Tài liệu Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bất phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trần Văn Toàn,
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai. Ngày 7 tháng 1 năm 2009 Tóm tắt nội dung
Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trung
học phổ thông. Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toán
nhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối hoặc xét dấu của
biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không còn
chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tài
này với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thức
bên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản.
1 Các bất phương trình cơ bản
Sách Giáo viên Đại số lớp 10 của Nhà xuất bản Giáo dục, xuất bản năm 2006, trang 107 có
chứng minh rằng nếu a là một số thực bất kì thì ta có
1. |f(x)| 6 a ⇔ −a 6 f(x) 6 a. " 2. f (x) > a |f(x)| > a ⇔ f (x) 6 −a
1. Thật vậy, xét bất phương trình |f(x)| 6 a.
• Nếu a > 0, ta có |f(x)| 6 a ⇔ −a 6 f(x) 6 a.
• Nếu a < 0, các bất phương trình |f(x)| 6 a và −a 6 f(x) 6 a đều vô nghiệm.
• Trường hợp bất phương trình |f(x)| > a chứng minh tương tự.
2. Bây giờ, ta xét các bất phương trình |f(x)| 6 g(x) và −g(x) 6 f(x) 6 g(x).
Gọi D là tập xác định của bất phương trình |f(x)| 6 g(x) (Khi đó, D cũng là tập xác định
của bất phương trình −g(x) 6 f(x) 6 g(x)).
Giả sử có số x0 ∈ D thoả bất phương trình |f(x)| 6 g(x), tức là |f(x0)| 6 g(x0). (1.1) 1
Ta chỉ xét trường hợp g(x0) > 0.
• Nếu f(x0) > 0, thì |f(x0)| = f(x0) và bất phương trình (1.1) trở thành f (x0) 6 g(x0). (1.2)
Mặt khác, vì f(x0) > 0 và g(x0) > 0, nên f (x0) > −g(x0). (1.3) Từ (1.2) và (1.3) suy ra −g(x0) 6 f(x0) 6 g(x0). Hay x cũng thoả 0 −g(x) 6 f(x) 6 g(x).
• Trường hợp f(x0) < 0.
Khi đó, |f(x0)| = −f(x0) và (1.1) trở thành −f(x0) 6 g(x0). Do vậy, ta có (1.3). Mặt
khác, vì f(x0) < 0 và g(x0) > 0, nên có (1.2). Do đó, ta cũng có −g(x0) 6 f(x0) 6 g(x0).
(Cũng có thể nhận xét rằng, nếu |f(x0)| 6 g(x0), g(x0 > 0, thì −g(x0) 6 f(x0) 6 g(x0).)
• Trái lại, nếu có x thoả 0
−g(x0) 6 f(x0) 6 g(x0), ta cũng có |f(x0)| < g(x0). Vậy ta có
|f(x)| 6 g(x) ⇔ −g(x) 6 f(x) 6 g(x).
Chứng minh tương tự, ta có các kết quả như sau: " 1. f (x) < g(x), |f(x)| < g(x) ⇔ f (x) < −g(x); " 2. f (x) > g(x), |f(x)| > g(x) ⇔ f (x) 6 −g(x); " 3. f (x) > g(x) |f(x)| > g(x) ⇔ f (x) > −g(x)
Ta có thể viết các bất phương trình dạng trên dưới dạng sau:  " f > g, 1. f < g, | 3. f | < g ⇔ |f| > g ⇔ −f > g; −f < g;  " 2. f 6 g, |f| 6 g ⇔ 4. f > g, |f| > g ⇔ −f 6 g; −f > g. 2
Cũng từ các kết quả trên, ta có " f(x) 6 g(x) 6 h(x)
f (x) 6 |g(x)| 6 h(x) ⇔ f(x) 6 −g(x) 6 h(x)
Ví dụ 1.1. Giải bất phương trình |x − 6| < x2 − 5x + 9. (1.4)
Lời giải. Bất phuong trình (1.4) tương đương với hệ   x − 6 < x2 − 5x + 9, x2 − 6x + 15 > 0, ⇔
⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞). ❏
−(x − 6) < x2 − 5x + 9 x2 − 4x + 3 > 0
Ví dụ 1.2. Giải bất phương trình |x2 − 2x − 8| > 2x. (1.5) Lời giải. " " " √ (1.5) x2 − 2x − 8 > 2x, x2 − 4x − 8 > 0, x < 2 2, ⇔ ⇔ ⇔ √ ❏ x2 − 2x − 8 < −2x x2 − 8 < 0 x > 2 + 2 3.
Ví dụ 1.3. Giải bất phương trình |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3.
Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với   √
x3 − 7x − 3 < x3 + x2 + 3 x2 + 7x + 6 > 0 −1 + 57 ⇔
⇔ −1 < x < 0 hoặc x > . 4
−(x3 − 7x − 3) < x3 + x2 + 3 2x3 + x2 − 7x > 0 ❏
Ở ví dụ trên, việc xét dấu của các biểu thức x3 − 7x − 3 và x3 + x2 + 3 là rất khó.
Ví dụ 1.4. Giải bất phương trình |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 6 0.
Lời giải. Đưa bất phương trình đã cho về dạng |x3 − x2 + 4| 6 −x3 + x2 + 2x + 2, ta được −3 6 x 6 −1 và x = 1. ❏
Chú ý rằng, việc xét dấu các biểu thức x3 − x2 + 4 và −x3 + x2 + 2x + 2 là không đơn giản.
Ví dụ 1.5. Giải bất phương trình ||x| − 1| < 1 − x. Lời giải. Ta có    x < 2 − x   |x| − 1 < 1 − x |x| < 2 − x  ||x| − 1| < 1 − x ⇔ ⇔ ⇔ −x < 2 − x ⇔ x < 0. ❏ −|x| + 1 < 1 − x x < |x|    x < 0.
Ví dụ 1.6. Giải bất phương trình 1 |x| 1 − > . 1 + |x| 2 Lời giải. Ta có  |x| 1  |x| 1 " 1 > 6 1 − |x|  1 + |x| 2  1 + |x| 2 |x| 6 1 1 − > ⇔  1 ⇔  3 ⇔ 1 + |x| 2 |x| |x|  −1 + 1 + >  > |x| 6 0 1 + |x| 2 1 + |x| 2 ⇔ −1 6 x 6 1. ❏ 3
Ví dụ 1.7. Tìm tập giá trị của biểu thức x + a, biết rằng
|2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 6 3. (1.6)
Lời giải. Đặt y = |x + a|, bất phương trình (1.6) cho trở thành
|y − 2| + 2|y − 2a + 2| 6 3. (1.7)
Bất phương trình (1.7) tương đương với 
y − 2 6 3 − 2|y − 2a + 2|
y − 2 > −3 + 2|y − 2a + 2| hay
−1 + 2|y − 2a + 2| 6 y 6 5 − 2|y − 2a + 2|. (1.8)
Từ (1.8) suy ra y ∈ [−1; 5]. 1
• y = −1 khi và chỉ khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 7
• y = 5 khi và chỉ khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2
Vậy tập giá trị của x + a là đoạn [−1; 5]. ❏
Ví dụ 1.8. Giải bất phương trình
||x2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x2 − 8x − 5. (1.9) Lời giải.     (1.9)
|x2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x2 − 8x − 5
|x2 − 3x − 7| < x2 − 10x − 4 ⇔ ⇔
|x2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x2 + 8x + 5
|x2 − 3x − 7| > −x2 + 6x + 6  
x2 − 3x − 7 < x2 − 10x − 4 7x > 3          
−x2 + 3x + 7 < x2 − 10x − 4
2x2 − 13x − 11 > 0 ⇔  ⇔  
x2 − 3x − 7 > −x2 + 6x + 6  2x2 − 9x − 13 > 0           
−x2 + 3x + 7 > −x2 + 6x + 6  3x − 1 > 0  3 x >   7  √   13 − 257   x <     4√    13 + 257 √   x >  13 − 257 ⇔ 4 √ ⇔ x < .  9 85 4  −   x <   4√    9 + 85   x >   4     x < 13 ❏
Ví dụ 1.9. Giải bất phương trình |x2 − |x2 − 3x − 5| − 5| < x + 1. 4 √ √
Giải tương tương tự, nghiệm bất phương trình trên là 1 + 19 2 + 16 < x < . 2 2
Ví dụ 1.10. Tìm m để bất phương trình x2 + |x + m| < 2 có ít nhất một nghiệm âm.  Lời giải. x2 + x + m Ta có − 2 < 0 x2 + |x + m| < 2 ⇔
⇔ x2 − x − 2 < m < −x2 − x + 2. x2 − x − m − 2 < 0
Bằng đồ thị, ta tìm được 9 − < m < 2. 4 ❏
Ví dụ 1.11. Giải bất phương trình
|x − 1| + |x − 2| > 3 − x. (1.10) " Lời giải. Ta có
x − 1 > 3 − x − |x − 2|,
|x − 1| + |x − 2| > 3 − x ⇔ |x − 1| > 3 − x − |x − 2| ⇔ −x + 1 > 3 − x − |x − 2|   x − 2 > 4, x > 6, " " |x − 2| > 4,  x <  −x + 2 > 4, −2, x > 6, ⇔ ⇔   ⇔  4 ⇔ |x − 2| > 2x + 2  x − 2 > 2x + 2,  x < − x < 0.   3 −x + 2 > 2x + 2 x < 0 ❏
Ví dụ 1.12. Giải bất phương trình |x2 − 4x| + 3 log > 0. 3 x2 + |x − 5| Lời giải. Ta có |x2 − 4x| + 3 |x2 − 4x| + 3 log > 0 > 1 3 ⇔
⇔ |x2 − 4x| > x2 − 3 + |x − 5| x2 + |x − 5| x2 + |x − 5| " "
x2 − 4x > x2 − 3 + |x − 5|, |x − 5| 6 3 − 4x, ⇔ ⇔
−x2 + 4x > x2 − 3 + |x − 5| |x − 5| 6 −2x2 + 4x + 3   x − 5 6 3 − 4x,   2  −x + 5 6 3 − 4x x 6 − , ⇔   3   ⇔ ❏  1
 x − 5 6 −2x2 + 4x + 3, 6 x 6 2.  2  −x + 5 6 −2x2 + 4x + 3
Xin đưa ra một số các kết quả sau: f  1(x) < 0,     1. f2(x) < 0,
⇔ max{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} < 0. n . . . . . . . . .     f (x) < 0 n f  1(x) 6 0,     2. f2(x) 6 0,
⇔ max{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} 6 0. n . . . . . . . . .     f (x) 6 0 n 5  f  1(x) > 0,     3. f2(x) > 0,
⇔ min{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} > 0. n . . . . . . . . .     f (x) > 0 n f  1(x) > 0,     4. f2(x) > 0,
⇔ min{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} > 0. n . . . . . . . . .     f (x) > 0 n  f1(x) < 0, 5.  f2(x) < 0, 
⇔ min{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} < 0. n  . . . . . . . . .  f (x) < 0 n  f1(x) 6 0, 6.  f2(x) 6 0, 
⇔ min{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} 6 0. n  . . . . . . . . .  f (x) 6 0 n  f1(x) > 0, 7.  f2(x) > 0, 
⇔ max{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} > 0. n  . . . . . . . . .  f (x) > 0 n  f1(x) > 0, 8.  f2(x) > 0, 
⇔ max{f1(x), f2(x), . . . , f (x)} > 0. n  . . . . . . . . .  f (x) > 0 n
Ví dụ 1.13. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết |f| + |g| < h. (1.11) Lời giải.   f < h  (1.11) − |g|, |g| < h − f, ⇔ |f| < h − |g| ⇔ ⇔ −f < h − |g| |g| < h + f,   g < h f + g < h,  − f,          −g < h − f, f − g < h, ⇔ ⇔ g < h + f, −f + g < h,         −g < h + f −f − g < h. ❏ 6