Hệ thống kiến thức và phương pháp giải toán 10
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải toán 10. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10 102 tài liệu
Môn: Toán 10 3.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
VÕ CÔNG TRƯỜNG 0983 900 570 2025-2026 MỤC LỤC
Phần ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH .................................................................................. 1
CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP ........................................................................................................... 1
Bài 1. MỆNH ĐỀ............................................................................................................................................ 1
Bài 2. TẬP HỢP ............................................................................................................................................. 3
Bài 3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP.................................................................................................. 5
CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ................ 6
Bài 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .................................................................................. 6
Dạng toán Tìm nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ............................................................. 6
Dạng toán Biểu diễn hình học miền nghiệm ......................................................................................... 6
BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ........................................................................... 8
Dạng toán Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn....................................... 8
Dạng toán Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn .......................................................... 9
Dạng toán Bài toán tối ưu ..................................................................................................................... 9
CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ ........................................................................................ 11
Bài 1. HÀM SÔ VÀ ĐỒ THỊ ....................................................................................................................... 11
Dạng toán Tìm tập xác định của hàm số ............................................................................................. 12
Dạng toán Xét sự biến thiên của hàm số ............................................................................................. 12
NHẮC LẠI HÀM SỐ BẬC NHẤT ............................................................................................................. 13
Bài 2. HÀM SỐ BẬC HAI ........................................................................................................................... 14
Dạng toán Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ........................................................................... 15
CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ..................................................................... 17
Bài 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI .................................................................................................. 17
Dạng toán Xét dấu của tam thức bậc hai ............................................................................................ 17
Bài 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ......................................................................... 19
Dạng toán Giải bất phương trình bậc hai ........................................................................................... 19
Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ............................................................. 20
Dạng toán Giải phương trình quy về phương trình bậc hai ................................................................ 20
CHƯƠNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP ................................................................................................................... 20
Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN ........................................................................................ 21
Dạng toán Bài toán đếm ...................................................................................................................... 21
Bài 2. HOÁN VỊ , CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP ............................................................................................ 23
Dạng toán Hoán vị .............................................................................................................................. 23
Dạng toán Chỉnh hợp .......................................................................................................................... 25
Dạng toán Tổ hợp ................................................................................................................................ 25
Bài 3. NHỊ THỨC NEWTON ...................................................................................................................... 27
Dạng toán Khai triển nhị thức Newton ............................................................................................... 27
Dạng toán Xác định hệ số hay số hạng trong khai triển nhị thức Newton .......................................... 28
Phần HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG ........................................................................................................ 29
Chương HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC .............................................................................. 29
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° ......................................................... 29
Bài 2. ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN .................................................................................................. 31
Bài 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ ............................................................................... 32
Dạng toán Giải tam giác ..................................................................................................................... 32
Dạng toán Ứng dụng thực tế ................................................................................................................ 32
CAC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ......................................................................................... 33
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC ..................................................................................................... 33
CÁC TÂM CỦA TAM GIÁC ...................................................................................................................... 34
Chương VECTƠ ........................................................................................................................................ 35
Bài 1. KHÁI NIỆM VECTƠ ........................................................................................................................ 35
Bài 2. TỔNG VÀ HHIỆU CỦA HAI VECTƠ ............................................................................................ 36
Bài 3. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ......................................................................................... 37
Dạng toán Phân tích một vectơ theo các vectơ cho trước và chứng minh 3 điểm thẳng hàng ........... 37
Bài 4. TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ ..................................................................................................... 39
Chương PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẢNG .............................................................. 40
Bài 1. TỌA ĐỘ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG ....................................................................................... 40
Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ....................................................................... 42
Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ .......................................................................... 45
Bài 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MĂT PHẲNG TỌA ĐỘ .................................................................. 46
Phần THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT ......................................................................................................... 48
CHƯƠNG THỐNG KÊ ............................................................................................................................ 48
Bài 1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ ............................................................................................................ 48
Bài 2. MÔ TẢ VÀ BIỂU DIỄN DỮ LIỆU TRÊN BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ .................................................. 49
Bài 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM ...................................................................... 50
Bài 4. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN .................................................................................. 51
CHƯƠNG XÁC SUẤT ............................................................................................................................. 52
Bài 1. KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ ............................................................................................... 52
Bài 2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ............................................................................................................. 53 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Phần ĐẠI SỐ VÀ MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
Bài 1. MỆNH ĐỀ 1. Mệnh đề Định nghĩa
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
≫ Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
≫ Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
2. Mệnh đề chứa biến Định nghĩa
Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một biến hoặc nhiều biến.
Hay “Câu có tính đúng, sai phụ thuộc vào một hoặc nhiều yếu tố gọi là mệnh đề chứa biến”.
3. Phủ định của một mệnh đề Định nghĩa
Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu là P .
Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là:
Nếu P đúng thì P sai.
Nếu P sai thì P đúng. 4. Mệnh đề kéo theo Định nghĩa
Cho hai mệnh đề P và Q .
Mệnh đề '' Nếu P thì Q '' được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P . Q
Mệnh đề P Q còn được phát biểu là '' P kéo theo Q '' hoặc '' Từ P suy ra Q '' .
Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. ▶
Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P Q khi P đúng.
Khi đó, nếu Q đúng thì P Q đúng, nếu Q sai thì P Q sai. Nhận xét.
Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P . Q
Khi mệnh đề P Q là định lý, ta nói:
(1) P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;.
(2) P là điều kiện đủ để có Q ;
(3) Q là điều kiện cần để có P .
5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo
Mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P . Q
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Mệnh đề tương đương
Nếu hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng thì P và Q là hai mệnh đề tương đương.
Kí hiệu P Q và đọc là
» P tương đương Q, hoặc
» P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc
» P khi và chỉ khi Q.
6. Mệnh đề chưa kí hiệu lượng từ “với mọi” () , “tồn tại” ()
Kí hiệu “với mọi”
Cho mệnh đề chứa biến P ( x) với x X .
Khi đó “với mọi x X thì P ( x) ” là một mệnh đề,
Được kí hiệu: ' x
X : P(x)" 2025-2026 1 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
» Mệnh đề này đúng khi với x bất kì thuộc X , P ( x đúng. 0 ) 0
» Mệnh đề này sai khi tồn tại x thuộc X sao cho P ( x sai. 0 )
Kí hiệu “tồn tại”
Cho mệnh đề chứa biến P ( x) với x X .
Khi đó “tồn tại x X để P ( x) ” là một mệnh đề ,
Được kí hiệu: ' x
X , P(x)"
» Mệnh đề này đúng khi với x bất kì thuộc X , P ( x đúng. 0 ) 0
» Mệnh đề này sai khi với mọi x bất kì thuộc X sao cho P ( x sai (không có x nào để P ( x) đúng). 0 ) 0
Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu “với mọi”, “tồn tại”
» Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x
X , P(x)" là mệnh đề:" x
X , P(x)"
» Mệnh đề phủ định của mệnh đề " x
X , P(x)" là mệnh đề:"x X , P ( x)" 2025-2026 2 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Bài 2. TẬP HỢP
1. Nhắc lại về tập hợp
Tập hợp và phần tử
Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
Giả sử đã cho tập hợp . A
• Để chỉ a là một phần tử của tập hợp ,
A ta viết a A (đọc là a thuộc A ).
• Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp ,
A ta viết a A (đọc là P không thuộc A ).
Cách xác định tập hợp
Một tập hợp được xác định bằng một trong hai cách sau:
• Liệt kê các phần tử của nó: Các phần tử viết trong dấu , cách nhau bới dấu phẩy (hoặc chấm phẩy),
mỗi phẩn tử chỉ viết 1 lần.
• Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó: Nếu tập X chứa và chỉ chứa những phần tử có tính
chất P thì ta ghi X = x | x co tinh chat P .
Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một
đường kín, gọi là biểu đồ Ven như hình.
Tập hợp rỗng X Z
Tập hợp rỗng, kí hiệu là ,
là tập hợp không chứa phần tử nào. Y
Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử. Biểu đồ Venn A x : x . A Chú ý
Số phần tử của tập hợp A dược kí hiệu là n ( A)
2. Tập con và hai tập hợp bằng nhau Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập
hợp con của B và viết A B (đọc là A chứa trong B ).
Thay cho A B ta cũng viết B A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A )
Như vậy A B ( x
: x A x B).
Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A . B
Ta có các tính chất sau
• A A với mọi tập hợp A
• Nếu A B và B C thì A C ( .4 h )
• A với mọi tập hợp . A
Các tập hợp số đã học Tên gọi Kí hiệu Mô tả
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 * * = 1;2;3;..... .
Tập hợp các số tự nhiên = 0;1;2;3;..... .
Tập hợp các số nguyên = ...; 2 − ; 1 − ;0;1;2;3;..... .
a ( ,ab và b 0 ).
Tập hợp các số hữu tỉ
Số hữu tỉ là các số có dạng b
Số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Tập hợp các số vô tỉ I
Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tập hợp các số thực
Là tập hợp các số hữu tỉ và số vô tỉ. 2025-2026 3 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10 1 − ,32 4 1 5 \ − 5 2 2 − 3 e 2 ...− 7; 6 − ;−5; 4 − ; 3 − ;− 2;−1; 0 1;2;3;4; 5;6;7;... 6 − 5 3 11 9 7 1 − 3
Tập hợp bằng nhau
Khi A B và B A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.
Như vậy : A = B ( x
: x A x B).
3. Một số tập hợp con của tập hợp số thực
Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực .
Biểu diễn trên trục số
Tên gọi và kí hiệu Tập hợp
(phần không bị gạch chéo)
Tập số thực, khoảng ( (− ; +) − = ; +) Đoạn ; a b
;ab =x a x b [ ] a b
Khoảng (a;b)
( ;ab) =x a x b ( ) a b Khoảng ( ; − b) (− ;
b) =x x b ) b Khoảng ( ; a +)
( ;a+) =x x a ( a
Nửa khoảng a;b)
;ab) =x a x b [ ) a b
Nửa khoảng (a;b
( ;ab =x a x b ( ] a b Nửa khoảng ; a +)
;a+) =x x a [ a Nửa khoảng ( ; − b
(−;b = x x b ] b 2025-2026 4 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Bài 3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Hợp của hai tập hợp Định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và
B . Kí hiệu C = A B (phần gạch chéo trong hình 6). x A
Vậy A B = x | x A hoac x
B hay x A B x B
2. Giao của hai tập hợp Định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc ,
A vừa thuộc B được gọi là giao của A và
B. Kí hiệu C = A B (phần gạch chéo trong hình 5). x A
Vậy A B = x | x A va x
B hay x A B x B Nhận xét
(1) Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n( A B) = n( A) + n(B) − n( A B)
(2) Nếu A và B không có phần tử chung, tức A B = thì n( A B) = n( A) + n(B) .
3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp Định nghĩa
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B
gọi là hiệu của A và B. Kí hiệu C = A \ B (phần gạch chéo trong hình 7).
Vậy A \ B = x | x A ; x B
Khi A E thì E \ A gọi là phần bù của A trong AE kí hiệu C A E 2025-2026 5 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:
ax + by + c 0 ( ) 1
(ax +by +c 0;ax +by +c 0; x
a + by + c 0)
Trong đó a,b,c là những số thực, 2 2 a + b 0 ;
(x ; y là nghiệm của ( )
1 ax + by + c 0 0 0 ) 0 0
2. Biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Định nghĩa
Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của ( ) 1 được
gọi là miền nghiệm của nó.
Đường thẳng d : ax + by + c = 0 chia mp thành hai nửa mp, khi đó:
Nửa mp (A) (kể cả bờ) là miền nghiệm của ax + by + c 0
Nửa mp (B) (kể cả bờ) là miền nghiệm của ax + by + c 0 .
QUY TẮC: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
≫ Bước 1: Vẽ đường thẳng : ax + by + c = 0 .
≫ Bước 2: Lấy một điểm M
x ; y không thuộc (thường lấy gốc tọa độ O ). 0 ( 0 0 )
≫ Bước 3: Tính ax + by + c và so sánh với 0. 0 0
≫ Bước 4: Kết luận:
Nếu ax + by + c 0 thì nửa mp bờ chứa M là miền nghiệm của ( ) 1 . 0 0 0
Nếu ax + by + c 0 thì nửa mp bờ không chứa M là miền nghiệm của ( ) 1 . 0 0 0 ▶ Chú ý: Miền nghiệm của ( )
1 bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0 .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán Tìm nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Cho các điểm A(1;− ) 1 , B ( 2 − ) ;1 , C (1;− )
1 , D(4;2) . Điểm nào là nghiệm của bất phương trình
7x − 3y − 7 0
Lời giải
Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình. Xét điểm A(1;− )
1 , ta có 7 + 3 − 7 0 (sai). Xét điểm B ( 2 − )
;1 , ta có −14 − 3 − 7 0 (đúng). Xét điểm C (1;− )
1 , ta có 7 + 3 − 7 0 (sai).
Xét điểm D(4;2) , ta có 28 − 6 − 7 0 (sai).
Vậy điểm B nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.
Dạng toán Biểu diễn hình học miền nghiệm Phương pháp
Xét bất phương trình ax + by + c 0 ( ) 1 .
≫ Bước 1: Vẽ đường thẳng : ax + by + c = 0 . 2025-2026 6 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
≫ Bước 2: Lấy một điểm M
x ; y không thuộc (thường lấy gốc tọa độ O ). 0 ( 0 0 )
≫ Bước 3: Tính ax + by + c và so sánh với 0. 0 0
≫ Bước 4: Kết luận:
Nếu ax + by + c 0 thì nửa mp bờ không chứa M là miền nghiệm của ( ) 1 0 0 0
Nếu ax + by + c 0 thì nửa mp bờ chứa M là miền nghiệm của ( ) 1 0 0 0 ▶ Chú ý: Miền nghiệm của ( )
1 bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c 0 .
Ví dụ 2. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình:
(1) x 1
(2) y 1
(3) x + y 4
(4) 2x + y 3
Lời giải
(1) Xác định miền nghiệm của x 1
Vẽ đường thẳng : x −1 = 0 .
Lấy một điểm O(0;0) .
Ta có: −1 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x 1 là nửa mp không
chứa điểm O (tính cả bờ ).
(2) Xác định miền nghiệm của y 1
Vẽ đường thẳng : y −1 = 0 .
Lấy một điểm O(0;0) .
Ta có: −1 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y 1 là nửa
mp chứa điểm O (tính cả bờ ).
(3) Xác định miền nghiệm của x + y 4
Vẽ đường thẳng : x + y − 4 = 0 .
Lấy một điểm O(0;0) .
Ta có: −4 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y 4 là nửa
mp chứa điểm O (không tính bờ ).
(4) Biểu diễn hình học tập nghiệm của 2x + y 3
Vẽ đường thẳng : 2x + y = 3.
Lấy gốc tọa độ O(0;0),
Ta thấy O và có 2.0 + 0 3 nên nửa mp bờ chứa gốc tọa độ O là miền
nghiệm của bất phương trình đã cho (miền bị tô đậm trong hình, tính cả bờ). 2025-2026 7 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa
» Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.
» Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2. Biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Quy tắc
» Ta có thể biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: là giao của các miền
nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
» Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta làm như sau:
Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch bỏ
phần không thuộc miền nghiệm của nó.
Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
3. Bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính).
» Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F = ax + by , trong đó x, y nghiệm đúng
cuả một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho:
Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Miền nghiệm nhận được thường là một đa giác. (Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F đạt được tại một
trong các đỉnh của miền đa giác).
Tính giá trị của F ứng với ( x, y) là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này.
So sánh các kết quả vừa tính được, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp
» Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta làm như sau:
Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách tô màu
phần không thuộc miền nghiệm của nó.
Phần không bị tô là miền nghiệm cần tìm. 3x + y 6 x + y 4
Ví dụ 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình: x 0 y 0
Lời giải Vẽ các đường thẳng
d : 3x + y = 6;d : x + y = 4;d : x = 0 Oy ;d : y = 0 Ox 1 2 3 ( ) 4 ( )
Vì điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ 0 ( )
trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d , (d , (d , (d không chứa 4 ) 3 ) 2 ) 1 ) điểm M . 0
Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh
AI, IC, C ,
O OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho. 2025-2026 8 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Dạng toán Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của biểu thức hai ẩn Phương pháp
▶ Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T ( x, y) = ax + by với ( ;
x y) nghiệm đúng một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.
≫ Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác.
≫ Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( ;
x y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
≫ Bước 3: Kết luận:
Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F = 30x − 4y − 6 với ( ;
x y) là nghiệm của hệ bất phương
x − y + 5 0
2x + y + 4 0 trình .
x + y − 5 0
2x − y − 4 0
Lời giải
x − y + 5 0
2x + y + 4 0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình ,(2)
x + y − 5 0
2x − y − 4 0
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền tứ giác ABCD
kể cả bờ, với A( 3 − ;2), B(0; 4
− ),C (3;2), D(0;5) F ( 3 − ;2) = 1 − 04 ; F (0; 4
− ) =10 ; F (3;2) = 66 ; F (0;5) = 2 − 6
Vậy GTLN là F = 66 và GTNN là F = −104
Dạng toán Bài toán tối ưu Phương pháp
▶ Bài toán: Tìm phương án tối ưu của một kế hoạch sản xuất, kinh doanh,… (hai ẩn).
≫ Bước 1: Dựa vào giả thiết, lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu thức mục tiêu F = F ( ; x y) .
≫ Bước 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
≫ Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với ( ;
x y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
≫ Bước 3: Theo yêu cầu bài toán, kết luận:
Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của F tương ứng với phương án tối ưu ( ; x y).
Ví dụ 5. Có 3 nhóm máy ,
A B,C dùng để sản xuất ra 2 lại sản phẩm I và II . Để sản xuất một đơn vị sản
phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc nhóm máy khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy
từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng bên dưới:
Số máy trong từng nhóm để sản xuất một đơn vị Nhóm Số máy trong mỗi nhóm SP Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 C 12 2 4
Một đơn vị sản phẩm I lãi 3000 đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5000 đồng. Hãy lập phương án sản
xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất.
Lời giải
Gọi x và y lần lượt là số đơn vị sản phẩm I và II ( , x y 0) . 2025-2026 9 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Số tiền lãi của đơn vị này là F ( ;
x y) = 3x + y (nghìn đồng).
2x + 2y 10 x + y 5 2y 4 y 2
Ta có hệ bất phương trình: (*) 2x + 4 y 12 x + 2 y 6 x, y 0 x, y 0
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F ( ;
x y) = 3x + y trên
miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ (*) là ngũ giác OABCD (kể cả biên).
Ta có: O(0;0), A(5;0), B(4; )
1 ,C (2;2), D(0;2) .
F (0;0) = 0, F (5;0) =150, F (4; )
1 =190, F (2;2) =160, f (0;2) =100 Dễ thấy F ( ;
x y) = 3x + y lớn nhất khi ( ; x y) = (4 )
;1 tức là cần sản xuất 4 sản phẩm I và 1 sản phẩm II để
thu về lợi nhận cao nhất. 2025-2026 10 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ
Bài 1. HÀM SÔ VÀ ĐỒ THỊ
1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số Định nghĩa
Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và x nhận giá trị thuộc tập D
Nếu với mỗi giá trị x thuộc D ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực
thì ta có một hàm số. Ta gọi
» x là biến số, y là hàm số của, x
» Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.
» Tập hợp T gồm tất cả các giá trị của y (tương ứng với x thuộc D ) được gọi là tập giá trị của hàm số. Chú ý
(1) Khi y là hàm số của x , ta có thể viết y = f ( x), y = g ( x),
(2) Khi hàm số cho bằng công thức y = f ( x) mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước: Tập xác định của
hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các giá trị x để f ( x) có nghĩa.
(3) Một hàm số có thể cho bằng nhiều công thức công thức. 2. Đồ thị hàm số Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , đồ thị (C) của của hàm số y = f (x) là tập hợp các điểm M ( x; y) với x D và
y = f (x) .
Vậy (C) = M ( ;
x f (x)) | x D Chú ý
(1) Điểm M ( x ; y thuộc đồ thị hàm số y = f (x) khi và chỉ khi x D và y = f x M ( M ) M M ) M
(2) Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x) là một đường. Khi đó ta có y = f (x) là phương trình của đường đó.
3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a;b).
Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên (a;b) x , x ;
a b : x x f x f x . 1 2 ( ) 1 2 ( 1) ( 2)
Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên (a;b) x , x ;
a b : x x f x f x . 1 2 ( ) 1 2 ( 1) ( 2) Nhận xét
(1) Hàm số y = f (x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số “đi lên” trên khoảng đó.
(2) Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số “đi xuống” trên khoảng đó. Bảng biến thiên
Hàm số y = f (x) xác định trên (a;b).
Xét sự biến thiên của hàm số là tìm khoảng tăng, giảm của hàm số.
Kết quả đó được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đồng biến trên (a,b) là một đường
Đồ thị hàm số nghịch biến trên (a,b) là một đường
“đi lên” trong khoảng (a,b).
“đi xuống” trong khoảng (a,b) 2025-2026 11 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp
Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa.
Bước 1. Lập điều kiện xác định u u
xác định khi v 0
u xác định khi u 0
xác định khi v 0 v v
Bước 2. Giải điều kiện xác định, tìm điều kiện của biến
Bước 3. Tùy theo điều kiện của biến, ta kết luận tập xác định như sau: x a x = a
x b → D = \ ; a ; b ..
. ; a x b → D = ( ; a b ; x = b → D = ; a ; b .. . ...... ......
Ví dụ 6. Tìm tập xác định của hàm số: 2x −1 3x −1 (1) 3 2
y = 2x −3x + 2025 (2) y = (3) y = 2
− x + 3 − x −1 (4) y = 2 x − 3x + 2 2x − 2
Lời giải
(1) Hàm số là hàm đa thức (không có điều kiện xác định) nên xác định x
Vậy tập xác định của hàm số là D = . x 1 x −1 0 x 1
(2) Hàm số xác định khi 3
x − 3x + 2 0
x 1 . 2
x + x − 2 0 x −2 x 2 −
Vậy tập xác định của hàm số là D = \ 2 − ;1 .
(3) Hàm số xác định 2x − 2 0 x 1.
Vậy tập xác định của hàm số là D = (1;+) . 3 2 − x + 3 0 x 3
(4) Hàm số xác định khi 2 1 x . x −1 0 2 x 1 3
Vậy tập xác định của hàm số là D = 1; . 2
Dạng toán Xét sự biến thiên của hàm số Phương pháp 1.
≫ Bước 1.
Tìm tập xác định D của hàm số. ≫ Bước 2.
Với mọi x , x D , x x . Tính f ( x − f x . 1 ) ( 2) 1 2 1 2
Nếu x x f ( x f x thì hàm số đã cho đồng biến (tăng). 1 ) ( 2) 1 2
Nếu x x f ( x f x thì hàm số đã cho nghịch biến (giảm). 1 ) ( 2) 1 2 Phương pháp 2.
≫ Bước 1.
Tìm tập xác định D của hàm số. 2025-2026 12 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
f ( x − f x 1 ) ( 2 ) ≫ Bước 2.
Với mọi x , x D , x x . Lập tỉ số . 1 2 1 2 x − x 1 2
f ( x − f x 1 ) ( 2 ) Nếu
0 thì hàm số đã cho đồng biến (tăng). x − x 1 2
f ( x − f x 1 ) ( 2 ) Nếu
0 thì hàm số đã cho nghịch biến (giảm). x − x 1 2
Ví dụ 7. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số f ( x) 2
= x − 7 trên khoảng ( ;0 − ), (0;+)
Lời giải TXĐ: D = .
Với mọi x , x D , x x , 1 2 1 2
Ta có f (x ) − f (x ) 2 2
= x − 7 − x + 7 2 2
= x − x = x − x x + x 1 2 ( 1 2)( 1 2) 1 2 1 2
Với mọi x , x − ;
0 và x x ta có x − x 0 và x + x 0. 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2
Suy ra f (x − f x 0 hay f (x f x . 1 ) ( 2) 1 ) ( 2)
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ;0 − ).
Với mọi x , x 0;+ và x x ta có x − x 0 và x + x 0. 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2
Suy ra f (x − f x 0 hay f ( x f x . 1 ) ( 2) 1 ) ( 2)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+).
NHẮC LẠI HÀM SỐ BẬC NHẤT
y = ax + b
Tập xác định: D =
Chiều biến thiên:
a 0 : Hàm số đồng biến trên
a 0 : Hàm số nghịch biến trên x – ∞ + ∞ x – ∞ + ∞ + ∞ + ∞ y y – ∞ – ∞ Đồ thị:
Đồ thị là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm A(0;b)
Nếu a = 0 thì ta được hàm số y = b là hàm hằng và có đồ thị là đường thẳng nằm ngang cắt trục tung tại điểm A(0;b)
Đường thẳng x = c là đường thẳng đứng luôn cắt trục hoành tại điểm M ( ;0 c ) 2025-2026 13 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
Bài 2. HÀM SỐ BẬC HAI 1. Hàm số bậc hai Định nghĩa
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: y = f ( x) 2
= ax + bx + c,
Trong đó x là biến số, a,b,c là các hằng số và a 0 .
Tập xác định của hàm số bậc hai là . Chú ý
» Khi a = 0 , b 0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y = bx + c .
» Khi a = b = 0 , hàm số trở thành hàm hằng y = c .
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng Oxy , đồ thị hàm số 2
y = ax + bx + c(a 0) là một đường Parabol (P) , có: b
» Đỉnh là S − ; − . 2a 4a b
» Trục đối xứng là đường thẳng x = − . 2a
» Bề lõm hướng lên trên nếu a 0 , bề lõm hướng xuống dưới nếu a 0 .
» Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c , tức là đồ thị đi qua điểm (0;c) Chú ý ✓ Nếu phương trình 2
ax + bx + c = 0 có hai nghiệm x , x thì đồ thị hàm số 2
y = ax + bx + c cắt trục 1 2
hoành tại hai điểm có hoành độ x , x 1 2
✓ Cắt trục tung tại điểm A(0;c) : Nằm trên trục hoành → c 0 ; Nằm dưới trục hoành → c 0 . −b − ✓ Đỉnh I ;
: Nằm bên trái trục tung → a, b cùng dấu; Nằm bên phải trục tung → a, b trái 2a 4a dấu. Cách vẽ đồ thị b
(1) Xác định toạ độ đỉnh S − ; − ; 2a 4a b
(2) Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = − ; 2a
(3) Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) hay Lập bảng giá trị
(4) Vẽ parabol có đỉnh S , có trục đối xứng d và đi qua các điểm tìm được
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai a 0 a 0 2025-2026 14 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10 x – ∞ + ∞ x – ∞ + ∞ + ∞ + ∞ y y – ∞ – ∞ b − −
Hàm số đồng biến trên ;+ b ; nghịch biến trên
Hàm số đồng biến trên −; ; nghịch biến trên 2a 2a −b −; b − ;+ 2a 2a Chú ý − −b
Khi a 0 , min f (x) = khi x = 4a 2a − −b
Khi a 0 , max f ( x) = khi x = 4a 2a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Phương pháp b
(1) Xác định toạ độ đỉnh S − ; − ; 2a 4a
(2) Lập bảng biến thiên, nêu chiều biến thiên (3) Lập bảng giá trị b x x x − x x 1 2 2a 3 4 y
y ( x y( x −
y (x y( x 4 ) 3 ) 2 ) 1 ) 4a b
(4) Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng x = − ; 2a
(5) Vẽ parabol có đỉnh S , có trục đối xứng d và đi qua các điểm tìm được 1
Ví dụ 8. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (1) 2
y = x − 2x , (2) 2
y = − x + 2x − 2 2
Lời giải (1)
Ta có a = 1, b = −2 , c = 3.
Toạ độ đỉnh là S (1;− ) 1 . Bảng biến thiên
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (− )
;1 và đồng biến trên khoảng (1;+ ) . 2025-2026 15 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10 Bảng giá trị x −1 0 1 2 3 y 3 0 −1 0 3 Đồ thị của hàm số 2
y = x − 2x là parabol có đỉnh là S (1;− ) 1 và trục đối xứng là x = 1 . 1 (2)
Ta có a = − , b = 2 , c = −2 . 2
Toạ độ đỉnh là S (2;0) .
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−;2) và nghịch biến trên khoảng (2;+ ) .
Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I (2;0) và trục đối xứng là x = 2 . Bảng giá trị x −2 0 2 4 6
y −8 −2 0 −2 −8 1 Đồ thị của hàm số 2
y = − x + 2x − 2 là parabol có đỉnh là S (2;0) và 2
trục đối xứng là x = 2 . 2025-2026 16 0983 900 570 Võ Công Trường
Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 10
CHƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Bài 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai Định nghĩa
» Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng ( ) 2
f x = ax + bx + c , trong đó a,b,c là những hệ số, a 0 .
» Nghiệm của phương trình 2
ax + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ( ) 2
f x = ax + bx + c . » 2
= b − 4ac và 2
= b − ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai ( ) 2
f x = ax + bx + c .
2. Dấu của tam thức bậc hai Định lí
Cho f ( x) 2
= ax + bx + c (a ) 2
0 , = b − 4ac .
» Nếu 0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x . b
» Nếu = 0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , với mọi x − . 2a
» Nếu 0 thì f ( x) luôn:
▪ Cùng dấu với hệ số a khi x (− ;
x x ;+ 1 ) ( 2 )
▪ Trái dấu với hệ số a khi x (x ; x . 1 2 )
Trong đó x . x là hai nghiệm của f ( x) . 1 2
Bảng xét dấu 0 = 0 0
( f ( x) vô nghiệm)
( f ( x) có nghiệm kép)
( f ( x) có 2 nghiệm phân biệt ) −b x –∞ +∞ x –∞ +∞ x –∞ x x +∞ 2a 1 2 Cùng Cùng Cùng Trái Cùng f(x) Cùng dấu a f(x) 0 f(x) 0 0 dấu a dấu a dấu a dấu a dấu a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toán Xét dấu của tam thức bậc hai Phương pháp
Bước 1. Tìm nghiệm của tam thức bậc hai
Bước 2. Lập bảng xét dấu như trên.
Bước 3. Kết luận về dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 9. Xét dấu của các tam thức sau: (1) f ( x) 2 = 3x − 2x +1 (2) f (x) 2
= 3x − 2x −8 (3) f (x) 2
= −x + 2x −1
Lời giải (1) f ( x) 2 = 3x − 2x +1
Ta có = −2 0 và a = 3 0 . Suy ra 2
3x − 2x +1 0, x . (2) f (x) 2
= 3x − 2x −8 4 x = − Ta có: f ( x) 2 0 3x 2x 8 0 = − − = 3 . x = 2 Bảng xét dấu 2025-2026 17 0983 900 570
Tài liệu liên quan:
-
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG KÈM HỌC
15 8 -
Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các hằng đẳng thức liên quan
46 23 -
Bất đẳng thức Cauchy: Toán 10 - Lý thuyết và bài tập ứng dụng
30 15 -
Lý thuyết Lập trình Hướng Đối Tượng (OOP) - Ôn Tập Chi Tiết
26 13 -
Chương 8 - Đạo hàm riêng và Cực trị của Hàm Nhiều Biến (Toán Cao Cấp)
26 13