TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và Ứng dụng có đáp án và lời giải

TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và Ứng dụng có đáp án và lời giải được soạn dưới dạng file PDF. Đề thi bao có 121 trang, bao gồm 200 câu hỏi trắc nghiệm. Đề thi có đáp án chi tiết phía dưới giúp các bạn so sánh đối chiếu kết quả một cách chính xác. Mờicác bạn cùng đón xem ở dưới.

 

Trang1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Câu 1: [2D3-3] S BC GIANG 2018] Cho hàm s n tha mãn
Tính tích phân
A. B. C. D.
Li gii
Chn B.
Xét tích phân
t
Nên .
 . L
Du xy ra khi .
Suy ra
 .
Vy .
fx
0;1
10f
11
2
2
00
1
d 1 d .
4
x
e
f x x x e f x x



1
0
d.I f x x
2.Ie
2.Ie
.
2
e
I
1
.
2
e
I
d
d 1 d
x
x
u f x
du f x x
v x e x
v xe




1 1 1
1
0
0 0 0
1 d . . d . d
x x x x
x e f x x f x xe xe f x x xe f x x

1
0
1
.d
4
x
x
e
xe f x x

2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
. d d . d
xx
x e f x x x e x f x x






2
2
1
4
e



1
2
0
1
d.
4
x
e
xe f x x

""
.
x
f x k xe
1
2
2
2
0
1
d
4
x
e
kx e x
1k
x
f x xe
d d 1
xx
f x x xe x x e C

10fC
1
0
dI f x x
1
0
1 d 2
x
x e x e
Trang2
Câu 2:Cho hàm s
y f x
liên tc và tho mãn
1
23f x f x
x




vi
1
;2
2
x



. Tính
2
1
2
d
fx
x
x
.
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
9
2
. D.
9
2
.
Li gii
Chn A
t
2
1
2
d
fx
Ix
x
Vi
1
;2
2
x



,
1
23f x f x
x




1
23
f
fx
x
xx



.
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1
d 2 d 3d (1)
f
fx
x
x x x
xx



t
2
11
ddt t x
xx
11
ddtx
tx
.
22
11
22
1
2 d 2 d 2
f
ft
x
x t I
xt





.
2
1
2
3
1 3 3d .
2
I x I
Câu 3: [2D3-3][S GD&ĐT Tĩnh - Ln 1 - năm 2018]Cho
( )
1
0
2018f x dx =
ò
. Tính tích phân
( )
4
0
sin 2 cos 2f x xdx
p
ò
A.
2018
. B.
1009-
. C.
2018-
. D.
1009
.
Li gii
Chn D
t
sin2 2cos2t x dt xdx= Þ =
i cn:
0 0; 1
4
x t x t
p
= Þ = = Þ =
( ) ( )
1
4
00
11
sin 2 cos 2 .2018 1009
22
f x xdx f t dt
p
= = =
òò
Trang3
Câu 4: [2D3-3][S GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Bit
2
23F x ax bx c x
(
,,abc
) mt nguyên hàm ca hàm s
2
20 30 11
23
xx
fx
x

trên khong
3
;.
2




Tính
.T a b c
A.
11T
. B.
10T
. C.
9T
. D.
8T
.
Li gii
Chn A.
2
20 30 11
23
xx
fx
x

t
2
2
3
2 3 2 3
2
dd
t
x
x t x t
x t t
2
2
2
3
20 15 3 11
2
d .dt
t
t
I f x x t
t





4 2 4 2 2
5 15 11 d 5 11 2 3 4 2 5t t t t t t C x x x C
4; 2; 5 11a b c a b c
Câu 5: [2D3-3] [S GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Bit
6
0
2 4 d 5 4
ln ln
33
2 5 2 4 8
xx
a b c
xx
( , , ).abc
Tính
.T a b c
A. B. C. D.
Li gii
Chn A.
6 6 4
2
2
0 0 2
2 4 2 4
d d 2 4 d
54
2 5 2 4 8 2 4 5 2 4 4
x x t
x x t
tt
x x x x


vi
24tx
.
4 4 4 4
2 2 2 2
5 4 1 1 16 1 1 5 16 4
1 d 1d d d 2 ln ln
1 4 3 1 3 4 3 3 3 3
t
t t t t
t t t t




.
Suy ra
1 16
2, , 3
33
a b c a b c
.
Câu 6: [2D3-3]Cho
()fx
mt hàm s liên tc trên tha mãn
2 2cos2f x f x x
. Tính
tích phân
3
2
3
2
dI f x x
.
A.
3I
. B.
4I
. C.
6I
. D.
8I
.
3.T 
5.T 
4.T 
7.T 
Trang4
Li gii
Chn C.
Ta có
33
0
22
33
0
22
d d dI f x x f x x f x x



.
Xét
0
3
2
df x x
t
i cn:
33
22
xt

;
00xt
.
Suy ra
33
00
22
33
00
22
d dt d df x x f t f t t f x x


.
Theo gi thit ta có:
33
22
00
2 2cos2 d 2 2cos df x f x x f x f x x x x


3 3 3
2 2 2
0 0 0
d d 2 sin df x x f x x x x
33
0
22
3
0 0 0
2
d d 2 sin d 2 sin df x x f x x x x x x

.
Câu 7:[S GD VŨNG TÀU-LN 2-NĂM 2018] Hàm s
fx
liên tc trên
1;2018


:
2017
1
(2018 ) ( ) [1;2018], ( ) 10f x f x x f x dx
. Tính
2017
1
. ( )I x f x dx
.
A.
10100.I
B.
20170.I
C.
20180.I
D.
10090.I
Li gii
Chọn.D.
t
2018 .t x dt dx
1 2017, 2017 1x t x t
1 2017
2017 1
(2018 ) (2018 ) (2018 ) ( )I t f t dt t f t dt

Trang5
2017 2017
11
2018 ( ) ( )f x dx xf x dx

2018.10 10090.I I I
Câu 8:[2D3-3]Hàm s
fx
liên tc trên
0;


và :
0
( ) ( ) [0; ], ( )
2

f x f x x f x dx
. Tính
0
. ( )
I x f x dx
.
A.
.
2
I
B.
2
.
2
I
C.
.
4
I
D.
2
.
4
I
Li gii
Chọn.D.
t
.t x dt dx
0 , 0x t x t

0
( ) ( )I t f t dt

0
( ) ( )t f t dt

00
( ) ( )f x dx xf x dx



2
..
24
I I I

Câu 9:[2D3-3]Hàm s
fx
liên tc trên
;ab


và :
( ) ( ) [ ; ] f a b x f x x a b
;
() 
b
a
f x dx a b
Tính
. ( )
b
a
I x f x dx
.
A.
.
2
ab
I
B.
2
.
4
ab
I
C.
.
4
ab
I
D.
2
.
2
ab
I
Li gii
Chọn.D.
t
.t a b x dt dx
,.x a t b x b t a
( ) ( )
a
b
I a b t f a b t dt
( ) ( )
b
a
a b t f t dt
Trang6
( ) ( ) ( )
bb
aa
a b f x dx xf x dx

2
( ).( ) .
2
ab
I a b a b I I
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh ln 2 2018] Cho hàm s
y f x
o hàm liên tc trên
1;2
tha mãn
14f
32
. 2 3f x x f x x x
. Tính giá tr
2f
.
A.
5
. B.
20
. C.
10
. D.
15
.
Li gii
Chn B
Cách 1:+
1;2x
:
32
. 2 3f x x f x x x
2
23
f x f x
x
xx
.
2
23
f x f x
x
xx
1
. 2 3f x x
x




.
Vy
1
. d 2 3 df x x x x
x





2
3
fx
x x C
x
.
+ Vì
1 4 0fC

32
3f x x x
2 20f
.
Cách 2: T gi thit
32
23f x xf x x x
2
23
xf x f x
x
x

2
3
fx
xx
x




.
22
2
11
3
fx
dx x x dx
x





2
2
1
21
3
21
ff
xx
2 20f
.
Nhn xét:m chung c o hàm ca m
tích các hàm hoo hàm ca hàm hp. Ta có th nêu mt s dng tng quát sau:
c các hàm
,,g x u x v x
o hàm liên tc trên
; , 0, ;a b g x x a b
hàm
fx
 o hàm liên tc trên
;ab
tha mãn:
f x g x f x g x u x v x u x v x

f x g x u x v x

u b v b u a v a
f b f a
g b g a
.
Trang7
c các hàm
,g x u x
o hàm liên tc trên
; , 0, ;a b g x x a b
hàm
fx
o hàm liên tc trên
;ab
tha mãn:
2
f x g x f x g x u x g x

.

fx
ux
gx




f b f a u b g b u a g a
.
c các hàm
,,g x u x v x
o hàm liên tc trên
;ab
hàm
fx
o
hàm liên tc trên
;ab
tha mãn:
u x f x f u x v x g x g v x

f u x g v x

f u b f u a g v b g v a
.
Câu 11: [2D3-3] Mt ô bu chuyng nhanh du vi vn tc
1
7 m/sv t t
c
5s
i lái xe phát hing ngi vt và phanh gp, ô tip tc chuyng chm dn
u vi gia tc
2
70 m/sa 
   ng
mS
 c ca ô t lúc b u
chuyn khi dng hn.
A.
87,50 mS
. B.
94,00 mS
. C.
95,70 mS
. D.
96,25 mS
.
Li gii
Chn D.
Vn tc ô tô ti thm bu phanh là:
1
5 35 /v m s
.
Vn tc ca chuy ng sau khi phanh là:
2
70v t t C
. Do
2
0 35v
35C
2
70 35v t t
.
Khi xe dng hn tc là
2
0 70 35 0v t t
1
2
t
.
ng
Sm
c ca ô tô t lúc bu chuyn khi dng hn là:
1
5
2
00
7 . 70 35S m t dt t dt

96,25 m
.
Câu 12: [2D3-2]Gi s
2
1
2 1 ln d ln2x x x a b
,
;ab
. Tính
ab
.
A.
5
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Li gii
ChnD
t
Trang8
ln
21
ux
dv x dx

2
1
du dx
x
v x x

2
1
2 1 ln dx x x
2
2
2
2
1
1
ln d
xx
x x x x
x


2
2
1
2ln2
2
x
x



1
2ln2
2

nên
2a
,
1
2
b 
.
Vy
ab
3
2
.
Câu 13: [2D3-3][Chuyên Lê Hng Phong - TP HCM - năm 2018]
Bit
1
3
2
0
3
ln2 ln3
32
xx
dx a b c
xx

vi
,,abc
là các s hu t , tính
22
2.S a b c
A.
515S
. B.
164S
. C.
436S
. D.
9S 
.
Li gii
Chn A.
Xét :
1 1 1
3
2
0 0 0
3 10 6 4 14
33
3 2 1 2 1 2
x x x
I dx x dx x dx
x x x x x x






1
2
11
1
0
00
0
1
3 4ln 1 14ln 2 3 4ln2 14ln3 14ln 2
22
x
I x x x
22
5
2
5
18ln2 14ln3 18 2 515
2
14
a
I b S a b c
c
.
Câu 14:[2D3-3][SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- đề 101]Cho hàm s
fx
liên tc trên
tha
mãn
16
2
2
1
4
cot . sin d d 1
fx
x f x x x
x


. Tính tích phân
1
1
8
4
d.
fx
Ix
x
A.
3.I
B.
3
.
2
I
C.
2I
. D.
5
.
2
I
Li gii
Chn D.
t
2
d
sin d 2sin cos d cot d
2
t
t x t x x x x x
t
Trang9
1 1 1
2
2
1 1 1
4 2 2 2
d1
1 cot . sin d d d 2
22
f x f x
t
x f x x f t x x
t x x
t
2
2 d dt t x
tx
xt

16 4 4 4
2
1 1 1 1
1
1 d 2td 2 d d
2
fx
f t f x f x
x t x x
x t x x
t
4 d 4dt x t x
1 4 4 1 4
1 1 1 1
1
8 2 2 2
4
d5
d d d d
42
4
f x f t f x f x f x
t
I x x x x
t
x x x x
Phân tích:
Dng bài y dng bài toán tìm tích phân ca hàm
fx
 cho
u kin, mu kin trong cn tích phân cn tìm, yêu c
t v ging dt.
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm s
fx
liên tc trên
tha mãn
2
ln
d1
ln
e
e
fx
x
xx
3
0
cos tan d 2f x x x
. Tính
2
1
2
d.
fx
x
x
A.
3
. B.
5
2
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Chn A.
t
d
ln d
x
t x t
x
2
22
11
ln
1 d d d
ln
e
e
f x f t f x
x t x
x x t x
t
cos d sin dt x t x x
1
1
3
2
1
01
2
sin
2 cos d d d
cos
f t f x
x
f x x t x
x t x

Trang10
2 1 2
11
1
22
d d d 3
f x f x f x
x x x
x x x
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Ln 3 2018) Tính tích phân
c kt qu vi vi  nhn giá
tr
A.9. B.8. C.1. D.0.
Lời giải
Chọn D

4
xt

, ta có
0
4
0
4
4 4 4
0 0 0
1 tan
ln tan( ) 1 ln 1
4 1 tan
2
ln ln2 ln tan 1
1 tan
ln2
4
ln2 1, 8, 0 0
8
t
I t dt dt
t
dt dt t dt
t
I
I a b c P





Câu 17:Cho hàm s
y f x
 o hàm liên tc trên
0;
2



00f
,
2
2
0
d
4
f x x


,
2
0
sin . d
4
x f x x
. Tính
2
0
dI f x x
?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn B.
Ta có
22
2
00
dd
4
f x x f x f x






.
2 2 2
2
0
0 0 0
s
4
in . d d cos cos . cos dx f x x f x x x f x f x x x
Mc:
22
2
2
0
00
1 cos2 1 sin2
cos d d
2 2 2 4
xx
x x x x





/4
0
ln(tan 1)dI x x

ln 2
a
Ic
b

0,( , ) 1, , ,a b c b ab
P abc
Trang11
Vy
4 2 2
0 0 0 0
2
22
2
d cos . ( )d cos d cos d 0'( ) 2 '( )f x x f x x x x xx f x x
Suy ra
cos sinf x x f x x C
.
Do
.
Vy
22
2
0
00
d sin d cos 1I f x x x x x


.
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bi Châu, tnh Ngh An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]
Bit rng
ln2
0
1
dx=ln 2 ln3 ln5
21
ac
x
b
e


a
,
b
,
c
là các s 
S a b c
bng bao nhiêu.
A.
4S
. B.
3S
. C.
5S
. D.
2S
.
Li gii
ChnB
Ta có
ln2 ln2
00
1
dx= dx
21
21
x
x
xx
e
e
ee

t
x
et
dt=e dx
x
i cn: khi
0x
thì
1t
, khi
ln2x
thì
2t
.
Vy
ln2 2
01
1
dx dt=
21
21
x
xx
e
tt
ee

2
1
2 1 2
dt=
21
tt
tt

2
1
12
dt
21tt



2
1
ln ln 2 1 ln 2 ln5 ln1 ln3tt


1
ln2 ln3 ln5
Vy
3S
.
ng 2. Phân tích
ln2 ln2 ln2
0 0 0
2 1 2
ln2
12
1 ln 2 1
0
2 1 2 1 2 1
xx
x
x
x x x
ee
e
dx dx dx x e
e e e






Câu 19: Bit rng
ln2
2
0
1 1 1
dx= ln2 ln 2 3
2
21
a
x
b
e


a
,
b
là các s nguyên.

2S a b
bng bao nhiêu.
A.
2S 
. B.
3S
. C.
1S
. D.
0S
.
Li gii
ChnB
Trang12
Ta có
ln2 ln2
2
2 2 2
00
12
dx= dx
2 1 2 2 1
x
x x x
e
e e e

t
2 2 2
2 1 2 1
xx
e t e t
22
d 2 =d 1
x
et
2
4 dx=2 dt
x
et
i cn: khi
0x
thì
3t
, khi
ln2x
thì
3t
.
Vy
ln2 3
2
2
22
0
3
2
dx dt
1
2 2 1
x
xx
et
tt
ee

3
3
1 1 1
dt
2 1 1tt




3
3
1
ln 1 ln 1
2
tt


11
ln2 ln 4 ln 3 1 ln 3 1
22


1
11
ln 2 ln 2 3
22
Vy
3S
.
Câu 20:Bit rng
2
1
0
dx=a.e+bln
x
x
x x e
ec
xe

a
,
b
,
c
các s 
2S a b c
bng bao nhiêu.
A.
1S 
. B.
2S 
. C.
1S
. D.
0S
.
Li gii.
ChnB
Ta có
2
11
00
1
dx=
1
x
xx
xx
x x e
xe x e
dx
x e xe


t
1
x
xe t
dt= 1 e dx
x
x
i cn: khi
0x
thì
1t
, khi
1x
thì
1te
.
Vy
2
11
1
1
01
1
dx= ln ln 1
x
e
e
x
x x e
t
dt t t e e
x e t

Vy
2S 
.
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Ni, Lần 2 năm 2018] Cho hàm s
y f x
o hàm liên tc
trên
1; 
tha mãn
11f
2
3 2 5 1;f x x x x

. Tìm s 
m
ln nht sao cho
3;10
min
x
f x m
vi mi hàm s
y f x
th bài.
A.
15m
. B.
20m
. C.
25m
. D.
30m
.
Trang13
Li gii
Chn C.
Do gi thit cho mt bng thn
'y f x
nên ta s ly tích phân hai v 
c mt bng thn
y f x
.
Ta có
2 3 2
11
( )d (3 2 5)d 1 5 3 1
tt
f x x x x x f t f t t t t

.
Suy ra
3 2 3 2
3;10 3;10
5 4 min min 5 4 25
xx
f x x x x f x x x x

.
Vy
25m
.
Câu 22:Cho các hàm s
y f x
 o hàm liên tc trên
0; 1
tha mãn
2018
3 0; 1f x xf x x x
. Tìm giá tr nh nht ca
1
0
df x x
.
A.
1
2019.2020
. B.
1
2019.2021
. C.
1
2020.2021
. D.
1
2018.2020
.
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Ni, Lần 2 năm 2018] Cho hàm s
y f x
o hàm trên
tha mãn
32
1
2
2
3 . 0
f x x
x
f x e
fx


01f
. Tích phân
7
0
.dx f x x
bng
A.
27
3
. B.
15
4
. C.
45
8
. D.
57
4
Li gii
Chn C.
Phân tích: Nhn thy
3
2
3. .
fx
e f x f x
ng chuyn v  tích phân
2 v
Ta có:
3 2 3
2
1
21
2
2
3 . 0 3. . . 2 .
f x x f x
x
x
f x e f x f x e x e
fx


Ly nguyên hàm 2 v c:
3
22
2 1 1 2
3. . . d 2 . d d 1
fx
xx
f x f x e x x e x e x

3
2
1
0
fx
x
e e C
Trang14
Mt khác:
0 1 0fC
nên
3
3 2 2
11f x x f x x
Tính:
77
3
2
00
45
. d . 1.d
8
x f x x x x x

.
Câu 24: Cho hàm s
fx
 o hàm liên tc trên
0;1
tha mãn
1
2
0
1
1 0, d
11
f f x x



1
4
0
1
d
55
x f x x 
. Tích phân
1
0
df x x
bng
A.
1
7
. B.
1
7
. C.
1
55
. D.
1
11
Li gii
Chn A.
Ta có
1
11
55
4
00
0
dd
55
xx
x f x x f x f x x





1
5
0
1
d
11
x f x x

1
2
5
0
1
d
11
xx
nên
1 1 1
2
2
55
0 0 0
d 2 d d 0f x x x f x x x x



1
2
5
0
0f x x dx


.
Suy ra
5
f x x

6
1
6
f x x C
.
10f
nên
1
6
C
. Vy
11
6
00
11
dd
67
x
f x x x

.
Câu 25: Cho hàm s
fx
o m liên tc trên
0;1
tha mãn
1
2
0
3
1 0, d 2ln2
2
f f x x


1
2
0
3
d 2ln2
2
1
fx
x
x

. Tích phân
1
0
df x x
bng
A.
1 2ln 2
2
. B.
3 2ln2
2
. C.
3 4ln2
2
. D.
1 ln2
2
Li gii
Chn A.
Ta có
11
2
00
1
d d 1
1
1
fx
x f x
x
x





1
1
0
0
11
1 1 d
11
f x f x x
xx




Suy ra
1
0
13
1 d 2ln2
12
f x x
x



.
Trang15
Mt khác
1
2
11
2
00
0
1 1 1 1 3
1 d 1 2 d 2ln 1 2ln2
1 1 1 2
1
x x x x
x x x
x











.

2
1 1 1
2
0 0 0
11
d 2 1 d 1 d 0
11
f x x f x x x
xx




2
3
0
1
1 d 0
1
f x x
x



.
1
1
1
fx
x
ln 1f x x x C
, vì
10f
nên
ln2 1C
.
c
11
00
1
d ln 1 ln2 1 d ln2
2
f x x x x x



.
Câu 26: Xét hàm s
fx
liên tc trên
0;1
và thu kin
22
4 . 3 1 1x f x f x x
. Tích
phân
1
0
dI f x x
bng:
A.
20
I
. B.
16
I
. C.
6
I
. D.
4
I
.
Li gii:
Chn A.
fx
liên tc trên
0;1
22
4 . 3 1 1x f x f x x
nên ta có
11
22
00
4 . 3 1 d 1 dx f x f x x x x



1 1 1
22
0 0 0
4 . d 3 1 d 1 dx f x x f x x x x
1
.
1
2
0
4 . dx f x x
1
22
0
2df x x
2
1
0
2d
tx
f t t

2I
1
0
3 1 df x x
1
0
3 1 d 1f x x
1
1
0
3d
ux
f u u


3I
ng thi
1
2
0
1dxx
2
sin
2
0
1 sin .cos d
xt
t t t

2
2
0
cos dtt
2
0
1
1 cos2 d
2
tt

4
.

1
23
4
II

hay
20
I
.
Câu 27: Cho hàm s
()fx
nh, liên to hàm trên
tha mãn
( ) 0,f x x
2
3 '( ) 2 ( ) 0.f x f x
Tính
(1)f
bit rng
(0) 1.f
Trang16
A.
1
.
5
B.
2
.
5
C.
3
.
5
D.
4
.
5
Li gii
Chn C.
Nhn xét: T gi thit bài toán ta bii v công tho hàm và s d
phân.
Phân tích: T gi thit
2
3 '( ) 2 ( ) 0f x f x
( ) 0,f x x
suy ra:
11
2
00
'( ) 2 1 1 2 3
(1)
( ) 3 (1) (0) 3 5
fx
dx dx f
f x f f

.
Câu 28: Cho hàm s
()fx
nh, liên to hàm trên
(0; )
tha mãn
( ) '( ) 2f x xf x x
(1) 2f
. Giá tr
(2)f
bng:
A.
5
.
2
B.
2.
C.
.e
D.
.
2
e
Li gii
Chn A.
T gi thit
( ) '( ) 2 ( ( ))' 2 ( ( ))' 2f x xf x x xf x x xf x dx xdx

Suy ra
2
()xf x x C
, thay
1x
vào hai v c
2
1. (1) 1 2 1 1f C C C
.

2
2
1
( ) 1 ( )
x
xf x x f x
x
. Vy
5
(2) .
2
f
Câu 29: Cho hàm s
()fx
nh, liên to hàm trên
tha mãn
( ) '( ) 2
x
f x f x e
(0) 1f
. Giá tr
(2)f
bng:
A.
.e
B.
ln2
. C.
2
.e
D.
1.
Li gii
Chn C.
T
22
( ) '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ( ))' 2
x x x x x x
f x f x e e f x e f x e e f x e
Suy ra
22
( ( ))' 2 ( )
x x x x
e f x dx e dx e f x e C

. Thay
0x
vào hai v c
0.C
Suy ra
()
x
f x e
. Vy
2
(2) .fe
Trang17
Câu 30:Cho hàm s
fx
liên tc trên
\ 0; 1
th  u kin
1 2ln2f 
2
1x x f x f x x x
. Giá tr
2 ln3f a b
,
,ab
.Tính
22
ab
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Li gii
Chn B.
Ta có
2
1x x f x f x x x
2
1
11
1
xx
f x f x
xx
x

11
xx
fx
xx





.
Ly tích phân t
1
n
2
hai v c
22
11
dd
11
xx
f x x x
xx





2
2
1
1
ln 1
1
x
f x x x
x
21
2 1 2 ln3 1 ln 2
32
ff
2
2 ln 2 1 ln3 ln2
3
f
33
2 ln3
22
f
. Suy ra
3
2
a
3
2
b 
.
Vy
22
22
3 3 9
2 2 2
ab
.
Câu 31: 
2
3
33
2 8 11
1
1 1 1
2d
a
x x c
x x x b





,,abc

a
b

ca
. Tính
S a b c
.
A.
51S
. B.
67S
. C.
39S
. D.
75S
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
33
2 8 11
1
1 1 1
2dI x x
x x x




2
3
23
1
12
1dxx
xx



.
t
3
2
1
tx
x

2
3
2
3 d 1 dt t x
x



nên
3
7
4
3
0
3dI t t
3
21
14
32
.
Suy ra
67S
.
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] 
fx

0;x


Trang18
sin cosf x x x f x x
3
2
2
sin d 4f x x x


f
nm trong khong nào?
A.
6;7
. B.
5;6
. C.
12;13
. D.
11;12
.
Lời giải
Chọn B

sin cosf x x x f x x
sinx cosf x x x f x x
..f x x x f x


sin cosx x x
. . (cos ) x cosf x x x f x x x x
(*).
0;x
, ta chia
2

2
x

22
..
(cos ) x cos
f x x x f x
x x x
xx



cos
fx
x
xx







cos
fx
x
c
xx
cosf x x cx
.

3
2
2
sin 4f x xdx

.
Xét
33
22
22
sin d cos sin sin df x x x x x c x x x




33
22
22
cos cos sin dxxd x c x x



3
3
2
2
2
2
2
cos
cos sin
2
x
c x x x



2c
.
3
2
2
sin d 4f x x x

24c
2c
cos 2f x x x
.
Ta có:
12f

5,28
.
Tổng quát:

..a x f x b x f x g x

1

1

..u x f x u x f x h x

2

()
()
ax
ux
u x b x

()ux

ux
bx
.
Khi có
2

fx
.
Câu 33: 
y f x


2
2 2 .
x
f x xf x x e

01f
. Tính
1f
.
A.
e
. B.
1
e
. C.
2
e
. D.
2
e
.
Trang19
Câu 34: Cho hàm s
fx
o hàm trên
tha mãn
2 1 e
x
x f x x f x
1
0
2
f
. Tính
2f
.
A.
e
2
3
f
. B.
e
2
6
f
. C.
2
e
2
3
f
. D.
2
e
2
6
f
.
Câu 35:Bit
2
3
2
1
d 5 2 ,
11
x
x a b c
x

vi
,,abc
là các s hu t. Tính
.P a b c
A.
5
2
P 
B.
7
2
P
C.
5
2
P
D.
2P
Lời giải
Chọn C.
Ta có
22
2
3
3
2 2 2
2
1
11
1 1 5 2 3
d 1 1 d 1 5 2 .
3 2 3 3 2
11
x
x x x x x x
x





Vy
5 2 3 5
, ; .
3 3 2 2
a b c P
Câu 36: Cho tích phân
3
2
6
ln sin
33
3ln ln2 , , .
cos 2
x
I dx a a b c
x b c
Tính giá tr ca biu thc
.S a b c
A.
3
B.
2
C.
1
D.
1
Li gii
Chn B.
t
2
ln sin d
cos
sin
1
tan
cos
u x x
x
du dx
x
v
vx
x



Suy ra
33
3
2
6 6 6
ln sin
3 3 1
tan .ln sin 3ln ln
cos 2 3 2 6
x
dx x x dx
x


33
3ln ln2 1; 3; 6
2 3 6
a b c

2S a b c
Câu 37: Cho tích phân
2
2
2
0
1
2 1 .cos , , .I x xdx a b c
a b c

Tính giá tr ca biu
thc
.S a b c
A.
1
B.
2
C.
2
D.
1
Li gii
Trang20
Chn C.
Ta có
2
22
2
00
0
1 1 1 1
cos2 cos2 d sin 2 cos2 d
2 2 2 2 4
x
I x x x x x x x x x x








2
84
J

t
dd
1
d cos2 d
sin2
2
ux
ux
v x x
vx

Suy ra
2
22
0
00
1 1 1 1
sin 2 sin 2 d cos2
2 2 4 2
J x x x x x


2
1
8; 4; 2 2
8 4 2
I a b c S

Câu 38: Cho tích phân
4
22
0
tan ln2 , , .I x xdx a b c a b c

Tính giá tr ca biu thc
.S a b c
A.
9
32
B.
7
31
C.
5
16
D.
1
32
Li gii
Chn C.
Ta có
2
44
22
00
1
1 d d
cos 16 cos
x
I x x x
xx





t
4
2
0
d
cos
x
Jx
x
t
2
dd
1
tan d
dd
cos
ux
ux
v x x
vx
x

Suy ra
4
44
0
00
2
tan tan d ln cos ln
4 4 2
J x x x x x


Vy
2
1 1 1 1 5
ln2
16 4 2 16 4 2 16
IS

Câu 39: Cho hàm s
y f x
o hàm liên tc trên
tha mãn
21f 
,
2
1
2 4 d 1f x x
.
Tính
0
2
.dI x f x x
.
Trang21
A.
1I
. B.
0I
. C.
4I 
. D.
4I
.
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Th Ln 4 - Năm 2017 - 2018]Cho hàm s
y f x
xác
nh trên
0;
2



tha mãn
2
2
0
2
2 2. sin
42






f x f x x xd
. Tính
2
0
d
f x x
.
A.
4
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Chn B.
+) Ta có
22
2
2
00
0
12
2 sin 1 cos 2 sin 2
4 2 2 2 2


x x x x x xdd
.
+) T 
2
2
0
2
2 2. .sin
42






f x f x x xd
.
22
22
00
22
2 2. .sin 2sin
4 4 2 2




f x f x x x x xdd
2
2
0
2sin 0.
4






f x x xd
Do
2
2 sin 0, 0;
42






f x x x
nên
2
2
0
2sin 0
4






f x x xd
.
ng thc xy ra khi và ch khi
2sin
4




f x x
.
+) Vy
22
2
00
0
d 2 sin d 2 cos 0
44



f x x x x x
.
Nhn xét m bo nh kh tích, ta cu ki
y f x
liên tc trên
0;
2



 
u kin na.
Câu 41: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
0;1
tha mãn
2
1
2
0
91
6. . d
2



x
e
f x f x e x
.
Tính
1
0
1d
x f x x
.
A.
1e
. B.
25e
. C.
e
. D.
3e
.
Li gii
Chn D.
+) Ta có
Trang22
2
1
2
0
91
6. . d
2



x
e
f x f x e x
2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
91
6. . d 9 d 9 d
2


x x x
e
f x f x e x e x e x
1
2
0
30


x
f x e
3.
x
f x e
+) Vy
11
1
0
00
1 d 3 1 d 3 3

xx
x f x x x e x xe e
.
Câu 42: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
11
;
22



tha mãn
1
2
2
1
2
109
2. . 3 d
12


f x f x x x
. Tính
1
2
2
0
d
1
fx
x
x
.
A.
2
ln
9
. B.
5
ln
9
. C.
7
ln
9
. D.
8
ln
9
.
Li gii
Chn A.
+) Ta có
1
2
2
1
2
109
2. . 3 d
12


f x f x x x
1 1 1
2 2 2
22
2
1 1 1
2 2 2
109
2. . 3 d 3 d 3 d
12


f x f x x x x x x x
1
2
2
1
2
3 d 0


f x x x
3. f x x
+) Vy
111
1
222
2
22
0
000
3 1 2 2
d d ln 1 2ln 1 ln
1 1 1 1 9




fx
x
x x dx x x
x x x x
.
Câu 43: Cho hàm s
( )
fx
liên tn
0;1
éù
ëû
và thu kin
22
4 . ( ) 3. (1 ) 1x f x f x x+ - = -
. Tích phân
1
0
( )dxI f x=
ò
bng.
A.
4
I
. B.
6
I
. C.
20
I
p
=
. D.
16
I
.
Lời giải
Trang23
Chọn C

1 1 1
22
0 0 0
4 . ( )dx+ 3 (1 )dx 1 dxx f x f x x- = -
ò ò ò
1 1 1
2 2 2
0 0 0
2 ( )d(x ) - 3 (1 )d(1-x) 1 dxf x f x xÛ - = -
ò ò ò
11
00
2 ( )d(t) + 3 ( )d(u)
4
f t f u
p
Û=
òò
d(x) d(x)
11
00
5 ( ) ( )
4 20
f x f x
pp
Û = Þ =
òò
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]
Cho
1
2
0
1 ln 2 ln3
ln 2
24
a bc c
x x dx
x




, vi
,,abc
. Tính
T a b c
.
A.
13T
. B.
15T
. C.
17T
. D.
11T
.
Li gii.
Chn A.
Phân tích: Biu thc trong tích phân có tng ca hàm logarit và hàm phân thc nên ta tách thành
2 tích phân dng gp. Mt là tích phân cc và hàm logarit ta dùng tích phân
tng phn, mt là tích phân ca hàm phân thc bc nht trên bc nhn.
Ta có
1
0
1
ln 2
2
I x x dx
x



11
00
ln 2
2
x
x x dx dx
x

11
2
00
12
ln 2 2 1
22
x d x dx
x

1
1
22
1
0
0
0
4 4 1
ln 2 . 2ln 2
2 2 2
xx
x dx x x
x

1
2
0
3
ln3 2ln2 1 2ln3 2ln2
24
x
x



77
ln3 4ln2
24
2
4 ln2 2.7ln3 7
4

.
Ta có
4a
,
2b
,
7c
. Vy
4 2 7 13T a b c
.
Câu 45: Cho
3
2
0
1
ln 1
1
I x x dx
x



ln2 ln5
4
abc b c
, vi
,,abc
. Tính
T a b c
.
A.
13T
. B.
15T
. C.
10T
. D.
11T
.
Li gii.
Chn C.
Ta có
3
2
0
1
ln 1
1
I x x dx
x



33
2
00
ln 1
1
x
x x dx dx
x

Trang24
3
2
0
1
ln 1
2
x
xd




2
3
2
0
1
1
21
dx
x
3
3
3
2
2
0
0
0
1 1 1
ln 1 ln 1
2 2 2
xx
x dx x

31
4ln 4 ln10
42
5.2.3ln 2 2ln5 3
4

.
Vy
10T a b c
.
Câu 46: Cho
1
2
0
1
ln 2
1
I x x dx
x



ln2 ln3
4
ab bc c
, vi
,,abc
. Tính
T abc
.
A.
18T 
. B.
16T
. C.
18T
. D.
16T 
.
Li gii.
Chn A.
Ta có
1
2
0
1
ln 2
1
I x x dx
x



11
2
00
ln 2
1
x
x x dx dx
x

2
11
2
2
00
1
41
ln 2
2 2 1
dx
x
xd
x




1
1
1
22
2
0
0
0
4 4 1 1
ln 2 . ln 1
2 2 2 2
xx
x dx x
x

3 3 1
ln3 2ln 2 ln 2
2 4 2
3.2ln2 2. 3 ln3 3
4
Vy
. . 3.2. 3 18T ab c
.
Câu 47: Cho
()fx
là hàm liên tc và
0a
. Gi s rng vi mi
0;xa
, ta có
( ) 0fx
1f x f a x
. Tính
0
1 ( )
a
dx
fx
c kt qu bng:
A.
3
a
. B.
2a
. C.
ln 1aa
. D.
2
a
.
Li gii
Chn D.
Ta có:
00
()
1
( ) 1
1
()
aa
dx f a x
I dx
f a x
f a x



.
t:
a x t
thì
dx dt
.
i cn
c:
0
0
( ) ( )
(t) 1 ( ) 1
a
a
f t f x
I dt dx
f f x


.

II
0
1 ( )
a
dx
fx
+
0
()
1 ( )
a
f x dx
fx
=
0
1 ( )
1 ( )
a
f x dx
fx
=
0
a
dx a
. Vy:
2
a
I
.
Trang25
Câu 48: Cho hàm s
fx
liên tc trên
2
3 2 tanf x f x x
. Tính
4
4
df x x
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
2
2
.
Li gii
Chn D.
2
3 2 tan 1f x f x x
Thay
22
. 1 3 2 tan tan 2x x f x f x x x
2
2
1 .2 2 .3 5tan 5
tan
x f x
f x x

4 4 4 4
2 2 2
00
44
d tan xd 2 tan xd 2 1+tan x 1 dI f x x x x x




4
0
2 tan 2
2
I x x
.
Câu 49: (S GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm s
fx
o hàm liên tc trên
0;1
tha
mãn
1
0
2 d 1x f x x f

. Giá tr ca
1
0
dI f x x
bng
A.
1
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Chọn C

d 2 dx
ux
v f x

d dx
2x
u
v f x


11
1
0
00
1 2 d 2x 2x dx 1 2 1f x f x x x f x f x f I

Suy ra
1I 
.
Trang26
Câu 50: Cho hàm s
fx
o hàm và liên tc trên
0;1
và tha mãn
1
0
4 d 1x f x x f

. Giá tr
ca
1
0
dI f x x
bng
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Chọn B

d 4 dx
ux
v f x

d dx
4x
u
v f x


1
0
1 4 df x f x x

1
0
4xx f x
1
0
4x dxfx
1 4 2fI
Suy ra
2I 
.
Câu 51: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
tha mãn
1
0
1 d 10x f x x

2 1 0 2ff
.
Tính
1
0
dI f x x
A.
12.I 
B.
8.I
C.
12.I
D.
8.I 
Li gii
Chọn D

d dx
1
d dx
u
ux
v f x
v f x



11
1
0
00
10 1 d 1 dxx f x x x f x f x

2 1 0f f I
Suy ra
8I 
.
Câu 52: Bit rng hàm s
y f x
liên tc trên
tha mãn
2 16;f
2
0
d4f x x
. Tính
1
0
2dI xf x x
A.
13.I
B.
12.I
C.
20.I
D.
7.I
Trang27
Li gii
Chọn D

d dx
1
d 2 dx
2
2
u
ux
v f x
v f x


I
1
0
2dxf x x
1
1
0
0
11
2 2 dx
22
xf x f x
2
0
11
2 d 8 1 7
24
f f x x
Suy ra
7.I
Câu 53: Cho hàm s
()fx
nh, liên to hàm trên
tha mãn
2
1 ( ) 2 ( )
x
x f x xf x xe
(0) 1f
. Giá tr
(1)f
bng:
A.
e
. B.
1
. C.
ln2
. D.
0
.
Li gii
Chn B.
T gi thit
22
1 ( ) 2 ( ) 1 ( )
xx
x f x xf x xe x f x xe
Suy ra
11
2
00
1 ( )


x
x f x dx xe dx
.
11
1
1
2
0
0
00
1 ( ) 2 (1) (0)

x x x
x f x xde f f xe e dx
1
0
2 (1) (0) (1) 1.
x
f f e e f
Câu 54: Cho hàm s
fx
liên t  n
0;1
th  u kin
2
2 1 3 6f x f x x x
,
0;1x
. Tính tích phân
1
2
0
1dI f x x
.
A.
4
15
I 
.
B.
1I
.
C.
2
15
I 
.
D.
2
15
I
.
Li gii
Chn C.
t
1tx
,
0;1x
thì
0;1t
.
Ta có
2
2 1 3 6f x f x x x
2
2 1 3 1 3f x f x x
2
1 2 3 3f t f t t
2
2 1 3 3f x f x x
.
Trang28
Xét h 
2
2
2 1 3 6
2 1 3 3
f x f x x x
f x f x x
2
2
2 1 3 6
4 2 1 6 6
f x f x x x
f x f x x
2
3 3 6 6f x x x
2
13f x x
,
0;1x
.

2
22
1 2 3f x x
42
41xx
.
Suy ra
1
2
0
1dI f x x
1
42
0
4 1 dx x x
1
53
0
4
53
xx
x



2
15

.
Phân tích:
c 1: T
2
2 1 3 6f x f x x x
ta gi
fx
.
nh trc tip hàm
2
1fx
ri tính
1
2
0
1dI f x x
.
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm s
y f x
liên
tc vi mi
1x
tha mãn
1
3, 1
1
x
f x x
x



. Tính
1
2
d
e
I f x x
.
A.
41Ie
.
B.
2Ie
.
C.
42Ie
.
D.
3Ie
.
Li gii
t
11
1
11
xt
t xt t x x
xt


, suy ra
12
34
11
t
ft
tt

hay
2
( ) 4
1
fx
x

Ta có
1
1
2
2
2
4 d 4 2ln 1 4 2
1
e
e
I x x x e
x



.
Câu 56: Cho hàm s
y f x
liên tc vi mi
0x
tha mãn
1
2 3 , 0f x f x x
x



.
Tính
2
1
2
d
fx
Ix
x
.
A.
3
2
I
.
B.
9
2
I
.
C.
1
2
I
.
D.
4
3
I
.
Li gii
 c
2
f x x
x
.
Suy ra
2
22
2
1
11
2
22
2 2 3
d 1 d
2
fx
I x x x
x x x

.
Trang29
Câu 57: ng Thúc Ha Ln 2 2018]Cho
1
0
2 1 d 12f x x
2
2
0
sin sin2 d 3f x x x
. Tính
3
0
dfxx
.
A.
26
. B.
22
. C.
27
. D.
15
.
Li gii
Chn C.
t:
d
2 1 d
2
t
x t x
.
Vi
01
13
xt
xt

13
01
1
2
2
d1 dxtf x f t

3
1
d 24f x x
.
t:
2
sin 2sin cos d dx u x x x u
hay
sin2 d dx x u
.
Vi
00
1
2
xu
xu

1
2
2
00
sin sin2 d df x x x f u u

1
0
d3f x x
.
Vy
3 1 3
0 0 1
d7d d2f x f xx x f x x
.
Câu 58: Bit
5
1
2 1 3
dx ln2 ln , , ,
5
2 3 2 1 1
x
I a b c a b c Z
xx

2
2P a ab c
A.
10
. B.
8
. C.
9
. D.
0
.
Li gii
Chn A.
Ta có
2 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2x x x x
t
2
2 1 2 1t x t x tdt dx
i cn
1 1; 5 3x t x t

3
3 3 3
2
2
1 1 1
1
3 2 1 4
d 1 d 1 d ln 1 4ln 2
3 2 1 2 1 2
tt
I t t t t t t
t t t t t t







3
3 ln4 4ln5 1 ln2 4ln3 2 ln 2 4ln
5
.
2, 1, 4a b c
.
2
2 10P a ab c
Câu 59: Bit
4
0
2 1d 5
ln2 ln , ,
3
2 3 2 1 3
xx
a b c a b c
xx
. Tính
2T a b c
.
Trang30
A.
4T
. B.
2T
. C.
1T
. D.
3T
.
Li gii
Chn C
4 4 4
0 0 0
2 2 1 1 2 1 2 d
2 1d 2 1d
2 3 2 1 3
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
x x x
x x x x
I
xx
x x x x

44
00
2d d
2 1 2 2 1 1
xx
xx


.
t
2 1 d du x u u x
. Vi
01xu
, vi
43xu
.
Suy ra
.3 .3 .3 .3
1 1 1 1
2 d d 4 1
2 d 1 d
2 1 2 1
u u u u
I u u
u u u u
3
5
4ln 2 ln 1 2 4ln ln2
1
3
u u u
2a
,
1b
,
1c
2.1 1 4 1T
.
Câu 60: Bit
2
1
d
11
x
abc
x x x x
vi
a
,
b
,
c
các s   
P a b c
.
A.
44P
. B.
42P
. C.
46P
. D.
48P
.
Li gii
Chn D
t
22
11
dd
11
11
xx
I
x x x x
x x x x


.
t
1
1 d d
21
xx
t x x t x
xx

dd
2
1
xt
t
xx

.
Khi
1x
thì
21t 
, khi
2x
thì
32t 
.
32
2 3 2
2
21
1
21
d d 1
22
11
xt
I
tt
x x x x

11
2
3 2 2 1




4 2 2 3 2
32 12 4
32a
,
12b
,
4c
.
Vy
48P a b c
.
Trang31
Câu 61: Cho hai hàm
fx
gx
    n
1;4
tha mãn h thc
1 1 4
. ' ; . '
fg
g x x f x x x gf x

. Tính
4
1
dI f x g x x

.
A.
8ln2
. B.
3ln2
. C.
6ln2
. D.
4ln 2
.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) d '( ) '( ) df x g x x f x g x f x g x x x f x g x x

.
( ) ( ) ( ) ( ) dx f x g x f x g x x
( ) ( )x f x g x C
( ) ( )
C
f x g x
x
(1) (1) 4f g C C
44
11
4
( ) ( ) d d =8ln2I f x g x x x
x

.
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trn Phú, Hi Phòng, ln 2, 2018]Bit
2
2
1
d 2 35
3 9 1
x
x a b c
xx

, vi
, , .a b c
Tính
27P a b c
.
A.
1
9
. B.
86
27
. C.
2
. D.
67
27
.
Li gii
Chn A.
2
2 2 2
22
2
22
1 1 1
3 9 1
d d 3 9 1 d
3 9 1
3 9 1 3 9 1
x x x
x
I x x x x x x
xx
x x x x


2
22
3
2 2 2
1
11
1 2 1 16 35
3 d 9 1d 7 . . 9 1 7 35 35 16 2 7 2 35
18 3 27 27 27
x x x x x x

.

16 35
7, ,
27 27
a b c
1
27
9
a b c
.
Câu 63: Bit
2
1
1
d
11
x a b c
x x x x
, vi
*
, , .a b c
Tính
P a b c
.
A.
24
. B.
12
. C.
18
. D.
46
.
Trang32
Câu 64: Cho bit
2
2
1
ln 9 ln5 ln2x dx a b c
, vi
, , .abc
Tính
P a b c
.
A.
34.S
B.
13.S
C.
18.S
D.
26.S
Câu 65: Cho hàm s
fx
liên tc trên
2 16f
,
2
0
d4f x x
. Tính
4
0
d.
2
x
I xf x



A.
12.I
B.
112.I
C.
28.I
D.
144.I
Ligii
ChnB

ux
,
dd
2
x
v f x



ddux
,
2
2
x
vf



Suy ra
4
4
0
0
2 2 d
22
xx
I xf f x




2
0
8 2 4 df f t t
112.
Câu 66: Cho
1
0
82
33
21
dx
a b a
xx
,
*
,ab
. Tính
2ab
A .
27ab
. B.
28ab
. C.
21ab
. D.
25ab
.
Li gii
Chn B.
Theo gi thit ta có:
11
00
21
21
dx
x x dx
xx

33
22
1
2
21
0
3
xx



82
2 3 2
33
.

2; 3ab
nên
28ab
.
Câu 67: Cho hàm s
0y f x
n
0;1
và tha mãn:
2
0
1 2018 d , .
x
g x f t t g x f x
Tính
1
0
d.g x x
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
C.
2019
.
2
D.
505.
Li gii
Chn A.
Ta có
01g
0
1 2018 d
x
g x f t t
Trang33
' 2018 2018g x f x g x
'
2018
gx
gx

00
'
2018 d .
tt
gx
dx x
gx


2 1 2018g t t
1009 1g t t
1
0
1011
2
g t dt
.
Câu 68: Cho hai hàm
fx
gx
n
1;4
tha mãn h thc h thc sau vi
mi
1;4x
1 2 1 2
1 1 2 1
' . ; ' .
( ) ( )
fg
f x g x
g x f x
x x x x
. Tính
4
1
( ). ( )I f x g x dx
.
A.
4ln 2
. B.
4
. C.
2ln 2
. D.
2
.
Li gii
Chn B.
T gi thit ta có
1
'( ). ( )f x g x
xx
2
'( ). ( )g x f x
xx

, suy ra
1
'( ). ( ) '( ). ( )f x g x g x f x
xx
, hay
1
( ). ( )f x g x
xx

.

12
.f x g x dx C
x x x
. Li có
1 . 1 2.1 2fg
nên
0C
.
44
11
2
( ). ( ) x x=4I f x g x d d
x

.
Câu 69: [Chuyên Ngoi Ng - Ni - 2018] Cho
Fx
mt nguyên hàm ca hàm s
( ) 1 1f x x x
trên tp
và tho mãn
13F
. Tính tng
0 2 3T F F F
.
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Li gii
Chn C
Ta có
2 khi 1
2 khi 1 1
2 khi 1
x
f x x x
x
.
Hàm
fx
có nguyên hàm là
2
2 khi 1
khi 1 1
2 khi 1
x m x
F x x n x
x p x

.
Trang34
13F
nên
1m
.
Hàm
Fx
liên tc ti
1x
nên suy ra
2n
.
Hàm
Fx
liên tc ti
1x 
nên suy ra
1p
.
Vy ta có
0 2 3 2 5 7 14T F F F
.
Câu 70: Cho hàm s
fx
nh trên
\ 1;1
tha mãn
2
1
1
fx
x
,
3 3 0ff
11
2
22
ff
. Tính giá tr ca biu thc
2 0 4P f f f
.
A.
9
ln 1
5
P 
. B.
6
1 ln
5
P 
. C.
19
1 ln
25
P 
. D.
16
ln
25
P
.
Li gii
Chn C.
Ta có hàm s nh trên các khong
; 1 1;1 1; 
.

1
2
3
11
ln 1
21
11
ln 1 1
21
11
ln 1
21
x
Cx
x
x
f x C x
x
x
Cx
x


.
D thy
3 ; 1
;
11
;0; 1;1
22




;
3;4 1; 
.
Nên
1
1
3 ln 2
2
fC
;
2
11
ln3
22
fC



;
2
0fC
;
2
11
ln3
22
fC




;
3
1
3 ln 2
2
fC

3
13
4 ln
25
fC
.
Ta có
04P f f
23
13
ln
25
CC
23
13
ln
25
CC
.
Mt khác
11
2
22
ff

2 2 2
11
ln3 ln3 2 1
22
C C C
.
3 3 0ff
1 3 1 3
11
ln2 ln2 0 0
22
C C C C
.
Trang35
2 0 4P f f f
1 2 3
1 1 3
ln3 ln
2 2 5
C C C
19
1 ln
25

.
Câu 71: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
0;
2
0
d .sin
x
f t t x x
. Tính
4f
A.
4
f

. B.
2
f
. C.
4
f
. D.
1
2
f
.
Li gii
Chn B.
Ta có
df t t F t
F t f t

2
0
d .sin
x
f t t x x
2
.sin
0
x
F t x x

2
0 .sinF x F x x
2
.2 sin .cosF x x x x x
2
.2 sin .cosf x x x x x
4
2
f

Câu 72: [HSG,Bc Giang, 2018] Tính tích phân
2 2 2
2
0
2
sin cos
c
d
os sin
xx
a x b x
Ix
vi
0a b
22
a b
.
A.
1
I
ab
. B.
2
I
ab
. C.
2
I
ab
. D.
ab
ab
.
Li gii
Chn A.
Do
0
0
0
a
a
b
b
22
b
b
ab
a
a

.
Ta có
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
00
sin 2
cos2
co
1
2 sin 2
2
dd
2
2
s2
2
x
I
x
b b x
bb
xx
a
aa x
a




.
t
2 2 2 2 2 2
22
d
cos2 2 d 2 sin 2 d sin 2 d
tt
t a b a b x t t a b x x x x
ab
.
i cn
2
0 2 2x t a a
,
2
22
2
x t b b
.
Trang36

22
2
22
2
0
22
2
2 2 2 2
2 sin2 2 2
d d d
22
2
cos2
bb
aa
b
b
b
t
x
a
I x t t
t
a a xb
a
22
21
22
2
ba
ab
a b
.
Câu 73: Tính tích phân
2
0
sin sin dI x nx x

vi
n
.
A.
0I
. B.
2I
. C.
1I
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A.
Xét tích phân
d
b
a
f a b x x
t
ddt a b x t x
i cn
x a t b
,
x b t a

dd
b b b
a a a
f a b x x f t dt f x x
Ta có
2 2 2
0 0 0
sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x


2
0
sin sin dx nx x I
.
Do
0I I I
Câu 74: Tính tích phân
cos cos dmx nx x
vi
m
,
n
22
m n
.
A.
0I
. B.
2I
. C.
1I
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A.
Ta có
1
cos cos d cos cos d
2
mx nx x m n x m n x x





1 1 1
sin sin 0
2
m n x m n x
m n m n




Do
sin sin sin sin 0m n m n m n m n
Trang37
Câu 75: Cho hàm s
fx
liên tc trên
tha mãn
1
,f x x x
x
1 1.f
Tìm giá tr
nh nht ca
2.f
A.
3.
B.
2.
C.
5
ln 2.
2
D.
4.
Li gii
Chn C.
Theo gi thit
1
,f x x x
x
nên ly tích phân hai v vi cn t
1
n
2
c:
22
11
13
d d ln2.
2
f x x x x
x




2
2
1
1
d 2 1 2 1f x x f x f f f
nên
3
2 1 ln2.
2
f
Suy ra
5
2 ln 2.
2
f 
ng thc xy ra khi và ch khi
1
, 0.f x x x
x
Suy ra
2
ln ,
2
x
f x x C
11f
nên
1
.
2
C

2
1
ln .
22
x
f x x
Vy giá tr nh nht ca
5
2 ln2
2
f 
khi
2
1
ln .
22
x
f x x
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Ngh An, lần 2, năm 2018 ]
Cho hàm s
0fx
thu kin
2
23f x x f x

1
0
2
f
. Bit rng tng
1 2 3 ... 2017 2018
a
f f f f f
b
vi
*
,ab
a
b
phân s ti
gin. M 
A.
1
a
b

. B.
1
a
b
. C.
1010ab
. D.
3029ba
.
Li gii.
Chn D
Trang38
Do
0fx
nên ta chia c hai v ca
2
23f x x f x

cho
2
fx
c
2
23
fx
x
fx

. nguyên hàm hai v c
2
1
3x x C
fx
2
1
3
fx
x x C


.
1
0
2
f
2C
1 1 1
1 2 1 2
fx
x x x x

.

1 2 3 ... 2017 2018f f f f f
1 1 1 1 1 1
....
2 3 3 4 2019 2020
1 1 1009
2 2020 2020

. Vy
1009; 2020ab
.
Câu 77: Cho hàm s
y f x
  o hàm liên t  n
0; 3


bit rng
2
10f x f x x
3
3fe
. Tính
3
0
ln dI f x x


A.
23
.
B.
7
33
3
.
C.
7
33
3
.
D.
3 3 2
.
Li gii
Chọn B
Ta có
2
10f x x f x
2
1
fx
x
fx

ln
dd
u f x
vx


'
dd
fx
ux
fx
vx

3
0
ln dI f x x


3
3
0
0
'
ln d
xf x
x f x x
fx



3
32
0
0
ln 1 dx f x x x x


3
3 2 2
0
0
1
ln 1 d 1
2
x f x x x


3 2 2 3
00
1
ln 1 1
3
x f x x x


7
33
3

Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, ln 1, 2018] Cho hàm s
y f x
o hàm liên
tc trên
tha mãn
2
' 2 2 .
x
f x xf x xe

01f
. Tính
1f
.
Trang39
A.
e
. B.
1
e
. C.
2
e
. D.
2
e
.
ng dn gii
Chn C.
2 2 2 2
' 2 2 . . ' 2 . . 2 . ' 2
x x x x
f x xf x x e e f x x e f x x e f x x
.
Ly tích phân c hai v c:
22
1
11
1
2
0
00
0
. ' 2 . . 1 0 1
xx
e f x dx xdx e f x x e f f

2
. 1 2 1e f f
e
.
Câu 79: Cho hàm s
y f x
tha mãn
42
..f x f x x x

Bit
02f
Tính
2
2.f
A.
2
313
2.
15
f
B.
2
332
2.
15
f
C.
2
324
2.
15
f
D.
2
323
2.
15
f
Li gii
Chn B.
Ta có
22
2
4 2 2 2
0
00
1
. 2 0
2
x x dx f x f x dx f x d f x f f


Suy ra
2
2 4 2 2
0
332
2 2 0 .
15
f x x dx f
Câu 80: Cho hàm s
y f x
tha mãn
..
x
f x f x x e
Bit
1fe
Tính
2
2.f
A.
2
2 16.f
B.
22
2 3 .fe
C.
22
2 4 .fe
D.
2
2 9.f
Câu 81: Cho hàm s
y f x
tha mãn
. .sinxf x f x x
Bit
0.
4
f
Tính
2
.
2
f



A.
2
2
4.
2
fe



B.
2
2
2.
2
fe



C.
2
2
.
2
fe



D.
2
2
9.
2
fe



Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm s
fx
liên tc trên
1
0
d2f x x
;
3
0
d6f x x
.
Tính
1
1
2 1 df x x
.
A.
2
3
I
. B.
4I
. C.
3
2
I
. D.
6I
.
Li gii
Trang40
Chn B
Ta có
1
1
2 1 dI f x x

1
1
2
1
1
2
1 2 d 2 1 df x x f x x

.
Tính
1
2
1
1
1 2 dI f x x

t
12tx
d 2dtx
i cn:
1x 
3t
;
1
2
x
0t
.
0
1
3
1
d
2
I f t t




3
0
1
d
2
f t t
3
0
1
d3
2
f x x
.
Tính
1
2
1
2
2 1 dI f x x
t
21tx
d 2dtx
i cn:
1
2
x
0t
;
1x
1t
.
1
1
0
1
d
2
I f t t
1
0
1
d
2
f t t
1
0
1
d1
2
f x x
.
Vy
12
4I I I
.
Câu 83: Cho hàm s
()fx
liên to hàm trên
,
( ) 0,f x x
,
01f
. Bit rng
()
22
()
fx
x
fx

. Tìm tt c các gtr ca
m
 
()f x m
2
nghim thc phân
bit.
A.
1 me
B.
0 me
C.
me
D.
1 me
Li gii
Chn B
Ta có:
()
22
()
fx
x
fx

()
d (2 2 )d
()
fx
x x x
fx

2
ln | ( ) | 2f x x x c
2
ln ( ) 2f x x x c
( >0)do f x
(0) 1f
ln( (0)) ln1fC
0C
.
2
ln ( ) 2f x x x
2
2
( ) e
xx
fx

2
2
( ) (2 2 ).e
xx
f x x
0
1x
Trang41
Ta có bng bin thiên
0em
Câu 84: Cho hàm s
2
2
ab
fx
xx
, vi
a
,
b
hai s hu t thu kin
1
1
2
d 2 3ln2f x x 
.
Tính
T a b
.
A.
1T 
. B.
2T
. C.
2T 
. D.
0T
.
Li gii
Chn C.
Ta có:
1
11
2
1
11
2
22
d + +2 d ln 2
a b a
f x x x b x x
x x x

=
2 2 ln2 1a a b
1 ln2ab
, suy ra
1
1 ln2 2 3ln2
3
a
ab
b

. Vy
2T a b
.
Câu 85: [SGD Qung Nam - 2018] Cho hàm s chn
y f x
liên tc trên
1
1
2
d8
12
x
fx
x
. Tính
2
0
d
f x x
.
A.
2
. B.
4
. C.
8
. D.
16
.
Li gii
Chn D
fx
là hàm s chn trên
nên ta có
, f x f x x
.
t
1
1
2
d
12
x
fx
Ix
. Ta có:
1 0 1
1 1 0
2 2 2
d d d
1 2 1 2 1 2

x x x
f x f x f x
I x x x
.
Xét
0
1
1
2
d
12
x
fx
Ix
.
t
xt
0 0 1 1
1
1 1 0 0
2 2 2 2 2 2
d d dt d
1 2 1 2 1 2 1 2
tx
x t t x
f x f t f t f x
I x t x
.
Trang42

1
0
2d
I f x x
.
t
2ux
. Ta có
1 2 2
0 0 0
11
2 d d d
22
I f x x f u u f x x
.
Kt hp vi gi thic
2
0
d 16f x x
.
M r ta có bài toán tng quát:
Cho hàm s chn
y f x
liên tc trên
;aa
. Vi
k
mt s thc khác
0
,
m
mt s
th
0
1
dd
1
a ka
x
a
f k x
x f x x
mk

.
Câu 86: [SGD Qung Nam - 2018] Cho hàm s
fx
o hàm liên tn
0;1
,
fx
fx
u nhn giá tr   n
0;1
tha mãn
02f
,
11
2
00
. 1 d 2 . df x f x x f x f x x







. Tính
1
3
0
df x x


.
A.
15
4
. B.
15
2
. C.
17
2
. D.
19
2
.
Ligii
ChnD
fx
fx
u nhn giá tr   n
0;1
nên t
11
2
00
. 1 d 2 . df x f x x f x f x x







suy ra
1
2
0
. 1 d 0f x f x x



.
2
. 1 0f x f x



nên
. 1, 0;1f x f x x
hay
2
. 1, 0;1f x f x x


.

2
. d df x f x x x



3
3
fx
xC


(*)
Trong (*) thay
0x

8
3
C
, suy ra
3
38f x x


.

11
3
00
19
d 3 8 d
2
f x x x x



.
Câu 87: 
100
0
1 2 ... 100x x x x dx

A.0. B. 1. C. 100. D. Kt qu khác.
Lời giải
Chọn A.

100x t dx dt

0 100; 100 0x t x t
Trang43

0 100
100 0
100 99 ... 100 99 ...I t t t dt t t t dt

100
0
100 99 ... .t t t dt
100
0
100 99 ... .x x x dt I
Suy ra
0 0.I I I
Câu 88: Tính tích phân
2 2 2
2
0
2
sin cos
c
d
os sin
xx
a x b x
Ix
vi
0a b
22
a b
.
A.
1
I
ab
. B.
2
I
ab
. C.
2
I
ab
. D.
ab
ab
.
Li gii
Chn A.
Do
0
0
0
a
a
b
b
22
b
b
ab
a
a

.
Ta có
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
00
sin 2
cos2
co
1
2 sin 2
2
dd
2
2
s2
2
x
I
x
b b x
bb
xx
a
aa x
a




.
t
2 2 2 2 2 2
22
d
cos2 2 d 2 sin 2 d sin 2 d
tt
t a b a b x t t a b x x x x
ab
.
i cn
2
0 2 2x t a a
,
2
22
2
x t b b
.

22
2
22
2
0
22
2
2 2 2 2
2 sin2 2 2
d d d
22
2
cos2
bb
aa
b
b
b
t
x
a
I x t t
t
a a xb
a
22
21
22
2
ba
ab
a b
.
Câu 89: Tính tích phân
2
0
sin sin dI x nx x

vi
n
.
A.
0I
. B.
2I
. C.
1I
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A.
Trang44
Xét tích phân
d
b
a
f a b x x
t
ddt a b x t x
i cn
x a t b
,
x b t a

dd
b b b
a a a
f a b x x f t dt f x x
Ta có
2 2 2
0 0 0
sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x


2
0
sin sin dx nx x I
.
Do
0I I I
Câu 90: Tính tích phân
cos cos dmx nx x
vi
m
,
n
22
m n
.
A.
0I
. B.
2I
. C.
1I
. D.
1
2
.
Li gii
Chn A.
Ta có
1
cos cos d cos cos d
2
mx nx x m n x m n x x





1 1 1
sin sin 0
2
m n x m n x
m n m n




Do
sin sin sin sin 0m n m n m n m n
Câu 91: [Nguyn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Bit
3
4
0
1
cos
ab
dx
xc

,,abc
các s t
t nguyên t  ca
2 2 2
2 3 4T a b c
bng bao nhiêu?
A.
15T 
. B.
14T
. C.
13T 
. D.
17T
.
Li gii
Chn A.
Ta có
3
4
0
1
cos
I dx
x
3
22
0
1
.
cos cos
dx
xx
3
2
2
0
1 tan .
cos
dx
x
x

3
2
0
1 tan . tanx d x

3
3
0
tan
tan
3
x
x




23
2, 3, 1a b c
Vy
2 2 2
2 3 4T a b c
222
2.2 3.3 4.1
15
.
Trang45
Câu 92: Bit
2
3
6
6
sin
cos
x a b c
dx
xd

,ab
,cd
là các cp s t nhiên nguyên t cùng nhau. Khi
 ca
T ab cd
bng bao nhiêu?
A.
6T
. B.
246T
. C.
13T 
. D.
17T
.
Li gii
Chn B.
Ta có
2
3
6
6
sin
cos
x
I dx
x
3
2
4
6
1
tan
cos
x dx
x
3
2
22
6
11
tan . .
cos cos
x dx
xx
3
22
6
tan . 1 tan . tanx x d x

3
24
6
tan tan . tanx x d x

53
3
6
tan tan
53
xx




42 3 8
15
42, 3, 8, 15a b c d
246T
Câu 93: Bit
4
3
1 ln
sin
2
ab
dx
x
c

,,abc
là các s t t nguyên t 
giá tr ca
32
4 3 2T a b c
bng bao nhiêu?
A.
5T
. B.
29T
. C.
7T
. D.
17T
.
Li gii
Chn B.
Ta có
4
3
1
sin
2
I dx
x
4
3
1
2sin .cos
44
dx
xx
4
3
2
11
2
tan .cos
44
dx
xx
4
3
1
2 tan
4
tan
4
x
d
x



4
3
2ln tan
4
x



ln3
1, 3, 1a b c
29T
Trang46
Câu 94: Nu
2
()
62
x
a
f t dt
x
t

vi
0x
thì h s
a
bng
A.
9
. B.
19
. C.
5
. D.
6
.
Li gii
Chn A.
Gi
()Ft
là mt nguyên hàm ca
2
()ft
t
, suy ra
2
()
'( )
ft
Ft
t
.
Ta có
(gt)
Vy .
Câu 95: Cho hàm s  o hàm liên tc trên tha mãn , và
. Tích phân bng?
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn A.
Ta xét .
t
2
()
62
x
a
f t dt
x
t

( ) | 6 2
x
a
F t x
( ) ( ) 6 2F x F a x
2
( ) 1fx
x
x

()f x x x
22
( ) 1
2 | 2 2 2 6
x x x
x
a
a a a
f t dt t t
dt dt t x a x
tt
t
39aa
fx
0;1
10f
1
2
0
1
dx
11
fx


1
4
0
1
dx
55
x f x 
1
0
xf x d
1
7
1
7
1
55
1
11
1
4
0
dxI x f x
5
4
d dx
d dx
5
u f x
u f x
x
vx
v




1
5
15
0
0
1
dx
55
x
I f x x f x
1
5
0
11
dx
55 5
x f x
1
5
0
1
dx
11
x f x

Trang47
nên
.
Câu 96: Cho hàm s
fx
liên tc trên
00f
;
10fx
vi mi
x
. Tìm GTLN
3f
có th c?
A.
30.
B.
10.
C.
60.
D.
20.
Li gii
Chn A
'
10 0fx
vi mi
x
nên:
3
0
10 dx 0fx



3
0
10 0x f x


10.3 3 10.0 0 0ff
3 30f
Vy GTLN mà
3f
có th c là 30.
Câu 97: Cho biu thc
2
2
2cot
4
ln 1 2 sin2
x
m
S x e dx





, vi s thc
0m
. Kh
A.
5S
. B.
22
2cot 2ln sin
44
S
mm



.
C.
9S
. D.
22
tan ln
44
S
mm



.
Li gii
Chn. B.
Ta có
2 2 2
2 2 2
2cot 2cot 2cot
4 4 4
2 sin 2 2 sin 2
x x x
m m m
x e dx e dx xe dx I J
.
1
10
0
1
dx
11
x
1
2
10 5
0
2x dx 0x f x f x

6
5
6
x
f x x f x C
10f
6
1
6
x
fx
11
6
00
11
( )dx dx
67
x
fx


Trang48
t
2cot
2cot
2
2
2
.
sin
11
sin2
cos2 sin
22
x
x
du e dx
ue
x
dv xdx
v x x


2
2
2
2 2cot 2cot
2
4
4
sin . 2
xx
m
m
J x e e dx

2
2cot
2
4
2
1 sin .
4
m
eI
m



.
Vy
2
2cot
2
4
2
ln sin
4
m
Se
m







22
2cot 2ln sin
44mm



.
Cách 2:
Thay
1m
ta có
1,689976611S
, kim tra ch 
B
tha mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tnh Bc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm s
y f x
, liên tc trên
0;1
và tha
mãn
1
0
1 ' 10x f x dx
2 1 0 2ff
. Tính
1
0
I f x dx
.
A.
12I 
. B.
8I
. C.
12I
. D.
8I 
.
Li gii
Chn D.
t
1
'
u x du dx
dv f x dx v f x




.
Áp dng công thc tính tích phân tng phn và gi thic:
11
00
1
10 1 ' 1 2 1 0 2
0
x f x dx x f x f x dx f f I I



2 10 8I
.
Câu 99: Cho hàm s
fx
liên tc trên
2 16f
,
2
0
d4f x x
. Tính
4
0
d
2
x
I xf x



.
A.
12I
. B.
112I
. C.
28I
. D.
144I
.
Li gii
Chn B
t
2
2
2
xt
x
t
dx dt

; vi
0 0; 4 2x t x t
.
*)
2 2 2
2
0
0 0 0
2 2dt 4 4 | 4 dtI tf t tdf t tf t f t
Trang49
2
0
4.2. 2 4. df f x x
4.2.16 4.4 112
.
Câu 100: Bit
Fx
là mt nguyên hàm ca
fx
,
Fx
fx
là các hàm liên tc trên
, tha mãn
2
1
1 1; 3 3F x dx F
. Tính
3
0
I xf x dx
A.
8I
. B.
9I
. C.
10I
. D.
11I
.
Li gii
Chn A
*) Ta có :
2 2 3 3
1 1 0 0
1 1 1 ( 1) 1F x dx F x d x F t dt F x dx

.
*)
3 3 3
3
0
0 0 0
| 3 3 1 8I xf x dx xdF x xF x F x dx F
.
Câu 101: Cho hàm s
fx
liên tc trên
1 2 0 2ff
,
1
0
d5f x x
. Tính
3
0
6d
3
x
I x f x




.
A.
61I
. B.
63I
. C.
65I
. D.
67I
.
Li gii
Chn B
t
3
3
3
xt
x
t
dx dt

; vi
0 0; 3 1x t x t
.
*)
1 1 1
1
0
0 0 0
6 3 . .3 9 2 9 2 | 9 2I t f t dt t df t t f t f t d t


1
0
9 1 2 0 9 9.2 9.5 63f f f t dt


.
.
Câu 102: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
tha mãn
2018 sin .f x f x x x
Tính
2
2
?I f x dx
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Li gii.
Chn B
Theo gi thit
2018 sin .f x f x x x
2018 sin .f x f x x x
suy ra
2
1
2018 1 ( ) 2017 sin .sin
2019
f x x x f x x x
.
Trang50

22
22
11
.sin . . cos
2019 2019
I x xdx x d x




2
22
22
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x x dx x








.
Câu 103: Cho hàm s
fx
 nh trên
\1
tha mãn
3
'
1
fx
x
;
01f
1 2 2ff
. Giá tr ca
3f
bng
A.
1 2ln2
. B.
1 ln2
. C.
1
. D.
2 ln2
.
Li gii
Chn C.
Ta có
'df x f x x
3
d
1
x
x
3ln 1xC
1
2
3ln 1 1
3ln 1 1
x C khi x
fx
x C khi x

Theo gi thit:
01
1 2 2
f
ff
1
12
1
3ln2 2
C
CC
1
2
1
1 3ln2
C
C

3ln 1 1 khi 1
3ln 1 1 3ln2 khi 1
xx
fx
xx

Vy
3 3ln2 1 3ln2 1f
.
Câu 104: Bit
2
2
3
1 tan
d ln
cos
x x a
x
x x x b


,
,ab
. Tính
P a b
.
A.
2P
. B.
4P 
. C.
4P
. D.
2P 
.
Li gii
Chn A.
Ta có:
2
22
33
1 tan cos sin
dd
cos cos cos 1
x x x x x
xx
x x x x x x x





Trang51
t
cos d cos sin dt x x t x x x x
.
i cn:
2
33
xt

;
xt


2
2
33
1 tan
cos 1
x x dt
dx
x x x t t




3
11
1
dt
tt




ln ln 1
33
tt




ln ln ln 1 ln 1
33





3
ln
1
3a
;
1b
.
Vy
4P
.
Câu 105: Cho hàm s
fx
nh, liên tn
0;1
ng thi thu
kin
'
01f 
2
'
f x f x



t
10T f f
, hãy chn kh
A.
21T
. B.
10T
. C.
01T
. D.
12T
.
Li gii
Chọn B
T gi thit ta có
'
22
'
''
1
dx 1.dx dx 1.dx
d f x
fx
xc
fx
f x f x



'
01f 
nên
1
'
0
1
1
ln2
1
1
1
c
T
x
fx
x


Câu 106: Bit rng
3
2
2
14
1
x x a b
dx
c
xx

vi
,,abc
là các s 
.T a b c
A.
31T
. B.
29T
. C.
33T
. D.
27T
.
Li gii
Chn C.
3
2
3 3 3
2 2 2
2
2 2 2
3
1
11
1
3
2
2
11
2
x
x x x x x
dx dx x x dx
x x x x





=
19 4 8
6
. Vy
19 8 6 33abc
.
Câu 107: Cho hàm s f(x) liên tc trên
[0;3]
1
0
( ) 2f x dx
;
3
0
( ) 8f x dx
. Giá tr ca tích phân
1
1
| 2 1|f x dx
là:
Trang52
A. 6. B. 3. C. 4. D.5.
Li gii
Chn D.
Ta có:
1
2 1,
2
21
1
2 1,
2
xx
x
xx

nên
1
1
| 2 1|f x dx
=
0,5
1
1 0,5
2 1 (2 1)f x dx f x dx E F

0,5
3
10
1
( 2 1)dx ( )
2
E f x f t dt

i bin
2 1,tx
11
0,5 0
1
(2 1) ( ) ,
2
F f x dx f t dt

i bin
2 1,tx
Vy
1 3 1
1 0 0
11
| 2 1| ( ) ( ) 1 4 5
22
f x dx f x dx f x dx
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gi
St
din tích hình phng gii hn b  ng
2
1
, 0, 0, 0
12
y y x x t t
xx

. Tìm
lim
t
St

.
A.
1
ln 2
2

. B.
1
ln 2
2
. C.
1
ln 2
2
. D.
1
ln 2
2
.
Ligii
ChnB.
Vì trên
0;t
,
2
1
0
12
y
xx


nên ta có din tích hình phng
2
0
1
d
12
t
S t x
xx

2
0
13
d
1
2
t
x
x
x
x





2
0
1 1 1
d
12
2
t
x
xx
x





0
11
ln
22
t
x
xx





1 1 1
ln ln2
2 2 2
t
tt

.
1
lim 1
2
t
t
t




1
limln 0
2
t
t
t





,
1
lim 0
2
t
t

Trang53
Nên
lim
t
St

1 1 1
lim ln ln2
2 2 2
t
t
tt





1
ln 2
2

.
Câu 109: Cho hàm s
1
1
d4f x x
    
y f x
hàm s chn trên
1;1
. Tính
1
1
d
21
x
fx
x
.
A.
2
. B.
16
. C.
8
. D.
4
.
Li gii
Chn A.
Cách 1.
t
ddt x t x
i cn
11xt
;
11xt
.
c:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 2
d d d d
1 2 1 2 1 2 1 2
tx
x t t x
I f x x f t t f t t f x x
.

1 1 1
1 1 1
12
2 d d d 4 2
1 2 1 2
x
xx
I f x x f x x f x x I

.
Cách 2.
Chn
2
h x x
là hàm s chn. Ta có:
1
2
1
2
d
3
xx

2
4
6
2
3
f x h x x
.

11
2
11
6
d d 2
2 1 2 1




xx
fx
x
xx
.
Li bình: Vi cách làm này, ch cn hc sinh nm rõ nguyên tc tìm mt hàm s i din cho
lp hàm s tha mãn gi thit bài toán là có th d c kt qu bài toán bng máy
tính hoc bn vi hàm s
y f x
i vi bài toán này
ta có th chn hàm s
1hx
n.
Câu 110: Cho hàm s
()fx
tha mãn
8
3
3 d 25x f x x

33 8 18 3 83ff
.
Giá tr
8
3
df x x
là:
A.
83I
. B.
38I
. C.
8
3
I
. D.
3
8
.
Li gii
Trang54
Chn C.
Ta có
8
3
3 d 25x f x x

.
t
3 d d
d
u x u x
v f x dx v f x






8
8
3
3
3dA x f x f x x
8
3
11 8 6 3 df f f x x
Ta có
33. 8 18 3 83ff
83
11 8 6 3
3
ff
.
Suy ra
8
3
83
d
3
A f x x
. Mà
25A
8
3
83 8
d 25
33
f x x
.
Câu 111: Giá tr
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin d
x
I x x e x
gn bng s nào nht trong các s 
A.
0,046
. B.
0,036
. C.
0,037
D.
0,038
.
Li gii
Chn C.
Ta có:
3
3
3
9
4
cos
23
1
6
sin d
x
I x x e x
3
3
3
9
4
cos
3
1
6
1
dsin
3
x
ex
3
3
3
9
cos
4
1
6
1
3
x
e
23
22
1
3
ee





0,371
Câu 112: Bit
2
4
2
2
1 ln 2 2
1
d ln ln
2 2 4
cc
x x x
I x a b
xx

, vi
,,abc
các s 
23
a b c
.
A.
3
. B.
22
. C.
14
. D.
20
.
Li gii
Chn B.
Ta có:
2
4
2
2
1 ln 2 2
d
22
x x x
Ix
xx

4
22
2
1
ln 2 2 d ln 2 2
2
x x x x
2 2 4
2
1
ln 2 2
4
xx
22
1
ln 10 ln 2
4

.
Trang55
Vy
23
10, 2, 2 22a b c a b c
.
Câu 113:  
(2) 2f 
,
2
0
( )d 1f x x
. Tính
tích phân
4
0
dI f x x
.
A.
10I 
. B.
5I 
. C.
0I
. D.
18I 
.
Li gii
Chn A

2dx t dx t t

2
0
. '( )dI t f t t

2
2
0
0
2 ( ) ( ).d 10.I tf t f t t




2
0
( ).d 1f t t
).
Câu 114:Cho
a
s tht rng
)(xF
mt nguyên hàm ca hàm s
x
axexf
x
1
ln
tha mãn
0
1
a
F
2018
2018 eF
. M đúng?
A.
1;
2018
1
a
. B.
2018
1
;0a
. C.
2018;1a
. D.
 ;2018a
.
Li gii.
Chn A.
Câu 115: Bit rng
Fx
mt nguyên hàm trên
ca hàm s
2018
2
2017
1
x
fx
x
tha mãn
10F
.
Tìm giá tr nh nht
m
ca
Fx
.
A.
1
2
m 
. B.
2017
2018
12
2
m
. C.
2017
2018
21
2
m
. D.
1
2
m
.
Li gii.
Chn B.
Ta có
2
2018 2018 2017
2 2 2
1
2017x 2017 1 1
x.
22
1 1 1
dx
F x d C
x x x

.
Do
10F
nên
2018
1
2
C
2017
2017
2018 2018 2018
2
1 1 1 1 1 1 2
.
2 2 2 2 2
1
Fx
x
.
()y f x
0;4 0;2xt
Trang56
Câu 116: Bit rng
1
0
1
cos2 sin2 cos2
4
x xdx a b c
, vi
, , .abc
Khđúng ?
A.
1.abc
B.
0.a b c
C.
2 1.abc
D.
2 1.a b c
Li gii
Chn B.
t
1
2
sin 2
2
du dx
ux
dv cos xdx
vx

.
11
00
11
1 1 1 1 1
cos2 sin2 sin2 sin2 cos2x 2sin2 cos2 1
00
2 2 2 4 4
x xdx x x xdx

.
Suy ra
2, 1, 1 0a b c a b c
Câu 117: Gi s tích phân
5
1
1
.ln3 .ln5.
1 3 1
I dx a b c
x


A.
4
3
abc
. B.
5
3
abc
. C.
7
3
abc
. D.
8
3
abc
.
Ligii
ChnA
Xét
5
1
1
1 3 1
I dx
x

t
2
3 1 3 1 2 3t x t x tdt dx

4
4
2
2
2 2 4 4 4 4
ln 1 ln3 ln5 .
3 1 3 3 3 3 3
t
I dt t t a b c
t
Câu 118: Cho hàm s
3
()
1
x
a
f x bxe
x

. Tìm
a
b
bit rng
'(0) 22f 
1
0
( ) 5f x dx
.
A.
2, 8ab
. B.
2, 8ab
. C.
8, 2ab
. D.
8, 2ab
Li gii
4
2
5
1
t
x
Trang57
Chn C
Ta có
4
3
'( ) ( 1)
1
x
a
f x b x e
x
Suy ra
'(0) 22 3 22f a b
(1)
Ta có
1
11
32
00
0
3
( ) ( 1)
8
1 2 1
xx
aa
f x dx bxe dx b x e a b
xx


.
Theo bài ra
1
0
( ) 5f x dx
3
5
8
ab
(2).
T (1) và (2) ta có h
3 22
8
3
2
5
8
ab
a
b
ab


.
Câu 119: Cho hàm s
y f x
liên tc trên
tha mãn
2018 sin .f x f x x x
Tính
2
2
?I f x dx
A.
1
1009
B.
2
2019
C.
1
2019
D.
1
2018
Li gii.
Chn B
Theo gi thit
2018 sin .f x f x x x
2018 sin .f x f x x x
suy ra
2
1
2018 1 ( ) 2017 sin .sin
2019
f x x x f x x x
.

22
22
11
.sin . . cos
2019 2019
I x xdx x d x




2
22
22
2
1 1 2
cos cos . sin
2019 2019 2019
x x x dx x








.
Trang58
Câu 120: Bit rng trên khong
1
;
2




hàm s
2
25 7 4
()
21
xx
fx
x

mt nguyên hàm
2
( ) (a ) 2 1F x x bx c x

,,abc
là các s nguyên). Tng
S a b c
bng
A.
3.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Li gii.
Chn B
c
2
5 ( 2 3 )
'( )
21
ax a b x b c
Fx
x
. Do
()Fx
là mt nguyên hàm ca
()fx
nên ta
'( ) ( ),F x f x x
thuc khong
1
;
2




suy ra
22
5 ( 2 3 ) 25 7 4
2 1 2 1
ax a b x b c x x
xx

.
ng nht h s c
5, 1, 3.a b c
Câu 121: Bit rng trên khong
1; 
hàm s
2
15 9 3
()
21
xx
fx
x

mt nguyên hàm
2
( ) (a ) 1F x x bx c x

,,abc
là các s nguyên). Tng
S a b c
bng
A.
3.
B.
3.
C.
4.
D.
4.
Li gii.
Chn B
c
2
5 ( 4 3 ) 2
'( )
21
ax a b x b c
Fx
x
. Do
()Fx
là mt nguyên hàm ca
()fx
nên
ta có
'( ) ( ),F x f x x
thuc khong
1; 
hay
22
5 ( 4 3 ) 2 15 9 9
2 1 2 1
ax a b x b c x x
xx

ng nht h s c
3, 1, 7a b c
.
Câu 122: Xét hàm s
()fx
liên tn
0;1
tha mãn
2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x
. Tích phân
1
0
( )df x x
bng
A.
2
3
. B.
1
6
. C.
2
15
. D.
3
5
.
Li gii
Chn C.
Ta có:
2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x
(1)
.
t
1tx
, thay vào
(1)
c:
2 (1 ) 3 ( )f t f t t
hay
2 (1 ) 3 ( )f x f x x
(2)
.
Trang59
T
(1)
&
(2)
c:
32
( ) 1
55
f x x x
.

1
0
( )df x x
11
00
32
d 1 d
55
x x x x

24
5 15

2
15
.
Câu 123: Cho
Fx
là mt nguyên hàm ca hàm s
2
3
4
x
f x e x x
. S cc tr ca hàm
Fx
A. 2. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn B.
F f x
. Ta có
0F
2
3
4
x
e x x
0
2
x
x

.
Bng xét du:
x

2
0
2

F
0
0
0
Vy hàm s
Fx
có 3 cc tr
Câu 124: Cho hàm s
y f x
hàm l liên tc trên
4;4 ,
bit
0
2
d2f x x

2
1
2 d 4.f x x
Tính
4
0
d.I f x x
A.
10I 
. B.
6I 
. C.
6I
. D.
10I
.
Li gii
Chn B.
fx
là hàm l nên ta có
f x f x
.
Ta có:
0 0 2 2
2 2 0 0
d 2 d 2 d 2 d
tx
f x x f t t f t t f x x


.
2 2 4 4 4
2
1 1 2 2 2
1
2 d 2 d d 4 d 8 d 8
2
ux
f x x f x x f u u f u u f x x

.

4 2 4
0 0 2
d d d 2 8 6.f x x f x x f x x
Trang60
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
2
1
0
d ln
x
x
x x e
x ae b e c
xe
vi
a
,
b
,
c
. Tính
2P a b c
.
A.
1P 
. B.
1P
. C.
2P 
. D.
0P
.
Li gii
Chn D.
Ta có:
2
11
00
1
dd
1
x
xx
xx
x x e
xe x e
xx
x e e x


1
0
1 1 1
d
1
xx
x
xe x e
x
ex
1
0
1
1 d 1
1
x
x
xe
xe



1
1 ln 1 ln 1
0
xx
xe xe e e


. Suy ra
1a
,
1b 
,
1c
.
Vy,
20P a b c
.
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân
1
1 ln 2
1
d ln
1 ln
e
xx
e
x ae b
x x e






a
,
b
là các s  s
a
b
bng:
A.
1
2
. B.
1
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Chn B.
Ta có:
11
1 ln 2
ln 1
d 1 d
1 ln 1 ln
ee
xx
x
xx
x x x x







1
ln 1 ln ln 1 1
e
x x x e e


1
ln
e
e
e




. Suy ra:
11
a
ab
b
.
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân
2
0
sin
d ln2
2sin cos
x
I x a b
xx
, vi
a
,
bQ

ab
bng:
A.
1
. B.
2
. C.
1
2
. D.
0
.
Li gii
Chn D.
Trang61
Ta có:
2sin cos 2cos sin
sin
2sin cos 2sin cos
A x x B x x
x
x x x x

2 sin 2 cos
2sin cos
A B x A B x
xx
2
21
5
2 0 1
5
A
AB
AB
B





.

22
00
sin 2 1 2cos sin
dd
2sin cos 5 5 2sin cos
x x x
I x x
x x x x






21
ln 2sin cos
2
55
0
x x x



1
ln 2
55

.
Suy ra:
1
5
a
,
1
5
b 
. Vy,
0ab
.
Câu 128: [Trường chuyên Thái nh,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s
y f x
o
hàm trên
5 10f
,
5
0
d 30x f x x
.Tính
5
0
df x x
.
A.
20
. B.
70
. C.
20
. D.
30
.
Li gii
Chn C.
Xét
5
1
0
d 30I x f x x

t
dd
dd
u x u x
v f x x v f x







Vy
5
5 5 5
1
0 0 0
0
d d 5 5 dI x f x x xf x f x x f f x x
1
30I
5 10f
vy
5
0
d 20f x x
.
Câu 129: [Trường chuyên Thái nh,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s
y f x
o
hàm trên
2 15f
,
2
0
d 60x f x x
.Tính
5
0
df x x
.
A.
30
. B.
70
. C.
30
. D.
50
.
Li gii
Chn A.
Trang62
Xét
5
1
0
d 60I x f x x

t
d
dd
u x du x
v f x x v f x







Vy
2
2 2 2
1
0 0 0
0
d d 2 2 dI x f x x xf x f x x f f x x
1
60I
2 15f
vy
2
0
d 30f x x
.
Câu 130: [Trường chuyên Thái nh,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s
y f x
o
hàm trên
4 13f
,
4
0
d 24x f x x
.Tính
4
0
df x x
.
A.
11
. B.
28
. C.
76
. D.
28
.
Li gii
Chn D.
Xét
4
1
0
d 24I x f x x

t
dd
dd
u x u x
v f x x v f x







Vy
4
4 4 4
1
0 0 0
0
d d 4 4 dI x f x x xf x f x x f f x x
1
24I
4 13f
vy
4
0
d 28f x x
.
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 
4 3 2
4 2 1,f x x x x x x
. Tính
1
2
0
f x f x dx
A.
2
3
. B.
2
. C.
2
3
. D.
2
.
Lời giải
Chọn C.
Trang63
Ta có
3 3 3
11
22
00
1
10
2
0
3 3 3
f x f f
f x f x dx f x df x

Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 
32
3 3 2,f x x x x x
. Tính
1
3
0
f x f x dx
A.
3
4
. B.
15
4
. C.
1
4
. D.
15
4
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
4 4 4
11
33
00
1
10
15
0
4 4 4
f x f f
f x f x dx f x df x

Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 
642
5 3 1,f x x x x x
. Tính
1
2017
0
f x f x dx
.
A.
1
2018
. B.
1
1009
. C.
1
2018
. D.
1
1009
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2018
11
2017 2017
00
1
0
2018


fx
f x f x dx f x df x
2018 2018
10
1
2018 2018
ff
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
Fx
là mt nguyên hàm
ca hàm s
1
1 sin 2
y
x
vi
\,
4
x k k



RZ
, bit
01F
;
0F
. Tính
11
12 12
P F F


.
A.
23P 
. B.
0P
. C. Không tn ti
P
. D.
1P
.
Li gii
Chn D.
Cách 1:
Trang64
Ta có
( )
2
11
dd
1 sin2
2sin
4
F x x x
x
x
p
==
æö
+
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
òò
1
2
13
- cot khi 2 ; 2
2 4 4 4
1 3 7
- cot khi 2 ; 2
2 4 4 4
x C x k k
x C x k k
p p p
pp
p p p
pp
í
æ ö æ ö
ï
÷÷
ï
çç
+ + Î - + +
÷÷
ï ç ç
÷÷
çç
ï
è ø è ø
ï
=
ì
ï
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
+ + Î + +
ï
÷÷
çç
÷÷
ï
çç
è ø è ø
ï
î

( )
( )
1
2
3
01
2
1
0
2
C
F
F
C
p
í
ï
ï
=
í
ï
=
ï
ï
ï
ï
Þ
ìì
ïï
=
ïï
î
=
ï
ï
ï
î
.Vy
( )
1 3 3
- cot khi 2 ; 2
2 4 2 4 4
1 1 3 7
- cot khi 2 ; 2
2 4 2 4 4
x x k k
Fx
x x k k
p p p
pp
p p p
pp
í
æ ö æ ö
ï
÷÷
ï
çç
+ + Î - + +
÷÷
ï ç ç
÷÷
çç
ï
è ø è ø
ï
=
ì
ï
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
+ + Î + +
ï
÷÷
çç
÷÷
ï
çç
è ø è ø
ï
î
.

11
1
12 12
P F F

Cách 2:
Ta có
11 11
00
12 12 12 12
P F F F F F F F F

0
11
12 12
11
d d 1
1 sin 2 1 sin 2
xx
xx



.
Ta có
2
2
1 1 1
1 sin2
sin cos
2cos
4
x
xx
x




nên
0
0
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin2 2 4 2
xx
x



;
11
11
12
12
1 1 1
d tan 1 3
1 sin2 2 4 2
xx
x



.
Vy
1P
.
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho
Fx
là mt nguyên hàm
ca hàm s
24yx=-
nh trên
{ }
\2¡
tha mãn
( )
11f =
( )
32f =-
. Giá tr ca biu
thc
( ) ( )
14FF-+
bng
A.
6-
. B.
7
. C.
14-
. D.
0
.
Li gii
Trang65
Chn A.
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
2 4 d khi 2
2 khi 2
2 4 d
2 khi 2
2 4 d khi 2
x x x
x C x
F x x x
x C x
x x x
í
ï
í
->
ï
ï
- + >
ï
ï
ïï
= - = =
ìì
ïï
- - + <
- - <
ïï
ï
î
ï
ï
î
ò
ò
ò
.
Do
( )
( )
21
12
11
1 1 3
1 2 2
32
F
CC
CC
F
í
íí
=
ï
- + = = -
ïï
ï
ïï
ÞÛ
ì ì ì
ï ï ï
+ = - =
=-
ïï
ï
îî
î
nên
( )
( )
( )
2
2
2 3 khi 2
2 2 khi 2
xx
Fx
xx
í
ï
- - >
ï
ï
=
ì
ï
- - + <
ï
ï
î
.
Vy
( ) ( )
1 4 9 2 4 3 6FF- + = - + + - = -
.
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s
( )
fx
nh trên
{ }
\ 1;1-¡
và tha mãn
( )
2
2
1
fx
x
¢
=
-
,
( ) ( )
3 3 0ff- + =
11
2
22
ff
æ ö æ ö
÷÷
çç
- + =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
. Giá tr ca
biu thc
( ) ( ) ( )
2 0 4f f f- + +
bng
A.
2ln2 2ln3 ln5--
. B.
6ln2 2ln3 ln5--
.
C.
ln5 2ln3 2ln2 1- + + +
. D.
2ln3 ln5 6-+
.
Li gii
Chn C.
( )
11
11
fx
xx
¢
=-
-+
.

( ) ( )
1
2
1
ln +C khi 1 1
1
d
1
ln +C khi 1 1
1
x
xx
x
f x f x x
x
x
x
í
æö
-
ï
÷
ï
ç
< - È >
÷
ïç
÷
ç
ï
èø
+
ï
¢
==
ì
ï
æö
-
ï
÷
ç
- < <
ï
÷
ç
÷
ï
ç
èø
+
ï
î
ò
.
( ) ( )
11
3 3 0 ln2 ln2 0f f C C- + = Û + + + =
1
ln2CÛ=
.
11
2
22
ff
æ ö æ ö
÷÷
çç
- + =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø
2 2 2
ln3 ln3 2 1C C CÛ + - + = Û =
.

( )
1
ln ln 2 khi 1 1
1
1
ln 1 khi 1 1
1
x
xx
x
fx
x
x
x
í
æö
-
ï
÷
ï
ç
+ < - >
÷
ïç
÷
ç
ï
èø
+
ï
=
ì
ï
æö
-
ï
÷
ç
+ - < <
ï
÷
ç
÷
ï
ç
èø
+
ï
î
U
.
Vy
( ) ( ) ( )
2 0 4f f f- + +
ln3 ln2 1 ln3 ln5 ln2= + + + - +
ln5 2ln3 2ln2 1= - + + +
.
Trang66
Câu 137: Mt vt chuyng vi vn tc
10m/s
c vi gia tc tính theo thi gian
2
3.a t t t
ng vc trong khong thi gian
3
giây k t khi vt bu
c.
A.
45
m.
2
B.
201
m.
4
C.
81
m.
4
D.
65
m.
2
Li gii
Chon B
32
2
3
dt 3 dt
32
tt
v t a t t t C

Do
0
10 / 10v m s C
32
3
10
32
tt
vt
3
32
0
3 201
10 dt m
3 2 4
tt
S



ng vc trong khong thi gian
3
giây k t khi vt bc là
201
m
4
Câu 138: My vi t
10( / )ms
p phanh, t thn
ng chm du vi
( ) 5 10(m/s)v t t

t
là khong thi gian tính bng gy, k t
lúc bp phanh. Hi t n khi dng hn, ô còn di chuyc bao
nhiêu mét.
A.
8.m
B.
10 .m
C.
5.m
D.
20 .m
Li gii
Chn B.

0t
.

( ) 5 10 0v t t
2t
.

2
0
( ) 10( )v t dt m
.
Câu 139: Mt vt chuyng vi vn tc
10m/s
c vi gia tc tính theo thi gian
2
3.a t t t
ng vc trong khong thi gian
3
giây k t khi vt bu
c.
A.
45
m.
2
B.
201
m.
4
C.
81
m.
4
D.
65
m.
2
Trang67
Li gii
Chon B
32
2
3
dt 3 dt
32
tt
v t a t t t C

Do
0
10 / 10v m s C
32
3
10
32
tt
vt
3
32
0
3 201
10 dt m
3 2 4
tt
S



ng vc trong khong thi gian
3
giây k t khi vt bc là
201
m
4
Câu 140: Bit rng trên khong
3
;
2




hàm s
2
20 30 7
()
23
xx
fx
x

mt nguyên hàm
2
( ) (a ) 2 3F x x bx c x

,,abc
là các s nguyên). Tng
S a b c
bng
A.
4.
B.
3.
C.
5.
D.
6.
Li gii.
Chn B
Ta có:
2
2
1 (2 )(2 3) (a )
'( ) (2 ) 2 3 (a ).
2 3 2 3
ax b x x bx c
F x ax b x x bx c
xx

T n t thc:
2
5 (6 3 ) 3
'( )
23
ax a b x b c
Fx
x
Do
()Fx
là mt nguyên hàm ca
()fx
nên ta có:
22
5 (6 3 ) 3 20 30 7
'( ) ( )
2 3 2 3
ax a b x b c x x
F x f x
xx

trên khong
3
;
2




ng nht h s hai v c h sau:
5 20 4
6 3 30 2
3 7 1
aa
a b b
b c c



Suy ra
3S a b c
.
Câu 141: c bc bt cc tr ti x = 1 và x = 2. Bit . Tích phân
1
0
'( )f x dx
Trang68
A. B. C. D. 1
Li gii
Chn B
Phương pháp:
T gi thit bi có f'(0 ) = 0
T c hàm f'(x) và tính tích phân.
Cách gii:
Ta có nên (vì nu
thì )
T c tr ca hàm s m x = 0; x
= 1; x = 2
c bc 4 nên ta gi s hàm
T  bài ta có
Nên
T 
Chn B.
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH
Câu 142: Cho hình
()H
hình phng gii hn bng
1yx
,
1yx
trc Ox. Din tích
ca hình
H
(H) bng
A.
4
3
. B.
7
6
. C.
3
2
. D.
5
4
.
Li gii
Chn B.
3
2
1
4
3
4
0
lim2 0
x
x
00
lim 2 '( ) 0 lim '( ) 0 '(0) 0
xx
x f x f x f

0
lim 2 '( ) 0
x
x f x

0
2 '( )
lim 2
2
x
x f x
x
'( ) . 1 2f x m x x x
00
2 1 2 2 1 2
22
lim 2 lim 2 2 1
2 2 2
xx
x mx x x m x x
m
m
x

32
'( ) 1 2 3 2f x x x x x x x
11
32
00
1
'( ) 3 2 .
4
f x dx x x x dx

Trang69
Gi
1
H
là sình phng gii hn bng
1; 0; 0y x y x
(Tam giác cong
OAB
).
2
H
là sình phng gii hn bi các ng
1 ; 0; 0y x y x
(Tam giác
OBC
).
Din tích hình hình phng cn tính là:
12
01
2
3
10
01
2 2 1 7
1 1 1
10
3 2 3 2 6
HH
x
S S S x dx x dx x x




Câu 143: 



ABCD

4AB
,
8AD
(

).

, , ,M N E F





BC
,
AD
,
BN

NC
. 
V


BEFC


AB
.
A.
100
. B.
96
. C.
84
. D.
90
.
Li gii
Chn B.
Chn h trc t
Oxy
sao cho
,BO
,AB Ox
.BC Oy
Bài toán tr thành: Tính th tích ca vt th tròn xoay khi cho hình phng gii hn bi:
;yx
8;yx
0; 2xx
quay quanh trc
.Ox
2
2
2
0
8dV x x x
2
0
16 64dxx

96 .
Cách khác:
F
E
C
D
M
B
A
N
Trang70
Gi
I
m
AB
.
Gi
1
V
là th tích khi nón ct to bi
CFIB
quay quanh
AB
,
1
V
có chiu cao là
2

6r
8.R
22
1
1 296
.2 6 6.8 8
33
V

Gi
2
V
là th tích khi nón to bi
BEI
quay quanh
AB
,
2
V
có chiu cao là
2

2.
2
8
3
V

.
Ta có th tích cn tính
12
96 .V V V
Câu 144: Cho hình thang vuông
ABCD
90AD
,
2CD AB
,
45C 
. Gi
M
m
CD
, gi
,HK
lm các cnh
,AM BM
. Bit
8CD
, tính th tích
V
ca vt
th tròn xoay khi quay t giác
HKCD
quanh trc
AD
.
A.
96
. B.
84
. C.
72
. D.
60
.
Li gii
Chn B.
Ta có
4AB
,
BMC
vuông cân ti
M
nên
4AD BM
. Gi
O
m ca
AD
.
Chn h trc t
Oxy
sao cho
,OD Ox
.OK Oy
Trang71
Bài toán tr thành: Tính th tích ca vt th tròn xoay khi cho hình phng gii hn bi:
2;yx
2 4;yx
0; 2xx
quay quanh trc
.Ox
2
22
0
2 4 2 dV x x x
2
2
0
32 20 12dx x x
72
.
Câu 144: Có mt vt th là hình tròn xoay có dng ging  .
ng kính ca ming ly là
4cm
và chiu cao là
6cm
. Bit rng thit din
ca chic ly ct bi mt phi xng là mt parabol. Tính th tích
3
V cm
ca vt th 
cho.
A.
72
5
V
.
B.
72
5
V
.
C.
12V
.
D.
12V
.
Li gii
Chn C.
Chn h trc
Oxy
.
Ga Parabol là
2
6y ax
. Do
P
m
2;0B
nên
3
2
a
.
6 cm
A
B
O
4 cm
I
6 cm
A
B
O
4 cm
I
Trang72
Vy
2
3
:6
2
P y x
suy ra
26
3
y
x

.
Th tích vt th cn tính bng
0
6
26
d 12
3
y
Vy


.
Câu 145:
Mt ching h , gm hai phi xng nhau qua mt nm
t trong mt hình tr. Thit din thng qua trc ca hai parabol
i xng nhau qua mt nng cát dn ht phn
trên cng h thì chiu cao h ca mc cát bng
3
4
chiu cao c
Cát chy t trên xui vi
2,90
3
cm
/ phút. Khi chiu cao ca
cát còn
4cm
thì b mt trên cùng ca cát to thành mng tròn chu vi
8
cm (xem
hình). Bit sau
30
phút thì cát chy ht xung phi cng h. Hi chiu
cao ca khi tr bên ngoài là bao nhiêu cm ?
A.
8cm
. B.
12cm
. C.
10cm
. D.
9cm
.
Li gii
Chn C.
Trang73
Chiu cao khi tr bng
8
3
h
.
Xét thit din cha trng cng h cát là parabol .Gi
P
ng
Parabol phía trên. Chn h trc
Oxy
.
ng tròn thit din có chu vi bng
8
suy ra bán kính ca nó bng
4
.
Do
()P
nh là
(0;0)O

2
( ): axPy
.
()P

(4;4)A
nên
1
4
a
. V
2
1
( ) :
4
P y x
.
Th tích phu chính bng th tích khi tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phi ca
()P
quay quanh trc
Oy
và by trong thi gian
30p
.
Ta có
2
0
(2 )
h
V y dy
2
2 h
.
ng cát chy trong
30p
3
2,9.30 87( )m
.
Vy
87V
2
2 87h

87
2
h

.
Chiu cao hình tr bên ngoài là
4
2. 10 .
3
l h cm
Trang74
ChC.
Câu 146:
M
30cm
, thit din vuông góc vi trc và

40cm
, chiu là
1m
(hình v).
Bit rng mt phng cha trc và ct mng parabol,
hi th tích cu là bao nhiêu?
A.
425162
lít. B.
21258
lít. C.
212,6
lít. D.
425,2
lít.
Li gii
Chn D.
+ i d li dm :
30 3 ;cm dm
40 4cm dm
+ Chn h to  
G
2
( ):P x ay by c
Trang75
()P
m
(4;0);A
(3;5)B
(3; 5)C
nên ta có
4
0
1
25
a
b
c

Va
2
1
( ) : 4
25
P x y
Th tích cu là :
5
22
5
1
( 4)
25
V y dy
3
425,2dm
425,2l

Câu 147: 

2
1m

700.000


A.
6.520.000
 B.
6.320.000
 C.
6.417.000
. D.
6.620.000

Li gii
Chọn C.
Chn h trc t 
2,5;1,5A
,
2,5;1,5B
,
0;2C
.
1,5m
2m
5m
Trang76
Gi s ng cong trên là 
2
y ax bx c

;;abc
.

2,5;1,5A
,
2,5;1,5B
,
0;2C

2
2
( 2,5) ( 2,5) 1,5
( 2,5) (2,5) 1,5
2
a b c
a b c
c
2
25
0
2
a
b
c


.

2
2
2
25
yx
.
Din tích
S
ca ca rào st là din tích phn hình phng gii b th hàm s
2
2
2
25
yx
, trng thng
2,5x 
,
2,5x
.
Ta có
2,5
2
2,5
2
2
25
S x dx



55
6
.
            
55
. 700.000 .700000
6
S
6.417.000

Câu 148: Tính thch V ca vt th nm gia hai mt phng
0x
x
, bit rng thit din ca vt
th b ct bi mt phng vuông góc vi trc
Ox
t
0xx

mt tam
u có cnh là
2 sin x
.
A.
3V
B.
3V
C.
23V
D.
23V
Li gii
Chn D.
Din tích thit din là
2
2 sin 3
3sin
4
x
S x x
Áp dng công thc
0
3sin 2 3
b
a
V S x dx xdx

. Chn D.
Câu 149: Mt mn hình elip trc ln bng
100m
, trc nh bng
80m
. 


 , 

 .
Bit li nhuc là
5000
 mi
2
m
trng rau và
10.000
i
2
m
trng hoa. Hi
thu nhp t c mn là bao nhiêu? (Kt qu n hàng nghìn).
A.
25.708.000
. B.
51.416.000
. C.
31.415.000
. D.
17.635.000
.
Trang77
Li gii
Chn B



:
2
4000S



:
1
2000 4000S







:
12
.5000 .10.000 51.416.00 .0T S S
Câu 150: A 
 
30 .m




 

  ( 




), 


 . 



2
1m

500.000
, chi

2
1m

2.000.000
.  ? (Kt qu
làm n hàng nghìn).
A.
706.858.000
B.
514.160.000
C.
1.413.717.000
D.
680.340.000
Li gii
Chn B





:
225 .





:
1
75S ab






:
2
150 .S







:
12
.500.00 .2.000.000 514.160 0 .. 00T S S
Câu 151: Cho
H
hình phng gii hn bi parabol
2
3yx
n
2
4yx
vi
22x
(phm trong hình v). Din tích ca
H
bng
A.
2 5 3
3
. B.
4 5 3
3
. C.
43
3
. D.
23
3
.
Li gii
Chn D.
x
y
-2
2
O
2
Trang78
 m:
22
34xx

22x
4 2 2
3 4 0 1 1x x x x
.
Hình
H
gii hn bi:
2
2
:3
:4
1; 1
P y x
C y x
xx

có din tích là:
12
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
4 3 4 3d d d
II
S x x x x x x x
.
* Ta có:
1
3
2
1
3 2 3
33
Ix

.
* Xét
1
2
1
1
4 dI x x

t
2sin , ;
22
x t t




;
2cosddx t t
.
Khi
1
6
xt
1
6
xt
.
Ta có:
66
22
1
66
4 1 sin 2cos d 4 cos dI x t t t t




(Do
cos 0t
khi
;
22
t





)
6
6
6
6
1
2 1 cos2 2 sin2
2
dt t t t



3
2
32





.
Vy
3 2 3 2 3
2
3 2 3 3
S





.
Cách khác:
- m ca
2
:3P y x
2
:4C y x
1; 3 , ' 1; 3MM
.
x
y
-2
2
O
2
M'
1
M
A'
A
Trang79
- Có
60 ' 2 30 60AOM MOM
. Suy ra din tích hình qut
'OMM
2
1
60 2
..
360 3
SR

.
- Gi
2
S
là din tích gii hn bi
2
:3
:3
0, 1
OM y x
P y x
xx

. Suy ra
1
2
2
0
3
33
6
dS x x x
.
- Din tích hình
H
là:
12
23
2
3
S S S
.
Câu 152: (Chuyên h long Qung Ninh Ln 2 2018- mã 108)  
    .
   ; 
  
 . Khi so sánh 

A. B. C. D.
Lời giải
Chn D.
Ta có .
Ta li có:
.
 .
.
,pq
1, 1,pq
11
1
pq

,ab
1
( 0)
p
y x x

C
1
S
C
xa
2
S
C
;yb
S
,x a y b
12
SS
S
pq
ab
ab
pq

11
11
pq
ab
ab
pq



11
11
pq
ab
ab
pq



pq
ab
ab
pq

1
1
0
a
p
S x dx
0
a
p
x
p
p
a
p
1
( 0)
p
y x x

1
1
1
x
p
p
yy
11
1, 1, 1pq
pq
11p
pq

1
1
2
0
b
p
S y dy

1
0
1
.
b
p
p
p
y
p
1
1
p
q
p
pb
b
pq

Trang80
Do .
Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong  , , , 
chia   

A. . B. . C. . D. .
Li gii:
Chọn D
Ta có
Ta có
Suy ra  khi .
Câu 154:          
chia hình   
.S ab
12
S S S
Pq
ab
ab
pq
H
x
ye
0y
0x
ln4x
0 ln4x k k
H
1
S
2
S
k
12
.SS
25
ln
4
k
9
ln
4
k
8
ln
3
k
5
ln
2
k
1
0
k
x
S e dx
0
k
k
e
1
k
e
ln4
2
x
k
S e dx
4
k
e
12
. 1 4
kk
S S e e
2
5 9 9
2 4 4
k
e



12
.SS
9
4
5
2
k
e
5
ln
2
k




H
2
,yx
0,y
0,x
4.x
H
12
, SS
k
12
SS
Trang81
A. . B. . C. D.
i gia
i :
Chọn B

Ta có



Câu 155: Cho parabol    
 (    
  .  
 ,    . Khi
  
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn C
3k
4k
5.k
8k
2
x k x k
4
2
12
0
S S x dx
4
3
0
64
.
33
x

4
2
1
k
S x k dx
3
0
3
k
x
kx




2 64
4.
33
kk
k
1 1 2
1
2
S S S
2 64 32
4
3 3 3
kk
k
2 12 32 0k k k
0 4t k t

32
2 12 32 0tt
2 4.tk
:P
2
2y x x
S
A
O
P
00
( ; )M x y
SA
00
( ; )M x y
S
d
P
M
Ox
,Oy
E
F
1
S
P
d
0y
2
S
P
d
0x
12
SS
00
P x y
23
9
44
9
20
9
4
Trang82
 
Ta có: 
            .

  khi .
khi 
.
 .
Câu 156: [Hàn Thuyên,tnh Bc Ninh,lần 3,năm 2018] Gi V th tích khi tròn xoay to thành khi
quay hình phng gii hn bng
yx
,
0y
4x
quanh trng thng
04x a a
c th hàm
yx
ti M. Gi
1
V
th tích khi tròn xoay to thành khi
quay tam giác OMH quanh trc Ox. Bit
1
2VV
. Tìm giá tr
a
2
;2 ,1 2M m m m m
2
2 2 2y m x m m m
2
22y m x m
2
2
0; ; ;0
22
m
E m F
m



12m
S
P
2
2
0
4
2
3
S x x dx
44
1
2 2 2 4 1
OEF
mm
S
mm


21
,
OEF
S S S S
12
min min
OEF
S S S
4
12
41
m
f m m
m
3
4
3
fm
Min



4
3
m
21
3
4 4 28
min
3 3 27
SS



4
3
m
48
( ; )
39
M
00
20
9
xy
Trang83
A.
2a
. B.
22a
. C.
5
2
a
. D.
3a
.
Li gii
Chn D.
Gi
V
là th tích khi tròn xoay do
:0
4
yx
Hy
x
quay quanh
Ox
44
2
00
d8V x dx x x

Gi
1
V
là th tích khi tròn xoay do
1
:H OMH
quay quanh
Ox
Khi
OMH
quay quanh
Ox
to ra 2 khi nón tròn xoay là khnh
O
, trc
ON
, bán

NM
và khnh
H
, trc
HN

NM
22
1
11
4
33
V a a a a

1
1
. .4
3
Va

1
4
2 8 2. . 3
3
V V a a

.
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Ni, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Din tích hình phng gii hn b th
2
yx
2yx
bng
A.
13
12
. B.
21
2
. C.
9
2
. D.
1
2
.
Li gii
Chn C
 m c th
2
yx
2yx
2
2xx
suy ra
2x 
1x
.
Trang84
+) Nhn xét rng  th
2
yx
ch c th
2yx
trên
;2
(có th d th v
 tính din tích hình phng gii hn b th
2
yx
2yx
.
+) Ta có
1
2
2
2dS x x x
1
23
2
2
23
xx
x




9
2
. Chn C.
Câu 158: Tính din tích hình phng gii hn b  ng
;
2
1
x
;1x
0y
  th hàm s
.log
2
xy
A.
11
2 2ln 2

. B.
1
2ln 2
. C.
11
2 ln 2

. D.
11
2 2ln 2
.
Li gii
Chn A
 th
xy
2
log
cng thng
2
1
x
ti
1
;1
2
A



và cng thng
1x
ti
).0;1(B
+) Din tích hình phng cn tính
11
22
11
22
|log |d log d .S x x x x

+)
S
1
2
1
2
1
1
log . d
1
ln2
2
x x x x
x
+)
S
.
2ln2
1
2
1
2ln
2
1
1
2
1
2
1
1
2ln2
1
log
2
1
2
x
Chn A.
Câu 159: Cho hàm s
42
y ax bx c
 th
C
, bit rng
C
m
1;0A
.
Tip tuyn
d
ti
A
ca
C
ct
C
t lt là 0 và 2, din tích hình
phng gii hn bi
d
 th
C
ng thng
0; 2xx
có din tích bng
28
5
(phn
gch chéo trong hình v).
Trang85
Din tích hình phng gii hn bng thng
d
 th
C
ng thng
1; 0xx
bng
A.
1
5
. B.
1
9
. C.
2
5
. D.
2
9
.
Li gii
Chn A
m
1;0A
thu th
0C a b c
p tuyn ti
1;0A
:d
' 1 1y y x
4 2 1y a b x
.
 m ca
d
 th
C
42
4 2 1 *a b x ax bx c
+) Mà
0, 2xx
là nghim ca (*) suy ra
42
1
12 6 16 4
a b c
a b a b c
+) Có
2
42
0
28
4 2 1 d
5
a b x ax bx c x


32 8 28
4 4 2 2 2
3 3 5
a b a b c
+) T
1 , 2
c
1, 3, 2a b c
suy ra
42
32y x x
.
+) Vy din tích cn tính là
0
42
1
1
2 2 3 2 d
5
S x x x x
. Chn A.
Câu 160: Cho parabol
2
:P y x
m
,AB
thuc
P
sao cho
2AB
. Din tích hình phng gii
hn bi
P
ng thng
AB
t giá tr ln nht bng:
A.
2
3
. B.
3
4
. C.
4
3
. D.
3
2
.
Li gii
Chn C.
x
y
1
A
B
Trang86
+) Gng thng
:d y ax b
 m ca
P
d
là:
2
0x ax b
ng thng ct
P
tm phân bit
,AB
khi
2
40ab
.
Gi hai nghim c
1 2 1 2
,;x x x x

12
12
.
x x a
x x b


Gm ca
d
P
1 1 2 2
, , ,A x y B x y
.
Ta có:
2 2 2 2
2
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2
2 4 4 4 4AB x x y y x x x x a x x x x
2 2 2 2
2
4
4 4 4 4 *
1
a b a a b a b
a
Din tích hình phng gii hn bng thng
d
P
là:
2
22
11
1
23
22
23
x
xx
xx
x
ax x
S x ax b dx ax b x dx bx




2 3 2 3 2 2
2 2 1 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 3 2 3 2 3
ax x ax x x x x x
a
bx bx x x x x b



3
3
2
2 2 2
2
2
2
21
3
2
2
4
4 4 1
1
4 . .
2 3 6 6 6 3
1
ab
a a b a b
a
x x b a b
a







.
2
3
2
1
1 1, 1
1
aa
a
nên
4
3
S
.
Câu 161: [THPT Chuyên Trn Phú, Hi Phòng, ln 2, 2018]Th tích vt th tròn xoay sinh ra khi hình
phng gii hn bng
,xy
2, 0y x x
quay quanh
Ox
có giá tr là kt qu 
A.
1
3
V
. B.
3
2
V
.C.
32
15
V
. D.
11
6
V
.
Li gii
Chn C.
Ta có
2
;0
xy
xy
xy

.
Trang87
 m là
2
1 ( )
2.
2( )
x TM
xx
xL

Th tích cn tìm là:
1
2
4
0
32
2d
15
V x x x



Câu 162: Mt mn hình elip có trc ln bng
100 m
, trc nh bng
80 m
c chia thành 2 phn
bi mn thng nnh liên tip ca elip. Phn nh ng cây con và phn l
trng rau. Bit li nhuc
2000
mi
2
m
t
rng cây con
4000
mi
2
m
trng rau.
Hi thu nhp t c mn là bao nhiêu? (Kt qu n hàng nghìn ).
A.
31904000
. B.
23991000
. C.
10566000
. D.
17635000
.
Li gii
Chn B
Chng minh: Din tích hình phng gii hn bi elip
E
:
22
22
1
xy
ab

(vi
0ab
) là
ab
Tht vy, phng elip nm trên tr
2
2
1
x
yb
a

. Do
,Ox Oy
tri xng ca elip
E
nên din tích hình phng gii hn bi elip
E
2
2
0
41
a
x
S b dx
a

.
t
sinx a t
vi
;
22
t





c
22
22
00
4 1 sin sin 4 osS b td a t ab c tdt


ab
.
Xét mn:
50, 40ab
Din tích trng cây con là:
2
.40.50 2 500 m
4
c OAB
SS
Din tích trng rau là:
.40.50 2 500 3 2 500
r
S
Thu nhp t mn là:
2 500.2000 3 2 500.4000 23991000

.
Câu 163: Mt qu ng kính
6cm
. Ht ca khi tròn xoay sinh ra bi hình Elip
ng thng nm
1
F
,
2
F
. Bit tâm ca Elip trùng vi tâm ca khi
Trang88
c dài trc ln, trc nh lt
4cm
,
2cm
. Th tích phn cùi (phc) ca
qu ng
3
cm
a
b
vi
,ab
là các s thc và
a
b
ti gi
ab
bng
A.
97
. B.
36
. C.
5
. D.
103
.
Lời giải
Chọn A
Chn h trc t
Oxy
sao cho tâm Elip trùng vi gc t
O
m nm trên trc
Ox

22
1
41
xy

, xét
2
1
4
x
y =-
.
Th tích khi tròn xoay khi quay Elip trên quanh trc ln là:
2
2
2
2
1
0
0
8
2 2 1
43
x
V y dx dx




.
Th tích qu u
3
4
.3 36
3
V


.
 tích phn cùi ca qu 
1
100
3
VV


97ab
.
Câu 164: Trong mt ph
 p c dài trc ln
'8AA
 dài trc nh
'6BB
;
ng tròn tâm
O
ng kính là
'BB
. 
(






) 

'AA
.
Trang89
A.
36
. B.
12
. C.
16
. D.
64
3
.
Lời giải
Chọn B
Gn h trc to 
Oxy
sao cho
O
là tâm cng tròn,
,'A A Ox
,
,'B B Oy
.

22
1
16 9
xy

, xét
2
31
16
x
y 
.
Th tích khi tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trc
Ox
là:
2
4
1
0
2 9 1 d 48
16
x
Vx




.
Th tích khi cu là:
3
4
.3 36
3
V


.
Suy ra th tích khi tròn xoay cn tìm là:
1
12VV

.
Câu 165: T mt tm tôn hình ch nht
ABCD
vi
55
30 ,
3
AB cm AD cm

i ta ct ming tôn
 ng hình      c hai ming tôn nh. Bit
20AM cm
,
15CN cm
,
5BE cm
.Tính thch ca l c to thành bng cách quay ming tôn ln
quanh trc
AD
(kt qu 
B
O
A
A'
B'
sin
Trang90
A.
3
81788cm
. B.
3
87388cm
. C.
3
83788cm
. D.
3
7883cm
.
Lời giải
Chọn C
Chn h trc
Oxy
sao cho
AO
,
D Ox
,
B Oy
.
Ta có
5BE
suy ra hàm s tun hoàn vi chu kì
20T
.
 th hình
Sin
cn tìm có dng:
sin
10
x
y a b




.
 th hình 
0;20M
,
55
;15
3
N



nên ta có:
1
sin .0 20
10
10
20
1 55
sin . 15
10 3
ab
a
b
ab








.
 th hình cn tìm là
10sin 20
10
x
y




.
Th tích cn tìm là:
2
55
3
3
0
10sin 20 d 83788
10
x
x cm






.
Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] 

(km/h)v

()th

1

(2;9)I


S

4

A.
23,71S km
. B.
23,58S km
. C.
23,56S km
. D.
23,72S km
.
Li gii
Chọn A
sin
sin
Trang91
Vi
0;1t
, gi
2
( ) .v t at bt c
Ta có :
(0) 4; (2) 9;vv
 nh parabol bng
2
nên ta có h 
4
4 2 9
2
2
c
a b c
b
a

5
4
5
4
a
b
c


.
ng vc trong khong thi gian t
0
n
1
gi bng :
1
2
1
0
5 73
54
4 12
S t t dt km



.
Vi
(1;4],t
gi
( ) .v t mt n
Ta có h  :
31 5
44
4 4 9
m n m
m n n





ng vc trong khong thi gian t
1
n
4
gi
bng :
4
2
1
5 141
9
48
S t dt km




S

4
 :
12
23,71S S S km
.
Câu 167: Bit din tích hình phng gii hn b  ng
sinyx
,
cosyx
,
0,x
xa
vi
;
42
a




1
3 4 2 3
2
hi s
a
thuc kho
A.
7
;1
10



. B.
51 11
;
50 10



. C.
11 3
;
10 2



. D.
51
1;
50



Li gii
ChnB.
Din tích hình phng gii hn bng
sinyx
,
cosyx
,
0,x
xa
0
sin cos d
a
S x x x
4
0
4
sin cos d + sin cos d
a
x x x x x x

4
0
4
cos sin d sin cos d
a
x x x x x x

Trang92
4
0
4
cos sin d cos sin d
a
x x x x x x

4
2 1 sin cos
a
xx
2 2 1 cos sinaa
.
Theo bài ra ta có:
3 4 2 3
2 4 2 2cos 2sinaa
3 1 5
sin sin
4 12
22
a




.
7
4 12
a

1,047
3
a
51 11
,
50 10
a




.
Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo Bc Ninh ln 3-2018) Cho mt mn hình ch nht
ABCD
có chiu rng là 2m, chiu dài gp ba chiu ri ta chia mn bng
parabol, mm mi ci din.
Tính t s din tích phn mn nm min trong hai parabol vi din tích phn còn li.
A.
1
3
. B.
3
3
. C.
1
2
. D.
2 3 2
7
.
Li gii
Chn D.
Chn h trc t :
Ta l
2
2
9
yx
2
2
2
9
yx
n nm
min trong hai parabol hình phng gii hn bng
2
2
9
yx
2
2
2
9
yx

din tích ca mn nm trong hai parabol là:
3
2
22
0
4
2 ( 2) 4 2
9
S x dx m
.
Din tích hình ch nht là:
2
12m
 s din tích phn mn nm min trong hai parabol vi din tích phn còn li
là:
4 2 2 3 2
7
12 4 2
Trang93
Câu 169: Cho hình phng
H
gii hn b  ng
2
, 0, 0, 4y x y x x
 ng thng
0 16y k k
chia hình
H
thành hai phn din tích
12
,SS
. Tìm
k

12
SS
.
A.
8
. B.
3
. C.
5
. D.
4
.
Li gii
Chn D.

2
0;4x k x k
.

4
44
3
22
1
2 64
4
3 3 3
kk
k
x
S x k dx x k dx kx k k k




.
4
2
2 1 1
0
64
3
S x dx S S
Theo gi thit ta có
1 2 1 1 1
64 32 2 32
4 0 4.
3 3 3 3
S S S S S k k k k
Câu 170: Gi (H) là hình phng gii hn b th (P) ca hàm s
2
6y x x
trng
thng
,y m y n
chia hình (H) thành ba phn din tích bng nhau. Tính
33
(9 ) (9 )Q m n
Trang94
A.
405Q
. B.
409Q
. C.
407Q
. D.
403Q
.
Câu 171: Cho hình cong (H) gii hn bng
2
1y x x
;
0y
;
0x
3x
 ng thng
xk
vi
13k
chia hình (H) thành 2 phn din tích
1
S
2
S

12
6SS
thì
k
gn bng
A. 1,37.
B. 1,63.
C. 0,97.
D. 1,24.
Câu 172: Cho khi trchiu cao
20
. Ct khi tr bi mt mt phc thit din là hình elip có
 dài trc ln bng
10
. Thit din chia khi tr u thành hai na, na trên có th tích
1
V
,
ni th tích
2
V
. Khong cách t mm thuc thit din gi nhm
thuc thit dii nht ti lt là
8
14
. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
11
20
. B.
9
11
. C.
9
20
. D.
6
11
.
Li gii
Chn B.
Ta có công thc tính nhanh khi tr ct có bán kính
R
2
12
2
hh
VR



.
Theo bài ra ta có
12
8; 14hh
, thit di dài trc ln bng
10
.
Trang95
6
-
6
O
y
x
Ta d c bán kính ca khi tr
22
2 10 6 4RR
.

2
.4 .20 320V


;
2
2
8 14
.4 . 176
2
V





12
144V V V
.
1
2
9
11
V
V

.
Câu 173: Gi
D
hình phng gii hn b th hàm s
yx
     
2
6yx
66x
và trc hoành (phm trong hình v bên). Tính th tích V ca vt
th tròn xoay sinh bi khi quay hình phng
D
quanh trc
.Ox
A.
8 6 2 .V


B.
22
8 6 .
3
V

C.
22
8 6 .
3
V

D.
22
4 6 .
3
V

Li gii
Chn D.

2
06
6
x
xx


2x
T m là nghim s
Th tích
V
ca vt th tròn xoay sinh bi khi quay quanh hình
D
02
22
2
22
0
6
66V x dx x x dx





02
22
0
6
66V x dx x x dx


Trang96
02
3 3 2
60
66
3 3 2
x x x
V x x

6 6 8
6 6 12 2
33
V








22
4 6 .
3
V

V
Câu 174: [Nguyn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] ng kính bng
4
2
ng Elip lt nhn
2
ng kính vuông góc nhau cng tròn làm trc ln, trc bé
ca mu bng
1
. Din tích
S
phn hình phng tròn và bên ngoài
2
Elip (phn gch carô trên hình v) gn vi kt qu nào nht trong
4
kt qu 
A.
4,8S
. B.
3,9S
. C.
3,7S
. D.
3,4S
.
Li gii
Chn C.
Chn h trc
Oxy
.
Trang97
a Elip (
1
E
) nm ngang:
22
1
41
xy

Cung ca (
1
E
) nm trên tr
2
1
4
2
yx

2
E
ng:
22
1
14
xy

Cung ca (
2
E
) nm trên tr
2
21yx

22
1
4 2 1 ; 0
2
x x x
có nghim
25
5
x
.
ng tròn n
2
4yx
Din tích cn tính là
25
2
5
2 2 2 2
0
25
5
1
4( ( 4 2 1 ) ( 4 4 ) )
2
S x x dx x x dx

25
2
5
2 2 2
0
25
5
1
4( ( 4 2 1 ) 4
2
x x dx x dx

S dc
3,7S
.
Câu 175: ng c có hai c ct vào hai cây cc khác nhau. Bit khong cách gia hai
cc
4
mét còn hai si y ct hai con dài
3
mét
2
mét. Tính phn din tích mt c
ln nht mà hai con bò có th y giá tr gt).
x
y
O
Trang98
A.
2
1,034 .m
B.
2
1,574 .m
C.
2
1,989 .m
D.
2
2,824 .m
ng dn gii
Chn C
Din tích mt c  ln nht khi hai sn giao ca hai
ng tròn.
Xét h trc t , gi
,OM
là v trí ca c tìm din tích phn
c tô màu.
    ng tròn tâm
( )
2 2 2
:3+=O x y
   ng tròn tâm
( ) ( )
2
22
: 4 2- + =M x y
   ng cong c ng tròn nm phía trên trc
Ox
là:
2
9=-yx
( )
2
44= - -yx
 m:
( )
2
2
21
4 4 9 4 8 16 9
8
- - = - Û + - = Û =x x x x
Din tích phc tô màu là:
( )
21
3
8
2
2
2 21
8
2 4 4 9 1,989
éù
êú
êú
= - - + - »
êú
êú
êú
ëû
òò
S x dx x dx
.
Ta có th gii tích phân này bng phép th  tit kim thi gian nên bm
máy.
Câu 176: Ông An mt m dài trc ln bng
16m
 dài trc bng
10m
.
Ông mun trng hoa trên mt dt rng
8m
nhn trc bé ca elip làm tri x
hình v). Bi trng hoa
100.000
ng/
2
1m
. Hi ông An cn bao nhiêu ti
trng hoa trên d(S tin hàng nghìn).
A.
7.862.000
ng. B.
7.653.000
ng. C.
7.128.000
ng. D.
7.826.000
ng.
Trang99
8m
ng dn gii
Chn B.
Gi s 
22
22
1
xy
ab
, vi
0ab
.
T gi thit ta có
2 16 8 aa
2 10 5 bb
Va elip là
2
22
1
2
1
5
64
8
1
5
64 25
64
8

y y E
xy
y y E
n tích dc gii hn bng
12
; ; 4; 4 E E x x
và din tích
ca dn là
44
22
40
55
2 64 d 64 d
82

S x x x x
Tính tích phân này bi bin
8sinxt
c
3
80
64




S
 tin
3
80 .100000 7652891,82 7.653.000
64



T
.
Câu 177: Din tích hình phng gii hn b th hàm s
22
1y x x
, trc
Ox
ng thng
1x
bng
ln 1a b b
c

vi
,,abc
là các s 
abc
.
A.
11.
B.
12.
C.
13.
D.
14.
Li gii
Chn C.
Ta có
11
2 2 2
00
1d . 1dS x x x x x x x

.
Trang100
t
1
2 2 2
2
1
d 1d 1 d 1
2
ux
v x x x x x
suy ra
22
dd
1
11
3
ux
v x x

1
1
2 2 2 2
0
0
11
2 2 2
00
1
2
0
11
1 1 1 1d
33
1 1 1
2 2 1d 1d
3 3 3
2 2 1 1
1d
3 3 3
2
.
24
S x x x x x x
S x x x x x
S S I I x x
I
S




Ta tính
1
2
0
1dI x x
.
t
2
1
dd
ux
vx

suy ra
2
dd
1
x
ux
x
vx

11
2
1
22
22
0
00
11
2
2
00
1
2
0
1
1 d 2 1 d
11
1
2 1d d
1
21
2 ln 1 ln 1 2 .
22
x
I x x x x x
xx
I x x x
x
I I x x






Vy
3 2 ln 1 2
2 1 2 1
ln 1 2 .
2 4 2 2 8
S





Tc
3, 2, 8a b c
. Vy
13abc
.
Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh ln 2 2018] Mt cng chào dng hình parabol chiu cao
18m,
chiu
r
12m.
i dây trang trí
AB
,
CD
nng thi chia hình
gii hn bi parabol mt thành ba phn din tích bng nhau (xem hình v bên). T s
AB
CD
bng
A.
1
2
. B.
4
5
. C.
3
1
2
. D.
3
1 2 2
.
Trang101
Li gii
Chn C
Thit lp h to 
Oxy
trong mt ph
2
1
2
yx
. Gng thng là
:AB y t
,
0t
:CD y k
,
0k
2
B
xt
,
2
D
xk
ng thng
: 18EF y 
. Din tích tam giác cong
OKF
là:
6
2
0
1
18 d 72
2
xx



.
T gi thit suy ra: din tích tam giác cong
24, 48OBI OJD
2
2
0
1
d 24
2
t
x t x



2
2
0
1
d 48
2
k
x k x



. T c
3
72
B
x
;
3
144
D
x
3
1
2
B
D
x
AB
CD x

.
Câu 179: Cho hàm s
32
, , , , 0y f x ax bx cx d a b c a
 
th
C
. Bit r th
C
tip xúc vng thng
4y
ti
12
m
D
C
B
A
18
m
D
K
x
J
I
-18
6
F
E
C
B
A
O
y
O
x
y
1
1
3
O
x
y
1
1
Trang102
  th hàm s
y f x
cho bi hình v 
Tính din tích
S
ca hình phng gii hn b th
C
và trc hoành.
A.
9S
. B.
27
4
S
.
C.
21
4
S
. D.
5
4
S
.
Li gii
Chn B.
T  th suy ra
2
33f x x

.
23
d 3 3 d 3f x f x x x x x x C

.
Do
C
tip xúc vng thng
4y
t
0
x
âm nên
2
0 0 0
0 3 3 0 1f x x x
.
Suy ra
1 4 2fC
3
: 3 2C y x x

3
2
3 2 0
1
x
xx
x

.
Din tích hình phng cn tìm là:
1
3
2
27
3 2 d
4
S x x x
.
Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên ln 3 2018) Gi
V
thch khi tròn xoay to thành khi
quay hình phng gii hn bng
,y x y0
x 4
quay quanh trc
Ox
ng
thng
()x a a 04
c th hàm s
yx
ti
M
(hình v bên). Gi
V
1
th tích khi
tròn xoay to thành khi quay tam giác
OMH
quanh trc
Ox
. Bit rng
VV
1
2
. Giá tr ca
a
tha mãn
Trang103
A.
[ ; )a 34
. B.
[2; )a 3
. C.
[1; )a 2
. D.
( ; )a 01
.
Li gii
Chn A.
Ta có
x
V xdx
4
4
2
0
0
8
2

V
1
4

Mt khác
V
1
là tng th tích hai khi nón tròn xoay
OMK
V
HMK
V
.
..
OMK
a
V MK OK
2
2
1
33
(vì
MK a
).
()
..
HMK
aa
V MK HK

2
14
33
(vì
HK a4
).
OMK HMK
a
V V V
1
4
3
. T 
a
a
4
43
3
.
Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Ln 3 2018)hiu lt din tích hình
vuông cnh , hình tròn bán kính bng , hình phng gii hn b  ng
. Tính t s .
A.
13
2
1
.
5
SS
S
B.
13
2
1
.
3
SS
S
C.
13
2
1
.
2
SS
S
D.
13
2
1
.
4
SS
S
Li gii
Chn C.
+ Ta có
1
1S
;
2
S
.
+ Ta th
2
0
2 1 2(1 )
1
x
xx
x

1 1 1 1 1
2 2 2 2
3
0 0 0 0 0
1
| 2 1 2(1 )|d 2| 1 (1 )d | 2| 1 (1 )d | 2| 1 |
2
S x x x x x x x x x x dx
Tính
1
2
0
1d
I x x
.
t
sin , 0;
2




x t t

22
2
00
1 cos2 1
cos d d sin2
2
2 2 4 4
0




tt
I t t t t

.
1 2 3
,,S S S
1
1
2
2 1 , 2 1y x y x
13
2
SS
S
O
K
H
4
M
a
yx
Trang104
Suy ra
3
1
2
S

13
2
1
.
2
SS
S
Nhn xét:
1
2
0
0
1
21
4

x dx S

0
S
là din tích Elip
2
2
1
4
y
x 
1
2
0
0
2 2 1
2
S x dx
Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương HKII 2018]Tính din tích hình phng gii hn bi hai
ng cong:
32
25y x x x
,
2
5y x x
c:
A.
2S
 B.
3S
 C.
1S
 D.
0S

Li gii
Chn C.
 m cng cong
32
25y f x x x x
,
2
5y g x x x
là:
3 2 2 3
0
2 5 5 2 2 0
1
x
x x x x x x x
x

.
Din tích gii hn:
0 1 0 1
1 0 1 0
d d d dS f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x

01
01
3 3 4 2 4 2
10
10
11
2 2 d 2 2 d 1
22
S x x x x x x x x x x


Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương HKII 2018]Tính din tích hình phng gii hn bi các
ng sau:
2
yx
,
2
1
27
yx
,
27
y
x
c:
A.
27ln2S
 B.
27ln3S
 C.
28ln3S
 D.
29ln2S

Li gii
x
y
1
1
O
2
Trang105
Chn B.
T  th ta có:
39
39
9
2 2 2 3 3
3
03
03
1 27 1 26 1
27ln 27ln3
27 27 81 81
S x x x x x x x x
x

dd
.
Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII 2018]

3
; 2; 0y x y x y= = - + =

Ox
là:
A.
4
V.
21
B.
10
V
21
. C.
V.
7
D.
V.
3
Li gii
Chn B
 m:
3
21x x x= - + Û =
;
2 0 2xx- + = Û =

 tích cn tìm là:
12
62
01
10
( 2)
21
V x dx x d x
p
pp= + - + =
òò
. Ch
Câu 185: [S Bc Ninh Ln 2-2018] Trong mt phng t
Oxy
, cho hình tròn
22
:8C x y
parabol
2
:
2
x
Py
chia hình tròn thành hai phn. Gi
1
S
là din tích phn nh,
2
S
là din tích
phn ln. Tính t s
1
2
S
S
?
Trang106
A.
1
2
32
92
S
S
. B.
1
2
32
92
S
S
. C.
1
2
32
92
S
S
. D.
1
2
31
91
S
S
.
Li gii
Chn A

2
2 2 2 2
2 2 2 2
1
0 0 0 0
8
2 8 d 2 8 d d 2 8 d
23
x
S x x x x x x x x



.
Xét
2
2
0
8dI x x

si22n x t
d 2 2 cos dx t t
.

x
0
2
t
0
4

22
44
00
8 8sin .2 2cos d 8 1 sin cos dI t t t t t t


44
4
0
00
2
cos 1 cos2 sin4228 d d 4tI t t t t t


1
4
2
3
S
.

2
12
2 2 8 SS

2
4
6
3
S
.

1
2
4
2
32
3
4
92
6
3

S
S
.
Cách 2: Vì Parabol
P

C


2;2A

:d y x
thì
2
2
2 2 3
1
0
0
4 6 4
2 2 d 2 2 2
2 2 6 3 3
x x x
S x x
.
21
4 18 4
86
33
SS

.
10
8
6
4
2
2
4
6
15
10
5
5
10
15
x
f
x
( )
=
x
2
2
O
Trang107

1
2
32
92
S
S
.
Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42]
Cho
H
hình phng gii hn bi parabol
2
3
2
yx
     
2
2
1
4
x
y
(phm trong hình v). Din tích ca
H
bng
-3 -2 -1 1 2 3
-2
2
x
y
A.
23
6
. B.
2
3
. C.
3
4
. D.
3
4
.
Li gii
Chn A
 dng công thc nh din tích hình phng gii hn b th
y f x

th
y g x
ng thng
xa
;
xb
ab
b
a
S f x g x dx
.
+) Cách gi m c
2
4
3
1
44
x
x
42
3 4 0xx
suy ra
1x 
.
Ph
2
2
1
4
x
y
2
1
4
x
y
 tính din tích hình phng gii hn
bi parabol
2
3
2
yx
 th hàm s
2
1
4
x
y 
ng thng:
1x 
;
1x
.
Trang108
i xng qua
Oy
nên din tích hình phng
H
bng
1
22
0
3
2 1 d
42
H
xx
Sx




11
2
2
00
2 1 d 3 d
4
x
x x x

1
1
3
2
0
0
3
4d
3
x
xx
3
3
I
,
vi
1
2
0
4dI x x
,
t
2sinxt
,
0;
2
t



suy ra
d 2cos dx t t
;
00xt
;
1
6
xt
6
2
0
2cos 4 4sin dI t t t

6
2
0
4cos dtt
6
0
2 1 cos2 dtt

6
0
1
2 sin2
2
tt




3
32


3
36
H
S

23
6
. Chn A.
Câu 187: Cho
H
hình phng gii hn bi parabol
2
30xy

trình
22
4xy
(hình v). Din tích ca
H
bng
A.
43
3
. B.
3
3
. C.
23
3
. D.
3
3
.
Li gii
Chn A
 m c
4
2
4
9
x
x 
42
9 36 0xx
suy ra
3x 
.
Ph
22
4xy
2
4yx
 tính din tích hình phng gii hn
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
y = -
x
2
3
y = -
4 - x
2
y
x
-
3
3
O
Trang109
bng:
2
2
4
3
3
3
yx
x
y
x
x


.Vì
H
i xng qua
Oy
nên
3
2
2
0
2 4 d
3
H
x
S x x
3
2
2
0
2 4 d
3
x
xx



33
2
2
00
2 4 d 2 d
3
x
x x x

3
0
1
4 sin2
2
tt




3
3
0
2
9
x
43
3

. Chn A.
Câu 188: Tính din tích hình phng
H
gii hn bi parabol
2
4y x x
tip tuyn vi
parabol k t m
5
;6
2
M



.
A.
9
4
. B.
9
2
. C.
3
2
. D.
4
3
.
Li gii
Trang110
Chn A
p tuyn v t m
5
;6
2
M



1
: 2 1d y x
2
: 4 16d y x
.
Chia hình phng
H
thành hai hình lt gii hn bi
2
1
21
4
:
1
5
2
yx
y x x
H
x
x


2
2
4 16
4
:
5
2
4
yx
y x x
H
x
x

.
Suy ra
12
H H H
S S S
5
4
2
22
5
1
2
2 1 4 4 16 4x x x dx x x x dx

5
4
2
22
5
1
2
14x dx x dx

5
4
33
2
5
1
2
14
9
3 3 4
xx
. Chn A.
Câu 189: [Chuyên Lương Văn Cha
nh, Long An- L2- năm 2018] 

()y f x

()fx


R

()y f x







, , ,a b c d
(). .
Trang111
A.
( ) ( ) ( ) ( )f c f a f b f d
. B.
( ) ( ) ( ) ( )f a f c f d f b
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d
. D.
( ) ( ) ( ) ( )f c f a f d f b
.
Li gii
Chn A.

1 2 3
,,S S S










()y f x
, 
Ox




.

:
+
1
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).
b
a
S f x dx f b f a f a f b
+
12
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).
bc
ab
S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c


+
23
( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(3).
cd
bc
S S f x dx f x dx f c f b f c f d f d f b



(1),(2),(3)

( ) ( ) ( ) ( ).f c f a f b f d
Phân tích: 

.
Trang112
Câu 190: 

()y f x

()fx


R

()y f x



,,abc
(). .
A.
(c) (a) (b)fff
. B.
(c) (b) (a)f f f
.
C.
(a) (b) (c)f f f
. D.
(b) (a) (c)f f f
.
Li gii
Chn A.

12
,SS










()y f x
, 
Ox




.

:
+
1
0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).
b
a
S f x dx f b f a f a f b
+
12
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).
bc
ab
S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c



(1),(2)

( ) ( ) ( ).f c f a f b
Câu 191: [

 2018] Cho hàm s
y f x
o hàm liên tn
3; 3
 th hàm s
y f x
 bên. Bit
16f
2
1
2
x
g x f x

.
Kt lu
A.
0gx
m thuc
3;3
.
Trang113
B.
0gx
t nghim thuc
3;3
.
C. 
0gx
không có nghim thuc
3;3
.
D. 
0gx
m thuc
3;3
.
Li gii
Chn B.
2
( 1)
( ) ( ) '( ) '( ) ( 1).
2
x
g x f x g x f x x
Ta thng thng
1yx
ng thm
3; 2 , 1;2 , 3;4 .

S

()y f x
,


1, 3, 1.y x x x

'S




()y f x
, 


1, 1, 3.y x x x
Do
1 6 1 4.fg
Ta có:
1
3
4 ( ) 4 (1) ( 3) 4 ( 3) 0.S g x dx g g g
3
1
' 4 ( ) 4 (1) (3) 4 (3) 0.S g x dx g g g
T  th hàm s
y f x
ng thng
1yx
cùng vi các kt qu trên ta có bng bin
thiên sau:
x
3
1
3
()gx
0
+
0
-
0
()gx
( 3) 0g 
4
(3) 0g
T bng bi
0gx
t nghim thuc
3;3 .
Câu 192: ng Thúc Ha Ln 2 2018]Tính din ch hình phng gii hn bi n ng tròn
2
2yx
ng thng
d
m
2;0A
1;1B
(ph
)
Trang114
A.
22
4
. B.
3 2 2
4
. C.
22
4
. D.
3 2 2
4
.
Lời giải
Chn D.
Cách 1:
trình ng thng
AB
:
2 1 2 2yx
.
Gi
S
là din tích cn tính, ta có
1 1 1
22
2 2 2
2 2 1 2 2 d 2 d 2 1 2 2 dS x x x x x x x
.
+ Tính
1
2
1
2
2dS x x

:
t
2sin , ;
22
x t t




. Ta có
d 2 cos dx t t
.
i cn
2 , 1 .
24
x t x t

Suy ra
4 4 4 4
22
1
2 2 2 2
2 2sin . 2 cos d 2 cos cos d 2cos d 1 cos2 dS t t t t t t t t t t
4
2
1 3 1
sin2
2 4 2
tt



.
1
1
2
2
2
2
2 1 2 1
2 1 2 2 d 2 2
22
S x x x x





.
Vy
12
3 2 2
4
S S S
.
Cách 2: S dng MTCT.
ng thng
AB
:
2 1 2 2yx
.
Gi
S
là din tích cn tính, ta có
1
2
2
2 2 1 2 2 dS x x x
.
S dng MTCT, tính
S
, gán giá tr vào bin
A
. Ly giá tr
A
tr t qu 
án, ri cht qu phép tr bng
0

D
.
Trang115
Câu 193: Cho
H
là hình phng gii hn bi parabol
2
3
2
yx
và n
trình
2
1
4
2
yx
( vi
22x
) và trc hoành (phm trong hình v). Gi
S
là din
tích ca, bit
3ab
S
c
( vi
a
,
b
,
c
). Tính
P a b c
.
A.
9P
. B.
12P
. C.
15P
. D.
17P
.
Li gii
Chn A.
    m ca parabol n ng elip là:
22
34xx
42
3 4 0xx
1x
Vy
12
22
01
31
2 d 4 d
22
S x x x x





1
2
3
2
1
0
31
2 4 d
62
x
xx




1
3
2
6
S






2
2
1
1
1
4d
2
S x x
.
t
2sinxt
d 2cos dx t t
.
i cn
1x
6
t

.
2
2
xt
.
Vy
2
2
1
6
2 cos tdSt
2
6
1 cos2 dtt

2
6
1
sin2
2
tt




3
34

.
Suy ra
43
2
12
S




43
6
.
Câu 194: ng Thúc Ha Ln 2 2018]Cho hàm s
y f x
nh và liên tn
3;3
.
Bit rng din ch hình phng
12
,SS
gii hn b  th hàm s
y f x
ng thng
1yx
lt là
;Mm
.
O
y
x
2
2
1
Trang116
Tính tích phân
3
3
df x x
bng :
A.
6 mM
. B.
6 mM
. C.
6Mm
. D.
6mM
.
Li gii
Chn D.
Chia din tích hình phng
1
S
11 12
M S S
 mô t 
Gi
0
x
 m c thi
C
hàm s
y f x
vi trc
Ox
.
Ta có
0
0
33
33
d d d
x
x
f x x f x x f x x


11 12ABC CMQ MNPQ
S S S S S m



11 12
2 2 6S S m


6mM
. Vy chn D.
Nhận xét:  

,Mm

gx

b
a
f x dx
.
O
2
y
x
3
1
3
2
4
1yx
fx
Q
11
S
12
S
2
S
B
C
M
N
P
A
0
x
Trang117
Câu 195: 
()y f x=

[ ]
5;3-


1 2 3
,,S S S

()y f x=

( )
2
= = + +y g x ax bx c

,,m n p
. Tích phân
3
5
()
-
ò
f x dx

A.
208
45
m n p
B.
208
45
m n p
C.
208
45
m n p
D.
208
45
m n p
Lời giải
Chn B

y g x

0;0 , 2;0 , 3;2O A B
nên
0
4 2 0
9 3 2
c
ab
ab


2
15
4
15
0
a
b
c
2
24
15 15
g x x x
.
2 0 3
5 2 0
m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx

33
55
f x dx g x dx



.
33
55
208
45
f x dx m n p g x dx m n p


Vy
4
1
6
a
b
c

9P a b c
.
y=g(x)
y=f (x)
S
2
S
3
S
1
2
-1
5
-2
2
3
-5
O
x
y
Trang118
Câu 196: Trong mt phng
Oxy
,
cho hình ch nht
H
mt cnh nm trên trnh
trên mng chéo là
1;0A
;C m m
vi
0m
. Bit r th hàm s
yx
chia
hình
H
thành hai phn có din tích bng nhau. Tìm
m
.
A.
9m
. B.
4m
. C.
1
2
m
. D.
3m
.
Li gii
Phân tích: Ta cn tìm t m
B
c din tích mt phng
yx
chia
hình
H
.
Chn D
T gi thit suy ra
;0B m Ox
.
1
ABCD
S m m
.
Gi
1
S
là din tích hình phng gii hn bng
; 0; ; 0y x x x m y
. Suy ra
1
0
0
22
33
m
m
x x m m
S xdx
.
Theo gi thit ta có
1
1
12
3
2 3 2
ABCD
mm
mm
S S m
.
Câu 197: Trong mt phng
Oxy
,
cho hình thang vuông
ABCD
1;0A
;0 ; ; 1 ; 1;5B m C m m D
vi
1m 
. Bit r th hàm s
1yx
chia hình
H
thành hai phn có din tích bng nhau. Tìm
m
.
A.
12m
. B.
6m
. C.
8m
. D.
10m
.
Li gii
Phân tích:
c ht cn v n din tích c
tính phn di
Trang119
Chn C
11
1 5 1
22
ABCD
S AD BC AB m m
.
Gi
1
S
là din tích hình phng gii hn bng
1; 1; ; 0y x x x m y
. Suy ra
1
1
1
2 1 1 2 1 1
1
33
m
m
x x m m
S x dx
.
Theo gi thit ta có
1
2 1 1
1 1 1
. . 1 5 1
2 3 2 2
ABCD
mm
S S m m

.
1 3 8mm
.
Câu 198: Trong mt phng
Oxy
,
0;2A
;0Bm
vi
2m
. Bit r th hàm s
2
1
x
y
x
(C)
chia tam giác
OAB
thành hai phn. Tính din tích ca phn gii hn bi
2
;0
1
x
yy
x

ng thng
AB
theo
m
.
A.
2
34
ln
82
mm
. B.
2
4
ln
82
mm
. C.
2
4
ln
82
mm
. D.
2
4
ln
82
mm
.
Li gii
Phân tích:
c ht cn v n din tích cn tính. Chú ý phn din tích cn
tìm gm hai phn và tam giác vuông và hình thang cong.
Chn B
Trang120
ng thng
AB
là:
2
12
2
xy
yx
mm
.
 m ca (C) và
AB
:
22
2
1
x
x
xm
u kin
1x
).
Vu kii:
2
0
2 2 0
2
2
x
x m x
m
x
Vi
0 2 0;2x y E A
.
Vi
2 2 2 2
;
2 2 2 2
m m m m
x y F



.
Gi
1
S
là din tích hình phng gii hn bng
22
; 2; 0
1
x
y y x y
xm
. Suy ra
2
2
2
2
2
1
2
2
2 1 2 2 4
ln 1 . . ln
1 2 2 2 8 2
m
m
FHB
x m m m m
S dx S x x m
x



.
Câu 199: Gi
H
tp hm biu din s phc
z
trong mt phng t
Oxy
tha mãn
23zz
và s phc
z
có phn o không âm. Tính din tích hình
H
A.
3
. B.
3
4
. C.
3
2
. D.
6
.
Li gii
Chn C
Trang121
23zz
23x yi x yi
2
2
33xy
2 2 2
2 2 2
9 3 3 1 1
1
33
3
x x y
x y y
2
2
3
9
x
y

22
11
33
33
x y x
y
không âm nên
2
3
0
9
x
y

Din tích cn tìm
3
2
3
1
3
3
S x dx

t
3sin 3cosx t dx tdt
Cn
3
2
xt
;
3
2
xt
2
2
2
3 3sin 3cosS t tdt

2
2
2
3cos tdt
2
2
3
1 cos2
2
t dt

2
2
31
sin2
22
tt




33
2 2 2 2






Câu 200: Cho hình gii hn bng n tích ca hình là:
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
 m c th hàm s m c
n tích ca hình nh bi:

D
2
2yx
yx
D
13
3
7
3
7
3
13
3
2
2x 
x
1x
1
1
x
x

D
1
2
1
2 .dS x x x
01
22
10
2 .d 2 .dx x x x x x

01
2 3 2 3
10
22
2 3 2 3
x x x x
xx
7 7 7
6 6 3

| 1/121

Preview text:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1:
[2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 0  ;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 e x 1 f   1  0 và  f
 x dx  
x 1e f xdx
. Tính tích phân I f  xd .x 4 0 0 0 e e A. I  2  . e
B. I e  2. C. I  1 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xét tích phân    1 x x
e f x dx 0 u   f  x
du f xdx Đặt    dv   x   1 x e d x x v xe 1 1 1 1 Nên   
1 x  d   . x x  .    d x x e f x x f x xe xe f x
x   xe . f   xdx . 0 0 0 0 1 x e x 1
Do đó xe . f  
xdx  
. Lại có (theo BĐT tích phân) 4 0 2 1 1 1   2 2  e 1 1 2   e x 1 . x  
 d     x x e f x x x e 2 d . x f   x 2 2  dx     xe f   xdx  .    4  4 0  0 0 0
Dấu "  " xảy ra khi    . x f x k xe . 1 2 2  e x 1 Suy ra 2 kx
 e  dx   k  1     x f x  xe 4 0 Do đó    d x   d   1  x f x x xe x
x e C f   1  C  0 . 1 1 Vậy I f
 xdx  1  x
x e dx e  2 . 0 0 Trang1   1 
Câu 2:Cho hàm số y f x liên tục và thoả mãn f x 1  2 f  3x   với x  ; 2 . Tính    x  2 
2 f x dx  . x 1 2 3 3 9 9 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f x Đặt I  dx x 1 2  1  f    1    f x  x  Với x  ; 2   , f x 1  2 f  3x     2  3 . 2   x x x  1  f 2   f x 2 2  x   dx  2 dx  3dx (1)    x x 1 1 1 2 2 2 1 1
Đặt t   dt   1 1
dx   dt  dx . 2 x x t x  1  f 2   2  x f  t 2 dx  2 dt  2I   . x t 1 1 2 2 2   3
1  3I  3dx I  .  2 1 2 1
Câu 3: [2D3-3][Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018]Cho f ò ( )
x dx = 2018 . Tính tích phân 0 p 4 f
ò (sin2x)cos2xdx 0 A. 2018 . B.- 1009 . C. - 2018 . D. 1009 . Lời giải Chọn D
Đặt t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx Đổ p
i cận: x = 0 Þ t = 0; x = Þ t = 1 4 p 4 1 1 1 f
ò (sin2x)cos2xdx = f
ò (t)dt = .2018 = 1009 2 2 0 0 Trang2 Câu 4:
[2D3-3][Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết F x   2
ax bx c 2x  3 ( x x   3 
a, b, c   ) là một nguyên hàm của hàm số f x 2 20 30 11  trên khoảng  ;  .   2x  3  2 
Tính T a b  . c A. T  11. B. T  10 . C. T  9 . D. T  8. Lời giải Chọn A. 2    t  3 x f x 2 20x 30x 11  . Đặt 2
2x  3  t  2x  3  t  2 2x  3
dx tdt 2 2  t  3  20 15    2t 311   I f  x 2 dx t.dt  t   4 2 t t
t t 4 2 t t
C x  2 5 15 11 d 5 11 2
3 4x  2x  5  C
a  4;b  2;c  5 a b c  11 6 2x  4 dx 5 4 Câu 5:
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
a b ln  c ln
 2x5 2x4 8 3 3 0 (a, ,
b c   ). Tính T a b  . c A. T  3.  B. T  5.  C. T  4.  D. T  7.  Lời giải Chọn A. 6 6 2x  4 2x  4 t dx  d    2x4 4 2  dt
với t  2x  4 . 2
2x  5 2x  4  8
2x  4  5 2x  4  4 t  5t  4 0 0 2 4 4 4 4  5t  4  1 1 16 1 1 5 16 4  1
dt  1dt  dt  dt  2  ln  ln     . t 1 t 4    3 t 1 3 t  4 3 3 3 3 2      2 2 2 1 16
Suy ra a  2, b  , c  
a b c  3 . 3 3 Câu 6:
[2D3-3]Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x  f x  2  2 cos 2x . Tính 3 2 tích phân I f  xdx . 3  2 A. I  3 . B. I  4 . C. I  6.
D. I  8 . Trang3 Lời giải Chọn C. 3 3 2 0 2 Ta có I f
 xdx f
 xdxf  xdx . 3 3 0   2 2 0 3 3 Xét f
 xdx Đặt t  xdt  d
x ; Đổi cận: x    t
; x  0  t  0 . 2 2 3  2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f
 xdx   f
  tdt  f
  tdt f
 xdx . 3 3 0 0  2 2 3 3 2 2
Theo giả thiết ta có: f x  f x  2  2cos 2x    f x  f xdx  2  2 cos xdx  0 0 3 3 3 2  f  x 2 dx f  x 2 dx  2 sin x dx 0 0 0 3 3 2 0   f
 xdxf  x 2
dx  2 sin x dx  2 sin x dx   0 3 0 0  2 3 2  f
 xdx  6. 3  2
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f x liên tục trên 1  ;2018   và : 2017 2017
f (2018  x)  f (x) x  [1;2018] ,
f (x)dx  10  . Tính I  . x f (x)dx  . 1 1
A. I 10100.
B. I  20170.
C. I  20180.
D. I 10090. Lời giải Chọn.D.
Đặt t  2018 x dt dx.
x  1 t  2017, x  2017  t  1 1 2017 I  
(2018t )f (2018t )dt
(2018 t )f (t )dt   2017 1 Trang4 2017 2017  2018
f (x )dx xf (x )dx   1 1
I  2018.10 I I 10090.  
Câu 8:[2D3-3]Hàm số f x liên tục trên 0;  
 và : f (  x)  f (x) x [0; ] , f (x)dx   . Tính 2 0  I  . x f (x)  dx . 0  2   2  A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 4 4 Lời giải Chọn.D.
Đặt t    x dt dx.
x  0  t   , x    t  0 0
I   ( t )f ( t )dt  
 ( t )f (t )dt 0  
  f (x )dx xf (x )dx   0 0 2  
I  .  I I  . 2 4 b
Câu 9:[2D3-3]Hàm số f x liên tục trên  ; a b 
 và : f (a b x)  f (x) x [ ; a b] ;
f (x)dx a   b a b Tính I  . x f (x)  dx . a      2      2 A. a b I . B. a b I . C. a b I . D. a b I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn.D.
Đặt t a b x dt dx.
x a t b, x b t  . a a
I   (a b t )f (a b t )dt b b
 (a b t )f (t )dt a Trang5 b b
 (a b) f (x )dx xf (x )dx   a aab2
I  (a b).(a b)  I I  . 2
y f x 1;2
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên f   1  4
f x  x f  x 3 2 .  2x  3x f 2 thỏa mãn và . Tính giá trị . A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Lời giải Chọn B f xf  xCách 1:+ x
 1;2 : f x  x f x 3 2 .
 2x  3x    2x  3 . 2 x x f  xf x       2x  3  f   x 1 .  2x  3  . 2 x xx    1  f x Vậy f
 x. dx  
2x 3dx 2 
x  3x C .  x x + Vì f  
1  4  C  0 . Do đó f x 3 2
x  3x f 2  20.
xf  x  f xCách 2: Từ giả thiết
f x  xf  x 3 2
 2x  3x   2x  3 2 x
f x        2 x  3x . x   2   f x 2  f 2 f      1   dx   2
x  3xdx  
 x  3x 2 2  f 2  20 . x   1 2 1 1 1
Nhận xét:Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,
tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:

1) Cho trước các hàm g x,u x,vx có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g x  0, x   ; a b và hàm f x có đạo hàm liên tục trên  ;ab thỏa mãn:
f xg x  f  xg x  u xv x  u xv x . Khi đó,    u b v b
u av a
f xg x  u xv x  f b  f a       . g bg a Trang6
2) Cho trước các hàm g x,u x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g x  0, x   ; a b và hàm
f x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn:             2 f x g x f x g x
u x g x . 
f x  Khi đó,     
f b  f a  ubg b uag a . g xu x   
3) Cho trước các hàm g x,u x,vx có đạo hàm liên tục trên  ;
a b và hàm f x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn: u xf  xf u x  v xg xg v x . Khi đó,   
f u x  g vx  f u b  f u a  g vb  g va.
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m/s . Đi được 1    
5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc a    2
70 m/s  . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S  87,50m .
B. S  94, 00m .
C. S  95, 70m .
D. S  96, 25m . Lời giải Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: v 5  35 m / s . 1    
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: v t  70
t C . Do v 0  35 C  35 2   2    v t  7  0t  35. 2  
Khi xe dừng hẳn tức là v t  0  7  0t  35  1 0  t  . 2   2
Quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là: 1 5 S m 2  7t.dt    7
 0t  35dt  96,25m. 0 0 2
Câu 12: [2D3-2]Giả sử 2x   1 ln d
x x a ln 2  b , a; b   . Tính a b . 1 5 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 Lời giải ChọnD Đặt Trang7  1 u   ln x  du dx    xdv  
2x 1dx  2
v x x 2 2  x x 2  x  1 2x   1 ln d x x  
 x x   2 2 2 2 ln x  dx  
 2ln 2    x  2ln2  nên a  2, 1 x  2  2 1 1 1 1 b   . 2 Vậy a  3 b  . 2
Câu 13: [2D3-3][Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] 1 3 x  3x Biết
dx a b ln 2  c ln 3 
với a, b, c là các số hữu tỉ , tính 2 2
S  2a b c . 2 x  3x  2 0 A. S  515. B. S 164 . C. S  436 . D. S  9  . Lời giải Chọn A. 1 3 1 1 x  3x  10x  6   4  14  Xét : I dx   x3
dx x  3  dx  2   x  3x  2 x 1 x  2    x 1 x  2  0 0    0 1 2 x 1 1 1 1 I
 3x  4ln x 1 14ln x  2   3 4ln 2 14ln 3 14ln 2 0 0 0 2 2 0  5  a   2 5   2 2 I
18ln 2 14ln 3  b   1
 8  S  2a b c  515 . 2 c 14  
Câu 14:[2D3-3][SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101]Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa  2 16 f x 1 f 4x mãn cot . x f   2 sin x   dx  dx  1 
. Tính tích phân I  d . xxx 1 1 4 8 3 5
A. I  3. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn D. dt Đặt 2
t  sin x  dt  2 sin x cos xdx   cot xdx 2t Trang8  2 t f x f x 1  cot . x f   d 1 2 sin x 1 1 1 dx f  t      dx  dx  2    2t 2 x x 1 1 1 4 2 2 2
2tdt  dx
Đặt t x   2 x t 16 f x  4 f t 4 f x 4 f x 1 1  dx  2tdt 2 dx  dx      2 x t x x 2 1 1 1 1
Đặt t  4x  dt  4dx 1 f 4x 4 f t 4 dt f x 1 f x 4 f x 5 I  dx   dx  dx  dx       x t 4 x x x 2 1 1 1 1 1 8 2 2 2 4 Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f x nào đó không biết, nhưng sẽ cho
thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích
phân đã biết về giống dạng chưa biết. 2 e f ln x
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số
f x liên tục trên  và thỏa mãn dx  1  và x ln x e  3 2 f xf  cosxtan d x x  2 . Tính d . xx 0 1 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A. dx
Đặt t  ln x  dt x 2 e f ln x 2 f t 2 f x 1  dx  dt  dx    x ln x t x e 1 1
Đặt t  cos x  dt  sin d x x  1 3 2 1 x f t f x 2  f  cosx sin     dx   dt  dx   cos x t x 0 1 1 2 Do đó Trang9 2 f x 1 f x 2 f x dx  dx  dx  3    x x x 1 1 1 2 2  /4
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân I
ln(tan x 1)dx 0 a
ta được kết quả là I
ln 2  c với với a, ,
b c   , b  0, (a, b)  1 . Khi đó P abc nhận giá b trị A.9. B.8. C.1. D.0. Lời giải Chọn D
Đặt x   t , ta có 4  0 4    1 tan tI   ln tan(
t) 1 dt  ln 1 dt            4 1 tan t  0 4    4 4 4  2   ln
dt  ln 2dt  ln    tant     1 dt 1 tan t  0 0 0   ln 2  I 4 
I  ln 2  a 1,b  8,c  0  P  0 8     2 2 
Câu 17:Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
 và f 0  0 ,  f
 x dx  ,   2  4 0   2  2 sin .
x f x dx   . Tính I f
 xdx? 4 0 0 A. 0 . B.1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B.   2 2 2  Ta có  f
 x dx f  
 xd f x  . 4 0 0    2   sin . x f x 2
dx   f xd cos x   cos . x f x 2 2 
f  xcos x dx     0 4 0 0 0    2 2 2 1 cos 2x 1  sin 2x  
Mặt khác ta tính được: 2 cos d x x  dx x       2 2  2  4 0 0 0 Trang10     4 2 2 2 2 2
Vậy  f '(x) 2 dx  2 cos . x f (
x)dx  cos d x x   
 f '(x)cosx dx  0 0 0 0 0
Suy ra f  x  cos x f x  sin x C .
Do f 0  0  C  0 .   2 2  Vậy I f  x    2 dx sin d x x cos x 1  . 0 0 0
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35] ln 2 1 Biết rằng
dx= lna 2  b ln 3  ln 5c
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó 2 x e 1 0
S a b c bằng bao nhiêu.
A. S  4 .
B. S  3.
C. S  5.
D. S  2 . Lời giải ChọnB ln 2 ln 2 1 x e Ta có dx= dx   2 x e 1 x e 2 x e 1 0 0   Đặt x e t dt=ex  dx
Đổi cận: khi x  0 thì t 1, khi x  ln 2 thì t  2. ln 2 x 2 e 1 2 2t 1 2t 2 1 2  Vậy dx  dt=   dt=   dt   x e 2 x e 1 t 2t 1 t 2t 1  t 2t 1 1   0   1   1  ln t ln  2t 1   2    ln2 l  n5   ln1 l n3  1 ln 2 ln 3 ln 5     1 Vậy S  3. ln 2 ln 2 x x 1 2e   ln 2 1  2e  2 x e  ln 2
Hướng 2. Phân tích dx dx     1
dx  x  ln  2 xe   x x x 1 2e 1 2e 1  2e 1 0  0 0 0 ln 2 1 1 a 1 Câu 19: Biết rằng dx= ln 2  ln 2  3 
. Trong đó a , b là các số nguyên. 2 x    2 b 0 2e 1
Khi đó S a  2b bằng bao nhiêu. A. S  2  .
B. S  3.
C. S  1.
D. S  0 . Lời giải ChọnB Trang11 ln 2 ln 2 2 1 2 x e Ta có dx= dx   2 x 2 x 2 x   0 2e 1 0 2e 2e 1 Đặt 2 x 2 x 2
2e 1  t  2e
t 1   2x e   2 d 2 =d t   1 2  4 x e dx=2tdt
Đổi cận: khi x  0 thì t  3 , khi x  ln 2 thì t  3 . ln 2 2 x 3 2e t Vậy dx    2 x e 2 x e 1 t  dt 2 2 2 t 1 0 3  3 1  1 1   1 dt     ln t   1  ln t   3 1    2
t 1 t 1 3 2 3 1    1 1  1 ln 2 ln 4 
ln  3  1ln 3  1  ln 2  ln 2  3  1 2 2  2 2 Vậy S  3.  2 1
x xx e Câu 20:Biết rằng
dx=a.e+bln e c
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó x   x e 0
S a  2b c bằng bao nhiêu. A. S  1  . B. S  2  .
C. S  1.
D. S  0 . Lời giải. ChọnB  2 1
x xx 1 x e xe x   1 x e Ta có dx= dx    x x x e xe 1 0 0 Đặt x
xe 1  t  dt=    1 ex x dx
Đổi cận: khi x  0 thì t 1, khi x 1 thì t e 1.  2 1
x xx e 1 e  t   1 e 1  Vậy dx= dt t te e     x  ln  ln   1 1 x e t 0 1 Vậy S  2  .
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục
trên 1; thỏa mãn f  
1  1 và f  x 2
 3x  2x 5 x
 1;. Tìm số nguyên dương m
lớn nhất sao cho min f x  m với mọi hàm số y f x thỏa đề bài. x   3;10 A. m 15 . B. m  20 . C. m  25 . D. m  30 . Trang12 Lời giải Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến y f ' x nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để
được một bất đẳng thức liên quan đến y f x . Ta có t t 2 f (
x)dx  (3x  2x  5)dx f  
t f   3 2
1  t t  5t  3 t   1. 1 1 Suy ra f x 3 2
x x  5x  4  min f x  min  3 2
x x  5x  4  25 . x   3;10 x   3;10 Vậy m  25.
Câu 22:Cho các hàm số
y f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn 1
f x  xf  x 2018 3  x x  0; 
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
f x dx  . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2019.2020 2019.2021 2020.2021 2018.2020
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  7 3 2 f x x  2x
thỏa mãn 3 f  x   1 .e
 0 và f 0 1. Tích phân .
x f xdx  bằng 2 f x 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. 3 4 8 4 Lời giải Chọn C.  3 f x
Phân tích: Nhận thấy e
  fx 2 3.
. f x nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế 3 2 3 2 f x x  2x
Ta có: 3 f  x   1 2 f x x 1 .e
 0  3. f x . f x .e  2 . x e 2 f x       3 2 2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2
f xf xf xx 1  x 1 e x x e x e      2 3. . . d 2 . d d x     1 3 f x 2 x 1 e e     C  0 Trang13
Mặt khác: f 0  1 C  0 nên 3 f x 2
x   f x 3 2 1  x 1 7 7 45 Tính: . x f x 3 2 dx  . x x 1.dx    . 8 0 0 1 2 1
Câu 24: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f
 x dx   và 11 0 1 1 1 4
x f x dx    . Tích phân
f x dx  bằng 55 0 0 1 1 1 1 A.  . B. . C.  . D. 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 1 5 1 5  xx 1 1 Ta có 4 x f
 xdx f  x  f    xdx 5
x f xdx    5  5 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 mà  5 x  dx   nên  f   x 5
 dx  2 x f   
xdx   5x dx  0   f   x 5
x dx  0   . 11 0 0 0 0 0 1 Suy ra   5 f
x x f x 6  x C . 6 1 1 1 6 x 1 1 Vì f   1  0 nên C   . Vậy
f x dx  dx     . 6 6 7 0 0 1 2 3
Câu 25: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f
 x dx  2ln2  2 0 1 f x 3 1 và     . Tích phân
f x dx  bằng
x   dx 2ln 2 2 1 2 0 0 1  2 ln 2 3  2 ln 2 3  4ln 2 1  ln 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1 1 f x 1  1  1  1    1  Ta có
dx f x d 1      1 f   x  1 f     xdx 2   x 1  x 1  x 1   x 1 0   0 0 0 1  1  3 Suy ra 1 f  
  xdx   2ln 2.  x 1  2 0 Trang14 1 1 2 1  1   1 1   1  3 Mặt khác 1 dx  1 2   x     x x      .  x 1   x 1  x   d 2 ln 1 2 ln 2 2 1  x 1 2 0 0     0 1 1 1 2     Do đó  f   x 2 1  x   f     x 1 d 2 1 dx  1 dx  0    x 1  x 1 0 0 0 3 2    f   x 1  1 dx  0   .  x 1  0  f x 1  1
f x  x  lnx  
1  C , vì f  
1  0 nên C  ln 2 1. x 1 1 1 Ta đượ 1 c f
 xdx  xln  x  
1  ln 2 1 dx   ln 2  . 2 0 0
Câu 26: Xét hàm số f x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1  1 x . Tích 1 phân I f
 xdx bằng: 0     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 20 16 6 4 Lời giải: Chọn A.
f x liên tục trên 0;  1 và x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1
 1 x nên ta có 1 1 1 1 4 . x f  2 2  x  1 2
 3 f 1 x 2 dx  1  x dx    4 . x f
x dx  3f
 1 xdx  1 x dx   1 . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4 . x f  2 x dx   2 f
  2xd 2xtx  2 f
 tdt  2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f
 1 xdx  3  f
 1 xd1 xu 1x 3 f
 udu  3I 0 0 0    1 2 2 2  Đồ 1 ng thời 2 1  x dxx s  int 2 
1  sin t.costdt  2  cos d t t
 1 cos2tdt  . 2 4 0 0 0 0   Do đó,  
1  2I  3I  hay I  . 4 20
Câu 27: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f (x)  0, x    và 2
3 f '(x)  2 f (x)  0. Tính f (1) biết rằng f (0)  1. Trang15 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân.
Phân tích: Từ giả thiết 2
3 f '(x)  2 f (x)  0 và f (x)  0, x    suy ra: 1 1 f '(x) 2  1  1 2  3 dx dx     f (1)    . 2 f (x) 3 f (1) f (0) 3 5 0 0
Câu 28: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên (0; ) thỏa mãn f (x)  xf '(x)  2x
f (1)  2 . Giá trị f (2) bằng: 5 e A. . B. 2. C. . e D. . 2 2 Lời giải Chọn A.
Từ giả thiết f (x)  xf '(x)  2x  (xf (x)) '  2x  (xf (x)) 'dx  2xdx   Suy ra 2
xf (x)  x C , thay x 1 vào hai vế ta được 2
1. f (1)  1  C  2  1 C C  1. 2 x 1 Khi đó 2 5
xf (x)  x 1  f (x) 
. Vậy f (2)  . x 2
Câu 29: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn ( )  '( )  2 x f x f x e
f (0)  1. Giá trị f (2) bằng: A. . e B. ln 2 . C. 2 e . D.1. Lời giải Chọn C. Từ x x x 2 x x 2 ( )  '( )  2  ( )  '( )  2  ( ( )) '  2 x f x f x e e f x e f x e e f x e Suy ra x 2x x 2 ( ( )) '  2  ( ) x e f x dx e dx
e f x e C  
. Thay x  0 vào hai vế ta được C  0. Suy ra ( ) x
f x e . Vậy 2 f (2)  e . Trang16 f x  \ 0;  1  f   1  2  ln 2 Câu 30:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và
x x   f  x  f x 2 1  x x
f 2  a b ln 3 . Giá trị
, a, b   .Tính 2 2 a b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B. x 1 x
Ta có x x   f  x  f x 2 1  x x
f  x  f x  2   x 1 x   1 x 1   x    x f x    .  x 1  x 1 2 2   xx
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được f  x dx  dx     x 1  x 1 1 1 2 x  2 1
f x   x  ln x 1  2  f 2  f  
1  2  ln 3  1 ln 2 1 x 1 3 2 1 2  3 3
f 2  ln 2  1 ln 3  ln 2  f   3 3 2 
 ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 2 2  3   3  9 Vậy 2 2 a b         .  2   2  2 2  1 1 1  a Câu 31: Biết 3 3 3  x 2  dx c
, với a,b, c nguyên dương, a tối giản và c a . Tính 2 8 11  x x x b b 1  
S a b c . A. S  51. B. S  67 . C. S  39 . D. S  75 . Lời giải Chọn B 2  1 1 1  2 1  2  Ta có 3 3
I   x   2  dx  3  x  1 dx    . 2 8 11  x x x 2 3 x x  1   1 7 3   4 Đặ 1 2 21 t 3 3 t x  2
 3t dt  1 dx
 nên I  3t dt  3  14 . 2 x 3  x  32 0 Suy ra S  67 .
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng
thời thỏa mãn điều kiện: Trang17 3 2
f x  x sin x f  x  cos x f xsin d x x  4  
. Khi đó, f   nằm trong khoảng nào?  2 A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết: f x  xsin x f x  cos x f x  xsinx  x f x cos x
f x.x x . f x  xsin x cos x f x.xx . f x  (cos x)x  xcos x (*).
f  x.x x . f x
( cos x) x  xcos x
x 0; , ta chia 2 vế của (*) cho 2 x ta được   2 2 x xf x     cos x f x  cos x       
c f x  cos x cx . x    x x x 3 2 Mặt khác lại có
f xsin xdx  4   .  2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xét f  xsin d
x x   cos xsin x c xsin xdx   cos x d
cos xc xsin xdx      2 2 2 2 3 2 2   cos x   
  cx cos x  sin x 32    2c .  2   2 2 3 2 Mà f xsin d x x  4    2  c  4
  c  2  f x  cos x2x .  2
Ta có: f    1   2  5, 28 . Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng ax. f x  bx. f x  g x   1
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa  
1 về dạng u x. f x  u x. f  x  h x 2 u (
x) axu x Với 
, kết hợp với giả thiết ta tìm được u(x) suy ra biểu thức nhân thêm là . u(x) b xb x
Khi có 2 ta sẽ tìm được f x .
Câu 33: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên  thỏa mãn     2 2 2 . x f x xf x x e   
f 0  1. Tính f   1 . 1 2 2 A. e . B. . C. . D.  . e e e Trang18
Câu 34: Cho hàm số f x có đạo hàm trên  thỏa mãn   2       1    ex x f x x f xf   1 0  . Tính f 2 . 2 A. f   e 2  . B. f   e 2  . C. f   2 e 2  . D. f   2 e 2  . 3 6 3 6 2 3 x Câu 35:Biết
dx a 5  b 2  , c
với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P a b  . c 2   1 x 1 1 5 7 5 A. P   B. P C. P
D. P  2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2 3 2 2 3 x  1 1  5 2 3 Ta có dx x
  2x 1 1dx    2x   2 1  x  5  2  .  2    3 2  3 3 2 1 x 1 1 1 1 5 2 3 5 Vậy a  ,b   ;c   P  . 3 3 2 2  3 ln sin x 3 3 
Câu 36: Cho tích phân I dx a 3 ln  ln 2  a, , b c  . 
 Tính giá trị của biểu thức 2    cos x 2 b c 6
S a b  . c A. 3  B. 2  C. 1 D. 1 Lời giải Chọn B. u
  ln sin xdx  cos x  du dx Đặt  1   sin xv   2  v  tan cos x x    3 ln sin x 3 3 3 3 1  Suy ra dx  tan . x ln sin xdx  3 ln  ln    2    cos x   2 3 2 6 6 6 6 3 3   3 ln  ln 2 
a 1;b  3;c  6  2 3 6 
Do đó S a b c  2   2 2   1
Câu 37: Cho tích phân I  2x   2 1 .cos xdx    a, , b c  
 . Tính giá trị của biểu a b c 0
thức S a b  . c A. 1 B. 2  C. 2 D. 1 Lời giải Trang19 Chọn C.    2 2 2  1 1   x 1 1  2 Ta có I x
x cos 2x  cos 2x dx    
x  sin 2x   xcos2 d x x   2 2   2 2 4  0 0 0 2      J 8 4 du  dx u   x  Đặt    1 dv  cos 2 d x x v  sin 2x  2    2 1 2 1 1 2 1 Suy ra J x sin 2x  sin 2 d x x  cos 2x    2 2 4 2 0 0 0 2   Do đó 1 I
   a  8;b  4;c  2  S  2 8 4 2  4
Câu 38: Cho tích phân 2 2
I x tan xdx a  b  c ln 2a, , b c  
 . Tính giá trị của biểu thức 0
S a b  . c 9 7 5 1 A. B. C. D. 32 31 16 32 Lời giải Chọn C.   4 2 4  1   x Ta có I x 1 dx    dx     2 2  cos x  16 cos x 0 0  4 Đặ x t J  dx  2 cos x 0 u   x  du  dx Đặt  1   dv  dx  v  tan d x x 2  cos x    4 4  4  2
Suy ra J x tan x  tan d x x   ln  cos x   ln 4 4 2 0 0 0 2   1 1 1 1 5 Vậy I  
  ln 2  S       16 4 2 16 4 2 16 2
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1, f
 2x4dx 1. 1 0 Tính I  . x f  
xdx . 2  Trang20 A. I  1. B. I  0. C. I  4 . D. I  4 .
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018]Cho hàm số y f x xác      2      2 đị 2 nh trên 0;   thỏa mãn 2
 f x2 2.f xsin xx d   
. Tính  f xdx .   2    4  2 0 0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải Chọn B.    2 2 2         1      2 +) Ta có 2 2 sin x x d  1 cos 2x x
d  x  sin 2x            .  4    2   2  2  2 0 0 0 +) Từ đó  2     2   2
 f x2 2.f x.sin xx d    .   4  2 0   2 
   f x         
 2 2. f x 2 2 2 2 2 .sin x x d  2sin x x d          4   4  2 2 0 0  2 2 
   f x     2 sin x x d  0.     4  0  2        2 2    
Do  f x  2 sin x   0, x  0;   
 nên   f x  2 sin x x d  0   .   4   2    4  0   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x  2 sin x    .  4     2 2 2      
+) Vậy  f xdx  2 sin x
dx   2 cos x   0      .  4   4  0 0 0   
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y f x liên tục trên 0;   ” ở đề  2 
bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa. 9 e x  2 1 1 2 
Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục trên 0  ;1 thỏa mãn 
f x6.f x.e dx    . 2 0 1 Tính  
x 1 f xdx. 0 A. e 1. B. 2e  5 . C. e . D. 3e . Lời giải Chọn D. +) Ta có Trang21 9 e x  2 1 1 2  
f x6.f x.e dx    2 0 9 1 e x 2 x  2 1 1  1 2  
f x6.f x 2
.e  dx  9e dx   9 x e d     x 2 0 0 0 1      2  3 x f x e   0   0     3 x f x e . 1 1 1 +) Vậy    1  d  3
   1 xd  3 x x f x x x e x xe  3e . 0 0 0  1 1 
Câu 42: Cho hàm số y f x liên tục trên  ;   thỏa mãn  2 2 1 1 2 109 2   2 
f x2.f x.3 xdx     . Tính d  f x x . 12 2 x 1 1  0 2 2 5 7 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A. +) Ta có 1 2 109 2 
f x2.f x.3 xdx     12 1 2 1 1 1 2  
f x f x   x 2
x     x 2 2 109 2. . 3 d 3 dx     3 x2 2 d   x 12 1 1 1    2 2 2 1 2  
  f x3 x 2 dx  0  1 2
f x  3 .x 1 1 1 2 f x 2 2 1 3  x  1 2  2 +) Vậy dx  dx   dx     
ln x1 2ln x1 2  ln . 2 2 0 x 1 x 1
x 1 x 1 9 0 0 0
Câu 43: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0 é ;1ù
ë û và thỏa mãn điều kiện 1 2 2 4 .
x f (x ) + 3. f (1- )
x = 1- x . Tích phân I = f (x)dx ò bằng. 0   pA. I  . B. I  . C. I = . D. I  . 4 6 20 16 Lời giải Trang22 Chọn C 1 1 1
Lấy tích phân hai vế ta có: 2 2 4 .
x f (x )dx+ 3 f (1- ) x dx = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 1 2 2 2
Û 2 f (x )d(x ) - 3 f (1- x)d(1-x) = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 p
Û 2 f (t)d(t) + 3 f ( ) u d(u) = ò ò 4 0 0 1 1 p p Û 5 f (x d ) (x) = Þ f (x d ) (x) = ò ò 4 20 0 0
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47] 1 2  1 
a ln 2  bc ln 3  c Cho x ln  x  2 dx   
, với a, b, c   . Tính T a b c .  x  2  4 0 A. T  13 . B. T  15 . C. T  17 . D. T  11. Lời giải. Chọn A.
Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành
2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân
từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản. 1  1  1 1 x
Ta có I x ln  x  2 dx    x ln
 x2dxdx   x  2  x  2 0 0 0 1 1      ln  x2 1 2 2 d x  2  1 dx      2   x  2  0 0 1 2 1 x  4    x   2 x 4 1 ln 2  . dx  
x2lnx 21 0 2 2 x  2 0 0 1 2 3  x  2     7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7 ln 3  2 ln 2  
x 1 2ln3 2ln 2   ln3 4ln 2   . 2  4  2 4 4 0
Ta có a  4 , b  2 , c  7 . Vậy T a b c  4 2 7  13 . 3  1  abcbc Câu 45: Cho I x ln  ln 2 ln 5   x   1  dx   , với
a, b, c   . Tính 2  x 1 4 0
T a b c . A. T  13 . B. T  15 . C. T  10 . D. T  11. Lời giải. Chọn C. 3  1  3 3 x
Ta có I x ln   x 1 dx   x ln
 x 1dxdx  2  x 1 2 x 1 0 0 0 Trang23 3 d  2 3 x   3 2 3 3       1 1 x 1 x 1 1 x   2 x 1 ln 1 d      ln  x   1  dx  ln  2 x   1  2  2 2 x 1 2 2 2 0 0 0 0 0 3 1    4ln 4   5.2.3ln 2 2 ln 5 3 ln10  . 4 2 4
Vậy T a b c 10 . 1  1  abbcc
Câu 46: Cho I x ln  ln 2 ln 3   x  2  dx  
, với a, b, c   . Tính T abc . 2  x 1  4 0 A. T  18  . B. T  16 . C. T  18 . D. T  16  . Lời giải. Chọn A. 1  1  1 1 x
Ta có I x ln   x2 dx   x ln
 x2dxdx  2  x 1  2 x 1 0 0 0 1 2    d  2 1 1 x 2 1 1 x   2      x 4 x 4 1 1 x   1 4 1 ln 2 d      ln  x  2  . dx  ln   2x  1 2  2  2 x 1 2 2 x  2 2 0 0 0 0 0 3 3 1 3.2 ln 2  2. 3  ln 3  3  
  ln 3  2ln 2   ln 2  2 4 2 4 Vậy T  . a . b c  3.2.  3    1  8 .
Câu 47: Cho f (x) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f (x)  0 và a dx
f xf a x 1. Tính  được kết quả bằng: 1 f (x) 0 a a A. . B. 2a .
C. a ln a   1 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D. a a dx
f (a x) Ta có: I   dx   . 1
f (a x) 1 0 0
1 f (a x)
Đặt: a x t thì dx dt . Đổi cận 0 f (t) a f (x) Ta được: I   dt dx   . f (t) 1 f (x) 1 a 0 a dx a f (x)dx
a 1 f (x)dx a a
Do đó: I I   +  =  = dx a  . Vậy: I . 1 f (x) 1 f (x) 1 f (x) 2 0 0 0 0 Trang24  4
Câu 48: Cho hàm số f x liên tục trên  và f x  f x 2 3 2  tan x . Tính f  xdx .   4     A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D.
f x  f x 2 3 2  tan x  1
Thay x  x    f x  f x 2  x 2 . 1 3 2 tan  tan x2   1 .2  2 2
.3  5 tan x  5 f x  f x 2  tan x     4 I f  x 4 4 4 2 2 dx
tan x dx  2 tan x dx  2     2 1+tan x  1 dx    0 0   4 4  
I  2tan x x 4  2  . 0 2
Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0  ;1 và thỏa 1 1 mãn x
  f x2dx f  1. Giá trị của I f
 xdx bằng 0 0 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2  . Lời giải Chọn C u   x  du  dx  Đặt    dv  
f x2dx v f  x 2x 1 1 Khi đó f   1  x
  f x2dx xf x2x1  f x2xdx  f  12 I 1 0 0 0 Suy ra I  1  . Trang25 1
Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0  ;1 và thỏa mãn x
  f x4dx f  1. Giá trị 0 1 của I f
 xdx bằng 0 A. 0 . B. 2  . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B u   x  du  dx  Đặt    dv  
f x4dx v f  x 4x 1 1 Khi đó f   1  x
  f x4dx xf x4x1  f x4xdx  f  14 I 2 0 0 0 Suy ra I  2 . 1
Câu 51: Cho hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn x  
1 f  x dx  10 và 2 f  
1  f 0  2 . 0 1 Tính I f  xdx 0 A. I  12.  B. I  8. C. I 12. D. I  8.  Lời giải Chọn D u   x 1 du  dx  Đặt   
dv f  xdx v f  x 1 1
Khi đó 10   x   1 f  
xdx  x  
1 f x 1  f xdx   2 f  
1  f 0  I 0 0 0 Suy ra I  8  . 2
Câu 52: Biết rằng hàm số y f x liên tục trên  thỏa mãn f 2  16; f
 xdx  4. Tính 0 1 I xf   2xdx 0 A. I 13. B. I 12. C. I  20. D. I  7. Trang26 Lời giải Chọn D du  dx u   x  Đặt   
v f  x 1 d 2 dx v f  2x  2 1 1 1 2 Khi đó 1 1 1 1 I
xf 2x dx   xf 2x  f 2xdx   f 2 
f x dx  8 1  7  2 2 2 4 0 0 0 0 Suy ra I  7.
Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn  2   1 (  )  2 ( )  x x f x xf x xe
f (0)  1. Giá trị f (1) bằng: A. e . B.1. C. ln 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B. x
Từ giả thiết  2        2 1 ( ) 2 ( )   1 ( )  x x f x xf x xe x f x xe Suy ra 1    1 ( ) 1 2    x x f x dx xe dx . 0 0     1 ( ) 1 1 1 1 2  x  2 (1)  (0)  x    x x f x xde f f xe e dx 0 0 0 0 1
 2 (1)  (0)   x f f e ef (1) 1. 0
Câu 54: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn điều kiện f x  f   x 2 2 1  3x  6x , 1 x  0 
;1 . Tính tích phân I f   2 1 x dx . 0 4 2 2 A. I   . B. I  1. C. I   . D. I  . 15 15 15 Lời giải Chọn C.
Đặt t 1 x , x  0  ;1 thì t  0  ;1 .
Ta có f x  f   x 2 2 1
 3x  6x f x  f   x  x  2 2 1 3 1  3
f  t  f t 2 1 2
 3t 3  f x  f   x 2 2 1  3x  3 . Trang27  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6xf
  x  2 f 1 x 2  3x  6x Xét hệ phương trình:    2 f
x f 1 x 2  3x  3 4 f
x 2 f 1 x 2  6x  6  f x 2 3
 3x  6x  6  f x  x  2 1  3, x  0  ;1 .
Khi đó f   x     x 2 2 2 1 2 3 4 2
x  4x 1. 1 1 1 5 3  x 4x  2 Suy ra I f   2
1 x dx   4 2 x  4x  
1dx     x   .  5 3  15 0 0 0 Phân tích:
+ Bước 1: Từ f x  f   x 2 2 1
 3x  6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f x . 1
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f  2
1 x  rồi tính I f   2 1 x dx . 0
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y f x liên   x 1 e 1
tục với mọi x 1 thỏa mãn f
x  3, x 1   . Tính I f  xdx.  x 1 2
A. I  4e 1.
B. I e  2.
C. I  4e  2.
D. I e  3 . Lời giải    Đặ x 1 t 1 t 2 t t
xt t x 1 x
, suy ra f t  1 2   3  4 
hay f (x)  4  x 1 t 1 t 1 t 1 x 1 e 1  e 1 2    Ta có I  4  dx    
4x2ln x1  4e2. 2  x 1 2  
Câu 56: Cho hàm số y f x liên tục với mọi x  0 thỏa mãn f x 1  2 f  3 , x x  0   .  x  2 f x Tính I  dx  . x 1 2 3 9 1 4 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 3 Lời giải
Tương tự ta xác định được   2 f x  x  . x 2 f x 2 2  2   2  3 Suy ra I  dx  1   dx  x        2 . 1 xx   x  2 1 1 2 2 2 Trang28  1 2
Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho f 2x   1 dx 12   và f   2 sin xsin 2 d x x  3. Tính 0 0 3
f xdx  . 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C. + Đặ dt
t: 2x 1  t  dx  . 2
x  0  t 1 1 3 1 3 Với  . Do đó: f
 2x 1dx f
 tdt f
 xdx  24.
x 1 t  3 2 0 1 1 + Đặt: 2
sin x u  2sin xcos xdx  du hay sin 2 d x x  du .  
x  0  u  0  2 1 1 Với   . Do đó: f   2 sin xsin 2 d x x f
 udu f
 xdx  3. x   u  1  2 0 0 0 3 1 3 Vậy f
 xdx f
 xdxf
 xdx  7 2 . 0 0 1 5 2x 1 3
Câu 58: Biết I
dx  a b ln 2  c ln , 
a, ,b cZ . Khi đó, giá trị 2
P a ab  2c
2x  3 2x 1 1 5 1 A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 0 . Lời giải Chọn A.
Ta có 2x  3 2x 1 1  2x 1 3 2x 1  2 Đặt 2
t  2x 1  t  2x 1  tdt dx
Đổi cận x  1 t  1; x  5  t  3 Khi đó 3 3 2 3 3 t  3  t  2   1 4   I  dt   1 dt  1 
dt t  ln t 1  4ln t  2     2   t  3t  2 t 1 t  2   
t 1 t  2  1 1    1 1         3 3 ln 4 4 ln 5
1 ln 2 4 ln 3  2  ln 2  4 ln
.  a  2, b  1, c  4 . 5 2
P a ab  2c  10 4 2x 1dx 5
a b ln 2  c ln 
a,b,c 
2x  3 2x 1  3 3 Câu 59: Biết 0
. Tính T  2a b c . Trang29 A. T  4 . B. T  2 . C. T  1. D. T  3. Lời giải Chọn C 4 4 4 2  
 2x1 1 2x12d 2 1d 2 1d x x x x x I      
2x  3 2x 1  3         0 0  2x 1
1 2x 1 2 0  2x 1 1 2x 1 2 4 4 2dx dx     .     0  2x 1 2 0  2x 1  1
Đặt u  2x 1  d
u u  dx . Với x  0  u 1, với x  4  u  3. .3 .3 .3 .3 2 d u u d u u  4   1  Suy ra I    2  du  1 du       u  2 u 1  u  2   u 1 1 1 1 1  u u   u   3 5 4 ln 2 ln 1  2  4ln  ln 2 1 3
a  2, b 1, c 1 T  2.114 1. 2 dx Câu 60: Biết
a b c
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính
x x 1  x 1 x 1  
P a b c .
A. P  44 .
B. P  42 .
C. P  46 .
D. P  48 . Lời giải Chọn D 2 2 Đặ dx dx t I     .
x x 1  x 1 x    1   1 x x  1  x x 1   dx dt Đặ x 1 x t t
x x 1  dt    2 .
x x   dx 2 1 x x   1 t
Khi x 1 thì t  2 1, khi x  2 thì t  3  2 . 2 3 2 3 2 dx dt 1   I   2  2    1 1  2      4 2  2 3  2 x x x x t t  3  2 2 1 1   1  1 2  2 1 2 1 
 32  12  4  a  32, b 12, c  4.
Vậy P a b c  48 . Trang30 f xg x 1;4 Câu 61: Cho hai hàm và
có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức  f    1  g   1  4 4 
. Tính I   f
 x gxdx  . g  x   .
x f ' x; f x   . x g ' x 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4 ln 2 . Lời giải Chọn A
Ta có f (x)  g(x)  xf '(x)  g '(x)   f (x)  g(x)dx  x
  f '(x) g'(x)dx.   C
xf (x)  g(x)   f (x)  g(x)dx  xf (x)  g(x)  C f (x)  g(x)   x
f (1)  g(1)  C   C  4 4
I   f x g x  4 4 ( ) ( ) dx  dx=8ln2  . x 1 1
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018]Biết 2 x
dx a b 2  c 35 
, với a, b, c   . Tính P a  2b c  7 . 2   1 3x 9x 1 1 86 67 A.  . B. . C. 2  . D. . 9 27 27 Lời giải Chọn A. x   x  2 2 2 3x 9x 1 2 I  dx  dx
3x x 9x 1 dx          1 3x 9x 1 1 3x 9x 13x 9x 1  2 2 2 2 2  1 2 2 1 2
3x dx x 9x 1dx  7  . .   9x   23 1 16 35 2 2 2 1  7 
35 3516 27 2 35 . 18 3 27 27 27 1 1 1 Do đó 16 35 a  7, b  , c   1
a  2b c  7   . 27 27 9 2 1 Câu 63: Biết
dx a b c  , với * a, ,
b c   . Tính P a b c . x 1 x x x 1 1   A. 24 . B. 12 . C. 18 . D. 46 . Trang31 2 Câu 64: Cho biết ln   2
9  x dx a ln 5  bln 2  c , với a, ,
b c   . Tính P a b c . 1 A. S  34. B. S 13. C. S 18. D. S  26. 2 4 f xf 2  16  x Câu 65: Cho hàm số liên tục trên  và , f
 xdx  4. Tính I xf  d . x     2  0 0 A. I 12. B. I 112. C. I  28. D. I 144. Lờigiải ChọnB     Đăt x x
u x , dv f  dx  
 du  dx , v  2 f    2   2  4 4   2 x   x  Suy ra I  2xf  2 f dx   
   8f 24 f
 tdt 112.   2   2  0 0 0 1 dx 8 2  a b a
x2  x1 3 3 Câu 66: Cho 0 , *
a, b   . Tính a  2b
A . a  2b  7 .
B. a  2b  8 .
C. a  2b 1.
D. a  2b  5. Lời giải Chọn B. Theo giả thiết ta có: 1 1 dx 3 3 2   1    8 2
x  2  x 1dx
x 22 x  2 1   2 3  2  . x  2  x 1 3   0 3 3 0 0
Do đó a  2;b  3 nên a  2b  8.
Câu 67: Cho hàm số y f x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn: x 1
g x  1 2018 f
 tdt,gx 2
f x. Tính g xd . x  0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có g 0  1 x
g x  1 2018 f  tdt 0 Trang32 g ' xt g ' xt
g 'x  2018 f x  2018 g x    dx  2018 d . x   g x 2018 0 g x 0 1  1011
2  g t   1  2018t
g t   1009t 1 
g t dt   . 2 0
Câu 68: Cho hai hàm f x và g x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x 1; 4  f   1  2g   1  2  4 
. Tính I   f (x).g(x)dx. f   x 1 1  g x 2 1 ' . ; '   .  x x g(x) x x f (x) 1 A. 4 ln 2 . B. 4 . C. 2 ln 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B. 1 2
Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) 
g '(x). f (x)   , suy ra x x x x 1 
f '(x).g(x)  g '(x). f (x)   , hay  f x g x  1 ( ). ( )   . x x x x
Do đó f xg x 1 2 .   dx   C  . Lại có f   1 .g  
1  2.1  2 nên C  0. x x x 4
I   f x g x  4 2 ( ). ( ) x d  x d =4  . x 1 1
Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho F x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)  1 x  1 x trên tập  và thảo mãn F  
1  3. Tính tổng T F 0  F 2  F  3   . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải Chọn C 2 khi x  1 
Ta có f x  2x khi 1  x  1.  2  khi x  1   2x m khi x  1 
Hàm f x có nguyên hàm là F x 2  x n khi 1  x  1.  2  x p khi x  1   Trang33 Vì F   1  3 nên m 1.
Hàm F x liên tục tại x 1 nên suy ra n  2 .
Hàm F x liên tục tại x  1
 nên suy ra p  1.
Vậy ta có T F 0  F 2  F  3
   2  5 7 14. 1
Câu 70: Cho hàm số f x xác định trên  \  1  
;1 và thỏa mãn f  x  , f  3
   f 3  0 và 2 x 1  1   1  f   f  2    
. Tính giá trị của biểu thức P f  2
   f 0  f 4 .  2   2  9 6 1 9 1 6 A. P  ln 1. B. P  1 ln . C. P  1 ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Lời giải Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng  ;    1   1  ;  1  1;  . 1 x 1 ln  C x  1   1   2 x 1   
Khi đó f x 1 x 1   ln  C 1   x  1 . 2   2 x 1  1 x 1  ln  C x  1 3   2 x 1  1  1  Dễ thấy   3  ;1 ;  ;0;  1   ;1 ; 3;  4 1;  .  2 2  1  1  1  1  1 
Nên f 3  ln 2  C ; f
 ln3 C ; f 0  C ; f  ln 3  C ; 1     2 2  2  2 2 2  2  2  1 3 f   1 3 
ln 2  C f 4  ln  C . 3 2 3 2 5 1 3 1 3
Ta có P f 0  f 4  C  ln  C  ln  C C . 2 3 2 5 2 3 2 5  1    1  1 1 Mặt khác ff  2      ln 3  C
ln 3  C  2  C  1.  2   2  2 2 2 2 2 1 1  Và f  3
   f 3  0  ln 2  C
ln 2  C  0  C C  0 . 1 3 1 3 2 2 Trang34 1 1 3 P f  2
   f 0  f 4  ln 3 C C  ln  1 9 C  1 ln . 1 2 3 2 2 5 2 5 2 x
Câu 71: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;   và f
 tdt  .xsinx. Tính f 4 0    
A. f    .
B. f    .
C. f    . D. f   1  . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có f
 tdt Ft  Ft  f t 2 x 2 x f
 tdt  .xsinx  F t  .xsinx 0 0  F  2
x   F 0  .
x sin  x  F 2
x .2x  sin  x  .
x cos  x  f  2
x .2x  sin  x  .
x cos  x   f 4  2  2 sin x cos x
Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân I  dx
với a b  0 và 2 2 a b . 2 2 2 2  0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I I I a  . B. b a  . C. b a  . D. b a  . b Lời giải Chọn A. a  0 a b Do ab  0   và 2 2 a b   . b   0 a b   1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I  dx  dx   . 2 2 0    a   a   2 2 0 s 2 b x a  2 2 2 2 2 2 a b cos 2 co x b b 2 t  dt Đặt 2 2 t
a b   2 2
a b cos 2x  2tdt  2   2 2
a b sin 2 d x x   sin 2 d x x 2 2 a  . b  Đổi cận 2
x  0  t  2a  2 a , 2 x
t  2b  2 b . 2 Trang35  t  2 b 2 2 b 2 2   Khi đó 2 sin 2x 2 2 I  d a b x  dt  dt    2 2 2 2 2 2 2 t    2 a b 0 a ba b cos2x 2 a  2  2a  2 1  b a  . 2 2 2 2 2 a b    a b 2
Câu 73: Tính tích phân I  sin
 sin x nxdx với n . 0 1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f
 a b xdx a
Đặt t a b x  dt  d  x b b b
Đổi cận x a t b , x b t a . Khi đó f
 a b xdx f
 tdt f  xdx a a a 2 2 2 Ta có I  sin
 sin x nxdx  sin
 sin2  x n2  xdx  sin
 sin x nxdx 0 0 0 2   sin
 sin x nxdx  I . 0
Do I  I I  0  2 2
Câu 74: Tính tích phân cos
 mxcosnxdx với m , n và m n .  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A.   1 Ta có cos
 mxcosnxdx  cos
  mnxcosmnxdx  2    1  1    
m nx 1 sin 
sin m nx  0  2  m n m n  
Do sin m n   sin m n   sin m n 
   sinm n     0 Trang36 f xf   1  1. Câu 75: Cho hàm số liên tục trên 
 thỏa mãn f x 1 x , x        và Tìm giá trị x f 2. nhỏ nhất của 5 A. 3. B. 2. C.  ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C.
Theo giả thiết f x 1 x , x    
   nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta được: x 2 2   f   x 1 3 dx x  dx   ln 2.    x  2 1 1 2 2 Mà f
 xdx f x  f 2 f  1  f 21 nên f   3 2 1   ln 2. 1 2 1 Suy ra f   5 2   ln 2. 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x 1
x  , x  0. x x 1
Suy ra f x 2 
 ln x C, mà f   1  1 nên C  . 2 2
Do đó f x 2 x 1   ln x  . 2 2 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của f   5 2 
 ln 2 khi f x 2 1   ln x  . 2 2 2
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]
Cho hàm số f x  0 thỏa mãn điều kiện f  x   x   2 2
3 f x và f   1 0  . Biết rằng tổng 2   a a
f 1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  với  *
a   ,b    và là phân số tối b b
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 .
C. a b 1010 .
D. b a  3029 . b b Lời giải. Chọn D Trang37
Do f x  0 nên ta chia cả hai vế của f  x   x   2 2
3 f x cho 2
f x ta được f  x    1 1
2x  3 . nguyên hàm hai vế ta được 2
x  3x C f x  . 2 f xf x 2
x  3x C  1  1  1 Mà f   1 0 
C  2  f x    2 x   1  x  2 x 1 x  . 2    Khi đó f  
1  f 2  f 3  ... f 2017  1 1 1 1 1 1 f 2018      ....  2 3 3 4 2019 2020 1  1 1009    
. Vậy a  1009; b  2020 . 2 2020 2020
Câu 77: Cho hàm số y f x dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3   biết rằng 3
f  x  f x 2
x  1  0 và f   3
3  e . Tính I  ln  f
 x dx  0 7 7 A. 2 3    . B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 2 3 . . 3 . Lời giải Chọn B f  x
Ta có f  x 2
x 1 f x  0 2    f xx 1  f '  x
u  ln  f   x du  dx Đặt     f x dv  dx  v x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được 3 3 xf ' x 3 I  ln  f
  xdx   x ln  f  x 3     dx    x ln  f  x 3 2   x x 1 dx 0   f x 0 0   0 0 3  x ln  f  x 1 3 2   x  1 d    2x 1 0  2 0  x ln  f   x 1 3     2x   2 3 1 x  1 0 0 3 7  3 3  3
Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên  thỏa mãn     2 ' 2 2 . x f x xf x x e  
f 0  1. Tính f   1 . Trang38 1 2 2 A. e . B. . C. . D.  . e e e Hướng dẫn giải Chọn C.     2 2  x x     2 x       2 ' 2 2 . . ' 2 . . 2 x f x xf x x e e f x x e f x x
e . f x'  2x .
Lấy tích phân cả hai vế ta được: 1 x . '  2 x e f x dx
xdx e . f xx  .
e f 1  f 0  1   0  1 1 2   2   1 2     0 0 0
e f     f   2 . 1 2 1  . e
Câu 79: Cho hàm số y f x thỏa mãn f  xf x 4 2 .
x x . Biết f 0  2 Tính 2 f 2. 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B. 2 2 2 1 Ta có   4 2
x x dx f
 x.f xdx f
 xd f x    2f 2 2  f 0 0 2 0 0 2 332 Suy ra 2
f 2  2  4 2 x x  2
dx f 0  . 0 15
Câu 80: Cho hàm số y f x thỏa mãn  .    . x f x f x
x e Biết f   1  e Tính 2 f 2. A. 2
f 2  16. B. 2 f   2 2  3e . C. 2 f   2 2  4e . D. 2
f 2  9.    
Câu 81: Cho hàm số y f x thỏa mãn f  x. f x  .
x sinx Biết f 0  . Tính 2 f .   4  2                  A. 2 2 f  4e .   B. 2 2 f  2e .   C. 2 2 fe .   D. 2 2 f  9e .    2   2   2   2  1 3
Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số f x liên tục trên  và có f
 xdx  2; f
 xdx  6. 0 0 1 Tính f
  2x1dx . 1  2 3 A. I  . B. I  4 . C. I  . D. I  6 . 3 2 Lời giải Trang39 Chọn B 1 1 2 1 Ta có I f
  2x1dx f 12xdxf 2x   1dx . 1  1  1 2 1 2 Tính I
f 1 2x dx  1   1  Đặ 1
t t 1 2x  dt  2
 dx; Đổi cận: x  1
  t  3; x  t  0 . 2 0  1  3 1 3 1 I f t  dt   f
 tdt f
 xdx  3. 1     2  2 2 3 0 0 1 Tính I
f 2x 1 dx  2   1 2 Đặ 1
t t  2x 1  dt  2dx ; Đổi cận: x
t  0 ; x 1  t 1. 2 1 1 1 1 1 1 I f t dt   f
 tdt f
 xdx 1. 1   2 2 2 0 0 0
Vậy I I I  4 . 1 2
Câu 83: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên  , có f (x)  0, x
   , f 0 1 . Biết rằng f (
x)  22x. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f (x)  m có 2 nghiệm thực phân f (x) biệt.
A. 1 m e
B. 0  m e
C. m e
D.1 m e Lời giải Chọn B Ta có: f (  x)   f x 2  ( ) 2x
dx  (2  2x) d x   2
 ln | f (x) | 2x x c 2
 ln f (x)  2x x c f (x) f (x)
(do f x >0)
f (0)  1  ln( f (0))  ln1  C C  0. 2
 ln f (x)  2x  2 x 2 ( ) e x x f x    2 2
 ( )  (2  2 ).e x x f x x    0  x 1 Trang40 Ta có bảng biến thiên 0  m  e a b 1
Câu 84: Cho hàm số f x 
  2 , với a , b là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện f
 xdx  23ln2. 2 x x 1 2
Tính T a b . A. T  1  . B. T  2 . C. T  2  . D. T  0 . Lời giải Chọn C. 1 1 1  a b   a  Ta có: f
 xdx  + +2 dx  
b ln x  2x   
 = a  2   2
a bln 2   1 2  x x   x  1 1 1 2 2 2 a   a  
1  b ln 2 , suy ra a   1
1  b ln 2  2  3ln 2  
. Vậy T a b  2 . b   3  1 f 2 x
Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên  và dx  8  . Tính 1 2x 1 2  d  f x x. 0 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D.16 . Lời giải Chọn D
f x là hàm số chẵn trên  nên ta có f x  f x, x   . 1 f 2 x 1 f 2 x 0 f 2 x 1 f 2 x Đặt I  d 
x . Ta có: I  dx  dx  d  x . xx  1 2x    x  1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 f 2 x Xét I  d  x . 1 1 2x 1 0 f 2 x 0 f  2  t 1 t 1 2 f 2t 2x f 2 x
Đặt x  t I  dx  d t  dt  d  x . xtt  1        1 2 1 2 1 2 1 2x 1  1 0 0 Trang41 1
Do đó ta có I   f 2 xdx. 0 1 2 2 1 1
Đặt u  2x. Ta có I f
 2xdx f
 udu f  xdx . 2 2 0 0 0 2
Kết hợp với giả thiết ta được f
 xdx 16. 0
Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:
Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên  ;
a a. Với k là một số thực khác 0 , m là một số a f k x 1 ka thực dương thì dx f x x   . x  d 1 m ka 0
Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 , f x và
f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn f 0  2 , 1 1  1 3 f
 x. f x 2 1dx  2 f  
 x.f xdx     . Tính f
 x dx  . 0 0 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lờigiải ChọnD f x và
f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0  ;1 nên từ 1 1  1 2 f
 x. f x 2 1dx  2 f  
 x.f xdx        suy ra f
x.f x 1 dx 0   . 0 0 0 2
Mà  f  xf x 2 . 1  0    nên
f x. f x  1, x  0 
;1 hay f  x. f
 x 1, x    0; 1 .  f   x 3  Vậy  f
 x  f x 2 .  dx  dx   
x C (*) 3
Trong (*) thay x  0 được 8 C  , suy ra  f  x 3   3x 8  . 3 1 1 19 Vậy  f
 x 3 dx  
3x8dx  . 2 0 0 100
Câu 87: giá trị của tích phân x
 x 1x2...x100dx bằng 0 A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác. Lời giải Chọn A.
Đặt x 100 t dx dt
Đổi cận x  0  t  100; x  100  t  0 Trang42 0 100 Khi đó I
100t99t... t
 dt  100 t99 t... t    dt 100 0 100
  t 100t 99...t.dt 0 100
   x 100x 99... .xdt  I 0
Suy ra I I  0  I  0.  2 sin x cos x
Câu 88: Tính tích phân I  dx
với a b  0 và 2 2 a b . 2 2 2 2  0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I I I a  . B. b a  . C. b a  . D. b a  . b Lời giải Chọn A. a  0 a b Do ab  0   và 2 2 a b   . b   0 a b   1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I  dx  dx   . 2 2 0    a   a   2 2 0 s 2 b x a  2 2 2 2 2 2 a b cos 2 co x b b 2 t  dt Đặt 2 2 t
a b   2 2
a b cos 2x  2tdt  2   2 2
a b sin 2 d x x   sin 2 d x x 2 2 a  . b  Đổi cận 2
x  0  t  2a  2 a , 2 x
t  2b  2 b . 2  t  2 b 2 2 b 2 2   Khi đó 2 sin 2x 2 2 I  d a b x  dt  dt    2 2 2 2 2 2 2 t    2 a b 0 a ba b cos2x 2 a  2  2a  2 1  b a  . 2 2 2 2 2 a b    a b 2
Câu 89: Tính tích phân I  sin
 sin x nxdx với n . 0 1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A. Trang43 b Xét tích phân f
 a b xdx a
Đặt t a b x  dt  d  x b b b
Đổi cận x a t b , x b t a . Khi đó f
 a b xdx f
 tdt f  xdx a a a 2 2 2 Ta có I  sin
 sin x nxdx  sin
 sin2  x n2  xdx  sin
 sin x nxdx 0 0 0 2   sin
 sin x nxdx  I . 0
Do I  I I  0  2 2
Câu 90: Tính tích phân cos
 mxcosnxdx với m , n và m n .  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A.   1 Ta có cos
 mxcosnxdx  cos
  mnxcosmnxdx  2    1  1    
m nx 1 sin 
sin m nx  0  2  m n m n  
Do sin m n   sin m n   sin m n 
   sinm n     0  3 1 a b
Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết dx  
, trong đó a,b, c là các số tự 4 cos x c 0
nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của 2 2 2
T  2a  3b  4c bằng bao nhiêu? A. T  15  .
B. T  14 . C. T  13  . D. T  17 . Lời giải Chọn A.     3 1 3 1 dx 3 dx 3 Ta có I dx   .    2 1 tan x.   2
1 tan x.d tan x 4 cos x 2 2 cos x cos x 2 cos x 0 0 0 0  3 3  tan x   tan x
  2 3  a  2,b  3,c  1  3  0 Vậy 2 2 2
T  2a  3b  4c 2 2 2  2.2  3.3  4.1  15  . Trang44  3 2 sin x a b c Câu 92: Biết dx  
, trong đó a,b c, d là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi 6  cos x d 6
đó giá trị của T ab cd bằng bao nhiêu?
A. T  6 .
B. T  246 . C. T  13  . D. T  17 . Lời giải Chọn B.    3 2 sin x 3 1 3 1 1 Ta có I dx  2  tan x dx  2  tan . x . dx  6 4 2 2  cos x  cos x  cos x cos x 6 6 6    3 3 5 3 3
 tan x tan x   2  42 3 8 tan . x   2
1 tan x.d tan x   2 4
tan x  tan x.d tan x         5 3   15 6 6 6
a  42,b  3,c  8, d  15 T  246 4 3 1 a ln b Câu 93: Biết dx  
, trong đó a,b, c là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó x c  sin 2 giá trị của 3 2
T  4a  3b  2c bằng bao nhiêu?
A. T  5 .
B. T  29 .
C. T  7 . D. T  17 . Lời giải Chọn B. 4 4 4 3 1 3 1 3 1 1 Ta có I dx   dx   dxx x x x x  2 sin  2sin .cos 2  tan .cos 2 4 4 4 4 4 4 3 1  x   3  x  2 d tan     2ln tan    ln3 x  4    4  tan  4
a  1,b  3,c  1 T  29 Trang45 x f (t)dt Câu 94: Nếu  6  2 x
với x  0 thì hệ số a bằng 2 t a A. 9 . B.19 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A. f (t) f (t)
Gọi F (t) là một nguyên hàm của
, suy ra F '(t)  . 2 t 2 t x f (t)dt Ta có  6  2 x xF t  
x F(x)  F(a)  6  2 x  ( ) | 6 2 2 t a a 1  f (x) 1 F '(x)  2.    f ( ) x x x 2 x 2 x x x f (t) x x dt t t 1   dt
dt  2 t |x  2 x  2 a  2 x  6    a (gt) 2 2 t t t a a a
Vậy a  3  a  9 . 1 2 1
Câu 95: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn f   1  0 ,  f
 x dx  và  11 0 1 1 1 4 x f
 xdx   . Tích phân f  x x d bằng? 55 0 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 Ta xét 4 I x f  xdx . 0    u
  f x du f x dx  Đặt   5  4 x
dv x dx v   5 5 1 x 1 1  1 1 1 I f x 1 1 5  x f x dx  5     x f   xdx 5
x f xdx   0   5 5 55 5 11 0 0 0 Trang46 1 1 Mà 10 x dx   11 0 1   x
x  2x f  x   f  x2 10 5
dx0  fx x f x 6 5   C 6 0 x  Vì f  
1  0 nên f x 6 1  6 1 1 6 x 1 1   f (x)dx  dx  .   6 7 0 0 f xf 0  0
f  x  10 Câu 96: Cho hàm số
liên tục trên  và có ;
với mọi x  . Tìm GTLN mà
f 3 có thể đạt được? A. 30. B. 10. C. 60. D. 20. Lời giải Chọn A 3 Vì '
10  f x  0 với mọi x  nên: 1  0  f   xdx  0   10  x f  x 3   0  0 0  1  0.3 f  3  1  0.0  f   0  0   f 3  30
Vậy GTLN mà f 3 có thể đạt được là 30.    2  
Câu 97: Cho biểu thức S  ln 1 
 2sin2x 2cotx e
dx  , với số thực m  0 . Khẳng định đúng là.    2  4m        A. S  5. B. S  2 cot  2ln sin     . 2 2  4  m   4  m        C. S  9 . D. S  tan  ln     . 2 2  4  m   4  m Lời giải Chọn. B.    2 2 2
Ta có  2 sin 2x 2cotx 2cot x 2cot e dx  2e dx  sin 2 x xe
dx I J   .    2 2 2 4m 4m 4m Trang47  2 2cot du   e dx x . x 2cot    2  Đặ u e sin x t   
dv  sin 2xdx 1 1 2
v   cos2x   sin x  2 2   2  2cot    2 2cot x 2cot 2 J  sin . x e  2 x e dx 2 4m   2 1sin .eI   . 2    2 4 m 4m  2 4m   2cot           Vậy 2 2 4  ln sin m S e      2cot  2ln sin     . 2   4 m     2 2  4  m   4  m Cách 2:
Thay m 1 ta có S  1, 689976611, kiểm tra chỉ có đáp án B thỏa mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số y f x , liên tục trên 0  ;1 và thỏa 1 1 mãn x  
1 f ' xdx  10 và 2 f  
1  f 0  2 . Tính I f  xdx . 0 0 A. I  12  . B. I  8 .
C. I  12 . D. I  8  . Lời giải Chọn D. u x 1  du dx Đặt    . dv f '  xdx v f  x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được: 1 1
 x f xdx  x   f x 1 10 1 ' 1  f
 xdx  2 f   
1  f 0  I  2  I  0 0 0  I  210  8  . 2 4  x
Câu 99: Cho hàm số f x liên tục trên  và f 2  16 , f
 xdx  4 . Tính I xf  dx    . 0 0  2 
A. I  12 . B. I  112 . C. I  28. D. I  144 . Lời giải Chọn B xx  2t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  4  t  2 . 2 dx  2dt 2 2 2 *) I  2tf  
t2dt  4 tdf
t  4tf t 2| 4  f t dt  0   0 0 0 Trang48  4.2. f 2 2  4. f
 xdx  4.2.164.4 112. 0
Câu 100: Biết F x là một nguyên hàm của f x , F x và f x là các hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 3 F
 x  1dx 1;F 3  3. Tính I xf  xdx 1 0
A. I  8 . B. I  9 . C. I  10 . D. I  11. Lời giải Chọn A 2 2 3 3 *) Ta có : 1  F
 x  1dx F
 x 1d(x1)  F
 tdt F
 xdx 1. 1  1  0 0 3 3 3 *) I xf
 xdx xdF
x  xF x 3|  F x dx  3F 3 1 8  . 0     0 0 0 1
Câu 101: Cho hàm số f x liên tục trên  và f  
1  2 f 0  2 , f
 xdx  5 . Tính 0 3     x I 6  xf  dx   . 0  3 
A. I  61. B. I  63 . C. I  65 . D. I  67 . Lời giải Chọn B xx  3t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  3  t  1. 3 dx  3dt 1 1 1
*) I   6  3t. f t.3dt  9 2  tdf t  9 2  tf t 1  | 9  f t d 2  t   0     0 0 0  9  f    1  2 f 0 1   9 f
 tdt  9.29.5  63. 0 .
Câu 102: Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f x  x sin . x Tính  2 I f  xdx?   2 1 2 1 1 A. B. C. D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f x  2018 f x  x sin .
x f x  2018 f x  x sin . x 1 suy ra  2 2018  
1 f (x)  2017x sin x f x  . x sin x . 2019 Trang49   2 2 Do đó 1 1 I  . x sin . x dx   . x d   cosx 2019  2019    2 2     2  1   1 2 2 2   x cos x  cos . x dx  sin x       . 2019    2019 2019  2  2   2  f x  \   1  f 0  1
Câu 103: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f x 3 '  ; và x 1 f   1  f  2    2 f  3   . Giá trị của bằng A. 1 2 ln 2 . B. 1 ln 2 . C. 1. D. 2  ln 2 . Lời giải Chọn C. 3
Ta có f x  f '
 xdx  dx
 3ln x 1  C x 1 3  ln  x      f x 1 C khi x 1 1   3  ln  x   1  C khi x  1  2 Theo giả thiết:  f  0 1 C  1 C  1  1   1    f    1  f  2    2
3ln 2  C C  2  C  1 3ln 2 1 2  2 3  ln  x      f x 1 1 khi x 1   3  ln  x  
1 1 3ln 2 khi x  1  Vậy f  3    3ln 2 1  3ln 2 1  .  1 x tan x   a dx  ln  2     x cos x x b 2 Câu 104: Biết 3
, a,b    . Tính P a b . A. P  2 . B. P  4  . C. P  4 . D. P  2  . Lời giải Chọn A.   1 x tan x
cos x x sin x Ta có: dx  dx   2    x cos x x
x cos x x cos x 1 2 2   3 3 Trang50
Đặt t x cos x  dt  cos x xsin xdx .   Đổ 2 i cận: x
t   ; x    t    3 3        1 x tan x dt 1 1  Do đó: dx      dt   
 ln t   ln t 1  2      x cos x xt t 1  t t 1   2     3 3 3 3 3        3 ln   ln  ln    1  ln 1    ln
a  ; b 1. 3  3    3 1 Vậy P  4 .
Câu 105: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0 
;1 đồng thời thỏa mãn các điều 2 kiện ' f 0  1  và '
f x  f  x  
. Đặt T f  
1  f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2   T  1  . B. 1   T  0.
C. 0  T 1.
D. 1  T  2 . Lời giải Chọn B f   x '
d f x   1  Từ giả thiết ta có dx  1.dx  dx  1.dx   x c        2     2 ' ' '  f x f x f x      c  1  1  1 Mà ' f 0  1  nên  1  T    ln 2  ' f   x   x 1 0  x 1 3 2 x x 1  a4 b
Câu 106: Biết rằng dx  
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính T a b   . c xx 1  c 2 A. T 31  . B. T 29  . C. T 33  . D. T 27  . Lời giải Chọn C.   2 2 x x 1  x x 1     dx dx    x x xx 1   2  3 2 3 3 3 2 1 3 dx   xx 1  xx 1  2 3 2 2 2 2    2  194 8 = . Vậy a bc  1  9 8  6  3  3 . 6 1 3
Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và
f (x)dx  2  ;
f (x)dx  8 
. Giá trị của tích phân 0 0 1 f
 |2x1|dx là: 1  Trang51 A. 6. B. 3. C. 4. D.5. Lời giải Chọn D.  1 2  x 1, x    2 Ta có: 2x 1   nên 1 2x 1, x    2 1 0,5 1 f
 |2x1|dx = f   2  x   1 dx
f (2x 1)dx E F  1  1  0,5 0,5 3 1 E f ( 2  x 1)dx  f (t)dt  
ta đổi biến t  2  x 1, 2 1  0 1 1 1 F
f (2x 1)dx f (t)dt,  
ta đổi biến t  2x 1, 2 0,5 0 1 3 1 1 1 Vậy f
 | 2x1|dx f (x)dxf (x)dx 14  5   2 2 1  0 0
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi S t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y
, y  0, x  0, x t t  0 . Tìm lim S t  . 2  
x  1x  2 t  1 1 1 1 A.  ln 2  . B. ln 2  . C.  ln 2 . D. ln 2  . 2 2 2 2 Lờigiải ChọnB. 1
Vì trên 0;t, y   
nên ta có diện tích hình phẳng x   1  x  2 0 2 t t  1 x 3   t  1 1 1  S t  1             dx  dx    x
x 1  x  2 d 2  x 1 x  2 
x 1 x  2 x  2  0   2 0   2 0   tx 1 1    t 1 1 1 ln     ln   ln 2 
x  2 x  2  t  2 t  . 2 2 0  t 1   t 1  1 Vì lim 1    limln  0   , lim  0
t  t  2  t  t  2  t  t  2 Trang52  t 1 1 1  1
Nên lim S t   lim ln   ln 2     ln 2  . t  t  t  2 t  2 2  2 1
Câu 109: Cho hàm số f
 xdx  4, trong đó hàm số y f x là hàm số chẵn trên 1; 1. Tính 1  1
f x dx  . 2x 1 1  A. 2 . B. 16 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Cách 1.
Đặt t  x  dt  dx . Đổi cận x  1
 t 1; x 1t  1  . 1 1  1 t 1 1 1 2 2x Ta được: I f x x   f tt f t t f x x     . x  d t  d t  d x  d 1 2 1 2 1 2 1 2 1  1 1  1  1 1 x 1 1 2 Do đó: 2I f x x f x x f x x   I     . x  d x  d  d 4 2 1 2 1 2 1  1  1  Cách 2. 1 2 4 Chọn   2
h x x là hàm số chẵn. Ta có: 2 x dx  
. Do đó: f x  h x 2  6x . 3 2 1  3 1 f x 1 2 6x Khi đó: dx  dx  2  . x  2 1 2x 1 1  1 
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho
lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy
tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y f x khá đơn giản. Đối với bài toán này
ta có thể chọn hàm số hx  1 cho đơn giản. 8
Câu 110: Cho hàm số f (x) thỏa mãn  x  3 f xdx  25 và 33 f 8 18 f 3  83. 3 8 Giá trị
f x dx  là: 3 8 3 A. I  83 . B. I  38 . C. I  . D. . 3 8 Lời giải Trang53 Chọn C. 8
Ta có  x  3 f xdx  25. 3 u   x  3  du  dx  Đặ 8 8 t   
A   x  3 f x  f  xdx dv f  
xdx v f  x 3 3
 11 f 8  6 f 3 8  f  xdx 3
Ta có 33. f 8 18 f 3  83 
f    f   83 11 8 6 3  . 3 8 83 8 83 8 Suy ra A   f
 xdx . Mà A 25  f xdx  25   . 3 3 3 3 3 9 3 4 3 cos  x Câu 111: Giá trị 2 I x sin   3  x    e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 D. 0, 038 . Lời giải Chọn C. Ta có: 9 9 3 4 3 9 2 3  4   x 1 cos 3  x  1 cos 3  x  1 I x sin  x  cos 2 3  3 e dx e d sin   3  x  3 4  e 2 2  e e  3 1 3 3   1 1 3 6   3 6 3 6  0,371 x   1 ln  2 4
x  2x  2 1
Câu 112: Biết I  dx  lnc a  lnc b
, với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2   x  2x  2 4 2 2 3
a b c . A. 3 . B. 22 . C. 14 . D. 20 . Lời giải Chọn B. x   1 ln  2 4
x  2x  2 4 1 Ta có: I  dx   ln
  2x 2x2dln 2x 2x2 2 x  2x  2 2 2 2 1 1 2  ln  2
x  2x  2 4   2 2 ln 10  ln 2 . 2 4 4 Trang54 Vậy 2 3
a  10,b  2, c  2  a b c  22 . 2
Câu 113:Cho hàm số y f (x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f (2)  2
 , f (x)dx 1  . Tính 0 4 tích phân I f    xdx. 0 A. I  10  . B. I  5  . C. I  0. D. I  18  . Lời giải Chọn A
Đặt x t dx  2tdt . Đổi cận : x 0;4  t 0;2 2
I t. f '(t)dt
sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được : 0 2   2 2
I  2 tf (t)  f (t).dt    10
 . ( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f (t).dt 1  ). 0  0  0 x  1 
Câu 114:Cho a là số thực dương. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x  e   ln ax   x   1 
thỏa mãn F   0 và F  2018 2018  e
. Mệnh đề nào sau đây đúng?a   1   1  A. a   1 ; . B. a   ; 0 . C. a  2 ; 1 01  8 .
D. a 2018 ; .   2018    2018 Lời giải. Chọn A. 2017x
Câu 115: Biết rằng F x là một nguyên hàm trên  của hàm số f x    thỏa mãn F   1 0 . x  2018 2 1
Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x . 1 2017 1 2 2017 2 1 1 A. m   . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2018 2 2018 2 2 Lời giải. Chọn B. 2017x 2017 d  2 x   1 1 1
Ta có F x         . x   x d . C 2018 1 2 x  2018 1 2 x  2017 2 2 2 1 1 2017 1 1 1 1 1 1 2 Do F   1  0 nên C
F x   .      . 2018 2 2 x  2017 2018 2018 2018 2 1 2 2 2 2 Trang55 1 1
Câu 116: Biết rằng x cos 2xdx  
asin2bcos2c, với a,b,c. Khẳng định nào sau đây đúng ? 4 0
A. a b c 1.
B. a b c  0.
C. 2a b c  1  .
D. a  2b c 1. Lời giải Chọn B. du dx u   x  Đặt    1 .
dv cos2xdx v  sin 2x  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x cos 2xdx x sin 2x  sin 2xdx  sin 2  cos2x  2sin 2  cos2     1 . 2 0 2 2 4 0 4 0 0
Suy ra a  2, b  1, c  1  a b c  0 5 1
Câu 117: Giả sử tích phân I dx a  . b ln 3  . c ln 5.  Lúc đó: 1 3x 1 1 4 5 7 8
A. a b c  .
B. a b c  .
C. a b c  .
D. a b c  . 3 3 3 3 Lờigiải ChọnA 5 1 Xét I dx  1 3x 1 1 Đặt 2
t  3x 1  t  3x 1  2tdt  3dx x 1 5 t 2 4 4 4 2 t 2 4 4 4 4 Do đó I dt  
t lnt  1   ln3 ln5 abc  . 2 3 1 t 3 3 3 3 3 2 a
Câu 118: Cho hàm số f (x) x     
. Tìm a b biết rằng f '(0) 22 x   bxe 3 1 1 và
f (x)dx  5  . 0
A. a  2, b  8 .
B. a  2, b  8 .
C. a  8, b  2 .
D. a  8, b  2 Lời giải Trang56 Chọn C 3a Ta có f '(x) x      x   b(x 1)e 4 1 Suy ra f '(0)  22 
 3a b  22 (1) 1 1 1  a   ax x 3 Ta có
f (x)dx              .
x   bxe dx b(x 1)e a b 3 1   2   x  2 1  8 0 0  0 1 Theo bài ra
f (x)dx  5  3
a b  5 (2). 8 0  3
a b  2  2  a  8
Từ (1) và (2) ta có hệ 3   . a b  5 b    2 8
Câu 119: Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f x  x sin . x Tính  2 I f  xdx?   2 1 2 1 1 A. B. C. D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f x  2018 f x  x sin .
x f x  2018 f x  x sin . x 1 suy ra  2 2018  
1 f (x)  2017x sin x f x  . x sin x . 2019   2 2 1 1 Do đó I  . x sin . x dx   . x d   cosx 2019  2019    2 2     2  1   1 2 2 2   x cos x  cos . x dx  sin x       . 2019    2019 2019  2  2   2  Trang57  1  2 25x  7x  4
Câu 120: Biết rằng trên khoảng ;  
 hàm số f (x)  có một nguyên hàm  2  2x 1 2 F( )
x  (a x bx  ) c
2x 1 ( trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 3.  B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Chọn B 2      Ta tính đượ 5ax ( 2a 3 ) b x b c c F '(x) 
. Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta 2x 1  1  2 2 5ax  ( 2
a  3b)x b c 25x  7x  4
F '(x)  f (x), x  thuộc khoảng ;    suy ra  .  2  2x 1 2x 1
Đồng nhất hệ số ta được a  5,b  1, c  3.  2 15x  9x  3
Câu 121: Biết rằng trên khoảng 1;  hàm số f (x)  có một nguyên hàm 2 x 1 2 F( )
x  (a x bx  ) c
x 1 (trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 3. B. 3.  C. 4.  D. 4. Lời giải. Chọn B 2      Ta tính đượ 5ax ( 4a 3 ) b x 2b c c F '(x) 
. Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên 2 x 1 2 2 5ax  ( 4
a  3b)x  2b c 15x  9x  9
ta có F '(x)  f (x), x
 thuộc khoảng 1; hay  2 x 1 2 x 1
Đồng nhất hệ số ta được a  3,b  1,c  7  .
Câu 122: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0 
;1 và thỏa mãn 2 f ( )
x  3 f (1 )
x  1 x . Tích phân 1 f (x)dx  bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Lời giải Chọn C. Ta có: 2 f ( )
x  3 f (1 )
x  1 x (1) .
Đặt t 1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1t)  3 f (t)  t hay 2 f (1 ) x  3 f ( ) x x (2) . Trang58 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x)  x  1 x . 5 5 1 1 1 3 2
Do đó, ta có: f (x) dx   x dx  1 x dx   2 4   2  . 5 5 5 15 15 0 0 0 2
Câu 123: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   x f x e  3
x  4x . Số cực trị của hàm F x là A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B.   2 x
F  f x . Ta có F  0 xe  3 x  0 4x   . x  2  Bảng xét dấu: x  2 0 2  F   0  0  0 
Vậy hàm số F x có 3 cực trị 0
Câu 124: Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 , biết f
 xdx  2 và 2 2 4 f
 2xdx  4. Tính I f  xd .x 1 0
A. I  10 .
B. I   6 . C. I  6. D. I  10 . Lời giải Chọn B.
f x là hàm lẻ nên ta có f x   f x . 0 0 2 2
Ta có:   d  2 tx f x x   f
 tdt  2  f
 tdt  2  f  xdx. 2  2 0 0 2 2 4 4 4 f  2
xdx   f 2xux 1 2 dx  
f udu  4  f udu  8
  f xdx  8       . 2 1 1 2 2 2 4 2 4 Do đó: f
 xdx f
 xdxf
 xdx  28  6  . 0 0 2 Trang59
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho  2 1
x xx e   
dx ae b ln e c
với a , b , c  . Tính P a 2b c . x   x e 0 A. P  1  . B. P  1 . C. P  2  . D. P  0 . Lời giải Chọn D.  2 1
x xx 1 x e x x xe x   1 x e 1  xe 1  1  x   1 e 1  1  Ta có: dx  dx    1 d x xe 1    dx    x   x x x e e x 1 x e x 1  xe 1 0 0 0 0 x       x xe xe   1 1 ln 1 
e  lne   1 
. Suy ra a 1, b  1  , c 1. 0
Vậy, P a  2b c  0 .
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân e x   1 ln x  2  e 1 a
dx ae b ln  
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng: 1 x ln xe b 1 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn B. e    1 ln  2 e x x  ln x 1  Ta có: dx  1 dx       ln  1 ln  e x x x
e  ln e 1 1  1   1 x ln x  1 x ln x  1 1  e 1  a e  ln 
 . Suy ra: a b  1  1 .  e b
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân  2 sin x I
dx a  b ln 2 
, với a , b Q . Khi đó a b bằng: 2sin x  cos x 0 1 A. 1. B. 2 . C. . D. 0 . 2 Lời giải Chọn D. Trang60 sin x
A2sin x  cos x  B 2 cos x  sin x
2ABsin x A 2Bcos x Ta có:  
2 sin x  cos x
2 sin x  cos x
2 sin x  cos x  2 A  2A B 1  5     .
A  2B  0 1 B    5    2 2      Khi đó: sin x 2 1 2 cos x sin x I  dx   dx   2 1   
x  ln 2sin x  cos x 2   2sin x  cos x
 5 5 2sin x  cos x  5 5  0 0 0  1   ln 2 . 5 5 1 1 Suy ra: a  , b  
. Vậy, a b  0. 5 5
Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 5 5
hàm trên  và f 5  10 x f   x,
dx  30 .Tính f x dx  . 0 0 A. 20  . B. 70 . C. 20 . D. 30  . Lời giải Chọn C. 5
Xét I x f x dx  30  1   0 u   x  du  dx Đặt    dv f  
xdx v f  x 5 5 5 5
Vậy  I x f x dx xf x
f x dx  5f 5  f x dx    1           0 0 0 0 5
I  30 và f 5  10 vậy  f
 xdx  20. 1 0
Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 2 5
hàm trên  và f 2 15 x f   x,
dx  60 .Tính f x dx  . 0 0 A. 30  . B. 70 . C. 30 . D. 50  . Lời giải Chọn A. Trang61 5
Xét I x f x dx  60  1   0 u   x  du  dx Đặt    dv f  
xdx v f  x 2 2 2 2
Vậy  I x f x dx xf x
f x dx  2f 2  f x dx    1           0 0 0 0 2
I  60 và f 2 15 vậy  f
 xdx  30 . 1 0
Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo 4 4
hàm trên  và f 4 13 x f   x,
dx  24 .Tính f x dx  . 0 0 A. 11  . B. 28  . C. 76 . D. 28 . Lời giải Chọn D. 4
Xét I x f x dx  24  1   0 u   x  du  dx Đặt    dv f  
xdx v f  x 4 4 4 4
Vậy  I x f x dx xf x
f x dx  4f 4  f x dx    1           0 0 0 0 4
I  24 và f 4 13 vậy  f
 xdx  28. 1 0
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x 4 3 2
x  4x  2x x 1, x   . Tính 2
f xf   xdx 0 2 2 A. . B. 2 . C.  . D. 2  . 3 3 Lời giải Chọn C. Trang62 1 1 3 3 3 f x 1 f 1  f 0 2 Ta có 2
f xf  x 2 dx
f xdf x             3 0 3 3 0 0
Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x 3 2
x 3x  3x  2, x   . Tính 3
f xf   xdx 0 3 15 1 15 A. . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. 1 1 4 4 4 f x 1 f 1  f 0 15 Ta có 3
f xf  x 3 dx
f xdf x             4 0 4 4 0 0
Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f x 6 4 2
x 5x  3x 1, x   . Tính 2017 fxf   xdx . 0 1 1 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 2018 1009 2018 1009 Lời giải Chọn C. 1 1 2018 1 2018 f   2018 1  f 0 1 Ta có 2017     2017           f x f x f x dx f x df x    2018 0 2018 2018 0 0
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho F x là một nguyên hàm 1    của hàm số y  với x
 R \   k,k Z , biết F 0 1; F    0 . Tính 1 sin 2x  4      11  P FF     .  12   12 
A. P  2  3 . B. P  0 .
C. Không tồn tại P . D. P  1 . Lời giải Chọn D. Cách 1: Trang63 1 1 Ta có F (x)= dx = dx ò ò 1+ sin 2x æ p ö 2 2sin çx ÷ + ç ÷ çè 4 ÷ ø íï 1 æ p ö æ p 3p ö ï - cotçx ÷ + + ï ç
÷ C khi x Î ç- + k2p; + k2p÷ ç ÷ 1 ï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø ï = ì ï 1 æ p ö 3 æ p 7p ö ïï - cotçx ÷ + + ç
÷ C khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ç ÷ 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø î íï í 3 ï 1 æ p ö 3 æ p 3p ö ï ï ç ÷ + + ï ç ÷ Î ç ÷ - + + ï - cot x khi x 2 k ; p 2 k p ç ÷ F ( ) C = í = ï 1 0 1 ï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø Để ï ï 2 ï ì Þ ì .Vậy F (x)= . ï ì F ï (p)= 0 ï 1 ï î ï 1 æ p ö 1 3 æ p 7p ö ï C = ïï - cot çx ÷ + + ç ÷ khi x Î ç + 2 k ; p + 2 k p ÷ ç ÷ 2 ïïî 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø î        Khi đó 11 P FF 1      12   12  Cách 2:     11       11  Ta có P FF   F      0  F   F
     FF   0 F    12   12    12    12  0  1 1   dx  dx 1     .  1 sin 2x  1 sin 2x 11 12 12 1 1 1 Ta có   nên 1 sin 2x
sin x cos x2    2 2 cos x     4  0 0 1 1    1 dx  tan x       1 3; 1 sin 2x 2  4    2   12 12   1 1    1 dx  tan x       1 3. 1 sin 2x 2  4 11    2 11 12 12 Vậy P  1 . F x
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm y = x - ¡ \ { } 2 f ( ) 1 = 1 f ( ) 3 = - 2 của hàm số 2 4 xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu F (- ) 1 + F ( ) 4 thức bằng A. - 6 . B. 7 . C. - 14 . D. 0 . Lời giải Trang64 Chọn A.
íïï (2x- 4)dx khi x> 2 íï ï ò ï (x - )2
2 + C khi x > 2 Ta có ï ï F (x) 1 = 2x - 4 dx = ì = ì ò . 2 ïï - ( ï
2x - 4)dx khi x < 2 ï - (x - )
2 + C khi x < 2 ò 2 ï ïî ïî íï 2 í F ( ) 1 = 1 íï - 1+ C = 1 íï C = - 3 ï ï ï ï ï (x- ) 2 - 3 khi x > 2 ï Do 2 1 ì Þ ì Û ì nên . ï F (x)= ì F ï ( ) 3 = - 2 ï 1+ C = - 2 ï C = 2 2 ï î ïî 1 ïî 2 ï - (x- ) 2 + 2 khi x < 2 ïî Vậy F (- )
1 + F (4)= - 9 + 2 + 4 - 3 = - 6 .
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số f (x) xác định trên 2 æ 1ö 1 æ ö ¡ \ {- 1; } 1 và thỏa mãn f ( ¢ x)= , f (- ) 3 + f ( ) 3 = 0 và f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2. Giá trị của 2 x - 1 çè 2÷ø çè2÷ø biểu thức f (- ) 2 + f ( ) 0 + f (4) bằng
A. 2ln 2- 2ln 3- ln 5 .
B. 6ln 2- 2ln 3- ln 5 .
C. - ln 5 + 2ln 3+ 2ln 2 + 1.
D. 2ln 3- ln 5 + 6 . Lời giải Chọn C. 1 1 Có f ( ¢ x)= - . x - 1 x + 1 íï x æ - 1ö ï lnç + ÷ ï ç
÷ C khi x < - 1È x > 1 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó ï f (x)= f ( ¢ x)dx = ì ò . ï 1 æ - x ö ïï lnç + ÷ ç
÷ C khi - 1< x < 1 2 ï ç ï èx + 1÷ø î Có f (- ) 3 + f ( )
3 = 0 Û ln 2 + C + ln 2 + C = 0 Û C = ln 2 . 1 1 1 æ 1ö 1 æ ö Có f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2 ç
Û ln 3 + C - ln 3 + C = 2 Û C = 1. è 2÷ø çè2÷ø 2 2 2 íï x æ - 1ö ï lnç ÷+ ï ç
÷ ln 2 khi x < - 1U x > 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó: ï f (x)= ì . ï 1 æ - x ö ïï lnç ÷+ ç
÷ 1 khi - 1< x < 1 ï ç ï èx + 1÷ø î Vậy f (- ) 2 + f ( ) 0 + f ( )
4 = ln3+ ln 2 + 1+ ln3- ln5+ ln 2 = - ln5+ 2ln3+ 2ln 2 + 1. Trang65
Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t  2
t  3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B       t t v t
a t dt  t  3t 3 2 3 2 dt    C 3 2 t t
Do v  10m / s C  10  v t  3 2 3   10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S    10dt  m  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4
Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 (m/ s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với v(t)5t 1
 0(m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ
lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét. A. 8 . m B. 10 . m C. 5 . m D. 20 . m Lời giải Chọn B.
Thời điểm đạp phanh ứng với t 0  .
Thời điểm xe dừng hẳn ứng với v(t)5t 1  00  t 2  . 2
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng. v(t)dt 1  0( ) m  . 0
Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t  2
t  3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Trang66 Lời giải Chon B       t t v t
a t dt  t  3t 3 2 3 2 dt    C 3 2 t t
Do v  10m / s C  10  v t  3 2 3   10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S    10dt  m  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4  3  2
20x  30x  7
Câu 140: Biết rằng trên khoảng ;  
 hàm số f (x)  có một nguyên hàm  2  2x  3 2
F(x)  (a x bx c) 2x  3 (trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S a b c bằng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải. Chọn B 2 1
(2ax b)(2x  3)  (a x bx c) Ta có: 2
F '(x)  (2ax b) 2x  3  (a x bx c).  2x  3 2x  3 2
5ax  (6a  3b)x  3b c
Từ đó rút gọn tử thức ta được: F '(x)  2x  3
Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta có: 2 2
5ax  (6a  3b)x  3b c
20x  30x  7  3 
F '(x)  f (x)   trên khoảng ;    2x  3 2x  3  2   5a  20  a  4  
Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:  6
a  3b  30   b   2    3
b c  7 c  1  
Suy ra S a b c  3.
2x f '(x)
Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim  2 . Tích phân x0 2x 1
f '(x)dx 0 Trang67 3 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Lời giải Chọn B Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. Cách giải:
2x f '(x) Ta có lim
 2 mà lim2x  0 nên lim2x f '(x)  0  lim f '(x)  0  f '(0)  0 (vì nếu x0 2x x 0  x0 x0
2x f '(x)
lim 2x f '(x)  0 thì lim    2 ) x0 x0 2x
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '(x)  .
m x x   1  x  2
2x mx x   1  x  2
2  m x   1  x  2 2  2m Từ đề bài ta có lim  2  lim  2   2  m 1 x0 x0 2x 2 2
Nên f x x x   x   3 2 '( ) 1
2  x  3x  2x 1 1 1 Từ đó
f '(x)dx    3 2
x  3x  2xdx  . 4 0 0 Chọn B.
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH

Câu 142: Cho hình (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y
x 1 , y  1 x và trục Ox. Diện tích
của hình  H  (H) bằng 4 7 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 Lời giải Chọn B. Trang68
Gọi H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1; y  0; x  0(Tam giác cong OAB ). 1 
H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 ;xy  0;x  0(Tam giác OBC). 2 
Diện tích hình hình phẳng cần tính là: 0 1 2 3 2 0  x  1 2 1 7
S S  Sx dx   x dx x      x      H  H  1 1   1 1 2 3 1  2 0 3 2 6   1  0
Câu 143: Cho hình chữ nhâ ̣t ABCD AB  4 , AD  8(như hình vẽ). B M C E F D A N
Gọi M , N, E, F lần lươ ̣t là trung điểm của BC , AD , BN NC . Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh tru ̣c AB . A.100 . B. 96 . C. 84 . D. 90 . Lời giải Chọn B.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B O, AB Ox, BC  . Oy
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y  ; x y  8  ;
x x  0; x  2 quay quanh trục . Ox 2 2 V   x   8 x2 2
dx   16x  64dx   96. 0 0 Cách khác: Trang69
Gọi I là trung điểm AB .
Gọi V là thể tích khối nón cụt tạo bởi CFIB quay quanh AB , 1 1 296
V có chiều cao là 2 , bán kính đáy là r  6 và R  8.  V   .2 2 2 6  6.8  8   1  1 3 3
Gọi V là thể tích khối nón tạo bởi BEI quay quanh AB , 2
V có chiều cao là 2 và bán kính đáy là 2. 2 8  V   . 2 3
Ta có thể tích cần tính V V V  96 . 1 2 ˆ ˆ ˆ
Câu 144: Cho hình thang vuông ABCD A D  90 , CD  2AB , C  45 . Gọi M là trung điểm
CD , gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AM , BM . Biết CD  8 , tính thể tích V của vật
thể tròn xoay khi quay tứ giác HKCD quanh trục AD . A. 96 . B. 84 . C. 72 . D. 60 . Lời giải Chọn B.
Ta có AB  4 , B
MC vuông cân tại M nên AD BM  4 . Gọi O là trung điểm của AD .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho OD Ox, OK Oy. Trang70
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y  2  ;
x y  2x  4; x  0; x  2 quay quanh trục . Ox 2 2
V    2x  42 2  x2 dx 2
  32x  20x 12dx   72 . 0 0
Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. 4 cm A B O 6 cm I
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích  3
V cm  của vật thể đã cho. 72 72 A.V  . B.V   . C.V 12 . D.V  12. 5 5 Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 cm A B O 6 cm I 3
Gọi phương trình của Parabol là 2
y ax  6 . Do P qua điểm B 2;0 nên a  . 2 Trang71 3 2 y  6 Vậy  P 2 : y
x  6 suy ra x   . 2 3 0 2 y  6
Thể tích vật thể cần tính bằng V   dy  12  . 3 6 
Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm
ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol
chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần 3
trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
chiều cao của bên đó (xem hình). 4
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 3
cm / phút. Khi chiều cao của
cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm (xem
hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều
cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 8 cm . B. 12 cm . C.10 cm . D. 9 cm . Lời giải Chọn C. Trang72 8
Chiều cao khối trụ bằng h . 3
Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol .Gọi  P là đường
Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8 suy ra bán kính của nó bằng 4 .
Do (P) có đỉnh là O(0; 0) nên phương trình 2
(P) : y  ax . 1 1 (P) đi qua (
A 4; 4) nên a  . Vậy phương trình 2 (P) : y x . 4 4
Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của
(P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 p . h Ta có 2
V   (2 y ) dy  2  2 h . 0
Lượng cát chảy trong 30 p là 3 2,9.30  87(m ) . Vậy V  87 2  2 h  87 87  h  . 2 4
Chiều cao hình trụ bên ngoài là l  2. h  10 . cm 3 Trang73 Chọn đáp án C.
Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và
cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ).
Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,
hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu? A. 425162 lít. B. 21258 lít. C. 212, 6 lít. D. 425, 2 lít. Lời giải Chọn D.
+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm : 30cm  3d ;
m 40cm  4dm
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ Gọi phương trình 2
(P) : x ay by c Trang74  a  4 
(P) đi qua các điểm (
A 4; 0); B(3;5) và C(3; 5
 ) nên ta có b  0  1 c    25 1 Vậy phương trình của 2 (P) : x   y  4 25
Thể tích của thùng rượu là : 5 1 2 2 V   (  y  4) dy  3
 425,2dm  425,2l 25 5  Suy ra đáp án D.
Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá  2
1 m  của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao
nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). 2m 1, 5m 5m
A. 6.520.000 đồng. B. 6.320.000 đồng.
C. 6.417.000 đồng. D. 6.620.000 đồng. Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A 2
 ,5;1,5 , B2,5;1,5 , C 0;2 . Trang75
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng 2
y ax bx c , với a; ; b c   .
Do Parabol đi qua các điểm A 2
 ,5;1,5 , B2,5;1,5 , C 0;2 nên ta có hệ phương trình  2 2    a( 2  ,5)  ( b 2  ,5)  c  1,5 a   25  2 a( 2  ,5)  (
b 2,5)  c  1,5  b  0 .   c  2  c  2   2
Khi đó phương trình Parabol là 2 y   x  2 . 25
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 2 y  
x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  2, 5 , x  2, 5 . 25 2,5  2  Ta có 2 S   x  2 dx  55    .  25  6 2  ,5
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S   55 . 700.000  .700000  6.417.000 6 (đồng).
Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x    là một tam
giác đều có cạnh là 2 sin x .
A. V  3
B. V  3
C. V  2 3
D. V  2 3 Lời giải Chọn D. x 2 2 sin 3
Diện tích thiết diện là S x   3 sin x 4 b
Áp dụng công thức V S
 xdx  3sin xdx  2 3  . Chọn D. a 0
Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng100m, trục nhỏ bằng 80m . Người ta thiết kế mô ̣t
mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa , phần còn la ̣i trồng rau .
Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi 2
m trồng rau và 10.000 đồngmỗi 2 m trồng hoa. Hỏi
thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
A. 25.708.000 . B. 51.416.000. C. 31.415.000 . D.17.635.000 . Trang76 Lời giải Chọn B
Diê ̣n tích phần hoa là: S  4000 2
Diê ̣n tích phần rau là: S  2000  4000 1
Vâ ̣y thu nhâ ̣p đến từ mảnh vườn là: T S .5000  S .10.000  51.416.00 . 0 1 2
Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính 30 . m Trong lòng hình
tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường
kính và trục bé bằng mô ̣t phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip
trùng nhau), phần còn la ̣i làm hồ . Biết chi phí để trồng mô ̣t 2
1m hoa hồng là 500.000đồng, chi phí làm 2
1m hồ là 2.000.000 đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu ? (Kết quả
làm tròn đến hàng nghìn). A. 706.858.000 B. 514.160.000 C. 1.413.717.000 D. 680.340.000 Lời giải Chọn B
Diê ̣n tích hình tròn là: 225.
Diê ̣n tích elip hay diê ̣n tích trồng hoa là: S ab  75 1
Diê ̣n tích phần làm hồ là: S  150. 2
Vâ ̣y chi phí để thành phố phải bỏ ra là: T S .500.00  S .2.000.000  514.160 0 . 0 . 0 1 2
Câu 151: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  3x và nửa đường tròn có phương trình 2 y  4  x với 2
  x  2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H  bằng y 2 x -2 O 2 2  5 3 4  5 3 4  3 2  3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. Trang77
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3x  4  x , Đk: 2   x  2 4 2 2
 3x x  4  0  x  1  x  1  .   P 2 : y  3x 
Hình  H  giới hạn bởi:   C 2 : y
4  x có diện tích là: x  1  ; x  1  1
S    4  x  3x  1 1 2 2 2 2 dx  4  x dx  3x dx   . 1  1  1     1 I I2 1 3 2 3 * Ta có: 3 I x  . 2 3 3 1  1     * Xét 2 I  4  x dx
:Đặt x  2sin t,t   ;
; dx  2costdt . 1    2 2  1   
Khi x  1  t  
x  1  t  . 6 6   6 6     Ta có: I  4   2 1 sin x 2 2 cos d t t  4 cos d t t
(Do cost  0 khi t   ; ) 1      2 2    6 6   6          3 t  6 1 2
1 cos 2 dt  2 t  sin 2t    2  .  2       3 2    6 6   3  2 3 2  3 Vậy S  2       . 3 2 3 3   Cách khác: y 2 M' M A' A -2 O 1 x 2
- Giao điểm của  P 2
: y  3x và C  2 : y
4  x M 1; 3,M ' 1  ; 3. Trang78 - Có  
AOM  60  MOM '  2  30  60 . Suy ra diện tích hình quạt OMM ' là 60 2 2 S  . .R  . 1 360 3 O
M : y  3x  1 3
- Gọi S là diện tích giới hạn bởi   P 2
: y  3x . Suy ra S   2 3x  3x dx   . 2  2  6 0 x  0, x  1  2  3
- Diện tích hình  H  là: S S  2S  . 1 2 3
Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số p, q thỏa mãn các điều
kiện: p  1, q  1 1 1,   1 
và các số dương a, b . Xét hàm số p 1 y x
(x  0) có đồ thị là C . p q
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành, đường thẳng x a ; S là diện tích 1 2
hình phẳng giới hạn bởi các C , trục tung, đường thẳng y  ;
b S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x a, y b . Khi so sánh S S S , ta nhận 1 2
được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? p q a b p 1  q 1 a b p 1  q 1 a b p q a b A.   ab B.   ab C.   ab D.   ab p q p 1 q 1 p 1 q 1 p q Lời giải Chọn D. a a p px a Ta có p 1 S x dx    1 . p p 0 0 1 Ta lại có: p 1  y x   (x  0) p 1 1  x py y  . 1 1  p
Mặt khác: p  1, q  1,   1 1 1   . p q p q b b 1 p p p 1 p 1 qb p 1 S y    dyp 1  .y p 1  b  2 . p p q 0 0 Trang79 S  . a b P q a b
Do S S S    ab . 1 2 p q Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường x
y e , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng
x k 0  k  ln 4 chia  H  thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2
S .S lớn nhất. 1 2 25 A. k  9 ln . B. k  8 ln . C. k  5 ln . D. k  ln . 4 4 3 2 Lời giải: Chọn D k ln 4 k Ta có x S e dxkx e ke 1 S e dx   4 ke 1 và 2 0 0 k Ta có . k  1 4 k S S e
e   k 2 5 k e e  4 1 2    2   k 5 9 9   e       2  4 4 9   k 5
Suy ra S .S lớn nhất bằng khi e  5  k  ln  . 1 2 4 2  2 
Câu 154: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường 2
y x , y  0, x  0, x  4. Đường thẳng
y k 0  k  16 chia hình  H  thành hai phần có diện tích S , S (hình vẽ). Tìm k để S S 1 2 1 2 Trang80 A. k  3. B. k  4 . C. k  5. D. k  8 Lời giải : Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x k x k Ta có 4 4 3 x 64 ● 2
S S x dx   .  1 2 3 3 0 0 4 k 3  x  2k k 64 ● S    2
x k dx    kx  4  k   . 1    3  3 3 k 0 1 k k
Yêu cầu bài toán  S S  2 64 32 S  4  k   
 2k k 12k  32  0 1  1 2  2 3 3 3
t k 0t4   3 2
2t 12t  32  0  t  2  k  4.
Câu 155: Cho parabol P : 2
y  x  2x , có đỉnh S A là giao điểm khác O của P và trục hoành.
M (x ; y ) là điểm di động trên SA ( M (x ; y ) không trùng với S ) . Tiếp tuyến d của P tại 0 0 0 0
M cắt Ox ,Oy lần lượt tại E F . S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng 1
d và trục 0 y , S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng d và trục 0x . Khi 2
tổng S S nhỏ nhất, giá trị của P x y bằng: 1 2 0 0 23 44 20 A. B. C. D. 4 9 9 9 Lời giải: Chọn C Trang81
Tiếp tuyến tại M  2 ;
m 2m m ,1 m  2 có phương trình:
y    m x m 2 2 2
 2m m y    m 2 2 2 x m m
Ta có: E m  2 2 0; ; F
;0 với 1 m  2   2m  2   2 Gọi 4
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và trục hoành: 2 S
x  2x dx  .  3 0 4 4 1 m m S   OEF 2 2m  2 4 m   1
Tathấy, S S S
S, S S min  S min 1 2   OEF  1 2 OEF 4 3 m  4  4
Khảo sát hàm f m  1
  m  2 ta được Min  khi m  .   f m 4m   1  3  3 3   4  4 28 4 S S min    m  4 8 M ( ; ) 1 2    khi . Khi đó .  3  3 27 3 3 9 20
Vậy x y  . 0 0 9
Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y
x , y  0 và x  4 quanh trục Ox. Đường thẳng
x a 0  a  4 cắt đồ thị hàm y x tại M. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 1
quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết V  2V . Tìm giá trị a 1 Trang82 5 A. a  2 . B. a  2 2 . C. a  . D. a  3. 2 Lời giải Chọn D. y x
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do  H  :  y  0 quay quanh Ox x  4  4 4
V    x2dx  d x x  8  0 0
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do  H : O
MH quay quanh Ox 1  1 Khi O
MH quay quanh Ox tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh O , trục ON , bán
kính đáy NM và khối nón đỉnh H , trục HN , bán kính đáy NM 1
V    a 2 1
a    a 2 4  a 1   3 3 1  V  . .4 a 1 3 4
V  2V  8  2.  .a a  3 . 1 3
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 2
y x y x  2 bằng 13 21 9 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 2 2 Lời giải Chọn C
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2
y x y x  2 là 2
x x  2 suy ra x  2  và x 1. Trang83
+) Nhận xét rằng đồ thị 2
y x chỉ cắt đồ thị y x  2 trên  ;
 2 (có thể dựa vào đồ thị vẽ
ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2
y x y  2  x . 1 1 2 3  x x  +) Ta có S    2
2  x x dx   2x     9 . Chọn C.  2 3  2 2  2  1
Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x  ; x  ;
1 y  0 và đồ thị hàm số 2 y  log . x 2 1 1 1 1 1 1 1 A.   . B. . C.   . D.  . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A   +) Đồ 1 1
thị y  log x cắt đường thẳng x  tại A ; 1
 và cắt đường thẳng x 1tại B 0 ; 1 ( ). 2   2  2  1 1
+) Diện tích hình phẳng cần tính S  | log x |dx   log x d . x   2 2 1 1 2 2 1 1 1
+) S    x log x 1  . x dx  2  x ln 2 1 2 2 1 1 1  1 1 1 1 1 +) S 2  x log        Chọn A. 2 1 . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2
Câu 159: Cho hàm số 4 2
y ax bx c có đồ thị C , biết rằng C đi qua điểm A 1  ;0.
Tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình 28
phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng (phần 5
gạch chéo trong hình vẽ). Trang84
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị C và hai đường thẳng x  1; x  0 bằng 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 5 9 5 9 Lời giải Chọn A +)Điểm A 1
 ;0 thuộc đồ thị C  a b c  0
+) Phương trình tiếp tuyến tại A 1
 ;0 là d  : y y '  1  x   1  y   4
a  2bx   1 .
+) Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là
 a bx   4 2 4 2
1  ax bx c   *  4
a  2b c
+) Mà x  0, x  2 là nghiệm của (*) suy ra   1  1
 2a  6b 16a  4b c 2 28 32 8 28 +) Có     4
a  2bx   4 2
1  ax bx c dx    4 4
a  2b 
a b  2c  2 5 3 3 5 0 +) Từ  
1 , 2 ta được a  1,b  3, c  2 suy ra 4 2
y x  3x  2 . 0 1
+) Vậy diện tích cần tính là 4 2 S
2x  2  x  3x  2 dx   . Chọn A. 5 1 
Câu 160: Cho parabol  P 2
: y x và hai điểm ,
A B thuộc P sao cho AB  2 . Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi P và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng: 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải y A B x 1 Chọn C. Trang85
+) Gọi đường thẳng d : y ax b
Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: 2
x ax b  0
Đường thẳng cắt P tại hai điểm phân biệt , A B khi 2
  a  4b  0 .
x x a
Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x ; x x . Khi đó ta có 1 2  1 2  1 2
x .x  b  1 2
Gọi giao điểm của d và  P là Ax , y , B x , y . 1 1   2 2  2 2 2 2
Ta có: AB  2   x x    y y   4   x x  2
 4x x   a x x  4x x   4 2 1 2 1 2 1 1 2  2 1 1 2       4 2 a  4b 2  a  2 a  4b 2
 4  a  4b  * 2   a 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và  P là: x x xax x  2 S
x ax b dx     2
ax b x  2 2 3 2 2 dx    bx   1 x 1 x  2 3  1x 2 3 2 3 ax xax x        
     a    bx bx x
x   x x  2 2 x x x x 2 2 1 1 2 1 2 1  b  2 1 2 1 2 1  2 3  2 3   2 3  3  2    2 2 2      a 4 4 b a a b a b 3 2      x x  2 2 a 1 4 1 2  b   a  4b.    . . 2 1    2 3  6 6 6 3 a  3 2 1 1 4 Vì 2 a 1  1, a    1 S   nên . 3 a  3 2 1
Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018]Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình
phẳng giới hạn bởi các đường x
y , y  x  2, x  0 quay quanh Ox có giá trị là kết quả nào sau đây 1 3 32 11 A. V   . B. V   .C.V   . D. V   . 3 2 15 6 Lời giải Chọn C. 2 x y Ta có x y   . x; y  0 Trang86
Phương trình hoành độ giao điểm là x 1 (TM ) 2
x  x  2  .  x  2  (L) 1 2 32
Thể tích cần tìm là:V     x2 4  x  dx     15 0
Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m , trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần
bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn
trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2
m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng rau.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ). A. 31904000 . B. 23991000 . C. 10566000. D. 17635000. Lời giải Chọn B 2 2 x y
Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip  E : 
 1(với a b  0 ) là ab 2 2 a b 2 x
Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình y b 1 . Do Ox, Oy là 2 a a 2 x
trục đối xứng của elip  E nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip  E là S  4 b 1 dx  2 a 0 .       2 2
Đặt x asint với t   ; 2 2 
 ta được S  4b 1 sin td
asint  4ab o c s tdt  ab .  2 2  0 0
Xét mảnh vườn: a  50, b  40 
Diện tích trồng cây con là: S   S    c OAB    2 .40.50 2 500 m  4
Diện tích trồng rau là: S   .40.50    2500  3  2500 r
Thu nhập từ mảnh vườn là:   2500.2000  3  2500.4000  23991000 .
Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính 6 cm . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip
khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F , F . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối 1 2 Trang87
cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4 cm , 2 cm . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của a a quả đào bằng   3
cm  với a,b là các số thực và tối giản, khi đó a b bằng b b A. 97 . B. 36 . C. 5 . D. 103 . Lời giải Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ O , hai tiêu điểm nằm trên trục 2 2 x y 2 x
Ox . Khi đó phương trình Elip là   1, xét y = 1- . 4 1 4
Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: 2 2 2  x  8 2
V  2 y dx  2 
 1 dx   . 1 0  4  3 0 4
Thể tích quả đào hình cầu 3 V  .3  36 . 3 Do đó thể 100
tích phần cùi của quả đào là V V
 . Do đó a b  97. 1 3
Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Eli p có độ dài trục lớn là AA'  8 , độ dài trục nhỏ là BB'  6 ;
đường tròn tâm O đường kính là BB 'như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay
có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình phẳng
được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh tru ̣c AA'. Trang88 B A A' O B' 64 A. 36 . B.12 . C. 16 . D.  . 3 Lời giải Chọn B
Gắn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O là tâm của đường tròn, ,
A A ' Ox , B, B ' Oy . 2 2 2 x
Phương trình elip là x y
 1, xét y  3 1 . 16 9 16 2 4  x
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục Ox là:V  2 9
 1 dx  48 . 1 0  16  4 Thể tích khối cầu là: 3 V  .3  36 . 3
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V V  12 . 1 55
Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với AB  30 cm, AD
cm . Người ta cắt miếng tôn 3
theo đường hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết AM  20cm ,
CN  15 cm , BE  5 cm .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn
quanh trục AD (kết quả làm tròn đến hàng trăm). Trang89 A. 3 81788 cm . B. 3 87388 cm . C. 3 83788 cm . D. 3 7883cm . Lời giải Chọn C
Chọn hệ trục Oxy sao cho A O , DOx , B Oy .
Ta có BE  5 suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T  20 .   Suy ra phương trình đồ x
thị hình Sin cần tìm có dạng: y a sin  b   . 10     Do đồ 55
thị hình sin đi qua M 0; 20 , N ;15   nên ta có:  3    1  a sin .0  b  20     10  a 10    .   1 55  b   20 a sin .  b 15    10 3    Ta có phương trình đồ x
thị hình sin cần tìm là y  10sin  20   . 10  2 55  x  Thể tích cần tìm là: 3 3    10sin
 20 dx  83788cm      . 0  10  
Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với
vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường
S mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. S 23, 71km . B. S 23, 58 km . C. S 23, 56 km . D. S 23, 72 km . Lời giải Chọn A Trang90 Với t   0;  1 , gọi 2
v(t)at bt . c Ta có :
v(0)4; v(2)9; hoành độ đỉnh parabol bằng 2 nên ta có hệ phương trình:   5  a c4   4 
4a2bc9   b5 .   b     c 4 2   2a
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ bằng : 1  5  73 2 S
t 5t4 dt km  . 1    4  12 0 Với t (
 1;4], gọi v(t)mt .
n Ta có hệ phương trình :  31  5 mn  m    4  
4 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 đến 4 giờ 4mn4  n9 4  5  141 bằng : S   t9 dt km  2    4  8 1
Quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ bằng : S S S 23,71km . 1 2
Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x , x  0, x a với    1 a  ;   là  3
  4 2  3 hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây?  4 2  2  7   51 11   11 3   51  A. ;1  . B. ;   . C. ;   . D. 1;   10   50 10  10 2   50  Lời giải ChọnB.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x , x  0, x a a S
sin x  cos x dx  0   4 a 4 a
 sin x  cos x dx + sin x  cos x dx  
 cos x sin xdx sin x cos xdx 0  0  4 4 Trang91  4 a   a
cos x  sin xdx  cos x sin xdx  2 1sin x  cos x   2 2 1cosa sin a . 0  4 4 Theo bài ra ta có:       3   4 2  3  2
  4 2  2cosa  3 1 5
2sin a  sin a    sin   .  4  2 2 12  7     a    a   51 11 1, 047  a  ,   . 4 12 3  50 10 
Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho một mảnh vườn hình chử nhật ABCD
có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường
parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện.
Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại. 1 3 1 2  3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 7 Lời giải Chọn D.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: 2 2
Ta lập được phương trình các parabol là 2 y x và 2 y  
x  2 . Khi đó mảnh vườn nằm ở 9 9 2 2
miền trong hai parabol là hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 2 y x và 2 y   x  2 . Khi đó 9 9 3 2 4
diện tích của mảnh vườn nằm trong hai parabol là: 2 2 S  2 (
x  2)dx  4 2 m  . 9 0
Diện tích hình chử nhật là: 2 12m
Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại 4 2 2  3 2 là:  12  4 2 7 Trang92
Câu 169: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường 2
y x , y  0, x  0, x  4 . Đường thẳng
y k 0  k  16 chia hình  H  thành hai phần có diện tích S , S như hình vẽ. Tìm k để 1 2 S S . 1 2 A. 8 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D. Xét phương trình 2
x k x k  0; 4 . 4 4 4 3   Khi đó x 2 64 2 S x k dx  
  2x k dx   kx  k k 4k  . 1   3  3 3 k k k 4 64 2
S x dx S   S  2 1 1 3 0 64 32 2 32
Theo giả thiết ta có S S S   S S
k k  4k   0  k  4. 1 2 1 1 1 3 3 3 3
Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số 2
y  6x x và trục hoành. Hai đường thẳng y  ,
m y n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính 3 3
Q  (9  m)  (9  n) Trang93 A. Q  405 . B. Q  409 . C. Q  407 . D. Q  403 .
Câu 171: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường 2
y x x 1 ;
y  0 ; x  0 và x  3 . Đường thẳng x k với
1  k  3 chia hình (H) thành 2 phần có diện tích là S 1
S . Để S  6S thì k gần bằng 2 1 2 A. 1,37. B. 1,63. C. 0,97. D. 1,24.
Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao 20 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có
độ dài trục lớn bằng 10. Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích V , 1
nửa dưới có thể tích V . Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm 2 V
thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là 8 và 14 . Tính tỉ số 1 . V2 11 9 9 6 A. . B. . C. . D. . 20 11 20 11 Lời giải Chọn B. h h
Ta có công thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính R là 2 1 2 V    R  .  2 
Theo bài ra ta có h  8; h  14 , thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng 10 . 1 2 Trang94
Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ 2 2
2R  10  6  R  4 .    Khi đó 8 14 V 9 2
V   .4 .20  320 ; 2 V  .4 .
176 V V V 144 . 1   . 2    2  1 2 V 11 2
Câu 173: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
x , cung tròn có phương trình 2 y  6  x  6
  x  6 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục . Ox y A. V  8 6  2 . B. 22 22 22 V  8 6  .
C. V  8 6  .
D. V  4 x  6  . 3 3 3 - 6 O 6 Lời giải Chọn D. 0  x  6
Tọa độ giao điểm là nghiệm số phương trình   x  2 2
 x  6  x
Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình D 0  
V     6  x  2 2
dx     6 x 2    x2 2 2 dx     6 0 0
V    6  x  2 2 dx    2
6  x xdx  6 0 Trang95 0 2 3 3 2  x   x x
V    6x  
  6x    3 3 2      6 0  6 6   8  V    6  6    12   2      3    3  22 V  4 6  . 3 Vậy đáp án D.
Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2
đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé
của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2
Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
A. S  4,8 .
B. S  3, 9 .
C. S  3, 7 . D. S  3, 4 . Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Trang96 y x O 2 2 x y
Phương trình của Elip ( E ) nằm ngang:   1 1 4 1 1
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y  4  x 1 2 2 2 x y
Phương trình Elip ( E ) đứng:   1 2 1 4
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y  2 1 x 2 1 2 5 Xét phương trình: 2 2
4  x  2 1 x ; x  0 có nghiệm x  . 2 5
Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình : 2 y  4  x Diện tích cần tính là 2 5 5 2 1 2 2 2 2 S  4(
( 4  x  2 1  x )dx  ( 4  x  4  x )dx)   2 0 2 5 5 2 5 5 2 1 2 2 2  4(
( 4  x  2 1 x )dx  4  x dx   2 0 2 5 5
Sử dụng máy tính ta được S  3, 7 .
Câu 175: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai
cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ
lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). Trang97 A. 2 1, 034m . B. 2 1, 574m . C. 2 1, 989m . D. 2 2, 824m . Hướng dẫn giải Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi hai sợi dây được kéo căng và là phần giao của hai đường tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O, M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm (O) 2 2 2
: x + y = 3 và phương trình đường tròn tâm (M ) (x - )2 2 2 : 4 + y = 2
Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: 2 y = 9 - x y = - (x - )2 4 4 Phương trình hoành độ 21
giao điểm: 4 - (x - 4)2 2 =
9 - x Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 21 é ù ê8 3 ú 2 ê ú
Diện tích phần được tô màu là: S = 2 4 - êò (x - 4) 2 dx + 9 - x dx » 1, 989 ò ú . ê ú 2 21 ê ú ë 8 û
Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.
Câu 176: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m .
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2
1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để
trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Trang98 8m Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 x y
Giả sử elip có phương trình 
 1, với a b  0 . 2 2 a b
Từ giả thiết ta có 2a 16  a  8 và 2b 10  b  5  5 2 y   64  y E 2 2   1  x y 8
Vậy phương trình của elip là  1  64 25 5  2 y
64  y E1   8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E ; E ; x  4
 ; x  4 và diện tích 1   2 4 4 5 5 của dải vườn là 2 2 S  2 64  x dx  64  x d   x 8 2 4  0   3 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8sin t , ta được S  80    6 4    3 
Khi đó số tiền làT  80 
.100000  7652891,82  7.653.000 .  6 4 
Câu 177: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 y x
x 1 , trục Ox và đường thẳng x 1
a b  ln 1 b  bằng
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính a b c . c A.11. B.12. C.13. D.14. Lời giải Chọn C. 1 1 Ta có 2 2 2 S x x 1 dx  . x x x 1 dx   . 0 0 Trang99 u   x    du dx  Đặt  1 suy ra  1 . Khi đó,
dv x x 1 dx  x  1 2 2 1 d  2 2 x   1 v    2x   2 1 x 1  2  3 1 S x x   1 1 1 2 2 1 x 1   2x   2 1 x 1 dx 3 3 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2  S  2 2  x x 1 dx x 1 dx   3 3 3 0 0 1 2 2 1 1   2  S   S II x 1 dx   3 3 3  0  2 IS   . 2 4 1 Ta tính 2 I x 1 dx  . 0  x 2    du  dx  Đặ u x 1 t  suy ra 2  x 1 . Khi đó, dv  dx v x 1 2 1 1 x  1  2 2
I x x 1  dx  2    x 1 dx 2 2 0     0 x 1 0 x 1 1 1 1 2  I  2  x 1dx  dx   2  0 0 x 1
I  2  I  ln x x 11 2 1 2   ln 1 2. 0 2 2   3 2 ln 1  2 2 1 2 1 Vậy S     ln  1 2     .  2 4 2 2 8  
Tức a  3, b  2, c  8 . Vậy a b c 13.
Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18 m, chiều
rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình
giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số AB bằng CD 1 4 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 2 1 2 2 Trang100 A 18m B C D 12m Lời giải Chọn C y 6 O x I A B J D C K -18 E F
Thiết lập hệ toạ độ Oxy trong mặt phẳng như hình vẽ. Khi đó parabol có phương trình 1 2 y  
x . Gọi phương trình các đường thẳng là AB : y t , t  0 CD : y k , k  0 2  x  2  t , x  2
k .Đường thẳng EF : y  18. Diện tích tam giác cong OKF là: B D 6  1  2
x 18 dx  72   .  2  0 2  t  1 
Từ giả thiết suy ra: diện tích tam giác cong OBI  24, OJD  48  2
x t dx  24     2  0 2  k  1  y và 2
x k dx  48    . Từ đó giải được 3 x  72 ; 3 x  144   2  B D 0 AB x 1 B   . 3 CD xD 2 1  O 1 x O
Câu 179: Cho hàm số y f x 3 2
ax bx cx d,a, ,
b c   , a  0 có đồ
thị C. Biết rằng đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại Trang101 3 
điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hoành. 27 A. S  9 . B. S  . 4 21 5 C. S  . D. S  . 4 4 Lời giải Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f  x 2  3x 3 .
f x  f
 xx   2x   3 d 3
3 dx x  3x C .
Do C tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ x âm nên 0 f  x  2
 0  3x 3  0  x  1  . 0 0 0 Suy ra f  
1  4  C  2  C 3
: y x  3x  2 x  2  Xét phương trình 3
x  3x  2  0   . x 1 1 27
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S
 3x 3x 2dx   . 2 4
Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y  0 và x  4 quay quanh trục Ox . Đường
thẳng x a (0  a  4) cắt đồ thị hàm số y x tại M (hình vẽ bên). Gọi V là thể tích khối 1
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V V
2 . Giá trị của a 1 thỏa mãn Trang102 M y x K H O a 4 A. a [ ; 3 4) .
B. a [2; 3) .
C. a [1; 2) . D. a  ( ; 0 ) 1 . Lời giải Chọn A. 4 4 x2
Ta có V   xdx    8 
(đvdt)  V  4 (đvdt). 2 1 0 0
Mặt khác V là tổng thể tích hai khối nón tròn xoay VV . 1 OMK HMK 1 a  2 V  .  MK 2.OK
(vì MK a ). OMK 3 3 1 a  (4  a) V  .  MK 2.HK
(vì HK  4  a ). HMK 3 3 4 a  4  V VV  . Từ đó :
a  4  a  3 . 1 OMK HMK 3 3
Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018)Kí hiệu S , S , S lần lượt là diện tích hình 1 2 3
vuông có cạnh là 1 , hình tròn có bán kính bằng 1 , hình phẳng giới hạn bởi hai đường  2 S S
y  2 1 x , y  2 1 x . Tính tỉ số 1 3 . S2 S S 1 S S 1 S S 1 S S 1 A. 1 3  . B. 1 3  . C. 1 3  . D. 1 3  . S 5 S 3 S 2 S 4 2 2 2 2 Lời giải Chọn C.
+ Ta có S  1 ; S   . 1 2 x  0 + Ta thấy phương trình 2
2 1 x  2(1 x)   . Khi đó: x 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
S  | 2 1 x  2(1 x) | dx  2 |
1 x  (1 x) dx | 2 |
1 x  (1 x) dx | 2 | 1 x dx  |      3 2 0 0 0 0 0 1 Tính 2 I  1 x d  x . 0       2 2 1 cos 2  1  
Đặt x  sin t, t  0; 2   , khi đó  cos d  d   sin 2t 2    t t I t t t   .  2  2  2 4  4 0 0 0 Trang103  Suy ra S  1 3 2 S  Khi đó: S 1 1 3  . S 2 2 1 1 2 y Nhận xét: 2 2 1   x dx
S Trong đó S là diện tích Elip 2 x   1 0 0 4 4 0 1  2
S  2  2 1 x dx   0 2 0 y 2 O x 1 1
Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: 3 2 y  2
x x x  5 , 2
y x x  5 , ta được:
A. S  2 (đvdt).
B. S  3 (đvdt).
C. S 1 (đvdt).
D. S  0 (đvdt). Lời giải Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y f x 3 2  2
x x x  5 , x  0
y g x 2
x x  5 là: 3 2 2 3 2
x x x  5  x x  5  2x  2x  0   . x  1  Diện tích giới hạn: 0 1 0 1 S f
 x gx d xf
 x gx d x    f x gxd x   f x g xdx 1  0 1  0    
S   2x 2xd x  2x 2x 0 1 0 1 1 1 3 3 4 2 4 2 d x x xx x 1     (đvdt).  2   2  1  0 1  0
Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườ 1 27 ng sau: 2 y x , 2 y x , y  , ta được: 27 x
A. S  27ln 2 (đvdt).
B. S  27ln 3 (đvdt). C. S  28ln 3 (đvdt).
D. S  29ln 2 (đvdt). Lời giải Trang104 Chọn B. 3 9 3 9  1   27 1  26 9 1 Từ đồ thị ta có: 2 2 2 3 3 S x x x d   x x d  x  27ln x x  27ln 3     . 3  27   x 27  81 81 0 3 0 3
Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường: 3
y = x ;y = - x + 2;y = 0 quanh trục Ox là: 4 10   A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 21 21 7 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x = - x + 2 Û x = 1 ; - x + 2 = 0 Û x = 2 (Hình vẽ).
Khi đó thể tích cần tìm là: 1 2 10p 6 2 V = p x dx + p (- x + 2) dx = ò ò . Chọn đáp án B. 21 0 1
Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình tròn C 2 2
: x y  8 và parabol   2 :  x P y
chia hình tròn thành hai phần. Gọi S là diện tích phần nhỏ, S là diện tích 2 1 2 S
phần lớn. Tính tỉ số 1 ? S2 Trang105 S 3  2 S 3  2 10 S 3  2 S 3 1 A. 1     S 9 . B. 1  2 S 9 . C. 1  2 S 9 . D. 1  2 S 9 . 1 2 2 2 2 x2 f(x) = Lời gi 8 ải 2 Chọn A 6 4 2 x 15 10 5 5 10 15 O 2 4 2 2   2 2 2
Từ đồ thị trên ta có: x 8 2 2 2 2 S  2 8  x  dx  2 8  x dx x dx  2 8  x dx   6    . 1   0 0 0 0  2  3 2 Xét 2 I  8  x dx
. Đặt x  2 2 sint  dx  2 2 cos d t t . 0 Đổi cận: x 0 2  t 0 4   Do vậy ta có: 2 2 4 4 I  8  8sin t.2 2 cos d t t  8 1 sin t cos d t t   0 0     4 2 4 I  8 cos d t t  4 
 1cos2tdt  4t sin2t 4  2 0 0 0  4 S  2  . 1 3 Mặt khác: 4
S S   2 22  8  S  6  . 1 2 2 3 4 2  S   Do vậy ta có: 3 2 1 3   . S 4 9  2 2 6  3
Cách 2: Vì Parabol  P cắt đường tròn C tại điểm chính giữa của cung thuộc góc phần tư
thứ nhất có tọa độ là A2;2 . Xét đường thẳng d : y x thì 2 2 2 2 3  x   x x  4 6  4
S  2  2 x  dx  2  2    2   . 1  2   2 6  3 3 0 0 4 18 4 S 8 S 6       . 2 1 3 3 Trang106   Khi đó S 3 2 1  . S 9  2 2
Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42] 3
Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y
x và đường Elip có phương trình 2 2 x 2
y  1 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H  bằng 4 y 2 x -3 -2 -1 1 2 3 -2 2  3 2   3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 4 Lời giải Chọn A
+) Phươngpháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y f x , đồ b
thị y g x và các đường thẳng x a ; x b a b là S f
 x gxdx. a
+) Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Elip đã cho là 2 x 3 4  x  1  4 2
3x x  4  0 suy ra x  1  . 4 4 2 x 2 x Phương trình 2
y  1  y   1
. Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn 4 4 3 2 x bởi parabol 2 y
x , đồ thị hàm số y  1
và các đường thẳng: x  1  ; x 1. 2 4 Trang107 4
Vì parabol và Elip đều đối xứng qua Oy nên diện tích hình phẳng 3 H  bằng 1 1 2 2  x 3x  1 2 1 x 1 3 3x S 2 2 2       x   2 1
dx  3 x dx    4  x dx   3  I  , H  2 1 d  4 2  4 3 3 0   0 0 0 0 y 1 1 - 3 O 3 với 2 I  4  x dx -8  , -6 -4 -2 2 4 6 8 0 x -1    2 
Đặt x  2sint , t  0; 
 suy ra dxx  2cost dt ; x  0 t  0 ; x  1 t   2  y = - -2 3 y = - 4 - x2 6    -3  6 6 6 6  1   3 2
I  2 cos t 4  4sin t dt  2  4cos t dt   2
 -41cos2tdt  2 t  sin2t      2  3 2 0 0 0 0    Do đó 3  S   2 3  . Chọn A. H  3 6 6
Câu 187: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
x  3y  0 và đường tròn có phương trình 2 2
x y  4 (hình vẽ). Diện tích của  H  bằng 4  3 3 2  3   3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường đã cho là 4 x 2 x   4  4 2
x  9x  36  0 suy ra x   3 . 9 Phương trình 2 2
x y  4  2
y   4  x . Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn Trang108 2
y   4  x  2  xy   bởi các đường:  3
.Vì  H  đối xứng qua Oy nên x   3  x  3 3 2 x 3 2  x  3 3 2 x 2 S 2 2     x x   2 4  x  dx     2 4  x dx  2 dx   H  2 4 d 3  3  3 0 0 0 0  3 3  1  3  2x   4 t  sin 2t    4 3  . Chọn A.  2  9 3 0 0
Câu 188: Tính diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi parabol 2
y  4x x và tiếp tuyến với  5 
parabol kẻ từ điểm M ;6   .  2  9 9 3 4 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 Lời giải Trang109 Chọn A   Phương trình tiế 5
p tuyến với parabol đã cho kẻ từ điểm M ;6 
 là d : y  2x 1 và  1 2  d : y  4  x 16 . 2
Chia hình phẳng  H  thành hai hình lần lượt giới hạn bởi y  2x 1 y  4  x 16   2
y  4x x  2
y  4x x     H :   và  H :  . 2  1  x 1 5  x   5  2 x    2 x  4 5 2 4 Suy ra 2 2  SSS
 2x 1 4x x dx  4
x 16  4x x dx   H   1 H  H2 1 5 2 5 5 4 2 4 x  3 1 x  43 2   9 x  2
1 dx  x  42 dx    . Chọn A. 3 3 4 1 5 5 1 2 2
Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (
x) liên tu ̣c trên R và đồ thị của hàm số y f (x) cắt tru ̣c hoành ta ̣i điểm có hoành đô ̣
a, b, c, d (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trang110
A. f (c)  f (a)  f (b)  f (d ) .
B. f (a)  f (c)  f (d )  f (b) .
C. f (a)  f (b)  f (c)  f (d ) .
D. f (c)  f (a)  f (d )  f (b) . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S , S lần lươ ̣t là diê ̣n ti
y f x , trục Ox từ trái 1 2 3
́ch hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS ( ) sang phải. Ta có: b + S  0  0  f (
x) dx  0   f (b)  f (a)  0  f (a)  f ( ) b , (1).  + 1     a b c S S  0  f (  x) dx f (
x)  0 dx f (a)  f (b)  f (c)  f (b)  f (a)  f (c),(2).   1 2     a b c d + S S f (
x)  0 dx  0  f (x) dx f (c)  f (b)  f (c)  f (d)  f (d)  f (b),(3).   2 3     b c
Từ (1),(2),(3) ta có f (c)  f (a)  f (b)  f (d).
Phân tích: Ý tưởng của bài toán dựa trên sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Trang111
Câu 190: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (
x) liên tu ̣c trên R và đồ thị của hàm số y f (x) cắt tru ̣c
hoành tại điểm có hoành độ a,b, c (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. f (c)  f (a)  f (b) . B. f (c)  f (b)  f (a) .
C. f (a)  f (b)  f (c) . D. f (b)  f (a)  f (c) . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S lần lươ ̣t là diê ̣n ti
y f x , trục Ox từ trái 1 2
́ch hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS ( ) sang phải. Ta có: b + S  0  0  f (
x) dx  0   f (b)  f (a)  0  f (a)  f ( ) b , (1).  + 1     a b c S S  0  f (  x) dx f (
x)  0 dx f (a)  f (b)  f (c)  f (b)  f (a)  f (c),(2).   1 2     a b
Từ (1),(2) ta có f (c)  f (a)  f (b).
Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn  x  3  ; 
3 và đồ thị hàm số y f   x như hình vẽ bên. Biết f  
1  6 và g x  f x  2 1  . 2
Kết luận nào sau đây là đúng?
A.Phương trình g x  0 có đúng hai nghiệm thuộc  3  ;  3 . Trang112
B.Phương trình g x  0 có đúng một nghiệm thuộc  3  ;  3 .
C. Phương trình g x  0 không có nghiệm thuộc  3  ;  3 .
D. Phương trình g x  0 có đúng ba nghiệm thuộc  3  ;  3 . Lời giải Chọn B. 2 (x 1)
g(x)  f (x) 
g '(x)  f '(x)  (x 1). 2
Ta thấy đường thẳng y x  1 là đường thẳng đi qua các điểm  3  ;  2 ,1;  2 ,3;  4 .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y f (
x) ,đường thẳng y x 1, x  3, x 1.
Gọi S 'là diện tích hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS y f (x) , đường thẳng y x 1, x 1, x  3. Do f   1  6  g   1  4. 1 Ta có: S  4  g (
x)dx  4  g(1)  g( 3  )  4  g( 3  )  0.  3  3
S '  4   g (
x)dx  4  g(1)  g(3)  4  g(3)  0.  1
Từ đồ thị hàm số y f   x và đường thẳng y x  1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau: x 3  1 3 g (  x) 0 0 0 + - g(x) 4 g(3)  0 g (3)  0
Từ bảng biến thiên ta có phương trình g x  0 có đúng một nghiệm thuộc  3  ;  3 .
Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn 2 y
2  x và đường thẳng d đi qua hai điểm A 2;0 và B 1; 
1 (phần tô đậmnhư hình vẽ ) Trang113   2 2 3  2 2   2 2 3  2 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. Cách 1:
Phương trình đường thẳng AB : y   2   1 x  2  2 .
Gọi S là diện tích cần tính, ta có 1
S    2  x   2   1 x  2  2  1 1 2 2 dx  2  x dx  
  2  1x 2 2dx.  2  2  2 1 + Tính 2 S  2  x dx  : 1  2    
Đặt x  2 sin t,t   ; 
 . Ta có dx  2 cos d t t .  2 2   
Đổi cận x   2  t   , x  1 t  . 2 4     4 4 4 4 Suy ra 2 2 S  2  2sin t . 2 cos d t t  2 cos t cos d t t  2 cos d t t  1 cos 2t dt     1           2 2 2 2  4  1  3 1  t  sin 2t     .  2   4 2  2     S    1 1
 2  1x2 2 2 1 2 1 2 dx  
x  2  2 x   . 2     2 2    2  2 3  2 2
Vậy S S S  . 1 2 4
Cách 2: Sử dụng MTCT.
Phương trình đường thẳng AB : y   2   1 x  2  2 . 1
Gọi S là diện tích cần tính, ta có S    2
2  x   2  
1 x  2  2 dx .  2
Sử dụng MTCT, tính S , gán giá trị vào biến A . Lấy giá trị A trừ đi các kết quả trong các đáp
án, rồi chọn đáp án có kết quả phép trừ bằng 0 . Đó là đáp án D . Trang114 3
Câu 193: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y
x và nửa đường elip có phương 2 1 trình 2 y  4  x ( với 2
  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi S là diện 2 a  b 3
tích của, biết S
( với a , b , c   ). Tính P a b c . c y 1 O x 2  2 A. P  9 . B. P  12 . C. P  15 . D. P  17 . Lời giải Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là: 2 2 3x  4  x 4 2
 3x x  4  0  x  1  1 1 2    3 1  3 2 3x 1  3  Vậy 2 2 S  2 x dx  4  x dx    2        2 4 x dx   2  S    2 2   6 2  1 6 0 1  1    0  2 Trong đó 1 2 S  4  x dx  . 1 2 1
Đặt x  2sint  dx  2cos d t t . 
Đổi cận x 1  t  . 6 
x  2  t  . 2    2 2 2  1   3 Vậy 2 S  2 cos tdt
 1 cos2tdt t  sin2t   . 1      2   3 4 6 6 6  4  3  4  3 Suy ra S  2     . 12   6
Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  3  ;  3 .
Biết rằng diện tích hình phẳng S , S giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và đường thẳng 1 2
y  x 1 lần lượt là M ; m . Trang115 3 Tính tích phân f
 xdx bằng : 3 
A. 6  m M .
B. 6  m M .
C. M m  6 .
D. m M  6 . Lời giải Chọn D.
Chia diện tích hình phẳng S M S S như trong hình vẽ mô tả dưới đây. 1 11 12 y B 2 S 12 C A 1 3 3  O M N x x 0 S 11 2  S Q 2 4  y  x 1 P f x
Gọi x là hoành độ giao điểm của đồ thi C hàm số y f x với trục Ox . 0 3 0 x 3 Ta có f
 xdx f
 xdxf
 xdx S S S SSm ABC 11  12 CMQ   MNPQ  3  3  0 x
 2  S  S  2 6 m   mM  . Vậy chọn D. 11   12   6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cho b
trước. Nếu xác định được M , m và cho trước g x ta có thể tính được f xdx  . a Trang116
Câu 195: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [- 5; ]
3 . Biết rằng diện tích hình
phẳng S ,S ,S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y g(x) 2 =
= ax + bx + c 1 2 3 3 lần lượt là , m , n p . Tích phân ( ) ò f x dx bằng - 5 208 208 208 208
A. m n p
B. m n p
C. m n p
D. m n p  45 45 45 45 Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm y g x đi qua các điểm O0;0, A 2
 ;0, B3;2 nên  2 a   c  0 15    4 2 4
4a  2b  0  b    g x 2  x x .  15  15 15 9a  3b  2  c  0  2  0 3
m n p   f
  x gxdx g
  x f xdx  f
 x gxdx  5  2  0 3 3  f
 xdxg  xdx. 5  5  3 3
f xdx m n p g x 208
dx m n p    45 5  5  y 5 y= g(x) S3 2 S1 -1 -5 -2 O 2 3 x S2 y= f(x)a  4  Vậy b   1
  P a b c  9. c  6  Trang117
Câu 196: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật  H  có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh
trên một đường chéo là A 1  ;0 và C  ; m
m  với m  0. Biết rằng đồ thị hàm số y x chia
hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . 1 A. m  9 . B. m  4 . C. m  . D. m  3 . 2 Lời giải
Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm B và tính được diện tích một phần mà đường y x chia hình  H  . Chọn D
Từ giả thiết suy ra B  ;0 m  Ox .  S  m   1 m . ABCD
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x; x  0; x  ; m y  0 . Suy ra 1 m m 2x x 2m m S xdx    . 1 3 3 0 0 1 2m mm  1 m
Theo giả thiết ta có S S    m  3 . 1 2 ABCD 3 2 Câu 197: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang vuông ABCD A 1  ;0 và B  ; m 0;C  ; m
m 1; D 1  ;5 với m  1
 . Biết rằng đồ thị hàm số y x 1 chia hình
H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . A. m 12 . B. m  6 . C. m  8 . D. m 10 . Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Sau đó dùng tích phân để
tính phần diện tích đó. Trang118 Chọn C 1 SAD BC AB m   m  . ABCD   1  1 5  1 2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1; x  1  ; x  ; m y  0 . Suy ra 1 m m 2 x   1 x 1 2m   1 m 1 S x 1dx    . 1 3 3 1  1  1 2m   1 m 1 1 1
Theo giả thiết ta có S S
 . . m 1  5 m 1 . 1 ABCD    2 3 2 2
m 1  3  m  8 . x  2
Câu 198: Trong mặt phẳng Oxy A0; 2 , và B  ;0
m  với m  2 . Biết rằng đồ thị hàm số y  (C) x 1 x  2
chia tam giác OAB thành hai phần. Tính diện tích của phần giới hạn bởi y  ; y  0 và x 1
đường thẳng AB theo m . 2 3m  4 m 2 m  4 m 2 m  4 m 2 m  4 m A.  ln . B.  ln . C.  ln . D.  ln . 8 2 8 2 8 2 8 2 Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Chú ý phần diện tích cần
tìm gồm hai phần và tam giác vuông và hình thang cong. Chọn B Trang119 Ta có phương trình đườ x y 2 ng thẳng AB là:   1  y   x  2 . m 2 m
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB : x  2 2  
x  2 (1) ( điều kiện x  1). x 1 m
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương với: x  0 2 2x
m 2 x 0      m  2  x   2
Với x  0  y  2  E 0; 2  A . m  2 m  2
m  2 m  2  Với x   y   F ;   . 2 2  2 2  x  2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ; y  
x  2; y  0 . Suy ra 1 x 1 m m2 2  x  2  m   m m m S dx Sx x   m     . FHBm ln 1  2 2 1 2 2 4 2 . . ln 1   2 x 1 2  2  2 8 2 2
Câu 199: Gọi H là tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn 2z z  3
và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H 3 3 A. 3 . B. . C. . D. 6 . 4 2 Lời giải Chọn C Trang120
2z z  3  2 x yi   x yi  3  x   y2 2 3  3 2 2 2 x x y 2 3  x 1 1 2 2 2
x  9y  3   3y 1   1 2  y  2 2  
3  x y  3  x 3 3 1 9 3 3 3 2 3  x
y không âm nên 0  y  9 3 1 Diện tích cần tìm 2 S  3  x dx   3 3
Đặt x  3 sin t dx  3 costdt  
Cận x   3  t  
; x  3  t  2 2     3 3  1  2 2 S
3  3sin t 3 cos tdt  2 2  2      3cos tdt   2  1 cos 2t   dt t sin 2t     2  2  2   2 2 2  2 3     3        2  2  2  2
Câu 200: Cho hình D 2
giới hạn bởi các đường y x  2 và y   x . Khi đó diện tích của hình D là: 13 7 7 13 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình: x 1 2
x  2   x x 1   x  1
Khi đó diện tích của hình D được xác định bởi: 1 0 1 2 S
x  2  x .dx 2 2 
x x  2 .dx
x x  2 .dx      1  1  0 0 1 2 3 2 3  x x   x x   7 7 7  
 2x    2x    (đvdt)  2 3   2 3  6 6 3 1  0 Trang121