Hình thoi là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thoi? | Toán 4

Hình thoi là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thoi?
1. Khái niệm hình thoi
Hình thoi trong hình học Ơclit là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Đây là hình bình hành có hai cạnh kề bằng
nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
2. Tính chất của hình thoi
Trong một hình thoi luôn có:
1. Các góc đối bằng nhau
2. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3. Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi
4. Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành (có cạnh đối song song và bằng nhau; có các góc đối
bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Dựa vào những tính chất của hình thoi, các nhà toán học đã đề ra những dấu hiệu để nhận biết hình thoi từ
hình tứ giác và hình bình hành
1. Hình tứ giác đặc biệt
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
Tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi
Tứ giác có hai đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
2. Hình bình hành đặc biệt
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
Hình bình hành có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi
4. Công thức tính chu vi hình thoi
Chu vi của hình thoi được tính bằng tổng độ dài các đường bao quanh hình cũng chính bằng độ dài một cạnh nhân với 4. P = a x 4
Trong đó: P là chu vi hình thoi a là cạnh hình thoi
5. Công thức tính diện tích hình thoi
Diện tích của hình thoi là diện tích được đo bằng độ lớn của bề mặt hình, là phần mặt phẳng ta có thể nhìn
thấy của hình thoi và được tính bằng nửa tích độ dài của hai đường chéo.
S = ½ x d1 x d2 hoặc = h x a
Trong đó: S là diện tích hình thoi
d1, d2 là hai đường chéo hình thoi
h là chiều cao của hình thoi a là cạnh hình thoi
6. Bài tập vận dụng liên quan
Ví dụ 1: Tính chu vi của hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 4 cm Lời giải
Chu vi hình thoi ABCD = AB x 4 = 4 x 4 = 16 cm
Ví dụ 2: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài 6 cm và 8 cm. Tính chu vi hình thoi đó Lời giải
+) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IB = BD/2 = 3 cm và IA = AC/2 = 4cm
+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông IAB có IA² + IB² = AB² ⇔ 3² + 4² = AB² ⇔ AB = 5 cm
+) Như vậy, chu vi của hình thoi ABCD là 4 x 5 = 20 cm
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình thoi biết cạnh đáy bằng 15 cm và chiều cao là 9 cm Lời giải Theo đề bài ta có: Cạnh đáy a = 15 cm Chiều cao h = 9 cm
⇒ Diện tích hình thoi là S = a x h = 15 x 9 = 135 cm²
Ví dụ 4: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 10 cm, hai đường chép cắt nhau tại O. Tính diện tích hình thoi ABCD biết BO bằng ¾ AO Lời giải Theo đề bài ta có:
+) ABCD là hình thoi nên AO vuông góc với BO tại O. Khi đó tam giác ABO vuông tại O
+) Vì BO = ¾ AO đặt BO = 3a ⇒ AO = 4a
+) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABO,
Ta có: AO² + BO² = AB² ⇔ (4a)² + (3a)² = 10² ⇔ 16a² + 9a² = 100 ⇔ 25a² = 100 ⇔ a² = 4 ⇔ a = 2 Do đó, AO = 8 cm; BO = 6 cm
+) Diện tích hình thoi là: S = ½ x (6 x 8) = 24 cm²
Ví dụ 5: Tính diện tích của hình thoi biết độ dài cạnh bằng 17 cm và một trong hai đường chéo bằng 16 cm Lời giải
+) ABCD là hình thoi trong đó AB = BC = CD = DA = 17 cm
+) Đường chéo AC = 16 cm (với O là giao điểm của đường chéo) +) Do đó, AO = 8 cm
+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AOD có AD² = AO² + DO² ⇔ 17² = 8² + DO² ⇔ DO² = 17² – 8² ⇔ DO² = 225 ⇔ DO = 15
Do đó, BD = OD x 2 = 15 x 2 = 30 cm
Diện tích hình thoi là S = ½ x 16 x 30 = 240 cm²
Ví dụ 6: Tính diện tích hình thoi ABCD biết độ dài cạnh bên bằng 3 cm và góc là 30 độ Lời giải
+) Cạnh bên hình thoi là a = 3 cm
+) Góc A bằng 30 độ, do đó góc C đối diện với góc A bằng 150 độ
⇒ Diện tích hình thoi ABCD là:
S = a² x sin (C) ⇔ S = 3² x sin 150° = 4,5 cm²
Ví dụ 7: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 20 cm, đường chéo bằng BD = 6 cm. Tính độ dài đường chéo AC. Lời giải
+)Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đó IB = BD/2 = 3 cm
+) Độ dài AB = 20/4 = 5 cm
+) Xét tam giác vuông IAB áp dụng định lý Pytago ta có IA² + IB² = AB²
⇔ IA² + 3² = 5² ⇔ IA² = 16 ⇔ IA = 4 cm
Vậy đường chéo AC = IA x 2 = 8 cm
Ví dụ 8: Hình nào có diện tích lớn nhất?
1. Hình vuông có cạnh là 5 cm
2. Hình chữ nhật có chiều dài 6 cm và chiều rộng 4 cm
3. Hình bình hành có diện tích 20 cm²
4. Hình thoi có độ dài các đường chéo là 10 cm và 6 cm Lời giải
1. Diện tích hình vuông là 5 x 5 = 25 cm²
2. Diện tích hình chữ nhật là 4 x 6 = 24 cm²
3. Hình bình hành có diện tích 20 cm²
4. Diện tích hình thoi là 6 x 10 x 1/2 = 30 cm²
Như vậy, trong hình thoi có diện tích lớn nhất.