lOMoARcPSD|50582371
TRUNG TÂM ÔN THI HỌC KỲ
Học - Học nữa - Học mãi OTHK.VN
Bộ Môn: Toán kinh tế II
Phần 4 Các quy luật phân phối xác suất
Ths. Nguyễn Ngọc Huy – 0931.731.806
I, Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 1, Phân phối nhị thức: X ~ B(n,p)
Giả sử ta có một lược ồ Bernoulli tức là tiến hành n phép thử ộc lập, trong mỗi phép
thử chỉ có hai trường hợp, hoặc là biến cố A xuất hiện, hoặc là biến cố A không xuất
hiện, xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p như vậy xác suất A
không xuất hiện trong mỗi phép thử ều bằng q = 1 – p.
Gọi X là “số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử ộc lập” nói trên thì X là biến
ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có X = 0, 1, …,n. Xác suất ể X nhận k giá
trị tương ứng ược tính bằng công thức Bernoulli:
𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒌𝒏𝒑𝒌𝒒𝒏−𝒌 𝒗ớ𝒊 𝒌 = 𝟎, 𝟏, … . , 𝒏
Nếu X nhận giá trị trong oạn [a ; a+m] là:
𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒂 + 𝒎) = 𝑷(𝑿 = 𝒂) + 𝑷(𝑿 = 𝒂 + 𝟏) + ⋯ + 𝑷(𝑿 = 𝒂 + 𝒎)
Các ặc trưng của quy luật nhị thức: o E(X) = n.p o V(X) = n.p.q
Khả năng X xảy ra lớn nhất: 𝑚0 ∈ 𝑁 ược xác ịnh qua công thức:
𝒏. 𝒑 + 𝒑 − 𝟏 ≤ 𝒎𝟎 ≤ 𝒏𝒑 + 𝒑
Ví dụ 1: Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy
ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy ược.
a. X tuân theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật.
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 1 lOMoARcPSD|50582371
b. Tính xác suất ể có 3 sản phẩm loại 1.
c. Tìm xác suất ể lấy ược tối thiểu 2 sản phẩm loại 1. d. Tìm E(X) và V(X).
e. Tìm số sản phẩm loại 1 có khả năng lấy ra lớn nhất và tính khả năng ó.
2. Quy luật POISSON: X ~ P(𝝀)
Giả sử bài toán tuân theo lược ồ Bernoulli, tuy nhiên, nếu số phép thử n quá lớn hoặc khó
xác ịnh mà xác suất p lại quá nhỏ, thì việc tính toán sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, trong
trường hợp này (n lớn, p nhỏ) người ta sử dụng công thức xấp xỉ Poisson.
Giả sử tích n.p luôn luôn bằng một giá trị không ổi là n.p = 𝜆, lúc ó công thức Bernoulli có thể viết như sau: 𝝀𝒌
𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝒆−𝝀 × 𝒗ớ𝒊 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 … . 𝒌!
Chú ý. Vì n quá lớn do ó những bài toán tính xác suất lớn hơn a thì ta sẽ tính xác suất ối tức là: 𝜆0 𝜆1 𝜆𝑎 𝑃(𝑋 > 𝑎)
Hoặc nhỏ hơn hoặc bằng b thì ta có: 𝜆0 𝜆1 𝜆𝑏−1 𝑃 Các ặc trưng cơ bản: • E(X) = 𝜆 • V(X) = 𝜆
• 𝜆 − 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝜆
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 2 lOMoARcPSD|50582371
Ví dụ 2: Số khách hàng vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân
theo quy luật Poisson với mật ộ (số khách trung bình) là 8 khách hàng trong 1 giờ. Tím xác
suất ể trong 1 giờ nào ó có hơn 4 khách hàng vào.
3. Quy luật siêu bội: X ~ H(N,M,n)
Giả sử trong tổng thể N cho trước có M yếu tố xảy ra. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra n giá trị
từ tổng thể N. Gọi X là số yếu tố xảy ra trong n giá trị
Khi ó: 𝑋~𝐻(𝑁, 𝑀, 𝑛)
Xác suất ể k yếu tố xảy ra là:
𝐶𝑀𝑘 . 𝐶𝑁−𝑀𝑛−𝑘 𝑃(𝑋 = 𝑘) =
𝐶𝑁𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑘 = 0,1, … . , 𝑛
Các tham số ặc trưng: • E(X) = n.𝑀 𝑁 • V(X) = n.
𝑀 . 𝑁−𝑀 . 𝑁−𝑛 𝑁 𝑁 𝑁−1
Ví dụ 3: Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 người có tay nghề khá. Người ta
thực hiện việc kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 công nhân:
a. Tìm xác suất ể có ít nhất 3 người có tay nghề khá.
b. Tìm số công nhân trung bình có tay nghề khá.
4. Quy luật phân phối ều: X ~ U(a,b)
Phân phối ều là quy luật phân phối xác suất ơn giản nhất trong các quy luật phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu biến ngẫu nhiên X có thể nhận bất kỳ giá trị nào trên
oạn [a;b] với a và b là các số thực và ứng với mỗi giá trị là mật ộ xác suất như nhau thì biến X sẽ có phân phối ều: 1
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 3 lOMoARcPSD|50582371 𝑓
0 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ [𝑎, 𝑏]
Cũng giống như việc tính xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục, tại 1 giá trị cụ thể thì xác
suất luôn bằng 0. Do ó xác suất ở khoảng (u,v) với u,v ∈ [a;b] 𝑣 1
𝑃(𝑢 < 𝑋 < 𝑣) = ∫ 𝑑𝑥 𝑢 𝑏 − 𝑎 Các
giá trị ặc trưng: • 𝐸(𝑋) = 𝑎+𝑏 2 (𝑏−𝑎)2 • 𝑉(𝑋) = 12
5. Phân phối mũ hay lũy thừa: X ~ E(𝜆)
Biến ngẫu nhiên liên tục X là phân phối theo quy luật mũ (quy luật lũy thừa) nếu
hàm mật ộ xác suất của nó có dạng: 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = {𝜆. 𝑒−𝜆𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝜆 𝑙à 𝑚ộ𝑡 ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔
Cũng giống như việc tính xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục, tại 1 giá trị cụ thể thì xác
suất luôn bằng 0. Do ó xác suất ở khoảng (a,b) với a,b ∈ [0;+∞) 𝑏
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ∫ 𝜆. 𝑒−𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝜆𝑎 − 𝑒−𝜆𝑏 𝑎
Các giá trị ặc trưng: • 𝐸(𝑋) = 1 𝜆 • 𝑉(𝑋) = 𝜆 12
Ví dụ 4: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật ộ xác suất:
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 4 lOMoARcPSD|50582371 𝑓
a. Tìm xác suất ể trong kết quả của phép thử X nhận giá trị trong khoảng (0,3;1)
b. Tìm kỳ vọng toán và phương sai của X
6. Quy luật phân phối chuẩn: X ~ N(𝝁, 𝝈𝟐)
Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trong khoảng (-∞; +∞) gọi là phân phối theo
quy luật chuẩn với các hàm số 𝜇 và 𝜎2, nếu hàm mật ộ xác suất của nó có dạng: 𝟏 (𝒙−𝝁)𝟐 𝒇(𝒙) = . 𝒆 𝟐.𝝈𝟐 𝝈. √𝟐𝝅 Các
tham số ặc trưng của quy luật chuẩn: • 𝐸(𝑋) = 𝜇 • 𝑉(𝑋) = 𝜎2 • Độ lệch chuẩn: 𝜎 •
𝜙0(+∞) = 0,5 ; 𝜙0(−𝑘) = −𝜙0(𝑘) Công thức tính xác suất: •
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝜙0 (𝑏−𝜇𝜎 ) − 𝜙0 (𝑎−𝜇𝜎 ) •
𝑃(𝑋 > 𝑎) = 0,5 − 𝜙0 (𝑎−𝜇𝜎 ) •
𝑃(𝑋 < 𝑏) = 0,5 + 𝜙0 (𝑏−𝜇 𝜎 )
Xác suất của sự sai lệch (chênh lệch) giữa biến ngẫu nhiên X và kỳ vọng toán (𝜇) của nó: 𝜀
𝑃(|𝑋 − 𝜇| < 𝜀) = 2. 𝜙0 ( ) 𝜎
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 5 lOMoARcPSD|50582371
Ví dụ 5: Trong hệ thống tỷ giá hối oái thả nổi, sự biến ộng của tỷ giá hối oái chịu sự tác
ộng của rất nhiều nhân tố và có thể xem như biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Giả sử ở
một giai oạn nào ó tỷ giá của USD với VND có trung bình là
23.500 và ộ lệch chuẩn là 500 . Tìm xác suất ể một ngày nào ó:
a. Tỷ giá sẽ thấp hơn 24.000
b. Tỷ giá sẽ cao hơn 22.000
c. Tỷ giá sẽ nằm trong khoảng từ 22.500 ến 25.500 .
d. Tỷ giá sai lệch so với tỷ giá trung bình một lượng là 1.000
Một nhà ầu tư thử tính toán trong 1 tuần diễn ra hoạt ộng trao ổi trên thị trường ngoại hối:
e. Tính xác suất có úng 2 ngày tỷ giá cao hơn 23.500
f. Xác ịnh số ngày trung bình tỷ giá cao hơn 23.500
Ví dụ 6: Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự ộng sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân
theo quy luật chuẩn với E(X) = 100 gam và ộ lệch chuẩn là 1 gam. Sản phẩm ược coi là ạt
tiêu chuẩn kỹ thuật nếu trọng lượng của nó ạt từ 98 gam ến 102 gam.
a. Tính tỷ lệ sản phẩm ạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy.
b. Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy.
c. Tìm xác suất ể trong 5 sản phẩm của nhà máy ược sản xuất ra thì thấy có ít nhất 1 phế phẩm.
d. Nếu sản phẩm ạt tiêu chuẩn thì nhà máy lãi 12 USD, nếu là phế phẩm thì bị lỗ 4
USD. Tính số tiền lãi trung bình khi sản xuất 1000 sản phẩm.
Ví dụ 7: Nghiên cứu chiều cao của những người trưởng thành, người ta nhận thấy
rằng chiều cao ó tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình là 175cm và ộ lệch tiêu chuẩn 4cm. Hãy xác ịnh:
a, Tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180cm.
b, Tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166cm ến 177cm. c, Giá trị h 0, nếu
biết rằng 33% người trưởng thành có tầm vóc dưới mức h 0. d, Giới hạn biến ộng chiều
cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình của nó.
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 6 lOMoARcPSD|50582371
Ví dụ 8. Thời gian bảo hành một sản phẩm là 3 năm. Nếu bán ược một sản phẩm thì
cửa hàng có lãi là 150.000 ồng, nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì chi phí
bảo hành cho một sản phẩm là 500.000 ồng. Biết rằng tuổi tho X ~ N(4,2 ;(1,8)2 )
1, Tính tiền lãi trung bình khi bán một sản phẩm.
2, Muốn lãi trung bình là 50.000 ồng khi bán một sản phẩm thì phải quy ịnh thời gian
bảo hành là bao nhiêu năm?
Ví dụ 9. Người ta theo dõi tình hình sản xuất của 1 cơ sở chế biến sản phẩm X nhận thấy
tỷ lệ sản phẩm không ạt tiêu chuẩn là 10%. Tìm xác suất ể trong 500 sản phẩm lấy ngẫu
nhiên có: a, Không quá 10 sản phẩm không ạt tiêu chuẩn.
b, Từ 12 ến 82 sản phẩm không ạt tiêu chuẩn.
“ Thà ể giọt mồ hôi rơi trên trang sách, còn hơn ể giọt nước mắt rơi trên ề thi” 7