-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay Giải tích 12 – Nguyễn Quang Hưng, Nguyễn Thành Tiến
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay Giải tích 12 – Nguyễn Quang Hưng, Nguyễn Thành Tiến được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Nhóm PI
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay môn Toán
Nguyễn Quang Hưng – Nguyễn Thành Tiến
Phần Giải tích 12 Khảo sát hàm số
Hàm số lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit
Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng Số phức
Năm 2017 – Tháng 5 – Ngày 5 – Thứ sáu TOANMATH.com
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 1
Lời mở đầu
Đây là tài liệu đầu tiên do các thành viên NHÓM PI thực hiện .
Các bài tập được trích trong đây chủ yếu là những bài được lấy trong
các đề thi thử,bài giải được làm dưới cách chi tiết, nên có một số chỗ
dài hơn so với bình thường .
Nếu mọi người ai có góp ý gì về bài giải hay phát hiện sai sót nào
trong tài liệu thì xin đưa lên ý kiến trong group NHÓM PI .
Link group : https://www.facebook.com/groups/NhomPI/
Dẫu đã cố gắng làm rất cẩn thận nhưng khó tranh khỏi sai sót, mong các bạn thông cảm .
Cảm ơn các bạn đã đọc tài liệu .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 2 Mu c lu c
Chương 1 ........................................................................ 4
Chương 2 ........................................................................ 19
Chương 3 ........................................................................ 27
Chương 2 ........................................................................ 33
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 3
Chương 1 : Khả o sả t hả m so ax b
Câu 1 : Cho hàm số y
ad cb 0
I 3; 2 làm tâm đối xứng và đi qua cx . Biết hàm số nhận d điểm A1;
1 . Tìm tung độ của điểm có hoành độ bằng 2 là : A. 1 B. 2 C. 0 D. đáp án khác Giải : d 3 3 d a ta có TCĐ : d a c 2 x , TCN : y
. Do I 3; 2 là TĐX . c c a 1 2 c a c 2 a b
Hàm số đi qua A1 ;1 1 b 2
a . Tung độ x 2 y 0 . 1 3 a a 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2x 1
Câu 2 : Cho hàm số y
C và đường thẳng d : y 2x m . Định m để d C tại 2 điểm phân x 1
biệt ở 2 nhánh khác nhau . A. m 0 B. m 0 C. m D. đáp án khác Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm C và d : x 1 2x 1
2x m x 1 2x 1
2x mx 1 1 2
2x m 4 x m 1 0
* (do x 1 không phải nghiệm của 1 ).
Để C d tại hai điểm phân biệt 2
m 4m 20 0 m . *
C d tại 2 điểm phân biệt với mọi m m 4 x x 1 2 2 Ta có :
. Khi C d tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh đồ thị thì ta có : m 1 x .x 1 2 2 3
x 1 x 1 0 x x x .x 1 0 0 đúng m . 1 2 1 2 1 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2x 1
Câu 3 : Cho hàm số sau : y
. Định m để hàm số có 5 tiệm cận : 2 x 1 m A. 0 m 1 B. 0 m 1 C. 0 m 1 D. đáp án khác Giải : Vì đây là hàm phân thứ 1 3
c nếu có 5 tiệm cận Mẫu có 4 nghiệm phân biệt khác m 2 4
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 4 2 4 2 2 x 1 m
x 2x 1 m 0 m 1 Ta có : 3 3 3 . m m m 4 4 4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
4 x x 2
Câu 4 : Hàm số y 3 2
x 4x x
có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang : 6 A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Giải :
Tập xác định : D 2 ;2 .
Từ tập xác định y không có tiệm cận ngang . 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 4 2 x x x Xét lim lim lim .
x2 x 3 x 2 x x2 1
x 3x 2x x2 1
x 3 2 x x 1
x 2 là tiệm cận đứng của hàm số . 2 4 x x 2 Xét lim . x 1
x 3 x 2 x 1 x 1
là tiệm cận đứng của hàm số . 2
4 x x 2 Vậy Hàm số y 3 2
x 4x x có 2 tiệm cận đứng . 6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 5 : Biết M 0; 2 , N 2; 2
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y ax bx cx d . Tính giá trị
của hàm số tại x 2 : A. y 2 2 . B. y 2 22 . C. y 2 6 . D. y 2 1 8 Giải : Ta có: 2
y 3ax 2bx c .
Vì M (0; 2) , N (2; 2
) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên: y (0) 0 c 0 y(0) 2 d 2 (1) ; (2) y (2) 0 1
2a 4b c 0 y(2) 2 8
a 4b 2c d 2 Từ (1) và (2) suy ra: 3 2 a 1;b 3
;c 0;d 2 y x 3x 2 y( 2 ) 1 8.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
ax bx ab
Câu 6 : Cho hàm số y
a,b , a 0
a, b duy nhất để hàm ax
. Tồn tại duy nhất 1 cặp b
số đạt cực trị tại x 0 và x 1 . Tính 2 P a b ab . 16 9 16 9 A. B. C. D. 81 64 121 49 Giải : 2 2
a x 2abx 2 2 b a b y ' . ax b2
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 1 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 5 2 2 b 0 b a b y ' 0 0 2 0 b a b y ' 2 2 2 2 2 a 2 1 0
ab b a b b a b 0 a b 0 2 2 2 2
a 2ab b a b 0 b 0 1 a a b 2 2 b a 0 1 b 2 4 a 2ab 0 1 a 2 Kiểm lại ta thấy
thỏa p ab a b2 9 chọn B . 1 64 b 4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 377 4 7
Câu 8 : Cho f x 2 2
x x
x x
. Gọi max f x a , min f x b . Tính 3 36 3 3 2 2
P a b . 85 85 85 85 A. B. C. D. 6 9 8 7 Giải : 8 377 2 x x 0 Điề 3 36 7 u kiện : 1 x . 4 7 3 2
x x 0 3 3 2 2 f x 49 4 25 2 x x . 4 3 9 3 2 2 4 2 x x 7 3 3 Xét x 1;
f 'x . 2 2 3 49 4 25 2 x x 4 3 9 3 4 2 x x f x 3 3 ' 0 0 2 2 49 4 25 2 x x 4 3 9 3 2 2
4 25 2 2 49 4 x x x x 3 9 3 3 4 3 7 x 1; 3
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 6 2 2 2 2 4 25 2 2 49 4 x x x x 3 9 3 3 4 3 7 x 1; 3 4 2 x x 0 3 3 2 2 25 4 49 2 x x 9 3 4 3 2 x . 2 4 7 33 x 1 ; ; 3 3 3 f 7 5 1 6 f x 3 5 max 2 105 2 85 f P . 33 6 f x 9 105 min 7 3 5 6 f 3 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 9 : Cho m và ,
là 2 nghiệm của phương trình 2
4x 4mx 1 0 . Xét hàm số 2x m f x
g m max f x min f x 2 16m 25 . 2 x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ; ; A. 40 B. 80 C. 120 D. Cả , A , B C đều sai Giải : 2 m m 1 Phương trình 2 2
4x 4mx 1 0 luôn có 2 nghiệm trái dấu . 2 m m 1 2 0 1 3 2 2 4x 4mx 1 2x m 2
x 2mx 2
Ta có : f x 2 2 f ' x 0 x 2 2 2 x 1 2x 1 2x 1
max f x f ;
f x là hàm đồng biến trên . min f
x f ; g m 2 2 m 1 m 1 2 2 2 16m 25 2 2 m m 1 m m 1 1 1 2 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 7 2 2 4 m 1 4 m 1 2 2 2 2
2m 5 2m m 1
2m 5 2m m 1 8 m 2 2m 5 2 2 m 1 4 10 2 4 m 1
m m m m m m 2 2 2 2 2 16m 25 2 5 2 1 2 5 2 1
g m 2 m 2 8 2 5
m 1 min g m 40 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- m sin x
Câu 10 : Tìm m để hàm số y nghịch biến trên 0, . 2 cos x 6 5 5 5 5 A. m B. m C. m D. m 2 4 4 2 Giải : m sin x sin x m y x 2 2 cos x sin x với 0, 1 6 2 Đặ 1 t m t 2mt 1
t sin x t 0, , ta có: y y ' . 2 1 2 1 t 1 2t 2 1 1
Hàm số y nghịch biến trên 0,
hàm số y nghịch biến trên 0, . 6 1 2 2 1 1 t 1 1 2 y ' 0 t 0,
t 2mt 1 0 t 0, m t 0, . 1 2 2 2t 2 2 t 1 2 1 2t 2 1 Xét hàm số y trên 0, y ' 0 t 0, . 3 2t 3 2 2 4t 2 1 5 1 5 Vậy y y t 0, m . 3 3 2 4 2 4 4
Câu 11 : Trên đoạn 1; 4 , các hàm số 2
f x x px q ; g x x
có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt 2 x
tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của f x trên đoạn này.
A. max f x 7
B. max f x 5
C. max f x 6
D. max f x 8 Giải : 4 x x 4
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: g x x 3 2 2 x 2 2 x
Suy ra: g x
3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 2 min p
Ta có: f x 2x p . Cho f x 0 2x p 0 x 2
Do f x và g x có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm trên đoạn 1; 4 , nên ta có: f 2 3
4 2 p q 3 q 7 f p x 2
x 4x 7 2 p 4 p 4 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 8 f 1 4
Nhận thấy: min f x f 2 nên max f x f
1 ; f 4 . Và
max f x f 7 4 7
Vậy max f x 7 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 4 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 12 : Cho hàm số 3 2
f (x) x ax bx c và giả sử ,
A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giả
sử đường thẳng AB cũng đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ nhất của P abc ab . c 25 16 A. 9 B. C. D. 1 9 25 Giải :
Ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số 3 2
f (x) x ax bx c là : 2 a ab 2 2 2 2 2a ab f x b x c AB : y b x c . 3 9 9 3 9 9
Do AB đi qua gốc tọa độ O 0;0 ab 9c . 2 5 25 25 5 Thay vào 2
P 9c 10c 3c
. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi c . 3 9 9 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 13 : Cho hàm số y f x 2
x 2cos x trên ;2
. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và 2
giá trị nhỏ nhất của y .Tính P M m . A. P 4 B. 2 P 4 C. P 2 4 1 D. P 2 4 2 Giải : Xét f x 2 x 2cos x x ;2 2
f 'x 2x sin x .
f ' x 21 cos x 0 x ;2 2
f ' x là hàm đồng biến trên ; 2 f ' x có tối đa một nghiệm . 2
Ta thấy f '0 0 x 0 là nghiệm duy nhất của f ' x . 2 min f
x m f f 0 2 2 4 x ;2 2
Ta có : f 0 2 P 4 2 1 . 2
max f x M f 2 f 2 4 2 2 4 2 x ;2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 14 : Cho hàm số f x 3
asin x b x 2016. Cho biết f loglog 10 2017.Tính 3
f log log 3 .
A. f log log 3 2018
C. f log log 3 2016
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 9 B.
f log log 3 2017
D. f log log 3 2015 Giải : 1
Ta có: f log log 3 f log f loglog 10 3 log 10 3
a sin loglog 10 3
b log log 10 2016 3 3
asinloglog 10 3
b log log 10 2016 4032 3 3
f loglog 10 4032 2017 4032 2015 3
Vậy f log log3 2015 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
2x m 2 x m
Câu 15 : Cho hàm số : C y m
. Biết với mọi m 0 thì C luôn tiếp m m : 0 x m 1
xúc với 1 đường thẳng cố định d . Vậy d là :
A. d : y x 1
B. d : y x 1
C. d : y x 2
D. d : y x 2 Giải : Do may mắn nên C
luôn đi qua điểm cố định A 1 ; 2 với m 0 . m
Tiếp tuyến chung có tiếp điểm là A 1 ; 2 .
Ta mò điểm cố định đó như sau :
Gọi A x ; y là điểm cố định mà C
luôn đi qua . Nên từ đó ta có : m o o 2 2x m x m o 2 o y o x m 1 o
y x m x x x y o o 2 1 2 2 o o o 1 0 o
x m1 o
Để phương trình trên luôn có nghiệm thi :
y x y x o o 1 0 1 o o 2
2x 2x x b
x x x x o o o 2 1 0 2 2 o o
o 1 o 1 0. y x 1 o o x 1 o A 1 ; 2 2 x y o 1 0 2 o
Từ đây có thể kết luận y x 1 là tiếp tuyến và tiếp điểm là A 1 ; 2
do hệ có nghiệm kép .
Ta chứng minh bằng pp tự luận sau :
Theo lớp 11 thì hệ số góc k của tiếp tuyến tại x
chính là y ' x . o o 2
2x 41 m 2 2
x m 4m 2 m Ta tính y ' ( may mắn quá ) x m y ' 1 1 2 1 m
d : y x 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 10 ax b
Câu 16 : Cho hàm số y
. Khi hàm số y có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1 2 x 1 thì giá trị của 2 2
P a b là : A. P 13 B. P 20 C. P 25 D. P 34 Giải :
ax b 4 2 2 x , y 4 x 1
4x ax 4 b 0 Khi max y 4 . x , y x 2 4 ax b 1 1 1 4x ax 4 b 0 1 1 4 2 x 1 1 2 a 16 4b 0
Để hệ có nghiệm thì 2
a 16 4 b 0 1 . 1 2
a 16 4 b 0 1
ax b 1 2 2 x , y 1 x 1
x ax b 1 0 Khi min y 1 . x , y x 2 1 ax b 2 2 2 x ax b 1 0 2 2 1 2 x 1 2 2 ' a 4 b 1 0
Để hệ có nghiệm thì 2
a 4 b 1 0 2 . 1 2
a 4 b 1 0 2 2 a 16 4b 2 0 a 16 Từ 1 và 2 P 25 . 2 a 4 b 1 0 b 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 17 : Cho hàm số f x cos 2x a cos x 2017 với a là tham số thực . Gọi a là giá trị để 0
T max f x đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó giá trị T là : A. T 2016 B. T 2017 C. T 2018 D. T 2019 Giải : Ta có :
Nếu a 0 : f 0 a 2018 a 2018 2018 M 2018 .
Nếu a 0 : f 2018 a 2018 a 2018 M 2018 .
Nếu a 0 : f x cos 2x 2017 cos 2x 2017 2018 x
Mà f 0 2018 T max f x 2018 .
T 2018 a
. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a 0 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 18 : Cho f x 3 2
2x 6x 3 . Số nghiệm thực của phương trình f f x 0 . A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 Giải :
x 2,810.... A
f x 0 ta thấy có 3 nghiệm x 0,8317.. B . x 0 ,64... C
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 11 f x 3 2 A
2x 6x 3 A 0
f f x 2 f x 3 6 f x 2 3 0 f x 3 2
B 2x 6x 3 B 0 . f x 3 2 C
2x 6x 3 C 0 Ta có : x 2,98... 3 2
2x 6x 3 A 0 x 0,18... . x 0 ,17... x 2,86.. 3 2
2x 6x 3 B 0 x 0, 68.. . x 0 ,55.. x 2,76.. 3 2
2x 6x 3 C 0 x 0, 94.. . x 0 ,70..
Vậy phương trình f f x 0 có 9 nghiệm thực phân biệt .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
f f x
Câu 19 : Cho hàm số y f x 3 2
x 3x x . Phương trình có bao nhiêu nghiệm 2 f x 1 2 1 thực phân biệt . A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 Giải :
Điều kiện : f x f x 1 2 1 0 . 2
f f x Ta có :
1 f f x f x
2 f x 1 2 1
f x 3,059... A f x 3 f x 2 f x 3 3
2 f x 1 f x 0,845... B . 2 f x 0 ,934... C 3 2 3 x x x A x 2,841... 3 0 1 2 x 2, 499... 3 2 3
x 3x x B 0 2 x 0,809...
Phương trình có 5 nghiệm phân biệt . 2 x 0 ,309... 3 2 3
x 3x x C 0 2 x 0 ,688... 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 20 : Phương trình x x x m x 2 3 2 1 1
có nghiệm thực khi đó tập giá trị m thỏa là : 3 1 3 A. m 6; B. m 1 ; 3 C. m 3; D. m ; 2 4 4 Giải :
Với x 0 Phương trình có nghiệm khi m 0 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 12 Với x 0 : 2 2 Ta có : 3 2
x x x m 2
x x 2 x 2 x m 2 1 1 x 1 . 2 x x m * . 2 2 x 1 x 1 x x 1 1 Ta có : . 2 x 1 2 x 2 2 Đặ x 1 1 t t t ; * trở thành 2 1 1
t t m t ; . 2 x 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 Xét : 2
f t t t với t ;
f t với t ; . 2 2 4 4 2 2 1 3
Vậy tóm lại để phương trình có nghiệm có khi m ; . 4 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 21 : Cho phương trình 6 4 3 3
x x m x 2 m 2 6 15 3
x 6mx 10 0 * với m là tham số. Tìm 1
tất cả giá trị của m để * có đúng hai nghiệm thực thuộc đoạn ; 2 . 2 5 11 7 9 A. 2 m B. m 4 C. m 3 D. 0 m 2 5 5 2 Giải : Ta có : 6 4 3 3
x x m x 2 m 2 6 15 3
x 6mx 10 0 6 4 2 2 3 3 2 2
x 6x 12x 8 3x 6 m x 3m x 6mx 4
x 23 3x 2 mx 3 2 2 1 3mx 1 2
x 2 mx 1 2 x 1 2
x 1 mx m A . x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
x m 1 x 2m 2
Câu 22 : Cho hàm số y x
. Tìm m thuộc khoảng nào sau đây để giá trị để giá trị 2
lớn nhất của hàm số y trên 1 ;1 đạt nhỏ nhất : 3 A. m 2 ; 1 B. m ; 1 C. m 1 ;0 D. m 1 ;1 2 Giải : 2
x m 2 1 x 2m 2 x x 2 x x y
m . Đặt f x 2 2 x 1 ;1 . x 2 x 2 x với 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 13 f ' x 0 t 2 x 4x f '
f ' x 0
x 0 f x 2 ; . 1 . x 22 x 1 ;1
Vậy bài toán trở thành y f t t m t 2 ; 1 .
Ta phải tìm m để max f t đạt giá trị nhỏ nhất . t 2 ; 1
Ta có max f t max f 2 ; f
1 max m 2 ; m 1 . t 2 ; 1 t 2 ; 1 t 2 ; 1 3 1 3
m 2 m 1 m
max f t m 2 m 2 m t 2 ; 1 2 2 2 3 1 3
m 2 m 1 m
max f t m 1 m . t 2 ; 1 2 2 2 1 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của max f t là
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m . t 2 ; 1 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 23 : Cho 4 2
y x 6x 4x . Gọi C là đường tròn đi qua 3 điểm cực trị của y . Biết C giao
d : 3x y 0 tại 2 điểm A x ; y ; B x ; y . Tính x y x y . A A B B A A B B 3 5 11 2 7 17 A. B. C. D. 3 5 5 5 Giải : 3
y ' 4x 12x 4 . Ta thấy y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt Có 3 điểm cực trị .
Gọi M x ; y
là điểm cực trị bất nào đó 3 3
4x 12x 4 0 x 3x 1 . o o o o o 0 Ta có : 4 2
y x 6x 4x x 3x 1 6 3x 1 4x . o o o o o 0 0 o 2 y 3
x 3x 3 điểm cực trị nằm trên 1 Parabol không thẳng hàng . o o o
Mặt khác : y x x y x x 2 2 2 2 3 3 3 3 o o o o o o 2 4 3 2
y 9x 18x 9x 9x x x x o o o o o 3 o 1 183 o 2 1 9 o 2 2
y 36x 63x 18 o o o 2 2 2
x y 37x 63x 18 o o o o 3x y 2 2
x y 37 o o 63x 18 o o 3 o 37 2 2
x y 26x y 18 0 o o o 3 o 37
Vậy 3 điểm cực trị thuộc đường tròn C 2 2
: x y 26x y 18 0 . 3
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 14 A2; 6
C d 9 27 B . B ; 10 10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 24 : Cho nửa đường tròn đường kính AB 2R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt góc
CAB và gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB . Tìm sao cho thể tích vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 1 1 1 A. B. arctan C. arctan D. 2 3 2 3 Giải :
Gọi O là trung điểm của AB .
Xét trục AOB với O là gốc thì ta có: AR, 0, B R, 0
H đoạn AB H x, 0 với x 0, R .
Ta có AH R x R x, HB R x R x . 2 2 2 HC H .
A HB R x . 1 Mà 2
V .AH.HC nên V x
R x 2 2
R x V x 2 2 . . '
.R x R x. 2 x . 3 3 3
R x 0Loai R V ' 0 x .
R x 2x 0 3 2 2 HC R x 2 1 tan C . HA R x 2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 26 : Trang giấy in là hình chữ nhật, diện tích phần chữ ( hình chữ nhật ) là 2
468, 75cm , lề 2 bên là
1,5cm , lề trên đỉnh và đáy là 2 cm . Chu vi khổ giấy là bao nhiêu khi dung lượng giấy ít nhất . A. 101,5cm B. 50, 75cm C. 43, 75cm D. 87,5cm Giải :
Gọi a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của phần chữ : 468, 75 b ab 468,75 a . P
a 4b 3 1875 P 3a 480,75 a P a 1875 ' 3
P ' a 0 a 25 . 2 a a 25
Vậy để tiết kiệm giấy nhất thì
Chu vi nhỏ nhất là 2 a 3b 4 101,5 cm . b 18,75
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 27 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng hình chữ nhật MNEF có cạnh MN nằm trên cạnh BC ,
hai đỉnh E, F lần lượt trên cạnh AC, AB . Tồn tại M để S max . Tính S max . MNEF MNEF 2 3a 3 2 a 3 2 a 3 A. B. C. D. đáp án khác 16 16 8 Giải :
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 15
Ta có : MNEF là hình chữ nhật EF / / BC MN .
Gọi I là trung điểm của BC . Đặ AF BF t x
1 x . Ta có MN EF xBC , ME 1 x AI . AB AB 2
S x1 x AI.BC x1 x 3 1 1 3 3 2 2 2
a x a a . 2 2 4 2 8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 28 : Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm . Gấp góc bên phải của
tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy như hình vẽ. Để độ dài nấp gấp là nhỏ nhất thì
giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu : A. 6 3 B. 6 2 C. 6 D. 6 5 Giải :
Gọi các điểm như hình bên, với N là hình chiếu của M trên CD . Ta có M EB M
EF nên EB EF x . Mà C
EF vuông tại C nên EF EC EB EC . BC
EB BC 4 x 8 . 2
EB x EC x CF
x x2 2 8 8 16x 64 . Vì 0 0
EFM 90 MFN EFC 90 MFN FEC M FN ∽ F EC . MF MN MF 8 2x MF . FE FC x 16x 64 x 4 2 3 4x x M EF vuông tại 2 2 2 2
F ME FE FM x x 4 x . 4 3 x Xét hàm số y x 4;8 . x với 4 3 2 2x 12x
x 0l Ta có: y ' , y ' 0 . x 42 x 6 n
Vẽ bảng biến thiên ta thấy tại x 6 thì y sẽ có giá trị nhỏ nhất là 108 . Khi đó 2
ME 108 ME 6 3 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
Câu 29 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB
, AD 3 . Trên tia AB lấy điểm E , CE cắt tia AD tại 3
F . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF . 8 3 8 3 4 21 4 21 A. EF B. EF C. EF D. EF . min 5 min 3 min 3 min 5 Giải :
Gọi góc BCE . Do CE luôn cắt tia AD nên E di chuyển trên
tia AB sao cho B nằm giữa , A E .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 16 3 CE sin 3 1
DCF EF . 2 1 sin 3.cos CF 3.cos
Đặt y f 3 1 3cot tan 0 y ' . sin 3.cos 2 sin 3 cos 3cot tan Ta có 3 y ' 0
0 tan 3 3 tan 3 . sin 3 cos 3
Vậy dựa vào bảng biến thiên ta có : f 8 3 min f . 3 3 0; 2
Tổng quát hoá bài toán : Cho hình chữ nhật ABCD có AB a , AD b . Trên tia AB lấy điểm E , CE
cắt tia AD tại F . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF . Giải :
Ta có công thức tổng quát sau : EF a b 3 2 2 3 3 . min
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 30 : Cho hàm số 3 2 y
f x x x x C và A1; 4, B 1
;1 . Gọi là tiếp tuyến của C
thỏa và có khoảng cách từ A đến gấp 2 lần khoảng cách từ B đến . Hỏi có bao nhiêu tiếp
tuyến thỏa điều kiện trên biết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M x ; y thuộc C có dạng: 0 0
y x x . f ' x f x . 0 0 0 A. 3 B. 4 C. 1 D. 5 Giải:
Gọi K, J lần lượt là hình chiếu của , A B trên . Ta có d ; A
2d ; B
0 AK 2BJ 0 . và AB cắt nhau. Vậy
I AB với AB là đường thẳng. AK / /BJ IA 2IB I 1; 2
Ta có KJ AB I IA 2IB . IA 2 IB I 1;2 AK 2BJ
Vậy luôn đi qua một trong hai điểm cố định I 1; 2 hay I 1; 2 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 17
Với trường hợp d ; A
2d ; B 0
thì AB nên
điều trên vẫn đúng. Vậy ta luôn có luôn đi qua một trong
hai điểm cố định I 1; 2
hay I 1;2 .
là tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M x ; y nên có 0 0
dạng: y x x . f ' x f x
với f ' x 3x 2x 1 0 2 0 0 0 0 0 và f x 3 2
x x x . 0 0 0 0
Trường hợp 1: I 1; 2
, ta có: 2
1 x . 2
3x 2x 3 2
1 x x x . 0 0 0 0 0 0 3 2
2x 2x 2x 3 0 1 . 0 0 0
Đặt g x 3 2
2x 2x 2x 3 có tập xác định D .
Số giao điểm của g x và Ox chính là số nghiệm của phương trình
1 chính là số tiếp tuyến của trường hợp 1. x 1 1 355 Ta có g ' x 2
6x 4x 2, g 'x 0 1 g 1 .g 0 2 điể
m cực trị của g x x 3 27 3
nằm cùng phía với trục Ox g x cắt Ox tại một điểm duy nhất Có một tiếp tuyến thỏa trường hợp 1.
Trường hợp 2: I 1;2 , ta có:
Chứng minh tương tự Có ba tiếp tuyến thỏa trường hợp 2.
Vì x x 1 phương trình đường thẳng qua ,
A B có dạng: x 1 d không thể là tiếp tuyến của A B C
Vậy có tổng cộng bốn tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 18
Chương 2 : Hả m mu , hả m lu y thư ả, hả m Log
Câu 31 : Định
m để bất phương trình sau thỏa mãn mọi x 0 : log x 1 2
6 m x . 2 A. m 3 B. m 3 C.Không có m D. Đúng mọi m Giải : Ta có : log x 1
2 6 m x . 2 x 1
2 6 2mx
2.2x 6 2 . m 2x
2.2x 2 6.2x 2m Đặt : 2x t
. Do x 0 t 1 . Bất phương trình trở thành : 2 2 6 2m t t . Đặt 2 2 6 2m f t t t
với t 1; .
f 't 4t 6 0 với t 1; .
f t hàm đồng biến vớit 1; . 1 0 8 2m f t f 0 m 3 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 32 : Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình : log x 2 mlog
9 16 . Có 2 nghiệm đều lớn hơn 1 . 3 x2 A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 Giải :
Đặt t log x 2 . 3 Phương trình trở 4m thành : 2 t
16 t 16t 4m 0 * . t
Để phương trình đề cho có 2 nghiệm đều lớn hơn 1
thì * phải có nghiệm nghiệm lớn hơn 0.
64 4m 0 S 16 0 0 m 16 .
P 4m 0
Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 33 : Định m để phương trình : 2
m 3 log x 4 2m 1 log x 4 m 2 0 có nghiệm x , x thỏa 4 x x 6 . 1 2 1 2 1 2 2 1 1 m 1 m 1 m m 1 A. B. 2 C. 2 D. m 3 m 2 m 3 m 3 Giải :
Đặt t log x 4 . 2
Phương trình trở thành : m 2
3 t 2m
1 t m 2 0 * .
Với 4 x 6 log
x 4 1 t ;1 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 19
Do phương trình có 2 nghiệm m 3 . m 2 2
1 4 m 2m 3 25 . t 1 1 m 2 t 2 m 3 m m 3 2
Vậy để thảo yêu cầu bài toán . m 1 1 3 m 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 34 : Có bao nhiêu giá trị a 0 ;1 để phương trình log
25x log a x có nghiệm duy nhất . 5 5 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Giải :
Phương trình đã cho 25x 5x log a 1 . 5 Đặt 5x t
t 0 Phương trình 1 trở thành : 2
t t log a 2 . 5 Để phương trình
1 có nghiệm duy nhất thì phương trình 2 có đúng 1 nghiệm dương . Xét : 2
f t t t với t 0; .
f 't 2t 1 , f t 1 1 1 '
0 t f . 2 2 4
Dựa vào bảng biến thiên ta có để phương trình 2 có 1 nghiệm dương duy nhất thì : log a 0 a 1 5 1 1 . log a a 5 4 4 5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình 2 2
log x log x 3 m 2 log x 3 1 có 2 1 4 2
nghiệm thuộc khoảng 32; . A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Giải : 2 log x 2 log x 1 2
Gọi t log x x 0 2 . 2 2
log x log x 4 2 Theo giả thuyết 1 có nghiệm 5 x
32 t log x log 2 t 5 . 2 2 t 5
Theo yêu câu bài toán ta có : 2
t 2t 3 có nghiệm . m t 3 t t t Xét f t 2 2 3 1 t 5; . t 3 t với 3
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 20 f t 2 '
0 với t 5; . t 2 t 1 3 t 3
f t là hàm đồng biến trên 5; .
Vẽ bảng biến thiên ta có 1 m 3 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 36 : Tìm m để phương trình log 3
mx 6x 2log 2 1
4x 29x 2 0 có 3 nghiệm phân biệt : 1 2 2 39 39 A. 18 m B. 19 m C. 19 m 20 D. 18 m 20 2 2 Giải : pt log 3
mx 6x log 2 1
4x 29x 2 . 2 2 1 2 x 2 1
4x 29x 2 14 3 2
mx 6x 1
4x 29x 2 2 2
m 6x 14x 29 * x Phương trình có 3 nghiệ 1 m phân biệt
* có 3 nghiệm phân biệt thuộc ; 2 . 14 2 1 Xét f x 2
6x 14x 29 với x ; 2 . x 14
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 x 1 xm
Câu 37 :Tập tất giá trị của m để phương trình 2 .log 2
x 2x 3 4 .log 2 x m 2 có 2 2
đúng bốn nghiệm phân biệt là : 1 3 3 3 1 3 A. ; \ 1 B. 1 ; \ 1 C. 0 ; \ 1 D. ; \ 1 2 2 2 2 2 2 Giải : 2 x 2 x 1 2 .log 2
x 2x 1 2 2 x m.log 2 x m 2 2 2 2 f 2 x 2x
1 f 2 x m 2
x 2x 1 2 x m *
Để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt thì * phải có 4 nghiệm phân biệt . 2
x 2x 1 2 x m 2
x 2x 1 2x m 2
x 4x 1 2m 0 1 2
x 2x 1 2 x m 2 x 2m 1 2
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
1 , 2 phải có 2 nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 21 3 m
' 4 1 2m 0 1 2 . 2m 1 0 1 m 2
Ta loại m 1 vì lúc đó 4 nghiệm phân biệt nhưng có 2 nghiệm trùng nhau : 1 3 Vậy m ; \ 1 D . 2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 38 : Cho phương trình log 3 2
mx 5mx 6 x log 3
x 1 với mọi m 0 . Hỏi phương 2 2m
trình có bao nhiêu nghiệm với mọi m 0 . A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giải : Điều kiện cần :
Giả sử x x là nghiệm của phương trình đúng với mọi m 0 Nghiệm sẽ thỏa với bất kì m 0 , 0 chọn m 0 . x 2
Với m 0 , ta có pt log 6 x log 3 x 1 0 . 2 0 2 0 x 5 0 Điều kiện đủ : x 2 log 2 1 2m 2 log 2 . 0 2 2 2m Điề 1 1 u kiện xác định 2 12
m 2 0 m
không thỏa với mọi m 0 . 6 6 x 5 log 1 log
1 0 0 Phương trình có nghiệm đúng với mọi m 0 . 2 0 2 2m
Vậy có 1 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 39 : Cho phương trình 2 log
m x 2m log 3m mx với mọi m 0 . Số nghiệm của 2 7m 8
phương trình đúng với mọi m 0 là : A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giải : Điều kiện cần :
Giả sử x x là nghiệm của phương trình đúng với mọi m 0 Nghiệm sẽ thỏa với bất kì m 0 , 0 chọn m 1 . x 0
Với m 1 , ta có pt log 1 x 2 log 3 x 0 . 8 0 8 0 x 1 0 Điều kiện đủ : x 0 log
3m log 3m không thỏa với mọi m 0 ( Ví dụ m 2 log 6 log 6 ). 2 0 8 7 m 11 8 2 x 1 log
m 1 2m log 2m 2 0 7m 8
không thỏa với mọi m 0 ( Ví dụ m 2 log 3 6 log 6 ) . 11 8
Vậy có 0 giá trị thỏa yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 40 : Cho hàm số y f x 1 . Tính P 2 f 2 016 f 2
015 ... f 2017 . 2x 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 22 A. P 2019 B. P 2018 C. P 2017 D. P 2016 Giải :
f x f x 1 1 1 1 2x 1 1 x 1 2 2 2 x 2 2x 2 2 2x 2 2 1 1 1 P 2. ... 2017 2 2 2 2017 so
Đáp số P 2017 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 2 1 3log 2 2 1 x
Câu 41: Ký hiệu f x 2 log x 4 x 8
1 1. Giá trị của f f 2017 bằng : A. P 2019 B. P 2018 C. P 2017 D. P 2016 Giải:
Điều kiện : x 0; \ 1 . 1 1 2log x 1log 2 log 2 4 x . x x x x x 2x . 1 3log 2x2 1 2 log x 2 2 log x 2 3 2 8 8 2 x .
f x x x 1 2 2 2 1 x
1 1 x f f 2017 2017 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a
Câu 42 : Cho các số thực dương a,b thỏa log a log b log
a b . Tính tỉ số . 9 12 16 b a 1 5 a 1 5 a 1 5 a 1 5 A. B. C. D. b 2 b 2 b 2 b 2 Giải : a 9k
Ta có : log a log b log
a b k b 12k . 9 12 16
a b 16k k k 2 a b a a a k k k 9 12 1 5 9 12 16
1 0 1 0 1 0 . 12 9 b a b b b 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x, y, z, k 0 1 1 1 1
Câu 43 : Cho thỏa mãn và 4 4 4
ax by cz . Tính giá trị 3 3 3
A ax by cz a, , b c 0 x y z k theo a, , b , c k . A. 4 2 4 4 4 A k a b c C. 4 3 4 4 4 A k a b c
a b c4 4 4 4
a b c4 4 4 4 B. A D. A 2 k 3 k
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 23 Giải : 4 4 4 4 4 ax by cz 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : 3 3 3 4 3 4 3 4
A ax by cz ax k ax k ax x y z x y z k x y z 4
x, y, z 0 4 4 4 4 4 4 ax by cz k ax
k a b c4 3 4 3 4 4 4
do a,b,c 0 . x y z 4 4 4
ax by cz
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 44 : Cho A x log a b . a b 4y log a b a b
log a a,b 0 . Gọi x; y là giá trị 2 4 3 2 3 2 4 1 3 5 5 3 4 2 16
để A không đổi với mọi ,
a b 0 . Tính P x y . 20 16 23 A. 4 B. C. D. 9 9 12 Giải : 3 1 2 4 3 5 3 4 4 2 3 3 2 2 5 5
A x log a log b log a log b y log a log b log a log b log a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 17 21 11 33 x y 1 log a x y log b . 2 2 12 10 6 10 1 7 21 x y 1 0 x 4 Để 12 10
A không phụ thuộc vào , a b 0 thì 20 . 11 33 y x y 0 9 6 10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 45 : Cho , x y thỏa x y 2 ln ln
ln x y . Tính giá trị nhỏ nhất P x y . A. P 3 B. P 3 2 C. P 3 2 2 D. P 3 3 2 Giải : Theo giả thiết ta có : 2
xy x y y x 2 1 x . 2 x 0 Do
x 1 0 x 1 P 1 . y 0 2
xy x y Vậy từ đó ta có : 2
y P x 2x P
1 x P 0 * . P 1
Vậy để * có nghiệm với 2 , x y
0 P 6P 1 0 * P 3 2 2 . P
loai do P P 3 2 2 3 2 2 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 46 : Cho a , a ,..., a
là 2017 số phân biệt đều lớn hơn 1 . 1 2 2017
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 24 Phương trình x x ... x a a a
a a ... a
2017 x 2017 với x là ẩn số thì có bao nhiêu 1 2 2017 1 2 2017 nghiệm : A. 1 B. 2 C. 4 D. , A , B C đều sai Giải : Xét x x ... x f x a a a
a a ... a 2017 x 2017 . 1 2 2017 1 2 2017 ' x ln x ln ... x f x a a a a a ln a
a a ... a 2017 . 1 1 2 2 2017 2017 1 2 2017 ' x ln 2 x ln 2 ... x f x a a a a a ln a 0 x . 1 1 2 2 2017 2017 2
f 'x có không quá một nghiệm .
f x có không quá hai nghiệm . f 0 0 x 0 Mà
Vậy phương trình có hai nghiệm . f 1 0 x 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- log 2017
Câu 47 : Phương trình 5 2 sin x cos 16 4 x 2017
có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2017 . A. 641 B. 642 C. 1282 D. 1283 Giải :
Phương trình tương đương 2sin x cos 16 4 x 5 . x x x 1 x 1 x 1 x 1 Vế trái : 4 sin cos 4 sin cos cos cos cos x 5
4 sin x 4 cos x 4 4 4 4 .4 .4 .4 .4 5 4 5 . 4 4 4 4 2
sin x sin x Do
sin x cos x 1 . 2
cos x cos x 4sinx 1 cos 4 .4 x x k
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 4 sin x 0 . k
sin x cos x 1 0 x 2017 0 k 2017
0 k 642,03... k 1;642 Ta có : .
x k , k k k k
Vậy số nghiệm của phương trình thỏa yêu cầu bài toán là : 642 11 642 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 48 : Có tất cả bao nhiêu giá trị m trong khoảng 2
017;2017 để phương trình x x 1 4 3.2
10 22x 3sinmx có nghiệm trong khoảng 1;3 : A. 1283 B.1284 C. 1285 D. 1286 Giải : Ta có : x x 1 4 3.2
10 22x 3sinmx
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 25
2x 2 2.3.2x 9122x 3sinmx 0
2x 32 22x 3sinmx sin
mx 2 cos mx 2 0
2x 3sinmx 2 cos mx 2 0 2x 3
sinmx 0 1 cos mx 0 2 mx 2k 2
Giải phương trình 2 cos mx 0 k,l .
mx 2l 2 Thay mx
2l vào 2 2x 3 1
x 1 loại do x 1;3 . 2 Thay mx
2k vào 2 2x 3 1 x 2 ( nhận ) m k k . 2 4 m 20 17;2017 20
17 k 2017 64
2, 28... k 641,78.. Ta có : m k 4 4 k k k k 642 ; 641
số giá trị k nguyên là : 641 6 42 11284 . k
Vậy có 1284 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 26
Chương 3 : Nguyê n hả m - Tí ch phả n x 2016 1 1
Câu 49 : Tính tích phân I dx . x 22018 3 2 1 1 A. I 2017 B. I C. I 1 D. I 2017 2017 Giải : 3 0 x 1 1 x 1 0 2017 Đặ t 1 t t dt dx . Đổi cận 2 2016 I t dt D. x 2 x 22 2017 2017 t 1 0 1 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a 3 2
2x 3x 4x 3 A A A Câu 50 : Cho 1 2 2017 I
với A , A .., A , B , 1 2 2017 x dx ... B 2019 1 a 1 a 2 1 a 2017 1 0
a 0 . Tính P A 2A ... 2016A 2017A . 1 2 2016 2017 A. P 1 B. P 3 C. P 2017 D. P 0 Giải : a 2 3 1 3 2 1 4 1 a x x x 2 3 4 I x dx dx 2019 1 x 2016 1 x 2017 1 x 2018 1 0 0 2 3 4 F 0 2015 2016 2017 2015a 1 2016a 1 2017 a 1 B P 2 3 4 3 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Câu 51 : Tính I max 2 x ; 4x 3dx : 2 58 61 A. I 2 B. I 3 C. I D. I 3 3 Giải : Gọi f x 2
x , g x 4x 3 . Xét hx f x g x 2
x 4x 3 với x 2;4 .
hx 0 x2; 3
f x g x x 2; 3 Ta có .
hx 0
x3;4 f x gx x3;4 4
I maxx ;4x 3 4 58 2
3 dx g x dx f x dx . 3 2 2 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 52 : Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0; x 1. Biết diện tích thiết diện của vật thể
cắt bởi mặt phẳng P vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 1 là một dường tròn có
độ dài đường kính R x x 1 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 27 7 7 7 7 A. V B. V C. V D. V 6 3 9 12 Giải :
Ta có diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng P là : 2 3 2 S x R x x . 1 V 7 3 2
x x dx . 12 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 53 : Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;
1 và thỏa mãn f x 2 f 1 x 3 , x x . 1 Tính tích phân I f xdx. 0 1 A. I 1 B. I 2 C. I D. I 3 2 Giải: 1
Ta có f x 2 f 1 x 3x f x 3x 2 f 1 x I 3 x 2 f
1 xdx . 0 1 1 1 3 3 2 x 2 f
1 xdx 2 f
1 xdx. 2 2 0 0 0
x 0 t 1
Đặt t 1 x dt dx, đổi cận: .
x 1 t 0 1 0 1 1 Vậy f
1xdx f
tdt f t dt f x dx I . 0 1 0 0 3 3 1
I 2I 3I I . 2 2 2 Cách 2 : Chọn hàm:
Giả sử : f x ax b f 1 x a 1 x b .
Ta có : f x 2 f 1 x ax b 2a 1 x 2b ax 3b 2a 3x . a 3 a 3 1 Đồ 1
ng nhất hệ số ta có : 3
x 2dx .
2a 3b 0 b 2 2 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 54 : Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f '(x) liên tục trên và
đồ thị của hàm số f '(x) trên đoạn 2
;6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng
định đúng trong các khẳng định sau :
A. max f (x) f ( 2 )
C. max f (x) f (2) x [ 2 ;6] x [ 2 ;6]
B. max f (x) f (6)
D. max f (x) f ( 1 ) x [ 2 ;6] x [ 2 ;6] Giải :
f ' x đổi dấu từ dương sang âm tại f ' 1 x 1 là điểm cực đại .
f ' x đổi dấu từ âm sang dương tại f '2 x 2 là điểm cực điểm .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 28 f 1
max f (x) . x [ 2 ;6] f 6
Gọi S là diện tích giớ hạn bởi f ' x; O ; x x 1 ; x 2 . 1
S là diện tích giớ hạn bởi f ' x; O ;
x x 2; x 6 . 1 2 6
Dựa vào hình vẽ ta có : S S f ' x dx f ' x dx . 1 2 1 2 f
1 f 2 f 6 f 2 f 1 f 6 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 55 : Cho P 2
: y 3x và đường thẳng d qua M 1;5 có hệ số góc k. Biết k chính là hệ số góc để
diện tích hình phẳng giới hạn bởi d; P đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tính đó : 8 6 4 6 11 6 7 6 A. B. C. D. 9 9 9 9 Giải :
d : y kx k 5 phương trình hoành độ giao điểm của P; d là : 2
3x kx k 5 0 1 .
k k k 2 2 12 60 6 24 0 . 2
3x kx k 5 0 x x ;x 1 2 k x 6 k
Gọi x x là các nghiệm của 1 1
. Ta có . x x . 1 2 1 2 k 6 x 2 6 k 5 x .x 1 2 3 x 2 x 2 2 kx Khi đó S 2
x kx k 3 3 5 dx x
5kx ..... 2 1 x 1 x k
.... x x
x x 5 k x x 2 x x 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3
k 12k 60 54 54 8 6 Vậy S k 6 . min min 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 56 : Cho C 4
x m 2 :
1 x 2 0 luôn có 3 cực trị. Gọi là tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của m 128 C
. Gọi m để diện tích hình phẳng giởi hạn bởi C và là
. Tính m m 2 2 2 3 m m 15 A. 324 B. 2304 C. 961 D. 16 Giải : Do C
luôn có cực trị m 1 . Điểm cực tiểu là x 0 : y 2 . M
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 29 x 0
Phương trình hoành độ giao điểm : 4
x m 2
1 x 2 2 x m1 m 1 2 m 1 5 3 x m 1 x 4 m 1 m 1 4 S x m 2 1 x dx 2 5 3 15 m 1 0 m 2 4 1 m 1 128 Ta có : m 5 . 15 15
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 57 : Xét hàm số 2
y x trên 0;
1 và 1 giá trị m bất kì thuộc0;
1 . Gọi S là diện tích giới hạn bởi 1 đường 2 2
x 0; y m ; y x , S là diện tích giới hạn bởi đường 2 2
y x ; y m ; x 1 . Gọi S S S , 2 1 2
tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S là : 2 11 1 A. B. C. D. 1 3 12 3 Giải :
Phương trình hoành độ gia điểm : 2 2
x m x m x, m 0 ;1 . m
S S S m x 1
dx x m 3 3 m 1 m 4 1 2 2 2 2 3 2 3 3 2 dx m m
m m m . 1 2 3 3 3 3 3 0 m 4 1 Xét f m 3 2 m m với m 0; 1 . 3 3 f 1 0 3 1 m 0 min S f 'm 0 1 m 0 ;1 1 1 4 11 f
T min S max S . m 2 4 2 12 max 2 S f 2 3 1 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x 2ax 4a
Câu 58 : Cho a 0 sao cho diện tích S giới hạn bởi hai parabol P 2 2 : y , 1 4 a 1 2 x P : y 2 4
a có giá trị lớn nhất. Vậy giá trị lớn nhất của S là : 1 27 27 27 27 A. S B. S C. S D. S max 4 max max max 3 4 2 3 4 4 3 4 8 3 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm P , P là : 1 2 2 2 2
x 2ax 4a x x a 2 2
2x 2ax 4a 0 . 4 4 a 1 a 1 x 2 a a 2 2
2x 2ax 4a 1 a S dx 2 2 2
x 2ax 4a dx 4 4 a 1 a 1 2 a 2 a
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 30 a 3 3 3 1 2 x 9a 27a 2 2 ax 4a x 4 4 4 4 4 a 1 3 a 1
a a a 3 2 a 3 27a 27 ( Theo bác học Cauchy ) . 4 12 4 4 3a 4 3 27 Vậy S khi 4 a 3 . max 4 4 3
Cách khác : Các bạn có thể tìm S
bằng phương pháp hàm số . max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 59 : Cho đồ thị C của ham số 4 2
y x 4x cắt đường thẳng d : y m tại
bốn điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích S , S , S như hình vẽ. Biết 1 2 3 a a m với a,b * và
là phân số tối giản thì S S S . Khẳng định nào b b 1 2 3 sau đây là đúng : A. b 5 a 10
B. b 5 a 11
C. b 5 a 12 D. b 5 a 13 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm C 4 2
, d x 4x m 0 * .
Để C,d thì * phải có 4 nghiệm phân biệt ' 0 S 0 4 m 0 . P 0 1 Gọi x ; x x x
là 2 nghiệm dương của * . Do tính đối xứng nên S S . 1 2 1 2 2 3 2 1 x 2 x 4 2 4 2
x 4x m dx x 4x m dx 0 1 x 1 x x 4 2
x 4x m 2 dx 4 2
x 4x m dx 0 1 x
F x F 0 F x F x 1 2 1 5 3 x 4x 2 2 mx 0 2 5 3 4 2
3x 20x 15m 0 2 2 4 2 3
x 20x 15m 0 1 2 2 3m
Do x là nghiệm của * nên ta có : 32 2 1 x 2
x 4x m 0 2 2 4 2 2 2 2 2 3 20 Thay vào 2 m
6m m 0 m
b 5a 13 . 2 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 60 : Cho biết đồ thị hàm số 4 2 y
f x ax bx c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Gọi S là 1
diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm phía dưới trục hoành.Gọi
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 31
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần đồ thị hàm số f x nằm phía trên trục 2 S hoành. Biết 2
5b 36ac . Tính tì số 1 . S2 1 A. 2 B. 1 C. D. 3 2 Giải : 2
b 4ac 0 2 b 4ac 0 Điề b
u kiện để f x Ox tại 4 điểm phân biệt : S 0 . a c 0 a .bc 0 c P 0 a 2 b 4ac 0 . a c 0
Kết hợp với điều kiện bài cho ta có *. . b c 0 2 5 b 36ac S
Vì 1 const với mọi bộ số a ;b ;c bất kì thoả * Ta được chọn 1 bộ a ;b ;c bất kì thoả * o o o o o o S2 . 1 a 1 f x dx x S Chọn b 6
f x 4 2
x 6x 5 . f x 1 0 1 0 1 . x 5 5 S c 5 2 f x dx 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 32 Chương 4 : So phư c .
Câu 61 : Cho số phức z thỏa z 8 z 8 20 . Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của z . Tính P m n . A. P 10 B. P 6 C. P 16 D. P 20 Giải :
Gọi z x yi ,
x y và M ;
x y là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức .
Trong mặt phẳng phức, xét các điểm F 8 ;0 ; F 8;0 . 1 2 2 2 2 2 Ta có MF 8
x y x 8
y z 8 . 1
MF 8 x2 y2 x 82 y2 z 8 . 2
z 8 z 8 20 MF MF 20 conts . 1 2 2 2 x y
Do MF MF F F Tập hợp điểm M là 1 elip có dạng 1 . 1 2 1 2 2 2 a b 2 2 2 2a 20 a 100 max z 10 x y 1 . 2 2 2 c 8 b
a c 36 100 36 min z 6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z z z 0 1 2 3 2 2 2
Câu 62 : Cho 3 số phức z ; z ; z thỏa
. Tính A z z
z z z z 1 2 3 2 2 1 2 2 3 3 1
z z z 1 2 3 3 2 2 8 8 A. B. 2 2 C. D. 3 3 3 Giải :
z z z 1 2 3 2 2 2 8
z z z A z z z . 1 3 2 1 2 3 3
z z z 2 3 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i m 1
Câu 63 : Cho số phức z
. Tìm m m 0 là giá trị m thỏa . z z . 0 o
mm i m 1 2 2 A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Giải : i m i m 1 m i z .
1 m m 2i 2 2 2 2 i
2mi m i m m 1 m 1 2 2 2 m 1 1 1 . z z z m 1 . 2 2 2 m 1 m 1 m 1 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 33 _ z _
Câu 64 : Cho z và z là số phức liên hợp của z . Biết
và z z 2 3 . Tìm z . 2 _ z A. z 1 B. z 3 C. z 2 D. z 4 Giải :
Gọi z a bi a b _ ,
z a bi . _
Ta có : z z a bi a bi 2
2bi 2 3 b 3. 2 _ _ . z z . z z . 2 3 z z z z z Theo giả thiết : 3 .1 . z . 2 2 2 2 2 _ _ _ _ z z z z z. z 2 3 Mà 3 3 2
z a a bi a bi bi 3 2
a ab 2 3 3 3 3
3a b b i 2 3 2 2 2 3
a b b 0 3
a b 0 a 1 z 2 . 2 2 2 b 3 b 3 b 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 65 : Cho số phức z thỏa mãn 2
z m 2m 5 với m là số thực. Biết rằng tập hợp điểm của số phức
w 3 4i z 2i là đường tròn . Tìm bán kính R nhỏ nhất của đường tròn đó . A. R 5 B. R 10 C. R 15 D. R 20 Giải :
w i i z w i i z i z m 2 2 3 4 2 3 4 3 4 5 1 4 20 .
w 2i 20 . Vậy đường tròn có bán kính R
20 với tâm I 0;2 min
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi m 1 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 66 : Cho hai số phức z , z
thỏa mãn z z 8 6i và z z 2 . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P z z . 1 2 A. P 4 6 B. P 2 26 C. P 5 3 5 D. P 32 3 2 Giải :
a c z a bi
b di 8 6i a c
2 b d2 100 Gọi : 1
a, ,b ,cd .
z c di a c
2 b d2 4 a c
2 bd2 2 4
a c2 b d 2 a c2 b d 2 2 2 2 2
104 a b c d 52. B.C.S Mặc khác : 2 2 2 2
P a b c d 2 2 2 2 2 2 1 1
a b c d 2 26 . Cách 2:
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 34 Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z , z trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình 1 2
bình hành AOBD D là điểm biểu diễn số phức z z OD z z 10 . 1 2 1 2 z z
chính là độ dài đoạn AB . 1 2 2 2 2
AB OA OB 2O . A O . B cos AOB 4 2 O AB có 104 2 2 2
OA OB OA OB 2 2 2 O
D OA OB 2O . A O .
B cos AOB 100
OA OB
104 2 26 z z 2 26 . 1 2 max max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 67 : Cho số phức z thỏa z 1 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 . A. max T 2 5 B. max T 2 10 C. max T 3 5 D. max T 3 2 Giải :
Gọi z a bi a b 2 2 ,
a b 1 . 2 2
Ta có : T z
z a 2 b a 2 1 2 1 1 2 1 b B.C.S 2 2 2 2
a b a
a b a a a 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 4 2 5 . Vậy max T 2 5 .
Nếu dùng đạo hàm ta có thể tìm được thêm min .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 68 : Cho z , z là 2 số phức thỏa 2z i 2 iz và z z 1 . Tính giá trị P z z . 1 2 1 2 1 2 3 2 A. P B. P 2 C. P D. P 3 2 2 Giải :
Gọi z a bi a,b . 2 2 Ta có : 2 z i
iz a b 2
a b 2 2 2 2 4 2 1 2
a b 1. Gọi ,
A B lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z , z trong mặt phẳng phức . 1 2
z z OA OB BA 1 . 1 2 O
AB có OA OB AB 1 O
AB là tam giác đều .
P z z OA OB 2 OI 3 với I là trung điểm AB . 1 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 69 : Cho số phức thỏa z 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2
P z 1 z z 1 . 13 4 3 13 2 3 11 4 3 13 6 3 A. A B. A C. A D. A 4 4 4 4 Giải :
Đặt z a bi a b 2 2 ;
a b 1 . 2
z a 2 1 1 b 2 a 1
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 35 2
z z 2 2
a abi b a bi 2 2
a b 2 1 2
2a a 2a 1 bi
a a2 a 2 b a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
a b 2a 1 .
Vậy P 2a 1 2a 1 . 7 13
max P P 1 3 max P P 1 1 8 4 Xét a ;1 1 . Xét a 1 ; . 2 min P P 3 2 1 2 min P P 3 2 13 7 15 max P z i 4 8 8 z 1 Kết luận . 1 3
min P 3 z i 2 2 z 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 70 : Cho số phức z x 2 yi ; x y
thỏa z 1 . Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
P x y . 5 A. 0 B. 5 C. 5 D. 2 Giải : 2 2 z 1 x 4y 1
Theo giả thiết ta có : .
P x y
x P y
P y2 2 2 2 4y 1 0 5
y 2Py P 1 0*
x P y
x P y
Để hệ có nghiệm thì phương trình * có nghiệm với mọi y . 2
' P 5 2 P 1 0 * 5 5 5 2 P P 4 2 2
max P min P 0 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 71 : Cho z 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 2
T 1 z z z 1 . A. P 5 B. P 7 C. P 6 D. P 8 Giải : 3 2
T 1 z z z 1 5 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi z 1 . Ta có : 3 1 z 3 3
1 z 0 1 z 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 36 3 3 1 z 1 z 2 z z 1
1 z 2, z 1 1 . z 2 3 3 1 z 1 z T
1 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi z 1
. ( may mắn quá !!! ) 2 2 max T 5 Vậy . min T 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 73 : Cho 2 số phức z , z thỏa z z 1; z z 3 . Tính z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A. 0 B. 1 C. D. 2 2 Giải :
z a bi z z 1 Gọi
a, ,b ,x y 1 2 1 .
z x yi 2 z z 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b x y 1
a b x y 1 a x
2 b y2 3 2
ax by 1
z z a x2 b y2 2 2
a b 2 2 x y
2 ax by 1 . 1 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 74 : Cho số phức z , z
thỏa z 2i 2 iz 1 và z z 1 . Tính P z z . 1 2 1 2 1 2 7 A. P 7 B. P C. P 2 2 D. P 5 2 Giải :
Gọi z a bi , a b
, M, N là điểm biểu diễn của z ,z trong mặt phẳng phức , 1 2 Ta có : 2 2
z 2i 2 iz 1 a b 2 .
z z OM ON 2 OI với I là trung điểm của MN . 1 2
z z OM ON NM 1 . 1 2 2 1 7 Ta có : O MN cân tại 2
O OI MN OI OM MN 2 OI 7 . 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 z 1
Câu 76 : Gọi z , z , z , z là nghiệm của phương trình 1 . 1 2 3 4 2z i Tính P 2 z 1 2 z 1 2 z 1 2 z 1 . 1 2 3 4 17 17 17 17 A. P B. P C. P D. P 7 9 13 11 Giải : Điề i u kiện : z . 2
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 37 z 4 1
2z i4 z 2
1 2z i2 z 2
1 2z i2 0 z
1 2z i z
1 2z i z 2
1 2z i2 0
3z 1iz 1 i 2
5z 2 4i z 0 1 i z 3 z 1 i 17 P . z 0 9 2 4i z 5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 77 : Cho số phức z thỏa mãn 2
z 2z 5 z 1 2i z 3i
1 và số phức w thỏa w z 2 2i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của w . 3 A. min w 2 B. min w C. min w 3 D. min w 1 2 Giải : Ta có : 2
z 2z 5 z 1 2i z 3i 1
z 1 2i 0
z 1 2i z 1 2i z 1 2i z 3i 1 .
z 1 2i z 3i 1
Trường hợp 1 : z 1 2i 0 z 1 2i w 1 .
Trường hợp 2 : z i z i 1 1 2 3 1 b
với z a bi , a b . 2 1
w a i i a 3
i w a 2 9 3 2 2 2 2 . 2 2 4 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i m
Câu 78 : Cho số phức z k k
là giá trị nhỏ nhất sao cho tồn tại m m . Gọi i m 1 2
z 1 k . Giá trị k thuộc khoảng nào sau đây . 1 1 1 2 2 4 4 A. ; B. ; C. ; D. ;1 3 2 2 3 3 5 5 Giải : i m i m 1 1mi z z
1 mm 2i 1 2 2 i
2mi m i m m i a a 1 m 2 i m 2m 1 Ta có :
b 0 . Áp dụng z 1 b b 2 m i m 1
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 38 k 0 m 2m 2 2
z 1 k m 2m 2 . Xét f m 2 2 k 2 m 1 2 m 1
Theo yêu cầu bài toán, tồn tại k
để z 1 k 2 min f m k min 2 5 1 1 5 3 5 5 1
Ta có min f m f k k 0 . 2 2 4 2 5 1 Vậy k
là giá trị k cần tìm B . 2
Cách biến đổi khác, bình thường hơn : i m i m 1 m i z
1 m m 2i 2 2 2 2 i
2mi m i m m 1 m 1 2 2 2 2 m m 1 i
m m 1 1 z 1 z 1 2 2 2 2 m 1 m 1 m 1 m 1
m m 2 2 1 m 2m
m 1m 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m 2m 2 z 1 . 2 2 m 1 m 1 m 2 2 2 m 1 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 79 : Cho số phức z, w thoả z 2 2i z 4i , w iz 1. Giá trị nhỏ nhất cùa w là : 3 2 A. min w 2 B. min w C. min w 3 D. min w 2 2 Giải :
Gọi z a bi , a b .
z i z i a 2 b 2 a b 2 2 2 2 4 2 2 4
a b 2 0
Số phức z a 2 ai w a 1 ai
w a 2 2 2 1 a . 2 1
Dấu " " khi và chỉ khi a . 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Câu 80 : Cho phương trình phức sau : 2
z 2a bi
1 z a 2bi 0 a,b ,b 0 . Với điều kiện
nào sau đây của a,b thì phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm thực : 2 2 4 36b 2 4 2 36b 2 4 2 36b 2 2 4 36b A. a B. a C. a D. a 9 9 9 9 Giải : Gọi x
là nghiệm thực của phương trình :
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 39
x a bi x a bi2 2 2 1 2 0 . 2
x a 2 2 2
1 x a 4b bx 4abi 0 Áp dụng định nghĩa 2 số phức bằng nhau : Ta có : 2 2 2 x 4 2 1 4 0 a x a x a b bx 4ab 0 4a 2 2a 1 4 a 2 2
a 4b 0 x 4 a 2 '
* có nghiệm là a 2 2
' b' ac 4 36b . 2 2 9
a 4a 4b 0 * 9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 81 : Xét số phức z thoả i 10 1 2 z
2 i . Mệnh đề nào dưới đây đúng : z 3 1 1 3 A. z 2 B. 2 z C. z D. z 2 2 2 2 Giải : Ta có : i 10 1 2 z 2 i z
z z 10 2 2 1 i z 2 z
z z 10 10 10 2 2 1 i z . z 2 2 z z z 2
z 2 z 2 10 2 2 1 z 4 2
z z z z 2 2 0 1 1 z 1 0 z 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 82 : Cho số phức 2017 z
1 1 . Gọi P z . Tính A 2017.max P 2017.min P . A. 2016 A 2017. 2 B. 2017 A 2017. 3 C. 2017 A 2017. 2 D. A 2017 Giải : 2017 Ta có : 2017 2017
max P z 0 max P z z . 2017 2017 2017
min P z 0 min P z z . Gọi 2017 z
a bi a,b
Tập hợp điểm biểu diễn số phức 2017 z
là đường tròn tâm I 0;
1 có bán kính R 1 . 2017 2017 max P 2 max P 2017. 2 2017 A 2017. 2 . 2017 min P 0 min P 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 83 : Cho số phức z, w khác 0 sao cho z w 2 z w . Phần thực của số phức z u là: w
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 40 1 1 1 A. a B. a C. a 1 D. a 8 4 8 Giải : Cách 1 :
Gọi u a bi a,b . z 1 u 1 2 2 w 2 a b
Ta có : z w 2 z w 4 . z w z w u 1 a 2 2 1 b 1 w w a 2 3 1 2
1 a 2a 1 a . 4 8 Cách 2 : 2 2 a b 4 * 1
Gọi w a bi , a b
. Chọn z 1 z 1 1 w 2 w . a a 2 2 2 1 b 4 1 Thay a vào 15 1 1 15 * b u i . 2 2 1 15 8 8 i 2 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 1
Câu 84 : Cho số phức z có z
và số phức w thỏa 2 z w z . Tính w : w 1 A. w 1 B. w 2 C. w D. w 3 2 Giải : 1 1 1 2w 1 1 Chọn: z w 2w 2 1 2w 2 2 1 2 2w 1 w 2 2 1 3 1 2
4w 2w 1 0 w i w . 4 4 2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1 1 z z
Câu 85 : Cho số phức z , z thỏa . Tính giá trị 1 2 P . 1 2 z z z z z z 1 2 1 2 2 1 3 2 1 2 A. P 2 B. w C. w D. w 2 2 2 Giải : z 1 1 1 1 1 Chọn 1 2 2z 1 z 2
1 z 2z 2z 1 0 z i . 2 2 2 2 2 2 z 1 z 1 z 2 2 2 2 2 z z 3 2 1 2 P . z z 2 2 1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 41
Câu 86 : Cho z a bi ; a b thỏa 2
z 4 2 z và P 2 2
8 b a 12 , mệnh đề nào sau đây là đúng :
A. P z 2 2 2
B. P z 2 2
C. P z 2 2 4
D. P z 2 4 Giải
Ta chọn z 6 2 5i P 36 16 5 . Đáp án thỏa điều trên là đáp án A ( dựa vào MTCT thì khoảng 1p là xong bài ) .
Hướng dẫn cách chọn z 6 2 5i Theo đề ta có : 2
z 4 2 z 2 2
a b 4 2abi 2 a bi
a b 42 2 2 2 2 4a b 4 2 2 a b
Chọn a 0 b 6 2 5 .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2
Câu 87 : Cho số phức z thỏa mãn z
và điểm A trong hình vẽ bên là điểm 2 1
biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức w là iz
một trong bốn điểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là : A. Điểm Q C. Điểm M B. Điểm N D. Điểm P Giải :
Gọi z a bi , a b
là điểm biểu diễn số phức A .
Do z thuộc góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng Oxy , nên , a b 0 . 1 b a Lại có w i 2 2 2 2 iz a b a b
Điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng Oxy . 1 1 w
2 2 z 2OA. iz i . z
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 88 : Cho số phức z a bi a,b thỏa mãn z 1 i z 2i và P z 2 3i z 1 đạt giá
trị nhỏ nhất . Tính P a 2b : 5 3 A. P 3 B. P C. P 2 D. P 2 2 Giải :
Ta có : z 1 i z 2i a b 1 .
P P z i z a 2 b 2 a 2 2 2 3 1 2 3 1 b .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M ;
a b, A2;3, B 1
;0 với M điểm biểu diễn số
phức z M d : a b 1 0 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 42 2 2 2
Ta có : MA MB a b a 2 2 3 1 b
. Vậy ta tìm M d sao cho MA MB . min
Do x y
1 x y 1 0 ,
A B cùng thuộc một phía so với đường thẳng d . A A B B
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d . 3 1 5
Ta có : MA MB MA' MB A' B . Dấu " " xảy ra khi M A' B d M ;
P a 2b 2 2 2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 89 : Cho số phức z a bi a,b thỏa mãn z 1 i z 2i và P z 2 3i z 1 2i đạt
giá trị nhỏ nhất . Tính P a 2b : 5 3 B. P 3 B. P C. P 2 D. P 2 2 Giải :
Ta có : z 1 i z 2i a b 1 .
P P z i z a 2 b 2 a 2 b 2 2 3 1 2 3 1 2 .
Xét trong mặt phẳng phức Oab , xét các điểm M ;
a b, A2;3, B 1;2 với M điểm biểu diễn số phức
z M d : a b 1 0 . 2 2 2 2
Ta có : MA MB a 2 b 3 a
1 b 2 . Vậy ta tìm M d sao cho MA MBmin .
Do x y
1 x y 1 0 ,
A B khác phía so với đường thẳng d . A A B B 3 1 5
Ta có : MA MB AB . Dấu " " xảy ra khi M AB d M ;
P a 2b . 2 2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 90 : Cho số phức z thỏa z 3 4i 2 và P z 2 i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của P . Tính A M m . 34 A. A 34 B. A C. A 2 34 D. A 3 34 2 Giải :
Gọi z a bi , a b . 2 2
Ta có : z 3 4i 2 a 3 b 4 4 . 2 2
Vậy tập hợp điểm M C : a 3 b 4 4 có tâm I 3; 4 và bán kính R 2 2 2
Trong mặt phẳng phức xét A 2
;1 , ta có : P z 2 i MA với M C : a 3 b 4 4 .
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 43
MA AI R 34 2 Vậy : min . MA
AI R 34 2 max
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 91 : Cho số phức z a bi thỏa z 1 i z 2i và P z 3i đạt giá trị nhỏ nhất . Tính
A a 2b . B. A 2 B. A 2 C. A 2 2 D. A 1 Giải :
Gọi z a bi , a b .
Ta có : z 1 i z 2i a b 1 0 .
Vậy tập hợp điểm M : a b 1 0 .
Trong mặt phẳng phức xét A0;3 P MA với M . Vậy MA
d A; 2 2 min .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 92 : Xét số phức z thỏa 2 z 1 3 z i 2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng : 3 1 1 3 A. z 2 B. z 2 C. z D. z . 2 2 2 2 Giải :
Xét các điểm A1;0, B0 ;1 và M ;
x y với M là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức . 2 2 Ta có : z z i x 2 2 2 1 3 2
1 y 3 x y 1
2MA 3MB .
Ta có : 2MA 3MB 2MA MB MB 2AB MB 2 2 MB 2 2 .
2 z 1 3 z i 2 2 . Mà theo giả thuyết ta có : 2 z 1 3 z i 2 2 .
Vậy 2 z 1 3 z i 2 2 . M AB
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
M B M 0 ;1 z 1 . MB 0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 93 : Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M . Số phức w z(4 3i)
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N . Biết rằng M , M ,
N, N là bốn đỉnh của
hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z 4i 5 . 5 2 1 4 A. B. C. D. 34 5 2 13 Giải :
Gọi số phức z a bi a,b .
w a bi4 3i 4a 3b 3a 4bi w 4a 3b 3a 4bi MM ' Ox
Ta có : M và M ' đối xứng nhau qua trục Ox , N và N ' đối xứng nhau qua trục Ox . NN ' Ox Ta có : M , M ,
N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật MM ' N ' N hoặc MM ' NN ' .
Trong mặt phẳng phức Oab , xét điểm A5; 4
z 4i 5 MA
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 44
Trường hợp 1 : Với hình chữ nhật MM ' N ' N .
MN M ' N ' MN / /Ox y y b 3a 4b a b 0 M N 5 4 1
M d : a b 0 . Vậy MA d ; A d min 1 1 . 2 2
Trường hợp 2 : Với hình chữ nhật MM ' NN ' .
MN ' M 'M ' MN '/ /Ox y y b 3a 4b 3a 5b 0 M N ' 3.5 5. 4 5
M d : 3a 5b 0 . Vậy MA d ; A d . min 2 2 2 2 3 5 34 1 Vì d ; A
d d ; A d MA 1 2 . min 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 94 : Cho hàm số phức f z i 2 4
z az b với a,b là số phức . Biết f
1 , f i là số thực .
Tính giá trị nhỏ nhất của P a b . A. P 1 B. P 2 C. P 2 D. P 3 Giải :
a x y i Gọi : 1 1
x , x , y , y . 1 2 1 2
b x y i 2 2
Ta có : f z i 2 4
z az b . f
1 4 i a b 4 x x y y 1 i . 1 2 1 2
f i 4 i ai b 4
y x 1
x y i . 1 2 1 2
y y 1 0 Do f
1 , f i là số thực 1 2
x y 2 0 . 1 1
x y 1 0 1 2
Vậy để thỏa yêu cầu bài toán thì a : x y 2 0 trong mặt phẳng Oxy còn b là số phức tự do .
P a b d ; O 0 2 min .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 95 : Cho số phức z a 2bi a,b và đa thức: f x 2
ax bx 1. Biết f 1 1. Tính giá trị lớn nhất của z . A. 2 B. 2 2 C. 5 D. 7 Giải: Ta có: z a b2 2 2 . f
1 1 a b 1 1 2a 2b 2 2 1 .
2x y 4 0 a x 2
2x y 2 2
2x y 4 0 Đặt , ta có
1 2x y 2 2 * . 2b y 2
2x y 2 2 2x y 0
2x y 0
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 45
Miền nghiệm S của * là tứ giác ABCD (kể cả cạnh). Với
A0;0, B 1 ;2, C 2 ;0, D 1 ; 2 .
Dễ dàng nhận thấy ABCD là hình thoi. Gọi M ;
x y là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy M
chạy tung tăng trong miền S .
Ta có z OM z max OM max .
Ta dễ nhận thấy OM max OB OD z max 5 . Nhưng nhóm
muốn chứng minh thêm cho mọi người xem , phần chữ màu đỏ . CHỨNG MINH : Vì O BC và ODC
đối xứng nhau qua trục Ox nên xét M chạy tung tăng trên O
BC (O A ).
Gọi N OM BC OM ON và N thuộc cạnh BC . HN HB
H là hình chiếu của O trên BC . HN HC
Ta lại có HN là hình chiếu của ON trên BC .
HB là hình chiếu của OB trên BC .
HC là hình chiếu của OC trên BC . ON OB OM OB Từ đó ta có OM max max O ; B OC . ON OC OM OC OB 5 Mà
OM max OB 5 M B . OC 2 M B 1 ;2
Do tính đối xứng nên OM max . M D z max 5 1; 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm – NHÓM PI Page 46