TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và Ứng dụng có đáp án và lời giải

TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và Ứng dụng có đáp án và lời giải được soạn dưới dạng file PDF. Đề thi bao có 121 trang, bao gồm 200 câu hỏi trắc nghiệm. Đề thi có đáp án chi tiết phía dưới giúp các bạn so sánh đối chiếu kết quả một cách chính xác. Mờicác bạn cùng đón xem ở dưới.

44 22 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Trang1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm s n tha mãn

và Tính tích phân

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Xét tích phân

t

Nên .

 . L

Du xy ra khi .

Suy ra

 .

Vy .

 

 

0;1

 

10f 

     

d 1 d .

f x x x e f x x





  







 

d.I f x x



2.Ie

I 





   

x e f x x



 

d 1 d

u f x

du f x x

v x e x

v xe























         

1 1 1

0 0 0

1 d . . d . d

x x x x

x e f x x f x xe xe f x x xe f x x



    

  

 

xe f x x









 

1 1 1

0 0 0

. d d . d

x e f x x x e x f x x















  











 

xe f x x









""

 

f x k xe





 

kx e x







1k  

 

f x xe



  

   

d d 1

f x x xe x x e C



    



 

10fC  

 

dI f x x



 

1 d 2

x e x e   



Trang2

Câu 2:Cho hàm s

 

y f x

liên tc và tho mãn

 

23f x f x









vi









. Tính

 



. B.



. C.

. D.



Lời giải

Chọn A

t

 





Vi









 

23f x f x









 







  

 

2 2 2

1 1 1

2 2 2

d 2 d 3d (1)

x x x







  

  

t

ddt t x

   

ddtx

  

 

2 d 2 d 2

x t I











 

1 3 3d .

I x I   



Câu 3: [2D3-3][Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018]Cho

( )

2018f x dx =

. Tính tích phân

( )

sin 2 cos 2f x xdx

2018

. B.

1009-

. C.

2018-

. D.

1009

Lời giải

Chọn D

t

sin2 2cos2t x dt xdx= Þ =

i cn:

0 0; 1

x t x t

= Þ = = Þ =

( ) ( )

sin 2 cos 2 .2018 1009

f x xdx f t dt

= = =

òò

Trang3

Câu 4: [2D3-3][Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Bit

 

23F x ax bx c x   

(

,,abc

) là mt nguyên hàm ca hàm s

 

20 30 11







trên khong



 





Tính

.T a b c  

11T 

. B.

10T 

. C.

9T 

. D.

8T 

Lời giải

Chọn A.

 

20 30 11







t

2 3 2 3

x t x t

x t t









    









 

20 15 3 11

d .dt

I f x x t





  









     

4 2 4 2 2

5 15 11 d 5 11 2 3 4 2 5t t t t t t C x x x C           



4; 2; 5 11a b c a b c       

Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Bit

2 4 d 5 4

ln ln

2 5 2 4 8

a b c



  

  



( , , ).abc

Tính

.T a b c  

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

 

6 6 4

0 0 2

2 4 2 4

d d 2 4 d

2 5 2 4 8 2 4 5 2 4 4

x x t

x x x x



  



      

  

vi

24tx

  

4 4 4 4

2 2 2 2

5 4 1 1 16 1 1 5 16 4

1 d 1d d d 2 ln ln

1 4 3 1 3 4 3 3 3 3

t t t t





       



   



   

Suy ra

1 16

2, , 3

a b c a b c        

Câu 6: [2D3-3]Cho

()fx

là mt hàm s liên tc trên  tha mãn

   

2 2cos2f x f x x   

. Tính

tích phân

 

dI f x x









3I 

. B.

4I 

. C.

6I 

. D.

8I 

3.T 

5.T 

4.T 

7.T 

Trang4

Lời giải

Chọn C.

Ta có

     

d d dI f x x f x x f x x





  

  

Xét

 

df x x







t

ddt x t x    

i cn:



   

;

00xt  

Suy ra

       

d dt d df x x f t f t t f x x





      

   

Theo gi thit ta có:

       

 

2 2cos2 d 2 2cos df x f x x f x f x x x x



        



   

3 3 3

2 2 2

0 0 0

d d 2 sin df x x f x x x x

  

   

  

   

0 0 0

d d 2 sin d 2 sin df x x f x x x x x x







   

   

 

d6f x x









Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm s

 

liên tc trên

1;2018





và :

2017

(2018 ) ( ) [1;2018], ( ) 10f x f x x f x dx    



. Tính

2017

. ( )I x f x dx



10100.I 

20170.I 

20180.I 

10090.I

Lời giải

Chọn.D.

t

2018 .t x dt dx    

1 2017, 2017 1x t x t     

1 2017

2017 1

(2018 ) (2018 ) (2018 ) ( )I t f t dt t f t dt     



Trang5

2017 2017

2018 ( ) ( )f x dx xf x dx



    2018.10 10090.I I I

Câu 8:[2D3-3]Hàm s

 

liên tc trên







và :

( ) ( ) [0; ], ( )





    



f x f x x f x dx

. Tính

. ( )







I x f x dx



I



I



I



I

Lời giải

Chọn.D.

t

.t x dt dx



    

0 , 0x t x t



     

( ) ( )I t f t dt





   



( ) ( )t f t dt







( ) ( )f x dx xf x dx









I I I





    

Câu 9:[2D3-3]Hàm s

 

liên tc trên

;ab





và :

( ) ( ) [ ; ]    f a b x f x x a b

;

() 



f x dx a b

Tính

. ( )



I x f x dx

 





 





 





 





Lời giải

Chọn.D.

t

.t a b x dt dx     

,.x a t b x b t a     

( ) ( )

I a b t f a b t dt     



( ) ( )

a b t f t dt  



Trang6

( ) ( ) ( )

a b f x dx xf x dx  



 

( ).( ) .

I a b a b I I



      

Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm s

 

y f x

o hàm liên tc trên

 

1;2

tha mãn

 

14f 

và

   

. 2 3f x x f x x x



  

. Tính giá tr

 

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Cách 1:+

 

1;2x

   

. 2 3f x x f x x x



  



   

f x f x



  



   

f x f x



  



 

. 2 3f x x











Vy

   

. d 2 3 df x x x x













 

x x C

   

+ Vì

 

1 4 0fC  



 

3f x x x

 

2 20f

Cách 2: T gi thit

   

23f x xf x x x



  



   

xf x f x









 















 

dx x x dx

















   

 

xx  



 

2 20f 

Nhận xét:m chung c o hàm ca m

tích các hàm hoo hàm ca hàm hp. Ta có th nêu mt s dng tng quát sau:

c các hàm

     

,,g x u x v x

o hàm liên tc trên

 

 

 

; , 0, ;a b g x x a b  

và

hàm

 

 o hàm liên tc trên

 

;ab

tha mãn:

               

f x g x f x g x u x v x u x v x

   

  



   

 

   

 

f x g x u x v x







   

 

   

 

u b v b u a v a

f b f a

g b g a

  

Trang7

c các hàm

   

,g x u x

o hàm liên tc trên

 

 

 

; , 0, ;a b g x x a b  

và hàm

 

o hàm liên tc trên

 

;ab

tha mãn:

           

f x g x f x g x u x g x

  





 















           

f b f a u b g b u a g a  

c các hàm

     

,,g x u x v x

o hàm liên tc trên

 

;ab

và hàm

 

o

hàm liên tc trên

 

;ab

tha mãn:

     

 

     

 

u x f x f u x v x g x g v x

   





 

f u x g v x







 

f u b f u a g v b g v a  

Câu 11: [2D3-3] Mt ô tô bu chuyng nhanh du vi vn tc

   

7 m/sv t t

c

 

i lái xe phát hing ngi vt và phanh gp, ô tô tip tc chuyng chm dn

u vi gia tc

 

70 m/sa 

   ng

 

 c ca ô tô t lúc b u

chuyn khi dng hn.

 

87,50 mS 

. B.

 

94,00 mS 

. C.

 

95,70 mS 

. D.

 

96,25 mS 

Lời giải

Chọn D.

Vn tc ô tô ti thm bu phanh là:

   

5 35 /v m s

Vn tc ca chuy ng sau khi phanh là:

 

70v t t C  

. Do

 

0 35v 

35C

 

70 35v t t   

Khi xe dng hn tc là

 

0 70 35 0v t t    

t

ng

 

c ca ô tô t lúc bu chuyn khi dng hn là:

   

7 . 70 35S m t dt t dt   



 

96,25 m

Câu 12: [2D3-2]Gi s

 

2 1 ln d ln2x x x a b  



 

;ab

. Tính

ab

. B.

. C.

. D.

Lời giải

ChọnD

t

Trang8

 

dv x dx















du dx

v x x

















 

2 1 ln dx x x



 

ln d

x x x x





  





2ln2



  





2ln2



nên

2a 

b 

Vy

ab



Câu 13: [2D3-3][Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]

Bit

ln2 ln3

dx a b c



  





vi

,,abc

là các s hu t , tính

2.S a b c  

515S 

. B.

164S 

. C.

436S 

. D.

9S 

Lời giải

Chọn A.

Xét :

  

1 1 1

0 0 0

3 10 6 4 14

3 2 1 2 1 2

x x x

I dx x dx x dx

x x x x x x



  



       



     



  

3 4ln 1 14ln 2 3 4ln2 14ln3 14ln 2

I x x x          

18ln2 14ln3 18 2 515

I b S a b c











          











Câu 14:[2D3-3][SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101]Cho hàm s

 

liên tc trên



và tha

mãn

 

cot . sin d d 1

x f x x x







. Tính tích phân

 





3.I 

I 

2I 

. D.

I 

Lời giải

Chọn D.

t

sin d 2sin cos d cot d

t x t x x x x x

    

Trang9

 

   

1 1 1

4 2 2 2

1 cot . sin d d d 2

f x f x

x f x x f t x x

t x x



    

   

t

2 d dt t x













 

     

16 4 4 4

1 1 1 1

1 d 2td 2 d d

f t f x f x

x t x x

    

   

t

4 d 4dt x t x  

         

1 4 4 1 4

1 1 1 1

8 2 2 2

d d d d

f x f t f x f x f x

I x x x x

x x x x

     

    

Phân tích:

Dng bài này là dng bài toán tìm tích phân ca hàm

 

 cho

u kin, mu kin trong cn tích phân cn tìm, yêu c

t v ging dt.

Câu 15: [2D3-3] Cho hàm s

 

liên tc trên



và tha mãn

 





và

 

cos tan d 2f x x x







. Tính

 



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

t

ln d

t x t

  

     

1 d d d

f x f t f x

x t x

x x t x

  

  

t

cos d sin dt x t x x   

 

   

sin

2 cos d d d

cos

f t f x

f x x t x

x t x



   

  



Trang10

     

2 1 2

d d d 3

f x f x f x

x x x

  

  

Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân

c kt qu là vi vi  nhn giá

tr

A.9. B.8. C.1. D.0.

Lời giải

Chọn D







, ta có

 

4 4 4

0 0 0

1 tan

ln tan( ) 1 ln 1

4 1 tan

ln ln2 ln tan 1

1 tan

ln2

ln2 1, 8, 0 0

I t dt dt

dt dt t dt

I a b c P



  





   

     

   



   



   









       



  

Câu 17:Cho hàm s

 

y f x

 o hàm liên tc trên









và

 

00f 

 

f x x













 

sin . d

x f x x







. Tính

 

dI f x x







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

     

 

f x x f x f x















         

2 2 2

0 0 0

in . d d cos cos . cos dx f x x f x x x f x f x x x

  





     

  

Mc:

1 cos2 1 sin2

cos d d

2 2 2 4

x x x x









   







ln(tan 1)dI x x







ln 2





0,( , ) 1, , ,a b c b ab  

P abc

Trang11

Vy

   

4 2 2

0 0 0 0

d cos . ( )d cos d cos d 0'( ) 2 '( )f x x f x x x x xx f x x

   

   





   

Suy ra

   

cos sinf x x f x x C



   

 

0 0 0fC  

Vy

 

d sin d cos 1I f x x x x x





    



Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]

Bit rng

ln2

dx=ln 2 ln3 ln5









là các s 

S a b c  

bng bao nhiêu.

4S 

. B.

3S 

. C.

5S 

. D.

2S 

Lời giải

ChọnB

Ta có

 

ln2 ln2

dx= dx





t

et

dt=e dx



i cn: khi

0x 

thì

1t 

, khi

ln2x 

thì

2t 

Vy

 

ln2 2

dx dt=







 

2 1 2

dt=







21tt













     

ln ln 2 1 ln 2 ln5 ln1 ln3tt      





ln2 ln3 ln5



  

Vy

3S 

Hướng 2. Phân tích

 

ln2 ln2 ln2

0 0 0

2 1 2

ln2

1 ln 2 1

2 1 2 1 2 1

x x x

dx dx dx x e

e e e







     





  



  

Câu 19: Bit rng

 

ln2

1 1 1

dx= ln2 ln 2 3









là các s nguyên.



2S a b

bng bao nhiêu.

2S 

. B.

3S 

. C.

1S 

. D.

0S 

Lời giải

ChọnB

Trang12

Ta có

ln2 ln2

2 2 2

dx= dx

2 1 2 2 1

x x x

e e e



t

2 2 2

2 1 2 1

e t e t    

   

d 2 =d 1

et

4 dx=2 dt

et

i cn: khi

0x 

thì

3t 

, khi

ln2x 

thì

3t 

Vy

 

ln2 3

dx dt

2 2 1









1 1 1

2 1 1tt













   

ln 1 ln 1

tt   





 

   

ln2 ln 4 ln 3 1 ln 3 1



    



 

ln 2 ln 2 3



  

Vy

3S 

Câu 20:Bit rng

 

dx=a.e+bln

x x e









là các s 

2S a b c  

bng bao nhiêu.

1S 

. B.

2S 

. C.

1S 

. D.

0S 

Lời giải.

ChọnB

Ta có

 

dx=

x x e

xe x e

x e xe









t

xe t

 

dt= 1 e dx

x

i cn: khi

0x 

thì

1t 

, khi

1x 

thì

1te

Vy

 

dx= ln ln 1

x x e

dt t t e e

x e t









    





Vy

2S 

Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

o hàm liên tc

trên





1; 

tha mãn

 

11f 

và

 





3 2 5 1;f x x x x



     

. Tìm s 

ln nht sao cho

 

 

3;10

min

f x m





vi mi hàm s

 

y f x

th bài.

15m 

. B.

20m 

. C.

25m

. D.

30m 

Trang13

Lời giải

Chọn C.

Do gi thit cho mt bng thn

 

'y f x

nên ta s ly tích phân hai v 

c mt bng thn

 

y f x

Ta có

   

2 3 2

( )d (3 2 5)d 1 5 3 1

f x x x x x f t f t t t t



          



Suy ra

 

 

 

 

 

3 2 3 2

3;10 3;10

5 4 min min 5 4 25

f x x x x f x x x x



         

Vy

25m

Câu 22:Cho các hàm s

 

y f x

 o hàm liên tc trên

 

0; 1

tha mãn

   

 

2018

3 0; 1f x xf x x x



   

. Tìm giá tr nh nht ca

 

df x x



2019.2020

. B.

2019.2021

. C.

2020.2021

. D.

2018.2020

Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

o hàm trên



tha mãn

 

3 . 0

f x x

f x e







và

 

01f 

. Tích phân

 

.dx f x x



bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

Phân tích: Nhn thy

 

   

3. .

e f x f x





ng chuyn v  tích phân

2 v

Ta có:

 

   

 

3 2 3

3 . 0 3. . . 2 .

f x x f x

f x e f x f x e x e







   

Ly nguyên hàm 2 v c:

   

 

2 1 1 2

3. . . d 2 . d d 1

f x f x e x x e x e x





  

  

 

e e C



   

Trang14

Mt khác:

 

0 1 0fC  

nên

   

3 2 2

11f x x f x x    

Tính:

 

. d . 1.d

x f x x x x x  



Câu 24: Cho hàm s

 

 o hàm liên tc trên

 

0;1

tha mãn

   

1 0, d

f f x x











và

 

x f x x 



. Tích phân

 

df x x



bng



. B.

. C.



. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

     

x f x x f x f x x













 

x f x x







mà

 

xx



nên

   

 

1 1 1

0 0 0

d 2 d d 0f x x x f x x x x



  





  

 

0f x x dx





  





Suy ra

 

f x x





 

f x x C

Vì

 

10f

nên

C

. Vy

 

f x x x



  



Câu 25: Cho hàm s

 

o hàm liên tc trên

 

0;1

tha mãn

   

1 0, d 2ln2

f f x x



  







và

 

d 2ln2







. Tích phân

 

df x x



bng

1 2ln 2



. B.

3 2ln2



. C.

3 4ln2



. D.

1 ln2



Lời giải

Chọn A.

Ta có

 

d d 1

x f x















   

1 1 d

f x f x x



   



   

   





   





Suy ra

 

1 d 2ln2

f x x





  









Trang15

Mt khác

 

1 1 1 1 3

1 d 1 2 d 2ln 1 2ln2

1 1 1 2

x x x x

x x x







         







  













   

1 1 1

0 0 0

d 2 1 d 1 d 0

f x x f x x x

   



    



   





   

  

 

1 d 0

f x x





   









 



  



   

ln 1f x x x C    

, vì

 

10f

nên

ln2 1C

c

   

d ln 1 ln2 1 d ln2

f x x x x x      







Câu 26: Xét hàm s

 

liên tc trên

 

0;1

và thu kin

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

. Tích

phân

 

dI f x x



bng:





. B.





. C.





. D.





Lời giải:

Chọn A.

Vì

 

liên tc trên

 

0;1

và

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

nên ta có

 

4 . 3 1 d 1 dx f x f x x x x



   





 

1 1 1

0 0 0

4 . d 3 1 d 1 dx f x x f x x x x    

  

 

Mà

 

4 . dx f x x



   

2df x x



 

f t t







2I

và

 

3 1 df x x



   

3 1 d 1f x x   



 

f u u







3I

ng thi

1dxx



sin

1 sin .cos d

t t t





 



cos dtt







 

1 cos2 d













 

1 





hay





Câu 27: Cho hàm s

()fx

nh, liên to hàm trên



tha mãn

( ) 0,f x x   

và

3 '( ) 2 ( ) 0.f x f x

Tính

(1)f

bit rng

(0) 1.f 

Trang16

Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: T gi thit bài toán ta bii v công tho hàm và s d

phân.

Phân tích: T gi thit

3 '( ) 2 ( ) 0f x f x

và

( ) 0,f x x   

suy ra:

'( ) 2 1 1 2 3

(1)

( ) 3 (1) (0) 3 5

dx dx f

f x f f

  

     



Câu 28: Cho hàm s

()fx

nh, liên to hàm trên

(0; )

tha mãn

( ) '( ) 2f x xf x x

và

(1) 2f 

. Giá tr

(2)f

bng:

Lời giải

Chọn A.

T gi thit

( ) '( ) 2 ( ( ))' 2 ( ( ))' 2f x xf x x xf x x xf x dx xdx     



Suy ra

()xf x x C

, thay

1x 

vào hai v c

1. (1) 1 2 1 1f C C C      



( ) 1 ( )

xf x x f x



   

. Vy

(2) .

f 

Câu 29: Cho hàm s

()fx

nh, liên to hàm trên



tha mãn

( ) '( ) 2

f x f x e

và

(0) 1f 

. Giá tr

(2)f

bng:

ln2

. C.

Lời giải

Chọn C.

T

( ) '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ( ))' 2

x x x x x x

f x f x e e f x e f x e e f x e      

Suy ra

( ( ))' 2 ( )

x x x x

e f x dx e dx e f x e C   



. Thay

0x 

vào hai v c

0.C 

Suy ra

()

f x e

. Vy

(2) .fe

Trang17

Câu 30:Cho hàm s

 

liên tc trên

 

\ 0; 1

th  u kin

 

1 2ln2f 

và

     

1x x f x f x x x



   

. Giá tr

 

2 ln3f a b

,ab

.Tính

ab

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

     

1x x f x f x x x



   

 

f x f x



  





 













Ly tích phân t

n

hai v c

 

f x x x















 

ln 1

f x x x

   



       

2 1 2 ln3 1 ln 2

ff     

 

2 ln 2 1 ln3 ln2

f    

 

2 ln3

f  

. Suy ra

a 

và

b 

Vy

3 3 9

2 2 2

   

    

   

   

Câu 31: 

2 8 11

1 1 1

x x c

x x x b



   









,,abc





ca

. Tính

S a b c  

51S 

. B.

67S 

. C.

39S 

. D.

75S 

Lời giải

Chn B

Ta có

2 8 11

1 1 1

2dI x x

x x x



   







1dxx



  







t



3 d 1 dt t x



  





nên

3dI t t





Suy ra

67S 

Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] 

 



 

0;x 





Trang18

   

 

sin cosf x x x f x x



  

và

 

sin d 4f x x x









 



nm trong khong nào?

 

6;7

. B.

 

5;6

. C.

 

12;13

. D.

 

11;12

Lời giải

Chọn B



   

 

sin cosf x x x f x x



  

   

sinx cosf x x x f x x



   

   

..f x x x f x





sin cosx x x  

   

. . (cos ) x cosf x x x f x x x x

   

   

(*).

Vì

 

0;x 

, ta chia





   

(cos ) x cos

f x x x f x

x x x











 

cos











 

cos

  

 

cosf x x cx  



 

sin 4f x xdx







Xét

   

sin d cos sin sin df x x x x x c x x x







 

cos cos sin dxxd x c x x



  



 

cos

cos sin

c x x x





   





2c

Mà

 

sin d 4f x x x







24c   

2c

 

cos 2f x x x  

Ta có:

 

12f



  

5,28

Tổng quát:



         

..a x f x b x f x g x





 



 



         

..u x f x u x f x h x

  



 



 

()

u x b x







()ux



 

Khi có

 



 

Câu 33: 

 

y f x







   

2 2 .

f x xf x x e







và

 

01f 

. Tính

 

. B.

. C.

. D.



Trang19

Câu 34: Cho hàm s

 

o hàm trên



tha mãn

       

2 1 e

x f x x f x



   

và

 

f 

. Tính

 

f 

. B.

 

f 

. C.

 

f 

. D.

 

f 

Câu 35:Bit

d 5 2 ,

x a b c

  





vi

,,abc

là các s hu t. Tính

.P a b c  

P 

P 

2P 

Lời giải

Chọn C.

Ta có





 

2 2 2

1 1 5 2 3

d 1 1 d 1 5 2 .

3 2 3 3 2

x x x x x x



        









Vy

5 2 3 5

, ; .

3 3 2 2

a b c P     

Câu 36: Cho tích phân

 

ln sin

3ln ln2 , , .

cos 2

I dx a a b c

x b c



    





Tính giá tr ca biu thc

.S a b c  

3

2

1

Lời giải

Chọn B.

t

 

ln sin d

cos

sin

tan

cos

u x x

du dx





















Suy ra

 

6 6 6

ln sin

3 3 1

tan .ln sin 3ln ln

cos 2 3 2 6

dx x x dx





  



    



3ln ln2 1; 3; 6

2 3 6

a b c



       





2S a b c    

Câu 37: Cho tích phân

   

2 1 .cos , , .I x xdx a b c

a b c





     





Tính giá tr ca biu

thc

.S a b c  

2

1

Lời giải

Trang20

Chọn C.

Ta có

1 1 1 1

cos2 cos2 d sin 2 cos2 d

2 2 2 2 4

I x x x x x x x x x x







       









  

t

d cos2 d

sin2

v x x























Suy ra

1 1 1 1

sin 2 sin 2 d cos2

2 2 4 2

J x x x x x





    





8; 4; 2 2

8 4 2

I a b c S



          

Câu 38: Cho tích phân

 

tan ln2 , , .I x xdx a b c a b c





    





Tính giá tr ca biu thc

.S a b c  



Lời giải

Chọn C.

Ta có

1 d d

cos 16 cos

I x x x







    







t

cos







t

tan d

cos

v x x























Suy ra

 

tan tan d ln cos ln

4 4 2

J x x x x x





     



Vy

1 1 1 1 5

ln2

16 4 2 16 4 2 16



          

Câu 39: Cho hàm s

 

y f x

o hàm liên tc trên



và tha mãn

 

21f 

 

2 4 d 1f x x



Tính

 

.dI x f x x









Trang21

1I 

. B.

0I 

. C.

4I 

. D.

4I 

Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018]Cho hàm s

 

y f x

xác

nh trên









tha mãn

   

2 2. sin





  



  











f x f x x xd

. Tính

 





f x x



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn B.

+) Ta có

2 sin 1 cos 2 sin 2

4 2 2 2 2





   

    

     

       

     

   

     

   



x x x x x xdd

+) T 

   

2 2. .sin





  



  











f x f x x xd

   

2 2. .sin 2sin

4 4 2 2



   

   

   

      

   



   





f x f x x x x xdd

 

2sin 0.







   











f x x xd

 

2 sin 0, 0;





   

    





   



f x x x

nên

 

2sin 0







  











f x x xd

ng thc xy ra khi và ch khi

 

2sin











f x x

+) Vy

 

d 2 sin d 2 cos 0







   

     

   

   



f x x x x x

Nhận xét m bo tính kh tích, ta cu ki

 

y f x

liên tc trên









 

u kin na.

Câu 41: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên

 

0;1

tha mãn

   

 

6. . d











f x f x e x

Tính

   

1d



x f x x

1e

. B.

25e

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.

+) Ta có

Trang22

   

 

6. . d











f x f x e x

   

 

1 1 1

2 2 2

0 0 0

6. . d 9 d 9 d





    



  

x x x

f x f x e x e x e x

 



  





f x e

 

3.

f x e

+) Vy

     

1 d 3 1 d 3 3    



x f x x x e x xe e

Câu 42: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên

;









tha mãn

     

109

2. . 3 d





   





f x f x x x

. Tính

 

1



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

+) Ta có

     

109

2. . 3 d





   





f x f x x x

         

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

109

2. . 3 d 3 d 3 d

  



        



  

f x f x x x x x x x

   

3 d 0



   







f x x x

 

3.  f x x

+) Vy

 

111

222

000

3 1 2 2

d d ln 1 2ln 1 ln

1 1 1 1 9





       



   





x x dx x x

x x x x

Câu 43: Cho hàm s

( )

liên tn

0;1

éù

ëû

và thu kin

4 . ( ) 3. (1 ) 1x f x f x x+ - = -

. Tích phân

( )dxI f x=

bng.





. B.





. C.

. D.





Lời giải

Trang23

Chọn C



1 1 1

0 0 0

4 . ( )dx+ 3 (1 )dx 1 dxx f x f x x- = -

ò ò ò

1 1 1

2 2 2

0 0 0

2 ( )d(x ) - 3 (1 )d(1-x) 1 dxf x f x xÛ - = -

ò ò ò

2 ( )d(t) + 3 ( )d(u)

f t f u

Û=

òò

d(x) d(x)

5 ( ) ( )

4 20

f x f x

Û = Þ =

òò

Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]

Cho

 

1 ln 2 ln3

ln 2

a bc c

x x dx





  









, vi

,,abc 

. Tính

T a b c  

13T 

. B.

15T 

. C.

17T 

. D.

11T 

Lời giải.

Chọn A.

Phân tích: Biu thc trong tích phân có tng ca hàm logarit và hàm phân thc nên ta tách thành

2 tích phân dng gp. Mt là tích phân cc và hàm logarit ta dùng tích phân

tng phn, mt là tích phân ca hàm phân thc bc nht trên bc nhn.

Ta có

 

ln 2

I x x dx



  









 

ln 2

x x dx dx

  





 

ln 2 2 1

x d x dx

   

    

   



   



   

 

4 4 1

ln 2 . 2ln 2

2 2 2

x dx x x



     





ln3 2ln2 1 2ln3 2ln2



       





ln3 4ln2

   

4 ln2 2.7ln3 7





Ta có

4a 

2b 

7c 

. Vy

4 2 7 13T a b c      

Câu 45: Cho

 

ln 1

I x x dx



  









ln2 ln5

abc b c



, vi

,,abc

. Tính

T a b c  

13T 

. B.

15T 

. C.

10T 

. D.

11T 

Lời giải.

Chọn C.

Ta có

 

ln 1

I x x dx



  









 

ln 1

x x dx dx

  





Trang24

 

ln 1













 









 

1 1 1

ln 1 ln 1

2 2 2

x dx x



    



4ln 4 ln10

  

5.2.3ln 2 2ln5 3





Vy

10T a b c   

Câu 46: Cho

 

ln 2

I x x dx



  









ln2 ln3

ab bc c



, vi

,,abc

. Tính

T abc

18T 

. B.

16T 

. C.

18T 

. D.

16T 

Lời giải.

Chọn A.

Ta có

 

ln 2

I x x dx



  









 

ln 2

x x dx dx

  





 

ln 2

2 2 1







  









 

4 4 1 1

ln 2 . ln 1

2 2 2 2

x dx x



    





3 3 1

ln3 2ln 2 ln 2

2 4 2

    

   

3.2ln2 2. 3 ln3 3

   



Vy

 

. . 3.2. 3 18T ab c    

Câu 47: Cho

()fx

là hàm liên tc và

0a 

. Gi s rng vi mi

 

0;xa

, ta có

( ) 0fx

và

   

1f x f a x

. Tính

1 ( )

fx



c kt qu bng:

. B.

. C.

 

ln 1aa

. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

()

( ) 1

()

dx f a x

I dx

f a x













t:

a x t

thì

dx dt

i cn

c:

( ) ( )

(t) 1 ( ) 1

f t f x

I dt dx

f f x

  







II

1 ( )

fx



()

1 ( )

f x dx

fx



 

1 ( )

f x dx





dx a



. Vy:

I 

Trang25

Câu 48: Cho hàm s

 

liên tc trên



và

   

3 2 tanf x f x x  

. Tính

 

df x x











. B.





. C.





. D.





Lời giải

Chọn D.

     

3 2 tan 1f x f x x  

Thay

         

. 1 3 2 tan tan 2x x f x f x x x       

     

 

1 .2 2 .3 5tan 5

tan

x f x

f x x

  



 

4 4 4 4

2 2 2

d tan xd 2 tan xd 2 1+tan x 1 dI f x x x x x

   







    



   

 

2 tan 2

I x x



   

Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm s

 

o hàm và liên tc trên

 

0;1

và tha

mãn

 

2 d 1x f x x f







. Giá tr ca

 

dI f x x



bng

. B.

. C.

1

. D.

2

Lời giải

Chọn C



 

d 2 dx

v f x

















 

d dx

v f x



















   

 

1 2 d 2x 2x dx 1 2 1f x f x x x f x f x f I



         



Suy ra

1I 

Trang26

Câu 50: Cho hàm s

 

o hàm và liên tc trên

 

0;1

và tha mãn

 

4 d 1x f x x f







. Giá tr

ca

 

dI f x x



bng

. B.

2

. C.

1

. D.

Lời giải

Chọn B



 

d 4 dx

v f x

















 

d dx

v f x



















   

 

1 4 df x f x x







 

4xx f x

 

4x dxfx



 

1 4 2fI   

Suy ra

2I 

Câu 51: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên



tha mãn

   

1 d 10x f x x







và

   

2 1 0 2ff

Tính

 

dI f x x



12.I 

8.I 

12.I 

8.I 

Lời giải

Chọn D



 

d dx

v f x























 

     

10 1 d 1 dxx f x x x f x f x



    



 

2 1 0f f I  

Suy ra

8I 

Câu 52: Bit rng hàm s

 

y f x

liên tc trên



tha mãn

 

2 16;f 

 

d4f x x 



. Tính

 

2dI xf x x







13.I 

12.I 

20.I 

7.I 

Trang27

Lời giải

Chọn D



 

d dx

d 2 dx

v f x



























I 

 

2dxf x x







   

2 2 dx

xf x f x



 

2 d 8 1 7

f f x x    



Suy ra

7.I 

Câu 53: Cho hàm s

()fx

nh, liên to hàm trên



tha mãn

 

1 ( ) 2 ( )



  

x f x xf x xe

và

(0) 1f 

. Giá tr

(1)f

bng:

. B.

. C.

ln2

. D.

Lời giải

Chọn B.

T gi thit

   

 

1 ( ) 2 ( ) 1 ( )



     

x f x xf x xe x f x xe

Suy ra

 

1 ( )







x f x dx xe dx

 

1 ( ) 2 (1) (0)      



x x x

x f x xde f f xe e dx

2 (1) (0) (1) 1.     

f f e e f

Câu 54: Cho hàm s

 

liên t  n

 

0;1

th  u kin

   

2 1 3 6f x f x x x   

 

0;1x

. Tính tích phân

 

1dI f x x



I 

1I 

I 

I 

Lời giải

Chọn C.

t

1tx

 

0;1x

thì

 

0;1t

Ta có

   

2 1 3 6f x f x x x   

     

2 1 3 1 3f x f x x     

   

1 2 3 3f t f t t    

   

2 1 3 3f x f x x    

Trang28

Xét h 

   

2 1 3 6

2 1 3 3

f x f x x x

f x f x x



   





   





   

2 1 3 6

4 2 1 6 6

f x f x x x

f x f x x



   







   





 

3 3 6 6f x x x   

   

13f x x   

 

0;1x



   

1 2 3f x x   

41xx  

Suy ra

 

1dI f x x



 

4 1 dx x x  





  







Phân tích:

c 1: T

   

2 1 3 6f x f x x x   

ta gi

 

nh trc tip hàm

 

1fx

ri tính

 

1dI f x x



Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm s

 

y f x

liên

tc vi mi

1x 

tha mãn

3, 1

f x x





  







. Tính

 

I f x x







41Ie

2Ie

42Ie

3Ie

Lời giải

t

t xt t x x



      



, suy ra

 



   



hay

( ) 4





Ta có

 

4 d 4 2ln 1 4 2

I x x x e





      









Câu 56: Cho hàm s

 

y f x

liên tc vi mi

0x 

tha mãn

 

2 3 , 0f x f x x



  





Tính

 





I 

Lời giải

 c

 

f x x

  

Suy ra

 

2 2 3

d 1 d

I x x x

x x x

   

       

   

   



Trang29

Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho

 

2 1 d 12f x x



và

 

sin sin2 d 3f x x x







. Tính

 

dfxx



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

t:

2 1 d

x t x   

Vi

  





  





   

d1 dxtf x f t





 

d 24f x x 



t:

sin 2sin cos d dx u x x x u  

hay

sin2 d dx x u

Vi



  







  







 

sin sin2 d df x x x f u u









 

d3f x x 



Vy

     

3 1 3

0 0 1

d7d d2f x f xx x f x x  

  

Câu 58: Bit

 

2 1 3

dx ln2 ln , , ,

2 3 2 1 1

I a b c a b c Z



    

  





2P a ab c  

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

2 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2x x x x       

t

2 1 2 1t x t x tdt dx      

i cn

1 1; 5 3x t x t     



  

 

3 3 3

1 1 1

3 2 1 4

d 1 d 1 d ln 1 4ln 2

3 2 1 2 1 2

I t t t t t t

t t t t t t



  



          



     



  

 

3 ln4 4ln5 1 ln2 4ln3 2 ln 2 4ln

        

2, 1, 4a b c   

2 10P a ab c    

Câu 59: Bit

 

2 1d 5

ln2 ln , ,

2 3 2 1 3

a b c a b c



   

  





. Tính

2T a b c  

Trang30

4T 

. B.

2T 

. C.

1T 

. D.

3T 

Lời giải

Chọn C

  

   

  

4 4 4

0 0 0

2 2 1 1 2 1 2 d

2 1d 2 1d

2 3 2 1 3

2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

x x x

x x x x

    



  

  

       

  

   

2d d

2 1 2 2 1 1



   



t

2 1 d du x u u x   

. Vi

01xu  

, vi

43xu  

Suy ra

.3 .3 .3 .3

1 1 1 1

2 d d 4 1

2 d 1 d

2 1 2 1

u u u u

I u u

u u u u

   

     

   

   

   

   

 

4ln 2 ln 1 2 4ln ln2

u u u       

2a

1b 

1c 

2.1 1 4 1T    

Câu 60: Bit

 

abc

x x x x

  

  



vi

là các s   

P a b c  

44P 

. B.

42P 

. C.

46P 

. D.

48P 

Lời giải

Chọn D

t

 

x x x x



  



t

 

1 d d

t x x t x



    



 





Khi

1x 

thì

21t 

, khi

2x 

thì

32t 

 

2 3 2

d d 1

x x x x



   

  



3 2 2 1



  







4 2 2 3 2  

32 12 4  

32a

12b 

4c 

Vy

48P a b c   

Trang31

Câu 61: Cho hai hàm

 

và

 

    n

 

1;4

và tha mãn h thc

   

       

1 1 4

. ' ; . '

g x x f x x x gf x









   





. Tính

   

dI f x g x x   





8ln2

. B.

3ln2

. C.

6ln2

. D.

4ln 2

Lời giải

Chọn A

Ta có

     

( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) d '( ) '( ) df x g x x f x g x f x g x x x f x g x x        



   

( ) ( ) ( ) ( ) dx f x g x f x g x x    



 

( ) ( )x f x g x C   

( ) ( )

f x g x

   

Vì

(1) (1) 4f g C C     

 

( ) ( ) d d =8ln2I f x g x x x

   



Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018]Bit

d 2 35

3 9 1

x a b c

  





, vi

, , .a b c

Tính

27P a b c   



. B.

. C.

2

. D.

Lời giải

Chọn A.

















2 2 2

1 1 1

3 9 1

d d 3 9 1 d

3 9 1

3 9 1 3 9 1

x x x

I x x x x x x

x x x x



    



   

  

 

2 2 2

1 2 1 16 35

3 d 9 1d 7 . . 9 1 7 35 35 16 2 7 2 35

18 3 27 27 27

x x x x x x          





16 35

7, ,

27 27

a b c   

a b c     

Câu 63: Bit

 

x a b c

x x x x

  

  



, vi

, , .a b c

Tính

P a b c  

. B.

. C.

. D.

Trang32

Câu 64: Cho bit

 

ln 9 ln5 ln2x dx a b c   



, vi

, , .abc

Tính

P a b c  

34.S 

13.S 

18.S 

26.S 

Câu 65: Cho hàm s

 

liên tc trên



và

 

2 16f 

 

d4f x x 



. Tính

I xf x













12.I 

112.I 

28.I 

144.I 

Lờigiải

ChọnB



ux

v f x











ddux









Suy ra

2 2 d

I xf f x



   



   



   





   

8 2 4 df f t t



112.

Câu 66: Cho

a b a

  

  



,ab

. Tính

2ab

A .

27ab

. B.

28ab

. C.

21ab

. D.

25ab

Lời giải

Chọn B.

Theo gi thit ta có:

 

x x dx

   

  



   



   





2 3 2

  



2; 3ab

nên

28ab

Câu 67: Cho hàm s

 

0y f x

n

 

0;1

và tha mãn:

       

1 2018 d , .

g x f t t g x f x  



Tính

 

d.g x x



1011

1009

2019

505.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

 

01g 

   

1 2018 d

g x f t t



Trang33

     

' 2018 2018g x f x g x  

 

2018



 

2018 d .

dx x





 

2 1 2018g t t  

 

1009 1g t t  

 

1011

g t dt



Câu 68: Cho hai hàm

 

và

 

n

 

1;4

và tha mãn h thc h thc sau vi

mi

 

1;4x

   

1 2 1 2

1 1 2 1

' . ; ' .

( ) ( )

f x g x

g x f x

x x x x

  





  





. Tính

 

( ). ( )I f x g x dx



4ln 2

. B.

. C.

2ln 2

. D.

Lời giải

Chọn B.

T gi thit ta có

'( ). ( )f x g x



và

'( ). ( )g x f x



, suy ra

'( ). ( ) '( ). ( )f x g x g x f x

  

, hay

 

( ). ( )f x g x







   

.f x g x dx C

x x x

   



. Li có

   

1 . 1 2.1 2fg

nên

0C 

 

( ). ( ) x x=4I f x g x d d

  



Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho

 

là mt nguyên hàm ca hàm s

( ) 1 1f x x x   

trên tp



và tho mãn

 

13F 

. Tính tng

     

0 2 3T F F F   

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

2 khi 1

2 khi 1 1

2 khi 1

f x x x







   





  



Hàm

 

có nguyên hàm là

 

2 khi 1

khi 1 1

2 khi 1

x m x

F x x n x

x p x







    





   



Trang34

Vì

 

13F 

nên

1m 

Hàm

 

liên tc ti

1x 

nên suy ra

2n 

Hàm

 

liên tc ti

1x 

nên suy ra

1p 

Vy ta có

     

0 2 3 2 5 7 14T F F F       

Câu 70: Cho hàm s

 

nh trên

 

\ 1;1

và tha mãn

 







   

3 3 0ff  

và

   

  

   

   

. Tính giá tr ca biu thc

     

2 0 4P f f f   

ln 1

P 

. B.

1 ln

P 

. C.

1 ln

P 

. D.

P 

Lời giải

Chọn C.

Ta có hàm s nh trên các khong

     

; 1 1;1 1;     



 

ln 1

ln 1 1

ln 1

f x C x



  









    

















D thy

   

3 ; 1   

;

 

;0; 1;1











;

   

3;4 1; 

Nên

 

3 ln 2

fC  

;

ln3



  





;

 

0fC

;

ln3











;

 

3 ln 2





và

 

4 ln

fC

Ta có

   

04P f f

CC  

Mt khác



   



   

   

2 2 2

ln3 ln3 2 1

C C C



      

Và

   

3 3 0ff  

1 3 1 3

ln2 ln2 0 0

C C C C



       

Trang35

     

2 0 4P f f f   

1 2 3

1 1 3

ln3 ln

2 2 5

C C C    

1 ln



Câu 71: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên





0;

và

   

d .sin

f t t x x







. Tính

 







. B.

 





. C.

 





. D.

 





Lời giải

Chọn B.

Ta có

   

df t t F t



   

F t f t





   

d .sin

f t t x x







   

.sin

F t x x





 

   

0 .sinF x F x x



  

 

   

.2 sin .cosF x x x x x

  



  

 

   

.2 sin .cosf x x x x x

  

  

 





Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân

2 2 2

sin cos

os sin

a x b x









vi

0a b

và

a b





. B.





. C.





. D.

ab

Lời giải

Chọn A.











và













Ta có

 

2 2 2 2

sin 2

cos2

2 sin 2

b b x

aa x





  







t

   

2 2 2 2 2 2

cos2 2 d 2 sin 2 d sin 2 d

t a b a b x t t a b x x x x



         



i cn

0 2 2x t a a   

x t b b



   

Trang36



 

2 2 2 2

2 sin2 2 2

d d d

cos2

I x t t

a a xb





  



  

  

 

a b



  



Câu 73: Tính tích phân

 

sin sin dI x nx x







vi

n

0I 

. B.

2I 

. C.

1I 

. D.

Lời giải

Chọn A.

Xét tích phân

 

f a b x x



t

ddt a b x t x     

i cn

x a t b  

x b t a  



     

b b b

a a a

f a b x x f t dt f x x   

  

Ta có

     

 

2 2 2

0 0 0

sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x

  



      

  

 

sin sin dx nx x I



    



0I I I   

Câu 74: Tính tích phân

   

cos cos dmx nx x







vi

n

và

m n

0I 

. B.

2I 

. C.

1I 

. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

     

 

cos cos d cos cos d

mx nx x m n x m n x x



 



   





 

1 1 1

sin sin 0

m n x m n x

m n m n







    







 

  

 

  

 

sin sin sin sin 0m n m n m n m n

   

         

Trang37

Câu 75: Cho hàm s

 

liên tc trên





tha mãn

 

,f x x x





    

và

 

1 1.f 

Tìm giá tr

nh nht ca

 

2.f

ln 2.



Lời giải

Chọn C.

Theo gi thit

 

,f x x x





    

nên ly tích phân hai v vi cn t

n

c:

 

d d ln2.

f x x x x





   







Mà

         

d 2 1 2 1f x x f x f f f



    



nên

 

2 1 ln2.

f   

Suy ra

 

2 ln 2.

f 

ng thc xy ra khi và ch khi

 

, 0.f x x x



  

Suy ra

 

ln ,

f x x C  

mà

 

11f 

nên

C 



 

ln .

f x x  

Vy giá tr nh nht ca

 

2 ln2

f 

khi

 

ln .

f x x  

Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]

Cho hàm s

 

0fx

thu kin

     

23f x x f x





và

 





. Bit rng tng

         

1 2 3 ... 2017 2018

f f f f f

     

vi

 

,ab

và

là phân s ti

gin. M 



. B.



. C.

1010ab

. D.

3029ba

Lời giải.

Chọn D

Trang38

 

0fx

nên ta chia c hai v ca

     

23f x x f x





cho

 

c

 





. nguyên hàm hai v c

 

3x x C



  

 

x x C







Mà

 





2C

 

  

1 1 1

1 2 1 2

x x x x



   

   



         

1 2 3 ... 2017 2018f f f f f    

1 1 1 1 1 1

....

2 3 3 4 2019 2020

  

      

1 1 1009

2 2020 2020



  

. Vy

1009; 2020ab  

Câu 77: Cho hàm s

 

y f x

  o hàm liên t  n

0; 3





bit rng

   

10f x f x x



  

và

 

3fe

. Tính

 

ln dI f x x











3 3 2

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

10f x x f x



  

 



  



 

u f x



















 



















 

ln dI f x x







 

ln d

xf x

x f x x









 

ln 1 dx f x x x x  







 

3 2 2

ln 1 d 1

x f x x x   







 

3 2 2 3

ln 1 1

x f x x x   







Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm s

 

y f x

o hàm và liên

tc trên



tha mãn

   

' 2 2 .

f x xf x xe





và

 

01f 

. Tính

 

Trang39

. B.

. C.

. D.



Hướng dẫn giải

Chọn C.

         

 

2 2 2 2

' 2 2 . . ' 2 . . 2 . ' 2

x x x x

f x xf x x e e f x x e f x x e f x x



      

Ly tích phân c hai v c:

 

     

. ' 2 . . 1 0 1

e f x dx xdx e f x x e f f     



   

. 1 2 1e f f

   

Câu 79: Cho hàm s

 

y f x

tha mãn

   

..f x f x x x





Bit

 

02f 

Tính

 

2.f

 

313

f 

 

332

f 

 

324

f 

 

323

f 

Lời giải

Chọn B.

Ta có

 

           

 

4 2 2 2

. 2 0

x x dx f x f x dx f x d f x f f





    

  

Suy ra

 

2 4 2 2

332

2 2 0 .

f x x dx f   



Câu 80: Cho hàm s

 

y f x

tha mãn

   

f x f x x e





Bit

 

1fe

Tính

 

2.f

 

2 16.f 

 

2 3 .fe

 

2 4 .fe

 

2 9.f 

Câu 81: Cho hàm s

 

y f x

tha mãn

   

. .sinxf x f x x





Bit

 





Tính

















































Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm s

 

liên tc trên



và có

 

d2f x x 



;

 

d6f x x 



Tính

 

2 1 df x x





I 

. B.

4I 

. C.

I 

. D.

6I 

Lời giải

Trang40

Chọn B

Ta có

 

2 1 dI f x x







   

1 2 d 2 1 df x x f x x



   



Tính

 

1 2 dI f x x







t

12tx

d 2dtx  

i cn:

1x 

3t

;

x 

0t

 

I f t t











 

f t t



 

f x x



Tính

 

2 1 dI f x x



t

21tx

d 2dtx

i cn:

x 

0t

;

1x 

1t

 

I f t t



 

f t t



 

f x x



Vy

4I I I  

Câu 83: Cho hàm s

()fx

liên to hàm trên



, có

( ) 0,f x x   

 

01f 

. Bit rng

()





. Tìm tt c các giá tr ca

 

()f x m

có

nghim thc phân

bit.

1 me

0 me

me

1 me

Lời giải

Chọn B

Ta có:

()





()

d (2 2 )d

()

x x x



  



ln | ( ) | 2f x x x c   

ln ( ) 2f x x x c   

 

( >0)do f x

(0) 1f 

ln( (0)) ln1fC  

0C

ln ( ) 2f x x x  

( ) e





( ) (2 2 ).e

f x x





  

0

1x

Trang41

Ta có bng bin thiên

0em  

Câu 84: Cho hàm s

 

  

, vi

là hai s hu t thu kin

 

d 2 3ln2f x x 



Tính

T a b

1T 

. B.

2T 

. C.

2T 

. D.

0T 

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

 

d + +2 d ln 2

a b a

f x x x b x x

x x x

   

    

   

   



 

2 2 ln2 1a a b     

 

1 ln2ab  

, suy ra

 

1 ln2 2 3ln2





    







. Vy

2T a b   

Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm s chn

 

y f x

liên tc trên



và

 









. Tính

 



f x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Vì

 

là hàm s chn trên



nên ta có

   

,   f x f x x

t

 









. Ta có:

     

1 0 1

1 1 0

2 2 2

d d d

1 2 1 2 1 2



  

  

  

x x x

f x f x f x

I x x x

Xét

 









t

xt



   

 

   

0 0 1 1

1 1 0 0

2 2 2 2 2 2

d d dt d

1 2 1 2 1 2 1 2



    

   

   

x t t x

f x f t f t f x

I x t x

Trang42



 

2d



I f x x

t

2ux

. Ta có

     

1 2 2

0 0 0

2 d d d

I f x x f u u f x x  

  

Kt hp vi gi thic

 

d 16f x x 



M r ta có bài toán tng quát:

Cho hàm s chn

 

y f x

liên tc trên

 

;aa

. Vi

là mt s thc khác

là mt s

th

 

a ka

f k x

x f x x









Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm s

 

o hàm liên tn

 

0;1

 

và

 



u nhn giá tr   n

 

0;1

và tha mãn

 

02f 

       

. 1 d 2 . df x f x x f x f x x













. Tính

 

df x x







. B.

. C.

. D.

Lờigiải

ChọnD

Vì

 

và

 



u nhn giá tr   n

 

0;1

nên t

       

. 1 d 2 . df x f x x f x f x x













suy ra

   

. 1 d 0f x f x x











Mà

   

. 1 0f x f x









nên

   

 

. 1, 0;1f x f x x



  

hay

   

 

. 1, 0;1f x f x x



  







   

. d df x f x x x











 





  

(*)

Trong (*) thay

0x 



C 

, suy ra

 

38f x x







   

d 3 8 d

f x x x x  







Câu 87: 

    

100

1 2 ... 100x x x x dx  





A.0. B. 1. C. 100. D. Kt qu khác.

Lời giải

Chọn A.



100x t dx dt    



0 100; 100 0x t x t     

Trang43



          

0 100

100 0

100 99 ... 100 99 ...I t t t dt t t t dt        



  

100

100 99 ... .t t t dt  



  

100

100 99 ... .x x x dt I     



Suy ra

0 0.I I I   

Câu 88: Tính tích phân

2 2 2

sin cos

os sin

a x b x









vi

0a b

và

a b





. B.





. C.





. D.

ab

Lời giải

Chọn A.











và













Ta có

 

2 2 2 2

sin 2

cos2

2 sin 2

b b x

aa x





  







t

   

2 2 2 2 2 2

cos2 2 d 2 sin 2 d sin 2 d

t a b a b x t t a b x x x x



         



i cn

0 2 2x t a a   

x t b b



   



 

2 2 2 2

2 sin2 2 2

d d d

cos2

I x t t

a a xb





  



  

  

 

a b



  



Câu 89: Tính tích phân

 

sin sin dI x nx x







vi

n

0I 

. B.

2I 

. C.

1I 

. D.

Lời giải

Chọn A.

Trang44

Xét tích phân

 

f a b x x



t

ddt a b x t x     

i cn

x a t b  

x b t a  



     

b b b

a a a

f a b x x f t dt f x x   

  

Ta có

     

 

2 2 2

0 0 0

sin sin d sin sin 2 2 d sin sin dI x nx x n xxx x nx x

  



      

  

 

sin sin dx nx x I



    



0I I I   

Câu 90: Tính tích phân

   

cos cos dmx nx x







vi

n

và

m n

0I 

. B.

2I 

. C.

1I 

. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có

     

 

cos cos d cos cos d

mx nx x m n x m n x x



 



   





 

1 1 1

sin sin 0

m n x m n x

m n m n







    







 

  

 

  

 

sin sin sin sin 0m n m n m n m n

   

         

Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Bit

cos









,,abc

là các s t

t nguyên t  ca

2 2 2

2 3 4T a b c  

bng bao nhiêu?

15T 

. B.

14T 

. C.

13T 

. D.

17T 

Lời giải

Chọn A.

Ta có

cos

I dx







cos cos







 

1 tan .

cos







 

1 tan . tanx d x







tan











23

2, 3, 1a b c   

Vy

2 2 2

2 3 4T a b c  

222

2.2 3.3 4.1  

15

Trang45

Câu 92: Bit

sin

cos

x a b c











,ab

và

,cd

là các cp s t nhiên nguyên t cùng nhau. Khi

 ca

T ab cd

bng bao nhiêu?

6T 

. B.

246T 

. C.

13T 

. D.

17T 

Lời giải

Chọn B.

Ta có

sin

cos

I dx







tan

cos

x dx







tan . .

cos cos

x dx







 

tan . 1 tan . tanx x d x







 

tan tan . tanx x d x







tan tan











42 3 8





42, 3, 8, 15a b c d    

246T

Câu 93: Bit

1 ln

sin









,,abc

là các s t t nguyên t 

giá tr ca

4 3 2T a b c  

bng bao nhiêu?

5T 

. B.

29T 

. C.

7T 

. D.

17T 

Lời giải

Chọn B.

Ta có

sin

I dx







2sin .cos







tan .cos







2 tan

tan













2ln tan











ln3

1, 3, 1a b c   

29T

Trang46

Câu 94: Nu

()

f t dt





vi

0x 

thì h s

bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

Gi

()Ft

là mt nguyên hàm ca

()ft

, suy ra

()

'( )



Ta có

(gt)

Vy .

Câu 95: Cho hàm s  o hàm liên tc trên tha mãn , và

. Tích phân bng?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn A.

Ta xét .

t

()

f t dt





( ) | 6 2

F t x  

( ) ( ) 6 2F x F a x   

'( ) 2.



( ) 1fx



()f x x x

( ) 1

2 | 2 2 2 6

x x x

a a a

f t dt t t

dt dt t x a x

       

  

39aa  

 

 

0;1

 

10f 

 











 

x f x 



 

xf x d





 

dxI x f x



 

d dx

u f x

















   

I f x x f x



  



 

55 5

x f x



   



 

x f x







Trang47

Mà

Vì nên

Câu 96: Cho hàm s

 

liên tc trên



và có

 

00f 

;

 

10fx





vi mi

x

. Tìm GTLN mà

 

có th c?

30.

10.

60.

20.

Lời giải

Chọn A

Vì

 

10 0fx

vi mi

x

nên:

 

10 dx 0fx











 

10 0x f x  





   

10.3 3 10.0 0 0ff    

   

   

 

3 30f

Vy GTLN mà

 

có th c là 30.

Câu 97: Cho biu thc

 

2cot

ln 1 2 sin2

S x e dx









  







, vi s thc

0m 

. Kh

5S 

. B.

2cot 2ln sin



   



   



   

9S 

. D.

tan ln



   



   



   

Lời giải

Chọn. B.

Ta có

 

2 2 2

2cot 2cot 2cot

4 4 4

2 sin 2 2 sin 2

x x x

m m m

x e dx e dx xe dx I J

  

  

    

  

x 



   

 





10 5

2x dx 0x f x f x



   



   

f x x f x C



    

 

10f 

 





( )dx dx



  



Trang48

t

2cot

sin

sin2

cos2 sin

du e dx

dv xdx

v x x























   





2 2cot 2cot

sin . 2

J x e e dx









2cot

1 sin .







  







Vy

2cot

ln sin















2cot 2ln sin

44mm



   



   



   

Cách 2:

Thay

1m 

ta có

1,689976611S 

, kim tra ch 

tha mãn

Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

, liên tc trên

 

0;1

và tha

mãn

   

1 ' 10x f x dx



và

   

2 1 0 2ff

. Tính

 

I f x dx



12I 

. B.

8I 

. C.

12I 

. D.

8I 

Lời giải

Chọn D.

t

   

u x du dx

dv f x dx v f x

  











Áp dng công thc tính tích phân tng phn và gi thic:

             

10 1 ' 1 2 1 0 2

x f x dx x f x f x dx f f I I         







2 10 8I    

Câu 99: Cho hàm s

 

liên tc trên



và

 

2 16f 

 

d4f x x 



. Tính

I xf x













12I 

. B.

112I 

. C.

28I 

. D.

144I 

Lời giải

Chọn B

t

dx dt













; vi

0 0; 4 2x t x t     

       

2 2 2

0 0 0

2 2dt 4 4 | 4 dtI tf t tdf t tf t f t



   

  

Trang49

   

4.2. 2 4. df f x x



4.2.16 4.4 112  

Câu 100: Bit

 

là mt nguyên hàm ca

 

và

 

là các hàm liên tc trên



, tha mãn

   

1 1; 3 3F x dx F



  



. Tính

 

I xf x dx



8I 

. B.

9I 

. C.

10I 

. D.

11I 

Lời giải

Chọn A

*) Ta có :

       

2 2 3 3

1 1 0 0

1 1 1 ( 1) 1F x dx F x d x F t dt F x dx



       

   

         

3 3 3

0 0 0

| 3 3 1 8I xf x dx xdF x xF x F x dx F      

  

Câu 101: Cho hàm s

 

liên tc trên



và

   

1 2 0 2ff

 

d5f x x 



. Tính

 

I x f x













61I 

. B.

63I 

. C.

65I 

. D.

67I 

Lời giải

Chọn B

t

dx dt













; vi

0 0; 3 1x t x t     

               

1 1 1

0 0 0

6 3 . .3 9 2 9 2 | 9 2I t f t dt t df t t f t f t d t



       





  

     

9 1 2 0 9 9.2 9.5 63f f f t dt     







Câu 102: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên



và tha mãn

   

2018 sin .f x f x x x  

Tính

 

?I f x dx









1009



2019



2019



2018



Lời giải.

Chọn B

Theo gi thit

   

2018 sin .f x f x x x  

   

2018 sin .f x f x x x   

suy ra

 

2018 1 ( ) 2017 sin .sin

2019

f x x x f x x x   

Trang50



 

.sin . . cos

2019 2019

I x xdx x d x





  



1 1 2

cos cos . sin

2019 2019 2019

x x x dx x















    







Câu 103: Cho hàm s

 

 nh trên

 

\1

tha mãn

 





;

 

01f 

và

   

1 2 2ff  

. Giá tr ca

 

3f 

bng

1 2ln2

. B.

1 ln2

. C.

. D.

2 ln2

Lời giải

Chọn C.

Ta có

   

'df x f x x









3ln 1xC  

 

3ln 1 1

x C khi x

   









    





Theo gi thit:

 

   

1 2 2









  





3ln2 2









  



1 3ln2













 

3ln 1 1 khi 1

3ln 1 1 3ln2 khi 1

   









     





Vy

 

3 3ln2 1 3ln2 1f     

Câu 104: Bit

1 tan

d ln

cos

x x a

x x x b











 

,ab

. Tính

P a b

2P 

. B.

4P 

. C.

4P 

. D.

2P 

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

 

1 tan cos sin

cos cos cos 1

x x x x x

x x x x x x x











Trang51

t

 

cos d cos sin dt x x t x x x x   

i cn:



   

;



   



 

1 tan

cos 1

x x dt

x x x t t



























ln ln 1





  



 

ln ln ln 1 ln 1





     













3a

;

1b 

Vy

4P 

Câu 105: Cho hàm s

 

nh, liên tn

 

0;1

ng thi thu

kin

 

01f 

và

   

f x f x









t

   

10T f f

, hãy chn kh

21T   

. B.

10T  

. C.

01T

. D.

12T

Lời giải

Chọn B

T gi thit ta có

 

dx 1.dx dx 1.dx

d f x

f x f x









     

   

   

   

Mà

 

01f 

nên

 

ln2







    















Câu 106: Bit rng

x x a b

  







vi

,,abc

là các s 

.T a b c  

31T

. B.

29T

. C.

33T

. D.

27T

Lời giải

Chọn C.

 

3 3 3

2 2 2

x x x x x

dx dx x x dx

x x x x







   

     



   





  

19 4 8



. Vy

19 8 6 33abc     

Câu 107: Cho hàm s f(x) liên tc trên

[0;3]

và

( ) 2f x dx 



;

( ) 8f x dx 



. Giá tr ca tích phân

 

| 2 1|f x dx





là:

Trang52

A. 6. B. 3. C. 4. D.5.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

2 1,



   









  





nên

 

| 2 1|f x dx





 

0,5

1 0,5

2 1 (2 1)f x dx f x dx E F



     



0,5

( 2 1)dx ( )

E f x f t dt



   



i bin

2 1,tx  

0,5 0

(2 1) ( ) ,

F f x dx f t dt  



i bin

2 1,tx

Vy

 

1 3 1

1 0 0

| 2 1| ( ) ( ) 1 4 5

f x dx f x dx f x dx



     

  

Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gi

 

là din tích hình phng gii hn b  ng

  

 

, 0, 0, 0

y y x x t t

    



. Tìm

 

lim



ln 2



. B.

ln 2



. C.

ln 2



. D.

ln 2



Lờigiải

ChọnB.

Vì trên

 

0;t

  





nên ta có din tích hình phng

 

  

S t x







 















 

1 1 1



  























1 1 1

ln ln2

2 2 2



   



Vì

lim 1















limln 0















lim 0







Trang53

Nên

 

lim



1 1 1

lim ln ln2

2 2 2







   







ln 2



Câu 109: Cho hàm s

 

d4f x x







    

 

y f x

là hàm s chn trên

 

1;1

. Tính

 







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1.

t

ddt x t x    

i cn

11xt   

;

11xt   

c:

       

1 1 1 1

1 1 2 2

d d d d

1 2 1 2 1 2 1 2

x t t x

I f x x f t t f t t f x x



  

     

   

   



     

1 1 1

2 d d d 4 2

1 2 1 2

I f x x f x x f x x I

  

     



  

Cách 2.

Chn

 

h x x

là hàm s chn. Ta có:









   

f x h x x



 

d d 2

2 1 2 1









Lời bình: Vi cách làm này, ch cn hc sinh nm rõ nguyên tc tìm mt hàm s i din cho

lp hàm s tha mãn gi thit bài toán là có th d c kt qu bài toán bng máy

tính hoc bn vi hàm s

 

y f x

i vi bài toán này

ta có th chn hàm s

 

1hx

n.

Câu 110: Cho hàm s

()fx

tha mãn

   

3 d 25x f x x







và

   

33 8 18 3 83ff

Giá tr

 

df x x



là:

83I 

. B.

38I 

. C.

I 

. D.

Lời giải

Trang54

Chọn C.

Ta có

   

3 d 25x f x x







t

   

3 d d

u x u x

v f x dx v f x

  

















     

3dA x f x f x x   



     

11 8 6 3 df f f x x  



Ta có

   

33. 8 18 3 83ff

   

11 8 6 3

ff  

Suy ra

 

A f x x



. Mà

25A

 

83 8

d 25

f x x   



Câu 111: Giá tr

 

cos

sin d

I x x e x







gn bng s nào nht trong các s 

0,046

. B.

0,036

. C.

0,037

0,038

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

 

cos

sin d

I x x e x







 

cos

dsin







 

cos















0,371

Câu 112: Bit

 

1 ln 2 2

d ln ln

2 2 4

x x x

I x a b

  

  





, vi

,,abc

là các s 

a b c

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

 

1 ln 2 2

x x x

  







   

 

ln 2 2 d ln 2 2

x x x x    



 

2 2 4

ln 2 2

xx  

 

ln 10 ln 2



Trang55

Vy

10, 2, 2 22a b c a b c      

Câu 113:  

(2) 2f 

( )d 1f x x 



. Tính

tích phân

 

dI f x x







10I 

. B.

5I 

. C.

0I 

. D.

18I 

Lời giải

Chọn A



2dx t dx t t  



. '( )dI t f t t





2 ( ) ( ).d 10.I tf t f t t



   









( ).d 1f t t 



Câu 114:Cho

là s tht rng

)(xF

là mt nguyên hàm ca hàm s

   















axexf

tha mãn















và

 

2018

2018 eF 

. M đúng?













 1;

2018

. B.















2018

;0a

. C.





2018;1a

. D.





 ;2018a

Lời giải.

Chọn A.

Câu 115: Bit rng

 

là mt nguyên hàm trên



ca hàm s

 

2018

2017





tha mãn

 

10F 

Tìm giá tr nh nht

ca

 

m 

. B.

2017

2018





. C.

2017

2018





. D.

m 

Lời giải.

Chọn B.

Ta có

 

   

2018 2018 2017

2 2 2

2017x 2017 1 1

1 1 1

F x d C

x x x



    

  



 

10F 

nên

2018

C 

 

2017

2018 2018 2018

1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 2



      



()y f x



   

0;4 0;2xt  

Trang56

Câu 116: Bit rng

 

cos2 sin2 cos2

x xdx a b c  



, vi

, , .abc

Khđúng ?

1.abc  

0.a b c  

2 1.abc   

2 1.a b c  

Lời giải

Chọn B.

t

sin 2

du dx

dv cos xdx























 

1 1 1 1 1

cos2 sin2 sin2 sin2 cos2x 2sin2 cos2 1

2 2 2 4 4

x xdx x x xdx      



Suy ra

2, 1, 1 0a b c a b c       

Câu 117: Gi s tích phân

.ln3 .ln5.

1 3 1

I dx a b c

   







abc  

. B.

abc  

. C.

abc  

. D.

abc  

Lờigiải

ChọnA

Xét

1 3 1

I dx







t

3 1 3 1 2 3t x t x tdt dx      



 

2 2 4 4 4 4

ln 1 ln3 ln5 .

3 1 3 3 3 3 3

I dt t t a b c

          





Câu 118: Cho hàm s

 

()

f x bxe





. Tìm

và

bit rng

'(0) 22f 

và

( ) 5f x dx 



2, 8ab   

. B.

2, 8ab

. C.

8, 2ab

. D.

8, 2ab   

Lời giải

Trang57

Chọn C

Ta có

 

'( ) ( 1)

f x b x e

   



Suy ra

'(0) 22 3 22f a b      

(1)

Ta có

   

( ) ( 1)

1 2 1

f x dx bxe dx b x e a b

   

       

   



   

   



Theo bài ra

( ) 5f x dx 



ab  

(2).

T (1) và (2) ta có h

3 22

   























Câu 119: Cho hàm s

 

y f x

liên tc trên



và tha mãn

   

2018 sin .f x f x x x  

Tính

 

?I f x dx









1009



2019



2019



2018



Lời giải.

Chọn B

Theo gi thit

   

2018 sin .f x f x x x  

   

2018 sin .f x f x x x   

suy ra

 

2018 1 ( ) 2017 sin .sin

2019

f x x x f x x x   



 

.sin . . cos

2019 2019

I x xdx x d x





  



1 1 2

cos cos . sin

2019 2019 2019

x x x dx x















    







Trang58

Câu 120: Bit rng trên khong

;









hàm s

25 7 4

()







có mt nguyên hàm

( ) (a ) 2 1F x x bx c x   



,,abc

là các s nguyên). Tng

S a b c  

bng

3.

Lời giải.

Chọn B

c

5 ( 2 3 )

'( )

ax a b x b c

    





. Do

()Fx

là mt nguyên hàm ca

()fx

nên ta

có

'( ) ( ),F x f x x

thuc khong

;









suy ra

5 ( 2 3 ) 25 7 4

2 1 2 1

ax a b x b c x x

      





ng nht h s c

5, 1, 3.a b c   

Câu 121: Bit rng trên khong

 

1; 

hàm s

15 9 3

()







có mt nguyên hàm

( ) (a ) 1F x x bx c x   



,,abc

là các s nguyên). Tng

S a b c  

bng

3.

4.

Lời giải.

Chọn B

c

5 ( 4 3 ) 2

'( )

ax a b x b c

    





. Do

()Fx

là mt nguyên hàm ca

()fx

nên

ta có

'( ) ( ),F x f x x

thuc khong

 

1; 

hay

5 ( 4 3 ) 2 15 9 9

2 1 2 1

ax a b x b c x x

      





ng nht h s c

3, 1, 7a b c   

Câu 122: Xét hàm s

()fx

liên tn

 

0;1

và tha mãn

2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x   

. Tích phân

( )df x x



bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

2 ( ) 3 (1 ) 1f x f x x   

(1)

t

1tx

, thay vào

(1)

c:

2 (1 ) 3 ( )f t f t t  

hay

2 (1 ) 3 ( )f x f x x  

(2)

Trang59

T

(1)

(2)

c:

( ) 1

f x x x  



( )df x x



d 1 d

x x x x  



5 15





Câu 123: Cho

 

là mt nguyên hàm ca hàm s

 

f x e x x

. S cc tr ca hàm

 

là

A. 2. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

 

F f x





. Ta có





 

e x x













Bng xét du:



2













Vy hàm s

 

có 3 cc tr

Câu 124: Cho hàm s

 

y f x

là hàm l và liên tc trên

 

4;4 ,

bit

 

d2f x x







và

 

2 d 4.f x x



Tính

 

d.I f x x



10I 

. B.

6I 

. C.

6I 

. D.

10I 

Lời giải

Chọn B.

Vì

 

là hàm l nên ta có

   

  f x f x

Ta có:

       

0 0 2 2

2 2 0 0

d 2 d 2 d 2 d

f x x f t t f t t f x x





      

   

         

2 2 4 4 4

1 1 2 2 2

2 d 2 d d 4 d 8 d 8

f x x f x x f u u f u u f x x



          

    



     

4 2 4

0 0 2

d d d 2 8 6.f x x f x x f x x     

  

Trang60

Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho

 

d ln

x x e

x ae b e c





  





vi

c

. Tính

2P a b c  

1P 

. B.

1P 

. C.

2P 

. D.

0P 

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

 

x x e

xe x e

x e e x











 

1 1 1

xe x e

  







 

1 d 1



  









 

1 ln 1 ln 1

xe xe e e



      



. Suy ra

1a 

1b 

1c 

Vy,

20P a b c   

Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân

 

1 ln 2

d ln

1 ln

x ae b

x x e



















là các s  s

bng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

 

1 ln 2

ln 1

d 1 d

1 ln 1 ln

x x x x

















   

ln 1 ln ln 1 1

x x x e e      















. Suy ra:

   

Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân

sin

d ln2

2sin cos

I x a b



  





, vi

bQ



ab

bng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.

Trang61

Ta có:

   

2sin cos 2cos sin

sin

2sin cos 2sin cos

A x x B x x

x x x x

  





   

2 sin 2 cos

2sin cos

A B x A B x

  





2 0 1































sin 2 1 2cos sin

2sin cos 5 5 2sin cos

x x x

I x x

x x x x







  









ln 2sin cos

x x x





  





ln 2





Suy ra:

a 

b 

. Vy,

0ab

Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

o

hàm trên



và

 

5 10f 

 

d 30x f x x







.Tính

 

df x x



20

. B.

. C.

. D.

30

Lời giải

Chọn C.

Xét

 

d 30I x f x x







t

   

u x u x

v f x x v f x



















Vy

         

5 5 5

0 0 0

d d 5 5 dI x f x x xf x f x x f f x x



     

  

Mà

30I 

và

 

5 10f 

vy

 

d 20f x x



Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

o

hàm trên



và

 

2 15f 

 

d 60x f x x







.Tính

 

df x x



30

. B.

. C.

. D.

50

Lời giải

Chọn A.

Trang62

Xét

 

d 60I x f x x







t

   

u x du x

v f x x v f x



















Vy

         

2 2 2

0 0 0

d d 2 2 dI x f x x xf x f x x f f x x



     

  

Mà

60I 

và

 

2 15f 

vy

 

d 30f x x  



Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s

 

y f x

o

hàm trên



và

 

4 13f 

 

d 24x f x x







.Tính

 

df x x



11

. B.

28

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.

Xét

 

d 24I x f x x







t

   

u x u x

v f x x v f x



















Vy

         

4 4 4

0 0 0

d d 4 4 dI x f x x xf x f x x f f x x



     

  

Mà

24I 

và

 

4 13f 

vy

 

d 28f x x



Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 

 

4 3 2

4 2 1,f x x x x x x      

. Tính

   

f x f x dx





. B.

. C.



. D.

2

Lời giải

Chọn C.

Trang63

Ta có

       

     

3 3 3

f x f f

f x f x dx f x df x





    



Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 

 

3 3 2,f x x x x x     

. Tính

   

f x f x dx





. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn D.

Ta có

       

     

4 4 4

f x f f

f x f x dx f x df x





    



Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] 

 

642

5 3 1,f x x x x x     

. Tính

   

2017

f x f x dx





2018

. B.

1009

. C.

2018



. D.

1009



Lời giải

Chọn C.

Ta có

       

 

2018

2017 2017

2018







f x f x dx f x df x

   

2018 2018



  

Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho

 

là mt nguyên hàm

ca hàm s

1 sin 2





vi

x k k





    





, bit

 

01F 

;

 





. Tính

12 12

P F F





   



   

   

23P 

. B.

0P 

. C. Không tn ti

. D.

1P 

Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

Trang64

Ta có

( )

1 sin2

2sin

F x x x

æö

èø

òò

- cot khi 2 ; 2

2 4 4 4

1 3 7

- cot khi 2 ; 2

2 4 4 4

x C x k k

p p p

æ ö æ ö

÷÷

çç

+ + Î - + +

÷÷

ï ç ç

÷÷

çç

è ø è ø

æ ö æ ö

÷÷

çç

+ + Î + +

÷÷

çç

÷÷

çç

è ø è ø



( )

ìì

ïï

.Vy

( )

1 3 3

- cot khi 2 ; 2

2 4 2 4 4

1 1 3 7

- cot khi 2 ; 2

2 4 2 4 4

x x k k

p p p

æ ö æ ö

÷÷

çç

+ + Î - + +

÷÷

ï ç ç

÷÷

çç

è ø è ø

æ ö æ ö

÷÷

çç

+ + Î + +

÷÷

çç

÷÷

çç

è ø è ø



12 12

P F F





   

  

   

   

Cách 2:

Ta có

       

11 11

12 12 12 12

P F F F F F F F F

   



    

       

         

       

   

       

   

12 12

d d 1

1 sin 2 1 sin 2







   





Ta có

 

1 1 1

1 sin2

sin cos

2cos

















nên

 

1 1 1

d tan 1 3

1 sin2 2 4 2







    









;

 

1 1 1

d tan 1 3

1 sin2 2 4 2





    









Vy

1P 

Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho

 

là mt nguyên hàm

ca hàm s

24yx=-

nh trên

{ }

\2¡

tha mãn

( )

11f =

và

( )

32f =-

. Giá tr ca biu

thc

( ) ( )

14FF-+

bng

. B.

. C.

14-

. D.

Lời giải

Trang65

Chọn A.

Ta có

( )

2 4 d khi 2

2 khi 2

2 4 d

2 khi 2

2 4 d khi 2

x x x

x C x

F x x x

x C x

x x x

- + >

ïï

= - = =

ìì

ïï

- - + <

- - <

ïï

( )

1 1 3

1 2 2

íí

- + = = -

ïï

ÞÛ

ì ì ì

ï ï ï

+ = - =

ïï

îî

nên

( )

2 3 khi 2

2 2 khi 2

- - >

- - + <

Vy

( ) ( )

1 4 9 2 4 3 6FF- + = - + + - = -

Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm s

( )

nh trên

{ }

\ 1;1-¡

và tha mãn

( )

( ) ( )

3 3 0ff- + =

và

æ ö æ ö

÷÷

çç

- + =

÷÷

çç

÷÷

çç

è ø è ø

. Giá tr ca

biu thc

( ) ( ) ( )

2 0 4f f f- + +

bng

2ln2 2ln3 ln5--

. B.

6ln2 2ln3 ln5--

ln5 2ln3 2ln2 1- + + +

. D.

2ln3 ln5 6-+

Lời giải

Chọn C.

Có

( )



( ) ( )

ln +C khi 1 1

f x f x x

æö

< - È >

ïç

èø

æö

- < <

èø

Có

( ) ( )

3 3 0 ln2 ln2 0f f C C- + = Û + + + =

ln2CÛ=

Có

æ ö æ ö

÷÷

çç

- + =

÷÷

çç

÷÷

çç

è ø è ø

2 2 2

ln3 ln3 2 1C C CÛ + - + = Û =



( )

ln ln 2 khi 1 1

ln 1 khi 1 1

æö

+ < - >

ïç

èø

æö

+ - < <

èø

Vy

( ) ( ) ( )

2 0 4f f f- + +

ln3 ln2 1 ln3 ln5 ln2= + + + - +

ln5 2ln3 2ln2 1= - + + +

Trang66

Câu 137: Mt vt chuyng vi vn tc

10m/s

c vi gia tc tính theo thi gian là

 

3.a t t t

ng vc trong khong thi gian

giây k t khi vt bu

c.

201

Lời giải

Chon B

   

 

dt 3 dt

v t a t t t C     



10 / 10v m s C  

 

vt   

 

3 201

10 dt m

3 2 4



   







ng vc trong khong thi gian

giây k t khi vt bc là

201

Câu 138: My vi t

10( / )ms

p phanh, t thn

ng chm du vi

( ) 5 10(m/s)v t t 



là khong thi gian tính bng giây, k t

lúc bp phanh. Hi t n khi dng hn, ô tô còn di chuyc bao

nhiêu mét.

8.m

10 .m

5.m

20 .m

Lời giải

Chọn B.



0t



( ) 5 10 0v t t  



2t



( ) 10( )v t dt m



Câu 139: Mt vt chuyng vi vn tc

10m/s

c vi gia tc tính theo thi gian là

 

3.a t t t

ng vc trong khong thi gian

giây k t khi vt bu

c.

201

Trang67

Lời giải

Chon B

   

 

dt 3 dt

v t a t t t C     



10 / 10v m s C  

 

vt   

 

3 201

10 dt m

3 2 4



   







ng vc trong khong thi gian

giây k t khi vt bc là

201

Câu 140: Bit rng trên khong

;









hàm s

20 30 7

()







có mt nguyên hàm

( ) (a ) 2 3F x x bx c x   



,,abc

là các s nguyên). Tng

S a b c  

bng

Lời giải.

Chọn B

Ta có:

1 (2 )(2 3) (a )

'( ) (2 ) 2 3 (a ).

2 3 2 3

ax b x x bx c

F x ax b x x bx c

    

      



T n t thc:

5 (6 3 ) 3

'( )

ax a b x b c

   





()Fx

là mt nguyên hàm ca

()fx

nên ta có:

5 (6 3 ) 3 20 30 7

'( ) ( )

2 3 2 3

ax a b x b c x x

F x f x

     

  



trên khong

;









ng nht h s hai v c h sau:

5 20 4

6 3 30 2

3 7 1

a b b

b c c

  





      





   



Suy ra

3S a b c   

Câu 141: c bc bt cc tr ti x = 1 và x = 2. Bit . Tích phân

2 '( )

lim 2

x f x







'( )f x dx



Trang68

A. B. C. D. 1

Lời giải

Chọn B

Phương pháp:

T gi thit bi có f'(0 ) = 0

T c hàm f'(x) và tính tích phân.

Cách giải:

Ta có mà nên (vì nu

thì )

T c tr ca hàm s m x = 0; x

= 1; x = 2

c bc 4 nên ta gi s hàm

T  bài ta có

Nên

T 

Chọn B.

II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH

Câu 142: Cho hình

()H

là hình phng gii hn bng

1yx

1yx

và trc Ox. Din tích

ca hình

 

(H) bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

2 '( )

lim 2

x f x







lim2 0





 

lim 2 '( ) 0 lim '( ) 0 '(0) 0

x f x f x f



     

 

lim 2 '( ) 0

x f x





2 '( )

lim 2

x f x





  

  

'( ) . 1 2f x m x x x  

     

2 1 2 2 1 2

lim 2 lim 2 2 1

2 2 2

x mx x x m x x



     



      

  

'( ) 1 2 3 2f x x x x x x x     

 

'( ) 3 2 .

f x dx x x x dx   



Trang69

Gi

 

là sình phng gii hn bng

1; 0; 0y x y x   

(Tam giác cong

OAB

 

là sình phng gii hn bi các ng

1 ; 0; 0y x y x   

(Tam giác

OBC

Din tích hình hình phng cn tính là:

   

 

2 2 1 7

1 1 1

3 2 3 2 6

S S S x dx x dx x x





            









Câu 143: 













ABCD



4AB 

8AD 

(









, , ,M N E F





















. 





BEFC







100



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B.

Chn h trc t

Oxy

sao cho

,BO

,AB Ox

.BC Oy

Bài toán tr thành: Tính th tích ca vt th tròn xoay khi cho hình phng gii hn bi:

;yx

8;yx

0; 2xx

quay quanh trc

.Ox

 

8dV x x x



  



16 64dxx







96 .





Cách khác:

Trang70

Gi

m

Gi

là th tích khi nón ct to bi

CFIB

quay quanh

có chiu cao là



6r 

và

8.R 

 

1 296

.2 6 6.8 8



    

Gi

là th tích khi nón to bi

BEI

quay quanh

có chiu cao là







Ta có th tích cn tính

96 .V V V



  

Câu 144: Cho hình thang vuông

ABCD

có



90AD  

2CD AB



45C 

. Gi

m

, gi

,HK

lm các cnh

,AM BM

. Bit

8CD 

, tính th tích

ca vt

th tròn xoay khi quay t giác

HKCD

quanh trc



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B.

Ta có

4AB 

BMC

vuông cân ti

nên

4AD BM

. Gi

m ca

Chn h trc t

Oxy

sao cho

,OD Ox

.OK Oy

Trang71

Bài toán tr thành: Tính th tích ca vt th tròn xoay khi cho hình phng gii hn bi:

2;yx

2 4;yx

0; 2xx

quay quanh trc

.Ox

   

2 4 2 dV x x x



   



32 20 12dx x x



  







Câu 144: Có mt vt th là hình tròn xoay có dng ging  .

ng kính ca ming ly là

4cm

và chiu cao là

6cm

. Bit rng thit din

ca chic ly ct bi mt phi xng là mt parabol. Tính th tích

 

V cm

ca vt th 

cho.

V 





12V





12V 

Lời giải

Chọn C.

Chn h trc

Oxy

.

Ga Parabol là

6y ax

. Do

 

m

 

2;0B

nên

a 

6 cm

4 cm

6 cm

4 cm

Trang72

Vy

 

P y x

suy ra

 





Th tích vt th cn tính bng

 

d 12











Câu 145:

Mt ching h , gm hai phi xng nhau qua mt nm

t trong mt hình tr. Thit din thng qua trc ca nó là hai parabol

i xng nhau qua mt nng cát dn ht  phn

trên cng h thì chiu cao h ca mc cát bng

chiu cao c

Cát chy t trên xui vi

2,90

/ phút. Khi chiu cao ca

cát còn

4cm

thì b mt trên cùng ca cát to thành mng tròn chu vi



cm (xem

hình). Bit sau

phút thì cát chy ht xung phi cng h. Hi chiu

cao ca khi tr bên ngoài là bao nhiêu cm ?

8cm

. B.

12cm

. C.

10cm

. D.

9cm

Lời giải

Chọn C.

Trang73

Chiu cao khi tr bng

Xét thit din cha trng cng h cát là parabol .Gi

 

ng

Parabol phía trên. Chn h trc

Oxy

.

ng tròn thit din có chu vi bng



suy ra bán kính ca nó bng

()P

nh là

(0;0)O



( ): axPy

()P



(4;4)A

nên

a 

. V

( ) :

P y x

Th tích phu chính bng th tích khi tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phi ca

()P

quay quanh trc

và by trong thi gian

30p

Ta có

(2 )

V y dy







2 h





ng cát chy trong

30p

là

2,9.30 87( )m

Vy

87V 

2 87h









Chiu cao hình tr bên ngoài là

2. 10 .

l h cm

Trang74

ChC.

Câu 146:

M

30cm

, thit din vuông góc vi trc và



40cm

, chiu là

(hình v).

Bit rng mt phng cha trc và ct mng parabol,

hi th tích cu là bao nhiêu?

425162

lít. B.

21258

lít. C.

212,6

lít. D.

425,2

lít.

Lời giải

Chọn D.

+ i d li dm :

30 3 ;cm dm

40 4cm dm

+ Chn h to  

G

( ):P x ay by c  

Trang75

()P

m

(4;0);A

(3;5)B

và

(3; 5)C 

nên ta có



















Va

( ) : 4

P x y  

Th tích cu là :

( 4)

V y dy





  



425,2dm

425,2l



Câu 147: 



 



700.000





6.520.000

 B.

6.320.000

 C.

6.417.000

. D.

6.620.000



Lời giải

Chọn C.

Chn h trc t 

 

2,5;1,5A 

 

2,5;1,5B

 

0;2C

1,5m

Trang76

Gi s ng cong trên là 

y ax bx c  



;;abc 



 

2,5;1,5A 

 

2,5;1,5B

 

0;2C



( 2,5) ( 2,5) 1,5

( 2,5) (2,5) 1,5

a b c



    



   















 













yx  

Din tích

ca ca rào st là din tích phn hình phng gii b th hàm s

yx  

, trng thng

2,5x 

2,5x 

Ta có

2,5

S x dx





  









            

 

. 700.000 .700000

S 

6.417.000



Câu 148: Tính th tích V ca vt th nm gia hai mt phng

0x 

và





, bit rng thit din ca vt

th b ct bi mt phng vuông góc vi trc

t

 

0xx





là mt tam

u có cnh là

2 sin x

3V 





23V





23V 

Lời giải

Chọn D.

Din tích thit din là

 

2 sin 3

3sin

S x x

Áp dng công thc

 

3sin 2 3

V S x dx xdx



  



. Chn D.

Câu 149: Mt mn hình elip có trc ln bng

100m

, trc nh bng

80m

. 









 , 







 .

Bit li nhuc là

5000

 mi

trng rau và

10.000

i

trng hoa. Hi

thu nhp t c mn là bao nhiêu? (Kt qu n hàng nghìn).

25.708.000

. B.

51.416.000

. C.

31.415.000

. D.

17.635.000

Trang77

Lời giải

Chọn B













4000S 













2000 4000S





























.5000 .10.000 51.416.00 .0T S S  

Câu 150: A 



 

30 .m













 







  ( 

















), 











 . 



















500.000

, chi









2.000.000

.  ? (Kt qu

làm n hàng nghìn).

706.858.000

514.160.000

1.413.717.000

680.340.000

Lời giải

Chọn B





















225 .























75S ab





















150 .S

































.500.00 .2.000.000 514.160 0 .. 00T S S  

Câu 151: Cho

 

là hình phng gii hn bi parabol

3yx

và n

4yx

vi

22x  

(phm trong hình v). Din tích ca

 

bng

2 5 3





. B.

4 5 3





. C.





. D.





Lời giải

Chọn D.

-2

Trang78

 m:

34xx



22x  

4 2 2

3 4 0 1 1x x x x        

Hình

 

gii hn bi:

 

1; 1

P y x

C y x













  





có din tích là:





1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

4 3 4 3d d d

S x x x x x x x

  

     

  

 

* Ta có:

3 2 3





* Xét

4 dI x x







t

2sin , ;

x t t





  





;

2cosddx t t

Khi



    

và



  

Ta có:

 

4 1 sin 2cos d 4 cos dI x t t t t





  



(Do

cos 0t 

khi

;











)

 

2 1 cos2 2 sin2

dt t t t







   

















Vy

3 2 3 2 3

3 2 3 3







   





Cách khác:

- m ca

 

:3P y x

và

 

:4C y x

là

   

1; 3 , ' 1; 3MM

-2

Trang79

- Có



60 ' 2 30 60AOM MOM       

. Suy ra din tích hình qut

'OMM

là

60 2

360 3





- Gi

là din tích gii hn bi

 

0, 1

OM y x

P y x



















. Suy ra

 

dS x x x  



- Din tích hình

 

là:

S S S





  

Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108)  

    .

   ; 

  

 . Khi so sánh và 



A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có .

Ta li có:

 .

,pq

1, 1,pq



,ab

( 0)

y x x





 

xa

 

;yb

,x a y b

SS

















S x dx









( 0)

y x x







  

1, 1, 1pq

   

11p





S y dy















Trang80

Do .

Câu tương tự:

Câu 153: Cho hình thang cong  , , , 

chia  và  



A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

Chọn D

Ta có và

Ta có

Suy ra  khi .

Câu 154:          

chia hình   

.S ab

S S S

  

 

ye

0y 

0x 

ln4x 

 

0 ln4x k k  

 

.SS

k 

S e dx



e

e

ln4

S e dx



e

  

. 1 4

S S e e  

 

ee   

5 9 9

2 4 4



    





.SS

e 









 

,yx

0,y 

0,x 

4.x 

 

0 16y k k  

 

, SS

SS

Trang81

A. . B. . C. D.

Lơ



i gia



i :

Chọn B



Ta có





Câu 155: Cho parabol  và   

 (    

  và .  

 ,    . Khi

  

A. B. C. D.

Lời giải:

Chọn C

3k 

4k 

5.k 

8k 

x k x k  

S S x dx





 

S x k dx











2 64

k   

 

1 1 2

S S S  

2 64 32

3 3 3

k    

2 12 32 0k k k   

 

0 4t k t  



2 12 32 0tt  

2 4.tk   

 

2y x x  

 

( ; )M x y

 

,Oy

 

SS

P x y

Trang82

 

Ta có: 

            .



  khi .

khi 

 .

Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gi V là th tích khi tròn xoay to thành khi

quay hình phng gii hn bng

yx

0y 

và

4x 

quanh trng thng

 

04x a a  

c th hàm

yx

ti M. Gi

là th tích khi tròn xoay to thành khi

quay tam giác OMH quanh trc Ox. Bit

2VV

. Tìm giá tr

 

;2 ,1 2M m m m m  

  

2 2 2y m x m m m    

 

22y m x m   

 

0; ; ;0

E m F









12m

 

S x x dx   



 

2 2 2 4 1

OEF





OEF

S S S S  

   

min min

OEF

S S S

 

f m m

   



 

Min









m 

 

4 4 28

min

3 3 27



   





m 

( ; )

xy

Trang83

2a 

. B.

22a 

. C.

a 

. D.

3a 

Lời giải

Chọn D.

Gi

là th tích khi tròn xoay do

 

















quay quanh



 

d8V x dx x x

  

  



Gi

là th tích khi tròn xoay do

 

:H OMH

quay quanh

Khi

OMH

quay quanh

to ra 2 khi nón tròn xoay là khnh

, trc

, bán



và khnh

, trc



   

 

V a a a a



   

. .4





2 8 2. . 3

V V a a



    

Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]

Din tích hình phng gii hn b th

yx

và

2yx

bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

 m c th

yx

và

2yx

là

2xx

suy ra

2x 

và

1x 

Trang84

+) Nhn xét rng  th

yx

ch c th

2yx

trên





;2

(có th d th v

 tính din tích hình phng gii hn b th

yx

và

2yx

+) Ta có

 

2dS x x x



  

















. Chn C.

Câu 158: Tính din tích hình phng gii hn b  ng

;

x

;1x

0y

  th hàm s

.log

xy 

2 2ln 2



. B.

2ln 2

. C.

2 ln 2



. D.

2 2ln 2



Lời giải

Chọn A

 th

log

cng thng

x

ti









và cng thng

1x

ti

).0;1(B

+) Din tích hình phng cn tính

|log |d log d .S x x x x  



 

log . d

ln2

x x x x

  



2ln2

2ln

2ln2

log







Chn A.

Câu 159: Cho hàm s

y ax bx c  

 th

 

, bit rng

 

m

 

1;0A 

Tip tuyn

ti

ca

 

ct

 

t lt là 0 và 2, din tích hình

phng gii hn bi

 th

 

ng thng

0; 2xx

có din tích bng

(phn

gch chéo trong hình v).

Trang85

Din tích hình phng gii hn bng thng

 th

 

ng thng

1; 0xx  

bng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

m

 

1;0A 

thu th

 

0C a b c   

p tuyn ti

 

1;0A 

là

 

  

' 1 1y y x

  

4 2 1y a b x    

 m ca

 th

 

là

    

4 2 1 *a b x ax bx c     

+) Mà

0, 2xx

là nghim ca (*) suy ra

 

12 6 16 4

a b c

a b a b c

  





    



+) Có

  

4 2 1 d

a b x ax bx c x



      





   

32 8 28

4 4 2 2 2

3 3 5

a b a b c      

+) T

   

1 , 2

c

1, 3, 2a b c   

suy ra

32y x x  

+) Vy din tích cn tính là

2 2 3 2 d

S x x x x



     



. Chn A.

Câu 160: Cho parabol

 

:P y x

m

,AB

thuc

 

sao cho

2AB 

. Din tích hình phng gii

hn bi

 

ng thng

t giá tr ln nht bng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C.

Trang86

+) Gng thng

:d y ax b

 m ca

 

và

là:

0x ax b  

ng thng ct

 

tm phân bit

,AB

khi

40ab   

Gi hai nghim c

 

1 2 1 2

,;x x x x



x x a

x x b











Gm ca

và

 

là

   

1 1 2 2

, , ,A x y B x y

Ta có:

       

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2

2 4 4 4 4AB x x y y x x x x a x x x x

   

            

   

   

 

2 2 2 2

4 4 4 4 *

a b a a b a b

       



Din tích hình phng gii hn bng thng

và

 

là:

 

ax x

S x ax b dx ax b x dx bx



        







   

2 3 2 3 2 2

2 2 1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

2 3 2 3 2 3

ax x ax x x x x x

bx bx x x x x b

   



          





   

 





 

2 2 2

4 4 1

4 . .

2 3 6 6 6 3

a a b a b

x x b a b















        







Vì

 

1 1, 1

    



nên

S 

Câu 161: [THPT Chuyên Trn Phú, Hi Phòng, ln 2, 2018]Th tích vt th tròn xoay sinh ra khi hình

phng gii hn bng

,xy

2, 0y x x   

quay quanh

có giá tr là kt qu 





. B.





.C.





. D.





Lời giải

Chọn C.

Ta có













Trang87

 m là

1 ( )

2( )

x TM





   







Th tích cn tìm là:

 

V x x x





    





Câu 162: Mt mn hình elip có trc ln bng

100 m

, trc nh bng

80 m

c chia thành 2 phn

bi mn thng nnh liên tip ca elip. Phn nh ng cây con và phn l

trng rau. Bit li nhuc là

2000

mi

rng cây con và

4000

mi

trng rau.

Hi thu nhp t c mn là bao nhiêu? (Kt qu n hàng nghìn ).

31904000

. B.

23991000

. C.

10566000

. D.

17635000

Lời giải

Chọn B

Chng minh: Din tích hình phng gii hn bi elip

 



(vi

0ab

) là



Tht vy, phng elip nm trên tr



. Do

,Ox Oy

là

tri xng ca elip

 

nên din tích hình phng gii hn bi elip

 

là

S b dx





t

sinx a t

vi

;











c

 

4 1 sin sin 4 osS b td a t ab c tdt



  







Xét mn:

50, 40ab

Din tích trng cây con là:

 

.40.50 2 500 m

c OAB





   

Din tích trng rau là:

   

.40.50 2 500 3 2 500

  

    

Thu nhp t mn là:

   

2 500.2000 3 2 500.4000 23991000



   

Câu 163: Mt qu ng kính

6cm

. Ht ca nó là khi tròn xoay sinh ra bi hình Elip

ng thng nm

. Bit tâm ca Elip trùng vi tâm ca khi

Trang88

c dài trc ln, trc nh lt là

4cm

2cm

. Th tích phn cùi (phc) ca

qu ng

 



vi

,ab

là các s thc và

ti gi

ab

bng

. B.

. C.

. D.

103

Lời giải

Chọn A

Chn h trc t

Oxy

sao cho tâm Elip trùng vi gc t

m nm trên trc





, xét

y =-

Th tích khi tròn xoay khi quay Elip trên quanh trc ln là:

2 2 1

V y dx dx

  



   







Th tích qu u

.3 36





 tích phn cùi ca qu 

100







97ab

Câu 164: Trong mt ph



 p c dài trc ln là

'8AA 

 dài trc nh là

'6BB 

;

ng tròn tâm

ng kính là

'BB

. 

(

























) 





'AA

Trang89



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Gn h trc to 

Oxy

sao cho

là tâm cng tròn,

,'A A Ox

,'B B Oy



16 9



, xét

y 

Th tích khi tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trc

là:

2 9 1 d 48





  







Th tích khi cu là:

.3 36





Suy ra th tích khi tròn xoay cn tìm là:

12VV





Câu 165: T mt tm tôn hình ch nht

ABCD

vi

30 ,

AB cm AD cm





i ta ct ming tôn

 ng hình      c hai ming tôn nh. Bit

20AM cm

15CN cm

5BE cm





.Tính th tích ca l c to thành bng cách quay ming tôn ln

quanh trc

(kt qu 

sin

Trang90

81788cm

. B.

87388cm

. C.

83788cm

. D.

7883cm

Lời giải

Chọn C

Chn h trc

Oxy

sao cho

AO

D Ox

B Oy

Ta có

5BE





suy ra hàm s tun hoàn vi chu kì

20T





 th hình

Sin

cn tìm có dng:

sin

y a b









 th hình 

 

0;20M

;15









nên ta có:

sin .0 20

1 55

sin . 15

10 3

















  























 th hình cn tìm là

10sin 20









Th tích cn tìm là:

10sin 20 d 83788

x cm















Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] 



(km/h)v



()th





(2;9)I









23,71S km

. B.

23,58S km

. C.

23,56S km

. D.

23,72S km

Lời giải

Chọn A

sin

Trang91

Vi

 

0;1t

, gi

( ) .v t at bt c  

Ta có :

(0) 4; (2) 9;vv

 nh parabol bng

nên ta có h 

4 2 9

a b c









  



























ng vc trong khong thi gian t

n

gi bng :

5 73

4 12

S t t dt km



    







Vi

(1;4],t

gi

( ) .v t mt n

Ta có h  :

31 5

4 4 9

m n m

m n n



   









  



ng vc trong khong thi gian t

n

gi

bng :

5 141

S t dt km



   











 :

23,71S S S km  

Câu 167: Bit din tích hình phng gii hn b  ng

sinyx

cosyx

0,x 

xa

vi

;











là

 

3 4 2 3

  

hi s

thuc kho







. B.

51 11

;

50 10







. C.

11 3

;

10 2







. D.







Lời giải

ChọnB.

Din tích hình phng gii hn bng

sinyx

cosyx

0,x 

xa

là

sin cos d

S x x x



sin cos d + sin cos d

x x x x x x



  



   

cos sin d sin cos d

x x x x x x



   



Trang92

   

cos sin d cos sin d

x x x x x x



   



 

2 1 sin cos



   

2 2 1 cos sinaa   

Theo bài ra ta có:

 

3 4 2 3  

2 4 2 2cos 2sinaa    

3 1 5

sin sin

4 12







   





4 12



  

1,047



  

51 11

50 10









Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho mt mn hình ch nht

ABCD

có chiu rng là 2m, chiu dài gp ba chiu ri ta chia mn bng

parabol, mm mi ci din.

Tính t s din tích phn mn nm  min trong hai parabol vi din tích phn còn li.

. B.

. C.

. D.

2 3 2



Lời giải

Chọn D.

Chn h trc t :

Ta l

yx

và

yx  

n nm 

min trong hai parabol là hình phng gii hn bng

yx

và

yx  



din tích ca mn nm trong hai parabol là:

2 ( 2) 4 2

S x dx m   



Din tích hình ch nht là:

12m

 s din tích phn mn nm  min trong hai parabol vi din tích phn còn li

là:

4 2 2 3 2

12 4 2







Trang93

Câu 169: Cho hình phng

 

gii hn b  ng

, 0, 0, 4y x y x x   

 ng thng

 

0 16y k k  

chia hình

 

thành hai phn có din tích

,SS

. Tìm



SS

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D.



 

0;4x k x k   



 

2 64

3 3 3

S x k dx x k dx kx k k k



        







2 1 1

S x dx S S   



Theo gi thit ta có

1 2 1 1 1

64 32 2 32

4 0 4.

3 3 3 3

S S S S S k k k k           

Câu 170: Gi (H) là hình phng gii hn b th (P) ca hàm s

6y x x

và trng

thng

,y m y n

chia hình (H) thành ba phn có din tích bng nhau. Tính

(9 ) (9 )Q m n   

Trang94

405Q 

. B.

409Q 

. C.

407Q 

. D.

403Q 

Câu 171: Cho hình cong (H) gii hn bng

1y x x

;

0y 

;

0x 

và

3x 

 ng thng

xk

vi

13k

chia hình (H) thành 2 phn có din tích là

và



6SS

thì

gn bng

A. 1,37.

B. 1,63.

C. 0,97.

D. 1,24.

Câu 172: Cho khi tr có chiu cao

. Ct khi tr bi mt mt phc thit din là hình elip có

 dài trc ln bng

. Thit din chia khi tr u thành hai na, na trên có th tích

ni có th tích

. Khong cách t mm thuc thit din gi nhm

thuc thit dii nht ti lt là

và

. Tính t s

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có công thc tính nhanh khi tr ct có bán kính

là













Theo bài ra ta có

8; 14hh

, thit di dài trc ln bng

Trang95

Ta d c bán kính ca khi tr

2 10 6 4RR   



.4 .20 320V





;

8 14

.4 . 176













144V V V



   



Câu 173: Gi

là hình phng gii hn b  th hàm s

yx

     

6yx

 

66x  

và trc hoành (phm trong hình v bên). Tính th tích V ca vt

th tròn xoay sinh bi khi quay hình phng

quanh trc

.Ox

8 6 2 .V





8 6 .





8 6 .





4 6 .





Lời giải

Chọn D.

















2x

T m là nghim s

Th tích

ca vt th tròn xoay sinh bi khi quay quanh hình









 

66V x dx x x dx







    







   

66V x dx x x dx





    



Trang96

3 3 2

x x x

V x x





   

    

   

   

6 6 8

6 6 12 2





      





4 6 .





V

Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] ng kính bng

và

ng Elip lt nhn

ng kính vuông góc nhau cng tròn làm trc ln, trc bé

ca mu bng

. Din tích

phn hình phng tròn và bên ngoài

Elip (phn gch carô trên hình v) gn vi kt qu nào nht trong

kt qu 

4,8S 

. B.

3,9S 

. C.

3,7S 

. D.

3,4S 

Lời giải

Chọn C.

Chn h trc

Oxy

.

Trang97

a Elip (

) nm ngang:



Cung ca (

) nm trên tr

yx



ng:



Cung ca (

) nm trên tr

21yx



4 2 1 ; 0

x x x   

có nghim

x 

ng tròn n

4yx

Din tích cn tính là

2 2 2 2

4( ( 4 2 1 ) ( 4 4 ) )

S x x dx x x dx       



2 2 2

4( ( 4 2 1 ) 4

x x dx x dx     



S dc

3,7S 

Câu 175: ng c có hai c ct vào hai cây cc khác nhau. Bit khong cách gia hai

cc là

mét còn hai si dây ct hai con bò dài

mét và

mét. Tính phn din tích mt c

ln nht mà hai con bò có th y giá tr gt).

Trang98

1,034 .m

1,574 .m

1,989 .m

2,824 .m

Hướng dẫn giải

Chn C

Din tích mt c  ln nht khi hai sn giao ca hai

ng tròn.

Xét h trc t , gi

,OM

là v trí ca c tìm din tích phn

c tô màu.

    ng tròn tâm

( )

2 2 2

:3+=O x y

   ng tròn tâm

( ) ( )

: 4 2- + =M x y

   ng cong c ng tròn nm phía trên trc

là:

9=-yx

và

( )

44= - -yx

 m:

( )

4 4 9 4 8 16 9

- - = - Û + - = Û =x x x x

Din tích phc tô màu là:

( )

2 21

2 4 4 9 1,989

éù

êú

= - - + - »

êú

ëû

òò

S x dx x dx

Ta có th gii tích phân này bng phép th  tit kim thi gian nên bm

máy.

Câu 176: Ông An có mt m dài trc ln bng

16m

 dài trc bé bng

10m

Ông mun trng hoa trên mt dt rng

và nhn trc bé ca elip làm tri x

hình v). Bi trng hoa là

100.000

ng/

. Hi ông An cn bao nhiêu ti

trng hoa trên d(S tin hàng nghìn).

7.862.000

ng. B.

7.653.000

ng. C.

7.128.000

ng. D.

7.826.000

ng.

Trang99

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gi s 

1

, vi

0ab

T gi thit ta có

2 16 8  aa

và

2 10 5  bb

Va elip là

 

64 25



  



  









y y E

n tích dc gii hn bng

   

; ; 4; 4  E E x x

và din tích

ca dn là

2 64 d 64 d



   



S x x x x

Tính tích phân này bi bin

8sinxt

c











 tin là

80 .100000 7652891,82 7.653.000





  





T

Câu 177: Din tích hình phng gii hn b th hàm s

1y x x

, trc

ng thng

1x 

bng

 

ln 1a b b



vi

,,abc

là các s 

abc

11.

12.

13.

14.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

2 2 2

1d . 1dS x x x x x x x   



Trang100

t

   

2 2 2

d 1d 1 d 1

v x x x x x









    





suy ra

 

v x x









  







   

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1d

1 1 1

2 2 1d 1d

3 3 3

2 2 1 1

3 3 3

S x x x x x x

S x x x x x

S S I I x x

     

     



     





  







Ta tính

1dI x x



t















suy ra























 

1 d 2 1 d

2 1d d

2 ln 1 ln 1 2 .

I x x x x x

I x x x

I I x x



      







    



        



Vy

 

3 2 ln 1 2

2 1 2 1

ln 1 2 .

2 4 2 2 8





    





Tc

3, 2, 8a b c  

. Vy

13abc  

Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Mt cng chào có dng hình parabol chiu cao

18m,

chiu

r

12m.

i dây trang trí

nng thi chia hình

gii hn bi parabol và mt thành ba phn có din tích bng nhau (xem hình v bên). T s

bng

. B.

. C.

. D.

1 2 2

Trang101

Lời giải

Chọn C

Thit lp h to 

Oxy

trong mt ph

yx

. Gng thng là

:AB y t

 

0t 

:CD y k

 

0k 



xt

xk

ng thng

: 18EF y 

. Din tích tam giác cong

OKF

là:

18 d 72



  







T gi thit suy ra: din tích tam giác cong

24, 48OBI OJD



d 24

x t x





  







và

d 48

x k x





  







. T c

x 

;

144

x 



CD x



Câu 179: Cho hàm s

   

, , , , 0y f x ax bx cx d a b c a      

 

th

 

. Bit r th

 

tip xúc vng thng

4y 

ti

-18

1

3

1

Trang102

  th hàm s

 

y f x





cho bi hình v 

Tính din tích

ca hình phng gii hn b th

 

và trc hoành.

9S 

. B.

S 

. D.

S 

Lời giải

Chọn B.

T  th suy ra

 

33f x x





   

 

d 3 3 d 3f x f x x x x x x C



     



 

tip xúc vng thng

4y 

t

âm nên

 

0 0 0

0 3 3 0 1f x x x



      

Suy ra

 

1 4 2fC   

 

: 3 2C y x x   



3 2 0





   







Din tích hình phng cn tìm là:

 

3 2 d

S x x x



   



Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gi

là th tích khi tròn xoay to thành khi

quay hình phng gii hn bng

,y x y0

và

x  4

quay quanh trc

ng

thng

()x a a  04

c th hàm s

yx

ti

(hình v bên). Gi

là th tích khi

tròn xoay to thành khi quay tam giác

OMH

quanh trc

. Bit rng

VV

. Giá tr ca

tha mãn

Trang103

[ ; )a 34

. B.

[2; )a 3

. C.

[1; )a 2

. D.

( ; )a 01

Lời giải

Chọn A.

Ta có

V xdx     





V  



Mt khác

là tng th tích hai khi nón tròn xoay

OMK

và

HMK

OMK

V MK OK



  

(vì

MK a

()

HMK

V MK HK



  

(vì

HK a4

OMK HMK

V V V



   

. T 



   

Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018)Kí hiu lt là din tích hình

vuông có cnh là , hình tròn có bán kính bng , hình phng gii hn b  ng

. Tính t s .

















Lời giải

Chọn C.

+ Ta có

1S

;

S



+ Ta th

2 1 2(1 )





   









1 1 1 1 1

2 2 2 2

0 0 0 0 0

| 2 1 2(1 )|d 2| 1 (1 )d | 2| 1 (1 )d | 2| 1 |

              

    

S x x x x x x x x x x dx

Tính

1d



I x x

t

sin , 0;









x t t





1 cos2 1

cos d d sin2

2 2 4 4





    







I t t t t





1 2 3

,,S S S

 

2 1 , 2 1y x y x   



yx

Trang104

Suy ra

S









Nhận xét:





x dx S



là din tích Elip

x 

2 2 1

S x dx



    



Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính din tích hình phng gii hn bi hai

ng cong:

25y x x x    

5y x x  

c:

2S 

 B.

3S 

 C.

1S 

 D.

0S 



Lời giải

Chọn C.

 m cng cong

 

25y f x x x x     

 

5y g x x x   

là:

3 2 2 3

2 5 5 2 2 0

x x x x x x x





          







Din tích gii hn:

           

 

   

 

0 1 0 1

1 0 1 0

d d d dS f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x



       

   

   

3 3 4 2 4 2

2 2 d 2 2 d 1

S x x x x x x x x x x



   

         

   

   





Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính din tích hình phng gii hn bi các

ng sau:

yx



c:

27ln2S 

 B.

27ln3S 

 C.

28ln3S 

 D.

29ln2S 



Lời giải

1

Trang105

Chọn B.

T  th ta có:

2 2 2 3 3

1 27 1 26 1

27ln 27ln3

27 27 81 81

S x x x x x x x x

   

       

   

   



Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]



; 2; 0y x y x y= = - + =



là:









. C.









Lời giải

Chọn B

 m:

21x x x= - + Û =

;

2 0 2xx- + = Û =



 tích cn tìm là:

( 2)

V x dx x d x

pp= + - + =

òò

. Ch

Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mt phng t

Oxy

, cho hình tròn

 

:8C x y

và

parabol

 



chia hình tròn thành hai phn. Gi

là din tích phn nh,

là din tích

phn ln. Tính t s

Trang106









. B.









. C.









. D.









Lời giải

Chọn A



2 2 2 2

0 0 0 0

2 8 d 2 8 d d 2 8 d

S x x x x x x x x



        





   

Xét

8dI x x





si22n x t

d 2 2 cos dx t t







8 8sin .2 2cos d 8 1 sin cos dI t t t t t t



   





 

 

cos 1 cos2 sin4228 d d 4tI t t t t t





     





S





 

2 2 8   SS



S













Cách 2: Vì Parabol

 



 





 

2;2A



:d y x

thì

2 2 3

4 6 4

2 2 d 2 2 2

2 2 6 3 3

x x x

S x x



  

   



        

   

   



4 18 4







    

( )

Trang107











Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42]

Cho

 

là hình phng gii hn bi parabol

yx

     

y

(phm trong hình v). Din tích ca

 

bng

-3 -2 -1 1 2 3

-2





. B.



. C.





. D.



Lời giải

Chọn A

 dng công thc tính din tích hình phng gii hn b th

 

y f x



th

 

y g x

ng thng

xa

;

xb

 

ab

là

   

S f x g x dx



+) Cách gi m c

x



3 4 0xx  

suy ra

1x 

Ph

y



y   

 tính din tích hình phng gii hn

bi parabol

yx

 th hàm s

y 

ng thng:

1x 

;

1x 

Trang108

i xng qua

nên din tích hình phng

 

bng

 

2 1 d



  







2 1 d 3 d

x x x  



xx  



I

vi

4dI x x



t

2sinxt











suy ra

d 2cos dx t t

;

00xt  

;



  

2cos 4 4sin dI t t t







4cos dtt







 

2 1 cos2 dtt







2 sin2

















 











. Chn A.

Câu 187: Cho

 

là hình phng gii hn bi parabol

30xy



trình

4xy

(hình v). Din tích ca

 

bng





. B.



. C.





. D.





Lời giải

Chọn A

 m c

x 



9 36 0xx  

suy ra

3x 

Ph

4xy



4yx  

 tính din tích hình phng gii hn

-1

-2

-3

-4

-8

-6

-4

-2

y = -

4 - x

Trang109

bng:



  



















.Vì

 

i xng qua

nên

 

2 4 d

S x x  



2 4 d



  







2 4 d 2 d

x x x  



4 sin2

















. Chn A.

Câu 188: Tính din tích hình phng

 

gii hn bi parabol

4y x x

và tip tuyn vi

parabol k t m







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Trang110

Chọn A

p tuyn v t m







là

: 2 1d y x

và

: 4 16d y x  

Chia hình phng

 

thành hai hình lt gii hn bi

 

y x x























và

 

4 16

y x x

  





















Suy ra

     

H H H

S S S

2 1 4 4 16 4x x x dx x x x dx        



   

14x dx x dx   



   

3 3 4

xx

  

. Chn A.

Câu 189: [Chuyên Lương Văn Cha



nh, Long An- L2- năm 2018] 





()y f x



()fx











()y f x



































, , ,a b c d

(). .

Trang111

( ) ( ) ( ) ( )f c f a f b f d  

. B.

( ) ( ) ( ) ( )f a f c f d f b  

( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d  

. D.

( ) ( ) ( ) ( )f c f a f d f b  

Lời giải

Chọn A.



1 2 3

,,S S S







































()y f x





, 















.





   

0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).

S f x dx f b f a f a f b



         



   

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).

S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c



          



   

( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(3).

S S f x dx f x dx f c f b f c f d f d f b



          









(1),(2),(3)







( ) ( ) ( ) ( ).f c f a f b f d  

Phân tích: 





.

Trang112

Câu 190: 





()y f x



()fx











()y f x













,,abc

(). .

. B.

(a) (b) (c)f f f

. D.

(b) (a) (c)f f f

Lời giải

Chọn A.



,SS







































()y f x





, 















.





   

0 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ),(1).

S f x dx f b f a f a f b



         



   

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2).

S S f x dx f x dx f a f b f c f b f a f c



          









(1),(2)







( ) ( ) ( ).f c f a f b

Câu 191: [







 2018] Cho hàm s

 

y f x

o hàm liên tn

 

3; 3

 th hàm s

 

y f x



 bên. Bit

 

16f 

và

   

 

g x f x





Kt lu

A.

 

0gx

m thuc

 

3;3

Trang113

B.

 

0gx

t nghim thuc

 

3;3

C. 

 

0gx

không có nghim thuc

 

3;3

D. 

 

0gx

m thuc

 

3;3

Lời giải

Chọn B.

( 1)

( ) ( ) '( ) '( ) ( 1).

g x f x g x f x x



     

Ta thng thng

1yx

ng thm

     

3; 2 , 1;2 , 3;4 .





()y f x





,









1, 3, 1.y x x x    

















()y f x





, 









1, 1, 3.y x x x   

   

1 6 1 4.fg  

Ta có:

4 ( ) 4 (1) ( 3) 4 ( 3) 0.S g x dx g g g





         



' 4 ( ) 4 (1) (3) 4 (3) 0.S g x dx g g g



        



T  th hàm s

 

y f x



ng thng

1yx

cùng vi các kt qu trên ta có bng bin

thiên sau:

3

()gx



()gx

( 3) 0g 

(3) 0g 

T bng bi

 

0gx

t nghim thuc

 

3;3 .

Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Tính din tích hình phng gii hn bi n ng tròn

2yx

ng thng

m

 

2;0A 

và

 

1;1B

(ph

)

Trang114





. B.

3 2 2





. C.





. D.

3 2 2





Lời giải

Chọn D.

Cách 1:

trình ng thng

 

2 1 2 2yx   

Gi

là din tích cn tính, ta có

 





 

1 1 1

2 2 2

2 2 1 2 2 d 2 d 2 1 2 2 dS x x x x x x x

  

           

  

+ Tính

2dS x x







t

2sin , ;

x t t





  





. Ta có

d 2 cos dx t t

i cn

2 , 1 .

x t x t



       

Suy ra

 

4 4 4 4

2 2 2 2

2 2sin . 2 cos d 2 cos cos d 2cos d 1 cos2 dS t t t t t t t t t t

   

   

     

   

1 3 1

sin2

2 4 2







   





 

2 1 2 1

2 1 2 2 d 2 2

S x x x x







       







Vy

3 2 2

S S S





  

Cách 2: Sử dụng MTCT.

ng thng

 

2 1 2 2yx   

Gi

là din tích cn tính, ta có

 





2 2 1 2 2 dS x x x



     



S dng MTCT, tính

, gán giá tr vào bin

. Ly giá tr

tr t qu 

án, ri cht qu phép tr bng



Trang115

Câu 193: Cho

 

là hình phng gii hn bi parabol

yx

và n

trình

yx

( vi

22x  

) và trc hoành (phm trong hình v). Gi

là din

tích ca, bit

3ab







( vi

c

). Tính

P a b c  

9P 

. B.

12P 

. C.

15P 

. D.

17P 

Lời giải

Chọn A.

     m ca parabol và n ng elip là:

34xx

3 4 0xx   

1x  

Vy

2 d 4 d

S x x x x



  







2 4 d





  

















S x x



t

2sinxt

d 2cos dx t t

i cn

1x 







  

Vy

2 cos tdSt







 

1 cos2 dtt







sin2















Suy ra



















Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho hàm s

 

y f x

nh và liên tn

 

3;3

Bit rng din tích hình phng

,SS

gii hn b  th hàm s

 

y f x

ng thng

1yx  

lt là

;Mm

2

Trang116

Tính tích phân

 

df x x





bng :

6 mM

. B.

6 mM

. C.

6Mm

. D.

6mM

Lời giải

Chọn D.

Chia din tích hình phng

là

11 12

M S S

 mô t 

Gi

 m c thi

 

hàm s

 

y f x

vi trc

Ta có

     

d d d

f x x f x x f x x





  

 

11 12ABC CMQ MNPQ

S S S S S m





     



   

11 12

2 2 6S S m     





6mM  

. Vy chn D.

Nhận xét:  



,Mm



 



 

f x dx



3

2

4

1yx  

 

Trang117

Câu 195: 

()y f x=



[ ]

5;3-





1 2 3

,,S S S



()y f x=



( )

= = + +y g x ax bx c



,,m n p

. Tích phân

()

f x dx



208

m n p  

208

m n p  

208

m n p   

208

m n p   

Lời giải

Chọn B



 

y g x



     

0;0 , 2;0 , 3;2O A B

nên

4 2 0

9 3 2







































 

15 15

g x x x

           

2 0 3

5 2 0

m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx





       

     

     

  

   

f x dx g x dx









   

208

f x dx m n p g x dx m n p



       



Vy

















9P a b c    

y=g(x)

y=f (x)

-1

-2

-5

Trang118

Câu 196: Trong mt phng

Oxy

cho hình ch nht

 

có mt cnh nm trên trnh

trên mng chéo là

 

1;0A 

và

 

;C m m

vi

0m 

. Bit r th hàm s

yx

chia

hình

 

thành hai phn có din tích bng nhau. Tìm

9m 

. B.

4m 

. C.

m 

. D.

3m 

Lời giải

Phân tích: Ta cn tìm t m

c din tích mt phng

yx

chia

hình

 

Chọn D

T gi thit suy ra

 

;0B m Ox

 

ABCD

S m m  

Gi

là din tích hình phng gii hn bng

; 0; ; 0y x x x m y   

. Suy ra

x x m m

S xdx  



Theo gi thit ta có

 

2 3 2

ABCD

S S m



    

Câu 197: Trong mt phng

Oxy

cho hình thang vuông

ABCD

có

 

1;0A 

và

 

;0 ; ; 1 ; 1;5B m C m m D

vi

1m 

. Bit r  th hàm s

1yx

chia hình

 

thành hai phn có din tích bng nhau. Tìm

12m 

. B.

6m 

. C.

8m 

. D.

10m 

Lời giải

Phân tích:

c ht cn v n din tích c

tính phn di

Trang119

Chọn C

 

1 5 1

ABCD

S AD BC AB m m     

Gi

là din tích hình phng gii hn bng

1; 1; ; 0y x x x m y     

. Suy ra

   

2 1 1 2 1 1

x x m m

S x dx



   

   



Theo gi thit ta có

 

2 1 1

1 1 1

. . 1 5 1

2 3 2 2

ABCD

S S m m



     

1 3 8mm    

Câu 198: Trong mt phng

Oxy

 

0;2A

và

 

;0Bm

vi

2m 

. Bit r th hàm s







(C)

chia tam giác

OAB

thành hai phn. Tính din tích ca phn gii hn bi







và

ng thng

theo

mm



. B.

mm



. C.

mm



. D.

mm



Lời giải

Phân tích:

c ht cn v n din tích cn tính. Chú ý phn din tích cn

tìm gm hai phn và tam giác vuông và hình thang cong.

Chọn B

Trang120

ng thng

là:

     

 m ca (C) và



  



u kin

1x 

Vu kii:

 

2 2 0

x m x







   









Vi

 

0 2 0;2x y E A    

Vi

2 2 2 2

;

2 2 2 2

m m m m

x y F

   



   





Gi

là din tích hình phng gii hn bng

; 2; 0

y y x y



    



. Suy ra

 

2 1 2 2 4

ln 1 . . ln

1 2 2 2 8 2

FHB

x m m m m

S dx S x x m





   



        









Câu 199: Gi

là tp hm biu din s phc

trong mt phng t

Oxy

tha mãn

23zz

và s phc

có phn o không âm. Tính din tích hình



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Trang121

23zz

   

23x yi x yi    

 

33xy  

2 2 2

9 3 3 1 1

x x y

x y y        





x y x     

Mà

không âm nên





Din tích cn tìm

S x dx







t

3sin 3cosx t dx tdt  

Cn



    

;



  

3 3sin 3cosS t tdt









3cos tdt









 

1 cos2

t dt









sin2













2 2 2 2

  





   









Câu 200: Cho hình gii hn bng và n tích ca hình là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

 m c th hàm s m c

n tích ca hình nh bi:



2yx

yx



2x 

x

1x













2 .dS x x x



  



   

2 .d 2 .dx x x x x x



      



2 3 2 3

x x x x



   

       

   

   

7 7 7

6 6 3



Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/121

| | Tải xuống

Preview text:

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1:
[2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số f  x có đạo hàm trên đoạn 0  ;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 e  x 1 f   1  0 và  f 
 x dx  
x 1e f xdx 
. Tính tích phân I  f  xd .x 4 0 0 0 e e  A. I  2  . e
B. I  e  2. C. I  1 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn B. 1 Xét tích phân    1 x x
e f  x dx 0 u   f  x
du  f xdx Đặt    dv   x   1 x e d x x v  xe 1 1 1 1 Nên   
1 x  d   . x x  .    d x x e f x x f x xe xe f x
x   xe . f   xdx . 0 0 0 0 1 x e  x 1
Do đó xe . f  
xdx  
. Lại có (theo BĐT tích phân) 4 0 2 1 1 1   2 2  e 1 1 2   e x 1 . x  
 d     x x e f x x x e 2 d . x  f   x 2 2  dx     xe f   xdx  .    4  4 0  0 0 0
Dấu "  " xảy ra khi    . x f x k xe . 1 2 2  e x 1 Suy ra 2 kx
 e  dx   k  1     x f x  xe 4 0 Do đó    d x   d   1  x f x x xe x
x e  C  f   1  C  0 . 1 1 Vậy I  f
 xdx  1  x
x e dx  e  2 . 0 0 Trang1   1 
Câu 2:Cho hàm số y  f  x liên tục và thoả mãn f  x 1  2 f  3x   với x  ; 2 . Tính    x  2 
2 f  x dx  . x 1 2 3 3 9 9 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f  x Đặt I  dx  x 1 2  1  f    1    f  x  x  Với x  ; 2   , f  x 1  2 f  3x     2  3 . 2   x  x x  1  f 2   f  x 2 2  x   dx  2 dx  3dx (1)    x x 1 1 1 2 2 2 1 1
Đặt t   dt   1 1
dx   dt  dx . 2 x x t x  1  f 2   2  x f  t 2 dx  2 dt  2I   . x t 1 1 2 2 2   3
1  3I  3dx  I  .  2 1 2 1
Câu 3: [2D3-3][Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018]Cho f ò ( )
x dx = 2018 . Tính tích phân 0 p 4 f
ò (sin2x)cos2xdx 0 A. 2018 . B.- 1009 . C. - 2018 . D. 1009 . Lời giải Chọn D
Đặt t = sin2x Þ dt = 2cos2xdx Đổ p
i cận: x = 0 Þ t = 0; x = Þ t = 1 4 p 4 1 1 1 f
ò (sin2x)cos2xdx = f
ò (t)dt = .2018 = 1009 2 2 0 0 Trang2 Câu 4:
[2D3-3][Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết F  x   2
ax  bx  c 2x  3 ( x  x   3 
a, b, c   ) là một nguyên hàm của hàm số f  x 2 20 30 11  trên khoảng  ;  .   2x  3  2 
Tính T  a  b  . c A. T  11. B. T  10 . C. T  9 . D. T  8. Lời giải Chọn A. 2    t  3 x  f  x 2 20x 30x 11  . Đặt 2
2x  3  t  2x  3  t  2 2x  3
dx  tdt 2 2  t  3  20 15    2t 311   I  f  x 2 dx  t.dt  t   4 2 t  t 
 t t 4 2 t  t 
C  x  2 5 15 11 d 5 11 2
3 4x  2x  5  C
 a  4;b  2;c  5 a  b  c  11 6 2x  4 dx 5 4 Câu 5:
[2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết
 a  b ln  c ln
 2x5 2x4 8 3 3 0 (a, ,
b c   ). Tính T  a  b  . c A. T  3.  B. T  5.  C. T  4.  D. T  7.  Lời giải Chọn A. 6 6 2x  4 2x  4 t dx  d    2x4 4 2  dt 
với t  2x  4 . 2
2x  5 2x  4  8
2x  4  5 2x  4  4 t  5t  4 0 0 2 4 4 4 4  5t  4  1 1 16 1 1 5 16 4  1
dt  1dt  dt  dt  2  ln  ln     . t 1 t 4    3 t 1 3 t  4 3 3 3 3 2      2 2 2 1 16
Suy ra a  2, b  , c  
 a  b  c  3 . 3 3 Câu 6:
[2D3-3]Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x  2  2 cos 2x . Tính 3 2 tích phân I  f  xdx . 3  2 A. I  3 . B. I  4 . C. I  6.
D. I  8 . Trang3 Lời giải Chọn C. 3 3 2 0 2 Ta có I  f
 xdx  f
 xdx f  xdx . 3 3 0   2 2 0 3 3 Xét f
 xdx Đặt t  xdt  d
 x ; Đổi cận: x    t 
; x  0  t  0 . 2 2 3  2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f
 xdx   f
  tdt  f
  tdt  f
 xdx . 3 3 0 0  2 2 3 3 2 2
Theo giả thiết ta có: f  x  f x  2  2cos 2x    f x  f xdx  2  2 cos xdx  0 0 3 3 3 2  f  x 2 dx  f  x 2 dx  2 sin x dx  0 0 0 3 3 2 0   f
 xdx f  x 2
dx  2 sin x dx  2 sin x dx   0 3 0 0  2 3 2  f
 xdx  6. 3  2
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f  x liên tục trên 1  ;2018   và : 2017 2017
f (2018  x)  f (x) x  [1;2018] ,
f (x)dx  10  . Tính I  . x f (x)dx  . 1 1
A. I 10100.
B. I  20170.
C. I  20180.
D. I 10090. Lời giải Chọn.D.
Đặt t  2018 x  dt  d  x.
x  1 t  2017, x  2017  t  1 1 2017 I  
(2018t )f (2018t )dt 
(2018 t )f (t )dt   2017 1 Trang4 2017 2017  2018
f (x )dx  xf (x )dx   1 1
 I  2018.10 I  I 10090.  
Câu 8:[2D3-3]Hàm số f  x liên tục trên 0;  
 và : f (  x)  f (x) x [0; ] , f (x)dx   . Tính 2 0  I  . x f (x)  dx . 0  2   2  A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 4 4 Lời giải Chọn.D.
Đặt t    x  dt  d  x.
x  0  t   , x    t  0 0
I   ( t )f ( t )dt   
 ( t )f (t )dt  0  
  f (x )dx  xf (x )dx   0 0 2  
 I  .  I  I  . 2 4 b
Câu 9:[2D3-3]Hàm số f  x liên tục trên  ; a b 
 và : f (a  b  x)  f (x) x [ ; a b] ;
f (x)dx  a   b a b Tính I  . x f (x)  dx . a      2      2 A.  a b I . B.  a b I . C.  a b I . D.  a b I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn.D.
Đặt t  a  b  x  dt  d  x.
x  a  t  b, x  b  t  . a a
I   (a  b t )f (a  b t )dt  b b
 (a  b t )f (t )dt  a Trang5 b b
 (a  b) f (x )dx  xf (x )dx   a a ab2
 I  (a b).(a b)  I  I  . 2
y  f  x 1;2
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên f   1  4
f  x  x f  x 3 2 .  2x  3x f 2 thỏa mãn và . Tính giá trị . A. 5 . B. 20 . C. 10 . D. 15 . Lời giải Chọn B f  x f  x Cách 1:+ x
 1;2 : f x  x f x 3 2 .
 2x  3x    2x  3 . 2 x x f  x f  x       2x  3  f   x 1 .  2x  3  . 2 x x  x    1  f  x Vậy f
 x. dx  
2x 3dx 2 
 x  3x  C .  x  x + Vì f  
1  4  C  0 . Do đó f  x 3 2
 x  3x  f 2  20.
xf  x  f  x Cách 2: Từ giả thiết
f  x  xf  x 3 2
 2x  3x   2x  3 2 x 
 f x        2 x  3x . x   2   f x 2  f 2 f      1   dx   2
x  3x dx  
 x  3x 2 2  f 2  20 . x   1 2 1 1 1
Nhận xét:Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương,
tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:
1) Cho trước các hàm g x,u x,vx có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g  x  0, x   ; a b và hàm f  x có đạo hàm liên tục trên  ;ab thỏa mãn:
f  x g x  f  x g  x  u  xv x  u xv  x . Khi đó,    u b v b
u av a
f  x g  x  u  x v  x  f b  f a       . g b g a Trang6
2) Cho trước các hàm g  x,u x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b, g  x  0, x   ; a b và hàm
f  x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn:             2 f x g x f x g x
u x g  x . 
 f x  Khi đó,     
 f b  f a  ub g b ua g a . g  x u  x   
3) Cho trước các hàm g x,u x,vx có đạo hàm liên tục trên  ;
a b và hàm f  x có đạo hàm liên tục trên  ;
a b thỏa mãn: u x f  x f u  x  v x g x g v  x . Khi đó,   
f u  x  g vx  f u b  f u a  g vb  g va.
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t  7t m/s . Đi được 1    
5s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc a    2
70 m/s  . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S  87,50m .
B. S  94, 00m .
C. S  95, 70m .
D. S  96, 25m . Lời giải Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: v 5  35 m / s . 1    
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: v t  70
 t  C . Do v 0  35 C  35 2   2    v t  7  0t  35. 2  
Khi xe dừng hẳn tức là v t  0  7  0t  35  1 0  t  . 2   2
Quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là: 1 5 S m 2  7t.dt    7
 0t  35dt  96,25m. 0 0 2
Câu 12: [2D3-2]Giả sử 2x   1 ln d
x x  a ln 2  b , a; b   . Tính a  b . 1 5 3 A. . B. 2 . C. 1 . D. . 2 2 Lời giải ChọnD Đặt Trang7  1 u   ln x  du  dx    x dv  
2x 1dx  2
v  x  x 2 2  x  x 2  x  1 2x   1 ln d x x  
 x  x   2 2 2 2 ln x  dx  
 2ln 2    x  2ln2  nên a  2, 1 x  2  2 1 1 1 1 b   . 2 Vậy a  3 b  . 2
Câu 13: [2D3-3][Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] 1 3 x  3x Biết
dx  a  b ln 2  c ln 3 
với a, b, c là các số hữu tỉ , tính 2 2
S  2a  b  c . 2 x  3x  2 0 A. S  515. B. S 164 . C. S  436 . D. S  9  . Lời giải Chọn A. 1 3 1 1 x  3x  10x  6   4  14  Xét : I  dx   x3
 dx  x  3  dx  2   x  3x  2 x 1 x  2    x 1 x  2  0 0    0 1 2 x 1 1 1 1 I 
 3x  4ln x 1 14ln x  2   3 4ln 2 14ln 3 14ln 2 0 0 0 2 2 0  5  a   2 5   2 2 I 
18ln 2 14ln 3  b   1
 8  S  2a  b  c  515 . 2 c 14  
Câu 14:[2D3-3][SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101]Cho hàm số f  x liên tục trên  và thỏa  2 16 f x 1 f 4x mãn cot . x f   2 sin x   dx  dx  1 
. Tính tích phân I  d . x  x  x 1 1 4 8 3 5
A. I  3. B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn D. dt Đặt 2
t  sin x  dt  2 sin x cos xdx   cot xdx 2t Trang8  2 t f x f x 1  cot . x f   d 1 2 sin x 1 1 1 dx  f  t      dx  dx  2    2t 2 x x 1 1 1 4 2 2 2
2tdt  dx
Đặt t  x   2 x  t 16 f  x  4 f t 4 f  x 4 f  x 1 1  dx  2tdt 2 dx  dx      2 x t x x 2 1 1 1 1
Đặt t  4x  dt  4dx 1 f 4x 4 f t 4 dt f  x 1 f  x 4 f x 5 I  dx   dx  dx  dx       x t 4 x x x 2 1 1 1 1 1 8 2 2 2 4 Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f  x nào đó không biết, nhưng sẽ cho
thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích
phân đã biết về giống dạng chưa biết. 2 e f ln x
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số
f  x liên tục trên  và thỏa mãn dx  1  và x ln x e  3 2 f  x f  cosxtan d x x  2 . Tính d . x  x 0 1 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn A. dx
Đặt t  ln x  dt  x 2 e f ln x 2 f t 2 f  x 1  dx  dt  dx    x ln x t x e 1 1
Đặt t  cos x  dt  sin d x x  1 3 2 1 x f t f x 2  f  cosx sin     dx   dt  dx   cos x t x 0 1 1 2 Do đó Trang9 2 f  x 1 f  x 2 f x dx  dx  dx  3    x x x 1 1 1 2 2  /4
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân I 
ln(tan x 1)dx 0 a
ta được kết quả là I 
ln 2  c với với a, ,
b c   , b  0, (a, b)  1 . Khi đó P  abc nhận giá b trị A.9. B.8. C.1. D.0. Lời giải Chọn D 
Đặt x   t , ta có 4  0 4    1 tan t  I   ln tan(
 t) 1 dt  ln 1 dt            4 1 tan t  0 4    4 4 4  2   ln
dt  ln 2dt  ln    tant     1 dt 1 tan t  0 0 0   ln 2  I 4 
 I  ln 2  a 1,b  8,c  0  P  0 8     2 2 
Câu 17:Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên 0; 
 và f 0  0 ,  f 
 x dx  ,   2  4 0   2  2 sin .
x f  x dx   . Tính I  f
 xdx? 4 0 0 A. 0 . B.1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B.   2 2 2  Ta có  f 
 x dx  f  
 xd f x  . 4 0 0    2   sin . x f  x 2
dx   f  xd cos x   cos . x f  x 2 2 
f  xcos x dx     0 4 0 0 0    2 2 2 1 cos 2x 1  sin 2x  
Mặt khác ta tính được: 2 cos d x x  dx  x       2 2  2  4 0 0 0 Trang10     4 2 2 2 2 2
Vậy  f '(x) 2 dx  2 cos . x f (
 x)dx  cos d x x   
 f '(x)cosx dx  0 0 0 0 0
Suy ra f  x  cos x  f  x  sin x  C .
Do f 0  0  C  0 .   2 2  Vậy I  f  x    2 dx sin d x x cos x 1  . 0 0 0
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35] ln 2 1 Biết rằng
dx= lna 2  b ln 3  ln 5c 
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó 2 x e 1 0
S  a  b  c bằng bao nhiêu.
A. S  4 .
B. S  3.
C. S  5.
D. S  2 . Lời giải ChọnB ln 2 ln 2 1 x e Ta có dx= dx   2 x e 1 x e 2 x e 1 0 0   Đặt x e  t dt=ex  dx
Đổi cận: khi x  0 thì t 1, khi x  ln 2 thì t  2. ln 2 x 2 e 1 2 2t 1 2t 2 1 2  Vậy dx  dt=   dt=   dt   x e 2 x e 1 t 2t 1 t 2t 1  t 2t 1 1   0   1   1  ln t ln  2t 1   2    ln2 l  n5   ln1 l n3  1 ln 2 ln 3 ln 5     1 Vậy S  3. ln 2 ln 2 x x 1 2e   ln 2 1  2e  2 x e  ln 2
Hướng 2. Phân tích dx  dx     1
dx  x  ln  2 xe   x x x 1 2e 1 2e 1  2e 1 0  0 0 0 ln 2 1 1 a 1 Câu 19: Biết rằng dx= ln 2  ln 2  3 
. Trong đó a , b là các số nguyên. 2 x    2 b 0 2e 1
Khi đó S  a  2b bằng bao nhiêu. A. S  2  .
B. S  3.
C. S  1.
D. S  0 . Lời giải ChọnB Trang11 ln 2 ln 2 2 1 2 x e Ta có dx= dx   2 x 2 x 2 x   0 2e 1 0 2e 2e 1 Đặt 2 x 2 x 2
2e 1  t  2e
 t 1   2x e   2 d 2 =d t   1 2  4 x e dx=2tdt
Đổi cận: khi x  0 thì t  3 , khi x  ln 2 thì t  3 . ln 2 2 x 3 2e t Vậy dx    2 x e 2 x e 1 t  dt 2 2 2 t 1 0 3  3 1  1 1   1 dt     ln t   1  ln t   3 1    2
 t 1 t 1 3 2 3 1    1 1  1 ln 2 ln 4 
ln  3  1ln 3  1  ln 2  ln 2  3  1 2 2  2 2 Vậy S  3.  2 1
x  x x e Câu 20:Biết rằng
dx=a.e+bln e  c 
. Trong đó a , b , c là các số nguyên. Khi đó x   x  e 0
S  a  2b  c bằng bao nhiêu. A. S  1  . B. S  2  .
C. S  1.
D. S  0 . Lời giải. ChọnB  2 1
x  x x 1 x e xe  x   1 x e Ta có dx= dx    x x x  e xe 1 0 0 Đặt x
xe 1  t  dt=    1 ex x dx
Đổi cận: khi x  0 thì t 1, khi x 1 thì t  e 1.  2 1
x  x x e 1 e  t   1 e 1  Vậy dx= dt  t  t  e  e     x  ln  ln   1 1 x  e t 0 1 Vậy S  2  .
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục
trên 1; thỏa mãn f  
1  1 và f  x 2
 3x  2x 5 x
 1;. Tìm số nguyên dương m
lớn nhất sao cho min f  x  m với mọi hàm số y  f  x thỏa đề bài. x   3;10 A. m 15 . B. m  20 . C. m  25 . D. m  30 . Trang12 Lời giải Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến y  f ' x nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để
được một bất đẳng thức liên quan đến y  f x . Ta có t t 2 f (
 x)dx  (3x  2x  5)dx  f  
t f   3 2
1  t  t  5t  3 t   1. 1 1 Suy ra f  x 3 2
 x  x  5x  4  min f x  min  3 2
x  x  5x  4  25 . x   3;10 x   3;10 Vậy m  25.
Câu 22:Cho các hàm số
y  f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn 1
f  x  xf  x 2018 3  x x  0; 
1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
f  x dx  . 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2019.2020 2019.2021 2020.2021 2018.2020
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  7 3 2 f x  x  2x
thỏa mãn 3 f  x   1 .e 
 0 và f 0 1. Tích phân .
x f  xdx  bằng 2 f  x 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. 3 4 8 4 Lời giải Chọn C.  3 f  x
Phân tích: Nhận thấy e
  fx 2 3.
. f  x nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế 3 2 3 2 f x x  2x 
Ta có: 3 f  x   1 2 f x x 1 .e 
 0  3. f x . f  x .e  2 . x e 2 f  x       3 2 2
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 2
f  x f  x f x x 1  x 1 e x x e x e      2 3. . . d 2 . d d x     1 3 f  x 2 x 1 e e     C  0 Trang13
Mặt khác: f 0  1 C  0 nên 3 f  x 2
 x   f x 3 2 1  x 1 7 7 45 Tính: . x f  x 3 2 dx  . x x 1.dx    . 8 0 0 1 2 1
Câu 24: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f 
 x dx   và 11 0 1 1 1 4
x f  x dx    . Tích phân
f  x dx  bằng 55 0 0 1 1 1 1 A.  . B. . C.  . D. 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 1 5 1 5  x  x 1 1 Ta có 4 x f
 xdx  f  x  f    xdx 5
 x f xdx    5  5 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 mà  5 x  dx   nên  f   x 5
 dx  2 x f   
xdx   5x dx  0   f   x 5
 x  dx  0   . 11 0 0 0 0 0 1 Suy ra   5 f
x  x  f  x 6  x  C . 6 1 1 1 6 x 1 1 Vì f   1  0 nên C   . Vậy
f  x dx  dx     . 6 6 7 0 0 1 2 3
Câu 25: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f   1  0,  f 
 x dx  2ln2  2 0 1 f  x 3 1 và     . Tích phân
f  x dx  bằng
x   dx 2ln 2 2 1 2 0 0 1  2 ln 2 3  2 ln 2 3  4ln 2 1  ln 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1 1 f  x 1  1  1  1    1  Ta có
dx  f x d 1      1 f   x  1 f     xdx 2   x 1  x 1  x 1   x 1 0   0 0 0 1  1  3 Suy ra 1 f  
  xdx   2ln 2.  x 1  2 0 Trang14 1 1 2 1  1   1 1   1  3 Mặt khác 1 dx  1 2   x     x  x      .  x 1   x 1  x   d 2 ln 1 2 ln 2 2 1  x 1 2 0 0     0 1 1 1 2     Do đó  f   x 2 1  x   f     x 1 d 2 1 dx  1 dx  0    x 1  x 1 0 0 0 3 2    f   x 1  1 dx  0   .  x 1  0  f x 1  1
 f x  x  lnx  
1  C , vì f  
1  0 nên C  ln 2 1. x 1 1 1 Ta đượ 1 c f
 xdx  xln  x  
1  ln 2 1 dx   ln 2  . 2 0 0
Câu 26: Xét hàm số f  x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn điều kiện x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1  1 x . Tích 1 phân I  f
 xdx bằng: 0     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 20 16 6 4 Lời giải: Chọn A.
Vì f  x liên tục trên 0;  1 và x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1
 1 x nên ta có 1 1 1 1 4 . x f  2 2  x  1 2
 3 f 1 x 2 dx  1  x dx    4 . x f 
x dx  3f
 1 xdx  1 x dx   1 . 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4 . x f  2 x dx   2 f
  2xd 2x tx  2 f
 tdt  2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f
 1 xdx  3  f
 1 xd1 x u 1x 3 f
 udu  3I 0 0 0    1 2 2 2  Đồ 1 ng thời 2 1  x dx  x s  int 2 
1  sin t.costdt  2  cos d t t 
 1 cos2tdt  . 2 4 0 0 0 0   Do đó,  
1  2I  3I  hay I  . 4 20
Câu 27: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f (x)  0, x    và 2
3 f '(x)  2 f (x)  0. Tính f (1) biết rằng f (0)  1. Trang15 1 2 3 4 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân.
Phân tích: Từ giả thiết 2
3 f '(x)  2 f (x)  0 và f (x)  0, x    suy ra: 1 1 f '(x) 2  1  1 2  3 dx  dx     f (1)    . 2 f (x) 3 f (1) f (0) 3 5 0 0
Câu 28: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên (0; ) thỏa mãn f (x)  xf '(x)  2x và
f (1)  2 . Giá trị f (2) bằng: 5 e A. . B. 2. C. . e D. . 2 2 Lời giải Chọn A.
Từ giả thiết f (x)  xf '(x)  2x  (xf (x)) '  2x  (xf (x)) 'dx  2xdx   Suy ra 2
xf (x)  x  C , thay x 1 vào hai vế ta được 2
1. f (1)  1  C  2  1 C  C  1. 2 x 1 Khi đó 2 5
xf (x)  x 1  f (x) 
. Vậy f (2)  . x 2
Câu 29: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn ( )  '( )  2 x f x f x e và
f (0)  1. Giá trị f (2) bằng: A. . e B. ln 2 . C. 2 e . D.1. Lời giải Chọn C. Từ x x x 2 x x 2 ( )  '( )  2  ( )  '( )  2  ( ( )) '  2 x f x f x e e f x e f x e e f x e Suy ra x 2x x 2 ( ( )) '  2  ( ) x e f x dx e dx
e f x  e  C  
. Thay x  0 vào hai vế ta được C  0. Suy ra ( ) x
f x  e . Vậy 2 f (2)  e . Trang16 f  x  \ 0;  1  f   1  2  ln 2 Câu 30:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và
x  x   f  x  f  x 2 1  x  x
f 2  a  b ln 3 . Giá trị
, a, b   .Tính 2 2 a  b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B. x 1 x
Ta có x  x   f  x  f  x 2 1  x  x 
f  x  f x  2   x 1 x   1 x 1   x    x f x    .  x 1  x 1 2 2   x  x
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được f  x dx  dx     x 1  x 1 1 1 2 x  2 1
f  x   x  ln x 1  2  f 2  f  
1  2  ln 3  1 ln 2 1 x 1 3 2 1 2  3 3
f 2  ln 2  1 ln 3  ln 2  f   3 3 2 
 ln 3 . Suy ra a  và b   . 3 2 2 2 2 2 2  3   3  9 Vậy 2 2 a  b         .  2   2  2 2  1 1 1  a Câu 31: Biết 3 3 3  x 2  dx  c 
, với a,b, c nguyên dương, a tối giản và c  a . Tính 2 8 11  x x x b b 1  
S  a  b  c . A. S  51. B. S  67 . C. S  39 . D. S  75 . Lời giải Chọn B 2  1 1 1  2 1  2  Ta có 3 3
I   x   2  dx  3  x  1 dx    . 2 8 11  x x x 2 3 x  x  1   1 7 3   4 Đặ 1 2 21 t 3 3 t  x  2
 3t dt  1 dx 
 nên I  3t dt  3  14 . 2 x 3  x  32 0 Suy ra S  67 .
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; đồng
thời thỏa mãn điều kiện: Trang17 3 2
f  x  x sin x  f  x  cos x và f  xsin d x x  4  
. Khi đó, f   nằm trong khoảng nào?  2 A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết: f x  xsin x  f x  cos x  f x  xsinx  x f x cos x
 f x.x  x . f x  xsin x cos x  f x.x x . f x  (cos x)x  xcos x (*).
f  x.x  x . f  x
( cos x) x  xcos x
Vì x 0; , ta chia 2 vế của (*) cho 2 x ta được   2 2 x x  f  x     cos x  f  x  cos x       
 c  f x  cos x cx . x    x  x x 3 2 Mặt khác lại có
f  xsin xdx  4   .  2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xét f  xsin d
x x   cos xsin x  c xsin xdx   cos x d 
cos xc xsin xdx      2 2 2 2 3 2 2   cos x   
  c x cos x  sin x 32    2c .  2   2 2 3 2 Mà f  xsin d x x  4    2  c  4
  c  2  f x  cos x2x .  2
Ta có: f    1   2  5, 28 . Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng ax. f x  bx. f x  g x   1
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa  
1 về dạng u x. f  x  u  x. f  x  h x 2 u (
 x) ax u  x Với 
, kết hợp với giả thiết ta tìm được u(x) suy ra biểu thức nhân thêm là . u(x) b  x b  x
Khi có 2 ta sẽ tìm được f  x .
Câu 33: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên  thỏa mãn     2 2 2 . x f x xf x x e   
và f 0  1. Tính f   1 . 1 2 2 A. e . B. . C. . D.  . e e e Trang18
Câu 34: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn   2       1    ex x f x x f x và f   1 0  . Tính f 2 . 2 A. f   e 2  . B. f   e 2  . C. f   2 e 2  . D. f   2 e 2  . 3 6 3 6 2 3 x Câu 35:Biết
dx  a 5  b 2  , c 
với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P  a  b  . c 2   1 x 1 1 5 7 5 A. P   B. P  C. P 
D. P  2 2 2 2 Lời giải Chọn C. 2 3 2 2 3 x  1 1  5 2 3 Ta có dx  x 
  2x 1 1dx    2x   2 1  x  5  2  .  2    3 2  3 3 2 1 x 1 1 1 1 5 2 3 5 Vậy a  ,b   ;c   P  . 3 3 2 2  3 ln sin x 3 3 
Câu 36: Cho tích phân I  dx  a 3 ln  ln 2  a, , b c  . 
 Tính giá trị của biểu thức 2    cos x 2 b c 6
S  a  b  . c A. 3  B. 2  C. 1 D. 1 Lời giải Chọn B. u
  ln sin xdx  cos x  du  dx Đặt  1   sin x v   2  v  tan cos x x    3 ln sin x 3 3 3 3 1  Suy ra dx  tan . x ln sin x  dx  3 ln  ln    2    cos x   2 3 2 6 6 6 6 3 3   3 ln  ln 2 
 a 1;b  3;c  6  2 3 6 
Do đó S  a b  c  2   2 2   1
Câu 37: Cho tích phân I  2x   2 1 .cos xdx    a, , b c  
 . Tính giá trị của biểu a b c 0
thức S  a  b  . c A. 1 B. 2  C. 2 D. 1 Lời giải Trang19 Chọn C.    2 2 2  1 1   x 1 1  2 Ta có I  x 
 x cos 2x  cos 2x dx    
 x  sin 2x   xcos2 d x x   2 2   2 2 4  0 0 0 2      J 8 4 du  dx u   x  Đặt    1 dv  cos 2 d x x v  sin 2x  2    2 1 2 1 1 2 1 Suy ra J  x sin 2x  sin 2 d x x  cos 2x    2 2 4 2 0 0 0 2   Do đó 1 I 
   a  8;b  4;c  2  S  2 8 4 2  4
Câu 38: Cho tích phân 2 2
I  x tan xdx  a  b  c ln 2a, , b c  
 . Tính giá trị của biểu thức 0
S  a  b  . c 9 7 5 1 A.  B. C.  D. 32 31 16 32 Lời giải Chọn C.   4 2 4  1   x Ta có I  x 1 dx    dx     2 2  cos x  16 cos x 0 0  4 Đặ x t J  dx  2 cos x 0 u   x  du  dx Đặt  1   dv  dx  v  tan d x x 2  cos x    4 4  4  2
Suy ra J  x tan x  tan d x x   ln  cos x   ln 4 4 2 0 0 0 2   1 1 1 1 5 Vậy I  
  ln 2  S       16 4 2 16 4 2 16 2
Câu 39: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f  2   1, f
 2x4dx 1. 1 0 Tính I  . x f  
xdx . 2  Trang20 A. I  1. B. I  0. C. I  4 . D. I  4 .
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018]Cho hàm số y  f  x xác      2      2 đị 2 nh trên 0;   thỏa mãn 2
 f x2 2.f xsin x x d   
. Tính  f xdx .   2    4  2 0 0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải Chọn B.    2 2 2         1      2 +) Ta có 2 2 sin x  x d  1 cos 2x  x
d  x  sin 2x            .  4    2   2  2  2 0 0 0 +) Từ đó  2     2   2
 f x2 2.f x.sin x x d    .   4  2 0   2 
   f x         
 2 2. f x 2 2 2 2 2 .sin x  x d  2sin x  x d          4   4  2 2 0 0  2 2 
   f x     2 sin x  x d  0.     4  0  2        2 2    
Do  f  x  2 sin x   0, x  0;   
 nên   f x  2 sin x  x d  0   .   4   2    4  0   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x  2 sin x    .  4     2 2 2      
+) Vậy  f xdx  2 sin x 
dx   2 cos x   0      .  4   4  0 0 0   
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y  f  x liên tục trên 0;   ” ở đề  2 
bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa. 9 e x  2 1 1 2 
Câu 41: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0  ;1 thỏa mãn 
 f x6.f x.e dx    . 2 0 1 Tính  
 x 1 f xdx. 0 A. e 1. B. 2e  5 . C. e . D. 3e . Lời giải Chọn D. +) Ta có Trang21 9 e x  2 1 1 2  
 f x6.f x.e dx    2 0 9 1 e x 2 x  2 1 1  1 2  
 f x6.f x 2
.e  dx  9e dx   9 x e d     x 2 0 0 0 1      2  3 x f x e   0   0     3 x f x e . 1 1 1 +) Vậy    1  d  3
   1 xd  3 x x f x x x e x xe  3e . 0 0 0  1 1 
Câu 42: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  ;   thỏa mãn  2 2 1 1 2 109 2   2 
 f x2.f x.3 xdx     . Tính d  f x x . 12 2 x 1 1  0 2 2 5 7 8 A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A. +) Ta có 1 2 109 2 
 f x2.f x.3 xdx     12 1 2 1 1 1 2  
 f x f x   x 2
 x     x 2 2 109 2. . 3 d 3 dx     3 x2 2 d   x 12 1 1 1    2 2 2 1 2  
  f x3 x 2 dx  0  1 2
 f x  3 .x 1 1 1 2 f  x 2 2 1 3  x  1 2  2 +) Vậy dx  dx   dx     
ln x1 2ln x1 2  ln . 2 2 0 x 1 x 1
 x 1 x 1 9 0 0 0
Câu 43: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0 é ;1ù
ë û và thỏa mãn điều kiện 1 2 2 4 .
x f (x ) + 3. f (1- )
x = 1- x . Tích phân I = f (x)dx ò bằng. 0   p  A. I  . B. I  . C. I = . D. I  . 4 6 20 16 Lời giải Trang22 Chọn C 1 1 1
Lấy tích phân hai vế ta có: 2 2 4 .
x f (x )dx+ 3 f (1- ) x dx = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 1 2 2 2
Û 2 f (x )d(x ) - 3 f (1- x)d(1-x) = 1- x dx ò ò ò 0 0 0 1 1 p
Û 2 f (t)d(t) + 3 f ( ) u d(u) = ò ò 4 0 0 1 1 p p Û 5 f (x d ) (x) = Þ f (x d ) (x) = ò ò 4 20 0 0
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47] 1 2  1 
a ln 2  bc ln 3  c Cho x ln  x  2 dx   
, với a, b, c   . Tính T  a  b  c .  x  2  4 0 A. T  13 . B. T  15 . C. T  17 . D. T  11. Lời giải. Chọn A.
Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành
2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân
từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản. 1  1  1 1 x
Ta có I  x ln  x  2 dx    x ln
 x2dx dx   x  2  x  2 0 0 0 1 1      ln  x2 1 2 2 d x  2  1 dx      2   x  2  0 0 1 2 1 x  4    x   2 x 4 1 ln 2  . dx  
x2lnx 21 0 2 2 x  2 0 0 1 2 3  x  2     7 7 4 ln 2 2.7 ln 3 7 ln 3  2 ln 2  
 x 1 2ln3 2ln 2   ln3 4ln 2   . 2  4  2 4 4 0
Ta có a  4 , b  2 , c  7 . Vậy T  a b  c  4 2 7  13 . 3  1  abc  b  c Câu 45: Cho I  x ln  ln 2 ln 5   x   1  dx   , với
a, b, c   . Tính 2  x 1 4 0
T  a  b  c . A. T  13 . B. T  15 . C. T  10 . D. T  11. Lời giải. Chọn C. 3  1  3 3 x
Ta có I  x ln   x 1 dx   x ln
 x 1dx dx  2  x 1 2 x 1 0 0 0 Trang23 3 d  2 3 x   3 2 3 3       1 1 x 1 x 1 1 x   2 x 1 ln 1 d      ln  x   1  dx  ln  2 x   1  2  2 2 x 1 2 2 2 0 0 0 0 0 3 1    4ln 4   5.2.3ln 2 2 ln 5 3 ln10  . 4 2 4
Vậy T  a  b  c 10 . 1  1  ab  bc  c
Câu 46: Cho I  x ln  ln 2 ln 3   x  2  dx  
, với a, b, c   . Tính T  abc . 2  x 1  4 0 A. T  18  . B. T  16 . C. T  18 . D. T  16  . Lời giải. Chọn A. 1  1  1 1 x
Ta có I  x ln   x2 dx   x ln
 x2dx dx  2  x 1  2 x 1 0 0 0 1 2    d  2 1 1 x 2 1 1 x   2      x 4 x 4 1 1 x   1 4 1 ln 2 d      ln  x  2  . dx  ln   2x  1 2  2  2 x 1 2 2 x  2 2 0 0 0 0 0 3 3 1 3.2 ln 2  2. 3  ln 3  3  
  ln 3  2ln 2   ln 2  2 4 2 4 Vậy T  . a . b c  3.2.  3    1  8 .
Câu 47: Cho f (x) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f (x)  0 và a dx
f  x f a  x 1. Tính  được kết quả bằng: 1 f (x) 0 a a A. . B. 2a .
C. a ln a   1 . D. . 3 2 Lời giải Chọn D. a a dx
f (a  x) Ta có: I   dx   . 1
f (a  x) 1 0 0
1 f (a  x)
Đặt: a  x  t thì dx  d  t . Đổi cận 0 f (t) a f (x) Ta được: I   dt  dx   . f (t) 1 f (x) 1 a 0 a dx a f (x)dx
a 1 f (x)dx a a
Do đó: I  I   +  =  = dx  a  . Vậy: I  . 1 f (x) 1 f (x) 1 f (x) 2 0 0 0 0 Trang24  4
Câu 48: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f x  f  x 2 3 2  tan x . Tính f  xdx .   4     A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D.
f x  f  x 2 3 2  tan x  1
Thay x  x    f  x  f x 2  x 2 . 1 3 2 tan  tan x2   1 .2  2 2
.3  5 tan x  5 f  x  f x 2  tan x     4 I  f  x 4 4 4 2 2 dx 
tan x dx  2 tan x dx  2     2 1+tan x  1 dx    0 0   4 4  
I  2tan x  x 4  2  . 0 2
Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số f  x có đạo hàm và liên tục trên 0  ;1 và thỏa 1 1 mãn x
  f x2dx  f  1. Giá trị của I  f
 xdx bằng 0 0 A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2  . Lời giải Chọn C u   x  du  dx  Đặt    dv  
 f x2dx v  f  x 2x 1 1 Khi đó f   1  x
  f x2dx  x f x2x1  f x2xdx  f  12 I 1 0 0 0 Suy ra I  1  . Trang25 1
Câu 50: Cho hàm số f  x có đạo hàm và liên tục trên 0  ;1 và thỏa mãn x
  f x4dx  f  1. Giá trị 0 1 của I  f
 xdx bằng 0 A. 0 . B. 2  . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B u   x  du  dx  Đặt    dv  
 f x4dx v  f  x 4x 1 1 Khi đó f   1  x
  f x4dx  x f x4x1  f x4xdx  f  14 I 2 0 0 0 Suy ra I  2 . 1
Câu 51: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  thỏa mãn x  
1 f  x dx  10 và 2 f  
1  f 0  2 . 0 1 Tính I  f  xdx 0 A. I  12.  B. I  8. C. I 12. D. I  8.  Lời giải Chọn D u   x 1 du  dx  Đặt   
dv  f  xdx v  f  x 1 1
Khi đó 10   x   1 f  
xdx  x  
1 f  x 1  f  xdx   2 f  
1  f 0  I 0 0 0 Suy ra I  8  . 2
Câu 52: Biết rằng hàm số y  f  x liên tục trên  thỏa mãn f 2  16; f
 xdx  4. Tính 0 1 I  xf   2xdx 0 A. I 13. B. I 12. C. I  20. D. I  7. Trang26 Lời giải Chọn D du  dx u   x  Đặt   
 v  f  x 1 d 2 dx v  f  2x  2 1 1 1 2 Khi đó 1 1 1 1 I 
xf 2x dx   xf 2x  f 2xdx   f 2 
f  x dx  8 1  7  2 2 2 4 0 0 0 0 Suy ra I  7.
Câu 53: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn  2   1 (  )  2 ( )  x x f x xf x xe
và f (0)  1. Giá trị f (1) bằng: A. e . B.1. C. ln 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B. x 
Từ giả thiết  2        2 1 ( ) 2 ( )   1 ( )  x x f x xf x xe x f x xe Suy ra 1    1 ( ) 1 2    x x f x dx xe dx . 0 0     1 ( ) 1 1 1 1 2  x  2 (1)  (0)  x    x x f x xde f f xe e dx 0 0 0 0 1
 2 (1)  (0)   x f f e e  f (1) 1. 0
Câu 54: Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn điều kiện f  x  f   x 2 2 1  3x  6x , 1 x  0 
;1 . Tính tích phân I  f   2 1 x dx . 0 4 2 2 A. I   . B. I  1. C. I   . D. I  . 15 15 15 Lời giải Chọn C.
Đặt t 1 x , x  0  ;1 thì t  0  ;1 .
Ta có f  x  f   x 2 2 1
 3x  6x  f x  f   x  x  2 2 1 3 1  3
 f  t  f t 2 1 2
 3t 3  f x  f   x 2 2 1  3x  3 . Trang27  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6x  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6x Xét hệ phương trình:    2 f 
x f 1 x 2  3x  3 4 f 
x 2 f 1 x 2  6x  6  f x 2 3
 3x  6x  6  f x  x  2 1  3, x  0  ;1 .
Khi đó f   x     x 2 2 2 1 2 3 4 2
 x  4x 1. 1 1 1 5 3  x 4x  2 Suy ra I  f   2
1 x dx   4 2 x  4x  
1dx     x   .  5 3  15 0 0 0 Phân tích:
+ Bước 1: Từ f x  f   x 2 2 1
 3x  6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f x . 1
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f  2
1 x  rồi tính I  f   2 1 x dx . 0
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y  f  x liên   x 1 e 1
tục với mọi x 1 thỏa mãn f
 x  3, x 1   . Tính I  f  xdx.  x 1 2
A. I  4e 1.
B. I  e  2.
C. I  4e  2.
D. I  e  3 . Lời giải    Đặ x 1 t 1 t 2 t t 
 xt  t  x 1 x 
, suy ra f t  1 2   3  4 
hay f (x)  4  x 1 t 1 t 1 t 1 x 1 e 1  e 1 2    Ta có I  4  dx    
4x2ln x1  4e2. 2  x 1 2  
Câu 56: Cho hàm số y  f  x liên tục với mọi x  0 thỏa mãn f  x 1  2 f  3 , x x  0   .  x  2 f  x Tính I  dx  . x 1 2 3 9 1 4 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 3 Lời giải
Tương tự ta xác định được   2 f x  x  . x 2 f  x 2 2  2   2  3 Suy ra I  dx  1   dx  x        2 . 1 x  x   x  2 1 1 2 2 2 Trang28  1 2
Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho f 2x   1 dx 12   và f   2 sin xsin 2 d x x  3. Tính 0 0 3
f  xdx  . 0 A. 26 . B. 22 . C. 27 . D. 15 . Lời giải Chọn C. + Đặ dt
t: 2x 1  t  dx  . 2
x  0  t 1 1 3 1 3 Với  . Do đó: f
 2x 1dx  f
 tdt  f
 xdx  24.
x 1 t  3 2 0 1 1 + Đặt: 2
sin x  u  2sin xcos xdx  du hay sin 2 d x x  du .  
x  0  u  0  2 1 1 Với   . Do đó: f   2 sin xsin 2 d x x  f
 udu  f
 xdx  3. x   u  1  2 0 0 0 3 1 3 Vậy f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  7 2 . 0 0 1 5 2x 1 3
Câu 58: Biết I 
dx  a  b ln 2  c ln , 
a, ,b cZ . Khi đó, giá trị 2
P  a  ab  2c
2x  3 2x 1 1 5 1 A. 10 . B. 8 . C. 9 . D. 0 . Lời giải Chọn A.
Ta có 2x  3 2x 1 1  2x 1 3 2x 1  2 Đặt 2
t  2x 1  t  2x 1  tdt  dx
Đổi cận x  1 t  1; x  5  t  3 Khi đó 3 3 2 3 3 t  3  t  2   1 4   I  dt   1 dt  1 
dt  t  ln t 1  4ln t  2     2   t  3t  2 t 1 t  2   
t 1 t  2  1 1    1 1         3 3 ln 4 4 ln 5
1 ln 2 4 ln 3  2  ln 2  4 ln
.  a  2, b  1, c  4 . 5 2
 P  a  ab  2c  10 4 2x 1dx 5
 a  b ln 2  c ln 
a,b,c 
2x  3 2x 1  3 3 Câu 59: Biết 0
. Tính T  2a  b  c . Trang29 A. T  4 . B. T  2 . C. T  1. D. T  3. Lời giải Chọn C 4 4 4 2  
 2x1 1 2x12d 2 1d 2 1d x x x x x I      
2x  3 2x 1  3         0 0  2x 1
1 2x 1 2 0  2x 1 1 2x 1 2 4 4 2dx dx     .     0  2x 1 2 0  2x 1  1
Đặt u  2x 1  d
u u  dx . Với x  0  u 1, với x  4  u  3. .3 .3 .3 .3 2 d u u d u u  4   1  Suy ra I    2  du  1 du       u  2 u 1  u  2   u 1 1 1 1 1  u  u   u   3 5 4 ln 2 ln 1  2  4ln  ln 2 1 3
 a  2, b 1, c 1 T  2.114 1. 2 dx Câu 60: Biết
 a  b  c 
với a , b , c là các số nguyên dương. Tính
x x 1  x 1 x 1  
P  a  b  c .
A. P  44 .
B. P  42 .
C. P  46 .
D. P  48 . Lời giải Chọn D 2 2 Đặ dx dx t I     .
x x 1  x 1 x    1   1 x  x  1  x x 1   dx dt Đặ x 1 x t t 
x  x 1  dt    2 .
x  x   dx 2 1 x  x   1 t
Khi x 1 thì t  2 1, khi x  2 thì t  3  2 . 2 3 2 3 2 dx dt 1   I   2  2    1 1  2      4 2  2 3  2 x x  x  x  t t  3  2 2 1 1   1  1 2  2 1 2 1 
 32  12  4  a  32, b 12, c  4.
Vậy P  a  b  c  48 . Trang30 f  x g  x 1;4 Câu 61: Cho hai hàm và
có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức  f    1  g   1  4 4 
. Tính I   f
 x gxdx  . g  x   .
x f ' x; f  x   . x g ' x 1 A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4 ln 2 . Lời giải Chọn A
Ta có f (x)  g(x)  x f '(x)  g '(x)   f (x)  g(x)dx  x
  f '(x) g'(x)dx.   C
x f (x)  g(x)   f (x)  g(x)dx  x f (x)  g(x)  C  f (x)  g(x)   x
Vì f (1)  g(1)  C   C  4 4
 I   f x  g x  4 4 ( ) ( ) dx  dx=8ln2  . x 1 1
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018]Biết 2 x
dx  a  b 2  c 35 
, với a, b, c   . Tính P  a  2b  c  7 . 2   1 3x 9x 1 1 86 67 A.  . B. . C. 2  . D. . 9 27 27 Lời giải Chọn A. x   x  2 2 2 3x 9x 1 2 I  dx  dx 
3x  x 9x 1 dx          1 3x 9x 1 1 3x 9x 13x 9x 1  2 2 2 2 2  1 2 2 1 2
3x dx  x 9x 1dx  7  . .   9x   23 1 16 35 2 2 2 1  7 
35 3516 27 2 35 . 18 3 27 27 27 1 1 1 Do đó 16 35 a  7, b  , c   1
 a  2b  c  7   . 27 27 9 2 1 Câu 63: Biết
dx  a  b  c  , với * a, ,
b c   . Tính P  a  b  c . x 1 x  x x 1 1   A. 24 . B. 12 . C. 18 . D. 46 . Trang31 2 Câu 64: Cho biết ln   2
9  x dx  a ln 5  bln 2  c , với a, ,
b c   . Tính P  a  b  c . 1 A. S  34. B. S 13. C. S 18. D. S  26. 2 4 f  x f 2  16  x  Câu 65: Cho hàm số liên tục trên  và , f
 xdx  4. Tính I  xf  d . x     2  0 0 A. I 12. B. I 112. C. I  28. D. I 144. Lờigiải ChọnB     Đăt x x
u  x , dv  f  dx  
 du  dx , v  2 f    2   2  4 4   2 x   x  Suy ra I  2xf  2 f dx   
   8f 24 f
 tdt 112.   2   2  0 0 0 1 dx 8 2  a b  a 
 x2  x1 3 3 Câu 66: Cho 0 , *
a, b   . Tính a  2b
A . a  2b  7 .
B. a  2b  8 .
C. a  2b 1.
D. a  2b  5. Lời giải Chọn B. Theo giả thiết ta có: 1 1 dx 3 3 2   1    8 2
x  2  x 1dx 
x 22 x  2 1   2 3  2  . x  2  x 1 3   0 3 3 0 0
Do đó a  2;b  3 nên a  2b  8.
Câu 67: Cho hàm số y  f  x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn: x 1
g  x  1 2018 f
 tdt,gx 2
 f x. Tính g  xd . x  0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505. 2 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có g 0  1 x
g  x  1 2018 f  tdt 0 Trang32 g ' x t g ' x t
 g 'x  2018 f x  2018 g x    dx  2018 d . x   g  x 2018 0 g  x 0 1  1011
2  g t   1  2018t 
g t   1009t 1 
g t dt   . 2 0
Câu 68: Cho hai hàm f  x và g  x có đạo hàm trên đoạn 1; 4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x 1; 4  f   1  2g   1  2  4 
. Tính I   f (x).g(x)dx. f   x 1 1  g  x 2 1 ' . ; '   .  x x g(x) x x f (x) 1 A. 4 ln 2 . B. 4 . C. 2 ln 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B. 1 2
Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) 
và g '(x). f (x)   , suy ra x x x x 1 
f '(x).g(x)  g '(x). f (x)   , hay  f x g x  1 ( ). ( )   . x x x x
Do đó f  x g  x 1 2 .   dx   C  . Lại có f   1 .g  
1  2.1  2 nên C  0. x x x 4
 I   f x g x  4 2 ( ). ( ) x d  x d =4  . x 1 1
Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số
f (x)  1 x  1 x trên tập  và thảo mãn F  
1  3. Tính tổng T  F 0  F 2  F  3   . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải Chọn C 2 khi x  1 
Ta có f  x  2x khi 1  x  1.  2  khi x  1   2x  m khi x  1 
Hàm f  x có nguyên hàm là F  x 2  x  n khi 1  x  1.  2  x  p khi x  1   Trang33 Vì F   1  3 nên m 1.
Hàm F  x liên tục tại x 1 nên suy ra n  2 .
Hàm F  x liên tục tại x  1
 nên suy ra p  1.
Vậy ta có T  F 0  F 2  F  3
   2  5 7 14. 1
Câu 70: Cho hàm số f  x xác định trên  \  1  
;1 và thỏa mãn f  x  , f  3
   f 3  0 và 2 x 1  1   1  f   f  2    
. Tính giá trị của biểu thức P  f  2
   f 0  f 4 .  2   2  9 6 1 9 1 6 A. P  ln 1. B. P  1 ln . C. P  1 ln . D. P  ln . 5 5 2 5 2 5 Lời giải Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng  ;    1   1  ;  1  1;  . 1 x 1 ln  C x  1   1   2 x 1   
Khi đó f  x 1 x 1   ln  C 1   x  1 . 2   2 x 1  1 x 1  ln  C x  1 3   2 x 1  1  1  Dễ thấy   3  ;1 ;  ;0;  1   ;1 ; 3;  4 1;  .  2 2  1  1  1  1  1 
Nên f 3  ln 2  C ; f 
 ln3 C ; f 0  C ; f  ln 3  C ; 1     2 2  2  2 2 2  2  2  1 3 f   1 3 
ln 2  C và f 4  ln  C . 3 2 3 2 5 1 3 1 3
Ta có P  f 0  f 4  C  ln  C  ln  C  C . 2 3 2 5 2 3 2 5  1    1  1 1 Mặt khác f  f  2      ln 3  C 
ln 3  C  2  C  1.  2   2  2 2 2 2 2 1 1  Và f  3
   f 3  0  ln 2  C 
ln 2  C  0  C  C  0 . 1 3 1 3 2 2 Trang34 1 1 3 P  f  2
   f 0  f 4  ln 3 C  C  ln  1 9 C  1 ln . 1 2 3 2 2 5 2 5 2 x
Câu 71: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0;   và f
 tdt  .xsinx. Tính f 4 0    
A. f    .
B. f    .
C. f    . D. f   1  . 4 2 4 2 Lời giải Chọn B. Ta có f
 tdt  Ft  Ft  f t 2 x 2 x f
 tdt  .xsinx  F t  .xsinx 0 0  F  2
x   F 0  .
x sin  x  F 2
x .2x  sin  x  .
x cos  x  f  2
x .2x  sin  x  .
x cos  x   f 4  2  2 sin x cos x
Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân I  dx 
với a  b  0 và 2 2 a  b . 2 2 2 2  0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I  I  I  a  . B. b a  . C. b a  . D. b a  . b Lời giải Chọn A. a  0 a  b Do ab  0   và 2 2 a  b   . b   0 a  b   1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I  dx  dx   . 2 2 0    a   a   2 2 0 s 2 b x a  2 2 2 2 2 2 a b cos 2 co x b b 2 t  dt Đặt 2 2 t 
a  b   2 2
a  b cos 2x  2tdt  2   2 2
a  b sin 2 d x x   sin 2 d x x 2 2 a  . b  Đổi cận 2
x  0  t  2a  2 a , 2 x 
 t  2b  2 b . 2 Trang35  t  2 b 2 2 b 2 2   Khi đó 2 sin 2x 2 2 I  d a b x  dt  dt    2 2 2 2 2 2 2 t    2 a  b 0 a b a b cos2x 2 a  2  2a  2 1  b  a  . 2 2 2 2 2 a  b    a  b 2
Câu 73: Tính tích phân I  sin
 sin x  nxdx với n . 0 1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A. b Xét tích phân f
 a b  xdx a
Đặt t  a  b  x  dt  d  x b b b
Đổi cận x  a  t  b , x  b  t  a . Khi đó f
 a b  xdx  f
 tdt  f  xdx a a a 2 2 2 Ta có I  sin
 sin x  nxdx  sin
 sin2  x n2  xdx  sin
 sin x  nxdx 0 0 0 2   sin
 sin x  nxdx  I . 0
Do I  I  I  0  2 2
Câu 74: Tính tích phân cos
 mxcosnxdx với m , n và m  n .  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A.   1 Ta có cos
 mxcosnxdx  cos
  mnxcosmnxdx  2    1  1    
m  n x 1 sin 
sin m  n x  0  2  m  n m  n  
Do sin m  n   sin m  n   sin m  n 
   sinm  n     0 Trang36 f  x f   1  1. Câu 75: Cho hàm số liên tục trên 
 thỏa mãn f  x 1 x , x        và Tìm giá trị x f 2. nhỏ nhất của 5 A. 3. B. 2. C.  ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C.
Theo giả thiết f  x 1 x , x    
   nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta được: x 2 2   f   x 1 3 dx  x  dx   ln 2.    x  2 1 1 2 2 Mà f 
 xdx  f x  f 2 f  1  f 21 nên f   3 2 1   ln 2. 1 2 1 Suy ra f   5 2   ln 2. 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x 1
 x  , x  0. x x 1
Suy ra f  x 2 
 ln x  C, mà f   1  1 nên C  . 2 2
Do đó f  x 2 x 1   ln x  . 2 2 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của f   5 2 
 ln 2 khi f x 2 1   ln x  . 2 2 2
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ] 
Cho hàm số f  x  0 thỏa mãn điều kiện f  x   x   2 2
3 f  x và f   1 0  . Biết rằng tổng 2   a a
f 1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  với  *
a   ,b    và là phân số tối b b
giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? a a A.  1. B.  1 .
C. a  b 1010 .
D. b  a  3029 . b b Lời giải. Chọn D Trang37
Do f  x  0 nên ta chia cả hai vế của f  x   x   2 2
3 f  x cho 2
f  x ta được f  x    1 1
2x  3 . nguyên hàm hai vế ta được 2
 x  3x  C  f x  . 2 f  x f  x 2
x  3x  C  1  1  1 Mà f   1 0 
 C  2  f x    2 x   1  x  2 x 1 x  . 2    Khi đó f  
1  f 2  f 3  ... f 2017  1 1 1 1 1 1 f 2018      ....  2 3 3 4 2019 2020 1  1 1009    
. Vậy a  1009; b  2020 . 2 2020 2020
Câu 77: Cho hàm số y  f  x dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3   biết rằng 3
f  x  f  x 2
x  1  0 và f   3
3  e . Tính I  ln  f 
 x dx  0 7 7 A. 2 3    . B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 2 3 . . 3 . Lời giải Chọn B f  x
Ta có f  x 2
 x 1 f x  0 2    f  x x 1  f '  x
u  ln  f   x du  dx Đặt     f  x dv  dx  v  x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được 3 3 xf ' x 3 I  ln  f
  xdx   x ln  f  x 3     dx    x ln  f  x 3 2   x x 1 dx 0   f x 0 0   0 0 3  x ln  f  x 1 3 2   x  1 d    2x 1 0  2 0  x ln  f   x 1 3     2x   2 3 1 x  1 0 0 3 7  3 3  3
Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên  thỏa mãn     2 ' 2 2 . x f x xf x x e  
và f 0  1. Tính f   1 . Trang38 1 2 2 A. e . B. . C. . D.  . e e e Hướng dẫn giải Chọn C.     2 2  x x     2 x       2 ' 2 2 . . ' 2 . . 2 x f x xf x x e e f x x e f x x
e . f  x'  2x .
Lấy tích phân cả hai vế ta được: 1 x . '  2 x e f x dx
xdx  e . f x  x  .
e f 1  f 0  1   0  1 1 2   2   1 2     0 0 0
 e f     f   2 . 1 2 1  . e
Câu 79: Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  x f  x 4 2 .
 x  x . Biết f 0  2 Tính 2 f 2. 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B. 2 2 2 1 Ta có   4 2
x  x  dx  f 
 x.f xdx  f
 xd  f x    2f 2 2  f 0 0 2 0 0 2 332 Suy ra 2
f 2  2  4 2 x  x  2
dx  f 0  . 0 15
Câu 80: Cho hàm số y  f  x thỏa mãn  .    . x f x f x
x e Biết f   1  e Tính 2 f 2. A. 2
f 2  16. B. 2 f   2 2  3e . C. 2 f   2 2  4e . D. 2
f 2  9.    
Câu 81: Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  x. f  x  .
x sinx Biết f 0  . Tính 2 f .   4  2                  A. 2 2 f  4e .   B. 2 2 f  2e .   C. 2 2 f  e .   D. 2 2 f  9e .    2   2   2   2  1 3
Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số f  x liên tục trên  và có f
 xdx  2; f
 xdx  6. 0 0 1 Tính f
  2x1dx . 1  2 3 A. I  . B. I  4 . C. I  . D. I  6 . 3 2 Lời giải Trang39 Chọn B 1 1 2 1 Ta có I  f
  2x1dx  f 12xdx f 2x   1dx . 1  1  1 2 1 2 Tính I 
f 1 2x dx  1   1  Đặ 1
t t 1 2x  dt  2
 dx; Đổi cận: x  1
  t  3; x  t  0 . 2 0  1  3 1 3 1 I  f t  dt   f
 tdt  f
 xdx  3. 1     2  2 2 3 0 0 1 Tính I 
f 2x 1 dx  2   1 2 Đặ 1
t t  2x 1  dt  2dx ; Đổi cận: x 
t  0 ; x 1  t 1. 2 1 1 1 1 1 1 I  f t dt   f
 tdt  f
 xdx 1. 1   2 2 2 0 0 0
Vậy I  I  I  4 . 1 2
Câu 83: Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên  , có f (x)  0, x
   , f 0 1 . Biết rằng f (
 x)  22x. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f (x)  m có 2 nghiệm thực phân f (x) biệt.
A. 1 m  e
B. 0  m  e
C. m  e
D.1 m  e Lời giải Chọn B Ta có: f (  x)   f x 2  ( ) 2x 
dx  (2  2x) d x   2
 ln | f (x) | 2x  x  c 2
 ln f (x)  2x  x  c f (x) f (x)
(do f  x >0)
f (0)  1  ln( f (0))  ln1  C  C  0. 2
 ln f (x)  2x  2 x 2 ( ) e x x f x    2 2
 ( )  (2  2 ).e x x f x x    0  x 1 Trang40 Ta có bảng biến thiên 0  m  e a b 1
Câu 84: Cho hàm số f  x 
  2 , với a , b là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện f
 xdx  23ln2. 2 x x 1 2
Tính T  a  b . A. T  1  . B. T  2 . C. T  2  . D. T  0 . Lời giải Chọn C. 1 1 1  a b   a  Ta có: f
 xdx  + +2 dx  
 b ln x  2x   
 = a  2   2
 a  bln 2   1 2  x x   x  1 1 1 2 2 2 a   a  
1  b ln 2 , suy ra a   1
1  b ln 2  2  3ln 2  
. Vậy T  a b  2 . b   3  1 f 2 x
Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn y  f  x liên tục trên  và dx  8  . Tính 1 2x 1 2  d  f x x. 0 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D.16 . Lời giải Chọn D
Vì f  x là hàm số chẵn trên  nên ta có f x  f  x, x   . 1 f 2 x 1 f 2 x 0 f 2 x 1 f 2 x Đặt I  d 
x . Ta có: I  dx  dx  d  x . x  x  1 2x    x  1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 0 f 2 x Xét I  d  x . 1 1 2x 1 0 f 2 x 0 f  2  t 1 t 1 2 f 2t 2x f 2 x
Đặt x  t  I  dx  d t  dt  d  x . x  t  t  1        1 2 1 2 1 2 1 2x 1  1 0 0 Trang41 1
Do đó ta có I   f 2 xdx. 0 1 2 2 1 1
Đặt u  2x. Ta có I  f
 2xdx  f
 udu  f  xdx . 2 2 0 0 0 2
Kết hợp với giả thiết ta được f
 xdx 16. 0
Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:
Cho hàm số chẵn y  f  x liên tục trên  ;
a a. Với k là một số thực khác 0 , m là một số a f k x 1 ka thực dương thì dx  f x x   . x  d 1 m k a 0
Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 , f  x và
f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn f 0  2 , 1 1  1 3 f 
 x. f x 2 1dx  2 f  
 x.f xdx     . Tính f
 x dx  . 0 0 0 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lờigiải ChọnD Vì f  x và
f  x đều nhận giá trị dương trên đoạn 0  ;1 nên từ 1 1  1 2 f 
 x. f x 2 1dx  2 f  
 x.f xdx        suy ra f 
x.f x 1 dx 0   . 0 0 0 2
Mà  f  x f  x 2 . 1  0    nên
f  x. f  x  1, x  0 
;1 hay f  x. f
 x 1, x    0; 1 .  f   x 3  Vậy  f 
 x  f x 2 .  dx  dx   
 x  C (*) 3
Trong (*) thay x  0 được 8 C  , suy ra  f  x 3   3x 8  . 3 1 1 19 Vậy  f
 x 3 dx  
3x8dx  . 2 0 0 100
Câu 87: giá trị của tích phân x
 x 1x2...x100dx bằng 0 A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác. Lời giải Chọn A.
Đặt x 100 t  dx  d  t
Đổi cận x  0  t  100; x  100  t  0 Trang42 0 100 Khi đó I 
100t99t... t
 dt  100 t99 t... t    dt 100 0 100
  t 100t 99...t.dt 0 100
   x 100x 99... .xdt  I 0
Suy ra I  I  0  I  0.  2 sin x cos x
Câu 88: Tính tích phân I  dx 
với a  b  0 và 2 2 a  b . 2 2 2 2  0 a cos x b sin x 1 2 2 ab A. I  I  I  a  . B. b a  . C. b a  . D. b a  . b Lời giải Chọn A. a  0 a  b Do ab  0   và 2 2 a  b   . b   0 a  b   1  2 sin 2x 2 2 sin 2x Ta có 2 I  dx  dx   . 2 2 0    a   a   2 2 0 s 2 b x a  2 2 2 2 2 2 a b cos 2 co x b b 2 t  dt Đặt 2 2 t 
a  b   2 2
a  b cos 2x  2tdt  2   2 2
a  b sin 2 d x x   sin 2 d x x 2 2 a  . b  Đổi cận 2
x  0  t  2a  2 a , 2 x 
 t  2b  2 b . 2  t  2 b 2 2 b 2 2   Khi đó 2 sin 2x 2 2 I  d a b x  dt  dt    2 2 2 2 2 2 2 t    2 a  b 0 a b a b cos2x 2 a  2  2a  2 1  b  a  . 2 2 2 2 2 a  b    a  b 2
Câu 89: Tính tích phân I  sin
 sin x  nxdx với n . 0 1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A. Trang43 b Xét tích phân f
 a b  xdx a
Đặt t  a  b  x  dt  d  x b b b
Đổi cận x  a  t  b , x  b  t  a . Khi đó f
 a b  xdx  f
 tdt  f  xdx a a a 2 2 2 Ta có I  sin
 sin x  nxdx  sin
 sin2  x n2  xdx  sin
 sin x  nxdx 0 0 0 2   sin
 sin x  nxdx  I . 0
Do I  I  I  0  2 2
Câu 90: Tính tích phân cos
 mxcosnxdx với m , n và m  n .  1 A. I  0 . B. I  2 . C. I  1. D. . 2 Lời giải Chọn A.   1 Ta có cos
 mxcosnxdx  cos
  mnxcosmnxdx  2    1  1    
m  n x 1 sin 
sin m  n x  0  2  m  n m  n  
Do sin m  n   sin m  n   sin m  n 
   sinm  n     0  3 1 a b
Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết dx  
, trong đó a,b, c là các số tự 4 cos x c 0
nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của 2 2 2
T  2a  3b  4c bằng bao nhiêu? A. T  15  .
B. T  14 . C. T  13  . D. T  17 . Lời giải Chọn A.     3 1 3 1 dx 3 dx 3 Ta có I  dx   .    2 1 tan x.   2
1 tan x.d tan x 4 cos x 2 2 cos x cos x 2 cos x 0 0 0 0  3 3  tan x   tan x 
  2 3  a  2,b  3,c  1  3  0 Vậy 2 2 2
T  2a  3b  4c 2 2 2  2.2  3.3  4.1  15  . Trang44  3 2 sin x a b  c Câu 92: Biết dx  
, trong đó a,b và c, d là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi 6  cos x d 6
đó giá trị của T  ab cd bằng bao nhiêu?
A. T  6 .
B. T  246 . C. T  13  . D. T  17 . Lời giải Chọn B.    3 2 sin x 3 1 3 1 1 Ta có I  dx  2  tan x dx  2  tan . x . dx  6 4 2 2  cos x  cos x  cos x cos x 6 6 6    3 3 5 3 3
 tan x tan x   2  42 3 8 tan . x   2
1 tan x.d tan x   2 4
tan x  tan x.d tan x         5 3   15 6 6 6
 a  42,b  3,c  8, d  15 T  246 4 3 1 a ln b Câu 93: Biết dx  
, trong đó a,b, c là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó x c  sin 2 giá trị của 3 2
T  4a  3b  2c bằng bao nhiêu?
A. T  5 .
B. T  29 .
C. T  7 . D. T  17 . Lời giải Chọn B. 4 4 4 3 1 3 1 3 1 1 Ta có I  dx   dx   dx  x x x x x  2 sin  2sin .cos 2  tan .cos 2 4 4 4 4 4 4 3 1  x   3  x  2 d tan     2ln tan    ln3 x  4    4  tan  4
 a  1,b  3,c  1 T  29 Trang45 x f (t)dt Câu 94: Nếu  6  2 x 
với x  0 thì hệ số a bằng 2 t a A. 9 . B.19 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A. f (t) f (t)
Gọi F (t) là một nguyên hàm của
, suy ra F '(t)  . 2 t 2 t x f (t)dt Ta có  6  2 x x  F t  
x  F(x)  F(a)  6  2 x  ( ) | 6 2 2 t a a 1  f (x) 1 F '(x)  2.    f ( ) x  x x 2 x 2 x x x f (t) x x dt t t 1   dt 
dt  2 t |x  2 x  2 a  2 x  6    a (gt) 2 2 t t t a a a
Vậy a  3  a  9 . 1 2 1
Câu 95: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn f   1  0 ,  f 
 x dx  và  11 0 1 1 1 4 x f
 xdx   . Tích phân f  x x d bằng? 55 0 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 7 7 55 11 Lời giải Chọn A. 1 Ta xét 4 I  x f  xdx . 0    u
  f x du f  x dx  Đặt   5  4 x
dv  x dx v   5 5 1 x 1 1  1 1 1 I  f  x 1 1 5  x f  x dx  5     x f   xdx 5
 x f xdx   0   5 5 55 5 11 0 0 0 Trang46 1 1 Mà 10 x dx   11 0 1   x
x  2x f  x   f  x2 10 5
dx0  fx x  f x 6 5   C 6 0 x  Vì f  
1  0 nên f  x 6 1  6 1 1 6 x 1 1   f (x)dx  dx  .   6 7 0 0 f  x f 0  0
f  x  10 Câu 96: Cho hàm số
liên tục trên  và có ;
với mọi x  . Tìm GTLN mà
f 3 có thể đạt được? A. 30. B. 10. C. 60. D. 20. Lời giải Chọn A 3 Vì '
10  f  x  0 với mọi x  nên: 1  0  f   xdx  0   10  x  f  x 3   0  0 0  1  0.3 f  3  1  0.0  f   0  0   f 3  30
Vậy GTLN mà f 3 có thể đạt được là 30.    2  
Câu 97: Cho biểu thức S  ln 1 
 2sin2x 2cotx e
dx  , với số thực m  0 . Khẳng định đúng là.    2  4m        A. S  5. B. S  2 cot  2ln sin     . 2 2  4  m   4  m        C. S  9 . D. S  tan  ln     . 2 2  4  m   4  m  Lời giải Chọn. B.    2 2 2
Ta có  2 sin 2x 2cotx 2cot x 2cot e dx  2e dx  sin 2 x xe
dx  I  J   .    2 2 2 4m 4m 4m Trang47  2 2cot du   e dx x . x 2cot    2  Đặ u e sin x t   
dv  sin 2xdx 1 1 2
v   cos2x   sin x  2 2   2  2cot    2 2cot x 2cot 2 J  sin . x e  2 x e dx 2 4m   2 1sin .e  I   . 2    2 4 m 4m  2 4m   2cot           Vậy 2 2 4  ln sin m S e      2cot  2ln sin     . 2   4 m     2 2  4  m   4  m  Cách 2:
Thay m 1 ta có S  1, 689976611, kiểm tra chỉ có đáp án B thỏa mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số y  f  x , liên tục trên 0  ;1 và thỏa 1 1 mãn x  
1 f ' x dx  10 và 2 f  
1  f 0  2 . Tính I  f  xdx . 0 0 A. I  12  . B. I  8 .
C. I  12 . D. I  8  . Lời giải Chọn D.  u  x 1  du  dx Đặt    . dv  f '  xdx v  f  x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được: 1 1
 x f xdx  x   f x 1 10 1 ' 1  f
 xdx  2 f   
1  f 0  I  2  I  0 0 0  I  210  8  . 2 4  x 
Câu 99: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f 2  16 , f
 xdx  4 . Tính I  xf  dx    . 0 0  2 
A. I  12 . B. I  112 . C. I  28. D. I  144 . Lời giải Chọn B x x  2t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  4  t  2 . 2 dx  2dt 2 2 2 *) I  2tf  
t2dt  4 tdf 
t  4tf t 2| 4  f t dt  0   0 0 0 Trang48  4.2. f 2 2  4. f
 xdx  4.2.164.4 112. 0
Câu 100: Biết F  x là một nguyên hàm của f  x , F  x và f  x là các hàm liên tục trên  , thỏa mãn 2 3 F
 x  1dx 1;F 3  3. Tính I  xf  xdx 1 0
A. I  8 . B. I  9 . C. I  10 . D. I  11. Lời giải Chọn A 2 2 3 3 *) Ta có : 1  F
 x  1dx  F
 x 1d(x1)  F
 tdt  F
 xdx 1. 1  1  0 0 3 3 3 *) I  xf
 xdx  xdF 
x  xF x 3|  F x dx  3F 3 1 8  . 0     0 0 0 1
Câu 101: Cho hàm số f  x liên tục trên  và f  
1  2 f 0  2 , f
 xdx  5 . Tính 0 3     x  I 6  x f  dx   . 0  3 
A. I  61. B. I  63 . C. I  65 . D. I  67 . Lời giải Chọn B x x  3t *) Đặt t   
; với x  0  t  0; x  3  t  1. 3 dx  3dt 1 1 1
*) I   6  3t. f t.3dt  9 2  tdf t  9 2  t f t 1  | 9  f t d 2  t   0     0 0 0  9  f    1  2 f 0 1   9 f 
 tdt  9.29.5  63. 0 .
Câu 102: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  x sin . x Tính  2 I  f  xdx?   2 1 2 1 1 A.  B.  C.  D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f x  2018 f  x  x sin .
x  f  x  2018 f x  x sin . x 1 suy ra  2 2018  
1 f (x)  2017x sin x  f  x  . x sin x . 2019 Trang49   2 2 Do đó 1 1 I  . x sin . x dx   . x d   cosx 2019  2019    2 2     2  1   1 2 2 2   x cos x  cos . x dx  sin x       . 2019    2019 2019  2  2   2  f  x  \   1  f 0  1
Câu 103: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn f  x 3 '  ; và x 1 f   1  f  2    2 f  3   . Giá trị của bằng A. 1 2 ln 2 . B. 1 ln 2 . C. 1. D. 2  ln 2 . Lời giải Chọn C. 3
Ta có f  x  f '
 xdx  dx 
 3ln x 1  C x 1 3  ln  x      f x 1 C khi x 1 1   3  ln  x   1  C khi x  1  2 Theo giả thiết:  f  0 1 C  1 C  1  1   1    f    1  f  2    2
3ln 2  C  C  2  C  1 3ln 2 1 2  2 3  ln  x      f x 1 1 khi x 1   3  ln  x  
1 1 3ln 2 khi x  1  Vậy f  3    3ln 2 1  3ln 2 1  .  1 x tan x   a dx  ln  2     x cos x x b 2 Câu 104: Biết 3
, a,b    . Tính P  a  b . A. P  2 . B. P  4  . C. P  4 . D. P  2  . Lời giải Chọn A.   1 x tan x
cos x  x sin x Ta có: dx  dx   2    x cos x x
 x cos x x cos x 1 2 2   3 3 Trang50
Đặt t  x cos x  dt  cos x  xsin xdx .   Đổ 2 i cận: x 
 t   ; x    t    3 3        1 x tan x dt 1 1  Do đó: dx      dt   
 ln t   ln t 1  2      x cos x x  t t 1  t t 1   2     3 3 3 3 3        3 ln   ln  ln    1  ln 1    ln
 a  ; b 1. 3  3    3 1 Vậy P  4 .
Câu 105: Cho hàm số f  x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0 
;1 đồng thời thỏa mãn các điều 2 kiện ' f 0  1  và '
 f x  f  x  
. Đặt T  f  
1  f 0 , hãy chọn khẳng định đúng? A. 2   T  1  . B. 1   T  0.
C. 0  T 1.
D. 1  T  2 . Lời giải Chọn B f   x '
d  f  x   1  Từ giả thiết ta có dx  1.dx  dx  1.dx   x  c        2     2 ' ' '  f  x f x f x      c  1  1  1 Mà ' f 0  1  nên  1  T    ln 2  ' f   x   x 1 0  x 1 3 2 x x 1  a4 b
Câu 106: Biết rằng dx  
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính T a b   . c x x 1  c 2 A. T 31  . B. T 29  . C. T 33  . D. T 27  . Lời giải Chọn C.   2 2 x x 1  x  x 1     dx  dx    x x x x 1   2  3 2 3 3 3 2 1 3 dx   x x 1  x x 1  2 3 2 2 2 2    2  194 8 = . Vậy a b  c  1  9 8  6  3  3 . 6 1 3
Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và
f (x)dx  2  ;
f (x)dx  8 
. Giá trị của tích phân 0 0 1 f
 |2x1|dx là: 1  Trang51 A. 6. B. 3. C. 4. D.5. Lời giải Chọn D.  1 2  x 1, x    2 Ta có: 2x 1   nên 1 2x 1, x    2 1 0,5 1 f
 |2x1|dx = f   2  x   1 dx 
f (2x 1)dx  E  F  1  1  0,5 0,5 3 1 E  f ( 2  x 1)dx  f (t)dt  
ta đổi biến t  2  x 1, 2 1  0 1 1 1 F 
f (2x 1)dx  f (t)dt,  
ta đổi biến t  2x 1, 2 0,5 0 1 3 1 1 1 Vậy f
 | 2x1|dx  f (x)dx f (x)dx 14  5   2 2 1  0 0
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi S t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y 
, y  0, x  0, x  t t  0 . Tìm lim S t  . 2  
x  1x  2 t  1 1 1 1 A.  ln 2  . B. ln 2  . C.  ln 2 . D. ln 2  . 2 2 2 2 Lờigiải ChọnB. 1
Vì trên 0;t, y   
nên ta có diện tích hình phẳng x   1  x  2 0 2 t t  1 x 3   t  1 1 1  S t  1             dx  dx    x
x 1  x  2 d 2  x 1 x  2 
 x 1 x  2 x  2  0   2 0   2 0   t  x 1 1    t 1 1 1 ln     ln   ln 2 
 x  2 x  2  t  2 t  . 2 2 0  t 1   t 1  1 Vì lim 1    limln  0   , lim  0
t  t  2  t  t  2  t  t  2 Trang52  t 1 1 1  1
Nên lim S t   lim ln   ln 2     ln 2  . t  t  t  2 t  2 2  2 1
Câu 109: Cho hàm số f
 xdx  4, trong đó hàm số y  f x là hàm số chẵn trên 1; 1. Tính 1  1
f  x dx  . 2x 1 1  A. 2 . B. 16 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn A. Cách 1.
Đặt t  x  dt  dx . Đổi cận x  1
 t 1; x 1t  1  . 1 1  1 t 1 1 1 2 2x Ta được: I  f x x   f t  t  f t t  f x x     . x  d t  d t  d x  d 1 2 1 2 1 2 1 2 1  1 1  1  1 1 x 1 1 2 Do đó: 2I  f x x  f x x  f x x   I     . x  d x  d  d 4 2 1 2 1 2 1  1  1  Cách 2. 1 2 4 Chọn   2
h x  x là hàm số chẵn. Ta có: 2 x dx  
. Do đó: f  x  h  x 2  6x . 3 2 1  3 1 f  x 1 2 6x Khi đó: dx  dx  2  . x  2 1 2x 1 1  1 
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho
lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy
tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y  f  x khá đơn giản. Đối với bài toán này
ta có thể chọn hàm số h x  1 cho đơn giản. 8
Câu 110: Cho hàm số f (x) thỏa mãn  x  3 f xdx  25 và 33 f 8 18 f 3  83. 3 8 Giá trị
f  x dx  là: 3 8 3 A. I  83 . B. I  38 . C. I  . D. . 3 8 Lời giải Trang53 Chọn C. 8
Ta có  x  3 f xdx  25. 3 u   x  3  du  dx  Đặ 8 8 t   
 A   x  3 f  x  f  xdx dv  f  
xdx v  f  x 3 3
 11 f 8  6 f 3 8  f  xdx 3
Ta có 33. f 8 18 f 3  83 
f    f   83 11 8 6 3  . 3 8 83 8 83 8 Suy ra A   f
 xdx . Mà A 25  f xdx  25   . 3 3 3 3 3 9 3 4 3 cos  x Câu 111: Giá trị 2 I  x sin   3  x    e
dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây: 1 3 6 A. 0, 046 . B. 0, 036 . C. 0, 037 D. 0, 038 . Lời giải Chọn C. Ta có: 9 9 3 4 3 9 2 3  4   x 1 cos 3  x  1 cos 3  x  1 I  x sin  x  cos 2 3  3 e dx  e d sin   3  x  3 4  e 2 2  e  e  3 1 3 3   1 1 3 6   3 6 3 6  0,371 x   1 ln  2 4
x  2x  2 1
Câu 112: Biết I  dx  lnc a  lnc b 
, với a, b, c là các số nguyên dương. Tính 2   x  2x  2 4 2 2 3
a  b  c . A. 3 . B. 22 . C. 14 . D. 20 . Lời giải Chọn B. x   1 ln  2 4
x  2x  2 4 1 Ta có: I  dx   ln
  2x 2x2dln 2x 2x2 2 x  2x  2 2 2 2 1 1 2  ln  2
x  2x  2 4   2 2 ln 10  ln 2 . 2 4 4 Trang54 Vậy 2 3
a  10,b  2, c  2  a  b  c  22 . 2
Câu 113:Cho hàm số y  f (x) liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn f (2)  2
 , f (x)dx 1  . Tính 0 4 tích phân I  f    xdx. 0 A. I  10  . B. I  5  . C. I  0. D. I  18  . Lời giải Chọn A
Đặt x  t  dx  2tdt . Đổi cận : x 0;4  t 0;2 2
I  t. f '(t)dt 
sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được : 0 2   2 2
I  2 tf (t)  f (t).dt    10
 . ( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên f (t).dt 1  ). 0  0  0 x  1 
Câu 114:Cho a là số thực dương. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x  e   ln ax   x   1 
thỏa mãn F   0 và F  2018 2018  e
. Mệnh đề nào sau đây đúng?  a   1   1  A. a   1 ; . B. a   ; 0 . C. a  2 ; 1 01  8 .
D. a 2018 ; .   2018    2018 Lời giải. Chọn A. 2017x
Câu 115: Biết rằng F  x là một nguyên hàm trên  của hàm số f  x    thỏa mãn F   1 0 . x  2018 2 1
Tìm giá trị nhỏ nhất m của F  x . 1 2017 1 2 2017 2 1 1 A. m   . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2018 2 2018 2 2 Lời giải. Chọn B. 2017x 2017 d  2 x   1 1 1
Ta có F  x         . x   x d . C 2018 1 2 x  2018 1 2 x  2017 2 2 2 1 1 2017 1 1 1 1 1 1 2 Do F   1  0 nên C 
F  x   .      . 2018 2 2 x  2017 2018 2018 2018 2 1 2 2 2 2 Trang55 1 1
Câu 116: Biết rằng x cos 2xdx  
asin2bcos2c, với a,b,c. Khẳng định nào sau đây đúng ? 4 0
A. a  b  c 1.
B. a  b  c  0.
C. 2a  b  c  1  .
D. a  2b  c 1. Lời giải Chọn B. du  dx u   x  Đặt    1 .
dv  cos2xdx v  sin 2x  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x cos 2xdx  x sin 2x  sin 2xdx  sin 2  cos2x  2sin 2  cos2     1 . 2 0 2 2 4 0 4 0 0
Suy ra a  2, b  1, c  1  a  b  c  0 5 1
Câu 117: Giả sử tích phân I  dx  a  . b ln 3  . c ln 5.  Lúc đó: 1 3x 1 1 4 5 7 8
A. a  b  c  .
B. a  b  c  .
C. a  b  c  .
D. a  b  c  . 3 3 3 3 Lờigiải ChọnA 5 1 Xét I  dx  1 3x 1 1 Đặt 2
t  3x 1  t  3x 1  2tdt  3dx x 1 5 t 2 4 4 4 2 t 2 4 4 4 4 Do đó I  dt  
t lnt  1   ln3 ln5 abc  . 2 3 1 t 3 3 3 3 3 2 a
Câu 118: Cho hàm số f (x) x     
. Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 x   bxe 3 1 1 và
f (x)dx  5  . 0
A. a  2, b  8 .
B. a  2, b  8 .
C. a  8, b  2 .
D. a  8, b  2 Lời giải Trang56 Chọn C 3a Ta có f '(x) x      x   b(x 1)e 4 1 Suy ra f '(0)  22 
 3a  b  22 (1) 1 1 1  a   a  x x 3 Ta có
f (x)dx              .
x   bxe dx b(x 1)e a b 3 1   2   x  2 1  8 0 0  0 1 Theo bài ra
f (x)dx  5  3
 a  b  5 (2). 8 0  3
 a  b  2  2  a  8
Từ (1) và (2) ta có hệ 3   . a  b  5 b    2 8
Câu 119: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và thỏa mãn f x  2018 f  x  x sin . x Tính  2 I  f  xdx?   2 1 2 1 1 A.  B.  C.  D.  1009 2019 2019 2018 Lời giải. Chọn B
Theo giả thiết f x  2018 f  x  x sin .
x  f  x  2018 f x  x sin . x 1 suy ra  2 2018  
1 f (x)  2017x sin x  f  x  . x sin x . 2019   2 2 1 1 Do đó I  . x sin . x dx   . x d   cosx 2019  2019    2 2     2  1   1 2 2 2   x cos x  cos . x dx  sin x       . 2019    2019 2019  2  2   2  Trang57  1  2 25x  7x  4
Câu 120: Biết rằng trên khoảng ;  
 hàm số f (x)  có một nguyên hàm  2  2x 1 2 F( )
x  (a x  bx  ) c
2x 1 ( trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 3.  B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải. Chọn B 2      Ta tính đượ 5ax ( 2a 3 ) b x b c c F '(x) 
. Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta 2x 1  1  2 2 5ax  ( 2
 a  3b)x  b  c 25x  7x  4
có F '(x)  f (x), x  thuộc khoảng ;    suy ra  .  2  2x 1 2x 1
Đồng nhất hệ số ta được a  5,b  1, c  3.  2 15x  9x  3
Câu 121: Biết rằng trên khoảng 1;  hàm số f (x)  có một nguyên hàm 2 x 1 2 F( )
x  (a x  bx  ) c
x 1 (trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 3. B. 3.  C. 4.  D. 4. Lời giải. Chọn B 2      Ta tính đượ 5ax ( 4a 3 ) b x 2b c c F '(x) 
. Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên 2 x 1 2 2 5ax  ( 4
 a  3b)x  2b  c 15x  9x  9
ta có F '(x)  f (x), x
 thuộc khoảng 1; hay  2 x 1 2 x 1
Đồng nhất hệ số ta được a  3,b  1,c  7  .
Câu 122: Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn 0 
;1 và thỏa mãn 2 f ( )
x  3 f (1 )
x  1 x . Tích phân 1 f (x)dx  bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Lời giải Chọn C. Ta có: 2 f ( )
x  3 f (1 )
x  1 x (1) .
Đặt t 1 x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1t)  3 f (t)  t hay 2 f (1 ) x  3 f ( ) x  x (2) . Trang58 3 2
Từ (1) & (2) , ta được: f (x)  x  1 x . 5 5 1 1 1 3 2
Do đó, ta có: f (x) dx   x dx  1 x dx   2 4   2  . 5 5 5 15 15 0 0 0 2
Câu 123: Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   x f x  e  3
x  4x . Số cực trị của hàm F  x là A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B.   2 x
F  f  x . Ta có F  0 x  e  3 x  0 4x   . x  2  Bảng xét dấu: x  2 0 2  F   0  0  0 
Vậy hàm số F  x có 3 cực trị 0
Câu 124: Cho hàm số y  f  x là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 , biết f
 xdx  2 và 2 2 4 f
 2xdx  4. Tính I  f  xd .x 1 0
A. I  10 .
B. I   6 . C. I  6. D. I  10 . Lời giải Chọn B.
Vì f  x là hàm lẻ nên ta có f x   f  x . 0 0 2 2
Ta có:   d  2 tx f x x   f
 tdt  2  f
 tdt  2  f  xdx. 2  2 0 0 2 2 4 4 4 f  2
 xdx   f 2x u x 1 2 dx  
f udu  4  f udu  8
  f xdx  8       . 2 1 1 2 2 2 4 2 4 Do đó: f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  28  6  . 0 0 2 Trang59
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho  2 1
x  x x e   
dx  ae  b ln e  c 
với a , b , c  . Tính P a 2b c . x   x  e 0 A. P  1  . B. P  1 . C. P  2  . D. P  0 . Lời giải Chọn D.  2 1
x  x x 1 x e x x xe  x   1 x e 1  xe 1  1  x   1 e 1  1  Ta có: dx  dx    1 d x xe 1    dx    x   x x x  e e x 1 x e x 1  xe 1 0 0 0 0 x       x xe xe   1 1 ln 1 
 e  lne   1 
. Suy ra a 1, b  1  , c 1. 0
Vậy, P  a  2b  c  0 .
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân e  x   1 ln x  2  e 1 a
dx  ae  b ln  
 trong đó a , b là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng: 1 x ln x  e  b 1 1 A. . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 Lời giải Chọn B. e    1 ln  2 e x x  ln x 1  Ta có: dx  1 dx       ln  1 ln  e x x x 
 e  ln e 1 1  1   1 x ln x  1 x ln x  1 1  e 1  a e  ln 
 . Suy ra: a  b  1  1 .  e  b
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân  2 sin x I 
dx  a  b ln 2 
, với a , b  Q . Khi đó a  b bằng: 2sin x  cos x 0 1 A. 1. B. 2 . C. . D. 0 . 2 Lời giải Chọn D. Trang60 sin x
A2sin x  cos x  B 2 cos x  sin x
2A Bsin x A 2Bcos x Ta có:  
2 sin x  cos x
2 sin x  cos x
2 sin x  cos x  2 A  2A  B 1  5     .
A  2B  0 1 B    5    2 2      Khi đó: sin x 2 1 2 cos x sin x I  dx   dx   2 1   
x  ln 2sin x  cos x 2   2sin x  cos x
 5 5 2sin x  cos x  5 5  0 0 0  1   ln 2 . 5 5 1 1 Suy ra: a  , b  
. Vậy, a  b  0. 5 5
Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo 5 5
hàm trên  và f 5  10 x f   x ,
dx  30 .Tính f  x dx  . 0 0 A. 20  . B. 70 . C. 20 . D. 30  . Lời giải Chọn C. 5
Xét I  x f  x dx  30  1   0 u   x  du  dx  Đặt    dv  f  
xdx v  f  x 5 5 5 5
Vậy  I  x f  x dx  xf x
 f x dx  5f 5  f x dx    1           0 0 0 0 5
Mà I  30 và f 5  10 vậy  f
 xdx  20. 1 0
Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo 2 5
hàm trên  và f 2 15 x f   x ,
dx  60 .Tính f  x dx  . 0 0 A. 30  . B. 70 . C. 30 . D. 50  . Lời giải Chọn A. Trang61 5
Xét I  x f  x dx  60  1   0 u   x  du  dx  Đặt    dv  f  
xdx v  f  x 2 2 2 2
Vậy  I  x f  x dx  xf x
 f x dx  2f 2  f x dx    1           0 0 0 0 2
Mà I  60 và f 2 15 vậy  f
 xdx  30 . 1 0
Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo 4 4
hàm trên  và f 4 13 x f   x ,
dx  24 .Tính f  x dx  . 0 0 A. 11  . B. 28  . C. 76 . D. 28 . Lời giải Chọn D. 4
Xét I  x f  x dx  24  1   0 u   x  du  dx  Đặt    dv  f  
xdx v  f  x 4 4 4 4
Vậy  I  x f  x dx  xf x
 f x dx  4f 4  f x dx    1           0 0 0 0 4
Mà I  24 và f 4 13 vậy  f
 xdx  28. 1 0
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f  x 4 3 2
 x  4x  2x  x 1, x   . Tính 2
f  x f   xdx 0 2 2 A. . B. 2 . C.  . D. 2  . 3 3 Lời giải Chọn C. Trang62 1 1 3 3 3 f x 1 f 1  f 0 2 Ta có 2
f  x f  x 2 dx 
f  xdf  x             3 0 3 3 0 0
Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f  x 3 2
 x 3x  3x  2, x   . Tính 3
f  x f   xdx 0 3 15 1 15 A. . B. . C. . D.  . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. 1 1 4 4 4 f x 1 f 1  f 0 15 Ta có 3
f  x f  x 3 dx 
f  xdf  x             4 0 4 4 0 0
Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số 1 f  x 6 4 2
 x 5x  3x 1, x   . Tính 2017 f xf   xdx . 0 1 1 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 2018 1009 2018 1009 Lời giải Chọn C. 1 1 2018 1 2018 f   2018 1  f 0 1 Ta có 2017     2017           f x f x f x dx f x df x    2018 0 2018 2018 0 0
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho F  x là một nguyên hàm 1    của hàm số y  với x
 R \   k,k Z , biết F 0 1; F    0 . Tính 1 sin 2x  4      11  P  F  F     .  12   12 
A. P  2  3 . B. P  0 .
C. Không tồn tại P . D. P  1 . Lời giải Chọn D. Cách 1: Trang63 1 1 Ta có F (x)= dx = dx ò ò 1+ sin 2x æ p ö 2 2sin çx ÷ + ç ÷ çè 4 ÷ ø íï 1 æ p ö æ p 3p ö ï - cotçx ÷ + + ï ç
÷ C khi x Î ç- + k2p; + k2p÷ ç ÷ 1 ï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø ï = ì ï 1 æ p ö 3 æ p 7p ö ïï - cotçx ÷ + + ç
÷ C khi x Î ç + k2p; + k2p÷ ç ÷ 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø çè 4 4 ÷ ø î íï í 3 ï 1 æ p ö 3 æ p 3p ö ï ï ç ÷ + + ï ç ÷ Î ç ÷ - + + ï - cot x khi x 2 k ; p 2 k p ç ÷ F ( ) C = í = ï 1 0 1 ï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø Để ï ï 2 ï ì Þ ì .Vậy F (x)= . ï ì F ï (p)= 0 ï 1 ï î ï 1 æ p ö 1 3 æ p 7p ö ï C = ïï - cot çx ÷ + + ç ÷ khi x Î ç + 2 k ; p + 2 k p ÷ ç ÷ 2 ïïî 2 ïï 2 çè 4 ÷ ø 2 çè 4 4 ÷ ø î        Khi đó 11 P  F  F 1      12   12  Cách 2:     11       11  Ta có P  F  F   F      0  F   F 
     F  F   0 F    12   12    12    12  0  1 1   dx  dx 1     .  1 sin 2x  1 sin 2x 11 12 12 1 1 1 Ta có   nên 1 sin 2x
sin x cos x2    2 2 cos x     4  0 0 1 1    1 dx  tan x       1 3; 1 sin 2x 2  4    2   12 12   1 1    1 dx  tan x       1 3. 1 sin 2x 2  4 11    2 11 12 12 Vậy P  1 . F  x
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm y = x - ¡ \ { } 2 f ( ) 1 = 1 f ( ) 3 = - 2 của hàm số 2 4 xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu F (- ) 1 + F ( ) 4 thức bằng A. - 6 . B. 7 . C. - 14 . D. 0 . Lời giải Trang64 Chọn A.
íïï (2x- 4)dx khi x> 2 íï ï ò ï (x - )2
2 + C khi x > 2 Ta có ï ï F (x) 1 = 2x - 4 dx = ì = ì ò . 2 ïï - ( ï
2x - 4)dx khi x < 2 ï - (x - )
2 + C khi x < 2 ò 2 ï ïî ïî íï 2 í F ( ) 1 = 1 íï - 1+ C = 1 íï C = - 3 ï ï ï ï ï (x- ) 2 - 3 khi x > 2 ï Do 2 1 ì Þ ì Û ì nên . ï F (x)= ì F ï ( ) 3 = - 2 ï 1+ C = - 2 ï C = 2 2 ï î ïî 1 ïî 2 ï - (x- ) 2 + 2 khi x < 2 ïî Vậy F (- )
1 + F (4)= - 9 + 2 + 4 - 3 = - 6 .
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số f (x) xác định trên 2 æ 1ö 1 æ ö ¡ \ {- 1; } 1 và thỏa mãn f ( ¢ x)= , f (- ) 3 + f ( ) 3 = 0 và f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2. Giá trị của 2 x - 1 çè 2÷ø çè2÷ø biểu thức f (- ) 2 + f ( ) 0 + f (4) bằng
A. 2ln 2- 2ln 3- ln 5 .
B. 6ln 2- 2ln 3- ln 5 .
C. - ln 5 + 2ln 3+ 2ln 2 + 1.
D. 2ln 3- ln 5 + 6 . Lời giải Chọn C. 1 1 Có f ( ¢ x)= - . x - 1 x + 1 íï x æ - 1ö ï lnç + ÷ ï ç
÷ C khi x < - 1È x > 1 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó ï f (x)= f ( ¢ x)dx = ì ò . ï 1 æ - x ö ïï lnç + ÷ ç
÷ C khi - 1< x < 1 2 ï ç ï èx + 1÷ø î Có f (- ) 3 + f ( )
3 = 0 Û ln 2 + C + ln 2 + C = 0 Û C = ln 2 . 1 1 1 æ 1ö 1 æ ö Có f ç ÷ - + ç ÷ f ç ÷= ç ÷ 2 ç
Û ln 3 + C - ln 3 + C = 2 Û C = 1. è 2÷ø çè2÷ø 2 2 2 íï x æ - 1ö ï lnç ÷+ ï ç
÷ ln 2 khi x < - 1U x > 1 ï çèx + 1÷ø Khi đó: ï f (x)= ì . ï 1 æ - x ö ïï lnç ÷+ ç
÷ 1 khi - 1< x < 1 ï ç ï èx + 1÷ø î Vậy f (- ) 2 + f ( ) 0 + f ( )
4 = ln3+ ln 2 + 1+ ln3- ln5+ ln 2 = - ln5+ 2ln3+ 2ln 2 + 1. Trang65
Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t  2
 t  3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Lời giải Chon B       t t v t
a t dt  t  3t 3 2 3 2 dt    C 3 2 t t
Do v  10m / s  C  10  v t  3 2 3   10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S    10dt  m  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4
Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 (m/ s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển
động chậm dần đều với v(t)5t 1
 0(m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ
lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét. A. 8 . m B. 10 . m C. 5 . m D. 20 . m Lời giải Chọn B.
Thời điểm đạp phanh ứng với t 0  .
Thời điểm xe dừng hẳn ứng với v(t)5t 1  00  t 2  . 2
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng. v(t)dt 1  0( ) m  . 0
Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là a t  2
 t  3t. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc. 45 201 81 65 A. m. B. m. C. m. D. m. 2 4 4 2 Trang66 Lời giải Chon B       t t v t
a t dt  t  3t 3 2 3 2 dt    C 3 2 t t
Do v  10m / s  C  10  v t  3 2 3   10 0 3 2 3 3 2  t 3t  201 S    10dt  m  3 2  4 0 Quãng đườ 201
ng vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là m 4  3  2
20x  30x  7
Câu 140: Biết rằng trên khoảng ;  
 hàm số f (x)  có một nguyên hàm  2  2x  3 2
F(x)  (a x  bx  c) 2x  3 (trong đó a, b, c là các số nguyên). Tổng S  a  b  c bằng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải. Chọn B 2 1
(2ax  b)(2x  3)  (a x  bx  c) Ta có: 2
F '(x)  (2ax  b) 2x  3  (a x  bx  c).  2x  3 2x  3 2
5ax  (6a  3b)x  3b  c
Từ đó rút gọn tử thức ta được: F '(x)  2x  3
Do F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên ta có: 2 2
5ax  (6a  3b)x  3b  c
20x  30x  7  3 
F '(x)  f (x)   trên khoảng ;    2x  3 2x  3  2   5a  20  a  4  
Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:  6
 a  3b  30   b   2    3
 b  c  7 c  1  
Suy ra S  a  b  c  3.
2x  f '(x)
Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim  2 . Tích phân x0 2x 1
f '(x)dx 0 Trang67 3 1 3 A. B. C. D. 1 2 4 4 Lời giải Chọn B Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. Cách giải:
2x  f '(x) Ta có lim
 2 mà lim2x  0 nên lim2x  f '(x)  0  lim f '(x)  0  f '(0)  0 (vì nếu x0 2x x 0  x0 x0
2x  f '(x)
lim 2x  f '(x)  0 thì lim    2 ) x0 x0 2x
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '(x)  .
m x  x   1  x  2
2x  mx  x   1  x  2
2  m  x   1  x  2 2  2m Từ đề bài ta có lim  2  lim  2   2  m 1 x0 x0 2x 2 2
Nên f x  x  x   x   3 2 '( ) 1
2  x  3x  2x 1 1 1 Từ đó
f '(x)dx    3 2
x  3x  2xdx  . 4 0 0 Chọn B.
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH
Câu 142: Cho hình (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
x 1 , y  1 x và trục Ox. Diện tích
của hình  H  (H) bằng 4 7 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 6 2 4 Lời giải Chọn B. Trang68
Gọi H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 1; y  0; x  0(Tam giác cong OAB ). 1 
H là sình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 ;xy  0;x  0(Tam giác OBC). 2 
Diện tích hình hình phẳng cần tính là: 0 1 2 3 2 0  x  1 2 1 7
S  S  S  x  dx   x dx  x      x      H  H  1 1   1 1 2 3 1  2 0 3 2 6   1  0
Câu 143: Cho hình chữ nhâ ̣t ABCD có AB  4 , AD  8(như hình vẽ). B M C E F D A N
Gọi M , N, E, F lần lươ ̣t là trung điểm của BC , AD , BN và NC . Tính thể tích V của vật thể
tròn xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh tru ̣c AB . A.100 . B. 96 . C. 84 . D. 90 . Lời giải Chọn B.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho B  O, AB  Ox, BC  . Oy
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y  ; x y  8  ;
x x  0; x  2 quay quanh trục . Ox 2 2 V   x   8 x2 2
dx   16x  64dx   96. 0 0 Cách khác: Trang69
Gọi I là trung điểm AB .
Gọi V là thể tích khối nón cụt tạo bởi CFIB quay quanh AB , 1 1 296
V có chiều cao là 2 , bán kính đáy là r  6 và R  8.  V   .2 2 2 6  6.8  8   1  1 3 3
Gọi V là thể tích khối nón tạo bởi BEI quay quanh AB , 2
V có chiều cao là 2 và bán kính đáy là 2. 2 8  V   . 2 3
Ta có thể tích cần tính V  V V  96 . 1 2 ˆ ˆ ˆ
Câu 144: Cho hình thang vuông ABCD có A  D  90 , CD  2AB , C  45 . Gọi M là trung điểm
CD , gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh AM , BM . Biết CD  8 , tính thể tích V của vật
thể tròn xoay khi quay tứ giác HKCD quanh trục AD . A. 96 . B. 84 . C. 72 . D. 60 . Lời giải Chọn B.
Ta có AB  4 , B
 MC vuông cân tại M nên AD  BM  4 . Gọi O là trung điểm của AD .
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho OD  Ox, OK  Oy. Trang70
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: y  2  ;
x y  2x  4; x  0; x  2 quay quanh trục . Ox 2 2
V    2x  42 2  x2 dx 2
  32x  20x 12dx   72 . 0 0
Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. 4 cm A B O 6 cm I
Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện
của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích  3
V cm  của vật thể đã cho. 72 72 A.V  . B.V   . C.V 12 . D.V  12. 5 5 Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. 4 cm A B O 6 cm I 3
Gọi phương trình của Parabol là 2
y  ax  6 . Do P qua điểm B 2;0 nên a  . 2 Trang71 3 2 y  6 Vậy  P 2 : y 
x  6 suy ra x   . 2 3 0 2 y  6
Thể tích vật thể cần tính bằng V   dy  12  . 3 6 
Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm
ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol
chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần 3
trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng
chiều cao của bên đó (xem hình). 4
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 2,90 3
cm / phút. Khi chiều cao của
cát còn 4 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm (xem
hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều
cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ? A. 8 cm . B. 12 cm . C.10 cm . D. 9 cm . Lời giải Chọn C. Trang72 8
Chiều cao khối trụ bằng h . 3
Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol .Gọi  P là đường
Parabol phía trên. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Đường tròn thiết diện có chu vi bằng 8 suy ra bán kính của nó bằng 4 .
Do (P) có đỉnh là O(0; 0) nên phương trình 2
(P) : y  ax . 1 1 (P) đi qua (
A 4; 4) nên a  . Vậy phương trình 2 (P) : y  x . 4 4
Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của
(P) quay quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian 30 p . h Ta có 2
V   (2 y ) dy  2  2 h . 0
Lượng cát chảy trong 30 p là 3 2,9.30  87(m ) . Vậy V  87 2  2 h  87 87  h  . 2 4
Chiều cao hình trụ bên ngoài là l  2. h  10 . cm 3 Trang73 Chọn đáp án C.
Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm , thiết diện vuông góc với trục và
cách đều hai đáy có bán kính là 40cm , chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ).
Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,
hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu? A. 425162 lít. B. 21258 lít. C. 212, 6 lít. D. 425, 2 lít. Lời giải Chọn D.
+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm : 30cm  3d ;
m 40cm  4dm
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ Gọi phương trình 2
(P) : x  ay  by  c Trang74  a  4 
(P) đi qua các điểm (
A 4; 0); B(3;5) và C(3; 5
 ) nên ta có b  0  1 c    25 1 Vậy phương trình của 2 (P) : x   y  4 25
Thể tích của thùng rượu là : 5 1 2 2 V   (  y  4) dy  3
 425,2dm  425,2l 25 5  Suy ra đáp án D.
Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá  2
1 m  của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao
nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). 2m 1, 5m 5m
A. 6.520.000 đồng. B. 6.320.000 đồng.
C. 6.417.000 đồng. D. 6.620.000 đồng. Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó A 2
 ,5;1,5 , B2,5;1,5 , C 0;2 . Trang75
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng 2
y  ax  bx  c , với a; ; b c   .
Do Parabol đi qua các điểm A 2
 ,5;1,5 , B2,5;1,5 , C 0;2 nên ta có hệ phương trình  2 2    a( 2  ,5)  ( b 2  ,5)  c  1,5 a   25  2 a( 2  ,5)  (
b 2,5)  c  1,5  b  0 .   c  2  c  2   2
Khi đó phương trình Parabol là 2 y   x  2 . 25
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 2 y  
x  2 , trục hoành và hai đường thẳng x  2, 5 , x  2, 5 . 25 2,5  2  Ta có 2 S   x  2 dx  55    .  25  6 2  ,5
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S   55 . 700.000  .700000  6.417.000 6 (đồng).
Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0  x    là một tam
giác đều có cạnh là 2 sin x .
A. V  3
B. V  3
C. V  2 3
D. V  2 3 Lời giải Chọn D.  x 2 2 sin 3
Diện tích thiết diện là S  x   3 sin x 4 b 
Áp dụng công thức V  S
 xdx  3sin xdx  2 3  . Chọn D. a 0
Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng100m, trục nhỏ bằng 80m . Người ta thiết kế mô ̣t
mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa , phần còn la ̣i trồng rau .
Biết lợi nhuận thu được là 5000 đồng mỗi 2
m trồng rau và 10.000 đồngmỗi 2 m trồng hoa. Hỏi
thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
A. 25.708.000 . B. 51.416.000. C. 31.415.000 . D.17.635.000 . Trang76 Lời giải Chọn B
Diê ̣n tích phần hoa là: S  4000 2
Diê ̣n tích phần rau là: S  2000  4000 1
Vâ ̣y thu nhâ ̣p đến từ mảnh vườn là: T  S .5000  S .10.000  51.416.00 . 0 1 2
Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính 30 . m Trong lòng hình
tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường
kính và trục bé bằng mô ̣t phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip
trùng nhau), phần còn la ̣i làm hồ . Biết chi phí để trồng mô ̣t 2
1m hoa hồng là 500.000đồng, chi phí làm 2
1m hồ là 2.000.000 đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu ? (Kết quả
làm tròn đến hàng nghìn). A. 706.858.000 B. 514.160.000 C. 1.413.717.000 D. 680.340.000 Lời giải Chọn B
Diê ̣n tích hình tròn là: 225.
Diê ̣n tích elip hay diê ̣n tích trồng hoa là: S  ab  75 1
Diê ̣n tích phần làm hồ là: S  150. 2
Vâ ̣y chi phí để thành phố phải bỏ ra là: T  S .500.00  S .2.000.000  514.160 0 . 0 . 0 1 2
Câu 151: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y  3x và nửa đường tròn có phương trình 2 y  4  x với 2
  x  2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H  bằng y 2 x -2 O 2 2  5 3 4  5 3 4  3 2  3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D. Trang77
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3x  4  x , Đk: 2   x  2 4 2 2
 3x  x  4  0  x  1  x  1  .   P 2 : y  3x 
Hình  H  giới hạn bởi:   C 2 : y 
4  x có diện tích là: x  1  ; x  1  1
S    4  x  3x  1 1 2 2 2 2 dx  4  x dx  3x dx   . 1  1  1     1 I I2 1 3 2 3 * Ta có: 3 I  x  . 2 3 3 1  1     * Xét 2 I  4  x dx 
:Đặt x  2sin t,t   ;
; dx  2costdt . 1    2 2  1   
Khi x  1  t  
và x  1  t  . 6 6   6 6     Ta có: I  4   2 1 sin x 2 2 cos d t t  4 cos d t t 
(Do cost  0 khi t   ; ) 1      2 2    6 6   6          3 t  6 1 2
1 cos 2 dt  2 t  sin 2t    2  .  2       3 2    6 6   3  2 3 2  3 Vậy S  2       . 3 2 3 3   Cách khác: y 2 M' M A' A -2 O 1 x 2
- Giao điểm của  P 2
: y  3x và C  2 : y 
4  x là M 1; 3,M ' 1  ; 3. Trang78 - Có  
AOM  60  MOM '  2  30  60 . Suy ra diện tích hình quạt OMM ' là 60 2 2 S  . .R  . 1 360 3 O
 M : y  3x  1 3
- Gọi S là diện tích giới hạn bởi   P 2
: y  3x . Suy ra S   2 3x  3x dx   . 2  2  6 0 x  0, x  1  2  3
- Diện tích hình  H  là: S  S  2S  . 1 2 3
Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số p, q thỏa mãn các điều
kiện: p  1, q  1 1 1,   1 
và các số dương a, b . Xét hàm số p 1 y  x
(x  0) có đồ thị là C . p q
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành, đường thẳng x  a ; S là diện tích 1 2
hình phẳng giới hạn bởi các C , trục tung, đường thẳng y  ;
b S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng x  a, y  b . Khi so sánh S  S và S , ta nhận 1 2
được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? p q a b p 1  q 1 a b  p 1  q 1 a b  p q a b A.   ab B.   ab C.   ab D.   ab p q p 1 q 1 p 1 q 1 p q Lời giải Chọn D. a a p p  x a Ta có p 1 S  x dx    1 . p p 0 0 1 Ta lại có: p 1  y x   (x  0) p 1 1  x p  y  y  . 1 1  p
Mặt khác: p  1, q  1,   1 1 1   . p q p q b b 1 p p p 1 p 1 q  b p 1 S y    dy  p 1  .y  p 1  b  2 . p p q 0 0 Trang79 S  . a b P q a b
Do S  S  S    ab . 1 2 p q Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong  H  giới hạn bởi các đường x
y  e , y  0 , x  0 , x  ln 4 . Đường thẳng
x  k 0  k  ln 4 chia  H  thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k để 1 2
S .S lớn nhất. 1 2 25 A. k  9 ln . B. k  8 ln . C. k  5 ln . D. k  ln . 4 4 3 2 Lời giải: Chọn D k ln 4 k Ta có x S  e dx  k  x e k  e 1 S  e dx   4 k  e 1 và 2 0 0 k Ta có . k  1 4 k S S e
 e   k 2 5 k e e  4 1 2    2   k 5 9 9   e       2  4 4 9   k 5
Suy ra S .S lớn nhất bằng khi e  5  k  ln  . 1 2 4 2  2 
Câu 154: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường 2
y  x , y  0, x  0, x  4. Đường thẳng
y  k 0  k  16 chia hình  H  thành hai phần có diện tích S , S (hình vẽ). Tìm k để S  S 1 2 1 2 Trang80 A. k  3. B. k  4 . C. k  5. D. k  8 Lời giải : Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
x  k  x  k Ta có 4 4 3 x 64 ● 2
S  S  x dx   .  1 2 3 3 0 0 4 k 3  x  2k k 64 ● S    2
x  k dx    kx  4  k   . 1    3  3 3 k 0 1 k k
Yêu cầu bài toán  S  S  2 64 32 S  4  k   
 2k k 12k  32  0 1  1 2  2 3 3 3
t  k 0t4   3 2
2t 12t  32  0  t  2  k  4.
Câu 155: Cho parabol P : 2
y  x  2x , có đỉnh S và A là giao điểm khác O của P và trục hoành.
M (x ; y ) là điểm di động trên SA ( M (x ; y ) không trùng với S ) . Tiếp tuyến d của P tại 0 0 0 0
M cắt Ox ,Oy lần lượt tại E và F . S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng 1
d và trục 0 y , S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P , đường thẳng d và trục 0x . Khi 2
tổng S  S nhỏ nhất, giá trị của P  x  y bằng: 1 2 0 0 23 44 20 A. B. C. D. 4 9 9 9 Lời giải: Chọn C Trang81
Tiếp tuyến tại M  2 ;
m 2m  m ,1 m  2 có phương trình:
y    m x  m 2 2 2
 2m  m  y    m 2 2 2 x  m  m 
Ta có: E  m  2 2 0; ; F
;0 với 1 m  2   2m  2   2 Gọi 4
S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và trục hoành: 2 S 
x  2x dx  .  3 0 4 4 1 m m S   OEF 2 2m  2 4 m   1
Tathấy, S  S  S
 S, S  S min  S min 1 2   OEF  1 2 OEF 4 3 m  4  4
Khảo sát hàm f m  1
  m  2 ta được Min  khi m  .   f m 4m   1  3  3 3   4  4 28 4 S  S min    m  4 8 M ( ; ) 1 2    khi . Khi đó .  3  3 27 3 3 9 20
Vậy x  y  . 0 0 9
Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
x , y  0 và x  4 quanh trục Ox. Đường thẳng
x  a 0  a  4 cắt đồ thị hàm y  x tại M. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi 1
quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết V  2V . Tìm giá trị a 1 Trang82 5 A. a  2 . B. a  2 2 . C. a  . D. a  3. 2 Lời giải Chọn D. y  x 
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do  H  :  y  0 quay quanh Ox x  4  4 4
 V    x2dx  d x x  8  0 0
Gọi V là thể tích khối tròn xoay do  H : O
 MH quay quanh Ox 1  1 Khi O
 MH quay quanh Ox tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh O , trục ON , bán
kính đáy NM và khối nón đỉnh H , trục HN , bán kính đáy NM 1
 V    a 2 1
a    a 2 4  a 1   3 3 1  V  . .4 a 1 3 4
V  2V  8  2.  .a  a  3 . 1 3
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị 2
y  x và y  x  2 bằng 13 21 9 1 A. . B. . C. . D. . 12 2 2 2 Lời giải Chọn C
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 2
y  x và y  x  2 là 2
x  x  2 suy ra x  2  và x 1. Trang83
+) Nhận xét rằng đồ thị 2
y  x chỉ cắt đồ thị y  x  2 trên  ;
 2 (có thể dựa vào đồ thị vẽ
ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2
y  x và y  2  x . 1 1 2 3  x x  +) Ta có S    2
2  x  x dx   2x     9 . Chọn C.  2 3  2 2  2  1
Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x  ; x  ;
1 y  0 và đồ thị hàm số 2 y  log . x 2 1 1 1 1 1 1 1 A.   . B. . C.   . D.  . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 Lời giải Chọn A   +) Đồ 1 1
thị y  log x cắt đường thẳng x  tại A ; 1
 và cắt đường thẳng x 1tại B 0 ; 1 ( ). 2   2  2  1 1
+) Diện tích hình phẳng cần tính S  | log x |dx   log x d . x   2 2 1 1 2 2 1 1 1
+) S    x log x 1  . x dx  2  x ln 2 1 2 2 1 1 1  1 1 1 1 1 +) S 2  x log        Chọn A. 2 1 . 2 2 ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2
Câu 159: Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị C , biết rằng C đi qua điểm A 1  ;0.
Tiếp tuyến d tại A của C cắt C tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình 28
phẳng giới hạn bởi d , đồ thị C và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng (phần 5
gạch chéo trong hình vẽ). Trang84
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị C và hai đường thẳng x  1; x  0 bằng 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 5 9 5 9 Lời giải Chọn A +)Điểm A 1
 ;0 thuộc đồ thị C  a  b  c  0
+) Phương trình tiếp tuyến tại A 1
 ;0 là d  : y  y '  1  x   1  y   4
 a  2bx   1 .
+) Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là
 a  bx   4 2 4 2
1  ax  bx  c   *  4
 a  2b  c
+) Mà x  0, x  2 là nghiệm của (*) suy ra   1  1
 2a  6b 16a  4b  c 2 28 32 8 28 +) Có     4
 a  2bx   4 2
1  ax  bx  c dx    4 4
 a  2b 
a  b  2c  2 5 3 3 5 0 +) Từ  
1 , 2 ta được a  1,b  3, c  2 suy ra 4 2
y  x  3x  2 . 0 1
+) Vậy diện tích cần tính là 4 2 S 
2x  2  x  3x  2 dx   . Chọn A. 5 1 
Câu 160: Cho parabol  P 2
: y  x và hai điểm ,
A B thuộc P sao cho AB  2 . Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi P và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng: 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2 Lời giải y A B x 1 Chọn C. Trang85
+) Gọi đường thẳng d : y  ax  b
Xét phương trình hoành độ giao điểm của P và d là: 2
x  ax  b  0
Đường thẳng cắt P tại hai điểm phân biệt , A B khi 2
  a  4b  0 .
x  x  a
Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x ; x  x . Khi đó ta có 1 2  1 2  1 2
x .x  b  1 2
Gọi giao điểm của d và  P là A x , y , B x , y . 1 1   2 2  2 2 2 2
Ta có: AB  2   x  x    y  y   4   x  x  2
 4x x   a  x  x  4x x   4 2 1 2 1 2 1 1 2  2 1 1 2       4 2 a  4b 2  a  2 a  4b 2
 4  a  4b  * 2   a 1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và  P là: x x x  ax x  2 S 
x  ax  b dx     2
ax  b  x  2 2 3 2 2 dx    bx   1 x 1 x  2 3  1x 2 3 2 3 ax x  ax x        
     a    bx bx x
x   x  x  2 2 x x x x 2 2 1 1 2 1 2 1  b  2 1 2 1 2 1  2 3  2 3   2 3  3  2    2 2 2      a 4 4 b a a b a b 3 2      x  x  2 2 a 1 4 1 2  b   a  4b.    . . 2 1    2 3  6 6 6 3 a  3 2 1 1 4 Vì 2 a 1  1, a    1 S   nên . 3 a  3 2 1
Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018]Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình
phẳng giới hạn bởi các đường x 
y , y  x  2, x  0 quay quanh Ox có giá trị là kết quả nào sau đây 1 3 32 11 A. V   . B. V   .C.V   . D. V   . 3 2 15 6 Lời giải Chọn C. 2 x  y Ta có x  y   . x; y  0 Trang86
Phương trình hoành độ giao điểm là x 1 (TM ) 2
x  x  2  .  x  2  (L) 1 2 32
Thể tích cần tìm là:V     x2 4  x  dx     15 0
Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m , trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần
bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn
trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 mỗi 2
m trồng cây con và 4000 mỗi 2 m trồng rau.
Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ). A. 31904000 . B. 23991000 . C. 10566000. D. 17635000. Lời giải Chọn B 2 2 x y
Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip  E : 
 1(với a  b  0 ) là ab 2 2 a b 2 x
Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình y  b 1 . Do Ox, Oy là 2 a a 2 x
trục đối xứng của elip  E nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip  E là S  4 b 1 dx  2 a 0 .       2 2
Đặt x  asint với t   ; 2 2 
 ta được S  4b 1 sin td 
asint  4ab o c s tdt  ab .  2 2  0 0
Xét mảnh vườn: a  50, b  40 
Diện tích trồng cây con là: S   S    c OA  B    2 .40.50 2 500 m  4
Diện tích trồng rau là: S   .40.50    2500  3  2500 r
Thu nhập từ mảnh vườn là:   2500.2000  3  2500.4000  23991000 .
Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính 6 cm . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip
khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F , F . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối 1 2 Trang87
cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là 4 cm , 2 cm . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của a a quả đào bằng   3
cm  với a,b là các số thực và tối giản, khi đó a b bằng b b A. 97 . B. 36 . C. 5 . D. 103 . Lời giải Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ O , hai tiêu điểm nằm trên trục 2 2 x y 2 x
Ox . Khi đó phương trình Elip là   1, xét y = 1- . 4 1 4
Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: 2 2 2  x  8 2
V  2 y dx  2 
 1 dx   . 1 0  4  3 0 4
Thể tích quả đào hình cầu 3 V  .3  36 . 3 Do đó thể 100
tích phần cùi của quả đào là V V 
 . Do đó a b  97. 1 3
Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Eli p có độ dài trục lớn là AA'  8 , độ dài trục nhỏ là BB'  6 ;
đường tròn tâm O đường kính là BB 'như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay
có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình phẳng
được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh tru ̣c AA'. Trang88 B A A' O B' 64 A. 36 . B.12 . C. 16 . D.  . 3 Lời giải Chọn B
Gắn hệ trục toạ độ Oxy sao cho O là tâm của đường tròn, ,
A A ' Ox , B, B ' Oy . 2 2 2 x
Phương trình elip là x y 
 1, xét y  3 1 . 16 9 16 2 4  x 
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay Elip quanh trục Ox là:V  2 9
 1 dx  48 . 1 0  16  4 Thể tích khối cầu là: 3 V  .3  36 . 3
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V V  12 . 1 55
Câu 165: Từ một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với AB  30 cm, AD 
cm . Người ta cắt miếng tôn 3
theo đường hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết AM  20cm ,
CN  15 cm , BE  5 cm .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn
quanh trục AD (kết quả làm tròn đến hàng trăm). Trang89 A. 3 81788 cm . B. 3 87388 cm . C. 3 83788 cm . D. 3 7883cm . Lời giải Chọn C
Chọn hệ trục Oxy sao cho A  O , DOx , B  Oy .
Ta có BE  5 suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T  20 .   Suy ra phương trình đồ x
thị hình Sin cần tìm có dạng: y  a sin  b   . 10     Do đồ 55
thị hình sin đi qua M 0; 20 , N ;15   nên ta có:  3    1  a sin .0  b  20     10  a 10    .   1 55  b   20 a sin .  b 15    10 3    Ta có phương trình đồ x
thị hình sin cần tìm là y  10sin  20   . 10  2 55  x  Thể tích cần tìm là: 3 3    10sin
 20 dx  83788cm      . 0  10  
Câu 166: [THPT CHUYÊN LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Một vật chuyển động trong bốn giờ với
vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình vẽ bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối
xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại vật chuyển động chậm dần đều. Tính quãng đường
S mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. S 23, 71km . B. S 23, 58 km . C. S 23, 56 km . D. S 23, 72 km . Lời giải Chọn A Trang90 Với t   0;  1 , gọi 2
v(t)at bt . c Ta có :
v(0)4; v(2)9; hoành độ đỉnh parabol bằng 2 nên ta có hệ phương trình:   5  a c4   4 
4a2bc9   b5 .   b     c 4 2   2a 
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ bằng : 1  5  73 2 S 
 t 5t4 dt  km  . 1    4  12 0 Với t (
 1;4], gọi v(t)mt .
n Ta có hệ phương trình :  31  5 mn  m    4  
4 . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 đến 4 giờ 4mn4  n9 4  5  141 bằng : S   t9 dt  km  2    4  8 1
Quãng đường S mà vật di chuyển được trong 4 giờ bằng : S S S 23,71km . 1 2
Câu 167: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x , x  0, x  a với    1 a  ;   là  3
  4 2  3 hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây?  4 2  2  7   51 11   11 3   51  A. ;1  . B. ;   . C. ;   . D. 1;   10   50 10  10 2   50  Lời giải ChọnB.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  sin x , y  cos x , x  0, x  a là a S 
sin x  cos x dx  0   4 a 4 a
 sin x  cos x dx + sin x  cos x dx  
 cos x sin xdx sin x cos xdx 0  0  4 4 Trang91  4 a   a
cos x  sin xdx  cos x sin xdx  2 1sin x  cos x   2 2 1cosa sin a . 0  4 4 Theo bài ra ta có:       3   4 2  3  2
  4 2  2cosa  3 1 5
2sin a  sin a    sin   .  4  2 2 12  7     a    a   51 11 1, 047  a  ,   . 4 12 3  50 10 
Câu 168: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho một mảnh vườn hình chử nhật ABCD
có chiều rộng là 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng. Người ta chia mảnh vườn bằng cách dùng hai đường
parabol, mỗi đường parabol có đỉnh là trung điểm mỗi cạnh dài và đi qua hai mút của canh dài đối diện.
Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại. 1 3 1 2  3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 7 Lời giải Chọn D.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: 2 2
Ta lập được phương trình các parabol là 2 y  x và 2 y  
x  2 . Khi đó mảnh vườn nằm ở 9 9 2 2
miền trong hai parabol là hình phẳng giới hạn bởi 2 đường 2 y  x và 2 y   x  2 . Khi đó 9 9 3 2 4
diện tích của mảnh vườn nằm trong hai parabol là: 2 2 S  2 (
x  2)dx  4 2 m  . 9 0
Diện tích hình chử nhật là: 2 12m
Khi đó tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm ở miền trong hai parabol với diện tích phần còn lại 4 2 2  3 2 là:  12  4 2 7 Trang92
Câu 169: Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường 2
y  x , y  0, x  0, x  4 . Đường thẳng
y  k 0  k  16 chia hình  H  thành hai phần có diện tích S , S như hình vẽ. Tìm k để 1 2 S  S . 1 2 A. 8 . B. 3 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D. Xét phương trình 2
x  k  x  k  0; 4 . 4 4 4 3   Khi đó x 2 64 2 S  x  k dx  
  2x k dx   kx  k k 4k  . 1   3  3 3 k k k 4 64 2
S  x dx  S   S  2 1 1 3 0 64 32 2 32
Theo giả thiết ta có S  S  S   S  S 
 k k  4k   0  k  4. 1 2 1 1 1 3 3 3 3
Câu 170: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số 2
y  6x  x và trục hoành. Hai đường thẳng y  ,
m y  n chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính 3 3
Q  (9  m)  (9  n) Trang93 A. Q  405 . B. Q  409 . C. Q  407 . D. Q  403 .
Câu 171: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường 2
y  x x 1 ;
y  0 ; x  0 và x  3 . Đường thẳng x  k với
1  k  3 chia hình (H) thành 2 phần có diện tích là S 1
và S . Để S  6S thì k gần bằng 2 1 2 A. 1,37. B. 1,63. C. 0,97. D. 1,24.
Câu 172: Cho khối trụ có chiều cao 20 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng ta được thiết diện là hình elip có
độ dài trục lớn bằng 10. Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích V , 1
nửa dưới có thể tích V . Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đấy dưới nhất và điểm 2 V
thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới lần lượt là 8 và 14 . Tính tỉ số 1 . V2 11 9 9 6 A. . B. . C. . D. . 20 11 20 11 Lời giải Chọn B.  h h 
Ta có công thức tính nhanh khối trụ cụt có bán kính R là 2 1 2 V    R  .  2 
Theo bài ra ta có h  8; h  14 , thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng 10 . 1 2 Trang94
Ta dễ dàng tính được bán kính của khối trụ 2 2
2R  10  6  R  4 .    Khi đó 8 14 V 9 2
V   .4 .20  320 ; 2 V  .4 .
176 V  V V 144 . 1   . 2    2  1 2 V 11 2
Câu 173: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
x , cung tròn có phương trình 2 y  6  x  6
  x  6 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật
thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục . Ox y A. V  8 6  2 . B. 22 22 22 V  8 6  .
C. V  8 6  .
D. V  4 x  6  . 3 3 3 - 6 O 6 Lời giải Chọn D. 0  x  6
Tọa độ giao điểm là nghiệm số phương trình   x  2 2
 x  6  x
Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay quanh hình D 0  
V     6  x  2 2
dx     6 x 2    x2 2 2 dx     6 0 0
V    6  x  2 2 dx    2
6  x  xdx  6 0 Trang95 0 2 3 3 2  x   x x 
V    6x  
  6x    3 3 2      6 0  6 6   8  V    6  6    12   2      3    3  22 V  4 6  . 3 Vậy đáp án D.
Câu 174: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho đường tròn có đường kính bằng 4 và 2
đường Elip lần lượt nhận 2 đường kính vuông góc nhau của đường tròn làm trục lớn, trục bé
của mỗi Elip đều bằng 1. Diện tích S phần hình phẳng bên trong đường tròn và bên ngoài 2
Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây?
A. S  4,8 .
B. S  3, 9 .
C. S  3, 7 . D. S  3, 4 . Lời giải Chọn C.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Trang96 y x O 2 2 x y
Phương trình của Elip ( E ) nằm ngang:   1 1 4 1 1
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y  4  x 1 2 2 2 x y
Phương trình Elip ( E ) đứng:   1 2 1 4
Cung của ( E ) nằm trên trục Ox có phương trình : 2 y  2 1 x 2 1 2 5 Xét phương trình: 2 2
4  x  2 1 x ; x  0 có nghiệm x  . 2 5
Cung đường tròn nằm phía trên Ox có phương trình : 2 y  4  x Diện tích cần tính là 2 5 5 2 1 2 2 2 2 S  4(
( 4  x  2 1  x )dx  ( 4  x  4  x )dx)   2 0 2 5 5 2 5 5 2 1 2 2 2  4(
( 4  x  2 1 x )dx  4  x dx   2 0 2 5 5
Sử dụng máy tính ta được S  3, 7 .
Câu 175: Trên cánh đồng cỏ có hai con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai
cọc là 4 mét còn hai sợi dây cột hai con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ
lớn nhất mà hai con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). Trang97 A. 2 1, 034m . B. 2 1, 574m . C. 2 1, 989m . D. 2 2, 824m . Hướng dẫn giải Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi hai sợi dây được kéo căng và là phần giao của hai đường tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O, M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm (O) 2 2 2
: x + y = 3 và phương trình đường tròn tâm (M ) (x - )2 2 2 : 4 + y = 2
Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: 2 y = 9 - x và y = - (x - )2 4 4 Phương trình hoành độ 21
giao điểm: 4 - (x - 4)2 2 =
9 - x Û 4 + 8x - 16 = 9 Û x = 8 21 é ù ê8 3 ú 2 ê ú
Diện tích phần được tô màu là: S = 2 4 - êò (x - 4) 2 dx + 9 - x dx » 1, 989 ò ú . ê ú 2 21 ê ú ë 8 û
Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.
Câu 176: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m .
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2
1m . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để
trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng. Trang98 8m Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 x y
Giả sử elip có phương trình 
 1, với a  b  0 . 2 2 a b
Từ giả thiết ta có 2a 16  a  8 và 2b 10  b  5  5 2 y   64  y E 2 2   1  x y 8
Vậy phương trình của elip là  1  64 25 5  2 y 
64  y  E1   8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E ; E ; x  4
 ; x  4 và diện tích 1   2 4 4 5 5 của dải vườn là 2 2 S  2 64  x dx  64  x d   x 8 2 4  0   3 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  8sin t , ta được S  80    6 4    3 
Khi đó số tiền làT  80 
.100000  7652891,82  7.653.000 .  6 4 
Câu 177: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 2 y  x
x 1 , trục Ox và đường thẳng x 1
a b  ln 1 b  bằng
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính a  b  c . c A.11. B.12. C.13. D.14. Lời giải Chọn C. 1 1 Ta có 2 2 2 S  x x 1 dx  . x x x 1 dx   . 0 0 Trang99 u   x    du dx  Đặt  1 suy ra  1 . Khi đó,
dv  x x 1 dx  x  1 2 2 1 d  2 2 x   1 v    2x   2 1 x 1  2  3 1 S  x  x   1 1 1 2 2 1 x 1   2x   2 1 x 1 dx 3 3 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2  S  2 2  x x 1 dx  x 1 dx   3 3 3 0 0 1 2 2 1 1   2  S   S  I  I  x 1 dx   3 3 3  0  2 I  S   . 2 4 1 Ta tính 2 I  x 1 dx  . 0  x 2    du  dx  Đặ u x 1 t  suy ra 2  x 1 . Khi đó, dv  dx v  x 1 2 1 1 x  1  2 2
I  x x 1  dx  2    x 1 dx 2 2 0     0 x 1 0 x 1 1 1 1 2  I  2  x 1dx  dx   2  0 0 x 1
 I  2  I  ln x  x 11 2 1 2   ln 1 2. 0 2 2   3 2 ln 1  2 2 1 2 1 Vậy S     ln  1 2     .  2 4 2 2 8  
Tức a  3, b  2, c  8 . Vậy a  b  c 13.
Câu 178: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18 m, chiều
rộng chân đế 12 m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang đồng thời chia hình
giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số AB bằng CD 1 4 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 5 3 2 1 2 2 Trang100 A 18m B C D 12m Lời giải Chọn C y 6 O x I A B J D C K -18 E F
Thiết lập hệ toạ độ Oxy trong mặt phẳng như hình vẽ. Khi đó parabol có phương trình 1 2 y  
x . Gọi phương trình các đường thẳng là AB : y  t , t  0 CD : y  k , k  0 2  x  2  t , x  2
 k .Đường thẳng EF : y  18. Diện tích tam giác cong OKF là: B D 6  1  2
 x 18 dx  72   .  2  0 2  t  1 
Từ giả thiết suy ra: diện tích tam giác cong OBI  24, OJD  48  2
 x  t dx  24     2  0 2  k  1  y và 2
 x  k dx  48    . Từ đó giải được 3 x  72 ; 3 x  144   2  B D 0 AB x 1 B   . 3 CD xD 2 1  O 1 x O
Câu 179: Cho hàm số y  f  x 3 2
 ax  bx  cx  d,a, ,
b c   , a  0 có đồ
thị C . Biết rằng đồ thị C tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại Trang101 3 
điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y  f x cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hoành. 27 A. S  9 . B. S  . 4 21 5 C. S  . D. S  . 4 4 Lời giải Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f  x 2  3x 3 .
f  x  f 
 x x   2x   3 d 3
3 dx  x  3x  C .
Do C tiếp xúc với đường thẳng y  4 tại điểm có hoành độ x âm nên 0 f  x  2
 0  3x 3  0  x  1  . 0 0 0 Suy ra f  
1  4  C  2  C 3
: y  x  3x  2 x  2  Xét phương trình 3
x  3x  2  0   . x 1 1 27
Diện tích hình phẳng cần tìm là: S 
 3x 3x 2dx   . 2 4
Câu 180: (THPT Gang thép Thái Nguyên lần 3 – 2018) Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x, y  0 và x  4 quay quanh trục Ox . Đường
thẳng x  a (0  a  4) cắt đồ thị hàm số y  x tại M (hình vẽ bên). Gọi V là thể tích khối 1
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  V
2 . Giá trị của a 1 thỏa mãn Trang102 M y  x K H O a 4 A. a [ ; 3 4) .
B. a [2; 3) .
C. a [1; 2) . D. a  ( ; 0 ) 1 . Lời giải Chọn A. 4 4 x2
Ta có V   xdx    8 
(đvdt)  V  4 (đvdt). 2 1 0 0
Mặt khác V là tổng thể tích hai khối nón tròn xoay V và V . 1 OMK HMK 1 a  2 V  .  MK 2.OK 
(vì MK  a ). OMK 3 3 1 a  (4  a) V  .  MK 2.HK 
(vì HK  4  a ). HMK 3 3 4 a  4  V  V V  . Từ đó :
a  4  a  3 . 1 OMK HMK 3 3
Câu 181: (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018)Kí hiệu S , S , S lần lượt là diện tích hình 1 2 3
vuông có cạnh là 1 , hình tròn có bán kính bằng 1 , hình phẳng giới hạn bởi hai đường  2 S S
y  2 1 x , y  2 1 x . Tính tỉ số 1 3 . S2 S  S 1 S  S 1 S  S 1 S  S 1 A. 1 3  . B. 1 3  . C. 1 3  . D. 1 3  . S 5 S 3 S 2 S 4 2 2 2 2 Lời giải Chọn C.
+ Ta có S  1 ; S   . 1 2 x  0 + Ta thấy phương trình 2
2 1 x  2(1 x)   . Khi đó: x 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
S  | 2 1 x  2(1 x) | dx  2 |
1 x  (1 x) dx | 2 |
1 x  (1 x) dx | 2 | 1 x dx  |      3 2 0 0 0 0 0 1 Tính 2 I  1 x d  x . 0       2 2 1 cos 2  1  
Đặt x  sin t, t  0; 2   , khi đó  cos d  d   sin 2t 2    t t I t t t   .  2  2  2 4  4 0 0 0 Trang103  Suy ra S  1 3 2 S  Khi đó: S 1 1 3  . S 2 2 1 1 2 y Nhận xét: 2 2 1   x dx
S Trong đó S là diện tích Elip 2 x   1 0 0 4 4 0 1  2
 S  2  2 1 x dx   0 2 0 y 2 O x 1 1
Câu 182: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: 3 2 y  2
 x  x  x  5 , 2
y  x  x  5 , ta được:
A. S  2 (đvdt).
B. S  3 (đvdt).
C. S 1 (đvdt).
D. S  0 (đvdt). Lời giải Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong y  f x 3 2  2
 x  x  x  5 , x  0
y  g  x 2
 x  x  5 là: 3 2 2 3 2
 x  x  x  5  x  x  5  2x  2x  0   . x  1  Diện tích giới hạn: 0 1 0 1 S  f
 x gx d x f
 x gx d x    f x gxd x   f x g xdx 1  0 1  0    
 S   2x 2xd x  2x 2x 0 1 0 1 1 1 3 3 4 2 4 2 d x  x  x  x  x 1     (đvdt).  2   2  1  0 1  0
Câu 183: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườ 1 27 ng sau: 2 y  x , 2 y  x , y  , ta được: 27 x
A. S  27ln 2 (đvdt).
B. S  27ln 3 (đvdt). C. S  28ln 3 (đvdt).
D. S  29ln 2 (đvdt). Lời giải Trang104 Chọn B. 3 9 3 9  1   27 1  26 9 1 Từ đồ thị ta có: 2 2 2 3 3 S  x  x x d   x x d  x  27ln x  x  27ln 3     . 3  27   x 27  81 81 0 3 0 3
Câu 184: [THPT Ninh Giang Hải Dương – HKII – 2018]Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình
phẳng giới hạn bởi các đường: 3
y = x ;y = - x + 2;y = 0 quanh trục Ox là: 4 10   A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 21 21 7 3 Lời giải Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
x = - x + 2 Û x = 1 ; - x + 2 = 0 Û x = 2 (Hình vẽ).
Khi đó thể tích cần tìm là: 1 2 10p 6 2 V = p x dx + p (- x + 2) dx = ò ò . Chọn đáp án B. 21 0 1
Câu 185: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình tròn C 2 2
: x  y  8 và parabol   2 :  x P y
chia hình tròn thành hai phần. Gọi S là diện tích phần nhỏ, S là diện tích 2 1 2 S
phần lớn. Tính tỉ số 1 ? S2 Trang105 S 3  2 S 3  2 10 S 3  2 S 3 1 A. 1     S 9 . B. 1  2 S 9 . C. 1  2 S 9 . D. 1  2 S 9 . 1 2 2 2 2 x2 f(x) = Lời gi 8 ải 2 Chọn A 6 4 2 x 15 10 5 5 10 15 O 2 4 2 2   2 2 2
Từ đồ thị trên ta có: x 8 2 2 2 2 S  2 8  x  dx  2 8  x dx  x dx  2 8  x dx   6    . 1   0 0 0 0  2  3 2 Xét 2 I  8  x dx 
. Đặt x  2 2 sint  dx  2 2 cos d t t . 0 Đổi cận: x 0 2  t 0 4   Do vậy ta có: 2 2 4 4 I  8  8sin t.2 2 cos d t t  8 1 sin t cos d t t   0 0     4 2 4 I  8 cos d t t  4 
 1cos2tdt  4t sin2t 4  2 0 0 0  4 S  2  . 1 3 Mặt khác: 4
S  S   2 22  8  S  6  . 1 2 2 3 4 2  S   Do vậy ta có: 3 2 1 3   . S 4 9  2 2 6  3
Cách 2: Vì Parabol  P cắt đường tròn C tại điểm chính giữa của cung thuộc góc phần tư
thứ nhất có tọa độ là A2;2 . Xét đường thẳng d : y  x thì 2 2 2 2 3  x   x x  4 6  4
S  2  2 x  dx  2  2    2   . 1  2   2 6  3 3 0 0 4 18 4 S 8 S 6       . 2 1 3 3 Trang106   Khi đó S 3 2 1  . S 9  2 2
Câu 186: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 42] 3
Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y 
x và đường Elip có phương trình 2 2 x 2
 y  1 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H  bằng 4 y 2 x -3 -2 -1 1 2 3 -2 2  3 2   3 3 A. . B. . C. . D. . 6 3 4 4 Lời giải Chọn A
+) Phươngpháp: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f x , đồ b
thị y  g  x và các đường thẳng x  a ; x  b a  b là S  f
 x gx dx. a
+) Cách giải: Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và Elip đã cho là 2 x 3 4  x  1  4 2
3x  x  4  0 suy ra x  1  . 4 4 2 x 2 x Phương trình 2
 y  1  y   1
. Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn 4 4 3 2 x bởi parabol 2 y 
x , đồ thị hàm số y  1
và các đường thẳng: x  1  ; x 1. 2 4 Trang107 4
Vì parabol và Elip đều đối xứng qua Oy nên diện tích hình phẳng 3 H  bằng 1 1 2 2  x 3x  1 2 1 x 1 3 3x S 2 2 2       x   2 1
dx  3 x dx    4  x dx   3  I  , H  2 1 d  4 2  4 3 3 0   0 0 0 0 y 1 1 - 3 O 3 với 2 I  4  x dx -8  , -6 -4 -2 2 4 6 8 0 x -1    2 
Đặt x  2sint , t  0; 
 suy ra dxx  2cost dt ; x  0 t  0 ; x  1 t   2  y = - -2 3 y = - 4 - x2 6    -3  6 6 6 6  1   3 2
I  2 cos t 4  4sin t dt  2  4cos t dt   2
 -41cos2tdt  2 t  sin2t      2  3 2 0 0 0 0    Do đó 3  S   2 3  . Chọn A. H  3 6 6
Câu 187: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
x  3y  0 và đường tròn có phương trình 2 2
x  y  4 (hình vẽ). Diện tích của  H  bằng 4  3 3 2  3   3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường đã cho là 4 x 2 x   4  4 2
x  9x  36  0 suy ra x   3 . 9 Phương trình 2 2
x  y  4  2
y   4  x . Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn Trang108 2
y   4  x  2  x y   bởi các đường:  3
.Vì  H  đối xứng qua Oy nên x   3  x  3 3 2 x 3 2  x  3 3 2 x 2 S 2 2     x x   2 4  x  dx     2 4  x dx  2 dx   H  2 4 d 3  3  3 0 0 0 0  3 3  1  3  2x   4 t  sin 2t    4 3  . Chọn A.  2  9 3 0 0
Câu 188: Tính diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi parabol 2
y  4x  x và tiếp tuyến với  5 
parabol kẻ từ điểm M ;6   .  2  9 9 3 4 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 Lời giải Trang109 Chọn A   Phương trình tiế 5
p tuyến với parabol đã cho kẻ từ điểm M ;6 
 là d : y  2x 1 và  1 2  d : y  4  x 16 . 2
Chia hình phẳng  H  thành hai hình lần lượt giới hạn bởi y  2x 1 y  4  x 16   2
y  4x  x  2
y  4x  x     H :   và  H :  . 2  1  x 1 5  x   5  2 x    2 x  4 5 2 4 Suy ra 2 2  S  S  S
 2x 1 4x  x dx  4
 x 16  4x  x dx   H   1 H  H2 1 5 2 5 5 4 2 4 x  3 1 x  43 2   9 x  2
1 dx  x  42 dx    . Chọn A. 3 3 4 1 5 5 1 2 2
Câu 189: [Chuyên Lương Văn Chánh, Long An- L2- năm 2018] Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (
 x) liên tu ̣c trên R và đồ thị của hàm số y  f (x) cắt tru ̣c hoành ta ̣i điểm có hoành đô ̣
a, b, c, d (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trang110
A. f (c)  f (a)  f (b)  f (d ) .
B. f (a)  f (c)  f (d )  f (b) .
C. f (a)  f (b)  f (c)  f (d ) .
D. f (c)  f (a)  f (d )  f (b) . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S , S lần lươ ̣t là diê ̣n ti
y  f  x , trục Ox từ trái 1 2 3
́ch hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS ( ) sang phải. Ta có: b + S  0  0  f (
 x) dx  0   f (b)  f (a)  0  f (a)  f ( ) b , (1).  + 1     a b c S  S  0  f (  x) dx  f (
 x)  0 dx  f (a)  f (b)  f (c)  f (b)  f (a)  f (c),(2).   1 2     a b c d + S  S  f (
 x)  0 dx  0  f (x) dx  f (c)  f (b)  f (c)  f (d)  f (d)  f (b),(3).   2 3     b c
Từ (1),(2),(3) ta có f (c)  f (a)  f (b)  f (d).
Phân tích: Ý tưởng của bài toán dựa trên sử dụng ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Trang111
Câu 190: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f (
 x) liên tu ̣c trên R và đồ thị của hàm số y  f (x) cắt tru ̣c
hoành tại điểm có hoành độ a,b, c (hình bên). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. f (c)  f (a)  f (b) . B. f (c)  f (b)  f (a) .
C. f (a)  f (b)  f (c) . D. f (b)  f (a)  f (c) . Lời giải Chọn A.
Gọi S , S lần lươ ̣t là diê ̣n ti
y  f  x , trục Ox từ trái 1 2
́ch hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS ( ) sang phải. Ta có: b + S  0  0  f (
 x) dx  0   f (b)  f (a)  0  f (a)  f ( ) b , (1).  + 1     a b c S  S  0  f (  x) dx  f (
 x)  0 dx  f (a)  f (b)  f (c)  f (b)  f (a)  f (c),(2).   1 2     a b
Từ (1),(2) ta có f (c)  f (a)  f (b).
Câu 191: [Chuyên Thái Bình Lần 4, năm 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn  x  3  ; 
3 và đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ bên. Biết f  
1  6 và g  x  f  x  2 1  . 2
Kết luận nào sau đây là đúng?
A.Phương trình g  x  0 có đúng hai nghiệm thuộc  3  ;  3 . Trang112
B.Phương trình g  x  0 có đúng một nghiệm thuộc  3  ;  3 .
C. Phương trình g  x  0 không có nghiệm thuộc  3  ;  3 .
D. Phương trình g  x  0 có đúng ba nghiệm thuộc  3  ;  3 . Lời giải Chọn B. 2 (x 1)
g(x)  f (x) 
 g '(x)  f '(x)  (x 1). 2
Ta thấy đường thẳng y  x  1 là đường thẳng đi qua các điểm  3  ;  2 ,1;  2 ,3;  4 .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y  f (
 x) ,đường thẳng y  x 1, x  3, x 1.
Gọi S 'là diện tích hình phẳng giới ha ̣n bởi ĐTHS y  f (x) , đường thẳng y  x 1, x 1, x  3. Do f   1  6  g   1  4. 1 Ta có: S  4  g (
 x)dx  4  g(1)  g( 3  )  4  g( 3  )  0.  3  3
S '  4   g (
 x)dx  4  g(1)  g(3)  4  g(3)  0.  1
Từ đồ thị hàm số y  f   x và đường thẳng y  x  1 cùng với các kết quả trên ta có bảng biến thiên sau: x 3  1 3 g (  x) 0 0 0 + - g(x) 4 g(3)  0 g (3)  0
Từ bảng biến thiên ta có phương trình g  x  0 có đúng một nghiệm thuộc  3  ;  3 .
Câu 192: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn 2 y 
2  x và đường thẳng d đi qua hai điểm A 2;0 và B 1; 
1 (phần tô đậmnhư hình vẽ ) Trang113   2 2 3  2 2   2 2 3  2 2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn D. Cách 1:
Phương trình đường thẳng AB : y   2   1 x  2  2 .
Gọi S là diện tích cần tính, ta có 1
S    2  x   2   1 x  2  2  1 1 2 2 dx  2  x dx  
  2  1x 2 2dx.  2  2  2 1 + Tính 2 S  2  x dx  : 1  2    
Đặt x  2 sin t,t   ; 
 . Ta có dx  2 cos d t t .  2 2   
Đổi cận x   2  t   , x  1 t  . 2 4     4 4 4 4 Suy ra 2 2 S  2  2sin t . 2 cos d t t  2 cos t cos d t t  2 cos d t t  1 cos 2t dt     1           2 2 2 2  4  1  3 1  t  sin 2t     .  2   4 2  2     S    1 1
 2  1x2 2 2 1 2 1 2 dx  
x  2  2 x   . 2     2 2    2  2 3  2 2
Vậy S  S  S  . 1 2 4
Cách 2: Sử dụng MTCT.
Phương trình đường thẳng AB : y   2   1 x  2  2 . 1
Gọi S là diện tích cần tính, ta có S    2
2  x   2  
1 x  2  2 dx .  2
Sử dụng MTCT, tính S , gán giá trị vào biến A . Lấy giá trị A trừ đi các kết quả trong các đáp
án, rồi chọn đáp án có kết quả phép trừ bằng 0 . Đó là đáp án D . Trang114 3
Câu 193: Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2 y 
x và nửa đường elip có phương 2 1 trình 2 y  4  x ( với 2
  x  2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi S là diện 2 a  b 3
tích của, biết S 
( với a , b , c   ). Tính P  a  b  c . c y 1 O x 2  2 A. P  9 . B. P  12 . C. P  15 . D. P  17 . Lời giải Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là: 2 2 3x  4  x 4 2
 3x  x  4  0  x  1  1 1 2    3 1  3 2 3x 1  3  Vậy 2 2 S  2 x dx  4  x dx    2        2 4 x dx   2  S    2 2   6 2  1 6 0 1  1    0  2 Trong đó 1 2 S  4  x dx  . 1 2 1
Đặt x  2sint  dx  2cos d t t . 
Đổi cận x 1  t  . 6 
x  2  t  . 2    2 2 2  1   3 Vậy 2 S  2 cos tdt 
 1 cos2tdt  t  sin2t   . 1      2   3 4 6 6 6  4  3  4  3 Suy ra S  2     . 12   6
Câu 194: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018]Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên đoạn  3  ;  3 .
Biết rằng diện tích hình phẳng S , S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x và đường thẳng 1 2
y  x 1 lần lượt là M ; m . Trang115 3 Tính tích phân f
 xdx bằng : 3 
A. 6  m  M .
B. 6  m  M .
C. M  m  6 .
D. m  M  6 . Lời giải Chọn D.
Chia diện tích hình phẳng S là M  S  S như trong hình vẽ mô tả dưới đây. 1 11 12 y B 2 S 12 C A 1 3 3  O M N x x 0 S 11 2  S Q 2 4  y  x 1 P f  x
Gọi x là hoành độ giao điểm của đồ thi C hàm số y  f  x với trục Ox . 0 3 0 x 3 Ta có f
 xdx  f
 xdx f
 xdx S S S S  S  m  A  BC 11  12 C  MQ   MNPQ  3  3  0 x
 2  S  S  2 6 m   mM  . Vậy chọn D. 11   12   6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản dựa vào diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cho b
trước. Nếu xác định được M , m và cho trước g  x ta có thể tính được f  xdx  . a Trang116
Câu 195: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [- 5; ]
3 . Biết rằng diện tích hình
phẳng S ,S ,S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y g(x) 2 =
= ax + bx + c 1 2 3 3 lần lượt là , m , n p . Tích phân ( ) ò f x dx bằng - 5 208 208 208 208
A. m  n  p 
B. m  n  p 
C. m  n  p 
D. m  n  p  45 45 45 45 Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm y  g  x đi qua các điểm O0;0, A 2
 ;0, B3;2 nên  2 a   c  0 15    4 2 4
4a  2b  0  b    g x 2  x  x .  15  15 15 9a  3b  2  c  0  2  0 3
m  n  p   f
  x gxdx g 
  x f xdx  f 
 x gxdx  5  2  0 3 3  f
 xdx g  xdx. 5  5  3 3
 f xdx  m  n  p  g x 208
dx  m  n  p    45 5  5  y 5 y= g(x) S3 2 S1 -1 -5 -2 O 2 3 x S2 y= f(x) a  4  Vậy b   1
  P  a  b  c  9. c  6  Trang117
Câu 196: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật  H  có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh
trên một đường chéo là A 1  ;0 và C  ; m
m  với m  0. Biết rằng đồ thị hàm số y  x chia
hình  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . 1 A. m  9 . B. m  4 . C. m  . D. m  3 . 2 Lời giải
Phân tích: Ta cần tìm tọa độ điểm B và tính được diện tích một phần mà đường y  x chia hình  H  . Chọn D
Từ giả thiết suy ra B  ;0 m  Ox .  S  m   1 m . ABCD
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x; x  0; x  ; m y  0 . Suy ra 1 m m 2x x 2m m S  xdx    . 1 3 3 0 0 1 2m m m  1 m
Theo giả thiết ta có S  S    m  3 . 1 2 ABCD 3 2 Câu 197: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thang vuông ABCD có A 1  ;0 và B  ; m 0;C  ; m
m 1; D 1  ;5 với m  1
 . Biết rằng đồ thị hàm số y  x 1 chia hình
H  thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tìm m . A. m 12 . B. m  6 . C. m  8 . D. m 10 . Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Sau đó dùng tích phân để
tính phần diện tích đó. Trang118 Chọn C 1 S  AD  BC AB  m   m  . ABCD   1  1 5  1 2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 1; x  1  ; x  ; m y  0 . Suy ra 1 m m 2 x   1 x 1 2m   1 m 1 S  x 1dx    . 1 3 3 1  1  1 2m   1 m 1 1 1
Theo giả thiết ta có S  S 
 . . m 1  5 m 1 . 1 ABCD    2 3 2 2
 m 1  3  m  8 . x  2
Câu 198: Trong mặt phẳng Oxy A0; 2 , và B  ;0
m  với m  2 . Biết rằng đồ thị hàm số y  (C) x 1 x  2
chia tam giác OAB thành hai phần. Tính diện tích của phần giới hạn bởi y  ; y  0 và x 1
đường thẳng AB theo m . 2 3m  4 m 2 m  4 m 2 m  4 m 2 m  4 m A.  ln . B.  ln . C.  ln . D.  ln . 8 2 8 2 8 2 8 2 Lời giải Phân tích:
Trước hết cần vẽ đúng hình và xác định đúng phần diện tích cần tính. Chú ý phần diện tích cần
tìm gồm hai phần và tam giác vuông và hình thang cong. Chọn B Trang119 Ta có phương trình đườ x y 2 ng thẳng AB là:   1  y   x  2 . m 2 m
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB : x  2 2  
x  2 (1) ( điều kiện x  1). x 1 m
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương với: x  0 2 2x
m 2 x 0      m  2  x   2
Với x  0  y  2  E 0; 2  A . m  2 m  2
 m  2 m  2  Với x   y   F ;   . 2 2  2 2  x  2 2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ; y  
x  2; y  0 . Suy ra 1 x 1 m m2 2  x  2  m   m  m  m S  dx  S  x  x   m     . F  HB  m ln 1  2 2 1 2 2 4 2 . . ln 1   2 x 1 2  2  2 8 2 2
Câu 199: Gọi H là tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy thỏa mãn 2z  z  3
và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H 3 3 A. 3 . B. . C. . D. 6 . 4 2 Lời giải Chọn C Trang120
2z  z  3  2 x  yi   x  yi  3  x   y2 2 3  3 2 2 2 x x y 2 3  x 1 1 2 2 2
 x  9y  3   3y 1   1 2  y  2 2  
3  x  y  3  x 3 3 1 9 3 3 3 2 3  x
Mà y không âm nên 0  y  9 3 1 Diện tích cần tìm 2 S  3  x dx   3 3
Đặt x  3 sin t  dx  3 costdt  
Cận x   3  t  
; x  3  t  2 2     3 3  1  2 2 S 
3  3sin t 3 cos tdt  2 2  2      3cos tdt   2  1 cos 2t   dt t sin 2t     2  2  2   2 2 2  2 3     3        2  2  2  2
Câu 200: Cho hình D 2
giới hạn bởi các đường y  x  2 và y   x . Khi đó diện tích của hình D là: 13 7 7 13 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình: x 1 2
x  2   x  x 1   x  1
Khi đó diện tích của hình D được xác định bởi: 1 0 1 2 S 
x  2  x .dx 2 2 
x  x  2 .dx 
x  x  2 .dx      1  1  0 0 1 2 3 2 3  x x   x x   7 7 7  
 2x    2x    (đvdt)  2 3   2 3  6 6 3 1  0 Trang121

TOP 200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và Ứng dụng có đáp án và lời giải

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hình nón là gì? Công thức tính diện tích xung quanh hình nón | Toán 12

Đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025 môn Toán

Đề thi thử TN THPT 2025 lần 1 môn Toán trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh

Lời giải chi tiết đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025

Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Giang