59 trang 169 lượt tải

Ma Trận Xác Định Dương Và Một Số Ứng Dụng - Cấu trúc máy tính và hệ điều hành | Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên

338

Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

Môn: Cấu trúc máy tính và hệ điều hành 2 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên 45 tài liệu

Tác giả:

Profile

Phạm Thị Huyền

9 tháng trước
Danh sách Quiz
/59
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Header Page 1 of 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Trang
Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3
Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9
1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite …………………………..………13
2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương……………………………………………………………..…44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận……………………………………………………………....………...56
Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Đinh Trọng Sỹ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
CHƯƠNG I
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương.
1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho
z a bi
là một số phức.
Ký hiệu
z
là liên hợp phức của
z
, tức là
z a bi
.
Nhận xét rằng,
z z
khi và chỉ khi
0
b
, hay
z
là số thực.
Số phức
0
z a bi
khi và chỉ khi
0
z a bi
, tức là
0
a
hoặc
0
b
.
Ta luôn có
2 2
0
zz a bi a bi a b
với mọi số phức
z
;
0
zz
khi và
chỉ khi
0
z
.
Giả sử
H
là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột
x
số chiều
n
có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ
x
và
y
trong
H
là một
số
1 1 2 2
( , ): , : ...
n n
x y x y x y x y x y x y
, trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
1
....
n
x
x H
x
,
1
...
n
y
y H
y
,
k k k
x a b i
,
k k k
x a b i
,
1,2,...,
k n
và
1 1 1
1 1
... .... ,...,
n n
n n n
x a ib
x x a ib a ib
x a ib
.
Khi
H
là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều
n
có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là
1 1 2 2
( , ): , : ...
n n
x y x y x y x y x y x y
.
Ánh xạ
:
f H
được gọi là tuyến tính trên
H
nếu với mọi
1
t
,
2
t
, mọi
1 2
,
x x H
ta có
1 1 2 2 1 1 2 2
f t x t x t f x t f x
.
Ánh xạ
:
f H
được gọi là tuyến tính liên hợp trên
H
nếu với mọi
1
t
,
2
t
,
mọi
1 2
,
x x H
ta có
1 1 2 2 1 1 2 2
f t x t x t f x t f x
.
Tính chất Tích vô hướng
.,.
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.
Chứng minh Thật vậy, vì
1
...
n
x
x
nên
1
...
n
x
x
,
*
1
,...,
n
x x x x
;
1
1
1
1
...
n
y
y
y
,
2
1
2
2
...
n
y
y
y
nên
1 2 1 2
1 1 1 1 2 1
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
... ... ....
n n n n
y y t y t y
t y t y t t
y y t y t y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Do đó
1 2
1 1 2 1
1 2 * 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2
1
1 2
1 2
1 1 * 1 * 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1
( , ) ( ) ,..., .........
, , .
n
n i i i
i
n n
n n
i i i i
i i
t y t y
x t y t y x t y t y x x x t y t y
t y t y
t x y t x y t x y t x y t x y t x y
Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng
.,.
tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì
1 2 1 2
z z z z
và
2
1 2 1
z z z z
nên
1 2
1 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
1 2
1 2
.......... ,...,
n n
n n
t x t x
t x t x t x t x t x t x t x t x
t x t x
.
Do đó
1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1 1 2
* *
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
,..., ....
.
n n
n
n n n
i i i i i i i
i i i
y
t x t x y t x t x t x t x
y
t x t x y t x y t x y t x y t x y
tức là
1 2 1 2 1 2 1 * 2 *
1 2 1 2 1 2 1 2
1 * 2 * 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
( ) ( ) , , ( , ) ( , ).
t x t x y t x t x y t x t x y t x t x y
t x y t x y t x y t x y t x y t x y
Vậy
là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu
H
là không gian Euclid hữu hạn chiều
n
với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì
là tuyến tính theo từng biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ
x
và
y
là
1 1
( , ): , : ...
n n
f x y x y x y x y
. Khi ấy tích vô hướng
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một
m n
-ma trận (ma trận cấp
m n
) là một bảng
số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột
11 12 1
21 22 2
1 2
......
.....
.........................
....
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
.
Các số (thực hoặc phức)
a
ij
được gọi là phần tử ở dòng i cột j (
1, ; 1,
i m j n
)
của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn
A a
ij
.
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết
m n
A a
ij
.
Khi
m n
thì ta có ma trận vuông cấp
n
. Kí hiệu ma trận vuông cấp
n
là
n
A
.
Khi
1
n
ma trận
A
có cấp
1
m
được gọi là vectơ cột
1
2
...
m
x
x
x
x
số chiều
m
.
Khi
1
m
ma trận có cấp
1
n
được gọi là vectơ hàng
1 2
, ,...,
n
x x x x
cấp
n
.
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không
gian vectơ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
1.3 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là
0, ,
ij
a i j
và được kí hiệu là
n
O
hay
O
.
1.4 Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0,
tức là 0,
ij
a i j
. Kí hiệu ma trận đường chéo là
11 22
diag( , ,..., )
nn
A a a a
.
1.5 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo
ii
a
bằng 1,
kí hiệu là
I
hay
E
. Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết
n
I
hay
n
E
.
1.6 Các phép toán trên ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp
ij
m n
A a
,
ij
m n
B b
.
Tổng của hai ma trận
A
và
B
là một ma trận cấp
m n
, được viết là
A B
và
được xác định bởi công thức
ij ij
A B a b
, Tức là
11 1 11 1 11 11 1 1
1 1 1 1
n n n n
m mn m mn m m mn mn
a a b b a b a b
a a b b a b a b
;
Tích của ma trận
A
với đại lượng vô hướng
(một số
,
là một số thực hay
một số phức) được xác định bởi hệ thức
ij
A A a
, tức là
11 1 11 1
1 1
n n
m mn m mn
a a a a
a a a a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Giả sử
ij
A a
là một
m n
ma trận và
jk
B b
là một
n p
ma trận.
Tích của hai ma trận
A
và
B
là một
m p
-ma trận
ik
c
với
1 1 2 2
1
. . .
n
ik i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b
.
Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số
phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.
Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ
nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.
Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là
A BC AB C
nếu các
phép nhân ma trận thực hiện được.
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung
AB BA
.
Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân
AB
, còn
BA
thì không.
Ta luôn có
AI IA A
với mọi ma trận
A
.
Ví dụ, cho
7 0 4
1 2 1
A
,
1 0
3 5
2 3
B
. Khi đó ta có
1 0
7 0 4 15 12
3 5
1 2 1 3 13
2 3
AB
;
7 0 4
16 10 7
17 6 11
BA
.
1.7 Ma trận nghịch đảo
Cho
A
là ma trận vuông cấp
n
. Một ma trận vuông
B
cấp
n
được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận
A
nếu
AB BA I
, trong đó I là ma trận đơn vị.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì
A
được gọi là ma trận khả nghịch.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Nếu
A
là ma trận khả nghịch thì
A
chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử
B
và
C
là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính
chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có
( ) ( ) .
B IB CA B C AB CI C
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận
A
(nếu có) là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch
A
được ký hiệu là
1
A
.
Tính chất Tích
AB
của hai ma trận khả nghịch
,
A B
cùng cấp là ma trận khả
nghịch và
1
1 1
AB B A
.
Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có
1 1 1 1 1 1
AB B A A BB A AIA AA I
,
1 1 1 1 1 1
B A AB B A A B B IB B B I
.
Vậy theo định nghĩa ma trận
1 1
B A
là ma trận nghịch đảo của ma trận
AB
hay
1
1 1
AB B A
.
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp
Ma trận
n m
A a
ji
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận
ij
m n
A a
.
Các dòng của ma trận
A
là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận
A
là các dòng tương ứng của ma trận
A
.
Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận
ij
A a
là ma trận
ji
A a
.
Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu:
*
A A
.
Hiển nhiên ta có
A A
và
*
*
A A
. Hơn nữa, ta còn có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Tính chất
AB B A
và
*
* *
AB B A
với mọi ma trận
,
A B
mà phép nhân
ma trận thực hiện được.
Chứng minh Kí hiệu
ij
m n
A a
,
jk
n p
B b
,
ik
m p
C AB c
, trong đó
1 1 2 2
1
. . .
n
ik i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b
.
Tương tự, kí hiệu
jk
n m
A a
,
kj
p n
B b
và
:
ki
p m
D B A d
với
1 1 2 2
1
. . .
n
k i k i k i kn ni kj ji
j
d b a b a b a b a
.
Các phần tử của ma trận
ki
p m
C AB c
được tính theo công thức
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2
1
. . . . . .
. . . .
k i ik i k i k in nk k i k i nk in
n
k i k i kn ni kj ji ki
j
c c a b a b a b b a b a b a
b a b a b a b a d
Nghĩa là,
k i ki
c d
hay
C D
, tức là
AB C D B A
.
Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được
*
* *
AB B A
.
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận vuông
A
được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu
A A I
, trong đó I là ma trận đơn vị và
A
là ma trận chuyển vị của A.
Ma trận
U
gọi là ma trận unita nếu
U U I
, trong đó I là ma trận đơn vị và
U
là ma trận chuyển vị liên hợp của
U
.
Nếu
U
là ma trận unita thì
U
khả nghịch. Hơn nữa,
det 1
U
(Trong đó
det
U
là định thức của ma trận
U
) vì
2
* *
1 det det det .det det
I U U U U U
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận
Số phức
(số thực
) được gọi là giá trị riêng của ma trận
A
nếu tồn
tại vectơ
v H
,
0
v
sao cho
Av v
.
Vectơ
v
được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
.
Nhận xét Nếu
v
là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
thì
v
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
của ma trận
A
.
Thật vậy, ta có
A v Av v v
. Vì vậy, sau này ta thường xét
vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là
1
, 1
n
i i i i
i
v v v v v
.
Phương trình
Av v
A I v
=0 có nghiệm không tầm thường
0
v
. Suy
ra
det 0
A I
. Như vậy, các giá trị riêng của ma trận
A
chính là nghiệm
của phương trình đa thức
det 0
A I
.
Nếu
T
là ma trận đối xứng, tức là
T T I
thì
det 1
T
.
Mặt khác, vì
T T I
nên
T AT I T AT T T T A I T
, nên
det det det det det det
T AT I T A I T T A I T A I
.
Chứng tỏ hai ma trận
A
và
T AT
có cùng giá trị riêng.
Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực
giao. Tương tự cho ma trận unita.
1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite
Ma trận
n n
A
với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A=
A
được gọi là
ma trận đối xứng.
Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện
a
ij
=
a
ji
,
, 1,...,
i j n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Ma trận thỏa mãn
A A
được gọi là ma trận Hermite.
Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.
Chứng minh Vì ma trận
A
là thực nên nếu
là giá trị riêng phức của
A
(là
nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng
det 0
A I
với các hệ số thực)
thì
cũng là giá trị riêng phức của
A
.
Giả sử
và
x
là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận
A
, tức
là
Ax x
. Khi ấy vì
. .
x x
và
Ax Ax
với mọi số phức
, ma trận thực
A
và vectơ phức
x
nên
x x Ax Ax
. Như vậy, ta có
, , ,
x Ax x x x x
và
, , ,
x Ax x x x x
.
Do
A
là ma trận đối xứng nên , , ,
x Ax Ax x x Ax
.
Do đó
, , , ,
x x x Ax x Ax x x
hay
, 0
x x
.
Do
0
x
,
1
,...,
n
x x x
nên
1
, 0
n
i i
i
x x x x
. Vậy
hay
là số thực.
Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.
Định lí 1.2 Hai vectơ riêng
1 2
,
v v
ứng với hai giá trị riêng khác nhau
1 2
,
của
ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là
1 2
, 0
v v
.
Chứng minh Từ các đẳng thức
1 1 1
Av v
và
2 2 2
Av v
ta có
2 1 1 2 1
, ,
v Av v v
và
1 2 2 1 2
, ,
v Av v v
.
Do
A
là ma trận đối xứng nên
1 2 1 2 2 1
, , ,
v Av Av v v Av
.
Trừ các đẳng thức trên ta có
1 2 1 2
0 ,
v v
. Do
1 2
nên
1 2
, 0
v v
hay
hai vectơ
1 2
,
v v
vuông góc với nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ
một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T
sao cho
T AT
có dạng đường chéo, nghĩa là
1 2
diag( , ,..., )
n
T AT
, trong đó
i
- là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận
A
.
Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng
1 2
, ,...,
n
của ma
trận
A
là khác nhau. Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng
1 2
, ,...,
n
x x x
tương ứng với
1 2
, ,...,
n
là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức
là
, 1
i i
x x
,
1,2,...,
i n
. Hơn nữa, do
1 2
, ,...,
n
của ma trận
A
là khác nhau
(Định lí 1.2) nên
1 2
, ,...,
n
x x x
độc lập tuyến tính và vuông góc, nghĩa là
, 0
i j
x x
,
, 1,2,...,
i j n
,
i j
. Xây dựng ma trận
T
có các cột là các vectơ
1 2
, ,...,
n
x x x
. Khi ấy
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
x x x
x x x
T
x x x
,
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
x x x
x x x
T
x x x
,
1 1 1 2 1
11 12 1 11 21 1
2 1 2 2 2
21 22 2 12 22 2
1 2
1 2 1 2
, , ... ,
... ...
, , ... ,... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
... ...
, , ... ,
n
n n
n
n n
n n n n
n n nn n n nn
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x xx x x x x x
T T
x x x x x x
x x x x x x
I
.
Vậy
T
là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì
i i
Ax x
,
1,2,...,
i n
nên
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 1 2 2
...
...
... ... ... ...
...
n n
n n
n n n nn
x x x
x x x
AT
x x x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
và
11 12 1 1 11 2 21 1 1
21 22 2 1 12 2 22 2 2
1 2 1 1 2 2
... ... 0 ... 0
... ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... 0 0 ...
n n n
n n n
n n nn n n n nn n
x x x x x x
x x x x x x
T AT
x x x x x x
.
Vậy ma trận
A
có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận
T
.
Bây giờ giả sử các giá trị riêng
1 2
, ,...,
n
của ma trận
A
là bất kì.
Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai.
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là
1
11 12
2
12 22
a a
a
A
a a
a
, trong đó
1
11 12
a a a
và
2
12 22
a a a
.
Giả sử
1
và
11
1
12
x
x
x
là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là
có hệ thức
1
Ax
=
1
1
x
. Suy ra
1
1 1
1 11 11 12 11 11 11 12 12
1
1
2 1
1 12 12 22 12 12 11 22 12
,
,
a x
x a a x a x a x
x Ax
x a a x a x a x
a x
hay
1 1
11 11 12 12 1 11
,
a x a x a x x
,
2 1
12 11 22 12 1 12
,
a x a x a x x
.
Chú ý Ta có thể coi
11
x
,
12
x
là các thành phần của vectơ
1
x
đã được chuẩn hóa,
tức là
1 1 2 2
11 12
, 1
x x x x
.
Ta xây dựng một ma trận trực giao
11 21
1 2
12 22
x x
T x x
x x
cấp
2 2
mà một
cột là vectơ
11
1
12
x
x
x
sao cho
1
2
0
0
T AT
, trong đó
1
,
2
là các giá trị
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.
Vì
T
là ma trận trực giao nên
T T I
, tức là
2 2
11 12 11 21
11 12 11 21 12 22
2 2
21 22 12 22
21 11 22 12 21 22
1 0 1 0
0 1 0 1
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
.
Suy ra
2 2 2 2
11 12 11 21 12 22 21 22
1, 0, 1
x x x x x x x x
.
Ta có
1 2
1 11
11 12 11 11 12 12 11 21 12 22
11 21
2 2
12 22
12 22 12 11 22 12 12 21 22 22
1 12
,
,
x a x
a a a x a x a x a x
x x
AT
x x
a a a x a x a x a x
x a x
.
Vậy
1 2
1 11
11 12
2 2
21 22
1 12
2 2 1 2 2 2
1 11 12 11 12
1 12
1 2 2 2
22
1 11 21 12 22 21 22
,
,
( ) , ,
.
0
( ) , ,
x a x
x x
T AT
x x
x a x
x x x a x x a x
b
b
x x x x x a x x a x
Ta có thể xác định
12
b
và
22
b
như sau. Vì
AB B A
và
T T
nên
( )
T AT T A T T T A T A T T A T T AT
hay
T AT
là ma trận đối xứng. Suy ra
12
b
= 0.
Như vậy ta có
1
22
0
0
T AT
b
.
Vì
T
là ma trận trực giao, nên hai ma trận
A
và
T AT
có cùng giá trị riêng. Mà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
1
22
0
0
T AT
b
nên
1 1
22 22
0 0
0 0
T AT I I
b b
.
Vậy
T AT
có giá trị riêng là
1
và
22
b
.
Vậy
22
b
cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận
A
.
Ta sẽ chứng minh trong trường hợp
n
chiều bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với mỗi
k
,
1,2,...,
k n
ta có thể xác định ma trận trực giao
k
T
đưa ma
trận đối xứng thực
k ij
A a
về dạng đường chéo
1 2
diag( , ,..., )
k k k
T AT
.
Các phần tử trên đường chéo chính
i
là các giá trị riêng của ma trận
k
A
.
Ta đã chứng tỏ được điều này cho
2
n
. Giả sử qui nạp điều đó đúng cho
k n
,
ta sẽ chứng minh điều đó đúng với
1
k n
.
Xét ma trận
1
1
1
...
n ij
n
a
A a
a
có
1
,
1
11
1 1
...
n
x
x
x
là giá trị riêng và vectơ riêng
tương ứng của ma trận
1
n
A
,
1
x
đã được chuẩn hóa (
1 2 2
11 1 1
... 1
n
x x x
).
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao
T
có cột đầu là
1
x
.
Gọi các cột chưa biết còn lại là
2 3 1
, , .,
n
x x x
thì ma trận
T
có dạng:
11 21 11
12 22 12
1 1 2 1 1 1
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n n n
x x x
x x x
T
x x x
.
11 12 1 1
21 22 2 1
11 12 1 1
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n n n
x x x
x x x
T
x x x
.
Vì T là ma trận trực giao nên
T T I
, hay là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
11 12 1 1 11 21 11
21 22 2 1 12 22 12
11 12 1 1 1 1 2 1 1 1
2 2
11 1 1 12 1 1
21 11 22 12 2 1
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
...
n n
n n
n n n n n n n n
n n
n
x x x x x x
x x x x x x
T T
x x x x x x
x x b b
x x x x x x
1 1 22 2 1
11 11 22 12 1 1 1 1 12 1 1
1 0 ... 0
0 1 ... 0
...
.
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
... ...
n n
n n n n n n n n
b b
x x x x x x b b
Suy ra,
2 2
11 1 1
... 1
n
x x
;
21 11 22 12 2 1 1 1
... 0
n n
x x x x x x
; … ;
11 11 22 12 1 1 1 1
... 0
n n n n n
x x x x x x
. (1.1)
Ta có
1
n
A T
=
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 1 1
, , ...... ,
, , ...... ,
..............
, , ... ,
n
n
n n n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
=
1 2 1 1
1 11
2 2 2 1
1 12
1 2 1 1
1 1, 1
, ....... ,
, ....... ,
..............
, ... ,
n
n
n n n
n
x a x a x
x a x a x
x a x a x
;
Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được:
1 2 1 1
1 11
11 12 1 1
2 2 2 1
21 22 2 1 1 12
1
1 2 1 1
11 12 1 1
1 1, 1
, ........ ,
...
... , ......... ,
... ... ... ...
........
...
, .. ,
n
n
n
n
n
n n n
n n n n
n
x a x a x
x x x
x x x x a x a x
T A T
x x x
x a x a x
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
=
2 2 2
1 11 12 1 1 12 13 1, 1
1 12 1, 1
1 21 11 22 12 2 1 1 1
1 11 11 22 12 1 1 1 1
... . . .
...
0
...
...
... . . . .
0
...
n n
n
n n
n
n
n n n n n
x x x b b b
b b
x x x x x x
A
A
x x x x x x
.
trong đó:
- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng
0
, trừ phần tử ban đầu (bằng
1
);
- Các đại lượng
12 13 1
, , ... ,
n
b b b
sẽ được xác định sau;
- Ma trận A
n
có cấp
n n
.
Do
T T
nên ta có
1 1 1 1 1 1
( )
n n n n n n
T A T T A T T T A T A T T A T T A T
hay
1
n
T A T
là ma trận đối xứng. Suy ra
12 1 1
... 0
n
b b
.
Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao
T
sao cho
1
1
0... 0
0
...
0
n
n
T A T
A
,
với
n
A
là ma trận đối xứng.
Vì
T
là ma trận trực giao, tức là
T T I
nên
det 1
T
(xem mục 1.9).
Cũng vì
T T I
nên
1 1n n
T AT I T A T T T T A I T
.
Do đó
1 1 1 1
det det det det det det
n n n n
T A T I T A I T T A I T A I
.
Suy ra các giá trị riêng của ma trận
1
n
A
cũng chính là các giá trị riêng của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
1
n
T A T
. Nhưng
1 1
det det
n n
T A T I A I
nên các giá trị riêng
2 3 1
, , ...,
n
, của ma trận
1
n
A
cũng chính là các giá trị riêng của A
n
.
Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử T
n
là ma trận trực giao đưa A
n
về
dạng đường chéo. Ta lập ma trận
1
1 0 ... 0
0
...
0
n
n
S
T
cấp
1
n
.
Do
n
T
trực giao nên
1
n
S
cũng là ma trận trực giao, và khi đó
1 1 1 1 2 1
diag( , ,..., )
n n n n
S T A T S
.
Vì có thể viết
1 1 1 1 1 1
n n n n n n
S T A T S TS A TS
nên
1
n
TS
là ma trận
trực giao đưa ma trận
1
n
A
về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma
trận trực giao T sao cho
1 2 1
diag( , ,..., )
n
T AT
. Định lí chứng minh xong.
Đặt
x Ty
hay
y T Ty T x
,
1 2
diag( , ,..., )
n
. Từ Định lí 1.3 ta cũng có
Hệ quả Nếu
A
là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao
T
sao cho
2
1
,
n
i i
i
x Ax y
. (1.2)
Chứng minh Đặt
x Ty
. Ta có
2
1
, , , ,
n
i i
i
x Ax Ty ATy y T ATy y y y
.
Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có
Định lý 1.4 Nếu ma trận
A
là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita
U
sao
cho
*
A U U
(hay
*
U AU
), trong đó
i
,
1,2,...,
i n
là các giá trị riêng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
của
A
và
1 2
diag( , ,..., )
n
.
Định lý 1.5 Cho
A
và
B
là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để
tồn tại một ma trận trực giao
T
đưa
A
và
B
đồng thời về dạng đường chéo
1 2
' diag( , ,..., )
n
T AT
và
1 2
' diag( , ,..., )
n
T BT
(1.3)
là ma trận
A
và
B
có tính chất giao hoán.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại
T
thỏa mãn (1.3), khi ấy
và
A B
có tính chất giao
hoán. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có
1 2
diag( , ,..., )
n
A T T
và
1 2
diag( , ,..., )
n
B T T
.
Suy ra
1 2 1 2
diag( , ,..., ) diag( , ,..., )
n n
AB T T T T
1 2 1 2
diag( , ,..., )diag( , ,..., )
n n
T T
1 1 2 2
diag( , ,..., )
n n
T T
.
Mặt khác, ta cũng có
1 2 1 2
diag( , ,..., ) diag( , ,..., )
n n
BA T T T T
1 2 1 2
diag( , ,..., )diag( , ,..., )
n n
T T
1 1 2 2
diag( , ,..., )
n n
T T
.
Vậy
AB BA
, tức là hai ma trận
và
A B
có tính chất giao hoán.
Điều kiện đủ Giả sử
và
A B
giao hoán, ta chứng minh tồn tại
T
thỏa mãn (1.3).
Trước tiên giả sử ma trận
A
có các giá trị riêng khác nhau
1 2
...
n
ứng
với các vectơ riêng
1 2
, ,...,
n
x x x
đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ
1 2
, ,...,
n
x x x
vuông góc với nhau, tức là
, 0
i j
x x
với
i j
và
2 2
1
, ... 1
i i
i ni
x x x x
.
Do
i i
i
Ax x
nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i i i
i i i i
A Bx AB x BA x B Ax B x B x B x Bx
. (1.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
23
Suy ra
i
Bx
cũng là vectơ riêng của
A
ứng với
i
. Vì các giá trị riêng đều khác
nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau,
tức là
, 1,2,...,
i i
i
Bx x i n
. Nhưng khi ấy,
i
cũng chính là các giá trị riêng
của ma trận
B
với các vectơ riêng
i
x
tương ứng. Như vậy, các ma trận
A
và
B
có cùng các vectơ riêng
1 2
, ,...,
n
x x x
.
Đặt
11 21 1
12 22 2
1 2
1 2
...
...
( , ,..., )
... ... ... ...
...
n
n
n
n n nn
x x x
x x x
T x x x
x x x
thì
1
11 12 1
2
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
...
n
n
n
n n nn
x
x x x
x x x
x
T
x x x
x
và
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
, , ... ,
, , ... ,
... ... ... ...
, , ... ,
n
n
n n n n
x x x x x x
x x x x x x
T T I
x x x x x x
.
Xét trường hợp tổng quát, khi
i
là giá trị riêng bội
k
ứng với các vectơ riêng
1 2
, ,...,
k
x x x
của ma trận
A
. Từ (1.4), vectơ
i
Bx
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị
riêng
i
, do đó
i
Bx
có thể biểu diễn tuyến tính qua
1 2
, ,...,
k
x x x
:
1
, 1,2,..., .
k
i j
ij
i
Bx c x i k
(1.5)
Vì các vectơ
i
x
trực giao và
B
là ma trận đối xứng nên
( , ) ( , )
j i j i
ij ji
x Bx c Bx x c
. Chứng tỏ ma trận
ij
C c
là ma trận đối xứng.
Xét tổ hợp tuyến tính
1
k
i
i
i
a x
của các vectơ
1 2
, ,...,
k
x x x
. Ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
24
1 1 1 1 1 1
k k k k k k
i i j j
i i i ij ij i
i i i j j i
B a x a Bx a c x c a x
.
Như vậy nếu
i
a
được chọn sao cho
1
1
, 1,2,...,
k
ij i j
i
c a ra j k
thì ta sẽ có
1
1 1
k k
i i
i i
i i
B a x r a x
hay
1
r
là giá trị riêng và
1
k
i
i
i
a x
là vectơ riêng của
B
.
Hệ thức (1.5) chỉ ra rằng
1
r
là giá trị riêng của ma trận
C
và
i
a
là thành phần của
vectơ riêng tương ứng. Cho nên, nếu
k
T
là phép biến đổi trực giao
k
chiều đưa
ma trận
C
về dạng đường chéo thì các vectơ
i
z
xác định bởi
1 1
2 2
... ...
k
k k
z x
z x
T
z x
là hệ vectơ vuông góc gồm các vectơ riêng của
A
và
B
.
Làm tương tự cho các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng bội, ta sẽ được ma
trận cần tìm
T
.
2 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương
Giả sử
H
là không gian Hilbert có các phần tử là các vectơ
n
chiều với các
thành phần là các số phức;
n
là không gian vectơ thực
n
chiều;
A
là ma trận
vuông cấp
n
với các phần tử là các số thực hoặc phức.
Ma trận
A
được gọi là xác định không âm (trên
H
) nếu
, 0
x Ax
,
x H
;
Ma trận
A
gọi là xác định dương (trên
H
) nếu
, 0
x Ax
,
0
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
25
Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương
(hoặc ma trận xác định dương), còn ma trận xác định dương là ma trận xác định
dương chặt. Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma
trận xác định không âm và ma trận xác định dương).
Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm
(ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi
A
là ma
trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4).
Nếu ma trận
A
là xác định không âm thì ta ký hiệu
0
A
.
Nếu ma trận
A
là xác định dương thì ta ký hiệu
0
A
.
Nếu
,
A B
là các ma trận có cùng cấp
n n
, ta nói
A B
nếu
0
A B
và
A B
nếu
0
A B
.
Với
n
x
, tích vô hướng ,
x Ax
có thể viết dưới dạng khai triển như sau.
11 12 1
11 1 12 2 11
21 22 2
2 21 1 22 2 2
1 2
1 1 2 2
........
...
.......
...
...........
... ......................
........
...
n
n n
n
n n
n n nn
n
n n nn n
a a a
a x a x a x
x
a a a
x a x a x a x
Ax
a a a
x
a x a x a x
;
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 2
1 1 2 2
11 1 12 2 1 1 1 1 2 2
1
...
...
, , ,...,
............................
...
... ... ...
n n
n n
n
n n nn n
n n n n nn n n
n
ij j i ij i j
i i
a x a x a x
a x a x a x
x Ax x x x
a x a x a x
a x a x a x x a x a x a x x
a x x a x x
1 , 1
.
n n
j j
Vậy tích vô hướng ,
x Ax
có thể được coi là dạng toàn phương trên
n
(hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
26
bậc hai trên
n
)
, 1
( ) ,
n
n ij i j
i j
P x x Ax a x x
.
Để cho gọn, ta thường viết
, 1
( )
n
n ij i j
i j
P x a x x xAx
(bỏ dấu tích vô hướng).
Ma trận
A
là xác định dương (xác định không âm) khi và chỉ khi dạng toàn
phương (hàm số) là dương (không âm) với mọi
n
x
.
Vì trong dạng toàn phương
, 1
( )
n
n ij i j
i j
P x a x x
có tham gia các hạng tử
ij i j
a x x
và
ji j i
a x x
nên nhóm lại ta được
ij i i ij ji i j
b x x a a x x
. Nói cách khác, ta có thể viết
1 1 1
( )
2 2 2
n
P x xAx xAx xA x x A A x
với mọi
n
x
, mà
A A
là ma
trận đối xứng nên ta thường giả thiết ma trận
A
xác định dạng toàn phương
( )
n
P x xAx
là ma trận đối xứng. Khi ấy ta có thể sử dụng các tính chất của ma
trận đối xứng (xem mục 1.11).
Nếu
A
là ma trận với các phần tử là số phức thì tích vô hướng được viết như sau
11 1 12 2 1 1 1 1 2 2
1 1 , 1
, ... ... ...
.
n n n n nn n n
n n n
ij j i ij i j
j i i j
x Ax a x a x a x x a x a x a x x
a x x a x x
Dạng toàn phương phức tương ứng với ma trận
A
có dạng
, 1
( )
n
n ij i j
i j
P x a x x
.
Nếu dạng toàn phương (hàm số)
( )
n
P x
không âm với mọi
x H
(dương với mọi
0
x
,
x H
) thì ta nói ma trận
A
là xác định không âm (xác định dương).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
27
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương
Tính chất 1 Ma trận
O
là ma trận xác định không âm. Ma trận đơn vị
I
là ma
trận xác định dương.
Thật vậy,
I
là ma trận xác định dương vì với mọi vectơ
0
x
, ta có
1 1 1 1
, ,..., ,..., ... 0
T
n n n n
Ix x x Ix x x x x x x x x
.
Tính chất 2 Giả sử
,
A B
là những ma trận xác định không âm. Khi ấy
A B
cũng là ma trận xác định không âm. Hơn nữa, nếu một trong hai ma trận
A
hoặc
B
xác định dương thì
A B
cũng là ma trận xác định dương.
Chứng minh Vì
,
A B
là những ma trận xác định không âm nên với mọi
x H
ta có
, 1
0
n
ij i j
i j
a x x
và
, 1
0
n
ij i j
i j
b x x
. (*)
Suy ra
, 1
( ) 0
n
ij ij i j
i j
a b x x
(**)
với mọi
x H
hay
:
ij ij
A B a b
là ma trận xác định không âm.
Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là
chặt hay
A B
là ma trận xác định dương.
Hệ quả Nếu
A
là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì
2
A
cũng là
ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu
,
A B B C
thì
A C
. Nếu một trong hai
bất đẳng thức
,
A B B C
là chặt thì
A C
.
Chứng minh Theo định nghĩa,
,
A B B C
nên
0
A B
và
0
B C
. Cộng
hai vế của hai bất đẳng thức trên và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
0
A C A B B C
. Suy ra
.
A C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
28
Nếu một trong hai bất đẳng thức
,
A B B C
là chặt, Ví dụ,
,
A B B C
(hoặc
,
A B B C
) thì
0
A B
và
0
B C
(hoặc
0, 0
A B B C
).
Cộng hai vế của hai bất đẳng thức (*) và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
0
A C A B B C
. Suy ra
.
A C
Tính chất 4 Giả sử
A
là ma trận xác định không âm (xác định dương). Khi ấy
các phần tử
ii
a
trên đường chéo của ma trận
A
là không âm (là số dương).
Chứng minh Chọn
0,...,0,1,0,...,0
x
. Vì
A
là ma trận xác định dương nên
0
xAx
. Ta có
1
11 12 1
21 22 2
1 2
0
...
... ...
...
0,...,0,1,0,...,0 1 0,...,0,1,0,...,0 0
... ... ... ...
...
...
...
0
i
n
n
ii ii
n n nn
ni
a
a a a
a a a
xAx a a
a a a
a
.
Tính chất 5 Ma trận Hermite xác định không âm (xác định dương) bảo toàn
tính chất qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu
A
là ma trận Hermite xác định
không âm (xác định dương) và
U
là toán tử unita thì
*
:
A U AU
cũng là toán tử
Hermite xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì
A
là ma trận Hermite, tức là
*
A A
nên ta có
* * *
*
*
* * * * * *
A U AU U AU AU U U A U U AU A
.
Vậy
A
cũng là ma trận Hermite.
Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng (xem mục 1.10) nên nếu
A
là
xác định dương thì
A
cũng là ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
29
Tính chất 6 Ma trận Hermite (
*
A A
) là ma trận xác định không âm khi và chỉ
khi các giá trị riêng của nó không âm. Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó là các số dương.
Chứng minh 1 Nếu
là giá trị riêng ứng với vectơ riêng
0
x
của ma trận
Hermite xác định không âm
A
thì
0 0
Ax x
. Suy ra
0 0 0 0
, , 0
x x x Ax
.
Do
0
0
x
nên
0 0
, 0
x x
. Vậy
0 0
0 0
,
0
,
x Ax
x x
.
Hiển nhiên, nếu
A
ma trận Hermite xác định dương thì
0 0
0 0
,
0
,
x Ax
x x
.
Chứng minh 2 Nếu
A
là ma trận Hermite thì theo Định lí 1.4, tồn tại một ma
trận unita
U
đưa ma trận
A
về dạng đường chéo
*
1 2
diag( , ,..., )
n
UAU
hay
2
1
,
n
i i
i
x Ax y
, trong đó
1 2
, ,...,
n
là các giá trị riêng của
A
và
*
y U x
.
Rõ ràng nếu
, 0
x Ax
với mọi
x
thì
, 0
y Ay
khi chọn
*
i
y U x
với
0,...,0,1,0,...0
i
x ,
1,2,...,
i n
hay
2 * *
, 0
i i
i i
y U x AU x
.
Suy ra
0
i
với mọi
1,2,...,
i n
.
Nếu
, 0
x Ax
với mọi
x
thì
0
i
với mọi
1,2,...,
i n
.
Tính chất 7 Ma trận Hermite là ma trận xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại một ma trận
B
sao cho
*
A B B
. Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi tồn tại một ma trận
B
không suy biến sao cho
*
A B B
.
Chứng minh Theo Định lí 1.4, nếu
A
là ma trận Hermite thì tồn tại một ma
trận unita
U
sao cho
*
A U U
, trong đó
1 2
: diag( , ,..., )
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
30
Nếu
A
là ma trận xác định không âm thì theo Tính chất 6,
0
i
,
1,2,...,
i n
.
Do đó có thể viết
với
1 2
: diag( , ,..., )
n
, trong đó căn
bậc hai lấy giá trị không âm.
Đặt
*
B U
thì
*
*
*
* * *
B U U U
.
Suy ra
* * *
A U U U U B B
.
Rõ ràng, nếu
A
là ma trận xác định dương thì
0
i
,
1,2,...,
i n
nên
*
B U
là không suy biến (vì
U
là ma trận unita nên không suy biến).
Tính chất 8 Nếu
ij
A a
và
ij
B b
là các ma trận đối xứng xác định dương
thì ma trận
ij ij
C a b
cũng xác định dương.
Chứng minh Vì
ij
A a
là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại ma
trận trực giao
T
sao cho
A T T
, trong đó
1 2
diag , ,...,
n
với
0
i
,
1,2,...,
i n
. Suy ra
1
n
ij k ik jk
k
a t t
, trong đó
ik
t
và
jk
t
là các phần tử của ma trận
trực giao
T
. Ta có
, 1
n
ij ij i j
i j
a b x x
=
, 1 1
( )
n n
ij i j k ik jk
i j k
b x x t t
=
1 , 1
n n
k ij i ik j jk
k i j
b x t x t
,
0
k
,
1,2,..., .
k n
Với mỗi
k
đặt
i i ik
x x t
thì
, 1 , 1
n n
ij i ik j jk ij i j
i j i j
b x t x t b x x
là dạng toàn phương của
các biến
i
x
. Do
ij
B b
là ma trận đối xứng xác định dương nên
, 1 , 1
n n
ij i ik j jk ij i j
i j i j
b x t x t b x x
không âm, chứng tỏ
, 1 1 , 1
n n n
ij ij i j k ij i j
i j k i j
a b x x b x x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
31
không âm, hay
ij ij
C a b
là ma trận xác định không âm.
Cũng do
ij
B b
là ma trận đối xứng xác định dương nên
0
xBx
khi và chỉ khi
0
x
. Suy ra nếu
, 1
0
n
ij i j
i j
xBx b x x
thì
1 1
... 0
k
n nk
x t
x
x t
, tức là
0
i ik
x t
. Nhưng
T
là ma trận trực giao nên
T T I
hay
2 2 2 2 2
,
i ik i ik i
i k i k i
x t x t x
. Do đó
0
i ik
x t
khi và chỉ khi
i
x
bằng không, hay
, 1
n
ij i ik j jk
i j
b x t x t
dương nếu ít nhất một
trong các đại lượng
i ik
x t
khác không, tức là
0
x
hay
0
x
. Do
0
i
nên
, 1
0
n
ij ij i j
i j
a b x x
khi và chỉ khi
0
x
. Vậy
ij ij
C a b
là ma trận xác định dương.
Nhận xét Từ Tính chất 2 ta có, nếu cả hai ma trận
A
và
B
đều là Hermite (xác
định dương) thì
A B
cũng là Hermite (xác định dương). Tuy nhiên, tích
AB
của chúng là ma trận Hermite khi và chỉ
A
và
B
giao hoán.
Thật vậy, giả sử
A
và
B
là các ma trận Hermite, khi ấy
*
* *
AB B A BA
.
Nếu
A
và
B
giao hoán thì
AB BA
và do đó
*
AB BA AB
hay
AB
là ma
trận Hermite. Ngược lại, nếu
AB
là ma trận Hermite thì
*
AB AB BA
hay
A
và
B
giao hoán.
Điều kiện giao hoán của hai ma trận là quá chặt (ít khi xảy ra). Vì vậy chúng ta
đưa vào khái niệm tích đối xứng hóa (symmetrized product) của hai ma trận
A
và
B
là ma trận
S AB BA
.
Nếu hai ma trận
A
và
B
là Hermite thì
S AB BA
cũng là ma trận Hermite.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
32
Thật vậy, ta có
* * *
* * * * *
S AB BA AB BA B A A B BA AB S
.
Tuy nhiên, cả hai ma trận
A
và
B
đều là xác định dương thì
S AB BA
chưa
chắc đã là ma trận xác định dương.
Ví dụ Cho
1 0
0
A
và
1
1
B
là các ma trận xác định dương khi
0
và
0 1
vì với mọi
1 2
, 0
x x
ta có
1
2 2
1 2 1 2
2
, 0
x
xAx x x x x
x
và
2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 2
1 2
, 2 1 0
x x
xBx x x x x x x x x x
x x
.
Nhưng
2 1
1 1
1 2
S AB BA


và
1 2
1
1 2 1 2
2
1 2
2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 2
2 1
2 1
, ,
1 2
1 2
1 1
2 2 1 2 2 1 1
2 4
x x
x
xSx x x x x
x
x x
x x x x x x x
nhận giá trị âm khi
đủ gần 0 và
đủ gần 1 và
1 2
1
1
2
x x
.
Như vậy,
S
không phải là ma trận xác định dương. Tuy nhiên, ta có
Tính chất 9 Giả sử
,
A B
là các ma trận Hermite và
A
là ma trận xác định
dương. Nếu
S AB BA
là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì
B
là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì
B
là ma trận Hermite nên tồn tại một ma trận unita
U
sao cho
*
B U U
, trong đó
*
U BU
có dạng đường chéo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
33
Kí hiệu
*
A U AU
thì
*
A UAU
. Như vậy,
* * * * * * *
:
S AB BA UAU U U U U UAU UA U U AU U A A U S
.
Vì
A
là ma trận Hermite xác định dương và
S
là ma trận Hermite xác định
không âm nên
A
cũng là ma trận xác định dương và
S
cũng là ma trận xác định
không âm. Suy ra các phần tử trên đường chéo
ii
s
là không âm và
ii
a
là dương
(Tính chất 4). Do
*
U BU
là ma trận đường chéo nên
S A A
có các
phần tử đường chéo là
2
ii i ii
s a
. Suy ra
0
2
ii
i
ii
s
a
. Vậy
B
có các giá trị
riêng không âm (dương) nên là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 10 Ma trận đối xứng thực
A
là xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định không âm
B
sao cho
2
A B
.
Ma trận đối xứng thực
A
là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một
ma trận đối xứng thực xác định dương
B
sao cho
2
A B
.
Ta có thể viết
1
2
B A A
và gọi
B
là căn bậc hai dương của
A
.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử ma trận đối xứng thực
A
là xác định không âm. Theo
Định lí 1.3 và Tính chất 4 tồn tại ma trận trực giao
T
sao cho
A T T
, trong
đó
0, 1,2,..., .
i
i n
Do
0, 1,2,...,
i
i n
nên ta hoàn toàn có thể xác định được ma trận
B
như sau:
:
B T T
. Khi ấy
B
là ma trận đối xứng thực xác định không âm vì
B T T T T T T T T T T B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
34
và
B
có các giá trị riêng không âm là
1 2
, ,...,
n
.
Rõ ràng
2
.
B B B T T T T T T T T T T A
.
Điều kiện đủ Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng thực xác định không âm
B
sao cho
2
A B
. Khi ấy tồn tại một ma trận trực giao
T
sao cho
B
có thể viết
được dưới dạng
B T T
, trong đó
1 2
diag( , ,..., )
n
với
0
i
,
1,2,...,
i n
là các giá trị riêng của ma trận
B
.
Vì
2
A B
nên ta có
2
A T T T T T T
.
Khi ấy
2 2
A T T T T A
và
A
có các giá trị riêng
2
0
i
,
1,2,...,
i n
nên là ma trận xác định không âm.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn
2
A B
. Giả sử ta có
2
A B
và
2
A C
. Do
B
và
2
A B
,
C
và
2
A C
là hai ma trận có tính chất giao hoán
(
2 2
.
AB B B B B BA
) nên theo Định lí 1.4 chúng cùng đưa được về dạng
đường chéo, nghĩa là
A T T
,
B T T
,
C T T
với
T
là ma trận trực giao
và
1 2
diag( , ,..., )
n
,
1 2
diag( , ,..., )
n
,
1 2
diag , ,...,
n
.
Vì
2 2
B T T T T T T
nên từ hệ thức
2
B A
ta có
2
T T T T
hay
2
0
T T
. Do
T
trực giao nên không suy biến, suy ra
2
hay
1 1
0,..., 0
n n
với giá trị căn số học (giá trị không âm).
Tương tự,
2
và
1 1
0,..., 0
n n
. Vậy
2 2
hay
.
Suy ra
B T T T T C
hay
B
thỏa mãn điều kiện
2
A B
là duy nhất.
Chứng minh hoàn toàn tương tự nếu
A
là ma trận đối xứng thực xác định dương.
Tính chất dưới đây chỉ ra tính đơn điệu của ánh xạ
A A
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
35
Tính chất 11 Nếu
,
A B
là những ma trận đối xứng thực xác định không âm và
A B
thì
A B
.
Chứng minh Do
,
A B
là những ma trận xác định không âm nên theo Tính chất
10, tồn tại các ma trận xác định không âm ,
A B
. Hơn nữa, do
A B
và
0
B
nên theo tính chất bắc cầu (Tính chất 3) ta có
0
A
. Suy ra
0
A
. Theo
tính chất 2 ta có
0
A B
. Từ các phép toán trên ma trận ta có thể viết
2
A B A B A B A B A B
.
Theo giả thiết
A B
nên
0
A B
. Theo Tính chất 2,
2 0
A B
. Từ tính
chất 8 suy ra
0
A B
, tức là
A B
.
Chú ý Nếu
,
A B
là những ma trận xác định không âm và
A B
thì vẫn chưa suy
ra được
2 2
A B
.
Ví dụ Ma trận
2 1
1 1
A
là xác định dương và ma trận
1 1
1 1
B
là xác định
không âm vì với mọi
1 2
,
x x x
ta có
2
1 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
2 1 2
2
2 1
2 2 0
1 1
x x x
xAx x x x x x x x x x x x
x x x
và
2
1 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1 2
1 1
0
1 1
x x x
xBx x x x x x x
x x x
.
Hơn nữa,
A B
vì
2 1 1 1 1 0
0
1 1 1 1 0 0
A B
do
1
1
2
1 2 1 2 1
2
1 0
, , , 0
0 0
0
x
x
x A B x x x x x x
x
với mọi
1
x
,
2
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
36
Mặt khác,
2
2 1 2 1 5 3
1 1 1 1 3 2
A
,
2
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
B
nhưng
2 2
3 1
1 0
A B
không là ma trận xác định dương, vì với
1 2
1, 2
x x
thì
1 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2
2 1
3
3 1
, , , 3 2 0
1 0
x x x
x A B x x x x x x x x
x x
.
Vậy từ
A B
với
A
và
B
là những ma trận xác định không âm ta chưa suy ra
được
2 2
A B
.
Tính chất 12 Ma trận đối xứng xác định không âm
A
là xác định dương khi và
chỉ khi ma trận
A
khả nghịch.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử
A
là ma trận đối xứng xác định dương. Theo Định lí 1.3,
tồn tại ma trận trực giao
T
sao cho
A T T
, trong đó
1 2
diag , ,...,
n
với
0
i
,
1,2,...,
i n
. Xét ma trận
1
B T T
với
1 1 1 1
1 2
diag , ,...,
n
.
Ta có
1 1
AB T T T T T T TIT TT I

.
Tương tự,
1 1
BA T T T T T T TIT TT I
.
Vậy
AB BA I
, hay ma trận
A
là khả nghịch và
1
B A
.
Điều kiện đủ Giả sử
A
là ma trận đối xứng xác định không âm và khả nghịch.
Vì
A
là ma trận khả nghịch nên tồn tại ma trận
1
A
sao cho
1 1
AA A A I
,
hay
1
A
giao hoán với
A
.
Do
A
là đối xứng, tức là
A A
nên
1 1 1
I AA A A A A
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
37
vậy
1 1
A A
hay
1
A
cũng là ma trận đối xứng. Theo Định lí 1.5, tồn tại ma
trận trực giao
T
để
A
và
A
cùng có thể đưa về dạng đường chéo, tức là
T AT
và
1
T A T
, hay
A T T
và
1
A T T
, trong đó
1 2
diag , ,...,
n
và
1 2
diag , ,...,
n
với
0
i
và
0
i
với mọi
1,2,...,
i n
. Suy ra
1
I AA T T T T T T

diag
i i
T T I
 .
Vậy
1
i i
với mọi
1,2,...,
i n
. Do
0
i
và
0
i
và
1
i i
nên
0
i
với
mọi
1,2,...,
i n
. Theo Tính chất 4, ma trận
A
là xác định dương.
Hệ quả Nếu
A
là ma trận xác định dương thì
1
A
là ma trận xác định dương.
Chứng minh Theo chứng minh Tính chất trên, các giá trị riêng
1
i i
của ma
trận
1
A
là những số dương.
Tính chất 13 Nếu
,
A B
là các ma trận xác định dương và
A B
thì
1 1
A B
.
Tính chất 14 Nếu
,
A B
là những ma trận đối xứng xác định dương và
A B
thì
với mọi ma trận
X
ta có
* *
X AX X BX
.
Chứng minh 1 Với mọi vectơ
u
ta có
* *
, , , ,
u X AXu Xu AXu Xu BXu u X BXu
.
Suy ra
* *
X AX X BX
.
Chứng minh 2 Vì
,
B A
nên giả sử
C
là căn bậc hai dương của
B A
, khi đó
với mọi ma trận
X
ta có
* * * *
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
X B A X X CCX X C CX CX CX
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
38
Suy ra
* * * * * * *
( ) 0 ( ) 0 0
X B A X X B X A X X BX X AX X BX X AX
.
Tính chất 15 Nếu
A
là ma trận xác định dương thì
X AX
cũng là ma trận xác
định dương. Nếu
X AX
là ma trận xác định dương và
X
là ma trận khả nghịch,
thì
A
là ma trận xác định dương.
Để nghiên cứu các tính chất của ma trận xác định dương, chúng ta sử dụng ma
trận mở rộng, là các ma trận khối. Các tính chất dưới đây chỉ ra điều đó.
Tính chất 16 Giả sử
,
A B
là những ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
ma trận khối
A X
X B
là xác định dương khi và chỉ khi
1
A XB X
.
Chứng minh Đặt
1
0
I
M
B X I
thì
1 1
( )
0 0
I B X I XB
M
I I
.
Ta có
1
1
0
0
A X I
I XB
I X B B X I
=
1
0
0
A XB X
B
.
Do
B
là ma trận xác định dương nên ma trận
1
0
0
A XB X
B
là xác định
dương khi và chỉ khi
1
0
A XB X
hay
1
A XB X
. Do phép biến đổi
*
T AT
bảo toàn giá trị riêng nên
A X
X B
là ma trận xác định dương khi và
chỉ khi
1
0
0
A XB X
B
là ma trận xác định dương. Vậy
A X
X B
là ma trận
xác định dương khi và chỉ khi
1
A XB X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
39
Tính chất 17 Ma trận
A
là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi
A A
A A
là ma trận xác định dương.
Kí hiệu
*
:
A A A
và gọi là phần dương hay giá trị tuyệt đối của
A
. Ta có
Hệ quả 1 Với mọi ma trận
A
bất kì thì
A A
A A
là ma trận xác định dương.
Hệ quả 2 Nếu ma trận
A
là chuẩn tắc thì ma trận
A A
A A
là xác định dương.
Chứng minh Theo định nghĩa, ma trận
A
được gọi là chuẩn tắc nếu
* *
AA A A
.
Khi ấy
* * *
A A A AA A
. Hệ quả 2 suy ra từ Hệ quả 1.
Tính chất 18 Nếu
,
A B
là các ma trận xác định dương với
1
AB
, thì
1, 0 1
s s
A B s
.
Chứng minh Giả sử
0
A
. Ta đã biết
2
*
( )( )
AB AB AB
, khi đó với giả thiết
1
AB
,
0 1
s
ta có:
2
1 1
AB AB A
2 1 2 1
AB A I A AB A A I
2 1 2 1 1 1
B A A I B AA A IA
2 2
B A
2 2 2 2 2s s s s s s s s s s s
B A A B A A A A A B A I
2
1 1.
s s s s s
A B A A B
Tính chất 19 Giả sử
,
A B
là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy
, 0 1
s
s s
A B AB s
.
Chứng minh Xem chứng minh Định lí IX.2.1 [2], trang 255.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
40
Tính chất 20 Nếu
,
A B
là các ma trận xác định dương, thì
,
t
t t
AB A B
với
1
t
.
Chứng minh Với
1
t
suy ra
1
0 1
t
, theo Tính chất 22 ta có
1 1
1
,
t t
t
A B AB
với
1
t
.
Thay
,
A B
bởi
,
t t
A B
ta được
1
t t
t
AB A B
. Vì
1
t
nên ta có:
t
t t
AB A B
. Suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 21 Ma trận
A
là xác định không âm khi và chỉ khi tồn tại các vectơ
1 2
, ,...,
n
x x x H
, sao cho
,
ij i j
a x x
.
Ma trận
A
là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các vectơ
1 2
, ,...,
n
x x x H
sao cho
,
ij i j
a x x
với các vectơ
i
x
,
1,2,...,
i n
là độc lập tuyến tính.
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9].
Tính chất 22 Điều kiện cần và đủ để ma trận thực A đối xứng xác định dương là
mọi định thức con chính của nó phải dương:
0, 1,2,...,
k
A k n
, ở đây
, , 1,2, , .
k ij
A a i j k
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9], trang 237.
Tính chất 23 Nếu A là ma trận xác định dương thì
11 22
det
nn
A a a a
.
Chứng minh Ta xét thấy det :
A A
có thể biểu diễn được dưới dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
41
22 2
12 1
32 3 21 22
11
1 2
2
...
0 ...
... ... ...
det
... ... ... ...
...
...
...
n
n
n
n n nn
n nn
a a
a a
a a a a
A a
a a a
a a
(2.1)
Vì A là ma trận xác định dương nên ma trận
ij
a
,
, 2 ..
i j n
cũng xác định
dương, cho nên các biến
12 13 1
.
n
a a a
(số hạng thứ 2 ở vế phải của (2.1)) xác
định âm, do đó
22 2
32 3
11
2
...
...
....
...
n
n
n nn
a a
a a
A a
a a
.
Dùng phép quy nạp ta được
11 22
nn
A a a a
, đó là điều phải chứng minh.
Tính chất 24 Nếu ma trận A xác định dương thì
1 2 1
... max ( , )
i j
n k
R
z Az
,
1
... min ( , )
i j
n n k
R
z Az
,
ở đây, R là miền xác định bởi: ,
i j
ij
z z
,
, 1,2, ., 1
i j n k
.
Nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm
1
n k
vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 214.
Tính chất 25 Nếu ma trận A xác định dương thì:
1 1 2 2 1 1
1
... min , , ... ,
n k n k
n n k
R
z Az z Az z Az
ở đây, R là miền xác định bởi hệ thức:
ij
,
i j
z z
.
, 1,2, ., 1
i j n k
.
nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm
1
n k
vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 216.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
42
Tính chất 26 Nếu A là ma trận xác định dương thì
2
1
2
n
n
I
A
, trong đó
( , )
.. .
x Ax
n
I e dx
 
, ở đây
1 2
. . .
n
dx dx dx dx
.
Chứng minh Giả sử
T
là ma trận trực giao đưa
A
về dạng đường chéo. Ta thực
hiện phép đổi biến
x Ty
, khi đó , ,
x Ax y Ay
.
Tiếp theo,
1 1
n n
i i
i i
dx dy
, vì Jacobian của phép biến đổi biến
x Ty
bằng
T
có thể cho bằng +1. Do ma trận T thiết lập bằng tương ứng 1– 1 nên:
22 2
1 1 2 2
...
...
n n
yy y
n
I e dy
 
=
2
2
1
1
2
1 2
( ... )
i i
n
n
y
i
i
n
e dy

.
Để ý là :
1
n
i
i
A
và
2
1
2
x
e dx

. Vậy ta có
2
1
2
n
n
I
A
.
Tính chất 27 Nếu A là ma trận xác định dương thì
2
( , )
1
2
max
k
k
k
x Ax
k
R
R
k
e dV
A
, ở
đây tích phân lấy theo không gian con tuyến tính k chiều
k
của không gian
n
, dV
k
là phần tử thể tích, còn cực đại lấy theo mọi
k
.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 195.
Tính chất 28 Nếu các ma trận A, B xác định dương thì với
0 1
ta có
1
(1 )
A B A B
.
Chứng minh Ta có
2
( , ) (1 )( , )
1
2
...
(1 )
n
x Ax x Bx
e dx
A B
 
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
43
Sử dụng dạng tích phân
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
P q
P q
R R R
f x g x dV f x dV f x dV
của bất
đẳng thức Holder, sau khi đặt
1
p
,
1
1
q
ta có :
(1 )
1
2 2 2
( ,Ax) ( , x )
1 1
2 2 2
... ... .
(1 )
n n n
x x B
e dx e dx
A B A B
   
.
Sau khi đơn giản ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Tính chất 29 (Phân tích Cholesky) Giả sử
A
là ma trận Hermite xác định
dương. Khi đó tồn tại duy nhất ma trận tam giác dưới
L
có các phần tử trên
đường chéo chính đều dương sao cho
*
A LL
.
Chứng minh Ta tìm ma trận
11
21 22
1 2
............
........
n n nn
l
l l
L
l l l
sao cho
*
A LL
. Khi đó
min ,
1 1
, 1 ,
i j
n
ij ik jk ik jk
k k
a l l l l i j n
,
trong đó,
2
11 11
a l
suy ra
11 11
l a
;
12 11 21
a l l
suy ra
12
21
11
a
l
l
;……
1 11 1
n n
a l l
suy ra
1
1
11
n
n
a
l
l
.
Giả sử tính được
1
i
cột đầu của
L
, ta tính cột thứ
i
như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
44
2 2 2
1 2
....
ii i i ii
a l l l
, suy ra
1
2
1
i
ii ii ik
k
l a l
;
, 1 1 1,1 1,
. . .
i i i i ii i i
a l l l l
, suy ra
1
, 1 1,
1
1,
i
i i ik i k
k
i i
ii
a l l
l
l
.
Ma trận
L
xây dựng như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử tồn tại hai phân tích
* *
1 1 2 2
A L L L L
. Khi ây
1 * * 1
2 1 2 1
( )
L L L L D
là
một ma trận đường chéo. Ta có
1 2
L L D
suy ra
* * * 2 * *
1 1 2 2 2 2 2 2
A L L L DD L L D L L L
.
Do đó
2 1 * * 1
2 2 2 2
( ) 1
D L L L L
suy ra
D I
.
Điều này chứng tỏ phân tích Cholesky của ma trận
A
là duy nhất.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương 1 phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của ma trận xác định
dương. Các tính chất này chứng tỏ lớp ma trận xác định dương là lớp ma trận có
cấu trúc, và vì thế nó được áp dụng rộng rãi trong rất nhiều lớp bài toán khác
nhau, trong bản thân toán học, cũng như trong ứng dụng.
Chương 2 trình bày một số ứng dụng cụ thể của ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
45
CHƯƠNG II
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
1 LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng
Định lí 2.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm của phương trình vi phân
, (0)
dx
Ax x c
dt
(1.1)
dần tới 0 khi
t
và
c
bất kỳ, là các giá trị riêng của ma trận
A
có phần
thực âm.
Chứng minh Nếu các giá trị riêng của ma trận
A
khác nhau và âm
1
... 0
n
thì do
At
e
là ma trận đối xứng nên có biểu diễn
1
2
1
0
............
0
n
t
t
At
t
e
e
e T T
e
. (1.2)
Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) có dạng
( )
At
x t ce
. Do đó
lim ( ) 0
t
x t

.
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể làm như sau:
Để thay cho việc đưa ma trận
A
về dạng đường chéo, chúng ta sử dụng phép
biến đổi đồng dạng đưa nó về dạng tam giác,
1
T AT B
.
Trong trường hợp này (1.1) có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
46
, (0)
dz
Bz z c
dt
. (1.3)
Trong đó
B
là ma trận tam giác còn
x Tz
, tức là ta có hệ:
1
11 1 12 2 1 1 1
2
22 2 2 2 2
... , 0 ,
... , 0 ,
........................................
.........................
, 0 .
n n
n n
n
nn n n n
dz
b z b z b z z c
dt
dz
b z b z z c
dt
dz
b z z c
dt
(1.4)
Bởi vì các phần tử
ii
b
là các giá trị riêng của ma trận
B
, nên theo giả thiết ta có
Re( ) 0
ii
b
với mọi
1,2,..., .
i n
Từ phương trình cuối cùng trong (1.4) ta có
.
bnn
n n
z c e
(1.5)
do đó
0
n
z
khi
t
.
Để chứng tỏ rằng tất cả
0
i
z
khi
t
chúng ta sử dụng quy nạp; dựa vào
kết quả:
Nếu
( ) 0
v t
khi
t
thì nghiệm
( )
u t
của hệ
1 1
( ), (0)
du
bu v t u a
dt
, (1.6)
dần tới 0 với điều kiện
1
Re( ) 0
b
. Điều này suy ra từ công thức nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất:
1 1 1
1
0
( ) ( )
t
b t b t b s
u t a e e e v s ds
. (1.7)
Vì
n
z
dần tới 0 khi
t
, nên theo nhận xét trên ta có tất cả
0
i
z
khi
t
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
47
Ma trận ổn định Ma trận
A
được gọi là ổn định, nếu các giá trị riêng của nó có
phần thực âm.
1.2 Phương pháp Lyapunov
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ta
sử dụng phương pháp Lyapunov.
Xét phương trình
, (0)
dx
Ax x c
dt
, (1.1)
trong đó giả thiết c và A là thực.
Xét dạng toàn phương
u xYx
, trong đó Y là ma trận có các phần tử sẽ được
xác định sau. Lấy đạo hàm của
u
theo
t
như là hàm hợp, ta được:
, , , , ,( )
du
x Yx x Yx Ax Yx x YAx x A Y YA x
dt
. (1.8)
Giả thiết rằng tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình:
A Y YA I
. (1.9)
Khi đó (1.8) có dạng :
,
du
x x
dt
. (1.10)
Từ đó ta có:
1
n
du
u
dt
, (1.11)
trong đó
n
là giá trị riêng lớn nhất của ma trận Y.
Từ (1.11) ta suy ra rằng
1
(0) ,
t
n
u u e
tức là
0 khi
u t
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
48
Như vậy, nếu tồn tại ma trận xác định dương
Y
là nghiệm của phương trình (1.9)
thì tất cả các thành phần của vectơ
x
tiến tới 0 khi
t
.
Ngược lại, nếu ma trận A ổn định thì phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm đối
xứng được xác định bởi công thức
1 1
'
1
0
A t At
Y e e dt
. (1.12)
Khi ấy ta có
,
x Yx
=
1 1
'
1
0
( , )
A t At
x e e x dt
=
1 1
'
1
0
( , )
A t At
e x e x dt
Chứng tỏ ma trận
Y
xác định dương vì ma trận
At
e
luôn luôn không suy biến.
1.3 Điều kiện cần và đủ để một ma trận là ma trận ổn định
Định lí 2.2 Giả sử Y được xác định bởi phương trình
A Y YA I
. Điều kiện
cần và đủ để ma trận
A
ổn định là ma trận
Y
xác định dương.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử
Y
là ma trận xác định dương, ta sẽ chứng minh
A
là ma
trận ổn định. Ta có
0
( , )
T
x x dt
0 , 0 – ,
x Yx x T Yx T
(1.13)
hay
0
, ( , ) 0 , 0
T
x T Yx T x x dt x Yx
(1.14)
trong đó
( )
x t
là nghiệm của phương trình vi phân
dx
Ax
dt
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
49
Nếu ma trận Y xác định dương thì
0
( , )
T
x x dt
giới nội đều. Do đó,
( ) 0
x t
khi
t
. Vậy
A
là ma trận ổn định.
Điều kiện đủ Giả sử
A
là ma trận ổn định ta sẽ chứng minh ma trận
Y
xác định
dương.
Nếu ma trận
A
ổn định thì phương trình
A Y YA I
có duy nhất nghiệm
đối xứng
Y
. Khi đó
Y
được xác định bởi công thức
1 1
'
1
0
A t At
Y e e dt
nên
,
x Yx
=
1 1
1
0
( , )
A t At
x e e x dt
=
1 1
1
0
( , ) .
A t At
e x e x dt
Vì ma trận
At
e
luôn luôn không suy biến, nên ma trận
Y
xác định dương.
Ta có định lí sau đây kiểm tra tính ổn định của ma trận
A
.
Định lí 2.3 Nếu ma trận
A
có dạng
1 1 2
2 3
3 4
1
0 0 . . .
1 0 . . .
0 1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . 0 1
n n
n
a b a
b a
b a
A
b a
b
,
trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính và hai lân cận của
đường chéo chính đều bằng 0, thêm vào đó các phần tử
i
a
thực, còn
i
b
hoặc
bằng không hoặc là thuần túy ảo thì số các số hạng dương trong dãy các tích
1 1 2 1 2 1
, ,...., ...
n n
a a a a a a a
bằng số các giá trị riêng của ma trận
A
có phần thực
dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
50
Chứng minh Để chứng minh định lí này ta phải dùng đến một số kết quả bổ trợ
của lí thuyết đa thức (xem [1b], trang 247-248)
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng
Xét phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng
1 2
2 0, 0 , ’ 0
Ax Bx Cx x c x c
,
(1.15)
trong đó các ma trận A, B và C là xác định không âm. Phương trình này thường
gặp trong các bài toán vật lí, Ví dụ, trong sơ đồ các mạng điện gồm điện dung,
cuộn tự cảm và điện trở.
Định lí 2.4 Nếu các ma trận
,
A B và C
là xác định không âm và ngoài ra hoặc
ma trận
C
hoặc ma trận
A
là xác định dương, thì phương trình
2
2 0
A B C
(1.16)
không có nghiệm với phần thực dương.
Nếu các ma trận
A
và
C
là xác định không âm, còn ma trận
B
xác định dương
thì
0
là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Chứng minh Từ phương trình ta có
, 2 , , 0
x Ax x Bx x Cx
. (1.17)
Do đó với mọi
0
s
ta có:
0
( , ) 2( , ) ( , ) 0
s
x Ax x Bx x Cx dt
(1.18)
hoặc
( , )
x Ax
0
s
+ 4
0
( , )
s
x Bx dt
+
( , )
x Cx
0
s
= 0. (1.19)
Phương trình (1.19) tương đương với phương trình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
51
' , '
x s Ax s
+ 4
3
0
( ', ') ( ( ), ( ))
s
x Bx dt x s Cx s c
, (1.20)
trong đó
2 2 1 1
3
, ,
c c Ae c Cc
.
Nếu
là nghiệm của phương trình (1.16) thì phương trình
1 2
2 0, 0 , 0
Ax Bx Cx x c x c
có nghiệm dạng
t
e c
. Nếu
là số thực thì c là vectơ thực. Nếu
là số phức,
1 2
r ir
thì phần thực của biểu thức
t
e c
bằng
1
1 2
2 2
( cos sin )
r t
e a r t a r t
cũng là
nghiệm của phương trình (1.15).
Thế vào (1.20) ta được:
1 1 1
2 2 2
1 1 2 2 3 3
3
0
( , ) 4 ( ( ), ( ) ( , )
s
r s r t r s
e b Ab e b t Bb t dt e b Cb c
, (1.21)
trong đó
1
b
và
3
b
là các vectơ không đổi, còn
2
b t
là vectơ biến đổi và bằng
1 2 2
1 2 2 1 1 2 2
( )cos ( )sin
a r a r r t a r a r r t
.
Nếu
A
hoặc
C
xác định dương và
0
B
thì tính dương của
1
r
dẫn đến mâu
thuẫn khi
s
.
Nếu
, 0
A C
thì từ tính dương của ma trận
B
suy ra rằng
1
0
r
. Hơn nữa, vì
hàm
2
b t
tuần hoàn, nếu
2
r
khác
0
thì tích phân
2 2
0
( ( ), ( ))
s
b t Bb t dt
phân kỳ
khi
s
. Mặt khác nhờ vào tính dương của
1
r
suy ra
1
0
r
.
Vậy
0
là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
52
2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM TOÀN PHƯƠNG
2.1 Tối ưu hàm một biến
Xét hàm số một biến số thực
( )
f x
trong khoảng
,
a b
. Giả sử
( )
f x
là đủ trơn
để có khai triển Taylor tại điểm
,
c a b
:
21
( ) ( ) ( ) ( ) ...
2
f x f c f c x c f c x c
Nếu
c
là điểm cực trị địa phương của
( )
f x
, tức là
( ) ( )
f x f c
hoặc
( ) ( )
f x f c
với mọi
x
đủ gần
c
thì, theo Định lí Fermat,
( ) 0
f c
. Suy ra
21
( ) ( ) ( ) ...
2
f x f c f c x c
Nếu
( ) 0
f c
thì
( ) ( )
f x f c
với mọi
x
đủ gần
c
, hay
c
chính là điểm cực
tiểu địa phương của hàm
( )
f x
; Nếu
( ) 0
f c
thì
( ) ( )
f x f c
với mọi
x
đủ gần
c
, hay
c
chính là điểm cực đại địa phương của hàm
( )
f x
.
Như vậy, ta thấy dấu của đạo hàm bậc hai đóng vai trò quan trọng trong khảo sát
tính cực trị của hàm số.
2.2 Tối ưu hàm hai biến
Xét hàm số hai biến số thực
( , )
f x y
trong hình chữ nhất
1 1 2 2
, ,
a b a b
. Giả sử
( , )
f x y
là đủ trơn để có khai triển Taylor tại điểm
1 2 1 1 2 2
, , ,
c c a b a b
:
1 2 1 2
1 2
2 2 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
1 1 1
...,
2 2 2
f f
f x y f c c x c x c
c c
f f f
x c x c x c x c
c c c c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
53
trong đó
1 2
1
: ( , )
f f
c c
c x
;
1 2
2
: ( , )
f f
c c
c y
,...
Nếu
c
là điểm cực trị địa phương thì, theo Định lí Fermat,
1 2
( , ) 0
f
c c
x
và
1 2
( , ) 0
f
c c
y
. Suy ra
2 2 2
2 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 1
( , ) ( , ) ...
2 2 2
f f f
f x y f c c x c x c x c x c
c c c c
Như vậy, sự biến thiên của hàm
( , )
f x y
trong lân cận điểm
1 2
,
c c c
phụ thuộc
vào dạng toàn phương
2 2
2 2
2 1 1 2 2
( , ) 2 2 : ( , )
Q x y a x c b x c x c c x c au buv cv Q u v
,
trong đó
2
2
1
1
2
f
a
c
,
2
1 2
2
f
b
c c
,
2
2
2
1
2
f
c
c
,
1
u x c
,
2
v x c
.
Dạng toàn phương
( , )
Q u v
là thuần nhất bậc hai:
2
( , ) ( , )
Q ku kv k Q u v
, ngoài ra
(0,0) 0
Q
.
Nếu
( , ) 0
Q u v
với mọi
,
u v
đủ gần điểm
(0,0)
(và khác điểm
(0,0)
) thì ta có
1 2
( , ) ( , )
f x y f c c
và
1 2
,
c c c
là điểm cực tiểu địa phương của hàm
( , )
f x y
;
Nếu
( , ) 0
Q u v
với mọi
,
u v
đủ gần điểm
(0,0)
(và khác điểm
(0,0)
) thì ta có
1 2
( , ) ( , )
f x y f c c
và
1 2
,
c c c
là điểm cực đại địa phương của hàm
( , )
f x y
;
Như vậy, ta thấy dấu của hàm toàn phương
( , )
Q u v
(đạo hàm bậc hai của
( , )
f x y
) đóng vai trò quan trọng trong khảo sát tính cực trị của hàm hai biến.
Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào dạng toàn phương
( , )
Q u v
là xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
54
Ta có
2
2
2 2 2
( , ) 2
bv b
Q u v au buv cv a u c v
a a
nếu
0
a
;
Nếu
0
a
và
0
c
thì
2
2
2 2
( , ) 2
bu b
Q u v cv buv c v u
c c
;
Nếu
0
a c
thì
( , ) 2
Q u v buv
.
Như vậy, để
( , )
Q u v
là xác định dương thì
0
a
và
2
0
b
c
a
. Tương tự, để
( , )
Q u v
là xác định âm thì
0
a
và
2
0
b
c
a
.
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế
Hai mục trên là những ví dụ cho ta thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu
dạng toàn phương (nghiên cứu ma trận xác định dương). Trong mục này ta xét
bài toán tối ưu có ràng buộc hàm toàn phương-tuyến tính
n
biến.
Xét hàm toàn phương-tuyến tính
n
biến
1
( , ) ,
2
f x y xDx c x
.
Bài toán tối ưu
( )
P
: Tìm cực tiểu của hàm
( , )
f x y
trên tập hạn chế
: :
n
M x Ax b
, trong đó
A
là ma trận cấp
m n
,
b
là vectơ
m
chiều.
Ta có các định lí sau đây về tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hàm toàn phương-
tuyến tính.
Định lí 2.5 Giả sử
D
là một ma trận xác định không âm. Khi ấy bài toán tối ưu
( )
P
có nghiệm khi và chỉ khi tập
M
và các điều kiện sau đây được thỏa:
1)
n
v
,
0
Av
0
vDv
;
2)
n
v
,
n
x
0
Av
,
Ax b
, 0
Dx c v
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
55
Định lí 2.6 Nếu
D
là một ma trận xác định dương thì bài toán tối ưu
( )
P
có
nghiệm khi và chỉ khi tập
M
.
Định lí 2.7 Nếu
D
là một ma trận xác định âm thì bài toán tối ưu
( )
P
có nghiệm
khi và chỉ khi tập
M
và compact.
Các Định lí 2.5, 2.6, 2.7 là hệ quả của định lí tổng quát hơn (Định lí Frank-Wolfe
và Định lí Eaves), chứng minh có thể xem trong [7], Chương 2.
KẾT LUẬN CHƯƠNG
Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều ứng dụng của ma trận xác định dương
trong các bài toán của toán học cũng như của thực tế (vật lí, kĩ thuật, kinh tế,...).
Ma trận xác định dương đặc trưng cho tính lồi của hàm mục tiêu, vì vậy nó được
quan tâm đặc biệt trong các bài toán tối ưu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
56
KẾT LUẬN
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích tổng quan
các tính chất của ma trận xác định dương và chỉ ra sự quan trọng của ma trận xác
định dương qua hai ví dụ minh họa.
Ma trận xác định dương là lớp ma trận có cấu trúc đẹp, nó tạo thành một đa tạp
khả vi Rieman (xem [3]) và do đó được nghiên cứu rất sâu sắc về mặt toán học.
Lớp ma trận xác định dương trên nón hiện đang được sự quan tâm rộng rãi của
các nhà nghiên cứu do có ứng dụng quan trọng trong tối ưu.
Hy vọng những vấn đề về ma trận xác định dương sẽ còn được tiếp tục nghiên
cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
57
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Richard Bellman, Introduction to matrix analysis, McGraw-Hill Book
Company, Inc., Toronto, 1960, Tại Thư viện Khoa học Kĩ thuật Trung ương: Lv
8504. Bản dịch tiếng Việt:
R. Bellman, Mở đầu lý thuyết ma trận (Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm dịch từ
bản tiếng Nga,1969), Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1978.
[2] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, In series Graduate Texts in Mathematics,
Vol. 169, Springer-Verlag New York, Inc., 1997.
[3] Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton Series in Applied
Mathematics, Princeton University Press, Princenton and Oxford, 2007.
[4] F. R. Gantmacher, Lí thuyết ma trận (Tiếng Nga), Nhà xuất bản quốc gia ấn
phẩm kĩ thuật-lí thuyết, Moscow, 1954.
[5] S. K. Godunov, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, in
Series Translations of Mathematical Monographs, Americal Mathematical
Society, Providence, Rhode Island, 1997.
[6] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Bộ sách toán cao
cấp, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006.
[7] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen, Quadratic
Programming and Affine Variational Inequalities, A Qualitative Study, in Series
Nonconvex optimization and Its Applications, Springer, USA, 2005.
[8] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
[9] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính (in lần thứ hai), Bộ sách cao
học, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2002.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên

Preview text:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 1 of 1.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng
THÁI NGUYÊN – NĂM 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Trang
Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3
Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9
1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite
…………………………..………13
2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương……………………………………………………………..…44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận……………………………………………………………....………...56
Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4
Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010 Tác giả Đinh Trọng Sỹ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƯƠNG I
MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương. 1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho z a bi là một số phức.
Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z a bi .
Nhận xét rằng, z z khi và chỉ khi b  0 , hay z là số thực.
Số phức z a bi  0 khi và chỉ khi z a bi  0 , tức là a  0 hoặc b  0 .
Ta luôn có zz  a bia bi 2 2
a b  0 với mọi số phức z ; zz  0 khi và chỉ khi z  0 .
Giả sử H là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột x số chiều n có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ x và y trong H là một
số (x, y) :
x, y : x  
y x y x y  ...  x y , trong đó 1 1 2 2 n n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6  xy 1  1      x  ....  H     , y ... H  
, x a b i , x a b i , k  1, 2,..., n và k k k k k kx     y n   n   x    a ib    1 1 1    
x  x  ...  ....
 a ib ,...,a ib . 1 1 n n       x   a ib    n   n n
Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là
(x, y) : x, y : x y
  x y x y  ...  x y . 1 1 2 2 n n
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi t , t  , mọi 1 2
x , x H ta có f t x t x t f x t f x . 1 1 2 2  1  1 2  2  1 2
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi t , t  , 1 2
mọi x , x H ta có f t x t x t f x t f x . 1 1 2 2  1  1 2  2  1 2
Tính chất Tích vô hướng .,. tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai. xx 1  1     
Chứng minh Thật vậy, vì x  ... nên  , * xx  
  x ,..., x ; 1 n    x ...    x     x n   n  1  y  2  y  1 2 1 2  y
y   t y t y  1 1 1 1 1 1 2 1           1 y  ... 2 1 2   , y  ... 
 nên t y t y t ...  t ...  .... 1 2 1   2      1          y 2 1 2 1 2  y y y t y t y n   n   n   n   1 n 2 n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Do đó 1 2
t y t y  1 1 2 1 n   1 2 * 1 2
(x,t y t y )  x (t y t y )   x ,..., xx t y t yn  .........    i  1 2 1 2 1 2 1 1 i 2 i i 1  1 2   t y t y  1 n 2 n n n 1 1 * 1 * 2  t x y t
x y t x y t x y t  x yt  x yi ii i  1 ,   2 , . 1 2 1 2 1 2  i 1  i 1 
Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng .,. tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z z z z và z z z z nên 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
t x t x  1 1 2 1      1 2
t x t x    1 2
t x t x   ..........     1 2 1 2
t x t x ,..., t x t x . 1 2 1 2 1 1 2 1 1 n 2 n   1 2  t x t x  1 n 2 n  Do đó  y1    1 2  
t x t x y   1 2 1 2
t x t x ,..., t x t x .... 1 2 1 1 2 1 1 n 2 n    y   n n n n
 t x t x y t x y t x y t x y t x y i i ii ii i  *  * 1 2 1 2 1 2 . 1 2 1 2 1 2 i 1  i 1  i 1  tức là   1 2
t x t x , y 1 2
t x t x , y   1 2
t x t x y   1 * 2 *
t (x )  t (x ) y 1 2 1 2 1 2 1 2    1 * 2 *
t (x ) y t (x ) y  1 2 1 2
t x , y t
x , y t (x , y)  t (x , y). 1 2 1 2 1 2
Vậy là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều n
 với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì là tuyến tính theo từng biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8
Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ x và y là f (x, y) : ,
x y : x y  ...  x y . Khi ấy tích vô hướng 1 1 n n
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một m n -ma trận (ma trận cấp m n ) là một bảng  a a ......a 11 12 1n    a a .....a 21 22 2n
số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột   .
.........................     a a ....a  1 m m2 mn  
Các số (thực hoặc phức) a được gọi là phần tử ở dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n ) ij của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn Aa    . ij   
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết Aa    . ij   mn
Khi m n thì ta có ma trận vuông cấp n . Kí hiệu ma trận vuông cấp n là A . nx1    x
Khi n  1 ma trận A có cấp m 1 được gọi là vectơ cột 2 x    số chiều m . ...    xm
Khi m  1 ma trận có cấp 1 n được gọi là vectơ hàng x   x , x ,..., x cấp n . 1 2 n
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.3 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là a  0, i  , j ij
và được kí hiệu là O hay O . n
1.4 Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vuông mà các phần tử ngoài đường chéo bằng 0, tức là a  0, i
  j . Kí hiệu ma trận đường chéo là A  diag(a , a ,..., a ) . ij 11 22 nn
1.5 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo a bằng 1, ii
kí hiệu là I hay E . Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết I hay E . n n
1.6 Các phép toán trên ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp A  a , B  b . ij ij m nmn
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m n , được viết là A B và
được xác định bởi công thức A B  a b , Tức là ij ij   aa   b
b   a ba b  11 1n 11 1n 11 11 1n 1n                  ;        aa  bb   a ba b     1 m mn   1 m mn   1 m 1 m mn mn
Tích của ma trận A với đại lượng vô hướng (một số , là một số thực hay
một số phức) được xác định bởi hệ thức  A A  a , tức là ij   a
a   aa  11 1n 11 1n            .      a
a   aa   1 m mn   1 m mn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10
Giả sử A  a là một m n ma trận và B  b là một n p ma trận. jk ij
Tích của hai ma trận A và B là một m p -ma trận c với ik n
c a b a b  . . .  a b a b ik i1 1k i 2 2k in nk  . ij jk j 1 
Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số
phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.
Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ
nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.
Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là ABC    ABC nếu các
phép nhân ma trận thực hiện được.
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, tức là nói chung AB BA .
Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân AB , còn BA thì không.
Ta luôn có AI IA A với mọi ma trận A . 1 0   7 0 4   
Ví dụ, cho A    , B  3  5 . Khi đó ta có 1 2 1      2 3    1 0   7 0 4   7 0 4   15 12    AB  3  5      ; BA  1  6 10  7 . 1 2 1   3  13        2 3     17 6 11  
1.7 Ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận vuông cấp n . Một ma trận vuông B cấp n được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A nếu AB BA I , trong đó I là ma trận đơn vị.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là ma trận khả nghịch.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11
Nếu A là ma trận khả nghịch thì A chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử B và C là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính
chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có B IB  (C )
A B C( AB)  CI C.
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch A được ký hiệu là 1 A .
Tính chất Tích AB của hai ma trận khả nghịch ,
A B cùng cấp là ma trận khả nghịch và   1 1  1 ABB A .
Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có   1 1  1 1 1  1 AB B A A BB A AIA AA     I ,  1 1  1  1  1 1 B A AB B A A B B IB B    B I .
Vậy theo định nghĩa ma trận 1  1
B A là ma trận nghịch đảo của ma trận AB hay   1  1  1 ABB A .
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp Ma trận Aa    
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A  a . ij ji    m nnm
Các dòng của ma trận A là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận
A là các dòng tương ứng của ma trận A.
Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A  a là ma trận A  a . ji ij
Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu: * A  A .
Hiển nhiên ta có  A    A và  * * A
A . Hơn nữa, ta còn có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12
Tính chất AB  B A   và  * * * AB
B A với mọi ma trận , A B mà phép nhân
ma trận thực hiện được.
Chứng minh Kí hiệu A  a , B  b
, C AB  c , trong đó ik jk ij m nnp mp n
c a b a b  . . .  a b a b ik i1 1k i 2 2k in nk  . ij jk j 1 
Tương tự, kí hiệu A  a
, B  b và D : B A    d với ki kj
jk nm pn pm n d
ba  ba  . . .  ba  bak i k1 1i k 2 2i kn ni  . kj ji j 1 
Các phần tử của ma trận C   AB   c
được tính theo công thức
ki pm
c  c a b a b
 . . .  a b b a b a  . . .  b a k i ik 1 i 1k i 2 2k in nk 1k 1 i 2k i 2 nk in n
ba  ba  . . .  ba 
ba  d . k1 1i k 2 2i kn nikj ji ki j 1 
Nghĩa là, c  d hay C  D , tức là  AB  C  D B A  . k i ki
Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được  * * * ABB A .
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu A A
  I , trong đó I là ma trận đơn vị và A là ma trận chuyển vị của A.
Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U U
I , trong đó I là ma trận đơn vị và
U  là ma trận chuyển vị liên hợp của U .
Nếu U là ma trận unita thì U khả nghịch. Hơn nữa, detU  1  (Trong đó detU
là định thức của ma trận U ) vì  I  U U   U U   U 2 * * 1 det det det .det det .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận
Số phức   (số thực  ) được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn
tại vectơ v H , v  0 sao cho Av v .
Vectơ v được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận A.
Nhận xét Nếu v là vectơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận A thì v
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng của ma trận A.
Thật vậy, ta có Av   Av v v . Vì vậy, sau này ta thường xét n
vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là v v ,vv v  1 i i  . i i i 1 
Phương trình Av v   A I v =0 có nghiệm không tầm thường v  0 . Suy
ra det  A I   0 . Như vậy, các giá trị riêng của ma trận A chính là nghiệm
của phương trình đa thức det  A I   0 .
Nếu T là ma trận đối xứng, tức là T T
  I thì detT  1  . Mặt khác, vì T T
  I nên T A
T I T AT T  T
  T  A I T , nên det T A
T I   detT A I T   detTdet  A I detT  det  A I  .
Chứng tỏ hai ma trận A và T A
T có cùng giá trị riêng.
Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực
giao. Tương tự cho ma trận unita.
1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite Ma trận A
với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A= A được gọi là nn
ma trận đối xứng.
Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện a = a , i, j  1,...,n . ij ji
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14
Ma trận thỏa mãn AA được gọi là ma trận Hermite.
Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.
Chứng minh Vì ma trận A là thực nên nếu là giá trị riêng phức của A (là
nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng det  A I   0 với các hệ số thực)
thì cũng là giá trị riêng phức của A .
Giả sử và x là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận A, tức
là Ax x . Khi ấy vì .x .x và Ax Ax với mọi số phức , ma trận thực
A và vectơ phức x nên  x  x Ax Ax . Như vậy, ta có
x, Ax x, x  x, x và , x Ax  ,
x  x  x, x .
Do A là ma trận đối xứng nên x, Ax Ax , x x, Ax .
Do đó  x, x x , Ax x, Ax ,
x x hay  , x x  0 . n
Do x  0, x   x ,..., x nên x, x x x  0 
hay là số thực. 1 n   . Vậy i i i 1 
Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.
Định lí 1.2 Hai vectơ riêng v ,v ứng với hai giá trị riêng khác nhau  , của 1 2 1 2
ma trận đối xứng vuông góc với nhau, tức là v ,v  0. 1 2
Chứng minh Từ các đẳng thức Av  v và Av  v ta có 1 1 1 2 2 2
v , Av  v ,v và v , Av v ,v . 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2
Do A là ma trận đối xứng nên v , AvAv ,vv , Av . 1 2 1 2 2 1
Trừ các đẳng thức trên ta có 0  
v ,v . Do nên v ,v  0 hay 1 2  1 2 1 2 1 2
hai vectơ v ,v vuông góc với nhau. 1 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15
Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ
một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T sao cho T A
T có dạng đường chéo, nghĩa là T A
T  diag(,,...,) , trong đó 1 2 n
 - là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận A . i
Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng , ,..., của ma 1 2 n
trận A là khác nhau. Không giảm tổng quát, ta có thể coi các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x
x tương ứng với ,,..., là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức 1 2 n là i , i
x x  1, i  1,2,..., n . Hơn nữa, do ,,..., của ma trận A là khác nhau 1 2 n (Định lí 1.2) nên 1 2 , ,..., n x x
x độc lập tuyến tính và vuông góc, nghĩa là i , j x x
 0 , i, j  1, 2,..., n , i j . Xây dựng ma trận T có các cột là các vectơ 1 2 , ,..., n x x x . Khi ấy  x x ... x   x x ... x  11 21 1 n 11 12 1n     x x ... x x x ... x 12 22 n 2 T    , 21 22 2 n T     ,  ... ... ... ...   ... ... ... ...      x x ... xx x ... x 1n 2 n nn   1 n n 2 nn  1 1 1 2 1 n x x ... x x x ... xx , x x , x ... x , x     11 12 1n 11 21 1 n      2 1 2 2 2 x x ... x x x ... xx , x x , x ... x , n x  21 22 2n 12 22 n 2 T T        I . ... ... ... ... ... ... ... ...      ... ... ... ...      n 1 n 2 x x ... x x x ... n n x    1 n n 2 nn  1n 2n nn x , x x , x ... x , x  
Vậy T là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì i i
Ax  x , i  1,2,..., n nên   x  x ...  x  1 11 2 21 n 1 n    x  x ...  x 1 12 2 22 n n2 AT     ... ... ... ...     x  x ...  x  1 1n 2 2n n nn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16  x x ... x   x  x ...
 x   0 ... 0  11 12 1n 1 11 2 21 n n1 1      x x ... x  x  x ...  x 0 ... 0 và 21 22 2 n 1 12 2 22 n n 2 2 T AT         .  ... ... ... ...  ... ... ... ...   ... ... ... ...       x x ... x  x  x ...  x 0 0 ...  n1 n 2 nn   1 1n 2 2 n n nn   n
Vậy ma trận A có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận T .
Bây giờ giả sử các giá trị riêng ,,..., của ma trận A là bất kì. 1 2 n
Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai. 1  a a   a
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là 11 12 A       , trong đó  2 a a   12 22  a   1 a  a a và 2 a  a a . 12 22  11 12   x
Giả sử   và 1 11 x
là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là 1   x  12  có hệ thức 1 Ax = 1 x . Suy ra 1 1 1  a , x x   a a
 x   a x a x    1 1 11 1 11 12 11 11 11 12 12  x Ax        1        2 1  x a a x a x a x    1 12   12 22   12   12 11 22 12  a , x   hay 1 1
a x a x a , x  x , 2 1
a x a x a , x  x . 11 11 12 12 1 11 12 11 22 12 1 12
Chú ý Ta có thể coi x , x là các thành phần của vectơ 1
x đã được chuẩn hóa, 11 12 tức là 1 1 2 2 x , x
x x  1. 11 12  x x
Ta xây dựng một ma trận trực giao 11 21 T      1 2 x
x  cấp 2 2 mà một x x  12 22   x   0  cột là vectơ 1 11 x    sao cho 1 T AT 
 , trong đó , là các giá trị x 1 2  0 12   2 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17
riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.
Vì T là ma trận trực giao nên T T   I , tức là 2 2  x x  x x   1 0  x x x x x x   1 0 11 12 11 21  11 12 11 21 12 22           . 2 2   x x x x 0 1      x x x x x x 0 1 21 22 12 22  21 11 22 12 21 22    Suy ra 2 2 2 2
x x  1, x x x x
 0, x x  1. 11 12 11 21 12 22 21 22 Ta có 1 2   x a , xa a  x x   a x a x a x a x     1 11 11 12 11 21 11 11 12 12 11 21 12 22 AT           . 2 2 a a x x a x a x a x a x    12 22   12 22   12 11 22 12 12 21 22 22   x a , x 1 12   Vậy 1 2   x a , x x x    1 11 11 12 T AT      2 2 x x    21 22   x a , x 1 12   2 2 1 2 2 2 
(x x ) x a , xx a , x  1 11 12 11 12  b 1 12      .   1 2 2 2   0 (  ) ,  , b x x x x x a x x a x  22  1 11 21 12 22 21 22  
Ta có thể xác định b và b như sau. Vì  AB  B A   và T    T nên 12 22    
T AT    TAT  TTA  TA (T)TA T   TAT
hay T AT là ma trận đối xứng. Suy ra b = 0. 12  0  Như vậy ta có 1 T AT  . 0 b  22 
Vì T là ma trận trực giao, nên hai ma trận A và T AT có cùng giá trị riêng. Mà
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18  0   0   0  1 T AT     nên 1 1
T AT I   I      . 0 b  0 b 0 b 22   22   22 
Vậy T AT có giá trị riêng là và b . 1 22
Vậy b cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận A. 22
Ta sẽ chứng minh trong trường hợp n chiều bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với mỗi k , k  1,2,..., n ta có thể xác định ma trận trực giao T đưa ma k
trận đối xứng thực A a
về dạng đường chéo T AT  diag(,,...,) . kij k k 1 2 k
Các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng của ma trận A . i k
Ta đã chứng tỏ được điều này cho n  2 . Giả sử qui nạp điều đó đúng cho k n ,
ta sẽ chứng minh điều đó đúng với k n 1. 1  a   x11      Xét ma trận Aa  ... có  , 1 x  ...
là giá trị riêng và vectơ riêng n 1   ij    1    n 1   a     x  1n 1  
tương ứng của ma trận A , 1
x đã được chuẩn hóa ( 1 2 2 x x  ...  x  1). n 1  11 1n 1 
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao T có cột đầu là 1 x .
Gọi các cột chưa biết còn lại là 2 3 1 , , ., n x x x  
thì ma trận T có dạng:  x x ... x   x x ... x  11 21 n 1  1 11 12 1n 1      x x ... x x x ... x 12 22 n 1  2 T    . 21 22 2n 1 T      .  ... ... ... ...   ... ... ... ...      x x ... xx x ... x 1n 1  2n 1  n 1  n 1    n 1  1 n 1  2 n 1  n 1  
Vì T là ma trận trực giao nên T T   I , hay là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 19  x x ... x  x x ... x 11 12 1n 1  11 21 n 1  1     x x ... x x x ... x 21 22 2n 1  12 22 n 1  2 T T        ... ... ... ...  ... ... ... ...     x x ... x x x ... xn 1  1 n 1  2 n 1  n 1    1n 1  2n 1  n 1  n 1   2 2  x  ...  x b ... b   1 0 ... 0  11 1n 1  12 1n 1     
x x x x  ...  x x b ... b 0 1 ... 0  21 11 22 12 2n 1   1n 1  22 2n 1      .  ... ... ... ...   0 0 ... 0       x x x x ... x x b ... b      0 0 ... 1  n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1  n 1  2 n 1  n 1     Suy ra, 2 2 x  ...  x
 1; x x x x  ...  x x  0 ; … ; 11 1n 1  21 11 22 12 2n 1  1n 1  x x   x x  ...  x x  0 . (1.1) n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1  Ta có 1 1 1 2 1 n 1  a , x a , x ...... a , x   1 2 1 n 1   x a , x
....... a , x     1 11   2 1 2 2 2 n 1  a , x a , x ...... a , x   2 2 2 n 1   x
a , x ....... a , x   A T =   = 1 12   ; n 1   ..............   ..............      n 1  1 n 1  2 n 1  n 1  a , x a , x ... a , x   n 1  2 n 1  n 1   x a , x ... a , x     1 1,n 1   
Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được: 1 2 1 n 1   x a , x
........ a , x   1 11  x x ... x 11 12 1n 1      2 2 2 n 1 x x ... x
 x a , x ......... a , x   21 22 2n 1  1 12 T A T       = n 1   ... ... ... ... ........    x x ... x   n 1  2 n 1  n 1  n 11 n 12
n 1n 1    x a , x .. a , x       1 1,n 1   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20   2 2 2
x x  ...  x b b . . . b  1 11 12 1n 1   12 13 1,n 1   b ... b 1 12 1,n 1      
 x x x x  ...  x x  0 1  21 11 22 12 2n 1  1n 1   =      .  ...  ... . . . . A An n     0     x x   x x  ...  x x    1  n 1  1 11 n22 12 n 1  n 1  1n 1    trong đó:
- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng 0 , trừ phần tử ban đầu (bằng ); 1
- Các đại lượng b , b , ... , b sẽ được xác định sau; 12 13 1n
- Ma trận An có cấp n n . Do T    T nên ta có     T A TT A T
T T A
T A (T )T AT T A T n 1    n 1   n 1 n 1  n 1  n 1 
hay T A T là ma trận đối xứng. Suy ra b  ...  b  0 . n 1  12 1n 1   0... 0  1   0
Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao T sao cho T A T    , n 1  ... An   0  
với A là ma trận đối xứng. n
Vì T là ma trận trực giao, tức là T T
  I nên detT  1  (xem mục 1.9). Cũng vì T T
  I nên T A
T I T AT T  T   T AI T . n 1   n 1   Do đó detT A
T I  det TA
I T  detTdet A
I detT  det AI . n 1     n 1    n 1   n 1 
Suy ra các giá trị riêng của ma trận A
cũng chính là các giá trị riêng của n 1 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 T A
T . Nhưng det T A
T I det A I nên các giá trị riêng n 1    1   nn 1 
,, ..., , của ma trận A
cũng chính là các giá trị riêng của A 2 3 n 1  n 1  n .
Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử Tn là ma trận trực giao đưa An về  1 0 ... 0    0
dạng đường chéo. Ta lập ma trận S    cấp n   1 . n 1  ... Tn   0  
Do T trực giao nên S
cũng là ma trận trực giao, và khi đó n n 1  ST A T S
 diag(,,..., ) . n 1   n 1   n 1 1 2 n 1 
Vì có thể viết ST A T STSA TS nên TS là ma trận n 1   n 1 
n 1  n 1 n 1 n 1 n 1 
trực giao đưa ma trận A
về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma n 1 
trận trực giao T sao cho T A
T  diag(,,...,) . Định lí chứng minh xong. 1 2 n 1 
Đặt x Ty hay y T Ty T x
 ,   diag(,,...,) . Từ Định lí 1.3 ta cũng có 1 2 n
Hệ quả Nếu A là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao T sao cho n 2 , x Ax  y  . (1.2) i i i 1 
Chứng minh Đặt x Ty . Ta có n 2 ,
x Ax Ty, ATy y,T A
Ty y, y    y  . i i i 1 
Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có
Định lý 1.4 Nếu ma trận A là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita U sao cho *
A U U (hay *
U AU   ), trong đó  , i  1,2,..., n là các giá trị riêng i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22
của A và   diag(,,...,) . 1 2 n
Định lý 1.5 Cho A và B là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để
tồn tại một ma trận trực giao T đưa A và B đồng thời về dạng đường chéo
T ' AT  diag(,,...,) và T ' BT  diag(, ,..., ) (1.3) 1 2 n 1 2 n
là ma trận A và B có tính chất giao hoán. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại T thỏa mãn (1.3), khi ấy A và B có tính chất giao
hoán. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có
A Tdiag(,,...,)T  và B Tdiag(, ,..., )T . 1 2 n 1 2 n Suy ra AB  d
T iag(,,...,)T Tdiag(, ,..., )T  1 2 n 1 2 n
Tdiag(,,...,)diag(, ,..., )T   Tdiag(  ,  ,...,  )T  . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n Mặt khác, ta cũng có
BA Tdiag(, ,..., )T Tdiag(,,...,)T  1 2 n 1 2 n
Tdiag(, ,..., )diag(,,...,)T   Tdiag(  ,   ,...,   )T . 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
Vậy AB BA , tức là hai ma trận A và B có tính chất giao hoán.
Điều kiện đủ Giả sử A và B giao hoán, ta chứng minh tồn tại T thỏa mãn (1.3).
Trước tiên giả sử ma trận A có các giá trị riêng khác nhau  ...  ứng 1 2 n với các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x
x đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ 1 2 , ,..., n x x x
vuông góc với nhau, tức là i , j x x
 0 với i j và i i 2 2 x , x
x  ...  x  1. 1i ni Do i i
Ax  x nên i ( i
A Bx )  ( AB) i x  ( ) i BA x B( i Ax )  B( i
 x )  (B ) i
x  ( B) i x ( i Bx ) . (1.4) i i i i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Suy ra i
Bx cũng là vectơ riêng của A ứng với . Vì các giá trị riêng đều khác i
nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau, tức là i i
Bx  x , i  1, 2,...,n . Nhưng khi ấy, cũng chính là các giá trị riêng i i
của ma trận B với các vectơ riêng i
x tương ứng. Như vậy, các ma trận A và B có cùng các vectơ riêng 1 2 , ,..., n x x x . 1  x x ... x   x x ... x   x  11 21 1 n 11 12 1n       x x ... x 2 x x ... x x     Đặt 1 2 n 12 22 n 2 T
(x , x ,..., x )     thì 21 22 2n T     ... ... ... ...   ... ... ... ...  ...        x x ... x    x x ... n x 1n 2n nn   1 n 2n nn x   1 1 1 2 1  x , x x , x ... x , n x    2 1 2 2 2  x , x x , x ... x , n x  và T T      I .  ... ... ... ...    n 1 n 2  x , x x , x ... n x , n x   
Xét trường hợp tổng quát, khi là giá trị riêng bội k ứng với các vectơ riêng i 1 2 , ,..., k x x
x của ma trận A . Từ (1.4), vectơ i
Bx cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng , do đó i
Bx có thể biểu diễn tuyến tính qua 1 2 , ,..., k x x x : i k i j Bx
c x , i  1, 2,...,k.  (1.5) ij i 1  Vì các vectơ i
x trực giao và B là ma trận đối xứng nên ( j x , i Bx )  c  ( j Bx , i
x )  c . Chứng tỏ ma trận C  c là ma trận đối xứng. ij ij ji k Xét tổ hợp tuyến tính i a x  của các vectơ 1 2 , ,..., k x x x . Ta có i i 1 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 k k k k k k       i i j j B a xa Bx a c xc a x   i   i
i  ij   . ij i   i 1   i 1  i 1  j 1  j 1     i 1   k
Như vậy nếu a được chọn sao cho
c a r a , j  1,2,..., k i  thì ta sẽ có ij i 1 j i 1  k k     k i i B a xr a x i  
r là giá trị riêng và a x i  1   hay i  1 
là vectơ riêng của B . ii 1    i 1   i 1 
Hệ thức (1.5) chỉ ra rằng r là giá trị riêng của ma trận C và a là thành phần của 1 i
vectơ riêng tương ứng. Cho nên, nếu T là phép biến đổi trực giao k chiều đưa k 1 1  z   x      2 2 z x ma trận    
C về dạng đường chéo thì các vectơ z xác định bởi  T i k  ...   ...       k   k z x     
là hệ vectơ vuông góc gồm các vectơ riêng của A và B .
Làm tương tự cho các vectơ riêng ứng với mỗi giá trị riêng bội, ta sẽ được ma trận cần tìm T .
2 MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương
Giả sử H là không gian Hilbert có các phần tử là các vectơ n chiều với các
thành phần là các số phức; n
 là không gian vectơ thực n chiều; A là ma trận
vuông cấp n với các phần tử là các số thực hoặc phức.
Ma trận A được gọi là xác định không âm (trên H ) nếu ,
x Ax  0 , x H ;
Ma trận A gọi là xác định dương (trên H ) nếu , x Ax  0, x   0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25
Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương
(hoặc ma trận xác định dương), còn ma trận xác định dương là ma trận xác định
dương chặt. Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma
trận xác định không âm và ma trận xác định dương).
Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm
(ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi A là ma
trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4).
Nếu ma trận A là xác định không âm thì ta ký hiệu A  0 .
Nếu ma trận A là xác định dương thì ta ký hiệu A  0. Nếu ,
A B là các ma trận có cùng cấp n n , ta nói A B nếu A B  0 và
A B nếu A B  0 . Với n
x   , tích vô hướng ,
x Ax có thể viết dưới dạng khai triển như sau.  a a ........
a  x   a x a x   a x n ... 11 12 1  1 11 1 12 2 1n n      a a ....... a x a x a x   a x n ... 21 22 2 2 21 1 22 2 2n n Ax        ; ...........
...  ......................        a a ........ ax a x a x   a x n n nn ... 1 2   n   1 n 1 n 2 2 nn n
a x a x  ...  a x 11 1 12 2 1n n   
a x a x  ...  a x x, Ax
x , x ,..., x    n  21 1 22 2 2 n n 1 2
 ............................   
a x a x  ...  a x  1 n 1 n 2 2 nn n
 a x a x  ...  a x x  ...  a x a x  ...  a x x 11 1 12 2 1n n  1  1n 1 n 2 2 nn n n n n   na x x a x x   . ij j iij i j j 1   i 1   i , j 1 
Vậy tích vô hướng x, Ax có thể được coi là dạng toàn phương trên n  (hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 n bậc hai trên n
 ) P (x) x, Ax a x x n  . ij i j i , j 1  n
Để cho gọn, ta thường viết P (x)  a x x xAx n
(bỏ dấu tích vô hướng). ij i j i, j 1 
Ma trận A là xác định dương (xác định không âm) khi và chỉ khi dạng toàn
phương (hàm số) là dương (không âm) với mọi n x   . n
Vì trong dạng toàn phương P (x)  a x x a x x và n  có tham gia các hạng tử ij i j ij i j i, j 1 
a x x nên nhóm lại ta được b x x a a
x x . Nói cách khác, ta có thể viết ij i iij ji ji j i i j 1 1 1
P (x)  xAx xAx xA x  
x A Ax với mọi n
x   , mà A A là ma n   2 2 2
trận đối xứng nên ta thường giả thiết ma trận A xác định dạng toàn phương
P (x)  xAx là ma trận đối xứng. Khi ấy ta có thể sử dụng các tính chất của ma n
trận đối xứng (xem mục 1.11).
Nếu A là ma trận với các phần tử là số phức thì tích vô hướng được viết như sau ,
x Ax  a x a x  ...  a x x  ...  a x a x  ...  a x x 11 1 12 2 1n n  1  1n 1 n2 2 nn n n n n n    a x x a x x .
  ij j i ij i j j 1   i 1   i , j 1  n
Dạng toàn phương phức tương ứng với ma trận A có dạng P (x)  a x x n  . ij i j i, j 1 
Nếu dạng toàn phương (hàm số) P (x) không âm với mọi x H (dương với mọi n
x  0, x H ) thì ta nói ma trận A là xác định không âm (xác định dương).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương
Tính chất 1 Ma trận O là ma trận xác định không âm. Ma trận đơn vị I là ma
trận xác định dương.
Thật vậy, I là ma trận xác định dương vì với mọi vectơ x  0, ta có Ix x   T ,
x Ix   x ,..., x x ,..., x
x x  ...  x x  0 . 1 n   1 n  1 1 n n
Tính chất 2 Giả sử ,
A B là những ma trận xác định không âm. Khi ấy A B
cũng là ma trận xác định không âm. Hơn nữa, nếu một trong hai ma trận A
hoặc B xác định dương thì A B cũng là ma trận xác định dương. Chứng minh Vì ,
A B là những ma trận xác định không âm nên với mọi x H n n ta có a x x  0  và b x x  0 ij i j  . (*) ij i j i, j 1  i, j 1  n Suy ra
(a b )x x  0  (**) ij ij i j i, j 1 
với mọi x H hay A B : a b là ma trận xác định không âm. ij ij
Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là
chặt hay A B là ma trận xác định dương.
Hệ quả Nếu A là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì 2 A cũng là
ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu A B, B C thì A C . Nếu một trong hai
bất đẳng thức A B, B C là chặt thì A C .
Chứng minh Theo định nghĩa, A B, B C nên A B  0 và B C  0 . Cộng
hai vế của hai bất đẳng thức trên và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
A C   A B   B C   0 . Suy ra A C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28
Nếu một trong hai bất đẳng thức A B, B C là chặt, Ví dụ, A B, B C (hoặc
A B, B C ) thì
A B  0 và
B C  0 (hoặc
A B  0, B C  0 ).
Cộng hai vế của hai bất đẳng thức (*) và áp dụng Định nghĩa 2.1 ta có:
A C   A B   B C   0 . Suy ra A C.
Tính chất 4 Giả sử A là ma trận xác định không âm (xác định dương). Khi ấy
các phần tử a trên đường chéo của ma trận A là không âm (là số dương). ii
Chứng minh Chọn x  0,...,0,1,0,...,0. Vì A là ma trận xác định dương nên
xAx  0 . Ta có  0   a  1  a a ... i a 11 12 1n      ... ...   a a ... a    
xAx  0,...,0,1,0,...,0 21 22 2n
1   0,...,0,1,0,...,0 a   a  0.  ... ... ... ... ii ii       ... ... a a ... a      1 n n2 nn   0   a     ni
Tính chất 5 Ma trận Hermite xác định không âm (xác định dương) bảo toàn
tính chất qua phép biến đổi unita, nghĩa là, nếu A là ma trận Hermite xác định
không âm (xác định dương) và U là toán tử unita thì * A
 :U AU cũng là toán tử
Hermite xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì A là ma trận Hermite, tức là *
A A nên ta có  *   *   * *     * * *  * * * * A U AU U AU AU U
U A U U AU A.
Vậy A cũng là ma trận Hermite.
Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng (xem mục 1.10) nên nếu A là
xác định dương thì A cũng là ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29
Tính chất 6 Ma trận Hermite ( *
A A ) là ma trận xác định không âm khi và chỉ
khi các giá trị riêng của nó không âm. Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó là các số dương.
Chứng minh 1 Nếu là giá trị riêng ứng với vectơ riêng x của ma trận 0
Hermite xác định không âm A thì Ax  x . Suy ra  x , xx , Ax  0 . 0 0 0 0 0 0 x , Ax
Do x  0 nên x , x  0 . Vậy 0 0   0 . 0 0 0 x , x 0 0 x , Ax
Hiển nhiên, nếu A ma trận Hermite xác định dương thì 0 0   0 . x , x 0 0
Chứng minh 2 Nếu A là ma trận Hermite thì theo Định lí 1.4, tồn tại một ma
trận unita U đưa ma trận A về dạng đường chéo *
UAU  diag(,,...,) hay 1 2 n n 2 x, Ax  y
, trong đó ,,..., là các giá trị riêng của A và *
y U x . i i 1 2 n i 1  Rõ ràng nếu ,
x Ax  0 với mọi x thì y, Ay  0 khi chọn * i
y U x với i
x  0,...,0,1,0,...0 , i 1,2,...,n hay 2 * i *  y U x , i AU x  0 . i i
Suy ra  0 với mọi i  1, 2,..., n . i
Nếu x, Ax  0 với mọi x thì  0 với mọi i  1,2,..., n . i
Tính chất 7 Ma trận Hermite là ma trận xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại một ma trận B sao cho *
A B B . Ma trận Hermite là ma trận xác định
dương khi và chỉ khi tồn tại một ma trận B không suy biến sao cho * A B B .
Chứng minh Theo Định lí 1.4, nếu A là ma trận Hermite thì tồn tại một ma
trận unita U sao cho *
A U U , trong đó  : diag(, ,..., ) . 1 2 n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30
Nếu A là ma trận xác định không âm thì theo Tính chất 6,  0 , i  1,2,..., n . i
Do đó có thể viết     với
 : diag( , ,..., ) , trong đó căn 1 2 n
bậc hai lấy giá trị không âm. * * * Đặt * B U  thì *   *     * B U
U    U  . Suy ra * * *
A U U U U   B B .
Rõ ràng, nếu A là ma trận xác định dương thì  0 , i  1,2,..., n nên * B Ui
là không suy biến (vì U là ma trận unita nên không suy biến).
Tính chất 8 Nếu Aa và B b là các ma trận đối xứng xác định dương ij ij
thì ma trận C a b cũng xác định dương. ij ij
Chứng minh Vì A  a là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại ma ij
trận trực giao T sao cho A T T, trong đó   diag ,,..., với  0 , 1 2 n i n
i  1,2,..., n . Suy ra a  t t
t và t là các phần tử của ma trận ij  , trong đó k ik jk ik jk k 1 
trực giao T . Ta có n n n n n   a b x x  = b x x (  t t )   b x t x t
 , k  1,2,..., . n ij ij i jij i j  = k ik jk k  , 0 ij i ik j jk    k i, j 1  i, j 1  k 1  k 1  i, j 1    n n
Với mỗi k đặt x  x t thì b x t x tb x x i i ik
ij i ik j jk    là dạng toàn phương của ij i j i, j 1  i, j 1 
các biến x . Do B b là ma trận đối xứng xác định dương nên ij i n n n n n   b x t x tb x xa b x x    b x x ij i ik j jk
   không âm, chứng tỏ ij i j ij ij i j k    ij i j    i, j 1  i, j 1  i, j 1  k 1  i, j 1   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31
không âm, hay C a b là ma trận xác định không âm. ij ij
Cũng do B b là ma trận đối xứng xác định dương nên xBx  0 khi và chỉ khi ij   x tn 1 1k  
x  0 . Suy ra nếu xBx 
b xx  0  thì x  ...
 0 , tức là x t  0 . Nhưng ij i j   i ik i, j 1   x t   n nk
T là ma trận trực giao nên T T   I hay 2 2 2 2 2 x tx tx
i ik i ik  . Do đó i i,k i k i n
x t  0 khi và chỉ khi x bằng không, hay b x t x t i ik i
dương nếu ít nhất một ij i ik j jk i, j 1 
trong các đại lượng x t khác không, tức là x  0 hay x  0 . Do  0 nên i ik i n a b x x  0 
khi và chỉ khi x  0 . Vậy C a b là ma trận xác định dương. ij ij ij ij i j i, j 1 
Nhận xét Từ Tính chất 2 ta có, nếu cả hai ma trận A và B đều là Hermite (xác
định dương) thì A B cũng là Hermite (xác định dương). Tuy nhiên, tích AB
của chúng là ma trận Hermite khi và chỉ A và B giao hoán.
Thật vậy, giả sử A và B là các ma trận Hermite, khi ấy  * * * AB
B A BA .
Nếu A và B giao hoán thì AB BA và do đó  * AB
BA AB hay AB là ma
trận Hermite. Ngược lại, nếu AB là ma trận Hermite thì   * AB ABBA hay
A và B giao hoán.
Điều kiện giao hoán của hai ma trận là quá chặt (ít khi xảy ra). Vì vậy chúng ta
đưa vào khái niệm tích đối xứng hóa (symmetrized product) của hai ma trận A
và B là ma trận S AB BA .
Nếu hai ma trận A và B là Hermite thì S AB BA cũng là ma trận Hermite.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 * * * Thật vậy, ta có *           * * * * S AB BA AB BA
B A A B BA AB S .
Tuy nhiên, cả hai ma trận A và B đều là xác định dương thì S AB BA chưa
chắc đã là ma trận xác định dương.  1 0   1
Ví dụ Cho A    và B  
 là các ma trận xác định dương khi  0 0   1    x
và 0   1 vì với mọi  x , x  0 ta có xAx   x , x
x  x  0 và 1 2  1 2 2 1 2    1 2  x  2 
x  x
xBx   x , x  1 2 2 2
x  2 x x x   
x  x 2   2 1   2 x  0 . 1 2 1 1 2 2 1 2 2  x x  1 2   1
  1    2
  1 
Nhưng S AB BA          và        1 2    2
  1  x
 2x    1 x  1 1  
xSx   x , x    x , x 1 2     1 2  2    1 2 x           2   1 x 2 x  1 2  2 2  1   1 
 2x  2  2
1 x x  2 x  2 x   1 x
     2 1 x 1 1 2 2 1 2  2  2   4  1
nhận giá trị âm khi đủ gần 0 và đủ gần 1 và x      1 x . 1   2 2
Như vậy, S không phải là ma trận xác định dương. Tuy nhiên, ta có
Tính chất 9 Giả sử ,
A B là các ma trận Hermite và A là ma trận xác định
dương. Nếu S AB BA là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì B
là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Chứng minh Vì B là ma trận Hermite nên tồn tại một ma trận unita U sao cho *
B U U , trong đó *
  U BU có dạng đường chéo.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Kí hiệu * A   U AU thì *
A UAU . Như vậy, * * * * * *
S AB BA UAU U U  U U
UAU UAU  U A
 U U A   * A U : S .
Vì A là ma trận Hermite xác định dương và S là ma trận Hermite xác định không âm nên A
 cũng là ma trận xác định dương và S cũng là ma trận xác định
không âm. Suy ra các phần tử trên đường chéo s là không âm và a là dương ii ii (Tính chất 4). Do *
  U BU là ma trận đường chéo nên S  A  A có các s
phần tử đường chéo là s  2 a . Suy ra ii
 0. Vậy B có các giá trị ii i ii i 2aii
riêng không âm (dương) nên là ma trận xác định không âm (xác định dương).
Tính chất 10 Ma trận đối xứng thực A là xác định không âm khi và chỉ khi tồn
tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định không âm B sao cho 2 A B .
Ma trận đối xứng thực A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một
ma trận đối xứng thực xác định dương B sao cho 2 A B . 1 Ta có thể viết 2 B
A A và gọi B là căn bậc hai dương của A . Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử ma trận đối xứng thực A là xác định không âm. Theo
Định lí 1.3 và Tính chất 4 tồn tại ma trận trực giao T sao cho A T T   , trong
đó  0, i  1,2,..., . n i
Do  0, i  1,2,..., n nên ta hoàn toàn có thể xác định được ma trận B như sau: i B : T T
  . Khi ấy B là ma trận đối xứng thực xác định không âm vì      B  T T
   T  T  T T    T T  T T    B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34
và B có các giá trị riêng không âm là , ,..., . 1 2 n Rõ ràng 2 B  . B B  T T  T T    T TTT    T T    A.
Điều kiện đủ Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng thực xác định không âm B sao cho 2
A B . Khi ấy tồn tại một ma trận trực giao T sao cho B có thể viết
được dưới dạng B T T
 , trong đó   diag(, ,..., ) với  0 , 1 2 n i
i  1,2,..., n là các giá trị riêng của ma trận B . Vì 2
A B nên ta có
      2 A T T T T
TT  .  Khi ấy    2   2 A T T
T T   A và A có các giá trị riêng 2
 0 , i  1,2,..., n i
nên là ma trận xác định không âm.
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn 2
A B . Giả sử ta có 2 A B và 2
A C . Do B và 2
A B , C và 2
A C là hai ma trận có tính chất giao hoán ( 2 2 AB B B  .
B B BA ) nên theo Định lí 1.4 chúng cùng đưa được về dạng
đường chéo, nghĩa là A T T , B T T
  , C T T  với T là ma trận trực giao
và   diag(,,...,) ,   diag(, ,..., ) ,   diag,,..., . 1 2 n  1 2 n 1 2 n
Vì 2       2 B T T T T
T T  nên từ hệ thức 2 B A ta có 2
T T   T T   hay T  2
   T  0. Do T trực giao nên không suy biến, suy ra 2    hay
 0,...,  0 với giá trị căn số học (giá trị không âm). 1 1 n n Tương tự, 2
   và  0,..., 0 . Vậy 2 2
     hay    . 1 1 n n
Suy ra B T T   TT   C hay B thỏa mãn điều kiện 2
A B là duy nhất.
Chứng minh hoàn toàn tương tự nếu A là ma trận đối xứng thực xác định dương.
Tính chất dưới đây chỉ ra tính đơn điệu của ánh xạ A A .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35
Tính chất 11 Nếu ,
A B là những ma trận đối xứng thực xác định không âm và
A B thì A B . Chứng minh Do ,
A B là những ma trận xác định không âm nên theo Tính chất
10, tồn tại các ma trận xác định không âm A,
B . Hơn nữa, do A B và
B  0 nên theo tính chất bắc cầu (Tính chất 3) ta có A  0. Suy ra A  0 . Theo tính chất 2 ta có A
B  0 . Từ các phép toán trên ma trận ta có thể viết
2 A B   A B  A B    A B  A B .
Theo giả thiết A B nên A B  0 . Theo Tính chất 2, 2 A B  0 . Từ tính chất 8 suy ra
A B  0 , tức là A B . Chú ý Nếu ,
A B là những ma trận xác định không âm và A B thì vẫn chưa suy ra được 2 2
A B .  2 1 1 1
Ví dụ Ma trận A  
 là xác định dương và ma trận B    là xác định 1 1   1 1  
không âm vì với mọi x   x , x ta có 1 2   2 1 x   2x x
xAx   x x  1      x x  1 2 2 2 2
 2x  2x x x x x x  0 1 2 1 2   1 1 2 2 1  1 2 2 1 1 x x x   2   1 2  1 1 x   x x
và xBx   x x  1      x x  1 2  x x  0 . 1 2 1 2    1 2 2 1 1 x x x   2   1 2   2 1 1 1  1 0 
Hơn nữa, A B vì A B     0       do 1 1 1 1 0 0        1 0  x   x
x, A Bx   x , x  1      x , x  1 2
x  0 với mọi x , x . 1 2 1 2   1 0 0 x 0 1 2   2   
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36  2 1 2 1  5 3  1 11 1  2 2  Mặt khác, 2 A        , 2 B        nhưng 1 1 1 1 3 2      1 1 1 1 2 2       3 1  2 2 A B  
 không là ma trận xác định dương, vì với x  1, x  2 thì 1 0 1 2    3 1  x   3x x  , x  2 2
A B x   x , x  1      x , x  1 2 2
 3x  2x x  0 . 1 2 1 2   1 1 2 1 0 x x   2   1 
Vậy từ A B với A và B là những ma trận xác định không âm ta chưa suy ra được 2 2 A B .
Tính chất 12 Ma trận đối xứng xác định không âm A là xác định dương khi và
chỉ khi ma trận A khả nghịch. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử A là ma trận đối xứng xác định dương. Theo Định lí 1.3,
tồn tại ma trận trực giao T sao cho A T T , trong đó   diag ,,..., 1 2 n
với  0 , i  1,2,..., n . Xét ma trận 1 B T   T  với 1   diag  1 1 1
,,..., . 1 2 ni Ta có     1   1 AB T T T T
T  T   TIT   TT   I . Tương tự,   1      1 BA T T T TT   
 T   TIT   TT   I .
Vậy AB BA I , hay ma trận A là khả nghịch và 1 B A  .
Điều kiện đủ Giả sử A là ma trận đối xứng xác định không âm và khả nghịch.
Vì A là ma trận khả nghịch nên tồn tại ma trận 1 A sao cho 1  1 AA A  A I , hay 1
A giao hoán với A.   
Do A là đối xứng, tức là A A nên   1
    1    1 I AA A A A A,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37  vậy  1 1 AA hay 1
A cũng là ma trận đối xứng. Theo Định lí 1.5, tồn tại ma
trận trực giao T để A và A cùng có thể đưa về dạng đường chéo, tức là T AT   và 1 T AT   , hay A T T   và 1
A  T T  , trong đó
  diag ,,..., và   diag, ,..., với  0 và  0 với mọi 1 2 n  1 2 n i i
i  1,2,..., n . Suy ra 1
I AA  T T  T T
   T T    T T
  I    diag  . i i
Vậy    1 với mọi i  1,2,..., n . Do  0 và  0 và    1 nên  0 với i i i i i i i
mọi i  1,2,..., n . Theo Tính chất 4, ma trận A là xác định dương.
Hệ quả Nếu A là ma trận xác định dương thì 1
A là ma trận xác định dương.
Chứng minh Theo chứng minh Tính chất trên, các giá trị riêng 1   của ma i i trận 1
A là những số dương.
Tính chất 13 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương và A B thì 1  1 A B  .
Tính chất 14 Nếu ,
A B là những ma trận đối xứng xác định dương và A B thì
với mọi ma trận X ta có * *
X AX X BX .
Chứng minh 1 Với mọi vectơ u ta có * *
u, X AXu Xu, AXu Xu, BXu u, X BXu . Suy ra * * X AX X BX .
Chứng minh 2 Vì B  ,
A nên giả sử C là căn bậc hai dương của B A, khi đó
với mọi ma trận X ta có * * * * X (B  )
A X X CCX  ( X C)(CX )  (CX ) (CX )  0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Suy ra * * * * * * * X (B  )
A X  0  ( X B X )
A X  0  X BX X AX  0  X BX X AX .
Tính chất 15 Nếu A là ma trận xác định dương thì X AX cũng là ma trận xác
định dương. Nếu X AX là ma trận xác định dương và X là ma trận khả nghịch,
thì A là ma trận xác định dương.
Để nghiên cứu các tính chất của ma trận xác định dương, chúng ta sử dụng ma
trận mở rộng, là các ma trận khối. Các tính chất dưới đây chỉ ra điều đó.
Tính chất 16 Giả sử ,
A B là những ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó A X ma trận khối   
là xác định dương khi và chỉ khi 1 A X B X . X B    I 0  1    1  I (B X )   IXB 
Chứng minh Đặt M    thì M   . 1      BX I   0 I 0 I     1  IXB  A X  I 0  1
A XBX   0  Ta có     =   .  1 0 I X BBX I     0 B   1
A XBX   0 
Do B là ma trận xác định dương nên ma trận   là xác định 0 B   dương khi và chỉ khi  1 A X B X    0 hay  1 A X B X   . Do phép biến đổi  A X
T * AT bảo toàn giá trị riêng nên 
 là ma trận xác định dương khi và X B   1
A XBX   0   A X  chỉ khi 
 là ma trận xác định dương. Vậy   là ma trận 0 B    X B  
xác định dương khi và chỉ khi  1 A X B X   .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39  A A
Tính chất 17 Ma trận A là đối xứng xác định dương khi và chỉ khi   A A  
là ma trận xác định dương. Kí hiệu * A :
A A và gọi là phần dương hay giá trị tuyệt đối của A . Ta có  A A 
Hệ quả 1 Với mọi ma trận A bất kì thì
là ma trận xác định dương. A A    A A  
Hệ quả 2 Nếu ma trận A là chuẩn tắc thì ma trận
là xác định dương. A A   
Chứng minh Theo định nghĩa, ma trận A được gọi là chuẩn tắc nếu * * AA A A . Khi ấy * * * A A A
AA A . Hệ quả 2 suy ra từ Hệ quả 1.
Tính chất 18 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương với AB  1, thì s s
A B  1, 0  s  1. 2
Chứng minh Giả sử A  0 . Ta đã biết * AB
 ( AB)( AB) , khi đó với giả thiết
AB  1, 0  s  1 ta có: 2
AB  1  AB A  1 2 1  2 1 AB A I A AB A A     I 2 1  2 1  1  1 B A A I B AA A IA      2 2 B A   2s 2  s s 2s s s 2  s s s 2s s BA
A B A A A
A A B A I s 2s s   1 s s A B A
A B  1.
Tính chất 19 Giả sử ,
A B là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy s s s
A B AB , 0  s  1.
Chứng minh Xem chứng minh Định lí IX.2.1 [2], trang 255.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 t
Tính chất 20 Nếu ,
A B là các ma trận xác định dương, thì t t
AB A B , với t  1. 1
Chứng minh Với t  1 suy ra 0 
 1 , theo Tính chất 22 ta có t 1 1 1 t t t A B
AB , với t  1. 1 Thay ,
A B bởi t , t A B ta được t t t AB A B
. Vì t  1 nên ta có: t t t
AB A B . Suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 21 Ma trận A là xác định không âm khi và chỉ khi tồn tại các vectơ
x , x ,..., x H , sao cho a x , x . 1 2 n ij i j
Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các vectơ x , x ,..., x H 1 2 n
sao cho a x , x với các vectơ x , i  1,2,..., n là độc lập tuyến tính. ij i j i
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9].
Tính chất 22 Điều kiện cần và đủ để ma trận thực A đối xứng xác định dương là
mọi định thức con chính của nó phải dương: A 0, k  1, 2,..., n , ở đây k
A  a , i, j  1,2, ,  k. k ij
Chứng minh Xem chứng minh, Ví dụ, trong [9], trang 237.
Tính chất 23 Nếu A là ma trận xác định dương thì det A a a a . 11 22 nn
Chứng minh Ta xét thấy det A : A có thể biểu diễn được dưới dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 a ... a 0 a ... a 22 2n 12 1n a ... a a a ... ... 32 3n 21 22 det A a (2.1) 11 ... ... ... ... ... a ... a a a ... a n2 nn 1 n n2 nn
Vì A là ma trận xác định dương nên ma trận a , i, j  2 .
 .n cũng xác định ij
dương, cho nên các biến a a .
a (số hạng thứ 2 ở vế phải của (2.1)) xác 12 13 1n a ... a 22 2n a ... a định âm, do đó 32 3n A a . 11 .... a ... a n 2 nn
Dùng phép quy nạp ta được A a a a , đó là điều phải chứng minh. 11 22 nn
Tính chất 24 Nếu ma trận A xác định dương thì   ...  max ( i z , j
Az ) ,   ... min ( i z , j Az ) , 1 2 nk 1  n n 1  k R R
ở đây, R là miền xác định bởi: i z , j z
 , i, j  1, 2, .
 , n k  1. ij
Nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm n k  1 vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 214.
Tính chất 25 Nếu ma trận A xác định dương thì:
  ... min z Az z Az
z   Az   n nk  1 1 2 2 n k 1 n k 1 , , ... , 1  R
ở đây, R là miền xác định bởi hệ thức: i , j z z
 . i, j  1,2, .
 , n k  1. ij
nói cách khác, cực tiểu được lấy trên tập gồm n k 1 vectơ trực chuẩn.
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 216.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 n 2
Tính chất 26 Nếu A là ma trận xác định dương thì I , trong đó n 1 2 A    ( , ) I  . . . x Ax e dx
dx dx dx . . .dx . n   , ở đây 1 2 n  
Chứng minh Giả sử T là ma trận trực giao đưa A về dạng đường chéo. Ta thực
hiện phép đổi biến x Ty , khi đó x, Ax y, Ay . n n Tiếp theo, dx dy  
, vì Jacobian của phép biến đổi biến xTy bằng T i i i 1  i 1 
có thể cho bằng +1. Do ma trận T thiết lập bằng tương ứng 1– 1 nên: n   2 2 2 n  2  1 1
y 2 y2 .  .. I  ...  n n y e dy 2 =  i i y . n   e dy    i 1   i 1   2
(  ...) 1 2 n n n  1 2 2 Để ý là :  A và  x 2 e dx I  . i
. Vậy ta có n 1 i 1   2 A k 2
Tính chất 27 Nếu A là ma trận xác định dương thì ( x , Ax )  max e dV , ở 1  k k R 2 k R A k
đây tích phân lấy theo không gian con tuyến tính k chiều k của không gian n
, dVk là phần tử thể tích, còn cực đại lấy theo mọi k  .
Chứng minh Xem chứng minh, trong [1b], trang 195.
Tính chất 28 Nếu các ma trận A, B xác định dương thì với 0   1 ta có 1
 A  (1 )B A B . n 2  
Chứng minh Ta có
 ( x, Ax )  (1 )( x, Bx )  ... e dx . 1   2
 A  (1  )B  
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 1 1 P q    
Sử dụng dạng tích phân
f (x)g(x)dV f (x)P dV f (x)q dV        của bất RR   R  1 1
đẳng thức Holder, sau khi đặt p  , q  ta có : 1  n n n (1) 1 2     2 2     ( x,Ax ) ( x, x B )  ... e dx ... e dx  . . 1         1 2         2 2
 A  (1  )B A B
Sau khi đơn giản ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Tính chất 29 (Phân tích Cholesky) Giả sử A là ma trận Hermite xác định
dương. Khi đó tồn tại duy nhất ma trận tam giác dưới L có các phần tử trên
đường chéo chính đều dương sao cho *
A LL .
Chứng minh Ta tìm ma trận l11    l l 21 22 L    ............    l l ........ l  1 n n 2 nn  mi  n i,  j n sao cho *
A LL . Khi đó a l l
l l , 1  i, j n ijik jk  , ik jk k 1  k 1  a trong đó, 2
a l suy ra l a ; a l l suy ra 12 l  ;…… 11 11 11 11 12 11 21 21 l11 a
a l l suy ra 1n l  . 1n 11 1 n 1 n l11
Giả sử tính được i 1 cột đầu của L , ta tính cột thứ i như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 i 1  2 2 2
a l l  ....  l , suy ra 2 l a l ii 1 i i2 ii ii ii  ; ik k 1  i 1  al l i,i 1   ik i 1,k al l  . . . l l , suy ra k 1 l   . i ,i 1  i1 i 1,1 ii i 1  ,i i 1  ,i lii
Ma trận L xây dựng như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử tồn tại hai phân tích * *
A L L L L . Khi ây 1  * * 1 L L L (L )   D là 1 1 2 2 2 1 2 1
một ma trận đường chéo. Ta có L L D suy ra 1 2 * * * 2 * *
A L L L DD L L D L L L . 1 1 2 2 2 2 2 2 Do đó 2 1 * * 1
D L L L ( L )
 1 suy ra D I . 2 2 2 2
Điều này chứng tỏ phân tích Cholesky của ma trận A là duy nhất. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương 1 phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của ma trận xác định
dương. Các tính chất này chứng tỏ lớp ma trận xác định dương là lớp ma trận có
cấu trúc, và vì thế nó được áp dụng rộng rãi trong rất nhiều lớp bài toán khác
nhau, trong bản thân toán học, cũng như trong ứng dụng.
Chương 2 trình bày một số ứng dụng cụ thể của ma trận xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 CHƯƠNG II
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
1 LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng
Định lí 2.1 Điều kiện cần và đủ để nghiệm của phương trình vi phân dx
Ax, x(0)  c (1.1) dt
dần tới 0 khi t   và c bất kỳ, là các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm.
Chứng minh Nếu các giá trị riêng của ma trận A khác nhau và âm
 ...   0 thì do At
e là ma trận đối xứng nên có biểu diễn 1 n  t 1  e 0     t 2 e   At 1 eT T . (1.2)  ............     0  t n e  
Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) có dạng ( ) At
x t ce . Do đó lim x(t)  0 . t
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể làm như sau:
Để thay cho việc đưa ma trận A về dạng đường chéo, chúng ta sử dụng phép
biến đổi đồng dạng đưa nó về dạng tam giác, 1
T AT B .
Trong trường hợp này (1.1) có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 dz
Bz, z(0)  c. (1.3) dt
Trong đó B là ma trận tam giác còn x Tz , tức là ta có hệ:
dz1  b z b z  ... b z , z 0  c, 11 1 12 2 1n n 1   1 dt dz2 
b z  ...  b z , z 0  c , 22 2 2n n 2   2 dt (1.4)
................................................................. dzn b z , zcnn n n  0 . n dt
Bởi vì các phần tử b là các giá trị riêng của ma trận B , nên theo giả thiết ta có ii
Re(b )  0 với mọi i  1, 2,..., . n ii
Từ phương trình cuối cùng trong (1.4) ta có bnn
z ce . (1.5) n n
do đó z  0 khi t   . n
Để chứng tỏ rằng tất cả z  0 khi t   chúng ta sử dụng quy nạp; dựa vào i kết quả:
Nếu v(t)  0 khi t   thì nghiệm u(t) của hệ
du bu v(t), u(0)  a , (1.6) 1 1 dt
dần tới 0 với điều kiện Re(b )  0 . Điều này suy ra từ công thức nghiệm của 1
phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất: t 1 b t 1 b t  1 ( ) b s
u t a e e e v(s)ds 1  . (1.7) 0
Vì z dần tới 0 khi t   , nên theo nhận xét trên ta có tất cả z  0 khi t   . n i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47
Ma trận ổn định Ma trận A được gọi là ổn định, nếu các giá trị riêng của nó có phần thực âm.
1.2 Phương pháp Lyapunov
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính ta
sử dụng phương pháp Lyapunov. Xét phương trình dx
Ax , x(0)  c , (1.1) dt
trong đó giả thiết c và A là thực.
Xét dạng toàn phương u xYx , trong đó Y là ma trận có các phần tử sẽ được
xác định sau. Lấy đạo hàm của u theo t như là hàm hợp, ta được: dux ,
Yx x,Yx  Ax,Yx x,YAx x,( A Y   Y ) A x . (1.8) dt
Giả thiết rằng tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình: A Y
  YA   I . (1.9)
Khi đó (1.8) có dạng : du   , x x . (1.10) dt Từ đó ta có: du 1    u , (1.11) n dt
trong đó là giá trị riêng lớn nhất của ma trận Y. n 1 
Từ (1.11) ta suy ra rằng t  (0)  n u u
e  , tức là u  0 khi t   .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48
Như vậy, nếu tồn tại ma trận xác định dương Y là nghiệm của phương trình (1.9)
thì tất cả các thành phần của vectơ x tiến tới 0 khi t  .
Ngược lại, nếu ma trận A ổn định thì phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm đối
xứng được xác định bởi công thức  A' 1 t A 1 t Y e e dt  . (1.12) 1 0 Khi ấy ta có   A't At x,Yx = 1 1
(x,e e x)dt  = A' 1 t A 1 ( , t e x e x)dt 1  1 0 0
Chứng tỏ ma trận Y xác định dương vì ma trận At
e luôn luôn không suy biến.
1.3 Điều kiện cần và đủ để một ma trận là ma trận ổn định
Định lí 2.2 Giả sử Y được xác định bởi phương trình A Y
  YA  I . Điều kiện
cần và đủ để ma trận A ổn định là ma trận Y xác định dương. Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử Y là ma trận xác định dương, ta sẽ chứng minh A là ma trận ổn định. Ta có T (x, x)dt
x0,Yx0 – xT ,YxT  (1.13) 0 hay T
x T ,YxT   (x, x)dt x
0,Yx0 (1.14) 0 dx
trong đó x(t) là nghiệm của phương trình vi phân  Ax . dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 T
Nếu ma trận Y xác định dương thì (x, x)dt
giới nội đều. Do đó, x(t) 0 khi 0
t  . Vậy A là ma trận ổn định.
Điều kiện đủ Giả sử A là ma trận ổn định ta sẽ chứng minh ma trận Y xác định dương.
Nếu ma trận A ổn định thì phương trình A Y
  YA  I có duy nhất nghiệm 
đối xứng Y . Khi đó Y được xác định bởi công thức A' 1 t A 1 t Y e e dt  1 0   nên , x Yx = A  1 t A 1 ( , t x e e x)dt  = A 1 t A 1 ( , t e x e x)dt . 1  1 0 0 Vì ma trận At
e luôn luôn không suy biến, nên ma trận Y xác định dương.
Ta có định lí sau đây kiểm tra tính ổn định của ma trận A.
Định lí 2.3 Nếu ma trận A có dạng a b a 0 0 . . .  1 1 2   1 b a 0 . . . 2 3    0 1 b a . . .   3 4 A  ,
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . 1 b a   n 1  n    . . . . . . . . . . . . 0 1 b    n
trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính và hai lân cận của
đường chéo chính đều bằng 0, thêm vào đó các phần tử a thực, còn b hoặc i i
bằng không hoặc là thuần túy ảo thì số các số hạng dương trong dãy các tích
a ,a a ,....,a a ...a a bằng số các giá trị riêng của ma trận A có phần thực 1 1 2 1 2 n 1  n dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50
Chứng minh Để chứng minh định lí này ta phải dùng đến một số kết quả bổ trợ
của lí thuyết đa thức (xem [1b], trang 247-248)
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng
Xét phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng
Ax  Bx  Cx x  1  c x   2 2 0, 0
, ’ 0  c , (1.15)
trong đó các ma trận A, B và C là xác định không âm. Phương trình này thường
gặp trong các bài toán vật lí, Ví dụ, trong sơ đồ các mạng điện gồm điện dung,
cuộn tự cảm và điện trở.
Định lí 2.4 Nếu các ma trận ,
A B và C là xác định không âm và ngoài ra hoặc
ma trận C hoặc ma trận A là xác định dương, thì phương trình 2
 A 2B C 0 (1.16)
không có nghiệm với phần thực dương.
Nếu các ma trận A và C là xác định không âm, còn ma trận B xác định dương
thì  0 là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Chứng minh Từ phương trình ta có
x , Ax   2 x , Bx   x ,Cx  0 . (1.17)
Do đó với mọi s  0 ta có: s
(x , Ax ) 2(x , Bx )(x ,Cx)dt  0 (1.18) 0 hoặc s s s (x, Ax )
  + 4 (x , Bx )  dt
+ (x ,Cx)  = 0. (1.19) 0 0 0
Phương trình (1.19) tương đương với phương trình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 s
x ' s, Ax's + 4 (x', Bx ')dt  (x(s),Cx(s)) c  , (1.20) 3 0 trong đó c   2 2
c , Ae    1 1 c ,Cc . 3 
Nếu là nghiệm của phương trình (1.16) thì phương trình
Ax  Bx  Cx x   1  c x  2 2 0, 0 , 0  c
có nghiệm dạng t
e c . Nếu là số thực thì c là vectơ thực. Nếu là số phức,
r i r thì phần thực của biểu thức t e c bằng 1rt 1 2
e (a cos r t a sin r t) cũng là 1 2 2 2
nghiệm của phương trình (1.15).
Thế vào (1.20) ta được: s 2 1 r s 2 1 r t 2 1 1 2 2 1 r s 3 3 e
(b , Ab )  4 e
(b (t), Bb (t)dt e
(b ,Cb )  c  , (1.21) 3 0 trong đó 1 b và 3
b là các vectơ không đổi, còn 2
b t  là vectơ biến đổi và bằng 1 2 2
(a r a r ) cos r t  (a r a r )sin r t . 1 2 2 1 1 2 2
Nếu A hoặc C xác định dương và B  0 thì tính dương của r dẫn đến mâu 1 thuẫn khi s  . Nếu ,
A C  0 thì từ tính dương của ma trận B suy ra rằng r  0 . Hơn nữa, vì 1 s hàm 2
b t  tuần hoàn, nếu r khác 0 thì tích phân 2 2
(b (t), Bb (t))dt 2  phân kỳ 0
khi s  . Mặt khác nhờ vào tính dương của r suy ra r  0 . 1 1
Vậy 0 là nghiệm duy nhất có phần thực bằng 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52
2 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM TOÀN PHƯƠNG
2.1 Tối ưu hàm một biến
Xét hàm số một biến số thực f (x) trong khoảng a,b. Giả sử f (x) là đủ trơn
để có khai triển Taylor tại điểm c a,b: 1
f (x)  f (c)  f (
c) x c  f  (
c) x c2  ... 2
Nếu c là điểm cực trị địa phương của f (x) , tức là f (x)  f (c) hoặc
f (x)  f (c) với mọi x đủ gần c thì, theo Định lí Fermat, f (  c)  0 . Suy ra 1
f (x)  f (c)  f  (
c) x c2  ... 2 Nếu f  (
c)  0 thì f (x)  f (c) với mọi x đủ gần c , hay c chính là điểm cực
tiểu địa phương của hàm f (x) ; Nếu f  (
c)  0 thì f (x)  f (c) với mọi x đủ gần
c , hay c chính là điểm cực đại địa phương của hàm f (x) .
Như vậy, ta thấy dấu của đạo hàm bậc hai đóng vai trò quan trọng trong khảo sát
tính cực trị của hàm số.
2.2 Tối ưu hàm hai biến
Xét hàm số hai biến số thực f (x, y) trong hình chữ nhất a ,b a ,b . Giả sử 1 1   2 2
f (x, y) là đủ trơn để có khai triển Taylor tại điểm c ,c a ,b a ,b : 1 2   1 1  2 2  ff
f (x, y)  f (c ,c )  x c x c  1 2  1   2  cc  1 2 2 2 2 1  f 1  f 1  fx cx c x cx c  ..., 2  2    2  2 1 1 2 2 2 c  2 cc  2 c  1 1 2 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 ffff  trong đó : (c ,c ) ; : (c ,c ) ,... 1 2 cx  1 2 cy  1 2 f
Nếu c là điểm cực trị địa phương thì, theo Định lí Fermat,
(c ,c )  0 và 1 2 xf
 (c ,c )  0. Suy ra 1 2 y  2 2 2 1  f 1  f 1  f
f (x, y)  f (c ,c )  x cx c x cx c  ... 2  2    2  2 1 2 1 1 2 2 2 c  2 cc  2 c  1 1 2 2
Như vậy, sự biến thiên của hàm f (x, y) trong lân cận điểm c  c ,c phụ thuộc 1 2  vào dạng toàn phương Q ( ,
x y)  ax c 2  2bx c  x c   cx c 2 2 2
au  2buv cv : Q(u,v) , 2 1 1 2 2 2 1  f 2  f 2 1  f trong đó a  , 2b  , c
, u x c , v x c . 2 2 ccc  2 2 c  1 2 1 1 2 2
Dạng toàn phương Q(u,v) là thuần nhất bậc hai: 2
Q(ku,kv)  k Q(u,v) , ngoài ra Q(0,0)  0 .
Nếu Q(u,v)  0 với mọi u,v đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0)) thì ta có
f (x, y)  f (c ,c ) và c  c ,c là điểm cực tiểu địa phương của hàm f (x, y) ; 1 2  1 2
Nếu Q(u,v)  0 với mọi u,v đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0)) thì ta có
f (x, y)  f (c ,c ) và c  c ,c là điểm cực đại địa phương của hàm f (x, y) ; 1 2  1 2
Như vậy, ta thấy dấu của hàm toàn phương Q(u,v) (đạo hàm bậc hai của
f (x, y) ) đóng vai trò quan trọng trong khảo sát tính cực trị của hàm hai biến.
Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào dạng toàn phương Q(u,v) là xác định dương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 2 2  bv   b  Ta có 2 2 2
Q(u,v)  au  2buv cv a u   c v     nếu a  0 ;  a   a  2 2  bu b
Nếu a  0 và c  0 thì 2 2
Q(u,v)  cv  2buv c v   u   ;  c c
Nếu a c  0 thì Q(u,v)  2buv . 2 b
Như vậy, để Q(u,v) là xác định dương thì a  0 và c   0 . Tương tự, để a 2 b
Q(u,v) là xác định âm thì a  0 và c   0 . a
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế
Hai mục trên là những ví dụ cho ta thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu
dạng toàn phương (nghiên cứu ma trận xác định dương). Trong mục này ta xét
bài toán tối ưu có ràng buộc hàm toàn phương-tuyến tính n biến. 1
Xét hàm toàn phương-tuyến tính n biến f (x, y) 
xDx c, x . 2
Bài toán tối ưu (P) : Tìm cực tiểu của hàm f (x, y) trên tập hạn chế :  n M
x   : Ax  
b , trong đó A là ma trận cấp m n , b là vectơ m chiều.
Ta có các định lí sau đây về tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hàm toàn phương- tuyến tính.
Định lí 2.5 Giả sử D là một ma trận xác định không âm. Khi ấy bài toán tối ưu
(P) có nghiệm khi và chỉ khi tập M   và các điều kiện sau đây được thỏa: 1) n
v   , Av  0  vDv  0 ; 2) n v   , n
x   Av  0 , Ax b Dx  , c v  0 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55
Định lí 2.6 Nếu D là một ma trận xác định dương thì bài toán tối ưu (P) có
nghiệm khi và chỉ khi tập M   .
Định lí 2.7 Nếu D là một ma trận xác định âm thì bài toán tối ưu (P) có nghiệm
khi và chỉ khi tập M   và compact.
Các Định lí 2.5, 2.6, 2.7 là hệ quả của định lí tổng quát hơn (Định lí Frank-Wolfe
và Định lí Eaves), chứng minh có thể xem trong [7], Chương 2. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều ứng dụng của ma trận xác định dương
trong các bài toán của toán học cũng như của thực tế (vật lí, kĩ thuật, kinh tế,...).
Ma trận xác định dương đặc trưng cho tính lồi của hàm mục tiêu, vì vậy nó được
quan tâm đặc biệt trong các bài toán tối ưu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 KẾT LUẬN
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích tổng quan
các tính chất của ma trận xác định dương và chỉ ra sự quan trọng của ma trận xác
định dương qua hai ví dụ minh họa.
Ma trận xác định dương là lớp ma trận có cấu trúc đẹp, nó tạo thành một đa tạp
khả vi Rieman (xem [3]) và do đó được nghiên cứu rất sâu sắc về mặt toán học.
Lớp ma trận xác định dương trên nón hiện đang được sự quan tâm rộng rãi của
các nhà nghiên cứu do có ứng dụng quan trọng trong tối ưu.
Hy vọng những vấn đề về ma trận xác định dương sẽ còn được tiếp tục nghiên cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Richard Bellman, Introduction to matrix analysis, McGraw-Hill Book
Company, Inc., Toronto, 1960, Tại Thư viện Khoa học Kĩ thuật Trung ương: Lv
8504. Bản dịch tiếng Việt:
R. Bellman, Mở đầu lý thuyết ma trận (Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm dịch từ
bản tiếng Nga,1969), Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1978.
[2] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, In series Graduate Texts in Mathematics,
Vol. 169, Springer-Verlag New York, Inc., 1997.
[3] Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton Series in Applied
Mathematics, Princeton University Press, Princenton and Oxford, 2007.
[4] F. R. Gantmacher, Lí thuyết ma trận (Tiếng Nga), Nhà xuất bản quốc gia ấn
phẩm kĩ thuật-lí thuyết, Moscow, 1954.
[5] S. K. Godunov, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, in
Series Translations of Mathematical Monographs, Americal Mathematical
Society, Providence, Rhode Island, 1997.
[6] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Bộ sách toán cao
cấp, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006.
[7] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen, Quadratic
Programming and Affine Variational Inequalities, A Qualitative Study, in Series
Nonconvex optimization and Its Applications, Springer, USA, 2005.
[8] Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
[9] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính (in lần thứ hai), Bộ sách cao
học, Viện Toán học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2002.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Tài liệu liên quan: