Tổng hợp Trọn bộ phương pháp Min Max Số phức | Trọn bộ môn Toán 12

Tổng hợp Trọn bộ phương pháp Min Max Số phức | Trọn bộ môn Toán 12. Tài liệu gồm 17 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!

134 67 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung

Môn: Toán 12

Thông tin:

17 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile Phạm Thị Huyền
TRỌN BỘ PHƯƠNG PHÁP MAX MIN SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT BỔ TRỢ
Điểm biểu diễn số phức có dạng
... ...
... ...
z z
z z
=> Là đường thẳng.
...z k
=> Là đường tròn.
... ...z z k
=> Có thể là elip, parabol, hypebol, đường thẳng…
Bất đẳng thức tam giác
•
1 2 1 2
z z z z ,
dấu "=" khi
1 2
z kz
với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:
•
1 2 1 2
z - z z + z ,
dấu "=" khi
1 2
z kz
với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto
•
1 2 1 2
z z z - z ,
dấu "=" khi
1 2
z kz
với k ≤ 0.
•
1 2 1 2
z - z z - z ,
dấu "=" khi
1 2
z kz
với k ≥ 0.
Bất đẳng thức khác
BĐT Cauchy:
tìm min
BĐT Bunhia Copski:
2
2 2 2 2
Ax By A B x y
tìm max
BĐT Mincopxki:
2 2
2 2 2 2
a x b y a b x y
tìm min.Dấu = xảy ra khi
a x
b y
BĐT vecto
2 2
2 2 2 2
a x b y a b x y
tìm min. Dấu = xảy ra khi
a x
b y
Chú ý:
1 2
z z z z k
. Ta tính
1 2
z z
:
+) Nếu
1 2
z z k
=> Không tồn tại quỹ tích
+) Nếu
1 2
z z k
=> Phương trình đường thẳng
Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b
+) Nếu
1 2
z z k
=> Phương trình elip
Đặt
=>
0 0
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 2
z z
z z z z
z z k
z z z z
Sau đó nhân 2 vế với
1 2
z z
đưa về elip.
Bài toán:
Chú ý: +)
...
Bấm Shift hyp +)
z
: Shift 2 2
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Dạng 1: k là số cho trước. Tìm
max/min
P
Loại 1:
2 2
2
z A k z a bi k x a y b i k x a y b k
2 2
2
P z B z c di P x c y d i P x c y d
Đặt
A a bi
B c di
1 2
; ; ;I a b I c d
2 2
1 2
I I a c b d a c b d i a bi c di A B
Ta có:
max 1 2
P I I k A B k
min 1 2
P I I k A B k
Tương tự :
Z A k
Hỏi
P z B
(có tâm đối xứng với
2
I
qua trục hoành)
max/min
P A B k
Loại 2 :
Az B k
B k
z
A A
Hỏi :
1
P Cz D
1
P
D
z
C C
hoặc
2
P C z D
2 2
P P
D D
z z
c c c c
Đặt
;
B D
a bi c di
A C
Tương tự trên ta có
1 /
2 /
Max Min
Max Min
B D k
P c
A C A
B D k
P c
A C A
GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC
( )z a bi c z a bi c c a bi z c a bi
Tọa độ z làm cho
max min
;z z
lần lượt là :
max
min
.( )
.( )
;
z a bi
z a bi
a bi a bi
Dạng 2:
z a z a k
=>
2
2
4
;
2 2
k a
k
Min z Max z
Tổng quát :
1 2 1 2
z z z z z z k
với
1 2
;z a bi z c di
;
z x yi
Ta có :
2
2
2
1 1
4
;
2 2
k z
k
Min z Max z
z z
Dạng 3: Cho a>0 . Tìm Max, min
z
biết z thỏa mãn
1
z a
z
2 2
4 4
;
2 2
k k k k
Min z Max z
PHÂN DẠNG MAX MIN SỐ PHỨC
Dạng 1 :
Cho số phức
z
thỏa mãn
z a bi c
,
0c
, tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của P với
3 3 3 4
; ; .P z z z z z z z
PHÂN TÍCH
Cách 1:
,z a bi c
0c
Tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
là đường tròn có tâm
;I a b
và bán kính
.R c
Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P =
z
tức là đường tròn tâm O:
Khi đó :
z OM

2
1
max
min
z OM OI R
z OM OI R
Ví dụ P =
z i
tức là đường tròn tâm H (0;-1)
Khi đó :
z HM

max
min
z i HI R
z i HI R
Cách 2: có thể tham khảo trên link https://www.youtube.com/watch?v=WsN84Q502wE
( )z a bi c z a bi c c a bi z c a bi
Tọa độ z làm cho
max min
;z z
lần lượt là :
max
min
.( )
.( )
;
z a bi
z a bi
a bi a bi
.
Ví dụ : Cho
4 3 3z i
, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Áp dụng công thức:
( )z a bi c z a bi c c a bi z c a bi
Ta có:
4 3 3 (4 3 ) 3 3 4 3 3 4 3 2 8z i z i i z i z
Cách tìm số phức:
C1: Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
10 3
4 3 3
8 6 25 5 4 3 10
4 ( 3) 9
4
4 4
2
4
4
10 3 6 8
4 25 60 36 0 ;
4 5 5
b
z i
a b a b
a
a b
a b a b
z
a b
a b
b
b b b b a
C2: Số phức z có module nhỏ nhất là:
min
.( )
2(4 3 ) 8 6
5 5 5
z a bi
i
z i
a bi
Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:
max
.( )
8(4 3 ) 32 24
5 5 5
z a bi
i
z i
a bi
Cách 3: PP lượng giác hóa (Độ chính xác ko tuyệt đối, có sai số nhưng vẫn chấp nhận được)
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng
2 2
1X Y
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y=sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2
; STEP=
12
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode
5 1)
Ví dụ : Cho
4 3 3z i
, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
2 2
2 2
4 3
4 3 3 4 3 9 1
3 3
x y
z i x y
Đặt
4 3cos
4 3
cos ; sin
3 3sin
3 3
x
x y
y

Ta có
2 2
2 2
4 3cos 3 3sinz x y
SHIFT MODE 4 -> SHIFT MODE
5 1 ->MODE 7
Nhập
2 2
4 3cos 3 3sinf x X X
START =0; END=2
; STEP=
12
Đọc bảng => Max
8; min
2
BÀI TẬP:
Bài 1: : Cho
6 8 2z i
, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Bài 2
: Cho z thỏa mãn:
2 4 5z i
Tìm số phức z sao cho
1z
đạt GTLN; GTNN?
Bài 3: Cho z thỏa mãn:
1 2 5z i
Bài 4: Cho z thỏa mãn:
2 3 1z i
Bài 5: Cho z thỏa mãn
1
2 1
1
i
z
i
; Tìm số phức
min max
;z z
Bài 6: Cho z thỏa mãn
1 2 1 1i z i
. Tìm z để
2 1i z i
đạt GTLN; GTNN
Dạng 2 :
Cho số phức
z
thỏa mãn
z a bi c
,
0c
, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với
3 4
P z z z z
hoặc P chứa
2 3
; ...z z
(sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)
Cách 1: PP lượng giác hóa
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng
2 2
1X Y
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y=sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2
; STEP=
12
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode
5 – 1)
Cách 2: Sử dụng pp BĐT
BĐT Bunhia Copski:
2
2 2 2 2
Ax By A B x y
tìm max
BĐT Mincopxki:
2 2
2 2 2 2
a x b y a b x y
tìm min.Dấu = xảy ra khi
a x
b y
BĐT vecto
2 2
2 2 2 2
a x b y a b x y
tìm min. Dấu = xảy ra khi
a x
b y
Ví dụ: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2z
. Tìm GTLN của
2T z i z i
.
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 2z i z i z i uv
(1)
2 2 2 2
2 1 1 1 1 2z i z i z i uv
(2). Với
,u v
biểu diễn
1z
và
1 i
.
Cộng (1) với (2) ta được:
2 2 2
2 2 1 4 8z i z i z
(không đổi).
Áp dụng đẳng thức BNC:
2 2
2
2 2 2 16 4T z i z i z i z i T
VD2:
Với 2 số phức
1 2
;z z
thỏa mãn
1 2
8 6z z i
và
1 2
2z z
.Tính GTLN của
1 2
P z z
A.
5 3 5
B.
2 26
C.
4 6
D.
34 3 2
GIẢI:
CÁCH 1: Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 100 4 2 52z z z z z z z z z z
Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:
2 2
2
2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2
52 104 2 26
2 2 2
z z z z
A B
A B z z z z z z
CÁCH 2:
Ta có:
ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 104 2 26Ax By A B x y z z z z z z z z z z
Bài tập:
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
1 2 2z i
. Tìm GTLN của
3 6T z z i
Bài 2: Cho số phức z thoả mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2 1P z z
Dạng 3 : Cho
z a z b
Tìm Max, min P với
3 3 3 4
; ; .P z z z z z z z
Phân tích :
... ...
... ...
z z
z z
=> Là đường thẳng
Ví dụ: Cho
2 4 2z i z i
Tìm z để
min
z
A.
z 1 i
B.
z 2 2i
C.
z 2 2i
D.
z 3 2i
Cách 1: Đưa về dạng đường thẳng
2 4 2 4 4z i z i x y y x
2
2 2 2
4z x y x x
Đến đây dùng MODE 5-3 giải pt bậc 2 để tìm ra min
z
=> z=x+yi=2+2i
Cách 2 : PP hình học :
Đưa về dạng đường thẳng
2 4 2 4 4z i z i x y y x
Khi đó
min
;z d O
Cách 3 : Khi có đáp án trắc nghiệm
MODE 2 đưa về số phức
Nhập
2 4 2z i z i
CALC thử đáp án, ưu tiên đáp án có
min
z
trước. Nếu kết quả trả về 0 thì nhận
Bài tập
Bài 1 :Cho z thỏa
1 3 4z i z i
Tìm z có môđun min
Bài 2 : Cho z thỏa
2 3z i z i
Tìm z có
2 2z i
min
Bài 3 : Cho z thỏa
2
2 5 1 2 3 1z z z i z i
Tìm min
2 2z i
Bài 4 : Trong các số phức z thỏa mãn
2z z
z i
, tìm số phức có phần thực không âm sao cho
1
z
đạt giá trị lớn nhất.
A.
6
4 2
i
z
B.
2
i
z
C.
3
4 8
i
z
D.
6
8 8
i
z
Dạng 4: Cho
z a z b
Tìm Max, min P với
1 2
P z z z z
Cách 1:
+) Bước 1: Khai triển
z a z b
đưa về dạng đường thẳng
+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d
+) Khi đó z là M thỏa mãn P min :
Cách 2:
Áp dụng
BĐT Bunhia Copski:
2
2 2 2 2
Ax By A B x y
nếu tìm max
BĐT Mincopxki:
2 2
2 2 2 2
a x b y a b x y
nếu tìm min.
Cách 3: CASIO MODE 7
Bài tập:
Bài 1: Cho z thỏa
1 1z i z i
Tìm z để
1 5 2z i z i
min
Bài 2 : Cho z thỏa
2 3z i z i
. Tìm z để
2z i z
min
Bài 3 : : Cho z thỏa
1 3 1z i z i
. Tìm z để
1 1z i z
max
Bài 4 : : Cho z thỏa
1z z i
. Tìm z để
2 3z i z i
max
Dạng 5: Trong số phức
z
thỏa mãn
1 2
,z z z z k
0k
.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P
với
3 3 3 4
; ; .P z z z z z z z
PHÂN TÍCH
Chú ý:
1 2
z z z z k
Ta tính
1 2
z z
:
+) Nếu
1 2
z z k
=> Không tồn tại quỹ tích
+) Nếu
1 2
z z k
=> Phương trình đường thẳng
Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b
+) Nếu
1 2
z z k
=> Phương trình elip
Ví dụ:
3 3 6.Cho z i z i
Tính max min của P=
6 7z i
Cách 1: PP hình học
Gọi A và B là điểm biểu diễn
1 2
;z z
và M là điểm biểu diễn
z
; C là điểm biểu diễn
3
z
trong P
Khi đó MA + MB = k
Nếu MA+MB=AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng
Nếu MA+MB > AB thì điểm biểu diễn là elip
Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A,B,C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường hợp là đường
thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất.
Giải:
Gọi A(0;1);B(3;-3);C(6;-7);M(x;y)
Khi đó MA+MB=6; Tìm max min của MC
Ta thấy MA+MB>AB => Elip (Vẽ hơi xấu :v)
Trong đó I là trung điểm AB
Với a=6/2=3;c=IA=5/2
Khi đó
MC min khi MC= B’C=BC-BB’=BC-(a-c)=5-1/2=4,5
MC max khi MC=A’C=AC+AA’=AC+(a-c)=10+1/2=10,5
Cách 2: CASIO
Gán A=
1 2
2
z z
; B=
1 2
2
z z
; Ta thấy
B
6
2
nên điểm biểu diễn là elip
Nhập
arg
X A
X A
B
(Phép quay đưa về elip chính tắc)
CALC: X=
i
=> c = 5/2; a= 6/2=3
CALC: X= -6+7i => C=
15
2
Khi đó MC min = AC=15/2-3=4,5
MC max = CB=15/2+3=10,5
Cách 3: CASIO
( Sử dụng phương pháp lượng giác hóa, tìm pt elip gán vào cosa; sina) sau đó dùng
MODE 7. Tuy nhiên cách này có vẻ dài hơn cách 2 nên thầy không đề cập tới nữa
Bài tập
Bài 1: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 2 6z z
. Tìm GTLN và GTNN của
1 3P z i
Bài 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 3 2 8z i z i
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2 1 2P z i
.
Bài 3: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 4 7 10z i z i
. Tìm GTLN, GTNN của
1 4P z i
Bài 4-Trong các số phức
z
thỏa mãn
. Hai số phức
1
z
và
2
z
có môđun nhỏ
nhất. Hỏi tích
1 2
z z
là bao nhiêu A.
25
B.
25
C.
16
D.
16
Bài 5: Trong tất cả các số phức
z
thỏa mãn
4 4 10z z
, gọi
,M m
lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất
z
. Khi đó, giá trị biểu thức
2
P M m
bằng?
A.
6P
B.
13P
C.
5P
D.
4P
Bài 6 : (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức
z
thỏa mãn
3 3 8z z
. Gọi
M
,
m
lần lượt giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất
.z
Khi đó
M m
bằng
A.
4 7.
B.
4 7.
C.
7.
D.
4 5.
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Dạng 6: Trong số phức
z
thỏa mãn
1 2
,z z z z k
0k
.Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P
với
3 4
P z z z z
hoặc một biểu thức Q chứa
2 3
; ...z z
Cách 1: Sử dụng PP lượng giác hóa
Cách 2: Sử dụng PP BĐT
Bài tập:
Bài 1: Cho 2 số phức
1 2
,z z
thỏa mãn
1 2
5z z
và
1 2
3z z
. Tìm GTLN của
1 2
P z z
.
Dạng 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z có dạng
1 2
z z z z k
hoặc các dạng khác…
+) Khai triển kiểm tra xem có thuộc dạng đường thẳng hay hyperbol không
Áp dụng:
2
2 2
2 4 0A B C A C B C B C B A B C
2
2 2
2 4A 0A B C A B AB C B A B C
Nhập
2
2
4C B A B C
CALC X =0 => hệ số tự do D
Nhập
2
2
4C B A B C D
CALC X=1 => hệ số của
2
x
CALC X = i => hệ số
2
y
=> pt hyperbol hoặc elip
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC
Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
3 4 2.z i
Trong mặt
phẳng
Oxy
tập hợp điểm biểu diễn số phức
2 1w z i
là hình tròn có diện tích
A.
9S
. B.
12S
. C.
16S
. D.
25S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
2 1
2
w i
w z i z
1
3 4 2 3 4 2 1 6 8 4 7 9 4 1
2
w i
z i i w i i w i
Giả sử
,w x yi x y
, khi đó
2 2
1 7 9 16x y
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức
w
là hình tròn tâm
7; 9I
, bán kính
4.r
Vậy diện tích cần tìm là
2
.4 16 .S
Câu 2: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5
1 .
i
A
z
A.
5.
B.
4.
C.
6.
D.
8.
Hướng dẫn giải
Ta có:
5 5 5
1 1 1 6.
i i
A
z z
z
Khi
6.z i A
Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất
max
M
và giá trị nhỏ nhất
min
M
của
biểu thức
2 3
1 1 .M z z z
A.
max min
5; 1.M M
B.
max min
5; 2.M M
C.
max min
4; 1.M M
D.
max min
4; 2.M M
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3
1 1 5M z z z
, khi
max
1 5 5.z M M
Mặt khác:
3 3 3 3 3
3
1 1 1 1 1
1 1,
2 2 2
1
z z z z z
M z
z
khi
min
1 1 1.z M M
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho số phức
z
thỏa
2z
. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
z i
P
z
.
A.
3
.
4
B.
1.
C.
2
. D.
2
.
3
Hướng dẫn giải
Ta có
1 3
1 1 .
| | 2
i
P
z z
Mặt khác:
1 1
1 1 .
| | 2
i
z z
Vậy, giá trị nhỏ nhất của
P
là
1
2
, xảy ra khi
2 ;z i
giá trị lớn nhất của
P
bằng
3
2
xảy ra khi
2 .z i
Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 3 1 .P z z
A.
3 15
B.
6 5
C.
20
D.
2 20.
Hướng dẫn giải
Gọi
; ;z x yi x y
. Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1;1 .z x y y x x
Ta có:
2 2
2 2
1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1P z z x y x y x x
.
Xét hàm số
2 1 3 2 1 ; 1;1 .f x x x x
Hàm số liên tục trên
1;1
và với
1;1x
ta có:
1 3 4
0 1;1 .
5
2 1 2 1
f x x
x x
Ta có:
max
4
1 2; 1 6; 2 20 2 20.
5
f f f P
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho số phức
z
thỏa mãn
1.z
Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2
1 1 .P z z z
Tính giá trị của
.M m
.
A.
13 3
.
4
B.
39
.
4
C.
3 3.
D.
13
.
4
Hướng dẫn giải
Gọi
; ;z x yi x y
. Ta có:
1 . 1z z z
Đặt
1t z
, ta có
0 1 1 1 2 0; 2 .z z z t
Ta có
2
2
2
1 1 1 . 2 2 .
2
t
t z z z z z z x x
Suy ra
2
2 2 2
1 . 1 2 1 2 1 3z z z z z z z z z x x t
.
Xét hàm số
2
3 , 0; 2 .f t t t t
Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
13 13 3
max ; min 3 . .
4 4
f t f t M n
Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
4 2 .z z
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
3 1 3 1
.
6 6
z
B.
5 1 5 1.z
C.
6 1 6 1.z
D.
2 1 2 1
.
3 3
z
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức
,u v u v
ta được
2 2
2
2 4 4 4 2 4 0 5 1.z z z z z z
2 2
2 2
2 4 4 2 4 0 5 1.z z z z z z z
Vậy,
z
nhỏ nhất là
5 1,
khi
5z i i
và
z
lớn nhất là
5 1,
khi
5.z i i
Chọn đáp án B.
Câu 8: Cho
1 2
,z z
là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn
1
2
2
z
z
và
1 2
2 3.z z
Tính
môđun của số phức
1
.z
A.
1
5.z
B.
1
3.z
C.
1
2.z
D.
1
5
.
2
z
Hướng dẫn giải
Gọi
1 2
; ;z a bi z a bi a b
. Không mất tính tổng quát ta gọi
0.b
Do
1 2
2 3 2 2 3 3.z z bi b
Do
1 2
,z z
là hai số phức liên hợp của nhau nên
1 2
.z z
, mà
3
3
1 1
1
2 2
2
1 2
.
z z
z
z
z z
Ta có:
3
3 3 2 2 3 2 3 2
1
2 2
0
3 3 3 0 1.
3
b
z a bi a ab a b b i a b b a
a b
Vậy
2 2
1
2.z a b
Chọn đáp án C.
Câu 9: Gọi
,z x yi x y R
là số phức thỏa mãn hai điều kiện
2 2
2 2 26z z
và
3 3
2 2
z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính tích
.xy
A.
9
.
4
xy
B.
13
.
2
xy
C.
16
.
9
xy
D.
9
.
2
xy
Hướng dẫn giải
Đặt
, .z x iy x y R
Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được
2 2
36.x y
Đặt
3cos , 3sin .x t y t
Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
3 3
18 18 sin 6.
4
2 2
P z i t
Dấu bằng xảy ra khi
3 3 2 3 2
sin 1 .
4 4 2 2
t t z i
Chọn đáp án D.
Câu 10: Biết số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
3 4 5z i
và biểu thức
2 2
2M z z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức
.z i
A.
2 41z i
B.
3 5.z i
C.
5 2z i
D.
41.z i
Hướng dẫn giải
Gọi
; ;z x yi x y
. Ta có:
2 2
3 4 5 : 3 4 5z i C x y
: tâm
3; 4I
và
5.R
Mặt khác:
2 2
2 2
2 2
2 2 1 4 2 3 : 4 2 3 0.M z z i x y x y x y d x y M
Do số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên
d
và
C
có điểm chung
23
; 5 23 10 13 33
2 5
M
d I d R M M
2 2
max
4 2 30 0
5
33 5 4 41.
5
3 4 5
x y
x
M z i i z i
y
x y
Chọn đáp án D.
Câu 11: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện :
1 2 5z i
và
1w z i
có môđun lớn nhất. Số phức
z
có môđun bằng:
A.
2 5
. B.
3 2
. C.
6
. D.
5 2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi
, 1 2 1 2z x yi x y z i x y i
Ta có:
2 2 2 2
1 2 5 1 2 5 1 2 5z i x y x y
Suy ra tập hợp điểm
;M x y
biểu diễn số phức
z
thuộc đường tròn
C
tâm
1; 2I
bán kính
5R
như hình vẽ:
Dễ thấy
O C
,
1; 1N C
Theo đề ta có:
;M x y C
là điểm biểu diễn cho số
phức
z
thỏa mãn:
1 1 1 1w z i x yi i x y i
2 2
1 1 1z i x y MN
Suy ra
1z i
đạt giá trị lớn nhất
MN
lớn nhất
Mà
,M N C
nên
MN
lớn nhất khi
MN
là đường kính đường tròn
C
I
là trung điểm
2
2
3; 3 3 3 3 3 3 2MN M z i z
O
x
y
1
2
I
1
1
N
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
BÀI 1 (Sở GD Long An 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i|
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.
A.
1 3
B.
13
C.
2 13
D.
13 1
BÀI 2 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết
2 3
1 1.
3 2
i
z
i
A.
2
B. 2
C. 1
D. 3
BÀI 3 (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn
2
1z i
. Tìm giá trị lớn nhất của |z|.
A. 2`
B.
5
C.
2 2
D.
2
BÀI 4 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Xác định số phức z thỏa mãn
2 2 2z i
mà
|z| đạt giá trị lớn nhất
A.
1 i
B.
3 i
C.
3 3i
D.
1 3i
BÀI 5 (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z
− 2 − 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là
A.
13 1
B.
4
C. 4
D.
13 1
BÀI 6 (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn
2
2 2 1z z z i
Biểu thức |z| có
giá trị lớn nhất là
A.
2 1
B. 2
C.
2 2
D.
2 1
BÀI 7 (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z|. Đặt m =
|z|, tìm giá trị lớn nhất của m.
A.
2 1
B. 1
C.
2 1
D.
2
BÀI 8 (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn
4
2
i
z
z
. Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m?
A. 2
B.
2 5
C.
13
D.
5
BÀI 9 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn
1
2
3 4 1
6 2
z i
z i
Tính tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
z z
.
A. 18
B.
6 2
C.
6
D.
3 2
BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt
2 1
2
z
A
iz
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. |A| < 1
B. |A| ≤ 1
C. |A| ≥ 1
D. |A| > 1
BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017). Cho số phức z thỏa mãn z.
1z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3 .P z z z z z
A.
15
4
B.
3
4
C.
13
4
D.
3
BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T = |z + 1| + 2|z − 1|
Phương pháp đại số
A.
max 2 5T
B.
max 2 10T
C.
max 3 5
D.
max 3 2T
BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z +
1| + 3|z − 1|
A.
max 3 10T
B.
max 2 10T
C.
max 6
D.
max 4 2T
BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
1 2z
. Tìm giá trị lớn
nhất của T = |z + i| + |z − 2 − i|
A.
max 8 2T
B.
max 4T
C.
max 4 2
D.
max 8T
BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z −
1 + 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là:
A.
14 6 5
B.
15(14 6 5)
5
C.
14 6 5
D.
15(14 6 5)
5
BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của |z|
A.
2
B.
1
C.
2
D.
5 1
BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Cho số phức z, w thỏa mãn |z − 1 + 2i| = |z + 5i|, w =
iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là
A.
3 10
2
m
B.
7 10m
C.
10
2
m
D.
2 10m
BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn
5
2
z i
3
2 .
2
z i
Biết biểu
thức Q = |z − 2 − 4i| + |z − 4 − 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b
A.
2P
B.
1333
272
P
C.
1P
D.
691
272
P
BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017). Cho số phức z thỏa mãn
2
1
iz
i
+
2
4
1
iz
i
. Gọi M
và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m
A. Mm = 2
B. Mm = 1
C.
2 2Mm
D.
2 3Mm
BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017). Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m
A.
35 2
15
B.
80
7
C.
50
11
D.
30
7
BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2). Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn
2 2 4 2z z
Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của
diện tích tam giác OMN.
A.
1
B.
2
C.
4 2
D.
2 2
BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3). Cho
1 2
,z z
là hai nghiệm phương trình |6
− 3i + iz| = |2z − 6 − 9i| thỏa mãn
1 2
8
5
z z
|. Giá trị lớn nhất của
1 2
z z
là
A.
31
5
B.
56
5
C.
4 2
D.
5
D. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
GIẢI BÀI TẬP 1. Ta có
1 2 3 13 1 13z i z z
.
Phương pháp hình học
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 2. Ta có
2 3 2 3
1 1 . 1 1 2.
3 2 3 2
i i
z z z z
i i
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 3. Ta có
2 2
2
1 1 2 2.z i z z z
Đáp án là D
GIẢI BÀI TẬP 4. Ta có
2 2 2 2 2 3 2z i z z
.
Dấu "=" khi z = k(2 + 2i) với
3
2 2 2 2
2
k k
. Vậy k = 3 + 3i.
Đáp án là C
GIẢI BÀI TẬP 5. Ta có
|z + 1 + i| = |z + 1 − i| = |(z − 2 − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − 2 − 3i| − |3 + 2i|| =
13
− 1.
Vậy min
min 1 13 1.z i
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 6. Ta có
2 2 2
1 0
2 2 ( 1) 1 . 1 1
1 1
z i
z z z i z i z i z i
z i
• Nếu z = i − 1 thì
2z
• Nếu |z + 1 + i| = 1 thì 1 ≥ |z| − |1 + i| = |z| −
2
. Do đó |z| ≤ 1 +
2
.
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 7. Ta có
|z − 1| = 2|z| ≤ |z| + 1 ⇒ |z| ≤ 1.
Do đó max |z| = 1.
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 8. Ta có
2 2
2 4 2 4 0 1 5z z z z z M
.
và
2 2
2 4 2 4 0 1 5z z z z z m
Vậy M + m = 2
5
.
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 9. Ta có
1 2 1 2 1 2
( 3 4 ) ( 6 ) (3 3 ) 2 4 6 3 3 3 3 2 max.z z z i z i i z i z i i
và
1 2 1 2 1 2
( 3 4 ) ( 6 ) (3 3 ) 3 3 2 4 6 3 2 3 min.z z z i z i i i z i z i
Do đó tổng
Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là
6 2
.
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 10. Ta có
2
2 2 (2 ) 2 .
2
A i
A A iz z i A i z A i z
A i
Đặt A = a + bi. Suy ra
|
2 2 2 2 2 2 2 2
4 (2 1) ( 2) 3 3 3 .2 2 11 a b a b a bi A bz aA A i
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 11. Ta có
2 2
3 3 2 2
3 . 3 . 3 ( ) 1 .z z z z z z z z z z z z
Suy ra
2
2
1 3 3
( ) 1 ( ) .
2 4 4
P z z z z z z
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
3
4
.
Đáp án là C.
GIẢI BÀI TẬP 12. Áp dụng công thức trung tuyến ta có
2
2 2 2
1 1
1 1 2 4
2
z z z
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
2 2
2 2 2
( 1 1 )(1 2 ) 20 2 5T z z T
.
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 13. Áp dụng công thức trung tuyến ta có
2
2 2 2
1 1
1 1 2 4
2
z z z
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
2 2
2 2 2
( 1 1 )(1 3 ) 40 2 10.T z z T
.
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 14. Áp dụng công thức trung tuyến ta có
2
2
2 2
2
2 2
1 2 2 1 8
2
i
z z i z
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
2 2
2 2 2
( 1 1 )(1 1 ) 16 4.T z z T
.
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 15.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm
I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó
max |z| = OI + r = 3 +
5
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 16.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1;
−2) bán kính r = 1. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó min |z| = OI − r =
5
− 1.
Đáp án là D.
GIẢI BÀI TẬP 17.
Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung
trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có
|w| = |iz + 20| = |z − 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó
min |w| = d(C.∆) = 7
10
Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 18.
Gọi
5 3
;2 , ; 2 ,
2 2
A B
tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là
đường trung trực d của AB có phương trình x−4y + 2 = 0. Xét hai điểm M(2;
4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d. Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao
điểm của M0N với
58 28
' ;
17 17
M
là điểm đối xứng của M qua d. Vậy
62 24
;
17 17
I
, ứng với
62 24
17 17
z i
Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 19. Ta có
2 2
4 2 2 2.
1 1
iz iz iz z M
i i
Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn
2 2
4 1 1 4.
( 1) ( 1)
z z z i z i
i i i i
Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến
thì
2 2 2
2
2 4
MA MB AB
z MO
.
Ta có
2
2 2
( )
8
2
MA MB
MA MB
Do đó
8 8
2.
2 4
m
Vậy Mn =
2 2
. Đáp án là C.
GIẢI BÀI TẬP 20. Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công
thức trung tuyến thì
2 2 2
2
2
.
2 4
MA MB AB
z MO
Theo giả thiết
4 3 2 2MA MB
. Đặt
10 4
.
3
a
a MA MB
Do
10 7
4 16
2 6 10 7 6 .
3 7 7
a
MA MB A B a a
Ta có
2
2
2
2 2 2
5 8 36
10 4 25 80 100
.
3 9 9
a
a a a
MA MB a
Do
2
36 34 11296
5 8 0 (5 8)
7 7 49
a a
. Suy ra
2 2
4MA MB
nên
2
1 1 .z z m
2
2 2
1296
36
340 121
49
.
9 49 49
MA MB z M
Vậy
60
.
49
M m
Đáp án là C.
GIẢI BÀI TẬP 21.
Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức
z
thì
M, M0 đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là
OMN
S xy
.
Do
2 2 4 2z z
nên tập hợp M biểu diễn x là Elip (E):
2 2
1
8 4
x y
. Do đó
2 2 2 2
1 2 . 2 2.
8 4 8 4
2 2
OMN
xy
x y x y
S xy
Đáp án là D.
| 1/17
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRỌN BỘ PHƯƠNG PHÁP MAX MIN SỐ PHỨC I. LÝ THUYẾT BỔ TRỢ
Điểm biểu diễn số phức có dạng
z . .  z . . => Là đường thẳng.
z . .  z . .
z . .  k => Là đường tròn.
z . .  z . .  k => Có thể là elip, parabol, hypebol, đường thẳng…
Bất đẳng thức tam giác
• z  z  z  z , dấu "=" khi z  kz với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki: 1 2 1 2 1 2
• z - z  z + z , dấu "=" khi z  kz với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto 1 2 1 2 1 2
• z  z  z - z , dấu "=" khi z  kz với k ≤ 0. 1 2 1 2 1 2
• z - z  z - z ,dấu "=" khi z  kz với k ≥ 0. 1 2 1 2 1 2
Bất đẳng thức khác A B 2 2  2
BĐT Cauchy: A B tìm min 2
BĐT Bunhia Copski:   2   2 2   2 2 Ax By A B
x y tìm max BĐT Mincopxki: 2 2 2 2
a x b y  a b2   x y2 tìm min.Dấu = xảy ra khi a xb y BĐT vecto 2 2 2 2
a x b y  a b2   x y2 tìm min. Dấu = xảy ra khi a xb y
Chú ý: z z z z k . Ta tính z z : 1 2 1 2
+) Nếu z z k => Không tồn tại quỹ tích 1 2
+) Nếu z z k => Phương trình đường thẳng 1 2
Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b
+) Nếu z z k => Phương trình elip 1 2  Đặt z z z   0 z z z z 1 2 z   => z z 0 1 2 0 1 2   z    z k z z 2 1 2 z z 2 z z 2 1 2 1 2 1 2
Sau đó nhân 2 vế với z z đưa về elip. 1 2 Bài toán:
Chú ý: +) . . Bấm Shift hyp +) z : Shift 2 2
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Dạng 1: k là số cho trước. Tìm Pmax/min Loại 1:     
             2    2 2 z A k z a bi k x a y b i k x a y b k     
         2 P z B z c di P x c
y d i P  x c2  y d 2
A a bi
Đặt B cdi I  ; a b  ; I  ; c d 1   2  
I I  a c2  b d 2  a c b d i a bi c di AB 1 2         Ta có:
P I I k AB k max 1 2
P I I k AB k min 1 2
Tương tự : Z A k Hỏi P z B (có tâm đối xứng với I qua trục hoành)  P
AB k 2 max/min Loại 2 :
Az B k B kz   Hỏi : A A
P Cz D P D P D PD 1    hoặc 2 2        1 z
P C z D z z C C 2 c c cc   
Đặt B   ; D a bic di A C   B D k   Pc    1Max/Min   A C A     Tương tự trên ta có 
B D k  Pc      2Max/Min
A C A      
GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC
z a bi c z  (a bi)  c  c a bi z c a bi z
.(a bi) z .(a bi)
Tọa độ z làm cho z ; z lần lượt là : max min ; max min a bi a bi Dạng 2: 2 2 k  4 a z k
a z a k => Min z  ; Max z  2 2
Tổng quát : z z z z z z k với z a bi;z c di ; z x yi 1 2 1 2 1 2 2 2 k  4 z Ta có : 2  ; k Min z Max z  2 z 2 z 1 1
Dạng 3: Cho a>0 . Tìm Max, min z biết z thỏa mãn 1 z   a z 2 2 k k  4 k k  4 Min z  ; Max z  2 2
PHÂN DẠNG MAX MIN SỐ PHỨC Dạng 1 :
Cho số phức z thỏa mãn z  a bi  c ,c  0 , tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của P với P z z ; z z ; z .z z 3 3 3 4 PHÂN TÍCH Cách 1:
z  a bi  c, c  0  Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I a;b
và bán kính R  .c
Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.
Ví dụ P = z tức là đường tròn tâm O:
max z OM OI   R
Khi đó : z OM  2 
min z OM OI R  1
Ví dụ P = z i tức là đường tròn tâm H (0;-1)
max z i HI   R
Khi đó : z HM
 min zi HI R
Cách 2: có thể tham khảo trên link https://www.youtube.com/watch?v=WsN84Q502wE
z a bi c z  (a bi)  c  c a bi z c a bi z
.(a bi) z .(a bi)
Tọa độ z làm cho z ; z lần lượt là : max min ; . max min a bi a bi
Ví dụ : Cho z  4  3i  3 , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Áp dụng công thức: z a bi c z  (a bi)  c  c a bi z c a bi
Ta có: z  4  3i  3  z  (4  3i)  3  3  4  3i z  3  4  3i  2  z  8 Cách tìm số phức:
C1: Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:          a  42 2 10 3 4 3 3  (b  3)  9 8  6  25  5 4  3  10 b z i a b a ba           4 2 2 2 2 2 2  z  2 
a b  4 a b  4 a b  4  2 2 a b  4 2 10  3b  2 2 6 8   
b  4  25b  60b 36  0  b   ;a    4  5 5
z .(a bi)
C2: Số phức z có module nhỏ nhất là: 2(4 3i) 8 6 min z     i a bi 5 5 5 z .(a bi)
Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là: 8(4 3i) 32 24 max z     i a bi 5 5 5
Cách 3: PP lượng giác hóa (Độ chính xác ko tuyệt đối, có sai số nhưng vẫn chấp nhận được)
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng 2 2 X Y 1
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip) Đặt X = cosa; Y=sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina 
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2 ; STEP=
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode  5 1) 12
Ví dụ : Cho z  4  3i  3 , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất? 2 2      z i
x 2  y 2 x 4 y 3 4 3 3 4 3 9                 1  3   3  x  4 y  3 x  4  3cos Đặt  cos;  sin  3 3 
y  3 3sin Ta có 2 2
z x y  4 3cos 2  3   3sin 2
SHIFT MODE 4 -> SHIFT MODE  5 1 ->MODE 7
Nhập f x   
X 2   X 2 4 3cos 3 3sin  START =0; END=2 ; STEP=12
Đọc bảng => Max  8; min  2 BÀI TẬP:
Bài 1: : Cho z  6  8i  2 , Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?
Bài 2: Cho z thỏa mãn: z  2  4i  5
Tìm số phức z sao cho z 1 đạt GTLN; GTNN?
Bài 3: Cho z thỏa mãn: z 1 2i  5
Bài 4: Cho z thỏa mãn: z  2 3i 1 
Bài 5: Cho z thỏa mãn 1 i z  2 1 ; Tìm số phức z ; z 1i min max
Bài 6: Cho z thỏa mãn 1 iz  2i 1 1. Tìm z để 2 iz i 1 đạt GTLN; GTNN Dạng 2 :
Cho số phức z thỏa mãn z  a bi  c ,c  0 , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với
P z z z z hoặc P chứa 2 3
z ; z ... (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ) 3 4
Cách 1: PP lượng giác hóa
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng 2 2 X Y 1
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip) Đặt X = cosa; Y=sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina 
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2 ; STEP=12
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode  5 – 1)
Cách 2: Sử dụng pp BĐT
BĐT Bunhia Copski:   2   2 2   2 2 Ax By A B
x y tìm max BĐT Mincopxki: 2 2 2 2
a x b y  a b2   x y2 tìm min.Dấu = xảy ra khi a xb y BĐT vecto 2 2 2 2
a x b y  a b2   x y2 tìm min. Dấu = xảy ra khi a xb y
Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn z 1  2 . Tìm GTLN của T z i z  2 i . Ta có: 2 2 2 2 
z i z 11 i z 1  1 i  2uv (1) 2 2 2 2   
z  2  i z 11 i z 1  1 i  2uv (2). Với u,v biểu diễn z 1 và 1i .
Cộng (1) với (2) ta được: 2 2 2
z i z  2  i  2 z 1  4  8 (không đổi). Áp dụng đẳng thức BNC: 2 T
z i z 2 i        2 2 2
z i z  2  i  16  T  4 VD2:
Với 2 số phức z ;z
z z  8 6i z z  2
P z z 1 2 thỏa mãn 1 2 và .Tính GTLN của 1 2 1 2 A.53 5 B. 2 26 C. 4 6 D.34  3 2 GIẢI: CÁCH 1: Ta có: 2 2
z z z z  2 2 2
z z  100 4  2 2 2
z z   52   2 2 z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 
Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy: A B z z z z 2 2   2 2  1 2 2  1 2 2 2 A B   z z   52 
 104  z z
z z  2 26 1 2  1 2 2 1 2 2 2 2 CÁCH 2: Ta có:
ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:
Ax By2   2 2 A B  2 2
x y    z z  2 z z
z z z z 104  z z  2 26 1 2 2  2 2 1 2  2 2 1 2 1 2 1 2 Bài tập:
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  2 . Tìm GTLN của T z z 3 6i
Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1  2 z 1
Dạng 3 : Cho z a z b Tìm Max, min P với P z z ; z z ; z .z z 3 3 3 4
z . .  z . . Phân tích :
=> Là đường thẳng
z . .  z . .
Ví dụ: Cho z  2  4i z  2i Tìm z để z min A. z  1   i B. z  2   2i
C. z  2  2i D. z  3 2i
Cách 1: Đưa về dạng đường thẳng z  2  4i z  2i x y  4  y  4  x 2 2 2
 z x y x  4  x2
Đến đây dùng MODE 5-3 giải pt bậc 2 để tìm ra min z => z=x+yi=2+2i Cách 2 : PP hình học :
Đưa về dạng đường thẳng z  2  4i z  2i x y  4  y  4  x  Khi đó z
d O; min
Cách 3 : Khi có đáp án trắc nghiệm MODE 2 đưa về số phức
Nhập z  2  4i z  2i
CALC thử đáp án, ưu tiên đáp án có z
trước. Nếu kết quả trả về 0 thì nhận min Bài tập
Bài 1 :Cho z thỏa z i 1  z  3 4i Tìm z có môđun min
Bài 2 : Cho z thỏa z  2 3i z i Tìm z có z  2  2i min Bài 3 : Cho z thỏa 2
z  2z  5   z 1 2i z  3i  
1 Tìm min z  2  2i
Bài 4 : Trong các số phức z thỏa mãn 2z z z i , tìm số phức có phần thực không âm sao cho 1 z
đạt giá trị lớn nhất. i A. 6 i i i z   B. z  C. 3 z   D. 6 z   4 2 2 4 8 8 8
Dạng 4: Cho z a z b Tìm Max, min P với P z z z z 1 2 Cách 1:
+) Bước 1: Khai triển z a z b đưa về dạng đường thẳng
+) Bước 2 : Từ P ta tìm tọa độ điểm A ; B và xét vị trí tương đối của A ;B với d
+) Khi đó z là M thỏa mãn P min : Cách 2: Áp dụng
BĐT Bunhia Copski:   2   2 2   2 2 Ax By A B
x y nếu tìm max BĐT Mincopxki: 2 2 2 2
a x b y  a b2   x y2 nếu tìm min. Cách 3: CASIO MODE 7 Bài tập:
Bài 1: Cho z thỏa z 1 i z 1 i Tìm z để z 1 5i z  2  i min
Bài 2 : Cho z thỏa z  2  i z  3i . Tìm z để z i z  2 min
Bài 3 : : Cho z thỏa z 13i z 1 i . Tìm z để z 1 i z 1 max
Bài 4 : : Cho z thỏa z 1  z i . Tìm z để z  2  i z  3 i max
Dạng 5: Trong số phức z thỏa mãn z z z z k, k  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P 1 2
với P z z ; z z ; z .z z 3 3 3 4 PHÂN TÍCH Chú ý:
z z z z k 1 2
Ta tính z z : 1 2
+) Nếu z z k => Không tồn tại quỹ tích 1 2
+) Nếu z z k => Phương trình đường thẳng 1 2
Đặt y =ax+b; cho y tìm x và lập hệ tìm a; b
+) Nếu z z k => Phương trình elip 1 2
Ví dụ: Cho z i z 3 3i  6. Tính max min của P= z  6  7i Cách 1: PP hình học
Gọi A và B là điểm biểu diễn z ; z và M là điểm biểu diễn z ; C là điểm biểu diễn z trong P 1 2 3 Khi đó MA + MB = k
Nếu MA+MB=AB thì điểm biểu diễn là đường thẳng
Nếu MA+MB > AB thì điểm biểu diễn là elip
Khi đó ta vẽ hình biểu diễn các điểm A,B,C trên mặt Oxy và xác định M trong các trường hợp là đường
thẳng hoặc elip sao cho MC ngắn nhất hoặc lớn nhất. Giải:
Gọi A(0;1);B(3;-3);C(6;-7);M(x;y)
Khi đó MA+MB=6; Tìm max min của MC
Ta thấy MA+MB>AB => Elip (Vẽ hơi xấu :v)
Trong đó I là trung điểm AB Với a=6/2=3;c=IA=5/2 Khi đó
MC min khi MC= B’C=BC-BB’=BC-(a-c)=5-1/2=4,5
MC max khi MC=A’C=AC+AA’=AC+(a-c)=10+1/2=10,5 Cách 2: CASIO
Gán A= z z z z 1 2 ; B= 1 2 ; Ta thấy B 6 
nên điểm biểu diễn là elip 2 2 2 Nhập arg X A X A    
(Phép quay đưa về elip chính tắc) B   
CALC: X= i => c = 5/2; a= 6/2=3
CALC: X= -6+7i => C= 15 2
Khi đó MC min = AC=15/2-3=4,5 MC max = CB=15/2+3=10,5
Cách 3: CASIO ( Sử dụng phương pháp lượng giác hóa, tìm pt elip gán vào cosa; sina) sau đó dùng
MODE 7. Tuy nhiên cách này có vẻ dài hơn cách 2 nên thầy không đề cập tới nữa Bài tập
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  6 . Tìm GTLN và GTNN của P z 1 3i
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i z  2 i  8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
P  2z 1 2i .
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  2 i z  4  7i 10 . Tìm GTLN, GTNN của P z 1 4i
Bài 4-Trong các số phức z thỏa mãn z 3i iz  3 10 . Hai số phức z z 1 và 2 có môđun nhỏ
nhất. Hỏi tích z z là bao nhiêu A. C. 1 2 25 B. 25 16 D. 16
Bài 5: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 , gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức 2
P M m bằng? A. P  6  B. P  1  3 C. P  5  D. P  4
Bài 6 : (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z 3  z 3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M m bằng A. 4  7. B. 4  7. C. 7. D. 4  5.
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z − 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Dạng 6: Trong số phức z thỏa mãn z z z z k, k  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P 1 2
với P z z z z hoặc một biểu thức Q chứa 2 3 z ; z ... 3 4
Cách 1: Sử dụng PP lượng giác hóa
Cách 2: Sử dụng PP BĐT Bài tập:
Bài 1: Cho 2 số phức z , z thỏa mãn z z  5 và z z  3 . Tìm GTLN của P z z . 1 2 1 2 1 2 1 2
Dạng 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z có dạng z z z z k hoặc các dạng khác… 1 2
+) Khai triển kiểm tra xem có thuộc dạng đường thẳng hay hyperbol không Áp dụng: 2 2
A B C A C B  2C B  4C B   A B C2  0
A B C A B AB C
B  AB C 2 2 2 2 4A  0 Nhập 2
4C B   A B C2
CALC X =0 => hệ số tự do D Nhập 2
4C B   A B C2  D
CALC X=1 => hệ số của 2 x CALC X = i => hệ số 2 y
=> pt hyperbol hoặc elip
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC
Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i  2. Trong mặt
phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2z 1 i là hình tròn có diện tích A. S  9 . B. S  12 . C. S  16 . D. S  25 . Hướng dẫn giải Chọn C. w 1 2 1 i w z i z        2 w 1  3  4  2  i z i
 3  4i  2  w 1 i  6  8i  4  w  7  9i  4   1 2
Giả sử w x yi  ,
x y, khi đó    x  2   y  2 1 7 9 16
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I 7;9 , bán kính r  4.
Vậy diện tích cần tìm là 2 S  .4 16. Câu 2: Cho số phức i
z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 A  1 . z A. 5. B. 4. C. 6. D. 8. Hướng dẫn giải Ta có: 5i 5i 5 A  1  1   1
 6. Khi z i A  6. z z z
Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất M
và giá trị nhỏ nhất M của max min biểu thức 2 3
M z z  1  z  1 . A. M  5; M  1. B. M  5; M  2. max min max min C. M  4; M  1. D. M  4; M  2. max min max min Hướng dẫn giải Ta có: 2 3
M z z  1  z  1  5 , khi z  1  M  5  M  5. max 3 3 3 3 3 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z Mặt khác: 3 M   1 z     1, khi 1 z 2 2 2
z  1  M  1  M  1. min
Chọn đáp án A. Câu 4: Cho số phức 
z thỏa z  2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P  . z A. 3 . B.1. C. 2 . D. 2 . 4 3 Hướng dẫn giải Ta có i 1 3 P i  1  1  . Mặt khác: 1 1 1  1  . z |z| 2 z |z| 2
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là 1 , xảy ra khi z  2i; giá trị lớn nhất của P bằng 3 xảy ra khi 2 2 z  2i.
Chọn đáp án A.
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 z  3 1 z . A. 3 15 B. 6 5 C. 20 D. 2 20. Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x; y . Ta có: 2 2 2 2
z  1  x y  1  y  1  x x  1;1 .  
Ta có: P   z
z    x 2  y   x 2 2 2 1 3 1 1 3 1
y  2 1 x  3 2 1 x  .
Xét hàm số f x  21 x  3 21 x; x 1;1. 
 Hàm số liên tục trên 1;1   và với x 1
 ;1 ta có: f x 1 3 4  
 0  x   1;1. 21 x 21 x 5 Ta có: f    4 1 2;   f  1    6; f   2 20  P    2 20. max  5 
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P z  1  z z  1 . Tính giá trị của M.m . A. 13 3 . B. 39 . C. 3 3. D. 13 . 4 4 4 Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x; y  . Ta có: z  1  .zz  1
Đặt t z  1 , ta có 0  z 1  z  1  z  1  2  t  0; 2.   Ta có t
z z  2 2 t 2 1 1
1 z.z z z 2 2x x             . 2
Suy ra z z   z z z z z z   z   x  2 2 2 2 1 . 1 2
1  2x 1  t  3 .
Xét hàm số f t 2
t t  3 ,t  0; 2 . 
 Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra f t 13  f t 13 3 max ; min
 3  M.n  . 4 4
Chọn đáp án A.
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z  4  2 z . Khẳng định nào sau đây là đúng?   A. 3 1 3 1  z  .
B. 5 1  z  5 1. 6 6 C. 6   1  z  6 1. D. 2 1 2 1  z  . 3 3 Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta được 2 2 2
2 z  4  z  4  4  z z  2 z  4  0  z  5  1. 2 2 2 2
2 z z z  4  z  4  z  2 z  4  0  z  5 1.
Vậy, z nhỏ nhất là 5  1, khi z  i i 5 và z lớn nhất là 5  1, khi z i i 5.
Chọn đáp án B. Câu 8: z
Cho z , z là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 1  và z z  2 3. Tính 1 2 2 z 1 2 2
môđun của số phức z .1 A. z  5. B. z 5  3. C. z  2. D. z  . 1 1 1 1 2 Hướng dẫn giải
Gọi z a bi z a bi; a; b . Không mất tính tổng quát ta gọi b  0. 1 2 
Do z z  2 3  2bi  2 3  b  3. 1 2 3 z z
Do z , z là hai số phức liên hợp của nhau nên z .z  1 1 3     z  . 1 2 1 2  , mà 2 z2 z z12 2 1 b  0
Ta có: z  a bi3 3   3 2
a  3ab    2 3 3a b b  2 3 2
i    3a b b  0    a  1. 1 2 2 3a   b Vậy 2 2
z a b  2. 1
Chọn đáp án C.
Câu 9: Gọi z x yix,yR là số phức thỏa mãn hai điều kiện 2 2
z  2  z  2  26 và 3 3 z  
i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích x . y 2 2 A. 9 xy  . B. 13 xy  . C. 16 xy  . D. 9 xy  . 4 2 9 2 Hướng dẫn giải
Đặt z x iyx,y R. Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 2 2 x y  36.
Đặt x  3cost, y  3sin .t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có 3 3 P    z  
i  18 18sin t      6. 2 2  4      Dấu bằng xảy ra khi 3 3 2 3 2 sin t   1   t    z      .i  4  4 2 2
Chọn đáp án D.
Câu 10: Biết số phức z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức 2 2
M z  2  z i đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z i.
A. z i  2 41
B. z i  3 5.
C. z i  5 2
D. z i  41. Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x; y  . Ta có: z   i
 C x  2  y  2 3 4 5 : 3
4  5 : tâm I 3; 4 và R  5. Mặt khác: 2 2 M z z i
x 2 y x  y 2 2 2 2 2 1           
 4x  2y  3  d : 4x  2y  3  M  0.  
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C có điểm chung    d 23 M d I;  R
 5  23  M  10  13  M  33 2 5
4x  2y  30  0  x  5  M  33    
z i  5  4i z i  41. max x3 
2 y 42  5 y  5
Chọn đáp án D.
Câu 11: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i  5 và
w z 1 i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 . Hướng dẫn giải: Chọn B.
Gọi z x yi  ,
x y   z 1 2i  x  
1   y  2i
Ta có: z   i
  x  2   y  2 
  x  2   y  2 1 2 5 1 2 5 1 2  5
Suy ra tập hợp điểm M  ;
x y biểu diễn số phức z thuộc đường tròn C tâm I 1; 2   bán kính
R  5 như hình vẽ:
Dễ thấy OC, N  1  ;  1 Cy Theo đề ta có: M  ;
x yC là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: 1  x O
w z 1 i x yi 1 i  x   1   y   1 i 1 1   N
z   i  x  2   y  2 1 1 1  MN 2 I
Suy ra z 1 i đạt giá trị lớn nhất  MN lớn nhất
Mà M, N C nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C
I là trung điểm MN M    2
3; 3  z  3 3i z  3  32  3 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Phương pháp đại số
BÀI 1 (Sở GD Long An 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 3i|
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|. A. 1 3 B. 13 C. 2  13 D. 13 1
BÀI 2 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Tìm giá trị lớn nhất của |z| biết 2   3i z 1 1. 3  2i A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
BÀI 3 (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn 2
z i  1. Tìm giá trị lớn nhất của |z|. A. 2` B. 5 C. 2 2 D. 2
BÀI 4 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Xác định số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 mà
|z| đạt giá trị lớn nhất A. 1 i B. 3  i C. 3  3i D. 1 3i
BÀI 5 (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z
− 2 − 3i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 1 + i| là A. 13 1 B. 4 C. 4 D. 13 1
BÀI 6 (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn 2
z  2z  2  z 1 i Biểu thức |z| có giá trị lớn nhất là A. 2 1 B. 2 C. 2  2 D. 2 1
BÀI 7 (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1| = |(1 + i)z|. Đặt m =
|z|, tìm giá trị lớn nhất của m. A. 2 1 B. 1 C. 2 1 D. 2
BÀI 8 (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn 4i z
 2 . Gọi M, m lần lượt là giá z
trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m? A. 2 B. 2 5 C. 13 D. 5
BÀI 9 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn
z  3  4i  1  1 
z  6  i  2  2
Tính tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z . 1 2 A. 18 B. 6 2 C. 6 D. 3 2
BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt 2z 1 A
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2  iz A. |A| < 1 B. |A| ≤ 1 C. |A| ≥ 1 D. |A| > 1
BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017). Cho số phức z thỏa mãn z. z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3
P z  3z z z z . A. 15 B. 3 C. 13 D. 3 4 4 4
BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T = |z + 1| + 2|z − 1| A. maxT  2 5 B. maxT  2 10 C. max  3 5 D. maxT  3 2
BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + 1| + 3|z − 1| A. maxT  3 10 B. maxT  2 10 C. max  6 D. maxT  4 2
BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1  2 . Tìm giá trị lớn
nhất của T = |z + i| + |z − 2 − i| A. maxT  8 2 B. maxT  4 C. max  4 2 D. maxT  8
Phương pháp hình học
BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z −
1 + 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là: A. 14  6 5 15(14  6 5) C. 14  6 5  B. D. 15(14 6 5) 5 5
BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn |z−1−2i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| A. 2 B. 1 C. 2 D. 5 1
BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Cho số phức z, w thỏa mãn |z − 1 + 2i| = |z + 5i|, w =
iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là B. m  7 10 D. m  2 10 A. 3 10 m  C. 10 m  2 2
BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn 5 z   i  3
z   2i . Biết biểu 2 2
thức Q = |z − 2 − 4i| + |z − 4 − 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b A. P  2 B. 1333 P  C. P  1 D. 691 P  272 272
BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017). Cho số phức z thỏa mãn 2 iz  + 2 iz   4 . Gọi M 1 i i 1
và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m A. Mm = 2 B. Mm = 1 C. Mm  2 2 D. Mm  2 3
BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017). Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z − i| = 10. Gọi M, m tương ứng là
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|. Tính M + m A. 35 2 B. 80 C. 50 D. 30 15 7 11 7
BÀI 21 (THPT Thăng Long-Hà Nội 2017 L2). Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn
z  2  z  2  4 2 Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN. A. 1 B. 2 C. 4 2 D. 2 2
BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3). Cho z ,z là hai nghiệm phương trình |6 1 2
− 3i + iz| = |2z − 6 − 9i| thỏa mãn 8
z z  |. Giá trị lớn nhất của z z là 1 2 5 1 2 A. 31 B. 56 C. 4 2 D. 5 5 5
D. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
GIẢI BÀI TẬP 1. Ta có
1  z  2  3i z  13  z  1 13 . Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 2. Ta có 2  3i 2  3i 1  z 1 
. z 1  z 1  z  2. 3  2i 3  2i Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 3. Ta có 2 2 2
1  z i z 1  z  2  z  2. Đáp án là D
GIẢI BÀI TẬP 4. Ta có
2  z  2  2i z  2 2  z  3 2 .
Dấu "=" khi z = k(2 + 2i) với 3
2k 2  2 2  k  . Vậy k = 3 + 3i. 2 Đáp án là C
GIẢI BÀI TẬP 5. Ta có
|z + 1 + i| = |z + 1 − i| = |(z − 2 − 3i) + (3 + 2i)| ≥ ||z − 2 − 3i| − |3 + 2i| = 13 − 1.
Vậy min min z 1 i  13 1. Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 6. Ta có
z 1 i  0 2 2 2
z  2z  2  (z 1)  i z 1 i . z 1 i z 1 i   z 1i 1 
• Nếu z = i − 1 thì z  2
• Nếu |z + 1 + i| = 1 thì 1 ≥ |z| − |1 + i| = |z| − 2 . Do đó |z| ≤ 1 + 2 . Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 7. Ta có
|z − 1| = 2|z| ≤ |z| + 1 ⇒ |z| ≤ 1. Do đó max |z| = 1. Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 8. Ta có 2 2
2 z z  4  z  2 z  4  0  z  1 5  M . và 2 2
2 z  4  z z  2 z  4  0  z  1   5  m Vậy M + m = 2 5 . Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 9. Ta có
z z  (z  3  4i ) (z  6  i )  (3  3i )  z  2  4i z  6  i  3  3i  3  3 2  max. 1 2 1 2 1 2 và
z z  (z  3  4i) (z  6  i)  (3  3i)  3  3i z  2  4i z  6  i  3 2 3  min.Do đó tổng 1 2 1 2 1 2
Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6 2 . Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 10. Ta có 2A i
2A Aiz  2z i  (2  Ai )z  2A i z  . 2  Ai Đặt A = a + bi. Suy ra | 2 2 2 2 2 2 2 2
z  1  2A i  2  A i  4a  (2b  1)  a  (b  2)  3a  3b  3  A a b  1. Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 11. Ta có 2 2 3 3 2 2
z  3z z z .z  3z .z z z  3  z  (z z ) 1 . 2 Suy ra 2  1  3 3
P  (z z ) 1 (z z )  z z    .    2  4 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 . 4 Đáp án là C.
GIẢI BÀI TẬP 12. Áp dụng công thức trung tuyến ta có 2 2 2 2 1 1
z 1  z 1  2 z   4 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 2 2 2 2
T  ( z 1  z 1 )(1  2 )  20 T  2 5 . Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 13. Áp dụng công thức trung tuyến ta có 2 2 2 2 1 1
z 1  z 1  2 z   4 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 2 2 2 2
T  ( z 1  z 1 )(1  3 )  40 T  2 10. . Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 14. Áp dụng công thức trung tuyến ta có 2 2 2 2 2  2i 2
z 1  z  2  i  2 z 1   8 2
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 2 2 2 2
T  ( z 1  z 1 )(1 1 )  16 T  4.. Đáp án là B.
GIẢI BÀI TẬP 15.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm
I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó max |z| = OI + r = 3 + 5 Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 16.
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1;
−2) bán kính r = 1. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó min |z| = OI − r = 5 − 1. Đáp án là D.
GIẢI BÀI TẬP 17.
Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung
trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có
|w| = |iz + 20| = |z − 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min |w| = d(C.∆) = 7 10 Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 18. Gọi  5   3 
A  ;2 ,B  ;2 ,   
 tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là  2   2 
đường trung trực d của AB có phương trình x−4y + 2 = 0. Xét hai điểm M(2;
4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d. Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M0N với  58 28  M ' ;    17 17 
là điểm đối xứng của M qua d. Vậy  62 24  I ;   , ứng với 62 24 z   i  17 17  17 17 Đáp án là A.
GIẢI BÀI TẬP 19. Ta có 2 2 4  iz   iz
 2iz  2 z M  2. 1  i i 1 2 2
Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn z   z
 4  z 1 i z 1 i  4. i (i 1) i (i 1)
Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến 2 2 2 MA MB AB thì 2 z MO   . 2 4 2 MA MB 8 8 Ta có 2 2 ( ) MA MB   8 Do đó m    2. 2 2 4
Vậy Mn = 2 2 . Đáp án là C.
GIẢI BÀI TẬP 20. Gọi A(0; −1), B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công 2 2 2 MA MB AB thức trung tuyến thì 2 2 z MO   . 2 4  Theo giả thiết a
4MA  3MB  2 2 . Đặt 10 4
a MA MB  . Do 3 10  7a 4 16 MA MB
AB  2  6  10 7a  6   a  . 3 7 7 2 2 10  4a
25a  80a 100 5a  8  36 2 2 2  2
Ta có MA MB a    .    3  9 9 Do 36 34 2 11296   5a  8 
 0  (5a  8)  . Suy ra 7 7 49  2 2
MA MB  4 nên 2
z  1  z  1  m. 1296  36 340 121  2 2 2 49 MA MB    z   M . Vậy 60 M m  . Đáp án là C. 9 49 49 49
GIẢI BÀI TẬP 21.
Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức z thì
M, M0 đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là Sxy . OMN
Do z  2  z  2  4 2 nên tập hợp M biểu diễn x là Elip (E): 2 2 x y   1. Do đó 8 4 2 2 2 2 x y x y xy 1    2 .   S
xy  2 2. Đáp án là D. 8 4 8 4 2 2 OMN
Document Outline

  • BĐT Mincopxki: tìm min.
  • BĐT vecto tìm min. Dấu
  • BĐT Mincopxki: tìm min.
  • BĐT vecto tìm min. Dấu
  • Ví dụ: Cho số phức thỏa
  • Bài tập:
  • Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn
  • Bài 2: Cho số phức z thoả mãn
  • BĐT Mincopxki: nếu tìm
  • Cách 3: CASIO MODE 7
  • Bài tập:
  • Bài 1: Cho z thỏa Tìm z
  • Bài 2 : Cho z thỏa . Tìm
  • Bài 3 : : Cho z thỏa . T
  • Bài 4 : : Cho z thỏa . T
  • Dạng 5: Trong số phức t
  • Dạng 6: Trong số phức t
  • Cách 1: Sử dụng PP lượng giác hóa
  • Cách 2: Sử dụng PP BĐT
  • Bài tập:
  • Bài 1: Cho 2 số phức thỏ
  • Dạng 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z có dạng
  • +) Khai triển kiểm tra xem có thuộc dạng đường thẳ
  • Áp dụng:
  • Nhập
  • CALC X =0 => hệ số tự do D
  • Nhập
  • CALC X=1 => hệ số của
  • CALC X = i => hệ số