BÀI TẬP TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG Đào Phương Bắc Ngày 6 tháng 2 năm 2023 Mục lục Contents 1
1 Không gian metric và không gian tôpô 2
2 Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô 7
3 Không gian compắc và không gian liên thông 10 Chương 1
Không gian metric và không gian tôpô
Bài 1.1. (xem [1, Bài 1, trang 50]) Giả sử X là một tập bất kỳ và d ∶ X × X →R là hàm số xác
định bởi d(x,x) = 0, d(x,y) = 1 nếu x ≠ y. Chứng minh rằng d là một metric trên X và tô pô
cảm sinh là tô pô rời rạc.
Bài 1.2. (xem [1, Bài 3 trang 50]) Chứng minh rằng nếu A,B là hai tập con của không gian metric X thì
1. A ∪ B = A ∪ B.
2. A ∩ B ⊆ A ∩ B. Cho ví dụ chứng tỏ dấu bằng nói chung không đạt được.
Bài 1.3. (xem [1, Bài 4 trang 50]) Chứng minh rằng nếu U, V là hai tập con mở không giao
nhau trong không gian metric X thì U ∩ V = U ∩ V . Bài 1.4. (xem [1, Bài 5, trang 49]) Cho A
là một tập con của không gian metric (X,d). Tập b(A) = A ∩ X ∖ A được gọi là biên của tập A. Chứng minh rằng:
1. Với mọi x ∈ X, x ∈ b(A) khi và chỉ khi với mỗi lân cận U của x,
ta đều có: U ∩ A ≠ ∅ và U ∖ A ≠ ∅. (Điểm x ∈ b(A) được gọi là
điểm biên của tập A.)
2. A0 = A ∖ b(A); A = A ∪ b(A).
Bài 1.5. (xem [1, Bài 6, trang 50]) Cho A ⊆ (X,d). Điểm x ∈ X được gọi là một điểm giới hạn
(điểm tụ) của tập A nếu với mỗi lân cận U của x đều chứa ít nhất một điểm của A khác x
(nghĩa là U ∩ (A ∖ {x}) ≠ ∅). Tập hợp tất cả các điểm giới hạn củad A được gọi là tập dẫn xuất
của A và ký hiệu là A . Chứng minh rằng:
1. Với mọi x ∈ X, x ∈ Ad khi và chỉ khi x ∈ A ∖ {x}.
2. x ∈ Ad khi và chỉ khi tồn tại một dãy
trong A đôi một khác nhau, hội tụ đến x.
3. A là tập đóng trong X khi và chỉ khi Ad ⊆ A.
4. Ad là một tập con đóng.
Bài 1.6. (xem [1, Bài 8, p. 50]) Trong không gian C[a,b], ta xét hai tập con sau:
X = {x ∈ C[a,b] ∣ A < x(t) < B, với mọi t ∈ [a,b]}, Y = {x
∈ C[a,b] ∣ A ≤ x(t) ≤ B, với mọi t ∈ [a,b]}.
Chứng minh rằng X là tập mở và Y là tập đóng trong C[a,b].
Bài 1.7. Trên không gian C[a,b], ta trang bị các khoảng cách: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨d1 ,
⎪⎪⎪⎩d∞(f,g) = supx∈[a,b]∣f(x) − g(x)∣.
Chứng minh rằng các khoảng cách này không tương đương (xem Bài 1.15). Ngoài ra C[a,b]
đầy đủ đối với khoảng cách d∞, nhưng không đầy đủ đối với khoảng cách d1 và d2. 1
Bài 1.8. (xem [1, Bài 11, trang 51], [3, Bài 3.4, p. 151]) Cho (X,d) là một không gian metric, A
⊆ X. Chứng minh rằng 1. Hàm khoảng cách d(⋅,A) là liên tục.
2. x ∈ A khi và chỉ khi d(x,A) = 0.
Bài 1.9. (xem [1, Bài 12, trang 51]) Gọi l1 là tập hợp tất cả các dãy số thực x = (x1,x2,...) sao cho , với khoảng cách: . Chứng minh rằng:
1. d là một metric trên l1.
2. Không gian (l1,d) đầy đủ.
3. (l1,d) là một không gian khả li.
Bài 1.10. (xem [1, Bài 13, trang 51]) Cho l∞ là tập tất cả các dãy số thực bị chặn x = (x1,x2,...).
Với hai phần tử tùy ý x = (x1,x2,...), y = (y1,y2,...) thuộc l∞, ta đặt
d(x,y) = supn∈N∣xn − yn∣. Chứng minh rằng:
1. d là một metric trên l∞.
2. (l∞,d) là một không gian metric đầy đủ.
3. l∞ không phải là một không gian khả li.
Bài 1.11. (xem [1, Bài 15, trang 52]) Chứng minh rằng Rn với metric thông thường luôn là một không gian khả li.
Bài 1.12. (xem [1, Bài 16, trang 52]) Chứng minh rằng nếu trong không gian metric (X,d), mọi
dãy hình cầu đóng lồng nhau đều có giao khác rỗng thì X là một không gian đầy đủ.
Bài 1.13. (xem [1, Bài 18, p. 52]) Cho A là một tập con đóng, B là một tập con compắc của
không gian metric (X,d). Chứng minh rằng nếu d(A,B) = 0, thì A ∩ B ≠ ∅. Nếu B chỉ là tập con
đóng thì kết quả trên còn đúng hay không?
Bài 1.14. (xem [1, Bài 19, p. 52]) Chứng minh rằng nếu hàm số f liên tục trên tập compắc A
⊆ (X,d) thì nó đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Bài 1.15. (xem [1, Bài 22,
p. 53]) Giả sử trên tâp hợp X có hai metric d1 và d2. Ta nói hai metric này là tương đương
với nhau nếu ánh xạ đồng nhất id ∶ (X,d1) → (X,d2) là một phép đồng phôi. Chứng minh rằng
hai metric là tương đương nếu và chỉ nếu với mỗi dãy bất kỳ {xn}∞n=1 ⊆ X:
limn→∞d1(xn,x) = 0 ⇔ limn→∞d2(xn,x) = 0.
Bài 1.16. (xem [1, Bài 24, p. 53]) Chứng minh rằng nếu hai metric d1 và d2 tương đương với
nhau thì d1,d1 + d2 cũng tương đương.
Bài 1.17. (xem [1, Bài 29, trang 54]) Chứng minh rằng trên đường thẳng R, tập hợp không
đếm được A có ít nhất một điểm giới hạn (điểm tụ).
Bài 1.18. (xem [1, Bài 27, p. 55])
1. Cho v là một số vô tỷ. Chứng minh rằng tập A = {m + nv ∣ m,n ∈Z} là trù mật trong R.
2. Cho r ∈Q, chứng minh tập B = {m + nr ∣ m,n ∈Z} không đâu trù mật trên bất cứ khoảng nào của R.
Bài 1.19. (xem [1, Bài 3, p. 76]) Chứng minh rằng giao của hai tôpô trên tập X là một tôpô
trên X. Hợp của hai tôpô trên X có là một tôpô trên X hay không? Tại sao?
Bài 1.20. (xem [1, Bài 9, p. 76]) Chứng minh rằng trong không gian tôpô (X,τ), tập con A là
vừa mở, vừa đóng khi và chỉ khi biên δ(A) = ∅.
Bài 1.21. (xem [1, Bài 10, p. 76]) Chứng minh rằng nếu A là một tập con hữu hạn của không
gian tôpô R với tôpô Euclid thông thường thì biên δ(A) = A.
Bài 1.22. (xem [1, Bài 11, p. 77]) Tìm tất cả các điểm tụ (hay điểm giới hạn) của tập con A =
[0,1] trong R với tôpô: 1. Tôpô thô. 2. Tôpô rời rạc. 3. Tôpô tự nhiên.
4. Tôpô phần bù hữu hạn.
Bài 1.23. (xem [1, Bài 13, p. 77]) Chỉ ra ví dụ tập con đóng A và Ad ≠ A. 3
Bài 1.24. (Đường thẳng Sorgenfrey, xem [1, Bài 17 trang 78]) Chứng minh rằng họ V = {[a,b)
∣ a,b ∈R} lập thành một cơ sở của tôpô trên R, ký hiệu tôpô đó là τs. Hãy chứng minh không
gian tô pô (R,τs) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, là không gian khả li, Hausdorff, nhưng
không thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. (Do đó không metric hóa được.)
Bài 1.25. (xem [1, Bài 18, trang 78]) Trên không gian tô pô (R,τK) chỉ ra một họ vô hạn các
tập con mở nhưng giao của chúng không là tập mở.
Bài 1.26. (xem [1, Bài 19, trang 78]) Chứng minh rằng đối với không gian metric hóa được,
không gian thỏa mãn Tiên đề đếm được thứ hai nếu và chỉ nếu nó khả li. Bài 1.27. (xem [3,
Bài 3.7, p. 152]) Cho X là một không gian metric đầy đủ, Gn là hợp của hữu hạn hình cầu bán
kính ≤ rn, trong đó rn → 0. Chứng minh rằng là một tập compắc.
Bài 1.28. (xem [3, Bài 3.12, p. 153]) Chứng minh rằng trong một không gian metric khả li,
nếu {Uα,α ∈ I} là môt họ những tập mở khác rỗng sao cho Uα ∩ Uβ = ∅ khi α ≠ β, thì họ {Uα}
là không quá đếm được.
Bài 1.29. (xem [3, Bài 3.13, p. 153]) Chứng minh rằng trong một không gian metric khả li:
1. Một tập con đóng là giao của một số đếm được những tập hợp mở.
2. Một tập hợp mở là hợp một số đếm được các tập hợp đóng.
Bài 1.30. (xem [3, Bài 1.5, 1.6, p. 52, 53]) Giả sử X là một không gian tôpô. 1. Cho A là một
tập con trù mật của X. Chứng minh rằng nếu U là một tập con mở, thì U = U ∩ A.
2. Cho U là một tập con mở của X. Chứng minh rằng U ∩ A = U ∩ A.
Bài 1.31. (xem [3, Bài 1.16, trang 55]) Cho X là một tập vô hạn và τ là tôpô phân bù hữu hạn. Chứng minh rằng:
1. τ là một tôpô trên X.
2. (X,τ) là T1-không gian.
3. Nếu A là tập con mở khác rỗng, thì bao đóng của A là X, hay A trù mật trong X. Ngoài
ra τ không là T2-không gian.
4. τ là tôpô yếu nhất để X trở thành một T1-không gian.
Bài 1.32. (xem [3, Bài 1.17, p. 55]) Cho A và B là hai tập mở rời nhau trong không gian tôpô
X. Chứng minh rằng: IntA ∩ IntB = ∅.
Bài 1.33. (xem [3, Bài 1.21, p. 57]) Giả sử X là một không gian chuẩn tắc; được phủ bởi
những tập mở G1,...,Gn, tức là X =⋃Gi. Chứng minh rằng tồn tại các tập đóng Fi ⊆ Gi (i =
1,...,n) phủ không gian X.
Bài 1.34. (xem [3, Bài 1.22, p. 57]) Giả sử X là một không gian chuẩn tắc; {Fn} là một dãy các tập đóng trong
. Chứng minh rằng A là một không gian chuẩn tắc.
Bài 1.35. Tôpô hội tụ điểm trên F(X) = {f ∶ X →R liên tục} cho bởi tôpô với tiền cơ sở
P = {Ux,a,b ∣ x ∈ X,a < b ∈R},
trong đó Ux,a,b = {f ∈F(X) ∣ a < f(x) < b}. Ta ký hiệu tôpô này là τP .
1. Thế thì (C[0,1],τm) mịn hơn (C[0,1],τP ).
2. S = {ϕ ∈ C[0,1] ∣ ϕ > 0} ∈ τm nhưng có phần trong bằng ∅ trong τP . Do đó τm mịn hơn thực sự τP .
Bài 1.36. (Tập Cantor, xem [5]) Xuất phát từ C0 = [0,1] ta bỏ đi khoảng giữa và còn lại hai khoảng đóng .
Ở bước thứ n, từ mỗi một trong 2n−1 khoảng còn lại, ta chia ba và bỏ đi khoảng mở ở giữa,
còn lại Cn gồm 2n khoảng đóng. Đặt
và gọi đó là tập Cantor. Chứng minh rằng:
(a) C là tập đóng và phần trong của nó bằng ∅ và do đó phần biên ∂C = C.
(b) Mọi điểm thuộc tập C đều là điểm tụ.
(c) Tập Cantor C không đếm được và do đó nó chỉ chứa các điểm đầu mút của những khoảng bị bỏ đi. Chương 2
Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô
Bài 2.1. (xem [1, Bài 2, trang 122]) Cho f ∶ (R,τ) → (R,τ) là hàm Dirichlet được xác định như sau: ⎧⎪⎪ khi x ∈Q, f ⎩ khi x ∉Q. 5
Chứng minh rằng hàm g ∶ (R,τ) → (R,τ) cho bởi g(x) = xf(x) với mỗi x ∈R là ánh xạ chỉ liên tục tại một điểm.
Bài 2.2. (xem [1, Bài 4, trang 123]) Chứng minh rằng ánh xạ f ∶ X → Y là phép đồng phôi nếu
và chỉ nếu f là song ánh và f(A) = f(A) với mọi tập con A của X.
Bài 2.3. Giả sử {fn ∶ X →R} là một dãy hàm xác định trên không gian tôpô X, hội tụ đều đến
hàm f ∶ X →R. Chứng minh rằng f cũng là một hàm liên tục. Hơn nữa nếu Im(fn) ⊆ [a,b] với
mọi n = 1,2,..., thì Im(f) ⊆ [a,b].
Bài 2.4. (xem [3, Bài 1.8, p. 53]) Cho f ∶ (R,τ) → (R,τ) là ánh xạ được xác định như sau:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩0 khi x ≤ 0,
f(x) = x khi 0 < x < 1, 1 khi x ≥ 1.
Chứng minh rằng f là ánh xạ đóng nhưng không là ánh xạ mở.
Bài 2.5. (xem [1, Bài 8, trang 123]) Hãy tìm hai ví dụ về các loại ánh xạ liên tục đóng nhưng
không mở, liên tục mở nhưng không đóng, liên tục nhưng đồng thời không đóng không mở.
Bài 2.6. (xem [1, Bài 9, trang 123]) Có tồn tại hay không những ánh xạ giữa các không gian
tôpô thỏa mãn đồng thời vừa là ánh xạ đóng, vừa là ánh xạ mở, nhưng không phải là ánh xạ liên tục.
Bài 2.7. (xem [1, Bài 12, trang 124], [3, Bài 1.9, p.53]) Cho f,g ∶ X → Y là hai ánh xạ liên tục
từ không gian tôpô X vào không gian Hausdorff Y . Chứng minh rằng tập A = {x ∈ X ∣ f(x) =
g(x)} là đóng.
Bài 2.8. (xem [3, Bài 1.18, p. 55]) Cho X và Y là hai không gian tôpô, f ∶ X → Y là một ánh xạ
liên tục. Đồ thị của f là tập hợp
G ∶= {(x,y) ∈ X × Y ∣ y = f(x)}. Chứng minh rằng:
1. Với tôpô cảm sinh lên G bởi tôpô tích X × Y , G là đồng phôi với X.
2. Nếu Y là một không gian Hausdorff, thì G là một tập con đóng của X × Y .
Bài 2.9. (xem [1, Bài 13, trang 125]) Giả sử f,g là hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào
tập R với tôpô thông thường.
1. Chứng minh rằng với a ∈R thì a.f là ánh xạ liên tục.
2. Chứng minh rằng ∣f∣ là ánh xạ liên tục.
3. Chứng minh rằng f ± g, f.g, là liên tục. Hơn nữa, nếu g(x) ≠ 0 với mọi x ∈ X thì ánh xạ cũng liên tục.
4. Chứng minh rằng các ánh xạ max{f,g}, min{f,g} cũng liên tục.
Bài 2.10. (xem [1, Bài 15, trang 126]) Hãy xét xem ánh xạ f ∶ [0,1) → S1, t ↦ (cos2πt,sin2πt)
có là liên tục, là phép đồng phôi hay không?
Bài 2.11. (xem [3, Bài 1.10, p. 53]) Chứng minh rằng T1-không gian X là hoàn toàn chính quy
khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X, mỗi tập V thuộc cơ sở tại điểm x, tồn tại hàm liên tục f ∶ X
→ I sao cho f(x) = 0, f(y) = 1 với mọi y ∈ X ∖ V .
Bài 2.12. (xem [3, Bài 1.11, p. 54]) Ánh xạ liên tục f ∶ X → Y từ không gian tôpô X vào X được
gọi là phép co (phép chiếu), nếu f ○ f = f. Nếu f là một phép co, thì tập f(X) được gọi là một
co của X. Chứng minh rằng co của một không gian Hausdorff là một không gian con đóng của nó.
Bài 2.13. (xem [3, Bài 1.12, p. 54]) Cho M là một không gian con của không gian tôpô X.
Chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương:
1. M là co của X.
2. Mỗi ánh xạ liên tục trên X đều thác triển liên tục được trên X.
3. Tồn tại ánh xạ liên tục r ∶ X → M sao cho r∣M= idM.
Bài 2.14. (xem [3, Bài 1.13, trang 54]) Cho hai họ không gian tôpô {Xi}i∈I và {Yi}i∈I và một họ
các ánh xạ liên tục {fi ∶ Xi → Yi}i∈I. Chứng minh rằng ánh xạ f ∶ ∏i∈I Xi → ∏i∈I Yi xác định bởi
công thức f((xi)i∈I) = (f(xi))i∈I cũng là một ánh xạ liên tục.
Bài 2.15. (xem [3, Bài 1.14, trang 54]) Cho họ {fi}i∈I các ánh xạ liên tục fi ∶ X → Xi từ X vào các
không gian tôpô Xi. Chứng minh ánh xạ f ∶ X →∏i∈I Xi được xác định bởi f(x) = (fi(x))i∈I là ánh xạ liên tục. 7
Bài 2.16. (xem [3, Bài 1.15, trang 54]) Cho toàn ánh liên tục f từ không gian tôpô X vào không
gian tôpô Y . Gọi R là quan hệ tương đương: x1 ∼ x2 ∈ X kéo theo f(x1) = f(x2). Gọi fˆ∶ X/R→
Y là ánh xạ được xác định bởi fˆ(xˆ) = f(x), trong đó xˆ là lớp tương đương chứa x.
1. Chứng minh rằng fˆ là ánh xạ liên tục từ X/R vào Y .
2. Chứng minh rằng nếu f là một ánh xạ đóng hoặc mở, thì X/R đồng phôi với Y .
Bài 2.17. (xem [3, Bài 1.18, trang 55]) Cho X và Y là hai không gian tôpô, f ∶ X → Y là một ánh
xạ liên tục. Đồ thị của f là tập hợp
G = {(x,y) ∈ X × Y ∣ y = f(x)}. Chứng minh rằng:
1. Với tôpô cảm sinh lên G bởi tôpô tích X × Y , G sẽ đồng phôi với X.
2. Nếu Y là một không gian Hausdorff, thì G là một tập đóng của X × Y . Chương 3
Không gian compắc và không gian liên thông
Bài 3.1. (xem [1, Bài 2, trang 153]) Hãy cho ví dụ chứng tỏ giao của hai tập compắc trong
không gian tôpô chưa chắc đã compắc.
Bài 3.2. (xem [1, Bài 3, trang 153]) Chứng minh rằng khoảng mở (a,b) trong không gian tôpô R không là tập compắc.
Bài 3.3. (xem [1, Bài 4, trang 153]) Trong không gian tôpô C[a,b] hãy cho ví dụ về tập đóng,
bị chặn nhưng không compắc.
Bài 3.4. (xem [1, Bài 5, trang 153]) Cho A,B là những tập con đóng, compắc rời nhau trong
không gian metric (X,d). Chứng minh rằng tồn tại x ∈ X, y ∈ B sao cho d(x,y) = d(A,B).
Bài 3.5. (xem [1, Bài 7, trang 154]) Cho f ∶ X → Y là một ánh xạ liên tục giữa X compắc, và Y
Hausdorff. Chứng minh rằng f là ánh xạ đóng.
Bài 3.6. (xem [1, Bài 8, trang 154]) Chứng minh tập hợp là một tập
compắc trong không gian R với tôpô thông thường.
Bài 3.7. (xem [1, Bài 9, trang 154]) Xét tính compắc của tập các số hữu tỷ Q trong R với các
tôpô lần lượt là τK, τ, τD.
Bài 3.8. (xem [1, Bài 10, trang 154]) Trong không gian R2 với tôpô thông thường các tập sau
đây có compắc hay không? 1. 2..
Bài 3.9. (xem [1, Bài 12, trang 155]) Hãy xét xem những không gian tôpô sau có là compắc địa phương hay không?
1. Tập R với tôpô τs sinh bởi cơ sở {[a,b) ∣ a < b ∈R}.
2. Tập Q trong R với tôpô tự nhiên. 9
Bài 3.10. (xem [1, Bài 13, trang 155]) Hãy xét xem những không gian tôpô sau có là liên thông hay không?
1. Không gian (R,τK).
2. Tập các số hữu tỷ với tôpô tự nhiên cảm sinh từ R.
3. Tập các số vô tỷ trong (R,τ).
4. Tập các số tự nhiên theo tôpô thông thường trong R.
5. Tập các số phức với tôpô tự nhiên.
Bài 3.11. (xem [1, Bài 14, trang 155])
1. Chỉ ra ví dụ chứng tỏ ảnh liên tục của một tập không liên thông chưa chắc khôngliên thông.
2. Chứng minh nghịch ảnh của một tập không liên thông qua một toàn ánh liên tụclà
một tập không liên thông.
Bài 3.12. (xem [1, Bài 15, trang 155]) Chứng minh rằng nếu X là không gian tôpô hoàn toàn
chính quy, liên thông có nhiều hơn một phần tử, thì X có lực lượng không đếm được.
Bài 3.13. (xem [1, Bài 16, trang 155]) Chứng minh rằng nếu X là không gian tôpô Hausdorff
và M là không gian con compắc địa phương trù mật trong X, thì M là tập mở trong X.
Bài 3.14. (xem [1, Bài 17, trang 155]) Giả sử X là một không gian tôpô compắc địa phương
Hausdorff. Chứng minh rằng mỗi tập con A của X là compắc địa phương khi và chỉ khi A là
giao của một tập con mở và một tập con đóng trong X. Bài 3.15. (xem [3, Bài 2.1, trang
97]) Cho X là một không gian compắc,
là một họ các tập đóng lồng nhau có giao
bằng rỗng. Chứng minh rằng có số tự nhiên n0 sao cho Fn0 = ∅.
Bài 3.16. (xem [3, Bài 2.3, trang 97]) Cho f ∶ X → Y là một ánh xạ liên tục, X compắc, Y
Hausdorff. Chứng minh f(A) = f(A).
Bài 3.17. (xem [3, Bài 2.5, trang 98]) Cho X là một không gian compắc địa phương, Hausdorff,
A đóng, B compắc trong X, A ∩ B = ∅. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục f ∶ X →
I = [0,1] liên tục sao cho f(x) = 0 với mọi x ∈ A và f(x) = 1 với mọi x ∈ B.
Bài 3.18. (xem [3, Bài 2.7, trang 98]) Chứng minh rằng tập M của không gian X là liên thông
nếu và chỉ nếu M = A ∪ B, trong đó A ∩ B = A ∩ B = ∅, thì một trong hai tập hợp A, B là tập hợp rỗng.
Bài 3.19. (xem [3, Bài 2.10, trang 98]) Ta nói không gian X là hoàn toàn không liên thông nếu
mỗi điểm là một thành phần liên thông.
1. Chứng minh rằng không gian rời rạc là hoàn toàn không liên thông.
2. Không gian các số hữu tỷ Q với tôpô thông thường là hoàn toàn không liên thông
nhưng tôpô trên đó không phải là tôpô rời rạc. Bài 3.20. (xem [3, Bài 2.12, trang 99]) Giả
sử A,B là hai tập liên thông trong X với A ∩ B = ∅. Chứng minh A ∪ B là một tập liên thông.
Bài 3.21. (xem [3, Bài 2.13, trang 99]) Giả sử A,B là hai tập đóng trong không gian tôpô X,
với A ∩ B, A ∪ B là những tập liên thông. Chứng minh A và B là những tập liên thông.
Bài 3.22. (a) (xem [5, Theorem 4.8]) Cho C và Cj (j ∈ J) là họ các tập liên thông sao cho C ∩ Cj
≠ ∅ với mọi j. Khi đó K = C ∪ ⋃j∈J Cj liên thông.
(b) Chứng minh tích của hai không gian liên thông là liên thông. Chứng minh R2, §1, R2 ∖
{(0,0)} cũng liên thông.
Bài 3.23. Chứng minh rằng (a) [0,1] ≅/ S1. (b) R≅/ R2.
(c) [0,1] ≅/ [0,1] × [0,1]. trong đó ≅ chỉ quan hệ đồng phôi.
Bài 3.24. (xem [3, Bài 2.18, trang 100]) Giả sử X là không gian tôpô compắc địa phương, và giả sử
. Chứng minh rằng tồn tại một tập Mn sao cho Int(Mn) ≠ ∅. (Định lý Baire
cho các không gian tôpô compắc địa phương.)
Bài 3.25. (xem [6, Theorem 5.1.19, p. 112]) Chứng minh rằng một không gian tôpô
X là compắc khi và chỉ khi với mọi phép chiếu p ∶ X × Y → Y , (x,y) ↦ y là đóng với mọi không gian Y .
Bài 3.26. (xem [6, Definition 5.5.1+Theorem 5.5.2, p. 121, 122]) Một ánh xạ liên tục f ∶ X →
Y được gọi là một ánh xạ riêng (proper) nếu với mọi không gian Z, ánh xạ tích f ∶ X × Z → Y
× Z là đóng. Cho f ∶ X → Y là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng f là riêng khi và chỉ khi f
là đóng và f−1(y) là compắc với mọi y ∈ Y .
Bài 3.27. (xem [6, Corollary 5.5.3]) Cho X là một không gian compắc.
(a) Nếu Y là Hausdorff, thì mọi ánh xạ liên tục f ∶ X → Y đều là riêng.
(b) Với mọi không gian Y , phép chiếu X × Y → Y đều là riêng.
Bài 3.28. (xem [6, Prop. 5.5.4]) Cho f ∶ X → Y là một ánh xạ riêng. Chứng minh rằng nếu Y
compắc, thì X cũng compắc.
Bài 3.29. (xem [6, Prop. 5.5.4]) Cho f ∶ X → Y là một ánh xạ riêng. Chứng minh rằng nếu Y
compắc, thì X cũng compắc. 11
Bài 3.30. (xem [6, Definition 11.2.2, trang 244]) Cho Φ là một họ các ánh xạ từ không gian X
đến không gian Y . Tôpô compắc-mở trên Φ là tôpô với tiền cơ sở
{(K,U) ∣ K ⊆ X compắc, U ⊆ Y là mở},
trong đó (K,U) = {f ∈ Φ ∣ f(K) ⊆ U}. Cho f,g ∈C(R) và với mỗi số nguyên n > 0 đặt
cn = sup{∣f(x) − g(x)∣;∣x∣ ≤ n}. Chứng minh rằng
là một metric trên C(R) và metric đó cảm sinh tôpô compắc-mở. Tài liệu tham khảo
[1] Nông Quốc Chinh, Tô pô đại cương, Nhà xuất bản Đại học sư phạm 2003.
[2] J. L. Kelley, The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice, Fundamenta
Mathematicae 37 (1950), p. 75–76.
[3] Đỗ Văn Lưu, Tô pô đại cương, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật 1998.
[4] James Munkres, Topology: a first course. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975. xvi+413 pp
[5] Preiss: Metric Spaces. Warwick Lecture
[6] T. B. Singh, Introduction to topology. Springer, Singapore, 2019. xix+452 pp. ISBN: 978-981-13-6953-7
[7] L. Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Counterexamples in topology. Reprint of the
second (1978) edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1995. xii+244 pp. ISBN: 0-486-68735-X 54-00 13