-
Thông tin
-
Quiz
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán . Tài liệu gồm 30 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi. Mời bạn đọc đón xem!
Tài liệu chung 297 tài liệu
Toán 12 3.8 K tài liệu
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán . Tài liệu gồm 30 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung 297 tài liệu
Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:




















Tài liệu khác của Toán 12
Preview text:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG
Phương pháp 1: H s b t ñ nh.
Nguyên t c chung:
+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx + c.
+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).
+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f (x f ( y) + x) = xy + f (x) x
∀ , y ∈ R ( ) 1 . L i gi i: x = 1 Thay
vào (18) ta ñư c: f ( f ( y) + ) 1 = y + f ( ) 1 (a) . y ∈ R
Thay y = − f ( )
1 −1 vào (a) suy ra: f ( f (− f ( ) 1 − ) 1 + ) 1 = 1
− . ð t a = f (− f ( ) 1 − ) 1 +1 ta
ñư c: f (a) = 1 − . y = a Ch n
ta ñư c: f ( x f (a) + x) = xa + f ( x) ⇒ xa + f ( x) = f (0) . x ∈ R
ð t f (0) = b ⇒ f ( x) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 2 a =1 f ( x) = x ⇒ a = 1 − ⇒ .
−a b − a = −a f ( x) = −x b = 0
V y có hai hàm s c n tìm là f ( x) = x và f ( x) = −x .
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f (x) + y) = y f (x − f ( y)) x
∀ , y ∈ R (2) . L i gi i:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x)) = 0 x ∀ ∈ R (a) .
Cho x = f ( y)
⇒ f ( f ( f ( y)) + y) = y f ( ) ( ' : (2) 0 a ) .
(a) + ( 'a ) ⇒ f ( y) = y f (0). ð t f (0) = a ⇒ f ( y) = ay y
∀ ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: 2 a ( 2 2
x + y ) + a ( y − x y) = 0 x
∀ , y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x) = 0 x
∀ ∈ R . V y có duy nh t hàm s
f ( x) = 0 th a mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn:
2 f ( x) − g ( x) = f ( y) − y x
∀ , y ∈ R (a) . f
( x) g ( x) ≥ x +1 x ∀ ∈ R (b) L i gi i:
Cho x = y ∈ R khi ñó (a) ⇒ f ( x) = g ( x) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1
g ( x) = 2x − 2y + g ( y) x
∀ , y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x) = 2x + g (0) . ð t g (0) = a ta ñư c:
g ( x) = 2x + a , f ( x) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c:
2x + a = 2x + a (a), (b) ⇔ ( x ∀ ∈ R) 2
⇔ x + ( a − ) 2 2 3
1 x + a −1 ≥ 0 x ∀ ∈ R ( x + a
)(2x + a) ≥ x +1 ⇔ (a − )2 3
≤ 0 ⇔ a = 3. V y f ( x) = x + 3 ; g ( x) = 2x + 3 .
Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2
2 f (x) + f (1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ (1). Tìm f(x). L i gi i:
Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.
V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 x ∀ ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, x ∀ ∈ ℝ 1 a = 3 3 a = 1 ð 2
ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = 3
a + b + 3c = 0 1 c = − 3 1 V y: 2 f (x) = (x + 2x −1) 3
Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Do f(x) không trùng v i g(x) nên x
∃ ∈ ℝ : g(x ) ≠ f (x ) . 0 0 0
Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2
2g(x) + g(1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ Thay x b i x0 ta ñư c: 2
2g (x ) + g(1− x ) = x 0 0 0 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2
2g (1 − x ) + g (x ) = (1− x ) 0 0 0 1 T hai h th c này ta ñư c: 2 g(x ) =
(x + 2x −1) = f (x ) 0 0 0 0 3
ði u này mâu thu n v i g(x ) ≠ f (x ) 0 0 1
V y phương trình có nghi m duy nh t là 2 f (x) = (x + 2x −1) 3 2
Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các
hàm s tìm ñư c.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, x ∀ ∈ ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th . L i gi i:
Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , x
∀ ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, x ∀ ∈ ℝ 2 1+ 5 1− 5 a − a = 1 ñ a = a = 1± 5 ng nh t h s ta ñư c: ⇔ ∨ ⇒ f (x) = . 2 2 x ab = 0 2 b = 0 b = 0
Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ngư i ñ c).
Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
a) f ( f (n)) = n, n ∀ ∈ ℤ (1)
b) f ( f (n + 2) + 2) = n, n ∀ ∈ ℤ (2)
c) f (0) = 1 (3)
Tìm giá tr f(1995), f(-2007). L i gi i:
Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: 2
a n + ab + b = , n n ∀ ∈ ℤ 2 a =1
a = 1 a = 1 −
ð ng nh t các h s , ta ñư c: ⇔ ∨ ab + b = 0 b = 0 b = 0 a = 1 V i
ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2). b = 0 a = 1 − V i
ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1. b = 0 V y f(n) = -n + 1.
Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) n ∀ ∈ℤ . 3
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) n
∀ ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 n ∀ ∈ℤ .
Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n ) ≠ g(n ) 0 0
Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có:
g(n − 2) = g(n ) + 2 = f (n ) + 2 = f (n − 2) 0 0 0 0
⇔ g(n − 2) = f (n − 2) 0 0
Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). V y f(n) = g(n), n ∀ ∈ ℕ
Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm.
V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t.
T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). BÀI T P
Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n: 2
f (x + y) + f (x − y) − 2 f (x) f (1+ y) = 2xy(3y − x ), x ∀ , y ∈ ℝ .
ðáp s : f(x) = x3.
Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, n ∀ ∈ . ℕ Tìm f(2005). ðáp s : 2006.
Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: 2 2
f ( f (n)) + ( f (n)) = n + 3n + 3, n ∀ ∈ . ℕ
ðáp s : f(n) = n + 1. Bài 4 x −1 1− x 8 2
: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f − 5 f = , x ∀ ∉ 0, − ,1, 2 3x + 2 x − 2 x −1 3 ðáp s 28x + 4 : f (x) = 5x
Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ℝ[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ℝ
ðáp s : P(x) = x3 + cx.
Phương pháp 2: phương pháp th .
2.1. Th n t o PTH m i: Ví d 1 2x +1
: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: 2 f = x + 2x x ∀ ≠ 1 ( ) 1 . x −1 L i gi i 2x +1 : ð t t = ⇒ MGT t = R \ { }
2 (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c: 1 x −1 x≠ t +1 2 3t − 3 x =
th vào (1): f (t) = t
∀ ≠ 2 . Th l i th y ñúng. t − 2 (t − 2)2 4 2 3x − 3
V y hàm s c n tìm có d ng f (x) = . ( x − 2)2 Nh n xét:
+ Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi x∈ x D
t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”. 2 3x − 3 x ≠ 2 2 ( )
+ Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f (x) = ( x − 2) (v i a∈R a ( x = 2) tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f : (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 → R th a mãn: 2 2
f (x − x −1) = x + x −1 ∀ x ≥ 1 (2) . x − t ≥ 0 L i gi i: ð t 2 2
t = x − x −1 ⇔ x −1 = x − t ⇔ x −1 = ( x − t)2 2 x ≥ t x ≥ t 2 t +1 t ≤ 1 − 2 ⇔ ⇔ + . H có nghi m x ⇔ ≥ t ⇔ 2 2 2 t 1
x −1 = x − 2xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1 2t ⇒ t ∈(− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ]
1 . V y MGT t = D = (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 . x ≥ 1 1 1 V i 2
t = x − x −1 thì 2 x + x −1 =
⇒ f (t) = th a mãn (2). t t 1 V y f (x) = là hàm s c n tìm. x Ví d 3 2 3x −1 x +1
: Tìm f : R\ ;3 → R th a mãn: f = x
∀ ≠ 1, x ≠ −2 (3) . 3 x + 2 x −1 L i gi i 3x −1 2 t + t + 4 : ð t t =
⇒ MGT t = R \ ;3⇒ 2 1 x =
th vào (4) ta ñư c: f (t) = x + 2 (x 1≠ 3 3 − t 3t − 2 x≠2) x + 4
th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f (x) = . 3x − 2
Ví d 4: Tìm f : (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn:
x f (x f ( y)) = f ( f ( y)) x
∀ , y ∈ (0; + ∞) (4) . L i gi i:
Cho y = 1, x ∈ (0; + ∞) ta ñư c: x f (x f (1)) = f ( f (1)) . 1 1 Cho x =
ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f (x f (1)) = 1 ⇒ f (x f (1)) = . ð t: f (1) x 5 f (1) a t = .
x f (1) ⇒ f (t) =
⇒ f (t) = (v i a = f (1) ). Vì f (1)∈(0;+ ∞) ⇒ MGT t = (0;+ ∞) . t t x ( ∈ 0;+∞) a a V y f (x) =
. Th l i th y ñúng (a > 0) . Hàm s c n tìm là: f (x) = v i (a > 0) . x x
Ví d 5: Tìm hàm f: (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn: 1 3 3 f (1) =
; f (xy) = f (x). f + f ( y). f x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5) . 2 y x L i gi i:
Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( ) 1 3 = . 2
Cho x = 1; y ∈ (0; + ∞) ta ñư c: ( ) 3
f y = f . Th l i (5) ta ñư c: y 3
f (xy) = 2 f (x) f ( y) x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5') . Thay y b i ta ñư c: x 2
f ( ) = f ( x) 3 1 3 2 ) f ⇒
= ( f ( x))2 . Th l i th y ñúng. x 2
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 1 = x ∀ > 0 . 2
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn:
( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) = xy ( 2 2 4 x + y ) x
∀ , y ∈ R (6) . L i gi i: Ta có:
(6)⇔ ( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) =
= ( x + y) − ( x − y) + ( x + y) + ( x − y) 1
( x + y) + ( x − y) 2 1
− ( x + y) − ( x − y) 2 4 4 u = x − y ð 1 2 2 t
ta ñư c: v f (u ) − u f (v) = (u + v)(u − v)((u + v) − (u − v) )
v = x + y 4 ⇒ ( ) − ( ) 3 3 v f u
u f v = u v − v u ⇔ ( ( ) 3 − ) = ( ( ) 3 v f u u u f v − v ) + V i uv ≠ 0 ta có: f (u ) 3 − u f (v) 3 − v f (u) 3 − u * = u ∀ v ∈ R ⇒
= a ⇒ f (u) 3 , = au + u u ∀ ≠ 0 . u v u
+ V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f (u) 3 − u = ⇔ f (u) 3 0
= u ⇒ f (0) = 0 . Hàm ( ) 3
f u = au + u th a mãn f (0) = 0 . V y ( ) 3
f u = au + u u ∀ ∈ R Hàm s c n tìm là: ( ) 3
f x = ax + x (a ∈ R) . Th l i th y ñúng.
2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x) + x f (−x) = x +1 x ∀ ∈ R ( ) 1 . L i gi i:
ð t t = −x ta ñư c: f ( t
− ) − t f (t ) = −t +1 t ∀ ∈ R ( ) 1 . Ta có h :
f ( x) + x f (−x) = x +1
⇒ f ( x) =1. Th l i hàm s c n tìm là: f ( x) =1. −x f
( x) + f (−x) = −x +1 Ví d 2 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { 0,1} → R Th a mãn: f ( x) * + f = 1+ x x ∀ ∈ R (2) . x L i gi i x −1 : ð t x =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 1 ( ) ( ) ( 1) x − ð x 1 1 t 1 x = =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 x x −1 1 ð x −1 t 2 x =
= x, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 3 ( ) ( 2 ) ( ) 2 x2
f ( x + f x =1+ x 1 ) ( )
1+ x − x + x 1 1 1
Ta có h f ( x ) + f ( x ) = 1+ x ⇒ f ( x) 1 2 = = x + + . Th l i th y 2 1 1 2 2 x 1− x f
( x) + f ( x = 1+ x 2 ) 2
ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x) 1 1 1 = x + + . 2 x 1− x Ví d 3 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { −1;0;1} → R th a mãn: x f ( x) + 2 f = 1 x ∀ ≠ −1 (3) . x +1 L i gi i: ð x −1 t x =
, 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 1 ( ) ( ) ( 1) x +1 ð x −1 1 t 1 x =
= − , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 2 ( ) 1 ( 1) ( 2 ) x +1 x 1 ð x −1 x +1 t 2 x = = , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 3 ) x +1 x −1 2 ð x −1 t 3 x =
= x , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1 . 4 ( ) 3 ( 3 ) ( ) x +1 3
x f ( x) + 2 f ( x =1 1 )
x f ( x ) + 2 f ( x ) 2 = 1 1 1 2 4x − x +1 Ta có h ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
x f x + 2 f x = 1 5x x −1 2 ( 2 ) ( 3 ) ( )
x f x + 2 f x =1 3 ( 3 ) ( ) 7 2 4x − x +1
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = . 5x ( x − ) 1 BÀI T P 1
1) Tìm f : R \ {1} → R th a mãn: 2
f 1+ = x +1 x ∀ ∈ R . x a 2 b − ax x a
2) Tìm f : R \ −
→ R th a mãn: f = x ∀ ≠ − (a, b là h ng s cho b 4 bx + a x +1 b trư c và ab ≠ 0 ).
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x − f ( )) 2 2002 0 = 2002x x ∀ ∈ R . 1 1
4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x) + f = 1 x ∀ ∈ R \ { 0; } 1 . 2x 1− x 1− x
5) Tìm f : R \ { ±1; }
0 → R th a mãn: ( f ( x)) f = 64x x ∀ ∈ R \ {− } 1 . 1+ x 2 x
6) Tìm f : R \
→ R th a mãn: f ( x) 2 2 2 + f = 996x x ∀ ≠ . 3 3x − 2 3 x − 3 x + 3
7) Tìm f : R \ { ±1} → R th a mãn: f + f = x x ∀ ≠ ±1 . x +1 1− x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x x ∀ ∈ R . 1
9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) 2008 * + f = x x ∀ ∈ R . x 1 x −
10) Tìm f : R \ ±
→ R th a mãn: f ( x) 1 1 + f = x x ∀ ≠ . 3 1− 3x 3 2 a
11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f = x x
∀ ≠ a (a > 0) . a − x f (2x + ) 1 + 2g (2x + ) 1 = 2x
12) Tìm f , g : R \ {1} → R th a mãn: x ∀ ≠ 1 x x . f + g = x x −1 x −1
Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n. Ví d 1 2x 3x
: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x) + f = x ∀ ∈ R ( ) 1 . 3 5 L i gi i: ð 2x 3 t x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 1 ( ) ( ) ( 1) 3 5 ð 2x 3 t 1 x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 3 5 8 ð 2x 3 t n * x =
, n ∈ N ; 1 ⇒ f x + f x = x . n 1 + ( ) ( n ) ( n 1+) 3 5 n f ( x) + f ( 3 x = x 1 1 ) ( ) 5 f ( 3 x + f x = x 2 1 ) ( 2 ) 1 ( ) Ta có h 5 ……
f (x + f x = x n + n ) ( 3 1 n 1 + ) n ( ) 5
Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c: 2 n +
f ( x) + (− )n 2 f ( 3 2 2 2 1 x = x 1
− + −⋯+ − * . n 1 + ) ( ) 5 3 3 3 ( f l.tôc) n+2 Xét lim ( ) 1 f ( x − = lim f x = f lim x = f 0 . n 1 + ) ( n 1 + ) ( n 1 + ) ( ) n+2
M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim (− ) 1 f ( x = 0 . n 1 + ) x
L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x) 3 1 9 = x = . Th l i th y ñúng. 5 2 25 1+ 3 x
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 9 = . 25
Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn:
f : R → R và 2 f (2x) = f ( x) + x x ∀ ∈ R (2) . L i gi i: ð t t
t t = 2x ta ñư c: f (t ) = f + t ∀ ∈ R ( ' 2 2 ) . 2 2 1 * t = t , n ∀ ∈ N n 1 + 2 n Xét dãy:
. Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c: 1 t = t 1 2 f (t ) 1 = f ( 1 t + t 1 1 ) ( ) 2 4 f ( 1 1 t = f t + t 2 1 ) ( 2 ) 1 ( ) 2 4 . Th (n) vào (n − )
1 → (n − 2) →⋯ ta ñư c: ⋯⋯ f ( 1 1 t = f t + t n n 1 − ) ( n ) n 1 − ( ) 2 4 f (t ) 1 = f t + f t + f t +⋯ + t . n ( n ) 1 1 1 * n 1 + ( n− ) n ( n− ) 2 ( ' 1 2 ) 2 2 2 2 9 n 1 1 1 1 1
Thay t = t vào (*’) ta ñư c: f (t ) = f t + t + +⋯ + . n ( n ) n ( "* 2 4 2 ) n 2 2 2 2 2 1 t
Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim f t
= . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f (t ) = . Th n ( ) 0 2 n 3 l i th y ñúng. Nh n xét:
+) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm.
+) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng gi i h n như VD1.
+ N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ"i bi n ñ có dãy {tn} có
gi i h n 0 và làm như ví d 1. BÀI T P
1) Tìm f : R → R th a mãn:
a) f liên t c t i xo = 0,
b) n f (nx) = f ( x) + nx n
∀ ∈ N , n ≥ 2; x ∀ ∈ R . x
2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( x) 10 3 + f = x . 3 3
3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn:
m f (mx) − n f (nx) = (m + n) * x ∀ ,
m n ∈ N , m ≠ n , x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr .
+) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác.
+) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c. (
a) f ( x) ≥ 0 x ∀ ∈ R
Ví d 1: Tìm f :R → R th a mãn: . ( b
) f ( x + y) ≥ f ( x) + f ( y) x ∀ , y ∈ R L i gi i: x = 0 f (0) ≥ 0 Cho suy ra ⇒ f (0) = 0. y = 0 f (0) ≥ 2 f (0)
f (0) ≥ f ( x) + f (−x)
f ( x) + f (−x) ≤ 0
Cho y = −x ⇒ ⇒ f
( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0 f
( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0
⇒ f ( x) = f (−x) = 0 x
∀ ∈ R . V y f ( x) = 0 . Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f :R → R th a mãn: 1 f (xy) 1 +
f ( yz) − f ( x) f ( yz) 1 ≥ x
∀ , y, z ∈ R (2) . 2 2 4 L i gi i: 10 2 2 1 1 1
Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x) − ( f ( x)) ≥ ⇔ f ( x) − ≤ 0 ⇔ f ( x) = . Th l i th y 4 2 2 ñúng.
Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f (x) = a
M x { xy − f ( y) } x ∀ ∈ R (3) . y R ∈
L i gi i:(3) ⇒ f ( x) ≥ xy − f ( y) x ∀ , y ∈ R . 2 t
Cho x = y = t ∈ R ⇒ f (t ) = t ∀ ∈ R (a) . 2 T (a) suy ra: 2 2 2 2 x − ( ) y x 1 ≤ − = − ( − )2 x xy f y xy x y ≤ ⇒ f (x) = a
M x{ xy − f ( y) } ≤ x ∀ ∈ R (b) 2 2 2 2 y R ∈ 2 2 ( ) + ( ) ⇒ ( ) x a b f x = . Th l i th y ñúng. 2
Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn:
( + ) ≥ ( ) ( ) ≥ 2008x+y f x y f x f y x
∀ , y ∈ R (4) . L i gi i: 2
Cho x = y = 0 ⇒ f (0) ≥ ( f (0)) ≥ 1⇒ f (0) = 1. Cho
x = − y∈ R ⇒ = f ( ) ≥ f ( x) f (−x) ≥ ⇒ f ( x) f (−x) = ⇒ f ( x) 1 1 0 1 1 = x ∀ ∈ R (a) . f (−x)
f ( x) ≥ 2008x > 0
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) ≥ 2008x ⇒ (b) . f
(−x) ≥ 2008−x > 0 1 1
Theo (a) + (b) ⇒ f ( x) = ≤ = 2008x
c . ( ) + ( )⇒ ( ) = 2008x b c f x . Th l i − x ( ) f (−x) 2008 th y ñúng.
Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a; b ] th a mãn:
f ( x) − f ( y) ≥ x − y x
∀ , y ∈[ a; b ] (a < b cho trư c) (5). L i gi i:
Cho x = a ; y = b ⇒ f (a) − f (b) ≥ a − b = b − a (a) .
vì f (a), f (b)∈[ a; b ] nên f (a) − f (b) ≤ a − b = b − a (b) . 11
f (a) = a f (b) = b
(a) + (b) ⇒ f (a) − f (b) = b − a ⇔ .
f (a) = b f (b) = a
f (a) = a +) N u thì: f (b) = b
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ]⇒ f ( x) ≤ x (c) .
Ch n y = a ; x ∈[ a; b ]⇒ f ( x) ≥ x (d ) .
(c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .
f (a) = b +) N u thì: f (b) = a
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈[ a; b ] như trên ta ñư c: f ( x) = a + b − x . Th l i th y ñúng. Nh n xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có
th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t lu n v hàm s .
+) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i
d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c.
Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn: π
f (0) = a ; f = b
( a,b cho tr−íc) 2 (6) . f
( x + y) + f ( x − y) = 2 f ( x) cos y x ∀ , y ∈ R L i gi i: π π π Cho y =
; x ∈ R ta ñư c: f x +
+ f x − = 0 (a) . 2 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y) + f (− y) = 2a cos y (b) . π π π Cho x =
; y ∈ R ta ñư c: f
+ y + f − y = 2b cos y (c). 2 2 2 12 π π f x +
+ f x − = 0 2 2 π π π
(a) + (b) + (c) ⇒ f x − + f − x = 2a cos x − . 2 2 2 π π
f x + + f − x = 2b cos x 2 2
Gi i h ta ñư c: f ( x) = a cos x + bsin x . Th l i th y ñúng.
Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) f ( y) = f ( x + y) + sin xsin y x
∀ , y ∈ R (7).
L i gi i: Ta th y f ( x) = cos x là m t hàm s th a mãn. f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0 ⇔ ( f (0)) = f (0) ⇔ . f (0) = 1
N u f (0) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) = − f (0) = 0 x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c: sin x sin y = 0 x
∀ , y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x) = 0 không là nghi m (7). N u f (0) = 1 thì cho
x = − y ⇒ f ( x) f (−x) = + ( 2 − x) 2 =
x ⇒ f ( x) f (−x) 2 1 sin cos = cos x (a) . π f = 0 π 2 Cho x = ⇒ . 2 π f − = 0 2 π π
N u f = 0 thì: Cho x =
; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2 2 π f y +
+ sin y = 0 ⇒ f ( y) = cos y y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 π
N u f − = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y) = cos y y ∀ ∈ R . 2
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = cos x .
Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x) − f ( y) = cos( x + y) g ( x − y) x
∀ , y ∈ R (8) . L i gi i: π π π Ch n x =
− y ; y ∈ R (8) ⇒ f − y − f ( y) = 0 ⇔ f − y = f ( y) (a) . 2 2 2 π π π Ch n x =
+ y ; y ∈ R (8) ⇒ f + y − f ( y) = − sin 2y.g (b) . 2 2 2 13 π π π
(a) + (b) ⇒ f + y − f − y = −sin 2 .
y g (c) . 2 2 2 π π Theo (8): f
+ y − f − y = − g (2y) (d ) . 2 2 π
(c) + (d )⇒ g (2y) = sin 2 . y g y
∀ ∈ R ⇒ g (2x) = a sin 2x ⇒ g ( x) = a sin x x ∀ ∈ R . 2 π
(v i a = g cho trư c.) 2 a
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) − f (0) = cos .
x g ( x) ⇒ f ( x) = sin 2x + b (b = f (0)), x ∀ ∈ R . 2 ( ) a f x = sin 2x + b Th l i 2 hàm s : 2
(V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8). g
( x) = a sin x
f (−x) = − f (x) x ∀ ∈ R (a)
Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x + )
1 = f ( x) +1 x ∀ ∈ R (b) . 1 f ( x) f = x ∀ ≠ 0 c 2 ( ) x x L i gi i: x +1 Ta tính f
ñ n f ( x) theo hai cách: x x +1 1 1 f ( x) f
= f 1+ = 1+ f = 1+ x ∀ ≠ 0 a . 2 ( ) x x x x x 1 f f 1− 2 x +1 x +1 x +1 x +1 1 f = = = 1+ f − = 2 2 x x x x x +1 x +1 x +1 2 2 x +1 1 x +1 f ( x + ) 1 = 1+ − f = 1− = x
x 1 x ( + x + )2 1 2 x +1 1+ f ( x) 1− x
∀ ≠ 0 , x ≠ 1 b . 2 ( ) x ( x + ) 1
(a) + (b)⇒ f ( x) = x x ∀ ≠ 0; x ≠ 1 .
V i x = 0; (a)⇒ f (0) = 0 th a mãn f ( x) = x .
V i x = 1; (a) ⇒ f (− ) 1 = − f ( ) 1 :
Cho x = 0; (b) ⇒ f ( ) 1 = 1 ⇒ f (− ) 1 = 1
− th a mãn f ( x) = x . 14
V y f ( x) = x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng .
Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( ) 1 = 1 (a) 1 1 1 f
= f . f x
∀ , y ≠ 0 (b) .
x + y x y ( x + y
) f ( x + y) = xy f (x) f ( y) x
∀ , y tháa m n xy ( x + y) ≠ 0 (c) L i gi i: 1 1 Cho *
x = y ∈ R , (b) ta ñư c: f = 2 f ⇒
f ( x) = 2 f (2x) x ∀ ≠ 0 ( ) * 2x x 2 2 Cho *
x = y ∈ R , (c) ta ñư c: x f ( x) 2
= x ( f ( x)) ⇔ f ( x) = x ( f ( x)) x ∀ ≠ ( ' 2 2 2 2 0 * ). 2
Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x) = x ( f ( x)) ( " * ) . Gi s : *
∃ x ≠ 1, x ∈ R sao cho: f(x x = − x
y = x vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0 o o o) = 0. Thay 1 ; o o
trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x) ≠ 0 x ∀ ≠ 1; x ≠ 0 . Vì f ( )
1 = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x) 1 = x
∀ ≠ 0 . Th l i th y ñúng. x
Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:
f ( )1 =1 (a)
f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2xy x
∀ , y ∈ R (b) . 1 f ( x) f = x ∀ ≠ 0 c 4 ( ) x x L i gi i:
Cho x = y = 0 , (b) ⇔ f (0) = 0
Cho x = y = t ≠
(b) ⇔ f ( t) − f (t) 2 0, 2 2 = 2t ( ) 1 . 1 1 1 1 Cho x = y =
, (b) ⇔ f − 2 f = * 2 ( ) 2t t 2t 2t 1 f (t ) 1 f (2t ) f (t ) f (2t ) 1
T (c) ⇒ f = ; f = . Th vào (*) ta ñư c: − 2 = 2 . 4 4 2 ( ) 4 t t 2t (2t)4 t (2t) 2t
( ) + ( )⇒ f (t ) 2 1 2 = t t
∀ ≠ 0 . T f ( ) = ⇒ f (t ) 2 0 0 = t t
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0;+ ∞)→( 0;+ ∞) th a mãn: f ( x) f
= y f ( y) f ( f ( x)) x
∀ , y ∈( 0; + ∞) (12) . y 15 L i gi i: Cho:
x = y = 1 ⇒ f ( f ( ) 1 ) = f ( ) 1 . f ( f ( ) 1 ) ⇒ f ( )
1 = 1 vì f ( f ( )
1 ) ≠ 0⇒ f ( f ( ) 1 ) = 1. 1 f f ( ) 1 y
x = 1; y ∈ ( 0; + ∞) ⇒ f
= y f ( y) f ( f ( )
1 ) = y f ( y) ⇔ f ( y) = (a). y y M t 1 f y 1 f ( y)
khác: f ( f ( y)) = f
= y f ( y) f f = y f ( y) f ( y f ( y)) = y f ( y) f y y 1 y 1 1 = y f ( y)
f f ( f ( y)) . y y 1 1 1
Vì f ( f ( y)) ≠ 0 nên y f ( y)
f = 1 ⇔ f ( y) f = 1 (b) . y y y
(a) + (b) ⇒ f ( y) 1 = y
∀ ∈(0; + ∞) . Th l i th y ñúng. y
Ví d 13: Tìm f : R → R th a mãn: f ( ) 1 0 = (a) 2 .
∃a ∈ R: f
(a − y) f ( x) + f (a − x) f ( y) = f ( x + y) x
∀ , y ∈ R (b) L i gi i: Cho x = y =
(b)⇒ f (a) 1 0, = . 2
Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x) = f ( x). f (a) + f (0). f (a − x) ⇒ f ( x) = f (a − x) (c) . 2 2
Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f (a) = ( f ( x)) + ( f (a − x)) (d ) . f (x) 1 =
(c) + (d ) ⇒ ( f ( x))2 1 2 2 = ⇔ . 2 f (x) 1 = − 2
N u ∃ x ∈ R sao cho: f ( x = − thì: o ) 1 o 2 (b) (c) 2 1 − = ( x x x x x f x = f + = f f a − = f ≥ ⇒ Vô lí. o ) o o 2 o . o 2 o 0 2 2 2 2 2 2 V y f ( x) 1 = x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 16 Ví d 14: (VMO.1995) 2 2
Tìm f : R → R th a mãn: f ((x − y) ) 2
= x − 2 y f ( x) + ( f ( y)) x
∀ , y ∈ R (14) . L i gi i: f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0⇒ f (0) = ( f (0)) ⇔ . f (0) = 1 y = 0 N u f (0) = 0: Cho ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x ⇒ f (t ) = t t ∀ ≥ 0 x ∈ R 2 2
Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( ) 2
0 = x − 2x f ( x) + ( f ( x)) ⇔ ( f ( x) − x) = 0 ⇔ f ( x) = x . Th l i th y ñúng. y = 0 N u f (0) = 1: Cho ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x +1 ⇔ f (t ) = t +1 t ∀ ≥ 0 . x ∈ R 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( 2
y ) = − y + ( f ( y)) ⇒ ( f ( y)) = f ( 2 2 y ) + 2y f y = y +1 2 ( ) 2
= y +1+ 2 y = ( y + ) 1 ⇒ . f
( y) = − y −1
Gi s ∃ y ∈ R sao cho: f ( y = − y − . Ch n x = y = y ta ñư c: o ) 1 o o o f y = y −1 2 ( o ) 2 o
1 = y − 2 y f y + f y ⇔ . o o ( o ) ( ( o )) f ( y = y + o ) 1 o
N u f ( y ) = y −1⇒ − y −1 = y −1⇒ y = 0 v f (0) = 1 − (lo¹i) . o o o o o
N u f ( y ) = y +1 ⇒ − y −1 = y +1⇒ y = −1⇒ f (− ) 1 = 0 . o o o o o
Th a mãn: f ( y ) = y +1. V y f ( y) = y +1 y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. o o Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x − y)) = f ( x) f ( y) − f ( x) + f ( y) − xy x
∀ , y ∈ R (15) . L i gi i: Cho x = y =
⇒ f ( f ( )) = ( f ( ))2 0 0 0
. ð t f ( ) = a ⇒ f (a) 2 0 = a . 2 2
Cho x = y ∈ R ⇒ ( f ( x)) 2
= x + f (a) ⇒ ( f ( x)) 2 2 = x + a ( ) * .
f x = f −x 2 2 ( ) ( )
⇒ ( f ( x)) = ( f (−x)) ⇒ . f
( x) = − f (−x) N u *
∃ x ∈ R sao cho f ( x = f −x : o ) ( o ) o
+ Ch n x = 0; y = −x ⇒ f f x
= a f −x − a + f −x a . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( ) 17
+ Ch n y = 0; x = −x ⇒ f f x
= a f x + a − f x b . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( )
(a) + (b) ⇒ a( f (x ) − f (−x )) − ( f (x ) + f (−x )) + 2a = 0 c . o o o o ( ) ( ) * 2
Vì f ( x = f −x nên f ( x = a ⇒ f x
= x + a ⇒ a = x + a ⇒ x = trái v i o ) ( ( o )) 2 2 2 2 2 0 o ) ( o ) 0 0 o gi thi t * x ∈ R . o
V y f ( x) = − f (−x) x
∀ ∈ R . Ta th y (c) không ph thu c vào xo nên ta có:
a ( f ( x) − f (−x)) − ( f ( x) + f (−x)) + 2a = 0 (c) . Thay f ( x) = − f (−x) suy ra: a = 0
a ( f ( x) + ) 1 = 0 ⇔ . f ( x) = 1 − ( ) * f x = x 2 ( )
+ N u a = ⇒ ( f ( x)) 2 0 = x ⇔ . f ( x) = −x Gi s t n t i *
x ∈ R ñ f ( x = x . Khi ñó (b) suy ra: o ) o o
x = f ( x ) = a x + a − x ⇒ x = 0 trái gi thi t * x ∈ R . o o o o o o
V y f ( x) = −x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng + N u f ( x) = 1 − x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c (15) ⇔ xy = 2 x
∀ , y ∈ R . Vô lí.
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = −x .
Nh n xét: Có m t suy lu n hay nh m l n ñư c s d ng các VD: f ( x) 1 = f y y 1 = + 2 2 ( ) 2 1 2
VD13 ( f ( x)) = ⇔
; VD14 ( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔ ; 4 f ( y) y 1 = − − f ( x) 1 = − 2 f x x = 2 ( )
VD15 ( f ( x)) 2 = x ⇔ , ñó là hi u sai: f ( x) x = − f ( x) 1 = x ∀ ∈ R ( f (x))2 1 2 = ⇔ ; 4 f (x) 1 = − x ∀ ∈ R 2 = + ∀ ∈ 2 f y y 1 x R 2 ( )
( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔ ; f
( y) = − y −1 x ∀ ∈ R f x = x x ∀ ∈ R 2 ( ) ( f (x)) 2 = x ⇔ . f ( x) = −x x ∀ ∈ R 18
Th c t thư ng là như v y nhưng v m t logic thì không ñúng. ( f ( x))2 1 =
thì f ( x) có th 4 1 1 ( x ≥ 0) f ( x) = 2 2 1 2
là hàm khác n$a như f ( x) =
. Như v y ( f ( x)) = ⇔ ch% 1 4 1 − ( x < 0) f ( x) = − 2 2
ñúng v i m&i x c th ch không th k t lu n ch% có hai hàm s f ( x) 1 = x ∀ ∈ R ho c 2 f ( x) 1 = − x ∀ ∈ R . 2
ð gi i quy t v n ñ này ta thư ng “th ” f ( x) 1 = x
∀ ∈ R ho c f ( x) 1
= − ∀x ∈ R vào ñ 2 2
bài ñ tìm hàm s không th a mãn (trong VD13 thì f ( x) 1 =
không th a mãn) sau ñó l p 2 lu n ph ñ nh là ∃ x f x = − ñ d n ñ n vô lí! o ( o ) 1 : 2
Ví d 16: Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y, z ∈ (0,1) . L i gi i:
Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x).
Thay x, y, z b i x2: f(x6) = 3 x2 f(x2).
M t khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3).
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3 3x +1 2 ⇒ f (x ) = f (x), x ∀ ∈ ℝ 2 Thay x b i x3 ta ñư c : 9 3x +1 6 3 f (x ) = f (x ), x ∀ ∈ ℝ 2 9 3x +1 2 2 ⇒ 3x f (x ) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 3 9 3x +1 3x +1 2 ⇒ 3x f (x) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 2
⇒ f (x) = 0, x ∀ ≠ 0
V y f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1). BÀI T P
1) Tìm f : N → R th a mãn: f ( ) ≠ f ( ) 5 0 0; 1 = ; 2
f ( x) f ( y) = f ( x + y) + f ( x − y) x
∀ , y ∈ N , x ≥ y .
2) Tìm f : N → R th a mãn: f (m + n) + f (n − m) = f (3n) ∀ ,
m n ∈ N , n ≥ m . 19
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y)) = y f ( x) x, y ∈ R .
4) Tìm f : R → R th a mãn: f (( x + )
1 f ( y)) = y ( f ( x) + ) 1
x, y ∈ R .
5) Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: f ( x) 2 2 = a
M x x y + y x − f ( y) x ∀ ∈( 0;+ ∞ ) . y ( ∈ 0;+∞ )
6) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) − f ( x − y) + f ( x + y + ) 1 = xy + 2x +1 x ∀ , y ∈ R . f
( xy) = f ( x) f ( y)
7) Tìm f : [ 1;+ ∞) → [ 1;+ ∞) th a mãn: x
∀ , y ∈[ 1; + ∞ ) . f
( f ( x)) = x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) = f ( x) f ( y) − f ( x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
9) Tìm f : R → R th a mãn:
( f (x) + f (z))( f ( y) + f (t)) = f (xy − zt) + f (xt + zy) x
∀ , y, z,t ∈ R .
10) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2 2
x − y ) = x f ( y) − y f ( x) x ∀ , y ∈ R .
11) Tìm f : N → [ 0;+ ∞) th a mãn: f ( ) =
f (m + n) + f (m − n) 1 1 1; =
( f (2m) + f (2n)) ∀ ,
m n ∈ N , m ≥ n . 2 x + y
f ( x) + f ( y)
12) Tìm f : Z → R th a mãn: f = x
∀ , y ∈ Z ; ( x + y)⋮3 . 3 2
13) Tìm f : N → N th a mãn: 3 f (n) − 2 f ( f (n)) = n n ∀ ∈ N .
14) Tìm f : Z → Z th a mãn: f ( )
1 = a ∈ Z ; f (m + n) + f (m − n) = 2( f (m) + f (n)) ∀ , m n ∈ Z .
15) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 3
x + 2 y) = f ( x + y) + f (3x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
16) Tìm f : R → R th a mãn: 2
x f ( x) + f ( − x) 4 1 = 2x − x x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: S d ng tính ch t nghi m c a m t ña th c.
Ví d 1: Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn ñ'ng th c: 3 2 3 2
(x + 3x + 3x + 2)P(x −1) = (x − 3x + 3x − 2)P(x), x ∀ (1) L i gi i: 2 2
(1) ⇔ (x + 2)(x + x +1)P(x −1) = (x − 2)(x − x +1)P(x), x ∀
Ch n: x = −2 ⇒ P(−2) = 0 x = 1 − ⇒ P( 1 − ) = 0
x = 0 ⇒ P(0) = 0
x = 1 ⇒ P(1) = 0
V y: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x). 20