TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao (có đáp án và lời giải)

TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 57 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

Chủ đề:

Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu

Môn:

Toán 1.8 K tài liệu

Thông tin:
57 trang 9 tháng trước
Tác giả:
Student
Mỹ Duyên
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao (có đáp án và lời giải)

TOP 100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 57 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

104 52 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu

Môn: Toán 1.8 K tài liệu

Thông tin:

57 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC
VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Gọi
( )
C
là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
yixz +−= 1
,
( , )xy
thỏa
mãn
1=z
và
N
là điểm biểu diễn số phức
iz −=1
0
. Tìm điểm
M
thuộc
sao cho
MN
có độ dài lớn nhất.
A.
( )
1;1M
. B.
13
;
22
M




. C
( )
0;1M
. D.
( )
0;0M
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
( )
;M x y
nằm trên đường tròn
( ) ( )
2
2
: 1 1C x y− + =
. Tâm
( )
1;0I
Do
( ) ( )
1; 1NC−
nên
MN
có độ dài lớn nhất khi
MN
là đường kính, hay
( )
0;1I
là trung
điểm của
MN
. Vậy
( )
1;1M
Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp
10
, khi cho một đường tròn
( )
C
và một điểm
N
. Tìm
điểm
M
trên
( )
C
sao cho
MN
đạt min, max.
Câu 2. Gọi
( )
C
là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
1z x yi= − +
,
( )
,xy
thỏa
mãn
1=z
và
N
là điểm biểu diễn số phức
iz 35
0
+=
.
M
là một điểm thuộc
)(C
sao cho
MN
có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài
MN
lớn nhất bằng
A.
6
. B.
34
. C
53
. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
( )
;M x y
nằm trên đường tròn
( ) ( )
2
2
: 1 1C x y− + =
. Tâm
( )
0;1I
Do
( )
3;5N
nằm ngoài
( )
C
nên
MN
có độ dài lớn nhất khi
615 =+=+= RNIMN
.
Câu 3. Gọi
( )
C
là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức
yixz +−= 1
,
( )
,xy
thỏa
mãn
1=z
và
N
là điểm biểu diễn số phức
iz 35
0
+=
.
M
là một điểm thuộc
sao cho
MN
có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài
MN
bé nhất bằng
A.
6
. B.
34
. C
53
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Trang 2
Chọn D.
Ta có:
( )
;M x y
nằm trên đường tròn
( ) ( )
11:
2
2
=+− yxC
. Tâm
( )
1;0I
Do
( )
3;5N
nằm ngoài
( )
C
nên
MN
có độ dài bé nhất khi
415 =−=−= RNIMN
.
Câu 4. Cho hai số phức
12
;zz
thỏa mãn
1 2 2
5 5; 1 3 3 6z z i z i+ = + − = − −
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
12
zz−
.
A.
5
2
B.
121
6
C.
25
6
D.
49
6
Lời giải
Chọn A
Gọi
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
, ( , , , )z a bi z a b i a b a b= + = +
.
Khi đó
( )
2
2
1 1 1
5 5 5 25z a b+ = + + =
.
Tập hợp điểm biểu diễn
1
z
là đường tròn tâm
( )
5;0 ; 5IR−=
Cũng theo giả thiết, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
1 3 3 6 1 3 3 6
8 6 35 0.
z i z i a b a b
ab
+ − = − − + + − = − + −
+ − =
Tập hợp điểm biểu diễn
2
z
là đường thẳng
: 8 6 35 0xy + − =
( )
22
5.8 35
15
( , ) ,
2
86
d I d I R
−−
= =
+
( )
12
5
min ,
2
z z d I R − = − =
.
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
1 1 4zz+ + − =
. Gọi
m min z=
và
M max z=
khi đó
.Mn
bằng
A.
2
. B.
23
. C.
23
3
. D.
3
.
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn
2 3 1zi− − =
. Gọi
1M max z i= + +
,
1m min z i= + +
. Tính
giá trị của biểu thức
( )
22
Mn+
A.
28
B.
24
C.
26
D.
20
Trang 3
Câu 7. Kí hiệu
1
z
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
2
4 16 17 0zz− + =
. Trên mặt phẳng
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
( )
1
3
w 1 2
2
i z i= + −
?
A.
( )
2;1M −
. B.
( )
3; 2M −
. C.
( )
3;2M
. D.
( )
2;1M
.
Câu 8. Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
1
12zi+ − =
và
21
z iz=
. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của biểu thức
12
zz−
?
A.
2 1.m =−
B.
2 2.m =
C.
2.m =
D.
2 2 2.m =−
Lời giải
Chọn D.
Do
1
12zi+ − =
nên điểm biểu diễn
1
M
của
1
z
thuộc đường tròn tâm
( )
1;1I −
bán kính
2R =
.
Do
21
z iz=
nên điểm
2
M
(điểm biểu diễn của
2
z
) là ảnh của
1
M
qua phép quay tâm
O
, góc
quay
0
90
. Suy ra
1 2 1 2 1
2z z M M OM− = =
ngắn nhất khi
1
OM
ngắn nhất.
Ta có:
1
min 2 2OM R OI= − = −
.
Vậy:
( )
2 2 2 2 2 2m = − = −
.
Đề xuất
Do
1
12zi+ − =
nên điểm biểu diễn
1
M
của
1
z
thuộc đường tròn tâm
( )
1;1I −
bán kính
2R =
.
( ) ( )
( )
1 2 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2z z z iz i z z OM R OI− = − = − = = − = − = −
.
(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)
Câu 9. Tính môđun của số phức
z
thỏa mãn
3 . 2017( ) 48 2016z z z z i+ + = -
A.
4z =
. B.
2020z =
. C.
2017z =
. D.
2z =
Lời giải
Chọn A.
- Đặt
( , )z a bi a b= + Î ¡
z a biÞ = -
.
- Ta có:
3 . 2017( ) 48 2016z z z z i+ + = -
2 2 2 2
3( ) 4034 . 48 2016 16a b bi i a bÛ + + = - Þ + =
- Vậy
22
4z a b= + =
. Chọn A.
Câu 11: Tính môđun của số phức
z
thỏa mãn
2 . 3 0.z z z+ - =
Trang 4
A.
3
2
z =
. B.
3
2
z =
. C.
1z =
. D.
3z =
.
Câu 12: Số số phức
z
thỏa mãn đẳng thức:
( ) ( )
2
11
1
22
z z z z z i+ - = + +
là
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 13: Cho số phức
z
thỏa mãn điêu kiện
12z −=
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
2T z i z i= + + − −
A.
max 8 2T =
. B.
max 8T =
. C.
max 4 2T =
. D.
max 4T =
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
( )
,z x yi x y= + Î ¡
, ta có:
1 2 1 2z x yi- = Û - + =
( ) ( )
2
2 2 2
1 2 2 1 *x y x y xÛ - + = Û + = +
Lại có:
( ) ( )
2 1 2 1T z i z i x y i x y i= + + − − = + + + − + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 1x y x y= + + + - + -
2 2 2 2
2 1 4 2 5x y y x y x y= + + + + + - - +
Kết hợp với
( )
*
, ta được:
2 2 2 6 2 2T x y x y= + + + - -
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được
( )
( ) ( )
22
22
1 1 2 2 2 6 2 2 4T x y x y
éù
êú
£ + + + + - - =
êú
ëû
Vậy
max 4T =
.
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức thỏa mãn . Trên mặt
phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có
bán kính bằng
z
2z =
Oxy
4
w
1
iz
z
+
=
+
Trang 5
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có
Đặt
Ta có
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức là đường tròn có bán kính bằng
Câu 15: Gọi
M
và
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
zi
P
z
+
=
với
z
là số phức
khác
0
và thỏa mãn
2z
. Tính
2.Mm−
A.
3
2.
2
Mm−=
B.
5
2.
2
Mm−=
C.
2 10.Mm−=
D.
2 6.Mm−=
Lời giải
Chọn B.
Ta có Mặt khác:
Vậy, giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra
khi
5
2.
2
Mm−=
Câu 16: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức Tính giá trị của .
A. B. C. D.
Câu 17: Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Khi đó bằng
34.
26.
34.
26.
( )
4
w(1 ) 4 w 4 w
1
iz
w z iz z i
z
+
= + = + − = −
+
2 w 4 wi − = −
( )
w,x yi x y= +
( ) ( )
22
22
2. 1 4x y x y+ − = − +
( )
2 2 2 2
2 2 1 8 16x y y x x y + − + = − + +
( ) ( )
22
22
8 4 14 0 4 2 34x y x y x y + + − − = + + − =
w
34
13
1 1 .
| | 2
i
P
zz
= + +
11
1 1 .
| | 2
i
zz
+ −
P
1
2
2 ; zi=−
P
3
2
2.zi=
z
1.z =
M
m
2
1 1 .P z z z= + + − +
.Mm
13 3
.
4
39
.
4
3 3.
13
.
4
z
3 3 8zz− + + =
M
m
.z
Mm+
Trang 6
A. B. C. D.
Câu 18: Cho số phức ( thoả điều kiện . Đặt .
Khẳng định nào sau đây đúng
A.
B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 2 4 4 4w w x y xyi x yi x y x y x y+ = − + + = + − + + = +
( )
4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
16 2 4 12 0 2 4 4 4 8 12 0x y x y x y x y x y x y x y + + + + − = + + − − + + − + =
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
8 12 2 4 4 4 2 w 2 .x y x y x y x y P x y − + = − + + − − + = − + − = − −
Hay phương án chọn là B. .
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì
w w .=
Câu 19: Cho số phức ( thoả điều kiện
2
w 4 2 w−=
. Đặt
22
8( ) 12P x y= − −
. Khẳng định nào sau đây đúng
A.
2
2
( 2)Pw=−
B.
2
2
( 2)Pw=+
. C.
2
2
( 4)Pw=+
D. .
Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.
Câu 20: Cho
w sin cosi

=+
với
0
2

thỏa mãn
2
w 1 2 w+=
.
Giá trị của
( )
2018
2
26 w 3P =−
là
A.
2018
23 .P =
B.
2018
23 .P =−
C.
2018
23 .Pi=
D.
2018
29 .P =
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
( )
2
22
w 1 sin cos 1 1 cos2 sin2 w 1 2 2cos2 .ii
+ = + + = − + + = −
4 7.−
4 7.+
7.
4 5.+
w x yi=+
,)xyR
2
42ww+=
( )
22
8 12P x y= − +
( )
2
2
2Pw= − −
( )
2
2
2Pw= − −
( )
2
4Pw=−
( )
2
2
4Pw=−
( )
2
2
2Pw= − −
w x yi=+
,)xyR
( )
22
8 12P x y= − +
( )
2
2
4Pw=−
Trang 7
22
2 w sin cos 2

= + =
.
Từ giả thiết:
2
w 1 2 w+=
cos2 0
4

= =
vì
0
2

.
2
2 2 2 2
w w w 1
2 2 2 2
ii = + = − =
.
Vậy
2018
23 .P =
Câu 21: Cho
12
, zz
là hai số phức thỏa mãn phương trình
22− = +z i iz
, biết
12
1−=zz
Tính giá trị
của biểu thức:
12
=+P z z
.
A.
3
2
=P
. B.
2=P
. C.
2
2
=P
. D.
3=P
.
Lời giải
Chọn D.
HD: Cách 1. Ta có:
22
2 2 2 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )− = + − = + − + = + −z i iz z i iz z i z i iz iz
22
4 . 2 2 4 2 2 . 3 . 3 + − − = − + − =z z iz iz i iz iz i z z z z
2
1
. 1 1 1 1 = = = =z z z z z
và
2
1=z
Chú ý:
2
2
. 2 (2 )(2 ) (2 )(2 )= − = − − = − +a a a z i z i z i z i z i
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
12
, zz
là đường tròn tâm O
bán kính
1=R
.
Gọi
1 1 2 2 1 2
( ), ( ) 1 = =M z M z OM OM
Ta có:
1 2 1 2 2 1 1 2
1− = − = = z z OM OM M M OM M
đều
Mà
1 2 1 2
+ = + = =z z OM OM OM OM
với M là điểm thỏa
mãn
12
OM MM
là hình thoi cạnh 1
33 = =OM P
.
Cách 2. Đặt
( )
, ,= + z x yi x y
, ta có
2 2 (2 1)− = + −z i x y i
và
22+ = − +iz y xi
.
y
O
x
Trang 8
Khi đó:
1
2 2 2 2 2 2
2
1
2 2 4 (2 1) ( 2) 1 1
1
=
− = + + − = − + + = =
=
z
z i iz x y y x x y z
z
Sử dụng công thức
( )
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 3+ + − = + + = + =z z z z z z z z z z
. Chọn
D.
Câu 22: Gọi
1 2 3
;;z z z
là các nghiệm của phương trình
( )
32
2 1 0iz z i z i− + − + =
. Biết
1
z
là số thuần ảo.
Đặt
23
P z z=−
, hãy chọn khẳng định đúng?
A.
45P
. B.
23P
. C.
34P
. D.
12P
.
Lời giải
Chọn B.
Biến đổi phương trình
( )
32
2 1 0iz z i z i− + − + =
( )
( )
2
10i z iz z+ − + =
2
1 0(*)
zi
iz z
=−
− + =
.
Như vậy:
23
;zz
là các nghiệm của phương trình (*).
( ) ( )
22
2
2
2 3 2 3 2 3 2 3
4P z z z z z z z z= − = − = + −
2
11
4. 17
ii

= − =


.
Vậy
4
17P =
.
Câu 23: Cho hai số phức
z
,
thỏa mãn
1 3 2z z i− = + −
;
z m i
= + +
với
m
là tham số. Giá
trị của
m
để ta luôn có
25
là:
A.
7
3
m
m
. B.
7
3
m
m
−
. C.
37m−
. D.
37m
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
( )
,,z a ib a b= +
có biểu diễn hình học là điểm
( )
;M x y
1 3 2z z i− = + −
( )
1 3 2x iy x y i − + = + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 3 2x y x y − + = + + −
2 1 6 9 4 4x x y− + = + − +
2 3 0xy − + =
Suy ra biểu diễn của số phức
z
là đường thẳng
:2 3 0xy − + =
.
Ta có:
25
25z m i + +
( )
1 2 5x m y i + + + +
( ) ( )
22
1 2 5x m y + + +
25MI
với
( )
;1Im−−
.
Trang 9
Mà ta có
( )
,MI d I
Nên
25MI
( )
, 2 5dI
24
25
5
m−+

2 4 10m − +
2 4 10
2 4 10
m
m
− +
− + −
3
7
m
m
−
.
Câu 24: Cho số phức
z a bi=+
( )
,ab
thỏa mãn
( )
( )
1 3 9z i z i i+ + − + =
và
2z
. Tính
P a b=+
.
A.
3−
. B.
1−
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C.
z a bi=+
z a bi=−
( )
( )
1 3 9z i z i i+ + − + =
( )( )
1 3 9a bi i a bi i i + + + − − + =
( )
22
2 1 1 9 3a b b a b i i + + + + − + = −
Ta có:
22
2 1 9
13
a b b a
b
+ + + + =
+=
2
2
0
b
aa
=
+=
22
01
bb
aa
==



= = −

.
1
2zi=
1
2z=
nên không thỏa yêu cầu bài toán.
2
12zi= − +
2
z=
22
2 1 5+=
thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy
1P a b= + =
.
Câu 25: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 4 5zi− − =
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
22
2P z z i= + − −
. Khi đó modun của số phức
w M mi=+
A.
2 314
. B.
1258
. C.
3 137
. D.
2 309
.
Lờigiải
Chọn B.
Giả sử
( )
,z x yi x y R= +
ta có
3 4 5zi− − =
( ) ( )
22
3 4 5xy − + − =
Ta có
4 2 3P x y= + +
( ) ( )
4 3 2 4 23x y P − + − = −
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
22
4 3 2 4 20 3 4 100x y x y

− + − − + − =



Suy ra
10 23 10P− −
13 33P
suy ra
33, 13Mm==
do đó ta được
33 13wi=+
vậy
w 1258=
.
Câu 26: Biết số phức
z x yi=+
,
( )
,xy
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
43z z i= + −
và biểu
thức
1 2 3P z i z i= + − + − +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
2P x y=+
.
A.
61
10
P =−
. B.
253
50
P =−
. C.
41
5
P =−
. D.
18
5
P =−
.
Trang 10
Lời giải
Chọn A .
Theo giả thiết
43z z i= + −
( ) ( )
43x yi x y i + = + − +
( ) ( )
22
22
43x y x y + = + + +
2 2 2 2
8 16 6 9x y x x y y + = + + + + +
8 6 25 0xy + + =
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 3P x y x y= + + − + − + +
Xét điểm
( )
1;1E −
;
( )
2; 3F −
và
( )
;M x y
. Khi đó,
P ME MF=+
.
Bài toán trở thành tìm điểm
:8 6 25 0M x y + + =
sao cho
ME MF+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì
( ) ( )
8 8 25 . 8 8 25 0
E E F F
x y x y+ + + +
nên hai điểm
,EF
nằm cùng phía đối với đường
thẳng
.
Gọi
E
là điểm đối xứng với
E
qua
Đường thẳng
EE
đi qua điểm
( )
1; 1E −
và có VTPT
( )
3; 4
EE
nu
= = −
nên có phương trình
( ) ( )
3 1 4 1 0xy+ − − =
3 4 7 0xy − + =
Gọi
H
là giao điểm của
EE
và
. Tọa độ điểm
H
là nghiệm của hệ phương trình
3 4 7
8 6 25
xy
xy
− = −
+ = −
71
25
19
50
x
y
=−
=−
suy ra
71 19
;
25 50
H

−−


E
¢
đối xứng với
E
qua
H
nên
117
25
44
25
E
E
x
y
=−
=−
.
Ta có
ME + MF = ME + MF E F
¢¢
³
.
Dấu bằng xảy ra
M
là giao điểm của
EF
¢
và đường thẳng
Đường thẳng
EF
đi qua điểm
( )
2; 3F −
và có VTPT
( )
31;167
EE
n
=
có phương trình
( ) ( )
31 2 167 3 0xy− + + =
31 +167 + 439 = 0xy
Trang 11
Tọa độ điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình
31 167 439
8 6 25
xy
xy
+ = −
+ = −
67
50
119
50
x
y
=−
=−
Vậy
61
2
10
P x y= + = −
.
Câu 27: Gọi
12
,zz
là 2 nghiệm của phương trình
1 2 1 2z i z i− + = + +
thỏa mãn
12
2zz−=
. Biết rằng
w
là số phức thỏa mãn
w 3 2 2i− − =
. Tìm GTNN của biểu thức
12
wwP z z= − + −
.
A.
13+
B.
23
C.
2
D.
6
.
Lời giải.
Chọn D .
Giả sử
( )
,z x yi x y R= +
ta có
1 2 1 2z i z i− + = + +
0x=
suy ra tập hợp điểm biểu diễn
12
,zz
là trục tung.
Giả sử
,AB
lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho
12
,zz
, ta có
12
2zz−=
2AB=
.
Giả sử
( )
w,a bi a b R= +
và
M
là điểm biểu diễn cho số phức
w
, ta có
w 3 2 2i− − =
22
( 3) ( 2) 4ab − + − =
suy ra tập hợp điểm biểu diễn
M
cho số phức
w
là đường tròn tâm
( )
3;2I
bán kính
2R =
.
Ta có
P MA MB=+
, gọi
E
là hình chiếu vuông góc của
I
lên trục tung, ta thấy
P
nhỏ
nhất khi
E
là trung điểm
AB
suy ra
6
2
MA MB==
, vậy
6
2. 6
2
MinP ==
Trang 12
Câu 28: Gọi là số phức thoả mãn . Giá trị của biểu thức
A. . B. C. . D. .
Lời giải:
Chọn A
Dễ thấy rằng không thoả mãn , do đó ta có
Ta cũng có và
Vậy
Câu 29: Cho hai số phức
1
z
,
2
z
có điểm biểu diễn lần lượt là
1
M
,
2
M
cùng thuộc đường tròn có
phương trình
22
1xy+=
và
12
1zz−=
. Tính giá trị biểu thức
12
P z z=+
.
A .
3
2
P =
. B.
2P =
. C.
2
2
P =
. D.
3P =
.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Do
1
M
,
2
M
cùng thuộc đường tròn có phương trình
22
1xy+=
nên
12
1zz==
.
Lại có:
12
1zz−=
2
12
1zz − =
( )( )
1 2 1 2
1z z z z − − =
( )
( )
1 2 1 2
1z z z z − − =
( )
1 1 1 2 1 2 2 2
. . . . 1z z z z z z z z − + + =
( )
22
1 2 1 2 1 2
. . 1z z z z z z + − + =
1 2 1 2
. . 1z z z z + =
.
2
2
12
P z z=+
( )( )
1 2 1 2
z z z z= + +
( )
( )
1 2 1 2
z z z z= + +
( )
22
1 2 1 2 1 2
. . 3z z z z z z= + + + =
.
Vậy
3P =
.
Cách 2: Do
1
M
,
2
M
cùng thuộc đường tròn
( )
T
tâm
( )
0;0O
, bán kính
1R =
và
12
1zz−=
nên
12
1MM =
. Suy ra
12
OM M
là tam giác đều cạnh bằng
1
.
z
2
10zz+ + =
2 3 4
2 3 4
2 3 4
1 1 1
2 3 4P z z z
z z z
= + + + + +
30
14.
8
28
0z =
2
10zz+ + =
2
10zz+ + =
1
1z
z
+ = −
2
2
1
1z
z
+ = −
3
3
1
z
z
+
3
1 1 1
3 . 2z z z
z z z
= + − + =
4
4
1
z
z
+
2
2
2
1
21z
z

= + − = −


2 3 4
2 3 4
2 3 4
1 1 1
2 03 34P z z z
z z z
= + + + + +
=
Trang 13
12
P z z=+
=
12
2OM OM OH+=
3
2. 2. 3
2
OH= = =
( Trong đó
H
là trung điểm
12
MM
)
Câu 30: Cho số phức
z
thỏa mãn
11
3
2
z
zi
−
=
+
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 4 7P z i z i= + + − +
A.
20
. B.
10
. C.
12 5
. D.
45
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
z x yi=+
,
( )
,xy
.
Ta có
11
3
2
z
zi
−
=
+
2 1 3z z i − = +
( ) ( )
22
22
2 1 3x y x y − + = + +
22
4 6 7 0x y x y + − − − =
.
Lại có
2 4 7P z i z i= + + − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2 4 7x y x y= + + + − + −
4 8 8 2 4 8 72x y x y= + + + − − +
.
Mặt khác
( )
2
4 8 8 2 4 8 72 5.80x y x y+ + + − − +
4 8 8 2 4 8 72 20x y x y + + + − − +
Suy ra
20P
.
Câu 31: Cho số phức
z a bi=+
(
a
,
b
là các số thực) thỏa mãn
34z z i= − +
và có môđun nhỏ nhất.
giá trị của
.P a b=
là?
A.
3
4
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
34a bi a bi i+ = − − +
( ) ( )
22
22
34a b a b + = − + −
6 8 25 0ab + − =
25 8
6
b
a
−
=
Mô đun của số phức
z
là:
Trang 14
22
z a b=+
2
2
25 8
6
b
b
−

=+


( )
2
100 2 225
36
b −+
=
15
6
Số phức
min
2zb=
3
2
a=
3P=
Câu 32: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2z i z i− − = −
. Tìm số phức
z
có môđun nhỏ
nhất.
A.
1zi= − +
. B.
22zi= − +
. C.
22zi=+
. D.
32i+
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi số phức
z
có dạng
z a bi=+
.
z
thỏa mãn
2 4 2z i z i− − = −
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2 4 2
2 4 2
4 4 8 16 4 4
4 4 16
4
a b i a b i
a b a b
a a b b a b b
ab
ab
− + − = + −
− + − = + −
− + + − + = + − +
+ =
+ =
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
( )
( )( )
2
2
2 2 2 2 2 2
16 1 1 8a b a b z a b= + + + = +
22z
Dấu
=
xảy ra
2 2 2
11
4
ab
a b z i
ab
=
= = = +
+=
Câu 33: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2z i z i− − = −
. Số phức
z
có mô đun bé nhất
bằng
A.
32
B.
2
. C.
22
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
,z x yi x y= +
. Khi đó
2 4 2z i z i− − = −
2 4 2x yi i x yi i + − − = + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 4 2x y x y − + − = + −
4 4 16 0xy− − + =
40xy + − =
.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
: 4 0xy + − =
.
Trang 15
( )
min
4
; 2 2
2
z d O= = =
.
Câu 34: Cho hai số phức
12
;zz
thỏa mãn
12
5zz+=
và
12
1zz−=
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
12
P z z=+
là:
A.
26.
B.
26
.
2
C.
9.
D.
1
.
2
−
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi
,MN
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
12
;zz
.
Từ giả thiết :
12
5zz+=
5OM ON + =
5
2
OI=
với
I
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
.
12
1zz−=
1OM ON − =
1MN=
.
Ta có
2 2 2
2
24
OM ON MN
OI
+
=−
2
2
22
2O
2
MN
IOM ON ++=
13=
12
P z z=+
OM ON=+
( )( )
2 2 2 2 2
11P OM ON + +
26=
. Vậy
max
26.P =
Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác.
Trang 16
Câu 35: Cho hai số phức
12
;zz
thỏa mãn
12
5zz+=
và
12
1zz−=
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
P z z=+
. Khi đó mô đun của số phức
.M mi+
là :
A.
76
. B.
76
. C.
2 10
. D.
2 11
.
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi
,MN
lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
12
;zz
.
Từ giả thiết :
12
6zz+=
6OM ON + =
3OI=
với
I
là trung điểm của đoạn thẳng
MN
.
12
2zz−=
2OM ON − =
2MN=
.
Ta có
2 2 2
2
24
OM ON MN
OI
+
=−
2
2
22
2O
2
MN
IOM ON ++=
20.=
12
P z z=+
OM ON=+
( )( )
2 2 2 2 2
11P OM ON + +
40.=
Vậy
ax 2 0 .m 1PM==
12
P z z=+
OM ON=+
OM ON+
6=
.
Vậy
min 6Pm==
.
Suy ra
.M mi+
40 36 76.= + =
Câu 36: Cho số phức
z
thỏa mãn
5
.3
2
iz+=
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
425z 11 iP z i= + − −+−
là:
A.
25
. B. 3. C.
35
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn C.
Ta gọi
( ; )M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
.
Trang 17
5
.3
2
iz+=
( )
2
2
5
3
2
xy + − =
. Suy ra
5
( ; ) (0;3);
2
M x y C I R

=



Khi đó:
425z 11 iP z i= + − −+−
22 z 5
1
2
1i zi= + −− −+
2 MA MB=+
,
với
( )
1
;2 ; 1;5
2
AB

−


Ta có:
1
;1
2
IA

= − −


( )
; 1;2IB =
suy ra
2.IB IA=−
.
Theo định lý Stewart ta có:
2 2 2
5 3 5 5
5 . 5
2 2 2
MA MB MI

+ = +



22
2 15MA MB + =
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
MI MA AB=+
1
3
MA AB=+
( )
1
3
MA MB MA= + −
21
33
MA MB=+
Suy ra:
( )
2 2 2
4 1 4
. .cos ,
9 9 9
MI MA MB MAMB MA MB= + +
22
4 1 4
. .cosAMB
9 9 9
MA MB MAMB= + +
2 2 2
22
4 1 4
.
9 9 9 2. .
MA MB AB
MA MB MAMB
MA MB

+−
= + +


2 2 2
2 1 2
3 3 9
MA MB AB= + −
22
2MA MB+
22
2
3
3
MI AB=+
15=
)
Vậy
2P MA MB=+
( )
2. 2.MA MB=+
(
)
( )
2
2 2 2
2 1 2MA MB + +
45=
3 5.=
Câu 37: Cho
1
z
,
2
z
là hai số phức thỏa mãn
22z i iz− = +
, biết
12
1zz−=
. Tính giá trị của biểu
thức
12
P z z=+
A.
3
2
P =
. B.
2P =
. C.
2
2
P =
. D.
3P =
.
Lời giải
Chọn D.
Trang 18
Cách 1.
+ Đặt
z x yi=+
,
,xy
, ta có
( ) ( )
2 2 2 2 1 2z i iz x y i y xi− = + + − = − +
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2
4 2 1 2 4 4 4 1 4 4x y y x x y y y y x+ − = − + + − + = − + +
22
12
1 1 1x y z z z + = = = =
+ Sử dụng công thức:
12
,zz
ta có
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2z z z z z z+ + − = +
Suy ra
3P =
.
Cách 2.
+ Biến đổi:
( )
2 2 2iz i iz z i+ = − + = −
Ta có
22
12
2 2 2 2 1 1z i z i z i z i z z z− = − − = − = = =
.
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 2
2,mz nz m z mnz z cos z z n z+ = + +
Trong đó
( )
12
,zz
là góc
MON
với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
12
,zz
trên
mặt phẳng phức
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 1 2 . . , 1 ,
2
z z z z z z z z cos z z cos z z− = − = + − = =
.
Vậy
( )
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 . . , 3 3P z z z z z z cos z z P= + = + + = =
.
Câu 38: Cho số phức
12
,zz
thỏa mãn
2 2 1z i z i+ − = − −
và
12
1z z i+ = +
. Tính giá trị biểu thức
22
12
P z z=+
.
A.
2P =
. B.
1P =
. C.
4P =
.
D.
9P =
.
Lời giải
ChọnC
Ta có
11
2 2 1z i z i+ − = − −
mà
12
1z z i+ = +
12
22z i z + − =
( )
( )
( ) ( )
22
2 1 1 1 1 1
4 2 2 2 2 5.z z i z i z i z i z = + − + + = + − + + +
(1)
Tương tự ta có
( ) ( ) ( )
22
1 2 2 2
4 2 2 5. 2z z i z i z= + − + + +
Cộng (1) và (2) ta có
Trang 19
( ) ( )( )
1 2 1 2
4 2 2 10P P i z z i z z= + − + + + + +
( )( ) ( )( )
2 1 2 1 10 12 4.P i i i i P P= + − − + + + + = + =
Câu 39: Cho hai số thực
;bc
( 0)c
. Kí hiệu
;AB
là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai
nghiệm của phương trình
2
20z bz c+ + =
, tìm điều kiện của
b
và
c
sao cho tam giác
OAB
là tam giác vuông ( Với
O
là gốc tọa độ ).
A.
.cb=
B.
2
.cb=
C.
2
2.cb=
D.
2
2.bc=
Lời giải
Chọn C.
Ta có
'2
bc = −
Nếu
'2
0bc = −
phương trình có hai nghiệm
1,2
'Zb= −
(Loại vì
,,O A B
thẳng
hàng)
Nếu
'2
0bc = − =
phương trình có nghiệm kép (Loại)
Nếu
'2
0bc = −
Phương trình có hai nghiệm
22
1,2
()Z b i b c b i b c= − − = − − −
Vậy hai điểm biểu diễn là
2
( ; )A b b c−−
và
2
( ; )B b b c− − −
Tam giác
OAB
cân tại
O
.Vậy để tam giác
OAB
vuông
.0OAOB=
22
0b b c − − =
2
2cb=
.
Câu 40: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 7 3z z i z− = − + +
. Tính
z
?
A. 3. B.
13
4
. C.
25
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn D.
Giả sử , ta có:
Vậy .
( )
,z a bi a b= +
( )
2 7 3 2 7 3z z i z z x yi i x yi− = − + + − − = − + + +
( )
2
27
9 3 7 *
23
3
z x x
xx
yy
y
− = −
+ = −


=+
=
( )
22
7
*4
3
9 9 42 7
x
x
xx
=
+ = − +
5z =
Trang 20
Câu 41: Hcho hai số phức
,zw
thỏa mãn
3 2 1
1 2 2
zi
w i w i
− −
+ + − −
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu
thức
P z w=−
.
A.
min
3 2 2
2
P
−
=
. B.
min
21P =+
. C.
min
5 2 2
2
P
−
=
. D.
min
3 2 2
2
P
−
=
.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1 :
Giả sử
z a bi=+
( )
,ab
,
w x yi=+
( )
,xy
.
3 2 1zi− −
( ) ( )
22
3 2 1ab − + −
(1)
1 2 2w i w i+ + − −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 1x y x y + + + − + −
.
Suy ra
0xy+=
.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P z w a x b y a x b x= − = − + − = − + +
.
Từ (1) ta có
( )
3;2I
, bán kính
1r =
. Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
:d y x=−
.
Đường thẳng
HI
có PTTS
3
2
xt
yt
=+
=+
.
( )
3 ;2M HI M t t + +
( )
2
21M C t =
1
2
1
2
t
t
=
=−
11
2 3 ;2
22
tM

= + +


,
52
2
MH
+
=
11
3 3 ;2
22
tM

= − −


,
52
2
MH
−
=
Vậy
min
5 2 2
2
P
−
=
.
Trang 21
Cách 2 :
3 2 1zi− −
điều này cho thấy
( )
Mz
đang nằm trên hình tròn tâm
( )
3;2I
bán kính bằng
1.
1 2 2w i w i+ + − −
điều này cho thấy
( )
Nw
đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường
thẳng
là trung trực của đoạn
AB
với
( ) ( )
1; 2 , 2;1 .AB−−
: 0.xy + =
(Minh hoạ như hình vẽ)
.P z w MN= − =
( )
min
32
5 2 2
, 1 .
2
2
P d I R
+
−
= − = − =
Câu 42: Xét các số phức
,( , )z a bi a b= +
thỏa mãn
3 2 2.zi− − =
Tính
ab+
biết biểu thức
1 2 2 2 5S z i z i= + − + − −
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
43+
. B.
23+
. C.
43−
. D. 3.
Lời giải:
Chọn A
Giả thiết
22
3 2 2 ( ):( 3) ( 2) 4z i T a b− − = − + − =
Gọi
( 1;2), (2;5), ( ; )A B M a b−
lần lượt là các điểm biểu
diễn của các số phức
1 2 3
1 2 , 2 5 ,z i z i z a bi= − + = + = +
Bài toán trở thành: Tìm
()MT
sao cho biểu thức
2S MA MB=+
nhỏ nhất
Ta có
2 2 2 2
( 1) ( 2) 2 4 5MA a b a b a b= + + − = + + − +
O
y
x
2
1
2
3
-2
-1
B
A
I
M
N
Δ
O
y
x
2
1
2
3
-2
-1
N
M
I
O
I
J
A
B
M
-1
2
5
Trang 22
22
2 4 4 8a b a b= + − − +
22
2 ( 2) ( 2) 2a b MC= − + − =
với
(2;2)C
Ta có
2 2( ) 2MA MB MB MC BC+ = +
dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi
,,B M C
theo thứ tự
đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng
:2BC x =
M
là giao của của BC và
( ) (2;2 3) a b 4 3TM + + = +
.
Câu 43: Giả sử
12
,zz
là hai nghiệm phức của phương trình
( ) ( )
2 1 2 1 3i z z i z i+ − − = +
và
12
1zz−=
. Tính
12
23M z z=+
A.
19M =
. B.
25M =
. C.
5M =
. D.
19M =
.
Lời giải
Chọn D.
Từ giả thiết ta có:
( ) ( )
2 1 2 1 3i z z i z i+ − − = +
( ) ( )
( )
2 1 2 1 3i z i z i + − − = +
( ) ( )
2 1 2 1 3i z i z i + − − = +
( ) ( )
2 1 2 1 3z z i z i − + + = +
( ) ( )
22
2 1 2 1 3z z z i − + + = +
.
Bình phương, giải phương trình tìm được
1z =
, Gọi
A,B
lần lượt là hai điểm biểu diễn của
hai số phức
12
,zz
trong mặt phẳng phức thì suy ra
A,B
nằm trên đường tròn tâm
O
, bán kính
1 và
AB=1
, do đó tam giác
OAB
là tam giác đều.
Cách trắc nghiệm : chọn
( )
13
A 1;0 ;B ;
22




thỏa mãn bài toán, nên
2
2
12
3 3 3
2 3 2 19
22
M z z


= + = + + =





Cách tự luận:
12
2 3 2OA+3OB OA +OB OCM z z

= + = = =
Trang 23
Áp dụng định lý hàm số cos tìm được
OC 19M ==
Câu 44:Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện sau
13
2
zz
z
+
+ = +
, gọi số phức
z a bi=+
là số phức có mô đun nhỏ nhất. Tính
2S a b=+
.
A.
0
. B.
4−
. C.
2
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
( ) ( )
22
2
1 3 1 3
2
zz
z a b a
+
+ = + + + = +
2
48ba = +
.
Từ đó:
( )
2
2 2 2
4 8 2 4 2z a b a a a= + = + + = + +
.
Vậy
min 2z =
đạt được khi
2; 0ab= − =
.
Khi đó:
4S =−
.
Câu 45: Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 4 2z i z i− − = −
. Số phức
z
có môđun nhỏ nhất
là:
A.
2 2 .zi= − +
B.
2 2 .zi=+
C.
2 2 .zi=−
D.
2 2 .zi= − −
Lời giải
Chọn B.
Đặt
, ( , ).z a bi a b= +
Ta có
2 4 2z i z i− − = −
suy ra
4.ab+=
Ta có:
22
z a b=+
( )
2
2
ab+
22=
.
Dấu
""=
xảy ra khi
4ab
ab
+=
=
2ab==
.
Vậy
2 2 .zi=+
Trang 24
Câu 46: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 2.zi− + =
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 3 2 2i i z= − + −
là một đường tròn. Tính bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
20.R =
B.
7.R =
C.
2 5.R =
D.
7.R =
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
( ) ( )( )
w 3 2 2 3 7 2 1 2i i z i i z i= − + − = − + − − +
( )( )
w 3 7 2 1 2i i z i − + = − − +
( )( )
w 3 7 2 1 2 2 1 2 2 5i i z i i z i − + = − − + = − − + =
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 3 2 2i i z= − + −
là một đường tròn bán kính
2 5.R =
Câu 47: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2.zi− − =
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 3 1i i z= + + −
là một đường tròn. Tính bán kính
R
của đường tròn đó.
A.
4.R =
B.
2 2.R =
C.
2.R =
D.
2.R =
Câu 48: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 2.zi− + =
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 3 2 2i i z= − + −
là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm
I
của đường tròn đó.
A.
( )
3; 7 .I −
B.
( )
2; 1 .I −
C.
( )
3; 2 .I −
D.
( )
1; 2 .I −
Câu 49: Trong các số phức
z
thỏa mãn
1 5 3 ,z i z i+ − = + −
giả sử số phức có mô đun nhỏ
nhất có dạng
z a bi=+
. Khi đó
a
S
b
=
bằng bao nhiêu?
A.
2
3
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
3
2
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
1 5 3z i z i+ − = + −
1 5 3a bi i a bi i + + − = − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 5 3 1a b a b + + − = + + +
2 1 10 25 6 9 2 1a b a b + − + = + + +
4 12 16 0ab + − =
3 4 0ab + − =
.
Vậy quỹ tích các điểm
( )
;M x y
biểu diễn số phức
z
là đường thẳng
( )
3 4 0x y d+ − =
.
Trang 25
Có
z OM=
, khi đó số phức
z
có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi
OM
nhỏ nhất tức
M
là
hình chiếu vuông góc của
O
trên đường thẳng
( )
d
.
Phương trình đường thẳng
OM
là:
30xy−=
( )
26
;
55
d OM M

=


26
55
zi = +
a bi=+
1
3
a
b
=
.
Câu 50: Cho số phức
z a bi=+
(
,ab
) thoả mãn
( )
7 2 0z i z i+ + − + =
và
3z
.Tính
P a b=+
.
A.
5P =
. B.
1
2
P =−
. C.
7P =
. D.
5
2
P =
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
z a bi=+
,
,ab
.
( )
7 2 0a bi i a bi i + + + − + + =
2 2 2 2
7 2 0a bi i a b i a b + + + − + − + =
(
)
2 2 2 2
2 7 1 0a a b b a b i − + + + + − + =
22
22
2 7 0
10
a a b
b a b
− + + =
+ − + =
22
22
2 7 0
2 2 2 0
a a b
b a b
− + + =
+ − + =
22
2 7 0
25
a a b
ab
− + + =
=−
2
5 20 25 1
25
b b b
ab
− + = +
=−
2
10
4 22 24 0
25
b
bb
ab
+
− + =
=−
4
3
b
a
=
=
3
2
2
b
a
=
=−
.
Ta có
34zi=+
5z=
( loại);
3
2
2
zi= − +
25
4
z=
. Vậy
P a b=+
1
2
=−
.
Câu 51: Gọi
T
là tổng phần thực và phần ảo của số phức
2 3 2018
2 3 .... 2018w i i i i= + + + +
. Tính giá trị
của
T
?
A.
0
. B.
1−
. C.
2
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn.B.
Cách 1:
Ta có
2 3 4 2017 2018
2 3 4 ... 2017 2018w i i i i i i= + + + + + +
( ) ( )
( ) ( )
4 8 2016 5 9 2017
2 6 10 2014 2018 3 7 11 2015
4 8 ... 2016 5 9 ... 2017
2 6 10 ... 2014 2018 3 7 11 ... 2015
i i i i i i i
i i i i i i i i i
= + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
Trang 26
( ) ( )
( ) ( )
23
4 8 ... 2016 5 9 ... 2017
2 6 10 ... 2014 2018 3 7 11 ... 2015
ii
ii
= + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
504 505 505 504
1 1 1 1
4 4 3 4 2 4 1
n n n n
n i n n i n
= = = =
= + − − − − −
( ) ( ) ( ) ( )
504 505 505 504
1 1 1 1
4 4 2 4 3 4 1
n n n n
n n n n i
= = = =
= − − + − − −
1010 1009 .i= − +
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức
w
bằng
1−
.
Cách 2:
Phân tích như Cách 1 nhưng sử dụng cấp số cộng để tính các tổng trên.
Cách 3:
Đặt
( )
2 3 2017 2018
1 ....f x x x x x x= + + + + + +
( )
2 2016 2018
1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x
= + + + + +
( ) ( )
2 3 2017 2018
2 3 ... 2017 2018 1xf x x x x x x
= + + + + +
Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2019
2 3 2017 2018
2018 2019
2
2018 2019
2
1
1 ....
1
2019 1 1
1
2019 1 1
.2
1
x
f x x x x x x
x
x x x
fx
x
x x x
xf x x
x
−
= + + + + + + =
−
− − −
=
−
− − −
=
−
Thay
xi=
vào
( )
1
và
( )
2
ta được:
( )
( )
( )
2018 2019
2
2019 1 1
.
1
i i i
wi
i
− − −
=
−
2019 2019 1
1010 1009 .
2
ii
ii
i
− + + +
= = − +
−
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức
w
bằng
1−
.
Câu phát triển:.
Câu 52: Gọi
( )
;M a b
là điểm biểu diễn của số phức
2 3 2017 2018
2 3 .... 2017 2018w i i i i i= − + − + − +
trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦. Tính
3T a b= − +
?
A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
2 3 2017 2018
1 ....f x x x x x x= + + + + + +
( )
2 2016 2018
1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x
= + + + + +
Trang 27
( ) ( )
2 3 2017 2018
2 3 ... 2017 2018 1xf x x x x x x
= + + + + +
Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2019
2 3 2017 2018
2018 2019
2
2018 2019
2
1
1 ....
1
2019 1 1
1
2019 1 1
.2
1
x
f x x x x x x
x
x x x
fx
x
x x x
xf x x
x
−
= + + + + + + =
−
− − −
=
−
− − −
=
−
Thay
xi=−
vào
( )
1
và
( )
2
ta được:
( )
( )
( )
2018 2019
2
2019 1 1
.
1
i i i
wi
i
− − − − −
=−
−−
( )
( )
( )
2018 2019
2
2019 1 1
.
1
i i i
i
i
+ + +
=
+
( )
( )
( )
(
)
504 504
4 2 4 3
2019 1 1
.
2
i i i i i
i
i
+ + +
=
( ) ( )
2019 1 1
2
ii− + + − +
=
2020 2018
1009 1010 .
2
i
i
−−
= = − −
1009; 1010ab = − = −
3 2017T a b = − + =
.
Câu 53: Gọi
T
là tổng phần thực và phần ảo của số phức
3 4 2018 2019
2 3 ... 2017 2018w i i i i= + + + +
.
Tính giá trị của
T
?
A.
0
. B.
1−
. C.
2
. D.
2−
.
Lời giải
Chọn. A.
Đặt
( )
2 3 2017 2018
1 ....f x x x x x x= + + + + + +
( )
2 2016 2018
1 2 3 ... 2017 2018f x x x x x
= + + + + +
( ) ( )
2 2 3 4 2018 2019
2 3 ... 2017 2018 1x f x x x x x x
= + + + + +
Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2019
2 3 2017 2018
2018 2019
2
2018 2019
22
2
1
1 ....
1
2019 1 1
1
2019 1 1
.2
1
x
f x x x x x x
x
x x x
fx
x
x x x
x f x x
x
−
= + + + + + + =
−
− − −
=
−
− − −
=
−
Thay
xi=
vào
( )
1
và
( )
2
ta được:
( )
( )
( )
2018 2019
2 3 4 2018 2019 2
2
2019 1 1
2 3 ... 2017 2018 . 1009 1010
1
i i i
i i i i i i i
i
− − −
+ + + + + = = −
−
( )
( )
( )
2018 2019
2 3 4 2018 2019 2
2
2019 1 1
2 3 ... 2017 2018 . 1009 1010
1
i i i
i i i i i i i
i
− − −
+ + + + + = = −
−
Trang 28
2
1009 1010 1010 1010w i i i= − − = −
Câu 54: Cho các số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
6z =
,
2
2z =
. Gọi
M
,
N
lần lượt là điểm biểu diễn các
số phức
1
z
,
2
iz
. Biết rằng
60MON =
. Tính
22
12
9T z z=+
.
A.
18T =
. B.
24 3T =
. C.
36 2T =
. D.
36 3T =
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1
66z OM= =
;
22
2 2 2z iz ON= = =
.
Gọi
1
1
3
zz=
và
K
là điểm biểu diễn số phức
z
1
3
OK OM=
60KON =
và
2OK =
.
Từ đó suy ra tam giác
OKN
đều cạnh bằng
2
2NK=
và
23
3
2
OI ==
, với
I
là trung
điểm
KN
.
Khi đó
22
12
9T z z=+
( )
2
2 2 2
22
9 9 9z z z iz= + = −
( )( )
1 2 1 2
9 3 3z iz z iz= − +
22
9.z iz z iz= − +
Do đó:
18. . 18.2. 3 36 3T NK OI= = =
.
Câu 55: Cho số phức
( )
,z a bi a b= + R
thỏa mãn
2018
zz=
. Hỏi có bao nhiêu cặp
( )
;ab
thỏa mãn đề
bài:
A.
2021
. B.
2018
. C.
2019
. D.
2020
.
Lời giải:
Chọn D.
I
N
O
K
M
Trang 29
Ta có
2018
2018
0
.
1
z
z z z z
z
=
= =
=
+ Nếu
00zz= =
.
+ Nếu
1z =
, ta có
2018 2018 2019
1
1z z z z
z
= = =
.
Vì phương trình
2019
1z =
có
2019
nghiệm nên có tất cả
2020
số phức
z
thỏa mãn.
Vậy có
2020
cặp
( )
;ab
thỏa mãn đề bài.
Câu 56: Cho số phức
z
thỏa mãn:
1 3 13− − =zi
. Gọi
,mM
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
lớn nhất của biểu thức
22
23= + − −P z z i
. Tính
=+.A m M
A.
=10.A
B.
= 25.A
C.
= 34.A
D.
= 40.A
Lời giải
Chọn đáp án C
Đặt
( )
;= + z x yi x y R
Ta có
− − =1 3 13zi
− + − =
22
( 1) ( 3) 13xy
= + −4 6 5P x y
− = − + − + − + −
2 2 2 2
17 4( 1) 6( 3) (4 6 )[(x 1) ( 3) ]P x y y
Vậy
17 26P−
9 43P −
9, 43mM = − =
34A=
.
Câu 57: Cho số phức
z
thỏa mãn
3 3 8zz− + + =
. Gọi
M
,
m
lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
.z
Khi đó
Mm+
bằng
A.
4 7.−
B.
4 7.+
C.
7.
D.
4 5.+
Lời giải
Chọn B
Gọi
z x yi=+
với
;xy
.
Ta có
8 3 3 3 3 2 4z z z z z z= − + + − + + =
.
Do đó
4M max z==
.
Mà
( ) ( )
22
22
3 3 8 3 3 8 3 3 8z z x yi x yi x y x y− + + = − + + + + = − + + + + =
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
8 1. 3 1. 3 1 1 3 3x y x y x y x y

= − + + + + + − + + + +

Trang 30
( ) ( )
2 2 2 2
8 2 2 2 18 2 2 2 18 64x y x y + + + +
2 2 2 2
7 7 7x y x y z + +
.
Do đó
7M min z==
.
Vậy
47Mm+ = +
.
Câu 58: Xét số phức
z
thỏa mãn
2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =
. Gọi
m
,
M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của
1zi−+
. Tính
P m M=+
.
A.
13 73P =+
. B.
5 2 2 73
2
P
+
=
.
C.
5 2 2 73P =+
. D.
5 2 73
2
P
+
=
.
Lời giải
Chọn B .
Cách 1. Gọi
( )
;M x y
là điểm biểu diễn của
z
. Các điểm
( )
2;1A −
,
( )
4,7B
,
( )
1; 1C −
.
Ta có
2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =
62MA MB + =
, mà
62AB =
MA MB AB + =
.
Suy ra
M
thuộc đoạn thẳng
AB
.
Phương trình đường thẳng
:3AB y x=+
, với
2;4x−
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
22
1 1 1 1 1 4 2 6 17z i MC z i MC x y x x x x− + = − + = = − + + = − + + = + +
Đặt
( )
2
2 6 17f x x x= + +
,
2;4x−
.
( )
46f x x
=+
,
( )
3
0
2
f x x
= = −
( nhận )
Ta có
( )
2 13f −=
,
3 25
22
f

−=


,
( )
4 73f =
.
Vậy
( ) ( )
Max 4 73==f x f
,
( )
3 25
22

= − =


Minf x f
.
Trang 31
73M=
,
52
2
m =
.
5 2 2 73
2
P
+
=
.
Cách 2.Gọi
( )
;M x y
là điểm biểu diễn của
z
.
Các điểm
( )
2;1A −
,
( )
4,7B
,
( )
1; 1C −
.
Ta có
2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =
62MA MB + =
, mà
62AB =
MA MB AB + =
Suy ra
M
thuộc đoạn thẳng
AB
.
Phương trình đường thẳng
:3AB y x=+
, với
2;4x−
.
( )
min
5
;
2
CM d C AB==
.
max
73; 13 73CB CA CM CB= = = =
.
Vậy
5 2 73 5 2
73
2
2
P
+
= + =
.
Câu 59: Biết phương trình:
2 2018
2017.2018 2 0zz+ + =
có 2 nghiệm
1
z
,
2
z
. Tính
12
S z z=+
.
A.
2018
2S =
. B.
2019
2S =
. C.
1009
2S =
. D.
1010
2S =
.
Lời giải
Chọn D
2 2018
2017.2018 2 0zz+ + = =
12
2017.2018zz+=
và
2018
12
2zz =
là số thực.
21
zz= =
2 1 1
z z z= = =
.
Mà ta có:
2018
12
2zz =
2018
11
.2zz= =
2
2018
1
2z= =
1009
1
2z= =
.
Vậy ta có:
1010
1 2 1
22S z z z= + = =
.
Trang 32
Câu 60: Cho hai số thực
b
và
( )
0cc
. Kí hiệu
A
,
B
là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của
phương trình
2
20+ + =z bz c
trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của
b
và
c
để tam giác
OAB
là tam giác vuông (
O
là gốc tọa độ).
A.
2
2=bc
. B.
2
2=cb
. C.
=bc
. D.
2
=bc
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
2
20z bz c+ + =
. Vì
12
2z z b+ = −
và
12
z z c=
là số thực.
21
zz=
2 1 1
z z z = =
. Vậy ta có:
1
xb=
và
22
12
x y c+=
.
Ta có:
1 1 1
z x y i= + =
( )
11
;A x y
;
1 2 2
z x y i= + =
( )
22
;B x y
.
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O
.0OAOB= =
1 2 1 2
0x x y y + =
22
11
0xy − =
22
11
xy=
2
2cb=
.
Câu 61: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
22
4 4( 1) 3 0z m z m m+ − + − =
có hai nghiệm phức
12
,zz
thỏa mãn
12
2zz+=
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
22
4 4( 1) 3 0z m z m m+ − + − =
Vì
12
1z z m+ = −
và
2
12
3z z m m=−
là số thực.
21
zz=
2 1 1
z z z= = =
. Vậy ta có:
1
1
2
m
x
−
=
và
2 2 2
11
3x y m m+ = −
.
Ta có:
12
2zz+=
= + =
11
2zz
=
1
1z
22
11
1xy= + =
2
34mm − =
1
4
m
m
=−
=
.
Câu 62: Cho số phức
z a bi=+
( )
, , 0a b a
thỏa
( )
. 12 13 10z z z z z i− + − = −
. Tính
S a b=+
.
A.
17S =−
. B.
5S =
. C.
7S =
. D.
17S =
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
( )
. 12 13 10z z z z z i− + − = −
2 2 2 2
12 2 13 10a b a b bi i + − + + = −
Trang 33
2 2 2 2
12 13
2 10
a b a b
b
+ − + =
=−
22
25 12 25 13
5
aa
b
+ − + =
=−
( )
2
2
25 13
25 1
5
a
a VN
b
+=
+ = −
=−
12
5
a
b
=
=−
12
5
a
b
=
=−
, vì
0a
.
Vậy
7S a b= + =
.
Câu 63: Cho số phức
( )
,z a bi a b= +
thỏa mãn
( )
1 2 3 2i z z i+ + = +
. Tính
P a b=+
.
A.
1
2
P =
. B.
1P =
. C.
1P =−
. D.
1
2
P =−
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
( ) ( )
1 2 3 2 . 1+ + = +i z z i
. Ta có:
=+z a bi
z a bi = −
.
Thay vào
( )
1
ta được
( )( ) ( )
1 2 3 2+ + + − = +i a bi a bi i
( ) ( )
3 3 2 − + − = +a b i a b i
1
2
2
3 3 3
2
a
ab
ab
b
=
−=


−=
=−
.
Vậy
1P =−
.
Câu 64: Cho số phức
z a bi=+
( , )ab
thỏa mãn
1 3 0z i z i+ + − =
. Tính
3S a b=+
.
A.
7
3
S =
. B.
5S =−
. C.
5S =
. D.
7
3
S =−
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
( )
; ; .z a bi a b= +
Từ giả thiết, ta có:
1 3 0+ + + − + =a bi i a bi i
22
1 3 . 0 + + + − + =a bi i a b i
(
)
22
1 3 . 0 + + + − + =a b a b i
22
1
10
4
30
3
=−
+=



=−
+ − + =
a
a
b
b a b
.
Vậy
4
3 1 3. 5
3
S a b

= + = − + − = −


.
Trang 34
Câu 65: Tìm tập hợp các số phức
z
thỏa
( )
12 5 17 7
13
2
i z i
zi
− + +
=
−−
.
A.
:6 4 3 0d x y+ − =
. B.
: 2 1 0d x y+ − =
.
C.
22
( ): 2 2 1 0C x y x y+ − + + =
. D.
22
( ): 4 2 4 0C x y x y+ − + + =
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
( ; )M x y
là điểm biểu số phức
( , )z x yi x y= +
thỏa bài toán.
Theo đề có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
12 5 17 7
13 12 5 17 12 5 7 169 2 1
2
i z i
x y y x x y
zi
− + +

= + + + − + = − + −

−−
6 4 3 0xy + − =
.
Vậy tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
là đường thẳng
6 4 3 0xy+ − =
.
Câu 66: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 2 3 2 1 2z i i z− + = − −
. Tập hợp các điểm
M
biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
là đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A.
20 16 47 0xy− − =
. B.
20 16 47 0xy+ − =
.
C.
20 16 47 0xy− + =
. D.
20 16 47 0xy+ + =
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
( ; )M x y
là điểm biểu diễn của số phức
( , )z x yi x y z x yi= + = −
.
Ta có
2 2 3 2 1 2 2 ( 2) ( 3) ( 2 1) (2 2)z i i z x y i x y i− + = − − − + + = − − + +
2 2 2 2
2 ( 2) ( 3) ( 2 1) (2 2) 20 16 47 0x y x y x y − + + = − − + + − − =
.
Vậy tập hợp điểm
M
biểu diễn số phức
z
là đường thẳng
20 16 47 0xy− − =
.
Câu 67: Tìm tập hợp các số phức
z
thỏa
z
thỏa
4 4 10zz+ + − =
.
A.
( )
22
:1
9 25
xy
E +=
. B.
( )
22
:1
25 9
xy
E +=
.
C.
( )
22
:1
16 9
xy
E +=
. D.
( )
22
:1
53
xy
E +=
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
( ; )M x y
là điểm biểu số phức
( , )z x yi x y= +
thỏa bài toán.
Ta có
4 4 10 ( 4) ( 4) 10z z x yi x yi+ + − = + + + − + =
( )
2 2 2 2
( 4) ( 4) 10 *x y x y + + + − + =
Trang 35
Đặt
1
( 4;0)F -
và
2
(4;0)F
thì
( )
1 2 1 2
* 10 8MF MF FF + = =
nên tập hợp điểm
( ; )M x y
biểu diễn số phức
z
là một elíp với hai tiêu điểm
12
,FF
.
Ta có:
12
22
12
2 2 2
2 10
5
2 8 4 ( ): 1
25 9
3
MF MF a
a
xy
FF c c E
b
a b c
+ = =
=

= = = + =


=
=+
.
Câu 68: Tìm tổng các giá trị của số thực
a
sao cho phương trình
22
3 2 0z z a a+ + − =
có nghiệm phức
o
z
thỏa
o
2z =
.
A.
0
. B.
2
. C.
6
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Ta có với mọi
a
thì phương trình
22
3 2 0z z a a+ + − =
luôn có nghiệm phức.
2
1
3 4 8 9
2
i a a
z
− + − + +
=
và
2
2
3 4 8 9
2
i a a
z
− − − + +
=
.
Suy ra
2
12
4 8 9
3
44
aa
zz
− + +
= = +
.
2
o
4 8 9
3
22
44
aa
z
− + +
= + =
2
2
4 8 9
9
4 4 8 9 7
44
aa
aa
− + +
+ = − + + =
( )
( )
2
2
2
2
4 8 2 0 1
4 8 9 7
4 8 9 7
4 8 16 0 2
aa
aa
aa
aa
− + + =
− + + =

− + + = −
− + + =
.
Từ
( )
1
ta có
12
2aa+=
, từ
( )
2
ta có
34
2aa+=
.
Vậy tổng
1 2 3 4
4a a a a+ + + =
.
Câu 69: Cho số phức
z
thỏa
1z =
, gọi
,mM
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
3
54
6 2 1P z z z z= + + − +
. Tính
Mm−
.
A.
1Mm−=
. B.
3Mm−=
. C.
6Mm−=
. D.
12Mm−=
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
3
54
6 2 1P z z z z= + + − +
42
42
62z z z z= + + − +
Trang 36
(
)
2
22
22
42z z z z= + + − +
(
)
2
22
22
42z z z z= + + − +
( )
2
2
2
13zz= + − +
Vì
2
2
2
2
22
zz
zz
+
− +
nên
max
4P =
,
min
3P =
nên chọn A.
Cách giải khác:
Ta có
3
54
6 2 1P z z z z= + + − +
42
42
62z z z z= + + − +
Đặt
2
2
t z z=+
với
0;2t
4
42
2z z t + = −
Do đó
( )
22
4 2 2 4P t t t t f t= + − = − + =
với
0;2t
Khi đó
max
4P =
,
min
3P =
nên chọn A.
Câu 70: Cho số phức
z
thỏa
1z =
, gọi
,mM
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
của
32
52
42P z z z z z= + + − +
. Tính
M mi−
.
A.
3M mi−=
. B.
1M mi−=
. C.
5M mi−=
. D.
2M mi−=
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
32
52
42P z z z z z= + + − +
42
42
42z z z z= + + − +
Trang 37
(
)
2
22
22
22z z z z= + + − +
(
)
2
22
22
22z z z z= + + − +
( )
2
2
2
11zz= + − +
Vì
2
2
2
2
22
zz
zz
+
− +
nên
max
2P =
,
min
1P =
nên chọn C.
Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn
2 2 1 3 34.iz i z i− − − + − =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(1 ) 2 .P i z i= + +
A.
min
4 2.P =
B.
min
26.P =
C.
min
9
.
17
P =
D.
min
3 2.P =
Lời giải
Chọn A.
Gọi
( ; ), , ,M x y A B I
lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z,
2 2 , 1 3 , 1 .i i i− − + − −
Ta có:
2 2 1 3 34 2 2 1 3 34iz i z i z i z i MA MB AB− − − + − = − + − + − = − =
M thuộc tia đối của tia
.BA
(1 ) 2 (1 )( 1 ) 2 1 2P i z i i z i z i MI= + + = + + + = + + =
.
Dựa vào quan sát, suy ra:
min min
.P MI M B
Vậy
min
2 4 2.P IB==
Trang 38
Câu 72: Cho số phức
z
thỏa mãn
2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của
1zi−+
. Khi đó
22
P M m=+
bằng
A.
171
2
. B.
171
4
. C.
167
4
. D.
167
2
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
( )
,,z x yi x y= +
.
Đặt:
( )
;N x y
,
( ) ( )
12
2;1 , 4;7FF−
Khi đó từ giả thiết
2 4 7 6 2z i z i+ − + − − =
suy ra
12
62NF NF+=
.
Mà
2
12
72FF =
1 2 1 2
NF NF F F + =
.
Vậy
N
thuộc đoạn
12
FF
.
Ta có
( )
12
6;6FF =
Phương trình đường thẳng
12
21
:
11
xy
FF
+−
=
30xy − + =
.
Tập hợp các điểm
N
biểu diễn số phức
z
thuộc đường thẳng
3yx=+
với
24x−
.
( ) ( )
22
1 1 1z i x y− + = − + +
( ) ( )
22
14xx= − + +
.
Xét
( ) ( ) ( )
22
1 4 , 2 4f x x x x= − + + −
.
( ) ( ) ( )
2 1 2 4f x x x
= − + +
( )
3
;0
2
f x x
= = −
.
( )
2 13f −=
;
3 25
22
f

−=


;
( )
4 73f =
.
Suy ra
25
73;
2
Mm==
22
25 171
73
22
P M m = + = + =
.
Câu 73: Cho các số phức
12
3 , 4z i z i= − = +
và
z
thỏa mãn
2zi−=
. Biết biểu thức
12
2T z z z z= − + −
đạt giá trị nhỏ nhất khi
z a bi=+
(
,ab
). Hiệu
ab−
bằng
A.
3 6 13
17
+
. B.
3 6 13
17
−
. C.
6 13 3
17
−
. D.
3 6 13
17
−−
.
Lời giải
Chọn A.
Trang 39
Gọi
(0; 3), (4;1)AB−
lần lượt là các điểm biểu diễn của
12
,zz
.
Do
| | 2zi−=
nên tập hợp điểm biểu diễn của
z
là đường tròn
()C
tâm
(0;1)I
, bán kính
2R =
.
Lấy
()MC
là điểm biểu diễn của
z
. Ta có
2T MA MB=+
.
Ta có
2
2, 1, 4 .
IM IO
IM IO IA IM IO IA
IA IA
= = = = =
.
Từ đó
1
2
2
OM IM
IMO IAM AM OM
AM IA
= = =∽
.
Vậy
( )
2 2 2MA MB MO MB OB+ = +
.
Đẳng thức xảy ra khi
M
là giao điểm của đường thẳng
BM
và
()C
.
2 2 2
1 2 13
( ) 2 16 ( 1) 4 17 2 3 0
17
M C IM t t t t t
+
= + − = − − = =
(
0t
).
Vậy
4 8 13 1 2 13 3 6 13
17 17 17
z i a b
+ + +
= + − =
.
Câu 74: Cho hai só phức
12
1 3 1 3
,
2 2 2 2
ii
zz= + = − +
. Gọi
z
là số phức thỏa mãn
3 3 3zi−=
. Đặt
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
T z z z z z= + − + −
. Tính
mô đun số phức
w M mi=+
.
A.
2 21
3
. B.
13
. C.
43
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A.
Trang 40
Ta có
31
3 3 3
33
i
z i z− = − =
.
Đặt
( )
2
2
31
; (C)
33
z x yi x y x y

= + + − =



.
Gọi
1 3 1 3
( ; ), ; ;B ;
2 2 2 2
K x y A
−
lần lượt là điểm biểu diễn của
12
,,z z z
.
Khi đó ta có
T OK KA KB= + +
.
Vì
,, A B O
cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác
OAB
đều nên suy ra:
m min 2 2T OA= = =
, khi đó K trùng với
O
hoặc
A
hoặc
B
.
Gọi
K
thuộc cung
OB
.
Ta có
. . .KAOB OABK ABOK=+
(Ptoleme).
KA KB OK = +
.
Suy ra
4 3 4 3
2 2.2
33
T AK R M= = =
.
Vậy
2 21
w
3
=
.
Câu 75: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z =
. Tìm
3
min 2zz−+
.
A.
13
. B.
6
. C.
26
9
. D.
2 13
6
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
z a bi=+
, với
a
,
b
.
Theo giả thiết ta có
1z =
suy ra
.1zz=
và
22
1ab+=
,
11a−
.
Ta có
3 3 2
2 2 . 1 2z z z z z z z z z− + = − + = − +
( )
( )
( )
2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 1a b a ab b i a a b a i= − + − + − = + − + −
Trang 41
( )
( )
2
2
2 2 3 2 3 2
4 1 4 1 16 4 16 8 2 4 4 2a a b a a a a a a a= + − + − = − − + = − − +
.
Xét hàm số
( )
32
4 4 2f x x x x= − − +
trên
1;1−
. Ta có
( )
2
2
3
12 2 4 0
1
2
x
f x x x
x
=
= − − =
=−
.
Ta có
( )
11f −=
;
( )
11f =
;
22
3 27
f

=


;
1 13
24
f

−=


.
Vậy
( )
1;1
22
min
3 27
f x f
−

==


. Do đó
3
26
min 2
9
zz− + =
khi
2
3
a =
và
5
3
b =
.
Câu 76: Cho số phức
z
thỏa mãn
1z =
, gọi
,mM
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
5 3 4
6 2 1P z z z z= + + − +
. Tính
Mm−
.
A.
1Mm−=
. B.
3Mm−=
. C.
6Mm−=
. D.
12Mm−=
.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1 :
Đặt
4
1 0;2t z t= +
( )( )
2 4 4 4 4 4 4 2
1 1 2 2t z z z z z z t = + + = + + + = −
.
Mà
4
5 3 4 4 4
6 6 6
.
z
z z z z z z z
zz
+ + = + + = + +
.
Nên
22
2 6 2 2 4, 0;2P t t t t t= − + − = − +
suy ra
min max
3 , 4 1P m P M M m= = = = − =
.
Cách 2:
5 3 4
6 2 1P z z z z= + + − +
=
44
6zz++
4
21z−+
.
Đặt
( )
4 2 2
, , , 1 1w z x yi x y w x y= = + = + =
.
Nên
( ) ( )
2
2
6 2 1 2 6 2 1 2 3 2 2 2P w w w x x y x x= + + − + = + − + + = + − +
.
Đặt
( ) ( )
2 3 2 2 2, 1;1f x x x x= + − + −
.
Bảng biến thiên
Trang 42
Vậy
min max
3 , 4 1P m P M M m= = = = − =
.
Câu 77: Cho số phức
z
thay đổi và thỏa mãn
15zi− − =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2 8 7 9P z i z i= − − − −
bằng
A.
55
2
. B.
55
. C.
5
2
. D.
53
2
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
( )
;M x y
biểu diễn số phức
z
, từ
15zi− − =
thì
M
nằm trên đường tròn
( ) ( )
22
1 1 25xy− + − =
có tâm và bán kính :
( )
1;1 , 5IR=
. Gọi
( ) ( )
0;8 ; 7;9AB
thì
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 8 7 9 2P x y x y MA MB= + − − − + − = −
.
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm
C
sao cho
2MB MC=
, nhận thấy
22IB IM R==
nên ta
có hai cách tìm tọa độ điểm
C
như sau :
Cách 1 :
( ) ( )
22
1 1 25xy− + − =
22
23 0T x y = + − =
2 2 2 2
14 18 130 14 18 130 3MB x y x y x y x y T= + − − + = + − − + +
( )
2
2
22
5
4 4 20 24 61 2 3
2
x y x y x y

= + − − + = − + −


Nên chọn điểm
5
;3
2
C



thì
2MB MC=
Trang 43
Cách 2 : Lấy điểm
C
thỏa mãn
1
4
IC IB=
thì tam giác
IMC
đồng dạng với tam giác
IBM
nên ta có
2MB MC=
, từ đó
5
;3
2
C



Ta có :
( )
2 2 2 5 5P MA MB MA MC AC= − = − =
Dấu « = » đạt được khi điểm
C
nằm trên đoạn
AM
.
Câu 78: Cho các số phức
z
thỏa mãn
( )( )
2
4 2 1 2z z i z i+ = − − +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
32P z i= + −
.
A.
min
4P =
. B.
min
2P =
. C.
min
7
2
P =
. D.
min
3P =
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
( )
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng phức.
Có
( )( )
2
4 2 1 2z z i z i+ = − − +
( )( )
2 . 2 2 1 2z i z i z i z i − + = − − +
2
2 1 2
zi
z i z i
=
+ = − +
2
1
;
2
0; y
xy
x =
=
=
.
Vậy
( )
0;2M =
hoặc
1
:
2
M dx=
.
Gọi
( )
3;2I −
thì
P IM=
. Khi đó
min
3IM =
hoặc
min
7
( ; )
2
d I dIM ==
.
Vậy
min
3.P =
Trang 44
Câu 79: Cho các số phức
z
thỏa mãn
1 8 3 53z i z i− − + − − =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
12P z i= + +
.
A.
max
53P =
. B.
max
185
2
P =
. C.
max
106P =
. D.
max
53P =
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
( )
;M x y
,
( )
1;1A
,
( )
8;3B
,
( )
1; 2C −−
lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
z
,
1 i+
,
83i+
,
12i−−
trong mặt phẳng phức.
Có
1 8 3 53z i z i− − + − − =
53MA MB AB+ = =
M
thuộc đoạn
.AB
12P z i= + +
=
MC.
Ta có :
13, 106CA CB==
và
106CA CM CB =
. Vậy
max
106P =
đạt khi
M
trùng
B
.
Câu 80: Biết
12
, 5 4z z i=−
và
3
z
là ba nghiệm của phương trình
( )
32
0 , ,z bz cz d b c d+ + + =
,
trong đó
3
z
là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức
1 2 3
32w z z z= + +
bằng:
A.
12−
. B.
8−
. C.
4−
. D.
0
.
Lời giải
Trang 45
Chọn C.
Xét phương trình
( )
32
0 , ,z bz cz d b c d+ + + =
là phương trình bậc ba với hệ số thực nên
luôn có một nghiệm thực là
1
z
.
Do đó phương trình tương đương với:
( )
( )
( )
2
1
' ' 0 ', 'z z z a z b a b− + + =
( )
1
2
' ' 0 1
zz
z a z b
=
+ + =
.
Nên
32
, 5 4z z i=−
là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).
Suy ra
3
54zi=+
.
Khi đó :
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 3
3 2 3. 5 4 2. 5 4 25 2 4w z z z z i i z i= + + = + − + + = + −
.
Vậy phần ảo của
1 2 3
32w z z z= + +
là
4−
.
Câu 81: Biết rằng hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1
3 4 1zi− − =
và
2
1
34
2
zi− − =
. Số phức
z
có phần
thực là
a
và phần ảo là
b
thỏa mãn
3 2 12ab−=
. Giá trị nhỏ nhất của
12
22P z z z z= − + − +
bằng
A.
min
9945
11
P =
. B.
min
5 2 3P =−
. C.
min
9945
13
P =
. D.
min
5 2 3P =+
.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
32
2zz=
thì
3
6 8 1zi− − =
và
13
2P z z z z= − + − +
.
Gọi
M
,
A
,
B
lần lượt là các điểm biểu diễn cho
z
,
1
z
và
3
z
. Khi đó:
Điểm
A
nằm trên đường tròn
( )
1
C
có tâm
( )
1
3;4I
, bán kính
1
1R =
;
Điểm
B
nằm trên đường tròn
( )
3
C
có tâm
( )
3
6;8I
, bán kính
3
1R =
Và điểm
M
nằm trên đường thẳng
:3 2 12 0d x y− − =
.
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của
2P MA MB=++
.
Trang 46
Ta kiểm tra thấy
( )
1
C
và
( )
3
C
nằm cùng phía và không cắt đường thẳng
:3 2 12 0d x y− − =
.
Gọi đường tròn
(
)
1
C
có tâm
1
I
và bán kính
1
1R
=
đối xứng với
( )
1
C
qua
d
.
Điểm
A
đối xứng với
A
qua
d
thì
A
thuộc
(
)
1
C
.
Ta có
11
:2 3 18 0I I x y
+ − =
. Gọi
11
72 30
;
13 13
H I I d H

=


suy ra
1
105 8
;
13 13
I



.
Ta có
(
)
( )
1 3 1 3 1 3
22P MA MB MA MB MA R MB R I M I M I I

= + + = + + = + + + +
.
Từ đó
min
P
khi các điểm
1
I
,
3
I
,
A
,
B
và
M
thẳng hàng và
min 1 3
9945
13
P I I
==
.
Câu 82: Cho
1
z
,
2
z
là hai trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
5 3 5zi− − =
, đồng thời
12
8zz−=
. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
12
w z z=+
trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A.
22
5 3 9
2 2 4
xy
− + − =
. B.
22
53
9
22
xy
− + − =
.
C.
( ) ( )
22
10 6 36xy− + − =
. D.
( ) ( )
22
10 6 16xy− + − =
.
Lời giải
Chọn C.
Trang 47
Tập hợp điểm biểu diễn số phức
z
thỏa mãn điều kiện
5 3 5zi− − =
là đường tròn
( )
T
có
tâm là
( )
5;3I
, bán kính
5R =
.
Gọi
M
,
N
lần lượt là các điểm biểu diễn cho
1
z
,
2
z
. Khi đó
M
,
N
nằm trên đường tròn
( )
T
.
Có
12
8zz−=
nên suy ra
8MN =
.
Giả sử
1 1 1
z a b i=+
và
2 2 2
z a b i=+
, suy ra
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
w z z a a b b i= + = + + +
.
Gọi
H
là trung điểm của
MN
, ta có
MN IH⊥
nên
2 2 2 2
5 4 3IH IM MH= − = − =
.
Vậy ta có
( ) ( )
22
5 3 9
HH
xy− + − =
.
Mà
12
12
2
2
H
H
aa
x
bb
y
+
=
+
=
nên ta suy ra
( ) ( )
22
22
1 2 1 2
1 2 1 2
5 3 9 10 6 36
22
a a b b
a a b b
++
− + − = + − + + − =
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
12
w z z=+
là đường tròn
( ) ( )
22
10 6 36xy− + − =
.
Câu 83: Xét các số phức
z
,
w
thỏa mãn điều kiện
1 3 2z i z i− − +
và
1 3 2w i w i+ + −
. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P z w=−
là
A.
3
13
. B.
3 26
13
. C.
26
4
P =
. D.
13 1
2
P
+
=
.
Lời giải
Chọn B.
Trang 48
Cách 1:
Gọi
z a bi=+
,
w c di=+
,
( )
, , ,a b c d
lần lượt được biểu diễn bởi điểm
( )
;M a b
,
( )
;N c d
trong mặt phẳng
( )
oxy
.
Từ giả thiết:
1 3 2z i z i− − +
( ) ( ) ( )
1 3 2a b i a b i − + − + +
.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 3 2a b a b − + − + +
53ab +
. Suy ra tập hợp điểm
M
biểu diễn số
phức
z
là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng
:
53xy+=
.
1 3 2w i w i+ + −
( ) ( ) ( )
1 3 2c d i c d i + + + + −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 3 2c d c d + + + + −
53cd + −
. Suy ra tập hợp điểm
N
biểu diễn số
phức
w
là phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng
:
53xy+ = −
.
Khi đó
( )
3 26
;
13
P z w MN d
= − = =
. Dấu
''=
xảy ra khi
M
N
MN


⊥
Cách 2:
Từ giả thiết
53
53
ab
cd
+
+ −
53
53
ab
cd
+
− −
( ) ( )
56a c b d − + −
( )
*
Và
( ) ( )
22
P z w MN a c b d= − = = − + −
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
53xy+=
53xy+ = −
O
x
y
3−
3
1−
1
d
Trang 49
( ) ( ) ( ) ( )
22
5 26.a c b d a c b d

− + − − + −

( ) ( )
( ) ( )
22
5
6 3 26
13
26 26
a c b d
a c b d
− + −

− + − = =

.
Vậy
min
3 26
13
P =
khi
23
53
15
ab
cd
a c b d
+=
+ = −
−−
=
( ) ( )
; . 1;5
M
N
NM a c b d k n

= − − = =
M
N
MN

⊥
.
Câu 84: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
2 5 ( 1 2 )( 3 1)z z z i z i− + = − + + −
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
22zi−+
A.
5.
B.
1.
C.
3
2
. D.
5
2
.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
w 2 2zi= − +
Ta có
2
25zz−+
( 1 2 )( 3 1)z i z i= − + + −
( 1 2 ) . ( 1 2 )z i z i − + − −
=
( 1 2 ) . ( 3 1)z i z i− + + −
1 2 0
1 2 3 1
zi
z i z i
− + =
− − = + −
.
TH1:
12zi=−
w1 = −
w1=
(1)
TH2:
1 2 3 1z i z i− − = + −
.
Đặt
z a bi=+
;
,ab
.
2 2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) ( 3)a b a b − + − = − + +
1
2
b
−
=
.
1
2
z a i = −
2
9
w ( 2)
4
a= − +
3
2
(2)
Từ
( )
1
,
( )
2
suy ra
min| | 1w =
.
Câu 85: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2
2 2 1z z z i+ + = + −
. Tìm giá trị lớn nhất của
z
.
A.
2
. B.
21+
. C.
22+
. D.
21−
.
Trang 50
Câu 86: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện :
1 2 5zi− + =
và
1w z i= + +
có môđun lớn nhất. Số
phức
z
có môđun bằng:
A.
25
. B.
32
. C.
6
. D.
52
.
Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,MM
; số phức
( )
43zi+
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,NN
.
Biết rằng
, , ,M M N N

là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
45zi+−
.
A.
1
2
. B.
2
5
. C.
5
34
. D.
4
13
.
Lời giải
Chọn A
Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác
MNN M

luôn là hình thanh cân (

MM NN
∥
), nên để
MNN M

là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm
điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc
MM NN

=
.
Giả sử:
( )
,z a bi a b= +
. Ta có
( )
;M a b
và
( )
;M a b
−
.
* Khi đó:
( ) ( ) ( )
4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +
.
Suy ra
( )
4 3 ;3 4N a b a b−+
và
( )
4 3 ; 3 4N a b a b
− − −
.
* Do 4 điểm
, , ,M M N N

tạo thành hình thang cân nhận
Ox
làm trục đối xứng nên 4 điểm
đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi
( )
2
2
4 4 3 4
5
3
ab
MM NN b a b
ab
=−

= = +
=−
.
* Với
ab=−
, ta có
( ) ( )
2
22
9 1 1
4 5 5 4 2
22
2
z i b b b

+ − = + + + = + +


.
Đẳng thức xảy ra khi
99
,
22
ab= = −
.
* Với
5
3
b
a =−
ta có
( )
2
2
2
5 34 74 5 1
4 5 5 4 41
3 9 3
34 2
z i b b b b

+ − = + + + = + +


.
Vậy:
1
45
2
Min z i+ − =
.
Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là
M
; số
phức
( )
43zi+
có điểm biểu diễn là
N
. Gọi
,MN

lần lượt là hình chiếu của
,MN
trên trục
Ox
. Biết rằng tứ giác
MNN M

hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của
45zi+−
.
A.
1
2
. B.
2
5
. C.
5
34
. D.
4
13
.
Lời giải
Chọn A
Trang 51
Giả sử:
( )
,z a bi a b= +
. Ta có
( )
;M a b
và
( )
;0Ma
.
* Khi đó:
( ) ( ) ( )
4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +
.
Suy ra
( )
4 3 ;3 4N a b a b−+
và
( )
4 3 ;0N a b
−
.
* Do 4 điểm
, , ,M M N N

tạo thành hình thang vuông (

MM NN
∥
) nên 4 điểm đó là bốn
đỉnh của một hình chữ nhật khi:
34
5
3
ab
MM NN b a b
ab
=−

= = +
=−
.
* Với
ab=−
, ta có
( ) ( )
2
22
9 1 1
4 5 5 4 2
22
2
z i b b b

+ − = + + + = + +


.
Đẳng thức xảy ra khi
99
,
22
ab= = −
.
* Với
5
3
b
a =−
ta có
( )
2
2
2
5 34 74 5 1
4 5 5 4 41
3 9 3
34 2
z i b b b b

+ − = + + + = + +


.
Vậy:
1
45
2
Min z i+ − =
.
Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức
z
và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
,MM
; số phức
( )
43zi+
có điểm biểu diễn là
N
. Gọi
N
là điểm đối xứng với
N
qua
đường thẳng
MM
. Biết rằng tứ giác

MNM N
là hình thoi. Tìm phần ảo của
z
để
45zi+−
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
96
25
−
. B.
192
25
−
. C.
96
25
. D.
192
25
.
Lời giải
Chọn A
Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường
N Ox
.
Giả sử:
( )
,z a bi a b= +
. Ta có
( )
;M a b
và
( )
;M a b
−
.
* Khi đó:
( ) ( ) ( )
4 3 4 3 3 4z i a b a b i+ = − + +
. Suy ra
( )
4 3 ;3 4N a b a b−+
.
* Do tứ giác

MNM N
là hình thoi nên
4
3 4 0
3
N Ox a b a b + = = −
.
* Ta có
( )
2
2
2
4 25 64
4 5 5 4 41
3 9 3
z i b b b b

+ − = + + + = + +


.
45zi + −
đạt giá trị nhỏ nhất tại
96
25
b =−
.
Câu 90: Cho số phức
z
và
w
thỏa mãn
34z w i+ = +
và
9zw−=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T z w=+
.
A.
max 176T =
. B.
max 14T =
. C.
max 4T =
. D.
max 106T =
.
Trang 52
Lời giải
Chọn D.
Phân tch: Từ yêu cầu bài toán ta ngh đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để
xuất hiện
22
zw+
thì bài toán được giải quyết xong.
Ta có
( )
2 2 2 2
2 25 81 106z w z w z w+ = + + − = + =
nên
( )
( )
( )
2
22
2
1. 1. 1 1 106T z w z w= + + + =
.
Do đó
106T
.
Câu 91: Cho số phức
z
và
w
thỏa mãn
;,z w a bi a b+ = +
và
0z w c− =
(hoặc
0z w c+ =
và
;,z w a bi a b− = +
). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
..T p z q w=+
với
0, 0pq
.
Lời giải
Ta có:
( )
2 2 2 2
2 2 2
2 z w z w z w a b c+ = + + − = + +
Khi đó
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
22
2 2 2 2 2
p. .
2
abc
T z q w p q z w p q

++
= + + + = +


Nên
( )
2 2 2
22
2
abc
T p q

++
+


.
Câu 92: Cho số phức
z x yi=+
(
,xy
) thỏa mãn
1 3 3z i z i− + = + −
. Tính
33
S x y=+
biết rằng
biểu thức
1 2 1P z i z i= − − − + −
đạt giá trị lớn nhất.
A.
0S =
. B.
16S =
. C.
54S =
. D.
27S =
.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
( )
;M x y
là điểm biểu diễn số phức
z
trong mặt phẳng
Oxy
. Ta có
1 3 3z i z i− + = + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 3 3 1x y x y − + + = + + −
0xy − =
.
Gọi
( )
1;2A
,
( )
1;1B −
, khi đó
1 2 1P z i z i MA MB= − − − + − = −
.
Bài toán trở thành: “Tìm
M
thuộc đường thẳng
: 0d x y−=
sao cho
MA MB−
lớn nhất.”
Trang 53
Xét
( )
,P x y x y=−
, ta có
( ) ( ) ( )
1 2 2 0P A P B = − − =
. Do đó
A
,
B
nằm cùng phía đối
với đường thẳng
d
.
Gọi
I
là giao điểm của
AB
với
d
, ta tìm được
( )
3;3I
.
Ta có
MA MB−
AB
. Đẳng thức xảy ra khi
M
trùng với
I
. Do đó
P
đạt giá trị lớn nhất
khi tọa độ
M
là
( )
3;3M
. Vậy
3x =
và
3y =
do đó
33
3 3 54S = + =
.
Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu
A
,
B
nằm khác phía đối với đường thẳng
d
. Khi đó ta
cần tìm điểm đối xứng
'B
của
B
qua
d
và
M
sẽ trùng với
'I AB d=
.
Câu 93: Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
12
86z z i+ = +
và
12
2zz−=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
12
P z z=+
.
A.
max
2 26P =
B.
max
104P =
C.
max
32 3 2P =+
D.
max
46P =
Lời giải
Chọn A.
Ta có
( )
( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2z z z z z z z z+ + − = + +
.
Trang 54
Suy ra
12
2 26P z z= +
, dấu "=" xảy ra khi
12
12
12
86
2
zz
z z i
zz
=
+ = +
−=
21
11
1
86
86
4 3 1
z i z
z z i
zi
= + −
= − −
− − =
21
1
1
86
17 19
55
23 11
55
z i z
i
z
i
z
= + −
=+
=+
.
Vậy
max
2 26P =
.
Tổng quát: Cho hai số phức
1
z
,
2
z
thỏa mãn
1 2 0
z z z+=
( )
0
0z
và
12
0z z m− =
. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức
12
P z z=+
.
Gọi các điểm biểu diễn của các số phức
1
z
,
2
z
,
0
z
lần lượt là
M
,
N
,
K
.
Ta có
22
12
zz+
22
OM ON=+
2
2
2
2
MN
OE=+
2
2
0
2
zm+
=
.
( )
2
22
12
12
2
zz
zz
+
+
2
2
1 2 0
z z z m + +
.
Suy ra giá trị lớn nhất của
12
P z z=+
bằng
2
2
0
zm+
.
Câu 94: Cho số phức
z
thoả mãn
2
z z z z z+ + − =
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
52P z i= − −
bằng
A.
2 5 3+
. B.
2 3 5+
. C.
5 2 3+
. D.
5 3 2+
Lời giải
Chọn B.
Trang 55
Cách 1: Đại số
Đặt
( )
,z a bi a b= +
.
Từ giả thiết
2
z z z z z+ + − =
22
22a b a b + = +
( ) ( )
22
1 1 2ab − + − =
( )
1
.
Ta có
52P z i= − −
( ) ( )
22
52ab= − + −
2 2 10 4 29a b a b= + − − +
.
Dễ thấy
P
lớn nhất khi
,0ab
. Khi đó
12 6 29P a b= − − +
( ) ( )
6 2 1 1 47ab= − + − + +


Do
,0ab
nên từ
( )
1
ta có
( ) ( )
22
1 1 2ab+ + + =
.
Suy ra
( ) ( )
6 2 1 1 47P a b= − + − + +


( )
( ) ( )
22
22
6 2 1 1 1 47ab

+ + + + +

47 6 10=+
2 3 5=+
.
Dấu
=
xảy ra khi
( ) ( )
22
1 1 2
11
21
1, 1 0
ab
ab
ab
+ + + =
++
=
+ +
2 10
1
5
10
1
5
a
b
= − −
= − −
.
Cách 2: Hình học
Đặt
( )
,z a bi a b= +
.
Từ giả thiết
2
z z z z z+ + − =
22
22a b a b + = +
( ) ( )
22
1 1 2ab − + − =
( )
1
.
Tập hợp
M
biểu diễn
z
thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là
2R =
có tâm là
( )
1;1A −
,
( )
1;1B
,
( )
1; 1C −
,
( )
1; 1D −−
nằm chọn vẹn trong
1
góc phần tư (bỏ đi các cung
nhỏ).
P ME=
với
( )
5;2E
. Từ hình vẽ ta thấy
maxP HE=
2ED=+
3 5 2=+
.
Trang 56
Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm
min
thì ta cũng làm tương tự.
Câu 95: Cho số phức
z
thoả mãn
2
z z z z z+ + − =
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
52P z i= − −
bằng
A.
5 3 2−
. B.
17 2−
. C.
2 3 2−
. D.
42−
Câu 96: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
33z z z z z+ + - =
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
44P z i= + -
bằng
A.
2
B.
22
C.
32
D.
2
Câu 97: Cho số phức
z
thỏa mãn
28z z z z+ + − =
;
,,abc
dương. Gọi
,Mm
lần lượt là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
33= - -P z i
. Tính
Mm+
.
A.
10 34+
B.
5 58+
C.
10 58+
D.
2 10
HD:
Chọn B
Từ đồ thị ta xác định được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 1
3;3 , 4;0 , 0;2 , 4;0 , 0; 2 , 2;1E A A A A H−−
. Khi đó,
min 1
5EM EH==
,
max 3
A 58EM E==
.
Câu 98: Cho số phức
z
thỏa mãn
2
52z z z+ = +
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của
54zi−+
. Tính
Mm−
.
Trang 57
A.
57 1+
B.
57 5+
C.
57 6+
D.
57 7+
Câu 99: Cho số phức
z
thỏa mãn
1 2 4zi − +
. Gọi
M
là giá trị lớn nhất của
23zi−+
,
m
là giá trị nhỏ nhất của
22zi+−
. Tính
Mm+
.
A.
6
B.
5
C.
3
D.
7
Lời giải
Chọn A
Lấy các điểm
( )
2; 1I −
,
( ) ( )
2; 3 , 2;2AB−−
; điểm
N
biểu diễn số phức
z
.
Ta có
1 2 4AI =
max
45M AN AI= = + =
;
min
5 4 4 1BI m BN BI= = = − =
.
Do đó,
6Mm+=
.
Câu 100: Cho hai điểm
A
,
B
là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
0
z
,
1
z
khác
0
và
thỏa mãn đẳng thức
22
0 1 0 1
z z z z+=
. Hỏi ba điểm
O
,
A
,
B
tạo thành tam giác gì? (
O
là gốc
tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Cân tại
O
. B. Vuông cân tại
O
. C. Đều. D. Vuông tại
O
.
Lời giải
Chọn C.
Hai điểm
A
,
B
là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự
0
z
,
1
z
Theo giả thiết suy ra:
0
OA z=
,
1
OB z=
và
10
AB z z=−
.
Ta có:
22
0 1 0 1
z z z z+=
( )
( )
2 2 2 2
0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
00z z z z z z z z z z − + = + − + =
.
3 3 3 3
0 1 0 1 0 1
0z z z z z z OA OB + = = − = =
.
Xét
( )
2
22
1 0 0 1 0 1 0 1
2z z z z z z z z− = + − = −
2
1 0 1 0
.z z z z − =
2
.AB OAOB AB OB = =
.
Vậy
AB OB OA==
hay tam giác
OAB
là tam giác đều.
| 1/57

Tài liệu khác của Toán

Preview text:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 1 − i . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN 0 có độ dài lớn nhất.  1 3  A. M (1; ) 1 . B. M  ;    2 2   . C M ( 0 ; 1 ) . D. M ( 0 ; 0 ). Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C ) ( x − )2 2 : 1
+ y = 1. Tâm I (1;0) Do N (1; − )
1 (C) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I( 0 ; 1 ) là trung
điểm của MN . Vậy M ( ) 1 ; 1
Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp 10 , khi cho một đường tròn (C) và một điểm N . Tìm
điểm M trên (C) sao cho MN đạt min, max.
Câu 2. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 5 + i
3 . M là một điểm thuộc (C) sao cho 0
MN có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài MN lớn nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C ) ( x − )2 2 : 1
+ y = 1. Tâm I( 0 ; 1 ) Do N ( ) 3 ; 5
nằm ngoài (C) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN = NI + R = 5 +1 = 6 .
Câu 3. Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x −1+ yi , ( , x y  ) thỏa
mãn z = 1và N là điểm biểu diễn số phức z = 5 + i
3 . M là một điểm thuộc (C) sao cho 0
MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng A. 6 . B. 34 . C 3 5 . D. 4 . Hướng dẫn giải Trang 1 Chọn D. Ta có: M ( ;
x y) nằm trên đường tròn (C): (x − ) 1 2 2
+ y = 1. Tâm I (1;0) Do N( ) 3 ; 5
nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi MN = NI − R = 5 −1 = 4 .
Câu 4. Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + 5 = 5; z +1− 3i = z − 3 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 2 z − z . 1 2 5 121 25 49 A. B. C. D. 2 6 6 6 Lời giải Chọn A
Gọi z = a + b i, z = a + b i (a ,b , a ,b  ) . 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
Khi đó z + 5 = 5  (a + 5)2 2 + b = 25 . 1 1 1
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I ( 5 − ;0);R = 5 1
Cũng theo giả thiết, ta có:
z +1− 3i = z − 3 − 6i  (a + )2
1 + (b − 3)2 = (a − 3)2 + (b − 6)2 2 2 2 2 2 2
 8a + 6b − 35 = 0. 2 2
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng  : 8x + 6y −35 = 0 2 5.8 − − 35 15 d (I , ) = =
d (I,)  R 2 2 + 2 8 6 5
 min z − z = d I ,  − R = . 1 2 ( ) 2
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z khi đó M.n bằng 2 3 A. 2 . B. 2 3 . C. . D. 3 . 3
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính
giá trị của biểu thức ( 2 2 M + n ) A. 28 B. 24 C. 26 D. 20 Trang 2
Câu 7. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
4z −16z +17 = 0. Trên mặt phẳng 1 3
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = (1+ 2i) z − i ? 1 2 A. M ( 2 − ; ) 1 .
B. M (3;− 2) . C. M (3;2) . D. M (2; ) 1 .
Câu 8. Cho hai số phức z , z thỏa mãn z +1− i = 2 và z = iz . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 1 2 1 2 1 z − z ? 1 2 A. m = 2 −1. B. m = 2 2. C. m = 2.
D. m = 2 2 − 2. Lời giải Chọn D.
Do z +1− i = 2 nên điểm biểu diễn M của z thuộc đường tròn tâm I (−1; ) 1 bán kính R = 2 . 1 1 1
Do z = iz nên điểm M (điểm biểu diễn của z ) là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc 2 1 2 2 1 quay 0
90 . Suy ra z − z = M M = 2OM ngắn nhất khiOM ngắn nhất. 1 2 1 2 1 1
Ta có: min OM = R − OI = 2 − 2 . 1
Vậy: m = 2 (2 − 2) = 2 2 − 2 . Đề xuất
Do z +1− i = 2 nên điểm biểu diễn M của z thuộc đường tròn tâm I (−1; ) 1 bán kính R = 2 . 1 1 1
z − z = z − iz = 1− i z = 2 z = 2OM  2 R − OI = 2 2 − 2 = 2 2 − 2 . 1 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( )
(Vẽ hình thể hiện mô tả cho phần đánh giá)
Câu 9. Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i A. z = 4 . B. z = 2020 . C. z = 2017 . D. z = 2 Lời giải Chọn A.
- Đặt z = a + bi ( ,
a b Î ¡ ) Þ z = a - bi .
- Ta có: 3z.z + 2017(z + z) = 48- 2016i 2 2 2 2
Û 3(a + b ) + 4034 .
b i = 48- 2016i Þ a + b = 16 - Vậy 2 2 z =
a + b = 4 . Chọn A.
Câu 11: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z + 2 . z z - 3 = 0. Trang 3 3 3 A. z = . B. z = . C. z = 1.
D. z = 3 . 2 2 2 1 1
Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: z +
(z- z)= 1+ (z + z)i là 2 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z −1 = 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z + i + z − 2 − i
A. maxT = 8 2 .
B. max T = 8 .
C. maxT = 4 2 . D. max T = 4 . Hướng dẫn giải Chọn C
Đặt z = x + yi(x, y Î ¡ ), ta có: z- 1 = 2 Û x- 1+ yi = 2 Û (x- )2 2 2 2
1 + y = 2 Û x + y = 2x + ( 1 *)
Lại có: T = z + i + z − 2 − i = x + ( y + )
1 i + x − 2 + ( y − ) 1 i =
x + (y + )2 + (x- )2 + (y - )2 2 1 2 1 2 2 2 2 =
x + y + 2y + 1 + x + y - 4x- 2y + 5
Kết hợp với (*), ta được: T = 2x + 2y + 2 + 6 - 2x - 2y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được 2 2 é ù T £ ( 2 2
1 + 1 ) (ê 2x+ 2y + 2) + ( 6- 2x- 2y) ú= 4 ê ú ë û
Vậy max T = 4 .
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn z = 2 . Trên mặt 4 + iz
phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w = là một đường tròn có 1+ z bán kính bằng Trang 4 A. 34. B. 26. C. 34. D. 26. Lời giải Chọn A 4 + iz Ta có w =
 w(1+ z) = 4 + iz z (w −i) = 4 − w  2 w −i = 4 − w 1+ z
Đặt w = x + yi ( , x y  ) 2 2 Ta có 2
x + ( y − ) = ( x − ) 2 2. 1 4 + y  ( 2 2
x + y − y + ) 2 2 2 2
1 = x − 8x +16 + y
x + y + x − y −
=  (x + )2 + ( y − )2 2 2 8 4 14 0 4 2 = 34
Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34 z + i
Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P =
với z là số phức z
khác 0 và thỏa mãn z  2 . Tính 2M − . m 3 5
A. 2M − m = .
B. 2M − m = .
C. 2M − m = 10.
D. 2M − m = 6. 2 2 Lời giải Chọn B. i 1 3 i Ta có P = 1 +  1+  1 1 . Mặt khác: 1 +  1−  . z |z| 2 z |z| 2 1 3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là , xảy ra khi z = 2 − i
; giá trị lớn nhất của P bằng xảy ra 2 2 5 khi z = 2 .
i  2M − m = . 2
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = z + 1 + z − z + 1 . Tính giá trị của . M m . 13 3 39 13 A. . B. . C. 3 3. D. . 4 4 4
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z . Khi đó M + m bằng Trang 5 A. 4 − 7. B. 4 + 7. C. 7. D. 4 + 5.
Câu 18: Cho số phức w = x + yi ( , x y  R) t hoả điều kiện 2
w + 4 = 2 w . Đặt P = ( 2 2
8 x − y ) +12 .
Khẳng định nào sau đây đúng
A. P = − ( w − )2 2 2
B. P = − ( w − )2 2 2 .
C. P = ( w − )2 4 .
D. P = ( w − )2 2 4 . Lời giải Chọn B. 2 Ta có: 2 2 2 w +
= w x − y + + xyi = x + yi  ( 2 2 x − y + ) 2 2 + x y = ( 2 2 4 2 4 2 2 4 4 4 x + y ) 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2
x + y + + x y + x − y =  x + y + x y − x − y + + ( 2 2 16 2 4 12 0 2 4 4
4 8 x − y ) +12 = 0
 (x − y ) + = −(x + y + x y − x − y + )  P = −(x + y − ) = −( − )2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 8 12 2 4 4 4 2 w 2 .
Hay phương án chọn là B. P = − ( w − )2 2 2 .
Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì w = w .
Câu 19: Cho số phức w = x + yi ( , x y  R) t hoả điều kiện 2 w − 4 = 2 w . Đặt 2 2
P = 8(x − y ) −12 . Khẳng định nào sau đây đúng P = ( 2 2 8 x − y ) +12 2 2 2 A. 2 P = ( w − 2) B. 2 P = ( w + 2) . C. 2 P = ( w + 4)
D. P = ( w − )2 2 4 .
Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế. 
Câu 20: Cho w = sin + i cos với 0    thỏa mãn 2 w +1 = 2 w . 2 Giá trị của P = ( − )2018 2 26 w 3 là A. 2018 P = 23 . B. 2018 P = 2 − 3 . C. 2018 P = 23 . i D. 2018 P = 29 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: + = (  +i  )2 2 2 w 1 sin cos
+1=1−cos2 + isin 2  w +1 = 2 − 2cos2. Trang 6 2 2 2 w = sin  + cos  = 2 .   Từ giả thiết: 2
w +1 = 2 w  cos 2 = 0   = vì 0    . 4 2 2 2 2 2 2  w = + i  w = − i  w =1 . 2 2 2 2 Vậy 2018 P = 23 .
Câu 21: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z − i = 2 + iz , biết z − z = 1 Tính giá trị 1 2 1 2
của biểu thức: P = z + z . 1 2 3 2 A. P = . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D. 2 2
HD: Cách 1. Ta có: 2z − i = 2 + iz  2z − i = 2 + iz  (2z − i)(2z + i) = (2 + iz)(2 − i z) 2 2  4 .
z z + 2iz − 2iz − i = 4 − 2iz + 2iz − i . z z  3 . z z = 3 y 2  .
z z = 1  z = 1  z = 1  z = 1 và z = 1 1 2 2 Chú ý: 2 .
a a = a  2z − i = (2z − i)(2z − i) = (2z − i)(2z + i)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z , z là đường tròn tâm O 1 2 bán kính O x R =1.
Gọi M (z ), M (z )  OM = OM = 1 1 1 2 2 1 2
Ta có: z − z = OM − OM = M M = 1 OM M đều 1 2 1 2 2 1 1 2
Mà z + z = OM + OM = OM = OM với M là điểm thỏa 1 2 1 2
mãn OM MM là hình thoi cạnh 1  OM = 3  P = 3 . 1 2
Cách 2. Đặt z = x + yi, ( ,
x y  ) , ta có 2z −i = 2x + (2y −1)i và 2 + iz = 2 − y + xi . Trang 7 Khi đó:  z =1  1 2 2 2 2 2 2
2z − i = 2 + iz
4x + (2 y −1) = ( y − 2) + x x + y = 1  z = 1    z =1  2 2 2 2 2 2
Sử dụng công thức z + z
+ z − z = 2 z + z
z + z = 3  z + z = 3 . Chọn 1 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 2 D.
Câu 22: Gọi z ; z ; z là các nghiệm của phương trình 3 2 iz −2z ( + 1 i − ) z i
+ =0 . Biết z là số thuần ảo. 1 2 3 1
Đặt P= z −z , hãy chọn khẳng định đúng? 2 3 A. 4P 5  . B. 2P 3  .
C. 3P4 . D. 1P 2  . Lời giải Chọn B. z=−i
Biến đổi phương trình 3 2 iz −2z ( + 1 i − ) z i
+ =0  (i+z)( 2 iz −z+ ) 1 =0   . 2 iz −z 1 + =0(*)
Như vậy: z ; z là các nghiệm của phương trình (*). 2 3 2 2   2 1 1
P = z −z = z −z
= z +z −4z z = −4. = 17 . 2 3 ( 2 3)2 ( 2 3)2 2 3    i i Vậy 4 P = 17 .
Câu 23: Cho hai số phức 
z ,  thỏa mãn z −1 = z + 3 − 2i ;
= z + m +i với m là tham số. Giá
trị của m để ta luôn có   2 5 là: m  7 m  7 A.  . B.  . C. 3 −  m  7 .
D. 3  m  7 . m  3 m  −3 Lời giải Chọn B.
Đặt z = a + i ,
b (a,b ) có biểu diễn hình học là điểm M ( ; x y) 2 2 2
z −1 = z + 3 − 2i x − 1 + iy = x + 3 + ( y − 2)i  ( x − ) 2 1 + y = (x + ) 3 + ( y − 2)  2
− x +1= 6x + 9 − 4y + 4  2x − y + 3 = 0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2x − y + 3 = 0 .
Ta có:   2 5  z + m + i  2 5  x + m + + ( y + ) 1 i  2 5
 (x + m)2 + ( y + )2 1
 2 5  MI  2 5 với I (− ; m − ) 1 . Trang 8
Mà ta có MI d (I,) − m +
Nên MI  2 5  d ( I, )  2 4 2 5   2 5  2 − m + 4 10 5 −2m + 4  10   −  m 3    . −2m + 4  −10 m  7
Câu 24: Cho số phức z = a + bi (a,b ) thỏa mãn ( z + 1+ i)(z −i) + 3i = 9 và z  2 . Tính
P = a + b . A. −3 . B. 1 − . C. 1 . D. 2 . Lời giải Chọn C.
z = a + bi z = a − bi
(z +1+i)(z −i)+3i = 9 (a+bi+1+i)(a−bi−i)+3i = 9 2 2
a + b + 2b + a +1−(b + ) 1 i = 9 − 3i 2 2
a + b + 2b + a +1 = 9 b  = 2 b  = 2 b  = 2 Ta có:        . b  + 1 = 3 2 a + a = 0
a = 0 a = 1 −
z = 2i z = 2 nên không thỏa yêu cầu bài toán. 1 1 z = 1 − + 2i z = 2 2
2 + 1 = 5 thỏa yêu cầu bài toán. 2 2
Vậy P = a + b = 1 .
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2 2
nhất của biểu thức P = z + 2 − z − i . Khi đó modun của số phức w = M + mi A. 2 314 . B. 1258 . C. 3 137 . D. 2 309 . Lờigiải Chọn B. Giả sử 2 2
z = x + yi ( ,
x y R) ta có z − 3 − 4i = 5  ( x − 3) + ( y − 4) = 5
Ta có P = 4x + 2y + 3  4( x − )
3 + 2( y − 4) = P − 23 2 2 2 Ta có 4
 ( x − 3) + 2( y − 4)  20  
(x −3) + ( y − 4)  =100   Suy ra 1
− 0  P − 23 10 13  P  33 suy ra M = 33,m =13 do đó ta được w = 33+13i vậy w = 1258 .
Câu 26: Biết số phức z = x + yi , ( , x y
) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + 4−3i và biểu
thức P = z +1− i + z − 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = x + 2y . 61 253 41 18 A. P = − . B. P = − . C. P = − . D. P = − . 10 50 5 5 Trang 9 Lời giải Chọn A .
Theo giả thiết z = z + 4 − 3i x + yi = ( x + 4) − ( y + 3)i
x + y = (x + )2 + ( y + )2 2 2 4 3 2 2 2 2
x + y = x + 8x +16 + y + 6y + 9
8x +6y + 25 = 0 . 2 2 2 2
Ta có P = ( x + ) 1 + ( y − ) 1
+ (x − 2) + ( y + 3) Xét điểm E ( 1 − ; ) 1 ; F (2;− ) 3 và M ( ;
x y) . Khi đó, P = ME + MF .
Bài toán trở thành tìm điểm M  :8x + 6y + 25 = 0 sao cho ME + MF đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì (8x +8y + 25).(8x +8y + 25)  0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường E E F F thẳng  .
Gọi E là điểm đối xứng với E qua 
Đường thẳng EE đi qua điểm E (1;− ) 1 và có VTPT n = = −  u
(3; 4 nên có phương trình EE ) 3( x + ) 1 − 4( y − )
1 = 0  3x − 4y + 7 = 0
Gọi H là giao điểm của EE và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  71 x = − 3
x − 4y = −7     25 71 19   suy ra H − ; −   8
x + 6y = −25 19   25 50  y = −  50  117 x = −  E  25
E ¢ đối xứng với E qua H nên  . 44 y = − E  25 Ta có ME + MF = ME + ¢ MF ³ E F ¢ .
Dấu bằng xảy ra  M là giao điểm của E F ¢ và đường thẳng  Đường thẳng E F
 đi qua điểm F (2;− ) 3 và có VTPT n =  (31;167 có phương trình EE ) 3 (
1 x − 2) +167( y + )
3 = 0  31x +167y + 439 = 0 Trang 10  67 x = − 31
x +167 y = 439 −  50
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình    8  x + 6y = 25 − 119 y = −  50 61
Vậy P = x + 2 y = − . 10
Câu 27: Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình z −1+ 2i = z +1+ 2i thỏa mãn 1 2 z − z =
2 . Biết rằng w là số phức thỏa mãn w − 3 − 2i = 2 . Tìm GTNN của biểu thức 1 2
P = w − z + w − z . 1 2
A. 1+ 3 B. 2 3 C. 2 D. 6 . Lời giải. Chọn D .
Giả sử z = x + yi ( ,
x y R) ta có z −1+ 2i = z +1+ 2i x = 0 suy ra tập hợp điểm biểu diễn
z , z là trục tung. 1 2 Giả sử ,
A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z , z , ta có z − z = 2  AB = 2 . 1 2 1 2
Giả sử w = a + bi ( ,
a b R) và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có w − 3− 2i = 2 2 2
 (a −3) + (b − 2) = 4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
I (3;2) bán kính R = 2 .
Ta có P = MA+ MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ 6 6
nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA = MB = , vậy MinP = 2. = 6 2 2 Trang 11
Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn 2
z + z +1 = 0. Giá trị của biểu thức 2 3 4  1   1   1  2 3 4 P = 2 z + + 3 z + + 4 z +       2 3 4  z   z   z A. 30 . B.14. C. 8 . D. 28 . Lời giải: Chọn A
Dễ thấy rằng z = 0 không thoả mãn 2
z + z +1 = 0, do đó ta có 1 2 z + z +1 = 1 0  z + = 1 − 2  z + = 1 − z 2 z 3     2   Ta cũng có 1 1 3 1 1 1 1 z + = z + − 3 . z z + = 2 và 4 z + 2 = z + − 2 = −     1   3 zz z z  4 z 2  z  2 3 4       Vậy 1 1 1 2 3 4 P = 2 z + + 3 z + + 4 z + = 0 3       2 3 4  z   z   z z z M M
Câu 29: Cho hai số phức 1 , 2 có điểm biểu diễn lần lượt là 1 ,
2 cùng thuộc đường tròn có phương trình 2 2
x + y = 1 và z − z = 1. Tính giá trị biểu thức P = z + z . 1 2 1 2 3 2 A . P = .
B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D.
Cách 1: Do M , M cùng thuộc đường tròn có phương trình 2 2
x + y = 1 nên z = z = 1. 1 2 1 2
Lại có: z − z = 2 1  z − z = 1  (z − z z − z =1  (z − z z − z =1 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 1 2  2 2
z .z − z .z + z .z
+ z .z =1  z + z − z .z + z .z =1  z .z + z .z =1. 1 2 ( 1 2 1 2) 1 1 ( 1 2 1 2) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 P = z + z = (z + z z + z
= (z + z z + z = z + z + z .z + z .z = 3. 1 2 ( 1 2 1 2) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 Vậy P = 3 .
Cách 2: Do M , M cùng thuộc đường tròn (T ) tâm O(0;0) , bán kính R =1 và 1 2
z − z = 1 nên M M = 1. Suy ra O
M M là tam giác đều cạnh bằng 1. 1 2 1 2 1 2 Trang 12
P = z + z = OM + OM = 3 2OH = 2.OH = 2.
= 3 ( Trong đó H là trung điểm 1 2 1 2 2 M M ) 1 2 z −1 1
Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z + 3i 2
P = z + i + 2 z − 4 + 7i A. 20 . B. 10 . C. 12 5 . D. 4 5 . Lời giải Chọn A.
Gọi z = x + yi , ( , x y  ). z −1 1 2 2 Ta có = 
z − = z + i  (x − ) 2 2 2 1 + y = x + ( y + 3) z + 2 1 3 3i 2 2 2
x + y − 4x − 6y − 7 = 0 . 2 2 2
Lại có P = z + i + 2 z − 4 + 7i 2 = x + ( y + ) 1
+ 2 (x − 4) + ( y − 7)
= 4x +8y +8 + 2 4
− x −8y + 72 . Mặt khác ( x + y + + − x − y + )2 4 8 8 2 4 8 72
 5.80  4x +8y +8 + 2 4
− x −8y + 72  20 Suy ra P  20 .
Câu 31: Cho số phức z = a + bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn z = z − 3 + 4i và có môđun nhỏ nhất. giá trị của P = . a b là? 3 A. . B. 4 . C. 2 . D. 3 . 4 Lời giải Chọn D. Ta có: 2 2 25 − 8b
a + bi = a − bi − 3 + 4i 2 2
a + b = (a − 3) + (b − 4)  6a +8b − 25 = 0  a = 6
Mô đun của số phức z là: Trang 13 2  25 − 8b  (b − )2 100 2 + 225 2 2 15 z = a + b 2 = + b   =  6  36 6 3 Số phức z
b = 2 a = P = 3 min 2
Câu 32: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. A. z = 1 − + i . B. z = 2 − + 2i .
C. z = 2 + 2i . D. 3 + 2i . Lời giải Chọn C.
Gọi số phức z có dạng z = a + bi . z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i
a − 2 + (b − 4)i = a + (b − 2)i
 (a − 2)2 + (b − 4)2 = a + (b − 2)2 2 2 2 2 2
a − 4a + 4 + b −8b +16 = a + b − 4b + 4  4a + 4b =16  a + b = 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
= (a +b)2  ( 2 2 + )( 2 2 a + b ) 2 2 2 16 1 1
z = a +b  8 z  2 2 a b  = Dấu = xảy ra  1 1
a = b = 2  z = 2 + 2i a +b = 4
Câu 33: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có mô đun bé nhất bằng A. 3 2 B. 2 . C. 2 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi ( ,
x y  ) . Khi đó z − 2 − 4i = z − 2i x + yi − 2 − 4i = x + yi − 2i
 (x − )2 + ( y − )2 = x + ( y − )2 2 2 4 2  4
− x − 4y +16 = 0  x + y − 4 = 0.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x + y − 4 = 0. Trang 14 z = d (O ) 4 ; = = 2 2 . min 2
Câu 34: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + z = 5 và z − z =1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 1 2
P = z + z là: 1 2 26 1 A. 26. B. . C. 9. D. − . 2 2 Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2
Từ giả thiết : z + z = 5  + = 5  = 1 2 OM ON 5 OI 2
với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .
z − z = 1  OM − ON = 1  MN = 1. 1 2 2 2 2 OM + ON MN 2 MN Ta có 2 OI = − 2 2 2
OM + ON = 2OI + = 13 2 4 2
P = z + z = OM + ON 2  P  ( 2 2 + )( 2 2 1 1
OM + ON ) = 26 . Vậy P = 26. 1 2 max
Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài toán trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác. Trang 15
Câu 35: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + z = 5 và z − z =1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 1 2 1 2 1 2
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z + z . Khi đó mô đun của số phức 1 2 M + . m i là : A. 76 . B. 76 . C. 2 10 . D. 2 11 . Lời giải Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z ; z . 1 2
Từ giả thiết : z + z = 6  + = 
= với I là trung điểm của đoạn thẳng MN 1 2 OM ON 6 OI 3 .
z − z = 2  OM − ON = 2  MN = 2 . 1 2 2 2 2 OM + ON MN 2 MN Ta có 2 OI = − 2 2 2
OM + ON = 2OI + = 20. 2 4 2
P = z + z = OM + ON 2  P  ( 2 2 + )( 2 2 1 1 OM + ON ) 1 2 = 40. Vậy a m x P = 2 0 1 = M .
P = z + z = OM + ON OM + ON = 6 . 1 2
Vậy min P = 6 = m . Suy ra M + .
m i = 40 + 36 = 76. 5
Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn . i z + 3 =
. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2
P = 2z +1− 4i + z −1− 5i là: 5 A. 2 5 . B. 3. C. 3 5 . D. . 2 Lời giải Chọn C. Ta gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z . Trang 16 5 5  5  . i z + 3 =
x + ( y −3)2 2 = . Suy ra M ( ;
x y)  C I (0;3); R =    2 2 2   Khi đó: 1
P = 2z +1− 4i + z −1− 5i = 2 z +
− 2i + z −1−5i = 2 MA + MB , 2  1 
với A − ; 2 ; B   (1;5)  2   1  Ta có: IA = − ; 1 − 
 ; IB = (1;2) suy ra IB = 2. − IA.  2    Theo đị 5 3 5 5 nh lý Stewart ta có: 2 2 2 5MA + MB =  MI + . 5    2 2 2   2 2
 2MA + MB =15
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ 1 MI = MA+ 1 AB = MA +
AB = MA + (MB − 2 1
MA) = MA + MB 3 3 3 3 Suy ra: 4 1 4 4 1 4 2 2 2 MI = MA + MB + M . A M . B cos (M , A MB) 2 2
= MA + MB + M . A M . B cos AMB 9 9 9 9 9 9 2 2 2 4 1 4
MA + MB − AB  2 2 = 2 1 2 MA + MB + M . A MB   2 2 2
= MA + MB − AB 9 9 9 2.M . A MB   3 3 9 2 2  2 2MA + MB 2 2
= 3MI + AB =15 ) 3 2
Vậy P = 2 MA + MB = ( 2. 2.MA+ MB)  ( 2 + )( 2 2 2 1
2MA + MB ) = 45 = 3 5.
Câu 37: Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z − i = 2 + iz , biết z − z = 1. Tính giá trị của biểu 1 2 1 2
thức P = z + z 1 2 3 2 A. P = . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3 . 2 2 Lời giải Chọn D. Trang 17 Cách 1.
+ Đặt z = x + yi , , x y
, ta có 2z − i = 2 + iz  2x + (2 y − )
1 i = (2 − y) + xi
x + ( y − )2 = ( − y)2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2
+ x  4x + 4y − 4y +1 = 4 − 4y + y + x 2 2
x + y =1 z =1 z = z =1 1 2 + Sử dụng công thức: 2 2 2 2 z
 , z  ta có z + z + z − z = 2 z + z 1 2 1 2 ( 1 2 ) 1 2 Suy ra P = 3 . Cách 2.
+ Biến đổi: iz + 2 = i
− (iz + 2) = z − 2i 2 2
Ta có 2z − i = z − 2i  2z − i = z − 2i z = 1  z = z = 1 . 1 2
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun 2 2 2 mz + nz
= m z + 2mnz z cos (z , z ) 2 2 + n z 1 2 1 1 2 1 2 2
Trong đó (z , z là góc M
ON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z , z trên 1 2 ) 1 2 mặt phẳng phức 2 2 2 1
z − z = 1  z − z
=1 z + z − 2 z . z .cos z , z =1 cos z , z = . 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2 2 2 Vậy 2 P = z + z
=1 z + z + 2 z . z .cos z , z = 3  P = 3 . 1 2 1 2 1 2 ( 1 2)
Câu 38: Cho số phức z , z thỏa mãn z + 2 − i = 2 z −1− i và z + z = 1+ i . Tính giá trị biểu thức 1 2 1 2 2 2 P = z + z . 1 2
A. P = 2 . B. P =1.
C. P = 4 . D. P = 9 . Lời giải ChọnC
Ta có z + 2 − i = 2 z −1− i mà z + z = 1+ i 1 1 1 2
z + 2 −i = 2 z 1 2 2
 4 z = (z + 2−i)(z + 2+i) 2
= z + 2 −i z + 2 + i z + 5. (1) 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 Tương tự 2 2 ta có 4 z
= z + 2 − i z + 2 + i z + 5. 2 1 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Cộng (1) và (2) ta có Trang 18
4P = P + (2 − i) z + z + 2 + i z + z +10 1 2 ( )( 1 2)
= P +(2−i)(1−i)+(2+i)(1+i)+10 = P +12  P = 4.
Câu 39: Cho hai số thực ;
b c (c  0) . Kí hiệu ;
A B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai
nghiệm của phương trình 2
z + 2bz + c = 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ). A. c = . b B. 2 c = b . C. 2 c = 2b . D. 2 b = 2 . c Lời giải Chọn C. Ta có ' 2  = b −c Nếu ' 2
 = b −c  0  phương trình có hai nghiệm Z = b −   ' (Loại vì , O , A B thẳng 1,2 hàng) Nếu ' 2
 = b −c = 0  phương trình có nghiệm kép (Loại) Nếu ' 2
 = b −c  0  Phương trình có hai nghiệm 2 2 Z = b
−  i b − c = −b i −(b − c) 1,2
Vậy hai điểm biểu diễn là 2 ( A − ; b b − c ) và 2 B(− ;
b − b − c )
Tam giác OAB cân tại O .Vậy để tam giác OAB vuông  O . A OB = 0 2 2
b − b − c = 0 2  c = 2b .
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z − 2z = 7
− + 3i + z . Tính z ? 13 25 A. 3. B. . C. . D. 5 . 4 4 Lời giải Chọn D.
Giả sử z = a + bi ( , a b  ) , ta có: z − 2z = 7
− + 3i + z z − 2(x − yi) = 7
− + 3i + x + yi 2
z − 2x = x − 7
 x +9 = 3x −7(*)      2y = 3+ y  y = 3  7 ( )  x  *   3  x = 4 2 2
x +9 = 9x −42+7 Vậy z = 5 . Trang 19
z − 3− 2i 1 
Câu 41: Hcho hai số phức z, w thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu  min
w +1+ 2i w − 2 − i
thức P = z − w . 3 2 − 2 5 2 − 2 3 2 − 2 A. P = . B. P = 2 +1. C. P = . D. P = . min 2 min min 2 min 2 Lời giải Chọn C. Cách 1 :
Giả sử z = a + bi ( ,
a b  ) , w = x + yi ( , x y  ). 2 2
z − 3 − 2i  1  (a − 3) + (b − 2)  1 (1) 2 2 2 2
w +1+ 2i w − 2 − i  ( x + )
1 + ( y + 2)  ( x − 2) + ( y − ) 1 .
Suy ra x + y = 0. = −
= ( − )2 + ( − )2 = ( − )2 + ( + )2 P z w a x b y a x b x .
Từ (1) ta có I (3;2) , bán kính r =1. Gọi H là hình chiếu của I trên d : y = −x . x = 3 + t
Đường thẳng HI có PTTS  .  y = 2 + t
M HI M (3+ t;2 + t )  1 t =  2 M (C) 2  2t =1    1 t = −  2  1 1  5 + 2 t = 2  M 3 + ; 2 +   , MH =  2 2  2  1 1  5 − 2
t = 3  M 3 − ; 2 −   , MH =  2 2  2 5 2 − 2 Vậy P = . min 2 Trang 20 Cách 2 :
z − 3 − 2i  1 điều này cho thấy M ( z) đang nằm trên hình tròn tâm I (3;2) bán kính bằng 1.
w +1+ 2i w − 2 − i điều này cho thấy N (w) đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường
thẳng  là trung trực của đoạn AB với A( 1 − ; 2 − ), B(2; ) 1 .
 : x + y = 0. (Minh hoạ như hình vẽ) y y M 2 I 2 M I N B 1 1 -1 x -1 x O 2 3 O 2 3 N A -2 -2 Δ
P = z − w = MN. 3 + 2 5 2 − 2 P
= d I,  − R = −1 = . min ( ) 2 2
Câu 42: Xét các số phức z = a + bi,( ,
a b ) thỏa mãn z − 3 − 2i = 2. Tính a + b biết biểu thức
S = z +1− 2i + 2 z − 2 − 5i đạt giá trị nhỏ nhất. A. 4 + 3 . B. 2 + 3 . C. 4 − 3 . D. 3. Lời giải: Chọn A B Giả thiết 2 2
z − 3 − 2i = 2  (T ) : (a − 3) + (b − 2) = 4 5 M Gọi ( A 1 − ;2), (2 B ;5), M ( ; a )
b lần lượt là các điểm biểu I A J
diễn của các số phức z = 1
− + 2i, z = 2 + 5i, z = a + bi 1 2 3
Bài toán trở thành: Tìm M (T) sao cho biểu thức -1 O 2
S = MA + 2MB nhỏ nhất Ta có 2 2 2 2 MA =
(a +1) + (b − 2) =
a + b + 2a − 4b + 5 Trang 21 2 2
= 2 a +b − 4a − 4b +8 2 2
= 2 (a − 2) + (b − 2) = 2MC với C(2;2)
Ta có MA+ 2MB = 2(MB + MC)  2BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi ,
B M, C theo thứ tự đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng BC : x = 2
M là giao của của BC và (T )  M (2; 2 + 3)  a+ b = 4 + 3 .
Câu 43: Giả sử z , z là hai nghiệm phức của phương trình (2 + i) z z − (1− 2i) z = 1+ 3i và 1 2
z − z = 1. Tính M = 2z + 3z 1 2 1 2 A. M = 19 . B. M = 25 . C. M = 5 . D. M = 19 . Lời giải Chọn D.
Từ giả thiết ta có: (2 + i) z z − (1− 2i) z = 1+ 3i  ((2 + i) z − (1− 2i)) z = 1+ 3i
 (2 + i) z − (1− 2i) z = 1+ 3i  (2 z − )
1 + ( z + 2)i z = 1+ 3i
 ( z − )2 +( z + )2 2 1 2 z = 1+ 3i .
Bình phương, giải phương trình tìm được z =1, Gọi A,B lần lượt là hai điểm biểu diễn của
hai số phức z , z trong mặt phẳng phức thì suy ra A, B nằm trên đường tròn tâm O , bán kính 1 2 1 và A B=1,
do đó tam giác OAB là tam giác đều.  
Cách trắc nghiệm : chọn ( ) 1 3 A 1; 0 ; B  ;  
 thỏa mãn bài toán, nên 2 2   2 2  3   3 3 
M = 2z + 3z = 2 + +     = 19 1 2    2  2  
Cách tự luận: M = 2z + 3z = 2OA+3OB = OA +  OB = OC 1 2 Trang 22
Áp dụng định lý hàm số cos tìm được M = OC = 19 z + z
Câu 44:Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau z +1 = + 3 , gọi số phức 2
z = a + bi là số phức có mô đun nhỏ nhất. Tính S = 2a + b . A. 0 . B. 4 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn B. z + z 2 2 Ta có: z + = +  (a + ) 2 1 3 1 + b = (a + 3) 2  b = 4a +8 . 2
Từ đó: z = a + b = a + a + = (a + )2 2 2 2 4 8 2 + 4  2 .
Vậy min z = 2 đạt được khi a = 2 − ;b = 0. Khi đó: S = 4 − .
Câu 45: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là: A. z = 2 − + 2 .i B. z = 2 + 2 . i C. z = 2 − 2 . i D. z = 2 − − 2 .i Lời giải Chọn B.
Đặt z = a +b , i ( , a b ).
Ta có z − 2 − 4i = z − 2i suy ra a + b = 4. (a +b)2 Ta có: 2 2
z = a + b  = 2 2 . 2 a + b = 4 Dấu " = " xảy ra khi   a = b = 2 . a = b Vậy z = 2 + 2 . i Trang 23
Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + (2 − i) z là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 20. B. R = 7. C. R = 2 5. D. R = 7. Lời giải Chọn C.
Ta có: w = 3 − 2i + (2 −i) z = 3− 7i + (2 −i)( z −1+ 2i)
 w −3+ 7i = (2−i)(z −1+ 2i)
 w − 3+ 7i = (2 −i)(z −1+ 2i) = 2 −i z −1+ 2i = 2 5
 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 3− 2i +(2−i) z là một đường tròn bán kính R = 2 5.
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z −1− i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 + i + (1− i) z là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó. A. R = 4. B. R = 2 2. C. R = 2. D. R = 2.
Câu 48: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2.Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = 3 − 2i + (2 − i) z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó. A. I (3; 7 − ). B. I (2;− ) 1 . C. I (3; 2 − ). D. I (1; 2 − ).
Câu 49: Trong các số phức z thỏa mãn z +1− 5i = z + 3 − i , giả sử số phức có mô đun nhỏ
nhất có dạng z = a + bi . Khi đó a S = bằng bao nhiêu? b 2 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 4 2 Lời giải Chọn B Ta có
z +1− 5i = z + 3 − i a + bi +1− 5i = a − bi + 3− i
 (a + )2 + (b − )2 = (a + )2 + (b + )2 1 5 3 1
 2a +1−10b + 25 = 6a + 9 + 2b +1  4a +12b −16 = 0  a +3b − 4 = 0 .
Vậy quỹ tích các điểm M ( ;
x y) biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 3y − 4 = 0(d ) . Trang 24
Có z = OM , khi đó số phức z có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất tức M là
hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng (d ).
Phương trình đường thẳng OM là: 3x − y = 0 (    2 6 a 1 d ) 2 6 OM = M ; 
  z = + i = a +bi  = .  5 5  5 5 b 3
Câu 50: Cho số phức z = a + bi ( , a b
) thoả mãn z + 7 + i − z (2 + i) = 0 và z  3.Tính P = a + b . 1 5 A. P = 5 . B. P = − . C. P = 7 . D. P = . 2 2 Lời giải Chọn B
Gọi z = a + bi , a,b  .
a +bi +7 +i − a +bi (2+i) = 0 2 2 2 2
a +bi +7 + i − 2 a + b −i a +b = 0 2 2  a − a + b + + ( 2 2 2 7
1 + b − a + b )i = 0 2 2
a − 2 a +b +7 = 0 2 2  − + + = 2 2   a 2 a b 7 0  − + + =    a 2 a b 7 0   2 2 1
 + b − a + b = 0 2 2
2 + 2b − 2 a + b = 0
a = 2b − 5 b  + 1  0  3 2
 5b − 20b + 25 = b +1  b  = 4  =  b  2
 4b − 22b + 24 = 0     2 .
a = 2b − 5  a = 3  a = 2b − 5  a = 2 − 3
Ta có z = 3 + 4i z = 5 ( loại); z = 2 − + 25 i z = . Vậy P = a + 1 b = − . 2 4 2
Câu 51: Gọi T là tổng phần thực và phần ảo của số phức 2 3 2018
w = i + 2i + 3i + .... + 2018i . Tính giá trị của T ? A. 0 . B. 1 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn.B. Cách 1: Ta có 2 3 4 2017 2018
w = i + 2i + 3i + 4i + ... + 2017i + 2018i = ( 4 8 2016
4i + 8i + ... + 2016i )+( 5 9 2017
i + 5i + 9i + ... + 2017i )+ + ( 2 6 10 2014 2018
2i + 6i +10i + ... + 2014i + 2018i )+( 3 7 11 2015
3i + 7i +11i + ... + 2015i ) Trang 25
= (4 + 8 +...+ 2016) + i(i + 5 + 9 +...+ 2017) + 2
+ i (2 + 6 +10 +...+ 2014 + 2018) 3
+ i (3+ 7 +11+...+ 2015) 504 = (4n) 505
+ i(4n−3) 505 − (4n−2) 504 −i(4n− ) 1 n 1 = n 1 = n 1 = n 1 = 504  (    = 4n) 505 − (4n − 2) 505 + (4n −3) 504 − (4n −    ) 1 i   n 1= n 1 =   n 1= n 1 =  = 1
− 010+1009 .i Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 1 − . Cách 2:
Phân tích như Cách 1 nhưng sử dụng cấp số cộng để tính các tổng trên. Cách 3: Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x xf ( x) 2 3 2017 2018
= x + 2x + 3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − )  xf (x) 1 = . x 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i − ) 1 w = . i ( i − )2 1 2
− 019i + 2019 + i +1 = i = 1 − 010 +1009 .i 2 − i
Suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức w bằng 1 − . Câu phát triển:.
Câu 52: Gọi M ( ;
a b) là điểm biểu diễn của số phức 2 3 2017 2018 w = i
− + 2i −3i +....− 2017i + 2018i
trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦. Tính T = 3
− a + b? A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020 Lời giải Chọn A Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x Trang 26 xf ( x) 2 3 2017 2018
= x + 2x + 3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = − ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − )  xf (x) 1 = . x 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i ( i − − ) 1 − ( 2019 i − − ) 1 2018 2019i (i + ) 1 + ( 2019 i + ) 1 w = − . i = ( . i 2 i − − )2 1 (i + ) 1
(i )504 i (i+ )+( i )504 4 2 4 3 2019 1 i + ) 1 −2019(i + ) 1 + (−i + ) = 1 . i = 2i 2 2 − 020i − 2018 = = 1
− 009 −1010 .i a = 1 − 009;b = 1 − 010 T = 3
− a + b = 2017 . 2
Câu 53: Gọi T là tổng phần thực và phần ảo của số phức 3 4 2018 2019
w = 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i .
Tính giá trị của T ? A. 0 . B. 1 − . C. 2 . D. 2 − . Lời giải Chọn. A. Đặt f (x) 2 3 2017 2018
=1+ x + x + x +....+ x + x f ( x) 2 2016 2018
=1+ 2x +3x +...+ 2017x + 2018x 2 x f ( x) 2 3 4 2018 2019
= x + 2x +3x +...+ 2017x + 2018x ( ) 1 Mặt khác: − f ( x) 2019 x 1 2 3 2017 2018
= 1+ x + x + x + ....+ x + x = x−1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x − ) f ( x) 1 = = ( Thay x i vào ( ) 1 và (2) ta được: x − )2 1 2018 2019x (x − )1−( 2019 x −1 2 2 )
x f (x) = x . 2 2 ( ) (x − ) 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i −1 2 3 4 2018 2019 2 )
i + 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i = i . = − ( i − ) 1009 1010i 2 1 2018 2019i (i − ) 1 − ( 2019 i −1 2 3 4 2018 2019 2 )
i + 2i + 3i + ... + 2017i + 2018i = i . = − ( i − ) 1009 1010i 2 1 Trang 27 2
w = 1009 −1010i − i = 1010 −1010i
Câu 54: Cho các số phức z , z thỏa mãn z = 6, z = 2 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các 1 2 1 2
số phức z , iz . Biết rằng MON = 60 . Tính 2 2
T = z + 9z . 1 2 1 2 A. T = 18 . B. T = 24 3 . C. T = 36 2 . D. T = 36 3 . Lời giải Chọn D
Ta có z = 6  OM = 6 ; z = 2  iz = 2  ON = 2 . 1 2 2 1 1 Gọi z =
z và K là điểm biểu diễn số phức z OK =
OM KON = 60 và OK = 2 . 1 3 3 2 3
Từ đó suy ra tam giác OKN đều cạnh bằng 2  NK = 2 và OI =
= 3 , với I là trung 2 điểm KN . Khi đó 2 2
T = z + 9z = 9z + 9z = 9 z − iz
= 9 (z −3iz z + 3iz = 9 z −iz . z +iz 1 2 ) ( 1 2 ) 2 ( 2 )2 2 2 2 1 2 2 2
Do đó: T =18.NK.OI =18.2. 3 = 36 3 . M K I O N
Câu 55: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b R) thỏa mãn 2018 z
= z . Hỏi có bao nhiêu cặp ( ; a b) thỏa mãn đề bài: A. 2021. B. 2018 . C. 2019 . D. 2020 . Lời giải: Chọn D. Trang 28  z = 0 2018 Ta có 2018 z = z z = z   .  z =1 
+ Nếu z = 0  z = 0 . 1
+ Nếu z = 1, ta có 2018 2018 2019 z = z z =  z =1. z Vì phương trình 2019 z
= 1 có 2019 nghiệm nên có tất cả 2020 số phức z thỏa mãn. Vậy có 2020 cặp ( ;
a b) thỏa mãn đề bài.
Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn: z −1− 3i = 13 . Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và 2 2
lớn nhất của biểu thức P = z + 2 − z − 3i . Tính A = m+ . M A. A = 10.
B. A = 25.
C. A = 34.
D. A = 40. Lời giải Chọn đáp án C
Đặt z = x + yi ( ; x y R)
Ta có z−1− 3i = 13  x − 2 + y − 2 ( 1) ( 3) = 13
P = 4x + 6y − 5  P − = x − + y −  2 + 2 − 2 + y− 2 17 4( 1) 6( 3) (4 6 )[(x 1) ( 3) ]
Vậy P −17  26  9
−  P  43  m = 9
− ,M = 43  A = 34.
Câu 57: Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z . Khi đó M + m bằng A. 4 − 7. B. 4 + 7. C. 7. D. 4 + 5. Lời giải Chọn B
Gọi z = x + yi với ; x y  .
Ta có 8 = z − 3 + z + 3  z − 3 + z + 3 = 2z z  4 .
Do đó M = max z = 4. 2 2 Mà z −
+ z + =  x − + yi + x + + yi =  (x − ) 2 + y + (x + ) 2 3 3 8 3 3 8 3 3 + y = 8 .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có =
(x− )2 + y + (x+ )2 + y  ( + ) (x− )2 + y +(x+ )2 2 2 2 2 2 2 8 1. 3 1. 3 1 1 3 3 + y    Trang 29   ( 2 2 x + y + )  ( 2 2 8 2 2 2 18
2 2x + 2 y +18)  64 2 2 2 2
x + y  7  x + y  7  z  7 .
Do đó M = min z = 7 .
Vậy M + m = 4 + 7 .
Câu 58: Xét số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của z −1+ i . Tính P = m + M . 5 2 + 2 73
A. P = 13 + 73 . B. P = . 2 5 2 + 73
C. P = 5 2 + 2 73 . D. P = . 2 Lời giải Chọn B .
Cách 1. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của z . Các điểm A( 2 − ; )
1 , B (4,7) , C (1;− ) 1 .
Ta có z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  MA + MB = 6 2 , mà AB = 6 2  MA + MB = AB .
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB : y = x +3 , với x  2 − ;4. Ta có 2
z − + i = MC z − + i = MC = ( x − )2 + ( y + )2 = ( x − )2 + ( x + )2 2 2 1 1 1 1 1 4 = 2x + 6x +17 Đặt f (x) 2
= 2x + 6x +17 , x 2 − ;4.
f ( x) = 4x + 6 , f ( x) 3
= 0  x = − ( nhận ) 2  3  25 Ta có f ( 2 − ) =13, f − =   , f (4) = 73.  2  2  
Vậy Maxf ( x) = f (4) = 73, Minf ( x) 3 25 = f − =   .  2  2 Trang 30  5 2 5 2 + 2 73 M = 73 , m = .  P = . 2 2
Cách 2.Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của z . Các điểm A( 2 − ; )
1 , B (4,7) , C (1;− ) 1 .
Ta có z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2  MA + MB = 6 2 , mà AB = 6 2  MA + MB = AB
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB .
Phương trình đường thẳng AB : y = x +3 , với x  2 − ;4. 5 CM = d C; AB = . min ( ) 2
CB = 73;CA = 13  CM = CB = 73 . max 5 2 73 + 5 2 Vậy P = 73 + = . 2 2
Câu 59: Biết phương trình: 2 2018
z + 2017.2018z + 2
= 0 có 2 nghiệm z , z . Tính S = z + z . 1 2 1 2 A. 2018 S = 2 . B. 2019 S = 2 . C. 1009 S = 2 . D. 1010 S = 2 . Lời giải Chọn D 2 2018
z + 2017.2018z + 2
= 0 = z + z = 2017.2018 và 2018 z z = 2 là số thực. 1 2 1 2
= z = z = z = z = z . 2 1 2 1 1 Mà ta có: 2018 z z = 2 2018 = z .z = 2 2 2018 = z = 2 1009 = z = 2 . 1 2 1 1 1 1 Vậy ta có: 1010
S = z + z = 2 z = 2 . 1 2 1 Trang 31
Câu 60: Cho hai số thực b và c(c  0) . Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác
OAB là tam giác vuông ( O là gốc tọa độ). A. 2 b = 2c . B. 2 c = 2b .
C. b = c . D. 2 b = c . Lời giải Chọn B. Ta có: 2
z + 2bz + c = 0. Vì z + z = 2
− b và z z = c là số thực. 1 2 1 2
z = z z = z = z . Vậy ta có: x = b và 2 2
x + y = c . 2 1 2 1 1 1 1 2
Ta có: z = x + y i = A( x ; y ; z = x + y i = B( x ; y . 2 2 ) 1 1 ) 1 1 1 1 2 2
Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = O .
AOB = 0  x x + y y = 0 2 2  x − y = 0 1 2 1 2 1 1 2 2  x = y 2  c = 2b . 1 1 Câu 61:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 2
4z + 4(m−1)z+ m − 3m = 0 có hai nghiệm phức z ,z thỏa mãn z + z = 2 1 2 1 2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C. Ta có: 2 2
4z + 4(m−1)z+ m − 3m = 0 Vì z + z = 1− m và 2
z z = m − 3m là số thực. 1 2 1 2  1− m
z = z = z = z = z . Vậy ta có: x = và 2 2 2
x + y = m − 3m . 2 1 2 1 1 1 1 1 2
Ta có: z + z = 2 = z + z = 2  z = 1 2 2 = x + y = 1 1 2 1 1 1 1 1 m = −1 2
m −3m = 4   . m = 4
Câu 62: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b  , a  0) thỏa .
z z −12 z + ( z − z ) =13−10i . Tính S = a + b . A. S = 17 − . B. S = 5. C. S = 7 . D. S = 17 . Lời giải Chọn C. Ta có: .
z z −12 z + ( z − z ) =13−10i 2 2 2 2
a +b −12 a + b + 2bi =13−10i Trang 32  2  a + 25 =13 2 2 2 2  
a + b −12 a + b = 13 2 2    + − + =   a 25 12 a 25 13    2  a + 25 = 1 −  (VN) 2b = −10 b  = −5 b= 5− a = 12  =  a 12    , vì a  0 . b = −5 b  = 5 −
Vậy S = a + b = 7 .
Câu 63: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b  ) thỏa mãn (1+ i) z + 2z = 3+ 2i . Tính P = a + b . 1 1 A. P = . B. P =1. C. P = 1 − . D. P = − . 2 2 Lời giải Chọn C.
Ta có: (1+ i) z + 2z = 3+ 2 .i( )
1 . Ta có: z = a + bi z = a − bi . Thay vào ( )
1 ta được (1+ i)(a + bi) + 2(a −bi) = 3+ 2i  1 a =  − =   ( a b 2  2
a − b)i + (3a − b) = 3+ 2i     . 3  a − b = 3 3 b  = −  2 Vậy P = 1 − .
Câu 64: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b ) thỏa mãn z +1+ 3i − z i = 0 . Tính S = a + 3b . 7 7 A. S = . B. S = 5 − . C. S = 5. D. S = − . 3 3 Lời giải Chọn B.
Đặt z = a + b ; i ( ; a b  ).
Từ giả thiết, ta có: a + bi +1+ 3i − a + bi i = 0 2 2
a +bi +1+3i − a +b .i = 0 a = 1 − a +1 = 0    a + + ( 2 2 1
b + 3 − a + b ).i = 0     4 . 2 2
b + 3− a + b = 0 b = −  3  4 
Vậy S = a + 3b = 1 − + 3. − = 5 −   .  3  Trang 33
(12−5i) z +17+7i
Câu 65: Tìm tập hợp các số phức z thỏa =13. z − 2 − i
A. d :6x + 4y −3 = 0 .
B. d :x + 2y −1= 0 . C. 2 2
(C) : x + y − 2x + 2 y +1 = 0 . D. 2 2
(C) : x + y − 4x + 2 y + 4 = 0 . Lời giải Chọn A. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu số phức z = x + yi ( ,
x y  ) thỏa bài toán. Theo đề có
(12−5i) z +17 +7i =13(12x+5y+17)2 +(12y−5x+7)2 =169(x−2)2 +(y− )21 z − 2 − i  
 6x + 4y −3 = 0 .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x + 4y − 3 = 0.
Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn 2 z − 2 + 3i = 2i −1− 2z . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z
trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. 20x −16y − 47 = 0 .
B. 20x +16y − 47 = 0 .
C. 20x −16y + 47 = 0 .
D. 20x +16y + 47 = 0 . Lời giải Chọn A. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi ( ,
x y  )  z = x − yi .
Ta có 2 z − 2 + 3i = 2i −1− 2z  2 (x − 2) + ( y + 3)i = ( 2
− x −1) + (2y + 2)i 2 2 2 2
 2 (x − 2) + (y + 3) = ( 2
− x −1) + (2y + 2)  20x −16y − 47 = 0 .
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 20x −16y − 47 = 0 .
Câu 67: Tìm tập hợp các số phức z thỏa z thỏa z + 4 + z − 4 = 10 . x y x y A. ( E ) 2 2 : + = 1. B. ( E ) 2 2 : + = 1. 9 25 25 9 x y x y C. ( E ) 2 2 : + = 1. D. ( E ) 2 2 : + = 1 . 16 9 5 3 Lời giải Chọn B. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu số phức z = x + yi ( ,
x y  ) thỏa bài toán.
Ta có z + 4 + z − 4 = 10  (x + 4) + yi + (x − 4) + yi =10 2 2 2 2
 (x + 4) + y + (x − 4) + y =10( ) * Trang 34
Đặt F (- 4;0) và F (4;0) thì ( )
*  MF + MF =10  F F = 8 nên tập hợp điểm M ( ; x y) 1 2 1 2 1 2
biểu diễn số phức z là một elíp với hai tiêu điểm F , F . 1 2
MF + MF = 2a =10 a = 5 1 2 2 2   x y
Ta có: F F = 2c = 8  c  = 4  (E) : + =1. 1 2 25 9   2 2 2
a = b + c b = 3 
Câu 68: Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 có nghiệm phức
z thỏa z = 2 . o o A. 0 . B. 2 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Ta có với mọi a  thì phương trình 2 2
z + 3z + a − 2a = 0 luôn có nghiệm phức. 2 3 − + i 4 − a + 8a + 9 2 3 − − i 4 − a + 8a + 9 z = và z = . 1 2 2 2 2 4 − a + 8a + 9 3 Suy ra z = z = + . 1 2 4 4 2 4 − a + 8a + 9 2 3 4 − a + 8a + 9 9 z = 2  + = 2 2  + = 4  4
− a + 8a + 9 = 7 o 4 4 4 4 2 2  4
− a + 8a + 9 = 7  4
− a + 8a + 2 = 0 ( ) 1     . 2 2  4
− a + 8a + 9 = 7 −  4
− a + 8a +16 = 0  (2) Từ ( )
1 ta có a + a = 2 , từ (2) ta có a + a = 2 . 1 2 3 4
Vậy tổng a + a + a + a = 4 . 1 2 3 4
Câu 69: Cho số phức z thỏa z = 1 , gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 3 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 . Tính M − m .
A. M − m = 1.
B. M − m = 3.
C. M − m = 6 .
D. M − m = 12 . Lời giải Chọn A. 3 Ta có 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 4 2 4 2
= z + z + 6 − 2 z + z Trang 35 = (z + z )2 2 2 2 2
+ 4 − 2 z + z = (z + z )2 2 2 2 2
+ 4 − 2 z + z
= ( z + z − )2 2 2 1 + 3 2  2 z + z  Vì  nên P
= 4 , P = 3 nên chọn A. 2 max min 2  2
−  z + z  2 Cách giải khác: 3 Ta có 5 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 4 2 4 2
= z + z + 6 − 2 z + z Đặ 2 t 2
t = z + z với t 0;  2 4 4 2
z + z = t − 2 Do đó 2 2
P = t + 4 − 2t = t − 2t + 4 = f (t ) với t 0;  2 Khi đó P
= 4 , P = 3 nên chọn A. max min
Câu 70: Cho số phức z thỏa z = 1 , gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 3 2 của 5 2
P = z + z + 4z − 2 z + z . Tính M − mi .
A. M − mi = 3 .
B. M − mi = 1.
C. M − mi = 5 .
D. M − mi = 2 . Lời giải Chọn C. 3 2 Ta có 5 2
P = z + z + 4z − 2 z + z 4 2 4 2
= z + z + 4 − 2 z + z Trang 36 = (z + z )2 2 2 2 2
+ 2 − 2 z + z = (z + z )2 2 2 2 2
+ 2 − 2 z + z
= ( z + z − )2 2 2 1 +1 2  2 z + z  Vì  nên P
= 2 , P =1 nên chọn C. 2 max min 2  2
−  z + z  2
Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn iz − 2i − 2 − z +1− 3i = 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (1+ i)z + 2i . 9 A. P = 4 2. B. P = 26. C. P = . D. P = 3 2. min min min min 17 Lời giải Chọn A. Gọi M( ; x y), , A ,
B I lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 − 2 , i 1 − +3 ,i 1 − − .i
Ta có: iz − 2i − 2 − z +1− 3i = 34  z − 2 + 2i − z +1− 3i = 34  MA − MB = AB
M thuộc tia đối của tia . BA
P = (1+ i)z + 2i = (1+ i)(z +1+ i) = 2 z +1+ i = 2MI .
Dựa vào quan sát, suy ra: P MIM  . B min min
Vậy P = 2IB = 4 2. min Trang 37
Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của z −1+ i . Khi đó 2 2
P = M + m bằng 171 171 167 167 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A.
Gọi z = x + yi,( , x y  ) . Đặt: N ( ; x y) , F 2 − ;1 , F 4;7 1 ( ) 2 ( )
Khi đó từ giả thiết z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 suy ra NF + NF = 6 2 . 1 2 Mà 2
F F = 72  NF + NF = F F . 1 2 1 2 1 2
Vậy N thuộc đoạn F F . 1 2 x + 2 y −1
Ta có F F = 6;6  Phương trình đường thẳng F F : =
x − y + 3 = 0 . 1 2 ( ) 1 2 1 1
Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng y = x + 3 với 2 −  x  4 . 2 2
z − + i = ( x − )2 + ( y + )2 1 1 1 = (x − ) 1 + ( x + 4) . 2 2
Xét f ( x) = ( x − ) 1
+ (x + 4) ,− 2  x  4 .
f ( x) = 2( x − )
1 + 2( x + 4) f ( x) 3 ; = 0  x = − . 2  3  25 f ( 2 − ) =13; f − =   ; f (4) = 73.  2  2 25 25 171
Suy ra M = 73; m = 2 2
P = M + m = 73+ = . 2 2 2
Câu 73: Cho các số phức z = 3
− i, z = 4 + i và z thỏa mãn z −i = 2. Biết biểu thức 1 2
T = z − z + 2 z − z đạt giá trị nhỏ nhất khi z = a + bi ( , a b
). Hiệu a − b bằng 1 2 3 + 6 13 3 − 6 13 6 13 − 3 3 − − 6 13 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Lời giải Chọn A. Trang 38 Gọi ( A 0; 3 − ), (4
B ;1) lần lượt là các điểm biểu diễn của z , z . 1 2
Do | z −i |= 2 nên tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn (C) tâm I (0;1) , bán kính R = 2 .
Lấy M (C) là điểm biểu diễn của z . Ta có T = MA+ 2MB . IM IO Ta có 2
IM = 2, IO = 1, IA = 4  IM = I . O IA  = . IA IA OM IM Từ đó 1 IMO ∽ IAM  =
=  AM = 2OM . AM IA 2
Vậy MA + 2MB = 2(MO + MB)  2OB .
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng BM và (C). 1+ 2 13 2 2 2
M (C)  IM = 2 16t + (t −1) = 4 17t − 2t − 3 = 0  t = ( t  0 ). 17 4 + 8 13 1+ 2 13 3 + 6 13 Vậy z = +
i a − b = . 17 17 17 1 i 3 1 i 3
Câu 74: Cho hai só phức z = + , z = − +
. Gọi z là số phức thỏa mãn 3z − i 3 = 3 . Đặt 1 2 2 2 2 2
M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = z + z − z + z − z . Tính 1 2
mô đun số phức w = M + mi . 2 21 4 3 A. . B. 13 . C. . D. 4 . 3 3 Lời giải Chọn A. Trang 39 i 3 1
Ta có 3z − i 3 = 3  z − = . 3 3 2   Đặ 3 1
t z = x + yi ( ; x y  ) 2
x +  y −  = (C)   . 3 3    1 3   1 3  Gọi K ( ; x y), A ; ;B − ;    
 lần lượt là điểm biểu diễn của z, z , z . 2 2 2 2     1 2
Khi đó ta có T = OK + KA + KB . Vì , A ,
B O cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác OAB đều nên suy ra:
m = minT = 2OA = 2 , khi đó K trùng với O hoặc A hoặc B .
Gọi K thuộc cung OB . Ta có K . AOB = O . A BK + A . B OK (Ptoleme).
KA = KB + OK . 4 3 4 3
Suy ra T = 2AK  2.2R =  M = . 3 3 2 21 Vậy w = . 3
Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Tìm 3
min z − z + 2 . 2 6 2 13 A. 13 . B. 6 . C. . D. . 9 6 Lời giải Chọn C.
Gọi z = a + bi , với a , b  .
Theo giả thiết ta có z = 1 suy ra . z z = 1 và 2 2 a + b =1, 1 −  a 1. Ta có 3 3 2
z − z + 2 = z − z + 2 .
z z = z z −1+ 2z 2 2
= a −b + a − + ( ab − b)i = ( 2 2 1 2 2 2 a + a − ) 1 + 2b (a − ) 1 i Trang 40 =
(a +a− )2 + b (a− )2 2 2 3 2 3 2 4 1 4 1
= 16a − 4a −16a +8 = 2 4a − a − 4a + 2 .  2 x =  3
Xét hàm số f ( x) 3 2
= 4x − x − 4x + 2 trên  1 − ; 
1 . Ta có f ( x) 2
=12x − 2x − 4 = 0   1 x = −  2 .  2  2  1  13 Ta có f (− ) 1 = 1; f ( ) 1 = 1; f =   ; f − =   .  3  27  2  4  2  2 2 6 2 5
Vậy min f ( x) = f = . Do đó 3
min z − z + 2 = khi a = và b =  .    1 − ;  1  3  27 9 3 3
Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn z = 1, gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 5 3 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 . Tính M − m .
A. M − m = 1.
B. M − m = 3.
C. M − m = 6 .
D. M − m = 12 . Lời giải Chọn A. Cách 1 : Đặt 4
t = z +1  t 0; 2 2  t = ( 4 z + )( 4 z + ) 4 4 4 4 2 1
1 = 2 + z + z z + z = t − 2 . 4 z Mà 5 3 4 4 4
z + z + 6z = z z +
+ 6 = z + z + 6 . . z z Nên 2 2
P = t − 2 + 6 − 2t = t − 2t + 4, t 0; 2 suy ra P = 3 = , m P
= 4 = M M − m =1. min max Cách 2: 5 3 4
P = z + z + 6z − 2 z +1 = 4 4 z + z + 6 4 2 − z +1 . Đặt 4
w = z = x + yi ( x y  ) 2 2 , ,
, w = 1 x + y = 1. 2
Nên P = w + w +
− w + = x + − (x + ) 2 6 2 1 2 6 2
1 + y = 2 ( x + 3) − 2 2x + 2 .
Đặt f (x) = 2(x + 3) − 2 2x + 2, x 1 − ;  1 . Bảng biến thiên Trang 41 Vậy P = 3 = , m P
= 4 = M M − m =1. min max
Câu 77: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn z −1− i = 5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P = 2 z −8i − z − 7 − 9i bằng 5 5 5 5 3 A. . B. 5 5 . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn B Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z , từ z −1− i = 5 thì M nằm trên đường tròn
(x − )2 +( y − )2 1 1
= 25 có tâm và bán kính : I (1; )
1 , R = 5 . Gọi A(0;8); B(7;9) thì P =
x + ( y − )2 − ( x − )2 + ( y − )2 2 2 8 7 9 = 2MA − MB .
Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm C sao cho MB = 2MC , nhận thấy IB = 2IM = 2R nên ta
có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau : 2 2
Cách 1 : ( x − ) 1 + ( y − ) 1 = 25 2 2
T = x + y − 23 = 0 2 2 2 2 MB =
x + y −14x −18y +130 =
x + y −14x −18y +130 + 3T 2  5  2 2 2
= 4x + 4y − 20x − 24y + 61 = 2 x − +   ( y −3)  2   5  Nên chọn điểm C ;3 
 thì MB = 2MC  2  Trang 42 1
Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn IC =
IB thì tam giác IMC đồng dạng với tam giác IBM 4  
nên ta có MB = 2MC , từ đó 5 C ;3    2 
Ta có : P = 2MA − MB = 2(MA − MC)  2AC = 5 5
Dấu « = » đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM .
Câu 78: Cho các số phức z thỏa mãn 2
z + 4 = ( z − 2i)( z −1+ 2i) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = z + 3 − 2i . 7 A. P = 4 . B. P = 2 . C. P = . D. P = 3. min min min 2 min Lời giải Chọn D. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức. Có 2
z + 4 = ( z − 2i)( z −1+ 2i)  z − 2i . z + 2i = ( z − 2i)( z −1+ 2i)  x = 0; y = 2 z = 2i     1 .
z + 2i = z −1+ 2i  x = ; y   2 1
Vậy M = (0;2) hoặc M d : x = . 2 7 Gọi I ( 3
− ;2) thì P = IM . Khi đó IM = 3 hoặc IM = d(I;d) = . min min 2 Vậy P = 3. min Trang 43
Câu 79: Cho các số phức z thỏa mãn z −1− i + z − 8 − 3i =
53 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z +1+ 2i . 185 A. P = 53. B. P = . C. P = 106 . D. P = 53 . max max 2 max max Lời giải Chọn C. Gọi M ( ; x y) , A(1; ) 1 , B(8; ) 3 , C ( 1 − ; 2
− ) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
z , 1+ i , 8 + 3i , 1
− − 2i trong mặt phẳng phức.
Có z −1− i + z − 8 − 3i = 53  MA + MB =
53 = AB M thuộc đoạn . AB
P = z +1+ 2i = MC.
Ta có : CA = 13,CB = 106 và CA CM CB = 106 . Vậy P = 106 đạt khi M max trùng B .
Câu 80: Biết z , z = 5 − 4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 2
z + bz + cz + d = 0 ( , b , c d  ), 1 2 3
trong đó z là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = z + 3z + 2 z bằng: 3 1 2 3 A. 12 − . B. −8 . C. 4 − . D. 0 . Lời giải Trang 44 Chọn C. Xét phương trình 3 2
z + bz + cz + d = 0 ( , b ,
c d  )là phương trình bậc ba với hệ số thực nên
luôn có một nghiệm thực là z . 1
Do đó phương trình tương đương với: ( z − z )( 2
z + a ' z + b ' = 0 a ',b ' 1 ) ( ) z = z  1   . 2
z + a ' z + b ' = 0  ( ) 1
Nên z , z = 5 − 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1). 3 2
Suy ra z = 5 + 4i . 3
Khi đó : w = z + 3z + 2 z = z + 3. 5− 4i + 2. 5 + 4i = 25 + 2z − 4i . 1 2 3 1 ( ) ( ) ( 3 )
Vậy phần ảo của w = z + 3z + 2 z là 4 − . 1 2 3 1
Câu 81: Biết rằng hai số phức z , z thỏa mãn z − 3 − 4i =1 và z − 3 − 4i =
. Số phức z có phần 1 2 1 2 2
thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a − 2b =12 . Giá trị nhỏ nhất của
P = z − z + z − 2z + 2 bằng 1 2 9945 9945 A. P = . B. P = 5− 2 3 . C. P = . D. P = 5+ 2 3 . min 11 min min 13 min Lời giải Chọn C.
Đặt z = 2z thì z − 6 −8i =1 và P = z − z + z − z + 2 . 3 2 3 1 3
Gọi M , A , B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z và z . Khi đó: 1 3
Điểm A nằm trên đường tròn (C có tâm I 3;4 , bán kính R = 1; 1 ( ) 1 ) 1
Điểm B nằm trên đường tròn (C có tâm I 6;8 , bán kính R =1 3 ( ) 3 ) 3
Và điểm M nằm trên đường thẳng d :3x − 2y −12 = 0 .
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P = MA+ MB + 2 . Trang 45
Ta kiểm tra thấy (C và (C nằm cùng phía và không cắt đường thẳng d :3x − 2y −12 = 0 . 3 ) 1 )
Gọi đường tròn (C  có tâm I  và bán kính R =1 đối xứng với (C qua d . 1 ) 1 ) 1 1
Điểm A đối xứng với A qua d thì A thuộc (C  . 1 )  72 30  105 8 
Ta có I I  : 2x + 3y −18 = 0 . Gọi H = I I   d H ; suy ra I  ; . 1 1 1 1      13 13  1  13 13 
Ta có P = MA + MB + 2 = MA + MB + 2 = (MA+ R + MB + R I M + I M I I . 1 ) ( 3 ) 1 3 1 3 9945 Từ đó P
khi các điểm I  , I , A , B và M thẳng hàng và P = I I = . min 1 3 min 1 3 13
Câu 82: Cho z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 , đồng thời 1 2
z − z = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z + z trong mặt phẳng tọa độ 1 2 1 2
Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây? 2 2  2 2 5   3  9  5   3  A. x − + y − =     . B. x − + y − = 9     .  2   2  4  2   2  2 2 2 2
C. ( x −10) + ( y − 6) = 36 .
D. ( x −10) + ( y − 6) = 16 . Lời giải Chọn C. Trang 46
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5 là đường tròn (T ) có
tâm là I (5;3) , bán kính R = 5 .
Gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z . Khi đó M , N nằm trên đường tròn 1 2 (T ).
Có z − z = 8 nên suy ra MN = 8 . 1 2
Giả sử z = a + b i và z = a + b i , suy ra w = z + z = a + a + b + b i . 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1 1 1 2 2 2
Gọi H là trung điểm của MN , ta có MN ⊥ IH nên 2 2 2 2 IH =
IM − MH = 5 − 4 = 3 . 2 2
Vậy ta có ( x − 5) + ( y − 3) = 9 . H Ha + a 1 2 x =  H  2 Mà  nên ta suy ra b + b  1 2 y = H  2 2 2  a + a   b + b  −5 + −3 = 9     
(a + a −10)2 +(b +b −6)2 1 2 1 2 = 36 . 1 2 1 2  2   2  2 2
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + z là đường tròn ( x −10) + ( y − 6) = 36 . 1 2
Câu 83: Xét các số phức z , w thỏa mãn điều kiện z −1− 3i z + 2i và w +1+ 3i w − 2i . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P = z − w là 3 3 26 26 13 +1 A. . B. . C. P = . D. P = . 13 13 4 2 Lời giải Chọn B. Trang 47 Cách 1:
Gọi z = a + bi , w = c + di , ( , a , b ,
c d  ) lần lượt được biểu diễn bởi điểm M ( ; a b) , N ( ; c d )
trong mặt phẳng (oxy) . Từ giả thiết:
z −1− 3i z + 2i  (a − )
1 + (b − 3)i a + (b + 2)i .
 (a − )2 + (b − )2  a + (b + )2 2 1 3 2
a + 5b  3. Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số
phức z là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng  : x + 5y = 3.
w +1+ 3i w − 2i  (c + )
1 + (d + 3)i c + (d − 2)i
 (c + )2 + (d + )2  c + (d − )2 2 1 3 2  c +5d  3
− . Suy ra tập hợp điểm N biểu diễn số
phức w là phần tô gạch như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng   : x +5y = 3 − . M   
Khi đó P = z − w = MN d (   ) 3 26 ; =
. Dấu ' = ' xảy ra khi N   13 MN ⊥   y x + 5y = 3 1 x 3 −3 O d 1 − x + 5y = 3 − Cách 2: a + 5b  3 a + 5b  3 Từ giả thiết   
 (a −c) +5(b − d )  6 ( ) *
c + 5d  −3
−c − 5d  3 2 2
Và P = z − w = MN = (a − c) + (b − d ) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: Trang 48
(a −c)+ (b−d) 
(a −c)2 +(b−d)2 5 26.     ( − + −  a −c) a c 5 b d 2 + (b − d )2 ( ) ( ) 6 3 26   = =   . 26 26 13  a + 2b = 3 M  M   3 26    Vậy P =
khi c + 5d = −3  N    N  . min 13    a − c b − d  ⊥  = NM = (a − ;
c b − d ) = k.n =  MN   (1;5)  1 5
Câu 84: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của z − 2 + 2i 3 5 A. 5. B. 1. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn B.
Đặt w = z − 2 + 2i Ta có 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1)
 (z −1+ 2i) . (z −1− 2i) = (z −1+ 2i) . (z +3i −1)
z −1+ 2i = 0   .
z −1− 2i = z + 3i −1 
TH1: z = 1− 2i  w = 1 −  w =1 (1)
TH2: z −1− 2i = z + 3i −1 .
Đặt z = a + bi ; , a b  . − 2 2 2 2  1
(a −1) + (b − 2) = (a −1) + (b + 3)  b = . 2 1  9 3 z = a − i  2 w = (a − 2) +  (2) 2 4 2 Từ ( )
1 , (2) suy ra min | w|=1.
Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2
z + 2z + 2 = z +1− i . Tìm giá trị lớn nhất của z . A. 2 .
B. 2 +1. C. 2 + 2 . D. 2 −1. Trang 49
Câu 86: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z −1+ 2i = 5 và w = z +1+ i có môđun lớn nhất. Số
phức z có môđun bằng: A. 2 5 . B. 3 2 . C. 6 . D. 5 2 .
Câu 87: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
M , M  ; số phức z (4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N .
Biết rằng M, M ,
N, Nlà bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i −5 . 1 2 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 5 34 13 Lời giải Chọn A
Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác MNN M  
luôn là hình thanh cân ( MM∥ NN ), nên để MNN M
  là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm
điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc MM = NN .
Giả sử: z = a + bi ( , a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ; a b − ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) + (3a + 4b)i.
Suy ra N (4a − 3 ;
b 3a + 4b) và N(4a −3 ; b 3 − a − 4b) .
* Do 4 điểm M, M , N, Ntạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm
đó là bốn đỉnh của một hình chữ nhật khi a = b −  =   MM
NN b = ( a + b)2 2 4 4 3 4  5  . a = − b  3 2 2 2  9  1 1 * Với a = b
− , ta có z + 4i − 5 = (b + 5) + (b + 4) = 2 b + +    .  2  2 2 Đẳ 9 9
ng thức xảy ra khi a = , b = − . 2 2 2 5b  5  2 34 74 5 1 * Với a = −
ta có z + 4i − 5 = b + 5 + (b + 4) 2 = b + b + 41     . 3  3  9 3 34 2 1
Vậy: Min z + 4i − 5 = . 2
Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M ; số
phức z (4 +3i) có điểm biểu diễn là N . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của M, N trên trục
Ox . Biết rằng tứ giác MNN M
  hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i −5 . 1 2 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 5 34 13 Lời giải Chọn A Trang 50
Giả sử: z = a + bi ( ,
a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ;0 a ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) +(3a + 4b)i.
Suy ra N (4a − 3 ;
b 3a + 4b) và N(4a − 3 ; b 0) .
* Do 4 điểm M, M , N, Ntạo thành hình thang vuông ( MM∥ NN) nên 4 điểm đó là bốn a = b −
đỉnh của một hình chữ nhật khi:  =   MM
NN b = 3a + 4b  5  . a = − b  3 2 2 2  9  1 1 * Với a = b
− , ta có z + 4i − 5 = (b + 5) + (b + 4) = 2 b + +    .  2  2 2 Đẳ 9 9
ng thức xảy ra khi a = , b = − . 2 2 2 5b  5  2 34 74 5 1 * Với a = −
ta có z + 4i − 5 = b + 5 + (b + 4) 2 = b + b + 41     . 3  3  9 3 34 2 1
Vậy: Min z + 4i − 5 = . 2
Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là
M , M  ; số phức z (4 + 3i) có điểm biểu diễn là N . Gọi N  là điểm đối xứng với N qua
đường thẳng MM. Biết rằng tứ giác MNM N là hình thoi. Tìm phần ảo của z để z + 4i −5
đạt giá trị nhỏ nhất. 96 192 96 192 A. − . B. − . C. . D. . 25 25 25 25 Lời giải Chọn A
Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường  NOx .
Giả sử: z = a + bi ( , a b ). Ta có M ( ;
a b) và M ( ; a b − ) .
* Khi đó: z (4 +3i) = (4a −3b) + (3a + 4b)i. Suy ra N (4a −3 ;
b 3a + 4b). 4
* Do tứ giác MNM N là hình thoi nên N Ox  3a + 4b = 0  a = − b . 3 2  4  2 25 64
* Ta có z + 4i − 5 = b + 5 +   (b + 4) 2 = b + b + 41 .  3  9 3  96
z + 4i − 5 đạt giá trị nhỏ nhất tại b = − . 25
Câu 90: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = 3 + 4i và z − w = 9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = z + w .
A. max T = 176 . B. maxT = 14 . C. max T = 4 .
D. max T = 106 . Trang 51 Lời giải Chọn D.
Phân tích: Từ yêu cầu bài toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để 2 2
xuất hiện z + w thì bài toán được giải quyết xong. 2 2 2 2
Ta có 2 ( z + w ) = z + w + z − w = 25 + 81 =106 2 2 2 nên 2
T = (1. z +1. w )  (1+ )
1 ( z + w ) =106 . Do đó T  106 .
Câu 91: Cho số phức z và w thỏa mãn z + w = a + b ; i , a b
và z − w = c  0 (hoặc
z + w = c  0 và z − w = a + b ; i , a b
). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = . p z + . q w
với p  0, q  0 . Lời giải 2 2 2 2 Ta có: ( + ) 2 2 2 2 z w
= z + w + z − w = a + b + c  + +  Khi đó a b c T = (
z + q w )  ( p + q )( z + w ) = ( p + q ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p. .   2  
a + b + c
Nên T  ( p + q ) 2 2 2 2 2   . 2  
Câu 92: Cho số phức z = x + yi ( , x y
) thỏa mãn z −1+ 3i = z + 3 − i . Tính 3 3
S = x + y biết rằng
biểu thức P = z −1− 2i − z +1− i đạt giá trị lớn nhất. A. S = 0 . B. S = 16 . C. S = 54 . D. S = 27 . Lời giải Chọn C. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy . Ta có 2 2 2 2
z −1+ 3i = z + 3 − i  ( x − ) 1
+ ( y + 3) = (x + 3) + ( y − ) 1
x − y = 0 .
Gọi A(1; 2) , B( 1 − ; )
1 , khi đó P = z −1− 2i − z +1− i = MA − MB .
Bài toán trở thành: “Tìm M thuộc đường thẳng d: x − y = 0 sao cho MA − MB lớn nhất.” Trang 52 Xét P ( ,
x y) = x − y , ta có P( A) P(B) = 1 − ( 2
− ) = 2  0. Do đó A , B nằm cùng phía đối
với đường thẳng d .
Gọi I là giao điểm của AB với d , ta tìm được I (3;3) .
Ta có MA − MB AB . Đẳng thức xảy ra khi M trùng với I . Do đó P đạt giá trị lớn nhất
khi tọa độ M là M (3;3). Vậy x = 3 và y = 3 do đó 3 3 S = 3 + 3 = 54 .
Nhận xét: Bài toán sẽ khó hơn nếu A , B nằm khác phía đối với đường thẳng d . Khi đó ta
cần tìm điểm đối xứng B ' của B qua d và M sẽ trùng với I = AB ' d .
Câu 93: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = 8 + 6i và z − z = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 2 1 2 1 2
thức P = z + z . 1 2 A. P = 2 26 B. P =104 C. P = 32 +3 2 D. P = 4 6 max max max max Lời giải Chọn A. 2 2 2 2 Ta có z + z
+ z − z = 2 z + zz + z . 1 2 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 )2 Trang 53  z = z
z = 8 + 6i − z 1 2  2 1 
Suy ra P = z + z  2 26 , dấu "=" xảy ra khi z + z = 8 + 6i   z = z − 8 − 6i 1 2 1 2  1 1  z − z = 2  − − = 1 2 z 4 3i 1  1
z = 8 + 6i − z 2 1  17 19iz = +   1  5 5 .   23 11i   z = + 1   5 5 Vậy P = 2 26 . max
Tổng quát: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = z ( z  0 và z − z = m  0 . Tìm 0 ) 1 2 1 2 0 1 2
giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + z . 1 2
Gọi các điểm biểu diễn của các số phức z , z , z lần lượt là M , N , K . 1 2 0 2 2 2 z + m 2 2 MN Ta có z + z 2 2 = OM +ON 2 = 2OE + 0 = . 1 2 2 2 ( z + z )2 2 2 1 2 z + z  2 2
z + z z + m . 1 2 1 2 0 2 2
Suy ra giá trị lớn nhất của P = z + z bằng 2 z + m . 1 2 0
Câu 94: Cho số phức z thoả mãn 2
z + z + z − z = z . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 5 − 2i bằng A. 2 + 5 3 . B. 2 + 3 5 . C. 5 + 2 3 . D. 5 + 3 2 Lời giải Chọn B. Trang 54 Cách 1: Đại số
Đặt z = a + bi( , a b  ) . 2 2 Từ giả thiết 2
z + z + z − z = z 2 2
 2 a + 2 b = a +b  ( a − ) 1 + ( b − ) 1 = 2 ( ) 1 . 2 2
Ta có P = z − 5 − 2i = (a − 5) + (b − 2) = 2 a + 2 b −10a − 4b + 29 .
Dễ thấy P lớn nhất khi ,
a b  0 . Khi đó P = 1
− 2a − 6b + 29 = 6 2 −  (a + ) 1 − (b + ) 1  + 47  2 2 Do , a b  0 nên từ ( ) 1 ta có (a + ) 1 + (b + ) 1 = 2 . 2 2 Suy ra P = 6  2 −  (a + ) 1 − (b + ) 1  + 47   ( 2 2 6 2 +1 ) (a + ) 1 + (b + ) 1  + 47   = 47 + 6 10 = 2 + 3 5 . (
a + )2 + (b + )2 1 1 = 2   2 10  = − −  a 1 a +1 b +1  5 Dấu = xảy ra khi  =   . 2 1   10  = − − a +1, b +1  0 b 1    5 Cách 2: Hình học
Đặt z = a + bi( , a b  ) . 2 2 Từ giả thiết 2
z + z + z − z = z 2 2
 2 a + 2 b = a +b  ( a − ) 1 + ( b − ) 1 = 2 ( ) 1 .
Tập hợp M biểu diễn z thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là R = 2 có tâm là A( 1 − ; ) 1 , B (1; ) 1 , C (1;− ) 1 , D ( 1 − ;− )
1 nằm chọn vẹn trong 1 góc phần tư (bỏ đi các cung nhỏ).
P = ME với E (5;2) . Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + 2 = 3 5 + 2 . Trang 55
Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm min thì ta cũng làm tương tự.
Câu 95: Cho số phức z thoả mãn 2
z + z + z − z = z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z − 5 − 2i bằng A. 5 3 − 2 . B. 17 − 2 . C. 2 3 − 2 . D. 4 − 2
Câu 96: Cho số phức z thỏa mãn 2
3 z + z + 3 z - z = z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z + 4 - 4i bằng A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2
Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z + z + 2 z − z = 8 ; , a ,
b c dương. Gọi M, m lần lượt là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = z - 3- 3i . Tính M + m . A. 10 + 34 B. 5 + 58 C. 10 + 58 D. 2 10 HD: Chọn B
Từ đồ thị ta xác định được E (3; )
3 , A 4;0 , A 0; 2 , A 4 − ;0 , A 0; 2
− , H 2;1 . Khi đó, 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1( ) EM = EH = 5 , EM = A E = 58 . min 1 max 3
Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn 2
z + 5 = 2 z + z . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của z − 5 + 4i . Tính M − m . Trang 56 A. 57 +1 B. 57 + 5 C. 57 + 6 D. 57 + 7
Câu 99: Cho số phức z thỏa mãn 1  z − 2 + i  4 . Gọi M là giá trị lớn nhất của z − 2 + 3i ,
m là giá trị nhỏ nhất của z + 2 − 2i . Tính M + m . A. 6 B. 5 C. 3 D. 7 Lời giải Chọn A
Lấy các điểm I (2;− ) 1 , A(2;− ) 3 , B( 2
− ;2) ; điểm N biểu diễn số phức z .
Ta có 1 AI = 2  4  M = AN
= AI + 4 = 5; BI = 5  4  m = BN = BI − 4 =1. max min
Do đó, M + m = 6 .
Câu 100: Cho hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , z khác 0 và 0 1 thỏa mãn đẳng thức 2 2
z + z = z z . Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O là gốc 0 1 0 1
tọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Cân tại O .
B. Vuông cân tại O . C. Đều.
D. Vuông tại O . Lời giải Chọn C.
Hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , z 0 1
Theo giả thiết suy ra: OA = z , OB = z và AB = z − z . 0 1 1 0 Ta có: 2 2
z + z = z z 2 2
z − z z + z = 0  (z + z )( 2 2
z − z z + z = 0. 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 ) 0 1 0 1 3 3 3 3
z + z = 0  z = −z z = z OA = OB . 0 1 0 1 0 1
Xét ( z − z )2 2 2
= z + z − 2z z = − 2
z z z − z = z . z 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2  AB = O .
AOB AB = OB .
Vậy AB = OB = OA hay tam giác OAB là tam giác đều. Trang 57