R là tập hợp số gì? R là gì trong toán học? Tính chất và bài tập minh họa
1. R là tập hợp số gì trong toán học?
Trong toán học, số thực là giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu diễn khoảng cách dọc theo một
đường (hoặc cách khác, đại lượng có thể được biểu diễn dưới dạng mở rộng vô hạn thập phân). Tính từ
"thực" trong ngữ cảnh này được René Descartes đưa ra vào thế kỷ 17, với mục đích phân biệt các căn thức
thực và ảo của đa thức (số ). Số thực bao gồm tất cả các số hữu tỉ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân
số 4/3, và tất cả các số vô tỉ, chẳng hạn như căn bậc hai của 2, số pi.
Trong toán học, là ký hiệu của tập số thực (viết tắt của từ Real trong tiếng Anh). Đây là tập hợp của cả số
hữu tỉ và vô tỉ. R chính là tập số lớn nhất trên tập số, có tập hợp khác đều là tập con của tập R, cụ thể:
- Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2,…}
- Tập số nguyên Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2,…}
- Tập hợp số hữu tỷ Q = { a/b; a,b ∈ Z, b ≠ 0 }, ví dụ Q = {1/2, 3/4, .... )
Một số hữu tỉ có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.
- Tập hợp số vô tỷ I như số pi 3,144592 hay căn bậc hai của 2 = 1,414214….
Mỗi số được biểu diễn bằng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn được ta gọi là một số vô tỉ. Tập hợp
các số vô tỉ được quy ước kí hiệu là I. Tập hợp của các số thực bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Tất
cả các số ta đã biết đều thuộc R.
Tất cả các số thực được biểu diễn bằng các dấu chấm trên trục số. Ngược lại, tất cả các điểm trên trục số
đều biểu diễn số thực. Đây là đặc điểm chỉ dành cho tập hợp các số thực. Chỉ có tập hợp R các số thực mới
có thể lấp đầy trục số.
Tập hợp số thực được ghi dưới dạng: R = ( -∞; +∞)
1.1. Tiếp cận số thực R dưới dạng tiên đề
Tập hợp R là tập hợp tất cả các số thực, mà thỏa mãn các điều kiện sau:
- Tập hợp R là một trường, nghĩa là phép cộng và phép nhân được xác định và có các thuộc tính thông thường.
- Trường R được sắp xếp theo thứ tự, nghĩa là có tổng thứ tự ≥ sao cho tất cả các số thực x, y và z:
+ nếu x ≥ y thì x + z ≥ y + z;
+ nếu x ≥ 0 và y ≥ 0 thì xy ≥ 0.
- Thứ tự là hoàn tất (đầy đủ, hoàn thành), có nghĩa là mọi tập con S không rỗng của R với giới hạn trên
trong R có giới hạn trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) nằm trong R.
1.2. Ý nghĩa của số thực
Ngoài việc đo khoảng cách, số thực có thể được sử dụng để đo các đại lượng như thời gian, khối lượng,
năng lượng, vận tốc và nhiều đại lượng khác.
2. Tính chất của tập hợp số R và trục số thực R
Bất kỹ một số thực nào (ngoại trừ số 0) đều có số dương và số đối nghịch với nó (số âm). Ví dụ: ta có
số dương 1 thì số đối nghịch của nó là -1 (số âm).
Tổng (kết quả phép tính cộng) hay tích (kết quả phép tính nhân) của hai số thực không âm luôn luôn
là một số thực không âm.
Đây được coi như là tính chất cơ bản và dễ nhận biết nhất của tập hợp số thực. Số thực được xem
như là tập hợp vô hạn các số, với số lượng vô cùng nhiều và ta không đếm được.
Có hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của các số thực
Các phép đo đại lượng liên tục có thể được thể hiện thông qua số thực.
Số thực có thể được biểu diễn bằng số dưới dạng số thập phân (phân số)
Các số thực có thể được coi là các điểm trên một đường dài vô hạn được gọi là trục số, trong đó các
điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được xác định
bằng biểu diễn thập phân vô hạn, chẳng hạn như số 8.632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp được tính
bằng một phần mười giá trị của số trước đó. Trục số thực có thể được coi là một phần của mặt phẳng phức.
R là ký hiệu của số thực trong toán học và chúng có các thuộc tính như sau:
Các số thực bao gồm một số trường, với các phép cộng và phép nhân cùng phép chia cho các số
khác 0. Chúng có thể được sắp xếp trên một trục hoành theo cách thương tích với phép cộng và phép nhân.
Số thực R cho biết nếu tập hợp một số thực không trống có giới hạn trên thì nó có cận trên chính là
những số thực nhỏ nhất.
Tập hợp R cũng có thể xác định các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Các phép toán
số thực cũng có các tính chất tương tự như các phép toán số hữu tỉ.
3. Các dạng câu hỏi về tập hợp số thực R
Dạng 1: Các câu hỏi về bài tập hợp số: Phương pháp sử dụng; Các ký hiệu về tập hợp số như bảng trên.
Ta có quan hệ giữa các tập hợp số như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R. Với: N là tập hợp số tự nhiên Z là tập
hợp số nguyên Q là tập hợp số hữu tỉ Z là tập hợp số vô tỉ R là tập hợp số thực
Dạng 2: tìm số chưa biết trong một đẳng thức: Phương pháp sử dụng:
Sử dụng các tính chất của phép toán để tính toán.
Sử dụng mối quan hệ giữa các số hạng trong tổng và hiệu của phép tính. Cũng áp dụng như thế với các phép toán nhân chia.
Sử dụng các quy tắc phá ngoặc và chuyển vế.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức nào đó
Phương pháp sử dụng: Phối hợp giữa các phép tính nhân, chia, cộng, trừ và lũy thừa. Luôn luôn nhớ phải rút gọn phân số
4. R là gì trong hình học?
R còn được sử dụng trong công thức tính chu vi hình tròn Không chỉ là một ký hiệu trong đại số, R còn
được sử dụng trong hình học, R đôi khi được sử dụng để thể hiện bán kính của đường tròn nội tiếp tam
giác. Đặc biệt r còn được sử dụng trong công thức tính chu vi của diện tích hình tròn: Chu vi: C = dπ = 2r.π Diện tích: S= πR²
5. Bài tập minh họa tập hợp số R
Câu hỏi 1: Số -2 thuộc tập hợp số nào dưới đây? A. N B. Q C. I D. R Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. R
Câu hỏi 2: Số căn bậc 2 không thuộc tập hợp số nào dưới đây? A. N B. Z C. I D. R Hướng dẫn giải:
Chọn hai đáp án A. N và B. Z
Câu hỏi 3: Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần: 0,466 ; 7/15 ; 0,4636363…; 0,463736 ; 0,4656365…
Hướng dẫn giải: 0,463763… < 0,463736 < 0,4656365… < 0,466 < 7/15
Câu hỏi 4: Hãy tìm các tập hợp: a) Q ∩ I ; b) R ∩ I. Hướng dẫn giải:
a) Q ∩ I = Ø ; b) R ∩ I = I
Câu hỏi 5: Tìm x, biết: 3,2.x + (-1,2).x +2,7 = -4,9 ; Hướng dẫn giải: 3,2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9 [3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9 2.x + 2,7 = – 4,9 2.x = – 4,9 – 2,7 2.x = – 7,6 x = -7,6 : 2 x = -3,8
Câu hỏi 5: Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1}; B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3}. Tìm A ∩ B Hướng dẫn giải: Ta có:
A = {x ∈ R | -5 ≤ x < 1} = [-5; 1) (theo lý thuyết: [a; b) = {x ∈ R | -3 ≤ x < b} )
B = {x ∈ R | -3 < x ≤ 3} = (-3; 3] (theo lý thuyết: (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b})
Ta biểu diễn tập hợp A và B trên trục số như sau: Vậy A ∩ B = (-3; 1).