Thông tin
Hỏi đáp

Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học của trường Đại học Thái Nguyên với đề tài "Ma trận xác định dương và một số ứng dụng" giúp bạn tham khảo và hoàn thành tốt bài luận của mình đạt kết quả tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán học 1 tài liệu

Trường:

Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên 44 tài liệu

Thông tin:

59 trang 11 tháng trước

Tác giả:

Hậu

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

161 81 lượt tải Tải xuống

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. Tạ Duy Phượng

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Header Page 1 of 1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mục lục

Trang

Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3

Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5

1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5

1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5

1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8

1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9

1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9

1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9

1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9

1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10

1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11

1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13

1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite …………………………..………13

2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24

2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24

2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27

Kết luận Chương……………………………………………………………..…44

Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45

1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với

hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45

1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47

1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48

1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50

2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52

2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52

2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52

2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54

Kết luận chương ……………………………………………………………….55

Kết luận……………………………………………………………....………...56

Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo

thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng

trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình

bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất

của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về

ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có

thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc

biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…

Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ

về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội

dung trong luận văn gồm hai chương.

Chương 1. Ma trận xác định dương

Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:

ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ

yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định

dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.

Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương

Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối

với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy

Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học

Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ

Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ

thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi

cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh

Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo

điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Đinh Trọng Sỹ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG I

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến

ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định

dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ

yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].

Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có

hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương.

1 MA TRẬN

1.1 Số phức và không gian vectơ phức

Cho

z a bi

 

là một số phức.

Ký hiệu

là liên hợp phức của

, tức là

z a bi

 

Nhận xét rằng,

z z



khi và chỉ khi



, hay

là số thực.

Số phức

z a bi

  

khi và chỉ khi

z a bi

  

, tức là



hoặc



Ta luôn có









2 2

zz a bi a bi a b

     

với mọi số phức

;



khi và

chỉ khi



Giả sử

là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột

số chiều

có

các thành phần là các số phức.

Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ

và

trong

là một

số

1 1 2 2

( , ): , : ...

n n

x y x y x y x y x y x y





      , trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

....

x H

 

 

 

 

 

...

y H

 

 

 

 

 

k k k

x a b i

 

k k k

x a b i

 

1,2,...,

k n



và

 

1 1 1

1 1

... .... ,...,

n n

n n n

x a ib

x x a ib a ib

x a ib



 



   

   



     

   



   

Khi

là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều

có các

thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là

1 1 2 2

( , ): , : ...

n n

x y x y x y x y x y x y





      .

Ánh xạ

f H





được gọi là tuyến tính trên

nếu với mọi





, mọi

1 2

x x H



ta có













1 1 2 2 1 1 2 2

f t x t x t f x t f x

   .

Ánh xạ

f H





được gọi là tuyến tính liên hợp trên

nếu với mọi





mọi

1 2

x x H



ta có













1 1 2 2 1 1 2 2

f t x t x t f x t f x

   .

Tính chất Tích vô hướng

.,.

tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến

tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ

tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô

hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.

Chứng minh Thật vậy, vì

...

 

 



 

 

nên

...

 

 



 

 

 

,...,

x x x x



 

;

...

 

 



 

 

...

 

 



 

 

nên

1 2 1 2

1 1 1 1 2 1

1 2

1 2 1 2

1 2

... ... ....

n n n n

y y t y t y

t y t y t t

y y t y t y

     



     

   

     



     

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Do đó

 

   

1 2

1 1 2 1

1 2 * 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2

1 2

1 1 * 1 * 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1

( , ) ( ) ,..., .........

, , .

n i i i

n n

i i i i

i i

t y t y

x t y t y x t y t y x x x t y t y

t y t y

t x y t x y t x y t x y t x y t x y



 



 

 



 

      

 



 

     



 

Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng

.,.

tuyến tính theo biến thứ hai.

Bây giờ cố định biến thứ hai, vì

1 2 1 2

z z z z

 và

1 2 1

z z z z

  

nên

 





 

1 2

1 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 1 1 2

1 2

.......... ,...,

n n

t x t x

t x t x t x t x t x t x t x t x

t x t x





 



 



      

 



 

Do đó

   

     

1 2 1 2 1 2

1 2 1 1 2 1 1 2

* *

1 2 1 2 1 2

1 1 1

,..., ....

n n

n n n

i i i i i i i

i i i

t x t x y t x t x t x t x

t x t x y t x y t x y t x y t x y



  

 

 

   

 

 

     

  

tức là













 

1 2 1 2 1 2 1 * 2 *

1 2 1 2 1 2 1 2

1 * 2 * 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

, , ( ) ( )

( ) ( ) , , ( , ) ( , ).

t x t x y t x t x y t x t x y t x t x y

t x y t x y t x y t x y t x y t x y



      

     



 

Vậy



là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.

Nếu

là không gian Euclid hữu hạn chiều



với các phần tử là các vectơ có

các thành phần là các số thực thì



là tuyến tính theo từng biến.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng

của hai vectơ

và

là

1 1

( , ): , : ...

n n

f x y x y x y x y

    . Khi ấy tích vô hướng

tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.

1.2 Định nghĩa ma trận

Cho m, n là hai số tự nhiên. Một

m n



-ma trận (ma trận cấp

m n



) là một bảng

số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột

11 12 1

21 22 2

1 2

......

.....

.........................

....

m m mn

a a a

 

 

 

Các số (thực hoặc phức)

được gọi là phần tử ở dòng i cột j (

1, ; 1,

i m j n

 

)

của ma trận.

Ma trận được viết dưới dạng rút gọn

A a

 



 

 

Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết

m n

A a



 



 

 

Khi

m n



thì ta có ma trận vuông cấp

. Kí hiệu ma trận vuông cấp

là

Khi



ma trận

có cấp



được gọi là vectơ cột

...

 

 



 

 

số chiều

Khi



ma trận có cấp



được gọi là vectơ hàng





1 2

, ,...,

x x x x

 cấp

Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ

cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không

gian vectơ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.3 Ma trận không

Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là

0, ,

a i j

 

và được kí hiệu là

hay

1.4 Ma trận đường chéo

Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0,

tức là 0,

a i j

  

. Kí hiệu ma trận đường chéo là

11 22

diag( , ,..., )

A a a a



1.5 Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo

bằng 1,

kí hiệu là

hay

. Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết

hay

1.6 Các phép toán trên ma trận

Cho hai ma trận cùng cấp





m n

A a









m n

B b





Tổng của hai ma trận

và

là một ma trận cấp

m n



, được viết là

A B



và

được xác định bởi công thức





ij ij

A B a b

  

, Tức là

11 1 11 1 11 11 1 1

1 1 1 1

n n n n

m mn m mn m m mn mn

a a b b a b a b

 

     

     

 

     

 

     

  

        

  

;

Tích của ma trận

với đại lượng vô hướng



(một số



là một số thực hay

một số phức) được xác định bởi hệ thức





A A a

  

 

, tức là

11 1 11 1

1 1

n n

m mn m mn

a a a a

 



 

   

   



   

   

 

     

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Giả sử





A a



là một

m n



ma trận và





B b



là một

n p



ma trận.

Tích của hai ma trận

và

là một

m p



-ma trận





với

1 1 2 2

. . .

ik i k i k in nk ij jk

c a b a b a b a b



    



Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số

phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.

Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ

nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.

Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là









A BC AB C

 nếu các

phép nhân ma trận thực hiện được.

Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung

AB BA



Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân

, còn

thì không.

Ta luôn có

AI IA A

 

với mọi ma trận

Ví dụ, cho

7 0 4

1 2 1

 



 

 

1 0

3 5

2 3

 

 

 

 

 

. Khi đó ta có

1 0

7 0 4 15 12

3 5

1 2 1 3 13

2 3

 

   

 

  

   

 



   

 

 

;

7 0 4

16 10 7

17 6 11

 

 

  

 

 

1.7 Ma trận nghịch đảo

Cho

là ma trận vuông cấp

. Một ma trận vuông

cấp

được gọi là ma

trận nghịch đảo của ma trận

nếu

AB BA I

 

, trong đó I là ma trận đơn vị.

Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì

được gọi là ma trận khả nghịch.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu

là ma trận khả nghịch thì

chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.

Thật vậy, giả sử

và

là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính

chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có

( ) ( ) .

B IB CA B C AB CI C

    

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận

(nếu có) là duy nhất.

Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch

được ký hiệu là



Tính chất Tích

của hai ma trận khả nghịch

A B

cùng cấp là ma trận khả

nghịch và





1 1

AB B A



 



Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có













1 1 1 1 1 1

AB B A A BB A AIA AA I

     

   













1 1 1 1 1 1

B A AB B A A B B IB B B I

     

   

Vậy theo định nghĩa ma trận

1 1

B A

 

là ma trận nghịch đảo của ma trận

hay





1 1

AB B A



 

 .

1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp

Ma trận

n m

A a



 





 

 

được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận





m n

A a





Các dòng của ma trận



là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận



là các dòng tương ứng của ma trận

Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận





A a



là ma trận





A a





Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu:

A A





Hiển nhiên ta có

 

A A





và





A A



. Hơn nữa, ta còn có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất

 

AB B A



 

 và





* *

AB B A

 với mọi ma trận

A B

mà phép nhân

ma trận thực hiện được.

Chứng minh Kí hiệu





m n

A a









n p

B b



 ,





m p

C AB c



 

, trong đó

1 1 2 2

. . .

ik i k i k in nk ij jk

c a b a b a b a b



    



Tương tự, kí hiệu





n m

A a



 







p n

B b



 



và

 

p m

D B A d





 

với

1 1 2 2

. . .

k i k i k i kn ni kj ji

d b a b a b a b a



       

    



Các phần tử của ma trận

 

p m

C AB c





 

 

được tính theo công thức

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

. . . . . .

. . . .

k i ik i k i k in nk k i k i nk in

k i k i kn ni kj ji ki

c c a b a b a b b a b a b a

b a b a b a b a d





        

       

     



Nghĩa là,

k i ki

c d





hay

C D





, tức là

 

AB C D B A



 

  

Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được





* *

AB B A



1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita

Ma trận vuông

được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu

A A I





, trong đó I là ma trận đơn vị và



là ma trận chuyển vị của A.

Ma trận

gọi là ma trận unita nếu

U U I





, trong đó I là ma trận đơn vị và



là ma trận chuyển vị liên hợp của

Nếu

là ma trận unita thì

khả nghịch. Hơn nữa,

det 1

 

(Trong đó

det

là định thức của ma trận

) vì









* *

1 det det det .det det

I U U U U U

    .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận

Số phức







(số thực







) được gọi là giá trị riêng của ma trận

nếu tồn

tại vectơ

v H





sao cho

Av v





Vectơ

được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng



của ma trận

Nhận xét Nếu

là vectơ riêng ứng với giá trị riêng



của ma trận

thì



cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng



của ma trận

Thật vậy, ta có









A v Av v v

    

   . Vì vậy, sau này ta thường xét

vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là

, 1

i i i i

v v v v v



  



Phương trình

Av v











A I v



 =0 có nghiệm không tầm thường



. Suy





det 0

A I



 

. Như vậy, các giá trị riêng của ma trận

chính là nghiệm

của phương trình đa thức





det 0

A I



 

Nếu

là ma trận đối xứng, tức là

T T I





thì

det 1

 

Mặt khác, vì

T T I





nên





T AT I T AT T T T A I T

  

   

     , nên





















det det det det det det

T AT I T A I T T A I T A I

   

  

       .

Chứng tỏ hai ma trận

và

T AT



có cùng giá trị riêng.

Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực

giao. Tương tự cho ma trận unita.

1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite

Ma trận

n n



với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A=



được gọi là

ma trận đối xứng.

Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện

, 1,...,

i j n



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ma trận thỏa mãn

A A





được gọi là ma trận Hermite.

Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.

Chứng minh Vì ma trận

là thực nên nếu



là giá trị riêng phức của

(là

nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng





det 0

A I



 

với các hệ số thực)

thì



cũng là giá trị riêng phức của

Giả sử



và

là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận

, tức

là

Ax x





. Khi ấy vì

. .

x x

 



và

Ax Ax



với mọi số phức



, ma trận thực

và vectơ phức

nên

x x Ax Ax

 

  

. Như vậy, ta có

, , ,

x Ax x x x x

 

  và

, , ,

x Ax x x x x

 

 

là ma trận đối xứng nên , , ,

x Ax Ax x x Ax

  .

Do đó

, , , ,

x x x Ax x Ax x x

 

   hay





, 0

x x

 

 







,...,

x x x

 nên

, 0

i i

x x x x



 



. Vậy

 



hay



là số thực.

Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.

Định lí 1.2 Hai vectơ riêng

1 2

v v

ứng với hai giá trị riêng khác nhau

1 2

 

của

ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là

1 2

, 0

v v



Chứng minh Từ các đẳng thức

1 1 1

Av v





và

2 2 2

Av v





ta có

2 1 1 2 1

, ,

v Av v v



 và

1 2 2 1 2

, ,

v Av v v



 .

là ma trận đối xứng nên

1 2 1 2 2 1

, , ,

v Av Av v v Av

  .

Trừ các đẳng thức trên ta có





1 2 1 2

0 ,

v v

 

  . Do

1 2

 



nên

1 2

, 0

v v



hay

hai vectơ

1 2

v v

vuông góc với nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ

một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T

sao cho

T AT



có dạng đường chéo, nghĩa là

1 2

diag( , ,..., )

T AT

  





, trong đó



- là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận

Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng

1 2

, ,...,

  

của ma

trận

là khác nhau. Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng

1 2

, ,...,

x x x

tương ứng với

1 2

, ,...,

  

là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức

là

, 1

i i

x x



1,2,...,

i n



. Hơn nữa, do

1 2

, ,...,

  

của ma trận

là khác nhau

(Định lí 1.2) nên

1 2

, ,...,

x x x

độc lập tuyến tính và vuông góc, nghĩa là

, 0

i j

x x



, 1,2,...,

i j n



i j



. Xây dựng ma trận

có các cột là các vectơ

1 2

, ,...,

x x x

. Khi ấy

11 21 1

12 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

n n nn

x x x

 

 



 

 

11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

n n nn

x x x

 

 





 

 

1 1 1 2 1

11 12 1 11 21 1

2 1 2 2 2

21 22 2 12 22 2

1 2

1 2 1 2

, , ... ,

... ...

, , ... ,... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ...

... ...

, , ... ,

n n

n n n n

n n nn n n nn

x x x x x x

x x x x x xx x x x x x

T T

x x x x x x

 

  



  



  



 



  



  



  

 







Vậy

là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì

i i

Ax x





1,2,...,

i n



nên

1 11 2 21 1

1 12 2 22 2

1 1 2 2

...

... ... ... ...

...

n n

n n n nn

x x x

 

 



 

 

  

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

và

11 12 1 1 11 2 21 1 1

21 22 2 1 12 2 22 2 2

1 2 1 1 2 2

... ... 0 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... 0 0 ...

n n n

n n nn n n n nn n

x x x x x x

T AT

x x x x x x

    

    



 

    

    

   

Vậy ma trận

có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận

Bây giờ giả sử các giá trị riêng

1 2

, ,...,

  

của ma trận

là bất kì.

Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai.

Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là

11 12

12 22

a a

 

 

 

 

, trong đó





11 12

a a a

 và





12 22

a a a

 .

Giả sử







và

 



 

 

là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là

có hệ thức



. Suy ra

1 1

1 11 11 12 11 11 11 12 12

2 1

1 12 12 22 12 12 11 22 12

a x

x a a x a x a x

x Ax

x a a x a x a x

a x



 



      

 

    

      

 



      

 

hay

1 1

11 11 12 12 1 11

a x a x a x x



  

2 1

12 11 22 12 1 12

a x a x a x x



  

Chú ý Ta có thể coi

là các thành phần của vectơ

đã được chuẩn hóa,

tức là

1 1 2 2

11 12

, 1

x x x x

  

Ta xây dựng một ma trận trực giao

 

11 21

1 2

12 22

x x

T x x

x x

 

 

 

 

cấp

2 2



mà một

cột là vectơ

 



 

 

sao cho

T AT



 





 

 

, trong đó



là các giá trị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.

Vì

là ma trận trực giao nên

T T I





, tức là

2 2

11 12 11 21

11 12 11 21 12 22

2 2

21 22 12 22

21 11 22 12 21 22

1 0 1 0

0 1 0 1

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

 

    

   

  

 

  

   

 

   

  

 

Suy ra

2 2 2 2

11 12 11 21 12 22 21 22

1, 0, 1

x x x x x x x x

     

Ta có

1 2

1 11

11 12 11 11 12 12 11 21 12 22

11 21

2 2

12 22

12 22 12 11 22 12 12 21 22 22

1 12

x a x

a a a x a x a x a x

x x

a a a x a x a x a x

x a x



 

 

   

 

 

  

   

 

 

 

   

 

Vậy

1 2

1 11

11 12

2 2

21 22

1 12

2 2 1 2 2 2

1 11 12 11 12

1 12

1 2 2 2

1 11 21 12 22 21 22

( ) , ,

x a x

x x

T AT

x x

x a x

x x x a x x a x

x x x x x a x x a x

 

 





 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Ta có thể xác định

và

như sau. Vì

 

AB B A



 



và

 

T T





nên

















( )

T AT T A T T T A T A T T A T T AT



 

       

  

    

hay

T AT



là ma trận đối xứng. Suy ra

= 0.

Như vậy ta có

T AT



 





 

 

Vì

là ma trận trực giao, nên hai ma trận

và

T AT



có cùng giá trị riêng. Mà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

T AT



 





 

 

nên

1 1

22 22

0 0

T AT I I

b b

  

 





   



   

   



   

Vậy

T AT



có giá trị riêng là

 



và





Vậy

cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận

Ta sẽ chứng minh trong trường hợp

chiều bằng phương pháp quy nạp.

Giả sử với mỗi

1,2,...,

k n



ta có thể xác định ma trận trực giao

đưa ma

trận đối xứng thực





k ij

A a



về dạng đường chéo

1 2

diag( , ,..., )

k k k

T AT

  





Các phần tử trên đường chéo chính



là các giá trị riêng của ma trận

Ta đã chứng tỏ được điều này cho



. Giả sử qui nạp điều đó đúng cho

k n



ta sẽ chứng minh điều đó đúng với

k n

 

Xét ma trận

 

...

n ij

A a



 

 

 

 

 

có



1 1

...



 

 



 

 

là giá trị riêng và vectơ riêng

tương ứng của ma trận



đã được chuẩn hóa (

1 2 2

11 1 1

... 1

x x x



   

Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao

có cột đầu là

Gọi các cột chưa biết còn lại là

2 3 1

, , .,

x x x





thì ma trận

có dạng:

11 21 11

12 22 12

1 1 2 1 1 1

...

... ... ... ...

...

n n n n

x x x



   

 

 



 

 

11 12 1 1

21 22 2 1

11 12 1 1

...

... ... ... ...

...

n n n n

x x x



   

 

 





 

 

Vì T là ma trận trực giao nên

T T I





, hay là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11 12 1 1 11 21 11

21 22 2 1 12 22 12

11 12 1 1 1 1 2 1 1 1

2 2

11 1 1 12 1 1

21 11 22 12 2 1

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

...

n n

n n n n n n n n

n n

x x x x x x

T T

x x x x x x

x x b b

x x x x x x

 

       

 



  

  



 

  

  

 

  



1 1 22 2 1

11 11 22 12 1 1 1 1 12 1 1

1 0 ... 0

0 1 ... 0

...

0 0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

... ...

n n

n n n n n n n n

b b

x x x x x x b b

 

       

 

 



 

   

 

Suy ra,

2 2

11 1 1

... 1

x x



  

;

21 11 22 12 2 1 1 1

... 0

n n

x x x x x x

 

   

; … ;

11 11 22 12 1 1 1 1

... 0

n n n n n

x x x x x x

    

    

. (1.1)

Ta có

A T



1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 2 1

1 1 1 2 1 1

, , ...... ,

..............

, , ... ,

n n n n

a x a x a x



   

 

 

 

1 2 1 1

1 11

2 2 2 1

1 12

1 2 1 1

1 1, 1

, ....... ,

..............

, ... ,

n n n

x a x a x





  



 

 

 

;

Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được:

1 2 1 1

1 11

11 12 1 1

2 2 2 1

21 22 2 1 1 12

1 2 1 1

11 12 1 1

1 1, 1

, ........ ,

...

... , ......... ,

... ... ... ...

........

...

, .. ,

n n n

n n n n

x a x a x

x x x

x x x x a x a x

T A T

x x x

x a x a x





  

   



 

 



 



 

 

 

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn





 

2 2 2

1 11 12 1 1 12 13 1, 1

1 12 1, 1

1 21 11 22 12 2 1 1 1

1 11 11 22 12 1 1 1 1

... . . .

...

... . . . .

...

n n

n n n n n

x x x b b b

b b

x x x x x x

 



 

    

 

  

 

 

  

 



 

 

   

 



trong đó:

- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng

, trừ phần tử ban đầu (bằng



);

- Các đại lượng

12 13 1

, , ... ,

b b b

sẽ được xác định sau;

- Ma trận A

có cấp

n n



 

T T





nên ta có

   





 

1 1 1 1 1 1

( )

n n n n n n

T A T T A T T T A T A T T A T T A T

     



 

       

  

    

hay

T A T





là ma trận đối xứng. Suy ra

12 1 1

... 0

b b



  

Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao

sao cho

0... 0

...

T A T





 

 





 

 

với

là ma trận đối xứng.

Vì

là ma trận trực giao, tức là

T T I





nên

det 1

 

(xem mục 1.9).

Cũng vì

T T I





nên





1 1n n

T AT I T A T T T T A I T

  

 

   

    

Do đó





















1 1 1 1

det det det det det det

n n n n

T A T I T A I T T A I T A I

   

   

  

      

Suy ra các giá trị riêng của ma trận



cũng chính là các giá trị riêng của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

T A T





. Nhưng













1 1

det det

n n

T A T I A I

   





    nên các giá trị riêng

2 3 1

, , ...,

  



, của ma trận



cũng chính là các giá trị riêng của A

Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử T

là ma trận trực giao đưa A

về

dạng đường chéo. Ta lập ma trận

1 0 ... 0

...



 

 



 

 

cấp







trực giao nên



cũng là ma trận trực giao, và khi đó





1 1 1 1 2 1

diag( , ,..., )

n n n n

S T A T S

  

   



 .

Vì có thể viết





   

1 1 1 1 1 1

n n n n n n

S T A T S TS A TS

     





nên



là ma trận

trực giao đưa ma trận



về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma

trận trực giao T sao cho

1 2 1

diag( , ,..., )

T AT

  







. Định lí chứng minh xong.

Đặt

x Ty



hay

y T Ty T x

 

 

1 2

diag( , ,..., )

  

 

. Từ Định lí 1.3 ta cũng có

Hệ quả Nếu

là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao

sao cho

i i

x Ax y







. (1.2)

Chứng minh Đặt

x Ty



. Ta có

, , , ,

i i

x Ax Ty ATy y T ATy y y y







    



Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có

Định lý 1.4 Nếu ma trận

là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita

sao

cho

A U U

 

(hay

U AU

 

), trong đó



1,2,...,

i n



là các giá trị riêng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

của

và

1 2

diag( , ,..., )

  

 

Định lý 1.5 Cho

và

là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để

tồn tại một ma trận trực giao

đưa

và

đồng thời về dạng đường chéo

1 2

' diag( , ,..., )

T AT

  



và

1 2

' diag( , ,..., )

T BT

  



(1.3)

là ma trận

và

có tính chất giao hoán.

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử tồn tại

thỏa mãn (1.3), khi ấy

và

A B

có tính chất giao

hoán. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có

1 2

diag( , ,..., )

A T T

  





và

1 2

diag( , ,..., )

B T T

  





Suy ra

1 2 1 2

diag( , ,..., ) diag( , ,..., )

n n

AB T T T T

     

 



1 2 1 2

diag( , ,..., )diag( , ,..., )

n n

T T

     





1 1 2 2

diag( , ,..., )

n n

T T

     





Mặt khác, ta cũng có

1 2 1 2

diag( , ,..., ) diag( , ,..., )

n n

BA T T T T

     

 



1 2 1 2

diag( , ,..., )diag( , ,..., )

n n

T T

     





1 1 2 2

diag( , ,..., )

n n

T T

     





Vậy

AB BA



, tức là hai ma trận

và

A B

có tính chất giao hoán.

Điều kiện đủ Giả sử

và

A B

giao hoán, ta chứng minh tồn tại

thỏa mãn (1.3).

Trước tiên giả sử ma trận

có các giá trị riêng khác nhau

1 2

...

  

  

ứng

với các vectơ riêng

1 2

, ,...,

x x x

đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ

1 2

, ,...,

x x x

vuông góc với nhau, tức là

, 0

i j

x x



với

i j



và

2 2

, ... 1

i i

i ni

x x x x

   

i i

Ax x





nên

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i i i i i i i

i i i i

A Bx AB x BA x B Ax B x B x B x Bx

   

       . (1.4)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Suy ra

cũng là vectơ riêng của

ứng với



. Vì các giá trị riêng đều khác

nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau,

tức là

, 1,2,...,

i i

Bx x i n



 

. Nhưng khi ấy,



cũng chính là các giá trị riêng

của ma trận

với các vectơ riêng

tương ứng. Như vậy, các ma trận

và

có cùng các vectơ riêng

1 2

, ,...,

x x x

Đặt

11 21 1

12 22 2

1 2

...

( , ,..., )

... ... ... ...

...

n n nn

x x x

T x x x

x x x

 

 

 

 

 

thì

11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ... ... ...

...

n n nn

x x x

 

 



 

 

 

và

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

, , ... ,

... ... ... ...

, , ... ,

n n n n

x x x x x x

T T I

x x x x x x

 

 



 

 

 

 

Xét trường hợp tổng quát, khi



là giá trị riêng bội

ứng với các vectơ riêng

1 2

, ,...,

x x x

của ma trận

. Từ (1.4), vectơ

cũng là vectơ riêng ứng với giá trị

riêng



, do đó

có thể biểu diễn tuyến tính qua

1 2

, ,...,

x x x

, 1,2,..., .

i j

Bx c x i k



 



(1.5)

Vì các vectơ

trực giao và

là ma trận đối xứng nên

( , ) ( , )

j i j i

ij ji

x Bx c Bx x c

  

. Chứng tỏ ma trận





C c



là ma trận đối xứng.

Xét tổ hợp tuyến tính

a x





của các vectơ

1 2

, ,...,

x x x

. Ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1 1 1 1 1 1

k k k k k k

i i j j

i i i ij ij i

i i i j j i

B a x a Bx a c x c a x

     

 

   

  

 

   

   

 

     

Như vậy nếu

được chọn sao cho

, 1,2,...,

ij i j

c a ra j k



 



thì ta sẽ có

1 1

k k

i i

B a x r a x

 

   



   

   

 

hay

là giá trị riêng và

a x





là vectơ riêng của

Hệ thức (1.5) chỉ ra rằng

là giá trị riêng của ma trận

và

là thành phần của

vectơ riêng tương ứng. Cho nên, nếu

là phép biến đổi trực giao

chiều đưa

ma trận

về dạng đường chéo thì các vectơ

xác định bởi

1 1

2 2

... ...

k k

z x

   

   



   

   

là hệ vectơ vuông góc gồm các vectơ riêng của

và

Làm tương tự cho các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng bội, ta sẽ được ma

trận cần tìm

2 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương

Giả sử

là không gian Hilbert có các phần tử là các vectơ

chiều với các

thành phần là các số phức;



là không gian vectơ thực

chiều;

là ma trận

vuông cấp

với các phần tử là các số thực hoặc phức.

Ma trận

được gọi là xác định không âm (trên

) nếu

, 0

x Ax



x H

 

;

Ma trận

gọi là xác định dương (trên

) nếu

, 0

x Ax



 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương

(hoặc ma trận xác định dương), còn ma trận xác định dương là ma trận xác định

dương chặt. Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma

trận xác định không âm và ma trận xác định dương).

Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm

(ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi

là ma

trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4).

Nếu ma trận

là xác định không âm thì ta ký hiệu



Nếu ma trận

là xác định dương thì ta ký hiệu



Nếu

A B

là các ma trận có cùng cấp

n n



, ta nói

A B



nếu

A B

 

và

A B



nếu

A B

 

Với





, tích vô hướng ,

x Ax

có thể viết dưới dạng khai triển như sau.

11 12 1

11 1 12 2 11

21 22 2

2 21 1 22 2 2

1 2

1 1 2 2

........

...

.......

...

...........

... ......................

........

...

n n

n n nn

n n nn n

a a a

a x a x a x

a a a

x a x a x a x

a a a

a x a x a x

   

 

 

  

 

 

 

  

 

;

 

   

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 2

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1 1 1 2 2

...

, , ,...,

............................

...

... ... ...

n n

n n nn n

n n n n nn n n

ij j i ij i j

i i

a x a x a x

x Ax x x x

a x a x a x

a x a x a x x a x a x a x x

a x x a x x



  

 

 

  

 



 

  

 

        

 

 

 

 



1 , 1

n n

j j 

 

Vậy tích vô hướng ,

x Ax

có thể được coi là dạng toàn phương trên



(hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

bậc hai trên



)

, 1

( ) ,

n ij i j

i j

P x x Ax a x x



 



Để cho gọn, ta thường viết

, 1

( )

n ij i j

i j

P x a x x xAx



 



(bỏ dấu tích vô hướng).

Ma trận

là xác định dương (xác định không âm) khi và chỉ khi dạng toàn

phương (hàm số) là dương (không âm) với mọi





Vì trong dạng toàn phương

, 1

( )

n ij i j

i j

P x a x x





có tham gia các hạng tử

ij i j

a x x

và

ji j i

a x x

nên nhóm lại ta được





ij i i ij ji i j

b x x a a x x

 

. Nói cách khác, ta có thể viết

 

1 1 1

( )

2 2 2

P x xAx xAx xA x x A A x

 

     với mọi





, mà

A A





là ma

trận đối xứng nên ta thường giả thiết ma trận

xác định dạng toàn phương

( )

P x xAx



là ma trận đối xứng. Khi ấy ta có thể sử dụng các tính chất của ma

trận đối xứng (xem mục 1.11).

Nếu

là ma trận với các phần tử là số phức thì tích vô hướng được viết như sau









11 1 12 2 1 1 1 1 2 2

1 1 , 1

, ... ... ...

n n n n nn n n

n n n

ij j i ij i j

j i i j

x Ax a x a x a x x a x a x a x x

a x x a x x

  

        

 

 

 

 

  

Dạng toàn phương phức tương ứng với ma trận

có dạng

, 1

( )

n ij i j

i j

P x a x x





Nếu dạng toàn phương (hàm số)

( )

P x

không âm với mọi

x H



(dương với mọi



x H



) thì ta nói ma trận

là xác định không âm (xác định dương).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương

Tính chất 1 Ma trận

là ma trận xác định không âm. Ma trận đơn vị

là ma

trận xác định dương.

Thật vậy,

là ma trận xác định dương vì với mọi vectơ



, ta có













1 1 1 1

, ,..., ,..., ... 0

n n n n

Ix x x Ix x x x x x x x x

      

Tính chất 2 Giả sử

A B

là những ma trận xác định không âm. Khi ấy

A B



cũng là ma trận xác định không âm. Hơn nữa, nếu một trong hai ma trận

hoặc

xác định dương thì

A B



cũng là ma trận xác định dương.

Chứng minh Vì

A B

là những ma trận xác định không âm nên với mọi

x H



ta có

, 1

ij i j

i j

a x x







và

, 1

ij i j

i j

b x x







. (*)

Suy ra

, 1

( ) 0

ij ij i j

i j

a b x x



 



(**)

với mọi

x H



hay





ij ij

A B a b

  

là ma trận xác định không âm.

Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là

chặt hay

A B



là ma trận xác định dương.

Hệ quả Nếu

là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì

cũng là

ma trận xác định không âm (xác định dương).

Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu

A B B C

 

thì

A C



. Nếu một trong hai

bất đẳng thức

A B B C

 

là chặt thì

A C



Chứng minh Theo định nghĩa,

A B B C

 

nên

A B

 

và

B C

 

. Cộng

hai vế của hai bất đẳng thức trên và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:









A C A B B C

     

. Suy ra

A C



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu một trong hai bất đẳng thức

A B B C

 

là chặt, Ví dụ,

A B B C

 

(hoặc

A B B C

 

) thì

A B

 

và

B C

 

(hoặc

0, 0

A B B C

   

Cộng hai vế của hai bất đẳng thức (*) và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:









A C A B B C

     

. Suy ra

A C



Tính chất 4 Giả sử

là ma trận xác định không âm (xác định dương). Khi ấy

các phần tử

trên đường chéo của ma trận

là không âm (là số dương).

Chứng minh Chọn





0,...,0,1,0,...,0

x 

. Vì

là ma trận xác định dương nên

xAx



. Ta có

   

11 12 1

21 22 2

1 2

...

... ...

...

0,...,0,1,0,...,0 1 0,...,0,1,0,...,0 0

... ... ... ...

...

ii ii

n n nn

a a a

xAx a a

a a a

 

 

   

 

 

 

 

Tính chất 5 Ma trận Hermite xác định không âm (xác định dương) bảo toàn

tính chất qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu

là ma trận Hermite xác định

không âm (xác định dương) và

là toán tử unita thì

A U AU





cũng là toán tử

Hermite xác định không âm (xác định dương).

Chứng minh Vì

là ma trận Hermite, tức là

A A



nên ta có









 





 





* * *

* * * * * *

A U AU U AU AU U U A U U AU A

     

 

Vậy



cũng là ma trận Hermite.

Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng (xem mục 1.10) nên nếu

là

xác định dương thì



cũng là ma trận xác định dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất 6 Ma trận Hermite (

A A



) là ma trận xác định không âm khi và chỉ

khi các giá trị riêng của nó không âm. Ma trận Hermite là ma trận xác định

dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó là các số dương.

Chứng minh 1 Nếu



là giá trị riêng ứng với vectơ riêng

của ma trận

Hermite xác định không âm

thì

0 0

Ax x





. Suy ra

0 0 0 0

, , 0

x x x Ax



 



nên

0 0

, 0

x x



. Vậy

0 0

x Ax

x x



 

Hiển nhiên, nếu

ma trận Hermite xác định dương thì

0 0

x Ax

x x



 

Chứng minh 2 Nếu

là ma trận Hermite thì theo Định lí 1.4, tồn tại một ma

trận unita

đưa ma trận

về dạng đường chéo

1 2

diag( , ,..., )

UAU

  

 hay

i i

x Ax y







, trong đó

1 2

, ,...,

  

là các giá trị riêng của

và

y U x

 .

Rõ ràng nếu

, 0

x Ax



với mọi

thì

, 0

y Ay



khi chọn

y U x

 với





0,...,0,1,0,...0

x  ,

1,2,...,

i n



hay

2 * *

, 0

i i

y U x AU x



 

Suy ra





với mọi

1,2,...,

i n



Nếu

, 0

x Ax



với mọi

thì





với mọi

1,2,...,

i n



Tính chất 7 Ma trận Hermite là ma trận xác định không âm khi và chỉ khi tồn

tại một ma trận

sao cho

A B B



. Ma trận Hermite là ma trận xác định

dương khi và chỉ khi tồn tại một ma trận

không suy biến sao cho

A B B



Chứng minh Theo Định lí 1.4, nếu

là ma trận Hermite thì tồn tại một ma

trận unita

sao cho

A U U

 

, trong đó

1 2

: diag( , ,..., )

  

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu

là ma trận xác định không âm thì theo Tính chất 6,





1,2,...,

i n



Do đó có thể viết

   

với

1 2

: diag( , ,..., )

  

  , trong đó căn

bậc hai lấy giá trị không âm.

Đặt

B U

 

thì









* * *

B U U U

     

Suy ra

* * *

A U U U U B B

     

Rõ ràng, nếu

là ma trận xác định dương thì





1,2,...,

i n



nên

B U

 

là không suy biến (vì

là ma trận unita nên không suy biến).

Tính chất 8 Nếu





A a



và





B b



là các ma trận đối xứng xác định dương

thì ma trận





ij ij

C a b



cũng xác định dương.

Chứng minh Vì





A a



là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại ma

trận trực giao

sao cho

A T T



 

, trong đó





1 2

diag , ,...,

  

 

với





1,2,...,

i n



. Suy ra

ij k ik jk

a t t







, trong đó

và

là các phần tử của ma trận

trực giao

. Ta có

, 1

ij ij i j

i j

a b x x





, 1 1

( )

n n

ij i j k ik jk

i j k

b x x t t



 

 

1 , 1

n n

k ij i ik j jk

k i j

b x t x t



 

 

 

 

 





1,2,..., .

k n



Với mỗi

đặt

i i ik

x x t





thì

, 1 , 1

n n

ij i ik j jk ij i j

i j i j

b x t x t b x x

 



 

 

là dạng toàn phương của

các biến



. Do





B b



là ma trận đối xứng xác định dương nên

, 1 , 1

n n

ij i ik j jk ij i j

i j i j

b x t x t b x x

 



 

 

không âm, chứng tỏ

, 1 1 , 1

n n n

ij ij i j k ij i j

i j k i j

a b x x b x x



  

 



 

 

  

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

không âm, hay





ij ij

C a b



là ma trận xác định không âm.

Cũng do





B b



là ma trận đối xứng xác định dương nên

xBx



khi và chỉ khi



. Suy ra nếu

, 1

ij i j

i j

xBx b x x



 



   

thì

1 1

... 0

n nk

x t

 

 

 

 

 



, tức là

i ik

x t



. Nhưng

là ma trận trực giao nên

T T I





hay

2 2 2 2 2

i ik i ik i

i k i k i

x t x t x

 

   

. Do đó

i ik

x t



khi và chỉ khi

bằng không, hay

, 1

ij i ik j jk

i j

b x t x t





dương nếu ít nhất một

trong các đại lượng

i ik

x t

khác không, tức là





hay



. Do





nên

, 1

ij ij i j

i j

a b x x





khi và chỉ khi



. Vậy





ij ij

C a b



là ma trận xác định dương.

Nhận xét Từ Tính chất 2 ta có, nếu cả hai ma trận

và

đều là Hermite (xác

định dương) thì

A B



cũng là Hermite (xác định dương). Tuy nhiên, tích

của chúng là ma trận Hermite khi và chỉ

và

giao hoán.

Thật vậy, giả sử

và

là các ma trận Hermite, khi ấy





* *

AB B A BA

  .

Nếu

và

giao hoán thì

AB BA



và do đó





AB BA AB

 

hay

là ma

trận Hermite. Ngược lại, nếu

là ma trận Hermite thì





AB AB BA

  hay

và

giao hoán.

Điều kiện giao hoán của hai ma trận là quá chặt (ít khi xảy ra). Vì vậy chúng ta

đưa vào khái niệm tích đối xứng hóa (symmetrized product) của hai ma trận

và

là ma trận

S AB BA

 

Nếu hai ma trận

và

là Hermite thì

S AB BA

 

cũng là ma trận Hermite.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Thật vậy, ta có













* * *

* * * * *

S AB BA AB BA B A A B BA AB S

        

Tuy nhiên, cả hai ma trận

và

đều là xác định dương thì

S AB BA

 

chưa

chắc đã là ma trận xác định dương.

Ví dụ Cho

1 0



 



 

 

và



 



 

 

là các ma trận xác định dương khi





và

0 1



 

vì với mọi





1 2

, 0

x x



ta có

 

2 2

1 2 1 2

, 0

xAx x x x x



 

   

 

 

và

   

 

1 2

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2 2

1 2

, 2 1 0

x x

xBx x x x x x x x x x

x x



  





 

        

 



 

Nhưng





 

2 1

1 1

1 2

S AB BA

 

 

     

  

   

    

 

   



   

 

và

 





 





 

     

1 2

1 2 1 2

1 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2 2

2 1

, ,

1 2

1 1

2 2 1 2 2 1 1

2 4

x x

xSx x x x x

x x

x x x x x x x

 

  

       

 

 

  

 

 

 



 

 

   

         

   

   

nhận giá trị âm khi



đủ gần 0 và



đủ gần 1 và

 

1 2

x x

 

   .

Như vậy,

không phải là ma trận xác định dương. Tuy nhiên, ta có

Tính chất 9 Giả sử

A B

là các ma trận Hermite và

là ma trận xác định

dương. Nếu

S AB BA

 

là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì

là ma trận xác định không âm (xác định dương).

Chứng minh Vì

là ma trận Hermite nên tồn tại một ma trận unita

sao cho

B U U

 

, trong đó

U BU

 

có dạng đường chéo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Kí hiệu

A U AU





thì

A UAU





. Như vậy,





* * * * * * *

S AB BA UAU U U U U UAU UA U U AU U A A U S

              

      

Vì

là ma trận Hermite xác định dương và

là ma trận Hermite xác định

không âm nên



cũng là ma trận xác định dương và



cũng là ma trận xác định

không âm. Suy ra các phần tử trên đường chéo



là không âm và



là dương

(Tính chất 4). Do

U BU

 

là ma trận đường chéo nên

S A A

   

  

có các

phần tử đường chéo là

ii i ii

s a





 

. Suy ra



 



. Vậy

có các giá trị

riêng không âm (dương) nên là ma trận xác định không âm (xác định dương).

Tính chất 10 Ma trận đối xứng thực

là xác định không âm khi và chỉ khi tồn

tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định không âm

sao cho

A B



Ma trận đối xứng thực

là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một

ma trận đối xứng thực xác định dương

sao cho

A B



Ta có thể viết

B A A

 

và gọi

là căn bậc hai dương của

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử ma trận đối xứng thực

là xác định không âm. Theo

Định lí 1.3 và Tính chất 4 tồn tại ma trận trực giao

sao cho

A T T



 

, trong

đó

0, 1,2,..., .

i n



 

0, 1,2,...,

i n



 

nên ta hoàn toàn có thể xác định được ma trận

như sau:

B T T



 

. Khi ấy

là ma trận đối xứng thực xác định không âm vì

   

 

B T T T T T T T T T T B



 



     

          

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

và

có các giá trị riêng không âm là

1 2

, ,...,

  

Rõ ràng









B B B T T T T T T T T T T A

    

         

Điều kiện đủ Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng thực xác định không âm

sao cho

A B



. Khi ấy tồn tại một ma trận trực giao

sao cho

có thể viết

được dưới dạng

B T T



 

, trong đó

1 2

diag( , ,..., )

  

 

với





1,2,...,

i n



là các giá trị riêng của ma trận

Vì

A B



nên ta có









A T T T T T T

  

     .

Khi ấy

 

2 2

A T T T T A



  

    

và

có các giá trị riêng





1,2,...,

i n



nên là ma trận xác định không âm.

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn

A B



. Giả sử ta có

A B



và

A C



. Do

và

A B



và

A C



là hai ma trận có tính chất giao hoán

(

2 2

AB B B B B BA

  

) nên theo Định lí 1.4 chúng cùng đưa được về dạng

đường chéo, nghĩa là

A T T



 

B T T



 

C T T



 

với

là ma trận trực giao

và

1 2

diag( , ,..., )

  

 

1 2

diag( , ,..., )

  

 





1 2

diag , ,...,

  

  .

Vì









2 2

B T T T T T T

  

    

nên từ hệ thức

B A



ta có

T T T T

 

  

hay





T T



   

. Do

trực giao nên không suy biến, suy ra

  

hay

1 1

0,..., 0

n n

   

   

với giá trị căn số học (giá trị không âm).

Tương tự,

  

và

1 1

0,..., 0

n n

   

   

. Vậy

2 2

    

hay

  

Suy ra

B T T T T C

 

    

hay

thỏa mãn điều kiện

A B



là duy nhất.

Chứng minh hoàn toàn tương tự nếu

là ma trận đối xứng thực xác định dương.

Tính chất dưới đây chỉ ra tính đơn điệu của ánh xạ

A A



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất 11 Nếu

A B

là những ma trận đối xứng thực xác định không âm và

A B



thì

A B



Chứng minh Do

A B

là những ma trận xác định không âm nên theo Tính chất

10, tồn tại các ma trận xác định không âm ,

A B

. Hơn nữa, do

A B



và



nên theo tính chất bắc cầu (Tính chất 3) ta có



. Suy ra



. Theo

tính chất 2 ta có

A B

 

. Từ các phép toán trên ma trận ta có thể viết

 

















A B A B A B A B A B

       .

Theo giả thiết

A B



nên

A B

 

. Theo Tính chất 2,





2 0

A B

 

. Từ tính

chất 8 suy ra

A B

 

, tức là

A B



Chú ý Nếu

A B

là những ma trận xác định không âm và

A B



thì vẫn chưa suy

ra được

2 2

A B



Ví dụ Ma trận

2 1

1 1

 



 

 

là xác định dương và ma trận

1 1

 



 

 

là xác định

không âm vì với mọi





1 2

x x x

 ta có

     

1 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2

2 1 2

2 1

2 2 0

1 1

x x x

xAx x x x x x x x x x x x

x x x



   

 

        

   

 



 

   

và

     

1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 1

x x x

xBx x x x x x x

x x x



   

 

    

   

 



 

   

Hơn nữa,

A B



vì

2 1 1 1 1 0

1 1 1 1 0 0

A B

     

    

     

     

     

1 2 1 2 1

1 0

, , , 0

0 0

x A B x x x x x x

 

  

    

 

  

 

  

với mọi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mặt khác,

2 1 2 1 5 3

1 1 1 1 3 2

    

 

    

    

1 1 1 1 2 2

    

 

    

    

nhưng

2 2

3 1

1 0

A B

 

 

 

 

không là ma trận xác định dương, vì với

1 2

1, 2

x x

  

thì

 

   

1 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 1 2

2 1

3 1

, , , 3 2 0

1 0

x x x

x A B x x x x x x x x

x x



   

 

     

   

 

 

   

Vậy từ

A B



với

và

là những ma trận xác định không âm ta chưa suy ra

được

2 2

A B



Tính chất 12 Ma trận đối xứng xác định không âm

là xác định dương khi và

chỉ khi ma trận

khả nghịch.

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử

là ma trận đối xứng xác định dương. Theo Định lí 1.3,

tồn tại ma trận trực giao

sao cho

A T T



 

, trong đó





1 2

diag , ,...,

  

 

với





1,2,...,

i n



. Xét ma trận

B T T





 

với





1 1 1 1

1 2

diag , ,...,

  

   

 

Ta có









1 1

AB T T T T T T TIT TT I

 

    

       

Tương tự,









1 1

BA T T T T T T TIT TT I

 

    

        

Vậy

AB BA I

 

, hay ma trận

là khả nghịch và

B A





Điều kiện đủ Giả sử

là ma trận đối xứng xác định không âm và khả nghịch.

Vì

là ma trận khả nghịch nên tồn tại ma trận



sao cho

1 1

AA A A I

 

 

hay



giao hoán với

là đối xứng, tức là

A A





nên

     

1 1 1

I AA A A A A

  

  



  

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

vậy

 

1 1

A A

 





hay



cũng là ma trận đối xứng. Theo Định lí 1.5, tồn tại ma

trận trực giao

để

và



cùng có thể đưa về dạng đường chéo, tức là

T AT



 

và

T A T





 

, hay

A T T



 

và

A T T





 

, trong đó





1 2

diag , ,...,

  

  và





1 2

diag , ,...,

  

  với





và





với mọi

1,2,...,

i n



. Suy ra









I AA T T T T T T



  

     







diag

i i

T T I

 



    .

Vậy

i i

 



với mọi

1,2,...,

i n



. Do





và





và

i i

 



nên





với

mọi

1,2,...,

i n



. Theo Tính chất 4, ma trận

là xác định dương.

Hệ quả Nếu

là ma trận xác định dương thì



là ma trận xác định dương.

Chứng minh Theo chứng minh Tính chất trên, các giá trị riêng

i i

 



 của ma

trận



là những số dương.

Tính chất 13 Nếu

A B

là các ma trận xác định dương và

A B



thì

1 1

A B

 



Tính chất 14 Nếu

A B

là những ma trận đối xứng xác định dương và

A B



thì

với mọi ma trận

ta có

* *

X AX X BX



Chứng minh 1 Với mọi vectơ

ta có

* *

, , , ,

u X AXu Xu AXu Xu BXu u X BXu

  

Suy ra

* *

X AX X BX



Chứng minh 2 Vì

B A



nên giả sử

là căn bậc hai dương của

B A



, khi đó

với mọi ma trận

ta có

* * * *

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

X B A X X CCX X C CX CX CX

    

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Suy ra

* * * * * * *

( ) 0 ( ) 0 0

X B A X X B X A X X BX X AX X BX X AX

         

Tính chất 15 Nếu

là ma trận xác định dương thì

X AX



cũng là ma trận xác

định dương. Nếu

X AX



là ma trận xác định dương và

là ma trận khả nghịch,

thì

là ma trận xác định dương.

Để nghiên cứu các tính chất của ma trận xác định dương, chúng ta sử dụng ma

trận mở rộng, là các ma trận khối. Các tính chất dưới đây chỉ ra điều đó.

Tính chất 16 Giả sử

A B

là những ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó

ma trận khối

A X

X B



 

 

 

là xác định dương khi và chỉ khi

A XB X

 



Chứng minh Đặt

B X I

 

 



 



 

thì

1 1

( )

0 0

I B X I XB

I I

   



   

 

 

   

   

Ta có

A X I

I XB

I X B B X I



  

   



   



   

A XB X

 

 



 

 

là ma trận xác định dương nên ma trận

A XB X

 

 



 

 

là xác định

dương khi và chỉ khi

A XB X

 

 

hay

A XB X

 



. Do phép biến đổi

T AT

bảo toàn giá trị riêng nên

A X

X B



 

 

 

là ma trận xác định dương khi và

chỉ khi

A XB X

 

 



 

 

là ma trận xác định dương. Vậy

A X

X B



 

 

 

là ma trận

xác định dương khi và chỉ khi

A XB X

 



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất 17 Ma trận

là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi

A A

 

 

 

là ma trận xác định dương.

Kí hiệu

A A A

 và gọi là phần dương hay giá trị tuyệt đối của

. Ta có

Hệ quả 1 Với mọi ma trận

bất kì thì

A A



 

 

 

là ma trận xác định dương.

Hệ quả 2 Nếu ma trận

là chuẩn tắc thì ma trận

A A



 

 

 

là xác định dương.

Chứng minh Theo định nghĩa, ma trận

được gọi là chuẩn tắc nếu

* *

AA A A



Khi ấy

* * *

A A A AA A

  

. Hệ quả 2 suy ra từ Hệ quả 1.

Tính chất 18 Nếu

A B

là các ma trận xác định dương với



, thì

1, 0 1

s s

A B s

  

Chứng minh Giả sử



. Ta đã biết

( )( )

AB AB AB



, khi đó với giả thiết



0 1

 

ta có:

1 1

AB AB A

  

2 1 2 1

AB A I A AB A A I

 

   

2 1 2 1 1 1

B A A I B AA A IA

   

   



2 2

B A







2 2 2 2 2s s s s s s s s s s s

B A A B A A A A A B A I

 

    

1 1.

s s s s s

A B A A B

   

Tính chất 19 Giả sử

A B

là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy

, 0 1

s s

A B AB s

  

Chứng minh Xem chứng minh Định lí IX.2.1 [2], trang 255.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất 20 Nếu

A B

là các ma trận xác định dương, thì

t t

AB A B



với



Chứng minh Với



suy ra

0 1

 

, theo Tính chất 22 ta có

1 1

t t

A B AB

 với



Thay

A B

bởi

t t

A B

ta được

t t

AB A B



. Vì



nên ta có:

t t

AB A B



. Suy ra điều phải chứng minh.

Tính chất 21 Ma trận

là xác định không âm khi và chỉ khi tồn tại các vectơ

1 2

, ,...,

x x x H



, sao cho

ij i j

a x x



Ma trận

là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các vectơ

1 2

, ,...,

x x x H



sao cho

ij i j

a x x



với các vectơ

1,2,...,

i n



là độc lập tuyến tính.

Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9].

Tính chất 22 Điều kiện cần và đủ để ma trận thực A đối xứng xác định dương là

mọi định thức con chính của nó phải dương:

0, 1,2,...,

A k n

  , ở đây





, , 1,2, , .

k ij

A a i j k

  

Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9], trang 237.

Tính chất 23 Nếu A là ma trận xác định dương thì

11 22

det

A a a a

 

Chứng minh Ta xét thấy det :

A A



có thể biểu diễn được dưới dạng:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

22 2

12 1

32 3 21 22

1 2

...

0 ...

... ... ...

det

... ... ... ...

...

n n nn

n nn

a a

a a a a

A a

a a a

a a

 

(2.1)

Vì A là ma trận xác định dương nên ma trận





, 2 ..

i j n

 

cũng xác định

dương, cho nên các biến

12 13 1

a a a



(số hạng thứ 2 ở vế phải của (2.1)) xác

định âm, do đó

22 2

32 3

...

....

...

n nn

a a

A a

a a



Dùng phép quy nạp ta được

11 22

A a a a

 

, đó là điều phải chứng minh.

Tính chất 24 Nếu ma trận A xác định dương thì

1 2 1

... max ( , )

i j

n k

z Az

 



  

... min ( , )

i j

n n k

z Az





  

ở đây, R là miền xác định bởi: ,

i j

z z





, 1,2, ., 1

i j n k

   

Nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm

n k

 

vectơ trực chuẩn.

Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 214.

Tính chất 25 Nếu ma trận A xác định dương thì:





1 1 2 2 1 1

... min , , ... ,

n k n k

n n k

z Az z Az z Az

   





  

ở đây, R là miền xác định bởi hệ thức:

i j

z z





, 1,2, ., 1

i j n k

   

nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm

n k

 

vectơ trực chuẩn.

Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 216.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tính chất 26 Nếu A là ma trận xác định dương thì





, trong đó

( , )

.. .

x Ax

I e dx

 



 



 

, ở đây

1 2

. . .

dx dx dx dx



Chứng minh Giả sử

là ma trận trực giao đưa

về dạng đường chéo. Ta thực

hiện phép đổi biến

x Ty



, khi đó , ,

x Ax y Ay

 .

Tiếp theo,

1 1

n n

i i

dx dy

 



 

, vì Jacobian của phép biến đổi biến

x Ty



bằng

có thể cho bằng +1. Do ma trận T thiết lập bằng tương ứng 1– 1 nên:

22 2

1 1 2 2

...

n n

yy y

I e dy

 

  

 



 

 

1 2

( ... )

i i

e dy



















  

Để ý là :







và

e dx













. Vậy ta có





Tính chất 27 Nếu A là ma trận xác định dương thì

( , )

max

x Ax

e dV









, ở

đây tích phân lấy theo không gian con tuyến tính k chiều



của không gian



, dV

là phần tử thể tích, còn cực đại lấy theo mọi



Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 195.

Tính chất 28 Nếu các ma trận A, B xác định dương thì với

0 1



 

ta có

(1 )

A B A B

 



   .

Chứng minh Ta có

( , ) (1 )( , )

...

(1 )

x Ax x Bx

e dx

A B

 

  

 



 

 

 



 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Sử dụng dạng tích phân

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

P q

R R R

f x g x dV f x dV f x dV

   



   

   

  

của bất

đẳng thức Holder, sau khi đặt





q 





ta có :

(1 )

2 2 2

( ,Ax) ( , x )

1 1

2 2 2

... ... .

(1 )

n n n

x x B

e dx e dx

A B A B



   

 



   

   

 

   

   

 

   

 

  

 

Sau khi đơn giản ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

Tính chất 29 (Phân tích Cholesky) Giả sử

là ma trận Hermite xác định

dương. Khi đó tồn tại duy nhất ma trận tam giác dưới

có các phần tử trên

đường chéo chính đều dương sao cho

A LL



Chứng minh Ta tìm ma trận

21 22

1 2

............

........

n n nn

l l

l l l

 

 



 

 

sao cho

A LL



. Khi đó





min ,

1 1

, 1 ,

i j

ij ik jk ik jk

k k

a l l l l i j n

 

   

 

trong đó,

11 11

a l



suy ra

11 11

l a

 ;

12 11 21

a l l

 suy ra



;……

1 11 1

n n

a l l

 suy ra

 .

Giả sử tính được



cột đầu của

, ta tính cột thứ

như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2 2 2

1 2

....

ii i i ii

a l l l

   

, suy ra

ii ii ik

l a l





 



;

, 1 1 1,1 1,

. . .

i i i i ii i i

a l l l l

  

  

, suy ra

, 1 1,

i i ik i k

i i

a l l



 











Ma trận

xây dựng như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giả sử tồn tại hai phân tích

* *

1 1 2 2

A L L L L

  . Khi ây

1 * * 1

2 1 2 1

( )

L L L L D

 

 

là

một ma trận đường chéo. Ta có

1 2

L L D



suy ra

* * * 2 * *

1 1 2 2 2 2 2 2

A L L L DD L L D L L L

    .

Do đó

2 1 * * 1

2 2 2 2

( ) 1

D L L L L

 

 

suy ra

D I



Điều này chứng tỏ phân tích Cholesky của ma trận

là duy nhất.

KẾT LUẬN CHƯƠNG

Chương 1 phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của ma trận xác định

dương. Các tính chất này chứng tỏ lớp ma trận xác định dương là lớp ma trận có

cấu trúc, và vì thế nó được áp dụng rộng rãi trong rất nhiều lớp bài toán khác

nhau, trong bản thân toán học, cũng như trong ứng dụng.

Chương 2 trình bày một số ứng dụng cụ thể của ma trận xác định dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG II

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

1 LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến

tính với hệ số hằng

Định lí 2.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm của phương trình vi phân

, (0)

Ax x c

 

(1.1)

dần tới 0 khi

 

và

bất kỳ, là các giá trị riêng của ma trận

có phần

thực âm.

Chứng minh Nếu các giá trị riêng của ma trận

khác nhau và âm

... 0

 

  

thì do

là ma trận đối xứng nên có biểu diễn

............

e T T





 

 



 

 

. (1.2)

Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) có dạng

( )

x t ce



. Do đó

lim ( ) 0

x t





Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể làm như sau:

Để thay cho việc đưa ma trận

về dạng đường chéo, chúng ta sử dụng phép

biến đổi đồng dạng đưa nó về dạng tam giác,

T AT B





Trong trường hợp này (1.1) có dạng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

, (0)

Bz z c



 

. (1.3)

Trong đó

là ma trận tam giác còn

x Tz



, tức là ta có hệ:

 

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

... , 0 ,

........................................

.........................

, 0 .

n n

nn n n n

b z b z b z z c

b z b z z c

b z z c



    



   



 

(1.4)

Bởi vì các phần tử

là các giá trị riêng của ma trận

, nên theo giả thiết ta có

Re( ) 0



với mọi

1,2,..., .

i n



Từ phương trình cuối cùng trong (1.4) ta có

bnn

n n

z c e



 (1.5)

do đó



khi

 

Để chứng tỏ rằng tất cả



khi

 

chúng ta sử dụng quy nạp; dựa vào

kết quả:

Nếu

( ) 0

v t



khi

 

thì nghiệm

( )

u t

của hệ

1 1

( ), (0)

bu v t u a

  

, (1.6)

dần tới 0 với điều kiện

Re( ) 0



. Điều này suy ra từ công thức nghiệm của

phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất:

1 1 1

( ) ( )

b t b t b s

u t a e e e v s ds



 



. (1.7)

Vì

dần tới 0 khi

 

, nên theo nhận xét trên ta có tất cả



khi

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ma trận ổn định Ma trận

được gọi là ổn định, nếu các giá trị riêng của nó có

phần thực âm.

1.2 Phương pháp Lyapunov

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ta

sử dụng phương pháp Lyapunov.

Xét phương trình

, (0)

Ax x c

 

, (1.1)

trong đó giả thiết c và A là thực.

Xét dạng toàn phương

u xYx



, trong đó Y là ma trận có các phần tử sẽ được

xác định sau. Lấy đạo hàm của

theo

như là hàm hợp, ta được:

, , , , ,( )

x Yx x Yx Ax Yx x YAx x A Y YA x

  

      . (1.8)

Giả thiết rằng tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình:

A Y YA I



  

. (1.9)

Khi đó (1.8) có dạng :

x x

 . (1.10)

Từ đó ta có:





  , (1.11)

trong đó



là giá trị riêng lớn nhất của ma trận Y.

Từ (1.11) ta suy ra rằng

(0) ,

u u e







tức là

0 khi

u t

  

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Như vậy, nếu tồn tại ma trận xác định dương

là nghiệm của phương trình (1.9)

thì tất cả các thành phần của vectơ

tiến tới 0 khi



Ngược lại, nếu ma trận A ổn định thì phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm đối

xứng được xác định bởi công thức

1 1

A t At

Y e e dt







. (1.12)

Khi ấy ta có

x Yx

1 1

( , )

A t At

x e e x dt





1 1

( , )

A t At

e x e x dt





Chứng tỏ ma trận

xác định dương vì ma trận

luôn luôn không suy biến.

1.3 Điều kiện cần và đủ để một ma trận là ma trận ổn định

Định lí 2.2 Giả sử Y được xác định bởi phương trình

A Y YA I



  

. Điều kiện

cần và đủ để ma trận

ổn định là ma trận

xác định dương.

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử

là ma trận xác định dương, ta sẽ chứng minh

là ma

trận ổn định. Ta có

( , )

x x dt



















0 , 0 – ,

x Yx x T Yx T

 (1.13)

hay

       

, ( , ) 0 , 0

x T Yx T x x dt x Yx 



(1.14)

trong đó

( )

x t

là nghiệm của phương trình vi phân



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu ma trận Y xác định dương thì

( , )

x x dt



giới nội đều. Do đó,

( ) 0

x t



khi



. Vậy

là ma trận ổn định.

Điều kiện đủ Giả sử

là ma trận ổn định ta sẽ chứng minh ma trận

xác định

dương.

Nếu ma trận

ổn định thì phương trình

A Y YA I



  

có duy nhất nghiệm

đối xứng

. Khi đó

được xác định bởi công thức

1 1

A t At

Y e e dt







nên

x Yx

1 1

( , )

A t At

x e e x dt







1 1

( , ) .

A t At

e x e x dt







Vì ma trận

luôn luôn không suy biến, nên ma trận

xác định dương.

Ta có định lí sau đây kiểm tra tính ổn định của ma trận

Định lí 2.3 Nếu ma trận

có dạng

1 1 2

2 3

3 4

0 0 . . .

1 0 . . .

0 1 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . 0 1

n n

a b a

b a





 

 



 



 



 



 



 

trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính và hai lân cận của

đường chéo chính đều bằng 0, thêm vào đó các phần tử

thực, còn

hoặc

bằng không hoặc là thuần túy ảo thì số các số hạng dương trong dãy các tích

1 1 2 1 2 1

, ,...., ...

n n

a a a a a a a



bằng số các giá trị riêng của ma trận

có phần thực

dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chứng minh Để chứng minh định lí này ta phải dùng đến một số kết quả bổ trợ

của lí thuyết đa thức (xem [1b], trang 247-248)

1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng

Xét phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng









1 2

2 0, 0 , ’ 0

Ax Bx Cx x c x c

 

    

(1.15)

trong đó các ma trận A, B và C là xác định không âm. Phương trình này thường

gặp trong các bài toán vật lí, Ví dụ, trong sơ đồ các mạng điện gồm điện dung,

cuộn tự cảm và điện trở.

Định lí 2.4 Nếu các ma trận

A B và C

là xác định không âm và ngoài ra hoặc

ma trận

hoặc ma trận

là xác định dương, thì phương trình

2 0

A B C

 

  

(1.16)

không có nghiệm với phần thực dương.

Nếu các ma trận

và

là xác định không âm, còn ma trận

xác định dương

thì





là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.

Chứng minh Từ phương trình ta có













, 2 , , 0

x Ax x Bx x Cx

    

  

. (1.17)

Do đó với mọi



ta có:

 

( , ) 2( , ) ( , ) 0

x Ax x Bx x Cx dt

    

  



(1.18)

hoặc

( , )

x Ax

 



+ 4

( , )

x Bx dt

 



( , )

x Cx



= 0. (1.19)

Phương trình (1.19) tương đương với phương trình

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn













' , '

x s Ax s

+ 4

( ', ') ( ( ), ( ))

x Bx dt x s Cx s c

 



, (1.20)

trong đó









2 2 1 1

, ,

c c Ae c Cc

 

Nếu



là nghiệm của phương trình (1.16) thì phương trình









1 2

2 0, 0 , 0

Ax Bx Cx x c x c

  

    

có nghiệm dạng

e c



. Nếu



là số thực thì c là vectơ thực. Nếu



là số phức,

1 2

r ir



 

thì phần thực của biểu thức

e c



bằng

1 2

2 2

( cos sin )

r t

e a r t a r t



cũng là

nghiệm của phương trình (1.15).

Thế vào (1.20) ta được:

1 1 1

2 2 2

1 1 2 2 3 3

( , ) 4 ( ( ), ( ) ( , )

r s r t r s

e b Ab e b t Bb t dt e b Cb c

  



, (1.21)

trong đó

và

là các vectơ không đổi, còn





b t

là vectơ biến đổi và bằng

1 2 2

1 2 2 1 1 2 2

( )cos ( )sin

a r a r r t a r a r r t

   .

Nếu

hoặc

xác định dương và



thì tính dương của

dẫn đến mâu

thuẫn khi



Nếu

, 0

A C



thì từ tính dương của ma trận

suy ra rằng



. Hơn nữa, vì

hàm





b t

tuần hoàn, nếu

khác

thì tích phân

2 2

( ( ), ( ))

b t Bb t dt



phân kỳ

khi



. Mặt khác nhờ vào tính dương của

suy ra



Vậy





là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM TOÀN PHƯƠNG

2.1 Tối ưu hàm một biến

Xét hàm số một biến số thực

( )

f x

trong khoảng





a b

. Giả sử

( )

f x

là đủ trơn

để có khai triển Taylor tại điểm





c a b

 :

   

( ) ( ) ( ) ( ) ...

f x f c f c x c f c x c

 

     

Nếu

là điểm cực trị địa phương của

( )

f x

, tức là

( ) ( )

f x f c



hoặc

( ) ( )

f x f c



với mọi

đủ gần

thì, theo Định lí Fermat,

( ) 0

f c





. Suy ra

 

( ) ( ) ( ) ...

f x f c f c x c



   

Nếu

( ) 0

f c





thì

( ) ( )

f x f c



với mọi

đủ gần

, hay

chính là điểm cực

tiểu địa phương của hàm

( )

f x

; Nếu

( ) 0

f c





thì

( ) ( )

f x f c



với mọi

đủ gần

, hay

chính là điểm cực đại địa phương của hàm

( )

f x

Như vậy, ta thấy dấu của đạo hàm bậc hai đóng vai trò quan trọng trong khảo sát

tính cực trị của hàm số.

2.2 Tối ưu hàm hai biến

Xét hàm số hai biến số thực

( , )

f x y

trong hình chữ nhất









1 1 2 2

, ,

a b a b

 . Giả sử

( , )

f x y

là đủ trơn để có khai triển Taylor tại điểm













1 2 1 1 2 2

, , ,

c c a b a b

  :

   

      

1 2 1 2

1 2

2 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

( , ) ( , )

1 1 1

...,

2 2 2

f f

f x y f c c x c x c

c c

f f f

x c x c x c x c

c c c c

 

     

 

  

       

   

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trong đó

1 2

: ( , )

f f

c c

c x

 



 

;

1 2

: ( , )

f f

c c

c y

 



 

,...

Nếu

là điểm cực trị địa phương thì, theo Định lí Fermat,

1 2

( , ) 0

c c







và

1 2

( , ) 0

c c







. Suy ra

      

2 2 2

2 2

1 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

1 1 1

( , ) ( , ) ...

2 2 2

f f f

f x y f c c x c x c x c x c

c c c c

  

        

   

Như vậy, sự biến thiên của hàm

( , )

f x y

trong lân cận điểm





1 2

c c c

 phụ thuộc

vào dạng toàn phương

















2 2

2 1 1 2 2

( , ) 2 2 : ( , )

Q x y a x c b x c x c c x c au buv cv Q u v

           ,

trong đó







1 2

c c





 







u x c

 

v x c

 

Dạng toàn phương

( , )

Q u v

là thuần nhất bậc hai:

( , ) ( , )

Q ku kv k Q u v



, ngoài ra

(0,0) 0



Nếu

( , ) 0

Q u v



với mọi





u v

đủ gần điểm

(0,0)

(và khác điểm

(0,0)

) thì ta có

1 2

( , ) ( , )

f x y f c c



và





1 2

c c c

 là điểm cực tiểu địa phương của hàm

( , )

f x y

;

Nếu

( , ) 0

Q u v



với mọi





u v

đủ gần điểm

(0,0)

(và khác điểm

(0,0)

) thì ta có

1 2

( , ) ( , )

f x y f c c



và





1 2

c c c

 là điểm cực đại địa phương của hàm

( , )

f x y

;

Như vậy, ta thấy dấu của hàm toàn phương

( , )

Q u v

(đạo hàm bậc hai của

( , )

f x y

) đóng vai trò quan trọng trong khảo sát tính cực trị của hàm hai biến.

Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào dạng toàn phương

( , )

Q u v

là xác định dương.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ta có

2 2 2

( , ) 2

bv b

Q u v au buv cv a u c v

a a

 

      

 

 

nếu



;

Nếu



và



thì

2 2

( , ) 2

bu b

Q u v cv buv c v u

c c

 

    

 

 

;

Nếu

a c

 

thì

( , ) 2

Q u v buv



Như vậy, để

( , )

Q u v

là xác định dương thì



và

 

. Tương tự, để

( , )

Q u v

là xác định âm thì



và

 

2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế

Hai mục trên là những ví dụ cho ta thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu

dạng toàn phương (nghiên cứu ma trận xác định dương). Trong mục này ta xét

bài toán tối ưu có ràng buộc hàm toàn phương-tuyến tính

biến.

Xét hàm toàn phương-tuyến tính

biến

( , ) ,

f x y xDx c x



  

Bài toán tối ưu

( )

: Tìm cực tiểu của hàm

( , )

f x y

trên tập hạn chế





: :

M x Ax b

  



, trong đó

là ma trận cấp

m n



là vectơ

chiều.

Ta có các định lí sau đây về tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hàm toàn phương-

tuyến tính.

Định lí 2.5 Giả sử

là một ma trận xác định không âm. Khi ấy bài toán tối ưu

( )

có nghiệm khi và chỉ khi tập

 

và các điều kiện sau đây được thỏa:









vDv



;











Ax b





, 0

Dx c v

 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định lí 2.6 Nếu

là một ma trận xác định dương thì bài toán tối ưu

( )

có

nghiệm khi và chỉ khi tập

 

Định lí 2.7 Nếu

là một ma trận xác định âm thì bài toán tối ưu

( )

có nghiệm

khi và chỉ khi tập

 

và compact.

Các Định lí 2.5, 2.6, 2.7 là hệ quả của định lí tổng quát hơn (Định lí Frank-Wolfe

và Định lí Eaves), chứng minh có thể xem trong [7], Chương 2.

KẾT LUẬN CHƯƠNG

Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều ứng dụng của ma trận xác định dương

trong các bài toán của toán học cũng như của thực tế (vật lí, kĩ thuật, kinh tế,...).

Ma trận xác định dương đặc trưng cho tính lồi của hàm mục tiêu, vì vậy nó được

quan tâm đặc biệt trong các bài toán tối ưu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

KẾT LUẬN

Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích tổng quan

các tính chất của ma trận xác định dương và chỉ ra sự quan trọng của ma trận xác

định dương qua hai ví dụ minh họa.

Ma trận xác định dương là lớp ma trận có cấu trúc đẹp, nó tạo thành một đa tạp

khả vi Rieman (xem [3]) và do đó được nghiên cứu rất sâu sắc về mặt toán học.

Lớp ma trận xác định dương trên nón hiện đang được sự quan tâm rộng rãi của

các nhà nghiên cứu do có ứng dụng quan trọng trong tối ưu.

Hy vọng những vấn đề về ma trận xác định dương sẽ còn được tiếp tục nghiên

cứu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Richard Bellman, Introduction to matrix analysis, McGraw-Hill Book

Company, Inc., Toronto, 1960, Tại Thư viện Khoa học Kĩ thuật Trung ương: Lv

8504. Bản dịch tiếng Việt:

R. Bellman, Mở đầu lý thuyết ma trận (Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm dịch từ

bản tiếng Nga,1969), Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1978.

[2] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, In series Graduate Texts in Mathematics,

Vol. 169, Springer-Verlag New York, Inc., 1997.

[3] Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton Series in Applied

Mathematics, Princeton University Press, Princenton and Oxford, 2007.

[4] F. R. Gantmacher, Lí thuyết ma trận (Tiếng Nga), Nhà xuất bản quốc gia ấn

phẩm kĩ thuật-lí thuyết, Moscow, 1954.

[5] S. K. Godunov, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, in

Series Translations of Mathematical Monographs, Americal Mathematical

Society, Providence, Rhode Island, 1997.

[6] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Bộ sách toán cao

cấp, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006.

[7] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen, Quadratic

Programming and Affine Variational Inequalities, A Qualitative Study, in Series

Nonconvex optimization and Its Applications, Springer, USA, 2005.

[8] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.

[9] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính (in lần thứ hai), Bộ sách cao

học, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2002.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/59

| | Tải xuống

Preview text:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 1 of 1.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Trang
Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3
Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9
1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite
…………………………..………13
2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương……………………………………………………………..…44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận……………………………………………………………....………...56
Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010 Tác giả Đinh Trọng Sỹ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƯƠNG I
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương. 1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho z  a  bi là một số phức.
Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z  a  bi .
Nhận xét rằng, z  z khi và chỉ khi b  0 , hay z là số thực.
Số phức z  a  bi  0 khi và chỉ khi z  a  bi  0 , tức là a  0 hoặc b  0 .
Ta luôn có zz  a  bia  bi 2 2
 a  b  0 với mọi số phức z ; zz  0 khi và chỉ khi z  0 .
Giả sử H là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột x số chiều n có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ x và y trong H là một
số (x, y) :
x, y : x  
y  x y  x y  ...  x y , trong đó 1 1 2 2 n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6  x  y 1  1      x  ....  H     , y ... H  
, x  a  b i , x  a  b i , k  1, 2,..., n và k k k k k k  x     y n   n   x    a ib    1 1 1    
x  x  ...  ....
 a  ib ,...,a  ib . 1 1 n n       x   a ib    n   n n 
Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là
(x, y) : x, y : x y
  x y  x y  ...  x y . 1 1 2 2 n n
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi t , t  , mọi 1 2
x , x  H ta có f t x  t x  t f x  t f x . 1 1 2 2  1  1 2  2  1 2
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi t , t  , 1 2
mọi x , x  H ta có f t x  t x  t f x  t f x . 1 1 2 2  1  1 2  2  1 2
Tính chất Tích vô hướng .,. tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.  x  x 1  1     
Chứng minh Thật vậy, vì x  ... nên  , * x  x  
  x ,..., x ; 1 n    x ...    x     x n   n  1  y  2  y  1 2 1 2  y 
 y   t y  t y  1 1 1 1 1 1 2 1           1 y  ... 2 1 2   , y  ... 
 nên t y  t y  t ...  t ...  .... 1 2 1   2      1          y 2 1 2 1 2  y y y t y  t y n   n   n   n   1 n 2 n 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Do đó 1 2
 t y  t y  1 1 2 1 n   1 2 * 1 2
(x,t y  t y )  x (t y  t y )   x ,..., x  x t y  t y  n  .........    i  1 2 1 2 1 2 1 1 i 2 i  i 1  1 2   t y  t y  1 n 2 n  n n 1 1 * 1 * 2  t x y  t
x y  t x y  t x y  t  x y  t  x y  i i  i i  1 ,   2 , . 1 2 1 2 1 2  i 1  i 1 
Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng .,. tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z z  z z và z  z  z  z nên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
 t x  t x  1 1 2 1      1 2
t x  t x    1 2
t x  t x   ..........     1 2 1 2
t x  t x ,..., t x  t x . 1 2 1 2 1 1 2 1 1 n 2 n   1 2  t x  t x  1 n 2 n  Do đó  y1    1 2  
t x  t x  y   1 2 1 2
t x  t x ,..., t x  t x .... 1 2 1 1 2 1 1 n 2 n    y   n  n n n
 t x  t x y  t x y  t x y  t x y  t x y i i  i  i i  i i  *  * 1 2 1 2 1 2 . 1 2 1 2 1 2 i 1  i 1  i 1  tức là    1 2
t x  t x , y 1 2
 t x  t x , y   1 2
t x  t x  y   1 * 2 *
t (x )  t (x ) y 1 2 1 2 1 2 1 2    1 * 2 *
t (x ) y  t (x ) y  1 2 1 2
 t x , y  t
x , y  t (x , y)  t (x , y). 1 2 1 2 1 2
Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều n
 với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8
Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ x và y là f (x, y) : ,
x y : x y  ...  x y . Khi ấy tích vô hướng 1 1 n n
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một m  n -ma trận (ma trận cấp m  n ) là một bảng  a a ......a 11 12 1n    a a .....a 21 22 2n
số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột   .
.........................     a a ....a  1 m m2 mn  
Các số (thực hoặc phức) a được gọi là phần tử ở dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n ) ij của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A  a    . ij   
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết A  a    . ij   mn
Khi m  n thì ta có ma trận vuông cấp n . Kí hiệu ma trận vuông cấp n là A . n  x1    x
Khi n  1 ma trận A có cấp m 1 được gọi là vectơ cột 2 x    số chiều m . ...    x  m 
Khi m  1 ma trận có cấp 1 n được gọi là vectơ hàng x   x , x ,..., x cấp n . 1 2 n 
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.3 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là a  0, i  , j ij
và được kí hiệu là O hay O . n
1.4 Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0, tức là a  0, i
  j . Kí hiệu ma trận đường chéo là A  diag(a , a ,..., a ) . ij 11 22 nn
1.5 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo a bằng 1, ii
kí hiệu là I hay E . Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết I hay E . n n
1.6 Các phép toán trên ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp A  a , B  b . ij  ij m n  mn
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m  n , được viết là A  B và
được xác định bởi công thức A  B  a  b , Tức là ij ij   a  a   b
 b   a  b  a  b  11 1n 11 1n 11 11 1n 1n                  ;        a  a  b  b   a b  a b     1 m mn   1 m mn   1 m 1 m mn mn 
Tích của ma trận A với đại lượng vô hướng  (một số  ,  là một số thực hay
một số phức) được xác định bởi hệ thức  A  A  a , tức là ij   a
 a   a  a  11 1n 11 1n             .      a
 a   a  a   1 m mn   1 m mn 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10
Giả sử A  a là một m  n ma trận và B  b là một n  p ma trận. jk  ij 
Tích của hai ma trận A và B là một m  p -ma trận c với ik  n
c  a b  a b  . . .  a b  a b ik i1 1k i 2 2k in nk  . ij jk j 1 
Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số
phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.
Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ
nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.
Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là A BC    ABC nếu các
phép nhân ma trận thực hiện được.
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung AB  BA .
Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân AB , còn BA thì không.
Ta luôn có AI  IA  A với mọi ma trận A . 1 0   7 0 4   
Ví dụ, cho A    , B  3  5 . Khi đó ta có 1 2 1      2 3    1 0   7 0 4   7 0 4   15 12    AB  3  5      ; BA  1  6 10  7 . 1 2 1   3  13        2 3     17 6 11  
1.7 Ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận vuông cấp n . Một ma trận vuông B cấp n được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A nếu AB  BA  I , trong đó I là ma trận đơn vị.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là ma trận khả nghịch.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11
Nếu A là ma trận khả nghịch thì A chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử B và C là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính
chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có B  IB  (C )
A B  C( AB)  CI  C.
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch A được ký hiệu là 1 A .
Tính chất Tích AB của hai ma trận khả nghịch ,
A B cùng cấp là ma trận khả  nghịch và   1 1  1 AB  B A .
Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có   1 1  1 1 1  1 AB B A A BB A AIA AA     I ,  1 1  1  1  1 1 B A AB B A A B B IB B    B  I .
Vậy theo định nghĩa ma trận 1  1
B A là ma trận nghịch đảo của ma trận AB hay   1  1  1 AB  B A .
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp Ma trận A  a    
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A  a . ij  ji    m n  nm
Các dòng của ma trận A là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận
A là các dòng tương ứng của ma trận A.
Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A  a là ma trận A  a . ji  ij 
Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu: * A  A .
Hiển nhiên ta có  A    A và  * * A
 A . Hơn nữa, ta còn có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12
Tính chất  AB  B A   và  * * * AB
 B A với mọi ma trận , A B mà phép nhân
ma trận thực hiện được.
Chứng minh Kí hiệu A  a , B  b
, C  AB  c , trong đó ik  jk  ij m n  n p m p n
c  a b  a b  . . .  a b  a b ik i1 1k i 2 2k in nk  . ij jk j 1 
Tương tự, kí hiệu A  a
, B  b và D : B A    d với ki  kj 
jk nm pn pm n d
 b a  b a  . . .  b a  b a k i k1 1i k 2 2i kn ni  . kj ji j 1 
Các phần tử của ma trận C   AB   c
được tính theo công thức
ki  pm
c  c  a b  a b
 . . .  a b  b a  b a  . . .  b a k i ik 1 i 1k i 2 2k in nk 1k 1 i 2k i 2 nk in n
 b a  b a  . . .  b a 
b a  d . k1 1i k 2 2i kn ni  kj ji ki j 1 
Nghĩa là, c  d hay C  D , tức là  AB  C  D  B A  . k i ki
Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được  * * * AB  B A .
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu A A
  I , trong đó I là ma trận đơn vị và A là ma trận chuyển vị của A.
Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U U 
 I , trong đó I là ma trận đơn vị và
U  là ma trận chuyển vị liên hợp của U .
Nếu U là ma trận unita thì U khả nghịch. Hơn nữa, detU  1  (Trong đó detU
là định thức của ma trận U ) vì  I  U U   U U   U 2 * * 1 det det det .det det .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận
Số phức    (số thực   ) được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn
tại vectơ v  H , v  0 sao cho Av  v .
Vectơ v được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A.
Nhận xét Nếu v là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A thì v
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A.
Thật vậy, ta có Av   Av  v   v . Vì vậy, sau này ta thường xét n
vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là v  v ,v  v v  1 i i  . i i i 1 
Phương trình Av  v   A  I v =0 có nghiệm không tầm thường v  0 . Suy
ra det  A  I   0 . Như vậy, các giá trị riêng của ma trận A chính là nghiệm
của phương trình đa thức det  A  I   0 .
Nếu T là ma trận đối xứng, tức là T T
  I thì detT  1  . Mặt khác, vì T T
  I nên T A
 T  I  T A  T  T  T
  T  A  I T , nên det T A
 T  I   detT A  I T   detTdet  A  I detT  det  A  I  .
Chứng tỏ hai ma trận A và T A
 T có cùng giá trị riêng.
Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực
giao. Tương tự cho ma trận unita.
1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite Ma trận A
với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A= A được gọi là nn
ma trận đối xứng.
Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện a = a , i, j  1,...,n . ij ji
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14
Ma trận thỏa mãn A A được gọi là ma trận Hermite.
Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.
Chứng minh Vì ma trận A là thực nên nếu  là giá trị riêng phức của A (là
nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng det  A  I   0 với các hệ số thực)
thì  cũng là giá trị riêng phức của A .
Giả sử  và x là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận A, tức
là Ax  x . Khi ấy vì .x   .x và Ax  Ax với mọi số phức  , ma trận thực
A và vectơ phức x nên  x   x  Ax  Ax . Như vậy, ta có
x, Ax  x, x   x, x và , x Ax  ,
x  x   x, x .
Do A là ma trận đối xứng nên x, Ax  Ax , x  x, Ax .
Do đó  x, x  x , Ax  x, Ax   ,
x x hay     , x x  0 . n
Do x  0, x   x ,..., x nên x, x  x x  0 
hay  là số thực. 1 n   . Vậy   i i i 1 
Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.
Định lí 1.2 Hai vectơ riêng v ,v ứng với hai giá trị riêng khác nhau  , của 1 2 1 2
ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là v ,v  0. 1 2
Chứng minh Từ các đẳng thức Av   v và Av   v ta có 1 1 1 2 2 2
v , Av   v ,v và v , Av   v ,v . 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2
Do A là ma trận đối xứng nên v , Av  Av ,v  v , Av . 1 2 1 2 2 1
Trừ các đẳng thức trên ta có 0    
v ,v . Do    nên v ,v  0 hay 1 2  1 2 1 2 1 2
hai vectơ v ,v vuông góc với nhau. 1 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15
Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ
một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T sao cho T A
 T có dạng đường chéo, nghĩa là T A
 T  diag( , ,..., ) , trong đó 1 2 n
 - là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận A . i
Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng  ,  ,...,  của ma 1 2 n
trận A là khác nhau. Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x
x tương ứng với  , ,..., là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức 1 2 n là i , i
x x  1, i  1,2,..., n . Hơn nữa, do  , ,..., của ma trận A là khác nhau 1 2 n (Định lí 1.2) nên 1 2 , ,..., n x x
x độc lập tuyến tính và vuông góc, nghĩa là i , j x x
 0 , i, j  1, 2,..., n , i  j . Xây dựng ma trận T có các cột là các vectơ 1 2 , ,..., n x x x . Khi ấy  x x ... x   x x ... x  11 21 1 n 11 12 1n     x x ... x x x ... x 12 22 n 2 T    , 21 22 2 n T     ,  ... ... ... ...   ... ... ... ...      x x ... x  x x ... x 1n 2 n nn   1 n n 2 nn  1 1 1 2 1 n x x ... x x x ... x  x , x x , x ... x , x     11 12 1n 11 21 1 n      2 1 2 2 2 x x ... x x x ... x  x , x x , x ... x , n x  21 22 2n 12 22 n 2 T T        I . ... ... ... ... ... ... ... ...      ... ... ... ...      n 1 n 2 x x ... x x x ... n n x    1 n n 2 nn  1n 2n nn  x , x x , x ... x , x  
Vậy T là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì i i
Ax   x , i  1,2,..., n nên   x  x ...  x  1 11 2 21 n 1 n    x  x ...  x 1 12 2 22 n n2 AT     ... ... ... ...     x  x ...  x  1 1n 2 2n n nn 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16  x x ... x   x  x ...
 x    0 ... 0  11 12 1n 1 11 2 21 n n1 1      x x ... x  x  x ...  x 0  ... 0 và 21 22 2 n 1 12 2 22 n n 2 2 T AT         .  ... ... ... ...  ... ... ... ...   ... ... ... ...       x x ... x  x  x ...  x 0 0 ...   n1 n 2 nn   1 1n 2 2 n n nn   n 
Vậy ma trận A có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận T .
Bây giờ giả sử các giá trị riêng  , ,..., của ma trận A là bất kì. 1 2 n
Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai. 1  a a   a 
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là 11 12 A       , trong đó  2 a a   12 22  a   1 a  a a và 2 a  a a . 12 22  11 12   x 
Giả sử    và 1 11 x 
là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là 1   x  12  có hệ thức 1 Ax =  1 x . Suy ra 1 1 1  a , x   x   a a
 x   a x a x    1 1 11 1 11 12 11 11 11 12 12  x Ax        1        2 1  x a a x a x  a x    1 12   12 22   12   12 11 22 12  a , x   hay 1 1
a x  a x  a , x   x , 2 1
a x  a x  a , x   x . 11 11 12 12 1 11 12 11 22 12 1 12
Chú ý Ta có thể coi x , x là các thành phần của vectơ 1
x đã được chuẩn hóa, 11 12 tức là 1 1 2 2 x , x
 x  x  1. 11 12  x x 
Ta xây dựng một ma trận trực giao 11 21 T      1 2 x
x  cấp 2 2 mà một x x  12 22   x    0  cột là vectơ 1 11 x    sao cho 1 T AT 
 , trong đó  ,  là các giá trị x 1 2  0  12   2 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17
riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.
Vì T là ma trận trực giao nên T T   I , tức là 2 2  x x  x x   1 0  x  x x x  x x   1 0 11 12 11 21  11 12 11 21 12 22           . 2 2   x x x x 0 1      x x  x x x  x 0 1 21 22 12 22  21 11 22 12 21 22    Suy ra 2 2 2 2
x  x  1, x x  x x
 0, x  x  1. 11 12 11 21 12 22 21 22 Ta có 1 2   x a , x  a a  x x   a x a x a x a x     1 11 11 12 11 21 11 11 12 12 11 21 12 22 AT           . 2 2 a a x x a x  a x a x  a x    12 22   12 22   12 11 22 12 12 21 22 22   x a , x 1 12   Vậy 1 2   x a , x x x    1 11 11 12 T AT      2 2 x x    21 22   x a , x 1 12   2 2 1 2 2 2 
 (x  x ) x a , x  x a , x  1 11 12 11 12   b 1 12      .   1 2 2 2   0  (  ) ,  , b x x x x x a x x a x  22  1 11 21 12 22 21 22  
Ta có thể xác định b và b như sau. Vì  AB  B A   và T    T nên 12 22    
T AT    TAT  TTA  TA (T)TA T   TAT
hay T AT là ma trận đối xứng. Suy ra b = 0. 12   0  Như vậy ta có 1 T AT  . 0 b  22 
Vì T là ma trận trực giao, nên hai ma trận A và T AT có cùng giá trị riêng. Mà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18   0    0      0  1 T AT     nên 1 1
T AT  I   I      . 0 b  0 b 0 b   22   22   22 
Vậy T AT có giá trị riêng là    và   b . 1 22
Vậy b cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận A. 22
Ta sẽ chứng minh trong trường hợp n chiều bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với mỗi k , k  1,2,..., n ta có thể xác định ma trận trực giao T đưa ma k
trận đối xứng thực A  a
về dạng đường chéo T AT  diag( , ,..., ) . k  ij  k k 1 2 k
Các phần tử trên đường chéo chính  là các giá trị riêng của ma trận A . i k
Ta đã chứng tỏ được điều này cho n  2 . Giả sử qui nạp điều đó đúng cho k  n ,
ta sẽ chứng minh điều đó đúng với k  n 1. 1  a   x11      Xét ma trận A  a  ... có  , 1 x  ...
là giá trị riêng và vectơ riêng n 1   ij    1    n 1   a     x  1n 1  
tương ứng của ma trận A , 1
x đã được chuẩn hóa ( 1 2 2 x  x  ...  x  1). n 1  11 1n 1 
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao T có cột đầu là 1 x .
Gọi các cột chưa biết còn lại là 2 3 1 , , ., n x x x  
thì ma trận T có dạng:  x x ... x   x x ... x  11 21 n 1  1 11 12 1n 1      x x ... x x x ... x 12 22 n 1  2 T    . 21 22 2n 1 T      .  ... ... ... ...   ... ... ... ...      x x ... x  x x ... x 1n 1  2n 1  n 1  n 1    n 1  1 n 1  2 n 1  n 1  
Vì T là ma trận trực giao nên T T   I , hay là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19  x x ... x  x x ... x 11 12 1n 1  11 21 n 1  1     x x ... x x x ... x 21 22 2n 1  12 22 n 1  2 T T        ... ... ... ...  ... ... ... ...     x x ... x x x ... x  n 1  1 n 1  2 n 1  n 1    1n 1  2n 1  n 1  n 1   2 2  x  ...  x b ... b   1 0 ... 0  11 1n 1  12 1n 1     
x x  x x  ...  x x b ... b 0 1 ... 0  21 11 22 12 2n 1   1n 1  22 2n 1      .  ... ... ... ...   0 0 ... 0       x x x x ... x x b ... b      0 0 ... 1  n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1  n 1  2 n 1  n 1     Suy ra, 2 2 x  ...  x
 1; x x  x x  ...  x x  0 ; … ; 11 1n 1  21 11 22 12 2n 1  1n 1  x x   x x  ...  x x  0 . (1.1) n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1  Ta có 1 1 1 2 1 n 1  a , x a , x ...... a , x   1 2 1 n 1   x a , x
....... a , x     1 11   2 1 2 2 2 n 1  a , x a , x ...... a , x   2 2 2 n 1   x
a , x ....... a , x   A T =   = 1 12   ; n 1   ..............   ..............      n 1  1 n 1  2 n 1  n 1  a , x a , x ... a , x   n 1  2 n 1  n 1   x a , x ... a , x     1 1,n 1   
Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được: 1 2 1 n 1   x a , x
........ a , x   1 11  x x ... x 11 12 1n 1      2 2 2 n 1 x x ... x
  x a , x ......... a , x   21 22 2n 1  1 12 T A T       = n 1   ... ... ... ... ........    x x ... x   n 1  2 n 1  n 1  n 11 n 12
n 1n 1    x a , x .. a , x       1 1,n 1   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20    2 2 2
x  x  ...  x b b . . . b  1 11 12 1n 1   12 13 1,n 1    b ... b 1 12 1,n 1      
  x x  x x  ...  x x  0 1  21 11 22 12 2n 1  1n 1   =      .  ...  ... . . . . A A  n n     0     x x   x x  ...  x x    1  n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1    trong đó:
- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng 0 , trừ phần tử ban đầu (bằng  ); 1
- Các đại lượng b , b , ... , b sẽ được xác định sau; 12 13 1n
- Ma trận An có cấp n  n . Do T    T nên ta có     T A T  T A T
T  T A
 T A (T )T A T  T A T n 1    n 1   n 1 n 1  n 1  n 1 
hay T A T là ma trận đối xứng. Suy ra b  ...  b  0 . n 1  12 1n 1    0... 0  1   0
Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao T sao cho T A T    , n 1  ... A  n   0  
với A là ma trận đối xứng. n
Vì T là ma trận trực giao, tức là T T
  I nên detT  1  (xem mục 1.9). Cũng vì T T
  I nên T A
 T  I  T A  T  T  T   T  A  I T . n 1   n 1   Do đó detT A 
T  I  det T A
 I T  detTdet A
 I detT  det A  I . n 1     n 1    n 1   n 1 
Suy ra các giá trị riêng của ma trận A
cũng chính là các giá trị riêng của n 1 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 T A 
T . Nhưng det T A 
T  I     det A  I nên các giá trị riêng n 1    1   n  n 1 
 , , ...,  , của ma trận A
cũng chính là các giá trị riêng của A 2 3 n 1  n 1  n .
Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử Tn là ma trận trực giao đưa An về  1 0 ... 0    0
dạng đường chéo. Ta lập ma trận S    cấp n   1 . n 1  ... T  n   0  
Do T trực giao nên S
cũng là ma trận trực giao, và khi đó n n 1  S T A T S
 diag( , ,..., ) . n 1   n 1   n 1 1 2 n 1 
Vì có thể viết S T A T S  TS  A TS nên TS là ma trận n 1   n 1 
 n 1  n 1 n 1 n 1 n 1 
trực giao đưa ma trận A
về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma n 1 
trận trực giao T sao cho T A
 T  diag( , ,..., ) . Định lí chứng minh xong. 1 2 n 1 
Đặt x  Ty hay y  T T  y  T x
 ,   diag( , ,..., ) . Từ Định lí 1.3 ta cũng có 1 2 n
Hệ quả Nếu A là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao T sao cho n 2 , x Ax   y  . (1.2) i i i 1 
Chứng minh Đặt x  Ty . Ta có n 2 ,
x Ax  Ty, ATy  y,T A
 Ty  y, y    y  . i i i 1 
Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có
Định lý 1.4 Nếu ma trận A là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita U sao cho *
A  U U (hay *
U AU   ), trong đó  , i  1,2,..., n là các giá trị riêng i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22
của A và   diag( , ,..., ) . 1 2 n
Định lý 1.5 Cho A và B là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để
tồn tại một ma trận trực giao T đưa A và B đồng thời về dạng đường chéo
T ' AT  diag( , ,..., ) và T ' BT  diag( ,  ,...,  ) (1.3) 1 2 n 1 2 n
là ma trận A và B có tính chất giao hoán. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại T thỏa mãn (1.3), khi ấy A và B có tính chất giao
hoán. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có
A  Tdiag( , ,..., )T  và B  Tdiag( ,  ,...,  )T . 1 2 n 1 2 n Suy ra AB  d
T iag( , ,..., )T Tdiag( ,  ,...,  )T  1 2 n 1 2 n
 Tdiag( , ,..., )diag( ,  ,...,  )T   Tdiag(  ,  ,...,  )T  . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n Mặt khác, ta cũng có
BA  Tdiag( ,  ,...,  )T Tdiag( , ,..., )T  1 2 n 1 2 n
 Tdiag( ,  ,...,  )diag( , ,..., )T   Tdiag(  ,   ,...,   )T . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Vậy AB  BA , tức là hai ma trận A và B có tính chất giao hoán.
Điều kiện đủ Giả sử A và B giao hoán, ta chứng minh tồn tại T thỏa mãn (1.3).
Trước tiên giả sử ma trận A có các giá trị riêng khác nhau     ...   ứng 1 2 n với các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x
x đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ 1 2 , ,..., n x x x
vuông góc với nhau, tức là i , j x x
 0 với i  j và i i 2 2 x , x
 x  ...  x  1. 1i ni Do i i
Ax   x nên i ( i
A Bx )  ( AB) i x  ( ) i BA x  B( i Ax )  B( i
 x )  (B ) i
x  ( B) i x   ( i Bx ) . (1.4) i i i i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Suy ra i
Bx cũng là vectơ riêng của A ứng với  . Vì các giá trị riêng đều khác i
nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau, tức là i i
Bx   x , i  1, 2,...,n . Nhưng khi ấy,  cũng chính là các giá trị riêng i i
của ma trận B với các vectơ riêng i
x tương ứng. Như vậy, các ma trận A và B có cùng các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x x . 1  x x ... x   x x ... x   x  11 21 1 n 11 12 1n       x x ... x 2 x x ... x x     Đặt 1 2 n 12 22 n 2 T
(x , x ,..., x )     thì 21 22 2n T     ... ... ... ...   ... ... ... ...  ...        x x ... x    x x ... n x 1n 2n nn   1 n 2n nn  x   1 1 1 2 1  x , x x , x ... x , n x    2 1 2 2 2  x , x x , x ... x , n x  và T T      I .  ... ... ... ...    n 1 n 2  x , x x , x ... n x , n x   
Xét trường hợp tổng quát, khi  là giá trị riêng bội k ứng với các vectơ riêng i 1 2 , ,..., k x x
x của ma trận A . Từ (1.4), vectơ i
Bx cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  , do đó i
Bx có thể biểu diễn tuyến tính qua 1 2 , ,..., k x x x : i k i j Bx 
c x , i  1, 2,...,k.  (1.5) ij i 1  Vì các vectơ i
x trực giao và B là ma trận đối xứng nên ( j x , i Bx )  c  ( j Bx , i
x )  c . Chứng tỏ ma trận C  c là ma trận đối xứng. ij  ij ji k Xét tổ hợp tuyến tính i a x  của các vectơ 1 2 , ,..., k x x x . Ta có i i 1 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 k k k k k k       i i j j B a x  a Bx  a c x  c a x   i   i
 i  ij   . ij i   i 1   i 1  i 1  j 1  j 1     i 1   k
Như vậy nếu a được chọn sao cho
c a  r a , j  1,2,..., k i  thì ta sẽ có ij i 1 j i 1  k k     k i i B a x  r a x i  
r là giá trị riêng và a x i  1   hay i  1 
là vectơ riêng của B . i  i 1    i 1   i 1 
Hệ thức (1.5) chỉ ra rằng r là giá trị riêng của ma trận C và a là thành phần của 1 i
vectơ riêng tương ứng. Cho nên, nếu T là phép biến đổi trực giao k chiều đưa k 1 1  z   x      2 2 z x ma trận    
C về dạng đường chéo thì các vectơ z xác định bởi  T i k  ...   ...       k   k z x     
là hệ vectơ vuông góc gồm các vectơ riêng của A và B .
Làm tương tự cho các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng bội, ta sẽ được ma trận cần tìm T .
2 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương
Giả sử H là không gian Hilbert có các phần tử là các vectơ n chiều với các
thành phần là các số phức; n
 là không gian vectơ thực n chiều; A là ma trận
vuông cấp n với các phần tử là các số thực hoặc phức.
Ma trận A được gọi là xác định không âm (trên H ) nếu ,
x Ax  0 , x  H ;
Ma trận A gọi là xác định dương (trên H ) nếu , x Ax  0, x   0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25
Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương
(hoặc ma trận xác định dương), còn ma trận xác định dương là ma trận xác định
dương chặt. Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma
trận xác định không âm và ma trận xác định dương).
Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm
(ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi A là ma
trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4).
Nếu ma trận A là xác định không âm thì ta ký hiệu A  0 .
Nếu ma trận A là xác định dương thì ta ký hiệu A  0. Nếu ,
A B là các ma trận có cùng cấp n  n , ta nói A  B nếu A  B  0 và
A  B nếu A  B  0 . Với n
x   , tích vô hướng ,
x Ax có thể viết dưới dạng khai triển như sau.  a a ........
a  x   a x  a x   a x n ... 11 12 1  1 11 1 12 2 1n n      a a ....... a x a x  a x   a x n ... 21 22 2 2 21 1 22 2 2n n Ax        ; ...........
...  ......................        a a ........ a  x a x  a x   a x n n nn ... 1 2   n   1 n 1 n 2 2 nn n 
 a x  a x  ...  a x 11 1 12 2 1n n   
a x  a x  ...  a x x, Ax
 x , x ,..., x    n  21 1 22 2 2 n n 1 2
 ............................   
a x  a x  ...  a x  1 n 1 n 2 2 nn n 
 a x  a x  ...  a x x  ...  a x  a x  ...  a x x 11 1 12 2 1n n  1  1n 1 n 2 2 nn n  n n n   n  a x x  a x x   . ij j  i  ij i j j 1   i 1   i , j 1 
Vậy tích vô hướng x, Ax có thể được coi là dạng toàn phương trên n  (hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 n bậc hai trên n
 ) P (x) x, Ax  a x x n  . ij i j i , j 1  n
Để cho gọn, ta thường viết P (x)  a x x  xAx n 
(bỏ dấu tích vô hướng). ij i j i, j 1 
Ma trận A là xác định dương (xác định không âm) khi và chỉ khi dạng toàn
phương (hàm số) là dương (không âm) với mọi n x   . n
Vì trong dạng toàn phương P (x)  a x x a x x và n  có tham gia các hạng tử ij i j ij i j i, j 1 
a x x nên nhóm lại ta được b x x  a  a
x x . Nói cách khác, ta có thể viết ij i i  ij ji  ji j i i j 1 1 1
P (x)  xAx  xAx  xA x  
x A  A x với mọi n
x   , mà A  A là ma n   2 2 2
trận đối xứng nên ta thường giả thiết ma trận A xác định dạng toàn phương
P (x)  xAx là ma trận đối xứng. Khi ấy ta có thể sử dụng các tính chất của ma n
trận đối xứng (xem mục 1.11).
Nếu A là ma trận với các phần tử là số phức thì tích vô hướng được viết như sau ,
x Ax  a x  a x  ...  a x x  ...  a x  a x  ...  a x x 11 1 12 2 1n n  1  1n 1 n2 2 nn n  n n n n    a x x  a x x .
  ij j  i  ij i j j 1   i 1   i , j 1  n
Dạng toàn phương phức tương ứng với ma trận A có dạng P (x)  a x x n  . ij i j i, j 1 
Nếu dạng toàn phương (hàm số) P (x) không âm với mọi x  H (dương với mọi n
x  0, x  H ) thì ta nói ma trận A là xác định không âm (xác định dương).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương
Tính chất 1 Ma trận O là ma trận xác định không âm. Ma trận đơn vị I là ma
trận xác định dương.
Thật vậy, I là ma trận xác định dương vì với mọi vectơ x  0, ta có Ix  x   T ,
x Ix   x ,..., x x ,..., x
 x x  ...  x x  0 . 1 n   1 n  1 1 n n
Tính chất 2 Giả sử ,
A B là những ma trận xác định không âm. Khi ấy A  B
cũng là ma trận xác định không âm. Hơn nữa, nếu một trong hai ma trận A
hoặc B xác định dương thì A  B cũng là ma trận xác định dương. Chứng minh Vì ,
A B là những ma trận xác định không âm nên với mọi x  H n n ta có a x x  0  và b x x  0 ij i j  . (*) ij i j i, j 1  i, j 1  n Suy ra
(a  b )x x  0  (**) ij ij i j i, j 1 
với mọi x  H hay A  B : a  b là ma trận xác định không âm. ij ij 
Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là
chặt hay A  B là ma trận xác định dương.
Hệ quả Nếu A là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì 2 A cũng là
ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu A  B, B  C thì A  C . Nếu một trong hai
bất đẳng thức A  B, B  C là chặt thì A  C .
Chứng minh Theo định nghĩa, A  B, B  C nên A  B  0 và B  C  0 . Cộng
hai vế của hai bất đẳng thức trên và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
A  C   A  B   B  C   0 . Suy ra A  C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28
Nếu một trong hai bất đẳng thức A  B, B  C là chặt, Ví dụ, A  B, B  C (hoặc
A  B, B  C ) thì
A  B  0 và
B  C  0 (hoặc
A  B  0, B  C  0 ).
Cộng hai vế của hai bất đẳng thức (*) và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
A  C   A  B   B  C   0 . Suy ra A  C.
Tính chất 4 Giả sử A là ma trận xác định không âm (xác định dương). Khi ấy
các phần tử a trên đường chéo của ma trận A là không âm (là số dương). ii
Chứng minh Chọn x  0,...,0,1,0,...,0. Vì A là ma trận xác định dương nên
xAx  0 . Ta có  0   a  1  a a ... i a 11 12 1n      ... ...   a a ... a    
xAx  0,...,0,1,0,...,0 21 22 2n 
1   0,...,0,1,0,...,0 a   a  0.  ... ... ... ... ii ii       ... ... a a ... a      1 n n2 nn   0   a     ni 
Tính chất 5 Ma trận Hermite xác định không âm (xác định dương) bảo toàn
tính chất qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu A là ma trận Hermite xác định
không âm (xác định dương) và U là toán tử unita thì * A
 :U AU cũng là toán tử
Hermite xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì A là ma trận Hermite, tức là *
A  A nên ta có  *   *   * *     * * *  * * * * A U AU U AU AU U
 U A U  U AU  A.
Vậy A cũng là ma trận Hermite.
Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng (xem mục 1.10) nên nếu A là
xác định dương thì A cũng là ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29
Tính chất 6 Ma trận Hermite ( *
A  A ) là ma trận xác định không âm khi và chỉ
khi các giá trị riêng của nó không âm. Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó là các số dương.
Chứng minh 1 Nếu  là giá trị riêng ứng với vectơ riêng x của ma trận 0
Hermite xác định không âm A thì Ax   x . Suy ra  x , x  x , Ax  0 . 0 0 0 0 0 0 x , Ax
Do x  0 nên x , x  0 . Vậy 0 0    0 . 0 0 0 x , x 0 0 x , Ax
Hiển nhiên, nếu A ma trận Hermite xác định dương thì 0 0    0 . x , x 0 0
Chứng minh 2 Nếu A là ma trận Hermite thì theo Định lí 1.4, tồn tại một ma
trận unita U đưa ma trận A về dạng đường chéo *
UAU  diag( , ,..., ) hay 1 2 n n 2 x, Ax   y 
, trong đó  , ,..., là các giá trị riêng của A và *
y  U x . i i 1 2 n i 1  Rõ ràng nếu ,
x Ax  0 với mọi x thì y, Ay  0 khi chọn * i
y  U x với i
x  0,...,0,1,0,...0 , i 1,2,...,n hay 2 * i *  y  U x , i AU x  0 . i i
Suy ra   0 với mọi i  1, 2,..., n . i
Nếu x, Ax  0 với mọi x thì   0 với mọi i  1,2,..., n . i
Tính chất 7 Ma trận Hermite là ma trận xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại một ma trận B sao cho *
A  B B . Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi tồn tại một ma trận B không suy biến sao cho * A  B B .
Chứng minh Theo Định lí 1.4, nếu A là ma trận Hermite thì tồn tại một ma
trận unita U sao cho *
A  U U , trong đó  : diag( ,  ,...,  ) . 1 2 n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30
Nếu A là ma trận xác định không âm thì theo Tính chất 6,   0 , i  1,2,..., n . i
Do đó có thể viết     với
 : diag(  ,  ,...,  ) , trong đó căn 1 2 n
bậc hai lấy giá trị không âm. * * * Đặt * B  U  thì *   *     * B U
U    U  . Suy ra * * *
A  U U  U  U   B B .
Rõ ràng, nếu A là ma trận xác định dương thì   0 , i  1,2,..., n nên * B  U  i
là không suy biến (vì U là ma trận unita nên không suy biến).
Tính chất 8 Nếu Aa và B b là các ma trận đối xứng xác định dương ij  ij 
thì ma trận C a b cũng xác định dương. ij ij 
Chứng minh Vì A  a là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại ma ij 
trận trực giao T sao cho A  T T, trong đó   diag  , ,..., với   0 , 1 2 n  i n
i  1,2,..., n . Suy ra a   t t
t và t là các phần tử của ma trận ij  , trong đó k ik jk ik jk k 1 
trực giao T . Ta có n n n n n   a b x x  = b x x (  t t )    b x t x t
  , k  1,2,..., . n ij ij i j  ij i j  = k ik jk k  , 0 ij i ik j jk    k i, j 1  i, j 1  k 1  k 1  i, j 1    n n
Với mỗi k đặt x  x t thì b x t x t  b x x i i ik
 ij i ik j jk    là dạng toàn phương của ij i j i, j 1  i, j 1 
các biến x . Do B b là ma trận đối xứng xác định dương nên ij  i n n n n n   b x t x t  b x x  a b x x      b x x ij i ik j jk
   không âm, chứng tỏ ij i j ij ij i j k    ij i j    i, j 1  i, j 1  i, j 1  k 1  i, j 1   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31
không âm, hay C a b là ma trận xác định không âm. ij ij 
Cũng do B b là ma trận đối xứng xác định dương nên xBx  0 khi và chỉ khi ij   x t  n 1 1k  
x  0 . Suy ra nếu xBx 
b x x  0  thì x  ...
 0 , tức là x t  0 . Nhưng ij i j   i ik i, j 1   x t   n nk 
T là ma trận trực giao nên T T   I hay 2 2 2 2 2 x t  x t  x
 i ik  i  ik  . Do đó i i,k i k i n
x t  0 khi và chỉ khi x bằng không, hay b x t x t i ik i 
dương nếu ít nhất một ij i ik j jk i, j 1 
trong các đại lượng x t khác không, tức là x  0 hay x  0 . Do   0 nên i ik i n a b x x  0 
khi và chỉ khi x  0 . Vậy C a b là ma trận xác định dương. ij ij  ij ij i j i, j 1 
Nhận xét Từ Tính chất 2 ta có, nếu cả hai ma trận A và B đều là Hermite (xác
định dương) thì A  B cũng là Hermite (xác định dương). Tuy nhiên, tích AB
của chúng là ma trận Hermite khi và chỉ A và B giao hoán.
Thật vậy, giả sử A và B là các ma trận Hermite, khi ấy  * * * AB
 B A  BA .
Nếu A và B giao hoán thì AB  BA và do đó  * AB
 BA  AB hay AB là ma
trận Hermite. Ngược lại, nếu AB là ma trận Hermite thì   * AB AB  BA hay
A và B giao hoán.
Điều kiện giao hoán của hai ma trận là quá chặt (ít khi xảy ra). Vì vậy chúng ta
đưa vào khái niệm tích đối xứng hóa (symmetrized product) của hai ma trận A
và B là ma trận S  AB  BA .
Nếu hai ma trận A và B là Hermite thì S  AB  BA cũng là ma trận Hermite.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 * * * Thật vậy, ta có *           * * * * S AB BA AB BA
 B A  A B  BA  AB  S .
Tuy nhiên, cả hai ma trận A và B đều là xác định dương thì S  AB  BA chưa
chắc đã là ma trận xác định dương.  1 0   1  
Ví dụ Cho A    và B  
 là các ma trận xác định dương khi   0 0     1    x 
và 0    1 vì với mọi  x , x  0 ta có xAx   x , x
 x   x  0 và 1 2  1 2 2 1 2    1 2  x  2 
 x   x 
xBx   x , x  1 2 2 2
 x  2 x x  x   
 x   x 2   2 1    2 x  0 . 1 2 1 1 2 2 1 2 2  x  x  1 2   1
   1    2
    1 
Nhưng S  AB  BA          và             1 2    2
    1  x 
 2x     1 x  1 1  
xSx   x , x    x , x 1 2     1 2  2      1 2 x            2   1 x 2 x  1 2  2 2  1   1 
 2x  2    2
1 x x  2 x  2 x      1 x
          2 1 x 1 1 2 2 1 2  2  2   4  1
nhận giá trị âm khi  đủ gần 0 và  đủ gần 1 và x      1 x . 1   2 2
Như vậy, S không phải là ma trận xác định dương. Tuy nhiên, ta có
Tính chất 9 Giả sử ,
A B là các ma trận Hermite và A là ma trận xác định
dương. Nếu S  AB  BA là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì B
là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì B là ma trận Hermite nên tồn tại một ma trận unita U sao cho *
B  U U , trong đó *
  U BU có dạng đường chéo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Kí hiệu * A   U AU thì *
A  UAU . Như vậy, * * * * * *
S  AB  BA UA U U U  U U 
UAU UA U  U A
 U U  A   * A U : S .
Vì A là ma trận Hermite xác định dương và S là ma trận Hermite xác định không âm nên A
 cũng là ma trận xác định dương và S cũng là ma trận xác định
không âm. Suy ra các phần tử trên đường chéo s là không âm và a là dương ii ii (Tính chất 4). Do *
  U BU là ma trận đường chéo nên S  A  A có các s
phần tử đường chéo là s  2 a . Suy ra ii  
 0. Vậy B có các giá trị ii i ii i 2aii
riêng không âm (dương) nên là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 10 Ma trận đối xứng thực A là xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định không âm B sao cho 2 A  B .
Ma trận đối xứng thực A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một
ma trận đối xứng thực xác định dương B sao cho 2 A  B . 1 Ta có thể viết 2 B 
A  A và gọi B là căn bậc hai dương của A . Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử ma trận đối xứng thực A là xác định không âm. Theo
Định lí 1.3 và Tính chất 4 tồn tại ma trận trực giao T sao cho A  T T   , trong
đó   0, i  1,2,..., . n i
Do   0, i  1,2,..., n nên ta hoàn toàn có thể xác định được ma trận B như sau: i B : T T
  . Khi ấy B là ma trận đối xứng thực xác định không âm vì      B  T T
   T  T  T T    T  T  T T    B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34
và B có các giá trị riêng không âm là  ,  ,...,  . 1 2 n Rõ ràng 2 B  . B B  T T  T T    T T  T  T    T T    A.
Điều kiện đủ Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng thực xác định không âm B sao cho 2
A  B . Khi ấy tồn tại một ma trận trực giao T sao cho B có thể viết
được dưới dạng B  T T
 , trong đó   diag( ,  ,...,  ) với   0 , 1 2 n i
i  1,2,..., n là các giá trị riêng của ma trận B . Vì 2
A  B nên ta có
      2 A T T T T
 T T  .  Khi ấy    2   2 A T T
 T  T   A và A có các giá trị riêng 2
  0 , i  1,2,..., n i
nên là ma trận xác định không âm.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn 2
A  B . Giả sử ta có 2 A  B và 2
A  C . Do B và 2
A  B , C và 2
A  C là hai ma trận có tính chất giao hoán ( 2 2 AB  B B  .
B B  BA ) nên theo Định lí 1.4 chúng cùng đưa được về dạng
đường chéo, nghĩa là A  T T , B  T T
  , C  T T  với T là ma trận trực giao
và   diag( , ,..., ) ,   diag( ,  ,...,  ) ,   diag , ,..., . 1 2 n  1 2 n 1 2 n
Vì 2       2 B T T T T
 T  T  nên từ hệ thức 2 B  A ta có 2
T  T   T T   hay T  2
   T  0. Do T trực giao nên không suy biến, suy ra 2    hay
    0,...,     0 với giá trị căn số học (giá trị không âm). 1 1 n n Tương tự, 2
   và     0,...,    0 . Vậy 2 2
     hay    . 1 1 n n
Suy ra B  T T   TT   C hay B thỏa mãn điều kiện 2
A  B là duy nhất.
Chứng minh hoàn toàn tương tự nếu A là ma trận đối xứng thực xác định dương.
Tính chất dưới đây chỉ ra tính đơn điệu của ánh xạ A  A .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35
Tính chất 11 Nếu ,
A B là những ma trận đối xứng thực xác định không âm và
A  B thì A  B . Chứng minh Do ,
A B là những ma trận xác định không âm nên theo Tính chất
10, tồn tại các ma trận xác định không âm A,
B . Hơn nữa, do A  B và
B  0 nên theo tính chất bắc cầu (Tính chất 3) ta có A  0. Suy ra A  0 . Theo tính chất 2 ta có A 
B  0 . Từ các phép toán trên ma trận ta có thể viết
2 A  B   A  B  A  B    A  B  A  B .
Theo giả thiết A  B nên A  B  0 . Theo Tính chất 2, 2 A  B  0 . Từ tính chất 8 suy ra
A  B  0 , tức là A  B . Chú ý Nếu ,
A B là những ma trận xác định không âm và A  B thì vẫn chưa suy ra được 2 2
A  B .  2 1 1 1
Ví dụ Ma trận A  
 là xác định dương và ma trận B    là xác định 1 1   1 1  
không âm vì với mọi x   x , x ta có 1 2   2 1 x   2x  x 
xAx   x x  1      x x  1 2 2 2 2
 2x  2x x  x  x  x  x  0 1 2 1 2   1 1 2 2 1  1 2 2 1 1 x x  x   2   1 2  1 1 x   x  x 
và xBx   x x  1      x x  1 2  x  x  0 . 1 2 1 2    1 2 2 1 1 x x  x   2   1 2   2 1 1 1  1 0 
Hơn nữa, A  B vì A  B     0       do 1 1 1 1 0 0        1 0  x   x 
x, A  B x   x , x  1      x , x  1 2
 x  0 với mọi x , x . 1 2 1 2   1 0 0 x 0 1 2   2   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36  2 1 2 1  5 3  1 11 1  2 2  Mặt khác, 2 A        , 2 B        nhưng 1 1 1 1 3 2      1 1 1 1 2 2       3 1  2 2 A  B  
 không là ma trận xác định dương, vì với x  1, x  2 thì 1 0 1 2    3 1  x   3x  x  , x  2 2
A  B  x   x , x  1      x , x  1 2 2
 3x  2x x  0 . 1 2 1 2   1 1 2 1 0 x x   2   1 
Vậy từ A  B với A và B là những ma trận xác định không âm ta chưa suy ra được 2 2 A  B .
Tính chất 12 Ma trận đối xứng xác định không âm A là xác định dương khi và
chỉ khi ma trận A khả nghịch. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử A là ma trận đối xứng xác định dương. Theo Định lí 1.3,
tồn tại ma trận trực giao T sao cho A  T T , trong đó   diag  , ,..., 1 2 n 
với   0 , i  1,2,..., n . Xét ma trận 1 B  T   T  với 1   diag  1 1 1
 , ,..., . 1 2 n  i Ta có     1   1 AB T T T T
 T  T   TIT   TT   I . Tương tự,   1      1 BA T T T T  T   
 T   TIT   TT   I .
Vậy AB  BA  I , hay ma trận A là khả nghịch và 1 B A  .
Điều kiện đủ Giả sử A là ma trận đối xứng xác định không âm và khả nghịch.
Vì A là ma trận khả nghịch nên tồn tại ma trận 1 A sao cho 1  1 AA A  A  I , hay 1
A giao hoán với A.   
Do A là đối xứng, tức là A  A nên   1
    1    1 I AA A A A  A,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37  vậy  1 1 A  A hay 1
A cũng là ma trận đối xứng. Theo Định lí 1.5, tồn tại ma
trận trực giao T để A và A cùng có thể đưa về dạng đường chéo, tức là T A  T   và 1 T A  T   , hay A  T T   và 1
A  T T  , trong đó
  diag  , ,..., và   diag ,  ,...,  với   0 và   0 với mọi 1 2 n  1 2 n  i i
i  1,2,..., n . Suy ra 1
I  AA  T T  T T
   T  T    T T
  I    diag  . i i 
Vậy    1 với mọi i  1,2,..., n . Do   0 và   0 và    1 nên   0 với i i i i i i i
mọi i  1,2,..., n . Theo Tính chất 4, ma trận A là xác định dương.
Hệ quả Nếu A là ma trận xác định dương thì 1
A là ma trận xác định dương.
Chứng minh Theo chứng minh Tính chất trên, các giá trị riêng 1    của ma i i trận 1
A là những số dương.
Tính chất 13 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương và A  B thì 1  1 A B  .
Tính chất 14 Nếu ,
A B là những ma trận đối xứng xác định dương và A  B thì
với mọi ma trận X ta có * *
X AX  X BX .
Chứng minh 1 Với mọi vectơ u ta có * *
u, X AXu  Xu, AXu  Xu, BXu  u, X BXu . Suy ra * * X AX  X BX .
Chứng minh 2 Vì B  ,
A nên giả sử C là căn bậc hai dương của B  A, khi đó
với mọi ma trận X ta có * * * * X (B  )
A X  X CCX  ( X C)(CX )  (CX ) (CX )  0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Suy ra * * * * * * * X (B  )
A X  0  ( X B  X )
A X  0  X BX  X AX  0  X BX  X AX .
Tính chất 15 Nếu A là ma trận xác định dương thì X  AX cũng là ma trận xác
định dương. Nếu X  AX là ma trận xác định dương và X là ma trận khả nghịch,
thì A là ma trận xác định dương.
Để nghiên cứu các tính chất của ma trận xác định dương, chúng ta sử dụng ma
trận mở rộng, là các ma trận khối. Các tính chất dưới đây chỉ ra điều đó.
Tính chất 16 Giả sử ,
A B là những ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó  A X  ma trận khối   
 là xác định dương khi và chỉ khi 1 A  X B X . X  B    I 0  1    1  I (B X )   I  XB 
Chứng minh Đặt M    thì M   . 1      B X  I   0 I 0 I     1  I  XB  A X  I 0  1
A  XB X   0  Ta có     =   .  1 0 I X B B X  I     0 B   1
A  XB X   0 
Do B là ma trận xác định dương nên ma trận   là xác định 0 B   dương khi và chỉ khi  1 A X B X    0 hay  1 A X B X   . Do phép biến đổi  A X 
T * AT bảo toàn giá trị riêng nên 
 là ma trận xác định dương khi và X  B   1
A  XB X   0   A X  chỉ khi 
 là ma trận xác định dương. Vậy   là ma trận 0 B    X B  
xác định dương khi và chỉ khi  1 A X B X   .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39  A A
Tính chất 17 Ma trận A là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi   A A  
là ma trận xác định dương. Kí hiệu * A :
A A và gọi là phần dương hay giá trị tuyệt đối của A . Ta có  A A 
Hệ quả 1 Với mọi ma trận A bất kì thì 
 là ma trận xác định dương.  A A    A A  
Hệ quả 2 Nếu ma trận A là chuẩn tắc thì ma trận 
 là xác định dương.  A A   
Chứng minh Theo định nghĩa, ma trận A được gọi là chuẩn tắc nếu * * AA  A A . Khi ấy * * * A  A A 
AA  A . Hệ quả 2 suy ra từ Hệ quả 1.
Tính chất 18 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương với AB  1, thì s s
A B  1, 0  s  1. 2
Chứng minh Giả sử A  0 . Ta đã biết * AB
 ( AB)( AB) , khi đó với giả thiết
AB  1, 0  s  1 ta có: 2
AB  1  AB A  1 2 1  2 1 AB A I A AB A A     I 2 1  2 1  1  1 B A A I B AA A IA      2 2 B A   2s 2  s s 2s s s 2  s s s 2s s B  A
 A B A  A A
A  A B A  I s 2s s   1 s s A B A
 A B  1.
Tính chất 19 Giả sử ,
A B là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy s s s
A B  AB , 0  s  1.
Chứng minh Xem chứng minh Định lí IX.2.1 [2], trang 255.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 t
Tính chất 20 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương, thì t t
AB  A B , với t  1. 1
Chứng minh Với t  1 suy ra 0 
 1 , theo Tính chất 22 ta có t 1 1 1 t t t A B
 AB , với t  1. 1 Thay ,
A B bởi t , t A B ta được t t t AB  A B
. Vì t  1 nên ta có: t t t
AB  A B . Suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 21 Ma trận A là xác định không âm khi và chỉ khi tồn tại các vectơ
x , x ,..., x  H , sao cho a  x , x . 1 2 n ij i j
Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các vectơ x , x ,..., x  H 1 2 n
sao cho a  x , x với các vectơ x , i  1,2,..., n là độc lập tuyến tính. ij i j i
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9].
Tính chất 22 Điều kiện cần và đủ để ma trận thực A đối xứng xác định dương là
mọi định thức con chính của nó phải dương: A 0, k  1, 2,..., n , ở đây k
A  a , i, j  1,2, ,  k. k ij
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9], trang 237.
Tính chất 23 Nếu A là ma trận xác định dương thì det A  a a a . 11 22 nn
Chứng minh Ta xét thấy det A : A có thể biểu diễn được dưới dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 a ... a 0 a ... a 22 2n 12 1n a ... a a a ... ... 32 3n 21 22 det A  a  (2.1) 11 ... ... ... ... ... a ... a a a ... a n2 nn 1 n n2 nn
Vì A là ma trận xác định dương nên ma trận a , i, j  2 .
 .n cũng xác định ij 
dương, cho nên các biến a a .
 a (số hạng thứ 2 ở vế phải của (2.1)) xác 12 13 1n a ... a 22 2n a ... a định âm, do đó 32 3n A  a . 11 .... a ... a n 2 nn
Dùng phép quy nạp ta được A  a a a , đó là điều phải chứng minh. 11 22 nn
Tính chất 24 Nếu ma trận A xác định dương thì   ...  max ( i z , j
Az ) ,   ...  min ( i z , j Az ) , 1 2 nk 1  n n 1  k R R
ở đây, R là miền xác định bởi: i z , j z
 , i, j  1, 2, .
 , n  k  1. ij
Nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm n  k  1 vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 214.
Tính chất 25 Nếu ma trận A xác định dương thì:
  ...  min z Az z Az
z   Az   n n k  1 1 2 2 n k 1 n k 1 , , ... , 1  R
ở đây, R là miền xác định bởi hệ thức: i , j z z
 . i, j  1,2, .
 , n  k  1. ij
nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm n  k 1 vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 216.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 n 2 
Tính chất 26 Nếu A là ma trận xác định dương thì I  , trong đó n 1 2 A    ( , ) I  . . . x Ax e dx
dx  dx dx . . .dx . n   , ở đây 1 2 n  
Chứng minh Giả sử T là ma trận trực giao đưa A về dạng đường chéo. Ta thực
hiện phép đổi biến x  Ty , khi đó x, Ax  y, Ay . n n Tiếp theo, dx  dy  
, vì Jacobian của phép biến đổi biến x  Ty bằng T i i i 1  i 1 
có thể cho bằng +1. Do ma trận T thiết lập bằng tương ứng 1– 1 nên: n   2 2 2 n  2   1  1
y 2 y2 .  .. I  ...  n n y e dy 2 =  i i y . n    e dy     i 1   i 1   2
(  ... ) 1 2 n n n  1 2 2  Để ý là :  A  và  x 2 e dx  I  . i 
 . Vậy ta có n 1 i 1   2 A k 2 
Tính chất 27 Nếu A là ma trận xác định dương thì ( x , Ax )  max e dV , ở 1  k k R 2 k R A k
đây tích phân lấy theo không gian con tuyến tính k chiều k  của không gian n
 , dVk là phần tử thể tích, còn cực đại lấy theo mọi k  .
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 195.
Tính chất 28 Nếu các ma trận A, B xác định dương thì với 0    1 ta có  1
 A  (1 )B  A B . n 2   
Chứng minh Ta có
 ( x, Ax )  (1 )( x, Bx )  ... e dx . 1     2
 A  (1  )B  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 1 1 P q    
Sử dụng dạng tích phân
f (x)g(x)dV  f (x)P dV f (x)q dV        của bất R  R   R  1 1
đẳng thức Holder, sau khi đặt p  , q  ta có :  1   n n n (1 )  1 2     2 2         ( x,Ax ) ( x, x B )  ... e dx ... e dx  . . 1          1 2         2 2
 A  (1  )B A B
Sau khi đơn giản ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Tính chất 29 (Phân tích Cholesky) Giả sử A là ma trận Hermite xác định
dương. Khi đó tồn tại duy nhất ma trận tam giác dưới L có các phần tử trên
đường chéo chính đều dương sao cho *
A  LL .
Chứng minh Ta tìm ma trận  l11    l l 21 22 L    ............    l l ........ l  1 n n 2 nn  mi  n i,  j n sao cho *
A  LL . Khi đó a  l l 
l l , 1  i, j  n ij  ik jk  , ik jk k 1  k 1  a trong đó, 2
a  l suy ra l  a ; a  l l suy ra 12 l  ;…… 11 11 11 11 12 11 21 21 l11 a
a  l l suy ra 1n l  . 1n 11 1 n 1 n l11
Giả sử tính được i 1 cột đầu của L , ta tính cột thứ i như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 i 1  2 2 2
a  l  l  ....  l , suy ra 2 l  a  l ii 1 i i2 ii ii ii  ; ik k 1  i 1  a  l l i,i 1   ik i 1,k a  l l  . . . l l , suy ra k 1 l   . i ,i 1  i1 i 1,1 ii i 1  ,i i 1  ,i lii
Ma trận L xây dựng như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử tồn tại hai phân tích * *
A  L L  L L . Khi ây 1  * * 1 L L L (L )   D là 1 1 2 2 2 1 2 1
một ma trận đường chéo. Ta có L  L D suy ra 1 2 * * * 2 * *
A  L L  L DD L  L D L  L L . 1 1 2 2 2 2 2 2 Do đó 2 1 * * 1
D  L L L ( L )
 1 suy ra D  I . 2 2 2 2
Điều này chứng tỏ phân tích Cholesky của ma trận A là duy nhất. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương 1 phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của ma trận xác định
dương. Các tính chất này chứng tỏ lớp ma trận xác định dương là lớp ma trận có
cấu trúc, và vì thế nó được áp dụng rộng rãi trong rất nhiều lớp bài toán khác
nhau, trong bản thân toán học, cũng như trong ứng dụng.
Chương 2 trình bày một số ứng dụng cụ thể của ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 CHƯƠNG II
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
1 LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng
Định lí 2.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm của phương trình vi phân dx
 Ax, x(0)  c (1.1) dt
dần tới 0 khi t   và c bất kỳ, là các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm.
Chứng minh Nếu các giá trị riêng của ma trận A khác nhau và âm
  ...    0 thì do At
e là ma trận đối xứng nên có biểu diễn 1 n  t 1  e 0     t 2 e   At 1 e  T T . (1.2)  ............     0  t  n e  
Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) có dạng ( ) At
x t  ce . Do đó lim x(t)  0 . t
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể làm như sau:
Để thay cho việc đưa ma trận A về dạng đường chéo, chúng ta sử dụng phép
biến đổi đồng dạng đưa nó về dạng tam giác, 1
T  AT  B .
Trong trường hợp này (1.1) có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 dz
 Bz, z(0)  c. (1.3) dt
Trong đó B là ma trận tam giác còn x  Tz , tức là ta có hệ:
dz1  b z  b z  ... b z , z 0  c, 11 1 12 2 1n n 1   1 dt dz2 
b z  ...  b z , z 0  c , 22 2 2n n 2   2 dt (1.4)
................................................................. dzn  b z , z  c nn n n  0 . n dt
Bởi vì các phần tử b là các giá trị riêng của ma trận B , nên theo giả thiết ta có ii
Re(b )  0 với mọi i  1, 2,..., . n ii
Từ phương trình cuối cùng trong (1.4) ta có bnn
z  ce . (1.5) n n
do đó z  0 khi t   . n
Để chứng tỏ rằng tất cả z  0 khi t   chúng ta sử dụng quy nạp; dựa vào i kết quả:
Nếu v(t)  0 khi t   thì nghiệm u(t) của hệ
du  bu  v(t), u(0)  a , (1.6) 1 1 dt
dần tới 0 với điều kiện Re(b )  0 . Điều này suy ra từ công thức nghiệm của 1
phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất: t 1 b t 1 b t  1 ( ) b s
u t  a e  e e v(s)ds 1  . (1.7) 0
Vì z dần tới 0 khi t   , nên theo nhận xét trên ta có tất cả z  0 khi t   . n i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47
Ma trận ổn định Ma trận A được gọi là ổn định, nếu các giá trị riêng của nó có phần thực âm.
1.2 Phương pháp Lyapunov
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ta
sử dụng phương pháp Lyapunov. Xét phương trình dx
 Ax , x(0)  c , (1.1) dt
trong đó giả thiết c và A là thực.
Xét dạng toàn phương u  xYx , trong đó Y là ma trận có các phần tử sẽ được
xác định sau. Lấy đạo hàm của u theo t như là hàm hợp, ta được: du  x ,
 Yx  x,Yx  Ax,Yx  x,YAx  x,( A Y   Y ) A x . (1.8) dt
Giả thiết rằng tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình: A Y
  YA   I . (1.9)
Khi đó (1.8) có dạng : du   , x x . (1.10) dt Từ đó ta có: du 1     u , (1.11) n dt
trong đó  là giá trị riêng lớn nhất của ma trận Y. n 1 
Từ (1.11) ta suy ra rằng t  (0)  n u u
e  , tức là u  0 khi t   .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48
Như vậy, nếu tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình (1.9)
thì tất cả các thành phần của vectơ x tiến tới 0 khi t  .
Ngược lại, nếu ma trận A ổn định thì phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm đối
xứng được xác định bởi công thức  A' 1 t A 1 t Y  e e dt  . (1.12) 1 0 Khi ấy ta có   A't At x,Yx = 1 1
(x,e e x)dt  = A' 1 t A 1 ( , t e x e x)dt 1  1 0 0
Chứng tỏ ma trận Y xác định dương vì ma trận At
e luôn luôn không suy biến.
1.3 Điều kiện cần và đủ để một ma trận là ma trận ổn định
Định lí 2.2 Giả sử Y được xác định bởi phương trình A Y
  YA  I . Điều kiện
cần và đủ để ma trận A ổn định là ma trận Y xác định dương. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử Y là ma trận xác định dương, ta sẽ chứng minh A là ma trận ổn định. Ta có T (x, x)dt 
 x0,Yx0 – xT ,YxT  (1.13) 0 hay T
x T ,YxT   (x, x)dt  x 
0,Yx0 (1.14) 0 dx
trong đó x(t) là nghiệm của phương trình vi phân  Ax . dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 T
Nếu ma trận Y xác định dương thì (x, x)dt 
giới nội đều. Do đó, x(t) 0 khi 0
t  . Vậy A là ma trận ổn định.
Điều kiện đủ Giả sử A là ma trận ổn định ta sẽ chứng minh ma trận Y xác định dương.
Nếu ma trận A ổn định thì phương trình A Y
  YA  I có duy nhất nghiệm 
đối xứng Y . Khi đó Y được xác định bởi công thức A' 1 t A 1 t Y  e e dt  1 0   nên , x Yx = A  1 t A 1 ( , t x e e x)dt  = A 1 t A 1 ( , t e x e x)dt . 1  1 0 0 Vì ma trận At
e luôn luôn không suy biến, nên ma trận Y xác định dương.
Ta có định lí sau đây kiểm tra tính ổn định của ma trận A.
Định lí 2.3 Nếu ma trận A có dạng  a  b a 0 0 . . .  1 1 2   1 b a 0 . . . 2 3    0 1 b a . . .   3 4 A  ,
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . 1 b a   n 1  n    . . . . . . . . . . . . 0 1 b    n 
trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính và hai lân cận của
đường chéo chính đều bằng 0, thêm vào đó các phần tử a thực, còn b hoặc i i
bằng không hoặc là thuần túy ảo thì số các số hạng dương trong dãy các tích
a ,a a ,....,a a ...a a bằng số các giá trị riêng của ma trận A có phần thực 1 1 2 1 2 n 1  n dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50
Chứng minh Để chứng minh định lí này ta phải dùng đến một số kết quả bổ trợ
của lí thuyết đa thức (xem [1b], trang 247-248)
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng
Xét phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng
Ax  Bx  Cx  x  1  c x   2 2 0, 0
, ’ 0  c , (1.15)
trong đó các ma trận A, B và C là xác định không âm. Phương trình này thường
gặp trong các bài toán vật lí, Ví dụ, trong sơ đồ các mạng điện gồm điện dung,
cuộn tự cảm và điện trở.
Định lí 2.4 Nếu các ma trận ,
A B và C là xác định không âm và ngoài ra hoặc
ma trận C hoặc ma trận A là xác định dương, thì phương trình 2
 A 2B C 0 (1.16)
không có nghiệm với phần thực dương.
Nếu các ma trận A và C là xác định không âm, còn ma trận B xác định dương
thì  0 là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Chứng minh Từ phương trình ta có
 x , Ax   2 x , Bx   x ,Cx  0 . (1.17)
Do đó với mọi s  0 ta có: s
(x , Ax ) 2(x , Bx )(x ,Cx)dt  0 (1.18) 0 hoặc s s s (x, Ax )
  + 4 (x , Bx )  dt 
+ (x ,Cx)  = 0. (1.19) 0 0 0
Phương trình (1.19) tương đương với phương trình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 s
 x ' s, Ax's + 4 (x', Bx ')dt  (x(s),Cx(s)) c  , (1.20) 3 0 trong đó c   2 2
c , Ae    1 1 c ,Cc . 3 
Nếu  là nghiệm của phương trình (1.16) thì phương trình
Ax  Bx  Cx  x   1  c x  2 2 0, 0 , 0  c
có nghiệm dạng t
e c . Nếu  là số thực thì c là vectơ thực. Nếu  là số phức,
  r  i r thì phần thực của biểu thức t e c bằng 1rt 1 2
e (a cos r t  a sin r t) cũng là 1 2 2 2
nghiệm của phương trình (1.15).
Thế vào (1.20) ta được: s 2 1 r s 2 1 r t 2 1 1 2 2 1 r s 3 3 e
(b , Ab )  4 e
(b (t), Bb (t)dt  e
(b ,Cb )  c  , (1.21) 3 0 trong đó 1 b và 3
b là các vectơ không đổi, còn 2
b t  là vectơ biến đổi và bằng 1 2 2
(a r  a r ) cos r t  (a r  a r )sin r t . 1 2 2 1 1 2 2
Nếu A hoặc C xác định dương và B  0 thì tính dương của r dẫn đến mâu 1 thuẫn khi s  . Nếu ,
A C  0 thì từ tính dương của ma trận B suy ra rằng r  0 . Hơn nữa, vì 1 s hàm 2
b t  tuần hoàn, nếu r khác 0 thì tích phân 2 2
(b (t), Bb (t))dt 2  phân kỳ 0
khi s  . Mặt khác nhờ vào tính dương của r suy ra r  0 . 1 1
Vậy  0 là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52
2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM TOÀN PHƯƠNG
2.1 Tối ưu hàm một biến
Xét hàm số một biến số thực f (x) trong khoảng a,b. Giả sử f (x) là đủ trơn
để có khai triển Taylor tại điểm c a,b: 1
f (x)  f (c)  f (
 c) x  c  f  (
 c) x  c2  ... 2
Nếu c là điểm cực trị địa phương của f (x) , tức là f (x)  f (c) hoặc
f (x)  f (c) với mọi x đủ gần c thì, theo Định lí Fermat, f (  c)  0 . Suy ra 1
f (x)  f (c)  f  (
 c) x  c2  ... 2 Nếu f  (
 c)  0 thì f (x)  f (c) với mọi x đủ gần c , hay c chính là điểm cực
tiểu địa phương của hàm f (x) ; Nếu f  (
 c)  0 thì f (x)  f (c) với mọi x đủ gần
c , hay c chính là điểm cực đại địa phương của hàm f (x) .
Như vậy, ta thấy dấu của đạo hàm bậc hai đóng vai trò quan trọng trong khảo sát
tính cực trị của hàm số.
2.2 Tối ưu hàm hai biến
Xét hàm số hai biến số thực f (x, y) trong hình chữ nhất a ,b  a ,b . Giả sử 1 1   2 2
f (x, y) là đủ trơn để có khai triển Taylor tại điểm c ,c  a ,b  a ,b : 1 2   1 1  2 2  f  f 
f (x, y)  f (c ,c )  x  c  x  c  1 2  1   2  c  c  1 2 2 2 2 1  f 1  f 1  f  x  c  x  c x  c  x  c  ..., 2  2    2  2 1 1 2 2 2 c  2 c  c  2 c  1 1 2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 f  f  f  f  trong đó : (c ,c ) ; : (c ,c ) ,... 1 2 c  x  1 2 c  y  1 2 f 
Nếu c là điểm cực trị địa phương thì, theo Định lí Fermat,
(c ,c )  0 và 1 2 x  f
 (c ,c )  0. Suy ra 1 2 y  2 2 2 1  f 1  f 1  f
f (x, y)  f (c ,c )  x  c  x  c x  c  x  c  ... 2  2    2  2 1 2 1 1 2 2 2 c  2 c  c  2 c  1 1 2 2
Như vậy, sự biến thiên của hàm f (x, y) trong lân cận điểm c  c ,c phụ thuộc 1 2  vào dạng toàn phương Q ( ,
x y)  a x  c 2  2b x  c  x  c   c x  c 2 2 2
 au  2buv  cv : Q(u,v) , 2 1 1 2 2 2 1  f 2  f 2 1  f trong đó a  , 2b  , c 
, u  x  c , v  x  c . 2 2 c  c  c  2 2 c  1 2 1 1 2 2
Dạng toàn phương Q(u,v) là thuần nhất bậc hai: 2
Q(ku,kv)  k Q(u,v) , ngoài ra Q(0,0)  0 .
Nếu Q(u,v)  0 với mọi u,v đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0)) thì ta có
f (x, y)  f (c ,c ) và c  c ,c là điểm cực tiểu địa phương của hàm f (x, y) ; 1 2  1 2
Nếu Q(u,v)  0 với mọi u,v đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0)) thì ta có
f (x, y)  f (c ,c ) và c  c ,c là điểm cực đại địa phương của hàm f (x, y) ; 1 2  1 2
Như vậy, ta thấy dấu của hàm toàn phương Q(u,v) (đạo hàm bậc hai của
f (x, y) ) đóng vai trò quan trọng trong khảo sát tính cực trị của hàm hai biến.
Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào dạng toàn phương Q(u,v) là xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 2 2  bv   b  Ta có 2 2 2
Q(u,v)  au  2buv  cv  a u   c  v     nếu a  0 ;  a   a  2 2  bu  b
Nếu a  0 và c  0 thì 2 2
Q(u,v)  cv  2buv  c v   u   ;  c  c
Nếu a  c  0 thì Q(u,v)  2buv . 2 b
Như vậy, để Q(u,v) là xác định dương thì a  0 và c   0 . Tương tự, để a 2 b
Q(u,v) là xác định âm thì a  0 và c   0 . a
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế
Hai mục trên là những ví dụ cho ta thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu
dạng toàn phương (nghiên cứu ma trận xác định dương). Trong mục này ta xét
bài toán tối ưu có ràng buộc hàm toàn phương-tuyến tính n biến. 1
Xét hàm toàn phương-tuyến tính n biến f (x, y) 
xDx  c, x   . 2
Bài toán tối ưu (P) : Tìm cực tiểu của hàm f (x, y) trên tập hạn chế :  n M
x   : Ax  
b , trong đó A là ma trận cấp m  n , b là vectơ m chiều.
Ta có các định lí sau đây về tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hàm toàn phương- tuyến tính.
Định lí 2.5 Giả sử D là một ma trận xác định không âm. Khi ấy bài toán tối ưu
(P) có nghiệm khi và chỉ khi tập M   và các điều kiện sau đây được thỏa: 1) n
v   , Av  0  vDv  0 ; 2) n v   , n
x   Av  0 , Ax  b  Dx  , c v  0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55
Định lí 2.6 Nếu D là một ma trận xác định dương thì bài toán tối ưu (P) có
nghiệm khi và chỉ khi tập M   .
Định lí 2.7 Nếu D là một ma trận xác định âm thì bài toán tối ưu (P) có nghiệm
khi và chỉ khi tập M   và compact.
Các Định lí 2.5, 2.6, 2.7 là hệ quả của định lí tổng quát hơn (Định lí Frank-Wolfe
và Định lí Eaves), chứng minh có thể xem trong [7], Chương 2. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều ứng dụng của ma trận xác định dương
trong các bài toán của toán học cũng như của thực tế (vật lí, kĩ thuật, kinh tế,...).
Ma trận xác định dương đặc trưng cho tính lồi của hàm mục tiêu, vì vậy nó được
quan tâm đặc biệt trong các bài toán tối ưu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 KẾT LUẬN
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích tổng quan
các tính chất của ma trận xác định dương và chỉ ra sự quan trọng của ma trận xác
định dương qua hai ví dụ minh họa.
Ma trận xác định dương là lớp ma trận có cấu trúc đẹp, nó tạo thành một đa tạp
khả vi Rieman (xem [3]) và do đó được nghiên cứu rất sâu sắc về mặt toán học.
Lớp ma trận xác định dương trên nón hiện đang được sự quan tâm rộng rãi của
các nhà nghiên cứu do có ứng dụng quan trọng trong tối ưu.
Hy vọng những vấn đề về ma trận xác định dương sẽ còn được tiếp tục nghiên cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Richard Bellman, Introduction to matrix analysis, McGraw-Hill Book
Company, Inc., Toronto, 1960, Tại Thư viện Khoa học Kĩ thuật Trung ương: Lv
8504. Bản dịch tiếng Việt:
R. Bellman, Mở đầu lý thuyết ma trận (Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm dịch từ
bản tiếng Nga,1969), Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1978.
[2] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, In series Graduate Texts in Mathematics,
Vol. 169, Springer-Verlag New York, Inc., 1997.
[3] Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton Series in Applied
Mathematics, Princeton University Press, Princenton and Oxford, 2007.
[4] F. R. Gantmacher, Lí thuyết ma trận (Tiếng Nga), Nhà xuất bản quốc gia ấn
phẩm kĩ thuật-lí thuyết, Moscow, 1954.
[5] S. K. Godunov, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, in
Series Translations of Mathematical Monographs, Americal Mathematical
Society, Providence, Rhode Island, 1997.
[6] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Bộ sách toán cao
cấp, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006.
[7] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen, Quadratic
Programming and Affine Variational Inequalities, A Qualitative Study, in Series
Nonconvex optimization and Its Applications, Springer, USA, 2005.
[8] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
[9] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính (in lần thứ hai), Bộ sách cao
học, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2002.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn