-
Thông tin
-
Quiz
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán
Tài liệu Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng | Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán . Tài liệu gồm 30 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu chung 297 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG
Phương pháp 1: H s b t ñ nh.
Nguyên t c chung:
+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c f(x) = ax2+ bx + c.
+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).
+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f (x f ( y) + x) = xy + f (x) x
∀ , y ∈ R ( ) 1 . L i gi i: x = 1 Thay
vào (18) ta ñư c: f ( f ( y) + ) 1 = y + f ( ) 1 (a) . y ∈ R
Thay y = − f ( )
1 −1 vào (a) suy ra: f ( f (− f ( ) 1 − ) 1 + ) 1 = 1
− . ð t a = f (− f ( ) 1 − ) 1 +1 ta
ñư c: f (a) = 1 − . y = a Ch n
ta ñư c: f ( x f (a) + x) = xa + f ( x) ⇒ xa + f ( x) = f (0) . x ∈ R
ð t f (0) = b ⇒ f ( x) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c: a = 1 2 a =1 f ( x) = x ⇒ a = 1 − ⇒ .
−a b − a = −a f ( x) = −x b = 0
V y có hai hàm s c n tìm là f ( x) = x và f ( x) = −x .
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f (x) + y) = y f (x − f ( y)) x
∀ , y ∈ R (2) . L i gi i:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x)) = 0 x ∀ ∈ R (a) .
Cho x = f ( y)
⇒ f ( f ( f ( y)) + y) = y f ( ) ( ' : (2) 0 a ) .
(a) + ( 'a ) ⇒ f ( y) = y f (0). ð t f (0) = a ⇒ f ( y) = ay y
∀ ∈ R . Th l i (2) ta ñư c: 2 a ( 2 2
x + y ) + a ( y − x y) = 0 x
∀ , y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x) = 0 x
∀ ∈ R . V y có duy nh t hàm s
f ( x) = 0 th a mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn:
2 f ( x) − g ( x) = f ( y) − y x
∀ , y ∈ R (a) . f
( x) g ( x) ≥ x +1 x ∀ ∈ R (b) L i gi i:
Cho x = y ∈ R khi ñó (a) ⇒ f ( x) = g ( x) − x .Thay l i (a) ta ñư c: 1
g ( x) = 2x − 2y + g ( y) x
∀ , y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x) = 2x + g (0) . ð t g (0) = a ta ñư c:
g ( x) = 2x + a , f ( x) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c:
2x + a = 2x + a (a), (b) ⇔ ( x ∀ ∈ R) 2
⇔ x + ( a − ) 2 2 3
1 x + a −1 ≥ 0 x ∀ ∈ R ( x + a
)(2x + a) ≥ x +1 ⇔ (a − )2 3
≤ 0 ⇔ a = 3. V y f ( x) = x + 3 ; g ( x) = 2x + 3 .
Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: 2
2 f (x) + f (1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ (1). Tìm f(x). L i gi i:
Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.
V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 x ∀ ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, x ∀ ∈ ℝ 1 a = 3 3 a = 1 ð 2
ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b = 3
a + b + 3c = 0 1 c = − 3 1 V y: 2 f (x) = (x + 2x −1) 3
Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Do f(x) không trùng v i g(x) nên x
∃ ∈ ℝ : g(x ) ≠ f (x ) . 0 0 0
Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2
2g(x) + g(1− x) = x , x ∀ ∈ ℝ Thay x b i x0 ta ñư c: 2
2g (x ) + g(1− x ) = x 0 0 0 Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2
2g (1 − x ) + g (x ) = (1− x ) 0 0 0 1 T hai h th c này ta ñư c: 2 g(x ) =
(x + 2x −1) = f (x ) 0 0 0 0 3
ði u này mâu thu n v i g(x ) ≠ f (x ) 0 0 1
V y phương trình có nghi m duy nh t là 2 f (x) = (x + 2x −1) 3 2
Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các
hàm s tìm ñư c.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i x
∀ ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n: f(f(x)) = f(x) + x, x ∀ ∈ ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th . L i gi i:
Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm có d ng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , x
∀ ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, x ∀ ∈ ℝ 2 1+ 5 1− 5 a − a = 1 ñ a = a = 1± 5 ng nh t h s ta ñư c: ⇔ ∨ ⇒ f (x) = . 2 2 x ab = 0 2 b = 0 b = 0
Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành cho ngư i ñ c).
Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
a) f ( f (n)) = n, n ∀ ∈ ℤ (1)
b) f ( f (n + 2) + 2) = n, n ∀ ∈ ℤ (2)
c) f (0) = 1 (3)
Tìm giá tr f(1995), f(-2007). L i gi i:
Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: 2
a n + ab + b = , n n ∀ ∈ ℤ 2 a =1
a = 1 a = 1 −
ð ng nh t các h s , ta ñư c: ⇔ ∨ ab + b = 0 b = 0 b = 0 a = 1 V i
ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2). b = 0 a = 1 − V i
ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1. b = 0 V y f(n) = -n + 1.
Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) n ∀ ∈ℤ . 3
do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) n
∀ ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 n ∀ ∈ℤ .
Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n ) ≠ g(n ) 0 0
Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có:
g(n − 2) = g(n ) + 2 = f (n ) + 2 = f (n − 2) 0 0 0 0
⇔ g(n − 2) = f (n − 2) 0 0
Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5). V y f(n) = g(n), n ∀ ∈ ℕ
Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm.
V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t.
T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007). BÀI T P
Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n: 2
f (x + y) + f (x − y) − 2 f (x) f (1+ y) = 2xy(3y − x ), x ∀ , y ∈ ℝ .
ðáp s : f(x) = x3.
Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, n ∀ ∈ . ℕ Tìm f(2005). ðáp s : 2006.
Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: 2 2
f ( f (n)) + ( f (n)) = n + 3n + 3, n ∀ ∈ . ℕ
ðáp s : f(n) = n + 1. Bài 4 x −1 1− x 8 2
: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f − 5 f = , x ∀ ∉ 0, − ,1, 2 3x + 2 x − 2 x −1 3 ðáp s 28x + 4 : f (x) = 5x
Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ℝ[x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ∀x, y ∈ ℝ
ðáp s : P(x) = x3 + cx.
Phương pháp 2: phương pháp th .
2.1. Th n t o PTH m i: Ví d 1 2x +1
: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: 2 f = x + 2x x ∀ ≠ 1 ( ) 1 . x −1 L i gi i 2x +1 : ð t t = ⇒ MGT t = R \ { }
2 (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c: 1 x −1 x≠ t +1 2 3t − 3 x =
th vào (1): f (t) = t
∀ ≠ 2 . Th l i th y ñúng. t − 2 (t − 2)2 4 2 3x − 3
V y hàm s c n tìm có d ng f (x) = . ( x − 2)2 Nh n xét:
+ Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi x∈ x D
t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”. 2 3x − 3 x ≠ 2 2 ( )
+ Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f (x) = ( x − 2) (v i a∈R a ( x = 2) tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f : (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 → R th a mãn: 2 2
f (x − x −1) = x + x −1 ∀ x ≥ 1 (2) . x − t ≥ 0 L i gi i: ð t 2 2
t = x − x −1 ⇔ x −1 = x − t ⇔ x −1 = ( x − t)2 2 x ≥ t x ≥ t 2 t +1 t ≤ 1 − 2 ⇔ ⇔ + . H có nghi m x ⇔ ≥ t ⇔ 2 2 2 t 1
x −1 = x − 2xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1 2t ⇒ t ∈(− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ]
1 . V y MGT t = D = (− ; ∞ − ] 1 ∪ (0; ] 1 . x ≥ 1 1 1 V i 2
t = x − x −1 thì 2 x + x −1 =
⇒ f (t) = th a mãn (2). t t 1 V y f (x) = là hàm s c n tìm. x Ví d 3 2 3x −1 x +1
: Tìm f : R\ ;3 → R th a mãn: f = x
∀ ≠ 1, x ≠ −2 (3) . 3 x + 2 x −1 L i gi i 3x −1 2 t + t + 4 : ð t t =
⇒ MGT t = R \ ;3⇒ 2 1 x =
th vào (4) ta ñư c: f (t) = x + 2 (x 1≠ 3 3 − t 3t − 2 x≠2) x + 4
th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f (x) = . 3x − 2
Ví d 4: Tìm f : (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn:
x f (x f ( y)) = f ( f ( y)) x
∀ , y ∈ (0; + ∞) (4) . L i gi i:
Cho y = 1, x ∈ (0; + ∞) ta ñư c: x f (x f (1)) = f ( f (1)) . 1 1 Cho x =
ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f (x f (1)) = 1 ⇒ f (x f (1)) = . ð t: f (1) x 5 f (1) a t = .
x f (1) ⇒ f (t) =
⇒ f (t) = (v i a = f (1) ). Vì f (1)∈(0;+ ∞) ⇒ MGT t = (0;+ ∞) . t t x ( ∈ 0;+∞) a a V y f (x) =
. Th l i th y ñúng (a > 0) . Hàm s c n tìm là: f (x) = v i (a > 0) . x x
Ví d 5: Tìm hàm f: (0;+ ∞) → (0;+ ∞) th a mãn: 1 3 3 f (1) =
; f (xy) = f (x). f + f ( y). f x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5) . 2 y x L i gi i:
Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( ) 1 3 = . 2
Cho x = 1; y ∈ (0; + ∞) ta ñư c: ( ) 3
f y = f . Th l i (5) ta ñư c: y 3
f (xy) = 2 f (x) f ( y) x
∀ , y ∈(0; + ∞) (5') . Thay y b i ta ñư c: x 2
f ( ) = f ( x) 3 1 3 2 ) f ⇒
= ( f ( x))2 . Th l i th y ñúng. x 2
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 1 = x ∀ > 0 . 2
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn:
( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) = xy ( 2 2 4 x + y ) x
∀ , y ∈ R (6) . L i gi i: Ta có:
(6)⇔ ( x − y) f ( x + y) − ( x + y) f ( x − y) =
= ( x + y) − ( x − y) + ( x + y) + ( x − y) 1
( x + y) + ( x − y) 2 1
− ( x + y) − ( x − y) 2 4 4 u = x − y ð 1 2 2 t
ta ñư c: v f (u ) − u f (v) = (u + v)(u − v)((u + v) − (u − v) )
v = x + y 4 ⇒ ( ) − ( ) 3 3 v f u
u f v = u v − v u ⇔ ( ( ) 3 − ) = ( ( ) 3 v f u u u f v − v ) + V i uv ≠ 0 ta có: f (u ) 3 − u f (v) 3 − v f (u) 3 − u * = u ∀ v ∈ R ⇒
= a ⇒ f (u) 3 , = au + u u ∀ ≠ 0 . u v u
+ V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f (u) 3 − u = ⇔ f (u) 3 0
= u ⇒ f (0) = 0 . Hàm ( ) 3
f u = au + u th a mãn f (0) = 0 . V y ( ) 3
f u = au + u u ∀ ∈ R Hàm s c n tìm là: ( ) 3
f x = ax + x (a ∈ R) . Th l i th y ñúng.
2.2. Th n t o ra h PTH m i: 6
Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x) + x f (−x) = x +1 x ∀ ∈ R ( ) 1 . L i gi i:
ð t t = −x ta ñư c: f ( t
− ) − t f (t ) = −t +1 t ∀ ∈ R ( ) 1 . Ta có h :
f ( x) + x f (−x) = x +1
⇒ f ( x) =1. Th l i hàm s c n tìm là: f ( x) =1. −x f
( x) + f (−x) = −x +1 Ví d 2 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { 0,1} → R Th a mãn: f ( x) * + f = 1+ x x ∀ ∈ R (2) . x L i gi i x −1 : ð t x =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 1 ( ) ( ) ( 1) x − ð x 1 1 t 1 x = =
, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 x x −1 1 ð x −1 t 2 x =
= x, 2 ⇔ f x + f x = 1+ x . 3 ( ) ( 2 ) ( ) 2 x2
f ( x + f x =1+ x 1 ) ( )
1+ x − x + x 1 1 1
Ta có h f ( x ) + f ( x ) = 1+ x ⇒ f ( x) 1 2 = = x + + . Th l i th y 2 1 1 2 2 x 1− x f
( x) + f ( x = 1+ x 2 ) 2
ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x) 1 1 1 = x + + . 2 x 1− x Ví d 3 x −1
: Tìm hàm s f : R \ { −1;0;1} → R th a mãn: x f ( x) + 2 f = 1 x ∀ ≠ −1 (3) . x +1 L i gi i: ð x −1 t x =
, 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 1 ( ) ( ) ( 1) x +1 ð x −1 1 t 1 x =
= − , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 2 ( ) 1 ( 1) ( 2 ) x +1 x 1 ð x −1 x +1 t 2 x = = , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1. 3 ( ) 2 ( 2 ) ( 3 ) x +1 x −1 2 ð x −1 t 3 x =
= x , 3 ⇒ x f x + 2 f x = 1 . 4 ( ) 3 ( 3 ) ( ) x +1 3
x f ( x) + 2 f ( x =1 1 )
x f ( x ) + 2 f ( x ) 2 = 1 1 1 2 4x − x +1 Ta có h ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
x f x + 2 f x = 1 5x x −1 2 ( 2 ) ( 3 ) ( )
x f x + 2 f x =1 3 ( 3 ) ( ) 7 2 4x − x +1
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = . 5x ( x − ) 1 BÀI T P 1
1) Tìm f : R \ {1} → R th a mãn: 2
f 1+ = x +1 x ∀ ∈ R . x a 2 b − ax x a
2) Tìm f : R \ −
→ R th a mãn: f = x ∀ ≠ − (a, b là h ng s cho b 4 bx + a x +1 b trư c và ab ≠ 0 ).
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x − f ( )) 2 2002 0 = 2002x x ∀ ∈ R . 1 1
4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x) + f = 1 x ∀ ∈ R \ { 0; } 1 . 2x 1− x 1− x
5) Tìm f : R \ { ±1; }
0 → R th a mãn: ( f ( x)) f = 64x x ∀ ∈ R \ {− } 1 . 1+ x 2 x
6) Tìm f : R \
→ R th a mãn: f ( x) 2 2 2 + f = 996x x ∀ ≠ . 3 3x − 2 3 x − 3 x + 3
7) Tìm f : R \ { ±1} → R th a mãn: f + f = x x ∀ ≠ ±1 . x +1 1− x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x x ∀ ∈ R . 1
9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) 2008 * + f = x x ∀ ∈ R . x 1 x −
10) Tìm f : R \ ±
→ R th a mãn: f ( x) 1 1 + f = x x ∀ ≠ . 3 1− 3x 3 2 a
11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) + f = x x
∀ ≠ a (a > 0) . a − x f (2x + ) 1 + 2g (2x + ) 1 = 2x
12) Tìm f , g : R \ {1} → R th a mãn: x ∀ ≠ 1 x x . f + g = x x −1 x −1
Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n. Ví d 1 2x 3x
: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x) + f = x ∀ ∈ R ( ) 1 . 3 5 L i gi i: ð 2x 3 t x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 1 ( ) ( ) ( 1) 3 5 ð 2x 3 t 1 x =
; 1 ⇒ f x + f x = x . 2 ( ) ( 1) ( 2 ) 1 3 5 8 ð 2x 3 t n * x =
, n ∈ N ; 1 ⇒ f x + f x = x . n 1 + ( ) ( n ) ( n 1+) 3 5 n f ( x) + f ( 3 x = x 1 1 ) ( ) 5 f ( 3 x + f x = x 2 1 ) ( 2 ) 1 ( ) Ta có h 5 ……
f (x + f x = x n + n ) ( 3 1 n 1 + ) n ( ) 5
Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c: 2 n +
f ( x) + (− )n 2 f ( 3 2 2 2 1 x = x 1
− + −⋯+ − * . n 1 + ) ( ) 5 3 3 3 ( f l.tôc) n+2 Xét lim ( ) 1 f ( x − = lim f x = f lim x = f 0 . n 1 + ) ( n 1 + ) ( n 1 + ) ( ) n+2
M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim (− ) 1 f ( x = 0 . n 1 + ) x
L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x) 3 1 9 = x = . Th l i th y ñúng. 5 2 25 1+ 3 x
V y hàm s c n tìm là: f ( x) 9 = . 25
Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn:
f : R → R và 2 f (2x) = f ( x) + x x ∀ ∈ R (2) . L i gi i: ð t t
t t = 2x ta ñư c: f (t ) = f + t ∀ ∈ R ( ' 2 2 ) . 2 2 1 * t = t , n ∀ ∈ N n 1 + 2 n Xét dãy:
. Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c: 1 t = t 1 2 f (t ) 1 = f ( 1 t + t 1 1 ) ( ) 2 4 f ( 1 1 t = f t + t 2 1 ) ( 2 ) 1 ( ) 2 4 . Th (n) vào (n − )
1 → (n − 2) →⋯ ta ñư c: ⋯⋯ f ( 1 1 t = f t + t n n 1 − ) ( n ) n 1 − ( ) 2 4 f (t ) 1 = f t + f t + f t +⋯ + t . n ( n ) 1 1 1 * n 1 + ( n− ) n ( n− ) 2 ( ' 1 2 ) 2 2 2 2 9 n 1 1 1 1 1
Thay t = t vào (*’) ta ñư c: f (t ) = f t + t + +⋯ + . n ( n ) n ( "* 2 4 2 ) n 2 2 2 2 2 1 t
Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim f t
= . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f (t ) = . Th n ( ) 0 2 n 3 l i th y ñúng. Nh n xét:
+) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm.
+) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng gi i h n như VD1.
+ N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ"i bi n ñ có dãy {tn} có
gi i h n 0 và làm như ví d 1. BÀI T P
1) Tìm f : R → R th a mãn:
a) f liên t c t i xo = 0,
b) n f (nx) = f ( x) + nx n
∀ ∈ N , n ≥ 2; x ∀ ∈ R . x
2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( x) 10 3 + f = x . 3 3
3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn:
m f (mx) − n f (nx) = (m + n) * x ∀ ,
m n ∈ N , m ≠ n , x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr .
+) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác.
+) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c. (
a) f ( x) ≥ 0 x ∀ ∈ R
Ví d 1: Tìm f :R → R th a mãn: . ( b
) f ( x + y) ≥ f ( x) + f ( y) x ∀ , y ∈ R L i gi i: x = 0 f (0) ≥ 0 Cho suy ra ⇒ f (0) = 0. y = 0 f (0) ≥ 2 f (0)
f (0) ≥ f ( x) + f (−x)
f ( x) + f (−x) ≤ 0
Cho y = −x ⇒ ⇒ f
( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0 f
( x) ≥ 0, f (−x) ≥ 0
⇒ f ( x) = f (−x) = 0 x
∀ ∈ R . V y f ( x) = 0 . Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f :R → R th a mãn: 1 f (xy) 1 +
f ( yz) − f ( x) f ( yz) 1 ≥ x
∀ , y, z ∈ R (2) . 2 2 4 L i gi i: 10 2 2 1 1 1
Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x) − ( f ( x)) ≥ ⇔ f ( x) − ≤ 0 ⇔ f ( x) = . Th l i th y 4 2 2 ñúng.
Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f (x) = a
M x { xy − f ( y) } x ∀ ∈ R (3) . y R ∈
L i gi i:(3) ⇒ f ( x) ≥ xy − f ( y) x ∀ , y ∈ R . 2 t
Cho x = y = t ∈ R ⇒ f (t ) = t ∀ ∈ R (a) . 2 T (a) suy ra: 2 2 2 2 x − ( ) y x 1 ≤ − = − ( − )2 x xy f y xy x y ≤ ⇒ f (x) = a
M x{ xy − f ( y) } ≤ x ∀ ∈ R (b) 2 2 2 2 y R ∈ 2 2 ( ) + ( ) ⇒ ( ) x a b f x = . Th l i th y ñúng. 2
Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn:
( + ) ≥ ( ) ( ) ≥ 2008x+y f x y f x f y x
∀ , y ∈ R (4) . L i gi i: 2
Cho x = y = 0 ⇒ f (0) ≥ ( f (0)) ≥ 1⇒ f (0) = 1. Cho
x = − y∈ R ⇒ = f ( ) ≥ f ( x) f (−x) ≥ ⇒ f ( x) f (−x) = ⇒ f ( x) 1 1 0 1 1 = x ∀ ∈ R (a) . f (−x)
f ( x) ≥ 2008x > 0
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) ≥ 2008x ⇒ (b) . f
(−x) ≥ 2008−x > 0 1 1
Theo (a) + (b) ⇒ f ( x) = ≤ = 2008x
c . ( ) + ( )⇒ ( ) = 2008x b c f x . Th l i − x ( ) f (−x) 2008 th y ñúng.
Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a; b ] th a mãn:
f ( x) − f ( y) ≥ x − y x
∀ , y ∈[ a; b ] (a < b cho trư c) (5). L i gi i:
Cho x = a ; y = b ⇒ f (a) − f (b) ≥ a − b = b − a (a) .
vì f (a), f (b)∈[ a; b ] nên f (a) − f (b) ≤ a − b = b − a (b) . 11
f (a) = a f (b) = b
(a) + (b) ⇒ f (a) − f (b) = b − a ⇔ .
f (a) = b f (b) = a
f (a) = a +) N u thì: f (b) = b
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ]⇒ f ( x) ≤ x (c) .
Ch n y = a ; x ∈[ a; b ]⇒ f ( x) ≥ x (d ) .
(c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .
f (a) = b +) N u thì: f (b) = a
Ch n y = b; x ∈[ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈[ a; b ] như trên ta ñư c: f ( x) = a + b − x . Th l i th y ñúng. Nh n xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có
th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t lu n v hàm s .
+) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i
d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c.
Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn: π
f (0) = a ; f = b
( a,b cho tr−íc) 2 (6) . f
( x + y) + f ( x − y) = 2 f ( x) cos y x ∀ , y ∈ R L i gi i: π π π Cho y =
; x ∈ R ta ñư c: f x +
+ f x − = 0 (a) . 2 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y) + f (− y) = 2a cos y (b) . π π π Cho x =
; y ∈ R ta ñư c: f
+ y + f − y = 2b cos y (c). 2 2 2 12 π π f x +
+ f x − = 0 2 2 π π π
(a) + (b) + (c) ⇒ f x − + f − x = 2a cos x − . 2 2 2 π π
f x + + f − x = 2b cos x 2 2
Gi i h ta ñư c: f ( x) = a cos x + bsin x . Th l i th y ñúng.
Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x) f ( y) = f ( x + y) + sin xsin y x
∀ , y ∈ R (7).
L i gi i: Ta th y f ( x) = cos x là m t hàm s th a mãn. f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0 ⇔ ( f (0)) = f (0) ⇔ . f (0) = 1
N u f (0) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) = − f (0) = 0 x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c: sin x sin y = 0 x
∀ , y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x) = 0 không là nghi m (7). N u f (0) = 1 thì cho
x = − y ⇒ f ( x) f (−x) = + ( 2 − x) 2 =
x ⇒ f ( x) f (−x) 2 1 sin cos = cos x (a) . π f = 0 π 2 Cho x = ⇒ . 2 π f − = 0 2 π π
N u f = 0 thì: Cho x =
; y ∈ R th vào (7) suy ra: 2 2 π f y +
+ sin y = 0 ⇒ f ( y) = cos y y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 π
N u f − = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y) = cos y y ∀ ∈ R . 2
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = cos x .
Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x) − f ( y) = cos( x + y) g ( x − y) x
∀ , y ∈ R (8) . L i gi i: π π π Ch n x =
− y ; y ∈ R (8) ⇒ f − y − f ( y) = 0 ⇔ f − y = f ( y) (a) . 2 2 2 π π π Ch n x =
+ y ; y ∈ R (8) ⇒ f + y − f ( y) = − sin 2y.g (b) . 2 2 2 13 π π π
(a) + (b) ⇒ f + y − f − y = −sin 2 .
y g (c) . 2 2 2 π π Theo (8): f
+ y − f − y = − g (2y) (d ) . 2 2 π
(c) + (d )⇒ g (2y) = sin 2 . y g y
∀ ∈ R ⇒ g (2x) = a sin 2x ⇒ g ( x) = a sin x x ∀ ∈ R . 2 π
(v i a = g cho trư c.) 2 a
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x) − f (0) = cos .
x g ( x) ⇒ f ( x) = sin 2x + b (b = f (0)), x ∀ ∈ R . 2 ( ) a f x = sin 2x + b Th l i 2 hàm s : 2
(V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8). g
( x) = a sin x
f (−x) = − f (x) x ∀ ∈ R (a)
Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x + )
1 = f ( x) +1 x ∀ ∈ R (b) . 1 f ( x) f = x ∀ ≠ 0 c 2 ( ) x x L i gi i: x +1 Ta tính f
ñ n f ( x) theo hai cách: x x +1 1 1 f ( x) f
= f 1+ = 1+ f = 1+ x ∀ ≠ 0 a . 2 ( ) x x x x x 1 f f 1− 2 x +1 x +1 x +1 x +1 1 f = = = 1+ f − = 2 2 x x x x x +1 x +1 x +1 2 2 x +1 1 x +1 f ( x + ) 1 = 1+ − f = 1− = x
x 1 x ( + x + )2 1 2 x +1 1+ f ( x) 1− x
∀ ≠ 0 , x ≠ 1 b . 2 ( ) x ( x + ) 1
(a) + (b)⇒ f ( x) = x x ∀ ≠ 0; x ≠ 1 .
V i x = 0; (a)⇒ f (0) = 0 th a mãn f ( x) = x .
V i x = 1; (a) ⇒ f (− ) 1 = − f ( ) 1 :
Cho x = 0; (b) ⇒ f ( ) 1 = 1 ⇒ f (− ) 1 = 1
− th a mãn f ( x) = x . 14
V y f ( x) = x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng .
Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( ) 1 = 1 (a) 1 1 1 f
= f . f x
∀ , y ≠ 0 (b) .
x + y x y ( x + y
) f ( x + y) = xy f (x) f ( y) x
∀ , y tháa m n xy ( x + y) ≠ 0 (c) L i gi i: 1 1 Cho *
x = y ∈ R , (b) ta ñư c: f = 2 f ⇒
f ( x) = 2 f (2x) x ∀ ≠ 0 ( ) * 2x x 2 2 Cho *
x = y ∈ R , (c) ta ñư c: x f ( x) 2
= x ( f ( x)) ⇔ f ( x) = x ( f ( x)) x ∀ ≠ ( ' 2 2 2 2 0 * ). 2
Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x) = x ( f ( x)) ( " * ) . Gi s : *
∃ x ≠ 1, x ∈ R sao cho: f(x x = − x
y = x vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0 o o o) = 0. Thay 1 ; o o
trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x) ≠ 0 x ∀ ≠ 1; x ≠ 0 . Vì f ( )
1 = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x) 1 = x
∀ ≠ 0 . Th l i th y ñúng. x
Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:
f ( )1 =1 (a)
f ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 2xy x
∀ , y ∈ R (b) . 1 f ( x) f = x ∀ ≠ 0 c 4 ( ) x x L i gi i:
Cho x = y = 0 , (b) ⇔ f (0) = 0
Cho x = y = t ≠
(b) ⇔ f ( t) − f (t) 2 0, 2 2 = 2t ( ) 1 . 1 1 1 1 Cho x = y =
, (b) ⇔ f − 2 f = * 2 ( ) 2t t 2t 2t 1 f (t ) 1 f (2t ) f (t ) f (2t ) 1
T (c) ⇒ f = ; f = . Th vào (*) ta ñư c: − 2 = 2 . 4 4 2 ( ) 4 t t 2t (2t)4 t (2t) 2t
( ) + ( )⇒ f (t ) 2 1 2 = t t
∀ ≠ 0 . T f ( ) = ⇒ f (t ) 2 0 0 = t t
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0;+ ∞)→( 0;+ ∞) th a mãn: f ( x) f
= y f ( y) f ( f ( x)) x
∀ , y ∈( 0; + ∞) (12) . y 15 L i gi i: Cho:
x = y = 1 ⇒ f ( f ( ) 1 ) = f ( ) 1 . f ( f ( ) 1 ) ⇒ f ( )
1 = 1 vì f ( f ( )
1 ) ≠ 0⇒ f ( f ( ) 1 ) = 1. 1 f f ( ) 1 y
x = 1; y ∈ ( 0; + ∞) ⇒ f
= y f ( y) f ( f ( )
1 ) = y f ( y) ⇔ f ( y) = (a). y y M t 1 f y 1 f ( y)
khác: f ( f ( y)) = f
= y f ( y) f f = y f ( y) f ( y f ( y)) = y f ( y) f y y 1 y 1 1 = y f ( y)
f f ( f ( y)) . y y 1 1 1
Vì f ( f ( y)) ≠ 0 nên y f ( y)
f = 1 ⇔ f ( y) f = 1 (b) . y y y
(a) + (b) ⇒ f ( y) 1 = y
∀ ∈(0; + ∞) . Th l i th y ñúng. y
Ví d 13: Tìm f : R → R th a mãn: f ( ) 1 0 = (a) 2 .
∃a ∈ R: f
(a − y) f ( x) + f (a − x) f ( y) = f ( x + y) x
∀ , y ∈ R (b) L i gi i: Cho x = y =
(b)⇒ f (a) 1 0, = . 2
Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x) = f ( x). f (a) + f (0). f (a − x) ⇒ f ( x) = f (a − x) (c) . 2 2
Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f (a) = ( f ( x)) + ( f (a − x)) (d ) . f (x) 1 =
(c) + (d ) ⇒ ( f ( x))2 1 2 2 = ⇔ . 2 f (x) 1 = − 2
N u ∃ x ∈ R sao cho: f ( x = − thì: o ) 1 o 2 (b) (c) 2 1 − = ( x x x x x f x = f + = f f a − = f ≥ ⇒ Vô lí. o ) o o 2 o . o 2 o 0 2 2 2 2 2 2 V y f ( x) 1 = x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. 2 16 Ví d 14: (VMO.1995) 2 2
Tìm f : R → R th a mãn: f ((x − y) ) 2
= x − 2 y f ( x) + ( f ( y)) x
∀ , y ∈ R (14) . L i gi i: f 0 = 0 2 ( )
Cho x = y = 0⇒ f (0) = ( f (0)) ⇔ . f (0) = 1 y = 0 N u f (0) = 0: Cho ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x ⇒ f (t ) = t t ∀ ≥ 0 x ∈ R 2 2
Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( ) 2
0 = x − 2x f ( x) + ( f ( x)) ⇔ ( f ( x) − x) = 0 ⇔ f ( x) = x . Th l i th y ñúng. y = 0 N u f (0) = 1: Cho ta ñư c: f ( 2 x ) 2
= x +1 ⇔ f (t ) = t +1 t ∀ ≥ 0 . x ∈ R 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( 2
y ) = − y + ( f ( y)) ⇒ ( f ( y)) = f ( 2 2 y ) + 2y f y = y +1 2 ( ) 2
= y +1+ 2 y = ( y + ) 1 ⇒ . f
( y) = − y −1
Gi s ∃ y ∈ R sao cho: f ( y = − y − . Ch n x = y = y ta ñư c: o ) 1 o o o f y = y −1 2 ( o ) 2 o
1 = y − 2 y f y + f y ⇔ . o o ( o ) ( ( o )) f ( y = y + o ) 1 o
N u f ( y ) = y −1⇒ − y −1 = y −1⇒ y = 0 v f (0) = 1 − (lo¹i) . o o o o o
N u f ( y ) = y +1 ⇒ − y −1 = y +1⇒ y = −1⇒ f (− ) 1 = 0 . o o o o o
Th a mãn: f ( y ) = y +1. V y f ( y) = y +1 y
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng. o o Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x − y)) = f ( x) f ( y) − f ( x) + f ( y) − xy x
∀ , y ∈ R (15) . L i gi i: Cho x = y =
⇒ f ( f ( )) = ( f ( ))2 0 0 0
. ð t f ( ) = a ⇒ f (a) 2 0 = a . 2 2
Cho x = y ∈ R ⇒ ( f ( x)) 2
= x + f (a) ⇒ ( f ( x)) 2 2 = x + a ( ) * .
f x = f −x 2 2 ( ) ( )
⇒ ( f ( x)) = ( f (−x)) ⇒ . f
( x) = − f (−x) N u *
∃ x ∈ R sao cho f ( x = f −x : o ) ( o ) o
+ Ch n x = 0; y = −x ⇒ f f x
= a f −x − a + f −x a . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( ) 17
+ Ch n y = 0; x = −x ⇒ f f x
= a f x + a − f x b . o ( ( o )) ( o ) ( o ) ( )
(a) + (b) ⇒ a( f (x ) − f (−x )) − ( f (x ) + f (−x )) + 2a = 0 c . o o o o ( ) ( ) * 2
Vì f ( x = f −x nên f ( x = a ⇒ f x
= x + a ⇒ a = x + a ⇒ x = trái v i o ) ( ( o )) 2 2 2 2 2 0 o ) ( o ) 0 0 o gi thi t * x ∈ R . o
V y f ( x) = − f (−x) x
∀ ∈ R . Ta th y (c) không ph thu c vào xo nên ta có:
a ( f ( x) − f (−x)) − ( f ( x) + f (−x)) + 2a = 0 (c) . Thay f ( x) = − f (−x) suy ra: a = 0
a ( f ( x) + ) 1 = 0 ⇔ . f ( x) = 1 − ( ) * f x = x 2 ( )
+ N u a = ⇒ ( f ( x)) 2 0 = x ⇔ . f ( x) = −x Gi s t n t i *
x ∈ R ñ f ( x = x . Khi ñó (b) suy ra: o ) o o
x = f ( x ) = a x + a − x ⇒ x = 0 trái gi thi t * x ∈ R . o o o o o o
V y f ( x) = −x x
∀ ∈ R . Th l i th y ñúng + N u f ( x) = 1 − x
∀ ∈ R . Th l i ta ñư c (15) ⇔ xy = 2 x
∀ , y ∈ R . Vô lí.
V y hàm s c n tìm là: f ( x) = −x .
Nh n xét: Có m t suy lu n hay nh m l n ñư c s d ng các VD: f ( x) 1 = f y y 1 = + 2 2 ( ) 2 1 2
VD13 ( f ( x)) = ⇔
; VD14 ( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔ ; 4 f ( y) y 1 = − − f ( x) 1 = − 2 f x x = 2 ( )
VD15 ( f ( x)) 2 = x ⇔ , ñó là hi u sai: f ( x) x = − f ( x) 1 = x ∀ ∈ R ( f (x))2 1 2 = ⇔ ; 4 f (x) 1 = − x ∀ ∈ R 2 = + ∀ ∈ 2 f y y 1 x R 2 ( )
( f ( y)) = ( y + ) 1 ⇔ ; f
( y) = − y −1 x ∀ ∈ R f x = x x ∀ ∈ R 2 ( ) ( f (x)) 2 = x ⇔ . f ( x) = −x x ∀ ∈ R 18
Th c t thư ng là như v y nhưng v m t logic thì không ñúng. ( f ( x))2 1 =
thì f ( x) có th 4 1 1 ( x ≥ 0) f ( x) = 2 2 1 2
là hàm khác n$a như f ( x) =
. Như v y ( f ( x)) = ⇔ ch% 1 4 1 − ( x < 0) f ( x) = − 2 2
ñúng v i m&i x c th ch không th k t lu n ch% có hai hàm s f ( x) 1 = x ∀ ∈ R ho c 2 f ( x) 1 = − x ∀ ∈ R . 2
ð gi i quy t v n ñ này ta thư ng “th ” f ( x) 1 = x
∀ ∈ R ho c f ( x) 1
= − ∀x ∈ R vào ñ 2 2
bài ñ tìm hàm s không th a mãn (trong VD13 thì f ( x) 1 =
không th a mãn) sau ñó l p 2 lu n ph ñ nh là ∃ x f x = − ñ d n ñ n vô lí! o ( o ) 1 : 2
Ví d 16: Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y, z ∈ (0,1) . L i gi i:
Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x).
Thay x, y, z b i x2: f(x6) = 3 x2 f(x2).
M t khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3).
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 3 3x +1 2 ⇒ f (x ) = f (x), x ∀ ∈ ℝ 2 Thay x b i x3 ta ñư c : 9 3x +1 6 3 f (x ) = f (x ), x ∀ ∈ ℝ 2 9 3x +1 2 2 ⇒ 3x f (x ) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 3 9 3x +1 3x +1 2 ⇒ 3x f (x) =
3xf (x), x ∀ ∈ ℝ 2 2
⇒ f (x) = 0, x ∀ ≠ 0
V y f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1). BÀI T P
1) Tìm f : N → R th a mãn: f ( ) ≠ f ( ) 5 0 0; 1 = ; 2
f ( x) f ( y) = f ( x + y) + f ( x − y) x
∀ , y ∈ N , x ≥ y .
2) Tìm f : N → R th a mãn: f (m + n) + f (n − m) = f (3n) ∀ ,
m n ∈ N , n ≥ m . 19
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y)) = y f ( x) x, y ∈ R .
4) Tìm f : R → R th a mãn: f (( x + )
1 f ( y)) = y ( f ( x) + ) 1
x, y ∈ R .
5) Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn: f ( x) 2 2 = a
M x x y + y x − f ( y) x ∀ ∈( 0;+ ∞ ) . y ( ∈ 0;+∞ )
6) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) − f ( x − y) + f ( x + y + ) 1 = xy + 2x +1 x ∀ , y ∈ R . f
( xy) = f ( x) f ( y)
7) Tìm f : [ 1;+ ∞) → [ 1;+ ∞) th a mãn: x
∀ , y ∈[ 1; + ∞ ) . f
( f ( x)) = x
8) Tìm f : R → R th a mãn: f ( xy) = f ( x) f ( y) − f ( x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
9) Tìm f : R → R th a mãn:
( f (x) + f (z))( f ( y) + f (t)) = f (xy − zt) + f (xt + zy) x
∀ , y, z,t ∈ R .
10) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2 2
x − y ) = x f ( y) − y f ( x) x ∀ , y ∈ R .
11) Tìm f : N → [ 0;+ ∞) th a mãn: f ( ) =
f (m + n) + f (m − n) 1 1 1; =
( f (2m) + f (2n)) ∀ ,
m n ∈ N , m ≥ n . 2 x + y
f ( x) + f ( y)
12) Tìm f : Z → R th a mãn: f = x
∀ , y ∈ Z ; ( x + y)⋮3 . 3 2
13) Tìm f : N → N th a mãn: 3 f (n) − 2 f ( f (n)) = n n ∀ ∈ N .
14) Tìm f : Z → Z th a mãn: f ( )
1 = a ∈ Z ; f (m + n) + f (m − n) = 2( f (m) + f (n)) ∀ , m n ∈ Z .
15) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 3
x + 2 y) = f ( x + y) + f (3x + y) +1 x ∀ , y ∈ R .
16) Tìm f : R → R th a mãn: 2
x f ( x) + f ( − x) 4 1 = 2x − x x ∀ ∈ R .
Phương pháp 4: S d ng tính ch t nghi m c a m t ña th c.
Ví d 1: Tìm P(x) v i h s th c, th a mãn ñ'ng th c: 3 2 3 2
(x + 3x + 3x + 2)P(x −1) = (x − 3x + 3x − 2)P(x), x ∀ (1) L i gi i: 2 2
(1) ⇔ (x + 2)(x + x +1)P(x −1) = (x − 2)(x − x +1)P(x), x ∀
Ch n: x = −2 ⇒ P(−2) = 0 x = 1 − ⇒ P( 1 − ) = 0
x = 0 ⇒ P(0) = 0
x = 1 ⇒ P(1) = 0
V y: P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x). 20