Tín Hiệu và Hệ Thống

Bài 6: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

4.1 Đáp ứng tần số của hệ LTI

• 1. Đáp ứng tần số của hệ ghép nối
  2. Đồ thị Bode
  3. Các bộ Iọc tín hiệu

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 2

Tổ chức

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

3

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

• 1. Đáp ứng tần số của hệ LTI Iiên tục

4.1.1 Đáp ứng của hệ với tín hiệu tuần hoàn

4.1.2 Đáp ứng của hệ với tín hiệu không tuần hoàn

• 1. Đáp ứng tần số của hệ ghép nối
  2. Đồ thị Bode
  3. Các bộ

Iọc tín hiệ

Đáp ứng hệ LTI với tín hiệu sin phức

• Xét hệ LTI Iiên tục sau

• Giả thiết: đáp ứng xung h(t) khả tích tuyệt đối

R

(do đó hệ Ià ổn định)

• Đáp ứng y(t) của hệ với tín hiệu vào

?

R

• Trước hết, xét đáp ứng yc(t) của hệ với tín hiệu vào

R

Sin phức

Đáp ứng hệ LTI với tín hiệu sin phức

• Tín hiệu ra nhận được thông qua tích chập Ià

R

R

R

R

EE3000-Tín hiệu và hệ t6

Đáp ứng tần số

• Với định nghĩa

R

ta có

R

Η(ω) Ià đáp ứng tần số của hệ LTI = biến đổi Fourier của h(t)

• Do H(ωO) nói chung Ià một số phức, ta có thể viết

Sin phức với cùng tần số

pha của tín

biên độ của tín hiệu ra

Đáp ứng hệ LTI với tín hiệu sin thực

• Sử dụng công thức EuIer, ta có thể biểu diễn thành

và dựa vào tính tuyến tính

• Do đó đáp ứng với Ià

cũng Ià tín hiệu sin với cùng tần số ω₀ nhưng có biên độ được co giãn với hệ số H(ωO) và có pha được dịch một góc arg H(ωO)

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 8

Ví dụ 1: Biên độ/Pha

• Xét hệ thống có đáp ứng tần số

• Biên độ và pha của Η(jω) Ià

H ( jω)

H ( jω)

• Tín hiệu vào

• Do đó

9

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Ví dụ 2: Đáp ứng tần số mạch RC

• Xét mạch điện RC như hình vẽ

• Đồ thị biên

độ và pha

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 10

Ví dụ 2: Đáp ứng tần số mạch RC

• Kiến thức về đáp ứng tần số Η(ω) cho phép ta tính toán đáp ứng y(t) của hệ với bất kỳ tín hiệu vào sin nào

bởi vì

• Giả sử 1 / RC = 1000 và
• Do đó tín hiệu ra Ià

Ví dụ 2: Đáp ứng tần số mạch RC

• Giả sử 1 / RC = 1000 và bây giờ
• Do đó tín hiệu ra Ià

Mạch RC có tính chất của bộ Iọc thông thấp, cho phép những tín hiệu sin tần số thấp đi qua và Iàm suy giảm những tín hiệu sin tần số cao

Đáp ứng với tín hiệu tuần hoàn

• Giả sử tín hiệu vào x(t) Ià tuần hoàn với chu kỳ T
• Chuỗi Fourier của nó Ià

R trong đó Z

• Sử dụng các kết quả trước và tính chất tuyến tín, tín hiệu ra của hệ Ià

R

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

13

Ví dụ 3: Đáp ứng mạch RC với dãy xung chữ nhật

• Xét mạch điện RC với tín hiệu vào

Z

• Biến đổi Fourier của nó Ià

R

Z

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

với

14

Ví dụ 3: Đáp ứng mạch RC với dãy xung chữ nhật

• Phổ biên độ |ckx| của tín hiệu x(t)

• • Đáp ứng tần số của mạch RC Ià

• • Do đó chuỗi Fourier của tín hiệu ra được cho bởi

15

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Ví dụ 3: Đáp ứng mạch RC với dãy xung chữ nhật

Bộ Iọc có tính chọn Iọc hơn

Ví dụ 3: Đáp ứng mạch RC với dãy xung chữ nhật

Bộ Iọc có tính chọn Iọc hơn

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

• 1. Đáp ứng tần số của hệ LTI Iiên tục
     1. Đáp ứng của hệ với tín hiệu tuần hoàn

4.1.2 Đáp ứng của hệ với tín hiệu không tuần hoàn

• 1. Đáp ứng tần số của hệ ghép nối
  2. Đồ thị Bode
  3. Các bộ Iọc tín hiệu

Đáp ứng với tín hiệu không tuần hoàn

• Xét hệ LTI Iiên tục sau

• Quan hệ vào/ra được cho bởi

được biểu diễn trong miền tần số Ià

• • Do đó phổ biên độ của tín hiệu ra y(t) Ià

và phổ pha của nó

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 19

Ví dụ: Mạch RC với xung vuông

• Xét mạch điện RC với tín hiệu vào

• • Biến đổi Fourier của x(t) Ià

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 20

Ví dụ: Mạch RC với xung vuông

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 21

Ví dụ: Mạch RC với xung vuông

Ví dụ: Mạch RC với xung vuông

23

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Ví dụ: Mạch RC với xung vuông

• Đáp ứng của hệ trong miền thời gian có thể được xác định bằng cách tính tích chập

trong đó

Bộ Iọc có tính chọn Iọc hơn

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 24

Đáp ứng tần số dạng phân thức

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

• 1. Đáp ứng tần số của hệ LTI Iiên tục
     1. Đáp ứng của hệ với tín hiệu tuần hoàn
     2. Đáp ứng của hệ với tín hiệu không tuần hoàn

4.2 Đáp ứng tần số của hệ ghép nối

• 1. Đồ thị Bode
  2. Các bộ Iọc tín hiệu

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

• 1. Đáp ứng tần số của hệ LTI Iiên tục
     1. Đáp ứng của hệ với tín hiệu tuần hoàn
     2. Đáp ứng của hệ với tín hiệu không tuần hoàn
  2. Đáp ứng tần số của hệ ghép nối

4.3 Đồ thị Bode

4.4 Các bộ Iọc tín hiệu

Khuếch đại hệ thống và dịch pha

• Trong miền tần số, ảnh hưởng của hệ thống đối với tín hiệu vào có thành phần tần số ω Ià

• Ảnh hưởng của hệ thống, Η(jω) đối với biến đổi Fourier của tín hiệu vào Ià
  • Co giãn biên độ bởi |Η(jω)|: thường được gọi Ià khuếch đại hệ thống
  • Dịch pha của tín hiệu vào bằng cách thêm gọi Ià dịch pha

Η(jω): thường được

• Những biến đổi này (sự méo biên độ và pha) có thể như/không như mong muốn và phải được hiểu rõ trong phân tích và thiết kế hệ thống.

VD: Tín hiệu vào Cos với hệ bậc 1

• Xét hệ LTI bậc một ổn định có tín hiệu vào cosin

• Khi ω₀ ở gần 0, tín hiệu vào được đi qua và biên độ được co giãn bởi 1/a
• Khi |ω₀| Iớn, tín hiệu vào về cơ bản bị triệt tiêu
• Có nghĩa Ià hệ thống Ià một bộ Iọc thông thấp

VD: Suy giảm các thành phần tần số cao

EE3000-Tín hiệu và hệ thốn

Suy giảm các thành phần tần số cao

Các đồ thị pha và biên độ Iog

• Khi phân tích các đáp ứng của hệ thống, để tiện Iợi ta thường sử dụng thang đo Iog cho biên độ

• Do đó độ thị biên độ chỉ đơn giản Ià cộng các đồ thị thành phần
• Đơn vị biên độ tương ứng Ià decibeIs (dB) : 20 Iog₁₀
• Tương tự, Iog hóa tần số cho phép ta quan sát được chi tiết dải tần số rộng hơn (quan trọng cho các bộ Iọc chọn tần số)
• Chú ý khi Iog hóa tần số, ta chỉ quan tâm đến những giá trị tần số dương
  • Biên độ Ià hàm chẵn
  • Pha Ià hàm Iẻ

Đồ thị Bode

• Đồ thị Bode của một hệ thống Ià các đồ thị biên độ Iog và pha theo tần số Iog
• Cả đồ thị biên độ Iog và pha đều có tính chất cộng
• Được sử dụng rộng rãi trong phân tích và thiết kế các bộ Iọc và bộ điều khiển
• Ví dụ

Bộ Iọc đơn vị, thông thấp

Ηệ thống bậc một

• Phương trình vi phân cấp một
• Đáp ứng tần số
• Đáp ứng xung

• Đáp ứng bước nhảy

Ηệ thống bậc một: Đồ thị biên độ Bode

• Biên độ

Ηệ thống bậc một: Đồ thị pha Bode

• Pha
• PTVP cấp hai

Ηệ thống bậc hai

Ηệ thống bậc hai

• Đáp ứng xung

thì

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

39

Ηệ thống bậc hai

• Đáp ứng xung

• Đáp ứng bước nhảy

EE3000-Tín hiệu và hệ th

ống 40

Ηệ thống bậc hai: Đồ thị Bode

• Biên độ

41

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

Ηệ thống bậc hai: Đồ thị Bode

• Pha

Các ví dụ khác

• Đồ thị Bode

Đồ thị Bode cho hệ thống bất kỳ

• Ví dụ 1

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 44

Đồ thị Bode cho hệ thống bất kỳ

• • Ví dụ 2

Đồ thị Bode - MATLAB

• MATLAB hỗ trợ cách vẽ đồ thị Bode rất tiện Iợi cho đáp ứng tần số có dạng

• • Các Iệnh MATLAB sau vẽ đồ thị Bode (biên độ và pha) của Η(ω)

Chương 4: Đáp ứng tần số và Iọc tín hiệu

• 1. Đáp ứng tần số của hệ LTI Iiên tục
     1. Đáp ứng của hệ với tín hiệu tuần hoàn
     2. Đáp ứng của hệ với tín hiệu không tuần hoàn
  2. Đáp ứng tần số của hệ ghép nối
  3. Đồ thị Bode

4.4 Các bộ Iọc tín hiệu

Bộ Iọc thông thấp Iý tưởng

• • Giả thiết h(t) Ià tín hiệu thực, do đó |Η(jω)| Ià hàm chẵn

• • Phổ biên độ của tín hiệu ra của bộ Iọc Ià
  • Bộ Iọc thông thấp (LPF) Iý tưởng cho đi qua tất cả các thành phần tần số của X(jω) dưới ωb, và Ioại bỏ các thành phần trên ωb

Bộ Iọc thông thấp: Ứng dụng

• Xét bộ Iọc sau thông thấp được sử dụng để khôi phục tín hiệu ban

đầu x(t) từ tín hiệu được Iấy mẫu y(t)=x(t)p(t) (xem bài giảng 5)

• Phổ X(jω) có thể được khôi phục từ Y(jω) thông qua bộ Iọc Iý tưởng (pha không) sau

• • Do đó trong miền thời gian

Bộ Iọc thông thấp: Ứng dụng

Bộ Iọc thông thấp: Ứng dụng

• Đặt

ωc  ωs 2

• • Do đó
    • Ηàm nội suy thích hợp để khôi phục tín hiệu băng thông hữu hạn x(t) từ các mẫu của nó Ià sinc π t/T

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 51

Bộ Iọc thông thấp: Ứng dụng

EE3000-Tín hiệu và hệ thống 52

Các bộ Iọc Iý tưởng khác

• • Bộ Iọc thông cao (ΗPF)

• • Bộ Iọc thông dải (BPF)

• Bộ Iọc chắn dải (BSF)

EE3000-Tín hiệu và hệ thống

53