Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào? Định nghĩa và cách xác định 1. Hàm số là gì?
Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗi x thuộc X với một
và chỉ một y thuộc Y thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào Y, kí hiệu: f: X ----> Y x ------> f(x)
Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong bài viết này, ta xét các hàm số
thực của các biến số thực. X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f. Tập xác
định thường được kí hiệu là D.
Số thực x thuộc X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối số). Số thực y = f(x)
thuộc Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x lấy
mọi số thực thuộc tâp hợp X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f.
Ta cũng có thể định nghĩa hàm số như sau: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x
sao cho: Với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được
gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
Lưu ý: Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng.
Kí hiệu: Khi y là hàm số của x, ta có thể kí hiệu y = f(x)
2. Hàm số đồng biến và nghịch biến khi nào?
2.1. Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.
 Hàm số f được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
 Hàm số f được gọi là hàm số nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K
Lưu ý: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi lên; nếu một hàm số nghịch
biến trên K thì trên đó đồ thị của nó đi xuống.
2.2. Điều kiện cần và đủ để hàm số có đạo hàm đồng biến, nghịch biến
Điều kiện cần: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)
 Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f'(x) >= 0 với mọi x thuộc (a; b)
 Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f'(x) <= 0 với mọi x thuộc (a; b)
Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)
 Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
 Nếu f'(x) <0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
 Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)
Điều kiện đủ (mở rộng): Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K
 Nếu f'(x) >= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K
 Nếu f'(x) <= 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K
3. Cách xác định hàm số đồng biến, nghịch biến
Để xác định xem hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay hàm số nghịch biến, ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Tìm tập xác định
 Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số đã cho
 Bước 3: Tìm các điểm khi f'(x) = 0 hoặc không xác định
 Bước 4: Lập bảng biến thiên, trong đó sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần
 Bước 5: Từ bảng biến thiên rút ra kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho
4. Một số ví dụ về dạng bài hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số sau: y = 1/3.x^3 - 3.x^2 + 8x - 2 Lời giải:
Tập xác định của hàm số: D = R
Đạo hàm của y là: y' = x^2 - 6x + 8 = (x - 2).(x - 4) y' = 0 ⇒ x = 2 hoặc x = 4
Ta có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, hàm số y = 1/3.x^3 - 3.x^2 + 8x - 2 đồng biến trên khoảng (- vô cùng; 2) và (4; + vô
cùng); nghịch biến trên khoảng (2;4).
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x^3 + 3.x^2 - 9x - 7. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số trên nghịch biến trên khoảng (-3; 1)
B. Hàm số trên đồng biến trên khoảng (-9; -5)
C. Hàm số trên đồng biến trên R
D. Hàm số trên đồng biến trên khoảng (5; + vô cùng) Lời giải:
Hàm số y = x^3 + 3.x^2 - 9x - 7 có tập xác định là D = R
Đạo hàm của y là: y' = 3.x^2 + 6x - 9 = 3.(x^2 + 2x - 3) = 3.(x - 1).(x + 3)
y' = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = -3
Ta có bảng biến thiên như sau:
Như vậy, hàm số y = x^3 + 3.x^2 - 9x - 7 đồng biến trên các khoảng (- vô cùng; -3) và (1; + vô
cùng); nghịch biến trên khoảng (-3; 1) => Đáp án đúng là A
Ví dụ 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = -x^4 + 2.x^2 - 4 là:
A. (-1; 0) và (1; + vô cùng)
B. (- vô cùng; 1) và (1; + vô cùng) C. (-1; 0) và (0; 1)
D. (- vô cùng; -1) và (0; 1) Lời giải:
Hàm số y = -x^4 + 2.x^2 - 4 có tập xác định là D = R
Đạo hàm của y là: y' = - 4.x^3 + 4x = - 4x.(x^2 - 1) = - 4x.(x - 1).(x + 1)
y' = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
Ta có bảng biến thiên như sau:    
Như vậy, hàm số y = -x^4 + 2.x^2 - 4 đồng biến trên các khoảng (- vô cùng; -1) và (0; 1); nghịch
biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; + vô cùng) => Đáp án đúng là A
5. Một số bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Cho hàm số y = -x^3 + 3.x^2 - 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số trên luôn nghịch biến trên R
B. Hàm số trên nghịch biến trên các khoảng (- vô cùng; 1) và (1; + vô cùng)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (- vô cùng; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; + vô cùng)
D. Hàm số luôn đồng biến trên R
Bài tập 2: Trong các hàm số sau đây, hỏi hàm số nào luôn nghịch biến trên R? A. h(x) = x^4 - 4.x^2 + 4
B. g(x) = x^3 + 3.x^2 + 10.x + 1
C. f(x) = -4/5.x^5 + 4/3.x^3 - x
D. k(x) = x^3 + 10x - cos^2(x)
Bài tập 3: Hàm số y = 3/5.x^5 - 3.x^4 + 4.x^3 - 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (- vô cùng; 0) B. R C. (0; 2) D. (2; + vô cùng)
Bài tập 4: Cho hàm số y = (2x - 3) / (4 - x). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?
A. Hàm số trên luôn đồng biến trên R
B. Hàm số trên luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
C. Hàm số trên đồng biến trên từng khoảng xác định
D. Hàm số trên luôn nghịch biến trên R