Mở đầu về LTXS và UD
Preview text:
CDNHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
ĐẶ■NG HÙNG THẮNG MỞ ĐẦU V Ế
Lí THUYẾT XÁC SUẤT VÀ CÁC ÚNG DỤ■NG
Giáo trình dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng
(Tái bản lần th ứ tám)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC VIÊT NAM LÒI N Ó I ĐAU
"Càn nhó rằng mộn khoa học bắt dầu từ uiệc xem
xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối
tượng quan trọng nhát của tri thức loài người. Phần
lớn những ván dầ quan trọng nhát của đời sống thực '
ra chỉ là những bài toán của lí (huyết xác su ấ t" P.S.Laplaxơ (1812)
Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người b ắt buộc phải
tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên khống th ể dự đoán trước
đưcc. Một lĩnh vực của Toán học cố tên là : "Lí thuyết Xác
suêt" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc
tỉm toán các hiện tư ợ n g ngẫu nhiên.
Ngày nay Lí thuyết Xác su ấ t (LTXS) đã trở th à n h một ngành
Tom học lớn, chiếm vị trí quan trọ n g cả về lí thuyết lẫn
ứn£ dụng. Một m ặt LTXS là một ngành Toán học cd tẩ m lí
th iy ết ở trình độ cao, m ặ t khác nó được ứng dụng rộng rãi
tro ig nhiều ngành KHKT và cả KHXH và N hân văn. Đặc biệt
LTXS gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các
phtơng pháp th u thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng.
ờ rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã được
đưỉ. vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bát
biũc đối với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậc
đại học. ơ nước ta, trong chương trìn h cải cách, học sinh phổ
th m g tru n g học đã được làm quen với LTXS. 3
Trong quyết định vể đào tạo đại cương theo 7 nhóm ngành
của Bộ Giáo dục và Dào tạo, t ấ t cả các nhổm ngành đều cd
chương trình Xác S uất - Thông Kê với thời lượng ít n h ấ t là 4
đơn vị học trình. Nhiều cán bộ đã ra công tác có nhu cẩu phải tự học môn học này.
Cho đến nay các giáo trình, sách tham khảo về Xác s u ấ t -
Thống kê ở nước ta còn r ấ t ít. Một só sách x u ấ t bản trước đây
khá lâu đã không còn phù hợp. Để đáp ứng nhu cấu về giảng
dạy, học tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuốn sách
này với hy vọng cuốn sách sẽ là một giáo trìn h có chất lượng,
phục vụ cho một đối tượng đông đảo các bạn đọc bao gồm :
1) Các bạn sinh viên cao học, đại học và cao đẳng lần đầu
tiên làm quen với LTXS, muốn được tr a n g bị nhữ ng kiến thức
cơ bản n h ấ t của môn học.
2) Các eán bộ nghiên cứu, các thấy giáo ở đại học và phổ
thông và tấ t cả những ai muổn tự học bộ môn này.
Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trên chương
trìn h chuẩn vể môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại học
Quốc gia H à Nội, cũng như chương trìn h chuấn ở các trường
đậi học kinh tế, kỉ th u ậ t khác. Chúng tôi cũng đã th a m khảo
n hữ ng sách và giáo trìn h mới n h ấ t về Xác s u ấ t của một số nước p h át triển.
P h ẩn lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thử nghiệm
giảng dạy nhiều lần cho sinh viên các khoa Toán, Tin, Hóa, Địa, Sinh, Y.
Để giúp các bạn sinh viên không phải thuộc ngành Toán và
các bạn tự học dễ lỉnh hội, chúng tôi đã cố gắng lựa chọn các
phương pháp trìn h bày th ậ t dễ hiểu. Các chứng m inh dài được
bỏ bớt, dành chỗ cho nhiều thỉ dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nấm
vững lí thuyết hơn, đổng thời qua đổ bước đầu thấy được khả
năng ứng dụng rộng rãi của LTXS. N hững thí dụ này cũng^đdng
vai trò như những bài toán chọn lọc để độc giả lấy làm m ẫu khi
giải các bài tập ở cuối chương. Cuốn sá>ch có gẩn 100 thí dụ.
Để học Toán Xác su ấ t có kết quả, sinh viên n h ấ t thiết phải
giải bài tập, giải được càng nhiểu càng tốt. T hành thử ở cuối 4
mỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiểu bài tập để độc giả
được th ử thách rèn luyện và tự kiểm tra. Da số các bài tậ p ở
mức cơ bản, không phải là các bài quá khó. Mỗi bài tập đều
cd đáp số và chỉ dẫn để giúp cho các bạn tự học. Cuốn sách
gốm cò 5 chương và một phụ lục. Chương I, Chương II và
Chương III trìn h bày những kiến thứ c cơ bàn, cốt lõi của LTXS
m à mọi chương trìn h cho các nhóm ngành đểu đòi hỏi.
Để nám được các Chương I và II chỉ yêu cầu kiến thứ c về
Đại số ở tru n g học, còn đối với Chương III thỉ cần thêm một
chút kiến thức vể Giải tích ờ tru n g học và năm thứ n h ất bậc
đại học. Chương IV và Chương V được biên soạn phục vụ cho
các sinh viên thuộc nhdm ngành 1, 2 (Toán, Tin, Vật lí, Hổa,
Địa) và kinh tế, ở đó sự chuẩn bị về Tbán của họ đầy đủ hơn.
P hần phụ lục 1 n h ằ m giúp độc giả ôn tậ p lại các kiến thức cơ
bàn về Giải tích tổ fyợp phục vụ cho việc học các chương I, II.
Phụ lục 2 là các b ả n g phân bô nhị thức, Poatxông và chuẩn.
Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiểu ý kiến
đóng góp của các đổng nghiệp tro n g Bộ môn Xác su ất Thống
kê khoa Tbán “ Cơ - Tin học, Đcại học Quốc gia Hà Nội. Xin
chân th à n h cám ơn những đổng góp đó. Tấc giả xin bày tỏ
lời cảm ơn đặc b iệt tới GS.TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS.
Nguyễn Văn Hữu, PGS. Lý H oàng Tú, PTS. Trần Phương Dung
PTS. Nguyễn Văn T hư ờng và ông Nguyễn Khắc An, tro n g việc
thẩm định, tổ chức bản thảo và biên tập cuốn sách.
Mặc dù tác già d ã hết sức cố gáng, song cuốn sách vẫn có
th ể có nhữ ng thiếu sđt. C húng tôi r ấ t mong nhận được sự gdp
ý phê bỉnh của độc giả. 5 Chương I
B I Ế N CỐ VÀ XÁC S UẤT CỦA BIEN c ố
§1 PHÉP THỬ NGẤU NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN MAU
Trong thực tế ta thường gặp r ấ t nhiều hành động m à các
kết q u ả của nổ không th ể dự báo trước được. Ta gọi chúng là
các phép thử ngẫu nhiên.
Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ s . Các
kết quả của s là ngẫu nhiên, không th ể xác định trước. Tuy
nhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả các kết quả cố th ể của s .
Tập hợp tấ t cả các kết quả cđ th ể của s được gọi là không
g ian m ẫ u của s và ta thường kí hiệu nổ bằng chữ Q. Chữ cu
dùng để kí hiệu một phẩn tử của Q và ta gọi mỗi phần tử ơ)
của Q là một biến cố sơ cáp. T h í dụ 1 ' a) Phép thử s là gieo một con xúc xắc và quan sát số nốt trên
m ặt xuất hiện của con xúc xắc. Th không th ể biết trước được m ặt
nào của con xúc sắc sẽ xuất hiện. Không gian mẫu Q của & là
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b) Phép thử £ là chọn
ngẫu nhiên 500 thanh niên ở lứa tuổi
từ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người cđ thổi quen hút
thuốc lá. Con số này cổ th ể là một số nguyên bất kì từ 0 đến 500 Vậy Q = {0, 1, 2, 500}. 7
§2. B IẾ N CỐ VÀ M ỐI QUAN H Ệ GIỮA CH Ú N G
Xét một phép thử 6 . Cđ rấ t nhiều câu hỏi liên quan tới kết
quả của s . Ta hãy xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) m à việc
xày ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn được quyết định bởi kết quả của &.
Kết quả cư của s được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A nếu
A xảy ra khi kết quà của £ 1 à CƯ. T h í dụ 2
Phép thử 6 là gieo một đống tiễn liên tiếp 3 lẩn. Đổng tiền cđ th ể
sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian mẫu Q của s là
Q = {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, s s s , NNS}.
Gọi A là biến cố : "Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt n g ử a”.
Khi đố các kết quả th u ậ n lợi cho A là {SNN, NSN, NNS}.
Nếu B là biến cố : "Số lẩn x u ất hiện m ặ t ngửa là một số
lẻ" thì các kết quả th u ậ n lợi cho B là {SNS, SSN, NSS, NNN}.
N hư vậy một biến cố A được đống nh ất với một tập con của
Q bao gồm tất cà các kết quả thuận lợi cho A.
Biến có không th ể là biến cố không bao giờ xảy ra. Nố tương
ứng với tập con rỗng 0 của Q. B iến có chắc chắn là biến cố
luôn luôn xảy ra. Nd tương ứng với toàn bộ tậ p Q.
a ) Q u a n h ệ g iứ a c á c b ié n cố .
Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi
A xảy ra thì B cũng xảy ra. Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập
con của Q thì A kéo theo B nghĩa là. A c B.
Biến cố đối : Biến cố được gọi là biến cố dối của A nếu nó xảy ra khi
chỉ khi A không xảy ra. Biến cố đối của A được kí hiệu là A . Tầ có Ã = Q \ A 8
b) Hợp c ủ a c á c biên c ố
Hợp của hai biến cố A và 5 là biến cố xảy ra nếu ít n h ấ t
có m ột tro n g hai biến cô A và B xảy ra. Ta kí hiệu hợp của
hai biến cố A và B là A u B.
Tương tự ta có th ể định nghĩa hợp của nhiểu biến cố. Nếu Ap A 2,
A n là các biến cố thi hợp của chúng là biến cố xảy
ra nếu ít n h ấ t có một biến cố nào đó tro n g các biến cố A p A n
xảy ra. Tá kí hiệu hợp của A p A 2y A n là
Aj u A2 ... u A n .
c) G iao c ủ a c á c biến c ố
Giao của hai biến cô A và 5 là biến cố xảy ra nếu cả A và
B đều xảy ra. Ta kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB.
Giao của nhiểu biến cố Aj , At ,
là m ột biến cố xảy ra
nếu tấ t cà các biến cố Aị , At , ..., A n đều xảy ra. Kí hiệu giao của Aj , A2 , là A ị A 2 ...An . Thí dụ 3
Ba xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn một viên đạn vào mục
tiêu. Giả sử A, B và c là các biến cố sau :
A : "Xạ thủ A bắn trúng” ;
D : nXạ thủ B bắn trúng" ;
c : "Xạ th ủ c bán trú n g ”
i) Hãy mô tả các biến cố sau
A B C , A B C , A u B u c . ề ii) Xét các biến cô sau
D : "Có ít n h ấ t hai xạ thủ bán trúng" ;
E : "Có nhiều nhất một xạ thủ bán trúng” ;
F : "Chỉ có một xạ thủ bán trúng" ;
G : "Chỉ có xạ thủ c bán trúng”.
Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cô A, B và c . 9 Giải.
i) A B C là biến cố : "Cả ba xạ th ủ đểu bắn trú n g ”
A B c là biến cố : "Cả ba xạ th ủ đều bán trư ợ t”
A u B u c là biến cố : "Cổ ít n h ất một xạ thủ bán tr ú n g ”. ii)
D = AB u BC u CA.
E = Ã B u B C u C Ã
bởi vì cđ nhiều n h ấ t một xạ thủ bắn trú n g có nghĩa là cổ ít
n h ất hai xạ thủ bắn trượt.
F = ÃB c u ÃB c u à BC. G = A B C .
Biến có x u n g khắc : Hai biến cố A và B gọi là x u n g khấc
nếu A và B không đống thời xày ra.
Nói cách khác A và B xung khắc nếu A B = 0 .
§3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố
Xác su ấ t của một biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, số
này đo lường khả năng x u ất hiện của biến cố đd khi phép thử
được thự c hiện. Kí hiệu xác s u ấ t của biến cố A là pCA).
Cd ba phương pháp gán xác s u ấ t cho các biến cố là : định
nghĩa- xác su ấ t cổ điển, định nghĩa xác su ấ t dựa trên tẩn s u ấ t
và định nghĩa xác su ất theo tiên đề.
a) Đ ịn h n g h ía x á c s u ấ t c ổ đ iể n . Giả thử phép thử s có
một số hữu hạn các kết quả cđ th ể . H ơn nữa ta giả th iết rằ n g
các kết quả này có đòng kh ả n à n g x u ấ t hiện. Khi đó xác s u ấ t
của biến cố A là tỉ số giữa sổ k ế t quả th u ậ n lợi của A và số kết quả cố thể.
Như vậy tro n g trường hợp này ta có |Ả| p(A) - w
ở đó \A\ kí hiệu số phẩn tử của tậ p hợp A. 10
Như vậy tro n g trường hợp này việc tính xác suất quy về
việc đếm số kết quả cố th ể và số kết quả thuận lợi. Để việc
"đếm" này thực hiện một cách chính xác, nhanh chóng, ta Gần
một số kiến thức về Giải tích Tổ hợp (xem Phụ lục).
Định nghỉa xác suất cổ điển này dựa trê n hai giả thiết quan trọng : x
i) Các kết quà có thể là hữu hạn ;
ii) Các kết q uả có thể là dòng k h ả năng.
Hai giả th iết này thường được th ỏ a m ã n khi chúng ta tính
toán xác su ấ t tro n g các trò chơi m ay rủi, hoặc khi việc chọn
lựa là vô tư, không thiên vị. Thí dụ 4
Gieo đổng thời ba con xúc sắc được ch ế tạo cân đối, đổng
chất. T ính xác s u ấ t để tổng số nốt x u ất hiện của ba con là 9.
Giải : Mỗi kết quả của phểp thử là một bộ ba (a, b, c) tro n g
đổ a, b, c là các số nguyên dương từ 1 đến 6. Vậy 1 ^ a ^ 6 Q = (a, b, c) : 1 ^ b ^ 6 1 ^ c 6 IQI = 6 X 6 X 6 = 63 = 216.
Các bộ ba (a, b, c) có tổng bằng 9 là (1, 2, 6) và 5 hoán vị của nó (1, 3, 5) và 5 hoán vị của nd (1, 4, 4) và 2 hoán vị của nó (2, 2, 5) và 2 hoán vị của nd (2, 3, 4) và 5 hoán vị của nó (3, 3, 3)
Vậy số trư ờ n g hợp thuận lợi là
\A\ = 6 4 - 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25.
Vì các con xúc sắc cân đối, đồng ch ất nên có thể cho rằng
các kết q u ả là đổng khả nãng. Vậy 11 P(A) = 216 0,1157 Thi dụ 5
Trước cổng trường đại học có ba quán cơm binh dâni chất
lượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, c độc lập với nhau chọn
ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố sau :
a) 3 sinh viên vào cùng một quán ;
b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác.
Giải ; Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3. Gọi a, 6, c là
quán cơm m à sinh viên A, B, c chọn.
Như vậy Q là tập hợp các bộ ba (a, b, c) với 1 ^ a ^ 3, 1 ^ ò ^ 3, 1 ^ c ^ 3.
Rõ rà n g |Q | = 3 3 = 27. Ta cđ th ể coi rằn g các kết q u à là đống khả năng. a)
H iển nhiên cđ 3 trường hợp th u ậ n lợi là (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3). Vậy : p = 27 9
b) Các trư ờ ng hợp th u ậ n lợi là
( 1, 1, 2) và 2 hoán vị của nó
(1, 1, 3) và 2 hoán vị của nó
(2, 2, 1) và 2 hoán vị của nó
(2, 2, 3) và 2 hoán vị của nó
(3, 3j 1) và 2 hoán vl của nd
(3, 3, 2) và 2 hoán vi của nó. T hành thử |A| = 6 x 3 = 18. ♦ Xác s u ấ t cấn tìm là 18 2 P(A) = 27 3 12 Thí dụ 6
Một công ti cấn tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn,
trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển
của 6 người là như nhau. a) Tính
xác suất để 2 người trú n g tuyển đẽu là nam. b) Tính
xác suất để cả hai người trú n g tuyển đểu là nữ. c) Tính
xác suất để có ít nhất một nữ trú n g tuyển.
Giải : Số trư ờng hợp có thể là = 15 . Các trường hợp này đồng khả năng. a)
Vì chỉ có 1 trường hợp cà 2 nam trú n g tuyển nên xác s u ấ t là
b) Só cách chọn 2 nữ trú n g tuyển trong số 4 nữ là
C4 = 6. Vậy xác suất cẩn tim là c)
Chỉ có 1 trường hợp cả hai nam trú n g tuyển nên 14
trư ờ n g hợp còn lại đểu có ít n h ất một nữ trú n g tuyển. Vậy
b) Đ ịn h n g h ía x á c s u ấ t b ằ n g tẩn s u ấ t
Nếu số các kết quả cổ th ể là vô hạn hoặc hữu hạn như ng
không đổng khả năng, cách tính xác su á t cổ điển như trên
không còn dùng được. Giả sử phép thử s có thể được thực
h iện lặp lại r ấ t nhiều lẩn trong những điễu kiện giống hệt nhau.
N ếu tro n g n lần thự c hiện phép thử 6 , biến cố A xuất hiện
k'.(A) lần thì tỉ số fn(A) =
được gọi là tần suất xu ấ t hiện ^ *
c ủ a biến cố A trong n phép thử. Người ta nhận thấy rằ n g khi
Stố phép thử n tăng ra vô hạn thỉ tẩ n s u ấ t f n(A) luôn dần tới
raiột giới hạn xác định. 13
Giới hạn đó được định nghĩa là xác suất cùa A P(A) = lim fn(A). n -* oc
Trên thực tế P(A) được tính xấp xỉ bởi tầ n su ất fn(A) với n đủ lớn. Thí dụ 7
Để xác định xác suất để một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chết
trong năm sắp tới, người ta theo dõi 100000 thanh niên 25 tuổi
và thấy rằng có 138 người chết trong vòng 1 năm sau đổ. Vậy
xác suất cẩn tìm xấp xỉ bằng 138 100000 = ° ’001.38 Thí dụ 8
Các con số thống kê cho thấy tầ n suất sinh con trai xấp xỉ
0,513. Như vậy xác suất sinh con trai lớn hơn xác suất sinh con
gái. Việc giải thích sự kiện này là việc m à các nhà sinh học đang muón làm.
Định nghĩa xác suất bằng tần su ất chỉ áp dụng được cho các
phép thử ngẫu nhiên cò thể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lập
trong những điều kiện giống hệt nhau. Ngoài ra để xác định một
cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành
một số đủ lớn các phép thử, mà việc này đôi khi không thể làm
được vì hạn chế về thời gian và- kinh phí.
c) P h ư ơ n g p h á p t iê n đ ể tr o n g lí thuyết* x á c su ấ t
Bản chất của phường pháp tiên để khi xây dự ng một lí thuyết
toán học nào đđ là không quan tâm tới việc định nghĩa các đối
tượng của lí thuyết đ<5, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa
các đối tượng đổ. Các đổi tượng đố cố th ể có bản chất khác
nhau, miễn là chúng cùng tu â n theo một bộ các quy tắc xác
định, được gọi là hệ tiên đ'ê. Chảng hạn, tro n g bộ môn cờ tướng,
các quân cờ và bàn cờ là cái gỉ cũng được, cái quan trọng là
luật chơi. L uật chơi là "hệ tiên đề" của bộ môn cờ tướng. Trong 14
việc xây dựng môn H inh học theo phương pháp tiên đé cũng
vậy, các khái niệm điểm, đường th ẳ n g và m ật phảng không
được định nghĩa (chúng có th ể là b ất cứ cái gì, là các bàn ghế
hay cốc bia !). Một hệ tiên đề hỉnh học được nêu ra để định
rõ mối q u an hệ giữa chúng như : Qua hai điểm .xác định
một đường thẳng, qua ba điểm xác định một m ặ t phẳng, qua
một điểm vẽ được một đường th ẳ n g song song với một đường
th ẳ n g đã cho (tiên để Oclit). Các tiên để có th ể được lựa chọn
bằng n hữ ng cách khác nhau và tương ứng với mỗi hệ tiên để
là một thứ hình học : Hình học Oclit, H ình học Lôbasepski, H ỉnh học Riơman.
Trong việc xây dựng lí thuyết Xác su ấ t bằng phương pháp
tiên đề, người ta cũng không quan tâ m tới việc định nghĩa th ế
nào là xác su ất của m ột biến cố, m à chỉ quan tâm tới việc đưa
ra một hệ tiên đề m à định nghĩa xác su ấ t phải tuân theo.
Sau đây là hệ tiên để của lí th u y ết Xác su ất do nhà toán
học Nga lỗi lạc, Viện sỉ Kolmogorov, đưa ra năm 1933.
Giả sử & là một phép thử ngẫu nhiên vồ Q là tập hợp các
k ết quả của 6 . Mỗi tập con của Q được gọi là một biến cố
(liên kết với 6 ). Một họ ĩ nào đd các tập con của Q được gọi
là một ỡ - đại số qác biến cố nếu :
i) Q e ĩ , 0 e 7.
ii) Nếu A E 7 thì Q \ A E ĩ .
iii) N ếu Aj , A -,, ... là một dãy các tập hợp của họ 7 thì hợp oo u A t cũng thuộc 7. /1=1
Xác định m ột quy luật xác su ất trê n ơ - đại số 7 là gán
cho mỗi biến cô A E 7 một sô P(A) gọi là xác suất của A.
Pìhép gán đổ phải thỏa m ãn các điều kiện sau
1) V A e 7 , 0 ^ P(A) ^ 1 2) P(Q) = 1, P ( 0 ) = 0. 3) Nếu Aj ,
A 2 ••• là một dãy các biến cố thuộc ĩ đôi một xiung khắc với
nhau (Aị A ị = 0 nếu i j ) thì 15 0 0 ŨC p ( ũ A . ) = 2 m . ) /1 = 1 n = ì
Nói cách khác xác su ấ t p là m ột á n h xạ từ f vào [0,1] thỏa
mán 3 điều kiện nêu trên.
Thí dụ : Giả sử phép thử & gổm n kết quả có thể Q = {cư{1 cư25 0Jn}
Tá gán cho mỗi kết quả a>\ một sổ Pi ^ 0 sao cho
p\ + P2 + ••• + Pn = 1 . Gọi 7 là họ t ấ t cả các tậ p con của Q.
Dễ thấy 7 là một ơ - đại số. Nếu A là một tậ p con thì ta định nghĩa P(A) = 2 Pi i G /
ở đó tổng chạy trên các chỉ số i mà 0J\ E A. Dễ dàng kiểm
tra được ánh xạ p : A
P(A) th ỏ a m ãn hệ tiên đề Kolmogorov. Đặc biệt nếu ta chọn
P\ = P2 - ... = Pn = th ì n \ A \
P(A) = —— , ở đó |A| là số phẩn tử của A. Đây chính là định Tb
nghĩà xác su ấ t cổ điển trong trư ờ n g hợp các kết quả của & là đổng khả năng. Thí dụ
Giả sử phép thử & gổm một sổ vô hạn đếm được các kết quả
Q = {cưp (jl>2 •••}
Ta gán cho mỗi kết quả ơ)i m ộ t sổ Pi ^ 0 sao cho 00 1
/ Pi = 1 (chẳng han lấy Pi = —7 ). Goi 7 là ho tấi_cả các tẵ p ọ/ / = 1 z con của Q.
Dễ thấy 7 lập th à n h một õ - đại số. Nếu A là một tập con
của Q thì ta định nghĩa P(A) = 2 Pi i G /
ở đó I là tập hợp các chỉ số i m à U)ị E A. Dễ thấy tương ứnig
A —* P(A) như trê n xác định một xác suất. 16 Thí dụ
Giả sử phép thử & là chọn ngẫu nhiên một điểm tro n g hình
vuông I. Rõ rà n g tập hợp Q các kết quả cổ th ể là tập hợp các
điểm của hình vuông này. Q là một tập hợp không đếm được.
Biến cố : "Điểm ngẫu nhiên rơi vào tập hợp A tro n g hình vuông
I" được đổng n h ất với tập con A của I. Gọi lr là họ các tập
con của I có diện tích (chú ý rằíig từ lí th u y ết độ đo ta biết
rằ n g không th ể gán diện tích cho mọi tậ p con của /). Bây giờ
ta định nghĩa P(A) là diện tích của tập A. Do tính chất của
diện tích, cách gán như trê n thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorov
và như vậy cho ta một xác suất. N hững tậ p hợp không cò diện
tích tương ứng với. các biến cố m à không xác định được xác
suất. Các biến 'cố này r ấ t "ki quái" và thực tế chúng ta cũng
không bao giờ xem xét các biến cố như vậy.
Rõ rà n g cđ th ể cố nhiềù cách định nghĩa án h xạ p thỏa mãn
hệ tiên đề Kolmogorov. Thực tiễn khách q u an là tiêu chuẩn
q uyết định xem cách gán nào là đúng đắn, phù hợp.
d) N g u y ê n lí x á c x u ấ t nhỏ
Một biến cố không th ể có xác su ấ t bằng 0. Tuy nhi-ên một
biến cố cđ xác suất b ằ n g 0 vẫn cổ th ể xảy ra trong một số rất
lớn phép thử. Qua thự c nghiệm và quan s á t thự c tế, người ta
th ấ y rằn g các biến cố cđ xác su ất bé sẽ không xảy r a khi ta
chỉ thự c hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ dó người
t a th ừ a nhận nguyền lí sau đây, gọi là "Nguyên lí xác suất
nhỏ" : "Nếu m ột bĩến có cố xác su ấ t rấ t nhỏ thì thực t ế cđ th ể
cho rằ n g tro n g một phép thử biến cố đd sẽ không xảy ra ”.
C hẳng hạn mỗi chiếc máy bay đều cổ một xác su ất rấ t nhỏ
<để xảy ra tai nạn. Níhưng trên thực t ế ta vẫn không từ chối
(đi máy bay vì tin tư ở n g rằ n g tro n g chuyên bay t a đi sự kiện
máy bay rơi sẽ không xảy ra.
H iển nhiên việc quy định một mức xác su ất th ế nào được
gọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từ ng bài toán cụ thể. Chẳng hạn
nếu xác su ất để máy bay rơi là 0,01 thì xác su ấ t đổ chưa thể
được coi là nhỏ. Song nếu Kâc s u ấ t 111 ôt -chuyền t àu- -khởi hành chậm là 0,01 thì cđ thể ,2-MĐẩu.
No l/r. ( ijj. . é 4 S p . 6 17
Mức xác su ất nhỏ này được gọi là mức ý nghỉa. Nếu a là
mức ý nghĩa thì số Ịì = 1 - a gọi là độ tin cậy. Khi dựa trên
nguyên lí xác su ất nhỏ ta tuyên bố rằ n g : "Biến cổ A cd xác
su ất nhỏ (tức là P(A) ^ a) sẽ không xảy ra tr ê n thực tế ” thì
độ tin cậy của kết luận trê n là (ỉ. T ính đ úng đ á n của kết luận
chỉ xảy ra tro n g 100./?% trư ờ n g hợp.
Tương tự như vậy ta cđ th ể đư a r a nguyên lí xác su ất lớn.
Nếu biến cố A có xác su ất gần b ằ n g 1 thì tr ê n thự c t ế co' th ể
cho rằ n g biến cố đó sẽ xảy ra tro n g một phép thử. Cũng như
ở trên, việc quy định một mức xác s u ấ t th ế nào được gọi là
lớn sẽ tùy thuộc vào từ n g bài toán cụ thể.
§4. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
a) Quy. tá c c ộ n g x á c s u ấ t : N ếu A và B là hai biến có xung khấc thì PCA u B) P(A) + p (B)
Một cách tổ n g quát, cho các biến cố A 1 , A 2 , ... , An sao cho
hai biến cố b ấ t kì là xung khắc (nghĩa là chúng xung khắc từ ng đôi). Khi đố
p (Aj u A 2 u ... u A n) = P(A;) + ... + P(A„)
b) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t t ổ n g q u á t : N ếu A và B là
hai biến cồ bát kì (không n h á t thiết x u n g khắc) thi
P(A u B) = P(A) + PCB) - PCAB).
l ầ có th ể mở rộng công thứ c này cho hợp của ba biến cố :
P(A u B u C) = P(A) + p (B u C) - p (A (B u C)) =
= PCA) + p (B) + P(C) - P t BC) - p (AB u AC). Mặt khác
p (AB u AC) = P(AB> + p {AC) - p (ABC) 18 Thay vào ta được
p (A u B .u C) = P(A) + p (B) + P(C) - p (AB) -
- p {AC) - p {BC) + PiABC).
c) Quy t á c c h u y ể n s a n g b iế n c ố dối
Trong nhiều bài toán việc tín h xác su ấ t của biến cố A khó
Lơn nhiễu so với việc tín h xác su ấ t của biến cổ đối A. Khi đố
a sẽ tính P(A) rồi từ đó tỉm P(A) nhờ quan hệ sau : P(A) = 1 - P(Ã).
Các thí dụ sau đây sẽ m inh họa việc ứng dụng các quy tắc .), b) và c). T h í dụ 9
Trong một vùn g dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%,
m ắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%..
Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác su ất để
người đổ không m ắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.
Giải : Kí hiệu A là biến cố : '"Người đd m ắc bệnh tim", B
là biến cố : "Người đó m ắc bệnh huyết áp". Theo giả th iết ta cổ
PCA) = 0,09, p (B) = 0,12 và PCAB) = 0,07.
Gọi H là biến cố : "Người đó không m ắc cà bệnh tim và b ện h huyết áp".
Biến có đối H là : "Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyết áp". Tà cổ
H = A u B Theo quy tắc b)
P(H) = .P(A u B) = P(A) + p (B) - p (AB) = = 0,09 + 0,12 - 0,07 = 0,14. Theo quy tắc c)
P(H> = 1 - P(Ỡ) = 1 - 0,14 = 0,86. T h ỉ dụ 10
Cho A, B, c là ba biến cố sao cho 19 P(A) = 0,5, P(B) = 0,7, P(C) = 0,6 p (AB) = 0,3, p (BC) = 0,4, P(AC) - 0,2 và p (ABC) = 0,1. a) Tỉm
xác su ất để cả ba biến cố A, B, c đều không xảy ra. b) Tìm
xác suất để chỉ có đúng hai trong ba biến cố xảy ra. c) Tìm
xác suất để chỉ có đúng một biến cố trong ba biến cố xảy ra. Giải
a) Gọi H là biến cố cần tìm. Dễ thấy
H = A U B \ J C , H = Ã B C
Vậy p (H) =1 P(A) + p (B) + P(C) - p (AB) -
- P(-BC) - p (CA) + p ( A B q = 0,5 + 0,7 + 0,6 - - (0,3 + 0,4 + 0,2) + 0,1 = 1.
Vậy p (H) = 1 - P (ĩĩ) = 0
b) Gọi E là biến cố cần tìm. Ta có
E = ABC u ACB u ABC. Theo quy tắc 1) Ta có
P(Ê) = P(ABC) + p (ACB) + p (ÃBỢ). Tk tính P(ABC). Dễ thấy
AB = ABC u ABC vậy P(AB) = P(ABC) + V(ABC) suy ra
p (ABC) = P(AB) - P(ABC) = 0,2. Tương tự
p (ACB) = P(AC) - p (ABC) = 0,1.
P(ÃfiC) = P(J3C) - P(ABC) = 0,3. Từ đó p (E) = 0,6.
c) Gọi F là biến cố cẩn tìm. Ta có
E u F u ABC = A u B u c
Các biến cố E, F, A B C đôi một xung khắc. Vậy
P(A u B u C) = p (E) + p (F) + p (ABC) «=> 1 = 0,6 + P(F) + 0,1 => p (F) = 0,3. Thí dụ 11
Trên giá sách cđ n cuốn sách (n ^ 4) tro n g đó có 3 cuốn
sách của cùng một tác giả. Tìm xác su ất để không có hai cuốn
nào trong ba cuốn đ ứ n g cạnh nhau.
Giải : Kí hiệu ba cuốn sách đố là a, b và c.
Kí hiệu H là biến cố đang xét
A là biến cố : "Hai cuốn sách b, c đứ ng cạnh nhau"
B là biến cố : "Hai cuốn sách a, c đứng cạnh nhau"
c là biến có : "Hai cuốn sách a,
b đứng cạnh n h a u ”. Khi đó
POH) = 1 - P(A u B u C) = = 1 - P(A) - P(B) - P(C) + P(AB) + + p(AC) + P(BC) - p(ABC). _ 2 ( n - 2 ) ! ( n - 1) 2
Dễ thấy p(A) = p (£ ) = P(C) = -±----- ^ -1 = ị Tá tính P(A5). Dễ thấy = 2(n - 3 ) ! ( , - 2 ) ... m2 ( ) nỉ n(n - 1)
Tương tự P(BC) = PCAC) = TÌ/\JTL IJ
Hiển nhiên p (ABC) = 0. Vậy 6 6 6(n — 2) P(H) = 1 - - + = 1 - TV = v y n n(n - 1) n(n - 1)
(n - 4) (n — 3) n(n —2) d) Q uy tắ c n h â n
Hai biến cố A ưà B được gọi là dộc lập vói nhau nếu việc xảy
ra hay không xảy ra biến cố này không lầm
ảnh hưởng tới việc
xảy ra hay không xảy ra biến có kia. 21
