Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối | Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
A. Cách tìm GTLN GTNN của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên [a; b], ta có:
M + n + M - n max f (x) = [a;b] 2 ìï 0 khi M.n £ 0 ï min f (x) ï
= í M + n - M - n [a;b] ïï khi M.n > 0 ïî 2
Chứng minh đẳng thức: max f(x) = M+m + M−m [a;b] 2
+ Trường hợp 1: M  m  0 thi f (x)  0 x  [a;b]. Từ đó max | f ( ) x | max f x  M  M m  M m a ( ) max{ ; } max{| |;| |} [a;b] [ ;b]
+ Trường hợp 2: 0  M  m thì f (x)  0 x  [a;b]. Từ đó
| f (x) |  f (x)  m  max{M ; }
m  max{| M |;| m |}  max{| M |;| m |}. Suy ra max | f ( )
x | max{| M |;| m |} [a;b]
+ Trường hợp 3: M  0  m
Với x thỏa mãn 0  f (x)  M |  f (x) | |  M |
Với x thỏa mãn m  f (x)  0  m   f (x)  0 |  m | |
  f (x) | |  f (x) | |  m |
Như vậy | f (x) | max{| M |;| m |}. Suy ra max f x  M m b | ( ) | max{| |;| |} [a; ]
Tóm lại ta có điều phải chứng minh. 0, nếu M. m ≤ 0
Chứng minh đẳng thức: min f(x) = [a;b]
M+m − M−m , nếu M. m > 0 2
Với m  0  M  Phương trình f (x)  0 có nghiệm x[a;b].
Lại có | f (x) | 0 x
 [a;b]. Suy ra min f x  b | ( ) | 0 [a; ] Với Mm  0
Không giảm tính tổng quá, giả sử M  m  0 (Nếu 0  M  m thì chứng minh tương tự).
Do đó f (x)  0 x  [a;b].
Từ đó ta có min | f ( ) x | min f ( )
x  m  min{M; }
m  min{| M |:| m |} [a;b] [a;b] Hệ quả.
Cho hàm số f(x) đơn điệu trên [ ;], ta có
| f ()  f () |  | f ()  f () | max    | f ( ) x | ; [ ; ] 2
Nếu f () f ()  0 thi min 
  | f ( x) | 0 [ ; ] Nếu f α . f β > 0 thì
min f(x) = f α +f(β) − f α −f(β) [α;β] 2
B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối
Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y  x  3x  m trên đoạn [0; 3] bằng 16. Tính tổng các phần tử của S ? A. -16 B. 16. C. -12 D. 2 
Gợi ý hướng giải toán
Hướng 1. Đề cho max y 16 , gợi cho chúng ta nhớ đến định nghĩa về GTLN của hàm x   0;3
số. Như vậy, yêu cầu bài toán tương đương với hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:   3
1 :| x 3x  m |16 x  0;  3 2 : Phương trình 3
| x 3x  m |16 có nghiệm x 0;3.
Điều kiện (1) và (2) là các bài toán quen thuộc.
Điều kiện (1) cho kết quả 1  4  m  2  .
Điều kiện (2) cho kết quả  34  m  14   S { 1  4; 2  } .  2  m  18
Hướng 2. Tìm max y , vì việc đó sẽ giúp ta giải quyết bài toán: x   0;  3
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho max y thỏa mãn điều kiện nào x   0;  3 đó.
Từ đây nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát: Xét hàm số 3
f (x)  x 3x  m trên đoạn [0; 3]. Ta có  2
f (x) 3x 3 x [0;3]; f     
(x)  0 thõa mãn x [0;3] f (0)  ;
m f (1)  m  2; f (3)  m 18. Từ đây ta cũng có max          y m m m m m x max{| 2 |;| 18 |} ( 18 2) [0,3]
Hướng 3. Thấy biến x và tham số m không dính nhau nên nghĩ đến đổi biến số Đổi biến 3
t  x 3x, với x0;  3 thì t  2  ;1  8
Xét hàm số f (t)  t  m với t  2  ;1  8 .
Vì đồ thị của hàm số f (t) với t  2  ;1 
8 là một đoạn thẳng nên
max y  max f (t)  max f ( 2
 ) ; f (18)  maxm  2 ; m 18. x   0;3 t   2;18 Xét trường hợp 1: m  18 m  2 16   (Loại m = 18). m  14 Trường hợp 2: m  2 m 18 16   (Loại m = - 34) m  34
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có: max y  max f (t)  max f ( 2
 ) ; f (18)  maxm  2 ; m 18 x   0;3 t   2;18 m   m 
 m   m 
max y  max f (t) = 2 18 2 18 = m8 1016 x   0;3 t   2;18 2  m  1  4 hoặc m  2  .
Ví dụ 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực msao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
f (x)  x  2x  m trên đoạn 0; 
3 bằng 5.Tổng các phần tử của S bằng: A. 2 . B. 2 . C. 12 . D. 8. Hướng dẫn giải Đồ thị của hàm số 2
y  x  2x  mlà Parabol có bề lõm quay lên và nhận điểm P1;m 
1 làm đỉnh.Ta có y(0)  m , y  m  , y(3)  m3. P 1
Rõ ràng với mọi giá trị của mthì m 1 m  m 3. Vì x  
nên max f (x)  max y(0) ; y y  m  m   m1  2 . P ; (3)  max 3 ; 1 P 1 0;  3 0;3 m  4 
max f (x)  5  m 1  2  5  . Vậy S  4  ;  2 .   0;  3 m  2
Ví dụ 3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y  x  mx   2 m   3 3 3
1 x  m trên đoạn  ; m m   3 bằng 16 .Tổng các
phần tử của S bằng A. 16 . B. 14 . C. 19 . D. 20 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét hàm số 3 2
f x  x  mx   2 m   3 ( ) 3 3
1 x  m , x m;m  3 .
Ta có f x  x  m3 ( )
 3x ; f x  x  m2 '( ) 3 1, x   ; m m   3  
; f '(x)  0  x  m 1;
f (m)  3m ; f (m 1)  2  3m ; f (m  3) 18  3m .
Suy ra max f (x) 18 3m ; min f (x)  2  3m . m;m3 m;m3
max f (x)  max183m ; 2   3m m;m 3 183m 2
  3m  183m   2   3m   3m  8 10 . 2  14 m   3
max y 16  3m 8 10 16   . m;m 3  2 m   3 Nhận xét: Tìm 3 2
min x  3mx  3 2 m   3
1 x  m như sau: m;m 3
Nếu min f (x)  0  max f (x)  2
 3m  0 183m 2
   m  6 thì m;m3 m;m3 3 3 2
min x 3mx 3 2 m 1 3 x  m  0 m;m3 m  6
Nếu max f (x). min f (x)  0   2 thì 3 2
min x 3mx 3  2 m 1 3
x  m  3m 8 10 . m;m3 m;m3 m   m;m3  3
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
y  x  2x  m trên đoạn 1;2 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng: A.-2 B. 7. C. 14. D. 3. Hướng dẫn giải
Xét hàm số f x 4 2
 x  2x  m trên đoạn [-1;2] x  1
Ta có: f 'x 0    x  0  x    1
Mà: f 0   ; m f  
1  m 1; f 2  m 8
min f x  m 1 Nên 1;2
max f x  m  8  1;2 Nếu m  
1 m 8  0  1
  m  8 thì min f x  0 không thỏa mãn bài toán  1  ;2
Nếu −m − 1 −m + 8 > 0 ↔ m > 8 thì: m <− 1
min y = min −m + 8 , −m − 1 = [−1;2] −2m+7 −9. 2
Theo bài ra min y = 2 nên m =− 3 (thỏa mãn). [−1;2] m = 10
Vậy tổng các phần tử của S là 7.
Ví dụ 5. Cho hàm số 4 3 2
y = x - 4x + 4x + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2 .Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn 3;  3
sao cho M  2m ? A. 3 . B. 7 . C. 6 . D. 5 . Hướng dẫn giải Đặt 4 3 2
t  x  4x  4x , với x0;  2 thì t 0;  1 .
Xét hàm số f (t)  t  , a t 0;  1 .
Ta thấy f (t) là hàm tăng trên 0;  1 .
f (1)  f (0)  f (1)  f (0)
M  max f (t)  1 1  a   . 0; 1 2 2 2
Nếu f (0). f (1)  0thì m  0.
Trường hợp này loại vì 1 M  a  . 2 Nếu   f f
  a a   a 0 (0). (1) 0 1  0   thì 1 1
m  a   . a  1 2 2 a 1;0 a  1 M  2m    1 1  1 1  . a 2   a        a  2  2 2 2 2   
Từ đây suy ra a 3  ; 2  ;1;2;  3 .
Ví dụ 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số 3 2
y  x  x   2 m  
1 x  2m  4 trên đoạn 0;  1 không vượt quá 32. Số
phần tử của S bằng: A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Hướng dẫn giải Xét hàm số 3 2
f x  x  x   2 ( ) m  
1 x  2m  4 trên đoạn 0;  1 . Ta có 2 2
f '(x)  3x  2x  m 1 0, x  0; 
1 suy ra f (x) là hàm tăng trên 0;  1 .
f (1)  f (0)  f (1)  f (0) 2 2
m 1 m  4m  7 max y   . 0; 1 2 2 2 2
m 1 m  4m  7 max y  32   32  7
  m  5 . 0; 1 2
Ví dụ 7. Cho hàm số 3
f (x)  x 3x  m với m là tham số thực.Gọi S là tập hợp tất cả
các giá của m sao cho max f (x) min f (x) 12 .Tổng các phần tử của S bằng 0;3 0;3 A. 16 . B. 16. C. 32 . D. 32. Hướng dẫn giải Xét hàm số 3
g(x)  x 3x  m trên đoạn 0;  3 . Ta có 2
g '(x)  3x 3 x  0; 
3 ; g '(x)  0  x 1; g(0)  m, g(1)  m 2 , g(3)  m 18.
Suy ra max g(x)  m 18 ; min g(x)  m 2 . 0;  3 0;  3
Ta có max f (x)  max m  2 ; m 18. 0;3
Nếu max g(x).min g(x)  0  m2m18  0  1
 8  m  2 thì min f (x)  0 . 0;  3 0;  3 0;  3
Vậy max f (x)  min f (x) 12 0;  3 0;  3
 maxm  2 ; m 18 12 m  6
 m  8 10 12   (Thỏa mãn 1  8  m  2 ). m  10 Nếu m  2
max g(x).min g(x)  0 
thì m  minm 18 ; m  2.   0;  3 0; 3 m  18
Vậy max f (x)  min f (x) 12 0;  3 0;  3 m  2 
 m 2  m18 12  m  2  m 18 12  
(Không thỏa mãn điều kiện m  1  4 m  2  ). m  18
+ Kết luận S  1  0;  6 .
Chú ý: Ta tìm được m sao cho .max f (x)  .min f (x)   với ,, là các số thực cho 0; 3 0; 3 trước.
Ví dụ 8. Cho hàm số ( ) x  m f x 
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các x 1
giá trị của msao cho min f (x)  max f (x)  2. Số phần tử của S là 0; 1 0; 1 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 6 . Hướng dẫn giải
Trường hợp 1: m 1, khi đó f (x) 1, x  1  .
Dễ thấy min f (x)  max f (x)  2. 0; 1 0; 1
Vậy m 1 thỏa mãn.
Trường hợp 2: m 1, khi đó 1 '( )  m f x   0, x
  0;1  f (x) đơn điệu trên 0;  1 2   x   1 mm   1
 min f (x).max f (x)  f (0). f (1)  và 0; 1 0; 1 2  m 1 
max f (x)  max f (0) ; f (1)   max  m ;  . 0; 1  2  mm   Nếu 1
min f (x).max f (x) 0   0 0; 1 0; 1 2
 m1;0 thì min f (x)  0 . 0; 1 Do đó:    min f (x) m 1
 max f (x)  2  max  m ;
  2 (Phương trình này vô nghiệm vì 0; 1 0; 1  2   m  1   m 1 do m 1  ;0).   1  2 Nếu m  0 min   
f (x).max f (x)  0  thì m 1
min f (x)  min f (0) ; f (1)   min  m ;  .   0;  1 0; 1 m  1 0; 1  2 
Do vậy: min f (x)  max f (x)  2 0; 1 0; 1 m 1 m  5    2 m 1 m   
 2  m   (Chú ý m 1). 2 2 3 Kết luận 5 S  ;1   . 3   