Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay Giải tích 12 – Nguyễn Quang Hưng, Nguyễn Thành Tiến

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay Giải tích 12 – Nguyễn Quang Hưng, Nguyễn Thành Tiến được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

50 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

46 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 1
Nhóm PI
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay
môn Toán
Nguyễn Quang Hưng – Nguyễn Thành Tiến
Phần Giải tích 12
Khảo sát hàm số
Hàm số lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng
Số phức
Năm 2017 – Tháng 5 – Ngày 5 – Thứ sáu
TOANMATH.com
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 2
Lời mở đầu
Đây là tài liệu đầu tiên do các thành viên NHÓM PI thực hiện .
Các bài tập được trích trong đây chủ yếu là những bài được lấy trong
các đề thi thử,bài giải được làm dưới cách chi tiết, nên có một số chỗ
dài hơn so với bình thường .
Nếu mọi người ai có góp ý gì về bài giải hay phát hiện sai sót nào
trong tài liệu thì xin đưa lên ý kiến trong group NHÓM PI .
Link group : https://www.facebook.com/groups/NhomPI/
Dẫu đã cố gắng làm rất cẩn thận nhưng khó tranh khỏi sai sót, mong
các bạn thông cảm .
Cảm ơn các bạn đã đọc tài liệu .
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 3
󰈨 󰈨
Chương 1 ........................................................................ 4
Chương 2 ........................................................................ 19
Chương 3 ........................................................................ 27
Chương 2 ........................................................................ 33
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 4
󰉼󰉴󰈖 󰈘
Câu 1 : Cho hàm số
0
ax b
y ad cb
cx d
. Biết hàm số nhận
3;2I
làm tâm đối xứng và đi qua
điểm
1;1A
. Tìm tung độ của điểm có hoành độ bằng 2 là :
A. 1 B. 2 C. 0 D. đáp án khác
Giải :
ta có TCĐ :
d
x
c
, TCN :
a
y
c
. Do
3;2I
là TĐX
3
3
2
1
2
2
d
da
c
a
ca
c





.
Hàm số đi qua
1;1 1 2
13
22
ab
A b a
aa
. Tung độ
20xy
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 2 : Cho hàm số
và đường thẳng
:2d y x m
. Định m để
dC
tại 2 điểm phân
biệt ở 2 nhánh khác nhau .
A.
0m
B.
0m
C.
m
D. đáp án khác
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
C
và
d
:
1
21
2
2 1 2 1 1
1
x
x
xm
x x m x
x
2
2 4 1 0 *x m x m
(do
1x
không phải nghiệm của
1
).
Để
Cd
tại hai điểm phân biệt
2
*
4 20 0m m m
.
Cd
tại 2 điểm phân biệt với mọi
m
Ta có :
12
12
4
2
1
.
2
m
xx
m
xx

. Khi
Cd
tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh đồ thị thì ta có :
1 2 1 2 1 2
3
1 1 0 . 1 0 0
2
x x x x x x
đúng
m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 3 : Cho hàm số sau :
. Định
m
để hàm số có 5 tiệm cận :
A.
01m
B.
01m
C.
01m
D. đáp án khác
Giải :
Vì đây là hàm phân thức nếu có 5 tiệm cận
Mẫu có 4 nghiệm phân biệt khác
13
24
m
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 5
Ta có :
2
4 2 2
1
01
21
3
3
3
4
4
4
xm
m
x x m
m
m
m



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 4 : Hàm số
2
32
42
46
xx
y
x x x
có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang :
A.
3
B.
2
C.
4
D.
1
Giải :
Tập xác định :
2;2D 
.
Từ tập xác định
y
không có tiệm cận ngang .
Xét
2
2 2 2
2 2 2 2 2
42
lim lim lim
3 2 1 3 2 1
3 2 1
x x x
x x x x x
xx
x x x x x x
x x x





.
2x
là tiệm cận đứng của hàm số .
Xét
2
1
42
lim
3 2 1
x
xx
x x x





.
1x
là tiệm cận đứng của hàm số .
Vậy Hàm số
2
32
42
46
xx
y
x x x
có 2 tiệm cận đứng .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 5 : Biết
0;2M
,
2; 2N
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d
. Tính giá trị
của hàm số tại
2x 
:
A.
22y 
. B.
2 22y 
. C.
26y 
. D.
2 18y
Giải :
Ta có:
2
32y ax bx c
.
Vì
(0;2)M
,
(2; 2)N
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên:
(0) 0 0
(1)
(2) 0 12 4 0
yc
y a b c





;
(0) 2 2
(2)
(2) 2 8 4 2 2
yd
y a b c d




Từ (1) và (2) suy ra:
32
1; 3; 0; 2 3 2 ( 2) 18a b c d y x x y
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 6 : Cho hàm số
2
, , 0
ax bx ab
y a b a
ax b

. Tồn tại duy nhất 1 cặp
,ab
duy nhất để hàm
số đạt cực trị tại
0x
và
1x
. Tính
2
P a b ab
.
A.
16
81
B.
9
64
C.
16
121
D.
9
49
Giải :
2 2 2 2
2
2
'
a x abx b a b
y
ax b
.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại
0x
và
1x
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 6
22
2
2 2 2
22
2
2 2 2
0
0
' 0 0
2
0
' 1 0
0
20
b
b a b
ab
y
b
a ab b a b
b a b
y
ab
a ab b a b





2
2
0
1
2
01
4
20
b
a
ab
ba
b
a ab








Kiểm lại ta thấy
1
2
1
4
a
b

thỏa
2
9
64
p ab a b
chọn B .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 8 : Cho
22
8 377 4 7
3 36 3 3
f x x x x x
. Gọi
max f x a
,
min f x b
. Tính
22
P a b
.
A.
85
6
B.
85
9
C.
85
8
D.
85
7
Giải :
Điều kiện :
2
2
8 377
0
7
3 36
1
47
3
0
33
xx
x
xx
.
22
49 4 25 2
4 3 9 3
f x x x
.
Xét
22
22
42
7
33
1; '
3
49 4 25 2
4 3 9 3
xx
x f x
xx




.
22
42
33
' 0 0
49 4 25 2
4 3 9 3
xx
fx
xx

22
4 25 2 2 49 4
3 9 3 3 4 3
7
1;
3
x x x x
x




T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 7
2 2 2 2
4 25 2 2 49 4
3 9 3 3 4 3
7
1;
3
42
0
33
x x x x
x
xx



22
25 4 49 2
2
9 3 4 3
33
2 4 7
1; ;
3 3 3
xx
x
x


.
75
1
6
35
max
2 105 85
2
33 6 9
105
min
6
7 3 5
32
f
fx
fP
fx
f







.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 9 : Cho
m
và
,
là 2 nghiệm của phương trình
2
4 4 1 0x mx
. Xét hàm số
2
2
1
xm
fx
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
;;
max min 16 25g m f x f x m




.
A. 40 B. 80 C. 120 D. Cả
,,A B C
đều sai
Giải :
Phương trình
2
4 4 1 0x mx
luôn có 2 nghiệm trái dấu
2
2
1
2
1
2
mm
mm


.
Ta có :
0
2
2
22
2
22
13
4 4 1
2 2 2 2
22
'0
1
11
x mx
x m x mx
f x f x x
x
xx

fx
là hàm đồng biến trên
;
;
max
min
f x f
f x f


.
22
22
2
22
11
16 25
11
11
22
gm
mm
m
m m m m


T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 8
22
2 2 2 2
4 1 4 1
2 5 2 1 2 5 2 1
mm
m m m m m m






22
2
2
2
2 2 2 2
8 2 5 1
4 10
41
16 25
2 5 2 1 2 5 2 1
mm
m
m
m
m m m m m m






22
8 2 5 1 min 40g m m m g m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 10 : Tìm m để hàm số
2
sin
cos
mx
y
x
nghịch biến trên
0,
6



.
A.
5
2
m
B.
5
4
m
C.
5
4
m
D.
5
2
m
Giải :
22
sin sin
cos sin 1
m x x m
y
xx


với
0,
6
x



Đặt
1
sin 0,
2
xt




, ta có:
2
11
2
2
2
21
'
1
1
t m t mt
yy
t
t

.
Hàm số y nghịch biến trên
0,
6



hàm số
1
y
nghịch biến trên
1
0,
2



.
2
2
1
1 1 1 1
' 0 0, 2 1 0 0, 0,
2 2 2 2
t
y t t mt t m t
t
.
Xét hàm số
2
3
1
2
t
y
t
trên
2
3
2
1 2 2 1
0, ' 0 0,
2 4 2
t
yt
t
.
Vậy
33
1 5 1 5
0,
2 4 2 4
y y t m
.
Câu 11 : Trên đoạn
1;4
, các hàm số
2
f x x px q
;
2
4
g x x
x

có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt
tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của
fx
trên đoạn này.
A.
max 7fx
B.
max 5fx
C.
max 6fx
D.
max 8fx
Giải :
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:
22
44
3
22
xx
g x x
xx
Suy ra:
min
3gx
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2x
Ta có:
2f x x p

. Cho
0 2 0
2
p
f x x p x
Do
fx
và
gx
có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm trên đoạn
1;4
, nên ta có:
2
23
4 2 3 7
47
44
2
2
f
p q q
f x x x
p
pp



T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 9
Nhận thấy:
min 2f x f
nên
max 1 ; 4f x f f
. Và
14
max 7
47
f
fx
f

Vậy
max 7fx
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4x
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 12 : Cho hàm số
32
()f x x ax bx c
và giả sử
,AB
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giả
sử đường thẳng
AB
cũng đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.P abc ab c
A.
9
B.
25
9
C.
16
25
D.
1
Giải :
Ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số
32
()f x x ax bx c
là :
22
2 2 2 2
:
3 9 9 3 9 9
a ab a ab
f x b x c AB y b x c
.
Do
AB
đi qua gốc tọa độ
0;0 9O ab c
.
Thay vào
2
2
5 25 25
9 10 3
3 9 9
P c c c



. Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
5
9
c 
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 13 : Cho hàm số
2
2cosy f x x x
trên
;2
2



. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
y
.Tính
P M m
.
A.
4P
B.
2
4P
C.
2
41P

D.
2
42P

Giải :
Xét
2
2cos ;2
2
f x x x x






' 2 sinf x x x
.
'' 2 1 cos 0 ;2
2
f x x x






'fx
là hàm đồng biến trên
;2 '
2
fx




có tối đa một nghiệm .
Ta thấy
' 0 0 0fx
là nghiệm duy nhất của
'fx
.
Ta có :
2
;2
2
2
2
2
;2
2
min 0 2
24
0 2 4 1
max 2 4 2
2 4 2
x
x
f x m f
f
fP
f x M f
f



















.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 14 : Cho hàm số
3
sin 2016f x a x b x
. Cho biết
3
log log 10 2017f
.Tính
log log3f
.
A.
log log3 2018f
C.
log log3 2016f
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 10
B.
log log3 2017f
D.
log log3 2015f
Giải :
Ta có:
3
3
1
log log3 log log log 10
log 10
f f f








3
33
sin log log 10 log log 10 2016ab
3
33
sin log log 10 log log 10 2016 4032ab
3
log log 10 4032 2017 4032 2015f
Vậy
log log3 2015f
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 15 : Cho hàm số :
2
22
:0
1
m
x m x m
C y m
xm


. Biết với mọi
0m
thì
m
C
luôn tiếp
xúc với 1 đường thẳng cố định
d
. Vậy
d
là :
A.
:1d y x
B.
:1d y x
C.
:2d y x
D.
:2d y x
Giải :
Do may mắn nên
m
C
luôn đi qua điểm cố định
1; 2A 
với
0m
.
Tiếp tuyến chung có tiếp điểm là
1; 2A 
.
Ta mò điểm cố định đó như sau :
Gọi
;
oo
A x y
là điểm cố định mà
m
C
luôn đi qua . Nên từ đó ta có :
2
2
22
1
1 2 2 1 0
1
oo
o
o
o o o o o o
o
x m x m
y
xm
y x m x x x y
xm


Để phương trình trên luôn có nghiệm thi :
2
2
2
1 0 1
2 2 1 1 0
2 2 1 0
1
1
1; 2
2
10
o o o o
o o o o
o o o
oo
o
o
o
y x y x
x x x x
x x x b
yx
x
A
y
x







.
Từ đây có thể kết luận
1yx
là tiếp tuyến và tiếp điểm là
1; 2A 
do hệ có nghiệm kép .
Ta chứng minh bằng pp tự luận sau :
Theo lớp 11 thì hệ số góc k của tiếp tuyến tại
o
x
chính là
'
o
yx
.
Ta tính
22
2
2
2 4 1 4 2
' ' 1 1
1
x m x m m
m
yy
x m m

( may mắn quá )
:1d y x
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 11
Câu 16 : Cho hàm số
2
1
ax b
y
x
. Khi hàm số
y
có giá trị lớn nhất bằng
4
và giá trị nhỏ nhất bằng
1
thì giá trị của
22
P a b
là :
A.
13P
B.
20P
C.
25P
D.
34P
Giải :
Khi
2
2
2
1
11
11
2
1
4
,4
4 4 0
1
max 4
,4
4 4 0
4
1
ax b
xy
x ax b
x
y
ax b
x y x
x ax b
x
.
Để hệ có nghiệm thì
2
2
1
16 4 0
16 4 0
ab
ab
2
1
16 4 0 1ab
.
Khi
2
2
2
2
22
22
2
2
1
,1
10
1
min 1
,1
10
1
1
ax b
xy
x ax b
x
y
ax b
x y x
x ax b
x


.
Để hệ có nghiệm thì
2
2
2
' 4 1 0
4 1 0
ab
ab
2
1
4 1 0 2ab
.
Từ
1
và
2
2
2
16 4 0
16
2 25
3
4 1 0
ab
a
P
b
ab

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 17 : Cho hàm số
cos2 cos 2017f x x a x
với
a
là tham số thực . Gọi
0
a
là giá trị để
maxT f x
đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó giá trị
T
là :
A.
2016T
B.
2017T
C.
2018T
D.
2019T
Giải :
Ta có :
Nếu
0a
:
0 2018 2018 2018 2018f a a M
.
Nếu
0a
:
2018 2018 2018 2018f a a M
.
Nếu
0a
:
cos2 2017 cos2 2017 2018f x x x x
Mà
0 2018 max 2018f T f x
.
2018Ta
. Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
0a
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 18 : Cho
32
2 6 3f x x x
. Số nghiệm thực của phương trình
0f f x
.
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
Giải :
0fx
ta thấy có 3 nghiệm
2,810....
0,8317..
0,64...
xA
xB
xC

.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 12
32
32
32
32
2 6 3 0
2 6 3 0 2 6 3 0
2 6 3 0
f x A
x x A
f f x f x f x f x B x x B
x x C
f x C
.
Ta có :
32
2,98...
2 6 3 0 0,18...
0,17...
x
x x A x
x

.
32
2,86..
2 6 3 0 0,68..
0,55..
x
x x B x
x

.
32
2,76..
2 6 3 0 0,94..
0,70..
x
x x C x
x

.
Vậy phương trình
0f f x
có 9 nghiệm thực phân biệt .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 19 : Cho hàm số
32
3
3
2
y f x x x x
. Phương trình
1
21
f f x
fx
có bao nhiêu nghiệm
thực phân biệt .
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
Giải :
Điều kiện :
1
2 1 0
2
f x f x
.
Ta có :
1 2 1
21
f f x
f f x f x
fx
32
3,059...
3
3 2 1 0,845...
2
0,934...
f x A
f x f x f x f x f x B
f x C

.
32
32
32
3
2,841...
3 0 1
2
2,499...
3
3 0 2 0,809...
2
0,309...
3
3 0 2
0,688...
2
x
x x x A
x
x x x B x
x
x x x C
x


Phương trình có
5
nghiệm phân biệt .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 20 : Phương trình
2
32
11x x x m x
có nghiệm thực khi đó tập giá trị
m
thỏa là :
A.
3
6;
2
m




B.
1; 3m
C.
3;m 
D.
13
;
44
m




Giải :
Với
0x 
Phương trình có nghiệm khi
0m
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 13
Với
0x
:
Ta có :
22
3 2 2 2 2 2
1 1 1x x x m x x x x m x
.
2
22
*
11
xx
m
xx

.
Ta có :
2
11
2 2 2
1
xx
x
x
.
Đặt
2
11
;*
22
1
x
tt
x






trở thành
2
11
;
22
t t m t






.
Xét :
2
f t t t
với
1 1 1 3
;
2 2 4 4
t f t



với
11
;
22
t




.
Vậy tóm lại để phương trình có nghiệm có khi
13
;
44
m




.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 21 : Cho phương trình
6 4 3 3 2 2
6 15 3 6 10 0 *x x m x m x mx
với
m
là tham số. Tìm
tất cả giá trị của
m
để
*
có đúng hai nghiệm thực thuộc đoạn
1
;2
2



.
A.
5
2
2
m
B.
11
4
5
m
C.
7
3
5
m
D.
9
0
2
m
Giải :
Ta có :
6 4 3 3 2 2
6 15 3 6 10 0x x m x m x mx
6 4 2 2 3 3 2 2
3
3
22
2
6 12 8 3 6 3 6 4
2 3 2 1 3 1
21
x x x x m x m x mx
x x mx mx
x mx
2
2
1
1.
x
x mx m A
x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 22 : Cho hàm số
2
1 2 2
2
x m x m
y
x
. Tìm
m
thuộc khoảng nào sau đây để giá trị để giá trị
lớn nhất của hàm số
y
trên
1;1
đạt nhỏ nhất :
A.
2; 1m
B.
3
;1
2
m




C.
1;0m
D.
1;1m
Giải :
2
2
1 2 2
2
22
x m x m
xx
ym
xx


. Đặt
2
2
2
xx
fx
x

với
1;1x
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 14
2
2
4
'
2
xx
ft
x
.
'0
' 0 0 2; 1
1;1
fx
f x x f x
x


.
Vậy bài toán trở thành
2; 1y f t t m t
.
Ta phải tìm
m
để
2; 1
max
t
ft
đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có
2; 1 2; 1 2; 1
max max 2 ; 1 max 2 ; 1
t t t
f t f f m m
.
2; 1
3 1 3
2 1 max 2 2
2 2 2
t
m m m f t m m m




2; 1
3 1 3
2 1 max 1
2 2 2
t
m m m f t m m




.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
2; 1
max
t
ft
là
1
2
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
2
m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 23 : Cho
42
64y x x x
. Gọi
C
là đường tròn đi qua 3 điểm cực trị của
y
. Biết
C
giao
:3 0d x y
tại 2 điểm
; ; ;
A A B B
A x y B x y
. Tính
A A B B
x y x y
.
A.
35
3
B.
11
5
C.
27
5
D.
17
5
Giải :
3
' 4 12 4y x x
. Ta thấy
'0y
có 3 nghiệm phân biệt
Có 3 điểm cực trị .
Gọi
;
oo
M x y
là điểm cực trị bất nào đó
33
0
4 12 4 0 3 1
o o o
x x x x
.
Ta có :
42
00
6 4 3 1 6 3 1 4
o o o o o o
y x x x x x x x
.
2
33
o o o
y x x
3 điểm cực trị nằm trên 1 Parabol
không thẳng hàng .
Mặt khác :
2
2
22
3 3 3 3
o o o o o o
y x x y x x
2 4 3 2 2
22
2 2 2
22
22
9 18 9 9 3 1 18 3 1 9
36 63 18
37 63 18
3
37 63 18
3
37
26 18 0
3
o o o o o o o o
o o o
o o o o
oo
o o o
o o o o
y x x x x x x x
y x x
x y x x
xy
x y x
x y x y



Vậy 3 điểm cực trị thuộc đường tròn
22
37
: 26 18 0
3
C x y x y
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 15
2; 6
9 27
;
10 10
A
C d B
B



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 24 : Cho nửa đường tròn đường kính
2AB R
và điểm
C
thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt góc
CAB
và gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
C
trên
AB
. Tìm
sao cho thể tích vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay tam giác
ACH
quanh trục
AB
đạt giá trị lớn nhất.
A.
1
2
B.
1
arctan
3
C.
1
arctan
2
D.
1
3
Giải :
Gọi
O
là trung điểm của
AB
.
Xét trục
AOB
với
O
là gốc thì ta có:
,0 , ,0A R B R
H
đoạn
,0AB H x
với
0,xR
.
Ta có
,AH R x R x HB R x R x
.
2 2 2
.HC HAHB R x
.
Mà
2
1
..
3
V AH HC
nên
2 2 2 2
. . ' . . 2
33
V x R x R x V x R x R x x



.
0
'0
3
20
R x Loai
R
Vx
R x x

.
22
21
tan
2
2
HC R x
HA R
C
x
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 26 : Trang giấy in là hình chữ nhật, diện tích phần chữ ( hình chữ nhật ) là
2
468,75cm
, lề 2 bên là
1,5cm
, lề trên đỉnh và đáy là
2cm
. Chu vi khổ giấy là bao nhiêu khi dung lượng giấy ít nhất .
A.
101,5cm
B.
50,75cm
C.
43,75cm
D.
87,5cm
Giải :
Gọi
,ab
lần lượt là chiều dài và chiều rộng của phần chữ :
468,75
468,75
43
1875
3 480,75
b
ab
a
P a b
Pa
a



.
2
1875
' 3 ' 0 25P a P a a
a
.
Vậy để tiết kiệm giấy nhất thì
25
18,75
a
b
Chu vi nhỏ nhất là
2 3 4 101,5a b cm


.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 27 : Cho tam giác đều
ABC
cạnh a. Dựng hình chữ nhật
MNEF
có cạnh
MN
nằm trên cạnh
BC
,
hai đỉnh
,EF
lần lượt trên cạnh
,AC AB
. Tồn tại
M
để
max
MNEF
S
. Tính
max
MNEF
S
.
A.
2
33
16
a
B.
2
3
16
a
C.
2
3
8
a
D. đáp án khác
Giải :
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 16
Ta có :
MNEF
là hình chữ nhật
//EF BC MN
.
Gọi
I
là trung điểm của
BC
.
Đặt
1
AF BF
xx
AB AB
. Ta có
MN EF xBC
,
1ME x AI
.
2
2 2 2
3 1 1 3 3
1 . 1
2 2 4 2 8
S x x AI BC x x a x a a







.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 28 : Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài
12cm
và chiều rộng
8cm
. Gấp góc bên phải của
tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy như hình vẽ. Để độ dài nấp gấp là nhỏ nhất thì
giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu :
A.
63
B.
62
C.
6
D.
65
Giải :
Gọi các điểm như hình bên, với
N
là hình chiếu của
M
trên
CD
.
Ta có
MEB MEF
nên
EB EF x
.
Mà
CEF
vuông tại
C
nên
EF EC EB EC
.
48
2
BC
EB BC x
.
2
2
8 8 16 64EB x EC x CF x x x
.
Vì
00
90 90EFM MFN EFC MFN FEC MFN FEC ∽
.
82
16 64 4
MF MN MF x
MF
FE FC x
xx

.
MEF
vuông tại
23
2 2 2 2
4
44
xx
F ME FE FM x
xx

.
Xét hàm số
3
4
x
y
x
với
4;8x
.
Ta có:
32
2
2 12
'
4
xx
y
x
,
0
'0
6
xl
y
xn

.
Vẽ bảng biến thiên ta thấy tại
6x
thì
y
sẽ có giá trị nhỏ nhất là
108
.
Khi đó
2
108 6 3ME ME
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 29 : Cho hình chữ nhật
ABCD
có
1
,3
3
AB AD
. Trên tia
AB
lấy điểm
E
,
CE
cắt tia
AD
tại
F
. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn
EF
.
A.
min
83
5
EF
B.
min
83
3
EF
C.
min
4 21
3
EF
D.
min
4 21
5
EF
.
Giải :
Gọi góc
BCE
. Do
CE
luôn cắt tia
AD
nên
E
di chuyển trên
tia
AB
sao cho
B
nằm giữa
,AE
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 17
3
31
sin
1
2 sin
3.cos
3.cos
CE
DCF EF
CF
.
Đặt
3 1 3cot tan
0'
sin 2 sin
3.cos 3cos
y f y






.
Ta có
3
3cot tan
' 0 0 tan 3 3 tan 3
sin 3
3cos
y
.
Vậy dựa vào bảng biến thiên ta có :
0;
2
83
min
33
ff







.
Tổng quát hoá bài toán : Cho hình chữ nhật
ABCD
có
,AB a AD b
. Trên tia
AB
lấy điểm
E
,
CE
cắt tia
AD
tại
F
. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn
EF
.
Giải :
Ta có công thức tổng quát sau :
3
22
33
min
EF a b




.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 30 : Cho hàm số
32
y f x x x x C
và
1;4 , 1;1AB
. Gọi
là tiếp tuyến của
C
thỏa và có khoảng cách từ
A
đến
gấp
2
lần khoảng cách từ
B
đến
. Hỏi có bao nhiêu tiếp
tuyến thỏa điều kiện trên biết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
00
;M x y
thuộc
C
có dạng:
0 0 0
.'y x x f x f x
.
A. 3 B. 4 C. 1 D. 5
Giải:
Gọi
,KJ
lần lượt là hình chiếu của
,AB
trên
.
Ta có
; 2 ; 0 2 0d A d B AK BJ
.

và
AB
cắt nhau.
Vậy
I AB
với
AB
là đường thẳng.
Ta có
//
1; 2
2
2
1;2
2
2
AK BJ
I
IA IB
KJ AB I IA IB
I
IA IB
AK BJ

.
Vậy
luôn đi qua một trong hai điểm cố định
1; 2I
hay
1;2I
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 18
Với trường hợp
; 2 ; 0d A d B
thì
AB
nên
điều trên vẫn đúng. Vậy ta luôn có
luôn đi qua một trong
hai điểm cố định
1; 2I
hay
1;2I
.
là tiếp tuyến của
C
tại tiếp điểm
00
;M x y
nên
có
dạng:
0 0 0
.'y x x f x f x
với
2
0 0 0
' 3 2 1f x x x
và
32
0 0 0 0
f x x x x
.
Trường hợp 1:
1; 2I
, ta có:
2 3 2
0 0 0 0 0 0
2 1 . 3 2 1x x x x x x
.
32
0 0 0
2 2 2 3 0 1x x x
.
Đặt
32
2 2 2 3g x x x x
có tập xác định
D
.
Số giao điểm của
gx
và
Ox
chính là số nghiệm của phương trình
1
chính là số tiếp tuyến của
trường hợp 1.
Ta có
2
1
1 355
' 6 4 2, ' 0 1 . 0
1
3 27
3
x
g x x x g x g g
x




2 điểm cực trị của
gx
nằm cùng phía với trục
Ox g x
cắt
Ox
tại một điểm duy nhất
Có một tiếp tuyến thỏa trường hợp
1.
Trường hợp 2:
1;2I 
, ta có:
Chứng minh tương tự
Có ba tiếp tuyến thỏa trường hợp 2.
Vì
1
AB
xx
phương trình đường thẳng qua
,AB
có dạng:
1xd
không thể là tiếp tuyến của
C
Vậy có tổng cộng bốn tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 19
󰉼󰉴 󰉼 
Câu 31 : Định
m
để bất phương trình sau thỏa mãn mọi
0x
:
1
2
log 2 6
x
mx
.
A.
3m
B.
3m
C.Không có
m
D. Đúng mọi
m
Giải :
Ta có :
1
2
log 2 6
x
mx
.
1
2
2 6 2
2.2 6 2 .2
2. 2 6.2 2
x m x
x m x
x x m

Đặt :
2
x
t
. Do
01xt
. Bất phương trình trở thành :
2
2 6 2
m
tt
.
Đặt
2
2 6 2
m
f t t t
với
1;t 
.
' 4 6 0f t t
với
1;t 
.
ft
hàm đồng biến với
1;t 
.
1 0 8 2 0 3
m
f t f m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 32 : Có bao nhiêu giá trị nguyên
m
để phương trình :
3
2
log 2 log 9 16
x
xm
. Có 2 nghiệm đều lớn hơn
1
.
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
Giải :
Đặt
3
log 2tx
.
Phương trình trở thành :
2
4
16 16 4 0 *
m
t t t m
t
.
Để phương trình đề cho có 2 nghiệm đều lớn hơn
1
thì
*
phải có nghiệm nghiệm lớn hơn 0.
64 4 0
16 0 0 16
40
m
Sm
Pm

.
Vậy có 15 giá trị nguyên của
m
thỏa bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 33 : Định m để phương trình :
2
12
2
3 log 4 2 1 log 4 2 0m x m x m



có nghiệm
12
,xx
thỏa
12
46xx
.
A.
1
3
m
m
B.
1
2
3
m
m
C.
1
1
2
3
m
m
D.
1
2
m
m
Giải :
Đặt
2
log 4tx
.
Phương trình trở thành :
2
3 2 1 2 0 *m t m t m
.
Với
2
4 6 log 4 1 ;1x x t 
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 20
Do phương trình có 2 nghiệm
3m
.
2
2 1 4 2 3 25m m m
.
1
2
1
2
3
t
m
t
m


Vậy để thảo yêu cầu bài toán
3
2
1
1
3
2
m
m
m
m

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 34 : Có bao nhiêu giá trị
0;1a
để phương trình
55
log 25 log
x
ax
có nghiệm duy nhất .
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Giải :
Phương trình đã cho
5
25 5 log 1
xx
a
.
Đặt
50
x
tt
Phương trình
1
trở thành :
2
5
log 2t t a
.
Để phương trình
1
có nghiệm duy nhất thì phương trình
2
có đúng 1 nghiệm dương .
Xét :
2
f t t t
với
0;t 
.
' 2 1f t t
,
1 1 1
'0
2 2 4
f t t f



.
Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình
2
có 1 nghiệm dương duy nhất thì :
5
5
4
1
log 0
1
1
log
5
4
a
a
a
a


.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị
m
nguyên để phương trình
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 log 3 1x x m x
có
nghiệm thuộc khoảng
32;
.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Giải :
Gọi
2
12
2
2
2
42
log 2log
log 0
log log
xx
t x x
xx

.
Theo giả thuyết
1
có nghiệm
5
22
32 log log 2 5x t x t
.
Theo yêu câu bài toán ta có :
2
5
23
3
t
tt
m
t

có nghiệm .
Xét
2
2 3 1
33
t t t
ft
tt


với
5;t 
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 21
2
2
'0
1
3
3
ft
t
t
t
với
5;t 
.
ft
là hàm đồng biến trên
5;
.
Vẽ bảng biến thiên ta có
13m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 36 : Tìm m để phương trình
32
1
2
2
log 6 2log 14 29 2 0mx x x x
có 3 nghiệm phân biệt :
A.
39
18
2
m
B.
39
19
2
m
C.
19 20m
D.
18 20m
Giải :
32
22
log 6 log 14 29 2pt mx x x x
.
2
32
2
1
2
14 29 2
14
2
6 14 29 2
6 14 29 *
x
xx
mx x x x
m x x
x




Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
*
có 3 nghiệm phân biệt thuộc
1
;2
14



.
Xét
2
2
6 14 29f x x x
x
với
1
;2
14
x



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 37 :Tập tất giá trị của
m
để phương trình
2
1
2
22
2 .log 2 3 4 .log 2 2
x
xm
x x x m
có
đúng bốn nghiệm phân biệt là :
A.
13
; \ 1
22



B.
3
1; \ 1
2



C.
3
0; \ 1
2



D.
13
; \ 1
22



Giải :
2
2
2 1 2
22
2
2
2 .log 2 1 2 2 .log 2 2
2 1 2
2 1 2 *
xm
xx
x x x m
f x x f x m
x x x m



Để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thì
*
phải có 4 nghiệm phân biệt .
2
22
22
2 1 2
2 1 2 4 1 2 0 1
2 1 2 2 1 2
x x x m
x x x m x x m
x x x m x m





Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
1 , 2
phải có 2 nghiệm phân biệt và không có nghiệm
chung .
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 22
1
3
' 4 1 2 0
2
1
2 1 0
2
m
m
m
m




.
Ta loại
1m
vì lúc đó 4 nghiệm phân biệt nhưng có 2 nghiệm trùng nhau :
Vậy
13
; \ 1
22
mD




.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 38 : Cho phương trình
32
22
log 5 6 log 3 1
m
mx mx x x
với mọi
0m
. Hỏi phương
trình có bao nhiêu nghiệm với mọi
0m
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Giải :
Điều kiện cần :
Giả sử
0
xx
là nghiệm của phương trình đúng với mọi
0m 
Nghiệm sẽ thỏa với bất kì
0m
,
chọn
0m
.
Với
0m
, ta có
0
2 0 2 0
0
2
log 6 log 3 1
5
x
pt x x
x
.
Điều kiện đủ :
2
2
02
2
2 log 12 2 log 2
m
xm
.
Điều kiện xác định
2
11
12 2 0
66
mm
không thỏa với mọi
0m
.
2
02
2
5 log 1 log 1 0 0
m
x
Phương trình có nghiệm đúng với mọi
0m
.
Vậy có 1 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 39 : Cho phương trình
2
2
8
7
log 2 log 3
m
m x m m mx
với mọi
0m
. Số nghiệm của
phương trình đúng với mọi
0m
là :
A.
0
B.
1
C.
2
D. vô số
Giải :
Điều kiện cần :
Giả sử
0
xx
là nghiệm của phương trình đúng với mọi
0m 
Nghiệm sẽ thỏa với bất kì
0m
,
chọn
1m
.
Với
1m
, ta có
0
8 0 8 0
0
0
log 1 2 log 3
1
x
pt x x
x
.
Điều kiện đủ :
2
08
7
0 log 3 log 3
m
x m m
không thỏa với mọi
0m
( Ví dụ
11 8
2 log 6 log 6m
).
2
2
08
7
1 log 1 2 log 2
m
x m m m
không thỏa với mọi
0m
( Ví dụ
11 8
2 log 3 6 log 6m
) .
Vậy có 0 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 40 : Cho hàm số
1
22
x
y f x
. Tính
2 2016 2015 ... 2017P f f f


.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 23
A.
2019P
B.
2018P
C.
2017P
D.
2016P
Giải :
1
1 1 1 1 2 1
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x x
f x f x



2017
1 1 1
2. ... 2017
2 2 2
so
P



Đáp số
2017P
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 41: Ký hiệu
1
1
2
1
3log 2
2
1
2log
4
8 1 1
x
x
f x x






. Giá trị của
2017ff
bằng :
A.
2019P
B.
2018P
C.
2017P
D.
2016P
Giải:
Điều kiện :
0; \ 1x 
.
1
1
1 log 2 log 2
2log
4
.2
x
xx
x x x x x
.
1
3log 2
1
2
2
log
2
2
log
2
3
2
8 8 2
x
x
x
x
.
1
2
2
2 1 1 1 2017 2017f x x x x x f f
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 42 : Cho các số thực dương
,ab
thỏa
9 12 16
log log loga b a b
. Tính tỉ số
a
b
.
A.
15
2
a
b

B.
15
2
a
b
C.
15
2
a
b
D.
15
2
a
b

Giải :
Ta có :
9 12 16
9
log log log 12
16
k
k
k
a
a b a b k b
ab

.
2
9 12 1 5
9 12 16 1 0 1 0 1 0
12 9 2
kk
k k k
a b a a a
b a b b b

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 43 : Cho
, , , 0
, , 0
x y z k
abc
thỏa mãn
1 1 1 1
x y z k
và
4 4 4
ax by cz
. Tính giá trị
3 3 3
A ax by cz
theo
, , ,a b c k
.
A.
4
2
4 4 4
A k a b c
C.
4
3
4 4 4
A k a b c
B.
4
4 4 4
2
abc
A
k

D.
4
4 4 4
3
abc
A
k

T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 24
Giải :
Ta có :
4
4
4 4 4
3 3 3 4 3 4 3 4
1 1 1 1 1 1 1ax by cz
A ax by cz ax k ax k ax
x y z x y z k x y z



4
4
44
44
4
4
3 4 3
4 4 4
4 4 4
, , 0
, , 0
x y z
by
ax cz
k ax k a b c do a b c
x y z
ax by cz










.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 44 : Cho
35
3 2 2 4 3 5 3 4
4
2 1 2
16
log . 4 log log , 0A x a b a b y a b a b a a b
. Gọi
;xy
là giá trị
để
A
không đổi với mọi
,0ab
. Tính
P x y
.
A.
4
B.
20
9
C.
16
9
D.
23
12
Giải :
2 4 3 4
3 1 3 5
3 3 5 5
4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
log log log log log log log log logA x a b a b y a b a b a
22
17 21 11 33
1 log log
12 10 6 10
x y a x y b
.
Để
A
không phụ thuộc vào
,0ab
thì
17 21
4
10
12 10
20
11 33
0
9
6 10
x
xy
y
xy





.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 45 : Cho
,xy
thỏa
2
ln ln lnx y x y
. Tính giá trị nhỏ nhất
P x y
.
A.
3P
B.
32P 
C.
3 2 2P 
D.
3 3 2P 
Giải :
Theo giả thiết ta có :
22
1xy x y y x x
.
Do
2
0
1 0 1 1
0
x
x x P
y
.
Vậy từ đó ta có :
2
2
2 1 0 *
1
xy x y
y P x x P x P
P

.
Vậy để
*
có nghiệm với
2
*
, 0 6 1 0x y P P
3 2 2
3 2 2
3 2 2 1
P
P
P loai do P

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 46 : Cho
1 2 2017
, ,...,a a a
là
2017
số phân biệt đều lớn hơn
1
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 25
Phương trình
1 2 2017 1 2 2017
... ... 2017 2017
x x x
a a a a a a x
với
x
là ẩn số thì có bao nhiêu
nghiệm :
A.
1
B.
2
C.
4
D.
,,A B C
đều sai
Giải :
Xét
1 2 2017 1 2 2017
... ... 2017 2017
x x x
f x a a a a a a x
.
1 1 2 2 2017 2017 1 2 2017
' ln ln ... ln ... 2017
x x x
f x a a a a a a a a a
.
2
22
1 1 2 2 2017 2017
'' ln ln ... ln 0
x x x
f x a a a a a a x
.
'fx
có không quá một nghiệm .
fx
có không quá hai nghiệm .
Mà
00
10
f
f
Vậy phương trình có hai nghiệm
0
1
x
x
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 47 : Phương trình
5
log 2017
2sin cos
16 4 2017
xx



có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
0;2017
.
A.
641
B.
642
C.
1282
D.
1283
Giải :
Phương trình tương đương
2sin cos
16 4 5
xx

.
Vế trái :
4sin cos 4 sin cos cos cos cos 4sin 4cos
5
4
1111
4 4 4 .4 .4 .4 .4 5 4 5
4444
x x x x x x x x x
.
Do
2
2
sin sin
sin cos 1
cos cos
xx
xx
xx
.
Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
4sin cos
1
4 .4
4
sin 0
sin cos 1
xx
xk
x
k
xx


.
Ta có :
1;642
0 2017 0 2017 0 642,03...
,
k
x k k
x k k k k
k
.
Vậy số nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu bài toán là :
642 1 1 642
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 48 : Có tất cả bao nhiêu giá trị
m
trong khoảng
2017;2017
để phương trình
1
4 3.2 10 2 2 3 sin
x x x
mx
có nghiệm trong khoảng
1;3
:
A.
1283
B.
1284
C.
1285
D.
1286
Giải :
Ta có :
1
4 3.2 10 2 2 3 sin
x x x
mx
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 26
2
2
22
2
2
2 2.3.2 9 1 2 2 3 sin 0
2 3 2 2 3 sin sin cos 0
2 3 sin cos 0
2 3 sin 0 1
cos 0 2
x x x
xx
x
x
mx
mx mx mx
mx mx
mx
mx




Giải phương trình
2
2
2
cos 0 ,
2
2
mx k
mx k l
mx l

.
Thay
2
2
mx l
vào
2 2 3 1 1
x
x
loại do
1;3x
.
Thay
2
2
mx k

vào
2 2 3 1 2
x
x
( nhận )
4
m k k
.
Ta có :
2017;2017
642,28... 641,78..
2017 2017
4
4
m
k
k
mk
k
k
k



642;641k
k


số giá trị
k
nguyên là
:641 642 1 1284
.
Vậy có
1284
giá trị
m
thoả mãn yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 27
󰉼󰉴-
Câu 49 : Tính tích phân
2016
1
2018
3
2
1
2
x
I dx
x
.
A.
2017I
B.
1
2017
I
C.
1I
D.
1
2017
I
Giải :
Đặt
2
11
2
2
x
t dt dx
x
x
. Đổi cận
3
1
2
10
x
t

0
0
2017
2016
1
1
1
2017 2017
t
I t dt



D.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 50 : Cho
32
2017
12
2019 2 2017
0
2 3 4 3
...
1
1 1 1
a
A
AA
x x x
I dx B
a
x a a
với
1 2 2017
, .., ,A A A B
,
0a
. Tính
1 2 2016 2017
2 ... 2016 2017P A A A A
.
A.
1P
B.
3P 
C.
2017P
D.
0P
Giải :
32
2019 2016 2017 2018
00
2 1 3 1 4 1
2 3 4
1 1 1 1
aa
x x x
I dx dx
x x x x





2015 2016 2017
2 3 4
0
2015 1 2016 1 2017 1
B
F
a a a
2 3 4 3P
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 51 : Tính
4
2
2
max ;4 3I x x dx
:
A.
2I
B.
3I
C.
58
3
I
D.
61
3
I
Giải :
Gọi
2
, 4 3f x x g x x
. Xét
2
43h x f x g x x x
với
2;4x
.
Ta có
0 2;3 2;3
0 3;4 3;4
h x x f x g x x
h x x f x g x x





.
4 3 4
2
2 2 3
58
max ;4 3
3
I x x dx g x dx f x dx
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 52 : Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng
0; 1xx
. Biết diện tích thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng
P
vuông góc với trục
Ox
tại điểm có hoành độ
01xx
là một dường tròn có
độ dài đường kính
1R x x
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 28
A.
7
6
V
B.
7
3
V
C.
7
9
V
D.
7
12
V
Giải :
Ta có diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng
P
là :
2 3 2
S x R x x

.
1
32
0
7
12
V x x dx
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 53 : Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
2 1 3 ,f x f x x x
.
Tính tích phân
1
0
I f x dx
.
A.
1I
B.
2I
C.
1
2
I
D.
3I
Giải:
Ta có
1
0
2 1 3 3 2 1 3 2 1f x f x x f x x f x I x f x dx


.
1
11
2
0
00
33
2 1 2 1
22
x f x dx f x dx

.
Đặt
1t x dt dx
, đổi cận:
01
10
xt
xt
.
Vậy
1 0 1 1
0 1 0 0
1f x d x f t dt f t dt f x dx I
.
3 3 1
23
2 2 2
I I I I
.
Cách 2 : Chọn hàm:
Giả sử :
11f x ax b f x a x b
.
Ta có :
2 1 2 1 2 3 2 3f x f x ax b a x b ax b a x
.
Đồng nhất hệ số ta có :
33
2 3 0 2
aa
a b b



1
0
1
32
2
x dx
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 54 : Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm
'( )fx
liên tục trên và
đồ thị của hàm số
'( )fx
trên đoạn
2;6
như hình vẽ bên. Tìm khẳng
định đúng trong các khẳng định sau :
A.
[ 2;6]
max ( ) ( 2)
x
f x f


C.
[ 2;6]
max ( ) (2)
x
f x f

B.
[ 2;6]
max ( ) (6)
x
f x f

D.
[ 2;6]
max ( ) ( 1)
x
f x f


Giải :
'fx
đổi dấu từ dương sang âm tại
' 1 1fx
là điểm cực đại .
'fx
đổi dấu từ âm sang dương tại
' 2 2fx
là điểm cực điểm .
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 29
[ 2;6]
1
max ( )
6
x
f
fx
f


.
Gọi
1
S
là diện tích giớ hạn bởi
' ; ; 1; 2f x Ox x x
.
1
S
là diện tích giớ hạn bởi
' ; ; 2; 6f x Ox x x
.
Dựa vào hình vẽ ta có :
26
12
12
''S S f x dx f x dx

.
1 2 6 2 1 6f f f f f f
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 55 : Cho
2
:3P y x
và đường thẳng
d
qua
1;5M
có hệ số góc k. Biết k chính là hệ số góc để
diện tích hình phẳng giới hạn bởi
;dP
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tính đó :
A.
86
9
B.
46
9
C.
11 6
9
D.
76
9
Giải :
:5d y kx k
phương trình hoành độ giao điểm của
;Pd
là :
2
3 5 0 1x kx k
.
2
2
12 60 6 24 0k k k
.
Gọi
12
xx
là các nghiệm của
1
2
6
1
6
k
x
k
x


. Ta có .
2
12
12
12
3 5 0 ;
6
5
.
3
x kx k x x x
k
xx
k
xx



.
Khi đó
2
2
1
1
2
23
3 5 5 .....
2
x
x
x
x
kx
S x kx k dx x k x



2
2 1 1 2 1 2 1 2
3
2
.... 5
2
12 60
54 54
k
x x x x k x x x x
kk



Vậy
min min
86
6
9
Sk
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 56 : Cho
42
: 1 2 0
m
C x m x
luôn có 3 cực trị. Gọi
là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của
m
C
. Gọi m để diện tích hình phẳng giởi hạn bởi
m
C
và
là
128
15
. Tính
2
2
23mm
A.
324
B.
2304
C.
961
D.
16
Giải :
Do
M
C
luôn có cực trị
1m
. Điểm cực tiểu là
0 : 2xy
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 30
Phương trình hoành độ giao điểm :
42
0
1 2 2
1
x
x m x
xm
1
2
3
1
5
42
1
0
1 4 1 1
12
5 3 15
m
m
m
m x m m
x
S x m x dx




Ta có :
2
4 1 1
128
5
15 15
mm
m

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 57 : Xét hàm số
2
yx
trên
0;1
và 1 giá trị
m
bất kì thuộc
0;1
. Gọi
1
S
là diện tích giới hạn bởi
đường
22
0; ;x y m y x
,
2
S
là diện tích giới hạn bởi đường
22
; ; 1y x y m x
. Gọi
12
S S S
,
tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
S
là :
A.
2
3
B.
11
12
C.
1
3
D.
1
Giải :
Phương trình hoành độ gia điểm :
22
, 0;1x m x m x m
.
1
33
2 2 2 2 3 2 3 3 2
12
0
1 4 1
3 3 3 3 3
m
m
mm
S S S m x dx x m dx m m m m m










.
Xét
32
41
33
f m m m
với
0;1m
.
1
0
3
1
0
min
1 1 11
4
' 0 0;1 min max
1
2
2 4 12
max
2
3
2
1
3
f
m
S
f m m f T S S
m
S
f






.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 58 : Cho
0a
sao cho diện tích
S
giới hạn bởi hai parabol
22
1
4
24
:,
1
x ax a
Py
a
2
2
4
:
1
x
Py
a
có giá trị lớn nhất. Vậy giá trị lớn nhất của
S
là :
A.
max
4
27
3
S
B.
max
4
27
23
S
C.
max
4
27
43
S
D.
max
4
27
83
S
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
12
,PP
là :
2 2 2
22
44
24
2 2 4 0
2
11
xa
x ax a x
x ax a
xa
aa


.
22
22
44
22
2 2 4 1
2 2 4
11
aa
aa
x ax a
S dx x ax a dx
aa







T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 31
3 3 3
22
4 4 4 4 4
2
1 2 9 27
4
1 3 1 3
a
a
x a a
ax a x
a a a a a






3
4
12
4
27 27
43
43
a
a

( Theo bác học Cauchy ) .
Vậy
max
4
27
43
S
khi
4
3a
.
Cách khác : Các bạn có thể tìm
max
S
bằng phương pháp hàm số .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 59 : Cho đồ thị
C
của ham số
42
4y x x
cắt đường thẳng
:d y m
tại
bốn điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích
1 2 3
,,S S S
như hình vẽ. Biết
a
m
b

với
,*ab
và
a
b
là phân số tối giản thì
1 2 3
S S S
. Khẳng định nào
sau đây là đúng :
A.
5 10ba
B.
5 11ba
C.
5 12ba
D.
5 13ba
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm
42
, 4 0 *C d x x m
.
Để
,Cd
thì
*
phải có 4 nghiệm phân biệt
'0
0 4 0
0
Sm
P

.
Gọi
1 2 1 2
;x x x x
là 2 nghiệm dương của
*
. Do tính đối xứng nên
23
1
2
SS
.
12
1
12
1
4 2 4 2
0
4 2 4 2
0
1 2 1
53
22
2
42
22
44
44
0
4
0
53
3 20 15 0
xx
x
xx
x
x x m dx x x m dx
x x m dx x x m dx
F x F F x F x
xx
mx
x x m


Do
2
x
là nghiệm của
*
nên ta có :
42
22
2
2
42
22
3 20 15 0 1
3
3 2 1
2
4 0 2
x x m
m
x
x x m
Thay vào
2
3 20
2 6 0 5 13
29
m m m m b a



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 60 : Cho biết đồ thị hàm số
42
y f x ax bx c
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi
1
S
là
diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số
fx
nằm phía dưới trục hoành.Gọi
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 32
2
S
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số
fx
nằm phía trên trục
hoành. Biết
2
5 36b ac
. Tính tì số
1
2
S
S
.
A.
2
B.
1
C.
1
2
D.
3
Giải :
Điều kiện để
f x Ox
tại 4 điểm phân biệt :
2
2
40
40
0 . 0
.0
0
b ac
b ac
b
S a c
a
bc
c
P
a




Kết hợp với điều kiện bài cho ta có
2
2
40
.0
*
.0
5 36
b ac
ac
bc
b ac

.
Vì
1
2
S
const
S
với mọi bộ số
;;
ooo
a b c
bất kì thoả
*
Ta được chọn 1 bộ
;;
ooo
a b c
bất kì thoả
*
.
Chọn
42
1
6 6 5
5
a
b f x x x
c
.
1
0
5
x
fx
x



1
0
1
5
2
1
1
f x dx
S
S
f x dx
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 33
󰉼󰉴󰈘 󰉼 
Câu 61 : Cho số phức
z
thỏa
8 8 20zz
. Gọi
,mn
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của
z
. Tính
P m n
.
A.
10P
B.
6P
C.
16P
D.
20P
Giải :
Gọi
,z x yi x y
và
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức .
Trong mặt phẳng phức, xét các điểm
12
8;0 ; 8;0FF
.
Ta có
2 2 2 2
1
8 8 8MF x y x y z
.
2 2 2 2
2
8 8 8MF x y x y z
.
12
8 8 20 20z z MF MF conts
.
Do
1 2 1 2
MF MF F F
Tập hợp điểm
M
là 1 elip có dạng
22
22
1
xy
ab

.
2
22
2 2 2
max 10
2 20 100
1
8
100 36
min 6
36
z
aa
xy
c
z
b a c



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 62 : Cho 3 số phức
1 2 3
;;z z z
thỏa
1 2 3
1 2 3
0
22
3
z z z
z z z
. Tính
2 2 2
1 2 2 3 3 1
A z z z z z z
A.
22
3
B.
22
C.
8
3
D.
8
3
Giải :
1 2 3
2 2 2
1 3 2 1 2 3
2 3 1
8
3
z z z
z z z A z z z
z z z
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 63 : Cho số phức
12
im
zm
m m i


. Tìm
0
0
o
mm
là giá trị
m
thỏa
1
.
2
zz
.
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Giải :
2 2 2 2
1
1 2 2 1 1
i m i m m i
z
m m i i mi m i m m m
.
22
2
2 2 2
1 1 1
.1
1 1 1 2
m
z z z m
m m m
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 34
Câu 64 : Cho
z
và
_
z
là số phức liên hợp của
z
. Biết
2
_
z
z



và
_
23zz
. Tìm
z
.
A.
1z
B.
3z
C.
2z
D.
4z
Giải :
Gọi
_
,z a bi a b z a bi
.
Ta có :
_
2
2 2 3 3z z a bi a bi bi b
.
2
__
..z z z z



.
Theo giả thiết :
23
3
2 2 2 2
2
_ _ _ _
.1 .
.
z z z z z
z
z
z z z z z
.
Mà
23
3 3 2 3 2 2 3
3 3 3 3z a a bi a bi bi a ab a b b i
2 3 2 2 2
2 2 2
3 0 3 0 1
2
3 3 3
a b b a b a
z
b b b
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 65 : Cho số phức
z
thỏa mãn
2
25z m m
với
m
là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức
3 4 2w i z i
là đường tròn . Tìm bán kính
R
nhỏ nhất của đường tròn đó .
A.
5R
B.
10R
C.
15R
D.
20R
Giải :
2
2 3 4 2 3 4 3 4 5 1 4 20w i i z w i i z i z m


.
2 20wi
. Vậy đường tròn có bán kính
min
20R
với tâm
0;2I
Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
1m 
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 66 : Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
86z z i
và
12
2zz
. Tìm giá trị lớn nhất của
12
P z z
.
A.
46P
B.
2 26P
C.
5 3 5P 
D.
32 3 2P 
Giải :
Gọi :
22
1
22
22
2
86
100
, , ,
4
4
a c b d i i
a c b d
z a bi
a b c d
z c di
a c b d
a c b d




.
2 2 2 2
2 2 2 2
104 52a c b d a c b d a b c d
.
Mặc khác :
..
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 26
B C S
P a b c d a b c d
.
Cách 2:
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 35
Gọi
,AB
lần lượt là điểm biểu diễn số phức
12
,zz
trên mặt phẳng phức và
D
là điểm thứ tư của hình
bình hành
AOBD D
là điểm biểu diễn số phức
1 2 1 2
10z z OD z z
.
12
zz
chính là độ dài đoạn
AB
.
OAB
có
2 2 2
2
22
2 2 2
2 . .cos 4
104 2
2 . .cos 100
AB OA OB OAOB AOB
OA OB OA OB
OD OA OB OAOB AOB
12
max
max
104 2 26 2 26OA OB z z
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 67 : Cho số phức
z
thỏa
1z
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2 1T z z
.
A.
max 2 5T
B.
max 2 10T
C.
max 3 5T
D.
max 3 2T
Giải :
Gọi
22
,1z a bi a b a b
.
Ta có :
22
22
1 2 1 1 2 1T z z a b a b
..
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 4 2 5
B C S
a b a a b a a a
.
Vậy
max 2 5T
.
Nếu dùng đạo hàm ta có thể tìm được thêm
min
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 68 : Cho
12
,zz
là 2 số phức thỏa
22z i iz
và
12
1zz
. Tính giá trị
12
P z z
.
A.
3
2
P
B.
2P
C.
2
2
P
D.
3P
Giải :
Gọi
,z a bi a b
.
Ta có :
22
2 2 2 2
2 2 4 2 1 2 1z i iz a b a b a b
.
Gọi
,AB
lần lượt là điểm biểu diễn của số phức
12
,zz
trong mặt phẳng phức .
12
1z z OA OB BA
.
OAB
có
1OA OB AB OAB
là tam giác đều .
12
23P z z OA OB OI
với
I
là trung điểm
AB
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 69 : Cho số phức thỏa
1z
. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
11P z z z
.
A.
13 4 3
4
A
B.
13 2 3
4
A
C.
11 4 3
4
A
D.
13 6 3
4
A
Giải :
Đặt
22
;1z a bi a b a b
.
2
2
1 1 2 1z a b a
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 36
2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 1z z a abi b a bi a b a a a bi
2
22
2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1a a a b a a b a
.
Vậy
2 1 2 1P a a
.
Xét
max 1 3
1
;1
1
2
min 3
2
PP
a
PP









. Xét
7 13
max
84
1
1;
2
1
min 3
2
PP
a
PP











.
Kết luận
1
1
13 7 15
max
4 8 8
13
min 3
22
z
z
P z i
P z i
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 70 : Cho số phức
2;z x yi x y
thỏa
1z
. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P x y
.
A. 0 B.
5
C.
5
D.
5
2
Giải :
Theo giả thiết ta có :
22
1
41
z
xy
x P y
P x y






.
2
22
2
5 2 1 0 *
4 1 0
y Py P
P y y
x P y
x P y





Để hệ có nghiệm thì phương trình
*
có nghiệm với mọi
y
.
22
*
2
' 5 1 0
5 5 5
4 2 2
PP
PP
max min 0PP
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 71 : Cho
1z
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
32
11T z z z
.
A.
5P
B.
7P
C.
6P
D.
8P
Giải :
32
1 1 5T z z z
. Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
1z
.
Ta có :
3
33
1
1 0 1
2
z
zz
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 37
33
2
11
1 1 2, 1
12
zz
z z z z
z

.
33
11
1
22
zz
T

. Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
1z 
. ( may mắn quá !!! )
Vậy
max 5
min 1
T
T
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 73 : Cho 2 số phức
12
,zz
thỏa
1 2 1 2
1; 3z z z z
. Tính
12
zz
.
A. 0 B. 1 C.
1
2
D.
2
Giải :
Gọi
12
1
2
12
1
, , ,
3
zz
z a bi
a b x y
z x yi
zz



.
2 2 2 2
2 2 2 2
22
1
1
21
3
a b x y
a b x y
ax by
a x b y




22
2 2 2 2
12
21z z a x b y a b x y ax by
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 74 : Cho số phức
12
,zz
thỏa
2 2 1z i iz
và
12
1zz
. Tính
12
P z z
.
A.
7P
B.
7
2
P
C.
22P
D.
5P
Giải :
Gọi
,z a bi a b
,
,MN
là điểm biểu diễn của
12
,zz
trong mặt phẳng phức ,
Ta có :
22
2 2 1 2z i iz a b
.
12
2z z OM ON OI
với
I
là trung điểm của
MN
.
12
1z z OM ON NM
.
Ta có :
OMN
cân tại
2
2
17
27
22
O OI MN OI OM MN OI



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 76 : Gọi
1 2 3 4
, , ,z z z z
là nghiệm của phương trình
4
1
1
2
z
zi



.
Tính
2222
1 2 3 4
1111P z z z z
.
A.
17
7
P
B.
17
9
P
C.
17
13
P
D.
17
11
P
Giải :
Điều kiện :
2
i
z
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 38
44
2 2 2 2
22
2
12
1 2 1 2 0
1 2 1 2 1 2 0
3 1 1 5 2 4 0
z z i
z z i z z i
z z i z z i z z i
z i z i z i z




1
3
1
17
0
9
24
5
i
z
zi
P
z
i
z
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 77 : Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2 5 1 2 3 1z z z i z i
và số phức
w
thỏa
22w z i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
w
.
A.
min 2w
B.
3
min
2
w
C.
min 3w
D.
min 1w
Giải :
Ta có :
2
2 5 1 2 3 1z z z i z i
1 2 0
1 2 1 2 1 2 3 1
1 2 3 1
zi
z i z i z i z i
z i z i
.
Trường hợp 1 :
1 2 0 1 2 1z i z i w
.
Trường hợp 2 :
1
1 2 3 1
2
z i z i b
với
,z a bi a b
.
2
1 3 9 3
2 2 2 2
2 2 4 2
w a i i a i w a



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 78 : Cho số phức
12
im
zm
m m i


. Gọi
kk
là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại
1zk
. Giá trị
k
thuộc khoảng nào sau đây .
A.
11
;
32



B.
12
;
23



C.
24
;
35



D.
4
;1
5



Giải :
22
1
1
1
1 2 2
mi
i m i m
zz
m m i i mi m i m m i

Ta có :
0
a
a
b
bb

. Áp dụng
2
2
1
21
1
1
mi
mm
z
m i m



T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 39
2
2
2
0
1
22
1
k
zk
mm
k
m

. Xét
2
2
22
1
mm
fm
m

Theo yêu cầu bài toán, tồn tại
min
k
để
1zk
2
min f m k
Ta có
2
51
1 5 3 5 5 1
min 0
2 2 4 2
f m f k k




.
Vậy
51
2
k
là giá trị
k
cần tìm
B
.
Cách biến đổi khác, bình thường hơn :
2 2 2 2
1
1 2 2 1 1
i m i m m i
z
m m i i mi m i m m m
2
2
22
2 2 2 2
1 1 1
11
1 1 1 1
m m i m m
zz
m m m m






2
2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
1 2 1 1 1
1 2 2
1
1 1 1
1
m m m m m m
mm
z
m m m
m








.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 79 : Cho số phức
,zw
thoả
2 2 4 , 1z i z i w iz
. Giá trị nhỏ nhất cùa
w
là :
A.
min 2w
B.
3
min
2
w
C.
min 3w
D.
2
min
2
w
Giải :
Gọi
,z a bi a b
.
2 2 2
2
2 2 4 2 2 4 2 0z i z i a b a b a b
Số phức
21z a a i w a ai
2
2
2
1
2
w a a
.
Dấu
""
khi và chỉ khi
1
2
a
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 80 : Cho phương trình phức sau :
2
2
2 1 2 0 , , 0z a bi z a bi a b b
. Với điều kiện
nào sau đây của
,ab
thì phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm thực :
A.
2
2 4 36
9
b
a

B.
2
4 2 36
9
b
a

C.
2
4 2 36
9
b
a

D.
2
2 4 36
9
b
a

Giải :
Gọi
x
là nghiệm thực của phương trình :
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 40
2
2
2 1 2 0x a bi x a bi
.
2 2 2
2 1 4 4 0x a x a b bx ab i
Áp dụng định nghĩa 2 số phức bằng nhau :
Ta có :
2 2 2
2
22
4
2 1 4 0
4 2 1 4 4 0
40
xa
x a x a b
a a a a b
bx ab





22
4
*
9 4 4 0 *
xa
a a b


có nghiệm là
22
2'
' ' 4 36
9
a b ac b

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 81 : Xét số phức
z
thoả
10
1 2 2i z i
z
. Mệnh đề nào dưới đây đúng :
A.
3
2
2
z
B.
2 z
C.
1
2
z
D.
13
22
z
Giải :
Ta có :
10
1 2 2i z i
z
2
10
2 2 1z z i z
z



22
10
10 10
2 2 1 .z z i z z
z
zz







2
22
10
2 2 1zz
z




4 2 2
2 0 1 1 1 0 1z z z z z z
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 82 : Cho số phức
2017
11z 
. Gọi
Pz
. Tính
2017. max 2017. minA P P
.
A.
2016
2017. 2A
B.
2017
2017. 3A
C.
2017
2017. 2A
D.
2017A
Giải :
Ta có :
2017
2017 2017
max 0 maxP z P z z
.
2017
2017 2017
min 0 minP z P z z
.
Gọi
2017
,z a bi a b
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
2017
z
là đường tròn tâm
0;1I
có bán kính
1R
.
2017
2017
2017
2017
max 2
max 2017. 2
2017. 2
min 0
min 0
P
P
A
P
P


.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 83 : Cho số phức z, w khác 0 sao cho
2z w z w
. Phần thực của số phức
z
u
w
là:
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 41
A.
1
8
a 
B.
1
4
a
C.
1a
D.
1
8
a
Giải :
Cách 1 :
Gọi
,u a bi a b
.
Ta có :
22
2
2
1
1
2
4
2
11
1
z
u
ab
w
z w z w
zw
zw
ab
u
ww





.
2
2
31
1 2 1
48
a a a a
.
Cách 2 :
Gọi
,w a bi a b
. Chọn
22
2
2
4*
1
1 1 1 2
2
14
ab
z z w w a
ab

.
Thay
1
2
a
vào
15 1 1 15
*
2 8 8
1 15
22
b u i
i
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 84 : Cho số phức
z
có
1
2
z
và số phức
w
thỏa
1 1 1
z w z w

. Tính
w
:
A.
1w
B.
2w
C.
1
2
w
D.
3w
Giải :
Chọn:
2
1 1 1 2 1 1
2 1 2
1 2 1
2 2 2
22
w
z w w w
w
w
2
1 3 1
4 2 1 0
4 4 2
w w w i w
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 85 : Cho số phức
12
,zz
thỏa
1 2 1 2
2 1 1
z z z z

. Tính giá trị
12
21
zz
P
zz

.
A.
2P
B.
32
2
w
C.
1
2
w
D.
2
2
w
Giải :
Chọn
1
2
2 2 2 2 2 2
2
22
1
1 1 1 1
2 2 1 1 2 2 1 0
1
1 2 2
z
z z z z z z i
z
zz
.
12
21
32
2
zz
P
zz
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 42
Câu 86 : Cho
;z a bi a b
thỏa
2
42zz
và
22
8 12P b a
, mệnh đề nào sau đây là
đúng :
A.
2
2
2Pz
B.
2
2Pz
C.
2
2
4Pz
D.
2
4Pz
Giải
Ta chọn
6 2 5 36 16 5z i P
. Đáp án thỏa điều trên là đáp án
A
( dựa vào MTCT thì
khoảng 1p là xong bài ) .
Hướng dẫn cách chọn
6 2 5zi
Theo đề ta có :
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 2
4 4 4
z z a b abi a bi
a b a b a b
Chọn
0 6 2 5ab
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 87 : Cho số phức
z
thỏa mãn
2
2
z
và điểm
A
trong hình vẽ bên là điểm
biểu diễn của
z
. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
1
w
iz
là
một trong bốn điểm
M
,
N
,
P
,
Q
. Khi đó điểm biểu diễn của số phức
w
là :
A. Điểm
Q
C. Điểm
M
B. Điểm
N
D. Điểm
P
Giải :
Gọi
,z a bi a b
là điểm biểu diễn số phức
A
.
Do
z
thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng
Oxy
, nên
,0ab
.
Lại có
2 2 2 2
1 ba
wi
iz a b a b

Điểm biểu diễn
w
nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng
Oxy
.
11
2 2 2
.
w z OA
iz i z
.
Vậy điểm biểu diễn của số phức
w
là điểm
P
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 88 : Cho số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
12z i z i
và
2 3 1P z i z
đạt giá
trị nhỏ nhất . Tính
2P a b
:
A.
3P
B.
5
2
P
C.
2P
D.
3
2
P
Giải :
Ta có :
1 2 1z i z i a b
.
2 2 2
2
2 3 1 2 3 1P P z i z a b a b
.
Xét trong mặt phẳng phức
Oab
, xét các điểm
; , 2;3 , 1;0M a b A B
với
M
điểm biểu diễn số
phức
: 1 0z M d a b
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 43
Ta có :
2 2 2
2
2 3 1MA MB a b a b
. Vậy ta tìm
Md
sao cho
min
MA MB
.
Do
1 1 0 ,
A A B B
x y x y A B
cùng thuộc một phía so với đường thẳng
d
.
Gọi
'A
là điểm đối xứng của
A
qua
d
.
Ta có :
''MA MB MA MB A B
. Dấu
""
xảy ra khi
3 1 5
' ; 2
2 2 2
M A B d M P a b



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 89 : Cho số phức
,z a bi a b
thỏa mãn
12z i z i
và
2 3 1 2P z i z i
đạt
giá trị nhỏ nhất . Tính
2P a b
:
B.
3P
B.
5
2
P
C.
2P
D.
3
2
P
Giải :
Ta có :
1 2 1z i z i a b
.
2 2 2 2
2 3 1 2 3 1 2P P z i z a b a b
.
Xét trong mặt phẳng phức
Oab
, xét các điểm
; , 2;3 , 1; 2M a b A B
với
M
điểm biểu diễn số phức
: 1 0z M d a b
.
Ta có :
2 2 2 2
2 3 1 2MA MB a b a b
. Vậy ta tìm
Md
sao cho
min
MA MB
.
Do
1 1 0 ,
A A B B
x y x y A B
khác phía so với đường thẳng
d
.
Ta có :
MA MB AB
. Dấu
""
xảy ra khi
3 1 5
;2
2 2 2
M AB d M P a b



.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 90 : Cho số phức
z
thỏa
3 4 2zi
và
2P z i
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của
P
. Tính
A M m
.
A.
34A
B.
34
2
A
C.
2 34A
D.
3 34A
Giải :
Gọi
,z a bi a b
.
Ta có :
22
3 4 2 3 4 4z i a b
.
Vậy tập hợp điểm
22
: 3 4 4M C a b
có tâm
3;4I
và bán kính
2R
Trong mặt phẳng phức xét
2;1A
, ta có :
2P z i MA
với
22
: 3 4 4M C a b
.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 44
Vậy :
min
max
34 2
34 2
MA AI R
MA AI R
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 91 : Cho số phức
z a bi
thỏa
12z i z i
và
3P z i
đạt giá trị nhỏ nhất . Tính
2A a b
.
B.
2A
B.
2A
C.
22A
D.
1A
Giải :
Gọi
,z a bi a b
.
Ta có :
1 2 1 0z i z i a b
.
Vậy tập hợp điểm
: 1 0M a b
.
Trong mặt phẳng phức xét
0;3A P MA
với
M 
.
Vậy
min
; 2 2MA d A


.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 92 : Xét số phức
z
thỏa
2 1 3 2 2z z i
. Mệnh đề nào dưới đây đúng :
A.
3
2
2
z
B.
2z
C.
1
2
z
D.
13
22
z
.
Giải :
Xét các điểm
1;0 , 0;1AB
và
;M x y
với
M
là điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức .
Ta có :
22
22
2 1 3 2 1 3 1 2 3z z i x y x y MA MB
.
Ta có :
2 3 2 2 2 2 2 2MA MB MA MB MB AB MB MB
.
2 1 3 2 2z z i
. Mà theo giả thuyết ta có :
2 1 3 2 2z z i
.
Vậy
2 1 3 2 2z z i
.
Dấu
""
xảy ra khi và chỉ khi
0;1 1
0
M AB
M B M z
MB
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 93 : Xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
,MM
. Số phức
(4 3 )w z i
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,NN
. Biết rằng
, , ,M M N N

là bốn đỉnh của
hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
45zi
.
A.
5
34
B.
2
5
C.
1
2
D.
4
13
Giải :
Gọi số phức
,z a bi a b
.
4 3 4 3 3 4 4 3 3 4w a bi i a b a b i w a b a b i
Ta có :
M
và
'M
đối xứng nhau qua trục
Ox
,
N
và
'N
đối xứng nhau qua trục
Ox
'
'
MM Ox
NN Ox
.
Ta có :
, , ,M M N N

là bốn đỉnh của hình chữ nhật
''MM N N
hoặc
''MM NN
.
Trong mặt phẳng phức
Oab
, xét điểm
5; 4A
45z i MA
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 45
Trường hợp 1 : Với hình chữ nhật
''MM N N
.
' ' / / 3 4 0
MN
MN M N MN Ox y y b a b a b
1
:0M d a b
. Vậy
min 1
54
1
;
22
MA d A d



.
Trường hợp 2 : Với hình chữ nhật
''MM NN
.
'
' ' ' '/ / 3 4 3 5 0
MN
MN M M MN Ox y y b a b a b
2
:3 5 0M d a b
. Vậy
min 2
22
3.5 5. 4
5
;
34
35
MA d A d



.
Vì
1 2 min
1
;;
2
d A d d A d MA
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 94 : Cho hàm số phức
2
4f z i z az b
với
,ab
là số phức . Biết
1,f f i
là số thực .
Tính giá trị nhỏ nhất của
P a b
.
A.
1P
B.
2P
C.
2P
D.
3P
Giải :
Gọi :
11
1 2 1 2
22
, , ,
a x y i
x x y y
b x y i


.
Ta có :
2
4f z i z az b
.
1 2 1 2
1 4 4 1f i a b x x y y i
.
1 2 1 2
4 4 1f i i ai b y x x y i
.
Do
1,f f i
là số thực
12
11
12
10
20
10
yy
xy
xy
.
Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì
: 2 0a x y
trong mặt phẳng
Oxy
còn
b
là số phức tự do .
min
; 0 2P a b d O


.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 95 : Cho số phức
2,z a bi a b
và đa thức:
2
1f x ax bx
. Biết
11f 
. Tính giá trị
lớn nhất của
z
.
A.
2
B.
22
C.
5
D.
7
Giải:
Ta có:
2
2
2z a b
.
1 1 1 1 2 2 2 2 1f a b a b
.
Đặt
2
ax
by
, ta có
2 4 0
2 2 2 2 2 4 0
1 2 2 2 *
2 2 2 2 2 0
20
xy
x y x y
xy
x y x y
xy


.
T󰉱ng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 46
Miền nghiệm
S
của
*
là tứ giác
ABCD
(kể cả cạnh). Với
0;0 , 1;2 , 2;0 , 1; 2A B C D
.
Dễ dàng nhận thấy
A B CD
là hình thoi.
Gọi
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
trên mặt phẳng
Oxy M
chạy tung tăng trong miền
S
.
Ta có
max maxz OM z OM
.
Ta dễ nhận thấy
max max 5O M O B O D z
. Nhưng nhóm
muốn chứng minh thêm cho mọi người xem , phần chữ màu đỏ .
CHỨNG MINH :
Vì
OBC
và
ODC
đối xứng nhau qua trục
Ox
nên xét
M
chạy tung tăng trên
OBC
(
OA
).
Gọi
N OM BC OM ON
và
N
thuộc cạnh
BC
.
H
là hình chiếu của
O
trên
HN HB
BC
HN HC
.
Ta lại có
HN
là hình chiếu của
ON
trên
BC
.
HB
là hình chiếu của
OB
trên
BC
.
HC
là hình chiếu của
OC
trên
BC
.
Từ đó ta có
max max ;
ON OB OM OB
OM OB OC
ON OC OM OC





.
Mà
5
max 5
2
OB
OM OB M B
OC
.
Do tính đối xứng nên
1;2
max max 5
1; 2
MB
OM z
MD

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Nhóm PI
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay môn Toán
Nguyễn Quang Hưng – Nguyễn Thành Tiến
Phần Giải tích 12  Khảo sát hàm số
 Hàm số lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit
 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng  Số phức
Năm 2017 – Tháng 5 – Ngày 5 – Thứ sáu TOANMATH.com
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 1
Lời mở đầu
Đây là tài liệu đầu tiên do các thành viên NHÓM PI thực hiện .
Các bài tập được trích trong đây chủ yếu là những bài được lấy trong
các đề thi thử,bài giải được làm dưới cách chi tiết, nên có một số chỗ
dài hơn so với bình thường .
Nếu mọi người ai có góp ý gì về bài giải hay phát hiện sai sót nào
trong tài liệu thì xin đưa lên ý kiến trong group NHÓM PI .
Link group : https://www.facebook.com/groups/NhomPI/
Dẫu đã cố gắng làm rất cẩn thận nhưng khó tranh khỏi sai sót, mong các bạn thông cảm .
Cảm ơn các bạn đã đọc tài liệu .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 2 Mu c lu c
Chương 1 ........................................................................ 4
Chương 2 ........................................................................ 19
Chương 3 ........................................................................ 27
Chương 2 ........................................................................ 33
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 3
Chương 1 : Khả o sả t hả m so ax b
Câu 1 : Cho hàm số y
ad cb  0
I 3; 2 làm tâm đối xứng và đi qua cx  . Biết hàm số nhận   d điểm A1; 
1 . Tìm tung độ của điểm có hoành độ bằng 2 là : A. 1 B. 2 C. 0 D. đáp án khác Giải : d  3    3 d a     ta có TCĐ : d a c 2 x  , TCN : y
. Do I 3; 2 là TĐX     . c c a 1  2   c a c  2 a b
Hàm số đi qua A1  ;1  1   b  2
a . Tung độ x  2  y  0 . 1 3 a a 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2x 1
Câu 2 : Cho hàm số y
C và đường thẳng d : y  2x m . Định m để d C tại 2 điểm phân x 1
biệt ở 2 nhánh khác nhau . A. m  0 B. m  0 C. m D. đáp án khác Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm C  và d :  x  1 2x 1 
 2x m   x 1 2x 1  
2x mx  1  1 2
 2x  m  4 x m 1 0  
* (do x 1 không phải nghiệm của   1 ).
Để C  d tại hai điểm phân biệt 2
   m  4m 20  0  m . *
 C d tại 2 điểm phân biệt với mọi m  m  4 x x   1 2  2 Ta có : 
. Khi C   d tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh đồ thị thì ta có : m 1 x .x  1 2  2  3 
x 1 x 1  0   x x x .x 1 0   0 đúng m   . 1  2   1 2 1 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2x 1
Câu 3 : Cho hàm số sau : y
. Định m để hàm số có 5 tiệm cận : 2 x 1  m A. 0  m 1 B. 0  m 1 C. 0  m 1 D. đáp án khác Giải : Vì đây là hàm phân thứ 1 3
c nếu có 5 tiệm cận  Mẫu có 4 nghiệm phân biệt khác  m  2 4
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 4 2 4 2 2  x 1  m
x  2x 1  m 0  m 1    Ta có :     3 3  3 . m m m     4  4  4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
4  x x  2
Câu 4 : Hàm số y  3 2
x  4x x
có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang : 6 A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Giải :
Tập xác định : D   2  ;2 .
Từ tập xác định  y không có tiệm cận ngang .               2 2 x     2 x 2 x  2 x 2 4 2 x x x  Xét lim    lim    lim     .   
x2  x  3 x  2 x   x2 1   
x 3x 2x    x2 1  
x 3 2 x x   1     
x  2 là tiệm cận đứng của hàm số . 2  4 x x 2     Xét lim     . x 1
  x  3 x  2 x   1    x  1
 là tiệm cận đứng của hàm số . 2
4  x x  2 Vậy Hàm số y  3 2
x  4x x  có 2 tiệm cận đứng . 6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 5 : Biết M 0; 2 , N 2; 2
  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x  2  : A. y  2    2 . B. y  2    22 . C. y  2    6 . D. y  2    1  8 Giải : Ta có: 2
y  3ax  2bx c .
Vì M (0; 2) , N (2; 2
 ) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: y (0)  0 c  0      y(0) 2 d 2    (1) ;    (2) y (2)  0 1
 2a  4b c  0 y(2)  2  8
a  4b  2c d  2  Từ (1) và (2) suy ra: 3 2 a  1;b  3
 ;c  0;d  2  y x  3x  2  y( 2  )  1  8.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
ax bx ab
Câu 6 : Cho hàm số y
a,b , a  0
a, b duy nhất để hàm ax
. Tồn tại duy nhất 1 cặp   b
số đạt cực trị tại x  0 và x 1 . Tính     2 P a b ab . 16 9 16 9 A. B. C. D. 81 64 121 49 Giải : 2 2
a x  2abx   2 2 b a by '   . ax b2
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x  0 và x 1 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 5 2 2   b   0 b a b    y '  0 0 2  0  b a b        y '    2 2 2 2 2  a  2 1 0
ab b a b b a b  0     a b 0 2  2 2 2
a  2ab b a b  0 b   0  1  a   a b     2     2 b a  0 1  b    2      4 a 2ab 0  1 a    2 Kiểm lại ta thấy 
thỏa  p  ab a b2 9   chọn B . 1 64 b    4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 377 4 7
Câu 8 : Cho f x 2 2
 x x
 x x
. Gọi max f x  a , min f x  b . Tính 3 36 3 3 2 2
P a b . 85 85 85 85 A. B. C. D. 6 9 8 7 Giải :  8 377 2 x x   0  Điề 3 36 7 u kiện :   1   x  . 4 7 3 2
x x   0  3 3 2 2     f x 49 4 25 2   x    x      . 4  3  9  3  2 2  4   2  x x       7   3   3  Xét x  1; 
f 'x     . 2 2  3  49  4  25  2   x   x      4  3  9  3   4   2  x x          f x 3 3 '  0    0 2 2 49  4  25  2   x   x      4  3  9  3  2 2
 4  25  2   2  49  4   x   x   x   x           3  9  3   3  4  3     7 x  1;       3 
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 6 2 2 2 2  4 25 2  2 49 4           x      x      x      x       3   9  3     3    4  3       7   x 1;      3   4  2   x x   0     3   3   2 2 25  4  49  2   x   x       9  3  4  3  2    x  .   2  4 7  33 x  1  ;  ;        3  3 3  f   7 5 1  6   f x 3 5 max   2  105  2 85  f       P  .  33  6  f x 9 105 min    7  3 5  6 f     3  2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 9 : Cho m và  ,  
    là 2 nghiệm của phương trình 2
4x  4mx 1  0 . Xét hàm số   2x m   f x
g m   max f x  min f x   2 16m  25 . 2 x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của     1  ; ;  A. 40 B. 80 C. 120 D. Cả , A , B C đều sai Giải : 2  m m 1    Phương trình 2  2
4x  4mx 1  0 luôn có 2 nghiệm trái dấu   . 2 m m 1    2 0 1   3 2    2 4x 4mx 1 2x m 2
x  2mx  2
Ta có : f x 2 2   f ' x    0 x   2   2 2   x 1  2x  1  2x  1
max f x  f    ;
f x là hàm đồng biến trên   . min f
x  f    ; g m 2 2 m 1 m 1    2 2 2 16m  25 2 2  m m 1   m m 1        1   1  2   2     
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 7 2 2  4 m 1 4 m 1         2 2 2 2 
2m  5  2m m 1
2m  5  2m m 1       8 m   2 2m  5 2 2 m 1 4 10 2  4 m 1    
m   m m   m   m m    2 2 2 2 2 16m  25 2 5 2 1 2 5 2 1   
g m   2 m   2 8 2 5
m 1  min g m  40 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- m  sin x   
Câu 10 : Tìm m để hàm số y  nghịch biến trên 0,   . 2 cos x  6  5 5 5 5 A. m  B. m  C. m  D. m  2 4 4 2 Giải : m  sin x sin x m    y   x   2 2 cos x sin x  với 0, 1  6    2      Đặ 1 t m t 2mt 1
t sin x t  0,   , ta có: y   y '  .  2  1 2 1 t  1  2t  2 1     1 
Hàm số y nghịch biến trên 0,   
hàm số y nghịch biến trên 0,   .  6  1  2  2  1   1  t 1  1  2  y '  0 t   0,
 t  2mt 1 0 t   0,  m t   0, . 1        2   2  2t  2  2 t 1 2  1  2t  2  1  Xét hàm số y  trên 0,  y '   0 t   0, . 3     2t 3 2  2  4t  2   1  5  1  5 Vậy y yt   0,  m  . 3 3      2  4  2  4 4
Câu 11 : Trên đoạn 1; 4 , các hàm số   2
f x x px q ; g x  x
có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt 2 x
tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của f x trên đoạn này.
A. max f x  7
B. max f x  5
C. max f x  6
D. max f x  8 Giải : 4 x x 4
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: g x  x      3 2 2 x 2 2 x
Suy ra: g x
 3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  2 min p
Ta có: f  x  2x p . Cho f  x  0  2x p  0  x   2
Do f x và g x có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm trên đoạn 1; 4 , nên ta có:  f 2  3 
4  2 p q  3 q  7       f px 2
x  4x  7   2  p  4   p  4   2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 8  f    1  4
Nhận thấy: min f x  f 2 nên max f x   f  
1 ; f 4 . Và 
 max f x   f    7 4  7
Vậy max f x  7 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  4 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 12 : Cho hàm số 3 2
f (x)  x ax bx c và giả sử ,
A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giả
sử đường thẳng AB cũng đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab  . c 25 16 A. 9  B.  C.  D. 1 9 25 Giải :
Ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số 3 2
f (x)  x ax bx c là :   2  a ab          2 2 2 2  2a ab f x b x c AB : y  b   x c  . 3  9  9 3  9  9
Do  AB đi qua gốc tọa độ O 0;0  ab  9c . 2  5  25 25 5 Thay vào 2
P  9c 10c  3c      
. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi c   .  3  9 9 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   
Câu 13 : Cho hàm số y f x 2
x  2cos x trên  ;2 
 . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và  2 
giá trị nhỏ nhất của y .Tính P M m . A. P  4 B. 2 P  4 C. P   2 4    1 D. P   2 4   2 Giải :      Xét f x 2  x  2cos x x    ;2       2  
f 'x  2x sin x .     
f ' x  21 cos x  0 x    ;2       2      
f ' x là hàm đồng biến trên  ; 2  f ' x   có tối đa một nghiệm .  2 
Ta thấy f '0  0  x  0 là nghiệm duy nhất của f ' x . 2      min f   
x  m f f 0  2    2  4      x  ;2      2 
Ta có :  f 0  2    P  4 2  1 . 2  
max f x  M f 2     f  2  4 2 2  4  2     x  ;2      2  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 14 : Cho hàm số f x 3
asin x b x  2016. Cho biết f loglog 10  2017.Tính 3 
f log log 3 .
A. f log log 3  2018
C. f log log 3  2016
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 9 B.
f log log 3  2017
D. f log log 3  2015 Giải :   1 
Ta có: f log log 3  f  log    f    loglog 10 3  log 10    3 
a sin loglog 10 3
b log log 10  2016 3  3 
 asinloglog 10 3
b log log 10  2016  4032 3  3  
  f loglog 10  4032  2017 4032  2015 3 
Vậy f log log3  2015 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
2x m  2 x m
Câu 15 : Cho hàm số : C y m
. Biết với mọi m  0 thì C luôn tiếp m m    :  0 x m 1
xúc với 1 đường thẳng cố định d . Vậy d là :
A. d : y x 1
B. d : y x  1
C. d : y x  2
D. d : y x  2 Giải : Do may mắn nên C
luôn đi qua điểm cố định A 1  ; 2   với m   0 . m
 Tiếp tuyến chung có tiếp điểm là A 1  ; 2   .
Ta mò điểm cố định đó như sau :
Gọi Ax ; y là điểm cố định mà C
luôn đi qua . Nên từ đó ta có : m o o  2 2x m x m o  2 o y o x m 1 o
 y x m x x x y o o  2 1 2 2 o oo 1 0 o
 x m1  o
Để phương trình trên luôn có nghiệm thi : 
y x    y x o o  1 0 1  o o     2
2x  2x x b  
x x x x   o oo  2 1 0 2 2  o o
o 1 o 1 0. y x 1     o o x 1 o      A 1  ; 2  2     x   y    o  1 0 2 o
Từ đây có thể kết luận y x 1 là tiếp tuyến và tiếp điểm là A 1  ; 2
  do hệ có nghiệm kép .
Ta chứng minh bằng pp tự luận sau :
Theo lớp 11 thì hệ số góc k của tiếp tuyến tại x
chính là y ' x . o o 2
2x  41 m 2 2
x m  4m  2 m Ta tính y '       ( may mắn quá ) x m   y '  1 1 2 1 m
d : y x 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 10 ax b
Câu 16 : Cho hàm số y
. Khi hàm số y có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1  2 x 1 thì giá trị của 2 2
P a b là : A. P  13 B. P  20 C. P  25 D. P  34 Giải :
ax b  4 2      2 x , y 4   x 1
4x ax  4 b  0 Khi max y  4       .  x   , y  x  2  4 ax b       1 1 1 4x ax 4 b 0   1 1 4 2  x 1  1 2   a 16  4b  0
Để hệ có nghiệm thì  2
   a 16 4  b  0 1 . 1     2
  a 16 4  b  0  1  
ax b  1  2       2 x , y 1   x 1
x ax b 1 0 Khi min y  1        .  x   , y  x  2  1  ax b       2 2 2 x ax b 1 0    2 2 1 2  x 1  2 2  '  a  4  b   1  0
Để hệ có nghiệm thì  2
   a  4 b 1  0 2 . 1     2
  a  4 b 1  0  2   2 a 16  4b 2  0 a 16 Từ   1 và 2      P  25 . 2 a  4  b   1  0 b   3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 17 : Cho hàm số f x  cos 2x a cos x  2017 với a là tham số thực . Gọi a là giá trị để 0
T  max f x đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó giá trị T là : A. T  2016 B. T  2017 C. T  2018 D. T  2019 Giải : Ta có :
Nếu a  0 : f 0  a  2018  a  2018  2018  M  2018 .
Nếu a  0 : f    2018  a  2018  a  2018  M  2018 .
Nếu a  0 : f x  cos 2x  2017  cos 2x  2017  2018 x  
Mà f 0  2018  T  max f x  2018 .
T  2018  a
   . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  0 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 18 : Cho f x 3 2
 2x  6x  3 . Số nghiệm thực của phương trình f f x  0 . A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 Giải :
x  2,810....  A
f x  0 ta thấy có 3 nghiệm  x  0,8317..  B  . x  0  ,64...  C
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 11  f x 3 2  A
2x  6x  3 A  0  
f f x  2  f  x 3   6  f   x 2   3  0    f x 3 2
B  2x  6x  3 B  0  .   f   x 3 2  C
2x  6x  3  C  0  Ta có : x  2,98...   3 2
2x  6x  3  A  0  x  0,18...  . x  0  ,17...  x  2,86..   3 2
2x  6x  3  B  0  x  0, 68..  . x  0  ,55..  x  2,76..   3 2
2x  6x  3  C  0  x  0, 94..  . x  0  ,70.. 
Vậy phương trình f f x  0 có 9 nghiệm thực phân biệt .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
f f x
Câu 19 : Cho hàm số y f x 3 2
x  3x x  . Phương trình  có bao nhiêu nghiệm 2 f x 1 2 1 thực phân biệt . A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Giải :
Điều kiện : f x    f x 1 2 1 0  . 2
f f x Ta có :
1 f f x    f x
  2 f x 1 2 1
f x  3,059...  A   f   x 3    f   x 2   f  x 3 3
  2 f x 1  f x  0,845...  B . 2  f   x  0  ,934...  C  3 2 3        x x x A   x 2,841... 3 0 1  2   x  2, 499...   3 2 3
x  3x x   B  0 2  x  0,809...  
Phương trình có 5 nghiệm phân biệt . 2   x  0  ,309...  3 2 3
x 3x x  C  0 2 x  0  ,688...  2 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 20 : Phương trình x x x    m x  2 3 2 1 1
có nghiệm thực khi đó tập giá trị m thỏa là :  3    1 3 A. m  6;    B. m  1  ;  3 C. m 3;  D. m   ;    2   4 4 Giải :
Với x  0  Phương trình có nghiệm khi m  0 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 12 Với x  0 : 2 2 Ta có : 3 2
x x x m  2
x    x 2 x   2  x m 2 1 1 x   1 . 2  x   x     m       * . 2 2  x 1  x 1 x x 1 1 Ta có :    . 2 x 1 2 x 2 2         Đặ x 1 1 t t t   ;        * trở thành 2 1 1
t t m t   ;     . 2 x 1   2 2    2 2   1 1 1 3  1 1  Xét :   2
f t t t với t   ;
   f t    với t   ; .    2 2  4 4  2 2  1 3
Vậy tóm lại để phương trình có nghiệm có khi m   ;   .  4 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 21 : Cho phương trình 6 4 3 3
x x m x   2  m  2 6 15 3
x  6mx 10  0 * với m là tham số. Tìm 1 
tất cả giá trị của m để * có đúng hai nghiệm thực thuộc đoạn ; 2   . 2  5 11 7 9 A. 2  m  B.  m  4 C.  m  3 D. 0  m  2 5 5 2 Giải : Ta có : 6 4 3 3
x x m x   2  m  2 6 15 3
x  6mx 10  0 6 4 2 2 3 3 2 2
x  6x 12x  8  3x  6  m x  3m x  6mx  4
 x  23  3x  2  mx  3 2 2 1  3mx   1 2
x  2  mx 1 2 x 1 2
x 1  mx m   A . x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
x  m   1 x  2m  2
Câu 22 : Cho hàm số y x
. Tìm m thuộc khoảng nào sau đây để giá trị để giá trị 2
lớn nhất của hàm số y trên  1   ;1 đạt nhỏ nhất :  3   A. m  2  ;  1 B. m  ; 1    C. m  1  ;0 D. m  1   ;1  2  Giải : 2
x  m   2 1 x  2m  2 x x  2 x x y  
m . Đặt f x 2 2  x   1  ;1 . x  2 x  2 x  với   2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 13  f '   x    0 t  2 x 4x f ' 
f ' x  0  
x  0  f x 2  ;   .   1 . x  22 x    1   ;1
Vậy bài toán trở thành y f t   t m t   2  ;  1 .
Ta phải tìm m để max f t  đạt giá trị nhỏ nhất . t   2  ;  1
Ta có max f t   max  f  2  ; f  
1   max  m  2 ; m 1 . t   2  ;  1 t   2  ;  1 t   2  ;  1     3 1 3 
m  2  m 1  m
 max f t  m  2  m  2  m     t   2  ;  1 2 2  2      3 1 3 
m  2  m 1  m
 max f t  m   1  m     . t   2  ;  1 2 2  2  1 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của max f t  là
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m  . t   2  ;  1 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 23 : Cho 4 2
y x  6x  4x . Gọi C  là đường tròn đi qua 3 điểm cực trị của y . Biết C  giao
d : 3x y  0 tại 2 điểm Ax ; y ; B x ; y . Tính x y x y . A A B B A A B B 3  5 11 2  7 17  A. B. C. D. 3 5 5 5 Giải : 3
y '  4x 12x  4 . Ta thấy y '  0 có 3 nghiệm phân biệt  Có 3 điểm cực trị .
Gọi M x ; y
là điểm cực trị bất nào đó  3 3
 4x 12x  4  0  x  3x 1 . o o o o o 0 Ta có : 4 2
y x  6x  4x x 3x 1  6 3x 1  4x . o o o o o 0   0  o 2  y  3
x 3x 3 điểm cực trị nằm trên 1 Parabol  không thẳng hàng . o o o
Mặt khác : y   x x   y    x x 2 2 2 2 3 3 3 3 o o o o o o 2 4 3 2
y  9x 18x  9x  9x x   x   x o o o o o  3 o  1 183 o  2 1 9 o 2 2
y  36x  63x 18 o o o 2 2 2
x y  37x  63x 18 o o o o  3x y  2 2
x y  37 o o  63x 18 o o    3 o  37 2 2
x y  26x y 18  0 o o o 3 o 37
Vậy 3 điểm cực trị thuộc đường tròn C  2 2
: x y  26x y 18  0 . 3
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 14  A2; 6    
C   d    9  27  B  . B ;     10 10 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 24 : Cho nửa đường tròn đường kính AB  2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt góc
CAB   và gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB . Tìm  sao cho thể tích vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 1 1 1 A.   B.   arctan C.   arctan D.   2 3 2 3 Giải :
Gọi O là trung điểm của AB .
Xét trục AOB với O là gốc thì ta có: AR, 0, B R, 0
H  đoạn AB H x, 0 với x 0, R .
Ta có AH  R x R x, HB R x R x . 2 2 2  HC H .
A HB R x . 1   Mà 2
V   .AH.HC nên V x 
R x  2 2
R x   V x 2 2 . . '
 .R x  R x. 2  x   . 3 3 3
R x  0LoaiR V '  0    x  .
R x  2x  0 3 2 2 HC R x 2 1 tan       C . HA R x 2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 26 : Trang giấy in là hình chữ nhật, diện tích phần chữ ( hình chữ nhật ) là 2
468, 75cm , lề 2 bên là
1,5cm , lề trên đỉnh và đáy là 2 cm . Chu vi khổ giấy là bao nhiêu khi dung lượng giấy ít nhất . A. 101,5cm B. 50, 75cm C. 43, 75cm D. 87,5cm Giải :
Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của phần chữ :  468, 75 b  ab  468,75    a     . P  
a  4b 3 1875 P  3a   480,75  aP a 1875 '  3
P ' a  0  a  25 . 2   aa  25
Vậy để tiết kiệm giấy nhất thì 
 Chu vi nhỏ nhất là 2 a 3b  4 101,5  cm . b   18,75
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 27 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng hình chữ nhật MNEF có cạnh MN nằm trên cạnh BC ,
hai đỉnh E, F lần lượt trên cạnh AC, AB . Tồn tại M để S max . Tính S max . MNEF MNEF 2 3a 3 2 a 3 2 a 3 A. B. C. D. đáp án khác 16 16 8 Giải :
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 15
Ta có : MNEF là hình chữ nhật  EF / / BC MN  .
Gọi I là trung điểm của BC . Đặ AF BF t  x
1 x . Ta có MN EF xBC , ME  1 xAI . AB AB 2    
S x1 xAI.BC x1 x 3 1 1 3 3 2 2 2
a   x      a a . 2   2  4   2 8 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 28 : Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm . Gấp góc bên phải của
tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy như hình vẽ. Để độ dài nấp gấp là nhỏ nhất thì
giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu : A. 6 3 B. 6 2 C. 6 D. 6 5 Giải :
Gọi các điểm như hình bên, với N là hình chiếu của M trên CD . Ta có MEB M
EF nên EB EF x . Mà C
EF vuông tại C nên EF EC EB EC . BC
EB BC  4  x  8 . 2
EB x EC   x CF
x    x2 2 8 8  16x  64 . Vì 0 0
EFM  90  MFN EFC  90  MFN FEC MFN ∽ FEC . MF MN MF 8 2x      MF  . FE FC x 16x  64 x  4 2 3 4x x MEF vuông tại 2 2 2 2
F ME FE FM x   x  4 x  . 4 3 x Xét hàm số y x  4;8 . x  với   4 3 2 2x 12x
x  0l Ta có: y '     , y ' 0  . x  42 x  6  n
Vẽ bảng biến thiên ta thấy tại x  6 thì y sẽ có giá trị nhỏ nhất là 108 . Khi đó 2
ME  108  ME  6 3 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Câu 29 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB
, AD  3 . Trên tia AB lấy điểm E , CE cắt tia AD tại 3
F . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF . 8 3 8 3 4 21 4 21 A. EF  B. EF  C. EF  D. EF  . min 5 min 3 min 3 min 5 Giải :
Gọi góc BCE   . Do CE luôn cắt tia AD nên E di chuyển trên
tia AB sao cho B nằm giữa , A E .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 16  3 CE    sin 3 1
DCF      EF   . 2 1 sin 3.cos CF    3.cos     
Đặt y f   3 1 3cot tan   0     y '     . sin 3.cos  2  sin 3 cos 3cot  tan   Ta có 3 y '  0  
 0  tan   3 3  tan  3    . sin  3 cos 3
Vậy dựa vào bảng biến thiên ta có :    f   8 3 min  f    .     3  3  0;    2 
Tổng quát hoá bài toán : Cho hình chữ nhật ABCD có AB a , AD b . Trên tia AB lấy điểm E , CE
cắt tia AD tại F . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF . Giải :  
Ta có công thức tổng quát sau : EF   a    b 3 2 2 3 3 . min   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 30 : Cho hàm số    3 2 y
f x x x x C  và A1; 4, B 1 
;1 . Gọi  là tiếp tuyến của C
thỏa và có khoảng cách từ A đến  gấp 2 lần khoảng cách từ B đến  . Hỏi có bao nhiêu tiếp
tuyến thỏa điều kiện trên biết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M x ; y thuộc C  có dạng: 0 0 
y   x x . f ' x f x . 0   0  0 A. 3 B. 4 C. 1 D. 5 Giải:
Gọi K, J lần lượt là hình chiếu của , A B trên  . Ta có d  ; A
   2d  ; B
   0  AK  2BJ  0  .   và AB cắt nhau. Vậy 
I   AB với AB là đường thẳng. AK / /BJ   IA  2IBI 1; 2  
Ta có KJ AB I IA  2IB     .  IA  2  IBI  1;2 AK  2BJ
Vậy  luôn đi qua một trong hai điểm cố định I 1; 2   hay I 1; 2 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 17
Với trường hợp d  ; A
   2d  ; B     0 
thì   AB nên
điều trên vẫn đúng. Vậy ta luôn có  luôn đi qua một trong
hai điểm cố định I 1; 2
  hay I 1;2 .
 là tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M x ; y nên  có 0 0 
dạng: y   x x . f ' x f x
với f ' x  3x  2x 1 0  2 0   0  0 0 0 và f x  3 2
x x x . 0 0 0 0
Trường hợp 1: I 1; 2
  , ta có: 2
  1 x . 2
3x  2x   3 2
1  x x x . 0 0 0 0 0 0 3 2
 2x  2x  2x  3  0 1 . 0 0 0  
Đặt g x 3 2
 2x  2x  2x  3 có tập xác định D  .
Số giao điểm của g x và Ox chính là số nghiệm của phương trình  
1 chính là số tiếp tuyến của trường hợp 1. x 1  1   355 Ta có  g ' x 2
 6x  4x  2, g 'x  0  1  g   1 .g   0    2 điể 
m cực trị của g xx    3  27  3
nằm cùng phía với trục Ox g x cắt Ox tại một điểm duy nhất  Có một tiếp tuyến thỏa trường hợp 1.
Trường hợp 2: I 1;2 , ta có:
Chứng minh tương tự  Có ba tiếp tuyến thỏa trường hợp 2.
Vì x x  1 phương trình đường thẳng qua ,
A B có dạng: x  1  d  không thể là tiếp tuyến của A BC
Vậy có tổng cộng bốn tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 18
Chương 2 : Hả m mu , hả m lu y thư ả, hả m Log
Câu 31 : Định 
m để bất phương trình sau thỏa mãn mọi x  0 : log  x 1 2
 6  m x . 2  A. m  3 B. m  3 C.Không có m D. Đúng mọi m Giải : Ta có : log  x 1
2   6  m x . 2  x 1
 2   6  2mx
 2.2x  6  2 . m 2x
 2.2x 2  6.2x  2m Đặt : 2x t
. Do x  0  t 1 . Bất phương trình trở thành : 2 2  6  2m t t . Đặt   2  2  6  2m f t t t
với t  1;  .
f 't   4t  6  0 với t 1;  .
f t hàm đồng biến vớit 1; .       1  0  8  2m f t f  0  m  3 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 32 : Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình : log x  2  mlog
9  16 . Có 2 nghiệm đều lớn hơn 1  . 3   x2 A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 Giải :
Đặt t  log x  2 . 3   Phương trình trở 4m thành : 2 t
16  t 16t  4m  0 * . t
Để phương trình đề cho có 2 nghiệm đều lớn hơn 1
 thì * phải có nghiệm nghiệm lớn hơn 0.
  64  4m  0   S 16  0  0  m  16 .
P  4m  0 
Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 33 : Định m để phương trình : 2   
m  3 log x  4   2m 1 log x  4  m  2  0 có nghiệm x , x thỏa 4  x x  6 . 1     2    1 2 1 2 2    1  1 m  1 m   1   m   m  1 A.  B. 2 C. 2 D.  m  3   m  2 m  3 m  3 Giải :
Đặt t  log x  4 . 2  
Phương trình trở thành : m   2
3 t  2m  
1 t  m  2  0   * .
Với 4  x  6  log
x  4  1  t   ;1  2    
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 19
Do phương trình có 2 nghiệm m  3 .    m  2 2
1  4 m  2m  3  25 . t  1  1   m  2 t  2  m 3    m   m 3 2 
Vậy để thảo yêu cầu bài toán     . m   1 1 3 m   2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 34 : Có bao nhiêu giá trị a  0  ;1 để phương trình log
25x  log a x có nghiệm duy nhất . 5  5  A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Giải :
Phương trình đã cho  25x  5x  log a 1 . 5   Đặt  5x t
t  0 Phương trình   1 trở thành : 2
t t  log a 2 . 5   Để phương trình  
1 có nghiệm duy nhất thì phương trình 2 có đúng 1 nghiệm dương . Xét :   2
f t t t với t 0;  .   
f 't   2t 1 , f t  1 1 1 '
 0  t   f     . 2  2  4
Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình 2 có 1 nghiệm dương duy nhất thì : log a  0 a 1 5    1  1  . log a   a  5 4  4  5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình 2 2
log x  log x  3  m  2 log x  3 1 có 2 1 4    2
nghiệm thuộc khoảng 32;  . A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Giải : 2 log x  2  log x 1 2 
Gọi t  log x x   0  2  . 2 2
log x  log x  4 2 Theo giả thuyết   1 có nghiệm 5 x
  32  t  log x  log 2  t  5 . 2 2 t   5 
Theo yêu câu bài toán ta có : 2
t  2t 3 có nghiệm .   mt  3 t t t  Xét f t  2 2 3 1   t  5;  . t  3 t  với   3
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 20   f t 2 ' 
 0 với t 5; .   t  2 t 1 3 t  3
f t là hàm đồng biến trên 5; .
Vẽ bảng biến thiên ta có 1  m  3 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 36 : Tìm m để phương trình log  3
mx  6x   2log  2 1
 4x  29x  2  0 có 3 nghiệm phân biệt : 1 2  2 39 39 A. 18  m  B. 19  m  C. 19  m  20 D. 18  m  20 2 2 Giải : pt  log  3
mx  6x   log  2 1
 4x  29x  2 . 2 2   1   2 x 2  1
 4x  29x  2 14      3 2
mx  6x  1
 4x  29x  2 2 2
m  6x 14x  29  *  x   Phương trình có 3 nghiệ 1 m phân biệt   
* có 3 nghiệm phân biệt thuộc ; 2   . 14  2  1  Xét f x 2
 6x 14x  29  với x  ; 2  . x 14 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 x 1  xm
Câu 37 :Tập tất giá trị của m để phương trình   2 .log  2
x  2x  3  4 .log 2 x m  2 có 2  2  
đúng bốn nghiệm phân biệt là :  1 3   3   3   1 3  A.  ; \     1 B. 1  ; \     1 C. 0  ; \     1 D. ; \     1  2 2   2   2   2 2  Giải : 2 x 2 x 1   2 .log  2
x  2x 1  2  2 x m.log 2 x m  2 2  2 2     f  2 x  2x  
1  f 2 x m  2
x  2x 1  2 x m *
Để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thì * phải có 4 nghiệm phân biệt . 2
x  2x 1  2 x m 2
x  2x 1  2x m 2
x  4x 1 2m  0   1     2
x  2x 1  2   x m 2 x  2m 1  2
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì  
1 , 2 phải có 2 nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 21  3 m
 '  4  1 2m  0    1     2     . 2m 1 0 1 m   2
Ta loại m 1 vì lúc đó 4 nghiệm phân biệt nhưng có 2 nghiệm trùng nhau :  1 3  Vậy m  ; \     1  D .  2 2 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 38 : Cho phương trình log  3 2
mx  5mx  6  x  log 3 
x 1 với mọi m  0 . Hỏi phương 2  2m  
trình có bao nhiêu nghiệm với mọi m  0 . A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giải : Điều kiện cần :
Giả sử x x là nghiệm của phương trình đúng với mọi m  0  Nghiệm sẽ thỏa với bất kì m  0 , 0 chọn m  0 . x  2
Với m  0 , ta có pt  log  6  x   log 3 x 1 0  . 2 0 2 0 x  5  0 Điều kiện đủ : x  2  log  2 1  2m  2  log 2 . 0 2  2 2m Điề 1 1 u kiện xác định 2 12
m  2  0    m
 không thỏa với mọi m  0 . 6 6 x  5  log   1  log
1  0  0  Phương trình có nghiệm đúng với mọi m  0 . 2 0 2   2m
Vậy có 1 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 39 : Cho phương trình 2 log
m x  2m  log 3m mx với mọi m  0 . Số nghiệm của 2 7m   8 
phương trình đúng với mọi m  0 là : A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giải : Điều kiện cần :
Giả sử x x là nghiệm của phương trình đúng với mọi m  0  Nghiệm sẽ thỏa với bất kì m  0 , 0 chọn m 1 . x  0
Với m 1 , ta có pt  log  1 x  2  log 3 x  0  . 8 0 8 0 x 1  0 Điều kiện đủ : x  0  log
3m  log 3m  không thỏa với mọi m  0 ( Ví dụ m  2  log 6  log 6 ). 2 0    8   7 m 11 8 2 x  1  log
m 1  2m  log 2m 2 0 7m   8 
 không thỏa với mọi m  0 ( Ví dụ m  2  log 3  6  log 6 ) . 11   8
Vậy có 0 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 40 : Cho hàm số y f x 1  . Tính P  2  f  2  016  f  2
 015 ... f 2017   . 2x  2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 22 A. P  2019 B. P  2018 C. P  2017 D. P  2016 Giải :  
f x  f   x 1 1 1 1 2x 1 1        x 1 2  2 2 x  2 2x  2 2  2x  2  2  1 1 1   P  2.  ...  2017    2 2 2  2017 so
Đáp số P  2017 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1  2 1 3log 2   2 1  x
Câu 41: Ký hiệu f x 2 log x   4   x  8
1 1. Giá trị của f f 2017 bằng :       A. P  2019 B. P  2018 C. P  2017 D. P  2016 Giải:
Điều kiện : x 0; \  1 . 1 1  2log x 1log 2 log 2 4 x   . x x x x x  2x . 1 3log 2x2 1 2  log x 2 2 log x 2 3 2 8  8  2  x .
f x  x x  1 2 2 2 1  x  
1 1  x f f 2017  2017 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a
Câu 42 : Cho các số thực dương a,b thỏa log a  log b  log
a b . Tính tỉ số . 9 12 16   b a 1   5 a 1 5 a 1 5 a 1   5 A.  B.  C.  D.  b 2 b 2 b 2 b 2 Giải : a  9k
Ta có : log a  log b  log
a b k b  12k . 9 12 16  
a b 16kk k 2     a ba   a a   k k k 9 12 1 5  9 12 16  
1 0   1 0   1 0           . 12   9  b ab   b b 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x, y, z, k  0 1 1 1 1
Câu 43 : Cho  thỏa mãn    và 4 4 4
ax by cz . Tính giá trị 3 3 3
A ax by cza, , b c  0 x y z k theo a, , b , c k . A.     4 2 4 4 4 A k a b c C.     4 3 4 4 4 A k a b c
a b c4 4 4 4
a b c4 4 4 4 B. A  D. A  2 k 3 k
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 23 Giải : 4 4 4 4 4 ax by cz  1 1 1   1   1 1 1  Ta có : 3 3 3 4 3 4 3 4
A ax by cz     ax    k axk ax         x y zx y z   k   x y z  4
 x, y, z  0   4 4 4 4 4 4  ax by cz     k ax   
  k a b c4 3 4 3 4 4 4
do  a,b,c  0   . x y z      4 4 4 
 ax by cz
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 44 : Cho A x log a b . a b  4y log a b a b
 log a a,b  0 . Gọi x; y là giá trị 2  4 3 2 3 2 4  1  3 5 5 3 4  2   16
để A không đổi với mọi ,
a b  0 . Tính P x y . 20  16 23 A. 4 B. C. D. 9 9 12 Giải : 3 1 2 4 3 5 3 4     4 2 3 3 2 2 5 5
A x  log a  log b  log a  log b   y  log a  log b  log a  log b   log a 2 2 2 2 2 2 2 2 2     17 21  11 33   x y 1 log a x y log b   . 2   2 12 10   6 10  1  7 21 x y 1  0 x  4   Để 12 10
A không phụ thuộc vào , a b  0 thì     20  . 11 33 y   x y 0     9  6 10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 45 : Cho , x y   thỏa x y   2 ln ln
ln x y  . Tính giá trị nhỏ nhất P x y . A. P  3 B. P  3  2 C. P  3  2 2 D. P  3  3 2 Giải : Theo giả thiết ta có : 2
xy x y y x   2 1  x . 2 x  0 Do 
x 1  0  x 1 P 1 . y  0 2
xy x y  Vậy từ đó ta có : 2
y P x  2x  P  
1 x P  0 * . P 1 
Vậy để * có nghiệm với  2  , x y
    0  P 6P 1 0 * P  3 2 2      . P   
loai do P   P 3 2 2 3 2 2 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 46 : Cho a , a ,..., a
 là 2017 số phân biệt đều lớn hơn 1 . 1 2 2017
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 24 Phương trình x x  ... x a aa
a a ... a
 2017 x  2017 với x là ẩn số thì có bao nhiêu 1 2 2017  1 2 2017  nghiệm : A. 1 B. 2 C. 4 D. , A , B C đều sai Giải : Xét   x x   ... x f x a aa
a a ... a  2017 x  2017 . 1 2 2017  1 2 2017   '  x  ln x  ln ... x f x a a a aa ln a
a a ... a  2017 . 1 1 2 2 2017 2017  1 2 2017   '   x  ln 2 x  ln 2 ... x f x a a a aa ln a  0 x   . 1 1 2 2 2017  2017 2
f 'x có không quá một nghiệm .
f x có không quá hai nghiệm .  f 0  0 x  0 Mà 
 Vậy phương trình có hai nghiệm  .  f    1  0 x 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- log 2017
Câu 47 : Phương trình 5 2 sin x cos 16  4 x    2017  
có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2017 . A. 641 B. 642 C. 1282 D. 1283 Giải :
Phương trình tương đương 2sin x cos 16 4 x   5 . x x x 1 x 1 x 1 x 1   Vế trái : 4 sin cos 4 sin cos cos cos cos x 5
4 sin x 4 cos x 4 4  4  4  .4  .4  .4  .4  5 4  5 . 4 4 4 4 2
 sin x  sin x  Do 
 sin x  cos x 1 . 2
 cos x  cos x   4sinx 1 cos 4  .4 xx k
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  4  sin x  0   .  k
sin x  cos x  1  0  x  2017 0  k  2017
0  k  642,03... k 1;642 Ta có :        .
x k , k  k  k  k
Vậy số nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu bài toán là : 642 11  642 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 48 : Có tất cả bao nhiêu giá trị m trong khoảng  2
 017;2017 để phương trình x x 1 4 3.2  
10  22x 3sinmx có nghiệm trong khoảng 1;3 : A. 1283 B.1284 C. 1285 D. 1286 Giải : Ta có : x x 1 4 3.2  
10  22x 3sinmx
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 25
  2x 2 2.3.2x 9122x 3sinmx  0
 2x 32  22x 3sinmx  sin 
mx 2  cos   mx 2  0 
 2x 3sinmx 2  cos   mx 2  0  2x 3 
sinmx  0  1  cos  mx  0 2   mx   2k  2
Giải phương trình 2 cos mx  0   k,l    .
mx    2l  2  Thay mx  
 2l vào 2  2x 3  1
  x 1 loại do x 1;3 . 2   Thay mx
 2k vào 2  2x 3 1 x  2 ( nhận )  m   k k   . 2 4 m 20  17;2017       20
 17   k  2017  64
 2, 28...  k  641,78.. Ta có : m   k   4   4   k  k  k   k  642  ;  641  
 số giá trị k nguyên là : 641  6  42 11284 . k
Vậy có 1284 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 26
Chương 3 : Nguyê n hả m - Tí ch phả n  x  2016 1 1
Câu 49 : Tính tích phân I    dx . x  22018 3  2 1 1 A. I  2017 B. I  C. I  1 D. I  2017 2017 Giải : 3 0 x 1 1 x  1  0 2017   Đặ t 1 t t   dt dx . Đổi cận 2 2016  I t dt       D. x  2 x  22 2017  2017 t 1  0 1  1 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a 3 2
2x  3x  4x  3 A A A Câu 50 : Cho 1 2 2017 I        
với A , A .., A , B  , 1 2 2017 x   dx ... B 2019 1 a   1 a  2 1 a  2017 1 0
a  0 . Tính P A  2A  ...  2016A  2017A . 1 2 2016 2017 A. P  1 B. P  3  C. P  2017 D. P  0 Giải : a 2  3 1  3  2 1  4    1 a x x x  2 3 4  I          x   dx dx 2019 1 x  2016 1 x  2017 1 x  2018 1  0 0  2 3 4      F 0 2015 2016 2017   2015a   1 2016a   1 2017 a   1 BP  2  3 4  3  .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Câu 51 : Tính I  max 2 x ; 4x   3dx : 2 58 61 A. I  2 B. I  3 C. I  D. I  3 3 Giải : Gọi f x 2
x , g x  4x 3 . Xét hx  f x  g x 2
x  4x  3 với x 2;4 .
hx  0 x2;  3 
f x  g x x   2; 3 Ta có    .
hx  0 
x3;4  f x  gx  x3;4 4
I  maxx ;4x   3 4 58 2
3 dx g xdx f xdx     . 3 2 2 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 52 : Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0; x  1. Biết diện tích thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng  P vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x   1 là một dường tròn có
độ dài đường kính R x x 1 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 27 7 7 7 7 A. V  B. V  C. V  D. V  6 3 9 12 Giải :
Ta có diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng  P là :   2      3 2 S x R x x  . 1  V    7 3 2
x x dx   . 12 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 53 : Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0; 
1 và thỏa mãn f x  2 f 1 x  3 , x x   . 1 Tính tích phân I f  xdx. 0 1 A. I  1 B. I  2 C. I  D. I  3 2 Giải: 1
Ta có f x  2 f 1 x  3x f x  3x  2 f 1 x  I  3  x  2 f 
1 xdx  . 0 1 1 1 3 3 2  x  2 f
 1 xdx  2 f
 1 xdx. 2 2 0 0 0
x  0  t 1
Đặt t 1 x dt  dx, đổi cận:  .
x 1 t  0 1 0 1 1 Vậy f
 1xdx   f
 tdt f t dt f x dx I . 0 1 0 0 3 3 1
I   2I  3I   I  . 2 2 2 Cách 2 : Chọn hàm:
Giả sử : f x  ax b f 1 x  a 1 x  b .
Ta có : f x  2 f 1 x  ax b  2a 1 x  2b  ax  3b  2a  3x . a  3 a  3  1 Đồ 1
ng nhất hệ số ta có :      3
x  2dx   .
2a  3b  0 b   2 2 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 54 : Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên và
đồ thị của hàm số f '(x) trên đoạn  2
 ;6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng
định đúng trong các khẳng định sau :
A. max f (x)  f ( 2  )
C. max f (x)  f (2) x [  2  ;6] x [  2  ;6]
B. max f (x)  f (6)
D. max f (x)  f ( 1  ) x [  2  ;6] x [  2  ;6] Giải :
f ' x đổi dấu từ dương sang âm tại f '  1  x  1  là điểm cực đại .
f ' x đổi dấu từ âm sang dương tại f '2  x  2 là điểm cực điểm .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 28  f   1
 max f (x)   . x [  2  ;6]  f  6
Gọi S là diện tích giớ hạn bởi f ' x; O ; x x  1  ; x  2 . 1
S là diện tích giớ hạn bởi f ' x; O ;
x x  2; x  6 . 1 2 6
Dựa vào hình vẽ ta có : S S f ' x dx f ' x dx   . 1 2     1  2  f  
1  f 2  f 6  f 2  f   1  f 6 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 55 : Cho  P 2
: y  3x và đường thẳng d qua M 1;5 có hệ số góc k. Biết k chính là hệ số góc để
diện tích hình phẳng giới hạn bởi d; P đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tính đó : 8 6 4 6 11 6 7 6 A. B. C. D. 9 9 9 9 Giải :
d : y kx k  5  phương trình hoành độ giao điểm của  P; d là : 2
3x kx  k  5  0   1 .
  k k   k  2 2 12 60 6  24  0 .  2
 3x kx  k  5  0  x    x ;x  1 2  k    x   6  k
Gọi x x là các nghiệm của   1 1 
. Ta có .  x x  . 1 2 1 2 k   6  x  2   6 k 5 x .x   1 2  3 x 2 x 2 2  kx  Khi đó S    2
x kx   k  3 3 5 dx  x   
5kx .....   2  1 x 1 xk
....   x x
x x 5 k x x 2  x x 2 1  1 2 1 2 1 2   2    2  3 
k 12k 60  54 54 8 6 Vậy S     k  6 . min min 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 56 : Cho C  4
x  m   2 :
1 x  2  0 luôn có 3 cực trị. Gọi  là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của m  128 C
. Gọi m để diện tích hình phẳng giởi hạn bởi C và  là
. Tính  m m  2 2 2 3 m m  15 A. 324 B. 2304 C. 961 D. 16 Giải : Do C
luôn có cực trị  m  1 . Điểm cực tiểu là x  0   : y  2 . M
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 29 x  0
Phương trình hoành độ giao điểm : 4
x  m   2
1 x  2  2  x   m1 m 1  2 m 1  5 3  x m 1 x  4 m 1 m 1 4  S  x   m  2     1 x dx  2     5 3 15    m 1  0 m 2 4 1 m 1 128 Ta có :   m  5 . 15 15
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 57 : Xét hàm số 2
y x trên 0; 
1 và 1 giá trị m bất kì thuộc0; 
1 . Gọi S là diện tích giới hạn bởi 1 đường 2 2
x  0; y m ; y x , S là diện tích giới hạn bởi đường 2 2
y x ; y m ; x  1 . Gọi S S S , 2 1 2
tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S là : 2 11 1 A. B. C. D. 1 3 12 3 Giải :
Phương trình hoành độ gia điểm : 2 2
x m x m x, m 0  ;1  . m    
S S S  m x  1
dx  x m  3 3 m 1 m 4 1 2 2 2 2 3 2 3 3 2 dx m     m    
m   m m  . 1 2 3  3   3  3 3 0 m  4 1 Xét f m 3 2  m m  với m 0;  1 . 3 3  f   1 0   3  1 m  0  min S       f 'm 0     1 m 0  ;1  1 1 4 11   f     
T  min S  max S   . m    2  4 2 12   max 2 S     f   2 3 1   3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x  2ax  4a
Câu 58 : Cho a  0 sao cho diện tích S giới hạn bởi hai parabol  P  2 2 : y  , 1 4 a 1   2 x P : y  2 4
a  có giá trị lớn nhất. Vậy giá trị lớn nhất của S là : 1 27 27 27 27 A. S  B. S  C. S  D. S  max 4 max max max 3 4 2 3 4 4 3 4 8 3 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm P , P là : 1   2  2 2 2
x  2ax  4a xx a 2 2 
 2x  2ax  4a  0   . 4 4 a 1 a 1 x  2  a a 2 2
2x  2ax  4a  1 a   S dx       2 2 2
x  2ax  4a dx 4 4  a 1  a 1 2  a 2  a
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 30 a 3 3 3  1   2  x  9a 27a 2 2   ax  4a x       4 4 4 4 4  a 1  3  a 1
a a a  3 2  a 3 27a 27   ( Theo bác học Cauchy ) . 4 12 4 4 3a 4 3  27 Vậy S  khi 4 a  3 . max 4 4 3
Cách khác : Các bạn có thể tìm S
bằng phương pháp hàm số . max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 59 : Cho đồ thị C  của ham số 4 2
y x  4x cắt đường thẳng d : y m tại
bốn điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích S , S , S như hình vẽ. Biết 1 2 3 a a m   với a,b  * và
là phân số tối giản thì S S S . Khẳng định nào b b 1 2 3 sau đây là đúng : A. b  5 a  10
B. b  5 a  11
C. b  5 a  12 D. b  5 a  13 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm C 4 2
, d x  4x m  0   * .
Để C,d thì * phải có 4 nghiệm phân biệt  '  0   S  0  4   m  0 . P  0  1 Gọi x ; x x x
là 2 nghiệm dương của * . Do tính đối xứng nên S S . 1 2  1 2  2 3 2 1 x 2 x 4 2 4 2
x  4x m dx x  4x m dx   0 1 x 1 x   x 4 2
x  4x m 2 dx     4 2
x  4x mdx 0 1 x
F x F 0  F x F x 1     2   1 5 3 x 4x 2 2    mx  0 2 5 3 4 2
 3x  20x 15m  0 2 2 4 2 3
x  20x 15m  0 1  2 2   3m
Do x là nghiệm của * nên ta có :   32    2 1  x   2
x  4x m  0  2 2 4 2 2 2 2 2  3  20 Thay vào 2  m
 6m m  0  m  
b  5a 13   .  2  9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 60 : Cho biết đồ thị hàm số    4 2 y
f x ax bx c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S là 1
diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm phía dưới trục hoành.Gọi
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 31
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm phía trên trục 2 S hoành. Biết 2
5b  36ac . Tính tì số 1 . S2 1 A. 2 B. 1 C. D. 3 2 Giải :  2
  b  4ac  0 2 b   4ac  0     Điề b
u kiện để f x  Ox tại 4 điểm phân biệt : S   0   . a c  0 a   .bc  0  cP   0  a 2 b   4ac  0   . a c  0
Kết hợp với điều kiện bài cho ta có  *. . b c  0   2 5  b  36ac S
Vì 1  const với mọi bộ số a ;b ;c bất kì thoả *  Ta được chọn 1 bộ a ;b ;c bất kì thoả * o o o o o o S2 . 1 a 1 f  xdx  x   S Chọn b   6
  f x 4 2
x  6x  5 . f x 1  0   1 0   1 .  x   5 5 S c  5  2 f  xdx 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 32 Chương 4 : So phư c .
Câu 61 : Cho số phức z thỏa z  8  z  8  20 . Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của z . Tính P m n . A. P  10 B. P  6 C. P  16 D. P  20 Giải :
Gọi z x yi  ,
x y   và M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
Trong mặt phẳng phức, xét các điểm F 8  ;0 ; F 8;0 . 1   2   2 2 2 2 Ta có MF  8
  x   y x  8
y z  8 . 1        
MF  8  x2   y2   x  82   y2  z  8 . 2
z 8  z  8  20  MF MF  20  conts . 1 2 2 2 x y
Do MF MF F F  Tập hợp điểm M là 1 elip có dạng   1 . 1 2 1 2 2 2 a b 2 2 2 2a  20 a 100 max z 10 x y         1  . 2 2 2 c  8 b
  a c  36 100 36 min z  6 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z z z  0 1 2 3  2 2 2
Câu 62 : Cho 3 số phức z ; z ; z thỏa 
. Tính A z z
z z z z 1 2 3 2 2  1 2 2 3 3 1
z z z  1 2 3  3 2 2 8 8 A. B. 2 2 C. D. 3 3 3 Giải :
z z  z 1 2 3  2 2 2 8
z z  z A  z  z  z  . 1 3 2 1 2 3 3
z z  z  2 3 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i m 1
Câu 63 : Cho số phức z  
. Tìm m m  0 là giá trị m thỏa . z z  . 0  o
mm i m  1 2 2 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Giải : i m i m 1  m i z      .
1 m m  2i 2 2 2 2 i
  2mi m i m m 1 m 1 2 2 2  m   1  1 1 . z z z      m  1      . 2 2 2  m 1  m 1 m 1 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 33 _ z _
Câu 64 : Cho z và z là số phức liên hợp của z . Biết
 và z z  2 3 . Tìm z . 2 _   z     A. z  1 B. z  3 C. z  2 D. z  4 Giải :
Gọi z a bi a b   _ ,
z a bi . _
Ta có : z z  a bi  a bi 2
 2bi  2 3  b  3. 2 _ _   . z z   . z z    .   2 3 z z z z z Theo giả thiết : 3  .1  .    z  . 2 2 2 2 2 _ _ _ _       z   z z z z. z                 2 3 Mà 3 3 2
z a a bi a bi  bi 3 2
a ab   2 3 3 3 3
3a b b i 2 3 2 2 2 3
 a b b  0 3
 a b  0 a 1        z  2 . 2 2 2 b   3 b   3 b   3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 65 : Cho số phức z thỏa mãn 2
z m  2m  5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức
w  3  4iz  2i là đường tròn . Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó . A. R  5 B. R  10 C. R  15 D. R  20 Giải :
w i    iz w i    iz    iz  m  2 2 3 4 2 3 4 3 4 5 1  4  20   .
w  2i  20 . Vậy đường tròn có bán kính R
 20 với tâm I 0;2 min
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi m  1  .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 66 : Cho hai số phức z , z
thỏa mãn z z  8  6i và z z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P z z . 1 2 A. P  4 6 B. P  2 26 C. P  5  3 5 D. P  32  3 2 Giải :   
a c      z a bi
b di 8 6i  a c
2 b d2 100 Gọi : 1 
a, ,b ,cd       .
z c di    a c
2 b d2  4   a c
2 bd2 2  4
 a c2 b d 2  a c2  b d 2 2 2 2 2
104  a b c d  52. B.C.S Mặc khác : 2 2 2 2
P a b c d   2 2   2 2 2 2 1 1
a b c d   2 26 . Cách 2:
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 34 Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình 1 2
bình hành AOBD D là điểm biểu diễn số phức  z z OD z z  10 . 1 2  1 2 z z
chính là độ dài đoạn AB . 1 2 2 2 2
AB OA OB 2O . A O . B cos AOB  4 2 OAB có  104  2 2 2
OA OB   OAOB 2 2 2 O
 D OA OB  2O . A O .
B cos AOB  100
 OAOB
 104  2 26   z z  2 26 . 1 2  max max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 67 : Cho số phức z thỏa z  1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1  2 z 1 . A. max T  2 5 B. max T  2 10 C. max T  3 5 D. max T  3 2 Giải :
Gọi z a bi a b  2 2 ,
a b 1 . 2 2
Ta có : T z  
z   a   2  b  a   2 1 2 1 1 2 1  b B.C.S 2 2 2 2
a b a  
a b a   a    a   2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1  2 4  2 5 . Vậy max T  2 5 .
Nếu dùng đạo hàm ta có thể tìm được thêm min .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 68 : Cho z , z là 2 số phức thỏa 2z i  2  iz và z z  1 . Tính giá trị P z z . 1 2 1 2 1 2 3 2 A. P  B. P  2 C. P  D. P  3 2 2 Giải :
Gọi z a bi a,b   . 2 2 Ta có : 2 z i
iz a   b   2
a   b 2 2 2 2 4 2 1 2
a b 1. Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z trong mặt phẳng phức . 1 2
z z OA OB BA  1 . 1 2  O
AB có OA OB AB 1 O
AB là tam giác đều .
P z z OA OB  2 OI  3 với I là trung điểm AB . 1 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 69 : Cho số phức thỏa z  1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2
P z 1  z z 1 . 13  4 3 13  2 3 11 4 3 13  6 3 A. A  B. A  C. A  D. A  4 4 4 4 Giải :
Đặt z a bi a b  2 2 ;
a b 1 .  2
z   a   2 1 1  b  2 a   1
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 35  2
z z    2 2
a abi b   a bi 2 2
a b   2 1 2
2a a  2a   1 bi
  a a2  a  2 b   a  2 2 2  2 2 2 2 1 2 1
a b   2a 1 .
Vậy P  2a   1  2a 1 .    7   13
max P P   1  3 max P P     1    1    8  4 Xét a  ;1      1  . Xét a  1  ;     . 2  min P P  3     2    1    2  min P P  3     2   13 7 15 max P   z    i 4 8 8  z 1 Kết luận  .  1 3
min P  3  z   i   2 2 z 1 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 70 : Cho số phức z x  2 yi  ; x y
 thỏa z 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P x y . 5 A. 0 B. 5 C.  5 D. 2 Giải : 2 2  z 1 x  4y 1
Theo giả thiết ta có :     .
P x y
x P y
 P y2 2 2 2  4y 1  0 5
 y  2Py P 1 0*    
x P y
x P y
Để hệ có nghiệm thì phương trình * có nghiệm với mọi y  . 2
  '  P  5 2 P 1  0 *    5 5 5 2  P     P  4 2 2
 max P  min P  0 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 71 : Cho z  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 2
T  1 z z z 1 . A. P  5 B. P  7 C. P  6 D. P  8 Giải : 3 2
T  1 z z z 1  5 . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi z  1 . Ta có : 3 1 z  3 3
1 z  0  1 z  2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 36 3 3 1 z 1 z  2 z z 1  
1 z  2, z  1 1 . z 2 3 3 1 z 1 zT  
1 . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi z  1
 . ( may mắn quá !!! ) 2 2 max T  5 Vậy  . min T 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 73 : Cho 2 số phức z , z thỏa z z  1; z z  3 . Tính z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 0 B. 1 C. D. 2 2 Giải :
z a biz z 1  Gọi 
a, ,b ,x y  1 2 1   .
z x yi     2 z z 3  1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b x y 1 
a b x y 1       a x
2 b y2  3 2
 ax by 1
z z  a x2  b y2   2 2
a b    2 2 x y
 2 ax by 1 . 1 2   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 74 : Cho số phức z , z
thỏa z  2i  2 iz 1 và z z  1 . Tính P z z . 1 2 1 2 1 2 7 A. P  7 B. P  C. P  2 2 D. P  5 2 Giải :
Gọi z a bi  , a b
 , M, N là điểm biểu diễn của z ,z trong mặt phẳng phức , 1 2 Ta có : 2 2
z  2i  2 iz 1  a b  2 .
z z OM ON  2 OI với I là trung điểm của MN . 1 2
z z OM ON NM  1 . 1 2 2  1  7 Ta có : OMN cân tại 2
O OI MN OI OM MN   2 OI  7   .  2  2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4  z 1 
Câu 76 : Gọi z , z , z , z là nghiệm của phương trình 1 . 1 2 3 4    2z i  Tính P   2 z   1  2 z   1  2 z   1  2 z 1 . 1 2 3 4  17 17 17 17 A. P  B. P  C. P  D. P  7 9 13 11 Giải : Điề i u kiện : z  . 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 37  z  4 1
 2z i4  z  2
1  2z i2   z  2
1  2z i2   0      z  
1  2z i    z  
1  2z i   z  2
1  2z i2   0  
 3z 1iz 1 i 2
5z  2  4iz  0    1 i z   3 z  1   i  17   P   . z  0 9   2  4i z   5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 77 : Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  5   z 1 2i z  3i  
1 và số phức w thỏa w z  2  2i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của w . 3 A. min w  2 B. min w  C. min w  3 D. min w  1 2 Giải : Ta có : 2
z  2z  5   z 1 2i z  3i   1
 z 1 2i  0
  z 1 2i z 1 2i   z 1 2i z  3i   1   .
 z 1 2i  z  3i   1 
Trường hợp 1 :  z 1 2i  0  z 1 2i w 1 .
Trường hợp 2 :  z   i   z i   1 1 2 3 1  b  
với z a bi  , a b   . 2  1 
w a i   i  a   3
i w  a  2 9 3 2 2 2 2     .  2  2 4 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i m
Câu 78 : Cho số phức z    k k
là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại m m  . Gọi   i m  1 2
z 1  k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây .  1 1   1 2   2 4   4  A. ;   B. ;   C. ;   D. ;1    3 2   2 3   3 5   5  Giải : i m i m 1  1mi z     z  
1 mm  2i 1 2 2 i
  2mi m i m m i a a 1 m 2  i m  2m 1 Ta có : 
b  0 . Áp dụng z 1   b b 2 m i m 1
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 38 k  0  m  2m  2 2
z 1  k  m  2m  2 . Xét f m 2  2  k  2 m 1 2  m 1
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại k
để z 1  k    2 min f m k min       2 5 1 1 5 3 5 5 1
Ta có min f m  f      k  k  0   . 2 2 4 2   5 1 Vậy k
là giá trị k cần tìm  B . 2
Cách biến đổi khác, bình thường hơn : i m i m 1  m i z     
1 m m  2i 2 2 2 2 i
  2mi m i m m 1 m 1 2 2 2 2 m m 1 i
m m 1  1   z 1    z 1       2 2 2 2 m 1 m 1  m 1   m 1
m m   2 2 1  m  2m  
m  1m  2 2 2 2 2 2 1 1 1 m  2m  2  z 1         . 2 2  m 1   m 1 m    2 2 2 m 1 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 79 : Cho số phức z, w thoả z  2  2i z  4i , w iz 1. Giá trị nhỏ nhất cùa w là : 3 2 A. min w  2 B. min w  C. min w  3 D. min w  2 2 Giải :
Gọi z a bi  , a b   .
z   i z i  a  2  b  2  a  b  2 2 2 2 4 2 2 4
a b  2  0
 Số phức z a  2  ai w  a   1  ai
w  a  2 2 2 1  a  . 2 1
Dấu "  " khi và chỉ khi a  . 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Câu 80 : Cho phương trình phức sau : 2
z  2a bi  
1 z  a  2bi  0 a,b  ,b  0 . Với điều kiện
nào sau đây của a,b thì phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm thực : 2 2  4  36b 2 4  2  36b 2 4  2  36b 2 2  4  36b A. a  B. a  C. a  D. a  9 9 9 9 Giải : Gọi x
là nghiệm thực của phương trình :
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 39
x   a bi   x  a bi2 2 2 1 2  0 . 2
x   a   2 2 2
1 x a  4b  bx  4abi  0  Áp dụng định nghĩa 2 số phức bằng nhau : Ta có : 2      2 2    x  4 2 1 4 0  a x a x a b      bx   4ab  0   4a  2 2a   1  4  a 2 2
a  4b  0 x  4  a       2 '
* có nghiệm là a   2 2
 '  b'  ac  4  36b  . 2 2 9
a  4a  4b  0  *   9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 81 : Xét số phức z thoả   i 10 1 2 z
 2  i . Mệnh đề nào dưới đây đúng : z 3 1 1 3 A.  z  2 B. 2  z C. z  D.  z  2 2 2 2 Giải : Ta có :   i 10 1 2 z   2  i z   
z    z   10 2 2 1 i    z 2  z        
z     z   10 10 10 2 2 1 i    z  . z    2 2     z z z     2   
z  2   z  2 10 2 2 1     z    4 2
z z     z   z   2 2 0 1 1 z   1  0  z  1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 82 : Cho số phức 2017 z
1  1 . Gọi P z . Tính A  2017.max P  2017.min P . A. 2016 A  2017. 2 B. 2017 A  2017. 3 C. 2017 A  2017. 2 D. A  2017 Giải : 2017 Ta có : 2017 2017
max P z  0  max Pzz . 2017 2017 2017
min P z  0  min Pzz . Gọi 2017 z
a bi a,b 
 Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017 z
là đường tròn tâm I 0; 
1 có bán kính R  1 . 2017 2017 max P  2 max P  2017. 2 2017      A  2017. 2 . 2017 min P  0 min P  0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 83 : Cho số phức z, w khác 0 sao cho z w  2 z w . Phần thực của số phức z u  là: w
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 40 1 1 1 A. a   B. a C. a 1 D. a  8 4 8 Giải : Cách 1 :
Gọi u a bi a,b   .  z 1  u    1 2 2 w 2 a b   
Ta có : z w  2 z w    4  . z wz w    u 1 a   2 2 1  b  1  w w   a  2 3 1 2
1  a  2a 1   a  . 4 8 Cách 2 : 2 2 a b  4    * 1
Gọi w a bi  , a b
 . Chọn z 1 z 1 1 w  2  w      .  a    a 2 2   2 1 b 4 1 Thay a  vào   15 1 1 15 *  b   u    i . 2 2 1 15 8 8  i 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 1
Câu 84 : Cho số phức z có z
và số phức w thỏa   2 z w z  . Tính w : w 1 A. w  1 B. w  2 C. w  D. w  3 2 Giải : 1 1 1 2w 1 1 Chọn: z    w     2w 2 1  2w 2 2 1 2 2w 1  w 2 2 1 3 1 2
 4w  2w 1  0  w    i w  . 4 4 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1 1 z z
Câu 85 : Cho số phức z , z thỏa   . Tính giá trị 1 2 P   . 1 2 z z z z z z 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 A. P  2 B. w  C. w  D. w  2 2 2 Giải : z 1 1 1 1 1 Chọn 1   2    2z   1  z   2
1  z  2z  2z 1  0  z    i . 2 2 2 2 2 2 z  1  z 1 z 2 2 2 2 2 z z 3 2 1 2  P    . z z 2 2 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 41
Câu 86 : Cho z a bi  ; a b   thỏa 2
z  4  2 z và P   2 2
8 b a  12 , mệnh đề nào sau đây là đúng :
A. P   z  2 2 2
B. P   z  2 2
C. P   z  2 2 4
D. P   z  2 4 Giải
Ta chọn z  6  2 5i P  36 16 5 . Đáp án thỏa điều trên là đáp án A ( dựa vào MTCT thì khoảng 1p là xong bài ) .
Hướng dẫn cách chọn z  6  2 5i Theo đề ta có : 2
z  4  2 z   2 2
a b  4  2abi  2 a bi
 a b  42 2 2 2 2  4a b   4 2 2 a b
Chọn a  0  b  6  2 5 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Câu 87 : Cho số phức z thỏa mãn z
và điểm A trong hình vẽ bên là điểm 2 1
biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w  là iz
một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là : A. Điểm Q C. Điểm M B. Điểm N D. Điểm P Giải :
Gọi z a bi  , a b
 là điểm biểu diễn số phức A .
Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên , a b  0 . 1 ba Lại có w    i 2 2 2 2 iz a b a b
 Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . 1 1 w  
 2  2 z  2OA. iz i . z
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 88 : Cho số phức z a bi a,b   thỏa mãn z 1 i z  2i và P z  2  3i z 1 đạt giá
trị nhỏ nhất . Tính P a  2b : 5 3 A. P  3 B. P  C. P  2 D. P  2 2 Giải :
Ta có : z 1 i z  2i a b  1 .
P P z   i z   a  2  b  2  a  2 2 2 3 1 2 3 1  b .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  ;
a b, A2;3, B  1
 ;0 với M điểm biểu diễn số
phức z M  d  : a b 1  0 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 42 2 2 2
Ta có : MA MB  a    b    a   2 2 3 1  b
. Vậy ta tìm M d sao cho MA MB . min
Do  x y  
1  x y   1  0  ,
A B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d . A A B B
 Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d .  3 1  5
Ta có : MA MB MA' MB A' B . Dấu "  " xảy ra khi M A' B d M ;
P a  2b     2 2  2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 89 : Cho số phức z a bi a,b   thỏa mãn z 1 i z  2i và P z  2  3i z 1 2i đạt
giá trị nhỏ nhất . Tính P a  2b : 5 3 B. P  3 B. P  C. P  2 D. P  2 2 Giải :
Ta có : z 1 i z  2i a b  1 .
P P z   i z   a  2  b  2  a  2  b  2 2 3 1 2 3 1 2 .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M  ;
a b, A2;3, B 1;2 với M điểm biểu diễn số phức
z M d  : a b 1  0 . 2 2 2 2
Ta có : MA MB  a  2  b  3  a  
1  b  2 . Vậy ta tìm M d sao cho MA MBmin .
Do  x y  
1  x y   1  0  ,
A B khác phía so với đường thẳng d . A A B B  3 1  5
Ta có : MA MB AB . Dấu "  " xảy ra khi M AB d M ;
P a  2b    .  2 2  2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 90 : Cho số phức z thỏa z  3  4i  2 và P z  2  i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của P . Tính A M m . 34 A. A  34 B. A  C. A  2 34 D. A  3 34 2 Giải :
Gọi z a bi  , a b   . 2 2
Ta có : z  3  4i  2  a  3  b  4  4 . 2 2
Vậy tập hợp điểm M C  : a  3  b  4  4 có tâm I 3; 4 và bán kính R  2 2 2
Trong mặt phẳng phức xét A 2  
;1 , ta có : P z  2  i MA với M C  : a  3  b  4  4 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 43
MA AI R  34 2 Vậy : min  . MA
AI R  34  2  max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 91 : Cho số phức z a bi thỏa z 1 i z  2i và P z  3i đạt giá trị nhỏ nhất . Tính
A a  2b . B. A  2 B. A  2 C. A  2 2 D. A  1 Giải :
Gọi z a bi  , a b   .
Ta có : z 1 i z  2i a b 1  0 .
Vậy tập hợp điểm M  : a b 1  0 .
Trong mặt phẳng phức xét A0;3  P MA với M  . Vậy MA
d A;    2 2 min    .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 92 : Xét số phức z thỏa 2 z 1  3 z i  2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng : 3 1 1 3 A.  z  2 B. z  2 C. z  D.  z  . 2 2 2 2 Giải :
Xét các điểm A1;0, B0  ;1 và M  ;
x y với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức . 2 2 Ta có : z   z i  x   2 2 2 1 3 2
1  y  3 x   y   1
 2MA  3MB .
Ta có : 2MA  3MB  2MA MB  MB  2AB MB  2 2  MB  2 2 .
 2 z 1  3 z i  2 2 . Mà theo giả thuyết ta có : 2 z 1  3 z i  2 2 .
Vậy 2 z 1  3 z i  2 2 . M AB
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 
M B M 0  ;1  z  1 . MB  0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 93 : Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M  . Số phức w z(4  3i)
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N . Biết rằng M , M ,
N, N là bốn đỉnh của
hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4i  5 . 5 2 1 4 A. B. C. D. 34 5 2 13 Giải :
Gọi số phức z a bi a,b   .
w  a bi4  3i  4a 3b  3a  4bi w  4a 3b  3a  4biMM '  Ox
Ta có : M và M ' đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ' đối xứng nhau qua trục Ox   . NN '  Ox Ta có : M , M ,
N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ' N ' N hoặc MM ' NN ' .
Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A5; 4
   z  4i 5  MA
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 44
Trường hợp 1 : Với hình chữ nhật MM ' N ' N .
MN M ' N '  MN / /Ox y y b  3a  4b  a b  0 M N    5 4 1
M d : a b  0 . Vậy MAd  ; A d    min   1   1   . 2 2
Trường hợp 2 : Với hình chữ nhật MM ' NN ' .
MN '  M 'M '  MN '/ /Ox y y b   3a  4b  3a  5b  0 M N '   3.5  5. 4   5
M d : 3a  5b  0 . Vậy MAd  ; A d    . min   2    2   2 2 3  5 34 1 Vì d  ; A
 d   d  ; A d   MA  1    2  . min 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 94 : Cho hàm số phức f z    i 2 4
z az b với a,b là số phức . Biết f  
1 , f i là số thực .
Tính giá trị nhỏ nhất của P a b . A. P  1 B. P  2 C. P  2 D. P  3 Giải :
a x y i Gọi : 1 1 
x , x , y , y  . 1 2 1 2 
b x y i  2 2
Ta có : f z    i 2 4
z az b .  f  
1  4  i a b  4  x x y y 1 i . 1 2   1 2 
f i  4  i  ai b   4
  y x  1
  x y i . 1 2   1 2 
y y 1  0 Do f  
1 , f i là số thực 1 2  
x y  2  0 . 1 1
x y 1  0  1 2
Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì a  : x y  2  0 trong mặt phẳng Oxy còn b là số phức tự do .
P a b d  ; O    0  2 min    .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 95 : Cho số phức z a  2bi a,b   và đa thức: f x 2
ax bx 1. Biết f   1  1. Tính giá trị lớn nhất của z . A. 2 B. 2 2 C. 5 D. 7 Giải: Ta có: z a   b2 2 2 . f  
1  1  a b 1  1  2a  2b  2  2   1 .
2x y  4  0   a x  2
  2x y  2  2
2x y  4  0 Đặt  , ta có  
1  2x y  2  2     * . 2b y  2
  2x y  2  2 2x y  0 
2x y  0
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 45
Miền nghiệm S của * là tứ giác ABCD (kể cả cạnh). Với
A0;0, B  1  ;2, C  2  ;0, D 1  ; 2   .
Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi. Gọi M  ;
x y là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy M
chạy tung tăng trong miền S .
Ta có z OM z max  OM max .
Ta dễ nhận thấy OM max  OB OD z max  5 . Nhưng nhóm
muốn chứng minh thêm cho mọi người xem , phần chữ màu đỏ . CHỨNG MINH : Vì OBC và ODC
đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng trên O
BC (O A ).
Gọi N OM BC OM ON và N thuộc cạnh BC . HN HB
H là hình chiếu của O trên BC   . HN HC
Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC .
HB là hình chiếu của OB trên BC .
HC là hình chiếu của OC trên BC . ON OBOM OB Từ đó ta có   OM max  max   O ; B OC . ON OCOM OC OB   5 Mà 
OM max  OB  5  M B . OC   2 M B 1  ;2
Do tính đối xứng nên OM max     . M D     z max 5 1; 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 46