Tổng hợp bài tập giải tích các hàm nhiều biến | Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội

Tổng hợp bài tập giải tích các hàm nhiều biến | Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội. Tài liệu gồm 352 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viÖn to¸n häc
§inh ThÕ Lôc
Ph¹m Huy §iÓn
T¹ Duy Phîng
Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn
Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh
nhµ xuÊt b¶n ®¹i häc quèc gia hµ néi
Héi §ång biªn tËp
Hµ Huy Kho¸i
(
Chñ tÞch
)
Ng« ViÖt Trung
Ph¹m Huy §iÓn
(Th)
Gi¶i tÝch c¸c
hµm nhiÒu biÕn
Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n
vµ tÝnh to¸n thùc hµnh
§inh ThÕ Lôc
Ph¹m Huy §iÓn
T¹ Duy Phîng
Bé s¸ch To¸n häc cao cÊp - ViÖn To¸n häc
i
Li nói đầu
un sách này có th xem là tp tiếp theo ca giáo trình gii tích các hàm
s mt biến, đã được Nhà xut bn Giáo dc n hành năm 1998, vi ta
đề
"Gii tích Toán hc: Nhng nguyên lý cơ bn và tính toán thc hành".
Trong giáo trình đó chúng ta đã kho sát dãy s, chui s, hàm s các
phép tính vi tích phân trong không gian mt chiu (trc s thc). Trong tp tiếp
theo này các đối tượng trên s được kho sát trong không gian nhiu chiu, và đó
chính là s khác bit cơ bn gia hai giáo trình. Để xây dng các phép tính vi tích
phân trong không gian nhiu chiu, trước hết phi hiu rõ cu trúc ca nhng
không gian này. Chương 1 đề cp ti hai cu trúc quan trng nht ca không gian
nhiu chiu, cu trúc tuyến tính và cu trúc khong cách, thông qua mt ví d đin
hình là không gian
n
\
. Để giáo trình mang tính độc lp nht định, không gian này
được xây dng trc tiếp, mà không da vào khái nim không gian tuyến tính tng
quát trong giáo trình Đại s tuyến tính. Để tránh cng knh, các khái nim và kết
qu ca chương này được chn lc ti mc ti thiu t 3 môn Đại s tuyến tính,
Tôpô và Gii tích hàm, va đủ s dng cho nhng chương sau, đồng thi dn dt
người hc làm quen vi nhng b môn quan trng đó. Các chương t 2 đến 7
không ch thiết lp trong không gian nhiu chiu nhng gì đã biết trong Gii tích
mt biến mà còn đưa ra nhng khái nim mi ch xut hin trong không gian nhiu
chiu. Chương 8 trình bày các kiến thc cơ bn v chui Fourier và phép biến đổi
tích phân Fourier. Chương cui cùng gii thiu sơ lược v h phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng. Hai chương sau này nhm mc đích cng c
nhng kiến thc v vi tích phân đã hc trong nhng chương trước, rèn luyn k
năng tính toán thc hành và trang b kiến thc để hc viên tìm hiu các môn hc
khác như Vt lý, Cơ hc, Sinh hc,...
Nếu như các khái nim, kết qu chng minh trong Gii tích mt biến có tính
trc quan cao, d hin th, thì sang không gian nhiu chiu tính tru tượng đã tăng
lên rõ rt. Tuy nhiên, cái đẹp ca Toán hc nm trong s tru tượng và cái ích ca
Toán hc nm trong s c th. Để hiu rõ hai mt y ca Toán hc đồng thi
nhm rèn luyn phương pháp suy lun toán hc cho sinh viên, trong giáo trình này
hai cách tiếp cn thường được s dng đan xen nhau: đó là cách đi t c th ti
tru tượng và ngược li, t tru tượng ti c th tu theo tng khái nim, tng
định lý. Mi khi các kết qu được phát biu và chng minh trong không gian tng
quát n chiu, thì người đọc có th hn chế trong trường hp n=2 hoc n=3 để hiu
d dàng và thu đáo hơn. Trong tài liu này, chúng tôi c gng đưa vào các chng
minh đầy đủ ca nhng định lý ln và “hóc búa” thường b né tránh trong các
giáo trình hin hành. Nhng chng minh này là khó nhưng cha đựng các phương
pháp suy lun đin hình rt cn cho vic rèn luyn tư duy (nht là đối vi hc sinh
cao hc và nhng ai mun đi sâu hơn vào lĩnh vc Gii tích Toán hc). Người đọc
C
ii
không cn nh chi tiết, mà ch cn hiu được các chng minh này đã được xem là
đạt yêu cu.
Vic minh ho và tính toán trong không gian nhiu chiu vn là mt vn đề
khó vì không my khi có th thc hin được bng th công, nht là vc ch đề:
V đồ th trong không gian, tính tích phân bi, tính vi phân hàm n vectơ nhiu
biến, tính toán các biến đổi tích phân Fourier, gii phương trình đạo hàm riêng,...
Cái khó đây bt đầu ngay t vic tìm sao cho ra mt ví d có th xđược.
Chính vì vy, lĩnh vc này luôn luôn là mơ h đối vi hu hết mi hc viên (t đại
hc đến cao hc). Nhm xoá b tình trng này, chúng tôi mnh dn đưa vào giáo
trình phn hướng dn tính toán thc hành trên máy, ngay sau mi chương lý
thuyết. Qua đây người đọc s thy rng ngày nay, vi máy tính và phn mm toán
hc thông dng (có sn trên th trường và trên Internet), ch bng nhng dòng lnh
đơn gin tương t như ngôn ng toán hc thông thường, người ta có th "s thy
được" nhng gì mà trước đây không th nào hình dung ra ni. Nếu chưa có sn
các chương trình tính toán trên máy cá nhân, người đọc có th truy cp ti mt s
trung tâm cung cp dch v tính toán qua mng (thường là min phí) để có th thc
hành tính toán được ngay (bn đọc có nhu cu xin liên h vi các tác gi để biết
thêm thông tin chi tiết). Đối vi người hc chưa có điu kin tiếp xúc vi máy tính,
vic đọc phn này vn rt có tác dng, vì s biết được cơ chế giao tiếp gia người
vi máy và biết được nhng gì máy tính có th thay thế con người trong quá trình
tính toán. Quan trng hơn, qua các ví d minh ho v tính toán trên máy trình bày
trong sách, người hc s nm được kiến thc toán hc mt cách sâu sc hơn, do
tiếp cn được ti nhng điu mà trước đây tưởng như là không th. Khi không còn
b mc cm bi nhng bài toán hóc búa, người ta s thy toán hc không còn là
huyn bí và t tin trong vic đón nhn nhng bài toán khó ny sinh t thc tin sn
xut.
Chúng tôi hy vng rng cun sách này s là mt cm nang tt cho nhng ai
mun hiu sâu sc v Gii tích toán hc nói chung, và v gii tích các hàm s
nhiu biến nói riêng. Do đó, nó s là hu ích đối vi các hc sinh cao hc, cũng
như thy và trò các trường Tng hp, Sư phm, K thut,...
Tp th tác gi xin chân thành cm ơn giáo sư Nguyn Duy Tiến (ĐHQG Hà
Ni) và giáo sư Đoàn Qunh (ĐHSP Hà Ni) đã đọc rt k bn tho và đã cho
nhng nhn xét quý báu. Vic trình by mt ch đề phc tp s không th tránh
khi nhng sai sót, cho nên chúng tôi mong tiếp tc nhn được s phê bình, góp ý
ca các đồng nghip và hc viên gi v theo địa ch: Vin Toán hc, Trung tâm
Khoa hc T nhiên và Công ngh Quc gia, 18-Đường Hoàng Quc Vit, Qun
Cu Giy, Hà Ni.
CÁC TÁC GI
Chương 1
Không gian
R
n
&
Không gian metric
1.1. Không gian
R
n
........................................................................................................ 1
1.1.1. Đim trong không gian n-chiu......................................................................................... 2
1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiu........................................................................................ 3
1.1.3. Tích vô hướng................................................................................................................... 4
1.1.4. Chun ca vectơ ................................................................................................................ 5
1.1.5. Ánh x tuyến tính.............................................................................................................. 7
1.2. Không gian metric............................................................................................... 10
1.2.1. Định nghĩa và các ví d................................................................................................... 10
1.2.2. Tp đóng và tp m trong không gian metric ................................................................. 12
1.2.3. Hi t trong không gian metric ....................................................................................... 15
1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric.............................................................................. 17
1.2.5. Tính compact trong không gian metric ........................................................................... 19
1.2.6. Ánh x trong không gian metric...................................................................................... 24
1.2.7. Không gian siêu metric ...................................................................................................27
1.1. Không gian R
n
Trong giáo trình này chúng ta s làm vic trên không gian
R
n
- mt ví d rt
đặc bit ca không gian n-chiu. Để giáo trình có được tính độc lp nht định,
chúng tôi s trình bày li mt cách ngn gn vic xây dng không gian
R
n
. Độc gi
nào quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiu nói chung xin xem trong các giáo
trình Đại s tuyến tính. Độc gi nào đã hc qua giáo trình Đại s tuyến tính có th
b qua phn này.
2
Gii tích các hàm nhiu biến
1.1.1. Đim trong không gian
n-
chiu
Ta đã quen thuc vi cách dùng mt s để biu din mt đim trên đường
thng (khi trên đường thng đó cho sn đơn v dài). Ta cũng đã biết vic dùng mt
cp 2 s (x,y) để biu din mt đim trong mt phng có h ta độ Descartes.
Tương t như vy, người ta s dng mt b 3 s (x,y,z) để biu din mt đim
trong không gian.
Đường thng còn được gi là không gian 1-chiu, mt phng còn được gi là
không gian 2-chiu, và không gian vt lý xung quanh ta còn được gi là không
gian 3-chiu. Như vy, mt s biu din mt đim trong không gian 1-chiu, mt
cp 2 s biu din đim trong không gian 2-chiu, và mt b 3 s biu din mt
đim trong không gian 3-chiu. Tuy rng, ta không th cho được minh ha hình
hc ca cách biu din đim trong không gian có s chiu ln hơn 3, nhưng bng
cách khái quát hóa, người ta có th dùng mt b n s để biu din mt đim trong
không gian n-chiu. Không gian n-chiu vi
n4 không phi ch là s tưởng
tượng và khái quát hóa ca các nhà toán hc, mà chúng tht s tn ti trong vt lý,
kinh tế, xã hi... Thí d để biu din nhit độ ti mt đim trong không gian xung
quanh ta thì ngoài 3-chiu thông thường ta phi thêm mt chiu thi gian. Hoc để
biu din tình trng sc khe ca mt người nào đó ta phi dùng b nhiu s: chiu
cao, trng lượng, vòng ngc, huyết áp, độ thính, tm nhìn... Chính xác hơn, vi s
t nhiên
n cho trước, ta có:
Định nghĩa. Mt đim trong không gian n-chiu là mt b n s có th t
12
( , ,..., )
n
x
xx.
Người ta thường ký hiu mt đim trong không gian
n-chiu bng mt ch đậm, thí d
như
x
, và viết
x
=
12
( , ,..., )
n
x
xx. S
i
x
trong b s này được gi là ta độ th i ca
đim
x
.
Gi s có 2 đim trong cùng mt không gian n-chiu
a
=
12
( , ,..., )
n
aa a
b
=
12
( , ,..., )
n
bb b ,
ta định nghĩa tng ca chúng (
a
+
b
) là mt đim trong không gian n-chiu vi các ta
độ
112 2
(, ,..., )
nn
abab a b++ +
,
và ta định nghĩa tích ca đim
a
vi mt s λ là mt đim vi các ta độ
12
( , ,..., )
n
aa aλλ λ
.
Thí d.
Trong không gian 3-chiu, vi
a
= (1,3,5),
b
= (2,0,1),
λ
= 7, ta có
a
+
b
= (3,3,6) và λ
a
= (7,21,35).
Người ta ký hiu
0
là đim (trong không gian n-chiu) có tt c các ta độ
bng 0 (tc là
0
= (0,0,...,0)) và gi nó là đim gc, còn -
a
đim (-1)
a
(tc là
đim có các ta độ ngược du vi các ta độ đim
a
). Khi y d dàng kim tra rng
các phép tính trên tha mãn các lut sau:
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
3
(1) (
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) ;
(2)
a
+
b
=
b
+
a
;
(3) λ(
a
+
b
) = λ
a
+ λ
b
;
(4) (
λ
+
µ
)
a
=
λ
a
+
µ
a
và (
λµ
)
a
=
λ
(
µ
a
) , vi mi s
λ
,
µ
;
(5)
0
+
a
=
a
+
0
=
a
vi mi
a
;
(6) 1.
a
=
a
a
+ (-
a
) =
0
.
T đây người ta cũng quy ước viết
a
-
b
thay cho
a
+(-
b
) .
Chng minh các đẳng thc trên là d dàng, người đọc có th t làm như các
bài tp. Để làm thí d, chúng ta chng minh đẳng thc (3).
Theo định nghĩa
11
( ,..., )
nn
ab a b+= + +ab , nên
11 1 1
( ) ( ( ),..., ( )) ( ,..., )
nn n n
ab ab a b a bλλ λ λλλλλλ+= + + = + + = +ab a b.
1.1.2. Vectơ trong không gian
n
-chiu
Người ta gi mi cp đim
a
,
b
trong không gian n-chiu là mt vectơ buc
(hay vectơ định v) trong không gian n-chiu.
Vectơ xác định bi cp đim
a
,
b
được ký
hiu là
ab . Người ta gi
a
đim đầu,
b
đim cui, và còn gi
ab là vectơ định v ti
a
.
Hai vectơ
ab cd được gi là tương
đẳng nếu chúng tha mãn điu kin
= ba dc.
Theo định nghĩa đó, vectơ
ab là tương
đẳng vi vectơ định v ti gc
0
và có đim cui là
b
-
a
. Rõ ràng, ch có duy nht
mt vectơ định v ti gc tương đẳng vi mt vectơ cho trước (vì d thy rng nếu
2 vectơ tương đẳng mà cùng định v ti gc thì đim cui ca chúng cũng trùng
nhau). Điu này được minh ha trong trường hp 2-chiu như hình v bên.
Vectơ định v ti gc được xác định hoàn toàn bi đim cui ca nó, cho nên
trong không gian n-chiu ta có mi tương quan 1-1 gia đimvectơ định v ti
gc. Như vy mt b n s có th được xem là ta độ ca mt đim
a
hay ca mt
vectơ định v ti gc
0a
, và để cho thun tin người ta viết vectơ này mt cách đơn
gin là
a hay thm chí là
a
, trong trường hp không s xy ra nhm ln.
Hai vectơ
ab
cd
được gi là song song nếu tn ti s
λ
0 sao
cho
()λ = ba d c
. Khi s
λ
là dương thì ta nói rng chúng
cùng hướng (hay
cùng chiu), và trong trường hp ngược li ta nói rng chúng ngược hướng (hay
ngược chiu) nhau.
a
b
b
-
a
0
Hình 1.1
4
Gii tích các hàm nhiu biến
Như vy, hai vectơsong song vi nhau khi và ch khi các vectơ định v ti
gc tương đẳng vi chúng
sai khác nhau mt h s (khác 0). Nghĩa là, khái nim
song song đây hoàn toàn phù hp vi nhng gì biết trong trường hp không gian
2-chiu hoc 3-chiu (trong giáo trình Hình hc gii tích).
1.1.3. Tích vô hướng
Định nghĩa. Tích vô hướng ca 2 vectơ
a
=
12
( , ,..., )
n
aa a
b
=
12
( , ,..., )
n
bb b
là mt s (ký hiu là
a
.
b
)
xác định như sau:
a
.
b
:=
11 2 2
...
nn
ab a b a b+++.
(Trong mt s giáo trình, để phân bit
tích vô hướng ca 2 vectơ vi tích thông
thường
ca 2 s, người ta còn ký hiu tích vô hướng ca 2 vectơ
a
b
là (
a
,
b
)
hay
,ab . Tuy nhiên, trong giáo trình này, khi cn phân định rõ s khác bit gia
các vectơ vi các s thông thường, chúng ta s dùng phông ch đậm để biu din
vectơ, cho nên s không xy ra s ln ln gia 2 khái nim đã nói. Vì vy, chúng ta
s s dng cách ký hiu đơn gin như đã trình bày trên, như rt nhiu tài liu nước
ngoài hin nay, và s ch s dng ký hiu <.,.> khi nào thy cn thiết).
Tính cht. T định nghĩa trên ta thy tích vô hướng ca 2 vectơ có nhng tính
cht sau:
1)
..=ab ba
;
2)
.( ) . . ( ).+= + =+ab c ab ac b ca ;
3)
(.). .(.)αα=ab ab
, vi mi s
α
;
4)
.0
aa
, và
.0=aa
khi và ch khi
a = 0
.
Chng minh
. Vic kim tra các Tính cht 1 và 3 là d dàng và dành li cho người
đọc. Ta kim tra các tính cht còn li. Đẳng thc đầu trong Tính cht 2 suy ra t
nhn xét sau
11 1 2 2 2
11 2 2 11 2 2
.( ) ( ) ( ) ... ( )
( ... ) ( ... )
nn n
nn nn
ab c a b c ab c
ab ab a b ac a c a c . .
+= + + + ++ + =
=+++ ++++ =+
ab c
ab ac
đẳng thc sau suy ra t Tính cht 1.
Phn xuôi ca Tính cht 4 có ngay t định nghĩa, còn phn ngược li thì rút ra
t nhn xét rng nếu trong b s
12
( , ,..., )
n
aa a
có mt phn t nào đó khác 0, thí
d
i
a , thì
22 22
12
....0
ni
aa aa=+++ >aa .
Các tính cht đã được kim tra xong.
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
5
Để cho thun tin người ta hay viết
2
a thay cho .aa. Lưu ý rng đây ch là quy
ước mang tính hình thc và không có liên quan gì đến phép lũy tha (hoàn toàn vô
nghĩa khi viết
3
a ). Tuy nhiên người đọc có th d dàng kim tra các “hng đẳng
thc” tương t sau đây:
22 2
() 2.+=+ +ab a abb ,
22 2
() 2. = +ab a abb .
Hai vectơ
a
b
được gi là vuông góc vi nhau nếu .0=ab .
Trong trường hp không gian 2-chiu3-chiu khái nim vuông góc đây
hoàn toàn trùng hp vi khái nim vuông góc thông thường.
1.1.4. Chun ca vectơ
B đề sau đây có tên là bt đẳng thc Schwarz và s đóng vai trò quan trng
trong lý thuyết vectơ.
B đề
(Schwarz). Vi 2 vectơ
a
,
b
ta luôn có
2
(.) (.).(.)ab aa bb .
Chng minh. Vi =a0 thì bt đẳng thc trên là hin nhiên. Khi a0 t Tính
cht 4 ta có ( , ) 0
tt++abab , vi mi s t. Suy ra
22 2
20tt++aabb
, vi mi t .
Theo định lý v du ca tam thc bc 2 (biến t) ta có:
222
() 0−≤ab a b .
Đây chính là điu cn chng minh.
Định nghĩa. Chun (hay độ dài) ca vectơ
a
, ký hiu là ||
a
||, là mt s xác định
như sau:
||
a
|| =
.aa
.
Dưới dng ta độ
thì công thc trên có nghĩa là
||
a
|| =
22 2
12
...
n
aa a+++
,
và trong trường hp không gian
2-chiu hoc 3-chiu thì nó hoàn toàn trùng hp
vi công thc tính độ dài theo định lý Pythagoras.
Rõ ràng vectơ có chun bng 0 khi và ch khi tt c các ta độ ca nó bng 0.
T b đề Schwarz, sau khi ly căn 2 vế, ta thu đưc công thc rt hay được s
dng sau này là
|(
a
.
b
)|
||
a
||.||
b
|| .
6
Gii tích các hàm nhiu biến
Ngoài ra độ dài còn có nhng tính cht quan trng sau:
Định lý
Vi s
α
và các vectơ
a
,
b
ta có
||α.
a
|| = |α|.||
a
|| ;
||
a
+
b
||
||
a
|| + ||
b
|| .
Chng minh
. Theo định nghĩa ta có
2222
|| || ( ).( ) ( . ) || ||αααα α===aaaaa a.
Ly căn 2 vế ta đưc đẳng thc cn chng minh.
Tiếp theo, t b đề Schwarz ta có
2
a
.
b
2.||
a
||.||
b
|| .
Theo định nghĩa ca chun d dàng suy ra bt đẳng thc trên tương đương vi
22
. 2 . . || || 2 || ||.|| || || ||++ ++aa ab bb a a b b .
Điu này có nghĩa là
( ).( ) (|| || || ||)
++ +
2
abab a b .
Sau khi khai căn 2 vế ta thu được điu cn chng minh.
Bt đẳng thc trong định lý trên thường được gi là
bt đẳng thc tam giác, vì v
mt hình hc nó khng định mt điu rt quen thuc là: độ dài ca mt cnh trong
tam giác không th vượt quá tng độ dài ca 2 cnh còn li.
H qu
(Định lý Pythagoras) Nếu 2 vectơ a và b vuông góc vi nhau thì
22 2
|| || || || || ||+= +ab a b .
Chng minh. Ta có
222 222
|| || ( ) || || || ||+=+=+ += +a b a b a 2a.b b a b
,
do 0
=a.b .
Ta định nghĩa khong cách gia 2 vectơ
a
b
là chun ca hiu 2 vectơ đó,
nghĩa là bng
|| || ( ).( ) = −−ab abab.
Các vectơ nói đến đây đều là
vectơ định v ti gc nên hoàn toàn được xác định
bi
đim cui. Khong cách gia 2 vectơ cũng có th được xem như khong cách
gia 2 đim cui ca chúng, và do đó ta cũng có khái nim
khong cách gia 2
đim
trong không gian n-chiu.
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
7
Vi
a
=
12
( , ,..., )
n
aa a ,
b
=
12
( , ,..., )
n
bb b ta có th viết li công thc định nghĩa
khong cách dưới dng:
22 2
11 2 2
|| || ( ) ( ) ... ( )
nn
ab a b a b = + ++ ab .
Rõ ràng, khong cách gia
a
b
là bng khong cách gia
b
a
, và hoàn toàn
trùng hp vi khái nim khong cách mà ta đã biết khi không gian là 2-chiu hoc
3-chiu. T các tính cht ca chun, ta d dàng suy ra khong cách gia 2 vectơ (2
đim) có nhng tính cht đặc trưng sau đây:
(1) || || 0−≥ab ;
(2) || || 0 =ab khi và ch khi
a = b
;
(3) || || || || = ab ba;
(4) || || || || || ||−≤+ ab ac cb.
Chng minh. Các Tính cht (1),(2),(3) là hin nhiên. Tính cht cui cùng có ngay
t bt đẳng thc tam giác, bi vì
a
-
b
= (
a
-
c
) + (
c
-
b
).
Nhn xét
. Như vy ta đã xây dng được không gian các vectơ (các đim) trên cơ
s các b n s và trang b trên đó các phép tính cng, nhân vi s, tích vô hướng
khái nim khong cách. Không gian này có tên gi là không gian Euclid n-chiu
được ký hiu là
R
n
. Đây là mt không gian có nhiu tính cht thú v và s đóng vai
trò nn tng trong sut giáo trình Gii tích các hàm nhiu biến. Sau này, khi đã làm
vic quen vi không gian
R
n
và không còn s nhm ln gia sb n s, chúng
ta có th dùng ch thường để biu th b s hay đim trong không gian nhiu chiu
(mà không nht thiết phi dùng
ch đậm
như trong mc này).
1.1.5. Ánh x tuyến tính
Phép ng
A
t không gian
R
n
vào không gian
R
m
được gi là mt ánh x
tuyến tính nếu nó có các tính cht sau đây:
(
i
)
()()(),+= + ∀∈
,
xy x y xy
A
AA R
n
;
(
ii)( ) ()λλ=xx
A
A , ∀λ∈
R
,
x
R
n
.
Ta gi các vectơ
1
(1,0,...,0)=e ,
2
(0,1,...,0)=e ,..., (0,0,...,1)
n
=e trong
R
n
các vectơ trc đơn v . D dàng thy rng mt vectơ bt k
12
( , ,..., )
n
xx=x được
biu din qua các vectơ trc đơn v bng công thc sau
(
)
(
)
(
)
12 1122
1,0,...,0 0,1,...,0 ... 0,0,...,1 ...
nnn
x
xxxxx=+++ =+++xeee
8
Gii tích các hàm nhiu biến
và do các tính cht (
i
)-(
ii
) ta suy ra nh ca
x
qua phép ánh x tuyến tính
A
s
được biu din qua nh ca các vectơ trc đơn v theo công thc sau
11 2 2
() ( ) ( ) ... ( )
nn
xx x=+ ++
x
ee eAA A A. (*)
Mi ( )
i
eA là mt phn t trong
R
m
, cho nên nó s là mt b m s, ký hiu
12
(, ,..., )
ii im
aa a . Ta thiết lp mt ma trn ch nht
A
gm m hàng và n ct, vi
các ct là các b s
()
i
eA , tc là
[
]
12
:()()...()
n
=
A
ee eAA A
, hay
11 21 1
12 22 2
12
...
...
:
... ... ... ...
...
n
n
mm nm
aa a
aa a
aa a
=
A
.
Ma trn này được gi là ma trn ca ánh x tuyến tính
A
.
Nếu ta coi mi vectơ như là mt ma trn ct thì ta có th viết
1
2
n
x
x
x
#




=





x
và, do công thc (*),
11 1 1
12 1 2
11
...
...
()
...
nn
nn
mnmn
ax ax
ax ax
ax ax
""""" ""
++
++
=
++
x
A .
Theo phép nhân các ma trn thì công thc (*) có th được viết li dưới dng đơn
gin là
()=xAx
A
. (**)
Ngược li, nếu có mt ma trn
A
(c m×n) thì ta thiết lp được mt phép ng t
không gian
R
n
vào không gian
R
m
theo công thc (**). Vi các tính cht ca phép
nhân và cng các ma trn (đã biết trong giáo trình Đại s tuyến tính), ta d thy
rng phép ng này tha mãn các điu kin (
i
)-(
ii
), cho nên nó là mt ánh x tuyến
tính. Như vy, ta có mt phép tương ng gia tp các ánh x tuyến tính (t không
gian
R
n
vào không gian
R
m
) và tp các ma trn ch nht (c m×n).
Trong trường hp riêng, khi n = m thì
A
là mt ma trn vuông (cp n) và ánh
x tương ng vi nó là mt ánh x t không gian
R
n
vào chính nó (hay còn gi là
mt phép biến đổi trong
R
n
). Ta nói ánh x tuyến tính là không suy biến nếu như
ma trn tương ng vi nó là không suy biến, tc là định thc khác 0. T giáo
trình Đại s tuyến tính ta biết rng mt ma trn vuông không suy biến có ma trn
nghch đảo, và d dàng kim tra rng ánh x tuyến tính tương ng vi ma trn
nghch đảo này là ánh x ngược ca ánh x ban đầu. Cho nên, mi phép biến đổi
không suy biến là mt song ánh.
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
9
Người ta định nghĩa chun ca ánh x tuyến tính
A
, kí hiu || ||
A
, là s xác định
như sau:
{}
|| ||: sup || ( ) ||: (0,1)B= xxAA
,
trong đó ta kí hiu B(0,1) là qu cu đơn v trong
R
n
, tc là tp hp các vectơ
độ dài (chun) không vượt quá 1.
Để ý rng vi
1
( ,..., ) (0,1)
n
xxB= x thì | | || || 1
i
x ≤≤x vi mi i = 1,...,n,
cho nên t công thc (*) ta suy ra được || ||
A
là mt s hu hn (không vượt quá
tng ca chun các nh ca n vectơ trc đơn v).
Vi mi vectơ
x
0, ta có ( / || ||xx) là vectơ nm trong qu cu đơn v, và do
tính tuyến tính ca
A
ta có:
()
1
|| ( ) || || ||
|| || || ||

==

|| ||
x
x
x
xxx
A
A
AA ,
hay là
|| ( ) || || ||.|| ||xx
A
A
.
Rõ ràng vi
x
= 0 bt đẳng thc này vn đúng, cho nên nó đúng vi mi
x
. Đây là
mt công thc quan trng, vì nó phn ánh tính liên tc ca ánh x tuyến tính trong
không gian hu hn chiu (như s thy sau này).
Các ánh x tuyến tính là đối tượng được nghiên cu k trong giáo trình Đại s
tuyến tính, cho nên trong giáo trình này ta s không đi sâu. Tuy nhiên, do vai trò quan
trng trong rt nhiu lĩnh vc, chúng s được đề cp đến nhiu hơn v khía cnh thc
hành tính toán.
Nhn xét
. Không gian
R
n
là s m rng ca các không gian 2-chiu, 3-chiu
được tha hưởng nhiu thuc tính mà ta đã quen biết t nhng năm ph thông. Tuy
nhiên, đối tượng nghiên cu ca Toán hc là vô cùng rng rãi và rt nhiu không
gian màđề cp (vi các phn t không nht thiết là các b s) thường không có
được tt c các tính cht ging như ca
R
n
. Nhng không gian ch được trang b
các phép tính cng, nhân vi s (vi các tính cht ging như trong
R
n
) được gi là
các không gian có cu trúc tuyến tínhđược nghiên cu k trong giáo trình Đại
s tuyến tính. Nhng không gian không có được cu trúc tuyến tính, nhưng li
được trang b khái nim khong cách (vi các tính cht ging như trong
R
n
) được
gi là không gian metric. Không gian này và các dng tng quát ca nó được
nghiên cu k trong lý thuyết Tôpô và là mt phn rt quan trng ca giáo trình
Gii tích hàm. Tuy nhiên, không gian metric cũng là mt công c tin li trong
10
Gii tích các hàm nhiu biến
nghiên cu hàm nhiu biến, cho nên chúng ta cn biết mt s khái nim cơ bn v
nó.
1.2. Không gian metric
1.2.1. Định nghĩa và các ví d
Định nghĩa. Không gian metric là mt tp hp E≠∅ được trang b mt phép
ng mi cp đim p,q
E vi mt s thc d(p,q) sao cho
(1) (,) 0, ,dpq pq E≥∀;
(2) (,) 0dpq p q= = ;
(3) (,) (,), ,dpq dqp pq E= ∀∈ ;
(4) (,) (,) (,), ,,d pq d pr drq pqr E + ∀∈ (bt đẳng thc tam giác).
Như vy không gian metric là mt cp (E,d), trong đó E là mt tp hp và d
mt hàm s d : E
×E
R
tha mãn các Tính cht (1)-(4). Thông thường, khi nói v
mt không gian metric nào đó vi hàm d mà mi người đều hiu là gì ri thì người
ta ch dùng tp E để biu th thay cho c cp (E,d). Điu này tuy không đúng v
mt logic, nhưng li thun tin cho nên được mi người chp nhn.
S d(p,q) được gi là khong cách gia 2 đim p, q, và hàm d được gi là hàm
khong cách hay là metric.
Thí d 1. Vi E =
R
n
và hàm d được định nghĩa như sau
22
11
()|| || ( ) ...( )
nn
dbaba= = ++ a,b a b
thì t các tính cht ca khong cách trong
R
n
ta suy ra cp (
R
n
,d) là mt không
gian metric. Nó s là mt không gian metric đin hình trong giáo trình này, và
metric xác định như trên s được coi là metric thông thường trên
R
n
.
Trong trường hp đặc bit, khi n = 1, ta có trc s thc
R
cũng là mt không
gian metric vi định nghĩa khong cách gia hai s là giá tr tuyt đối ca hiu ca
chúng.
Thí d 2. Vi E =
R
n
và hàm d được định nghĩa như sau
11
( , ) | | ... | |
nn
dbaba= ++ ab
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
11
thì cp (
R
n
,d) cũng là mt không gian metric (người đọc t kim tra như mt bài
tp).
Thí d 3.
Vi E =
R
n
ta định nghĩa hàm d như sau
{}
( , ) max | | , 1,2,...,
ii
dbain= =ab
thì cũng d dàng thy rng cp (
R
n
,d) là mt không gian metric (người đọc t kim
tra như mt bài tp).
Thí d 4. Khi (E,d) là mt không gian metric thì mi tp con
1
EE cùng vi thu
hp ca d trên
1
E ×
1
E cũng to thành mt không gian metric, được gi là không
gian metric con ca E và thường được ký hiu là (
1
E ,d).
Thí d 5.
Vi E là mt tp bt k, ta định nghĩa
0 khi ,
(,)
1khi .
p
q
dpq
p
q
=
=
Rõ ràng d tha mãn mi điu kin ca mt hàm khong cách và cp (E,d) là mt
không gian metric. Tuy nhiên không gian này có cu trúc đơn gin ti mc chng
cung cp cho ta mt thông tin đáng k nào. Cho nên phương pháp xác định hàm
khong cách s là yếu t thc s đem li cu trúc cho mt không gian metric.
Mnh đề. Vi các đim
12
, ,...,
n
p
p p trong không gian metric E ta luôn có
11223 1
( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )
nnn
dp p dp p dp p dp p
+++
.
Chng minh
. Suy t vic áp dng bt đẳng thc tam giác lp li n-1 ln
112212233
(,) (,) (,) (,) (,) (,)...
nn n
dppdppdppdppdppdpp + ++
Mnh đề
. Vi các đim
123
,,
p
pp trong không gian metric E ta luôn có
13 23 12
|( , ) ( , )| ( , )dp p dp p dp p−≤
.
(Nghĩa là: Hiu ca 2 cnh trong tam giác luôn nh hơn cnh còn li).
Chng minh. T bt đẳng thc tam giác ta có
13 12 23
(, ) (, ) ( , )dp p dp p dp p +
23 21 13
(,) (,) (,)dp p dp p dp p +
.
Các bt đẳng thc này có th viết li thành
13 23 12
(, ) ( , ) (, )dp p dp p dp p−≤
23 13 12
(,) (,) (,)dp p dp p dp p−≤
,
chính là điu cn chng minh.
12
Gii tích các hàm nhiu biến
1.2.2. Tp đóng và tp m trong không gian metric
Ta đã biết khái nim v tp đóngtp m trong
R
. Mt cách tương t, ta có
th định nghĩa khái nim này trong không gian metric (nói chung) và trong
R
n
(nói
riêng). Trước hết ta đưa ra định nghĩa qu cu trong không gian metric.
Qu cu m
trong không gian metric (E,d) vi tâm ti
p
E và bán kính
0
r > là tp hp
(,):{ :(,) }Bpr q Edpq r= < .
Qu cu đóng
trong không gian metric (E,d) vi tâm ti
p
E và bán kính
0r > là tp hp
(,):{ :(,) }Bpr q Edpq r= ∈≤
.
Khi ta không ch rõ tâm và bán kính thì ta ch cn nói
qu cu thay cho vic nói
qu cu vi tâm là mt đim nào đó và vi bán kính là mt s dương nào đó.
Thí d. Vi E =
R
3
và vi metric thông thường thì khái nim qu cu như trên
hoàn toàn trùng hp vi qu cu theo ngôn ng đời thường, còn vi metric như
trong Thí d 3 thì
qu cu s là mt hình lp phương (theo ngôn ng đời thường).
Qu cu thông thường không k phn mt cu thì là
qu cu m, và nếu k
c mt cu thì là
qu cu đóng.
Vi
E =
R
2
và vi metric thông thường thì qu cu là mt hình tròn, còn vi
metric như trong Thí d 3 thì qu cu là mt hình vuông (theo ngôn ng thông
thường). Hình tròn không k vòng tròn bao quanh thì là hình tròn m, và nếu k c
vòng tròn bao quanh thì là
hình tròn đóng.
Vi
E =
R
thì qu cu m chính là mt khongqu cu đóng chính là mt
đon. Ngược li, mt khong (a,b) bt k luôn có th được xem là mt qu cu m
vi tâm ti đim
2
ab
p
+
=
và bán kính
2
ba
r
=
, vì
||
222 22
ab ab ba ab ba
axb x x
+ +
<< < < ⇔− < .
Tương t như vy đối vi đon.
Định nghĩa.
Tp con S trong không gian metric E được gi là
m
nếu, vi
mi
p
S , tp này cha c mt qu cu tâm p (vi bán kính nào đó).
Rõ ràng, khi E =
R
, khái nim tp m đây hoàn toàn trùng hp vi khái
nim tp m mà ta đã đưa ra trước đây (trong giáo trình Gii tích mt biến). Khái
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
13
nim tp m (hay không m) ch có nghĩa khi nó là mt tp con trong không gian
metric.
Mnh đề. Trong không gian metric E bt k ta luôn có
(1) Tp rng là m ;
(2) C không gian E là m ;
(3) Hp ca mt h (bt k) tp m là mt tp m ;
(4) Giao ca mt h hu hn tp m là mt tp m .
Chng minh
. Phn (1) là hin nhiên, vì tp rng không cha đim nào nên nó
chng phi cha qu cu nào. Phn (2) cũng là rõ ràng vì mi qu cu đều nm
trong E, nghĩa là E cha mi qu cu vi tâm bt k đim nào. Phn (3) d dàng
suy ra t định nghĩa, vì mt tp nào đó trong hđã cha mt qu cu thì hp
ca c h t phi cha qu cu đó. Ta ch còn phi chng minh phn còn li.
Trường hp giao ca h các tp m
i
S (i=1,2,...,N) là mt tp rng thì Phn
(1) cho ta điu cn chng minh.
Trường hp giao ca h các tp m
i
S (i=1,2,...,N) là mt tp S khác rng thì
vi mi đim
1
:
=
=
N
i
i
p
SS
ta s ch ra rng tìm được qu cu tâm p nm gn
trong S. Tht vy, do mi tp
i
S
là m
i
p
S , ta tìm được qu cu tâm p bán
kính
i
r nm gn trong
i
S . Ly
12
min{ , ,..., }
N
rrrr= , ta d dàng thy rng qu cu
tâm p vi bán kính r nm trong qu cu tâm p bán kính
i
r
(và do đó nm gn
trong
i
S ), vi mi 1,2,...,iN= . Điu này chng t qu cu tâm p bán kính r nm
trong giao ca tt c các tp
i
S , nghĩa là nó nm trong S và mnh đề đã được
chng minh xong.
Nhn xét.
Trong giáo trình Gii tích mt biến chúng ta đã biết tôpô trên trc s
thc là mt
h các tp con tha mãn các điu kin tương t như h tp mu
trong mnh đề trên. D dàng thy rng khái nim
tôpô này có th m rng ra cho
tp bt k, và mt tp hp có
tôpô được gi là mt không gian tôpô. Như vy,
mnh đề trên nói rng
không gian metric là mt không gian tôpô (vi tôpô là h
các tp m).
Để gii ta mi băn khoăn v s “xung khc có th xy ra” gia 2 khái nim
m (qu cu mtp m), ta có mnh đề sau
Mnh đề. Qu cu m trong không gian metric là mt tp m.
Chng minh. Cho qu cu m bt k B(p,r). Ly đim q bt k trong B(p,r), ta ch
ra rng tn ti qu cu có tâm ti
q (vi bán kính nào đó) nm gn trong B(p,r).
Tht vy, do
q nm trong B(p,r) nên d(p,q) < r. Ly s dương ( , )
s
rdpq< ta
(,) (,)
Bqs B pr
, vì rng
14
Gii tích các hàm nhiu biến
(,) (,) (,) (,) (,)dqxs dpxdpqdqxdpqsr< ⇒≤+< +<.
Mnh đề đã được chng minh xong.
Như vy đối vi qu cu thì 2 khái nim m thc cht ch là mt.
Nhn xét. T 2 mnh đề trên ta thy rng tp m chính là hp ca các qu cu m.
Tht vy, hp ca các qu cu m cho ta mt tp m. Ngược li, mt tp m có th
xem là hp ca tt c các qu cu nm trong nó (mi đim ca tp m đều nm
trong mt qu cu như vy, nên hp ca tt c các qu cu này đương nhiên cha
tt c các đim ca tp).
Lưu ý. Giao ca mt h hn các tp m không nht thiết là mt tp m. Thí d,
trong không gian
R
n
, giao ca h các qu cu m
1
(,)
Bp
n
vi n=1,2,3,.., ch
mt đim
p đơn độc và không phi là tp m.
Định nghĩa. Mt tp con S trong không gian metric E được gi là đóng nếu
như phn bù ca nó là mt tp m.
Nhc li rng phn bù ca mt tp con S trong không gian E C(S)=E \ S .
Để tránh ni băn khoăn v sxung khc có th xy” ra gia 2 khái nim
đóng đối vi
qu cu (
qu cu đóngtp đóng) ta có mnh đề sau đây khng định rng v thc
cht chúng ch là mt.
Mnh đề
. Qu cu đóng trong không gian metric là mt tp đóng.
Chng minh. Ly qu cu đóng bt k (,)Bpr, ta chng minh rng phn bù ca
nó là mt tp m. Rõ ràng phn bù ca nó là
[(,)] { :(,) }CB pr x E d px r= > .
Nếu nó
rng thì đương nhiên nó là m. Khi nó khác rng, ta ly mt đim q bt k
trong
[(,)]CBpr và ch ra rng có qu cu tâm ti q nm hoàn toàn
trong
[(,)]CBpr . Tht vy, do [(,)]qCBpr nên ( , )dpq r> và ta tìm đưc s
dương ( , )
s
dpq r< . D dàng kim tra rng (,) [ ( ,)]Bqs CB pr , bi vì
(,) (,) (,) (,) (,) (,)
x
Bqs dqx dpq r dpx dpq dqx r∈⇒< −⇒ > .
Mnh đề được chng minh xong.
Tương t như đối vi các tp m, ta có
Mnh đề
. Trong không gian metric E bt k ta luôn có
(1) C không gian E là mt tp đóng ;
(2) Tp rng là mt tp đóng ;
(3) Giao ca mt h (bt k) tp đóng là mt tp đóng ;
(4) Hp ca mt h hu hn tp đóng là mt tp đóng .
Chương 1. Không gian
R
n
và không gian metric
15
Chng minh. Các phn (1)-(2) suy ngay t mnh đề tương t đối vi tp m. Các
phn (3)-(4) cũng suy t mnh đề y kết hp vi mt kết qu đã biết trong lý
thuyết tp hp là:
Phn bù ca hp các tp là giao ca các phn bù ca các tp
này; và
phn bù ca giao các tp là hp ca các phn bù ca các tp này.
Nhn xét
. D dàng thy rng phn bù ca mt đim là mt tp m, cho nên mi
đim là mt tp đóng; và t mnh đề trên suy ra tp hp gm hu hn đim là mt
tp đóng. Mt cu (,):{ :(,) }
Spr x Edpx r= = có th xem là giao ca qu cu
đóng
vi phn bù ca qu cu m (là mt tp đóng) cho nên nó cũng là mt tp
đóng.
Mt tp con trong không gian metric được gi là
gii ni
nếu nó nm trong
mt qu cu nào đó.
Thí d
.Trong
R
vi metric thông thường, mt tp là gii ni nếu tn ti s r > 0 để
đon [-
r,r] cha trn tp y. Dĩ nhiên toàn b không gian
R
không phi là gii ni.
Thế nhưng nếu xét
E =
R
vi metric như trong Thí d 5 mc trước thì
R
li là tp
gii ni.
1.2.3. Hi t trong không gian metric
S hi t trong không gian metric nói chung cũng tương t như s hi t trên
trc s thc mà ta đã quen biết, nếu ta coi mi khong là mt qu cu và khong
cách gia 2 s là tr tuyt đối ca hiu ca chúng. Chính xác hơn ta có định nghĩa
sau:
Định nghĩa. Dãy các đim
123
, , ,...p p p trong không gian metric E được gi là
hi t
đến đim p E nếu, vi mi s 0
ε
> , tìm được s t nhiên N sao cho
(, )
n
dpp ε< khi
nN>
.
Khi y ta cũng nói rng
pgii hn ca dãy {}
n
p, hay dãy { }
n
p có gii hn là
p.
Và viết
lim
n
n
p
p
→∞
=
.
Mt dãy được gi là hi t nếu nó hi t đến mt đim nào đó.
Nếu ta gi qu cu tâm p bán kính
ε là mt ε-lân cn ca đim p thì định
nghĩa trên có th phát biu như sau:
Dãy các đim
123
, , ,...ppp
trong không gian metric E được gi là hi t đến
đim
p
E nếu, vi mi s 0
ε
> , tìm được s t nhiên N để mi
n
p
vi n N>
đều nm trong
ε-lân cn ca p.
| 1/352

Preview text:


bé s¸ch to¸n häc cao cÊp - viÖn to¸n häc §inh ThÕ Lôc Ph¹m Huy §iÓn T¹ Duy Ph−îng
Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn
Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh
nhµ xuÊt b¶n ®¹i häc quèc gia hµ néi Héi §ång biªn tËp
Hµ Huy Kho¸i (Chñ tÞch) Ng« ViÖt Trung
Ph¹m Huy §iÓn
(Th− ký) Gi¶i tÝch c¸c hµm nhiÒu biÕn Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n vµ tÝnh to¸n thùc hµnh §inh ThÕ Lôc Ph¹m Huy §iÓn T¹ Duy Ph−îng
Bé s¸ch To¸n häc cao cÊp - ViÖn To¸n häc Lời nói đầu
uốn sách này có thể xem là tập tiếp theo của giáo trình giải tích các hàm
số một biến, đã được Nhà xuất bản Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa

C đề "Giải tích Toán học: Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành".
Trong giáo trình đó chúng ta đã khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số và các
phép tính vi tích phân trong không gian một chiều (trục số thực). Trong tập tiếp
theo này các đối tượng trên sẽ được khảo sát trong không gian nhiều chiều, và đó
chính là sự khác biệt cơ bản giữa hai giáo trình. Để xây dựng các phép tính vi tích
phân trong không gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc của những
không gian này. Chương 1 đề cập tới hai cấu trúc quan trọng nhất của không gian
nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính và cấu trúc khoảng cách, thông qua một ví dụ điển hình là không gian n

\ . Để giáo trình mang tính độc lập nhất định, không gian này
được xây dựng trực tiếp, mà không dựa vào khái niệm không gian tuyến tính tổng
quát trong giáo trình Đại số tuyến tính. Để tránh cồng kềnh, các khái niệm và kết
quả của chương này được chọn lọc tới mức tối thiểu từ 3 môn Đại số tuyến tính,
Tôpô và Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho những chương sau, đồng thời dẫn dắt
người học làm quen với những bộ môn quan trọng đó. Các chương từ 2 đến 7
không chỉ thiết lập trong không gian nhiều chiều những gì đã biết trong Giải tích
một biến mà còn đưa ra những khái niệm mới chỉ xuất hiện trong không gian nhiều
chiều. Chương 8 trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và phép biến đổi
tích phân Fourier. Chương cuối cùng giới thiệu sơ lược về hệ phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng. Hai chương sau này nhằm mục đích củng cố
những kiến thức về vi tích phân đã học trong những chương trước, rèn luyện kỹ
năng tính toán thực hành và trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu các môn học
khác như Vật lý, Cơ học, Sinh học,...

Nếu như các khái niệm, kết quả chứng minh trong Giải tích một biến có tính
trực quan cao, dễ hiển thị, thì sang không gian nhiều chiều tính trừu tượng đã tăng
lên rõ rệt. Tuy nhiên, cái đẹp của Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của
Toán học nằm trong sự cụ thể. Để hiểu rõ hai mặt ấy của Toán học đồng thời
nhằm rèn luyện phương pháp suy luận toán học cho sinh viên, trong giáo trình này
hai cách tiếp cận thường được sử dụng đan xen nhau: đó là cách đi từ cụ thể tới
trừu tượng và ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo từng khái niệm, từng
định lý. Mỗi khi các kết quả được phát biểu và chứng minh trong không gian tổng
quát n chiều, thì người đọc có thể hạn chế trong trường hợp n=2 hoặc n=3 để hiểu
dễ dàng và thấu đáo hơn. Trong tài liệu này, chúng tôi cố gắng đưa vào các chứng
minh đầy đủ của những định lý lớn và “hóc búa” thường bị né tránh trong các
giáo trình hiện hành. Những chứng minh này là khó nhưng chứa đựng các phương
pháp suy luận điển hình rất cần cho việc rèn luyện tư duy (nhất là đối với học sinh
cao học và những ai muốn đi sâu hơn vào lĩnh vực Giải tích Toán học). Người đọc
i
không cần nhớ chi tiết, mà chỉ cần hiểu được các chứng minh này đã được xem là đạt yêu cầu.
Việc minh hoạ và tính toán trong không gian nhiều chiều vốn là một vấn đề
khó vì không mấy khi có thể thực hiện được bằng thủ công, nhất là về các chủ đề:
Vẽ đồ thị trong không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều
biến, tính toán các biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng,...
Cái khó ở đây bắt đầu ngay từ việc tìm sao cho ra một ví dụ có thể xử lý được.
Chính vì vậy, lĩnh vực này luôn luôn là mơ hồ đối với hầu hết mọi học viên (từ đại
học đến cao học). Nhằm xoá bỏ tình trạng này, chúng tôi mạnh dạn đưa vào giáo
trình phần hướng dẫn tính toán thực hành trên máy, ngay sau mỗi chương lý
thuyết. Qua đây người đọc sẽ thấy rằng ngày nay, với máy tính và phần mềm toán
học thông dụng (có sẵn trên thị trường và trên Internet), chỉ bằng những dòng lệnh
đơn giản tương tự như ngôn ngữ toán học thông thường, người ta có thể "sờ thấy
được" những gì mà trước đây không thể nào hình dung ra nổi. Nếu chưa có sẵn
các chương trình tính toán trên máy cá nhân, người đọc có thể truy cập tới một số
trung tâm cung cấp dịch vụ tính toán qua mạng (thường là miễn phí) để có thể thực
hành tính toán được ngay (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với các tác giả để biết
thêm thông tin chi tiết). Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính,
việc đọc phần này vẫn rất có tác dụng, vì sẽ biết được cơ chế giao tiếp giữa người
với máy và biết được những gì máy tính có thể thay thế con người trong quá trình
tính toán. Quan trọng hơn, qua các ví dụ minh hoạ về tính toán trên máy trình bày
trong sách, người học sẽ nắm được kiến thức toán học một cách sâu sắc hơn, do
tiếp cận được tới những điều mà trước đây tưởng như là không thể. Khi không còn
bị mặc cảm bởi những bài toán hóc búa, người ta sẽ thấy toán học không còn là
huyền bí và tự tin trong việc đón nhận những bài toán khó nảy sinh từ thực tiễn sản xuất.

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ là một cẩm nang tốt cho những ai
muốn hiểu sâu sắc về Giải tích toán học nói chung, và về giải tích các hàm số
nhiều biến nói riêng. Do đó, nó sẽ là hữu ích đối với các học sinh cao học, cũng
như thầy và trò các trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật,...

Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà
Nội) và giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đã đọc rất kỹ bản thảo và đã cho
những nhận xét quý báu. Việc trình bầy một chủ đề phức tạp sẽ không thể tránh
khỏi những sai sót, cho nên chúng tôi mong tiếp tục nhận được sự phê bình, góp ý
của các đồng nghiệp và học viên gửi về theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội.
CÁC TÁC GIẢ ii Chương 1 Không gian Rn & Không gian metric
1.1. Không gian Rn........................................................................................................ 1
1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều......................................................................................... 2
1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều........................................................................................ 3
1.1.3. Tích vô hướng ................................................................................................................... 4
1.1.4. Chuẩn của vectơ ................................................................................................................ 5
1.1.5. Ánh xạ tuyến tính .............................................................................................................. 7
1.2. Không gian metric............................................................................................... 10
1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ................................................................................................... 10
1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric ................................................................. 12
1.2.3. Hội tụ trong không gian metric ....................................................................................... 15
1.2.4. Tính đầy đủ trong không gian metric .............................................................................. 17
1.2.5. Tính compact trong không gian metric ........................................................................... 19
1.2.6. Ánh xạ trong không gian metric...................................................................................... 24
1.2.7. Không gian siêu metric ................................................................................................... 27
1.1. Không gian Rn
Trong giáo trình này chúng ta sẽ làm việc trên không gian Rn - một ví dụ rất
đặc biệt của không gian n-chiều. Để giáo trình có được tính độc lập nhất định,
chúng tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn việc xây dựng không gian Rn. Độc giả
nào quan tâm đến lý thuyết không gian n-chiều nói chung xin xem trong các giáo
trình Đại số tuyến tính. Độc giả nào đã học qua giáo trình Đại số tuyến tính có thể bỏ qua phần này. 2
Giải tích các hàm nhiều biến
1.1.1. Điểm trong không gian n-chiều Ta
đã quen thuộc với cách dùng một số để biểu diễn một điểm trên đường
thẳng (khi trên đường thẳng đó cho sẵn đơn vị dài). Ta cũng đã biết việc dùng một
cặp 2 số (x,y) để biểu diễn một điểm trong mặt phẳng có hệ tọa độ Descartes.
Tương tự như vậy, người ta sử dụng một bộ 3 số (x,y,z) để biểu diễn một điểm trong không gian.
Đường thẳng còn được gọi là không gian 1-chiều, mặt phẳng còn được gọi là
không gian 2-chiều, và không gian vật lý xung quanh ta còn được gọi là không
gian 3-chiều. Như vậy, một số biểu diễn một điểm trong không gian 1-chiều, một
cặp 2 số biểu diễn điểm trong không gian 2-chiều, và một bộ 3 số biểu diễn một
điểm trong không gian 3-chiều. Tuy rằng, ta không thể cho được minh họa hình
học của cách biểu diễn điểm trong không gian có số chiều lớn hơn 3, nhưng bằng
cách khái quát hóa, người ta có thể dùng một bộ n số để biểu diễn một điểm trong
không gian n-chiều. Không gian n-chiều với n ≥ 4 không phải chỉ là sự tưởng
tượng và khái quát hóa của các nhà toán học, mà chúng thật sự tồn tại trong vật lý,
kinh tế, xã hội... Thí dụ để biểu diễn nhiệt độ tại một điểm trong không gian xung
quanh ta thì ngoài 3-chiều thông thường ta phải thêm một chiều thời gian. Hoặc để
biểu diễn tình trạng sức khỏe của một người nào đó ta phải dùng bộ nhiều số: chiều
cao, trọng lượng, vòng ngực, huyết áp, độ thính, tầm nhìn... Chính xác hơn, với số
tự nhiên n cho trước, ta có:
Định nghĩa. Một điểm trong không gian n-chiều là một bộ n số có thứ tự ( 1 x , 2 x ,..., x ) n .
Người ta thường ký hiệu một điểm trong không gian n-chiều bằng một chữ đậm, thí dụ
như x, và viết x = ( 1 x , 2 x ,..., x ) n . Số i
x trong bộ số này được gọi là tọa độ thứ i của điểm x.
Giả sử có 2 điểm trong cùng một không gian n-chiềua = ( 1 a , 2 a ,...,a )
n b = ( 1 b , 2 b ,...,b ) n ,
ta định nghĩa tổng của chúng (a+b) là một điểm trong không gian n-chiều với các tọa độ là ( + + + 1 a 1 b , 2 a 2 b ,...,a b ) n n ,
và ta định nghĩa tích của điểm a với một số λ là một điểm với các tọa độ là (λ λ λ 1 a , 2 a ,..., a ) n .
Thí dụ. Trong không gian 3-chiều, với a = (1,3,5), b = (2,0,1), λ = 7, ta có
a+b = (3,3,6) và λa = (7,21,35).
Người ta ký hiệu 0 là điểm (trong không gian n-chiều) có tất cả các tọa độ
bằng 0 (tức là 0 = (0,0,...,0)) và gọi nó là điểm gốc, còn -a là điểm (-1)a (tức là
điểm có các tọa độ ngược dấu với các tọa độ điểm a). Khi ấy dễ dàng kiểm tra rằng
các phép tính trên thỏa mãn các luật sau:
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 3
(1) (a + b) + c = a + (b + c) ;
(2) a + b = b + a ;
(3) λ(a + b) = λa + λb ;
(4) (λ + µ)a = λa + µa và (λµ)a = λ(µa) , với mọi số λ, µ;
(5) 0 + a = a + 0 = a với mọi a ;
(6) 1.a = aa + (-a) = 0 .
Từ đây người ta cũng quy ước viết a - b thay cho a +(- b) .
Chứng minh các đẳng thức trên là dễ dàng, người đọc có thể tự làm như các
bài tập. Để làm thí dụ, chúng ta chứng minh đẳng thức (3). Theo
định nghĩa a + b = ( + + 1 a 1 b ,...,a b ) n n , nên
λ(a + b) = (λ( + λ + = λ + λ λ + λ = λa + λ 1 a 1 b ),..., (a b )) ( 1 a 1 b ,..., a b ) n n n n b .
1.1.2. Vectơ trong không gian n-chiều
Người ta gọi mỗi cặp điểm a, b trong không gian n-chiều là một vectơ buộc
(hay vectơ định vị) trong không gian n-chiều.
Vectơ xác định bởi cặp điểm a, b được ký b
hiệu là ab . Người ta gọi ađiểm đầu, b a
điểm cuối, và còn gọi ab là vectơ định vị tại a. b-a Hai
vectơ ab cd được gọi là tương
đẳng nếu chúng thỏa mãn điều kiện
b a = d c . 0 Theo
định nghĩa đó, vectơ ab là tương Hình 1.1
đẳng với vectơ định vị tại gốc 0 và có điểm cuối là b-a. Rõ ràng, chỉ có duy nhất
một vectơ định vị tại gốc tương đẳng với một vectơ cho trước (vì dễ thấy rằng nếu
2 vectơ tương đẳng mà cùng định vị tại gốc thì điểm cuối của chúng cũng trùng
nhau). Điều này được minh họa trong trường hợp 2-chiều như hình vẽ bên.
Vectơ định vị tại gốc được xác định hoàn toàn bởi điểm cuối của nó, cho nên
trong không gian n-chiều ta có mối tương quan 1-1 giữa điểmvectơ định vị tại
gốc
. Như vậy một bộ n số có thể được xem là tọa độ của một điểm a hay của một
vectơ định vị tại gốc 0a , và để cho thuận tiện người ta viết vectơ này một cách đơn
giản là a hay thậm chí là a, trong trường hợp không sợ xảy ra nhầm lẫn. Hai
vectơ ab cd được gọi là song song nếu tồn tại số λ ≠ 0 sao
cho b a = λ(d c) . Khi số λ là dương thì ta nói rằng chúng cùng hướng (hay
cùng chiều), và trong trường hợp ngược lại ta nói rằng chúng ngược hướng (hay
ngược chiều) nhau. 4
Giải tích các hàm nhiều biến
Như vậy, hai vectơ là song song với nhau khi và chỉ khi các vectơ định vị tại
gốc tương đẳng với chúng sai khác nhau một hệ số (khác 0). Nghĩa là, khái niệm
song song ở đây hoàn toàn phù hợp với những gì biết trong trường hợp không gian
2-chiều hoặc 3-chiều (trong giáo trình Hình học giải tích). 1.1.3. Tích vô hướng
Định nghĩa. Tích vô hướng của 2 vectơ a = ( 1 a , 2 a ,...,a )
n b = ( 1 b , 2 b ,...,b ) n
là một số (ký hiệu là a.b ) xác định như sau:
a.b := + + + 1 a 1 b 2 a 2 b ... n a n b .
(Trong một số giáo trình, để phân biệt tích vô hướng của 2 vectơ với tích thông
thường
của 2 số, người ta còn ký hiệu tích vô hướng của 2 vectơ a b là (a,b)
hay a,b . Tuy nhiên, trong giáo trình này, khi cần phân định rõ sự khác biệt giữa
các vectơ với các số thông thường, chúng ta sẽ dùng phông chữ đậm để biểu diễn
vectơ, cho nên sẽ không xảy ra sự lẫn lộn giữa 2 khái niệm đã nói. Vì vậy, chúng ta
sẽ sử dụng cách ký hiệu đơn giản như đã trình bày trên, như rất nhiều tài liệu nước
ngoài hiện nay, và sẽ chỉ sử dụng ký hiệu <.,.> khi nào thấy cần thiết).
Tính chất. Từ định nghĩa trên ta thấy tích vô hướng của 2 vectơ có những tính chất sau:
1) a.b = . b a ;
2) a.(b + c) = . a b + .
a c = (b + c).a ; 3) ( .
α a).b = .
α (a.b) , với mọi số α ;
4) a.a ≥ 0 , và a.a = 0 khi và chỉ khi a = 0.
Chứng minh. Việc kiểm tra các Tính chất 1 và 3 là dễ dàng và dành lại cho người
đọc. Ta kiểm tra các tính chất còn lại. Đẳng thức đầu trong Tính chất 2 suy ra từ nhận xét sau .(
a b + c) = + + + + + + = 1 a ( 1 b 1 c ) 2 a ( 2 b 2
c ) ... a (b c ) n n n = ( + + + + + + + = a b + 1 a 1 b 2 a 2 b ... a b ) ( n n 1 a 1 c 2 a 2 c ... a c ) n n . a.c
và đẳng thức sau suy ra từ Tính chất 1.
Phần xuôi của Tính chất 4 có ngay từ định nghĩa, còn phần ngược lại thì rút ra
từ nhận xét rằng nếu trong bộ số ( 1 a , 2 a ,...,a )
n có một phần tử nào đó khác 0, thí dụ là i a , thì 2 2 2 2
a.a = + + + ≥ > 1 a 2 a ... a a 0 n i .
Các tính chất đã được kiểm tra xong.
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 5
Để cho thuận tiện người ta hay viết 2 a thay cho .
a a . Lưu ý rằng đây chỉ là quy
ước mang tính hình thức và không có liên quan gì đến phép lũy thừa (hoàn toàn vô nghĩa khi viết 3
a ). Tuy nhiên người đọc có thể dễ dàng kiểm tra các “hằng đẳng
thức” tương tự sau đây: 2 2 2
(a + b) = a + 2 .
a b + b , 2 2 2
(a b) = a − 2a.b + b . Hai
vectơ ab được gọi là vuông góc với nhau nếu a.b = 0 . Trong
trường hợp không gian 2-chiều3-chiều khái niệm vuông góc ở đây
hoàn toàn trùng hợp với khái niệm vuông góc thông thường. 1.1.4. Chuẩn của vectơ
Bổ đề sau đây có tên là bất đẳng thức Schwarz và sẽ đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết vectơ.
Bổ đề (Schwarz). Với 2 vectơ a, b ta luôn có 2
(a.b) ≤ ( . a a).( . b b) .
Chứng minh. Với a = 0 thì bất đẳng thức trên là hiển nhiên. Khi a 0 từ Tính
chất 4 ta có (ta + b,ta + b) ≥ 0 , với mọi số t. Suy ra 2 2 2
a t + 2a t
b + b ≥ 0 , với mọi t .
Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 (biến t) ta có: 2 2 2
(ab) − a b ≤ 0 .
Đây chính là điều cần chứng minh.
Định nghĩa. Chuẩn (hay độ dài) của vectơ a, ký hiệu là ||a||, là một số xác định như sau: ||a|| = . a a .
Dưới dạng tọa độ thì công thức trên có nghĩa là ||a|| = 2 2 2 + + + 1 a 2 a ... n a ,
và trong trường hợp không gian 2-chiều hoặc 3-chiều thì nó hoàn toàn trùng hợp
với công thức tính độ dài theo định lý Pythagoras.
Rõ ràng vectơ có chuẩn bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các tọa độ của nó bằng 0.
Từ bổ đề Schwarz, sau khi lấy căn 2 vế, ta thu được công thức rất hay được sử dụng sau này là
|(a.b)| ≤ ||a||.||b|| . 6
Giải tích các hàm nhiều biến
Ngoài ra độ dài còn có những tính chất quan trọng sau: Định lý
Với số α và các vectơ a, b ta có
||α.a|| = |α|.| a|| ;
||a+b|| ≤ ||a|| + ||b|| .
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có 2 2 2 2
|| αa | = (αa).(αa) = α (a.a) = α || a || .
Lấy căn 2 vế ta được đẳng thức cần chứng minh.
Tiếp theo, từ bổ đề Schwarz ta có
2a.b ≤ 2.||a||.||b| .
Theo định nghĩa của chuẩn dễ dàng suy ra bất đẳng thức trên tương đương với 2 2
a.a + 2a.b + . b b
≤ || a || +2 | a | .| b | + || b | . Điều này có nghĩa là
( + ).( + ) ≤ (|| || + | ||)2 a b a b a b .
Sau khi khai căn 2 vế ta thu được điều cần chứng minh.
Bất đẳng thức trong định lý trên thường được gọi là bất đẳng thức tam giác, vì về
mặt hình học nó khẳng định một điều rất quen thuộc là: độ dài của một cạnh trong
tam giác không thể vượt quá tổng độ dài của 2 cạnh còn lại.
Hệ quả (Định lý Pythagoras) Nếu 2 vectơ a và b vuông góc với nhau thì 2 2 2
|| a + b || |
= a || + || b || . Chứng minh. Ta có 2 2 2 2 2 2
|| a + b || = (a + b) = a + 2a.b + b ||
= a || + || b || , do 0 a.b = . Ta
định nghĩa khoảng cách giữa 2 vectơ a b là chuẩn của hiệu 2 vectơ đó, nghĩa là bằng
|| a b || =
(a b).(a b) .
Các vectơ nói đến ở đây đều là vectơ định vị tại gốc nên hoàn toàn được xác định
bởi điểm cuối. Khoảng cách giữa 2 vectơ cũng có thể được xem như khoảng cách
giữa 2 điểm cuối của chúng, và do đó ta cũng có khái niệm khoảng cách giữa 2
điểm
trong không gian n-chiều.
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 7 Với a = ( 1 a , 2 a ,...,a )
n , b = ( 1 b , 2 b ,...,b )
n ta có thể viết lại công thức định nghĩa
khoảng cách dưới dạng: 2 2 2
|| a b || = ( − + − + + − 1 a 1 b ) ( 2 a 2 b ) ... (a b ) n n .
Rõ ràng, khoảng cách giữa a b là bằng khoảng cách giữa b a, và hoàn toàn
trùng hợp với khái niệm khoảng cách mà ta đã biết khi không gian là 2-chiều hoặc
3-chiều. Từ các tính chất của chuẩn, ta dễ dàng suy ra khoảng cách giữa 2 vectơ (2
điểm) có những tính chất đặc trưng sau đây:
(1) || a b || ≥ 0 ;
(2) || a b | = 0 khi và chỉ khi a = b ;
(3) || a b || = || b a || ;
(4) || a b || ≤ || a c || + || c b || .
Chứng minh. Các Tính chất (1),(2),(3) là hiển nhiên. Tính chất cuối cùng có ngay
từ bất đẳng thức tam giác, bởi vì a - b = (a - c) + (c - b).
Nhận xét. Như vậy ta đã xây dựng được không gian các vectơ (các điểm) trên cơ
sở các bộ n số và trang bị trên đó các phép tính cộng, nhân với số, tích vô hướng
khái niệm khoảng cách. Không gian này có tên gọi là không gian Euclid n-chiều
được ký hiệu là Rn. Đây là một không gian có nhiều tính chất thú vị và sẽ đóng vai
trò nền tảng trong suốt giáo trình Giải tích các hàm nhiều biến. Sau này, khi đã làm
việc quen với không gian Rn và không còn sự nhầm lẫn giữa sốbộ n số, chúng
ta có thể dùng chữ thường để biểu thị bộ số hay điểm trong không gian nhiều chiều
(mà không nhất thiết phải dùng chữ đậm như trong mục này).
1.1.5. Ánh xạ tuyến tính Phép
ứng A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là một ánh xạ
tuyến tính nếu nó có các tính chất sau đây:
(i) A(x + y) = A(x) + A(y) , ∀x, y ∈ Rn ;
(ii) Ax) = λA(x) , ∀λ∈ R , ∀x∈Rn . Ta
gọi các vectơ e = e = e = 1
(1,0,...,0) , 2 (0,1,...,0) ,..., (0,0,...,1) n trong Rn là
các vectơ trục đơn vị . Dễ dàng thấy rằng một vectơ bất kỳ x = ( 1 x , 2 x ,..., x ) n được
biểu diễn qua các vectơ trục đơn vị bằng công thức sau x = + + +
= e + e + + 1 x (1,0,...,0) 2
x (0,1,...,0) ... x (0,0,..., ) 1 1 x 1 2 x 2 ... n n x n e 8
Giải tích các hàm nhiều biến
và do các tính chất (i)-(ii) ta suy ra ảnh của x qua phép ánh xạ tuyến tính A sẽ
được biểu diễn qua ảnh của các vectơ trục đơn vị theo công thức sau
A(x) = A e + A e + + 1 x ( 1) 2 x
( 2) ... x A(e ) n n . (*) Mỗi ( A ) i
e là một phần tử trong Rm , cho nên nó sẽ là một bộ m số, ký hiệu
là (a 1,a 2,...,a ) i i
im . Ta thiết lập một ma trận chữ nhật A gồm m hàng và n cột, với
các cột là các bộ số A( ) i
e , tức là A := [ A( 1 e ) A( 2
e ) ... A(e ) n ] , hay   11 a 2 a 1 ... a 1 n     12 a 2 a 2 ... n a 2 A :=    . ... ... ... ...       1 a m 2 a ... m n a m 
Ma trận này được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính A .
Nếu ta coi mỗi vectơ như là một ma trận cột thì ta có thể viết    + +  1 x a x ... a x   11 1 1 n n   x
a x +...+ a x  2   12 1 n2 n x =   
và, do công thức (*), A(x) = . #      """""""        n x   + +  1 a m 1 x ... n a m n x 
Theo phép nhân các ma trận thì công thức (*) có thể được viết lại dưới dạng đơn giản là
A(x) = Ax . (**)
Ngược lại, nếu có một ma trận A (cỡ m×n) thì ta thiết lập được một phép ứng từ
không gian Rn vào không gian Rm theo công thức (**). Với các tính chất của phép
nhân và cộng các ma trận (đã biết trong giáo trình Đại số tuyến tính), ta dễ thấy
rằng phép ứng này thỏa mãn các điều kiện (i)-(ii), cho nên nó là một ánh xạ tuyến
tính
. Như vậy, ta có một phép tương ứng giữa tập các ánh xạ tuyến tính (từ không
gian Rn vào không gian Rm ) và tập các ma trận chữ nhật (cỡ m×n). Trong
trường hợp riêng, khi n = m thì A là một ma trận vuông (cấp n) và ánh
xạ tương ứng với nó là một ánh xạ từ không gian Rn vào chính nó (hay còn gọi là
một phép biến đổi trong Rn ). Ta nói ánh xạ tuyến tính là không suy biến nếu như
ma trận tương ứng với nó là không suy biến, tức là có định thức khác 0. Từ giáo
trình Đại số tuyến tính ta biết rằng một ma trận vuông không suy biến có ma trận
nghịch đảo, và dễ dàng kiểm tra rằng ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận
nghịch đảo này là ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu. Cho nên, mỗi phép biến đổi
không suy biến
là một song ánh.
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 9
Người ta định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính A , kí hiệu || A || , là số xác định như sau:
|| A | := sup{ || A(x) ||: x B(0,1)},
trong đó ta kí hiệu B(0,1) là quả cầu đơn vị trong Rn , tức là tập hợp các vectơ có
độ dài (chuẩn) không vượt quá 1.
Để ý rằng với x = ( ∈ 1
x ,..., x ) B(0,1) n thì | | || x || 1 i x
≤ với mọi i = 1,...,n,
cho nên từ công thức (*) ta suy ra được || A || là một số hữu hạn (không vượt quá
tổng của chuẩn các ảnh của n vectơ trục đơn vị).
Với mọi vectơ x ≠ 0, ta có ( x / || x || ) là vectơ nằm trong quả cầu đơn vị, và do
tính tuyến tính của A ta có: 1 A(x)  
|| A(x) || = =  x A  ≤ | A || , || x || || x || || x |    hay là
|| A(x) || ≤ | A || .| x | .
Rõ ràng với x = 0 bất đẳng thức này vẫn đúng, cho nên nó đúng với mọi x. Đây là
một công thức quan trọng, vì nó phản ánh tính liên tục của ánh xạ tuyến tính trong
không gian hữu hạn chiều (như sẽ thấy sau này). Các ánh
xạ tuyến tính là đối tượng được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại số
tuyến tính, cho nên trong giáo trình này ta sẽ không đi sâu. Tuy nhiên, do vai trò quan
trọng trong rất nhiều lĩnh vực, chúng sẽ được đề cập đến nhiều hơn về khía cạnh thực hành tính toán.
Nhận xét. Không gian Rn là sự mở rộng của các không gian 2-chiều, 3-chiều
được thừa hưởng nhiều thuộc tính mà ta đã quen biết từ những năm phổ thông. Tuy
nhiên, đối tượng nghiên cứu của Toán học là vô cùng rộng rãi và rất nhiều không
gian mà nó đề cập (với các phần tử không nhất thiết là các bộ số) thường không có
được tất cả các tính chất giống như của Rn . Những không gian chỉ được trang bị
các phép tính cộng, nhân với số (với các tính chất giống như trong Rn) được gọi là
các không gian có cấu trúc tuyến tính và được nghiên cứu kỹ trong giáo trình Đại
số tuyến tính. Những không gian không có được cấu trúc tuyến tính, nhưng lại
được trang bị khái niệm khoảng cách (với các tính chất giống như trong Rn) được
gọi là không gian metric. Không gian này và các dạng tổng quát của nó được
nghiên cứu kỹ trong lý thuyết Tôpô và là một phần rất quan trọng của giáo trình
Giải tích hàm. Tuy nhiên, không gian metric cũng là một công cụ tiện lợi trong 10
Giải tích các hàm nhiều biến
nghiên cứu hàm nhiều biến, cho nên chúng ta cần biết một số khái niệm cơ bản về nó.
1.2. Không gian metric
1.2.1. Định nghĩa và các ví dụ
Định nghĩa. Không gian metric là một tập hợp E≠∅ được trang bị một phép
ứng mỗi cặp điểm p,q
E với một số thực d(p,q) sao cho
(1) d ( p, q) ≥ 0 ,
p,q E ;
(2) d ( p, q) = 0 ⇔ p = q ;
(3) d ( p, q) = d (q, p) ,
p,q E ;
(4) d ( p, q) ≤ d ( p, r) + d (r, q) ,
p,q,r E (bất đẳng thức tam giác).
Như vậy không gian metric là một cặp (E,d), trong đó E là một tập hợp và d
một hàm số d : E×E→R thỏa mãn các Tính chất (1)-(4). Thông thường, khi nói về
một không gian metric nào đó với hàm d mà mọi người đều hiểu là gì rồi thì người
ta chỉ dùng tập E để biểu thị thay cho cả cặp (E,d). Điều này tuy không đúng về
mặt logic, nhưng lại thuận tiện cho nên được mọi người chấp nhận.
Số d(p,q) được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm p, q, và hàm d được gọi là hàm
khoảng cách hay là metric.
Thí dụ 1. Với E = Rn và hàm d được định nghĩa như sau 2 2 d(a,b) |
= a b | = ( − + + − 1 b 1 a ) ... (b a ) n n
thì từ các tính chất của khoảng cách trong Rn ta suy ra cặp (Rn,d) là một không
gian metric. Nó sẽ là một không gian metric điển hình trong giáo trình này, và
metric xác định như trên sẽ được coi là metric thông thường trên Rn . Trong
trường hợp đặc biệt, khi n = 1, ta có trục số thực R cũng là một không
gian metric với định nghĩa khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu của chúng.
Thí dụ 2. Với E = Rn và hàm d được định nghĩa như sau
d(a,b) = | − + + − 1 b 1 a | ... | b a | n n
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 11
thì cặp (Rn,d) cũng là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập).
Thí dụ 3. Với E = Rn ta định nghĩa hàm d như sau
d(a,b) = max{ | b a | , i =1,2,..., i i n}
thì cũng dễ dàng thấy rằng cặp (Rn,d) là một không gian metric (người đọc tự kiểm tra như một bài tập).
Thí dụ 4. Khi (E,d) là một không gian metric thì mỗi tập con ⊂ 1 E E cùng với thu hẹp của d trên 1 E × 1
E cũng tạo thành một không gian metric, được gọi là không
gian metric con của E và thường được ký hiệu là ( 1 E ,d).
Thí dụ 5. Với E là một tập bất kỳ, ta định nghĩa 0  khi p = q ,
d( p,q)  =  1  khi p q . 
Rõ ràng d thỏa mãn mọi điều kiện của một hàm khoảng cách và cặp (E,d) là một
không gian metric. Tuy nhiên không gian này có cấu trúc đơn giản tới mức chẳng
cung cấp cho ta một thông tin đáng kể nào. Cho nên phương pháp xác định hàm
khoảng cách sẽ là yếu tố thực sự đem lại cấu trúc cho một không gian metric.
Mệnh đề. Với các điểm 1 p , 2 p ,..., n
p trong không gian metric E ta luôn có d( ≤ + + + 1
p , p ) d( 1 p , 2 p ) d( 2 p , 3
p ) ... d( p 1, p ) n nn .
Chứng minh. Suy từ việc áp dụng bất đẳng thức tam giác lặp lại n-1 lần d( ≤ + ≤ + + ≤ 1
p , p ) d ( 1 p , 2 p ) d( 2
p , p ) d( 1 p , 2 p ) d ( 2 p , 3 p ) d ( 3 p , p ) ... n n n
Mệnh đề. Với các điểm 1 p , 2 p , 3
p trong không gian metric E ta luôn có | d ( − ≤ 1 p , 3 p ) d( 2 p , 3 p ) | d( 1 p , 2 p ) .
(Nghĩa là: Hiệu của 2 cạnh trong tam giác luôn nhỏ hơn cạnh còn lại).
Chứng minh. Từ bất đẳng thức tam giác ta có d( ≤ + ≤ + 1 p , 3 p ) d( 1 p , 2 p ) d ( 2 p , 3 p ) và d( 2 p , 3 p ) d ( 2 p , 1 p ) d( 1 p , 3 p ) .
Các bất đẳng thức này có thể viết lại thành d( − ≤ − ≤ 1 p , 3 p ) d( 2 p , 3 p ) d ( 1 p , 2 p ) và d( 2 p , 3 p ) d( 1 p , 3 p ) d ( 1 p , 2 p ) ,
chính là điều cần chứng minh. 12
Giải tích các hàm nhiều biến
1.2.2. Tập đóng và tập mở trong không gian metric Ta
đã biết khái niệm về tập đóngtập mở trong R. Một cách tương tự, ta có
thể định nghĩa khái niệm này trong không gian metric (nói chung) và trong Rn (nói
riêng). Trước hết ta đưa ra định nghĩa quả cầu trong không gian metric.
Quả cầu mở trong không gian metric (E,d) với tâm tại p E và bán kính
r > 0 là tập hợp
B( p,r) :={q E : d ( p,q) < } r .
Quả cầu đóng trong không gian metric (E,d) với tâm tại p E và bán kính
r > 0 là tập hợp
B( p,r) :={q E : d( p,q) ≤ r}.
Khi ta không chỉ rõ tâm và bán kính thì ta chỉ cần nói quả cầu thay cho việc nói
quả cầu với tâm là một điểm nào đó và với bán kính là một số dương nào đó.
Thí dụ. Với E = R3 và với metric thông thường thì khái niệm quả cầu như trên
hoàn toàn trùng hợp với quả cầu theo ngôn ngữ đời thường, còn với metric như
trong Thí dụ 3 thì quả cầu sẽ là một hình lập phương (theo ngôn ngữ đời thường).
Quả cầu thông thường không kể phần mặt cầu thì là quả cầu mở, và nếu kể
cả mặt cầu thì là quả cầu đóng.
Với E = R2 và với metric thông thường thì quả cầu là một hình tròn, còn với
metric như trong Thí dụ 3 thì quả cầu là một hình vuông (theo ngôn ngữ thông
thường). Hình tròn không kể vòng tròn bao quanh thì là hình tròn mở, và nếu kể cả
vòng tròn bao quanh thì là hình tròn đóng.
Với E = R thì quả cầu mở chính là một khoảngquả cầu đóng chính là một
đoạn. Ngược lại, một khoảng (a,b) bất kỳ luôn có thể được xem là một quả cầu mở với tâm tại điểm a b p + = và bán kính b a r − = , vì 2 2 a b a + b b a < < ⇔ < − < ⇔ | a + b − | b a a x b x x < . 2 2 2 2 2
Tương tự như vậy đối với đoạn.
Định nghĩa. Tập con S trong không gian metric E được gọi là mở nếu, với
mỗi p
S , tập này chứa cả một quả cầu tâm p (với bán kính nào đó).
Rõ ràng, khi E = R, khái niệm tập mở ở đây hoàn toàn trùng hợp với khái
niệm tập mở mà ta đã đưa ra trước đây (trong giáo trình Giải tích một biến). Khái
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 13
niệm tập mở (hay không mở) chỉ có nghĩa khi nó là một tập con trong không gian metric.
Mệnh đề. Trong không gian metric E bất kỳ ta luôn có
(1) Tập rỗng là mở ;
(2) Cả không gian E là mở ;
(3) Hợp của một họ (bất kỳ) tập mở là một tập mở ;
(4) Giao của một họ hữu hạn tập mở là một tập mở .
Chứng minh. Phần (1) là hiển nhiên, vì tập rỗng không chứa điểm nào nên nó
chẳng phải chứa quả cầu nào. Phần (2) cũng là rõ ràng vì mọi quả cầu đều nằm
trong E, nghĩa là E chứa mọi quả cầu với tâm ở bất kỳ điểm nào. Phần (3) dễ dàng
suy ra từ định nghĩa, vì một tập nào đó trong họ mà đã chứa một quả cầu thì hợp
của cả họ ắt phải chứa quả cầu đó. Ta chỉ còn phải chứng minh phần còn lại.
Trường hợp giao của họ các tập mở Si (i=1,2,...,N) là một tập rỗng thì Phần
(1) cho ta điều cần chứng minh.
Trường hợp giao của họ các tập mở Si (i=1,2,...,N) là một tập S khác rỗng thì N
với mỗi điểm p S := ∩Si ta sẽ chỉ ra rằng tìm được quả cầu tâm p nằm gọn i 1 =
trong S. Thật vậy, do mỗi tập S
i là mở và p
Si , ta tìm được quả cầu tâm p bán kính = i
r nằm gọn trong Si . Lấy r min{ 1r, 2r,...,r } N
, ta dễ dàng thấy rằng quả cầu
tâm p với bán kính r nằm trong quả cầu tâm p bán kính ir (và do đó nằm gọn trong S =
i ), với mọi i
1,2,..., N . Điều này chứng tỏ quả cầu tâm p bán kính r nằm
trong giao của tất cả các tập Si , nghĩa là nó nằm trong S và mệnh đề đã được chứng minh xong.
Nhận xét. Trong giáo trình Giải tích một biến chúng ta đã biết tôpô trên trục số
thực là một họ các tập con thỏa mãn các điều kiện tương tự như họ tập mở nêu
trong mệnh đề trên. Dễ dàng thấy rằng khái niệm tôpô này có thể mở rộng ra cho
tập bất kỳ, và một tập hợp có tôpô được gọi là một không gian tôpô. Như vậy,
mệnh đề trên nói rằng không gian metric là một không gian tôpô (với tôpô là họ các tập mở).
Để giải tỏa mối băn khoăn về sự “xung khắc có thể xảy ra” giữa 2 khái niệm
mở (quả cầu mởtập mở), ta có mệnh đề sau
Mệnh đề. Quả cầu mở trong không gian metric là một tập mở.
Chứng minh. Cho quả cầu mở bất kỳ B(p,r). Lấy điểm q bất kỳ trong B(p,r), ta chỉ
ra rằng tồn tại quả cầu có tâm tại q (với bán kính nào đó) nằm gọn trong B(p,r).
Thật vậy, do q nằm trong B(p,r) nên d(p,q) < r. Lấy số dương (
s < r d p,q) ta
B(q, s) ⊂ B( p,r) , vì rằng 14
Giải tích các hàm nhiều biến
d(q, x) < s d ( p, x) ≤ d( p,q) + d(q, x) < d( p,q) + s < r .
Mệnh đề đã được chứng minh xong.
Như vậy đối với quả cầu thì 2 khái niệm mở thực chất chỉ là một.
Nhận xét. Từ 2 mệnh đề trên ta thấy rằng tập mở chính là hợp của các quả cầu mở.
Thật vậy, hợp của các quả cầu mở cho ta một tập mở. Ngược lại, một tập mở có thể
xem là hợp của tất cả các quả cầu nằm trong nó (mỗi điểm của tập mở đều nằm
trong một quả cầu như vậy, nên hợp của tất cả các quả cầu này đương nhiên chứa
tất cả các điểm của tập).
Lưu ý. Giao của một họ vô hạn các tập mở không nhất thiết là một tập mở. Thí dụ,
trong không gian Rn, giao của họ các quả cầu mở 1
B( p, ) với n=1,2,3,.., chỉ là n
một điểm p đơn độc và không phải là tập mở.
Định nghĩa. Một tập con S trong không gian metric E được gọi là đóng nếu
như phần bù của nó là một tập mở.
Nhắc lại rằng phần bù của một tập con S trong không gian E C(S)=E \ S .
Để tránh nỗi băn khoăn về sự “xung khắc có thể xảy” ra giữa 2 khái niệm đóng đối với
quả cầu (quả cầu đóngtập đóng) ta có mệnh đề sau đây khẳng định rằng về thực
chất chúng chỉ là một.
Mệnh đề. Quả cầu đóng trong không gian metric là một tập đóng.
Chứng minh. Lấy quả cầu đóng bất kỳ B( p, r) , ta chứng minh rằng phần bù của
nó là một tập mở. Rõ ràng phần bù của nó là
C[B( p,r)] = {x E : d( p, x) > r}.
Nếu nó rỗng thì đương nhiên nó là mở. Khi nó khác rỗng, ta lấy một điểm q bất kỳ
trong C[B( p,r)] và chỉ ra rằng có quả cầu tâm tại q nằm hoàn toàn
trong C[B( p,r)] . Thật vậy, do q C[B( p,r)] nên d( p, q) > r và ta tìm được số dương (
s < d p,q) − r . Dễ dàng kiểm tra rằng B(q, s) ⊂ C[B( p,r)] , bởi vì
x B(q, s) ⇒ d(q, x) < d( p,q) − r d( p, x) ≥ d ( p,q) − d(q, x) > r .
Mệnh đề được chứng minh xong.
Tương tự như đối với các tập mở, ta có
Mệnh đề. Trong không gian metric E bất kỳ ta luôn có
(1) Cả không gian E là một tập đóng ;
(2) Tập rỗng là một tập đóng ;
(3) Giao của một họ (bất kỳ) tập đóng là một tập đóng ;
(4) Hợp của một họ hữu hạn tập đóng là một tập đóng .
Chương 1. Không gian Rn và không gian metric 15
Chứng minh. Các phần (1)-(2) suy ngay từ mệnh đề tương tự đối với tập mở. Các
phần (3)-(4) cũng suy từ mệnh đề ấy kết hợp với một kết quả đã biết trong lý
thuyết tập hợp là: Phần bù của hợp các tập là giao của các phần bù của các tập
này; và phần bù của giao các tập là hợp của các phần bù của các tập này.
Nhận xét. Dễ dàng thấy rằng phần bù của một điểm là một tập mở, cho nên mỗi
điểm là một tập đóng; và từ mệnh đề trên suy ra tập hợp gồm hữu hạn điểm là một
tập đóng. Mặt cầu S( p,r) :={x E : d ( p, x) = r} có thể xem là giao của quả cầu
đóng
với phần bù của quả cầu mở (là một tập đóng) cho nên nó cũng là một tập đóng.
Một tập con trong không gian metric được gọi là giới nội nếu nó nằm trong
một quả cầu nào đó.
Thí dụ.Trong R với metric thông thường, một tập là giới nội nếu tồn tại số r > 0 để
đoạn [-r,r] chứa trọn tập ấy. Dĩ nhiên toàn bộ không gian R không phải là giới nội.
Thế nhưng nếu xét E = R với metric như trong Thí dụ 5 ở mục trước thì R lại là tập giới nội.
1.2.3. Hội tụ trong không gian metric
Sự hội tụ trong không gian metric nói chung cũng tương tự như sự hội tụ trên
trục số thực mà ta đã quen biết, nếu ta coi mỗi khoảng là một quả cầu và khoảng
cách giữa 2 số là trị tuyệt đối của hiệu của chúng. Chính xác hơn ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa. Dãy các điểm 1 p , 2 p , 3
p ,... trong không gian metric E được gọi là
hội tụ đến điểm p E nếu, với mỗi số ε > 0 , tìm được số tự nhiên N sao cho
d( p, p ) < ε > n khi n N . Khi
ấy ta cũng nói rằng pgiới hạn của dãy { } n p , hay dãy { } n
p có giới hạn là p. Và viết lim = n p p . n→∞
Một dãy được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ đến một điểm nào đó.
Nếu ta gọi quả cầu tâm p bán kính ε là một ε-lân cận của điểm p thì định
nghĩa trên có thể phát biểu như sau: Dãy các điểm 1 p , 2 p , 3
p ,... trong không gian metric E được gọi là hội tụ đến
điểm p E nếu, với mỗi số ε > 0 , tìm được số tự nhiên N để mọi p với n > N n
đều nằm trong ε-lân cận của p.