TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao (có đáp án và lời giải)

TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 57 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

77 39 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Trang 1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC

VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Gọi

( )

là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức

yixz +−= 1

( , )xy

thỏa

mãn

1=z

và

là điểm biểu diễn số phức

iz −=1

. Tìm điểm

thuộc

( )

sao cho

có độ dài lớn nhất.

( )

1;1M

. B.

;







. C

( )

0;1M

. D.

( )

0;0M

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

( )

;M x y

nằm trên đường tròn

( ) ( )

: 1 1C x y− + =

. Tâm

( )

1;0I

( ) ( )

1; 1NC−

nên

có độ dài lớn nhất khi

là đường kính, hay

( )

0;1I

là trung

điểm của

. Vậy

( )

1;1M

Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp

, khi cho một đường tròn

( )

và một điểm

. Tìm

điểm

trên

( )

sao cho

đạt min, max.

Câu 2. Gọi

( )

là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức

1z x yi= − +

( )

,xy

thỏa

mãn

1=z

và

là điểm biểu diễn số phức

iz 35

là một điểm thuộc

)(C

sao cho

có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài

lớn nhất bằng

. B.

. C

. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

( )

;M x y

nằm trên đường tròn

( ) ( )

: 1 1C x y− + =

. Tâm

( )

0;1I

( )

3;5N

nằm ngoài

( )

nên

có độ dài lớn nhất khi

615 =+=+= RNIMN

Câu 3. Gọi

( )

là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức

yixz +−= 1

( )

,xy

thỏa

mãn

1=z

và

là điểm biểu diễn số phức

iz 35

là một điểm thuộc

( )

sao cho

có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài

bé nhất bằng

. B.

. C

. D.

Hướng dẫn giải

Trang 2

Chọn D.

Ta có:

( )

;M x y

nằm trên đường tròn

( ) ( )

11:

=+− yxC

. Tâm

( )

1;0I

( )

3;5N

nằm ngoài

( )

nên

có độ dài bé nhất khi

415 =−=−= RNIMN

Câu 4. Cho hai số phức

;zz

thỏa mãn

1 2 2

5 5; 1 3 3 6z z i z i+ = + − = − −

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

zz−

121

Lời giải

Chọn A

Gọi

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

, ( , , , )z a bi z a b i a b a b= + = + 

Khi đó

( )

1 1 1

5 5 5 25z a b+ =  + + =

Tập hợp điểm biểu diễn

là đường tròn tâm

( )

5;0 ; 5IR−=

Cũng theo giả thiết, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 3 3 6 1 3 3 6

8 6 35 0.

z i z i a b a b

+ − = − −  + + − = − + −

 + − =

Tập hợp điểm biểu diễn

là đường thẳng

: 8 6 35 0xy + − =

( )

5.8 35

( , ) ,

d I d I R

−−

 = =   

( )

min ,

z z d I R − =  − =

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn

1 1 4zz+ + − =

. Gọi

m min z=

và

M max z=

khi đó

.Mn

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn

2 3 1zi− − =

. Gọi

1M max z i= + +

1m min z i= + +

. Tính

giá trị của biểu thức

( )

Mn+

Trang 3

Câu 7. Kí hiệu

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

4 16 17 0zz− + =

. Trên mặt phẳng

tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

( )

w 1 2

i z i= + −

( )

2;1M −

. B.

( )

3; 2M −

. C.

( )

3;2M

. D.

( )

2;1M

Câu 8. Cho hai số phức

,zz

thỏa mãn

12zi+ − =

và

z iz=

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

zz−

2 1.m =−

2 2.m =

2.m =

2 2 2.m =−

Lời giải

Chọn D.

12zi+ − =

nên điểm biểu diễn

của

thuộc đường tròn tâm

( )

1;1I −

bán kính

2R =

z iz=

nên điểm

(điểm biểu diễn của

) là ảnh của

qua phép quay tâm

, góc

quay

. Suy ra

1 2 1 2 1

2z z M M OM− = =

ngắn nhất khi

ngắn nhất.

Ta có:

min 2 2OM R OI= − = −

Vậy:

( )

2 2 2 2 2 2m = − = −

Đề xuất

12zi+ − =

nên điểm biểu diễn

của

thuộc đường tròn tâm

( )

1;1I −

bán kính

2R =

( ) ( )

( )

1 2 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2z z z iz i z z OM R OI− = − = − = =  − = − = −

(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)

Câu 9. Tính môđun của số phức

thỏa mãn

3 . 2017( ) 48 2016z z z z i+ + = -

4z =

. B.

2020z =

. C.

2017z =

. D.

2z =

Lời giải

Chọn A.

- Đặt

( , )z a bi a b= + Î ¡

z a biÞ = -

- Ta có:

3 . 2017( ) 48 2016z z z z i+ + = -

2 2 2 2

3( ) 4034 . 48 2016 16a b bi i a bÛ + + = - Þ + =

- Vậy

4z a b= + =

. Chọn A.

Câu 11: Tính môđun của số phức

thỏa mãn

2 . 3 0.z z z+ - =

Trang 4

z =

. B.

z =

. C.

1z =

. D.

3z =

Câu 12: Số số phức

thỏa mãn đẳng thức:

( ) ( )

z z z z z i+ - = + +

là

. B.

. C.

. D.

Câu 13: Cho số phức

thỏa mãn điêu kiện

12z −=

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

2T z i z i= + + − −

max 8 2T =

. B.

max 8T =

. C.

max 4 2T =

. D.

max 4T =

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt

( )

,z x yi x y= + Î ¡

, ta có:

1 2 1 2z x yi- = Û - + =

( ) ( )

2 2 2

1 2 2 1 *x y x y xÛ - + = Û + = +

Lại có:

( ) ( )

2 1 2 1T z i z i x y i x y i= + + − − = + + + − + −

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 1x y x y= + + + - + -

2 2 2 2

2 1 4 2 5x y y x y x y= + + + + + - - +

Kết hợp với

( )

, ta được:

2 2 2 6 2 2T x y x y= + + + - -

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

( )

( ) ( )

1 1 2 2 2 6 2 2 4T x y x y

éù

êú

£ + + + + - - =

êú

ëû

Vậy

max 4T =

Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt

phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có

bán kính bằng

2z =

Oxy

Trang 5

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có

Đặt

Ta có

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức là đường tròn có bán kính bằng

Câu 15: Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

với

là số phức

khác

và thỏa mãn

2z 

. Tính

2.Mm−

Mm−=

2 10.Mm−=

2 6.Mm−=

Lời giải

Chọn B.

Ta có Mặt khác:

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra

khi

Mm−=

Câu 16: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức Tính giá trị của .

A. B. C. D.

Câu 17: Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Khi đó bằng

34.

26.

34.

26.

( )

w(1 ) 4 w 4 w

w z iz z i

=  + = +  − = −

2 w 4 wi − = −

( )

w,x yi x y= + 

( ) ( )

2. 1 4x y x y+ − = − +

( )

2 2 2 2

2 2 1 8 16x y y x x y + − + = − + +

( ) ( )

8 4 14 0 4 2 34x y x y x y + + − − =  + + − =

1 1 .

| | 2

= +  + 

1 1 .

| | 2

+  − 

2 ; zi=−

2.zi=



1.z =

1 1 .P z z z= + + − +

.Mm

13 3

3 3.

3 3 8zz− + + =

Mm+

Trang 6

A. B. C. D.

Câu 18: Cho số phức ( thoả điều kiện . Đặt .

Khẳng định nào sau đây đúng

B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 4 2 2 4 4 4w w x y xyi x yi x y x y x y+ =  − + + = +  − + + = +

( )

4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2

16 2 4 12 0 2 4 4 4 8 12 0x y x y x y x y x y x y x y + + + + − =  + + − − + + − + =

( ) ( ) ( )

( )

2 2 4 4 2 2 2 2 2 2

8 12 2 4 4 4 2 w 2 .x y x y x y x y P x y − + = − + + − − +  = − + − = − −

Hay phương án chọn là B. .

Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì

w w .=

Câu 19: Cho số phức ( thoả điều kiện

w 4 2 w−=

. Đặt

8( ) 12P x y= − −

. Khẳng định nào sau đây đúng

( 2)Pw=−

( 2)Pw=+

. C.

( 4)Pw=+

D. .

Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự

rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.

Câu 20: Cho

w sin cosi



với







thỏa mãn

w 1 2 w+=

Giá trị của

( )

2018

26 w 3P =−

là

2018

23 .P =

2018

23 .P =−

2018

23 .Pi=

2018

29 .P =

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

( )

w 1 sin cos 1 1 cos2 sin2 w 1 2 2cos2 .ii

    

+ = + + = − +  + = −

4 7.−

4 7.+

4 5.+

w x yi=+

,)xyR

42ww+=

( )

8 12P x y= − +

( )

2Pw= − −

( )

2Pw= − −

( )

4Pw=−

( )

4Pw=−

( )

2Pw= − −

w x yi=+

,)xyR

( )

8 12P x y= − +

( )

4Pw=−

Trang 7

2 w sin cos 2



= + =

Từ giả thiết:

w 1 2 w+=

cos2 0





 =  =

vì







2 2 2 2

w w w 1

2 2 2 2

ii = +  = −  =

Vậy

2018

23 .P =

Câu 21: Cho

, zz

là hai số phức thỏa mãn phương trình

22− = +z i iz

, biết

1−=zz

Tính giá trị

của biểu thức:

=+P z z

. B.

2=P

. C.

. D.

3=P

Lời giải

Chọn D.

HD: Cách 1. Ta có:

2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )− = +  − = +  − + = + −z i iz z i iz z i z i iz iz

4 . 2 2 4 2 2 . 3 . 3 + − − = − + −  =z z iz iz i iz iz i z z z z

. 1 1 1 1 =  =  =  =z z z z z

và

1=z

Chú ý:

. 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )=  − = − − = − +a a a z i z i z i z i z i

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

, zz

là đường tròn tâm O

bán kính

1=R

Gọi

1 1 2 2 1 2

( ), ( ) 1 = =M z M z OM OM

Ta có:

1 2 1 2 2 1 1 2

1− = − = =  z z OM OM M M OM M

đều

Mà

1 2 1 2

+ = + = =z z OM OM OM OM

với M là điểm thỏa

mãn

OM MM

là hình thoi cạnh 1

33 =  =OM P

Cách 2. Đặt

( )

, ,= + z x yi x y

, ta có

2 2 (2 1)− = + −z i x y i

và

22+ = − +iz y xi

Trang 8

Khi đó:

2 2 2 2 2 2

2 2 4 (2 1) ( 2) 1 1

=



− = +  + − = − +  + =  = 







z i iz x y y x x y z

Sử dụng công thức

( )

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 3+ + − = +  + =  + =z z z z z z z z z z

. Chọn

Câu 22: Gọi

1 2 3

;;z z z

là các nghiệm của phương trình

( )

2 1 0iz z i z i− + − + =

. Biết

là số thuần ảo.

Đặt

P z z=−

, hãy chọn khẳng định đúng?

45P

. B.

23P

. C.

34P

. D.

12P

Lời giải

Chọn B.

Biến đổi phương trình

( )

2 1 0iz z i z i− + − + =



( )

10i z iz z+ − + =



1 0(*)

iz z

=−





− + =



Như vậy:

;zz

là các nghiệm của phương trình (*).

( ) ( )

2 3 2 3 2 3 2 3

4P z z z z z z z z= − = − = + −

4. 17



= − =





Vậy

17P =

Câu 23: Cho hai số phức



thỏa mãn

1 3 2z z i− = + −

;

z m i



= + +

với

m

là tham số. Giá

trị của

để ta luôn có





là:











. B.







−



. C.

37m−  

. D.

37m

Lời giải

Chọn B.

Đặt

( )

,,z a ib a b= + 

có biểu diễn hình học là điểm

( )

;M x y

1 3 2z z i− = + −

( )

1 3 2x iy x y i − + = + + −

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 3 2x y x y − + = + + −

2 1 6 9 4 4x x y− + = + − +

2 3 0xy − + =

Suy ra biểu diễn của số phức

là đường thẳng

:2 3 0xy − + =

Ta có:





25z m i + + 

( )

1 2 5x m y i + + + + 

( ) ( )

1 2 5x m y + + + 

25MI

với

( )

;1Im−−

Trang 9

Mà ta có

( )

,MI d I

Nên

25MI 

( )

, 2 5dI  

m−+



2 4 10m − + 

2 4 10

− + 







− +  −



−











Câu 24: Cho số phức

z a bi=+

( )

,ab

thỏa mãn

( )

1 3 9z i z i i+ + − + =

và

2z 

. Tính

P a b=+

3−

. B.

1−

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

z a bi=+

z a bi=−

( )

1 3 9z i z i i+ + − + =

( )( )

1 3 9a bi i a bi i i + + + − − + =

( )

2 1 1 9 3a b b a b i i + + + + − + = −

Ta có:

2 1 9

a b b a



+ + + + =



















= = −



2zi=

2z=

nên không thỏa yêu cầu bài toán.

12zi= − +

z=

2 1 5+=

thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy

1P a b= + =

Câu 25: Cho số phức

thỏa mãn

3 4 5zi− − =

. Gọi

,Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

2P z z i= + − −

. Khi đó modun của số phức

w M mi=+

2 314

. B.

1258

. C.

3 137

. D.

2 309

Lờigiải

Chọn B.

Giả sử

( )

,z x yi x y R= + 

ta có

3 4 5zi− − =

( ) ( )

3 4 5xy − + − =

Ta có

4 2 3P x y= + +

( ) ( )

4 3 2 4 23x y P − + − = −

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

4 3 2 4 20 3 4 100x y x y



− + −  − + − =





Suy ra

10 23 10P−  − 

13 33P  

suy ra

33, 13Mm==

do đó ta được

33 13wi=+

vậy

w 1258=

Câu 26: Biết số phức

z x yi=+

( )

,xy

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

43z z i= + −

và biểu

thức

1 2 3P z i z i= + − + − +

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

2P x y=+

P =−

. B.

253

P =−

. C.

P =−

. D.

P =−

Trang 10

Lời giải

Chọn A .

Theo giả thiết

43z z i= + −

( ) ( )

43x yi x y i + = + − +

( ) ( )

43x y x y + = + + +

2 2 2 2

8 16 6 9x y x x y y + = + + + + +

8 6 25 0xy + + =

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1 2 3P x y x y= + + − + − + +

Xét điểm

( )

1;1E −

;

( )

2; 3F −

và

( )

;M x y

. Khi đó,

P ME MF=+

Bài toán trở thành tìm điểm

:8 6 25 0M x y + + =

sao cho

ME MF+

đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì

( ) ( )

8 8 25 . 8 8 25 0

E E F F

x y x y+ + + + 

nên hai điểm

,EF

nằm cùng phía đối với đường

thẳng



Gọi



là điểm đối xứng với

qua



Đường thẳng



đi qua điểm

( )

1; 1E −

và có VTPT

( )

3; 4





= = −

nên có phương trình

( ) ( )

3 1 4 1 0xy+ − − =

3 4 7 0xy − + =

Gọi

là giao điểm của



và



. Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình

3 4 7

8 6 25

− = −





+ = −





=−









=−





suy ra

71 19

;

25 50



−−





đối xứng với

qua

nên

117





=−







=−





Ta có

ME + MF = ME + MF E F

¢¢

Dấu bằng xảy ra

M

là giao điểm của

và đường thẳng



Đường thẳng



đi qua điểm

( )

2; 3F −

và có VTPT

( )

31;167



có phương trình

( ) ( )

31 2 167 3 0xy− + + =



31 +167 + 439 = 0xy

Trang 11

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình

31 167 439

8 6 25

+ = −





+ = −



119



=−









=−





Vậy

P x y= + = −

Câu 27: Gọi

,zz

là 2 nghiệm của phương trình

1 2 1 2z i z i− + = + +

thỏa mãn

2zz−=

. Biết rằng

là số phức thỏa mãn

w 3 2 2i− − =

. Tìm GTNN của biểu thức

wwP z z= − + −

13+

Lời giải.

Chọn D .

Giả sử

( )

,z x yi x y R= + 

ta có

1 2 1 2z i z i− + = + +

0x=

suy ra tập hợp điểm biểu diễn

,zz

là trục tung.

Giả sử

,AB

lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho

,zz

, ta có

2zz−=

2AB=

Giả sử

( )

w,a bi a b R= + 

và

là điểm biểu diễn cho số phức

, ta có

w 3 2 2i− − =

( 3) ( 2) 4ab − + − =

suy ra tập hợp điểm biểu diễn

cho số phức

là đường tròn tâm

( )

3;2I

bán kính

2R =

Ta có

P MA MB=+

, gọi

là hình chiếu vuông góc của

lên trục tung, ta thấy

nhỏ

nhất khi

là trung điểm

suy ra

MA MB==

, vậy

2. 6

MinP ==

Trang 12

Câu 28: Gọi là số phức thoả mãn . Giá trị của biểu thức

A. . B. C. . D. .

Lời giải:

Chọn A

Dễ thấy rằng không thoả mãn , do đó ta có

Ta cũng có và

Vậy

Câu 29: Cho hai số phức

có điểm biểu diễn lần lượt là

cùng thuộc đường tròn có

phương trình

1xy+=

và

1zz−=

. Tính giá trị biểu thức

P z z=+

A .

P =

. B.

2P =

. C.

P =

. D.

3P =

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Do

cùng thuộc đường tròn có phương trình

1xy+=

nên

1zz==

Lại có:

1zz−=

1zz − =

( )( )

1 2 1 2

1z z z z − − =

( )

1 2 1 2

1z z z z − − =

( )

1 1 1 2 1 2 2 2

. . . . 1z z z z z z z z − + + =

( )

1 2 1 2 1 2

. . 1z z z z z z + − + =

1 2 1 2

. . 1z z z z + =

P z z=+

( )( )

1 2 1 2

z z z z= + +

( )

1 2 1 2

z z z z= + +

( )

1 2 1 2 1 2

. . 3z z z z z z= + + + =

Vậy

3P =

Cách 2: Do

cùng thuộc đường tròn

( )

tâm

( )

0;0O

, bán kính

1R =

và

1zz−=

nên

1MM =

. Suy ra

OM M

là tam giác đều cạnh bằng

10zz+ + =

2 3 4

1 1 1

2 3 4P z z z

z z z

     

= + + + + +

     

     

14.

0z =

10zz+ + =

 + = −

 + = −

1 1 1

3 . 2z z z

z z z

   

= + − + =

   

   

21z



= + − = −





2 3 4

1 1 1

2 03 34P z z z

z z z

     

= + + + + +

     

     

Trang 13

P z z=+

2OM OM OH+=

2. 2. 3

OH= = =

( Trong đó

là trung điểm

)

Câu 30: Cho số phức

thỏa mãn

−

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 7P z i z i= + + − +

. B.

. C.

12 5

. D.

Lời giải

Chọn A.

Gọi

z x yi=+

( )

,xy

Ta có

−

2 1 3z z i − = +

( ) ( )

2 1 3x y x y − + = + +

4 6 7 0x y x y + − − − =

Lại có

2 4 7P z i z i= + + − +

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 4 7x y x y= + + + − + −

4 8 8 2 4 8 72x y x y= + + + − − +

Mặt khác

( )

4 8 8 2 4 8 72 5.80x y x y+ + + − − + 

4 8 8 2 4 8 72 20x y x y + + + − − + 

Suy ra

20P 

Câu 31: Cho số phức

z a bi=+

(

là các số thực) thỏa mãn

34z z i= − +

và có môđun nhỏ nhất.

giá trị của

.P a b=

là?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

34a bi a bi i+ = − − +

( ) ( )

34a b a b + = − + −

6 8 25 0ab + − =

25 8

−

=

Mô đun của số phức

là:

Trang 14

z a b=+

25 8

−







( )

100 2 225

b −+



Số phức

min

2zb=

a=

3P=

Câu 32: Trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

2 4 2z i z i− − = −

. Tìm số phức

có môđun nhỏ

nhất.

1zi= − +

. B.

22zi= − +

. C.

22zi=+

. D.

32i+

Lời giải

Chọn C.

Gọi số phức

có dạng

z a bi=+

thỏa mãn

2 4 2z i z i− − = −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

2 4 2

4 4 8 16 4 4

4 4 16

a b i a b i

a b a b

a a b b a b b

 − + − = + −

 − + + − + = + − +

 + =

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.

( )

( )( )

2 2 2 2 2 2

16 1 1 8a b a b z a b= +  + +  = + 

22z 

Dấu

xảy ra

2 2 2

a b z i





  = =  = +







Câu 33: Trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

2 4 2z i z i− − = −

. Số phức

có mô đun bé nhất

bằng

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Đặt

( )

,z x yi x y= + 

. Khi đó

2 4 2z i z i− − = −

2 4 2x yi i x yi i + − − = + −

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 4 2x y x y − + − = + −

4 4 16 0xy− − + =

40xy + − =

Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ

đến đường thẳng

: 4 0xy + − =

Trang 15

( )

min

; 2 2

z d O=  = =

Câu 34: Cho hai số phức

;zz

thỏa mãn

5zz+=

và

1zz−=

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P z z=+

là:

26.

−

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi

,MN

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

;zz

Từ giả thiết :

5zz+=

5OM ON + =

OI=

với

là trung điểm của đoạn thẳng

1zz−=

1OM ON − =

1MN=

Ta có

2 2 2

OM ON MN

=−

IOM ON ++=

13=

P z z=+

OM ON=+

( )( )

2 2 2 2 2

11P OM ON  + +

26=

. Vậy

max

26.P =

Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể

sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương

pháp đại số, hoặc lượng giác.

Trang 16

Câu 35: Cho hai số phức

;zz

thỏa mãn

5zz+=

và

1zz−=

. Gọi

,Mm

lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P z z=+

. Khi đó mô đun của số phức

.M mi+

là :

. B.

. C.

2 10

. D.

2 11

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi

,MN

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

;zz

Từ giả thiết :

6zz+=

6OM ON + =

3OI=

với

là trung điểm của đoạn thẳng

2zz−=

2OM ON − =

2MN=

Ta có

2 2 2

OM ON MN

=−

IOM ON ++=

20.=

P z z=+

OM ON=+

( )( )

2 2 2 2 2

11P OM ON  + +

40.=

Vậy

ax 2 0 .m 1PM==

P z z=+

OM ON=+

OM ON+

Vậy

min 6Pm==

Suy ra

.M mi+

40 36 76.= + =

Câu 36: Cho số phức

thỏa mãn

iz+=

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

425z 11 iP z i= + − −+−

là:

. B. 3. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta gọi

( ; )M x y

là điểm biểu diễn số phức

Trang 17

iz+=

( )

xy + − =

. Suy ra

( ; ) (0;3);

M x y C I R



=





Khi đó:

425z 11 iP z i= + − −+−

22 z 5

1i zi= + −− −+

2 MA MB=+

với

( )

;2 ; 1;5



−





Ta có:



= − −





( )

; 1;2IB =

suy ra

2.IB IA=−

Theo định lý Stewart ta có:

2 2 2

5 3 5 5

5 . 5

2 2 2

MA MB MI



+ = +





2 15MA MB + =

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

MI MA AB=+

MA AB=+

( )

MA MB MA= + −

MA MB=+

Suy ra:

( )

2 2 2

4 1 4

. .cos ,

9 9 9

MI MA MB MAMB MA MB= + +

4 1 4

. .cosAMB

9 9 9

MA MB MAMB= + +

2 2 2

4 1 4

9 9 9 2. .

MA MB AB

MA MB MAMB

MA MB



+−

= + +





2 2 2

2 1 2

3 3 9

MA MB AB= + −

2MA MB+

MI AB=+

15=

)

Vậy

2P MA MB=+

( )

2. 2.MA MB=+

(

)

( )

2 2 2

2 1 2MA MB + +

45=

3 5.=

Câu 37: Cho

là hai số phức thỏa mãn

22z i iz− = +

, biết

1zz−=

. Tính giá trị của biểu

thức

P z z=+

P =

. B.

2P =

. C.

P =

. D.

3P =

Lời giải

Chọn D.

Trang 18

Cách 1.

+ Đặt

z x yi=+

,xy

, ta có

( ) ( )

2 2 2 2 1 2z i iz x y i y xi− = +  + − = − +

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

4 2 1 2 4 4 4 1 4 4x y y x x y y y y x+ − = − +  + − + = − + +

1 1 1x y z z z + =  =  = =

+ Sử dụng công thức:

,zz

ta có

( )

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2z z z z z z+ + − = +

Suy ra

3P =

Cách 2.

+ Biến đổi:

( )

2 2 2iz i iz z i+ = − + = −

Ta có

2 2 2 2 1 1z i z i z i z i z z z− = −  − = −  =  = =

+ Sử dụng công thức bình phương mô đun

( )

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 2 2

2,mz nz m z mnz z cos z z n z+ = + +

Trong đó

( )

,zz

là góc

MON

với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

,zz

trên

mặt phẳng phức

( ) ( )

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 . . , 1 ,

z z z z z z z z cos z z cos z z− =  − =  + − =  =

Vậy

( )

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 . . , 3 3P z z z z z z cos z z P= + =  + + =  =

Câu 38: Cho số phức

,zz

thỏa mãn

2 2 1z i z i+ − = − −

và

1z z i+ = +

. Tính giá trị biểu thức

P z z=+

2P =

. B.

1P =

. C.

4P =

9P =

Lời giải

ChọnC

Ta có

2 2 1z i z i+ − = − −

mà

1z z i+ = +

22z i z + − =

( )

( ) ( )

2 1 1 1 1 1

4 2 2 2 2 5.z z i z i z i z i z = + − + + = + − + + +

(1)

Tương tự ta có

( ) ( ) ( )

1 2 2 2

4 2 2 5. 2z z i z i z= + − + + +

Cộng (1) và (2) ta có

Trang 19

( ) ( )( )

1 2 1 2

4 2 2 10P P i z z i z z= + − + + + + +

( )( ) ( )( )

2 1 2 1 10 12 4.P i i i i P P= + − − + + + + = +  =

Câu 39: Cho hai số thực

;bc

( 0)c 

. Kí hiệu

;AB

là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai

nghiệm của phương trình

20z bz c+ + =

, tìm điều kiện của

và

sao cho tam giác

OAB

là tam giác vuông ( Với

là gốc tọa độ ).

.cb=

2.cb=

2.bc=

Lời giải

Chọn C.

Ta có

bc = −

Nếu

0bc = − 



phương trình có hai nghiệm

1,2

'Zb= −  

(Loại vì

,,O A B

thẳng

hàng)

Nếu

0bc = − =



phương trình có nghiệm kép (Loại)

Nếu

0bc = − 



Phương trình có hai nghiệm

1,2

()Z b i b c b i b c= −  − = −  − −

Vậy hai điểm biểu diễn là

( ; )A b b c−−

và

( ; )B b b c− − −

Tam giác

OAB

cân tại

.Vậy để tam giác

OAB

vuông

.0OAOB=

0b b c − − =

2cb=

Câu 40: Cho số phức

thỏa mãn

2 7 3z z i z− = − + +

. Tính

A. 3. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.

Giả sử , ta có:

Vậy .

( )

,z a bi a b= + 

( )

2 7 3 2 7 3z z i z z x yi i x yi− = − + +  − − = − + + +

( )

9 3 7 *

z x x



− = −



+ = −









( )

9 9 42 7







  =





+ = − +



5z =

Trang 20

Câu 41: Hcho hai số phức

,zw

thỏa mãn

3 2 1

1 2 2

w i w i

 − − 





+ +  − −





. Tìm giá trị nhỏ nhất

min

của biểu

thức

P z w=−

min

3 2 2

−

. B.

min

21P =+

. C.

min

5 2 2

−

. D.

min

3 2 2

−

Lời giải

Chọn C.

Cách 1 :

Giả sử

z a bi=+

( )

,ab

w x yi=+

( )

,xy

3 2 1zi− − 

( ) ( )

3 2 1ab − + − 

(1)

1 2 2w i w i+ +  − −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2 2 1x y x y + + +  − + −

Suy ra

0xy+=

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

P z w a x b y a x b x= − = − + − = − + +

Từ (1) ta có

( )

3;2I

, bán kính

1r =

. Gọi

là hình chiếu của

trên

:d y x=−

Đường thẳng

có PTTS







( )

3 ;2M HI M t t  + +

( )

21M C t  =









=−





2 3 ;2



=  + +





3 3 ;2



=  − −





−

Vậy

min

5 2 2

−

Trang 21

Cách 2 :

3 2 1zi− − 

điều này cho thấy

( )

đang nằm trên hình tròn tâm

( )

3;2I

bán kính bằng

1 2 2w i w i+ +  − −

điều này cho thấy

( )

đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường

thẳng



là trung trực của đoạn

với

( ) ( )

1; 2 , 2;1 .AB−−

: 0.xy + =

(Minh hoạ như hình vẽ)

.P z w MN= − =

( )

min

5 2 2

, 1 .

P d I R

−

=  − = − =

Câu 42: Xét các số phức

,( , )z a bi a b= + 

thỏa mãn

3 2 2.zi− − =

Tính

ab+

biết biểu thức

1 2 2 2 5S z i z i= + − + − −

đạt giá trị nhỏ nhất.

43+

. B.

23+

. C.

43−

. D. 3.

Lời giải:

Chọn A

Giả thiết

3 2 2 ( ):( 3) ( 2) 4z i T a b− − =  − + − =

Gọi

( 1;2), (2;5), ( ; )A B M a b−

lần lượt là các điểm biểu

diễn của các số phức

1 2 3

1 2 , 2 5 ,z i z i z a bi= − + = + = +

Bài toán trở thành: Tìm

()MT

sao cho biểu thức

2S MA MB=+

nhỏ nhất

Ta có

2 2 2 2

( 1) ( 2) 2 4 5MA a b a b a b= + + − = + + − +

-2

-1

-2

-1

Trang 22

2 4 4 8a b a b= + − − +

2 ( 2) ( 2) 2a b MC= − + − =

với

(2;2)C

Ta có

2 2( ) 2MA MB MB MC BC+ = + 

dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi

,,B M C

theo thứ tự

đó thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng

:2BC x =

là giao của của BC và

( ) (2;2 3) a b 4 3TM +  + = +

Câu 43: Giả sử

,zz

là hai nghiệm phức của phương trình

( ) ( )

2 1 2 1 3i z z i z i+ − − = +

và

1zz−=

. Tính

23M z z=+

19M =

. B.

25M =

. C.

5M =

. D.

19M =

Lời giải

Chọn D.

Từ giả thiết ta có:

( ) ( )

2 1 2 1 3i z z i z i+ − − = +

( ) ( )

( )

2 1 2 1 3i z i z i + − − = +

( ) ( )

2 1 2 1 3i z i z i + − − = +

( ) ( )

2 1 2 1 3z z i z i − + + = +

( ) ( )

2 1 2 1 3z z z i − + + = +

Bình phương, giải phương trình tìm được

1z =

, Gọi

A,B

lần lượt là hai điểm biểu diễn của

hai số phức

,zz

trong mặt phẳng phức thì suy ra

A,B

nằm trên đường tròn tâm

, bán kính

1 và

AB=1

, do đó tam giác

OAB

là tam giác đều.

Cách trắc nghiệm : chọn

( )

A 1;0 ;B ;







thỏa mãn bài toán, nên

3 3 3

2 3 2 19

M z z



= + = + + =





Cách tự luận:

2 3 2OA+3OB OA +OB OCM z z



= + = = =

Trang 23

Áp dụng định lý hàm số cos tìm được

OC 19M ==

Câu 44:Trong các số phức

thỏa mãn điều kiện sau

+ = +

, gọi số phức

z a bi=+

là số phức có mô đun nhỏ nhất. Tính

2S a b=+

. B.

4−

. C.

. D.

2−

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

( ) ( )

1 3 1 3

z a b a

+ = +  + + = +

48ba = +

Từ đó:

( )

2 2 2

4 8 2 4 2z a b a a a= + = + + = + + 

Vậy

min 2z =

đạt được khi

2; 0ab= − =

Khi đó:

4S =−

Câu 45: Trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

2 4 2z i z i− − = −

. Số phức

có môđun nhỏ nhất

là:

2 2 .zi= − +

2 2 .zi=+

2 2 .zi=−

2 2 .zi= − −

Lời giải

Chọn B.

Đặt

, ( , ).z a bi a b= + 

Ta có

2 4 2z i z i− − = −

suy ra

4.ab+=

Ta có:

z a b=+

( )

ab+



22=

Dấu

""=

xảy ra khi

4ab









2ab==

Vậy

2 2 .zi=+

Trang 24

Câu 46: Cho số phức

thỏa mãn

1 2 2.zi− + =

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( )

w 3 2 2i i z= − + −

là một đường tròn. Tính bán kính

của đường tròn đó.

20.R =

7.R =

2 5.R =

7.R =

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

( ) ( )( )

w 3 2 2 3 7 2 1 2i i z i i z i= − + − = − + − − +

( )( )

w 3 7 2 1 2i i z i − + = − − +

( )( )

w 3 7 2 1 2 2 1 2 2 5i i z i i z i − + = − − + = − − + =



Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( )

w 3 2 2i i z= − + −

là một đường tròn bán kính

2 5.R =

Câu 47: Cho số phức

thỏa mãn

1 2.zi− − =

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( )

w 3 1i i z= + + −

là một đường tròn. Tính bán kính

của đường tròn đó.

4.R =

2 2.R =

2.R =

Câu 48: Cho số phức

thỏa mãn

1 2 2.zi− + =

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

( )

w 3 2 2i i z= − + −

là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm

của đường tròn đó.

( )

3; 7 .I −

( )

2; 1 .I −

( )

3; 2 .I −

( )

1; 2 .I −

Câu 49: Trong các số phức

thỏa mãn

1 5 3 ,z i z i+ − = + −

giả sử số phức có mô đun nhỏ

nhất có dạng

z a bi=+

. Khi đó

bằng bao nhiêu?

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

1 5 3z i z i+ − = + −

1 5 3a bi i a bi i + + − = − + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 5 3 1a b a b + + − = + + +

2 1 10 25 6 9 2 1a b a b + − + = + + +

4 12 16 0ab + − =

3 4 0ab + − =

Vậy quỹ tích các điểm

( )

;M x y

biểu diễn số phức

là đường thẳng

( )

3 4 0x y d+ − =

Trang 25

Có

z OM=

, khi đó số phức

có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi

nhỏ nhất tức

là

hình chiếu vuông góc của

trên đường thẳng

( )

Phương trình đường thẳng

là:

30xy−=

( )

;

d OM M



  =





zi = +

a bi=+

=

Câu 50: Cho số phức

z a bi=+

(

,ab

) thoả mãn

( )

7 2 0z i z i+ + − + =

và

3z 

.Tính

P a b=+

5P =

. B.

P =−

. C.

7P =

. D.

P =

Lời giải

Chọn B

Gọi

z a bi=+

,ab

( )

7 2 0a bi i a bi i + + + − + + =

2 2 2 2

7 2 0a bi i a b i a b + + + − + − + =

(

)

2 2 2 2

2 7 1 0a a b b a b i − + + + + − + =

2 7 0

a a b

b a b



− + + =







+ − + =





2 7 0

2 2 2 0

a a b

b a b



− + + =







+ − + =





2 7 0

a a b





− + + =





=−





5 20 25 1

b b b





− + = +





=−





4 22 24 0

+





 − + =





=−





















=−



Ta có

34zi=+

5z=

( loại);

zi= − +

z=

. Vậy

P a b=+

=−

Câu 51: Gọi

là tổng phần thực và phần ảo của số phức

2 3 2018

2 3 .... 2018w i i i i= + + + +

. Tính giá trị

của

. B.

1−

. C.

. D.

2−

Lời giải

Chọn.B.

Cách 1:

Ta có

2 3 4 2017 2018

2 3 4 ... 2017 2018w i i i i i i= + + + + + +

( ) ( )

4 8 2016 5 9 2017

2 6 10 2014 2018 3 7 11 2015

4 8 ... 2016 5 9 ... 2017

2 6 10 ... 2014 2018 3 7 11 ... 2015

i i i i i i i

i i i i i i i i i

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

Trang 26

( ) ( )

4 8 ... 2016 5 9 ... 2017

2 6 10 ... 2014 2018 3 7 11 ... 2015

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )

504 505 505 504

1 1 1 1

4 4 3 4 2 4 1

n n n n

n i n n i n

= = = =

= + − − − − −

   

( ) ( ) ( ) ( )

504 505 505 504

1 1 1 1

4 4 2 4 3 4 1

n n n n

n n n n i

= = = =

   

= − − + − − −

   

   

   

1010 1009 .i= − +

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức

bằng

1−

Cách 2:

Phân tích như Cách 1 nhưng sử dụng cấp số cộng để tính các tổng trên.

Cách 3:

Đặt

( )

2 3 2017 2018

1 ....f x x x x x x= + + + + + +

( )

2 2016 2018

1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x



= + + + + +

( ) ( )

2 3 2017 2018

2 3 ... 2017 2018 1xf x x x x x x



= + + + + +

Mặt khác:

( )

2019

2 3 2017 2018

2018 2019

1 ....

2019 1 1

f x x x x x x

x x x

xf x x

−

= + + + + + + =

−

− − −



−

− − −



=

−

Thay

xi=

vào

( )

và

( )

ta được:

( )

2018 2019

2019 1 1

i i i

− − −

−

2019 2019 1

1010 1009 .

− + + +

= = − +

−

Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức

bằng

1−

Câu phát triển:.

Câu 52: Gọi

( )

;M a b

là điểm biểu diễn của số phức

2 3 2017 2018

2 3 .... 2017 2018w i i i i i= − + − + − +

trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦. Tính

3T a b= − +

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020

Lời giải

Chọn A

Đặt

( )

2 3 2017 2018

1 ....f x x x x x x= + + + + + +

( )

2 2016 2018

1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x



= + + + + +

Trang 27

( ) ( )

2 3 2017 2018

2 3 ... 2017 2018 1xf x x x x x x



= + + + + +

Mặt khác:

( )

2019

2 3 2017 2018

2018 2019

1 ....

2019 1 1

f x x x x x x

x x x

xf x x

−

= + + + + + + =

−

− − −



−

− − −



=

−

Thay

xi=−

vào

( )

và

( )

ta được:

( )

2018 2019

2019 1 1

i i i

− − − − −

=−

−−

( )

2018 2019

2019 1 1

i i i

+ + +

( )

(

)

504 504

4 2 4 3

2019 1 1

i i i i i

+ + +

( ) ( )

2019 1 1

ii− + + − +

2020 2018

1009 1010 .

−−

= = − −

1009; 1010ab = − = −

3 2017T a b = − + =

Câu 53: Gọi

là tổng phần thực và phần ảo của số phức

3 4 2018 2019

2 3 ... 2017 2018w i i i i= + + + +

Tính giá trị của

. B.

1−

. C.

. D.

2−

Lời giải

Chọn. A.

Đặt

( )

2 3 2017 2018

1 ....f x x x x x x= + + + + + +

( )

2 2016 2018

1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x



= + + + + +

( ) ( )

2 2 3 4 2018 2019

2 3 ... 2017 2018 1x f x x x x x x



= + + + + +

Mặt khác:

( )

2019

2 3 2017 2018

2018 2019

1 ....

2019 1 1

f x x x x x x

x x x

x f x x

−

= + + + + + + =

−

− − −



−

− − −



=

−

Thay

xi=

vào

( )

và

( )

ta được:

( )

2018 2019

2 3 4 2018 2019 2

2019 1 1

2 3 ... 2017 2018 . 1009 1010

i i i

i i i i i i i

− − −

+ + + + + = = −

−

( )

2018 2019

2 3 4 2018 2019 2

2019 1 1

2 3 ... 2017 2018 . 1009 1010

i i i

i i i i i i i

− − −

+ + + + + = = −

−

Trang 28

1009 1010 1010 1010w i i i= − − = −

Câu 54: Cho các số phức

thỏa mãn

6z =

2z =

. Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn các

số phức

. Biết rằng

60MON =

. Tính

9T z z=+

18T =

. B.

24 3T =

. C.

36 2T =

. D.

36 3T =

Lời giải

Chọn D

Ta có

66z OM=  =

;

2 2 2z iz ON=  =  =

Gọi

zz=

và

là điểm biểu diễn số phức

OK OM=

60KON = 

và

2OK =

Từ đó suy ra tam giác

OKN

đều cạnh bằng

2NK=

và

OI ==

, với

là trung

điểm

Khi đó

9T z z=+

( )

2 2 2

9 9 9z z z iz= + = −

( )( )

1 2 1 2

9 3 3z iz z iz= − +

9.z iz z iz= − +

Do đó:

18. . 18.2. 3 36 3T NK OI= = =

Câu 55: Cho số phức

( )

,z a bi a b= + R

thỏa mãn

2018

zz=

. Hỏi có bao nhiêu cặp

( )

;ab

thỏa mãn đề

bài:

2021

. B.

2018

. C.

2019

. D.

2020

Lời giải:

Chọn D.

Trang 29

Ta có

2018

z z z z

=

=  = 





+ Nếu

00zz=  =

+ Nếu

1z =

, ta có

2018 2018 2019

1z z z z

=  =  =

Vì phương trình

2019

1z =

có

2019

nghiệm nên có tất cả

2020

số phức

thỏa mãn.

Vậy có

2020

cặp

( )

;ab

thỏa mãn đề bài.

Câu 56: Cho số phức

thỏa mãn:

1 3 13− − =zi

. Gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

lớn nhất của biểu thức

23= + − −P z z i

. Tính

=+.A m M

=10.A

= 25.A

= 34.A

= 40.A

Lời giải

Chọn đáp án C

Đặt

( )

;= + z x yi x y R

Ta có

− − =1 3 13zi

 − + − =

( 1) ( 3) 13xy

= + −4 6 5P x y

 − = − + −  + − + −

2 2 2 2

17 4( 1) 6( 3) (4 6 )[(x 1) ( 3) ]P x y y

Vậy

17 26P−

9 43P −  

9, 43mM = − =

34A=

Câu 57: Cho số phức

thỏa mãn

3 3 8zz− + + =

. Gọi

lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Khi đó

Mm+

bằng

4 7.−

4 7.+

4 5.+

Lời giải

Chọn B

Gọi

z x yi=+

với

;xy

Ta có

8 3 3 3 3 2 4z z z z z z= − + +  − + + =  

Do đó

4M max z==

Mà

( ) ( )

3 3 8 3 3 8 3 3 8z z x yi x yi x y x y− + + =  − + + + + =  − + + + + =

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

8 1. 3 1. 3 1 1 3 3x y x y x y x y



= − + + + +  + − + + + +



Trang 30

( ) ( )

2 2 2 2

8 2 2 2 18 2 2 2 18 64x y x y  + +  + + 

2 2 2 2

7 7 7x y x y z +   +   

Do đó

7M min z==

Vậy

47Mm+ = +

Câu 58: Xét số phức

thỏa mãn

2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

. Gọi

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của

1zi−+

. Tính

P m M=+

13 73P =+

. B.

5 2 2 73

5 2 2 73P =+

. D.

5 2 73

Lời giải

Chọn B .

Cách 1. Gọi

( )

;M x y

là điểm biểu diễn của

. Các điểm

( )

2;1A −

( )

4,7B

( )

1; 1C −

Ta có

2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

62MA MB + =

, mà

62AB =

MA MB AB + =

Suy ra

thuộc đoạn thẳng

Phương trình đường thẳng

:3AB y x=+

, với

 

2;4x−

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 2 6 17z i MC z i MC x y x x x x− + =  − + = = − + + = − + + = + +

Đặt

( )

2 6 17f x x x= + +

 

2;4x−

( )

46f x x



( )

f x x



=  = −

( nhận )

Ta có

( )

2 13f −=

3 25



−=





( )

4 73f =

Vậy

( ) ( )

Max 4 73==f x f

( )

3 25



= − =





Minf x f

Trang 31

73M=

m =

5 2 2 73

=

Cách 2.Gọi

( )

;M x y

là điểm biểu diễn của

Các điểm

( )

2;1A −

( )

4,7B

( )

1; 1C −

Ta có

2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

62MA MB + =

, mà

62AB =

MA MB AB + =

Suy ra

thuộc đoạn thẳng

Phương trình đường thẳng

:3AB y x=+

, với

 

2;4x−

( )

min

;

CM d C AB==

max

73; 13 73CB CA CM CB= =  = =

Vậy

5 2 73 5 2

= + =

Câu 59: Biết phương trình:

2 2018

2017.2018 2 0zz+ + =

có 2 nghiệm

. Tính

S z z=+

2018

2S =

. B.

2019

2S =

. C.

1009

2S =

. D.

1010

2S =

Lời giải

Chọn D

2 2018

2017.2018 2 0zz+ + = =

2017.2018zz+=

và

2018

2zz =

là số thực.

zz= =

2 1 1

z z z= = =

Mà ta có:

2018

2zz =

2018

.2zz= =

2018

2z= =

1009

2z= =

Vậy ta có:

1010

1 2 1

22S z z z= + = =

Trang 32

Câu 60: Cho hai số thực

và

( )

0cc

. Kí hiệu

là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của

phương trình

20+ + =z bz c

trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của

và

để tam giác

OAB

là tam giác vuông (

là gốc tọa độ).

2=bc

. B.

2=cb

. C.

=bc

. D.

=bc

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

20z bz c+ + =

. Vì

2z z b+ = −

và

z z c=

là số thực.

zz=

2 1 1

z z z = =

. Vậy ta có:

xb=

và

x y c+=

Ta có:

1 1 1

z x y i= + =

( )

;A x y

;

1 2 2

z x y i= + =

( )

;B x y

Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O

.0OAOB= =

1 2 1 2

0x x y y + =

0xy − =

xy=

2cb=

Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4 4( 1) 3 0z m z m m+ − + − =

có hai nghiệm phức

,zz

thỏa mãn

2zz+=

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

4 4( 1) 3 0z m z m m+ − + − =

Vì

1z z m+ = −

và

3z z m m=−

là số thực.

zz=

2 1 1

z z z= = =

. Vậy ta có:

−

và

2 2 2

3x y m m+ = −

Ta có:

2zz+=

= + =

2zz

=

1xy= + =

34mm − =

=−









Câu 62: Cho số phức

z a bi=+

( )

, , 0a b a

thỏa

( )

. 12 13 10z z z z z i− + − = −

. Tính

S a b=+

17S =−

. B.

5S =

. C.

7S =

. D.

17S =

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

( )

. 12 13 10z z z z z i− + − = −

2 2 2 2

12 2 13 10a b a b bi i + − + + = −

Trang 33

2 2 2 2

12 13

2 10

a b a b





+ − + =





=−





25 12 25 13





+ − + =





=−





( )

25 13

25 1

a VN

















+ = −





=−





=







=−









=−



, vì

0a 

Vậy

7S a b= + =

Câu 63: Cho số phức

( )

,z a bi a b= + 

thỏa mãn

( )

1 2 3 2i z z i+ + = +

. Tính

P a b=+

P =

. B.

1P =

. C.

1P =−

. D.

P =−

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

( ) ( )

1 2 3 2 . 1+ + = +i z z i

. Ta có:

=+z a bi

z a bi = −

Thay vào

( )

ta được

( )( ) ( )

1 2 3 2+ + + − = +i a bi a bi i

( ) ( )

3 3 2 − + − = +a b i a b i

3 3 3





−=









−=





=−





Vậy

1P =−

Câu 64: Cho số phức

z a bi=+

( , )ab

thỏa mãn

1 3 0z i z i+ + − =

. Tính

3S a b=+

S =

. B.

5S =−

. C.

5S =

. D.

S =−

Lời giải

Chọn B.

Đặt

( )

; ; .z a bi a b= + 

Từ giả thiết, ta có:

1 3 0+ + + − + =a bi i a bi i

1 3 . 0 + + + − + =a bi i a b i

(

)

1 3 . 0 + + + − + =a b a b i

=−









=−

+ − + =





b a b

Vậy

3 1 3. 5

S a b



= + = − + − = −





Trang 34

Câu 65: Tìm tập hợp các số phức

thỏa

( )

12 5 17 7

i z i

− + +

−−

:6 4 3 0d x y+ − =

. B.

: 2 1 0d x y+ − =

( ): 2 2 1 0C x y x y+ − + + =

. D.

( ): 4 2 4 0C x y x y+ − + + =

Lời giải

Chọn A.

Gọi

( ; )M x y

là điểm biểu số phức

( , )z x yi x y= + 

thỏa bài toán.

Theo đề có

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

12 5 17 7

13 12 5 17 12 5 7 169 2 1

i z i

x y y x x y

− + +



=  + + + − + = − + −



−−

6 4 3 0xy + − =

Vậy tập hợp điểm

biểu diễn số phức

là đường thẳng

6 4 3 0xy+ − =

Câu 66: Cho số phức

thỏa mãn

2 2 3 2 1 2z i i z− + = − −

. Tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

20 16 47 0xy− − =

. B.

20 16 47 0xy+ − =

20 16 47 0xy− + =

. D.

20 16 47 0xy+ + =

Lời giải

Chọn A.

Gọi

( ; )M x y

là điểm biểu diễn của số phức

( , )z x yi x y z x yi= +   = −

Ta có

2 2 3 2 1 2 2 ( 2) ( 3) ( 2 1) (2 2)z i i z x y i x y i− + = − −  − + + = − − + +

2 2 2 2

2 ( 2) ( 3) ( 2 1) (2 2) 20 16 47 0x y x y x y − + + = − − + +  − − =

Vậy tập hợp điểm

biểu diễn số phức

là đường thẳng

20 16 47 0xy− − =

Câu 67: Tìm tập hợp các số phức

thỏa

4 4 10zz+ + − =

( )

9 25

E +=

. B.

( )

25 9

E +=

( )

16 9

E +=

. D.

( )

E +=

Lời giải

Chọn B.

Gọi

( ; )M x y

là điểm biểu số phức

( , )z x yi x y= + 

thỏa bài toán.

Ta có

4 4 10 ( 4) ( 4) 10z z x yi x yi+ + − =  + + + − + =

( )

2 2 2 2

( 4) ( 4) 10 *x y x y + + + − + =

Trang 35

Đặt

( 4;0)F -

và

(4;0)F

thì

( )

1 2 1 2

* 10 8MF MF FF + =  =

nên tập hợp điểm

( ; )M x y

biểu diễn số phức

là một elíp với hai tiêu điểm

,FF

Ta có:

2 2 2

2 10

2 8 4 ( ): 1

25 9

MF MF a

FF c c E

a b c



+ = =





= =  =  + =







Câu 68: Tìm tổng các giá trị của số thực

sao cho phương trình

3 2 0z z a a+ + − =

có nghiệm phức

thỏa

2z =

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có với mọi

a 

thì phương trình

3 2 0z z a a+ + − =

luôn có nghiệm phức.

3 4 8 9

i a a

− + − + +

và

3 4 8 9

i a a

− − − + +

Suy ra

4 8 9

− + +

= = +

4 8 9

− + +

=  + =

4 8 9

4 4 8 9 7

− + +

 + =  − + + =

( )

4 8 2 0 1

4 8 9 7

4 8 16 0 2

− + + =



− + + =







− + + = −

− + + =





Từ

( )

ta có

2aa+=

, từ

( )

ta có

2aa+=

Vậy tổng

1 2 3 4

4a a a a+ + + =

Câu 69: Cho số phức

thỏa

1z =

, gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

6 2 1P z z z z= + + − +

. Tính

Mm−

1Mm−=

. B.

3Mm−=

. C.

6Mm−=

. D.

12Mm−=

Lời giải

Chọn A.

Ta có

6 2 1P z z z z= + + − +

62z z z z= + + − +

Trang 36

(

)

42z z z z= + + − +

(

)

42z z z z= + + − +

( )

13zz= + − +

Vì



+







−  + 



nên

max

4P =

min

3P =

nên chọn A.

Cách giải khác:

Ta có

6 2 1P z z z z= + + − +

62z z z z= + + − +

Đặt

t z z=+

với

 

0;2t 

2z z t + = −

Do đó

( )

4 2 2 4P t t t t f t= + − = − + =

với

 

0;2t 

Khi đó

max

4P =

min

3P =

nên chọn A.

Câu 70: Cho số phức

thỏa

1z =

, gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

của

42P z z z z z= + + − +

. Tính

M mi−

3M mi−=

. B.

1M mi−=

. C.

5M mi−=

. D.

2M mi−=

Lời giải

Chọn C.

Ta có

42P z z z z z= + + − +

42z z z z= + + − +

Trang 37

(

)

22z z z z= + + − +

(

)

22z z z z= + + − +

( )

11zz= + − +

Vì



+







−  + 



nên

max

2P =

min

1P =

nên chọn C.

Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn

2 2 1 3 34.iz i z i− − − + − =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 ) 2 .P i z i= + +

min

4 2.P =

min

26.P =

min

P =

min

3 2.P =

Lời giải

Chọn A.

Gọi

( ; ), , ,M x y A B I

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z,

2 2 , 1 3 , 1 .i i i− − + − −

Ta có:

2 2 1 3 34 2 2 1 3 34iz i z i z i z i MA MB AB− − − + − =  − + − + − =  − =



M thuộc tia đối của tia

.BA

(1 ) 2 (1 )( 1 ) 2 1 2P i z i i z i z i MI= + + = + + + = + + =

Dựa vào quan sát, suy ra:

min min

.P MI M B  

Vậy

min

2 4 2.P IB==

Trang 38

Câu 72: Cho số phức

thỏa mãn

2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

. Gọi

,Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của

1zi−+

. Khi đó

P M m=+

bằng

171

. B.

171

. C.

167

. D.

167

Lời giải

Chọn A.

Gọi

( )

,,z x yi x y= + 

Đặt:

( )

;N x y

( ) ( )

2;1 , 4;7FF−

Khi đó từ giả thiết

2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =

suy ra

62NF NF+=

Mà

72FF =

1 2 1 2

NF NF F F + =

Vậy

thuộc đoạn

Ta có

( )

6;6FF =

Phương trình đường thẳng

+−

30xy − + =

Tập hợp các điểm

biểu diễn số phức

thuộc đường thẳng

3yx=+

với

24x−  

( ) ( )

1 1 1z i x y− + = − + +

( ) ( )

14xx= − + +

Xét

( ) ( ) ( )

1 4 , 2 4f x x x x= − + + −  

( ) ( ) ( )

2 1 2 4f x x x



= − + +

( )

f x x



=  = −

( )

2 13f −=

;

3 25



−=





;

( )

4 73f =

Suy ra

73;

Mm==

25 171

P M m = + = + =

Câu 73: Cho các số phức

3 , 4z i z i= − = +

và

thỏa mãn

2zi−=

. Biết biểu thức

2T z z z z= − + −

đạt giá trị nhỏ nhất khi

z a bi=+

(

,ab

). Hiệu

ab−

bằng

3 6 13

. B.

3 6 13

−

. C.

6 13 3

−

. D.

3 6 13

−−

Lời giải

Chọn A.

Trang 39

Gọi

(0; 3), (4;1)AB−

lần lượt là các điểm biểu diễn của

,zz

| | 2zi−=

nên tập hợp điểm biểu diễn của

là đường tròn

()C

tâm

(0;1)I

, bán kính

2R =

Lấy

()MC

là điểm biểu diễn của

. Ta có

2T MA MB=+

Ta có

2, 1, 4 .

IM IO

IM IO IA IM IO IA

IA IA

= = =  =  =

Từ đó

OM IM

IMO IAM AM OM

AM IA

   = =  =∽

Vậy

( )

2 2 2MA MB MO MB OB+ = + 

Đẳng thức xảy ra khi

là giao điểm của đường thẳng

và

()C

2 2 2

1 2 13

( ) 2 16 ( 1) 4 17 2 3 0

M C IM t t t t t

  =  + − =  − − =  =

(

0t 

Vậy

4 8 13 1 2 13 3 6 13

17 17 17

z i a b

+ + +

= +  − =

Câu 74: Cho hai só phức

1 3 1 3

2 2 2 2

zz= + = − +

. Gọi

là số phức thỏa mãn

3 3 3zi−=

. Đặt

,Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T z z z z z= + − + −

. Tính

mô đun số phức

w M mi=+

2 21

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

Trang 40

Ta có

3 3 3

z i z− =  − =

Đặt

( )

; (C)

z x yi x y x y



= +   + − =





Gọi

1 3 1 3

( ; ), ; ;B ;

2 2 2 2

K x y A

   

−

   

   

lần lượt là điểm biểu diễn của

,,z z z

Khi đó ta có

T OK KA KB= + +

Vì

,, A B O

cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác

OAB

đều nên suy ra:

m min 2 2T OA= = =

, khi đó K trùng với

hoặc

Gọi

thuộc cung

Ta có

. . .KAOB OABK ABOK=+

(Ptoleme).

KA KB OK = +

Suy ra

4 3 4 3

2 2.2

T AK R M=  =  =

Vậy

2 21

Câu 75: Cho số phức

thỏa mãn

1z =

. Tìm

min 2zz−+

. B.

. C.

. D.

2 13

Lời giải

Chọn C.

Gọi

z a bi=+

, với

b

Theo giả thiết ta có

1z =

suy ra

.1zz=

và

1ab+=

11a−  

Ta có

3 3 2

2 2 . 1 2z z z z z z z z z− + = − + = − +

( )

2 2 2

2 1 2 2 2 1 2 1a b a ab b i a a b a i= − + − + − = + − + −

Trang 41

( )

2 2 3 2 3 2

4 1 4 1 16 4 16 8 2 4 4 2a a b a a a a a a a= + − + − = − − + = − − +

Xét hàm số

( )

4 4 2f x x x x= − − +

trên

 

1;1−

. Ta có

( )

12 2 4 0

f x x x







= − − = 



=−





Ta có

( )

11f −=

;

( )

11f =

;

3 27







;

1 13



−=





Vậy

 

( )

1;1

min

3 27

f x f

−







. Do đó

min 2

zz− + =

khi

a =

và

b =

Câu 76: Cho số phức

thỏa mãn

1z =

, gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

5 3 4

6 2 1P z z z z= + + − +

. Tính

Mm−

1Mm−=

. B.

3Mm−=

. C.

6Mm−=

. D.

12Mm−=

Lời giải

Chọn A.

Cách 1 :

Đặt

 

1 0;2t z t= +  

( )( )

2 4 4 4 4 4 4 2

1 1 2 2t z z z z z z t = + + = + +  + = −

Mà

5 3 4 4 4

6 6 6

z z z z z z z

+ + = + + = + +

Nên

 

2 6 2 2 4, 0;2P t t t t t= − + − = − + 

suy ra

min max

3 , 4 1P m P M M m= = = =  − =

Cách 2:

5 3 4

6 2 1P z z z z= + + − +

6zz++

21z−+

Đặt

( )

4 2 2

, , , 1 1w z x yi x y w x y= = +  =  + =

Nên

( ) ( )

6 2 1 2 6 2 1 2 3 2 2 2P w w w x x y x x= + + − + = + − + + = + − +

Đặt

( ) ( )

 

2 3 2 2 2, 1;1f x x x x= + − +  −

Bảng biến thiên

Trang 42

Vậy

min max

3 , 4 1P m P M M m= = = =  − =

Câu 77: Cho số phức

thay đổi và thỏa mãn

15zi− − =

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 8 7 9P z i z i= − − − −

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Gọi

( )

;M x y

biểu diễn số phức

, từ

15zi− − =

thì

nằm trên đường tròn

( ) ( )

1 1 25xy− + − =

có tâm và bán kính :

( )

1;1 , 5IR=

. Gọi

( ) ( )

0;8 ; 7;9AB

thì

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 8 7 9 2P x y x y MA MB= + − − − + − = −

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm

sao cho

2MB MC=

, nhận thấy

22IB IM R==

nên ta

có hai cách tìm tọa độ điểm

như sau :

Cách 1 :

( ) ( )

1 1 25xy− + − =

23 0T x y = + − =

2 2 2 2

14 18 130 14 18 130 3MB x y x y x y x y T= + − − + = + − − + +

( )

4 4 20 24 61 2 3

x y x y x y



= + − − + = − + −





Nên chọn điểm







thì

2MB MC=

Trang 43

Cách 2 : Lấy điểm

thỏa mãn

IC IB=

thì tam giác

IMC

đồng dạng với tam giác

IBM

nên ta có

2MB MC=

, từ đó







Ta có :

( )

2 2 2 5 5P MA MB MA MC AC= − = −  =

Dấu « = » đạt được khi điểm

nằm trên đoạn

Câu 78: Cho các số phức

thỏa mãn

( )( )

4 2 1 2z z i z i+ = − − +

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

32P z i= + −

min

4P =

. B.

min

2P =

. C.

min

P =

. D.

min

3P =

Lời giải

Chọn D.

Gọi

( )

;M x y

là điểm biểu diễn số phức

trong mặt phẳng phức.

Có

( )( )

4 2 1 2z z i z i+ = − − +

( )( )

2 . 2 2 1 2z i z i z i z i − + = − − +

2 1 2

z i z i







+ = − +



;

0; y

x =

=











Vậy

( )

0;2M =

hoặc

M dx=

Gọi

( )

3;2I −

thì

P IM=

. Khi đó

min

3IM =

hoặc

min

( ; )

d I dIM ==

Vậy

min

3.P =

Trang 44

Câu 79: Cho các số phức

thỏa mãn

1 8 3 53z i z i− − + − − =

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

12P z i= + +

max

53P =

. B.

max

185

P =

. C.

max

106P =

. D.

max

53P =

Lời giải

Chọn C.

Gọi

( )

;M x y

( )

1;1A

( )

8;3B

( )

1; 2C −−

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

1 i+

83i+

12i−−

trong mặt phẳng phức.

Có

1 8 3 53z i z i− − + − − =



53MA MB AB+ = =



thuộc đoạn

.AB

12P z i= + +

MC.

Ta có :

13, 106CA CB==

và

106CA CM CB  =

. Vậy

max

106P =

đạt khi

trùng

Câu 80: Biết

, 5 4z z i=−

và

là ba nghiệm của phương trình

( )

0 , ,z bz cz d b c d+ + + = 

trong đó

là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức

1 2 3

32w z z z= + +

bằng:

12−

. B.

8−

. C.

4−

. D.

Lời giải

Trang 45

Chọn C.

Xét phương trình

( )

0 , ,z bz cz d b c d+ + + = 

là phương trình bậc ba với hệ số thực nên

luôn có một nghiệm thực là

Do đó phương trình tương đương với:

( )

' ' 0 ', 'z z z a z b a b− + + = 

( )

' ' 0 1

z a z b

=







+ + =



Nên

, 5 4z z i=−

là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

Suy ra

54zi=+

Khi đó :

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 3

3 2 3. 5 4 2. 5 4 25 2 4w z z z z i i z i= + + = + − + + = + −

Vậy phần ảo của

1 2 3

32w z z z= + +

là

4−

Câu 81: Biết rằng hai số phức

thỏa mãn

3 4 1zi− − =

và

zi− − =

. Số phức

có phần

thực là

và phần ảo là

thỏa mãn

3 2 12ab−=

. Giá trị nhỏ nhất của

22P z z z z= − + − +

bằng

min

9945

P =

. B.

min

5 2 3P =−

. C.

min

9945

P =

. D.

min

5 2 3P =+

Lời giải

Chọn C.

Đặt

2zz=

thì

6 8 1zi− − =

và

2P z z z z= − + − +

Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn cho

và

. Khi đó:

Điểm

nằm trên đường tròn

( )

có tâm

( )

3;4I

, bán kính

1R =

;

Điểm

nằm trên đường tròn

( )

có tâm

( )

6;8I

, bán kính

1R =

Và điểm

nằm trên đường thẳng

:3 2 12 0d x y− − =

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

2P MA MB=++

Trang 46

Ta kiểm tra thấy

( )

và

( )

nằm cùng phía và không cắt đường thẳng

:3 2 12 0d x y− − =

Gọi đường tròn

(

)



có tâm



và bán kính



đối xứng với

( )

qua

Điểm



đối xứng với

qua

thì



thuộc

(

)



Ta có

:2 3 18 0I I x y



+ − =

. Gọi

72 30

;

13 13

H I I d H





=  





suy ra

105 8

;

13 13









Ta có

(

)

( )

1 3 1 3 1 3

22P MA MB MA MB MA R MB R I M I M I I

  



= + + = + + = + + +  + 

Từ đó

min

khi các điểm



và

thẳng hàng và

min 1 3

9945

P I I



Câu 82: Cho

là hai trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

5 3 5zi− − =

, đồng thời

8zz−=

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w z z=+

trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

5 3 9

2 2 4

   

− + − =

   

   

. B.

   

− + − =

   

   

( ) ( )

10 6 36xy− + − =

. D.

( ) ( )

10 6 16xy− + − =

Lời giải

Chọn C.

Trang 47

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa mãn điều kiện

5 3 5zi− − =

là đường tròn

( )

có

tâm là

( )

5;3I

, bán kính

5R =

Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn cho

. Khi đó

nằm trên đường tròn

( )

Có

8zz−=

nên suy ra

8MN =

Giả sử

1 1 1

z a b i=+

và

2 2 2

z a b i=+

, suy ra

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

w z z a a b b i= + = + + +

Gọi

là trung điểm của

, ta có

MN IH⊥

nên

2 2 2 2

5 4 3IH IM MH= − = − =

Vậy ta có

( ) ( )

5 3 9

xy− + − =

Mà











nên ta suy ra

( ) ( )

1 2 1 2

5 3 9 10 6 36

a a b b

   

− + − =  + − + + − =

   

   

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

w z z=+

là đường tròn

( ) ( )

10 6 36xy− + − =

Câu 83: Xét các số phức

thỏa mãn điều kiện

1 3 2z i z i− −  +

và

1 3 2w i w i+ +  −

. Giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

P z w=−

là

. B.

3 26

. C.

P =

. D.

13 1

Lời giải

Chọn B.

Trang 48

Cách 1:

Gọi

z a bi=+

w c di=+

( )

, , ,a b c d 

lần lượt được biểu diễn bởi điểm

( )

;M a b

( )

;N c d

trong mặt phẳng

( )

oxy

Từ giả thiết:

1 3 2z i z i− −  +

( ) ( ) ( )

1 3 2a b i a b i − + −  + +

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 3 2a b a b − + −  + +

53ab + 

. Suy ra tập hợp điểm

biểu diễn số

phức

là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng



53xy+=

1 3 2w i w i+ +  −

( ) ( ) ( )

1 3 2c d i c d i + + +  + −

( ) ( ) ( )

2 2 2

1 3 2c d c d + + +  + −

53cd +  −

. Suy ra tập hợp điểm

biểu diễn số

phức

là phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng





53xy+ = −

Khi đó

( )

3 26

;

P z w MN d



= − =    =

. Dấu

''=

xảy ra khi















⊥



Cách 2:

Từ giả thiết

+





+  −



+







− − 



( ) ( )

56a c b d − + − 

( )

Và

( ) ( )

P z w MN a c b d= − = = − + −

đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

53xy+=

53xy+ = −

3−

1−

Trang 49

( ) ( ) ( ) ( )

5 26.a c b d a c b d



− + −  − + −



( ) ( )

6 3 26

26 26

a c b d

− + −



 − + −  = =



Vậy

min

3 26

P =

khi

a c b d





+ = −





−−





( ) ( )

; . 1;5

NM a c b d k n











 





= − − = =











  





⊥



Câu 84: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

2 5 ( 1 2 )( 3 1)z z z i z i− + = − + + −

Tìm giá trị nhỏ nhất của

22zi−+

. D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt

w 2 2zi= − +

Ta có

25zz−+

( 1 2 )( 3 1)z i z i= − + + −

( 1 2 ) . ( 1 2 )z i z i − + − −

( 1 2 ) . ( 3 1)z i z i− + + −

1 2 0

1 2 3 1

z i z i

− + =







− − = + −



TH1:

12zi=−

w1 = −

w1=

(1)

TH2:

1 2 3 1z i z i− − = + −

Đặt

z a bi=+

;

,ab

2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 1) ( 3)a b a b − + − = − + +

−

=

z a i = −



w ( 2)

a= − +



(2)

Từ

( )

suy ra

min| | 1w =

Câu 85: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện

2 2 1z z z i+ + = + −

. Tìm giá trị lớn nhất của

. B.

21+

. C.

22+

. D.

21−

Trang 50

Câu 86: Cho số phức

thỏa mãn điều kiện :

1 2 5zi− + =

và

1w z i= + +

có môđun lớn nhất. Số

phức

có môđun bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là

,MM



; số phức

( )

43zi+

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là

,NN



Biết rằng

, , ,M M N N



là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

45zi+−

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác

MNN M



luôn là hình thanh cân (



MM NN

∥

), nên để

MNN M



là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm

điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc

MM NN



Giả sử:

( )

,z a bi a b= + 

. Ta có

( )

;M a b

và

( )

;M a b



−

* Khi đó:

( ) ( ) ( )

4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +

Suy ra

( )

4 3 ;3 4N a b a b−+

và

( )

4 3 ; 3 4N a b a b



− − −

* Do 4 điểm

, , ,M M N N



tạo thành hình thang cân nhận

làm trục đối xứng nên 4 điểm

đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi

( )

4 4 3 4

MM NN b a b

=−







=  = + 



=−



* Với

ab=−

, ta có

( ) ( )

9 1 1

4 5 5 4 2

z i b b b



+ − = + + + = + + 





Đẳng thức xảy ra khi

ab= = −

* Với

a =−

ta có

( )

5 34 74 5 1

4 5 5 4 41

3 9 3

34 2

z i b b b b



+ − = + + + = + +  





Vậy:

Min z i+ − =

Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

; số

phức

( )

43zi+

có điểm biểu diễn là

. Gọi

,MN



lần lượt là hình chiếu của

,MN

trên trục

. Biết rằng tứ giác

MNN M



hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của

45zi+−

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Trang 51

Giả sử:

( )

,z a bi a b= + 

. Ta có

( )

;M a b

và

( )

;0Ma



* Khi đó:

( ) ( ) ( )

4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +

Suy ra

( )

4 3 ;3 4N a b a b−+

và

( )

4 3 ;0N a b



−

* Do 4 điểm

, , ,M M N N



tạo thành hình thang vuông (



MM NN

∥

) nên 4 điểm đó là bốn

đỉnh của một hình chữ nhật khi:

MM NN b a b

=−







=  = + 



=−



* Với

ab=−

, ta có

( ) ( )

9 1 1

4 5 5 4 2

z i b b b



+ − = + + + = + + 





Đẳng thức xảy ra khi

ab= = −

* Với

a =−

ta có

( )

5 34 74 5 1

4 5 5 4 41

3 9 3

34 2

z i b b b b



+ − = + + + = + +  





Vậy:

Min z i+ − =

Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là

,MM



; số phức

( )

43zi+

có điểm biểu diễn là

. Gọi



là điểm đối xứng với

qua

đường thẳng



. Biết rằng tứ giác



MNM N

là hình thoi. Tìm phần ảo của

để

45zi+−

đạt giá trị nhỏ nhất.

−

. B.

192

−

. C.

. D.

192

Lời giải

Chọn A

Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau

tại trung điểm của mỗi đường

N Ox

Giả sử:

( )

,z a bi a b= + 

. Ta có

( )

;M a b

và

( )

;M a b



−

* Khi đó:

( ) ( ) ( )

4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +

. Suy ra

( )

4 3 ;3 4N a b a b−+

* Do tứ giác



MNM N

là hình thoi nên

3 4 0

N Ox a b a b  + =  = −

* Ta có

( )

4 25 64

4 5 5 4 41

3 9 3

z i b b b b



+ − = + + + = + +





45zi + −

đạt giá trị nhỏ nhất tại

b =−

Câu 90: Cho số phức

và

thỏa mãn

34z w i+ = +

và

9zw−=

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T z w=+

max 176T =

. B.

max 14T =

. C.

max 4T =

. D.

max 106T =

Trang 52

Lời giải

Chọn D.

Phân tch: Từ yêu cầu bài toán ta ngh đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để

xuất hiện

zw+

thì bài toán được giải quyết xong.

Ta có

( )

2 2 2 2

2 25 81 106z w z w z w+ = + + − = + =

nên

( )

1. 1. 1 1 106T z w z w= +  + + =

Do đó

106T 

Câu 91: Cho số phức

và

thỏa mãn

;,z w a bi a b+ = + 

và

0z w c− = 

(hoặc

0z w c+ = 

và

;,z w a bi a b− = + 

). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

..T p z q w=+

với

0, 0pq

Lời giải

Ta có:

( )

2 2 2 2

2 2 2

2 z w z w z w a b c+ = + + − = + +

Khi đó

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

p. .

abc

T z q w p q z w p q



= +  + + = +





Nên

( )

2 2 2

abc

T p q



+





Câu 92: Cho số phức

z x yi=+

(

,xy

) thỏa mãn

1 3 3z i z i− + = + −

. Tính

S x y=+

biết rằng

biểu thức

1 2 1P z i z i= − − − + −

đạt giá trị lớn nhất.

0S =

. B.

16S =

. C.

54S =

. D.

27S =

Lời giải

Chọn C.

Gọi

( )

;M x y

là điểm biểu diễn số phức

trong mặt phẳng

Oxy

. Ta có

1 3 3z i z i− + = + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 3 3 1x y x y − + + = + + −

0xy − =

Gọi

( )

1;2A

( )

1;1B −

, khi đó

1 2 1P z i z i MA MB= − − − + − = −

Bài toán trở thành: “Tìm

thuộc đường thẳng

: 0d x y−=

sao cho

MA MB−

lớn nhất.”

Trang 53

Xét

( )

,P x y x y=−

, ta có

( ) ( ) ( )

1 2 2 0P A P B = −  − = 

. Do đó

nằm cùng phía đối

với đường thẳng

Gọi

là giao điểm của

với

, ta tìm được

( )

3;3I

Ta có

MA MB−

AB

. Đẳng thức xảy ra khi

trùng với

. Do đó

đạt giá trị lớn nhất

khi tọa độ

là

( )

3;3M

. Vậy

3x =

và

3y =

do đó

3 3 54S = + =

Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu

nằm khác phía đối với đường thẳng

. Khi đó ta

cần tìm điểm đối xứng

của

qua

và

sẽ trùng với

'I AB d=

Câu 93: Cho hai số phức

thỏa mãn

86z z i+ = +

và

2zz−=

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

P z z=+

max

2 26P =

max

104P =

max

32 3 2P =+

max

46P =

Lời giải

Chọn A.

Ta có

( )

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2z z z z z z z z+ + − = +  +

Trang 54

Suy ra

2 26P z z= + 

, dấu "=" xảy ra khi

z z i

=



+ = +





−=



4 3 1

z i z

z z i



= + −



 = − −





− − =



17 19

23 11

z i z

= + −





























Vậy

max

2 26P =

Tổng quát: Cho hai số phức

thỏa mãn

1 2 0

z z z+=

( )

0z 

và

0z z m− = 

. Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

P z z=+

Gọi các điểm biểu diễn của các số phức

lần lượt là

Ta có

zz+

OM ON=+

OE=+

zm+

( )

+

1 2 0

z z z m +  +

Suy ra giá trị lớn nhất của

P z z=+

bằng

zm+

Câu 94: Cho số phức

thoả mãn

z z z z z+ + − =

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

52P z i= − −

bằng

2 5 3+

. B.

2 3 5+

. C.

5 2 3+

. D.

5 3 2+

Lời giải

Chọn B.

Trang 55

Cách 1: Đại số

Đặt

( )

,z a bi a b= + 

Từ giả thiết

z z z z z+ + − =

22a b a b + = +

( ) ( )

1 1 2ab − + − =

( )

Ta có

52P z i= − −

( ) ( )

52ab= − + −

2 2 10 4 29a b a b= + − − +

Dễ thấy

lớn nhất khi

,0ab

. Khi đó

12 6 29P a b= − − +

( ) ( )

6 2 1 1 47ab= − + − + +





,0ab

nên từ

( )

ta có

( ) ( )

1 1 2ab+ + + =

Suy ra

( ) ( )

6 2 1 1 47P a b= − + − + +





( )

( ) ( )

6 2 1 1 1 47ab



 + + + + +



47 6 10=+

2 3 5=+

Dấu

xảy ra khi

( ) ( )

1 1 2

1, 1 0



+ + + =







+ + 





2 10



= − −









= − −





Cách 2: Hình học

Đặt

( )

,z a bi a b= + 

Từ giả thiết

z z z z z+ + − =

22a b a b + = +

( ) ( )

1 1 2ab − + − =

( )

Tập hợp

biểu diễn

thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là

2R =

có tâm là

( )

1;1A −

( )

1;1B

( )

1; 1C −

( )

1; 1D −−

nằm chọn vẹn trong

góc phần tư (bỏ đi các cung

nhỏ).

P ME=

với

( )

5;2E

. Từ hình vẽ ta thấy

maxP HE=

2ED=+

3 5 2=+

Trang 56

Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm

min

thì ta cũng làm tương tự.

Câu 95: Cho số phức

thoả mãn

z z z z z+ + − =

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

52P z i= − −

bằng

5 3 2−

. B.

17 2−

. C.

2 3 2−

. D.

42−

Câu 96: Cho số phức

thỏa mãn

33z z z z z+ + - =

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

44P z i= + -

bằng

Câu 97: Cho số phức

thỏa mãn

28z z z z+ + − =

;

,,abc

dương. Gọi

,Mm

lần lượt là

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

33= - -P z i

. Tính

Mm+

10 34+

5 58+

10 58+

2 10

HD:

Chọn B

Từ đồ thị ta xác định được

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 1

3;3 , 4;0 , 0;2 , 4;0 , 0; 2 , 2;1E A A A A H−−

. Khi đó,

min 1

5EM EH==

max 3

A 58EM E==

Câu 98: Cho số phức

thỏa mãn

52z z z+ = +

. Gọi

,Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất của

54zi−+

. Tính

Mm−

Trang 57

57 1+

57 5+

57 6+

57 7+

Câu 99: Cho số phức

thỏa mãn

1 2 4zi − + 

. Gọi

là giá trị lớn nhất của

23zi−+

là giá trị nhỏ nhất của

22zi+−

. Tính

Mm+

Lời giải

Chọn A

Lấy các điểm

( )

2; 1I −

( ) ( )

2; 3 , 2;2AB−−

; điểm

biểu diễn số phức

Ta có

1 2 4AI = 



max

45M AN AI= = + =

;

min

5 4 4 1BI m BN BI=   = = − =

Do đó,

6Mm+=

Câu 100: Cho hai điểm

là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự

khác

và

thỏa mãn đẳng thức

0 1 0 1

z z z z+=

. Hỏi ba điểm

tạo thành tam giác gì? (

là gốc

tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. Cân tại

. B. Vuông cân tại

. C. Đều. D. Vuông tại

Lời giải

Chọn C.

Hai điểm

là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự

Theo giả thiết suy ra:

OA z=

OB z=

và

AB z z=−

Ta có:

0 1 0 1

z z z z+=

( )

2 2 2 2

0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

00z z z z z z z z z z − + =  + − + =

3 3 3 3

0 1 0 1 0 1

0z z z z z z OA OB + =  = −  =  =

Xét

( )

1 0 0 1 0 1 0 1

2z z z z z z z z− = + − = −

1 0 1 0

.z z z z − =

.AB OAOB AB OB =  =

Vậy

AB OB OA==

hay tam giác

OAB

là tam giác đều.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/57

| | Tải xuống

Preview text:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 1 − i . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN 0 có độ dài lớn nhất.  1 3  A. M (1; ) 1 . B. M  ;    2 2   . C M ( 0 ; 1 ) . D. M ( 0 ; 0 ). Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C ) ( x − )2 2 : 1
+ y = 1. Tâm I (1;0) Do N (1; − )
1 (C) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I( 0 ; 1 ) là trung
điểm của MN . Vậy M ( ) 1 ; 1
Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp 10 , khi cho một đường tròn (C) và một điểm N . Tìm
điểm M trên (C) sao cho MN đạt min, max.
Câu 2. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 5 + i
3 . M là một điểm thuộc (C) sao cho 0
MN có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài MN lớn nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C ) ( x − )2 2 : 1
+ y = 1. Tâm I( 0 ; 1 ) Do N ( ) 3 ; 5
nằm ngoài (C) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN = NI + R = 5 +1 = 6 .
Câu 3. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 5 + i
3 . M là một điểm thuộc (C) sao cho 0
MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 4 . Hướng dẫn giải Trang 1 Chọn D. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C): (x − ) 1 2 2
+ y = 1. Tâm I (1;0) Do N( ) 3 ; 5
nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi MN = NI − R = 5 −1 = 4 .
Câu 4. Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + 5 = 5; z +1− 3i = z − 3 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 2 z − z . 1 2 5 121 25 49 A. B. C. D. 2 6 6 6 Lời giải Chọn A
Gọi z = a + b i, z = a + b i (a ,b , a ,b  ) . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
Khi đó z + 5 = 5  (a + 5)2 2 + b = 25 . 1 1 1
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I ( 5 − ;0);R = 5 1
Cũng theo giả thiết, ta có:
z +1− 3i = z − 3 − 6i  (a + )2
1 + (b − 3)2 = (a − 3)2 + (b − 6)2 2 2 2 2 2 2
 8a + 6b − 35 = 0. 2 2
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng  : 8x + 6y −35 = 0 2 5.8 − − 35 15 d (I , ) = =
 d (I,)  R 2 2 + 2 8 6 5
 min z − z = d I ,  − R = . 1 2 ( ) 2
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z khi đó M.n bằng 2 3 A. 2 . B. 2 3 . C. . D. 3 . 3
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính
giá trị của biểu thức ( 2 2 M + n ) A. 28 B. 24 C. 26 D. 20 Trang 2
Câu 7. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
4z −16z +17 = 0. Trên mặt phẳng 1 3
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = (1+ 2i) z − i ? 1 2 A. M ( 2 − ; ) 1 .
B. M (3;− 2) . C. M (3;2) . D. M (2; ) 1 .
Câu 8. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z +1− i = 2 và z = iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 1 2 1 2 1 z − z ? 1 2 A. m = 2 −1. B. m = 2 2. C. m = 2.
D. m = 2 2 − 2. Lời giải Chọn D.
Do z +1− i = 2 nên điểm biểu diễn M của z thuộc đường tròn tâm I (−1; ) 1 bán kính R = 2 . 1 1 1
Do z = iz nên điểm M (điểm biểu diễn của z ) là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc 2 1 2 2 1 quay 0
90 . Suy ra z − z = M M = 2OM ngắn nhất khiOM ngắn nhất. 1 2 1 2 1 1
Ta có: min OM = R − OI = 2 − 2 . 1
Vậy: m = 2 (2 − 2) = 2 2 − 2 . Đề xuất
Do z +1− i = 2 nên điểm biểu diễn M của z thuộc đường tròn tâm I (−1; ) 1 bán kính R = 2 . 1 1 1
z − z = z − iz = 1− i z = 2 z = 2OM  2 R − OI = 2 2 − 2 = 2 2 − 2 . 1 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( )
(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)
Câu 9. Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i A. z = 4 . B. z = 2020 . C. z = 2017 . D. z = 2 Lời giải Chọn A.
- Đặt z = a + bi ( ,
a b Î ¡ ) Þ z = a - bi .
- Ta có: 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i 2 2 2 2
Û 3(a + b ) + 4034 .
b i = 48- 2016i Þ a + b = 16 - Vậy 2 2 z =
a + b = 4 . Chọn A.
Câu 11: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z + 2 . z z - 3 = 0. Trang 3 3 3 A. z = . B. z = . C. z = 1.
D. z = 3 . 2 2 2 1 1
Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: z +
(z- z)= 1+ (z + z)i là 2 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z −1 = 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z + i + z − 2 − i
A. maxT = 8 2 .
B. max T = 8 .
C. maxT = 4 2 . D. max T = 4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z = x + yi(x, y Î ¡ ), ta có: z- 1 = 2 Û x- 1+ yi = 2 Û (x- )2 2 2 2
1 + y = 2 Û x + y = 2x + ( 1 *)
Lại có: T = z + i + z − 2 − i = x + ( y + )
1 i + x − 2 + ( y − ) 1 i =
x + (y + )2 + (x- )2 + (y - )2 2 1 2 1 2 2 2 2 =
x + y + 2y + 1 + x + y - 4x- 2y + 5
Kết hợp với (*), ta được: T = 2x + 2y + 2 + 6 - 2x - 2y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được 2 2 é ù T £ ( 2 2
1 + 1 ) (ê 2x+ 2y + 2) + ( 6- 2x- 2y) ú= 4 ê ú ë û
Vậy max T = 4 .
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt 4 + iz
phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w = là một đường tròn có 1+ z bán kính bằng Trang 4 A. 34. B. 26. C. 34. D. 26. Lời giải Chọn A 4 + iz Ta có w =
 w(1+ z) = 4 + iz  z (w −i) = 4 − w  2 w −i = 4 − w 1+ z
Đặt w = x + yi ( , x y  ) 2 2 Ta có 2
x + ( y − ) = ( x − ) 2 2. 1 4 + y  ( 2 2
x + y − y + ) 2 2 2 2
1 = x − 8x +16 + y
 x + y + x − y −
=  (x + )2 + ( y − )2 2 2 8 4 14 0 4 2 = 34
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34 z + i
Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =
với z là số phức z
khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính 2M − . m 3 5
A. 2M − m = .
B. 2M − m = .
C. 2M − m = 10.
D. 2M − m = 6. 2 2 Lời giải Chọn B. i 1 3 i Ta có P = 1 +  1+  1 1 . Mặt khác: 1 +  1−  . z |z| 2 z |z| 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z = 2 − i
; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra 2 2 5 khi z = 2 .
i  2M − m = . 2
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = z + 1 + z − z + 1 . Tính giá trị của . M m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3. D. . 4 4 4
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z . Khi đó M + m bằng Trang 5 A. 4 − 7. B. 4 + 7. C. 7. D. 4 + 5.
Câu 18: Cho số phức w = x + yi ( , x y  R) t hoả điều kiện 2
w + 4 = 2 w . Đặt P = ( 2 2
8 x − y ) +12 .
Khẳng định nào sau đây đúng
A. P = − ( w − )2 2 2
B. P = − ( w − )2 2 2 .
C. P = ( w − )2 4 .
D. P = ( w − )2 2 4 . Lời giải Chọn B. 2 Ta có: 2 2 2 w +
= w  x − y + + xyi = x + yi  ( 2 2 x − y + ) 2 2 + x y = ( 2 2 4 2 4 2 2 4 4 4 x + y ) 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
 x + y + + x y + x − y =  x + y + x y − x − y + + ( 2 2 16 2 4 12 0 2 4 4
4 8 x − y ) +12 = 0
 (x − y ) + = −(x + y + x y − x − y + )  P = −(x + y − ) = −( − )2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 8 12 2 4 4 4 2 w 2 .
Hay phương án chọn là B. P = − ( w − )2 2 2 .
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì w = w .
Câu 19: Cho số phức w = x + yi ( , x y  R) t hoả điều kiện 2 w − 4 = 2 w . Đặt 2 2
P = 8(x − y ) −12 . Khẳng định nào sau đây đúng P = ( 2 2 8 x − y ) +12 2 2 2 A. 2 P = ( w − 2) B. 2 P = ( w + 2) . C. 2 P = ( w + 4)
D. P = ( w − )2 2 4 .
Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế. 
Câu 20: Cho w = sin + i cos với 0    thỏa mãn 2 w +1 = 2 w . 2 Giá trị của P = ( − )2018 2 26 w 3 là A. 2018 P = 23 . B. 2018 P = 2 − 3 . C. 2018 P = 23 . i D. 2018 P = 29 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: + = (  +i  )2 2 2 w 1 sin cos
+1=1−cos2 + isin 2  w +1 = 2 − 2cos2. Trang 6 2 2 2 w = sin  + cos  = 2 .   Từ giả thiết: 2
w +1 = 2 w  cos 2 = 0   = vì 0    . 4 2 2 2 2 2 2  w = + i  w = − i  w =1 . 2 2 2 2 Vậy 2018 P = 23 .
Câu 21: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z − i = 2 + iz , biết z − z = 1 Tính giá trị 1 2 1 2
của biểu thức: P = z + z . 1 2 3 2 A. P = . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D. 2 2
HD: Cách 1. Ta có: 2z − i = 2 + iz  2z − i = 2 + iz  (2z − i)(2z + i) = (2 + iz)(2 − i z) 2 2  4 .
z z + 2iz − 2iz − i = 4 − 2iz + 2iz − i . z z  3 . z z = 3 y 2  .
z z = 1  z = 1  z = 1  z = 1 và z = 1 1 2 2 Chú ý: 2 .
a a = a  2z − i = (2z − i)(2z − i) = (2z − i)(2z + i)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , z là đường tròn tâm O 1 2 bán kính O x R =1.
Gọi M (z ), M (z )  OM = OM = 1 1 1 2 2 1 2
Ta có: z − z = OM − OM = M M = 1 OM M đều 1 2 1 2 2 1 1 2
Mà z + z = OM + OM = OM = OM với M là điểm thỏa 1 2 1 2
mãn OM MM là hình thoi cạnh 1  OM = 3  P = 3 . 1 2
Cách 2. Đặt z = x + yi, ( ,
x y  ) , ta có 2z −i = 2x + (2y −1)i và 2 + iz = 2 − y + xi . Trang 7 Khi đó:  z =1  1 2 2 2 2 2 2
2z − i = 2 + iz 
4x + (2 y −1) = ( y − 2) + x  x + y = 1  z = 1    z =1  2 2 2 2 2 2
Sử dụng công thức z + z
+ z − z = 2 z + z
 z + z = 3  z + z = 3 . Chọn 1 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 2 D.
Câu 22: Gọi z ; z ; z là các nghiệm của phương trình 3 2 iz −2z ( + 1 i − ) z i
+ =0 . Biết z là số thuần ảo. 1 2 3 1
Đặt P= z −z , hãy chọn khẳng định đúng? 2 3 A. 4P 5  . B. 2P 3  .
C. 3P4 . D. 1P 2  . Lời giải Chọn B.  z=−i
Biến đổi phương trình 3 2 iz −2z ( + 1 i − ) z i
+ =0  (i+z)( 2 iz −z+ ) 1 =0   . 2 iz −z 1 + =0(*)
Như vậy: z ; z là các nghiệm của phương trình (*). 2 3 2 2   2 1 1
P = z −z = z −z
= z +z −4z z = −4. = 17 . 2 3 ( 2 3)2 ( 2 3)2 2 3    i  i Vậy 4 P = 17 .
Câu 23: Cho hai số phức 
z ,  thỏa mãn z −1 = z + 3 − 2i ;
= z + m +i với m là tham số. Giá
trị của m để ta luôn có   2 5 là: m  7 m  7 A.  . B.  . C. 3 −  m  7 .
D. 3  m  7 . m  3 m  −3 Lời giải Chọn B.
Đặt z = a + i ,
b (a,b ) có biểu diễn hình học là điểm M ( ; x y) 2 2 2
z −1 = z + 3 − 2i  x − 1 + iy = x + 3 + ( y − 2)i  ( x − ) 2 1 + y = (x + ) 3 + ( y − 2)  2
− x +1= 6x + 9 − 4y + 4  2x − y + 3 = 0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2x − y + 3 = 0 .
Ta có:   2 5  z + m + i  2 5  x + m + + ( y + ) 1 i  2 5
 (x + m)2 + ( y + )2 1
 2 5  MI  2 5 với I (− ; m − ) 1 . Trang 8
Mà ta có MI  d (I,) − m +
Nên MI  2 5  d ( I, )  2 4 2 5   2 5  2 − m + 4 10 5 −2m + 4  10   −  m 3    . −2m + 4  −10 m  7
Câu 24: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn ( z + 1+ i)(z −i) + 3i = 9 và z  2 . Tính
P = a + b . A. −3 . B. 1 − . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn C.
z = a + bi  z = a − bi
(z +1+i)(z −i)+3i = 9 (a+bi+1+i)(a−bi−i)+3i = 9 2 2
 a + b + 2b + a +1−(b + ) 1 i = 9 − 3i 2 2
a + b + 2b + a +1 = 9 b  = 2 b  = 2 b  = 2 Ta có:        . b  + 1 = 3 2 a + a = 0
a = 0 a = 1 −
z = 2i  z = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán. 1 1 z = 1 − + 2i  z = 2 2
2 + 1 = 5 thỏa yêu cầu bài toán. 2 2
Vậy P = a + b = 1 .
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 2
nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Khi đó modun của số phức w = M + mi A. 2 314 . B. 1258 . C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B. Giả sử 2 2
z = x + yi ( ,
x y  R) ta có z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4) = 5
Ta có P = 4x + 2y + 3  4( x − )
3 + 2( y − 4) = P − 23 2 2 2 Ta có 4
 ( x − 3) + 2( y − 4)  20  
(x −3) + ( y − 4)  =100   Suy ra 1
− 0  P − 23 10 13  P  33 suy ra M = 33,m =13 do đó ta được w = 33+13i vậy w = 1258 .
Câu 26: Biết số phức z = x + yi , ( , x y 
) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + 4−3i và biểu
thức P = z +1− i + z − 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = x + 2y . 61 253 41 18 A. P = − . B. P = − . C. P = − . D. P = − . 10 50 5 5 Trang 9 Lời giải Chọn A .
Theo giả thiết z = z + 4 − 3i  x + yi = ( x + 4) − ( y + 3)i
 x + y = (x + )2 + ( y + )2 2 2 4 3 2 2 2 2
 x + y = x + 8x +16 + y + 6y + 9
8x +6y + 25 = 0 . 2 2 2 2
Ta có P = ( x + ) 1 + ( y − ) 1
+ (x − 2) + ( y + 3) Xét điểm E ( 1 − ; ) 1 ; F (2;− ) 3 và M ( ;
x y) . Khi đó, P = ME + MF .
Bài toán trở thành tìm điểm M  :8x + 6y + 25 = 0 sao cho ME + MF đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì (8x +8y + 25).(8x +8y + 25)  0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường E E F F thẳng  .
Gọi E là điểm đối xứng với E qua 
Đường thẳng EE đi qua điểm E (1;− ) 1 và có VTPT n = = −  u
(3; 4 nên có phương trình EE ) 3( x + ) 1 − 4( y − )
1 = 0  3x − 4y + 7 = 0
Gọi H là giao điểm của EE và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  71 x = − 3
 x − 4y = −7     25 71 19   suy ra H − ; −   8
 x + 6y = −25 19   25 50  y = −  50  117 x = −  E  25
E ¢ đối xứng với E qua H nên  . 44 y = − E  25 Ta có ME + MF = ME + ¢ MF ³ E F ¢ .
Dấu bằng xảy ra  M là giao điểm của E F ¢ và đường thẳng  Đường thẳng E F
 đi qua điểm F (2;− ) 3 và có VTPT n =  (31;167 có phương trình EE ) 3 (
1 x − 2) +167( y + )
3 = 0  31x +167y + 439 = 0 Trang 10  67 x = − 31
 x +167 y = 439 −  50
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình    8  x + 6y = 25 − 119 y = −  50 61
Vậy P = x + 2 y = − . 10
Câu 27: Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình z −1+ 2i = z +1+ 2i thỏa mãn 1 2 z − z =
2 . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w − 3 − 2i = 2 . Tìm GTNN của biểu thức 1 2
P = w − z + w − z . 1 2
A. 1+ 3 B. 2 3 C. 2 D. 6 . Lời giải. Chọn D .
Giả sử z = x + yi ( ,
x y  R) ta có z −1+ 2i = z +1+ 2i  x = 0 suy ra tập hợp điểm biểu diễn
z , z là trục tung. 1 2 Giả sử ,
A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z , z , ta có z − z = 2  AB = 2 . 1 2 1 2
Giả sử w = a + bi ( ,
a b  R) và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có w − 3− 2i = 2 2 2
 (a −3) + (b − 2) = 4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
I (3;2) bán kính R = 2 .
Ta có P = MA+ MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ 6 6
nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA = MB = , vậy MinP = 2. = 6 2 2 Trang 11
Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn 2
z + z +1 = 0. Giá trị của biểu thức 2 3 4  1   1   1  2 3 4 P = 2 z + + 3 z + + 4 z +       2 3 4  z   z   z  A. 30 . B.14. C. 8 . D. 28 . Lời giải: Chọn A
Dễ thấy rằng z = 0 không thoả mãn 2
z + z +1 = 0, do đó ta có 1 2 z + z +1 = 1 0  z + = 1 − 2  z + = 1 − z 2 z 3     2   Ta cũng có 1 1 3 1 1 1 1 z + = z + − 3 . z z + = 2 và 4 z + 2 = z + − 2 = −     1   3 z  z  z  z  4 z 2  z  2 3 4       Vậy 1 1 1 2 3 4 P = 2 z + + 3 z + + 4 z + = 0 3       2 3 4  z   z   z  z z M M
Câu 29: Cho hai số phức 1 , 2 có điểm biểu diễn lần lượt là 1 ,
2 cùng thuộc đường tròn có phương trình 2 2
x + y = 1 và z − z = 1. Tính giá trị biểu thức P = z + z . 1 2 1 2 3 2 A . P = .
B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D.
Cách 1: Do M , M cùng thuộc đường tròn có phương trình 2 2
x + y = 1 nên z = z = 1. 1 2 1 2
Lại có: z − z = 2 1  z − z = 1  (z − z z − z =1  (z − z z − z =1 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 1 2  2 2
z .z − z .z + z .z
+ z .z =1  z + z − z .z + z .z =1  z .z + z .z =1. 1 2 ( 1 2 1 2) 1 1 ( 1 2 1 2) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 P = z + z = (z + z z + z
= (z + z z + z = z + z + z .z + z .z = 3. 1 2 ( 1 2 1 2) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 Vậy P = 3 .
Cách 2: Do M , M cùng thuộc đường tròn (T ) tâm O(0;0) , bán kính R =1 và 1 2
z − z = 1 nên M M = 1. Suy ra O
 M M là tam giác đều cạnh bằng 1. 1 2 1 2 1 2 Trang 12
P = z + z = OM + OM = 3 2OH = 2.OH = 2.
= 3 ( Trong đó H là trung điểm 1 2 1 2 2 M M ) 1 2 z −1 1
Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z + 3i 2
P = z + i + 2 z − 4 + 7i A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A.
Gọi z = x + yi , ( , x y  ). z −1 1 2 2 Ta có = 
z − = z + i  (x − ) 2 2 2 1 + y = x + ( y + 3) z + 2 1 3 3i 2 2 2
 x + y − 4x − 6y − 7 = 0 . 2 2 2
Lại có P = z + i + 2 z − 4 + 7i 2 = x + ( y + ) 1
+ 2 (x − 4) + ( y − 7)
= 4x +8y +8 + 2 4
− x −8y + 72 . Mặt khác ( x + y + + − x − y + )2 4 8 8 2 4 8 72
 5.80  4x +8y +8 + 2 4
− x −8y + 72  20 Suy ra P  20 .
Câu 31: Cho số phức z = a + bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn z = z − 3 + 4i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của P = . a b là? 3 A. . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 Lời giải Chọn D. Ta có: 2 2 25 − 8b
a + bi = a − bi − 3 + 4i 2 2
 a + b = (a − 3) + (b − 4)  6a +8b − 25 = 0  a = 6
Mô đun của số phức z là: Trang 13 2  25 − 8b  (b − )2 100 2 + 225 2 2 15 z = a + b 2 = + b   =   6  36 6 3 Số phức z
 b = 2  a =  P = 3 min 2
Câu 32: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z = 1 − + i . B. z = 2 − + 2i .
C. z = 2 + 2i . D. 3 + 2i . Lời giải Chọn C.
Gọi số phức z có dạng z = a + bi . z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i
 a − 2 + (b − 4)i = a + (b − 2)i
 (a − 2)2 + (b − 4)2 = a + (b − 2)2 2 2 2 2 2
 a − 4a + 4 + b −8b +16 = a + b − 4b + 4  4a + 4b =16  a + b = 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
= (a +b)2  ( 2 2 + )( 2 2 a + b ) 2 2 2 16 1 1
 z = a +b  8 z  2 2 a b  = Dấu = xảy ra  1 1
 a = b = 2  z = 2 + 2i a +b = 4
Câu 33: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng A. 3 2 B. 2 . C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi ( ,
x y  ) . Khi đó z − 2 − 4i = z − 2i  x + yi − 2 − 4i = x + yi − 2i
 (x − )2 + ( y − )2 = x + ( y − )2 2 2 4 2  4
− x − 4y +16 = 0  x + y − 4 = 0.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x + y − 4 = 0. Trang 14 z = d (O ) 4 ; = = 2 2 . min 2
Câu 34: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + z = 5 và z − z =1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 1 2
P = z + z là: 1 2 26 1 A. 26. B. . C. 9. D. − . 2 2 Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2
Từ giả thiết : z + z = 5  + = 5  = 1 2 OM ON 5 OI 2
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .
z − z = 1  OM − ON = 1  MN = 1. 1 2 2 2 2 OM + ON MN 2 MN Ta có 2 OI = − 2 2 2
 OM + ON = 2OI + = 13 2 4 2
P = z + z = OM + ON 2  P  ( 2 2 + )( 2 2 1 1
OM + ON ) = 26 . Vậy P = 26. 1 2 max
Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác. Trang 15
Câu 35: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + z = 5 và z − z =1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 1 2 1 2 1 2
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + z . Khi đó mô đun của số phức 1 2 M + . m i là : A. 76 . B. 76 . C. 2 10 . D. 2 11 . Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2
Từ giả thiết : z + z = 6  + = 
= với I là trung điểm của đoạn thẳng MN 1 2 OM ON 6 OI 3 .
z − z = 2  OM − ON = 2  MN = 2 . 1 2 2 2 2 OM + ON MN 2 MN Ta có 2 OI = − 2 2 2
 OM + ON = 2OI + = 20. 2 4 2
P = z + z = OM + ON 2  P  ( 2 2 + )( 2 2 1 1 OM + ON ) 1 2 = 40. Vậy a m x P = 2 0 1 = M .
P = z + z = OM + ON  OM + ON = 6 . 1 2
Vậy min P = 6 = m . Suy ra M + .
m i = 40 + 36 = 76. 5
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn . i z + 3 =
. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2
P = 2z +1− 4i + z −1− 5i là: 5 A. 2 5 . B. 3. C. 3 5 . D. . 2 Lời giải Chọn C. Ta gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z . Trang 16 5 5  5  . i z + 3 =
 x + ( y −3)2 2 = . Suy ra M ( ;
x y)  C  I (0;3); R =    2 2 2   Khi đó: 1
P = 2z +1− 4i + z −1− 5i = 2 z +
− 2i + z −1−5i = 2 MA + MB , 2  1 
với A − ; 2 ; B   (1;5)  2   1  Ta có: IA = − ; 1 − 
 ; IB = (1;2) suy ra IB = 2. − IA.  2    Theo đị 5 3 5 5 nh lý Stewart ta có: 2 2 2 5MA + MB =  MI + . 5    2 2 2   2 2
 2MA + MB =15
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ 1 MI = MA+ 1 AB = MA +
AB = MA + (MB − 2 1
MA) = MA + MB 3 3 3 3 Suy ra: 4 1 4 4 1 4 2 2 2 MI = MA + MB + M . A M . B cos (M , A MB) 2 2
= MA + MB + M . A M . B cos AMB 9 9 9 9 9 9 2 2 2 4 1 4
 MA + MB − AB  2 2 = 2 1 2 MA + MB + M . A MB   2 2 2
= MA + MB − AB 9 9 9 2.M . A MB   3 3 9 2 2  2 2MA + MB 2 2
= 3MI + AB =15 ) 3 2
Vậy P = 2 MA + MB = ( 2. 2.MA+ MB)  ( 2 + )( 2 2 2 1
2MA + MB ) = 45 = 3 5.
Câu 37: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z − i = 2 + iz , biết z − z = 1. Tính giá trị của biểu 1 2 1 2
thức P = z + z 1 2 3 2 A. P = . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D. Trang 17 Cách 1.
+ Đặt z = x + yi , , x y 
, ta có 2z − i = 2 + iz  2x + (2 y − )
1 i = (2 − y) + xi
x + ( y − )2 = ( − y)2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2
+ x  4x + 4y − 4y +1 = 4 − 4y + y + x 2 2
 x + y =1 z =1 z = z =1 1 2 + Sử dụng công thức: 2 2 2 2 z
 , z  ta có z + z + z − z = 2 z + z 1 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 Suy ra P = 3 . Cách 2.
+ Biến đổi: iz + 2 = i
− (iz + 2) = z − 2i 2 2
Ta có 2z − i = z − 2i  2z − i = z − 2i  z = 1  z = z = 1 . 1 2
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun 2 2 2 mz + nz
= m z + 2mnz z cos (z , z ) 2 2 + n z 1 2 1 1 2 1 2 2
Trong đó (z , z là góc M
 ON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z trên 1 2 ) 1 2 mặt phẳng phức 2 2 2 1
z − z = 1  z − z
=1 z + z − 2 z . z .cos z , z =1 cos z , z = . 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 2 2 Vậy 2 P = z + z
=1 z + z + 2 z . z .cos z , z = 3  P = 3 . 1 2 1 2 1 2 ( 1 2)
Câu 38: Cho số phức z , z thỏa mãn z + 2 − i = 2 z −1− i và z + z = 1+ i . Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 2 2 P = z + z . 1 2
A. P = 2 . B. P =1.
C. P = 4 . D. P = 9 . Lời giải ChọnC
Ta có z + 2 − i = 2 z −1− i mà z + z = 1+ i 1 1 1 2
 z + 2 −i = 2 z 1 2 2
 4 z = (z + 2−i)(z + 2+i) 2
= z + 2 −i z + 2 + i z + 5. (1) 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 Tương tự 2 2 ta có 4 z
= z + 2 − i z + 2 + i z + 5. 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Cộng (1) và (2) ta có Trang 18
4P = P + (2 − i) z + z + 2 + i z + z +10 1 2 ( )( 1 2)
= P +(2−i)(1−i)+(2+i)(1+i)+10 = P +12  P = 4.
Câu 39: Cho hai số thực ;
b c (c  0) . Kí hiệu ;
A B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai
nghiệm của phương trình 2
z + 2bz + c = 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ). A. c = . b B. 2 c = b . C. 2 c = 2b . D. 2 b = 2 . c Lời giải Chọn C. Ta có ' 2  = b −c Nếu ' 2
 = b −c  0  phương trình có hai nghiệm Z = b −   ' (Loại vì , O , A B thẳng 1,2 hàng) Nếu ' 2
 = b −c = 0  phương trình có nghiệm kép (Loại) Nếu ' 2
 = b −c  0  Phương trình có hai nghiệm 2 2 Z = b
−  i b − c = −b  i −(b − c) 1,2
Vậy hai điểm biểu diễn là 2 ( A − ; b b − c ) và 2 B(− ;
b − b − c )
Tam giác OAB cân tại O .Vậy để tam giác OAB vuông  O . A OB = 0 2 2
 b − b − c = 0 2  c = 2b .
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z − 2z = 7
− + 3i + z . Tính z ? 13 25 A. 3. B. . C. . D. 5 . 4 4 Lời giải Chọn D.
Giả sử z = a + bi ( , a b  ) , ta có: z − 2z = 7
− + 3i + z  z − 2(x − yi) = 7
− + 3i + x + yi 2
 z − 2x = x − 7
 x +9 = 3x −7(*)      2y = 3+ y  y = 3  7 ( )  x  *   3  x = 4 2 2
x +9 = 9x −42+7 Vậy z = 5 . Trang 19
 z − 3− 2i 1 
Câu 41: Hcho hai số phức z, w thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu  min
w +1+ 2i  w − 2 − i 
thức P = z − w . 3 2 − 2 5 2 − 2 3 2 − 2 A. P = . B. P = 2 +1. C. P = . D. P = . min 2 min min 2 min 2 Lời giải Chọn C. Cách 1 :
Giả sử z = a + bi ( ,
a b  ) , w = x + yi ( , x y  ). 2 2
z − 3 − 2i  1  (a − 3) + (b − 2)  1 (1) 2 2 2 2
w +1+ 2i  w − 2 − i  ( x + )
1 + ( y + 2)  ( x − 2) + ( y − ) 1 .
Suy ra x + y = 0. = −
= ( − )2 + ( − )2 = ( − )2 + ( + )2 P z w a x b y a x b x .
Từ (1) ta có I (3;2) , bán kính r =1. Gọi H là hình chiếu của I trên d : y = −x . x = 3 + t
Đường thẳng HI có PTTS  .  y = 2 + t
M  HI  M (3+ t;2 + t )  1 t =  2 M (C) 2  2t =1    1 t = −  2  1 1  5 + 2 t = 2  M 3 + ; 2 +   , MH =  2 2  2  1 1  5 − 2
t = 3  M 3 − ; 2 −   , MH =  2 2  2 5 2 − 2 Vậy P = . min 2 Trang 20 Cách 2 :
z − 3 − 2i  1 điều này cho thấy M ( z) đang nằm trên hình tròn tâm I (3;2) bán kính bằng 1.
w +1+ 2i  w − 2 − i điều này cho thấy N (w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường
thẳng  là trung trực của đoạn AB với A( 1 − ; 2 − ), B(2; ) 1 .
 : x + y = 0. (Minh hoạ như hình vẽ) y y M 2 I 2 M I N B 1 1 -1 x -1 x O 2 3 O 2 3 N A -2 -2 Δ
P = z − w = MN. 3 + 2 5 2 − 2 P
= d I,  − R = −1 = . min ( ) 2 2
Câu 42: Xét các số phức z = a + bi,( ,
a b ) thỏa mãn z − 3 − 2i = 2. Tính a + b biết biểu thức
S = z +1− 2i + 2 z − 2 − 5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4 + 3 . B. 2 + 3 . C. 4 − 3 . D. 3. Lời giải: Chọn A B Giả thiết 2 2
z − 3 − 2i = 2  (T ) : (a − 3) + (b − 2) = 4 5 M Gọi ( A 1 − ;2), (2 B ;5), M ( ; a )
b lần lượt là các điểm biểu I A J
diễn của các số phức z = 1
− + 2i, z = 2 + 5i, z = a + bi 1 2 3
Bài toán trở thành: Tìm M (T) sao cho biểu thức -1 O 2
S = MA + 2MB nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 MA =
(a +1) + (b − 2) =
a + b + 2a − 4b + 5 Trang 21 2 2
= 2 a +b − 4a − 4b +8 2 2
= 2 (a − 2) + (b − 2) = 2MC với C(2;2)
Ta có MA+ 2MB = 2(MB + MC)  2BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi ,
B M, C theo thứ tự đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng BC : x = 2
M là giao của của BC và (T )  M (2; 2 + 3)  a+ b = 4 + 3 .
Câu 43: Giả sử z , z là hai nghiệm phức của phương trình (2 + i) z z − (1− 2i) z = 1+ 3i và 1 2
z − z = 1. Tính M = 2z + 3z 1 2 1 2 A. M = 19 . B. M = 25 . C. M = 5 . D. M = 19 . Lời giải Chọn D.
Từ giả thiết ta có: (2 + i) z z − (1− 2i) z = 1+ 3i  ((2 + i) z − (1− 2i)) z = 1+ 3i
 (2 + i) z − (1− 2i) z = 1+ 3i  (2 z − )
1 + ( z + 2)i z = 1+ 3i
 ( z − )2 +( z + )2 2 1 2 z = 1+ 3i .
Bình phương, giải phương trình tìm được z =1, Gọi A,B lần lượt là hai điểm biểu diễn của
hai số phức z , z trong mặt phẳng phức thì suy ra A, B nằm trên đường tròn tâm O , bán kính 1 2 1 và A B=1,
do đó tam giác OAB là tam giác đều.  
Cách trắc nghiệm : chọn ( ) 1 3 A 1; 0 ; B  ;  
 thỏa mãn bài toán, nên 2 2   2 2  3   3 3 
M = 2z + 3z = 2 + +     = 19 1 2    2  2  
Cách tự luận: M = 2z + 3z = 2OA+3OB = OA +  OB = OC 1 2 Trang 22
Áp dụng định lý hàm số cos tìm được M = OC = 19 z + z
Câu 44:Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau z +1 = + 3 , gọi số phức 2
z = a + bi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Tính S = 2a + b . A. 0 . B. 4 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn B. z + z 2 2 Ta có: z + = +  (a + ) 2 1 3 1 + b = (a + 3) 2  b = 4a +8 . 2
Từ đó: z = a + b = a + a + = (a + )2 2 2 2 4 8 2 + 4  2 .
Vậy min z = 2 đạt được khi a = 2 − ;b = 0. Khi đó: S = 4 − .
Câu 45: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là: A. z = 2 − + 2 .i B. z = 2 + 2 . i C. z = 2 − 2 . i D. z = 2 − − 2 .i Lời giải Chọn B.
Đặt z = a +b , i ( , a b ).
Ta có z − 2 − 4i = z − 2i suy ra a + b = 4. (a +b)2 Ta có: 2 2
z = a + b  = 2 2 . 2 a + b = 4 Dấu " = " xảy ra khi   a = b = 2 . a = b Vậy z = 2 + 2 . i Trang 23
Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + (2 − i) z là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 20. B. R = 7. C. R = 2 5. D. R = 7. Lời giải Chọn C.
Ta có: w = 3 − 2i + (2 −i) z = 3− 7i + (2 −i)( z −1+ 2i)
 w −3+ 7i = (2−i)(z −1+ 2i)
 w − 3+ 7i = (2 −i)(z −1+ 2i) = 2 −i z −1+ 2i = 2 5
 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3− 2i +(2−i) z là một đường tròn bán kính R = 2 5.
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z −1− i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 + i + (1− i) z là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 2 2. C. R = 2. D. R = 2.
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + (2 − i) z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó. A. I (3; 7 − ). B. I (2;− ) 1 . C. I (3; 2 − ). D. I (1; 2 − ).
Câu 49: Trong các số phức z thỏa mãn z +1− 5i = z + 3 − i , giả sử số phức có mô đun nhỏ
nhất có dạng z = a + bi . Khi đó a S = bằng bao nhiêu? b 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 2 Lời giải Chọn B Ta có
z +1− 5i = z + 3 − i  a + bi +1− 5i = a − bi + 3− i
 (a + )2 + (b − )2 = (a + )2 + (b + )2 1 5 3 1
 2a +1−10b + 25 = 6a + 9 + 2b +1  4a +12b −16 = 0  a +3b − 4 = 0 .
Vậy quỹ tích các điểm M ( ;
x y) biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 3y − 4 = 0(d ) . Trang 24
Có z = OM , khi đó số phức z có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất tức M là
hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng (d ).
Phương trình đường thẳng OM là: 3x − y = 0 (    2 6 a 1 d ) 2 6 OM = M ; 
  z = + i = a +bi  = .  5 5  5 5 b 3
Câu 50: Cho số phức z = a + bi ( , a b 
) thoả mãn z + 7 + i − z (2 + i) = 0 và z  3.Tính P = a + b . 1 5 A. P = 5 . B. P = − . C. P = 7 . D. P = . 2 2 Lời giải Chọn B
Gọi z = a + bi , a,b  .
 a +bi +7 +i − a +bi (2+i) = 0 2 2 2 2
 a +bi +7 + i − 2 a + b −i a +b = 0 2 2  a − a + b + + ( 2 2 2 7
1 + b − a + b )i = 0 2 2
a − 2 a +b +7 = 0 2 2  − + + = 2 2   a 2 a b 7 0  − + + =    a 2 a b 7 0   2 2 1
 + b − a + b = 0 2 2
2 + 2b − 2 a + b = 0
a = 2b − 5 b  + 1  0  3 2
 5b − 20b + 25 = b +1  b  = 4  =  b  2
 4b − 22b + 24 = 0     2 .
a = 2b − 5  a = 3  a = 2b − 5  a = 2 − 3
Ta có z = 3 + 4i  z = 5 ( loại); z = 2 − + 25 i  z = . Vậy P = a + 1 b = − . 2 4 2
Câu 51: Gọi T là tổng phần thực và phần ảo của số phức 2 3 2018
w = i + 2i + 3i + .... + 2018i . Tính giá trị của T ? A. 0 . B. 1 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn.B. Cách 1: Ta có 2 3 4 2017 2018
w = i + 2i + 3i + 4i + ... + 2017i + 2018i = ( 4 8 2016
4i + 8i + ... + 2016i )+( 5 9 2017
i + 5i + 9i + ... + 2017i )+ + ( 2 6 10 2014 2018
2i + 6i +10i + ... + 2014i + 2018i )+( 3 7 11 2015
3i + 7i +11i + ... + 2015i ) Trang 25
= (4 + 8 +...+ 2016) + i(i + 5 + 9 +...+ 2017) + 2
+ i (2 + 6 +10 +...+ 2014 + 2018) 3
+ i (3+ 7 +11+...+ 2015) 504 = (4n) 505
+ i(4n−3) 505 − (4n−2) 504 −i(4n− ) 1 n 1 = n 1 = n 1 = n 1 = 504  (    = 4n) 505 − (4n − 2) 505 + (4n −3) 504 − (4n −    ) 1 i   n 1= n 1 =   n 1= n 1 =  = 1
− 010+1009 .i Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 1 − . Cách 2:
Phân tích như Cách 1 nhưng sử dụng cấp số cộng để tính các tổng trên. Cách 3: Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x xf ( x) 2 3 2017 2018
= x + 2x + 3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − )  xf (x) 1 = . x 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i − ) 1 w = . i ( i − )2 1 2
− 019i + 2019 + i +1 = i = 1 − 010 +1009 .i 2 − i
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 1 − . Câu phát triển:.
Câu 52: Gọi M ( ;
a b) là điểm biểu diễn của số phức 2 3 2017 2018 w = i
− + 2i −3i +....− 2017i + 2018i
trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦. Tính T = 3
− a + b? A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020 Lời giải Chọn A Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x Trang 26 xf ( x) 2 3 2017 2018
= x + 2x + 3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = − ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − )  xf (x) 1 = . x 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i ( i − − ) 1 − ( 2019 i − − ) 1 2018 2019i (i + ) 1 + ( 2019 i + ) 1 w = − . i = ( . i 2 i − − )2 1 (i + ) 1
(i )504 i (i+ )+( i )504 4 2 4 3 2019 1 i + ) 1 −2019(i + ) 1 + (−i + ) = 1 . i = 2i 2 2 − 020i − 2018 = = 1
− 009 −1010 .i  a = 1 − 009;b = 1 − 010 T = 3
− a + b = 2017 . 2
Câu 53: Gọi T là tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 4 2018 2019
w = 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i .
Tính giá trị của T ? A. 0 . B. 1 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn. A. Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x 2 x f ( x) 2 3 4 2018 2019
= x + 2x +3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x −1 2 2 )
 x f (x) = x . 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i −1 2 3 4 2018 2019 2 )
i + 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i = i . = − ( i − ) 1009 1010i 2 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i −1 2 3 4 2018 2019 2 )
i + 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i = i . = − ( i − ) 1009 1010i 2 1 Trang 27 2
w = 1009 −1010i − i = 1010 −1010i
Câu 54: Cho các số phức z , z thỏa mãn z = 6, z = 2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các 1 2 1 2
số phức z , iz . Biết rằng MON = 60 . Tính 2 2
T = z + 9z . 1 2 1 2 A. T = 18 . B. T = 24 3 . C. T = 36 2 . D. T = 36 3 . Lời giải Chọn D
Ta có z = 6  OM = 6 ; z = 2  iz = 2  ON = 2 . 1 2 2 1 1 Gọi z =
z và K là điểm biểu diễn số phức z  OK =
OM  KON = 60 và OK = 2 . 1 3 3 2 3
Từ đó suy ra tam giác OKN đều cạnh bằng 2  NK = 2 và OI =
= 3 , với I là trung 2 điểm KN . Khi đó 2 2
T = z + 9z = 9z + 9z = 9 z − iz
= 9 (z −3iz z + 3iz = 9 z −iz . z +iz 1 2 ) ( 1 2 ) 2 ( 2 )2 2 2 2 1 2 2 2
Do đó: T =18.NK.OI =18.2. 3 = 36 3 . M K I O N
Câu 55: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b R) thỏa mãn 2018 z
= z . Hỏi có bao nhiêu cặp ( ; a b) thỏa mãn đề bài: A. 2021. B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Lời giải: Chọn D. Trang 28  z = 0 2018 Ta có 2018 z = z  z = z   .  z =1 
+ Nếu z = 0  z = 0 . 1
+ Nếu z = 1, ta có 2018 2018 2019 z = z  z =  z =1. z Vì phương trình 2019 z
= 1 có 2019 nghiệm nên có tất cả 2020 số phức z thỏa mãn. Vậy có 2020 cặp ( ;
a b) thỏa mãn đề bài.
Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn: z −1− 3i = 13 . Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và 2 2
lớn nhất của biểu thức P = z + 2 − z − 3i . Tính A = m+ . M A. A = 10.
B. A = 25.
C. A = 34.
D. A = 40. Lời giải Chọn đáp án C
Đặt z = x + yi ( ; x y  R)
Ta có z−1− 3i = 13  x − 2 + y − 2 ( 1) ( 3) = 13
P = 4x + 6y − 5  P − = x − + y −  2 + 2 − 2 + y− 2 17 4( 1) 6( 3) (4 6 )[(x 1) ( 3) ]
Vậy P −17  26  9
−  P  43  m = 9
− ,M = 43  A = 34.
Câu 57: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z . Khi đó M + m bằng A. 4 − 7. B. 4 + 7. C. 7. D. 4 + 5. Lời giải Chọn B
Gọi z = x + yi với ; x y  .
Ta có 8 = z − 3 + z + 3  z − 3 + z + 3 = 2z  z  4 .
Do đó M = max z = 4. 2 2 Mà z −
+ z + =  x − + yi + x + + yi =  (x − ) 2 + y + (x + ) 2 3 3 8 3 3 8 3 3 + y = 8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có =
(x− )2 + y + (x+ )2 + y  ( + ) (x− )2 + y +(x+ )2 2 2 2 2 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3 + y    Trang 29   ( 2 2 x + y + )  ( 2 2 8 2 2 2 18
2 2x + 2 y +18)  64 2 2 2 2
 x + y  7  x + y  7  z  7 .
Do đó M = min z = 7 .
Vậy M + m = 4 + 7 .
Câu 58: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của z −1+ i . Tính P = m + M . 5 2 + 2 73
A. P = 13 + 73 . B. P = . 2 5 2 + 73
C. P = 5 2 + 2 73 . D. P = . 2 Lời giải Chọn B .
Cách 1. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của z . Các điểm A( 2 − ; )
1 , B (4,7) , C (1;− ) 1 .
Ta có z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  MA + MB = 6 2 , mà AB = 6 2  MA + MB = AB .
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB : y = x +3 , với x  2 − ;4. Ta có 2
z − + i = MC  z − + i = MC = ( x − )2 + ( y + )2 = ( x − )2 + ( x + )2 2 2 1 1 1 1 1 4 = 2x + 6x +17 Đặt f (x) 2
= 2x + 6x +17 , x 2 − ;4.
f ( x) = 4x + 6 , f ( x) 3
= 0  x = − ( nhận ) 2  3  25 Ta có f ( 2 − ) =13, f − =   , f (4) = 73.  2  2  
Vậy Maxf ( x) = f (4) = 73, Minf ( x) 3 25 = f − =   .  2  2 Trang 30  5 2 5 2 + 2 73 M = 73 , m = .  P = . 2 2
Cách 2.Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của z . Các điểm A( 2 − ; )
1 , B (4,7) , C (1;− ) 1 .
Ta có z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  MA + MB = 6 2 , mà AB = 6 2  MA + MB = AB
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB : y = x +3 , với x  2 − ;4. 5 CM = d C; AB = . min ( ) 2
CB = 73;CA = 13  CM = CB = 73 . max 5 2 73 + 5 2 Vậy P = 73 + = . 2 2
Câu 59: Biết phương trình: 2 2018
z + 2017.2018z + 2
= 0 có 2 nghiệm z , z . Tính S = z + z . 1 2 1 2 A. 2018 S = 2 . B. 2019 S = 2 . C. 1009 S = 2 . D. 1010 S = 2 . Lời giải Chọn D 2 2018
z + 2017.2018z + 2
= 0 = z + z = 2017.2018 và 2018 z z = 2 là số thực. 1 2 1 2
= z = z = z = z = z . 2 1 2 1 1 Mà ta có: 2018 z z = 2 2018 = z .z = 2 2 2018 = z = 2 1009 = z = 2 . 1 2 1 1 1 1 Vậy ta có: 1010
S = z + z = 2 z = 2 . 1 2 1 Trang 31
Câu 60: Cho hai số thực b và c(c  0) . Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
OAB là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. 2 b = 2c . B. 2 c = 2b .
C. b = c . D. 2 b = c . Lời giải Chọn B. Ta có: 2
z + 2bz + c = 0. Vì z + z = 2
− b và z z = c là số thực. 1 2 1 2
 z = z  z = z = z . Vậy ta có: x = b và 2 2
x + y = c . 2 1 2 1 1 1 1 2
Ta có: z = x + y i = A( x ; y ; z = x + y i = B( x ; y . 2 2 ) 1 1 ) 1 1 1 1 2 2
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = O .
AOB = 0  x x + y y = 0 2 2  x − y = 0 1 2 1 2 1 1 2 2  x = y 2  c = 2b . 1 1 Câu 61:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2
4z + 4(m−1)z+ m − 3m = 0 có hai nghiệm phức z ,z thỏa mãn z + z = 2 1 2 1 2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C. Ta có: 2 2
4z + 4(m−1)z+ m − 3m = 0 Vì z + z = 1− m và 2
z z = m − 3m là số thực. 1 2 1 2  1− m
z = z = z = z = z . Vậy ta có: x = và 2 2 2
x + y = m − 3m . 2 1 2 1 1 1 1 1 2
Ta có: z + z = 2 = z + z = 2  z = 1 2 2 = x + y = 1 1 2 1 1 1 1 1 m = −1 2
 m −3m = 4   .  m = 4
Câu 62: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b  , a  0) thỏa .
z z −12 z + ( z − z ) =13−10i . Tính S = a + b . A. S = 17 − . B. S = 5. C. S = 7 . D. S = 17 . Lời giải Chọn C. Ta có: .
z z −12 z + ( z − z ) =13−10i 2 2 2 2
 a +b −12 a + b + 2bi =13−10i Trang 32  2  a + 25 =13 2 2 2 2  
a + b −12 a + b = 13 2 2    + − + =   a 25 12 a 25 13    2  a + 25 = 1 −  (VN) 2b = −10 b  = −5 b= 5− a = 12  =  a 12    , vì a  0 . b = −5 b  = 5 −
Vậy S = a + b = 7 .
Câu 63: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b  ) thỏa mãn (1+ i) z + 2z = 3+ 2i . Tính P = a + b . 1 1 A. P = . B. P =1. C. P = 1 − . D. P = − . 2 2 Lời giải Chọn C.
Ta có: (1+ i) z + 2z = 3+ 2 .i( )
1 . Ta có: z = a + bi  z = a − bi . Thay vào ( )
1 ta được (1+ i)(a + bi) + 2(a −bi) = 3+ 2i  1 a =  − =   ( a b 2  2
a − b)i + (3a − b) = 3+ 2i     . 3  a − b = 3 3 b  = −  2 Vậy P = 1 − .
Câu 64: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b ) thỏa mãn z +1+ 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b . 7 7 A. S = . B. S = 5 − . C. S = 5. D. S = − . 3 3 Lời giải Chọn B.
Đặt z = a + b ; i ( ; a b  ).
Từ giả thiết, ta có: a + bi +1+ 3i − a + bi i = 0 2 2
 a +bi +1+3i − a +b .i = 0 a = 1 − a +1 = 0    a + + ( 2 2 1
b + 3 − a + b ).i = 0     4 . 2 2
b + 3− a + b = 0 b = −  3  4 
Vậy S = a + 3b = 1 − + 3. − = 5 −   .  3  Trang 33
(12−5i) z +17+7i
Câu 65: Tìm tập hợp các số phức z thỏa =13. z − 2 − i
A. d :6x + 4y −3 = 0 .
B. d :x + 2y −1= 0 . C. 2 2
(C) : x + y − 2x + 2 y +1 = 0 . D. 2 2
(C) : x + y − 4x + 2 y + 4 = 0 . Lời giải Chọn A. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu số phức z = x + yi ( ,
x y  ) thỏa bài toán. Theo đề có
(12−5i) z +17 +7i =13(12x+5y+17)2 +(12y−5x+7)2 =169(x−2)2 +(y− )21 z − 2 − i  
 6x + 4y −3 = 0 .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x + 4y − 3 = 0.
Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn 2 z − 2 + 3i = 2i −1− 2z . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. 20x −16y − 47 = 0 .
B. 20x +16y − 47 = 0 .
C. 20x −16y + 47 = 0 .
D. 20x +16y + 47 = 0 . Lời giải Chọn A. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi ( ,
x y  )  z = x − yi .
Ta có 2 z − 2 + 3i = 2i −1− 2z  2 (x − 2) + ( y + 3)i = ( 2
− x −1) + (2y + 2)i 2 2 2 2
 2 (x − 2) + (y + 3) = ( 2
− x −1) + (2y + 2)  20x −16y − 47 = 0 .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 20x −16y − 47 = 0 .
Câu 67: Tìm tập hợp các số phức z thỏa z thỏa z + 4 + z − 4 = 10 . x y x y A. ( E ) 2 2 : + = 1. B. ( E ) 2 2 : + = 1. 9 25 25 9 x y x y C. ( E ) 2 2 : + = 1. D. ( E ) 2 2 : + = 1 . 16 9 5 3 Lời giải Chọn B. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu số phức z = x + yi ( ,
x y  ) thỏa bài toán.
Ta có z + 4 + z − 4 = 10  (x + 4) + yi + (x − 4) + yi =10 2 2 2 2
 (x + 4) + y + (x − 4) + y =10( ) * Trang 34
Đặt F (- 4;0) và F (4;0) thì ( )
*  MF + MF =10  F F = 8 nên tập hợp điểm M ( ; x y) 1 2 1 2 1 2
biểu diễn số phức z là một elíp với hai tiêu điểm F , F . 1 2
MF + MF = 2a =10 a = 5 1 2 2 2   x y
Ta có: F F = 2c = 8  c  = 4  (E) : + =1. 1 2 25 9   2 2 2
a = b + c b = 3 
Câu 68: Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 có nghiệm phức
z thỏa z = 2 . o o A. 0 . B. 2 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Ta có với mọi a  thì phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 luôn có nghiệm phức. 2 3 − + i 4 − a + 8a + 9 2 3 − − i 4 − a + 8a + 9 z = và z = . 1 2 2 2 2 4 − a + 8a + 9 3 Suy ra z = z = + . 1 2 4 4 2 4 − a + 8a + 9 2 3 4 − a + 8a + 9 9 z = 2  + = 2 2  + = 4  4
− a + 8a + 9 = 7 o 4 4 4 4 2 2  4
− a + 8a + 9 = 7  4
− a + 8a + 2 = 0 ( ) 1     . 2 2  4
− a + 8a + 9 = 7 −  4
− a + 8a +16 = 0  (2) Từ ( )
1 ta có a + a = 2 , từ (2) ta có a + a = 2 . 1 2 3 4
Vậy tổng a + a + a + a = 4 . 1 2 3 4
Câu 69: Cho số phức z thỏa z = 1 , gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 3 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 . Tính M − m .
A. M − m = 1.
B. M − m = 3.
C. M − m = 6 .
D. M − m = 12 . Lời giải Chọn A. 3 Ta có 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 4 2 4 2
= z + z + 6 − 2 z + z Trang 35 = (z + z )2 2 2 2 2
+ 4 − 2 z + z = (z + z )2 2 2 2 2
+ 4 − 2 z + z
= ( z + z − )2 2 2 1 + 3 2  2 z + z  Vì  nên P
= 4 , P = 3 nên chọn A. 2 max min 2  2
−  z + z  2 Cách giải khác: 3 Ta có 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 4 2 4 2
= z + z + 6 − 2 z + z Đặ 2 t 2
t = z + z với t 0;  2 4 4 2
 z + z = t − 2 Do đó 2 2
P = t + 4 − 2t = t − 2t + 4 = f (t ) với t 0;  2 Khi đó P
= 4 , P = 3 nên chọn A. max min
Câu 70: Cho số phức z thỏa z = 1 , gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 3 2 của 5 2
P = z + z + 4z − 2 z + z . Tính M − mi .
A. M − mi = 3 .
B. M − mi = 1.
C. M − mi = 5 .
D. M − mi = 2 . Lời giải Chọn C. 3 2 Ta có 5 2
P = z + z + 4z − 2 z + z 4 2 4 2
= z + z + 4 − 2 z + z Trang 36 = (z + z )2 2 2 2 2
+ 2 − 2 z + z = (z + z )2 2 2 2 2
+ 2 − 2 z + z
= ( z + z − )2 2 2 1 +1 2  2 z + z  Vì  nên P
= 2 , P =1 nên chọn C. 2 max min 2  2
−  z + z  2
Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn iz − 2i − 2 − z +1− 3i = 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (1+ i)z + 2i . 9 A. P = 4 2. B. P = 26. C. P = . D. P = 3 2. min min min min 17 Lời giải Chọn A. Gọi M( ; x y), , A ,
B I lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 − 2 , i 1 − +3 ,i 1 − − .i
Ta có: iz − 2i − 2 − z +1− 3i = 34  z − 2 + 2i − z +1− 3i = 34  MA − MB = AB
 M thuộc tia đối của tia . BA
P = (1+ i)z + 2i = (1+ i)(z +1+ i) = 2 z +1+ i = 2MI .
Dựa vào quan sát, suy ra: P  MI  M  . B min min
Vậy P = 2IB = 4 2. min Trang 37
Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của z −1+ i . Khi đó 2 2
P = M + m bằng 171 171 167 167 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A.
Gọi z = x + yi,( , x y  ) . Đặt: N ( ; x y) , F 2 − ;1 , F 4;7 1 ( ) 2 ( )
Khi đó từ giả thiết z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 suy ra NF + NF = 6 2 . 1 2 Mà 2
F F = 72  NF + NF = F F . 1 2 1 2 1 2
Vậy N thuộc đoạn F F . 1 2 x + 2 y −1
Ta có F F = 6;6  Phương trình đường thẳng F F : =
 x − y + 3 = 0 . 1 2 ( ) 1 2 1 1
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng y = x + 3 với 2 −  x  4 . 2 2
z − + i = ( x − )2 + ( y + )2 1 1 1 = (x − ) 1 + ( x + 4) . 2 2
Xét f ( x) = ( x − ) 1
+ (x + 4) ,− 2  x  4 .
f ( x) = 2( x − )
1 + 2( x + 4) f ( x) 3 ; = 0  x = − . 2  3  25 f ( 2 − ) =13; f − =   ; f (4) = 73.  2  2 25 25 171
Suy ra M = 73; m = 2 2
 P = M + m = 73+ = . 2 2 2
Câu 73: Cho các số phức z = 3
− i, z = 4 + i và z thỏa mãn z −i = 2. Biết biểu thức 1 2
T = z − z + 2 z − z đạt giá trị nhỏ nhất khi z = a + bi ( , a b 
). Hiệu a − b bằng 1 2 3 + 6 13 3 − 6 13 6 13 − 3 3 − − 6 13 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Lời giải Chọn A. Trang 38 Gọi ( A 0; 3 − ), (4
B ;1) lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z . 1 2
Do | z −i |= 2 nên tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn (C) tâm I (0;1) , bán kính R = 2 .
Lấy M (C) là điểm biểu diễn của z . Ta có T = MA+ 2MB . IM IO Ta có 2
IM = 2, IO = 1, IA = 4  IM = I . O IA  = . IA IA OM IM Từ đó 1 I  MO ∽ I  AM  =
=  AM = 2OM . AM IA 2
Vậy MA + 2MB = 2(MO + MB)  2OB .
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng BM và (C). 1+ 2 13 2 2 2
M (C)  IM = 2 16t + (t −1) = 4 17t − 2t − 3 = 0  t = ( t  0 ). 17 4 + 8 13 1+ 2 13 3 + 6 13 Vậy z = +
i  a − b = . 17 17 17 1 i 3 1 i 3
Câu 74: Cho hai só phức z = + , z = − +
. Gọi z là số phức thỏa mãn 3z − i 3 = 3 . Đặt 1 2 2 2 2 2
M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = z + z − z + z − z . Tính 1 2
mô đun số phức w = M + mi . 2 21 4 3 A. . B. 13 . C. . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn A. Trang 39 i 3 1
Ta có 3z − i 3 = 3  z − = . 3 3 2   Đặ 3 1
t z = x + yi ( ; x y  ) 2
 x +  y −  = (C)   . 3 3    1 3   1 3  Gọi K ( ; x y), A ; ;B − ;    
 lần lượt là điểm biểu diễn của z, z , z . 2 2 2 2     1 2
Khi đó ta có T = OK + KA + KB . Vì , A ,
B O cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác OAB đều nên suy ra:
m = minT = 2OA = 2 , khi đó K trùng với O hoặc A hoặc B .
Gọi K thuộc cung OB . Ta có K . AOB = O . A BK + A . B OK (Ptoleme).
 KA = KB + OK . 4 3 4 3
Suy ra T = 2AK  2.2R =  M = . 3 3 2 21 Vậy w = . 3
Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Tìm 3
min z − z + 2 . 2 6 2 13 A. 13 . B. 6 . C. . D. . 9 6 Lời giải Chọn C.
Gọi z = a + bi , với a , b  .
Theo giả thiết ta có z = 1 suy ra . z z = 1 và 2 2 a + b =1, 1 −  a 1. Ta có 3 3 2
z − z + 2 = z − z + 2 .
z z = z z −1+ 2z 2 2
= a −b + a − + ( ab − b)i = ( 2 2 1 2 2 2 a + a − ) 1 + 2b (a − ) 1 i Trang 40 =
(a +a− )2 + b (a− )2 2 2 3 2 3 2 4 1 4 1
= 16a − 4a −16a +8 = 2 4a − a − 4a + 2 .  2 x =  3
Xét hàm số f ( x) 3 2
= 4x − x − 4x + 2 trên  1 − ; 
1 . Ta có f ( x) 2
=12x − 2x − 4 = 0   1 x = −  2 .  2  2  1  13 Ta có f (− ) 1 = 1; f ( ) 1 = 1; f =   ; f − =   .  3  27  2  4  2  2 2 6 2 5
Vậy min f ( x) = f = . Do đó 3
min z − z + 2 = khi a = và b =  .    1 − ;  1  3  27 9 3 3
Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn z = 1, gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 5 3 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 . Tính M − m .
A. M − m = 1.
B. M − m = 3.
C. M − m = 6 .
D. M − m = 12 . Lời giải Chọn A. Cách 1 : Đặt 4
t = z +1  t 0; 2 2  t = ( 4 z + )( 4 z + ) 4 4 4 4 2 1
1 = 2 + z + z  z + z = t − 2 . 4 z Mà 5 3 4 4 4
z + z + 6z = z z +
+ 6 = z + z + 6 . . z z Nên 2 2
P = t − 2 + 6 − 2t = t − 2t + 4, t 0; 2 suy ra P = 3 = , m P
= 4 = M  M − m =1. min max Cách 2: 5 3 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 = 4 4 z + z + 6 4 2 − z +1 . Đặt 4
w = z = x + yi ( x y  ) 2 2 , ,
, w = 1 x + y = 1. 2
Nên P = w + w +
− w + = x + − (x + ) 2 6 2 1 2 6 2
1 + y = 2 ( x + 3) − 2 2x + 2 .
Đặt f (x) = 2(x + 3) − 2 2x + 2, x 1 − ;  1 . Bảng biến thiên Trang 41 Vậy P = 3 = , m P
= 4 = M  M − m =1. min max
Câu 77: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn z −1− i = 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P = 2 z −8i − z − 7 − 9i bằng 5 5 5 5 3 A. . B. 5 5 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z , từ z −1− i = 5 thì M nằm trên đường tròn
(x − )2 +( y − )2 1 1
= 25 có tâm và bán kính : I (1; )
1 , R = 5 . Gọi A(0;8); B(7;9) thì P =
x + ( y − )2 − ( x − )2 + ( y − )2 2 2 8 7 9 = 2MA − MB .
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm C sao cho MB = 2MC , nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta
có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau : 2 2
Cách 1 : ( x − ) 1 + ( y − ) 1 = 25 2 2
 T = x + y − 23 = 0 2 2 2 2 MB =
x + y −14x −18y +130 =
x + y −14x −18y +130 + 3T 2  5  2 2 2
= 4x + 4y − 20x − 24y + 61 = 2 x − +   ( y −3)  2   5  Nên chọn điểm C ;3 
 thì MB = 2MC  2  Trang 42 1
Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn IC =
IB thì tam giác IMC đồng dạng với tam giác IBM 4  
nên ta có MB = 2MC , từ đó 5 C ;3    2 
Ta có : P = 2MA − MB = 2(MA − MC)  2AC = 5 5
Dấu « = » đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM .
Câu 78: Cho các số phức z thỏa mãn 2
z + 4 = ( z − 2i)( z −1+ 2i) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z + 3 − 2i . 7 A. P = 4 . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3. min min min 2 min Lời giải Chọn D. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Có 2
z + 4 = ( z − 2i)( z −1+ 2i)  z − 2i . z + 2i = ( z − 2i)( z −1+ 2i)  x = 0; y = 2 z = 2i     1 .
z + 2i = z −1+ 2i  x = ; y   2 1
Vậy M = (0;2) hoặc M  d : x = . 2 7 Gọi I ( 3
− ;2) thì P = IM . Khi đó IM = 3 hoặc IM = d(I;d) = . min min 2 Vậy P = 3. min Trang 43
Câu 79: Cho các số phức z thỏa mãn z −1− i + z − 8 − 3i =
53 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z +1+ 2i . 185 A. P = 53. B. P = . C. P = 106 . D. P = 53 . max max 2 max max Lời giải Chọn C. Gọi M ( ; x y) , A(1; ) 1 , B(8; ) 3 , C ( 1 − ; 2
− ) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
z , 1+ i , 8 + 3i , 1
− − 2i trong mặt phẳng phức.
Có z −1− i + z − 8 − 3i = 53  MA + MB =
53 = AB  M thuộc đoạn . AB
P = z +1+ 2i = MC.
Ta có : CA = 13,CB = 106 và CA  CM CB = 106 . Vậy P = 106 đạt khi M max trùng B .
Câu 80: Biết z , z = 5 − 4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 2
z + bz + cz + d = 0 ( , b , c d  ), 1 2 3
trong đó z là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = z + 3z + 2 z bằng: 3 1 2 3 A. 12 − . B. −8 . C. 4 − . D. 0 . Lời giải Trang 44 Chọn C. Xét phương trình 3 2
z + bz + cz + d = 0 ( , b ,
c d  )là phương trình bậc ba với hệ số thực nên
luôn có một nghiệm thực là z . 1
Do đó phương trình tương đương với: ( z − z )( 2
z + a ' z + b ' = 0 a ',b ' 1 ) ( ) z = z  1   . 2
z + a ' z + b ' = 0  ( ) 1
Nên z , z = 5 − 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1). 3 2
Suy ra z = 5 + 4i . 3
Khi đó : w = z + 3z + 2 z = z + 3. 5− 4i + 2. 5 + 4i = 25 + 2z − 4i . 1 2 3 1 ( ) ( ) ( 3 )
Vậy phần ảo của w = z + 3z + 2 z là 4 − . 1 2 3 1
Câu 81: Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn z − 3 − 4i =1 và z − 3 − 4i =
. Số phức z có phần 1 2 1 2 2
thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a − 2b =12 . Giá trị nhỏ nhất của
P = z − z + z − 2z + 2 bằng 1 2 9945 9945 A. P = . B. P = 5− 2 3 . C. P = . D. P = 5+ 2 3 . min 11 min min 13 min Lời giải Chọn C.
Đặt z = 2z thì z − 6 −8i =1 và P = z − z + z − z + 2 . 3 2 3 1 3
Gọi M , A , B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z và z . Khi đó: 1 3
Điểm A nằm trên đường tròn (C có tâm I 3;4 , bán kính R = 1; 1 ( ) 1 ) 1
Điểm B nằm trên đường tròn (C có tâm I 6;8 , bán kính R =1 3 ( ) 3 ) 3
Và điểm M nằm trên đường thẳng d :3x − 2y −12 = 0 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P = MA+ MB + 2 . Trang 45
Ta kiểm tra thấy (C và (C nằm cùng phía và không cắt đường thẳng d :3x − 2y −12 = 0 . 3 ) 1 )
Gọi đường tròn (C  có tâm I  và bán kính R =1 đối xứng với (C qua d . 1 ) 1 ) 1 1
Điểm A đối xứng với A qua d thì A thuộc (C  . 1 )  72 30  105 8 
Ta có I I  : 2x + 3y −18 = 0 . Gọi H = I I   d  H ; suy ra I  ; . 1 1 1 1      13 13  1  13 13 
Ta có P = MA + MB + 2 = MA + MB + 2 = (MA+ R + MB + R  I M + I M  I I . 1 ) ( 3 ) 1 3 1 3 9945 Từ đó P
khi các điểm I  , I , A , B và M thẳng hàng và P = I I = . min 1 3 min 1 3 13
Câu 82: Cho z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 , đồng thời 1 2
z − z = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z + z trong mặt phẳng tọa độ 1 2 1 2
Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2  2 2 5   3  9  5   3  A. x − + y − =     . B. x − + y − = 9     .  2   2  4  2   2  2 2 2 2
C. ( x −10) + ( y − 6) = 36 .
D. ( x −10) + ( y − 6) = 16 . Lời giải Chọn C. Trang 46
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 là đường tròn (T ) có
tâm là I (5;3) , bán kính R = 5 .
Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z . Khi đó M , N nằm trên đường tròn 1 2 (T ).
Có z − z = 8 nên suy ra MN = 8 . 1 2
Giả sử z = a + b i và z = a + b i , suy ra w = z + z = a + a + b + b i . 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1 1 1 2 2 2
Gọi H là trung điểm của MN , ta có MN ⊥ IH nên 2 2 2 2 IH =
IM − MH = 5 − 4 = 3 . 2 2
Vậy ta có ( x − 5) + ( y − 3) = 9 . H H  a + a 1 2 x =  H  2 Mà  nên ta suy ra b + b  1 2 y = H  2 2 2  a + a   b + b  −5 + −3 = 9     
(a + a −10)2 +(b +b −6)2 1 2 1 2 = 36 . 1 2 1 2  2   2  2 2
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + z là đường tròn ( x −10) + ( y − 6) = 36 . 1 2
Câu 83: Xét các số phức z , w thỏa mãn điều kiện z −1− 3i  z + 2i và w +1+ 3i  w − 2i . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P = z − w là 3 3 26 26 13 +1 A. . B. . C. P = . D. P = . 13 13 4 2 Lời giải Chọn B. Trang 47 Cách 1:
Gọi z = a + bi , w = c + di , ( , a , b ,
c d  ) lần lượt được biểu diễn bởi điểm M ( ; a b) , N ( ; c d )
trong mặt phẳng (oxy) . Từ giả thiết:
z −1− 3i  z + 2i  (a − )
1 + (b − 3)i  a + (b + 2)i .
 (a − )2 + (b − )2  a + (b + )2 2 1 3 2
 a + 5b  3. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số
phức z là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng  : x + 5y = 3.
w +1+ 3i  w − 2i  (c + )
1 + (d + 3)i  c + (d − 2)i
 (c + )2 + (d + )2  c + (d − )2 2 1 3 2  c +5d  3
− . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số
phức w là phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng   : x +5y = 3 − . M   
Khi đó P = z − w = MN  d (   ) 3 26 ; =
. Dấu ' = ' xảy ra khi N   13 MN ⊥   y x + 5y = 3 1 x 3 −3 O d 1 − x + 5y = 3 − Cách 2: a + 5b  3 a + 5b  3 Từ giả thiết   
 (a −c) +5(b − d )  6 ( ) *
c + 5d  −3
−c − 5d  3 2 2
Và P = z − w = MN = (a − c) + (b − d ) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: Trang 48
(a −c)+ (b−d) 
(a −c)2 +(b−d)2 5 26.     ( − + −  a −c) a c 5 b d 2 + (b − d )2 ( ) ( ) 6 3 26   = =   . 26 26 13  a + 2b = 3 M  M   3 26    Vậy P =
khi c + 5d = −3  N    N  . min 13    a − c b − d  ⊥  = NM = (a − ;
c b − d ) = k.n =  MN   (1;5)  1 5
Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2 + 2i 3 5 A. 5. B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B.
Đặt w = z − 2 + 2i Ta có 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1)
 (z −1+ 2i) . (z −1− 2i) = (z −1+ 2i) . (z +3i −1)
z −1+ 2i = 0   .
z −1− 2i = z + 3i −1 
TH1: z = 1− 2i  w = 1 −  w =1 (1)
TH2: z −1− 2i = z + 3i −1 .
Đặt z = a + bi ; , a b  . − 2 2 2 2  1
(a −1) + (b − 2) = (a −1) + (b + 3)  b = . 2 1  9 3 z = a − i  2 w = (a − 2) +  (2) 2 4 2 Từ ( )
1 , (2) suy ra min | w|=1.
Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z + 2z + 2 = z +1− i . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 2 .
B. 2 +1. C. 2 + 2 . D. 2 −1. Trang 49
Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z −1+ 2i = 5 và w = z +1+ i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
M , M  ; số phức z (4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N .
Biết rằng M, M ,
 N, Nlà bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i −5 . 1 2 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 5 34 13 Lời giải Chọn A
Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác MNN M  
luôn là hình thanh cân ( MM∥ NN ), nên để MNN M
  là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm
điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc MM = NN .
Giả sử: z = a + bi ( , a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ; a b − ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) + (3a + 4b)i.
Suy ra N (4a − 3 ;
b 3a + 4b) và N(4a −3 ; b 3 − a − 4b) .
* Do 4 điểm M, M , N, Ntạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm
đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi a = b −  =   MM
NN  b = ( a + b)2 2 4 4 3 4  5  . a = − b  3 2 2 2  9  1 1 * Với a = b
− , ta có z + 4i − 5 = (b + 5) + (b + 4) = 2 b + +    .  2  2 2 Đẳ 9 9
ng thức xảy ra khi a = , b = − . 2 2 2 5b  5  2 34 74 5 1 * Với a = −
ta có z + 4i − 5 = b + 5 + (b + 4) 2 = b + b + 41     . 3  3  9 3 34 2 1
Vậy: Min z + 4i − 5 = . 2
Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M ; số
phức z (4 +3i) có điểm biểu diễn là N . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của M, N trên trục
Ox . Biết rằng tứ giác MNN M
  hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i −5 . 1 2 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 5 34 13 Lời giải Chọn A Trang 50
Giả sử: z = a + bi ( ,
a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ;0 a ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) +(3a + 4b)i.
Suy ra N (4a − 3 ;
b 3a + 4b) và N(4a − 3 ; b 0) .
* Do 4 điểm M, M , N, Ntạo thành hình thang vuông ( MM∥ NN) nên 4 điểm đó là bốn a = b −
đỉnh của một hình chữ nhật khi:  =   MM
NN  b = 3a + 4b  5  . a = − b  3 2 2 2  9  1 1 * Với a = b
− , ta có z + 4i − 5 = (b + 5) + (b + 4) = 2 b + +    .  2  2 2 Đẳ 9 9
ng thức xảy ra khi a = , b = − . 2 2 2 5b  5  2 34 74 5 1 * Với a = −
ta có z + 4i − 5 = b + 5 + (b + 4) 2 = b + b + 41     . 3  3  9 3 34 2 1
Vậy: Min z + 4i − 5 = . 2
Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
M , M  ; số phức z (4 + 3i) có điểm biểu diễn là N . Gọi N  là điểm đối xứng với N qua
đường thẳng MM. Biết rằng tứ giác MNM N là hình thoi. Tìm phần ảo của z để z + 4i −5
đạt giá trị nhỏ nhất. 96 192 96 192 A. − . B. − . C. . D. . 25 25 25 25 Lời giải Chọn A
Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường  NOx .
Giả sử: z = a + bi ( , a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ; a b − ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) + (3a + 4b)i. Suy ra N (4a −3 ;
b 3a + 4b). 4
* Do tứ giác MNM N là hình thoi nên N Ox  3a + 4b = 0  a = − b . 3 2  4  2 25 64
* Ta có z + 4i − 5 = b + 5 +   (b + 4) 2 = b + b + 41 .  3  9 3  96
z + 4i − 5 đạt giá trị nhỏ nhất tại b = − . 25
Câu 90: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z + w .
A. max T = 176 . B. maxT = 14 . C. max T = 4 .
D. max T = 106 . Trang 51 Lời giải Chọn D.
Phân tích: Từ yêu cầu bài toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để 2 2
xuất hiện z + w thì bài toán được giải quyết xong. 2 2 2 2
Ta có 2 ( z + w ) = z + w + z − w = 25 + 81 =106 2 2 2 nên 2
T = (1. z +1. w )  (1+ )
1 ( z + w ) =106 . Do đó T  106 .
Câu 91: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = a + b ; i , a b
và z − w = c  0 (hoặc
z + w = c  0 và z − w = a + b ; i , a b
). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = . p z + . q w
với p  0, q  0 . Lời giải 2 2 2 2 Ta có: ( + ) 2 2 2 2 z w
= z + w + z − w = a + b + c  + +  Khi đó a b c T = (
z + q w )  ( p + q )( z + w ) = ( p + q ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p. .   2  
 a + b + c 
Nên T  ( p + q ) 2 2 2 2 2   . 2  
Câu 92: Cho số phức z = x + yi ( , x y 
) thỏa mãn z −1+ 3i = z + 3 − i . Tính 3 3
S = x + y biết rằng
biểu thức P = z −1− 2i − z +1− i đạt giá trị lớn nhất. A. S = 0 . B. S = 16 . C. S = 54 . D. S = 27 . Lời giải Chọn C. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy . Ta có 2 2 2 2
z −1+ 3i = z + 3 − i  ( x − ) 1
+ ( y + 3) = (x + 3) + ( y − ) 1
 x − y = 0 .
Gọi A(1; 2) , B( 1 − ; )
1 , khi đó P = z −1− 2i − z +1− i = MA − MB .
Bài toán trở thành: “Tìm M thuộc đường thẳng d: x − y = 0 sao cho MA − MB lớn nhất.” Trang 52 Xét P ( ,
x y) = x − y , ta có P( A) P(B) = 1 − ( 2
− ) = 2  0. Do đó A , B nằm cùng phía đối
với đường thẳng d .
Gọi I là giao điểm của AB với d , ta tìm được I (3;3) .
Ta có MA − MB  AB . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với I . Do đó P đạt giá trị lớn nhất
khi tọa độ M là M (3;3). Vậy x = 3 và y = 3 do đó 3 3 S = 3 + 3 = 54 .
Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu A , B nằm khác phía đối với đường thẳng d . Khi đó ta
cần tìm điểm đối xứng B ' của B qua d và M sẽ trùng với I = AB ' d .
Câu 93: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = 8 + 6i và z − z = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 2 1 2 1 2
thức P = z + z . 1 2 A. P = 2 26 B. P =104 C. P = 32 +3 2 D. P = 4 6 max max max max Lời giải Chọn A. 2 2 2 2 Ta có z + z
+ z − z = 2 z + z  z + z . 1 2 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 )2 Trang 53  z = z
z = 8 + 6i − z 1 2  2 1 
Suy ra P = z + z  2 26 , dấu "=" xảy ra khi z + z = 8 + 6i   z = z − 8 − 6i 1 2 1 2  1 1  z − z = 2  − − = 1 2 z 4 3i 1  1
z = 8 + 6i − z 2 1  17 19i  z = +   1  5 5 .   23 11i   z = + 1   5 5 Vậy P = 2 26 . max
Tổng quát: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = z ( z  0 và z − z = m  0 . Tìm 0 ) 1 2 1 2 0 1 2
giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + z . 1 2
Gọi các điểm biểu diễn của các số phức z , z , z lần lượt là M , N , K . 1 2 0 2 2 2 z + m 2 2 MN Ta có z + z 2 2 = OM +ON 2 = 2OE + 0 = . 1 2 2 2 ( z + z )2 2 2 1 2 z + z  2 2
 z + z  z + m . 1 2 1 2 0 2 2
Suy ra giá trị lớn nhất của P = z + z bằng 2 z + m . 1 2 0
Câu 94: Cho số phức z thoả mãn 2
z + z + z − z = z . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 5 − 2i bằng A. 2 + 5 3 . B. 2 + 3 5 . C. 5 + 2 3 . D. 5 + 3 2 Lời giải Chọn B. Trang 54 Cách 1: Đại số
Đặt z = a + bi( , a b  ) . 2 2 Từ giả thiết 2
z + z + z − z = z 2 2
 2 a + 2 b = a +b  ( a − ) 1 + ( b − ) 1 = 2 ( ) 1 . 2 2
Ta có P = z − 5 − 2i = (a − 5) + (b − 2) = 2 a + 2 b −10a − 4b + 29 .
Dễ thấy P lớn nhất khi ,
a b  0 . Khi đó P = 1
− 2a − 6b + 29 = 6 2 −  (a + ) 1 − (b + ) 1  + 47  2 2 Do , a b  0 nên từ ( ) 1 ta có (a + ) 1 + (b + ) 1 = 2 . 2 2 Suy ra P = 6  2 −  (a + ) 1 − (b + ) 1  + 47   ( 2 2 6 2 +1 ) (a + ) 1 + (b + ) 1  + 47   = 47 + 6 10 = 2 + 3 5 . (
 a + )2 + (b + )2 1 1 = 2   2 10  = − −  a 1 a +1 b +1  5 Dấu = xảy ra khi  =   . 2 1   10  = − − a +1, b +1  0 b 1    5 Cách 2: Hình học
Đặt z = a + bi( , a b  ) . 2 2 Từ giả thiết 2
z + z + z − z = z 2 2
 2 a + 2 b = a +b  ( a − ) 1 + ( b − ) 1 = 2 ( ) 1 .
Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = 2 có tâm là A( 1 − ; ) 1 , B (1; ) 1 , C (1;− ) 1 , D ( 1 − ;− )
1 nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).
P = ME với E (5;2) . Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + 2 = 3 5 + 2 . Trang 55
Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm min thì ta cũng làm tương tự.
Câu 95: Cho số phức z thoả mãn 2
z + z + z − z = z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 5 − 2i bằng A. 5 3 − 2 . B. 17 − 2 . C. 2 3 − 2 . D. 4 − 2
Câu 96: Cho số phức z thỏa mãn 2
3 z + z + 3 z - z = z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z + 4 - 4i bằng A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2
Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z + z + 2 z − z = 8 ; , a ,
b c dương. Gọi M, m lần lượt là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = z - 3- 3i . Tính M + m . A. 10 + 34 B. 5 + 58 C. 10 + 58 D. 2 10 HD: Chọn B
Từ đồ thị ta xác định được E (3; )
3 , A 4;0 , A 0; 2 , A 4 − ;0 , A 0; 2
− , H 2;1 . Khi đó, 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1( ) EM = EH = 5 , EM = A E = 58 . min 1 max 3
Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn 2
z + 5 = 2 z + z . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của z − 5 + 4i . Tính M − m . Trang 56 A. 57 +1 B. 57 + 5 C. 57 + 6 D. 57 + 7
Câu 99: Cho số phức z thỏa mãn 1  z − 2 + i  4 . Gọi M là giá trị lớn nhất của z − 2 + 3i ,
m là giá trị nhỏ nhất của z + 2 − 2i . Tính M + m . A. 6 B. 5 C. 3 D. 7 Lời giải Chọn A
Lấy các điểm I (2;− ) 1 , A(2;− ) 3 , B( 2
− ;2) ; điểm N biểu diễn số phức z .
Ta có 1 AI = 2  4  M = AN
= AI + 4 = 5; BI = 5  4  m = BN = BI − 4 =1. max min
Do đó, M + m = 6 .
Câu 100: Cho hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , z khác 0 và 0 1 thỏa mãn đẳng thức 2 2
z + z = z z . Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O là gốc 0 1 0 1
tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Cân tại O .
B. Vuông cân tại O . C. Đều.
D. Vuông tại O . Lời giải Chọn C.
Hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , z 0 1
Theo giả thiết suy ra: OA = z , OB = z và AB = z − z . 0 1 1 0 Ta có: 2 2
z + z = z z 2 2
 z − z z + z = 0  (z + z )( 2 2
z − z z + z = 0. 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 ) 0 1 0 1 3 3 3 3
 z + z = 0  z = −z  z = z  OA = OB . 0 1 0 1 0 1
Xét ( z − z )2 2 2
= z + z − 2z z = − 2
z z  z − z = z . z 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2  AB = O .
AOB  AB = OB .
Vậy AB = OB = OA hay tam giác OAB là tam giác đều. Trang 57

TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao (có đáp án và lời giải)

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề đọc đồ thị hàm số mức thông hiểu giải chi tiết

TOP 205 câu trắc nghiệm vận dụng cao phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz (có đáp án và lời giải)

Đề ôn thi TN THPT môn Toán 2021 chuẩn cấu trúc đề minh họa -Đề 13 (có lời giải chi tiết và đáp án)

Bộ đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán (có lời giải chi tiết)