Tổng hợp kiến thức môn Toán 12 – Lương Văn Huy

Tổng hợp kiến thức môn Toán 12 – Lương Văn Huy được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

59 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

158 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
MỤC LỤC
I Giải Tích 12 1
Chương1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2
§1 – Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 2
AA Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
BB Quy tắc tính đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CC Công thức tính đạo hàm hàm phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
DD Bảng công thức tính đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
EE Đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
FF Một số chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
GG Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2 – Cực trị hàm số 6
AA Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
BB Minh họa đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CC Một số điểm cần lưu ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
DD Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
EE Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
FF Quy tắc tìm cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
GG Một số dạng toán liên quan đến cực trị hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§3 – Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 16
AA Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
BB Phương pháp tìm GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§4 – Đường tiệm cận của hàm số 17
AA Đường tiệm cận ngang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
BB Đường tiệm cận đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§5 – Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 18
AA Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
MỤC LỤC
ii | Page
BB Đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CC Một số phép biến đổi đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
§6 – Tiếp tuyến 25
AA Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| Dạng 6.1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
). . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| Dạng 6.2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) có phương cho trước . . . . . . . . . . . . . . 26
| Dạng 6.3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M(x
0
; y
0
). . . . . . . . . . . . 27
BB Điều kiện tiếp xúc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§7 – Tương giao đồ thị 28
| Dạng 7.4: Tìm tham số để đồ thị (C): y =
ax + b
cx + d
cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
28
| Dạng 7.5: Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt đường thẳng (d)
tại 3 điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| Dạng 7.6: Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt đường thẳng d tại 4
điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| Dạng 7.7: Tìm tham số để đồ thị (C): y = f (x) cắt đường thẳng d tại n điểm thỏa
mãn tính chất nào đó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§8 – Điểm đặc biệt của họ đường cong 30
AA Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
BB Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
CC Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
DD Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương2. Mũ và Logarit 36
§1 – Lũy thừa và hàm số lũy thừa 36
AA Khái niệm lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
BB Phương trình x
n
= b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
CC Một số tính chất của căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
DD Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
EE Khảo sát hàm số mũ y = a
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§2 – Lôgarit 41
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
ii
MỤC LỤC
iii | Page
AA Khái niệm lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
BB Bảng tóm tắt công thức mũ - lôgarit thường gặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§3 – Bất phương trình mũ và logarit 42
AA Bất phương trình mũ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
BB Bất phương trình logarit cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§4 – Bài toán lãi suất ngân hàng 44
AA Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
BB Lãi kép. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CC Tiền gửi hàng tháng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
DD Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
EE Vay vốn trả góp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
FF Bài toán tăng lương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
GG Bài toán tăng trưởng dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
HH Lãi kép liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Chương3. Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân 48
§1 – Nguyên hàm 48
AA Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
BB Tính chất nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
CC Sự tồn tại nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
DD Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
EE Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§2 – Các phương pháp tính nguyên hàm 50
AA Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
BB Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
| Dạng 2.8: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
| Dạng 2.9: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
| Dạng 2.10: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§3 – Tích phân 54
AA Công thức tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
BB Tính chất của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
iii
MỤC LỤC
iv | Page
§4 – Phương pháp tính tích phân 55
AA Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
BB Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§5 – Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 57
AA Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
BB Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
CC Tích phân hàm lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§6 – Ứng dụng của tích phân 66
AA Diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
BB Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Chương4. Số phức 70
§1 – Số phức 70
AA Khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
BB Hai số phức bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
CC Biểu diễn hình học số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
DD Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
EE Mô-đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§2 – Phép cộng trừ, nhân chia số phức 72
AA Phép cộng và phép trừ số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
BB Phép nhân số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
CC Chia hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§3 – Phương trình bậc hai với hệ số thực 73
AA Căn bậc hai của số thực âm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
BB Phương trình bậc hai với hệ số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II Hình Học 12 74
Chương1. Khối đa diện 75
§1 – Khối lăng trụ và khối chóp 75
§2 – Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 75
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
iv
MỤC LỤC
v | Page
AA Khái niệm về hình đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
BB Khái niệm về khối đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§3 – Hai đa diện bằng nhau 77
AA Phép dời hình trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
BB Hai hình bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§4 – Phân chia và lắp ghép các khối đa diện 78
§5 – Khối đa diện lồi 79
AA Khối đa diện lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
BB Khối đa diện đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
CC Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§6 – Thể tích khối đa diện 82
AA Thể tích khối chóp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
BB Thể tích khối lăng trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
CC Thể tích khối hộp chữ nhật. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
DD Thể tích khối lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
EE Tỉ số thể tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
FF Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§7 – Các công thức hình phẳng 84
AA Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§8 – Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 86
§9 – Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện 89
Chương2. Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu 92
§1 – Mặt nón tròn xoay và khối nón 92
AA Mặt nón tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
BB Khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
CC Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§2 – Mặt trụ tròn xoay và khối trụ 94
AA Mặt trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
v
MỤC LỤC
vi | Page
BB Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§3 – Mặt cầu và khối cầu 96
AA Mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
BB Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
CC Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
DD Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§4 – Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 99
AA Bài toán mặt nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
BB Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§5 – Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 108
AA Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
BB Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
CC Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
DD Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
EE Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
FF Dạng 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§6 – Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 118
AA Chỏm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
BB Hình trụ cụt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
CC Hình nêm loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
DD Hình nêm loại 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
EE Parabol bậc hai - Paraboloid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
FF Diện tích Elip và thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
GG Diện tích hình vành khăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
HH Thể tích hình xuyến (phao). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Chương3. Hệ tọa độ trong không gian 122
§1 – Hệ tọa độ trong không gian 122
AA Các khái niệm và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
BB Phương pháp giải một số bài toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
vi
MỤC LỤC
vii | Page
§2 – Mặt phẳng 126
AA Các khái niệm và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
BB Viết Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
CC Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
DD Khoảng cách và hình chiếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
EE Góc giữa hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
FF Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
131
§3 – Đường thẳng 131
AA Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
BB Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
CC Góc trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
DD Khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
EE Lập phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
FF Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
GG Khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
HH Góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
§4 – Mặt cầu 143
AA Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
BB Giao của mặt cầu và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
CC Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
§5 – Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian 147
AA Dạng 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
BB Dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
CC Dạng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
DD Dạng 4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
EE Dạng 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
FF Dạng 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
GG Dạng 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
HH Dạng 8.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
II Dạng 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
vii
MỤC LỤC
viii | Page
JJ Dạng 10.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
viii
PHẦN
GIẢI TÍCH 12
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
ỨNG DỤNG ĐẠO
HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHƯƠNG
1
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐSỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1
C
h
ủ
đề
A.ĐỊNH NGHĨA
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K, ta có
• Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
thì
f (x
1
) < f (x
2
).
• Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
thì f (x
1
) > f (x
2
).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét.
• Hàm số f(x) đồng biến trên K khi và chỉ khi
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
> 0, ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
6= x
2
.
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
x
y
O
• Hàm số f(x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
< 0, ∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
6= x
2
.
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
x
y
O
• Nếu f
0
(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b).
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
3 | Page
• Nếu f
0
(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
• Nếu f
0
(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b).
• Nếu hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f
0
(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
• Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f
0
(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả
thiết “hàm số f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B.QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Cho u = u(x), v = v(x) và C là hằng số.
• Tổng, hiệu: (u ± v)
0
= u
0
± v
0
.
• Tích: (uv)
0
= u
0
v + v
0
u ⇒ (C · u)
0
= C · u
0
.
• Thương:
u
v
0
=
u
0
· v − v
0
· u
v
2
, (v 6= 0) ⇒
Å
C
u
ã
0
= −
C · u
0
u
2
.
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u) với u = u(x) thì y
0
x
= y
0
u
· u
0
x
.
C.CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC
• y =
ax + b
cx + d
⇒ y
0
=
Å
ax + b
cx + d
ã
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
.
• y =
ax
2
+ bx + c
a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
⇒ y
0
=
Å
ax
2
+ bx + c
a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
ã
0
=
a b
a
0
b
0
x
2
+ 2
a c
a
0
c
0
x +
b c
b
0
c
0
(a
0
x
2
+ b
0
x + c
0
)
2
.
D.BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
Hàm sơ cấp Hàm hợp
(C)
0
= 0, (C là hằng số)
(x
α
)
0
= α · x
α−1
(u
α
)
0
= α · u
α−1
· u
0
Å
1
x
ã
0
= −
1
x
2
, (x 6= 0)
Å
1
u
ã
0
= −
u
0
u
2
, (u 6= 0)
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
3
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
4 | Page
(
√
x)
0
=
1
2
√
x
, (x > 0) (
√
u)
0
=
u
0
2
√
u
, (u > 0)
(sin x)
0
= cos x (sin u)
0
= u
0
· cos u
(cos x)
0
= −sin x (cos u)
0
= −u
0
· sin u
(tan x)
0
=
1
cos
2
x
(tan u)
0
=
u
0
cos
2
u
(cot x)
0
= −
1
sin
2
x
(cot u)
0
= −
u
0
sin
2
u
(sin
n
x)
0
= n · sin
n−1
x · cos x (sin
n
u)
0
= n · u
0
· sin
n−1
u · cos u
(cos
n
x)
0
= −n · cos
n−1
x · sin x (cos
n
u)
0
= −n ·u
0
·cos
n−1
u ·sin u
(tan
n
x)
0
= n · tan
n−1
x ·
1
cos
2
x
(tan
n
u)
0
= n ·u
0
·tan
n−1
u ·
1
cos
2
u
(cot
n
x)
0
= −n · cot
n−1
x ·
1
sin
2
x
(cot
n
u)
0
= −n·u
0
·cot
n−1
u·
1
sin
2
u
(e
x
)
0
= e
x
(e
u
)
0
= u
0
· e
u
(a
x
)
0
= a
x
· ln a (a
u
)
0
= u
0
· a
u
· ln a
(ln |x|)
0
=
1
x
, (x 6= 0) (ln |u|)
0
=
u
0
u
, (u 6= 0)
(log
a
|x|)
0
=
1
x ln a
, (x 6= 0) (log
a
|u|)
0
=
u
0
u · ln a
, (u 6= 0)
E.ĐẠO HÀM CẤP HAI
1.
Định nghĩa
f
00
(x) = [f
0
(x)]
0
.
2.
Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a (t
0
) = f
00
(t
0
).
3.
Đạo hàm cấp cao
f
(n)
(x) =
î
f
(n−1)
(x)
ó
0
, (n ∈ N, n ≥ 2).
F.MỘT SỐ CHÚ Ý
• Nếu hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f(x) + g(x) cũng
đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f (x) −g(x).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
4
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
5 | Page
• Nếu hàm số f(x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì
hàm số f(x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng
khi các hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K.
Nhận xét. Cho hàm số u = u(x) xác định với mọi x ∈ (a; b) và u(x) ∈ (c; d). Hàm số f [u(x)]
cũng xác định với x ∈ (a; b).
• Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với
x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f(u) đồng biến với u ∈ (c; d).
• Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với
x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f(u) nghịch biến với u ∈ (c; d).
G.QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K.
• Nếu f
0
(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f
0
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f
0
(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f
0
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số f nghịch biến trên K.
Chú ý
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ y =
ax + b
cx + d
,
Å
x 6= −
d
c
ã
thì dấu “=” khi xét dấu đạo
hàm y
0
không xảy ra.
• Giả sử y = f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ⇒ f
0
(x) = 3ax
2
+ 2bx + c.
– Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi
f
0
(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔
a > 0
∆ ≤ 0
a = 0
b = 0
c > 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
5
2. Cực trị hàm số
6 | Page
– Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
f
0
(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔
a < 0
∆ ≤ 0
a = 0
b = 0
c < 0.
Trường hợp a = b = 0 thì c phải khác 0. Vì nếu a = b = c = 0 thì f(x) = d có đồ
thị là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox nên không đơn điệu.
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có
độ dài bằng ` ta giải như sau
– Bước 1. Tính y
0
= f
0
(x; m) = ax
2
+ bx + c.
– Bước 2. Hàm số đơn điệu trên (x
1
; x
2
) khi và chỉ khi y
0
= 0 có 2 nghiệm phân
biệt. Điều kiện tương đương là
a 6= 0
∆ > 0.
(∗)
– Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ` khi và chỉ khi
|x
1
− x
2
| = ` ⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
= `
2
⇔ S
2
− 4P = `
2
. (∗∗)
– Bước 4. Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm.
CỰC TRỊ HÀM SỐCỰC TRỊ HÀM SỐ
2
C
h
ủ
đề
A.ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm f xác định trên tập K và x
0
∈ K. Ta nói
• x
0
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x
0
sao cho (a; b) ⊂ K
và f(x) > f(x
0
), ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
f.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
6
2. Cực trị hàm số
7 | Page
• x
0
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x
0
sao cho (a; b) ⊂ K
và f(x) < f(x
0
), ∀x ∈ (a; b) \{x
0
}. Khi đó f(x
0
) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
• Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là
một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
• Nếu x
0
là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x
0
; f(x
0
)) được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số f .
Nhận xét.
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x
0
) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm
số f trên tập D ; f(x
0
) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng
(a; b) nào đó chứa x
0
hay nói cách khác khi x
0
là điểm cực đại (cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng
(a; b) chứa x
0
sao cho f(x
0
) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).
• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể không
có cực trị trên một tập cho trước.
B.MINH HỌA ĐỒ THỊ
Với (a; b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b.
x
y
c
(c; f(c))
f(c)
O
x
y
c
(c; f(c))
f(c)
O
Hàm số f đạt cực đại tại x = c Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
7
2. Cực trị hàm số
8 | Page
C.MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý
x
y
x
CĐ
y
CĐ
x
CT
y
CT
O
Điểm cực
đại của đồ
thị
Điểm cực
đại của hàm
số
Giá trị cực
đại (cực đại)
của hàm số
Điểm cực
tiểu của
hàm số
Điểm cực
tiểu của đồ
thị
Giá trị cực
tiểu (cực tiểu)
của hàm số
• Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi dấu.
• Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y
0
không đổi dấu.
• Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi dấu 1 lần.
• Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y
0
đổi dấu 2 lần.
• Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y
0
đổi dấu 3 lần.
• Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.
• Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số,. . .
D.ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
d Định lí 2.1. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
. Khi đó, nếu y = f(x) có
đạo hàm tại điểm x
0
thì f
0
(x
0
) = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
8
2. Cực trị hàm số
9 | Page
Chú ý
Chú ý
• Đạo hàm f
0
(x) có thể bằng 0 tại điểm x
0
nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x
0
.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
E.ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
d Định lí 2.2. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x
0
. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm
tại điểm x
0
thì f
0
(x
0
) = 0.
• Nếu f
0
(x) > 0 trên khoảng (x
0
−h; x
0
) và f
0
(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ h) thì x
0
là
một điểm cực đại của hàm số f(x).
• Nếu f
0
(x) < 0 trên khoảng (x
0
−h; x
0
) và f
0
(x) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ h) thì x
0
là
một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
F.QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
1.
Quy tắc 1
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f
0
(x).
• Bước 2: Tìm các điểm x
i
(i = 1; 2; . . .) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số
liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của f
0
(x). Nếu f
0
(x) đổi dấu khi đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
d Định lí 2.3. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x
0
−h; x
0
+ h)
với h > 0. Khi đó
• Nếu f
0
(x
0
) = 0, f
00
(x
0
) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x
0
.
• Nếu f
0
(x
0
) = 0, f
00
(x
0
) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x
0
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
9
2. Cực trị hàm số
10 | Page
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số.
2.
Quy tắc 2
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f
0
(x).
• Bước 2: Tìm các nghiệm x
i
(i = 1; 2; . . .) của phương trình f
0
(x) = 0.
• Bước 3: Tính f
00
(x) và tính f
00
(x
i
).
– Nếu f
00
(x
i
) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x
i
.
– Nếu f
00
(x
i
) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
G.MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
1.
Cực trị của hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, (a 6= 0)
a) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước.
(a) Bài toán tổng quát
Cho hàm số y = f(x; m) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại,
cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Phương pháp
• Bước 1: Tập xác định D = R.
Đạo hàm y
0
= 3ax
2
+ 2bx + c = Ax
2
+ Bx + C.
• Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực
đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và y
0
đổi dấu qua
hai nghiệm đó.
Phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A = 3a 6= 0
∆
y
0
= B
2
− 4AC = 4b
2
− 12ac > 0
⇔
a 6= 0
b
2
− 3ac > 0
⇒ m ∈ D
1
.
• Bước 3: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình y
0
= 0. Khi đó
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
= −
2b
3a
P = x
1
x
2
=
C
A
=
c
3a
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
10
2. Cực trị hàm số
11 | Page
• Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được
m ∈ D
2
.
• Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m ∈ D
1
∩ D
2
.
Chú ý
Hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0). Ta có y
0
= 3ax
2
+ 2bx + c.
• Hàm số không có cực trị khi b
2
− 3ac ≤ 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị khi b
2
− 3ac > 0.
(b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
• Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai
nghiệm phân biệt trái dấu, tức là
A · C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai
nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là
∆
y
0
> 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có
hai nghiệm dương phân biệt, tức là
∆
y
0
> 0
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
> 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai
nghiệm âm phân biệt, tức là
∆
y
0
> 0
S = x
1
+ x
2
= −
B
A
< 0
P = x
1
x
2
=
C
A
> 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
11
2. Cực trị hàm số
12 | Page
(c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn
≥
x
1
< α < x
2
x
1
< x
2
< α
α < x
1
< x
2
.
• Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< α < x
2
khi và chỉ khi
(x
1
− α)(x
2
− α) < 0 ⇔ x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
< 0.
• Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
< x
2
< α khi và chỉ khi
(x
1
− α)(x
2
− α) > 0
x
1
+ x
2
< 2α
⇔
x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
< 2α.
• Hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn α < x
1
< x
2
khi và chỉ khi
(x
1
− α)(x
2
− α) > 0
x
1
+ x
2
> 2α
⇔
x
1
x
2
− α(x
1
+ x
2
) + α
2
> 0
x
1
+ x
2
> 2α.
b) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so
với một đường thẳng.
(a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng.
Cho hai điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.
• Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ C) < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với
đường thẳng ∆.
• Nếu (ax
A
+ by
A
+ c)(ax
B
+ by
B
+ C) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với
đường thẳng ∆.
(b) Một số trường hợp đặc biệt.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Oy khi và chỉ khi
hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu, tức là phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân
biệt cùng dấu.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía đối với trục Oy khi và chỉ khi
hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu, tức là phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm trái
dấu.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Ox khi và chỉ khi
phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và y
CĐ
· y
CT
> 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
12
2. Cực trị hàm số
13 | Page
Đặc biệt
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với trục Ox khi
và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và
y
CĐ
· y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
> 0.
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox khi
và chỉ khi phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và
y
CĐ
· y
CT
> 0
y
CĐ
+ y
CT
< 0.
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi
phương trình y
0
= 0 có hai nghiệm phân biệt và y
CĐ
· y
CT
< 0.
(Áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số).
• Hoặc các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ
khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm) hay phương
trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị.
g(x) =
Å
2c
3
−
2b
2
9a
ã
x + d −
bc
9a
hoặc g(x) = y −
y
0
· y
00
18a
hoặc g(x) = y −
y
0
· y
00
3y
000
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là
AB =
4e + 16e
3
a
với e =
b
2
− 3ac
9a
.
2.
Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c, (a 6= 0)
a) Một số kết quả cần nhớ.
• Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0.
• Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0.
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu khi và chỉ khi
a > 0
b ≥ 0.
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại khi và chỉ khi
a < 0
b ≤ 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
13
2. Cực trị hàm số
14 | Page
• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi
a > 0
b < 0.
• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại khi và chỉ khi
a < 0
b > 0.
b) Một số công thức tính nhanh.
Giả sử đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c có 3 điểm cực trị là A(0; c), B
Ç
−
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
,
C
Ç
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ab < 0.
Đặt
’
BAC = α thì cot
2
α
2
= −
b
3
8a
.
a > 0, b < 0 Công thức a < 0, b > 0
A
B C
x
y
O
x
1
x
2
x
1
= −
…
−
b
2a
, x
2
=
…
−
b
2a
,
A(0; c), B
Ç
−
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
,
C
Ç
…
−
b
2a
; −
∆
4a
å
.
Đặt
’
BAC = α thì cot
2
α
2
= −
b
3
8a
.
A
B C
x
y
O
x
1
x
2
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG
PHƯƠNG
STT Dữ Kiện Công thức thoả mãn
ab < 0 và c 6= 0
1 Tam giác ABC vuông cân tại A b
3
= −8a
2 Tam giác ABC đều b
3
= −24a
3 Tam giác ABC có diện tích S
4ABC
= S
0
32a
3
(S
0
)
2
+ b
5
= 0
4 Tam giác ABC có diện tích maxS
0
S
0
=
…
−
b
5
32a
3
5 Tam giác ABC có bán kính đường tròn
nội tiếp r
4ABC
= r
0
r =
b
2
4|a|
Ç
1 +
…
1 −
b
3
8a
å
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
14
2. Cực trị hàm số
15 | Page
6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn
ngoại tiếp R
4ABC
= R
R =
b
3
− 8a
8|a|b
7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m
0
am
2
0
+ 2b = 0
8 Tam giác ABC có độ dài cạnh AB =
AC = n
0
16a
2
n
2
0
− b
4
+ 8ab = 0
9 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b
2
= 4ac
10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn b (8a + b
3
) > 0
11 Tam giác ABC có trọng tâm O b
2
= 6ac
12 Tam giác ABC có trực tâm O b
3
+ 8a − 4ac = 0
13 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành
hình thoi
b
2
= 2ac
14 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
nội tiếp
b
3
− 8a − 4abc = 0
15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
ngoại tiếp
b
3
− 8a − 8abc = 0
16 Tam giác ABC có cạnh BC = kAB =
kAC
b
3
· k
2
− 8a (k
2
− 4) = 0
17 Trục hoành chia tam giác ABC thành
hai phần có diện tích bằng nhau
b
2
= 4
√
2|ac|
18 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều
trục hoành
b
2
= 8ac
19 Phương trình đường tròn ngoại tiếp 4ABC là
x
2
+ y
2
−
Å
2
b
−
∆
4a
+ c
ã
y + c
Å
2
b
−
∆
4a
ã
= 0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
15
3. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
16 | Page
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤTGIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
3
C
h
ủ
đề
A.ĐỊNH NGHĨA
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
f(x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D, f(x
0
) = M.
Kí hiệu: M = max
x∈D
f(x).
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
f(x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x
0
∈ D, f(x
0
) = m.
Kí hiệu: m = min
x∈D
f(x).
B.PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
• Tính f
0
(x) và tìm các điểm x
1
, x
2
, . . ., x
n
∈ D mà tại đó f
0
(x) = 0 hoặc hàm số không
có đạo hàm.
• Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b].
• Tìm các điểm x
1
, x
2
, . . ., x
n
trên khoảng (a; b), tại đó f
0
(x) = 0 hoặc f
0
(x) không xác
định.
• Tính f(a), f(x
1
), f (x
2
), . . ., f(x
n
), f (b).
• Khi đó
– max
x∈[a;b]
f(x) = max{f(x
1
), f(x
2
), . . . , f(x
n
), f(a), f(b)}.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
16
4. Đường tiệm cận của hàm số
17 | Page
– min
x∈[a;b]
f(x) = min{f(x
1
), f(x
2
), . . . , f(x
n
), f(a), f(b)}.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
• Tính đạo hàm f
0
(x).
• Tìm tất cả các nghiệm x
i
∈ (a; b) của phương trình f
0
(x) = 0 và tất cả các điểm
α
i
∈ (a; b) làm cho f
0
(x) không xác định.
• Tính A = lim
x→a
+
f(x), B = lim
x→b
−
f(x), f(x
i
), f (α
i
).
• So sánh các giá trị và kết luận M = max
x∈(a;b)
f(x), m = min
x∈(a;b)
f(x).
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không có giá trị
lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
• Nếu y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì min
x∈[a;b]
f(x) = f (a) và max
x∈[a;b]
f(x) = f (b).
• Nếu y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì min
x∈[a;b]
f(x) = f (b) và max
x∈[a;b]
f(x) = f (a).
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
khoảng đó.
• Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, ...
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
4
C
h
ủ
đề
A.ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc
(−∞; +∞)). Đường thẳng y = y
0
là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim
x→+∞
f(x) = y
0
,
lim
x→−∞
f(x) = y
0
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
17
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
18 | Page
B.ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x = x
0
được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim
x→x
+
0
f(x) = +∞, lim
x→x
−
0
f(x) = −∞, lim
x→x
+
0
f(x) = −∞, lim
x→x
−
0
f(x) = +∞.
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có tiệm cận ngang
là đường thẳng y =
a
c
và tiệm cận đứng là đường thẳng x = −
d
c
.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ
5
C
h
ủ
đề
A.KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC
1.
Hàm số bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a 6= 0)
• Tập xác định D = R.
• Tính y
0
và cho y
0
= 0 (y
0
= 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm).
• Tính các giới hạn lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x).
• Lập bảng biến thiên
– Nếu y
0
= 0 có hai nghiệm thì dấu của y
0
là “Trong trái ngoài cùng”.
– Nếu y
0
= 0 có nghiệm kép thì dấu của y
0
là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại trừ tại
nghiệm kép).
– Nếu y
0
= 0 vô nghiệm thì dấu của y
0
là “Luôn cùng dấu với a”.
• Kết luận
– Tính chất đơn điệu của hàm số.
– Cực trị của hàm số.
• Tính y
00
và cho y
00
= 0. Suy ra điểm uốn.
• Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
18
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
19 | Page
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
y
0
= 0 a > 0 a < 0
Có 2
nghiệm
x
y
O x
y
O
Có nghiệm
kép
x
y
O x
y
O
Vô nghiệm
x
y
O x
y
O
2.
Hàm số trùng phương y = ax
4
+ bx
2
+ c (a 6= 0)
• Tập xác định D = R.
• Tính y
0
và cho y
0
= 0 (y
0
= 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0).
• Tính các giới hạn lim
x→+∞
f(x), lim
x→−∞
f(x).
• Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y
0
luôn luôn cùng dấu với a”
• Kết luận
– Tính chất đơn điệu của hàm số.
– Cực trị của hàm số.
• Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
19
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
20 | Page
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
y
0
= 0 a > 0 a < 0
Có 3
nghiệm
x
y
O
x
y
O
Có 1
nghiệm
x
y
O
x
y
O
3.
Hàm số nhất biến y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0, ad − bc 6= 0)
• Tập xác định D = R \
ß
−
d
c
™
.
• Tính y
0
=
ad − bc
(cx + d)
2
(y
0
hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x ∈ D )
• Đường tiệm cận:
– Tiệm cận đứng là đường thẳng x = −
d
c
vì lim
x→
(
−
d
c
)
+
y = . . . và lim
x→
(
−
d
c
)
−
y = . . ..
– Tiệm cận ngang là đường thẳng y =
a
c
vì lim
x→±∞
y =
a
c
.
• Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y →
a
c
.
“Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang”
• Kết luận
– Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
– Hàm số không có cực trị.
• Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với 2 trục
tọa độ.
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm
đối xứng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
20
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
21 | Page
ad − bc > 0 ad − bc < 0
x
y
O x
y
O
B.ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
1.
Dạng 1: (C
0
): y = f(|x|)
Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = f(|x|).
Ta có y = f(|x|) =
f(x) khi x ≥ 0
f(−x) khi x < 0
và y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C
0
) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C): y = f(x).
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
Chú ý
x
y
O
1 3
4
x
y
O
1 3−1−3
4
(C): y = x
3
− 6x + 9x (C
0
): y = |x|
3
− 6x
2
+ 9|x|
2.
Dạng 2: (C
0
): y = |f(x)|
Từ đồ thị (C): y = f(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = |f(x)|.
Ta có y = |f(x)| =
f(x) khi x ≥ 0
− f(x) khi x < 0.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
21
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
22 | Page
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y = f(x).
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Chú ý
x
y
O
2
−2
1−2
x
y
O
1−1−2−3
2
(C): y = x
3
+ 3x
2
− 2 (C
0
): y = |x
3
+ 3x
2
− 2|
Chú ý
Với dạng y = |f(|x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f(|x|) và y = |f (x)|.
3.
Dạng 3: (C
0
): y = |u(x)| · v(x)
Từ đồ thị (C): y = u(x) · v(x) suy ra đồ thị (C
0
): y = |u(x)| · v(x).
Ta có y = |u(x)| · v(x) =
u(x) · v(x) khi x ≥ 0
− u(x) · v(x) khi x < 0.
Cách vẽ (C
0
) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C): y = f(x).
• Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
x
y
O
1
1
x
y
O
1
−1
1
(C): y = 2x
3
− 3x + 1 (C
0
): y = |x − 1| · (2x
2
− x − 1)
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
22
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
23 | Page
x
y
O
1 2
1
2
x
y
O
−2
−1
1 2
(C): y =
x − 2
x − 1
(C
0
): y =
x − 2
|x − 1|
C.MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C
0
) của hàm số.
STT ĐỒ THỊ CÁCH VẼ
1 y = f(−x) Lấy đối xứng (C) qua trục Oy.
2 y = −f(x) Lấy đối xứng (C) qua trục Ox.
3 y = f (|x|)
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy.
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C),
lấy đối xứng đồ thị được giữ qua Oy.
4 y = |f(x)|
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox
của đồ thị (C).
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C),
lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua
Ox.
5 y = |f (|x|)|
Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f(|x|) và
y = |f(x)|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
23
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
24 | Page
6
y = |u(x)| · v(x)
với (C): y = u(x) · v(x)
• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
u(x) ≥ 0 của đồ thị (C).
• Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của
(C), lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox.
7 y = f(x) + p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên p đơn vị.
8 y = f(x) − p, p > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới p đơn vị.
9 y = f(x + q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái q đơn vị.
10 y = f(x − q), q > 0 Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải q đơn vị.
11 y = f(kx), k > 1 Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k.
12 y = f(kx), 0 < k < 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số
1
k
.
13 y = kf(x), k > 1 Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k.
14 y = kf(x), 0 < k < 1 Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số
1
k
.
15 y = |f(x)| + m
• Vẽ đồ thị y = |f(x)|.
• Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn
vị.
16 y = |f(x + m)|
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang
trái m đơn vị.
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y =
|f(x)|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
24
6. Tiếp tuyến
25 | Page
17 y = |f(|x| + m)|
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang
trái m đơn vị.
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y =
f(|x|).
18 y = |f(|x + m|)|
• Vẽ đồ thị y = |f(x)|.
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang
trái m đơn vị.
TIẾP TUYẾNTIẾP TUYẾN
6
C
h
ủ
đề
A.TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) ∈
(C) có dạng
y = f
0
(x
0
)(x − x
0
) + y
0
Trong đó điểm M
0
(x
0
; y
0
) ∈ (C) được gọi là tiếp điểm với y
0
= f(x
0
) và k = f
0
(x
0
) là hệ số góc
của tiếp tuyến.
p Dạng 6.1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a.
• Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
• Ta có x
0
= a.
• Thế x = a vào phương trình y = f(x) tìm được y
0
.
• Tính f
0
(x) từ đó tính f
0
(x
0
).
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
25
6. Tiếp tuyến
26 | Page
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số b.
• Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
• Ta có y
0
= b.
• Thế y = b vào phương trình y = f(x) từ đó tìm được x
0
.
• Tính f
0
(x), từ đó tính được f
0
(x
0
).
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
p Dạng 6.2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) có phương cho trước
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
• Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
• Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f
0
(x
0
) = k. Giải phương trình này ta tìm được
x
0
.
• Thế x
0
vào phương trình y = f(x) tìm được y
0
.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d: y = ax + b.
• Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = ax + b ⇒ f
0
(x
0
) = a. Giải phương
trình này tìm được x
0
.
• Thế x
0
vào phương trình y = f(x) tìm được y
0
.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
26
6. Tiếp tuyến
27 | Page
Chú ý
Nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d: y = ax + b.
• Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm.
• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f
0
(x
0
) = −
1
a
. Giải
phương trình này tìm được x
0
.
• Thế x
0
vào phương trình y = f(x) tìm được y
0
.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
).
p Dạng 6.3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M(x
0
; y
0
)
• Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M.
• Suy ra d: y − y
0
= k(x − x
0
) ⇔ y = kx − kx
0
+ y
0
(∗).
• d tiếp xúc với (C) ⇔
f(x) = kx − kx
0
+ y
0
(1)
f
0
(x) = k (2)
có nghiệm.
• Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x.
• Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.
• Thế k vào (∗) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M.
Chú ý
Khi thế (2) vào (1) và giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí hiệu là (1).
Thông thường phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy nhiêu
tiếp tuyến đến đồ thị (C). Từ đó ta giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua M
có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
27
7. Tương giao đồ thị
28 | Page
B.ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Cho hai hàm số (C): y = f (x) và (C
0
): y = g(x). Đồ thị (C) và (C
0
) tiếp xúc với nhau khi và chỉ
khi hệ phương trình
f(x) = g(x)
f
0
(x) = g
0
(x)
có nghiệm.
TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊTƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
7
C
h
ủ
đề
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C
1
) và y = g(x) có đồ thị (C
2
).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) là f (x) = g(x) (1). Khi đó
a) Số giao điểm của (C
1
) và (C
2
) bằng số nghiệm của phương trình (1).
b) Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ x
0
của giao điểm .
c) Để tính tung độ y
0
của giao điểm, ta thay hoành độ x
0
vào y = f (x) hoặc y = g(x).
d) Điểm M(x
0
; y
0
) là giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
p Dạng 7.4. Tìm tham số để đồ thị (C): y =
ax + b
cx + d
cắt đường thẳng (d)
tại hai điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d ta được
g(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (∗) (x 6= x
0
)
với x
0
là nghiệm của mẫu số.
b) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân
biệt khác x
0
⇔
a 6= 0
∆ > 0
g(x
0
) 6= 0
⇒ tìm được tham số.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
28
7. Tương giao đồ thị
29 | Page
p Dạng 7.5. Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt đường
thẳng (d) tại 3 điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) gọi là phương trình (∗).
b) Nhẩm nghiệm của phương trình (∗) và giả sử được một nghiệm x = x
0
. Dùng sơ đồ
Hoocner để biến đổi phương trình (∗) về dạng
(x − x
0
)(ax
2
+ Bx + C) = 0 ⇔
x = x
0
g(x) = ax
2
+ Bx + C = 0 (1).
c) (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác x
0
⇔
a 6= 0
∆
g
> 0
g(x
0
) 6= 0
⇒
tìm được tham số.
Chú ý
Công thức trắc nghiệm
a) Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập
thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 1 nghiệm
là x = −
b
3a
.
b) Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập
thành cấp số nhân khi và chỉ khi phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có 1 nghiệm
là x = −
3
…
d
a
.
p Dạng 7.6. Tìm tham số để đồ thị (C): y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt đường thẳng
d tại 4 điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d giả sử được phương trình
Ax
4
+ Bx
2
+ C = 0 (∗).
b) Đặt t = x
2
, t ≥ 0. Phương trình (∗) trở thành At
2
+ Bt + C = 0 (1).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
29
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
30 | Page
c) d cắt (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi phương trình (∗) có 4 nghiệm khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm dương ⇔
∆ > 0
S > 0
P > 0
với
S = −
B
A
P =
C
A
từ đây tìm được tham số.
Chú ý
Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp
số cộng ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t
1
, t
2
(t
1
< t
2
) thỏa mãn
t
2
= 9t
1
⇔
b
2
− 4ac > 0
−
b
a
> 0
c
a
> 0
9ab
2
= 100a
2
c.
p Dạng 7.7. Tìm tham số để đồ thị (C): y = f(x) cắt đường thẳng d tại n
điểm thỏa mãn tính chất nào đó
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = 0 (∗).
b) d cắt (C) tại n điểm ⇔ phương trình (∗) có n nghiệm.
c) Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình (∗) và thông
thường sử dụng định lí Vi-ét để giải quyết bài toán.
ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONGĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
8
C
h
ủ
đề
A.BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Xét họ đường cong (C
m
) có phương trình y = f(x, m), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với
m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
30
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
31 | Page
m thay đổi.
Phương pháp giải
• Bước 1: Đưa phương trình y = f(x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
Am + B = 0 hoặc Am
2
+ Bm + C = 0.
• Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình
A = 0
B = 0
hoặc
A = 0
B = 0
C = 0.
• Bước 3: Kết luận
– Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C
m
) không có điểm cố định.
– Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C
m
)
B.BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN
Cho đường cong (C) có phương trình (C
m
): y =
P (x)
Q(x)
(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có
tọa độ nguyên của đường cong?
Phương pháp giải
• Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y =
P (x)
Q(x)
= H(x) +
k
Q(x)
, trong đó H(x) là đa
thức và k ∈ R.
• Bước 2: y ∈ Z ⇔ H(x) +
k
Q(x)
∈ Z ⇔
k
Q(x)
∈ Z ⇔ k ∈ Ư(k).
• Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k) để tìm giá trị của x và y tương
ứng.
Chú ý
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó
đều là số nguyên.
C.BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG
Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm,
qua đường thẳng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
31
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
32 | Page
a) Bài toán 1: Cho đồ thị (C): y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm
đối xứng nhau qua điểm I(x
I
; y
I
)
| Lời giải.
Phương pháp giải
• Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N(b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua điểm I.
• Ta có
a + b = 2x
I
A(a
3
+ b
3
) + B(a
2
+ b
2
) + C(a + b) + 2D = 2y
I
.
• Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M, N.
b) Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những cặp
điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
| Lời giải.
Phương pháp giải
• Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N(b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng với nhau qua gốc tọa độ.
• Ta có
a + b = 0
A(a
3
+ b
3
) + B(a
2
+ b
2
) + C(a + b) + 2D = 0.
• Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M, N.
c) Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y = Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm
đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = A
1
x + B
1
.
| Lời giải.
Phương pháp giải
• Gọi M(a; Aa
3
+ Ba
2
+ Ca + D), N(b; Ab
3
+ Bb
2
+ Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng với nhau qua đường thẳng d.
• Ta có:
I ∈ (d)
# »
MN ·
#»
u
d
= 0
(với I là trung điểm của MN và
#»
u
d
là véc-tơ chỉ phương của
đường thẳng (d)).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
32
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
33 | Page
• Giải hệ phương trình tìm được M, N.
D.BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT, KHOẢNG CÁCH
1.
Lý thuyết
• Cho hai điểm A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
), suy ra AB =
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
.
• Cho điểm M(x
0
; y
0
) và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M đến d là
h(M; (d)) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
• Cho hàm phân thức: y =
ax + b
cx + d
tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang ở A và B
thì M là trung điểm của AB. Khi đó diện tích của 4MAB không đổi: S
MAB
=
2
c
2
|ad − bc|.
2.
Các bài toán thường gặp
a) Bài toán 1: Cho hàm số y =
ax + b
cx + d
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) có đồ thị (C). Hãy tìm trên (C)
hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
| Lời giải.
Phương pháp giải
• (C) có tiệm cận đứng x = −
d
c
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía
của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương.
• Nếu A thuộc nhánh trái: x
A
< −
d
c
⇒ x
A
= −
d
c
− α < −
d
c
; y
A
= f(x
A
).
• Nếu B thuộc nhánh phải: x
B
> −
d
c
⇒ x
B
= −
d
c
+ β > −
d
c
; y
B
= f(x
B
).
• Sau đó tính: AB
2
= (x
B
− x
A
) + (y
B
− y
A
)
2
= [(α + β) − (a − α)]
2
+ (y
B
− y
A
)
2
.
• Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ tìm ra kết quả.
b) Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x). Tìm tọa độ điểm M thuộc
(C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
| Lời giải.
Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
33
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
34 | Page
• Gọi M(x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = |x| + |y|.
• Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
• Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
• Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm
rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d.
c) Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f(x). Tìm điểm M trên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy.
| Lời giải.
Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔
y = kx
y = −kx
⇔
f(x) = kx
f(x) = −kx.
d) Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) =
ax + b
cx + d
(c 6= 0, ad −bc 6= 0)
tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm
cận).
| Lời giải.
Phương pháp giải
• Tiệm cận đứng x = −
d
c
; tiệm cận ngang y =
a
c
.
• Ta tìm được tọa độ giao điểm I
Å
−
d
c
;
a
c
ã
của hai tiệm cận.
• Gọi M (x
M
; y
M
) là điểm cần tìm thì IM
2
=
Å
x
M
+
d
c
ã
2
y
M
−
a
c
2
= g (x
M
).
• Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
e) Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0.
Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.
| Lời giải.
Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
34
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
35 | Page
• Gọi I ∈ (C), suy ra I (x
0
; y
0
) và y
0
= f(x
0
).
• Khoảng cách từ I đến d là g(x
0
) = h(I; (d)) =
|Ax
0
+ By
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
• Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
35
MŨ VÀ LOGARIT
CHƯƠNG
2
LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪALŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1
C
h
ủ
đề
A.KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1.
Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
a
n
= a · a · ···a
| {z }
n
(n thừa số a).
Với a 6= 0 thì a
0
= 1, a
−n
=
1
a
n
.
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ. Và chú ý 0
0
và 0
−n
không có nghĩa.
2.
Một số tính chất của lũy thừa
Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa
• a
α
· a
β
= a
α+β
•
a
α
a
β
= a
α−β
• (a
α
)
β
= a
α·β
• (ab)
α
= a
α
· b
α
•
a
b
α
=
a
α
b
α
•
Å
b
a
ã
−α
=
a
b
α
• Nếu a > 1 thì a
α
> a
β
⇔ α > β • Nếu 0 < a < 1 thì a
α
> a
β
⇔ α < β
• Với 0 < a < b thì a
m
< b
m
⇔ m > 0 • Với 0 < a < b thì a
m
> b
m
⇔ m < 0
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa
37 | Page
Chú ý
• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
B.PHƯƠNG TRÌNH X
N
= B
Ta có kết quả biện luận số nghiệm phương trình x
n
= b như sau
TH.1 Khi n lẻ: Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất.
TH.2 Khi n chẵn:
a) Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
b) Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0.
c) Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
n
√
b, giá trị âm
là −
n
√
b.
C.MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N
Với a, b ∈ R và n ∈ N
∗
, ta có
•
2n
√
a
2n
= |a|.
•
2n+1
√
a
2n+1
= a.
•
2n
√
ab =
2n
p
|a| ·
2n
p
|b|, ∀ab ≥ 0.
•
2n+1
√
ab =
2n+1
√
a ·
2n+1
√
b, ∀a, b.
•
2n
…
a
b
=
2n
p
|a|
2n
p
|b|
, ∀ab ≥ 0, b 6= 0.
•
2n+1
…
a
b
=
2n+1
√
a
2n+1
√
b
, ∀a ≥ 0, b 6= 0.
•
n
√
a
m
= (
n
√
a)
m
, ∀m ∈ Z, a > 0.
•
n
p
m
√
a =
mn
√
a, ∀m ∈ N
∗
, a > 0.
• Nếu
p
n
=
q
m
thì
n
√
a
p
=
m
√
a
q
, ∀m ∈ N
∗
,
∀p, q ∈ Z, a > 0.
•
n
√
a =
mn
√
a
m
, a > 0, m ∈ N
∗
.
D.HÀM SỐ LŨY THỪA
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
37
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa
38 | Page
1.
Khái niệm
Xét hàm số y = x
α
với α là số thực cho trước.
Hàm số y = x
α
, với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.
Chú ý
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
tùy thuộc vào giá trị của α.
• Với α nguyên dương thì D = R.
• Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.
• Với α không nguyên thì D = (0; +∞).
2.
Khảo sát hàm số lũy thừa
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x
α
luôn chứa khoảng (0; +∞). Trong trường hợp tổng
quát, chúng ta khảo sát hàm số y = x
α
trên (0; +∞).
y = x
α
, α > 0 y = x
α
, α < 0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
38
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa
39 | Page
a) Tập xác định (0; +∞).
b) Sự biến thiên
• y
0
= α · x
α−1
> 0, ∀x > 0.
• Giới hạn đặc biệt
lim
x→0
+
x
α
= 0, lim
x→+∞
x
α
= +∞.
• Tiệm cận:
không có.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
+
00
+∞+∞
a) Tập xác định (0; +∞).
b) Sự biến thiên
• y
0
= α · x
α−1
< 0, ∀x > 0.
• Giới hạn đặc biệt
lim
x→0
+
x
α
= +∞, lim
x→+∞
x
α
= 0.
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang;
Oy là tiệm cận đứng.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
0
+∞
−
+∞+∞
00
Đồ thị hàm số
O
1
x
1
y
α = 1
α > 1
0 < α < 1
α = 0
α < 0
Đồ thị hàm số y = x
α
luôn đi qua điểm I(1; 1).
E.KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ Y = A
X
y = a
x
, a > 1 y = a
x
, 0 < a < 1
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
39
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa
40 | Page
a) Tập xác định R.
b) Sự biến thiên
• y
0
= a
x
· ln a > 0, ∀x.
• Giới hạn đặc biệt
lim
x→−∞
a
x
= 0, lim
x→+∞
a
x
= +∞.
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận
ngang.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
−∞
+∞
+
00
+∞+∞
0
1
1
a
d) Đồ thị như hình sau
O
1
x
1
y
a
y = a
x
a) Tập xác định R.
b) Sự biến thiên
• y
0
= a
x
· ln a < 0, ∀x.
• Giới hạn đặc biệt
lim
x→−∞
a
x
= +∞, lim
x→+∞
a
x
= 0.
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận
ngang.
c) Bảng biến thiên
x
y
0
y
−∞
+∞
−
+∞+∞
00
1
a
0
1
d) Đồ thị như hình sau
O
1
x
1
y
a
y = a
x
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
40
2. Lôgarit
41 | Page
LÔGARITLÔGARIT
2
C
h
ủ
đề
A.KHÁI NIỆM LÔGARIT
Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a
α
= b được gọi là lôgarit cơ số a của
b và được kí hiệu là log
a
b.
α = log
a
b ⇔ a
α
= b.
Không có lôgarit của số âm và số 0.
B.BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ - LÔGARIT THƯỜNG GẶP
Với các điều kiện của a, b, c để mỗi biểu thức có nghĩa, ta có bảng sau
Công thức mũ Công thức lôgarit
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
41
3. Bất phương trình mũ và logarit
42 | Page
• a
0
= 1, a 6= 0.
• a
1
= a.
• a
−α
=
1
a
α
.
•
a
α
a
β
= a
α−β
.
• a
α
· a
β
= a
α+β
• a
α
· b
α
= (a · b)
α
.
•
a
α
b
α
=
a
b
α
, b 6= 0.
• a
m
n
=
n
√
a
m
, n ∈ N, n ≥ 2,
m ∈ Z.
• (a
α
)
β
= a
αβ
.
• a
α
= b ⇒ α = log
a
b.
• log
a
1 = 0.
• log
a
a = 1.
• log
a
a
α
= α.
• log
α
a
a =
1
α
.
• log
a
b
α
= α log
a
b, b > 0.
• log
a
β
b =
1
β
log
a
b.
• log
a
β
b
α
=
α
β
log
a
b.
• log
a
b + log
a
c = log
a
(bc).
• log
a
b − log
a
c = log
a
b
c
.
• log
a
b =
1
log
b
a
, 1 6= b > 0.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITBẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
3
C
h
ủ
đề
A.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a
x
> b (hoặc a
x
≥ b, a
x
< b, a
x
≤ b) với a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng a
x
> b.
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a
x
> b, ∀x ∈ R.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a
x
> a
log
a
b
.
– Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log
a
b.
– Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log
a
b.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
42
3. Bất phương trình mũ và logarit
43 | Page
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau
O
log
a
b
x
1
b
y
y = b
y = a
x
log
a
b
O
x
1
b
y
y = b
y = a
x
B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log
a
x > b (hoặc log
a
x ≥ b, log
a
x < b, log
a
x ≤ b) với
a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng a
x
> b.
• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > a
b
.
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < a
b
.
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau
O
1
a
b
x
b
y
y = log
a
x
y = b
O
1 a
b
x
b
y
y = log
a
x
y = b
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
• Với a > 1, ta có log
a
x > b khi và chỉ khi x > a
b
.
• Với 0 < a < 1, ta có log
a
x > b khi và chỉ khi 0 < x < a
b
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
43
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
44 | Page
BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNGBÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
4
C
h
ủ
đề
A.LÃI ĐƠN
1.
Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh
ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù
đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.
2.
Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được
cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A + nAr = A(1 + nr).
Chú ý
Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là
r
100
.
B.LÃI KÉP
1.
Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi
cho kì hạn sau.
2.
Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được
cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N
∗
) là
S
n
= A(1 + r)
n
.
Các công thức liên quan
n = log
1+r
Å
S
n
A
ã
;a) r% =
n
…
S
n
A
− 1;b) A =
S
n
(1 + r)
n
.c)
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
44
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
45 | Page
C.TIỀN GỬI HÀNG THÁNG
1.
Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định.
2.
Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N
∗
) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng
đã tính lãi) là
S
n
=
A
r
[(1 + r)
n
− 1] (1 + r).
Các công thức liên quan
n = log
1+r
Å
rS
n
A(1 + r)
+ 1
ã
;a) A =
rS
n
(1 + r) [(1 + r)
n
− 1]
.b)
D.GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG
Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,
rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là
S
n
= A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
.
E.VAY VỐN TRẢ GÓP
1.
Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền
là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
2.
Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền
hàng tháng nên ta có
S
n
= A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
45
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
46 | Page
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S
n
= 0 nên
A(1 + r)
n
− X ·
(1 + r)
n
− 1
r
= 0 ⇔ X =
Ar(1 + r)
n
(1 + r)
n
− 1
.
F.BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG
1.
Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng.
Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh
được tất cả số tiền là bao nhiêu?
2.
Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là
S
kn
= Ak ·
(1 + r)
k
− 1
r
.
G.BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức tính tăng trưởng dân số là
X
m
= X
n
(1 + r)
m−n
, m, n ∈ Z
+
, m ≥ n.
Trong đó
• r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
• X
m
là dân số năm m, X
n
là dân số năm n.
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là
r% =
m−n
X
m
X
n
− 1.
H.LÃI KÉP LIÊN TỤC
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm
(n ∈ N
∗
) là S
n
= A(1 + r)
n
.
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là
r
m
% thì số tiền thu
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
46
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
47 | Page
được sau n năm là S
n
= A
1 +
r
m
mn
.
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì
người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là S = Ae
nr
(công thức tăng trưởng
mũ).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
47
NGUYÊN HÀM - TÍCH
PHÂN ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
CHƯƠNG
3
NGUYÊN HÀMNGUYÊN HÀM
1
C
h
ủ
đề
A.ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x) được gọi
là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F
0
(x) = f (x) với mọi x ∈ K. Kí hiệu:
Z
f(x) dx =
F (x) + C.
d Định lí 1.1.
1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) =
F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều
có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
B.TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
•
Z
f(x) dx
0
= f(x) và
Z
f
0
(x) dx = f(x) + C; d
Z
f(x) dx
= f(x) dx.
• Nếu F (x) có đạo hàm thì:
Z
d(F (x)) = F (x) + C.
•
Z
kf(x) dx = k
Z
f(x) dx với k là hằng số khác 0.
•
Z
[f(x) ± g(x)] dx =
Z
f(x) dx ±
Z
g(x) dx.
1. Nguyên hàm
49 | Page
• Công thức đổi biến số: Cho y = f (u) và y = g(x).
Nếu
Z
f(x) dx = F (x) + C thì
Z
f(g(x))g
0
(x) dx =
Z
f(u) du = F (u) + C.
C.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM
d Định lí 1.2. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
D.BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
Z
0 dx = C
Z
dx = x + C
Z
x
a
dx =
1
α + 1
x
a+1
+C, (α 6= −1)
Z
(ax + b)
α
dx =
1
a
(ax + b)
α+1
α + 1
+ C, α 6= −1
Z
1
x
2
dx = −
1
x
+ C
Z
x dx =
x
2
2
+ C
Z
1
x
dx = ln |x| + C
Z
dx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b| + C
Z
e
x
dx = e
x
+ C
Z
e
ax+b
dx =
1
a
e
ax+b
+ C
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
Z
a
kx+b
dx =
1
k
a
kx+b
ln a
+ C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
cos(ax + b) dx =
1
a
sin(ax + b) + C
Z
sin x dx = −cos x + C
Z
sin(ax + b) dx = −
1
a
cos(ax + b) + C
Z
tan x dx = −ln |cos x| + C
Z
tan(ax + b) dx = −
1
a
ln |cos(ax + b)| + C
Z
cot x dx = ln |sin x| + C
Z
cot(ax + b) dx =
1
a
ln |sin(ax + b)| + C
Z
1
cos
2
x
dx = tan x + C
Z
1
cos
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax + b) + C
Z
1
sin
2
x
dx = −cot x + C
Z
1
sin
2
(ax + b)
dx = −
1
a
cot(ax + b) + C
Z
1 + tan
2
x
dx = tan x + C
Z
1 + tan
2
(ax + b)
dx =
1
a
tan(ax + b) + C
Z
1 + cot
2
x
dx = −cot x + C
Z
1 + cot
2
(ax + b)
dx = −
1
a
cot(ax + b) + C
E.BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
49
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
50 | Page
Z
dx
a
2
+ x
2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Z
arcsin
x
a
dx = x arcsin
x
a
+
√
a
2
− x
2
+ C
Z
dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln
a + x
a − x
+ C
Z
arccos
x
a
dx = x arccos
x
a
−
√
a
2
− x
2
+ C
Z
dx
√
x
2
+ a
2
= ln(x +
√
x
2
+ a
2
) + C
Z
arctan
x
a
dx = x arctan
x
a
−
a
2
ln
a
2
+ x
2
+C
Z
dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
|a|
+ C
Z
arccot
x
a
dx = x arccot
x
a
+
a
2
ln
a
2
+ x
2
+C
Z
dx
x
√
x
2
− a
2
=
1
a
arccos
x
a
+ C
Z
dx
x
√
x
2
+ a
2
= −
1
a
ln
a +
√
x
2
+ a
2
x
+C
Z
dx
sin(ax + b)
=
1
a
ln
tan
ax + b
2
+ C
Z
ln(ax + b) dx =
Å
x +
b
a
ã
ln(ax + b) −
x + C
Z
e
ax
cos bx dx =
e
ax
(a cos bx + b sin bx)
a
2
+ b
2
+ C
Z
√
a
2
− x
2
dx =
x
√
a
2
− x
2
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C
Z
e
ax
sin bx dx =
e
ax
(a sin bx − b cos bx)
a
2
+ b
2
+ C
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀMCÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
2
C
h
ủ
đề
A.PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1.
Đổi biến dạng 1
Nếu
Z
f(x) dx = F (x) + C và với u = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm thì
Z
f(u) du = F (ϕ(t)) + C
a) Phương pháp chung
• Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ
0
(t) dt.
• Bước 3: Biến đổi : f(x) dx = f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt = g(t) dt.
• Bước 4: Khi đó tính :
Z
f(x) dx =
Z
g(t) dt = G(t) + C.
b) Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
50
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
51 | Page
Dấu hiệu Cách chọn
√
a
2
− x
2
Đặt x = |a|sin t; với t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
hoặc
x = |a|cos t; với t ∈ [0; π].
√
x
2
− a
2
Đặt x =
|a|
sin t
; với t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
\ {0}
hoặc x =
|a|
cos t
; với t ∈ [0; π] \
n
π
2
o
.
√
a
2
+ x
2
Đặt x = |a|tan t; với t ∈
−
π
2
;
π
2
hoặc
x = |a|cot t; với t ∈ (0; π).
…
a + x
a − x
hoặc
…
a − x
a + x
Đặt x = a cos 2t
p
(x − a)(b − x) Đặt x = a + (b − a) sin
2
t
1
a
2
+ x
2
Đặt x = a tan t; với t ∈
−
π
2
;
π
2
.
2.
Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặtx = ϕ(t). Trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ
0
(t) là những
hàm số liên tục) thì ta được:
Z
f(x) dx =
Z
f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt =
Z
g(t) dt = G(t) + C
a) Phương pháp chung
• Bước 1: Chọn t = ϕ(x) , trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dt = ϕ
0
(t) dt.
• Bước 3: Biến đổi : f(x) dx = f[ϕ(t)]ϕ
0
(t) dt = g(t) dt.
• Bước 4: Khi đó tính : I =
Z
f(x) dx =
Z
g(t) dt = G(t) + C.
b) Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Dấu hiệu Cách chọn
Hàm số có mẫu số t là mẫu số
Hàm số f (x;
p
ϕ(x)) Đặt t =
p
ϕ(x).
Hàm số f(x) =
a sin x + b cos x
c sin x + d cos x + e
Đặt t = tan
x
2
;
cos
x
2
6= 0
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
51
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
52 | Page
Hàm số f (x) =
1
p
(x + a)(x + b)
Với x + a > 0 và x + b > 0.
Đặt t =
√
x + a +
√
x + b.
Với x + a < 0 và x + b < 0.
Đặt t =
√
−x − a +
√
−x − b.
B.PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
Z
u(x) · v
0
(x) dx = u(x) · v(x) −
Z
v(x) · u
0
(x) dx
Hay
Z
u dv = uv −
Z
v du ,(với du = u
0
(x) dx, dv = v
0
(x) dx).
1.
Phương pháp chung
• Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng :
I =
Z
f(x) dx =
Z
f
1
(x) · f
2
(x) dx.
• Bước 2: Đặt
u = f
1
(x)
dv = f
2
(x)
⇒
du = f
0
1
(x) dx
v =
Z
f
2
(x) dx.
• Bước 3: Khi đó:
Z
u dv = uv −
Z
v du.
2.
Các dạng thường gặp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
52
2. Các phương pháp tính nguyên hàm
53 | Page
p Dạng 2.8.
I =
Z
P (x)
sin x
cos x
e
x
dx.
Đặt
u = P (x)
dv =
sin x
cos x
e
x
dx
⇒
u
0
· du = P
0
(x) dx
v =
−cos x
sin x
e
x
Vậy I = P (x)
−cos x
sin x
e
x
−
Z
−cos x
sin x
e
x
· P
0
(x) dx.
p Dạng 2.9.
I =
Z
P (x) · ln x dx.
Đặt
u = ln x
dv = P (x) dx
⇒
du =
1
x
dx
v =
Z
P (x) dx = Q(x).
Vậy I = ln x · Q(x) −
Z
Q(x) ·
1
x
dx.
p Dạng 2.10.
I =
Z
e
x
sin x
cos x
dx.
Đặt
u = e
x
dv =
sin x
cos x
dx
⇒
du = e
x
dx
v =
− cos x
sin x
.
Vậy I = e
x
·
− cos x
sin x
−
Z
− cos x
sin x
· e
x
dx.
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
Z
− cos x
sin x
· e
x
dx sau đó thay vào I.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
53
3. Tích phân
54 | Page
TÍCH PHÂNTÍCH PHÂN
3
C
h
ủ
đề
A.CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN
b
Z
a
f(x) dx = F (x)|
b
a
= F (b) − F (a) .
Nhận xét. Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là
b
Z
a
f(x) dx hay
b
Z
a
f(t) dt. Tích phân
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
B.TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có:
a)
a
Z
a
f(x) dx = 0.
b)
b
Z
a
f(x) dx = −
a
Z
b
f(x) dx.
c)
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx.
d)
b
Z
a
[f(x) ± g(x)] dx =
b
Z
a
f(x) dx + ±
b
Z
a
g(x) dx.
e)
b
Z
a
k · f(x) dx = k ·
b
Z
a
f(x) dx.
f) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì
b
Z
a
f(x) dx ≥ 0, ∀x ∈ [a; b].
g) ∀x ∈ [a; b] : f(x) ≤ g(x) ⇒
b
Z
a
f(x) dx ≤
b
Z
a
g(x) dx.
h) ∀x ∈ [a; b], nếu M ≥ f (x) ≥ N ⇒ M(b − a) ≤
b
Z
a
f(x) dx ≤ N(b − a).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
54
4. Phương pháp tính tích phân
55 | Page
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNPHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4
C
h
ủ
đề
A.PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1.
Phương pháp đổi biến số dạng 1
Định lý
Nếu
a) Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α; β].
b) Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên [α; β].
c) u(α) = a, u(β) = b.
Khi đó
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(u(t))u
0
(t) dt.
Phương pháp chung
Bước 1. Đặt x = u(t).
Bước 2. Tính vi phân hai vế x = u(t) ⇒ dx = u
0
(t) dt. Đổi cận
|
x=a
x=b
⇒ |
t=α
t=β
.
Bước 3. Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.
Vậy I =
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(u[t])u
0
(t) dt =
β
Z
α
g(t) dt = G(t)|
β
α
= G(β) − G(α).
2.
Phương pháp đổi biến số dạng 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
55
4. Phương pháp tính tích phân
56 | Page
Định lý
Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho f(x) dx =
g (u(x)) u
0
(x) dx = g(u) du thì I =
u(b)
Z
u(a)
g(u) du.
Phương pháp chung
• Đặt u = u(x) ⇒ du = u
0
(x)dx.
• Đổi cận:
x=b
x=a
⇒
u=u(b)
u=u(a)
.
• Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u.
Vậy I =
b
Z
a
f(x) dx =
b
Z
a
g [u(x)] .u
0
(x) dx =
u(a)
Z
u(b)
g(u) du.
B.PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1.
Định lý
Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì
b
Z
a
u(x)v
0
(x) dx = (u(x)v(x))
b
a
−
b
Z
a
v(x)u
0
(x) dx,
hay
b
Z
a
u dv = uv
b
a
−
b
Z
a
v du.
2.
Phương pháp chung
• Bước 1: Viết f(x) dưới dạng u dv = uv
0
dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f (x)
làm u(x) và phần còn lại dv = v
0
(x) dx.
• Tính du = u
0
dx và v =
Z
dv =
Z
v
0
(x) dx.
• Tính
b
Z
a
vu
0
(x) dx = và uv
b
a
.
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
56
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
57 | Page
Đặt u theo thứ tự ưu
tiên Log - đa - mũ -
lượng
b
Z
a
P (x)e
x
dx
b
Z
a
P (x) ln(x) dx
b
Z
a
P (x) cos x dx
b
Z
a
e
x
cos x dx
u P (x) ln x P (x) e
x
dv e
x
dx P (x) dx cos x dx cos x dx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v
0
dx là phần
của f (x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢNTÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
5
C
h
ủ
đề
A.TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
A.DẠNG 1:
I =
β
Z
α
dx
ax + b
=
1
a
=
β
Z
α
adx
ax + b
=
1
a
ln |ax + b|
β
α
(a 6= 0).
Chú ý: Nếu I =
β
Z
α
dx
(ax + b)
k
=
1
a
β
Z
α
(ax + b)
−k
.a dx =
1
a(1 − k)
.(ax + b)
−k+1
β
α
.
A.DẠNG 2:
I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
(a 6= 0, ax
2
+ bx + c 6= 0 ∀x ∈ [α; β] .
Xét ∆ = b
2
− 4ac.
• Nếu ∆ > 0 thì x
1
=
−b +
√
∆
2a
, x
2
=
−b +
√
∆
2a
, khi đó
1
ax
2
+ bx + c
=
1
a(x − x
1
)(x − x
2
)
=
1
a(x
1
− x
2
)
Å
1
x − x
1
−
1
x − x
2
ã
,
suy ra
I =
1
a(x
1
− x
2
)
β
Z
α
Å
1
x − x
1
−
1
x − x
2
ã
dx =
1
a(x
1
− x
2
)
. ln
x − x
1
x − x
2
β
α
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
57
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
58 | Page
• Nếu ∆ = 0 thì
1
ax
2
+ bx + c
=
1
a(x − x
0
)
2
trong đó x
0
=
−b
2a
. Suy ra
I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
=
1
a
β
Z
α
dx
(x − x
0
)
2
= −
1
a(x − x
0
)
β
α
.
• Nếu ∆ < 0 thì I =
β
Z
α
dx
ax
2
+ bx + c
=
β
Z
α
dx
a
"
Å
x +
b
2a
ã
2
+
Ç
…
−∆
4a
2
å
2
#
.
Đặt x +
b
2a
=
…
−∆
4a
2
tan t ⇒ dx =
…
−∆
4a
2
(1 + tan
2
t) dt. Khi đó
I =
β
Z
α
…
−∆
4a
2
(1 + tan
2
t)
a
"
Ç
…
−∆
4a
2
tan t
å
2
+
Ç
…
−∆
4a
2
å
2
#
dt =
β
Z
α
1
a
4a
2
−∆
dt =
1
a
4a
2
−∆
(β − α).
A.DẠNG 3:
I =
β
Z
α
mx + n
ax
2
+ bx + c
dx.
trong đó, a 6= 0 và f (x) =
mx + n
ax
2
+ bx + c
liên tục trên đoạn [α; β].
a) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được A và B sao cho
mx + n
ax
2
+ bx + c
=
A(ax
2
+ bx + c)
0
ax
2
+ bx + c
+
B
ax
2
+ bx + c
=
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
+
B
ax
2
+ bx + c
.
b) Suy ra
β
Z
α
mx + n
ax
2
+ bx + c
dx =
β
Z
α
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
dx +
β
Z
α
B
ax
2
+ bx + c
dx.
• I
1
=
β
Z
α
A(2ax + b)
ax
2
+ bx + c
dx = A ln
ax
2
+ bx + c
β
α
.
• I
2
=
β
Z
α
B
ax
2
+ bx + c
dx thuộc dạng 2.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
58
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
59 | Page
A.DẠNG 4:
I =
β
Z
α
P (x)
Q(x)
dx.
trong đó, P (x) và Q(x) là các đa thức biến x.
a) Nếu bậc P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì ta dùng phép chia đa thức.
b) Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
• Q(x) chỉ có các nghiệm đơn α
1
, α
2
, ··· , α
n
thì
P (x)
Q(x)
=
A
1
x − α
1
+
A
2
x − α
2
+ ··· +
A
n
x − α
n
.
• Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm: Q(x) = (x−α) (x
2
+ px + q) với ∆ = p
2
−4q < 0
thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
Bx + C
x
2
+ px + q
.
• Khi Q(x) có nghiệm bội
– Q(x) = (x − α)(x − β)
2
thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
B
x − β
+
C
(x − β)
2
.
– Q(x) = (x − α)
2
(x − β)
3
thì
P (x)
Q(x)
=
A
x − α
+
B
(x − α)
2
+
C
x − β
+
D
(x − β)
2
+
E
(x − β)
3
.
B.TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I =
β
Z
α
R [x; f(x)] dx.
trong đó, R [x; f(x)] có dạng
• R
Å
x;
…
a − x
a + x
ã
đặt x = a · cos 2t, t ∈
h
0;
π
2
i
.
• R
x;
√
a
2
− x
2
đặt x = |a| · cos t, t ∈ [0; π] hoặc x = |a| · sin t, t ∈
h
−
π
2
;
π
2
i
.
• R
x;
√
x
2
− a
2
đặt x =
|a|
cos t
, t ∈ [0; π]\
n
π
2
o
.
• R
x;
√
a
2
+ x
2
đặt x = |a| · tan t, t ∈
−
π
2
;
π
2
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
59
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
60 | Page
• R
Ç
x;
n
…
ax + b
cx + d
å
đặt t =
n
…
ax + b
cx + d
.
• R (x; f(x)) =
1
(ax + b)
√
αx
2
+ βx + γ
với (αx
2
+ βx + γ)
0
= ax + b.
Đặt t =
√
αx
2
+ βx + γ hoặc t =
1
ax + b
.
• R (x;
n
1
√
x,
n
2
√
x, ··· ,
n
k
√
x), gọi k = BSCNN {n
1
, ··· , n
k
} đặt x = t
k
.
B.DẠNG 1:
I =
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx , a 6= 0.
Ta có f (x) = ax
2
+ bx + c = a
ñ
Å
x +
b
2a
ã
2
−
∆
4a
ô
.
Đặt
u = x +
b
2a
k =
∆
4a
⇒ du = dx.
• Nếu a > 0 và ∆ < 0 suy ra
p
f(x) =
p
a(u
2
+ k
2
).
Phương pháp giải
Đặt
√
ax
2
+ bx + c = t −
√
a · x suy ra
bx + c = t
2
− 2
√
a · x
x = α ⇒ t = t
0
; x = β ⇒ t = t
1
⇒
x =
t
2
− c
b + 2
√
a
; dx =
2
b + 2
√
a
tdt
t −
√
a · x = t −
√
a
t
2
− c
b + 2
√
a
.
• Nếu ∆ = 0 suy ra
p
f(x) =
√
a
x +
b
2a
.
Phương pháp giải
Khi đó I =
β
Z
α
1
√
a
x +
b
2a
dx =
1
√
a
· ln
x +
b
2a
β
α
nếu x +
b
2a
> 0
−
1
√
a
· ln
x +
b
2a
β
α
nếu x +
b
2a
< 0.
• Nếu ∆ > 0 suy ra
p
f(x) =
p
a(x − x
1
)(x − x
2
).
– Nếu a > 0 đặt
p
a(x − x
1
)(x − x
2
) =
(x − x
1
)t
(x − x
2
)t.
– Nếu a < 0 đặt
p
a(x − x
1
)(x − x
2
) =
(x
1
− x)t
(x
2
− x)t.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
60
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
61 | Page
B.DẠNG 2:
I =
β
Z
α
mx + n
√
ax
2
+ bx + c
dx , a 6= 0.
Phương pháp giải
• Phân tích
mx + n
√
ax
2
+ bx + c
=
A (ax
2
+ bx + c)
0
√
ax
2
+ bx + c
+
B
√
ax
2
+ bx + c
(∗).
• Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B.
• Giải hệ tìm A, B thay vào (∗).
• Tính I = 2A
√
ax
2
+ bx + c
β
α
+ B
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx.
Trong đó
β
Z
α
1
√
ax
2
+ bx + c
dx được tính ở dạng 1.
B.DẠNG 3:
I =
β
Z
α
1
(mx + n)
√
ax
2
+ bx + c
dx , a · m 6= 0.
Phương pháp giải
• Phân tích
1
(mx + n)
√
ax
2
+ bx + c
=
1
m
x +
n
m
√
ax
2
+ bx + c
(1).
• Đặt
1
y
= x +
n
m
⇒
y =
1
x + t
⇒ dy = −
1
(x + t)
2
dt
x =
1
y
− t ⇒ ax
2
+ bx + c = a
Å
1
y
− t
ã
2
+ b
Å
1
y
− t
ã
+ c.
• Thay tất cả vào (1) ta được I =
β
0
Z
α
0
1
√
Ly
2
+ My + N
dy, tích phân này đã tính ở dạng 1.
B.DẠNG 4:
I =
β
Z
α
R
x;
m
ax + b
cx + d
!
dx.
trong đó R(x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết.
Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
61
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
62 | Page
• Đặt t =
m
…
ax + b
cx + d
(1).
• Tính x theo t (bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ(t)).
• Tính vi phân hai vế dx = ϕ
0
(t)dt và đổi cận.
• Khi đó I =
β
0
Z
α
0
R (t; ϕ(t)) ϕ
0
(t)dt.
C.TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1.
Một số công thức lượng giác
a) Công thức cộng
• cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b;
• sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a;
• tan(a ± b) =
tan a ± tan b
1 ∓ tan a · tan b
.
b) Công thức nhân đôi
• cos 2a = cos
2
a − sin
2
a = 2 cos
2
a − 1 = 1 − 2 sin
2
a =
1 − tan
2
a
1 + tan
2
a
;
• sin 2a = 2 sin a · cos a =
2 tan a
1 + tan
2
a
; tan 2a =
2 tan a
1 − tan
2
a
;
• cos 3α = 4 cos
3
α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin
3
α.
c) Công thức hạ bậc
• sin
2
a =
1 − cos 2a
2
; cos
2
a =
1 + cos 2a
2
; tan
2
a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
;
• sin
3
α =
3 sin α − sin 3α
4
; cos
3
α =
cos 3α + 3 cos α
4
.
d) Công thức tính theo t
• Với t = tan
a
2
thì sin a =
2t
1 + t
2
; cos a =
1 − t
2
1 + t
2
; tan a =
2t
1 − t
2
.
e) Công thức biến đổi tích thành tổng
• cos α · cos β =
1
2
[cos(α + β) + cos(α − β)];
• sin α · sin β =
1
2
[cos(α − β) − cos(α + β)];
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
62
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
63 | Page
• sin α · cos β =
1
2
[sin(α + β) + sin(α − β)].
f) Công thức biến đổi tổng thành tích
• cos α + cos β = 2 cos
α + β
2
· cos
α − β
2
;
• cos α − cos β = −2 sin
α + β
2
· sin
α − β
2
;
• sin α + sin β = 2 sin
α + β
2
· cos
α − β
2
;
• sin α − sin β = 2 cos
α + β
2
· sin
α − β
2
;
• tan α + tan β =
sin(α + β)
cos α cos β
;
• tan α − tan β =
sin(α − β)
cos α cos β
.
g) Công thức thường dùng
• cos
4
α + sin
4
α =
3 + cos 4α
4
;
• cos
6
α + sin
6
α =
5 + 3 cos 4α
8
.
Hệ quả
• cos α + sin α =
√
2 cos
α −
π
4
=
√
2 sin
α +
π
4
;
• cos α − sin α =
√
2 cos
α +
π
4
= −
√
2 sin
α −
π
4
.
2.
Một số dạng tích phân lượng giác
• Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(sin x) cos xdx ta đặt t = sin x.
• Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(cos x) sin xdx ta đặt t = cos x.
• Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(tan x)
dx
cos
2
x
ta đặt t = tan x.
• Nếu gặp dạng I =
b
Z
a
f(cot x)
dx
sin
2
x
ta đặt t = cot x.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
63
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
64 | Page
DẠNG 1. I
1
=
Z
(sin x)
n
dx; I
2
Z
(cos x)
n
dx
Phương pháp giải
• Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.
• Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.
• Nếu 3n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi
I
1
=
Z
(sin x)
n
dx =
Z
(sin x)
2p
+ 1dx
=
Z
(sin x)
2p
sin xdx = −
Z
1 − cos
2
x
p
d(cos x)
= −
Z
î
C
0
p
− C
1
p
cos
2
x + ··· + (−1)
k
C
k
p
cos
2
x
k
+ . . . + (−1)
p
C
p
p
cos
2
x
p
d(cos x)
= −
ï
C
0
p
cos x −
1
3
C
1
p
cos
3
x + ··· +
(−1)
k
2k + 1
C
k
p
(cos x)
2k+1
+ ··· +
(−1)
p
2p + 1
C
p
p
(cos x)
2p+1
ò
+ C.
I
2
=
Z
(cos x)
n
dx =
Z
(cos x)
2p
+ 1dx
=
Z
(cos x)
2p
cos xdx =
Z
1 − sin
2
x
p
d(sin x)
=
Z
î
C
0
p
− C
1
p
sin
2
x + ··· + (−1)
k
C
k
p
sin
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
sin
2
x
p
d(sin x)
=
ï
C
0
p
sin x −
1
3
C
1
p
sin
3
x + ··· +
(−1)
k
2k + 1
C
k
p
(sin x)
2k+1
+ ··· +
(−1)
p
2p + 1
C
p
p
(sin x)
2p+1
ò
+ C.
DẠNG 2. I =
Z
sin
m
x cos
n
xdx (m, n ∈ N)
Phương pháp giải
a) Trường hợp 1: m, n là các số nguyên.
• Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
64
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
65 | Page
• Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi
I =
Z
(sin x)
m
(cos x)
2p
+ 1dx =
Z
(sin x)
m
(cos x)
2p
cos xdx
=
Z
(sin x)
m
1 − sin
2
x
p
d(sin x)
=
Z
(sin x)
m
î
C
0
p
− C
1
p
sin
2
x + ··· + (−1)
k
C
k
p
sin
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
sin
2
x
p
d(sin x)
=
ï
C
0
p
(sin x)
m+1
m + 1
− C
1
p
(sin x)
m+3
m + 3
+ ··· + (−1)
k
C
k
p
(sin x)
2k+1+m
2k + 1 + m
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
(sin x)
2p+1+m
2p + 1 + m
ò
+ C.
• Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi
I =
Z
(sin x)
2p
+ 1(cos x)
n
dx =
Z
(cos x)
n
(sin x)
2p
sin xdx
= −
Z
(cos x)
n
1 − cos
2
x
p
d(cos x)
= −
Z
(cos x)
n
î
C
0
p
− C
1
p
cos
2
x + ··· + (−1)
k
C
k
p
cos
2
x
k
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
cos
2
x
p
d(cos x)
= −
ï
C
0
p
(cos x)
n+1
n + 1
− C
1
p
(cos x)
n+3
n + 3
+ ··· + (−1)
k
C
k
p
(cos x)
2k+1+n
2k + 1 + n
+ ··· + (−1)
p
C
p
p
(cos x)
2p+1+n
2p + 1 + n
ò
+ C.
• Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
• Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sin x.
B =
Z
sin
m
x cos
n
xdx =
Z
(sin x)
m
cos
2
x
n−1
2
cos xdx
=
Z
u
m
1 − u
2
n−1
2
du (∗)
Tích phân (∗) tính được ⇔ 1 trong 3 số
m + 1
2
;
n − 1
2
;
m + k
2
là số nguyên.
DẠNG 3. I
1
=
Z
(tan x)
n
dx; I
2
=
Z
(cot x)
n
dx(n ∈ N)
Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
65
6. Ứng dụng của tích phân
66 | Page
•
Z
1 + tan
2
x
dx =
Z
dx
cos
2
x
=
Z
d(tan x) = tan x + C;
•
Z
1 + cot
2
x
dx =
Z
dx
sin
2
x
= −
Z
d(cot x) = −cot x + C;
•
Z
tan xdx =
Z
sin x
cos x
dx = −
Z
d(cos x)
cos x
= −ln |cos x| + C;
•
Z
cot xdx =
Z
cos x
sin x
dx =
Z
d(sin x)
sin x
= ln |sin x| + C.
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂNỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
6
C
h
ủ
đề
A.DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục
hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S =
Z
b
a
|f(x)|dx.
x
y
y = f(x)
O
a
c1 c2 c3
b
(H)
y = f(x)
y = 0
x = a
x = b
S =
Z
b
a
|f(x)|dx
2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]
và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định:
S =
Z
b
a
|f(x) − g(x)|dx.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
66
6. Ứng dụng của tích phân
67 | Page
x
y
O
(C
1
)
(C
2
)
c1 c2
a
b
(H)
(C
1
) : y = f
1
(x)
(C
2
) : y = f
2
(x)
x = a
x = b
S =
Z
b
a
|f
1
(x) − f
2
(x)|dx
• Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f(x) không đổi dấu thì:
Z
b
a
|f(x)|dx =
Z
b
a
f(x)dx
.
• Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
• Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường
thẳng y = c, y = d được xác định:
Z
d
c
|g(y) − h(y)|dy.
B.THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1.
Thể tích vật thể
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
67
6. Ứng dụng của tích phân
68 | Page
Gọi B là phần vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại
các điểm a và b; S(x) là
diện tích thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại
điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử
S(x) là hàm số liên tục trên
đoạn [a; b].
O
a
(V )
b
x
x
S(x)
V =
Z
b
a
S(x)dx
2.
Thể tích khối tròn xoay
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
x
y
O
y = f(x)
a
b
(C): y = f(x)
(Ox): y = 0
x = a
x = b
V
x
= π
Z
b
a
[f(x)]
2
dx
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
68
6. Ứng dụng của tích phân
69 | Page
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy:
y
x
O
d
c
(C): x = g(y)
(Oy): x = 0
y = c
y = d
V
y
= π
Z
d
c
[g(y)]
2
dy
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: V =
π
Z
b
a
f
2
(x) − g
2
(x)
dx.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
69
SỐ PHỨC
CHƯƠNG
4
SỐ PHỨCSỐ PHỨC
1
C
h
ủ
đề
A.KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
• Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R). Trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn
vị ảo, i
2
= −1.
• Tập hợp số phức kí hiệu là C.
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).
• z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
B.HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
• Hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R) bằng nhau khi phần thực và
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
• Khi đó ta viết z
1
= z
2
⇔ a + bi = c + di ⇔
a = c
b = d.
C.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC
1. Số phức
71 | Page
Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) hay bởi
#»
u = (a; b) trong mặt phẳng phức (mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy).
x
y
a
M
b
O
D.SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ R) là z = a − bi.
• z = z; z ± z
0
= z ± z
0
; z ·z
0
= z · z
0
.
•
Å
z
1
z
2
ã
=
z
1
z
2
; z · z = a
2
+ b
2
.
• z là số thực ⇔ z = z; z là số ảo khi và chỉ khi z = −z.
E.MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC
1.
Định nghĩa
Độ dài của véc-tơ
# »
OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Vậy |z| =
# »
OM
hay |z| = |a + bi| =
# »
OM
=
√
a
2
+ b
2
.
2.
Một số tính chất
• |z| =
√
a
2
+ b
2
=
√
zz =
# »
OM
; |z| = |z|.
• |z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0.
• |z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|;
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
;
z
1
z
2
=
z
1
z
2
|z
2
|
2
.
• ||z
1
| − |z
2
|| ≤ |z
1
± z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
71
2. Phép cộng trừ, nhân chia số phức
72 | Page
PHÉP CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA SỐ PHỨCPHÉP CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA SỐ PHỨC
2
C
h
ủ
đề
A.PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
Cho hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R). Khi đó
z
1
± z
2
= (a + c) ± (b + d) i.
• Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi.
• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó:
z = a + bi, z + z = 2a.
B.PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
• Cho hai số phức z
1
= a + bi (a, b ∈ R) và z
2
= c + di (c, d ∈ R), khi đó
z
1
z
2
= (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
• Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), ta có
kz = k ·(a + bi) = ka + kbi.
Đặc biệt, 0 · z = 0 với mọi số phức z.
• Lũy thừa của i, với mọi n ∈ N
∗
ta có
– i
0
= 1.
– i
1
= i.
– i
2
= −1.
– i
3
= i
2
· i = −i.
– i
4n
= 1.
– i
4n+1
= i.
– i
4n+2
= −1.
– i
4n+3
= −i.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
72
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực
73 | Page
C.CHIA HAI SỐ PHỨC
• Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z
−1
=
1
|z|
2
· z.
• Phép chia hai số phức z
0
và z 6= 0 là
z
0
z
= z
0
z
−1
=
z
0
· z
|z|
2
=
z
0
· z
z ·z
.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰCPHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
3
C
h
ủ
đề
A.CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
• Cho số z, nếu có số phức z
1
sao cho z
2
1
= z thì ta nói z
1
là một căn bậc hai của z.
• Mọi số phức z 6= 0 đều có hai căn bậc hai.
• Căn bậc hai của số thực z âm là ±i
p
|z|.
• Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i
p
|a|.
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt số ∆ = b
2
− 4ac của
phương trình. Ta thấy
• Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x =
−b
2a
.
• Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1,2
=
−b ±
√
∆
2
.
• Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x
1,2
=
−b ± i
p
|∆|
2a
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
73
PHẦN
HÌNH HỌC 12
II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
KHỐI ĐA DIỆN
CHƯƠNG
1
KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓPKHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
1
C
h
ủ
đề
a) Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả
hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp
cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
b) Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối
lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng
trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng
trụ (khối chóp, khối chóp cụt).
KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA
DIỆN
KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA
DIỆN
2
C
h
ủ
đề
A.KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN
2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
76 | Page
a) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số
hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung,
hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai
đa giác.
b) Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh
của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của
hình đa diện.
đỉnh
cạnh
mặt
B.KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
• Khối đa diện là phần không gian được
giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình
đa diện đó.
• Những điểm không thuộc khối đa diện
được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
N
M
điểm trong
điểm ngoài
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong
của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài
được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
• Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là
miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn
một đường thẳng nào đó.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
76
3. Hai đa diện bằng nhau
77 | Page
HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAUHAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3
C
h
ủ
đề
A.PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M
0
xác định duy nhất được gọi
là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
1.
Phép tịnh tiến theo vectơ
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M
0
sao cho
# »
MM
0
=
#»
v .
#»
v
M
M
0
2.
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P )
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm
thuộc (P ) thành chính nó, biến
mỗi điểm M không thuộc (P )
thành điểm M
0
sao cho (P ) là mặt
phẳng trung trực của MM
0
.
M
M
0
I
P
Nếu phép đối xứng qua mặt
phẳng (P) biến hình H thành
chính nó thì (P) được gọi là mặt
phẳng đối xứng của H.
3.
Phép đối xứng qua tâm O
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
77
4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
78 | Page
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính
nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M
0
sao cho O là trung điểm MM
0
.
M
M
0
O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H)
thành chính nó thì O được gọi là tâm đối
xứng của (H).
4.
Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆)
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc
đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi
điểm M không thuộc ∆ thành điểm M
0
sao
cho ∆ là đường trung trực của MM
0
.
M
M
0
O
∆
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H)
thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối
xứng của (H).
Nhận xét. • Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
• Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H
0
), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành
đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H
0
).
B.HAI HÌNH BẰNG NHAU
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆNPHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
4
C
h
ủ
đề
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
78
5. Khối đa diện lồi
79 | Page
Nếu khối đa diện (H) là hợp của
hai khối đa diện (H
1
), (H
2
) sao
cho (H
1
) và (H
2
) không có chung
điểm trong nào thì ta nói có thể
chia được khối đa diện (H)
thành hai khối đa diện (H
1
) và
(H
2
), hay có thể lắp ghép hai
khối đa diện (H
1
) và (H
2
) với
nhau để được khối đa diện (H).
(H)
(H
1
)
(H
2
)
KHỐI ĐA DIỆN LỒIKHỐI ĐA DIỆN LỒI
5
C
h
ủ
đề
A.KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với
bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của
đoạn AB cũng thuộc khối đó.
Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
Lưu ý:
a) Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền
trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng đi
qua một mặt của nó.
b) Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện lồi nếu gọi Đ là
số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta luôn có Đ + M =
C + 2.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
79
5. Khối đa diện lồi
80 | Page
B.KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
1.
Định nghĩa
a) Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây
• Các mặt là những đa giác đều p cạnh.
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
b) Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
2.
Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
• Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
• Loại {4; 3}: khối lập phương.
• Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
• Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều.
• Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều.
Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện.
Khối tứ diện đều
Khối lập phương
Khối bát diện đều
Khối mười hai mặt
đều
Khối hai mươi mặt
đều
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
80
5. Khối đa diện lồi
81 | Page
3.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnh a Số
đỉnh
Số
cạnh
Số
mặt
Thể tích
V
Bán kính R
mặt cầu ngoại
tiếp
Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4
√
2a
3
12
a
√
6
4
Lập phương {4; 3} 8 12 6 a
3
a
√
3
2
Bát diện đều {3; 4} 6 12 8
√
2a
3
3
a
√
2
2
Mười hai mặt đều
{5; 3}
20 30 12
15 + 7
√
5
4
a
3
√
3 +
√
15
4
a
Hai mươi mặt đều
{3; 5}
12 30 20
15 + 5
√
5
12
a
3
√
10 +
√
20
4
a
Giả sử khối đa diện đều loại {p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có
q · Đ = 2C = p · M
C.MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI
1.
Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt
đều).
2.
Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
3.
Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
4.
Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc
một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
81
6. Thể tích khối đa diện
82 | Page
Khi đó:
• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
• Ba đường chéo bằng nhau.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆNTHỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6
C
h
ủ
đề
A.THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Nội dung Hình vẽ
V
Chóp
=
1
3
S
đáy
· h
Trong đó
S
đáy
là diện tích mặt đáy
h là chiều cao khối chóp.
V
S.ABCD
=
1
3
S
ABCD
· d(S, (ABCD))
S
A
B
C
D
h
H
B.THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
82
6. Thể tích khối đa diện
83 | Page
V
Lăng trụ
= S
đáy
· h
Trong đó
S
đáy
là diện tích mặt đáy
h là chiều cao lăng trụ.
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao
chính là độ dài cạnh bên.
A
A
0
C
C
0
h
B
0
H
B
C.THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
Nội dung Hình vẽ
V
Hộp chữ nhật
= abc
Trong đó a, b, c là độ dài các
cạnh khối hộp chữ nhật.
B
B
0
A
A
0
C
D
D
0
C
0
c
a
b
D.THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG
Nội dung Hình vẽ
V = a
3
B
A
C
D
A
0
B
0
C
0
D
0
E.TỈ SỐ THỂ TÍCH
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
83
7. Các công thức hình phẳng
84 | Page
V
S.A
0
B
0
C
0
V
S.ABC
=
SA
0
SA
·
SB
0
SB
·
SC
0
SC
Thể tích khối chóp cụt ABC.A
0
B
0
C
0
V =
h
3
Ä
B + B
0
+
√
BB
0
ä
Với B, B
0
, h là diện tích hai đáy và chiều cao
A C
B
S
A
0
C
0
B
0
F.MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT
• Đường chéo của hình vuông cạnh a là a
√
2.
• Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a
√
3.
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
• Đường cao của tam giác đều cạnh a là
a
√
3
2
.
CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNGCÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7
C
h
ủ
đề
A.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1.
Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH
• AB
2
+ AC
2
= BC
2
.
• AB
2
= BH · BC.
• AC
2
= CH · BC.
• AH · BC = AB · AC.
•
1
AH
2
=
1
AB
2
+
1
AC
2
.
A
B H C
• AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
84
7. Các công thức hình phẳng
85 | Page
2.
Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi là p
• Định lí hàm số côsin
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A. b
2
= a
2
+ c
2
− 2ac cos B. c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos C.
• Định lí hàm số sin:
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
• Độ dài trung tuyến
m
2
a
=
2(b
2
+ c
2
) − a
2
4
. m
2
b
=
2(a
2
+ c
2
) − b
2
4
. m
2
c
=
2(a
2
+ b
2
) − c
2
4
.
3.
Các công thức tính diện tích
3.1. Tam giác
• S =
1
2
a · h
a
=
1
2
b · h
b
=
1
2
c · h
c
.
• S =
1
2
bc sin A =
1
2
ca sin B =
1
2
ab sin C.
• S =
abc
4R
.
• S = pr.
• S =
p
p(p − a)(p − b)(p − c).
• 4ABC vuông tại A : S =
AB · AC
2
=
BC · AH
2
.
• 4ABC đều, cạnh a : AH =
a
√
3
2
, S =
a
2
√
3
4
.
3.2. Hình vuông
• S = a
2
( a là cạnh hình vuông )
3.3. Hình chữ nhật
• S = a · b ( a, b là hai kích thước )
3.4. Hình bình hành
• S = đáy × cao = AB · AD · sin
’
BAD
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
85
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
86 | Page
3.5. Hình thoi
• S = AB · AD · sin
’
BAD =
1
2
AC · AD ( a, b là hai kích thước )
3.6. Hình thang
• S =
1
2
(a + b) h ( a, b là hai đáy, h là chiều cao )
3.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD
• S =
1
2
AC · BD
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
8
C
h
ủ
đề
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt
phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông
góc với nhau từng đôi một, diện tích
các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt
là S
1
, S
2
, S
3
. Khi đó
V
S.ABC
=
√
2S
1
· S
2
· S
3
3
.
S
B
C
A
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông
góc với (ABC), hai mặt phẳng (SAB)
và (SBC) vuông góc với nhau,
’
ASB =
α,
’
BSC = β. Khi đó
V
S.ABC
=
SB
3
· sin 2α · tan β
12
.
A
B
C
S
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
86
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
87 | Page
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh
bên bằng b. Khi đó
V
S.ABC
=
a
2
√
3b
2
− a
2
12
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc α. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
tan α
24
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo
với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
√
3b
3
· sin β · cos
2
β
4
.
A
B
G
C
M
S
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
các cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo
với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
· tan β
12
A
B
G
C
M
S
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
87
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
88 | Page
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = b. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
2
√
4b
2
− 2a
2
6
.
C
D
O
A
B
M
S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên
và mặt phẳng đáy là α. Khi đó
V
S.ABCD
=
a
3
tan α
6
.
A
B
C
O
M
D
S
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có cạnh đáy bằng a,
’
SAB = α với α ∈
(45
◦
; 90
◦
). Khi đó
V
S.ABCD
=
a
3
√
tan
2
α − 1
6
.
S
B C
O
D
A
α
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi
giữa mặt bên và mặt đáy bằng α với
α ∈ (0
◦
; 90
◦
). Khi đó
V
S.ABCD
=
4a
3
tan α
3
p
(2 + tan
2
α)
3
.
S
B C
O
D
M
A
α
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
88
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
89 | Page
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng đi
qua A, song song với BC và vuông góc
với mặt phẳng (SBC). Biết α là góc
giữa (P ) và mặt phẳng đáy. Khi đó
V
S.ABC
=
a
3
cot α
24
.
S
B
G
A C
F
M
N
E
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm
các mặt của hình lập phương cạnh a.
Khi đó thể tích khối bát diện đều là
V =
a
3
6
.
A
0
D
0
C
0
CB
B
0
D
A
Tâm các mặt bên của một bát diện
đều cạnh a là đỉnh của một khối lập
phương. Khi đó thể tích của khối lập
phương là
V =
2a
3
√
2
27
.
S
B
S
0
D
A
C
CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CỦA THỂ TÍCH TỨ
DIỆN
CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CỦA THỂ TÍCH TỨ
DIỆN
9
C
h
ủ
đề
Công thức Điều kiện
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
89
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
90 | Page
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung
một đỉnh và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh
đó
V
SABC
=
abc
6
p
1 − x
2
− y
2
− z
2
+ 2xyz.
Trong đó x = cos α, y = cos β, z =
cos γ.
S
B
G
M
A
C
B
0
C
0
SA = a, SB = b, SC = c
’
ASB = α,
’
BSC = β,
’
CSA = γ.
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối,
khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đó
V
ABCD
=
1
6
abd sin α.
B D
0
M C
M
0
C
0
D
A
α
AB = a, CD = b
d(AB, CD) = d
(AB, CD) = α.
Thể tích của tứ diện khi biết độ dài
cạnh chung của hai mặt, diện tích và
góc giữa hai mặt đó
V
SABC
=
2S
1
S
2
sin α
3a
.
S
B
A
H
K
C
α
S
4SAB
= S
1
, S
4SAC
= S
2
SA = a, ((SAB), (SAC)) = α.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
90
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
91 | Page
Thể tích khối chóp tam giác khi biết
ba cạnh bên, hai góc ở đỉnh và một góc
giữa hai mặt bên (góc nhị diện)
V
S.ABC
=
abc
6
sin α sin β sin ϕ.
S
B
A
H
K
C
B
0
ϕ
SA = a, SB = b, SC = c
’
ASB = α,
’
ASC = β
((SAB), (SAC)) = ϕ.
Thể tích khối tứ diện đều V
ABCD
=
a
3
√
2
12
.
Tứ diện có tất cả các cạnh bằng a.
D
B
G
M
A C
Thể tích tứ diện gần đều V =
√
2xyz
12
.
Với x = a
2
+ b
2
− c
2
, y = b
2
+ c
2
− a
2
,
z = c
2
+ a
2
− b
2
.
Tứ diện ABCD có
AB = CD = a, AC = BD = b,
AD = BC = c.
A
B
C
0
D
B
0
C
D
0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
91
MẶT NÓN - MẶT TRỤ -
MẶT CẦU
CHƯƠNG
2
MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓNMẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1
C
h
ủ
đề
A.MẶT NÓN TRÒN XOAY
Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo
thành góc β với 0
◦
< β < 90
◦
, mặt phẳng
(P ) chứa d, ∆. (P ) quay quanh trục ∆ với
góc β không đổi ⇒ mặt nón tròn xoay đỉnh
O.
• ∆ gọi là trục.
• d được gọi là đường sinh.
• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.
r
d
O
β
∆
B.KHỐI NÓN
Nội dung Hình vẽ
1. Mặt nón tròn xoay và khối nón
93 | Page
• Là phần không gian được giới hạn bởi
một hình nón tròn xoay kể cả hình nón
đó. Những điểm không thuộc khối nón
gọi là những điểm ngoài của khối nón.
• Những điểm thuộc khối nón nhưng
không thuộc hình nón tương ứng gọi là
những điểm trong của khối nón. Đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của một hình nón
cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của
khối nón tương ứng.
M
O
r
I
l
h
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
• Diện tích xung quanh của hình nón: S
xq nón
= πrl .
• Diện tích đáy (hình tròn): S
đáy
= πr
2
.
• Diện tích toàn phần của hình nón: S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= πrl + πr
2
.
• Thể tích khối nón: V
nón
=
1
3
S
đáy
h =
1
3
πr
2
h .
C.THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MẶT PHẲNG
Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
93
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
94 | Page
• Mp (Q) cắt mặt nón theo 2
đường sinh.
• Mp (Q) tiếp xúc với mặt
nón theo một đường sinh.
• Thiết diện là tam giác
cân.
• (Q) là mặt phẳng tiếp
diện của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.
• Mp (Q) vuông góc với trục
hình nón.
• Mp (Q) song song với 2
đường sinh hình nón.
• Mp (Q) song song với 1
đường sinh hình nón.
• Giao tuyến là 1 đường
parabol.
• Giao tuyến là 2 nhánh
của 1 hypebol.
• Giao tuyến là một
đường tròn.
MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤMẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ
2
C
h
ủ
đề
A.MẶT TRỤ
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
94
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
95 | Page
Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng
∆ và l song song với nhau, cách nhau một
khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P )
xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một
mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay,
gọi tắt là mặt trụ.
• Đường thẳng ∆ gọi là trục.
• Đường thẳng l là đường sinh.
• r là bán kính của mặt trụ đó.
D
C
A
B
∆
l
r
h
B.HÌNH TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật ABCD.
Khi quay hình chữ nhật
ABCD xung quanh đường
thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường
gấp khúc ABCD sẽ tạo thành
một hình gọi là hình trụ tròn
xoay, hay gọi tắt là hình trụ.
D
C
A
B
∆
l
r
h
• Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy
của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
• Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
• Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên CD khi quay xung quanh AB gọi là
mặt xung quanh của hình trụ.
• Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
95
3. Mặt cầu và khối cầu
96 | Page
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay
kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối
trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong
của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là Mặt đáy, chiều
cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán
kính đáy r.
• Diện tích xung quanh: S
xq
= 2πrh .
• Diện tích toàn phần: S
tp
= S
xq
+ 2 · S
đáy
= 2πrh + 2πr
2
.
• Thể tích khối trụ: V
trụ
= S
đáy
· h = πr
2
h .
MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦUMẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU
3
C
h
ủ
đề
A.MẶT CẦU
Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực
dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong
không gian cách I một khoảng R được
gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu S(I; R).
Khi đó S(I; R) = {M|IM = R}
I
B A
R
B.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng
(P ). Suy ra d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Khi đó
d > R d = R d < R
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
96
3. Mặt cầu và khối cầu
97 | Page
Mặt cầu và mặt
phẳng không có điểm
chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt
cầu: (P ) là mặt phẳng tiếp
diện của mặt cầu và H là
tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt
cầu theo thiết diện là
đường tròn có tâm H
và bán kính
r =
√
R
2
− d
2
.
I
H
d
R
P
H
I
M
d
r
R
P
Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P ) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính và
thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
C.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường
thẳng ∆. Khi đó
IH > R IH = R IH < R
∆ không cắt mặt cầu. ∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆: Tiếp tuyến của (S).
H : Tiếp điểm.
∆ cắt mặt cầu (S) tại
hai điểm phân biệt.
∆
R
I
H
∆
R
I
H
∆
R
I
A
B
H
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
97
3. Mặt cầu và khối cầu
98 | Page
Lưu ý:
Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B thì bán kính R của (S) được tính như
sau:
d (I, ∆) = IH
R =
√
IH
2
+ AH
2
=
IH
2
+
Å
AB
2
ã
2
.
D.ĐƯỜNG KINH TUYẾN VÀ VĨ TUYẾN CỦA MẶT CẦU
Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt
phẳng có bờ là trục của mặt cầu được
gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với
các mặt phẳng vuông góc với trục được
gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục
được gọi là hai cực của mặt cầu.
A
B
O
vĩ tuyến
kinh tuyến
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện.
Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu
mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các
mặt của hình đa diện. Còn nói
hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
98
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
99 | Page
Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
nếu tất cả các đỉnh của hình đa
diện đều nằm trên mặt cầu. Còn
nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD khi và
chỉ khi
OA = OB = OC = OD = OS = r
A
C
B
D
O
S
Cho mặt cầu S(I; R)
• Diện tích mặt cầu: S = 4πR
2
• Thể tích khối cầu: V =
4
3
πR
3
MỘTSỐDẠNG TOÁNVÀ CÔNGTHỨCGIẢI NÓN
VÀ TRỤ
MỘTSỐDẠNG TOÁNVÀ CÔNGTHỨCGIẢI NÓN
VÀ TRỤ
4
C
h
ủ
đề
A.BÀI TOÁN MẶT NÓN
1.
Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là
tam giác cân.
A B
S
O
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
99
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
100 | Page
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là
những tam giác cân có hai cạnh bên là
hai đường sinh của hình nón.
B
O
S
A
Thiết diện vuông góc với trục của
hình nón là những đường tròn có tâm
nằm trên trục của hình nón.
A B
S
O
2.
Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh `.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa
thiết diện là d.
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
100
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
101 | Page
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
• AC ⊥ (SMI).
• Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc
’
SMI.
• Góc giữa (SAC) và (SI) là góc
’
MSI.
• d (I, (SAC)) = IH = d.
Diện tích thiết diện
S
td
= S
4SAC
=
1
2
SM · AC
=
1
2
√
SI
2
+ IM
2
· 2
√
AI
2
− IM
2
=
h
2
+
h
2
d
2
h
2
− d
2
·
r
2
−
h
2
d
2
h
2
− d
2
.
I
S
A B
C
H
M
3.
Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường
tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Khi
đó hình nón có:
• Bán kính đáy r = IM =
AB
2
.
• Đường cao h = SI, đường sinh
` = SM.
Hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
S
I
A
D
M
CB
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
101
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
102 | Page
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều
S.ABCD đều là hình nón có đỉnh
S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD. Khi đó hình nón có:
• Bán kính đáy
r = IA =
AC
2
=
AB
√
2
2
.
• Chiều cao h = SI.
• Đường sinh ` = SA.
Hình chóp tứ giác đều
S.ABCD
S
A
B
C
D
I
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó
hình nón có
• Bán kính đáy
r = IM =
AM
3
=
AB
√
3
6
.
• Chiều cao h = SI.
• Đường sinh ` = SM.
Hình chóp tam giác đều
S.ABC
A
S
B
C
M
I
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
102
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
103 | Page
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó
hình nón có
• Bán kính đáy
r = IA =
2AM
3
=
AB
√
3
3
.
• Chiều cao h = SI.
• Đường sinh ` = SA.
Hình chóp tam giác đều
S.ABC
A
S
B
C
M
I
4.
Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón
là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.
Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng
song song với đáy thì được mặt cắt là một
hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng
song song với trục thì được mặt cắt là một
hình thang cân.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
103
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
104 | Page
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán
kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt
S
xq
= π · ` · (R + r).
Diện tích đáy (hình tròn)
S
đáy 1
= πr
2
S
đáy 2
= πR
2
⇒
X
S
đáy
= π(r
2
+R
2
).
Diện tích toàn phần của hình chóp cụt
S
tp
= π · ` · (R + r) + πr
2
+ πR
2
.
Thể tích khối nón cụt
V =
1
3
πh(R
2
+ r
2
+ Rr).
R
h `
r
5.
Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
104
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
105 | Page
Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi
hình quạt AmB. Độ dài cung
˘
AnB bằng x. Phần còn lại của
hình tròn ghép lại được một hình
nón. Tìm bán kính, chiều cao và
độ dài đường sinh của hình nón
đó.
Hình nón được tạo thành có
` = R
2πr = x ⇒ r =
x
2π
h =
√
`
2
− r
2
.
O
A ≡ B
O
A B
m
n
R
h
r
R
B.MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ
1.
Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường
tròn bán kính R.
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật
ABCD trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu
thiết diện qua trục là một hình vuông thì
h = 2R.
Thiết diện song song với trục và không
chứa trục là hình chữ nhật BGHC có
khoảng cách tới trục là d(OO
0
, (BGHC)) =
OM.
C
B
D
H
A
G
O
O
0
M
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
105
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
106 | Page
2.
Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất
kỳ trên hai đáy của hình trụ thì
V
ABCD
=
1
6
AB · CD ·OO
0
· sin(AB, CD).
Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau
thì
V
ABCD
=
1
6
AB · CD ·OO
0
.
B
D
C
A
O
O
0
3.
Dạng 3. Xác định góc, khoảng cách
Nội dung Hình vẽ
Góc giữa AB và trục OO
0
bằng
’
A
0
AB.
A
0
A
O
O
0
B
Khoảng cách giữa AB và trục OO
0
bằng
O
0
M.
A
0
A
O
O
0
M
B
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
106
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
107 | Page
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp
trong hình trụ thì đường chéo của hình
vuông cũng bằng đường chéo của hình
trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông bằng
AB =
2R
2
+
h
2
2
.
B
D
A
C
O
O
0
I
4.
Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu
Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích toàn phần nhỏ nhất
S
tp
min ⇔
R =
3
…
V
4π
h = 2
3
…
V
4π
.
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích xung quanh cộng với diện
tích một đáy và nhỏ nhất
S min ⇔
R =
3
…
V
π
h =
3
…
V
π
.
M
O
O
0
R
h
5.
Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể
tích khối trụ là V
(T )
=
4πV
9
.
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung
quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S
xq
=
2S
π
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
107
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
108 | Page
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI
TOÁN MẶT CẦU
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI
TOÁN MẶT CẦU
5
C
h
ủ
đề
A.MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
1.
Các khái niệm cơ bản
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên
trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai
đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút
của đoạn thẳng.
2.
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3.
Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
108
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
109 | Page
Tâm: trùng với tâm đối xứng
của hình hộp chữ nhật (hình lập
phương). Suy ra tâm là I, là trung
điểm của A
0
C
Bán kính: bằng nửa độ dài
đường chéo hình hộp chữ nhật
(hình lập phương). Suy ra bán
kính: R =
AC
0
2
.
A
0
D
0
B
0
I
BA
D C
C
0
Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng
A
1
, A
2
, A
3
···A
n
.A
0
1
, A
0
2
, A
0
3
, ···A
0
n
, trong đó
có 2 đáy A
1
A
2
A
3
···A
n
và A
0
1
A
0
2
A
0
3
···A
0
n
nội tiếp
đường tròn (O) và (O
0
). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp
hình lăng trụ đứng có
• Tâm: I, với I là trung điểm của OO
0
.
• Bán kính: R = IA
1
= IA
2
= ··· = IA
0
n
A
0
1
A
1
A
0
3
A
3
A
0
2
A
2
A
n
A
0
n
O
O
0
I
Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp S.ABC có
’
SAC =
’
SBC = 90
◦
.
• Tâm: I là trung điểm SC.
• Bán kính: R =
SC
2
= IA = IB = IC.
S
A C
B
I
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
109
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
110 | Page
Hình chóp S.ABCD có
’
SAC =
’
SBC =
’
SDC = 90
◦
.
• Tâm: I là trung điểm SC.
• Bán kính: R =
SC
2
= IA = IB = IC = ID.
S
A
B C
D
I
Hình chóp đều
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp đều S.ABC ···
• Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trụ của đáy.
• Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh
bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ
đường trung trực của cạnh SA là ∆ cắt SA tại
M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.
Bán kính:
Ta có 4SMI ∼ 4SOA ⇒
SM
SO
=
SI
SA
⇒ R = IS =
SM · SA
SO
=
SA
2
2 · SO
= IA = IB = IC = ···
∆
S
A
M
B
C
D
O
I
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
110
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
111 | Page
Cho hình chóp S.ABC ··· có cạnh bên SA ⊥ (ABC ···)
và đáy ABC ··· nội tiếp đường tròn tâm O.
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC ··· được xác định như sau:
• Từ tâm O ngoại tiếp đáy, ta vẽ đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng (ABC ···) tại O.
• Trong mặt phẳng (d, SA), ta dựng đường trung
trực ∆ của cạnh SA cắt SA tại M, cắt d tại I ⇒ I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
R = IA = IC = IS = ···
• Tìm bán kính.
Ta có MIOB là hình chữ nhật. Xét 4MAI
vuông tại M có: R = AI =
√
MI
2
+ MA
2
=
AO
2
+
Å
SA
2
ã
2
.
∆
d
S
A
M
B
C
O
I
Hình chóp khác
• Dựng trục ∆ của đáy.
• Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
• (α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.
• Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm
O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
O
Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
111
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
112 | Page
O
Hình chữ nhật: O là giao điểm 2 đường chéo.
O
Tam giác đều: O là trọng tâm tam giác.
O
Tam giác vuông: O là trung điểm của cạnh huyền.
O
Tam giác thường: O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh trong
tam giác.
B.KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
112
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
113 | Page
Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
(thỏa
mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại
tiếp). Thông thường, để xác định mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện
theo hai bước
• Bước 1: Xác định tâm của đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng
∆ là trục đường tròn ngoại tiếp
đa giác đáy.
• Bước 2: Lập mặt phẳng trung
trực (α) của một cạnh bên. Lúc
đó Tâm O của mặt cầu là giao
điểm của đường thẳng ∆ và mặt
phẳng (α). Bán kính R = SA =
SO. Tùy vào từng trường hợp.
S
D
H
B
A
I
C
O
α
C.KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC ĐÁY
1.
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung Hình vẽ
Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
là đường thẳng đi qua tâm đường tròn
ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt
phẳng đáy.
Tính chất
Với mọi M ∈ d
0
thì MA = MB = MC.
Suy ra MA = MB = MC ⇔ M ∈ d
0
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
113
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
114 | Page
Các bước xác định trục
• Bước 1: Xác định tâm H của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Qua H dựng đường
thẳng d
0
vuông góc với mặt phẳng
đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
• Đáy là tam giác vuông.
• Đáy là tam giác đều.
• Đáy là tam giác thường.
M
d
0
B
A
C
H
H
A
B
d
0
C
H
A
B
d
0
C
H
A
B
d
0
C
2.
Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung Hình vẽ
4SMO đồng dạng với 4SIA, suy ra
SO
SA
=
SM
SI
.
S
I
O
A
M
3.
Nhận xét quan trọng
∃M, S sao cho
MA = MB = MC
SA = SB = SC
thì SM là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
114
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
115 | Page
D.KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
(thỏa mãn điều
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường,
để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta
thực hiện theo hai bước
• Bước 1: Xác định tâm của đường tròn
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng d
0
là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Xác định trục d của đường tròn
ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của
khối chóp. Lúc đó
• Tâm I của mặt cầu là {I} = d
0
∩ d.
• Bán kính R = IA = IS. Tùy vào
từng trường hợp.
S
A
D C
I
B
d
d
0
E.TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU
1.
Dạng 1
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
115
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
116 | Page
Cạnh bên SA vuông góc đáy và
’
ABC =
90
◦
. Khi đó R =
SC
2
và tâm là trung
điểm của SC.
S
B
A C
S
A
D
B
C
2.
Dạng 2
Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì,
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của
đáy là R
D
, khi đó R
2
= R
2
D
+
SA
2
4
.
• R
D
=
abc
4
p
p(p − a)(p − b)(p − c)
với p là nửa chu
vi.
• Nếu 4ABC vuông tại A thì
R
D
=
1
4
(AB
2
+ AC
2
+ SA
2
).
• Đáy là hình vuông cạnh a thì R
D
=
a
√
2
2
.
• Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R
D
=
a
√
3
3
.
S
I
B
A
K
C
O
3.
Dạng 3
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
116
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
117 | Page
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau SA =
SB = SC = SD, ta có
R =
SA
2
2SO
.
• ABCD là hình vuông, hình chữ nhật,
khi đó O là giao của hai đường chéo.
• 4ABC vuông, khi đó O là trung điểm
cạnh huyền.
• 4ABC đều, khi đó O là trọng tâm,
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp tam giác.
A
B C
D
O
S
4.
Dạng 4
Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC)
vuông góc với nhau và có giao tuyến
AB. Khi đó, ta gọi R
1
, R
2
lần lượt là
bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam
giác SAB và SAC. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp
R
2
= R
2
1
+ R
2
2
−
AB
2
4
.
A
B
C
S
I
O
J
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
117
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
118 | Page
5.
Dạng 5
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó, ta giải
phương trình (SH − x)
2
+ OH
2
= x
2
+ R
2
D
. Với giá trị x vừa tìm được, ta có
R
2
= x
2
+ R
2
D
.
F.DẠNG 6
Bán kính mặt cầu nội tiếp r =
3V
S
tp
.
TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ
KHỐI TRÒN XOAY
TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ
KHỐI TRÒN XOAY
6
C
h
ủ
đề
A.CHỎM CẦU
Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính diện tích và thể tích
S
xq
= 2πRh = π
r
2
+ h
2
V = πh
2
Å
R −
h
3
ã
=
πh
6
h
2
+ 3r
2
R
h
r
B.HÌNH TRỤ CỤT
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
118
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
119 | Page
Ta có công thức tính thể tích, diện tích
S
xq
= πR (h
1
+ h
2
)
V = πR
Å
h
1
+ h
2
2
ã
h
1
h
2
R
C.HÌNH NÊM LOẠI 1
Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính thể tích
V =
2
3
R
3
tan α.
R
α
D.HÌNH NÊM LOẠI 2
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
119
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
120 | Page
Ta có công thức tính thể tích
V =
Å
π
2
−
2
3
ã
R
3
tan α.
α
R
E.PARABOL BẬC HAI - PARABOLOID
Nội dung Hình vẽ
S
parabol
=
4
3
Rh
S
0
S
=
Å
…
x
h
ã
3
=
a
R
3
V =
1
2
πR
2
h =
1
2
V
trụ
.
x
a
h
R
h
R
F.DIỆN TÍCH ELIP VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI ELIP
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
120
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
121 | Page
S
elip
= πab
V
xoay quanh 2a
=
4
3
πab
2
V
xoay quanh 2b
=
4
3
πa
2
b.
a a
b
b
G.DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHĂN
Nội dung Hình vẽ
S = π
R
2
− r
2
.
r
R
H.THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN (PHAO)
Nội dung Hình vẽ
V = 2π
2
Å
R + r
2
ãÅ
R − r
2
ã
2
.
r
R
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
121
HỆ TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
CHƯƠNG
3
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANHỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1
C
h
ủ
đề
A.CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1.
Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gốc tọa độ O, trục hoành Ox, trục
tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
2.
Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz.
Chú ý
Chú ý
•
#»
i
2
=
#»
j
2
=
#»
k
2
= 1.
•
#»
a
2
= |
#»
a |
2
.
•
#»
i ·
#»
j =
#»
j ·
#»
k =
#»
k ·
#»
i = 0.
3.
Tọa độ véctơ
#»
u = (x; y; z) ⇔
#»
u = x
#»
i + y
#»
j + z
#»
k .
4.
Tọa độ điểm
M(x; y; z) ⇔
# »
OM = x
#»
i + y
#»
j + z
#»
k .
1. Hệ tọa độ trong không gian
123 | Page
5.
Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
#»
u = (a; b; c),
#»
v = (a
0
; b
0
; c
0
).
•
#»
u =
#»
v ⇔
a = a
0
b = b
0
c = c
0
.
•
#»
u ±
#»
v = (a ± a
0
; b ± b
0
; c ± c
0
).
• k ·
#»
u = (ka; kb; kc).
•
#»
u ·
#»
v = |
#»
u | · |
#»
v | · cos (
#»
u ,
#»
v ) = aa
0
+ bb
0
+ cc
0
.
• cos (
#»
u ,
#»
v ) =
#»
u ·
#»
v
|
#»
u | · |
#»
v |
=
aa
0
+ bb
0
+ cc
0
√
a
2
+ b
2
+ c
2
·
√
a
02
+ b
02
+ c
02
.
• |
#»
u | =
√
#»
u
2
=
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
•
#»
u ⊥
#»
v ⇔
#»
u ·
#»
v = 0.
•
# »
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
; z
B
− z
A
).
• AB =
# »
AB
=
»
(x
B
− x
A
)
2
+ (y
B
− y
A
)
2
+ (z
B
− z
A
)
2
.
6.
Chú ý
Góc của hai véc-tơ (
#»
u ,
#»
v ) là góc hình học (nhỏ) giữa hai tia mang các véc-tơ đó, giá trị trong
[0; π] là sin (
#»
u ;
#»
v ) =
p
1 − cos
2
(
#»
u ,
#»
v ) ≥ 0.
7.
Chia tỉ lệ đoạn thẳng
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nghĩa là
# »
MA = k
# »
MB. Công thức tọa độ của M là
x
M
=
x
A
− kx
B
1 − k
y
M
=
y
A
− ky
B
1 − k
z
M
=
z
A
− kz
B
1 − k
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
123
1. Hệ tọa độ trong không gian
124 | Page
8.
Công thức trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì
# »
MA +
# »
MB =
#»
0 ⇔
x
M
=
x
A
+ x
B
2
y
M
=
y
A
+ y
B
2
z
M
=
z
A
+ z
B
2
.
9.
Công thức trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC =
#»
0 ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
3
.
10.
Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC +
# »
GD =
#»
0 ⇔
x
G
=
x
A
+ x
B
+ x
C
+ x
D
4
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
+ y
D
4
z
G
=
z
A
+ z
B
+ z
C
+ z
D
4
.
11.
Tích có hướng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ
#»
u = (a; b; c) và
#»
v = (a
0
; b
0
; c
0
). Tích có hướng của hai véc-tơ
#»
u và
#»
v là một véc-tơ,
kí hiệu [
#»
u ,
#»
v ] hay
#»
u ∧
#»
v , có tọa độ
[
#»
u ,
#»
v ] =
Ö
b c
b
0
c
0
;
c a
c
0
a
0
;
a b
a
0
b
0
è
= (bc
0
− b
0
c; ca
0
− ac
0
; ab
0
− ba
0
) .
12.
Tính chất của tích có hướng của hai véc-tơ
• [
#»
u ,
#»
v ] vuông góc với
#»
u và
#»
v .
• |[
#»
u ,
#»
v ]| = |
#»
u | · |
#»
v | · sin (
#»
u ,
#»
v ).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
124
1. Hệ tọa độ trong không gian
125 | Page
• [
#»
u ,
#»
v ] =
#»
0 ⇔
#»
u ,
#»
v cùng phương.
13.
Ứng dụng của tích có hướng của hai véc-tơ
• Diện tích hình bình hành ABCD: S =
î
# »
AB,
# »
AD
ó
.
• Diện tích tam giác ABC: S =
1
2
·
î
# »
AB,
# »
AC
ó
.
• Ba véc-tơ
#»
u ,
#»
v ,
#»
w đồng phẳng ⇔ [
#»
u ,
#»
v ] ·
#»
w = 0.
• Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên AA
0
:
V =
î
# »
AB,
# »
AD
ó
·
# »
AA
0
.
• Thể tích khối tứ diện S.ABC: V =
1
6
·
î
# »
AB,
# »
AC
ó
·
# »
SA
.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
1.
Các phép toán về tọa độ của véc-tơ và của điểm
Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
2.
Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích - Thể tích
Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
• Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.
• Tính chất hình học của các điểm đặc biệt.
– A, B, C thẳng hàng ⇔
# »
AB,
# »
AC cùng phương ⇔
# »
AB = k
# »
AC ⇔
î
# »
AB,
# »
AC
ó
=
#»
0 .
– ABCD là hình bình hành ⇔
# »
AB =
# »
DC.
– Cho 4ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A trên
BC. Ta có
# »
EB = −
AB
AC
·
# »
EC,
# »
F B =
AB
AC
·
# »
F C.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
125
2. Mặt phẳng
126 | Page
– A, B, C, D không đồng phẳng ⇔
# »
AB,
# »
AC,
# »
AD không đồng phẳng ⇔
î
# »
AB,
# »
AC
ó
·
# »
AD 6=
0.
MẶT PHẲNGMẶT PHẲNG
2
C
h
ủ
đề
A.CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT
1.
Khái niệm về véc-tơ pháp tuyến
Véc-tơ
#»
n khác
#»
0 và có giá vuông góc mp(P ) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
2.
Tính chất của véc-tơ pháp tuyến
Nếu
#»
n là véc-tơ pháp tuyến của (P ) thì k
#»
n (k 6= 0) cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ).
3.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có véc-tơ pháp tuyến
#»
n =
(A; B; C) là
A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z −z
0
) = 0.
4.
Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không
đồng thời bằng 0).
5.
Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
• (P ) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Ox ⇔ A = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Oy ⇔ B = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Oz ⇔ C = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
126
2. Mặt phẳng
127 | Page
• (P ) (không qua gốc tọa độ) cắt Ox tại A(a; 0; 0), cắt Oy tại B(0; y; 0), cắt Oz tại C(0; 0; c)
⇔ (P ) có phương trình
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
6.
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho M (x
0
; y
0
; z
0
) và (P ): Ax + By + Cz + D = 0, khi đó
d [M; (P )] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
7.
Chùm mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
• Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt
phẳng (α) và (β) gọi là một chùm mặt phẳng.
• Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): A
1
x+B
1
y+C
1
z+
D
1
= 0 và (β): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
• Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa d thì mặt phẳng (P ) có
dạng
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0
với m
2
+ n
2
6= 0.
(α)
(P )
(β)
d
B.VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.
1.
Dạng 1
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có VTPT
#»
n = (A; B; C) thì
(α): A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z −z
0
) = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
127
2. Mặt phẳng
128 | Page
2.
Dạng 2
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và có cặp VTCP
#»
a ,
#»
b thì
#»
n =
î
#»
a ,
#»
b
ó
là một VTPT
của (α).
3.
Dạng 3
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) và song song với (β): Ax + By + Cz = 0 thì
(α): A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z −z
0
) = 0.
4.
Dạng 4
Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta có thể xác định một VTPT
của (α) là
#»
n =
î
# »
AB,
# »
AC
ó
.
5.
Dạng 5
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M:
• Trên d lấy điểm A và VTCP
#»
u .
• Một VTPT của (α) là
#»
n =
î
# »
AM,
#»
u
ó
.
6.
Dạng 6
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M, vuông góc với đường thẳng d thì VTCP
#»
u của đường thẳng
d là một VTPT của (α).
7.
Dạng 7
Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
• Xác định các VTCP
#»
a ,
#»
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
• Một VTPT của (α) là
#»
n =
î
#»
a ,
#»
b
ó
.
• Lấy một điểm M thuộc d
1
hoặc d
2
⇒ M ∈ (α).
8.
Dạng 8
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d
1
và song song với đường thẳng d
2
(hai đường d
1
, d
2
chéo
nhau):
• Xác định các VTCP
#»
a ,
#»
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
128
2. Mặt phẳng
129 | Page
• Một VTPT của (α) là
#»
n =
î
#»
a ,
#»
b
ó
.
• Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒ M ∈ (α).
9.
Dạng 9
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
:
• Xác định các VTCP
#»
a ,
#»
b của các đường thẳng d
1
, d
2
.
• Một VTPT của (α) là
#»
n =
î
#»
a ,
#»
b
ó
.
10.
Dạng 10
Mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β):
• Xác định VTCP
#»
u của d và VTPT
#»
n
β
của (β).
• Một VTPT của (α) là
#»
n = [
#»
u ,
#»
n
β
].
• Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).
11.
Dạng 11
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):
• Xác định các VTPT
#»
n
β
,
#»
n
γ
của (β) và (γ).
• Một VTPT của (α) là
#»
n = [
#»
n
β
,
#»
n
γ
].
12.
Dạng 12
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
• Giả sử (α) có phương trình A + By + Cz + D = 0, (A
2
+ B
2
+ C
2
6= 0).
• Lấy hai điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ (α), ta được hai phương trình (1) và (2).
• Từ điều kiện khoảng cách d [M, (α)] = k, ta được phương trình (3).
• Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
13.
Dạng 13
Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H:
• Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
• Một VTPT của (α) là
#»
n =
# »
IH.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
129
2. Mặt phẳng
130 | Page
C.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (P ): Ax + By + Cz + D = 0 và (P
0
): A
0
x + B
0
y + C
0
z + D
0
= 0. Khi đó
• (P ) cắt (P
0
) ⇔ A : B : C 6= A
0
: B
0
: C
0
.
• (P ) ∥ (P
0
) ⇔
A
A
0
=
B
B
0
=
C
C
0
6=
D
D
0
.
• (P ) ≡ (P
0
) ⇔
A
A
0
=
B
B
0
=
C
C
0
=
D
D
0
.
• (P ) ⊥ (P
0
) ⇔
#»
n
(P )
⊥
#»
n
(P
0
)
⇔
#»
n
(P )
·
#»
n
(P
0
)
= 0 ⇔ AA
0
+ BB
0
+ CC
0
= 0.
D.KHOẢNG CÁCH VÀ HÌNH CHIẾU
1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là
d [M
0
; (α)] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
2.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng
này đến mặt phẳng kia.
3.
Hình chiếu của một điểm lên một mặt
Điểm H là hình chiếu của điểm M lên (P ) ⇔
# »
MH,
#»
n cùng phương
H ∈ (P )
.
4.
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Điểm M
0
đối xứng M qua (P ) ⇔
# »
MM
0
= 2
# »
MH.
E.GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (α): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 và (β): A
2
x + B
2
y +
C
2
z + D
2
= 0.
Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
#»
n
1
,
#»
n
2
.
cos [(α); (β)] =
|
#»
n
1
·
#»
n
2
|
|
#»
n
1
| · |
#»
n
2
|
=
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
·
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
130
3. Đường thẳng
131 | Page
Chú ý
0
◦
≤
h
◊
(α); (β)
i
≤ 90
◦
; (α) ⊥ (β) ⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0.
F.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TIẾP XÚC MẶT CẦU.
Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S): (x −a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
có tâm I.
• (α) và (S) không có điểm chung ⇔ d [I; (α)] > R.
• (α) tiếp xúc (S) ⇔ d [I; (α)] = R với (α) là tiếp diện.
Để tìm tọa độ tiếp điểm, ta có thể thực hiện như sau
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
• Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), H là giao điểm của (S) với (α).
• (α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d [I; (α)] < R.
Để xác định tâm và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
• Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), với H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với
(α).
• Bán kính r của đường tròn giao tuyến r =
√
R
2
− IH
2
.
ĐƯỜNG THẲNGĐƯỜNG THẲNG
3
C
h
ủ
đề
A.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1.
Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng
c Định nghĩa 3.1. Cho đường thẳng d. Nếu véc-tơ
#»
a 6=
#»
0 và có giá song song hoặc
trùng với đường phẳng d thì được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường phẳng d. Kí hiệu:
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
131
3. Đường thẳng
132 | Page
Chú ý
•
#»
a là VTCP của d thì k
#»
a (k 6= 0) cũng là VTCP của d;
• Nếu d đi qua hai điểm A, B thì
# »
AB là một VTCP của d;
• Trục Ox có véc-tơ chỉ phương
#»
a =
#»
i = (1; 0; 0);
• Trục Oy có vectơ chỉ phương
#»
a =
#»
j = (0; 1; 0);
• Trục Oz có vectơ chỉ phương
#»
a =
#»
k = (0; 0; 1).
2.
Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và
nhận
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
) làm VTCP là
∆:
x = x
0
+ a
1
t
y = y
0
+ a
2
t
z = z
0
+ a
3
t
(t ∈ R).
z
y
x
O
∆
M
0
M(x; y; z)
#»
a
3.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và nhận
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
)
làm VTCP là
x − x
0
a
1
=
y − y
0
a
2
=
z −z
0
a
3
(a
1
, a
2
, a
3
6= 0) .
B.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
M
∆
#»
a
#»
n
α
∆
#»
a
M
#»
n
α
∆
#»
a
M
#»
n
α
Phương pháp hình học
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
132
3. Đường thẳng
133 | Page
d Định lí 3.1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x = x
0
+ a
1
t (1)
y = y
0
+ a
2
t (2)
z = z
0
+ a
3
t (3)
có véc-tơ
chỉ phương
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
) và đi qua M = (x
0
; y
0
; z
0
) và mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D =
0 có véc-tơ pháp tuyến
#»
n = (A; B; C).
Khi đó
• ∆ ∩ (α) = {A} ⇔
#»
a ·
#»
n 6= 0 ⇔ Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
6= 0;
• ∆ ∥ (α) ⇔
#»
a ·
#»
n = 0
M /∈ (α)
⇔
Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
= 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D 6= 0;
• ∆ ⊂ (α) ⇔
#»
a ·
#»
n = 0
M ∈ (α)
⇔
Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
= 0
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D = 0.
Đặc biệt. ∆ ⊥ (α) ⇔
#»
a và
#»
n cùng phương ⇔ a
1
: a
2
: a
3
= A : B : C.
∆
#»
a
#»
n
α
Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của ∆ và (α), ta giải hệ phương trình
pt (∆)
pt (α)
tìm x, y, z. Suy ra M(x; y; z).
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (α) và rút gọn đưa về dạng at + b = 0. (∗)
• ∆ cắt (α) tại một điểm ⇔ pt(∗) có một nghiệm t;
• ∆ song song với (α) ⇔ pt(∗) vô nghiệm;
• ∆ nằm trong (α) ⇔ pt(∗) có vô số nghiệm t;
• ∆ ⊥ (α) ⇔
#»
a và
#»
n cùng phương.
2.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
∆
1
∆
2
M
N
#»
u
1
#»
u
2
∆
1
∆
2
M
N
#»
u
1
#»
u
2
∆
2
∆
1
M N
#»
u
1
#»
u
2
∆
1
∆
2
M
N
#»
u
1
#»
u
2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
133
3. Đường thẳng
134 | Page
Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: ∆
1
đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương
#»
u
1
;
∆
2
đi qua N và có một véc-tơ chỉ phương
#»
u
2
.
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ [
#»
u
1
,
#»
u
2
] =
î
#»
u
1
,
# »
MN
ó
=
#»
0 ;
• ∆
1
∥ ∆
2
⇔
[
#»
u
1
,
#»
u
2
] =
#»
0
î
#»
u
1
,
# »
MN
ó
6=
#»
0 ;
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔
[
#»
u
1
,
#»
u
2
] 6=
#»
0
[
#»
u
1
,
#»
u
2
] ·
# »
MN = 0;
• ∆
1
và ∆
2
chéo nhau ⇔ [
#»
u
1
,
#»
u
2
] ·
# »
MN 6= 0.
Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm M của ∆
1
và ∆
2
, ta giải hệ phương trình
pt (∆
1
)
pt (∆
2
)
tìm x, y, z. Suy ra
M(x; y; z).
3.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng ∆:
x = x
0
+ a
1
t (1)
y = y
0
+ a
2
t (2)
z = z
0
+ a
3
t (3)
và mặt cầu (S): (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
có
tâm I(a; b; c), bán kính R.
Phương pháp hình học
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng ∆ là
h = d(I, ∆) =
î
# »
IM,
#»
a
ó
|
#»
a |
.
Bước 2: So sánh d(I, ∆) với bán kính R của mặt cầu:
• Nếu d(I, ∆) > R thì ∆ không cắt (S);
• Nếu d(I, ∆) = R thì ∆ tiếp xúc với (S);
• Nếu d(I, ∆) < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N và MN vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
134
3. Đường thẳng
135 | Page
Phương pháp đại số
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (S) và rút gọn và đưa về phương trình bậc hai theo t. (∗)
• Nếu phương trình (∗) vô nghiệm thì ∆ không cắt (S);
• Nếu phương trình (∗) có một nghiệm thì ∆ không cắt (S);
• Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N.
Chú ý
Để tìm tọa độ M, N, ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆.
C.GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1.
Góc giữa hai mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(α), (β) xác định bởi phương trình:
(α): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(β): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β),
ta có công thức:
cos ϕ =
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
·
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
#»
n
1
= (A
1
; B
1
; C
1
)
#»
n
2
= (A
2
; B
2
; C
2
)
β
α
2.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
135
3. Đường thẳng
136 | Page
Cho đường thẳng
(∆):
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z −z
0
c
và mặt phẳng (α): Ax+By +Cz+D =
0.
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và
mặt phẳng (α) ta có công thức:
sin ϕ =
|Aa + Bb + Cc|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
·
√
a
2
+ b
2
+ c
2
#»
n = (A; B; C)
(∆)
#»
u = (a; b; c)
0
◦
≤ ϕ ≤ 90
◦
α
3.
Góc giữa hai đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng:
(∆
1
):
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z −z
0
c
(∆
2
):
x − x
0
0
a
0
=
y − y
0
0
b
0
=
z −z
0
0
c
0
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (∆
1
)
và (∆
2
) ta có công thức:
cos ϕ =
|aa
0
+ bb
0
+ cc
0
|
√
a
2
+ b
2
+ c
2
·
√
a
02
+ b
02
+ c
02
#»
a
1
= (a; b; c)
#»
a
2
= (a
0
; b
0
; c
0
)
0
◦
≤ ϕ ≤ 90
◦
∆
1
∆
2
D.KHOẢNG CÁCH
1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
136
3. Đường thẳng
137 | Page
Cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz +
D = 0 và điểm M(x
0
; y
0
; z
0
). Khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
được tính bởi:
d [M, (α)] =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
H
M(x
0
; y
0
; z
0
)
α
2.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
#»
u =
(a; b; c). Khi đó khoảng cách từ điểm
M
1
đến (∆) được tính bởi công thức:
d(M
1
, ∆) =
î
# »
M
0
M
1
;
#»
u
ó
|
#»
u |
.
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
M
1
H
#»
u
(∆)
3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
137
3. Đường thẳng
138 | Page
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường
thẳng chéo nhau:
(∆
1
) có VTCP
#»
u = (a; b; c) và qua
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
)
(∆
2
) có VTCP
#»
u
0
= (a
0
; b
0
; c
0
) và qua
M
0
0
(x
0
0
; y
0
0
; z
0
0
)
Khi đó khoảng cách giữa (∆
1
) và (∆
2
) được
tính bởi công thức
d(∆
1
, ∆
2
) =
î
#»
u ,
#»
u
0
ó
·
# »
M
0
M
0
0
î
#»
u ,
#»
u
0
ó
.
#»
u
#»
u
0
∆
1
∆
2
M
0
M
0
0
E.LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
1.
Dạng 1
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và có VTCP
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
) là d :
x = x
0
+ a
1
t
y = y
0
+ a
2
t
z = z
0
+ a
3
t
(t ∈ R).
2.
Dạng 2
d đi qua hai điểm A, B: d có một VTCP là
# »
AB.
3.
Dạng 3
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d ∥ ∆ nên VTCP của
∆ cũng là VTCP của d.
4.
Dạng 4
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước. Vì d ⊥ (P ) nên VTPT
của (P ) cũng là VTCP của d.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
138
3. Đường thẳng
139 | Page
5.
Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ), (Q):
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
• Tìm tọa độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình
(P )
(Q)
(với việc chọn giá trị cho
một ẩn).
• Tìm một VTCP của d:
#»
a = [
#»
n
P
,
#»
n
Q
].
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
6.
Dạng 6
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và vuông góc với hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Vì d ⊥ d
1
, d ⊥ d
2
nên một VTCP của d là
#»
a = [
#»
a
d
1
,
#»
a
d
2
].
7.
Dạng 7
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
), vuông góc và cắt đường thẳng ∆.
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng ∆.
Ta có
H ∈ ∆
# »
M
0
H ⊥
#»
u
∆
. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
0
, H.
• Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; Q là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
8.
Dạng 8
d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
:
• Cách 1: Gọi M
1
∈ d
1
, M
2
∈ d
2
. Từ điều kiện M, M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
.
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
• Cách 2: Gọi (P ) = (M
0
, d
1
), (Q) = (M
0
, d
2
). Khi đó d = (P ) ∩ (Q). Do đó một VTCP của
d có thể chọn là
#»
a = [
#»
n
P
,
#»
n
Q
].
9.
Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
:
Tìm các giao điểm A = d
1
∩ (P ), B = d
2
∩ (P ).
Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
139
3. Đường thẳng
140 | Page
10.
Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d
1
, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d
2
.
Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
11.
Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
, d
2
chéo nhau.
a) Cách 1:
Gọi M
1
∈ d
1
, M
2
∈ d
2
. Từ điều kiện
MN ⊥ d
1
MN ⊥ d
2
ta tìm được M, N. Khi đó d là đường
thẳng MN.
b) Cách 2:
• Vì d ⊥ d
1
và d ⊥ nên một véc-tơ chỉ phương của d là
#»
a = [
#»
a
d
1
;
#»
a
d
2
].
• Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d và d
1
bằng cách.
– Lấy một điểm A trên d
1
.
– Một véc-tơ chỉ phương của (P ) là
#»
n
P
= [
#»
a ,
#»
a
d
1
].
• Tương tự lập phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
. Khi đó d = (P )∩(Q).
12.
Dạng 12
d đi qua điểm M, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
a) Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN ⊥ d
1
, ta tìm được N. Khi đó, d là
đường thẳng MN.
b) Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) và qua M và vuông góc với d
1
.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
• Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
140
3. Đường thẳng
141 | Page
13.
Dạng 13
d đi qua M, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
a) Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d
2
. Từ điều kiện MN ⊥ d
1
ta tìm được N. Khi đó, d là
đường thẳng MN.
b) Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d
1
.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
• Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
F.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp
sau:
a) Phương pháp hình học:
Dụa vào mối quan hệ giữa các véc-tơ chỉ phương và các điểm thuộc đường thẳng.
b) Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
2.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:
a) Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phuwpwng của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng.
b) Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
141
3. Đường thẳng
142 | Page
G.KHOẢNG CÁCH
1.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
a) Cách 1:
Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có véc-tơ chỉ phương
#»
a thì
d (M, d) =
î
# »
M
0
M,
#»
a
ó
|
#»
a |
.
b) Cách 2:
• Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
• d (M, d) = MH.
c) Cách 3:
• Gọi N (x; y; z) ∈ d. Tính MN
2
theo t (t là tham số trong đường thẳng d).
• Tìm t để MN
2
nhỏ nhất.
• Khi đó N ≡ H, do đó d (M, d) = MH.
2.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
. Biết d
1
đi qua điểm M
1
và có véc-tơ chỉ phương
#»
a
1
, d
2
đi qua điểm M
2
và có véc-tơ chỉ phương
#»
a
2
thì
d (d
1
, d
2
) =
[
#»
a
1
,
#»
a
2
] ·
# »
M
1
M
2
|[
#»
a
1
,
#»
a
2
]|
.
• Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
bằng khoảng cách giữa d
1
mà mặt phẳng (α) chứa d
2
và song song với d
1
.
3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
142
4. Mặt cầu
143 | Page
4.
Khoảng cách giữa một đường thẳng mà mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (α).
H.GÓC
1.
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có các véc-tơ chỉ phương
#»
a
1
,
#»
a
2
. Gọi α là góc giữa d
1
, d
2
d
1
, d
2
, ta có
cos α = |cos (
#»
a
1
,
#»
a
2
)| =
|
#»
a
1
·
#»
a
2
|
|
#»
a
1
| · |
#»
a
2
|
.
2.
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương
#»
a = (a
1
; a
2
; a
3
) và mặt phẳng (α) có véc-tơ pháp
tuyến
#»
n = (A; B; C).
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông góc d
0
của
nó trên (α). Ta có
sin
’
d, (α)
=
|Aa
1
+ Ba
2
+ Ca
3
|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
·
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
.
MẶT CẦUMẶT CẦU
4
C
h
ủ
đề
A.PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
a) Phương trình chính tắc
• Phương trình của mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R là (S) : (x − a)
2
+
(y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
(1)
• Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
• Đặc biệt: Khi I ≡ O thì (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
b) Phương trình tổng quát
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
143
4. Mặt cầu
144 | Page
• Phương trình : x
2
+ y
2
+ z
2
−2ax −2by −2cz + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
−d > 0 là
phương trình của mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
− d
B.GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
• Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(S) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
• Gọi d (I; (α)) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α).
• Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P ).
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P ))
d > R d = R d < R
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc
mặt cầu : (P ) là mặt
phẳng tiếp diện của
mặt cầu và H : tiếp
điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo
thiết diện là đường tròn có
tâm I
0
và bán kính r =
√
R
2
− IH
2
I
H
P
I
H
P
I
H
M
P
R
r
d
C.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1.
Dạng 1
(S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R thì (S) : (x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
.
2.
Dạng 2
(S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm A thì bán kính R = IA.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
144
4. Mặt cầu
145 | Page
3.
Dạng 3
(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính
• Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : x
I
=
x
A
+ x
B
2
; y
I
=
y
A
+ y
B
2
; z
I
=
z
A
+ z
B
2
.
• Bán kính R = IA =
AB
2
.
4.
Dạng 4
(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
• Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*).
• Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S).
5.
Dạng 5
(S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P ) cho trước thì giải tương tự
dạng 4.
6.
Dạng 6
(S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước
• Xác định tâm I và bán kính R
0
của mặt cầu (T ).
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai
trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý : Với phương trình mặt cầu (S) : x
2
+y
2
+z
2
+2ax+2by +2cz +d = 0 vói a
2
+b
2
+c
2
−d > 0
thì (S) có tâm I (−a; − b; − c) và bán kính R =
√
a
2
+ b
2
+ c
2
− d.
Đặc biệt :
Cho hai mặt cầu S
1
(I
1
; R
1
) và S
2
(I
2
; R
2
).
• I
1
I
2
< |R
1
− R
2
| ⇔ (S
1
) , (S
2
) trong nhau.
• I
1
I
2
> R
1
+ R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) ngoài nhau.
• I
1
I
2
= |R
1
− R
2
| ⇔ (S
1
) , (S
2
) tiếp xúc trong.
• I
1
I
2
= R
1
+ R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) tiếp xúc ngoài.
• |R − 1 − R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+R
2
⇔ (S
1
) , (S
2
) cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao
tuyến).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
145
4. Mặt cầu
146 | Page
7.
Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước thì bán
kính mặt cầu R = d (I; (P )).
8.
Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện.
• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường
tròn S = πr
2
hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến
r.
• Tính d = d (I, (P )).
• Tính bán kính mặt cầu R =
√
d
2
+ r
2
.
• Kết luận phương trình mặt cầu.
9.
Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm I (a; b; c)
cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆).
10.
Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) thuộc
∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆.
• Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ là nghiệm của phương trình.
• Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆).
• Kết luận về phương trình mặt cầu (S).
11.
Dạng 11
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A, B thoả
mãn điều kiện
• Độ dài AB là một hằng số.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
146
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
147 | Page
• Tam giác IAB là tam giác vuông.
• Tam giác IAB là tam giác đều.
Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, vì 4IAB cân tại I nên HB =
AB
2
và bán kính mặt cầu R được
tính như sau
• R =
√
IH
2
+ HB
2
.
• R =
IH
sin 45
◦
.
• R =
IH
sin 60
◦
.
12.
Dạng 12
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.
• Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M.
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z −c)
2
= R
2
hoặc x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2ax + 2by + 2cz + d = 0.
• Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có).
13.
Dạng 13
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
• Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn :
x = f (t)
y = g (t)
z = h (t)
(*)
• Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
• Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có).
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NHANH CỰC TRỊ
KHÔNG GIAN
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI NHANH CỰC TRỊ
KHÔNG GIAN
5
C
h
ủ
đề
A.DẠNG 1.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để (MA + MB)
min
.
• Phương pháp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
147
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
148 | Page
• Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
• Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B
0
là điểm đối xứng với B qua (P ).
B.DẠNG 2.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để |MA − MB|
max
.
• Phương pháp
• Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
• Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B
0
là điểm đối xứng với B qua (P ) ⇒ |MA−MB
0
| =
AB
0
.
C.DẠNG 3.
Cho điểm M(x
M
; y
M
; z
M
) không thuộc các trục và các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng (P ) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho V
O.ABC
nhỏ nhất.
• Phương pháp
(P ):
x
3x
M
+
y
3y
M
+
z
3z
M
= 1.
D.DẠNG 4.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm M /∈ d đến
(P ) là lớn nhất .
• Phương pháp
(P ):
Qua A ∈ d
#»
n
P
=
îî
#»
u
d
;
# »
AM
ó
;
#»
u
d
ó
.
E.DẠNG 5.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khoảng lớn nhất.
• Phương pháp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
148
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
149 | Page
(P ):
Qua A
#»
n
P
=
# »
AM.
F.DẠNG 6.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho (P ) tạo với ∆ một góc lớn nhất(∆
không song song với đường thẳng d ).
• Phương pháp
(P ):
Qua A ∈ d
#»
n
P
= [[
#»
u
d
,
#»
u
∆
] ,
#»
u
d
] .
G.DẠNG 7.
Cho ∆ ∥ (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) song song với ∆ và cách ∆ một
khoảng nhỏ nhất .
• Phương pháp
• Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A
0
là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì d:
Qua A
0
#»
u
d
=
#»
u
∆
.
H.DẠNG 8.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P )
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với
(P )).
• Phương pháp
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A
0
là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì
(d):
Qua A ∈ d
#»
u
d
=
î
#»
n
P
,
# »
AM
ó
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
149
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
150 | Page
I.DẠNG 9.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P )
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với
(P )).
• Phương pháp
d:
Qua A ∈ d
#»
u
d
=
îî
#»
n
P
,
# »
AM
ó
,
#»
n
P
ó
.
J.DẠNG 10.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong (P ) và tạo
với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với (P )).
• Phương pháp
d:
Qua A ∈ d
#»
u
d
=
îî
#»
n
P
,
# »
AM
ó
,
#»
n
P
ó
.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555
150
| 1/158
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

MỤC LỤC I Giải Tích 12 1 Chương 1.
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2
§1 – Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 2 A
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B
Quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 C
Công thức tính đạo hàm hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 D
Bảng công thức tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 E
Đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 F
Một số chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 G
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
§2 – Cực trị hàm số 6 A
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B
Minh họa đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 C
Một số điểm cần lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 D
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 E
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 F
Quy tắc tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 G
Một số dạng toán liên quan đến cực trị hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
§3 – Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 16 A
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 B
Phương pháp tìm GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§4 – Đường tiệm cận của hàm số 17 A
Đường tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B
Đường tiệm cận đứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
§5 – Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 18 A
Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ii | Page MỤC LỤC B
Đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 C
Một số phép biến đổi đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 §6 – Tiếp tuyến 25 A
Tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| Dạng 6.1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M(x0; y0) ................. 25
| Dạng 6.2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) có phương cho trước .............. 26
| Dạng 6.3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm M(x0; y0)............27 B
Điều kiện tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§7 – Tương giao đồ thị 28 ax + b
| Dạng 7.4: Tìm tham số để đồ thị (C) : y =
cắt đường thẳng (d) tại hai điểm cx + d 28
| Dạng 7.5: Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt đường thẳng (d)
tại 3 điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| Dạng 7.6: Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax4 + bx2 + c cắt đường thẳng d tại 4
điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| Dạng 7.7: Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f (x) cắt đường thẳng d tại n điểm thỏa
mãn tính chất nào đó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
§8 – Điểm đặc biệt của họ đường cong 30 A
Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B
Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 C
Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 D
Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 2. Mũ và Logarit 36
§1 – Lũy thừa và hàm số lũy thừa 36 A
Khái niệm lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 B
Phương trình xn = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 C
Một số tính chất của căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 D
Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 E
Khảo sát hàm số mũ y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 §2 – Lôgarit 41
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 ii iii | Page MỤC LỤC A
Khái niệm lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 B
Bảng tóm tắt công thức mũ - lôgarit thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§3 – Bất phương trình mũ và logarit 42 A
Bất phương trình mũ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 B
Bất phương trình logarit cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§4 – Bài toán lãi suất ngân hàng 44 A
Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B
Lãi kép. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 C
Tiền gửi hàng tháng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 D
Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 E
Vay vốn trả góp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 F
Bài toán tăng lương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 G
Bài toán tăng trưởng dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 H
Lãi kép liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Chương 3.
Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân 48 §1 – Nguyên hàm 48 A
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 B
Tính chất nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 C
Sự tồn tại nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 D
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 E
Bảng nguyên hàm mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§2 – Các phương pháp tính nguyên hàm 50 A
Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 B
Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
| Dạng 2.8: ........................................................................................................... 53
| Dạng 2.9: ........................................................................................................... 53
| Dạng 2.10: ......................................................................................................... 53 §3 – Tích phân 54 A
Công thức tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 B
Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 iii iv | Page MỤC LỤC
§4 – Phương pháp tính tích phân 55 A
Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 B
Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§5 – Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 57 A
Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B
Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 C
Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
§6 – Ứng dụng của tích phân 66 A
Diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 B
Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chương 4. Số phức 70 §1 – Số phức 70 A
Khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 B
Hai số phức bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 C
Biểu diễn hình học số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 D
Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 E
Mô-đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§2 – Phép cộng trừ, nhân chia số phức 72 A
Phép cộng và phép trừ số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B
Phép nhân số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 C
Chia hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§3 – Phương trình bậc hai với hệ số thực 73 A
Căn bậc hai của số thực âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 B
Phương trình bậc hai với hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 II Hình Học 12 74 Chương 1. Khối đa diện 75
§1 – Khối lăng trụ và khối chóp 75
§2 – Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 75
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 iv v | Page MỤC LỤC A
Khái niệm về hình đa diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 B
Khái niệm về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
§3 – Hai đa diện bằng nhau 77 A
Phép dời hình trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 B
Hai hình bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
§4 – Phân chia và lắp ghép các khối đa diện 78
§5 – Khối đa diện lồi 79 A
Khối đa diện lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 B
Khối đa diện đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 C
Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
§6 – Thể tích khối đa diện 82 A
Thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 B
Thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 C
Thể tích khối hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 D
Thể tích khối lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 E
Tỉ số thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 F
Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§7 – Các công thức hình phẳng 84 A
Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§8 – Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 86
§9 – Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện 89 Chương 2.
Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu 92
§1 – Mặt nón tròn xoay và khối nón 92 A
Mặt nón tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 B
Khối nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 C
Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§2 – Mặt trụ tròn xoay và khối trụ 94 A
Mặt trụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 v vi | Page MỤC LỤC B
Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§3 – Mặt cầu và khối cầu 96 A
Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B
Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 C
Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 D
Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
§4 – Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 99 A
Bài toán mặt nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 B
Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§5 – Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu 108 A
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 B
Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 C
Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 D
Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 E
Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 F
Dạng 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
§6 – Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 118 A
Chỏm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 B
Hình trụ cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 C
Hình nêm loại 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 D
Hình nêm loại 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 E
Parabol bậc hai - Paraboloid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 F
Diện tích Elip và thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 G
Diện tích hình vành khăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 H
Thể tích hình xuyến (phao) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Chương 3.
Hệ tọa độ trong không gian 122
§1 – Hệ tọa độ trong không gian 122 A
Các khái niệm và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 B
Phương pháp giải một số bài toán thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 vi vii | Page MỤC LỤC §2 – Mặt phẳng 126 A
Các khái niệm và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 B
Viết Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 C
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 D
Khoảng cách và hình chiếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 E
Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 F
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. 131
§3 – Đường thẳng 131 A
Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 B
Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 C
Góc trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 D
Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 E
Lập phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 F
Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 G
Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 H
Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 §4 – Mặt cầu 143 A
Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 B
Giao của mặt cầu và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 C
Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
§5 – Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian 147 A
Dạng 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 B
Dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 C
Dạng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 D
Dạng 4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 E
Dạng 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 F
Dạng 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 G
Dạng 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 H
Dạng 8.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 I
Dạng 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 vii viii | Page MỤC LỤC J
Dạng 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 viii PHẦN GIẢI TÍCH 12 I 34 21 6 49 26 17 4 3 35 50 13 19 32 25 16 23 7 37 39 42 45 48 8 27 46 18 41 2 28 3315 12 9 30 5 24 43 29 38 47 40 44 1 10 14 20 11 22 31 36 CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO
HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ 1
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề
SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA CỦ HÀM SỐ 1 A. ĐỊNH NGHĨA
Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K, ta có
• Hàm số y = f (x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2 thì
f (x1) < f (x2).
• Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2
thì f (x1) > f (x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Nhận xét.
• Hàm số f (x) đồng biến trên K khi và chỉ khi y
f (x2) − f (x1) > 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2. x2 − x1 O x
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
• Hàm số f (x) nghịch biến trên K khi và chỉ khi y
f (x2) − f (x1) < 0, ∀x1, x2 ∈ K, x1 6= x2. x2 − x1 x O
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Nếu f 0(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). 3 | Page
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Nếu f 0(x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b).
• Nếu f 0(x) = 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số f (x) không đổi trên khoảng (a; b).
• Nếu hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).
• Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).
• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả
thiết “hàm số f (x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
B. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Cho u = u(x), v = v(x) và C là hằng số.
• Tổng, hiệu: (u ± v)0 = u0 ± v0.
• Tích: (uv)0 = u0v + v0u ⇒ (C · u)0 = C · u0. Å ã0 u 0
u0 · v − v0 · u C C · u0 • Thương: = , (v 6= 0) ⇒ = − . v v2 u u2
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f (u) với u = u(x) thì y0 = y0 · u0 . x u x
C. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM HÀM PHÂN THỨC ax + b Å ax + b ã0 ad − bc • y = ⇒ y0 = = . cx + d cx + d (cx + d)2 a b a c b c x2 + 2 x +
ax2 + bx + c Å
ax2 + bx + c ã0 a0 b0 a0 c0 b0 c0 • y = ⇒ y0 = = .
a0x2 + b0x + c0
a0x2 + b0x + c0
(a0x2 + b0x + c0)2
D. BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp (C)0 = 0, (C là hằng số)
(xα)0 = α · xα−1
(uα)0 = α · uα−1 · u0 Å 1 ã0 1 Å 1 ã0 u0 = − , (x 6= 0) = − , (u 6= 0) x x2 u u2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 3 4 | Page
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số √ 0 1 √ 0 u0 ( x) = √ , (x > 0) ( u) = √ , (u > 0) 2 x 2 u (sin x)0 = cos x
(sin u)0 = u0 · cos u
(cos x)0 = − sin x
(cos u)0 = −u0 · sin u 1 u0 (tan x)0 = (tan u)0 = cos2 x cos2 u 1 u0 (cot x)0 = − (cot u)0 = − sin2 x sin2 u
(sinn x)0 = n · sinn−1 x · cos x
(sinn u)0 = n · u0 · sinn−1 u · cos u
(cosn x)0 = −n · cosn−1 x · sin x
(cosn u)0 = −n · u0 · cosn−1 u · sin u 1 1
(tann x)0 = n · tann−1 x ·
(tann u)0 = n · u0 · tann−1 u · cos2 x cos2 u 1 1
(cotn x)0 = −n · cotn−1 x ·
(cotn u)0 = −n·u0 ·cotn−1 u· sin2 x sin2 u (ex)0 = ex
(eu)0 = u0 · eu
(ax)0 = ax · ln a
(au)0 = u0 · au · ln a 1 u0 (ln |x|)0 = , (x 6= 0) (ln |u|)0 = , (u 6= 0) x u 1 u0 (log |x|)0 = , (x 6= 0) (log |u|)0 = , (u 6= 0) a x ln a a u · ln a
E. ĐẠO HÀM CẤP HAI 1. Định nghĩa 0
f 00(x) = [f 0(x)] . 2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm t0 là a (t0) = f 00 (t0). 3. Đạo hàm cấp cao î ó0
f (n)(x) = f (n−1)(x) , (n ∈ N, n ≥ 2). F. MỘT SỐ CHÚ Ý
• Nếu hàm số f (x) và g(x) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f (x) + g(x) cũng
đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f (x) − g(x).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 4 5 | Page
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Nếu hàm số f (x) và g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì
hàm số f (x) · g(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K. Tính chất này có thể không đúng
khi các hàm số f (x), g(x) không là các hàm số dương trên K.
Nhận xét. Cho hàm số u = u(x) xác định với mọi x ∈ (a; b) và u(x) ∈ (c; d). Hàm số f [u(x)]
cũng xác định với x ∈ (a; b).
• Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với
x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) đồng biến với u ∈ (c; d).
• Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b). Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với
x ∈ (a; b) khi và chỉ khi f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d).
G. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K.
• Nếu f 0(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f 0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f 0(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f 0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số f nghịch biến trên K. Chú ý ax + b Å d ã
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = , x 6= −
thì dấu “=” khi xét dấu đạo cx + d c
hàm y0 không xảy ra.
• Giả sử y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f 0(x) = 3ax2 + 2bx + c.
– Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi   a > 0     ∆ ≤ 0   
f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a = 0         b = 0       c > 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 5 6 | Page
2. Cực trị hàm số
– Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi   a < 0     ∆ ≤ 0   
f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a = 0         b = 0       c < 0.
Trường hợp a = b = 0 thì c phải khác 0. Vì nếu a = b = c = 0 thì f (x) = d có đồ
thị là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox nên không đơn điệu.
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có
độ dài bằng ` ta giải như sau
– Bước 1. Tính y0 = f 0(x; m) = ax2 + bx + c.
– Bước 2. Hàm số đơn điệu trên (x1; x2) khi và chỉ khi y0 = 0 có 2 nghiệm phân  a 6= 0
biệt. Điều kiện tương đương là (∗) ∆ > 0.
– Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ` khi và chỉ khi
|x1 − x2| = ` ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = `2 ⇔ S2 − 4P = `2. (∗∗)
– Bước 4. Giải (∗) và giao với (∗∗) để suy ra giá trị m cần tìm. Chủ đề CỰC TRỊ HÀM SỐ 2 A. ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm f xác định trên tập K và x0 ∈ K. Ta nói
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) ⊂ K
và f (x) > f (x0), ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 6 7 | Page
2. Cực trị hàm số
• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa x0 sao cho (a; b) ⊂ K
và f (x) < f (x0), ∀x ∈ (a; b) \ {x0}. Khi đó f (x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
• Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là
một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
• Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm (x0; f (x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số f . Nhận xét.
• Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm
số f trên tập D; f (x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng
(a; b) nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 là điểm cực đại (cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng
(a; b) chứa x0 sao cho f (x0) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a; b).
• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể không
có cực trị trên một tập cho trước.
B. MINH HỌA ĐỒ THỊ
Với (a; b) là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a < x < b. y y
(c; f (c)) f (c) f (c)
(c; f (c)) c x O c x O
Hàm số f đạt cực đại tại x = c
Hàm số f đạt cực tiểu tại x = c
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 7 8 | Page
2. Cực trị hàm số
C. MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý Điểm cực y Giá trị cực đại của đồ đại (cực đại) thị của hàm số yCĐ Điểm cực Điểm cực đại của hàm tiểu của số hàm số xCT xCĐ x O yCT Giá trị cực Điểm cực tiểu (cực tiểu) tiểu của đồ của hàm số thị
• Hàm số f có cực trị khi và chỉ khi y0 đổi dấu.
• Hàm số f không có cực trị khi và chỉ khi y0 không đổi dấu.
• Hàm số f chỉ có 1 cực trị khi và chỉ khi y0 đổi dấu 1 lần.
• Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y0 đổi dấu 2 lần.
• Hàm số f có 3 cực trị khi và chỉ khi y0 đổi dấu 3 lần.
• Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.
• Cách gọi tên: cực trị, điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số,. . .
D. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
d Định lí 2.1. Giả sử hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu y = f(x) có
đạo hàm tại điểm x0 thì f 0(x0) = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 8 9 | Page
2. Cực trị hàm số Chú ý Chú ý
• Đạo hàm f 0(x) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc
tại đó hàm số không có đạo hàm.
E. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
d Định lí 2.2. Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm
tại điểm x0 thì f 0(x0) = 0.
• Nếu f 0(x) > 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f 0(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là
một điểm cực đại của hàm số f (x).
• Nếu f 0(x) < 0 trên khoảng (x0 − h; x0) và f 0(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là
một điểm cực tiểu của hàm số f (x).
F. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ 1. Quy tắc 1
Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0(x).
• Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; . . .) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số
liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của f 0(x). Nếu f 0(x) đổi dấu khi đi qua xi
thì hàm số đạt cực trị tại xi.
d Định lí 2.3. Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 − h; x0 + h)
với h > 0. Khi đó
• Nếu f 0(x0) = 0, f 00(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
• Nếu f 0(x0) = 0, f 00(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 9 10 | Page
2. Cực trị hàm số
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số. 2. Quy tắc 2
Để tìm cực trị của hàm số y = f (x) ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f 0(x).
• Bước 2: Tìm các nghiệm xi (i = 1; 2; . . .) của phương trình f 0(x) = 0.
• Bước 3: Tính f 00(x) và tính f 00(xi).
– Nếu f 00(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi.
– Nếu f 00(xi) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.
G. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.
Cực trị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0)
a) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước.
(a) Bài toán tổng quát
Cho hàm số y = f (x; m) = ax3 + bx2 + cx + d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại,
cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước. Phương pháp
• Bước 1: Tập xác định D = R.
Đạo hàm y0 = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C.
• Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực
đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và y0 đổi dấu qua hai nghiệm đó.
Phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi   A = 3a 6= 0 a 6= 0 ⇔ ⇒ m ∈ D1.
∆y0 = B2 − 4AC = 4b2 − 12ac > 0
b2 − 3ac > 0
• Bước 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y0 = 0. Khi đó  B 2bS = x = −  1 + x2 = − A 3a C c
P = x1x2 = = . A 3a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 10 11 | Page
2. Cực trị hàm số
• Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m ∈ D2.
• Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn m ∈ D1 ∩ D2. Chú ý
Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0). Ta có y0 = 3ax2 + 2bx + c.
• Hàm số không có cực trị khi b2 − 3ac ≤ 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị khi b2 − 3ac > 0.
(b) Điều kiện để hàm số có các điểm cực trị cùng dấu, trái dấu.
• Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai
nghiệm phân biệt trái dấu, tức là
A · C = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai
nghiệm phân biệt cùng dấu, tức là  ∆  y0 > 0 CP = x > 0.  1x2 = A
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu dương khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có
hai nghiệm dương phân biệt, tức là  ∆  y0 > 0     B
S = x1 + x2 = − > 0 A    C  P = x > 0.  1x2 = A
• Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu âm khi và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai
nghiệm âm phân biệt, tức là  ∆  y0 > 0     B
S = x1 + x2 = − < 0 A    C  P = x > 0.  1x2 = A
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 11 12 | Page
2. Cực trị hàm số
≥x1 < α < x2
(c) Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn
x1 < x2 < α
α < x1 < x2.
• Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 < α < x2 khi và chỉ khi
(x1 − α)(x2 − α) < 0 ⇔ x1x2 − α(x1 + x2) + α2 < 0.
• Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 < α khi và chỉ khi  
(x1 − α)(x2 − α) > 0
x1x2 − α(x1 + x2) + α2 > 0 ⇔
x1 + x2 < 2α
x1 + x2 < 2α.
• Hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn α < x1 < x2 khi và chỉ khi  
(x1 − α)(x2 − α) > 0
x1x2 − α(x1 + x2) + α2 > 0 ⇔
x1 + x2 > 2α
x1 + x2 > 2α.
b) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng.
(a) Vị trí tương đối của hai điểm với đường thẳng.
Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0.
• Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng ∆.
• Nếu (axA + byA + c)(axB + byB + C) > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆.
(b) Một số trường hợp đặc biệt.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Oy khi và chỉ khi
hàm số có 2 điểm cực trị cùng dấu, tức là phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về hai phía đối với trục Oy khi và chỉ khi
hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu, tức là phương trình y0 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về một phía đối với trục Ox khi và chỉ khi
phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT > 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 12 13 | Page
2. Cực trị hàm số Đặc biệt
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía trên đối với trục Ox khi 
yCĐ · yCT > 0
và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
yCĐ + yCT > 0.
– Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox khi 
yCĐ · yCT > 0
và chỉ khi phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
yCĐ + yCT < 0.
• Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ khi
phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ · yCT < 0.
(Áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số).
• Hoặc các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox khi và chỉ
khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm) hay phương
trình hoành độ giao điểm f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị. Å 2c 2b2 ã bc y0 · y00 g(x) = − x + d −
hoặc g(x) = y − 3 9a 9a 18a y0 · y00
hoặc g(x) = y − 3y000
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là 4e + 16e3 b2 − 3ac AB = với e = . a 9a 2.
Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0)
a) Một số kết quả cần nhớ.
• Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ab ≥ 0.
• Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0.  a > 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu khi và chỉ khi b ≥ 0.  a < 0
• Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại khi và chỉ khi b ≤ 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 13 14 | Page
2. Cực trị hàm số  a > 0
• Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi b < 0.  a < 0
• Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại khi và chỉ khi b > 0.
b) Một số công thức tính nhanh. Ç … å b ∆
Giả sử đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là A(0; c), B − − ; − , 2a 4a Ç… å b ∆ C − ; −
tạo thành tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ab < 0. 2a 4a α b3 Đặt ’
BAC = α thì cot2 = − . 2 8a
a > 0, b < 0 Công thức
a < 0, b > 0 … b … b y x1 = − − , x2 = − , 2 2 y A a a B C x Ç … å 1 x2 b ∆ O x A(0; c), B − − ; − , O 2a 4a x1 x2 x B C A Ç… å b ∆ C − ; − . 2a 4a α b3 Đặt ’
BAC = α thì cot2 = − . 2 8a
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
LIÊN QUAN ĐẾN BA ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG STT Dữ Kiện Công thức thoả mãn
ab < 0 và c 6= 0 1
Tam giác ABC vuông cân tại A b3 = −8a 2 Tam giác ABC đều b3 = −24a 3
Tam giác ABC có diện tích S4ABC = S0
32a3 (S0)2 + b5 = 0 … b5 4
Tam giác ABC có diện tích maxS0 S0 = − 32a3 b2 5
Tam giác ABC có bán kính đường tròn r = Ç … å b3 nội tiếp r 4|a| 1 + 1 − 4ABC = r0 8a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 14 15 | Page
2. Cực trị hàm số b3 − 8a 6
Tam giác ABC có bán kính đường tròn R = 8|a|b
ngoại tiếp R4ABC = R 7
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 am2 + 2b = 0 0 8
Tam giác ABC có độ dài cạnh AB =
16a2n2 − b4 + 8ab = 0 0 AC = n0 9
Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 = 4ac 10
Tam giác ABC có 3 góc nhọn
b (8a + b3) > 0 11
Tam giác ABC có trọng tâm O b2 = 6ac 12
Tam giác ABC có trực tâm O
b3 + 8a − 4ac = 0 13
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành b2 = 2ac hình thoi 14
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
b3 − 8a − 4abc = 0 nội tiếp 15
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn
b3 − 8a − 8abc = 0 ngoại tiếp 16
Tam giác ABC có cạnh BC = kAB =
b3 · k2 − 8a (k2 − 4) = 0 kAC √ 17
Trục hoành chia tam giác ABC thành b2 = 4 2|ac|
hai phần có diện tích bằng nhau 18
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều b2 = 8ac trục hoành 19
Phương trình đường tròn ngoại tiếp 4ABC là Å 2 ∆ ã Å 2 ∆ ã x2 + y2 − − + c y + c − = 0 b 4a b 4a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 15 16 | Page
3. Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN L NHẤT
NHẤ - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT NHẤ 3 A. ĐỊNH NGHĨA
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu 
f (x) ≤ M , ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D , f (x0) = M.
Kí hiệu: M = max f (x). x∈D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu 
f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D , f (x0) = m.
Kí hiệu: m = min f (x). x∈D
B. PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
• Tính f 0(x) và tìm các điểm x1, x2, . . ., xn ∈ D mà tại đó f0(x) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
• Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
• Hàm số đã cho y = f (x) xác định và liên tục trên trên đoạn [a; b].
• Tìm các điểm x1, x2, . . ., xn trên khoảng (a; b), tại đó f 0(x) = 0 hoặc f 0(x) không xác định.
• Tính f (a), f (x1), f (x2), . . ., f (xn), f (b). • Khi đó
– max f (x) = max{f (x1), f (x2), . . . , f (xn), f (a), f (b)}. x∈[a;b]
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 16 17 | Page
4. Đường tiệm cận của hàm số
– min f (x) = min{f (x1), f (x2), . . . , f (xn), f (a), f (b)}. x∈[a;b]
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
• Tính đạo hàm f 0(x).
• Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f 0(x) = 0 và tất cả các điểm
αi ∈ (a; b) làm cho f 0(x) không xác định.
• Tính A = lim f (x), B = lim f (x), f (xi), f (αi). x→a+ x→b−
• So sánh các giá trị và kết luận M = max f (x), m = min f (x). x∈(a;b) x∈(a;b)
Lưu ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận hàm số không có giá trị
lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý:
• Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì min f (x) = f (a) và max f (x) = f (b). x∈[a;b] x∈[a;b]
• Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì min f (x) = f (b) và max f (x) = f (a). x∈[a;b] x∈[a;b]
• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.
• Ngoài phương pháp dùng đạo hàm, ta có thể dùng phương pháp MGT, BĐT, ... Chủ đề
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA CỦ HÀM SỐ 4
A. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc
(−∞; +∞)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ
thị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x) = y0, x→+∞
lim f (x) = y0. x→−∞
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 17 18 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
B. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số
y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = −∞, lim f (x) = +∞. x→x+ x→x− x→x+ x→x− 0 0 0 0 ax + b
Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y =
(c 6= 0; ad − bc 6= 0) luôn có tiệm cận ngang cx + d a d
là đường thẳng y =
và tiệm cận đứng là đường thẳng x = − . c c Chủ đề KHẢO KHẢ SÁT
SÁ SỰ BIẾN THIÊN VÀ V VẼ ĐỒ THỊ HÀM 5 SỐ
A. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC 1.
Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) • Tập xác định D = R.
• Tính y0 và cho y0 = 0 (y0 = 0 hoặc có 2 nghiệm, hoặc có nghiệm kép, hoặc vô nghiệm).
• Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞ • Lập bảng biến thiên
– Nếu y0 = 0 có hai nghiệm thì dấu của y0 là “Trong trái ngoài cùng”.
– Nếu y0 = 0 có nghiệm kép thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a” (ngoại trừ tại nghiệm kép).
– Nếu y0 = 0 vô nghiệm thì dấu của y0 là “Luôn cùng dấu với a”. • Kết luận
– Tính chất đơn điệu của hàm số.
– Cực trị của hàm số.
• Tính y00 và cho y00 = 0. Suy ra điểm uốn.
• Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 18 19 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 6 dạng và luôn luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. y0 = 0 a > 0 a < 0 y y Có 2 O x O x nghiệm y y Có nghiệm kép O x O x y y Vô nghiệm O x O x 2.
Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) • Tập xác định D = R.
• Tính y0 và cho y0 = 0 (y0 = 0 hoặc có 3 nghiệm, hoặc có 1 nghiệm và luôn có nghiệm x = 0).
• Tính các giới hạn lim f (x), lim f (x). x→+∞ x→−∞
• Lập bảng biến thiên: “Bên phải bảng biến thiên, dấu y0 luôn luôn cùng dấu với a” • Kết luận
– Tính chất đơn điệu của hàm số.
– Cực trị của hàm số.
• Chọn hai điểm đặc biệt của đồ thị.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 19 20 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 4 dạng và luôn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. y0 = 0 a > 0 a < 0 y y Có 3 O x O x nghiệm y y Có 1 O x O x nghiệm ax + b 3.
Hàm số nhất biến y =
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d ß d ™
• Tập xác định D = R \ − . c ad − bc • Tính y0 =
(y0 hoặc luôn dương, hoặc luôn âm ∀x ∈ D) (cx + d)2 • Đường tiệm cận: d
– Tiệm cận đứng là đường thẳng x = − vì lim y = . . . và lim y = . . .. c x→(− d )+ x→(− d )− c c a a
– Tiệm cận ngang là đường thẳng y = vì lim y = . c x→±∞ c a
• Lập bảng biến thiên: Nhớ: Khi x → ±∞ thì y → . c
“Nghĩa là hai đầu bảng biến thiên là giá trị của tiệm cận ngang” • Kết luận
– Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
– Hàm số không có cực trị.
• Chọn ít nhất 4 điểm đặc biệt của đồ thị và phải có tọa độ giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ.
• Vẽ đồ thị: Đồ thị có 2 dạng và luôn luôn nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 20 21 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ad − bc > 0 ad − bc < 0 y y O x O x
B. ĐỒ THỊ HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.
Dạng 1: (C0) : y = f (|x|)
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C0) : y = f (|x|).  f (x) khi x ≥ 0
Ta có y = f (|x|) = f (−x) khi x < 0
và y = f (|x|) là hàm chẵn nên đồ thị (C0) nhận Oy làm trục đối xứng.
Cách vẽ (C0) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C) : y = f (x).
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. Chú ý y y 4 4 O O x 1 3 x −3 −1 1 3
(C) : y = x3 − 6x + 9x
(C0) : y = |x|3 − 6x2 + 9|x| 2.
Dạng 2: (C0) : y = |f (x)|
Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra đồ thị (C0) : y = |f (x)|.  f (x) khi x ≥ 0
Ta có y = |f (x)| =  − f (x) khi x < 0.
Cách vẽ (C0) từ (C):
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 21 22 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C) : y = f (x).
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Chú ý y y 2 O 2 x −2 1 −2 O x −3 −2 −1 1
(C) : y = x3 + 3x2 − 2
(C0) : y = |x3 + 3x2 − 2| Chú ý
Với dạng y = |f (|x|)| ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (|x|) và y = |f (x)|. 3.
Dạng 3: (C0) : y = |u(x)| · v(x)
Từ đồ thị (C) : y = u(x) · v(x) suy ra đồ thị (C0) : y = |u(x)| · v(x). 
u(x) · v(x) khi x ≥ 0
Ta có y = |u(x)| · v(x) =
 − u(x) · v(x) khi x < 0.
Cách vẽ (C0) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) : y = f (x).
• Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. y y 1 1 O O x 1 x 1 −1
(C) : y = 2x3 − 3x + 1
(C0) : y = |x − 1| · (2x2 − x − 1)
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 22 23 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y y 2 1 O 1 2 x O 1 2 −1 x −2 x − 2 x − 2 (C) : y = (C0) : y = x − 1 |x − 1|
C. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị (C0) của hàm số. STT ĐỒ THỊ CÁCH VẼ 1
y = f (−x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Oy. 2
y = −f (x)
Lấy đối xứng (C) qua trục Ox.
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy. 3
y = f (|x|)
• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của (C),
lấy đối xứng đồ thị được giữ qua Oy.
• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C). 4
y = |f (x)|
• Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C),
lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f (|x|) và 5
y = |f (|x|)|
y = |f (x)|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 23 24 | Page
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
u(x) ≥ 0 của đồ thị (C).
y = |u(x)| · v(x) 6
• Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của
với (C) : y = u(x) · v(x)
(C), lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox. 7
y = f (x) + p, p > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên p đơn vị. 8
y = f (x) − p, p > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới p đơn vị. 9
y = f (x + q), q > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái q đơn vị. 10
y = f (x − q), q > 0
Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải q đơn vị. 11
y = f (kx), k > 1
Co đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số k. 1 12
y = f (kx), 0 < k < 1
Giãn đồ thị (C) theo chiều ngang hệ số . k 13
y = kf (x), k > 1
Giãn đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số k. 1 14
y = kf (x), 0 < k < 1
Co đồ thị (C) theo chiều dọc hệ số . k
• Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 15
y = |f (x)| + m
• Tịnh tiến đồ thị lên hoặc xuống m đơn vị.
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 16
y = |f (x + m)|
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = |f (x)|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 24 25 | Page 6. Tiếp tuyến
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. 17
y = |f (|x| + m)|
• Sau đó vẽ như cách vẽ đồ thị y = f (|x|).
• Vẽ đồ thị y = |f (x)|. 18
y = |f (|x + m|)|
• Tịnh tiến đồ thị sang phải hoặc sang trái m đơn vị. Chủ đề TIẾP TUYẾN 6 A. TIẾP TUYẾN
Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng
y = f 0(x0)(x − x0) + y0
Trong đó điểm M0(x0; y0) ∈ (C) được gọi là tiếp điểm với y0 = f (x0) và k = f 0(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
p Dạng 6.1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M(x0; y0)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng số a.
• Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
• Ta có x0 = a.
• Thế x = a vào phương trình y = f (x) tìm được y0.
• Tính f 0(x) từ đó tính f 0(x0).
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 25 26 | Page 6. Tiếp tuyến
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng số b.
• Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
• Ta có y0 = b.
• Thế y = b vào phương trình y = f (x) từ đó tìm được x0.
• Tính f 0(x), từ đó tính được f 0(x0).
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
p Dạng 6.2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) có phương cho trước
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
• Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
• Hệ số góc tiếp tuyến bằng k nên f 0(x0) = k. Giải phương trình này ta tìm được x0.
• Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : y = ax + b.
• Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
• Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0(x0) = a. Giải phương
trình này tìm được x0.
• Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 26 27 | Page 6. Tiếp tuyến Chú ý
Nhớ kiểm tra tính song song của tiếp tuyến cần tìm để loại bỏ đáp án.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d : y = ax + b.
• Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm. 1
• Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ⇒ f 0(x0) = − . Giải a
phương trình này tìm được x0.
• Thế x0 vào phương trình y = f (x) tìm được y0.
• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng
y − y0 = f 0(x0)(x − x0).
p Dạng 6.3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) đi qua điểm M(x0; y0)
• Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến d đi qua M .
• Suy ra d : y − y0 = k(x − x0) ⇔ y = kx − kx0 + y0 (∗). 
f (x) = kx − kx0 + y0 (1)
• d tiếp xúc với (C) ⇔ có nghiệm.
f 0(x) = k (2)
• Thế (2) vào (1) để tìm hoành độ tiếp điểm x.
• Thế x vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k của tiếp tuyến.
• Thế k vào (∗) tìm được phương trình tiếp tuyến đi qua M . Chú ý
Khi thế (2) vào (1) và giả sử thu được phương trình ẩn số là x và được kí hiệu là (1).
Thông thường phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm x thì qua điểm M có bấy nhiêu
tiếp tuyến đến đồ thị (C). Từ đó ta giải quyết được bài toán “Tìm điều kiện để qua M
có thể vẽ được đến đồ thị (C) n tiếp tuyến”.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 27 28 | Page
7. Tương giao đồ thị
B. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Cho hai hàm số (C) : y = f (x) và (C0) : y = g(x). Đồ thị (C) và (C0) tiếp xúc với nhau khi và chỉ 
f (x) = g(x) khi hệ phương trình có nghiệm.
f 0(x) = g0(x) Chủ đề TƯƠNG GIAO GIA ĐỒ THỊ 7
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f (x) = g(x) (1). Khi đó
a) Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình (1).
b) Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ x0 của giao điểm .
c) Để tính tung độ y0 của giao điểm, ta thay hoành độ x0 vào y = f (x) hoặc y = g(x).
d) Điểm M (x0; y0) là giao điểm của (C1) và (C2). ax + b
p Dạng 7.4. Tìm tham số để đồ thị (C) : y =
cắt đường thẳng (d) cx + d tại hai điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d ta được
g(x) = ax2 + bx + c = 0 (∗) (x 6= x0)
với x0 là nghiệm của mẫu số.
b) d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân  a 6= 0     biệt khác x0 ⇔ ∆ > 0 ⇒ tìm được tham số.     g(x0) 6= 0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 28 29 | Page
7. Tương giao đồ thị
p Dạng 7.5. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt đường
thẳng (d) tại 3 điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) gọi là phương trình (∗).
b) Nhẩm nghiệm của phương trình (∗) và giả sử được một nghiệm x = x0. Dùng sơ đồ
Hoocner để biến đổi phương trình (∗) về dạng x = x0
(x − x0)(ax2 + Bx + C) = 0 ⇔ 
g(x) = ax2 + Bx + C = 0 (1).
c) (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt  a 6= 0    
khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác x0 ⇔ ∆ ⇒ g > 0     g(x0) 6= 0 tìm được tham số. Chú ý Công thức trắc nghiệm
a) Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập
thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm b là x = − . 3a
b) Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập
thành cấp số nhân khi và chỉ khi phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm … d là x = − 3 . a
p Dạng 7.6. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = ax4 + bx2 + c cắt đường thẳng
d tại 4 điểm
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d giả sử được phương trình
Ax4 + Bx2 + C = 0 (∗).
b) Đặt t = x2, t ≥ 0. Phương trình (∗) trở thành At2 + Bt + C = 0 (1).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 29 30 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
c) d cắt (C) tại 4 điểm khi và chỉ khi phương trình (∗) có 4 nghiệm khi và chỉ khi phương  ∆ > 0   B   S = −  
trình (1) có hai nghiệm dương ⇔ A S > 0 với
từ đây tìm được tham số. C    P =   AP > 0 Chú ý Công thức trắc nghiệm
Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp
số cộng ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 (t1 < t2) thỏa mãn 
b2 − 4ac > 0      b   − > 0  t a 2 = 9t1 ⇔ c   > 0   a    
9ab2 = 100a2c.
p Dạng 7.7. Tìm tham số để đồ thị (C) : y = f (x) cắt đường thẳng d tại n
điểm thỏa mãn tính chất nào đó
a) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là g(x) = 0 (∗).
b) d cắt (C) tại n điểm ⇔ phương trình (∗) có n nghiệm.
c) Khi đó hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình (∗) và thông
thường sử dụng định lí Vi-ét để giải quyết bài toán. Chủ đề ĐIỂM ĐẶC ĐẶ BIỆT CỦA
CỦ HỌ ĐƯỜNG CONG 8
A. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f (x, m), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với
m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 30 31 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong m thay đổi. Phương pháp giải
• Bước 1: Đưa phương trình y = f (x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
Am + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0.  A = 0
• Bước 2: Cho các hệ số bằng 0, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình B = 0  A = 0     hoặc B = 0     C = 0.
• Bước 3: Kết luận
– Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cố định.
– Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm)
B. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN P (x)
Cho đường cong (C) có phương trình (Cm) : y =
(hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có Q(x)
tọa độ nguyên của đường cong? Phương pháp giải P (x) k
• Bước 1: Thực hiện chia đa thức, ta được: y = = H(x) +
, trong đó H(x) là đa Q(x) Q(x) thức và k ∈ R. k k
• Bước 2: y ∈ Z ⇔ H(x) + ∈ Z ⇔
∈ Z ⇔ k ∈ Ư(k). Q(x) Q(x)
• Bước 3: Lần lượt cho Q(x) nhận giá trị (là các ước của k) để tìm giá trị của x và y tương ứng. Chú ý
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.
C. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG
Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x). Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 31 32 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
a) Bài toán 1: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm
đối xứng nhau qua điểm I(xI; yI) | Lời giải. Phương pháp giải
• Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng nhau qua điểm I. 
a + b = 2xI • Ta có
A(a3 + b3) + B(a2 + b2) + C (a + b) + 2D = 2yI .
• Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N .
b) Bài toán 2: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Trên đồ thị (C) tìm những cặp
điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ. | Lời giải. Phương pháp giải
• Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng với nhau qua gốc tọa độ.  a + b = 0 • Ta có
A(a3 + b3) + B(a2 + b2) + C (a + b) + 2D = 0.
• Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được tọa độ M , N .
c) Bài toán 3: Cho đồ thị (C) : y = Ax3 + Bx2 + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm
đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : y = A1x + B1. | Lời giải. Phương pháp giải
• Gọi M (a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N (b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đối
xứng với nhau qua đường thẳng d.  I ∈ (d) • #» Ta có: # »
(với I là trung điểm của M N và u d là véc-tơ chỉ phương của M N · #» u d = 0 đường thẳng (d)).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 32 33 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
• Giải hệ phương trình tìm được M , N .
D. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT, KHOẢNG CÁCH 1. Lý thuyết
• Cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2), suy ra AB = p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
• Cho điểm M (x0; y0) và đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M đến d là
|Ax0 + By0 + C|
h(M ; (d)) = √ . A2 + B2 ax + b
• Cho hàm phân thức: y =
tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang ở A và B cx + d 2
thì M là trung điểm của AB. Khi đó diện tích của 4M AB không đổi: SMAB = |ad − bc|. c2 2.
Các bài toán thường gặp ax + b
a) Bài toán 1: Cho hàm số y =
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) có đồ thị (C). Hãy tìm trên (C) cx + d
hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất. | Lời giải. Phương pháp giải d
• (C) có tiệm cận đứng x = −
do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía c
của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α, β là hai số dương. d d d
• Nếu A thuộc nhánh trái: xA < − ⇒ xA = − − α < − ; yA = f (xA). c c c d d d
• Nếu B thuộc nhánh phải: xB > − ⇒ xB = − + β > − ; yB = f (xB). c c c
• Sau đó tính: AB2 = (xB − xA) + (yB − yA)2 = [(α + β) − (a − α)]2 + (yB − yA)2.
• Áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ tìm ra kết quả.
b) Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x). Tìm tọa độ điểm M thuộc
(C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. | Lời giải. Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 33 34 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
• Gọi M (x; y) và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = |x| + |y|.
• Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên
trục hoành, trên trục tung.
• Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ
hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.
• Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm
rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d.
c) Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f (x). Tìm điểm M trên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trục Oy. | Lời giải.   y = kx
f (x) = kx
Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔  ⇔  y = −kx
f (x) = −kx. ax + b
d) Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) =
(c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d
tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài M I ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận). | Lời giải. Phương pháp giải d a
• Tiệm cận đứng x = − ; tiệm cận ngang y = . c c Å d a ã
• Ta tìm được tọa độ giao điểm I − ; của hai tiệm cận. c c Å d ã2 a 2
• Gọi M (xM ; yM ) là điểm cần tìm thì IM 2 = xM + yM − = g (xM ). c c
• Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.
e) Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f (x) và đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0.
Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất. | Lời giải. Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 34 35 | Page
8. Điểm đặc biệt của họ đường cong
• Gọi I ∈ (C), suy ra I (x0; y0) và y0 = f (x0). |Ax • Khoảng cách từ 0 + By0 + C |
I đến d là g(x √
0) = h(I ; (d)) = . A2 + B2
• Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 35 CHƯƠNG MŨ VÀ LOGARIT 2 Chủ đề LŨY L THỪA VÀ V HÀM SỐ LŨY L THỪA 1
A. KHÁI NIỆM LŨY THỪA 1.
Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
an = a · a · · · · a
(n thừa số a). | {z } n 1
Với a 6= 0 thì a0 = 1, a−n = . an
Ta gọi a là cơ số, n là số mũ. Và chú ý 00 và 0−n không có nghĩa. 2.
Một số tính chất của lũy thừa
Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa
• aα · aβ = aα+β
• (aα)β = aα·β a α aα • = b bα Å ã−α aα b a α • = aα−β
• (ab)α = aα · bα • = aβ a b
• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β
• Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b thì am < bm ⇔ m > 0
• Với 0 < a < b thì am > bm ⇔ m < 0 37 | Page
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa Chú ý
• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
B. PHƯƠNG TRÌNH XN = B
Ta có kết quả biện luận số nghiệm phương trình xn = b như sau
TH.1 Khi n lẻ: Với mọi số thực b phương trình có nghiệm duy nhất. TH.2 Khi n chẵn:
a) Với b < 0, phương trình vô nghiệm.
b) Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0. √
c) Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n b, giá trị âm √ là − n b.
C. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CĂN BẬC N Với a, b ∈ ∗ R và n ∈ N , ta có √ √ • 2n …
a2n = |a|. a 2n+1 a • 2n+1 =
√ , ∀a ≥ 0, b 6= 0. b 2n+1 b √ √ √
• 2n+1 a2n+1 = a.
• n am = ( n a)m, ∀m ∈ Z, a > 0. √ √ √ ∗ • 2n ab = 2n p|a| · 2n
p|b|, ∀ab ≥ 0. • n
p m a = mn a, ∀m ∈ N , a > 0. √ √ √ p q √ √ • Nếu =
thì n ap = m aq, ∀m ∈ ∗, • 2n+1 N
ab = 2n+1 a · 2n+1 b, ∀a, b. n m
∀p, q ∈ Z, a > 0. … a 2n p|a| • 2n =
, ∀ab ≥ 0, b 6= 0. √ √ b ∗ 2n p|b|
• n a = mn am, a > 0, m ∈ N .
D. HÀM SỐ LŨY THỪA
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 37 38 | Page
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa 1. Khái niệm
Xét hàm số y = xα với α là số thực cho trước.
Hàm số y = xα, với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa. Chú ý
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α.
• Với α nguyên dương thì D = R.
• Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R \ {0}.
• Với α không nguyên thì D = (0; +∞). 2.
Khảo sát hàm số lũy thừa
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα luôn chứa khoảng (0; +∞). Trong trường hợp tổng
quát, chúng ta khảo sát hàm số y = xα trên (0; +∞).
y = xα, α > 0
y = xα, α < 0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 38 39 | Page
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa
a) Tập xác định (0; +∞).
a) Tập xác định (0; +∞). b) Sự biến thiên b) Sự biến thiên
• y0 = α · xα−1 > 0, ∀x > 0.
• y0 = α · xα−1 < 0, ∀x > 0. • Giới hạn đặc biệt • Giới hạn đặc biệt
lim xα = 0, lim xα = +∞.
lim xα = +∞, lim xα = 0. x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞ • Tiệm cận:
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang; không có.
Oy là tiệm cận đứng. c) Bảng biến thiên c) Bảng biến thiên x 0 +∞ x 0 +∞ y0 + y0 − +∞ + +∞ + y y 0 0 Đồ thị hàm số y α > 1 α = 1 0 < α < 1 1 α = 0 α < 0 O 1 x
Đồ thị hàm số y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1).
E. KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ Y = AX y = ax, a > 1
y = ax, 0 < a < 1
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 39 40 | Page
1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa a) Tập xác định R. a) Tập xác định R. b) Sự biến thiên b) Sự biến thiên
• y0 = ax · ln a > 0, ∀x.
• y0 = ax · ln a < 0, ∀x. • Giới hạn đặc biệt • Giới hạn đặc biệt
lim ax = 0, lim ax = +∞.
lim ax = +∞, lim ax = 0. x→−∞ x→+∞ x→−∞ x→+∞
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận
• Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. ngang. c) Bảng biến thiên c) Bảng biến thiên x −∞ 0 1 +∞ x −∞ 0 1 +∞ y0 + y0 − +∞ + +∞ + y a y 1 1 a 0 0 d) Đồ thị như hình sau d) Đồ thị như hình sau y y = axy y = ax a 1 1 a O 1 x O 1 x
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 40 41 | Page 2. Lôgarit Chủ đề LÔGARIT L 2
A. KHÁI NIỆM LÔGARIT
Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của
b và được kí hiệu là log b. a
α = log b ⇔ aα = b. a
Không có lôgarit của số âm và số 0.
B. BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC MŨ - LÔGARIT THƯỜNG GẶP
Với các điều kiện của a, b, c để mỗi biểu thức có nghĩa, ta có bảng sau Công thức mũ Công thức lôgarit
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 41 42 | Page
3. Bất phương trình mũ và logarit
• a0 = 1, a 6= 0. • log 1 = 0. a • a1 = a. • log a = 1. a 1 • a−α = .
• log aα = α. aα a aα 1 • = aα−β. • logα a = . a aβ α
• aα · aβ = aα+β
• log bα = α log b, b > 0. a a 1
• aα · bα = (a · b)α. • log log b. aβ b = β a aα a α α • = , b 6= 0. • log log b. bα b aβ bα = β a √ m
• a n = n am, n ∈ N, n ≥ 2,
• log b + log c = log (bc). a a a m ∈ Z. b
• log b − log c = log . a a a c
• (aα)β = aαβ. 1 • log b = , 1 6= b > 0. a log a • b
aα = b ⇒ α = log b. a Chủ đề BẤT BẤ PHƯƠNG P TRÌNH MŨ VÀ V LOGARIT L 3
A. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.
• Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R.
• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > aloga b.
– Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > log b. a
– Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < log b. a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 42 43 | Page
3. Bất phương trình mũ và logarit
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau
Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y y = ax y = ax b y = b y = b b 1 1 O log b x log b O x a a
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CƠ BẢN
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x > b (hoặc log x ≥ b, log x < b, log x ≤ b) với a a a a
a > 0, a 6= 1.
Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.
• Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > ab.
• Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là 0 < x < ab.
Ta minh họa bằng đồ thị như sau:
Với a > 1 ta có đồ thị sau
Với 0 < a < 1 ta có đồ thị sau y y y = log x a b 1 ab y = b O x b y = b O 1 ab x y = log x a
Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:
• Với a > 1, ta có log x > b khi và chỉ khi x > ab. a
• Với 0 < a < 1, ta có log x > b khi và chỉ khi 0 < x < ab. a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 43 44 | Page
4. Bài toán lãi suất ngân hàng Chủ đề BÀI TO T ÁN O LÃI SUẤ SU T Ấ NGÂN HÀNG 4 A. LÃI ĐƠN 1. Định nghĩa
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh
ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù
đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra. 2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được
cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là
Sn = A + nAr = A(1 + nr). Chú ý r
Trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là . 100 B. LÃI KÉP 1. Định nghĩa
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 2. Công thức tính
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được
cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ∗ N ) là
Sn = A(1 + r)n. Các công thức liên quan Å S ã … S S a) n = log n ; b) r% = n n − 1; c) A = n . 1+r A A (1 + r)n
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 44 45 | Page
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
C. TIỀN GỬI HÀNG THÁNG 1. Định nghĩa
Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định. 2. Công thức tính
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ∗
N ) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là A Sn =
[(1 + r)n − 1] (1 + r). r Các công thức liên quan Å rS ã rS a) n = log n + 1 ; b) A = n . 1+r A(1 + r)
(1 + r) [(1 + r)n − 1]
D. GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG Công thức tính
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi,
rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là (1 + r)n − 1
Sn = A(1 + r)n − X · . r E. VAY VỐN TRẢ GÓP 1. Định nghĩa
Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền
là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. 2. Công thức tính
Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có (1 + r)n − 1
Sn = A(1 + r)n − X · . r
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 45 46 | Page
4. Bài toán lãi suất ngân hàng
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên (1 + r)n − 1
Ar(1 + r)n
A(1 + r)n − X · = 0 ⇔ X = . r (1 + r)n − 1
F. BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG 1. Định nghĩa
Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng.
Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh
được tất cả số tiền là bao nhiêu? 2. Công thức tính
Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là (1 + r)k − 1 Skn = Ak · . r
G. BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức tính tăng trưởng dân số là X +
m = Xn(1 + r)m−n, m, n ∈ Z , m ≥ n. Trong đó
• r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m;
• Xm là dân số năm m, Xn là dân số năm n.
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là X
r% = m−n m − 1. Xn
H. LÃI KÉP LIÊN TỤC
Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n ∈ ∗
N ) là Sn = A(1 + r)n. r
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là % thì số tiền thu m
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 46 47 | Page
4. Bài toán lãi suất ngân hàng r mn
được sau n năm là Sn = A 1 + . m
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞, gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì
người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là S = Aenr (công thức tăng trưởng mũ).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 47 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG 3 TÍCH PHÂN Chủ đề NGUYÊN HÀM 1 A. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F (x) được gọi Z
là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu F 0(x) = f (x) với mọi x ∈ K. Kí hiệu:
f (x) dx =
F (x) + C. d Định lí 1.1.
1) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) =
F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
2) Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều
có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K.
B. TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Z 0 Z Z • f (x) dx = f (x) và
f 0(x) dx = f (x) + C; d
f (x) dx = f (x) dx. Z
• Nếu F (x) có đạo hàm thì:
d(F (x)) = F (x) + C. Z Z •
kf (x) dx = k
f (x) dx với k là hằng số khác 0. Z Z Z •
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x) dx ± g(x) dx. 49 | Page 1. Nguyên hàm
• Công thức đổi biến số: Cho y = f (u) và y = g(x). Z Z Z Nếu
f (x) dx = F (x) + C thì
f (g(x))g0(x) dx =
f (u) du = F (u) + C.
C. SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM
d Định lí 1.2. Mọi hàm số f (x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
D. BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Z 0 dx = C Z
dx = x + C Z 1 Z
1 (ax + b)α+1 xa dx =
xa+1 + C, (α 6= −1)
(ax + b)α dx = + C, α 6= −1 α + 1 a α + 1 Z 1 1 Z x2 dx = − + C x dx = + C x2 x 2 Z 1 Z dx 1
dx = ln |x| + C =
ln |ax + b| + C x ax + b a Z Z 1
ex dx = ex + C
eax+b dx = eax+b + C a Z ax Z 1 akx+b ax dx = + C
akx+b dx = + C ln a k ln a Z Z 1
cos x dx = sin x + C
cos(ax + b) dx =
sin(ax + b) + C a Z Z 1
sin x dx = − cos x + C
sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C a Z Z 1
tan x dx = − ln | cos x| + C
tan(ax + b) dx = − ln | cos(ax + b)| + C a Z Z 1
cot x dx = ln | sin x| + C
cot(ax + b) dx =
ln | sin(ax + b)| + C a Z 1 Z 1 1
dx = tan x + C dx =
tan(ax + b) + C cos2 x cos2(ax + b) a Z 1 Z 1 1
dx = − cot x + C
dx = − cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a Z Z 1
1 + tan2 x dx = tan x + C
1 + tan2(ax + b) dx =
tan(ax + b) + C a Z Z 1
1 + cot2 x dx = − cot x + C
1 + cot2(ax + b) dx = − cot(ax + b) + C a
E. BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 49 50 | Page
2. Các phương pháp tính nguyên hàm Z dx 1 x Z x x √ = arctan + C arcsin dx = x arcsin +
a2 − x2 + C a2 + x2 a a a a Z dx 1 a + x Z x x √ = ln + C arccos dx = x arccos −
a2 − x2 + C a2 − x2 2a a − x a a Z dx √ Z x x a √ = ln(x +
x2 + a2) + C arctan dx = x arctan
− ln a2 + x2+C x2 + a2 a a 2 Z dx x Z x x a √ = arcsin + C arccot dx = x arccot +
ln a2 + x2 + C a2 − x2 |a| a a 2 Z dx 1 x √ = arccos + C x x2 − a2 a a √ Z dx 1 a + x2 + a2 Z dx 1 ax + b √ = − ln +C = ln tan + C x x2 + a2 a x sin(ax + b) a 2 Z Å b ã Z
eax(a cos bx + b sin bx)
ln(ax + b) dx = x + ln(ax + b) −
eax cos bx dx = + C a a2 + b2 x + C √ Z √ x a2 − x2 Z
eax(a sin bx − b cos bx)
a2 − x2 dx = +
eax sin bx dx = + C 2 a2 + b2 a2 x arcsin + C 2 a Chủ đề CÁC CÁ PHƯƠNG P PHÁP P TÍNH NGUYÊN HÀM 2
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1. Đổi biến dạng 1 Z Nếu
f (x) dx = F (x) + C và với u = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm thì Z
f (u) du = F (ϕ(t)) + C a) Phương pháp chung
• Bước 1: Chọn x = ϕ(t) , trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ0(t) dt.
• Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt = g(t) dt. Z Z
• Bước 4: Khi đó tính :
f (x) dx =
g(t) dt = G(t) + C.
b) Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 50 51 | Page
2. Các phương pháp tính nguyên hàm Dấu hiệu Cách chọn √ h π π i a2 − x2
Đặt x = |a| sin t; với t ∈ − ; hoặc 2 2
x = |a| cos t; với t ∈ [0; π]. √ |a| h π π i x2 − a2 Đặt x = ; với t ∈ − ; \ {0} sin t 2 2 |a| n π o hoặc x =
; với t ∈ [0; π] \ . cos t 2 √ π π a2 + x2
Đặt x = |a| tan t; với t ∈ − ; hoặc 2 2
x = |a| cot t; với t ∈ (0; π). … a + x … a − x hoặc
Đặt x = a cos 2t a − x a + x
p(x − a)(b − x)
Đặt x = a + (b − a) sin2 t 1 π π
Đặt x = a tan t; với t ∈ − ; . a2 + x2 2 2 2. Đổi biến dạng 2
Nếu hàm số f (x) liên tục thì đặtx = ϕ(t). Trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó (ϕ0(t) là những
hàm số liên tục) thì ta được: Z Z Z
f (x) dx =
f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt =
g(t) dt = G(t) + C a) Phương pháp chung
• Bước 1: Chọn t = ϕ(x) , trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
• Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dt = ϕ0(t) dt.
• Bước 3: Biến đổi : f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ0(t) dt = g(t) dt. Z Z
• Bước 4: Khi đó tính : I =
f (x) dx =
g(t) dt = G(t) + C.
b) Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu số t là mẫu số
Hàm số f (x; pϕ(x))
Đặt t = pϕ(x). x x Hàm số f (x) = Đặt t = tan ; cos 6= 0 .
a sin x + b cos x 2 2
c sin x + d cos x + e
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 51 52 | Page
2. Các phương pháp tính nguyên hàm 1
Hàm số f (x) =
Với x + a > 0 và x + b > 0.
p(x + a)(x + b) √ √ Đặt t = x + a + x + b.
Với x + a < 0 và x + b < 0. √ Đặt t = −x − a + √−x − b.
B. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K: Z Z
u(x) · v0(x) dx = u(x) · v(x) −
v(x) · u0(x) dx Z Z Hay
u dv = uv −
v du ,(với du = u0(x) dx, dv = v0(x) dx). 1. Phương pháp chung
• Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : Z Z I =
f (x) dx =
f1(x) · f2(x) dx.
du = f0(x) dx
u = f1(x)  1 • Bước 2: Đặt ⇒ Z dv = f v = f 2(x)  2(x) dx. Z Z • Bước 3: Khi đó:
u dv = uv − v du. 2.
Các dạng thường gặp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 52 53 | Page
2. Các phương pháp tính nguyên hàm p Dạng 2.8.      sin x        Z   I = P (x) cos x dx.            ex     
u = P (x)
u0 · du = P 0(x) dx                      −    sin x   cos x       Đặt       ⇒        dv = dxv =  cos x  sin x                               ex    ex                 − cos x   − cos x                Z  
Vậy I = P (x) sin x − sin x
· P 0(x) dx.                      ex   ex  p Dạng 2.9. Z I =
P (x) · ln x dx.   1  du = dxu = ln x  Đặt ⇒ x Z
 dv = P (x) dx  v =
P (x) dx = Q(x). Z 1
Vậy I = ln x · Q(x) − Q(x) · dx. x p Dạng 2.10. Z I =
ex sin x dx. cos x   u = ex
 du = ex dx Đặt ⇒ .  dv = sin x dxv = − cos x cos x sin x Z
Vậy I = ex · − cos x −
− cos x · ex dx. sin x sin x Z
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
− cos x · ex dx sau đó thay vào I. sin x
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 53 54 | Page 3. Tích phân Chủ đề TÍCH PHÂN P 3
A. CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN b Z
f (x) dx = F (x)|b = F (b) − F (a) . a a b b Z Z
Nhận xét. Tích phân của hàm số f từ a đến b được kí hiệu là
f (x) dx hay
f (t) dt. Tích phân a a
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
B. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục trên K, a, b, c là ba số thuộc K. Khi đó ta có: a Z a)
f (x) dx = 0. a b a Z Z b)
f (x) dx = − f (x) dx. a b b c b Z Z Z c)
f (x) dx =
f (x) dx + f (x) dx. a a c b b b Z Z Z d)
[f (x) ± g(x)] dx =
f (x) dx + ± g(x) dx. a a a b b Z Z e)
k · f (x) dx = k · f (x) dx. a a b Z
f) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] thì
f (x) dx ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]. a b b Z Z
g) ∀x ∈ [a; b] : f (x) ≤ g(x) ⇒
f (x) dx ≤ g(x) dx. a a b Z
h) ∀x ∈ [a; b], nếu M ≥ f (x) ≥ N ⇒ M (b − a) ≤
f (x) dx ≤ N (b − a). a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 54 55 | Page
4. Phương pháp tính tích phân Chủ đề PHƯƠNG P PHÁP P TÍNH TÍCH PHÂN P 4
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 1.
Phương pháp đổi biến số dạng 1 Định lý Nếu
a) Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α; β].
b) Hàm hợp f (u(t)) được xác định trên [α; β].
c) u(α) = a, u(β) = b. b β Z Z Khi đó
f (x) dx =
f (u(t))u0(t) dt. a α Phương pháp chung
Bước 1. Đặt x = u(t).
Bước 2. Tính vi phân hai vế x = u(t) ⇒ dx = u0(t) dt. Đổi cận
|x=a ⇒ |t=α. x=b t=β
Bước 3. Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t. b β β Z Z Z Vậy I =
f (x) dx =
f (u[t])u0(t) dt =
g(t) dt = G(t)|β = G(β) − G(α). α a α α 2.
Phương pháp đổi biến số dạng 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 55 56 | Page
4. Phương pháp tính tích phân Định lý
Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho f (x) dx = u(b) Z
g (u(x)) u0(x) dx = g(u) du thì I = g(u) du. u(a) Phương pháp chung
• Đặt u = u(x) ⇒ du = u0(x)dx. x=b u=u(b) • Đổi cận: ⇒ . x=a u=u(a)
• Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u. b b u(a) Z Z Z Vậy I =
f (x) dx =
g [u(x)] .u0(x) dx = g(u) du. a a u(b)
B. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Định lý
Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì b b Z b Z
u(x)v0(x) dx = (u(x)v(x)) −
v(x)u0(x) dx, a a a hay b b Z b Z
u dv = uv − v du. a a a 2. Phương pháp chung
• Bước 1: Viết f (x) dưới dạng u dv = uv0 dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f (x)
làm u(x) và phần còn lại dv = v0(x) dx. Z Z
• Tính du = u0dx và v = dv = v0(x) dx. b Z b • Tính
vu0(x) dx = và uv . a a
Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 56 57 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản b b b b Z Z Z Z
Đặt u theo thứ tự ưu
P (x)ex dx
P (x) ln(x) dx
P (x) cos x dx
ex cos x dx a a a a tiên Log - đa - mũ - lượng u P (x) ln x P (x) ex dv ex dx P (x) dx cos x dx cos x dx
Chú ý: Nên chọn u là phần của f (x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v0 dx là phần
của f (x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Chủ đề TÍCH PHÂN P CÁC
CÁ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5
A. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ A. DẠNG 1: β β Z dx 1 Z adx 1 β I = = = = ln |ax + b| (a 6= 0). ax + b a ax + b a α α α β β Z dx 1 Z 1 β
Chú ý: Nếu I = =
(ax + b)−k.a dx =
.(ax + b)−k+1 . (ax + b)k a a(1 − k) α α α A. DẠNG 2: β Z dx I =
(a 6= 0, ax2 + bx + c 6= 0 ∀x ∈ [α; β] .
ax2 + bx + c α
Xét ∆ = b2 − 4ac. √ √ −b + ∆ −b + ∆
• Nếu ∆ > 0 thì x1 = , x2 = , khi đó 2a 2a 1 1 1 Å 1 1 ã = = − ,
ax2 + bx + c
a(x − x1)(x − x2)
a(x1 − x2) x − x1 x − x2 suy ra β 1 Z Å 1 1 ã 1 x − x β 1 I = − dx = . ln . a(x 1 − x2) x − x1 x − x2
a(x1 − x2)
x − x2 α α
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 57 58 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 1 1 −b • Nếu ∆ = 0 thì = trong đó x0 = . Suy ra
ax2 + bx + c
a(x − x0)2 2a β β Z dx 1 Z dx 1 β I = = = − .
ax2 + bx + c a (x − x 0)2
a(x − x0) α α α β β Z dx Z dx
• Nếu ∆ < 0 thì I = = .
ax2 + bx + c "Å Ç å2# b ã2 … −∆ α α a x + + 2a 4a2 b … −∆ … −∆ Đặt x + = tan t ⇒ dx =
(1 + tan2 t) dt. Khi đó 2a 4a2 4a2 … −∆ β (1 + tan2 t) β Z Z 1 4a2 1 4a2 I = 4a2 dt = dt =
(β − α). "Ç… − å2 Ç å2# ∆ … −∆ a −∆ a −∆ α a tan t + α 4a2 4a2 A. DẠNG 3: β Z mx + n I = dx.
ax2 + bx + c α mx + n
trong đó, a 6= 0 và f (x) =
liên tục trên đoạn [α; β].
ax2 + bx + c
a) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được A và B sao cho mx + n
A(ax2 + bx + c)0 B = +
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
A(2ax + b) B = + .
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c β β β Z mx + n Z
A(2ax + b) Z B b) Suy ra dx = dx + dx.
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c α α α β Z
A(2ax + b) β • I 1 =
dx = A ln ax2 + bx + c .
ax2 + bx + c α α β Z B • I2 = dx thuộc dạng 2.
ax2 + bx + c α
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 58 59 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản A. DẠNG 4: β Z P (x) I = dx. Q(x) α
trong đó, P (x) và Q(x) là các đa thức biến x.
a) Nếu bậc P (x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì ta dùng phép chia đa thức.
b) Nếu bậc của P (x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
• Q(x) chỉ có các nghiệm đơn α1, α2, · · · , αn thì P (x) A A A = 1 + 2 + · · · + n . Q(x) x − α1 x − α2 x − αn
• Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm: Q(x) = (x−α) (x2 + px + q) với ∆ = p2−4q < 0 thì P (x) A Bx + C = + . Q(x) x − α
x2 + px + q
• Khi Q(x) có nghiệm bội P (x) A B C
– Q(x) = (x − α)(x − β)2 thì = + + . Q(x) x − α x − β (x − β)2
– Q(x) = (x − α)2(x − β)3 thì P (x) A B C D E = + + + + . Q(x) x − α (x − α)2 x − β (x − β)2 (x − β)3
B. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ β Z I =
R [x; f (x)] dx. α
trong đó, R [x; f (x)] có dạng Å … a − x ã h π i • R x;
đặt x = a · cos 2t, t ∈ 0; . a + x 2 √ h π π i • R x;
a2 − x2 đặt x = |a| · cos t,
t ∈ [0; π] hoặc x = |a| · sin t, t ∈ − ; . 2 2 √ |a| n π o • R x;
x2 − a2 đặt x = , t ∈ [0; π]\ . cos t 2 √ π π • R x;
a2 + x2 đặt x = |a| · tan t, t ∈ − ; . 2 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 59 60 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản Ç … å ax + b … ax + b • R x; n đặt t = n . cx + d cx + d 1
• R (x; f (x)) = √
với (αx2 + βx + γ)0 = ax + b.
(ax + b) αx2 + βx + γ √ 1 Đặt t =
αx2 + βx + γ hoặc t = . ax + b √ √ √
• R (x; n1 x, n2 x, · · · , nk x), gọi k = BSCNN {n1, · · · , nk} đặt x = tk. B. DẠNG 1: β Z 1 I = √ dx , a 6= 0.
ax2 + bx + c α ñÅ ô b ã2 ∆
Ta có f (x) = ax2 + bx + c = a x + − . 2a 4abu = x +  Đặt
2a ⇒ du = dx. ∆  k = 4a
• Nếu a > 0 và ∆ < 0 suy ra pf (x) = pa(u2 + k2). Phương pháp giải √ √ Đặt
ax2 + bx + c = t − a · x suy ra  t2 − c 2  √ x = √ ; dx = √ tdt
bx + c = t2 − 2 a · xb + 2 a b + 2 a ⇒ √ √ t2 − c
x = α ⇒ t = t0; x = β ⇒ t = t1  t −
a · x = t − a √ .b + 2 a √ b
• Nếu ∆ = 0 suy ra pf (x) = a x + . 2a Phương pháp giải  1 b β b β √ · ln x + nếu x + > 0 Z 1 a 2a α 2a Khi đó I = √ dx =   a 1 b β b x + b α 2a − √ · ln x + nếu x + < 0. a 2a α 2a
• Nếu ∆ > 0 suy ra pf (x) = pa(x − x1)(x − x2).
(x − x1)t
– Nếu a > 0 đặt pa(x − x1)(x − x2) = 
(x − x2)t.
(x1 − x)t
– Nếu a < 0 đặt pa(x − x1)(x − x2) = 
(x2 − x)t.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 60 61 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản B. DẠNG 2: β Z mx + n I = √ dx , a 6= 0.
ax2 + bx + c α Phương pháp giải 0 mx + n
A (ax2 + bx + c) B • Phân tích √ = √ + √ (∗).
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
ax2 + bx + c
• Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B.
• Giải hệ tìm A, B thay vào (∗). √ β β Z 1
• Tính I = 2A ax2 + bx + c + B √ dx. α
ax2 + bx + c α β Z 1 Trong đó √
dx được tính ở dạng 1.
ax2 + bx + c α B. DẠNG 3: β Z 1 I = √ dx ,
a · m 6= 0.
(mx + n) ax2 + bx + c α Phương pháp giải 1 1 • Phân tích √ = (1).
(mx + n) ax2 + bx + c n √ m x +
ax2 + bx + c m  1 1 y = ⇒ dy = − dt 1 n   x + t (x + t)2 • Đặt = x + ⇒ y m 1 Å 1 ã2 Å 1 ã  x =
− t ⇒ ax2 + bx + c = a − t + b − t + c.y y y β0 Z 1
• Thay tất cả vào (1) ta được I = √
dy, tích phân này đã tính ở dạng 1.
Ly2 + M y + N α0 B. DẠNG 4: β ! Z ax + b I = R x; m dx. cx + d α
trong đó R(x; y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết. Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 61 62 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản … ax + b • Đặt t = m (1). cx + d
• Tính x theo t (bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ(t)).
• Tính vi phân hai vế dx = ϕ0(t)dt và đổi cận. β0 Z • Khi đó I =
R (t; ϕ(t)) ϕ0(t)dt. α0
C. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 1.
Một số công thức lượng giác a) Công thức cộng
• cos(a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b;
• sin(a ± b) = sin a · cos b ± sin b · cos a; tan a ± tan b
• tan(a ± b) = .
1 ∓ tan a · tan b
b) Công thức nhân đôi 1 − tan2 a
• cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a = ; 1 + tan2 a 2 tan a 2 tan a
• sin 2a = 2 sin a · cos a = ; tan 2a = ; 1 + tan2 a 1 − tan2 a
• cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α; sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α.
c) Công thức hạ bậc 1 − cos 2a 1 + cos 2a 1 − cos 2a • sin2 a = ; cos2 a = ; tan2 a = ; 2 2 1 + cos 2a
3 sin α − sin 3α
cos 3α + 3 cos α • sin3 α = ; cos3 α = . 4 4
d) Công thức tính theo t a 2t 1 − t2 2t • Với t = tan thì sin a = ; cos a = ; tan a = . 2 1 + t2 1 + t2 1 − t2
e) Công thức biến đổi tích thành tổng 1
• cos α · cos β =
[cos(α + β) + cos(α − β)]; 2 1
• sin α · sin β =
[cos(α − β) − cos(α + β)]; 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 62 63 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 1
• sin α · cos β =
[sin(α + β) + sin(α − β)]. 2
f) Công thức biến đổi tổng thành tích α + β α − β
• cos α + cos β = 2 cos · cos ; 2 2 α + β α − β
• cos α − cos β = −2 sin · sin ; 2 2 α + β α − β
• sin α + sin β = 2 sin · cos ; 2 2 α + β α − β
• sin α − sin β = 2 cos · sin ; 2 2 sin(α + β)
• tan α + tan β = ; cos α cos β sin(α − β)
• tan α − tan β = . cos α cos β
g) Công thức thường dùng 3 + cos 4α
• cos4 α + sin4 α = ; 4 5 + 3 cos 4α
• cos6 α + sin6 α = . 8 Hệ quả √ π √ π
• cos α + sin α = 2 cos α − = 2 sin α + ; 4 4 √ π √ π
• cos α − sin α = 2 cos α + = − 2 sin α − . 4 4 2.
Một số dạng tích phân lượng giác b Z
• Nếu gặp dạng I =
f (sin x) cos xdx ta đặt t = sin x. a b Z
• Nếu gặp dạng I =
f (cos x) sin xdx ta đặt t = cos x. a b Z dx
• Nếu gặp dạng I = f (tan x)
ta đặt t = tan x. cos2 x a b Z dx
• Nếu gặp dạng I = f (cot x)
ta đặt t = cot x. sin2 x a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 63 64 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản Z Z DẠNG 1. I1 =
(sin x)ndx; I2
(cos x)ndx Phương pháp giải
• Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.
• Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.
• Nếu 3n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi Z Z I1 =
(sin x)ndx =
(sin x)2p + 1dx Z Z =
(sin x)2p sin xdx = −
1 − cos2 xp d(cos x) Z î = −
C0 − C1 cos2 x + · · · + (−1)kCk cos2 xk p p p
+ . . . + (−1)pCp cos2 xp d(cos x) p ï 1 (−1)k = − C0 cos x − C1 cos3 x + · · · +
Ck(cos x)2k+1 p 3 p 2k + 1 p (−1)p ò + · · · +
Cp(cos x)2p+1 + C. 2p + 1 p Z Z I2 =
(cos x)ndx =
(cos x)2p + 1dx Z Z =
(cos x)2p cos xdx =
1 − sin2 xp d(sin x) Z î =
C0 − C1 sin2 x + · · · + (−1)kCk sin2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp sin2 xp d(sin x) p ï 1 (−1)k = C0 sin x − C1 sin3 x + · · · +
Ck(sin x)2k+1 p 3 p 2k + 1 p (−1)p ò + · · · +
Cp(sin x)2p+1 + C. 2p + 1 p Z DẠNG 2. I =
sinm x cosn xdx (m, n ∈ N) Phương pháp giải
a) Trường hợp 1: m, n là các số nguyên.
• Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 64 65 | Page
5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
• Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi Z Z I =
(sin x)m(cos x)2p + 1dx =
(sin x)m(cos x)2p cos xdx Z =
(sin x)m 1 − sin2 xp d(sin x) Z =
(sin x)m îC0 − C1 sin2 x + · · · + (−1)kCk sin2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp sin2 xp d(sin x) p ï (sin x)m+1 (sin x)m+3 = C0 − C1 p m + 1 p m + 3
(sin x)2k+1+m
+ · · · + (−1)kCkp 2k + 1 + m
(sin x)2p+1+m ò
+ · · · + (−1)pCp + C.
p 2p + 1 + m
• Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi Z Z I =
(sin x)2p + 1(cos x)ndx =
(cos x)n(sin x)2p sin xdx Z = −
(cos x)n 1 − cos2 xp d(cos x) Z = −
(cos x)n îC0 − C1 cos2 x + · · · + (−1)kCk cos2 xk p p p
+ · · · + (−1)pCp cos2 xp d(cos x) p ï (cos x)n+1 (cos x)n+3 = − C0 − C1 p n + 1 p n + 3
(cos x)2k+1+n
+ · · · + (−1)kCkp 2k + 1 + n
(cos x)2p+1+n ò
+ · · · + (−1)pCp + C. p 2p + 1 + n
• Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
• Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sin x. Z Z n−1 B =
sinm x cosn xdx =
(sin x)m cos2 x 2 cos xdx Z n−1 =
um 1 − u2 2 du (∗) m + 1 n − 1 m + k
Tích phân (∗) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số nguyên. 2 2 2 Z Z DẠNG 3. I1 =
(tan x)ndx; I2 =
(cot x)ndx(n ∈ N) Phương pháp giải
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 65 66 | Page
6. Ứng dụng của tích phân Z Z dx Z • 1 + tan2 x dx = =
d(tan x) = tan x + C; cos2 x Z Z dx Z • 1 + cot2 x dx = = −
d(cot x) = − cot x + C; sin2 x Z Z sin x Z d(cos x) • tan xdx = dx = −
= − ln | cos x| + C; cos x cos x Z Z cos x Z d(sin x) • cot xdx = dx =
= ln | sin x| + C. sin x sin x Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA CỦ TÍCH PHÂN P 6
A. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Z b
hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S =
|f (x)|dx. a yy = f (x)
y = f (x)       y = 0 Z b (H) S = |f (x)|dx ax = a     xO a c1 c2 c3 b  x = b 2.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]
và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: Z b S =
|f (x) − g(x)|dx. a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 66 67 | Page
6. Ứng dụng của tích phân   (C
1) : y = f1(x)     y
 (C2) : y = f2(x) (H) x = a    (C  2)   x = b Z b S =
|f1(x) − f2(x)| dx a a x O c1 c2 b (C1)
• Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f (x) không đổi dấu thì: Z b Z b
|f (x)|dx =
f (x)dx . a a
• Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
• Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường Z d
thẳng y = c, y = d được xác định:
|g(y) − h(y)|dy. c
B. THỂ TÍCH VẬT THỂ VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Thể tích vật thể
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 67 68 | Page
6. Ứng dụng của tích phân
Gọi B là phần vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại
các điểm a và b; S(x) là
diện tích thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại (V )
điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử x
S(x) là hàm số liên tục trên O a b x S(x) đoạn [a; b]. Z b V = S(x)dx a 2.
Thể tích khối tròn xoay
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: y
(C ) : y = f (x)   y = f (x)     (Ox) : y = 0 x = aa xO b     x = b Z b Vx = π
[f (x)]2dx a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 68 69 | Page
6. Ứng dụng của tích phân
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: y
(C ) : x = g(y) d       (Oy) : x = 0 y = c       y = d c Z d Vy = π [g(y)]2dy x c O
• Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f (x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: V = Z b π
f 2(x) − g2(x) dx. a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 69 CHƯƠNG SỐ PHỨC 4 Chủ đề SỐ PHỨC P 1
A. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
• Số phức (dạng đại số): z = a + bi (a, b ∈ R). Trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = −1.
• Tập hợp số phức kí hiệu là C.
• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).
• z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 (a = 0).
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
B. HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU
• Hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R) bằng nhau khi phần thực và
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a = c
• Khi đó ta viết z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔  b = d.
C. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHỨC 71 | Page 1. Số phức
Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) hay bởi y #» M
u = (a; b) trong mặt phẳng phức (mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy). b a x O
D. SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b ∈ R) là z = a − bi. • z = z;
z ± z0 = z ± z0;
z · z0 = z · z0. Å z ã z • 1
= 1 ; z · z = a2 + b2. z2 z2
• z là số thực ⇔ z = z; z là số ảo khi và chỉ khi z = −z.
E. MÔ-ĐUN CỦA SỐ PHỨC 1. Định nghĩa # »
Độ dài của véc-tơ OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|. # » # » √
Vậy |z| = OM hay |z| = |a + bi| = OM = a2 + b2. 2. Một số tính chất √ √ # » • |z| = a2 + b2 =
zz = OM ; |z| = |z|.
• |z| ≥ 0, ∀z ∈ C; |z| = 0 ⇔ z = 0. z |z z z • | 1 1| 1 1z2 z
1 · z2| = |z1| · |z2|; = ; = . z2 |z2| z2 |z2|2
• ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 71 72 | Page
2. Phép cộng trừ, nhân chia số phức Chủ đề PHÉP P CỘNG TRỪ, TR NHÂN CHIA SỐ PHỨC P 2
A. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ PHỨC
Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R). Khi đó
z1 ± z2 = (a + c) ± (b + d) i.
• Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi.
• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó:
z = a + bi, z + z = 2a.
B. PHÉP NHÂN SỐ PHỨC
• Cho hai số phức z1 = a + bi (a, b ∈ R) và z2 = c + di (c, d ∈ R), khi đó
z1z2 = (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
• Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), ta có
kz = k · (a + bi) = ka + kbi.
Đặc biệt, 0 · z = 0 với mọi số phức z.
• Lũy thừa của i, với mọi n ∈ ∗ N ta có – i0 = 1.
– i4n = 1.
– i1 = i.
– i4n+1 = i. – i2 = −1.
– i4n+2 = −1.
– i3 = i2 · i = −i.
– i4n+3 = −i.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 72 73 | Page
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực C. CHIA HAI SỐ PHỨC 1
• Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z−1 = · z. |z|2 z0 z0 · z z0 · z
• Phép chia hai số phức z0 và z 6= 0 là = z0z−1 = = . z |z|2 z · z Chủ đề PHƯƠNG P TRÌNH BẬC BẬ HAI VỚI V HỆ SỐ THỰC 3
A. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
• Cho số z, nếu có số phức z1 sao cho z2 = z thì ta nói z 1
1 là một căn bậc hai của z.
• Mọi số phức z 6= 0 đều có hai căn bậc hai.
• Căn bậc hai của số thực z âm là ±ip|z|.
• Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±ip|a|.
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ R, a 6= 0. Xét biệt số ∆ = b2 − 4ac của phương trình. Ta thấy −b
• Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = . 2a √ −b ± ∆
• Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = . 2 −b ± ip|∆|
• Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = . 2a
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 73 PHẦN HÌNH HỌC 12 II 26 9 40 41 17 30 33 24 38 44 1 10 29 18 20 35 7 37 27 34 6 50 19 2 12 23 42 48 11 14 3 4 5 49 32 46 22 36 47 1625 31 45 43 39 8 15 28 13 21 CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN 1 Chủ đề KHỐI LĂNG TRỤ TR VÀ V KHỐI CHÓP 1
a) Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả
hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp
cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
b) Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối
lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng
trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng
trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Chủ đề
KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ V KHỐI ĐA 2 DIỆN
A. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN 76 | Page
2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện đỉnh
a) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số
hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung,
hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. cạnh
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai mặt đa giác.
b) Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh
của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
B. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
• Khối đa diện là phần không gian được
giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
• Những điểm không thuộc khối đa diện
được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. điểm trong điểm ngoài M N
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong
của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài
được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
• Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là
miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn
một đường thẳng nào đó.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 76 77 | Page
3. Hai đa diện bằng nhau Chủ đề
HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU NHA 3
A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M 0 xác định duy nhất được gọi
là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian: 1.
Phép tịnh tiến theo vectơ Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành #» v M 0 # » #»
điểm M 0 sao cho M M 0 = v . M 2.
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M
thuộc (P ) thành chính nó, biến
mỗi điểm M không thuộc (P ) I
thành điểm M 0 sao cho (P ) là mặt P
phẳng trung trực của M M 0. M 0
Nếu phép đối xứng qua mặt
phẳng (P ) biến hình H thành
chính nó thì (P ) được gọi là mặt
phẳng đối xứng của H. 3.
Phép đối xứng qua tâm O
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 77 78 | Page
4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính
nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M 0
sao cho O là trung điểm M M 0. M M 0 O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H)
thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H). 4.
Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc
đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi ∆
điểm M không thuộc ∆ thành điểm M 0 sao M M 0 O
cho ∆ là đường trung trực của M M 0.
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H)
thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H). Nhận xét.
• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
• Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H0), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành
đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H0).
B. HAI HÌNH BẰNG NHAU
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Chủ đề PHÂN P CHIA VÀ V LẮP GHÉP CÁC CÁ KHỐI ĐA DIỆN 4 Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 78 79 | Page
5. Khối đa diện lồi (H1)
Nếu khối đa diện (H) là hợp của
hai khối đa diện (H1), (H2) sao
cho (H1) và (H2) không có chung
điểm trong nào thì ta nói có thể (H) (H2)
chia được khối đa diện (H)
thành hai khối đa diện (H1) và
(H2), hay có thể lắp ghép hai
khối đa diện (H1) và (H2) với
nhau để được khối đa diện (H). Chủ đề KHỐI ĐA DIỆN LỒI L 5
A. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với
bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm của
đoạn AB cũng thuộc khối đó. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Lưu ý:
a) Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền
trong của nó luôn nằm một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
b) Công thức Ơ-le: Trong một khối đa diện lồi nếu gọi Đ là
số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta luôn có Đ + M = C + 2.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 79 80 | Page
5. Khối đa diện lồi
B. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 1. Định nghĩa
a) Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây
• Các mặt là những đa giác đều p cạnh.
• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
b) Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p; q}. 2. Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là:
• Loại {3; 3}: khối tứ diện đều.
• Loại {4; 3}: khối lập phương.
• Loại {3; 4}: khối bát diện đều.
• Loại {5; 3}: khối mười hai mặt đều.
• Loại {3; 5}: khối hai mươi mặt đều.
Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện. Khối hai mươi mặt
Khối mười hai mặt Khối lập phương
Khối tứ diện đều
Khối bát diện đều đều đều
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 80 81 | Page
5. Khối đa diện lồi 3.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Đa diện đều cạnh a Số Số Số Thể tích Bán kính R đỉnh cạnh mặt V mặt cầu ngoại tiếp √ √ 2a3 a 6 Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 12 4 √ a 3 Lập phương {4; 3} 8 12 6 a3 √ 2 √ 2a3 a 2 Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 3 √ √ 2√ 15 + 7 5 3 + 15 Mười hai mặt đều 20 30 12 a3 a 4 4 {5; 3} √ √ √ 15 + 5 5 10 + 20 Hai mươi mặt đều 12 30 20 a3 a 12 4 {3; 5}
Giả sử khối đa diện đều loại {p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có
q · Đ = 2C = p · M
C. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI 1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc
một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 81 82 | Page
6. Thể tích khối đa diện Khi đó:
• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
• Ba đường chéo bằng nhau. Chủ đề
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6
A. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Nội dung Hình vẽ 1 S
VChóp = Sđáy · h 3 
Sđáy là diện tích mặt đáy h Trong đó
h là chiều cao khối chóp. A D H 1 C
VS.ABCD = SABCD · d(S, (ABCD)) B 3
B. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 82 83 | Page
6. Thể tích khối đa diện
VLăng trụ = Sđáy · hA0 C0
Sđáy là diện tích mặt đáy Trong đó
h là chiều cao lăng trụ. h B0
Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao
chính là độ dài cạnh bên. A C H B
C. THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT Nội dung Hình vẽ A0 D0
VHộp chữ nhật = abc B0 C0 c
Trong đó a, b, c là độ dài các A D
cạnh khối hộp chữ nhật. a b B C
D. THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG Nội dung Hình vẽ A0 D0 B0 C0 V = a3 A D B C
E. TỈ SỐ THỂ TÍCH Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 83 84 | Page
7. Các công thức hình phẳng S VS.A0B0C0 SA0 SB0 SC0 A0 = · · C0 VS.ABC SA SB SC
Thể tích khối chóp cụt ABC.A0B0C0 A B0 C h √ Ä ä V = B + B0 + BB0 3
Với B, B0, h là diện tích hai đáy và chiều cao B
F. MỘT SỐ CHÚ Ý VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT √
• Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2. √
• Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3. √
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
a2 + b2 + c2. √ a 3
• Đường cao của tam giác đều cạnh a là . 2 Chủ đề CÁC
CÁ CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG P 7
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1.
Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH
• AB2 + AC2 = BC2. A
• AB2 = BH · BC.
• AC2 = CH · BC. B H C
• AH · BC = AB · AC. 1 1 1 • = + . AH2 AB2 AC2
• AB = BC · sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 84 85 | Page
7. Các công thức hình phẳng 2.
Cho 4 ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c, độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi là p
• Định lí hàm số côsin
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. a b c
• Định lí hàm số sin : = = = 2R. sin A sin B sin C • Độ dài trung tuyến
2(b2 + c2) − a2
2(a2 + c2) − b2
2(a2 + b2) − c2 m2 = . m2 = . m2 = . a 4 b 4 c 4 3.
Các công thức tính diện tích 3.1. Tam giác 1 1 1 • S =
a · ha = b · hb = c · hc. 2 2 2 1 1 1 • S = bc sin A = ca sin B = ab sin C. 2 2 2 abc • S = . 4R • S = pr.
• S = pp(p − a)(p − b)(p − c). AB · AC BC · AH
• 4ABC vuông tại A : S = = . 2 2 √ √ a 3 a2 3
• 4ABC đều, cạnh a : AH = , S = . 2 4 3.2. Hình vuông • S = a2
( a là cạnh hình vuông ) 3.3. Hình chữ nhật
• S = a · b
( a, b là hai kích thước ) 3.4. Hình bình hành
• S = đáy × cao = AB · AD · sin ’ BAD
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 85 86 | Page
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp 3.5. Hình thoi 1
• S = AB · AD · sin ’ BAD = AC · AD
( a, b là hai kích thước ) 2 3.6. Hình thang 1 • S = (a + b) h
( a, b là hai đáy, h là chiều cao ) 2
3.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC và BD 1 • S = AC · BD 2 Chủ đề MỘT
MỘ SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH 8
KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.ABC với các mặt
phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông A
góc với nhau từng đôi một, diện tích
các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt
là S1, S2, S3. Khi đó S C
√2S1 · S2 · S3 VS.ABC = . 3 B
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông
góc với (ABC), hai mặt phẳng (SAB) S
và (SBC) vuông góc với nhau, ’ ASB = α, ’
BSC = β. Khi đó A C
SB3 · sin 2α · tan β VS.ABC = . 12 B
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 86 87 | Page
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh S bên bằng b. Khi đó √
a2 3b2 − a2 V C S.ABC = . A 12 G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với S
mặt phẳng đáy góc α. Khi đó a3 tan α V C S.ABC = . A 24 G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo S
với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó
√3b3 · sinβ · cos2 β V C S.ABC = . A 4 G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
các cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo S
với mặt phẳng đáy góc β. Khi đó a3 · tan β V A C S.ABC = 12 G M B
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 87 88 | Page
8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng a và S
SA = SB = SC = SD = b. Khi đó √
a2 4b2 − 2a2 D A VS.ABCD = . 6 M O C B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên S
và mặt phẳng đáy là α. Khi đó a3 tan α A D VS.ABCD = . 6 M O B C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có cạnh đáy bằng a, S ’
SAB = α với α ∈ (45◦; 90◦). Khi đó √ a3 tan2 α − 1 α V D S.ABCD = . 6 A O B C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi S
giữa mặt bên và mặt đáy bằng α với
α ∈ (0◦; 90◦). Khi đó A D 4a3 tan α α VS.ABCD = . 3p(2 + tan2 α)3 O M B C
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 88 89 | Page
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
Cho hình tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a. Gọi (P ) là mặt phẳng đi S
qua A, song song với BC và vuông góc
với mặt phẳng (SBC). Biết α là góc F N
giữa (P ) và mặt phẳng đáy. Khi đó E A C a3 cot α V G S.ABC = . M 24 B
Khối bát diện đều có các đỉnh là tâm A0 D0
các mặt của hình lập phương cạnh a. C0 B0
Khi đó thể tích khối bát diện đều là a3 V = . 6 A D B C
Tâm các mặt bên của một bát diện S
đều cạnh a là đỉnh của một khối lập
phương. Khi đó thể tích của khối lập phương là D A √ 2a3 2 B C V = . 27 S0 Chủ đề CÁC CÁ CÔNG THỨC ĐẶC ĐẶ BIỆT CỦA CỦ THỂ TÍCH TỨ 9 DIỆN Công thức Điều kiện
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 89 90 | Page
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
Thể tích tứ diện khi biết ba cạnh chung
một đỉnh và ba góc giữa các cạnh ở đỉnh S đó abc p C0 V A SABC =
1 − x2 − y2 − z2 + 2xyz. 6 G C M B0
Trong đó x = cos α, y = cos β, z = B  cos γ. S A = a,
SB = b, SC = c ’ ASB = α, ’ BSC = β, ’ CSA = γ.
Thể tích tứ diện khi biết cặp cạnh đối, B D0
khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đó M 0 C0 1
VABCD = abd sin α. A 6 α D M C
AB = a, C D = b     d(AB, CD) = d    
(AB, C D) = α.
Thể tích của tứ diện khi biết độ dài S
cạnh chung của hai mặt, diện tích và góc giữa hai mặt đó H α 2S K 1S2 sin α A C VSABC = . 3a B
S4SAB = S1, S4SAC = S2
SA = a, ((SAB), (SAC )) = α.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 90 91 | Page
9. Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
Thể tích khối chóp tam giác khi biết S
ba cạnh bên, hai góc ở đỉnh và một góc
giữa hai mặt bên (góc nhị diện) H ϕ abc K V A C S.ABC =
sin α sin β sin ϕ. B0 6 B
SA = a, SB = b, SC = c     ’ ASB = α, ’ ASC = β    
 ((S AB), (S AC )) = ϕ.
Thể tích khối tứ diện đều VABCD = √ a3 2
Tứ diện có tất cả các cạnh bằng a. . 12 D A C G M B √2xyz
Thể tích tứ diện gần đều V = . 12
Với x = a2 + b2 − c2, y = b2 + c2 − a2, Tứ diện ABCD có
z = c2 + a2 − b2.
AB = CD = a, AC = BD = b,
AD = BC = c. A B0 C D0 D B C0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 91 CHƯƠNG
MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 2 Chủ đề MẶT MẶ NÓN TRÒN XO X A O Y A VÀ V KHỐI NÓN 1
A. MẶT NÓN TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo
thành góc β với 0◦ < β < 90◦, mặt phẳng
(P ) chứa d, ∆. (P ) quay quanh trục ∆ với
góc β không đổi ⇒ mặt nón tròn xoay đỉnh O O. β d • ∆ gọi là trục. ∆ • r
d được gọi là đường sinh.
• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh. B. KHỐI NÓN Nội dung Hình vẽ 93 | Page
1. Mặt nón tròn xoay và khối nón
• Là phần không gian được giới hạn bởi
một hình nón tròn xoay kể cả hình nón O
đó. Những điểm không thuộc khối nón
gọi là những điểm ngoài của khối nón.
• Những điểm thuộc khối nón nhưng h l
không thuộc hình nón tương ứng gọi là
những điểm trong của khối nón. Đỉnh, I r
mặt đáy, đường sinh của một hình nón M
cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
• Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq nón = πrl .
• Diện tích đáy (hình tròn): Sđáy = πr2 .
• Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = Sxq + Sđáy = πrl + πr2 . 1 1
• Thể tích khối nón: Vnón = Sđáyh = πr2h . 3 3
C. THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MẶT PHẲNG Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 93 94 | Page
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
• Mp (Q) cắt mặt nón theo 2
• Thiết diện là tam giác đường sinh. cân.
• Mp (Q) tiếp xúc với mặt
• (Q) là mặt phẳng tiếp
nón theo một đường sinh. diện của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.
• Mp (Q) vuông góc với trục
• Giao tuyến là 1 đường hình nón. parabol.
• Mp (Q) song song với 2 • Giao tuyến là 2 nhánh đường sinh hình nón. của 1 hypebol.
• Mp (Q) song song với 1 • Giao tuyến là một đường sinh hình nón. đường tròn. Chủ đề MẶT MẶ TRỤ TR TRÒN XO X A O Y A VÀ V KHỐI TRỤ TR 2 A. MẶT TRỤ Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 94 95 | Page
2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng
∆ và l song song với nhau, cách nhau một ∆
khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P )
xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một A
mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, D gọi tắt là mặt trụ. h l
• Đường thẳng ∆ gọi là trục.
• Đường thẳng l là đường sinh. B r C
• r là bán kính của mặt trụ đó.
B. HÌNH TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật ABCD. ∆ Khi quay hình chữ nhật A
ABCD xung quanh đường D
thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường h l
gấp khúc ABCD sẽ tạo thành
một hình gọi là hình trụ tròn B
xoay, hay gọi tắt là hình trụ. r C
• Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy
của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
• Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
• Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên CD khi quay xung quanh AB gọi là
mặt xung quanh của hình trụ.
• Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 95 96 | Page
3. Mặt cầu và khối cầu
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay
kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối
trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong
của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ cũng là Mặt đáy, chiều
cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
• Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh .
• Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + 2 · Sđáy = 2πrh + 2πr2 .
• Thể tích khối trụ: Vtrụ = Sđáy · h = πr2h . Chủ đề MẶT MẶ CẦU CẦ VÀ V KHỐI CẦU CẦ 3 A. MẶT CẦU Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong I R B A
không gian cách I một khoảng R được
gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu S(I; R).
Khi đó S(I; R) = {M |IM = R}
B. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng
(P ). Suy ra d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ). Khi đó d > R d = R d < R
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 96 97 | Page
3. Mặt cầu và khối cầu Mặt cầu và mặt
Mặt phẳng tiếp xúc mặt Mặt phẳng cắt mặt phẳng không có điểm
cầu: (P ) là mặt phẳng tiếp cầu theo thiết diện là chung.
diện của mặt cầu và H là
đường tròn có tâm H tiếp điểm. và bán kính √ r = R2 − d2. R I R I d I d R d r H H M P P H P Lưu ý:
Khi mặt phẳng (P ) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng kính và
thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
C. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng ∆. Khi đó IH > R IH = R IH < R ∆ không cắt mặt cầu.
∆ tiếp xúc với mặt cầu.
∆ cắt mặt cầu (S) tại
∆ : Tiếp tuyến của (S). hai điểm phân biệt.
H : Tiếp điểm. ∆ H B H H R R R A ∆ ∆ I I I
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 97 98 | Page
3. Mặt cầu và khối cầu Lưu ý:
Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: 
d (I , ∆) = I H   √ Å AB ã2  R = IH2 + AH2 = IH2 + .  2
D. ĐƯỜNG KINH TUYẾN VÀ VĨ TUYẾN CỦA MẶT CẦU Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt
phẳng có bờ là trục của mặt cầu được A gọi là kinh tuyến. vĩ tuyến
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với O
các mặt phẳng vuông góc với trục được B
gọi là vĩ tuyến của mặt cầu. kinh tuyến
Hai giao điểm của mặt cầu với trục
được gọi là hai cực của mặt cầu.
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện. Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu
mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các
mặt của hình đa diện. Còn nói
hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 98 99 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện S
nếu tất cả các đỉnh của hình đa
diện đều nằm trên mặt cầu. Còn
nói hình đa diện nội tiếp mặt cầu. O B
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại A D C
tiếp hình chóp S.ABCD khi và chỉ khi
OA = OB = OC = OD = OS = r
Cho mặt cầu S(I; R)
• Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 4
• Thể tích khối cầu: V = πR3 3 Chủ đề MỘT MỘ SỐ DẠNG TO T ÁN O VÀ
V CÔNG THỨC GIẢI NÓN 4 VÀ V TRỤ TR
A. BÀI TOÁN MẶT NÓN 1.
Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là S tam giác cân. O A B
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 99 100 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là S
những tam giác cân có hai cạnh bên là
hai đường sinh của hình nón. A O B
Thiết diện vuông góc với trục của S
hình nón là những đường tròn có tâm
nằm trên trục của hình nón. O A B 2.
Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh `.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 100 101 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
• AC ⊥ (SM I).
• Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc S ’ SM I.
• Góc giữa (SAC) và (SI) là góc H ’ M SI. A I B M
• d (I, (SAC)) = IH = d. C
Diện tích thiết diện 1
Std = S4SAC = SM · AC 2 1 √ √ =
SI2 + IM 2 · 2 AI2 − IM 2 2 h2d2 h2d2 = h2 + · r2 − . h2 − d2 h2 − d2 3.
Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường Hình chóp tứ giác đều
tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Khi S.ABCD S đó hình nón có: AB
• Bán kính đáy r = IM = . 2 A D I
• Đường cao h = SI, đường sinh M ` = SM . B C
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 101 102 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều
S.ABCD đều là hình nón có đỉnh Hình chóp tứ giác đều
S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình S.ABCD S
vuông ABCD. Khi đó hình nón có: • Bán kính đáy √ AC AB 2 A r = IA = = . 2 2 D I B C
• Chiều cao h = SI.
• Đường sinh ` = SA.
Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường Hình chóp tam giác đều
tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó S.ABC S hình nón có • Bán kính đáy √ A C AM AB 3 r = IM = = . 3 6 I M
• Chiều cao h = SI. B
• Đường sinh ` = SM .
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 102 103 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC
đều là hình nón có đỉnh S, đáy là đường Hình chóp tam giác đều
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó S.ABC S hình nón có • Bán kính đáy √ 2AM AB 3 r = IA = = . 3 3 A C I M B
• Chiều cao h = SI.
• Đường sinh ` = SA. 4.
Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón
là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng
song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng
song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 103 104 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán
kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt r
Sxq = π · ` · (R + r). h `
Diện tích đáy (hình tròn) R
Sđáy 1 = πr2
⇒ X Sđáy = π(r2+R2).
Sđáy 2 = πR2
Diện tích toàn phần của hình chóp cụt
Stp = π · ` · (R + r) + πr2 + πR2. Thể tích khối nón cụt 1 V =
πh(R2 + r2 + Rr). 3 5.
Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 104 105 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi
hình quạt AmB. Độ dài cung ˘
AnB bằng x. Phần còn lại của n O
hình tròn ghép lại được một hình
nón. Tìm bán kính, chiều cao và O R h R
độ dài đường sinh của hình nón A B r A ≡ B m đó.
Hình nón được tạo thành có  ` = R     x
2πr = x ⇒ r = 2π   √   h =
`2 − r2.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT TRỤ 1.
Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R.
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật O
ABCD trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu A B G M
thiết diện qua trục là một hình vuông thì h = 2R.
Thiết diện song song với trục và không D C O0
chứa trục là hình chữ nhật BGHC có H
khoảng cách tới trục là d(OO0, (BGHC)) = OM .
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 105 106 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ 2.
Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất
kỳ trên hai đáy của hình trụ thì 1 O A B
VABCD = AB · CD · OO0 · sin(AB, CD). 6
Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau C thì O0 1 V D ABCD =
AB · CD · OO0. 6 3.
Dạng 3. Xác định góc, khoảng cách Nội dung Hình vẽ O A
Góc giữa AB và trục OO0 bằng ’ A0AB. O0 B A0 O A
Khoảng cách giữa AB và trục OO0 bằng O0M . O0 M B A0
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 106 107 | Page
4. Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp
trong hình trụ thì đường chéo của hình A
vuông cũng bằng đường chéo của hình O B
trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông bằng I h2 AB = 2R2 + . D O0 2 C 4.
Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích toàn phần nhỏ nhất  … V  R = 3  4π Stp min ⇔ O … RV  h = 2 3 . 4π M h
• Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ
để diện tích xung quanh cộng với diện O0
tích một đáy và nhỏ nhất  … V  R = 3  π S min ⇔ …  V  h = 3 . π 5.
Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể 4πV
tích khối trụ là V(T ) = . 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A0B0C0D0 ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung 2S
quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là Sxq = . π
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 107 108 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu Chủ đề MỘT MỘ SỐ DẠNG TO T ÁN O VÀ
V CÔNG THỨC GIẢI BÀI 5 TO T ÁN O MẶT MẶ CẦU CẦ
A. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 1.
Các khái niệm cơ bản
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Bất kì một điểm nào nằm trên
trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai
đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó. Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. 2.
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách
khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp. 3.
Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 108 109 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
Tâm: trùng với tâm đối xứng
của hình hộp chữ nhật (hình lập A0 B0
phương). Suy ra tâm là I, là trung D0
điểm của A0C C0 I
Bán kính: bằng nửa độ dài A B
đường chéo hình hộp chữ nhật
(hình lập phương). Suy ra bán D C AC0 kính: R = . 2
Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ Xét hình lăng trụ đứng
A1, A2, A3 · · · An.A0 , A0 , A0 , · · · A0 , trong đó 1 2 3 n A1 An có 2 đáy A A
1A2A3 · · · An và A0 A0 A0 · · · A0 nội tiếp O0 1 2 3 n 2
đường tròn (O) và (O0). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp A3 hình lăng trụ đứng có I A0 A0 1 n
• Tâm: I, với I là trung điểm của OO0. A02 O A03
• Bán kính: R = IA1 = IA2 = · · · = IA0n
Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ S
Hình chóp S.ABC có ’ SAC = ’ SBC = 90◦. I
• Tâm: I là trung điểm SC. SC
• Bán kính: R =
= IA = IB = IC. 2 A C B
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 109 110 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu S
Hình chóp S.ABCD có ’ SAC = ’ SBC = ’ SDC = 90◦.
• Tâm: I là trung điểm SC. SC I
• Bán kính: R =
= IA = IB = IC = ID. A D 2 B C Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ
Hình chóp đều S.ABC · · · S
• Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trụ của đáy. ∆
• Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh M
bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ
đường trung trực của cạnh SA là ∆ cắt SA tại I A
M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu. D O Bán kính: SM SI B
Ta có 4SM I ∼ 4SOA ⇒ = ⇒ R = IS = SO SA C SM · SA SA2 =
= IA = IB = IC = · · · SO 2 · SO
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 110 111 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
Cho hình chóp S.ABC · · · có cạnh bên SA ⊥ (ABC · · · )
và đáy ABC · · · nội tiếp đường tròn tâm O.
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S
S.ABC · · · được xác định như sau: d
• Từ tâm O ngoại tiếp đáy, ta vẽ đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng (ABC · · · ) tại O. M
• Trong mặt phẳng (d, SA), ta dựng đường trung ∆ I
trực ∆ của cạnh SA cắt SA tại M , cắt d tại I ⇒ I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
R = IA = IC = IS = · · · A C O • Tìm bán kính.
Ta có M IOB là hình chữ nhật. Xét 4M AI √
vuông tại M có: R = AI = M I2 + M A2 = B Å SA ã2 AO2 + . 2 Hình chóp khác
• Dựng trục ∆ của đáy.
• Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.
• (α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp.
• Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm
O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
Hình vuông: O là giao điểm 2 đường chéo. O
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 111 112 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
Hình chữ nhật: O là giao điểm 2 đường chéo. O O
Tam giác đều: O là trọng tâm tam giác. O
Tam giác vuông: O là trung điểm của cạnh huyền. O
Tam giác thường: O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh trong tam giác.
B. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 112 113 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An (thỏa S
mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại
tiếp). Thông thường, để xác định mặt α
cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện I theo hai bước O D A C
• Bước 1: Xác định tâm của đường H B
tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng
∆ là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Lập mặt phẳng trung
trực (α) của một cạnh bên. Lúc
đó Tâm O của mặt cầu là giao
điểm của đường thẳng ∆ và mặt
phẳng (α). Bán kính R = SA =
SO. Tùy vào từng trường hợp.
C. KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH TRỤC ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC ĐÁY 1.
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
là đường thẳng đi qua tâm đường tròn
ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất
Với mọi M ∈ d0 thì M A = M B = M C.
Suy ra M A = M B = M C ⇔ M ∈ d0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 113 114 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
Các bước xác định trục d0
• Bước 1: Xác định tâm H của M
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Qua H dựng đường A C
thẳng d0 vuông góc với mặt phẳng H đáy. B
Một số trường hợp đặc biệt d0 H B C
• Đáy là tam giác vuông.
• Đáy là tam giác đều. A d0 B C • H Đáy là tam giác thường. A d0 B H C A 2.
Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ S
4SM O đồng dạng với 4SIA, suy ra SO SM = . SA SI M O I A 3.
Nhận xét quan trọng
M A = M B = M C ∃M, S sao cho
thì SM là trục đường tròn ngoại tiếp 4ABC.
SA = SB = SC
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 114 115 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
D. KỸ THUẬT SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An (thỏa mãn điều S
kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, d0
để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta I d thực hiện theo hai bước B A
• Bước 1: Xác định tâm của đường tròn D C
ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng d0 là trục
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Bước 2: Xác định trục d của đường tròn
ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó
• Tâm I của mặt cầu là {I} = d0 ∩ d.
• Bán kính R = IA = IS. Tùy vào từng trường hợp.
E. TỔNG KẾT CÁC DẠNG TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 115 116 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu S A C
Cạnh bên SA vuông góc đáy và B ’ ABC = SC S 90◦. Khi đó R = và tâm là trung 2 điểm của SC. A B D C 2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của SA2
đáy là RD, khi đó R2 = R2 + . D 4 K I abc • R A C D = với p là nửa chu
4pp(p − a)(p − b)(p − c) O vi. B
• Nếu 4ABC vuông tại A thì 1 RD =
(AB2 + AC2 + SA2). 4 √ a 2
• Đáy là hình vuông cạnh a thì RD = . 2 √ a 3
• Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD = . 3 3. Dạng 3
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 116 117 | Page
5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau SA =
SB = SC = SD, ta có S SA2 R = . 2SO
• ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, A D O
khi đó O là giao của hai đường chéo. B C
• 4ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.
• 4ABC đều, khi đó O là trọng tâm,
trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) S
vuông góc với nhau và có giao tuyến
AB. Khi đó, ta gọi R1, R2 lần lượt là O
bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam I
giác SAB và SAC. Bán kính mặt cầu A C ngoại tiếp J B AB2
R2 = R2 + R2 − . 1 2 4
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 117 118 | Page
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay 5. Dạng 5
Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó, ta giải
phương trình (SH − x)2 + OH2 = x2 + R2 . Với giá trị x vừa tìm được, ta có D
R2 = x2 + R2 . D F. DẠNG 6 3V
Bán kính mặt cầu nội tiếp r = . Stp Chủ đề TỔNG T HỢP CÁC CÁ CÔNG THỨC ĐẶC ĐẶ BIỆT VỀ 6 KHỐI TRÒN XO X A O Y A A. CHỎM CẦU Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính diện tích và thể tích 
Sxq = 2πRh = π r2 + h2  Å h ã πhV = πh2 R − = h2 + 3r2  3 6 R r h B. HÌNH TRỤ CỤT Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 118 119 | Page
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
Ta có công thức tính thể tích, diện tích 
Sxq = πR (h1 + h2) h1  Å h ã 1 + h2 hV = πR 2  2 R C. HÌNH NÊM LOẠI 1 Nội dung Hình vẽ
Ta có công thức tính thể tích 2 V = R3 tan α. 3 α R D. HÌNH NÊM LOẠI 2 Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 119 120 | Page
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
Ta có công thức tính thể tích Å π 2 ã V = − R3 tan α. 2 3 α R
E. PARABOL BẬC HAI - PARABOLOID Nội dung Hình vẽ R R  4 S Rh  parabol =  3     S0 Å… x ã3 a 3 = = h h S h R a     1 1  x  V = πR2h = Vtrụ. 2 2
F. DIỆN TÍCH ELIP VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY SINH BỞI ELIP Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 120 121 | Page
6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoaybS a a  elip = πab    b  4
Vxoay quanh 2a = πab2 3    4  V πa2b.  xoay quanh 2b = 3
G. DIỆN TÍCH HÌNH VÀNH KHĂN Nội dung Hình vẽ
S = π R2 − r2 . R r
H. THỂ TÍCH HÌNH XUYẾN (PHAO) Nội dung Hình vẽ
Å R + r ã Å R − r ã2 V = 2π2 . r 2 2 R
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 121 CHƯƠNG HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 3 Chủ đề HỆ TỌ T A
Ọ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1
A. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 1.
Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gốc tọa độ O, trục hoành Ox, trục
tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). 2.
Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz. Chú ý Chú ý #» #» #»
• i 2 = j 2 = k 2 = 1. • #» a 2 = | #» a |2. #» #» #» #» #» #»
• i · j = j · k = k · i = 0. 3. Tọa độ véctơ #» #» #» #»
u = (x; y; z) ⇔ #»
u = x i + y j + z k . 4. Tọa độ điểm # » #» #» #»
M (x; y; z) ⇔ OM = x i + y j + z k . 123 | Page
1. Hệ tọa độ trong không gian 5.
Các công thức tọa độ cần nhớ #» #»
Cho u = (a; b; c), v = (a0; b0; c0).  a = a0     • #» #» u = v ⇔ b = b0    
c = c0. • #» u ± #»
v = (a ± a0; b ± b0; c ± c0). • k · #»
u = (ka; kb; kc). • #» #» #» u · #» v = | #» u | · | #»
v | · cos ( u , v ) = aa0 + bb0 + cc0. #» u · #» v
aa0 + bb0 + cc0 • #» #» cos ( u , v ) = = √ √ . | #» u | · | #» v |
a2 + b2 + c2 ·
a02 + b02 + c02 √ √ • | #» #» u | = u 2 =
a2 + b2 + c2. • #» u ⊥ #» v ⇔ #» u · #» v = 0. # »
• AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA). # » » • AB = AB =
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2. 6. Chú ý #» #»
Góc của hai véc-tơ ( u , v ) là góc hình học (nhỏ) giữa hai tia mang các véc-tơ đó, giá trị trong #» #» #» #»
[0; π] là sin ( u ; v ) = p1 − cos2 ( u , v ) ≥ 0. 7.
Chia tỉ lệ đoạn thẳng # » # »
Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k nghĩa là M A = kM B. Công thức tọa độ của M là  xA − kxB  xM =   1 − k    y y A − kyB M = 1 − k     zA − kzBz .M = 1 − k
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 123 124 | Page
1. Hệ tọa độ trong không gian 8.
Công thức trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì  xA + xBxM =  2 # » # »  #»   y
M A + M B = 0 ⇔ y A + yB M = 2    zA + zBz .M = 2 9.
Công thức trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì 
xA + xB + xCxG =  3 # » # » # »  #»   y
GA + GB + GC = 0 ⇔ y
A + yB + yC G = 3    z
A + zB + zCz .G = 3 10.
Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì 
xA + xB + xC + xDxG =  4 # » # » # » # »  #»   y
GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ y
A + yB + yC + yD G = 4    z
A + zB + zC + zDz .G = 4 11.
Tích có hướng của hai véc-tơ #» #» #» #»
Cho hai véc-tơ u = (a; b; c) và v = (a0; b0; c0). Tích có hướng của hai véc-tơ u và v là một véc-tơ, #» #» #»
kí hiệu [ u , v ] hay u ∧ #» v , có tọa độ Ö è #» #» b c c a a b [ u , v ] = ; ;
= (bc0 − b0c; ca0 − ac0; ab0 − ba0) . b0
c0 c0 a0 a0 b0 12.
Tính chất của tích có hướng của hai véc-tơ • #» #» #» #»
[ u , v ] vuông góc với u và v . • | #» #» #» #» [ u , v ]| = | #» u | · | #»
v | · sin ( u , v ).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 124 125 | Page
1. Hệ tọa độ trong không gian #» • #» #» #» [ u , v ] = 0 ⇔ #» u , v cùng phương. 13.
Ứng dụng của tích có hướng của hai véc-tơ î # » # »ó
• Diện tích hình bình hành ABCD: S = AB, AD . 1 î # » # »ó
• Diện tích tam giác ABC: S = · AB, AC . 2 • #» #» #» #» #»
Ba véc-tơ u , v , w đồng phẳng ⇔ [ u , v ] · #» w = 0.
• Thể tích khối hộp có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên AA0: # » î # » # »ó
V = AB, AD · AA0 . 1 î # » # »ó # »
• Thể tích khối tứ diện S.ABC: V = · AB, AC · SA. 6
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP 1.
Các phép toán về tọa độ của véc-tơ và của điểm Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian. 2.
Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích - Thể tích Phương pháp giải
• Sử dụng các công thức về tọa độ của véc-tơ và của điểm trong không gian.
• Sử dụng các phép toán về véc-tơ trong không gian.
• Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.
• Tính chất hình học của các điểm đặc biệt. # » # » # » # » î # » # »ó #»
– A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔ AB = kAC ⇔ AB, AC = 0 . # » # »
– ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC.
– Cho 4ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A trên # » AB # » # » AB # »
BC. Ta có EB = − · EC, F B = · F C. AC AC
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 125 126 | Page 2. Mặt phẳng # » # » # » î # » # »ó # »
– A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD không đồng phẳng ⇔ AB, AC ·AD 6= 0. Chủ đề MẶT MẶ PHẲNG P 2
A. CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 1.
Khái niệm về véc-tơ pháp tuyến #» #»
Véc-tơ n khác 0 và có giá vuông góc mp(P ) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của (P ). 2.
Tính chất của véc-tơ pháp tuyến #» #»
Nếu n là véc-tơ pháp tuyến của (P ) thì k n (k 6= 0) cũng là véc-tơ pháp tuyến của (P ). 3.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng #»
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P ) qua M (x0; y0; z0) và có véc-tơ pháp tuyến n =
(A; B; C) là
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. 4.
Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0). 5.
Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
• (P ) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0.
• (P ) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Ox ⇔ A = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Oy ⇔ B = 0.
• (P ) song song hoặc chứa trục Oz ⇔ C = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 126 127 | Page 2. Mặt phẳng
• (P ) (không qua gốc tọa độ) cắt Ox tại A(a; 0; 0), cắt Oy tại B(0; y; 0), cắt Oz tại C(0; 0; c) x y z
⇔ (P ) có phương trình + + = 1. a b c 6.
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho M (x0; y0; z0) và (P ) : Ax + By + Cz + D = 0, khi đó |Ax d [
0 + By0 + C z0 + D| M ; (P )] = √ .
A2 + B2 + C2 7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
• Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt
phẳng (α) và (β) gọi là một chùm mặt phẳng.
• Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : A1x+B1y +C1z + d
D1 = 0 và (β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0. (β)
• Khi đó nếu (P ) là mặt phẳng chứa d thì mặt phẳng (P ) có (α) (P ) dạng
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
với m2 + n2 6= 0.
B. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó. 1. Dạng 1 #»
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có VTPT n = (A; B; C) thì
(α) : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 127 128 | Page 2. Mặt phẳng 2. Dạng 2 #» #» #» î #» #»ó
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và có cặp VTCP a , b thì n = a , b là một VTPT của (α). 3. Dạng 3
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x0; y0; z0) và song song với (β) : Ax + By + Cz = 0 thì
(α) : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0. 4. Dạng 4
Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Khi đó ta có thể xác định một VTPT #» î # » # »ó
của (α) là n = AB, AC . 5. Dạng 5
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M : • #»
Trên d lấy điểm A và VTCP u . î # » ó • #» #»
Một VTPT của (α) là n = AM , u . 6. Dạng 6 #»
Mặt phẳng (α) đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP u của đường thẳng
d là một VTPT của (α). 7. Dạng 7
Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1, d2: #» • #»
Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. î #»ó • #» #»
Một VTPT của (α) là n = a , b .
• Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α). 8. Dạng 8
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (hai đường d1, d2 chéo nhau): #» • #»
Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 128 129 | Page 2. Mặt phẳng î #»ó • #» #»
Một VTPT của (α) là n = a , b .
• Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ (α). 9. Dạng 9
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2: #» • #»
Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2. î #»ó • #» #»
Một VTPT của (α) là n = a , b . 10. Dạng 10
Mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (β): • #» #»
Xác định VTCP u của d và VTPT n β của (β). • #» #» #»
Một VTPT của (α) là n = [ u , n β].
• Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α). 11. Dạng 11
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ): • #» #»
Xác định các VTPT n β, n γ của (β) và (γ). • #» #» #»
Một VTPT của (α) là n = [ n β, n γ]. 12. Dạng 12
Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
• Giả sử (α) có phương trình A + By + Cz + D = 0, (A2 + B2 + C2 6= 0).
• Lấy hai điểm A, B ∈ d ⇒ A, B ∈ (α), ta được hai phương trình (1) và (2).
• Từ điều kiện khoảng cách d [M, (α)] = k, ta được phương trình (3).
• Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 13. Dạng 13
Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H:
• Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. # » • #»
Một VTPT của (α) là n = IH.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 129 130 | Page 2. Mặt phẳng
C. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và (P 0) : A0x + B0y + C0z + D0 = 0. Khi đó
• (P ) cắt (P 0) ⇔ A : B : C 6= A0 : B0 : C0. A B C D
• (P ) ∥ (P 0) ⇔ = = 6= . A0 B0 C0 D0 A B C D
• (P ) ≡ (P 0) ⇔ = = = . A0 B0 C0 D0
• (P ) ⊥ (P 0) ⇔ #» n (P ) ⊥ #» n (P 0) ⇔ #» n (P ) · #»
n (P 0) = 0 ⇔ AA0 + BB0 + CC0 = 0.
D. KHOẢNG CÁCH VÀ HÌNH CHIẾU 1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 là |Ax d [
0 + By0 + C z0 + D| M √ 0; (α)] = .
A2 + B2 + C2 2.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3.
Hình chiếu của một điểm lên một mặt  # » #»
M H , n cùng phương
Điểm H là hình chiếu của điểm M lên (P ) ⇔ .H ∈ (P ) 4.
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng # » # »
Điểm M 0 đối xứng M qua (P ) ⇔ M M 0 = 2M H.
E. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình (α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (β) : A2x + B2y +
C2z + D2 = 0. #» #»
Góc giữa (α), (β) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n 1, n 2. | #» n |A cos [( 1 · #» n 2|
1A2 + B1B2 + C1C2| α); (β)] = = . | #» n p 1| · | #» n 2|
A2 + B2 + C2 · pA2 + B2 + C2 1 1 1 2 2 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 130 131 | Page 3. Đường thẳng Chú ý h i 0◦ ≤ ◊
(α); (β) ≤ 90◦; (α) ⊥ (β) ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
F. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TIẾP XÚC MẶT CẦU.
Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có tâm I.
• (α) và (S) không có điểm chung ⇔ d [I; (α)] > R.
• (α) tiếp xúc (S) ⇔ d [I; (α)] = R với (α) là tiếp diện.
Để tìm tọa độ tiếp điểm, ta có thể thực hiện như sau
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
• Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), H là giao điểm của (S) với (α).
• (α) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d [I; (α)] < R.
Để xác định tâm và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau
• Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc (α).
• Tìm tọa độ giao điểm H của d và (α), với H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (α). √
• Bán kính r của đường tròn giao tuyến r = R2 − IH2. Chủ đề ĐƯỜNG THẲNG 3
A. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1.
Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng #» c #»
Định nghĩa 3.1. Cho đường thẳng d. Nếu véc-tơ a 6= 0 và có giá song song hoặc
trùng với đường phẳng d thì được gọi là véc-tơ chỉ phương của đường phẳng d. Kí hiệu: #»
a = (a1; a2; a3).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 131 132 | Page 3. Đường thẳng Chú ý • #» #»
a là VTCP của d thì k a (k 6= 0) cũng là VTCP của d; # »
• Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d; #» • #»
Trục Ox có véc-tơ chỉ phương a = i = (1; 0; 0); #» • #»
Trục Oy có vectơ chỉ phương a = j = (0; 1; 0); #» • #»
Trục Oz có vectơ chỉ phương a = k = (0; 0; 1). 2.
Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M z
0 (x0; y0; z0) và #» #» a nhận a = (a ∆
1; a2; a3) làm VTCP là
M (x; y; z)  M yx = x 0  0 + a1t O    ∆ : x y = y (t ∈ 0 + a2t R).    
z = z0 + a3t 3.
Phương trình chính tắc của đường thẳng #»
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0; y0; z0) và nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP là x − x0 y − y z − z = 0 = 0
(a1, a2, a3 6= 0) . a1 a2 a3
B. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ∆ #» M a ∆ #» #» a #» n n #» n M #» α α α a M ∆
Phương pháp hình học
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 132 133 | Page 3. Đường thẳng  x = x  0 + a1t (1)   
d Định lí 3.1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = y có véc-tơ 0 + a2t (2)    
z = z0 + a3t (3) #»
chỉ phương a = (a1; a2; a3) và đi qua M = (x0; y0; z0) và mặt phẳng (α) : Ax+By+Cz+D = #»
0 có véc-tơ pháp tuyến n = (A; B; C). Khi đó
• ∆ ∩ (α) = {A} ⇔ #» a · #»
n 6= 0 ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 6= 0;  #»   a · #» n = 0
Aa1 + Ba2 + C a3 = 0 • ∆ ∥ (α) ⇔ ⇔ M / ∈ (α)
Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0;  #»   a · #» n = 0
Aa1 + Ba2 + C a3 = 0 • ∆ ⊂ (α) ⇔ ⇔ M ∈ (α)
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. #»
Đặc biệt. ∆ ⊥ (α) ⇔ #»
a và n cùng phương ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C. ∆ #» a #» n α
Phương pháp đại số  pt (∆)
Muốn tìm giao điểm M của ∆ và (α), ta giải hệ phương trình
tìm x, y, z. Suy ra M (x; y; z). pt (α)
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (α) và rút gọn đưa về dạng at + b = 0. (∗)
• ∆ cắt (α) tại một điểm ⇔ pt(∗) có một nghiệm t;
• ∆ song song với (α) ⇔ pt(∗) vô nghiệm;
• ∆ nằm trong (α) ⇔ pt(∗) có vô số nghiệm t; • #» ∆ ⊥ (α) ⇔ #»
a và n cùng phương. 2.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 N ∆ ∆ 2 1 M N #» #» #» u 2 u 1 u 1 ∆ ∆ ∆ 2 #» 1 2 ∆2 N u #» #» #» M 2 M u 1 M N #» u 1 u 2 ∆1 u 2
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 133 134 | Page 3. Đường thẳng
Phương pháp hình học #» Cho hai đường thẳng:
∆1 đi qua M và có một véc-tơ chỉ phương u 1; #»
∆2 đi qua N và có một véc-tơ chỉ phương u 2. î # »ó #» • #» #» #»
∆1 ≡ ∆2 ⇔ [ u 1, u 2] = u 1, M N = 0 ;  #» #» #»
 [ u 1, u 2] = 0 • ∆1 ∥ ∆2 ⇔ î #» # »ó #»  u 1, M N 6= 0 ;  #» #» #»
 [ u 1, u 2] 6= 0 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ #» #» # »
 [ u 1, u 2] · M N = 0; # » • #» #»
∆1 và ∆2 chéo nhau ⇔ [ u 1, u 2] · M N 6= 0.
Phương pháp đại số  pt (∆1)
Muốn tìm giao điểm M của ∆1 và ∆2, ta giải hệ phương trình tìm x, y, z. Suy ra pt (∆2)
M (x; y; z). 3.
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu  x = x  0 + a1t (1)    Cho đường thẳng ∆ : y = y
và mặt cầu (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 có 0 + a2t (2)    
z = z0 + a3t (3)
tâm I(a; b; c), bán kính R.
Phương pháp hình học
Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng ∆ là î # » #»ó IM , a h = d(I, ∆) = . | #» a |
Bước 2: So sánh d(I, ∆) với bán kính R của mặt cầu:
• Nếu d(I, ∆) > R thì ∆ không cắt (S);
• Nếu d(I, ∆) = R thì ∆ tiếp xúc với (S);
• Nếu d(I, ∆) < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt M, N và M N vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 134 135 | Page 3. Đường thẳng
Phương pháp đại số
Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (S) và rút gọn và đưa về phương trình bậc hai theo t. (∗)
• Nếu phương trình (∗) vô nghiệm thì ∆ không cắt (S);
• Nếu phương trình (∗) có một nghiệm thì ∆ không cắt (S);
• Nếu phương trình (∗) có hai nghiệm thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt M , N . Chú ý
Để tìm tọa độ M , N , ta thay giá trị vào phương trình đường thẳng ∆.
C. GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1.
Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
(α), (β) xác định bởi phương trình: #»
n 1 = (A1; B1; C1) #»
n 2 = (A2; B2; C2)
(α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 β
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), α ta có công thức: |A cos
1A2 + B1B2 + C1C2|
ϕ = pA2 + B2 + C2 · pA2 + B2 + C2 1 1 1 2 2 2 2.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 135 136 | Page 3. Đường thẳng Cho đường thẳng (∆) x − x y − y z − z (∆) : 0 = 0 = 0 #»
u = (a; b; c) a b c #»
n = (A; B; C)
và mặt phẳng (α) : Ax+By +Cz +D = 0. α 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng ∆ và
mặt phẳng (α) ta có công thức:
|Aa + Bb + Cc| sin ϕ = √ √
A2 + B2 + C2 ·
a2 + b2 + c2 3.
Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng: x − x y − y z − z
#»a = (a; b; c) 1 (∆ 0 0 0 1) : = = a b c ∆1 x − x0 y − y0 z − z0 #» (∆ 0 0 0 a 2) : = = a0 b0 c0 2 = ∆ (a0 2 ; b0; c0)
Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (∆1) 0◦ ≤ ϕ ≤ 90◦
và (∆2) ta có công thức:
|aa0 + bb0 + cc0| cos ϕ = √ √
a2 + b2 + c2 ·
a02 + b02 + c02 D. KHOẢNG CÁCH 1.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 136 137 | Page 3. Đường thẳng
Cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + M (x
D = 0 và điểm M (x 0; y0; z0)
0; y0; z0). Khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) α H được tính bởi: |Ax d [
0 + By0 + C z0 + D| M, (α)] = √ .
A2 + B2 + C2 2.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho đường thẳng (∆) đi qua điểm #»
M0(x0; y0; z0) và có VTCP u = M
(a; b; c). Khi đó khoảng cách từ điểm 1 M #»
1 đến (∆) được tính bởi công thức: u (∆) M H
0(x0; y0; z0) î # » #»ó M 0M1; u d(M1, ∆) = . | #» u | 3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 137 138 | Page 3. Đường thẳng
Trong không gian (Oxyz) cho hai đường M thẳng chéo nhau: 0 #»u #» (∆ ∆1 1) có VTCP u =
(a; b; c) và qua #» u0 M ∆
0(x0; y0; z0) 2M 0 #» 0 (∆2) có VTCP u0 =
(a0; b0; c0) và qua
M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) 0 0 0 0
Khi đó khoảng cách giữa (∆1) và (∆2) được tính bởi công thức î #» #» # » u , u0ó · M 0M 0 0 d(∆1, ∆2) = . î #» #» u , u0ó
E. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó. 1. Dạng 1  x = x  0 + a1t  #»  
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP a = (a1; a2; a3) là d : y = y (t ∈ 0 + a2t R).    
z = z0 + a3t 2. Dạng 2 # »
d đi qua hai điểm A, B: d có một VTCP là AB. 3. Dạng 3
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d ∥ ∆ nên VTCP của
∆ cũng là VTCP của d. 4. Dạng 4
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với mặt phẳng (P ) cho trước. Vì d ⊥ (P ) nên VTPT
của (P ) cũng là VTCP của d.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 138 139 | Page 3. Đường thẳng 5. Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ), (Q):
Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.  (P )
• Tìm tọa độ một điểm A ∈ d bằng cách giải hệ phương trình
(với việc chọn giá trị cho (Q) một ẩn). • #» #» #»
Tìm một VTCP của d: a = [ n P , n Q].
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 6. Dạng 6
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: #» #» #»
Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là a = [ a d , a ]. 1 d2 7. Dạng 7
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0), vuông góc và cắt đường thẳng ∆.
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng ∆.  H ∈ ∆ Ta có # »
. Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H. M0H ⊥ #» u ∆
• Cách 2: Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; Q là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 8. Dạng 8
d đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và cắt hai đường thẳng d1, d2:
• Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện M , M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2.
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d.
• Cách 2: Gọi (P ) = (M0, d1), (Q) = (M0, d2). Khi đó d = (P ) ∩ (Q). Do đó một VTCP của #» #» #»
d có thể chọn là a = [ n P , n Q]. 9. Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng (P ) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P ), B = d2 ∩ (P ).
Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 139 140 | Page 3. Đường thẳng 10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2.
Khi đó d = (P ) ∩ (Q). 11. Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau. a) Cách 1:  M N ⊥ d1
Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2. Từ điều kiện
ta tìm được M, N . Khi đó d là đường M N ⊥ d2 thẳng M N . b) Cách 2: • #» #» #»
Vì d ⊥ d1 và d ⊥ nên một véc-tơ chỉ phương của d là a = [ a d ; a ]. 1 d2
• Lập phương trình mặt phẳng (P ) chứa d và d1 bằng cách.
– Lấy một điểm A trên d1. #» #» #»
– Một véc-tơ chỉ phương của (P ) là n P = [ a , a d ]. 1
• Tương tự lập phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và d2. Khi đó d = (P )∩(Q). 12. Dạng 12
d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d2. a) Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện M N ⊥ d1, ta tìm được N . Khi đó, d là đường thẳng M N . b) Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) và qua M và vuông góc với d1.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
• Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 140 141 | Page 3. Đường thẳng 13. Dạng 13
d đi qua M , vuông góc với d1 và cắt d2. a) Cách 1:
Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện M N ⊥ d1 ta tìm được N . Khi đó, d là đường thẳng M N . b) Cách 2:
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua M và vuông góc với d1.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
• Khi đó d = (P ) ∩ (Q).
F. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: a) Phương pháp hình học:
Dụa vào mối quan hệ giữa các véc-tơ chỉ phương và các điểm thuộc đường thẳng. b) Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. 2.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: a) Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa véc-tơ chỉ phuwpwng của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. b) Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 141 142 | Page 3. Đường thẳng G. KHOẢNG CÁCH 1.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d a) Cách 1: #»
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có véc-tơ chỉ phương a thì î # » #»ó M 0M , a d (M, d) = . | #» a | b) Cách 2:
• Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
• d (M, d) = M H. c) Cách 3:
• Gọi N (x; y; z) ∈ d. Tính M N 2 theo t (t là tham số trong đường thẳng d).
• Tìm t để M N 2 nhỏ nhất.
• Khi đó N ≡ H, do đó d (M, d) = M H. 2.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Biết d1 đi qua điểm M1 và có véc-tơ chỉ phương #» #»
a 1, d2 đi qua điểm M2 và có véc-tơ chỉ phương a 2 thì #» #» # » [ a
1, a 2] · M1M2 d (d1, d2) = . | #» #» [ a 1, a 2]|
• Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1
mà mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1. 3.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 142 143 | Page 4. Mặt cầu 4.
Khoảng cách giữa một đường thẳng mà mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (α). H. GÓC 1.
Góc giữa hai đường thẳng #» #»
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các véc-tơ chỉ phương a 1, a 2. Gọi α là góc giữa d1, d2 d1, d2, ta có #» #» | #» a cos 1 · #» a 2|
α = |cos ( a 1, a 2)| = . | #» a 1| · | #» a 2| 2.
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng #»
Cho đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương a = (a1; a2; a3) và mặt phẳng (α) có véc-tơ pháp #»
tuyến n = (A; B; C).
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa d và hình chiếu vuông góc d0 của nó trên (α). Ta có |Aa sin 1 + Ba2 + C a3| ’ d, (α) = √ .
A2 + B2 + C2 · pa2 + a2 + a2 1 2 3 Chủ đề MẶT MẶ CẦU CẦ 4
A. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
a) Phương trình chính tắc
• Phương trình của mặt cầu (S) tâm I (a; b; c), bán kính R là (S) : (x − a)2 +
(y − b)2 + (z − c)2 = R2 (1)
• Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
• Đặc biệt : Khi I ≡ O thì (S) : x2 + y2 + z2 = R2
b) Phương trình tổng quát
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 143 144 | Page 4. Mặt cầu
• Phương trình : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a2 + b2 + c2 − d > 0 là √
phương trình của mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R =
a2 + b2 + c2 − d
B. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
• Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
• Gọi d (I; (α)) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α).
• Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P ).
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P ) ⇒ d = IH = d (I, (P )) d > R
d = R d < R Mặt phẳng tiếp xúc
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo
mặt cầu : (P ) là mặt Mặt cầu và mặt phẳng
thiết diện là đường tròn có phẳng tiếp diện của không có điểm chung.
tâm I0 và bán kính r = mặt cầu và H : tiếp √R2 − IH2 điểm. I I I R d P H r M P H P H
C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1. Dạng 1
(S) có tâm I (a; b; c) và bán kính R thì (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2. 2. Dạng 2
(S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm A thì bán kính R = IA.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 144 145 | Page 4. Mặt cầu 3. Dạng 3
(S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính x y z
• Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB : x A + xB A + yB A + zB I = ; yI = ; zI = . 2 2 2 AB
• Bán kính R = IA = . 2 4. Dạng 4
(S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
• Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*).
• Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S). 5. Dạng 5
(S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P ) cho trước thì giải tương tự dạng 4. 6. Dạng 6
(S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước
• Xác định tâm I và bán kính R0 của mặt cầu (T ).
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai
trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý : Với phương trình mặt cầu (S) : x2 +y2 +z2 +2ax+2by +2cz +d = 0 vói a2 +b2 +c2 −d > 0 √
thì (S) có tâm I (−a; − b; − c) và bán kính R =
a2 + b2 + c2 − d. Đặc biệt :
Cho hai mặt cầu S1 (I1; R1) và S2 (I2; R2).
• I1I2 < |R1 − R2| ⇔ (S1) , (S2) trong nhau.
• I1I2 > R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) ngoài nhau.
• I1I2 = |R1 − R2| ⇔ (S1) , (S2) tiếp xúc trong.
• I1I2 = R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) tiếp xúc ngoài.
• |R − 1 − R2| < I1I2 < R1 + R2 ⇔ (S1) , (S2) cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn giao tuyến).
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 145 146 | Page 4. Mặt cầu 7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), tiếp xúc với mặt phẳng (P ) cho trước thì bán
kính mặt cầu R = d (I; (P )). 8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), cắt mặt phẳng (P ) cho trước theo giao tuyến
là một đường tròn thoả điều kiện.
• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường
tròn S = πr2 hoặc chu vi đường tròn P = 2πr ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r.
• Tính d = d (I, (P )). √
• Tính bán kính mặt cầu R = d2 + r2.
• Kết luận phương trình mặt cầu. 9. Dạng 9
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ cho trước và có tâm I (a; b; c)
cho trước thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ta có R = d (I, ∆). 10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với một đường thẳng ∆ tại tiếp điểm M (x0; y0; z0) thuộc
∆ và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau
• Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng ∆.
• Toạ độ tâm I = (P ) ∪ ∆ là nghiệm của phương trình.
• Bán kính mặt cầu R = IM = d (I, ∆).
• Kết luận về phương trình mặt cầu (S). 11. Dạng 11
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và cắt đường thẳng ∆ tại hai điểm A, B thoả mãn điều kiện
• Độ dài AB là một hằng số.
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 146 147 | Page
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
• Tam giác IAB là tam giác vuông.
• Tam giác IAB là tam giác đều. AB
Thì ta xác định d (I, ∆) = IH, vì 4IAB cân tại I nên HB =
và bán kính mặt cầu R được 2 tính như sau √ • R = IH2 + HB2. IH • R = . sin 45◦ IH • R = . sin 60◦ 12. Dạng 12
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P ) nào đó.
• Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M .
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 hoặc x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0.
• Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có). 13. Dạng 13
Tìm tập hợp tâm mặt cầu 
x = f (t)    
• Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn : y = g (t) (*)    
z = h (t)
• Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
• Tìm giới hạn quỹ tích (nếu có). Chủ đề MỘT MỘ SỐ BÀI TO T ÁN O
GIẢI NHANH CỰC TRỊ 5 KHÔNG GIAN A. DẠNG 1.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để (M A + M B)min. • Phương pháp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 147 148 | Page
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
• Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
• Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B0 là điểm đối xứng với B qua (P ). B. DẠNG 2.
Cho mặt phẳng (P ) và hai điểm A, B. Tìm M ∈ (P ) để |M A − M B|max. • Phương pháp
• Nếu A và B nằm khác phía so với (P ) ⇒ M , A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ).
• Nếu A và B nằm cùng phía so với (P ) ⇒ B0 là điểm đối xứng với B qua (P ) ⇒ |M A−M B0| = AB0. C. DẠNG 3.
Cho điểm M (xM ; yM ; zM ) không thuộc các trục và các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt
phẳng (P ) qua M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho VO.ABC nhỏ nhất. • Phương pháp x y z (P ) : + + = 1. 3xM 3yM 3zM D. DẠNG 4.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho khoảng cách từ điểm M / ∈ d đến (P ) là lớn nhất . • Phương pháp  Qua A ∈ d (P ) : #» îî #» # »ó #» ó  n P =
u d; AM ; u d . E. DẠNG 5.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A và cách M một khoảng lớn nhất. • Phương pháp
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 148 149 | Page
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian  Qua A (P ) : #» # »  n P = AM . F. DẠNG 6.
Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, sao cho (P ) tạo với ∆ một góc lớn nhất(∆
không song song với đường thẳng d ). • Phương pháp  Qua A ∈ d (P ) : #» #» #» #»
n P = [[ u d, u ∆] , u d] . G. DẠNG 7.
Cho ∆ ∥ (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) song song với ∆ và cách ∆ một khoảng nhỏ nhất . • Phương pháp  Qua A0
• Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A0 là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì d : #» #»
u d = u ∆. H. DẠNG 8.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P )
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với (P )). • Phương pháp
Lấy điểm A ∈ ∆, gọi A0 là hình chiếu vuông góc của A lên (P ) thì  Qua A ∈ d (d) : #» î #» # »ó  u d = n P , AM .
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 149 150 | Page
5. Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian I. DẠNG 9.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước và nằm trong mặt phẳng (P )
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với (P )). • Phương pháp  Qua A ∈ d d : #» îî #» # »ó #» ó  u d = n P , AM , n P . J. DẠNG 10.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ∈ (P ) cho trước, sao cho d nằm trong (P ) và tạo
với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với (P )). • Phương pháp  Qua A ∈ d d : #» îî #» # »ó #» ó  u d = n P , AM , n P .
Ô Thạc Sĩ: Lương Văn Huy - ĐT: 0909127555 150
Document Outline

  • I Giải Tích 12
    • Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
      • Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
        • Định nghĩa
        • Quy tắc tính đạo hàm
        • Công thức tính đạo hàm hàm phân thức
        • Bảng công thức tính đạo hàm
        • Đạo hàm cấp hai
        • Một số chú ý
        • Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
      • Cực trị hàm số
        • Định nghĩa
        • Minh họa đồ thị
        • Một số điểm cần lưu ý
        • Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
        • Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
        • Quy tắc tìm cực trị
        • Một số dạng toán liên quan đến cực trị hàm số
        • Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất
          • Định nghĩa
          • Phương pháp tìm GTLN, GTNN
          • Đường tiệm cận của hàm số
            • Đường tiệm cận ngang
            • Đường tiệm cận đứng
          • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
            • Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
            • Đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối
            • Một số phép biến đổi đồ thị
            • Tiếp tuyến
              • Tiếp tuyến
              • 124 Dạng 6.1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M(x0;y0)
              • 124 Dạng 6.2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) có phương cho trước
              • 124 Dạng 6.3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) đi qua điểm M(x0;y0)
              • Điều kiện tiếp xúc
              • Tương giao đồ thị
                • 124 Dạng 7.4: Tìm tham số để đồ thị (C)2mu-:6muplus1muy= epicax+bcx+d cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
                • 124 Dạng 7.5: Tìm tham số để đồ thị (C)2mu-:6muplus1muy=ax3+bx2+cx+d cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm
                • 124 Dạng 7.6: Tìm tham số để đồ thị (C)2mu-:6muplus1muy=ax4+bx2+c cắt đường thẳng d tại 4 điểm
                • 124 Dạng 7.7: Tìm tham số để đồ thị (C)2mu-:6muplus1muy=f(x) cắt đường thẳng d tại n điểm thỏa mãn tính chất nào đó
                • Điểm đặc biệt của họ đường cong
                  • Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
                  • Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên
                  • Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng
                  • Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách
              • Mũ và Logarit
                • Lũy thừa và hàm số lũy thừa
                  • Khái niệm lũy thừa
                  • Phương trình xn=b
                  • Một số tính chất của căn bậc n
                  • Hàm số lũy thừa
                  • Khảo sát hàm số mũ y=ax
                  • Lôgarit
                    • Khái niệm lôgarit
                    • Bảng tóm tắt công thức mũ - lôgarit thường gặp
                    • Bất phương trình mũ và logarit
                      • Bất phương trình mũ cơ bản
                      • Bất phương trình logarit cơ bản
                      • Bài toán lãi suất ngân hàng
                        • Lãi đơn
                        • Lãi kép
                        • Tiền gửi hàng tháng
                        • Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
                        • Vay vốn trả góp
                        • Bài toán tăng lương
                        • Bài toán tăng trưởng dân số
                        • Lãi kép liên tục
                        • Nguyên hàm - Tích phân Ứng dụng tích phân
                          • Nguyên hàm
                            • Định nghĩa
                            • Tính chất nguyên hàm
                            • Sự tồn tại nguyên hàm
                            • Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
                            • Bảng nguyên hàm mở rộng
                            • Các phương pháp tính nguyên hàm
                              • Phương pháp đổi biến
                              • Phương pháp nguyên hàm từng phần
                              • 124 Dạng 2.8:
                              • 124 Dạng 2.9:
                              • 124 Dạng 2.10:
                              • Tích phân
                                • Công thức tính tích phân
                                • Tính chất của tích phân
                                • Phương pháp tính tích phân
                                  • Phương pháp đổi biến
                                  • Phương pháp tích phân từng phần
                                  • Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản
                                    • Tích phân hàm hữu tỉ
                                    • Tích phân hàm vô tỉ
                                    • Tích phân hàm lượng giác
                                    • Ứng dụng của tích phân
                                      • Diện tích hình phẳng
                                      • Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
                                    • Số phức
                                      • Số phức
                                        • Khái niệm số phức
                                        • Hai số phức bằng nhau
                                        • Biểu diễn hình học số phức
                                        • Số phức liên hợp
                                        • Mô-đun của số phức
                                      • Phép cộng trừ, nhân chia số phức
                                        • Phép cộng và phép trừ số phức
                                        • Phép nhân số phức
                                        • Chia hai số phức
                                      • Phương trình bậc hai với hệ số thực
                                        • Căn bậc hai của số thực âm
                                        • Phương trình bậc hai với hệ số thực
                                    • II Hình Học 12
                                      • Khối đa diện
                                        • Khối lăng trụ và khối chóp
                                          • Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
                                            • Khái niệm về hình đa diện
                                            • Khái niệm về khối đa diện
                                            • Hai đa diện bằng nhau
                                              • Phép dời hình trong không gian
                                              • Hai hình bằng nhau
                                              • Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
                                                • Khối đa diện lồi
                                                  • Khối đa diện lồi
                                                  • Khối đa diện đều
                                                  • Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
                                                  • Thể tích khối đa diện
                                                    • Thể tích khối chóp
                                                    • Thể tích khối lăng trụ
                                                    • Thể tích khối hộp chữ nhật
                                                    • Thể tích khối lập phương
                                                    • Tỉ số thể tích
                                                    • Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
                                                    • Các công thức hình phẳng
                                                      • Hệ thức lượng trong tam giác
                                                      • Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp
                                                        • Các công thức đặc biệt của thể tích tứ diện
                                                        • Mặt nón - mặt trụ - mặt cầu
                                                          • Mặt nón tròn xoay và khối nón
                                                            • Mặt nón tròn xoay
                                                            • Khối nón
                                                            • Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
                                                            • Mặt trụ tròn xoay và khối trụ
                                                              • Mặt trụ
                                                              • Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
                                                              • Mặt cầu và khối cầu
                                                                • Mặt cầu
                                                                • Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
                                                                • Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
                                                                • Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
                                                                • Một số dạng toán và công thức giải nón và trụ
                                                                  • Bài toán mặt nón
                                                                  • Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
                                                                  • Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu
                                                                    • Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
                                                                    • Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
                                                                    • Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
                                                                    • Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện
                                                                    • Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu
                                                                    • Dạng 6
                                                                  • Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay
                                                                    • Chỏm cầu
                                                                    • Hình trụ cụt
                                                                    • Hình nêm loại 1
                                                                    • Hình nêm loại 2
                                                                    • Parabol bậc hai - Paraboloid
                                                                    • Diện tích Elip và thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip
                                                                    • Diện tích hình vành khăn
                                                                    • Thể tích hình xuyến (phao)
                                                                  • Hệ tọa độ trong không gian
                                                                    • Hệ tọa độ trong không gian
                                                                      • Các khái niệm và tính chất
                                                                      • Phương pháp giải một số bài toán thường gặp
                                                                      • Mặt phẳng
                                                                        • Các khái niệm và tính chất
                                                                        • Viết Phương Trình Mặt Phẳng
                                                                        • Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
                                                                        • Khoảng cách và hình chiếu
                                                                        • Góc giữa hai mặt phẳng
                                                                        • Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
                                                                        • Đường thẳng
                                                                          • Phương trình của đường thẳng
                                                                          • Vị trí tương đối
                                                                          • Góc trong không gian
                                                                          • Khoảng cách
                                                                          • Lập phương trình đường thẳng
                                                                          • Vị trí tương đối
                                                                          • Khoảng cách
                                                                          • Góc
                                                                          • Mặt cầu
                                                                            • Phương trình mặt cầu
                                                                            • Giao của mặt cầu và mặt phẳng
                                                                            • Một số bài toán liên quan
                                                                            • Một số bài toán giải nhanh cực trị không gian
                                                                              • Dạng 1.
                                                                              • Dạng 2.
                                                                              • Dạng 3.
                                                                              • Dạng 4.
                                                                              • Dạng 5.
                                                                              • Dạng 6.
                                                                              • Dạng 7.
                                                                              • Dạng 8.
                                                                              • Dạng 9.
                                                                              • Dạng 10.