Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Hình học 12 – Trần Hoàng Long

Tổng hợp lý thuyết và công thức tính nhanh Hình học 12 – Trần Hoàng Long được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

76 38 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

50 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51
MỤC LỤC
PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN.................................................................................................. 54
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP .......................................................................... 54
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ............................................ 54
2.1. Khái niệm về hình đa diện ..................................................................................... 54
2.2. Khái niệm về khối đa diện ..................................................................................... 54
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .................................................................................... 55
3.1. Phép dời hình trong không gian ............................................................................ 55
3.2. Hai hình bằng nhau ............................................................................................... 56
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ................................................. 56
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .................................................................................................. 56
5.1. Khối đa diện lồi ..................................................................................................... 56
5.2. Khối đa diện đều ................................................................................................... 57
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi ....................................................... 58
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................................... 58
6.1. Thể tích khối chóp ................................................................................................. 58
6.2. Thể tích khối lăng trụ............................................................................................. 58
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật .................................................................................... 59
6.4. Thể tích khối lập phương ....................................................................................... 59
6.5. Tỉ số thể tích .......................................................................................................... 59
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt ............................................................ 59
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG ........................................................................... 60
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................ 60
7.2. Các công thức tính diện tích .................................................................................. 60
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 61
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN ................................................ 63
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU ................................................................ 64
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................ 64
1.1. Mặt nón tròn xoay ................................................................................................. 64
1.2. Khối nón ................................................................................................................ 64
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng ........................................................................... 65
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................ 65
2.1. Mặt trụ .................................................................................................................. 65
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay ............................................................... 65
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................ 66
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52
3.1. Mặt cầu .................................................................................................................. 66
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ........................................................... 66
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ....................................................... 67
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ............................................................ 67
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ...................................................... 68
4.1. Bài toán mặt nón .................................................................................................... 68
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ .............................................. 71
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU ................. 72
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ............................................................................. 72
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp..................................................... 75
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ...................................... 75
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ....................... 76
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu ..................................................... 77
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ...................... 78
6.1. Chỏm cầu .............................................................................................................. 78
6.2. Hình trụ cụt ........................................................................................................... 78
6.3. Hình nêm loại 1 ..................................................................................................... 79
6.4. Hình nêm loại 2 ..................................................................................................... 79
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay ..................................................................... 79
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip ........................................... 79
6.7. Diện tích hình vành khăn ....................................................................................... 79
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) .................................................................................... 79
PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ......................................... 80
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ...................................................................................... 80
1.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 80
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp ........................................................... 82
2. MẶT PHẲNG .............................................................................................................. 82
2.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 82
2.2. Viết phương trình mặt phẳng ................................................................................. 83
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng......................................................................... 85
2.4. Khoảng cách và hình chiếu .................................................................................... 85
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 86
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
..................................................................................................................................... 86
3. ĐƯỜNG THẲNG ....................................................................................................... 87
3.1. Phương trình của đường thẳng .............................................................................. 87
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53
3.2. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 87
3.3. Góc trong không gian ............................................................................................ 90
3.4. Khoảng cách .......................................................................................................... 90
3.5. Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 91
3.6. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 94
3.7. Khoảng cách .......................................................................................................... 94
3.8. Góc ........................................................................................................................ 95
4. MẶT CẦU ................................................................................................................... 95
4.1. Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 95
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng ............................................................................. 96
4.3. Một số bài toán liên quan ....................................................................................... 96
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ...................................... 99
5.1. Dạng 1 ................................................................................................................... 99
5.2. Dạng 2 ................................................................................................................... 99
5.3. Dạng 3 ................................................................................................................... 99
5.4. Dạng 4 ................................................................................................................... 99
5.5. Dạng 5 ................................................................................................................... 99
5.6. Dạng 6 ................................................................................................................... 99
5.7. Dạng 7 ................................................................................................................. 100
5.8. Dạng 8 ................................................................................................................. 100
5.9. Dạng 9 ................................................................................................................. 100
5.10. Dạng 10 ............................................................................................................. 100
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54
PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp)
kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi
một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài
của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là
điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác
thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo
thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa
diện đó.
A
B
C
D
E
F
F'
E'
D'
C'
B'
A'
C
D
A
B
M
N
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là
điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập
hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao
nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là
chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm
M
với điểm
M '
xác định duy nhất
được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian:
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ
v
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm
M
thành
M '
sao cho
MM v'
.
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng
P
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc thành chính nó,
biến mỗi điểm không thuộc thành điểm sao cho
là mặt phẳng trung trực của .
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng biến hình thành
chính nó thì được gọi là mặt phẳng đối xứng của .
d
Ñieåm ngoaøi
Ñieåm trong
Mieàn ngoaøi
M
N
v
M'
M
P
M
P
M '
P
MM '
P
H
P
H
P
M'
M
I
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm
O
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm
O
thành chính nó, biến mỗi
điểm
M
khác
O
thành điểm
M '
sao cho
O
là trung điểm
MM '
Nếu phép đối xứng tâm
O
biến hình
H
thành chính nó thì
O
được gọi là tâm đối xứng của
H
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng
(phép đối xứng trục
)
Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng
thành chính nó, biến mỗi điểm
M
không thuộc
thành điểm
M '
sao cho
là đường trung trực của
MM '
.
Nếu phép đối xứng trục
biến hình
H
thành chính nó thì
được gọi là trục đối xứng của
H
* Nhận xét:
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện
H
thành đa diện
H '
, biến đỉnh, cạnh, mặt của
H
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của
H '
.
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Nội dung
Hình vẽ
Nếu khối đa diện là hợp của hai khối đa diện ,
sao cho và không có chung điểm trong nào
thì ta nói có thể chia được khối đa diện thành hai khối
đa diện và , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện
và với nhau để được khối đa diện .
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm
A
và
B
nào của nó
thì mọi điểm của đoạn
AB
cũng thuộc khối đó.
O
M'
M
I
M'
M
H
H
1
H
2
H
1
H
2
H
H
1
H
2
H
1
H
2
H
(H
2
)
(H
1
)
(H)
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57
Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều
5.2.1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
Các mặt là những đa giác đều
n
cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng
p
cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại .
5.2.2. Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại , loại , loại , loại , loại .
Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối
lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều
Số
đỉnh
Số
cạnh
Số
mặt
Loại
Số MPĐX
Tứ diện đều
4
6
4
6
Khối lập phương
8
12
6
9
Bát diện đều
6
12
8
9
Mười hai mặt đều
20
30
12
15
n p,
3;3
4;3
3;4
5;3
3;5
3;3
4;3
3;4
5;3
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58
Hai mươi mặt đều
12 30 20
15
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại có
Đ
đỉnh,
C
cạnh và
M
mặt.
Khi đó:
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi
5.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám
mặt đều).
5.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
5.3.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.
5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối
bát diện đều. Khi đó:
Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp
Nội dung Hình vẽ
: Diện tích mặt đáy.
: Độ dài chiều cao khối chóp.
6.2. Thể tích khối lăng trụ
Nội dung Hình vẽ
3;5
n p,
C nM
p
2 .
Đ
áy
V S h
1
.
3
đ
áy
S
đ
h
S.ABCD ABCD
S, ABCD
V d .S
1
3
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59
: Diện tích mặt đáy.
: Chiều cao của khối chóp.
Lưu ý:
Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật
Nội dung Hình vẽ
6.4. Thể tích khối lập phương
Nội dung Hình vẽ
6.5. Tỉ số thể tích
Nội dung Hình vẽ
Thể tích hình chóp cụt
Với là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
Đường chéo của hình vuông cạnh
a
là
a 2
Đường chéo của hình lập phương cạnh
a
là :
a 3
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước
a b c, ,
là :
a b c
2 2 2
Đường cao của tam giác đều cạnh là:
áy
V S h.
đ
áy
S
đ
h
V a b c. .
V a
3
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
.
.
. .
ABC A B C.
h
V B B BB
3
B B h, ,
a
a
3
2
S
A’
B’
C’
A
B
C
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác
7.1.1. Cho
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
7.1.2. Cho
ABC
có độ dài ba cạnh là:
, ,a b c
độ dài các trung tuyến là
, ,
a b c
m m m
bán kính
đường tròn ngoại tiếp
R
; bán kính đường tròn nội tiếp
r
nửa chu vi
.p
Định lí hàm số cosin:
Định lí hàm số sin:
Độ dài trung tuyến:
7.2. Các công thức tính diện tích
7.2.1. Tam giác
vuông tại
:A
đều, cạnh
:a
,
7.2.2. Hình vuông
(
:a
cạnh hình vuông)
AB AC BC
2 2 2
AB BH BC
2
.
AC CH BC
2
.
AH BC AB AC. .
AH BH HC
2
.
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
AB BC C BC B AC C AC B.sin .cos . tan .cot
a b c bc A b c a ca B c a b ab C
2 2 2 2 2 2 2 2 2
- 2 .cos ; 2 .cos ; 2 .cos
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
a b c
b c a c a b a b c
m m m
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
; ;
2 4 2 4 2 4
a b c
S a h b h c h
1 1 1
. . .
2 2 2
S bc A ca B ab C
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
abc
S
R4
S pr
S p p a p b p c
ABC
AB AC BC AH
S
. .
2 2
ABC
a
AH
3
2
a
S
2
3
4
S a
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 61
7.2.3. Hình chữ nhật
(
,a b
: hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành
S = đáy cao
. .sin
AB AD BAD
7.2.5. Hình thoi
1
. .sin .
2
S AB AD BAD AC BD
7.2.6. Hình thang
(
, :a b
hai đáy,
h
: chiều cao)
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc
&
AC BD
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP
Nội dung
Hình vẽ
Cho hình chóp
SABC
với các mặt phẳng
vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác
lần lượt là .
Khi đó:
Cho hình chóp
.
S ABC
có vuông góc với ,
hai mặt phẳng
và vuông góc với nhau,
,BSC ASB
.
Khi đó:
Cho hình chóp đều
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều
cạnh bằng
,a
cạnh bên bằng .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc .
Khi đó:
S ab
S a b h
1
2
S AC BD
1
.
2
SAB SBC SAC
, ,
SAB SBC SAC, ,
S
1 2 3
, S , S
S ABC
S
V
1 2 3
.
2 .S .S
3
SA
ABC
SAB
SBC
S ABC
SB
V
3
.
.sin 2 .tan
12
b
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
3
12
S ABC
a
V
3
.
tan
24
C
S
A
B
B
C
A
S
C
A
S
B
M
G
C
A
S
B
M
G
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 62
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có các cạnh bên
bằng
b
và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có các cạnh đáy
bằng
,a
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình vuông cạnh bằng
,a
và .
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
,a
góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là .
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
,a
SAB
với
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có các cạnh bên
bằng
,a
góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là với
.
Khi đó:
S ABC
b
V
3 2
.
3 .sin cos
4
S ABC
a
V
3
.
.tan
12
SA SB SC SD b
S ABC
a b a
V
2 2 2
.
4 2
6
S ABCD
a
V
3
.
.tan
6
;
4 2
S ABCD
a
V
3 2
.
tan 1
6
0;
2
S ABCD
a
V
3
.
3
2
4 .tan
3 2 tan
B
S
A
C
M
G
B
S
A
C
M
G
O
B
S
D
A
C
M
O
C
S
A
D
B
M
O
C
A
D
S
B
M
O
C
S
A
D
B
M
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 63
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
.a
Gọi
là mặt phẳng đi qua
A
song song với
BC
và
vuông góc với , góc giữa
với mặt phẳng đáy là
.
Khi đó:
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập
phương cạnh
.a
Khi đó:
Cho khối tám mặt đều cạnh
.a
Nối tâm của các mặt bên
ta được khối lập phương.
Khi đó:
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN
Công thức Điều kiện tứ diện
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện
, ,
, ,
SA a SB b SC c
ASB BSC CSA
Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc
2 cạnh đó
AB a CD b
d AB CD d AB CD
,
, , ,
Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa
2 mặt kề
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc
nhị diện
, ,
,
,
SA a SB b SC c
SAB SAC
ASB ASC
P
SBC
P
S ABCD
a
V
3
.
cot
24
a
V
3
6
a
V
3
2 2
27
S ABC
abc
V
2 2 2
.
1 cos cos cos 2cos cos cos
6
ABCD
V abd
1
sin
6
SABC
S S
V
a
1 2
2 sin
3
SAB SAC
S S S S SA a
SAB SAC
1 2
, ,
,
S ABC
abc
V
.
sin sin sin
6
x
N
C
A
S
B
F
M
G
E
O1
O3
O4
O2
O
O'
A
B
C
D
B'
C'
D'
A'
B
D
A
S
C
S'
N
G2
M
G1
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 64
Tứ diện đều
tất cả các cạnh bằng
Tứ diện gần đều
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay
Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng , cắt nhau tại và tạo thành góc
với , chứa ,
.
quay quanh trục
với góc không đổi mặt nón tròn xoay đỉnh
gọi là trục.
được gọi là đường sinh.
Góc gọi là góc ở đỉnh.
1.2. Khối nón
Nội dung Hình vẽ
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc
khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình
nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiều cao
,h
đường sinh
l
và bán kính đáy .
Diện tích xung quanh: của hình nón:
Diện tích đáy (hình tròn):
Diện tích toàn phần: của hình nón:
Thể tích khối nón:
ABCD
a
V
3
2
12
a
ABCD
V a b c b c a a c b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
12
AB CD a
AC BD b
AD BC c
d
0 0
0 90
mp P
d
P
O.
d
2
r
xq
S rl .
áy
S r
2
.
đ
tp
S rl r
2
.
V r h
2
1
.
3
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 65
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
Điều kiện
Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp đi qua đỉnh của mặt nón.
cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
tiếp xúc với mặt nón theo một đường
sinh.
Thiết diện là tam giác
cân.
là mặt phẳng tiếp
diện của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp không đi qua đỉnh của mặt nón.
vuông góc với trục hình nón.
song song với 2 đường sinh hình nón.
song song với 1 đường sinh hình nón.
Giao tuyến là 1 đường
parabol.
Giao tuyến là 2 nhánh
của 1 hypebol.
Giao tuyến là một
đường tròn.
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Mặt trụ
Nội dung
Hình vẽ
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng . Khi
quay mặt phẳng xung quanh thì đường thẳng
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay,
gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng gọi là trục.
Đường thẳng là đường sinh.
là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật . Khi quay hình chữ nhật
xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là
hình trụ.
Khi quay quanh hai cạnh và sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là
hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
Độ dài đoạn gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Q( )
mp Q( )
mp Q( )
Q( )
Q( )
mp Q( )
mp Q( )
mp Q( )
P
l
r
P
l
l
r
ABCD
ABCD
ADCB
,AB
AD
BC
CD
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 66
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh khi quay xung quanh
gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình
trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài
của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là
những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ
cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều
cao
,h
đường sinh
l
và bán kính đáy
Diện tích xung quanh:
Diện tích toàn phần:
Thể tích:
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Mặt cầu
Nội dung Hình vẽ
Cho điểm cố định và một số thực dương .
Tập hợp tất cả những điểm
M
trong không gian cách
I
một khoảng
R
được gọi là mặt cầu tâm
,I
bán kính
.R
Kí hiệu: Khi đó:
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
là khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng . Khi đó:
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầ
u:
là mặt phẳng tiếp diện củ
a
mặt cầu và
:H
tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo
thiết diện là đường tròn có tâm
và bán kính
CD
AB
AB
r.
xq
S rl2 .
tp
S rl r
2
2 2 .
V r h
2
.
I
R
S I R; .
S I R M IM R
;
S I R;
P
P
d IH
P
d R
d R
d R
P
I
r R IH
2 2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 67
Lưu ý:
Khi mặt phẳng đi qua tâm
I
của mặt cầu thì mặt phẳng được gọi là mặt phẳng
kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi
H
là hình chiếu của
I
lên . Khi đó:
không cắt mặt cầu. tiếp xúc với mặt cầu.
: Tiếp tuyến của
:H
tiếp điểm.
cắt mặt cầu tại hai
điểm phân biệt.
Lưu ý:
Trong trường hợp cắt tại 2 điểm
,A B
thì bán kính
R
của được tính như sau:
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là
trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng
vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai
cực của mặt cầu
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:
Nội dung
Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp
xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa
diện ngoại tiếp mặt cầu.
P
P
S I R;
IH R
IH R
IH R
S
S
S
d I IH
AB
R IH AH IH
2
2 2 2
;
.
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 68
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh
của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình
đa diện nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm bán kính ngoại tiếp hình chóp
khi và chỉ khi
Cho mặt cầu
Diện tích mặt cầu: .
Thể tích khối cầu: .
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác
cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.
Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những
đường tròn có tâm nằm trên trục của
hình nón.
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là
h
, bán kính đáy
r
và đường sinh
l
.
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là
d.
Nội dung Hình vẽ
O
r
S ABCD.
OA OB OC OD OS r
S I R;
S R
2
4
V R
3
4
3
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 69
Gọi
M
là trung điểm của
.AC
Khi đó:
Góc giữa và là góc
SMI .
Góc giữa và là góc
MSI .
Diện tích thiết diện
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp đều là hình nón
có đỉnh là , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông
.
Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy ,
Đường cao , đường sinh
Hình chóp tứ giác đều
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều là hình nón
có đỉnh là , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông
.
Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy:
Chiều cao:
Đường sinh:
Hình chóp tứ giác đều
Hình nón nội tiếp hình chóp đều là hình nón có
đỉnh là , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác
Khi đó hình nón có
Bán kính đáy:
Chiều cao:
Đường sinh:
Hình chóp tam giác đều
Hình nón ngoại tiếp hình chóp đều là hình nón
có đỉnh là , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
Hình chóp tam giác đều
AC SMI
SAC
ABC
SAC
SI
d I SAC IH d, .
td SAC
S S SM AC SI IM AI IM
h d h d
r h
h d h d
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
. .2
2 2
.
S ABCD.
S
ABCD
AB
r IM
2
h SI
l SM.
S ABCD.
C
D
M
I
S
A
B
S ABCD.
S
ABCD
AC AB
r IA
2
.
2 2
h SI.
l SA.
S ABCD.
D
S
I
A
B
C
S ABC.
S
ABC .
AM AB
r IM
3
.
3 6
h SI .
l SM.
S ABC.
I
S
M
C
B
A
S ABC.
S
ABC.
S ABC.
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 70
Khi đó hình nón có:
Bán kính đáy:
Chiều cao:
Đường sinh:
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong
hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình
nón cụt.
Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
Cho hình nón cụt có lần lượt là bán kính đáy
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt:
Diện tích đáy (hình tròn):
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
Thể tích khối nón cụt:
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình
quạt
Nội dung Hình vẽ
AM AB
r IA
2 3
.
3 3
h SI.
l SA.
S
I
C
B
M
A
R r h, ,
xq
S l R r .
áy
áy
áy
S r
S r R
S R
2
21 2
2
2
.
đ
đ
đ
tp
S l R r r R
2 2
.
V h R r Rr
2 2
1
.
3
h
R
r
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 71
Từ hình tròn cắt bỏ đi hình quạt
.AmB
Độ dài
cung
AnB
bằng
.x
Phần còn lại của hình tròn ghép lại
được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài
đường sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật trong
đó và . Nếu thiết diện qua trục là một
hình vuông thì .
Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình
chữ nhật có khoảng cách tới trục là:
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung Hình vẽ
Nếu như và là hai đường kính bất kỳ trên hai
đáy của hình trụ thì:
* Đặc biệt:
Nếu và vuông góc nhau thì:
.
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách
Nội dung Hình vẽ
Góc giữa và trục :
, ' 'AB OO A AB
O R;
l R
r x r
x
h l r
2 2
2
2 .
R
ABCD
AB R2
AD h
h R2
BGHC
d OO BGHC OM
';
M
O
A
D
B
C
G
H
AB
CD
ABCD
V AB CD OO AB CD
1
. . '.sin ,
6
AB
CD
ABCD
V ABCD OO
1
. . '
6
O'
O
A
B
D
C
AB
OO '
O
O'
A
B
A'
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 72
Khoảng cách giữa và trục :
.
Nếu là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ
thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của
hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông:
.
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối
trụ trong bài toán tối ưu
Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích
V
không đổi.
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích
toàn phần nhỏ nhất:
Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích
xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:
4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là
V
thì
thể tích khối trụ là
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích
xung quanh hình trụ là
xq
S
thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy
Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
AB
OO '
d AB OO OM
; '
M
O
O'
A
A'
B
ABCD
AB R h
2 2
2 4
I
O
O'
D
B
A
C
tp
V
R
S
V
h
3
3
4
min
2
4
V
R
S
V
h
3
3
min
V
V
(T)
4
9
ABCD A B C D. ' ' ' '
xq
S
S
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 73
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói
cách khác, nó chính là giao điểm
I
của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật
(hình lập phương) Tâm là , là trung điểm của .
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ
nhật (hình lập phương).
Bán kính: .
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng , trong đó
có 2 đáy và nội tiếp đường tròn
và . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm: với là trung điểm của .
Bán kính: .
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung Hình vẽ
Hình chóp có
0
90
SAC SBC
.
Tâm: là trung điểm của .
Bán kính: .
Hình chóp có
0
90
SAC SBC SDC
.
Tâm: là trung điểm của .
Bán kính: .
I
AC '
AC
R
'
2
n n
AA A A A A A A
' ' ' '
1 2 3 1 2 3
... . ...
n
AA A A
1 2 3
...
n
AA A A
' ' ' '
1 2 3
...
O
O '
I
I
OO '
n
R IA IA IA
'
1 2
...
S ABC.
I
SC
SC
R IA IB IC
2
S ABCD.
I
SC
SC
R IA IB IC ID
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 74
5.1.3.4. Hình chóp đều
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp đều
Gọi là tâm của đáy là trục của đáy.
Trong mặt phẳng xác định bởi và một cạnh
bên, chẳng hạn như , ta vẽ đường trung
trực của cạnh là cắt tại và cắt
tại là tâm của mặt cầu.
Bán kính:
Ta có:
SM SI
SMI SOA
SO SA
∽
Bán kính:
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp có cạnh bên
...SA ABC
và
đáy nội tiếp được trong đường tròn tâm .
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
được xác định như sau:
Từ tâm ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng vuông góc với tại .
Trong , ta dựng đường trung trực của
cạnh , cắt tại , cắt tại là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
Tìm bán kính
Ta có: là hình chữ nhật.
Xét vuông tại có:
.
5.1.3.6. Hình chóp khác
- Dựng trục
của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực
của một cạnh bên bất kì.
-
I I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ
I
đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
S ABC. ...
SO
SO
mp SAO
SA
SA
M
SO
I
I
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
2
.
...
2
S ABC. ...
ABC...
O
S ABC. ...
O
d
mp ABC
...
O
mp d SA
,
SA
SA
M
d
I
I
R IA IB IC IS ...
MIOB
MAI
M
SA
R AI MI MA AO
2
2 2 2
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 75
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc
xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp (thoả mãn điều kiện tồn tại
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy.
Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Lúc đó
Tâm
O
của mặt cầu:
Bán kính: . Tuỳ vào từng trường
hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung Hình vẽ
n
S A A A
1 2
. ...
( )
mp( O
)
R SA SO
H
O
I
D
C
B
A
S
∆ vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.
O
Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đường chéo.
O
O
∆ đều: O là giao điểm của 2
đường trung tuyến (trọng tâm).
∆ thường: O là giao điểm của hai đường
trung trực của hai cạnh ∆.
O
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 76
Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường
thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông
góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất
Suy ra:
Các bước xác định trục
Bước 1:
Xác định tâm
H
của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
Bước 2:
Qua
H
dựng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
Đáy là tam giác vuông
Đáy là tam giác đều
Đáy là tam giác thường
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung
Hình vẽ
đồng dạng với .
5.3.3. Nhận xét quan trọng
là trục đường tròn ngoại tiếp .
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Nội dung
Hình vẽ
M MA MB MC :
MA MB MC M
H
M
C
B
A
H
A
B
C
C
B
A
H
B
A
C
H
SMO
SO SM
SIA
SA SI
A
M
I
O
S
MA MB MC
M S SM
SA SB SC
, :
ABC
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 77
Cho hình chóp (thõa mãn điều kiện tồn tại
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy.
Bước 2:
Xác định trục
d
của đường tròn ngoại tiếp một
mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:
Tâm
I
của mặt cầu:
Bk: . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu
5.5.1. Dạng 1
Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên vuông góc đáy và
0
90
ABC
khi đó
và tâm là trung điểm .
5.5.2. Dạng 2
Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì,
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy
là , khi đó :
( : nửa chu vi).
Nếu vuông tại thì:
2 2 2
1
4
D
R AB AC AS
.
Đáy là hình vuông cạnh thì
nếu đáy là tam giác đều cạnh thì .
n
S A A A
1 2
. ...
d I
R IA IS
R
I
Δ
D
d
S
A
B
C
SA
SC
R
2
SC
SA
D
R
D
SA
R R
2
2 2
4
D
abc
R
p p a p b p c
4
p
ABC
A
a
D
a
R
2
2
a
D
a
R
3
3
S
A
B
C
O
I
K
S
S
A
B
C
A
D
B
C
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 78
5.5.3. Dạng 3
Nội dung Hình vẽ
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: :
.
là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó là
giao hai đường chéo.
vuông, khi đó là trung điểm cạnh
huyền.
đều, khi đó là trọng tâm, trực tâm.
5.5.4. Dạng 4
Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau
và có giao tuyến . Khi đó ta gọi lần lượt là bán
kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác và .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
5.5.5. Dạng 5
Chóp có đường cao , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là . Khi đó ta giải
phương trình: . Với giá trị tìm được ta có: .
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: .
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY
6.1. Chỏm cầu
Nội dung
Hình vẽ
6.2. Hình trụ cụt
Nội dung Hình vẽ
SA SB SC SD
SA
R
SO
2
2
ABCD
O
ABC
O
ABC
O
S
A
D
B
C
SAB
ABC
AB
R R
1 2
,
SAB
ABC
AB
R R R
2
2 2 2
1 2
4
O
K
S
A
B
C
J
I
S.ABCD
SH
O
D
SH x OH x R
2
2 2 2
x
D
R x R
2 2 2
tp
V
r
S
3
xq
S Rh r h
h
V
h
h R h r
2 2
2 2 2
2
3
3 6
R
r
h
xq
S R h h
h h
V R
1 2
2
1 2
2
h
2
h
1
R
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 79
6.3. Hình nêm loại 1
Nội dung Hình vẽ
6.4. Hình nêm loại 2
Nội dung Hình vẽ
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay
Nội dung Hình vẽ
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip
Nội dung
Hình vẽ
6.7. Diện tích hình vành khăn
Nội dung Hình vẽ
6.8. Thể tích hình xuyến (phao)
Nội dung Hình vẽ
V R
3
2
tan
3
V R
3
2
tan
2 3
parabol
tru
S x a
S Rh
S h R
V R h V
3
3
2
4 '
;
3
1 1
2 2
R
h
R
q
elip
xoay
x
uanh a
quaoay nh b
S ab
V ab
V a b
2
2
2
2
4
3
4
3
b
a
b
a
S R r
2 2
R
r
R r R r
V
2
2
2
2 2
R
r
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 80
PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục
, ,Ox Oy Oz
phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
,O
truc hoành
,Ox
trục tung
,Oy
trục cao
,Oz
các mặt tọa độ
, , .Oxy Oyz Ozx
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ
Oxyz
hay không gian
.Oxyz
Chú ý:
i j k
a a
i j ik jk
2 2 2
2
2
1
0
 
1.1.3. Tọa độ véc tơ
u x y z u x y z u xi y j zk( ; ; ) ( ; ; )
1.1.4. Tọa độ điểm
M x y z OM xi y j zk( ; ; )
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ
Cho
u a b c v a b c( ; ; ), ( ; ; )
'
'
'
a a
u v b b
c c
u v a a b b c c
; ;
1.1.6. Chú ý
Góc của 2 véc tơ
u v,
là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong
0;
là:
u v u v
2
sin , 1 cos , 0
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
ku ka kb kc( ; ; )
u v u v u v aa bb cc
. . .cos( , )
u v aa bb cc
u v
u v u v
.
cos( , )
. .
u u a b c
2
2 2 2
u v u v. 0
B A B A B A
AB x x y y z z
; ;
B A B A B A
AB AB x x y y z z
2 2 2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 81
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là
MA kMB
Công thức tọa độ của M là :
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
1
1
1
1.1.8. Công thức trung điểm
Nếu
M
là trung điểm
AB
thì
MA MB 0
A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z
z
2
2
2
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác
Nếu
G
là trọng tâm của
ABC
thì
GA GB GC 0
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
3
3
3
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu
G
là trọng tâm của tứ diện
ABCD
thì
GA GB GC GD 0
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x x
x
y y y y
y
z z z z
z
4
4
4
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ
Cho 2 véc tơ
u a b c( ; ; )
và
v a b c( ; ; )
ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một
véc tơ, kí hiệu
u v,
hay
u v
có toạ độ:
b c c a a b
u v
b c c a a b
, ; ;
bc b c ca ac ab ba
; ;
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
,u v
vuông góc với
u
và
v
, . sin ,u v u v u v
, 0 ,u v u v
cùng phương
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 82
Diện tích hình bình hành
ABCD
:
S AB AD
,

Diện tích
ABC
:
S AB AC
1
. ,
2
Ba véc tơ
u v w, ,
đồng phẳng:
u v w
, . 0
Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành
ABCD
và cạnh bên
’AA
:
V AB AD AA
, .
Thể tích khối tứ diện
.
S ABC
:
V AB AC SA
1
. , .
6
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể
tích
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
, ,A B C
thẳng hàng cùng phương
ABCD
là hình bình hành
Cho có các chân của các đường phân giác trong và ngoài của góc
của trên .
Ta có: ,
, , ,A B C D
không đồng phẳng không đồng phẳng
2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến
n
khác
0
và có giá vuông góc
mp P
được gọi là véc tơ pháp tuyến của
.P
2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến
Nếu
n
là véc tơ pháp tuyến của
P
thì
, ( 0)
kn k
cũng là véc tơ pháp tuyến của
.P
AB AC
,
AB k AC

AB AC, 0
AB DC
ABC
E F,
A
ABC
BC
AB
EB EC
AC
.
AB
FB FC
AC
.
AB AC AD, ,
 
AB AC AD, . 0
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 83
2.1.3. Phương trình tổng quát của
mp P
Phương trình tổng quát của
mp P
qua
M x y z
0 0 0
( ; ; )
và có véc tơ pháp tuyến
n A B C( ; ; )
là
A x x B y y C z z
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là:
Ax By Cz D 0
(trong đó
, ,A B C
không đồng thời bằng 0)
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
P
qua gốc tọa độ
0
D
P
song song hoặc trùng
0
Oxy A B
P
song song hoặc trùng
0
Oyz B C
P
song song hoặc trùng
0
Ozx A C
P
song song hoặc chứa
0
Ox A
P
song song hoặc chứa
0
Oy B
P
song song hoặc chứa
0
Oz C
P
cắt
Ox
tại
;0;0 ,
A a
cắt
Oy
tại
0; ;0B b
và cắt
Oz
tại
0;0;
C c P
có phương
trình
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Cho
M x y z
0 0 0
; ;
và
P Ax By Cz D( : 0)
;
Ax By Cz D
d M P
A B C
0 0 0
2 2 2
( ,( ))
2.1.7. Chùm mặt phẳng
Nội dung
Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng và được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Khi đó nếu là mặt phẳng chứa thì mặt phẳng
có dạng :
1 1 1 1 2 2 2 2
0
m Ax B y C z D n A x B y C z D
Với
2 2
0
m n
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng ta cần xác định một điểm thuộc và một VTPT
của nó.
x y z
a b c
a b c
1 , , 0
( )
d
A x B y C z D
1 1 1 1
: 0
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
P
d
P
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 84
2.2.1. Dạng 1
đi qua điểm có VTPT thì:
2.2.2. Dạng 2
đi qua điểm có cặp VTCP thì là một VTPT của
2.2.3. Dạng 3
đi qua điểm và song song với
: 0
Ax By Cz
thì
2.2.4. Dạng 4
đi qua 3 điểm không thẳng hàng . Khi đó ta có thể xác định một VTPT của
là:
2.2.5. Dạng 5
đi qua một điểm
M
và một đường thẳng không chứa
M
:
Trên lấy điểm và VTCP .
Một VTPT của là:
2.2.6. Dạng 6
đi qua một điểm
M
, vuông góc với đường thẳng thì VTCP của đường thẳng
là một VTPT của .
2.2.7. Dạng 7
chứa đường thẳng cắt nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc d
1
hoặc
2.2.8. Dạng 8
chứa đường thẳng và song song với đường thẳng
2
d
(
1 2
,d d
chéo nhau
Xác định các VTCP của các đường thẳng
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
2.2.9. Dạng 9
đi qua điểm
M
và song song với hai đường thẳng chéo nhau
1 2
,d d
:
Xác định các VTCP của các đường thẳng
M x y z
0 0 0
; ;
n A B C; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
M x y z
0 0 0
; ;
a b,
n a b,
M x y z
0 0 0
; ;
A x x B y y C z z
0 0 0
: 0
A B C, ,
n AB AC,

d
d
A
u
n AM u,
d
u
d
d d
1 2
, :
a b,
d d
1 2
, .
n a b,
d M
2
.
d
1
) :
a b,
d d
1 2
, .
n a b,
d M
1
.
a b,
d d
1 2
, .
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 85
Một VTPT của là: .
2.2.10. Dạng 10
chứa một đường thẳng
d
và vuông góc với một mặt phẳng
Xác định VTCP của
d
và VTPT của
Một VTPT của là: .
Lấy một điểm
M
thuộc
2.2.11. Dạng 11
đi qua điểm
M
và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau
Xác định các VTPT của và
Một VTPT của là: .
2.2.12. Dạng 12
chứa đường thẳng
d
cho trước và cách điểm
M
cho trước một khoảng cho trước:
Giả sử () có phương trình: .
Lấy 2 điểm ta được hai phương trình
1 , 2
)
Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình
Giải hệ phương trình
1 , 2 , 3
(bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
2.2.13. Dạng 13
là tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
Giả sử mặt cầu có tâm và bán kính
Một VTPT của là:
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và
Khi đó:
cắt
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
n a b,
:
u
n
.
n u n
,
d M
.
, :
n n,
.
n u n
,
k
Ax By Cz+D 0
A B C
2 2 2
0
A B d A B
, , (
d M k( ,( ))
3 .
S
H :
S
I
R.
n IH
: 0
P A B Dx y Cz
: 0.
xA zP B Cy D
P
P
: : : .:A B C A B C
//
P P
.
A B C D
A B C D
P P
.
A B C D
A B C D
P P
. 0 0.
P P P P
n n n n AA BB CC
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 86
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
Điểm là hình chiếu của điểm trên .
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Điểm đối xứng với điểm qua
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng có phương trình:
Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .
Chú ý:
0 0
0 , 90
;
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng và mặt cầu có tâm
I
và không có điểm chung
tiếp xúc với với là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . là tiếp điểm của với .
cắt theo một đường tròn
Để xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của và vuông góc với .
Tìm toạ độ giao điểm của và . Với là tâm của đường tròn giao tuyến
của với .
Bán kính của đường tròn giao tuyến:
M x y z
0 0 0 0
; ;
Ax By Cz D( ) : 0
Ax By Cz D
d M
A B C
0 0 0
0
2 2 2
,( )
H
M
MH n cung phuong
H P
P
,
( )
M '
M
MM MH
P 2
 
,
A x B y C z D
1 1 1 1
: 0
A x B y C z D
2 2 2 2
: 0
,
n n
1 2
,
n n AA B B C C
n n
A B C A B C
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
AA B B C C
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 0
Ax By Cz D
: 0
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( )
S
d I R( ,( ))
S
d I R( ,( ))
d
I
S
H
d
H
S
S
d I R( ,( ))
H
r
d
I
S
H
d
H
S
r
r R IH
2 2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 87
3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa
Cho đường thẳng
d
. Nếu vectơ
a 0
và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng
d
thì được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng
d
. Kí hiệu:
a a a a
1 2 3
( ; ; )
3.1.1.2. Chú ý
a
là VTCP của
d
thì
k a.
k( 0)
cũng là VTCP của
d
Nếu
d
đi qua hai điểm
A B,
thì
AB
là một VTCP của
d
Trục
Ox
có vectơ chỉ phương
a i (1;0;0)
Trục
Oy
có vectơ chỉ phương
a j (0;1;0)
Trục
Oz
có vectơ chỉ phương
a k (0;0;1)
3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng
( )
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và nhận
a a a a
1 2 3
( ; ; )
làm VTCP là :
x x ta
y y ta t
z z ta
0 1
0 2
0 3
( ) :
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng
( )
đi qua điểm
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và nhận
a a a a
1 2 3
( ; ; )
làm VTCP là
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
3.2.1.1. Phương pháp hình học
Định lý
a
x x y y z z
a a a
a a a
0 0 0
1 2 3
1 2 3
( ) : , , 0
O
z
y
x
)(
0
M
),,( zyxM
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
a
n
M
)(
a
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 88
Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng
x x a t
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
( ) : (2)
(3)
có VTCP
a a a a
1 2 3
( ; ; )
và qua
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
và mặt phẳng
Ax By Cz D ( ) : 0
có VTPT
n A B C( ; ; )
Khi đó :
1 2 3
. 0 0a n Aa Ba Ca
1 2 3
0
0 0 0
. 0
0
/ /
0
a n
Aa Ba Ca
M P
Ax By Cz
1 2 3
0
0 0 0
. 0
0
0
a n
Aa Ba Ca
M P Ax By Cz
Đặc biệt
( ) ( )
a
và
n
cùng phương
3.2.1.1. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của
và
ta giải hệ phương trình:
pt
pt
( )
( )
tìm
x y z, , .
Suy ra:
M x y z, ,
.
Thế
1 , 2 , 3
vào phương trình
mp P
và rút gọn dưa về dạng:
at b 0 (*)
d
cắt
mp P
tại một điểm
*pt
có một nghiệm
t
.
d
song song với
*P pt
vô nghiệm.
d
nằm trong
P Pt *
có vô số nghiệm
t
.
d
vuông góc
P
a
và
n
cùng phương
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
3.2.2.1. Phương pháp hình học
Cho hai đường thẳng: đi qua
M
và có một vectơ chỉ phương
đi qua
N
và có một vectơ chỉ phương
1
a a a A B C
2 3
: : : :
1
1
.u
2
2
.u
1 2
1 2 1
, , 0.
u u u MN

1 2
//
1 2
1
, 0
.
, 0
u u
u MN
a
a
n
0
M
'
0
M
a
1
2
b
0
M
u
'u
1
2
'
0
M
0
M
'
0
M
u
'u
1
2
u
'u
0
M
'
0
M
1
2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 89
cắt
và chéo nhau
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Muốn tìm giao điểm
M
của
2
va (
1
( ) )
ta giải hệ phương trình :
pt
pt
1
2
( )
( )
tìm
x y z, , .
Suy
ra:
M x y z, ,
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Cho đường thẳng
:d
x x a t
y y a t
z z a t
0 1
0 2
0 3
(1)
(2)
(3)
và mặt cầu
x a y bS
z c R
2 2 2 2
( ) ) ( ): (
có tâm
I a b c( ; ; )
, bán kính
R.
3.2.3.1. Phương pháp hình học
Bước 1:
Tính khoảng cách từ tâm
I
của mặt cầu
S
đến đường thẳng
d
là
IM a
h d I d
a
0
.
( , )
Bước 2:
So sánh
d I d( , )
với bán kính
R
của mặt cầu:
Nếu
d I d R( , )
thì
d
không cắt
S
Nếu thì tiếp xúc
Nếu thì cắt tại hai điểm phân biệt và vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Thế
1 , 2 , 3
vào phương trình
S
và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo
t *
Nếu phương trình
*
vô nghiệm thì
d
không cắt
S
Nếu phương trình
*
có một nghiệm thì
d
tiếp xúc
S
Nếu phương trình
*
có hai nghiệm thì
d
cắt
S
tại hai điểm phân biệt
M N,
Chú ý:
Ðể tìm tọa độ
M N,
ta thay giá trị
t
vào phương trình đường thẳng
d
1
2
1 2
1 2
, 0
.
, . 0
u u
u u MN
1
2
1 2
, . 0.
u u MN
d I d R( , )
d
S
d I d R( , )
d
S
M N,
MN
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 90
3.3. Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Nội dung
Hình vẽ
Định lý
Trong không gian
Oxyz
cho hai mặt phẳng xác
định bởi phương trình :
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ta có công
thức:
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nội dung
Hình vẽ
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ta có công
thức:
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng
Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng :
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ta có công
thức:
3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Nội dung Hình vẽ
,
Ax B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
( ) & ( )
A A B B C C
A B C A B C
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
.
x x y y z z
a b c
0 0 0
( ) :
Ax By Cz D ( ) : 0
( ) & ( )
Aa Bb Cc
A B C a b c
2 2 2 2 2 2
sin
.
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
0 0 0
1
0 0 0
2
' ' '
( ) :
( ) :
1 2
( ) & ( )
aa bb cc
a b c a b c
' ' '
2 2 2 '2 '2 '2
cos
.
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 91
Cho mặt phẳng và điểm
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính
bởi :
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Nội dung
Hình vẽ
Cho đường thẳng đi qua điểm và có
VTCP . Khi đó khoảng cách từ điểm M
1
đến
được tính bởi công thức:
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau
Nội dung Hình vẽ
Định lý:
Trong không gian
Oxyz
cho hai đường thẳng chéo
nhau :
Khi đó khoảng cách giữa được tính bởi
công thức
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng ta cần xác định 1 điểm thuộc và một VTCP của nó.
3.5.1. Dạng 1
đi qua điểm và có VTCP là .
3.5.2. Dạng 2
đi qua hai điểm Một VTCP của là .
3.5.3. Dạng 3
Ax By Cz D( ) : 0
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
M
0
( )
Ax By Cz D
d M
A B C
0 0 0
0
2 2 2
( ; )
( )
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
u a b c( ; ; )
( )
M M u
d M
u
0 1
1
;
( , )
0
'
0
co VTCP u a b c va qua M x y z
co VTCP u a b c va qua M x y z
1 0 0 0
' ' ' ' ' ' '
2 0 0 0
( ) ( ; ; ) ( ; ; )
( ) ( ; ; ) ( ; ; )
2
va (
1
( ) )
u u M M
d
u u
'
0 0
1 2
, ' .
( , )
; '
d
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
a a a a
1 2 3
( ; ; )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
1
2
3
( ) : ( )
d
A B, :
d
AB
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 92
đi qua điểm và song song với đường thẳng cho trước: Vì nên
VTCP của cũng là VTCP của .
3.5.4. Dạng 4
đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước: Vì nên
VTPT của cũng là VTCP của .
3.5.5. Dạng 5
là giao tuyến của hai mặt phẳng
,P Q
:
Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP.
Tìm toạ độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình (với việc chọn
giá trị cho một ẩn)
Tìm một VTCP của
Cách 2:
Tìm hai điểm thuộc , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
3.5.6. Dạng 6
đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng
Vì nên một VTCP của là:
3.5.7. Dạng 7
đi qua điểm , vuông góc và cắt đường thẳng .
Cách 1:
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Thì . Khi
đó đường thẳng là đường thẳng đi qua
Cách 2:
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với là mặt phẳng đi qua và
chứa Khi đó
3.5.8. Dạng 8
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm được Từ
đó suy ra phương trình đường thẳng .
Cách 2:
Gọi , . Khi đó Do đó, một VTCP của có
thể chọn là .
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d / /
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
P
d P
P
d
d
A d :
P
Q
( )
( )
P Q
a n n
d ,:
A B,
d
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
d d d d
1 2
,
d
d d
a a a
1 2
,
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
H
M
0
H
M H u
0
d
M H
0
, .
P
A
d
Q
;
A
d.
d P Q
d
M x y z
0 0 0 0
( ; ; )
d d
1 2
, :
M d M d
1 1 2 2
, .
M M M
1 2
, ,
M M
1 2
, .
d
M d
P
0 1
( , )
M d
Q
0 2
( , )
d P Q .
d
P Q
a n n
,
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 93
3.5.9. Dạng 9
nằm trong mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng
Tìm các giao điểm
Khi đó chính là đường thẳng
3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng chứa và mặt phẳng chứa và
Khi đó
3.5.11. Dạng 11
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1:
Gọi Từ điều kiện , ta tìm được
Khi đó,
là
đường thẳng
Cách 2:
Vì và nên một VTCP của có thể là: .
Lập phương trình mặt phẳng chứa và bằng cách:
Lấy một điểm trên
Một VTPT của có thể là: .
Tương tự lập phương trình mặt phẳng chứa và Khi đó
3.5.12. Dạng 12
là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
P
thì ta Lập phương trình mặt phẳng
chứa và vuông góc với mặt phẳng bằng cách:
Lấy .
Vì chứa và vuông góc với nên .
Khi đó
3.5.13. Dạng 13
đi qua điểm
M
, vuông góc với và cắt
Cách 1:
Gọi là giao điểm của và Từ điều kiện ta tìm được Khi đó, là
đường thẳng
Cách 2:
Viết phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với
Viết phương trình mặt phẳng chứa và
d
P
d d
1 2
, :
A d P B d P
1 2
, .
d
AB.
P
d
1
,
Q
d
2
.
d P Q .
d
d d
1 2
,
M d M d
1 1 2 2
, .
MN d
MN d
1
2
M N, .
d
MN.
d d
1
d d
2
d
d d
a a a
1 2
,
P
d
d
1
,
A
d
1
.
P
P d
n a a
1
,
Q
d
d
2
.
d P Q .
d
Q
P
M
Q
P
Q P
n a n
,
d P Q .
d
d
1
d
2
:
N
d
d
2
.
MN d
1
,
N.
d
MN.
P
M
d
1
.
Q
M
d
2
.
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 94
Khi đó
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương
pháp sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.
3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
d
Cách 1:
Cho đường thẳng đi qua và có VTCP thì
Cách 2:
Tìm hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng
Cách 3:
Gọi Tính theo tham số trong phương trình đường thẳng
Tìm để nhỏ nhất.
Khi đó Do đó
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
d P Q .
d
M
0
a
M M a
d M d
a
0
,
( , )
H
M
d.
d M d MH, .
N x y z d; ; .
MN
2
t t(
d).
t
MN
2
N H.
d M d MH, .
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 95
Cho hai đường thẳng chéo nhau và Biết đi qua điểm M
1
và có VTCP , đi
qua điểm và có VTCP thì
Chú ý:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa với mặt
phẳng chứa và song song với
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên đến mặt phẳng .
3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng lần lượt có các VTCP .
Góc giữa bằng hoặc bù với góc giữa là:
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng
có VTCP và mặt phẳng có VTPT .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu
của nó trên là:
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu
S
tâm
I a b c; ; ,
bán kính
R
là:
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( )
1
Phương trình
1
được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi
I O
thì
C x y z R
2 2 2 2
( ) :
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình :
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
với
a b c d
2 2 2
0
là phương
trình của mặt cầu
S
có tâm
I a b c; ; ,
bán kính
R a b c d
2 2 2
.
d
1
d
2
.
d
1
a
1
d
2
M
2
a
2
a a M M
d d d
a a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
d d
1 2
,
d
1
d
2
d
1
.
d
M
d
d d
1 2
,
a a
1 2
,
d d
1 2
,
a a
1 2
,
a a
a a
a a
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
d
a a a a
1 2 3
( ; ; )
n A B C( ; ; )
d
d
d '
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 96
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt phẳng
( )
và mặt cầu
S
có phương trình :
Ax By Cz D
S x a y b z c R
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : ( ) ( ) ( )
Gọi
d I( ; )
là khoảng cách từ tâm mặt cầu
S
đến mặt phẳng
Cho mặt cầu và mặt phẳng .
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
I
lên
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầ
u:
là mặt phẳng tiếp diện củ
a
mặt cầu và
H
: tiếp điểm.
Mặt phẳng cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường
tròn có tâm
và bán kính
4.3. Một số bài toán liên quan
4.3.1. Dạng 1
có tâm và bán kính thì
4.3.2. Dạng 2
có tâm và đi qua điểm thì bán kính .
4.3.3. Dạng 3
nhận đoạn thẳng cho trước làm đường kính:
Tâm là trung điểm của đoạn thẳng
Bán kính .
4.3.4. Dạng 4
đi qua bốn điểm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:
Thay lần lượt toạ độ của các điểm vào ta được 4 phương trình.
;S I R
P
P
, .d IH d I P
d R
d R
d R
P
I
r R IH
2 2
S
I a b c; ;
R
S x a y b z c R
2 2 2 2
: ( ) ( ) ( )
S
I a b c; ;
A
R IA
S
AB
I
A B A B A B
I I I
x x y
A yB
y z z
x z; ;:
2 2 2
AB
R IA
2
S
A B C D, , , (
S
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2
*
2 0
.
A B C D, , ,
* ,
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 97
Giải hệ phương trình đó, ta tìm được Phương trình mặt cầu .
4.3.5. Dạng 5
đi qua ba điểm và có tâm nằm trên mặt phẳng cho trước thì giải tương
tự dạng 4
4.3.6. Dạng 6
có tâm và tiếp xúc với mặt cầu cho trước:
Xác định tâm
I
và bán kính
R'
của mặt cầu
T
.
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính của mặt cầu .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)
Chú ý:
Với phương trình mặt cầu
S x y z ax by cz d
2 2 2
: 2 2 2 0
với
a b c d
2 2 2
0
thì
S
có tâm
I a b c– ; – ; –
và bán kính
R a b c d
2 2 2
.
Đặc biệt:
Cho hai mặt cầu
S I R
1 1 1
,
và
S I R
2 2 2
, .
I I R R
1 2 1 2
S S
1 2
,
trong nhau
I I R R
1 2 1 2
S S
1 2
,
ngoài nhau
I I R R
1 2 1 2
S S
1 2
,
tiếp xúc trong
I I R R
1 2 1 2
S S
1 2
,
tiếp xúc ngoài
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
S S
1 2
,
cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn
giao tuyến).
4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm
I a b c; ;
, tiếp xúc với mặt phẳng
P
cho trước thì
bán kính mặt cầu
R d I P
;
4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm
I a b c; ;
, cắt mặt phẳng
P
cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích
đường tròn hoặc chu vi đường tròn ta tìm được bán kính đường
tròn giao tuyến .
Tính
Tính bán kính mặt cầu
Kết luận phương trình mặt cầu.
4.3.9. Dạng 9
a b c d, , ,
S
S
A B C, ,
I
P
S
I
T
R
S
S r
2
P r2
r
d d I P
,
R d r
2 2
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 98
Viết phương trình mặt cầu
S
tiếp xúc với một đường thẳng
cho trước và có tâm
I a b c; ;
cho trước thì đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu
S
ta có
R d I
,
.
4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu
S
tiếp xúc với một đường thẳng
tại tiếp điểm
o o o
M x y z, ,
thuộc
và có tâm
I
thuộc đường thẳng
d
cho trước thì ta làm như sau:
Viết phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
.
Toạ độ tâm
I P
là nghiệm của phương trình.
Bán kính mặt cầu
R IM d I
,
.
Kết luận về phương trình mặt cầu
S
4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu
S
có tâm
I a b c; ;
và cắt đường thẳng
tại hai điểm
A B,
thoả mãn điều kiện:
Độ dài
AB
là một hằng số.
Tam giác
IAB
là tam giác vuông.
Tam giác
IAB
là tam giác đều.
Thì ta xác định
d I IH
,
, vì
IAB
cân tại
I
nên
AB
HB
2
và bán kính mặt cầu
R
được tính như sau:
R IH HB
2 2
o
IH
R
sin 45
4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm thoả tính chất nào đó.
Tìm hệ thức giữa các toạ độ của điểm
hoặc:
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
Tìm toạ độ của tâm , chẳng hạn:
Khử
t
trong ta có phương trình tập hợp điểm.
Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
o
IH
R
sin 60
M
P
x y z, ,
M .
x a y b z c R
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z ax by cz d
2 2 2
2 2 2 0
I
x f t
y g t
z h t
( )
( )
( )
*
*
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 99
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN
5.1. Dạng 1
Cho và hai điểm
, .A B
Tìm để ?
Phương pháp
Nếu
A
và
B
trái phía so với thẳng hàng
Nếu
A
và
B
cùng phía so với thì tìm là đối xứng của qua
5.2. Dạng 2
Cho và hai điểm
, .A B
Tìm để ?
Phương pháp
Nếu
A
và
B
cùng phía so với thẳng hàng
Nếu
A
và
B
trái phía so với thì tìm là đối xứng của qua
5.3. Dạng 3
Cho điểm không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình
qua và cắt 3 tia lần lượt tại sao cho nhỏ nhất?
Phương pháp
5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , sao cho khoảng cách từ điểm
đến là lớn nhất?
Phương pháp
5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng qua và cách một khảng lớn nhất ?
Phương pháp
5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , sao cho tạo với ( không
song song với ) một góc lớn nhất là lớn nhất ?
P
M P
MA MB
min
P
M A B, ,
M AB P
P
B '
B
P
P
M P
MA MB
max
P
M A B, ,
M AB P
P
B '
B
P
MA MB AB' '
M M M
M x y z
; ;
P
M
Ox Oy Oz, ,
A B C, ,
O ABC
V
.
M M M
x y z
P
x y z
: 1
3 3 3
P
d
M d
P
P d d
Qua A d
P
n u AM u
:
, ,
P
A
M
P
QuaA
P
n AM
:
P
d
P
d
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 100
Phương pháp
5.7. Dạng 7
Cho . Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) song song với và cách
một khoảng nhỏ nhất ?
Phương pháp
Lấy , gọi là hình chiếu vuông góc của trên
thì .
5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước và nằm trong mặt phẳng
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm cho trước đến là lớn nhất ( không vuông
góc với ) ?
Phương pháp
5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước và nằm trong mặt phẳng
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm cho trước đến là nhỏ nhất ( không vuông
góc với ) ?
Phương pháp
5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cho trước, sao cho nằm trong
và tạo với đường thẳng một góc nhỏ nhất ( cắt nhưng không vuông góc với )?
Phương pháp
P d d
QuaA d
P
n u u u
:
, ,
P
/ /
d
A
A
A
P
d
Qua A
d
u u
:
d
A
P
M
d
AM
P
d P
Qua A d
d
u n AM
:
,
d
A
P
M
d
AM
P
d P P
QuaA d
d
u n AM n
:
,
,
d
A P
d
P
P
d P P
QuaA d
d
u n AM n
:
,
,
| 1/50
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC
PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN.................................................................................................. 54
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP .......................................................................... 54
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN ............................................ 54
2.1. Khái niệm về hình đa diện ..................................................................................... 54
2.2. Khái niệm về khối đa diện ..................................................................................... 54
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .................................................................................... 55
3.1. Phép dời hình trong không gian ............................................................................ 55
3.2. Hai hình bằng nhau ............................................................................................... 56
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN ................................................. 56
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI .................................................................................................. 56
5.1. Khối đa diện lồi ..................................................................................................... 56
5.2. Khối đa diện đều ................................................................................................... 57
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi ....................................................... 58
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ....................................................................................... 58
6.1. Thể tích khối chóp ................................................................................................. 58
6.2. Thể tích khối lăng trụ............................................................................................. 58
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật .................................................................................... 59
6.4. Thể tích khối lập phương ....................................................................................... 59
6.5. Tỉ số thể tích .......................................................................................................... 59
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt ............................................................ 59
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG ........................................................................... 60
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................ 60
7.2. Các công thức tính diện tích .................................................................................. 60
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP 61
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN ................................................ 63
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU ................................................................ 64
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN ................................................................ 64
1.1. Mặt nón tròn xoay ................................................................................................. 64
1.2. Khối nón ................................................................................................................ 64
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng ........................................................................... 65
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY ............................................................................................ 65
2.1. Mặt trụ .................................................................................................................. 65
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay ............................................................... 65
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU ............................................................................................ 66
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 51
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
3.1. Mặt cầu .................................................................................................................. 66
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng ........................................................... 66
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng ....................................................... 67
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ............................................................ 67
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI ...................................................... 68
4.1. Bài toán mặt nón .................................................................................................... 68
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ .............................................. 71
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU ................. 72
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ............................................................................. 72
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp..................................................... 75
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ...................................... 75
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện ....................... 76
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu ..................................................... 77
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY ...................... 78
6.1. Chỏm cầu .............................................................................................................. 78
6.2. Hình trụ cụt ........................................................................................................... 78
6.3. Hình nêm loại 1 ..................................................................................................... 79
6.4. Hình nêm loại 2 ..................................................................................................... 79
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay ..................................................................... 79
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip ........................................... 79
6.7. Diện tích hình vành khăn ....................................................................................... 79
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) .................................................................................... 79
PHẦN 3. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ ......................................... 80
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN ...................................................................................... 80
1.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 80
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp ........................................................... 82
2. MẶT PHẲNG .............................................................................................................. 82
2.1. Các khái niệm và tính chất ..................................................................................... 82
2.2. Viết phương trình mặt phẳng ................................................................................. 83
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng......................................................................... 85
2.4. Khoảng cách và hình chiếu .................................................................................... 85
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................ 86
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
..................................................................................................................................... 86
3. ĐƯỜNG THẲNG ....................................................................................................... 87
3.1. Phương trình của đường thẳng .............................................................................. 87
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
3.2. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 87
3.3. Góc trong không gian ............................................................................................ 90
3.4. Khoảng cách .......................................................................................................... 90
3.5. Lập phương trình đường thẳng ............................................................................. 91
3.6. Vị trí tương đối ...................................................................................................... 94
3.7. Khoảng cách .......................................................................................................... 94
3.8. Góc ........................................................................................................................ 95
4. MẶT CẦU ................................................................................................................... 95
4.1. Phương trình mặt cầu ............................................................................................ 95
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng ............................................................................. 96
4.3. Một số bài toán liên quan ....................................................................................... 96
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN ...................................... 99
5.1. Dạng 1 ................................................................................................................... 99
5.2. Dạng 2 ................................................................................................................... 99
5.3. Dạng 3 ................................................................................................................... 99
5.4. Dạng 4 ................................................................................................................... 99
5.5. Dạng 5 ................................................................................................................... 99
5.6. Dạng 6 ................................................................................................................... 99
5.7. Dạng 7 ................................................................................................................. 100
5.8. Dạng 8 ................................................................................................................. 100
5.9. Dạng 9 ................................................................................................................. 100
5.10. Dạng 10 ............................................................................................................. 100
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
PHẦN I. KHỐI ĐA DIỆN
1. KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
 Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp)
kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi
một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
 Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài
của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không
thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là
điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). S B' C' D' A' F' E' N A B B C D M A D F E C
2. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
2.1. Khái niệm về hình đa diện
 Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
 Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo
thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2.2. Khái niệm về khối đa diện
 Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
 Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.
Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là
điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập
hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
 Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao
nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là
chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. d Mieàn ngoaøi Ñieåm trong N Ñieåm ngoaøi M
3. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
3.1. Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất
được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
* Một số phép dời hình trong không gian: 
3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho M'   v MM '  v . M
3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng P Nội dung Hình vẽ M
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc P  thành chính nó,
biến mỗi điểm M không thuộc P  thành điểm M ' sao cho I
P là mặt phẳng trung trực của MM '. P M'
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P  biến hình H  thành
chính nó thì P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của H .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi
điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM ' M' O
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình H  thành chính nó thì M
O được gọi là tâm đối xứng của H
3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục ) Nội dung Hình vẽ
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng 
thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm
M ' sao cho  là đường trung trực của MM ' . I M'
Nếu phép đối xứng trục  biến hình H  thành chính nó thì M
 được gọi là trục đối xứng của H  * Nhận xét:
 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
 Phép dời hình biến đa diện H  thành đa diện H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt của H
thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H ' .
3.2. Hai hình bằng nhau
Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ
Nếu khối đa diện H  là hợp của hai khối đa diện H1 , HHH2  1  2  sao cho và
không có chung điểm trong nào
thì ta nói có thể chia được khối đa diện H  thành hai khối (H1) đa diện HH2  1  và
, hay có thể lắp ghép hai khối đa diện HHH  2  1  và
với nhau để được khối đa diện . (H) (H2)
5. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
5.1. Khối đa diện lồi
Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó
thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Khối đa diện lồi
Khối đa diện không lồi
5.2. Khối đa diện đều 5.2.1. Định nghĩa
 Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
 Các mặt là những đa giác đều n cạnh.
 Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.
 Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n, p . 5.2.2. Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3;  3 , loại 4;  3 , loại 3;  4 , loại 5;  3 , loại 3;  5 .
Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối
lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
5.2.3. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều Số Số Số Loại Số MPĐX đỉnh cạnh mặt Tứ diện đều 4 6 4 3;  3 6 Khối lập phương 8 12 6 4;  3 9 Bát diện đều 6 12 8 3;  4 9 Mười hai mặt đều 20 30 12 5;  3 15
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt đều 12 30 20 3;  5 15
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.
Khi đó: pĐ C 2  nM .
5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi 5.3.1. Kết quả 1
Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:
 Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
 Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều). 5.3.2. Kết quả 2
Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều. 5.3.3. Kết quả 3
Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương. 5.3.4. Kết quả 4
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng
thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối
bát diện đều. Khi đó:
 Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
 Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
 Ba đường chéo bằng nhau.
6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
6.1. Thể tích khối chóp Nội dung Hình vẽ 1 V S h . áy 3 đS : Diện tích mặt đáy. áy đ
h : Độ dài chiều cao khối chóp. 1 Vd .S S.ABCD 3   S, ABCD  ABCD
6.2. Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V S h . áy đS : Diện tích mặt đáy. áy đ
h : Chiều cao của khối chóp. Lưu ý:
Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.
6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V a b . c .
6.4. Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V a3 
6.5. Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ V
SASBSC
S .AB C    . . S V SA SB SC S A . BC A’ B’
Thể tích hình chóp cụt ABC A . B C   C’ h A B V
B B  BB   3 C
Với B,B ,h là diện tích hai đáy và chiều cao.
6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt
 Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2
 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là : a 3
 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a,b,c là : a2 b2 c2   a 3
 Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
7. CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG
7.1. Hệ thức lượng trong tam giác 7.1.1. Cho AB
C vuông tại A , đường cao AH 2 2 2
AB AC BC
AB2  BH BC . 2  AC CH BC .  AH B . C AB A . C 2  AH BH H . C 1 1 1    AH 2 AB2 AC 2
AB BC . sinC BC . cos B AC . tanC AC . cot B 7.1.2. Cho AB
C có độ dài ba cạnh là: a,b, c độ dài các trung tuyến là m , m , m bán kính a b c
đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi . p
 Định lí hàm số cosin:
a2  b2  c2 bc
A b2  c2  a2  ca
B c2  a2  b2 - 2 .cos ; 2 .cos ;  ab 2 .cosC
 Định lí hàm số sin: a b c    R 2 sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến: 2 b2  c2 a2 2 c2  a2 b2 2 a2  b2 c2 m   ; m   ; m   a b c 2 4 2 4 2 4
7.2. Các công thức tính diện tích 7.2.1. Tam giác 1 1 1  S a h .  b h .  c h . a b c 2 2 2 1 1 1  S
bc sin A ca.sin B ab sinC 2 2 2 abcS R 4
S pr S
p p ap bp c AB A . C BC A . H
 ABC vuông tại A : S   2 2 a 3 a2 3
 ABC đều, cạnh a : AH  , S  2 4 7.2.2. Hình vuông S a2 
( a : cạnh hình vuông)
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
7.2.3. Hình chữ nhật S ab
( a,b : hai kích thước)
7.2.4. Hình bình hành  S = đáy  cao   . AB A . D sin BAD 7.2.5. Hình thoi   1 S A . B A . D sin BAD AC.BD 2 7.2.6. Hình thang 1  S
a bh (a,b : hai đáy, h : chiều cao) 2
7.2.7. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD 1  S AC B . D 2
8. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng A
SAB,SBC ,SAC vuông góc với nhau từng đôi một,
diện tích các tam giác SAB,SBC,SAC lần lượt là S ,S ,S . 1 2 3 S C S 2 .S .S Khi đó: V 1 2 3  S A . BC 3 B
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC  , S
hai mặt phẳng SAB  và SBC  vuông góc với nhau,  
BSC , ASB . A C SB3.sin 2. tan  Khi đó: VS AB . C 12 B
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều S
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b . a2 b2 3  a2 Khi đó: VS A . BC C 12 A G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a S
và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . a3 tan Khi đó: VS A . BC 24 C A G M B
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 61
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên S
bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . b3 2 3 .sin  cos  Khi đó: VS A . BC 4 A C G M B
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy S
bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  . a 3. tan  Khi đó: VS A . BC 12 A C G M B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là S
hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD b . a2 b2 4  a2 2 Khi đó: VD S A . BC 6 A O M C B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng S
a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là  . a3. tan  Khi đó: VS A . BCD 6 A D O M B C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng S     a, 
SAB với  ;   4 2   D A a3 2 tan   1 O M Khi đó: VS A . BCD C 6 B
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên S
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với    0;     . 2 A D   O M a3 4 . tan B C Khi đó: VS A . BCD 3 3  2 2  tan  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 62
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng S .
a Gọi P  là mặt phẳng đi qua A song song với BC và F N A E C
vuông góc với SBC  , góc giữa P  với mặt phẳng đáy là x GM . B a 3 cot Khi đó: VS A . BCD 24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập A' B' O' phương cạnh . a D' a 3 O1 C' Khi đó: V  6 O4 O2
A O3 B O D C
Cho khối tám mặt đều cạnh .
a Nối tâm của các mặt bên S
ta được khối lập phương. G2 a3 2 2 D
A G1 Khi đó: V  27 N M B C S'
9. CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Công thức
Điều kiện tứ diện abc V 2 2 2 
1cos  cos  cos  2coscoscos
SA a, SB  , b SC c S A . BC  6   
ASB , BSC ,CSA
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện 1 Vabd sin ABCD 6 AB a C , D b  
Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc d  AB C
, D  d,AB C , D    2 cạnh đó S 2 S sin  V 1 2  SABC a 3 S   S ,S
S ,SA aSAB 1 SAC 2 
Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa
SAB,SAC     2 mặt kề abc     V  sin sin  sin SA a, SB , b SC c S ABC .  6
 SAB,SAC   
Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc   nhị diện
ASB , ASC
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 63
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 a3 2 Tứ diện đều VABCD 12 a tất cả các cạnh bằng 2
Tứ diện gần đều V
a2  b2  c2 b2  c2  a2 a2  c2 b2 ABCD     12 A
B CD a AC
BD b A
D BC c
PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc  với 0 0
0    90 , mp P  chứa d , .
 P  quay quanh trục
 với góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.   gọi là trục.
d được gọi là đường sinh.
 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh. 1.2. Khối nón Nội dung Hình vẽ
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc
khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình
nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón.
Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh,
mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáyr .
Diện tích xung quanh: của hình nón: S  rl . xq
Diện tích đáy (hình tròn): S   r 2 . á đ y
Diện tích toàn phần: của hình nón: S
  rl   r 2 . tp 1
Thể tích khối nón: V  r h 2 . 3
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 64
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng Điều kiện Kết quả
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) đi qua đỉnh của mặt nón. mp Q
( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.
 Thiết diện là tam giác  mp Q
( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường cân. sinh.  Q ( ) là mặt phẳng tiếp
diện của hình nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp Q
( ) không đi qua đỉnh của mặt nón.mp Q
( ) vuông góc với trục hình nón.
 Giao tuyến là 1 đường parabol. mp Q
( ) song song với 2 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là 2 nhánh mp Q ( ) của 1 hypebol.
song song với 1 đường sinh hình nón.  Giao tuyến là một đường tròn.
2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 2.1. Mặt trụ Nội dung Hình vẽ
Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng  và l
song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi
quay mặt phẳng P xung quanh  thì đường thẳng l
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.
 Đường thẳng  gọi là trục.
 Đường thẳng l là đường sinh.
r là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay Nội dung Hình vẽ
Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo
thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ.  Khi quay quanh A ,
B hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là
hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 65
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh
AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn
xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài
của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là
những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ
cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình trụ có chiều
cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh: S  2 rl . xq
Diện tích toàn phần: S
  rl   r 2 2 2 . tp
Thể tích: V  r h 2 .
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU 3.1. Mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Cho điểm I cố định và một số thực dương R .
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I
một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính . R
Kí hiệu: S I;R. Khi đó:
S I;R  M IM   R
3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S I;R và mặt phẳng P  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P
d IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng P  . Khi đó: d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo không có điểm chung.
P là mặt phẳng tiếp diện của thiết diện là đường tròn có tâm I  mặt cầu và và bán kính
H : tiếp điểm. r R2 IH 2  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 66
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Lưu ý:
Khi mặt phẳng P  đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P  được gọi là mặt phẳng
kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S I;R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó: IH R IH R IH R  không cắt mặt cầu.
 tiếp xúc với mặt cầu.
 cắt mặt cầu tại hai
 : Tiếp tuyến của S  điểm phân biệt.
H : tiếp điểm. Lưu ý:
Trong trường hợp  cắt S  tại 2 điểm ,
A B thì bán kính R của S  được tính như sau: d
 I;  IH   2 .  2 2 2  AB R  
IH AH IH   2     
3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu Nội dung Hình vẽ
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là
trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng
vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu
* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện: Nội dung Hình vẽ
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp
xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa
diện ngoại tiếp mặt cầu.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 67
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh
của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình
đa diện nội tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp S A
. BCD khi và chỉ khi
OA OB OC OD OS r
Cho mặt cầu S I;R
Diện tích mặt cầu: S R2 4 . 4
Thể tích khối cầu: V   R3 . 3
4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác
cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.
Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những
đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.
4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l .
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là d. Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 68
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
AC  SMI
 Góc giữa SAC  và ABC  là góc  SMI .
 Góc giữa SAC  và SI là góc  MSI .
d I,SAC   IH d.
Diện tích thiết diện 1 1 S SSM A . C
SI 2  IM2.2 AI 2  IM2 td SAC 2 2 h d 2 2 h d 2 2 2 2  r  . h h2  d2 h2  d2
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. BCD đều là hình nón
Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD S A . BCD . S Khi đó hình nón có: AB
 Bán kính đáy r IM  , A D 2 I M
 Đường cao h SI , đường sinh l SM. B C
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. BCD đều là hình nón Hình chóp tứ giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông S A . BCD ABCD . S Khi đó hình nón có: AC AB 2 A D
 Bán kính đáy: r IA   . 2 2 I B C
 Chiều cao: h SI .
 Đường sinh: l SA.
Hình nón nội tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đều
đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . S A . BC Khi đó hình nón có S AM AB 3
 Bán kính đáy: r IM   . 3 6
 Chiều cao: h SI .
 Đường sinh: l SM . A I C M B
Hình nón ngoại tiếp hình chóp S A
. BC đều là hình nón Hình chóp tam giác đều
có đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . S A . BC
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 69
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khi đó hình nón có: S AM 2 AB 3
 Bán kính đáy: r IA   . 3 3
 Chiều cao: h SI . C
Đường sinh: l SA. A I M B
4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong
hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt. Nội dung Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với
trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.
Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy r
lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt: h
S  l R r . xq   R
Diện tích đáy (hình tròn): S   r 2  áy đ 1   S
  r 2  R2 . 2  áy đ   S   Ráy đ 2 
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:
S  l R r   r 2   R2 . tp  
Thể tích khối nón cụt: 1
V  h R2  r2  Rr  . 3
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 70
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Từ hình tròn O;R cắt bỏ đi hình quạt . AmB Độ dài cung 
AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại
được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài
đường sinh của hình nón đó.
Hình nón được tạo thành có l   R   2 2
  r x r  . xh   l2  r 2 
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ
4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R O A M B
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong G đó AB R
2 và AD h . Nếu thiết diện qua trục là một
hình vuông thì h R 2 .
Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình D C chữ nhật
BGHC có khoảng cách tới trục là: H
d OO ';BGHC   OM
4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy Nội dung Hình vẽ
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai O A B đáy của hình trụ thì: 1 VAB C . D OO . '.sin AB,CD ABCD   6 * Đặc biệt: C
Nếu AB và CD vuông góc nhau thì: O' 1 V DAB CD . O . O ' . ABCD 6
4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách Nội dung Hình vẽ
Góc giữa AB và trục OO ' : O  AB OO   , '  A' AB A O' B A'
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 71
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Khoảng cách giữa AB và trục OO ' : O A d AB O
; O '  OM . O' B M A'
Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ A O B
thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ. I
Nghĩa là cạnh hình vuông: O' D ABR2  h2 2 4 . C
4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối
trụ trong bài toán tối ưu Nội dung Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất:  V R 3    4 S min    tp V h  3  2   4
 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích
xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:  V R 3    S min    V h  3    
4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì 4 V
thể tích khối trụ là V  (T) 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD A
. ' B 'C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích S 2
xung quanh hình trụ là S thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là Sxq xq
5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và
vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy  Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác
thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 72
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và
vuông góc với đoạn thẳng đó.
 Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói
cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương Nội dung Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật
(hình lập phương)  Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ
nhật (hình lập phương). AC '  Bán kính: R  . 2
5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn Nội dung Hình vẽ
Xét hình lăng trụ đứng A A A .. A . A'
. A'A' .. A' . , trong đó 1 2 3 n 1 2 3 n
có 2 đáy AA A . A
.. và A'A'A' A'
... nội tiếp đường tròn O 1 2 3 n 1 2 3 n
và O ' . Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .
Bán kính: R IA IA  ...  IA' . 1 2 n
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông Nội dung Hình vẽ Hình chóp S A . BC có   0
SAC SBC  90 .
 Tâm: I là trung điểm của SC . SC  Bán kính: R
IA IB IC . 2 Hình chóp S A . BCD có    0
SAC SBC SDC  90 .
 Tâm: I là trung điểm của SC . SC  Bán kính: R
IA IB IC ID . 2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 73
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
5.1.3.4. Hình chóp đều Nội dung Hình vẽ
Cho hình chóp đềuS A . BC ...
 Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy.
 Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh
bên, chẳng hạn như mp SAO  , ta vẽ đường trung
trực của cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SO
tại I I là tâm của mặt cầu. Bán kính: SM SI Ta có: SMI ∽ SOA    Bán kính: SO SA SM SA SA2 . R IS  
IA IB IC  ... SO S 2 O
5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A
. BC ... có cạnh bên SA ABC.. . và
đáy ABC ... nội tiếp được trong đường tròn tâm O .
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A
. BC ... được xác định như sau:
 Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ
đường thẳng d vuông góc với mp ABC... tại O .
 Trong mp d,SA, ta dựng đường trung trực  của
cạnhSA , cắtSA tại M , cắt d tại I I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
R IA IB IC IS  ...  Tìm bán kính
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét MAI vuông tại M có: 2 2 2 2  SA
R AI MI MA AO    . 2  
5.1.3.6. Hình chóp khác -
Dựng trục  của đáy. -
Dựng mặt phẳng trung trực   của một cạnh bên bất kì. -
     I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. -
Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 74
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc
xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán. O O O Hình vuông: O là giao
Hình chữ nhật: O là giao
∆ đều: O là giao điểm của 2 điểm 2 đường chéo.
điểm của hai đường chéo.
đường trung tuyến (trọng tâm). O O
∆ vuông: O là trung điểm
∆ thường: O là giao điểm của hai đường của cạnh huyền.
trung trực của hai cạnh ∆.
5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Cho hình chóp S A . A . A .. 1 2
n (thoả mãn điều kiện tồn tại S
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: I  Bước 1: O
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác D
đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác A H C đáy. B  Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực () của một cạnh bên. Lúc đó
 Tâm O của mặt cầu:   mp()  O
 Bán kính: R SA SO  . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 75
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường M
thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông
góc với mặt phẳng đáy. A Tính chất C
M   : MA MB MC H
Suy ra: MA MB MC M   B
Các bước xác định trục  Bước 1:
Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.  Bước 2:
Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
 Đáy là tam giác vuông H B C A 
 Đáy là tam giác đều B C H A 
 Đáy là tam giác thường B C H A
5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng Nội dung Hình vẽ SO SM S
SMO đồng dạng với SIA   . SA SI M O I A
5.3.3. Nhận xét quan trọng MA   MB MC M,S :   
SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
SA SB SC  
5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 76
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Cho hình chóp S A . A . A
.. (thõa mãn điều kiện tồn tại 1 2 n Δ
mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu S
ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: R  Bước 1: I d
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác D đáy. C  Bước 2: A B
Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một
mặt bên (dễ xác định) của khối chóp. Lúc đó:
 Tâm I của mặt cầu:   d  I
 Bk: R IA IS  . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu 5.5.1. Dạng 1 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và  0 ABC  90 khi đó S S SC R
và tâm là trung điểm SC . 2 A A C D B C B 5.5.2. Dạng 2 Nội dung Hình vẽ
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, S
chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy 2 2 SA2 là R R R D , khi đó :  K D 4 I abc CR  ( p : nửa chu vi). A D
4 p p ap bp cO  Nếu  ABC vuông tại A thì: 1 B R
AB AC AS . D  2 2 2  4 a 2
 Đáy là hình vuông cạnh a thì R D 2 a 3
 nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R D . 3
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 77
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.5.3. Dạng 3 Nội dung Hình vẽ
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA SB SC SD : S SA2 R  . SO 2
ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là A D giao hai đường chéo.
 ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh B C huyền.
 ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm. 5.5.4. Dạng 4 Nội dung Hình vẽ
Hai mặt phẳng SAB và ABC  vuông góc với nhau S
và có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R ,R 1 2 lần lượt là bán O
kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC . I
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: A C J 2 2 2 AB2 R KR R 1 2 4 B 5.5.5. Dạng 5
Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải 2
phương trình: SH x OH 2 x 2 R2 2 2 2    
. Với giá trị x tìm được ta có: R x R . D D V 3
5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r  . Stp
6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 6.1. Chỏm cầu Nội dung Hình vẽ S
 2 Rh   r 2  h2 xq    h r  2  h  h V  h R      h2  r2 3  3 6 R    6.2. Hình trụ cụt Nội dung Hình vẽ S
  R h h xq  1 2   
h h V h   R2 1 2 2     2  h1    R
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 78
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
6.3. Hình nêm loại 1 Nội dung Hình vẽ 2
V R3 tan 3
6.4. Hình nêm loại 2 Nội dung Hình vẽ   2  V   R3 tan    2 3  
6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay Nội dung Hình vẽ 3 3  4 S '  x   a S   Rh;     R R parabol 3 S hR           1 1 h V    R h 2  Vtru  2 2 
6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip Nội dung Hình vẽ S  abelip ba a  4 V   ab2 xoay q uanh a 2 3  b 4 V   a b 2 xoay qua nh b 2   3
6.7. Diện tích hình vành khăn Nội dung Hình vẽ
S  R2  r2   R r
6.8. Thể tích hình xuyến (phao) Nội dung Hình vẽ 2
2  R r   R r V  2 r     2 2     R
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 79
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1.1. Các khái niệm và tính chất
1.1.1. Khái niệm mở đầu
Trong không gian cho ba trục Ox,Oy,Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ
O, truc hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ Oxy,Oyz,Ozx.
1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ
Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxy . z 2  2 2
i j k  1   2 2 Chú ý: a a   
i j ik jk  0      
1.1.3. Tọa độ véc tơ u x
( ;y;z)  u x
( ;y;z)  u xi y j zk    
1.1.4. Tọa độ điểm M x
( ;y;z)  OM xi y j zk
1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ   Cho u a ( ;b;c), v a ( ;b ;c )  a   a '    
u v b   b'  c   c '   
u v  a a ;b b ;c c   ku ka ( ;kb;kc)       u v
.  u . v .co u s( v
, )  aa  bb  cc   u v .
aa  bb  cc  cos u ( v , )       u . v u . v  2  u u a2 b2 c2        
u v u v .  0 
AB  x x ;y y ;z z B A B A B A   2 2 2
AB AB  x xy yz z B A   B A   B A 1.1.6. Chú ý  
Góc của 2 véc tơ u,v là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang véc tơ có, giá trị trong 0;        là: u v 2 sin , 
1  cos u,v  0
1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 80
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  
M chia AB theo tỉ số k nghĩa là MA kMB x kx A B x   M 1  k   y ky
Công thức tọa độ của M là : A B y   M 1  kz kzA B zM  1  k
1.1.8. Công thức trung điểm x x A B x   M 2      y y
Nếu M là trung điểm AB thì MA MB  0 A By   M 2  z zA B z M  2 
1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác
x x x A B C x   G 3
     
y y y
Nếu G là trọng tâm của ABC thì GA GB GC  0 A B Cy   G 3 
z z zA B C z G  3 
1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì 
x x x x A B C D x   G 4
      
y y y y
GA GB GC GD  0 A B C Dy   G 4 
z z z zA B C D z G  4 
1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ  
Cho 2 véc tơ u a
( ;b;c) và v a ( ;b ;c )
 ta định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ đó là một     véc tơ, kí hiệu u
 ,v hay u v có toạ độ:      b c c a a b u  ,v   ; ;
  bc  b c;ca  ac ;ab  ba  
bccaab   
1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ    
 u, v  vuông góc với u và v      
 u, v   u . v sinu, v     
 u, v  0  u, v cùng phương
1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 81
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  
 Diện tích hình bình hành ABCD : SAB,AD     1    Diện tích ABC : S . AB,AC   2        
 Ba véc tơ u,v,w đồng phẳng: u  ,v w .  0  
 Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên A ’ A :
   V
AB, AD A . A   1
  
 Thể tích khối tứ diện S.ABC : V . AB  ,AC   SA . 6  
1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp
1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
 Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
 Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
 Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:         ,
A B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB k AC A
B,AC   0    
ABCD là hình bình hành  AB DC
 Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc
A của ABC trên BC .  AB   AB  Ta có: EB   E . C , FB FC . AC AC
    ,
A B, C, D không đồng phẳng  AB,AC, AD không đồng phẳng
   AB,AC   A . D  0   2. MẶT PHẲNG
2.1. Các khái niệm và tính chất
2.1.1. Khái niệm về véc tơ pháp tuyến  
n khác 0 và có giá vuông góc mpP được gọi là véc tơ pháp tuyến của P.
2.1.2. Tính chất của véc tơ pháp tuyến  
Nếu n là véc tơ pháp tuyến của P thì kn, (k  0) cũng là véc tơ pháp tuyến của P.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 82
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
2.1.3. Phương trình tổng quát của mpP 
Phương trình tổng quát của mpPqua M x
( ;y ;z ) và có véc tơ pháp tuyến n A ( ;B C ; ) 0 0 0 là A x
(  x )  B y
(  y )  C z (  z )  0 0 0 0
2.1.4. Khai triển của phương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax By Cz D  0 (trong đó , A B,C
không đồng thời bằng 0)
2.1.5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
 P qua gốc tọa độ  D  0
 P song song hoặc trùng Oxy  A B  0
 P song song hoặc trùng Oyz  B C  0
 P song song hoặc trùng Ozx  A C  0
 P song song hoặc chứa Ox A  0
 P song song hoặc chứa Oy B  0
 P song song hoặc chứa Oz C  0
 P cắt Ox tại A ; a 0; 
0 , cắt Oy tại B0; ; b
0 và cắt Oz tại C 0;0;c  P có phương x y z trình  
 1a,b,c  0 a b c
2.1.6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Ax By Cz D 0 0 0
Cho M x ;y ;z và P
( ) : Ax By Cz D  0 ; d M ( , P ( ))  0 0 0 
A2  B2  C 2
2.1.7. Chùm mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai
mặt phẳng   và () được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi d  là giao tuyến của hai mặt phẳng
  : Ax B y C z D  0 và 1 1 1 1
  : A x B y C z D  0 . 2 2 2 2
Khi đó nếu P  là mặt phẳng chứa d  thì mặt phẳng P có dạng : 
m A xB yC z D n A xB y CzD 0 1 1 1 1  2 2 2 2  Với 2 2
m n  0
2.2. Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác định một điểm thuộc   và một VTPT của nó.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 83
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2.2.1. Dạng 1 
  đi qua điểm M x ;y ;z
n A;B C ; 0 0 0  có VTPT   thì:
  : Ax x   B y y  C z z  0 0 0 0  2.2.2. Dạng 2      
  đi qua điểm M x ;y ;z a,b n a  ,b    0 0 0  có cặp VTCP thì   là một VTPT của 2.2.3. Dạng 3
  đi qua điểm M x ;y ;z 0 0 0 
và song song với : Ax By Cz  0 thì
  : Ax x   B y y  C z z  0 0 0 0  2.2.4. Dạng 4
  đi qua 3 điểm không thẳng hàng A,B C ,
. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của      là: nAB,AC     2.2.5. Dạng 5
  đi qua một điểm M và một đường thẳng d không chứa M : 
 Trên d  lấy điểm A và VTCP u .   
 Một VTPT của   là: nAM,u     2.2.6. Dạng 6
  đi qua một điểm M , vuông góc với đường thẳng d thì VTCP u của đường thẳng
d là một VTPT của   . 2.2.7. Dạng 7
  chứa đường thẳng cắt nhau d , d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của   là: n a  ,b    .
 Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d M   . 2   2.2.8. Dạng 8
  chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d (d ,d chéo nhau) : 1 2 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2   
 Một VTPT của   là: n a  ,b    .
 Lấy một điểm M thuộc d M   . 1   2.2.9. Dạng 9
  đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d ,d : 1 2  
 Xác định các VTCP a,b của các đường thẳng d , d . 1 2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 84
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   
 Một VTPT của   là: n a  ,b    . 2.2.10. Dạng 10
  chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng   :  
 Xác định VTCP u của d và VTPT n của  .    
 Một VTPT của   là: n u  ,n  .   
 Lấy một điểm M thuộc d M   . 2.2.11. Dạng 11
  đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau   ,   :  
 Xác định các VTPT n ,n của   và  .     
 Một VTPT của   là: n u  ,n  .     2.2.12. Dạng 12
  chứa đường thẳng d cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
 Giả sử () có phương trình: Ax By Cz+D  0 A2  B2  C 2  0 .
 Lấy 2 điểm A, B  d   A, B    ( ta được hai phương trình   1 ,2)
 Từ điều kiện khoảng cách d M
( ,())  k , ta được phương trình 3.
 Giải hệ phương trình   1 ,  2 , 
3 (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại). 2.2.13. Dạng 13
  là tiếp xúc với mặt cầu Stại điểm H :
 Giả sử mặt cầu S có tâm I và bán kính R.  
 Một VTPT của   là: n IH
2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D  0 và P : A x   B y   C z   D  0. Khi đó:
 P cắt P  A : B : C A : B : C . A B C D
 P // P     . ABCDA B C D
 P  P     . ABCD    
 P  P  n nn .n
 0  AA  BB  CC  0.   P P  P P
2.4. Khoảng cách và hình chiếu
2.4.1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 85
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z
() : Ax By Cz D  0 0 0 0 0  đến mặt phẳng là
Ax By Cz D
d M ,()  0  0 0 0
A2  B2  C 2
2.4.2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
2.4.3. Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng   M
H, n cung phuong
Điểm H là hình chiếu của điểm M trên P    . H P ( )  
2.4.4. Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng  
Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P   MM   M 2 H
2.5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng  ,   có phương trình:   : A x B y C z D  0 1 1 1 1
  : A x B y C z D  0 2 2 2 2  
Góc giữa  ,   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n ,n . 1 2   n n .
AA B B C C cos (),(  1 2 1 2 1 2 1 2 )     n . n
A2  B2  C 2 . A2  B2  C 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Chú ý:
0       0 0 ,
 90 ; ()  ()  AA B B C C  0 1 2 1 2 1 2
2.6. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Cho mặt phẳng  :Ax By C
z D  0 và mặt cầu Sx a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) có tâm I
   và S  không có điểm chung  d I
( ,())  R
   tiếp xúc với S   d I
( ,())  R với   là tiếp diện
Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với   .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và   . H là tiếp điểm của S  với   .
   cắt S  theo một đường tròn  d I
( ,())  R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của S  và vuông góc với   .
 Tìm toạ độ giao điểm H của d và   . Với H là tâm của đường tròn giao tuyến
của S  với   .
 Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r R2 IH 2  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 86
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Phương trình của đường thẳng
3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
3.1.1.1. Ðịnh nghĩa  
Cho đường thẳng d . Nếu vectơ a  0 và có giá song song hoặc trùng với đường phẳng d  
thì a được gọi là vectơ chỉ phương của đường phẳng d . Kí hiệu: a a ( ;a ;a ) 1 2 3 3.1.1.2. Chú ý  
a là VTCP của d thì k a . k
(  0) cũng là VTCP của d 
 Nếu d đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP của d  
 Trục Ox có vectơ chỉ phương a i  (1; 0; 0)  
 Trục Oy có vectơ chỉ phương a j  (0;1; 0)  
 Trục Oz có vectơ chỉ phương a k  (0; 0;1)
3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng ( )  đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và nhận 0 0 0 0
a a( ;a ;a ) làm VTCP là : 1 2 3  z a x   x ta 0 1  () () : y
  y ta 0 2 tM 0 z   z ta
M (x, y, z) 0 3 y O x
3.1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )  đi qua điểmM x
( ;y ;z ) và nhận 0 0 0 0  x x y y z z a a
( ;a ;a ) làm VTCP là ( 0 ) :  0 
0 a ,a ,a  0 1 2 3  1 2 3 a a a 1 2 3
3.2. Vị trí tương đối
3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng M a () ()   a n   n n M M  () a a a a
3.2.1.1. Phương pháp hình học Định lý
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 87
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 x
  x a t (1) 0 1  
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ( )  : y
  y a t (2) có VTCP a a ( ;a ;a ) 0 2 1 2 3 z
  z a t (3) 0 3   và quaM x
( ;y ;z ) và mặt phẳng () : Ax By Cz D  0 có VTPT n A ( ;B C ; ) 0 0 0 0 Khi đó :     
   a.n  0  Aa Ba Ca  0 1 2 3     aa.n  0
Aa Ba Ca  0   n
  / / 1 2 3      M P
Ax By Cz  0  0     0 0 0   a  .n  0
Aa Ba Ca  0   a
  1 2 3      M P
Ax By Cz  0  0     0 0 0 Đặc biệt  
( ) ()  a và n cùng phương  a : a : a A : B : C 1 2 3
3.2.1.1. Phương pháp đại số pt( )  
Muốn tìm giao điểm M của  và   ta giải hệ phương trình: 
tìm x,y,z. Suy ra: pt()  
M x,y,z  .
Thế 1,2,3 vào phương trình mp P  và rút gọn dưa về dạng: at b  0 (*)
d cắt mpP tại một điểm  pt  
* có một nghiệm t .
d song song với P  pt   * vô nghiệm.
d nằm trong P   Pt * có vô số nghiệm t .  
d vuông góc P   a và n cùng phương
3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng     1 u 1 ' M a MM 0 0 u 0  1   bM ' M u u'  u' 0   0 1 2 u' 2 2 ' M M ' M 0  0 0 2
3.2.2.1. Phương pháp hình học  Cho hai đường thẳng:  u .
1 đi qua M và có một vectơ chỉ phương 1   u .
2 đi qua N và có một vectơ chỉ phương 2          u ,uu , MN       0. 1 2  1 2  1     
u ,u   0  1 2    / /       . 1 2 u , MN   0 1  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 88
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12     u  ,u   0      1 2    . 1 cắt 2    u
 ,u  .MN  0  1 2       
 u ,u  .MN  0. 1 và 2 chéo nhau  1 2 
3.2.2.2. Phương pháp đại số pt( ) 
Muốn tìm giao điểm M của (
) va (  ) ta giải hệ phương trình :
1 tìm x,y,z.Suy 1 2pt( )  2 
ra: M x,y,z
3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu x
  x a t (1) 0 1 
Cho đường thẳng d : y 2 2 2 2
  y a t (2) và mặt cầu S  : x (  a)  y (  b)  z
(  c)  R có tâm 0 2 z
  z a t (3) 0 3  I a
( ;b;c) , bán kính R.
3.2.3.1. Phương pháp hình học  Bước 1:
Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu S  đến đường thẳng d là   IM a .  0 h d I ( ,d)      a  Bước 2: So sánh d I
( ,d) với bán kính R của mặt cầu:  Nếu d I
( ,d)  R thì d không cắt S   Nếu d I
( ,d)  R thì d tiếp xúc S   Nếu d I
( ,d)  R thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M, N và MN vuông góc với
đường kính (bán kính) mặt cầu
3.2.2.2. Phương pháp đại số
Thế 1, 2, 3 vào phương trình S và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t *
 Nếu phương trình  
* vô nghiệm thì d không cắt S
 Nếu phương trình * có một nghiệm thì d tiếp xúc S
 Nếu phương trình * có hai nghiệm thì d cắt S  tại hai điểm phân biệt M, N Chú ý:
Ðể tìm tọa độ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 89
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
3.3. Góc trong không gian
3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ,  xác
định bởi phương trình :
() : A x B y C z D  0 1 1 1 1
() : A x B y C z D  0 2 2 2 2
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có công thức:
A A B B C C 1 2 1 2 1 2 cos 
A2  B2  C 2 . A2  B2  C 2 1 1 1 2 2 2
3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Nội dung Hình vẽ x x y y z z Cho đường thẳng 0 0 0 ( )  :   a b c
và mặt phẳng () : Ax By Cz D  0
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng () & ()ta có công thức:
Aa Bb Cc sin 
A2  B2 C 2 . a2  b2  c2
3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ
Cho hai đường thẳng : x x y y z z ( 0 ) :  0  0 1 a b c x xy yz z ( 0 ) :  0  0 2 a' b' c'
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( )ta có công 1 2
aa'  bb'  cc' thức: cos 
a2  b2  c2 . a'2  b'2  c'2 3.4. Khoảng cách
3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Nội dung Hình vẽ
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 90
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Cho mặt phẳng () : Ax By Cz D  0 và điểm M x ( ;y ;z ) 0 0 0 0
Khoảng cách từ điểm M () 0 đến mặt phẳng được tính bởi :
Ax By Cz D 0 0 0 d M ( ; )   0
A2  B2  C 2
3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho đường thẳng ( )  đi qua điểm M x ( ;y ;z ) 0 0 0 0 và có  VTCP u a
( ;b;c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến ()
được tính bởi công thức:   MM ;u 0 1 d M ( , )      1 u
3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau Nội dung Hình vẽ Định lý:
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau :  (
) co VTCP u a ( b ; ;c ) va qua M x ( ;y ;z ) 1 0 0 0 0  ' ' ' ' ' ' ' ' (
) co VTCP u a ( b ; ;c ) va qua M x ( ;y ;z ) 2 0 0 0 0
Khi đó khoảng cách giữa ( ) va (  ) 1 2 được tính bởi
   u  ,u ' M . M ' 0 0  
công thứcd( ,  )    1 2 u  ;u '  
3.5. Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định 1 điểm thuộc d và một VTCP của nó. 3.5.1. Dạng 1 x   x a to 1 
d đi qua điểm M x ( ;y ;z ) a a ( ;a ;a ) d ( ) : y   y a t (t R) 0 0 0 0 và có VTCP 1 2 3 là o 2 . z   z a t o 3  3.5.2. Dạng 2 
d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d là AB . 3.5.3. Dạng 3
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 91
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên 0 0 0 0
VTCP của  cũng là VTCP của d . 3.5.4. Dạng 4
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d  P nên 0 0 0 0
VTPT của P cũng là VTCP của d . 3.5.5. Dạng 5
d là giao tuyến của hai mặt phẳng P,Q:  Cách 1:
Tìm một điểm và một VTCP. P ( ) 
 Tìm toạ độ một điểm A d : bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn Q ( )  
giá trị cho một ẩn)   
 Tìm một VTCP của d : a n  ,n P Q    Cách 2:
Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. 3.5.6. Dạng 6
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2   
Vì d d , d d d a a  ,a  1 2 nên một VTCP của là: d d  1 2  3.5.7. Dạng 7
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) , vuông góc và cắt đường thẳng  . 0 0 0 0  Cách 1: H    
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng  . Thì    . Khi 0 M H u  0  
đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H . 0  Cách 2:
Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d ; Q là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d   P   Q 3.5.8. Dạng 8
d đi qua điểm M x
( ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d ,d : 0 0 0 0 1 2  Cách 1:
Gọi M d , M d . Từ điều kiện M, M , M thẳng hàng ta tìm được M , M . Từ 1 1 2 2 1 2 1 2
đó suy ra phương trình đường thẳng d .  Cách 2:
Gọi P   M (
,d ) , Q   M (
,d ) . Khi đó d  P   Q . Do đó, một VTCP củad có 0 1 0 2   
thể chọn là a  n ,n  . P Q  
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 92
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.5.9. Dạng 9
d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d ,d : 1 2
Tìm các giao điểm A d  P , B d  P . 1 2 
Khi đó d chính là đường thẳng AB. 3.5.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng P chứa  và d , mặt phẳng Q  chứa  và d . 1 2
Khi đó d  P   Q . 3.5.11. Dạng 11
d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d chéo nhau: 1 2  Cách 1: MN   d
Gọi M d , M d . 1 M, N. d 1 1 2
2 Từ điều kiện  , ta tìm được MN d Khi đó, là  2 
đường thẳngMN.  Cách 2:     Vì d d d d d a a  ,a  1 và 2 nên một VTCP của có thể là: . d d  1 2 
 Lập phương trình mặt phẳng P chứad và d ,1 bằng cách:
 Lấy một điểm A trên d . 1   
 Một VTPT của P có thể là: n a  ,a  . P d  1 
 Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứad và d .
d  P   Q . 2 Khi đó 3.5.12. Dạng 12
d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng P thì ta Lập phương trình mặt phẳng
Q chứa  và vuông góc với mặt phẳng P bằng cách:  Lấy M   .   
 Vì Q chứa  và vuông góc với P nên n a  ,n  . Q   P
 Khi đó d  P   Q . 3.5.13. Dạng 13
d đi qua điểm M , vuông góc với d và cắt d : 1 2  Cách 1:
Gọi N là giao điểm củad và d . Từ điều kiện MN d , ta tìm được N. Khi đó, d là 2 1
đường thẳng MN.  Cách 2:
 Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vuông góc với d . 1
 Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M và d . 2
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 93
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
 Khi đó d  P   Q .
3.6. Vị trí tương đối
3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.
 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
 Phương pháp hình học:
Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
 Phương pháp đại số:
Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu. 3.7. Khoảng cách
3.7.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1:    MM,a   0 
Cho đường thẳng d đi qua M a d M ( ,d)  0 và có VTCP thì  a  Cách 2:
 Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.
d M,d   MH.  Cách 3:
 Gọi N x; y; z   d. Tính MN 2theo t t
( tham số trong phương trình đường thẳng d).
 Tìm t để MN 2 nhỏ nhất.
 Khi đó N H. Do đó d M,d   MH.
3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 94
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau d d . d a d 1 và 2 Biết
1 đi qua điểm M1 và có VTCP 1 , 2 đi     a  ,a M . M  1 2  1 2 qua điểm M a d d ( ,d )  2 và có VTCP 2 thì 1 2   a  ,a   1 2  Chú ý:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d , d d 1
2 bằng khoảng cách giữa 1 với mặt
phẳng   chứa d và song song với d . 2 1
3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳngd với mặt phẳng   song song với nó bằng khoảng cách
từ một điểm M bất kì trênd đến mặt phẳng   . 3.8. Góc
3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng  
Cho hai đường thẳng d , d a ,a 1
2 lần lượt có các VTCP 1 2 .       a a .
Góc giữa d , d a ,a cos a ,a  1 2  1 2 1
2 bằng hoặc bù với góc giữa 1 2 là:   a . a 1 2
3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng  
Cho đường thẳng d có VTCP a a
( ;a ;a ) và mặt phẳng   có VTPT n A ( ;B C ; ). 1 2 3
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu
Aa Ba Ca
d ' của nó trên   là: sin d,    1 2 3  2 2 2 2 2 2
A B C
a a a 1 2 3 4. MẶT CẦU
4.1. Phương trình mặt cầu
4.1.1. Phương trình chính tắc
Phương trình của mặt cầu S  tâm I a;b;c, bán kính R là: S
x a 2  y b 2  z c 2  R2 ( ) : ( ) ( ) ( ) 1 Phương trình  
1 được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt: Khi I O thì C x 2 y2 z2 R2 ( ) :   
4.1.2. Phương trình tổng quát
Phương trình : x 2  y2  z 2  a 2 x by 2  cz 2
d  0 với a2  b2  c2  d  0 là phương
trình của mặt cầu S  có tâm I a;b;c, bán kính R a2 b2 c2     d .
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 95
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt phẳng () và mặt cầu S  có phương trình :
() : Ax By Cz D  0 S ( ) : x (  a 2 )  y (  b 2 )  z (  c 2 )  R2 Gọi d I
( ;) là khoảng cách từ tâm mặt cầu S  đến mặt phẳng 
Cho mặt cầu S I; R và mặt phẳng P .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P  d IH dI,P. d R d R d R Mặt cầu và mặt phẳng
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu không có điểm chung.
P là mặt phẳng tiếp diện của theo thiết diện là đường tròn có tâm I
mặt cầu và H : tiếp điểm. và bán kính r R2 IH 2  
4.3. Một số bài toán liên quan 4.3.1. Dạng 1
S  có tâm I a;b;c và bán kính R thì S x a 2  y b 2  z c 2  R2 : ( ) ( ) ( ) 4.3.2. Dạng 2
S  có tâm I a;b;c và đi qua điểm A thì bán kính R IA. 4.3.3. Dạng 3
S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
 Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng x x y y z z A B A B A B AB : x  ; y  ; z I I I 2 2 2 AB
 Bán kính R IA  . 2 4.3.4. Dạng 4
S  đi qua bốn điểm A,B,C,D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)
 Giả sử phương trình mặt cầu S  có dạng:
x 2  y2  z2  a 2 x b 2 y cz 2  d  0 *.
 Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B,C,D vào *, ta được 4 phương trình.
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 96
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
 Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a,b,c,d  Phương trình mặt cầu S  . 4.3.5. Dạng 5
S  đi qua ba điểm A,B,C và có tâm I nằm trên mặt phẳng P  cho trước thì giải tương tự dạng 4 4.3.6. Dạng 6
S  có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước:
 Xác định tâm I và bán kính R ' của mặt cầu T  .
 Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu S  .
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài) Chú ý:
Với phương trình mặt cầu S x 2  y2  z2 :  a 2 x b 2 y cz 2  d  0
với a2  b2  c2  d  0 thì S  có tâm I a – ; b – ; c
–  và bán kính R a2 b2 c2     d . Đặc biệt:
Cho hai mặt cầu S I , R và S I , R . 2 2 2  1 1 1 
I I R R  S , S trong nhau 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S ngoài nhau 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S tiếp xúc trong 1 2  1 2 1 2
I I R R  S , S tiếp xúc ngoài 1 2  1 2 1 2
R R I I R R  S , S cắt nhau theo một đường tròn (đường tròn 1 2  1 2 1 2 1 2 giao tuyến). 4.3.7. Dạng 7
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c , tiếp xúc với mặt phẳng P  cho trước thì
bán kính mặt cầu R d I;P  4.3.8. Dạng 8
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c , cắt mặt phẳng P  cho trước theo giao
tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .
 Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích
đường tròn S r 2 
hoặc chu vi đường tròn P  2r ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến r .
 Tính d d I,P 
 Tính bán kính mặt cầu R d2 r2  
 Kết luận phương trình mặt cầu. 4.3.9. Dạng 9
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 97
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với một đường thẳng  cho trước và có tâm
I a;b;c cho trước thì đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S  ta có R d I, . 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với một đường thẳng  tại tiếp điểm M x ,y ,z o o o
thuộc  và có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước thì ta làm như sau:
 Viết phương trình mặt phẳng P  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  .
 Toạ độ tâm I  P    là nghiệm của phương trình.
 Bán kính mặt cầu R IM d I,  .
 Kết luận về phương trình mặt cầu S 4.3.10. Dạng 10
Viết phương trình mặt cầu S  có tâm I a;b;c và cắt đường thẳng  tại hai điểm A,B thoả mãn điều kiện:
 Độ dài AB là một hằng số.
 Tam giác IAB là tam giác vuông.
 Tam giác IAB là tam giác đều. AB
Thì ta xác định d I,   IH , vì IA
B cân tại I nên HB
và bán kính mặt cầu R 2 được tính như sau:  R IH 2 HB2   IHR o sin 45 IHR o sin 60 4.3.11. Dạng 11
Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P  nào đó.
 Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M . x 2 2 2
a 2  y b 2  z c 2  R2 ( ) ( ) ( )
hoặc: x y z a 2 x by 2  cz 2  d  0
 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có). 4.3.12. Dạng 12
Tìm tập hợp tâm mặt cầu x   f t ( ) 
 Tìm toạ độ của tâm I , chẳng hạn: y g t ( )   * z   h t ( ) 
 Khử t trong * ta có phương trình tập hợp điểm.
 Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 98
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12
5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1. Dạng 1
Cho P  và hai điểm , A .
B Tìm M  P  để MA MB  ? min Phương pháp
 Nếu A và B trái phía so với P   M,A,B thẳng hàng M AB  P
 Nếu A và B cùng phía so với P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua P 5.2. Dạng 2
Cho P  và hai điểm , A .
B Tìm M  P  để MA MB ? max Phương pháp
 Nếu A và B cùng phía so với P   M,A,B thẳng hàng  M AB  P
 Nếu A và B trái phía so với P  thì tìm B ' là đối xứng của B qua P
MA MB '  AB ' 5.3. Dạng 3
Cho điểm M x ;y ;z M M
M  không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình
P  qua M và cắt 3 tia Ox,Oy O
, z lần lượt tại A,B C , sao cho V nhỏ nhất? O A . BC x y z Phương pháp P  :    1 x 3 y 3 z 3 M M M 5.4. Dạng 4
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng d , sao cho khoảng cách từ điểm
M d đến P là lớn nhất? Qua AdPhương pháp P :      n    P  ud,AM ,ud       5.5. Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng P  quaA và cách M một khảng lớn nhất ? Qua APhương pháp P :   
nP  AM   5.6. Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng d , sao cho P  tạo với  (  không
song song với d ) một góc lớn nhất là lớn nhất ?
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 99
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Qua AdPhương pháp P :      n    P 
ud,u ,ud       5.7. Dạng 7
Cho  / / P  . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) song song với  và cách
 một khoảng nhỏ nhất ? Phương pháp Qua A  
Lấy A   , gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên P  thì d :    . ud u   5.8. Dạng 8
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất ( AM không vuông
góc với P  ) ? Qua AdPhương pháp d :     u  
d nP, AM     5.9. Dạng 9
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng P
cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất ( AM không vuông
góc với P  ) ? Qua AdPhương pháp d :      u    d
nP,AM ,nP       5.10. Dạng 10
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A  P  cho trước, sao cho d nằm trong
P  và tạo với đường thẳng  một góc nhỏ nhất (  cắt nhưng không vuông góc với P  )? Phương pháp Qua Ad d :      u    d
nP,AM ,nP      
Sưu tầm và biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 100