11 trang 2 lượt tải

Phương Pháp Giải Toán 9 Giải Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Thế

3

Ưu điểm của phương pháp thế được thể hiện trong bài toán giải và biện luận hệ phương trình, vì sau khi thế ta được phương trình một ẩn. Số nghiệm của hệ đã cho  phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 1: Phương trình và hệ phương trình (CTST) 8 tài liệu

Môn: Toán 9 2.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 ngày trước
Danh sách Quiz
/11
Trang 1
Bài 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quy tắc thế
▪ Quy tắc thế là quy tắc dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
2. Các bước thực hiện
▪ Bước 1. Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới,
trong đó có một phương trình một ẩn;
▪ Bước 2. Giải phương trình một ẩn thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý:
▪ Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
,xy
giải bằng phương pháp thế có thể lựa chọn việc rút
x
hoặc rút
y
. Để tránh độ phức tạp trong tính toán ta thường chọn rút ẩn có hệ số là
1
trong hệ
đã cho.
▪ Ưu điểm của phương pháp thế được thể hiện trong bài toán giải và biện luận hệ phương trình, vì
sau khi thế ta được phương trình một ẩn. Số nghiệm của hệ đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của
phương trình bậc nhất một ẩn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
▪ Thực hiện theo hai bước ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau
a)
2
2 1;
xy
xy
−=
+=
ĐS:
1
1
x
y
=
=−
.
b)
ĐS:
155
19
1275
76
x
y
=−
=−
.
c)
4
3
1
2;
3
y
x
xy
−=
−=
ĐS:
35
3
23
x
y
=
=
.
d)
2
7
33
4
1;
75
xy
xy
−=
+ = −
ĐS:
77
47
455
47
x
y
=
=−
.
e)
( ) ( )
( ) ( )
1 3 1 3 4
1 3 1 3 3;
xy
xy
+ + − =
+ + + =
ĐS:
9 10 3
6
3
6
x
y
−+
=
=−
.
Trang 2
f)
( )
25
1 2 2.
xy
xy
+=
+ + =
ĐS:
7 2 2
9 7 2
x
y
=−
=−
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
2
21
( 1) 4 2
xy
a x y a
−=
+ − =
trong mỗi trường hợp sau
a)
1a =−
; ĐS: vô nghiệm.
b)
0a =
; ĐS:
2
1
2
x
y
=
=
.
c)
1a =
. ĐS: vô số nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
▪ Bước 1: Thu gọn hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản.
▪ Bước 2: Sử dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình vừa nhận được.
▪ Bước 3: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2( 2 ) 3( 2 ) 4
( ) 2( ) 1;
x y x y
x y x y
− + + =
− + + =
ĐS:
6
11
7
11
x
y
=
=
.
b)
12
3 2;
x y x y
x y x y
+ − = +
+ = − +
ĐS:
1
0
x
y
=
=
.
c)
2( 2) 3(1 2 ) 3
3( 2) 2(1 2 ) 1;
xy
xy
− + + = −
+ + − = −
ĐS:
31
13
6
13
x
y
=−
=
.
d)
12
1
24
23
2.
36
x y x y
x y y x
− − −
+=
+ − −
−=
ĐS:
18
7
3
7
x
y
=
=
.
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau
a)
(2 1)( 1) ( 3)(2 5)
(3 1)( 1) ( 1)(3 1);
x y x y
x y x y
− + = − −
+ − = − +
ĐS:
4
3
4
3
x
y
=
=
.
Trang 3
b)
(2 1)(2 1) ( 3)( 5) 3
(3 1)( 1) ( 1)( 1) 2 .
x y x y xy
x y x y xy
− + = − − +
+ − = − + +
ĐS:
16
9
32
9
x
y
=
=
.
Dạng 3: Sử dụng đặt ẩn phụ giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
▪ Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện (nếu có).
▪ Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới thu được.
▪ Bước 3: Từ các giá trị của ẩn phụ vừa nhận được, giải tìm các ẩn của hệ ban đầu.
▪ Bước 4: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 5. Giải các hệ phương trình sau
a)
2( ) 4( 2 ) 6
3( ) ( 2 ) 2;
x y x y
x y x y
− + + =
− − + =
ĐS:
1
0
x
y
=
=
.
b)
12
1
21
3;
xy
xy
− = −
+=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
c)
11
2
2
32
2;
2
x y x y
x y x y
+=
−+
− = −
−+
ĐS:
25
24
35
24
x
y
=
=−
.
d)
32
3
13
41
5;
13
x
xy
x
xy
−=
−+
+=
−+
ĐS:
13
2
2
3
x
y
=
=
.
e)
21
2
11
62
1;
11
xy
xy
+=
++
−=
++
ĐS:
1
0
x
y
=
=
.
f)
11
8
21
21
6.
21
x y x y
x y x y
+=
− + + −
−=
− + + −
ĐS:
17
70
54
35
x
y
=−
=
.
Ví dụ 6. Giải các hệ phương trình sau
a)
2 1 1 5
3 1 1 1;
xy
xy
− + + =
− − + =
ĐS:
61
25
194
25
x
y
=
=
.
Trang 4
b)
21
2
11
62
1.
11
xy
xy
+=
+−
−=
+−
ĐS:
3
2
x
y
=
=
.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
▪ Thay giá trị của biến vào từng phương trình trong hệ đã cho để tìm các giá trị thỏa mãn
yêu cầu đề bài.
Ví dụ 7. Cho hệ phương trình
23
5
ax by
bx ay
−=
− = −
. Xác định các hệ số
a
và
b
, biết:
a) Hệ có nghiệm
( ; ) (1;2)xy=
; ĐS:
7
,2
2
ab==
.
b) Hệ có nghiệm
( )
( ; ) 1 3;1 3xy= − +
. ĐS:
38 11 3 103 5 3
,
23 46
ab
++
= = −
.
Ví dụ 8. Tìm giá trị của
a
và
b
để hai đường thẳng
1
( ): ( 1) (2 1) 33d a x b y− + − =
và
2
( ) : 2 11d bx ay+=
cắt nhau tại điểm
(1; 2)M −
. ĐS:
76 139
,
15 15
ab= − = −
.
Ví dụ 9. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
( ) :d y ax b=+
đi qua hai điểm:
a)
1
(1; 2), ;1
3
AB

−


; ĐS:
95
,
22
ab= − =
.
b)
(1;3), ( 1;5)CD−
. ĐS:
1, 4ab= − =
.
Ví dụ 10. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
2bx ay a− = −
đi qua điểm
(2;5)M
và đi qua giao điểm của
hai đường thẳng
1
( ) :3 2 1d x y−=
và
2
( ) : 7 4 3d x y−=
. ĐS:
1, 4ab= − = −
.
Ví dụ 11. Cho hai đường thẳng
1
( ) : 2 1d x y−=
và
2
( ) : ( 1) 5d m x y− + =
. Tìm
m
để hai đường thẳng
đã cho cắt nhau tại một điểm
A
thỏa mãn:
a)
A
thuộc trục hoành; ĐS:
11m =
.
b)
A
thuộc trục tung; ĐS:
m
.
c)
A
thuộc đường thẳng
21yx=−
; ĐS:
1m −
.
d)
A
thuộc góc phần tư thứ nhất. ĐS:
1 11m−
.
Ví dụ 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng
1
( ) : 2d x y a−=
và
2
( ) : 2 5 8d x by−=
, biết
1
()d
đi qua
điểm
(4; 3)A −
và
2
()d
đi qua điểm
( 1;3)B −
. ĐS:
74 18
;
11 11
M

−


.
Ví dụ 13. Tìm giá trị của
m
để đường thẳng
( ): (2 1) 5d m x y m− + =
đi qua giao điểm của hai đường
thẳng
1
( ) : 2 3d x y+=
và
2
( ) :3 2 1d x y−=
. ĐS:
0m =
.
Trang 5
Ví dụ 14. Tìm giá trị của tham số
m
để ba đường thẳng
12
( ): 2 1,( ) :3 10d x y d x y− = + =
và
3
( ): ( 1) 2 1d m x y m+ + = +
đồng quy. ĐS:
3m =−
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
1
3 7;
xy
xy
−=
+=
ĐS:
2
1
x
y
=
=
.
b)
0,1 0,2 2
0,7 0,5 1;
xy
xy
−=
−=
ĐS:
80
9
130
9
x
y
=−
=−
.
c)
3
4
1
2 3 ;
3
y
x
xy
−=
−=
ĐS:
107
30
34
15
x
y
=
=
.
d)
2
1
23
1;
45
xy
xy
−=
+ = −
ĐS:
7
4
45
16
x
y
=−
=−
.
e)
( ) ( )
( ) ( )
1 5 1 5 5
1 5 1 5 3;
xy
xy
+ + − =
+ + + =
ĐS:
15 19 5
20
5
5
x
y
−+
=
=−
.
f)
( )
33
1 3 1.
xy
xy
+=
+ + =
ĐS:
4 3 5
5 3 9
x
y
=−
=−
.
Bài 2. Giải hệ phương trình
2
4 2 1
(3 1) 4 2
xy
a x y a
−=
+ − =
trong mỗi trường hợp sau:
a)
1a =−
; ĐS:
1
3
2
x
y
=
=
.
b)
0a =
; ĐS:
2
7
1
14
x
y
=
=
.
Trang 6
c)
1a =
. ĐS:
0
1
2
x
y
=
=−
.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
a)
(2 ) 3( 2 ) 1
( 2 ) 2( 2 ) 1;
x y x y
x y x y
+ + − = −
− + + =
ĐS:
3
25
8
25
x
y
=
=
.
b)
2( 1) 3(1 ) 3
2( ) (1 2 ) 1;
xy
x y y
− + + = −
+ + + = −
ĐS:
5
2
x
y
=−
=
.
c)
22
2
24
2 1 2
1.
36
x y x y
x y y x
+ − −
+=
− − −
−=
ĐS:
4
8
5
x
y
=
=
.
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau
a)
( 1)( 1) ( 3)( 3)
(2 1)( 2) (2 1)( 1);
x y x y
x y x y
− + = − +
+ + = − +
ĐS:
5
4
11
4
x
y
=
=−
.
b)
( 1)(2 1) ( 3)( 5)
( 1)( 1) (2 1)( 1) .
x y x y xy
x y x y xy
− + = − − +
+ + = − + −
ĐS:
34
13
4
13
x
y
=
=
.
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
( ) (3 2 ) 1
4( ) (3 2 ) 2;
x y x y
x y x y
− + − =
− − − =
ĐS:
4
5
7
5
x
y
=−
=−
.
b)
21
1
32
5;
xy
xy
−=
+=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
c)
11
1
2
31
2;
2
x y x y
x y x y
+=
+−
− = −
−+
ĐS:
16
15
44
15
x
y
=−
=
.
Trang 7
d)
2
4
11
31
5;
11
x
xy
x
xy
−=
++
+=
++
ĐS:
2
2
x
y
=−
=−
.
e)
21
2
11
11
3;
11
xy
xy
+=
−+
−=
−+
ĐS:
8
5
7
4
x
y
=
=−
.
f)
11
2
3
23
6.
3
x y x y
x y x y
+=
− + +
−=
− + +
ĐS:
61
24
1
24
x
y
=−
=
.
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau
a)
25
3 1;
xy
xy
+=
−=
ĐS:
36
25
169
25
x
y
=
=
.
b)
11
2
32
1.
xy
xy
+=
−=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
Bài 7. Cho hệ phương trình
24
25
ax by
ax by
−=
+=
. Xác định các hệ số
a
và
b
, biết:
a) Hệ có nghiệm
( ; ) (1;1)xy=
; ĐS:
13 6
,
55
ab==
.
b) Hệ có nghiệm
( )
( ; ) 3;1 3xy=−
. ĐS:
13 3 3 3 3
,
55
ab
+
= = −
.
Bài 8. Tìm giá trị của
a
và
b
để hai đường thẳng
1
( ): 2 7d ax by+=
và
2
( ) : 7d bx ay−=
cắt nhau tại
điểm
(1;2)M
. ĐS:
2
3
a
b
=−
=
.
Bài 9. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
( ) :d y ax b=+
đi qua hai điểm:
a)
( 2;5), (4;1)AB−
; ĐS:
2 11
,
33
ab= − =
.
b)
(1;2), ( 1;4)CD−
. ĐS:
1, 3ab= − =
.
Trang 8
Bài 10. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
23bx ay a− = −
đi qua điểm
(2;3)M
và đi qua giao điểm của hai
đường thẳng
1
( ) : 2 1d x y−=
và
2
( ) : 7 4 17d x y−=
. ĐS:
33
,
88
ab= = −
.
Bài 11. Cho hai đường thẳng
1
( ) : 4 1d x y−=
và
2
( ) : 2d mx y+=
. Tìm
m
để hai đường thẳng đã cho
cắt nhau tại một điểm
A
thỏa mãn:
a)
A
thuộc trục hoành; ĐS:
8m =
.
b)
A
thuộc trục tung; ĐS:
m
.
c)
A
thuộc đường thẳng
1yx=+
; ĐS:
1
2
m =
.
d)
A
thuộc góc phần tư thứ nhất ĐS:
48m−
.
Bài 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng
1
( ):3 2d x y a−=
và
2
( ) : 2 4d x by−=
, biết
1
()d
đi qua
điểm
(4;3)A
và
2
()d
đi qua điểm
(1;2)B
. ĐS:
34 12
;
13 13
M



.
Bài 13. Tìm giá trị của
m
để đường thẳng
( ) : ( 1) 3d m x y m+ − =
đi qua giao điểm của hai đường
thẳng
1
( ) : 3d x y+=
và
2
( ) :3 2 1d x y− = −
. ĐS:
1
2
m =−
.
Bài 14. Tìm giá trị của tham số
m
để ba đường thẳng
12
( ):3 2 1,( ) :3 2d x y d x y− = − =
và
3
( ): 2 1d mx y m− = −
. ĐS:
0m =
.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau
a)
21
2;
xy
xy
−=
+=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
b)
0,1 0,4 3
0,2 0,25 1;
xy
xy
−=
− = −
ĐS:
230
11
140
11
x
y
=−
=−
.
c)
4
2
1
;
3
y
x
xy
+=
−=
ĐS:
25
9
22
9
x
y
=
=
.
d)
1
24
1;
32
xy
xy
−=
+ = −
ĐS:
3
4
5
2
x
y
=
=−
.
Trang 9
e)
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 2
1 2 1 2 3;
xy
xy
+ + − =
+ + + =
ĐS:
12 11 2
4
2
4
x
y
−+
=
=
.
f)
( )
22
1 2 1.
xy
xy
+=
+ − =
ĐS:
1 5 2
7
42
7
x
y
+
=
−
=
.
Bài 16. Giải hệ phương trình
2
2
( 1) 2 4
xy
a x y a
+=
+ + =
trong mỗi trường hợp sau:
a)
1a =−
; ĐS: vô nghiệm.
b)
0a =
; ĐS:
4
2
x
y
=
=−
.
c)
1a =
. ĐS: vô số nghiệm.
Bài 17. Giải các hệ phương trình sau:
a)
( ) 2( ) 3
( 2 ) 2( 2 ) 1;
x y x y
x y x y
− + + =
+ + − =
ĐS:
7
9
2
3
x
y
=
=
.
b)
2( 1) 3(1 ) 3
3( 1) 2(1 ) 2;
xy
xy
− − + =
+ + − =
ĐS:
5
6
x
y
=−
=−
.
c)
2 1 2
2 1;
x x y
x y x y
+ = +
− = + +
ĐS:
1
0
x
y
=−
=
.
d)
12
1
64
1
2.
23
x x y
x y y x
−−
+=
+ − −
−=
ĐS:
44
23
10
23
x
y
=
=
.
Bài 18. Giải các hệ phương trình sau
a)
( 1)( 1) ( 3)( 3)
( 1)(2 1) (2 1)( 1);
x y x y
x y x y
+ + = − +
+ − = − +
ĐS:
5
5
x
y
=−
=−
.
b)
( 1)( 1) (2 3)( 2)
( 1)(2 1) ( 1)( 1) .
x y x y xy
x y x y xy
− + = − − −
+ − = − + +
ĐS:
21
19
14
19
x
y
=
=
.
Trang 10
Bài 19. Giải các hệ phương trình sau:
a)
( ) 2( 2 ) 3
2( ) ( 2 ) 1;
x y x y
x y x y
+ + − =
+ − − =
ĐS:
1
0
x
y
=
=
.
b)
12
3
21
1;
xy
xy
+=
−=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
c)
11
4
12
1;
x y x y
x y x y
+=
−+
−=
−+
ĐS:
2
3
1
3
x
y
=
=
.
d)
2
2
11
21
7;
11
x
xy
x
xy
−=
++
+=
++
ĐS:
16
11
2
3
x
y
=−
=
.
e)
11
1
11
34
1;
11
xy
xy
+=
+−
−=
+−
ĐS:
2
5
9
2
x
y
=
=
.
f)
12
4
21
21
6.
21
x y x y
x y x y
+=
+ − − −
−=
+ − − −
ĐS:
93
32
19
32
x
y
=
=−
.
Bài 20. Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 2 1 3
3 1 1 2;
xy
xy
+ + − =
+ − − =
ĐS:
0
2
x
y
=
=
.
b)
11
2
65
1.
xy
xy
+=
−=
ĐS:
1
1
x
y
=
=
.
Bài 21. Cho hệ phương trình
1
24
ax by
bx ay
−=
− = −
. Xác định các hệ số
a
và
b
, biết:
a) Hệ có nghiệm
( ; ) (1;1)xy=
; ĐS:
2, 3ab= − = −
.
b) Hệ có nghiệm
( )
( ; ) 2;1 2xy=−
. ĐS:
4 2 2, 2 3ab= − = −
.
Trang 11
Bài 22. Tìm giá trị của
a
và
b
để hai đường thẳng
1
( ): ( 1) 4d ax b y+ − =
và
2
( ) : 2 5d bx ay−=
cắt
nhau tại điểm
(1;3)M
. ĐS:
1 26
,
11 11
ab= − =
.
Bài 23. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
( ) :d y ax b=+
đi qua hai điểm:
a)
( 1;2), ( 2;1)AB−−
; ĐS:
1, 3ab==
.
b)
( 1;1), (2;4)CD−
. ĐS:
1, 2ab==
.
Bài 24. Tìm
a
và
b
để đường thẳng
2ax by a+ = −
đi qua điểm
(1;1)M
và đi qua giao điểm của hai
đường thẳng
1
( ): 2 1d x y− = −
và
2
( ) : 2 4d x y−=
. ĐS:
1, 2ab= = −
.
Bài 25. Cho hai đường thẳng
1
( ) : 2d x y−=
và
2
( ) : 4d x my+=
. Tìm
m
để hai đường thẳng đã cho
cắt nhau tại một điểm
A
thỏa mãn
a)
A
thuộc trục hoành; ĐS:
m
.
b)
A
thuộc trục tung; ĐS:
2m =−
.
c)
A
thuộc đường thẳng
1yx=−
; ĐS:
m
.
d)
A
thuộc góc phần tư thứ nhất. ĐS:
1m −
.
Bài 26. Tìm giao điểm của hai đường thẳng
1
( ) : 4d x y b−=
và
2
( ) : 2 5 9d ax y+=
, biết
1
()d
đi qua
điểm
(1; 2)A −
và
2
()d
đi qua điểm
( 2;4)B −
. ĐS:
26 2
;
17 17
M



.
Bài 27. Tìm giá trị của
m
để đường thẳng
( ) : ( 1) 2d m x y m− + =
đi qua giao điểm của hai đường
thẳng
1
( ) : 3d x y+=
và
2
( ) :3 2 1d x y−=
. ĐS:
1
3
m =
.
Bài 28. Tìm giá trị của tham số
m
để ba đường thẳng
12
( ): 2 1,( ) : 4 11d x y d x y− = − =
và
3
( ) : ( 1) 2d m x y m− + =
đồng quy. ĐS:
2m =
.
--- HẾT ---

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

Bài 3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Quy tắc thế
▪ Quy tắc thế là quy tắc dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
2. Các bước thực hiện
▪ Bước 1. Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới,
trong đó có một phương trình một ẩn;
▪ Bước 2. Giải phương trình một ẩn thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Chú ý:
▪ Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y giải bằng phương pháp thế có thể lựa chọn việc rút
x hoặc rút y . Để tránh độ phức tạp trong tính toán ta thường chọn rút ẩn có hệ số là 1  trong hệ đã cho.
▪ Ưu điểm của phương pháp thế được thể hiện trong bài toán giải và biện luận hệ phương trình, vì
sau khi thế ta được phương trình một ẩn. Số nghiệm của hệ đã cho phụ thuộc vào số nghiệm của
phương trình bậc nhất một ẩn.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
▪ Thực hiện theo hai bước ở phần kiến thức trọng tâm.
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau x − y = 2 x = 1 a)  ĐS:  . 2x + y =1; y = 1 −  155 = −  x
0, 25x − 0,36y = 4  b) 19  ĐS:  .
0,7x − 0,4y =1; 1275 y = −  76  y x − = 4   35  x = c) 3  ĐS:  3 . 1 2x − y = ; y = 23  3  x 2y − =  77 7  x =   d) 3 3 47  ĐS:  . 4x y  + = 455 1; −  = −  y  7 5  47 (  − +  9 10 3 1+ 3 x =  )x+(1− 3)y = 4  e) 6 ( ĐS:  .  1+ 3  3  )x+(1+ 3)y =3; y = −  6 Trang 1  2x + y = 5  x = 7 − 2 2 f)  ĐS:  . x +  (1+ 2) y = 2. y = 9 − 7 2 x − 2y =1
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
trong mỗi trường hợp sau 2
(a +1)x − 4y = 2a a) a = −1; ĐS: vô nghiệm. x = 2  b) a = 0 ; ĐS:  1 . y =  2 c) a = 1.
ĐS: vô số nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
▪ Bước 1: Thu gọn hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản.
▪ Bước 2: Sử dụng quy tắc thế để giải hệ phương trình vừa nhận được.
▪ Bước 3: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:  6 =
2(x − 2y) + 3(x + 2y) = 4 x  a) 11  ĐS:  .
(x − y) + 2(x + y) =1; 7  y =  11
x +1− y = 2x + yx =1 b)  ĐS:  . 3
x + y = x − y + 2; y = 0  31 = −  x
2(x − 2) + 3(1+ 2y) = 3 −  c) 13  ĐS:  . 3
 (x + 2) + 2(1− 2y) = 1 − ; 6 y =  13
x − y −1 x − 2y + =  18 1  x =   d) 2 4 7  ĐS:  . x + 2y y − x − 3  − = 3 2.  =  y  3 6  7
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau  4 =  x
(2x −1)( y +1) = (x − 3)(2y − 5)  a) 3  ĐS:  .
(3x +1)(y −1) = (x −1)(3y +1); 4  y =  3 Trang 2  16 =  x
(2x −1)(2y +1) = (x − 3)( y − 5) + 3xy  b) 9  ĐS:  .
(3x +1)(y −1) = (x −1)(y +1) + 2x . y 32  y =  9
Dạng 3: Sử dụng đặt ẩn phụ giải hệ phương trình quy về phương trình bậc nhất hai ẩn
▪ Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện (nếu có).
▪ Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới thu được.
▪ Bước 3: Từ các giá trị của ẩn phụ vừa nhận được, giải tìm các ẩn của hệ ban đầu.
▪ Bước 4: Kiểm tra điều kiện (nếu có) và kết luận nghiệm.
Ví dụ 5. Giải các hệ phương trình sau
2(x − y) + 4(x + 2y) = 6 x =1 a)  ĐS:  . 3
 (x − y) − (x + 2y) = 2; y = 0 1 2 − = −1 x yx =1 b)  ĐS:  . 2 1   = + = y 1 3;  x y  1 1 + = 2  25  x =
x − y 2x + y  c)  ĐS: 24  . 3 2  − = − 35 2; y = −
 x − y 2x + y  24  3x 2 − = 3  13  x =  x −1 y + 3  d) 2  ĐS:  . 4x 1  + = 2 5;  y =
 x −1 y + 3  3  2 1 + = 2 x +1 y +1 x =1 e)  ĐS:  . 6 2   = − = y 0 1;  x +1 y +1  1 1 + = 8  17  x = −
x − y + 2 x + y −1  f) 70  ĐS:  . 2 1  − = 54 6. y =
 x − y + 2 x + y −1  35
Ví dụ 6. Giải các hệ phương trình sau  61  x =
2 x −1 + y +1 = 5  a) 25  ĐS:  . 3
x −1 − y +1 = 1;  194 y =  25 Trang 3  2 1 + = 2   x +1 y −1 x = 3 b)  ĐS:  . 6 2   = − = y 2 1.  x +1 y −1 
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
▪ Thay giá trị của biến vào từng phương trình trong hệ đã cho để tìm các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
2ax − by = 3
Ví dụ 7. Cho hệ phương trình 
. Xác định các hệ số a và b , biết: bx − ay = 5 − 7 a) Hệ có nghiệm ( ;
x y) = (1; 2) ;
ĐS: a = ,b = 2 . 2 38 +11 3 103 + 5 3 b) Hệ có nghiệm ( ;
x y) = (1− 3;1+ 3). ĐS: a = ,b = − . 23 46
Ví dụ 8. Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d ) : (a −1)x + (2b −1) y = 33 và 1 76 139
(d ) : bx + 2ay = 11 cắt nhau tại điểm M (1; −2) . ĐS: a = − ,b = − . 2 15 15
Ví dụ 9. Tìm a và b để đường thẳng (d ) : y = ax + b đi qua hai điểm:  1  9 5 a) ( A 1; 2 − ), B ;1   ;
ĐS: a = − ,b = .  3  2 2
b) C(1;3), D(−1;5) .
ĐS: a = −1,b = 4 .
Ví dụ 10. Tìm a và b để đường thẳng bx − ay = a − 2 đi qua điểm M (2;5) và đi qua giao điểm của
hai đường thẳng (d ) : 3x − 2 y = 1 và (d ) : 7x − 4y = 3 .
ĐS: a = −1,b = −4 . 1 2
Ví dụ 11. Cho hai đường thẳng (d ) : 2x − y = 1 và (d ) : (m −1)x + y = 5 . Tìm m để hai đường thẳng 1 2
đã cho cắt nhau tại một điểm A thỏa mãn:
a) A thuộc trục hoành; ĐS: m = 11.
b) A thuộc trục tung; ĐS: m  .
c) A thuộc đường thẳng y = 2x −1;
ĐS: m  −1.
d) A thuộc góc phần tư thứ nhất.
ĐS: −1  m  11 .
Ví dụ 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d ) : x − 2 y = a và (d ) : 2x − 5by = 8 , biết (d ) đi qua 1 2 1  74 18  điểm (
A 4; −3) và (d ) đi qua điểm B(−1;3) . ĐS: M ;− . 2    11 11 
Ví dụ 13. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : (2m −1)x + y = 5m đi qua giao điểm của hai đường
thẳng (d ) : 2x + y = 3 và (d ) : 3x − 2y = 1. ĐS: m = 0 . 1 2 Trang 4
Ví dụ 14. Tìm giá trị của tham số m để ba đường thẳng (d ) : x − 2y = 1,(d ) : 3x + y = 10 và 1 2
(d ) : (m +1)x + y = 2m +1 đồng quy. ĐS: m = −3 . 3 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: x − y =1 x = 2 a)  ĐS:  . 3  x + y = 7; y =1  80 = −  x
0,1x − 0, 2y = 2  b) 9  ĐS:  .
0,7x − 0,5y =1; 130 y = −  9  y  107 x − = 3  x =   c) 4 30  ĐS:  . 1  34 2x − 3y = ;  =  y  3  15  x 2y − =  7 1  x = −   d) 2 3 4  ĐS:  . x y  + = 45 1 − ;  = −  y 4 5  16 (  − +  15 19 5 1+ 5 x =  )x+(1− 5)y =5  e) 20 ( ĐS:  .  1+ 5  5  )x+(1+ 5)y =3; y = −  5  3x + y = 3  x = 4 3 −5 f)  ĐS:  . x +  (1+ 3) y =1. y = 5 3 − 9 4x − 2y =1
Bài 2. Giải hệ phương trình 
trong mỗi trường hợp sau: 2
(3a +1)x − 4y = 2ax = 1  a) a = −1; ĐS:  3 . y =  2  2 x =  b) a = 0 ; ĐS: 7  . 1  y =  14 Trang 5x = 0  c) a = 1. ĐS:  1 . y = −  2
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau  3 =  x
(2x + y) + 3(x − 2y) = 1 −  a) 25  ĐS:  .
(x − 2y) + 2(x + 2y) =1; 8  y =  25
2(x −1) + 3(1+ y) = 3 − x = 5 − b)  ĐS:  .
2(x + y) + (1+ 2y) = 1 − ; y = 2
x + y − 2 x − 2y + = 2  x = 4   c) 2 4  ĐS:  8 .
x − 2y −1 y − 2x  − = y = 1.    5 3 6
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau  5 =
(x −1)(y +1) = (x − 3)(y + 3) x  a) 4  ĐS:  .
(2x +1)(y + 2) = (2x −1)(y +1); 11 y = −  4  34 =  x
(x −1)(2y +1) = (x − 3)( y − 5) + xy  b) 13  ĐS:  .
(x +1)(y +1) = (2x −1)(y +1) − x . y 4  y =  13
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:  4 = −  x
(x − y) + (3x − 2y) =1  a) 5  ĐS:  .
4(x − y) − (3x − 2y) = 2; 7  y = −  5  2 1 − = 1 x yx =1 b)  ĐS:  . 3 2   = + = y 1 5;  x y  1 1 + = 1  16  x = −
2x + y x − y  c) 15  ĐS:  . 3 1  − = − 44 2; y =
 x − y 2x + y  15 Trang 6x 2 − = 4 x +1 y +1 x = 2 − d)  ĐS:  . 3x 1   = − + = y 2 5;  x +1 y +1  2 1 + = 2  8  x =  x −1 y +1  e) 5  ĐS:  . 1 1  − = 7 3;  y = −
 x −1 y +1  4  1 1 + = 2  61  x = −
x − y + 3 x + y  f)  ĐS: 24  . 2 3  − = 1 6. y =
 x − y + 3 x + y  24
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau  36  x = 2 x + y = 5  a) 25  ĐS:  .
3 x − y = 1;  169 y =  25  1 1 + = 2   x yx =1 b)  ĐS:  . 3 2   = − = y 1 1.  x y
2ax − by = 4
Bài 7. Cho hệ phương trình 
. Xác định các hệ số a và b , biết: ax + 2by = 5 13 6 a) Hệ có nghiệm ( ; x y) = (1;1) ; ĐS: a = ,b = . 5 5 13 3 3 + 3 3 b) Hệ có nghiệm ( ;
x y) = ( 3;1− 3) . ĐS: a = ,b = − . 5 5
Bài 8. Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d ) : ax + 2by = 7 và (d ) : bx − ay = 7 cắt nhau tại 1 2 a = 2 −
điểm M (1; 2) . ĐS:  . b  = 3
Bài 9. Tìm a và b để đường thẳng (d ) : y = ax + b đi qua hai điểm: 2 11 a) (
A −2;5), B(4;1) ;
ĐS: a = − ,b = . 3 3 b) C(1; 2), D( 1 − ;4) .
ĐS: a = −1,b = 3 . Trang 7
Bài 10. Tìm a và b để đường thẳng 2bx − ay = a − 3 đi qua điểm M (2;3) và đi qua giao điểm của hai 3 3
đường thẳng (d ) : x − 2 y = 1 và (d ) : 7x − 4y = 17 .
ĐS: a = ,b = − . 1 2 8 8
Bài 11. Cho hai đường thẳng (d ) : 4x − y = 1 và (d ) : mx + y = 2 . Tìm m để hai đường thẳng đã cho 1 2
cắt nhau tại một điểm A thỏa mãn:
a) A thuộc trục hoành; ĐS: m = 8 .
b) A thuộc trục tung; ĐS: m  . 1
c) A thuộc đường thẳng y = x +1; ĐS: m = . 2
d) A thuộc góc phần tư thứ nhất
ĐS: −4  m  8 .
Bài 12. Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d ) : 3x − 2y = a và (d ) : x − 2by = 4 , biết (d ) đi qua 1 2 1  34 12  điểm (
A 4;3) và (d ) đi qua điểm B(1; 2) . ĐS: M ; . 2    13 13 
Bài 13. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : (m +1)x − y = 3m đi qua giao điểm của hai đường 1
thẳng (d ) : x + y = 3 và (d ) : 3x − 2 y = 1 − . ĐS: m = − . 1 2 2
Bài 14. Tìm giá trị của tham số m để ba đường thẳng (d ) : 3x − 2y = 1,(d ) : 3x − y = 2 và 1 2
(d ) : mx − y = 2m −1. ĐS: m = 0 . 3 D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau 2x − y =1 x =1 a)  ĐS:  . x + y = 2; y =1  230 = −
0,1x − 0,4y = 3 x  b) 11  ĐS:  .
0,2x − 0,25y = 1 − ; 140 y = −  11  y  25 x + = 4  x =   c) 2 9  ĐS:  . 1  22 x − y = ;  =  y  3  9  x y − =  3 1  x =   d) 2 4 4  ĐS:  . x y  + = 5 1 − ;  = −  y 3 2  2 Trang 8 (  − +  12 11 2 1+ 2 x =  )x+(1− 2)y = 2  e) 4 ( ĐS:  .  1+ 2  2  )x+(1+ 2)y =3; y =  4  1+ 5 2  2x + y = 2 x =   f) 7  ĐS:  . x +  (1− 2) y =1.  4 − 2 y =  7 x + y = 2
Bài 16. Giải hệ phương trình 
trong mỗi trường hợp sau: 2
(a +1)x + 2y = 4a a) a = −1; ĐS: vô nghiệm. x = 4 b) a = 0 ; ĐS:  . y = 2 − c) a = 1.
ĐS: vô số nghiệm.
Bài 17. Giải các hệ phương trình sau:  7 =  x
(x − y) + 2(x + y) = 3  a) 9  ĐS:  .
(x + 2y) + 2(x − 2y) =1; 2  y =  3
2(x −1) − 3(1+ y) = 3 x = 5 − b)  ĐS:  . 3
 (x +1) + 2(1− y) = 2; y = 6 −
2x +1 = x + 2yx = 1 − c)  ĐS:  .
x − y = 2x + y +1; y = 0
x −1 2x − y + =  44 1  x =   d) 6 4 23  ĐS:  . x + y y − x −1  − = 10 2.  =  y  2 3  23
Bài 18. Giải các hệ phương trình sau
(x +1)(y +1) = (x − 3)(y + 3) x = 5 − a)  ĐS:  .
(x +1)(2y −1) = (2x −1)(y +1); y = 5 −  21 =  x
(x −1)( y +1) = (2x − 3)( y − 2) − xy  b) 19  ĐS:  .
(x +1)(2y −1) = (x −1)(y +1) + x . y 14  y =  19 Trang 9
Bài 19. Giải các hệ phương trình sau:
(x + y) + 2(x − 2y) = 3 x =1 a)  ĐS:  .
2(x + y) − (x − 2y) =1; y = 0 1 2 + = 3 x yx =1 b)  ĐS:  . 2 1   = − = y 1 1;  x y  1 1 + = 4  2  x =
x − y x + y  c) 3  ĐS:  . 1 2  − = 1 1;  y =
 x − y x + y  3  x 2 − = 2  16  x = −  x +1 y +1  d) 11  ĐS:  . 2x 1  + = 2 7; y =  x +1 y +1  3  1 1 + = 1  2  x =  x +1 y −1  e) 5  ĐS:  . 3 4  − = 9 1;  =  yx +1 y −1  2  1 2 + = 4  93  x =
x + y − 2 x − y −1  f) 32  ĐS:  . 2 1  − = 19 6. y = −
 x + y − 2 x − y −1  32
Bài 20. Giải các hệ phương trình sau:
 x +1 + 2 y −1 = 3 x = 0 a)  ĐS:  . 3
x +1 − y −1 = 2;  y = 2  1 1 + = 2   x yx =1 b)  ĐS:  . 6 5   = − = y 1 1.  x y  ax − by =1
Bài 21. Cho hệ phương trình 
. Xác định các hệ số a và b , biết:
2bx − ay = 4 − a) Hệ có nghiệm ( ; x y) = (1;1) ;
ĐS: a = −2,b = −3 . b) Hệ có nghiệm ( ;
x y) = ( 2;1− 2).
ĐS: a = 4 − 2 2,b = 2 − 3 . Trang 10
Bài 22. Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d ) : ax + (b −1) y = 4 và (d ) : 2bx − ay = 5 cắt 1 2 1 26
nhau tại điểm M (1;3) . ĐS: a = − ,b = . 11 11
Bài 23. Tìm a và b để đường thẳng (d ) : y = ax + b đi qua hai điểm: a) ( A 1 − ;2), B( 2 − ;1) ;
ĐS: a = 1,b = 3 . b) C( 1
− ;1), D(2;4) .
ĐS: a = 1,b = 2 .
Bài 24. Tìm a và b để đường thẳng ax + by = a − 2 đi qua điểm M (1;1) và đi qua giao điểm của hai
đường thẳng (d ) : x − 2y = 1
− và (d ) : 2x − y = 4 .
ĐS: a = 1,b = −2 . 1 2
Bài 25. Cho hai đường thẳng (d ) : x − y = 2 và (d ) : x + my = 4 . Tìm m để hai đường thẳng đã cho 1 2
cắt nhau tại một điểm A thỏa mãn
a) A thuộc trục hoành; ĐS: m  .
b) A thuộc trục tung; ĐS: m = −2 .
c) A thuộc đường thẳng y = x −1; ĐS: m  .
d) A thuộc góc phần tư thứ nhất.
ĐS: m  −1.
Bài 26. Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d ) : 4x − y = b và (d ) : 2ax + 5y = 9 , biết (d ) đi qua 1 2 1  26 2  điểm (
A 1; −2) và (d ) đi qua điểm B(−2; 4) . ĐS: M ; . 2    17 17 
Bài 27. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : (m −1)x + y = 2m đi qua giao điểm của hai đường 1
thẳng (d ) : x + y = 3 và (d ) : 3x − 2y = 1. ĐS: m = . 1 2 3
Bài 28. Tìm giá trị của tham số m để ba đường thẳng (d ) : x − 2y = 1,(d ) : 4x − y = 11 và 1 2
(d ) : (m −1)x + y = 2m đồng quy. ĐS: m = 2 . 3 --- HẾT --- Trang 11

Tài liệu liên quan: