Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán . Tài liệu gồm 30 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi. Mời bạn đọc đón xem!

115 58 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

30 trang 3 tháng trước

Tác giả:

Profile Tin Hin
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP GII PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯNG DÙNG
Phương pháp 1
: H s bt ñnh.
Nguyên tc chung:
+) Da vào ñiu kin bài toán, xác ñnh ñưc dng ca f(x), thưng là f(x) = ax + b hoc
f(x) = ax
2
+ bx + c.
+) ðng nht h s ñ tìm f(x).
+) Chng minh rng mi h s khác ca f(x) ñu không tha mãn ñiu kin bài toán.
Ví d 1: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
, 1
f x f y x xy f x x y R+ = + ∀ ∈
.
Li gii:
Thay
1
x
=
∈
vào (18) ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
f f y y f a
+ = +
.
Thay
(
)
1 1
y f
= − −
vào (a) suy ra:
( )
(
)
(
)
1 1 1 1
f f f
− − + = −
. ðt
(
)
(
)
1 1 1
a f f
= − − +
ta
ñưc:
(
)
1
f a
= −
.
Chn
x R
=
∈
ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f x f a x xa f x xa f x f+ = + ⇒ + =
.
ðt
(
)
(
)
0
f b f x a x b
= ⇒ = − +
. Th vào (1) và ñng nht h s ta ñưc:
( )
( )
2
1
1
1
0
a
f x x
a
a
a b a a
f x x
b
=
=
=
⇒ ⇒
= −
− − = −
= −
=
.
Vy có hai hàm s cn tìm là
(
)
f x x
=
và
(
)
f x x
= −
.
Ví d 2: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, 2
f f x y y f x f y x y R+ = − ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
(
)
(
)
(
)
0; : (2) 0
y x R f f x x R a
= ∈ ⇒ = ∀ ∈
.
Cho
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
'
: (2) 0
x f y f f f y y y f a
= ⇒ + = .
(
)
(
)
(
)
(
)
'
0
a a f y y f+ ⇒ =
. ðt
(
)
(
)
0
f a f y ay y R
= ⇒ = ∀ ∈
. Th li (2) ta ñưc:
(
)
(
)
2 2 2
0 ,
a x y a y x y x y R
+ + − = ∀ ∈
(
)
0 0
a f x x R
⇔ = ⇒ = ∀ ∈
. Vy có duy nht hàm s
(
)
0
f x
=
tha mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm
, :
f g R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2 ,
1
f x g x f y y x y R a
f x g x x x R b
− = − ∀ ∈
≥ + ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
x y R
= ∈
khi ñó
(
)
(
)
(
)
a f x g x x
⇒ = −
.Thay li (a) ta ñưc:
2
(
)
(
)
2 2 ,
g x x y g y x y R
= − + ∀ ∈
(c).
Cho
0;
y x R
= ∈
: t (c) ta ñưc:
(
)
(
)
2 0
g x x g= +
. ðt
(
)
0
g a
=
ta ñưc:
(
)
(
)
2 ,
g x x a f x x a
= + = +
. Th vào (a), (b) ta ñưc:
(a), (b) ⇔
( )( )
( )
2 2
2 1
x a x a
x R
x a x a x
+ = +
∀ ∈
+ + ≥ +
(
)
2 2
2 3 1 1 0
x a x a x R
⇔ + − + − ≥ ∀ ∈
( )
2
3 0 3
a a
⇔ − ≤ ⇔ =
. V
y
(
)
(
)
3 ; 2 3
f x x g x x
= + = +
.
Ví d 4: ða thc f(x) xác ñnh vi
x
∀ ∈
ℝ
và tha mãn ñiu kin:
2
2 ( ) (1 ) ,f x f x x x
+ − = ∀ ∈
ℝ
(1). Tìm f(x).
Li gii:
Ta nhn thy v trái ca biu thc dưi du f là bc nht: x, 1 – x v phi là bc hai x
2
.
Vy f(x) phi có dng: f(x) = ax
2
+ bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax
2
+ bx + c) + a(1 – x)
2
+ b(1 – x) + c = x
2
x
∀ ∈
ℝ
do ñó:
3ax
2
+ (b – 2a)x + a + b + 3c = x
2
,
x
∀ ∈
ℝ
ðng nht các h s, ta thu ñưc:
1
3
3 1
2
2 0
3
3 0
1
3
a
a
b a b
a b c
c
=
=
− = ⇔ =
+ + =
= −
Vy:
2
1
( ) ( 2 1)
3
f x x x
= + −
Th li ta thy hin nhiên f(x) tha mãn ñiu kin bài toán.
Ta phi chng minh mi hàm s khác f(x) s không tha mãn ñiu kin bài toán:
Tht vy gi s còn hàm s g(x) khác f(x) tha mãn ñiu kin bài toán.
Do f(x) không trùng vi g(x) nên
0 0 0
: ( ) ( )
x g x f x
∃ ∈ ≠
ℝ
.
Do g(x) tha mãn ñiu kin bài toán nên:
2
2 ( ) (1 ) ,g x g x x x
+ − = ∀ ∈
ℝ
Thay x bi x
0
ta ñưc:
2
0 0 0
2 ( ) (1 )
g x g x x
+ − =
Thay x bi 1 –x
0
ta ñưc:
2
0 0 0
2 (1 ) ( ) (1 )
g x g x x
− + = −
T hai h thc này ta ñưc:
2
0 0 0 0
1
( ) ( 2 1) ( )
3
g x x x f x
= + − =
ðiu này mâu thun vi
0 0
( ) ( )
g x f x
≠
Vy phương trình có nghim duy nht là
2
1
( ) ( 2 1)
3
f x x x
= + −
3
Nhn xét: Nu ta ch d ñoán f(x) có dng nào ñó thì phi chng minh s duy nht ca các
hàm s tìm ñưc.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñnh, liên tc vi
x
∀ ∈
ℝ
và tha mãn ñiu kin:
f(f(x)) = f(x) + x,
x
∀ ∈
ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th.
Li gii:
Ta vit phương trình ñã cho dưi dng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V phi ca phương trình là m t hàm s tuyn tính vì vy ta nên gi s rng hàm s cn tìm
có dng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x ,
x
∀ ∈
ℝ
hay (a
2
–a )x + ab = x,
x
∀ ∈
ℝ
ñng nht h s ta ñưc:
2
1 5 1 5
1
1 5
( ) .
2 2
2
0
0 0
a a
a a
f x x
ab
b b
+ −
− =
±
= =
⇔ ∨ ⇒ =
=
= =
Hin nhiên hai hàm s trên tha mãn ñiu kin bài toán (vic chng minh s duy nht dành
cho ngưi ñc).
Ví d 6: Hàm s
:f
→
ℤ ℤ
tha mãn ñng thi các ñiu kin sau:
) ( ( )) , (1)
) ( ( 2) 2) , (2)
) (0) 1
(3)
a f f n n n
b f f n n n
c f
= ∀ ∈
+ + = ∀ ∈
=
ℤ
ℤ
Tìm giá tr f(1995), f(-2007).
Li gii:
Cũng nhn xét và lý lun như các ví d trưc, ta ñưa ñn f(n) phi có dng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñiu kin (1) tr thành:
2
,a n ab b n n
+ + = ∀ ∈
ℤ
ðng nht các h s, ta ñưc:
2
1 1
1
0 0
0
a a
a
b b
ab b
= = −
=
⇔ ∨
= =
+ =
Vi
1
0
a
b
=
=
ta ñưc f(n) = n. Trưng hp này loi vì không tha mãn (2).
Vi
1
0
a
b
= −
=
ta ñưc f(n) = -n + b. T ñiu kin (3) cho n = 0 ta ñưc b = 1.
Vy f(n) = -n + 1.
Hin nhiên hàm s này tha mãn ñiu kin bài toán.
Ta phi chng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nht tha mãn ñiu kin bài toán:
Tht vy gi s tn ti hàm g(n) khác f(n) cũng tha mãn ñiu kin bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S dng ñiu kin (1) và (2) ta nhn ñưc: g(g(n)) = g(g(n+2)+2)
n
∀ ∈
ℤ
.
4
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2))
n
∀ ∈
ℤ
Hay g(n) = g(n+2)+2
n
∀ ∈
ℤ
.
Gi s n
0
là s t nhiên bé nht làm cho
0 0
( ) ( )
f n g n
≠
Do f(n) cũng tha mãn (4) nên ta có:
0 0 0 0
0 0
( 2) ( ) 2 ( ) 2 ( 2)
( 2) ( 2)
g n g n f n f n
g n f n
− = + = + = −
⇔ − = −
Mâu thun vi ñiu kin n
0
là s t nhiên bé nht tha mãn (5).
Vy f(n) = g(n),
n
∀ ∈
ℕ
Chng minh tương t ta cũng ñưc f(n) = g(n) vi mi n nguyên âm.
Vy f(n) = 1 – n là nghim duy nht.
T ñó tính ñưc f(1995), f(-2007).
BÀI TP
Bài 1: Tìm tt c các hàm s
:f
→
ℝ ℝ
tha mãn ñiu kin:
2
( ) ( ) 2 ( ) (1 ) 2 (3 ), ,f x y f x y f x f y xy y x x y
+ + − − + = − ∀ ∈
ℝ
.
ðáp s: f(x) = x
3
.
Bài 2
: Hàm s
:f
→
ℕ ℕ
tha mãn ñiu kin f(f(n)) + f(n) = 2n + 3,
.
n
∀ ∈
ℕ
Tìm f(2005).
ðáp s: 2006.
Bài 3
: Tìm tt c các hàm
:f
→
ℕ ℕ
sao cho:
2 2
( ( )) ( ( )) 3 3,
f f n f n n n
+ = + +
.
n
∀ ∈
ℕ
ðáp s: f(n) = n + 1.
Bài 4: Tìm các hàm
:f
→
ℝ ℝ
nu:
1 1 8 2
3 5 , 0, ,1, 2
3 2 2 1 3
x x
f f x
x x x
− −
− = ∀ ∉ −
+ − −
ðáp s:
28 4
( )
5
x
f x
x
+
=
Bài 5: Tìm tt c các ña thc P(x)
[
]
x
∈
ℝ
sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y),
,x y
∀ ∈
ℝ
ðáp s: P(x) = x
3
+ cx.
Phương pháp 2: phương pháp th.
2.1. Th n to PTH mi:
Ví d 1: Tìm f: R\{2} → R tha mãn:
( )
2
2 1
2 1 1
1
x
f x x x
x
+
= + ∀ ≠
−
.
Li gii: ðt
{ }
1
2 1
\ 2
1
x
x
t MGT t R
x
≠
+
= ⇒ =
−
(tp xác ñnh ca f). Ta ñưc:
1
2
t
x
t
+
=
−
th vào (1):
( )
2
2
3 3
( ) 2
2
t
f t t
t
−
= ∀ ≠
−
. Th li thy ñúng.
5
Vy hàm s cn tìm có dng
( )
2
2
3 3
( )
2
x
f x
x
−
=
−
.
Nhn xét:
+ Khi ñt t, cn kim tra gi thit
x
x D
MGT t D
∈
⊃
. Vi gi thit ñó mi ñm bo tính cht: “Khi
t chy khp các giá tr ca t thì x = t cũng chy khp tp xác ñnh ca f”.
+ Trong ví d 1, nu f: R → R thì có vô s hàm f dng:
( )
( )
( )
2
2
3 3
2
2
( )
2
x
x
x
f x
a x
−
≠
−
=
=
(vi a∈R
tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f :
(
]
(
]
; 1 0;1
R
−∞ − ∪ →
tha mãn:
( )
2 2
( 1) 1 1 2
f x x x x x− − = + − ∀ ≥
.
Li gii: ðt
( )
2 2
2
2
0
1 1
1
x t
t x x x x t
x x t
− ≥
= − − ⇔ − = − ⇔
− = −
2
2 2 2
1
1 2
2
x t
x t
t
x x xt t
x
t
≥
≥
⇔ ⇔
+
− = − +
=
. H
có nghi
m x
2
1
2
t
t
t
+
⇔ ≥
1
0 1
t
t
≤ −
⇔
< ≤
(
]
(
]
; 1 0;1
t⇒ ∈ −∞ − ∪ . V
y
(
]
(
]
1
; 1 0;1
x
MGT t D
≥
= = −∞ − ∪ .
V
i
2
1
t x x
= − −
thì
2
1 1
1 ( )
x x f t
t t
+ − = ⇒ =
th
a mãn (2).
V
y
1
( )f x
x
=
là hàm s
c
n tìm.
Ví d 3: Tìm f : R\
2
;3
3
R
→
th
a mãn:
( )
3 1 1
1, 2 3
2 1
x x
f x x
x x
− +
= ∀ ≠ ≠ −
+ −
.
Li gii: ðt
( )
1
2
3 1 2
\ ;3
2 3
x
x
x
t MGT t R
x
≠
≠
−
= ⇒ =
+
⇒
2 1
3
t
x
t
+
=
−
th vào (4) ta ñưc:
4
( )
3 2
t
f t
t
+
=
−
tha mãn (3). Vy hàm s cn tìm là:
4
( )
3 2
x
f x
x
+
=
−
.
Ví d 4: Tìm f :
(
)
(
)
0; 0;
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
(
)
( ( )) ( ( )) , 0; (4)
x f x f y f f y x y= ∀ ∈ + ∞
.
Li gii:
Cho y = 1, x ∈
(
)
0;
+ ∞
ta ñưc:
( (1)) ( (1))
x f x f f f
=
.
Cho
1
(1)
x
f
=
ta ñưc:
( (1) 1 ( (1)) 1
f f x f x f
=
⇒ =
1
( (1))f x f
x
⇒ =
. ðt:
6
(1)
. (1) ( ) ( )
f a
t x f f t f t
t t
= ⇒ = ⇒ =
(vi
(1)
a f
=
). Vì
(
)
( )
(
)
0;
(1) 0; 0;
x
f MGT t
∈ +∞
∈ + ∞ ⇒ = + ∞
.
Vy
( )
a
f x
x
=
. Th li thy ñúng
(
)
0
a
>
. Hàm s cn tìm là:
( )
a
f x
x
=
vi
(
)
0
a
>
.
Ví d 5: Tìm hàm f:
(
)
(
)
0; 0;
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
( ) ( )
1 3 3
(1) ; ( ) ( ). ( ). , 0; 5
2
f f xy f x f f y f x y
y x
= = + ∀ ∈ + ∞
.
Li gii:
Cho x = 1; y = 3 ta ñưc:
( )
1
3
2
f
=
.
Cho x = 1;
(
)
0;y
∈ + ∞
ta ñưc:
( )
3
f y f
y
=
. Th li (5) ta ñưc:
(
)
( ) 2 ( ) ( ) , 0; (5')
f xy f x f y x y= ∀ ∈ + ∞
. Thay y bi
3
x
ta ñưc:
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 1
3 2 )
2
f f x f f x
x
= ⇒ =
. Th li thy ñúng.
Vy hàm s cn tìm là:
( )
1
2
0
f x x
= ∀ >
.
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
4 , 6
x y f x y x y f x y xy x y x y R− + − + − = + ∀ ∈
.
Li gii: Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6
1 1
4 4
x y f x y x y f x y
x y x y x y x y x y x y x y x y
⇔ − + − + − =
= + − − + + + − + + − − + − −
ðt
u x y
v x y
= −
= +
ta ñưc:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(
)
2 2
1
4
v f u u f v u v u v u v u v
− = + − + − −
(
)
(
)
3 3
v f u u f v u v v u
⇒ − = −
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3
v f u u u f v v
⇔ − = −
+ Vi
0
uv
≠
ta có:
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 3
* 3
, 0
f u u f v v f u u
u v R a f u au u u
u v u
− − −
= ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = + ∀ ≠
.
+ V
i
0; 0
u v
= ≠
suy ra:
(
)
(
)
(
)
3 3
0 0 0
f u u f u u f
− = ⇔ = ⇒ =
.
Hàm
(
)
3
f u au u
= +
th
a mãn
(
)
0 0
f
=
. V
y
(
)
3
f u au u u R
= + ∀ ∈
Hàm s
c
n tìm là:
(
)
(
)
3
f x ax x a R
= + ∈ . Th
l
i th
y
ñ
úng.
2.2. Th n to ra h PTH mi:
7
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R tha mãn:
(
)
(
)
(
)
1 1
f x x f x x x R+ − = + ∀ ∈
.
Li gii:
ðt
t x
= −
ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
1 1
f t t f t t t R− − = − + ∀ ∈
. Ta có h:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
1
1
1
f x x f x x
f x
x f x f x x
+ − = +
⇒ =
− + − = − +
. Th li hàm s cn tìm là:
(
)
1
f x
=
.
Ví d 2: Tìm hàm s
{
}
: \ 0,1
f R R
→
Tha mãn:
( ) ( )
*
1
1 2
x
f x f x x R
x
−
+ = + ∀ ∈
.
Li gii: ðt
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 2 1
x
x f x f x x
x
−
= ⇔ + = +
.
ðt
( ) ( ) ( )
1
2 1 2 1
1
1
1
, 2 1
1
x
x f x f x x
x x
−
= = ⇔ + = +
−
.
ð
t
( ) ( ) ( )
2
3 2 2
2
1
, 2 1
x
x x f x f x x
x
−
= = ⇔ + = +
.
Ta có h
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 2
2 1 1
2 2
1
1
1 1 1
1
2 2 1
1
f x f x x
x x x
f x f x x f x x
x x
f x f x x
+ = +
+ − +
+ = + ⇒ = = + +
−
+ = +
. Th
l
i th
y
ñ
úng. V
y hàm s
c
n tìm có d
ng:
( )
1 1 1
2 1
f x x
x x
= + +
−
.
Ví d 3: Tìm hàm s
{
}
: \ 1;0;1
f R R
− →
tha mãn:
( ) ( )
1
2 1 1 3
1
x
x f x f x
x
−
+ = ∀ ≠ −
+
.
Li gii:
ðt
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 3 2 1
1
x
x x f x f x
x
−
= ⇒ + =
+
.
ðt
( ) ( ) ( )
1
2 1 1 2
1
1
1
, 3 2 1
1
x
x x f x f x
x x
−
= = − ⇒ + =
+
.
ð
t
( ) ( ) ( )
2
3 2 2 3
2
1
1
, 3 2 1
1 1
x
x
x x f x f x
x x
−
+
= = ⇒ + =
+ −
.
ð
t
( ) ( ) ( )
3
4 3 3
3
1
, 3 2 1
1
x
x x x f x f x
x
−
= = ⇒ + =
+
.
Ta có h
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
1 1 2
2 2 3
3 3
2 1
2 1
4 1
5 1
2 1
2 1
x f x f x
x f x f x
x x
f x
x x
x f x f x
x f x f x
+ =
+ =
− +
⇒ =
−
+ =
+ =
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
8
V
y hàm s
c
n tìm là:
( )
( )
2
4 1
5 1
x x
f x
x x
− +
=
−
.
BÀI TP
1) Tìm
{
}
: \ 1
f R R
→
tha mãn:
2
1
1 1
f x x R
x
+ = + ∀ ∈
.
2) Tìm
: \
a
f R R
b
− →
th
a mãn:
2
4
1
b ax x a
f x
bx a x b
−
= ∀ ≠ −
+ +
(a, b là h
ng s
cho
tr
ư
c và
0
ab
≠
).
3) Tìm
:
f R R
→
th
a mãn:
(
)
(
)
2
2002 0 2002
f x f x x R
− = ∀ ∈
.
4) Tìm
{
}
: \ 0
f R R
→ th
a mãn:
( ) { }
1 1
1 \ 0;1
2 1
f x f x R
x x
+ = ∀ ∈
−
.
5) Tìm
{
}
: \ 1;0
f R R
± →
th
a mãn:
( )
( )
{ }
1
64 \ 1
1
x
f x f x x R
x
−
= ∀ ∈ −
+
.
6) Tìm
2
: \
3
f R R
→
th
a mãn:
( )
2 2
2 996
3 2 3
x
f x f x x
x
+ = ∀ ≠
−
.
7) Tìm
{
}
: \ 1
f R R
± → th
a mãn:
3 3
1
1 1
x x
f f x x
x x
− +
+ = ∀ ≠ ±
+ −
.
8) Tìm
:
f R R
→
th
a mãn:
(
)
(
)
2
2 1
f x f x x x R
+ − = ∀ ∈
.
9) Tìm
:
f R R
→
th
a mãn:
( )
2008 *
1
f x f x x R
x
+ = ∀ ∈
.
10) Tìm
1
: \
3
f R R
± →
th
a mãn:
( )
1 1
1 3 3
x
f x f x x
x
−
+ = ∀ ≠
−
.
11) Tìm
:
f R R
→
th
a mãn:
( ) ( )
2
0
a
f x f x x a a
a x
+ = ∀ ≠ >
−
.
12) Tìm
{
}
, : \ 1
f g R R
→ th
a mãn:
(
)
(
)
2 1 2 2 1 2
1
1 1
f x g x x
x
x x
f g x
x x
+ + + =
∀ ≠
+ =
− −
.
Phương pháp 3
: Phương pháp chuyn qua gii hn.
Ví d 1: Tìm hàm s
:
f R R
→
liên tc, tha mãn:
( ) ( )
2 3
1
3 5
x x
f x f x R
+ = ∀ ∈
.
Li gii:
ðt
( ) ( ) ( )
1 1
2 3
; 1
3 5
x
x f x f x x
= ⇒ + =
.
ðt
( ) ( ) ( )
1
2 1 2 1
2
3
; 1
3 5
x
x f x f x x
= ⇒ + =
.
9
ðt
( ) ( ) ( )
*
1 1
2
3
, ; 1
3 5
n
n n n n
x
x n N f x f x x
+ +
= ∈ ⇒ + =
.
Ta có h
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
1 2 1
1
3
1
5
3
2
5
3
1
5
n n n
f x f x x
f x f x x
f x f x x n
+
+ =
+ =
+ = +
……
Nhân dòng phương trình th (i) vi (-1)
i+1
ri c ng li ta ñưc:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
3 2 2 2
1 1 *
5 3 3 3
n
n
n
f x f x x
+
+
+ − = − + − + −
⋯ .
Xét
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 1 1
lim 1 lim lim 0
f
n
n n n
f x f x f x f
+
+ + +
− = = =
l.tôc
.
M
t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên
( ) ( )
2
1
lim 1 0
n
n
f x
+
+
− =
.
L
y gi
i h
n hai v
c
a (*) ta
ñư
c:
( )
3 1 9
2
5 25
1
3
x
f x x= =
+
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
V
y hàm s
c
n tìm là:
( )
9
25
x
f x =
.
Ví d 2: Tìm hàm s f liên tc ti x
o
= 0 tha mãn:
:
f R R
→
và
(
)
(
)
(
)
2 2 2
f x f x x x R= + ∀ ∈
.
Li gii:
ðt
2
t x
=
ta ñưc:
( )
( )
'
2 2
2 2
t t
f t f t R
= + ∀ ∈
.
Xét dãy:
*
1
1
1
,
2
1
2
n n
t t n N
t t
+
= ∀ ∈
=
. Thay dãy {t
n
} vào (2’) ta ñưc:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 2 1
1 1
1 1
1
2 4
1 1
2
2 4
1 1
2 4
n n n
f t f t t
f t f t t
f t f t t n
− −
= +
= +
= +
⋯⋯
. Th (n) vào
(
)
(
)
1 2n n− → − →
⋯
ta ñưc:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
'
1 2
1 2
1 1 1 1
*
2 2 2 2
n n n
n n n
f t f t f t f t t
− −
+
= + + + +⋯
.
10
Thay
1
2
n
n
t t
=
vào (*
’
) ta ñưc:
( ) ( )
( )
"
2 4 2
1 1 1 1
*
2 2 2 2
n
n n
f t f t t
= + + + +
⋯
.
Vì f liên t
c t
i x
o
= 0 nên
( )
1
lim 0
2
n
n
f t
=
. L
y gi
i h
n 2 v
(*
”
) suy ra:
( )
3
t
f t
=
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
Nhn xét:
+) N
u dãy {x
n
} tu
n hoàn thì ta gi
i theo ph
ươ
ng pháp th
r
i quy v
h
pt hàm.
+) N
u dãy {x
n
} không tu
n hoàn nh
ư
ng f liên t
c t
i x
o
= 0 và {x
n
}
→
0 thì s
d
ng
gi
i h
n nh
ư
VD1.
+ N
u {x
n
} không tu
n hoàn, không có gi
i h
n thì ph
i
ñ"
i bi
n
ñ
có dãy {t
n
} có
gi
i h
n 0 và làm nh
ư
ví d
1.
BÀI TP
1) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
a) f liên tc ti x
o
= 0,
b)
(
)
(
)
, 2;
n f nx f x nx n N n x R
= + ∀ ∈ ≥ ∀ ∈
.
2) Tìm
:
f R R
→
liên tc ti x
o
= 0, tha mãn:
( )
10
3
3 3
x
f x f x
+ =
.
3) Tìm
:
f R R
→
liên tc ti x
o
= 0, tha mãn:
(
)
(
)
(
)
*
, , ,
m f mx n f nx m n x m n N m n x R
− = + ∀ ∈ ≠ ∀ ∈
.
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr.
+) ðây là phương pháp cơ s ca mi phương pháp khác.
+) Khi vn dng phương pháp cn chú ý s dng kt qu va có ñưc.
Ví d 1: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
0
,
a f x x R
b f x y f x f y x y R
≥ ∀ ∈
+ ≥ + ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
0
0
x
y
=
=
suy ra
(
)
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0 2 0
f
f
f f
≥
⇒ =
≥
.
Cho
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
0 0
0, 0 0, 0
f f x f x f x f x
y x
f x f x f x f x
≥ + − + − ≤
= − ⇒ ⇒
≥ − ≥ ≥ − ≥
(
)
(
)
0
f x f x x R
⇒ = − = ∀ ∈
. Vy
(
)
0
f x
=
. Th li thy ñúng.
Ví d 2: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
, , 2
2 2 4
f xy f yz f x f yz x y z R+ − ≥ ∀ ∈
.
Li gii:
11
Cho
, 1
x z y
= =
ta ñưc:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
0
4 2 2
f x f x f x f x
− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ =
. Th li thy
ñúng.
Ví d 3: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
{
}
(
)
ax 3
y R
f x M xy f y x R
∈
= − ∀ ∈
.
Li gii:
(
)
(
)
(
)
3 ,
f x xy f y x y R
⇒ ≥ − ∀ ∈
.
Cho
( ) ( )
2
2
t
x y t R f t t R a
= = ∈ ⇒ = ∀ ∈
.
T (a) suy ra:
( ) ( )
2 2 2
2
1
2 2 2 2
y x x
xy f y xy x y
− ≤ − = − − ≤
( ) ( )
{ }
( )
2
ax
2
y R
x
f x M xy f y x R b
∈
⇒ = − ≤ ∀ ∈
( ) ( ) ( )
2
2
x
a b f x+ ⇒ =
. Th li thy ñúng.
Ví d 4: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
2008 , 4
x y
f x y f x f y x y R
+
+ ≥ ≥ ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
( ) ( )
(
)
( )
2
0 0 0 1 0 1
x y f f f
= = ⇒ ≥ ≥ ⇒ =
.
Cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1
1 0 1 1
x y R f f x f x f x f x f x x R a
f x
= − ∈ ⇒ = ≥ − ≥ ⇒ − = ⇒ = ∀ ∈
−
.
Cho
( )
(
)
( )
( )
2008 0
0; 2008
2008 0
x
x
x
f x
y x R f x b
f x
−
≥ >
= ∈ ⇒ ≥ ⇒
− ≥ >
.
Theo
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1
2008
2008
x
x
a b f x c
f x
−
+ ⇒ = ≤ =
−
.
(
)
(
)
(
)
2008
x
b c f x+ ⇒ =
. Th li
thy ñúng.
Ví d 5: Tìm
[
]
[
]
: ; ;
f a b a b
→
tha mãn:
(
)
(
)
[
]
, ;
f x f y x y x y a b
− ≥ − ∀ ∈
(a < b cho trưc) (5).
Li gii:
Cho
(
)
(
)
(
)
;
x a y b f a f b a b b a a
= = ⇒ − ≥ − = −
.
vì
(
)
(
)
[
]
, ;
f a f b a b
∈
nên
(
)
(
)
(
)
f a f b a b b a b
− ≤ − = −
.
12
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
f a a
f b b
a b f a f b b a
f a b
f b a
=
=
+ ⇒ − = − ⇔
=
=
.
+) Nu
(
)
( )
f a a
f b b
=
=
thì:
Chn
[
]
(
)
(
)
; ;
y b x a b f x x c
= ∈ ⇒ ≤
.
Chn
[
]
(
)
(
)
; ;
y a x a b f x x d
= ∈ ⇒ ≥
.
(
)
(
)
(
)
c d f x x
+ ⇒ =
.
+) Nu
(
)
( )
f a b
f b a
=
=
thì:
Chn
[
]
; ;
y b x a b
= ∈
ri chn
[
]
; ;
y a x a b
= ∈
như trên ta ñưc:
(
)
f x a b x
= + −
. Th
li thy ñúng.
Nhn xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gii nói chung là tìm các giá tr ñc bit – có
th tính ñưc trưc. Sau ñó to ra các BðT “ngưc nhau” v hàm s cn tìm ñ ñưa ra kt
lun v hàm s.
+) Vic chn các trưng hp ca bin phi có tính “k tha”. Tc là cái chn sau phi
da vào cái chn trưc nó và th các kh năng có th s dng kt qu va có ñưc.
Ví d 6: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0 ; ,
2
6
2 cos ,
f a f b a b
f x y f x y f x y x y R
π
= =
+ + − = ∀ ∈
chotr−íc
.
Li gii:
Cho
;
2
y x R
π
= ∈
ta ñưc:
( )
0
2 2
f x f x a
π π
+ + − =
.
Cho
0;
x y R
= ∈
ta
ñư
c:
(
)
(
)
(
)
2 cos
f y f y a y b
+ − =
.
Cho
;
2
x y R
π
= ∈
ta
ñư
c:
( )
2 cos
2 2
f y f y b y c
π π
+ + − =
.
13
( ) ( ) ( )
0
2 2
2 cos
2 2 2
2 cos
2 2
f x f x
a b c f x f x a x
f x f x b x
π π
π π π
π π
+ + − =
+ + ⇒ − + − = −
+ + − =
.
Gi
i h
ta
ñư
c:
(
)
cos sin
f x a x b x
= + . Th
l
i th
y
ñ
úng.
Ví d 7: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
sin sin , 7
f x f y f x y x y x y R= + + ∀ ∈
.
Li gii: Ta thy
(
)
cos
f x x
=
là m t hàm s tha mãn.
Cho
( )
( )
( )
(
)
( )
2
0 0
0 0 0
0 1
f
x y f f
f
=
= = ⇔ = ⇔
=
.
Nu
(
)
0 0
f
=
thì: Cho
(
)
(
)
0; 0 0
y x R f x f x R
= ∈ ⇒ = − = ∀ ∈
. Th li ta ñưc:
sin sin 0 ,x y x y R
= ∀ ∈ ⇒
vô lý. Vy
(
)
0
f x
=
không là nghim (7).
Nu
(
)
f
=
thì cho
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 sin cos cos
x y f x f x x x f x f x x a
= − ⇒ − = + − = ⇒ − =
.
Cho
0
2
2
0
2
f
x
f
π
π
π
=
= ⇒
− =
.
Nu
0
2
f
π
=
thì: Cho
;
2
x y R
π
= ∈
th
vào (7) suy ra:
( )
sin 0 cos
2
f y y f y y y R
π
+ + = ⇒ = ∀ ∈
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
N
u
0
2
f
π
− =
t
ươ
ng t
nh
ư
trên ta
ñư
c:
(
)
cos
f y y y R
= ∀ ∈
.
V
y hàm s
c
n tìm là:
(
)
cos
f x x
= .
Ví d 8: Tìm
, :
f g R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos , 8
f x f y x y g x y x y R− = + − ∀ ∈
.
Li gii:
Chn
( ) ( ) ( ) ( )
; 8 0
2 2 2
x y y R f y f y f y f y a
π π π
= − ∈ ⇒ − − = ⇔ − =
.
Chn
( ) ( ) ( )
; 8 sin 2 .
2 2 2
x y y R f y f y y g b
π π π
= + ∈ ⇒ + − = −
.
14
( ) ( ) ( )
sin 2 .
2 2 2
a b f y f y y g c
π π π
+ ⇒ + − − = −
.
Theo (8):
( ) ( )
2
2 2
f y f y g y d
π π
+ − − = −
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 sin 2 . 2 sin 2 sin
2
c d g y y g y R g x a x g x a x
π
+ ⇒ = ∀ ∈ ⇒ = ⇒ =
x R
∀ ∈
.
(v
i
2
a g
π
=
cho tr
ư
c.)
Cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0; 0 cos . sin 2 ( 0 ),
2
a
y x R f x f x g x f x x b b f x R
= ∈ ⇒ − = ⇒ = + = ∀ ∈
.
Th
l
i 2 hàm s
:
( )
( )
sin 2
2
sin
a
f x x b
g x a x
= +
=
(V
i a, b là h
ng s
cho tr
ư
c). Th
a mãn (8).
Ví d 9: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1 1
1
0
f x f x x R a
f x f x x R b
f x
f x c
x x
− = − ∀ ∈
+ = + ∀ ∈
= ∀ ≠
.
Li gii:
Ta tính
1
x
f
x
+
ñn
(
)
f x
theo hai cách:
(
)
( )
2
1 1 1
1 1 1 0
f x
x
f f f x a
x x x x
+
= + = + = + ∀ ≠
.
2
2 2
1
1
1 1 1
1 1
1
1
1 1
x
f f
x x
x x
f f
x x x
x x
x x
−
+ +
+ +
= = = + − =
+
+ +
( )
( )
2 2
2
1
1 1 1
1 1
1
1
f x
x x
f
x x x
x
+
+ +
= + − = − =
+
+
( )
( )
( )
2
2
1
1
1 0, 1
1
f x
x
x x b
x
x
+
+
− ∀ ≠ ≠
+
.
(
)
(
)
(
)
0; 1
a b f x x x x
+ ⇒ = ∀ ≠ ≠
.
V
i
(
)
(
)
0; 0 0
x a f
= ⇒ =
th
a mãn
(
)
f x x
=
.
V
i
(
)
(
)
(
)
1; 1 1
x a f f
= ⇒ − = − :
Cho
(
)
(
)
(
)
0; 1 1 1 1
x b f f
= ⇒ = ⇒ − = −
th
a mãn
(
)
f x x
=
.
15
V
y
(
)
f x x x R
= ∀ ∈
. Th
l
i th
y
ñ
úng .
Ví d 10: Tìm
{
}
: \ 0
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
. , 0
x , 0
f a
f f f x y b
x y x y
x y f x y xy f f y x y xy x y c
=
= ∀ ≠
+
+ + = ∀ + ≠
tháamn
.
Li gii:
Cho
(
)
*
,
x y R b
= ∈
ta ñưc:
( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2 0 *
2
f f f x f x x
x x
= ⇒ = ∀ ≠
Cho
(
)
*
,
x y R c
= ∈ ta
ñư
c:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
2 2
2 '
2 2 2 2 0 *
x f x x f x f x x f x x= ⇔ = ∀ ≠
.
Th
(*) vào (*
’
) suy ra:
( ) ( )
(
)
(
)
2
"
*
f x x f x=
.
Gi
s
:
*
1,
o o
x x R
∃ ≠ ∈
sao cho:
f
(x
o
) = 0. Thay 1 ;
o o
x x y x
= − =
vào (*
”
) ta
ñư
c:
f
(1) = 0
trái v
i gi
thi
t
f
(1) = 1. V
y
(
)
0 1; 0
f x x x
≠ ∀ ≠ ≠
.
Vì
(
)
1 1 0
f
= ≠
nên t
(*
”
) suy ra
( )
1
0
f x x
x
= ∀ ≠
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
Ví d 11: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
4
1 1
2 ,
1
0
f a
f x y f x f y xy x y R b
f x
f x c
x x
=
+ = + + ∀ ∈
= ∀ ≠
.
Li gii:
Cho
(
)
(
)
0, 0 0
x y b f
= = ⇔ =
Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0, 2 2 2 1
x y t b f t f t t= = ≠ ⇔ − =
.
Cho
( ) ( )
2
1 1 1 1
, 2 *
2 2 2
x y b f f
t t t t
= = ⇔ − =
T
( )
(
)
(
)
( )
4
4
2
1 1
;
2
2
f t f t
c f f
t t t
t
⇒
= =
. Th vào (*) ta ñưc:
(
)
(
)
( )
( )
4
4 2
2
1
2 2
2
2
f t f t
t t
t
− =
.
(
)
(
)
(
)
2
1 2 0
f t t t
+ ⇒ = ∀ ≠
. T
(
)
(
)
2
0 0
f f t t t R
= ⇒ = ∀ ∈
. Th li thy ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s
(
)
(
)
: 0; 0;f
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
, 0; 12
f x
f y f y f f x x y
y
= ∀ ∈ + ∞
.
16
Li gii: Cho:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 . 1 1 1
x y f f f f f f
= = ⇒ = ⇒ =
vì
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0 1 1
f f f f
≠ ⇒ =
.
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1; 0; 1
f
f
y
x y f y f y f f y f y f y a
y y
= ∈ + ∞ ⇒ = = ⇔ =
.
Mt
khác:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1
1
f
f y
y
f f y f y f y f f y f y f y f y y f y f
y y
y
= = = =
( ) ( )
( )
1 1
y f y f f f y
y y
=
.
Vì
(
)
(
)
0
f f y
≠
nên
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1
y f y f f y f b
y y y
= ⇔ =
.
( ) ( ) ( ) ( )
1
0;a b f y y
y
+ ⇒ = ∀ ∈ + ∞
. Th
l
i th
y
ñ
úng.
Ví d 13: Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0
2
: ,
f a
a R f a y f x f a x f y f x y x y R b
=
∃ ∈ − + − = + ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
( ) ( )
1
0,
2
x y b f a
= = ⇒ =
.
Cho
0;
y x R
= ∈
ta ñưc:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
. 0 .
f x f x f a f f a x f x f a x c
= + − ⇒ = −
.
Cho
;
y a x x R
= − ∈
ta ñưc:
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2
f a f x f a x d
= + −
.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
2
1
2
2
f x
c d f x
f x
=
+ ⇒ = ⇔
= −
.
Nu
o
x R
∃ ∈
sao cho:
( )
1
2
o
f x
= −
thì:
( )
( ) ( )
2
1
2 . 2 0
2 2 2 2 2 2
b c
o o o o o
o
x x x x x
f x f f f a f
− = = + = − = ≥
⇒ Vô lí.
Vy
( )
1
2
f x x R
= ∀ ∈
. Th li thy ñúng.
17
Ví d 14: (VMO.1995)
Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
2
2 , 14
f x y x y f x f y x y R− = − + ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
0 0
0 0 0
0 1
f
x y f f
f
=
= = ⇒ = ⇔
=
.
Nu
(
)
0 0
f
=
: Cho
0
y
x R
=
∈
ta ñưc:
(
)
(
)
2 2
0
f x x f t t t
= ⇒ = ∀ ≥
Cho
x y R
= ∈
ta ñưc:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2
2
0 2 0
f x x f x f x f x x f x x
= − + ⇔ − = ⇔ =
.
Th li thy ñúng.
Nu
(
)
f
=
: Cho
0
y
x R
=
∈
ta ñưc:
(
)
(
)
2 2
1 1 0
f x x f t t t
= + ⇔ = + ∀ ≥
.
Cho
0;
x y R
= ∈
ta ñưc:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
f y y f y f y f y y
= − + ⇒ = +
( )
(
)
( )
2
2
1
1 2 1
1
f y y
y y y
f y y
= +
= + + = + ⇒
= − −
.
Gi s
o
y R
∃ ∈
sao cho:
(
)
1
o o
f y y
= − −
. Chn
o
x y y
= =
ta ñưc:
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
2
1
1 2
1
o o
o o o o
o o
f y y
y y f y f y
f y y
= −
= − + ⇔
= +
.
Nu
(
)
(
)
1 1 1 0 0 1 (
o o o o o
f y y y y y f= −
⇒
− − = −
⇒
= = −
v lo¹i)
.
Nu
(
)
(
)
1 1 1 1 1 0
o o o o o
f y y y y y f
= +
⇒
− − = +
⇒
= −
⇒
− =
.
Tha mãn:
(
)
1
o o
f y y
= +
. Vy
(
)
1
f y y y R
= + ∀ ∈
. Th li thy ñúng.
Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, 15
f f x y f x f y f x f y xy x y R− = − + − ∀ ∈
.
Li gii:
Cho
( )
(
)
( )
(
)
2
0 0 0
x y f f f= = ⇒ =
. ðt
(
)
(
)
2
0
f a f a a
= ⇒ =
.
Cho
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
2 2 2
*
x y R f x x f a f x x a= ∈ ⇒ = + ⇒ = +
.
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
f x f x
f x f x
f x f x
= −
⇒ = − ⇒
= − −
.
N
u
*
o
x R
∃ ∈
sao cho
(
)
(
)
o o
f x f x
= −
:
+ Ch
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;
o o o o
x y x f f x a f x a f x a
= = − ⇒ = − − + −
.
18
+ Ch
n
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;
o o o o
y x x f f x a f x a f x b
= = − ⇒ = + −
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0
o o o o
a b a f x f x f x f x a c
+ ⇒ − − − + − + =
.
Vì
(
)
(
)
o o
f x f x
= −
nên
( )
( )
( )
( )
*
2
2 2 2 2 2
0 0
0
o o o
f x a f x x a a x a x
= ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =
trái v
i
gi
thi
t
*
o
x R
∈
.
V
y
(
)
(
)
f x f x x R
= − − ∀ ∈
. Ta th
y (c) không ph
thu
c vào x
o
nên ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0
a f x f x f x f x a c
− − − + − + =
. Thay
(
)
(
)
f x f x
= − −
suy ra:
( )
( )
( )
0
1 0
1
a
a f x
f x
=
+ = ⇔
= −
.
+ N
u
( )
( )
( )
(
)
( )
*
2
2
0
f x x
a f x x
f x x
=
= ⇒ = ⇔
= −
.
Gi
s
t
n t
i
*
o
x R
∈
ñ
(
)
o o
f x x
=
. Khi
ñ
ó (b) suy ra:
(
)
0
o o o o o
x f x a x a x x
= = + − ⇒ =
trái gi
thi
t
*
o
x R
∈
.
V
y
(
)
f x x x R
= − ∀ ∈
. Th
l
i th
y
ñ
úng
+ N
u
(
)
1
f x x R
= − ∀ ∈
. Th
l
i ta
ñư
c
(
)
15 2 ,
xy x y R
⇔ = ∀ ∈
. Vô lí.
V
y hàm s
c
n tìm là:
(
)
f x x
= −
.
Nhn xét
: Có m
t suy lu
n hay nh
m l
n
ñư
c s
d
ng các VD:
VD13
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
1
4
2
f x
f x
f x
=
= ⇔
= −
; VD14
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1
1
1
f y y
f y y
f y y
= +
= + ⇔
= − −
;
VD15
( )
( )
( )
( )
2
2
f x x
f x x
f x x
=
= ⇔
= −
,
ñ
ó là hi
u sai:
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
1
4
2
f x x R
f x
f x x R
= ∀ ∈
= ⇔
= − ∀ ∈
;
( )
( )
( )
(
)
( )
2
2
1
1
1
f y y x R
f y y
f y y x R
= + ∀ ∈
= + ⇔
= − − ∀ ∈
;
( )
( )
(
)
( )
2
2
f x x x R
f x x
f x x x R
= ∀ ∈
= ⇔
= − ∀ ∈
.
19
Th
c t
th
ư
ng là nh
ư
v
y nh
ư
ng v
m
t logic thì không
ñ
úng.
( )
( )
2
1
4
f x
=
thì
(
)
f x
có th
là hàm khác n
$
a nh
ư
( )
( )
( )
1
0
2
1
0
2
x
f x
x
≥
=
− <
. Nh
ư
v
y
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
1
4
2
f x
f x
f x
=
= ⇔
= −
ch
%
ñ
úng v
i m
&
i x c
th
ch
không th
k
t lu
n ch
%
có hai hàm s
( )
1
2
f x x R
= ∀ ∈
ho
c
( )
1
2
f x x R
= − ∀ ∈
.
ð
gi
i quy
t v
n
ñ
này ta th
ư
ng “th
”
( )
1
2
f x x R
= ∀ ∈
hoc
( )
1
2
f x x R
= − ∀ ∈
vào ñ
bài ñ tìm hàm s không tha mãn (trong VD13 thì
( )
1
2
f x
=
không tha mãn) sau ñó lp
lun ph ñnh là
( )
1
:
2
o o
x f x
∃ = −
ñ dn ñn vô lí!
Ví d 16: Tìm
: (0,1)f
→
ℝ
tha mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z)
, , (0,1)
x y z
∀ ∈
.
Li gii:
Chn x = y = z: f(x
3
) = 3xf(x).
Thay x, y, z bi x
2
: f(x
6
) = 3 x
2
f(x
2
).
Mt khác: f(x
6
) = f(x. x
2
.x
3
) = xf(x) + x
2
f(x
2
) + x
3
f(x
3
).
⇒ 3 x
2
f(x
2
) = xf(x) + x
2
f(x
2
) + 3x
4
f(x) ⇔ 2 x
2
f(x
2
) = xf(x) + 3x
4
f(x)
3
2
3 1
( ) ( ),
2
x
f x f x x
+
⇒ = ∀ ∈
ℝ
Thay x bi x
3
ta ñưc :
9
6 3
9
2 2
3 9
2
3 1
( ) ( ),
2
3 1
3 ( ) 3 ( ),
2
3 1 3 1
3 ( ) 3 ( ),
2 2
( ) 0, 0
x
f x f x x
x
x f x xf x x
x x
x f x xf x x
f x x
+
= ∀ ∈
+
⇒ = ∀ ∈
+ +
⇒ = ∀ ∈
⇒ = ∀ ≠
ℝ
ℝ
ℝ
Vy f(x) = 0 vi mi x ∈(0; 1).
BÀI TP
1) Tìm
:
f N R
→
tha mãn:
( ) ( )
5
0 0; 1
2
f f
≠ =
;
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
f x f y f x y f x y x y N x y
= + + − ∀ ∈ ≥
.
2) Tìm
:
f N R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
3 , ,
f m n f n m f n m n N n m
+ + − = ∀ ∈ ≥
.
20
3) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
,
f x f y y f x x y R
= ∈
.
4) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 ,
f x f y y f x x y R
+ = + ∈
.
5) Tìm
(
)
(
)
: 0; 0;f
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
(
)
( )
(
)
(
)
2 2
0;
ax 0;
y
f x M x y y x f y x
∈ +∞
= + − ∀ ∈ + ∞
.
6) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 ,
f xy f x y f x y xy x x y R
− − + + + = + + ∀ ∈
.
7) Tìm
[
)
[
)
: 1; 1;f
+ ∞ → + ∞
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
( )
( )
[
)
, 1;
f xy f x f y
x y
f f x x
=
∀ ∈ + ∞
=
.
8) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ,
f xy f x f y f x y x y R
= − + + ∀ ∈
.
9) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, , ,
f x f z f y f t f xy zt f xt zy x y z t R
+ + = − + + ∀ ∈
.
10) Tìm
:
f R R
→
tha mãn:
(
)
(
)
(
)
2 2
,
f x y x f y y f x x y R
− = − ∀ ∈
.
11) Tìm
[
)
: 0;f N
→ + ∞
tha mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 1; 2 2 , ,
2
f f m n f m n f m f n m n N m n
= + + − = + ∀ ∈ ≥
.
12) Tìm
:
f Z R
→
tha mãn:
(
)
(
)
( )
, ; 3
3 2
f x f y
x y
f x y Z x y
+
+
= ∀ ∈ +
⋮
.
13) Tìm
:
f N N
→
th
a mãn:
(
)
(
)
(
)
3 2
f n f f n n n N
− = ∀ ∈
.
14) Tìm :
f Z Z
→
th
a mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 ; 2 ,
f a Z f m n f m n f m f n m n Z
= ∈ + + − = + ∀ ∈
.
15) Tìm :
f R R
→
th
a mãn:
(
)
(
)
(
)
3
2 3 1 ,
f x y f x y f x y x y R
+ = + + + + ∀ ∈
.
16) Tìm
:
f R R
→
th
a mãn:
(
)
(
)
2 4
1 2
x f x f x x x x R
+ − = − ∀ ∈
.
Phương pháp 4
:
S dng tính cht nghim ca mt ña thc.
Ví d 1: Tìm P(x) vi h s thc, tha mãn ñ'ng thc:
Li gii:
2 2
(1) ( 2)( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( ),
x x x P x x x x P x x
⇔ + + + − = − − + ∀
Chn:
2 ( 2) 0
x P
= − ⇒ − =
1 ( 1) 0
0 (0) 0
1 (1) 0
x P
x P
x P
= − ⇒ − =
= ⇒ =
= ⇒ =
Vy: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x).
3 2 3 2
( 3 3 2) ( 1) ( 3 3 2) ( ), (1)
x x x P x x x x P x x+ + + − = − + − ∀
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG
Phương pháp 1: H s b t ñ nh.
Nguyên t c chung:
+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx + c.
+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).
+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f (x f ( y) + x) = xy + f (x) x
∀ , y ∈ R ( ) 1 . L i gi i: x = 1 Thay 
vào (18) ta ñư c: f ( f ( y) + ) 1 = y + f ( ) 1 (a) .  y ∈ R
Thay y = − f ( )
1 −1 vào (a) suy ra: f ( f (− f ( ) 1 − ) 1 + ) 1 = 1
− . ð t a = f (− f ( ) 1 − ) 1 +1 ta
ñư c: f (a) = 1 − .  y = a Ch n 
ta ñư c: f ( x f (a) + x) = xa + f ( x) ⇒ xa + f ( x) = f (0) . x ∈ R
ð t f (0) = b ⇒ f ( x) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 2 a =1   f  ( x) = x  ⇒ a = 1 − ⇒  .
−a b − a = −a   f  ( x) = −x b  = 0
V y có hai hàm s c n tìm là f ( x) = x và f ( x) = −x .
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f (x) + y) = y f (x − f ( y)) x
∀ , y ∈ R (2) . L i gi i:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x)) = 0 x ∀ ∈ R (a) .
Cho x = f ( y)
⇒ f ( f ( f ( y)) + y) = y f ( ) ( ' : (2) 0 a ) .
(a) + ( 'a ) ⇒ f ( y) = y f (0). ð t f (0) = a ⇒ f ( y) = ay y
∀ ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: 2 a ( 2 2
x + y ) + a ( y − x y) = 0 x
∀ , y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x) = 0 x
∀ ∈ R . V y có duy nh t hàm s
f ( x) = 0 th a mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn:
2 f ( x) − g ( x) = f ( y) − y x
∀ , y ∈ R (a)  .  f
 ( x) g ( x) ≥ x +1 x ∀ ∈ R (b) L i gi i:
Cho x = y ∈ R khi ñó (a) ⇒ f ( x) = g ( x) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1
g ( x) = 2x − 2y + g ( y) x
∀ , y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x) = 2x + g (0) . ð t g (0) = a ta ñư c:
g ( x) = 2x + a , f ( x) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c:
2x + a = 2x + a (a), (b) ⇔  ( x ∀ ∈ R) 2
⇔ x + ( a − ) 2 2 3
1 x + a −1 ≥ 0 x ∀ ∈ R (  x + a
)(2x + a) ≥ x +1 ⇔ (a − )2 3
≤ 0 ⇔ a = 3. V y f ( x) = x + 3 ; g ( x) = 2x + 3 .
Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2
2 f (x) + f (1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ (1). Tìm f(x). L i gi i:
Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.
V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 x ∀ ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, x ∀ ∈ ℝ  1 a =  3 3  a = 1    ð 2
ng nh t các h s , ta thu ñư c: b  − 2a = 0 ⇔ b  = 3  
a + b + 3c = 0  1 c = −   3 1 V y: 2 f (x) = (x + 2x −1) 3
Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Do f(x) không trùng v i g(x) nên x
∃ ∈ ℝ : g(x ) ≠ f (x ) . 0 0 0
Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2
2g(x) + g(1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ Thay x b i x0 ta ñư c: 2
2g (x ) + g(1− x ) = x 0 0 0 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2
2g (1 − x ) + g (x ) = (1− x ) 0 0 0 1 T hai h th c này ta ñư c: 2 g(x ) =
(x + 2x −1) = f (x ) 0 0 0 0 3
ði u này mâu thu n v i g(x ) ≠ f (x ) 0 0 1
V y phương trình có nghi m duy nh t là 2 f (x) = (x + 2x −1) 3 2
Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các
hàm s tìm ñư c.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, x ∀ ∈ ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th . L i gi i:
Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , x
∀ ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, x ∀ ∈ ℝ   2 1+ 5 1− 5 a − a = 1   ñ a = a = 1± 5 ng nh t h s ta ñư c:  ⇔  ∨  ⇒ f (x) = . 2 2 xab = 0 2   b  = 0 b  = 0
Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ngư i ñ c).
Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
a) f ( f (n)) = n, n ∀ ∈ ℤ (1)
b) f ( f (n + 2) + 2) = n, n ∀ ∈ ℤ (2)
c) f (0) = 1 (3)
Tìm giá tr f(1995), f(-2007). L i gi i:
Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: 2
a n + ab + b = , n n ∀ ∈ ℤ 2 a =1
a = 1 a = 1 −
ð ng nh t các h s , ta ñư c:  ⇔  ∨  ab + b = 0 b  = 0 b  = 0 a = 1 V i 
ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2). b  = 0 a = 1 − V i 
ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1. b  = 0 V y f(n) = -n + 1.
Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) n ∀ ∈ℤ . 3
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) n
∀ ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 n ∀ ∈ℤ .
Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n ) ≠ g(n ) 0 0
Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có:
g(n − 2) = g(n ) + 2 = f (n ) + 2 = f (n − 2) 0 0 0 0
⇔ g(n − 2) = f (n − 2) 0 0
Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). V y f(n) = g(n), n ∀ ∈ ℕ
Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm.
V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t.
T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). BÀI T P
Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n: 2
f (x + y) + f (x − y) − 2 f (x) f (1+ y) = 2xy(3y − x ), x ∀ , y ∈ ℝ .
ðáp s : f(x) = x3.
Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, n ∀ ∈ . ℕ Tìm f(2005). ðáp s : 2006.
Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: 2 2
f ( f (n)) + ( f (n)) = n + 3n + 3, n ∀ ∈ . ℕ
ðáp s : f(n) = n + 1.       Bài 4 x −1 1− x 8 2
: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f   − 5 f   = , x ∀ ∉ 0, − ,1, 2  3x + 2   x − 2  x −1  3  ðáp s 28x + 4 : f (x) = 5x
Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ℝ[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ℝ
ðáp s : P(x) = x3 + cx.
Phương pháp 2: phương pháp th .
2.1. Th n t o PTH m i:   Ví d 1 2x +1
: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: 2 f   = x + 2x x ∀ ≠ 1 ( ) 1 .  x −1    L i gi i 2x +1 : ð t t = ⇒   MGT t = R \ { }
2 (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c: 1  x −1 x≠  t +1 2 3t − 3 x =
th vào (1): f (t) = t
∀ ≠ 2 . Th l i th y ñúng. t − 2 (t − 2)2 4 2 3x − 3
V y hàm s c n tìm có d ng f (x) = . ( x − 2)2 Nh n xét:
+ Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi x∈ x D
t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”. 2  3x − 3  x ≠ 2 2 ( )
+ Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f (x) = ( x − 2) (v i a∈R a  ( x = 2) tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f : (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 → R th a mãn: 2 2
f (x − x −1) = x + x −1 ∀ x ≥ 1 (2) . x − t ≥ 0  L i gi i: ð t 2 2
t = x − x −1 ⇔ x −1 = x − t ⇔  x −1 =  ( x − t)2 2 x ≥ tx ≥ t  2 t +1 t ≤ 1 − 2 ⇔  ⇔  + . H có nghi m x ⇔ ≥ t ⇔  2 2 2 t 1
x −1 = x − 2xt + tx = 2t 0 < t ≤ 1  2t ⇒ t ∈(− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ]
1 . V y MGT t = D = (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 . x ≥ 1 1 1 V i 2
t = x − x −1 thì 2 x + x −1 =
⇒ f (t) = th a mãn (2). t t 1 V y f (x) = là hàm s c n tìm. x     Ví d 3 2 3x −1 x +1
: Tìm f : R\  ;3 → R th a mãn: f   = x
∀ ≠ 1, x ≠ −2 (3) .  3   x + 2  x −1   L i gi i 3x −1 2 t + t + 4 : ð t t =
⇒ MGT t = R \  ;3⇒ 2 1 x =
th vào (4) ta ñư c: f (t) = x + 2 (x 1≠ 3  3 − t 3t − 2 x≠2) x + 4
th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f (x) = . 3x − 2
Ví d 4: Tìm f : (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn:
x f (x f ( y)) = f ( f ( y)) x
∀ , y ∈ (0; + ∞) (4) . L i gi i:
Cho y = 1, x ∈ (0; + ∞) ta ñư c: x f (x f (1)) = f ( f (1)) . 1 1 Cho x =
ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f (x f (1)) = 1 ⇒ f (x f (1)) = . ð t: f (1) x 5 f (1) a t = .
x f (1) ⇒ f (t) =
⇒ f (t) = (v i a = f (1) ). Vì f (1)∈(0;+ ∞) ⇒ MGT t = (0;+ ∞) . t t x ( ∈ 0;+∞) a a V y f (x) =
. Th l i th y ñúng (a > 0) . Hàm s c n tìm là: f (x) = v i (a > 0) . x x
Ví d 5: Tìm hàm f: (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn: 1  3   3  f (1) =
; f (xy) = f (x). f   + f ( y). f   x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5) . 2  y   x L i gi i:
Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( ) 1 3 = . 2  
Cho x = 1; y ∈ (0; + ∞) ta ñư c: ( ) 3
f y = f   . Th l i (5) ta ñư c:  y  3
f (xy) = 2 f (x) f ( y) x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5') . Thay y b i ta ñư c: x 2    
f ( ) = f ( x) 3 1 3 2 ) f ⇒  
  = ( f ( x))2 . Th l i th y ñúng.  x   2 
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 1 = x ∀ > 0 . 2
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn:
( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) = xy ( 2 2 4 x + y ) x
∀ , y ∈ R (6) . L i gi i: Ta có:
(6)⇔ ( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) =  
= ( x + y) − ( x − y) + ( x + y) + ( x − y) 1   
( x + y) + ( x − y) 2 1
 − ( x + y) − ( x − y) 2            4 4  u  = x − y ð 1 2 2 t 
ta ñư c: v f (u ) − u f (v) = (u + v)(u − v)((u + v) − (u − v) )
v = x + y 4 ⇒ ( ) − ( ) 3 3 v f u
u f v = u v − v u ⇔ ( ( ) 3 − ) = ( ( ) 3 v f u u u f v − v ) + V i uv ≠ 0 ta có: f (u ) 3 − u f (v) 3 − v f (u) 3 − u * = u ∀ v ∈ R ⇒
= a ⇒ f (u) 3 , = au + u u ∀ ≠ 0 . u v u
+ V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f (u) 3 − u = ⇔ f (u) 3 0
= u ⇒ f (0) = 0 . Hàm ( ) 3
f u = au + u th a mãn f (0) = 0 . V y ( ) 3
f u = au + u u ∀ ∈ R Hàm s c n tìm là: ( ) 3
f x = ax + x (a ∈ R) . Th l i th y ñúng.
2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x) + x f (−x) = x +1 x ∀ ∈ R ( ) 1 . L i gi i:
ð t t = −x ta ñư c: f ( t
− ) − t f (t ) = −t +1 t ∀ ∈ R ( ) 1 . Ta có h :
 f ( x) + x f (−x) = x +1 
⇒ f ( x) =1. Th l i hàm s c n tìm là: f ( x) =1. −x f
( x) + f (−x) = −x +1   Ví d 2 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { 0,1} → R Th a mãn: f ( x) * + f   = 1+ x x ∀ ∈ R (2) .  x L i gi i x −1 : ð t x =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 1 ( ) ( ) ( 1) x − ð x 1 1 t 1 x = =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 x x −1 1 ð x −1 t 2 x =
= x, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 3 ( ) ( 2 ) ( ) 2 x2
f ( x + f x =1+ x 1 ) ( ) 
1+ x − x + x 1  1 1 
Ta có h  f ( x ) + f ( x ) = 1+ x ⇒ f ( x) 1 2 = =  x + +  . Th l i th y 2 1 1 2 2  x 1− x   f
 ( x) + f ( x = 1+ x 2 ) 2  
ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x) 1 1 1 =  x + +  . 2  x 1− x    Ví d 3 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { −1;0;1} → R th a mãn: x f ( x) + 2 f   = 1 x ∀ ≠ −1 (3) .  x +1  L i gi i: ð x −1 t x =
, 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 1 ( ) ( ) ( 1) x +1 ð x −1 1 t 1 x =
= − , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 2 ( ) 1 ( 1) ( 2 ) x +1 x 1 ð x −1 x +1 t 2 x = = , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 3 ) x +1 x −1 2 ð x −1 t 3 x =
= x , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1 . 4 ( ) 3 ( 3 ) ( ) x +1 3
x f ( x) + 2 f ( x =1 1 ) 
x f ( x ) + 2 f ( x ) 2 = 1 1 1 2 4x − x +1 Ta có h  ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
x f x + 2 f x = 1 5x x −1 2 ( 2 ) ( 3 ) ( )
x f x + 2 f x =1  3 ( 3 ) ( ) 7 2 4x − x +1
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = . 5x ( x − ) 1 BÀI T P  1 
1) Tìm f : R \ {1} → R th a mãn: 2
f 1+  = x +1 x ∀ ∈ R .  x   a  2  b − ax x a
2) Tìm f : R \  −
 → R th a mãn: f   = x ∀ ≠ − (a, b là h ng s cho  b  4  bx + a x +1 b trư c và ab ≠ 0 ).
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x − f ( )) 2 2002 0 = 2002x x ∀ ∈ R . 1  1 
4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x) + f   = 1 x ∀ ∈ R \ { 0; } 1 . 2x  1− x   1− x
5) Tìm f : R \ { ±1; }
0 → R th a mãn: ( f ( x)) f   = 64x x ∀ ∈ R \ {− } 1 .  1+ x   2   x
6) Tìm f : R \ 
 → R th a mãn: f ( x) 2 2 2 + f   = 996x x ∀ ≠ .  3   3x − 2  3  x − 3   x + 3 
7) Tìm f : R \ { ±1} → R th a mãn: f   + f   = x x ∀ ≠ ±1 .  x +1   1− x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x x ∀ ∈ R .  1 
9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) 2008 * + f   = x x ∀ ∈ R .  x   1   x − 
10) Tìm f : R \ ±
 → R th a mãn: f ( x) 1 1 + f   = x x ∀ ≠ .  3   1− 3x  3 2  a
11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f   = x x
∀ ≠ a (a > 0) .  a − x   f (2x + ) 1 + 2g (2x + ) 1 = 2x
12) Tìm f , g : R \ {1} → R th a mãn:      x ∀ ≠ 1 x x .  f   + g   = x   x −1  x −1
Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n.   Ví d 1 2x 3x
: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x) + f   = x ∀ ∈ R ( ) 1 .  3  5 L i gi i: ð 2x 3 t x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 1 ( ) ( ) ( 1) 3 5 ð 2x 3 t 1 x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 3 5 8 ð 2x 3 t n * x =
, n ∈ N ; 1 ⇒ f x + f x = x . n 1 + ( ) ( n ) ( n 1+) 3 5 nf  ( x) + f ( 3 x = x 1 1 ) ( ) 5   f ( 3 x + f x = x 2 1 ) ( 2 ) 1 ( ) Ta có h  5 …… 
f (x + f x = x n + n ) ( 3 1 n 1 + ) n ( )  5
Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c: 2 n   +    
f ( x) + (− )n 2 f ( 3 2 2 2 1 x = x 1
 − +   −⋯+  −   * . n 1 + ) ( ) 5  3  3   3    ( f l.tôc) n+2 Xét lim ( ) 1 f ( x  − = lim  f x  = f lim x = f 0 . n 1 + )    ( n 1 + ) ( n 1 + ) ( ) n+2
M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim (− ) 1 f ( x = 0 . n 1 + ) x
L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x) 3 1 9 = x = . Th l i th y ñúng. 5 2 25 1+ 3 x
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 9 = . 25
Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn:
f : R → R và 2 f (2x) = f ( x) + x x ∀ ∈ R (2) . L i gi i:   ð t t
t t = 2x ta ñư c: f (t ) = f   + t ∀ ∈ R ( ' 2 2 ) .  2  2  1 * t = t , n ∀ ∈ Nn 1 +  2 n Xét dãy: 
. Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c: 1 t  = t 1  2  f  (t ) 1 = f ( 1 t + t 1 1 ) ( ) 2 4   f ( 1 1 t = f t + t 2 1 ) ( 2 ) 1 ( )  2 4 . Th (n) vào (n − )
1 → (n − 2) →⋯ ta ñư c: ⋯⋯   f ( 1 1 t = f t + t n n 1 − ) ( n ) n 1 − ( )  2 4 f (t ) 1 = f t + f t + f t +⋯ + t . n ( n ) 1 1 1 * n 1 + ( n− ) n ( n− ) 2 ( ' 1 2 ) 2 2 2 2 9 n  1  1  1 1 1 
Thay t =   t vào (*’) ta ñư c: f (t ) = f t + t  + +⋯ +  . n ( n ) n ( "* 2 4 2 ) n  2  2  2 2 2   1  t
Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim  f t
 = . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f (t ) = . Th n ( ) 0  2 n  3 l i th y ñúng. Nh n xét:
+) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm.
+) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng gi i h n như VD1.
+ N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ"i bi n ñ có dãy {tn} có
gi i h n 0 và làm như ví d 1. BÀI T P
1) Tìm f : R → R th a mãn:
a) f liên t c t i xo = 0,
b) n f (nx) = f ( x) + nx n
∀ ∈ N , n ≥ 2; x ∀ ∈ R .  x
2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( x) 10 3 + f   = x .  3  3
3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn:
m f (mx) − n f (nx) = (m + n) * x ∀ ,
m n ∈ N , m ≠ n , x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr .
+) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác.
+) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c. (
 a) f ( x) ≥ 0 x ∀ ∈ R
Ví d 1: Tìm f :R → R th a mãn:  . (  b
 ) f ( x + y) ≥ f ( x) + f ( y) x ∀ , y ∈ R L i gi i: x = 0  f (0) ≥ 0 Cho  suy ra  ⇒ f (0) = 0.  y = 0  f  (0) ≥ 2 f (0)
f (0) ≥ f ( x) + f (−x)  
f ( x) + f (−x) ≤ 0
Cho y = −x ⇒  ⇒   f
 ( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0  f
 ( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0
⇒ f ( x) = f (−x) = 0 x
∀ ∈ R . V y f ( x) = 0 . Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f :R → R th a mãn: 1 f (xy) 1 +
f ( yz) − f ( x) f ( yz) 1 ≥ x
∀ , y, z ∈ R (2) . 2 2 4 L i gi i: 10 2 2 1  1  1
Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x) − ( f ( x)) ≥ ⇔  f ( x) −  ≤ 0 ⇔ f ( x) = . Th l i th y 4  2  2 ñúng.
Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f (x) = a
M x { xy − f ( y) } x ∀ ∈ R (3) . y R ∈
L i gi i:(3) ⇒ f ( x) ≥ xy − f ( y) x ∀ , y ∈ R . 2 t
Cho x = y = t ∈ R ⇒ f (t ) = t ∀ ∈ R (a) . 2 T (a) suy ra: 2 2 2 2 x − ( ) y x 1 ≤ − = − ( − )2 x xy f y xy x y ≤ ⇒ f (x) = a
M x{ xy − f ( y) } ≤ x ∀ ∈ R (b) 2 2 2 2 y R ∈ 2 2 ( ) + ( ) ⇒ ( ) x a b f x = . Th l i th y ñúng. 2
Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn:
( + ) ≥ ( ) ( ) ≥ 2008x+y f x y f x f y x
∀ , y ∈ R (4) . L i gi i: 2
Cho x = y = 0 ⇒ f (0) ≥ ( f (0)) ≥ 1⇒ f (0) = 1. Cho
x = − y∈ R ⇒ = f ( ) ≥ f ( x) f (−x) ≥ ⇒ f ( x) f (−x) = ⇒ f ( x) 1 1 0 1 1 = x ∀ ∈ R (a) . f (−x)
 f ( x) ≥ 2008x > 0
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) ≥ 2008x ⇒  (b) .  f
 (−x) ≥ 2008−x > 0 1 1
Theo (a) + (b) ⇒ f ( x) = ≤ = 2008x
c . ( ) + ( )⇒ ( ) = 2008x b c f x . Th l i − x ( ) f (−x) 2008 th y ñúng.
Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a; b ] th a mãn:
f ( x) − f ( y) ≥ x − y x
∀ , y ∈[ a; b ] (a < b cho trư c) (5). L i gi i:
Cho x = a ; y = b ⇒ f (a) − f (b) ≥ a − b = b − a (a) .
vì f (a), f (b)∈[ a; b ] nên f (a) − f (b) ≤ a − b = b − a (b) . 11
 f (a) = a   f  (b) = b
(a) + (b) ⇒ f (a) − f (b) = b − a ⇔  . 
 f (a) = b   f  (b) = a
 f (a) = a +) N u  thì:  f  (b) = b
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ]⇒ f ( x) ≤ x (c) .
Ch n y = a ; x ∈[ a; b ]⇒ f ( x) ≥ x (d ) .
(c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .
 f (a) = b +) N u  thì:  f  (b) = a
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈[ a; b ] như trên ta ñư c: f ( x) = a + b − x . Th l i th y ñúng. Nh n xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có
th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t lu n v hàm s .
+) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i
d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c.
Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn:   π 
f (0) = a ; f   = b
( a,b cho tr−íc)   2  (6) .  f
 ( x + y) + f ( x − y) = 2 f ( x) cos y x ∀ , y ∈ R L i gi i: π  π   π  Cho y =
; x ∈ R ta ñư c: f x +
 + f x −  = 0 (a) . 2  2   2 
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y) + f (− y) = 2a cos y (b) . π  π   π  Cho x =
; y ∈ R ta ñư c: f
+ y  + f  − y  = 2b cos y (c). 2  2   2  12   π   π  f   x +
 + f x −  = 0  2   2     π   π   π 
(a) + (b) + (c) ⇒  f x −  + f  − x  = 2a cos x −  .  2   2   2     π   π 
f x +  + f  − x  = 2b cos x   2   2 
Gi i h ta ñư c: f ( x) = a cos x + bsin x . Th l i th y ñúng.
Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) f ( y) = f ( x + y) + sin xsin y x
∀ , y ∈ R (7).
L i gi i: Ta th y f ( x) = cos x là m t hàm s th a mãn.  f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0 ⇔ ( f (0)) = f (0) ⇔  .  f  (0) = 1
N u f (0) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) = − f (0) = 0 x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c: sin x sin y = 0 x
∀ , y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x) = 0 không là nghi m (7). N u f (0) = 1 thì cho
x = − y ⇒ f ( x) f (−x) = + ( 2 − x) 2 =
x ⇒ f ( x) f (−x) 2 1 sin cos = cos x (a) .   π  f    = 0 π  2  Cho x  = ⇒ . 2   π   f  −  = 0   2   π  π
N u f   = 0 thì: Cho x =
; y ∈ R th vào (7) suy ra:  2  2  π  f y +
 + sin y = 0 ⇒ f ( y) = cos y y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng.  2   π 
N u f  −  = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y) = cos y y ∀ ∈ R .  2 
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = cos x .
Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x) − f ( y) = cos( x + y) g ( x − y) x
∀ , y ∈ R (8) . L i gi i: π  π   π  Ch n x =
− y ; y ∈ R (8) ⇒ f  − y  − f ( y) = 0 ⇔ f  − y  = f ( y) (a) . 2  2   2  π  π   π  Ch n x =
+ y ; y ∈ R (8) ⇒ f  + y  − f ( y) = − sin 2y.g   (b) . 2  2   2  13  π   π   π 
(a) + (b) ⇒ f  + y  − f  − y  = −sin 2 .
y g   (c) .  2   2   2   π   π  Theo (8): f
+ y  − f  − y  = − g (2y) (d ) .  2   2   π 
(c) + (d )⇒ g (2y) = sin 2 . y g   y
∀ ∈ R ⇒ g (2x) = a sin 2x ⇒ g ( x) = a sin x x ∀ ∈ R .  2   π 
(v i a = g   cho trư c.)  2  a
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) − f (0) = cos .
x g ( x) ⇒ f ( x) = sin 2x + b (b = f (0)), x ∀ ∈ R . 2   ( ) a f x = sin 2x + b Th l i 2 hàm s :  2
(V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8). g
 ( x) = a sin x
f (−x) = − f (x) x ∀ ∈ R (a)  
Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn:  f ( x + )
1 = f ( x) +1 x ∀ ∈ R (b) .    1  f ( x) f   = x ∀ ≠ 0 c 2 ( )   x x L i gi i:  x +1  Ta tính f
 ñ n f ( x) theo hai cách:  x   x +1   1   1  f ( x) f
 = f 1+  = 1+ f   = 1+ x ∀ ≠ 0 a . 2 ( )  x   x   x xx   1  f   f 1−  2  x +1  x +1  x +1   x +1    1   f   = = =   1+ f  −   = 2 2  x   x   x   x    x +1       x +1  x +1  2 2           x +1 1  x +1  f ( x + ) 1 =   1+  − f     =    1−  =  x   
x 1   x    (  + x + )2 1  2    x +1  1+ f ( x) 1−    x
∀ ≠ 0 , x ≠ 1 b . 2 ( ) x  (    x +  ) 1 
(a) + (b)⇒ f ( x) = x x ∀ ≠ 0; x ≠ 1 .
V i x = 0; (a)⇒ f (0) = 0 th a mãn f ( x) = x .
V i x = 1; (a) ⇒ f (− ) 1 = − f ( ) 1 :
Cho x = 0; (b) ⇒ f ( ) 1 = 1 ⇒ f (− ) 1 = 1
− th a mãn f ( x) = x . 14
V y f ( x) = x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng .
Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn:  f ( ) 1 = 1 (a)    1   1   1   f
 = f  . f   x
∀ , y ≠ 0 (b) .
  x + y   x   y  (  x + y
) f ( x + y) = xy f (x) f ( y) x
∀ , y tháa m n xy ( x + y) ≠ 0 (c) L i gi i:  1   1  Cho *
x = y ∈ R , (b) ta ñư c: f   = 2 f ⇒  
f ( x) = 2 f (2x) x ∀ ≠ 0 ( ) *  2x   x  2 2 Cho *
x = y ∈ R , (c) ta ñư c: x f ( x) 2
= x ( f ( x)) ⇔ f ( x) = x ( f ( x)) x ∀ ≠ ( ' 2 2 2 2 0 * ). 2
Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x) = x ( f ( x)) ( " * ) . Gi s : *
∃ x ≠ 1, x ∈ R sao cho: f(x x = − x
y = x vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0 o o o) = 0. Thay 1 ; o o
trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x) ≠ 0 x ∀ ≠ 1; x ≠ 0 . Vì f ( )
1 = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x) 1 = x
∀ ≠ 0 . Th l i th y ñúng. x
Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn: 
f ( )1 =1 (a)  
f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2xy x
∀ , y ∈ R (b) .    1  f ( x) f   = x ∀ ≠ 0 c 4 ( )   x x L i gi i:
Cho x = y = 0 , (b) ⇔ f (0) = 0
Cho x = y = t ≠
(b) ⇔ f ( t) − f (t) 2 0, 2 2 = 2t ( ) 1 . 1  1   1  1 Cho x = y =
, (b) ⇔ f   − 2 f   = * 2 ( ) 2tt   2t  2t  1 f (t )  1  f (2t ) f (t ) f (2t ) 1
T (c) ⇒ f   = ; f   = . Th vào (*) ta ñư c: − 2 = 2 . 4 4 2 ( ) 4  t t  2t  (2t)4 t (2t) 2t
( ) + ( )⇒ f (t ) 2 1 2 = t t
∀ ≠ 0 . T f ( ) = ⇒ f (t ) 2 0 0 = t t
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0;+ ∞)→( 0;+ ∞) th a mãn:  f ( x)  f
 = y f ( y) f ( f ( x)) x
∀ , y ∈( 0; + ∞) (12) .  y  15 L i gi i: Cho:
x = y = 1 ⇒ f ( f ( ) 1 ) = f ( ) 1 . f ( f ( ) 1 ) ⇒ f ( )
1 = 1 vì f ( f ( )
1 ) ≠ 0⇒ f ( f ( ) 1 ) = 1.  1  f    f ( ) 1   y
x = 1; y ∈ ( 0; + ∞) ⇒ f
 = y f ( y) f ( f ( )
1 ) = y f ( y) ⇔ f ( y) = (a).  y y M t   1      f        y    1  f  ( y)
khác: f ( f ( y)) = f
= y f ( y) f f   = y f ( y) f ( y f ( y)) = y f ( y) f    y    y    1         y    1  1  = y f ( y)
f   f ( f ( y)) . yy  1  1   1 
Vì f ( f ( y)) ≠ 0 nên y f ( y)
f   = 1 ⇔ f ( y) f   = 1 (b) . yy   y
(a) + (b) ⇒ f ( y) 1 = y
∀ ∈(0; + ∞) . Th l i th y ñúng. y
Ví d 13: Tìm f : R → R th a mãn:   f ( ) 1 0 = (a)  2 .
∃a ∈ R: f
(a − y) f ( x) + f (a − x) f ( y) = f ( x + y) x
∀ , y ∈ R (b) L i gi i: Cho x = y =
(b)⇒ f (a) 1 0, = . 2
Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x) = f ( x). f (a) + f (0). f (a − x) ⇒ f ( x) = f (a − x) (c) . 2 2
Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f (a) = ( f ( x)) + ( f (a − x)) (d ) .  f (x) 1 = 
(c) + (d ) ⇒ ( f ( x))2 1 2 2 = ⇔  . 2  f (x) 1 = −  2
N u ∃ x ∈ R sao cho: f ( x = − thì: o ) 1 o 2 (b) (c) 2 1           − = ( x x x x x f x = f  +  = f   f a −  =  f    ≥ ⇒ Vô lí. o ) o o 2 o . o 2 o 0 2  2 2   2   2    2   V y f ( x) 1 = x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 16 Ví d 14: (VMO.1995) 2 2
Tìm f : R → R th a mãn: f ((x − y) ) 2
= x − 2 y f ( x) + ( f ( y)) x
∀ , y ∈ R (14) . L i gi i:  f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0⇒ f (0) = ( f (0)) ⇔  .  f  (0) = 1  y = 0 N u f (0) = 0: Cho  ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x ⇒ f (t ) = t t ∀ ≥ 0 x ∈ R 2 2
Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( ) 2
0 = x − 2x f ( x) + ( f ( x)) ⇔ ( f ( x) − x) = 0 ⇔ f ( x) = x . Th l i th y ñúng.  y = 0 N u f (0) = 1: Cho  ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x +1 ⇔ f (t ) = t +1 t ∀ ≥ 0 . x ∈ R 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( 2
y ) = − y + ( f ( y)) ⇒ ( f ( y)) = f ( 2 2 y ) + 2y f y = y +1 2 ( ) 2
= y +1+ 2 y = ( y + ) 1 ⇒  .  f
 ( y) = − y −1
Gi s ∃ y ∈ R sao cho: f ( y = − y − . Ch n x = y = y ta ñư c: o ) 1 o o of y = y −1 2 ( o ) 2 o
1 = y − 2 y f y + f y ⇔  . o o ( o ) ( ( o ))  f  ( y = y + o ) 1 o
N u f ( y ) = y −1⇒ − y −1 = y −1⇒ y = 0 v f (0) = 1 − (lo¹i) . o o o o o
N u f ( y ) = y +1 ⇒ − y −1 = y +1⇒ y = −1⇒ f (− ) 1 = 0 . o o o o o
Th a mãn: f ( y ) = y +1. V y f ( y) = y +1 y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. o o Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x − y)) = f ( x) f ( y) − f ( x) + f ( y) − xy x
∀ , y ∈ R (15) . L i gi i: Cho x = y =
⇒ f ( f ( )) = ( f ( ))2 0 0 0
. ð t f ( ) = a ⇒ f (a) 2 0 = a . 2 2
Cho x = y ∈ R ⇒ ( f ( x)) 2
= x + f (a) ⇒ ( f ( x)) 2 2 = x + a ( ) * .
f x = f −x 2 2 ( ) ( )
⇒ ( f ( x)) = ( f (−x)) ⇒  .  f
 ( x) = − f (−x) N u *
∃ x ∈ R sao cho f ( x = f −x : o ) ( o ) o
+ Ch n x = 0; y = −x ⇒ f f x
= a f −x − a + f −x a . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( ) 17
+ Ch n y = 0; x = −x ⇒ f f x
= a f x + a − f x b . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( )
(a) + (b) ⇒ a( f (x ) − f (−x )) − ( f (x ) + f (−x )) + 2a = 0 c . o o o o ( ) ( ) * 2
Vì f ( x = f −x nên f ( x = a ⇒ f x
= x + a ⇒ a = x + a ⇒ x = trái v i o ) ( ( o )) 2 2 2 2 2 0 o ) ( o ) 0 0 o gi thi t * x ∈ R . o
V y f ( x) = − f (−x) x
∀ ∈ R . Ta th y (c) không ph thu c vào xo nên ta có:
a ( f ( x) − f (−x)) − ( f ( x) + f (−x)) + 2a = 0 (c) . Thay f ( x) = − f (−x) suy ra: a = 0
a ( f ( x) + ) 1 = 0 ⇔  . f ( x) = 1 −  ( ) *  f x = x 2 ( )
+ N u a = ⇒ ( f ( x)) 2 0 = x ⇔  .  f  ( x) = −x Gi s t n t i *
x ∈ R ñ f ( x = x . Khi ñó (b) suy ra: o ) o o
x = f ( x ) = a x + a − x ⇒ x = 0 trái gi thi t * x ∈ R . o o o o o o
V y f ( x) = −x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng + N u f ( x) = 1 − x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c (15) ⇔ xy = 2 x
∀ , y ∈ R . Vô lí.
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = −x .
Nh n xét: Có m t suy lu n hay nh m l n ñư c s d ng các VD:     f  ( x) 1 =    f y y 1  = + 2 2 ( ) 2 1 2
VD13  ( f ( x)) = ⇔ 
 ; VD14 ( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔   ;  4     f   ( y) y 1 = − −  f ( x) 1 = −      2    f x x  = 2 ( )
VD15  ( f ( x)) 2 = x ⇔    , ñó là hi u sai:  f   ( x) x  = −   f  ( x) 1 = x ∀ ∈ R ( f (x))2 1 2 = ⇔  ; 4  f (x) 1 = − x ∀ ∈ R  2  = + ∀ ∈ 2 f y y 1 x R 2 ( )
( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔  ;  f
 ( y) = − y −1 x ∀ ∈ Rf x = x x ∀ ∈ R 2 ( ) ( f (x)) 2 = x ⇔  .  f  ( x) = −x x ∀ ∈ R 18
Th c t thư ng là như v y nhưng v m t logic thì không ñúng. ( f ( x))2 1 =
thì f ( x) có th 4 1  1  ( x ≥ 0) f  ( x) = 2 2 1 2
là hàm khác n$a như f ( x) = 
. Như v y ( f ( x)) = ⇔  ch% 1  4  1 − ( x < 0)  f ( x) = −  2  2
ñúng v i m&i x c th ch không th k t lu n ch% có hai hàm s f ( x) 1 = x ∀ ∈ R ho c 2 f ( x) 1 = − x ∀ ∈ R . 2
ð gi i quy t v n ñ này ta thư ng “th ” f ( x) 1 = x
∀ ∈ R ho c f ( x) 1
= − ∀x ∈ R vào ñ 2 2
bài ñ tìm hàm s không th a mãn (trong VD13 thì f ( x) 1 =
không th a mãn) sau ñó l p 2 lu n ph ñ nh là ∃ x f x = − ñ d n ñ n vô lí! o ( o ) 1 : 2
Ví d 16: Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y, z ∈ (0,1) . L i gi i:
Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x).
Thay x, y, z b i x2: f(x6) = 3 x2 f(x2).
M t khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3).
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3 3x +1 2 ⇒ f (x ) = f (x), x ∀ ∈ ℝ 2 Thay x b i x3 ta ñư c : 9 3x +1 6 3 f (x ) = f (x ), x ∀ ∈ ℝ 2 9 3x +1 2 2 ⇒ 3x f (x ) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 3 9 3x +1 3x +1 2 ⇒ 3x f (x) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 2
⇒ f (x) = 0, x ∀ ≠ 0
V y f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1). BÀI T P
1) Tìm f : N → R th a mãn: f ( ) ≠ f ( ) 5 0 0; 1 = ; 2
f ( x) f ( y) = f ( x + y) + f ( x − y) x
∀ , y ∈ N , x ≥ y .
2) Tìm f : N → R th a mãn: f (m + n) + f (n − m) = f (3n) ∀ ,
m n ∈ N , n ≥ m . 19
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y)) = y f ( x) x, y ∈ R .
4) Tìm f : R → R th a mãn: f (( x + )
1 f ( y)) = y ( f ( x) + ) 1
x, y ∈ R .
5) Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: f ( x) 2 2 = a
M x  x y + y x − f ( y) x ∀ ∈( 0;+ ∞   ) . y ( ∈ 0;+∞ )
6) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) − f ( x − y) + f ( x + y + ) 1 = xy + 2x +1 x ∀ , y ∈ R .  f
 ( xy) = f ( x) f ( y)
7) Tìm f : [ 1;+ ∞) → [ 1;+ ∞) th a mãn:  x
∀ , y ∈[ 1; + ∞ ) .  f
 ( f ( x)) = x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) = f ( x) f ( y) − f ( x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
9) Tìm f : R → R th a mãn:
( f (x) + f (z))( f ( y) + f (t)) = f (xy − zt) + f (xt + zy) x
∀ , y, z,t ∈ R .
10) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2 2
x − y ) = x f ( y) − y f ( x) x ∀ , y ∈ R .
11) Tìm f : N → [ 0;+ ∞) th a mãn: f ( ) =
f (m + n) + f (m − n) 1 1 1; =
( f (2m) + f (2n)) ∀ ,
m n ∈ N , m ≥ n . 2  x + y
f ( x) + f ( y)
12) Tìm f : Z → R th a mãn: f   = x
∀ , y ∈ Z ; ( x + y)⋮3 .  3  2
13) Tìm f : N → N th a mãn: 3 f (n) − 2 f ( f (n)) = n n ∀ ∈ N .
14) Tìm f : Z → Z th a mãn: f ( )
1 = a ∈ Z ; f (m + n) + f (m − n) = 2( f (m) + f (n)) ∀ , m n ∈ Z .
15) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 3
x + 2 y) = f ( x + y) + f (3x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
16) Tìm f : R → R th a mãn: 2
x f ( x) + f ( − x) 4 1 = 2x − x x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: S d ng tính ch t nghi m c a m t ña th c.
Ví d 1: Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn ñ'ng th c: 3 2 3 2
(x + 3x + 3x + 2)P(x −1) = (x − 3x + 3x − 2)P(x), x ∀ (1) L i gi i: 2 2
(1) ⇔ (x + 2)(x + x +1)P(x −1) = (x − 2)(x − x +1)P(x), x ∀
Ch n: x = −2 ⇒ P(−2) = 0 x = 1 − ⇒ P( 1 − ) = 0
x = 0 ⇒ P(0) = 0
x = 1 ⇒ P(1) = 0
V y: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x). 20