lOMoARcPSD|36451986
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP
Chương 2: ĐỘNG HỌC
Bài 1: Cho hệ thống gồm 2 vật: Đĩa tròn đồng chất bán kính R=20cm, khối lượng
M=2kg gắn chặt vào đầu một thanh dài đồng chất L=1m, khối lượng m=1kg. Hãy xác định: A a) Khối tâm của hệ.
b) Momen quán tính của hệ thống đối với trục quay đi qua A vuông góc với đĩa tròn.
a) Để tính vị trí khối tâm, ta coi:
- Đĩa tròn như một hạt có khối lượng M=2kg đặt tại O, với O là khối tâm của đĩa tròn.
- Thanh dài như một hạt có khối lượng m=1kg đặt tại O’, với O’ là khối tâm của thanh.
Bài toán trở thành tính khối tâm của 2 hạt đặt tại O và O’. Ta làm như sau:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, xác định tọa độ O, O’ :
O  (x , y )  (0, 0) 1 1  L 
O '  (x , y )  , 0  (50, 0) 2 2    2 
Vị trí khối tâm: G  (x , y ) G G
m .x  m .x M .x  . m x 50 O 1 1 2 2 1 2 x    O’ A G m  m M  m 3 1 2
m .y  m .y M .y  . m y 1 1 2 2 1 2 y    0 G m  m M  m 1 2
b) Momen quán tính của hệ: I  I  I . Với I 1 2
1, I2: Momen quán tính của đĩa và thanh đối với
trục quay đi qua A, tính được bằng công thức chuyển trục 2 I  I  . m d như sau:   A G 1 1 2 2 2 2 2 I 
MR  M (O ) A
 .2.0,2  2.1  2,04kg.m 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 I 
mL  m(O ' ) A 
.1.1 1.0,5  0,33kg.m 2 12 12 Vậy: 2
I  I  I  2,04  0,33  2,37 kg.m 1 2 1
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 2: Cho hệ như hình vẽ gồm: Thanh AB đồng chất khối lượng m  4kg D
dài L  40cm ;Thanh CD đồng chất khối lượng m  2kg 1 1 2
dài L  20cm ; Vành tròn đồng chất khối lượng m  1kg bán kính 2 A O B
R  10cm có tâm O nằm tại trung điểm AB. C
a) Xác định khối tâm G của hệ.
b) Tính mômen quán tính đi qua A và vuông góc với mặt phẳng chứa hệ.
a) Để tính vị trí khối tâm, ta coi:
- Thanh dài AB như một hạt có khối lượng m  4kg đặt tại O, với O là khối tâm của thanh 1 AB.
- Thanh dài CD như một hạt có khối lượng m  2kg đặt tại B, với B là khối tâm của thanh 2 CD.
- Vành tròn như một hạt có khối lượng m  1kg đặt tại O, với O là khối tâm của vành 3 tròn.
Bài toán trở thành tính khối tâm của 3 hạt đặt tại O và B. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ,
xác định tọa độ O, B:  AB 
O  (x , y )  (x , y )  (0, 0) ; B  (x , y )  ,0  (20,0) 1 1 3 3 2 2    2 
Vị trí khối tâm: G  (x , y ) G G
m .x  m .x  m .x 1 1 2 2 3 3 x  G
m  m  m D 1 2 3
m .x  m .x  . m x 4.0  2.20 1.0 1 1 2 2 3    5,7cm
m  m  m 4  2 1 1 2 B A O
m .y  m .y  m .y
m .0  m .0  m .0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 y    0 C G
m  m  m
m  m  m 1 2 3 1 2 3
b) Momen quán tính của hệ: I  I  I  I . Với I 1 2 3
1, I2 , I3: Lần lượt là momen quán tính của
thanh AB, thanh CD và vành tròn đối với trục quay đi qua A, tính được bằng công thức chuyển trục 2 I  I  . m d như sau:   A G 2 1 1  L  1 I 
m .L  m . OA 
m .L  m .  m .L 1 1 1 1  2 2 2 1 2 1 1 1   1 1 12 12  2  3 1 1 2 2 2 2 I 
m .L  m .( AB) 
m .L  m .(L ) 2 2 2 2 2 2 2 1 12 12 2  L  2 2 2 1
I  m .R  m .(O ) A
 m .R  m . 3 3 3 3 3    2 
Vậy: I  I  I  I 1 2 3 2
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 3: Quả cầu đồng chất được đặt trên đỉnh mặt phẳng nghiêng α sau đó thả cho lăn không trượt, tìm gia tốc khối tâm.
Các lực tác dụng lên quả cầu như hình vẽ, lưu ý lực ma sát là ma sát lăn, vì lăn không
trượt nên bản chất ma sát bề mặt tác dụng lên quả cầu là lực ma sát nghỉ.
Xét chuyển động của quả cầu, ta thấy nó vừa quay và vừa di chuyển theo đường thẳng.
Do đó ta xem quả cầu đang thực hiện đồng thời hai chuyển động: (1) quay quanh trục quay
đi qua khối tâm G vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và (2) chuyển động tịnh tiến đi xuống.
Phương trình Newton viết cho 2 chuyển động:
Tịnh tiến: F  M .a  P  N  F  M .a G ms G
Quay: M  I.  M  M  M  I. P N Fms
Xét độ lớn các moment lực đối với trục quay đi qua khối tâm: M  . P d  .0 P
 0 , M  N.d  N.0  0 . Nên pt quay P N trở thành M  I. Fms Chiếu: .
P sin   0  F  M.a (1) ms G M
 I.  F .R  I. (2) F ms ms
Phương trình bổ sung: a  .R (3) G . P sin  5
Từ (1), (2), (3) ta giải ra được: a   g.sin G I 7 M  2 R
Bài 4: Ta dùng một lực F=121N tác dụng lên đầu dây A để kéo một xô vữa lên cao. Xô vữa có khối
lượng m=10kg. Ròng rọc là đĩa tròn đặc, đồng chất có khối lượng M=1kg. Cho rằng sợi dây không
co dãn, khối lượng không đáng kể. Tính gia tốc của xô vữa và lực căng dây. Lấy g=10m/s2
Vẽ tất cả các lực lên hệ gồm vật m và ròng rọc M, chọn trục tọa độ, Pt Newton: P  T  . m a
M  M  M
 M  I.  M  M  I. T ' F P R T ' F M
Chiếu: PT  .ma (1)
M  M  I.  T
 '.R  F.R  I. (2) T ' F
Phương trình bổ sung: T  T ', a  .R (3)
Giải hệ (1), (2), và (3) tìm a như sau:  a a Thay (3) vào (2) : T
 .R  F.R  I.  T   F  I. (4) R 2 R  a
Cộng (4) với (1):  T
  F   P T   I.  . m a 2 R F  P F  . m g 12110.10 2  a     2m / s I M 1  m  m 10 2 R 2 2
Lực căng dây: T  T '  .
m a  P  10.2 10.10  120N 3
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 5: Cho cơ hệ như hình vẽ, các vật m
=1kg. Các ròng rọc là các đĩa tròn 1=2kg, m2
đặc, đồng chất có khối lượng M=2kg. Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng
yên. Dây nối không co dãn, khối lượng không đáng kể.
a) Tính gia tốc của các vật m1 và các lực căng dây.
b) Tính phản lực tác dụng lên ròng rọc A, biết 0   30 .
a) Vẽ tất cả các lực lên hệ gồm 2 vật và hai ròng rọc, chọn trục tọa độ như hình vẽ. Phương trình Newton:
P  T  m a 1 1 1
P  T  m a 2 2 2 M
 M  M  M  I. 1 T ' 3 T P R M 1 A  M  M  I. T ' T 1 3 M
 M  M  M  I. 2 T ' 3 T ' P R M 2
 M  M  I. 2 T ' 3 T ' Chiếu:
P  T  m a (1) 1 1 1
P T  m a (2) 2 2 2 M  M  I. T T 1 ' 3
 T '.R T .R  I. (3) 1 3
 M  M  I. T T 2 ' 3 '  T
 '.R  T '.R  I. (4) 2 3
Phương trình bổ sung: a  . ;
R T  T '; T  T '; T  T ' (5) 1 1 2 2 3 3
Từ (1), (2), (3), (4) và (5), giải hệ ta được gia tốc: m g  m g 1 2 a 
m  m  M 1 2
* Các lực căng dây:
Từ (1)  T '  T  P  m a ; Từ (2)  T '  T  P  m a 1 1 1 1 2 2 2 2  M
Từ (3)  T '  T  T ' I.  T '.R  a 3 3 1 1 R 2
b) Phản lực trục quay R : 1
Phương trình Newton tịnh tiến viết cho ròng rọc:
R  T ' P  T  M .a  0 1 1 M 3 G Chiếu lên hai trục:
Ox :R  0  0 T .cos  0 1x 3 
Oy :R  T ' P  T .sin  0  1y 1 M 3  R  T  .cos 1x 3  
R  T ' P  T .sin  1y 1 M 3 4
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 6: Cho cơ hệ như hình vẽ, vật m=2kg. Ròng rọc là đĩa tròn đặc, đồng chất có khối
lượng M=2kg. Tác dụng lên đầu dây A một lực F=16N. Dây nối không co dãn, khối
lượng không đáng kể. Chiều dài của mặt phẳng nghiêng là 50cm. Cho 0   30 . Hệ
số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là 0,2. Tính:
a) Gia tốc của các vật m và lực căng dây.
b) Phản lực tác dụng lên ròng rọc.
a) Vẽ tất cả các lực lên hệ gồm vật m và ròng rọc M, chọn trục tọa độ như hình vẽ.
Khi vẽ lực ma sát ta cần đánh giá xu hướng chuyển động của vật m như sau: giả sử không có ma sát,
thành phần lực lôi vật đi xuống là hình chiếu trọng lực lên phương chuyển động, thành phần này có độ lớn 0 . P sin  .
m g.sin  2.10.sin 30  10N . Thành phần lực lôi vật đi lên là T , lực T có giá trị
lớn nhất là T  F  16N . Khi giá trị lực T lớn nhất cao hơn 10N thì ta kết luận vật có xu hướng bị
kéo đi lên, và lực ma sát tác dụng lên vật có chiều ngược lại như hình vẽ. Phương trình Newton:
P  T  F  N  . m a ms
M  M  M
 M  I.  M  M  I. T ' F P R T ' F M Chiếu:  .
P sin  T  F  . m a (1) ms
M  M  I.  T
 '.R  F.R  I. (2) T ' F Phương trình bổ sung:
T  T ', a  .R (3)
Giải hệ (1), (2), và (3) tìm a như sau:  a Thay (3) vào (2) : T
 .R  F.R  I. R a  T   F  I. (4) 2 R  a
Cộng (4) với (1):  T
  F    .
P sin  T  F   I.  . m a ms 2 R F  . P sin  F
F  mg.sin  k. . m g.cos ms a   I M  m m  2 R 2
Lực căng dây: T  T '  ma  F  .
P sin  ma  k.mg cos  mg sin ms
b) Vận tốc tại đỉnh mặt phẳng nghiêng: 2 2 2
v  v  2as  v  0  2as  v  2as 0
c) Phản lực trục quay R tác dụng lên ròng rọc:
Phương trình Newton tịnh tiến viết cho ròng rọc:
R  T ' P  F  M .a  M .0  0 M G Chiếu lên hai trục: O
 x :R T '.cos  0  0  0
 R  T '.cos x x   
Oy :R  T '.sin  P  F  0
R  T '.sin  P  F  y M  y M 5
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 7: Tương tự bài 6
Bài 8: Tương tự bài
Bài 9: Cho cơ hệ như hình vẽ. Trong đó vật m1 là khối trụ đặc khối lượng 5kg, m2= 2kg.
Thả cho cơ hệ chuyển động từ trạng thái nghỉ, khối trụ lăn không trượt trên mặt sàn.
Cho rằng dây không co dãn, dây và ròng rọc có khối lượng không đáng kể.
Tính gia tốc của vật m2 và lực căng dây a) Phương trình Newton Vật m   2: P T m .a 2 2 2 Vật m      1: P T N F m .a m .a 1 1 ms 1 C 1 M  I. Fms Chiếu:
P  T  m .a (1) 2 2 2
0  T  0  F  m .a (2) 1 ms 1 M  I. Fms
 F .R  I. (3) ms Phương trình bổ sung:
T  T ; a  .R (4) 1 2
Từ (1), (2), (3) và (4) giải ta thu được a và T ,T 1 2
Bài 10: Cho cơ hệ như hình vẽ. Vật m0 là một khối trụ đặc, đồng chất, được quấn vào
cuộn dây. Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái nghỉ, vật m0 chuyển động lăn không
trượt trên mặt ngang. Biết m =2m. Dây không co dãn, khối lượng 0
dây và ròng rọc không đáng kể.
a. Tính gia tốc của m và khối tâm C của vật m0.
b. Tính lực căng dây. b) Phương trình Newton
P  T  ma m
P  T ' N  F  m a ms 0 C M  M  I. T ' F ms Chiếu:
P  T  ma (1) m
0  T ' 0  F  m a (2) ms 0 C M  M  I. T ' F ms
 T '.R  F .R  I. (3) ms Phương trình bổ sung:
T  T '; a  2a ; a  .R (4) C C
Từ (1), (2), (3) và (4) giải ta thu được a, a C
c) Lực căng dây: T  T '  P  ma  mg  ma m 6
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 11: Cho cơ hệ như hình vẽ. Trong đó, vật M là khối trụ đặc đồng
chất khối lượng 40kg, ròng rọc là đĩa tròn đặc đồng chất có khối lượng
là m= 2kg. Tác dụng vào A một lực F=215,5N kéo khối trụ lăn không
trượt lên dốc nghiêng. Cho rằng dây không co dãn, có khối lượng không đáng kể.
Tính gia tốc của điểm C và lực căng dây. Phương trình Newton
Vật M: P  T  N  F  M .a  M .a 1 ms C M  I. Fms
Ròng rọc m: M  M  I . 2 T F m m Chiếu:  .
P sin   T  F  M .a (1) 1 ms M
 I.  F .R  I. (2) ms Fms
M  M  I .  T
 .r  F.r  I . (3) 2 T F m m 2 m m
Lưu ý:R, r lần lượt là bán kính khối trụ và ròng rọc; 1 1 2 2 I 
M .R ; I  . m r 2 m 2 Phương trình bổ sung:
T  T ; a  .R ; a   .r (4) 1 2 m
Giải hệ (1), (2), (3) và (4):
- Thay (4)vào (3) và (2) ta được: a a
(2)  F .R  I.  F  I. (5) ms ms 2 R R a a a (3)  T
 .r  F.r  I .  T
  F  I .  T  F  I . (6) 2 m 1 m 2 1 m 2 r r r - Thay (5) và (6) vào (1): a a . P sin  F . P sin  F 2 . P sin        F  I .  I.
 M.a  a    0, 25m / s m 2 2 r R I I 3 1 m M   .M  .m 2 2 r R 2 2 Lực căng dây: a 1
(6)  T  T  F  I .  F  . m a 2 1 m 2 r 2 7
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 12: Cho cơ hệ như hình vẽ. Trong đó, vật m=20kg có thể trượt trên sàn
với hệ số ma sát 0,1. Ròng rọc hai bán kính R  2R , có khối lượng là 2 1
M= 4kg, momen quán tính đố 3 i trục quay là 2
MR . Tác dụng lực F lên 2 8
điểm A, F  20N . Biết dây nhẹ và không co gãn. Tính: a) Gia tốc của m b) Lực căng dây.
c) Phản lực trục quay tác dụng lên ròng rọc.
Bài 13: Hệ cơ học như hình vẽ, trong đó vật M là một khối trụ đặc, đồng
chất, M= 5kg lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Vật m=2kg là một
khối hộp trượt trên sàn nằm ngang với hệ số ma sát 0,1. Cho rằng dây
không dãn, khối lượng dây và ròng rọc không đáng kể.
Tính gia tốc vật m và lực căng dây. Phương trình Newton Vật m: (1)
P  T  N  F  . m a 1 1 1 ms Vật M: (2)
P  T  N  F
 M.a  M .a 2 2 2 ms C M  I. ( 2 ) Fms Chiếu: (1) T  F  . m a (1) 1 ms (2)
P .sin   T  F
 M.a (2) 2 2 ms M  I. ( 2 ) Fms (2)
 F .R  I. (3) ms Phương trình bổ sung:
T  T ; a  .R (4) 1 2
Từ (1), (2), (3) và (4) giải ta thu được a (1) P .sin   F
M .g.sin   k. . m g 2 ms a   3 3 m  M m  M 2 2 Lực căng dây: (1) T  T  . m a  F  . m a  k. . m g 1 2 ms 8
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com) lOMoARcPSD|36451986
Bài 14: Cho hệ cơ học như hình vẽ, m1=2kg, m2=3kg. Ròng rọc 2 bán kính R2=2R1,
M=1kg. Momen qun tính của ròng rọc so với trục đối xứng là 3 2 MR . Tính gia tốc 8 2
các vật và các lực căng dây.
Vẽ tất cả các lực lên hệ gồm 2 vật và ròng rọc, chọn trục tọa độ như hình vẽ. Lưu ý hai vật chuyển
động khác nhau nên gia tốc không như nhau. Phương trình Newton:
P  T  m a 1 1 1 1
P  T  m a 2 2 2 2 M  M  I. 1 T ' 2 T '
Chiếu: P T  ma (1) 1 1 1 1
P  T  m a (2) 2 2 2 2
M  M  I.  T
 '.R  T '.R  I. (3) 1 T ' 2 T ' 1 1 2 2
Phương trình bổ sung:
T  T ' ; T  T '; (4) 1 1 2 2
a  .R ; a  .R (5) 1 1 2 2
Giải hệ (1), (2), (3), (4), (5) như sau:  Thay (5) vào (1) và (2)
P T  m .(.R ) (6) 1 1 1 1
P  T  m .(.R ) (7) 2 2 2 2  Thay (4) vào (3): T
 .R  T .R  I. (8) 1 1 2 2
 Rút T từ (6) và T từ (7) thay vào (8): 1 2
(P  m ..R ).R  (P  m ..R ).R  I. 1 1 1 1 2 2 2 2 P R P R 80 2 2 1 1 2    
rad / s , thay 2 3
I  MR ; R  2R 2 2
I  m .R  m .R 31.R 8 2 2 1 1 1 2 2 1 Gia tốc các vật: 80 2 a   .R 
.R  2, 6m / s 1 1 1 31.R1 80 2 a   .R 
.2R  5, 2m / s 2 2 1 31.R1
Dựa vào (1) và (2) tính các lực căng dây.
T  T '  m a  P  2.2, 6  2.10  25, 2N 1 1 1 1 1
T  T '  P  m a  3.10  3.5, 2  14, 4N 2 2 2 2 2 9
Downloaded by Linh Chi ??ng (chithcsttst101@gmail.com)