Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn | Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
A. Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f x xác định trên tập D .
Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f x trên tập D nếu
f  x  M với mọi x  D và tồn tại x  D sao cho f  x  M 0  0
Kí hiệu M  max f x D
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y  f x trên tập D nếu
f  x  m với mọi x  D và tồn tại x  D sao cho f  x  m 0  0
Kí hiệu m  min f x D
Sơ đồ hệ thống hóa
B. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Định lí 1.
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn Nhận xét:
Nếu hàm số y  f x có đạo hàm f 'x giữ nguyên dấu trên đoạn a;b thì hàm
số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó f x đạt được giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn đó. Phương pháp giải
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x trên đoạn a;b ta làm như sau.
Bước 1. Tìm f 'x và tìm các điểm x ; x ;. .; x trên a;b mà tại đó f 'x  0 hoặc 1 2 n
f 'x không xác định.
Bước 2. Tính f x ; f x ;. .; f x f a f b n ; ; 1   2       
Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
M  max f x;m  min f x a;b a;b Chú ý:
max f x  f b
Hàm số y  f x đồng biến trên a;b thì  a;b
min f x   f a  a;b
max f x  f a
Hàm số y  f x nghịch biến trên a;b thì  a;b
min f x   f b  a;b
C. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f x
1. Phương pháp tìm miền giá trị
Xem y  f x là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số.
Tìm điều kiện của y để phương trình y  f x có nghiệm.
Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m  y  M . Xét dấu “=” xảy ra và kết luận.
2. Phương pháp đạo hàm
Khảo sát sự biến thiên của hàm số y  f x
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
3. Phương pháp dùng bất đẳng thức Bất đẳng thức AM – GM
Cho hai số thực không âm
a  b  2 ab
 ab  a  b2  a  b2 4  0
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 1 1 4   x y x  y
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho các số thực a, b, c, d   2   2 2   2 2 ax by a b x  y 
Dấu “=” xảy ra khi a b  x y
Một số bổ đề cơ bản x  y2 2 2 x  y xy   và 2 2 3
x  xy  y  x  y 2 4 4 4
x  y 2 2 x  y x  y 3 3   3 x  y  
 xy x  y  2 4 Ví dụ:
a. Xác định giá trị lớn nhất của hàm số f x 3
 x  3x  2 trên đoạn 1;  3 ?
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 8
y  x  trên đoạn 1 ;2 ? x 2    c. Trên đoạn 0; 
1 hàm số y  4 3x có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
d. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y  x  3x trên 1;2? Hướng dẫn giải
a. Ta có: f x 2 '  3x  3
x 11;3  f 'x 2
 0  3x  3  0  x  1  1;3  f   1  4  Ta có:  f  
1  0  max f x  20  x  3  f  3  1  ;  3  20
Vậy đáp án cần tìm là 20 . 3 b. Ta có: 8 2 8 '  2 x y x   2 2 x x 3 2x 8 3 3  y '  0 
 0  x  4  x  4 2 x  1  65 f   2   4 Ta có: f 2 3  8  min y  6 2 .     f  3 4 1 1 ; 3 2 2  6 2  c. Tập xác định 4 D  ;     3   Ta có: 3 4 y '   0; x   2 4 3x 3 Trên đoạn 0; 
1 hàm số đã cho nghịch biến
 min y  y   1 1 0; 1 d. Ta có: x  1 2
y '  3x  3  0  x  1 y  max y  2 1  2   1;2    y  2  2 min y  2   1;2
Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2 bằng 0 .
Ví dụ: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x 2
 x  4  x lần
lượt là M ;m . Tính giá trị biểu thức 2 2
P  M  m ? Hướng dẫn giải
Tập xác định D  2;2 Ta có: ' 1 x   '  0  1 x y y   0 2 2 4  x 4  x x  0 x  0 2
 x  4  x      x  2 2 2 x  4  x x   2
 f 2  2; f  2    2  
max f x  M  2 2 Khi đó:   2;2     f   2   2 2
 min f  x  m  2  2;2 2 2
 P  M  m  4
Ví dụ: Gọi M ;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  f  x 2x 1 
trên đoạn 0;2 . Tìm giá trị biểu thức T  2m  4M ? x  2 Hướng dẫn giải Ta có: 5 y '   0; x   2
 nên hàm số đồng biến trên 0;2 x  22 
y  f   3 max 2   0;2 4  
 T  2m 4M  2 .  y  f   1 min 0    0;2 2
Ví dụ: a. Tìm điều kiện tham số m để hàm số    x  m y f x  thỏa mãn x 1 9
max y  min y  ? 1;2 1;2 2 b. Cho hàm số x  m y 
. Định m để hàm số đã cho thỏa mãn min y  3 ? x 1 2;4 Hướng dẫn giải
a. Tập xác định D  \  1
Hàm số đơn điệu trên đoạn 1;2 nên max y  min y  f   1  f 2 1;2 1;2 1 m 2  m 9     m  4 2 3 2
Vậy đáp án cần tìm là 2  m  4.
b. Tập xác định D  \  1 Ta có: 1 '  m y 
. Vì hàm số đơn điệu trên 2;4 nên x  2 1
min y  y 2;1 m  0 min y3 3  2  ; m m  1 2;4 2;4    
min y  y4 4 ;1 m  0 3 m  ;m  1  2;4  3
m  1;m  1   m   5
m  5;m  1
Nếu m  1 y 1 Hàm số không có giá trị lớn nhất Vậy m  4
Ví dụ: Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  x  4  x  m là 3 2 ? Hướng dẫn giải Ta có: 2
y  x  4  x  m có tập xác định D  2;2 ' 1 x y  ; x    2  ;2  2 4  x x 2 y '  0 1
 0  4  x  x 2 4  x x  0 x  0      x 2 2 2 4  x  x x   2
 y2  2m 
Ta có: y2  2 m .   y
  2   2 2  m
Theo bài ra ta có: 2 2  m  3 2  m  2
Vậy đáp án cần tìm là m  2 .
Ví dụ. Cho hàm số f x 3 2 2
 x 3x  m  2m với m là tham số. Gọi S tập hợp tất cả
các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn 3max f  x  2min f  x  112 . Tìm số  3  ;  1  3  ;  1
phần tử của tập hợp S ? Hướng dẫn giải
Ta có: f  x   f  x ; x   m
 ax f  x   max f x   3; 1 0;3  m
 in f  x   min f x  3; 1 0;3
Đạo hàm f x 2 '
 3x  6x  0
x  0  f 0 2  m  2m   và f   2 3  m  2m x  2  f  2 2
 m  2m  4
Suy ra 3max f  x  2min f  x  112  3  ;  1  3  ;  1   2
m  m   2 3 2
2 m  2m  4 112 2
 m  2m  24  0  4  m  6
Mà m  m 4  ; 3  ;. .;5;  6
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.