 1, −1 , 2) .
(b)
ành lþ Cramer
(i) N¸u
|A| = 0
th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) câ nghi»m duy nh§t
x
j
=
|A
j
|
|A|
, vîi
A
l ma trªn h» sè v
A
j
ma trªn thu ÷ñc b¬ng c¡ch thay cët thù
j
cõa ma
trªn
A
bði ma trªn cët tü do.
(ii) N¸u
|A| = 0
v câ mët
|A
j
| = 0
th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) væ nghi»m.
(iii) N¸u
|A| = 0
v
|A
j
| = 0
vîi måi
j
th¼ khæng k¸t luªn g¼ v· nghi»m cõa h»
ph÷ìng tr¼nh (2.4). H» ph÷ìng tr¼nh câ thº væ nghi»m ho°c væ sè nghi»m.
V½ dö 2.1.9
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
3x
1
+ 2 x
2
+ x
1
= 5
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 1
2x
1
+ x
2
+ 3 x
3
= 11
.
Gi£i.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
47
Ta câ:
|A| =
3 2 1
2 3 1
2 1 3
= 12 = 0
n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.
|A
1
| =
5 2 1
1 3 1
11 1 3
= 24, |A
2
| =
3 5 1
2 1 1
2 11 3
= −24,
v
|A
3
| =
3 2 5
2 3 1
2 1 11
= 36.
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l:
x
1
=
|A
1
|
|A|
=
24
12
= 2, x
2
=
|A
2
|
|A|
=
−24
12
= −2, x
3
=
|A
3
|
|A|
=
36
12
= 3
.
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l
X = ( 2, −2 , 3) .
2.2 Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
2.2.1 Mæ h¼nh c¥n b¬ng thà tr÷íng
Gi£ sû ta nghi¶n cùu thà tr÷íng bao gçm
n
hng hâa câ li¶n quan vîi nhau.
Ng÷íi ta th÷íng biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng cung v l÷ñng c¦u vo gi¡
cõa c¡c hng hâa bði c¡c hm cung v hm c¦u nh÷ sau:
Q
S
i
= S
i
(P
1
, P
2
, ..., P
i
, ..., P
n
), Q
D
i
= D
i
(P
1
, P
2
, ..., P
i
, ..., P
n
), i = 1, ..., n,
vîi
P
i
l gi¡ cõa hng hâa thù
i
.
Mæ h¼nh c¥n b¬ng thà tr÷íng
n
hng hâa câ li¶n quan (c¥n b¬ng cung c¦u)
÷ñc x¡c ành bði
Q
S
i
= Q
D
i
, i = 1, ..., n.
48
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
N¸u
Q
S
i
v
Q
D
i
câ d¤ng tuy¸n t½nh th¼ mæ h¼nh tr¶n ch½nh l h» ph÷ìng tr¼nh
gçm
n
ph÷ìng tr¼nh v
n
©n
P
i
, i = 1, ..., n.
Gi£i h» ta t¼m ÷ñc
bë gi¡ c¥n b¬ng
thà tr÷íng:
¯
P = (
¯
P
1
,
¯
P
2
, ...,
¯
P
n
).
Thay vo
Q
S
i
(ho°c
Q
D
i
), ta ÷ñc bë l÷ñng c¥n b¬ng thà tr÷íng:
¯
Q = (
¯
Q
1
,
¯
Q
2
, ...,
¯
Q
n
).
V½ dö 2.2.1
Cho bi¸t hm cung, hm c¦u cõa thà tr÷íng cõa hai lo¤i hng hâa
nh÷ sau:
Hng hâa 1:
Q
S
1
= −2 + 3P
1
, Q
D
1
= 8 − 2P
1
+ P
2
Hng hâa 2:
Q
S
2
= −1 + 2P
2
, Q
D
2
= 11 + P
1
− P
2
.
vîi
Q
S
i
,
Q
D
i
,
P
i
l¦n l÷ñt l l÷ñng cung, l÷ñng c¦u v gi¡ hng hâa
i
. Khi thà
tr÷íng c¥n b¬ng h¢y x¡c ành gi¡ v l÷ñng c¥n b¬ng cõa hai m°t hng tr¶n.
Gi£i.
Khi thà tr÷íng c¥n b¬ng th¼:
Q
S
1
= Q
D
1
Q
S
2
= Q
D
2
⇔
5P
1
− P
2
= 10
−P
1
+ 3 P
2
= 12
Gi£i h» ta ÷ñc
P
1
= 3, P
2
= 5
. Vªy bë gi¡ c¥n b¬ng l:
¯
P = (3; 5)
v l÷ñng c¥n
b¬ng l:
¯
Q
D
1
=
¯
Q
S
1
= 7
,
¯
Q
D
2
=
¯
Q
S
2
= 9.
2.2.2 Mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n
X²t mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n ð d¤ng ìn gi£n, vîi c¡c kþ hi»u:
Y
l têng thu nhªp quèc d¥n,
G
0
l mùc chi ti¶u cè ành cõa ch½nh phõ,
I
0
l mùc
¦u t÷ cè ành theo k¸ ho¤ch v
C
l ti¶u dòng cõa c¡c hë gia ¼nh. Gi£ thi¸t
r¬ng chi ti¶u hë gia ¼nh câ d¤ng tuy¸n t½nh:
C = aY + b
vîi
0 < a < 1, b > 0.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
49
Mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n câ d¤ng h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
gçm 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n
Y
v
C
:
Y = G
0
+ I
0
+ C
C = aY + b
⇔
Y − C = G
0
+ I
0
−aY + C = b
.
Gi£i h» ta x¡c ành ÷ñc mùc thu nhªp c¥n b¬ng v mùc ti¶u dòng c¥n b¬ng
cõa n·n kinh t¸ l:
¯
Y =
G
0
+ I
0
+ b
1 − a
,
¯
C =
b + a(G
0
+ I
0
)
1 − a
.
Ti¸p theo, x²t mæ h¼nh trong tr÷íng hñp thu nhªp chàu thu¸ vîi thu¸ su§t
t%
. Khi â, thu nhªp sau thu¸ l
Y
d
= Y −tY = (1 −t)Y
v hm chi ti¶u câ d¤ng
C = aY
d
+ b = a(1 − t)Y + b.
V½ dö 2.2.2
Cho
C = 0, 8Y
d
+ 25 0, I = I
0
, G = G
0
, Y
d
= (1 − t)Y
vîi
t
l thu¸
su§t thu nhªp.
(i) H¢y t½nh mùc thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng.
(ii) T½nh mùc thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng vîi
I
0
= 150, G
0
= 500
v
t = 15%
.
Gi£i.
Mæ h¼nh c¥n b¬ng
Y = G
0
+ I
0
+ C
C = 0, 8Y
d
+ 25 0
⇔
Y − C = G
0
+ I
0
−0, 8(1 − t)Y + C = 250
(a) Vªy thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng l:
¯
Y =
G
0
+ I
0
+ 25 0
1 − 0, 8(1 − t)
,
¯
C =
0, 8(1 − t) ( G
0
+ I
0
) + 250
1 − 0, 8(1 − t)
.
(b) Vîi
I
0
= 150
,
G
0
= 500
v
t = 15%
, ta câ:
¯
Y = 2812, 5,
¯
C = 2162, 5.
50
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
2.2.3 Mæ h¼nh IS-LM
Mæ h¼nh IS-LM º ph¥n t½ch tr¤ng th¡i c¥n b¬ng cõa n·n kinh t¸ trong c£ 2
thà tr÷íng hng hâa v ti·n t». Mët trong nhúng y¸u tè quan trång £nh h÷ðng
tîi c£ 2 thà tr÷íng ny l l¢i su§t
r
. Möc ti¶u cõa ta l ph£i x¡c ành ÷ñc mùc
thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng.
X²t thà tr÷íng hng hâa vîi c¡c y¸u tè gçm chi ti¶u ch½nh phõ
G
0
. Chi ti¶u
hë gia ¼nh
C = aY + b
(
0 < a < 1, b > 0
) (ho°c
C = a(1 − t)Y + b
,
t
: thu¸ su§t
thu nhªp), ¦u t÷
I = k − lr(k, l > 0)
. Khi c¥n b¬ng thà tr÷íng hng hâa th¼
Y = C + I + G
0
= aY + b + k − lr + G
0
⇔ (1 − a)Y + lr = b + k + G
0
(2.5)
(2.5) l ph÷ìng tr¼nh ÷íng IS.
X²t thà tr÷íng ti·n t» vîi c¡c y¸u tè l÷ñng c¦u ti·n
L = L(Y, r) = mY −
nr(m, n > 0)
v l÷ñng cung ti·n
M = M
0
(÷ñc ành tr÷îc). Khi c¥n b¬ng cõa
thà tr÷íng ti·n t» th¼
L = M ⇔ mY − nr = M
0
.
(2.6)
(2.6) l ph÷ìng tr¼nh ÷íng LM.
H¢y x¡c ành mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng
¯
Y
v
¯r
, ta thi¸t
lªp h» gçm 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n
Y, r
(mæ h¼nh IS-LM).
IS
LM
⇔
(1 − a)Y + lr = b + k + G
0
mY − nr = M
0
.
Gi£i h» ta ÷ñc mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng l:
¯
Y =
−n(b + k + G
0
) − lM
0
−n(1 − a) − ml
; ¯r =
(1 − a)M
0
− m(b + k + G
0
)
−n(1 − a) − ml
.
V½ dö 2.2.3
X²t mæ h¼nh IS-LM vîi
C = 0, 6Y + 35, I = 65 − r
,
G = G
0
, L =
5Y − 50r, M = M
0
.
(i) X¡c ành mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng
¯
Y , ¯r.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
51
(ii) T½nh
¯
Y , ¯r
khi
G
0
= 70
,
M
0
= 1500
.
Gi£i.
(i) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng IS:
Y = C + I + G
0
= 0, 6Y + 35 + 65 − r + G
0
⇔ 0, 4Y + r = 100 + G
0
.
Ph÷ìng tr¼nh ÷íng LM:
L = M
0
⇔ 5Y − 50r = M
0
.
Ta x¡c ành thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng tø h» 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n
Y
v
r.
IS
LM
⇔
0, 4Y + r = 100 + G
0
5Y − 50r = M
0
.
Gi£i h» ta ÷ñc
¯
Y =
5000 + G
0
+ M
0
25
; ¯r =
500 + 5G
0
− 0 , 4M
0
25
.
(ii) Vîi
G
0
= 70, M
0
= 1500
, ta câ:
¯
Y =
5000 + 350 0 + 1500
25
= 400
(ngh¼n t¿ VN)
;
¯r =
500 + 350 − 600
25
= 10%.
2.2.4 Mæ h¼nh c¥n èi li¶n ngnh
Trong mët n·n kinh t¸ hi»n ¤i, vi»c s£n xu§t mët lo¤i s£n ph©m hng hâa
no â (output) ái häi ph£i sû döng c¡c lo¤i hng hâa kh¡c nhau º lm nguyn
li»u ¦u vo (input) cõa qu¡ tr¼nh s£n xu§t v vi»c x¡c ành têng c¦u èi vîi
s£n ph©m cõa méi ngnh s£n xu§t trong têng thº n·n kinh t¸ l quan trång, nâ
bao gçm:
−
C¦u trung gian tø ph½a c¡c nh s£n xu§t sû döng lo¤i s£n ph©m â cho
qu¡ tr¼nh s£n xu§t.
52
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
−
C¦u cuèi còng tø ph½a nhúng ng÷íi sû döng s£n ph©m º ti¶u dòng ho°c
xu§t kh©u, bao gçm c¡c hë gia ¼nh, Nh n÷îc, c¡c tê chùc s£n xu§t.
X²t mët n·n kinh t¸ câ
n
ngnh s£n xu§t. º thuªn ti»n cho vi»c t½nh chi
ph½ cho c¡c y¸u tè s£n xu§t, ta ph£i biºu di¹n l÷ñng c¦u cõa t§t c£ c¡c lo¤i hng
hâa ð d¤ng gi¡ trà, tùc l o b¬ng ti·n. Têng c¦u v· s£n ph©m hng hâa cõa
ngnh
i
(
i = 1, .., n
) ÷ñc x¡c ành bði:
x
i
= x
i1
+ x
i2
+ ··· + x
ik
+ b
i
i = 1, .., n.
(2.7)
−
Trong â:
x
ik
l gi¡ trà s£n ph©m cõa ngnh
i
m ngnh
k
c¦n sû döng cho
qu¡ tr¼nh s£n xu§t cõa m¼nh (gi¡ trà c¦u trung gian),
b
i
l gi¡ trà s£n ph©m cõa
ngnh
i
dnh cho nhu c¦u ti¶u dòng v s£n xu§t (gi¡ trà c¦u cuèi còng).
Tuy nhi¶n, trong thüc t¸, ta th÷íng khæng câ thæng tin v· gi¡ trà c¦u trung
gian
x
ik
, nh÷ng ng÷íi ta l¤i chõ ëng trong vi»c x¡c ành t¿ ph¦n chi ph½ ¦u
vo cõa s£n xu§t. Kþ hi»u
a
ik
l t¿ ph¦n chi ph½ ¦u vo cõa ngnh
k
èi vîi s£n
ph©m cõa ngnh
i
, nâ ÷ñc t½nh bði cæng thùc:
a
ik
=
x
ik
x
k
i, k = 1, .., n.
Chó þ r¬ng
0 ≤ a
ik
< 1
v gi£ thi¸t
a
ik
l cè ành èi vîi méi ngnh s£n xu§t
i
(
k = 1, .., n
). Ng÷íi ta gåi
a
ik
l h» sè chi ph½ ¦u vo v ma trªn
A = (a
ik
)
l ma
trªn h» sè chi ph½ ¦u vo (hay ma trªn h» sè kÿ thuªt). Ch¯ng h¤n,
a
ik
= 0, 3
ngh¾a l º s£n xu§t ra 1 çng gi¡ trà s£n ph©m cõa m¼nh, ngnh
k
ph£i chi ra
0,3 çng º mua s£n ph©m cõa ngnh
i
º phöc vö cho qu¡ tr¼nh s£n xu§t. Ta
°t:
X =
x
1
x
2
...
x
n
; B =
b
1
b
2
...
b
n
,
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
53
l¦n l÷ñt l ma trªn têng c¦u v ma trªn c¦u cuèi còng. Khi â, tø (2.7), thay
x
ik
= a
ik
x
k
, ta câ:
x
i
= a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ ... + a
in
x
n
+ b
i
i = 1, ..., n
.
Hay biºu di¹n d÷îi d¤ng ma trªn:
x
1
x
2
...
x
n
=
a
11
a
12
... a
1n
a
21
a
22
... a
2n
... ... ... ...
a
n1
a
n2
... a
nn
x
1
x
2
...
x
n
+
b
1
b
2
...
b
n
.
Tùc l:
X = AX + B.
(2.8)
Gi£i mæ h¼nh
Tø (2.8), ta câ
(I − A)X = B
. N¸u
|I − A| = 0
th¼
X = (I − A)
−1
B.
(2.9)
Cæng thùc (2.9) ÷ñc gåi l cæng thùc t½nh ma trªn têng c¦u. Ma trªn
(I − A)
÷ñc gåi l ma trªn Leontief. Nh÷ vªy, n¸u bi¸t ma trªn h» sè kÿ thuªt
A
v
ma trªn c¦u cuèi còng th¼ s³ x¡c ành ÷ñc gi¡ trà têng c¦u cõa c¡c ngnh s£n
xu§t.
V½ dö 2.2.4
Gi£ sû trong mët n·n kinh t¸ câ hai ngnh s£n xu§t: ngnh 1 v
ngnh 2 câ ma trªn h» sè kÿ thuªt l:
A =
0, 2 0, 3
0, 4 0, 1
.
Cho bi¸t gi¡ trà c¦u cuèi còng èi vîi s£n ph©m cõa ngnh 1 v ngnh 2 l¦n l÷ñt
l 10 v 20 t¿ çng. H¢y x¡c ành gi¡ trà têng c¦u èi vîi méi ngnh.
54
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
Gi£i.
K½ hi»u
X =
x
1
x
2
l ma trªn têng c¦u. Vîi
x
1
, x
2
l gi¡ trà têng c¦u cõa
ngnh 1 v ngnh 2.
Theo gi£ thi¸t ma trªn c¦u cuèi
b
câ d¤ng:
b =
10
20
. Theo (2.9), ta câ:
X = (I − A)
−1
B
I − A =
1 0
0 1
−
0, 2 0, 3
0, 4 0, 1
=
0, 8 −0, 3
−0, 4 0, 9
.
|I − A| = 0, 6
v
(I − A)
−1
=
1
0, 6
0, 9 0, 3
0, 4 0, 8
.
Vªy ma trªn têng c¦u l:
X = (I − A)
−1
B =
25
100
3
.
Vªy gi¡ trà cõa têng c¦u ngnh 1 v 2 l¦n l÷ñt l 25 v
100
3
(t¿ çng).
V½ dö 2.2.5
Gi£ sû trong mët n·n kinh t¸ câ ba ngnh s£n xu§t: ngnh 1,
ngnh 2 v ngnh 3 câ ma trªn h» sè kÿ thuªt l:
A =
0, 4 0, 1 0, 2
0, 2 0, 3 0, 2
0, 1 0, 4 0, 3
.
Cho bi¸t gi¡ trà c¦u cuèi còng èi vîi s£n ph©m cõa tøng ngnh l¦n l÷ñt l 40,
40 v 110 (dìn và: ngh¼n t¿ çng). H¢y x¡c ành gi¡ trà têng c¦u èi vîi méi
ngnh?
Gi£i.
K½ hi»u
X =
x
1
x
2
l ma trªn têng c¦u. Trong â
x
1
, x
2
l gi¡ trà têng c¦u
cõa ngnh 1 v ngnh 2.
2.3. BI TP
55
Ta câ
I − A =
0, 6 −0, 1 − 0 , 2
−0, 2 0, 7 −0, 2
−0, 1 −0, 4 0, 7
.
|I − A| = 0, 2
v
(I − A)
−1
=
1
0, 2
0, 41 0, 15 0, 16
0, 16 0, 40 0, 16
0, 15 0, 25 0, 40
.
Vªy ma trªn têng c¦u l:
X = (I − A)
−1
B =
200
200
300
,
hay gi¡ trà cõa têng c¦u ngnh 1,2 v 3 l¦n l÷ñt l 200, 200 v 300 (ngh¼n t¿
çng).
2.3 BI TP
1. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng thuªt to¡n Gauss.
56
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
(a)
x
1
+ x
2
+ x
3
= 3
2x
1
+ 3 x
2
− x
3
= 4
x
1
− x
2
+ x
3
= 1
.
(b)
x
1
+ 2 x
2
− x
3
= 3
2x
1
+ 5 x
2
− 4 x
3
= 5
3x
1
+ 4 x
2
+ 2 x
3
= 12
.
(c)
x
1
+ 2 x
2
+ 3 x
3
+ 4 x
4
= 7
2x
1
+ x
2
+ 2 x
3
+ 3 x
4
= 6
3x
1
+ 2 x
2
+ x
3
+ 2 x
4
= 7
4x
1
+ 3 x
2
+ 2 x
3
+ x
4
= 18
.
(d)
x
1
+ 2 x
3
− x
4
= −1
x
2
+ x
3
− x
4
= −4
x
1
− x
2
+ 2 x
4
= 12
x
2
+ 3 x
3
+ x
4
= 8
.
(e)
x
1
+ 2 x
2
− 3 x
3
+ 5 x
4
= 1
x
1
+ 3 x
2
− 1 3x
3
+ 22 x
4
= −1
3x
1
+ 5 x
2
+ x
3
− 2 x
4
= 5
2x
1
+ 3 x
2
+ 4 x
3
− 7 x
4
= 4
.
(f)
x
1
− x
2
+ x
3
+ 2 x
4
= 5
2x
1
+ 3 x
2
− 3 x
3
+ x
4
= 3
4x
1
+ 2 x
2
+ x
3
− 3 x
4
= 7
−4x
1
− x
2
+ x
3
− 5 x
4
= −1
.
2. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t sau.
(a)
x
1
+ 2 x
2
+ x
3
= 0
2x
1
+ 5 x
2
− x
3
= 0
3x
1
− 2 x
2
− x
3
= 0
.
(b)
2x
1
− 2 x
2
+ x
3
= 0
3x
1
+ x
2
− x
3
= 0
x
1
− 3 x
2
+ 2 x
3
= 0
.
(c)
3x
1
− 2 x
2
− 5 x
3
+ x
4
= 0
2x
1
− 3 x
2
+ x
3
+ 5 x
4
= 0
x
1
+ 2 x
2
− 4 x
4
= 0
x
1
− x
2
− 4 x
3
+ 9 x
4
= 0
.
(d)
x
1
+ x
2
− 2 x
3
+ 3x
4
= 0
2x
1
+ 3 x
2
+ 3 x
3
− x
4
= 0
5x
1
+ 7 x
2
+ 4 x
3
+ x
4
= 0
.
3. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng thuªt to¡n Cramer.
2.3. BI TP
57
(a)
2x
1
− 2 x
2
− x
3
= −1
x
2
+ x
3
= 1
−x
1
+ x
2
+ x
3
= −1
.
(b)
2x
1
− x
2
− x
3
= 4
3x
1
+ 4 x
2
− 2 x
3
= 11
3x
1
− 2 x
2
+ 4 x
3
= 11
.
(c)
x
1
− x
2
+ x
3
= 1
2x
1
+ x
2
+ x
3
= 2
3x
1
+ x
2
+ 2 x
3
= 0
.
(d)
3x
1
+ 2 x
2
+ x
3
= 5
2x
1
+ 3 x
2
+ x
3
= 1
2x
1
+ x
2
+ 3 x
3
= 11
.
4. Cho h» ph÷ìng tr¼nh:
x
1
+ x
2
− x
3
= 1
2x
1
+ 3 x
2
+ mx
3
= 3
x
1
+ mx
2
+ 3 x
3
= 2
X¡c ành sè
m
sao cho:
(a) H» câ nghi»m duy nh§t.
(b) H» væ nghi»m.
(c) H» câ væ sè nghi»m.
5. T¼m
m
º h» ph÷ìng tr¼nh
x − y + 2z = 3
2x + my + 3z = 1
3x + 3y + z = 4
khæng câ nghi»m duy nh§t.
6. X¡c ành
m
º h»
mx − 3y + z = 0
2x + y + z = 0
3x + 2y − 2z = 0
câ nghi»m khæng t¦m th÷íng.
58
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
7. T¼m
m
º h» sau câ nghi»m duy nh§t.
2x + y + z = m
x + my + z = 4
4x + (m + 1)y + 2mz = 1
.
8. T¼m
m
º h» sau câ 1 nghi»m.
x + y + 2z = 2
2x + 2my + (m + 3)z = 4
3x + (m − 1)y + mz = 3
.
9. X²t thà tr÷íng gçm hai lo¤i hng hâa l tæm v cua vîi hm cung v hm
c¦u nh÷ sau:
Tæm:
Q
S
1
= −2 + P
1
; Q
D
1
= 20 − 2P
1
− P
2
;
Cua:
Q
S
2
= P
2
; Q
D
2
= 40 − P
1
− 2 P
2
.
H¢y x¡c ành bë gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng cõa tæm
v cua ð tr¶n.
10. X¡c ành bë gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng hai lo¤i hng
hâa vîi c¡c hm cung v c¦u nh÷ sau:
(a) Hng hâa 1:
Q
S
1
= 2P
1
; Q
D
1
= 20 − P
1
+ P
2
;
Hng hâa 2:
Q
S
2
= −10 + 2P
2
; Q
D
2
= 40 + P
1
− 2 P
2
.
(b) Hng hâa 1:
Q
S
1
= −20 + 2P
1
; Q
D
1
= 100 − 5P
1
− P
2
;
Hng hâa 2:
Q
S
2
= −10 + P
2
; Q
D
2
= 80 − 4P
1
− 2 P
2
.
11. X²t thà tr÷íng gçm ba lo¤i hng hâa gçm tr, c ph¶ v ca cao câ hm
cung v hm c¦u nh÷ sau:
Tr:
Q
S
1
= −10 + P
1
; Q
D
1
= 20 − P
1
− P
3
;
C ph¶:
Q
S
2
= 2P
2
; Q
D
2
= 40 − 2P
2
− P
3
2.3. BI TP
59
Ca cao:
Q
S
3
= −5 + 3P
3
; Q
D
3
= 10 + P
2
− P
3
− P
1
.
X¡c ành bë gi¡ v bë l÷ñng 3 lo¤i hng hâa ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng thà
tr֒ng.
12. X²t mæ h¼nh thu nhªp quèc d¥n:
Y = G
0
+ I
0
+ C; C = 0, 4Y + 30.
H¢y
x¡c ành mùc thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng bi¸t
I
0
= 200, G
0
= 500
(tri»u USD).
13. X²t mæ h¼nh:
Y = G
0
+ I
0
+ C; C = 0, 8Y
d
; Y
d
= (1 −t)Y.
H¢y x¡c ành mùc
thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng bi¸t
I
0
= 200, G
0
= 500
v thu¸ su§t thu nhªp
t = 0, 1
.
14. X²t mæ h¼nh:
Y = G
0
+I
0
+C+X
0
−N; C = 0, 85Y
d
; Y
d
= (1−t)Y ; N = 0, 1Y
d
.
(a) H¢y x¡c ành mùc thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n
¯
Y ,
¯
C
ð tr¤ng th¡i c¥n
b¬ng.
(b) T½nh
¯
Y ,
¯
C
khi
I
0
= 200, G
0
= 500, X
0
= 100
v thu¸ su§t thu nhªp
t = 0, 1
.
15. Cho
Y = C + I
C = 0, 8 + Y + 50
L = 0, 5Y + 100 − r
I = 2 0 − 5r
M
0
= 200.
X¡c ành thu nhªp v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng.
60
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
16. Cho
Y = C + I + G
0
C = 0, 8(1 − t)Y ; t = 0, 1
G
0
= 200
I = 1 00 − r
L = 0, 5Y − 2r; M
0
= 500.
H¢y x¡c ành thu nhªp v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng.
17. Trong mæ h¼nh c¥n èi li¶n ngnh, cho ma trªn h» sè kÿ thuªt v ma trªn
c¦u cuèi. H¢y x¡c ành ma trªn têng c¦u trong c¡c tr÷íng hñp sau.
(a)
A =
0, 2 0, 3
0, 4 0, 1
v
B =
20
5
.
(b)
A =
0, 2 0, 4
0, 1 0, 3
v
B =
200
300
.
(c)
A =
0, 4 0, 2 0, 1
0, 1 0, 3 0, 4
0, 2 0, 2 0, 3
v
B =
40
110
40
.
P SÈ
1.
(a)
(1, 1, 1).
(b)
(2, 1, 1).
(c)
(2, 1, 5, −3).
(d)
(2, 0, 1, 5).
(e)
(−17α + 29β + 5, 10α − 17β − 2, α, β)
vîi
α, β ∈ R.
(f) H» væ nghi»m.
2.3. BI TP
61
2.
(a)
(0, 0, 0).
(b)
(0, 0, 0).
(c)
(0, 0, 0, 0).
(d)
(9α − 10β, −7α + 7β, α, β)
vîi
α, β ∈ R.
3.
(a)
(2, 4, −3).
(b)
(3, 1, 1).
(c)
(7, −3, −9).
(d)
(2, −2, 3).
4.
(a)
m = 2
v
m = −3.
(b)
m = −3.
(c)
m = 2.
5.
m = −
4
5
.
6.
m = −5.
7.
m = 1
v
m =
3
4
.
8.
m = 1
v
m = 8.
9.
¯
P = (
13
4
,
49
4
), Q
S
1
= Q
D
1
=
5
4
, Q
S
2
= Q
D
2
=
49
4
.
10. (a)
¯
P = (
130
11
,
170
11
), Q
S
1
= Q
D
1
=
260
11
, Q
S
2
= Q
D
2
=
230
11
.
(b)
¯
P = (
270
17
,
150
17
), Q
S
1
= Q
D
1
=
200
17
, Q
S
2
= Q
D
2
=
−20
17
.
11.
¯
P = (
41
3
,
28
3
,
8
3
),
¯
Q = (
11
3
,
56
3
, 3).
62
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
12.
¯
Y =
3650
3
,
¯
C =
1550
3
.
13.
¯
Y = 2500,
¯
C = 1800.
14. (a)
¯
Y =
G
0
+ I
0
+ X
0
1 − 0, 75(1 − t)
,
¯
C = 0, 85(1 − t)
G
0
+ I
0
+ X
0
1 − 0, 75(1 − t)
(b)
¯
Y =
32000
13
,
¯
C =
24480
13
.
15.
¯
Y =
5708
25
, ¯r =
354
25
.
16.
¯
Y =
55000
53
, ¯r =
500
53
.
17. (a)
X =
65
2
20
. (b)
X =
500
500
. (c)
X =
200
300
200
.
TI LIU CN ÅC
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 1 v bi tªp to¡n cao
c§p tªp 1
, NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 1
, NXB HQG H Nëi
- 2006.
Ch֓ng 3
Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Sau khi håc xong ch÷ìng ny, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v· tªp hñp v c¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp.
- Hiºu ÷ñc sè thüc v c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n sè thüc.
- Hiºu ÷ñc c¡c ành ngh¾a v t½nh ch§t li¶n quan ¸n hm sè v d¢y sè.
- T½nh ÷ñc giîi h¤n cõa d¢y sè v hm sè.
- X¡c ành ÷ñc t½nh li¶n töc cõa hm sè.
3.1 Kh¡i ni»m tªp hñp
3.1.1 Tªp hñp
Tªp hñp (hay cán gåi l tªp) l mët trong nhúng kh¡i ni»m cì b£n khæng
ành ngh¾a cõa to¡n håc. Tuy nhi¶n, ta câ thº nâi t§t c£ nhúng èi t÷ñng no
â hñp l¤i t¤o thnh mët tªp hñp.
Tªp hñp th÷íng ÷ñc k½ hi»u b¬ng c¡c chú c¡i in hoa nh÷
A, B, C, X, Y, .
Méi èi t÷ñng n¬m trong tªp hñp ÷ñc gåi l
ph¦n tû cõa tªp hñp
. º ch¿
ph¦n tû
a
thuëc tªp hñp
A
, ta vi¸t
a ∈ A
, ph¦n tû
a
khæng thuëc tªp hñp
A
, ta
vi¸t
a /∈ A
.
63
64
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Mët tªp ÷ñc coi l ¢ cho n¸u nh÷ ta x¡c ành ÷ñc mët èi t÷ñng thuëc
hay khæng thuëc tªp â.
Câ nhi·u c¡ch cho tªp hñp nh÷ng phê bi¸n nh§t l hai c¡ch sau:
Li»t k c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp â:
V½ dö 3.1.1
A = {1, 2, 3}, Z = {. . . , −1, 0, 1, . . . }, X = {a, b, c, d, e}
Ch¿ ra °c t½nh chung cõa ph¦n tû thuëc tªp hñp â.
Têng qu¡t l
A = {x ∈ X : P (x)}
tùc l
A
l tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû
x
thuëc
tªp hñp
X
sao cho
x
thäa t½nh ch§t
P (x)
.
V½ dö 3.1.2
A = {x ∈ R : x
2
− 2 x − 3 = 0 }, B = {x ∈ Z : x
chia h¸t cho
3}
Tªp hñp khæng chùa ph¦n tû no gåi l
tªp réng
v k½ hi»u l:
∅
.
Cho hai tªp hñp
A
v
B
. N¸u måi ph¦n tû cõa
A
·u l ph¦n tû cõa
B
th¼
A
÷ñc gåi l tªp con cõa
B
v k½ hi»u
A ⊆ B
(gåi tt l
A
con
B
).
N¸u tªp
A
con cõa tªp
B
v tçn t¤i ½t nh§t mët ph¦n tû thuëc
B
nh÷ng
khæng thuëc
A
th¼
A
÷ñc gåi l
tªp con thªt sü
cõa tªp
B
. K½ hi»u:
A ⊂ B
.
N¸u
A ⊆ B
v
B ⊆ A
th¼ tªp
A
tròng vîi tªp
B
v ÷ñc gåi l
hai tªp hñp
b¬ng nhau
. K½ hi»u:
A = B
.
D¹ dng nhªn th§y tªp
A
b§t k¼ l con cõa ch½nh nâ.
Ta qui ÷îc tªp réng l con cõa måi tªp hñp.
Tªp câ húu h¤n ph¦n tû gåi l
tªp húu h¤n
, tªp câ væ h¤n ph¦n tû gåi l
tªp
væ h¤n
.
º minh håa mët tªp hñp ng÷íi ta th÷íng dòng ÷íng cong kh²p k½n hay
cán gåi l
gi£n ç Venn
.
3.1. Kh¡i ni»m tªp hñp
65
3.1.2 C¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp
(a)
Ph²p hñp
Hñp
cõa hai tªp hñp
A
v
B
l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ thuëc
A
ho°c thuëc
B
. K½ hi»u:
A ∪ B
.
V½ dö 3.1.3
Cho
A = {a, b, c}
v
B = {b, d, e}
. Khi â:
A ∪ B = {a, b, c, d, e}
.
Câ thº mð rëng ph²p hñp tr¶n nhi·u tªp hñp nh÷ sau:
Hñp cõa n tªp hñp
A
1
, A
2
, ..., A
n
l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ
thuëc ½t nh§t mët trong c¡c tªp hñp â. K½ hi»u:
A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
n
.
Hñp cõa mët hå c¡c tªp hñp
{A
i
}
i∈I
l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa
nâ thuëc ½t nh§t mët trong c¡c tªp
A
i
. K½ hi»u:
[
i∈I
A
i
(b)
Ph²p giao
Giao
cõa hai tªp hñp
A
v
B
l mët tªp hñp gçm c¡c ph¦n tû cõa nâ m
ph¦n tû â vøa thuëc
A
vøa thuëc
B
. K½ hi»u:
A ∩ B
.
V½ dö 3.1.4
Cho
A = {1, 3, 4, 5}
v
B = {2, 4, 5, 7}
. Khi â:
A ∩ B = {4, 5}
.
Câ thº mð rëng ph²p hñp tr¶n nhi·u tªp hñp:
Giao cõa n tªp hñp
A
1
, A
2
, ..., A
n
l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ
thuëc måi tªp
A
1
, A
2
, ..., A
n
. K½ hi»u:
A
1
∩ A
2
∩ ... ∩ A
n
.
Giao cõa mët hå c¡c tªp hñp
{A
i
}
i∈I
l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa
nâ thuëc måi tªp
A
i
. K½ hi»u:
\
i∈I
A
i
66
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
T½nh ch§t cõa ph²p giao v ph²p hñp
(i) T½nh giao ho¡n:
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
(ii) T½nh k¸t hñp:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(iii) T½nh ph¥n phèi:
A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
.
(c)
Ph²p hi»u
Hi»u
cõa tªp hñp
A
vîi tªp
B
l mët tªp hñp m ph¦n tû cõa nâ ch¿ thuëc
A
m khæng thuëc
B
. K½ hi»u:
A\B
.
V½ dö 3.1.5
A = {1, 2, 3, a, b}, B = {2, a, b, c}
. Khi â:
A\B = {1, 3}
.
(d)
T½ch Descartes cõa hai tªp hñp
T½ch Descartes
cõa hai tªp hñp
A
v
B
l mët tªp hñp gçm c¡c c°p câ thù
tü
(a, b)
vîi
a ∈ A, b ∈ B
. K½ hi»u:
A × B
. Vªy
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
.
N¸u
A = B
th¼
A × B = A × A = A
2
V½ dö 3.1.6
Cho
A = {a, b}, B = {1, 2, 3}
. Khi â:
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Ta câ thº mð rëng t½ch Descartes cõa
n
tªp hñp
A
1
, A
2
, ..., A
n
nh÷ sau:
A
1
× A
2
× ... × A
n
= {(a
1
, a
2
, ..., a
n
) : a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
, ..., a
n
∈ A
n
}
3.2 Sè thüc
3.2.1 Kh¡i ni»m sè thüc
Ta ¢ bi¸t
tªp sè húu t¿
Q =
n
a
b
: a, b ∈ Z
o
. Méi ph¥n sè
a
b
·u câ thº biºu
di¹n d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n húu h¤n hay væ h¤n tu¦n hon.
3.2. Sè thüc
67
V½ dö 3.2.1
3
4
= 0, 75
,
10
3
= 3, 333... = 3(3)
Ngoi ra tªp c¡c sè biºu di¹n d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n væ h¤n nh÷ng khæng
tu¦n hon ÷ñc gåi l
tªp sè væ t¿
. Ch¯ng h¤n
√
2 = 1, 41421..., π = 3, 1412...
. C¡c
sè â gåi l sè væ t¿.
ành ngh¾a 3.2.1
Tªp hñp gçm c¡c sè húu t¿ v sè væ t¿ ÷ñc gåi l
tªp sè
thüc
v k½ hi»u l
R
.
Tªp sè thüc ÷ñc biºu di¹n b¬ng tröc
Ox
. Méi sè thüc
x
ùng vîi mët iºm
M
tr¶n
Ox
sao cho
OM = x
. Ta gåi
Ox
l tröc sè thüc hay ÷íng th¯ng thüc.
Giúa c¡c tªp sè tü nhi¶n
N
, sè nguy¶n
Z
, sè húu t¿
Q
v sè thüc
R
câ bao
hm thùc:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
.
Tªp sè thüc mð rëng:
R = R ∪ {−∞, +∞}
.
3.2.2 T½nh ch§t cõa sè thüc
(a)
T½nh ch§t ¤i sè
Sè thüc kh²p k½n èi vîi c¡c ph²p to¡n cëng, trø,
nh¥n v chia. C¡c t½nh ch§t nh÷ giao ho¡n, k¸t hñp, ph¥n phèi công óng èi
vîi c¡c ph²p to¡n tr¶n trong tªp
R
.
(b)
T½nh sp thù tü
Vîi 2 sè thüc b§t k¼
x, y
luæn x£y ra mët trong ba tr÷íng hñp sau:
(i)
x < y
: khi â
y
n¬m bn ph£i
x
tr¶n tröc sè.
(ii)
x > y
: khi â
y
n¬m bn tr¡i
x
tr¶n tröc sè.
(iii)
x = y
:
x
v
y
n¬m tròng nhau tr¶n tröc sè.
(c)
C¡c t½nh ch§t ìn gi£n
Vîi
x, y ∈ R
th¼:
68
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(i)
x < y
y < z
⇒ x < z.
(ii)
x < y ⇔ x ± z < y ± z.
(iii)
x < y ⇒
xz < yz, z > 0
xz > yz, z < 0
.
(iv)
x > 0 ⇒
1
x
> 0.
(v)
0 < x < y ⇒
1
x
>
1
y
.
(d)
T½nh ¦y õ
ành ngh¾a 3.2.2
Sè thüc
M
÷ñc gåi l
cªn tr¶n
cõa tªp sè thüc kh¡c réng
A,
n¸u
∀x ∈ A
th¼
x ≤ M
.
Sè thüc
m
÷ñc gåi l
cªn d÷îi
cõa tªp sè thüc kh¡c réng
A,
n¸u
∀x ∈ A
th¼
x ≥ m
.
Tªp
A
vøa bà ch°n tr¶n vøa bà ch°n d÷îi th¼ tªp
A
÷ñc gåi l tªp bà ch°n.
Nhªn x²t 3.2.1
Tªp bà ch°n tr¶n th¼ câ væ sè cªn tr¶n v tªp bà ch°n d÷îi th¼
câ væ sè cªn d÷îi.
ành ngh¾a 3.2.3
Sè b² nh§t trong c¡c cªn tr¶n cõa tªp sè thüc
A
÷ñc gåi
l
cªn tr¶n óng
cõa
A
v k½ hi»u l
sup A
. Sè lîn nh§t trong c¡c cªn d÷îi cõa
tªp sè thüc
A
÷ñc gåi l
cªn d÷îi óng
cõa
A
v k½ hi»u l
inf A
.
V½ dö 3.2.2
Cho c¡c tªp
A = [1, 4], B = (2, +∞), C =
n
1
n
: n ∈ N
o
. Khi â:
inf A = 1, sup A = 4, inf B = 2
, khæng tçn t¤i
sup B
v ta vi¸t
sup B = +∞,
inf C = 0, sup C = 1
.
3.2. Sè thüc
69
Nhªn x²t 3.2.2
sup A
v
inf A
câ thº thuëc ho°c khæng thuëc
A
. N¸u
sup A
thuëc tªp
A
th¼
sup A
ch½nh l sè lîn nh§t cõa
A
. Khi â, ta k½ hi»u l
max A
.
T÷ìng tü,
inf A
thuëc tªp
A
th¼
inf A
ch½nh l sè b² nh§t cõa
A
v ta k½ hi»u l
min A.
V½ dö 3.2.3
(i) X²t
A = {x ∈ Q : x
2
< 2}
. Khi â:
1 ∈ A ⇒ A = ∅
v
∀x ∈ A ⇒ x <
√
2
n¶n
A bà ch°n tr¶n. D¹ th§y
sup A =
√
2 /∈ Q
n¶n
sup A /∈ A
.
(ii) X²t
A = [2, 5)
câ
inf A = 2 ∈ A, sup A = 5 /∈ A
.
ành l½ 3.2.1
(Nguy¶n l½ Supremum) Måi tªp sè thüc kh¡c réng bà ch°n tr¶n
·u câ cªn tr¶n óng. T÷ìng tü, måi tªp sè thüc kh¡c réng bà ch°n d÷îi ·u câ
cªn d÷îi óng.
3.2.3 Kho£ng
ành ngh¾a 3.2.4
Kho£ng
l tªp hñp c¡c sè thüc n¬m giúa 2 sè thüc no â.
Ph¥n lo¤i kho£ng
1. Kho£ng húu h¤n
Kho£ng mð:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Kho£ng âng (o¤n):
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Kho£ng nûa âng nûa mð:
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
2. Kho£ng væ h¤n
70
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
(−∞, a] = {a ∈ R : x ≤ a}
(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}
[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
(−∞, +∞) = R
Chó þ 3.2.1
Vîi méi sè thüc
x
0
,
th¼ kho£ng mð
(x
0
− ε, x
0
+ ε)
vîi
ε > 0
÷ñc
gåi l l¥n cªn cõa iºm
x
0
v ÷ñc k½ hi»u l
N(x
0
)
. Mët iºm
x
thuëc l¥n cªn
cõa
x
0
khi v ch¿ khi
x
0
− ε < x < x
0
+ ε
.
3.2.4 Gi¡ trà tuy»t èi
ành ngh¾a 3.2.5
Gi¡ trà tuy»t èi
cõa sè thüc
x
(cán ÷ñc gåi l ë lîn cõa
sè thüc
x
) ÷ñc k½ hi»u l
|x|
v ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
|x| =
x, x ≥ 0
−x, x < 0
V· m°t h¼nh håc th¼
|x|
l kho£ng c¡ch tø
x
¸n O tr¶n tröc sè. Têng qu¡t
hìn th¼
|x − y|
l kho£ng c¡ch giúa
x
v
y
tr¶n tröc sè.
C¡c t½nh ch§t ìn gi£n
|a| = | − a|
|ab| = |a||b|
a
b
=
|a|
|b|
|a ± b| ≤ |a| + |b|
|a ± b| ≥ |a| − |b|
3.3. Hm sè
71
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
|x| < a ⇔ −a < x < a
|x| ≥ a ⇔
x ≤ −a
x ≥ a
|x| > a ⇔
x < −a
x > a
V½ dö 3.2.4
Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh:
|2x − 1| > 2
.
Gi£i.
Ta câ:
|2x − 1| > 2 ⇔
2x − 1 < −2
2x − 1 > 2
⇔
x < −
1
2
x >
3
2
.
Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l:
D =
−∞, −
1
2
∪
3
2
, +∞
.
3.3 Hm sè
3.3.1 Kh¡i ni»m hm sè
ành ngh¾a 3.3.1
Cho hai tªp
X, Y
l c¡c tªp con cõa tªp
R
. Hm sè
f
x¡c
ành tr¶n
X
l mët ph²p °t méi sè
x ∈ X
t÷ìng ùng vîi mët sè thüc
y
duy
nh§t thuëc
Y
v ÷ñc k½ hi»u l
y = f(x)
hay
f : x 7→ f(x)
ho°c
y = f(x)
hay
ìn gi£n hìn l
f
.
Tªp
X
÷ñc gåi l
tªp x¡c ành
cõa
f
v k½ hi»u l
D
. N¸u hm sè cho bði
y = f(x)
th¼ ta hiºu tªp x¡c ành cõa
f
l tªp t§t c£ c¡c sè thüc lm cho
f(x)
câ ngh¾a.
Tªp
T = {f (x) : x ∈ D} ⊂ Y
÷ñc gåi l tªp gi¡ trà cõa
f, x
÷ñc gåi l bi¸n
sè.
Gi¡ trà cõa hm sè
f(x)
t¤i
x = x
0
÷ñc k½ hi»u l
f(x
0
)
.
72
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.3.2
ç thà
cõa hm sè
y = f(x)
vîi tªp x¡c ành
D
l tªp hñp
nhúng iºm câ tåa ë
(x, f(x))
trong m°t ph¯ng tåa ë vîi
x ∈ D
.
3.3.2 Mët sè hm °c bi»t
ành ngh¾a 3.3.3
Cho hm sè
y = f(x)
câ mi·n x¡c ành
D
. Khi â:
(i) Hm sè
y = f(x)
l hm sè ch®n
⇔
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
f(−x) = f ( x)
.
(ii) Hm sè
y = f(x)
l hm sè l´
⇔
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
f(−x) = −f(x)
.
Chó þ 3.3.1
Hm sè ch®n (hm sè l´) cán ÷ñc gåi l hm ch®n (hm l´).
V½ dö 3.3.1
C¡c hm sè
y = |x|, y = cos x, y = x
4
+2x
2
l hm sè ch®n. C¡c hm
sè
y = sin x, y = x
3
l hm sè l´.
Nhªn x²t 3.3.1
ç thà hm sè ch®n nhªn tröc
Oy
lm tröc èi xùng v ç thà
hm sè l´ nhªn gèc tåa ë O lm t¥m èi xùng.
ành ngh¾a 3.3.4
Hm sè
f(x)
l hm sè tu¦n hon n¸u tçn t¤i sè d÷ìng
T
sao cho
f(x + T ) = f (x), ∀x ∈ D
. Sè
T
nhä nh§t thäa ¯ng thùc tr¶n gåi l
chu
k¼
cõa hm sè.
V½ dö 3.3.2
Hm sè
sin x
v
cos x
tu¦n hon vîi chu k¼
2π
. Hm sè
tan x
v
cot x
tu¦n hon vîi chu k¼
π
.
ành ngh¾a 3.3.5
Hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l
t«ng (çng bi¸n)
tr¶n
D
n¸u
vîi måi
x
1
, x
2
∈ D, x
1
< x
2
th¼
f(x
1
) ≤ f(x
2
)
v
t«ng nghi¶m ng°t
tr¶n
D
n¸u
x
1
, x
2
∈ D, x
1
< x
2
th¼
f(x
1
) < f(x
2
)
.
3.3. Hm sè
73
Hm sè
f
÷ñc gåi l
gi£m (nghàch bi¸n)
tr¶n
D
n¸u vîi måi
x
1
, x
2
∈ D, x
1
< x
2
th¼
f(x
1
) ≥ f(x
2
)
v
gi£m nghi¶m ng°t
tr¶n
D
n¸u
x
1
, x
2
∈ D, x
1
< x
2
th¼
f(x
1
) > f(x
2
)
.
Hm sè t«ng hay gi£m ÷ñc gåi chung l
hm sè ìn i»u
.
ành ngh¾a 3.3.6
N¸u tçn t¤i sè
M
sao cho
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
th¼ hm sè
f(x)
÷ñc gåi l
bà ch°n tr¶n
tr¶n
D
.
N¸u tçn t¤i sè
m
sao cho
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
th¼ hm sè
f(x)
÷ñc gåi l
bà
ch°n d÷îi
tr¶n
D
.
Hm sè vøa bà ch°n trn vøa bà ch°n d÷îi th¼ gåi l
bà ch°n.
V½ dö 3.3.3
Hm sè
y = sin x
v
y = cos x
l c¡c hm sè bà ch°n tr¶n
R.
Hm
sè
y = tan x
v
y = cot x
l c¡c hm sè khæng bà ch°n tr¶n
R.
ành ngh¾a 3.3.7
Cho
y = f(u)
l hm sè theo bi¸n
u
v
u = g(x)
l hm sè
theo bi¸n
x
. Khi â, hm sè
y = f(u) = f[g(x)]
÷ñc gåi l
hm sè hñp
cõa bi¸n
x
v ÷ñc k½ hi»u l
f
0
g
. Vªy
(f
0
g)(x) = f[g(x)]
.
V½ dö 3.3.4
Cho
x 7→ f (x) = x
2
+ 1
v
x 7→ g(x) = 2x − 3
. H¢y t¼m
(f
0
g)(x)
v
(g
0
f)(x).
Gi£i:
Ta câ,
(f
0
g)(x) = f[g(x)] = f(2x − 3) = (2x − 3)
2
+ 1 = 4x
2
− 12x + 10
v
(g
0
f)(x) = g[f(x)] = g(x
2
+ 1) = 2(x
2
+ 1) − 3 = 2x
2
− 1
.
ành ngh¾a 3.3.8
Cho hm sè
y = f(x)
câ mi·n x¡c ành l
D
v mi·n gi¡ trà
l
T
vîi
f
thäa hai i·u ki»n sau:
(i) Vîi måi
x
1
, x
2
∈ D, x
1
= x
2
th¼
f(x
1
) = f(x
2
)
;
(ii) Vîi måi
y ∈ T
th¼ tçn t¤i
x ∈ D
sao cho
y = f(x)
.
Khi â,
f
÷ñc gåi l hm 1-1.
74
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.3.9
Cho hm sè
y = f(x)
l hm 1-1. Kh½ â,
hm sè ng÷ñc
cõa
hm sè
y = f(x)
÷ñc k½ hi»u l
f
−1
v ÷ñc x¡c ành
f
−1
(y) = x.
Chó þ 3.3.2
N¸u
f
−1
l hm ng÷ñc cõa
f
th¼
f
công l hm ng÷ñc cõa
f
−1
.
Khi â mi·n x¡c ành cõa hm ny l mi·n gi¡ trà cõa hm kia v ng÷ñc l¤i.
V½ dö 3.3.5
Cho hm sè
f(x) = x
3
,
khi â hm sè ng÷ñc cõa hm
f
÷ñc x¡c
ành
f
−1
(x) =
3
√
x.
ành l½ 3.3.1
ç thà cõa hm sè ¢ cho v hm ng÷ñc cõa nâ èi xùng qua
÷íng ph¥n gi¡c thù nh§t.
3.3.3 C¡c hm sè sì c§p
ành ngh¾a 3.3.10
Hm sè sì c§p cì b£n
l nhúng hm thuëc mët trong c¡c
lo¤i sau ¥y:
(i) Hm h¬ng sè:
y = c
,
c
l h¬ng sè. Hm h¬ng sè câ tªp x¡c ành l
R
v
tªp gi¡ trà l
{c}
.
(ii) Hm lôy thøa:
y = x
α
, α ∈ R
.
•
N¸u
α
l sè húu t¿ th¼ tªp x¡c ành cõa hm phö thuëc vo
α
.
•
N¸u
α
l sè væ t¿ th¼ ta qui ÷îc tªp x¡c ành l
x ≥ 0
n¸u
α > 0
v
x < 0
n¸u
α < 0
.
(iii) Hm mô:
y = a
x
, 0 < a
v
a = 1
. Sè
a
÷ñc gåi l
cì sè
cõa hm sè mô.
Hm mô câ tªp x¡c ành l
R
v mi·n gi¡ trà l
(0, +∞)
.
•
N¸u
a > 1
th¼ hm sè çng bi¸n tr¶n
R
.
•
N¸u
0 < a < 1
th¼ hm sè nghàch bi¸n tr¶n
R
.
3.3. Hm sè
75
(iv) Hm logarit:
y = log
a
x, 0 < a
v
a = 1
. Sè
a
÷ñc gåi l
cì sè
cõa hm sè
logarit. Hm logarit câ tªp x¡c ành l
(0, +∞)
v mi·n gi¡ trà l
R
.
•
N¸u
a > 1
th¼ hm sè çng bi¸n tr¶n
(0, +∞)
.
•
N¸u
0 < a < 1
th¼ hm sè nghàch bi¸n tr¶n
(0, +∞)
.
Chó þ:
Hm sè logarit
y = log
a
x
l hm ng÷ñc cõa hm mô
y = a
x
.
(v) Hm l÷ñng gi¡c
Hm sè
y = sin x
câ tªp x¡c ành l
R
, mi·n gi¡ trà l
[−1, 1]
; l hm
l´ v tu¦n hon vîi chu k¼
2π
.
Hm sè
y = cos x, x ∈ R
câ tªp x¡c ành l
R
, mi·n gi¡ trà l
[−1, 1]
; l
hm ch®n v tu¦n hon vîi chu k¼
2π
.
Hm sè
y = t a n x
câ tªp x¡c ành l
x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
, mi·n gi¡ trà l
R
; l hm l´ v tu¦n hon vîi chu k¼
π
.
Hm sè
y = cot x
câ tªp x¡c ành l
x = kπ, k ∈ Z
, mi·n gi¡ trà l
R
;
l hm l´ v tu¦n hon vîi chu k¼
π
.
(vi) Hm l÷ñng gi¡c ng÷ñc
N¸u ta h¤n ch¸ trn
h
−π
2
,
π
2
i
th¼ hm sè
y = sin x
l hm 1-1. Do
â, hm sè ny câ hm sè ng÷ñc v k½ hi»u l
x = arcsin y
. Hm sè
x = arcsin y
câ tªp x¡c ành l
−1 ≤ y ≤ 1
v mi·n gi¡ trà l
h
−π
2
,
π
2
i
.
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n
[0,
π
2
]
th¼ hm sè
y = cos x
l hm 1-1 . Do â, hm
sè ny câ hm sè ng÷ñc v k½ hi»u l
x = arccos y
. Hm sè
x = arccos y
câ tªp x¡c ành l
−1 ≤ y ≤ 1
v mi·n gi¡ trà l
h
0,
π
2
i
.
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n
−π
2
,
π
2
th¼ hm sè
y = tan x
l hm 1-1. Do
â, hm sè ny câ hm sè ng÷ñc v k½ hi»u l
x = arctan y
. Hm sè
x = arctan y
câ tªp x¡c ành
R
v mi·n gi¡ trà l
−π
2
,
π
2
.
76
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n
(0, π)
th¼ hm sè
y = cot x
l hm 1-1. Do â, hm
sè ny câ hm sè ng÷ñc v k½ hi»u l
x = arccoty
. Hm sè
x = arccoty
câ tªp x¡c ành
R
v mi·n gi¡ trà l
(0, π)
.
V½ dö 3.3.6
Hm sè
y = cos x
câ
y(0) = 1
n¶n
arccos 1 = 0.
ành ngh¾a 3.3.11
Hm sè sì c§p l hm thu ÷ñc tø nhúng hm sè sì c§p
cì b£n qua mët sè húu h¤n c¡c ph²p to¡n cëng, trø, nh¥n, chia v vi»c lªp hm
hñp.
V½ dö 3.3.7
(i) C¡c hm sè
y = 2 cos
2
(x + 1) + 3e
x
, y =
x
2
− 1
3
cos(x
2
+x−1)
l hm sè sì c§p.
(ii) C¡c hm sè hyperbolic sau ¥y l hm sì c§p:
Sin hyperbolic:
sinh x =
e
x
− e
−x
2
Cosin hyperbolic:
cosh x =
e
x
+ e
−x
2
Tang hyperbolic:
tanh x =
sinh x
cosh x
Cotang hyperbolic:
coth x =
cosh x
sinh x
.
Ta câ c¡c cæng thùc:
cosh
2
x − sinh
2
x = 1,
sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y,
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y.
3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè
77
3.4 Giîi h¤n cõa d¢y sè
3.4.1 Kh¡i ni»m v· d¢y sè
ành ngh¾a 3.4.1
Cho hm sè
u(n)
x¡c ành tr¶n
N
∗
. Khi cho
n
l¦n l÷ñt c¡c
gi¡ trà
1, 2, ..., n, ...
th¼ c¡c gi¡ trà hm sè t÷ìng ùng l
u(1), u(2), ..., u(n), ...
lªp
thnh
d¢y sè.
°t
u
1
= u(1), u
2
= u(2), ..., u
n
= u(n)
. Khi â, d¢y sè ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
u
1
, u
2
, ..., u
n
, ...
ho°c
{u
n
}
. C¡c sè
u
i
, i = 1, 2, ...
÷ñc gåi l
sè h¤ng
cõa d¢y, cán
u
n
÷ñc gåi l
sè h¤ng têng qu¡t
cõa d¢y. D¢y hon ton ÷ñc x¡c ành khi bi¸t
sè h¤ng têng qu¡t cõa nâ.
ành ngh¾a 3.4.2
D¢y
{u
n
}
÷ñc gåi l
bà ch°n tr¶n
(hay
bà ch°n d÷îi
) n¸u
tçn t¤i sè
M
sao cho
u
n
≤ M, ∀n ∈ N
∗
(u
n
≥ M, ∀n ∈ N
∗
)
.
Mët d¢y vøa bà ch°n tr¶n vøa bà ch°n d÷îi ÷ñc gåi l
d¢y bà ch°n
.
D¢y
{u
n
}
÷ñc gåi l
d¢y t«ng
(
t«ng nghi¶m ng°t
) n¸u
u
n
≤ u
n+1
, ∀n ∈ N
∗
(u
n
< u
n+1
, ∀n ∈ N
∗
).
D¢y
{u
n
}
÷ñc gåi l
d¢y gi£m
(
gi£m nghi¶m ng°t
) n¸u
u
n
≥ u
n+1
, ∀n ∈ N
∗
(u
n
> u
n+1,∀n∈N
∗
).
D¢y t«ng ho°c gi£m ÷ñc gåi chung l
d¢y ìn i»u
.
V½ dö 3.4.1
(i) D¢y
u
n
=
1
n
l d¢y gi£m v bà ch°n.
(ii) D¢y
u
n
= n
2
l d¢y t«ng, bà ch°n d÷îi nh÷ng khæng bà ch°n tr¶n.
(iii) D¢y
u
n
= (−1)
n
l d¢y khæng t«ng công khæng gi£m.
78
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.4.3
C§p sè cëng l mët d¢y sè húu h¤n hay væ h¤n, trong â
kº tø sè h¤ng thù
2
th¼ méi sè h¤ng ·u b¬ng têng cõa sè h¤ng ùng tr÷îc v
mët sè
d
(cæng sai) khæng êi, câ ngh¾a l:
{u
n
}
l c§p sè cëng khi v ch¿ khi
u
n+1
= u
n
+ d
vîi måi
n ∈ N
∗
.
V½ dö 3.4.2
(i) D¢y
1, 3, 5, 7, 9, 11
l mët c§p sè cëng, vîi cæng sai l
2.
(ii) D¢y
u
n
= 3n + 1
l mët c§p sè cëng vîi cæng sai l
3.
T½nh ch§t
Cho c§p sè cëng
{u
n
}
n∈N
∗
,
Khi â, ta câ
(i)
d = u
n+1
− u
n
, ∀n ∈ N
∗
.
(ii)
u
n+1
=
1
2
(u
n
+ u
n+2
) , ∀n ∈ N
∗
.
(iii)
u
n
= u
1
+ ( n − 1)d, ∀n ∈ N
∗
.
(iv)
S
n
= u
1
+ u
2
+ ... + u
n
=
1
2
(u
1
+ u
n
) =
1
2
(2nu
1
+ n( n − 1)d) , ∀n ∈ N
∗
.
ành ngh¾a 3.4.4
C§p sè nh¥n l mët d¢y sè húu h¤n hay væ h¤n, trong â
kº tø sè h¤ng thù
2
th¼ méi sè h¤ng ·u b¬ng t½ch cõa sè h¤ng ùng tr÷îc v
mët sè
q
(cæng bëi) khæng êi, câ ngh¾a l:
{u
n
}
l c§p sè nh¥n khi v ch¿ khi
u
n+1
= u
n
.d
vîi måi
n ∈ N
∗
.
V½ dö 3.4.3
(i) D¢y
1, 3, 9, 27, 81
l mët c§p sè nh¥n, vîi cæng bëi l
3.
(ii) D¢y
u
n
= 2
n
l mët c§p sè nh¥n vîi cæng bëi l
2.
3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè
79
T½nh ch§t
Cho c§p sè nh¥n
{u
n
}
n∈N
∗
,
Khi â, ta câ
(i)
q =
u
n+1
u
n
, u
n
= 0, ∀n ∈ N
∗
.
(ii)
u
n+1
=
√
u
n
+ u
n+2
, ∀n ∈ N
∗
.
(iii)
u
n
= u
1
.q
n−1
, ∀n ∈ N
∗
.
(iv)
S
n
= u
1
+ u
2
+ ... + u
n
= u
1
1 − q
n
1 − q
, q = 1, ∀n ∈ N
∗
.
V½ dö 3.4.4
Chu k¼ b¡n r¢ cõa nguy¶n tè phâng x¤ poloni
210
l
138
ngy
(ngh¾a l sau
138
ngy khèi l÷ñng cõa nguy¶n tè â ch¿ cán mët nûa). T½nh
(ch½nh x¡c ¸n hng ph¦n tr«m) khèi l÷ñng cán l¤i cõa
20
gam poloni
210
sau
7314
ngy (kho£ng
20
n«m).
Gi£i:
Gåi
u
n
(gam) l khèi l÷ñng cán l¤i cõa
20
gam poloni
210
sau
n
chu k¼ b¡n
r¢. Ta câ
7314
ngy gçm
53
chu k¼ b¡n r¢. Theo · bi ra, ta c¦n t½nh
u
53
.
Tø gi£ thi¸t suy ra d¢y
u
n
l mët c§p sè nh¥n vîi sè h¤ng ¦u l
u
1
= 10
v
cæng bëi
q = 0, 5
.
p döng t½nh ch§t cõa c§p sè nh¥n, ta câ:
u
53
= u
1
.q
52
= 10.0, 5
52
.
V½ dö 3.4.5
T¼m hiºu ti·n cæng khoan gi¸ng ð hai cì sð khoan gi¸ng, ng÷íi ta
÷ñc bi¸t:
- Cì sð A: Gi¡ cõa m²t khoan ¦u ti¶n l
50.000
çng v kº tø m²t khoan
thù hai, gi¡ cõa méi m²t sau t«ng th¶m
10.000
çng so vîi gi¡ cõa m²t khoan
ngay tr֔c.
- Cì sð B: Gi¡ cõa m²t khoan ¦u ti¶n l
50.000
çng v kº tø m²t khoan
thù hai, gi¡ cõa méi m²t sau t«ng th¶m
8%
gi¡ cõa m²t khoan ngay tr÷îc.
80
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Mët ng÷íi muèn chån mët trong hai cì sð nâi tr¶n º thu¶ khoan mët c¡i
gi¸ng s¥u
20
m²t, mët c¡i gi¸ng s¥u
30
m²t ð hai àa iºm kh¡c nhau. Häi ng÷íi
§y n¶n chån cì sð khoan gi¸ng no cho tøng gi¸ng º chi ph½ khoan hai gi¸ng l
½t nh§t. Bi¸t ch§t l÷ñng v thíi gian khoan gi¸ng cõa hai cì sð l nh÷ nhau.
Gi£i:
K½ hi»u
A
n
, B
n
l¦n l÷ñt l sè ti·n cæng ( ìn và çng) c¦n tr£ theo c¡ch t½nh
gi¡ cõa cì sð A v cì sð B.
Theo gi£ thi¸t ta câ:
+
A
n
l têng
n
sè h¤ng ¦u ti¶n cõa c§p sè cëng vîi sè h¤ng ¦u
u
1
= 50.000
v cæng sai
d = 10.000.
+
B
n
l têng
n
sè h¤ng ¦u ti¶n cõa c§p sè nh¥n vîi sè h¤ng ¦u
v
1
= 50000
v cæng bëi
q = 1, 08.
Khi â, ta câ
A
20
= 2.900.0 0
çng,
A
30
= 5.850.0 00
çng,
B
20
= 2.558.0 00
çng,
B
30
= 6.815.3 77
çng,
Vªy ta chån cì sð A khoan gi¸ng
30
m²t, chån cì sð B khoan gi¸ng
20
m²t.
V½ dö 3.4.6
Æng A gûi ti¸t ki»m ng¥n hng vîi sè ti·n l
M
(tri»u çng), l¢i
su§t hng th¡ng l
r(%)
vîi h¼nh thùc l¢i ìn (ti·n l¢i khæng t½nh vo trong ti·n
gèc.) Häi sau
n
th¡ng th¼ æng A câ ÷ñc bao nhi¶u ti·n.
Gi£i:
Gåi
T
n
l sè ti·n th¡ng
n.
Khi â,
T
1
=M(1 + r)
T
2
=M(1 + 2r)
T
3
=T
2
+ Mr = M(1 + 3r)
.....
B¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh qui n¤p, ta thu ÷ñc
T
n
= M(1 + nr).
3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè
81
V½ dö 3.4.7
Æng A gûi ti¸t ki»m ng¥n hng vîi sè ti·n l
M
(tri»u çng), l¢i
su§t hng th¡ng l
r(%)
vîi h¼nh thùc l¢i k²p (ti·n l¢i t½nh vo trong ti·n gèc
trong th¡ng ti¸p theo.) Häi sau
n
th¡ng th¼ æng A câ ÷ñc bao nhi¶u ti·n.
Gi£i:
Gåi
T
n
l sè ti·n sau th¡ng
n.
Khi â,
T
1
=M(1 + r)
T
2
=T
1
(1 + r) = M(1 + r)
2
T
3
=T
2
(1 + r) = M(1 + r)
3
.....
B¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh qui n¤p, ta thu ÷ñc
T
n
= M(1 + r)
n
.
3.4.2 Giîi h¤n d¢y sè
ành ngh¾a 3.4.5
Sè
a
÷ñc gåi l
giîi h¤n cõa d¢y
{u
n
}
n¸u vîi måi
ε > 0
cho tr÷îc th¼ tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng
N
0
sao cho vîi måi
n ≥ N
0
th¼
|u
n
−a| < ε
.
K½ hi»u:
lim
n→∞
u
n
= a,
ho°c
u
n
→ a
.
D¢y sè câ giîi h¤n ÷ñc gåi l
d¢y hëi tö
, ng÷ñc l¤i gåi l
d¢y ph¥n k¼
.
V½ dö 3.4.8
Ta câ:
lim
n→∞
n + 2
2n + 1
=
1
2
.
Thªt vªy:
n + 2
2n + 1
−
1
2
=
3
4n + 2
< ε ⇔ n >
1
4
(
3
ε
− 2 ) .
Vªy:
∀ε > 0,
chån
N
0
= [
1
4
(3/ε−2)]
th¼ vîi måi
n ≥ N
0
,
ta câ:
n + 2
2n + 1
−
1
2
< ε
.
ành l½ 3.4.1
(ành l½ Weierstrass
1
) D¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ câ giîi h¤n.
D¢y gi£m v bà ch«n d÷îi th¼ câ giîi h¤n.
1
Karl Weierstrass (1815 - 1879): nh to¡n håc ùc.
82
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.4.6
D¢y
{u
n
}
÷ñc gåi l d¦n ¸n væ còng, n¸u cho tr÷îc
M > 0
th¼ tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng
N
0
sao cho, vîi måi
n > N
0
th¼
|u
n
| > M
. K½ hi»u:
lim
n→∞
u
n
= ∞,
ho°c
u
n
→ ∞
.
V½ dö 3.4.9
Ta câ:
lim
n→∞
(2n + 1) = ∞
.
Thªt vªy:
|2n + 1| > M ⇔ n >
M − 1
2
.
Vªy:
∀M > 0
, chån
N
0
= [
M−1
2
]
th¼ vîi måi
n ≥ N
0
,
ta câ:
|2n + 1| > M
.
3.4.3 C¡c t½nh ch§t cõa d¢y hëi tö
ành l½ 3.4.2
(i) Giîi h¤n cõa d¢y (n¸u câ) l duy nh§t.
(ii) N¸u d¢y câ giîi h¤n th¼ nâ bà ch°n.
ành l½ 3.4.3
Gi£ sû
{u
n
}, {v
n
}
l hai d¢y hëi tö. Khi â:
(i) N¸u
u
n
= v
n
, ∀n ∈ N
∗
th¼
lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
v
n
.
(ii) N¸u
u
n
≥ v
n
, ∀n ∈ N
∗
th¼
lim
n→∞
u
n
≥ lim
n→∞
v
n
.
ành l½ 3.4.4
Gi£ sû
{u
n
}, {v
n
}
l hai d¢y hëi tö v
C
l h¬ng sè. Khi â:
(i)
lim
n→∞
(u
n
+ v
n
) = lim
n→∞
u
n
+ lim
n→∞
v
n
.
(ii)
lim
n→∞
Cu
n
= C lim
n→∞
u
n
.
(iii)
lim
n→∞
(u
n
.v
n
) = lim
n→∞
u
n
. lim
n→∞
v
n
.
(iv)
lim
n→∞
u
n
v
n
=
lim
n→∞
u
n
lim
n→∞
v
n
,
n¸u
lim
n→∞
v
n
= 0.
ành l½ 3.4.5
Cho 3 d¢y sè
{u
n
}, {v
n
}, {w
n
}
.
N¸u
u
n
≤ v
n
≤ w
n
v
lim
n→∞
u
n
= lim
n→∞
w
n
= a
th¼
lim
n→∞
v
n
= a
.
3.5. Giîi h¤n cõa hm sè
83
V½ dö 3.4.10
Chùng minh r¬ng:
lim
n→∞
n
√
n = 1
vîi
n > 1
.
Gi£i:
Vîi
n > 1
theo b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ:
1 <
n
√
n =
n
p
√
n.
√
n.1...1 <
2
√
n + (n − 2)
n
=
2
√
n
+ 1 −
2
n
<
2
√
n
+ 1
.
M
lim
n→∞
2
√
n
+ 1
= 1
n¶n theo ành l½ tr¶n th¼ ta câ i·u chùng minh.
3.4.4 C¡c d¤ng væ ành
C¡c d¤ng sau ¥y ÷ñc gåi l
d¤ng væ ành
cõa giîi h¤n d¢y.
∞ − ∞; 0.∞;
∞
∞
;
0
0
.
V½ dö 3.4.11
(i)
lim
n→∞
(
√
n + 1 − n)
l d¤ng væ ành
∞ − ∞
(ii)
lim
n→∞
n(e
1/n
− 1 )
l d¤ng væ ành
0.∞
.
3.5 Giîi h¤n cõa hm sè
3.5.1 Giîi h¤n t¤i mët iºm
ành ngh¾a 3.5.1
Cho hm sè
f(x)
x¡c ành ð l¥n cªn iºm
x
0
, khæng nh§t
thi¸t t¤i
x
0
. Hm sè
f(x)
câ giîi h¤n l
L
khi
x
d¦n tîi
x
0
,
n¸u vîi måi d¢y
{x
n
}
hëi tö v·
x
0
th¼ d¢y
{f(x
n
)}
luæn hëi tö v·
L
. K½ hi»u:
lim
x→x
0
f(x) = L
.
V½ dö 3.5.1
X²t hm sè
f(x) = x sin
1
x
tr¶n
(−1, 1)
. Hm sè ny khæng x¡c ành
t¤i iºm
x
0
= 0
. Ta câ:
lim
x→0
f(x) = 0
. Thªt vªy:
∀{x
n
}, x
n
= 0
hëi tö ¸n 0 th¼
0 ≤ |f(x
n
)| ≤ |x
n
|
. V¼
lim
n→∞
x
n
= 0
n¶n
lim
x→0
f(x) = 0
.
84
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Nhªn x²t 3.5.1
Tø ành ngh¾a ta th§y r¬ng n¸u câ hai d¢y
x
(1)
n
, x
(2)
n
còng hëi
tö v·
x
0
nh÷ng
lim
n→∞
f(x
(1)
n
) = lim
n→∞
f(x
(2)
n
)
th¼ khæng tçn t¤i giîi h¤n cõa
f(x)
khi
x
d¦n v·
x
0
.
V½ dö 3.5.2
X²t hm sè
f(x) = cos
1
x
. Hm sè ny khæng x¡c ành t¤i iºm
x
0
= 0
. Ta s³ chùng minh r¬ng hm sè ny khæng câ giîi h¤n khi
x
d¦n v· 0.
X²t hai d¢y sau ¥y:
D¢y
{x
(1)
n
}
vîi
x
n
=
1
π
2
+ 2nπ
⇒ f(x
(1)
n
) = 0, ∀n ⇒ lim
n→∞
f(x
(1)
n
) = 0
.
D¢y
{x
(2)
n
}
vîi
x
(2)
n
=
1
2nπ
⇒ f(x
(2)
n
) = 1, ∀n ⇒ lim
n→∞
f(x
(2)
n
) = 1
.
Vªy khæng tçn t¤i giîi h¤n cõa
f(x)
khi
x
d¦n tîi 0.
ành ngh¾a 3.5.2
(ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng) Hm sè
y = f(x)
câ giîi h¤n
L
khi
x
d¦n v·
x
0
n¸u
∀ε > 0
b² tòy þ th¼ tçn t¤i
δ > 0
sao cho, n¸u
0 < |x −x
0
| < δ
th¼
|f(x) − L| < ε
.
V½ dö 3.5.3
Chùng minh r¬ng:
lim
x→2
x
2
− 4
x − 2
= 4
.
Gi£i:
Gi£ sû:
∀ε > 0,
x
2
− 4
x − 2
< ε ⇔ | x + 2| < ε.
Chån
δ = ε
th¼ khi
|x + 2| < δ ⇒
x
2
− 4
x − 2
< ε.
Vªy:
lim
x→2
x
2
− 4
x − 2
= 4.
ành ngh¾a 3.5.3
(Giîi h¤n t¤i væ còng) Hm sè
y = f(x)
câ giîi h¤n
L
khi
x
d¦n tîi væ còng, n¸u vîi måi
ε > 0,
tçn t¤i
M > 0
sao cho
|x| > M
th¼
|f(x) − L| < ε
. K½ hi»u:
lim
x→∞
f(x) = L
.
3.5. Giîi h¤n cõa hm sè
85
V½ dö 3.5.4
Chùng minh r¬ng:
lim
x→+∞
x + 1
x
= 1
.
Gi£i:
Ta câ:
|f(x) − 1| =
1
x
< ε ⇒ x >
1
ε
. Chån
M =
1
ε
th¼ ta câ i·u chùng minh.
ành ngh¾a 3.5.4
(Giîi h¤n væ còng) Hm sè
y = f(x)
giîi h¤n b¬ng væ còng
khi
x
d¦n tîi
x
0
,
n¸u vîi måi
M > 0,
tçn t¤i
δ > 0
sao cho
|x − x
0
| < δ
th¼
|f(x)| > M
.
V½ dö 3.5.5
lim
x→1
1
x
2
− 1
= ∞
T÷ìng tü, ta công câ ành ngh¾a:
lim
x→∞
f(x) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃A > 0 : |x| > A ⇒ |f(x)| > M
V½ dö 3.5.6
lim
x→+∞
ln x = +∞
3.5.2 Mët sè giîi h¤n cì b£n
lim
x→0
sin x
x
= 1
lim
x→0
arcsin x
x
= 1
lim
x→0
tan x
x
= 1
lim
x→0
arctan x
x
= 1
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1
lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a (0 < a = 1)
lim
x→0
ln(x + 1 )
x
= 1 lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= α
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e
lim
x→0
(1 + x)
1/x
= e
3.5.3 Giîi h¤n mët ph½a
ành ngh¾a 3.5.5
Cho
x
d¦n v·
x
0
v
x > x
0
, k½ hi»u l
x → x
+
0
. Khi â, n¸u
f(x)
d¦n tîi mët sè x¡c ành th¼ sè â ÷ñc gåi l giîi h¤n ph£i cõa
f(x)
t¤i
x
0
.
K½ hi»u:
lim
x→x
+
0
f(x)
.
86
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.5.6
Cho
x
d¦n v·
x
0
v
x < x
0
v k½ hi»u l
x → x
−
0
. Khi â, n¸u
f(x)
d¦n tîi mët sè x¡c ành th¼ sè â ÷ñc gåi l giîi h¤n tr¡i cõa
f(x)
t¤i
x
0
.
K½ hi»u:
lim
x→x
−
0
f(x)
.
V½ dö 3.5.7
Cho hm sè
f(x) =
−x + 1 x < 0
x
2
+ 1 x ≥ 0
T½nh giîi h¤n
lim
x→0
+
f(x)
v
lim
x→0
−
f(x)
.
Gi£i.
Ta câ:
lim
x→0
+
f(x) = l i m
x→0
+
(x
2
+ 1) = 1
v
lim
x→0
−
f(x) = lim
x→0
−
(−x + 1) = 1
.
ành l½ 3.5.1
Hm sè
f(x)
câ giîi h¤n t¤i
x
0
khi v ch¿ khi nâ câ giîi h¤n tr¡i,
giîi h¤n ph£i t¤i
x
0
v hai giîi h¤n ny b¬ng nhau.
V½ dö 3.5.8
X²t giîi h¤n hm sè
f(x) =
sin x
|x|
t¤i
x
0
= 0
. Ta câ:
lim
x→0
+
f(x) = 1
v
lim
x→0
−
f(x) = −1
. Hai giîi h¤n ny kh¡c nhau n¶n hm sè ¢ cho khæng câ giîi
h¤n khi
x
d¦n v· 0.
3.5.4 T½nh ch§t cõa hm sè câ giîi h¤n
ành l½ 3.5.2
(i) N¸u
f(x) = C
th¼
lim
x→x
0
f(x) = C
vîi
C
l h¬ng sè.
(ii) Giîi h¤n cõa hm sè (n¸u câ) l duy nh§t.
(iii) N¸u
lim
x→x
0
f(x) > 0 ( lim
x→x
0
f(x) < 0)
th¼ tçn t¤i l¥n cªn
N(x
0
)
cõa
x
0
º
f(x) > 0 (f(x) < 0), ∀x ∈ N(x
0
)
.
(iv) N¸u câ
N(x
0
)
º
f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0), ∀x ∈ N(x
0
)
v tçn t¤i
lim
x→x
0
th¼
lim
x→x
0
f(x) ≥ 0 ( lim
x→x
0
f(x) ≤ 0)
.
3.5. Giîi h¤n cõa hm sè
87
ành l½ 3.5.3
Gi£ sû c¡c hm sè
f(x), g(x)
·u câ giîi h¤n trong mët qu¡ tr¼nh.
Khi â trong qu¡ tr¼nh §y:
(i)
lim[f(x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) .
(ii)
lim[f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x).
(iii)
lim
f(x)
g(x)
=
lim f(x)
lim g(x)
vîi m¨u sè kh¡c 0.
3.5.5 C¡c d¤ng væ ành
T÷ìng tü nh÷ giîi h¤n d¢y, giîi h¤n hm câ c¡c d¤ng væ ành sau ¥y.
0
0
;
∞
∞
; 0.∞; ∞ − ∞; 0
0
; 0
∞
; ∞
0
; 1
∞
.
Sð d¾ ta gåi ¥y l c¡c d¤ng væ ành v¼ chóng ta ch÷a bi¸t ÷ñc mët c¡ch
têng qu¡t l lóc â hm câ giîi h¤n hay khæng. Cho n¶n khi g°p c¡c d¤ng væ
ành th¼ ta ph£i ti¸n hnh
"khû"
nâ. Sau ¥y l mët vi ph÷ìng ph¡p khû d¤ng
væ ành thæng döng.
(i) D¤ng
lim
x→∞
P (x)
Q(x)
(d¤ng
∞
∞
), vîi
P
v
Q
l hai a thùc theo
x
. Chia c£ tû v
m¨u cho
x
câ sè mô cao nh§t trong hai a thùc â. Câ thº ¡p döng c¡ch
ny cho ph¥n thùc chùa c«n.
(ii) D¤ng
lim
x→x
0
P (x)
Q(x)
(d¤ng
0
0
), vîi
P
v
Q
l hai a thùc theo
x
câ nghi»m chung
l
x
0
. Ta ph¥n t½ch thøa sè chùa nghi»m
(x − x
0
)
º ìn gi£n.
(iii) Nh¥n vîi l÷ñng li¶n hi»p º khû d¤ng væ ành.
(iv) Dòng c¡c giîi h¤n cì b£n.
V½ dö 3.5.9
(i)
lim
x→∞
x
2
+ 2 x
2x
2
− 1
= lim
x→∞
1 +
2
x
2 −
1
x
2
=
1
2
.
88
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(ii)
lim
x→1
x
2
− 1
x
2
+ 2x − 3
= lim
x→1
x + 1
x + 3
=
1
2
.
(iii)
lim
x→3
√
1 + x − 2
x − 3
= lim
x→3
1 + x − 4
(x − 3)(
√
1 + x + 2)
= lim
x→3
1
√
1 + x + 2
=
1
4
.
(iv)
lim
x→+∞
(
√
x + 1 −
√
x) = lim
x→+∞
1
√
x + 1 +
√
x
= 0
.
(v)
lim
x→0
sin 3x
7x
= lim
x→0
3
7
.
sin 3x
3x
=
3
7
.
(vi)
lim
x→0
(1 + sin x)
1/x
= lim
x→0
(1 + sin x)
1
sin x
.
sin x
x
= e.
3.6 Væ còng b² v væ còng lîn
3.6.1 Væ còng b²
ành ngh¾a 3.6.1
Hm sè
α(x)
÷ñc gåi l
væ còng b²
(VCB) khi
x
d¦n v·
x
0
n¸u
lim
x→x
0
α(x) = 0,
vîi
x
0
câ thº húu h¤n ho°c væ còng.
V½ dö 3.6.1
(i)
sin x
l VCB khi
x
d¦n v· 0.
(ii)
1
x
l VCB khi
x
d¦n v·
∞
.
T½nh ch§t
(i) T½ch cõa mët VCB vîi h¬ng sè l mët VCB.
(ii) Têng, t½ch cõa hai VCB l mët VCB.
(iii) T½ch cõa mët VCB vîi mët ¤i l÷ñng bà ch°n l mët VCB.
V½ dö 3.6.2
lim
x→∞
sin x
x
= lim
x→∞
1
x
. sin x = 0.
3.6. Væ còng b² v væ còng lîn
89
So s¡nh c¡c VCB
Cho
α(x), β(x)
l hai VCB khi
x
d¦n v·
x
0
,
vîi
x
0
câ thº húu h¤n ho°c væ
còng. Gi£ sû tçn t¤i
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= k
. Khi â:
(i) N¸u
k = 0
th¼
α(x)
÷ñc gåi l VCB bªc cao hìn
β(x)
khi
x
d¦n v·
x
0
v k½
hi»u l
α(x) = o(β(x) )
.
(ii) N¸u
0 < k < +∞
th¼
α(x)
v
β(x)
÷ñc gåi l hai VCB còng bªc khi
x
d¦n v·
x
0
. °c bi»t, khi
k = 1
th¼
α(x)
v
β(x)
÷ñc gåi l hai VCB t÷ìng
÷ìng v k½ hi»u l
α(x) ∼ β(x)
.
(iii) N¸u
k = +∞
ta nâi
β(x)
l VCB bªc cao hìn
α(x)
khi
x
d¦n v·
x
0
v k½
hi»u l
β(x) = o(α(x) )
.
V½ dö 3.6.3
(i) Ta câ
x
2
− 2 x + 1 = o(x − 1)
, v¼
lim
x→1
x
2
− 2 x + 1
x − 1
= 0.
(ii) Ta câ
x
2
− 3 x + 2
v
x − 1
l hai VCB còng bªc, v¼
lim
x→1
x
2
− 3 x + 2
x − 1
= −1.
(iii) Ta câ
x
2
+ 2 x + 1 = o(x + 1)
, v¼
lim
x→−1
x + 1
x
2
+ 2x + 1
= +∞.
ành l½ 3.6.1
N¸u
α(x), β(x), α
1
(x), β
1
(x)
l nhúng VCB v
α(x) ∼ α
1
(x), β(x) ∼
β
1
(x)
th¼
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
.
Khi
x
d¦n v· 0 ta câ c¡c VCB sau l t÷ìng ÷ìng:
sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x [(1 + x)
α
− 1 ] ∼ αx, (α ∈ R)
arctan x ∼ x ln(x + 1) ∼ x (e
x
− 1 ) ∼ x (1 − cos x) ∼
x
2
2
.
V½ dö 3.6.4
(i)
lim
x→0
sin 3x
e
4x
− 1
= lim
x→0
3x
4x
=
3
4
.
90
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(ii)
lim
x→0
3
√
8 + 3x − 2
4
√
16 + 5x − 2
= lim
x→0
2
3
q
1 +
3x
8
− 1
2
4
q
1 +
5x
16
− 1
= lim
x→0
x
8
5x
64
=
8
5
.
(iii)
lim
x→0
(1 + 2x)
2
−
3
√
1 + 3x
x
= lim
x→0
(1 + 2x)
2
− 1
x
− lim
x→0
3
√
1 + 3x − 1
x
= 3.
V½ dö 3.6.5
lim
x→
π
2
cos x
x −
π
2
= lim
x→
π
2
sin(x −
π
2
)
x −
π
2
= 1.
ành l½ 3.6.2
(Qui tc ngt bä VCB bªc cao) N¸u c¡c VCB
α(x)
v
β(x)
l
têng cõa c¡c VCB kh¡c bªc th¼ giîi h¤n cõa t¿ sè
α(x)
β(x)
b¬ng giîi h¤n cõa t¿ sè
hai VCB bªc th§p nh§t ð tû v m¨u.
3.6.2 Væ còng lîn
ành ngh¾a 3.6.2
Hm sè
α(x)
÷ñc gåi
væ còng lîn
(VCL) khi
x
d¦n v·
x
0
n¸u
lim
x→x
0
α(x) = +∞,
vîi
x
0
câ thº húu h¤n ho°c væ còng.
V½ dö 3.6.6
Khi
x
d¦n v· 0 th¼
1
x
, cot x
l nhúng VCL. Khi
x
d¦n v·
π
2
th¼
tan x
l mët VCL.
T½nh ch§t
(i) T½ch cõa hai VCL l mët VCL.
(ii) Têng cõa mët VCL vîi mët ¤i l÷ñng bà ch°n l mët VCL.
(iii) Nghàch £o cõa VCL l VCB v ng÷ñc l¤i.
So s¡nh hai VCL
Cho
α(x), β(x)
l hai VCL khi
x
d¦n v·
x
0
. Gi£ sû tçn t¤i
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= k
.
Khi â:
3.7. Hm sè li¶n töc
91
(i) N¸u
k = 0
th¼
α(x)
÷ñc gåi l VCL bªc th§p hìn
β(x)
khi
x
d¦n v·
x
0
.
(ii) N¸u
0 < k < +∞
th¼
α(x)
v
β(x)
÷ñc gåi l hai VCL còng bªc.
(iii) N¸u
k = +∞
th¼
β(x)
÷ñc gåi l VCL bªc th§p hìn
α(x)
khi
x
ti¸n v·
x
0
.
ành l½ 3.6.3
N¸u
α(x), β(x), α
1
(x), β
1
(x)
l nhúng VCL v
α(x) ∼ α
1
(x),
β(x) ∼ β
1
(x)
th¼
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
.
V½ dö 3.6.7
lim
x→+∞
x
5
+ x
3
+ x − 1
2x
6
− 3 x
2
− si n
3
x
= lim
x→+∞
x
5
2x
6
= 0.
ành l½ 3.6.4
(Qui tc ngt bä VCL bªc th§p) N¸u c¡c VCL
α(x)
v
β(x)
l
têng cõa c¡c VCL kh¡c bªc th¼ giîi h¤n cõa t¿ sè
α(x)
β(x)
b¬ng giîi h¤n cõa t¿ sè
hai VCL bªc cao nh§t cõa tû v m¨u.
3.7 Hm sè li¶n töc
3.7.1 Li¶n töc t¤i mët iºm
ành ngh¾a 3.7.1
Cho hm sè
y = f(x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
v
x
0
∈ (a, b)
. Hm
sè ÷ñc gåi l
li¶n töc
t¤i
x
0
n¸u
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
).
N¸u hm sè khæng li¶n töc t¤i iºm
x
0
th¼ ta nâi hm sè gi¡n o¤n t¤i iºm
x
0
.
V½ dö 3.7.1
(i) X²t t½nh li¶n töc cõa hm sè
f(x) =
sin x
x
, x = 0
1, x = 0
.
Ta câ:
lim
x→0
sin x
x
= 1 = f(0)
n¶n hm sè ¢ cho li¶n töc t¤i iºm
x
0
= 0
.
92
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(ii) T¼m a º hm sè
f(x) =
x
2
− 4
x − 2
, x = 2
a, x = 2
li¶n töc t¤i
x
0
= 2
.
Vîi
x = 2
, hm sè ¢ cho l hm sì c§p n¶n li¶n töc.
Khi
x = 2
, câ:
lim
x→2
x
2
− 4
x − 2
= 4
.
Vªy º hm sè ¢ cho li¶n töc t¤i
x
0
= 2
th¼
a = 4
.
3.7.2 Li¶n töc mët ph½a
ành ngh¾a 3.7.2
Hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l
li¶n töc tr¡i
t¤i
x
0
n¸u
lim
x→x
−
0
=
f(x
0
)
.
Hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l
li¶n töc ph£i
t¤i
x
0
n¸u
lim
x→x
+
0
= f(x
0
)
.
ành l½ 3.7.1
Hm sè li¶n töc t¤i iºm
x
0
khi v ch¿ khi nâ li¶n töc tr¡i v li¶n
töc ph£i t¤i iºm
x
0
.
V½ dö 3.7.2
Cho hm sè
y =
x
2
− 3 x + 2
|x − 1|
, x = 1
a, x = 1
.
(i) T¼m
a
º hm sè li¶n töc tr¡i t¤i
x = 1.
(ii) T¼m
a
º hm sè li¶n töc ph£i t¤i
x = 1.
(iii) T¼m
a
º hm sè li¶n töc t¤i
x = 1.
Gi£i.
Ta câ:
f(x) =
x − 2, x > 1
a, x = 1
2 − x, x < 1
.
(i) Câ:
lim
x→1
−
f(x) = lim
x→1
−
(2 − x) = 1
n¶n º hm sè li¶n töc tr¡i t¤i
x = 1
th¼
a = 1
.
3.7. Hm sè li¶n töc
93
(ii) Câ:
lim
x→1
+
f(x) = l i m
x→1
+
(x − 2) = −1
n¶n º hm sè li¶n töc ph£i t¤i
x = 1
th¼
a = −1
.
(iii) Câ:
lim
x→1
−
f(x) = lim
x→1
−
(2 − x) = 1 = lim
x→1
+
f(x) = lim
x→1
+
(x − 2) = − 1
n¶n khæng
tçn t¤i a º hm sè li¶n töc t¤i
x = 1
.
3.7.3 Hm sè li¶n töc tr¶n kho£ng mð v âng
Hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n
(a, b)
n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm
x ∈ (a, b)
.
Hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n
[a, b]
n¸u nâ li¶n töc tr¶n
(a, b)
çng
thíi li¶n töc ph£i t¤i
a
v li¶n töc tr¡i t¤i
b
.
3.7.4 Ph¥n lo¤i c¡c iºm gi¡n o¤n
iºm
x
0
÷ñc gåi l iºm gi¡n o¤n lo¤i 1 cõa hm sè
y = f(x)
n¸u nâ l
iºm gi¡n o¤n cõa hm sè nh÷ng t¤i â v¨n tçn t¤i giîi h¤n ph£i v giîi h¤n
tr¡i (húu h¤n). °c bi»t, n¸u
lim
x→x
−
0
= l i m
x→x
+
0
= f(x
0
)
th¼
x
0
÷ñc gåi l iºm gi¡n
o¤n bä ÷ñc.
iºm gi¡n o¤n khæng ph£i lo¤i 1 th¼ gåi l iºm gi¡n o¤n lo¤i 2.
V½ dö 3.7.3
(i) Hm sè
f(x) =
x, x ≤ 1
3x + 2, x > 1
gi¡n o¤n lo¤i 1 t¤i 1 v¼
lim
x→1
−
f(x) = 1 = f(1), lim
x→1
+
f(x) = 5.
(ii) Hm sè
f(x) =
x, x < 2
2x − 2, x > 2
1, x = 2
94
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
gi¡n o¤n bä ÷ñc t¤i
x = 2
v¼
lim
x→2
+
f(x) = lim
x→2
−
f(x) = 2 = f(2) = 1.
(iii) Hm sè
f(x) =
ln x, x > 0
1, x ≤ 0
gi¡n o¤n lo¤i 2 t¤i
x = 0
v¼
lim
x→0
+
f(x) = ∞.
3.7.5 C¡c ành l½ v· hm li¶n töc
ành l½ 3.7.2
ç thà cõa hm sè li¶n töc l mët ÷íng li·n n²t.
ành l½ 3.7.3
Gi£ sû
f(x), g(x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
v
x
0
∈ (a, b)
. N¸u
f(x), g(x)
li¶n töc t¤i
x
0
th¼ c¡c hm sè
f(x) ± g(x), f (x).g(x),
f(x)
g(x)
, Cf (x),
n
p
f(x)
, vîi
C
l
h¬ng sè,
g(x
0
) = 0
v
f(x) ≥ 0
(n¸u
n
l sè ch®n) công li¶n töc t¤i iºm
x
0
.
3.7.6 T½nh li¶n töc cõa hm hñp, hm ng÷ñc v hm sè sì c§p
ành l½ 3.7.4
N¸u hm sè
y = f(x)
li¶n töc t¤i
x
0
v n¸u hm
h = g(y)
li¶n töc
t¤i
y
0
= f(x
0
)
th¼ hm hñp
h = g[f(x)]
li¶n töc t¤i
x
0
.
ành l½ 3.7.5
N¸u hm sè
y = f(x)
li¶n töc tr¶n o¤n
[a, b]
v ìn i»u tr¶n
o¤n â th¼ hm ng÷ñc cõa nâ công li¶n töc v ìn i»u tr¶n
[c, d]
vîi
[c, d]
l
mi·n gi¡ trà cõa
f(x)
tr¶n
[a, b]
.
ành l½ 3.7.6
Hm sè sì c§p li¶n töc tr¶n mi·n x¡c ành cõa nâ.
3.7.7 T½nh ch§t cõa hm sè li¶n töc tr¶n kho£ng âng
ành l½ 3.7.7
N¸u hm sè
y = f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
th¼ nâ bà ch°n tr¶n
[a, b]
.
Tùc l, tçn t¤i
m, M
sao cho
m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]
.
3.7. Hm sè li¶n töc
95
ành l½ 3.7.8
N¸u
f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
th¼
f(x)
¤t gi¡ trà lîn nh§t v nhä
nh§t tr¶n
[a, b]
. Ngh¾a l, tçn t¤i
x
1
, x
2
∈ [a, b]
sao cho:
m = f(x
1
) ≤ f(x) ≤ f(x
2
) = M, ∀x ∈ [a, b].
ành l½ 3.7.9
Hm sè
f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
th¼
f(x)
¤t t§t c£ c¡c gi¡ trà
trung gian giúa
f(a)
v
f(b)
.
H» qu£ 3.7.1
Hm sè
f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
v
f(a).f(b) < 0
th¼ tçn t¤i
c ∈ (a, b)
sao cho
f(c) = 0
.
V½ dö 3.7.4
Chùng minh r¬ng:
(i) Ph÷ìng tr¼nh
x
3
− 3 x + 1 = 0
câ 3 nghi»m ph¥n bi»t.
(ii) Ph÷ìng tr¼nh
2x
3
− 3 x
2
− 1 = 0
câ nghi»m
x
0
∈ (
3
√
4, 2)
.
Gi£i.
(i) °t
f(x) = x
3
− 3 x + 1
th¼
f(x)
li¶n töc tr¶n
R
.
Ta câ:
f(−2).f(−1) < 0, f(−1).f (1) < 0, f(1).f(2) < 0
n¶n tçn t¤i
x
1
∈ (−2, −1), x
2
∈ (−1, 1), x
3
∈ (1, 2)
sao cho
f(x
1
) = f(x
2
) = f(x
3
) = 0.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ 3 nghi»m ph¥n bi»t.
(ii) °t
f(x) = 2x
3
− 3 x
2
− 1
th¼
f(x)
li¶n töc tr¶n
R
.
Ta câ:
f(1).f(2) < 0
n¶n tçn t¤i
x
0
∈ (1, 2)
sao cho
f(x
0
) = 2x
2
0
−3x
2
0
−1 = 0
hay
2x
2
0
= 3x
2
0
+ 1
. V¼
x
0
> 1
n¶n
2x
2
0
= x
2
0
+ x
2
0
+ x
2
0
+ 1 > 4
4
p
x
6
0
= 4
p
x
3
0
,
suy ra
2x
3
0
> 4
p
x
3
0
⇒ x
0
>
3
√
4 ⇒ x
0
∈ (
3
√
4, 2)
.
96
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
3.7.8 Mët sè hm th÷íng g°p trong thüc t¸
Trong ph¥n t½ch kinh t¸, ng÷íi ta ph£i nghi¶n cùu c¡c ¤i l÷ñng nh÷ l÷ñng
cung, l÷ñng c¦u, gi¡, chi ph½, doanh thu, têng chi ph½, têng doanh thu, l÷ñng lao
ëng, l÷ñng vèn,.. º cho thuªn ti»n, ng÷íi ta th÷íng dòng c¡c chú c¡i ¦u ti¶n
cõa tø â trong ti¸ng anh º biºu thà ¤i l÷ñng â. Cö thº trong b£ng sau ¥y:
T¶n ti¸ng Vi»t T¶n ti¸ng Anh Kþ hi»u
L֖ng cung Quantity Supplied
Q
s
L÷ñng c¦u Quantity Demanded
Q
d
Gi¡ hng hâa Price
P
L÷ñng chi ph½, L÷ñng ti¶u dòng Cost, Consumption
C
Têng chi ph½ Total Cost
T C
Doanh thu Revenue
R
Têng doanh thu Total Revenue
T R
Lñi nhuªn Profit
P
r
L÷ñng vèn Capital
K
L÷ñng lao ëng Labour
L
Chi ph½ cè ành Fix Cost
F C
Chi ph½ phö thuëc s£n ph©m Variable Cost
V C
Ti¸t ki»m Saving
S
Thu nhªp Income
I
C¡c hm th÷íng g°p trong thüc t¸
(i)
Hm cung
l hm sè ÷ñc dòng º biºu di¹n sü phö thuëc cõa
l֖ng cung
mët lo¤i hng hâa no â vo
gi¡
cõa nâ trong i·u ki»n c¡c y¸u tè kh¡c
khæng êi. Nh÷ vªy, hm cung câ d¤ng
Q
s
= S(P )
, (l÷ñng cung l l÷ñng
hng hâa m ng÷íi b¡n b¬ng láng b¡n ð méi mùc gi¡).
3.7. Hm sè li¶n töc
97
(ii)
Hm c¦u
l hm sè ÷ñc dòng º biºu di¹n sü phö thuëc cõa
l÷ñng c¦u
mët lo¤i hng hâa no â vo
gi¡
cõa nâ trong i·u ki»n c¡c y¸u tè kh¡c
khæng êi. Nh÷ vªy, hm c¦u câ d¤ng
Q
d
= D(P )
, (l÷ñng c¦u l l÷ñng hng
hâa m ng÷íi mua b¬ng láng mua ð méi mùc gi¡).
Quy luªt thà tr÷íng trong kinh t¸ håc ph¡t biºu r¬ng: Trong i·u ki»n
c¡c y¸u tè kh¡c khæng thay êi, hm cung l hm çng bi¸n; hm c¦u l
hm nghàch bi¸n. Ngh¾a l khi c¡c y¸u tè kh¡c giú nguyn, gi¡ hng hâa
t«ng th¼ ng÷íi b¡n s³ muèn bn nhi·u hìn cán ng÷íi mua s³ mua ½t i.
C¡c nh kinh t¸ gåi ç thà cõa hm cung, hm c¦u l¦n l÷ñt l ÷íng cung
v ÷íng c¦u. Giao iºm cõa hai ÷íng ÷ñc gåi l
iºm c¥n b¬ng
cõa
thà tr÷íng. T¤i iºm c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng, ta câ: vîi mùc gi¡ c¥n b¬ng
¯
P
th¼ ng÷íi b¡n b¡n h¸t v ng÷íi mua mua õ, khæng câ hi»n t÷ñng khan
hi¸m v d÷ thøa hng hâa.
Tø quy luªt tr¶n, ta th§y n¸u muèn dòng
mæ h¼nh tuy¸n t½nh
cho hm
cung ta ph£i câ:
Q
s
= aP + b, a > 0.
V hm c¦u câ d¤ng
Q
d
= aP + b, a < 0
.
Chó þ 3.7.1
Hm cung v hm c¦u ·u câ hm ng÷ñc, trong c¡c ti li»u
kinh t¸ ng÷íi ta th÷íng biºu thà sü phö thuëc cõa gi¡ c£ vo l÷ñng cung,
l÷ñng c¦u thnh ra ng÷íi ta công
gåi c¡c hm ng÷ñc cõa c¡c hm cung
v hm c¦u
nh÷ ¢ nâi tr¶n
l hm cung v hm c¦u
t÷ìng ùng ç thà l
÷íng cung v ÷íng c¦u.
(iii)
Hm s£n xu§t
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa s£n l÷ñng hng hâa
cõa mët nh s£n xu§t vo c¡c y¸u tè s£n xu§t, nh÷ l: vèn, lao ëng,... (l
c¡c y¸u tè ¦u vo cõa s£n xu§t). Trong kinh t¸ håc, kh¡i ni»m ngn h¤n
98
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
v di h¤n khæng ÷ñc x¡c ành bði kho£ng thíi gian cö thº m ÷ñc hiºu
l nh÷ sau:
Ngn h¤n
l kho£ng thíi gian m ½t nh§t mët trong c¡c y¸u
tè s£n xu§t khæng êi.
Di h¤n
l kho£ng thíi gian m t§t c£ c¡c y¸u tè
s£n xu§t câ thº thay êi. Khi ph¥n t½ch s£n xu§t th¼ ng÷íi ta th÷íng quan
t¥m ¸n hai y¸u tè s£n xu§t quan trång l: vèn
(K)
v l÷ñng lao ëng
(L)
.
Trong ngn h¤n, th¼
K
÷ñc cho l khæng thay êi. Nh÷ vªy hm s£n xu§t
ngn h¤n câ d¤ng:
Q = f(L)
trong â
Q
l mùc s£n l÷ñng.
(iv)
Hm doanh thu
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng doanh thu vo
s£n l÷ñng:
T R = T R(Q).
(v)
Hm chi ph½
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng chi ph½ vo s£n
l֖ng:
T C = T C(Q).
(vi)
Hm lñi nhuªn
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng lñi nhuªn (Kþ
hi»u l
Π
) vo s£n l÷ñng:
Π = Π(Q).
(vii)
Hm ti¶u dòng
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng
C
(Consump-
tion) cõa ng÷íi ti¶u dòng vo thu nhªp
I
:
C = C(I).
(viii)
Hm ti¸t ki»m
l hm º biºu di¹n sü phö thuëc cõa bi¸n ti¸t ki»m
S
vo
bi¸n thu nhªp
I
:
S = S(I).
BI TP
1. Chùng minh r¬ng:
3.7. Hm sè li¶n töc
99
(a) N¸u
lim
n→∞
|x
n
| = 0
th¼
lim
n→∞
x
n
= 0
.
(b)
lim
n→∞
q
n
= 0
vîi
|q| < 1
.
(c)
lim
n→∞
n
√
a = 1
vîi
a > 1
.
2. Cho d¢y
{x
n
}
÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
x
1
=
√
2, x
n+1
=
√
2 + x
n
.
(a) Chùng minh r¬ng
{x
n
}
t«ng v bà ch°n tr¶n.
(b) T½nh
lim
n→∞
x
n
.
3. X²t sü hëi tö cõa c¡c d¢y sau v t¼m giîi h¤n n¸u nâ hëi tö
(a)
x
n
= (−1)
n
n + 1
n
.
(b)
x
n
=
n + 1
n
.
(c)
x
n
=
n
n
2
+ 1
.
(d)
x
n
= n −
p
n
2
− n.
(e)
x
n
=
p
n(n + a) − n.
4. T½nh c¡c giîi h¤n sau
A = lim
n→∞
[n
3/2
(
p
n
3
+ 1 −
p
n
3
+ 2) ] ; B = li m
n→∞
n
X
k=1
n
n
2
+ k
;
C = lim
n→∞
n
X
k=1
n
3
√
n
3
+ k
; D = lim
n→∞
1
n
√
n!
;
E = lim
n→∞
n
p
n
2
2
n
+ 3
n
; F = lim
n→∞
n
X
k=1
1
k(k + 1)
;
G = lim
n→∞
1
2
+ 2
2
+ ... + n
2
n
3
; H = lim
n→∞
2
n+1
+ 3
n+1
2
n
+ 3
n
;
I = lim
n→∞
n sin n
n
2
+ 1
; J = lim
n→∞
1 + 2
2
+ 3
3
+ ... + n
n
n
n
.
5. T¼m hm sè
f(x)
bi¸t:
100
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(a)
f(x + 1) = x
2
− 3 x + 2.
(b)
f
x +
1
x
= x
2
+
1
x
2
.
(c)
f
1
x
= x +
p
1 + x
2
.
(d)
f
x
x + 1
= x
2
.
6. T½nh c¡c giîi h¤n sau
(a)
lim
x→8
√
9 + 2x − 5
3
√
x − 2
.
(b)
lim
x→∞
p
x +
√
x
√
x + 1
.
(c)
lim
x→0
m
√
1 + αx − 1
x
.
(d)
lim
x→4
√
1 + 2x − 3
√
x − 2
.
(e)
lim
x→+∞
(
3
p
x
3
+ 3 x
2
−
p
x
2
− 2 x) .
(f)
lim
x→−∞
(
p
1 + x + x
2
−
p
1 − x + x
2
).
(g)
lim
x→0
n
√
1 + x −
n
√
1 − x
x
.
7. T½nh c¡c giîi h¤n sau
(a)
lim
x→0
sin 2x
tan 3x
.
(b)
lim
x→0
1
sin x
− co t x
.
(c)
lim
x→a
sin x − sin a
x − a
.
(d)
lim
x→0
1 −
√
cos x
x
2
.
(e)
lim
x→0
3
√
cos x −
√
cos x
x
2
.
(f)
lim
x→0
√
1 + sin x −
√
1 − sin x
x
.
(g)
lim
x→∞
(sin
√
x + 1 − sin
√
x).
(h)
lim
x→0
tan x − sin x
x
3
.
3.7. Hm sè li¶n töc
101
(i)
lim
x→0
e
ax
− e
bx
sin ax − sin bx
vîi
a = b.
8. T½nh c¡c giîi h¤n sau
(a)
lim
x→+∞
x + 2
2x + 1
x
.
(b)
lim
x→0
x
√
1 − 2x.
(c)
lim
x→0
1 + tan x
1 + sin x
1/ sin
3
x
.
(d)
lim
x→+∞
x
2
− 1
x
2
+ 1
x−1
x+1
.
(e)
lim
x→∞
x + 1
x + 2
x+3
.
9. Dòng VCB t÷ìng ÷ìng t½nh c¡c giîi h¤n sau
(a)
lim
x→0
ln(cos x)
ln(1 + x
2
)
.
(b)
lim
x→0
ln(1 + 3 x sin x)
tan
2
x
.
(c)
lim
x→0
(1 − e
x
)(1 − cos x)
x
3
+ si n
4
x
.
(d)
lim
x→0
ln(1 + t a n x)
x + sin
3
x
.
10. X²t t½nh li¶n töc cõa c¡c hm sè sau:
(a)
f(x) =
ax + 1, x ≤
π
2
sin x + b, x >
π
2
.
(b)
f(x) =
x sin
1
x
, x = 0
0, x = 0
.
(c)
f(x) =
e
1/x
2
, x = 0
0, x = 0
.
(d)
f(x) =
2x, 0 ≤ x ≤ 1
2 − x, 1 < x ≤ 2
.
102
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
11. Chùng minh r¬ng:
(a) Ph÷ìng tr¼nh
x
5
− 5 x
3
+ 4 x − 1 = 0
câ 5 nghi»m ph¥n bi»t.
(b) Ph÷ìng tr¼nh
x
4
− x − 3 = 0
luæn câ nghi»m thuëc
(
3
√
12, 2)
.
12. Cho vay mët l÷ñng vèn l 50 tri»u çng vîi l¢i su§t
1, 2%/
th¡ng theo h¼nh
thùc l¢i ìn th¼ sau 3 n«m têng sè ti·n thu ÷ñc l bao nhi¶u?
13. Mët ng÷íi gûi 50 tri»u ð ng¥n hng vîi l¢i su§t 1,2%/ th¡ng theo h¼nh
thùc l¢i k²p th¼ sau 3 n«m ng÷íi â ÷ñc têng sè ti·n l bao nhi¶u?
14. Mët ng÷íi gûi ng¥n hng 100 tri»u theo thº thùc l¢i k²p, l¢i su§t 0,5% mët
th¡ng. Sau ½t nh§t bao nhi¶u th¡ng, ng÷íi â câ nhi·u hìn 125 tri»u?
15. Mët ng÷íi gûi 320 tri»u çng ð hai ng¥n hng X v Y theo ph÷ìng thùc l¢i
k²p. Sè ti·n thù nh§t gûi ð ng¥n hng X vîi l¢i su§t 2,1% mët quþ trong
thíi gian 15 th¡ng. Sè ti·n cán l¤i gûi ð ng¥n hng Y vîi l¢i su§t 0,73%
mët th¡ng trong thíi gian 9 th¡ng. Têng lñi tùc ¤t ÷ñc ð hai ng¥n hng
l 27507768,13 (ch÷a lm trán). Häi sè ti·n ng÷íi â l¦n l÷ñt gûi ð ng¥n
hng X v Y l bao nhi¶u?
16. Ng÷íi ta thi¸t k¸ mët c¡i th¡p gçm 11 t¦ng. Di»n t½ch b· m°t tr¶n cõa méi
t¦ng b¬ng núa di»n t½ch cõa m°t tr¶n cõa t¦ng ngay b¶n d÷îi v di»n t½ch
m°t tr¶n cõa t¦ng 1 b¬ng nûa di»n t½ch cõa ¸ th¡p (câ di»n t½ch l 12288
m
2
). T½nh di»n t½ch m°t tr¶n còng.
17. Mët du kh¡ch vo tr÷íng ua ngüa °t c÷ñc, l¦n ¦u °t
20.000
çng, méi
l¦n sau ti·n °t g§p æi l¦n ti·n °t cåc tr÷îc. Ng÷íi â thua
9
l¦n li¶n
ti¸p v thng ð l¦n thù
10
Häi du kh¡c tr¶n thng hay thua bao nhi¶u?
P SÈ
1. (a) Vîi
ϵ > 0
tuý þ, tçn t¤i
n
0
∈ N
∗
, sao cho
||x
n
|| = |x
n
| < ϵ.
3.7. Hm sè li¶n töc
103
(b) Chån
n
0
∈ N
∗
vîi
n
0
> ln
|q|
ϵ.
(c) Chån
n
0
∈ N
∗
vîi
n
0
> ln
1+ϵ
a.
2. (a)
x
n+1
− x
n
=
2
√
x
n
+ 2 + x
n
> 0, x
n
< 2, ∀n.
(b)
lim x
n
= 2.
3. (a) Khæng hëi tö. (b)
lim x
n
= 1.
(c)
lim x
n
= 0.
(d)
lim x
n
=
1
2
.
(e)
lim x
n
=
a
2
.
4.
A =
−1
2
. B = 1. C = ∞. D = 0. E = 3. F = 1. G =
1
3
. H = 3.
I = 0. J = ∞.
5. (a)
f(x) = x
2
− 5 x + 6.
(b)
f(x) = x
2
− 2 .
(c)
f(x) =
1
x
(1 +
p
1 + x
2
).
(d)
f(x) =
x
1 − x
2
.
6. (a)
12
5
.
(b)
1.
(c)
α
m
.
(d)
4
3
.
(e)
2.
(f)
−1.
(g)
2
n
.
7. (a)
2
3
.
(b)
0
(c)
1
cos a
.
(d)
1
4
.
(e)
1
12
(f)
1.
(g)
0.
(h)
1
2
.
(i)
1.
8. (a)
0.
(b)
1
e
2
.
(c)
√
e.
(d)
1.
(e)
1
e
.
9. (a)
−1
2
.
(b)
3.
(c)
1
2
.
(d)
1.
10. (a)
b =
aπ
2
th¼ hm sè ¢ cho li¶n töc,
b =
aπ
2
th¼ hm sè ¢ cho gi¡n o¤n
t¤i
x =
π
2
.
(b) Li¶n töc.
(c) Gi¡n o¤n t¤i
x = 0.
(d) Gi¡n o¤n t¤i
x = 1.
11. (a) Ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ
5
nghi»m l¦n l÷ñt thuëc vo c¡c kho£ng
−2,
−3
2
,
−3
2
, −1
,
0,
1
2
,
1
2
, 1
v
(1, 3).
104
Ch÷ìng 3. Hm sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(b)
f(
√
2).f(2) < 0.
12.
71, 6
tri»u.
13.
76, 8
tri»u.
14.
44, 74
th¡ng.
15.
X : 1 64 .981.377
çng;
Y : 155.018.622
çng.
16.
6
m
2
.
17. Thng ÷ñc
20.000
çng.
TI LIU CN ÅC
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 2 v bi tªp to¡n cao
c§p tªp 2,
NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 2
, NXB HQG H Nëi
- 2006.
3.
James Stewart
,
Gi£i t½ch,
NXB Hçng ùc - 2016.
Ch֓ng 4
Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
Sau khi håc xong ch÷ìng ny, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc ¤o hm, þ ngh¾a h¼nh håc v ùng döng cõa ¤o hm.
- T½nh ÷ñc ¤o hm v ¡p döng ÷ñc ¤o hm vo c¡c bi to¡n to¡n li¶n
quan.
- Hiºu ÷ñc c¡c v§n · v· vi ph¥n v ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n.
4.1 ¤o hm
4.1.1 Kh¡i ni»m ¤o hm
ành ngh¾a 4.1.1
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
v
x
0
∈ (a, b)
.
Cho
x
0
mët
sè gia
∆x
sao cho
x
0
+ ∆x ∈ (a, b)
. °t
∆y = f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
gåi
l
sè gia cõa hm sè
t¤i iºm
x
0
.
N¸u tçn t¤i
lim
∆x→0
∆y
∆x
(húu h¤n) th¼ giîi h¤n ny ÷ñc gåi l
¤o hm
cõa
hm sè
y = f(x)
t¤i iºm
x
0
v k½ hi»u l
f
′
(x
0
)
ho°c
y
′
(x
0
)
.
Vªy
f
′
(x
0
) = lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆ x) − f(x
0
)
∆x
.
105
106
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
N¸u °t
x = x
0
+ ∆x
th¼
∆x = x − x
0
v
∆x → 0
khi v ch¿ khi
x → x
0
. Khi
â,
f
′
(x
0
) = lim
x→x
0
f(x) − f (x
0
)
x − x
0
.
Nhªn x²t 4.1.1
(i) Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng ta ¢ bi¸t
f
′
(x
0
)
ch½nh l h» sè gâc cõa
ti¸p tuy¸n vîi ÷íng cong
(C) : y = f(x)
t¤i iºm câ honh ë
x
0
.
(ii) Hm sè li¶n töc t¤i iºm
x
0
⇔ lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
) ⇔ l i m
(x−x
0
)→0
[f(x)−f (x
0
)] = 0
⇒ lim
∆x→0
∆y = 0
.
4.1.2 ¤o hm mët ph½a
Cho hm sè
y = f (x)
x¡c ành t¤i
x
0
v t¤i måi iºm
x > x
0
. N¸u tçn t¤i
(húu h¤n) giîi h¤n
lim
∆x→0
+
∆y
∆x
th¼ giîi h¤n â ÷ñc gåi l
¤o hm ph£i
cõa hm
sè
y = f(x)
t¤i iºm
x
0
v k½ hi»u l
f
′
(x
+
0
)
.
T÷ìng tü, n¸u tçn t¤i (húu h¤n) giîi h¤n
lim
∆x→0
−
∆y
∆x
th¼ giîi h¤n â ÷ñc gåi
l
¤o hm tr¡i
cõa hm sè
y = f(x)
t¤i iºm
x
0
v k½ hi»u l
f
′
(x
−
0
)
.
ành l½ 4.1.1
Hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm t¤i iºm
x
0
khi v ch¿ khi nâ câ ¤o
hm ph£i, ¤o hm tr¡i t¤i
x
0
çng thíi hai ¤o hm ph£i v tr¡i b¬ng nhau.
Hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm tr¶n
(a, b)
n¸u nâ câ ¤o hm t¤i méi iºm
thuëc
(a, b)
. Hm sè
f(x)
câ ¤o hm tr¶n
[a, b]
n¸u nâ câ ¤o hm tr¶n
(a, b)
çng thíi câ ¤o hm ph£i t¤i
a
v ¤o hm tr¡i t¤i
b
.
4.1.3 Quan h» giúa ¤o hm v li¶n töc
ành l½ 4.1.2
N¸u hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm t¤i iºm
x
0
th¼ nâ li¶n töc t¤i
iºm
x
0
. i·u ng÷ñc l¤i câ thº khæng óng.
4.1. ¤o hm
107
Chùng minh.
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm t¤i
x
0
. Khi â:
lim
∆x→0
∆y = lim
∆x→0
∆y
∆x
.∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
. lim
∆x→0
∆x = f
′
(x
0
).0 = 0
.
Vªy hm sè li¶n töc t¤i
x
0
.
V½ dö 4.1.1
X²t hm sè
f(x) = |x|
t¤i
x = 0
. Rã rng hm sè ¢ cho li¶n töc
t¤i
x = 0
nh÷ng khæng câ ¤o hm t¤i iºm ny. Thªt vªy:
f
′
(0) = lim
x→0
f(x) − f (0)
x − 0
= lim
x→0
|x|
x
=
1, x → 0
+
−1 x → 0
−
⇒
khæng tçn t¤i
f
′
(0)
.
4.1.4 C¡c qui tc t½nh ¤o hm
ành l½ 4.1.3
N¸u
f(x), g(x)
l c¡c hm sè câ ¤o hm t¤i iºm
x
th¼ khi â
têng, hi»u, t½ch v th÷ìng (m¨u kh¡c 0) công câ ¤o hm t¤i iºm
x
v ÷ñc
t½nh nh÷ sau:
(i)
[f(x) ± g(x)]
′
= f
′
(x) ± g
′
(x).
(ii)
[f(x).g(x)]
′
= f
′
(x).g(x) + f(x).g
′
(x).
(iii)
f(x)
g(x)
′
=
f
′
(x).g(x) − f(x).g
′
(x)
g
2
(x)
.
4.1.5 ¤o hm hm hñp, ¤o hm hm ng÷ñc
ành l½ 4.1.4
Gi£ sû hm sè
y = f(u)
câ ¤o hm vîi bi¸n
u
v hm
u = u(x)
câ ¤o hm èi vîi bi¸n
x
th¼ hm hñp
y(x) = f[u(x)]
câ ¤o hm èi vîi bi¸n
x
v
f
′
(x) = f
′
(u).u
′
(x).
ành l½ 4.1.5
Cho hm sè
y = f(x)
li¶n töc, ìn i»u nghi¶m ng°t tr¶n
(a, b)
.
N¸u hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm t¤i
x
v
f
′
(x) = 0
th¼ hm ng÷ñc
x = φ(y)
câ
¤o hm t¤i
y = f(x)
v
φ
′
(y) =
1
f
′
(x)
.
108
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
4.1.6 ¤o hm cõa hm sè
y = u(x)
v(x)
V½ dö 4.1.2
y = (x + 1)
x
⇒ ln y = x ln(x + 1) ⇒
y
′
y
= ln(x + 1) +
x
x + 1
⇒ y
′
= (x + 1)
x
h
ln(x + 1 ) +
x
x + 1
i
.
4.1.7 ¤o hm c¡c hm sè sì c§p cì b£n
(C)
′
= 0
vîi C l h¬ng sè
(tan x)
′
=
1
cos
2
x
= 1 + tan
2
x
(x
n
)
′
= nx
n−1
(cot x)
′
= −
1
sin
2
x
= −(1 + cot
2
x)
(e
x
)
′
= e
x
(arcsin x)
′
=
1
√
1 − x
2
(a
x
)
′
= a
x
ln a (arccos x)
′
= −
1
√
1 − x
2
(
√
x)
′
=
1
2
√
x
(arctan x)
′
=
1
1 + x
2
(ln x)
′
=
1
x
(arccotx)
′
= −
1
1 + x
2
(log
a
x)
′
=
1
x ln a
(sinh x)
′
= cosh x
(sin x)
′
= cos x (cosh x)
′
= sinh x
(cos x)
′
= −sin x
4.1.8 ¤o hm c§p cao
ành ngh¾a 4.1.2
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm
y
′
= f
′
(x)
tr¶n
(a, b)
th¼
f
′
(x)
công l hm sè theo bi¸n
x
v ÷ñc gåi l
¤o hm c§p 1
cõa
y = f(x)
.
N¸u
f
′
(x)
công câ ¤o hm tr¶n
(a, b)
th¼ ¤o hm â ÷ñc gåi l
¤o hm c§p
2
cõa hm sè
y = f(x)
v k½ hi»u l
y
′′
= f
′′
(x) = [f
′
(x)]
′
.
Têng qu¡t, ¤o hm cõa ¤o hm c§p
(n − 1)
cõa hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi
l
¤o hm c§p
n
cõa
y = f(x)
. K½ hi»u:
y
(n)
= f
(n)
= [f
(n−1)
(x)]
′
.
¤o hm tø c§p 2 trð l¶n gåi l
¤o hm c§p cao
.
V½ dö 4.1.3
Cho hm sè
y = sin x
. Ta câ:
4.2. Vi ph¥n
109
y
′
= cos x = sin
x +
π
2
y
′′
= −sin x = sin
x + 2.
π
2
....
y
(n)
= sin
x + n.
π
2
.
C¡c cæng thùc
Gi£ sû
f(x), g(x)
l hai hm sè câ ¤o hm c§p
n
. Khi â:
(i)
[f(x) ± g(x)]
(n)
= [f(x)]
(n)
± [ g(x)]
(n)
(ii)
[C.f ( x)]
(n)
= C[f(x)]
(n)
vîi
C
l h¬ng sè.
(iii)
[f(x).g(x)]
(n)
=
n
X
k=0
C
k
n
[f(x)]
(k)
.[g(x)]
(n−k)
.
(cæng thùc Leibnitz
1
)
4.2 Vi ph¥n
4.2.1 Kh¡i ni»m vi ph¥n
ành ngh¾a 4.2.1
Cho hm sè
y = f(x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
v
x
0
∈ (a, b)
. Cho
x
sè gia
∆x
sao cho
x + ∆x ∈ (a, b)
. N¸u sè gia cõa hm sè
∆y
vi¸t ÷ñc d÷îi
d¤ng
∆y = A.∆x + o(∆x),
trong â
A
l h¬ng sè v
o(∆x)
l væ còng b² bªc cao hìn
∆x
khi
∆x → 0
, th¼
hm sè
y = f(x)
÷ñc gåi l kh£ vi t¤i
x
0
v l֖ng
A.∆x
gåi l
vi ph¥n
cõa hm
sè t¤i
x
0
. K½ hi»u:
df = A.∆x
ho°c
dy = A.∆x.
ành l½ 4.2.1
1
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716): nh to¡n håc v¾ ¤i ng÷íi ùc, ph¡t minh ëc lªp vîi
Newton v· ph²p t½nh vi t½ch ph¥n, æng câ nhi·u qui tc v k½ hi»u to¡n håc sû döng ¸n ngy nay.
110
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
(i) N¸u
f(x)
kh£ vi t¤i
x
0
th¼
f(x)
câ ¤o hm t¤i
x
0
v
A = f
′
(x
0
)
.
(ii) Ng÷ñc l¤i, n¸u
f(x)
câ ¤o hm t¤i
x
0
th¼
f(x)
kh£ vi t¤i
x
0
v
df =
f
′
(x
0
).∆x
.
Nhªn x²t 4.2.1
X²t hm sè
y = x ⇒ dy = dx = 1.∆x ⇒ dx = ∆x
. Tùc l sè gia
cõa bi¸n ëc lªp tròng vîi vi ph¥n
dx
cõa nâ. Do â, ta th÷íng vi¸t
dx
thay cho
∆x
, ngh¾a l
dy = f
′
(x)dx
.
4.2.2 Vi ph¥n cõa hm hñp
X²t hm hñp
y = f(u), u = u(x)
vîi
x
l bi¸n ëc lªp. Ta câ,
dy = f
′
(x)dx =
f
′
(u)u
′
(x)dx = f
′
(u)du,
v¼
u
′
(x)dx = du
. Vªy d¤ng cõa vi ph¥n
dy = f
′
(u)du
l b§t
bi¸n cho dò
u
l bi¸n ëc lªp hay hm kh£ vi cõa bi¸n kh¡c.
4.2.3 Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
N¸u
f(x)
kh£ vi t¤i
x
0
th¼
∆f = df + o(∆x)
.
N¸u khi
|∆x|
kh¡ b² th¼
∆f ≈ df
hay
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
) ≈ f
′
(x
0
).∆x
. Tø â
suy ra,
f(x
0
+ ∆ x) ≈ f(x
0
) + f
′
(x
0
).∆x.
V½ dö 4.2.1
T½nh g¦n óng
3
√
1, 02.
X²t
f(x) =
3
√
x ⇒ f
′
(x) =
1
3
3
√
x
2
.
Chån
x
0
= 1, ∆x = 0, 02
th¼
3
p
1 + 0, 02 =
3
p
x
0
+ ∆ x ≈
3
√
x
0
+
∆x
3
3
p
x
2
0
≈ 1, 0066
.
4.2.4 Vi ph¥n c§p cao
ành ngh¾a 4.2.2
N¸u hm sè
f(x)
kh£ vi tr¶n
(a, b)
th¼
df = f
′
(x)dx
công l
hm sè theo bi¸n
x
v ÷ñc gåi l
vi ph¥n c§p 1
cõa
f(x)
. Ta qui ֔c
dx
l h¬ng
4.2. Vi ph¥n
111
l÷ñng èi vîi måi ¤o hm c§p cao. N¸u
df
kh£ vi th¼ vi ph¥n â gåi l
vi ph¥n
c§p 2
cõa
f(x)
. K½ hi»u:
d
2
f = d(df)
hay
d
2
f = y
′′
dx
2
.
Têng qu¡t, vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p
n −1
cõa
f(x)
÷ñc gåi l
vi ph¥n c§p
n
cõa
f(x)
. K½ hi»u:
d
n
f = d(d
n−1
f)
hay
d
n
f = f
(n)
dx
n
.
V¼ h» thùc ny n¶n ¤o hm c§p
n
cán câ thº vi¸t l
f
(n)
=
d
n
f
dx
n
. Ch¯ng h¤n
y
′
=
df
dx
, y
′′
=
d
2
f
dx
2
, ...
C¡ch t½nh
df = f
′
dx
d
2
f = d(df) = d(f
′
dx) = (f
′
dx)
′
dx = f
′′
dx
2
...
d
n
= f
(n)
dx
n
.
V½ dö 4.2.2
d
n
(sin x) = sin
x +
nπ
2
dx
n
v
d
n
(cos x) = cos
x +
nπ
2
dx
n
.
4.2.5 C¡c ành l½ cì b£n cõa hm kh£ vi
ành ngh¾a 4.2.3
Cho hm sè
y = f (x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
. Hm sè
y = f (x)
¤t
cüc ¤i àa ph÷ìng
(
cüc tiºu àa ph÷ìng
) t¤i iºm
x
0
∈ (a, b)
n¸u tçn t¤i
mët l¥n cªn
n
cõa
x
0
sao cho vîi måi
x ∈ N
th¼
f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
))
.
iºm
x
0
gåi l
iºm cüc ¤i
(
cüc tiºu
)
àa ph÷ìng
cõa hm sè. iºm cüc
¤i, cüc tiºu àa ph÷ìng gåi chung l
iºm cüc trà àa ph÷ìng
.
ành l½ 4.2.2
(ành l½ Fermat) N¸u hm sè
y = f(x)
x¡c ành tr¶n
(a, b)
, ¤t
cüc trà àa ph÷ìng t¤i
x
0
,
v n¸u tçn t¤i
f
′
(x
0
)
th¼
f
′
(x
0
) = 0
.
112
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
Chùng minh.
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
¤t cüc ¤i àa ph÷ìng t¤i
x
0
∈ (a, b)
.
Khi â, tçn t¤i mët l¥n cªn
N
cõa
x
0
º
f(x) ≤ f(x
0
), ∀x ∈ N ⇒ ∆f = f(x) − f(x
0
) ≤ 0, ∀x ∈ N.
Ta câ:
f
′
(x
+
0
) = lim
∆x→0
+
∆f
∆x
≤ 0
f
′
(x
−
0
) = lim
∆x→0
−
∆f
∆x
≥ 0.
V¼
f
′
(x
0
)
tçn t¤i n¶n
f
′
(x
+
0
) = f
′
(x
−
0
) ⇒ 0 ≤ f
′
(x
0
) ≤ 0
. Vªy
f
′
(x
0
) = 0
.
Khi
x
0
l cüc tiºu th¼ chùng minh t÷ìng tü.
ành l½ 4.2.3
(ành l½ Rolle) N¸u hm sè
y = f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
v kh£ vi
tr¶n
(a, b)
thäa
f(a) = f(b)
th¼ tçn t¤i
x
0
∈ (a, b)
sao cho
f
′
(x
0
) = 0
.
Chùng minh.
V¼
f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
n¶n
f(x)
¤t GTLN
M
v GTNN
m
tr¶n
[a, b]
.
N¸u
M = m
th¼
f(x) = M = m, ∀x ∈ [a, b]
n¶n
f
′
(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]
. Vªy
x
0
l
iºm b§t k¼ thuëc
[a, b]
.
N¸u
M > m
, v¼
f(x)
¤t gi¡ trà
m
v
M
tr¶n
[a, b]
m
f(a) = f(b)
n¶n ½t
nh§t mët trong hai gi¡ trà â hm sè ph£i ¤t ÷ñc t¤i mët iºm
x
0
no
â thuëc
[a, b]
. Theo ành l½ Fermat th¼
f
′
(x
0
) = 0
.
V½ dö 4.2.3
Cho
f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
. Chùng minh r¬ng ph÷ìng
tr¼nh
f
′
(x) = 0
câ ba nghi»m thüc ph¥n bi»t.
V¼
f(x)
li¶n töc v kh£ vi tr¶n
R
v
f(1) = f (2 ) = f(3) = f(4)
n¶n theo ành
l½ Rolle th¼ tçn t¤i
x
1
∈ (1, 2), x
2
∈ (2, 3), x
3
∈ (3, 4)
sao cho
f
′
(x
1
) = f
′
(x
2
) =
f
′
(x
3
) = 0
. Ta câ i·u ph£i chùng minh.
4.2. Vi ph¥n
113
Þ ngh¾a h¼nh håc
Cho ÷íng cong
(C) : y = f(x)
. X²t cung
AB
thuëc
(C)
. N¸u tr¶n
[a, b]
, hm
sè
f(x)
thäa t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa ành l½ Rolle th¼ tçn t¤i iºm
C
thuëc cung
AB
sao cho ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong t¤i
C
song song vîi
Ox
.
ành l½ 4.2.4
(ành l½ Lagrange) N¸u hm sè
y = f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
v kh£
vi tr¶n
(a, b)
th¼ tçn t¤i
x
0
sao cho
f
′
(x
0
) =
f(b) − f (a)
b − a
.
Chùng minh.
°t
g(x) = f(x) − f(a) −
f(b) − f (a)
b − a
(x − a)
th¼
g(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
, kh£ vi trong kho£ng
(a, b)
v
g(a) = g(b) = 0
. N¶n hm
g(x)
thäa ành l½
Rolle do â tçn t¤i iºm
x
0
∈ (a, b)
sao cho
g
′
(x
0
) = 0
.
M
g
′
(x) = f
′
(x) −
f(b) − f (a)
b − a
⇒ g
′
(x
0
) = f
′
(x
0
) −
f(b) − f (a)
b − a
= 0 ⇒ f
′
(x
0
) =
f(b) − f (a)
b − a
.
Þ ngh¾a h¼nh håc
Cho ÷íng cong
(C) : y = f(x)
. X²t cung
AB
thuëc
(C)
. N¸u tr¶n
[a, b]
, hm
sè
f(x)
thäa t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i iºm
C
thuëc
cung
AB
sao cho ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong t¤i
C
song song vîi d¥y cung
AB
.
V½ dö 4.2.4
(i) T¼m tr¶n ÷íng cong
(C) : y = x
3
− 3x
2
nhúng iºm m ti¸p tuy¸n vîi
(C)
t¤i iºm â song song vîi d¥y cung nèi 2 iºm
A(0, 0), B(2, −4)
.
Ta câ hm sè
y = x
3
− 3x
2
li¶n töc v kh£ vi tr¶n
R
n¶n nâ li¶n töc tr¶n
[0, 2]
v kh£ vi tr¶n
(0, 2)
. Theo ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i
x
0
∈ (0, 2)
sao
cho
f
′
(x
0
) =
f(2) − f(0)
2 − 0
= −2
.
M
f
′
(x) = 3x
2
− 6 x ⇒ 3x
2
0
− 6 x
0
= −2 ⇒ x
0
=
3 ±
√
3
3
∈ (0, 2)
.
Vªy câ 2 iºm c¦n t¼m t÷ìng ùng vîi honh ë l
x
0
=
3 ±
√
3
3
.
114
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
(ii) Cho hm sè
f : [a, b] → R
+
kh£ vi tr¶n
(a, b)
. Chùng minh r¬ng ph÷ìng
tr¼nh
f(a)
f(b)
= e
(a−b)
f
′
(x)
f(x)
(1) câ ½t nh§t mët nghi»m thuëc
(a, b)
.
Ta câ:
(1) ⇔ ln f(a) − ln f(b) = (a − b)
f
′
(x)
f(x)
⇔
f
′
(x)
f(x)
=
ln f(b) − ln f(a)
b − a
.
X²t hm sè
g(x) = ln f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
v câ
g
′
(x) =
f
′
(x)
f(x)
tr¶n
(a, b)
.
Theo ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i
c ∈ (a, b)
sao cho
g
′
(c) =
ln f(b) − ln f(a)
b − a
⇔
f
′
(c)
f(c)
=
ln f(b) − ln f(a)
b − a
.
Vªy ph÷ìng tr¼nh (1) câ ½t nh§t mët nghi»m thuëc
(a, b)
.
ành l½ 4.2.5
(ành l½ Cauchy) Gi£ sû
f(x), g(x)
l c¡c hm sè li¶n töc tr¶n
[a, b]
, kh£ vi tr¶n
(a, b)
v
g
′
(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)
th¼ tçn t¤i ½t nh§t mët iºm
x
0
∈ (a, b)
sao cho
f
′
(x
0
)
g
′
(x
0
)
=
f(b) − f (a)
g(b) − g(a)
.
Chùng minh.
X²t hm sè
F (x) = f(x)[g(b) − g(a)] − g(x)[ f ( b) − f(a)]
. Khi â,
hm sè
F (x)
x¡c ành tr¶n
[a, b]
, kh£ vi tr¶n
(a, b)
thäa
F (a) = F (b) = 0
. N¶n
theo ành l½ Rolle th¼ tçn t¤i
x
0
∈ (a, b)
sao cho
F
′
(x
0
) = 0 ⇔ f
′
(x
0
)[g(b) −g(a)] −
g
′
(x
0
)[f(b) − f(a)] = 0
hay
f
′
(x
0
)
g
′
(x
0
)
=
f(b) − f (a)
g(b) − g(a)
.
V½ dö 4.2.5
Cho
f(x)
l hm kh£ vi tr¶n o¤n
[a, b]
vîi
ab > 0
. Chùng minh
r¬ng tçn t¤i iºm
c ∈ (a, b)
sao cho
1
a − b
a b
f(a) f(b)
= f(c) − cf
′
(c).
Ta câ:
1
a − b
a b
f(a) f(b)
=
af(b) − bf(a)
a − b
=
f(b)
b
−
f(a)
a
1
b
−
1
a
.
X²t hm sè
g(x) =
f(x)
x
, h(x) =
1
x
, x ∈ [a, b]
th¼ rã rng hai hm sè ny li¶n
töc v kh£ vi tr¶n
[a, b]
. Theo ành l½ Cauchy th¼ tçn t¤i
c ∈ (a, b)
sao cho
g(b) − g(a)
h(b) − h(a)
=
g
′
(c)
h
′
(c)
=
cf
′
(c) − f ( c)
c
2
.
c
2
(−1)
= f(c) − cf
′
(c)
.
4.3. Qui tc L'Hospital
115
4.3 Qui tc L'Hospital
4.3.1 Quy tc L'Hospital 1
ành l½ 4.3.1
Gi£ sû c¡c hm sè
f(x), g(x)
câ ¤o hm ð l¥n cªn iºm
x
0
thäa
f(x
0
) = g(x
0
) = 0
v
g
′
(x
0
) = 0
ð l¥n cªn
x
0
. Khi â, n¸u
lim
x→x
0
f
′
(x)
g
′
(x)
= A
th¼
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= A
.
Chùng minh.
Theo ành l½ Cauchy th¼
f(x)
g(x)
=
f(x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
(v¼
f(x
0
) =
g(x
0
) = 0)
vîi
c
n¬m giúa
x
v
x
0
. V¼
c
n¬m giúa
x
v
x
0
n¶n khi
x → x
0
th¼
c → x
0
. Do â,
lim
c→x
0
f
′
(c)
g
′
(c)
= A
.
Vªy
lim
x→x
0
f
′
(x)
g
′
(x)
= A
.
V½ dö 4.3.1
(i)
lim
x→0
ln(cos ax)
x
= lim
x→0
−a sin ax
cos ax
= 0.
(ii)
lim
x→0
a
x
− 1
x
= lim
x→0
a
x
ln a = ln a.
4.3.2 Quy tc L'Hospital 2
ành l½ 4.3.2
Gi£ sû c¡c hm sè
f(x), g(x)
câ ¤o hm ð l¥n cªn iºm
x
0
,
lim
x→x
0
g(x) = lim
x→x
0
f(x) = ∞
v
g
′
(x) = 0
ð l¥n cªn
x
0
. Khi â, n¸u
lim
x→x
0
f
′
(x)
g
′
(x)
= A
th¼
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= A
.
V½ dö 4.3.2
(i)
lim
x→+∞
ln x
x
7
= lim
x→+∞
1/x
7x
6
=
1
7x
7
= 0.
(ii)
lim
x→0
ln x
cot x
= lim
x→0
1/x
−1/ sin
2
x
= − lim
x→0
sin
2
x
x
= − lim
x→0
2 sin x cos x
1
= 0.
116
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
Chó þ 4.3.1
(i) C¡c ành l½ v¨n óng khi
x → ±∞
.
(ii) p döng c¡c qui tc ny li¶n töc nhi·u l¦n v¨n ÷ñc.
(iii) N¸u khæng tçn t¤i
lim
x→x
0
f
′
(x)
g
′
(x)
th¼ ta khæng thº k¸t luªn g¼ v·
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
.
V½ dö 4.3.3
lim
x→0
9x
3
x − sin x
= lim
x→0
27x
2
1 − cos x
= lim
x→0
54x
sin x
= lim
x→0
54
cos x
= 54
.
4.3.3 p döng qui tc L'Hospital º khû d¤ng væ ành
0.∞ =
0.
1
0
=
0
0
1
∞
.∞ =
∞
∞
.
∞−∞ = u−v =
1
1/u
−
1
1/v
=
1
v
−
1
u
1
u
.
1
v
(ho°c nh¥n l÷ñng li¶n hi»p ho°c logarit
hâa).
u
v
= e
v ln u
⇒ lim u
v
= e
lim v l n u
.
V½ dö 4.3.4
(i)
lim
x→0
x cot πx = lim
x→0
x
tan πx
= lim
x→0
1
π/ cos
2
πx
=
1
π
.
(ii)
lim
x→1
x
1
1−x
= lim
x→1
e
ln x
1−x
= e
lim
x→1
ln x
1−x
= e
lim
x→1
(−1)
x
= e
−1
.
4.4 Kh£o s¡t hm sè
4.4.1 T½nh ìn i»u v cüc trà
ành l½ 4.4.1
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
kh£ vi t¤i måi iºm thuëc
[a, b]
. Khi â
hm sè t«ng (hay gi£m) tr¶n
[a, b]
khi v ch¿ khi
f
′
(x) ≥ 0
(hay
f
′
(x) ≤ 0
) vîi
måi
x ∈ [a, b].
4.4. Kh£o s¡t hm sè
117
V½ dö 4.4.1
Hm sè
y = x
3
+2x
câ
y
′
= 3x
2
+2 > 0, ∀x ∈ R
n¶n hm sè
y = x
3
+2x
l hm luæn t«ng tr¶n
R
.
ành ngh¾a 4.4.1
iºm
x
0
÷ñc gåi l
iºm døng
cõa hm sè
y = f(x)
n¸u
f
′
(x
0
) = 0
v ÷ñc gåi l
iºm k¼ dà
n¸u
f
′
(x
0
)
khæng tçn t¤i. iºm døng v iºm
k¼ dà gåi chung l
iºm tîi h¤n
.
ành l½ 4.4.2
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
x¡c ành t¤i iºm
x
0
v câ ¤o hm trong
l¥n cªn cõa
x
0
(câ thº trø
x
0
) v
x
0
l iºm tîi h¤n cõa
f(x)
. Khi
x
qua
x
0
m
¤o hm
f
′
(x)
êi d§u th¼ hm sè ¤t cüc trà àa ph÷ìng t¤i
x
0
. Cö thº l:
(i) N¸u
f
′
(x)
êi tø d§u d÷ìng sang ¥m th¼
x
0
l cüc ¤i.
(ii) N¸u
f
′
(x)
êi tø d§u ¥m sang d÷ìng th¼
x
0
l cüc tiºu.
V½ dö 4.4.2
T¼m cüc trà cõa hm sè
y = f(x) = x +
√
2x
2
+ 1
.
Ta câ:
f
′
(x) = 1 +
2x
√
2x
2
+ 1
= 0 ⇔ x =
−1
√
2
.
B£ng bi¸n thi¶n:
x
−∞
−1
√
2
+∞
f
′
(x) − 0 +
f(x) +∞ +∞
↘ ↗
1
√
2
Vªy hm sè ¤t cüc tiºu t¤i
−1
√
2
v gi¡ trà cüc tiºu l
1
√
2
.
ành l½ 4.4.3
Gi£ sû hm sè
y = f(x)
câ ¤o hm li¶n töc ¸n c§p 2 trong l¥n
cªn cõa iºm
x
0
tho£
f
′
(x
0
) = 0, f”(x
0
) = 0
. Khi â:
(i) N¸u
f”(x
0
) < 0
th¼ hm sè ¤t cüc ¤i t¤i
x
0
.
(ii) N¸u
f”(x
0
) > 0
th¼ hm sè ¤t cüc tiºu t¤i
x
0
.
118
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
4.4.2 Gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t cõa hm sè
ành ngh¾a 4.4.2
Cho hm sè
y = f(x), x ∈ D
. N¸u tçn t¤i
x
0
∈ D
sao cho
f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
))
vîi måi
x ∈ D
th¼
f(x
0
)
÷ñc gåi l
gi¡ trà lîn nh§t
(nhä nh§t)
cõa
f(x)
tr¶n
D
.
V½ dö 4.4.3
(i) Hm sè
1
1 + x
2
, x ∈ R
câ gi¡ trà lîn nh§t l 1 khi
x = 0.
Ta câ
y > 0
vîi måi
x
nh÷ng hm khæng câ gi¡ trà nhä nh§t tr¶n
R
.
(ii) Hm sè
y = |x|
câ gi¡ trà nhä nh§t l 0 khi
x = 0
.
(iii) Hm sè
y = x
3
− 3x
câ c¡c iºm døng l
x = ±1
. V¼
y”(1) > 0
n¶n
x = 1
l iºm cüc tiºu,
y”(−1) < 0
n¶n
x = −1
l iºm cüc ¤i. Nh÷ng hm sè
khæng câ gi¡ trà lîn nh§t công nh÷ gi¡ trà nhä nh§t v¼
lim
x→±∞
f(x) = ±∞
.
Ta ¢ bi¸t hm sè
y = f ( x)
x¡c ành v li¶n töc trn
[a, b]
th¼ ¤t gi¡ trà lîn
nh§t v nhä nh§t tr¶n
[a, b]
. C¡c gi¡ trà â câ thº ð
a
v
b
. Cán n¸u ¤t ð trong
(a, b)
th¼ â ph£i l cüc trà àa ph÷ìng. Vªy º t¼m gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t
cõa hm sè
y = f(x)
ta lm nh÷ sau:
(i) T¼m c¡c iºm tîi h¤n cõa hm sè tr¶n
(a, b)
.
(ii) T½nh gi¡ trà cõa
f(x)
t¤i c¡c iºm tîi h¤n v t¤i hai ¦u mót
a
v
b
.
(iii) Gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa hm sè ch½nh l sè lîn nh§t v sè
nhä nh§t trong c¡c gi¡ trà vøa t½nh ð (ii).
V½ dö 4.4.4
T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa hm sè
y = x +
p
2 − x
2
.
Gi£i.
Tªp x¡c ành:
D = [−
√
2,
√
2]
.
4.4. Kh£o s¡t hm sè
119
Ta câ:
y
′
= 1 −
x
√
2 − x
2
= 0 ⇔ x = 1
.
y(−
√
2) = −
√
2, y(
√
2) =
√
2, y(1) = 2
.
Vªy
max y = 2
v
min y = −
√
2
.
V½ dö 4.4.5
Mët cæng ty b§t ëng s£n câ
50
c«n hë cho thu¶. Bi¸t r¬ng n¸u
cho thu¶ méi c«n hë vîi gi¡
2.000.00
0 çng méi th¡ng th¼ måi c«n hë ·u câ
ng÷íi thu¶ v cù méi l¦n t«ng gi¡ cho thu¶ méi c«n hë
100.000
çng méi th¡ng
th¼ câ th¶m
2
c«n hë bà bä trèng. Muèn câ thu nhªp cao nh§t, cæng ty â ph£i
cho thu¶ vîi gi¡ méi c«n hë l bao nhi¶u?
Gi£i:
Gåi
x
l gi¡ thu¶ thüc t¸ cõa méi c«n hë, (
x
(çng) ;
x ≥ 2000.000
(çng)).
Ta câ thº lªp luªn nh÷ sau:
T«ng gi¡
100.000
çng th¼ câ
2
c«n hë bà bä trèng.
T«ng gi¡
x − 2.00 0.000
çng th¼ câ bao nhi¶u c«n hë bà bä trèng.
Theo quy tc tam xu§t ta câ sè c«n hë bà bä trèng l:
(x − 2.0 0 0.000)2
100.000
=
x − 2.00 0.000
50.000
Do â khi cho thu¶ vîi gi¡
x
çng th¼ sè c«n hë cho thu¶ l:
50 −
x − 2.00 0.000
50.000
= 90 +
x
50.000
Gåi
F (x)
l hm lñi nhuªn thu ÷ñc khi cho thu¶ c¡c c«n hë, (
F (x)
: çng).
Khi â,
F (x) =
90 +
x
50.000
x, x ∈ [2.000.000, +∞)
Ta d¹ dng t¼m ÷ñc:
F
max
= F ( 2 .250.000)
Vªy cæng ty cho thu¶ vîi gi¡ méi c«n hë l
2.250.000
çng th¼ câ thu nhªp cao
nh§t.
120
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
4.4.3 T½nh lçi, lãm v iºm uèn cõa ç thà
Cho hm sè
y = f(x)
câ tªp x¡c ành
D
. ç thà cõa hm sè trong m°t ph¯ng
Oxy
th÷íng l ÷íng cong n¶n ng÷íi ta th÷íng gåi
y = f(x)
l ph÷ìng tr¼nh cõa
÷íng cong hay ÷íng cong.
ành ngh¾a 4.4.3
Hm sè
f(x)
x¡c ành v li¶n töc tr¶n
(a, b)
÷ñc gåi l
lãm
tr¶n
(a, b)
n¸u
∀x
1
, x
2
∈ (a, b), ∀α ∈ [0, 1]
th¼
f(αx
1
+ ( 1 − α)x
2
) ≤ αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
).
Hm sè
f(x)
÷ñc gåi l
lçi
tr¶n
(a, b)
n¸u
−f(x)
lãm tr¶n
(a, b)
.
ành l½ 4.4.4
Cho hm sè
f(x)
kh£ vi ¸n c§p 2 tr¶n
(a, b)
. Khi â, hm sè lãm
tr¶n
(a, b)
khi v ch¿ khi
f”(x
0
) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).
T÷ìng tü, ta công câ hm sè lçi tr¶n
(a, b)
khi v ch¿ khi
f”(x
0
) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b).
ành ngh¾a 4.4.4
iºm
I(x
0
, y
0
)
cõa hm ÷íng cong
y = f(x)
÷ñc gåi l
iºm uèn
n¸u nâ ph¥n c¡ch cung lçi v cung lãm cõa ÷íng cong.
ành l½ 4.4.5
Cho hm sè
f(x)
câ ¤o hm c§p 2 trong l¥n cªn iºm
x
0
. N¸u
khi i qua
x
0
m ¤o hm c§p 2 êi d§u th¼ iºm
I(x
0
, f(x
0
))
l iºm uèn.
V½ dö 4.4.6
X²t t½nh lçi, lãm v iºm uèn cõa
y = e
−x
2
.
Gi£i.
Ta câ:
y
′
= −2xe
−x
2
⇒ y” = (4x
2
− 2 )e
−x
2
⇒ y” = 0 ⇔ x =
±1
√
2
.
B£ng x²t d§u:
x
−∞ −
1
√
2
1
√
2
+∞
y
′′
+ 0 − 0 +
y
lãm lçi lãm
4.4. Kh£o s¡t hm sè
121
4.4.4 ÷íng ti»m cªn
ành ngh¾a 4.4.5
÷íng th¯ng
∆
gåi l
ti»m cªn
cõa ÷íng cong
y = f(x)
n¸u kho£ng c¡ch tø iºm
M
tr¶n ÷íng cong ¸n
∆
d¦n ¸n 0 khi
M
i ra væ
tªn dåc theo ÷íng cong.
N¸u
lim
x→a
f(x) = ±∞
th¼
x = a
l ti»m cªn song song vîi tröc tung v ta gåi
l
ti»m cªn ùng
.
V½ dö 4.4.7
Hm sè
y =
1
x
2
− 5 x + 6
câ hai ti»m cªn ùng l
x = 2
v
x = 3
.
Hm sè
y = tan x
câ væ sè ti»m cªn ùng l
x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
.
÷íng ti»m cªn câ d¤ng
y = ax + b
vîi
a = 0
gåi l ti»m cªn xi¶n. N¸u
a = 0
th¼ gåi l
ti»m cªn ngang
.
X²t
∆ : y = ax + b
v ÷íng cong
y = f(x)
. Kho£ng c¡ch tø iºm
M(x, f(x))
¸n
∆
l
d =
|f(x) − (ax + b)|
√
a
2
+ 1
.
Tø â
d → 0 ⇔ f(x) − (ax + b) → 0
. Do â n¸u
∆
l ti»m cªn th¼
lim
x→∞
[f(x) − (ax + b)] = 0
(4.1)
suy ra
lim
x→∞
x
f(x)
x
− a −
b
x
= 0
hay
a = lim
x→∞
f(x)
x
.
Theo (4.1) th¼
b = lim
x→∞
[f(x) − ax]
.
Chó þ 4.4.1
N¸u c¡c i·u ki»n tr¶n ch¿ x£y ra khi
x → +∞
ho°c
x → −∞
th¼
ta ch¿ câ ti»m cªn v· b¶n ph£i (ho°c tr¡i).
V½ dö 4.4.8
T¼m ti»m cªn cõa ç thà hm sè
y = xe
1/x
.
Ta câ:
lim
x→0
y = ∞
n¶n
x = 0
l ti»m cªn ùng.
M°t kh¡c:
lim
x→∞
y
x
= lim
x→∞
e
1/x
= 1
v
lim
x→∞
(y − x) = l i m
x→∞
e
1/x
− 1
1/x
= 1
n¶n
y = x + 1
l ti»m cªn xi¶n.
122
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
4.4.5 Kh£o s¡t hm sè
º kh£o s¡t mët hm sè ta lm c¡c b÷îc sau ¥y:
1. T¼m tªp x¡c ành v c¡c iºm gi¡n o¤n cõa hm sè. Nhªn x²t v· t½nh
ch®n, l´ v tu¦n hon (n¸u câ) cõa hm º rót gån mi·n kh£o s¡t.
2. Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n: T½nh ¤o hm c§p 1 tr¶n mi·n kh£o s¡t v x²t
d§u ¤o hm c§p 1. Tø â suy ra chi·u bi¸n thi¶n v c¡c iºm cüc trà. Lªp
b£ng bi¸n thi¶n t÷ìng ùng trong â °t nhúng gi¡ trà v nhúng giîi h¤n
quan trång cõa hm.
3. Kh£o s¡t t½nh lçi lãm v iºm uèn.
4. T¼m c¡c ÷íng ti»m cªn.
5. T¼m giao iºm cõa ç thà vîi c¡c tröc tåa ë.
6. Düa vo k¸t qu£ ð tr¶n v³ d¤ng ç thà cõa hm sè.
V½ dö 4.4.9
Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà c¡c hm sè sau:
(i)
y = xe
−x
(ii)
y = x − 2 arctan x
Gi£i.
(i) Tªp x¡c ành:
D = R
.
y
′
= e
−x
− xe
−x
= e
−x
(1 − x); y
′
= 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1/e.
lim
x→−∞
y = −∞; lim
x→+∞
y = lim
x→+∞
x
e
x
= lim
x→+∞
1
e
x
= 0
n¶n ç thà câ ti»m cªn
ngang
y = 0
.
B£ng bi¸n thi¶n:
4.4. Kh£o s¡t hm sè
123
x −∞ 1 +∞
y
′
+ 0 −
y 1/e
↗ ↘
−∞ 0
ç thà (tü v³).
(ii) Tªp x¡c ành:
D = R
. ¥y l hm sè l´.
¤o hm c§p 1:
y
′
= 1 −
2
1 + x
2
=
x
2
− 1
1 + x
2
.
Gi£i
y
′
= 0
ta ÷ñc
x = −1 ⇒ y = −1 +
π
2
v
x = 1 ⇒ y = 1 −
π
2
.
¤o hm c§p 2:
y
′′
=
4x
(1 + x
2
)
2
= 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0
.
lim
x→±∞
y = ±∞
.
B£ng bi¸n thi¶n:
x
−∞ −1 0 1 +∞
y
′
+ 0 − −1 − 0 +
y
′′
0
y −1 +
π
2
+∞
↗ ↘
−∞ 0 ↗
↘
1 −
π
2
lim
x→+∞
y
x
= lim
x→+∞
1 − 2
arctan x
x
= 1; lim
x→−∞
(y − x) = li m
x→−∞
(−2 arctan x) = π;
lim
x→+∞
(y − x) = −2 arctan x = −π
n¶n ç thà câ hai ti»m cªn xi¶n l
y = x ± π.
iºm uèn:
(0, 0)
.
ç thà (tü v³).
124
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
BI TP
1. Dòng ành ngh¾a t½nh ¤o hm c¡c hm sè sau
(a)
y = 2x + 1
;
(b)
y = sin(2x
2
+ 1)
;
(c)
y = cot x
;
(d)
y =
1
x
2
.
2. T½nh c¡c ¤o hm sau
(a)
y = x
3
cos(x − 3)
t¤i
x = 3
;
(b)
y = x sin
1
x
t¤i
x = ±
1
π
.
3. T½nh ¤o hm c¡c hm sè sau
(a)
y = x +
√
x +
3
√
x
(b)
y = tan
x
2
− co t
x
2
(c)
y = ln(x +
√
1 + x
2
)
(d)
y = log
3
(x
2
− si n x)
(e)
y = arcsin
1 − x
2
1 + x
2
(f)
y = e
arctan x
(g)
y = x
1
x
(h)
y = (sin x)
arctan x
4. Cho hm sè
y =
√
x
2
+ 1
x
+
(1 + x
2
)
2
3x
. Chùng minh r¬ng:
x(x
2
+ 1) y
′
+ y = x(1 + x
2
)
2
.
5. Cho hm sè
y = 2e
x
2
2
. Chùng minh r¬ng:
y
′′
= xy
′
+ y.
4.4. Kh£o s¡t hm sè
125
6. T½nh ¤o hm theo c¡c c§p ¢ ch¿ ra:
(a)
y = x
√
1 + x
2
. T½nh
y”
;
(b)
y =
1 + x
√
1 − x
. T½nh
y
(3)
;
(c)
y = sin
2
x
. T½nh
y
(n)
;
(d)
y =
1
x(x − 1)
. T½nh
y
(n)
;
(e)
y =
1
x
2
− 3 x + 2
. T½nh
y
(n)
;
7. T¼m vi ph¥n c§p 1 v c§p 2 cõa c¡c hm sè sau:
(a)
y =
1
x
;
(b)
y = (x
3
+ 1) e
3x
;
(c)
y =
a
x
+ ar ct a n
x
a
;
(d)
y = arctan(e
4x
)
.
8. T½nh c¡c giîi h¤n sau:
A = lim
x→0
1
x sin x
−
1
x
2
B = lim
x→0
x
2
ln x
C = lim
x→0
1
x
−
1
e
x
− 1
D = lim
x→0
(1 + x)
1
x
− e
x
E = lim
x→∞
π − 2 arctan x
ln(1 + 1 /x)
F = lim
x→0
ln(sin ax)
ln(sin x)
G = lim
x→0
(cot x)
1
ln x
H = lim
x→1
x
2
− 1 + ln x
e
x
− e
I = l i m
x→0
(
arcsin x
x
)
1
x
2
J = lim
x→0
e
x
− e
−x
ln(1 + x)
K = lim
x→0
e
x
− e
−x
− 2 x
x − sin x
L = lim
x→0
ln(cos 2x)
sin x
.
9. T½nh g¦n óng
(a).
4
√
17 (b). tan 46
0
(c). arcsin 0, 51
.
10. Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc sau:
(a)
x +
x
3
3
< tan x
vîi
x ∈ (0, π/2)
;
126
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
(b)
e
x
> 1 + x
;
(c)
sin x + tan x > 2x
vîi
0 < x <
π
2
;
(d)
ln(1 + x) >
arctan x
1 + x
.
11. Sû döng ành l½ Lagrange, chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc sau
(a)
|sin x − sin y| ≤ |x − y|
;
(b)
x
1 + x
< ln(1 + x) < x
vîi
x > 0
(c)
x − y
cos
2
y
≤ tan x − tan y <
x − y
cos x
vîi
x, y ∈ (0, π/2)
.
12. T¼m c¡c kho£ng t«ng, gi£m cõa c¡c hm sè sau:
(a)
y = x(1 +
√
x)
;
(b)
y =
x
ln x
;
(c)
y =
e
x
x
;
(d)
y = x
2
ln x
;
(e)
y =
x
3
3 − x
2
.
13. T¼m cüc trà cõa c¡c hm sè sau:
(a)
y =
x
x
2
+ 4
;
(b)
y =
(x − 1)
2
x + 1
;
(c)
y = x − 2 arctan x
;
(d)
y =
x
2
1 − x
.
14. T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t
(a)
y = 2 tan x − tan
2
x
vîi
x ∈ [0,
π
2
]
;
(b)
y = x
4
− 8 x
2
+ 3
vîi
x ∈ [−1, 2]
;
4.4. Kh£o s¡t hm sè
127
(c)
y =
x
2
+ 1
x
2
+ x + 1
vîi
x ∈ R
;
(d)
y = x − 2 ln x
vîi
[
3
2
, e]
.
15. T¼m kho£ng lçi, lãm v iºm uèn
(a)
y = 4x
2
+
1
x
;
(b)
y = x
2
ln x
;
(c)
y = (x
2
+ 1) e
x
;
(d)
y = (x − 1)
4
+ e
2x
.
16. T¼m c¡c ÷íng ti»m cªn
(a)
y = x + ln x
;
(b)
y =
1
1 − e
x
;
(c)
y =
√
x
2
+ 1 +
√
x
2
− 1
;
(d)
y = xe
1/x
2
.
17. Kh£o s¡t v v³ ç thà c¡c hm sè sau:
(a)
y =
4x
3
− x
4
5
;
(b)
y = sin
4
x + cos
4
x
;
(c)
y = arcsin
2x
x
2
+ 1
;
(d)
y =
3
p
(x + 1)
2
−
3
p
(x − 1)
2
.
18. Mët cûa hng A b¡n b÷ði vîi gi¡ b¡n méi qu£ l
50.000
çng. Vîi gi¡ b¡n
ny th¼ cûa hng ch¿ b¡n ÷ñc kho£ng
40
qu£ b÷ði. Cûa hng ny dü ành
gi£m gi¡ b¡n, ÷îc t½nh n¸u cûa hng cù gi£m méi qu£
5000
çng th¼ sè
b÷ði b¡n ÷ñc t«ng th¶m l
50
qu£. X¡c ành gi¡ b¡n º cûa hng â thu
÷ñc lñi nhuªn lîn nh§t, bi¸t r¬ng gi¡ nhªp v· ban ¦u méi qu£ l
30.000
çng.
128
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
19. Mët xe kh¡ch i tø H Nëi v· C¦n Thì chð tèi a ÷ñc l
60
hnh kh¡ch
mët chuy¸n. N¸u mët chuy¸n chð ÷ñc
m
hnh kh¡ch th¼ gi¡ ti·n cho méi
hnh kh¡ch ÷ñc t½nh l
30 −
5m
2
2
çng. T½nh sè hnh kh¡ch tr¶n méi
chuy¸n xe º nh xe thu ÷ñc lñi nhuªn méi chuy¸n xe l lîn nh§t?
20. Gia ¼nh æng A nuæi tæm vîi di»n t½ch ao nuæi l
100
m
2
. Vö tæm vøa qua
æng nuæi vîi mªt ë l
1
(kg/ m
2
) tæm gièng v s£n l÷ñng tæm khi thu
ho¤ch ÷ñc kho£ng
2
t§n tæm. Vîi kinh nghi»m nuæi tæm nhi·u n«m, æng
cho bi¸t cù th£ gi£m i
200
(g/ m
2
) tæm gièng th¼ s£n l÷ñng tæm thu ho¤ch
÷ñc
2, 2
t§n tæm. Vªy vö tîi æng ph£i th£ bao nhi¶u kg tæm gièng º ¤t
s£n l÷ñng tæm cho thu ho¤ch l lîn nh§t? (Gi£ sû khæng câ dàch b»nh, hao
höt khi nuæi tæm gièng).
P SÈ
1. (a) 2. (b)
4x cos(2x
2
+ 1) .
(c)
−1
sin
2
x
.
(d)
−2
x
3
.
2. (a)
27
. (b)
y
′
(
1
π
) = π, y
′
(
−1
π
) = −π.
3. (a)
1 +
1
2
√
x
+
1
3
3
√
x
2
. (b)
4x cos(2x
2
+ 1) .
(c)
−1
sin
2
x
.
(d)
−2
x
3
.
(e)
−2
q
x
2
(1+x
2
)
2
x
.
(f)
e
arctan x
1 + x
2
.
(g)
−x
−2+
1
x
(log x − 1).
(h)
(sin x)
arctan x
log sin x
x
2
+ 1
+ ar ct a n x cot x
.
4. Th¸
y
v
y
′
= x
2
−
1
3x
2
−
1
x
2
√
1 + x
2
+
2
3
vo ¯ng thùc c¦n chùng minh.
5. Th¸
y, y
′
= 2xe
x
2
2
v
y
′
= 2(x
2
+ 1) e
x
2
2
vo ¯ng thùc c¦n chùng minh.
6. (a)
x(2x
2
+ 3)
(1 + x
2
)
3
2
.
(b)
−3(x − 1 1)
8(1 − x)
7
2
.
(c)
(−1)
n+1
2
n−1
cos(
nπ
2
− 2 x) .
(d)
(−1)
n
n!
1
(x − 1)
n+1
−
1
x
n+1
.
(e)
(−1)
n
n!
1
(x − 2)
n+1
−
1
(x − 1)
n+1
.
4.4. Kh£o s¡t hm sè
129
7. (a)
dy = −
1
x
2
dx, d
2
y =
2
x
3
dx
2
.
(b)
dy = 3e
3x
(x
3
+ x
2
+ 1) , d
2
y = 3e
3x
(3x
3
+ 6 x
2
+ 2 x + 3)dx
2
.
(c)
dy = −
a
3
a
2
x
2
+ x
4
dx, d
2
y =
2a
3
(a
2
+ 2 x
2
)
x
3
(a
2
+ x
2
)
2
dx
2
.
(d)
dy =
4e
4x
e
8x
+ 1
dx, d
2
y = −
16e
4x
(e
8x
− 1 )
(e
8x
+ 1)
2
dx
2
.
8.
A =
1
6
, B = 0, C =
1
2
, D =
−e
2
, E = 2 , F = 1, G =
1
e
, H =
3
e
, I = e
1
6
,
J = 2, K = 2, L = 0.
9. Sû döng cæng thùc vi ph¥n º t½nh gi¡ trà g¦n óng.
10. (a) X²t
y = x +
x
3
3
− t a n x, x ∈ (0,
π
2
).
(b) X²t
y =
x+1
e
x
.
(c) X²t
y = sin x + tan x − 2x
(d) X²t
y = (x + 1) ln(x + 1) − arctan x.
11. (a) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i
ξ
thäa:
sin x − sin y = (x − y) cos ξ.
(b) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i
ξ
thäa
ln(1 + x) − ln 1 =
1
1 + ξ
x.
(c) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i
ξ
thäa
tan x − tan y =
1
cos
2
ξ
(x − y).
12. (a) T«ng tr¶n
(0, +∞).
(b) T«ng tr¶n
(e, +∞),
gi£m tr¶n
(0, 1)
v
(1, e).
(c) T«ng tr¶n
(1, +∞),
gi£m tr¶n
(−∞, 0)
v
(0, 1).
(d) T«ng tr¶n
(e
−1
2
, +∞),
gi£m tr¶n
(0, e
−1
2
).
(e) T«ng tr¶n
(−3, −
√
3), (−
√
3,
√
3)
v
(
√
3, 3);
gi£m tr¶n
(−∞, −3)
v
(3, +∞).
13. (a)
y
ct
= −
1
4
= y(−2), y
cd
=
1
4
= y(2).
(b)
y
ct
= 0 = y(1).
(c)
y
ct
= y(1), y
cd
= y(−1).
(d)
y
ct
= y(0), y
cd
= y(2).
14. (a)
y
max
= 1.
(b)
y
max
= 3, y
min
= −13.
130
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n hm mët bi¸n
(c)
y
max
= 2, y
min
=
2
3
.
(d)
y
max
= 3, y
min
= 2 − 2 ln 2.
15. (a) Hm sè lçi tr¶n
(−∞, −
3
√
2
2
)
v
(0, +∞);
Hm sè lãm tr¶n
(−
3
√
2
2
, 0); U(−
3
√
2
2
, 0).
(b) Hm sè lçi tr¶n
(0, +∞).
(c) Hm sè lçi tr¶n
(−∞, −3)
v
(−1, +∞);
Hm sè lãm tr¶n
(−3, −1);
U
1
(−3, 10e
−3
), U
2
(−1, 2e
−1
).
(d) Hm sè lçi tr¶n
(−∞, +∞).
16. (a) Ti»m cªn ùng:
x = 0.
(b) Ti»m cªn ùng:
x = 0;
Ti»m cªn ngang:
y = 0, y = 1.
(c) Ti»m cªn xi¶n:
y = 2x; y = −2x.
(d) Ti»m cªn ùng:
x = 0;
Ti»m cªn xi¶n:
y = x.
17. p döng ki¸n thùc trong ph¦n kh£o s¡t hm sè .
18.
42.000
çng.
19.
40
ng֒i.
20.
230
3
kg.
TI LIU CN ÅC
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 2 v bi tªp to¡n cao
c§p tªp 2,
NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 2
, NXB HQG H Nëi
- 2006.
3.
James Stewart
,
Gi£i t½ch,
NXB Hçng ùc - 2016.
Ch֓ng 5
Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
Sau khi håc xong ch÷ìng ny, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc c¡c ành ngh¾a v· nguy¶n hm, t½ch ph¥n v c¡c ùng döng cõa
nguy¶n hm v t½ch ph¥n.
- T¼m ÷ñc nguy¶n hm v t½ch ph¥n cõa hm sè mët bi¸n.
5.1 Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
5.1.1 Nguy¶n hm
ành ngh¾a 5.1.1
Hm sè
F (x)
÷ñc gåi l
nguy¶n hm
cõa hm sè
f(x)
tr¶n
(a, b)
n¸u
F (x)
li¶n töc tr¶n
(a, b),
kh£ vi t¤i méi iºm tr¶n
(a, b)
v
F
′
(x) =
f(x), ∀x ∈ (a, b)
.
V½ dö 5.1.1
F (x) = cos x
l nguy¶n hm cõa hm sè
f(x) = −sin x
,
F (x) =
x
2
2
l nguy¶n hm cõa hm sè
f(x) = x
.
ành l½ 5.1.1
Mët hm sè li¶n töc tr¶n
[a, b]
th¼ luæn câ nguy¶n hm tr¶n
[a, b]
.
ành l½ 5.1.2
N¸u
F (x)
l mët nguyn hm cõa
f(x)
tr¶n
(a, b)
th¼
131
132
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(ii)
F (x) + C
vîi
C
l h¬ng sè công l nguyn hm cõa
f(x)
tr¶n
(a, b)
.
(ii) Hm
G(x)
l nguy¶n hm cõa
f(x)
tr¶n
(a, b)
khi v ch¿ khi
G(x) = F (x) +C
vîi
C
l h¬ng sè tòy þ.
Nhªn x²t 5.1.1
N¸u mët hm sè câ nguy¶n hm th¼ nâ câ væ sè nguy¶n hm
v c¡c nguy¶n hm ny sai kh¡c nhau mët h¬ng sè cëng.
5.1.2 T½ch ph¥n b§t ành
ành ngh¾a 5.1.2
Tªp hñp t§t c£ c¡c nguy¶n hm cõa
f(x)
÷ñc gåi l t½ch
ph¥n b§t ành cõa
f(x)
v ÷ñc k½ hi»u l
Z
f(x)dx
. Trong â,
Z
l d§u t½ch
ph¥n,
x
l bi¸n l§y t½ch ph¥n,
f(x)
l hm sè l§y t½ch ph¥n v
f(x)dx
l biºu
thùc d÷îi d§u t½ch ph¥n. Vªy,
R
f(x)dx = F (x) + C.
Vi»c t¼m nguy¶n hm cõa mët hm sè gåi l ph²p l§y t½ch ph¥n cõa hm sè
â.
C¡c t½ch ch§t
(i)
Z
[f(x) ± g(x)]dx =
Z
f(x)dx ±
Z
g(x)dx.
(ii)
Z
kf(x)dx = k
Z
f(x)dx
vîi
k
l h¬ng sè kh¡c
0
.
(iii)
Z
f(x)dx
′
= f(x).
5.1. Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
133
5.1.3 C¡c cæng thùc t½ch ph¥n b§t ành cì b£n
Z
0dx = C
Z
dx
√
1 − x
2
= arcsin x + C
Z
adx = ax + C
Z
dx
1 + x
2
= arctan x + C
Z
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C, (n = −1)
Z
dx
cos
2
x
=
Z
(tan
2
x + 1)dx = tan x + C
Z
dx
x
= ln |x| + C, x = 0
Z
dx
sin
2
x
=
Z
(cot
2
x + 1)dx = −cot x + C
Z
e
x
dx = e
x
+ C
Z
dx
cosh
2
x
= tanh x + C
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, 0 < a = 1
Z
dx
sinh
2
x
= coth x + C
Z
sin xdx = −cos x + C
Z
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Z
cos xdx = sin x + C
Z
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C
Z
tan xdx = −ln |cos x| + C
Z
dx
x
2
− a
2
=
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C
Z
cot xdx = ln |sin x| + C
Z
dx
√
x
2
+ k
= ln |x +
p
x
2
+ k| + C
Z
sinh xdx = cosh x + C
Z
p
a
2
− x
2
dx =
x
2
p
a
2
− x
2
+
a
2
x
arcsin
x
a
+ C
Z
cosh xdx = sinh x + C
Z
p
x
2
+ kdx =
x
2
p
x
2
+ k +
k
2
ln |x +
p
x
2
+ k| + C
5.1.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n b§t ành
Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n
êi bi¸n lo¤i 1
°t
x = φ(t)
vîi
φ(t)
l hm kh£ vi ìn i»u theo bi¸n
t
. Khi â:
Z
f(x)dx =
Z
f[φ(t)]φ
′
(t)dt
V½ dö 5.1.2
134
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(i) X²t
I =
Z
dx
p
(1 − x
2
)
3
.
°t
x = sin t, t ∈
−
π
2
,
π
2
⇒ dx = cos tdt,
dx
p
(1 − x
2
)
3
=
dt
cos
2
t
.
Khi â:
I =
Z
dt
cos
2
t
= tan t + C =
x
√
1 − x
2
+ C
.
(ii) X²t
I =
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
2
.
°t
x = a tan t ⇒ dx =
adt
cos
2
t
, x
2
+ a
2
=
a
2
cos
2
t
.
Khi â:
I =
1
a
2
Z
cos
2
tdt =
1
2a
3
Z
(1 + cos 2t)dt =
1
2a
3
t +
sin 2t
2
+ C.
êi bi¸n lo¤i 2
°t
t = ψ(x)
vîi
t
l bi¸n mîi v
ψ(x)
l hm kh£ vi. Khi â:
Z
f[ψ(x)]ψ
′
(x)dx =
Z
f(t)dt
V½ dö 5.1.3
(i) X²t
I =
Z
xdx
√
x
4
+ 1
.
°t
t = x
2
⇒ dt = 2xdx
. Khi â
I =
1
2
Z
dt
√
t
2
+ 1
=
1
2
ln |t +
p
t
2
+ 1 | + C.
hay
I =
1
2
ln(x
2
+
p
x
4
+ 1) + C.
(ii) X²t
I =
Z
dx
√
1 + e
x
.
°t
t =
√
1 + e
x
⇒ t
2
= 1 + e
x
⇒ dt = e
x
dx ⇒ dx =
2tdt
t
2
− 1
v
dx
√
1 + e
x
=
2dt
t
2
− 1
.
Khi â:
I = 2
Z
tdt
t
2
− 1
= ln |
t − 1
t + 1
| + C = ln |
√
1 + e
x
− 1
√
1 + e
x
+ 1
| + C.
5.1. Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
135
T½ch ph¥n tøng ph¦n
Gi£ sû
u = u(x), v = v(x)
l c¡c hm câ ¤o hm li¶n
töc
u
′
(x), v
′
(x)
. Khi â:
Z
udv = uv −
Z
vdu
V½ dö 5.1.4
(i) T½nh
I =
Z
x ln(x +
√
x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx
.
°t
u = l n ( x +
p
x
2
+ 1)
dv =
xdx
√
x
2
+ 1
⇒
du =
dx
√
x
2
+ 1
v =
√
x
2
+ 1
.
Khi â
I =
p
x
2
+ 1 ln ( x +
p
x
2
+ 1) −
Z
dx =
p
x
2
+ 1 ln ( x +
p
x
2
+ 1) − x + C.
(ii) T½nh
I =
Z
(arcsin x)
2
dx
.
°t
u = (a r csi n x)
2
dv = dx
⇒
du =
2 arcsin xdx
√
1 − x
2
dx
v = x
.
Khi â
I = x( a r csi n x)
2
− 2
Z
x arcsin xdx
√
1 − x
2
.
L¤i °t
u
1
= arcsin x
dv
1
=
xdx
√
1 − x
2
⇒
du
1
=
dx
√
1 − x
2
dx
v
1
= −
√
1 − x
2
.
Vªy
I = x( a rc si n x)
2
+ 2
p
1 − x
2
arcsin x − 2 x + C.
Chó þ 5.1.1
T½ch ph¥n tøng ph¦n th÷íng ÷ñc sû döng trong c¡c t½ch ph¥n
câ d¤ng:
136
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
R
P (x) ln xdx
R
P (x)e
ax
dx
R
P (x) sin axdx
R
e
ax
sin bxdx
R
P (x) arcsin axdx
R
e
ax
cos bxdx
R
P (x) cos axdx
R
sin(ln x)dx
R
P (x) arccos axdx
R
cos(ln x)dx
R
P (x) arctan axdx
R
P (x) ln
m
xdx
R
P (x)arccotaxdx
Trong â:
P (x)
l a thùc v
a, b
l c¡c sè thüc. Khi â:
(i) °t
u
l hm l÷ñng gi¡c ng÷ñc,
ln x, P (x)
, hm l÷ñng gi¡c.
(ii) Khi °t
u
l hm l÷ñng gi¡c th¼ t½ch ph¥n c¦n t½nh th÷íng xu§t hi»n ð v¸
ph£i.
(iii) Khæng °t
u
l hm mô.
V½ dö 5.1.5
X²t
I =
Z
cos(ln x)dx
.
°t
u = cos (l n x)
dv = dx
⇒
du = −
sin(ln x)dx
x
v = x
.
Khi â
I = x cos( l n x) −
Z
sin(ln x)dx = x cos(ln x) − I
1
.
L¤i °t
u
1
= sin(ln x)
dv
1
= dx
⇒
du
1
=
cos(ln x)dx
x
v
1
= x
n¶n
I
1
= x sin(ln x) −
R
cos(ln x)dx = x sin(ln x) − I
suy ra
I =
x
2
[cos(ln x) +
sin(ln x)] + C
.
5.1.5 T½ch ph¥n hm húu t¿
Ta nâi ph¥n thùc
P (x)
Q(x)
l ph¥n thùc thªt sü khi
P (x), Q(x)
l c¡c a thùc v
bªc cõa
P (x)
b² hìn bªc cõa
Q(x)
.
5.1. Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
137
Ta gåi c¡c ph¥n thùc câ d¤ng sau l nhúng ph¥n thùc ìn gi£n:
A
x − a
,
A
(x − a)
n
, (n ≥ 2),
A
(x
2
+ a
2
)
n
Mx + N
x
2
+ px + q
, (p
2
− 4 q < 0)
Mx + N
(x
2
+ px + q)
n
, (p
2
− 4 q < 0, n ≥ 2).
Ta t½nh t½ch ph¥n cõa c¡c ph¥n thùc ìn gi£n:
Z
Adx
x − a
= A ln |x − a| + C
Z
Adx
(x − a)
n
= A
Z
(x − a)
−n
dx =
A(x − a)
−n+1
−n + 1
+ C
I
n
=
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n
. °t
u =
1
(x
2
+ a
2
)
n
dv = dx
⇒
du = −
2nxdx
(x
2
+ a
2
)
n+1
v = x
n¶n
I
n
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2 n
Z
x
2
dx
(x
2
+ a
2
)
n+1
Ta câ
Z
x
2
dx
(x
2
+ a
2
)
n+1
=
Z
(x
2
+ a
2
) − a
2
(x
2
+ a
2
)
n+1
dx =
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n
−a
2
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
n+1
=
I
n
− a
2
I
n+1
.
Vªy
I
n+1
=
x
2na
2
(x
2
+ a
2
)
n
+
2n − 1
2na
2
I
n
vîi
I
1
=
Z
dx
x
2
+ a
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Z
Mx + N
x
2
+ px + q
dx =
Z
M
2
(2x + p) + N −
Mp
2
x
2
+ px + q
dx =
M
2
Z
d(x
2
+ px + q)
x
2
+ px + q
+
N −
Mp
2
Z
d(x + p/2 )
(x + p/2)
2
+ ( q − p
2
/4)
=
M
2
ln(x
2
+ px + q) +
2N − Mp
p
4p − q
2
arctan
2x + p
p
4p − q
2
+ C
ành l½ 5.1.3
Måi a thùc
Q(x)
bªc
n
vîi h» sè thüc ·u câ thº ph¥n t½ch thnh
t½ch c¡c thøa sè l nhà thùc bªc nh§t v tam thùc bªc hai khæng câ nghi»m thüc,
trong â câ thº câ c¡c thøa sè tròng nhau.
Q(x) = a
0
(x − a)
α
(x − b)
β
...(x
2
+ px + q)
µ
(x
2
+ lx + s)
ν
vîi
p
2
− 4 q < 0, ..., l
2
− 4 s < 0
v
α + β + ... + 2(µ + ... + ν) = n
.
138
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
ành l½ 5.1.4
Ph¥n thùc húu t¿ thüc sü
P (x)
Q(x)
vîi
Q(x)
câ d¤ng nh÷ tr¶n câ thº
ph¥n t½ch thnh têng c¡c ph¥n thùc ìn gi£n.
V½ dö 5.1.6
(i) Khai triºn
(x + 2)
2
x(x − 1)
2
thnh têng c¡c ph¥n thùc ìn gi£n.
Ta câ:
(x + 2)
2
x(x − 1)
2
=
A
x
+
B
x − 1
+
C
(x − 1)
2
.
Qui çng m¨u sè ta ÷ñc:
x
2
+ 4 x + 4 = A( x − 1)
2
+ Bx(x − 1) + Cx
.
C¥n b¬ng h» sè hai v¸ ta ÷ñc:
A = 4, B = −3, C = 9
.
Vªy
(x + 2)
2
x(x − 1)
2
=
4
x
−
3
x − 1
+
9
(x − 1)
2
.
(ii) T½nh
I =
Z
x
3
− x
2
− 4 x − 1
x
4
+ x
3
dx
.
Ta câ:
x
3
− x
2
− 4 x − 1
x
4
+ x
3
=
x
3
− x
2
− 4 x − 1
x
3
(x + 1)
=
A
x
3
+
B
x
2
+
C
x
+
D
x + 1
=
(C + D)x
3
+ ( B + C)x
2
+ ( A + B)x + A
x
3
(x + 1)
.
C¥n b¬ng h» sè ta ÷ñc:
A = −1, B = −3, C = 2, D = −1
.
Khi â:
x
3
− x
2
− 4 x − 1
x
4
+ x
3
= −
1
x
3
−
3
x
2
+
2
x
−
1
x + 1
.
Vªy
I =
Z
x
3
− x
2
− 4 x − 1
x
4
+ x
3
dx =
Z
−
1
x
3
−
3
x
2
+
2
x
−
1
x + 1
dx
hay
I =
1
2x
2
+
3
x
+ 2 ln | x| − ln |x + 1| + C.
5.1.6 T½ch ph¥n hm l÷ñng gi¡c
Ph÷ìng ph¡p chung
X²t t½ch ph¥n
I =
Z
R(sin x, cos x)dx
.
°t
t = tan
x
2
⇒ x = 2 arc ta n t
. Khi â:
dx =
2dt
1 + t
2
5.1. Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
139
sin x =
2t
1 + t
2
cos x =
1 − t
2
1 + t
2
.
Vªy
I =
Z
R(sin x, cos x)dx =
Z
R
2t
1 + t
2
,
1 − t
2
1 + t
2
2dt
1 + t
2
. ¥y l t½ch ph¥n hm
húu t¿ theo bi¸n
t
.
V½ dö 5.1.7
T½nh
I =
Z
dx
1 + cos x
.
°t
t = tan
x
2
⇒ x = 2 arc ta n t
v
dx =
2dt
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
.
Khi â:
I =
Z
dt = t + C = tan
x
2
+ C
.
Mët vi tr÷íng hñp °c bi»t
(i) N¸u
R(sin x, cos x)
l´ theo
sin x
tùc l
R(−sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)
th¼
ta °t
t = cos x
.
(ii) N¸u
R(sin x, cos x)
l´ theo
cos x
tùc l
R(sin x, −cos x) = −R(sin x, cos x)
th¼
ta °t
t = sin x
.
(iii)
R(sin x, cos x)
ch®n theo
sin x
v
cos x
, tùc l
R(−sin x, −cos x) = R(sin x, cos x)
th¼ ta °t
t = tan x
ho°c
t = cot x
.
(iv) D¤ng
R
sin
m
x cos
n
xdx
N¸u
m
l´: °t
t = cos x
.
N¸u
n
l´: °t
t = sin x
.
N¸u
m, n
·u ch®n v câ mët sè ¥m: °t
t = tan x
.
N¸u
m, n
·u ch®n v ·u d÷ìng th¼ ta dòng cæng thùc h¤ bªc:
sin
2
x =
1
2
(1 − cos 2x), cos
2
x =
1
2
(1 + cos 2x).
140
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(v) D¤ng
R
cos ax sin bxdx,
R
cos ax cos bxdx,
R
sin ax sin bxdx
th¼ ta ¡p döng cæng
thùc bi¸n êi t½ch thnh têng:
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a − b)]
cos a cos b = −
1
2
[cos(a + b) − cos(a − b)]
sin a cos b =
1
2
[sin(a + b) + sin( a − b)].
V½ dö 5.1.8
(i) T½nh
I =
Z
sin
3
xdx
1 + cos
2
x
.
°t
t = cos x ⇒ dt = −sin xdx
. Khi â:
I =
Z
(1 − cos
2
x) sin xdx
1 + cos
2
x
=
Z
(1 − t
2
)(−dt)
1 + t
2
=
Z
1 −
2
1 + t
2
dt =
t − 2 arcta n t + C
.
(ii) T½nh
I =
Z
cos x + sin x cos x
2 + sin x
dx
.
°t
t = sin x ⇒ dt = cos xdx
. Khi â:
I =
Z
1 + t
2 + t
dt =
Z
1 −
1
2 + t
dt =
t − ln |2 + t| + C = sin x − ln |2 + sin x| + C
.
(iii) T½nh
I =
Z
dx
sin x cos
3
x
.
°t
t = tan x ⇒ dt =
dx
cos
2
x
. Khi â:
I =
Z
dx
tan x cos
4
x
=
Z
1
tan x
(1 + tan
2
x)
dx
cos
2
x
=
Z
1 + t
2
t
dt =
Z
(t +
1
t
)dt =
1
2
t
2
+ l n |t|+ C =
1
2
tan
2
x + ln |tan x| + C
.
(iv) T½nh
I =
Z
cos x cos 3xdx
.
Ta câ:
I =
1
2
Z
(cos 4x + cos 2x)dx =
1
8
sin 4x +
1
4
sin 2x + C
.
5.1. Nguy¶n hm v t½ch ph¥n b§t ành
141
5.1.7 T½ch ph¥n hm væ t¿
(i) D¤ng
Z
R
x,
m
r
ax + b
cx + d
,
r
r
ax + b
cx + d
, ...
!
dx
vîi R l hm húu t¿ v
m, r, ...
l
c¡c sè nguy¶n d÷ìng.
Khi â ta °t
t =
n
r
ax + b
cx + d
vîi
n = BSCNN(m, r, ...)
.
(ii) D¤ng
Z
R(x,
p
ax
2
+ bx + c)dx, (a = 0)
vîi R l hm húu t¿.
C¡ch 1
: Ph²p th¸ Euler
1
N¸u
a > 0
th¼ °t
t =
√
ax
2
+ bx + c = t − a
√
x
ho°c
(t + a
√
x)
N¸u
c > 0
th¼ °t
t =
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c
ho°c
(xt −
√
c)
N¸u
ax
2
+ bx + c = a(x − α) ( x − β)
th¼ °t
√
ax
2
+ bx + c = t(x − α)
.
C¡ch 2
: êi bi¸n sè l÷ñng gi¡c.
Ta câ
ax
2
+ bx + c = a
(x +
b
2a
)
2
−
∆
4a
2
. °t
u = x +
b
2a
⇒ du = dx
.
N¸u
∆ ≥ 0
th¼
√
ax
2
+ bx + c =
√
a
√
u
2
− α
2
, (a > 0)
ho°c
√
ax
2
+ bx + c =
√
−a
√
α
2
− u
2
, (a < 0)
vîi
α =
∆
4a
2
.
N¸u
∆ < 0
th¼
√
ax
2
+ bx + c =
√
a
√
u
2
+ α
2
, (a > 0)
vîi
α = −
∆
4a
2
.
Nh÷ vªy ta s³ ÷a t½ch ph¥n v· mët trong c¡c d¤ng sau:
Z
R
1
(u,
p
u
2
+ α
2
)du ⇒
°t
u = α tan t
Z
R
2
(u,
p
u
2
− α
2
)du ⇒
°t
u =
α
sin t
Z
R
2
(u,
p
α
2
− u
2
)du ⇒
°t
u = α sin t.
V½ dö 5.1.9
1
L²onhard Euler (1707 - 1783): nh to¡n håc Thöy S¾ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh khoa håc, nh to¡n
håc Ph¡p Laplace gåi Euler l æng th¦y cõa c¡c nh to¡n håc cõa th¸ k¿ 18.
142
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(i) T½nh
I =
Z
√
xdx
3
√
x
2
−
4
√
x
.
°t
t =
12
√
x ⇒ x = t
12
⇒ dx = 12t
11
dt
.
Khi â
I =
Z
12t
17dt
t
8
− t
3
=
Z
12t
14
dt
t
5
− 1
= 12
Z
t
9
+ t
4
+
t
4
t
5
− 1
dt =
12
t
10
10
+
t
5
5
+
1
5
ln |t
5
− 1 |
+ C
.
(ii) T½nh
I =
Z
p
x
2
+ 2 x + 2dx
.
°t
t = x + 1 ⇒ dt = dx
.
Khi â
I =
Z
p
t
2
+ 1 dt =
t
2
p
t
2
+ 1 +
1
2
ln |t +
p
t
2
+ 1 | + C
.
(iii) T½nh
I =
Z
dx
x +
√
x
2
+ x + 1
.
°t
p
x
2
+ x + 1 = t − x ⇒ x =
t
2
− 1
2t + 1
⇒ dx =
2t
2
+ 2 t + 2
(2t + 1)
2
dt
.
Khi â
I =
Z
2t
2
+ 2 t + 2
(2t + 1)
2
dt =
Z
2
t
−
3
2t + 1
−
3
(2t + 1)
2
dt = 2 ln |t|−
3
2
ln |2t + 1| +
3
2(2t + 1)
+ C
vîi
t = x +
√
x
2
+ x + 1
.
5.2 T½ch ph¥n x¡c ành
5.2.1 T½ch ph¥n x¡c ành
Cho hm sè
y = f(x)
x¡c ành tr¶n
[a, b]
. Chia o¤n
[a, b]
thnh
n
o¤n nhä
bði c¡c iºm chia nh÷ sau:
a = x
0
< x
1
< ... < x
n
= b.
Gåi
∆x
i
l ë di cõa
[x
i−1
, x
i
], i = 1, 2, ..., n
v
d = max
i=1,...,n
∆x
i
. Tr¶n méi
∆x
i
ta l§y mët iºm
ξ
i
tòy þ.
Lªp têng
I
n
=
n
X
i=1
f(ξ
i
)∆x
i
. N¸u tçn t¤i giîi h¤n
lim
n→∞
I
n
= I
khæng phö thuëc
vo ph²p chia
[a, b]
v c¡ch l§y iºm
ξ
i
tr¶n méi
∆x
i
th¼
I
÷ñc gåi l t½ch ph¥n
x¡c ành cõa
f(x)
l§y tr¶n
[a, b]
. Khi â ta nâi
f(x)
kh£ t½ch tr¶n
[a, b]
.
5.2. T½ch ph¥n x¡c ành
143
K½ hi»u:
I =
Z
b
a
f(x)dx
. Trong â:
[a, b]
l o¤n l§y t½ch ph¥n,
a
l cªn d÷îi,
b
l cªn tr¶n,
f(x)
l hm d÷îi d§u t½ch ph¥n,
x
l bi¸n l§y t½ch ph¥n v
f(x)dx
l biºu thùc d÷îi d§u t½ch ph¥n.
5.2.2 T½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành
Gi£ sû c¡c t½ch ph¥n ÷ñc nâi ¸n ·u tçn t¤i. Ta câ c¡c t½nh ch§t sau:
(i)
Z
a
a
f(x)dx = 0
;
(ii)
Z
b
a
f(x)dx =
Z
c
a
f(x)dx +
Z
b
c
f(x)dx
;
(iii)
Z
b
a
Cdx = C(b − a)
vîi
C
l h¬ng sè;
(iv)
Z
b
a
(f(x) ± g(x))dx =
Z
b
a
f(x)dx ±
Z
b
a
g(x)dx
;
(v)
Z
b
a
f(x)dx =
Z
b
a
f(t)dt =
Z
b
a
f(u)du = ...
;
(vi)
Z
b
a
f(x)dx = −
Z
a
b
f(x)dx
;
(vii)
Z
b
a
Cf(x)dx = C
Z
b
a
f(x)dx
vîi
C
l h¬ng sè;
(viii) N¸u
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]
th¼
Z
b
a
f(x)dx ≥ 0
;
(ix) N¸u
f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]
th¼
Z
b
a
f(x)dx ≤
Z
b
a
g(x)dx
;
(x) N¸u
α ≤ f(x) ≤ β
th¼
α(b − a) ≤
Z
b
a
f(x)dx ≤ β(b − a)
;
(xi)
Z
b
a
f(x)dx
≤
Z
b
a
|f(x)|dx
;
144
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(xii) N¸u
f(x)
kh£ t½ch tr¶n
[a, b]
v tr¶n
[a, b]
câ
m ≤ f(x) ≤ M
. Khi â tçn t¤i
µ ∈ [a, b]
sao cho
Z
b
a
f(x)dx = µ(b − a).
¥y l nëi dung ành l½ gi¡ trà trung b¼nh. °c bi»t, n¸u
f(x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
th¼ tçn t¤i
c ∈ [a, b]
º
f(c) =
1
b − a
Z
b
a
f(x)dx
v
f(c)
÷ñc gåi l gi¡ trà trung b¼nh cõa
f(x)
tr¶n
[a, b]
.
5.2.3 Li¶n h» giúa t½ch ph¥n x¡c ành v nguy¶n hm
X²t hm sè
f(t)
kh£ t½ch tr¶n
[a, b]
, l§y
x ∈ [a, b]
. V¼
[a, x] ⊂ [a, b]
n¶n
f(t)
kh£
t½ch tr¶n
[a, x]
. °t
F (x) =
Z
x
a
f(t)dt
th¼
F (x)
l mët hm theo bi¸n
x
.
ành l½ 5.2.1
N¸u
f(t)
kh£ t½ch tr¶n
[a, b]
th¼
F (x)
li¶n töc tr¶n
[a, b]
.
ành l½ 5.2.2
Gi£ sû
f
li¶n töc tr¶n
[a, b]
. Khi â:
(i)
F (x) =
Z
x
a
f(t)dt
l mët nguyn hm cõa
f
tr¶n
[a, b]
(ii) N¸u
G(x)
l mët nguyn hm b§t k¼ cõa
f
tr¶n
[a, b]
th¼
Z
b
a
f(x)dx = G(x)|
b
a
= G(b) − G(a)
v ta gåi ¥y l cæng thùc Newton
2
- Leibnitz.
V½ dö 5.2.1
I =
Z
1
0
xdx
(x + 1)
2
=
Z
1
0
1
x + 1
−
1
(x + 1)
2
dx =
h
ln |x + 1| +
1
x + 1
i
1
0
= ln 2 −
1
2
.
2
Isaac Newton (1643 - 1728): nh to¡n håc v vªt l½ håc v¾ ¤i ng÷íi Anh. Æng câ hng lo¤t nhúng
ph¡t minh nêi ti¸ng nh÷ ph²p t½nh vi t½ch ph¥n, ành luªt v¤n vªt h§p d¨n,...
5.2. T½ch ph¥n x¡c ành
145
5.2.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n x¡c ành
Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n
êi bi¸n lo¤i 1
X²t t½ch ph¥n
Z
b
a
f(x)dx
vîi
f
li¶n töc tr¶n
[a, b]
. Gi£ sû êi bi¸n sè
x = φ(t)
thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(i)
φ(t)
câ ¤o hm li¶n töc tr¶n
[α, β]
no â.
(ii)
φ(α) = a, φ(b) = b
Khi t bi¸n thi¶n tr¶n
[α, β]
th¼
x
bi¸n thi¶n tr¶n
[a, b]
. Khi â:
Z
b
a
f(x)dx =
Z
β
α
f(φ(t))φ
′
(t)dt
.
V½ dö 5.2.2
T½nh
I =
Z
a
0
p
a
2
− x
2
dx
.
°t
x = a sin t, t ∈ [−
π
2
,
π
2
] ⇒ dx = a cos tdt
.
êi cªn
x = 0 ⇒ t = 0
x = a ⇒ t =
π
2
.
Khi â:
I = a
2
Z
π
2
0
cos
2
tdt =
πa
2
4
.
êi bi¸n lo¤i 2
X²t t½ch ph¥n
Z
b
a
f(x)dx
vîi
f
li¶n töc tr¶n
[a, b]
. Gi£ sû êi bi¸n sè
t = φ(x)
thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(i)
φ(x)
ìn i»u v câ ¤o hm li¶n töc tr¶n
[a, b]
(ii)
f(x)dx
trð thnh
g(t)dt
vîi
g(t)
l hm li¶n töc tr¶n
[φ(a), φ(b)].
Khi â:
146
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
I =
Z
b
a
f(x)dx =
Z
φ(b)
φ(a)
g(t)dt
V½ dö 5.2.3
T½nh
I =
Z
π
0
x sin x
1 + cos
2
x
dx
.
°t
t = π − x ⇒ dx = −dt
. Khi â:
I =
Z
π
0
(π − t)(si n (π − t)(−dt)
1 + cos
2
(π − t)
=
Z
π
0
(π − t) sin t
1 + cos
2
t
dt = π
Z
π
0
sin tdt
1 + cos
2
t
−
Z
π
0
t sin tdt
1 + cos
2
t
=
π
Z
π
0
−d(cos t)
1 + cos
2
t
− I ⇒ I = −
π
2
arctan(cos t) |
π
0
=
π
2
4
.
Ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n
N¸u
u, v
l c¡c hm kh£ vi trong
(a, b)
, li¶n töc tr¶n
[a, b]
v
u
′
v, uv
′
kh£ t½ch
tr¶n
[a, b]
th¼:
Z
b
a
udv = uv|
b
a
−
Z
b
a
vdu
V½ dö 5.2.4
T½nh
I =
Z
1
0
x ln(x
2
+ 1) dx
°t
u = l n ( x
2
+ 1)
dv = xdx
⇒
du =
2xdx
x
2
+ 1
v =
x
2
2
.
Khi â:
I =
x
2
2
ln(x
2
+1)|
1
0
−
Z
1
0
x
3
dx
x
2
+ 1
=
1
2
ln 2−
Z
1
0
x −
x
x
2
+ 1
dx =
1
2
ln 2−
x
2
2
−
1
2
ln(x
2
+ 1)
1
0
= ln 2 −
1
2
.
5.3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
5.3.1 T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng
y = f(x), x = a, x = b
v tröc
honh ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau:
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
147
S =
Z
b
a
|f(x)|dx
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng
y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
÷ñc t½nh theo cæng thùc sau:
S =
Z
b
a
|f(x) − g(x)|dx
T÷ìng tü, di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng
x = f(y), y = c, y = d
v tröc tung ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau:
S =
Z
d
c
|f(y)|dy
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng
x = f(y) , x = g(y), y = c, y = d
÷ñc t½nh theo cæng thùc sau:
S =
Z
d
c
|f(y) − g(y)|dy
V½ dö 5.3.1
T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng
y = x
2
, y = 0,
x = 1, x = 2
.
Ta câ:
S =
Z
2
1
x
2
dx =
x
3
3
2
1
=
7
3
.
5.3.2 T½nh thº t½ch vªt thº trán xoay
Cho ÷íng cong
(C)
, x²t cung
AB
thuëc ÷íng cong
(C)
v tröc
∆
. Khi quay
(C)
hay cung
AB
quanh tröc
∆
th¼ vªt thº thu ÷ñc gåi l vªt thº trán xoay
tröc
∆
.
Gi£ sû
(C)
giîi h¤n bði
{y = f(x), a ≤ x ≤ b}
th¼ khi quay
(C)
quanh
Ox
vªt
thº thu ÷ñc câ thº t½ch l:
148
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
V = π
Z
b
a
f
2
(x)dx
T÷ìng tü,
(C)
giîi h¤n bði
{x = f (y), c ≤ x ≤ d}
th¼ khi quay
(C)
quanh
Oy
vªt thº thu ÷ñc câ thº t½ch l:
V = π
Z
d
c
f
2
(y)dy
BI TP
1. Dòng ph÷ìng ph¡p êi bi¸n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau
(a)
Z
dx
x
√
1 + x
2
(b)
Z
dx
x
√
x
2
− 1
(c)
Z
dx
x ln x ln(ln x)
(d)
Z
dx
p
x(1 − x)
(e)
Z
sin xdx
√
cos 2x
(f)
Z
xdx
(x
2
+ 2)
√
3x
2
+ 5
(g)
Z
sin 2xdx
2
p
9 sin
2
x + 25 cos
2
x
(h)
Z
dx
(arcsin x)
2
√
1 − x
2
(i)
Z
2
x
dx
√
1 − 4
x
(j)
Z
6
x
dx
9
x
− 4
x
(k)
Z
x +
√
arcsin x
√
1 − x
2
dx (l)
Z
x − (arcc os 2x)
2
√
1 − 4x
2
dx.
2. Dòng ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
149
(a)
Z
x
2
e
−2x
dx (b)
Z
x
3
e
−x
2
dx
(c)
Z
e
x
sin xdx (d)
Z
arctan
√
xdx
(e)
Z
(arcsin x)
2
dx (f)
Z
(1 − 6x) e
2x
dx
(g)
Z
(4 − 16x) sin 4xdx (h)
Z
ln
2
xdx
(i)
Z
x sin xdx (j)
Z
(4x − 2) cos 2xdx
(k)
Z
xdx
sin
2
x
(l)
Z
xdx
cos
2
x
(m)
Z
x cos xdx
sin
3
x
(n)
Z
arcsin xdx
x
2
(o)
Z
x
2
arccos xdx (p)
Z
e
√
x
dx
(q)
Z
x
5
e
x
3
dx (r)
Z
e
2x
cos 3xdx
(s)
Z
x cos
2
xdx (t)
Z
(e
x
+ si n x)
2
dx
(u)
Z
x
2
dx
(1 + x
2
)
2
(v)
Z
ln
2
xdx
x
2
(x)
Z
ln(sin x)
sin
2
x
dx.
3. T½nh c¡c t½ch ph¥n húu t¿
(a)
Z
x
3
x − 2
dx (b)
Z
x
4
x
2
+ 1
dx
(c)
Z
x − 4
(x − 2)( x − 3)
2
dx (d)
Z
dx
(x + 1)( x − 3)
(e)
Z
dx
x
4
− 1 6
(f)
Z
5x − 14
x
3
− x
2
− 4 x + 4
dx
(g)
Z
dx
x
3
+ 1
(h)
Z
xdx
1 − x
3
(i)
Z
x
5
+ 1
x
2
+ 2 x − 3
dx (j)
Z
x
4
+ 1
x
6
+ 1
dx.
4. T½nh t½ch ph¥n c¡c hm væ t¿
(a)
Z
r
1 − x
x
3
dx (b)
Z
dx
x(1 + 2
√
x +
3
√
x)
(c)
Z
dx
x
2
√
1 + x
2
(d)
Z
xdx
√
3 − 2x − x
2
(e)
Z
x
2
dx
√
1 + x + x
2
(f)
Z
dx
√
x(
3
√
x − 1)
.
150
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
5. T½nh t½ch ph¥n hm l÷ñng gi¡c
(a)
Z
sin
2
3xdx (b)
Z
(cos x + sin x)
2
dx
(c)
Z
sin
2
x cos
2
xdx (d)
Z
sin
2
x cos
4
xdx
(e)
Z
(1 + cos 2x)
3
dx (f)
Z
cos
7
xdx
(g)
Z
sin
5
xdx (h)
Z
sin
2
x cos
3
xdx
(i)
Z
dx
sin 2x
(j)
Z
cos
3
xdx
sin
2
x
(k)
Z
tan
3
xdx (l)
Z
tan
5
xdx
(m)
Z
dx
sin
3
x cos
5
x
(n)
Z
dx
sin
4
x cos
4
x
(o)
Z
dx
cos x sin
2
x
(p)
Z
dx
tan x
(q)
Z
dx
2 sin x − cos x + 5
(r)
Z
sin x
sin x + 2 cos x
dx
(s)
Z
dx
4 sin
2
x + 9 cos
2
x
(t)
Z
dx
sin
4
x + cos
4
x
(u)
Z
sin 2x
1 + sin
4
x
dx (v)
Z
cos 2xdx
sin
4
x + cos
4
x
(x)
Z
dx
(2 sin x + 3 cos x)
2
(y)
Z
dx
(sin
2
x + 2 cos
2
x)
2
.
6. T½nh t½ch ph¥n x¡c ành
(a)
Z
a
0
x
2
p
a
2
− x
2
dx (b)
Z
1
0
1 + x
2
1 + x
4
dx
(c)
Z
π
0
x sin xdx
1 + 2 cos
2
x
dx (d)
Z
ln 2
0
√
e
x
− 1 dx
(e)
Z
a
0
dx
a +
√
a
2
− x
2
(f)
Z
1
0
dx
x
2
− 4
(g)
Z
e
π/2
1
cos(ln x)dx (h)
Z
e
1
cos(ln x)
x
dx
(i)
Z
1
0
x
2
dx
1 + x
6
(j)
Z
4
3
x
2
+ 3
x − 2
dx
(k)
Z
e
1
dx
x(1 + ln
2
x)
(l)
Z
1
0
x
2
+ 3 x
(x + 1)( x
2
+ 1)
dx
(m)
Z
1
0
dx
√
x
2
+ 2x + 2
(n)
Z
5
1
dx
x +
√
2x − 1
(p)
Z
π/4
0
e
3x
sin 4xdx (q)
Z
π/3
π/6
xdx
cos
2
x
.
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
151
7. Khæng t½nh t½ch ph¥n, h¢y chùng minh r¬ng
(a)
16
3
≤
Z
6
4
x
2
x + 2
dx ≤ 9
,
(b)
π
6
<
Z
1
0
dx
√
4 − x
2
− x
3
<
π
4
√
2
,
(c)
1 <
Z
1
0
e
x
2
dx < e,
(d)
lim
n→∞
Z
1
0
x
n
1 + x
dx = 0.
8. Chùng minh r¬ng
(a) N¸u
f(x)
l hm ch®n v kh£ t½ch tr¶n
[−a, a]
th¼
Z
a
−a
f(x)dx = 2
Z
a
0
f(x).
(b) N¸u
f(x)
l hm l´ v kh£ t½ch tr¶n
[−a, a]
th¼
Z
a
−a
f(x)dx = 0.
9. Chùng minh r¬ng n¸u hm
f(x)
li¶n töc v tu¦n hon vîi chu k¼
T
th¼ vîi
måi
a
ta ·u câ
Z
a+T
a
f(x)dx =
Z
T
0
f(x)dx.
10. T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng sau
(a)
y = 2x − x
2
, x + y = 0,
(b)
y = 2
x
, y = 2, x = 0,
(c)
y = x, y = x + sin
2
x, 0 ≤ x ≤ π,
(d)
y
2
+ 8 x = 16, y
2
− 2 4x = 48,
(e)
y =
1
1 + x
2
, y =
x
2
2
,
(f)
y = e
x
, y = e
−x
, x = 1,
(g)
y =
ln x
4x
, y = x ln x,
152
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(h)
y = 0, x = 0, x = y
2
(y − 1).
11. T½nh thº t½ch vªt thº trán xoay khi quay c¡c mi·n ph¯ng giîi h¤n bði c¡c
÷íng sau ¥y xung quanh tröc t÷ìng ùng
(a)
y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π
quanh
Ox.
(b)
y = 2x − x
2
, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2
quanh
Ox.
(c)
y = sin
2
x, y = 0, x = 0, x =
π
4
quanh
Ox.
(d)
y
2
= 4 − x, x ≥ 0
quanh
Oy.
P SÈ
1.
(a) −
1
2
ln
√
x
2
+ 1 − 1
√
x
2
+ 1 + 1
+ C.
(b) arctan(
√
x
2
− 1 ) + C.
(c) ln(ln(ln x)) + C.
(d) − 2 ar csi n (
√
1 − x) + C.
(e) −
√
2
2
ln(
√
2 cos x +
√
cos 2x) + C.
(f) arctan(
√
3x
2
+ 5) + C.
(g) −
1
16
√
8 cos 2x + 17 + C.
(h)
1
arcsin x
+ C.
(i)
arcsin 2
x
ln 2
+ C.
(j)
1
2(ln 3 − l n 2 )
ln
1 − (
3
2
)
x
1 + (
3
2
)
x
+ C.
(k)
2
3
(arcsin x)
3
2
−
p
1 − x
2
+ C.
(l)
1
6
(arccos 2x)
3
−
1
4
p
1 − 4x
2
+ C.
2.
(a) −
1
4
e
−2x
(1 + 2x + 2x
2
) + C.
(b) −
1
2
e
−x
2
(x
2
+ 1) + C.
(c)
1
2
e
x
(sin x − cos x) + C.
(d)(x + 1) arctan
√
x −
√
x + C.
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
153
(e)2
p
1 − x
2
arcsin x − 2 x + x arcsin
2
x + C.
(f)e
2x
(2 − 3x) + C.
(g)(4x − 1) cos 4x − sin 4x + C.
(h)x(ln
2
x − 2 ln x + 2) + C.
(i) sin x − x cos x + C.
(j)
1
4
(sin 4x + ( 2 − 4x) cos 4x) + C.
(k) ln(sin x) − x cot x + C.
(l) ln(cos x) + x tan x + C.
(m) −
1
2
(cot x +
1
sin
2
x
) + C.
(n) −
1
2
ln
1 +
√
1 − x
2
1 −
√
1 − x
2
−
arcsin x
x
+ C.
(o)
1
3
x
3
arccos x −
1
9
(x
2
+ 2)
p
1 − x
2
+ C.
(p)2e
√
x
(
√
x − 1) + C.
(q)
1
3
e
x
3
(x
3
− 1 ) + C.
(r)
1
13
e
2x
(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C.
(s)
1
8
(2x(x + si n 2 x) + cos 2x) + C.
(t)
1
2
(x + e
2x
+ 2 e
x
sin x − (2e
x
+ si n x) co s x) + C.
(u)
1
2
(arctan x −
x
x
2
+ 1
) + C.
(v) −
ln
2
x + 2 ln x + 2
x
+ C.
(x) − x − cot x(ln sin x + 1) + C.
3.
(a)
x
3
3
+ x
2
+ 4 x + 8 ln(x − 2) + C.
(b)
x
3
3
− x − arctan x + C.
(c)
1
x − 3
+ 2 ln ( x − 3) − 2 ln(x − 2) + C.
(d)
1
4
ln
x − 3
x + 1
+ C.
(e)
1
32
ln
2 − x
x + 2
+
1
16
arctan
2
x
+ C.
(f)3 ln(1 − x) − ln ( 2 − x) − 2 ln(x + 2) + C.
154
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(g)
1
6
(−ln(x
2
− x + 1)) + 2 ln(x + 1) + 2
√
3 arctan
2x − 1
√
3
+ C.
(h)
1
6
((ln(x
2
+ x + 1)) − 2 ln(1 − x) − 2
√
3 arctan
2x + 1
√
3
) + C.
(i)
1
12
(x(3x
3
− 8 x
2
+ 42 x − 240) + 3 ln(1 − x) + 729 ln(x + 3)) + C.
(j)
1
3
(arctan
x
1 − x
2
+ 2 ar ct an x) + C.
4.
(a) −
2x
√
x
3
(
√
1 − x +
√
x arcsin
√
x) + C.
(b) −
3
2
ln(
6
√
x + 1) −
9
4
ln(2
3
√
x +
6
√
x + 1) + ln x +
3
2
√
7
arctan
1 − 4
6
√
x
√
7
+ C.
(c) −
√
x
2
+ 1
x
+ C.
(d) arcsin(
1
2
(−x − 1) ) −
p
−x
2
− 2 x + 3 + C.
(e)
1
8
2(2x − 3)
p
x
2
+ x + 1 − ln
2x + 1
√
3
+
s
1 +
2x + 1
√
3
2
+ C.
(f)6
6
√
x − 3 ln
1 +
6
√
x
1 −
6
√
x
+ C.
5.
(a)
1
12
(6x − sin 6 x) + C.
(b)x −
1
2
cos 2x + C.
(c)
1
32
(4x − sin 4 x) + C.
(d)
1
192
(12x + 3 sin 2x − 3 sin 4x − sin 6x) + C.
(e)
1
24
(60x + 45 si n 2x + 9 sin 4x + sin 6x) + C.
(f)
1
2240
(1225 sin x + 2 45 si n 3x + 49 sin 5x + 5 sin 7x) + C.
(g) −
5
8
cos x +
5
48
cos 3x −
1
80
cos 5x + C.
(h)
1
30
sin
3
x(3 cos 2x + 7) + C.
(i)
1
2
ln tan x + C.
(j) − sin x −
1
sin x
+ C.
(k)
1
2 cos
2
x
+ l n co s x + C.
(l)
1
4
1
cos
4
x
− 4
1
cos
2
x
− 4 l n cos x
+ C.
(m) −
1
2 sin
2
x
+
1
4 cos
4
x
+
1
cos
2
x
+ 3 ln si n x − 3 ln cos x + C.
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
155
(n)
1
6 sin
3
x cos
3
x
(cos 6x − 3 cos 2x) + C.
(o)
1
2
ln
1 + sin x
1 − sin x
−
1
sin x
+ C.
(p) ln sin x + C.
(q)
1
√
5
arctan
1
√
5
(3 tan
x
2
+ 1)
+ C.
(r)
1
5
(x − 2 ln sin x + 2 cos x) + C.
(s)
1
6
arctan
2 tan x
3
+ C.
(t)
1
√
2
(arctan(
√
2 tan x + 1) − arctan(1 −
√
2 tan x)) + C.
(u) arctan(sin
2
x) + C.
(v)
1
2
√
2
ln
2 +
√
2 sin 2x
2 −
√
2 sin 2x
+ C.
(x)
sin x
6 sin x + 9 cos x
+ C.
(y)
1
8
3
√
2 arctan
tan x
√
2
−
2 sin 2x
cos 2x + 3
+ C.
6.
(a)
1
16
πa
9
2
r
1
a
.
(b)
π
2
√
2
.
(d)2 −
π
2
.
(e)
1
2
(π − 2). (f) −
1
4
ln 3. (g)
1
2
(e
π
2
− 1 ) .
(h) sin 1. (i)
π
12
. (j)
11
2
+ l n 12 8.
(k)
π
4
. (l)
π
4
. (m) ln
2 +
√
5
1 +
√
2
.
(n) ln 4 −
1
2
. (p)
4
25
(1 + e
3π
4
). (q)
1
18
(5
√
3π − 9 ln 3).
7. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành.
8. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành.
9. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành.
10.
(a)S =
Z
3
0
|3x − x
2
|dx =
9
2
.
(b)S =
Z
1
0
|2
x
− 2 | dx = 2 −
1
ln 2
.
156
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n hm mët bi¸n
(c)S =
Z
π
0
|sin
2
x|dx =
9
2
.
(d)S =
Z
2
√
6
−2
√
6
4 −
1
6
y
2
dy = 32
r
2
3
.
(e)S =
Z
1
−1
1
1 + x
2
−
1
2
x
2
dx =
π
2
−
1
3
.
(f)S =
Z
1
0
e
x
− e
−x
dx = −2 + e +
1
e
.
(g)S =
Z
1
1
2
ln x
4x
− x ln x
dx.
(h)S =
Z
1
0
y
2
(y − 1)
dy =
1
12
.
11.
(a)V = π
Z
π
0
sin
2
xdx =
π
2
2
.
(b)V = π
Z
2
0
(2x − x
2
)
2
dx =
16π
15
.
(c)V = π
Z
π
4
0
sin
4
xdx =
π
32
(3π − 8).
(d)V = π
Z
2
0
(4 − y
2
)
2
dy =
256π
15
.
TI LIU CN ÅC
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 2 v bi tªp to¡n cao
c§p tªp 2,
NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 3
, NXB HQG H Nëi
- 2006.
3.
James Stewart
,
Gi£i t½ch,
NXB Hçng ùc - 2016.
Ti li»u tham kh£o
1.
Nguy¹n ¼nh Tr½
(chõ bi¶n),
To¡n håc cao c§p tªp 1,2 v bi tªp to¡n
cao c§p tªp 1,2,
NXB Gi¡o döc - 2006.
2.
Nguy¹n Thõy Thanh
,
Bi tªp To¡n cao c§p tªp 1,2,3
, NXB HQG H
Nëi - 2006.
3.
James Stewart
,
Gi£i t½ch,
NXB Hçng ùc - 2016.
157

Tài liệu khác của Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ

Preview text:

Líi nâi ¦u
Håc ph¦n To¡n cao c§p 1 l håc ph¦n cì sð nh¬m cung c§p cho sinh vi¶n ¤i
håc c¡c khèi ng nh k¾ thuªt v kinh t¸ nhúng ki¸n thùc to¡n c¦n thi¸t º hé trñ
cho c¡c ki¸n thùc chuy¶n ng nh. Gi¡o tr¼nh n y gçm c¡c ch÷ìng sau:
Ch÷ìng 1: Ma trªn - ành thùc; Ch÷ìng 2: H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh;
Ch÷ìng 3: H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc; Ch÷ìng 4: Ph²p t½nh vi ph¥n
h m mët bi¸n; Ch÷ìng 5: Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n.
Ba ch÷ìng cuèi bao gçm c¡c ki¸n thùc, trong â câ mët sè nëi dung sinh vi¶n
¢ ÷ñc håc ð bªc trung håc phê thæng. Do â, mët sè nëi dung trong ph¦n n y
chóng tæi y¶u c¦u sinh vi¶n tü nghi¶n cùu.
Trong gi¡o tr¼nh câ nhúng ành l½ y¶u c¦u sinh vi¶n ch§p nhªn m khæng
chùng minh, v¼ c¡ch chùng minh phùc t¤p, chõ y¸u l m th¸ n o º sinh vi¶n
hiºu v vªn döng v o vi»c gi£i b i tªp. Tuy nhi¶n, khi ¢ hiºu c¡c ki¸n thùc
÷ñc tr¼nh b y trong gi¡o tr¼nh mët c¡ch vúng ch­c th¼ sinh vi¶n câ thº tü trang
bà cho m¼nh c¡c ki¸n thùc chuy¶n s¥u v· vi t½ch ph¥n theo y¶u c¦u cõa cæng vi»c
khi ra tr÷íng ho°c câ nhu c¦u håc tªp l¶n cao trong t÷ìng lai.
Gi¡o tr¼nh l t i li»u håc tªp thi¸t thüc èi vîi sinh vi¶n çng thíi công l
t i li»u gi£ng d¤y èi vîi gi£ng vi¶n Bë mæn To¡n cõa tr÷íng ¤i håc Nam C¦n Thì.
Chóng tæi mong ân nhªn v ch¥n th nh bi¸t ìn nhúng âng gâp cõa ng÷íi
åc v· nhúng thi¸u sât cõa gi¡o tr¼nh n y c£ v· nëi dung l¨n h¼nh thùc.
Sau còng, chóng tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n th¦y cæ i ii Líi nâi ¦u
trong Bë Mæn To¡n tr÷íng ¤i håc Nam C¦n Thì ¢ ëng vi¶n v t¤o i·u
ki»n thuªn lñi º ho n th nh gi¡o tr¼nh n y. Nhâm bi¶n tªp gi¡o tr¼nh Möc löc Líi nâi ¦u i 1 Ma trªn - ành thùc 1
1.1 Ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ành thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Ma trªn nghàch £o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 37
2.1 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 BI TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc 63
3.1 Kh¡i ni»m tªp hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Sè thüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 H m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Giîi h¤n cõa d¢y sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Giîi h¤n cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6 Væ còng b² v væ còng lîn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7 H m sè li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 iii iv Möc löc
4 Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n 105
4.1 ¤o h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Qui t­c L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 Kh£o s¡t h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5 Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n 131
5.1 Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 T½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 T i li»u tham kh£o 157 Ch÷ìng 1 Ma trªn - ành thùc 1.1 Ma trªn
Sau khi håc xong ch÷ìng n y, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu c¡c kh¡i ni»m v· ma trªn, c¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn, c¡c ph²p bi¸n
êi sì c§p tr¶n dáng, ma trªn bªc thang v h¤ng cõa ma trªn.
- Thüc hi»n ÷ñc c¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn.
- Vªn döng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p º ÷a mët ma trªn v· d¤ng bªc thang.
- Hiºu c¡c kh¡i ni»m v· ành thùc, c¡c c¡ch t½nh ành thùc, ùng döng cõa
ành thùc v ma trªn nghàch £o. 1.1.1 Kh¡i ni»m v· ma trªn
Mët ma trªn c§p m × n l mët b£ng gçm m × n sè ÷ñc s­p th nh m dáng v n cët câ d¤ng nh÷ sau:   a11 a12 ... a1n    a   21 a22 ... a2n    .  ... ... ... ...      am1 am2 ... amn 1 2
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Trong â, aij ∈ R ÷ñc gåi l ph¦n tû n¬m ð dáng thù i cët thù j. Ma trªn
th÷íng ÷ñc kþ hi»u bði c¡c chú in hoa A, B, C, ... º ch¿ A l ma trªn c§p m×n
gçm c¡c ph¦n tû aij ta k½ hi»u A = (aij) . m×n   1 2 3 V½ dö 1.1.1 (i) A = l ma trªn c§p   2 × 3 v a11 = 1, a21 = 4. 4 5 6   1 0 3    2 −5 6  (ii) B =   l ma trªn c§p   4 × 3.  −2 3 −3      1 0 2   1 4 3
V½ dö 1.1.2 Cho ma trªn A = 
 . T½nh a11 + a21 − 2a13. 2 0 1 Gi£i.
Ta câ: a11 + a21 − 2a13 = 1 + 2 − 2.3 = −3.
Khi sè dáng b¬ng vîi sè cët, tùc l m = n, th¼ ma trªn ÷ñc gåi l ma trªn vuæng c§p n.   2 0 V½ dö 1.1.3 (i) X = l ma trªn vuæng c§p 2.   5 3   −1 1 3   (ii) Y =  3 0
−2  l ma trªn vuæng c§p 3.     2 −1 3
Trong ma trªn vuæng, c¡c ph¦n tû a11, a22, ..., ann ÷ñc gåi l c¡c ph¦n tû ch²o.
÷íng th¯ng xuy¶n qua c¡c ph¦n tû ch²o ÷ñc gåi l ÷íng ch²o ch½nh.   2 4
V½ dö 1.1.4 (i) Ma trªn vuæng câ c¡c ph¦n tû ch²o l   2, 1. −3 1 1.1. Ma trªn 3   1 2 3  
(ii) Ma trªn vuæng  −2 0 3  câ c¡c ph¦n tû ch²o l 1, 0, −3.     0 1 −3
* Hai ma trªn A v B gåi l b¬ng nhau n¸u chóng còng c§p v c¡c ph¦n tû t÷ìng ùng b¬ng nhau.     1 x + 1 1 4
V½ dö 1.1.5 Cho hai ma trªn A = v . T¼m   B =   x, y º 2 3y 2 6 A = B. Gi£i.    x + 1 = 4  x = 3 Ta câ: A = B khi v ch¿ khi hay .  3y = 6  y = 2
1.1.2 Mët sè ma trªn °c bi»t
(a) Ma trªn khæng c§p m × n l ma trªn m t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa nâ ·u l 0 v ÷ñc k½ hi»u l Om×n.   0 0 0 V½ dö 1.1.6 Ma trªn l ma trªn khæng c§p   2 × 3. 0 0 0
(b) Ma trªn vuæng A c§p n câ t§t c£ c¡c ph¦n tû b¶n ngo i ÷íng ch²o ·u
b¬ng 0 ÷ñc gåi l ma trªn ch²o.   a11 0 ... 0    0 a  22 ... 0 A =      ... ... ... ...      0 0 ... ann   1 0 0  
V½ dö 1.1.7 A =  0 2 0  l ma trªn ch²o c§p 3.     0 0 3 4
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(c) Ma trªn ch²o c§p n câ t§t c£ c¡c ph¦n tû ch²o ·u b¬ng 1 ÷ñc gåi l ma
trªn ìn và c§p n. K½ hi»u l In.   1 0 ... 0    0 1 ... 0  I   n =   .  ... ... ... ...      0 0 ... 1   1 0 V½ dö 1.1.8 (i) I2 = l ma trªn ìn và c§p 2.   0 1   1 0 0  
(ii) I3 =  0 1 0  l ma trªn ìn và c§p 3.     0 0 1   1 0 0 0    0 1 0 0  (iii) I   4 = l ma trªn ìn và c§p 4.    0 0 1 0      0 0 0 1
(d) Ma trªn vuæng A c§p n ÷ñc gåi l ma trªn tam gi¡c tr¶n (d÷îi) n¸u måi
ph¦n tû n¬m d÷îi (tr¶n) ÷íng ch²o ch½nh ·u b¬ng 0.     a11 a12 ... a1n a11 0 ... 0      0 a   a   22 ... a2n ,  21 a22 ... 0 .      ... ... ... ...   ... ... ... 0          0 0 ... ann an1 an2 ... ann   1 2 −3  
V½ dö 1.1.9 (i) A =  0 1 −4  l ma trªn tam gi¡c tr¶n.     0 0 5 1.1. Ma trªn 5   1 0 0  
(ii) B =  −2 1 0  l ma trªn tam gi¡c d÷îi.     7 −3 1
Ma trªn tam gi¡c tr¶n v ma trªn tam gi¡c d÷îi ÷ñc gåi chung l ma trªn tam gi¡c.
1.1.3 C¡c ph²p to¡n tr¶n ma trªn (a) Ph²p cëng hai ma trªn
Têng cõa hai ma trªn còng c§p A = (aij) v B = (b l mët ma trªn m×n ij )m×n C = (cij) , vîi c m×n
ij = aij + bij . K½ hi»u l C = A + B.     0 1 3 2 −1 1
V½ dö 1.1.10 Cho hai ma trªn A = v .   B =   4 2 3 0 1 2 H¢y t½nh A + B. Gi£i.       0 1 3 2 −1 1 0 + 2 1 − 1 3 + 1 Ta câ: A + B =   +   =   4 2 3 0 1 2 4 + 0 2 + 1 3 + 2   2 0 4 =   . 4 3 5   2 0 4 Vªy: A + B =   . 4 3 5 * T½nh ch§t cõa ph²p cëng
(i) A + B = B + A (t½nh giao ho¡n cõa ph²p cëng).
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C (t½nh k¸t hñp cõa ph²p cëng).
(iii) A + O = O + A = A, (O l ma trªn khæng). 6
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(b) Ph²p nh¥n mët sè vîi ma trªn
T½ch cõa sè k vîi A = (aij) l mët ma trªn C = (c vîi c m×n ij )m×n ij = k.aij , ∀i, j.   1 2
V½ dö 1.1.11 Cho ma trªn A = . T½nh   2A v −3A. −1 0 Gi£i.       1 2 2.1 2.2 2 4 Ta câ: 2A = 2   =   =   . −1 0 2.(−1) 2.0 −2 0     1 2 −3 −6 T÷ìng tü: −3A = −3 .   =   −1 0 3 0     1 2 1 0
V½ dö 1.1.12 Cho ma trªn A = . T¼m ma trªn   , B =   X, 2 1 3 4 sao cho 2A + X = B. Gi£i.         a b 1 2 a b 1 0 Gåi: X =   . Khi â, ta câ 2   +   =   c d 2 1 c d 3 4     2 + a = 1 a =   −1               2 + a 4 + b 1 0   4 + b = 0 b = −4 ⇔   =   ⇔ ⇔ . 4 + c 2 + d 3 4   4 + c = 3 c = 1             2 + d = 4 d = 2     −1 −4 Vªy X =   . 1 2
* T½nh ch§t cõa ph²p nh¥n mët sè vîi ma trªn
(i) a(A + B) = aA + aB, ∀a ∈ R.
(ii) (a + b)A = aA + bA, ∀a, b ∈ R.
(iii) (ab)A = a(bA), ∀a, b ∈ R. 1.1. Ma trªn 7 (iv) 1A = A.
(v) a(AB) = (aA)B = A(aB), ∀a ∈ R.
(vi) 0.A = O, O l ma trªn khæng. (c) Ph²p nh¥n hai ma trªn
Cho ma trªn A c§p m×n v ma trªn B c§p n×p. Ta nâi t½ch cõa hai ma trªn n X
A v B câ c§p m×p, k½ hi»u AB, l mët ma trªn C = (cik)m×p , vîi cik = aijbjk. j=1
Ta th§y r¬ng t½ch AB tçn t¤i th¼ sè cët cõa A b¬ng sè dáng B. Ph¦n tû cik
÷ñc th nh lªp b¬ng têng c¡c t½ch t÷ìng ùng cõa c¡c ph¦n tû dáng thù i cõa A
v cët thù k cõa B. Khi â, sè dáng cõa ma trªn AB b¬ng sè dáng cõa A v sè
cët cõa AB b¬ng sè cët cõa B.     1 1 1 2 1
V½ dö 1.1.13 Cho hai ma trªn A = v   B =   . H¢y t½nh 2 1 0 1 4 AB. Gi£i. Ta câ:         1 1 1 2 1 1.1 + 1.0 1.2 + 1.1 1.1 + 1.4 1 3 5 AB =     =   =   . 2 1 0 1 4 2.1 + 1.0 2.2 + 1.1 2.1 + 1.4 2 5 6   1 3 5 Vªy : AB =   . 2 5 6   1 4     1 6 1
V½ dö 1.1.14 Cho hai ma trªn A =  3 2  v B =   . T½nh AB     1 0 4 1 0 v BA. Gi£i. 8
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     1 4   5 6 17   1 6 1   Ta câ: AB =  3 2  .  .   = 5 18 11       1 0 4   1 0 1 6 1     1 4   1 6 1   20 16 T÷ìng tü: BA =     . 3 2 =   .   1 0 4   5 4 1 0   5 6 17     20 16
Vªy: AB =  5 18 11  , BA =   .     5 4 1 6 1     1 0 0 1 1 0  
V½ dö 1.1.15 Cho hai ma trªn A = v  .   B = 1 1 0   0 1 0   0 0 1 T½nh AB v BA. Gi£i.     1 0 0   1 1 0   2 1 0 Ta câ: AB =   .   1 1 0 =     0 1 0   1 1 0 0 0 1
Tuy nhi¶n, t½ch BA khæng thüc hi»n ÷ñc v¼ sè cët cõa ma trªn B khæng b¬ng   2 1 0
sè dáng cõa ma trªn A. Vªy AB =   , BA khæng tçn t¤i. 1 1 0
Tø c¡c v½ dö tr¶n ta th§y r¬ng:
(i) Câ thº tçn t¤i AB nh÷ng khæng tçn t¤i BA v ng÷ñc l¤i.
(ii) V· m°t têng qu¡t th¼ AB ̸= BA.
* T½nh ch§t cõa ph²p nh¥n hai ma trªn
(i) A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC (t½nh ph¥n phèi cõa ph²p nh¥n èi vîi ph²p cëng). 1.1. Ma trªn 9
(ii) (AB)C = A(BC) (t½nh k¸t hñp cõa ph²p nh¥n). (iii) AIn = InA = A. (iv) AO = OA = O. (d) Ph²p chuyºn và Chuyºn và cõa A = (aij) l ma trªn AT = (a . m×n ji)n×m     1 2 3 1 4 7    
V½ dö 1.1.16 Cho A =  4 5 6  . Khi â, AT =  2 5 8  .         7 8 9 3 6 9
* T½nh ch§t cõa ph²p chuyºn và (i) (A + B)T = AT + BT . (ii) (AT )T = A. (iii) (kA)T = k(A)T . (iv) (AB)T = BT AT .
Chóng ta xem x²t th¶m mët sè v½ dö li¶n quan ¸n c¡c ph²p to¡n cõa ma trªn ÷ñc giîi thi»u ð tr¶n
V½ dö 1.1.17 T¼m ma trªn X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh sau:     2 5 4 −6   X =   . 1 3 2 1 Gi£i.         a b 2 5 a b 4 −6 Gåi: X =   . Khi â,     =   c d 1 3 c d 2 1 10
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     2a + 5c = 4 a = 2                 2a + 5c 2b + 5d 4 −6   a + 3c = 2 b = −23 ⇔   =   ⇔ ⇔ . a + 3c b + 3d 2 1   2b + 5d = −6 c = 0             b + 3d = 1 d = 8     2 −23 Vªy X =   . 0 8
V½ dö 1.1.18 T¼m ma trªn X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh sau:   1 2 3 X   = 7 4 5 . 3 1 1 Gi£i.   1 2 3 Gåi: X = a b . Khi â, a b   = 7 4 5 3 1 1   a + 3b = 7       a = 1 ⇔ a + 3b 2a + b 3a + b = 7 4 5 ⇔ 2a + b = 4 ⇔ .    b = 2    3a + b = 5 Vªy X = 1 2 .
1.1.4 C¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n dáng Cho ma trªn A = (aij) ,(m m×n
≥ 2), dáng thù i cõa A ÷ñc k½ hi»u l di. Khi
â, c¡c ph²p bi¸n êi sau ¥y ÷ñc gåi l c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p dáng tr¶n A.
(i) Ph²p êi dáng: êi ché hai dáng di v dj cho nhau, cán nhúng dáng kh¡c
giú nguy¶n. K½ hi»u: di ↔ dj.     1 2 1 0 1 4     V½ dö 1.1.19 A = d  1 5 2  1↔d3   − −−− → 1 5 2 .         0 1 4 1 2 1 1.1. Ma trªn 11
(ii) Ph²p t¿ l» hâa: Nh¥n v o mët dáng di vîi mët sè thüc k ̸= 0, cán nhúng
dáng kh¡c giú nguy¶n. K½ hi»u: kdi.       1 2 3 2 4 6 2 4 6       V½ dö 1.1.20 A = 2d  2 0 1  1   −3d3   − −−− → 2 0 1 − −−− → 2 0 1 .             3 2 1 3 2 1 −9 −6 −3
(iii) Ph²p thay th¸ dáng: Thay di bði di cëng vîi k l¦n dj, cán nhúng dáng kh¡c
giú nguy¶n. K½ hi»u: di + kdj.       1 1 2 1 1 2 1 1 2       V½ dö 1.1.21 A = d d  2 3 5  2−2d1   3−d1   − −−− → 0 1 1 − −−− → 0 1 1 .             1 1 4 1 1 4 0 0 2
* Chó þ r¬ng trong t½nh to¡n ta th÷íng k¸t hñp ph²p bi¸n êi (ii) v (iii)
l¤i vîi nhau. Khi â ta ÷ñc ph²p bi¸n êi (iv) nh÷ sau:
(iv) Thay di bði kdi cëng vîi ldj, cán nhúng dáng kh¡c giú nguy¶n. K½ hi»u: kdi + ldj.     2 1 2 2 1 2     V½ dö 1.1.22 A = 2d  3 1 4  2−3d1   − −−− → 0 −1 2 .         1 0 3 1 0 3
1.1.5 Ma trªn bªc thang dáng
N¸u mët dáng cõa ma trªn câ ½t nh§t mët ph¦n tû kh¡c khæng th¼ ta gåi â
l dáng kh¡c khæng. Ng÷ñc l¤i, n¸u t§t c£ c¡c ph¦n tû n¬m tr¶n mët dáng ·u
b¬ng 0 th¼ ta gåi â l dáng khæng. Ph¦n tû kh¡c khæng ¦u ti¶n t½nh tø tr¡i
sang ph£i cõa mët dáng ÷ñc gåi l ph¦n tû cì sð cõa ma trªn.
Ma trªn A ÷ñc gåi l ma trªn bªc thang dáng n¸u A thäa m¢n hai i·u ki»n sau:
(i) Dáng khæng (n¸u câ) n¬m ph½a d÷îi b§t k¼ dáng kh¡c khæng n o cõa ma trªn. 12
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
(ii) N¸u A câ ½t nh§t hai dáng kh¡c khæng th¼ èi vîi hai dáng kh¡c khæng tòy
þ, ph¦n tû cì sð cõa dáng ph½a d÷îi luæn ð b¶n ph£i ph¦n tû cì sð cõa dáng tr¶n.
V½ dö 1.1.23 C¡c ma trªn sau l ma trªn bªc thang dáng.   1 2 (i) A = .   0 1   1 4 6 3   (ii) B =  0 6 −2 0  .     0 0 0 −1   2 4 6 3 9    0 0 2 0 1  (iii) C =  .    0 0 0 3 1      0 0 0 0 0
Dòng ph²p bi¸n êi sì c§p ÷a mët ma trªn v· d¤ng bªc thang dáng
Måi ma trªn ·u câ thº ÷a v· d¤ng bªc thang dáng b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi
sì c§p tr¶n dáng. Ta x²t v½ dö sau.
V½ dö 1.1.24 ÷a c¡c ma trªn sau v· d¤ng bªc thang dáng.   1 2 (i) A = .   2 −2   1 1 1   (ii) B =  2 3 5 .     −1 0 3 1.1. Ma trªn 13   1 −2 0 1 −3    3 −1 −2 0 1  (iii) C =  .    2 1 −2 −1 4      1 3 −2 −4 7 Gi£i.     1 2 1 2 (i) Ta câ: A = d2−2d1 .   − −−− →   2 −2 0 −6       1 1 1 1 1 1 1 1 1   d     (ii) Ta câ: 2−2d1 B = − −−−− → d  2 3 5  3−d2 d    . 3 + d1 0 1 3 − −−− → 0 1 3             −1 0 3 0 1 4 0 0 1     1 −2 0 −1 −3 1 −2 0 −1 −3   d2−3d1    3 −1 −2 0
1  −−−−−−−−→  0 5 −2 −3 10  (iii) Ta câ: C =   d3 − 2d1        d 2 1 −2 −1 4  4 − d1  0 5 −2 −3 10          1 3 −2 −4 7 0 5 −2 −3 10   1 −2 0 −1 −3   d   3−d2 0 5 −2 −3 10 − −−−− →   d . 4 − d2    0 0 0 0 0      0 0 0 0 0 1.1.6 H¤ng cõa ma trªn
H¤ng cõa ma trªn A l sè dáng kh¡c khæng trong d¤ng bªc thang dáng cõa A. K½ hi»u: r(A).
V½ dö 1.1.25 T¼m h¤ng cõa c¡c ma trªn sau:   1 0 1   (i) A =  2 1 3  .     −1 2 4 14
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc   2 −1 3 −2 4  
(ii) B =  4 −2 5 1 7  .     2 −1 1 8 2 Gi£i.       1 0 1 1 0 1 1 0 1   d     (i) Ta câ: 2−2d1 A = − −−−− → d  2 1 3  3−2d2 d    . 3 + d1 0 1 1 − −−− → 0 1 1             −1 2 4 0 2 5 0 0 3 Vªy r(A) = 3.     2 −1 3 −2 4 2 −1 3 −2 4   d   (ii) Ta câ: 2−2d1 B = − −−−− →  4 −2 5 1 7  d   3 − d1 0 0 −1 5 −1         2 −1 1 8 2 0 0 −2 10 −2   2 −1 3 −2 4   d3−2d2   − −−− → 0 0 −1 5 −1 .     0 0 0 0 0 Vªy r(B) = 2.
Nhªn x²t. H¤ng cõa ma trªn khæng thay êi khi ta thüc hi»n c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n dáng. 1.2 ành thùc 1.2.1 Kh¡i ni»m ành thùc
Cho ma trªn vuæng A c§p n. ành thùc cõa ma trªn A, kþ hi»u l detA ho°c
|A| l mët sè thüc câ ÷ñc b¬ng qui n¤p theo n nh÷ sau:
(a) Vîi n = 1, A = (a11) th¼ |A| = a11.
V½ dö 1.2.1 ành thùc cõa ma trªn A = (−5) l -5. 1.2. ành thùc 15   a a (b) Vîi 11 a12 11 a12 n = 2, A = th¼   |A| = = a11a22 − a21a12. a 21 a22 a 21 a22
V½ dö 1.2.2 T½nh ành thùc cõa c¡c ma trªn sau:   1 2 (i) A = .   3 4   sin x − cos x (ii) B = .   cos x sin x Gi£i. 1 2 (i) Ta câ: |A| = = 1.4 − 3.2 = −2. 3 4 sin x − cos x (ii) Ta câ: |B| = = sin2 x + cos2 x = 1. cos x sin x   a11 a12 a13   (c) Vîi n = 3, A =  a  th¼  21 a22 a23    a31 a32 a33 a 22 a23 a21 a23 a21 a22 |A| = a 11 . − a12 + a13 a a a 32 a33 31 a33 31 a32
V½ dö 1.2.3 T½nh ành thùc cõa ma trªn sau:   1 2 1   A =  3 2 4  .     2 −1 1 Gi£i. Ta câ: 1 2 1 2 4 3 4 3 2 |A| = 3 2 4 = 1. − 2. + 1. = 6 + 10 − 7 = 9. −1 1 2 1 2 −1 2 −1 1 16
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Nhªn x²t: Ta câ thº t½nh ành thùc c§p 3 b¬ng qui t­c Sarrus nh÷ sau: a 11 a12 a13 a
= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 21 a22 a23 a 31 a32 a33
−a13a22a31 − a23a32a11 − a21a12a33. 2 2 1 V½ dö 1.2.4
1 2 5 = 2.2.3 + 2.5.2 + 1.1.1 − 2.2.1 − 1.2.3 − 2.5.1 = 13. 2 1 3
(d) Vîi A l ma trªn vuæng c§p n th¼ n X
|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n = a1jA1j. j=1
Trong â, A1j = (−1)1+j|M1j| vîi M1j l ma trªn câ ÷ñc b¬ng c¡ch bä i
dáng 1 v cët j tø ma trªn A.
V½ dö 1.2.5 T½nh ành thùc cõa ma trªn sau:   1 3 0 2    4 1 2 −1  A =     .  3 1 0 2      2 3 3 5 Gi£i. Ta câ: 1 3 0 2 1 2 −1 4 2 −1 4 1 2 −1 |A| = = (−1)1+1.1. 1 0 2 + (−1)1+2.3. 3 0 2 3 1 0 2 3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 4 1 −1 4 1 2 +(−1)1+3.0. 3 1
2 + (−1)1+4.2. 3 1 0 = 1.(−7) − 3.(−55) − 2.17 = 124. 2 3 5 2 3 3 1.2. ành thùc 17
1.2.2 T½nh ch§t cì b£n cõa ành thùc (a) T½nh ch§t 1.
ành thùc khæng thay êi khi êi dáng th nh cët v ng÷ñc l¤i. Do â, t½nh
ch§t n o cõa ành thùc óng vîi dáng th¼ công óng cho cët. 1 2 0 1 3 6
V½ dö 1.2.6 3 4 5 = 2 4 −1 . 6 −1 0 0 5 0 (b) T½nh ch§t 2.
N¸u ành thùc câ chùa dáng khæng th¼ ành thùc b¬ng 0. 3 4 −6 7 3 4 5 4 V½ dö 1.2.7 = 0. 0 0 0 0 2 −4 6 1 (c) T½nh ch§t 3.
N¸u ành thùc câ chùa 2 dáng t¿ l» th¼ ành thùc b¬ng 0. 1 2 3 4 3 6 9 12 V½ dö 1.2.8 = 0. 1 4 5 0 2 1 4 6 (d) T½nh ch§t 4.
Thøa sè chung cõa mët dáng câ thº ÷a ra ngo i d§u ành thùc. 2 4 6 1 2 3
V½ dö 1.2.9 −1 0 2 = 2. −1 0 2 . 3 −5 4 3 5 4 18
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc (e) T½nh ch§t 5.
N¸u ta êi ché 2 dáng cõa ành thùc th¼ ành thùc â êi d§u. 1 3 −6 1 4 −2
V½ dö 1.2.10 1 4 −2 = − 1 3 −6 . 2 5 1 2 5 1 (f) T½nh ch§t 6.
ành thùc khæng thay êi n¸u ta cëng v o mët dáng vîi k l¦n mët dáng kh¡c. 1 2 3 1 2 3
V½ dö 1.2.11 0 1 2 = 0 1 2 = 0. 1 3 5 0 1 2 (g) T½nh ch§t 7.
ành thùc cõa ma trªn câ d¤ng tam gi¡c b¬ng t½ch t§t c£ c¡c sè tr¶n ÷íng ch²o. 1 3 4
V½ dö 1.2.12 (i) 0 2 −1 = 1.2.4 = 8. 0 0 4 −1 0 0 (ii) 2 3 0 = −1.3.5 = −15. −3 4 5   1 0 1  
V½ dö 1.2.13 T½nh ành thùc cõa ma trªn sau: A =  2 1 3  .     −1 2 4 Gi£i.       1 0 1 1 0 1 1 0 1   d     Ta câ: 2−2d1 A = − −−−− → d  2 1 3  3−2d2 d     3 + d1 0 1 1 − −−− → 0 1 1 .             −1 2 4 0 2 5 0 0 3 Vªy |A| = 1.1.3 = 3. 1.2. ành thùc 19
1.2.3 Cæng thùc khai triºn ành thùc
ành thùc cõa ma trªn vuæng A câ thº khai triºn theo dáng thù i ho°c cët thù j b§t k¼, tùc l : n
(i) Khai triºn theo dáng thù X
i: |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin = aijAij. j=1 n
(ii) Khai triºn theo cët thù X
j: |A| = a1jA11 + a2jA2j + ... + anjAnj = aijAij i=1
Trong â Aij = (−1)i+j|Mij| v Mij l ma trªn câ ÷ñc b¬ng c¡ch bä i dáng i v cët j cõa ma trªn A.
Nh÷ vªy, khi t½nh ành thùc ta n¶n khai triºn theo dáng ho°c cët câ nhi·u
sè 0 nh§t º vi»c t½nh to¡n ÷ñc ìn gi£n hìn.   1 2 3  
V½ dö 1.2.14 T½nh |A| vîi A =  0 2 0 .     4 1 2 Gi£i. 1 3
Khai triºn ành thùc theo dáng 2 ta câ |A| = 2. = 2(2 − 12) = −20. 4 2   0 1 0 2    2 3 2 3 
V½ dö 1.2.15 T½nh |B| vîi B =  .    4 1 2 4      0 1 0 0 Gi£i.
Khai triºn ành thùc theo dáng 4 ta câ: 0 0 2 |B| = 1. 2 2 3 . 4 2 4 20
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc
Ti¸p töc khai triºn ành thùc mîi n y theo dáng 1, ta ÷ñc: 2 2 |B| = 1.2. = 1.2.(2.2 − 4.2) = −8. 4 2 1.3 Ma trªn nghàch £o 1.3.1 ành ngh¾a
Ma trªn vuæng A c§p n ÷ñc gåi l kh£ nghàch n¸u tçn t¤i ma trªn vuæng B c§p n sao cho: AB = BA = In,
vîi In l ma trªn ìn và c§p n. Khi â, ma trªn B ÷ñc gåi l ma trªn nghàch
£o cõa A v kþ hi»u l B = A−1.     2 5 3 −5 V½ dö 1.3.1 Ma trªn A = câ ma trªn nghàch £o l   B =   . 1 3 −1 2 Thªt vªy, ta câ:     1 0 1 0 AB =   = I2 v BA =   = I2. 0 1 0 1
1.3.2 T½nh ch§t cõa ma trªn nghàch £o
(a) Ma trªn nghàch £o cõa ma trªn A n¸u câ l duy nh§t.
(b) N¸u A kh£ nghàch th¼ αA (α ̸= 0) công kh£ nghàch v (αA)−1 = 1 A−1. α
(c) N¸u A, B kh£ nghàch th¼ AB công kh£ nghàch v (AB)−1 = B−1A−1.
(d) N¸u A kh£ nghàch th¼ AT công kh£ nghàch v (AT )−1 = (A−1)T . 1.3. Ma trªn nghàch £o 21
1.3.3 T¼m ma trªn nghàch £o b¬ng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p
Cho ma trªn vuæng A c§p n. º t¼m ma trªn nghàch £o cõa A b¬ng c¡c
ph²p bi¸n êi sì c§p, ta thüc hi»n c¡c b÷îc sau ¥y:
B÷îc 1: Lªp ma trªn (A|In).
B÷îc 2: Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p dáng ÷a (A|In) v· d¤ng (A′|B). Khi â:
(i) N¸u A′ = In th¼ A kh£ nghàch v A−1 = B.
(ii) N¸u A′ ̸= In th¼ A khæng kh£ nghàch.   1 1 1  
V½ dö 1.3.2 Cho A =  0 1 1 . T¼m A−1 (n¸u câ).     1 0 1 Gi£i.     1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 −1 0     Ta câ: (A|I d1−d2 3) =  0 1 1 0 1 0    − −−− → 0 1 1 0 1 0         1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1     1 0 0 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0     d3−d1 d   2−d3   − −−− → 0 1 1 0 1 0 − −−− → 0 1 0 1 0 −1 .         0 0 1 −1 1 1 0 0 1 −1 1 1   1 −1 0   Vªy A−1 =  1 0 −1 .     −1 1 1   1 2 3  
V½ dö 1.3.3 X²t xem A =  1 1 1  câ ph£i l ma trªn kh£ nghàch khæng?     2 4 6 Gi£i. Ta câ: 22
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0     (A|I d3−2d1 3) =  1 1 1 0 1 0    − −−− → 1 1 1 0 1 0 .         2 4 6 0 0 1 0 0 0 −2 0 1 Suy ra A khæng kh£ nghàch.
1.3.4 T¼m ma trªn nghàch £o b¬ng ành thùc
Cho A l ma trªn vuæng c§p n v °t C = (cij) vîi cij = (−1)i+j|Mij|. Khi â, ta câ k¸t qu£ sau:
Ma trªn vuæng A kh£ nghàch khi v ch¿ khi |A| ̸= 0. Hìn núa, ma trªn nghàch
£o cõa A ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc: 1 A−1 = CT . |A|
V½ dö 1.3.4 T¼m m º ma trªn sau kh£ nghàch   1 2 m   A =  0 −1 2  .     3 m 1 Gi£i.
Ta câ |A| = m+11. Ma trªn A kh£ nghàch khi v ch¿ khi m+11 ̸= 0 hay m ̸= −11.
V½ dö 1.3.5 T¼m ma trªn nghàch £o cõa ma trªn   1 2 3   A =  2 5 3  .     1 0 8
Gi£i. Ta câ: detA = −1 ̸= 0 n¶n A kh£ nghàch. c11 = 40 c12 = −13 c13 = −5 c21 = −16 c22 = 5 1.3. Ma trªn nghàch £o 23 c23 = 2 c31 = −9 c32 = 3 c33 = 1.     40 −13 −5 40 −16 −9     Do â C =  −16 5 2  ⇒ CT =  −13 5 3  .         −9 3 1 −5 2 1   −40 16 9   Vªy 1 A−1 = CT =  13 . −1 −5 −3     5 −2 −1 BI TP     1 1 2 3 1 2 1. Cho c¡c ma trªn A = v .   B =   2 2 3 1 1 1 T½nh A + 2B.     2 1 −1 2 1 0 2. Cho c¡c ma trªn A = v .   B =   0 −2 −4 −3 2 1 (a) T½nh 3A + 2B. (b) T½nh 2A − B. (c) T½nh AT A v AAT .     2 −1 4 −1 3. Cho c¡c ma trªn A = , v   B =   3 4 2 −1   2 3 C = . T½nh   2A + 3B − 4C. −1 0
4. T¼m x, y, z, w bi¸t r¬ng:       x y x 6 4 x + y 3   =   +   . z w −1 2w z + w 3 5. T½nh c¡c t½ch sau ¥y: 24
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc       1   3 1 3 2 1   2 1 1   (a)  . (c)  .   2   2 1     0 1 2   3 0 1   3 1 0         6 1 −3 2 2 5 6 5 0 2 3           −2 (b)  
 3 −4 1   1 2 5 . (d)  4 1 5 3  .                 7   2 −5 3 1 3 2 3 1 −1 2   4
6. Thüc hi»n ph²p nh¥n AB v BA, trong â:   2 3     1 0 1 (a) A =  2 1  ; B = .       3 2 3 1 2     −1 1 3 2 1 2 −1   (b) A =  .   ; B = 2 1 −3 −1   3 0 1   1 0 2 −2     4 −1 3 1 3 2     (c) A =  2 3 1  ; B =  4 2 −1  .         1 0 −3 1 0 −3     2 −1 1 1 2   7. Cho c¡c ma trªn A = ,   v   B = 1 −1   2 0 1   2 0   0 1 C = . T½nh   ABC. 1 1   1 1 8. Cho ma trªn A = . T½nh  
An = A.A...A (n l¦n ma trªn A), n ∈ N. 0 1 1.3. Ma trªn nghàch £o 25     1 2 −1 1 3   9. Cho c¡c ma trªn A = v     B = −2 0 1 . T¼m ma trªn   2 −1   0 1 3 X sao cho: (a) 2A + X = 3I2. (b) 2X + 3B = I3.
10. T¼m ma trªn X thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh:     −1 2 2 3 (a) .   .X =   −3 1 4 1     1 3 5 2 (b) X. .   =   2 5 0 1
11. ÷a c¡c ma trªn sau v· d¤ng bªc thang dáng:     1 2 3 1 1   (a) A = . (b)     B = 1 2 2 .   2 3   1 3 2     1 4 7 10 1 1 −5 6 2     (c) C =  2 5 8 11  . (d) D =  1 2 −4 7 3  .         3 6 9 12 2 2 8 14 9
12. X¡c ành h¤ng cõa c¡c ma trªn sau: 26
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     1 1 7 1 1 −3     (a) A =  1 2 3  . (b) B =  −1 0 2  .         1 3 5 −3 5 0     1 0 5 −1 1 2 −1 3       1 1 −2 3 (c) C =    3 7 0 1  . (d) D =   .       3 −1 8 1   2 2 1 −2   1 3 −9 7     0 2 −4 2 1 3 4       −1 −4 5    2 1 6 6    (e) E =       . (f) F = 3 1 7 .    4 2 3 6          0 5 −10   6 3 9 13   2 3 0
13. T¼m m º h¤ng cõa ma trªn sau ¥y b¬ng 2.   1 2 3    1 3 5  A =     .  2 4 m + 4      1 4 7
14. Bi»n luªn theo m h¤ng cõa c¡c ma trªn sau:   1 1 −3   (a) A =  2 1 m .     1 m 3   m 5m −m    2m m 10m  (b) B =  .    m 2m 3m      −m 4m −11m 1.3. Ma trªn nghàch £o 27
15. T¼m m º ma trªn sau câ h¤ng nhä nh§t.   1 2 3 4    2 3 4 5  P =     .  3 4 5 6      4 5 6 m
16. T½nh c¡c ành thùc c§p 2 sau ¥y: 3 3 a + 1 a (a) . (b) . −2 4 a a − 1 17. T¼m x sao cho: x 4x = 0. 1 2x
18. T½nh c¡c ành thùc c§p 3 sau ¥y: 2 1 1 7 6 5 (a) 0 5 −2 . (b) 1 2 1 . 1 −3 4 3 −2 1 1 2 3 1 1 1 (c) 4 2 −3 . (d) 4 2 3 . 0 2 −4 0 1 4
19. T½nh c¡c ành thùc c§p 4 sau ¥y: 3 1 1 1 1 2 3 4 1 3 1 1 2 3 4 1 (a) . (b) . 1 1 3 1 3 4 1 2 1 1 1 3 4 1 2 3 28
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc 20. T¼m m º ∆ = 0 vîi 2 2m + 2 4 ∆ = m + 1 2m + 1 2 . 1 2 2m 21. T¼m m º ∆ > 0 vîi 2m + 2 1 4 ∆ = m + 3 1 m . 3 1 m 22. T½nh c¡c ành thùc sau. 6 0 0 5 0 6 0 1 1 7 2 −5 0 7 2 −5 (a) . (b) . 2 0 0 0 0 4 1 0 8 3 1 8 2 3 1 6
23. H¢y t½nh ành thùc sau ¥y b¬ng c¡ch khai triºn theo dáng thù ba. 1 0 −1 1 0 −1 −1 1 . a b c d −1 −1 1 0
24. T½nh ành thùc sau b¬ng c¡ch khai triºn theo cët thù t÷. 2 1 1 x 1 2 1 y . 1 1 2 z 1 1 1 t 25. T½nh c¡c ành thùc sau. 1.3. Ma trªn nghàch £o 29 1 a b + c a b c (a) D1 = 1 b c + a . (b) D2 = a + x b + x c + x . 1 c a + b a + y b + y c + y 26. Gi£i ph÷ìng tr¼nh: x x 1 x 1 x x2 x3 x 1 1 1 1 2 4 8 (a) = 0. (b) = 0. x x 2 1 1 3 9 27 x x 1 3 1 4 16 64 27. Cho ma trªn   1 2 3   A =  2 1 3  .     2 −2 m
T¼m m º ma trªn A kh£ nghàch. 28. T¼m m º ma trªn   1 m + 1 2  
P =  m 2m − 1 2 − 2m      1 2 2m kh£ nghàch. 29. T¼m m º ma trªn   1 1 0   A =  1 m 1      0 2 1
kh£ nghàch. Khi â t¼m A−1.
30. Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p t¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn sau (n¸u câ). 30
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     1 0 2 1 2 2     (a) A =  2 1 3  . (b) B =  −1 −1 5 .         4 1 8 2 7 −3     1 3 −4 2 5 7     (c) C =  1 5 −1 . (d) D =  6 3 4 .         3 1 −6 5 −2 −3
31. Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p t¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn sau (n¸u câ).     0 0 1 −1 1 1 1 1      0 3 1 4   1 1 −1 −1  (a) A =       . (b) B =   .  2 7 6 −1   1 −1 1 −1          1 2 2 −1 1 −1 −1 1     1 0 0 0 1 1 1 1      1 1 0 0   1 0 1 1  (c) C =       . (d) D =   .  1 1 1 0   1 0 0 1          1 1 1 1 1 0 0 0
32. T¼m ma trªn nghàch £o cõa c¡c ma trªn sau (n¸u câ) b¬ng ành thùc. 1.3. Ma trªn nghàch £o 31     2 −1 −1 2 (a) A =   . (b) B =   . 3 3 3 −6     1 4 2 2 1 −1     (c) C =  −1 0 1  . (d) D =  0 1 3  .         2 2 3 2 1 1     0 5 −1 3 1 −3     (e) E =  0 8 3  . (f) F =  2 1 −1  .         3 1 −4 3 1 0 P SÈ   7 3 5 1. A + 2B =   . 4 5 5 2.   10 5 −3 (a) 3A + 2B =   . −6 −2 −10   2 1 −2 (b) 2A − B =   . 3 −6 −9   4 2 −2     6 2
(c) AT A =  2 5 7  ; AAT =   .     2 20 −2 7 17   8 −17 3. 2A + 3B − 4C =   . 16 5 4. x = 2, y = 4, z = 1, w = 3. 5.     10 9 3 (a)   . (c)   . 8 10 3 32
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc     0 5 −5 56     (b)  3 10 0  . (d)  69  .         2 9 −7 17 6.   11 6 11     3 5
(a) AB =  5 2 5  , BA =   .     13 17 7 4 7   2 3 −5 2 (b) AB =   , B A khæng tçn t¤i. −2 3 11 4     3 10 0 12 8 0    
(c) AB =  15 12 −2  , BA =  19 2 17  .         −2 3 11 1 −1 12   −2 5 7. ABC =   . −2 4   1 n 8. An =   . 0 1 9.     −1 3 3 2 1 −6   (a) X =     . (b) X = 3 1 .  2 −32  −4 5   0 −32 −4 10.     −6 1 −21 13 (a) X = 5 5   . (b) X =   . 2 8 2 5 5 −1 11.     1 4 7 10 1 1   (a)     . (c) 0 −3 −6 −9 .   0 1   0 0 0 0 1.3. Ma trªn nghàch £o 33     1 1 −5 6 2 1 2 0       0 1 1 1 1 (b)    0 1 −1  . (d)   .       0 0 18 2 5   0 0 −1   0 0 0 0 0
12. (a) r(A) = 3. (b) r(B) = 2. (c) r(C) = 3.
(d) r(D) = 3. (e) r(E) = 3. (f) r(F) = 2. 13. m = 2. 14.
(a) N¸u m = 0 ho°c m = −5 th¼ r(A) = 2. N¸u m ̸= 0 v m ̸= −5 th¼ r(A) = 3.
(b) N¸u m = 0 th¼ r(B) = 0. N¸u m ̸= 0 th¼ r(B) = 2. 15. m = 7. 16. (a) 18. (b) −1. 17. x = 0, x = 2.
18. (a) 21. (b) 0. (c) 54. (d) −7. 19. (a) 48. (b) 160. 20. m = −1, m = 1, m = 0. 21. 0 < m < 4. 22. (a) 10. (b) −58. 23. −a + b + d. 24. −x − y − z + 4t. 25. (a) D1 = 0. (b) D2 = 0. 26. (a) x = 0, x = 1, x = 3. (b) x = 2, x = 3, x = 4. 27. m ̸= 0. 28. m ̸= ±1 v m ̸= 0. 34
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc   m − 2 −1 1   29. 1 m ̸= 3 v A−1 =   . m − 3 −1 1 −1     2 −2 m − 1 30.     5 2 −2 −29 14 17     (a) 1 A−1 =  −4 0 1  . (c) C−1 =  3 6 −3  .   36       −2 −1 1 −14 8 2     32 −20 −12 1 −1 1     (b) 1 B−1 =   . (d) D−1 =   . 28 −7 7 7 −38 41 −34         5 3 −1 27 −29 24 31.     −1 3 −7 20 1 0 0 0      −7 −3 5 −10   −1 1 0 0  (a) 1 A−1 =   . (c) C−1 =   . 6      9 3 −3 6   0 −1 1 0          3 3 −3 6 0 0 −1 1     1 1 1 1 0 0 0 1      1 1 −1 −1   1 −1 0 0  (b) 1 B−1 =   . (d) D−1 =   . 4      1 −1 1 −1   0 1 −1 0          1 −1 −1 1 0 0 1 −1 32.     −1 −1 2 3 1   (a) 1 1 A−1 =  3 2  . 9   . (d) D−1 = −3   −3 2 2   −1 0 1   −35 19 23   (b) 1 B−1 khæng tçn t¤i. (e) E−1 =  9 3 0  . 69     −24 15 0 1.3. Ma trªn nghàch £o 35     −2 −8 4 −1 −3 2     (c) 1 1 C−1 =  5  . (f) F−1 =   . 14 −1 −3 −3 9 −3   14       −2 6 4 −1 0 1 TI LIU CN ÅC
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 1 v b i tªp to¡n cao
c§p tªp 1, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 1, NXB HQG H Nëi - 2006. 36
Ch÷ìng 1. Ma trªn - ành thùc Ch÷ìng 2
H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
Sau khi håc xong ch÷ìng n y, ng÷íi håc câ thº:
- Gi£i ÷ñc c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p Gauss vîi h»
têng qu¡t v ph÷ìng ph¡p Cramer vîi h» câ sè ph÷ìng tr¼nh b¬ng sè ©n.
- Bi»n luªn theo tham sè c¡c v§n · nh÷ h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m, væ nghi»m ho°c væ sè nghi»m.
- Hiºu c¡c mæ h¼nh tuy¸n t½nh ùng döng v o thüc t¸ nh÷ mæ h¼nh c¥n b¬ng
thà tr÷íng, mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n, mæ h¼nh IS-LM v mæ h¼nh c¥n èi li¶n ng nh.
2.1 H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
(a) Mët h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh l mët h» thèng gçm m ph÷ìng tr¼nh v n ©n sè câ d¤ng:   a  11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 (2.1) 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     
 am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm 37 38
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
trong â aij, bi l c¡c h» sè cho tr÷îc v xj l c¡c ©n sè.
Khi m = n th¼ h» (2.1) l h» gçm n ph÷ìng tr¼nh v n ©n.
Khi bi = 0 vîi måi i th¼ ta ÷ñc h» sau:   a  11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0 (2.2) 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     
 am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
H» (2.2) ÷ñc gåi l h» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t.
V½ dö 2.1.1 (i) H» ph÷ìng tr¼nh   2x  1 + 4x2 − 3x3 + 2x4 = 7   5x1 − 10x2 + 8x3 + x4 = 2     x1 + 5x2 − 3x3 + 3x4 = 4
l h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gçm câ 3 ph÷ìng tr¼nh 4 ©n sè. (ii) H» ph÷ìng tr¼nh   2x1 − 5x2 + x3 = 0  4x1 − 2x3 = 0
l mët h» thu¦n nh§t gçm 2 ph÷ìng tr¼nh 3 ©n.
(b) Nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.1) l mët bë sè (c1, c2, ..., cn) sao cho khi
ta thay x1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn v o (2.1) th¼ ta câ m ¯ng thùc luæn óng.
Qu¡ tr¼nh t¼m tªp hñp nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gåi l gi£i h»
ph÷ìng tr¼nh. Mët h» ph÷ìng tr¼nh câ thº câ nghi»m ho°c væ nghi»m.
(c) Hai h» ph÷ìng tr¼nh câ sè ©n b¬ng nhau ÷ñc gåi l t÷ìng ÷ìng n¸u
chóng câ còng tªp hñp nghi»m.
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 39
2.1.2 D¤ng ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh X²t h» ph÷ìng tr¼nh   a  11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     
 am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm   a11 a12 ... a1n    a  Khi â: ma trªn 21 a21 ... a2n A = 
 ÷ñc gåi l ma trªn h» sè.    ... ... ... ...      am1 am2 ... amn   b1    b  Ma trªn 2 B = 
 ÷ñc gåi l ma trªn cët tü do.    ...      bm   a11 a12 ... a1n b1    a  Ma trªn ¯ 21 a22 ... a2n b2 A = (A|B) =   ÷ñc gåi l ma trªn bê    ... ... ... ... ...      am1 am2 ... amn bm sung.   x1    x  Ma trªn 2 X = 
 ÷ñc gåi l ma trªn ©n sè hay ma trªn ©n.    ...      xn
Vîi ph²p nh¥n ma trªn vîi ma trªn th¼ h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng AX = B, 40
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
v ta gåi ¥y l d¤ng ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho.
N¸u h» thu¦n nh§t th¼ B l ma trªn khæng.   x  1 + 2x2 + x3 − x4 = 0  
V½ dö 2.1.2 Cho h» ph÷ìng tr¼nh 2x1 + x3 + x4 = 3 .     x2 + x4 = 1     1 2 1 −1 1 2 1 −1 0    
Khi â ta câ: A =  2 0 1 1  , ¯ A =  2 0 1 1 3  ,         0 1 0 1 0 1 0 1 1     x1 0       x2 B =    3  , X = .         x  3  1   x4
H» ph÷ìng tr¼nh câ mët nghi»m l (1, 0, 0, 1).
Chó þ: Ta câ thº vi¸t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh d÷îi d¤ng     x 1  1 = 1         0   x2 = 0 X =   ho°c   .  0     x  3 = 0     1    x  4 = 1
2.1.3 ành lþ Kronecker-Capelli
Cho h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh n ©n, câ ma trªn h» sè l A v ma trªn bê sung l ¯ A. Khi â: (i) N¸u r(A) < r( ¯
A) th¼ h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m. (ii) N¸u r(A) = r( ¯
A) = n th¼ h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 41 (iii) N¸u r(A) = r( ¯
A) < n th¼ h» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m phö thuëc v o n − r(A) ©n tü do.
V½ dö 2.1.3 Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh sau theo tham sè m:   mx  1 + x2 + x3 = 1   x1 + mx2 + x3 = 1 .     x1 + x2 + mx3 = 1 Gi£i.     m 1 1 1 1 1 m 1     Ta câ: ¯ A = d  1 m 1 1  1↔d3   − −−− → 1 m 1 1         1 1 m 1 m 1 1 1     1 1 m 1 1 1 m 1 d2−d1 − −−−−−−− →     d3+d2 d    . 3 − md1 0 m − 1 1 − m 0 − −−− → 0 m − 1 1 − m 0         0 1 − m 1 − m2 1 − m 0 0 (1 − m)(m + 2) 1 − m
− Vîi m ̸= 1 v m ̸= −2 th¼ r(A) = r( ¯
A) = n n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m
duy nh§t. H» t÷ìng ÷ìng vîi:   mx  1 + x2 + x3 = 1   (m − 1)x2 + (1 − m)x3 = 0 .     (1 − m)(m + 2)x3 = 1 − m
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l m 1 1 x1 = , x , x . m + 2 2 = m + 2 3 = m + 2
− Vîi m = 1 th¼ r(A) = r( ¯
A) < n n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m. H»
ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi: x1 + x2 + x3 = 1.
Chån x2, x3 l ©n tü do th¼ x1 = −x2 − x3.
− Vîi m = −2 th¼ r(A) < r( ¯
A) n¶n h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m. 42
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 2.1.4 Thuªt to¡n Gauss
B÷îc 1: Dòng c¡c ph²p bi¸n êi sì c§p tr¶n dáng ÷a ma trªn bê sung
v· d¤ng bªc thang. Tø â suy ra r(A) v r( ¯
A) v k¸t luªn h» ph÷ìng tr¼nh câ
nghi»m hay væ nghi»m. N¸u h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m, ta chuyºn sang b÷îc 2.
B÷îc 2: Vi¸t ra h» ph÷ìng tr¼nh mîi t÷ìng ÷ìng vîi h» ph÷ìng tr¼nh ¢
cho v suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh.   x  1 + x2 − x3 = 0  
V½ dö 2.1.4 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 3x1 − 2x2 + x3 = 2 .     2x1 − x2 + x3 = 3 Gi£i.       1 1 −1 0 1 1 −1 0 1 −1 1 0 d   2−3d1     Ta câ: ¯ − −−−−−−− → A = 5d  3 −2 1 2  3−3d2 d  0 −5 4 2    − −−− → 0 −5 4 2 .   3 − 2d1           2 −1 1 3 0 −3 3 3 0 0 3 9 Ta th§y r( ¯
A) = r(A) = 3 n¶n h» câ nghi»m duy nh§t.   x  1 + x2 − x3 = 0  
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» ph÷ìng tr¼nh sau : −5x2 + 4x3 = 2 .     3x3 = 9   x  1 = 1   
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh (th¸ ng÷ñc l¶n) l : x . 2 = 2      x3 = 3   x
V½ dö 2.1.5 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 1 + x2 + 3x3 = 3 .  2x1 + 2x2 + 6x3 = 9 Gi£i.     1 1 3 3 1 1 3 3 Ta câ: ¯ A = d2−2d1 .   − −−− →   2 2 6 9 0 0 0 3
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 43 Ta th§y r( ¯
A) = 2, r(A) = 1 n¶n h» ph÷ìng tr¼nh væ nghi»m.   x  1 − x2 + x3 − x4 = 2      x
V½ dö 2.1.6 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 1 − x3 + 2x4 = 0 .  −x  1 + 2x2 − 2x3 + 7x4 = −7      2x1 − x2 − x3 = 3 Gi£i.     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2   d2−d1    1 0 −1
2 0  −−−−−−−−→  0 1 −2 3 −2  Ta câ : ¯ A =   d3 + d1        − d 1 2 −2 7 −7  4 − 2d1  0 1 −1 6 −5          2 −1 −1 0 3 0 1 −3 2 −1     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2     d     3−d2 0 1 −2 3 −2 0 1 −2 3 −2 − −−−− →   d4+d3   d . 4 − d2   −−−−→    0 0 1 3 −3   0 0 1 3 −3          0 0 −1 −1 1 0 0 0 2 −2 V¼ r( ¯
A) = r(A) = 4 n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t.   x  1 − x2 + x3 − x4 = 2      x
H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi h» : 2 − 2x3 + 3x4 = −2 .  x  3 + 3x4 = −3      2x4 = −2
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : X = (2, 1, 0, −1).
2.1.5 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t   a  11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0 (2.3) 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     
 am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
Tr÷îc h¸t, ta câ mët sè nhªn x²t sau: 44
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
(i) Ma trªn h» sè v ma trªn bê sung cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.3) luæn câ h¤ng
b¬ng nhau n¶n h» ph÷ìng tr¼nh luæn câ nghi»m. Ngo i ra, ta ch¿ c¦n x²t
ma trªn h» sè m khæng c¦n x²t ma trªn bê sung.
(ii) H» ph÷ìng tr¼nh (2.3) luæn nhªn (0, 0, ..., 0) l m nghi»m. Nghi»m n y ÷ñc
gåi l nghi»m t¦m th÷íng hay nghi»m khæng.
Düa v o ành l½ Kronecker-Capelli ta suy ra:
(a) H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m t¦m th÷íng khi v ch¿ khi r(A) b¬ng sè ©n.
(b) H» ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t câ nghi»m khæng t¦m th÷íng khi v ch¿ khi r(A) b² hìn sè ©n.
°c bi»t, khi A l ma trªn vuæng th¼:
H» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m nghi»m t¦m th÷íng khi v ch¿ khi |A| ̸= 0.
H» ph÷ìng tr¼nh câ væ sè nghi»m khi v ch¿ khi |A| = 0.   x  1 + 2x2 + x3 − x4 = 0      2x
V½ dö 2.1.7 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 1 − 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0 .  x  1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 0    
 4x1 + 3x2 + 2x3 − 5x4 = 0 Gi£i.     1 2 1 −1 1 2 1 −1   d2−2d1  
 2 −2 −2 −2  −−−−−−−−→  0 −6 −4 0  Ta câ : ¯ A =   d3 − d1        d 1 3 2 −2  4 − 4d1  0 1 1 −1          4 3 2 −5 0 −5 −2 −1     1 2 1 −1 1 0 −1 1   d1−2d2    0 1 1  − −−−−−−− →  0 1 1  d −1 −1 2↔d3   d3 + 6d2   − −−− →      d 0 −6 −4 0  4 + 5d2  0 0 2 −6          0 −5 −2 −1 0 0 3 −6
2.1. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 45     1 0 −1 1 1 0 0 −2 1 d   d1+d3   2 3   − −−−−−− →   − − → 0 1 1 −1 0 1 0 2 1   d2 − d3   d . 4     3  d 0 0 1
−3  4 − d3  0 0 1 −3          0 0 1 −2 0 0 0 1
Suy ra r(A) = 4 v b¬ng sè ©n n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t: X = (0, 0, 0, 0).
2.1.6 H» ph÷ìng tr¼nh Cramer
X²t h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh gçm n ph÷ìng tr¼nh v n ©n:   a  11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1     
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 (2.4) 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     
 an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
H» ph÷ìng tr¼nh (2.4) ÷ñc gåi l h» Cramer n¸u |A| ̸= 0.
(a) Ph÷ìng ph¡p ma trªn nghàch £o
Vi¸t l¤i h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) ð d¤ng ma trªn AX = B. Tø â suy ra X =
A−1B. Nh÷ vªy vi»c gi£i h» ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng vîi vi»c t¼m ma trªn nghàch £o cõa A.   2x  1 + 4x2 + 3x3 = 4  
V½ dö 2.1.8 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau: 3x . 1 + x2 − 2x3 = −2     4x1 + 11x2 + 7x3 = 7 Gi£i. 46
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh   3 2 1  
Ta câ: A =  2 3 1 . Ma trªn nghàch £o cõa A l :     2 1 3   29 5 −11 1   A−1 =   . 29 −29 2 13     29 −6 10 Suy ra         x1 29 5 −11 4 1   1       X =  x  = A−1B =  −29 2
13   −2  =  −1  .  2  29               x3 29 −6 10 7 2
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : X = (1, −1, 2). (b) ành lþ Cramer (i) N¸u |A
|A| ̸= 0 th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) câ nghi»m duy nh§t x j | j = , vîi A |A|
l ma trªn h» sè v Aj ma trªn thu ÷ñc b¬ng c¡ch thay cët thù j cõa ma
trªn A bði ma trªn cët tü do.
(ii) N¸u |A| = 0 v câ mët |Aj| ̸= 0 th¼ h» ph÷ìng tr¼nh (2.4) væ nghi»m.
(iii) N¸u |A| = 0 v |Aj| = 0 vîi måi j th¼ khæng k¸t luªn g¼ v· nghi»m cõa h»
ph÷ìng tr¼nh (2.4). H» ph÷ìng tr¼nh câ thº væ nghi»m ho°c væ sè nghi»m.   3x  1 + 2x2 + x1 = 5  
V½ dö 2.1.9 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau: 2x . 1 + 3x2 + x3 = 1     2x1 + x2 + 3x3 = 11 Gi£i.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ 47 3 2 1
Ta câ: |A| = 2 3 1 = 12 ̸= 0 n¶n h» ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m duy nh§t. 2 1 3 5 2 1 3 5 1 |A1| = 1 3 1 = 24, |A2| = 2 1 1 = −24, 11 1 3 2 11 3 3 2 5 v |A3| = 2 3 1 = 36. 2 1 11
Suy ra nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l : |A 24 |A −24 |A 36 x 1| 2| 3| 1 = = = 2, x = = −2, x = = 3. |A| 12 2 = |A| 12 3 = |A| 12
Vªy nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l X = (2, −2, 3).
2.2 Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸
2.2.1 Mæ h¼nh c¥n b¬ng thà tr÷íng
Gi£ sû ta nghi¶n cùu thà tr÷íng bao gçm n h ng hâa câ li¶n quan vîi nhau.
Ng÷íi ta th÷íng biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng cung v l÷ñng c¦u v o gi¡
cõa c¡c h ng hâa bði c¡c h m cung v h m c¦u nh÷ sau: QS = S = D i i(P1, P2, ..., Pi, ..., Pn), QDi i(P1, P2, ..., Pi, ..., Pn), i = 1, ..., n,
vîi Pi l gi¡ cõa h ng hâa thù i.
Mæ h¼nh c¥n b¬ng thà tr÷íng n h ng hâa câ li¶n quan (c¥n b¬ng cung c¦u)
÷ñc x¡c ành bði QS = Q , i = 1, ..., n. i Di 48
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
N¸u QS v Q câ d¤ng tuy¸n t½nh th¼ mæ h¼nh tr¶n ch½nh l h» ph÷ìng tr¼nh i Di
gçm n ph÷ìng tr¼nh v n ©n Pi, i = 1, ..., n. Gi£i h» ta t¼m ÷ñc bë gi¡ c¥n b¬ng thà tr÷íng: ¯ P = ( ¯ P1, ¯ P2, ..., ¯ Pn).
Thay v o QS (ho°c Q ), ta ÷ñc bë l÷ñng c¥n b¬ng thà tr÷íng: i Di ¯ Q = ( ¯ Q1, ¯ Q2, ..., ¯ Qn).
V½ dö 2.2.1 Cho bi¸t h m cung, h m c¦u cõa thà tr÷íng cõa hai lo¤i h ng hâa nh÷ sau: H ng hâa 1: QS = −2 + 3P = 8 − 2P 1 1, QD1 1 + P2 H ng hâa 2: QS = −1 + 2P = 11 + P 2 2, QD2 1 − P2. vîi QS , Q , P i Di
i l¦n l÷ñt l l÷ñng cung, l÷ñng c¦u v gi¡ h ng hâa i. Khi thà
tr÷íng c¥n b¬ng h¢y x¡c ành gi¡ v l÷ñng c¥n b¬ng cõa hai m°t h ng tr¶n. Gi£i.
Khi thà tr÷íng c¥n b¬ng th¼:     QS = Q 5P 1 D1  1 − P2 = 10 ⇔   QS = Q −P 2 D2 1 + 3P2 = 12
Gi£i h» ta ÷ñc P1 = 3, P2 = 5. Vªy bë gi¡ c¥n b¬ng l : ¯ P = (3; 5) v l÷ñng c¥n b¬ng l : ¯ QD = ¯ Q = 7, ¯ Q = ¯ Q = 9. 1 S1 D2 S2
2.2.2 Mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n
X²t mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n ð d¤ng ìn gi£n, vîi c¡c kþ hi»u: Y
l têng thu nhªp quèc d¥n, G0 l mùc chi ti¶u cè ành cõa ch½nh phõ, I0 l mùc
¦u t÷ cè ành theo k¸ ho¤ch v C l ti¶u dòng cõa c¡c hë gia ¼nh. Gi£ thi¸t
r¬ng chi ti¶u hë gia ¼nh câ d¤ng tuy¸n t½nh: C = aY + b vîi 0 < a < 1, b > 0.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ 49
Mæ h¼nh c¥n b¬ng thu nhªp quèc d¥n câ d¤ng h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
gçm 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n Y v C:     Y = G0 + I0 + C Y − C = G0 + I0 ⇔ .   C = aY + b −aY + C = b
Gi£i h» ta x¡c ành ÷ñc mùc thu nhªp c¥n b¬ng v mùc ti¶u dòng c¥n b¬ng cõa n·n kinh t¸ l : ¯ G b + a(G Y = 0 + I0 + b , ¯ C = 0 + I0) . 1 − a 1 − a
Ti¸p theo, x²t mæ h¼nh trong tr÷íng hñp thu nhªp chàu thu¸ vîi thu¸ su§t
t%. Khi â, thu nhªp sau thu¸ l Yd = Y − tY = (1 − t)Y v h m chi ti¶u câ d¤ng C = aYd + b = a(1 − t)Y + b.
V½ dö 2.2.2 Cho C = 0, 8Yd + 250, I = I0, G = G0, Yd = (1 − t)Y vîi t l thu¸ su§t thu nhªp.
(i) H¢y t½nh mùc thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng.
(ii) T½nh mùc thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng vîi I0 = 150, G0 = 500 v t = 15%. Gi£i. Mæ h¼nh c¥n b¬ng     Y = G0 + I0 + C Y − C = G0 + I0 ⇔   C = 0, 8Yd + 250 −0, 8(1 − t)Y + C = 250
(a) Vªy thu nhªp quèc d¥n v chi ti¶u c¥n b¬ng l : ¯ G 0, 8(1 − t)(G Y = 0 + I0 + 250 , ¯ C = 0 + I0) + 250 . 1 − 0, 8(1 − t) 1 − 0, 8(1 − t)
(b) Vîi I0 = 150, G0 = 500 v t = 15%, ta câ: ¯Y = 2812, 5, ¯ C = 2162, 5. 50
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 2.2.3 Mæ h¼nh IS-LM
Mæ h¼nh IS-LM º ph¥n t½ch tr¤ng th¡i c¥n b¬ng cõa n·n kinh t¸ trong c£ 2
thà tr÷íng h ng hâa v ti·n t». Mët trong nhúng y¸u tè quan trång £nh h÷ðng
tîi c£ 2 thà tr÷íng n y l l¢i su§t r. Möc ti¶u cõa ta l ph£i x¡c ành ÷ñc mùc
thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng.
X²t thà tr÷íng h ng hâa vîi c¡c y¸u tè gçm chi ti¶u ch½nh phõ G0. Chi ti¶u
hë gia ¼nh C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) (ho°c C = a(1 − t)Y + b, t: thu¸ su§t
thu nhªp), ¦u t÷ I = k − lr(k, l > 0). Khi c¥n b¬ng thà tr÷íng h ng hâa th¼
Y = C + I + G0 = aY + b + k − lr + G0 ⇔ (1 − a)Y + lr = b + k + G0 (2.5)
(2.5) l ph÷ìng tr¼nh ÷íng IS.
X²t thà tr÷íng ti·n t» vîi c¡c y¸u tè l÷ñng c¦u ti·n L = L(Y, r) = mY −
nr(m, n > 0) v l÷ñng cung ti·n M = M0 (÷ñc ành tr÷îc). Khi c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng ti·n t» th¼ L = M ⇔ mY − nr = M0. (2.6)
(2.6) l ph÷ìng tr¼nh ÷íng LM.
H¢y x¡c ành mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng ¯Y v ¯r, ta thi¸t
lªp h» gçm 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n Y, r (mæ h¼nh IS-LM).     I S
(1 − a)Y + lr = b + k + G0 ⇔   LM mY − nr = M0.
Gi£i h» ta ÷ñc mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng l : ¯ −n(b + k + G (1 − a)M Y = 0) − lM0 ; ¯r = 0 − m(b + k + G0) . −n(1 − a) − ml −n(1 − a) − ml
V½ dö 2.2.3 X²t mæ h¼nh IS-LM vîi C = 0, 6Y + 35, I = 65 − r, G = G0, L = 5Y − 50r, M = M0.
(i) X¡c ành mùc thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng ¯Y , ¯r.
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ 51
(ii) T½nh ¯Y , ¯r khi G0 = 70, M0 = 1500. Gi£i. (i) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng IS:
Y = C + I + G0 = 0, 6Y + 35 + 65 − r + G0 ⇔ 0, 4Y + r = 100 + G0. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng LM: L = M0 ⇔ 5Y − 50r = M0.
Ta x¡c ành thu nhªp quèc d¥n v l¢i su§t c¥n b¬ng tø h» 2 ph÷ìng tr¼nh, 2 ©n Y v r.     I S 0, 4Y + r = 100 + G0 ⇔   LM 5Y − 50r = M0. Gi£i h» ta ÷ñc ¯ 5000 + G 500 + 5G Y = 0 + M0 ; ¯r = 0 − 0, 4M0 . 25 25
(ii) Vîi G0 = 70, M0 = 1500, ta câ: ¯ 5000 + 3500 + 1500 Y = = 400 (ngh¼n t¿ VN); 25 500 + 350 − 600 ¯ r = = 10%. 25
2.2.4 Mæ h¼nh c¥n èi li¶n ng nh
Trong mët n·n kinh t¸ hi»n ¤i, vi»c s£n xu§t mët lo¤i s£n ph©m h ng hâa
n o â (output) ái häi ph£i sû döng c¡c lo¤i h ng hâa kh¡c nhau º l m nguy¶n
li»u ¦u v o (input) cõa qu¡ tr¼nh s£n xu§t v vi»c x¡c ành têng c¦u èi vîi
s£n ph©m cõa méi ng nh s£n xu§t trong têng thº n·n kinh t¸ l quan trång, nâ bao gçm:
− C¦u trung gian tø ph½a c¡c nh s£n xu§t sû döng lo¤i s£n ph©m â cho qu¡ tr¼nh s£n xu§t. 52
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
− C¦u cuèi còng tø ph½a nhúng ng÷íi sû döng s£n ph©m º ti¶u dòng ho°c
xu§t kh©u, bao gçm c¡c hë gia ¼nh, Nh n÷îc, c¡c tê chùc s£n xu§t.
X²t mët n·n kinh t¸ câ n ng nh s£n xu§t. º thuªn ti»n cho vi»c t½nh chi
ph½ cho c¡c y¸u tè s£n xu§t, ta ph£i biºu di¹n l÷ñng c¦u cõa t§t c£ c¡c lo¤i h ng
hâa ð d¤ng gi¡ trà, tùc l o b¬ng ti·n. Têng c¦u v· s£n ph©m h ng hâa cõa
ng nh i (i = 1, .., n) ÷ñc x¡c ành bði:
xi = xi1 + xi2 + · · · + xik + bi i = 1, .., n. (2.7)
− Trong â: xik l gi¡ trà s£n ph©m cõa ng nh i m ng nh k c¦n sû döng cho
qu¡ tr¼nh s£n xu§t cõa m¼nh (gi¡ trà c¦u trung gian), bi l gi¡ trà s£n ph©m cõa
ng nh i d nh cho nhu c¦u ti¶u dòng v s£n xu§t (gi¡ trà c¦u cuèi còng).
Tuy nhi¶n, trong thüc t¸, ta th÷íng khæng câ thæng tin v· gi¡ trà c¦u trung
gian xik, nh÷ng ng÷íi ta l¤i chõ ëng trong vi»c x¡c ành t¿ ph¦n chi ph½ ¦u
v o cõa s£n xu§t. Kþ hi»u aik l t¿ ph¦n chi ph½ ¦u v o cõa ng nh k èi vîi s£n
ph©m cõa ng nh i, nâ ÷ñc t½nh bði cæng thùc: x a ik ik = i, k = 1, .., n. xk
Chó þ r¬ng 0 ≤ aik < 1 v gi£ thi¸t aik l cè ành èi vîi méi ng nh s£n xu§t i
(k = 1, .., n). Ng÷íi ta gåi aik l h» sè chi ph½ ¦u v o v ma trªn A = (aik) l ma
trªn h» sè chi ph½ ¦u v o (hay ma trªn h» sè kÿ thuªt). Ch¯ng h¤n, aik = 0, 3
ngh¾a l º s£n xu§t ra 1 çng gi¡ trà s£n ph©m cõa m¼nh, ng nh k ph£i chi ra
0,3 çng º mua s£n ph©m cõa ng nh i º phöc vö cho qu¡ tr¼nh s£n xu§t. Ta °t:     x1 b1      x    2 b2 X =       ; B =   ,  ...   ...          xn bn
2.2. Ùng döng mæ h¼nh tuy¸n t½nh trong thüc t¸ 53
l¦n l÷ñt l ma trªn têng c¦u v ma trªn c¦u cuèi còng. Khi â, tø (2.7), thay xik = aikxk, ta câ:  
xi = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn + bi .  i = 1, ..., n
Hay biºu di¹n d÷îi d¤ng ma trªn:         x1 a11 a12 ... a1n x1 b1          x   a   x   b   2   21 a22 ... a2n   2   2    =     +   .  ...   ... ... ... ...   ...   ...                  xn an1 an2 ... ann xn bn Tùc l : X = AX + B. (2.8) Gi£i mæ h¼nh
Tø (2.8), ta câ (I − A)X = B. N¸u |I − A| ̸= 0 th¼ X = (I − A)−1B. (2.9)
Cæng thùc (2.9) ÷ñc gåi l cæng thùc t½nh ma trªn têng c¦u. Ma trªn (I − A)
÷ñc gåi l ma trªn Leontief. Nh÷ vªy, n¸u bi¸t ma trªn h» sè kÿ thuªt A v
ma trªn c¦u cuèi còng th¼ s³ x¡c ành ÷ñc gi¡ trà têng c¦u cõa c¡c ng nh s£n xu§t.
V½ dö 2.2.4 Gi£ sû trong mët n·n kinh t¸ câ hai ng nh s£n xu§t: ng nh 1 v
ng nh 2 câ ma trªn h» sè kÿ thuªt l :   0, 2 0, 3 A =   . 0, 4 0, 1
Cho bi¸t gi¡ trà c¦u cuèi còng èi vîi s£n ph©m cõa ng nh 1 v ng nh 2 l¦n l÷ñt
l 10 v 20 t¿ çng. H¢y x¡c ành gi¡ trà têng c¦u èi vîi méi ng nh. 54
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Gi£i.   x K½ hi»u 1 X = l ma trªn têng c¦u. Vîi  
x1, x2 l gi¡ trà têng c¦u cõa x2 ng nh 1 v ng nh 2.   10
Theo gi£ thi¸t ma trªn c¦u cuèi b câ d¤ng: b = . Theo (2.9), ta câ:   20 X = (I − A)−1B       1 0 0, 2 0, 3 0, 8 −0, 3 I − A =   −   =   . 0 1 0, 4 0, 1 −0, 4 0, 9   1 0, 9 0, 3
|I − A| = 0, 6 v (I − A)−1 = 0,6   . 0, 4 0, 8 Vªy ma trªn têng c¦u l :   25 X = (I − A)−1B =   . 100 3
Vªy gi¡ trà cõa têng c¦u ng nh 1 v 2 l¦n l÷ñt l 25 v 100 (t¿ çng). 3
V½ dö 2.2.5 Gi£ sû trong mët n·n kinh t¸ câ ba ng nh s£n xu§t: ng nh 1,
ng nh 2 v ng nh 3 câ ma trªn h» sè kÿ thuªt l :   0, 4 0, 1 0, 2   A =  0, 2 0, 3 0, 2  .     0, 1 0, 4 0, 3
Cho bi¸t gi¡ trà c¦u cuèi còng èi vîi s£n ph©m cõa tøng ng nh l¦n l÷ñt l 40,
40 v 110 (dìn và: ngh¼n t¿ çng). H¢y x¡c ành gi¡ trà têng c¦u èi vîi méi ng nh? Gi£i.   x K½ hi»u 1 X =
l ma trªn têng c¦u. Trong â   x1, x2 l gi¡ trà têng c¦u x2 cõa ng nh 1 v ng nh 2. 2.3. BI TP 55 Ta câ   0, 6 −0, 1 −0, 2  
I − A =  −0, 2 0, 7 −0, 2  .     −0, 1 −0, 4 0, 7   0, 41 0, 15 0, 16 1  
|I − A| = 0, 2 v (I − A)−1 =  0, 16 0, 40 0, 16  . 0, 2     0, 15 0, 25 0, 40 Vªy ma trªn têng c¦u l :   200  
X = (I − A)−1B =  200  ,     300
hay gi¡ trà cõa têng c¦u ng nh 1,2 v 3 l¦n l÷ñt l 200, 200 v 300 (ngh¼n t¿ çng). 2.3 BI TP
1. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng thuªt to¡n Gauss. 56
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh    x  x  1 + x2 + x3 = 3  1 + 2x2 − x3 = 3     (a) 2x1 + 3x2 − x3 = 4 . (b) 2x1 + 5x2 − 4x3 = 5 .        x1 − x2 + x3 = 1  3x1 + 4x2 + 2x3 = 12    x  x  1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7  1 + 2x3 − x4 = −1          2x  x (c) 1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 2 + x3 − x4 = −4 . (d) .  3x  x  1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7  1 − x2 + 2x4 = 12          4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18  x2 + 3x3 + x4 = 8    x  x  1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1  1 − x2 + x3 + 2x4 = 5          x  2x (e) 1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 1 + 3x2 − 3x3 + x4 = 3 . (f) .  3x  4x  1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5  1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 7          2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4
 −4x1 − x2 + x3 − 5x4 = −1
2. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh thu¦n nh§t sau.    x  2x  1 + 2x2 + x3 = 0  1 − 2x2 + x3 = 0     (a) 2x1 + 5x2 − x3 = 0 . (b) 3x1 + x2 − x3 = 0 .        3x1 − 2x2 − x3 = 0  x1 − 3x2 + 2x3 = 0   3x   1 − 2x2 − 5x3 + x4 = 0    x   1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0    2x  (c) 1 − 3x2 + x3 + 5x4 = 0 . (d) 2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 0 .  x   1 + 2x2 − 4x4 = 0      5x  1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 0   x1 − x2 − 4x3 + 9x4 = 0
3. Gi£i c¡c h» ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng thuªt to¡n Cramer. 2.3. BI TP 57    2x  2x  1 − 2x2 − x3 = −1  1 − x2 − x3 = 4     (a) x2 + x3 = 1 . (b) 3x1 + 4x2 − 2x3 = 11 .        −x1 + x2 + x3 = −1  3x1 − 2x2 + 4x3 = 11    x  3x  1 − x2 + x3 = 1  1 + 2x2 + x3 = 5     (c) 2x1 + x2 + x3 = 2 . (d) 2x1 + 3x2 + x3 = 1 .        3x1 + x2 + 2x3 = 0  2x1 + x2 + 3x3 = 11 4. Cho h» ph÷ìng tr¼nh:   x  1 + x2 − x3 = 1   2x1 + 3x2 + mx3 = 3     x1 + mx2 + 3x3 = 2 X¡c ành sè m sao cho: (a) H» câ nghi»m duy nh§t. (b) H» væ nghi»m. (c) H» câ væ sè nghi»m.
5. T¼m m º h» ph÷ìng tr¼nh   x − y + 2z = 3    2x + my + 3z = 1     3x + 3y + z = 4 khæng câ nghi»m duy nh§t. 6. X¡c ành m º h»   mx − 3y + z = 0    2x + y + z = 0     3x + 2y − 2z = 0
câ nghi»m khæng t¦m th÷íng. 58
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
7. T¼m m º h» sau câ nghi»m duy nh§t.   2x + y + z = m    x + my + z = 4 .     4x + (m + 1)y + 2mz = 1
8. T¼m m º h» sau câ 1 nghi»m.   x + y + 2z = 2    2x + 2my + (m + 3)z = 4 .     3x + (m − 1)y + mz = 3
9. X²t thà tr÷íng gçm hai lo¤i h ng hâa l tæm v cua vîi h m cung v h m c¦u nh÷ sau: Tæm: QS = −2 + P = 20 − 2P 1 1; QD1 1 − P2; Cua: QS = P = 40 − P 2 2; QD2 1 − 2P2.
H¢y x¡c ành bë gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng cõa tæm v cua ð tr¶n.
10. X¡c ành bë gi¡ c¥n b¬ng v l÷ñng c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng hai lo¤i h ng
hâa vîi c¡c h m cung v c¦u nh÷ sau: (a) H ng hâa 1: QS = 2P = 20 − P 1 1; QD1 1 + P2; H ng hâa 2: QS = −10 + 2P = 40 + P 2 2; QD2 1 − 2P2.
(b) H ng hâa 1: QS = −20 + 2P = 100 − 5P 1 1; QD1 1 − P2; H ng hâa 2: QS = −10 + P = 80 − 4P 2 2; QD2 1 − 2P2.
11. X²t thà tr÷íng gçm ba lo¤i h ng hâa gçm tr , c ph¶ v ca cao câ h m cung v h m c¦u nh÷ sau: Tr : QS = −10 + P = 20 − P 1 1; QD1 1 − P3; C ph¶: QS = 2P = 40 − 2P 2 2; QD2 2 − P3 2.3. BI TP 59 Ca cao: QS = −5 + 3P = 10 + P 3 3; QD3 2 − P3 − P1.
X¡c ành bë gi¡ v bë l÷ñng 3 lo¤i h ng hâa ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng thà tr÷íng.
12. X²t mæ h¼nh thu nhªp quèc d¥n: Y = G0 + I0 + C; C = 0, 4Y + 30. H¢y
x¡c ành mùc thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng bi¸t
I0 = 200, G0 = 500 (tri»u USD).
13. X²t mæ h¼nh: Y = G0 + I0 + C; C = 0, 8Yd; Yd = (1 − t)Y. H¢y x¡c ành mùc
thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng bi¸t I0 = 200, G0 = 500
v thu¸ su§t thu nhªp t = 0, 1.
14. X²t mæ h¼nh: Y = G0+I0+C+X0−N; C = 0, 85Yd; Yd = (1−t)Y ; N = 0, 1Yd.
(a) H¢y x¡c ành mùc thu nhªp v chi ti¶u quèc d¥n ¯Y , ¯ C ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng. (b) T½nh ¯Y , ¯
C khi I0 = 200, G0 = 500, X0 = 100 v thu¸ su§t thu nhªp t = 0, 1. 15. Cho Y = C + I C = 0, 8 + Y + 50 L = 0, 5Y + 100 − r I = 20 − 5r M0 = 200.
X¡c ành thu nhªp v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng. 60
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 16. Cho Y = C + I + G0 C = 0, 8(1 − t)Y ; t = 0, 1 G0 = 200 I = 100 − r L = 0, 5Y − 2r; M0 = 500.
H¢y x¡c ành thu nhªp v l¢i su§t ð tr¤ng th¡i c¥n b¬ng.
17. Trong mæ h¼nh c¥n èi li¶n ng nh, cho ma trªn h» sè kÿ thuªt v ma trªn
c¦u cuèi. H¢y x¡c ành ma trªn têng c¦u trong c¡c tr÷íng hñp sau.     0, 2 0, 3 20 (a) A = v .   B =   0, 4 0, 1 5     0, 2 0, 4 200 (b) A = v .   B =   0, 1 0, 3 300     0, 4 0, 2 0, 1 40    
(c) A =  0, 1 0, 3 0, 4  v B =  110 .         0, 2 0, 2 0, 3 40 P SÈ 1. (a) (1, 1, 1). (b) (2, 1, 1). (c) (2, 1, 5, −3). (d) (2, 0, 1, 5).
(e) (−17α + 29β + 5, 10α − 17β − 2, α, β) vîi α, β ∈ R. (f) H» væ nghi»m. 2.3. BI TP 61 2. (a) (0, 0, 0). (b) (0, 0, 0). (c) (0, 0, 0, 0).
(d) (9α − 10β, −7α + 7β, α, β) vîi α, β ∈ R. 3. (a) (2, 4, −3). (b) (3, 1, 1). (c) (7, −3, −9). (d) (2, −2, 3). 4. (a) m ̸= 2 v m ̸= −3. (b) m = −3. (c) m = 2. 5. 4 m = − . 5 6. m = −5. 7. 3 m ̸= 1 v m ̸= . 4 8. m ̸= 1 v m ̸= 8. 9. ¯ 13 49 5 49 P = ( , ), Q = Q = , Q = Q = . 4 4 S1 D1 4 S2 D2 4 10. (a) ¯ 130 170 260 230 P = ( , ), Q = Q = , Q = Q = . 11 11 S1 D1 11 S2 D2 11 (b) ¯ 270 150 200 −20 P = ( , ), Q = Q = , Q = Q = . 17 17 S1 D1 17 S2 D2 17 11. ¯ 41 28 8 11 56 P = ( , , ), ¯ Q = ( , , 3). 3 3 3 3 3 62
Ch÷ìng 2. H» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh 12. ¯ 3650 1550 Y = , ¯ C = . 3 3 13. ¯Y = 2500, ¯ C = 1800. 14. (a) ¯ G G Y = 0 + I0 + X0 , ¯ C = 0, 85(1 − t) 0 + I0 + X0 1 − 0, 75(1 − t) 1 − 0, 75(1 − t) (b) ¯ 32000 24480 Y = , ¯ C = . 13 13 15. ¯ 5708 354 Y = , ¯ r = . 25 25 16. ¯ 55000 500 Y = , ¯ r = . 53 53       200 65 500   17. (a) X = 2 . (b) . (c)  .   X =   X = 300   20 500   200 TI LIU CN ÅC
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 1 v b i tªp to¡n cao
c§p tªp 1, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 1, NXB HQG H Nëi - 2006. Ch÷ìng 3
H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Sau khi håc xong ch÷ìng n y, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc c¡c kh¡i ni»m v· tªp hñp v c¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp.
- Hiºu ÷ñc sè thüc v c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n sè thüc.
- Hiºu ÷ñc c¡c ành ngh¾a v t½nh ch§t li¶n quan ¸n h m sè v d¢y sè.
- T½nh ÷ñc giîi h¤n cõa d¢y sè v h m sè.
- X¡c ành ÷ñc t½nh li¶n töc cõa h m sè. 3.1 Kh¡i ni»m tªp hñp 3.1.1 Tªp hñp
Tªp hñp (hay cán gåi l tªp) l mët trong nhúng kh¡i ni»m cì b£n khæng
ành ngh¾a cõa to¡n håc. Tuy nhi¶n, ta câ thº nâi t§t c£ nhúng èi t÷ñng n o
â hñp l¤i t¤o th nh mët tªp hñp.
Tªp hñp th÷íng ÷ñc k½ hi»u b¬ng c¡c chú c¡i in hoa nh÷ A, B, C, X, Y, .
Méi èi t÷ñng n¬m trong tªp hñp ÷ñc gåi l ph¦n tû cõa tªp hñp. º ch¿
ph¦n tû a thuëc tªp hñp A, ta vi¸t a ∈ A, ph¦n tû a khæng thuëc tªp hñp A, ta vi¸t a /∈ A. 63 64
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Mët tªp ÷ñc coi l ¢ cho n¸u nh÷ ta x¡c ành ÷ñc mët èi t÷ñng thuëc hay khæng thuëc tªp â.
Câ nhi·u c¡ch cho tªp hñp nh÷ng phê bi¸n nh§t l hai c¡ch sau:
Li»t k¶ c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp â:
V½ dö 3.1.1 A = {1, 2, 3}, Z = {. . . , −1, 0, 1, . . . }, X = {a, b, c, d, e}
Ch¿ ra °c t½nh chung cõa ph¦n tû thuëc tªp hñp â.
Têng qu¡t l A = {x ∈ X : P(x)} tùc l A l tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû x thuëc
tªp hñp X sao cho x thäa t½nh ch§t P(x).
V½ dö 3.1.2 A = {x ∈ R : x2 − 2x − 3 = 0}, B = {x ∈ Z : x chia h¸t cho 3}
Tªp hñp khæng chùa ph¦n tû n o gåi l tªp réng v k½ hi»u l : ∅.
Cho hai tªp hñp A v B. N¸u måi ph¦n tû cõa A ·u l ph¦n tû cõa B th¼
A ÷ñc gåi l tªp con cõa B v k½ hi»u A ⊆ B (gåi t­t l A con B).
N¸u tªp A con cõa tªp B v tçn t¤i ½t nh§t mët ph¦n tû thuëc B nh÷ng
khæng thuëc A th¼ A ÷ñc gåi l tªp con thªt sü cõa tªp B. K½ hi»u: A ⊂ B.
N¸u A ⊆ B v B ⊆ A th¼ tªp A tròng vîi tªp B v ÷ñc gåi l hai tªp hñp b¬ng nhau. K½ hi»u: A = B.
D¹ d ng nhªn th§y tªp A b§t k¼ l con cõa ch½nh nâ.
Ta qui ÷îc tªp réng l con cõa måi tªp hñp.
Tªp câ húu h¤n ph¦n tû gåi l tªp húu h¤n, tªp câ væ h¤n ph¦n tû gåi l tªp væ h¤n.
º minh håa mët tªp hñp ng÷íi ta th÷íng dòng ÷íng cong kh²p k½n hay cán gåi l gi£n ç Venn. 3.1. Kh¡i ni»m tªp hñp 65
3.1.2 C¡c ph²p to¡n tr¶n tªp hñp (a) Ph²p hñp
Hñp cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ thuëc A
ho°c thuëc B. K½ hi»u: A ∪ B.
V½ dö 3.1.3 Cho A = {a, b, c} v B = {b, d, e}. Khi â: A ∪ B = {a, b, c, d, e}.
Câ thº mð rëng ph²p hñp tr¶n nhi·u tªp hñp nh÷ sau:
Hñp cõa n tªp hñp A1, A2, ..., An l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ
thuëc ½t nh§t mët trong c¡c tªp hñp â. K½ hi»u: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An.
Hñp cõa mët hå c¡c tªp hñp {Ai}i∈I l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa
nâ thuëc ½t nh§t mët trong c¡c tªp Ai. K½ hi»u: [ Ai i∈I (b) Ph²p giao
Giao cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp hñp gçm c¡c ph¦n tû cõa nâ m
ph¦n tû â vøa thuëc A vøa thuëc B. K½ hi»u: A ∩ B.
V½ dö 3.1.4 Cho A = {1, 3, 4, 5} v B = {2, 4, 5, 7}. Khi â: A ∩ B = {4, 5}.
Câ thº mð rëng ph²p hñp tr¶n nhi·u tªp hñp:
Giao cõa n tªp hñp A1, A2, ..., An l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa nâ
thuëc måi tªp A1, A2, ..., An. K½ hi»u: A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An.
Giao cõa mët hå c¡c tªp hñp {Ai}i∈I l mët tªp hñp m c¡c ph¦n tû cõa
nâ thuëc måi tªp Ai. K½ hi»u: \ Ai i∈I 66
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
T½nh ch§t cõa ph²p giao v ph²p hñp
(i) T½nh giao ho¡n: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
(ii) T½nh k¸t hñp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(iii) T½nh ph¥n phèi: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C). (c) Ph²p hi»u
Hi»u cõa tªp hñp A vîi tªp B l mët tªp hñp m ph¦n tû cõa nâ ch¿ thuëc
A m khæng thuëc B. K½ hi»u: A\B.
V½ dö 3.1.5 A = {1, 2, 3, a, b}, B = {2, a, b, c}. Khi â: A\B = {1, 3}.
(d) T½ch Descartes cõa hai tªp hñp
T½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B l mët tªp hñp gçm c¡c c°p câ thù
tü (a, b) vîi a ∈ A, b ∈ B. K½ hi»u: A × B. Vªy A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
N¸u A = B th¼ A × B = A × A = A2
V½ dö 3.1.6 Cho A = {a, b}, B = {1, 2, 3}. Khi â:
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Ta câ thº mð rëng t½ch Descartes cõa n tªp hñp A1, A2, ..., An nh÷ sau:
A1 × A2 × ... × An = {(a1, a2, ..., an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An} 3.2 Sè thüc 3.2.1 Kh¡i ni»m sè thüc Ta ¢ bi¸t tªp sè húu t¿ n a o Q =
: a, b ∈ Z . Méi ph¥n sè a ·u câ thº biºu b b
di¹n d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n húu h¤n hay væ h¤n tu¦n ho n. 3.2. Sè thüc 67
V½ dö 3.2.1 3 = 0, 75, 10 = 3, 333... = 3(3) 4 3
Ngo i ra tªp c¡c sè biºu di¹n d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n væ h¤n nh÷ng khæng
tu¦n ho n ÷ñc gåi l tªp sè væ t¿. Ch¯ng h¤n √2 = 1, 41421..., π = 3, 1412.... C¡c sè â gåi l sè væ t¿.
ành ngh¾a 3.2.1 Tªp hñp gçm c¡c sè húu t¿ v sè væ t¿ ÷ñc gåi l tªp sè thüc v k½ hi»u l R.
Tªp sè thüc ÷ñc biºu di¹n b¬ng tröc Ox. Méi sè thüc x ùng vîi mët iºm
M tr¶n Ox sao cho OM = x. Ta gåi Ox l tröc sè thüc hay ÷íng th¯ng thüc.
Giúa c¡c tªp sè tü nhi¶n N, sè nguy¶n Z, sè húu t¿ Q v sè thüc R câ bao
h m thùc: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Tªp sè thüc mð rëng: R = R ∪ {−∞, +∞}.
3.2.2 T½nh ch§t cõa sè thüc
(a) T½nh ch§t ¤i sè Sè thüc kh²p k½n èi vîi c¡c ph²p to¡n cëng, trø,
nh¥n v chia. C¡c t½nh ch§t nh÷ giao ho¡n, k¸t hñp, ph¥n phèi công óng èi
vîi c¡c ph²p to¡n tr¶n trong tªp R. (b) T½nh s­p thù tü
Vîi 2 sè thüc b§t k¼ x, y luæn x£y ra mët trong ba tr÷íng hñp sau:
(i) x < y: khi â y n¬m b¶n ph£i x tr¶n tröc sè.
(ii) x > y: khi â y n¬m b¶n tr¡i x tr¶n tröc sè.
(iii) x = y: x v y n¬m tròng nhau tr¶n tröc sè. (c) C¡c t½nh ch§t ìn gi£n Vîi x, y ∈ R th¼: 68
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc   x < y (i) ⇒ x < z.  y < z
(ii) x < y ⇔ x ± z < y ± z.   xz < yz, z > 0 (iii) x < y ⇒ .  xz > yz, z < 0 (iv) 1 x > 0 ⇒ > 0. x (v) 1 1 0 < x < y ⇒ > . x y (d) T½nh ¦y õ
ành ngh¾a 3.2.2 Sè thüc M ÷ñc gåi l cªn tr¶n cõa tªp sè thüc kh¡c réng
A, n¸u ∀x ∈ A th¼ x ≤ M.
Sè thüc m ÷ñc gåi l cªn d÷îi cõa tªp sè thüc kh¡c réng A, n¸u ∀x ∈ A th¼ x ≥ m.
Tªp A vøa bà ch°n tr¶n vøa bà ch°n d÷îi th¼ tªp A ÷ñc gåi l tªp bà ch°n.
Nhªn x²t 3.2.1 Tªp bà ch°n tr¶n th¼ câ væ sè cªn tr¶n v tªp bà ch°n d÷îi th¼ câ væ sè cªn d÷îi.
ành ngh¾a 3.2.3 Sè b² nh§t trong c¡c cªn tr¶n cõa tªp sè thüc A ÷ñc gåi
l cªn tr¶n óng cõa A v k½ hi»u l sup A. Sè lîn nh§t trong c¡c cªn d÷îi cõa
tªp sè thüc A ÷ñc gåi l cªn d÷îi óng cõa A v k½ hi»u l inf A. V½ dö 3.2.2 Cho c¡c tªp n 1 o A = [1, 4], B = (2, +∞), C = : n ∈ N . Khi â: n
inf A = 1, sup A = 4, inf B = 2, khæng tçn t¤i sup B v ta vi¸t sup B = +∞, inf C = 0, sup C = 1. 3.2. Sè thüc 69
Nhªn x²t 3.2.2 sup A v inf A câ thº thuëc ho°c khæng thuëc A. N¸u sup A
thuëc tªp A th¼ sup A ch½nh l sè lîn nh§t cõa A. Khi â, ta k½ hi»u l max A.
T÷ìng tü, inf A thuëc tªp A th¼ inf A ch½nh l sè b² nh§t cõa A v ta k½ hi»u l min A. V½ dö 3.2.3 (i) X²t √
A = {x ∈ Q : x2 < 2}. Khi â: 1 ∈ A ⇒ A ̸= ∅ v ∀x ∈ A ⇒ x < 2 n¶n A bà ch°n tr¶n. D¹ th§y √ sup A = 2 / ∈ Q n¶n sup A / ∈ A.
(ii) X²t A = [2, 5) câ inf A = 2 ∈ A, sup A = 5 /∈ A.
ành l½ 3.2.1 (Nguy¶n l½ Supremum) Måi tªp sè thüc kh¡c réng bà ch°n tr¶n
·u câ cªn tr¶n óng. T÷ìng tü, måi tªp sè thüc kh¡c réng bà ch°n d÷îi ·u câ cªn d÷îi óng. 3.2.3 Kho£ng
ành ngh¾a 3.2.4 Kho£ng l tªp hñp c¡c sè thüc n¬m giúa 2 sè thüc n o â. Ph¥n lo¤i kho£ng 1. Kho£ng húu h¤n
Kho£ng mð: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Kho£ng âng (o¤n): [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} Kho£ng nûa âng nûa mð:
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} 2. Kho£ng væ h¤n 70
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
(−∞, a] = {a ∈ R : x ≤ a}
(a, +∞) = {x ∈ R : x > a}
[a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (−∞, +∞) = R
Chó þ 3.2.1 Vîi méi sè thüc x0, th¼ kho£ng mð (x0 − ε, x0 + ε) vîi ε > 0 ÷ñc
gåi l l¥n cªn cõa iºm x0 v ÷ñc k½ hi»u l N(x0). Mët iºm x thuëc l¥n cªn
cõa x0 khi v ch¿ khi x0 − ε < x < x0 + ε. 3.2.4 Gi¡ trà tuy»t èi
ành ngh¾a 3.2.5 Gi¡ trà tuy»t èi cõa sè thüc x (cán ÷ñc gåi l ë lîn cõa
sè thüc x) ÷ñc k½ hi»u l |x| v ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:   x, x ≥ 0 |x| =  −x, x < 0
V· m°t h¼nh håc th¼ |x| l kho£ng c¡ch tø x ¸n O tr¶n tröc sè. Têng qu¡t
hìn th¼ |x − y| l kho£ng c¡ch giúa x v y tr¶n tröc sè. C¡c t½nh ch§t ìn gi£n |a| = | − a| |ab| = |a||b| a |a| = b |b| |a ± b| ≤ |a| + |b| |a ± b| ≥ |a| − |b| 3.3. H m sè 71
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
|x| < a ⇔ −a < x < a  x ≤ −a |x| ≥ a ⇔  x ≥ a  x < −a |x| > a ⇔  x > a
V½ dö 3.2.4 Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh: |2x − 1| > 2.   2x − 1 < −2 x < −1
Gi£i. Ta câ: |2x − 1| > 2 ⇔ 2 .  ⇔  2x − 1 > 2 x > 32
Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l : 1 3 D = −∞, − ∪ , +∞ . 2 2 3.3 H m sè 3.3.1 Kh¡i ni»m h m sè
ành ngh¾a 3.3.1 Cho hai tªp X, Y l c¡c tªp con cõa tªp R. H m sè f x¡c
ành tr¶n X l mët ph²p °t méi sè x ∈ X t÷ìng ùng vîi mët sè thüc y duy
nh§t thuëc Y v ÷ñc k½ hi»u l y = f(x) hay f : x 7→ f(x) ho°c y = f(x) hay ìn gi£n hìn l f.
Tªp X ÷ñc gåi l tªp x¡c ành cõa f v k½ hi»u l D. N¸u h m sè cho bði
y = f (x) th¼ ta hiºu tªp x¡c ành cõa f l tªp t§t c£ c¡c sè thüc l m cho f(x) câ ngh¾a.
Tªp T = {f(x) : x ∈ D} ⊂ Y ÷ñc gåi l tªp gi¡ trà cõa f, x ÷ñc gåi l bi¸n sè.
Gi¡ trà cõa h m sè f(x) t¤i x = x0 ÷ñc k½ hi»u l f(x0). 72
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.3.2 ç thà cõa h m sè y = f(x) vîi tªp x¡c ành D l tªp hñp
nhúng iºm câ tåa ë (x, f(x)) trong m°t ph¯ng tåa ë vîi x ∈ D. 3.3.2 Mët sè h m °c bi»t
ành ngh¾a 3.3.3 Cho h m sè y = f(x) câ mi·n x¡c ành D. Khi â:   ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
(i) H m sè y = f(x) l h m sè ch®n ⇔ .  f (−x) = f (x)   ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
(ii) H m sè y = f(x) l h m sè l´ ⇔ .  f (−x) = −f(x)
Chó þ 3.3.1 H m sè ch®n (h m sè l´) cán ÷ñc gåi l h m ch®n (h m l´).
V½ dö 3.3.1 C¡c h m sè y = |x|, y = cos x, y = x4 +2x2 l h m sè ch®n. C¡c h m
sè y = sin x, y = x3 l h m sè l´.
Nhªn x²t 3.3.1 ç thà h m sè ch®n nhªn tröc Oy l m tröc èi xùng v ç thà
h m sè l´ nhªn gèc tåa ë O l m t¥m èi xùng.
ành ngh¾a 3.3.4 H m sè f(x) l h m sè tu¦n ho n n¸u tçn t¤i sè d÷ìng T
sao cho f(x + T) = f(x), ∀x ∈ D. Sè T nhä nh§t thäa ¯ng thùc tr¶n gåi l chu k¼ cõa h m sè.
V½ dö 3.3.2 H m sè sin x v cos x tu¦n ho n vîi chu k¼ 2π. H m sè tan x v
cot x tu¦n ho n vîi chu k¼ π.
ành ngh¾a 3.3.5 H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l t«ng (çng bi¸n) tr¶n D n¸u
vîi måi x1, x2 ∈ D, x1 < x2 th¼ f(x1) ≤ f(x2) v t«ng nghi¶m ng°t tr¶n D n¸u
x1, x2 ∈ D, x1 < x2 th¼ f(x1) < f(x2). 3.3. H m sè 73
H m sè f ÷ñc gåi l gi£m (nghàch bi¸n) tr¶n D n¸u vîi måi x1, x2 ∈ D, x1 < x2
th¼ f(x1) ≥ f(x2) v gi£m nghi¶m ng°t tr¶n D n¸u x1, x2 ∈ D, x1 < x2 th¼ f (x1) > f(x2).
H m sè t«ng hay gi£m ÷ñc gåi chung l h m sè ìn i»u.
ành ngh¾a 3.3.6 N¸u tçn t¤i sè M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ D th¼ h m sè f(x)
÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n tr¶n D.
N¸u tçn t¤i sè m sao cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ D th¼ h m sè f(x) ÷ñc gåi l bà ch°n d÷îi tr¶n D.
H m sè vøa bà ch°n tr¶n vøa bà ch°n d÷îi th¼ gåi l bà ch°n.
V½ dö 3.3.3 H m sè y = sin x v y = cos x l c¡c h m sè bà ch°n tr¶n R. H m
sè y = tan x v y = cot x l c¡c h m sè khæng bà ch°n tr¶n R.
ành ngh¾a 3.3.7 Cho y = f(u) l h m sè theo bi¸n u v u = g(x) l h m sè
theo bi¸n x. Khi â, h m sè y = f(u) = f[g(x)] ÷ñc gåi l h m sè hñp cõa bi¸n
x v ÷ñc k½ hi»u l f0g. Vªy (f0g)(x) = f[g(x)].
V½ dö 3.3.4 Cho x 7→ f(x) = x2 + 1 v x 7→ g(x) = 2x − 3. H¢y t¼m (f0g)(x) v (g0f)(x). Gi£i:
Ta câ, (f0g)(x) = f[g(x)] = f(2x − 3) = (2x − 3)2 + 1 = 4x2 − 12x + 10 v
(g0f)(x) = g[f(x)] = g(x2 + 1) = 2(x2 + 1) − 3 = 2x2 − 1.
ành ngh¾a 3.3.8 Cho h m sè y = f(x) câ mi·n x¡c ành l D v mi·n gi¡ trà
l T vîi f thäa hai i·u ki»n sau:
(i) Vîi måi x1, x2 ∈ D, x1 ̸= x2 th¼ f(x1) ̸= f(x2);
(ii) Vîi måi y ∈ T th¼ tçn t¤i x ∈ D sao cho y = f(x).
Khi â, f ÷ñc gåi l h m 1-1. 74
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.3.9 Cho h m sè y = f(x) l h m 1-1. Kh½ â, h m sè ng÷ñc cõa
h m sè y = f(x) ÷ñc k½ hi»u l f−1 v ÷ñc x¡c ành f−1(y) = x.
Chó þ 3.3.2 N¸u f−1 l h m ng÷ñc cõa f th¼ f công l h m ng÷ñc cõa f−1.
Khi â mi·n x¡c ành cõa h m n y l mi·n gi¡ trà cõa h m kia v ng÷ñc l¤i.
V½ dö 3.3.5 Cho h m sè f(x) = x3, khi â h m sè ng÷ñc cõa h m f ÷ñc x¡c ành √ f −1(x) = 3 x.
ành l½ 3.3.1 ç thà cõa h m sè ¢ cho v h m ng÷ñc cõa nâ èi xùng qua ÷íng ph¥n gi¡c thù nh§t. 3.3.3 C¡c h m sè sì c§p
ành ngh¾a 3.3.10 H m sè sì c§p cì b£n l nhúng h m thuëc mët trong c¡c lo¤i sau ¥y:
(i) H m h¬ng sè: y = c, c l h¬ng sè. H m h¬ng sè câ tªp x¡c ành l R v tªp gi¡ trà l {c}.
(ii) H m lôy thøa: y = xα, α ∈ R.
• N¸u α l sè húu t¿ th¼ tªp x¡c ành cõa h m phö thuëc v o α.
• N¸u α l sè væ t¿ th¼ ta qui ÷îc tªp x¡c ành l x ≥ 0 n¸u α > 0 v x < 0 n¸u α < 0.
(iii) H m mô: y = ax, 0 < a v a ̸= 1. Sè a ÷ñc gåi l cì sè cõa h m sè mô.
H m mô câ tªp x¡c ành l R v mi·n gi¡ trà l (0, +∞).
• N¸u a > 1 th¼ h m sè çng bi¸n tr¶n R.
• N¸u 0 < a < 1 th¼ h m sè nghàch bi¸n tr¶n R. 3.3. H m sè 75
(iv) H m logarit: y = loga x, 0 < a v a ̸= 1. Sè a ÷ñc gåi l cì sè cõa h m sè
logarit. H m logarit câ tªp x¡c ành l (0, +∞) v mi·n gi¡ trà l R.
• N¸u a > 1 th¼ h m sè çng bi¸n tr¶n (0, +∞) .
• N¸u 0 < a < 1 th¼ h m sè nghàch bi¸n tr¶n (0, +∞).
Chó þ: H m sè logarit y = loga x l h m ng÷ñc cõa h m mô y = ax. (v) H m l÷ñng gi¡c
H m sè y = sin x câ tªp x¡c ành l R, mi·n gi¡ trà l [−1, 1]; l h m
l´ v tu¦n ho n vîi chu k¼ 2π.
H m sè y = cos x, x ∈ R câ tªp x¡c ành l R, mi·n gi¡ trà l [−1, 1]; l
h m ch®n v tu¦n ho n vîi chu k¼ 2π. H m sè π
y = tan x câ tªp x¡c ành l x ̸=
+ kπ, k ∈ Z, mi·n gi¡ trà l 2
R; l h m l´ v tu¦n ho n vîi chu k¼ π.
H m sè y = cot x câ tªp x¡c ành l x ̸= kπ, k ∈ Z, mi·n gi¡ trà l R;
l h m l´ v tu¦n ho n vîi chu k¼ π. (vi) H m l÷ñng gi¡c ng÷ñc i
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n h−π π ,
th¼ h m sè y = sin x l h m 1-1. Do 2 2
â, h m sè n y câ h m sè ng÷ñc v k½ hi»u l x = arcsin y. H m sè π i
x = arcsin y câ tªp x¡c ành l −1 ≤ y ≤ 1 v mi·n gi¡ trà l h−π , . 2 2 N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n π
[0, ] th¼ h m sè y = cos x l h m 1-1 . Do â, h m 2
sè n y câ h m sè ng÷ñc v k½ hi»u l x = arccos y. H m sè x = arccos y câ tªp x¡c ành l π i
−1 ≤ y ≤ 1 v mi·n gi¡ trà l h0, . 2
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n −π π ,
th¼ h m sè y = tan x l h m 1-1. Do 2 2
â, h m sè n y câ h m sè ng÷ñc v k½ hi»u l x = arctan y. H m sè π
x = arctan y câ tªp x¡c ành R v mi·n gi¡ trà l −π , . 2 2 76
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
N¸u ta h¤n ch¸ tr¶n (0, π) th¼ h m sè y = cot x l h m 1-1. Do â, h m
sè n y câ h m sè ng÷ñc v k½ hi»u l x = arccoty. H m sè x = arccoty
câ tªp x¡c ành R v mi·n gi¡ trà l (0, π).
V½ dö 3.3.6 H m sè y = cos x câ y(0) = 1 n¶n arccos 1 = 0.
ành ngh¾a 3.3.11 H m sè sì c§p l h m thu ÷ñc tø nhúng h m sè sì c§p
cì b£n qua mët sè húu h¤n c¡c ph²p to¡n cëng, trø, nh¥n, chia v vi»c lªp h m hñp. V½ dö 3.3.7 (i) C¡c h m sè x2 − 1 y = 2 cos2(x + 1) + 3ex, y = l h m sè sì c§p. 3cos(x2+x−1)
(ii) C¡c h m sè hyperbolic sau ¥y l h m sì c§p: Sin hyperbolic: ex − e−x sinh x = 2 Cosin hyperbolic: ex + e−x cosh x = 2 Tang hyperbolic: sinh x tanh x = coshx Cotang hyperbolic: cosh x coth x = . sinh x Ta câ c¡c cæng thùc: cosh2 x − sinh2 x = 1, sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y,
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y. 3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè 77 3.4 Giîi h¤n cõa d¢y sè 3.4.1 Kh¡i ni»m v· d¢y sè
ành ngh¾a 3.4.1 Cho h m sè u(n) x¡c ành tr¶n N∗. Khi cho n l¦n l÷ñt c¡c
gi¡ trà 1, 2, ..., n, ... th¼ c¡c gi¡ trà h m sè t÷ìng ùng l u(1), u(2), ..., u(n), ... lªp th nh d¢y sè.
°t u1 = u(1), u2 = u(2), ..., un = u(n). Khi â, d¢y sè ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
u1, u2, ..., un, ... ho°c {un}. C¡c sè ui, i = 1, 2, ... ÷ñc gåi l sè h¤ng cõa d¢y, cán
un ÷ñc gåi l sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y. D¢y ho n to n ÷ñc x¡c ành khi bi¸t
sè h¤ng têng qu¡t cõa nâ.
ành ngh¾a 3.4.2 D¢y {un} ÷ñc gåi l bà ch°n tr¶n (hay bà ch°n d÷îi) n¸u
tçn t¤i sè M sao cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ (un ≥ M, ∀n ∈ N∗).
Mët d¢y vøa bà ch°n tr¶n vøa bà ch°n d÷îi ÷ñc gåi l d¢y bà ch°n.
D¢y {un} ÷ñc gåi l d¢y t«ng (t«ng nghi¶m ng°t) n¸u
un ≤ un+1, ∀n ∈ N∗(un < un+1, ∀n ∈ N∗).
D¢y {un} ÷ñc gåi l d¢y gi£m (gi£m nghi¶m ng°t) n¸u
un ≥ un+1, ∀n ∈ N∗ (un > un+1,∀n∈N∗).
D¢y t«ng ho°c gi£m ÷ñc gåi chung l d¢y ìn i»u. V½ dö 3.4.1 (i) D¢y 1 un = l d¢y gi£m v bà ch°n. n
(ii) D¢y un = n2 l d¢y t«ng, bà ch°n d÷îi nh÷ng khæng bà ch°n tr¶n.
(iii) D¢y un = (−1)n l d¢y khæng t«ng công khæng gi£m. 78
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.4.3 C§p sè cëng l mët d¢y sè húu h¤n hay væ h¤n, trong â
kº tø sè h¤ng thù 2 th¼ méi sè h¤ng ·u b¬ng têng cõa sè h¤ng ùng tr÷îc v
mët sè d (cæng sai) khæng êi, câ ngh¾a l : {un} l c§p sè cëng khi v ch¿ khi
un+1 = un + d vîi måi n ∈ N∗. V½ dö 3.4.2
(i) D¢y 1, 3, 5, 7, 9, 11 l mët c§p sè cëng, vîi cæng sai l 2.
(ii) D¢y un = 3n + 1 l mët c§p sè cëng vîi cæng sai l 3. T½nh ch§t
Cho c§p sè cëng {un}n∈N∗, Khi â, ta câ
(i) d = un+1 − un, ∀n ∈ N∗. (ii) 1 un+1 = (u 2 n + un+2) , ∀n ∈ N∗.
(iii) un = u1 + (n − 1)d, ∀n ∈ N∗. (iv) 1 1 Sn = u1 + u2 + ... + un = (u (2nu 2 1 + un) = 2
1 + n(n − 1)d) , ∀n ∈ N∗.
ành ngh¾a 3.4.4 C§p sè nh¥n l mët d¢y sè húu h¤n hay væ h¤n, trong â
kº tø sè h¤ng thù 2 th¼ méi sè h¤ng ·u b¬ng t½ch cõa sè h¤ng ùng tr÷îc v
mët sè q (cæng bëi) khæng êi, câ ngh¾a l : {un} l c§p sè nh¥n khi v ch¿ khi
un+1 = un.d vîi måi n ∈ N∗. V½ dö 3.4.3
(i) D¢y 1, 3, 9, 27, 81 l mët c§p sè nh¥n, vîi cæng bëi l 3.
(ii) D¢y un = 2n l mët c§p sè nh¥n vîi cæng bëi l 2. 3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè 79 T½nh ch§t
Cho c§p sè nh¥n {un}n∈N∗, Khi â, ta câ (i) u q = n+1 , u u n ̸= 0, ∀n ∈ N∗. n (ii) √ un+1 = un + un+2, ∀n ∈ N∗.
(iii) un = u1.qn−1, ∀n ∈ N∗. (iv) 1 − qn Sn = u1 + u2 + ... + un = u1 , q ̸= 1, ∀n ∈ N∗. 1 − q
V½ dö 3.4.4 Chu k¼ b¡n r¢ cõa nguy¶n tè phâng x¤ poloni 210 l 138 ng y
(ngh¾a l sau 138 ng y khèi l÷ñng cõa nguy¶n tè â ch¿ cán mët nûa). T½nh
(ch½nh x¡c ¸n h ng ph¦n tr«m) khèi l÷ñng cán l¤i cõa 20 gam poloni 210 sau 7314 ng y (kho£ng 20 n«m). Gi£i:
Gåi un (gam) l khèi l÷ñng cán l¤i cõa 20 gam poloni 210 sau n chu k¼ b¡n
r¢. Ta câ 7314 ng y gçm 53 chu k¼ b¡n r¢. Theo · b i ra, ta c¦n t½nh u53.
Tø gi£ thi¸t suy ra d¢y un l mët c§p sè nh¥n vîi sè h¤ng ¦u l u1 = 10 v cæng bëi q = 0, 5.
p döng t½nh ch§t cõa c§p sè nh¥n, ta câ: u53 = u1.q52 = 10.0, 552.
V½ dö 3.4.5 T¼m hiºu ti·n cæng khoan gi¸ng ð hai cì sð khoan gi¸ng, ng÷íi ta ÷ñc bi¸t:
- Cì sð A: Gi¡ cõa m²t khoan ¦u ti¶n l 50.000 çng v kº tø m²t khoan
thù hai, gi¡ cõa méi m²t sau t«ng th¶m 10.000 çng so vîi gi¡ cõa m²t khoan ngay tr÷îc.
- Cì sð B: Gi¡ cõa m²t khoan ¦u ti¶n l 50.000 çng v kº tø m²t khoan
thù hai, gi¡ cõa méi m²t sau t«ng th¶m 8% gi¡ cõa m²t khoan ngay tr÷îc. 80
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Mët ng÷íi muèn chån mët trong hai cì sð nâi tr¶n º thu¶ khoan mët c¡i
gi¸ng s¥u 20 m²t, mët c¡i gi¸ng s¥u 30 m²t ð hai àa iºm kh¡c nhau. Häi ng÷íi
§y n¶n chån cì sð khoan gi¸ng n o cho tøng gi¸ng º chi ph½ khoan hai gi¸ng l
½t nh§t. Bi¸t ch§t l÷ñng v thíi gian khoan gi¸ng cõa hai cì sð l nh÷ nhau. Gi£i:
K½ hi»u An, Bn l¦n l÷ñt l sè ti·n cæng ( ìn và çng) c¦n tr£ theo c¡ch t½nh
gi¡ cõa cì sð A v cì sð B. Theo gi£ thi¸t ta câ:
+ An l têng n sè h¤ng ¦u ti¶n cõa c§p sè cëng vîi sè h¤ng ¦u u1 = 50.000 v cæng sai d = 10.000.
+ Bn l têng n sè h¤ng ¦u ti¶n cõa c§p sè nh¥n vîi sè h¤ng ¦u v1 = 50000 v cæng bëi q = 1, 08.
Khi â, ta câ A20 = 2.900.00 çng, A30 = 5.850.000 çng, B20 = 2.558.000 çng, B30 = 6.815.377 çng,
Vªy ta chån cì sð A khoan gi¸ng 30 m²t, chån cì sð B khoan gi¸ng 20 m²t.
V½ dö 3.4.6 Æng A gûi ti¸t ki»m ng¥n h ng vîi sè ti·n l M (tri»u çng), l¢i
su§t h ng th¡ng l r(%) vîi h¼nh thùc l¢i ìn (ti·n l¢i khæng t½nh v o trong ti·n
gèc.) Häi sau n th¡ng th¼ æng A câ ÷ñc bao nhi¶u ti·n. Gi£i:
Gåi Tn l sè ti·n th¡ng n. Khi â, T1 =M(1 + r) T2 =M(1 + 2r) T3 =T2 + Mr = M(1 + 3r) .....
B¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh qui n¤p, ta thu ÷ñc Tn = M(1 + nr). 3.4. Giîi h¤n cõa d¢y sè 81
V½ dö 3.4.7 Æng A gûi ti¸t ki»m ng¥n h ng vîi sè ti·n l M (tri»u çng), l¢i
su§t h ng th¡ng l r(%) vîi h¼nh thùc l¢i k²p (ti·n l¢i t½nh v o trong ti·n gèc
trong th¡ng ti¸p theo.) Häi sau n th¡ng th¼ æng A câ ÷ñc bao nhi¶u ti·n. Gi£i:
Gåi Tn l sè ti·n sau th¡ng n. Khi â, T1 =M(1 + r) T2 =T1(1 + r) = M(1 + r)2 T3 =T2(1 + r) = M(1 + r)3 .....
B¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh qui n¤p, ta thu ÷ñc Tn = M(1 + r)n. 3.4.2 Giîi h¤n d¢y sè
ành ngh¾a 3.4.5 Sè a ÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y {un} n¸u vîi måi ε > 0
cho tr÷îc th¼ tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng N0 sao cho vîi måi n ≥ N0 th¼ |un −a| < ε.
K½ hi»u: lim un = a, ho°c un → a. n→∞
D¢y sè câ giîi h¤n ÷ñc gåi l d¢y hëi tö, ng÷ñc l¤i gåi l d¢y ph¥n k¼. V½ dö 3.4.8 Ta câ: n + 2 1 lim = . n→∞ 2n + 1 2 Thªt vªy: n + 2 1 3 1 3 − = < ε ⇔ n > ( − 2). 2n + 1 2 4n + 2 4 ε Vªy: n + 2 1
∀ε > 0, chån N0 = [1(3/ε < ε. 4
−2)] th¼ vîi måi n ≥ N0, ta câ: − 2n + 1 2
ành l½ 3.4.1 (ành l½ Weierstrass 1) D¢y t«ng v bà ch°n tr¶n th¼ câ giîi h¤n.
D¢y gi£m v bà ch«n d÷îi th¼ câ giîi h¤n.
1Karl Weierstrass (1815 - 1879): nh to¡n håc ùc. 82
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.4.6 D¢y {un} ÷ñc gåi l d¦n ¸n væ còng, n¸u cho tr÷îc M > 0
th¼ tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng N0 sao cho, vîi måi n > N0 th¼ |un| > M. K½ hi»u:
lim un = ∞, ho°c un → ∞. n→∞
V½ dö 3.4.9 Ta câ: lim (2n + 1) = ∞. n→∞ Thªt vªy: M − 1 |2n + 1| > M ⇔ n > . 2
Vªy: ∀M > 0, chån N0 = [M−1] th¼ vîi måi n 2
≥ N0, ta câ: |2n + 1| > M.
3.4.3 C¡c t½nh ch§t cõa d¢y hëi tö ành l½ 3.4.2
(i) Giîi h¤n cõa d¢y (n¸u câ) l duy nh§t.
(ii) N¸u d¢y câ giîi h¤n th¼ nâ bà ch°n.
ành l½ 3.4.3 Gi£ sû {un}, {vn} l hai d¢y hëi tö. Khi â:
(i) N¸u un = vn, ∀n ∈ N∗ th¼ lim un = lim vn. n→∞ n→∞
(ii) N¸u un ≥ vn, ∀n ∈ N∗ th¼ lim un ≥ lim vn. n→∞ n→∞
ành l½ 3.4.4 Gi£ sû {un}, {vn} l hai d¢y hëi tö v C l h¬ng sè. Khi â:
(i) lim (un + vn) = lim un + lim vn. n→∞ n→∞ n→∞ (ii) lim Cun = C lim un. n→∞ n→∞
(iii) lim (un.vn) = lim un. lim vn. n→∞ n→∞ n→∞ (iv) u lim lim n =
n→∞ un , n¸u lim vn ̸= 0. n→∞ vn limn→∞ vn n→∞
ành l½ 3.4.5 Cho 3 d¢y sè {un}, {vn}, {wn}.
N¸u un ≤ vn ≤ wn v lim un = lim wn = a th¼ lim vn = a. n→∞ n→∞ n→∞ 3.5. Giîi h¤n cõa h m sè 83
V½ dö 3.4.10 Chùng minh r¬ng: √ lim n n = 1 vîi n > 1. n→∞
Gi£i: Vîi n > 1 theo b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ: √ √ p√ √ 2 n + (n − 2) 2 2 2 1 < n n = n n. n.1...1 < = √ + 1 − < √ + 1. n n n n M 2 lim
√ + 1 = 1 n¶n theo ành l½ tr¶n th¼ ta câ i·u chùng minh. n→∞ n 3.4.4 C¡c d¤ng væ ành
C¡c d¤ng sau ¥y ÷ñc gåi l d¤ng væ ành cõa giîi h¤n d¢y. ∞ 0 ∞ − ∞; 0.∞; ; . ∞ 0 V½ dö 3.4.11 (i) √
lim ( n + 1 − n) l d¤ng væ ành ∞ − ∞ n→∞
(ii) lim n(e1/n − 1) l d¤ng væ ành 0.∞. n→∞ 3.5 Giîi h¤n cõa h m sè
3.5.1 Giîi h¤n t¤i mët iºm
ành ngh¾a 3.5.1 Cho h m sè f(x) x¡c ành ð l¥n cªn iºm x0, khæng nh§t
thi¸t t¤i x0. H m sè f(x) câ giîi h¤n l L khi x d¦n tîi x0, n¸u vîi måi d¢y {xn}
hëi tö v· x0 th¼ d¢y {f(xn)} luæn hëi tö v· L. K½ hi»u: lim f(x) = L. x→x0 V½ dö 3.5.1 X²t h m sè 1 f (x) = x sin
tr¶n (−1, 1). H m sè n y khæng x¡c ành x
t¤i iºm x0 = 0. Ta câ: lim f(x) = 0. Thªt vªy: ∀{xn}, xn ̸= 0 hëi tö ¸n 0 th¼ x→0
0 ≤ |f(xn)| ≤ |xn|. V¼ lim xn = 0 n¶n lim f(x) = 0. n→∞ x→0 84
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
Nhªn x²t 3.5.1 Tø ành ngh¾a ta th§y r¬ng n¸u câ hai d¢y x(1) n , x(2) n còng hëi tö v· x0 nh÷ng lim f(x(1) n ) ̸= lim f (x(2)
n ) th¼ khæng tçn t¤i giîi h¤n cõa f (x) khi n→∞ n→∞ x d¦n v· x0. V½ dö 3.5.2 X²t h m sè 1
f (x) = cos . H m sè n y khæng x¡c ành t¤i iºm x
x0 = 0. Ta s³ chùng minh r¬ng h m sè n y khæng câ giîi h¤n khi x d¦n v· 0. X²t hai d¢y sau ¥y: D¢y 1 {x(1) n } vîi xn = π ⇒ f(x(1) f (x(1) + 2nπ n ) = 0, ∀n ⇒ lim n ) = 0. n 2 →∞ D¢y 1 {x(2) n } vîi x(2) n = ⇒ f(x(2) f (x(2) 2nπ n ) = 1, ∀n ⇒ lim n ) = 1. n→∞
Vªy khæng tçn t¤i giîi h¤n cõa f(x) khi x d¦n tîi 0.
ành ngh¾a 3.5.2 (ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng) H m sè y = f(x) câ giîi h¤n L
khi x d¦n v· x0 n¸u ∀ε > 0 b² tòy þ th¼ tçn t¤i δ > 0 sao cho, n¸u 0 < |x − x0| < δ th¼ |f(x) − L| < ε.
V½ dö 3.5.3 Chùng minh r¬ng: x2 − 4 lim = 4. x→2 x − 2 Gi£i: Gi£ sû: x2 − 4 ∀ε > 0, < ε ⇔ |x + 2| < ε. x − 2 Chån δ = ε th¼ khi x2 − 4 |x + 2| < δ ⇒ < ε. x − 2 Vªy: x2 − 4 lim = 4. x→2 x − 2
ành ngh¾a 3.5.3 (Giîi h¤n t¤i væ còng) H m sè y = f(x) câ giîi h¤n L khi
x d¦n tîi væ còng, n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i M > 0 sao cho |x| > M th¼
|f(x) − L| < ε. K½ hi»u: lim f(x) = L. x→∞ 3.5. Giîi h¤n cõa h m sè 85
V½ dö 3.5.4 Chùng minh r¬ng: x + 1 lim = 1. x→+∞ x Gi£i: Ta câ: 1 1 1
|f(x) − 1| = < ε ⇒ x > . Chån M = th¼ ta câ i·u chùng minh. x ε ε
ành ngh¾a 3.5.4 (Giîi h¤n væ còng) H m sè y = f(x) giîi h¤n b¬ng væ còng
khi x d¦n tîi x0, n¸u vîi måi M > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho |x − x0| < δ th¼ |f(x)| > M. V½ dö 3.5.5 1 lim = ∞ x→1 x2 − 1
T÷ìng tü, ta công câ ành ngh¾a:
lim f (x) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃A > 0 : |x| > A ⇒ |f(x)| > M x→∞ V½ dö 3.5.6 lim ln x = +∞ x→+∞
3.5.2 Mët sè giîi h¤n cì b£n sin x arcsin x lim = 1 lim = 1 x→0 x x→0 x tan x arctan x lim = 1 lim = 1 x→0 x x→0 x ex − 1 ax − 1 lim = 1 lim = ln a (0 < a ̸= 1) x→0 x x→0 x ln(x + 1) (1 + x)α − 1 lim = 1 lim = α x→0 x x→0 x x 1 lim 1 + = e lim (1 + x)1/x = e x→∞ x x→0 3.5.3 Giîi h¤n mët ph½a
ành ngh¾a 3.5.5 Cho x d¦n v· x0 v x > x0, k½ hi»u l x → x+. Khi â, n¸u 0
f (x) d¦n tîi mët sè x¡c ành th¼ sè â ÷ñc gåi l giîi h¤n ph£i cõa f(x) t¤i x0. K½ hi»u: lim f(x). x→x+ 0 86
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
ành ngh¾a 3.5.6 Cho x d¦n v· x0 v x < x0 v k½ hi»u l x → x−. Khi â, n¸u 0
f (x) d¦n tîi mët sè x¡c ành th¼ sè â ÷ñc gåi l giîi h¤n tr¡i cõa f(x) t¤i x0. K½ hi»u: lim f(x). x→x− 0 V½ dö 3.5.7 Cho h m sè   −x + 1 x < 0 f (x) =  x2 + 1 x ≥ 0
T½nh giîi h¤n lim f(x) v lim f(x). x→0+ x→0−
Gi£i. Ta câ: lim f(x) = lim (x2 + 1) = 1 v lim f(x) = lim (−x + 1) = 1. x→0+ x→0+ x→0− x→0−
ành l½ 3.5.1 H m sè f(x) câ giîi h¤n t¤i x0 khi v ch¿ khi nâ câ giîi h¤n tr¡i,
giîi h¤n ph£i t¤i x0 v hai giîi h¤n n y b¬ng nhau.
V½ dö 3.5.8 X²t giîi h¤n h m sè sin x f (x) = t¤i x f (x) = 1 |x| 0 = 0. Ta câ: lim x→0+
v lim f(x) = −1. Hai giîi h¤n n y kh¡c nhau n¶n h m sè ¢ cho khæng câ giîi x→0− h¤n khi x d¦n v· 0.
3.5.4 T½nh ch§t cõa h m sè câ giîi h¤n ành l½ 3.5.2
(i) N¸u f(x) = C th¼ lim f(x) = C vîi C l h¬ng sè. x→x0
(ii) Giîi h¤n cõa h m sè (n¸u câ) l duy nh§t.
(iii) N¸u lim f(x) > 0 ( lim f(x) < 0) th¼ tçn t¤i l¥n cªn N(x0) cõa x0 º x→x0 x→x0
f (x) > 0 (f (x) < 0), ∀x ∈ N(x0).
(iv) N¸u câ N(x0) º f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0), ∀x ∈ N(x0) v tçn t¤i lim th¼ x→x0
lim f (x) ≥ 0 ( lim f(x) ≤ 0). x→x0 x→x0 3.5. Giîi h¤n cõa h m sè 87
ành l½ 3.5.3 Gi£ sû c¡c h m sè f(x), g(x) ·u câ giîi h¤n trong mët qu¡ tr¼nh. Khi â trong qu¡ tr¼nh §y:
(i) lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).
(ii) lim[f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x). (iii) f (x) lim f (x) lim = vîi m¨u sè kh¡c 0. g(x) lim g(x) 3.5.5 C¡c d¤ng væ ành
T÷ìng tü nh÷ giîi h¤n d¢y, giîi h¤n h m câ c¡c d¤ng væ ành sau ¥y. 0 ∞ ;
; 0.∞; ∞ − ∞; 00; 0∞; ∞0; 1∞. 0 ∞
Sð d¾ ta gåi ¥y l c¡c d¤ng væ ành v¼ chóng ta ch÷a bi¸t ÷ñc mët c¡ch
têng qu¡t l lóc â h m câ giîi h¤n hay khæng. Cho n¶n khi g°p c¡c d¤ng væ
ành th¼ ta ph£i ti¸n h nh "khû" nâ. Sau ¥y l mët v i ph÷ìng ph¡p khû d¤ng væ ành thæng döng. (i) D¤ng P (x) lim
(d¤ng ∞), vîi P v Q l hai a thùc theo x. Chia c£ tû v x→∞ Q(x) ∞
m¨u cho x câ sè mô cao nh§t trong hai a thùc â. Câ thº ¡p döng c¡ch
n y cho ph¥n thùc chùa c«n. (ii) D¤ng P (x) lim
(d¤ng 0), vîi P v Q l hai a thùc theo x câ nghi»m chung x→x 0 0 Q(x)
l x0. Ta ph¥n t½ch thøa sè chùa nghi»m (x − x0) º ìn gi£n.
(iii) Nh¥n vîi l÷ñng li¶n hi»p º khû d¤ng væ ành.
(iv) Dòng c¡c giîi h¤n cì b£n. V½ dö 3.5.9 (i) x2 + 2x 1 + 2 1 lim = lim x = . x→∞ 2x2 − 1 x→∞ 2 − 1 2 x2 88
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc (ii) x2 − 1 x + 1 1 lim = lim = . x→1 x2 + 2x − 3 x→1 x + 3 2 √ (iii) 1 + x − 2 1 + x − 4 1 1 lim = lim √ = lim √ = . x→3 x − 3 x→3 (x − 3)( 1 + x + 2) x→3 1 + x + 2 4 (iv) √ √ 1 lim ( x + 1 − x) = lim √ √ = 0. x→+∞ x→+∞ x + 1 + x (v) sin 3x 3 sin 3x 3 lim = lim . = . x→0 7x x→0 7 3x 7 (vi) 1
lim (1 + sin x)1/x = lim (1 + sin x) . sin x sin x x = e. x→0 x→0
3.6 Væ còng b² v væ còng lîn 3.6.1 Væ còng b²
ành ngh¾a 3.6.1 H m sè α(x) ÷ñc gåi l væ còng b² (VCB) khi x d¦n v· x0
n¸u lim α(x) = 0, vîi x0 câ thº húu h¤n ho°c væ còng. x→x0 V½ dö 3.6.1
(i) sin x l VCB khi x d¦n v· 0.
(ii) 1 l VCB khi x d¦n v· ∞. x T½nh ch§t
(i) T½ch cõa mët VCB vîi h¬ng sè l mët VCB.
(ii) Têng, t½ch cõa hai VCB l mët VCB.
(iii) T½ch cõa mët VCB vîi mët ¤i l÷ñng bà ch°n l mët VCB. V½ dö 3.6.2 sin x 1 lim = lim . sin x = 0. x→∞ x x→∞ x
3.6. Væ còng b² v væ còng lîn 89 So s¡nh c¡c VCB
Cho α(x), β(x) l hai VCB khi x d¦n v· x0, vîi x0 câ thº húu h¤n ho°c væ còng. Gi£ sû tçn t¤i α(x) lim = k. Khi â: x→x0 β(x)
(i) N¸u k = 0 th¼ α(x) ÷ñc gåi l VCB bªc cao hìn β(x) khi x d¦n v· x0 v k½ hi»u l α(x) = o(β(x)).
(ii) N¸u 0 < k < +∞ th¼ α(x) v β(x) ÷ñc gåi l hai VCB còng bªc khi x
d¦n v· x0. °c bi»t, khi k = 1 th¼ α(x) v β(x) ÷ñc gåi l hai VCB t÷ìng
÷ìng v k½ hi»u l α(x) ∼ β(x).
(iii) N¸u k = +∞ ta nâi β(x) l VCB bªc cao hìn α(x) khi x d¦n v· x0 v k½ hi»u l β(x) = o(α(x)). V½ dö 3.6.3 (i) Ta câ x2 − 2x + 1
x2 − 2x + 1 = o(x − 1), v¼ lim = 0. x→1 x − 1 (ii) Ta câ x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2 v x − 1 l hai VCB còng bªc, v¼ lim = −1. x→1 x − 1 (iii) Ta câ x + 1
x2 + 2x + 1 = o(x + 1), v¼ lim = +∞. x→−1 x2 + 2x + 1
ành l½ 3.6.1 N¸u α(x), β(x), α1(x), β1(x) l nhúng VCB v α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ α(x) α β 1(x) 1(x) th¼ lim = lim . x→x0 β(x) x→x0 β1(x)
Khi x d¦n v· 0 ta câ c¡c VCB sau l t÷ìng ÷ìng: sin x ∼ x tan x ∼ x
arcsin x ∼ x [(1 + x)α − 1] ∼ αx, (α ∈ R) x2
arctan x ∼ x ln(x + 1) ∼ x (ex − 1) ∼ x (1 − cos x) ∼ . 2 V½ dö 3.6.4 (i) sin 3x 3x 3 lim = lim = . x→0 e4x − 1 x→0 4x 4 90
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc q √ 2 3 1 + 3x 3 8 − 1 x (ii) 8 + 3x − 2 8 lim √ = lim = lim 8 = . x→0 4 16 + 5x − 2 x→0 q x→0 5x 5 2 4 1 + 5x 64 16 − 1 √ √3 (iii) (1 + 2x)2 − 3 1 + 3x (1 + 2x)2 − 1 1 + 3x − 1 lim = lim − lim = 3. x→0 x x→0 x x→0 x V½ dö 3.6.5 cos x sin(x − π ) lim = lim 2 = 1. x→ π x − π x→ π x − π 2 2 2 2
ành l½ 3.6.2 (Qui t­c ng­t bä VCB bªc cao) N¸u c¡c VCB α(x) v β(x) l
têng cõa c¡c VCB kh¡c bªc th¼ giîi h¤n cõa t¿ sè α(x) b¬ng giîi h¤n cõa t¿ sè β(x)
hai VCB bªc th§p nh§t ð tû v m¨u. 3.6.2 Væ còng lîn
ành ngh¾a 3.6.2 H m sè α(x) ÷ñc gåi væ còng lîn (VCL) khi x d¦n v· x0
n¸u lim α(x) = +∞, vîi x0 câ thº húu h¤n ho°c væ còng. x→x0
V½ dö 3.6.6 Khi x d¦n v· 0 th¼ 1, cot x l nhúng VCL. Khi x d¦n v· π th¼ tan x x 2 l mët VCL. T½nh ch§t
(i) T½ch cõa hai VCL l mët VCL.
(ii) Têng cõa mët VCL vîi mët ¤i l÷ñng bà ch°n l mët VCL.
(iii) Nghàch £o cõa VCL l VCB v ng÷ñc l¤i. So s¡nh hai VCL Cho α(x)
α(x), β(x) l hai VCL khi x d¦n v· x 0. Gi£ sû tçn t¤i lim = k. x→x0 β(x) Khi â: 3.7. H m sè li¶n töc 91
(i) N¸u k = 0 th¼ α(x) ÷ñc gåi l VCL bªc th§p hìn β(x) khi x d¦n v· x0.
(ii) N¸u 0 < k < +∞ th¼ α(x) v β(x) ÷ñc gåi l hai VCL còng bªc.
(iii) N¸u k = +∞ th¼ β(x) ÷ñc gåi l VCL bªc th§p hìn α(x) khi x ti¸n v· x0.
ành l½ 3.6.3 N¸u α(x), β(x), α1(x), β1(x) l nhúng VCL v α(x) ∼ α1(x), α(x) α β(x) ∼ β 1(x) 1(x) th¼ lim = lim . x→x0 β(x) x→x0 β1(x) V½ dö 3.6.7 x5 + x3 + x − 1 x5 lim = lim = 0.
x→+∞ 2x6 − 3x2 − sin3 x x→+∞ 2x6
ành l½ 3.6.4 (Qui t­c ng­t bä VCL bªc th§p) N¸u c¡c VCL α(x) v β(x) l
têng cõa c¡c VCL kh¡c bªc th¼ giîi h¤n cõa t¿ sè α(x) b¬ng giîi h¤n cõa t¿ sè β(x)
hai VCL bªc cao nh§t cõa tû v m¨u. 3.7 H m sè li¶n töc
3.7.1 Li¶n töc t¤i mët iºm
ành ngh¾a 3.7.1 Cho h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b) v x0 ∈ (a, b). H m
sè ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x0 n¸u lim f (x) = f (x0). x→x0
N¸u h m sè khæng li¶n töc t¤i iºm x0 th¼ ta nâi h m sè gi¡n o¤n t¤i iºm x0. V½ dö 3.7.1  sin x  , x ̸= 0
(i) X²t t½nh li¶n töc cõa h m sè f(x) = x .  1, x = 0 Ta câ: sin x lim
= 1 = f (0) n¶n h m sè ¢ cho li¶n töc t¤i iºm x0 = 0. x→0 x 92
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc  x2 − 4  , x ̸= 2 (ii) T¼m a º h m sè f(x) = x − 2  a, x = 2 li¶n töc t¤i x0 = 2.
Vîi x ̸= 2, h m sè ¢ cho l h m sì c§p n¶n li¶n töc. Khi x2 − 4 x = 2, câ: lim = 4. x→2 x − 2
Vªy º h m sè ¢ cho li¶n töc t¤i x0 = 2 th¼ a = 4. 3.7.2 Li¶n töc mët ph½a
ành ngh¾a 3.7.2 H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l li¶n töc tr¡i t¤i x0 n¸u lim = x→x− 0 f (x0).
H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l li¶n töc ph£i t¤i x0 n¸u lim = f(x0). x→x+ 0
ành l½ 3.7.1 H m sè li¶n töc t¤i iºm x0 khi v ch¿ khi nâ li¶n töc tr¡i v li¶n töc ph£i t¤i iºm x0.  x2 − 3x + 2   , x ̸= 1 V½ dö 3.7.2 Cho h m sè y = |x − 1| .   a, x = 1
(i) T¼m a º h m sè li¶n töc tr¡i t¤i x = 1.
(ii) T¼m a º h m sè li¶n töc ph£i t¤i x = 1.
(iii) T¼m a º h m sè li¶n töc t¤i x = 1.   x − 2, x > 1    Gi£i. Ta câ: f(x) = a, x = 1 .     2 − x, x < 1
(i) Câ: lim f(x) = lim (2 − x) = 1 n¶n º h m sè li¶n töc tr¡i t¤i x = 1 th¼ x→1− x→1− a = 1. 3.7. H m sè li¶n töc 93
(ii) Câ: lim f(x) = lim (x − 2) = −1 n¶n º h m sè li¶n töc ph£i t¤i x = 1 th¼ x→1+ x→1+ a = −1.
(iii) Câ: lim f(x) = lim (2 − x) = 1 ̸= lim f(x) = lim (x − 2) = −1 n¶n khæng x→1− x→1− x→1+ x→1+
tçn t¤i a º h m sè li¶n töc t¤i x = 1.
3.7.3 H m sè li¶n töc tr¶n kho£ng mð v âng
H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n (a, b) n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm x ∈ (a, b).
H m sè y = f(x) ÷ñc gåi l li¶n töc tr¶n [a, b] n¸u nâ li¶n töc tr¶n (a, b) çng
thíi li¶n töc ph£i t¤i a v li¶n töc tr¡i t¤i b.
3.7.4 Ph¥n lo¤i c¡c iºm gi¡n o¤n
iºm x0 ÷ñc gåi l iºm gi¡n o¤n lo¤i 1 cõa h m sè y = f(x) n¸u nâ l
iºm gi¡n o¤n cõa h m sè nh÷ng t¤i â v¨n tçn t¤i giîi h¤n ph£i v giîi h¤n
tr¡i (húu h¤n). °c bi»t, n¸u lim = lim ̸= f(x0) th¼ x0 ÷ñc gåi l iºm gi¡n x→x− x 0 →x+ 0 o¤n bä ÷ñc.
iºm gi¡n o¤n khæng ph£i lo¤i 1 th¼ gåi l iºm gi¡n o¤n lo¤i 2. V½ dö 3.7.3 (i) H m sè   x, x ≤ 1 f (x) =  3x + 2, x > 1
gi¡n o¤n lo¤i 1 t¤i 1 v¼ lim f(x) = 1 = f(1), lim f(x) = 5. x→1− x→1+ (ii) H m sè   x, x < 2    f (x) = 2x − 2, x > 2     1, x = 2 94
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
gi¡n o¤n bä ÷ñc t¤i x = 2 v¼ lim f(x) = lim f(x) = 2 ̸= f(2) = 1. x→2+ x→2− (iii) H m sè   ln x, x > 0 f (x) =  1, x ≤ 0
gi¡n o¤n lo¤i 2 t¤i x = 0 v¼ lim f(x) = ∞. x→0+
3.7.5 C¡c ành l½ v· h m li¶n töc
ành l½ 3.7.2 ç thà cõa h m sè li¶n töc l mët ÷íng li·n n²t.
ành l½ 3.7.3 Gi£ sû f(x), g(x) x¡c ành tr¶n (a, b) v x0 ∈ (a, b). N¸u f(x), g(x) li¶n töc t¤i f (x) p
x0 th¼ c¡c h m sè f(x) ± g(x), f(x).g(x), , Cf (x), n f (x), vîi C l g(x)
h¬ng sè, g(x0) ̸= 0 v f(x) ≥ 0 (n¸u n l sè ch®n) công li¶n töc t¤i iºm x0.
3.7.6 T½nh li¶n töc cõa h m hñp, h m ng÷ñc v h m sè sì c§p
ành l½ 3.7.4 N¸u h m sè y = f(x) li¶n töc t¤i x0 v n¸u h m h = g(y) li¶n töc
t¤i y0 = f(x0) th¼ h m hñp h = g[f(x)] li¶n töc t¤i x0.
ành l½ 3.7.5 N¸u h m sè y = f(x) li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] v ìn i»u tr¶n
o¤n â th¼ h m ng÷ñc cõa nâ công li¶n töc v ìn i»u tr¶n [c, d] vîi [c, d] l
mi·n gi¡ trà cõa f(x) tr¶n [a, b].
ành l½ 3.7.6 H m sè sì c§p li¶n töc tr¶n mi·n x¡c ành cõa nâ.
3.7.7 T½nh ch§t cõa h m sè li¶n töc tr¶n kho£ng âng
ành l½ 3.7.7 N¸u h m sè y = f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] th¼ nâ bà ch°n tr¶n [a, b].
Tùc l , tçn t¤i m, M sao cho m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. 3.7. H m sè li¶n töc 95
ành l½ 3.7.8 N¸u f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] th¼ f(x) ¤t gi¡ trà lîn nh§t v nhä
nh§t tr¶n [a, b]. Ngh¾a l , tçn t¤i x1, x2 ∈ [a, b] sao cho:
m = f (x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M, ∀x ∈ [a, b].
ành l½ 3.7.9 H m sè f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] th¼ f(x) ¤t t§t c£ c¡c gi¡ trà trung gian giúa f(a) v f(b).
H» qu£ 3.7.1 H m sè f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] v f(a).f(b) < 0 th¼ tçn t¤i c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.
V½ dö 3.7.4 Chùng minh r¬ng:
(i) Ph÷ìng tr¼nh x3 − 3x + 1 = 0 câ 3 nghi»m ph¥n bi»t. (ii) Ph÷ìng tr¼nh √
2x3 − 3x2 − 1 = 0 câ nghi»m x0 ∈ ( 3 4, 2). Gi£i.
(i) °t f(x) = x3 − 3x + 1 th¼ f(x) li¶n töc tr¶n R. Ta câ:
f (−2).f(−1) < 0, f(−1).f(1) < 0, f(1).f(2) < 0 n¶n tçn t¤i
x1 ∈ (−2, −1), x2 ∈ (−1, 1), x3 ∈ (1, 2) sao cho f (x1) = f(x2) = f(x3) = 0.
Vªy ph÷ìng tr¼nh ¢ cho luæn câ 3 nghi»m ph¥n bi»t.
(ii) °t f(x) = 2x3 − 3x2 − 1 th¼ f(x) li¶n töc tr¶n R.
Ta câ: f(1).f(2) < 0 n¶n tçn t¤i x0 ∈ (1, 2) sao cho f(x0) = 2x20 − 3x20 − 1 = 0
hay 2x20 = 3x20 + 1. V¼ x0 > 1 n¶n 2x20 = x20 + x20 + x20 + 1 > 4 4px60 = 4px30, suy ra √ √
2x30 > 4px30 ⇒ x0 > 3 4 ⇒ x0 ∈ ( 3 4, 2). 96
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
3.7.8 Mët sè h m th÷íng g°p trong thüc t¸
Trong ph¥n t½ch kinh t¸, ng÷íi ta ph£i nghi¶n cùu c¡c ¤i l÷ñng nh÷ l÷ñng
cung, l÷ñng c¦u, gi¡, chi ph½, doanh thu, têng chi ph½, têng doanh thu, l÷ñng lao
ëng, l÷ñng vèn,.. º cho thuªn ti»n, ng÷íi ta th÷íng dòng c¡c chú c¡i ¦u ti¶n
cõa tø â trong ti¸ng anh º biºu thà ¤i l÷ñng â. Cö thº trong b£ng sau ¥y: T¶n ti¸ng Vi»t T¶n ti¸ng Anh Kþ hi»u L÷ñng cung Quantity Supplied Qs L÷ñng c¦u Quantity Demanded Qd Gi¡ h ng hâa Price P
L÷ñng chi ph½, L÷ñng ti¶u dòng Cost, Consumption C Têng chi ph½ Total Cost T C Doanh thu Revenue R Têng doanh thu Total Revenue T R Lñi nhuªn Profit Pr L÷ñng vèn Capital K L÷ñng lao ëng Labour L Chi ph½ cè ành Fix Cost F C
Chi ph½ phö thuëc s£n ph©m Variable Cost V C Ti¸t ki»m Saving S Thu nhªp Income I
C¡c h m th÷íng g°p trong thüc t¸
(i) H m cung l h m sè ÷ñc dòng º biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng cung
mët lo¤i h ng hâa n o â v o gi¡ cõa nâ trong i·u ki»n c¡c y¸u tè kh¡c
khæng êi. Nh÷ vªy, h m cung câ d¤ng Qs = S(P), (l÷ñng cung l l÷ñng
h ng hâa m ng÷íi b¡n b¬ng láng b¡n ð méi mùc gi¡). 3.7. H m sè li¶n töc 97
(ii) H m c¦u l h m sè ÷ñc dòng º biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng c¦u
mët lo¤i h ng hâa n o â v o gi¡ cõa nâ trong i·u ki»n c¡c y¸u tè kh¡c
khæng êi. Nh÷ vªy, h m c¦u câ d¤ng Qd = D(P), (l÷ñng c¦u l l÷ñng h ng
hâa m ng÷íi mua b¬ng láng mua ð méi mùc gi¡).
Quy luªt thà tr÷íng trong kinh t¸ håc ph¡t biºu r¬ng: Trong i·u ki»n
c¡c y¸u tè kh¡c khæng thay êi, h m cung l h m çng bi¸n; h m c¦u l
h m nghàch bi¸n. Ngh¾a l khi c¡c y¸u tè kh¡c giú nguy¶n, gi¡ h ng hâa
t«ng th¼ ng÷íi b¡n s³ muèn b n nhi·u hìn cán ng÷íi mua s³ mua ½t i.
C¡c nh kinh t¸ gåi ç thà cõa h m cung, h m c¦u l¦n l÷ñt l ÷íng cung
v ÷íng c¦u. Giao iºm cõa hai ÷íng ÷ñc gåi l iºm c¥n b¬ng cõa
thà tr÷íng. T¤i iºm c¥n b¬ng cõa thà tr÷íng, ta câ: vîi mùc gi¡ c¥n b¬ng ¯
P th¼ ng÷íi b¡n b¡n h¸t v ng÷íi mua mua õ, khæng câ hi»n t÷ñng khan hi¸m v d÷ thøa h ng hâa.
Tø quy luªt tr¶n, ta th§y n¸u muèn dòng mæ h¼nh tuy¸n t½nh cho h m cung ta ph£i câ: Qs = aP + b, a > 0.
V h m c¦u câ d¤ng Qd = aP + b, a < 0.
Chó þ 3.7.1 H m cung v h m c¦u ·u câ h m ng÷ñc, trong c¡c t i li»u
kinh t¸ ng÷íi ta th÷íng biºu thà sü phö thuëc cõa gi¡ c£ v o l÷ñng cung,
l÷ñng c¦u th nh ra ng÷íi ta công gåi c¡c h m ng÷ñc cõa c¡c h m cung
v h m c¦u nh÷ ¢ nâi tr¶n l h m cung v h m c¦u t÷ìng ùng ç thà l ÷íng cung v ÷íng c¦u.
(iii) H m s£n xu§t l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa s£n l÷ñng h ng hâa
cõa mët nh s£n xu§t v o c¡c y¸u tè s£n xu§t, nh÷ l : vèn, lao ëng,... (l
c¡c y¸u tè ¦u v o cõa s£n xu§t). Trong kinh t¸ håc, kh¡i ni»m ng­n h¤n 98
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc
v d i h¤n khæng ÷ñc x¡c ành bði kho£ng thíi gian cö thº m ÷ñc hiºu
l nh÷ sau: Ng­n h¤n l kho£ng thíi gian m ½t nh§t mët trong c¡c y¸u
tè s£n xu§t khæng êi. D i h¤n l kho£ng thíi gian m t§t c£ c¡c y¸u tè
s£n xu§t câ thº thay êi. Khi ph¥n t½ch s£n xu§t th¼ ng÷íi ta th÷íng quan
t¥m ¸n hai y¸u tè s£n xu§t quan trång l : vèn (K) v l÷ñng lao ëng (L).
Trong ng­n h¤n, th¼ K ÷ñc cho l khæng thay êi. Nh÷ vªy h m s£n xu§t
ng­n h¤n câ d¤ng: Q = f(L) trong â Q l mùc s£n l÷ñng.
(iv) H m doanh thu l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng doanh thu v o s£n l÷ñng: T R = T R(Q).
(v) H m chi ph½ l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng chi ph½ v o s£n l÷ñng: T C = T C(Q).
(vi) H m lñi nhuªn l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa têng lñi nhuªn (Kþ hi»u l Π) v o s£n l÷ñng: Π = Π(Q).
(vii) H m ti¶u dòng l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa l÷ñng C (Consump-
tion) cõa ng÷íi ti¶u dòng v o thu nhªp I: C = C(I).
(viii) H m ti¸t ki»m l h m º biºu di¹n sü phö thuëc cõa bi¸n ti¸t ki»m S v o bi¸n thu nhªp I: S = S(I). BI TP 1. Chùng minh r¬ng: 3.7. H m sè li¶n töc 99
(a) N¸u lim |xn| = 0 th¼ lim xn = 0. n→∞ n→∞
(b) lim qn = 0 vîi |q| < 1. n→∞ (c) √ lim n a = 1 vîi a > 1. n→∞
2. Cho d¢y {xn} ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: √ √ x1 = 2, xn+1 = 2 + xn.
(a) Chùng minh r¬ng {xn} t«ng v bà ch°n tr¶n. (b) T½nh lim xn. n→∞
3. X²t sü hëi tö cõa c¡c d¢y sau v t¼m giîi h¤n n¸u nâ hëi tö (a) n + 1 xn = (−1)n . n (b) n + 1 xn = . n (c) n xn = . n2 + 1 (d) p xn = n − n2 − n. (e) p xn = n(n + a) − n. 4. T½nh c¡c giîi h¤n sau n p p X n A = lim [n3/2( n3 + 1 − n3 + 2)]; B = lim ; n→∞ n→∞ n2 + k k=1 n X n 1 C = lim √ ; D = lim √ ; n→∞ 3 n3 + k n→∞ n n! k=1 n p X 1 E = lim n n22n + 3n; F = lim ; n→∞ n→∞ k(k + 1) k=1 12 + 22 + ... + n2 2n+1 + 3n+1 G = lim ; H = lim ; n→∞ n3 n→∞ 2n + 3n n sin n 1 + 22 + 33 + ... + nn I = lim ; J = lim . n→∞ n2 + 1 n→∞ nn 5. T¼m h m sè f(x) bi¸t: 100
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc (a) f(x + 1) = x2 − 3x + 2. (b) 1 1 f x + = x2 + . x x2 (c) 1 p f = x + 1 + x2. x (d) x f = x2. x + 1 6. T½nh c¡c giîi h¤n sau √ (a) 9 + 2x − 5 lim √ . x→8 3 x − 2 p √ (b) x + x lim √ . x→∞ x + 1 √ m (c) 1 + αx − 1 lim . x→0 x √ (d) 1 + 2x − 3 lim √ . x→4 x − 2 (e) p lim ( 3 px3 + 3x2 − x2 − 2x). x→+∞ (f) p p lim ( 1 + x + x2 − 1 − x + x2). x→−∞ √ √ n (g) 1 + x − n 1 − x lim . x→0 x 7. T½nh c¡c giîi h¤n sau (a) sin 2x lim . x→0 tan 3x (b) 1 lim − cot x . x→0 sin x (c) sin x − sin a lim . x→a x − a √ (d) 1 − cos x lim . x→0 x2 √ √ 3 (e) cos x − cos x lim . x→0 x2 √ √ (f) 1 + sin x − 1 − sin x lim . x→0 x (g) √ √ lim (sin x + 1 − sin x). x→∞ (h) tan x − sin x lim . x→0 x3 3.7. H m sè li¶n töc 101 (i) eax − ebx lim vîi a ̸= b. x→0 sin ax − sin bx 8. T½nh c¡c giîi h¤n sau x (a) x + 2 lim . x→+∞ 2x + 1 (b) √ lim x 1 − 2x. x→0 1/ sin3 x (c) 1 + tan x lim . x→0 1 + sin x x−1 x+1 (d) x2 − 1 lim . x→+∞ x2 + 1 x+3 (e) x + 1 lim . x→∞ x + 2
9. Dòng VCB t÷ìng ÷ìng t½nh c¡c giîi h¤n sau (a) ln(cos x) lim . x→0 ln(1 + x2) (b) ln(1 + 3x sin x) lim . x→0 tan2 x (c) (1 − ex)(1 − cos x) lim . x→0 x3 + sin4 x (d) ln(1 + tan x) lim . x→0 x + sin3 x
10. X²t t½nh li¶n töc cõa c¡c h m sè sau:  π  ax + 1, x ≤ (a) f(x) = 2 π .  sin x + b, x > 2  1  x sin , x ̸= 0 (b) f(x) = x .  0, x = 0   e1/x2 , x ̸= 0 (c) f(x) = .  0, x = 0   2x, 0 ≤ x ≤ 1 (d) f(x) = .  2 − x, 1 < x ≤ 2 102
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc 11. Chùng minh r¬ng:
(a) Ph÷ìng tr¼nh x5 − 5x3 + 4x − 1 = 0 câ 5 nghi»m ph¥n bi»t. (b) Ph÷ìng tr¼nh √
x4 − x − 3 = 0 luæn câ nghi»m thuëc ( 3 12, 2).
12. Cho vay mët l÷ñng vèn l 50 tri»u çng vîi l¢i su§t 1, 2%/ th¡ng theo h¼nh
thùc l¢i ìn th¼ sau 3 n«m têng sè ti·n thu ÷ñc l bao nhi¶u?
13. Mët ng÷íi gûi 50 tri»u ð ng¥n h ng vîi l¢i su§t 1,2%/ th¡ng theo h¼nh
thùc l¢i k²p th¼ sau 3 n«m ng÷íi â ÷ñc têng sè ti·n l bao nhi¶u?
14. Mët ng÷íi gûi ng¥n h ng 100 tri»u theo thº thùc l¢i k²p, l¢i su§t 0,5% mët
th¡ng. Sau ½t nh§t bao nhi¶u th¡ng, ng÷íi â câ nhi·u hìn 125 tri»u?
15. Mët ng÷íi gûi 320 tri»u çng ð hai ng¥n h ng X v Y theo ph÷ìng thùc l¢i
k²p. Sè ti·n thù nh§t gûi ð ng¥n h ng X vîi l¢i su§t 2,1% mët quþ trong
thíi gian 15 th¡ng. Sè ti·n cán l¤i gûi ð ng¥n h ng Y vîi l¢i su§t 0,73%
mët th¡ng trong thíi gian 9 th¡ng. Têng lñi tùc ¤t ÷ñc ð hai ng¥n h ng
l 27507768,13 (ch÷a l m trán). Häi sè ti·n ng÷íi â l¦n l÷ñt gûi ð ng¥n h ng X v Y l bao nhi¶u?
16. Ng÷íi ta thi¸t k¸ mët c¡i th¡p gçm 11 t¦ng. Di»n t½ch b· m°t tr¶n cõa méi
t¦ng b¬ng núa di»n t½ch cõa m°t tr¶n cõa t¦ng ngay b¶n d÷îi v di»n t½ch
m°t tr¶n cõa t¦ng 1 b¬ng nûa di»n t½ch cõa ¸ th¡p (câ di»n t½ch l 12288
m2). T½nh di»n t½ch m°t tr¶n còng.
17. Mët du kh¡ch v o tr÷íng ua ngüa °t c÷ñc, l¦n ¦u °t 20.000 çng, méi
l¦n sau ti·n °t g§p æi l¦n ti·n °t cåc tr÷îc. Ng÷íi â thua 9 l¦n li¶n
ti¸p v th­ng ð l¦n thù 10 Häi du kh¡c tr¶n th­ng hay thua bao nhi¶u? P SÈ
1. (a) Vîi ϵ > 0 tuý þ, tçn t¤i n0 ∈ N∗, sao cho ||xn|| = |xn| < ϵ. 3.7. H m sè li¶n töc 103
(b) Chån n0 ∈ N∗ vîi n0 > ln|q| ϵ.
(c) Chån n0 ∈ N∗ vîi n0 > ln1+ϵ a. 2. (a) 2 xn+1 − xn = √ > 0, xn < 2, ∀n. xn + 2 + xn (b) lim xn = 2. 3. (a) Khæng hëi tö. (b) 1 lim xn = 1. (c) lim xn = 0. (d) lim xn = . 2 (e) a lim xn = . 2 4. −1 1 A = . B = 1.
C = ∞. D = 0. E = 3. F = 1. G = . H = 3. 2 3 I = 0. J = ∞. 5. (a) 1 p
f (x) = x2 − 5x + 6. (b) f(x) = x2 − 2. (c) f(x) = (1 + 1 + x2). x (d) x 2 f (x) = . 1 − x 6. (a) 12. (b) 1. (c) α . (d) 4. (e) 2. (f) −1. (g) 2 . 5 m 3 n 7. (a) 2. (b) 0 (c) 1 . (d) 1. (e) 1 (f) 1. (g) 0. (h) 1. (i) 3 cos a 4 12 2 1. 8. (a) 0. (b) 1 . (c) √e. (d) 1. (e) 1. e2 e 9. (a) −1. (b) 3. (c) 1. (d) 1. 2 2 10. (a) aπ aπ b =
th¼ h m sè ¢ cho li¶n töc, b ̸= th¼ h m sè ¢ cho gi¡n o¤n 2 2 t¤i π x = . 2 (b) Li¶n töc. (c) Gi¡n o¤n t¤i x = 0. (d) Gi¡n o¤n t¤i x = 1.
11. (a) Ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ −3
5 nghi»m l¦n l÷ñt thuëc v o c¡c kho£ng −2, , 2 −3 1 1 , −1 , 0, , , 1 v (1, 3). 2 2 2 104
Ch÷ìng 3. H m sè - Giîi h¤n - Li¶n töc (b) √ f ( 2).f (2) < 0. 12. 71, 6 tri»u. 13. 76, 8 tri»u. 14. 44, 74 th¡ng.
15. X : 164.981.377 çng; Y : 155.018.622 çng. 16. 6 m2. 17. Th­ng ÷ñc 20.000 çng. TI LIU CN ÅC
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 2 v b i tªp to¡n cao
c§p tªp 2, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 2, NXB HQG H Nëi - 2006.
3. James Stewart, Gi£i t½ch, NXB Hçng ùc - 2016. Ch÷ìng 4
Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
Sau khi håc xong ch÷ìng n y, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc ¤o h m, þ ngh¾a h¼nh håc v ùng döng cõa ¤o h m.
- T½nh ÷ñc ¤o h m v ¡p döng ÷ñc ¤o h m v o c¡c b i to¡n to¡n li¶n quan.
- Hiºu ÷ñc c¡c v§n · v· vi ph¥n v ùng döng cõa ph²p t½nh vi ph¥n. 4.1 ¤o h m 4.1.1 Kh¡i ni»m ¤o h m
ành ngh¾a 4.1.1 Gi£ sû h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b) v x0 ∈ (a, b).
Cho x0 mët sè gia ∆x sao cho x0 + ∆x ∈ (a, b). °t ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) gåi
l sè gia cõa h m sè t¤i iºm x0. N¸u tçn t¤i ∆y lim
(húu h¤n) th¼ giîi h¤n n y ÷ñc gåi l ¤o h m cõa ∆x→0 ∆x
h m sè y = f(x) t¤i iºm x0 v k½ hi»u l f′(x0) ho°c y′(x0). Vªy f (x f ′(x 0 + ∆x) − f (x0) 0) = lim . ∆x→0 ∆x 105 106
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
N¸u °t x = x0 + ∆x th¼ ∆x = x − x0 v ∆x → 0 khi v ch¿ khi x → x0. Khi â, f (x) − f(x f ′(x 0) 0) = lim . x→x0 x − x0 Nhªn x²t 4.1.1
(i) Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng ta ¢ bi¸t f′(x0) ch½nh l h» sè gâc cõa
ti¸p tuy¸n vîi ÷íng cong (C) : y = f(x) t¤i iºm câ ho nh ë x0.
(ii) H m sè li¶n töc t¤i iºm x0 ⇔ lim f(x) = f(x0) ⇔ lim [f(x)−f(x0)] = 0 x→x0 (x−x0)→0 ⇒ lim ∆y = 0. ∆x→0 4.1.2 ¤o h m mët ph½a
Cho h m sè y = f(x) x¡c ành t¤i x0 v t¤i måi iºm x > x0. N¸u tçn t¤i (húu h¤n) giîi h¤n ∆y lim
th¼ giîi h¤n â ÷ñc gåi l ¤o h m ph£i cõa h m ∆x→0+ ∆x
sè y = f(x) t¤i iºm x0 v k½ hi»u l f′(x+0).
T÷ìng tü, n¸u tçn t¤i (húu h¤n) giîi h¤n ∆y lim th¼ giîi h¤n â ÷ñc gåi ∆x→0− ∆x
l ¤o h m tr¡i cõa h m sè y = f(x) t¤i iºm x0 v k½ hi»u l f′(x−0).
ành l½ 4.1.1 H m sè y = f(x) câ ¤o h m t¤i iºm x0 khi v ch¿ khi nâ câ ¤o
h m ph£i, ¤o h m tr¡i t¤i x0 çng thíi hai ¤o h m ph£i v tr¡i b¬ng nhau.
H m sè y = f(x) câ ¤o h m tr¶n (a, b) n¸u nâ câ ¤o h m t¤i méi iºm
thuëc (a, b). H m sè f(x) câ ¤o h m tr¶n [a, b] n¸u nâ câ ¤o h m tr¶n (a, b)
çng thíi câ ¤o h m ph£i t¤i a v ¤o h m tr¡i t¤i b.
4.1.3 Quan h» giúa ¤o h m v li¶n töc
ành l½ 4.1.2 N¸u h m sè y = f(x) câ ¤o h m t¤i iºm x0 th¼ nâ li¶n töc t¤i
iºm x0. i·u ng÷ñc l¤i câ thº khæng óng. 4.1. ¤o h m 107
Chùng minh. Gi£ sû h m sè y = f(x) câ ¤o h m t¤i x0. Khi â: ∆y ∆y lim ∆y = lim .∆x = lim . lim ∆x = f ′(x0).0 = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0
Vªy h m sè li¶n töc t¤i x0.
V½ dö 4.1.1 X²t h m sè f(x) = |x| t¤i x = 0. Rã r ng h m sè ¢ cho li¶n töc
t¤i x = 0 nh÷ng khæng câ ¤o h m t¤i iºm n y. Thªt vªy:  f (x) − f(0) |x| 1, x → 0+ f ′(0) = lim = lim =  ⇒ khæng tçn t¤i f′(0). x→0 x − 0 x→0 x −1 x → 0−
4.1.4 C¡c qui t­c t½nh ¤o h m
ành l½ 4.1.3 N¸u f(x), g(x) l c¡c h m sè câ ¤o h m t¤i iºm x th¼ khi â
têng, hi»u, t½ch v th÷ìng (m¨u kh¡c 0) công câ ¤o h m t¤i iºm x v ÷ñc t½nh nh÷ sau:
(i) [f(x) ± g(x)]′ = f′(x) ± g′(x).
(ii) [f(x).g(x)]′ = f′(x).g(x) + f(x).g′(x). ′ (iii) f(x) f ′(x).g(x) − f(x).g′(x) = . g(x) g2(x)
4.1.5 ¤o h m h m hñp, ¤o h m h m ng÷ñc
ành l½ 4.1.4 Gi£ sû h m sè y = f(u) câ ¤o h m vîi bi¸n u v h m u = u(x)
câ ¤o h m èi vîi bi¸n x th¼ h m hñp y(x) = f[u(x)] câ ¤o h m èi vîi bi¸n x v f′(x) = f′(u).u′(x).
ành l½ 4.1.5 Cho h m sè y = f(x) li¶n töc, ìn i»u nghi¶m ng°t tr¶n (a, b).
N¸u h m sè y = f(x) câ ¤o h m t¤i x v f′(x) ̸= 0 th¼ h m ng÷ñc x = φ(y) câ ¤o h m t¤i 1 y = f (x) v φ′(y) = . f ′(x) 108
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
4.1.6 ¤o h m cõa h m sè y = u(x)v(x) V½ dö 4.1.2 y′ x
y = (x + 1)x ⇒ ln y = x ln(x + 1) ⇒ = ln(x + 1) + y x + 1 h x i
⇒ y′ = (x + 1)x ln(x + 1) + . x + 1
4.1.7 ¤o h m c¡c h m sè sì c§p cì b£n 1 (C)′ = 0
vîi C l h¬ng sè (tan x)′ = = 1 + tan2 x cos2 x 1 (xn)′ = nxn−1 (cot x)′ = − = −(1 + cot2 x) sin2 x1 (ex)′ = ex (arcsin x)′ = √1 − x2 1 (ax)′ = ax ln a (arccos x)′ = −√1 − x2 √ 1 1 ( x)′ = √ (arctan x)′ = 2 x 1 + x2 1 1 (ln x)′ = (arccotx)′ = − x 1 + x2 1 (loga x)′ = (sinh x)′ = cosh x x ln a (sin x)′ = cos x (cosh x)′ = sinh x (cos x)′ = − sin x 4.1.8 ¤o h m c§p cao
ành ngh¾a 4.1.2 Gi£ sû h m sè y = f(x) câ ¤o h m y′ = f′(x) tr¶n (a, b) th¼
f ′(x) công l h m sè theo bi¸n x v ÷ñc gåi l ¤o h m c§p 1 cõa y = f(x).
N¸u f′(x) công câ ¤o h m tr¶n (a, b) th¼ ¤o h m â ÷ñc gåi l ¤o h m c§p
2 cõa h m sè y = f(x) v k½ hi»u l y′′ = f′′(x) = [f′(x)]′.
Têng qu¡t, ¤o h m cõa ¤o h m c§p (n − 1) cõa h m sè y = f(x) ÷ñc gåi
l ¤o h m c§p n cõa y = f(x). K½ hi»u: y(n) = f(n) = [f(n−1)(x)]′.
¤o h m tø c§p 2 trð l¶n gåi l ¤o h m c§p cao.
V½ dö 4.1.3 Cho h m sè y = sin x. Ta câ: 4.2. Vi ph¥n 109 π y′ = cos x = sin x + 2 π
y′′ = − sin x = sin x + 2. 2 .... y(n) = sin x + n. π . 2 C¡c cæng thùc
Gi£ sû f(x), g(x) l hai h m sè câ ¤o h m c§p n. Khi â:
(i) [f(x) ± g(x)](n) = [f(x)](n) ± [g(x)](n)
(ii) [C.f(x)](n) = C[f(x)](n) vîi C l h¬ng sè. n (iii) X [f (x).g(x)](n) =
Ckn[f(x)](k).[g(x)](n−k). (cæng thùc Leibnitz 1) k=0 4.2 Vi ph¥n 4.2.1 Kh¡i ni»m vi ph¥n
ành ngh¾a 4.2.1 Cho h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b) v x0 ∈ (a, b). Cho
x sè gia ∆x sao cho x + ∆x ∈ (a, b). N¸u sè gia cõa h m sè ∆y vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng ∆y = A.∆x + o(∆x),
trong â A l h¬ng sè v o(∆x) l væ còng b² bªc cao hìn ∆x khi ∆x → 0, th¼
h m sè y = f(x) ÷ñc gåi l kh£ vi t¤i x0 v l÷ñng A.∆x gåi l vi ph¥n cõa h m
sè t¤i x0. K½ hi»u: df = A.∆x ho°c dy = A.∆x. ành l½ 4.2.1
1Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716): nh to¡n håc v¾ ¤i ng÷íi ùc, ph¡t minh ëc lªp vîi
Newton v· ph²p t½nh vi t½ch ph¥n, æng câ nhi·u qui t­c v k½ hi»u to¡n håc sû döng ¸n ng y nay. 110
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
(i) N¸u f(x) kh£ vi t¤i x0 th¼ f(x) câ ¤o h m t¤i x0 v A = f′(x0).
(ii) Ng÷ñc l¤i, n¸u f(x) câ ¤o h m t¤i x0 th¼ f(x) kh£ vi t¤i x0 v df = f ′(x0).∆x.
Nhªn x²t 4.2.1 X²t h m sè y = x ⇒ dy = dx = 1.∆x ⇒ dx = ∆x. Tùc l sè gia
cõa bi¸n ëc lªp tròng vîi vi ph¥n dx cõa nâ. Do â, ta th÷íng vi¸t dx thay cho ∆x, ngh¾a l dy = f′(x)dx. 4.2.2 Vi ph¥n cõa h m hñp
X²t h m hñp y = f(u), u = u(x) vîi x l bi¸n ëc lªp. Ta câ, dy = f′(x)dx =
f ′(u)u′(x)dx = f ′(u)du, v¼ u′(x)dx = du. Vªy d¤ng cõa vi ph¥n dy = f′(u)du l b§t
bi¸n cho dò u l bi¸n ëc lªp hay h m kh£ vi cõa bi¸n kh¡c.
4.2.3 Ùng döng cõa vi ph¥n º t½nh g¦n óng
N¸u f(x) kh£ vi t¤i x0 th¼ ∆f = df + o(∆x).
N¸u khi |∆x| kh¡ b² th¼ ∆f ≈ df hay f(x0 + ∆x) − f(x0) ≈ f′(x0).∆x. Tø â suy ra,
f (x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f′(x0).∆x.
V½ dö 4.2.1 T½nh g¦n óng √31, 02. X²t √ 1
f (x) = 3 x ⇒ f′(x) = √ . 3 3 x2 Chån √ ∆x
x0 = 1, ∆x = 0, 02 th¼ 3p1 + 0, 02 = 3px0 + ∆x ≈ 3 x0 + ≈ 1, 0066. 3 3 px20 4.2.4 Vi ph¥n c§p cao
ành ngh¾a 4.2.2 N¸u h m sè f(x) kh£ vi tr¶n (a, b) th¼ df = f′(x)dx công l
h m sè theo bi¸n x v ÷ñc gåi l vi ph¥n c§p 1 cõa f(x). Ta qui ÷îc dx l h¬ng 4.2. Vi ph¥n 111
l÷ñng èi vîi måi ¤o h m c§p cao. N¸u df kh£ vi th¼ vi ph¥n â gåi l vi ph¥n
c§p 2 cõa f(x). K½ hi»u: d2f = d(df) hay d2f = y′′dx2.
Têng qu¡t, vi ph¥n cõa vi ph¥n c§p n − 1 cõa f(x) ÷ñc gåi l vi ph¥n c§p n
cõa f(x). K½ hi»u: dnf = d(dn−1f) hay dnf = f(n)dxn.
V¼ h» thùc n y n¶n ¤o h m c§p dnf n cán câ thº vi¸t l f(n) = . Ch¯ng h¤n dxn df d2f y′ = , y′′ = , ... dx dx2 C¡ch t½nh df = f′dx
d2f = d(df) = d(f′dx) = (f′dx)′dx = f′′dx2 ... dn = f(n)dxn. V½ dö 4.2.2 nπ nπ dn(sin x) = sin x + dxn v dn(cos x) = cos x + dxn. 2 2
4.2.5 C¡c ành l½ cì b£n cõa h m kh£ vi
ành ngh¾a 4.2.3 Cho h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b). H m sè y = f(x)
¤t cüc ¤i àa ph÷ìng (cüc tiºu àa ph÷ìng) t¤i iºm x0 ∈ (a, b) n¸u tçn t¤i
mët l¥n cªn n cõa x0 sao cho vîi måi x ∈ N th¼ f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) .
iºm x0 gåi l iºm cüc ¤i (cüc tiºu) àa ph÷ìng cõa h m sè. iºm cüc
¤i, cüc tiºu àa ph÷ìng gåi chung l iºm cüc trà àa ph÷ìng.
ành l½ 4.2.2 (ành l½ Fermat) N¸u h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n (a, b), ¤t
cüc trà àa ph÷ìng t¤i x0, v n¸u tçn t¤i f′(x0) th¼ f′(x0) = 0. 112
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
Chùng minh. Gi£ sû h m sè y = f(x) ¤t cüc ¤i àa ph÷ìng t¤i x0 ∈ (a, b).
Khi â, tçn t¤i mët l¥n cªn N cõa x0 º
f (x) ≤ f(x0), ∀x ∈ N ⇒ ∆f = f(x) − f(x0) ≤ 0, ∀x ∈ N. Ta câ: ∆f f ′(x+ 0 ) = lim ≤ 0 ∆x→0+ ∆x ∆f f ′(x− 0 ) = lim ≥ 0. ∆x→0− ∆x
V¼ f′(x0) tçn t¤i n¶n f′(x+0) = f′(x−0) ⇒ 0 ≤ f′(x0) ≤ 0. Vªy f′(x0) = 0.
Khi x0 l cüc tiºu th¼ chùng minh t÷ìng tü.
ành l½ 4.2.3 (ành l½ Rolle) N¸u h m sè y = f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] v kh£ vi
tr¶n (a, b) thäa f(a) = f(b) th¼ tçn t¤i x0 ∈ (a, b) sao cho f′(x0) = 0.
Chùng minh. V¼ f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] n¶n f(x) ¤t GTLN M v GTNN m tr¶n [a, b].
N¸u M = m th¼ f(x) = M = m, ∀x ∈ [a, b] n¶n f′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Vªy x0 l iºm b§t k¼ thuëc [a, b].
N¸u M > m, v¼ f(x) ¤t gi¡ trà m v M tr¶n [a, b] m f(a) = f(b) n¶n ½t
nh§t mët trong hai gi¡ trà â h m sè ph£i ¤t ÷ñc t¤i mët iºm x0 n o
â thuëc [a, b]. Theo ành l½ Fermat th¼ f′(x0) = 0.
V½ dö 4.2.3 Cho f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Chùng minh r¬ng ph÷ìng
tr¼nh f′(x) = 0 câ ba nghi»m thüc ph¥n bi»t.
V¼ f(x) li¶n töc v kh£ vi tr¶n R v f(1) = f(2) = f(3) = f(4) n¶n theo ành
l½ Rolle th¼ tçn t¤i x1 ∈ (1, 2), x2 ∈ (2, 3), x3 ∈ (3, 4) sao cho f′(x1) = f′(x2) =
f ′(x3) = 0. Ta câ i·u ph£i chùng minh. 4.2. Vi ph¥n 113 Þ ngh¾a h¼nh håc
Cho ÷íng cong (C) : y = f(x). X²t cung AB thuëc (C). N¸u tr¶n [a, b], h m
sè f(x) thäa t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa ành l½ Rolle th¼ tçn t¤i iºm C thuëc cung
AB sao cho ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong t¤i C song song vîi Ox.
ành l½ 4.2.4 (ành l½ Lagrange) N¸u h m sè y = f(x) li¶n töc tr¶n [a, b] v kh£ vi tr¶n f (b) − f(a)
(a, b) th¼ tçn t¤i x0 sao cho f′(x0) = . b − a Chùng minh. °t f (b) − f(a) g(x) = f (x) − f(a) −
(x − a) th¼ g(x) li¶n töc tr¶n b − a
[a, b], kh£ vi trong kho£ng (a, b) v g(a) = g(b) = 0. N¶n h m g(x) thäa ành l½
Rolle do â tçn t¤i iºm x0 ∈ (a, b) sao cho g′(x0) = 0. M f (b) − f(a) f (b) − f(a) g′(x) = f ′(x) − ⇒ g′(x = 0 ⇒ f′(x b − a 0) = f ′(x0) − b − a 0) = f (b) − f(a). b − a Þ ngh¾a h¼nh håc
Cho ÷íng cong (C) : y = f(x). X²t cung AB thuëc (C). N¸u tr¶n [a, b], h m
sè f(x) thäa t§t c£ c¡c i·u ki»n cõa ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i iºm C thuëc
cung AB sao cho ti¸p tuy¸n cõa ÷íng cong t¤i C song song vîi d¥y cung AB. V½ dö 4.2.4
(i) T¼m tr¶n ÷íng cong (C) : y = x3 − 3x2 nhúng iºm m ti¸p tuy¸n vîi (C)
t¤i iºm â song song vîi d¥y cung nèi 2 iºm A(0, 0), B(2, −4).
Ta câ h m sè y = x3 − 3x2 li¶n töc v kh£ vi tr¶n R n¶n nâ li¶n töc tr¶n
[0, 2] v kh£ vi tr¶n (0, 2). Theo ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i x0 ∈ (0, 2) sao cho f (2) − f(0) f ′(x0) = = −2. 2 − 0 √ M 3 ± 3
f ′(x) = 3x2 − 6x ⇒ 3x20 − 6x0 = −2 ⇒ x0 = ∈ (0, 2). 3 √
Vªy câ 2 iºm c¦n t¼m t÷ìng ùng vîi ho nh ë l 3 ± 3 x0 = . 3 114
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
(ii) Cho h m sè f : [a, b] → R+ kh£ vi tr¶n (a, b). Chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh f(a) = e(a−b)f′(x) f (x)
(1) câ ½t nh§t mët nghi»m thuëc (a, b). f (b) Ta câ: f ′(x) f ′(x) ln f (b) − ln f(a)
(1) ⇔ ln f(a) − ln f(b) = (a − b) ⇔ = . f (x) f (x) b − a X²t h m sè f ′(x)
g(x) = ln f (x) li¶n töc tr¶n [a, b] v câ g′(x) = tr¶n (a, b). f (x)
Theo ành l½ Lagrange th¼ tçn t¤i c ∈ (a, b) sao cho ln f (b) − ln f(a) f ′(c) ln f (b) − ln f(a) g′(c) = ⇔ = . b − a f (c) b − a
Vªy ph÷ìng tr¼nh (1) câ ½t nh§t mët nghi»m thuëc (a, b).
ành l½ 4.2.5 (ành l½ Cauchy) Gi£ sû f(x), g(x) l c¡c h m sè li¶n töc tr¶n
[a, b], kh£ vi tr¶n (a, b) v g′(x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b) th¼ tçn t¤i ½t nh§t mët iºm x0 ∈ (a, b) sao cho f ′(x0) f (b) − f(a) = . g′(x0) g(b) − g(a)
Chùng minh. X²t h m sè F(x) = f(x)[g(b) − g(a)] − g(x)[f(b) − f(a)]. Khi â,
h m sè F(x) x¡c ành tr¶n [a, b], kh£ vi tr¶n (a, b) thäa F(a) = F(b) = 0. N¶n
theo ành l½ Rolle th¼ tçn t¤i x0 ∈ (a, b) sao cho F′(x0) = 0 ⇔ f′(x0)[g(b) − g(a)] −
g′(x0)[f(b) − f(a)] = 0 hay f ′(x0) f (b) − f(a) = . g′(x0) g(b) − g(a)
V½ dö 4.2.5 Cho f(x) l h m kh£ vi tr¶n o¤n [a, b] vîi ab > 0. Chùng minh a b
r¬ng tçn t¤i iºm c ∈ (a, b) sao cho 1 = f(c) − cf′(c). a − b f (a) f (b) a b f (b) Ta câ: 1 af (b) − bf(a) = = b − f(a) a . a − b 1 f (a) f (b) a − b b − 1 a X²t h m sè f (x) 1 g(x) = , h(x) =
, x ∈ [a, b] th¼ rã r ng hai h m sè n y li¶n x x
töc v kh£ vi tr¶n [a, b]. Theo ành l½ Cauchy th¼ tçn t¤i c ∈ (a, b) sao cho g(b) − g(a) g′(c) cf ′(c) − f(c) c2 = = . = f (c) − cf′(c). h(b) − h(a) h′(c) c2 (−1) 4.3. Qui t­c L'Hospital 115 4.3 Qui t­c L'Hospital 4.3.1 Quy t­c L'Hospital 1
ành l½ 4.3.1 Gi£ sû c¡c h m sè f(x), g(x) câ ¤o h m ð l¥n cªn iºm x0 thäa f ′(x)
f (x0) = g(x0) = 0 v g′(x0) ̸= 0 ð l¥n cªn x0. Khi â, n¸u lim = A th¼ x→x0 g′(x) f (x) lim = A. x→x0 g(x)
Chùng minh. Theo ành l½ Cauchy th¼ f(x) f (x) − f(x f ′(c) = 0) = (v¼ f(x g(x) g(x) − g(x 0) = 0) g′(c)
g(x0) = 0) vîi c n¬m giúa x v x0. V¼ c n¬m giúa x v x0 n¶n khi x → x0 th¼ f ′(c) c → x0. Do â, lim = A. c→x0 g′(c) Vªy f ′(x) lim = A. x→x0 g′(x) V½ dö 4.3.1 (i) ln(cos ax) −a sin ax lim = lim = 0. x→0 x x→0 cos ax (ii) ax − 1 lim = lim ax ln a = ln a. x→0 x x→0 4.3.2 Quy t­c L'Hospital 2
ành l½ 4.3.2 Gi£ sû c¡c h m sè f(x), g(x) câ ¤o h m ð l¥n cªn iºm x0, f ′(x)
lim g(x) = lim f (x) = ∞ v g′(x) ̸= 0 ð l¥n cªn x0. Khi â, n¸u lim = A x→x0 x→x0 x→x0 g′(x) th¼ f (x) lim = A. x→x0 g(x) V½ dö 4.3.2 (i) ln x 1/x 1 lim = lim = = 0. x→+∞ x7 x→+∞ 7x6 7x7 (ii) ln x 1/x sin2 x 2 sin x cos x lim = lim = − lim = − lim = 0. x→0 cot x x→0 −1/ sin2 x x→0 x x→0 1 116
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n Chó þ 4.3.1
(i) C¡c ành l½ v¨n óng khi x → ±∞.
(ii) p döng c¡c qui t­c n y li¶n töc nhi·u l¦n v¨n ÷ñc. (iii) N¸u khæng tçn t¤i f ′(x) f (x) lim
th¼ ta khæng thº k¸t luªn g¼ v· lim . x→x0 g′(x) x→x0 g(x) V½ dö 4.3.3 9x3 27x2 54x 54 lim = lim = lim = lim = 54. x→0 x − sin x x→0 1 − cos x x→0 sin x x→0 cos x
4.3.3 p döng qui t­c L'Hospital º khû d¤ng væ ành  1 0 0. = 0.∞ = 0 0  1 ∞ . .∞ = ∞ ∞ 1 1 1 ∞−∞ = u−v = −
= v − 1u (ho°c nh¥n l÷ñng li¶n hi»p ho°c logarit 1/u 1/v 1 .1 u v hâa).
uv = ev lnu ⇒ lim uv = elimv lnu. V½ dö 4.3.4 (i) x 1 1 lim x cot πx = lim = lim = . x→0 x→0 tan πx x→0 π/ cos2 πx π (ii) 1 ln x ln x (−1)
lim x 1−x = lim e 1−x = elimx→1 1−x = elimx→1 x = e−1. x→1 x→1 4.4 Kh£o s¡t h m sè
4.4.1 T½nh ìn i»u v cüc trà
ành l½ 4.4.1 Gi£ sû h m sè y = f(x) kh£ vi t¤i måi iºm thuëc [a, b]. Khi â
h m sè t«ng (hay gi£m) tr¶n [a, b] khi v ch¿ khi f′(x) ≥ 0 (hay f′(x) ≤ 0) vîi måi x ∈ [a, b]. 4.4. Kh£o s¡t h m sè 117
V½ dö 4.4.1 H m sè y = x3+2x câ y′ = 3x2+2 > 0, ∀x ∈ R n¶n h m sè y = x3+2x l h m luæn t«ng tr¶n R.
ành ngh¾a 4.4.1 iºm x0 ÷ñc gåi l iºm døng cõa h m sè y = f(x) n¸u
f ′(x0) = 0 v ÷ñc gåi l iºm k¼ dà n¸u f′(x0) khæng tçn t¤i. iºm døng v iºm
k¼ dà gåi chung l iºm tîi h¤n.
ành l½ 4.4.2 Gi£ sû h m sè y = f(x) x¡c ành t¤i iºm x0 v câ ¤o h m trong
l¥n cªn cõa x0 (câ thº trø x0) v x0 l iºm tîi h¤n cõa f(x). Khi x qua x0 m
¤o h m f′(x) êi d§u th¼ h m sè ¤t cüc trà àa ph÷ìng t¤i x0. Cö thº l :
(i) N¸u f′(x) êi tø d§u d÷ìng sang ¥m th¼ x0 l cüc ¤i.
(ii) N¸u f′(x) êi tø d§u ¥m sang d÷ìng th¼ x0 l cüc tiºu. √
V½ dö 4.4.2 T¼m cüc trà cõa h m sè y = f(x) = x + 2x2 + 1. Ta câ: 2x −1 f ′(x) = 1 + √ = 0 ⇔ x = √ . 2x2 + 1 2 B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ −1 √ +∞ 2 f ′(x) − 0 + f (x) +∞ +∞ ↘ ↗ 1 √2
Vªy h m sè ¤t cüc tiºu t¤i −1 √ v gi¡ trà cüc tiºu l 1 √ . 2 2
ành l½ 4.4.3 Gi£ sû h m sè y = f(x) câ ¤o h m li¶n töc ¸n c§p 2 trong l¥n
cªn cõa iºm x0 tho£ f′(x0) = 0, f”(x0) ̸= 0. Khi â:
(i) N¸u f”(x0) < 0 th¼ h m sè ¤t cüc ¤i t¤i x0 .
(ii) N¸u f”(x0) > 0 th¼ h m sè ¤t cüc tiºu t¤i x0 . 118
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
4.4.2 Gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t cõa h m sè
ành ngh¾a 4.4.2 Cho h m sè y = f(x), x ∈ D. N¸u tçn t¤i x0 ∈ D sao cho
f (x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) vîi måi x ∈ D th¼ f(x0) ÷ñc gåi l gi¡ trà lîn nh§t
(nhä nh§t) cõa f(x) tr¶n D. V½ dö 4.4.3 (i) H m sè 1
, x ∈ R câ gi¡ trà lîn nh§t l 1 khi x = 0. Ta câ y > 0 vîi måi 1 + x2
x nh÷ng h m khæng câ gi¡ trà nhä nh§t tr¶n R.
(ii) H m sè y = |x| câ gi¡ trà nhä nh§t l 0 khi x = 0.
(iii) H m sè y = x3 − 3x câ c¡c iºm døng l x = ±1. V¼ y”(1) > 0 n¶n x = 1
l iºm cüc tiºu, y”(−1) < 0 n¶n x = −1 l iºm cüc ¤i. Nh÷ng h m sè
khæng câ gi¡ trà lîn nh§t công nh÷ gi¡ trà nhä nh§t v¼ lim f(x) = ±∞. x→±∞
Ta ¢ bi¸t h m sè y = f(x) x¡c ành v li¶n töc tr¶n [a, b] th¼ ¤t gi¡ trà lîn
nh§t v nhä nh§t tr¶n [a, b]. C¡c gi¡ trà â câ thº ð a v b. Cán n¸u ¤t ð trong
(a, b) th¼ â ph£i l cüc trà àa ph÷ìng. Vªy º t¼m gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t
cõa h m sè y = f(x) ta l m nh÷ sau:
(i) T¼m c¡c iºm tîi h¤n cõa h m sè tr¶n (a, b).
(ii) T½nh gi¡ trà cõa f(x) t¤i c¡c iºm tîi h¤n v t¤i hai ¦u mót a v b.
(iii) Gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè ch½nh l sè lîn nh§t v sè
nhä nh§t trong c¡c gi¡ trà vøa t½nh ð (ii).
V½ dö 4.4.4 T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè p y = x + 2 − x2. Gi£i. Tªp x¡c ành: √ √ D = [− 2, 2]. 4.4. Kh£o s¡t h m sè 119 Ta câ: x y′ = 1 − √ = 0 ⇔ x = 1. 2 − x2 √ √ √ √
y(− 2) = − 2, y( 2) = 2, y(1) = 2. Vªy √ max y = 2 v min y = − 2.
V½ dö 4.4.5 Mët cæng ty b§t ëng s£n câ 50 c«n hë cho thu¶. Bi¸t r¬ng n¸u
cho thu¶ méi c«n hë vîi gi¡ 2.000.000 çng méi th¡ng th¼ måi c«n hë ·u câ
ng÷íi thu¶ v cù méi l¦n t«ng gi¡ cho thu¶ méi c«n hë 100.000 çng méi th¡ng
th¼ câ th¶m 2 c«n hë bà bä trèng. Muèn câ thu nhªp cao nh§t, cæng ty â ph£i
cho thu¶ vîi gi¡ méi c«n hë l bao nhi¶u? Gi£i:
Gåi x l gi¡ thu¶ thüc t¸ cõa méi c«n hë, (x (çng) ; x ≥ 2000.000 (çng)).
Ta câ thº lªp luªn nh÷ sau:
T«ng gi¡ 100.000 çng th¼ câ 2 c«n hë bà bä trèng.
T«ng gi¡ x − 2.000.000 çng th¼ câ bao nhi¶u c«n hë bà bä trèng.
Theo quy t­c tam xu§t ta câ sè c«n hë bà bä trèng l : (x − 2.000.000)2 x − 2.000.000 = 100.000 50.000
Do â khi cho thu¶ vîi gi¡ x çng th¼ sè c«n hë cho thu¶ l : x − 2.000.000 x 50 − = 90 + 50.000 50.000
Gåi F(x) l h m lñi nhuªn thu ÷ñc khi cho thu¶ c¡c c«n hë, (F(x): çng). Khi â, x F (x) = 90 + x, x ∈ [2.000.000, +∞) 50.000
Ta d¹ d ng t¼m ÷ñc: Fmax = F(2.250.000)
Vªy cæng ty cho thu¶ vîi gi¡ méi c«n hë l 2.250.000 çng th¼ câ thu nhªp cao nh§t. 120
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
4.4.3 T½nh lçi, lãm v iºm uèn cõa ç thà
Cho h m sè y = f(x) câ tªp x¡c ành D. ç thà cõa h m sè trong m°t ph¯ng
Oxy th÷íng l ÷íng cong n¶n ng÷íi ta th÷íng gåi y = f(x) l ph÷ìng tr¼nh cõa ÷íng cong hay ÷íng cong.
ành ngh¾a 4.4.3 H m sè f(x) x¡c ành v li¶n töc tr¶n (a, b) ÷ñc gåi l lãm
tr¶n (a, b) n¸u ∀x1, x2 ∈ (a, b), ∀α ∈ [0, 1] th¼
f (αx1 + (1 − α)x2) ≤ αf(x1) + (1 − α)f(x2).
H m sè f(x) ÷ñc gåi l lçi tr¶n (a, b) n¸u −f(x) lãm tr¶n (a, b).
ành l½ 4.4.4 Cho h m sè f(x) kh£ vi ¸n c§p 2 tr¶n (a, b). Khi â, h m sè lãm
tr¶n (a, b) khi v ch¿ khi f”(x0) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b).
T÷ìng tü, ta công câ h m sè lçi tr¶n (a, b) khi v ch¿ khi f”(x0) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b).
ành ngh¾a 4.4.4 iºm I(x0, y0) cõa h m ÷íng cong y = f(x) ÷ñc gåi l
iºm uèn n¸u nâ ph¥n c¡ch cung lçi v cung lãm cõa ÷íng cong.
ành l½ 4.4.5 Cho h m sè f(x) câ ¤o h m c§p 2 trong l¥n cªn iºm x0. N¸u
khi i qua x0 m ¤o h m c§p 2 êi d§u th¼ iºm I(x0, f(x0)) l iºm uèn.
V½ dö 4.4.6 X²t t½nh lçi, lãm v iºm uèn cõa y = e−x2. Gi£i. Ta câ: ±1
y′ = −2xe−x2 ⇒ y” = (4x2 − 2)e−x2 ⇒ y” = 0 ⇔ x = √ . 2 B£ng x²t d§u: x −∞ − 1 √ 1 √ +∞ 2 2 y′′ + 0 − 0 + y lãm lçi lãm 4.4. Kh£o s¡t h m sè 121 4.4.4 ÷íng ti»m cªn
ành ngh¾a 4.4.5 ÷íng th¯ng ∆ gåi l ti»m cªn cõa ÷íng cong y = f(x)
n¸u kho£ng c¡ch tø iºm M tr¶n ÷íng cong ¸n ∆ d¦n ¸n 0 khi M i ra væ tªn dåc theo ÷íng cong.
N¸u lim f(x) = ±∞ th¼ x = a l ti»m cªn song song vîi tröc tung v ta gåi x→a l ti»m cªn ùng. V½ dö 4.4.7 H m sè 1 y =
câ hai ti»m cªn ùng l x = 2 v x = 3. x2 − 5x + 6 H m sè π
y = tan x câ væ sè ti»m cªn ùng l x = + kπ, k ∈ Z. 2
÷íng ti»m cªn câ d¤ng y = ax + b vîi a ̸= 0 gåi l ti»m cªn xi¶n. N¸u a = 0 th¼ gåi l ti»m cªn ngang.
X²t ∆ : y = ax + b v ÷íng cong y = f(x). Kho£ng c¡ch tø iºm M(x, f(x)) ¸n ∆ l |f(x) − (ax + b)| d = √ . a2 + 1
Tø â d → 0 ⇔ f(x) − (ax + b) → 0. Do â n¸u ∆ l ti»m cªn th¼ lim [f (x) − (ax + b)] = 0 (4.1) x→∞ suy ra f (x) b f (x) lim x − a − = 0 hay a = lim . x→∞ x x x→∞ x
Theo (4.1) th¼ b = lim [f(x) − ax]. x→∞
Chó þ 4.4.1 N¸u c¡c i·u ki»n tr¶n ch¿ x£y ra khi x → +∞ ho°c x → −∞ th¼
ta ch¿ câ ti»m cªn v· b¶n ph£i (ho°c tr¡i).
V½ dö 4.4.8 T¼m ti»m cªn cõa ç thà h m sè y = xe1/x.
Ta câ: lim y = ∞ n¶n x = 0 l ti»m cªn ùng. x→0 M°t kh¡c: y e1/x − 1 lim
= lim e1/x = 1 v lim (y − x) = lim = 1 n¶n x→∞ x x→∞ x→∞ x→∞ 1/x y = x + 1 l ti»m cªn xi¶n. 122
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n 4.4.5 Kh£o s¡t h m sè
º kh£o s¡t mët h m sè ta l m c¡c b÷îc sau ¥y:
1. T¼m tªp x¡c ành v c¡c iºm gi¡n o¤n cõa h m sè. Nhªn x²t v· t½nh
ch®n, l´ v tu¦n ho n (n¸u câ) cõa h m º rót gån mi·n kh£o s¡t.
2. Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n: T½nh ¤o h m c§p 1 tr¶n mi·n kh£o s¡t v x²t
d§u ¤o h m c§p 1. Tø â suy ra chi·u bi¸n thi¶n v c¡c iºm cüc trà. Lªp
b£ng bi¸n thi¶n t÷ìng ùng trong â °t nhúng gi¡ trà v nhúng giîi h¤n quan trång cõa h m.
3. Kh£o s¡t t½nh lçi lãm v iºm uèn.
4. T¼m c¡c ÷íng ti»m cªn.
5. T¼m giao iºm cõa ç thà vîi c¡c tröc tåa ë.
6. Düa v o k¸t qu£ ð tr¶n v³ d¤ng ç thà cõa h m sè.
V½ dö 4.4.9 Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà c¡c h m sè sau: (i) y = xe−x (ii) y = x − 2 arctan x
Gi£i. (i) Tªp x¡c ành: D = R.
y′ = e−x − xe−x = e−x(1 − x); y′ = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1/e. x 1 lim y = −∞; lim y = lim = lim
= 0 n¶n ç thà câ ti»m cªn x→−∞ x→+∞ x→+∞ ex x→+∞ ex ngang y = 0. B£ng bi¸n thi¶n: 4.4. Kh£o s¡t h m sè 123 x −∞ 1 +∞ y′ + 0 − y 1/e ↗ ↘ −∞ 0 ç thà (tü v³).
(ii) Tªp x¡c ành: D = R. ¥y l h m sè l´. ¤o h m c§p 1: 2 x2 − 1 y′ = 1 − = . 1 + x2 1 + x2 Gi£i π π
y′ = 0 ta ÷ñc x = −1 ⇒ y = −1 + v x = 1 ⇒ y = 1 − . 2 2 ¤o h m c§p 2: 4x y′′ = = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0. (1 + x2)2 lim y = ±∞. x→±∞ B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ −1 0 1 +∞ y′ + 0 − −1 − 0 + y′′ 0 y −1 + π + 2 ∞ ↗ ↘ −∞ 0 ↗ ↘ 1 − π2 y arctan x lim = lim 1 − 2
= 1; lim (y − x) = lim (−2 arctan x) = π; x→+∞ x x→+∞ x x→−∞ x→−∞
limx→+∞(y − x) = −2 arctan x = −π
n¶n ç thà câ hai ti»m cªn xi¶n l y = x ± π. iºm uèn: (0, 0). ç thà (tü v³). 124
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n BI TP
1. Dòng ành ngh¾a t½nh ¤o h m c¡c h m sè sau (a) y = 2x + 1; (b) y = sin(2x2 + 1); (c) y = cot x; (d) 1 y = . x2 2. T½nh c¡c ¤o h m sau
(a) y = x3 cos(x − 3) t¤i x = 3; (b) 1 1 y = x sin t¤i x = ± . x π
3. T½nh ¤o h m c¡c h m sè sau (a) √ √ y = x + x + 3 x (b) x x y = tan − cot 2 2 √ (c) y = ln(x + 1 + x2) (d) y = log3(x2 − sin x) (e) 1 − x2 y = arcsin 1 + x2 (f) y = earctanx (g) 1 y = x x (h) y = (sin x)arctanx √ 4. Cho h m sè x2 + 1 (1 + x2)2 y = + . Chùng minh r¬ng: x 3x
x(x2 + 1)y′ + y = x(1 + x2)2. 5. Cho h m sè x2 y = 2e 2 . Chùng minh r¬ng: y′′ = xy′ + y. 4.4. Kh£o s¡t h m sè 125
6. T½nh ¤o h m theo c¡c c§p ¢ ch¿ ra: √ (a) y = x 1 + x2. T½nh y”; (b) 1 + x y = √ . T½nh y(3); 1 − x (c) y = sin2 x. T½nh y(n); (d) 1 y = . T½nh y(n); x(x − 1) (e) 1 y = . T½nh y(n); x2 − 3x + 2
7. T¼m vi ph¥n c§p 1 v c§p 2 cõa c¡c h m sè sau: (a) 1 y = ; x (b) y = (x3 + 1)e3x; (c) a x y = + arctan ; x a (d) y = arctan(e4x). 8. T½nh c¡c giîi h¤n sau: 1 1 A = lim − B = lim x2 ln x x→0 x sin x x2 x→0 1 1 1 (1 + x) x − e C = lim − D = lim x→0 x ex − 1 x→0 x π − 2 arctan x ln(sin ax) E = lim F = lim x→∞ ln(1 + 1/x) x→0 ln(sin x) 1 x2 − 1 + ln x G = lim (cot x) ln x H = lim x→0 x→1 ex − e arcsin x 1 ex − e−x I = lim ( ) x2 J = lim x→0 x x→0 ln(1 + x) ex − e−x − 2x ln(cos 2x) K = lim L = lim . x→0 x − sin x x→0 sin x 9. T½nh g¦n óng √ (a). 4 17 (b). tan 460 (c). arcsin 0, 51.
10. Chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc sau: (a) x3 x +
< tan x vîi x ∈ (0, π/2); 3 126
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n (b) ex > 1 + x; (c) π
sin x + tan x > 2x vîi 0 < x < ; 2 (d) arctan x ln(1 + x) > . 1 + x
11. Sû döng ành l½ Lagrange, chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc sau
(a) | sin x − sin y| ≤ |x − y|; (b) x
< ln(1 + x) < x vîi x > 0 1 + x (c) x − y x − y ≤ tan x − tan y < vîi x, y ∈ (0, π/2). cos2 y cos x
12. T¼m c¡c kho£ng t«ng, gi£m cõa c¡c h m sè sau: (a) √ y = x(1 + x); (b) x y = ; ln x (c) ex y = ; x (d) y = x2 ln x; (e) x3 y = . 3 − x2
13. T¼m cüc trà cõa c¡c h m sè sau: (a) x y = ; x2 + 4 (b) (x − 1)2 y = ; x + 1 (c) y = x − 2 arctan x; (d) x2 y = . 1 − x
14. T¼m gi¡ trà lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t
(a) y = 2 tan x − tan2 x vîi x ∈ [0, π]; 2
(b) y = x4 − 8x2 + 3 vîi x ∈ [−1, 2]; 4.4. Kh£o s¡t h m sè 127 (c) x2 + 1 y = vîi x ∈ R; x2 + x + 1
(d) y = x − 2 ln x vîi [3, e]. 2
15. T¼m kho£ng lçi, lãm v iºm uèn (a) 1 y = 4x2 + ; x (b) y = x2 ln x; (c) y = (x2 + 1)ex; (d) y = (x − 1)4 + e2x.
16. T¼m c¡c ÷íng ti»m cªn (a) y = x + ln x; (b) 1 y = ; 1 − ex √ √ (c) y = x2 + 1 + x2 − 1; (d) y = xe1/x2.
17. Kh£o s¡t v v³ ç thà c¡c h m sè sau: (a) 4x3 − x4 y = ; 5 (b) y = sin4 x + cos4 x; (c) 2x y = arcsin ; x2 + 1
(d) y = 3p(x + 1)2 − 3p(x − 1)2.
18. Mët cûa h ng A b¡n b÷ði vîi gi¡ b¡n méi qu£ l 50.000 çng. Vîi gi¡ b¡n
n y th¼ cûa h ng ch¿ b¡n ÷ñc kho£ng 40 qu£ b÷ði. Cûa h ng n y dü ành
gi£m gi¡ b¡n, ÷îc t½nh n¸u cûa h ng cù gi£m méi qu£ 5000 çng th¼ sè
b÷ði b¡n ÷ñc t«ng th¶m l 50 qu£. X¡c ành gi¡ b¡n º cûa h ng â thu
÷ñc lñi nhuªn lîn nh§t, bi¸t r¬ng gi¡ nhªp v· ban ¦u méi qu£ l 30.000 çng. 128
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
19. Mët xe kh¡ch i tø H Nëi v· C¦n Thì chð tèi a ÷ñc l 60 h nh kh¡ch
mët chuy¸n. N¸u mët chuy¸n chð ÷ñc m h nh kh¡ch th¼ gi¡ ti·n cho méi 2 h nh kh¡ch ÷ñc t½nh l 5m 30 −
çng. T½nh sè h nh kh¡ch tr¶n méi 2
chuy¸n xe º nh xe thu ÷ñc lñi nhuªn méi chuy¸n xe l lîn nh§t?
20. Gia ¼nh æng A nuæi tæm vîi di»n t½ch ao nuæi l 100 m2 . Vö tæm vøa qua
æng nuæi vîi mªt ë l 1 (kg/ m2) tæm gièng v s£n l÷ñng tæm khi thu
ho¤ch ÷ñc kho£ng 2 t§n tæm. Vîi kinh nghi»m nuæi tæm nhi·u n«m, æng
cho bi¸t cù th£ gi£m i 200 (g/ m2) tæm gièng th¼ s£n l÷ñng tæm thu ho¤ch
÷ñc 2, 2 t§n tæm. Vªy vö tîi æng ph£i th£ bao nhi¶u kg tæm gièng º ¤t
s£n l÷ñng tæm cho thu ho¤ch l lîn nh§t? (Gi£ sû khæng câ dàch b»nh, hao höt khi nuæi tæm gièng). P SÈ 1. (a) 2. (b) 4x cos(2x2 + 1). (c) −1 . (d) −2. sin2 x x3 2. (a) 1 27.
(b) y′( ) = π, y′(−1) = −π. π π 3. (a) 1 1 1 + √ + √ . (b) 4x cos(2x2 + 1). (c) −1 . (d) −2. 2 x 3 3 x2 sin2 x x3 q −2 x2 (e)
(1+x2)2 . (f) earctanx. (g) −x−2+1x(log x − 1). x 1 + x2 (h) log sin x (sin x)arctan x + arctan x cot x . x2 + 1 4. Th¸ 1 1 2 y v y′ = x2 − − √ +
v o ¯ng thùc c¦n chùng minh. 3x2 x2 1 + x2 3 5. Th¸ x2 x2
y, y′ = 2xe 2 v y′ = 2(x2 + 1)e 2 v o ¯ng thùc c¦n chùng minh. 6. (a) x(2x2 + 3) nπ . (b) −3(x − 11). (c) (−1)n+12n−1 cos( − 2x). 3 7 (1 + x2) 2 8(1 − x)2 2 (d) 1 1 1 1 (−1)nn! − . (e) (−1)nn! − . (x − 1)n+1 xn+1 (x − 2)n+1 (x − 1)n+1 4.4. Kh£o s¡t h m sè 129 7. (a) 1 2 dy = − dx, d2y = dx2. x2 x3
(b) dy = 3e3x(x3 + x2 + 1), d2y = 3e3x(3x3 + 6x2 + 2x + 3)dx2. (c) a3 2a3(a2 + 2x2) dy = − dx, d2y = dx2. a2x2 + x4 x3(a2 + x2)2 (d) 4e4x 16e4x(e8x − 1) dy = dx, d2y = − dx2. e8x + 1 (e8x + 1)2 8. 1 1 −e 1 3 1 A = , B = 0, C = , D =
, E = 2, F = 1, G = , H = , I = e 6 , 6 2 2 e e J = 2, K = 2, L = 0.
9. Sû döng cæng thùc vi ph¥n º t½nh gi¡ trà g¦n óng. 10. (a) X²t y = x + x3 ). 3 − tan x, x ∈ (0, π 2 (b) X²t y = x+1. ex
(c) X²t y = sin x + tan x − 2x
(d) X²t y = (x + 1) ln(x + 1) − arctan x.
11. (a) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i ξ thäa: sin x − sin y = (x − y) cos ξ.
(b) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i 1 ξ thäa ln(1 + x) − ln 1 = x. 1 + ξ
(c) p döng ành l½ Lagrange, tçn t¤i 1 ξ thäa tan x − tan y = (x − y). cos2 ξ
12. (a) T«ng tr¶n (0, +∞). (b) T«ng tr¶n (e, +∞), gi£m tr¶n (0, 1) v (1, e).
(c) T«ng tr¶n (1, +∞), gi£m tr¶n (−∞, 0) v (0, 1). (d) T«ng tr¶n −1 −1
(e 2 , +∞), gi£m tr¶n (0, e 2 ). (e) T«ng tr¶n √ √ √ √
(−3, − 3), (− 3, 3) v ( 3, 3); gi£m tr¶n (−∞, −3) v (3, +∞). 13. (a) yct = −1 = y( = y(2). 4 −2), ycd = 14 (b) yct = 0 = y(1). (c) yct = y(1), ycd = y(−1). (d) yct = y(0), ycd = y(2). 14. (a) ymax = 1. (b) ymax = 3, ymin = −13. 130
Ch÷ìng 4. Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n (c) ymax = 2, ymin = 2. 3
(d) ymax = 3, ymin = 2 − 2 ln 2. √ √ √ 15. (a) H m sè lçi tr¶n 3 3 3 (−∞, − 2) v (0, + 2 , 0); U( 2 , 0). 2
∞); H m sè lãm tr¶n (− 2 − 2
(b) H m sè lçi tr¶n (0, +∞).
(c) H m sè lçi tr¶n (−∞, −3) v (−1, +∞); H m sè lãm tr¶n (−3, −1);
U1(−3, 10e−3), U2(−1, 2e−1).
(d) H m sè lçi tr¶n (−∞, +∞).
16. (a) Ti»m cªn ùng: x = 0.
(b) Ti»m cªn ùng: x = 0; Ti»m cªn ngang: y = 0, y = 1.
(c) Ti»m cªn xi¶n: y = 2x; y = −2x.
(d) Ti»m cªn ùng: x = 0; Ti»m cªn xi¶n: y = x.
17. p döng ki¸n thùc trong ph¦n kh£o s¡t h m sè . 18. 42.000 çng. 19. 40 ng÷íi. 20. 230 kg. 3 TI LIU CN ÅC
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 2 v b i tªp to¡n cao
c§p tªp 2, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 2, NXB HQG H Nëi - 2006.
3. James Stewart, Gi£i t½ch, NXB Hçng ùc - 2016. Ch÷ìng 5
Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
Sau khi håc xong ch÷ìng n y, ng÷íi håc câ thº:
- Hiºu ÷ñc c¡c ành ngh¾a v· nguy¶n h m, t½ch ph¥n v c¡c ùng döng cõa nguy¶n h m v t½ch ph¥n.
- T¼m ÷ñc nguy¶n h m v t½ch ph¥n cõa h m sè mët bi¸n.
5.1 Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 5.1.1 Nguy¶n h m
ành ngh¾a 5.1.1 H m sè F(x) ÷ñc gåi l nguy¶n h m cõa h m sè f(x) tr¶n
(a, b) n¸u F (x) li¶n töc tr¶n (a, b), kh£ vi t¤i méi iºm tr¶n (a, b) v F ′(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b). V½ dö 5.1.1 x2
F (x) = cos x l nguy¶n h m cõa h m sè f(x) = − sin x, F (x) = 2
l nguy¶n h m cõa h m sè f(x) = x.
ành l½ 5.1.1 Mët h m sè li¶n töc tr¶n [a, b] th¼ luæn câ nguy¶n h m tr¶n [a, b].
ành l½ 5.1.2 N¸u F(x) l mët nguy¶n h m cõa f(x) tr¶n (a, b) th¼ 131 132
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
(ii) F(x) + C vîi C l h¬ng sè công l nguy¶n h m cõa f(x) tr¶n (a, b).
(ii) H m G(x) l nguy¶n h m cõa f(x) tr¶n (a, b) khi v ch¿ khi G(x) = F(x)+C vîi C l h¬ng sè tòy þ.
Nhªn x²t 5.1.1 N¸u mët h m sè câ nguy¶n h m th¼ nâ câ væ sè nguy¶n h m
v c¡c nguy¶n h m n y sai kh¡c nhau mët h¬ng sè cëng. 5.1.2 T½ch ph¥n b§t ành
ành ngh¾a 5.1.2 Tªp hñp t§t c£ c¡c nguy¶n h m cõa f(x) ÷ñc gåi l t½ch Z Z
ph¥n b§t ành cõa f(x) v ÷ñc k½ hi»u l f (x)dx. Trong â, l d§u t½ch
ph¥n, x l bi¸n l§y t½ch ph¥n, f(x) l h m sè l§y t½ch ph¥n v f(x)dx l biºu
thùc d÷îi d§u t½ch ph¥n. Vªy, R f(x)dx = F(x) + C.
Vi»c t¼m nguy¶n h m cõa mët h m sè gåi l ph²p l§y t½ch ph¥n cõa h m sè â. C¡c t½ch ch§t Z Z Z (i) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx. Z Z (ii) kf (x)dx = k
f (x)dx vîi k l h¬ng sè kh¡c 0. Z ′ (iii) f (x)dx = f (x).
5.1. Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 133
5.1.3 C¡c cæng thùc t½ch ph¥n b§t ành cì b£n Z Z dx 0dx = C √ = arcsin x + C 1 − x2 Z Z dx adx = ax + C = arctan x + C 1 + x2 Z xn+1 Z dx Z xndx = + C, (n ̸= −1) = (tan2 x + 1)dx = tan x + C n + 1 cos2 x Z dx Z dx Z = ln |x| + C, x ̸= 0 = (cot2 x + 1)dx = − cot x + C x sin2 x Z Z dx exdx = ex + C = tanh x + C cosh2 x Z ax Z dx axdx = + C, 0 < a ̸= 1 = coth x + C ln a sinh2 x Z Z dx 1 x sin xdx = − cos x + C = arctan + C x2 + a2 a a Z Z dx x cos xdx = sin x + C √ = arcsin + C a2 − x2 a Z Z dx 1 x − a tan xdx = − ln | cos x| + C = ln + C x2 − a2 2a x + a Z Z dx p cot xdx = ln | sin x| + C √ = ln |x + x2 + k| + C x2 + k Z Z p x p a2 x sinh xdx = cosh x + C a2 − x2dx = a2 − x2 + arcsin + C 2 x a Z Z p x p k p cosh xdx = sinh x + C x2 + kdx = x2 + k + ln |x + x2 + k| + C 2 2
5.1.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n b§t ành Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n êi bi¸n lo¤i 1
°t x = φ(t) vîi φ(t) l h m kh£ vi ìn i»u theo bi¸n t. Khi â: Z Z f (x)dx = f [φ(t)]φ′(t)dt V½ dö 5.1.2 134
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n Z (i) X²t dx I = . p(1 − x2)3 °t dx dt x = sin t, t ∈ −π , π = . 2 2
⇒ dx = cos tdt, p(1 − x2)3 cos2 t Z Khi â: dt x I = = tan t + C = √ + C. cos2 t 1 − x2 Z (ii) X²t dx I = . (x2 + a2)2 °t adt a2 x = a tan t ⇒ dx = , x2 + a2 = . cos2 t cos2 t Z Z Khi â: 1 1 1 sin 2t I = cos2 tdt = (1 + cos 2t)dt = t + + C. a2 2a3 2a3 2 êi bi¸n lo¤i 2
°t t = ψ(x) vîi t l bi¸n mîi v ψ(x) l h m kh£ vi. Khi â: Z Z f [ψ(x)]ψ′(x)dx = f (t)dt V½ dö 5.1.3 Z (i) X²t xdx I = √ . x4 + 1
°t t = x2 ⇒ dt = 2xdx. Khi â 1 Z dt 1 p I = √ = ln |t + t2 + 1| + C. 2 t2 + 1 2 hay 1 p I = ln(x2 + x4 + 1) + C. 2 Z (ii) X²t dx I = √ . 1 + ex °t √ 2tdt t =
1 + ex ⇒ t2 = 1 + ex ⇒ dt = exdx ⇒ dx = v t2 − 1 dx 2dt √ = . 1 + ex t2 − 1 √ Z Khi â: tdt t − 1 1 + ex − 1 I = 2 = ln | | + C = ln |√ | + C. t2 − 1 t + 1 1 + ex + 1
5.1. Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 135
T½ch ph¥n tøng ph¦n Gi£ sû u = u(x), v = v(x) l c¡c h m câ ¤o h m li¶n töc u′(x), v′(x). Khi â: Z Z udv = uv − vdu V½ dö 5.1.4 √ Z (i) T½nh x ln(x + x2 + 1) I = √ dx. x2 + 1  p  dx  u = ln(x + x2 + 1)  du = √ °t xdx ⇒ x2 + 1 √ .  dv = √  x2 + 1 v = x2 + 1 Khi â Z p p p p I = x2 + 1 ln(x + x2 + 1) − dx = x2 + 1 ln(x + x2 + 1) − x + C. Z (ii) T½nh I = (arcsin x)2dx.   2 arcsin xdx  u = (arcsin x)2  du = √ dx °t ⇒ 1 − x2 .  dv = dx  v = x Z Khi â x arcsin xdx I = x(arcsin x)2 − 2 √ . 1 − x2   dx  u1 = arcsin x  du1 = √ dx L¤i °t xdx ⇒ 1 − x2 √ .  dv1 = √  1 − x2 v1 = − 1 − x2 Vªy p I = x(arcsin x)2 + 2 1 − x2 arcsin x − 2x + C.
Chó þ 5.1.1 T½ch ph¥n tøng ph¦n th÷íng ÷ñc sû döng trong c¡c t½ch ph¥n câ d¤ng: 136
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n R P (x) ln xdx R P (x)eaxdx R P (x) sin axdx R eax sin bxdx R P (x) arcsin axdx R eax cos bxdx R P (x) cos axdx R sin(ln x)dx R P (x) arccos axdx R cos(ln x)dx R P (x) arctan axdx R P (x) lnm xdx R P (x)arccotaxdx
Trong â: P(x) l a thùc v a, b l c¡c sè thüc. Khi â:
(i) °t u l h m l÷ñng gi¡c ng÷ñc, ln x, P(x), h m l÷ñng gi¡c.
(ii) Khi °t u l h m l÷ñng gi¡c th¼ t½ch ph¥n c¦n t½nh th÷íng xu§t hi»n ð v¸ ph£i. (iii) Khæng °t u l h m mô. Z V½ dö 5.1.5 X²t I = cos(ln x)dx.   sin(ln x)dx  u = cos(ln x)  du = − °t ⇒ x .  dv = dx  v = x Z Khi â I = x cos(ln x) −
sin(ln x)dx = x cos(ln x) − I1.   cos(ln x)dx  u  du L¤i °t 1 = sin(ln x) 1 = ⇒ x  dv1 = dx  v1 = x n¶n x
I1 = x sin(ln x) − R cos(ln x)dx = x sin(ln x) − I suy ra I = [cos(ln x) + 2 sin(ln x)] + C. 5.1.5 T½ch ph¥n h m húu t¿
Ta nâi ph¥n thùc P(x) l ph¥n thùc thªt sü khi P(x), Q(x) l c¡c a thùc v Q(x)
bªc cõa P(x) b² hìn bªc cõa Q(x).
5.1. Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 137
Ta gåi c¡c ph¥n thùc câ d¤ng sau l nhúng ph¥n thùc ìn gi£n: A A A , , (n ≥ 2), x − a (x − a)n (x2 + a2)n M x + N M x + N , (p2 − 4q < 0) , (p2 − 4q < 0, n ≥ 2). x2 + px + q (x2 + px + q)n
Ta t½nh t½ch ph¥n cõa c¡c ph¥n thùc ìn gi£n: Z Adx = Aln|x − a| + C x − a Z Z Adx A(x − a)−n+1 = A (x − a)−ndx = + C (x − a)n −n + 1  1  2nxdx Z  u =  du = − dx I (x2 + a2)n (x2 + a2)n+1 n = . °t ⇒ (x2 + a2)n  dv = dx  v = x Z n¶n x x2dx In = + 2n (x2 + a2)n (x2 + a2)n+1 Z Z Z Z Ta câ x2dx (x2 + a2) − a2 dx dx = dx = −a2 = (x2 + a2)n+1 (x2 + a2)n+1 (x2 + a2)n (x2 + a2)n+1 In − a2In+1. Z Vªy x 2n − 1 dx 1 x In+1 = + I = arctan + C 2na2(x2 + a2)n 2na2 n vîi I1 = x2 + a2 a a Z Z M (2x + p) + N M x + N − Mp dx = 2 2 dx = x2 + px + q x2 + px + q M Z d(x2 + px + q) M p Z d(x + p/2) + N − = 2 x2 + px + q 2 (x + p/2)2 + (q − p2/4) M 2N − Mp 2x + p ln(x2 + px + q) + arctan + C 2 p p 4p − q2 4p − q2
ành l½ 5.1.3 Måi a thùc Q(x) bªc n vîi h» sè thüc ·u câ thº ph¥n t½ch th nh
t½ch c¡c thøa sè l nhà thùc bªc nh§t v tam thùc bªc hai khæng câ nghi»m thüc,
trong â câ thº câ c¡c thøa sè tròng nhau.
Q(x) = a0(x − a)α(x − b)β...(x2 + px + q)µ(x2 + lx + s)ν
vîi p2 − 4q < 0, ..., l2 − 4s < 0 v α + β + ... + 2(µ + ... + ν) = n. 138
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
ành l½ 5.1.4 Ph¥n thùc húu t¿ thüc sü P(x) vîi Q(x) câ d¤ng nh÷ tr¶n câ thº Q(x)
ph¥n t½ch th nh têng c¡c ph¥n thùc ìn gi£n. V½ dö 5.1.6
(i) Khai triºn (x + 2)2 th nh têng c¡c ph¥n thùc ìn gi£n. x(x − 1)2 Ta câ: (x + 2)2 A B C = + + . x(x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2
Qui çng m¨u sè ta ÷ñc: x2 + 4x + 4 = A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx.
C¥n b¬ng h» sè hai v¸ ta ÷ñc: A = 4, B = −3, C = 9. Vªy (x + 2)2 4 3 9 = − + . x(x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2 Z (ii) T½nh x3 − x2 − 4x − 1 I = dx. x4 + x3 Ta câ: x3 − x2 − 4x − 1 x3 − x2 − 4x − 1 A B C D = = + + + = x4 + x3 x3(x + 1) x3 x2 x x + 1
(C + D)x3 + (B + C)x2 + (A + B)x + A. x3(x + 1)
C¥n b¬ng h» sè ta ÷ñc: A = −1, B = −3, C = 2, D = −1. Khi â: x3 − x2 − 4x − 1 1 3 2 1 = − − + − . x4 + x3 x3 x2 x x + 1 Z Z Vªy x3 − x2 − 4x − 1 1 3 2 1 I = dx = − − + − dx x4 + x3 x3 x2 x x + 1 hay 1 3 I = + + 2 ln |x| − ln |x + 1| + C. 2x2 x
5.1.6 T½ch ph¥n h m l÷ñng gi¡c Ph÷ìng ph¡p chung Z X²t t½ch ph¥n I = R(sin x, cos x)dx. °t x t = tan ⇒ x = 2 arctan t. Khi â: 2 2dt dx = 1 + t2
5.1. Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 139 2t sin x = 1 + t2 1 − t2 cos x = . 1 + t2 Z Z Vªy 2t 1 − t2 2dt I = R(sin x, cos x)dx = R , . ¥y l t½ch ph¥n h m 1 + t2 1 + t2 1 + t2 húu t¿ theo bi¸n t. Z V½ dö 5.1.7 T½nh dx I = . 1 + cos x °t x 2dt 1 − t2 t = tan ⇒ x = 2 arctan t v dx = , cos x = . 2 1 + t2 1 + t2 Z Khi â: x I = dt = t + C = tan + C. 2
Mët v i tr÷íng hñp °c bi»t
(i) N¸u R(sin x, cos x) l´ theo sin x tùc l R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) th¼ ta °t t = cos x.
(ii) N¸u R(sin x, cos x) l´ theo cos x tùc l R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) th¼ ta °t t = sin x.
(iii) R(sin x, cos x) ch®n theo sin x v cos x, tùc l R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
th¼ ta °t t = tan x ho°c t = cot x. (iv) D¤ng R sinm x cosn xdx N¸u m l´: °t t = cos x. N¸u n l´: °t t = sin x.
N¸u m, n ·u ch®n v câ mët sè ¥m: °t t = tan x.
N¸u m, n ·u ch®n v ·u d÷ìng th¼ ta dòng cæng thùc h¤ bªc: 1 1 sin2 x = (1 − cos 2x), cos2 x = (1 + cos 2x). 2 2 140
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
(v) D¤ng R cos ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax sin bxdx th¼ ta ¡p döng cæng
thùc bi¸n êi t½ch th nh têng: 1
cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 21
cos a cos b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] 2 1
sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]. 2 V½ dö 5.1.8 Z (i) T½nh sin3 xdx I = . 1 + cos2 x
°t t = cos x ⇒ dt = − sin xdx. Khi â: Z (1 − cos2 x) sin xdx Z (1 − t2)(−dt) Z 2 I = = = 1 − dt = 1 + cos2 x 1 + t2 1 + t2 t − 2 arctan t + C. Z (ii) T½nh cos x + sin x cos x I = dx. 2 + sin x Z Z °t 1 + t 1
t = sin x ⇒ dt = cos xdx. Khi â: I = dt = 1 − dt = 2 + t 2 + t
t − ln |2 + t| + C = sin x − ln |2 + sin x| + C. Z (iii) T½nh dx I = . sin x cos3 x °t dx t = tan x ⇒ dt = . Khi â: cos2 x Z dx Z 1 dx Z 1 + t2 Z 1 I = = (1 + tan2 x) = dt = (t + )dt = tan x cos4 x tan x cos2 x t t 1 1
t2 + ln |t| + C = tan2 x + ln | tan x| + C. 2 2 Z (iv) T½nh I = cos x cos 3xdx. Z Ta câ: 1 1 1 I = (cos 4x + cos 2x)dx = sin 4x + sin 2x + C. 2 8 4
5.1. Nguy¶n h m v t½ch ph¥n b§t ành 141 5.1.7 T½ch ph¥n h m væ t¿ ! Z r r (i) D¤ng ax + b ax + b R x, m , r , ...
dx vîi R l h m húu t¿ v m, r, ... l cx + d cx + d c¡c sè nguy¶n d÷ìng. r Khi â ta °t ax + b t = n vîi n = BSCNN(m, r, ...). cx + d Z (ii) D¤ng p R(x,
ax2 + bx + c)dx, (a ̸= 0) vîi R l h m húu t¿. C¡ch 1: Ph²p th¸ Euler 1 √ N¸u √ √
a > 0 th¼ °t t = ax2 + bx + c = t − a x ho°c (t + a x) √ N¸u √ √
c > 0 th¼ °t t = ax2 + bx + c = xt + c ho°c (xt − c) √
N¸u ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) th¼ °t ax2 + bx + c = t(x − α).
C¡ch 2: êi bi¸n sè l÷ñng gi¡c. Ta câ b ∆ b ax2 + bx + c = a (x + )2 − . °t u = x + ⇒ du = dx. 2a 4a2 2a √ √ √ N¸u √
∆ ≥ 0 th¼ ax2 + bx + c = a u2 − α2, (a > 0) ho°c ax2 + bx + c = √ √ ∆
−a α2 − u2, (a < 0) vîi α = . 4a2 √ √ N¸u √ ∆ ∆ < 0 th¼ ax2 + bx + c =
a u2 + α2, (a > 0) vîi α = − . 4a2
Nh÷ vªy ta s³ ÷a t½ch ph¥n v· mët trong c¡c d¤ng sau: Z p R1(u,
u2 + α2)du ⇒ °t u = α tan t Z p α R2(u, u2 − α2)du ⇒ °t u = sint Z p R2(u,
α2 − u2)du ⇒ °t u = α sin t. V½ dö 5.1.9
1L²onhard Euler (1707 - 1783): nh to¡n håc Thöy S¾ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh khoa håc, nh to¡n
håc Ph¡p Laplace gåi Euler l æng th¦y cõa c¡c nh to¡n håc cõa th¸ k¿ 18. 142
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n √ Z (i) T½nh xdx I = √ . 3 √ x2 − 4 x °t √
t = 12 x ⇒ x = t12 ⇒ dx = 12t11dt. Z Z Z Khi â 12t17dt 12t14dt t4 I = = = 12 t9 + t4 + dt = t8 − t3 t5 − 1 t5 − 1 t10 t5 1 12 + + ln |t5 − 1| + C. 10 5 5 Z (ii) T½nh p I = x2 + 2x + 2dx. °t t = x + 1 ⇒ dt = dx. Z Khi â p t p 1 p I = t2 + 1dt = t2 + 1 + ln |t + t2 + 1| + C. 2 2 Z (iii) T½nh dx I = √ . x + x2 + x + 1 °t p t2 − 1 2t2 + 2t + 2 x2 + x + 1 = t − x ⇒ x = ⇒ dx = dt. 2t + 1 (2t + 1)2 Z Z Khi â 2t2 + 2t + 2 2 3 3 I = dt = − − dt = 2 ln |t|− (2t + 1)2 t 2t + 1 (2t + 1)2 3 3 √ ln |2t + 1| + + C vîi t = x + x2 + x + 1. 2 2(2t + 1) 5.2 T½ch ph¥n x¡c ành 5.2.1 T½ch ph¥n x¡c ành
Cho h m sè y = f(x) x¡c ành tr¶n [a, b]. Chia o¤n [a, b] th nh n o¤n nhä bði c¡c iºm chia nh÷ sau:
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Gåi ∆xi l ë d i cõa [xi−1, xi], i = 1, 2, ..., n v d = max ∆xi. Tr¶n méi ∆xi i=1,...,n ta l§y mët iºm ξi tòy þ. n Lªp têng X In =
f (ξi)∆xi. N¸u tçn t¤i giîi h¤n lim In = I khæng phö thuëc n→∞ i=1
v o ph²p chia [a, b] v c¡ch l§y iºm ξi tr¶n méi ∆xi th¼ I ÷ñc gåi l t½ch ph¥n
x¡c ành cõa f(x) l§y tr¶n [a, b]. Khi â ta nâi f(x) kh£ t½ch tr¶n [a, b]. 5.2. T½ch ph¥n x¡c ành 143 Z b K½ hi»u: I =
f (x)dx. Trong â: [a, b] l o¤n l§y t½ch ph¥n, a l cªn d÷îi, a
b l cªn tr¶n, f(x) l h m d÷îi d§u t½ch ph¥n, x l bi¸n l§y t½ch ph¥n v f(x)dx
l biºu thùc d÷îi d§u t½ch ph¥n.
5.2.2 T½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành
Gi£ sû c¡c t½ch ph¥n ÷ñc nâi ¸n ·u tçn t¤i. Ta câ c¡c t½nh ch§t sau: Z a (i) f (x)dx = 0; a Z b Z c Z b (ii) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx; a a c Z b (iii)
Cdx = C(b − a) vîi C l h¬ng sè; a Z b Z b Z b (iv) (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx; a a a Z b Z b Z b (v) f (x)dx = f (t)dt = f (u)du = ...; a a a Z b Z a (vi) f (x)dx = − f (x)dx; a b Z b Z b (vii) Cf (x)dx = C f (x)dx vîi C l h¬ng sè; a a Z b
(viii) N¸u f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] th¼ f (x)dx ≥ 0; a Z b Z b
(ix) N¸u f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] th¼ f (x)dx ≤ g(x)dx; a a Z b
(x) N¸u α ≤ f(x) ≤ β th¼ α(b − a) ≤ f (x)dx ≤ β(b − a); a Z b Z b (xi) f (x)dx ≤ |f(x)|dx; a a 144
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
(xii) N¸u f(x) kh£ t½ch tr¶n [a, b] v tr¶n [a, b] câ m ≤ f(x) ≤ M. Khi â tçn t¤i µ ∈ [a, b] sao cho Z b f (x)dx = µ(b − a). a
¥y l nëi dung ành l½ gi¡ trà trung b¼nh. °c bi»t, n¸u f(x) li¶n töc tr¶n
[a, b] th¼ tçn t¤i c ∈ [a, b] º 1 Z b f (c) = f (x)dx b − a a
v f(c) ÷ñc gåi l gi¡ trà trung b¼nh cõa f(x) tr¶n [a, b].
5.2.3 Li¶n h» giúa t½ch ph¥n x¡c ành v nguy¶n h m
X²t h m sè f(t) kh£ t½ch tr¶n [a, b], l§y x ∈ [a, b]. V¼ [a, x] ⊂ [a, b] n¶n f(t) kh£ Z x t½ch tr¶n [a, x]. °t F(x) =
f (t)dt th¼ F (x) l mët h m theo bi¸n x. a
ành l½ 5.2.1 N¸u f(t) kh£ t½ch tr¶n [a, b] th¼ F(x) li¶n töc tr¶n [a, b].
ành l½ 5.2.2 Gi£ sû f li¶n töc tr¶n [a, b]. Khi â: Z x (i) F(x) =
f (t)dt l mët nguy¶n h m cõa f tr¶n [a, b] a
(ii) N¸u G(x) l mët nguy¶n h m b§t k¼ cõa f tr¶n [a, b] th¼ Z b
f (x)dx = G(x)|ba = G(b) − G(a) a
v ta gåi ¥y l cæng thùc Newton 2- Leibnitz. V½ dö 5.2.1 Z 1 xdx Z 1 1 1 1 h 1 i 1 I = = − dx = ln |x + 1| + = ln 2 − . 0 (x + 1)2 0 x + 1 (x + 1)2 x + 1 0 2
2Isaac Newton (1643 - 1728): nh to¡n håc v vªt l½ håc v¾ ¤i ng÷íi Anh. Æng câ h ng lo¤t nhúng
ph¡t minh nêi ti¸ng nh÷ ph²p t½nh vi t½ch ph¥n, ành luªt v¤n vªt h§p d¨n,... 5.2. T½ch ph¥n x¡c ành 145
5.2.4 C¡c ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n x¡c ành Ph÷ìng ph¡p êi bi¸n êi bi¸n lo¤i 1 Z b X²t t½ch ph¥n
f (x)dx vîi f li¶n töc tr¶n [a, b]. Gi£ sû êi bi¸n sè x = φ(t) a thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(i) φ(t) câ ¤o h m li¶n töc tr¶n [α, β] n o â. (ii) φ(α) = a, φ(b) = b
Khi t bi¸n thi¶n tr¶n [α, β] th¼ x bi¸n thi¶n tr¶n [a, b]. Khi â: Z b Z β f (x)dx = f (φ(t))φ′(t)dt. a α Z a V½ dö 5.2.2 T½nh p I = a2 − x2dx. 0 °t π π
x = a sin t, t ∈ [− , ] ⇒ dx = a cos tdt. 2 2   x = 0 ⇒ t = 0 êi cªn .  x = a ⇒ t = π2 π Z 2 Khi â: πa2 I = a2 cos2 tdt = . 0 4 êi bi¸n lo¤i 2 Z b X²t t½ch ph¥n
f (x)dx vîi f li¶n töc tr¶n [a, b]. Gi£ sû êi bi¸n sè t = φ(x) a thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
(i) φ(x) ìn i»u v câ ¤o h m li¶n töc tr¶n [a, b]
(ii) f(x)dx trð th nh g(t)dt vîi g(t) l h m li¶n töc tr¶n [φ(a), φ(b)]. Khi â: 146
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n Z b Z φ(b) I = f (x)dx = g(t)dt a φ(a) Z π V½ dö 5.2.3 T½nh x sin x I = dx. 0 1 + cos2 x
°t t = π − x ⇒ dx = −dt. Khi â:
Z π (π − t)(sin(π − t)(−dt) Z π (π − t) sin t Z π sin tdt Z π t sin tdt I = = dt = π − = 0 1 + cos2(π − t) 0 1 + cos2 t 0 1 + cos2 t 0 1 + cos2 t Z π −d(cos t) π π2 π
− I ⇒ I = − arctan(cos t) |π0 = . 0 1 + cos2 t 2 4
Ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n
N¸u u, v l c¡c h m kh£ vi trong (a, b), li¶n töc tr¶n [a, b] v u′v, uv′ kh£ t½ch tr¶n [a, b] th¼: Z b Z b udv = uv|ba − vdu a a Z 1 V½ dö 5.2.4 T½nh I = x ln(x2 + 1)dx 0   2xdx  du =  u = ln(x2 + 1)  °t ⇒ x2 + 1 . x2  dv = xdx  v =  2 Z 1 Z 1 Khi â: x2 x3dx 1 x 1 I = ln(x2 + 1)|1 = ln 2 − x − dx = ln 2 − 2 0 − 0 x2 + 1 2 0 x2 + 1 2 x2 1 1 1 − ln(x2 + 1) = ln 2 − . 2 2 2 0
5.3 Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành
5.3.1 T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng y = f(x), x = a, x = b v tröc
ho nh ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau:
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành 147 Z b S = |f(x)|dx a
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng y = f(x), y = g(x), x = a, x = b
÷ñc t½nh theo cæng thùc sau: Z b S = |f(x) − g(x)|dx a
T÷ìng tü, di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng x = f(y), y = c, y = d
v tröc tung ÷ñc t½nh theo cæng thùc sau: Z d S = |f(y)|dy c
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng x = f(y), x = g(y), y = c, y = d
÷ñc t½nh theo cæng thùc sau: Z d S = |f(y) − g(y)|dy c
V½ dö 5.3.1 T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng y = x2, y = 0, x = 1, x = 2. Ta câ: Z 2 x3 7 S = x2dx = 2 . 1 = 1 3 3
5.3.2 T½nh thº t½ch vªt thº trán xoay
Cho ÷íng cong (C), x²t cung AB thuëc ÷íng cong (C) v tröc ∆. Khi quay
(C) hay cung AB quanh tröc ∆ th¼ vªt thº thu ÷ñc gåi l vªt thº trán xoay tröc ∆.
Gi£ sû (C) giîi h¤n bði {y = f(x), a ≤ x ≤ b} th¼ khi quay (C) quanh Ox vªt
thº thu ÷ñc câ thº t½ch l : 148
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n Z b V = π f 2(x)dx a
T÷ìng tü, (C) giîi h¤n bði {x = f(y), c ≤ x ≤ d} th¼ khi quay (C) quanh Oy
vªt thº thu ÷ñc câ thº t½ch l : Z d V = π f 2(y)dy c BI TP
1. Dòng ph÷ìng ph¡p êi bi¸n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau Z dx Z dx (a) √ (b) √ x 1 + x2 x x2 − 1 Z dx Z dx (c) (d) x ln x ln(ln x) px(1 − x) Z sin xdx Z xdx (e) √ (f ) √ cos 2x (x2 + 2) 3x2 + 5 Z sin 2xdx Z dx (g) (h) √ p 2 9 sin2 x + 25 cos2 x (arcsin x)2 1 − x2 Z 2xdx Z 6xdx (i) √ (j) 1 − 4x 9x − 4x √ Z x + arcsin x Z x − (arccos 2x)2 (k) √ dx (l) √ dx. 1 − x2 1 − 4x2
2. Dòng ph÷ìng ph¡p t½ch ph¥n tøng ph¦n º t½nh c¡c t½ch ph¥n sau
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành 149 Z Z (a) x2e−2xdx (b) x3e−x2dx Z Z √ (c) ex sin xdx (d) arctan xdx Z Z (e) (arcsin x)2dx (f ) (1 − 6x)e2xdx Z Z (g) (4 − 16x) sin 4xdx (h) ln2 xdx Z Z (i) x sin xdx (j) (4x − 2) cos 2xdx Z xdx Z xdx (k) (l) sin2 x cos2 x Z x cos xdx Z arcsin xdx (m) (n) sin3 x x2 Z Z √ (o) x2 arccos xdx (p) e xdx Z Z (q) x5ex3dx (r) e2x cos 3xdx Z Z (s) x cos2 xdx (t) (ex + sin x)2dx Z x2dx Z ln2 xdx (u) (v) (1 + x2)2 x2 Z ln(sin x) (x) dx. sin2 x
3. T½nh c¡c t½ch ph¥n húu t¿ Z x3 Z x4 (a) dx (b) dx x − 2 x2 + 1 Z x − 4 Z dx (c) dx (d) (x − 2)(x − 3)2 (x + 1)(x − 3) Z dx Z 5x − 14 (e) (f ) dx x4 − 16 x3 − x2 − 4x + 4 Z dx Z xdx (g) (h) x3 + 1 1 − x3 Z x5 + 1 Z x4 + 1 (i) dx (j) dx. x2 + 2x − 3 x6 + 1
4. T½nh t½ch ph¥n c¡c h m væ t¿ Z r 1 − x Z dx (a) dx (b) √ √ x3 x(1 + 2 x + 3 x) Z dx Z xdx (c) √ (d) √ x2 1 + x2 3 − 2x − x2 Z x2dx Z dx (e) √ (f ) √ √ . 1 + x + x2 x( 3 x − 1) 150
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
5. T½nh t½ch ph¥n h m l÷ñng gi¡c Z Z (a) sin2 3xdx (b) (cos x + sin x)2dx Z Z (c) sin2 x cos2 xdx (d) sin2 x cos4 xdx Z Z (e) (1 + cos 2x)3dx (f ) cos7 xdx Z Z (g) sin5 xdx (h) sin2 x cos3 xdx Z dx Z cos3 xdx (i) (j) sin 2x sin2 x Z Z (k) tan3 xdx (l) tan5 xdx Z dx Z dx (m) (n) sin3 x cos5 x sin4 x cos4 x Z dx Z dx (o) (p) cos x sin2 x tan x Z dx Z sin x (q) (r) dx 2 sin x − cos x + 5 sin x + 2 cos x Z dx Z dx (s) (t) 4 sin2 x + 9 cos2 x sin4 x + cos4 x Z sin 2x Z cos 2xdx (u) dx (v) 1 + sin4 x sin4 x + cos4 x Z dx Z dx (x) (y) . (2 sin x + 3 cos x)2 (sin2 x + 2 cos2 x)2 6. T½nh t½ch ph¥n x¡c ành Z a Z 1 1 + x2 (a) x2pa2 − x2dx (b) dx 0 0 1 + x4 Z π x sin xdx Z ln 2 √ (c) dx (d) ex − 1dx 0 1 + 2 cos2 x 0 Z a dx Z 1 dx (e) √ (f ) 0 a + a2 − x2 0 x2 − 4 Z eπ/2 Z e cos(ln x) (g) cos(ln x)dx (h) dx 1 1 x Z 1 x2dx Z 4 x2 + 3 (i) (j) dx 0 1 + x6 3 x − 2 Z e dx Z 1 x2 + 3x (k) (l) dx 1 x(1 + ln2 x) 0 (x + 1)(x2 + 1) Z 1 dx Z 5 dx (m) √ (n) √ 0 x2 + 2x + 2 1 x + 2x − 1 Z π/4 Z π/3 xdx (p) e3x sin 4xdx (q) . 0 π/6 cos2 x
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành 151
7. Khæng t½nh t½ch ph¥n, h¢y chùng minh r¬ng Z 6 (a) 16 x2 ≤ dx ≤ 9, 3 4 x + 2 Z 1 (b) π dx π < √ < √ , 6 0 4 − x2 − x3 4 2 Z 1 (c) 1 < ex2dx < e, 0 Z 1 (d) xn lim dx = 0. n→∞ 0 1 + x 8. Chùng minh r¬ng
(a) N¸u f(x) l h m ch®n v kh£ t½ch tr¶n [−a, a] th¼ Z a Z a f (x)dx = 2 f (x). −a 0
(b) N¸u f(x) l h m l´ v kh£ t½ch tr¶n [−a, a] th¼ Z a f (x)dx = 0. −a
9. Chùng minh r¬ng n¸u h m f(x) li¶n töc v tu¦n ho n vîi chu k¼ T th¼ vîi måi a ta ·u câ Z a+T Z T f (x)dx = f (x)dx. a 0
10. T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íng sau (a) y = 2x − x2, x + y = 0, (b) y = 2x, y = 2, x = 0,
(c) y = x, y = x + sin2 x, 0 ≤ x ≤ π,
(d) y2 + 8x = 16, y2 − 24x = 48, (e) 1 x2 y = , y = , 1 + x2 2 (f) y = ex, y = e−x, x = 1, (g) ln x y = , y = x ln x, 4x 152
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n
(h) y = 0, x = 0, x = y2(y − 1).
11. T½nh thº t½ch vªt thº trán xoay khi quay c¡c mi·n ph¯ng giîi h¤n bði c¡c
÷íng sau ¥y xung quanh tröc t÷ìng ùng
(a) y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ π quanh Ox.
(b) y = 2x − x2, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 quanh Ox. (c) π y = sin2 x, y = 0, x = 0, x = quanh Ox. 4
(d) y2 = 4 − x, x ≥ 0 quanh Oy. P SÈ √ 1. 1 x2 + 1 − 1 (a) − ln √ + C. 2 x2 + 1 + 1 √ (b) arctan( x2 − 1) + C. (c) ln(ln(ln x)) + C. √
(d) − 2 arcsin( 1 − x) + C. √2 √ √ (e) − ln( 2 cos x + cos 2x) + C. 2 √ (f ) arctan( 3x2 + 5) + C. 1 √ (g) − 8 cos 2x + 17 + C. 16 1 (h) + C. arcsin x arcsin 2x (i) + C. ln 2 1 1 − (3)x (j) ln 2 + C. 2(ln 3 − ln 2) 1 + ( 3 )x 2 2 3 p (k) (arcsin x) 2 − 1 − x2 + C. 3 1 1 p (l) (arccos 2x)3 − 1 − 4x2 + C. 6 4 2. 1
(a) − e−2x(1 + 2x + 2x2) + C. 4 1 (b) − e−x2(x2 + 1) + C. 2 1 (c) ex(sin x − cos x) + C. 2 √ √ (d)(x + 1) arctan x − x + C.
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành 153 p (e)2
1 − x2 arcsin x − 2x + x arcsin2 x + C. (f )e2x(2 − 3x) + C.
(g)(4x − 1) cos 4x − sin 4x + C.
(h)x(ln2 x − 2 ln x + 2) + C. (i) sin x − x cos x + C. 1
(j) (sin 4x + (2 − 4x) cos 4x) + C. 4 (k) ln(sin x) − x cot x + C. (l) ln(cos x) + x tan x + C. 1 1 (m) − (cot x + ) + C. 2 sin2 x √ 1 1 + 1 − x2 arcsin x (n) − ln √ − + C. 2 1 − 1 − x2 x 1 1 p
(o) x3 arccos x − (x2 + 2) 1 − x2 + C. 3 9 √ √ (p)2e x( x − 1) + C. 1 (q) ex3(x3 − 1) + C. 31 (r) e2x(3 sin 3x + 2 cos 3x) + C. 13 1
(s) (2x(x + sin 2x) + cos 2x) + C. 8 1
(t) (x + e2x + 2ex sin x − (2ex + sin x) cos x) + C. 21 x (u) (arctan x − ) + C. 2 x2 + 1 ln2 x + 2 ln x + 2 (v) − + C. x
(x) − x − cot x(ln sin x + 1) + C. 3. x3 (a) + x2 + 4x + 8 ln(x − 2) + C. 3 x3 (b) − x − arctan x + C. 3 1 (c)
+ 2 ln(x − 3) − 2 ln(x − 2) + C. x − 3 1 x − 3 (d) ln + C. 4 x + 1 1 2 − x 1 2 (e) ln + arctan + C. 32 x + 2 16 x
(f )3 ln(1 − x) − ln(2 − x) − 2 ln(x + 2) + C. 154
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n 1 √ 2x − 1
(g) (− ln(x2 − x + 1)) + 2 ln(x + 1) + 2 3 arctan √ + C. 6 3 1 √ 2x + 1
(h) ((ln(x2 + x + 1)) − 2 ln(1 − x) − 2 3 arctan √ ) + C. 6 3 1 (i)
(x(3x3 − 8x2 + 42x − 240) + 3 ln(1 − x) + 729 ln(x + 3)) + C. 12 1 x (j) (arctan + 2 arctan x) + C. 3 1 − x2 4. 2x √ √ √
(a) − √ ( 1 − x + x arcsin x) + C. x3 √ 3 √ 9 √ √ 3 1 − 4 6 x
(b) − ln( 6 x + 1) − ln(2 3 x + 6 x + 1) + ln x + √ arctan √ + C. 2 4 2 7 7 √x2 + 1 (c) − + C. x1 p (d) arcsin( (−x − 1)) − −x2 − 2x + 3 + C. 2   s  1 2 p 2x + 1 2x + 1 (e) x2 + x + 1 − ln √ + 1 + √ 8 2(2x − 3)   + C. 3 3 √ √ 1 + 6 x (f )6 6 x − 3 ln √ + C. 1 − 6 x 5. 1 (a) (6x − sin 6x) + C. 12 1 (b)x − cos 2x + C. 2 1 (c) (4x − sin 4x) + C. 321 (d)
(12x + 3 sin 2x − 3 sin 4x − sin 6x) + C. 192 1 (e)
(60x + 45 sin 2x + 9 sin 4x + sin 6x) + C. 241 (f )
(1225 sin x + 245 sin 3x + 49 sin 5x + 5 sin 7x) + C. 2240 5 5 1 (g) − cos x + cos 3x − cos 5x + C. 8 48 80 1 (h) sin3 x(3 cos 2x + 7) + C. 30 1 (i) ln tan x + C. 2 1 (j) − sin x − + C. sin x 1 (k) + ln cos x + C. 2 cos2 x 1 1 1 (l) − 4 − 4 ln cos x + C. 4 cos4 x cos2 x 1 1 1 (m) − + +
+ 3 ln sin x − 3 ln cos x + C. 2 sin2 x 4 cos4 x cos2 x
5.3. Ùng döng cõa t½ch ph¥n x¡c ành 155 1 (n) (cos 6x − 3 cos 2x) + C. 6 sin3 x cos3 x 1 1 + sin x 1 (o) ln − + C. 2 1 − sin x sin x (p) ln sin x + C. 1 1 x (q) √ arctan √ (3 tan + 1) + C. 5 5 2 1
(r) (x − 2 ln sin x + 2 cos x) + C. 5 1 2 tan x (s) arctan + C. 6 3 1 √ √
(t) √ (arctan( 2 tan x + 1) − arctan(1 − 2 tan x)) + C. 2 (u) arctan(sin2 x) + C. √ 1 2 + 2 sin 2x (v) √ ln √ + C. 2 2 2 − 2 sin 2x sin x (x) + C. 6 sin x + 9 cos x 1 √ tan x 2 sin 2x (y) 3 2 arctan √ − + C. 8 2 cos 2x + 3 r 6. 1 9 1 (a) πa2 . 16 a π (b) √ . 2 2π (d)2 − . 2 1 1 1 π (e) (π − 2). (f ) − ln 3. (g) (e 2 − 1). 2 4 2 π 11 (h) sin 1. (i) . (j) + ln 128. 12 2 √ π π 2 + 5 (k) . (l) . (m) ln √ . 4 4 1 + 2 1 4 3π 1 √ (n) ln 4 − . (p) (1 + e 4 ). (q) (5 3π − 9 ln 3). 2 25 18
7. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành.
8. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành.
9. Sû döng c¡c t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n x¡c ành. Z 3 10. 9 (a)S = |3x − x2|dx = . 0 2 Z 1 1 (b)S = |2x − 2|dx = 2 − . 0 ln 2 156
Ch÷ìng 5. Ph²p t½nh t½ch ph¥n h m mët bi¸n Z π 9 (c)S = | sin2 x|dx = . 0 2 √ Z 2 6 r 1 2 (d)S = 4 y2 dy = 32 . √ − −2 6 6 3 Z 1 1 1 π 1 (e)S = − x2 dx = − . −1 1 + x2 2 2 3 Z 1 1 (f )S = ex − e−x dx = −2 + e + . 0 e Z 1 ln x (g)S = − x ln x dx. 1 4x 2 Z 1 1 (h)S = y2(y − 1) dy = . 0 12 Z π 11. π2 (a)V = π sin2 xdx = . 0 2 Z 2 16π (b)V = π (2x − x2)2dx = . 0 15 π Z 4 π (c)V = π sin4 xdx = (3π − 8). 0 32 Z 2 256π (d)V = π (4 − y2)2dy = . 0 15 TI LIU CN ÅC
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 2 v b i tªp to¡n cao
c§p tªp 2, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 3, NXB HQG H Nëi - 2006.
3. James Stewart, Gi£i t½ch, NXB Hçng ùc - 2016. T i li»u tham kh£o
1. Nguy¹n ¼nh Tr½ (chõ bi¶n), To¡n håc cao c§p tªp 1,2 v b i tªp to¡n
cao c§p tªp 1,2, NXB Gi¡o döc - 2006.
2. Nguy¹n Thõy Thanh, B i tªp To¡n cao c§p tªp 1,2,3, NXB HQG H Nëi - 2006.
3. James Stewart, Gi£i t½ch, NXB Hçng ùc - 2016. 157