PRI106-Chuong 3_Bai tap - To hop

BÀI TẬP CHƯƠNG 3, PHẦN 2: TỔ HỢP 1 QUY TẮC ĐẾM
Quy tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn đối tượng x
không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào thì có m + n cách chọn một trong các đối tượng trên.
Quy tắc nhân: Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn đối tượng x lại có n
cách chọn đối tượng y, thì có m.n cách chọn cặp đối tượng (x;y).
Cho A, B là các tập hữu hạn bất kỳ, ta có: N(A  B) = N( )
A + N(B) − N(A  B) .
1. Một tổ gồm có 5 bạn học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn sao cho trong đó luôn có bạn nam và nữ?
2. Một bó hoa có 5 bông hoa hồng trắng, 6 bông hoa hồng đỏ và 7 bông hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách
chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?
3. Trên giá sách có 10 quyển sách Văn khác nhau, 8 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh
khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
4. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Có bao nhiểu cách
một đồ vật duy nhất (một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập) từ các đồ vật trên?
5. Đầu năm học, một lớp bầu chọn ban đại diện lớp. Có 8 bạn được cử ra để bầu chọn một lớp trưởng, một
lớp phó học tập và một lớp phó sinh hoạt. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
6. Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
7. Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
8. Từ 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và trong
đó có bao nhiêu số chẵn.
9. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 2, 3, 6, 9.
10. Có bao nhiêu số có 3 chữ số là số chẵn hoặc chia hết cho 3?
11. Các bài tập từ 4.1 đến 4.3, trang 61, Giáo trình Lí thuyết tập hợp và logic, tác giả Đậu Thế Cấp.
12. Đội tuyển thi học sinh giỏi của trường Yên Hòa có 25 em thi Văn và 27 em thi Toán, trong đó có 18 em
vừa thi Văn vừa thi Toán. Hỏi đội tuyển thi học sinh giỏi của trường có bao nhiêu em.
13. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên dịch tiếng Anh và 25 cán
bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 12 cán bộ phiên dịch được cả 2 thứ tiếng. Hỏi:
a. Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị?
b. Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được một ngoại ngữ?
14. Lớp 10A có 30 em tham gia dạ hội tiếng Anh và tiếng Pháp, trong đó có 25 em nói được tiếng Anh, 18
em nói được tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu em nói được cả 2 thứ tiếng.
15. Có 100 vận động viên đăng ký dự thi hội khỏe. Mỗi vận động viên được đăng ký không quá 2 trong 3
môn: ném tạ, bơi lội hoặc cờ vua. Kết quả có 30 vận động viên chỉ thi đấu cờ vua, 53 người đăng ký thi
ném tạ và 45 người đăng ký thi bơi. Hỏi có bao nhiêu người đăng ký thi cả 2 môn ném tạ và bơi lội. PRI106 1 2
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Cho tập A gồm n ( n  1) phần tử.
Hoán vị: Mỗi cách xắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số
các hoán vị của n phần tử: Pn = n!.
Chỉnh hợp: Mỗi bộ gồm k (1  k  n ) phần tử sắp thứ tự của tập A được gọi là một chỉnh hợp chập
k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ak = .( n n − ) 1 .(n − )
2 ...(n − k + ) 1 . n
Tổ hợp: Mỗi tập con gồm k ( 0  k  n ) phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n ! n
phần tử của A. Số các tổ hợp chập k của n phần tử: C k = . n
k!.(n − k)!
Tính chất: k n−k C = C ; k k 1 + k 1 + C + C = C . n n n n n 1 +
16. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, …, 9?
17. Có 8 người A, B, C, D, E, F, G, H chụp ảnh chung bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau, nhưng bộ 3 A, B,
C luôn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu bức ảnh khác nhau.
18. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy
giáo không đứng cạnh nhau?
19. Có bao nhiêu cách xắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa.
b. Bạn A và E ngồi 2 đầu ghế.
20. Có bao nhiêu cách thành lập một ban chấp hành công đoàn gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 5 ủy viên
từ một danh sách 40 người.
21. Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Có bao nhiêu cách lập một tổ công tác gồm 1 kỹ sư làm
tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên.
22. Từ 7 nam sinh và 4 nữ sinh, có bao nhiêu cách thành lập ban cán sự lớp gồm 6 người trong đó: a. Có đúng 2 nữ. b. Có ít nhất 2 nữ.
23. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Thầy giáo chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh trong lớp
tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách:
a. Chọn ra 3 học sinh trong lớp.
b. Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất là 1 nam.
24. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán
3 tem thư ấy lên 3 bì thư sao cho mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư?
25. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng
3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
26. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
a. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
b. Các chữ số được xếp tùy ý. PRI106 2
27. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a. Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
b. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
28. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau, sao cho trong các số đó luôn có chữ số 5.
29. Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 5 điểm phân biệt, trên b lấy 10 điểm phân biệt. Hỏi có
bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho?
30. Cho tam giác ABC. Trên AB cho 3 điểm, trên BC cho 4 điểm, trên CA cho 5 điểm khác A, B, C. Hỏi có
bao nhiêu tam giác tạo bởi tất cả các điểm đã cho.
31. Các bài tập từ 4.4 đến 4.10, trang 61, Giáo trình Lí thuyết tập hợp và logic, tác giả Đậu Thế Cấp.
32. Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn: n! n! n! n! a. ( − = b. = (n −3)! c. 3 n + =10 n − ) 3 2 ! (n−1)! 20n (n− 2)!
33. Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn: a. 1 2 3 2
C + 6C + 6C = 9x −14x d. x−2 3 C + 2C = 7 x −1 x 1 + x 1 − ( ) x x x b. x+4 2x 1 − 0 C = C 7 10+x 10+x e. 1 2 3
C + C + C = x x x x c. x+3 3 C = 5A 2 8+x x+6 PRI106 3 3 NHỊ THỨC NEWTON n
(a + b)n =  k n−k k C a . b . = 0 n 1 n 1 − 2 n−2 2 n 1 − n 1 − n n C a . + C a . b . + C a . b . + ... + C a . b . + C b . . n n n n n n k =0 Nhận xét:
(1) Trong khai triển (a + b)n, có n + 1 số hạng và các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng
cuối là bằng nhau, tức là: k n−k C = C , k = 0, n . n n
(2) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (a + b)n là k
T = C . n−k a . k b k n n (3) Đặc biệt: n k n−k 0 n 1 n 1 − n 1 (1+ x) = C x C = x + C x +... − n + C x + C n n n n n k =0 34. Chứng minh rằng: a. 0 C + 1 C + … + n C = 2n. n n n b. 1 C + 3 C + … + 2n 1 − C = 0 C + 2 C + … + n C 2 . 2n 2n 2n 2n 2n 2n c. 0 C + 2 C + … + n C 2 = 22n – 1. 2n 2n 2n 35. Chứng minh rằng: a. ( 0 C )2 + ( 1 C )2 + … + ( n C )2 = n C . n n n 2n b. 0 C . k C + 1 C . k 1 − C + 2 C . k−2 C +…+ m C . k m C − = k C
,  k, m, n  N và m  k  n. m n m n m n m n m+n 36. Chứng minh rằng: a. k C + 2. k 1 − C + k−2 C = k C
,  k, n  N và 2  k  n . n n n n+2 b. k C + 3. k 1 − C + 3. k−2 C + k−3 C = k C
,  k, n  N và 3  k  n. n n n n n+3
37. Tính hệ số a97 trong khai triển: P(x) = (x - 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +…+ a100x100.
38. Tính hệ số a4 trong khai triển: P(x) = (1 + x + x2)10 = a0 + a1x + a2x2 + … + a20x20.
39. Tính hệ số của x16 trong khai triển của P(x) = (x2 – 2x)10.
40. Tìm hệ số của số hạng không phụ thuộc x trong khai triển của: 10  2  18  1  28  1  a. P(x) = 3 2x +  c. P(x) = 3  x +  e. P(x) = 2  x −  2  x  3  x   x  18  17 10 2   1   1  b. P(x) = 3 2  x −  d. P(x) = 4 3 x + f. P(x) = 3  x +  3 2  x   3 2    x  5  x  41. Tính tổng: a. S = 6 C + 7 C + 8 C + 9 C + 10 C + 11 C . 11 11 11 11 11 11 b. S = 6 C + 7 C + 8 C + 9 C + 10 C . 10 10 10 10 10
42. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình: (n + )! 3 k + k + a. − 3 = 9n . d. k C + 2 C = 2. 1 C . 14 14 14 (n + )! 1 e. 3 x 1 A + − C = ( 14 x + ) 1 x 1 + x 1 + b. 1 C + 6. 2 C + 6. 3 C = 9.n2 – 14n. k k + n n n f. k C + 2 C + = 3. 1 C 14 15 14 c. 72 1 3 A − A = 72 . x x 1 +
43. Các bài tập 4.11 và 4.12, trang 62, Giáo trình Lí thuyết tập hợp và logic, tác giả Đậu Thế Cấp. PRI106 4