43 trang 11 lượt tải

Hệ thống kiến thức Lý thuyết Toán 12

21

Hệ thống kiến thức Lý thuyết Toán 12. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề: Chuyên đề Toán 12 172 tài liệu

Môn: Toán 12 4.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

phu tran

5 ngày trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/43
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
1
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
( )
y f x=
xác định trên K :
+ Hàm số
( )
y f x=
được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
,,x x K x x f x f x
+ Hàm số
( )
y f x=
được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
+ Nếu
( ) ( )
0, ;f x x a b
hàm số
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
;.ab
+ Nếu
( ) ( )
0, ;f x x a b
hàm số
( )
fx
nghịch biến trên khoảng
( )
;.ab
+ Nếu
hàm số
( )
fx
không đi trên khoảng
( )
;.ab
+ Nếu
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( ) ( ) ( )
; 0, ; .a b f x x a b
+ Nếu
( )
fx
nghịch biến trên khoảng
( ) ( ) ( )
; 0, ; .a b f x x a b
+ Nếu thay đi khoảng
( )
;ab
bằng mt đon hoặc nửa khoảng thì phải b sung thêm
giả thiết “hàm số
( )
fx
liên tc trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
➢ Cho hàm số và xác định trên D
+ Nếu hai hàm số và cùng đồng biến, dương và liên tục trên cùng mt
tập xác định D thì và là các hàm số đồng
biến và liên tục trên D.
+ Nếu hai hàm số và cùng nghịch biến, dương và liên tục trên cùng mt
tập xác định D thì là hàm số đồng biến và liên tục trên D còn
là hàm số nghịch biến và liên tục trên D.
( )
fx
( )
gx
( )
fx
( )
gx
( ) ( ) ( )
.h x f x g x=
( ) ( ) ( )
k x f x g x=+
( )
fx
( )
gx
( ) ( ) ( )
.h x f x g x=
( ) ( ) ( )
k x f x g x=+
EMPIRE TEAM
HỆ THỐNG KIẾN LÝ
THUYẾT TOÁN 12
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
,,x x K x x f x f x
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
2
+ Nếu hai hàm số đồng biến, dương; nghịch biến, dương và cùng liên
tục trên cùng mt tập xác định D thì là hàm số nghịch biến và
liên tục trên D.
+ Hàm số liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số
đồng biến (nghịch biến) trên .
+ Hàm số liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số
đồng biến (nghịch biến)
+ Hàm số liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số
đồng biến (nghịch biến) trên .
2. Quy tắc và công thức tính đo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho
( ) ( )
; ; :u u x v v x C==
là hằng số .
Tổng, hiệu:
( )
.u v u v

=
Tích:
( ) ( )
. . . . . .u v u v v u C u C u

= + =
Thương:
( )
22
. . .
,0
u u v v u C C u
v
v v u u
−
= = −
Đạo hàm hàm hợp: Nếu
( ) ( )
,.
x u x
y f u u u x y y u
= = =
.
1. Bảng công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp
( )
0C
=
(C là hằng số).
( )
1
.xx

−
=
( )
1
.xx

−
=
2
11
( 0)x
xx

=−


( )
( )
1
0
2
xx
x
=
( )
1
..u u u

−
=
( )
2
1
0
u
u
uu

=−


( )
( )
0
2
u
uu
u
=
( )
sin cosxx
=
( )
sin .cosu u u
=
( )
cos sinxx
=−
( )
cos .sinu u u
=−
( )
2
1
tan
cos
x
x
=
( )
2
tan
cos
u
u
u
=
( )
2
1
cot
sin
x
x
=−
( )
2
cot
sin
u
u
u
=−
( )
xx
ee
=
( )
.
uu
e u e
=
( )
.ln
xx
a a a
=
( )
. .ln
uu
a u a a
=
( )
1
ln x
x
=
( )
ln
u
u
u
=
( )
1
log
ln
a
x
xa
=
( )
log
.ln
a
u
u
ua
=
( )
fx
( )
gx
( ) ( ) ( )
.h x f x g x=
( )
fx
( )
;ab
( )
f x m+
( )
;ab
( )
fx
( )
;ab
( )
f x m+
( )
;.a m b m−−
( )
fx
( )
;ab
( )
f mx
; , 0
ab
m
mm




. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
3
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:
( )
2
.
ax b ad bc
cx d
cx d
+−

=

+

+
;
( )
2
2
2
2
2
2
.
a b a
xx
d e d
ax bx c
dx ex f
dx ex f
c b c
f e f
++

++
=

++

++
2. Đạo hàm cấp 2 :
3. + Định nghĩa:
( ) ( )
f x f x
=


4. + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s f t=
tại thời điểm
0
t
là:
5.
( ) ( )
00
.a t f t

=
6. Đạo hàm cấp cao:
( )
( )
( )
( ) ( )
1
, , 2
nn
f x f x n n
−

=

.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số
f
có đạo hàm trên
K
+ Nếu
( )
'0fx
với mọi
xK
và
( )
'0fx=
chỉ tại mt số hữu hạn điểm
xK
thì hàm số
f
đồng biến trên
K
.
+ Nếu
( )
'0fx
với mọi
xK
và
( )
'0fx=
chỉ tại mt số hữu hạn điểm
xK
thì hàm số
f
nghịch biến trên
K
.
Chú ý:
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ
ax b d
yx
cx d c
+

= −

+

thì dấu
""=
khi xét dấu đạo hàm
y
không xảy ra.
Giả sử
( ) ( )
3 2 2
3 2 .y f x ax bx cx d f x ax bx c
= = + + + = + +
Hàm số đồng biến trên
( )
0
0
0; .
0
0
0
a
f x x
a
b
c


=
=
Hàm số nghịch biến trên
( )
0
0
0; .
0
0
0
a
f x x
a
b
c


=
=
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ
dài bằng
l
ta giải như sau:
+ Bước 1: Tính
( )
2
;.y f x m ax bx c

= = + +
+ Bước 2: Hàm số đơn điệu trên
( )
12
;0x x y
=
có
2
nghiệm phân biệt
0
0a

( )
*
+ Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có đ dài bằng
l
12
x x l − =
( )
2
2
1 2 1 2
4x x x x l + − =
22
4S P l − =
( )
**
+ Bước 4: Giải
( )
*
và giao với
( )
**
để suy ra giá trị m cần tìm.
CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số
f
xác định trên tập K và
0
xK
. Ta nói:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
4
+
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số
f
nếu tồn tại một khoảng
( )
;ab
chứa
0
x
sao cho
( )
;a b K
và
( ) ( ) ( )
00
, ; \f x f x x a b x
. Khi đó
( )
0
fx
được gọi là giá trị cực
tiểu của hàm số
f
.
+
0
x
là điểm cực đại của hàm số
f
nếu tồn tại một khoảng
( )
;ab
chứa
0
x
sao cho
( )
;a b K
và
( ) ( ) ( )
00
, ; \f x f x x a b x
.Khi đó
( )
0
fx
được gọi là giá trị cực đại
của hàm số
f
.
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (cực trị) của hàm số.
+ Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số thì điểm
( )
( )
00
;x f x
gọi là điểm cực trị của đồ thị.
* Nhận xét:
+ Giá trị cực đại (cực tiểu)
( )
0
fx
nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số
f
trên tập K;
( )
0
fx
chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
f
trên một khoảng
( )
;ab
nào đó chứa
0
x
hay nói cách khác khi
0
x
điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa
0
x
sao cho
( )
0
fx
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
f
trên khoảng
( )
.;ab
+ Hàm số
f
có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2. Điều kiện cần để hàm số đt cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số
( )
y f x=
đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó, nếu
( )
y f x=
có đạo
hàm tại điểm
0
x
thì
( )
0
0.fx
=
Chú ý:
+ Đạo hàm
( )
fx
có thể bằng
0
tại điểm
0
x
nhưng hàm số
f
không đạt cực trị tại
điểm
0
x
+ Hàm số có thể đạt cực trị tại mt điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại mt điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
0
hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số
f
đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó:
+ Nếu hàm số
f
có đạo hàm tại điểm
0
x
thì
( )
0
'0fx=
. Nếu
( )
0fx
trên khoảng
( )
00
;x h x−
và
( )
0fx
trên khoảng
( )
00
;x x h+
thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm số
( )
.fx
+ Nếu
( )
0fx
trên khoảng
( )
00
;x h x−
và
( )
0fx
trên khoảng
( )
00
;x x h+
thì
0
x
là một điểm
cực tiểu của hàm số
( )
.fx
Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
+ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
( )
.fx
+ Bước 2: Tìm các điểm
i
x
( )
1;2;...i =
mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm
số liên tục nhưng không có đạo hàm.
+ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu
( )
fx
. Nếu
( )
fx
đổi dấu khi đi
qua
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại
i
x
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
5
Định lí 3: Giả sử
( )
y f x=
có đạo hàm cấp 2 trong khoảng
( )
00
;x h x h−+
với
0.h
Khi
đó:
+ Nếu
( )
0
0,fx
=
( )
0
0fx

thì hàm số
f
đạt cực đại tại
0
.x
+ Nếu
( )
0
0,fx
=
( )
0
0fx

thì hàm số
f
đạt cực tiểu tại
0
.x
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
+ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
( )
.fx
+ Bước 2: Tìm các nghiệm
i
x
( )
1;2;...i =
của phương trình
( )
0.fx
=
+ Bước 3: Tính
( )
fx

và tính
( )
.
i
fx

Nếu
( )
0
i
fx

thì hàm số
f
đạt cực đại tại điểm
.
i
x
Nếu
( )
0
i
fx

thì hàm số
f
đạt cực tiểu tại điểm
.
i
x
SỐ ĐIỂM CỰC TR HM TR TUYỆT ĐỐI
➢ Gọi m là số điểm cực trị của hàm số và k là số giao điểm ( cắt, không tính tiếp xúc) giữa
đồ thị vớ trc Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
➢ Gọi n là số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số . ( đồ thị không cắt ngang Oy)
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
➢ Bài toán chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số có điểm cực trị. Tìm giá trị của
tham số để hàm số có điểm cực trị.
+ Khi tịnh tiến sang trái hoặc sang phải đơn vị thì số điểm cực trị hàm số vẫn bằng
số điểm cực trị hàm số .
+ Để tìm số giao điểm với trc ta chuyển về dạng tìm số giao điểm của đồ
thị và đường thẳng .
Lưu : Số giao điểm này không tnh giao tại điểm cực trị của hàm .
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
CỰC TR CỦA HM ĐA THỨC BẬC BA:
1. Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng qut: Cho hàm số
( )
32
;.y f x m ax bx cx d= = + + +
Tìm tham số m để hàm số có
điểm cực trị
12
,xx
thỏa mãn điều kiện
K
cho trước.
Phương php:
+ Bước 1:
Tập xác định:
.D =
Đạo hàm:
22
32y ax bx c Ax Bx C
= + + = + +
+ Bước 2: Hàm số có điểm cực trị (hay có hai điểm cực trị, hai điểm cực trị phân biệt hay
có cực đại và cực tiểu)
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
y
đi dấu qua 2 nghiệm đó
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt
1
22
2
30
0
.
4 4 12 0
30
y
Aa
a
mD
B AC b ac
b ac
=

= − = −
−
( )
y f x=
( )
y f x=
Ox
( )
y f x=
mk+
( )
y f x=
( )
y f x=
21n +
( )
y f x=
1
n
m
( ) ( )
y f x k f m= + +
2
n
k
( )
y f x k=+
( )
y f x=
( ) ( )
y f x f m=+
Ox
( )
y f x=
( )
y f m=−
( )
y f x=
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
6
+ Bước 3: Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
0.y
=
Khi đó:
Bước 4: Biến đi điều kiện
K
về dạng tng
S
và tch
P
. Từ đó giải ra tìm được
2
.mD
Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn:
12
.m D D=
* Hàm số bậc ba:
( )
32
0 .y ax bx cx d a= + + +
Ta có:
2
' 3 2 .y ax bx c= + +
Điều kiện
Kết luận
2
30b ac−
Hàm số không có điểm cực trị.
2
30b ac−
Hàm số có hai điểm cực trị.
➢ Điều kiện để hàm số có điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
▪ Hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt trái dấu
. 3 0 0.AC ac ac =
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu
0y
=
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
12
0
.0
y
C
P x x
A

= =
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương
0y
=
có 2 nghiệm dương phân biệt
12
12
0
0
.0
y
B
S x x
A
C
P x x
A

= + = −
= =
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm
0y
=
có 2 nghiệm âm phân biệt
'
12
12
0
0
.0
y
B
S x x
A
C
P x x
A

= + = −
= =
➢ Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị
12
,xx
thỏa mãn:
12
12
12
xx
xx
xx



▪ Hai điểm cực trị
12
,xx
thỏa mãn
12
xx

( )( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
0 . 0x x x x x x
− − − + +
▪ Hai điểm cực trị
12
,xx
thỏa mãn
12
xx

( )( )
( )
2
12
1 2 1 2
12
12
0
.0
2
2
xx
x x x x
xx
xx


− −
− + +



+
+
▪ Hai điểm cực trị
12
,xx
thỏa mãn
12
xx

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
7
( )( )
( )
2
12
1 2 1 2
12
12
0
.0
2
2
xx
x x x x
xx
xx


− −
− + +



+
+
▪ Phương trình bậc 3:
+ có 3 nghiệm lập thành cấp số cng khi có 1 nghiệm là
3
b
x
a
−
=
.
+ có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là
3
d
x
a
=−
.
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cc điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so
với một đường thẳng
Vị trí tương đối gia 2 điểm vi đưng thng:
Cho 2 điểm
( ) ( )
; , ;
A A B B
A x y B x y
và đường thẳng
: 0.ax by c + + =
Nếu
( )( )
0
A A B B
ax by c ax by c+ + + +
thì hai điểm
, AB
nằm về hai phía so với
.
Nếu
( )( )
0
A A B B
ax by c ax by c+ + + +
thì hai điểm
, AB
nằm cùng phía so với
.
Một số trưng hp đc biệt:
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu
phương trình
0y
=
có hai nghiệm trái dấu
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
.0
TC C
yy
Đc biệt:
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
.0
0
CD
C
CT
CTD
yy
yy
+
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
.0
0
CD
C
CT
CTD
yy
yy
+
.
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
phương trình
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
.0
CD CT
yy
(áp dụng khi không nhm đưc nghiệm và viết đưc phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
phương trình hoành đ giao điểm
( )
0fx=
có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi
nhm được nghiệm)
3. Phương trình đường thẳng qua cc điểm cực trị
( )
2
22
3 9 9
c b bc
g x x d
aa

= − + −


hoặc
( )
.
9.
2
yy
g x ay
=−
hoặc
( )
.
3
yy
g x y
y
=−

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
8
3
4 16ee
AB
a
+
=
với
2
3
9
b ac
e
a
−
=
CỰC TR CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
( )
42
, 0y ax bx c a= + +
MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ
+ Hàm số có mt cực trị
0.ab
+ Hàm số có ba cực trị
0.ab
+ Hàm số có đúng mt cực trị và cực trị là cực tiểu
0
0
a
b
.
+ Hàm số có đúng mt cực trị và cực trị là cực đại
0
0
a
b
.
+ Hàm số có hai cực tiểu và mt cực đại
0
0
a
b
.
+ Hàm số có mt cực tiểu và hai cực đại
0
0
a
b
.
Giả sử hàm số
42
y ax bx c= + +
có
3
cực trị:
(0; ), ; , ;
2 4 2 4
bb
A c B C
a a a a

− − − − −
tạo thành tam giác
ABC
thỏa mãn dữ kiện:
0ab
Tổng quát:
3
2
cot
28
b
a
−
=
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
Dữ kiện
Công thức thỏa mãn
0ab
Tam giác
ABC
vuông cân tại
A
3
8ba=−
Tam giác
ABC
đều
3
24ba=−
Tam giác
ABC
có diện tích
0ABC
SS
=
3 2 5
0
32 ( ) 0a S b+=
Tam giác
ABC
có diện tích
0
()max S
5
0
3
32
b
S
a
=−
Tam giác
ABC
có bán knh đường tròn nội tiếp
0ABC
rr
=
2
3
4 1 1
8
b
r
b
a
a
=

+−



Tam giác
ABC
có bán knh đường tròn ngoại tiếp
R
3
8
8
ba
R
ab
−
=
Tam giác
ABC
có độ dài cạnh
0
BC m=
2
0
20am b+=
Tam giác
ABC
có độ dài
0
AB AC n==
2 2 4
0
16 8 0a n b ab− + =
Tam giác
ABC
có cực trị
,B C Ox
2
4b ac=
Tam giác
ABC
có
3
góc nhọn
3
(8 ) 0b a b+
Tam giác
ABC
có trọng tâm
O
2
6b ac=
Tam giác
ABC
có trực tâm
O
3
8 4 0b a ac+ − =
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
9
Tam giác
ABC
cùng điểm
O
tạo thành hình thoi
2
2b ac=
Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn nội tiếp
3
8 4 0b a abc− − =
Tam giác
ABC
có
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
3
8 8 0b a abc− − =
Tam giác
ABC
có cạnh
BC kAB kAC==
3 2 2
. 8 ( 4) 0b k a k− − =
Trc hoành chia tam giác
ABC
thành hai phần có diện
tích bằng nhau
2
42b ac=
Tam giác
ABC
có điểm cực trị cách đều trc hoành
2
8b ac=
Đồ thị hàm số
( )
42
:C y ax bx c= + +
cắt trc
Ox
tại 4
điểm phân biệt lập thành cấp số cộng
2
100
9
b ac=
Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( )
42
:C y ax bx c= + +
và trc hoành có diện tích phần trên
và phần dưới bằng nhau.
2
36
5
b ac=
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
là:
22
22
0
44
x y c y c
b a b a

+ − − + + − =
GIÁ TR LỚN NHẤT - GIÁ TR NHỎ NHẤT
I. Định nghĩa.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên tập
.D
+ Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
( )
y f x=
trên
D
nếu:
00
( ) ,
, ( )
f x M x D
x D f x M
=
.
Kí hiệu:
max ( )
xD
M f x
=
.
+ Số
m
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
trên
D
nếu:
00
( ) ,
, ( )
f x m x D
x D f x m
=
.
Kí hiệu:
min ( )
xD
m f x
=
.
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
+ Bước 1: Tính
( )
fx
và tìm các điểm
12
, ,...,
n
x x x D
mà tại đó
( )
0fx
=
hoặc hàm số
không có đạo hàm.
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
+ Bước 1:
Hàm số đã cho
( )
y f x=
xác định và liên tục trên đoạn
;.ab
Tìm các điểm
12
, ,...,
n
x x x
trên khoảng
( )
;ab
, tại đó
( )
0fx
=
hoặc
( )
fx
không xác
định.
+ Bước 2: Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
, , ,..., , .
n
f a f x f x f x f b
+ Bước 3: Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
,
max max , ,..., , , .
n
ab
f x f x f x f x f a f b=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
,
min min , ,..., , , .
n
ab
f x f x f x f x f a f b=
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tnh đạo hàm
()fx
.
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm
( ; )
i
x a b
của phương trình
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
10
( ) 0fx
=
và tất cả các điểm
( ; )
i
ab
làm cho
()fx
không xác định.
Bước 3. Tính
lim ( )
xa
A f x
+
→
=
,
lim ( )
xb
B f x
−
→
=
,
()
i
fx
,
()
i
f
.
Bước 4. So sánh các giá trị tnh được và kết luận:
( ; )
max ( )
ab
M f x=
,
( ; )
min ( )
ab
m f x=
.
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ
nhất).
Chú ý:
+ Nếu
( )
y f x=
đồng biến trên
;ab
thì
( ) ( )
( ) ( )
;
;
min
max
ab
ab
f x f a
f x f b
=
=
.
+ Nếu
( )
y f x=
nghịch biến trên
;ab
thì
( )
( )
;
;
min ( )
.
max ( )
ab
ab
f x f b
f x f a
=
=
+ Hàm số liên tục trên mt khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
trên khoảng đó.
XÁC ĐNH GIÁ TR CỦA THAM SỐ ĐỂ GIÁ TR LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HM
SỐ
( )
y f x=
TRÊN
D
THỎA MÃN MỘT DỮ KIỆN CHO TRƯỚC.
Kết quả 1:Giả sử
( )
fx
xác định trên
D
và tồn tại
( ) ( )
max ; min
xD
xD
f x M f x m
==
thì
( )
max max ; .
xD
f x M m
=
Chú ý:
+
( )
( )
max max ; , 0 .
xD
Ma
ma
f x M m a a
ma
Ma
=
= =
=
+
( )
( )
max max ; , 0 .
xD
Ma
f x M m a a
ma

=
+
( )
max max ; .
22
xD
M m M m
f x M m
++
=
Dấu
""=
xảy ra
.Mm=
Kết quả 2: Giả sử
( )
fx
xác định và liên tục trên miền
.D
Khi đó, nếu gọi
( )
max
xD
M f x
=
và
( )
min
xD
m f x
=
thì
( )
0 . 0
min .
min ; . 0
xD
khi m M
fx
M m khi m M
=
Chú ý: Nếu
( )
min ; , 0
Ma
ma
M m a a
ma
Ma
=
=
=
.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ TH HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
11
Cho hàm số
()y f x=
xác định trên mt khoảng vô hạn (là khoảng dạng
( ) ( )
; , ;ab+ −
hoặc
( )
;− +
). Đường thẳng
0
yy=
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận
ngang) của đồ thị hàm số
()y f x=
nếu ít nhất mt trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
00
lim ( ) , lim ( )
xx
f x y f x y
→+ →−
==
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng
0
xx=
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số
()y f x=
nếu ít nhất mt trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
00
lim ( ) , lim ( ) ,
x x x x
f x f x
+−
→→
= + = −
00
lim ( ) , lim ( )
x x x x
f x f x
+−
→→
= − = +
Lưu : Với đồ thị hàm phân thức dạng
( )
0; 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −
+
luôn có tiệm cận ngang là
a
y
c
=
và tiệm cận đứng
.
d
x
c
=−
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Cho hàm số
( )
y f x=
.
Tìm tập xác định của hàm số.
Sự biến thiên
• Chiều biến thiên.
i. Tính
'y
.
ii. Tìm các nghiệm của phương trình
'0y =
và các điểm tại đó
'y
không xác định.
iii. Xét dấu
'y
và suy ra các khoảng biến thiên của hàm số.
• Tìm cực trị (nếu có).
• Tìm các giới vô cực; các giới hạn tại
, + −
và tại các điểm mà hàm số không xác
định.
• Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu có).
• Lập bảng biến thiên.
Đồ thị.
• Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng,…)
• Xác định giao điểm của (C) với Ox, Oy (nếu có).
• Vẽ đồ thị.
2. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC:
a) HÀM SỐ BẬC BA
( )
32
0y ax bx cx d a= + + +
TRƯỜNG HỢP
0a
0a
Phương trình
/
0y =
có 2 nghiệm phân biệt
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
12
Phương trình
/
0y =
có
nghiệm kép
Phương trình
/
0y =
vô
nghiệm
b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
( )
42
0y ax bx c a= + +
TRƯỜNG HỢP
0a
0a
Phương trình
/
0y =
có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình
/
0y =
có 1 nghiệm.
c) HÀM SỐ NHẤT BIẾN
( )
0, 0
ax b
y c ad bc
cx d
+
= −
+
0D ad bc= −
0D ad bc= −
CÁCH BIỂN ĐỔI ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ
( ) ( )
:C y f x=
BAN ĐẦU
ĐỒ TH
CÁCH VẼ
( )
y f x=−
Lấy đối xứng đồ thị
( )
y f x=
qua trục Oy
( )
y f x=−
Lấy đối xứng đồ thị
( )
y f x=
qua trục
Ox
( )
y f x=
+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
( )
y f x=
.
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
( )
y f x=
, lấy đối xứng
phần đồ thị được giữ qua Oy.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
13
( )
y f x=
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên
Ox
của đồ thị
( )
y f x=
.
+ Bỏ phần đồ thị pha dưới
Ox
của
( )
y f x=
, lấy đối
xứng phần đồ thị bị bỏ qua
Ox
.
( )
y f x=
Thực hiện liên hoàn biến đi đồ thị
( )
y f x=
thành đồ
thị
( )
y f x=
, sau đó biến đi
đồ thị
( )
y f x=
thành đồ
thị
( )
y f x=
.
( ) ( )
.y u x v x=
với
( ) ( ) ( )
:.C y u x v x=
+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
( )
0ux
của đồ thị
( )
y f x=
.
+ Bỏ phần đồ thị trên miền
( )
0ux
của
( )
y f x=
, lấy đối
xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
( )
y f x m=+
với
0m
Dịch chuyển đồ thị lên trên
m
đơn vị.
( )
y f x m=−
với
0m
Dịch chuyển đồ thị xuống dưới
m
đơn vị.
( )
y f x n=+
với
0n
Dịch chuyển đồ thị sang trái
n
đơn vị.
( )
y f x n=−
với
0n
Dịch chuyển đồ thị sang phải
n
đơn vị.
( )
y f px=
với
1p
Co đồ thị theo chiều ngang hệ số
p
.
( )
y f px=
với
01p
Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số
1
p
.
( )
y qf x=
với
1p
Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ số
q
.
( )
y qf x=
với
01q
Co đồ thị theo chiều dọc hệ số
1
q
.
( )
y f x m=+
Vẽ
( )
y f x=
trước sau đó tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc
xuống dưới tùy theo
m
.
( )
y f x m=+
Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo
m
sau đó lấy đối
xứng qua trục
Ox
(Giữ nguyên phần trên
Ox
, bỏ phần
dưới
Ox
, lấy đối xứng phần bị bỏ qua
Ox
)
Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo sau đó lấy đối
xứng qua trục (Giữ nguyên phần bên phải , bỏ
phần bên trái , lấy đối xứng phần được giữ nguyên
qua ).
Vẽ trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc
phải tùy theo .
XÁC ĐNH TNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HM SỐ DỰA VO ĐỒ TH
( )
fx
.
❖ Hàm số có đạo hàm trên nếu:
+ Đồ thị hàm số nằm phía trên thì hàm số đồng biến trên .
+ Đồ thị hàm số nằm phía dưi thì hàm số nghịch biến trên .
❖ Hàm số , cho trước các đồ thị .
( )
y f x m=+
m
Oy
Oy
Oy
Oy
( )
y f x m=+
( )
y f x=
m
( )
y f x=
( )
fx
D
( )
fx
Ox
( )
y f x=
D
( )
fx
Ox
( )
y f x=
D
( ) ( ) ( )
y f x h x g x= = −
( ) ( )
,h x g x

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
14
+ Nếu đồ thị nằm phía trên đồ thị thì : Hàm số đồng biến trên
+ Nếu đồ thị nằm phía dưới đồ thị thì : Hàm số nghịch biến trên .
TIẾP TUYẾN
1. Tiếp tuyến : Cho hàm số
( )
y f x=
, có đồ thị (C). Tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm
( )
0 0 0
; ( )M x y C
có dạng:
( )( )
0 0 0
y y x x x y
= − +
.
Trong đó: Điểm
( )
0 0 0
; ( )M x y C
được gọi là tiếp điểm. ( với
( )
00
y f x=
).
( )
0
'k f x=
là hệ số góc của tiếp tuyến.
2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
':C y g x=
Đồ thị
( )
C
và
( )
C
tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
//
f x g x
f x g x
=
=
có nghiệm.
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số
()y f x=
có đồ thị
1
()C
và
()y g x=
có đồ thị
2
()C
.
Phương trình hoành độ giao điểm của
1
()C
và
2
()C
là
( )
( ) ( ) 1f x g x=
. Khi đó:
+ Số giao điểm của
1
()C
và
2
()C
bằng với số nghiệm
của phương trình
( )
1
.
+ Nghiệm
0
x
của phương trình
( )
1
chính là
hoành độ
0
x
của giao điểm.
+ Để tnh tung độ
0
y
của giao điểm, ta thay hoành độ
0
x
vào
( )
y f x=
hoặc
( )
y g x=
.
+ Điểm
( )
00
;M x y
là giao điểm của
1
()C
và
2
()C
.
ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong
()
m
C
có phương trình
( , )y f x m=
, trong đó
f
là hàm đa thức theo biến
x
với
m
là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong
khi
m
thay đổi?
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đưa phương trình
( , )y f x m=
về dạng phương trình
theo ẩn
m
có dạng sau:
0Am B+=
hoặc
2
0Am Bm C+ + =
.
+ Bước 2: Cho các hệ số bằng
0
, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
0
0
A
B
=
=
hoặc
0
0
0
A
B
C
=
=
=
.
+ Bước 3: Kết luận:
- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong
()
m
C
không có điểm cố định.
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của
()
m
C
.
( )
hx
( )
gx
( )
0fx
D
( )
hx
( )
gx
( )
0fx
D
x
y
0
y
0
x
O
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
15
2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong
()C
có phương trình
()y f x=
(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa
độ nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó
đều là số nguyên.
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán.
3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:
Cho đường cong
()C
có phương trình
()y f x=
. Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua
đường thẳng.
Bài toán 1: Cho đồ thị
( )
32
:C y Ax Bx Cx D= + + +
trên đồ thị
( )
C
tìm những cặp điểm đối xứng
nhau qua điểm
( , )
II
I x y
.
Phương pháp giải:
+ Gọi
( ) ( )
3 2 3 2
; , ;M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D+ + + + + +
là hai điểm trên
( )
C
đối xứng
nhau qua điểm
I
.
+ Ta có
( )
( )
3 3 2 2
2
( ) 2 2
I
I
a b x
A a b B a b C a b D y
+=
+ + + + + + =
.
Giải hệ phương trình tìm được
,ab
từ đó tìm được toạ độ M, N.
Trưng hp đc biệt : Cho đồ thị
( )
32
:C y Ax Bx Cx D= + + +
. Trên đồ thị
( )
C
tìm những cặp điểm
đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Phương pháp giải:
+ Gọi
( ) ( )
3 2 3 2
, , ,M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D+ + + + + +
là hai điểm trên
( )
C
đối xứng
nhau qua gốc tọa độ.
+ Ta có
( )
( )
3 3 2 2
0
( ) 2 0
ab
A a b B a b C a b D
+=
+ + + + + + =
.
+ Giải hệ phương trình tìm được
,ab
từ đó tìm được toạ độ
,MN
.
Bài toán 3: Cho đồ thị
( )
32
:C y Ax Bx Cx D= + + +
trên đồ thị
( )
C
tìm những cặp điểm đối xứng
nhau qua đường thẳng
11
:d y Ax B=+
.
Phương pháp giải:
+ Gọi
( ) ( )
3 2 3 2
; , ;M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D+ + + + + +
là hai điểm trên
( )
C
đối xứng
nhau qua đường thẳng
d
.
+ Ta có:
(1)
. 0 (2)
d
Id
MN u
=
(với
I
là trung điểm của
MN
và
d
u
là vectơ chỉ phương của đường
thẳng
d
).
+ Giải hệ phương trình tìm được M, N.
4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
❖ Lý thuyết:
+ Cho hai điểm
( ) ( )
1 1 2 2
; ; ;A x y B x y
( ) ( )
22
2 1 2 1
AB x x y y = − + −
Cho điểm
( )
00
;M x y
và đường thẳng
:0d Ax By C+ + =
, thì khoảng cách từ
M
đến
d
là
( )
00
22
;
Ax By C
h M d
AB
++
=
+
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
16
+ Cho hàm phân thức:
ax b
y
cx d
+
=
+
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là trung điểm AB.
Diện tích tam giác
IAB
không đổi:
2
2
IAB
S ad bc
c
=−
.
❖ Các bài toán thường gặp:
Bài toán 1: Cho hàm số
( )
0, 0
ax b
c ad bc
cx
y
d
+
−
+
=
có đồ thị
( )
C
. Hãy tìm trên
()C
hai điểm
A
và
B
thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách
AB
ngắn nhất.
Phương pháp giải:
+
( )
C
có tiệm cận đứng
d
x
c
=−
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm
cận đứng. Nên gọi hai số
,

là hai số dương.
+ Nếu
A
thuộc nhánh trái:
AA
d d d
xx
c c c
− = − − −
;
()
AA
y f x=
.
+ Nếu
B
thuộc nhánh phải:
BB
d d d
xx
c c c
− = − + −
;
()
BB
y f x=
.
+ Sau đó tnh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2
B A B A B A
AB x x y y a a y y

= − + − = + − − + −


.
+ Áp dng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
( )
C
có phương trình
()y f x=
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
()C
để tổng khoảng cách từ
M
đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
+ Gọi
( )
;M x y
và tổng khoảng cách từ
M
đến hai trc tọa độ là
d
thì
d x y=+
.
+ Xét các khoảng cách từ
M
đến hai trc tọa độ khi
M
nằm ở các vị tr đặc biệt: Trên trc
hoành, trên trc tung.
+ Sau đó xét tổng quát, những điểm
M
có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung
độ của
M
khi nằm trên hai trc thì loại đi không xét đến.
+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm
được giá trị nhỏ nhất của
d
.
Bài toán 3: Cho đồ thị
()C
có phương trình
()y f x=
. Tìm điểm
M
trên
()C
sao cho khoảng
cách từ
M
đến Ox bằng
k
lần khoảng cách từ
M
đến trục
Oy
.
Phương pháp giải:
Theo đầu bài ta có
( )
( )
f x kx
y kx
y k x
y kx
f x kx
=
=
=
=−
=−
.
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số
()C
có phương trình
( )
( ) 0, 0
ax b
y f x c ad bc
cx d
+
= = −
+
.
Tìm tọa độ điểm
M
trên
()C
sao cho độ dài
MI
ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải:
+ Tiệm cận đứng
d
x
c
−
=
; tiệm cận ngang
a
y
c
=
.
+ Ta tìm được tọa độ giao điểm
;
da
I
cc
−



của hai tiệm cận.
+ Gọi
( )
;
MM
Mx y
là điểm cần tìm. Khi đó:
( )
22
2
M M M
da
IM x y g x
cc
= + + − =
+ Sử dng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số
g
để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số
()C
có phương trình
()y f x=
và đường thẳng
:0d Ax By C+ + =
. Tìm điểm
I
trên
()C
sao cho khoảng cách từ
I
đến
d
là ngắn nhất.
Phương pháp giải:
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
17
+ Gọi
I
thuộc
()C
( )
0 0 0 0
; ; ( )I x y y f x=
.
+ Khoảng cách từ
I
đến
d
là
( )
00
0
22
( ) ;
Ax By C
g x h I d
AB
++
==
+
+ Khảo sát hàm số
()y g x=
để tìm ra điểm
I
thỏa mãn yêu cầu.
MŨ VÀ LOGARIT
LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA.
1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA.
+ Lũy thừa với số mũ nguyên.
Cho
n
là một số nguyên dương. Với
a
là số thực tùy ý, lũy thừa bậc
n
của a là tích của
n
thừa số
a
.
. ......
n
n
a a a a=
(
n
thừa số).
Với
0.a
0
1
1
n
n
aa
a
−
==
Ta gọi
a
là cơ số,
m
là mũ số. Và chú ý
0
0
và
0
n−
không có nghĩa.
+ Một số tính chất của lũy thừa
• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
;a a a
+
=
;
a
a
a

−
=
.
( ) ;aa
=
( ) ;ab a b
=
;
aa
bb

=


ab
ba

−
=
• Nếu
1a
thì
aa


;
Nếu
01a
thì
aa


.
• Với mọi
0 ab
, ta có:
0
mm
a b m
;
0
mm
a b m
• Chú ý:
+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
+ Khi xét lũy thừa với số mũ
0
và số mũ nguyên âm thì cơ số
a
phải khác
0
.
+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số
a
phải dương.
+ Phương trình
.
n
xb=
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình
n
xb=
như sau:
• Trường hợp n lẻ:
Với mọi số thực
b
, phương trình có nghiệm duy nhất.
• Trường hợp n chẵn:
+ Với
0b
, phương trình vô nghiệm.
+ Với
0b =
, phương trình có một nghiệm
0.x =
+ Với
0b
, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
n
b
, còn giá trị âm là
n
b−
.
Một số tính chất của căn bậc
n
Với
*
, ;nab
, ta có:
+
2
2
n
n
a a a=
;
+
21
21
n
n
a a a
+
+
=
.
+
22
2
,0
nn
n
ab a b ab=
;
+
2 1 2 1 2 1
,
n n n
ab a b a b
+ + +
=
.
+
2
2
2
, 0, 0
n
n
n
aa
ab b
b
b

=

;
+
21
21
21
,0
n
n
n
aa
ab
b
b
+
+
+
=
.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
18
+
( )
,0
m
n
m
n
a a a=
,
n
nguyên dương,
m
nguyên.
+
,0
n
m nm
a a a=
,
n
,
m
nguyên dương.
+
Nếu
pq
nm
=
thì
, 0, ,
nm
pq
a a a m n=
nguyên dương
,pq
nguyên.
Đặc biệt:
mn
m
n
aa
=
2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
+ Khái niệm.
Xét hàm số
yx
=
, với
là số thực cho trước.
Hàm số
yx
=
, với
, được gọi là hàm số lũy thừa.
Chú ý.
Tập xác định của hàm số lũy thừa
yx
=
tùy thuc vào giá trị của
. Cụ thể.
• Với
nguyên dương, tập xác định là
.
• Với
nguyên âm hoặc bằng
0
, tập xác định là
\ 0 .
• Với
không nguyên, tập xác định
( )
0; .+
+ Khảo sát hàm số lũy thừa.
❖ Tập xác định của hàm số lũy thừa
yx
=
luôn chứa khoảng
( )
0;+
với mọi
. Trong trường hợp tng quát, ta khảo sát hàm số
yx
=
trên khoảng này.
, 0.yx
=
, 0.yx
=
1. Tập xác định:
( )
0; .+
2. Sự biến thiên
1
' . 0 0.y x x
−
=
Giới hạn đặc biệt:
0
lim 0, lim .
x
x
xx

+
→+
→
= = +
Tiệm cận:
Không có.
3. Bảng biến thiên.
x
0
+
y
+
y
+
0
1. Tập xác định:
( )
0; .+
2. Sự biến thiên
1
' . 0 0.y x x
−
=
Giới hạn đặc biệt:
0
lim , lim 0.
x
x
xx

+
→+
→
= + =
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Oy là tiệm cận đứng.
3. Bảng biến thiên.
x
0
+
y
−
y
+
0
Đồ thị của hàm số.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
19
Đồ thị của hàm số lũy thừa
yx
=
luôn đi qua điểm
( )
1;1 .I
❖ Khảo sát hàm số mũ
( )
, 0, 1
x
y a a a=
.
( )
,1
x
y a a=
( )
,1
x
y a a=
1. Tập xác định:
.
2. Sự biến thiên.
' ln 0, .
x
y a a x=
Giới hạn đặc biệt:
lim 0, lim .
x
xx
aa
→− →+
= = +
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên.
x
−
0 1
+
'y
+
+
+
y
a
+
1
0
Đồ thị như hình sau.
1. Tập xác định:
.
2. Sự biến thiên.
' ln 0,
x
y a a x=
Giới hạn đặc biệt:
lim , lim 0.
xx
xx
aa
→− →+
= + =
Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
3. Bảng biến thiên.
x
−
0 1
+
'y
−
−
−
y
+
1
0
Đồ thị như hình sau.
LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT
a
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
20
1. KHÁI NIỆM –TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT.
+ Khái niệm Logarit.
Cho hai số dương
,ab
với
1a
. Số
thỏa mãn đẳng thức
ab
=
được gọi là logarit cơ số
a
của
b
và được kí hiệu là
log
a
b
.
log .
a
b a b
= =
Không có logarit của số âm và số 0.
Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:
•
( )
0
1, 0 .aa=
.
•
( )
1
aa=
.
•
( )
1
a
a
−
=
•
( )
( )
( )
a
a
a

−
=
.
•
( ) ( ) ( )
.a a a
+
=
.
•
( ) ( ) ( )
..a b a b
=
.
•
( )
( )
( )
,0
a
a
b
b
b

=


.
•
( ) ( )
( )
*
,aa
=
.
•
( )
( )
aa

=
.
•
( )
log
a
a b b
= =
.
•
( )
log 1 0, 0 1
a
a=
.
•
( )
log 1, 0 1
a
aa=
.
•
( )
log , 0 1
a
aa
=
.
•
( )
1
log , 0 1
a
aa
=
.
•
( )
log .log , , 0, 1
aa
b b a b a
=
.
•
1
log .log
a
a
bb
=
.
•
log .log
a
a
bb
=
.
•
( )
log log log
a a a
b c bc+=
.
•
log log log
a a a
b
bc
c

−=


.
•
1
log
log
a
b
b
a
=
.
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARIT.
+ Bất phương trình mũ cơ bản.
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng
x
ab
(hoặc
,,
xxx
a b a b a b
) với
0, 1.aa
Ta xét bất phương trình có dạng
.
x
ab
• Nếu
0b
, tập nghiệm của bất phương trình là , vì
,.
x
a b x
.
• Nếu
0b
thì bất phương trình tương đương với
log
.
a
b
x
aa
Với
1a
, nghiệm của bất phương trình là
log .
a
xb
Với
01a
, nghiệm của bất phương trình là
log .
a
xb
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
• Với
1a
, ta có đồ thị sau.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . . EMPIRE TEAM . .
HỆ THỐNG KIẾN LÝ . . THUYẾT TOÁN 12 . . . . . .
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . HÀM SỐ
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa . .
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K :
+ Hàm số y = f ( x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu: x
 , x K, x x f x f x 1 2 1 2 ( 1) ( 2) . .
+ Hàm số y = f ( x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu: x
 , x K, x x f x f x 1 2 1 2 ( 1) ( 2) . .
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
+ Nếu f ( x)  0, x
 (a;b) hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (a;b). . .
+ Nếu f ( x)  0, x
 (a;b)  hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (a;b). + Nếu . .
f ( x) = 0, x
 (a;b) hàm số f ( x) không đổi trên khoảng (a;b).
+ Nếu f ( x) đồng biến trên khoảng (a;b)  f ( x)  0, x  (a;b). . .
+ Nếu f ( x) nghịch biến trên khoảng ( ;
a b)  f ( x)  0, x  ( ; a b).
+ Nếu thay đổi khoảng (a;b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm . .
giả thiết “hàm số f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
➢ Cho hàm số f ( x) và g ( x) xác định trên D . .
+ Nếu hai hàm số f ( x) và g ( x) cùng đồng biến, dương và liên tục trên cùng một
tập xác định D thì h ( x) = f ( x).g ( x) và k ( x) = f ( x) + g ( x) là các hàm số đồng . .
biến và liên tục trên D.
+ Nếu hai hàm số f ( x) và g ( x) cùng nghịch biến, dương và liên tục trên cùng một . .
tập xác định D thì h ( x) = f ( x).g ( x) là hàm số đồng biến và liên tục trên D còn
k ( x) = f ( x) + g ( x) là hàm số nghịch biến và liên tục trên D. Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 1
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
+ Nếu hai hàm số f ( x) đồng biến, dương; g ( x) nghịch biến, dương và cùng liên . .
tục trên cùng một tập xác định D thì h ( x) = f ( x).g ( x) là hàm số nghịch biến và liên tục trên D. . .
+ Hàm số f ( x) liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì hàm số f ( x) + m
đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) . . .
+ Hàm số f ( x) liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì hàm số f ( x + m)
đồng biến (nghịch biến) (a − ; m b − m). . .
+ Hàm số f ( x) liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì hàm số f (mx)  . . a b
đồng biến (nghịch biến) trên ; , m   0   .  m m
2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm . .
Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u ( x); v = v ( x); C : là hằng số .  . .
Tổng, hiệu: (u v) = u  v . Tích: (   .
u v) = u .v + v .u ( . C u) = . C u . . . 
u u .v − v .uC C.u
Thương: = , v  0  = −     2 ( ) 2  v vu u
Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u), u = u ( x)  y = y.u. x u x 1.
Bảng công thức tính đạo hàm: . .
Đạo hàm của hàm sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp (  
C ) = 0 (C là hằng số). (   x ) 1 = .x − . . (       x ) 1 = .x − − (u ) 1 =.u .u . .    1  1    = − 1 u (x  0)   = − u  0   2 ( ) 2  x xu u . . (   ux ) 1 = (x  0) ( u) = (u  0) 2 x 2 u . . (   sin x) =cos x
(sinu) =u .cosu (   . .
cos x) = −sin x (cosu) = u − .sinu (  u  x) 1 tan = (tanu) = 2 2 . . cos x cos u (  u  x) 1 cot = − (cotu) = − 2 2 sin x sin u . . (   x ) x e = e ( u ) = . u e ue (   . . x ) x a = a .ln a ( u ) = . u a
ua .ln a ( ) 1 u  ln x = (ln u ) = x u (  u  x = (log u = a ) a ) 1 log x ln a . u ln a
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a b a c b c 2  x + 2 x +   . . ax + b ad − bc 2  + +  = ax bx c d e d f e f   ;   = . cx + d  ( 2 2 cx + d ) . 2
dx + ex + f  ( 2
dx + ex + f ) . . 2.
Đạo hàm cấp 2 :  3.
+ Định nghĩa: f  ( x) =  f ( x)   . . 4.
+ Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t ) tại thời điểm t là: 0 5.
a (t = f  t . 0 ) ( 0 ) . . (n) −  6.
Đạo hàm cấp cao: f (x) (n ) 1 =  f
(x) ,(n , n  2)   . . .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
+ Nếu f '( x)  0 với mọi xK và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK . .
thì hàm số f đồng biến trên K .
+ Nếu f '( x)  0 với mọi xK và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK . .
thì hàm số f nghịch biến trên K . Chú ý: ax + b d
* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = x  − 
 thì dấu " = " khi xét dấu đạo hàm cx + d c  . . y không xảy ra.
Giả sử y = f ( x) 3 2
= ax + bx + cx + d f (x) 2 = 3ax + 2bx + . c . .
Hàm số đồng biến trên
Hàm số nghịch biến trên a  0 a  0   . .   0   0
f ( x)  0; x
   a = 0 .
f (x)      =  0; x a 0 .    . . b  = 0  b  = 0   c  0  c  0  . .
* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ
dài bằng l ta giải như sau:
+ Bước 1: Tính y = f (x m) 2 ; = ax + bx + . c . .
+ Bước 2: Hàm số đơn điệu trên ( x ; x y = 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 )   0 . .   (*) a  0
+ Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l . .
x − x = l  (x + x − 4x x = l 2 2
S − 4P = l (**) 1 2 )2 2 1 2 1 2
+ Bước 4: Giải (*) và giao với (**) để suy ra giá trị m cần tìm. . . CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x K . Ta nói: 0 Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 3
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
+ x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x sao cho 0 0 . .
(a;b)  K và f (x)  f (x , x
  a;b \ x . Khi đó f ( x được gọi là giá trị cực 0 ) 0 ) ( )  0
tiểu của hàm số f . . .
+ x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x sao cho 0 0
(a;b)  K và f (x)  f (x , x
  a;b \ x .Khi đó f ( x được gọi là giá trị cực đại 0 ) 0 ) ( )  0 . . của hàm số f .
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. . .
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực
trị phải là một điểm trong tập hợp K. . .
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (cực trị) của hàm số.
+ Nếu x là điểm cực trị của hàm số thì điểm ( x ; f x
gọi là điểm cực trị của đồ thị. 0 ( 0 )) 0 . . * Nhận xét:
+ Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 0 )
hàm số f trên tập K; f ( x chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) . . 0 )
nào đó chứa x hay nói cách khác khi x điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x 0 0 0 . .
sao cho f ( x là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b). 0 )
+ Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể
không có cực trị trên một tập cho trước.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại điểm x . Khi đó, nếu y = f ( x) có đạo 0 . .
hàm tại điểm x thì f ( x = 0. 0 ) 0 Chú ý: . .
+ Đạo hàm f (x) có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực trị tại 0 điểm x 0 . .
+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 . .
hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị . .
Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x . Khi đó: 0
+ Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x thì f '( x = 0 . Nếu f ( x)  0 trên khoảng ( x − ; h x và 0 0 ) 0 ) . . 0
f ( x)  0 trên khoảng ( x ; x + h thì x là một điểm cực đại của hàm số f ( x). 0 0 ) 0
+ Nếu f ( x)  0 trên khoảng ( x − ; h x
và f ( x)  0 trên khoảng ( x ; x + h thì x là một điểm . . 0 0 ) 0 0 ) 0
cực tiểu của hàm số f ( x).
Quy tắc tìm cực trị . . Quy tắc 1:
+ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ( x). . .
+ Bước 2: Tìm các điểm x (i =1;2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm i
số liên tục nhưng không có đạo hàm.
+ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f (x) . Nếu f (x) đổi dấu khi đi
qua x thì hàm số đạt cực trị tại x . i i
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 4
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
Định lí 3: Giả sử y = f ( x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x − ;
h x + h với h  0. Khi 0 0 ) đó: + . .
Nếu f ( x = 0, f  ( x  0 thì hàm số f đạt cực đại tại x . 0 ) 0 ) 0
+ Nếu f (x = 0, f  ( x  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x . 0 ) 0 ) 0 . .
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2:
+ Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ( x). . .
+ Bước 2: Tìm các nghiệm x (i =1;2;...) của phương trình f ( x) = 0. i
+ Bước 3: Tính f ( x) và tính f  (x ). . . i
 Nếu f ( x )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x . i i  . .
Nếu f ( x )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x . i i
SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI . .
➢ Gọi m là số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) và k là số giao điểm ( cắt, không tính tiếp xúc) giữa đồ . .
thị y = f ( x) vớ trục Ox  Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) là m + k .
➢ Gọi n là số điểm cực trị có hoành độ dương của hàm số y = f ( x) . ( đồ thị không cắt ngang Oy)
 Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) là 2n +1 .
➢ Bài toán chứa tham số: Cho hình vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) có n điểm cực trị. Tìm giá trị của 1 . .
tham số m để hàm số y = f ( x + k ) + f (m) có n điểm cực trị. 2
+ Khi tịnh tiến sang trái hoặc sang phải k đơn vị thì số điểm cực trị hàm số y = f ( x + k ) vẫn bằng . .
số điểm cực trị hàm số y = f ( x) .
+ Để tìm số giao điểm y = f ( x) + f (m) với trục Ox ta chuyển về dạng tìm số giao điểm của đồ . .
thị y = f ( x) và đường thẳng y = − f (m) .
Lưu ý: Số giao điểm này không tính giao tại điểm cực trị của hàm y = f ( x) . . .
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: . .
1. Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x m) 3 2 ;
= ax + bx + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có . .
điểm cực trị x , x thỏa mãn điều kiện K cho trước. 1 2
Phương pháp: . . + Bước 1:
 Tập xác định: D = .  . . Đạo hàm: 2 2
y = 3ax + 2bx + c = Ax + Bx + C
+ Bước 2: Hàm số có điểm cực trị (hay có hai điểm cực trị, hai điểm cực trị phân biệt hay
có cực đại và cực tiểu) . .  = y
0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt A = 3a  0  a  0      mD . 2 2 1 2  = − = −   B 4AC 4b 12ac 0 b   − ac y 3 0 Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 5
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
+ Bước 3: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình y = 0. 1 2 . .  B 2b x + x = − = −  1 2  A 3a Khi đó:  . . . C cx .x = = 1 2  A 3a
Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được mD . . . 2
Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D D . 1 2 * Hàm số bậc ba: 3 2
y = ax + bx + cx + d (a  0). Ta có: 2
y ' = 3ax + 2bx + . c . . Điều kiện Kết luận 2 b − 3ac  0
Hàm số không có điểm cực trị. . . 2 b − 3ac  0
Hàm số có hai điểm cực trị.
➢ Điều kiện để hàm số có điểm cực trị cùng dấu, trái dấu. . .
▪ Hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu . .  .
AC = 3ac  0  ac  0.
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu   . .  0 y  
y = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu   C
P = x .x =  0  1 2  A
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương  . .    0 y    B
y = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt  S = x + x = −  0 1 2 . . A   C
P = x .x =  0  1 2  A . .
▪ Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm  . .   0 y '    B
y = 0 có 2 nghiệm âm phân biệt  S = x + x = −  0 1 2 . . A   C
P = x .x =  0  1 2  A . . x    x 1 2
➢ Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x , x thỏa mãn: x x   . . 1 2 1 2   x x 1 2
▪ Hai điểm cực trị x , x thỏa mãn x    x . . 1 2 1 2
 (x − )(x − )  0  x .x − (x + x ) 2 +  0 1 2 1 2 1 2
▪ Hai điểm cực trị x , x thỏa mãn x x   . . 1 2 1 2 (
 x − )(x − )  0
x .x − (x + x ) 2 +  0 1 2 1 2 1 2    
x + x  2 
x + x  2 1 2  1 2
▪ Hai điểm cực trị x , x thỏa mãn   x x 1 2 1 2
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 6
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE ( . .
 x − )(x − )  0
x .x − (x + x ) 2 +  0 1 2 1 2 1 2    
x + x  2 
x + x  2 1 2  1 2 . . ▪ Phương trình bậc 3: −b
+ có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là x = . . . 3a d
+ có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là 3 x = − . a . .
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so
với một đường thẳng . .
Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:
Cho 2 điểm A( x ; y ), B ( x ; y và đường thẳng  : ax + by + c = 0. A A B B ) . .
Nếu (ax + by + c)(ax + by + c)  0 thì hai điểm ,
A B nằm về hai phía so với .  A A B B
Nếu (ax + by + c)(ax + by + c)  0 thì hai điểm ,
A B nằm cùng phía so với .  A A B B . .
Một số trường hợp đặc biệt:
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy . .
 hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy
 hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu
 phương trình y = 0 có hai nghiệm trái dấu . .
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y .y  0 C T C
Đặc biệt: . .
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox y .y  0 CD CT
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và  . . y + y  0  CD CT
Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox . . y .y  0 CD CT
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và  . y + y  0  CD CT + Các điể . .
m cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
 phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y .y  0 CD CT
(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai . .
điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox . .
 đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
 phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi . .
nhẩm được nghiệm)
3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị . .  c b bc yyyy g ( x) 2 2 2 =  −  x + d − hoặc g ( x) . = 9ay − . hoặc g ( x) . = y −  3 9a  9a 2 3y
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 7
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE 3 4e +16e 2 b − 3ac AB = với e = . . a 9a
CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG . . 4 2
y = ax + bx + c, (a  0)
MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ . .
+ Hàm số có một cực trị  ab  0.
+ Hàm số có ba cực trị  ab  0.   . . + a 0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu   . b   0   . . + a 0
Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại   . b   0   . . + a 0
Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại   . b   0   + a 0 . .
Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại   . b   0 Giả sử hàm số 4 2
y = ax + bx + c có 3 cực trị: . .  b    b   (
A 0;c), B  − − ; − ,C  − ; −      2a 4a 2a 4a    
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab  0 . . 3  b − Tổng quát: 2 cot = 2 8a . .
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dữ kiện
Công thức thỏa mãn ab  0
Tam giác ABC vuông cân tại A 3 b = 8 − a . . Tam giác ABC đều 3 b = 24 − a
Tam giác ABC có diện tích S = S 3 2 5
32a (S ) + b = 0 ABC  0 . . 0
Tam giác ABC có diện tích max(S ) 5 0 b S = − 0 3 32a . .
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r = r 2 ABC  0 b r = 3  b  . . 4 a 1+ 1−   8a    . .
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R 3 b − 8a R = 8 a b . .
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m 2 am + 2b = 0 0 0 . .
Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n 2 2 4
16a n − b + 8ab = 0 0 0
Tam giác ABC có cực trị , B C Ox 2 b = 4ac
Tam giác ABC có 3 góc nhọn 3 (
b 8a + b )  0
Tam giác ABC có trọng tâm O 2 b = 6ac
Tam giác ABC có trực tâm O 3
b + 8a − 4ac = 0
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 8
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi 2 b = 2ac
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp 3
b − 8a − 4abc = 0
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp 3
b −8a −8abc = 0 . .
Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC 3 2 2
b .k −8a(k − 4) = 0
Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện . . 2 b = 4 2 ac tích bằng nhau
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành 2 b = 8ac . .
Đồ thị hàm số (C) 4 2
: y = ax + bx + c cắt trục Ox tại 4 100 2 b = ac
điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Đị . .
nh tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( 36 C ) 4 2
: y = ax + bx + c và trục hoành có diện tích phần trên 2 b = ac 5
và phần dưới bằng nhau. . .       Phương trình đườ 2 2
ng tròn ngoại tiếp ABC  là: 2 2 x + y − − + c y + c − = 0      b 4a   b 4a  . . . .
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. Định nghĩa.
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập . D     + f (x) M , x D
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  . x
  D, f (x ) = M  . . 0 0
Kí hiệu: M = max f (x) . x D  . .     + f (x) , m x D
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  . x
  D, f (x ) = m  0 0 . .
Kí hiệu: m = min f (x) . x D
2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN . .
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
+ Bước 1: Tính f (x) và tìm các điểm x , x ,..., x D mà tại đó f ( x) = 0 hoặc hàm số 1 2 n . . không có đạo hàm.
+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra GTLN, GTNN của hàm số.
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn . . + Bước 1:
 Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn a;b. . .
 Tìm các điểm x , x ,..., x trên khoảng (a;b) , tại đó f ( x) = 0 hoặc f (x) không xác 1 2 n định. . .
+ Bước 2: Tính f (a), f (x , f x ,..., f x , f b . 1 ) ( 2 ) ( n ) ( )
+ Bước 3: Khi đó: . .
 max f (x) = max f (x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 ) ( 2) ( n) ( ) ( ) a,b
 min f (x) = min f (x , f x ,..., f x , f a , f b . 1 ) ( 2) ( n) ( ) ( ) a,b
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Bước 1: Tính đạo hàm f (x) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x ( ; a )
b của phương trình i Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 9
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE f (
x) = 0 và tất cả các điểm  ( ; a ) b làm cho f (
x) không xác định. i . .
Bước 3. Tính A = lim f (x) , B = lim f (x) , f (x ) , f ( ) . + − i i x→a x→b
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận: . .
M = max f (x) , m = min f (x) . (a;b) (a;b)
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ . . nhất). Chú ý:
min f (x) = f (a) . .  a;b
+ Nếu y = f ( x) đồng biến trên a;b thì  . max f
(x) = f (b)  a;b . .
min f (x) = f (b)  a;b
+ Nếu y = f ( x) nghịch biến trên a;b thì  . . f x = f  (a). max ( )  a;b
+ Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . trên khoảng đó.
XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM . .
SỐ y = f ( x) TRÊN D THỎA MÃN MỘT DỮ KIỆN CHO TRƯỚC.
Kết quả 1:Giả sử f ( x) xác định trên D và tồn tại max f ( x) = M; min f ( x) = m thì x Dx D
max f ( x) = max M ; m  . x D  . . Chú ý:  M = a  . .   m a + 
max f ( x) = max M ; m  = a, (a  0)   . x D   m = a  . .   M a  . .  M a + 
max f ( x) = max M ; m   a, (a  0)   . x D   m a  . . + + + M m M m
max f ( x) = max M ; m   
. Dấu " = " xảy ra  M = m . x D  2 2 . .
Kết quả 2: Giả sử f ( x) xác định và liên tục trên miền .
D Khi đó, nếu gọi M = max f ( x) và x D  0 khi . m M  0 
m = min f ( x) thì min f ( x) =  . . . x Dx D  min 
M ; mkhi . m M  0  M = a   . .   m a
Chú ý: Nếu min M ; m  = a, (a  0)   .  m = a  . .   M a
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Đường tiệm cận ngang
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 10
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ;a+),(− ;  b) hoặc ( ;
− +) ). Đường thẳng y = y là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận 0 . .
ngang) của đồ thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x) = y , lim f (x) = y 0 0 x→+ x→− . .
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ 0 . .
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) = + ,
 lim f (x) = − ,
 lim f (x) = − ,
 lim f (x) = + + − + − x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0 . . + Lưu ý: ax b
Với đồ thị hàm phân thức dạng y =
(c  0; ad − bc  0) luôn có tiệm cận ngang là cx + d a d . . y =
và tiệm cận đứng x = − . c c . .
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Sơ đồ khảo sát hàm số
Cho hàm số y = f ( x) . . .
Tìm tập xác định của hàm số. Sự biến thiên • Chiều biến thiên. i. Tính y ' . . .
ii. Tìm các nghiệm của phương trình y ' = 0 và các điểm tại đó y ' không xác định.
iii. Xét dấu y ' và suy ra các khoảng biến thiên của hàm số.
• Tìm cực trị (nếu có). . .
• Tìm các giới vô cực; các giới hạn tại + ,
 − và tại các điểm mà hàm số không xác định. . .
• Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu có).
• Lập bảng biến thiên.  Đồ thị. . .
• Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng,…)
• Xác định giao điểm của (C) với Ox, Oy (nếu có). . . • Vẽ đồ thị. . . . .
2. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC: a) HÀM SỐ BẬC BA 3 2
y = ax + bx + cx + d (a  0) . . TRƯỜNG HỢP a  0 a  0 Phương trình / y = 0 . .
có 2 nghiệm phân biệt Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 11
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE Phương trình / y = 0 có . . nghiệm kép . . . . Phương trình / y = 0 vô nghiệm . . . . . .
b) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 4 2
y = ax + bx + c (a  0) TRƯỜNG HỢP a  0 a  0 . . Phương trình / y = 0
có 3 nghiệm phân biệt . . Phương trình /
y = 0 có 1 nghiệm. . . . . . . ax + b
c) HÀM SỐ NHẤT BIẾN y =
(c  0, ad − bc  0) cx + d . .
D = ad − bc  0
D = ad − bc  0 . . . . . .
CÁCH BIỂN ĐỔI ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ (C) : y = f ( x) BAN ĐẦU . . ĐỒ THỊ CÁCH VẼ
y = f (−x)
Lấy đối xứng đồ thị y = f ( x) qua trục Oy . .
y = − f ( x)
Lấy đối xứng đồ thị y = f ( x) qua trục Ox
y = f ( x )
+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
y = f ( x) .
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của y = f ( x) , lấy đối xứng
phần đồ thị được giữ qua Oy.
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 12
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
y = f ( x)
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị
y = f ( x) . . .
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của y = f ( x) , lấy đối
xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . . .
y = f ( x )
Thực hiện liên hoàn biến đổi đồ thị y = f ( x) thành đồ
thị y = f ( x) , sau đó biến đổi đồ thị y = f ( x) thành đồ . .
thị y = f ( x ) .
y = u ( x) .v ( x) với
+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u ( x)  0 của đồ thị . .
(C): y = u(x).v(x)
y = f ( x) .
+ Bỏ phần đồ thị trên miền u ( x)  0 của y = f ( x) , lấy đối . .
xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
y = f ( x) + m với m  0 Dịch chuyển đồ thị lên trên m đơn vị. . .
y = f ( x) − m với m  0
Dịch chuyển đồ thị xuống dưới m đơn vị.
y = f ( x + n) với n  0
Dịch chuyển đồ thị sang trái n đơn vị. . .
y = f ( x − n) với n  0
Dịch chuyển đồ thị sang phải n đơn vị.
y = f ( px) với p 1
Co đồ thị theo chiều ngang hệ số p .
y = f ( px) với 0  p 1 1
Giãn đồ thị theo chiều ngang hệ số . p . .
y = qf ( x) với p 1
Giãn đồ thị theo chiều dọc hệ số q . . .
y = qf ( x) với 0  q 1 1
Co đồ thị theo chiều dọc hệ số . q
y = f ( x) + m
Vẽ y = f ( x) trước sau đó tịnh tiến đồ thị lên trên hoặc . .
xuống dưới tùy theo m .
y = f ( x + m)
Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối . .
xứng qua trục Ox (Giữ nguyên phần trên Ox , bỏ phần
dưới Ox , lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox ) . .
y = f ( x + m)
Tịnh tiến đồ thị qua trái, phải tùy theo m sau đó lấy đối
xứng qua trục Oy (Giữ nguyên phần bên phải Oy , bỏ . .
phần bên trái Oy , lấy đối xứng phần được giữ nguyên qua Oy ). . .
y = f ( x + m )
Vẽ y = f ( x ) trước sau đó tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc phải tùy theo m . . .
XÁC ĐỊNH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐỒ THỊ f ( x) . . .
❖ Hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) trên D nếu:
+ Đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trên Ox thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên D .
+ Đồ thị hàm số f ( x) nằm phía dưới Ox thì hàm số y = f ( x) nghịch biến trên D .
❖ Hàm số y = f ( x) = h( x) − g ( x) , cho trước các đồ thị h( x), g( x) . Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 13
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
+ Nếu đồ thị h( x) nằm phía trên đồ thị g( x) thì f ( x)  0 : Hàm số đồng biến trên D . .
+ Nếu đồ thị h( x) nằm phía dưới đồ thị g( x) thì f ( x)  0 : Hàm số nghịch biến trên D . . . TIẾP TUYẾN
1. Tiếp tuyến : Cho hàm số y = f ( x) , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của . .
đồ thị (C) tại điểm M x ; y  (C) có dạng: y = y( x x − x + y . 0 ) ( 0 ) 0 ( 0 0 ) 0
Trong đó: Điểm M x ; y  (C) được gọi là tiếp điểm. ( với y = f x ). 0 ( 0 ) 0 ( 0 0 ) . .
k = f '( x là hệ số góc của tiếp tuyến. 0 )
2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (C ) : y = f ( x) và (C ') : y = g ( x) . .
Đồ thị (C ) và (C) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình:  f
 ( x) = g ( x) . .  có nghiệm. /  f  ( x) / = g (x) . .
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C ) và y = g(x) có đồ thị (C ) . 1 2 . .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (C ) y 1 2
là f (x) = g(x) ( ) 1 . Khi đó:
+ Số giao điểm của (C ) và (C ) bằng với số nghiệm y0 1 2 của phương trình ( ) 1 . x x . . + 0 O
Nghiệm x của phương trình ( ) 1 chính là 0
hoành độ x của giao điểm. 0 . .
+ Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ x vào 0 0
y = f ( x) hoặc y = g ( x) . . .
+ Điểm M (x ; y là giao điểm của (C ) và (C ). 0 0 ) 1 2 . .
ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong . .
Xét họ đường cong (C ) có phương trình y = f ( , x )
m , trong đó f là hàm đa thức theo biến m
x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong . . khi m thay đổi?
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đưa phương trình y = f ( , x )
m về dạng phương trình . .
theo ẩn m có dạng sau: Am + B = 0 hoặc 2
Am + Bm + C = 0 . A = 0 . .
+ Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:  B = 0 A = 0  . . hoặc B = 0 . C = 0 
+ Bước 3: Kết luận:
- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C ) không có điểm cố định. m
- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C ) . m
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 14
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa
độ nguyên của đường cong? . .
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó
đều là số nguyên.
Phương pháp giải: . .
+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.
+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán. . .
3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:
Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x) . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng. . .
Bài toán 1: Cho đồ thị (C ) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D trên đồ thị (C ) tìm những cặp điểm đối xứng
nhau qua điểm I(x , y ) . . . I I
Phương pháp giải: + Gọi M ( 3 2
a Aa + Ba + Ca + D) N ( 3 2 ; , ;
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C ) đối xứng . . nhau qua điểm I .
a + b = 2xI + Ta có  . . . 3 3 (
A a + b ) + B  ( 2 2
a + b ) + C (a + b) + 2D = 2yI
Giải hệ phương trình tìm được ,
a b từ đó tìm được toạ độ M, N.
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D . Trên đồ thị (C ) tìm những cặp điểm
đối xứng nhau qua gốc tọa độ. . .
Phương pháp giải: + Gọi M ( 3 2
a Aa + Ba + Ca + D) N ( 3 2 , , ,
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C ) đối xứng . . nhau qua gốc tọa độ. a + b = 0 +  Ta có  . 3 3 . . (
A a + b ) + B  ( 2 2
a + b ) + C (a + b) + 2D = 0
+ Giải hệ phương trình tìm được ,
a b từ đó tìm được toạ độ M , N . . .
Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) 3 2
: y = Ax + Bx + Cx + D trên đồ thị (C ) tìm những cặp điểm đối xứng
nhau qua đường thẳng d : y = A x + B . 1 1  . .
Phương pháp giải: + Gọi M ( 3 2
a Aa + Ba + Ca + D) N ( 3 2 ; , ;
b Ab + Bb + Cb + D) là hai điểm trên (C ) đối xứng nhau qua đườ . . ng thẳng d . I d (1) +  Ta có: 
(với I là trung điểm của MN và ud là vectơ chỉ phương của đường MN.u = . . d 0 (2) thẳng d ).
+ Giải hệ phương trình tìm được M, N. . .
4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ❖ Lý thuyết: . . + Cho hai điể 2 2
m A( x ; y ; B x ; y
AB = (x − x + y − y 2 1 ) ( 2 1) 1 1 ) ( 2 2 )
Cho điểm M ( x ; y và đường thẳng d : Ax + By +C = 0 , thì khoảng cách từ M đến d là 0 0 ) (
Ax + By + C h M ; d ) 0 0 = . 2 2 A + B Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 15
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE ax + b
+ Cho hàm phân thức: y =
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TCN ở A và B thì M là trung điểm AB. . . cx + d 2
Diện tích tam giác IAB không đổi: S = ad − bc . IAB 2 c . .
❖ Các bài toán thường gặp: ax + b
Bài toán 1: Cho hàm số y =
(c  0, ad −bc  0) có đồ thị (C). Hãy tìm trên (C) hai điểm . . cx + d
A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
Phương pháp giải: . . + d
(C ) có tiệm cận đứng x = − do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm c . .
cận đứng. Nên gọi hai số  ,  là hai số dương. + d d d
Nếu A thuộc nhánh trái: x  −
x = − −  − ; y = f (x ) . A A c c c A A . . + d d d
Nếu B thuộc nhánh phải: x  −
x = − +   − ; y = f (x ) . B B c c c B B . . + 2 2 2
Sau đó tính: AB = ( x − x ) + ( y − y ) = (a +  ) − (a − ) +  ( y − y )2 2 . B A B A B A
+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả. . .
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f (x) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C)
để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
+ Gọi M ( x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = x + y . + . .
Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.
+ Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung . .
độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm
được giá trị nhỏ nhất của d . . .
Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f (x) . Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng
cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy . . .
Phương pháp giải: y = kx
f (x) = kx
Theo đầu bài ta có y = k x     . . .  y = −kxf  ( x) = −kx ax + b
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) =
(c  0, ad −bc  0). . . cx + d
Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
Phương pháp giải: . . − + d a
Tiệm cận đứng x =
; tiệm cận ngang y = . c c . .  − + d a
Ta tìm được tọa độ giao điểm I  ;  của hai tiệm cận.  c c  . . 2 2 +  d   a
Gọi M ( x ; y
là điểm cần tìm. Khi đó: 2 IM = x + + y − = g xM   M  ( M ) M M )  c   c
+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) và đường thẳng
d : Ax + By + C = 0 . Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. Phương pháp giải:
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . .
+ Gọi I thuộc (C)  I (x ; y ; y = f (x ) . 0 0 ) 0 0 + + + Ax By C
Khoảng cách từ I đến d là g(x ) = h ( I; d ) 0 0 = . . 0 2 2 A + B
+ Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu. . . MŨ VÀ LOGARIT
LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA. . .
1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA.
+ Lũy thừa với số mũ nguyên. . .
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a . n a = . a .
a .....a ( n thừa số). . . n − 1 Với a  0. 0 a = 1 n a = n . . a
Ta gọi a là cơ số, m là mũ số. Và chú ý 0
0 và 0−n không có nghĩa.
+ Một số tính chất của lũy thừa . .
• Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:    + a  −       
a a = a ; = a ; = =   . (a ) a ; (a ) b a b ; a    −  a a =  a   b  ;   =        . . b bb   a   
• Nếu a  1 thì a a     ;   Nếu . .
0  a  1 thì a a     .
• Với mọi 0  a b , ta có: m m
a b m  0 ; m m
a b m  0 • Chú ý: . .
+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số . . a phải dương.
+ Phương trình n x = . b
Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình n
x = b như sau: . .
• Trường hợp n lẻ:
Với mọi số thực b , phương trình có nghiệm duy nhất. . .
• Trường hợp n chẵn:
+ Với b  0 , phương trình vô nghiệm.
+ Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0. . .
+ Với b  0 , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b , còn giá trị âm là n − b . . .
Một số tính chất của căn bậc n Với * , a b  ; n  , ta có: . . 2n 2n = 2n 1 + 2n 1 + =  + a a a ; + a a a . 2n 2n 2n =     2n 1 + 2n 1 + 2n 1 + + ab a b , ab 0 ; + ab = a ba  ,b . 2n a a  2n 1 + =    a a + =    + 2n , ab 0,b 0 ; + 2n 1 a, b 0 . + 2n b 2n 1 b  b b Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 17
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE m n m n =   + a
( a) , a 0, n nguyên dương, m nguyên. . . n m nm =   + a a , a
0 , n , m nguyên dương. p q = n p m q =   . . + Nếu thì a a , a 0, ,
m n nguyên dương p, q nguyên. n m Đặ  c biệt: n m n m a = a . . 2. HÀM SỐ LŨY THỪA.
+ Khái niệm. . . Xét hàm số 
y = x , với  là số thực cho trước. Hàm số 
y = x , với  
, được gọi là hàm số lũy thừa. . . Chú ý.
Tập xác định của hàm số lũy thừa 
y = x tùy thuộc vào giá trị của  . Cụ thể.
• Với  nguyên dương, tập xác định là . . .
• Với  nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là \  0 .
• Với  không nguyên, tập xác định (0;+). . .
+ Khảo sát hàm số lũy thừa.
❖ Tập xác định của hàm số lũy thừa 
y = x luôn chứa khoảng (0; +) với mọi   . .
. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số 
y = x trên khoảng này.  
y = x ,  0.
y = x ,  0.
1. Tập xác định: (0; +).
1. Tập xác định: (0; +). 2. Sự biến thiên 2. Sự biến thiên . .  1  y ' .x − =  0 x   0. 1 y ' .x − =  0 x   0. Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: . .     lim x = 0, lim x = + .  lim x = +, lim x = 0. + + → →+ x 0 → x→+ x 0 x Tiệm cận: Tiệm cận: . .
Ox là tiệm cận ngang. Không có.
Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên. . . 3. Bảng biến thiên. x 0 + x 0 + y − . . y + y + y + . . 0 0 . . . . . . Đồ thị của hàm số.
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 18
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE . . . . . . . . . . . .
Đồ thị của hàm số lũy thừa 
y = x luôn đi qua điểm I (1; ) 1 . ❖ Khảo sát hàm số mũ x y = a , (a  0,a  ) 1 . . . x
y = a , (a  ) 1 x
y = a , (a  ) 1
1. Tập xác định: .
1. Tập xác định: . . . 2. Sự biến thiên. 2. Sự biến thiên. ' x
y = a ln a  0, . x ' x
y = a ln a  0, x  Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x a = 0, lim a = + .  lim x a = + ,  lim x a = 0. x→− x→+ x→− x→+ . . Tiệm cận: Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Ox là tiệm cận ngang. . .
3. Bảng biến thiên. 3. Bảng biến thiên. . . x − 0 1 + x − 0 1 + y '
+ + + y ' − − − . .
a + + y 1 a 1 y . . 0 Đồ thị như hình sau. 0 Đồ thị như hình sau. . . . . . . . .
LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT Share by: Fanpage Tài Liệ CH
u - Khóa Họ INH PHỤC MỌI MIỀ
c Online Ôn Thi Thpt QuN ố KIẾN THỨC c Gia Worldocs 19
Share by: group TÀI LIỆU - KHÓA HỌC ONLINE ÔN THI THPT QUỐC GIA
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HCM 2022-TEAM EMPIRE
1. KHÁI NIỆM –TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT. + . .
Khái niệm Logarit. Cho hai số dương  ,
a b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ số a của . .
b và được kí hiệu là log b . a
 = log b a = . b a
Không có logarit của số âm và số 0. . .
Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp: • 0
a = 1, (a  0). .
• log 1 = 0,(0  a  ) 1 . a . . • ( )1 a = a .
• log a = 1,(0  a  ) 1 . a •  =    • − log a , a . . . a (0 ) 1 ( ) 1 a =  a 1 (  • log =    a , (0 a ) 1 . a) a  •  − . . =  (a) ( . •  =    a) log b .log ,
b (a,b 0, a ) 1 . a a •    + 1
(a) .(a) = (a) . • log = . .  b .log b . a a  •    (a) .(b) = ( . a b) .   (  • =  log  b .log b . . . a) a a  •  a  = ,     (b 0) ( . b)  b
• log b + log c = log bc . a a a ( )  •   b  (a)   = (a) ( * ,   ).
• log b − log c = log . a a a    c  •   (  a ) = (a) . . . • 1 log b = . a • 
(a) = b   = log b . log a b a . .
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.
+ Bất phương trình mũ cơ bản. . .
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng x
a b (hoặc x  , x  , x a b a
b a b ) với a  0, a  1.
Ta xét bất phương trình có dạng x a  . b . .
• Nếu b  0 , tập nghiệm của bất phương trình là , vì x a  , b x   ..
• Nếu b  0 thì bất phương trình tương đương với x loga b a a . . .
Với a  1, nghiệm của bất phương trình là x  log . b a
Với 0  a 1, nghiệm của bất phương trình là x  log . b a . . . . . . . .
Ta minh họa bằng đồ thị sau:
• Với a 1, ta có đồ thị sau.
Share by: Fanpage Tài Liệu - Khóa Học Online Ôn Thi Thpt Quốc Gia Worldocs 20
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC

Tài liệu liên quan: