Tam giác cân là gì? Định nghĩa, tính chất, cách chứng minh và bài tập
Bên canh những hình tam giác là tam giác vuông, tam giác đều thì tam giác cân là một dạng tam
giác cũng rất đặc biệt. Mỗi loại tam giác sẽ có những khái niệm, tính chất, cách chứng minh riêng
biệt. Để hiểu rõ hơn về tam giác cân, định nghĩa, tính chất cũng như cách chứng minh một tam
giác là tam giác cân mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây:
1. Định nghĩa tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh bằng nhau đó được gọi là cạnh bên.
Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc
ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.
Trong một tam giác cân thì trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của
đường tròn nội tiếp tam giác sẽ thẳng hàng với nhau. Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến,
đồng thời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng với cạnh đáy. Để hiểu hơn
về định nghĩa tam giác cân là gì, hãy cùng xem hình ảnh minh họa cụ thể dưới đây: Tam giác cân
Xét tam giác ABC, có AB = AC suy ra tam giác ABC cân. BC là cạnh đáy; AB, AC là hai cạnh
bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A. Góc B và góc C là hai góc đáy, A là góc ở đỉnh.
Tam giác được coi là cân được phân thành ba loại khác nhau:
- Tam giác nhọn cân: Tam giác nhọn cân là tam giác có cả ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai trong
số các góc của nó có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của tam giác nhọn cân là 50°, 50° và 80°.
- Tam giác vuông cân: Sau đây là một ví dụ về tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng
của chúng) có số đo bằng nhau.
- Tam giác tù cân: Tam giác tù cân là tam giác có một trong ba góc tù (nằm trong khoảng từ 90°
đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về góc tam giác tù cân là 30°, 30° và 120°.
2. Tính chất của tam giác cân
Mỗi hình trong hình học sẽ có những tính chất riêng biệt và độc đáo để có thể phân biệt nó với các
hình khác. Đối với tam giác cân tính chất của nó bao gồm:
Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau Ví dụ: Nếu ΔABC cân tại A thì hai
góc ở đáy góc ABC= góc ACB
Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc BAC
Khi đó ta có: Góc BAM = Góc CAM
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có: AB = AC (gt) Góc BAM = Góc CAM (cmt) AM chung
Suy ra ΔABM = ΔACM (c.g.c) => Góc ABC = Góc ACB (đpcm)
Tính chất 2. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân
Ví dụ: Xét tam giác ΔABC, nếu góc ABC= góc ACB thì ΔABC cân tại A.    
Trong tam giác ABC, gọi AH là tia phân giác của góc BAC => Góc BAH = Góc CAH
ΔABH có góc BAH + góc AHB + góc ABH = 180 độ (tổng 3 góc trong một tam giác)
ΔACH có góc CAH + góc ACH + góc AHC = 180 độ (tổng 3 góc trong một tam giác)
Mà lại có góc ABC = góc ACB nên góc AHB = góc AHC
Xét tam giác ABH và tam giác ACH có: Góc BAH = góc CAH Góc ABC = góc ACB Góc AHB = góc AHC
Suy ra ΔABH = ΔACH (g.g.g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)
Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (theo định nghĩa)
Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân
giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.
Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.
3. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân
Dựa vào các tính chất trên thì để nhận biết tam giác cân chúng ta dựa vào số đo chiều dài của các
cạnh hoặc số đo các góc. Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:
- Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
- Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ: Trong tam giác MNP có ΔMNE = ΔMPE. Chứng minh tam giác MNP cân. -
Chứng minh theo dấu hiệu 1:
Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE Nên ⇒ MN = MP
=> Tam giác MNP cân tại M
- Chứng minh theo dấu hiệu 2:
Theo đề bài ra, ta có: ΔMNE = ΔMPE Nên ⇒ Góc N = Góc P
=> Tam giác MNP cân tại M
4. Bài tập áp dụng và cách chứng minh tam giác cân
Bài 1: Trong các tam giác ở các hình 15a, b, c, d, tam giác nào là tam giác cân, tam giác nào là tam giác đều ? Vì sao ? Giải:
a) Ta có: AB = BM = AM (gt) => tam giác ABM đều.
AM = CM (gt) => tam giác MAC cân tại M.
b) Ta có: ED = DG = EG (gt) => tam giác EDG đều.
DH = DE => tam giác DEH cân tại D.
Ta có: EG = GF => tam giác GEF cân tại G.
Ta có: EH = EF => tam giác EHF cân tại E.
c) Ta có: IG = IH (gt) => tam giác IGH cân tại I. Mà góc GIH=60o (gt). Do đó tam giác IGH đều.
Ta có: EG = EH (gt) => tam giác EGH cân tại E.
d) Tam giác MBC có: góc M + góc B+góc C=180o
Do đó: 71o + góc B = 38o = 180o =>Góc B = 180o – 71o - 38o = 71o
Ta có: Góc B = góc M (=71o ) =>ΔCBM cân tại C
Bài 2. Cho tam giác ONM cân tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh OM, điểm E thuộc cạnh ON sao cho OD = OE
a) Hãy so sánh góc OND và OME
b) Gọi I là giao điểm của ND và ME. Chứng minh tam giác INM cân. Vì sao ? Giải
a) Tam giác ONM cân tại O (giả thiết)
Nên: ON = OM và Góc ONM = Góc OMN
Xét ΔOND và ΔOME, ta có: ON = OM (giả thiết) Và góc O chung OD = OE (giả thiết) =>ΔOND = ΔOME (c.g.c)
=> Góc OND = Góc OME ( các cặp canh tương ứng) b) ΔINM có:
Góc INM = góc ONM - góc OND = góc OMN - góc OME = góc IMN
Suy ra: Tam giác INM cân tại I
Bài 3. Cho hình 16, biết ED = EF; EI là tia phân giác của góc DEF.
Chứng minh rằng: a) ΔEID = ΔEIF; b) ΔDIFcân. Giải:
a) Xét tam giác EID và EIF ta có: + ED = EF (gt)
+ Góc IED= Góc EIF (EI là tia phân giác của góc DEF)
+ EI là cạnh chung. => Do đó: ΔEID =ΔEIF(c.g.c)
b) ΔEID =ΔEIF (chứng minh câu a) => ID = IF. Do đó: tam giác DIF cân tại I.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho
BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF. Gợi ý đáp án:
Do tam giác ABC cân tại A nên: Góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)
Xét 2 tam giác vuông BFC và CEB: Góc ABC = góc ACB, BC là cạnh chung
=> ΔBFC = ΔCEB (cạnh huyền – góc nhọn)
=> BE=CF (2 cạnh tương ứng).
Bài 5. Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.
Hãy giải thích các khẳng định sau:
a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;
b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°; Giải
a) Do tổng ba góc trong 1 tam giác bằng 180 độ nên tam giác không thể có 2 góc vuông
=>Tam giác vuông cân sẽ có 2 góc nhọn bằng nhau
=> Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.
b) Giả sử hai góc nhọn trong tam giác vuông là x, ta có: x + x + 90 độ + 180 độ => 2x = 90 độ => x = 45 độ
Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45°.
5. Cách tính chu vi và diện tích tam giác cân
- Để có thể tính chu vi của tam giác cân, bạn cần phải biết chính xác đỉnh của tam giác và độ dài
chính xác của 2 cạnh là được. Công thức sẽ là: P = 2a + c Trong đó:
+ a: hiểu được là 2 cạnh bên của tam giác
+ c: là cạnh đáy của tam giác.
- Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác,
sau đó chia cho 2. Công thức tính diện tích tam giác cân: S = (a x h)/ 2 Trong đó:
+ a: Chiều dài đáy tam giác cân (đáy là một trong 3 cạnh của tam giác)
+ h: Chiều cao của tam giác (chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy).