Giáo trình toán cơ sở giành cho ngành GDTH và GDMN

Giáo trình toán cơ sở giành cho ngành GDTH và GDMN

309 155 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Toán sơ cấp

Trường: Đại học Vinh

Thông tin:

74 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Hoài Phương
lOMoARcPSD|197044 94
Lời nói đầu
Cuốn giáo trình này được biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm
non có trình độ đại học (hệ vừa học vừa làm) của khoa Giáo dục, trường Đại học
Vinh. Giáo trình cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán học, được dùng như một
tài liệu tham khảo cho người dạy và người học.
Nội dung giáo trình gồm có bốn chương.
Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ.
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập hợp và các phép toán trên
tập hợp, các quan hệ cơ bản trên tập hợp, các khái niệm liên quan đến ánh xạ. Bên
cạnh đó, chương này còn đưa ra một số tính chất quan trọng của các khái niệm trên.
Chương II: Lôgic toán.
Trình bày một số kiến thức liên quan đến lôgic mệnh đề và lôgic vị từ như:
khái niệm thế nào là mệnh đề, hàm mệnh đề, các phép toán lôgic, …
Chương III: Số tự nhiên.
Chương này đưa ra các khái niệm và các tính chất liên quan đến số tự nhiên
như: bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên, ... Sau khi đưa ra các khái
niệm đó, chương này giới thiệu quan hệ thứ tự và các phép toán trên tập hợp số tự
nhiên. Bên cạnh đó còn có các nội dung về các hệ thống ghi số.
Chương IV: Các hình hình học.
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về hình hình học, các hình hình
học trong mặt phẳng và trong không gian cùng một số tính chất cơ bản của chúng.
Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo trình có đưa ra các ví dụ minh họa và
bài tập nhằm củng cố và khắc sâu nội dung lý thuyết.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý để tác giả
hoàn thành cuốn giáo trình này.
Giáo trình có thể còn có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ
dẫn và góp ý của bạn đọc.
Tác giả
1
lOMoARcPSD|197044 94
Chương I
Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ
§1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp
1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một thuật ngữ được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta
thường nói về tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm trên một mặt phẳng, tập hợp nghiệm
của một phương trình, tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các đồ chơi trong
một lớp mẫu giáo, ...
Tập hợp (thường nói gọn là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được
dùng làm cơ sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác nhưng bản thân nó không được
định nghĩa qua những khái niệm đơn giản hơn.
Ta hiểu tập hợp được tạo thành bởi các cá thể (các đối tượng), các cá thể tạo
thành tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp nghiệm của phương trình (x-1) (x-4) = 0 là tập hợp tạo thành
bởi hai phần tử 1 và 4; tập hợp các số tự nhiên có một chữ số là tập hợp tạo thành bởi
mười phần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cái in hoa : A, B, C, X, Y, ...; mỗi
phần tử của một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cái thường: a, b, c, x, y, ...
Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a
∈
A (đọc a thuộc A ), nếu a không
là phần tử của tập A ta viết a A (đọc a không thuộc A ).
Ví dụ:
1) Ở chương trình toán phổ thông ta đã biết:
N là tập hợp các số tự nhiên,
Z là tập hợp các số nguyên,
Q là tập hợp các số hữu tỉ,
R là tập hợp các số thực.
Thế thì:
5
∈
N
; 5
∈
Z
; 5
∈
Q
; 5
∈
R
;
-3 N; -3∈Z; -3∈Q; -3∈R;
2,5
N
; 2,5
Z
; 2,5
∈
Q
; 2,5
∈
R
;
N;
Z
;
Q
;
∈
R
.
2)
Nếu A là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ thì 3
∈
A, 4 A.
1.2. Sự xác định một tập hợp
Một tập hợp được coi là đã xác định nếu ta biết được một phần tử nào đó có
thuộc tập hợp đó hay không. Để xác định một tập hợp ta thường dùng hai phương
pháp sau:
2
2
2
2
2
lOMoARcPSD|197044 94
x
a
b
x
x
c
a) Phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp
Ta liệt kê đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp, những tập hợp này thường có
không nhiều phần tử. Khi đó các phần tử được viết trong {}, phần tử này cách phần
tử kia bởi dấu phẩy.
Ví dụ: Nếu A là tập hợp các ước số dương của 4 thì ta viết
A = {1, 2, 4}.
Tuy nhiên, có những tập hợp có vô số phần tử và ta chỉ liệt kê một số phần tử
đại diện đủ để nhận biết được một phần tử nào đó có thuộc tập hợp hay không.
Ví dụ: Nếu B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 thì
B = {0, 3, 6, 9, ...}.
b) Phương pháp chỉ rõ tính chất đặc trưng
Chỉ ra các thuộc tính của các phần tử mà dựa vào các thuộc tính ấy ta có thể
nhận biết được một đối tượng nào đó có thuộc tâp hợp hay không (các thuộc tính này
gọi là các tính chất đặc trưng)
Nếu A là tập hợp tất cả các phần tử x có tính chất đặc trưng P thì ta viết
A ={x ∣x có tính chất P} hay A ={x ∣P(x)}.
Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các số nguyên chẵn thì ta viết
A = {n
∈
Z n chẵn}.
2) Nếu B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số
là 10 thì
B = {x
∈
N x có hai chữ số, tổng hai chữ số là 10},
nhờ các tính chất đặc trưng này, ta có thể biết được một phần tử nào đấy có thuộc B
hay không, chẳng hạn 37 ∈ B còn 52 B.
1.3. Tập rỗng, tập đơn tử
a) Tập rỗng. Ta gọi tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu là .
Ví dụ: Tập hợp các nghiệm dương của phương trình x + 3 = 0 là tập rỗng.
b) Tập đơn tử. Tập hợp có một phần tử gọi là tập đơn tử, tập đơn tử chỉ có phần
tử a ta viết là {a}.
Ví dụ: Tập hợp các nghiệm (thực) của phương trình x + 3 = 0, tập hợp các
đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, … là các tập đơn tử.
1.4. Minh hoạ tập hợp bằng hình vẽ
Một tập hợp thường được minh hoạ bởi một đường cong khép kín. Mỗi phần tử
thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một dấu gạch chéo ở
bên trong đường cong, phần tử không thuộc tập hợp
được biểu thị bởi dấu gạch chéo ở bên ngoài đường
cong.
3
lOMoARcPSD|197044 94
AMB
5
Trên hình bên, ta có : a, b ∈ A; c A.
Bài tập
1. Hãy liệt kê phần tử của các tập hợp sau:
a) A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 4.
b) B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số đó là 12.
2. a)Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau:
A = {1, 2, 4, 8, 16},
B = {1, 2, 3, 5, 8, 13},
C = {1, 4, 9, 16, 25}.
b) Hãy thêm vào mỗi tập hợp trên một phần tử nữa mà không làm thay đổi tính
chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
3. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A gồm các chữ số x sao cho số tự nhiên
17x4
chia hết cho 3.
4. Trong tập hợp các điểm trong mặt phẳng, hãy biểu thị bằng hình vẽ các tập
sau đây:
a) H
1
= {M AM = MB},
H
2
= {M AM MB},
H = {M
= 90
o
},
trong đó A, B là hai điểm cố định cho trước.
b) H
3
= {M OM = r},
H
4
= {M OM r},
trong đó O là điểm cố định và r là độ dài cho trước.
5. Tìm bốn ví dụ về tập rỗng và bốn ví dụ về tập đơn tử.
§2. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp
2.1. Quan hệ bao hàm - Tập con.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói A là tập con (hay bộ phận) của B
nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B, ký hiệu là A ∈ B.
Khi A ∈ B ta nói A bao hàm trong B (hay A con B) hoặc B bao hàm A (hay B
chứa A).
Quan hệ A ∈ B gọi là quan hệ bao hàm.
Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các học sinh nữ trong một lớp và B là tập hợp các học sinh
trong lớp đó thì A ∈ B.
4
lOMoARcPSD|197044 94
2) Giả sử C là tập hợp các nghiệm của phương trình x - 1 = 0 và D là tập hợp
các nghiệm của phương trình x
2
- 5x + 4 = 0, ta có C ∈ D.
3) Gọi T là tập hợp các tứ giác và V là tập hợp các hình vuông trong mặt
phẳng, thế thì V ∈ T.
Chú ý:
- Không phải giữa hai tập con nào cũng có quan hệ bao hàm, chẳng hạn giữa
hai tập hợp A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e, f, g} không có quan hệ bao hàm.
- Ta quy ước là tập con của mọi tập hợp.
2.2. Hai tập hợp bằng nhau
Định nghĩa. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu A ∈ B và B ∈ A, ký hiệu
là A = B.
Nói cách khác, hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A là phần
tử của B và ngược lại.
Như vậy, để chứng minh A = B ta phải chứng minh: nếu x ∈ A thì x∈B và nếu
x ∈ B thì x ∈ A.
Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các nghiệm của phương trình x
2
- 3x + 2 = 0 và B={1, 2}
thì A = B.
2) Cho A = {n
∈
N
∣
n
𝖼
6} và B = { n
∈
N
∣
n
𝖼
2 và n
𝖼
3}. Ta thấy:
- Nếu n ∈ A tức là n
𝖼
6 mà 2 và 3 là ước của 6, vậy n
𝖼
2 và n
𝖼
3. Điều đó
có
nghĩa là n
∈
B.
- Nếu n ∈ B, tức là n
𝖼
2 và n
𝖼
3. Ta thấy 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên
n
chia hết cho tích của chúng, nghĩa là n
𝖼
6, hay n
∈
A.
Theo định nghĩa thì A = B.
2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm
Định lý. Quan hệ bao hàm có các tính chất sau:
a) Với mọi tập A ta có A ∈ A (tính chất phản xạ),
b) Nếu A ∈ B và B ∈ A thì A = B (tính chất phản xứng),
c) Nếu A ∈ B và B ∈ C thì A ∈ C (tính chất bắc cầu).
Chứng minh.
Tính chất a) suy trực tiếp từ định nghĩa tập con.
Tính chất b) có từ định nghĩa hai tập hợp bằng nhau.
Bây giờ ta chứng minh tính chất c).
Giả sử x là một phần tử tùy ý thuộc A. Vì A ∈ B nên x ∈ B, mặt khác B∈ C
nên ta lại có được x ∈ C.
Vậy với mọi x ∈ A ta đều suy ra được x ∈ C, tức là A ∈ C.
5
lOMoARcPSD|197044 94
Tính chất a) chứng tỏ một tập hợp là tập con của chính nó.
Như vậy mỗi tập hợp khác luôn có ít nhất hai tập con là và chính nó, hai
tập con này gọi là các tập con tầm thường, các tập con không tầm thường gọi là tập
con thực sự.
2.4. Tập hợp các tập con của một tâp hợp.
Cho tập hợp A. Ký hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của A, nghĩa là
P
(A) = {X
∣
X
∈
A}
Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các học sinh của một lớp thì P(A) = {X ∣X là tập hợp một
nhóm học sinh bất kỳ trong lớp}.
2) Cho B = {1,2} thì P(B) = { , {1}, {2}, {1, 2}}.
Bài tập
1. Viết tất cả các tập con của mỗi tập hợp sau đây:
a) A = {a}.
b) B = {1, 2}.
c) C = {a, b, c}.
2. Hãy xét quan hệ giữa các tập hợp A, B dưới đây:
a) A = {n
∈
N n + 10
∈
15},
B = {n
∈
N n
2
∈
9}.
b) A = {các tứ giác có chu vi 4m},
B = {các hình vuông có diện tích 1m
2
.
c) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3, B là tập hợp các bội tự nhiên của 6.
3. Viết các bao hàm thức giữa các tập hợp sau đây:
A = {các tứ giác}, B = {các hình thang}, C = {các hình bình hành}, D={các
hình chữ nhật}, E = {các hình thoi}, F = {các hình vuông}.
4. Cho trước đường tròn tâm O và một điểm A (trong mặt phẳng(P)). Một cát
tuyến di động đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Gọi d là tập hợp tất cả
các điểm giữa của dây cung BC (tạo thành khi cát tuyến di động), d’ là tập các điểm
trên đường tròn đường kính OA.
Chứng minh rằng d ∈ d’.
Trong trường hợp nào thì bao hàm thức trên trở thành đẳng thức?
3.1. Phép hợp
§3. Các phép toán trên các tập hợp
6
lOMoARcPSD|197044 94
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó, ký hiệu là A ○ B.
Ta có thể viết:
A ○ B = {x ∣x ∈A hoặc x ∈B}
hay x ∈ A ○ B x ∈ A hoặc x ∈ B.
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A ○ B.
Ví dụ:
B
1)
Nếu A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e} thì A
○
B =
A
{a, b, c, d, e}.
2) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên lẻ, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn, khi đó
A
○
B =
N
.
3)
Nếu A tập hợp các nghiệm của phương trình x
2
- 4 = 0 và B là tập hợp các
nghiệm của phương trình x
2
- 5x + 4 = 0 thì A ○ B = {-2, 1, 2, 4}.
Chú ý: Theo định nghĩa, x ∈ A ○ B x ∈ A hoặc x ∈ B. Do đó x A○B khi và
chỉ khi x không thuộc tập nào trong số hai tập A và B, tức là
x
A
○
B
x
A và x
B.
3.2. Phép giao.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Giao của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử đồng thời thuộc cả A và B, ký hiệu là
A
𝖼
B.
Ta có thể viết:
A 𝖼 B = {x ∣x ∈A và x ∈B}
hay x ∈ A 𝖼 B x ∈ A và x ∈ B.
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A 𝖼 B.
Ví dụ:
A
1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B là tập hợp các số tự
nhiên lẻ, khi đó A𝖼B = {1, 3, 5}
2) Gọi A là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0 và B là tập hợp các
nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì A
𝖼
B là tập hợp các nghiệm của hệ
phương
trình f(x)
=
0
g(x)
=
0
3) Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 2 và B là tập hợp các bội tự nhiên của
3 thì A
𝖼
B là tập hợp các bội chung tự nhiên của 2 và 3, tức là các bội chung tự
nhiên của 6.
Chú ý:
- Nếu A và B không có phần tử chung (phần tử vừa thuộc cả A và B), tức là A
𝖼 B = , thì ta nói A và B rời nhau.
7
B
lOMoARcPSD|197044 94
- Theo định nghĩa, x ∈ A
𝖼
B x ∈ A và x ∈ B. Do đó x A
𝖼
B khi và chỉ
khi x không thuộc đồng thời cả A và B, nghĩa là x không thuộc ít nhất một trong hai
tập A và B, hay x A hoặc x B. Như vậy
x
A
𝖼
B
x
A hoặc x
B.
3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao
Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta luôn có:
1) Tính giao hoán:
A ○ B = B ○ A (của phép hợp),
A
𝖼
B = B
𝖼
A (của phép giao).
2) Tính kết hợp:
( A
○
B )
○
C = A
○
( B
○
C ) (của phép hợp),
( A
𝖼
B )
𝖼
C = A
𝖼
( B
𝖼
C ) (của phép
giao).
Các tính chất trên có thể chứng minh được đễ dàng bằng cách sử dụng trực tiếp
các định nghĩa phép hợp, phép giao và sự bằng nhau của các tập hợp.
Chú ý:
- Từ tính chất kết hợp của phép hợp và phép giao ta có thể dùng ký hiệu A ○ B
○
C (gọi là hợp của ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A
○
B )
○
C hoặc A
○
( B
○
C ),
dùng ký hiệu A 𝖼 B 𝖼 C (gọi là giao của ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A 𝖼 B ) 𝖼 C
hoặc A
𝖼
( B
𝖼
C ).
- Tương tự, ta có thể mở rộng các tính chất trên cho hợp và giao của nhiều tập
hợp.
3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao
Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta có:
A 𝖼 ( B ○ C ) = ( A 𝖼 B ) ○ ( A 𝖼 C ) (1),
A
○
( B
𝖼
C ) = ( A
○
B )
𝖼
( A
○
C ) (2).
Chứng minh (1).
Giả sử x
∈
A
𝖼
( B
○
C ), tức là x
∈
A và x
∈
B
○
C. Do x
∈
B
○
C có nghĩa
là x ∈ B hoặc x ∈ C nên ta có:
x
∈
A và x
∈
B thì x
∈
A
𝖼
B,
hoặc x
∈
A và x
∈
C thì x
∈
A
𝖼
C.
Điều đó có nghĩa là x ∈ A 𝖼 B hoặc x ∈ A 𝖼 C, tức là
x ∈ ( A
𝖼
B )
○
( A
𝖼
C ).
Ngược lại, giả sử x
∈
( A
𝖼
B )
○
( A
𝖼
C ). Theo định nghĩa phép hợp suy
ra
x ∈ A 𝖼 B hoặc x ∈ A 𝖼 C. Mặt khác, theo định nghĩa phép giao ta có:
x
∈
A
𝖼
B thì x
∈
A và x
∈
B,
hoặc x
∈
A
𝖼
C thì x
∈
A và x
∈
C.
8
lOMoARcPSD|197044 94
Như vậy ta có x ∈ A và x thuộc ít nhất một trong hai tập B, C, hay x∈A và x ∈
B
○
C. Điều này có nghĩa là x
∈
A
𝖼
( B
○
C ).
Tương tự ta chứng minh được đẳng thức (2).
Công thức (1) cho thấy phép giao phân phối đối với phép hợp, công thức (2)
cho thấy phép hợp phân phối đối với phép giao.
3.5. Phép trừ
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A\ B hoặc A – B.
Ta có thể viết:
A\ B = {x
∣
x
∈
A và x
B} hay
x
∈
A\ B
x
∈
A và x
B.
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A\ B.
Ví dụ:
1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {x ∈ N ∣x là ước
của 30} thì khi đó A\B = {4} còn B \ A = {6, 10, 15, 30}.
A
2) Nếu A là tập hợp các tam giác vuông, B là tập hợp các tam giác cân thì A\ B
là tập hợp các tam giác vuông mà không cân, B \ A là tập hợp các tam giác cân mà
không vuông.
Chú ý:
- Nếu A và B là các tập hơp rời nhau (A
𝖼
B = ) thì A\ B = A và B \ A = B.
-
Hiệu của hai tập hợp nói chung không có tính đối xứng, tức là A\ B
B \ A.
- Trong trường hợp B ∈ A thì A\ B còn được ký hiệu là C
B
A và gọi là phần bù
của B trong A.
Chẳng hạn, nếu xét trong tập hợp số tự nhiên N thì phần bù của tập hợp các số
tự nhiên chẵn là tập hợp các số tự nhiên lẻ.
- Từ định nghĩa phép trừ ta có thể viết:
x
A\ B
x
A hoặc x
∈
B.
3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao.
Định lý. Với các tập hợp A, B, C tùy ý ta có:
A\ ( B ○ C ) = ( A\ B ) 𝖼 ( A\ C ) (1),
A\ ( B 𝖼 C ) = ( A\ B ) ○ ( A\ C ) (2).
Chứng minh (1).
Giả sử x ∈ A\ ( B
○
C ). Điều đó có nghĩa là x ∈ A và x B
○
C . Vì
x B
○
C nên x B và x C.
Như vậy x ∈ A, x B và x C. Từ đó suy ra x ∈ A\ B và x ∈ A\ C, nghĩa là x
∈
( A\ B )
𝖼
( A\ C ).
9
B
lOMoARcPSD|197044 94
Ngược lại, giả sử x
∈
( A\ B )
𝖼
( A\ C ). Điều đó có nghĩa là x
∈
A\ B và x
∈
A\ C. Suy ra x ∈ A, x B và x C. Tức là x ∈ A và x B ○ C. Do đó x ∈ A\ ( B ○
C ).
Chứng minh đẳng thức (2) tương tự.
Bài tập
1. A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số
hàng chục. B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8.
Tìm A ○ B, A 𝖼 B, A\ B, B\ A.
2. Cho A = {x ∣
8x5
𝖼9}, B = {x ∣
514x
𝖼3}. Tìm A○B. A𝖼B, A\B, B\A.
3. Trong tập hợp P các điểm của mặt phẳng, cho hai điểm A, B và trung điểm
O của AB. Gọi X l
A
à
B
tập hợp các điểm M sao cho MA MB; Y là tập hợp các điểm
M sao cho
OM
.
Hãy xác định các tập X ○ Y, X 𝖼 Y, X\Y, Y\ X trên hình vẽ.
4. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Hãy minh hoạ đẳng thức sau bằng hình vẽ và
sau đó chứng minh:
( A\ B )
○
( B\ A ) = ( A
○
B )\ ( A
𝖼
B ).
5. Chứng minh rằng:
a) A 𝖼 B = A khi và chỉ khi A ∈ B.
b) A ○ B = B khi và chỉ khi A ∈ B.
6. Thống kê tình hình tự bồi dưỡng về chuyên môn trong 100 giáo viên ta thấy:
33 người học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồi dướng chuyên môn.
Trong số đó có 8 người vừa học ngoại ngữ vừa học tin học, 10 người vừa học chuyên
môn vừa học ngoại ngữ, 5 người vừa học tin học vừa học chuyên môn và 3 người học
cả 3 môn.
Hỏi có bao nhiêu người chỉ học ngoại ngữ, chỉ học tin học, chỉ học chuyên
môn và bao nhiêu người không đi học môn nào?
§4. quan hệ
4.1. Tích Đề các của các tập hợp
a) Căp sắp thứ tự
Cho a, b là hai đối tượng bất kỳ. Từ hai đối tượng này ta thành lập được một
đối tượng mới, ký hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b).
Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d.
Như vậy, nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp khác nhau.
10
lOMoARcPSD|197044 94
Điều đó nói lên rằng, trong một cặp người ta có thể xét đến thứ tự của các vật:
(a, b) là một cặp sắp thứ tự hai phần tử a và b, a là phần tử đứng trước, b là phần tử
đứng sau.
b) Tích Đề các
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Tích Đề các của A và B là tập hợp tất cả
các cặp có thứ tự (a,b), trong đó a ∈ A và b ∈ B, ký hiệu là A
×
B.
Ta có thể viết:
A × B = {(a, b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}.
Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {m, n}, khi đó
A
×
B = {(a, m), (b, m), (c, m), (a, n), (b, n), (c, n)},
B
×
A = {(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c)}.
Chú ý:
- Tích Đề các nói chung không có tính chất giao hoán: nếu A B thì A× B
B
×
A.
- Tích Đề các không có tính chất kết hợp: với ba tập hợp A, B, C khác rỗng ta
có ( A
×
B )
×
C A
×
( B
×
C ).
- Trong trường hợp A = B thì A
×
A còn được ký hiệu là A
2
và gọi là bình
phương Đề các của A.
- Ta có thể mở rộng định nghĩa tích Đề các cho nhiều tập hợp: tích Đề các của
n tập hợp A
1
, A
2
, …,A
n
là tập hợp tất cả các phần tử có thứ tự (a
1
, a
2
, …,a
n
), trong đó
a
1
∈ A
1
, a
2
∈ A
2
, …, a
n
∈ A
n
.
4.2. Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa. Cho A là tập hợp tùy ý khác rỗng. Mỗi tập con S của bình phương
Đề các A
×
A gọi là một quan hệ hai ngôi trên A.
Nếu (a, b) ∈ S thì ta nói a có quan hệ S với b và viết aSb. Như vậy
a, b ∈ A, aSb (a, b) ∈ S.
con
Ví dụ:
1) Trên tập hợp các số nguyên Z, quan hệ “bé thua hoặc bằng” xác định bởi tập
S
1
= {(a, b)
∈
Z
2
a b}.
2) Quan hệ “chia hết cho” trong N
*
= N\{0} được xác định bởi tập con
S
2
= {(m, n)
∈
N
*
2
m
𝖼
n}.
3) Trong tập hợp D gồm các đường thẳng của mặt phẳng, quan hệ “vuông góc
với nhau” xác định bởi tập con:
S
3
={(a, b)
∈
D
2
a b}.
4) Trong tập hợp A gồm các học sinh trong một lớp, quan hệ “cùng họ” xác
định bởi tập con
S
4
= {(x, y) x, y
∈
A, x, y cùng họ}.
11
lOMoARcPSD|197044 94
4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi
a) Tính phản xạ. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất phản xạ
nếu a
∈
A ta có aSa (a có quan hệ S với chính nó).
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S
1
, S
2
, S
4
có tính chất phản xạ;
quan hệ S
3
không có tính chất phản xạ.
b) Tính chất đối xứng. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất đối
xứng nếu a, b
∈
A mà aSb thì luôn suy ra được bSa.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S
3
, S
4
có tính chất đối xứng; các
quan hệ S
1
, S
2
không có tính chất đối xứng.
c) Tính chất phản đối xứng (phản xứng). Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi
là có tính chất phản đối xứng nếu a, b ∈ A mà aSb và bSa thì luôn suy ra được a = b.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S
1
, S
2
có tính chất phản đối
xứng; các quan hệ S
3
, S
4
không có tính chất phản đối xứng.
d) Tính chất bắc cầu. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất bắc
cầu nếu a, b, c ∈ A mà aSb và bSc thì luôn suy ra được aSc.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S
1
, S
2
, S
4
có tính chất bắc cầu;
các quan hệ S
3
không có tính chất bắc cầu.
4.4. Quan hệ tương đương
a) Định nghĩa. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là quan hệ tương đương
nếu nó có các tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, quan hệ S
4
(quan hệ “cùng họ”) là quan hệ
tương đương; các quan hệ S
1
, S
2
, S
3
là không tương đương.
Chú ý:
- Nếu S là quan hệ tương đương ta thường thay S bởi ký hiệu (a b, đọc là
“a tương đương với b”)
- Do tính chất đối xứng nên nếu a b thì có thể viết b a.
b) Lớp tương đương. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử a là
một phần tử nào đó thuộc A. Ký hiệu:
[a] = {x
∈
A
∣
x
a}
và
gọi tập hợp này là lớp tương đương của a.
Từ tính chất phản xạ của quan hệ suy ra a ∈ [a].
Ví dụ:
1) Xét quan hệ tương đương “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên tập
hợp các số tự nhiên N. Với số tự nhiên n bất kỳ thuộc N, [n] là tập hợp các số tự nhiên
có cùng số dư với n trong phép chia cho 3.
Chẳng hạn lấy n = 4. Số dư trong phép chia 4 cho 3 là 1. Vậy
[4] = {1, 4, 7, 10, …}.
12
lOMoARcPSD|197044 94
2) Với quan hệ tương đương “cùng họ” của tập hợp các học sinh trong một lớp
(quan hệ S
4
ở mục 4.2), lớp tương đương của một học sinh bất kỳ là tập hợp gồm học
sinh đó và tất cả các học sinh khác cùng họ trong lớp.
Định lý. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử x
1
, x
2
là hai phần
tử bất kỳ thuộc A. Ta có:
1) [x
1
] = [x
2
] x
1
x
2
,
2) Nếu [x
1
] [x
2
] thì [x
1
]
𝖼
[x
2
] = .
Chứng minh.
1) Giả sử [x
1
] = [x
2
]. Do x
1
∈ [x
1
] nên suy ra x
1
∈ [x
2
], nghĩa là x
1
x
2
.
Ngược lại, giả sử x
1
x
2
. Lấy x bất kỳ thuộc [x
1
] thì x x
1
, mà x
1
x
2
nên
theo tính chất bắc cầu suy ra x
x
2
nên x
∈
[x
2
]. Do đó [x
1
]
∈
[x
2
]. Hoàn toàn tương
tự ta cũng chứng minh được [x
2
]
∈
[x
1
]. Vậy [x
1
] = [x
2
].
2) Với [x
1
] [x
2
] ta giả sử [x
1
]
𝖼
[x
2
] . Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho x ∈
[x
1
] và x ∈ [x
2
]. Do x ∈ [x
1
] nên x x
1
, lại do x ∈ [x
2
] nên x x
2
. Theo tính chất bắc
cầu suy ra x
1
x
2
. Từ đây áp dụng tính chất 1) ta được [x
1
] = [x
2
], điều này trái với
giả thiết [x
1
] [x
2
] .
Vậy nếu [x
1
] [x
2
] thì [x
1
]
𝖼
[x
2
] = .
Như vậy, một quan hệ tương đương trên tập hợp A chia A thành các tập con là
các lớp tương đương rời nhau. Nghĩa là mỗi phần tử bất kỳ của A đều thuộc và chỉ
thuộc một trong các tập con ấy và các phần tử trong cùng một tập con thì tương
đương với nhau.
Ví dụ:
1) Quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” chia N thành ba tập con là
[0], [1], [2].
[0] là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3: [0] = {0, 3, 6, 9, …},
[1] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [1] = {1, 4, 7, 10, …},
[2] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [2] = {2, 5, 8, 11, …}.
2) Quan hệ “cùng họ” của các học sinh trong một lớp chia lớp đó thành các tập
con gồm những học sinh cùng họ.
c) Tập thương. Tập hợp các lớp tương đương của A với quan hệ gọi là tập
thương của A theo quan hệ đó, ký hiệu A :
A = {[a] a
∈
A}.
Ví dụ: Xét quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên N, ta có
N = {[0], [1], [2]}}.
4.5. Quan hệ thứ tự
a) Định nghĩa. Quan hệ 2 ngôi S trên tập A gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các
tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.
13
lOMoARcPSD|197044 94
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S
1
(“bé thua hoặc bằng”) và S
2
(“chia hết cho”) là các quan hệ thứ tự.
Chú ý: Quan hệ bé thua hoặc bằng ( ) thông thường trên các tập hợp số là
quan hệ thứ tự. Quan hệ này điển hình đến nỗi người ta mượn ký hiệu để chỉ thứ tự
ngay cả trong trường hợp tổng quát.
Trong trường hợp tổng quát, khi S là một quan hệ thứ tự, người ta ký hiệu a
b thay cho aSb và đọc là “a bé thua hoặc bằng b” hay “a đứng trước b”. Khi đó ta
cũng viết b a và đọc “b lớn hơn hoặc bằng a”. Để tránh nhầm lẫn, khi nào mang ý
nghĩa thông thường ta sẽ nói rõ.
b) Tập sắp thứ tự
Khi tập A được trang bị một quan hệ thứ tự S thì ta nói A là một tập sắp thứ tự
(theo quan hệ thứ tự đó).
Trong một tập sắp thứ tự có thể xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Mọi cặp phần tử a, b của A đều nằm trong quan hệ thứ tự đó.
Nói khác đi a, b
∈
A nhất thiết phải có a
b hoặc b
a.
Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần.
Trường hợp 2: Không phải mọi cặp thuộc A đều có thể so sánh được, nghĩa là
có cặp a, b sao cho ta không có cả a b lẫn b a.
Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận.
Ví dụ:
1) Các tập hợp số với quan hệ thông thường là tập hợp sắp thứ tự toàn phần.
2) Tập N
*
với quan hệ
𝖼
(chia hết cho) không là tập sắp thứ tự toàn phần mà
chỉ
là tập sắp thứ tự bộ phận. Chẳng hạn như hai số 5 và 17 không so sánh được
theo quan hệ “chia hết cho”.
Chú ý: Với cùng một tập A ta có thể trang bị nhiều quan hệ thứ tự; với quan hệ
này có thể A là tập sắp thứ tự toàn phần nhưng với quan hệ khác A chỉ la tập sắp thứ
tự bộ phận.
c) Phần tử lớn nhất, nhỏ nhất
Cho A là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự là , M là một tập con của A.
Phần tử m
∈
M gọi là phần tử nhỏ nhất của M nếu ta luôn có m
x, x
∈
M.
Phần tử m ∈ M gọi là phần lớn nhất của M nếu ta luôn có x m, x ∈ M.
Ví dụ: Trên N
*
với quan hệ “chia hết cho” tập A = {1, 2, 5, 7, 35, 70}. Hiển
nhiên N
*
là tập sắp thứ tự với quan hệ đã cho và A ∈ N
*
.
Ta thấy 1 là phần tử nhỏ nhất của A và 70 là phần tử lớn nhất của A.
Chú ý: Không phải mọi tập hợp con của một tập sắp thứ tự đều có phần tử nhỏ
nhất, phần tử lớn nhất. Chẳng hạn cho N
*
với quan hệ “chia hết cho”, với tập A = {1, 2, 4,
70}chỉ có 1 là phần tử nhỏ nhất, không có phần tử lớn nhất.
14
lOMoARcPSD|197044 94
sau:
Bài tập
1. Giả sử A là tập hợp tất cả các người, ta xác định các quan hệ S
1
, S
2
, S
3
như
a) xS
1
y nếu người x không nhiều tuổi hơn người y.
b) xS
2
y nếu người x cùng giới tính với người y.
c) xS
3
y nếu người x là con của người y.
Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì?
2. Cho A ={1, 2, 3, 4}.
a) Tập hợp S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), 2, 4), (3, 4)} xác định quan hệ nào
trong A.
b) Quan hệ bằng nhau trong tập A được xác định bởi tập con nào của A×A.
3. Trên tập hợp N các số tự nhiên, xác định quan hệ S như sau:
a, b ∈ N : a S b a và b không nguyên tố cùng nhau.
Quan hệ S có thể có những tính chất nào?
4. Trên tập hợp Z các số nguyên xác định các quan hệ S như sau:
với a, b ∈ Z: aSb
a - b
𝖼
2.
Hãy xét xem quan hệ S này có những tính chất gì?
5. a) Cho O là một điểm cố định trong mặt phẳng P. Ta ký hiệu P
*
là tập hợp
các điểm của mặt phẳng (P) trừ điểm O. Quan hệ S được xác định trong P
*
như sau:
ASB nếu ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Cho trong mặt phẳng (P) một đường thẳng a. Trong tập hợp các điểm của
mặt phẳng này ta xác định một quan hệ S như sau: ASB nếu A đối xứng với B qua
đường thẳng a.
Hãy xét xem các quan hệ S trên có những tính chất gì?
6. Cho X là tập hợp điểm trên mặt phẳng, O là một điển cố định cho trước
thuộc X.
a) Trên tập X, quan hệ S được xác định như sau:
M, N ∈ X : M S N OM = ON.
Chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương, sau đó xác định tập thương
X/S.
b) Quan hệ T trên X được xác định như sau:
M, N ∈ X : M T N O, M, N cùng nằm trên một đường thẳng.
T có phải là quan hệ tương đương trên X không?
T có phải là quan hệ tương đương trên tập hợp Y = X\{O} không? Nếu phải,
hãy xác định lớp tương đương chứa điểm A và xác định tập thương Y/T.
15
lOMoARcPSD|197044 94
7. Trên tập hợp các số thực R ta xác định quan hệ S như sau:
x, y ∈ R : xSy x
3
– y
3
= x – y.
a) Chứng minh rằng S là quan hệ tương đương.
b) a là một số thực cho trước. Hãy xác định [a] (biện luận theo giá trị của a).
8. Trong tập hợp Z
×
N
*
(Z là tập hợp các số nguyên, N
*
là tập hợp các số tự
nhiên khác 0) ta xác định quan hệ như sau:
(a b) (c, d) ad = bc , với (a, b), (c, d) ∈ Z
×
N
*
.
a) Chứng minh rằng là quan hệ tương đương .
b) Xác định tập thương Z
×
N
*
/ .
9. Ta đã biết tập P(A) các tập con của A là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm.
Quan hệ ấy có phải là quan hệ thứ tự tuyến tính không?
Tìm phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của P(A) theo quan hệ này.
10. Trong tập các số thực R xét quan hệ T như sau:
với x, y ∈ R : xTy x
3
y
3
( theo nghĩa thông thường).
Chứng minh rằng quan hệ T quan hệ thứ tự. T có phải là quan hệ thứ tự tuyến
tính không?
§5. Ánh xạ
Trong §4 ta đã thấy mỗi tập con của tập tích Đề các biểu thị một quan hệ giữa
các phần tử của tập X với các phần tử của tập Y.
Ta cũng đã xét trường hợp riêng khi tập Y trùng với tập X và đã đi tới khái
niệm quan hệ hai ngôi trên X.
Trong phần này, ta sẽ xét một trường hợp riêng khác của khái niệm quan hệ để
đi đến khái niệm ánh xạ.
Giả sử cho quan hệ f trên X×Y.
Trong trường hợp tổng quát, nói chung với mỗi x ∈ X, tập các phần tử y ∈ Y
có quan hệ f với x (tức là tập hợp {y ∈ Y x f y}) có thể là rỗng hoặc có thể có nhiều
phần tử.
Trong trường hợp đặc biệt, khi mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tập các phần tử
y ∈ Y mà x f y có một và chỉ một phần tử thì quan hệ f được gọi là một ánh xạ từ X
đến Y.
Như vậy, ánh xạ f từ X đến Y là một quan hệ f trên X×Y có tính chất “với mọi
phần tử x ∈ X bao giờ cũng có một và chỉ một phần tử y ∈ Y sao cho x có quan hệ f
với y”.
Nói khác đi, việc cho một ánh xạ từ X đến Y là việc cho một quy tắc ứng mỗi
phần tử x ∈ X với một phần tử y hoàn toàn xác định trong Y.
16
lOMoARcPSD|197044 94
f
y
Ta đi đến khái niệm ánh xạ và các khái niệm liên quan.
5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ
Định nghĩa.
Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y là một quy tắc đặt
tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y.
Khi y là phần tử ứng với x qua ánh xạ f thì ta gọi y là ảnh của x qua ánh xạ f.
Ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, ... Để chỉ ánh xạ f từ X đến
Y mà phần tử x ∈ X được đặt tương ứng với phần tử y ∈ Y ta viết
f : X
⟶
Y
x
y = f(x)
hoặc
X
⟶
Y
x
y = f(x).
X gọi là tập nguồn (hay miền xác định), Y gọi là tập đích (hay miền giá trị).
Hai ánh xạ f : X
⟶
Y và g : X
⟶
Y gọi là bằng nhau nếu f(x) = g(x), x
∈
X.
Ví
dụ:
1) Cho các tương ứng bởi các hình vẽ sau
x
×
×
y
x
1
×
×
1
x
2
×
2
×
y
x
3
×
3
2
b
c
d
Hình c) và d) là các ánh
)
xạ. Hình a) và b) không phải là các ánh x
)
ạ.
2) Khi chấm bài người giáo viên đã thực hiện một ánh xạ từ tập hợp các bài
kiểm tra đến tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (cho điểm nguyên theo
thang điểm 10). ánh xạ này ứng mỗi bài với một con điểm.
17
x
×
×
y
1
x
×
×
y
1
x
2
×
3
2
×
y
3
a
)
x
×
×
y
1
x
×
×
y
1
x
2
×
3
2
×
y
3
)
x
×
1
x
×
x
2
×
3
×
y
×
1
y
×
2
y
×
4
y
3
lOMoARcPSD|197044 94
-1
3) Phép cộng trên tập hợp số tự nhiên là một ánh xạ từ tập hợp N
×
N
⟶
N. ánh
xạ này ứng mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với một số là x + y:
N
×
N
⟶
N
(x, y)
x + y.
4) Cho tập hợp X bất kỳ. Tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với chính nó là một
ánh xạ từ tập X đến tập X.
ánh xạ này thường được ký hiệu là 1
X
hay id
X
và gọi là ánh xạ đồng nhất:
1
X
: X ⟶ X
x
x.
5) Tương ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp các số thực R với phần tử 2x+1 là
một ánh xạ từ R đến R:
R
⟶
R
x
2x + 1.
Chú ý:
- Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh
xạ từ X đến Y khi có phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y, hoặc khi có
phần tử của X ứng với hon một phần tử trong Y.
- Trong một ánh xạ, mỗi phần tử thuộc nguồn đều có ảnh duy nhất, nghĩa là
nếu f : X ⟶ Y là một ánh xạ và x
1
= x
2
(x
1
, x
2
∈ X) thì phải có f(x
1
) = f(x
2
), hoặc từ
f(x
1
) f(x
2
) ta phải có x
1
x
2
.
- Mỗi phần tử của nguồn có một ảnh duy nhất nhưng có thể hai hay nhiều phần
tử của nguồn có chung một ảnh. Ngoài ra, cũng có thể có phần tử của tập đích không
là ảnh của bất kỳ phần tử nào trong tập nguồn.
5.2. Ảnh và tạo ảnh
a) Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y.
- Giả sử A ∈ X. Tập con của Y gồm tất cả các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi
là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A):
f(A) = { f(x) ∣x ∈ A}.
- Giả sử B ∈ Y. Tập con của X gồm tất cả các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B
gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua ánh xạ f, ký hiệu là f
-1
(B):
f
-1
(B) = { x ∈ X ∣f(x) ∈ B}.
Ví dụ: Cho ánh xạ f : R ⟶ R , x
2x + 1.
1
Giả sử A = {-1, 0, , 2} và B = {0, 1, 2}.
5
Khi đó: f(A) = {-1, 1, , 5},
1 1
f (B) = {- , 0, }.
18
lOMoARcPSD|197044 94
b) Định lý. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y.
- Với hai tập con tùy ý A, B của X ta có:
f ( A
○
B ) = f ( A )
○
f( B )
f ( A
𝖼
B )
∈
f ( A )
𝖼
f ( B ).
- Với hai tập con tùy ý A, B của Y ta có:
f
-1
( A
○
B ) = f
-1
( A)
○
f
-1
( B )
f
-1
( A 𝖼 B ) = f
-1
( A ) 𝖼 f
-1
( B ).
Ta có thể chứng minh các đẳng thức trên một cách dễ dàng.
Bài tập
1. Giả sử X là tập hợp tất cả các người trên trái đất (kể cả người đã chết). Các
quy tắc sau có phải là ánh xạ từ X đến X không?
a) Quy tắc ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc ứng mỗi người với anh cả của mình.
2) Cho T là tập hợp tất cả các tam giác và O là tập hợp các đường tròn.
a) Quy tắc ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp của nó có phải là ánh xạ
từ T đến O không?
b) Quy tắc ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp nó có phải là ánh xạ từ O
đến T không?
3. Giải thích tại sao các quy tắc dưới đây không phải là ánh xạ từ R đến R:
a) Quy tắc ứng mỗi số với nghịch đảo của nó.
b) Quy tắc ứng mỗi số với căn bậc hai của nó.
4. a) Quy tắc “Lấy một số tự nhiên nhân với 4, được bao nhiêu trừ đi 10” có
phải là một ánh xạ từ N đến N không? Vì sao?
b) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ từ N thì phải thay đổi tập đích
(miền giá trị) như thế nào?
c) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ đến N thì phải thay đổi tập nguồn
(miền xác định) như thế nào?
5. Cho ánh xạ f : N ⟶ N
n
4n +5
a) Tìm f(1), f(5), f(25).
b) Tìm f
-1
(4), f
-1
(9), f
-1
(15).
6. Cho ánh xạ f : R ⟶ R
x
x
2
– 3x + 1.
Hãy tìm:
a) Ảnh của các điểm 0,1 và -1.
b) Ảnh của các điểm trên đoạn thẳng [-1, 2] (-1 x 2).
c) Tìm tạo ảnh toàn phần của -1.
19
lOMoARcPSD|197044 94
7. Cho f : X ⟶ Y là ánh xạ và A ∈ X, B ∈ Y. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) A ∈ f
-1
(f(A)).
b)f(f
-1
(B)) ∈ B.
8.
Cho ánh xạ f :
X
⟶
Y và B
1
, B
2
là hai tập con của Y. Chứng minh rằng:
a) Nếu B
1
∈ B
2
thì f
-1
(B
1
) ∈ f
-1
(B
2
).
b) f
-1
(B
1
○ B
2
) = f
-1
(B
1
) ○ f
-1
(B
2
).
c) f
-1
(B
1
𝖼
B
2
) = f
-1
(B
1
)
𝖼
f
-1
(B
2
).
sau:
xảy ra.
§6. Các ánh xạ đặc biệt
Tích các ánh xạ - Ánh xạ ngược
6.1. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
Cho ánh xạ f :
X
⟶
Y. Trong trường hợp chung, có thể xảy ra các tình huống
- Hai hoặc nhiều phần tử của X có chung một ảnh trong Y (1).
- Có những phần tử của Y không là ảnh của phần tử nào thuộc X (2).
Trong mục này ta sẽ xét các trường hợp đặc biệt mà các tình huống trên không
a) Đơn ánh. Khi tình huống (1) không xảy ra thì f gọi là đơn ánh.
Định nghĩa. ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau x
1
,
x
2
của X ta luôn có f(x
1
)
f(x
2
).
Định nghĩa trên có thể phát biểu cách khác : f : X ⟶ Y gọi là đơn ánh nếu từ
f(x
1
) = f(x
2
) ta luôn có x
1
= x
2
.
Ví dụ:
1) Dễ thấy ánh xạ đồng nhất 1
X
: X ⟶ X , x
x là đơn ánh.
2) ánh xạ f : R ⟶ R , x
x
3
là đơn ánh vì với x
1
x
2
thì f(x
1
) f(x
2
).
3) ánh xạ g : R ⟶ R , x
x
2
không phải là đơn ánh vì với –x và x có cùng
một ảnh là x
2
.
b) Toàn ánh: Khi tình huống (2) không xảy ra thì f gọi là toàn ánh.
Định nghĩa. ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y bao giờ cũng
tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y.
Ví dụ:
1) ánh xạ đồng nhất 1
X
: X ⟶ X , x
x là toàn ánh.
2) ánh xạ f : R
⟶
R , x
x
3
là toàn ánh vì y ∈ Y bao giờ cũng có x =
∈ X để cho f(x) = (
3
y
)
3
= y.
3) ánh xạ g : R ⟶ R , x
x
2
không phải là toàn ánh vì các số thực âm không
thể là bình phương của bất kỳ số thực nào.
Nếu ta thay tập đích bởi R
+
(tập hợp các số thực không âm) thì g sẽ là toàn ánh.
20
3
y
lOMoARcPSD|197044 94
f
x
×
×
y=f(x
)
g
h(x)=g(f(x
×
Y
c) Song ánh.
Định nghĩa. Ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là toàn ánh nếu nếu nó vừa là đơn ánh, vừa
là toàn ánh. Như vậy, f là một song ánh nếu với mọi y ∈ Y có một và chỉ một x ∈ X
sao cho f(x) = y.
Song ánh f : X ⟶ Y còn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y.
Ví dụ: Qua các ví dụ ở phần a) và b) ta thấy ánh xạ đồng nhất
1
X
: X ⟶ X
x
x
và ánh xạ f : R ⟶ R , x
x
3
là các song ánh.
6.2. Tích các ánh xạ
a) Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X ⟶ Y và g : Y ⟶ Z. Tích của hai ánh xạ f
và g là ánh xạ h : X ⟶ Z được xác định như sau: h(x) = g(f(x)), x ∈ X.
Tích của các ánh xạ f và g được ký hiệu là g
o
f hoặc gf, như vậy ta có
(g
o
f)(x) = g(f(x)), x
∈
X.
Ta có hình minh họa sau:
X
Z
h
Ví dụ:
1)
Với mọi ánh xạ f :
X
⟶
Y ta luôn có f
o
1
X
= 1
Y
o
f
=
f.
2) Cho f : R ⟶ R và g : R ⟶ R
x
x
2
x
x
2
+ 2x + 3
Khi đó (g
ò
f)(x) = g(f(x)) = g(x
2
) = x
4
+ 2x
2
+ 3,
(f
o
g)(x) = f(g(x)) = f(x
2
+ 2x + 3) = (x
2
+ 2x + 3)
2
.
Chú ý:
-
Tích các ánh xạ nói chung không có tính chất giao hoán: f
o
g
g
o
f.
- Ta có thể mở rộng tích ánh xạ cho nhiều ánh xạ.
b) Một số tính chất.
Định lý 1. Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu f : X ⟶ Y, g : Y
⟶
Z và h :
Z
⟶
T thì h
o
( g
o
f) = (h
o
g)
o
f.
Chứng minh.
Với mỗi x ∈ X ta có
21
lOMoARcPSD|197044 94
[h
o
(g
o
f)] (x) = h
o
((g
o
f) (x))
= h(g(f(x))
= (h
o
g)(f(x))
= [(h
o
g)
o
f] (x).
Vậy h
o
(g
o
f) = (h
o
g)
o
f.
Từ tính chất kết hợp của ánh xạ, thay cho h
o
(g
o
f) và (h
o
g)
o
f ta có thể viết h
o
g
o
f và gọi đây là tích của ba ánh xạ f, g, h.
Định lý 2. Cho các ánh xạ f :
X
⟶
Y và g
: Y
⟶
T. Khi đó:
1)
Nếu f và g là các đơn ánh thì g
o
f : X
⟶
T cũng là đơn ánh,
2)
Nếu f và g là các toàn ánh thì g
o
f : X
⟶
T cũng là toàn ánh,
3)
Nếu f và g là các song ánh thì g
o
f : X
⟶
T cũng là song ánh.
Chứng minh.
1) Giả sử f, g là các đơn ánh. Để chứng minh h là đơn ánh ta phải chứng minh
rằng với x
1
x
2
thuộc X thì phải có h(x
1
) h(x
2
).
Thật vậy, vì f là đơn ánh nên từ x
1
x
2
ta có f(x
1
) f(x
2
). Vì g là đơn ánh nên
từ f(x
1
) f(x
2
) ta có g(f(x
1
)) g(f(x
2
)), nghĩa là h(x
1
) h(x
2
).
2) Giả sử f, g là các toàn ánh. Để chứng minh h toàn ánh ta phải chứng minh
t ∈ T sẽ tồn tại x ∈ X sao cho h(x) = t.
Thật vậy, vì g toàn ánh nên t ∈ T sẽ tồn tại y ∈ Y sao cho g(y) = t. Vì f toàn
ánh nên có x ∈ X sao cho y = f(x).
Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho h(x) = (g
o
f)(x) = g(f(x)) = g(y) = t.
6.3. Ánh xạ ngược
a) Định nghĩa. Cho f : X ⟶ Y là song ánh. Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất phần
tử x ∈ X sao cho f(x) = y. ánh xạ f
-1
: Y ⟶ X đặt tương ứng phần tử y với phần tử x
gọi là ánh xạ ngược của f. Như vậy
f
-1
(y) = x f(x) =y.
Dễ thấy ánh xạ ngược f
-1
của song ánh f cũng là một song ánh.
Ví dụ:
1) Dễ dàng thấy rằng hai ánh xạ
f : R
⟶
R , x
2x + 3 và g : R
⟶
R , x
hai ánh xạ ngược nhau.
x - 3
là
2
2) Hai ánh xạ f : R ⟶ R
+
, x
a
x
và g : R
+
⟶ R , x
log
a
x
(trong đó a > 0, a 1) là hai ánh xạ ngược nhau.
Thật vậy, x
∈
R
+
: (f
o
g) (x) = f(g(x)) = f(log
a
x) =
a
log
a
x
= x,
x ∈ R: (g
o
f) (x) = g(f(x)) = g(a
x
) = log
a
(a
x
) = x.
22
lOMoARcPSD|197044 94
b) Một số tính chất.
Định lý 1.
1) (f
-1
)
-1
= f,
2) Nếu f : X
⟶
Y là song ánh thì f
o
f
-1
= 1
Y
, f
-1
o
f = 1
X
.
Chứng minh.
1) Suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ ngược.
2) Với mọi x ∈ X, đặt y = f(x). Ta có
f
-1
(y) = x
⟶ f
-1
(f(x)) = x
⟶
(f
-1
o
f) (x) = 1
X
(x).
Vậy f
-1
o
f = 1
X
.
Theo 1) do (f
-1
)
-1
= f nên f
o
f
-1
= (f
-1
)
-1
o
f
-1
= 1
Y
.
Định lý 2. Giả sử g : Y
⟶
X và
g
: Y
⟶
X là các ánh xạ ngược của f : X
⟶
Y.
Khi đó g =
g
.
Chứng minh.
Vì g và
g
là ánh xạ ngược của f nên g
o
f = 1
X
, f
o
g
= 1
Y
. Từ đó ta có
g = g
o
1
Y
= g
o
(f
o
g
) = (g
o
f)
o
g
= 1
X
o
g
=
g
.
Như vậy, ánh xạ f nếu có ánh xạ ngược thì ánh xạ ngược là duy nhất.
Bài tập
1) Giả sử X là tập hợp tất cả các người trên trái đất (kể cả người đã chết). Các
quy tắc sau có phải là ánh xạ từ X đến X không? Nếu là ánh xạ thì chúng có phải là
đơn ánh, toàn ánh, song ánh không?
a) Quy tắc f ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc g ứng mỗi người với anh cả của mình.
2. Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh :
a) f : N
⟶
N
n
4n +5.
b) g : R
⟶
R
x
4x +5.
c) h : N
*
×
N
*
⟶ N
*
(a, b)
UCLN(a, b).
23
lOMoARcPSD|197044 94
o
d)
𝖼
:
R
+
⟶
R
x
log
2
x.
3. Cho các ánh xạ f : R ⟶ R và g : R ⟶ R xác định bởi: f(x) = x
2
+3x - 2 và
g(x) = sin(3x+2).
Hãy tìm các ánh xạ g
o
f và f
o
g.
4.
a) Tìm ánh xạ ngược của ánh xạ f :
R
⟶
R
x
3x + 4.
b) Cho X là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và O là một điểm của X, d là
một đường thẳng cho trước của mặt phẳng. Trong các ánh xạ: phép vị tự tâm O tỉ số
k; phép quay tâm O góc quay 𝖼; phép đối xứng qua đường thẳng d; phép chiếu vuông
góc xuống đường thẳng d; phép nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
5.
Cho f :
X
⟶
Y và g
:
Y
⟶
Z là các song ánh. Chứng minh rằng:
(g
o
f)
-1
= f
-1
g
-1
.
6.
Cho ánh xạ f : X
⟶
Y và g, g’ : U
⟶
X. Chứng minh rằng:
a)
Nếu f là đơn ánh và f
o
g = f
o
g’ thì g = g’.
b)
Nếu với mọi g, g’ mà từ f
o
g = f
o
g’ luôn luôn suy ra được g = g’ thì f là đơn
ánh.
24
lOMoARcPSD|197044 94
Chương II Lôgic toán
§1. Lôgic mệnh đề và các phép toán.
Ta biết rằng đặc trưng của toán học là tiến hành các chứng minh, tức là đưa ra
những định lý mới từ những định lý khác mà tính đúng đắn đã được xác lập hay được
công nhận như là xuất phát điểm.
Việc đó được tiến hành nhờ các suy luận toán học. Một trong những nhiệm vụ
chính của lôgic mệnh đề là đặt cơ sở ban đầu để nghiên cứu thực chất của các phép
suy luận toán học và thiết lập các tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các tiêu chuẩn đó.
Đối tượng chính của lôgic mệnh đề là mệnh đề.
Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu biểu thị hay diễn
đạt một ý gì đó. Chẳng hạn:
1. Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam.
2. Số 10 chia hết cho 2.
3. 1 cộng 3 bằng 6.
4. Bạn đã làm xong bài tập chưa ?
5. Số x là mộ số chẵn.
Đối với thực tế khách quan, câu 1, 2 là đúng, câu 3 là sai. Các câu 4, 5 không
nhằm phản ánh một sự kiện đúng hay sai thực tế khách quan : câu 4 chỉ là một câu
hỏi ; câu 5 nói về một đối tượng chưa xác định, nó không đúng cũng không sai nếu ta
chưa gán cho nó một giá trị cụ thể.
Do nhiệm vụ của lôgic mệnh đề như dã nói trên, lôgic mệnh đề chỉ quan tâm
đến các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện :
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai;
Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Như vậy, các câu 1, 2, 3, là những mệnh đề; các câu 4, 5 không là mệnh đề (xét
trong lôgic mệnh đề)
Trong lôgic mệnh đề, ta chỉ quan tâm đến tính đúng hoặc sai của mệnh đềmà
không quan tâm đến ý nghĩa, nội dung và cấu trúc ngữ pháp của nó.
Ta quy ước mệnh đề có giá trị 1 nếu nó đúng, có giá trị 0 nếu nó sai. Vì mỗi
mệnh đề chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1
hoặc 0.
Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề.
Chẳng hạn, giá trị chân lý của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam”
là 1, “1 cộng 3 bằng 6” là 0.
25
lOMoARcPSD|197044 94
Các mệnh đề đơn giản, tức là các mệnh đề không thể chia nhỏ thành nhiều
mệnh đề khác, được gọi là mệnh đề sơ cấp.
Các mệnh đề 1, 2, 3 ở ví dụ trên là các mệnh đề sơ cấp.
Còn các mệnh đề như “3 là số lẻ và 3 bé thua 5” không phải là mệnh đề sơ cấp
vì nó chứa hai mệnh đề “3 là số lẻ” và “3 bé thua 5 ”. Ta gọi chúng là các mệnh đề
phức tạp.
Ta sẽ dùng các ký hiệu p, q, r, ... để chỉ các mệnh đề sơ cấp, chúng được gọi là
các biến mệnh đề. Khi p là mệnh đề đúng, tức p có giá trị chân lý là 1, ta viết p = 1;
nếu p là mệnh đề sai, hay p có giá trị chân lý là 0, ta viết p = 0.
Như vậy, các mệnh đề p, q, r, ... lấy giá trị trong tập {0, 1}.
Trong đại số, từ các số a, b nào đó ta có thể lập được các số mới bằng các phép
toán đại số như: -x, x + y, x – y, x.y, …
Tương tự như thế, trên tập hợp các mệnh đề, với các mệnh đề cho trước, bằng
các quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới.
Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề (hay các
phép toán lôgic).
Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu một số phép toán mệnh đề cơ bản.
1.1. Phép phủ định.
Xét mệnh đề đúng “5 là số nguyên tố”. Từ mệnh đề này ta lập được mệnh đề
“5 không phải là số nguyên tố”, dễ dàng thấy rằng mệnh đề mới này sai.
Ta lấy một ví dụ khác. Xét mệnh đề sai “10 chia hết cho 3”. Từ mệnh đề này ta
lập đựợc mệnh đề “10 không chia hết cho 3”, rõ ràng mệnh đề mới này đúng.
Các mệnh đề “5 không là số nguyên tố” và “10 không chia hết cho 3” lần lượt
gọi là mệnh đề phủ định của các mệnh đề “5 là số nguyên tố” và “10 chia hết cho 3”.
Ta thấy rằng nếu mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định là sai và ngược lại.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho mệnh đề p. Phủ định của p là một mệnh đề, ký hiệu là
p
, đọc
là “không p”.
Mệnh đề
p
sai khi p đúng và
p
đúng khi p sai.
Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép
phủ định như sau:
P
p
1
0
0
1
Ví dụ:
1) Phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4”.
26
lOMoARcPSD|197044 94
2) Phủ định của mệnh đề “Hình chữ nhật có hai đường chéo dài bằng nhau” là
mệnh đề “Hình chữ nhật không có hai đường chéo dài bằng nhau”.
Chú ý: Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần cẩn thận để tránh sai
sót. Chẳng hạn phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4” chứ không phải là
“2 < 4”, phủ định của mệnh đề “-1 là số âm” là mệnh đề “-1 là số không âm” chứ
không phải là “-1 là số dương”, ...
1.2. Phép hội.
Cho hai mệnh đề “𝖼 > 3” và “𝖼 < 4”. Nối hai mệnh đề này bởi liên từ “và” ta
được mệnh đề mới “𝖼 > 3 và 𝖼 < 4”.
Mệnh đề mới này gọi là hội của hai mệnh đề đã cho, ta thấy mệnh đề hội này
đúng vì cả hai mệnh đề tạo thành đều đúng.
Còn các mệnh đề hội: “𝖼 > 3 và 𝖼 là số tự nhiên”, “𝖼 là số nguyên và 𝖼<4”, “𝖼
< 3 và 𝖼 là số tự nhiên” là các mệnh đề sai vì trong các mệnh đề đó có ít nhất một
trong hai mệnh đề tạo thành là sai.
Phép toán hội xuất hiện từ việc toán học hóa việc sử dụng từ “và” trong đời
sống hằng ngày.
Ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Hội của p và q là mệnh đề ký hiệu là p
q, đọc là “p và q”.
Mệnh đề p
q đúng nếu cả p và q đều đúng, p
q sai trong mọi trường hợp
khác.
Ta có bảng giá trị chân lý của phép hội như sau:
P
Q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Ví dụ:
1) Mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vuông” là hội
của hai mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau” và “hình vuông có bốn góc
vuông”.
Mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề để tạo thành đều đúng.
2) Mệnh đề “Số 2007 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3” là hội của hai
mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” và “Số 2007 chia hết cho 3”.
Mệnh đề hội này sai vì có mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” sai.
27
lOMoARcPSD|197044 94
1.3. Phép tuyển.
Cho hai mệnh đề “4 là số lẻ” và “4 là số chẵn”. Nối hai mệnh đề này bằng liên
từ “hoặc” ta được mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 4 là số chẵn”.
Mệnh đề mới này gọi là tuyển của hai mệnh đề đã cho. Ta thấy mệnh đề tuyển
này đúng vì có mệnh đề “4 là số chẵn” là đúng.
Tương tự ta có các mệnh đề “3 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” hay “4 lớn hơn 1
hoặc 4 là số chẵn” cũng là các mệnh đề đúng.
Ngược lại mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” là mệnh đề sai.
Phép toán tuyển chính là sự toán học hóa việc sử dụng từ “hoặc” trong đời
sống hằng ngày.
Ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Tuyển của p và q là mệnh đề ký hiệu là p
q, đọc là “p hoặc q”.
Mệnh đề p
q sai nếu cả p và q đều sai, p
q đúng trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau:
P
Q
p
q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Ví dụ:
1) Mệnh đề “ Hàm số y = (x + 1)
2
là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ” là tuyển của
hai mệnh đề “Hàm số y = (x + 1)
2
là hàm số chẵn” và “Hàm số y=(x+ 1)
2
là hàm số
lẻ”.
Mệnh đề tuyển này sai vì cả hai mệnh đề tạo thành đều sai.
2) Mệnh đề “1 bé thua hay bằng 5” là tuyển của hai mệnh đề “1 bé thua 5” và
“1 bằng 5”.
Mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “1 bé thua 5” là đúng.
1. 4. Phép kéo theo.
Ta bắt đầu bằng bản cam kết của học sinh A: Nếu A đi học thì A đeo khăn
quàng đỏ.
Đây là một mệnh đề được tạo thành từ hai mệnh đề:
p: A đi học
q: A đeo khăn quàng đỏ
bằng việc sử dụng liên từ “Nếu…thì”.
28
lOMoARcPSD|197044 94
2
Ta gọi mệnh đề “Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ” là mệnh đề kéo theo,
ký hiệu là p ⟶ q. Sau đây ta sẽ xét tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với bản cam
kết của A.
- A đi học (p = 1) nhưng A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0) thì điều cam kết bị
vi phạm, mệnh đề p ⟶ q sai (p ⟶ q = 0).
- A đi học (p = 1) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết không bị vi
phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
- A không đi học (p = 0) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết
không bị vi phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
- A không đi học (p = 0) và A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0), điều cam kết
không bị vi phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
Dựa vào ý nghĩa trên, ta có định nghĩa phép kéo theo như sau:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề ký hiệu
là p ⟶q, đọc là “nếu p thì q”.
Mệnh đề p ⟶ q sai nếu p đúng và q sai, p ⟶ q đúng trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý:
P
Q
p
⟶
q
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
Ví dụ:
1) Ghép hai mệnh đề p : “Số 3 là số chẵn” và q : “Số 5 chia hết cho 2” ta được
mệnh đề p ⟶ q : “Nếu 3 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”.
Mệnh đề trên là đúng (p ⟶ q = 1) vì p = 0 và q = 0.
2) Mệnh đề “Nếu 2 là số hữu tỉ thì là số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì mệnh đề
“2 là số hữu tỉ” đúng và mệnh đề “
1.5. Phép tương đương.
là số hữu tỉ” sai.
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p tương đương q là mệnh đề ký
hiệu là p q, đọc là “p khi và chỉ khi q”.
Mệnh đề p q đúng nếu cả p và q cùng đúng hoặc cùng sai, p q sai trong
mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý:
P
Q
p q
0
0
1
1
1
1
29
2
lOMoARcPSD|197044 94
0
1
0
1
0
0
Ví dụ:
1) Cho mệnh đề p là “5 > 2” và mệnh đề q là “2 < 4”. Ta có mệnh đề p q là “5
> 2 khi và chỉ khi 2 > 4”.
Mệnh đề p q đúng (p q = 1) vì p =1 và q = 1.
2) Mệnh đề “2 = -2 khi và chỉ khi (2)
2
= (-2)
2
” là sai vì “2 = -2” sai và “(2)
2
= (-
2)
2
” đúng.
Chú ý: Trong toán học, mệnh đề “p tương đương q” có thể phát biểu dưới
nhiều dạng khác nhau: “Nếu p thì q và nếu q thì p”, “p nếu và chỉ nếu q”,…
Các mệnh đề dạng p ⟶ q và p q rất hay gặp trong toán học vì các định lý,
hệ quả, bài toán,… thường được phát biểu dưới những dạng này.
Nếu p ⟶ q là mệnh đề đúng thì ta nói: p là điều kiện đủ để có q.
Nếu p q là mệnh đề đúng thì ta nói: có p khi và chỉ khi có q, hay p là điều
kiện cần và đủ để có q, hoặc p tương đương q,…
Ta xét ví dụ sau:
Mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành” tương đương với “Tứ giác ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Tương đương này được
phát biểu dưới dạng:
“Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo của nó cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường” hoặc “Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình
hành là hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điềm của mỗi đường”.
Như vậy ta đã nghiên cứu các phép toán lôgic: phép phủ định ( ), phép hội ( ),
phép tuyển ( ), phép kéo theo (
⟶
) và phép tương đương ( ). Trong các phép toán
này, phép phủ định là phép toán một ngôi, các phép toán còn lại là các phép toán hai
ngôi.
Bài tập
1) Những câu nào trong các câu sau đây là mệnh đề:
a) “3 lần 5 là 15”.
b) “n là số chẵn”.
c) “Hãy lấy 18 chia cho 6”.
d) “Với mọi số thực x, sinx 1”.
2. Cho các mệnh p: “1 = 2” và q: “1 < 2”.
Hãy thành lập các mệnh đề:
p
,
q
, p
q, p
q, p
⟶
q, q
⟶
p, p
q; sau đó tìm
giá
trị chân lý của các mệnh đề này.
3. Cho tứ giác ABCD. Giả sử p là mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành”, q là
mệnh đề “Các cặp cạnh đối của tứ giác ABCD từng đôi một bằng nhau”.
30
lOMoARcPSD|197044 94
q
Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề p
q, p
q, p ⟶ q, q ⟶ p, p q; sau đó cho
biết giá trị chân lý của chúng, biết rằng p là mệnh đề đúng (p = 1).
4. a) Biết mệnh đề p ⟶ q đúng, mệnh đề p q sai. Có thể nói gì về giá trị chân
lý của các mệnh đề q ⟶ p và q p?
b) Biết mệnh đề p q đúng, có thể nói gì về giá trị chân lý của các mệnh đề:
p
q, p
q
,
p
⟶ q,
⟶
p?
5. Tìm giá trị của p ⟶ q , biết rằng:
a) p
q
nhận giá trị 0.
b) p
q
nhận giá trị 1.
6. Hãy dùng kiến thức của lôgic mệnh đề để giải bài toán suy luận lôgic ở tiểu
học sau đây:
Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ của tỉnh Hà Tây, bốn học sinh Xuân, Hạ,
Thu, Đông có quê mỗi người ở một huyện khác nhau: Thường Tín, ứng Hoà, Phú
Xuyên, Mỹ Đức.
Trả lời câu hỏi: “Bạn quê ở đâu?” thì nhận được các câu trả lời sau:
Xuân: “Hạ quê ở Thường Tín còn tôi quê ở ứng Hoà”.
Hạ: “Tôi quê ở ứng Hoà còn Thu quê ở Thường Tín”.
Thu: “Tôi quê ở Phú Xuyên còn Đông quê ở Mỹ Đức”.
Đông: “Trong mỗi câu trả lời của ba bạn trên đều có phần đúng, phần sai”.
Hãy xác định quê của mỗi người.
§2. Công thức và luật của lôgic mệnh đề
2.1. Khái niệm công thức.
Giả sử cho p, q, r, … là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử dụng
các phép toán lôgic , , ,
⟶
và ta lập được những mệnh đề mới phức tạp hơn
như:
p
q, ( p
q)
⟶
r, …
Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp dụng các phép toán lôgic, ta được các
mệnh đề mới như: (p
q)
p, p ⟶ (q
r) ,…
Cứ như vậy, ta thiết lập được một dãy các ký hiệu gọi là công thức của lôgic
mệnh đề.
Khái niệm. Công thức của lôgic mệnh đề là một dãy các ký hiệu gồm có:
- Các biến mệnh đề sơ cấp: p, q, r, …
- Các phép toán phép toán lôgic: , , ,
⟶
, .
- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán.
Chú ý:
- Các biến mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức.
- Nếu P, Q là các công thức thì
P
, P
Q , P
Q , P ⟶ Q , P Q cũng là các
công thức.
31
lOMoARcPSD|197044 94
Ta thấy rằng khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm
biểu thức đại số trong đại số. Vì thế có thể hiểu một cách đơn giản công thức của
lôgic mệnh đề như là biểu thức của lôgic mệnh đề.
2.2. Giá trị của công thức.
Ta biết rằng các biến mệnh đề p, q, r, … trong công thức đều có giá trị chân lý
cụ thể của chúng (phụ thuộc vào tính đúng sai của mỗi mệnh đề), như vậy công thức
cũng là một mệnh đề xác định. Sau khi thực hiện các phép tính lôgic có trong công
thức với các giá trị chân lý cụ thể của các biến mệnh đề, ta sẽ có kết quả là một giá trị
xác định, kết quả này chính là giá trị của công thức.
Khái niệm. Cho công thức S(p
1
, p
2
, ..., p
n
) là công thức của các biến mệnh đề
p
1
, p
2
, ..., p
n
. Nếu gán các biến mệnh đề này các giá trị chân lý và thực hiện các phép
toán mệnh đề ta sẽ được giá trị chân lý của công thức S(p
1
, p
2
, ..., p
n
), giá trị đó gọi là
giá trị của công thức ứng với bộ giá trị đã cho của các biến mệnh đề.
Ví dụ: Cho công thức ( p
⟶
q )
r
.
Cho p = 1 , q = 0 , r = 1, khi đó:
(1
⟶
0 )
1
= 0
0 = 0.
Chú ý: Các biến mệnh đề p
1
, p
2
, ..., p
n
lấy giá trị trong tập I ={0, 1}, do vậy khi
thay các biến này bằng các giá trị là thực chất ta đã cho bộ n biến (p
1
, p
2
, ..., p
n
) một
bộ giá trị thuộc tập I×I×…×I. Khi đó công thức S(p
1
, p
2
, …, p
n
) nhận giá trị trong
tập I.
Như vậy, ta có thể coi mỗi công thức S(p
1
, p
2
, …, p
n
) là một ánh xạ từ I
n
⟶ I.
Ta có thể xét hết tất cả các bộ giá trị của các biến mệnh đề bằng cách lập bảng
giá trị chân lý của công thức.
Ví dụ: Lập bảng giá trị chân lý của công thức (p
⟶
q)
r
.
P
q
r
p
⟶
q
r
(p
⟶
q)
r
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
Trong ví dụ này, qua bảng chân lý ta thấy:
Nếu p và r là các mệnh đề đúng, q là mệnh đề sai thì (p ⟶ q)
r
là mệnh đề
sai.
32
lOMoARcPSD|197044 94
đúng.
Tất cả các trường hợp khác của p, q và r đều làm cho (p ⟶ q)
r
là mệnh đề
2.3. Hai công thức bằng nhau.
a) Định nghĩa. Cho S (p, q, r, ...) và T (p, q, r, ...) là 2 công thức của cùng các
biến mệnh đề p, q, r,... Nếu ta thay mọi bộ giá trị vào các biến mệnh đề mà giá trị của
hai công thức luôn bằng nhau thì hai công thức đó gọi là bằng nhau (hoặc gọi là tương
đương), ký hiệu là S (p, q, r, ...) T (p, q, r, ...).
Ví dụ: Xét hai công thức
p
Ta lập bảng chân lý sau:
q
và
p
q
.
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
Dựa vào bảng trên và theo định nghĩa hai công thức bằng nhau ta có:
p
q
p
q
.
Như vậy muốn biết hai công thức có bằng nhau hay không ta lập bảng chân lý
của hai công thức đấy và nên lập chung một bảng.
b) Một số đẳng thức cơ bản.
Sử dụng phương pháp lập bảng giá trị chân lý của công thức, ta có thể dễ dàng
chứng minh được các đẳng thức (tương đương) cơ bản sau:
1. Đẳng thức liên quan đến các hằng 1, 0:
0
p
0
(1.1)
0
p
p
(1.2)
1
p
p
(1.3)
1
p
1
(1.4)
p
p
0
(1.5)
p
p
1
(1.6)
2. Đẳng thức về phủ định của phủ định:
p
p
3. Đẳng thức về tính giao hoán của phép hội, phép tuyển:
p
q
q
p
(3.1)
p
q
q
p
(3.2)
4. Đẳng thức về tính kết hợp của phép hội và phép tuyển:
(p
q)
r
p
(q
r)
(4.1)
(p
q)
r
p
(q
r)
(4.2)
5. Đẳng thức về tính phân phối của phép hội với phép tuyển và phép tuyển với
phép hội:
33
lOMoARcPSD|197044 94
p
(q
r)
( p
q )
( p
r )
(5.1)
p
(q
r)
( p
q )
( p
r )
(5.2)
6. Đẳng thức về tính lũy đẳng của các phép hội, tuyển:
p
p
p
(6.1)
p
p
p
(6.2)
7. Đẳng thức về sự phủ định của hội, tuyển:
p
q
p
q
(7.1)
p
q
p
q
(7.2)
8. Đẳng thức biểu thị phép ⟶ qua các phép toán khác:
p
⟶
q
p
q
(8.1)
p
⟶
q
p
q
(8.2)
đảo:
9. Đẳng thức biểu thị sự tương đương giữa mệnh đề thuận và mệnh đề phản
p
⟶
q
q
⟶
p
.
2.4. Phép biến đổi công thức.
a) Phép biến đổi tương đương.
Trong đại số chúng ta quen dùng các hằng đẳng thức để biến đổi các biểu thức
đại số về một dạng khác.
Tương tự như vậy, trong lôgic mệnh đề ta có thể dùng các đẳng thức cơ bản từ
1 đến 9 (mục 2.3) để biến đổi công thức đã cho về một dạng khác tương đương với
công thức ban đầu. Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi đồng nhất.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:
(
p
q r) (
p
q
r) (q r) (p ⟶ q) r .
Chứng minh.
Ta biến đổi vế trái:
(
p
q
r)
(
p
q
r)
(q
r)
[(
p
q r) (
p
q
r)] (q r)
[((
p
q) (
p
q
) r)] (q r)
(theo 5.2)
[(
p
(q
q
)) r] (q r)
(theo 5.2)
[(
p
1) r] (q r)
(theo 1.6)
(
p
r) (q r)
(theo 1.3)
(
p
q) r
(theo 5.2)
(
p
⟶ q)
r
(theo 8.1)
Ta đã biến đổi vế trái về vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh.
Nhận xét: Để chứng minh một đẳng thức (hay hai công thức bằng nhau) có thể
sử dụng hai cách: Lập bảng giá trị chân lý của hai công thức hoặc biến đổi đồng nhất
thức (dùng các đẳng thức cơ bản).
b) Dạng chuẩn tắc tuyển.
34
lOMoARcPSD|197044 94
- Hội sơ cấp: Ta gọi một hội các mệnh đề hay phủ định của chúng là một hội sơ
cấp (còn gọi là tích sơ cấp).
Ví dụ:
p
q, p
q
r ,
p
q
r , ... là các hội sơ cấp.
- Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức biểu thị ở dạng tuyển của các hội sơ
cấp gọi là có dạng chuẩn tắc tuyển.
Ví dụ: ( p
q
r
) (
p
q r ) (
p
q
r ) là công thức có dạng chuẩn tắc
tuyển.
- Biến đổi về dạng chuẩn tắc tuyển: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương
để đưa một công thức bất kỳ về dạng chuẩn tăc tuyển.
Ví dụ: Dưa công thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển:
(p
(p
⟶
q))
⟶
q.
Ta có: (p (p
⟶
q))
⟶
q (p (
p
q))
⟶
q (theo 8.1)
[(p
p
)
(p
q)]
⟶
q
(theo 5.1)
[0
(p
q)]
⟶
q
(theo 1.5)
(p
q)
⟶
q
(theo 1.2)
p
q
q
(theo 6.1)
(
p
q
)
q
(theo 7.1)
p
q
q
Đến đây ta đã đưa công thức (p
(p ⟶ q)) ⟶ q về dạng chuẩn tắc tuyển là
p
q
q. Công thức này vó thể tiếp tục rút gọn:
p
q
q
p
(
q
q)
p
1
1.
Như vậy
giá trị của công thức (p
(p
⟶
q))
⟶
q luôn bằng 1.
2.5. Luật của lôgic mệnh đề.
Khi lập bảng chân lý của một công thức, có thể xảy ra trường hợp công thức đó
luôn nhận giá trị bằng 1 với tất cả các bộ giá trị có thể có của các biến mệnh đề. Trong
trường hợp này, công thức được gọi là một luật lôgic (hay mệnh đề hằng đúng).
Định nghĩa. Cho công thức S(p, q, r, …). Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức
này luôn đúng với mọi mệnh đề p, q, r, … thì ta gọi S(p, q, r, …) là một luật lôgic.
Để chỉ S(p, q, r, …) là một luật lôgic ta ký hiệu ∣= S(p, q, r, …).
Ví dụ: ∣= p
p
(Luật bài trung).
Ta lập bảng chân lý:
p
p
p
p
0
1
1
1
0
1
luật.
Dựa vào bảng ta thấy dù p = 0 hay p = 1 ta luôn có p
p
= 1, vậy p
p
là một
35
lOMoARcPSD|197044 94
Luật này có thể phát biểu như sau: Với mọi mệnh đề p, mệnh đề “p hoặc không
p” luôn đúng. Nghĩa là trong hai mệnh đề p và
p
có một mệnh đề đúng.
Bài tập
1. Hãy chứng minh các đẳng thức (từ 1 đến 9) ở mục 2.3.
2. Hãy lập công thức của lôgic mệnh đề biểu thị bởi ánh xạ sau:
T : I
×
I ⟶ I
(0, 0)
0
(0, 1)
1
(1, 0)
1
(1, 1)
0.
Sau đó kiểm tra lại bằng cách lập bảng giá trị chân lý của công thức tìm được.
3. Chứng minh các đẳng thức sau bằng cách lập bảng chân lý:
a) p
⟶
( q
⟶
r )
( p
q )
⟶
r.
b) ( p
⟶
r )
( q
⟶
r ) ( p
q )
⟶
r.
4. Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( p
⟶
q )
⟶
q
p
q.
b) ( p
q )
(
p
q )
(
p
q
)
p
⟶
q.
5. Đưa các công thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển:
a) ( p
q )
⟶
(
p
q).
b) ( p
q )
(
p
q )
( p
q
).
6. Biến đổi các công thức sau về dạng đơn giản nhất có thể được:
a)
(
p
q
)
( p
⟶
q ).
b) ( p
q )
r
⟶
(
p
q ).
7. Hãy chứng minh các luật sau:
a)∣= p ⟶ ( q ⟶ p ).
b)
∣
= (
q
( p
⟶
q ))
⟶
p
.
§3. Lôgic vị từ
3.1. Hàm mệnh đề một biến.
a) Khái niệm.
36
lOMoARcPSD|197044 94
Ta đã biết đối tượng nghiên cứu của lôgic mệnh đề là các mệnh đề. Tuy nhiên
trong toán học có những câu không phải là mệnh đề, chẳng hạn câu “x là ước của 12”
không là mệnh đề vì ta không xác định được tính đúng sai của nó.
Nhưng khi thay x bởi một số cụ thể, chẳng hạn thay x = 3 thì ta được câu “3 là
ước của 12” là mệnh đề đúng, hay khi thay x = 7 thì ta được câu “7 là ước của 12” là
mệnh đề sai.
Một cách tổng quát, khi thay x bởi một số cụ thể thuộc tập hợp số tự nhiên N
thì câu trên trở thành một mệnh đề.
Trong toán học ta gặp rất nhiều câu có dạng như vậy, ví dụ như: “x là số
nguyên tố”, “x chia hết cho 5”, “x là nghiệm phương trình 2x
2
+ x -3 = 0”, … Các câu
như thế tuy không phải là mệnh đề nhưng đều là các khẳng định về phần tử x chưa
xác định nào đó trong một tập hợp X đã cho. Khi thay một phần tử cụ thể thuộc tập
hợp X vào x thì các khẳng định sẽ trở thành mệnh đề, lúc đó các khẳng định này sẽ
nhận giá trị trong tập I = {0, 1}.
Ta gọi các câu như thế là hàm mệnh đề một biến. Vậy ta có thể định nghĩa như
sau:
Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề một biến (còn gọi là vị từ một
ngôi) xác định trên X là ánh xạ
x được gọi là biến tử.
𝖼 : X ⟶ I ={0, 1}
x
𝖼
(x)
3”.
= 0.
Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên N, xét hàm mệnh đề 𝖼(x) : “ x chia hết cho
Với x = 4, ta có mệnh đề 𝖼(4) : “4 chia hết cho 3”, đây là mệnh đề sai hay 𝖼(4)
Với x = 9, ta có mệnh đề 𝖼(9) : “9 chia hết cho 3 ”, đây là mệnh đề đúng hay
𝖼(4) = 1.
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x) là hàm mệnh đề một biến trên X. Tập tất cả các giá
trị của biến tử x làm cho mệnh đề trở thành mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay miền
chân lý) của hàm mệnh đề 𝖼(x), ký hiệu là E
𝖼(x)
.
Ta có thể viết
E
𝖼(x)
= {x ∈ X
∣
𝖼(x) = 1}.
Ví dụ:
1) Trên R cho hàm mệnh đề 𝖼(x): “2x
2
+x – 3 = 0”. Miền đúng của 𝖼(x) là tập
hợp các nghiệm của phương trình 2x
2
+x – 3 = 0:
3
E
𝖼
(x)
= {x
∈
R
∣
2x
2
+x – 3 = 0} = {
-
, 1}.
2) Miền đúng của hàm mệnh đề 𝖼(x): “ x là số chẵn ” (trên N) là tập hợp tất cả
các số chẵn:
37
lOMoARcPSD|197044 94
1 n
E
𝖼(x)
= {0, 2, 4, 6, ...}.
3) Xét trong một mặt phẳng, miền đúng của hàm mệnh đề 𝖼(M): “M là điểm
cách điểm cố định O một khoảng r cho trước” là đường trong tâm O bán kính r.
3.2. Hàm mệnh đề 2 biến.
Trong phạm vi các số thực xét câu “x lớn hơn y”. Khi ta cho x, y những giá trị
cụ thể thì câu vừa cho sẽ trở thành một mệnh đề. Chẳng hạn cho x = 5, y= 1 ta có
mệnh đề đúng “5 lớn hơn 1”; cho x = 2, y = 9 ta có mệnh đề sai “2 lớn hơn 9”.
Ta ký hiệu câu “x lớn hơn y” là 𝖼(x, y) và gọi đây là hàm mệnh đề hai biến.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa:
a) Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề 2 biến xác định trên X×X là
ánh xạ
x, y gọi là các biến tử.
𝖼 : X×X ⟶ I = {0, 1}
(x,y)
𝖼(x, y)
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x, y) là hàm mệnh đề hai biến trên X×X. Tập tất cả
các giá trị của (x, y) làm cho mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay miền chân lý) của
𝖼(x, y), ký hiệu là E
𝖼(x,y)
.
Ta có thể viết:
E
𝖼(x,y)
= {(x, y) ∈ X×X
∣
𝖼(x, y) = 1}.
Ví dụ:
1) Cho hàm mệnh đề 𝖼(x, y): “2x + y = 7” xác định trên tập số tự nhiên N.
Miền đúng của 𝖼(x, y) là tập hợp các cặp (x, y) thỏa mãn 2x + y = 5 nên ta đễ dàng
tìm được:
E
𝖼(x,y)
= {(0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)}.
2) Trên R cho hàm mệnh đề “x
2
+ y
2
= 4”. Miền đúng của 𝖼(x, y) là tập hợp
các cặp (x, y) thỏa mãn x
2
+ y
2
= 4, đó là tập hợp các cặp được biểu thị bởi các điểm
nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
3.2. Hàm mệnh đề n biến.
Ta có thể tổng quát như sau:
a) Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề n biến xác định trên X là ánh xạ
𝖼 : X×X×...×X ⟶ I = {0, 1}
(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
𝖼( x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là các biến tử.
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x
1
, x
2
, ..., x
n
) là hàm mệnh đề n biến trên X×X×...×X.
Tập tất cả các giá trị của(x
1
, x
2
, ..., x
n
) làm cho mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay
miền chân lý) của 𝖼(x
1
, x
2
, ..., x
n
), ký hiệu là
Ta có thể viết:
E
𝖼
( x ,..., x
)
.
38
lOMoARcPSD|197044 94
E
𝖼
(x)
E
𝖼
( x)
X
1 n
E
𝖼 ( x ,...,x ) = {( x
1
, x
2
, ..., x
n
) ∈ X×X×...×X ∣ 𝖼( x
1
, x
2
, ..., x
n
) = 1}.
Bài tập
1. Trên tập các số tự nhiên N, cho các hàm mệnh đề 𝖼(x): “ 20
𝖼
x ” và p(M):
“M cách đều hai cạnh của góc xOy” cho trước (trên tập hợp các điểm của mặt phẳng
chứa goác xOy).
a) Hãy đọc các mệnh đề 𝖼(4), 𝖼(7), p(O) và tìm giá trị chân lý của các mệnh đề
đó.
b) Hãy xác định miền đúng của các hàm mệnh đề 𝖼(x), p(M).
2.
Trên tập các số tự nhiên N, cho các hàm mệnh đề hai biến: 𝖼(x, y): “3x + 2y
= 15 ” và p(x, y): “x và y có cùng số dư trong phép chia cho 3”.
a) Đọc các mệnh đề 𝖼(1, 6), 𝖼(4, 5), p(4, 22) và p(7, 26) và xác định giá trị
chân lý của chúng.
b) Hãy xác định miền đúng của các hàm mệnh đề 𝖼(x,y) và p(x, y).
3.
Hãy tìm câu biểu thị hàm mệnh đề 𝖼(n) : N ⟶ {0, 1} biết rằng miền đúng
của 𝖼(n) là tập hợp E
𝖼(n)
= {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...}.
§4. Các phép toán của lôgic vị từ
Ta đã biết rằng khi thay các biến tử trong hàm mệnh đề bởi các phần tử cụ thể
thuộc miền xác định ta được các mệnh đề. Vì vậy các phép toán trên các hàm mệnh đề
phải được xây dựng sao cho sau quá trình thay thế đó, các phép toán trên hàm mệnh
đề trở thành các phép toán trên mệnh đề đã biết.
Ta chỉ trình bày các phép toán cơ bản trên các hàm mệnh đề một biến (Với các
hàm nhiều biến ta xây dựng hoàn toàn tương tự).
4.1. Phép phủ định.
Định nghĩa. Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Phủ định của 𝖼(x)
là hàm mệnh đề ký hiệu là
𝖼(x)
, đọc là “không 𝖼(x)”.
Với cùng một giá trị cụ thể của biến tử thì 𝖼(x) và
định lẫn nhau.
𝖼
(x)
là hai mệnh đề phủ
Miền đúng của
của 𝖼(x):
𝖼
(x)
là phần bù miền đúng
𝖼
( x )
= X \ E
𝖼(x)
.
Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên N cho
mệnh đề 𝖼(x): “x là ước của 10”. Khi đó phủ định
hàm
của
𝖼(x) là hàm mệnh đề
10”. Ta có:
𝖼
(x)
: “x không phải là ước
của
39
E
lOMoARcPSD|197044 94
x - 3
E
E
(x)
𝖼
(x)
X
E
E
(x)
𝖼
(x)
X
E
𝖼(x)
= {x∣ 10 𝖼x} = {1, 2, 5, 10},
4.2. Phép hội.
𝖼
( x )
= {x∣
10𝖼x
} = N \{1, 2, 5, 10}
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X. Hội
của 𝖼(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x)
(x), đọc là “𝖼(x) và (x)”.
Ta thấy khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X
thì 𝖼(x)
(x) trở thành 𝖼(a)
(a), mệnh đề này
đúng nếu cả 𝖼(a) và (a) cùng đúng. Như vậy,
miền đúng của 𝖼(x)
(x) là giao của miền
đúng của 𝖼 (x) với miền đúng của (x), tức là:
E
𝖼
(x) (x)
= E
𝖼
(x)
𝖼
E
(x)
.
Ví dụ: Xét hai hàm mệnh đề xác định trên
N:
𝖼(x): “x là ước của 10”,
(x): “x là ước của 12”.
Ta có E
𝖼
(x)
= {1, 2, 5, 10} và E
(x)
= {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Khi đó hàm mệnh đề 𝖼(x)
(x) là: “x là ước của 10 và x là ước của 12”, nó
có miền đúng là:
4.3. Phép tuyển.
E
𝖼
(x) (x)
= E
𝖼
(x)
𝖼
E
(x)
= {1, 2}.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X. Tuyển
của
𝖼
(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là
𝖼
(x)
(x), đọc là “
𝖼
(x) hoặc (x)”.
Ta thấy khi thay x bởi phần tử cụ thể a ∈ X,
mệnh đề 𝖼(a)
(a) sai khi và chỉ khi 𝖼(a) và (a)
cùng sai. Như vậy, miền đúng của 𝖼(x)
(x) là
hợp của miền đúng của 𝖼(x) với miền đúng của
(x), nghĩa là:
E
𝖼
(x) (x)
= E
𝖼
(x)
○
E
(x)
.
Ví dụ: Cho hàm mệnh đề: “
x - 3
định trên tập hợp các số thực R.
> 3”
xác
Ta biết rằng bất phương trình
x - 3
> 3 tương đương với x – 1 > 3 hoặc x – 1
< - 3. Nếu gọi 𝖼(x), (x) lần lượt là các hàm mệnh đề “x – 1 > 3” và “x – 1 < - 3” thì
“ > 3” chính là tuyển của hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x).
Do vậy miền đúng của hàm mệnh đề “
x - 3
𝖼
(x)
(x).
> 3” chính là miền đúng của
Ta có E
𝖼(x)
= {x ∈ R∣ x - 1 > 3} = {x ∈ R∣ x > 4},
E
(x)
= {x ∈ R∣ x - 1 < - 3} = {x ∈ R∣ x < - 2}.
Vậy E
𝖼
(x) (x)
= E
𝖼
(x)
○
E
(x)
= {x
∈
R
∣
x < - 2 hoặc x > 4}.
40
E
lOMoARcPSD|197044 94
E
E
𝖼
(x)
(x)
X
E
E
(x)
𝖼
(x)
X
4.4. Phép kéo theo.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và
(x)
xác định trên tập hợp X. 𝖼(x) kéo theo (x) là hàm
mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) ⟶ (x), đọc là “Nếu 𝖼(x) thì
(x)”.
Khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X ta có
mệnh đề 𝖼(a) ⟶ (a). Mệnh đề này chỉ sai khi và
khi
𝖼
(x) = 1 và (x) = 0. Như vậy,
𝖼
(x)
⟶
(x) có
đúng là hợp của phần bù miền đúng của 𝖼(x) với miền đúng của (x), ta có:
E
𝖼
(x)
⟶
(x)
= (X\ E
𝖼
(x)
)
○
E
(x)
.
Ví dụ: Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên N như sau:
𝖼(x): “x là số chẵn”,
(x): “x là số nguyên tố”.
Ta có E
𝖼(x)
= {x ∈ N∣ x chẵn} và E
𝖼(x)
= {x ∈ N∣ x nguyên tố}.
chỉ
miền
Khi đó hàm mệnh đề 𝖼(x) ⟶ (x) là: “Nếu x là số chẵn thì x là số nguyên tố”, nó
có miền đúng là:
E
𝖼
(x)
⟶
(x)
= (
N\
E
𝖼
(x)
)
○
E
(x)
= {x
∈
N
∣
x lẻ}
○
{x
∈
N
∣
x nguyên tố}
= {1, 3, 5, 7, ...}
○
{2, 3, 5, 7, ...}
= {1, 2, 3, 5, 7, ...} (Tập này là hợp của 2 với tất cả các số lẻ).
4.5. Phép tương đương.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X.
Tương đương của 𝖼(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) (x), đọc là “𝖼(x)
khi và chỉ khi (x) ”.
Khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X ta
được mệnh đề 𝖼(a) (a), mệnh đề này chỉ
nhận giá trị bằng 1 khi và chỉ khi 𝖼(a) và (a) có
giá trị bằng nhau. Như vậy, 𝖼(x) (x) có
miền đúng là tập các giá trị thuộc X sao cho 𝖼(x)
và (x) cùng đúng hoặc cùng sai. Ta có thể viết:
E
𝖼(x) (x)
= {x ∈ X∣ 𝖼(x) = (x)}.
Ví dụ: Trên N cho hai hàm mệnh đề:
𝖼(x): “Số tự nhiên x chia hết cho 9”,
(x): “Số tự nhiên x có tổng các chữ số chia hết cho 9”.
Hàm mệnh đề 𝖼(x) (x) là: “Số tự nhiên x chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng
các chữ số của nó chia hết cho 9”. Miền đúng của hàm mệnh đề này là toàn bộ N.
41
lOMoARcPSD|197044 94
A
C
B
X
Bài tập
1. Hãy phát biểu phủ định của mệnh đề 𝖼(x): “x là số dương” (trên tập hợp các
số thực); sau đó tìm miền đúng của nó.
2. Cho các hàm mệnh đề p(x): “x là số nguyên tố”, q(x): “x là số lẻ” và r(x): “x
chia hết cho 2”. Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với hàm mệnh đề sau:
(
p(x)
q(x)
)
⟶
r(x).
3. Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Chứng minh rằng:
𝖼
(x)
𝖼
(x) = 1 , x
∈
X.
4. Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x),
(x), 𝖼(x) xác định trên tập hợp X và các miền
đúng của chúng (như hình vẽ) là A= E
𝖼(x)
, B =
E
(x)
, C = E
𝖼(x)
.
Hãy gạch chéo miền đúng của các
mệnh đề sau đây :
a)
𝖼
(x)
(x)
𝖼
(x) .
b)
𝖼
(x)
(x)
𝖼
(x) .
hàm
c)
𝖼
(x)
(x)
𝖼
(x)
.
d)
𝖼
(x)
(x)
𝖼
(x) .
e)
𝖼
(x)
⟶
(x))
𝖼
(x) .
5. Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x), (x) xác định trên tập hợp X. Miền đúng của
chúng phải có quan hệ như thế nào để:
𝖼
(x)
(x) nhận giá trị là 1 khi:
a) Với x nào đó trong X.
b) Không với giá trị nào của x trong X.
c) Với tất cả các giá trị của x trong E
𝖼(x)
.
d) Với tất cả các giá trị của x trong E
(x)
.
§5. Các lượng từ
Trong toán học cũng như trong đời sống ta rất hay gặp các từ “tồn tại”, “với
mọi”. Chẳng hạn như: “Tông tại số x thỏa mãn 2x + 1 = 5”, “Với mọi x ta có x
2
không
âm”, …
Các từ từ “tồn tại”, “với mọi” đóng vai trò rất quan trọng trong lôgic toán,
chúng được gọi là các lượng từ và được ký hiệu lần lượt bởi 𝖼, .
42
lOMoARcPSD|197044 94
𝖼
( x)
x
Ta chỉ trình bày đối với hàm mệnh đề một biến, đối với hàm nhiều biến ta xây
dựng tương tự.
5.1. Lượng từ tồn tại.
Cho các hàm mệnh đề xác định trên N như sau:
“Số x thỏa mãn x – 1 = 0”,
“Số x thỏa mãn 2 < x < 3”.
Khi đặt từ “tồn tại” trước các câu trên ta được các câu sau:
“Tồn tại số x thỏa mãn x – 1 = 0”,
“Tồn tại số x thỏa mãn 2 < x < 3”.
Rõ ràng các câu mới này là các mệnh đề hoàn toàn xác định.
Một cách tổng quát, ta có: Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Đặt
lượng từ “tồn tại” vào trước câu 𝖼(x) ta được mệnh đề “tồn tại x sao cho 𝖼 x)”, ký
hiệu là (
𝖼
x)
𝖼
(x) hoặc
𝖼
𝖼
(x).
Ta dễ dàng thấy:
(
𝖼
x)
𝖼
(x) = 1 nếu E
𝖼
(x)
,
(𝖼x) 𝖼(x) = 0 nếu E
𝖼(x)
= .
Ví dụ:
1) Hàm mệnh đề “n là ước của 10” xác định trên N có miền đúng là {1, 2, 5,
10} nên mệnh đề “(𝖼n) n là ước của 10” là mệnh đề đúng.
2) Hàm mệnh đề “x
2
+ 1 = 0” xác định trên R có miền đúng là tập rỗng nên
mệnh đề “(𝖼x) x
2
+ 1 = 0” là mệnh đề sai.
5.2. Lượng từ với mọi.
Tương tự như trên, khi đặt tằ “với mọi” trước mỗi hàm mệnh đề ta sẽ được một
mệnh đề hoàn toàn xác định.
Chẳng hạn, cho các hàm mệnh đề xác định trên R như sau:
“x có tính chất x
2
+ 4 > 0”,
“x có tính chất 2x
2
+ x - 3 = 0”.
Khi đặt từ “với mọi” trước các câu trên ta được các câu sau:
“Với mọi x có tính chất x
2
+ 4 > 0”,
“Với mọi x có tính chất 2x
2
+ x - 3 = 0”.
Ta thấy các câu trên đều là các mệnh đề.
Tổng quát ta có: Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Đặt lượng từ
“với mọi” vào trước 𝖼(x) ta được mệnh đề “Với mọi x ta có 𝖼(x)”, ký hiệu là ( x)
𝖼
(x) hoặc
𝖼
(x).
Ta có dễ dàng thấy:
( x)
𝖼
(x) = 1 nếu E
𝖼
(x)
= X,
43
lOMoARcPSD|197044 94
( x)
𝖼
(x) = 0 nếu E
𝖼
(x)
X.
Ví dụ:
1) Miền đúng của hàm mệnh đề “x
2
+ 4 > 0” là R nên mệnh đề “( x) x
2
+ 4 >
0” là đúng.
2) Miền đúng của hàm mệnh đề “2x
2
+ x - 3 = 0” là
-
{
3
, 1} nên mệnh đề
“( x) 2x
2
+ x - 3 = 0” là sai.
2
5.3. Liên hệ giữa các lượng từ “tồn tại”, “với mọi” và phép phủ định.
Ta biết rằng mệnh đề “Không phải với mọi x thì có 𝖼 x)” tương đương với
mệnh đề “Tồn tại x để không có 𝖼(x)”, nghĩa là:
( x)𝖼(x)
(𝖼x)
𝖼(x)
(1),
còn mệnh đề “Không tồn tại x để có 𝖼(x)” tương đương với mệnh đề “Mọi x
luôn không có 𝖼( x)” nghĩa là:
𝖼
x
𝖼
(x)
x
𝖼
(x)
(2).
Ta chứng minh công thức (1) trên bằng cách lập bảng sau:
Các trường hợp
( x)
𝖼
(x)
( x)𝖼(x)
(
𝖼
x)
𝖼
(x)
E
𝖼(x)
X
E
𝖼
( x )
0
1
1
E
𝖼(x)
= X
E
𝖼
( x )
1
0
0
Từ bảng trên ta có
( x)
𝖼
(x)
(
𝖼
x)
𝖼
(x)
.
Ta có thể chứng minh công thức (2) hoàn toàn tương tự.
Ví dụ:
1) áp dụng công thức (1) ta có phủ định của mệnh đề “Mọi số nguyên tố đều là
số lẻ” là mệnh đề “tồn tại một số nguyên tố không là số lẻ”.
Ta thấy mệnh đề thứ nhất sai nên phủ định của nó đúng, còn mệnh đề thứ hai
cũng đúng.
2) áp dụng công thức (1) ta có phủ định của mệnh đề “Tồn tại số tự nhiên n sao
cho n
3
+ 1 chia hết cho 7” tương đương với mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, n
3
+ 1
không chia hết cho 7”, chúng đều là mệnh đề sai.
Bài tập
1. Hãy dùng các ký hiệu để viết các mệnh đề sau rồi chỉ ra tính đúng, sai của
các mệnh đề đó:
a) “Tồn tại số x sao cho với mọi y có yx = y”.
b) “Với mọi số x, y tồn tại z sao cho z + x = y”.
44
lOMoARcPSD|197044 94
c) “Tồn tại số hữu tỷ x sao cho x
2
= 2”.
2. Cho x, y, z là cá số thực bất kỳ. Trước các hàm mệnh đề sau hãy đặt các
lượng từ thích hợp để được mệnh đề đúng:
a) “x
2
– 5x + 4 = 0”.
b) “x + 3 > y”.
c) “(x + y) z = xz + yz”.
3. Cho biết giá trị chân lý của các mệnh đề sau rồi tìm phủ định của mệnh đề
đó:
a) “Mọi số tự nhiên đều là số chẵn”.
b) “Qua một điểm cho trước, tồn tại đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho
trước”.
4. Hãy diễn đạt các mệnh đề dưới đây bằng ngôn ngữ thông thường, sau đó chỉ
ra tính đúng, sai của các mệnh đề đó:
a)
( x)( x = - x).
b) (
𝖼
x)( x = - x).
45
lOMoARcPSD|197044 94
Chương III: Số tự nhiên
Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậy những hiểu
biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tự nhiên có thể xây dựng bằng
phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáo trình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc
theo hướng số tự nhiên được xác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa
phù hợp với quá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt động
thực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành khái niệm số cho học
sinh.
Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do
các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, đã dần dần dần
nhận thức được khái niệm ít nhiều.
Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến
binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát mà số vũ khí vẫn còn thì số vũ
khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếu còn có chiến binh chưa được phát mà vũ
khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơn số chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều
đã được phát một vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào.
Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba, người tù trưởng
đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến
binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cách trực giác). ở trường hợp này đã có một song
ánh giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh.
Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số các cho mọi
người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ...) và sự tiếp xúc với các hiện tượng tự
nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàn tay có năm ngón, ... đã làm cho con
người cổ xưa đi đến khái niệm về số lượng, về số.
Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụ nhu cầu đánh
dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, năm ngón chân, ... Đó là việc hình
thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, ...
Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo sự hình
thành của chúng trong lịch sử.
§1. Tập hợp tương đương
1.1. Tập hợp tương đương.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp
B, ký hiệu là A
B, khi và và chỉ khi tồn tại một song ánh từ A đến B.
Ví dụ:
1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}.
46
lOMoARcPSD|197044 94
d
Ta thấy A B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳng hạn song ánh
f cho bởi bảng
1
2 3
4
f :
∣
∣
.
a
b c
𝖼
2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB], [AC] lần
lượt là tập hợp điểm trên đoạn AB và AC. Khi đó ta
sẽ có [AB] [AC] .
A
Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ
f : [AB] ⟶ [AC]
M
M’ sao cho MM’//BC.
Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh.
1.2. Một số tính chất
Tính chất 1.
B C
Quan hệ nói ở định nghĩa 1.1 có các tính
chất của một quan hệ tương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có:
a)
Tính phản xạ: A
A,
b)
Tính đối xứng: nếu A
thì B
A,
c)
Tính bắc cầu: nếu A
B và B
C thì A
C.
Chứng minh.
a)
A
A nhờ có ánh xạ đồng nhất
1
A
: A
⟶
A
a
a.
b)
Nếu A
B thì sẽ tồn tại song ánh f : A
⟶
B.
Khi đó có ánh xạ ngược f
-1
: B
⟶
A cũng là song ánh, do đó B
A.
c)
Giả sử có A
B và B
C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A
⟶
B và g : B
⟶
C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A
⟶
C cũng là song ánh, vậy A
C.
Nhận xét: Quan hệ xác định ở trên có các tính chất của một quan hệ tương
đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa các
tập hợp.
Khi có A
B
thì ta cũng có B
A và ta nói hai tập A và B tương đương với nhau.
Tính chất 2.
Với các tập A, B, A
1
, B
1
ta có:
a)
Nếu A
A
1
, B
B
1
thì A
×
B
A
1
×
B
1
.
b)
Nếu A
A
1
, B
B
1
và A
𝖼
B = A
1
𝖼
B
1
=
thì A
○
B
A
1
○
B
1
.
Chứng minh.
Vì A
A
1
, B
B
1
nên sẽ có các song ánh: f : A
⟶
A
1
và g : B
⟶
B
1
.
Dễ
thấy rằng các ánh xạ 𝖼 và xác định như sau:
𝖼 : A × B ⟶ A
1
× B
1
(a, b)
𝖼(a, b) = (f(a), g(b))
:
A
○
B
⟶
A
1
○
B
1
47
M
M’
lOMoARcPSD|197044 94
nhau.
x
(x) =
là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
1.3. Định lý Cantor.
Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau:
a) A tương đương với một tập con của B,
b) B tương đương với một tập con của A.
Nếu đồng thời xảy ra cả hai trường hợp a) và b) thì A và B tương đương với
Chúng ta không chứng minh định lý này.
Ta chú ý thêm rằng nói A tương đương với một tập con của B đồng nghĩa với
việc nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vì vậy khi cần chứng minh A tương đương
với một tập con của B ta chỉ cần chỉ ra rằng có một đơn ánh từ A đến B.
§2. Tập hợp hữu hạn – Tập hợp vô hạn
2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa.
- Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó không tương đương với bất kỳ tập
con thực sự nào của nó.
- Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn (Hay một tập hợp là
vô hạn nếu nó tương đương với một tập con thực sự nào đó của nó).
Ví dụ:
1) là tập hợp hữu hạn. Thật vậy, do không có tập con thực sự nên nó
không thể tương đương với tập con thực sự nào. Theo định nghĩa suy ra là tập hợp
hữu hạn.
2) Tập đơn tử {a} là hữu hạn. Thật vậy, vì {a} chỉ có một tập con thực sự là
mà rõ ràng không tương đương với {a}, nên {a} không tương đương với tập con
thực sự nào của nó.
3) Tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng bất kỳ là vô hạn.
Thật vậy, giả sử AB là đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] là tập hợp điểm trên
AB.
Lấy điểm C bất kỳ không thuộc đường thẳng AB, trên đoạn thẳng AB lấy điểm
I với I A, I B.
Ta có [AB] [AC] và [AI] [AC]
C
(Theo ví dụ 2) của Đ1).
Do tính chất bắc cầu của quan hệ
nên suy ra [AB] [AI].
Mặt khác, rõ ràng [AI] là tập con thực
sự của [AB].
A
I
B
48
lOMoARcPSD|197044 94
Theo định nghĩa suy ra [AB] là tập hợp vô hạn.
2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn).
a) Tính chất 1. Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn là tập hợp
hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ~ A, cần chứng minh B là tập
hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn, khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B
sao cho B’ B.
Do B ~ A nên tồn tại song ánh f : B
⟶
A.
Ta thấy B’
f(B’) vì f là song ánh.
Khi đó ta có: A
B, B
B’, B’
f(B’). áp dụng hai lần tính chất bắc cầu của
quan hệ , suy ra A
f(B’)
(1).
Vì f : B ⟶ A là song ánh mà B’ là tập con thực sự của B nên f(B’) cũng là tập
con thực sự của A (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy giả thiết B là tập hợp vô hạn là sai, hay B hữu hạn (đpcm).
b) Tính chất 2. Mọi tập con của tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ∈ A, cần chứng minh B là tập
hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn. Khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B
sao cho B’ B, do đó tồn tại song ánh g : B ⟶ B’.
Xét tập A’ = (A\ B) ○ B’, rõ ràng A’ là tập con thực sự của A.
Lập ánh xạ
f : A
⟶
A’
x
,
x
∈
A
\
B
x
f(x) =
g
(
x
),
x
∈
B
Ta thấy f là song ánh, do đó A
A’, tức là A tương đương với một tập con thực
sự của nó là A’. Suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết A hữu
hạn, nghĩa là B là tập hợp vô hạn là sai.
Vậy B là tập hợp hữu hạn (đpcm).
c) Tính chất 3. Nếu A, B là hai tập hữu hạn tương đương thì A\ B ~ B\ A.
Chứng minh.
Giả sử ngược lại, A\ B và B\ A không tương đương với nhau. Khi đó theo định
lý Cantor, một trong hai tập hợp đó sẽ tương đương với một tập con của tập hợp kia.
Không mất tính tổng quát, giả sử A\ B tương đương với một tập con của B\ A. Nghĩa
là sẽ tồn tại một đơn ánh f : A\ B
⟶
B\ A, hiển nhiên f(A\ B)
(B\ A).
Lập ánh xạ
g : A
⟶
B
x
,
x
∈
B
x
g(x) =
f
(
x
),
x
B
Ta thấy g là một đơn ánh và g(A)
B, A
g(A).
49
lOMoARcPSD|197044 94
Vì B A nên B g(A), mà g(A) là một tập con thực sự của B, do đó B là tập
vô hạn, điều này trí với giả thiết B hữu hạn
Vậy A\ B
B\ A (đpcm).
d) Tính chất 4. Nếu A là tập hợp hữu hạn, A
1
và A
2
là những tập con của A mà
A
1
A
2
, thì A\ A
1
A\ A
2
.
Chứng minh.
Ta có
A\ A
1
= (A\ (A
1
○
A
2
))
○
(A
2
\ A
1
) với (A\ (A
1
○
A
2
))
𝖼
(A
2
\ A
1
) =
và A\ A
2
= (A\ (A
1
○
A
2
))
○
(A
1
\ A
2
) với (A\ (A
1
○
A
2
))
𝖼
(A
1
\ A
2
) =
Mặt khác, do A
1
A
2
nên A
1
\ A
2
A
2
\ A
1
(theo tính chất 3). Sử
dụng tính chất 2 trong Đ1 ta suy ra A\ A
1
A\ A
2
(đpcm).
e) Tính chất 5. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
Chứng minh.
Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A ○ B là tập hợp hữu
hạn.
Xét hai trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp 1: A 𝖼 B = . Giả sử ngược lại, A ○ B là tập hợp vô hạn, khi đó
sẽ có một đơn ánh f : A ○ B ⟶ A ○ B sao cho f(A ○ B) A ○ B. Như vậy sẽ có a ∈
A ○ B mà a f(A ○ B).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a ∈ A. Đặt f(A) = A’, f(B) = B’.
Vì A
𝖼
B = và f là đơn ánh nên A’
𝖼
B’ = .
Ta có B B’ nên B\ B’ B’\ B = B’
𝖼
A (theo tính chất 3), nghĩa là có một
song ánh g : B\ B’ ⟶ B’
𝖼
A.
Lập ánh xạ
h : A
⟶
A
x
h(x) =
f
(
x
),
x
∈
A
g
(
f
(
x
)),
f
(
x
)
A
Ta thấy h là một đơn ánh và h(A)
∈
A’
○
B’ nên a h(A). Như vậy có một
đơn
ánh h : A
⟶
A mà h(a)
A, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó,
hay A
là tập hợp vô hạn, điều này trái với giả thiết A hữu hạn
Vậy A ○ B là tập hợp hữu hạn.
- Trường hợp 2: A
𝖼
B . Khi đó ba tập hợp A\ B, A
𝖼
B, B\ A đều là
những tập hợp hữu hạn và rời nhau. Ta có
A
○
B = (A\ B)
○
(A
𝖼
B)
○
(B\ A).
áp dụng kết quả ở trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B)
○
(A
𝖼
B) là tập
hợp hữu hạn, và ta cũng có A ○ B = C ○ (B\ A) là tập hữu hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả. Hợp hữu hạn các tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
f) Tính chất 6: Tích Đề các hai tập hữu hạn là tập hữu hạn.
50
lOMoARcPSD|197044 94
Chứng minh. Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu một trong hai tập này
là
thì hiển nhiên A
×
B =
là một tập hữu hạn. Ta xét cả 2 tập đều khác .
- Nếu A là tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x}×B. Thiết lập ánh xạ
f : {x}×B ⟶ B
(x, b)
b
, b
∈
B.
Ta thấy f là một song ánh, do đó {x}×B B, mà B là tập hợp hữu hạn, suy ra
{x}×B là tập hợp hữu hạn.
-
Nếu A là tập hợp hữu hạn khác
tuỳ ý: A = {x
1
, x
2
, …, x
n
}, ta có:
A
×
B
= {x
1
, x
2
, …, x
n
}
×
B = {x
1
}
×
B
○
{x
2
}
×
B
○
…
○
{x
n
}
×
B.
Các tập {x
1
}
×
B, {x
2
}
×
B, …, {x
n
}
×
B đều là tập hữu hạn, vì vậy A
×
B là hợp
một họ hữu hạn các tập hữu hạn nên A×B hữu hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
§3. Số tự nhiên
Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
3.1. Bản số – Số tự nhiên.
a) Bản số:
Ta đã biết quan hệ giữa các tập hợp là một quan hệ tương đương. Như vậy,
ta có thể phân lớp các tập hợp như sau: những tập hợp tương đương với nhau thuộc
cùng một lớp. Những tập thuộc cùng một lớp theo quan hệ tương đương này còn được
gọi là cùng bản số. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Nếu A
B ta nói A và B có cùng bản số hay cùng lực lượng.
Bản số (lực lượng) của tập A được ký hiệu là Card(A).
Ta thường ký hiệu bản số bởi các chữ cái thường như: a, b, c, ... Chẳng hạn khi
a là bản số của tập hợp A ta viết a=card(A).
Nhận xét: Card(A) = Card(B) khi và chỉ khi A
B.
b) Số tự nhiên.
Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên.
Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N.
Vậy: a ∈ N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card(A).
Ví dụ:
1) là một tập hợp hữu hạn nên Card( ) là một số tự nhiên. Ta ký hiệu
Card( ) = 0 (đọc là “số không”).
2) Tập đơn tử A = {a} là một tập hợp hữu hạn nên Card({a}) là một số tự
nhiên, ký hiệu Card({a}) = 1 (đọc là “số một”).
51
lOMoARcPSD|197044 94
3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.
a) Định nghĩa. Cho hai số a, b ∈ N và gọi A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho
a = Card(A), b = Card(B).
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a b, khi và chỉ khi A tương đương với
một tập con của B.
Nếu a b và a b, ta viết a < b (đọc là a thực sự nhỏ hơn b).
Nhận xét.
- Trong định nghĩa trên có mặt hai tập hợp A, B sao cho a = Card(A), b=
Card(B). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn A, B. Nghĩa là nếu A
1
, B
1
là
các tập hợp mà A A
1
, B B
1
và A tương đương với một tập con của B thì A
1
cũng
tương đương với một tập con của B
1
.
Thật vậy, theo giả thiết suy ra tồn tại các song ánh f : A
1
⟶ A và g : B⟶ B
1
và
đơn ánh h : A ⟶ B. Khi đó ánh xạ tích g◦h◦f : A
1
⟶ B
1
là một đơn ánh, chứng tỏ A
1
tương đương với một tập con của B
1
.
- Khi A tương đương với tập con B’ của B mà Card(A) = a thì ta cũng có
Card(B’) = a, do đó theo nhận xét trên, có thể coi a b khi và chỉ khi A ∈ B.
Ví dụ: Vì là tập con của mọi tập hợp nên 0 a, a ∈ N.
b) Định lý. Quan hệ nói trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn
phần trên tập hợp các số tự nhiên N.
Chứng minh.
Trước tiên ta chứng minh quan hệ này là một quan hệ thứ tự trên N. Thật
vậy, quan hệ có các tính chất sau:
a) Tính phản xạ: a ∈ N, giả sử a = Card(A). Vì A luôn tương đương với một
tập con của nó chính là A, A nên a a.
b) Tính phản đối xứng: giả sử a b và b a với a, b ∈ N. Gọi A, B là các tập
hợp sao cho Card(A) = a, Card(B) = b.
Theo giả thiết suy ra A tương đương với một tập con của B và B tương đương
với một tập con của A, áp dụng định lý Cantor ta có A B, suy ra Card(A) = Card(B)
hay a = b.
c) Tính chất bắc cầu: giả sử a b và b c với a, b, c ∈ N. Gọi A, B, C là các
tập sao cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c. Từ giả thiết suy ra tồn tại các đơn
ánh f : A ⟶ B và g : B ⟶ C.
Do đó tồn tại ánh xạ h = g◦f : A
⟶
C là đơn ánh, vậy a
c.
Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự trên N. Ta sẽ chứng tỏ quan hệ thứ tự này là
toàn phần trong N.
Giả sử a, b là hai phần tử bất kỳ thuộc N và a = Card(A), b = Card(B).
Theo định lý Cantor thì hoặc A tương đương với một tập con của B, hoặc B
tương đương với một tập con của A, nghĩa là a
b hoặc b
a.
52
lOMoARcPSD|197044 94
Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N (đpcm).
3.3. Số liền sau.
a) Định nghĩa. Cho a và b là hai số tự nhiên với a b.
Gọi B là tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết rằng khi đó vì a b nên sẽ
có A ∈ B mà Card(A) = a.
b được gọi là số liền sau của a khi và chỉ khi Card(B\A) = 1. Khi đó ta cũng nói
a là số liền trước của b hay a và b là các số liền nhau.
Số liền sau của a được ký hiệu là a’.
Ví dụ: Số 1 là số liền sau của số 0.
b) Một số tính chất.
1) Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
Điều này là hiển nhiên vì 0 = Card( ) mà không chứa tập con nào.
2) Mỗi số tự nhiên có duy nhất một số liền sau.
Chứng minh.
- Tồn tại. Giả sử a ∈ và a = Card(A). Xét tập {A} là tập đơn tử mà phần tử là
tập hợp A. Rõ ràng {A} không phải là phần tử của A. Khi đó B = A○{A} là một tập
hữu hạn và Card(B\A) = Card({A}) = 1.
Vậy tồn tại số tự nhiên b = Card(B) là số liền sau của a.
- Duy nhất. Giả sử a ∈ có hai số liền sau là b
1
và b
2
. Gọi B
1
, B
2
là những tập
hợp mà Card(B
1
) = b
1
, Card(B
2
) = b
2
.
Theo định nghĩa phải có các tập A
1
∈ B
1
, A
2
∈ B
2
sao cho Card(A
1
) = Card(A
2
)
= a và Card(B
1
\A
1
) = Card(B
2
\A
2
) = 1
Các hệ thức trên cho ta A
1
A
2
, B
1
\A
1
B
2
\A
2
. Mà B
1
= (B
1
\A
1
)
○
A
1
, B
2
=
(B
2
\A
2
)
○
A
2
nên ta suy ra B
1
B
2
, do đó Card(B
1
) = Card(B
2
) hay b
1
= b
2
, nghĩa là
phần tử liền sau là duy nhất.
Tính chất đã được chứng minh.
3) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên.
Giả sử b ∈ N, b 0 và Card(B) = b. Thế thì B , do đó tồn tại phần tử x ∈
B.
Đặt A = B\{x}. Dễ thấy B ∈ A và Card(B\A) = Card({x}) = 1.
Vậy b là số liền sau của a = CardA.
4) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của duy nhất một số tự nhiên.
Chứng minh. Giả sử b ∈ N, b 0, b = Card(B) là số liền sau của các số tự
nhiên a
1
và a
2
.
Theo định nghĩa sẽ có các tập A
1
∈ B, A
2
∈ B sao cho:
Card(A
1
) = a
1
, Card(B\A
1
) = 1,
Card(A
2
) = a
2
, Card(B\A
2
) = 1.
53
lOMoARcPSD|197044 94
Từ đó ta có B\A
1
B\A
2
, do đó A
1
= B\(B\A
1
) và A
2
= B\(B\A
2
) là những tập
hợp tương đương với nhau. Vì vậy Card(A
1
) = Card(A
2
) hay a
1
= a
2
(đpcm).
5) Cho a, b ∈ mà a < b, thế thì a’ b.
Chứng minh. Gọi B là tập hợp mà Card(B) = b. Vì a< b nên tồn tại A ∈ B, A
B sao cho Card(A) = a và tồn tại phần tử x ∈ B\ A.
Khi đó ta có a’ = Card(A○{x}) và A○{x}∈ B, do đó a’ b (đpcm).
Tính chất này có hệ quả là: Giữa hai số tự nhiên liền nhau không có một số tự
nhiên nào khác.
3.4. Dãy các số tự nhiên.
Ký hiệu: card( ) = 0 ∈ N
0’ = 1
1’ = 2
2’ = 3
…
ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Bài tập
1.
Cho A, B, A
1
, B
1
là các tập hợp mà A
A
1
, B
B
1
.
a) Bằng cách chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng:
A
×
B B
×
A ;
A
1
×
B
1
A
×
B .
b)
Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng nói chung A
○
B không tương đương với B
○
A. Muốn có A
○
B A
1
○
B
1
thì phải có thêm điều kiện gì?
2. Chứng minh rằng:
a) Tập hợp tất cả các số tự nhên là tập vô hạn.
b) Tập hợp các số dạng 2
x
với x ∈ N là tập vô hạn.
3. Cho M là một tập con của tập hợp các số tự nhiên N. Ta nói M bị chặn nếu
có số tự nhiên a sao cho x a, x ∈ M.
Chứng minh rằng mọi tập con khác rỗng và bị chặn của N đều có số lớn nhất
(nghĩa là tồn tại m ∈ M sao cho m x, x ∈ M).
4. Cho a, b ∈ N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ .
§4. Các phép toán trên tập hợp Số tự nhiên
4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên.
Cho a, b ∈ N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B).
Ta có các định nghĩa sau:
54
lOMoARcPSD|197044 94
a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A
𝖼
B = . Khi đó ta gọi tổng của a và b, ký
hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau:
a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A ○ B).
Chú ý:
-
Do A
○
B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A
○
B)
∈
N
hay a+b
∈
N
. Vậy
tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a + b = card(A
○
B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp
A và B nói trên. Tức là nếu lấy A
1
, B
1
là các tập hợp mà A A
1
, B B
1
thì ta cũng
có: a + b = Card(A
1
○
B
1
) (Vì A
○
B A
1
○
B
1
).
Ví dụ: Tính 0 + 1.
Ta có 0 = Card( ), 1 = Card({a}) và
𝖼
{a} = . Do đó:
0 + 1 = Card( ○ {a}) = Card({a}) = 1.
Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1.
b) Định nghĩa phép nhân.
Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab), là phần tử
được xác định như sau:
a.b = CardA.CardB = Card (A× B).
Chú ý:
- Do A×B cũng là tập hữu hạn nên Card(A×B) ∈ N hay a.b ∈ N. Vậy tích của
hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a.b = Card(A×B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A
và B nói trên. Tức là nếu lấy A
1
, B
1
là các tập hợp mà A A
1
, B B
1
thì ta cũng có:
a.b = Card(A
1
×B
1
) (Vì A×B A
1
×B
1
).
4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân.
a) Tính chất của phép cộng. a, b, c ∈ N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a.
(ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c.
(iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a.
Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a =
Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
(i) Do A ○ B = B ○ A nên Card(A ○ B) = Card(B ○ A) hay a + b = b + a.
(ii)
Do A
○
(B
○
C) = (A
○
B)
○
C (Phép hợp các tập hợp có tính chất kết
hợp) nên Card(A
○
(B
○
C)) = Card((A
○
B)
○
C). Vì vậy
Card(A) + Card(B ○ C) = Card(A ○ B) + Card(C)
hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c.
(iii)
Vì 0 = Card( ), A
𝖼
=
và A
○
=
○
A = A nên ta có:
55
lOMoARcPSD|197044 94
Card(A ○ ) = Card( ○ A) = Card(A)
nên a + 0 = 0 + a = a, a
∈
N.
Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh.
b) Tính chất của phép nhân. a, b, c ∈ N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: ab = ba.
(ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c.
(iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a.
Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a = Card(A), b =
Card(B), c = Card(C).
(i)
Xét ánh xạ f : A
×
B
⟶
B
×
A
(x,y)
(y,x).
Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra A×B B×A.
Do đó Card(A
×
B) = Card(B
×
A) hay ab = ba.
(ii) Xét ánh xạ f : A×(B×C) ⟶ (A×B)×C
(x,(y,z))
((x,y),z).
Ta thấy f là một song ánh, do đó A×(B×C) (A×B)×C. Nên ta có:
card(A
×
(B
×
C)) = card((A
×
B)
×
C),
suy ra CardA
×
Card(B
×
C) = Card(A
×
B)
×
Card(C),
hay a(bc) = (ab)c.
(iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ
f :
{x}
×
A
⟶
A
(x,y)
y , y ∈ A.
Dễ thấy f là song ánh, do đó {x}×A ~ A, suy ra
Card({x}×A) = Card(A),
do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a.
Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh.
c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c ∈ N ta có:
a( b+c) = ab + ac.
Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a =
Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
Trước tiên ta chứng minh A
×
(B
○
C) = (A
×
B)
○
(A
×
C).
Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y) ∈ A×(B○C), suy ra x ∈ A và y ∈ B○C. Khi
đó:
56
lOMoARcPSD|197044 94
Nếu x
∈
A và y
∈
B thì (x,y)
∈
A
×
B nên ta có (x,y)
∈
(A
×
B)
○
(A
×
C).
Nếu x
∈
A và y
∈
C thì (x,y)
∈
A
×
C nên ta có (x,y)
∈
(A
×
B)
○
(A
×
C).
Vậy luôn có (x,y)
∈
( A
×
B )
○
( A
×
C ). Suy ra
A ×( B ○ C ) ∈ ( A×B ) ○ ( A×C ) (1).
Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y)
∈
(A
×
B)
○
(A
×
C), suy ra (x,y)
∈
A
×
B hoặc (x,y)
∈
A
×
C.
Do đó x∈A và y∈B hoặc y∈C, nên ta có (x,y) ∈ A×(B○C). Suy ra
(A
×
B
○
(A
×
C)
∈
A
×
(B
○
C) (2).
Từ (1) và (2) ta được:
A × ( B○C ) = ( A×B ) ○ ( A×C ),
suy ra Card(A
×
(B
○
C)) = Card((A
×
B)
○
(A
×
C)),
-
Card(A)
×
Card(B
○
C) = Card(A
×
B) + Card(A
×
C) ,
-
Card(A)
×
(Card(B) + Card(C)) = Card(A)
×
Card(B) + Card(A)
×
Card(C)
-
Card(A)
×
Card(B
○
C) = Card(A
×
B) + Card(A
×
C)
-
a(b+c) = ab + ac (đpcm)
Chú ý:
- Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
và gọi đây là tổng của ba số a, b, c;
(ab)c = a(bc) = abc
và gọi đây là tích của ba số a, b, c.
- Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của nhiều số:
a
1
+ a
2
+ … + a
n
; a
1
.a
2
…a
n
.
Trong trường hợp đặc biệt a
1
= a
2
= … =a
n
= a, ta có tích a.a…a (n lần) và gọi
đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là a
n
.
4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân.
a, b, c ∈ N ta có:
(i) a a + b.
(ii) a ab.
(iii) a b khi và chỉ khi a + c b + c.
(iv) Nếu c 0 thì a b khi và chỉ khi ac bc.
Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa
phép toán .
4.4. Phép trừ và phép chia.
a) Phép trừ.
57
lOMoARcPSD|197044 94
Định nghĩa. Cho a, b ∈ N. Nếu tồn tại x ∈N sao cho x + b = a thì x được gọi là
hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b.
Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ.
Điều kiện có hiệu. Cho a, b ∈ N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a – b là b a.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b b + (a – b) =a.
Điều kiện đủ. Giả sử b a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho Card(A) = a,
Card(B) = b và B ∈ A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự nhiên: a- b = Card(A\B).
b) Phép chia hết.
Định nghĩa. Cho a, b ∈ N và b 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta
nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a 𝖼b. Khi đó ta cũng nói b chia
hết a, ký hiệu là b a.
c) Phép chia có dư.
Định lý. a, b∈ và b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q, r∈ sao cho
a = bq + r , trong đó 0 r < b.
Chứng minh.
- Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a:
M = {x
∈
N x = bx a}.
M vì 0 ∈ M.
Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn nhất, chẳng
hạn phần tử lớn nhất là x
0
= bq.
Vì b 0 nên bq < bq + b = b(q + 1).
b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1) M và a < b(q + 1) = bq
+ b.
Như vậy ta có bq a < bq + b.
Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0 r < b. Như
vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q.
- Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q
1
, r
1
∈
sao cho a = bq
1
+ r
1
và 0
r
1
< b.
Như vậy: a = bq + r = bq
1
+ r
1
, 0 r < b, 0 r
1
< b.
Giả sử r
1
r, ta có thể viết: bq + (r – r
1
) = bq
1
.
Đẳng thức này cho ta thấy r – r
1
𝖼b , nhưng 0 r – r
1
< b nên bắt buộc r– r
1
=
0 hay r = r
1
. Từ đó suy ra q = q
1
.
Tính duy nhất đã đươc chứng minh.
b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia có dư của a
cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư.
Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r =
0.
58
lOMoARcPSD|197044 94
Bài tập
1. Chứng minh rằng:
a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0.
b) a + b’ = (a+b)’ với a’ là số kề sau của a.
2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng.
a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A
×
B. Từ đó suy ra tính chất: a ab, a, b ∈ N, b 0.
b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A
○
B. Từ đó suy ra tính chất: a a + b, a, b ∈ N.
3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính đều thực hiện
được):
a) a – b = (a + c) – (b + c).
b) a – b = (a – c) – (b – c).
c) a – (b + c) = (a – b) – c.
d) a + (b – c) = (a + b) – c.
e) a – (b – c) = (a + c) – b.
59
lOMoARcPSD|197044 94
Chương IV: Các hình hình học
§1. Các khái niệm về hình hình học
Trong chương này, xem như không gian ơclit đẫ được xây dựng, nó là tập hợp
nhiững phần tử gọi là những điểm, mỗi đường thẳng là một tập con của không gian.
Đó cũng là những ví dụ đầ tiên về các hình hình học.
1.1. Định nghĩa.
Hình hình học là một tập khác rỗng những điểm của không gian.
Hình mà mọi điểm của nó cùng thuộc một mặt phẳng gọi là hình phẳng.
Tập những điểm ở giữa hai điểm phân biệt A, B gọi là đoạn thẳng mở với hai
mút A, B. Đoạn thẳng mở cùng với hai mút của nó gọi là đoạn thẳng đóng. Để ý rằng
mỗi đoạn thẳng hoàn toàn được xác định bởi hai mút của nó. Mỗi điểm cũng có thể
xem là đoạn thẳng với hai mút của nó trùng nhau, đó là một quy ước giúp cho việc
đơn giản một số lý luận về sau.
Mỗi điểm O trên đường thẳng xx’ phân hoạch tập điểm khác O của xx’ thành
hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không chứa điểm O.
- Mọi đoạn thẳng đóng có hai mút huộc hai lớp đều chứa điểm O. Mỗi lớp
cùng với điểm O gọi là một tia (nửa đường thẳng) gốc O.
Cũng tương tự như thế: Mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phân
hoạch tập điểm còn lại của mặt phẳng thành hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không cắt đường thẳng.
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút thuộc hai lớp đều cắt đường thẳng.
Mỗi lớp như vậy gọi là nửa mặt phẳng mở có bờ chung là đường thẳng đó.
Mỗi nửa mặt phẳng mở cùng với bờ của nó gọi là nửa mặt phẳng (đóng).
Góc phẳng là hình gồm hai tia có gốc chung, mỗi tia được gọi là cạnh của góc.
O
y
Nếu hai tia không đối nhau thì mỗi đường thẳng chứa một tia tạo thành hai nửa
mặt phẳng. Giao của hai nửa mặt phẳng chứa một tia và có bờ chứa tia kia tạo thành
một hình gọi là miền góc lồi.
60
x
lOMoARcPSD|197044 94
A
B
C
Mỗi điểm của miền góc lồi không thuộc hai cạnh gọi là điểm trong của góc lồi.
Điểm của mặt phẳng không thuộc miền góc lồi gọi là điểm ngoài của góc đó, tập các
điểm ngoài của một góc lồi cùng với hai cạnh được gọi là miền góc lõm.
Góc có hai cạnh là hai tia đối gọi là góc bẹt.
Đó là những ví dụ đầu tiên và quan trọng về các hình phẳng.
1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng.
Một hình có thể được xác định bằng tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc
nó.
Ví dụ: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp (quỹ tích) những điểm cách O
một khoảng bằng R.
Nếu ký hiệu đường tròn đó là C(O,R) và độ dài đoạn OM là l(OM) thì:
M ∈ C(OM)
l(OM) =R.
Điểm có khoảng cách đến tâm O của đường trong nhỏ hơn (lớn hơn) bán kính
R gọi là điểm trong (tương ứng: điểm ngoài) đường tròn. Tập các điểm trong của
đường tròn C gọi là hình tròn mở nhận C làm biên, hình tròn mở cùng với biên của nó
được gọi là hình tròn (đóng).
Trong hình học sơ cấp, ta thường gặp các bài toán tìm hình biết các tính chất
đặc trưng của các phần tử của nó, đó chính là các bài toán quỹ tích.
§2. Tam giác
2.1. Định nghĩa.
Hình tam giác là giao của ba nửa mặt phẳng có bờ đôi một cắt nhau nhưng
không đồng quy và mỗi nửa mặt phẳng chứa giao điểm của hai bờ kia.
Mỗi giao điểm của hai đường thẳng bờ gọi là
đỉnh, mỗi đoạn thẳng của bờ nối hai đỉnh gọi là cạnh của
tam giác.
Tập các cạnh của tam giác gọi là biên (hay chu
tuyến) của tam giác, đó là ranh giới tập những điểm mà
xung quanh nó có cả những điểm của tam giác, cả
những điểm không thuộc tam giác.
Để ý rằng: tam giác được hoàn toàn xác định bởi biên, thậm chí bởi ba đỉnh
của nó và vì biên của tam giác đơn giản, dễ xác định nên nhiều khi người ta cũng có
thể định nghĩa:
- Tam giác là tập ba đoạn thẳng không cùng thuộc một đường thẳng, đôi một có
mút chung.
- Ta giác là tập ba điểm không thẳng hàng.
61
lOMoARcPSD|197044 94
A
B
d
M
D
Đôi khi người ta cũng coi ba điểm thẳng hàng là đỉnh của một tam giác (trường
hợp suy biến).
Tại mỗi đỉnh của tam giác, ta có một miền góc lồi chứa tam giác, nó được gọi
là góc trong của tam giác. Mỗi góc kề bù với một góc trong của tam giác gọi là góc
ngoài của nó.
Chúng ta nhắc lại ở đây một số định lý cơ bản của “Hình học trong tam giác”.
Có thể dễ dàng thấy các chứng minh của chúng trong sách giáo khoa hình học phổ
thông.
Định lý 1. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180
o
.
Định lý 2. Trong tam giác, hai góc đối diện với hai cạnh bằng nhau thì bằng
nhau (tam giác cân), góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.
Định lý 3. Mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh
kia (Bất đẳng thức tam giác). Ngược lại, bất cứ ba đoạn thẳng mà mỗi đoạn nhỏ hơn
tổng và lớn hơn hiệu hai đoạn kia đều là các cạnh của một tam giác xác định.
Ta thường gọi:
- Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
- Tam giác có một góc tù là tam giác tù.
- Tam giác có cả ba nhọn là tam giác nhọn.
- Tam giác có ba cạnh (hoặc ba góc) bằng nhau là tam giác đều.
Ví dụ: Cho hai điểm A, B ở về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy tìm trên
d điểm C để cho AC + BC ngắn nhất.
Giải.
Lấy điểm D đối xứng vơi A qua d. Khi đó với
mỗi điểm M bất kỳ thuộc d ta có MA = MD, do đó
MA + MB = MD + MB.
Mà trong tam giác MBD ta luôn có
MD + MB BD,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ∈ BD.
Suy ra MA + MB sẽ ngắn nhất khi M ∈ BD.
Vậy điểm C cần tìm phải là giao điểm của d với
đoạn BD.
2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác.
- Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của
cạnh đối diện đỉnh đó.
- Đường cao của tam giác là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm cạnh đối
diện đỉnh đó.
62
lOMoARcPSD|197044 94
A
2
A
5
1
A
6
A
A
- Tia phân giác (trong hay ngoài) là tia xuất phát từ một đỉnh và chia góc (trong
hay ngoài) của đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Đường thẳng chứa tia phân giác
(trong hay ngoài) gọi là đường phân giác (trong hay ngoài) của tam giác.
Định lý 4. Trong mỗi tam giác:
a) Ba đường trung tuyến đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trọng tâm của tam
giác.
b) Ba đường cao đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của tam giác.
c) Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( là
đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác).
d) Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác
(đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác).
e) Đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của hai góc còn lại
đồng quy tại tâm đường tròn bàng tiếp (đường tròn nằm ngoài tam giác và tiếp xúc
với cả ba cạnh của tam giác).
§3. Đa giác
Ta đã thấy, tam giác là một “mảnh” của mặt phẳng được bao bọc bởi ba đoạn
thẳng. Đó cũng là một lớp hình riêng của lớp hình rộng hơn gọi là đa giác.
3.1. Đường gấp khúc.
Cho n điểm phân biệt A
1
, A
2
, ..., A
n
. Tập các đoạn thẳng A
1
A
2
, A
2
A
3
, ..., A
n-1
A
n
được gọi là đường gấp khúc.
A
4
7
3
Mỗi điểm trong n điểm trên gọi là một đỉnh, mỗi đoạn thẳng trong tập n-1 đoạn
trên gọi là một cạnh (hay một đốt) của đường gấp khúc.
Ta ký hiệu đường gấp khúc như vậy là A
1
A
2
...A
n
. Nếu điểm đầu A
1
A và
điểm cuối A
n
B ta nói đường gấp khúc đó nối A với A.
Với hai điểm A, B bất kỳ, có vô số đường gấp khúc nối hai điểm đó. Đoạn
thẳng AB là một đường gấp khúc, nó là đường đi ngắn nhất từ A đến B. Chính xác
hơn là: Mọi đường gấp khúc nối hai điểm A, B có tổng độ dài các đốt không nhỏ hơn
độ dài đoạn AB.
63
A
lOMoARcPSD|197044 94
A
2
A
3
A
6
A
1
A
8
7
A
5
A
A
A
A
A
A
A
Ta gọi tổng độ dài các đốt của đường gấp khúc là độ dài của nó. Độ dài đường
gấp khúc nối A, B ngắn nhất khi và chỉ khi các đỉnh của nó đều thuộc đoạn AB và sắp
xếp theo thứ tự A
1
A, A
2
, ..., A
n
B (nghĩa là A
2
ở giữa A
1
, A
3
; A
3
ở giữa A
2
, A
4
; ...;
A
n-
1
ở giữa A
n-2
, A
n
).
3.2. Đa giác.
Đường gấp khúc có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường gấp khúc
khép kín.
Định nghĩa. Mỗi điểm trên đường gấp khúc gọi là điểm đơn nếu:
a) Nó là điểm đầu hoặc điểm cuối hoặc đỉnh chung của đúng hai đốt.
b) Nó là điểm trong của đúng một đốt.
Nếu mọi điểm của một đường gấp khúc đều là điểm đơn thì đường gấp khúc đó
được gọi là đường đơn.
Ví dụ về đường gấp khúc đơn và không đơn:
2
3
4
2
6
1
4
5
3
A
4
1
A
a
b
c
)
)
)
Hình a) là ví dụ về đường gấp khúc đơn, khép kín.
Hình b) và c) là ví dụ về các đường gấp khúc không đơn (hình b có một không
phải là điểm đơn, hình c có hai điểm khôngphải là điểm đơn).
Ta thấy mỗi đoạn thẳng là một đường gấp khúc đơn; biên của mỗi tam giác là
một đường gấp khúc đơn, khép kín.
Định nghĩa. Đa giác là hình gồm một đường gấp khúc đơn, khép kín và miền
trong của nó (Nói cách khác: Đa giác là phần của mặt phẳng bị giới hạn bởi một
đường gấp khúc đơn, khép kín).
Ta gọi đỉnh (hay cạnh) của đường gấp khúc là đỉnh (cạnh) của đa giác. Mỗi đa
giác được gọi tên theo số cạnh của nó (ví dụ: tam giác, tứ giác, ..., n giác).
Định nghĩa. Đa giác lồi là đa giác ở về cùng một phía đối với mỗi đường thẳng
chứa một cạnh của nó.
Trong một đa giác lồi, miền góc tạo bởi hai cạnh chung đỉnh và chứa toàn bộ
đa giác gọi là góc trong của đa giác.
Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác lồi.
64
A
A
A
A
5
lOMoARcPSD|197044 94
Chú ý: Mọi đa giác lồi đều có thể phân hoạch (chia) thành các tam giác (bằng
nhiều cách).
Ngũ giác lồi Tứ giác không lồi
(Tứ giác lõm)
Định lý 1. Tổng số đo các góc trong của đa giác lồi n cạnh bằng (n-2)180
o
.
.
Chứng minh.
Từ một đỉnh của đa giác, kẻ các đoạn thẳng nối tới các đỉnh của đa giác không
chung cạnh với đỉnh đó ( các đường chéo) ta dược n – 2 tam giác đôi một không có
điểm chung trong.
Mỗi tam giác có tổng các góc trong bằng 180
o
mà tổng các góc trong của đa
giác bằng tổng các góc trong của n – 2 tam giác đó. Ta được công thức cần chứng
minh.
3.3. Tứ giác.
Ngoài tam giác, tập các tứ giác là lớp hình đáng quan tâm. Ta cũng có:
a) Góc trong của tứ giác là miền góc (không nhất thiết lồi) có hai cạnh chứa hai
cạnh kề của đa giác và có điểm chung trong với đa giác.
Tổng các góc trong của tứ giác bằng 360
o
.
b) Ta chỉ xét các tứ giác lồi và các lớp riêng biệt của nó.
Định nghĩa. Hình thang là tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song
song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là các cạnh bên của hình thang.
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Hình thang cân là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau.
Định lý 2. Một hình thang là hình thang cân khi và chỉ khi nó có một trong các
tính chất sau:
a) Hai đường chéo bằng nhau.
b) Bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh.
a) Dựa trên bổ đề: Hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song
song thì bằng nhau và hình vẽ sau:
65
lOMoARcPSD|197044 94
:
O
J
A
1
I
A
2
A
vuông.
b) Dựa vào góc nội tiếp của đường tròn.
Định nghĩa. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Hình chữ nhật là tứ giác lồi có bốn góc bằng nhau.
Hình thoi là tứ giác lồi có bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau gọi là hình
Ta có sơ đồ hệ thống các loại tứ giác:
Tứ giác
Hình
thang
Hình thang
cân
3.4.
Đa giác đều.
Hình chữ
Định nghĩa. Đa giá
n
c
h
đ
ậ
ề
t
u là đa giác lồi có
a) Các cạnh bằng nhau,
Hình
thoi
b) Các góc bằng nhau..
Hình
Ví dụ: Các tam giác đều, hình vuông là cávcuđôanggiác đều.
Định lý 3. Đa giác đều là đa giác nội tiếp (Các đỉnh của đa giác đều cùng thuộc
một đường tròn).
Chứng minh.
Cho A
1
A
2
...A
k
là đa giác đều có k đỉnh (k cạnh), số do mỗi góc ở đỉnh
bằng
(k - 2)180
< 180
o
.
Vì vậy kẻ hai trung trực của hai cạnh A
1
A
k
, A
1
A
2
chúng phải cắt nhau ở diểm
O.
Các tam giác cân OA
1
A
2
và OA
1
A
k
bằng nhau (vì có các cặp cạnh tương ứng
bằng nhau). Do đó O nằm trên tia phân giác trong của góc
A
1
.
Suy ra A
2
O là phân giác trong của
A
2
.
Hạ OJ A
2
A
3
, ta có tam giác vuông OIA
2
bằng tam giác vuông OJA
2
(I là
trung điểm A
1
A
2
).
Suy ra JA
2
= IA
2
=
A
2
A
3
.
1
A
2
A
3
. Do đó tam giác OA
2
A
3
cân vì trung tuyến OJ
2
66
k
3
Hình bình
hành
A
lOMoARcPSD|197044 94
Vì vậy
OA
3
= OA
2
= OA
1
= OA
k
tức là đường tròn tâm O đi qua A
3
.
Lập lại lý luận đó ta sẽ được các đỉnh của đa giác đều nằm trên đường tròn tâm
O.
3.5. Đa giác bằng nhau.
Định nghĩa. Hai đa giác bằng nhau là hai đa giác có cùng số cạnh và có các
cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Ta đã biết ba trường hợp bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g) của hai tam giác chính
là các điều kiện (dấu hiệu) để hai tam giác bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có các “yếu tố tuyến tính” bằng nhau: các chiều cao
tương ứng, các đoạn trung tuyến, các bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau.
Dễ thấy rằng, hai đa giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh
và độ dài các cạnh của chúng bằng nhau.
Định nghĩa. Hai đa giác đồng dạng là hai đa giác có cùng số cạnh và có các
cặp goác tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
Nhờ định lý Ta lét ta có:
Định lý 4. Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi chúng thoả mãn một trong
các điều kiện sau:
a) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tỷ lệ.
b) Hai cặp góc bằng nhau.
c) Ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
Định lý này đã được chứng minh trong nhiều sách phổ thông, bạn đọc tự chứng
minh xem như bài tập.
Hai tam giác đòng dạng có tỷ số giữa các yếu tố tuyến tính bằng tỷ số đồng
dạng.
Hai đa giác đều đồng dạng khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh.
§4. Đường tròn
4.1. Xác định đường tròn.
Từ định nghĩa đường tròn (xem Đ1), ta thấy đường tròn hoàn toàn được xác
định khi biết tâm và bán kính của nó. Ta sẽ dùng ký hiệu (O,R) để chỉ đường tròn tâm
O, bán kính R.
Từ tính chất của tam giác (xem Đ2) ta thấy đường tròn được xác định bởi ba
điểm không thẳng hàng.
Ta còn có :
67
lOMoARcPSD|197044 94
B
- Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông là đường tròn có
tâm là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm và bán kính bằng
1
độ dài đoạn đó.
- Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc 𝖼 không đổi là hai cung
tròn đối xứng nhau qua đường thẳng nối hai điểm đó.
- Tập những điểm có tỷ số khoảng cách đến hai điểm cố định bằng k 1 (k >
0) là đường tròn có đường kính là đoạn nối điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng
nối hai điểm đã cho theo tỷ số k (đường tròn Apôlôniuyt).
4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác.
Định nghĩa. Đa giác nội tiếp là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên một đường
tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Mọi tam giác luôn có đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi đa giác đều cũng có đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi hình chữ nhật, hình thang cân là một tứ giác nội tiếp. Không phải tứ giác
nào cũng có đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
“Tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi nó có tổng hai góc đói bằng 180
o
và hai đỉnh ở về cùng phía đối với một cạnh nhìn hai mút của cạnh dưới cùng một
góc”.
Định lý 1 (Định lý Ptôlêmê). Trong tứ giác lồi nội tiếp, tích của hai đoạn chéo
bằng tổng các tích của các cạnh đối.
Chứng minh.
Giả sử tứ giác đó là ABCD, cần chứng minh
AC . BD = AB . CD + AD . BC .
Vẽ tia đối xứng với BD qua phân giác trong của cắt đoạn chéo AC ở điểm
E. Ta có:
Tam giác ABE đồng dạng với tam giác
DBC, do đó
AB
=
A
,
E
BD CD
suy ra AB.CD = AE.BD.
D
Tam giác BCE đồng dạng với tam giác
BDA, nên ta có
BC
=
E
,
C
BD
AD
suy ra AD.BC = EC.BD.
Từ các đẳng thức trên ta được
AB . CD + AD . BC = AE . BD + EC . BD
= (AE + EC) . BD = AC . BD (đpcm).
68
A
B
E
C
lOMoARcPSD|197044 94
A
B
4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác.
Định nghĩa. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có đúng một điểm
chung với đường tròn.
Định lý 2. Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi nó có một
trong các điều kiện sau:
a) Đường thẳng vuông góc với một bán kính đường tròn tại nút của bán kính.
b) Đường thẳng cách tâm đường tròn một khoảng bằng bán kính đường tròn.
Hệ quả. Tại mỗi điểm của đường tròn có một và chỉ một tiếp tuyến với đường
tròn (nhận điểm đó làm tiếp điểm).
Giao của hai tiếp tuyến đường tròn cách đều hai tiếp điểm.
Định nghĩa. Đường tròn nội tiếp trong đa giác là đường tròn nằm trong đa giác
và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó.
Đa giác có đường tròn nội tiếp cũng được gọi là đa giác ngoại tiếp.
Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác ngoại tiếp. Mỗi đa giác đều cũng là một đa
giác ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trong đa giác đều chính là tâm đường tròn
ngoại tiếp nó. Ta gọi tâm chung đó là tâm của đa giác đều.
Định lý 3. Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi ngoại tiếp được là tổng các
cạnh đối của tứ giác bằng nhau.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, gọi M, N, P,
Q là các tiếp điểm. Khi đó ta có
Do đó
AM = AQ
BM = BN
CP = CN
DP = DQ,
B
M
A
O
N
Q
AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN.
C
Suy ra AB + CD = AD + BC.
D
P
Điều kiện đủ. Giả sử tứ giác ABCD thoả mãn
đều kiện AB + CD = AD + BC (*). Hai phân giác trong của
và
cắt nhau ở O,
giả sử O là tâm của đường tròn tiếp xúc với AD, AB, BC tương ứng ở Q, M, N. Để ý
rằng phải có hoặc Q ở giữa AD hoặc N ở giữa BC bởi nếu không thì
AB = AM + MB
= AQ + BN > AD + BC,
do đó (*) không thể xảy ra.
Không mất tính tổng quát giả sử Q ở giữa AD, kẻ
A
M
B
Q
N
tiếp
tuyến thứ hai từ D, giả sử tiếp tuyến này cắt BC ở C’, ta
chứng minh C’
C.
D
phải
C
69
C’
lOMoARcPSD|197044 94
E
D
C
Trong tứ giác ngoại tiếp AB C’D, ta có
AB + C’D = AD + B C’
so sánh với (*) suy ra
CD – C’D = BC – B C’
hay
CD – C’D
= CC’
điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trong tam giác DCC’.
Vậy C’
C, nghĩa là tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp.
Định lý đã được chứng minh.
§5. Các hình không gian
Các hình hình học thường gặp trong không gian là các hình đa diện và các hình
tròn xoay. Các khối đa diện và các khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi các
hình đa diện và các khói tròn xoay.
5.1. Hình đa diện.
a) Hình tứ diện.
Hình đa diện có vai trò như hình tam giác trong mặt phẳng là hình tứ diện.
Bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng xác định bốn tam giác,
mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm trên. Hình gồm bốn tam giác đó gọi là hình
tứ diện.
A
Bốn điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh;
bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD gọi là
các mặt; sáu đoạn thẳng AB, AC, AD, BC,
BD, CD gọi là các cạnh của hình tứ diện.
M
Hai cạnh không có đỉnh chung gọi là
hai cạnh đối diện.
O
Ba đường thẳng nối trung điểm các
B
D
cạnh đối diện đồng quy tại một điểm O gọi là
trọng tâm của hình tứ diện.
P
b) Hình chóp.
Hình chóp là hình gồm 1 đa giác
C
A
1
A
2
...A
n
(gọi là đáy) và n tam giác SA
1
A
2
,
SA
2
A
3
, ..., SA
n
A
1
(gọi là các mặt bên) trong đó S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng
chứa đa giác, S gọi là đỉnh của hình chóp.
Ký hiệu SA
1
A
2
...A
n
là hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác A
1
A
2
...A
n
.
Hình chóp được gọi theo tên của đáy. Chẳng hạn gọi là hình chóp tam giác nếu
đáy là tam giác, hình c
S
hóp tứ giác nếu đáy là tứ giác.
S
70
D
D
A
A
D
C
Q
N
lOMoARcPSD|197044 94
A
2
B
3
A
O
B
4
2
B
A
2
B
4
A
B
A
A
A
A
B
B
B
B
A
A
Hình chóp tứ giác SABCD Hình chóp ngũ giác SABCD
Chú ý: Hình tứ diện chính là một hình chóp tam giác.
c) Hình lăng trụ.
Hình lăng trụ là hình gồm hai đa giác A
1
A
2
...A
n
, B
1
B
2
...B
n
có các cạnh tương
ứng song song và bằng nhau (gọi là hai đáy) và n hình bình hành A
1
A
2
B
1
B
2
,
A
2
A
3
B
3
B
2
, ..., A
n
A
1
B
n
B
1
(gọi là các mặt bên).
Ký hiệu hình lăng trụ trên là A
1
A
2
...A
n
B
1
B
2
...B
n
.
Hình lăng trụ cũng được gọi theo tên của đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ
giác,...
3
3
4
A
1
1
3
4
1
2
B
1
B
2
Lăng trụ tam giác A
1
A
2
A
3
B
1
B
2
B
3
Lăng trụ tứ giác A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
d) Hình hộp.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là
hình có sáu mặt đều là hình bình hành. Hai đỉnh không cùng thuộc một mặt gọi là hai
đỉnh đối diện; đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo; bốn đường chéo
của hình hộp đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của hình hộp.
Hình hộp có sáu mặt đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật; còn nếu
sáu mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
4
3
4
3
1
1
3
3
1
2
1
2
71
A
B
B
B
A
B
A
2
A
lOMoARcPSD|197044 94
R
O
A
B
Hình hộp A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
Hình hộp chữ nhật A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
4
A
3
1
2
4
3
1
2
Hình lập phương A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
5.2. Hình tròn xoay.
a) Mặt cầu.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không
gian cách điểm cố định O một khoảng bằng R. Điểm O
gọi là tâm, R gọi là bán kính của mặt cầu.
b) Mặt trụ.
Mặt trụ là tập hợp tất cả các điểm trong
R
O
gian cách đường thẳng cố định d một khoảng bằng
đường thẳng l song song với d và cách d một
bằng R tạo nên mặt trụ, các đường thẳng ấy gọi là
sinh của mặt trụ còn R gọi là bán kính mặt trụ.
c) Mặt nón.
S
l
Mặt nón: Cho hình tròn tâm O thuộc mặt
(P), lấy điểm S (P) sao cho S có hình chiếu lên
phẳng (P) là O. Mặt nón đỉnh S là hình gồm các
đường thẳng gốc S nối với điểm M bất kỳ thuộc
tròn tâm O. Các nửa đường thẳng đó gọi la đường
của mặt nón.
O
5.3. Vẽ hình không gian.
M
a) Phép chiếu song song.
Cho mặt phẳng (P) và một đường thẳng l cắt
l
M
(p). Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) là
điểm M’ giao của đường thẳng qua M song song
l và mặt phẳng (P). Còn nói M’ là hình chiếu của M
qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo
P
phương chiếu l.
Tập hợp các hình chiếu của các điểm thuộc
không
R
⟶
Các
khoảng
đường
phẳng
mặt
nửa
đường
sinh
M’
với
một hình F trong không gian là một hình F’ trên mặt phẳng (P). Hình F’ gọi là hình
72
A
B
B
B
lOMoARcPSD|197044 94
A
chiếu của F. Hình F’ và các hình đồng dạng với nó gọi là hình biểu diễn của hình F.
Vẽ hình không gian F tức là vẽ một hình biểu diễn của nó.
b) Phép chiếu song song chỉ bảo toàn
tính song song và tỷ số các đoạn thẳng song
A
song, không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng và
độ lớn của góc. Vì vậy, chẳng hạn, một tam
giác tuỳ ý có thể coi là hình biểu diễn của
M
N
tam giác đều, tam giác vuông hoặc tam giác
cân. Một hình bình hành tuỳ ý có thể coi là
hình biểu diễn của hình chữ nhật, hình
B
D
vuông hoặc hình thoi. Đường Elip là biểu
diễn của hình tròn.
Q
P
Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện cắt
bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của các C
cạnh AB, BC và CD.
Bài tập chương IV
1. Tính độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC, biết rằng AB
= 1, AC = 2,
=
120
o
.
2. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng bình phương của tất cả các cạnh
bằng tổng bình phương của hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương của đoạn
thẳng nối trung điểm hai đường chéo.
3. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M ta luôn có
MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2
.
4. Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau
thì tổng bình phương hai cạnh đối diện bẳng tổng bình phương hai cạnh còn lại.
73
lOMoARcPSD|197044 94
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Hữu Chân, Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và lôgic số học, NXB GD, 1997.
[2] Nguyễn Văn Đoành, Nguyễn Văn Khuê, Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà nội I, 1994.
[3] Trương Đức Hinh, Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB GD, 1995.
[4] Đinh Thị Nhung, Toán và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán học cho
trẻ mẫu giáo, Tập I, NXB ĐH Quốc gia Hà nội, 2001.
[5] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc, Số tự nhiên, Trường ĐHSP Hà Nội I,
1994.
[6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, NXB GD, 1997.
[7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD, 1998.
74
| 1/74
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|197 044 94 Lời nói đầu
Cuốn giáo trình này được biên soạn theo chương trình đào tạo giáo viên mầm
non có trình độ đại học (hệ vừa học vừa làm) của khoa Giáo dục, trường Đại học
Vinh. Giáo trình cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán học, được dùng như một
tài liệu tham khảo cho người dạy và người học.
Nội dung giáo trình gồm có bốn chương.
Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ.
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập hợp và các phép toán trên
tập hợp, các quan hệ cơ bản trên tập hợp, các khái niệm liên quan đến ánh xạ. Bên
cạnh đó, chương này còn đưa ra một số tính chất quan trọng của các khái niệm trên.
Chương II: Lôgic toán.
Trình bày một số kiến thức liên quan đến lôgic mệnh đề và lôgic vị từ như:
khái niệm thế nào là mệnh đề, hàm mệnh đề, các phép toán lôgic, …
Chương III: Số tự nhiên.
Chương này đưa ra các khái niệm và các tính chất liên quan đến số tự nhiên
như: bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên, ... Sau khi đưa ra các khái
niệm đó, chương này giới thiệu quan hệ thứ tự và các phép toán trên tập hợp số tự
nhiên. Bên cạnh đó còn có các nội dung về các hệ thống ghi số.
Chương IV: Các hình hình học.
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về hình hình học, các hình hình
học trong mặt phẳng và trong không gian cùng một số tính chất cơ bản của chúng.
Bên cạnh việc trình bày lý thuyết, giáo trình có đưa ra các ví dụ minh họa và
bài tập nhằm củng cố và khắc sâu nội dung lý thuyết.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý để tác giả
hoàn thành cuốn giáo trình này.
Giáo trình có thể còn có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ
dẫn và góp ý của bạn đọc. Tác giả 1 lOMoARcPSD|197 044 94 Chương I
Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ
§1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp
1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là một thuật ngữ được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta
thường nói về tập hợp số tự nhiên, tập hợp điểm trên một mặt phẳng, tập hợp nghiệm
của một phương trình, tập hợp các học sinh trong một lớp, tập hợp các đồ chơi trong một lớp mẫu giáo, ...
Tập hợp (thường nói gọn là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được
dùng làm cơ sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác nhưng bản thân nó không được
định nghĩa qua những khái niệm đơn giản hơn.
Ta hiểu tập hợp được tạo thành bởi các cá thể (các đối tượng), các cá thể tạo
thành tập hợp gọi là các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp nghiệm của phương trình (x-1) (x-4) = 0 là tập hợp tạo thành
bởi hai phần tử 1 và 4; tập hợp các số tự nhiên có một chữ số là tập hợp tạo thành bởi
mười phần tử 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cái in hoa : A, B, C, X, Y, ...; mỗi
phần tử của một tập hợp thường được ký hiệu bởi chữ cái thường: a, b, c, x, y, ...
Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a ∈A (đọc a thuộc A ), nếu a không
là phần tử của tập A ta viết a A (đọc a không thuộc A ). Ví dụ:
1) Ở chương trình toán phổ thông ta đã biết:
N là tập hợp các số tự nhiên,
Z là tập hợp các số nguyên,
Q là tập hợp các số hữu tỉ,
R là tập hợp các số thực. Thế thì:
5∈N; 5∈Z; 5∈Q; 5∈R;
-3 N; -3∈Z; -3∈Q; -3∈R;
2,5 N; 2,5 Z; 2,5∈Q; 2,5∈R; 2 N; 2 Z; 2 Q; 2 ∈ R.
2) Nếu A là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ thì 3∈A, 4 A.
1.2. Sự xác định một tập hợp
Một tập hợp được coi là đã xác định nếu ta biết được một phần tử nào đó có
thuộc tập hợp đó hay không. Để xác định một tập hợp ta thường dùng hai phương pháp sau: 2 lOMoARcPSD|197 044 94
a) Phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp
Ta liệt kê đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp, những tập hợp này thường có
không nhiều phần tử. Khi đó các phần tử được viết trong {}, phần tử này cách phần tử kia bởi dấu phẩy.
Ví dụ: Nếu A là tập hợp các ước số dương của 4 thì ta viết A = {1, 2, 4}.
Tuy nhiên, có những tập hợp có vô số phần tử và ta chỉ liệt kê một số phần tử
đại diện đủ để nhận biết được một phần tử nào đó có thuộc tập hợp hay không.
Ví dụ: Nếu B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 thì B = {0, 3, 6, 9, ...}.
b) Phương pháp chỉ rõ tính chất đặc trưng
Chỉ ra các thuộc tính của các phần tử mà dựa vào các thuộc tính ấy ta có thể
nhận biết được một đối tượng nào đó có thuộc tâp hợp hay không (các thuộc tính này
gọi là các tính chất đặc trưng)
Nếu A là tập hợp tất cả các phần tử x có tính chất đặc trưng P thì ta viết
A ={x ∣x có tính chất P} hay A ={x ∣P(x)}. Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các số nguyên chẵn thì ta viết A = {n∈Z n chẵn}. 2)
Nếu B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số là 10 thì
B = {x∈N x có hai chữ số, tổng hai chữ số là 10},
nhờ các tính chất đặc trưng này, ta có thể biết được một phần tử nào đấy có thuộc B
hay không, chẳng hạn 37 ∈ B còn 52 B.
1.3. Tập rỗng, tập đơn tử
a) Tập rỗng. Ta gọi tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu là .
Ví dụ: Tập hợp các nghiệm dương của phương trình x + 3 = 0 là tập rỗng.
b) Tập đơn tử. Tập hợp có một phần tử gọi là tập đơn tử, tập đơn tử chỉ có phần tử a ta viết là {a}.
Ví dụ: Tập hợp các nghiệm (thực) của phương trình x + 3 = 0, tập hợp các
đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, … là các tập đơn tử.
1.4. Minh hoạ tập hợp bằng hình vẽ
Một tập hợp thường được minh hoạ bởi một đường cong khép kín. Mỗi phần tử
thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một dấu gạch chéo ở
bên trong đường cong, phần tử không thuộc tập hợp
được biểu thị bởi dấu gạch chéo ở bên ngoài đường b x x cong. a 3 A x c lOMoARcPSD|197 044 94
Trên hình bên, ta có : a, b ∈ A; c A. Bài tập
1. Hãy liệt kê phần tử của các tập hợp sau:
a) A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 4.
b) B là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà tổng của hai chữ số đó là 12.
2. a)Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau: A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 5, 8, 13}, C = {1, 4, 9, 16, 25}.
b) Hãy thêm vào mỗi tập hợp trên một phần tử nữa mà không làm thay đổi tính
chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.
3. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A gồm các chữ số x sao cho số tự nhiên 17x4 chia hết cho 3.
4. Trong tập hợp các điểm trong mặt phẳng, hãy biểu thị bằng hình vẽ các tập sau đây: a) H1 = {M AM = MB}, H2 = {M AM MB}, 5 H = {M AM B = 90o},
trong đó A, B là hai điểm cố định cho trước. b) H3 = {M OM = r}, H4 = {M OM r},
trong đó O là điểm cố định và r là độ dài cho trước.
5. Tìm bốn ví dụ về tập rỗng và bốn ví dụ về tập đơn tử.
§2. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp
2.1. Quan hệ bao hàm - Tập con.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói A là tập con (hay bộ phận) của B
nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B, ký hiệu là A ∈ B.
Khi A ∈ B ta nói A bao hàm trong B (hay A con B) hoặc B bao hàm A (hay B chứa A).
Quan hệ A ∈ B gọi là quan hệ bao hàm. Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các học sinh nữ trong một lớp và B là tập hợp các học sinh
trong lớp đó thì A ∈ B. 4 lOMoARcPSD|197 044 94
2) Giả sử C là tập hợp các nghiệm của phương trình x - 1 = 0 và D là tập hợp
các nghiệm của phương trình x2 - 5x + 4 = 0, ta có C ∈ D.
3) Gọi T là tập hợp các tứ giác và V là tập hợp các hình vuông trong mặt phẳng, thế thì V ∈ T. Chú ý:
- Không phải giữa hai tập con nào cũng có quan hệ bao hàm, chẳng hạn giữa
hai tập hợp A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e, f, g} không có quan hệ bao hàm.
- Ta quy ước là tập con của mọi tập hợp.
2.2. Hai tập hợp bằng nhau
Định nghĩa. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu A ∈ B và B ∈ A, ký hiệu là A = B.
Nói cách khác, hai tập hợp A và B là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A là phần
tử của B và ngược lại.
Như vậy, để chứng minh A = B ta phải chứng minh: nếu x ∈ A thì x∈B và nếu x ∈ B thì x ∈ A. Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 - 3x + 2 = 0 và B={1, 2} thì A = B.
2) Cho A = {n ∈ N∣ n 𝖼 6} và B = { n ∈ N∣ n 𝖼 2 và n 𝖼 3}. Ta thấy:
- Nếu n ∈ A tức là n 𝖼 6 mà 2 và 3 là ước của 6, vậy n 𝖼 2 và n 𝖼 3. Điều đó có nghĩa là n ∈ B.
- Nếu n ∈ B, tức là n 𝖼 2 và n 𝖼 3. Ta thấy 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên
n chia hết cho tích của chúng, nghĩa là n 𝖼 6, hay n ∈ A.
Theo định nghĩa thì A = B.
2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm
Định lý. Quan hệ bao hàm có các tính chất sau:
a) Với mọi tập A ta có A ∈ A (tính chất phản xạ),
b) Nếu A ∈ B và B ∈ A thì A = B (tính chất phản xứng),
c) Nếu A ∈ B và B ∈ C thì A ∈ C (tính chất bắc cầu). Chứng minh.
Tính chất a) suy trực tiếp từ định nghĩa tập con.
Tính chất b) có từ định nghĩa hai tập hợp bằng nhau.
Bây giờ ta chứng minh tính chất c).
Giả sử x là một phần tử tùy ý thuộc A. Vì A ∈ B nên x ∈ B, mặt khác B∈ C
nên ta lại có được x ∈ C.
Vậy với mọi x ∈ A ta đều suy ra được x ∈ C, tức là A ∈ C. 5 lOMoARcPSD|197 044 94
Tính chất a) chứng tỏ một tập hợp là tập con của chính nó.
Như vậy mỗi tập hợp khác luôn có ít nhất hai tập con là và chính nó, hai
tập con này gọi là các tập con tầm thường, các tập con không tầm thường gọi là tập con thực sự.
2.4. Tập hợp các tập con của một tâp hợp.
Cho tập hợp A. Ký hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của A, nghĩa là P(A) = {X ∣X ∈ A} Ví dụ:
1) Nếu A là tập hợp các học sinh của một lớp thì P(A) = {X ∣X là tập hợp một
nhóm học sinh bất kỳ trong lớp}.
2) Cho B = {1,2} thì P(B) = { , {1}, {2}, {1, 2}}. Bài tập
1. Viết tất cả các tập con của mỗi tập hợp sau đây: a) A = {a}. b) B = {1, 2}. c) C = {a, b, c}.
2. Hãy xét quan hệ giữa các tập hợp A, B dưới đây:
a) A = {n ∈ N n + 10 ∈ 15},
B = {n ∈ N n2 ∈ 9}.
b) A = {các tứ giác có chu vi 4m},
B = {các hình vuông có diện tích 1m2.
c) A là tập hợp các bội tự nhiên của 3, B là tập hợp các bội tự nhiên của 6.
3. Viết các bao hàm thức giữa các tập hợp sau đây:
A = {các tứ giác}, B = {các hình thang}, C = {các hình bình hành}, D={các
hình chữ nhật}, E = {các hình thoi}, F = {các hình vuông}.
4. Cho trước đường tròn tâm O và một điểm A (trong mặt phẳng(P)). Một cát
tuyến di động đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Gọi d là tập hợp tất cả
các điểm giữa của dây cung BC (tạo thành khi cát tuyến di động), d’ là tập các điểm
trên đường tròn đường kính OA.
Chứng minh rằng d ∈ d’.
Trong trường hợp nào thì bao hàm thức trên trở thành đẳng thức?
§3. Các phép toán trên các tập hợp
3.1. Phép hợp 6 lOMoARcPSD|197 044 94
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hợp của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó, ký hiệu là A ○ B. Ta có thể viết:
A ○ B = {x ∣x ∈A hoặc x ∈B}
hay x ∈ A ○ B x ∈ A hoặc x ∈ B.
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A ○ B. Ví dụ: B
1) Nếu A = {a, b, c, d} và B = {a, b, e} thì A ○ B = A {a, b, c, d, e}.
2) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên lẻ, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn, khi đó A ○ B = N.
3) Nếu A tập hợp các nghiệm của phương trình x2- 4 = 0 và B là tập hợp các
nghiệm của phương trình x2- 5x + 4 = 0 thì A ○ B = {-2, 1, 2, 4}.
Chú ý: Theo định nghĩa, x ∈ A ○ B x ∈ A hoặc x ∈ B. Do đó x A○B khi và
chỉ khi x không thuộc tập nào trong số hai tập A và B, tức là x A ○ B x A và x B. 3.2. Phép giao.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Giao của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử đồng thời thuộc cả A và B, ký hiệu là A 𝖼 B. Ta có thể viết:
A 𝖼 B = {x ∣x ∈A và x ∈B}
hay x ∈ A 𝖼 B x ∈ A và x ∈ B. B
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A 𝖼 B. Ví dụ: A
1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B là tập hợp các số tự
nhiên lẻ, khi đó A𝖼B = {1, 3, 5}
2) Gọi A là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0 và B là tập hợp các
nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì A 𝖼 B là tập hợp các nghiệm của hệ phương trình f(x) =0 g(x) =0
3) Nếu A là tập hợp các bội tự nhiên của 2 và B là tập hợp các bội tự nhiên của
3 thì A 𝖼 B là tập hợp các bội chung tự nhiên của 2 và 3, tức là các bội chung tự nhiên của 6. Chú ý:
- Nếu A và B không có phần tử chung (phần tử vừa thuộc cả A và B), tức là A
𝖼 B = , thì ta nói A và B rời nhau. 7 lOMoARcPSD|197 044 94
- Theo định nghĩa, x ∈ A 𝖼 B x ∈ A và x ∈ B. Do đó x A 𝖼 B khi và chỉ
khi x không thuộc đồng thời cả A và B, nghĩa là x không thuộc ít nhất một trong hai
tập A và B, hay x A hoặc x B. Như vậy x A 𝖼 B x A hoặc x B.
3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao
Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta luôn có: 1) Tính giao hoán:
A ○ B = B ○ A (của phép hợp),
A 𝖼 B = B 𝖼 A (của phép giao). 2) Tính kết hợp:
( A ○ B ) ○ C = A ○ ( B ○ C ) (của phép hợp),
( A 𝖼 B ) 𝖼 C = A 𝖼 ( B 𝖼 C ) (của phép giao).
Các tính chất trên có thể chứng minh được đễ dàng bằng cách sử dụng trực tiếp
các định nghĩa phép hợp, phép giao và sự bằng nhau của các tập hợp. Chú ý:
- Từ tính chất kết hợp của phép hợp và phép giao ta có thể dùng ký hiệu A ○ B
○ C (gọi là hợp của ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A ○ B ) ○ C hoặc A○ ( B ○ C ),
dùng ký hiệu A 𝖼 B 𝖼 C (gọi là giao của ba tập hợp A, B, C) thay cho ( A 𝖼 B ) 𝖼 C hoặc A 𝖼 ( B 𝖼 C ).
- Tương tự, ta có thể mở rộng các tính chất trên cho hợp và giao của nhiều tập hợp.
3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao
Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta có:
A 𝖼 ( B ○ C ) = ( A 𝖼 B ) ○ ( A 𝖼 C ) (1),
A ○ ( B 𝖼 C ) = ( A ○ B ) 𝖼 ( A ○ C ) (2). Chứng minh (1).
Giả sử x ∈ A 𝖼 ( B ○ C ), tức là x ∈ A và x ∈ B ○ C. Do x ∈ B ○ C có nghĩa
là x ∈ B hoặc x ∈ C nên ta có:
x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A 𝖼 B,
hoặc x ∈ A và x ∈ C thì x ∈ A 𝖼 C.
Điều đó có nghĩa là x ∈ A 𝖼 B hoặc x ∈ A 𝖼 C, tức là
x ∈ ( A 𝖼 B ) ○ ( A 𝖼 C ).
Ngược lại, giả sử x ∈ ( A 𝖼 B ) ○ ( A 𝖼 C ). Theo định nghĩa phép hợp suy
ra x ∈ A 𝖼 B hoặc x ∈ A 𝖼 C. Mặt khác, theo định nghĩa phép giao ta có:
x ∈ A 𝖼 B thì x ∈ A và x ∈ B,
hoặc x ∈ A 𝖼 C thì x ∈ A và x ∈ C. 8 lOMoARcPSD|197 044 94
Như vậy ta có x ∈ A và x thuộc ít nhất một trong hai tập B, C, hay x∈A và x ∈
B ○ C. Điều này có nghĩa là x ∈ A 𝖼 ( B ○ C ).
Tương tự ta chứng minh được đẳng thức (2).
Công thức (1) cho thấy phép giao phân phối đối với phép hợp, công thức (2)
cho thấy phép hợp phân phối đối với phép giao. 3.5. Phép trừ
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của A và B là tập hợp tất cả các phần
tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A\ B hoặc A – B. Ta có thể viết:
A\ B = {x ∣x ∈ A và x B} hay x ∈ A\ B x ∈ A và x B.
Trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A\ B. B Ví dụ:
1) Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} và B = {x ∈ N ∣x là ước
của 30} thì khi đó A\B = {4} còn B \ A = {6, 10, 15, 30}. A
2) Nếu A là tập hợp các tam giác vuông, B là tập hợp các tam giác cân thì A\ B
là tập hợp các tam giác vuông mà không cân, B \ A là tập hợp các tam giác cân mà không vuông. Chú ý:
- Nếu A và B là các tập hơp rời nhau (A 𝖼 B = ) thì A\ B = A và B \ A = B.
- Hiệu của hai tập hợp nói chung không có tính đối xứng, tức là A\ B B \ A.
- Trong trường hợp B ∈ A thì A\ B còn được ký hiệu là CBA và gọi là phần bù của B trong A.
Chẳng hạn, nếu xét trong tập hợp số tự nhiên N thì phần bù của tập hợp các số
tự nhiên chẵn là tập hợp các số tự nhiên lẻ.
- Từ định nghĩa phép trừ ta có thể viết: x A\ B x A hoặc x ∈ B.
3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao.
Định lý. Với các tập hợp A, B, C tùy ý ta có:
A\ ( B ○ C ) = ( A\ B ) 𝖼 ( A\ C ) (1),
A\ ( B 𝖼 C ) = ( A\ B ) ○ ( A\ C ) (2). Chứng minh (1).
Giả sử x ∈ A\ ( B ○ C ). Điều đó có nghĩa là x ∈ A và x B ○ C . Vì x B ○ C nên x B và x C.
Như vậy x ∈ A, x B và x C. Từ đó suy ra x ∈ A\ B và x ∈ A\ C, nghĩa là x ∈ ( A\ B ) 𝖼 ( A\ C ). 9 lOMoARcPSD|197 044 94
Ngược lại, giả sử x ∈( A\ B ) 𝖼 ( A\ C ). Điều đó có nghĩa là x ∈ A\ B và x
∈ A\ C. Suy ra x ∈ A, x B và x C. Tức là x ∈ A và x B ○ C. Do đó x ∈ A\ ( B ○ C ).
Chứng minh đẳng thức (2) tương tự. Bài tập
1. A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số
hàng chục. B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50 và chia hết cho 8.
Tìm A ○ B, A 𝖼 B, A\ B, B\ A.
2. Cho A = {x ∣8x5 𝖼9}, B = {x ∣ 514x 𝖼3}. Tìm A○B. A𝖼B, A\B, B\A.
3. Trong tập hợp P các điểm của mặt phẳng, cho hai điểm A, B và trung điểm
O của AB. Gọi X lAà Btập hợp các điểm M sao cho MA MB; Y là tập hợp các điểm M sao cho OM .
Hãy xác định các tập X ○ Y, X 𝖼 Y, X\Y, Y\ X trên hình vẽ.
4. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Hãy minh hoạ đẳng thức sau bằng hình vẽ và sau đó chứng minh:
( A\ B ) ○ ( B\ A ) = ( A ○ B )\ ( A 𝖼 B ). 5. Chứng minh rằng:
a) A 𝖼 B = A khi và chỉ khi A ∈ B.
b) A ○ B = B khi và chỉ khi A ∈ B.
6. Thống kê tình hình tự bồi dưỡng về chuyên môn trong 100 giáo viên ta thấy:
33 người học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồi dướng chuyên môn.
Trong số đó có 8 người vừa học ngoại ngữ vừa học tin học, 10 người vừa học chuyên
môn vừa học ngoại ngữ, 5 người vừa học tin học vừa học chuyên môn và 3 người học cả 3 môn.
Hỏi có bao nhiêu người chỉ học ngoại ngữ, chỉ học tin học, chỉ học chuyên
môn và bao nhiêu người không đi học môn nào? §4. quan hệ
4.1. Tích Đề các của các tập hợp
a) Căp sắp thứ tự
Cho a, b là hai đối tượng bất kỳ. Từ hai đối tượng này ta thành lập được một
đối tượng mới, ký hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b).
Hai cặp (a, b) và (c, d) gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d.
Như vậy, nếu a b thì (a, b) và (b, a) là hai cặp khác nhau. 10 lOMoARcPSD|197 044 94
Điều đó nói lên rằng, trong một cặp người ta có thể xét đến thứ tự của các vật:
(a, b) là một cặp sắp thứ tự hai phần tử a và b, a là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng sau. b) Tích Đề các
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Tích Đề các của A và B là tập hợp tất cả
các cặp có thứ tự (a,b), trong đó a ∈ A và b ∈ B, ký hiệu là A × B. Ta có thể viết:
A × B = {(a, b) ∣ a ∈ A, b ∈ B}.
Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {m, n}, khi đó
A × B = {(a, m), (b, m), (c, m), (a, n), (b, n), (c, n)},
B × A = {(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c)}. Chú ý:
- Tích Đề các nói chung không có tính chất giao hoán: nếu A B thì A× B B × A.
- Tích Đề các không có tính chất kết hợp: với ba tập hợp A, B, C khác rỗng ta
có ( A × B ) × C A × ( B × C ).
- Trong trường hợp A = B thì A × A còn được ký hiệu là A2 và gọi là bình phương Đề các của A.
- Ta có thể mở rộng định nghĩa tích Đề các cho nhiều tập hợp: tích Đề các của
n tập hợp A1, A2, …,An là tập hợp tất cả các phần tử có thứ tự (a1, a2, …,an), trong đó
a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, …, an ∈ An.
4.2. Quan hệ hai ngôi
Định nghĩa. Cho A là tập hợp tùy ý khác rỗng. Mỗi tập con S của bình phương
Đề các A × A gọi là một quan hệ hai ngôi trên A.
Nếu (a, b) ∈ S thì ta nói a có quan hệ S với b và viết aSb. Như vậy a, b ∈ A, aSb (a, b) ∈ S. Ví dụ:
1) Trên tập hợp các số nguyên Z, quan hệ “bé thua hoặc bằng” xác định bởi tập con
S1 = {(a, b) ∈ Z2 a b}.
2) Quan hệ “chia hết cho” trong N* = N\{0} được xác định bởi tập con
S2 = {(m, n) ∈ N*2 m 𝖼n}.
3) Trong tập hợp D gồm các đường thẳng của mặt phẳng, quan hệ “vuông góc
với nhau” xác định bởi tập con: S3 ={(a, b) ∈ D2 a b}.
4) Trong tập hợp A gồm các học sinh trong một lớp, quan hệ “cùng họ” xác định bởi tập con
S4 = {(x, y) x, y ∈ A, x, y cùng họ}. 11 lOMoARcPSD|197 044 94
4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi
a) Tính phản xạ. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất phản xạ
nếu a∈A ta có aSa (a có quan hệ S với chính nó).
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tính chất phản xạ;
quan hệ S3 không có tính chất phản xạ.
b) Tính chất đối xứng. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất đối
xứng nếu a, b ∈A mà aSb thì luôn suy ra được bSa.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S3, S4 có tính chất đối xứng; các
quan hệ S1, S2 không có tính chất đối xứng.
c) Tính chất phản đối xứng (phản xứng). Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi
là có tính chất phản đối xứng nếu a, b ∈ A mà aSb và bSa thì luôn suy ra được a = b.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2 có tính chất phản đối
xứng; các quan hệ S3, S4 không có tính chất phản đối xứng.
d) Tính chất bắc cầu. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là có tính chất bắc
cầu nếu a, b, c ∈ A mà aSb và bSc thì luôn suy ra được aSc.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 có tính chất bắc cầu;
các quan hệ S3 không có tính chất bắc cầu.
4.4. Quan hệ tương đương
a) Định nghĩa. Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là quan hệ tương đương
nếu nó có các tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, quan hệ S4 (quan hệ “cùng họ”) là quan hệ
tương đương; các quan hệ S1, S2, S3 là không tương đương. Chú ý:
- Nếu S là quan hệ tương đương ta thường thay S bởi ký hiệu (a b, đọc là
“a tương đương với b”)
- Do tính chất đối xứng nên nếu a b thì có thể viết b a.
b) Lớp tương đương. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử a là
một phần tử nào đó thuộc A. Ký hiệu: [a] = {x ∈ A ∣x a} và
gọi tập hợp này là lớp tương đương của a.
Từ tính chất phản xạ của quan hệ suy ra a ∈ [a]. Ví dụ:
1) Xét quan hệ tương đương “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên tập
hợp các số tự nhiên N. Với số tự nhiên n bất kỳ thuộc N, [n] là tập hợp các số tự nhiên
có cùng số dư với n trong phép chia cho 3.
Chẳng hạn lấy n = 4. Số dư trong phép chia 4 cho 3 là 1. Vậy [4] = {1, 4, 7, 10, …}. 12 lOMoARcPSD|197 044 94
2) Với quan hệ tương đương “cùng họ” của tập hợp các học sinh trong một lớp
(quan hệ S4 ở mục 4.2), lớp tương đương của một học sinh bất kỳ là tập hợp gồm học
sinh đó và tất cả các học sinh khác cùng họ trong lớp.
Định lý. Trên tập hợp A cho quan hệ tương đương . Giả sử x1, x2 là hai phần
tử bất kỳ thuộc A. Ta có: 1) [x1] = [x2] x1 x2,
2) Nếu [x1] [x2] thì [x1] 𝖼 [x2] = . Chứng minh.
1) Giả sử [x1] = [x2]. Do x1 ∈ [x1] nên suy ra x1 ∈ [x2], nghĩa là x1 x2.
Ngược lại, giả sử x1 x2. Lấy x bất kỳ thuộc [x1] thì x x1, mà x1 x2 nên
theo tính chất bắc cầu suy ra x x2 nên x ∈ [x2]. Do đó [x1] ∈ [x2]. Hoàn toàn tương
tự ta cũng chứng minh được [x2] ∈ [x1]. Vậy [x1] = [x2].
2) Với [x1] [x2] ta giả sử [x1] 𝖼 [x2] . Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho x ∈
[x1] và x ∈ [x2]. Do x ∈ [x1] nên x x1, lại do x ∈ [x2] nên x x2. Theo tính chất bắc
cầu suy ra x1 x2. Từ đây áp dụng tính chất 1) ta được [x1] = [x2], điều này trái với giả thiết [x1] [x2] .
Vậy nếu [x1] [x2] thì [x1] 𝖼 [x2] = .
Như vậy, một quan hệ tương đương trên tập hợp A chia A thành các tập con là
các lớp tương đương rời nhau. Nghĩa là mỗi phần tử bất kỳ của A đều thuộc và chỉ
thuộc một trong các tập con ấy và các phần tử trong cùng một tập con thì tương đương với nhau. Ví dụ:
1) Quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” chia N thành ba tập con là [0], [1], [2].
[0] là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3: [0] = {0, 3, 6, 9, …},
[1] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [1] = {1, 4, 7, 10, …},
[2] là tập hợp các số tự nhiên chia 3 còn dư 1: [2] = {2, 5, 8, 11, …}.
2) Quan hệ “cùng họ” của các học sinh trong một lớp chia lớp đó thành các tập
con gồm những học sinh cùng họ.
c) Tập thương. Tập hợp các lớp tương đương của A với quan hệ gọi là tập
thương của A theo quan hệ đó, ký hiệu A : A = {[a] a ∈ A}.
Ví dụ: Xét quan hệ “có cùng số dư trong phép chia cho 3” trên N, ta có N = {[0], [1], [2]}}.
4.5. Quan hệ thứ tự
a) Định nghĩa. Quan hệ 2 ngôi S trên tập A gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có các
tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. 13 lOMoARcPSD|197 044 94
Ví dụ: Trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1(“bé thua hoặc bằng”) và S2
(“chia hết cho”) là các quan hệ thứ tự.
Chú ý: Quan hệ bé thua hoặc bằng ( ) thông thường trên các tập hợp số là
quan hệ thứ tự. Quan hệ này điển hình đến nỗi người ta mượn ký hiệu để chỉ thứ tự
ngay cả trong trường hợp tổng quát.
Trong trường hợp tổng quát, khi S là một quan hệ thứ tự, người ta ký hiệu a
b thay cho aSb và đọc là “a bé thua hoặc bằng b” hay “a đứng trước b”. Khi đó ta
cũng viết b a và đọc “b lớn hơn hoặc bằng a”. Để tránh nhầm lẫn, khi nào mang ý
nghĩa thông thường ta sẽ nói rõ.
b) Tập sắp thứ tự
Khi tập A được trang bị một quan hệ thứ tự S thì ta nói A là một tập sắp thứ tự
(theo quan hệ thứ tự đó).
Trong một tập sắp thứ tự có thể xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: Mọi cặp phần tử a, b của A đều nằm trong quan hệ thứ tự đó.
Nói khác đi a, b ∈ A nhất thiết phải có a b hoặc b a.
Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự toàn phần.
Trường hợp 2: Không phải mọi cặp thuộc A đều có thể so sánh được, nghĩa là
có cặp a, b sao cho ta không có cả a b lẫn b a.
Trường hợp này A được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận. Ví dụ:
1) Các tập hợp số với quan hệ thông thường là tập hợp sắp thứ tự toàn phần.
2) Tập N* với quan hệ 𝖼 (chia hết cho) không là tập sắp thứ tự toàn phần mà
chỉ là tập sắp thứ tự bộ phận. Chẳng hạn như hai số 5 và 17 không so sánh được
theo quan hệ “chia hết cho”.
Chú ý: Với cùng một tập A ta có thể trang bị nhiều quan hệ thứ tự; với quan hệ
này có thể A là tập sắp thứ tự toàn phần nhưng với quan hệ khác A chỉ la tập sắp thứ tự bộ phận.
c) Phần tử lớn nhất, nhỏ nhất
Cho A là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự là , M là một tập con của A.
Phần tử m ∈ M gọi là phần tử nhỏ nhất của M nếu ta luôn có m x, x∈ M.
Phần tử m ∈ M gọi là phần lớn nhất của M nếu ta luôn có x m, x ∈ M.
Ví dụ: Trên N* với quan hệ “chia hết cho” tập A = {1, 2, 5, 7, 35, 70}. Hiển
nhiên N* là tập sắp thứ tự với quan hệ đã cho và A ∈ N*.
Ta thấy 1 là phần tử nhỏ nhất của A và 70 là phần tử lớn nhất của A.
Chú ý: Không phải mọi tập hợp con của một tập sắp thứ tự đều có phần tử nhỏ
nhất, phần tử lớn nhất. Chẳng hạn cho N* với quan hệ “chia hết cho”, với tập A = {1, 2, 4,
70}chỉ có 1 là phần tử nhỏ nhất, không có phần tử lớn nhất. 14 lOMoARcPSD|197 044 94 Bài tập
1. Giả sử A là tập hợp tất cả các người, ta xác định các quan hệ S1, S2, S3 như sau:
a) xS1y nếu người x không nhiều tuổi hơn người y.
b) xS2y nếu người x cùng giới tính với người y.
c) xS3y nếu người x là con của người y.
Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 2. Cho A ={1, 2, 3, 4}.
a) Tập hợp S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), 2, 4), (3, 4)} xác định quan hệ nào trong A.
b) Quan hệ bằng nhau trong tập A được xác định bởi tập con nào của A×A.
3. Trên tập hợp N các số tự nhiên, xác định quan hệ S như sau:
a, b ∈ N : a S b a và b không nguyên tố cùng nhau.
Quan hệ S có thể có những tính chất nào?
4. Trên tập hợp Z các số nguyên xác định các quan hệ S như sau:
với a, b ∈ Z: aSb a - b 𝖼2.
Hãy xét xem quan hệ S này có những tính chất gì?
5. a) Cho O là một điểm cố định trong mặt phẳng P. Ta ký hiệu P* là tập hợp
các điểm của mặt phẳng (P) trừ điểm O. Quan hệ S được xác định trong P* như sau:
ASB nếu ba điểm O, A, B thẳng hàng.
b) Cho trong mặt phẳng (P) một đường thẳng a. Trong tập hợp các điểm của
mặt phẳng này ta xác định một quan hệ S như sau: ASB nếu A đối xứng với B qua đường thẳng a.
Hãy xét xem các quan hệ S trên có những tính chất gì?
6. Cho X là tập hợp điểm trên mặt phẳng, O là một điển cố định cho trước thuộc X.
a) Trên tập X, quan hệ S được xác định như sau: M, N ∈ X : M S N OM = ON.
Chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương, sau đó xác định tập thương X/S.
b) Quan hệ T trên X được xác định như sau:
M, N ∈ X : M T N O, M, N cùng nằm trên một đường thẳng.
T có phải là quan hệ tương đương trên X không?
T có phải là quan hệ tương đương trên tập hợp Y = X\{O} không? Nếu phải,
hãy xác định lớp tương đương chứa điểm A và xác định tập thương Y/T. 15 lOMoARcPSD|197 044 94
7. Trên tập hợp các số thực R ta xác định quan hệ S như sau:
x, y ∈ R : xSy x3 – y3 = x – y.
a) Chứng minh rằng S là quan hệ tương đương.
b) a là một số thực cho trước. Hãy xác định [a] (biện luận theo giá trị của a).
8. Trong tập hợp Z × N* (Z là tập hợp các số nguyên, N* là tập hợp các số tự
nhiên khác 0) ta xác định quan hệ như sau:
(a b) (c, d) ad = bc , với (a, b), (c, d) ∈ Z × N*.
a) Chứng minh rằng là quan hệ tương đương .
b) Xác định tập thương Z × N*/ .
9. Ta đã biết tập P(A) các tập con của A là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm.
Quan hệ ấy có phải là quan hệ thứ tự tuyến tính không?
Tìm phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của P(A) theo quan hệ này.
10. Trong tập các số thực R xét quan hệ T như sau:
với x, y ∈ R : xTy x3 y3 ( theo nghĩa thông thường).
Chứng minh rằng quan hệ T quan hệ thứ tự. T có phải là quan hệ thứ tự tuyến tính không? §5. Ánh xạ
Trong §4 ta đã thấy mỗi tập con của tập tích Đề các biểu thị một quan hệ giữa
các phần tử của tập X với các phần tử của tập Y.
Ta cũng đã xét trường hợp riêng khi tập Y trùng với tập X và đã đi tới khái
niệm quan hệ hai ngôi trên X.
Trong phần này, ta sẽ xét một trường hợp riêng khác của khái niệm quan hệ để
đi đến khái niệm ánh xạ.
Giả sử cho quan hệ f trên X×Y.
Trong trường hợp tổng quát, nói chung với mỗi x ∈ X, tập các phần tử y ∈ Y
có quan hệ f với x (tức là tập hợp {y ∈ Y x f y}) có thể là rỗng hoặc có thể có nhiều phần tử.
Trong trường hợp đặc biệt, khi mà ứng với mỗi phần tử x ∈ X, tập các phần tử
y ∈ Y mà x f y có một và chỉ một phần tử thì quan hệ f được gọi là một ánh xạ từ X đến Y.
Như vậy, ánh xạ f từ X đến Y là một quan hệ f trên X×Y có tính chất “với mọi
phần tử x ∈ X bao giờ cũng có một và chỉ một phần tử y ∈ Y sao cho x có quan hệ f với y”.
Nói khác đi, việc cho một ánh xạ từ X đến Y là việc cho một quy tắc ứng mỗi
phần tử x ∈ X với một phần tử y hoàn toàn xác định trong Y. 16 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta đi đến khái niệm ánh xạ và các khái niệm liên quan.
5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ Định nghĩa.
Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y là một quy tắc đặt
tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y.
Khi y là phần tử ứng với x qua ánh xạ f thì ta gọi y là ảnh của x qua ánh xạ f.
Ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, ... Để chỉ ánh xạ f từ X đến
Y mà phần tử x ∈ X được đặt tương ứng với phần tử y ∈ Y ta viết f : X ⟶ Y x y = f(x) hoặc f X ⟶ Y x y = f(x).
X gọi là tập nguồn (hay miền xác định), Y gọi là tập đích (hay miền giá trị).
Hai ánh xạ f : X ⟶ Y và g : X ⟶ Y gọi là bằng nhau nếu f(x) = g(x), x ∈ X. Ví dụ:
1) Cho các tương ứng bởi các hình vẽ sau x × ×y x × × y 1 1 x1 × ×1 x × ×y y x2 × 2 2 x2 × × × y y x 3 × 3 3 3 a 2 b ) ) x ×y × ×y x × ×1y 1 1 1 x × ×y x × ×2y 2 x2 × × y x2 × × 4y 3 3 3 3 c d ) )
Hình c) và d) là các ánh xạ. Hình a) và b) không phải là các ánh x ạ.
2) Khi chấm bài người giáo viên đã thực hiện một ánh xạ từ tập hợp các bài
kiểm tra đến tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (cho điểm nguyên theo
thang điểm 10). ánh xạ này ứng mỗi bài với một con điểm. 17 lOMoARcPSD|197 044 94
3) Phép cộng trên tập hợp số tự nhiên là một ánh xạ từ tập hợp N×N⟶N. ánh
xạ này ứng mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với một số là x + y:
N × N ⟶ N (x, y) x + y.
4) Cho tập hợp X bất kỳ. Tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với chính nó là một
ánh xạ từ tập X đến tập X.
ánh xạ này thường được ký hiệu là 1X hay idX và gọi là ánh xạ đồng nhất: 1X : X ⟶ X x x.
5) Tương ứng mỗi phần tử x thuộc tập hợp các số thực R với phần tử 2x+1 là
một ánh xạ từ R đến R: R ⟶ R x 2x + 1. Chú ý:
- Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh
xạ từ X đến Y khi có phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y, hoặc khi có
phần tử của X ứng với hon một phần tử trong Y.
- Trong một ánh xạ, mỗi phần tử thuộc nguồn đều có ảnh duy nhất, nghĩa là
nếu f : X ⟶ Y là một ánh xạ và x1 = x2 (x1, x2 ∈ X) thì phải có f(x1) = f(x2), hoặc từ
f(x1) f(x2) ta phải có x1 x2.
- Mỗi phần tử của nguồn có một ảnh duy nhất nhưng có thể hai hay nhiều phần
tử của nguồn có chung một ảnh. Ngoài ra, cũng có thể có phần tử của tập đích không
là ảnh của bất kỳ phần tử nào trong tập nguồn.
5.2. Ảnh và tạo ảnh
a) Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y.
- Giả sử A ∈ X. Tập con của Y gồm tất cả các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi
là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A): f(A) = { f(x) ∣x ∈ A}.
- Giả sử B ∈ Y. Tập con của X gồm tất cả các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B
gọi là tạo ảnh toàn phần của B qua ánh xạ f, ký hiệu là f-1(B):
f-1(B) = { x ∈ X ∣f(x) ∈ B}.
Ví dụ: Cho ánh xạ f : R ⟶ R , x 2x + 1. 1
Giả sử A = {-1, 0, , 2} và B = {0, 1, 2}. 5 Khi đó: f(A) = {-1, 1, , 5}, 1 1 -1 f (B) = {- , 0, }. 18 lOMoARcPSD|197 044 94
b) Định lý. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y.
- Với hai tập con tùy ý A, B của X ta có:
f ( A ○ B ) = f ( A ) ○ f( B )
f ( A 𝖼 B ) ∈ f ( A ) 𝖼 f ( B ).
- Với hai tập con tùy ý A, B của Y ta có:
f-1 ( A ○ B ) = f-1 ( A) ○ f-1 ( B )
f-1( A 𝖼 B ) = f-1 ( A ) 𝖼 f-1 ( B ).
Ta có thể chứng minh các đẳng thức trên một cách dễ dàng. Bài tập
1. Giả sử X là tập hợp tất cả các người trên trái đất (kể cả người đã chết). Các
quy tắc sau có phải là ánh xạ từ X đến X không?
a) Quy tắc ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc ứng mỗi người với anh cả của mình.
2) Cho T là tập hợp tất cả các tam giác và O là tập hợp các đường tròn.
a) Quy tắc ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp của nó có phải là ánh xạ từ T đến O không?
b) Quy tắc ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp nó có phải là ánh xạ từ O đến T không?
3. Giải thích tại sao các quy tắc dưới đây không phải là ánh xạ từ R đến R:
a) Quy tắc ứng mỗi số với nghịch đảo của nó.
b) Quy tắc ứng mỗi số với căn bậc hai của nó.
4. a) Quy tắc “Lấy một số tự nhiên nhân với 4, được bao nhiêu trừ đi 10” có
phải là một ánh xạ từ N đến N không? Vì sao?
b) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ từ N thì phải thay đổi tập đích
(miền giá trị) như thế nào?
c) Muốn cho quy tắc đó trở thành một ánh xạ đến N thì phải thay đổi tập nguồn
(miền xác định) như thế nào?
5. Cho ánh xạ f : N ⟶ N n 4n +5 a) Tìm f(1), f(5), f(25).
b) Tìm f-1(4), f-1(9), f-1(15).
6. Cho ánh xạ f : R ⟶ R x x2 – 3x + 1. Hãy tìm:
a) Ảnh của các điểm 0,1 và -1.
b) Ảnh của các điểm trên đoạn thẳng [-1, 2] (-1 x 2).
c) Tìm tạo ảnh toàn phần của -1. 19 lOMoARcPSD|197 044 94
7. Cho f : X ⟶ Y là ánh xạ và A ∈ X, B ∈ Y. Chứng minh các đẳng thức sau: a) A ∈ f-1(f(A)). b)f(f-1(B)) ∈ B.
8. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y và B1, B2 là hai tập con của Y. Chứng minh rằng:
a) Nếu B1 ∈ B2 thì f-1(B1) ∈ f-1(B2).
b) f-1(B1 ○ B2) = f-1(B1) ○ f-1(B2).
c) f-1(B1 𝖼 B2) = f-1(B1) 𝖼 f-1(B2).
§6. Các ánh xạ đặc biệt
Tích các ánh xạ - Ánh xạ ngược
6.1. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
Cho ánh xạ f : X ⟶ Y. Trong trường hợp chung, có thể xảy ra các tình huống sau:
- Hai hoặc nhiều phần tử của X có chung một ảnh trong Y (1).
- Có những phần tử của Y không là ảnh của phần tử nào thuộc X (2).
Trong mục này ta sẽ xét các trường hợp đặc biệt mà các tình huống trên không xảy ra.
a) Đơn ánh. Khi tình huống (1) không xảy ra thì f gọi là đơn ánh.
Định nghĩa. ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau x1,
x2 của X ta luôn có f(x1) f(x2).
Định nghĩa trên có thể phát biểu cách khác : f : X ⟶ Y gọi là đơn ánh nếu từ
f(x1) = f(x2) ta luôn có x1 = x2. Ví dụ:
1) Dễ thấy ánh xạ đồng nhất 1X : X ⟶ X , x x là đơn ánh.
2) ánh xạ f : R ⟶ R , x x3 là đơn ánh vì với x1 x2 thì f(x1) f(x2).
3) ánh xạ g : R ⟶ R , x x2 không phải là đơn ánh vì với –x và x có cùng một ảnh là x2.
b) Toàn ánh: Khi tình huống (2) không xảy ra thì f gọi là toàn ánh.
Định nghĩa. ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y bao giờ cũng
tồn tại x ∈ X sao cho f(x) = y. Ví dụ:
1) ánh xạ đồng nhất 1X : X ⟶ X , x x là toàn ánh.
2) ánh xạ f : R ⟶ R , x x3 là toàn ánh vì y ∈ Y bao giờ cũng có x = 3 y
∈ X để cho f(x) = ( 3 y )3 = y.
3) ánh xạ g : R ⟶ R , x x2 không phải là toàn ánh vì các số thực âm không
thể là bình phương của bất kỳ số thực nào.
Nếu ta thay tập đích bởi R+ (tập hợp các số thực không âm) thì g sẽ là toàn ánh. 20 lOMoARcPSD|197 044 94 c) Song ánh.
Định nghĩa. Ánh xạ f : X ⟶ Y gọi là toàn ánh nếu nếu nó vừa là đơn ánh, vừa
là toàn ánh. Như vậy, f là một song ánh nếu với mọi y ∈ Y có một và chỉ một x ∈ X sao cho f(x) = y.
Song ánh f : X ⟶ Y còn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y.
Ví dụ: Qua các ví dụ ở phần a) và b) ta thấy ánh xạ đồng nhất 1X : X ⟶ X x x
và ánh xạ f : R ⟶ R , x x3 là các song ánh.
6.2. Tích các ánh xạ
a) Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X ⟶ Y và g : Y ⟶ Z. Tích của hai ánh xạ f
và g là ánh xạ h : X ⟶ Z được xác định như sau: h(x) = g(f(x)), x ∈ X.
Tích của các ánh xạ f và g được ký hiệu là g o f hoặc gf, như vậy ta có
(g o f)(x) = g(f(x)), x ∈ X. Ta có hình minh họa sau: f g × h(x)=g(f(x x × y=f(x )) × ) Y Z X h Ví dụ:
1) Với mọi ánh xạ f : X ⟶ Y ta luôn có f o 1X = 1Y o f = f.
2) Cho f : R ⟶ R và g : R ⟶ R x x2 x x2 + 2x + 3
Khi đó (g ò f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x4 + 2x2 + 3,
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 2x + 3) = (x2 + 2x + 3)2. Chú ý:
- Tích các ánh xạ nói chung không có tính chất giao hoán: f o g g o f.
- Ta có thể mở rộng tích ánh xạ cho nhiều ánh xạ.
b) Một số tính chất.
Định lý 1. Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu f : X ⟶ Y, g : Y
⟶ Z và h : Z ⟶ T thì h o ( go f) = (h o g) o f. Chứng minh. Với mỗi x ∈ X ta có 21 lOMoARcPSD|197 044 94
[ho (g o f)] (x) = h o ((g o f) (x)) = h(g(f(x)) = (h o g)(f(x)) = [(h o g) o f] (x).
Vậy h o (g o f) = (h o g) o f.
Từ tính chất kết hợp của ánh xạ, thay cho h o (g o f) và (h o g) o f ta có thể viết h o
g o f và gọi đây là tích của ba ánh xạ f, g, h.
Định lý 2. Cho các ánh xạ f : X ⟶ Y và g : Y ⟶ T. Khi đó:
1) Nếu f và g là các đơn ánh thì g o f : X ⟶ T cũng là đơn ánh,
2) Nếu f và g là các toàn ánh thì g o f : X ⟶ T cũng là toàn ánh,
3) Nếu f và g là các song ánh thì g o f : X ⟶ T cũng là song ánh. Chứng minh.
1) Giả sử f, g là các đơn ánh. Để chứng minh h là đơn ánh ta phải chứng minh
rằng với x1 x2 thuộc X thì phải có h(x1) h(x2).
Thật vậy, vì f là đơn ánh nên từ x1 x2 ta có f(x1) f(x2). Vì g là đơn ánh nên
từ f(x1) f(x2) ta có g(f(x1)) g(f(x2)), nghĩa là h(x1) h(x2).
2) Giả sử f, g là các toàn ánh. Để chứng minh h toàn ánh ta phải chứng minh
t ∈ T sẽ tồn tại x ∈ X sao cho h(x) = t.
Thật vậy, vì g toàn ánh nên t ∈ T sẽ tồn tại y ∈ Y sao cho g(y) = t. Vì f toàn
ánh nên có x ∈ X sao cho y = f(x).
Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(y) = t.
6.3. Ánh xạ ngược
a) Định nghĩa. Cho f : X ⟶ Y là song ánh. Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất phần
tử x ∈ X sao cho f(x) = y. ánh xạ f-1 : Y ⟶ X đặt tương ứng phần tử y với phần tử x
gọi là ánh xạ ngược của f. Như vậy f-1(y) = x f(x) =y.
Dễ thấy ánh xạ ngược f-1 của song ánh f cũng là một song ánh. Ví dụ:
1) Dễ dàng thấy rằng hai ánh xạ x - 3
f : R ⟶ R , x 2x + 3 và g : R ⟶ R , x là hai ánh xạ ngược nhau. 2
2) Hai ánh xạ f : R ⟶ R+ , x ax và g : R+ ⟶ R , x logax
(trong đó a > 0, a 1) là hai ánh xạ ngược nhau.
Thật vậy, x ∈ R+: (f o g) (x) = f(g(x)) = f(logax) = a loga x = x,
x ∈ R: (g o f) (x) = g(f(x)) = g(ax) = loga(ax) = x. 22 lOMoARcPSD|197 044 94
b) Một số tính chất. Định lý 1. 1) (f-1)-1 = f,
2) Nếu f : X ⟶ Y là song ánh thì f o f-1 = 1Y , f-1 o f = 1X . Chứng minh.
1) Suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ ngược.
2) Với mọi x ∈ X, đặt y = f(x). Ta có f-1(y) = x ⟶ f-1(f(x)) = x ⟶ (f-1 o f) (x) = 1X(x). Vậy f-1 o f = 1X .
Theo 1) do (f-1)-1 = f nên f o f-1 = (f-1)-1 o f-1 = 1Y .
Định lý 2. Giả sử g : Y ⟶ X và g : Y⟶ X là các ánh xạ ngược của f : X ⟶ Y. Khi đó g = g . Chứng minh.
Vì g và g là ánh xạ ngược của f nên g o f = 1X , f o g = 1Y . Từ đó ta có
g = g o 1Y = g o (f o g ) = (g o f) o g = 1X o g = g .
Như vậy, ánh xạ f nếu có ánh xạ ngược thì ánh xạ ngược là duy nhất. Bài tập
1) Giả sử X là tập hợp tất cả các người trên trái đất (kể cả người đã chết). Các
quy tắc sau có phải là ánh xạ từ X đến X không? Nếu là ánh xạ thì chúng có phải là
đơn ánh, toàn ánh, song ánh không?
a) Quy tắc f ứng mỗi người với mẹ đẻ của mình.
b) Quy tắc g ứng mỗi người với anh cả của mình.
2. Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh :
a) f : N ⟶ N n 4n +5.
b) g : R ⟶ R x 4x +5.
c) h : N* × N* ⟶ N* (a, b) UCLN(a, b). 23 lOMoARcPSD|197 044 94
d) 𝖼 : R+ ⟶ R x log2x.
3. Cho các ánh xạ f : R ⟶ R và g : R ⟶ R xác định bởi: f(x) = x2 +3x - 2 và g(x) = sin(3x+2).
Hãy tìm các ánh xạ g o f và f o g.
4. a) Tìm ánh xạ ngược của ánh xạ f : R ⟶ R x 3x + 4.
b) Cho X là tập hợp các điểm trong mặt phẳng và O là một điểm của X, d là
một đường thẳng cho trước của mặt phẳng. Trong các ánh xạ: phép vị tự tâm O tỉ số
k; phép quay tâm O góc quay 𝖼; phép đối xứng qua đường thẳng d; phép chiếu vuông
góc xuống đường thẳng d; phép nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
5. Cho f : X ⟶ Y và g : Y ⟶ Z là các song ánh. Chứng minh rằng: (g o f)-1 = f-1o g-1.
6. Cho ánh xạ f : X ⟶ Y và g, g’ : U ⟶ X. Chứng minh rằng:
a) Nếu f là đơn ánh và f o g = f o g’ thì g = g’.
b) Nếu với mọi g, g’ mà từ f o g = f o g’ luôn luôn suy ra được g = g’ thì f là đơn ánh. 24 lOMoARcPSD|197 044 94
Chương II Lôgic toán
§1. Lôgic mệnh đề và các phép toán.
Ta biết rằng đặc trưng của toán học là tiến hành các chứng minh, tức là đưa ra
những định lý mới từ những định lý khác mà tính đúng đắn đã được xác lập hay được
công nhận như là xuất phát điểm.
Việc đó được tiến hành nhờ các suy luận toán học. Một trong những nhiệm vụ
chính của lôgic mệnh đề là đặt cơ sở ban đầu để nghiên cứu thực chất của các phép
suy luận toán học và thiết lập các tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các tiêu chuẩn đó.
Đối tượng chính của lôgic mệnh đề là mệnh đề.
Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu biểu thị hay diễn
đạt một ý gì đó. Chẳng hạn:
1. Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam. 2. Số 10 chia hết cho 2. 3. 1 cộng 3 bằng 6.
4. Bạn đã làm xong bài tập chưa ?
5. Số x là mộ số chẵn.
Đối với thực tế khách quan, câu 1, 2 là đúng, câu 3 là sai. Các câu 4, 5 không
nhằm phản ánh một sự kiện đúng hay sai thực tế khách quan : câu 4 chỉ là một câu
hỏi ; câu 5 nói về một đối tượng chưa xác định, nó không đúng cũng không sai nếu ta
chưa gán cho nó một giá trị cụ thể.
Do nhiệm vụ của lôgic mệnh đề như dã nói trên, lôgic mệnh đề chỉ quan tâm
đến các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện :
Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai;
Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
Như vậy, các câu 1, 2, 3, là những mệnh đề; các câu 4, 5 không là mệnh đề (xét trong lôgic mệnh đề)
Trong lôgic mệnh đề, ta chỉ quan tâm đến tính đúng hoặc sai của mệnh đềmà
không quan tâm đến ý nghĩa, nội dung và cấu trúc ngữ pháp của nó.
Ta quy ước mệnh đề có giá trị 1 nếu nó đúng, có giá trị 0 nếu nó sai. Vì mỗi
mệnh đề chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc 0.
Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề.
Chẳng hạn, giá trị chân lý của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam”
là 1, “1 cộng 3 bằng 6” là 0. 25 lOMoARcPSD|197 044 94
Các mệnh đề đơn giản, tức là các mệnh đề không thể chia nhỏ thành nhiều
mệnh đề khác, được gọi là mệnh đề sơ cấp.
Các mệnh đề 1, 2, 3 ở ví dụ trên là các mệnh đề sơ cấp.
Còn các mệnh đề như “3 là số lẻ và 3 bé thua 5” không phải là mệnh đề sơ cấp
vì nó chứa hai mệnh đề “3 là số lẻ” và “3 bé thua 5 ”. Ta gọi chúng là các mệnh đề phức tạp.
Ta sẽ dùng các ký hiệu p, q, r, ... để chỉ các mệnh đề sơ cấp, chúng được gọi là
các biến mệnh đề. Khi p là mệnh đề đúng, tức p có giá trị chân lý là 1, ta viết p = 1;
nếu p là mệnh đề sai, hay p có giá trị chân lý là 0, ta viết p = 0.
Như vậy, các mệnh đề p, q, r, ... lấy giá trị trong tập {0, 1}.
Trong đại số, từ các số a, b nào đó ta có thể lập được các số mới bằng các phép
toán đại số như: -x, x + y, x – y, x.y, …
Tương tự như thế, trên tập hợp các mệnh đề, với các mệnh đề cho trước, bằng
các quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới.
Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề (hay các phép toán lôgic).
Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu một số phép toán mệnh đề cơ bản.
1.1. Phép phủ định.
Xét mệnh đề đúng “5 là số nguyên tố”. Từ mệnh đề này ta lập được mệnh đề
“5 không phải là số nguyên tố”, dễ dàng thấy rằng mệnh đề mới này sai.
Ta lấy một ví dụ khác. Xét mệnh đề sai “10 chia hết cho 3”. Từ mệnh đề này ta
lập đựợc mệnh đề “10 không chia hết cho 3”, rõ ràng mệnh đề mới này đúng.
Các mệnh đề “5 không là số nguyên tố” và “10 không chia hết cho 3” lần lượt
gọi là mệnh đề phủ định của các mệnh đề “5 là số nguyên tố” và “10 chia hết cho 3”.
Ta thấy rằng nếu mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định là sai và ngược lại.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho mệnh đề p. Phủ định của p là một mệnh đề, ký hiệu là p, đọc là “không p”.
Mệnh đề p sai khi p đúng và p đúng khi p sai.
Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép
phủ định như sau: P p 1 0 0 1 Ví dụ:
1) Phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4”. 26 lOMoARcPSD|197 044 94
2) Phủ định của mệnh đề “Hình chữ nhật có hai đường chéo dài bằng nhau” là
mệnh đề “Hình chữ nhật không có hai đường chéo dài bằng nhau”.
Chú ý: Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần cẩn thận để tránh sai
sót. Chẳng hạn phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2 4” chứ không phải là
“2 < 4”, phủ định của mệnh đề “-1 là số âm” là mệnh đề “-1 là số không âm” chứ
không phải là “-1 là số dương”, ...
1.2. Phép hội.
Cho hai mệnh đề “𝖼 > 3” và “𝖼 < 4”. Nối hai mệnh đề này bởi liên từ “và” ta
được mệnh đề mới “𝖼 > 3 và 𝖼 < 4”.
Mệnh đề mới này gọi là hội của hai mệnh đề đã cho, ta thấy mệnh đề hội này
đúng vì cả hai mệnh đề tạo thành đều đúng.
Còn các mệnh đề hội: “𝖼 > 3 và 𝖼 là số tự nhiên”, “𝖼 là số nguyên và 𝖼<4”, “𝖼
< 3 và 𝖼 là số tự nhiên” là các mệnh đề sai vì trong các mệnh đề đó có ít nhất một
trong hai mệnh đề tạo thành là sai.
Phép toán hội xuất hiện từ việc toán học hóa việc sử dụng từ “và” trong đời sống hằng ngày. Ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Hội của p và q là mệnh đề ký hiệu là p q, đọc là “p và q”.
Mệnh đề p q đúng nếu cả p và q đều đúng, p q sai trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý của phép hội như sau: P Q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Ví dụ:
1) Mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vuông” là hội
của hai mệnh đề “Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau” và “hình vuông có bốn góc vuông”.
Mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề để tạo thành đều đúng.
2) Mệnh đề “Số 2007 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3” là hội của hai
mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” và “Số 2007 chia hết cho 3”.
Mệnh đề hội này sai vì có mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” sai. 27 lOMoARcPSD|197 044 94
1.3. Phép tuyển.
Cho hai mệnh đề “4 là số lẻ” và “4 là số chẵn”. Nối hai mệnh đề này bằng liên
từ “hoặc” ta được mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 4 là số chẵn”.
Mệnh đề mới này gọi là tuyển của hai mệnh đề đã cho. Ta thấy mệnh đề tuyển
này đúng vì có mệnh đề “4 là số chẵn” là đúng.
Tương tự ta có các mệnh đề “3 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” hay “4 lớn hơn 1
hoặc 4 là số chẵn” cũng là các mệnh đề đúng.
Ngược lại mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” là mệnh đề sai.
Phép toán tuyển chính là sự toán học hóa việc sử dụng từ “hoặc” trong đời sống hằng ngày. Ta có định nghĩa:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Tuyển của p và q là mệnh đề ký hiệu là p
q, đọc là “p hoặc q”.
Mệnh đề p q sai nếu cả p và q đều sai, p q đúng trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau: P Q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Ví dụ:
1) Mệnh đề “ Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ” là tuyển của
hai mệnh đề “Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn” và “Hàm số y=(x+ 1)2 là hàm số lẻ”.
Mệnh đề tuyển này sai vì cả hai mệnh đề tạo thành đều sai.
2) Mệnh đề “1 bé thua hay bằng 5” là tuyển của hai mệnh đề “1 bé thua 5” và “1 bằng 5”.
Mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “1 bé thua 5” là đúng.
1. 4. Phép kéo theo.
Ta bắt đầu bằng bản cam kết của học sinh A: Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ.
Đây là một mệnh đề được tạo thành từ hai mệnh đề: p: A đi học q: A đeo khăn quàng đỏ
bằng việc sử dụng liên từ “Nếu…thì”. 28 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta gọi mệnh đề “Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ” là mệnh đề kéo theo,
ký hiệu là p ⟶ q. Sau đây ta sẽ xét tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với bản cam kết của A.
- A đi học (p = 1) nhưng A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0) thì điều cam kết bị
vi phạm, mệnh đề p ⟶ q sai (p ⟶ q = 0).
- A đi học (p = 1) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết không bị vi
phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
- A không đi học (p = 0) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết
không bị vi phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
- A không đi học (p = 0) và A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0), điều cam kết
không bị vi phạm, mệnh đề p ⟶ q đúng (p ⟶ q = 1).
Dựa vào ý nghĩa trên, ta có định nghĩa phép kéo theo như sau:
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề ký hiệu
là p ⟶q, đọc là “nếu p thì q”.
Mệnh đề p ⟶ q sai nếu p đúng và q sai, p ⟶ q đúng trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý: P Q p ⟶ q 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 Ví dụ:
1) Ghép hai mệnh đề p : “Số 3 là số chẵn” và q : “Số 5 chia hết cho 2” ta được
mệnh đề p ⟶ q : “Nếu 3 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”.
Mệnh đề trên là đúng (p ⟶ q = 1) vì p = 0 và q = 0.
2) Mệnh đề “Nếu 2 là số hữu tỉ thì
2 là số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì mệnh đề
“2 là số hữu tỉ” đúng và mệnh đề “ 2 là số hữu tỉ” sai.
1.5. Phép tương đương.
Định nghĩa. Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p tương đương q là mệnh đề ký
hiệu là p q, đọc là “p khi và chỉ khi q”.
Mệnh đề p q đúng nếu cả p và q cùng đúng hoặc cùng sai, p q sai trong mọi trường hợp khác.
Ta có bảng giá trị chân lý: P Q p q 0 0 1 1 1 1 29 lOMoARcPSD|197 044 94 0 1 0 1 0 0 Ví dụ:
1) Cho mệnh đề p là “5 > 2” và mệnh đề q là “2 < 4”. Ta có mệnh đề p q là “5
> 2 khi và chỉ khi 2 > 4”.
Mệnh đề p q đúng (p q = 1) vì p =1 và q = 1.
2) Mệnh đề “2 = -2 khi và chỉ khi (2)2 = (-2)2” là sai vì “2 = -2” sai và “(2)2 = (- 2) 2” đúng.
Chú ý: Trong toán học, mệnh đề “p tương đương q” có thể phát biểu dưới
nhiều dạng khác nhau: “Nếu p thì q và nếu q thì p”, “p nếu và chỉ nếu q”,…
Các mệnh đề dạng p ⟶ q và p q rất hay gặp trong toán học vì các định lý,
hệ quả, bài toán,… thường được phát biểu dưới những dạng này.
Nếu p ⟶ q là mệnh đề đúng thì ta nói: p là điều kiện đủ để có q.
Nếu p q là mệnh đề đúng thì ta nói: có p khi và chỉ khi có q, hay p là điều
kiện cần và đủ để có q, hoặc p tương đương q,… Ta xét ví dụ sau:
Mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành” tương đương với “Tứ giác ABCD
có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Tương đương này được phát biểu dưới dạng:
“Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo của nó cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường” hoặc “Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình
hành là hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điềm của mỗi đường”.
Như vậy ta đã nghiên cứu các phép toán lôgic: phép phủ định ( ), phép hội ( ),
phép tuyển ( ), phép kéo theo (⟶) và phép tương đương ( ). Trong các phép toán
này, phép phủ định là phép toán một ngôi, các phép toán còn lại là các phép toán hai ngôi. Bài tập
1) Những câu nào trong các câu sau đây là mệnh đề: a) “3 lần 5 là 15”. b) “n là số chẵn”.
c) “Hãy lấy 18 chia cho 6”.
d) “Với mọi số thực x, sinx 1”.
2. Cho các mệnh p: “1 = 2” và q: “1 < 2”.
Hãy thành lập các mệnh đề: p , q , p q, p q, p ⟶ q, q ⟶ p, p q; sau đó tìm giá
trị chân lý của các mệnh đề này.
3. Cho tứ giác ABCD. Giả sử p là mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành”, q là
mệnh đề “Các cặp cạnh đối của tứ giác ABCD từng đôi một bằng nhau”. 30 lOMoARcPSD|197 044 94
Hãy diễn đạt thành lời các mệnh đề p q, p q, p ⟶ q, q ⟶ p, p q; sau đó cho
biết giá trị chân lý của chúng, biết rằng p là mệnh đề đúng (p = 1).
4. a) Biết mệnh đề p ⟶ q đúng, mệnh đề p q sai. Có thể nói gì về giá trị chân
lý của các mệnh đề q ⟶ p và q p?
b) Biết mệnh đề p q đúng, có thể nói gì về giá trị chân lý của các mệnh đề: p q, p q, p⟶ q, q ⟶ p?
5. Tìm giá trị của p ⟶ q , biết rằng: a) p q nhận giá trị 0. b) p q nhận giá trị 1.
6. Hãy dùng kiến thức của lôgic mệnh đề để giải bài toán suy luận lôgic ở tiểu học sau đây:
Trong đại hội cháu ngoan Bác Hồ của tỉnh Hà Tây, bốn học sinh Xuân, Hạ,
Thu, Đông có quê mỗi người ở một huyện khác nhau: Thường Tín, ứng Hoà, Phú Xuyên, Mỹ Đức.
Trả lời câu hỏi: “Bạn quê ở đâu?” thì nhận được các câu trả lời sau:
Xuân: “Hạ quê ở Thường Tín còn tôi quê ở ứng Hoà”.
Hạ: “Tôi quê ở ứng Hoà còn Thu quê ở Thường Tín”.
Thu: “Tôi quê ở Phú Xuyên còn Đông quê ở Mỹ Đức”.
Đông: “Trong mỗi câu trả lời của ba bạn trên đều có phần đúng, phần sai”.
Hãy xác định quê của mỗi người.
§2. Công thức và luật của lôgic mệnh đề
2.1. Khái niệm công thức.
Giả sử cho p, q, r, … là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử dụng
các phép toán lôgic , , , ⟶ và ta lập được những mệnh đề mới phức tạp hơn như: p q, ( p q) ⟶ r, …
Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp dụng các phép toán lôgic, ta được các
mệnh đề mới như: (p q) p, p ⟶ (q r) ,…
Cứ như vậy, ta thiết lập được một dãy các ký hiệu gọi là công thức của lôgic mệnh đề.
Khái niệm. Công thức của lôgic mệnh đề là một dãy các ký hiệu gồm có:
- Các biến mệnh đề sơ cấp: p, q, r, …
- Các phép toán phép toán lôgic: , , , ⟶, .
- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán. Chú ý:
- Các biến mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức.
- Nếu P, Q là các công thức thì P, P Q , P Q , P ⟶ Q , P Q cũng là các công thức. 31 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta thấy rằng khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm
biểu thức đại số trong đại số. Vì thế có thể hiểu một cách đơn giản công thức của
lôgic mệnh đề như là biểu thức của lôgic mệnh đề.
2.2. Giá trị của công thức.
Ta biết rằng các biến mệnh đề p, q, r, … trong công thức đều có giá trị chân lý
cụ thể của chúng (phụ thuộc vào tính đúng sai của mỗi mệnh đề), như vậy công thức
cũng là một mệnh đề xác định. Sau khi thực hiện các phép tính lôgic có trong công
thức với các giá trị chân lý cụ thể của các biến mệnh đề, ta sẽ có kết quả là một giá trị
xác định, kết quả này chính là giá trị của công thức.
Khái niệm. Cho công thức S(p1, p2, ..., pn) là công thức của các biến mệnh đề
p1, p2, ..., pn. Nếu gán các biến mệnh đề này các giá trị chân lý và thực hiện các phép
toán mệnh đề ta sẽ được giá trị chân lý của công thức S(p1, p2, ..., pn), giá trị đó gọi là
giá trị của công thức ứng với bộ giá trị đã cho của các biến mệnh đề.
Ví dụ: Cho công thức ( p ⟶ q ) r .
Cho p = 1 , q = 0 , r = 1, khi đó: (1 ⟶ 0 ) 1 = 0 0 = 0.
Chú ý: Các biến mệnh đề p1, p2, ..., pn lấy giá trị trong tập I ={0, 1}, do vậy khi
thay các biến này bằng các giá trị là thực chất ta đã cho bộ n biến (p 1, p2, ..., pn) một
bộ giá trị thuộc tập I×I×…×I. Khi đó công thức S(p1, p2, …, pn) nhận giá trị trong tập I.
Như vậy, ta có thể coi mỗi công thức S(p1, p2, …, pn) là một ánh xạ từ In ⟶ I.
Ta có thể xét hết tất cả các bộ giá trị của các biến mệnh đề bằng cách lập bảng
giá trị chân lý của công thức.
Ví dụ: Lập bảng giá trị chân lý của công thức (p ⟶ q) r . P q r p ⟶ q r (p⟶q) r 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1
Trong ví dụ này, qua bảng chân lý ta thấy:
Nếu p và r là các mệnh đề đúng, q là mệnh đề sai thì (p ⟶ q) r là mệnh đề sai. 32 lOMoARcPSD|197 044 94
Tất cả các trường hợp khác của p, q và r đều làm cho (p ⟶ q) r là mệnh đề đúng.
2.3. Hai công thức bằng nhau.
a) Định nghĩa. Cho S (p, q, r, ...) và T (p, q, r, ...) là 2 công thức của cùng các
biến mệnh đề p, q, r,... Nếu ta thay mọi bộ giá trị vào các biến mệnh đề mà giá trị của
hai công thức luôn bằng nhau thì hai công thức đó gọi là bằng nhau (hoặc gọi là tương
đương), ký hiệu là S (p, q, r, ...) T (p, q, r, ...).
Ví dụ: Xét hai công thức p q và p q.
Ta lập bảng chân lý sau: p q p q p q p q p q 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0
Dựa vào bảng trên và theo định nghĩa hai công thức bằng nhau ta có: p q p q.
Như vậy muốn biết hai công thức có bằng nhau hay không ta lập bảng chân lý
của hai công thức đấy và nên lập chung một bảng.
b) Một số đẳng thức cơ bản.
Sử dụng phương pháp lập bảng giá trị chân lý của công thức, ta có thể dễ dàng
chứng minh được các đẳng thức (tương đương) cơ bản sau:
1. Đẳng thức liên quan đến các hằng 1, 0: 0 p 0 (1.1) 0 p p (1.2) 1 p p (1.3) 1 p 1 (1.4) p p 0 (1.5) p p 1 (1.6)
2. Đẳng thức về phủ định của phủ định: p p
3. Đẳng thức về tính giao hoán của phép hội, phép tuyển: p q q p (3.1) p q q p (3.2)
4. Đẳng thức về tính kết hợp của phép hội và phép tuyển: (p q) r p (q r) (4.1) (p q) r p (q r) (4.2)
5. Đẳng thức về tính phân phối của phép hội với phép tuyển và phép tuyển với phép hội: 33 lOMoARcPSD|197 044 94 p (q r) ( p q ) ( p r ) (5.1) p (q r) ( p q ) ( p r ) (5.2)
6. Đẳng thức về tính lũy đẳng của các phép hội, tuyển: p p p (6.1) p p p (6.2)
7. Đẳng thức về sự phủ định của hội, tuyển: p q p q (7.1) p q p q (7.2)
8. Đẳng thức biểu thị phép ⟶ qua các phép toán khác: p ⟶ q p q (8.1) p ⟶ q p q (8.2)
9. Đẳng thức biểu thị sự tương đương giữa mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo: p ⟶ q q ⟶ p.
2.4. Phép biến đổi công thức.
a) Phép biến đổi tương đương.
Trong đại số chúng ta quen dùng các hằng đẳng thức để biến đổi các biểu thức
đại số về một dạng khác.
Tương tự như vậy, trong lôgic mệnh đề ta có thể dùng các đẳng thức cơ bản từ
1 đến 9 (mục 2.3) để biến đổi công thức đã cho về một dạng khác tương đương với
công thức ban đầu. Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi đồng nhất.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:
( p q r) ( p q r) (q r) (p ⟶ q) r . Chứng minh. Ta biến đổi vế trái: ( p q r) ( p q r) (q r) [( p q r) ( p q r)] (q r) [(( p q) ( p q ) r)] (q r) (theo 5.2) [( p (q q )) r] (q r) (theo 5.2) [( p 1) r] (q r) (theo 1.6) ( p r) (q r) (theo 1.3) ( p q) r (theo 5.2) ( p ⟶ q) r (theo 8.1)
Ta đã biến đổi vế trái về vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh.
Nhận xét: Để chứng minh một đẳng thức (hay hai công thức bằng nhau) có thể
sử dụng hai cách: Lập bảng giá trị chân lý của hai công thức hoặc biến đổi đồng nhất
thức (dùng các đẳng thức cơ bản).
b) Dạng chuẩn tắc tuyển. 34 lOMoARcPSD|197 044 94
- Hội sơ cấp: Ta gọi một hội các mệnh đề hay phủ định của chúng là một hội sơ
cấp (còn gọi là tích sơ cấp).
Ví dụ: p q, p q r , p q r , ... là các hội sơ cấp.
- Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức biểu thị ở dạng tuyển của các hội sơ
cấp gọi là có dạng chuẩn tắc tuyển.
Ví dụ: ( p q r ) ( p q r ) ( p q r ) là công thức có dạng chuẩn tắc tuyển.
- Biến đổi về dạng chuẩn tắc tuyển: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương
để đưa một công thức bất kỳ về dạng chuẩn tăc tuyển.
Ví dụ: Dưa công thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển: (p (p ⟶ q)) ⟶ q.
Ta có: (p (p ⟶ q)) ⟶ q (p ( p q)) ⟶ q (theo 8.1) [(p p) (p q)] ⟶ q (theo 5.1) [0 (p q)] ⟶ q (theo 1.5) (p q) ⟶ q (theo 1.2) p q q (theo 6.1) ( p q ) q (theo 7.1) p q q
Đến đây ta đã đưa công thức (p (p ⟶ q)) ⟶ q về dạng chuẩn tắc tuyển là p
q q. Công thức này vó thể tiếp tục rút gọn:
p q q p ( q q) p 1 1. Như vậy
giá trị của công thức (p (p ⟶ q)) ⟶ q luôn bằng 1.
2.5. Luật của lôgic mệnh đề.
Khi lập bảng chân lý của một công thức, có thể xảy ra trường hợp công thức đó
luôn nhận giá trị bằng 1 với tất cả các bộ giá trị có thể có của các biến mệnh đề. Trong
trường hợp này, công thức được gọi là một luật lôgic (hay mệnh đề hằng đúng).
Định nghĩa. Cho công thức S(p, q, r, …). Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức
này luôn đúng với mọi mệnh đề p, q, r, … thì ta gọi S(p, q, r, …) là một luật lôgic.
Để chỉ S(p, q, r, …) là một luật lôgic ta ký hiệu ∣= S(p, q, r, …).
Ví dụ: ∣= p p (Luật bài trung).
Ta lập bảng chân lý: p p p p 0 1 1 1 0 1
Dựa vào bảng ta thấy dù p = 0 hay p = 1 ta luôn có p p = 1, vậy p p là một luật. 35 lOMoARcPSD|197 044 94
Luật này có thể phát biểu như sau: Với mọi mệnh đề p, mệnh đề “p hoặc không
p” luôn đúng. Nghĩa là trong hai mệnh đề p và p có một mệnh đề đúng. Bài tập
1. Hãy chứng minh các đẳng thức (từ 1 đến 9) ở mục 2.3.
2. Hãy lập công thức của lôgic mệnh đề biểu thị bởi ánh xạ sau: T : I × I ⟶ I (0, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 0) 1 (1, 1) 0.
Sau đó kiểm tra lại bằng cách lập bảng giá trị chân lý của công thức tìm được.
3. Chứng minh các đẳng thức sau bằng cách lập bảng chân lý:
a) p ⟶ ( q ⟶ r ) ( p q ) ⟶ r.
b) ( p ⟶ r ) ( q ⟶ r ) ( p q ) ⟶ r.
4. Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh các đẳng thức sau: a) ( p ⟶ q ) ⟶ q p q.
b) ( p q ) ( p q ) ( p q ) p ⟶ q.
5. Đưa các công thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển: a) ( p q ) ⟶ ( p q). b) ( p q ) ( p q ) ( p q ).
6. Biến đổi các công thức sau về dạng đơn giản nhất có thể được: a) ( p q ) ( p ⟶ q ). b) ( p q ) r ⟶ ( p q ).
7. Hãy chứng minh các luật sau: a)∣= p ⟶ ( q ⟶ p ).
b)∣= ( q ( p ⟶ q )) ⟶ p. §3. Lôgic vị từ
3.1. Hàm mệnh đề một biến. a) Khái niệm. 36 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta đã biết đối tượng nghiên cứu của lôgic mệnh đề là các mệnh đề. Tuy nhiên
trong toán học có những câu không phải là mệnh đề, chẳng hạn câu “x là ước của 12”
không là mệnh đề vì ta không xác định được tính đúng sai của nó.
Nhưng khi thay x bởi một số cụ thể, chẳng hạn thay x = 3 thì ta được câu “3 là
ước của 12” là mệnh đề đúng, hay khi thay x = 7 thì ta được câu “7 là ước của 12” là mệnh đề sai.
Một cách tổng quát, khi thay x bởi một số cụ thể thuộc tập hợp số tự nhiên N
thì câu trên trở thành một mệnh đề.
Trong toán học ta gặp rất nhiều câu có dạng như vậy, ví dụ như: “x là số
nguyên tố”, “x chia hết cho 5”, “x là nghiệm phương trình 2x2 + x -3 = 0”, … Các câu
như thế tuy không phải là mệnh đề nhưng đều là các khẳng định về phần tử x chưa
xác định nào đó trong một tập hợp X đã cho. Khi thay một phần tử cụ thể thuộc tập
hợp X vào x thì các khẳng định sẽ trở thành mệnh đề, lúc đó các khẳng định này sẽ
nhận giá trị trong tập I = {0, 1}.
Ta gọi các câu như thế là hàm mệnh đề một biến. Vậy ta có thể định nghĩa như sau:
Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề một biến (còn gọi là vị từ một
ngôi) xác định trên X là ánh xạ 𝖼 : X ⟶ I ={0, 1} x 𝖼(x)
x được gọi là biến tử.
Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên N, xét hàm mệnh đề 𝖼(x) : “ x chia hết cho 3”.
Với x = 4, ta có mệnh đề 𝖼(4) : “4 chia hết cho 3”, đây là mệnh đề sai hay 𝖼(4) = 0.
Với x = 9, ta có mệnh đề 𝖼(9) : “9 chia hết cho 3 ”, đây là mệnh đề đúng hay 𝖼(4) = 1.
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x) là hàm mệnh đề một biến trên X. Tập tất cả các giá
trị của biến tử x làm cho mệnh đề trở thành mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay miền
chân lý) của hàm mệnh đề 𝖼(x), ký hiệu là E𝖼(x). Ta có thể viết
E𝖼(x) = {x ∈ X ∣ 𝖼(x) = 1}. Ví dụ:
1) Trên R cho hàm mệnh đề 𝖼(x): “2x2 +x – 3 = 0”. Miền đúng của 𝖼(x) là tập
hợp các nghiệm của phương trình 2x2 +x – 3 = 0: 3
E𝖼(x) = {x ∈ R∣ 2x2 +x – 3 = 0} = { - , 1}.
2) Miền đúng của hàm mệnh đề 𝖼(x): “ x là số chẵn ” (trên N) là tập hợp tất cả các số chẵn: 37 lOMoARcPSD|197 044 94 E𝖼(x) = {0, 2, 4, 6, ...}.
3) Xét trong một mặt phẳng, miền đúng của hàm mệnh đề 𝖼(M): “M là điểm
cách điểm cố định O một khoảng r cho trước” là đường trong tâm O bán kính r.
3.2. Hàm mệnh đề 2 biến.
Trong phạm vi các số thực xét câu “x lớn hơn y”. Khi ta cho x, y những giá trị
cụ thể thì câu vừa cho sẽ trở thành một mệnh đề. Chẳng hạn cho x = 5, y= 1 ta có
mệnh đề đúng “5 lớn hơn 1”; cho x = 2, y = 9 ta có mệnh đề sai “2 lớn hơn 9”.
Ta ký hiệu câu “x lớn hơn y” là 𝖼(x, y) và gọi đây là hàm mệnh đề hai biến.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa:
a) Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề 2 biến xác định trên X×X là ánh xạ 𝖼 : X×X ⟶ I = {0, 1} (x,y) 𝖼(x, y)
x, y gọi là các biến tử.
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x, y) là hàm mệnh đề hai biến trên X×X. Tập tất cả
các giá trị của (x, y) làm cho mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay miền chân lý) của
𝖼(x, y), ký hiệu là E𝖼(x,y). Ta có thể viết:
E𝖼(x,y) = {(x, y) ∈ X×X ∣ 𝖼(x, y) = 1}. Ví dụ:
1) Cho hàm mệnh đề 𝖼(x, y): “2x + y = 7” xác định trên tập số tự nhiên N.
Miền đúng của 𝖼(x, y) là tập hợp các cặp (x, y) thỏa mãn 2x + y = 5 nên ta đễ dàng tìm được:
E𝖼(x,y) = {(0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)}.
2) Trên R cho hàm mệnh đề “x2 + y2 = 4”. Miền đúng của 𝖼(x, y) là tập hợp
các cặp (x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 4, đó là tập hợp các cặp được biểu thị bởi các điểm
nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
3.2. Hàm mệnh đề n biến.
Ta có thể tổng quát như sau:
a) Định nghĩa. Cho tập X . Hàm mệnh đề n biến xác định trên X là ánh xạ
𝖼 : X×X×...×X ⟶ I = {0, 1}
(x1, x2, ..., xn) 𝖼( x1, x2, ..., xn)
x1, x2, ..., xn gọi là các biến tử.
b) Miền đúng. Giả sử 𝖼(x1, x2, ..., xn) là hàm mệnh đề n biến trên X×X×...×X.
Tập tất cả các giá trị của(x1, x2, ..., xn) làm cho mệnh đề đúng gọi là miền đúng (hay miền chân lý) của 𝖼(x E
1, x2, ..., xn), ký hiệu là
𝖼 ( x ,..., x ) . 1 n Ta có thể viết: 38 lOMoARcPSD|197 044 94
E𝖼 ( x ,...,x ) = {( x1, x2, ..., xn) ∈ X×X×...×X ∣ 𝖼( x1, x2, ..., xn) = 1}. 1 n Bài tập
1. Trên tập các số tự nhiên N, cho các hàm mệnh đề 𝖼(x): “ 20 𝖼 x ” và p(M):
“M cách đều hai cạnh của góc xOy” cho trước (trên tập hợp các điểm của mặt phẳng chứa goác xOy).
a) Hãy đọc các mệnh đề 𝖼(4), 𝖼(7), p(O) và tìm giá trị chân lý của các mệnh đề đó.
b) Hãy xác định miền đúng của các hàm mệnh đề 𝖼(x), p(M).
2. Trên tập các số tự nhiên N, cho các hàm mệnh đề hai biến: 𝖼(x, y): “3x + 2y
= 15 ” và p(x, y): “x và y có cùng số dư trong phép chia cho 3”.
a) Đọc các mệnh đề 𝖼(1, 6), 𝖼(4, 5), p(4, 22) và p(7, 26) và xác định giá trị chân lý của chúng.
b) Hãy xác định miền đúng của các hàm mệnh đề 𝖼(x,y) và p(x, y).
3. Hãy tìm câu biểu thị hàm mệnh đề 𝖼(n) : N ⟶ {0, 1} biết rằng miền đúng
của 𝖼(n) là tập hợp E𝖼(n) = {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...}.
§4. Các phép toán của lôgic vị từ
Ta đã biết rằng khi thay các biến tử trong hàm mệnh đề bởi các phần tử cụ thể
thuộc miền xác định ta được các mệnh đề. Vì vậy các phép toán trên các hàm mệnh đề
phải được xây dựng sao cho sau quá trình thay thế đó, các phép toán trên hàm mệnh
đề trở thành các phép toán trên mệnh đề đã biết.
Ta chỉ trình bày các phép toán cơ bản trên các hàm mệnh đề một biến (Với các
hàm nhiều biến ta xây dựng hoàn toàn tương tự).
4.1. Phép phủ định.
Định nghĩa. Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Phủ định của 𝖼(x)
là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) , đọc là “không 𝖼(x)”.
Với cùng một giá trị cụ thể của biến tử thì 𝖼(x) và 𝖼(x) là hai mệnh đề phủ định lẫn nhau.
Miền đúng của 𝖼(x) là phần bù miền đúng của 𝖼(x): E E 𝖼(x) 𝖼 = X \ E 𝖼 ( x ) (x) .
Ví dụ: Trên tập hợp các số tự nhiên N cho hàm
mệnh đề 𝖼(x): “x là ước của 10”. Khi đó phủ định E của 𝖼( x) X
𝖼(x) là hàm mệnh đề 𝖼(x) : “x không phải là ước của 10”. Ta có: 39 lOMoARcPSD|197 044 94
E𝖼(x) = {x∣ 10 𝖼x} = {1, 2, 5, 10}, E 𝖼 = {x∣ ( x )
10𝖼x } = N \{1, 2, 5, 10} 4.2. Phép hội.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X. Hội
của 𝖼(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) (x), đọc là “𝖼(x) và (x)”.
Ta thấy khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X
thì 𝖼(x) (x) trở thành 𝖼(a) (a), mệnh đề này
đúng nếu cả 𝖼(a) và (a) cùng đúng. Như vậy,
miền đúng của 𝖼(x) (x) là giao của miền E (x)
đúng của 𝖼 (x) với miền đúng của (x), tức là: E 𝖼(x) E𝖼 𝖼 (x) (x) = E𝖼(x) E (x) .
Ví dụ: Xét hai hàm mệnh đề xác định X trên N:
𝖼(x): “x là ước của 10”,
(x): “x là ước của 12”.
Ta có E𝖼(x) = {1, 2, 5, 10} và E (x) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Khi đó hàm mệnh đề 𝖼(x) (x) là: “x là ước của 10 và x là ước của 12”, nó có miền đúng là: E𝖼 𝖼 (x) (x) = E𝖼(x) E (x) = {1, 2}.
4.3. Phép tuyển.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X. Tuyển
của 𝖼(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) (x), đọc là “𝖼(x) hoặc (x)”.
Ta thấy khi thay x bởi phần tử cụ thể a ∈ X,
mệnh đề 𝖼(a) (a) sai khi và chỉ khi 𝖼(a) và (a)
cùng sai. Như vậy, miền đúng của 𝖼(x) (x) E là (x)
hợp của miền đúng của 𝖼(x) với miền đúng E của 𝖼(x) (x), nghĩa là: E𝖼 ○ (x) (x) = E𝖼(x) E (x) . X
Ví dụ: Cho hàm mệnh đề: “ x - 3 > 3” xác
định trên tập hợp các số thực R.
Ta biết rằng bất phương trình x - 3 > 3 tương đương với x – 1 > 3 hoặc x – 1
< - 3. Nếu gọi 𝖼(x), (x) lần lượt là các hàm mệnh đề “x – 1 > 3” và “x – 1 < - 3” thì
“ x - 3 > 3” chính là tuyển của hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x).
Do vậy miền đúng của hàm mệnh đề “ x - 3 > 3” chính là miền đúng của 𝖼(x) (x).
Ta có E𝖼(x) = {x ∈ R∣ x - 1 > 3} = {x ∈ R∣ x > 4},
E (x) = {x ∈ R∣ x - 1 < - 3} = {x ∈ R∣ x < - 2}.
Vậy E𝖼(x) (x) = E𝖼(x) ○ E (x) = {x ∈ R∣ x < - 2 hoặc x > 4}. 40 lOMoARcPSD|197 044 94
4.4. Phép kéo theo.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x)
xác định trên tập hợp X. 𝖼(x) kéo theo (x) là hàm
mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) ⟶ (x), đọc là “Nếu 𝖼(x) E E thì 𝖼(x) (x) (x)”.
Khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X ta có
mệnh đề 𝖼(a) ⟶ (a). Mệnh đề này chỉ sai khi và X chỉ
khi 𝖼(x) = 1 và (x) = 0. Như vậy, 𝖼(x) ⟶ (x) có miền
đúng là hợp của phần bù miền đúng của 𝖼(x) với miền đúng của (x), ta có:
E𝖼(x)⟶ (x) = (X\ E𝖼(x)) ○ E (x) .
Ví dụ: Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên N như sau:
𝖼(x): “x là số chẵn”,
(x): “x là số nguyên tố”.
Ta có E𝖼(x) = {x ∈ N∣ x chẵn} và E𝖼(x) = {x ∈ N∣ x nguyên tố}.
Khi đó hàm mệnh đề 𝖼(x) ⟶ (x) là: “Nếu x là số chẵn thì x là số nguyên tố”, nó có miền đúng là:
E𝖼(x)⟶ (x) = (N\ E𝖼(x)) ○ E (x)
= {x ∈ N∣ x lẻ} ○ {x ∈ N∣ x nguyên tố}
= {1, 3, 5, 7, ...} ○ {2, 3, 5, 7, ...}
= {1, 2, 3, 5, 7, ...} (Tập này là hợp của 2 với tất cả các số lẻ).
4.5. Phép tương đương.
Định nghĩa. Cho hai hàm mệnh đề 𝖼(x) và (x) xác định trên tập hợp X.
Tương đương của 𝖼(x) và (x) là hàm mệnh đề ký hiệu là 𝖼(x) (x), đọc là “𝖼(x) khi và chỉ khi (x) ”.
Khi thay x bởi giá trị cụ thể a ∈ X ta
được mệnh đề 𝖼(a) (a), mệnh đề này chỉ
nhận giá trị bằng 1 khi và chỉ khi 𝖼(a) và (a) E có (x)
giá trị bằng nhau. Như vậy, 𝖼(x) (x) có E
miền đúng là tập các giá trị thuộc X sao cho 𝖼(x) 𝖼(x)
và (x) cùng đúng hoặc cùng sai. Ta có thể viết:
E𝖼(x) (x) = {x ∈ X∣ 𝖼(x) = (x)}. X
Ví dụ: Trên N cho hai hàm mệnh đề:
𝖼(x): “Số tự nhiên x chia hết cho 9”,
(x): “Số tự nhiên x có tổng các chữ số chia hết cho 9”.
Hàm mệnh đề 𝖼(x) (x) là: “Số tự nhiên x chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng
các chữ số của nó chia hết cho 9”. Miền đúng của hàm mệnh đề này là toàn bộ N. 41 lOMoARcPSD|197 044 94 Bài tập
1. Hãy phát biểu phủ định của mệnh đề 𝖼(x): “x là số dương” (trên tập hợp các
số thực); sau đó tìm miền đúng của nó.
2. Cho các hàm mệnh đề p(x): “x là số nguyên tố”, q(x): “x là số lẻ” và r(x): “x
chia hết cho 2”. Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với hàm mệnh đề sau: ( p(x) q(x) ) ⟶ r(x).
3. Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Chứng minh rằng: 𝖼(x) 𝖼(x) = 1 , x∈X.
4. Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x), A
(x), 𝖼(x) xác định trên tập hợp X và các miền
đúng của chúng (như hình vẽ) là A= E𝖼(x) , B = E (x) , C = E𝖼(x) . C B
Hãy gạch chéo miền đúng của các X hàm mệnh đề sau đây : a) 𝖼(x) (x) 𝖼(x) . b) 𝖼(x) (x) 𝖼(x) . c) 𝖼(x) (x) 𝖼 (x) . d) 𝖼 (x) (x) 𝖼(x) . e) 𝖼(x) ⟶ (x)) 𝖼(x) .
5. Cho các hàm mệnh đề 𝖼(x), (x) xác định trên tập hợp X. Miền đúng của
chúng phải có quan hệ như thế nào để:
𝖼(x) (x) nhận giá trị là 1 khi: a) Với x nào đó trong X.
b) Không với giá trị nào của x trong X.
c) Với tất cả các giá trị của x trong E𝖼(x) .
d) Với tất cả các giá trị của x trong E (x) .
§5. Các lượng từ
Trong toán học cũng như trong đời sống ta rất hay gặp các từ “tồn tại”, “với
mọi”. Chẳng hạn như: “Tông tại số x thỏa mãn 2x + 1 = 5”, “Với mọi x ta có x2 không âm”, …
Các từ từ “tồn tại”, “với mọi” đóng vai trò rất quan trọng trong lôgic toán,
chúng được gọi là các lượng từ và được ký hiệu lần lượt bởi 𝖼, . 42 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta chỉ trình bày đối với hàm mệnh đề một biến, đối với hàm nhiều biến ta xây dựng tương tự.
5.1. Lượng từ tồn tại.
Cho các hàm mệnh đề xác định trên N như sau:
“Số x thỏa mãn x – 1 = 0”,
“Số x thỏa mãn 2 < x < 3”.
Khi đặt từ “tồn tại” trước các câu trên ta được các câu sau:
“Tồn tại số x thỏa mãn x – 1 = 0”,
“Tồn tại số x thỏa mãn 2 < x < 3”.
Rõ ràng các câu mới này là các mệnh đề hoàn toàn xác định.
Một cách tổng quát, ta có: Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Đặt
lượng từ “tồn tại” vào trước câu 𝖼(x) ta được mệnh đề “tồn tại x sao cho 𝖼 x)”, ký 𝖼
hiệu là (𝖼x) 𝖼(x) hoặc 𝖼(x). 𝖼( x) Ta dễ dàng thấy:
(𝖼x) 𝖼(x) = 1 nếu E𝖼(x) ,
(𝖼x) 𝖼(x) = 0 nếu E𝖼(x) = . Ví dụ:
1) Hàm mệnh đề “n là ước của 10” xác định trên N có miền đúng là {1, 2, 5,
10} nên mệnh đề “(𝖼n) n là ước của 10” là mệnh đề đúng.
2) Hàm mệnh đề “x2 + 1 = 0” xác định trên R có miền đúng là tập rỗng nên
mệnh đề “(𝖼x) x2 + 1 = 0” là mệnh đề sai.
5.2. Lượng từ với mọi.
Tương tự như trên, khi đặt tằ “với mọi” trước mỗi hàm mệnh đề ta sẽ được một
mệnh đề hoàn toàn xác định.
Chẳng hạn, cho các hàm mệnh đề xác định trên R như sau:
“x có tính chất x2 + 4 > 0”,
“x có tính chất 2x2 + x - 3 = 0”.
Khi đặt từ “với mọi” trước các câu trên ta được các câu sau:
“Với mọi x có tính chất x2 + 4 > 0”,
“Với mọi x có tính chất 2x2 + x - 3 = 0”.
Ta thấy các câu trên đều là các mệnh đề.
Tổng quát ta có: Cho hàm mệnh đề 𝖼(x) xác định trên tập hợp X. Đặt lượng từ
“với mọi” vào trước 𝖼(x) ta được mệnh đề “Với mọi x ta có 𝖼(x)”, ký hiệu là ( x) 𝖼(x) hoặc 𝖼(x). x Ta có dễ dàng thấy:
( x) 𝖼(x) = 1 nếu E𝖼(x) = X, 43 lOMoARcPSD|197 044 94
( x) 𝖼(x) = 0 nếu E𝖼 (x) X. Ví dụ:
1) Miền đúng của hàm mệnh đề “x2 + 4 > 0” là R nên mệnh đề “( x) x2+ 4 > 0” là đúng. 3
2) Miền đúng của hàm mệnh đề “2x2 + x - 3 = 0” là-{ , 1} nên mệnh đề
“( x) 2x2 + x - 3 = 0” là sai. 2
5.3. Liên hệ giữa các lượng từ “tồn tại”, “với mọi” và phép phủ định.
Ta biết rằng mệnh đề “Không phải với mọi x thì có 𝖼 x)” tương đương với
mệnh đề “Tồn tại x để không có 𝖼(x)”, nghĩa là: ( x)𝖼(x) (𝖼x) 𝖼(x) (1),
còn mệnh đề “Không tồn tại x để có 𝖼(x)” tương đương với mệnh đề “Mọi x
luôn không có 𝖼( x)” nghĩa là: 𝖼x𝖼(x) x 𝖼(x) (2).
Ta chứng minh công thức (1) trên bằng cách lập bảng sau: Các trường hợp ( x) 𝖼(x) ( x)𝖼(x) (𝖼x) 𝖼(x) E 𝖼 (x) X E 0 1 1 𝖼( x ) E 𝖼(x) = X E 1 0 0 𝖼( x )
Từ bảng trên ta có ( x)𝖼(x) (𝖼x) 𝖼(x) .
Ta có thể chứng minh công thức (2) hoàn toàn tương tự. Ví dụ:
1) áp dụng công thức (1) ta có phủ định của mệnh đề “Mọi số nguyên tố đều là
số lẻ” là mệnh đề “tồn tại một số nguyên tố không là số lẻ”.
Ta thấy mệnh đề thứ nhất sai nên phủ định của nó đúng, còn mệnh đề thứ hai cũng đúng.
2) áp dụng công thức (1) ta có phủ định của mệnh đề “Tồn tại số tự nhiên n sao
cho n3 + 1 chia hết cho 7” tương đương với mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, n3 + 1
không chia hết cho 7”, chúng đều là mệnh đề sai. Bài tập
1. Hãy dùng các ký hiệu để viết các mệnh đề sau rồi chỉ ra tính đúng, sai của các mệnh đề đó:
a) “Tồn tại số x sao cho với mọi y có yx = y”.
b) “Với mọi số x, y tồn tại z sao cho z + x = y”. 44 lOMoARcPSD|197 044 94
c) “Tồn tại số hữu tỷ x sao cho x2 = 2”.
2. Cho x, y, z là cá số thực bất kỳ. Trước các hàm mệnh đề sau hãy đặt các
lượng từ thích hợp để được mệnh đề đúng: a) “x2 – 5x + 4 = 0”. b) “x + 3 > y”. c) “(x + y) z = xz + yz”.
3. Cho biết giá trị chân lý của các mệnh đề sau rồi tìm phủ định của mệnh đề đó:
a) “Mọi số tự nhiên đều là số chẵn”.
b) “Qua một điểm cho trước, tồn tại đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước”.
4. Hãy diễn đạt các mệnh đề dưới đây bằng ngôn ngữ thông thường, sau đó chỉ
ra tính đúng, sai của các mệnh đề đó: a) ( x)( x = - x). b) (𝖼x)( x = - x). 45 lOMoARcPSD|197 044 94
Chương III: Số tự nhiên
Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậy những hiểu
biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tự nhiên có thể xây dựng bằng
phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáo trình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc
theo hướng số tự nhiên được xác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa
phù hợp với quá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt động
thực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành khái niệm số cho học sinh.
Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do
các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, đã dần dần dần
nhận thức được khái niệm ít nhiều.
Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến
binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát mà số vũ khí vẫn còn thì số vũ
khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếu còn có chiến binh chưa được phát mà vũ
khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơn số chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều
đã được phát một vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào.
Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba, người tù trưởng
đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến
binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cách trực giác). ở trường hợp này đã có một song
ánh giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh.
Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số các cho mọi
người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ...) và sự tiếp xúc với các hiện tượng tự
nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàn tay có năm ngón, ... đã làm cho con
người cổ xưa đi đến khái niệm về số lượng, về số.
Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụ nhu cầu đánh
dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, năm ngón chân, ... Đó là việc hình
thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, ...
Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo sự hình
thành của chúng trong lịch sử.
§1. Tập hợp tương đương
1.1. Tập hợp tương đương.
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp
B, ký hiệu là A B, khi và và chỉ khi tồn tại một song ánh từ A đến B. Ví dụ:
1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}. 46 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta thấy A B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳng hạn song ánh f cho bởi bảng 1 2 3 4 f : ∣ ∣ . d a b c 𝖼
2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB], [AC] lần
lượt là tập hợp điểm trên đoạn AB và AC. Khi đó ta sẽ có [AB] [AC] . A
Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ f : [AB] ⟶ [AC] M M’ sao cho MM’//BC. M M’
Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh.
1.2. Một số tính chất Tính chất 1. B C
Quan hệ nói ở định nghĩa 1.1 có các tính
chất của một quan hệ tương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có: a) Tính phản xạ: A A,
b) Tính đối xứng: nếu A thì B A,
c) Tính bắc cầu: nếu A B và B C thì A C. Chứng minh.
a) A A nhờ có ánh xạ đồng nhất 1A : A ⟶ A a a.
b) Nếu A B thì sẽ tồn tại song ánh f : A ⟶ B.
Khi đó có ánh xạ ngược f-1 : B ⟶ A cũng là song ánh, do đó B A.
c) Giả sử có A B và B C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A ⟶ B và g : B
⟶ C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A ⟶ C cũng là song ánh, vậy A C.
Nhận xét: Quan hệ xác định ở trên có các tính chất của một quan hệ tương
đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa các tập hợp. Khi có A B
thì ta cũng có B A và ta nói hai tập A và B tương đương với nhau. Tính chất 2.
Với các tập A, B, A1, B1 ta có:
a) Nếu A A1, B B1 thì A × B A1 × B1.
b) Nếu A A1, B B1 và A 𝖼 B = A1 𝖼 B1 = thì A ○ B A1 ○ B1. Chứng minh.
Vì A A1, B B1 nên sẽ có các song ánh: f : A ⟶ A1 và g : B ⟶ B1. Dễ
thấy rằng các ánh xạ 𝖼 và xác định như sau: 𝖼 : A × B ⟶ A1 × B1
(a, b) 𝖼(a, b) = (f(a), g(b)) : A ○ B ⟶ A1 ○ B1 47 lOMoARcPSD|197 044 94 x (x) =
là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh.
1.3. Định lý Cantor.
Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau:
a) A tương đương với một tập con của B,
b) B tương đương với một tập con của A.
Nếu đồng thời xảy ra cả hai trường hợp a) và b) thì A và B tương đương với nhau.
Chúng ta không chứng minh định lý này.
Ta chú ý thêm rằng nói A tương đương với một tập con của B đồng nghĩa với
việc nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vì vậy khi cần chứng minh A tương đương
với một tập con của B ta chỉ cần chỉ ra rằng có một đơn ánh từ A đến B.
§2. Tập hợp hữu hạn – Tập hợp vô hạn
2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa.
- Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó không tương đương với bất kỳ tập
con thực sự nào của nó.
- Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn (Hay một tập hợp là
vô hạn nếu nó tương đương với một tập con thực sự nào đó của nó). Ví dụ:
1) là tập hợp hữu hạn. Thật vậy, do không có tập con thực sự nên nó
không thể tương đương với tập con thực sự nào. Theo định nghĩa suy ra là tập hợp hữu hạn.
2) Tập đơn tử {a} là hữu hạn. Thật vậy, vì {a} chỉ có một tập con thực sự là
mà rõ ràng không tương đương với {a}, nên {a} không tương đương với tập con thực sự nào của nó.
3) Tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng bất kỳ là vô hạn.
Thật vậy, giả sử AB là đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] là tập hợp điểm trên AB.
Lấy điểm C bất kỳ không thuộc đường thẳng AB, trên đoạn thẳng AB lấy điểm I với I A, I B. C
Ta có [AB] [AC] và [AI] [AC] (Theo ví dụ 2) của Đ1).
Do tính chất bắc cầu của quan hệ nên suy ra [AB] [AI].
Mặt khác, rõ ràng [AI] là tập con thực sự của [AB]. A I B 48 lOMoARcPSD|197 044 94
Theo định nghĩa suy ra [AB] là tập hợp vô hạn.
2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn).
a) Tính chất 1. Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ~ A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn, khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B sao cho B’ B.
Do B ~ A nên tồn tại song ánh f : B ⟶ A.
Ta thấy B’ f(B’) vì f là song ánh.
Khi đó ta có: A B, B B’, B’ f(B’). áp dụng hai lần tính chất bắc cầu của quan hệ , suy ra A f(B’) (1).
Vì f : B ⟶ A là song ánh mà B’ là tập con thực sự của B nên f(B’) cũng là tập con thực sự của A (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy giả thiết B là tập hợp vô hạn là sai, hay B hữu hạn (đpcm).
b) Tính chất 2. Mọi tập con của tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ∈ A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn.
Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn. Khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B
sao cho B’ B, do đó tồn tại song ánh g : B ⟶ B’.
Xét tập A’ = (A\ B) ○ B’, rõ ràng A’ là tập con thực sự của A.
Lập ánh xạ f : A ⟶ A’
x, x ∈ A \ B x f(x) =
g(x), x ∈ B
Ta thấy f là song ánh, do đó A A’, tức là A tương đương với một tập con thực
sự của nó là A’. Suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết A hữu
hạn, nghĩa là B là tập hợp vô hạn là sai.
Vậy B là tập hợp hữu hạn (đpcm).
c) Tính chất 3. Nếu A, B là hai tập hữu hạn tương đương thì A\ B ~ B\ A. Chứng minh.
Giả sử ngược lại, A\ B và B\ A không tương đương với nhau. Khi đó theo định
lý Cantor, một trong hai tập hợp đó sẽ tương đương với một tập con của tập hợp kia.
Không mất tính tổng quát, giả sử A\ B tương đương với một tập con của B\ A. Nghĩa
là sẽ tồn tại một đơn ánh f : A\ B ⟶ B\ A, hiển nhiên f(A\ B) (B\ A). Lập ánh xạ g : A ⟶ B
x, x ∈ B x
g(x) = f (x), x B
Ta thấy g là một đơn ánh và g(A) B, A g(A). 49 lOMoARcPSD|197 044 94
Vì B A nên B g(A), mà g(A) là một tập con thực sự của B, do đó B là tập
vô hạn, điều này trí với giả thiết B hữu hạn Vậy A\ B B\ A (đpcm).
d) Tính chất 4. Nếu A là tập hợp hữu hạn, A1 và A2 là những tập con của A mà A1 A2, thì A\ A1 A\ A2. Chứng minh. Ta có
A\ A1 = (A\ (A1 ○ A2)) ○ (A2\ A1) với (A\ (A1 ○ A2)) 𝖼 (A2\ A1) =
và A\ A2 = (A\ (A1 ○ A2)) ○ (A1\ A2) với (A\ (A1 ○ A2)) 𝖼 (A1\ A2) =
Mặt khác, do A1 A2 nên A1\ A2 A2\ A1 (theo tính chất 3). Sử
dụng tính chất 2 trong Đ1 ta suy ra A\ A1 A\ A2 (đpcm).
e) Tính chất 5. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. Chứng minh.
Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A ○ B là tập hợp hữu hạn.
Xét hai trường hợp có thể xảy ra:
- Trường hợp 1: A 𝖼 B = . Giả sử ngược lại, A ○ B là tập hợp vô hạn, khi đó
sẽ có một đơn ánh f : A ○ B ⟶ A ○ B sao cho f(A ○ B) A ○ B. Như vậy sẽ có a ∈ A ○ B mà a f(A ○ B).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a ∈ A. Đặt f(A) = A’, f(B) = B’.
Vì A 𝖼 B = và f là đơn ánh nên A’ 𝖼 B’ = .
Ta có B B’ nên B\ B’ B’\ B = B’ 𝖼 A (theo tính chất 3), nghĩa là có một
song ánh g : B\ B’ ⟶ B’ 𝖼 A. Lập ánh xạ h : A ⟶ A
f (x), x ∈ A x h(x) =
g( f (x)), f (x) A
Ta thấy h là một đơn ánh và h(A) ∈ A’ ○ B’ nên a h(A). Như vậy có một đơn
ánh h : A ⟶ A mà h(a) A, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó, hay A
là tập hợp vô hạn, điều này trái với giả thiết A hữu hạn
Vậy A ○ B là tập hợp hữu hạn.
- Trường hợp 2: A 𝖼 B . Khi đó ba tập hợp A\ B, A 𝖼 B, B\ A đều là
những tập hợp hữu hạn và rời nhau. Ta có
A ○ B = (A\ B) ○ (A 𝖼 B) ○ (B\ A).
áp dụng kết quả ở trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B) ○ (A 𝖼 B) là tập
hợp hữu hạn, và ta cũng có A ○ B = C ○ (B\ A) là tập hữu hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả. Hợp hữu hạn các tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
f) Tính chất 6: Tích Đề các hai tập hữu hạn là tập hữu hạn. 50 lOMoARcPSD|197 044 94
Chứng minh. Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu một trong hai tập này
là thì hiển nhiên A×B = là một tập hữu hạn. Ta xét cả 2 tập đều khác .
- Nếu A là tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x}×B. Thiết lập ánh xạ f : {x}×B ⟶ B (x, b) b , b∈B.
Ta thấy f là một song ánh, do đó {x}×B B, mà B là tập hợp hữu hạn, suy ra
{x}×B là tập hợp hữu hạn.
- Nếu A là tập hợp hữu hạn khác tuỳ ý: A = {x1, x2, …, xn}, ta có: A×B
= {x1, x2, …, xn}×B = {x1}×B ○ {x2}×B ○… ○ {xn}×B.
Các tập {x1}×B, {x2}×B, …, {xn}×B đều là tập hữu hạn, vì vậy A×B là hợp
một họ hữu hạn các tập hữu hạn nên A×B hữu hạn.
Vậy ta có điều phải chứng minh. §3. Số tự nhiên
Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
3.1. Bản số – Số tự nhiên. a) Bản số:
Ta đã biết quan hệ giữa các tập hợp là một quan hệ tương đương. Như vậy,
ta có thể phân lớp các tập hợp như sau: những tập hợp tương đương với nhau thuộc
cùng một lớp. Những tập thuộc cùng một lớp theo quan hệ tương đương này còn được
gọi là cùng bản số. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Nếu A B ta nói A và B có cùng bản số hay cùng lực lượng.
Bản số (lực lượng) của tập A được ký hiệu là Card(A).
Ta thường ký hiệu bản số bởi các chữ cái thường như: a, b, c, ... Chẳng hạn khi
a là bản số của tập hợp A ta viết a=card(A).
Nhận xét: Card(A) = Card(B) khi và chỉ khi A B. b) Số tự nhiên.
Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên.
Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N.
Vậy: a ∈ N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card(A). Ví dụ:
1) là một tập hợp hữu hạn nên Card( ) là một số tự nhiên. Ta ký hiệu
Card( ) = 0 (đọc là “số không”).
2) Tập đơn tử A = {a} là một tập hợp hữu hạn nên Card({a}) là một số tự
nhiên, ký hiệu Card({a}) = 1 (đọc là “số một”). 51 lOMoARcPSD|197 044 94
3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.
a) Định nghĩa. Cho hai số a, b ∈ N và gọi A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B).
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a b, khi và chỉ khi A tương đương với một tập con của B.
Nếu a b và a b, ta viết a < b (đọc là a thực sự nhỏ hơn b). Nhận xét.
- Trong định nghĩa trên có mặt hai tập hợp A, B sao cho a = Card(A), b=
Card(B). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn A, B. Nghĩa là nếu A1, B1 là
các tập hợp mà A A1, B B1 và A tương đương với một tập con của B thì A1 cũng
tương đương với một tập con của B1.
Thật vậy, theo giả thiết suy ra tồn tại các song ánh f : A1 ⟶ A và g : B⟶ B1 và
đơn ánh h : A ⟶ B. Khi đó ánh xạ tích g◦h◦f : A1 ⟶ B1 là một đơn ánh, chứng tỏ A1
tương đương với một tập con của B1.
- Khi A tương đương với tập con B’ của B mà Card(A) = a thì ta cũng có
Card(B’) = a, do đó theo nhận xét trên, có thể coi a b khi và chỉ khi A ∈ B.
Ví dụ: Vì là tập con của mọi tập hợp nên 0 a, a ∈ N.
b) Định lý. Quan hệ nói trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn
phần trên tập hợp các số tự nhiên N. Chứng minh.
Trước tiên ta chứng minh quan hệ này là một quan hệ thứ tự trên N. Thật
vậy, quan hệ có các tính chất sau:
a) Tính phản xạ: a ∈ N, giả sử a = Card(A). Vì A luôn tương đương với một
tập con của nó chính là A, A nên a a.
b) Tính phản đối xứng: giả sử a b và b a với a, b ∈ N. Gọi A, B là các tập
hợp sao cho Card(A) = a, Card(B) = b.
Theo giả thiết suy ra A tương đương với một tập con của B và B tương đương
với một tập con của A, áp dụng định lý Cantor ta có A B, suy ra Card(A) = Card(B) hay a = b.
c) Tính chất bắc cầu: giả sử a b và b c với a, b, c ∈ N. Gọi A, B, C là các
tập sao cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c. Từ giả thiết suy ra tồn tại các đơn
ánh f : A ⟶ B và g : B ⟶ C.
Do đó tồn tại ánh xạ h = g◦f : A ⟶ C là đơn ánh, vậy a c.
Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự trên N. Ta sẽ chứng tỏ quan hệ thứ tự này là toàn phần trong N.
Giả sử a, b là hai phần tử bất kỳ thuộc N và a = Card(A), b = Card(B).
Theo định lý Cantor thì hoặc A tương đương với một tập con của B, hoặc B
tương đương với một tập con của A, nghĩa là a b hoặc b a. 52 lOMoARcPSD|197 044 94
Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N (đpcm).
3.3. Số liền sau.
a) Định nghĩa. Cho a và b là hai số tự nhiên với a b.
Gọi B là tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết rằng khi đó vì a b nên sẽ có A ∈ B mà Card(A) = a.
b được gọi là số liền sau của a khi và chỉ khi Card(B\A) = 1. Khi đó ta cũng nói
a là số liền trước của b hay a và b là các số liền nhau.
Số liền sau của a được ký hiệu là a’.
Ví dụ: Số 1 là số liền sau của số 0.
b) Một số tính chất.
1) Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
Điều này là hiển nhiên vì 0 = Card( ) mà không chứa tập con nào.
2) Mỗi số tự nhiên có duy nhất một số liền sau. Chứng minh.
- Tồn tại. Giả sử a ∈ và a = Card(A). Xét tập {A} là tập đơn tử mà phần tử là
tập hợp A. Rõ ràng {A} không phải là phần tử của A. Khi đó B = A○{A} là một tập
hữu hạn và Card(B\A) = Card({A}) = 1.
Vậy tồn tại số tự nhiên b = Card(B) là số liền sau của a.
- Duy nhất. Giả sử a ∈ có hai số liền sau là b1 và b2. Gọi B1, B2 là những tập
hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2.
Theo định nghĩa phải có các tập A1∈ B1, A2∈ B2 sao cho Card(A1) = Card(A2)
= a và Card(B1\A1) = Card(B2\A2) = 1
Các hệ thức trên cho ta A1 A2, B1\A1 B2\A2. Mà B1 = (B1\A1) ○ A1, B2 =
(B2\A2) ○ A2 nên ta suy ra B1 B2, do đó Card(B1) = Card(B2) hay b1 = b2, nghĩa là
phần tử liền sau là duy nhất.
Tính chất đã được chứng minh.
3) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên.
Giả sử b ∈ N, b 0 và Card(B) = b. Thế thì B , do đó tồn tại phần tử x ∈ B.
Đặt A = B\{x}. Dễ thấy B ∈ A và Card(B\A) = Card({x}) = 1.
Vậy b là số liền sau của a = CardA.
4) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của duy nhất một số tự nhiên.
Chứng minh. Giả sử b ∈ N, b 0, b = Card(B) là số liền sau của các số tự nhiên a1 và a2.
Theo định nghĩa sẽ có các tập A1∈ B, A2∈ B sao cho:
Card(A1) = a1, Card(B\A1) = 1,
Card(A2) = a2, Card(B\A2) = 1. 53 lOMoARcPSD|197 044 94
Từ đó ta có B\A1 B\A2, do đó A1 = B\(B\A1) và A2 = B\(B\A2) là những tập
hợp tương đương với nhau. Vì vậy Card(A1) = Card(A2) hay a1 = a2 (đpcm).
5) Cho a, b ∈ mà a < b, thế thì a’ b.
Chứng minh. Gọi B là tập hợp mà Card(B) = b. Vì a< b nên tồn tại A ∈ B, A
B sao cho Card(A) = a và tồn tại phần tử x ∈ B\ A.
Khi đó ta có a’ = Card(A○{x}) và A○{x}∈ B, do đó a’ b (đpcm).
Tính chất này có hệ quả là: Giữa hai số tự nhiên liền nhau không có một số tự nhiên nào khác.
3.4. Dãy các số tự nhiên.
Ký hiệu: card( ) = 0 ∈ N 0’ = 1 1’ = 2 2’ = 3 …
ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, ... Bài tập
1. Cho A, B, A1, B1 là các tập hợp mà A A1, B B1.
a) Bằng cách chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng: A × B B × A ; A1 × B1 A × B .
b) Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng nói chung A ○ B không tương đương với B ○
A. Muốn có A ○ B A1 ○ B1 thì phải có thêm điều kiện gì? 2. Chứng minh rằng:
a) Tập hợp tất cả các số tự nhên là tập vô hạn.
b) Tập hợp các số dạng 2x với x ∈ N là tập vô hạn.
3. Cho M là một tập con của tập hợp các số tự nhiên N. Ta nói M bị chặn nếu
có số tự nhiên a sao cho x a, x ∈ M.
Chứng minh rằng mọi tập con khác rỗng và bị chặn của N đều có số lớn nhất
(nghĩa là tồn tại m ∈ M sao cho m x, x ∈ M).
4. Cho a, b ∈ N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ .
§4. Các phép toán trên tập hợp Số tự nhiên
4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên.
Cho a, b ∈ N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B).
Ta có các định nghĩa sau: 54 lOMoARcPSD|197 044 94
a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A 𝖼 B = . Khi đó ta gọi tổng của a và b, ký
hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau:
a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A ○ B). Chú ý:
- Do A ○ B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A ○ B) ∈ N hay a+b∈N. Vậy
tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a + b = card(A ○ B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp
A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A A1, B B1 thì ta cũng
có: a + b = Card(A1 ○ B1) (Vì A ○ B A1 ○ B1). Ví dụ: Tính 0 + 1.
Ta có 0 = Card( ), 1 = Card({a}) và 𝖼 {a} = . Do đó:
0 + 1 = Card( ○ {a}) = Card({a}) = 1.
Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1.
b) Định nghĩa phép nhân.
Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab), là phần tử
được xác định như sau:
a.b = CardA.CardB = Card (A× B). Chú ý:
- Do A×B cũng là tập hữu hạn nên Card(A×B) ∈ N hay a.b ∈ N. Vậy tích của
hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
- Ta thấy rằng a.b = Card(A×B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A
và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A A1, B B1 thì ta cũng có:
a.b = Card(A1×B1) (Vì A×B A1×B1).
4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân.
a) Tính chất của phép cộng. a, b, c ∈ N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a.
(ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c.
(iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a. Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a =
Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
(i) Do A ○ B = B ○ A nên Card(A ○ B) = Card(B ○ A) hay a + b = b + a.
(ii) Do A ○ (B ○ C) = (A ○ B) ○ C (Phép hợp các tập hợp có tính chất kết
hợp) nên Card(A ○ (B ○ C)) = Card((A ○ B) ○ C). Vì vậy
Card(A) + Card(B ○ C) = Card(A ○ B) + Card(C)
hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c.
(iii) Vì 0 = Card( ), A 𝖼 = và A ○ = ○ A = A nên ta có: 55 lOMoARcPSD|197 044 94
Card(A ○ ) = Card( ○ A) = Card(A)
nên a + 0 = 0 + a = a, a ∈ N.
Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh.
b) Tính chất của phép nhân. a, b, c ∈ N ta có:
(i) Tính chất giao hoán: ab = ba.
(ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c.
(iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a. Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
(i) Xét ánh xạ f : A×B ⟶ B×A (x,y) (y,x).
Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra A×B B×A.
Do đó Card(A×B) = Card(B×A) hay ab = ba.
(ii) Xét ánh xạ f : A×(B×C) ⟶ (A×B)×C (x,(y,z)) ((x,y),z).
Ta thấy f là một song ánh, do đó A×(B×C) (A×B)×C. Nên ta có:
card(A×(B×C)) = card((A×B)×C), suy ra
CardA × Card(B×C) = Card(A×B) × Card(C), hay a(bc) = (ab)c.
(iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ f : {x}×A ⟶ A (x,y) y , y ∈ A.
Dễ thấy f là song ánh, do đó {x}×A ~ A, suy ra Card({x}×A) = Card(A),
do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a.
Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh.
c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c ∈ N ta có: a( b+c) = ab + ac. Chứng minh.
Với mọi a, b, c ∈ N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a =
Card(A), b = Card(B), c = Card(C).
Trước tiên ta chứng minh A × (B ○ C) = (A×B) ○ (A×C).
Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y) ∈ A×(B○C), suy ra x ∈ A và y ∈ B○C. Khi đó: 56 lOMoARcPSD|197 044 94
Nếu x ∈ A và y ∈ B thì (x,y) ∈ A×B nên ta có (x,y) ∈ (A×B) ○ (A×C).
Nếu x ∈ A và y ∈ C thì (x,y) ∈ A×C nên ta có (x,y) ∈ (A×B) ○ (A×C).
Vậy luôn có (x,y) ∈( A×B ) ○ ( A×C ). Suy ra
A ×( B ○ C ) ∈ ( A×B ) ○ ( A×C ) (1).
Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y) ∈ (A×B) ○ (A×C), suy ra (x,y) ∈ A×B hoặc (x,y) ∈ A×C.
Do đó x∈A và y∈B hoặc y∈C, nên ta có (x,y) ∈ A×(B○C). Suy ra
(A×B ○ (A×C) ∈ A× (B ○ C) (2). Từ (1) và (2) ta được:
A × ( B○C ) = ( A×B ) ○ ( A×C ), suy ra
Card(A×(B○C)) = Card((A×B) ○ (A×C)), -
Card(A) × Card(B ○ C) = Card(A×B) + Card(A×C) ,
- Card(A) × (Card(B) + Card(C)) = Card(A) × Card(B) + Card(A) × Card(C) -
Card(A) × Card(B ○ C) = Card(A×B) + Card(A×C) - a(b+c) = ab + ac (đpcm) Chú ý:
- Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
và gọi đây là tổng của ba số a, b, c; (ab)c = a(bc) = abc
và gọi đây là tích của ba số a, b, c.
- Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của nhiều số:
a1 + a2 + … + an ; a1.a2…an.
Trong trường hợp đặc biệt a1 = a2 = … =an = a, ta có tích a.a…a (n lần) và gọi
đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an.
4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân. a, b, c ∈ N ta có: (i) a a + b. (ii) a ab.
(iii) a b khi và chỉ khi a + c b + c.
(iv) Nếu c 0 thì a b khi và chỉ khi ac bc.
Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa phép toán .
4.4. Phép trừ và phép chia. a) Phép trừ. 57 lOMoARcPSD|197 044 94
Định nghĩa. Cho a, b ∈ N. Nếu tồn tại x ∈N sao cho x + b = a thì x được gọi là
hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b.
Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ.
Điều kiện có hiệu. Cho a, b ∈ N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a – b là b a. Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b b + (a – b) =a.
Điều kiện đủ. Giả sử b a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho Card(A) = a,
Card(B) = b và B ∈ A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự nhiên: a- b = Card(A\B). b) Phép chia hết.
Định nghĩa. Cho a, b ∈ N và b 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta
nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a 𝖼b. Khi đó ta cũng nói b chia hết a, ký hiệu là b a. c) Phép chia có dư.
Định lý. a, b∈ và b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q, r∈ sao cho
a = bq + r , trong đó 0 r < b. Chứng minh.
- Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a:
M = {x ∈ N x = bx a}. M vì 0 ∈ M.
Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn nhất, chẳng
hạn phần tử lớn nhất là x0 = bq.
Vì b 0 nên bq < bq + b = b(q + 1).
b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1) M và a < b(q + 1) = bq + b.
Như vậy ta có bq a < bq + b.
Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0 r < b. Như
vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q.
- Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q1, r1 ∈ sao cho a = bq1 + r1 và 0 r1 < b.
Như vậy: a = bq + r = bq1 + r1 , 0 r < b, 0 r1 < b.
Giả sử r1 r, ta có thể viết: bq + (r – r1) = bq1.
Đẳng thức này cho ta thấy r – r1 𝖼b , nhưng 0 r – r1 < b nên bắt buộc r– r1 =
0 hay r = r1. Từ đó suy ra q = q1.
Tính duy nhất đã đươc chứng minh.
b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia có dư của a
cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư.
Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0. 58 lOMoARcPSD|197 044 94 Bài tập 1. Chứng minh rằng:
a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0.
b) a + b’ = (a+b)’ với a’ là số kề sau của a.
2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng.
a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A
× B. Từ đó suy ra tính chất: a ab, a, b ∈ N, b 0.
b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A
○ B. Từ đó suy ra tính chất: a a + b, a, b ∈ N.
3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính đều thực hiện được):
a) a – b = (a + c) – (b + c).
b) a – b = (a – c) – (b – c).
c) a – (b + c) = (a – b) – c.
d) a + (b – c) = (a + b) – c.
e) a – (b – c) = (a + c) – b. 59 lOMoARcPSD|197 044 94
Chương IV: Các hình hình học
§1. Các khái niệm về hình hình học
Trong chương này, xem như không gian ơclit đẫ được xây dựng, nó là tập hợp
nhiững phần tử gọi là những điểm, mỗi đường thẳng là một tập con của không gian.
Đó cũng là những ví dụ đầ tiên về các hình hình học.
1.1. Định nghĩa.
Hình hình học là một tập khác rỗng những điểm của không gian.
Hình mà mọi điểm của nó cùng thuộc một mặt phẳng gọi là hình phẳng.
Tập những điểm ở giữa hai điểm phân biệt A, B gọi là đoạn thẳng mở với hai
mút A, B. Đoạn thẳng mở cùng với hai mút của nó gọi là đoạn thẳng đóng. Để ý rằng
mỗi đoạn thẳng hoàn toàn được xác định bởi hai mút của nó. Mỗi điểm cũng có thể
xem là đoạn thẳng với hai mút của nó trùng nhau, đó là một quy ước giúp cho việc
đơn giản một số lý luận về sau.
Mỗi điểm O trên đường thẳng xx’ phân hoạch tập điểm khác O của xx’ thành hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không chứa điểm O.
- Mọi đoạn thẳng đóng có hai mút huộc hai lớp đều chứa điểm O. Mỗi lớp
cùng với điểm O gọi là một tia (nửa đường thẳng) gốc O.
Cũng tương tự như thế: Mỗi đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phân
hoạch tập điểm còn lại của mặt phẳng thành hai lớp sao cho:
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút cùng thuộc một lớp không cắt đường thẳng.
- Mỗi đoạn thẳng đóng có hai mút thuộc hai lớp đều cắt đường thẳng.
Mỗi lớp như vậy gọi là nửa mặt phẳng mở có bờ chung là đường thẳng đó.
Mỗi nửa mặt phẳng mở cùng với bờ của nó gọi là nửa mặt phẳng (đóng).
Góc phẳng là hình gồm hai tia có gốc chung, mỗi tia được gọi là cạnh của góc. x O y
Nếu hai tia không đối nhau thì mỗi đường thẳng chứa một tia tạo thành hai nửa
mặt phẳng. Giao của hai nửa mặt phẳng chứa một tia và có bờ chứa tia kia tạo thành
một hình gọi là miền góc lồi. 60 lOMoARcPSD|197 044 94
Mỗi điểm của miền góc lồi không thuộc hai cạnh gọi là điểm trong của góc lồi.
Điểm của mặt phẳng không thuộc miền góc lồi gọi là điểm ngoài của góc đó, tập các
điểm ngoài của một góc lồi cùng với hai cạnh được gọi là miền góc lõm.
Góc có hai cạnh là hai tia đối gọi là góc bẹt.
Đó là những ví dụ đầu tiên và quan trọng về các hình phẳng.
1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng.
Một hình có thể được xác định bằng tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc nó.
Ví dụ: Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp (quỹ tích) những điểm cách O một khoảng bằng R.
Nếu ký hiệu đường tròn đó là C(O,R) và độ dài đoạn OM là l(OM) thì: M ∈ C(OM) l(OM) =R.
Điểm có khoảng cách đến tâm O của đường trong nhỏ hơn (lớn hơn) bán kính
R gọi là điểm trong (tương ứng: điểm ngoài) đường tròn. Tập các điểm trong của
đường tròn C gọi là hình tròn mở nhận C làm biên, hình tròn mở cùng với biên của nó
được gọi là hình tròn (đóng).
Trong hình học sơ cấp, ta thường gặp các bài toán tìm hình biết các tính chất
đặc trưng của các phần tử của nó, đó chính là các bài toán quỹ tích. §2. Tam giác
2.1. Định nghĩa.
Hình tam giác là giao của ba nửa mặt phẳng có bờ đôi một cắt nhau nhưng
không đồng quy và mỗi nửa mặt phẳng chứa giao điểm của hai bờ kia.
Mỗi giao điểm của hai đường thẳng bờ gọi là
đỉnh, mỗi đoạn thẳng của bờ nối hai đỉnh gọi là cạnh A của tam giác.
Tập các cạnh của tam giác gọi là biên (hay chu
tuyến) của tam giác, đó là ranh giới tập những điểm B C mà
xung quanh nó có cả những điểm của tam giác, cả
những điểm không thuộc tam giác.
Để ý rằng: tam giác được hoàn toàn xác định bởi biên, thậm chí bởi ba đỉnh
của nó và vì biên của tam giác đơn giản, dễ xác định nên nhiều khi người ta cũng có thể định nghĩa:
- Tam giác là tập ba đoạn thẳng không cùng thuộc một đường thẳng, đôi một có mút chung.
- Ta giác là tập ba điểm không thẳng hàng. 61 lOMoARcPSD|197 044 94
Đôi khi người ta cũng coi ba điểm thẳng hàng là đỉnh của một tam giác (trường hợp suy biến).
Tại mỗi đỉnh của tam giác, ta có một miền góc lồi chứa tam giác, nó được gọi
là góc trong của tam giác. Mỗi góc kề bù với một góc trong của tam giác gọi là góc ngoài của nó.
Chúng ta nhắc lại ở đây một số định lý cơ bản của “Hình học trong tam giác”.
Có thể dễ dàng thấy các chứng minh của chúng trong sách giáo khoa hình học phổ thông.
Định lý 1. Tổng các góc trong của mỗi tam giác bằng 180o.
Định lý 2. Trong tam giác, hai góc đối diện với hai cạnh bằng nhau thì bằng
nhau (tam giác cân), góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.
Định lý 3. Mỗi cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh
kia (Bất đẳng thức tam giác). Ngược lại, bất cứ ba đoạn thẳng mà mỗi đoạn nhỏ hơn
tổng và lớn hơn hiệu hai đoạn kia đều là các cạnh của một tam giác xác định. Ta thường gọi:
- Tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
- Tam giác có một góc tù là tam giác tù.
- Tam giác có cả ba nhọn là tam giác nhọn.
- Tam giác có ba cạnh (hoặc ba góc) bằng nhau là tam giác đều.
Ví dụ: Cho hai điểm A, B ở về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy tìm trên
d điểm C để cho AC + BC ngắn nhất. Giải.
Lấy điểm D đối xứng vơi A qua d. Khi A đó với
mỗi điểm M bất kỳ thuộc d ta có MA = MD, do đó MA + MB = MD + MB. B
Mà trong tam giác MBD ta luôn có d M MD + MB BD,
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M ∈ BD.
Suy ra MA + MB sẽ ngắn nhất khi M ∈ D BD.
Vậy điểm C cần tìm phải là giao điểm của d với đoạn BD.
2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác.
- Trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh và trung điểm của
cạnh đối diện đỉnh đó.
- Đường cao của tam giác là đường thẳng đi qua 1 đỉnh và trung điểm cạnh đối diện đỉnh đó. 62 lOMoARcPSD|197 044 94
- Tia phân giác (trong hay ngoài) là tia xuất phát từ một đỉnh và chia góc (trong
hay ngoài) của đỉnh đó thành hai góc bằng nhau. Đường thẳng chứa tia phân giác
(trong hay ngoài) gọi là đường phân giác (trong hay ngoài) của tam giác.
Định lý 4. Trong mỗi tam giác:
a) Ba đường trung tuyến đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trọng tâm của tam giác.
b) Ba đường cao đồng quy. Điểm đồng quy đó gọi là trực tâm của tam giác.
c) Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( là
đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác).
d) Ba đường phân giác trong đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác
(đường tròn nằm trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác).
e) Đường phân giác trong và hai đường phân giác ngoài của hai góc còn lại
đồng quy tại tâm đường tròn bàng tiếp (đường tròn nằm ngoài tam giác và tiếp xúc
với cả ba cạnh của tam giác). §3. Đa giác
Ta đã thấy, tam giác là một “mảnh” của mặt phẳng được bao bọc bởi ba đoạn
thẳng. Đó cũng là một lớp hình riêng của lớp hình rộng hơn gọi là đa giác.
3.1. Đường gấp khúc.
Cho n điểm phân biệt A1, A2, ..., An. Tập các đoạn thẳng A1A2, A2A3, ..., An-1An
được gọi là đường gấp khúc. A 2 A A 5 1 A 4 A 6 A 7 A 3
Mỗi điểm trong n điểm trên gọi là một đỉnh, mỗi đoạn thẳng trong tập n-1 đoạn
trên gọi là một cạnh (hay một đốt) của đường gấp khúc.
Ta ký hiệu đường gấp khúc như vậy là A1A2...An. Nếu điểm đầu A1 A và
điểm cuối An B ta nói đường gấp khúc đó nối A với A.
Với hai điểm A, B bất kỳ, có vô số đường gấp khúc nối hai điểm đó. Đoạn
thẳng AB là một đường gấp khúc, nó là đường đi ngắn nhất từ A đến B. Chính xác
hơn là: Mọi đường gấp khúc nối hai điểm A, B có tổng độ dài các đốt không nhỏ hơn độ dài đoạn AB. 63 lOMoARcPSD|197 044 94
Ta gọi tổng độ dài các đốt của đường gấp khúc là độ dài của nó. Độ dài đường
gấp khúc nối A, B ngắn nhất khi và chỉ khi các đỉnh của nó đều thuộc đoạn AB và sắp
xếp theo thứ tự A1 A, A2, ..., An B (nghĩa là A2 ở giữa A1, A3; A3 ở giữa A2, A4; ...; An- 1 ở giữa An-2, An). 3.2. Đa giác.
Đường gấp khúc có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường gấp khúc khép kín.
Định nghĩa. Mỗi điểm trên đường gấp khúc gọi là điểm đơn nếu:
a) Nó là điểm đầu hoặc điểm cuối hoặc đỉnh chung của đúng hai đốt.
b) Nó là điểm trong của đúng một đốt.
Nếu mọi điểm của một đường gấp khúc đều là điểm đơn thì đường gấp khúc đó
được gọi là đường đơn.
Ví dụ về đường gấp khúc đơn và không đơn: A A 2 2 A A A A 3 3 4 2 A A 6 6 A A 1 A A 4 A 1 5 3 A 4 A A A A A 8 7 1 5 5 a b c ) ) )
Hình a) là ví dụ về đường gấp khúc đơn, khép kín.
Hình b) và c) là ví dụ về các đường gấp khúc không đơn (hình b có một không
phải là điểm đơn, hình c có hai điểm khôngphải là điểm đơn).
Ta thấy mỗi đoạn thẳng là một đường gấp khúc đơn; biên của mỗi tam giác là
một đường gấp khúc đơn, khép kín.
Định nghĩa. Đa giác là hình gồm một đường gấp khúc đơn, khép kín và miền
trong của nó (Nói cách khác: Đa giác là phần của mặt phẳng bị giới hạn bởi một
đường gấp khúc đơn, khép kín).
Ta gọi đỉnh (hay cạnh) của đường gấp khúc là đỉnh (cạnh) của đa giác. Mỗi đa
giác được gọi tên theo số cạnh của nó (ví dụ: tam giác, tứ giác, ..., n giác).
Định nghĩa. Đa giác lồi là đa giác ở về cùng một phía đối với mỗi đường thẳng
chứa một cạnh của nó.
Trong một đa giác lồi, miền góc tạo bởi hai cạnh chung đỉnh và chứa toàn bộ
đa giác gọi là góc trong của đa giác.
Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác lồi. 64 lOMoARcPSD|197 044 94
Chú ý: Mọi đa giác lồi đều có thể phân hoạch (chia) thành các tam giác (bằng nhiều cách). Ngũ giác lồi Tứ giác không lồi (Tứ giác lõm)
Định lý 1. Tổng số đo các góc trong của đa giác lồi n cạnh bằng (n-2)180o.. Chứng minh.
Từ một đỉnh của đa giác, kẻ các đoạn thẳng nối tới các đỉnh của đa giác không
chung cạnh với đỉnh đó ( các đường chéo) ta dược n – 2 tam giác đôi một không có điểm chung trong.
Mỗi tam giác có tổng các góc trong bằng 180o mà tổng các góc trong của đa
giác bằng tổng các góc trong của n – 2 tam giác đó. Ta được công thức cần chứng minh. 3.3. Tứ giác.
Ngoài tam giác, tập các tứ giác là lớp hình đáng quan tâm. Ta cũng có:
a) Góc trong của tứ giác là miền góc (không nhất thiết lồi) có hai cạnh chứa hai
cạnh kề của đa giác và có điểm chung trong với đa giác.
Tổng các góc trong của tứ giác bằng 360o.
b) Ta chỉ xét các tứ giác lồi và các lớp riêng biệt của nó.
Định nghĩa. Hình thang là tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song
song gọi là hai đáy, hai cạnh còn lại gọi là các cạnh bên của hình thang.
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
Hình thang cân là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau.
Định lý 2. Một hình thang là hình thang cân khi và chỉ khi nó có một trong các tính chất sau:
a) Hai đường chéo bằng nhau.
b) Bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh.
a) Dựa trên bổ đề: Hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song
song thì bằng nhau và hình vẽ sau: 65 lOMoARcPSD|197 044 94
b) Dựa vào góc nội tiếp của đường tròn.
Định nghĩa. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
Hình chữ nhật là tứ giác lồi có bốn góc bằng nhau.
Hình thoi là tứ giác lồi có bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau gọi là hình vuông.
Ta có sơ đồ hệ thống các loại tứ giác: Tứ giác Hình thang Hình bình hành Hình thang cân
3.4. Đa giác đều. Hình chữ Hình Định n h
nghĩa. Đa giá c đậềtu là đa giác lồi có: thoi a) Các cạnh bằng nhau, b) Các góc bằng nhau.. Hình
Ví dụ: Các tam giác đều, hình vuông là cávcuđôanggiác đều.
Định lý 3. Đa giác đều là đa giác nội tiếp (Các đỉnh của đa giác đều cùng thuộc một đường tròn). Chứng minh.
Cho A1A2...Ak là đa giác đều có k đỉnh (k cạnh), số do mỗi góc ở đỉnh bằng (k - 2)180 < 180o.
Vì vậy kẻ hai trung trực của hai cạnh A1Ak, A1A2 chúng phải cắt nhau ở diểm O.
Các tam giác cân OA1A2 và OA1Ak bằng nhau (vì có các cặp cạnh tương ứng
bằng nhau). Do đó O nằm trên tia phân giác trong của góc A . 1
Suy ra A2O là phân giác trong của A . 2
Hạ OJ A2A3, ta có tam giác vuông OIA2 bằng tam giác vuông OJA2 (I là trung điểm A1A2). 1 Suy ra JA2 = IA2 =
A2A3. Do đó tam giác OA2A3 cân vì trung tuyến OJ A 2 2A3. O 66 A A k 3 J A I A 1 2 lOMoARcPSD|197 044 94 Vì vậy OA3 = OA2 = OA1 = OAk
tức là đường tròn tâm O đi qua A3.
Lập lại lý luận đó ta sẽ được các đỉnh của đa giác đều nằm trên đường tròn tâm O.
3.5. Đa giác bằng nhau.
Định nghĩa. Hai đa giác bằng nhau là hai đa giác có cùng số cạnh và có các
cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau.
Ta đã biết ba trường hợp bằng nhau (c.c.c, c.g.c, g.c.g) của hai tam giác chính
là các điều kiện (dấu hiệu) để hai tam giác bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có các “yếu tố tuyến tính” bằng nhau: các chiều cao
tương ứng, các đoạn trung tuyến, các bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau.
Dễ thấy rằng, hai đa giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh
và độ dài các cạnh của chúng bằng nhau.
Định nghĩa. Hai đa giác đồng dạng là hai đa giác có cùng số cạnh và có các
cặp goác tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
Nhờ định lý Ta lét ta có:
Định lý 4. Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi chúng thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) Một cặp góc bằng nhau xen giữa hai cặp cạnh tỷ lệ.
b) Hai cặp góc bằng nhau.
c) Ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ.
Định lý này đã được chứng minh trong nhiều sách phổ thông, bạn đọc tự chứng minh xem như bài tập.
Hai tam giác đòng dạng có tỷ số giữa các yếu tố tuyến tính bằng tỷ số đồng dạng.
Hai đa giác đều đồng dạng khi và chỉ khi chúng có cùng số cạnh. §4. Đường tròn
4.1. Xác định đường tròn.
Từ định nghĩa đường tròn (xem Đ1), ta thấy đường tròn hoàn toàn được xác
định khi biết tâm và bán kính của nó. Ta sẽ dùng ký hiệu (O,R) để chỉ đường tròn tâm O, bán kính R.
Từ tính chất của tam giác (xem Đ2) ta thấy đường tròn được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng. Ta còn có : 67 lOMoARcPSD|197 044 94
- Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc vuông là đường tròn có 1
tâm là trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm và bán kính bằng độ dài đoạn đó.
- Tập những điểm nhìn hai điểm cố định dưới một góc 𝖼 không đổi là hai cung
tròn đối xứng nhau qua đường thẳng nối hai điểm đó.
- Tập những điểm có tỷ số khoảng cách đến hai điểm cố định bằng k 1 (k >
0) là đường tròn có đường kính là đoạn nối điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng
nối hai điểm đã cho theo tỷ số k (đường tròn Apôlôniuyt).
4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác.
Định nghĩa. Đa giác nội tiếp là đa giác có các đỉnh cùng nằm trên một đường
tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Mọi tam giác luôn có đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi đa giác đều cũng có đường tròn ngoại tiếp.
Mỗi hình chữ nhật, hình thang cân là một tứ giác nội tiếp. Không phải tứ giác
nào cũng có đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
“Tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi nó có tổng hai góc đói bằng 180o
và hai đỉnh ở về cùng phía đối với một cạnh nhìn hai mút của cạnh dưới cùng một góc”.
Định lý 1 (Định lý Ptôlêmê). Trong tứ giác lồi nội tiếp, tích của hai đoạn chéo
bằng tổng các tích của các cạnh đối. Chứng minh.
Giả sử tứ giác đó là ABCD, cần chứng minh AC . BD = AB . CD + AD . BC .
Vẽ tia đối xứng với BD qua phân giác trong của B cắt đoạn chéo AC ở điểm E. Ta có:
Tam giác ABE đồng dạng với tam giác DBC, do đó A B
AB = A, E BD CD suy ra AB.CD = AE.BD. D E
Tam giác BCE đồng dạng với tam giác BDA, nên ta có BC C = E,C BD AD suy ra AD.BC = EC.BD.
Từ các đẳng thức trên ta được
AB . CD + AD . BC = AE . BD + EC . BD
= (AE + EC) . BD = AC . BD (đpcm). 68 lOMoARcPSD|197 044 94
4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác.
Định nghĩa. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có đúng một điểm chung với đường tròn.
Định lý 2. Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi và chỉ khi nó có một
trong các điều kiện sau:
a) Đường thẳng vuông góc với một bán kính đường tròn tại nút của bán kính.
b) Đường thẳng cách tâm đường tròn một khoảng bằng bán kính đường tròn.
Hệ quả. Tại mỗi điểm của đường tròn có một và chỉ một tiếp tuyến với đường
tròn (nhận điểm đó làm tiếp điểm).
Giao của hai tiếp tuyến đường tròn cách đều hai tiếp điểm.
Định nghĩa. Đường tròn nội tiếp trong đa giác là đường tròn nằm trong đa giác
và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó.
Đa giác có đường tròn nội tiếp cũng được gọi là đa giác ngoại tiếp.
Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác ngoại tiếp. Mỗi đa giác đều cũng là một đa
giác ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trong đa giác đều chính là tâm đường tròn
ngoại tiếp nó. Ta gọi tâm chung đó là tâm của đa giác đều.
Định lý 3. Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi ngoại tiếp được là tổng các
cạnh đối của tứ giác bằng nhau. Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, gọi M, N, P,
Q là các tiếp điểm. Khi đó ta có AM = AQ B BM = BN M CP = CN A N DP = DQ, O Do đó Q
AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN. C P Suy ra AB + CD = AD + BC. D
Điều kiện đủ. Giả sử tứ giác ABCD thoả mãn
đều kiện AB + CD = AD + BC (*). Hai phân giác trong của A và B cắt nhau ở O,
giả sử O là tâm của đường tròn tiếp xúc với AD, AB, BC tương ứng ở Q, M, N. Để ý
rằng phải có hoặc Q ở giữa AD hoặc N ở giữa BC bởi nếu không thì AB = AM + MB = AQ + BN > AD + BC, M B
do đó (*) không thể xảy ra. A
Không mất tính tổng quát giả sử Q ở giữa AD, kẻ tiếp Q N
tuyến thứ hai từ D, giả sử tiếp tuyến này cắt BC ở C’, ta phải chứng minh C’ C. D C 69 C’ lOMoARcPSD|197 044 94
Trong tứ giác ngoại tiếp AB C’D, ta có AB + C’D = AD + B C’ so sánh với (*) suy ra CD – C’D = BC – B C’ hay CD – C’D = CC’
điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trong tam giác DCC’.
Vậy C’ C, nghĩa là tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp.
Định lý đã được chứng minh.
§5. Các hình không gian
Các hình hình học thường gặp trong không gian là các hình đa diện và các hình
tròn xoay. Các khối đa diện và các khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi các
hình đa diện và các khói tròn xoay.
5.1. Hình đa diện. a) Hình tứ diện.
Hình đa diện có vai trò như hình tam giác trong mặt phẳng là hình tứ diện.
Bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng xác định bốn tam giác,
mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm trên. Hình gồm bốn tam giác đó gọi là hình tứ diện. A
Bốn điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh;
bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD gọi là
các mặt; sáu đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, M Q
BD, CD gọi là các cạnh của hình tứ diện.
Hai cạnh không có đỉnh chung gọi là O
hai cạnh đối diện.
Ba đường thẳng nối trung điểm các B D
cạnh đối diện đồng quy tại một điểm O gọi là N
trọng tâm của hình tứ diện. P b) Hình chóp. C
Hình chóp là hình gồm 1 đa giác
A1A2...An (gọi là đáy) và n tam giác SA1A2,
SA2A3, ..., SAnA1 (gọi là các mặt bên) trong đó S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng
chứa đa giác, S gọi là đỉnh của hình chóp.
Ký hiệu SA1A2...An là hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác A1A2...An.
Hình chóp được gọi theo tên của đáy. Chẳng hạn gọi là hình chóp tam giác nếu đáy là tam giác, hình c
Shóp tứ giác nếu đáy là tứ giác. S 70 D D E A A C D C D lOMoARcPSD|197 044 94 Hình chóp tứ giác SABCD Hình chóp ngũ giác SABCD
Chú ý: Hình tứ diện chính là một hình chóp tam giác. c) Hình lăng trụ.
Hình lăng trụ là hình gồm hai đa giác A1A2...An, B1B2...Bn có các cạnh tương
ứng song song và bằng nhau (gọi là hai đáy) và n hình bình hành A1A2B1B2,
A2A3B3B2, ..., AnA1BnB1 (gọi là các mặt bên).
Ký hiệu hình lăng trụ trên là A1A2...AnB1B2...Bn.
Hình lăng trụ cũng được gọi theo tên của đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,... A 3 A A 3 4 A A A 2 A 1 2 1 B 3 3 B B 4 B B B 1 B 2 1 2
Lăng trụ tam giác A1A2A3B1B2B3
Lăng trụ tứ giác A1A2A3A4B1B2B3B4 d) Hình hộp.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là
hình có sáu mặt đều là hình bình hành. Hai đỉnh không cùng thuộc một mặt gọi là hai
đỉnh đối diện; đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo; bốn đường chéo
của hình hộp đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của hình hộp.
Hình hộp có sáu mặt đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật; còn nếu
sáu mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương. A A 4 3 A A 4 3 A A 2 1 A A 1 O 2 B B B 4 4 3 B 3 B B B B 1 1 2 2 71 lOMoARcPSD|197 044 94 Hình hộp A1A2A3A4B1B2B3B4
Hình hộp chữ nhật A1A2A3A4B1B2B3B4 A A 4 3 A 1 A 2 B 4 B 3 B B 1 2
Hình lập phương A1A2A3A4B1B2B3B4
5.2. Hình tròn xoay. R O a) Mặt cầu.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không
gian cách điểm cố định O một khoảng bằng R. Điểm O
gọi là tâm, R gọi là bán kính của mặt cầu. b) Mặt trụ.
Mặt trụ là tập hợp tất cả các điểm trong R O không
gian cách đường thẳng cố định d một khoảng bằng R ⟶ Các
đường thẳng l song song với d và cách d một khoảng
bằng R tạo nên mặt trụ, các đường thẳng ấy gọi là đường
sinh của mặt trụ còn R gọi là bán kính mặt trụ. c) Mặt nón. S l
Mặt nón: Cho hình tròn tâm O thuộc mặt phẳng
(P), lấy điểm S (P) sao cho S có hình chiếu lên mặt
phẳng (P) là O. Mặt nón đỉnh S là hình gồm các nửa
đường thẳng gốc S nối với điểm M bất kỳ thuộc đường
tròn tâm O. Các nửa đường thẳng đó gọi la đường sinh của mặt nón. O
5.3. Vẽ hình không gian. M
a) Phép chiếu song song. M
Cho mặt phẳng (P) và một đường thẳng l cắt l
(p). Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) là
điểm M’ giao của đường thẳng qua M song song M’ với
l và mặt phẳng (P). Còn nói M’ là hình chiếu của M
qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo P phương chiếu l.
Tập hợp các hình chiếu của các điểm thuộc
một hình F trong không gian là một hình F’ trên mặt phẳng (P). Hình F’ gọi là hình 72 lOMoARcPSD|197 044 94
chiếu của F. Hình F’ và các hình đồng dạng với nó gọi là hình biểu diễn của hình F.
Vẽ hình không gian F tức là vẽ một hình biểu diễn của nó.
b) Phép chiếu song song chỉ bảo toàn
tính song song và tỷ số các đoạn thẳng song A
song, không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng và
độ lớn của góc. Vì vậy, chẳng hạn, một tam
giác tuỳ ý có thể coi là hình biểu diễn của M N
tam giác đều, tam giác vuông hoặc tam giác
cân. Một hình bình hành tuỳ ý có thể coi là
hình biểu diễn của hình chữ nhật, hình B D
vuông hoặc hình thoi. Đường Elip là biểu diễn của hình tròn. Q P
Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện cắt
bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của các C cạnh AB, BC và CD. Bài tập chương IV
1. Tính độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC, biết rằng AB = 1, AC = 2, A = 120o.
2. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng bình phương của tất cả các cạnh
bằng tổng bình phương của hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương của đoạn
thẳng nối trung điểm hai đường chéo.
3. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M ta luôn có MA2 + MC2 = MB2 + MD2.
4. Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau
thì tổng bình phương hai cạnh đối diện bẳng tổng bình phương hai cạnh còn lại. 73 lOMoARcPSD|197 044 94
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Hữu Chân, Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và lôgic số học, NXB GD, 1997.
[2] Nguyễn Văn Đoành, Nguyễn Văn Khuê, Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà nội I, 1994.
[3] Trương Đức Hinh, Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB GD, 1995.
[4] Đinh Thị Nhung, Toán và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán học cho
trẻ mẫu giáo, Tập I, NXB ĐH Quốc gia Hà nội, 2001.
[5] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc, Số tự nhiên, Trường ĐHSP Hà Nội I, 1994.
[6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, NXB GD, 1997.
[7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD, 1998. 74
Document Outline

  • Lời nói đầu
  • Chương I
    • §1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp
      • 1.1. Khái niệm tập hợp
      • 1.2. Sự xác định một tập hợp
      • 1.3. Tập rỗng, tập đơn tử
      • 1.4. Minh hoạ tập hợp bằng hình vẽ
    • 3
      • Bài tập
    • 17x4
      • §2. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp
        • 2.1. Quan hệ bao hàm - Tập con.
    • 4
      • 2.2. Hai tập hợp bằng nhau
      • 2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm
    • 5
      • 2.4. Tập hợp các tập con của một tâp hợp.
    • 6
      • 3.2. Phép giao.
    • 7
      • 3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao
      • 3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao
    • 8
      • 3.5. Phép trừ
      • 3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao.
    • 9
      • Bài tập
      • §4. quan hệ
        • 4.1. Tích Đề các của các tập hợp
    • 10
      • 4.2. Quan hệ hai ngôi
    • 11
      • 4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi
      • 4.4. Quan hệ tương đương
    • 12
      • 4.5. Quan hệ thứ tự
    • 13
    • 14
      • Bài tập
    • a - b
    • 15
      • §5. Ánh xạ
    • 16
      • 5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ
    • c d
    • 17
      • 5.2. Ảnh và tạo ảnh
    • 1
    • 5 (1)
    • 1 1
    • 18
      • Bài tập
    • 19
      • §6. Các ánh xạ đặc biệt Tích các ánh xạ - Ánh xạ ngược
        • 6.1. Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
    • 20
      • 6.2. Tích các ánh xạ
    • X Z
    • 21
      • 6.3. Ánh xạ ngược
    • 22
      • Bài tập
    • 23
  • Chương II Lôgic toán
    • 25
      • 1.1. Phép phủ định.
  • Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép phủ định như sau:
    • 26
      • 1.2. Phép hội.
    • 27
      • 1.3. Phép tuyển.
      • 1. 4. Phép kéo theo.
    • 28
  • Ta có bảng giá trị chân lý:
    • 1.5. Phép tương đương.
  • Ta có bảng giá trị chân lý: (1)
    • 29
      • Bài tập
    • 30
      • §2. Công thức và luật của lôgic mệnh đề
        • 2.1. Khái niệm công thức.
    • 31
      • 2.2. Giá trị của công thức.
    • 32
      • 2.3. Hai công thức bằng nhau.
    • p  q
    • 33
      • 2.4. Phép biến đổi công thức.
    • 34
      • 2.5. Luật của lôgic mệnh đề.
  • Ta lập bảng chân lý:
    • 35
      • Bài tập
      • §3. Lôgic vị từ
        • 3.1. Hàm mệnh đề một biến.
    • 36
    • 3
    • 37
      • 3.2. Hàm mệnh đề 2 biến.
      • 3.2. Hàm mệnh đề n biến.
    • 38
      • Bài tập
      • §4. Các phép toán của lôgic vị từ
        • 4.1. Phép phủ định.
    • 𝜑(x)
    • 𝜑(x) (1)
    • 39
      • 4.2. Phép hội.
      • 4.3. Phép tuyển.
    • x - 3
    • 40
      • 4.4. Phép kéo theo.
      • 4.5. Phép tương đương.
    • 41
      • Bài tập
      • §5. Các lượng từ
    • 42
      • 5.1. Lượng từ tồn tại.
      • 5.2. Lượng từ với mọi.
    • 43
      • 5.3. Liên hệ giữa các lượng từ “tồn tại”, “với mọi” và phép phủ định.
    • (x)𝜑(x)
    • 𝖤x𝜑(x)
      • Bài tập
    • 44
    • 45
      • §1. Tập hợp tương đương
        • 1.1. Tập hợp tương đương.
    • 46
      • 1.2. Một số tính chất
    • 47
      • 1.3. Định lý Cantor.
      • 2.1. Định nghĩa và ví dụ
  • A I
    • 2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn).
    • 50
      • §3. Số tự nhiên
        • 3.1. Bản số – Số tự nhiên.
    • 51
      • 3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên.
    • 52
      • 3.3. Số liền sau.
    • 53
      • 3.4. Dãy các số tự nhiên.
      • §4. Các phép toán trên tập hợp Số tự nhiên
        • 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên.
    • 54
      • 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân.
    • 55
    • 56
      • 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân.
      • 4.4. Phép trừ và phép chia.
    • 57
    • 58
      • Bài tập
  • Chương IV: Các hình hình học
    • 1.1. Định nghĩa.
    • 60
      • 1.2. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng.
      • 2.1. Định nghĩa.
    • 61
      • 2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác.
    • 62
      • §3. Đa giác
        • 3.1. Đường gấp khúc.
  • A
    • 63
      • 3.2. Đa giác.
    • A
    • a b c
    • 64
      • 3.3. Tứ giác.
    • 65
    • 2
      • 3.5. Đa giác bằng nhau.
      • 4.1. Xác định đường tròn.
    • 67
      • 4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác.
    • 68
      • 4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác.
    • M
    • A M B
    • C 69 C’
      • §5. Các hình không gian
        • 5.1. Hình đa diện.
    • 70
    • A (1)
    • D
    • A (2)
    • 71
      • 5.2. Hình tròn xoay.
      • 5.3. Vẽ hình không gian. M
    • 72
      • Bài tập chương IV
    • 73
    • 74