-
Thông tin
-
Hỏi đáp
TOP 5 đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2023 phát triển từ đề tham khảo (có lời giải chi tiết)-Tập 1
TOP 5 đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2023 phát triển từ đề tham khảo có lời giải chi tiết-Tập 1. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 94 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Toán 1.8 K tài liệu
TOP 5 đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2023 phát triển từ đề tham khảo (có lời giải chi tiết)-Tập 1
TOP 5 đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2023 phát triển từ đề tham khảo có lời giải chi tiết-Tập 1. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 94 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Đề thi THPTQG môn Toán năm 2023 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 1.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
ĐỀ 1
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MÔN: TOÁN
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1:
Trên mặt phẳng toạ độ, cho số phức z = 3 − 4i . Môđun của z bằng A. 16
− . B. 5 . C. 25 . D. 7 . Lời giải Chọn B
Môđun của z = 3− 4i bằng + (− )2 2 3 4 = 25. Câu 2:
Trên khoảng (0;+ ) , đạo hàm của hàm số y = log x là 3 1 1 ln 3 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = − . x x ln 3 x x ln 3 Lời giải Chọn B 1
Ta có y = (log x = . 3 ) xln3 Câu 3:
Trên khoảng (0;+ ) , đạo hàm của hàm số y = x là − − 1 − A. 1 y = x . B. 1 y = x . C. 1 y = x = . D. y x . Lời giải Chọn A Ta có = ( ) 1 y x = x − . Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x −7 2 4 là A. ( 3 − ;3) . B. (0;3) . C. (− ; 3) . D. (3; + ) . Lời giải Chọn A 2 2 Có : x - 7 2 < 4 x - 7 2 Û 2 < 2 2 Þ x - 7 < 2 2
Û x < 9 Þ x Î (- 3; ) 3 . Câu 5: Trang 1 9
Cho cấp số nhân (u với u = và q = 3. Giá trị u bằng n ) 3 2 1 3 1 81 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = 2 . 1 2 1 2 1 2 1 Lời giải Chọn B 9 u 1 Ta có 2 3 2
u = u .q u = = = . 3 1 1 2 2 q 3 2 Câu 6:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 2x + y − z + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n = 2;1; 1
− . B. n = 2;1;1 . C. n = 1;2; 1
− . D. n = 1; 1 − ;2 . 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 1 ( ) Lời giải Chọn A Câu 7: + Tung độ x 2
giao điểm của đồ thị hàm số y = với trục tung là x −1 1
A. y = 2 . B. y = 2
− . C. y =1. D. y = . 2 Lời giải Chọn B x + 2
Cho x = 0 Þ y = - 2 . Vậy tung độ giao điểm của đồ thị hàm số y =
với trục tung là y = 2 − . x −1 Câu 8: 4 4 4 Nếu f
(x)dx = 2023 và g
(x)dx = 2022 thì f
(x)− g(x)dx bằng 1 − 1 − 1 −
A. 5. B. 6. C. 1. D. 1 − . Lời giải Chọn C 4 4 4 Ta có: f
(x)− g(x)dx= f
(x)dx− g
(x)dx = 2023−2022 =1. 1 − 1 − 1 − Câu 9:
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên Trang 2 x − 3 A. 4 2
y = x − 3x + 2 . B. y = . C. 2
y = x − 4x +1. D. 3
y = x − 3x − 5 . x −1 Lời giải Chọn B
Đồ thị đã cho thuộc dạng đồ thị hàm phân thức hữa tỷ bậc nhất nên dễ dàng loại 3 đáp án A, C, D (hàm đa thức). Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ầu 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 6 y − 4z − 2 = 0 . Xác định tọa độ tâm I và
bán kính R của mặt cầu (S ) A. I (1; 3
− ;2), R =16 . B. I(1; 3
− ;2), R = 4 . C. I( 1 − ;3; 2
− ), R =16. D. I( 1 − ;3; 2 − ), R = 4. Lời giải Chọn B có 2 2 2 2 2 2
(S) : x + y + z − 2x + 6 y − 4z − 2 = 0 (x −1) + ( y + 3) + (z − 2) = 16 .
Vậy mặt cầu (S ) có tâm I (1; 3
− ;2) và bán kính R = 16 = 4 . Câu 11:
Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng (P) : x + y − z −11 = 0 và (Q) : 2x + 2y − 2z + 7 = 0 bằng
A. 0 . B. 90 . C. 180 . D. 45 . Lời giải Chọn A n
= (1;1;− ) n = (2;2; 2 − . Q ) ( ) 1 , P ( ) Do ( n và n
là hai vectơ cùng phương nên góc giữa ( P) và (Q) bằng 0 . P) (Q) Câu 12: 2
Cho số phức z = (1+ i) (1+ 2i) . Số phức z có phần ảo là A. 2 . B. 4 . C. 2i . D. 4 − . Lời giải Chọn A Trang 3 z = ( + i)2 1
(1+ 2i) = 2i(1+ 2i) = 4 − + 2i
Vậy số phức z có phần ảo là 2. Câu 13:
Cho khối chóp diện tích đáy 2
B = 4a và thể tích 3
V = 8a . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
A. 2a . B. 6a . C. 4a . D. 24a . Lời giải Chọn B 3 Từ công thức 1 3V 3.8a V = . . B h h = = = 6a . 2 3 B 4a Câu 14:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = .
a Tính thể tích V của khối chóp S.AB . C 2 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 V =
a . B. V = . C. V = . D. V = 3 12 3 4 . Lời giải Chọn B 2 a 3
Ta có: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a nên S = . ABC 4 2 3 1 1 a 3 a 3
Thể tích hình chóp là: V = S . A S = = S.ABC 3 ABC 3 4 12 Câu 15:
Cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S ( ;
O R) theo thiết diện là một đường tròn. Gọi d là khoảng cách từ O đến
(P). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. d = R . B. d R . C. d = 2R . D. d R . Lời giải Chọn D
Mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu S ( ;
O R) theo thiết diện là một đường tròn suy ra d R . Câu 16:
Số phức liên hợp của số phức z = 7 − − 2i là
A. z = 2 − 7i . B. z = 7 − 2i . C. z = 7
− + 2i . D. z = 7 + 2i . Lời giải Chọn C Trang 4
Số phức liên hợp của số phức z = 7
− − 2i là z = 7 − + 2i . Câu 17:
Một hình nón có o bằng a 3 và bán kính đáy bằng a . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: A. 2 2 a . B. 2 3 a . C. 2 a . D. 2 3 a . Lời giải Chọn C Hình nón có đường sinh 2 2
l = h + r = (a )2 2 3 + a = 2a .
Diện tích xung quanh của hình nón là S = rl 2 = 2a . xq Câu 18: x −1 y − 2 z + 3
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Điểm nào dưới đây thuộc d ? 2 1 − 2 − A. P (1;2; )
3 . B. Q(1;2;− )
3 . C. N (2;1;2) . D. M (2; 1 − ; 2 − ). Lời giải Chọn B
Lần lượt thay tọa độ của 4 điểm đã cho vào phương trình đường thẳng d , ta thấy tọa độ của điểm Q(1;2;− ) 3
thỏa mãn. Vậy điểm Q(1;2;− )
3 thuộc đường thẳng d. Câu 19: Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là A. ( 1 − ;2) . B. (0 )
;1 . C. (1; 2) . D. (1;0) . Lời giải Chọn B Trang 5
Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:
Vậy đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là (0 ) ;1 . Câu 20: x + Đồ 1 thị hàm số y =
(C) có các đường tiệm cận là x − 2 A. y = 1 − và x = 2 .
B. y = 2 và x = 1 .
C. y =1 và x = 2 .
D. y =1 và x = 1 − . Lời giải Chọn C
Tập xác định D = \ 2 . x +1 x +1 Ta có lim y = lim = + ; lim y = lim
= − nên x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + + − − x→2 x→2 x − 2 x→2 x→2 x − 2 x +1 Mặt khác lim y = lim
=1 nên y =1là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→
x→ x − 2 Câu 21: − +
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 3x 3 2 − 2 0 là
A. (1; 2) . B. 1;2. C. 2 − ; 1 . D. 1 − ; 2 . Lời giải Chọn B
Bất phương trình tương đương: 2x−3x+3 1 2 2 2
x −3x + 2 0 1 x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 1;2 . Câu 22:
Cho tập hợp A có 10 phần tử. Số tập con gồm ba phần tử của A bằng
A. 225 . B. 30 . C. 120 . D. 105 Lời giải Chọn C
Số tập hợp con của A là 3 C = 120 . 10 Câu 23: Trang 6 1 Cho = +
dx F x C . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 ( ) x 2 1 A. F ( x) 1
= − . B. F(x) = − . C. F(x) =
. D. F( x) 2 = ln x . x 3 x 2 x Lời giải Chọn C 1 1 Ta có: = +
dx F x C suy ra F(x) = . 2 ( ) x 2 x Câu 24: 1 1 3 f
(x)−2x dx =1 I = f
(x)d .x Cho 0 . Tính 0 5 8 2 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 1 có: 3 f
(x)−2x dx = 3f
(x) dx− 2xdx =3 f
(x)dx− 2xdx =3I −1. 0 0 0 0 0 1 2 Theo giả thiết 3 f
(x)−2x dx =1
nên ta có: 3I −1 = 1 I = . 3 0 Câu 25: 1
Cho hàm số f ( x) 2 =
+ x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 cos x A. f (x) 3
dx = −tan x + x + C. B. f (x) 3
dx = tan x + x + C. x x C. f (x) 3 dx = − tan x +
+ C. D. f (x) 3 dx = tan x + + C. 3 3 Lời giải Chọn D f (x) 3 1 x 2 dx =
+ x dx = tan x + + C. 2 cos x 3 Câu 26:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịiến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1 − ;0) B. ( ;0
− ) C. (1;+) D. (0 ) ;1 Trang 7 Lời giải Chọn D
ựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịiến trên các khoảng (0 ) ;1 và (− ; − ) 1 . Câu 27:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x) là 8
A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. . 3 Lời giải Chọn A
Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x) là 4 . Câu 28:
Với a là số thực dương tùy ý, log 8a bằng 2 ( ) 1
A. + log a . B. 3log a . C. (log a . D. 3 + log a . 2 )3 2 3 2 2 Lời giải Chọn D
Ta có log 8a = log 8 + log a = 3 + log a . 2 ( ) 2 2 2 Câu 29:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2
y = x và y = 3x . 45 9 81 81 A. . B. . C. . D. . 2 2 10 10 Lời giải Chọn B x = 0
Xét phương trình hoành độ giao điểm : 2 2
x = 3x x − 3x = 0 x = 3 3 9 Diện tích hình phẳng : 2 S =
x − 3x dx = . 2 0 Câu 30:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a
(tham khảo hình bên). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng Trang 8
A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 . Lời giải Chọn B
Vì SA ⊥ (ABC )
D nên SA ⊥ BC .
Mặt khác, theo giả thiết AB ⊥ BC . Do đó BC ⊥ (SA )
B nên SB ⊥ BC .
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC)và (ABC )
D là góc SBA . AB a 1 Ta có cos SBA = = = SBA = 60 . SB 2a 2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC ) D bằng 60 . Câu 31:
Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 f ( x) −1 = m có ba nghiệm thực phân biệt?
A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B m +
Ta có: f ( x) − = m f ( x) 1 2 1 = ( ) 1 2 +
Số nghiệm phương trình ( ) m
1 bằng số giao điểm của đồ thị y = f ( x) và đường thẳng 1 d : y = 2 Trang 9
Dựa vào hình vẽ, ta có: + Phương trình m
2 f ( x) −1 = m có ba nghiệm đường thẳng 1 d : y =
cắt đồ thị y = f ( x) tại ba điểm phân biệt, 2 + tức là: m 1 3 − 1 7 − m 1. 2
Mà m nguyên dương nên không có giá trị nào của m thỏa mãn. Câu 32: Cho hàm số 2 5
f (x) xác định trên
và có đạo hàm f ( x) = (2 − x)( x + ) 1 ( x − )
1 . Hàm số đã cho nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây? A. ( ;2
− ) B. (2;+) C. ( 1
− ;2) D. (1;+) . Lời giải Chọn B x = 2
f ( x) = 0 (2 − x)( x + )2 1 ( x − )5 1 = 0 x = 1 − x =1
Bảng xét dấu f ( x)
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 − và (2;+). Câu 33:
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số ằng 11 1 265 12 A. B. C. D. 23 2 529 23 Lời giải Chọn A Trang 10
Trong 23 số nguyên dương đầu tiên có 12 số lẻ và 11 số chẵn.
Chọn 2 số khác nhau từ 23 số, có 2
C cách chọn nên số phần tử không gian mẫu là n() 2 = C . 23 23
Gọi A là biến cố: “ Chọn được hai số có tổng là một số chẵn ”.
Để hai số được ó tổng là một số chẵn thì hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
+ Trường hợp 1: Chọn hai số chẵn khác nhau từ 11 số chẵn, có 2 C cách chọn. 11
+ Trường hợp 2: Chọn hai số lẻ khác nhau từ 12 số lẻ, có 2 C cách chọn. 12 Do đó n( A) 2 2 = C + C . 11 12 2 2 n A C + C 11
Xác suất cần tính là P ( A) ( ) 11 12 = = = . n () 2 C 23 23 Câu 34: x = 3 − + 2t
Hình chiếu của điểm A(2; 3
− ;5) lên đường thẳng d : y = 2
− + 3t có tọa độ là z =1+ t 10 5 25 10 5 25 A. − ; − ; . B. − ; ; . C. 7 14 14 7 14 14 31 5 25 − 10 5 25 ; ; . D. − ; ; − . 14 14 14 7 14 14 Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d .
Ta có: H d H ( 3 − + 2t; 2
− +3t;1+t) ; AH = (2t −5;3t +1;t − 4) . Ta có: n = (2;3; )
1 là một vecto chỉ phương của đường thẳng d .
Suy ra AH n = ( t − ) + ( t + ) + (t − ) 11 . 0 2 2 5 3 3 1 1 4 = 0 t = . 14 10 5 25 Suy ra H − ; ; . 7 14 14 Câu 35:
Cho số phức z thỏa mãn ( z + 4i)( z − 4) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu
diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng
A. R = 2 2. B. R = 4. C. R = 2. D. R = 2. Lời giải Chọn A
Giả sử z = x + yi với , x y . Ta có:
(z + 4i)(z − 4) = x + (4− y)i
( x − 4) + yi = x
( x − 4) − y (4 − y) + xy +
(x − 4)(4− y)i Trang 11 2 2
là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x( x − 4) − y (4 − y) = 0 ( x − 2) + ( y − 2) = 8 .
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng R = 2 2 . Câu 36:
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ( A 1;2;0), (
B 1;1;2) và C(2;3;1) . Đường thẳng đi qua A và song song với
BC có phương trình là x −1 y − 2 z x −1 y − 2 z x +1 y + 2 z A. = = . B. = = . C. = = . 1 2 1 − 3 4 3 3 4 3 x +1 y + 2 z D. = = . 1 2 1 − Lời giải Chọn A
Gọi d là đường thẳng qua A(1;2;0) và song song với BC . x −1 y − 2 z Ta có BC = (1;2;− )
1 là véc tơ chỉ phương d : = = 1 2 1 − . Câu 37:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(3;− 2; − 5) . Điểm đối xứng với điểm A qua trục Oy có tọa độ là: A. ( 3
− ;2;5). B. (3; 2;−5). C. ( 3
− ;−2;5). D. (3; 2;5). Lời giải Chọn C
Tọa độ hình chiếu của điểm A(3;− 2;− 5) trên trục Oy là (0;− 2;0) . Điểm đối xứng với A qua trục Oy có tọa độ là ( 3 − ;−2;5). Câu 38:
CD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh AB = 2 ,
a BC = 2a 2 , OD = a 3 . Tam giác SAB nằm trên mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cá từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) .
A. d = a .
B. d = a 2
C. d = a 3 .
D. d = 2a . Lời giải Chọn B Trang 12
+) Ta có (SAB) ⊥ ( ABCD) , kẻ OP ⊥ (SAB) d (O,(SAB)) = OP . AB = 2a
+) Từ BC = 2a 2 AB + AD = 4a + 8a = 12a = (2OD)2 2 2 2 2 2 2 = BD OD = a 3 ⊥ OP AB BAD
vuông tại A, trên ( ABCD) , ta có OP / / AD . AD ⊥ AB 1 1
Mà O là trung điểm của BD OP = AD =
.2a 2 = a 2 d ( ,
O (SAB)) = a 2 2 2 Câu 39: 2 log 6 x 1 − log 5
Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ( ) 5 (2x) 3 9 .
A. 15 . B. 6 . C. 80 . D. 91. Lời giải Chọn D
Điều kiện: x 0 .
Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương: 2 log (6x) 1 − 5 (2x)log35 9 2
log 6x −1.log 5 log 5.log 2x 9 ( ) 3 3 3 ( ) 1 ( x)− − ( x) 1 log 3.2 1 log 2 0 log (2x) 2 2
+ log 3 −1− log 2x 0 3 3 3 3 3 ( ) 4 4 1 1 3 2
log 2x − log 2x − 0 1 − log 2x 3 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 4 2 4 1 1 x 2x 6 1 27 3 x . 27 6 2
2x 27 x 2
Các nghiệm nguyên của bất phương trình là 1;2;...;1 3 .
Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng 91. Câu 40: Trang 13 4
Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 ' = 2sin x +1, x , khi đó f
(x)dx bằng 0 2 +16 − 4 A. . 16 2 − 4 B. . 16 2 +15 C. . 16 2 +16 −16 D. . 16 Lời giải Chọn A 1
Có f ( x) = ( 2 2sin x + )
1 dx = (2 − cos2x) dx = 2x − sin 2x +C. 2
Vì f (0) = 4 C = 4 Hay f ( x) 1
= 2x − sin 2x + 4. 2 4 4 1 Suy ra f
(x)dx = 2x − sin2x +4 dx 2 0 0 2 2 1 1 16 4 2 x cos 2x 4x 4 + − = + + = + − = . 4 16 4 16 0 Câu 41:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu? A. 2 2 2
x + y + z + x − 2 y + 4z − 3 = 0 . B. 2 2 2
2x + 2 y + 2z − x − y − z = 0 . C. 2 2 2
2x + 2 y + 2z + 4x + 8 y + 6z + 3 = 0 . D. 2 2 2
x + y + z − 2x + 4 y − 4z +10 = 0 . Lời giải Chọn D Phương trình 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu 2 2 2
a + b + c − d 0 . Câu 42:
Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 2i = 1. Số phức z − i có môđun nhỏ nhất là:
A. 5 − 2 . B. 5 −1. C. 5 +1 . D. 5 + 2 . Lời giải Chọn B
Đặt w = z −i z = w+i . Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn hình học của số phức . w
Từ giả thiết z − 2 − 2i =1 ta được: Trang 14 2 2
w + i − 2 − 2i = 1 w − 2 − i = 1 ( x − 2) + ( y − )
1 i = 1 ( x − 2) + ( y − ) 1 = 1.
Suy ra tập hợp những điểm M ( ;
x y) biểu diễn cho số phức w là đường tròn (C ) có tâm I (2; ) 1 bán kính R = 1.
Giả sử OI cắt đường tròn (C) tại hai điểm ,
A B với A nằm trong đoạn thẳng OI . Ta có w = OM .
Mà OM + MI OI OM + MI OA + AI OM OA .
Do đó w nhỏ nhất bằng OA = OI − IA = 5 −1 khi M . A Câu 43: x + 1 y − 3 z
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : =
= đi qua điểm nào dưới đây? 3 −1 2 A. M ( ; 3 − 0 ; 1 ). B. M ( ; 3 − 2 ; 1 ). C. M ( 1 − ;3;0) . D. M ( ; 1 − 0 ; 3 ). Lời giải Chọn C −1+1 3 − 3 0 Ta có: = = Suy ra điểm M(− 0 ; 3 ; 1
) thuộc đường thẳng 3 −1 2 Câu 44:
Hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( x) + x f ( x) + f ( x) 3 2 .
= 4x − 6x − 2x + 4 . Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x) , y = f ( x) ?
A. S = 8 . B. S = 4 . C. S = 8 . D. S = 4 . Lời giải Chọn A
Ta có f ( x) + .
x f ( x) + f (x) = f (x) + (x + ) 1 f (x) = ( x + ) 1 f (x) 3 2
Nên f ( x) + x f ( x) + f ( x) 3 2 .
= 4x − 6x − 2x + 4x − 6x − 2x + 4 = ( x + ) 1 f (x) 4
(x + ) f (x) 4 3 2 1
= x − 2x − x + 4x + C ( ) 1 Thay x = 1 − vào ( )
1 ta được C − 2 = 0 C = 2 . Suy ra ( x + ) f ( x) 4 3 2 1
= x − 2x − x + 4x + 2 f (x) 3 2
= x −3x + 2x + 2
Khi đó f (x) 2
= 3x − 6x + 2 . Trang 15 x = 0 Xét phương trình 3 2 2 3 2
x −3x + 2x + 2 = 3x − 6x + 2 x − 6x +8x = 0 x = 2 x = 4 4 3 2
S = x − 6x + 8x dx = 8 0 Câu 45:
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 z − (m − ) 2
3 z + m + m = 0 có hai nghiệm phức z , z thỏa 1 2
mãn z + z = z − z ? 1 2 1 2
A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 8 . Lời giải Chọn B Ta có D = [- m- ]2 2 2 ( 3) - 4(m + )
m = - 3m - 10m + 9 - 5- 2 13 - 5+ 2 13 Trường hợp 1: 2
D ³ 0 Û - 3m - 10m+ 9 ³ 0 Û £ m £ (*) 3 3
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm thực z , z (nghiệm thực cũng là nghiệm phức có phần ảo bằng 0 ), 1 2
ìï z + z = m- 3 1 2 ï thỏa mãn í . ï z - z = D ï 1 2 ïî Suy ra 2
z + z = z - z Û m- 3 = D Û (m- 3) = D 2 2
Û (m- 3) = - 3m - 10m + 9 1 2 1 2 m é = 0 2
Û 4m + 4m = 0 Û ê đều thỏa mãn (*) m ê = - 1 ë é - 5- 2 13 m ê < ê Trườ 3 ng hợp 2: 2
D < 0 Û - 3m - 10m + 9 < 0 Û ê (**) ê - 5 + 2 13 m ê > êë 3
ìï z + z = m- 3 1 2 ï Khi đó ï
phương trình có hai nghiệm phức z , z , thỏa mãn í . 1 2
ï z - z = i D ï 1 2 ïî
Suy ra z + z = z - z 2
Û m - 3 = i D Û (m- 3) = - D 2 2
Û (m- 3) = 3m + 10m- 9 1 2 1 2 m é = 1 2
Û 2m + 16m- 18 = 0 Û ê đều thỏa mãn (**) m ê = - 9 ë
Vậy có 4 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 46: x = 1
Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng : y = 1− 2t , (t ) và đi qua z =1+t điểm A( 4 − ;3;2). Trang 16
A. 4x + 5y +10z −19 = 0 . B. 4x + 5y + z − 9 = 0 . Lời giải
Chọn A C. 5x + 4y + 3z −9 = 0 . D. 5x + 5y +10z −8 = 0 .
Đường thẳng đi qua điểm M (1;1; )
1 và có vectơ chỉ phương u = (0; 2 − ) ;1 . Ta có AM = (5; 2 − ;− ) 1 .
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và đi qua điểm A nên có một vectơ pháp tuyến là n = u
, AM = (4;5;10).
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 4( x + 4) + 5( y − )
3 +10( z − 2) = 0 4x + 5y +10z −19 = 0. Câu 47:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log ( 2
x − 5x + m log x − 2 có tập 3 ) 3 ( )
nghiệm khoảng (2;+) . Tìm khẳng định đúng.
A. S = (7;+) .
B. S = 6;+) . C. S = (− ; 4).
D. S = (− ;5 . Lời giải Chọn A x − 2 0 x 2 log ( 2
x − 5x + m log x − 2 . 3 ) 3 ( ) 2
x − 5x + m x − 2 2
m −x + 6x − 2 Bất phương trình log ( 2
x − 5x + m log
x − 2 có tập nghiệm khoảng (2;+) 3 ) 3 ( ) 2
m −x + 6x − 2 có nghiệm với mọi x(2;+). Xét hàm số 2
f (x) = −x + 6x − 2 trên (2;+)
Ta có f ( x) = 2
− x + 6, f (x) = 0 x = 3 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2
m −x + 6x − 2 có nghiệm với mọi x (2;+) m 7 . Câu 48:
Cho hình trụ có bán kính bằng 1 và chiều cao cũng bằng 1, hai đáy hình trụ là hai hình tròn tâm O và O . Một
mặt phẳng (P) không song song với trục của hình trụ cắt hai hình tròn đáy lần lượt theo hai dây cung AB và
CD . Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( P) , biết rằng ABCD là một hình vuông. 2 15 465 35 A. d = . B. d = . C. d = . D. d = . 4 10 31 14 Lời giải Trang 17 Chọn B A O H B K I D O' C
Gọi I là trung điểm của OO I là tâm của hình vuông ABCD .
Gọi H là trung điểm của AB . Kẻ OK ⊥ IH (K IH ) .
Ta có AB ⊥ OH và AB ⊥ OI AB ⊥ (OIH ) AB ⊥ OK .
Mà OK ⊥ IH OK ⊥ ( ABCD). Suy ra d ( ,
O ( P)) = OK . AB 2
Do I là tâm của hình vuông ABCD IA = . 2 2 1 5 AC 2.IA 5 2 2 2 Mà IA = IO + OA = +1 = AB = = = . 2 2 2 2 2 2 AB 5 3 Suy ra 2 2 OH =
OA − AH = 1 − = 1− = . 4 8 8 1 1 1 8 20 Ta có = + = 4 + = . 2 2 2 OK OI OH 3 3
Vậy d (O (P)) 15 , = OK = . 10 Câu 49:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2; − 3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + 9 = 0. Đường
thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u = (3; 4; − 4) cắt ( P) tại điểm B . Điểm M thay đổi trong ( P)
sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 . Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau? A. J ( 3
− ;2;7) . B. K (3;0;15). C. H ( 2 − ;−1; ) 3 . D. I ( 1 − ; 2 − ;3). Lời giải Chọn D Trang 18
- Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u = (3; 4; − 4) có phương trình là: x −1 y − 2 z + 3 = =
giao điểm của d và (P) là B = ( 2 − ; 2 − ; ) 1 . 3 4 4 −
- Do M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 nên M nằm trên mặt cầu (S ) đường kính AB . 1 41
Gọi E là trung điểm của AB E = − ;0; 1 − 2 AE = 2 4 (S) 2 2 2
: x + y + z + x + 2z − 9 = 0 .
- Lại do M (P) nên M nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng ( P) và mặt cầu (S ) , gọi là đường tròn (C) .
- Mặt khác B là điểm cố định trên đường tròn (C) nên độ dài MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn (C) .
- Gọi F là tâm của (C) F là hình chiếu vuông góc của E trên ( P) .
Đường thẳng EF nhận vectơ pháp tuyến n = (2;2;− )
1 của ( P) làm vectơ pháp tuyến 1 x + y z +1 2 5 EF : = = F = − ; 2 − ;0
(là giao điểm của (P) và EF ). 2 2 1 − 2
- Vì MB là đường kính của (C) nên M = ( 3 − ; 2 − ;− )
1 MB = (1;0;2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng
MB phương trình đường thẳng MB là: x = −2 + t y = −2 (t ) z =1+ 2t
- Trong các điểm đã cho ở các đáp án A, B, C, D chỉ có điểm I ( 1 − ; 2
− ;3) (đáp án D) thuộc đường thẳng MB . Câu 50:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a (− ;9 ) để hàm số 3
y = x + (a − ) 2
3 x +10 − a nghịch biến trên khoảng ( 1 − ;0) ?
A. 9. B. 11. C. 6. D. 10. Lời giải Trang 19 Chọn A Xét f ( x) 3 = x + (a − ) 2
3 x +10 − a f ( x) 2 ' = 3x + a −3.
Để y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( 1 − ;0) f '
( x) 0, x ( 1 − ;0) TH1: f (0) 0 a 3
x + a −3 0, x ( 1 − ;0) a Max ( 3 2 2 3 − x + 3) ( 1 − ;0)
a 10 a 10 2 2 1 0 − a 0 1 0− a 0 a − 10
Kết hợp với điều kiện a (− ;9
) ta có a =4;5;6;7; 8 → 5 giá trị. f '
( x) 0, x ( 1 − ;0) TH2: f (0) 0 3
x + a −3 ,0 x ( 1 − ;0) a Min ( 2 2 3 − x + 3) ( a 0 1 − ;0) − 10 a 0 2 2 10 − a 0 −
− 10 a 10 10 a 0
Kết hợp với điều kiện a (− ;9 ) ta có a = 3 − ; 2 − ; 1 − ; 0 → 4 giá trị.
Vậy có 9 giá trị thoả mãn. ĐỀ 2
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MÔN: TOÁN
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 7 − 6i có tọa độ là A. ( 6
− ;7). B. (6;7). C. (7;6). D. (7;−6) . Lời giải Chọn D
Ta có điểm biểu diễn số phức z = 7 − 6i có tọa độ là (7;− 6) . Câu 2:
Trên khoảng (0;+), đạo hàm của hàm số 5x y = là: 5x A. 5x y = . B. y = . C. 5 . x y = ln 5 . D. 1 5x y + = . ln 5 Lời giải Chọn C Hàm số x
y = a có đạo hàm là x
y = a .ln a Đạo hàm của hàm số 5x y = là 5 . x y = ln 5 . Câu 3: Trang 20 3
Tìm đạo hàm của hàm số: 2 2 y = (x +1) 1 3 A. 2 (2x) 2 1 3 − B. 4 x 4 1 C. 2 2 3x(x +1) 1 3 D. 2 2 (x +1) 2 Lời giải Chọn C ' '
Áp dụng công thức đạo hàm hợp hàm số lũy thừa : ( u x ) 1 ( ) .u − = .u(x) ' 3 1 1 3 Ta có : 2 2 2 2 2 2 = + = + = + y ' (x 1) .2 x .(x 1) 3 x .(x 1) 2 Câu 4: −
Tập nghiệm của bất phương trình 2 x 2 4 x 64 là A. ( 1 − ;3). B. (− ; − ) 1 (3;+) . Lời giải Chọn A C. (− ; − ) 1 . D. (3;+) . 2 2 − − Ta có: x 2x x 2 x 3 2 2 4 64 4
4 x − 2x 3 x − 2x −3 0 1 − x 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 1 − ; ) 3 . Câu 5: Biết ba số 2
x ; 8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của x bằng
A. x = 4 B. x = 5 C. x = 2 D. x = 1 Lời giải Chọn C Do ba số 2
x ; 8;x theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên theo tính chất cấp số nhân ta được 2 x x = Û 3 . 8
x = 8 Û x = 2 . Câu 6:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : x + y + z +1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n = 1
− ;1;1 . B. n = 1;1; 1
− . C. n = 1;1;1 . D. 3 ( ) 4 ( ) 1 ( ) n = 1; 1 − ;1 . 2 ( ) Lời giải Chọn C
(P):x+ y+z+1=0 có một vectơ pháp tuyến là n = 1;1;1 . 3 ( ) Câu 7: Trang 21
Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số 3
y = x − 2x +1 với trục tung là A. (0; 2 − ) . B. (0; ) 1 − . C. (0 ) ;1 . D. (1;0) . Lời giải Chọn C
Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số 3
y = x − 2x +1 với trục tung là (0 ) ;1 . Câu 8: 3 5 5 Nếu f
(x)dx =1 và f (x)dx = 5 − thì f ( x) dx bằng 0 3 0 A. 4
− . B. 6 . C. −6 . D. −5 . Lời giải Chọn A 5 3 5 f ( x) dx = f
(x)dx+ f (x)dx = 4 − . 0 0 3 Câu 9:
Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D
dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y = −x + 4x +1. B. 4 2
y = x + 2x +1 . C. 4 2
y = x − 4x +1. D. 4 2
y = x − 2x −1. Lời giải Chọn C Ta có:
Nhánh sau cùng bên phải của đồ thị hàm số đi lên nên ta có a 0 loại A .
Đồ thị hàm số có ba cực trị nên ta có .
a b 0 loại B .
Đồ thị hàm số giao với Oy tại điểm có tung độ dương nên ta loại D . Câu 10: 2 2 2
Tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) : ( x − ) 1
+ ( y + 2) + (z − 3) = 9 là: A. I (1;2; ) 3 ; R = 3 . B. I ( 1 − ;2;− ) 3 ; R = 3 . C. I (1; 2 − ; ) 3 ; R = 3. D. I (1;2;− ) 3 ; R = 3 . Lời giải Trang 22 Chọn C 2 2 2
Tâm I và bán kính R của mặt cầu (S ) : ( x − ) 1
+ ( y + 2) + (z − 3) = 9 là: I ( 1 − ;2;− ) 3 ; R = 3 . Câu 11:
Trong không gian Oxyz , véctơ a = ( 1
− ;1;0) , b = (1;1;0) , c = (1;1; )
1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. b ⊥ c . B. c = 3 . C. a = 2 .
D. b ⊥ a . Lời giải Chọn A .
b c = 2 0 b và c không vuông góc với nhau. Câu 12:
Cho số phức z = 3+ 4 .
i Phần thực của số phức w = z + z là
A. 8 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 z = 3- 4 ; i z = 3 + 4 = 5 .
w = z + z = 3- 4i + 5 = 8- 4i .
Vậy phần thực của số phức w bằng 8 . Câu 13:
Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là: A. 3 2a . B. 3 27a . C. 3 8a . D. 3 3a . Lời giải Chọn B
Thể tích khối lập phương có cạnh 3a là: V = ( a)3 3 3 = 27a . Câu 14:
Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là 3 a 2 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. 3 a . D. . 6 3 2 Lời giải Chọn A Trang 23 S A B H D C
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là S.ABCD . Khi đó ABCD là hình vuông cạnh a và
SA = SB = SC = SD = a .
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH ⊥ ( ABCD) nên SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD . Tính SH :
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: 2 2 AC = AB + BC 2 2
= a + a = a 2 . Nhận thấy AC a 2 2 2
AC = SA + SC nên tam giác SAC vuông tại S . Suy ra SH = = . 2 2
Diện tích đáy của khối chóp S.ABCD là 2 S = a . ABCD 1 1 a 3 a 2
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V = .S .SH 2 = .a . = . 3 ABCD 3 2 6 Câu 15:
Cắt mặt cầu (S ) bằng một mặt phẳng cách tâm mặt cầu một khoảng bằng 6cm ta được thiết diện là một đường
tròn có bán kính bằng 8cm . Bán kính của mặt cầu (S ) là
A. 14cm . B. 8cm . C. 10cm . D. 6cm . Lời giải Chọn C Bán kính mặt cầu 2 2 2 2
R = IH + AH = 6 + 8 =10(cm). Câu 16:
Phần ảo của số phức z = 2 + 3i là
A. - 3 . B. - 2 . C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Câu 17:
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy là B và chiều cao là h được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1 A. V = .
B h . B. V = .
B h . C. V = .
B h . D. V = . B h . 3 3 Lời giải Chọn D Trang 24 1 Ta có: V = . B h . 3 Câu 18:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x- 3y + z + 5 = 0 . Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P). A. M (1;2; )
3 . B. N (1;3;2) . C. I (2; 3 − ; ) 1 . D. Q(1; 3 − ;2) . Lời giải Chọn B
Thay điểm N (1;3;2) vào phương trình của mặt phẳng (P) ta được 2.1- 3.3+ 2+ 5= 0 là một biểu thức đúng,
suy ra N (1;3;2) thuộc mặt phẳng (P) Câu 19: Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho có toạ độ là A. (1; )1 − . B. ( 1 − ; ) 1 . C. ( 1 − ;3). D. (3; ) 1 − . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( 1 − ;3). Câu 20: 2x +1
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3x − là đường thẳng có phương trình 1 1 2 1 2 A. y = B. y = −
C. y = − D. y = 3 3 3 3 Lời giải Chọn D 2x +1 2
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = y = .
3x − có phương trình 1 3 Câu 21:
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x +1 log 2x −1 1 ( ) 1 ( ) 2 2 Trang 25 1
A. S = (2;+) . B. S = (− ;
2). C. S = ;2 . D. 2 S = ( 1 − ;2) . Lời giải Chọn C x 2
x +1 2x −1 log x +1 log 2x −1 1 ( ) 1 ( ) 1 2x −1 0 x 2 2 2 Câu 22:
Cho tập M = 0;1;2;...;
9 . Số tập con gồm 3 phần tử và không chứa số 1 của M bằng
A. 45 . B. 90 . C. 72 . D. 36 . Lời giải Chọn D
Ta có: Số tập con gồm 3 phần tử và không chứa số 1 của M bằng 3 C = 36 . 9 Câu 23: Tìm 2 x dx bằng 1
A. 2x + C . B. 3
x + C . C. 3
x + C . D. 3 3x + C 3 Lời giải Chọn B Câu 24: 2 − 1 1 3 Cho
f ( x) dx = 4 − và g
(x)dx = 3 thì 2 f
(x)+ g(x)−6x dx bằng 2 1 2 − 2 − 7 11 A. . B. . C. 8 . D. 6 . 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 1 1 1 1 f (x) 3
+ g (x) − x x = f (x) 3 x + g (x) x x x = (− ) 3 11 2 6 d 2 d d - 6 d 2. 4 + .3 + 9 = . 2 2 2 2 2 − 2 − 2 − 2 − Câu 25: Cho hàm số 2
f (x) = tan x + x . Khẳng định nào dưới đây đúng? 2 2 A. ( )d = tan − + + x f x x x x C . B. ( )d = tan − − + x f x x x x C . 2 2 Lời giải Trang 26 2 Chọn A C. ( )d = tan + + + x f x x x x C . D. 2 2 ( )d = − tan − + + x f x x x x C . 2
GVSB: Minh Anh Ta có: = ( + ) − + ) 2 2 ( )d tan 1 1 d = tan − + + x f x x x x x x x C . 2 Câu 26: 2023x − 22 Cho hàm số y =
. Khẳng định nào dưới đây là sai? x +1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ; − )
1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2023) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;1 − . Lời giải
Chọn C D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 − ;2023). 2023x − 22 2045 y = y = x − . x +1 (x + ) 0; 1 2 1
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (− ; − ) 1 và ( 1
− ;+)nên nó cũng đồng biến trên các khoảng (1;2023) và( 1 − ;202 ) 3 . Câu 27:
Cho hàm số bậc ba y = f ( )
x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại đâu?
A. -1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . Câu 28:
Với a là số thực dương tùy ý, ln (7a) − ln (3a) bằng ln 7 7 ln (7a) A. B. ln
C. ln (4a) D. ln 3 3 ln (3a) Lời giải Chọn B Trang 27 a 7 ln (7a) − 7 ln (3a) = ln = ln . 3a 3 Câu 29:
Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2x – x và y = 0 . Tính thể tích vật thể tròn xoay
được sinh ra bởi hình phẳng (H ) khi nó quay quanh trục Ox . 16 17 18 19 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải Chọn A x = Xét phương trình 2 2x − x = 0 0 . x = 2 2 2 16
Thể tí vật thể bằng V = ( 2
2x − x ) dx = . 15 0 Câu 30:
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ ( ABCD) (minh họa như hình vẽ bên). a 6 Biết SA =
. Tính góc giữa SC và ( ABCD) . 3
A. 45. B. 75 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn C S a 6 3 A D a B a C Trang 28
Ta có: SA ⊥ ( ABCD).
Do đó AC là hình chiếu của SC lên ( ABCD) .
(SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SCA. a 6 SA 3
Xét tam giác SAC vuông tại 3 A có tan SCA = = = . AC a 2 3 SCA = 30 .
Vậy góc giữa SC và ( ABCD) bằng 30 . Câu 31:
Cho hàm số f ( x) xác định trên
và có đạo hàm là f ( x) = ( 2
x + 3x)(1− x) . Hỏi hàm số f ( x) đồng biến
trên khoảng nào dưới đây?
A. (1;+ ) B. ( 3 − ;0) C. (0; ) 1 D. (− ) ;1 Lời giải Chọn C x = 3 −
Ta có: f ( x) = ( 2
x + 3x)(1− x) ; f ( x) = 0 x = 0 . x =1
Dấu của f ( x) : x ∞ 3 0 1 + ∞ f'(x) + 0 0 + 0
Hàm số f (x) đồng biến trên (−;−3) và (0; ) 1 . Câu 32: Cho hàm số 2 3
y = f ( x) liên tục trên
và có đạo hàm f ( x) = ( x + ) 1 ( x − )
1 (2 − x) . Hàm số y = f ( x) đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1;2) . B. (− ; − ) 1 . C. ( 1 − ; ) 1 . D. ( 1 − ;2) Lời giải Chọn A x = 1 − 2 3
Ta có f ( x) = 0 ( x + ) 1 ( x − )
1 (2 − x) = 0 x = 1 . (2;+) x = 2
Lập bảng xét dấu của f ( x) ta được: Trang 29
Vậy hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (1;2) . Câu 33:
Một hộp 17 quả cầu gồm 8 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 8 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9
. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số lẻ bằng 9 9 4 8 A. . B. . C. . D. . 34 17 17 17 Lời giải Chọn A
Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp là: 2 C = 136 cách 17
Để tổng hai số ghi trên hai quả cầu là số có 2 TH sau:
TH1: quả cầu đỏ số lẻ, quả cầu xanh số chẵn: 1 1 C .C = 16 cách 4 4
TH2: quả cầu đỏ số chẵn, quả cầu xanh số lẻ: 1 1 C .C = 20 cách 4 5 16 + 20 9
Vậy xác suất cần tính là: P = = . 136 34 Câu 34:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − x và đồ thị hàm số 2
y = x − x . 37 9 81 A. B. C. D. 13 12 4 12 Lời giải Chọn A x = 0 Phương trì nh hoành độ giao điểm 3 2 3 2
x − x = x − x x + x − 2x = 0 x = 1 x = 2 −
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y = x − x và đồ thị hàm số 2
y = x − x là: 1 0 1 3 S = x − x − ( 2
x − x ) dx = ( 3 2
x + x − 2x)dx + ( 3 2
x + x − 2x)dx 2 − 2 − 0 0 1 4 3 4 3 x x x x 16 8 1 1 37 2 2
= + − x + + − x = − − − 4 + + −1 = . 4 3 4 3 4 3 4 3 12 2 − 0 Câu 35:
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 5z = (4 + 3i) z − 25 là đường thẳng có phương trình:
A. 8x − 6y − 25 = 0 . B. 8x − 6y + 25 = 0 . Lời giải Trang 30
Chọn A C. 8x + 6y + 25 = 0 . D. 8x − 6y = 0 .
Ta có 5z = (4 + 3i) z − 25 5z = (4 + 3i)( z − 4 + 3i) 5z = 4 + 3i z − 4 + 3i
z = z − 4 + 3i . 2 2
Gọi z = x + yi thay vào biến đổi ta được 2 2
x + y = ( x − 4) + ( y + 3) 8x − 6y − 25 = 0 . Câu 36:
Cho đường thẳng đi qua điểm M (2;0;− )
1 và có véctơ chỉ phương a = (4; 6
− ;2) . Phương trình tham số của đường thẳng là x = −2 + 4t
A. y = −6t . z =1+ 2t x = −2 + 2t
B. y = −3t . z =1+ t x = 2 + 2t
C. y = −3t . z = −1+ t x = 4 + 2t
D. y = −3t . z = 2 + t Lời giải Chọn C
Đường thẳng đi qua điểm M (2;0;− )
1 và có véctơ chỉ phương a = (4; 6
− ;2) . Phương trình tham số của x = 2 + 2t
đường thẳng là y = −3t . z = −1+ t Câu 37:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là A. (1;− 2; ) 3 . B. (1;2; 3 − ) . C. ( 1 − ;− 2;− ) 3 . D. ( 1 − ;2;3) . Lời giải Chọn A
Tọa độ hình chiếu của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxz) là (1;0;3) . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng
(Oxz) có tọa độ là (1;−2; ) 3 Câu 38: Trang 31
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2 ,
a BC = a và SB = a 3 . Biết rằng tam giác
SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (SCD) bằng: 2 2a a 6 2a 6 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Gọi H là trung điểm của AB , do S
AB cân tại S nên SH ⊥ AB . Mặt khác (SAB) ⊥ (AB D
C ) SH ⊥ ( ABCD) .
Có AB//CD AB// (SCD) nên d ( ;
A (SCD)) = d (H;(SCD)) .
Gọi I là trung điểm của CD khi đó HI ⊥ CD SI ⊥ CD và CD ⊥ (SHI ) . HM ⊥ SI
Dựng HM ⊥ SI . Ta có
(vì CD ⊥ (SHI ) ) HM ⊥ (SCD) . HM ⊥ CD Vậy d ( ;
A (SCD)) = d (H;(SCD)) = HM .
Ta có: SH = SB − HB = (a )2 2 2 2 3
− a = a 2 , HI = BC = a . 1 1 1 1 1 3 a 6
Tam giác SHI vuông tại H có: = + = + = HM = . 2 2 2 HM SH HI (a )2 2 2 a 2a 3 2 a
Vậy d ( A (SCD)) 6 ; = . 3 Câu 39: 3x − 7
Bất phương trình log log 0 ;
a b . Tính giá trị P = 3a − b . 2 1
có tập nghiệm là ( x + 3 3
A. P = 5 . B. P = 4 . C. P = 10. D. P = 7 . Lời giải Chọn B Trang 32 3x −7 x − 3 7 0 0 x + 3 x + 3 x − x − x − 3 7 3 7 3 7 Ta có log log 0 log 0 1 2 1 x + 3 1 x + 3 x + 3 3 3 x − 3x − 7 3 7 1 log 1 1 x + x + 3 3 3 3 3x − 7 3x − 7 7 x (− ; − 3) + 0 0 ; x + 3 x + 3 3 3x − 7 1 8( x − 3) 8( x − 3) 0 0 x + 3 3 3 ( x + 3) 3 ( x + 3) x ( − ) 7 − ; 3 ; + 7 3 x ;3 . 3 3 − x 3 7 7 Suy ra a =
; b = 3 . Vậy P = 3a − b = 3. − 3 = 4 . 3 3 Câu 40:
Cho hàm số f (x) và g (x) liên tục trên . Gọi F (x), G(x) là hai nguyên hàm của f (x) và g (x) trên 2
thỏa mãn F (6) +3G(0) = 3 và F (0) +3G(2) =1. Khi đó f
(3x)− g(x)dx bằng 0 2 4
A. 1. B. 3. C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn C 2 2 2 6 2 1 Ta có: f
(3x)− g(x)dx = f
(3x)dx− g (x)dx = f
(x)dx− g (x)dx 0 0 0 0 3 0 1
= F ( ) − F ( ) − G( ) −G( ) 1
= F ( ) + G( ) 1 6 0 2 0 6 3
0 − F (0) − 3G (2) 3 3 3 1 1 2 = .3− .1 = . 3 3 3 Câu 41:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B ( 2 − ;2; 3
− ). Phương trình mặt cầu đường kính AB là 2 2 2 2 A. 2
x + ( y − 3) + ( z − ) 1 = 36. B. 2
x + ( y + 3) + ( z − ) 1 = 9. C. 2 2
x + ( y − )2 + ( z + )2 2 3 1 = 9. D. 2
x + ( y − 3) + ( z + ) 1 = 36. Lời giải Chọn C
Gọi I là trung điểm của AB I (0;3; 1 − ). 2 2 2
IA = (2;1; 2) IA = 2 +1 + 2 = 3. 2 2
Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB nên có phương trình là 2
x + ( y − 3) + ( z + ) 1 = 9. Trang 33 Câu 42:
Trong không gian Oxyz cho điểm G (1;−2; ) 3 và ba điểm A( ; a 0;0) ; B(0; ;
b 0) ; C (0;0;c) . Biết G là trọng
tâm của tam giác ABC thì a + b + c bằng
A. 3. B. 9. C. 6. D. 0. Lời giải Chọn C x + x + a x = x A B C 1 = G 3 3 a = 3 y + y + b Ta có trọng tâm y
G của tam giác ABC : y = A B
C −2 = b = −6 . G 3 3 c = 9 z + z + c z = z A B C 3 = G 3 3
Khi đó: a + b + c = 3+ (−6) +9 = 6 . Câu 43: x −1 y + 3 z − 2
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : = =
đi qua điểm nào dưới đây? 2 1 3 −
A. Điểm N (1; 3
− ;2). B. Điểm Q(1; 3 − ; 2
− ) . C. Điểm P(1;3;2) . D. Điểm M ( 1 − ;3;2). Lời giải Chọn A
Tọa độ điểm N thỏa mãn phương trình đường thẳng . Câu 44: Cho f ( x) 3 2
= ax +bx + cx + d (a 0) là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn 2;
3 có đồ thị f ( x) như
hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số ( ) 2
g x = xf ( x) ; ( ) 2
h x = −x f ( x) f ( x) và các đường thẳng x = 2; x = 3 bằng 72 . Tính f ( ) 1 . − A. f ( ) 1 = 2 . B. f ( ) 1 = 1 − . C. f ( ) 1 = 1. D. f ( ) 62 1 = . 5 Lời giải Chọn A
Từ hình vẽ ta có được f ( x) = x( x − ) 2
= x − x f (x) 3 2 3 2 3 6
= x −3x +C . Trang 34
Diện tích hình phẳng là: 3 3 S = g
(x)−h(x) 2 dx = xf (x) 2
+ x f (x) f (x) dx 2 2 3 Do 2 xf ( x) 2
+ x f (x) f (x) 0, x 2; 3 nên 2 S = xf (x) 2
+ x f (x) f (x) dx 2 3 3 1 1 9 9 2 Ta có: 2 2 S = x f (x) 2 2 dx = x f ( x) 2 = f (3) 2 − 2 f (2) 2
= C − 2(C − 4) 2 2 2 2 2 2 C = 4 9 Mà S = 72
C − 2(C − 4)2 2 = 72 52 − . 2 C = 5 Do f ( x) x
f (x) 3 2 0, 2;3
= x −3x + 4 f ( ) 1 = 2 . Câu 45:
Cho số phức z = a + bi (a, b ) thỏa mãn z +1+ 3i − z i = 0 . Tính S = 2a + 3b . A. S = 6 − . B. S = 6 . C. S = 5 − . D. S = 5. Lời giải Chọn A
Có z +1+ 3i − z i = 0 (a + ) + ( 2 2 1
b + 3 − a + b )i = 0 . a +1 = 0 a = 1 − . 2 2 b
+ 3− a + b = 0 2 1+ b = b + 3 ( ) * − b 3 − ( ) b 3 4 * 4 b = − . 1 + b = (b +3)2 2 b = − 3 3 a = −1 Vậy
4 S = 2a + 3b = 6 − . b = − 3 Câu 46:
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x − 5) + ( y − 3) + (z + 6) = 64 và các mặt phẳng
(): x+ y + z −1= 0, ( ):x+2y − z = 0 và ( ):2x− y + z = 0 Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với ( ), đồng
thời qua giao tuyến của ( ) và ( ), Khi đó ( P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng
A. 35 . B. 2 29 . C. 2 35 . D. 29 . Lời giải Chọn B
x + y + z −1 = 0
+ Tọa độ mọi điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và ( β ) thỏa mãn hệ phương trình: x+2y − z = . 0 Trang 35
Cho z =1 ta được A( 1 − ;1; )
1 , cho z = 2 ta được B ( 4
− ;3;2) thuộc giao tuyến, AB( 3 − ;2; ) 1 .
Mặt phẳng (γ) có vec tơ pháp tuyến (2; 1 ) ;1 γ n = − .
Mặt phẳng ( P) đi qua A( 1 − ;1; )
1 và có vec tơ pháp tuyến n = A , B n = (3;5;− ) 1 γ .
Phương trình của (P) là:3(x + ) 1 + 5( y − ) 1 − ( 1 z − )
1 = 0 3x + 5y − z −1 = 0 . I (5;3;−6) + Từ 2 2 2
(S) : (x − 5) + ( y − 3) + (z + 6) = 64 . R = 8 + − − −
d (I ( )) 3.5 5.3 ( 6) 1 , = = 35 . 3 + 5 + (− )2 2 2 1
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến 2 2
r = R − d = 64−35 = 29 .
Vậy đường kính là 2 29 . Câu 47:
Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn log ( 2 2
x + y + x) + log ( 2 2
x + y ) log x + log ( 2 2
x + y + 24x ? 3 2 3 2 )
A. 89. B. 48. C. 90. D. 49. Lời giải Chọn B
Điều kiện: x 0 . Ta có: log ( 2 2
x + y + x) + log ( 2 2
x + y ) log x + log ( 2 2
x + y + 24x 3 2 3 2 ) log ( 2 2
x + y + x) − log x log ( 2 2
x + y + 24x) − log ( 2 2 x + y 3 3 2 2 ) 2 2 2 2
x + y + x
x + y + 24x 2 2 + x y 24x log log log 1+ log 1+ 3 2 2 2 x x + y 3 2 2 2 x x + y 2 2 x + y 24x log +1 −log 1+ 0. 3 2 2 2 x x + y 2 2 x + y 24 Đặt: t =
(t 0) , bất phương trình trở thành: log (1+ t) − log 1+ 0 (1). x 3 2 t 24 1 24
Xét hàm số f (t) = log (1+ t) − log 1+ có = + . 3 2 f (t) 0, t 0 t (1+ t) ln 3 ( 2t +24t)ln2
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) + . 24
Ta có f (8) = log (1+ 8) − log 1+ = 0 3 2 8 2 2 x + y 2 2
Từ đó suy ra: (1) f (t) f (8) t 8
8 (x − 4) + y 16 . x
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( ; x y) Ta có: 2
(x − 4) 16 0 x 8 , mà x 0 nên 0 x 8 .
Với x =1, x = 7 y = { 2 ; 1 ;0} nên có 10 cặp.
Với x = 2, x = 6 y = { 3 ; 2 ; 1 ;0} nên có 14 cặp.
Với x = 3, x = 5 y ={ 3 ; 2 ; 1 ;0} nên có 14 cặp. Trang 36
Với x = 4 y = { 4 ; 3 ; 2 ; 1 ;0} nên có 9 cặp.
Với x = 8 y = 0 có 1 cặp.
Vậy có 48 cặp giá trị nguyên ( ;
x y) thỏa mãn đề bài. Câu 48:
Cho khối nón đỉnh S , chiều cao bằng 6 và thể tích bằng 128 . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy
sao cho AB = 10 , khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng 6 15 6 13 3 15 3 13 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B Gọi ,
O R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn đáy. K, H lần lượt là hình chiếu của O lên AB và SK .
Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng OH . 1 3V 3.128 Ta có: 2 V = R h 2 R = = = 64 R = 8. 3 h .6
Xét tam giác vuông OAK có: 2 2 2 2
OK = OA − AK = 8 − 5 = 39 . 1 1 1 1 1
Xét tam giác vuông SOK có: = + = + 6 13 OH = . 2 2 2 2 OH SO OK 6 ( 39)2 5 Câu 49: x −1 y −1 z −1
Trong không gian Oxyz , cho 3 điểm A( 2 − ;1;0), B(4;4; 3 − ),C(2;3; 2
− ) và đường thẳng d : = = 1 2 − 1 −
. Gọi ( P) là mặt phẳng chứa d sao cho , A ,
B C nằm ở cùng phía so với mặt phẳng ( P) . Gọi d , d , d lần lượt 1 2 3 là khoảng cách từ , A ,
B C đến ( P) . Tìm giá trị lớn nhất của T = d + 2d + 3d . 1 2 3 A. T = 2 21 . B. T = 14 . C. T = 3 21 . D. max max max T = 6 14 . max Lời giải Chọn D AB = ( − ) 3 6;3; 3 AB = AC * Ta có AC = ( − ) 2 4; 2; 2
AB = 3 6; AC = 2 6 Trang 37 2 , A ,
B C thẳng hàng và C nằm giữa AB ; AC = AB . 3
* Gọi M là trung điểm của AC AM = MC = CB = 6 .
* Gọi d = d M ; P . Ta có hình vẽ 4 ( ( ))
* Dựa vào hình vẽ, dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang ta có:
d + d = 2d
d = 2d − d 2 4 3 4 3 2
d + d = d .
d + d = 2d d + d = 2 (2d − d ) 2 3 1 2 3 1 3 4 1 3 3 2
* Theo đề bài T = d + 2d + 3d = 6d . Suy ra T max d max . 1 2 3 3 3
* Gọi H là hình chiếu của C lên (P) .
Tìm được hình chiếu của C lên d là K (1;1; ) 1 .
Trong tam giác vuông HCK ta có: 2 2 2
d = CH = CK − HK = 14 − HK CH 14 3
Ta có d max khi và chỉ khi HK min . 3
Suy ra T = 6d 6 14 , dấu bằng xảy ra khi H K . 3
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 6 14 . Câu 50: - x + 1 Cho hàm số y =
(C ), y = x + m (d) . Với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm 2x - 1
phân biệt A và B . Gọi k , k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C ) tại A và B . Giá trị nhỏ nhất của 1 2 2024 2024 T = k + k bằng 1 2 1 2
A. 1. B. 2 . C. . D. . 2 3 Lời giải Chọn B Trang 38
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (d) - x + 1 2
= x + m Û 2x + 2mx - m - 1 = 0 ( ) 1 2x - 1 ( 1
C ) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biêt A và B khi và chỉ khi ( )
1 có 2 nghiệm phân biệt x , x khác 1 2 2 2
Û D ' > 0 Û m + 2m + 2 > 0, " m Î ¡ ìï - 1 ï ìï ï k =
x + x = - m ï 1 2 ï 1 2 ï ïï (2x - 1 1 ) Theo Viet, í - m - 1 Ta có ï í ï x x = ï - 1 ï 1 2 ïî 2 ï k = 2 ïï (2x - ï )2 1 2 ïî - 1 - 1 1 Þ k k = . = 1 2 (2x - )2 1 (2x - )2 1 (2x - )2 1 (2x - )2 1 1 2 1 2 1 1 = = = 1 2 2
(4x x - 2 x + x + 1
- 2m - 2 + 2m + 1 1 2 ( 1 2 ) ) ( )
Mặt khác T = k + k ³ 2 k k = 2(k k )1012 2024 2024 2024 2024 = 2 1 2 1 2 1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2024 2024 T = k + k bằng 2. 1 2 ĐỀ 3
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MÔN: TOÁN
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1:
Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 5i là
A. z = 2 + 5i . B. z = 2
− + 5i . C. z = 2 −5i . D. z = 2 − −5i . Lời giải Chọn A
Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 5i là z = 2 + 5i . Câu 2:
Tính đạo hàm của hàm số log (ex y = + 2) ex ex 1 A. y = y = . C. y = ex + . B. 2 (ex +2)ln10 ex + . D. 2 1 y = ( ex + 2)ln10 Lời giải Chọn B Trang 39 ( ex + 2) ex y = ( = . ex + 2) ln10 (ex +2)ln10 Câu 3: 1 Đạ -
o hàm của hàm số y = ( x + ) 3 2 1
trên tập xác định là. 4 1 1 1 - - - A. - (2x + ) 3 1 . B. ( x + ) 3 2 2 1 ln (2x + ) 1 . C. ( x + ) 3 2 1 ln (2x + ) 1 . 3 4 2 - D. - (2x + ) 3 1 . 3 Lời giải Chọn D 1 1 4 − 1 − − − 1 − 2 −
Ta có: y = (2x + ) 3 1 = (2x + ) 1 (2x + ) 3 1 = (2x + ) 3 1 . 3 3 Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình x 1 3 − 9 là A. ( ; − 2) . B. ( ;3 −
. C. 3; +) . D. 2;+) . Lời giải Chọn B Ta có: x 1 − x 1 − 2 3
9 3 3 x −1 2 x 3 . Câu 5:
Cho cấp số nhân (u với u = 2 và u = 4 . Giá trị của q bằng: n ) 1 2 1 1 A. 3. B. . C. . D. 2 . 2 4 Lời giải Chọn D u Ta có 2
u = u .q q = = 2 2 1 u1 Câu 6:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là
A. n = 1;0;0 . B. n = 1;1;0 . C. n = 0;1; 0 . D. 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) n = 0; 0;1 . 4 ( ) Lời giải Chọn D
Trong không gian Oxyz mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(Oxy) là n = 0;0;1 . 4 ( ) Trang 40 Câu 7: + Cho hàm số ax b y =
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho cx + d và trục tung là A. (0; 2
− ). B. (2;0) . C. ( 2 − ;0). D. (0;2) . Lời giải Chọn A
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (2;0) . Câu 8: 2 2 2 Nếu f
(x)dx = 3 và g
(x)dx =1 thì f
(x)− g(x) dx bằng 0 0 0
A. 4. B. 2. C. 1. D. 2 − . Lời giải Chọn B 2 2 2 Ta có f
(x)− g(x) dx = f
(x)dx− g
(x)dx =3−1= 2. 0 0 0 Câu 9:
Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 4 2 A. 4 2
y = −x + 4x + 2 . B. 4 2
y = x + 3x − 2 . C. 4 2
y = x − 2x + 2 . D. 4 2
y = x − 2x − 2 . Lời giải Chọn C Trang 41
Dựa vào đồ thị hàm số, bề lõm đồ thị hướng lên nên a 0 .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;2) nên chọn C . Câu 10:
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x − 4y − 6z +1 = 0 . Tâm của (S) có tọa độ là A. ( 1 − ; 2 − ; 3
− ) B. (2;4;6) C. ( 2 − ; 4 − ; 6
− ) D. (1;2;3) Lời giải Chọn D
Điểm I (1;2;3) là tâm của mặt cầu (S ). Câu 11:
Trong không gian Oxyz , góc giữa mặt phẳng (Oxy) và trục Oz bằng
A. 0 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn D
Ta có: trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên góc giữa mặt phẳng (Oxy) và trục Oz bằng 90 . Câu 12:
Cho số phức z = 2 + 9i , phần thực của số phức 2 z bằng A. 77
− B. 4 C. 36 D. 85 Lời giải Chọn A
z = + i z = ( + i)2 2 2 9 2 9 = 7 − 7 + 36i .
Vậy phần thực của số phức 2 z bằng 77 − . Câu 13:
Thể tích hình lập phương cạnh 3 là:
A. 3 . B. 3 . C. 6 3 . D. 3 3 . Lời giải Chọn D
Thể tích hình lập phương cạnh 3 là: V = ( )3 3 = 3 3 . Câu 14:
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 .
Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . 3 a A. 3
V = 3a . B. V = . C. 3 V = a 3 . D. 3 V = a . 4 Lời giải Chọn D Trang 42 S A C B 1 ( a)2 2 3 Có V = S . A S
, SA = a 3 và S = . 3 ABC ABC 4 1 (2a)2 3 3 V = a 3 = a . Vậy 3 V = a . 3 4 Câu 15:
Mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x + 2y − 2z − 6 = 0 có phương trình là A. 2 2 2
x + y + z = 4 . B. 2 2 2
x + y + z = 16 . C. 2 2 2
x + y + z = 6 . D. 2 2 2
x + y + z = 9 . Lời giải Chọn A 6 −
Mặt cầu (S ) cần tìm có bán kính là: R = d ( , O ( P)) = = 2 . 1+ 4 + 4
Phương trình mặt cầu (S ) là: 2 2 2
x + y + z = 4 . Câu 16:
Số phức z = 2 − 3i có phần ảo là. A. 2 . B. 3 . C. 3i . D. −3 . Lời giải Chọn D
Số phức z = 2 − 3i có phần ảo là −3 . Câu 17:
Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a 3 . A. 2 a 3 . B. 2 2 a . C. 2 2 a 3 . D. 2 a . Lời giải Chọn C Áp dụng công thức 2 S = 2 rl = 2. . a a 3 = 2a 3 . xq Câu 18: Trang 43 x = 3 − t
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : y = 5
− + 2t . Điểm nào sau đây thuộc ? z = 2 − t A. M ( 3
− ;5;0) . B. N (3; 5 − ; 2 − ). C. P(3; 5 − ;0) . D. Q ( 1 − ;2; 2 − ). Lời giải Chọn C
Nhận thấy điểm P(3; 5
− ;0) thuộc đường thẳng . Câu 19: Cho hàm số ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới. y f(x)=x^3-3x^2+4 T ?p h?p 1 x - 2
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . Lời giải
Chọn B C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 . Câu 20:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là
A. x =1, y = 2 . B. x = 2, y =1. C. x = 2, y = 2 . D. x =1, y =1. Lời giải Chọn A TXĐ: D = \ 1 . Trang 44
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim f ( x) = + đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =1. + x 1 →
Lại có: lim f ( x) = 2 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 . x→ Câu 21:
Tập nghiệm của bất phương trình log ( x − 2) 0 là A. (2;3) B. ( ;3
− ) C. (3;+) D. (12;+) Lời giải Chọn C Ta có (x− ) 0 log
2 0 x − 2 10 x 3. Câu 22:
Lớp 12A1 có 19 học sinh nam và 23 học sinh nữ. Số cách chọn hai học sinh tham gia trực nhật sao cho có cả nam và nữ là
A. 437 . B. 42 . C. 247 . D. 1722 . Lời giải Chọn A
Số cách chọn hai học sinh thoả mãn yêu cầu là: 19.23 = 437 . Câu 23: Cho cos xdx = F
(x)+C . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. F( x) = −sin x . B. F( x) = sin x . C. F( x) = cos x .
D. F( x) = 2cos x . Lời giải Chọn C
Theo giả thiết cos xdx = F
(x)+C nên (F (x) +C) = cos x F(x) = cos x. Câu 24: 3 3
Nếu f ( x) dx = 2023 thì 2
f ( x) + x dx bằng 1 − 1 −
A. 16188 . B. 4050 . C. 16192 . D. 8096 . Lời giải Chọn B 3 3 3 Ta có: 2
f (x)+ xdx = 2
f (x)dx + xdx = 2.2023+ 4 = 4050 . 1 − 1 − 1 − Câu 25:
Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = + sin x là x Trang 45 1
A. ln x − cos x + C . B. −
− cos x + C . C. ln x + cos x +C . 2 x
D. ln x − cos x + C . Lời giải Chọn D
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta thu được : f (x) 1 1 dx = + sin x dx = dx + sin d
x x = ln x − cos x + C . x x Câu 26:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3
− ;4). B. (−;− )
1 . C. (2;+ ) . D. ( 1 − ;2) . Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−1;2) . Câu 27:
Cho hàm số bậc ba 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là: A. 1
− . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có giá trị cực đại của hàm số là 3 . Câu 28:
Với 𝑎 là số thực dương tùy ý, 3 3 log(9a ) − log(4a ) bằng: 4 9 A. 3 log a . B. log . C. 3 log(36a ) . D. log . 9 4 Trang 46 Lời giải Chọn D 3 9a 9 có 3 3 log(9a ) − log(4a ) = log = log . 3 4a 4 Câu 29:
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = ( x − )2
2 , y = 0, x = 0 , x = 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi
quay D quạnh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 32 A. V = . 5 32 B. V = . 5 32 C. V = . 5 D. V = 32 . Lời giải Chọn B 2 (x − 2) 2 5 32
V = (x − 2)4 dx = . = . 5 5 0 0 Câu 30: 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A , cạnh BC = a , = a AC các cạnh bên 3 a 3
SA = SB = SC =
. Tính góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy ( ABC) . 2 A. . B. . C. . D. arctan 3 . 6 3 4 Lời giải Chọn B a 3
Vì SA = SB = SC =
nên hình ủa S trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC . Nhận xét H là 2 trung điểm BC . Trang 47 S C A M H B
Gọi M là trung điểm AB , nhận xét AB ⊥ (SMH ) nên góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy ( ABC) là góc SMH . a 2
Xét tam giác SBH có 2 2 SH = SB − BH = . 2 a 2 SH
Xét tam giác SMH có 2 tan M = = = 3 o M = 60 . MH a 6 6 Câu 31:
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. y 1 x -2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x) = m có bốn nghiệm thực phân biệt ? A. m 2 − . B. 2
− m 1. C. m =1. D. m 1. Lời giải Chọn B
Số nghiệm của phương trình f (x) = m bằng số giao điểm của đồ thị y = f (x) và đường thẳng y = m.
Khi đó, phương trình y = f (x) có bốn nghiệm thực phân biệt 2 − m 1. Câu 32:
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) 2
= x − 2x , x
. Hàm số y = 2
− f (x) đồng biến trên khoảng A. (0;2) . B. (2;+) . Trang 48 C. (− ; 2 − ). D. ( 2 − ;0) . Lời giải Chọn A
Có: y = − f ( x) 2 2 = 2
− x + 4x 0 x(0;2) . Suy ra: Hàm số y = 2
− f (x) đồng biến trên khoảng (0;2) Câu 33:
Một nhóm gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn. Xác suất để trong 5 bạn được ó cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là: 60 238 210 82 A. . B. . C. . D. . 143 429 429 143 Lời giải Chọn B
Gọi A là biến cố: “5 bạn được ó cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “ -Không gian mẫu: 5 = C . 15
-Số cách ạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: 4 1 C .C . 8 7
- Số cách ạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: 3 2 C .C . 8 7 => n( A) 4 1 3 2
= C .C + C .C =1666 8 7 8 7 n A 1666 238 => P ( A) ( ) = = = . 5 C 429 15 Câu 34:
Cho hai số phức phân biệt z và z . Hỏi trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là 1 2
một đường thẳng nếu điều kiện nào dưới đây được thỏa mãn?
A. z − z = z − z .
B. z − z =1. 1 2 2
C. z − z = 1.
D. z − z + z − z = z − z . 1 1 2 1 2 Lời giải Chọn A
Trong mặt phẳng phức, gọi A( x ; y , B( x ; y và M ( ;
x y) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z , z 2 2 ) 1 1 ) 1 2 và z . 2 2 Ta có z − z = x − x + y − y = MA. 1 ( 1 ) ( 1 )
Tương tự z − z = MB và z − z = AB. 2 1 2
Xét phương án A: MA+ MB = AB. Suy ra tập hợp điểm M là đoạn thẳng AB (Không thỏa mãn).
Phương án B và C: MB =1 hoặc MA =1. Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm B (hoặc tâm A ) bán
kính bằng 1 (Không thỏa mãn).
Phương án D: MA = MB . Suy ra tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB . Hay tập hợp các
điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng (Thỏa mãn). Câu 35: Trang 49
Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 3 trong mặt phẳng Oxy là:
A. Đường tròn tâm I (2; ) 1
− bán kính R = 3. B. Đường tròn tâm I ( 2 − ; ) 1 bán kính R = 3 . Lời giải
Chọn B C. Đường tròn tâm I (2; ) 1
− bán kính R = 3 . D. Đường tròn tâm I ( 2 − ; ) 1 bán kính R = 3 .
Gọi z = x + yi với x , y
. Khi đó điểm M ( ;
x y) là điểm biểu diễn cho số phức z . 2 2 2 2
Ta có z + 2 − i = 3 x + yi + 2 − i = 3 ( x + 2) + ( y − ) 1
= 3 (x + 2) + ( y − ) 1 = 9 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( 2 − ; ) 1 bán kính R = 3 . Câu 36:
Trong không gian Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M ( 4 − ;2; ) 1 và vuông góc với
mặt phẳng (P): x +3y − 2z −8 = 0. x = −4 + t x = 1− 4t x = −4 + t
A. y = 2 + 3t . B. y = 3 + 2t . C. y = 2 + 3t . D. z = 1− 2t z = −2 + t z = 1+ 2t x = −4 + t
y = 2 + 3t . z =1−8t Lời giải Chọn A
Vì d ⊥ (P) nên d có véc tơ chỉ phương là u = (1;3; 2 − ) . x = −4 + t
Phương trình tham số của d là y = 2 + 3t z =1− 2t Câu 37:
Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1;2; ) 1 và mặt phẳng ( )
P : x − y + z + 6 = 0. Giả sử H ( ; a ; b c) là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P) . Khi đó a + b + c bằng
A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 1 − . Lời giải Chọn B
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) . x =1+ t
Phương trình tham số của d : y = 2 − t (t ) z =1+t
Khi đó, H = d ( ) P
1+ t − 2 + t +1+ t + 6 = 0 t = 2 − H ( 1 − ;4;− ) 1 . Câu 38: Trang 50
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AC = 2 , a BC = ,
a SA = SB = SC . Gọi M là trung điểm
SC . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBD) bằng: a 3 a 5
A. a . B. . C. . D. a 5 . 4 2 Lời giải Chọn B
Do SA = SB = SC nên hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) là tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC , O là trung điểm AC . 1 CH
Ta có d (M ,(SBD)) = d (C,(SBD)) =
với H là hình chiếu vuông góc của C trên BD . (Vì 2 2
(SBD) ⊥(ABCD) nên CH ⊥ BD thì CH ⊥(SBD)). 1 1 1 1 1 4 a 3 a 3 = + = + = CH = d M , SBD = . 2 2 2 2 2 2 ( ) CH CB CD (a ) ( ) a 3a 2 4 3 Câu 39:
Có bao nhiêu số nguyên x trong khoảng (0;202 )
3 thỏa mãn log 2x + 5 log x +1 3 ( ) 2
A. 2000 . B. 2022 . C. 2002 . D. 2020 . Lời giải Chọn D
log 2x + 5 log x +1 3 ( ) 2 ĐK : x 0 Đặt = log = 2t t x x 2 t t
Ta được log (2.2t 5) t t 1 t 1 2.2 5 3 + + + + 2 1 2. + 5. 3 (*) 3 3 3 t t Xét f (t ) 2 1 = 2. + 5. 3 3 t t Ta có f (t ) 2 2 1 1 = 2. ln + 5. ln 0
do đó f (t ) nghịch biến trên và f ( ) 1 = 3 3 3 3 3 Trang 51
(*) f (t) f ( )
1 t 1 log x 1 x 2 2
Mà x là số nguyên trong khoảng (0;202 )
3 x = 3;4;5;...;2022 .
Vậy có 2020 giá trị x thỏa mãn. Câu 40:
Cho hàm số f ( x) liên tục trên R . Gọi F ( x),G( x) là hai nguyên hàm của f ( x) trên R thỏa mãn 2
F (4) + G(4) = 4 và F (0) + G(0) =1. Khi đó f (2x) dx bằng 0 3 3 A. 3. B. . C. 6. D. . 4 2 Lời giải Chọn D
Ta có: G( x) = F ( x) + C
F(4) + G(4) = 4 2F(4) + C = 4 3
F(4) − F(0) = .
F(0) + G(0) =1 2F(0) + C =1 2 Vậy: 2 4 3
f (2x)dx =
f (x)dx = F (4) − F (0) = . 2 0 0 Câu 41:
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I (0;0;− )
3 và đi qua điểm M (4;0;0). Phương trình của (S) là
A. x + y + ( z + )2 2 2 3
= 25. B. x + y + (z + )2 2 2 3 = 5 . Lời giải
Chọn A C. x + y + ( z − )2 2 2 3
= 25 . D. x + y + (z − )2 2 2 3 = 5 .
Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (0;0;− )
3 và bán kính R là: x + y + ( z + )2 2 2 2 3 = R .
Ta có: M (S ) + + ( + )2 2 2 2 2 4 0 0 3 = R R = 25.
Vậy phương trình cần tìm là: x + y + ( z + )2 2 2 3 = 25. Câu 42:
Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và u = (− 3; 0; ) 1 là
A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 . Lời giải Chọn C Ta có i = (1; 0; 0) . 1.(− 3) + + . i u 0.0 0.1 − 3
Vậy: cos (i, u) = = =
(i, u) =150. i . u 2 1. (− 3)2 2 2 + 0 +1 Trang 52 Câu 43: x =1+ t
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : y = 2 + 2t đi qua điểm nào dưới đây z = 3−t
A. Điểm N (0;0; )
3 . B. Điểm M (2;4;2). C. Điểm P(1;2;− ) 3 .
D. Điểm Q(2;2;3). Lời giải Chọn B 0 =1+ t t = 1 −
Thay toạ độ điểm N (0;0; )
3 vào phương trình đường thẳng d , ta có: 0 = 2 + 2t t = 1
− nên điểm N (0;0; )3 3 = 3 − t t = 0
không thuộc đường thẳng d. 2 =1+ t t =1
Thay toạ độ điểm M (2;4;2) vào phương trình đường thẳng d , ta có: 4 = 2 + 2t t
=1 t =1. nên điểm 2 = 3 − t t = 1
M (2;4;2) thuộc đường thẳng d. 1 =1+ t t = 0
Thay toạ độ điểm P(1;2;− )
3 vào phương trình đường thẳng d , ta có: 2 = 2 + 2t t
= 0 nên điểm P(1;2;− ) 3 3 − = 3− t t = 6
không thuộc đường thẳng d. 2 =1+ t t =1
Thay toạ độ điểm Q(2;2;3) vào phương trình đường thẳng d , ta có: 2 = 2 + 2t t
= 0 nên điểm Q(2;2;3) 3 = 3 − t t = 0
không thuộc đường thẳng d. Câu 44:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N (3; 2; −1) . Đường thẳng MN có phương trình tham số là x = 1+ 2t x = 1+ t x = 1− t
A. y = 2t
. B. y = t
. C. y = t . D. z = 1 + t z = 1+ t z = 1 + t x = 1+ t y = t . z =1− t Lời giải Chọn D
Đường thẳng MN nhận MN = ( 2;2;− 2) hoặc u(1;1;−1) là véc tơ chỉ phương nên ta loại ngay phương án A,
B và C. Trang 53
Thay tọa độ điểm M (1;0;1) vào phương trình ở phương án D ta thấy thỏa mãn. Câu 45:
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z , z thỏa mãn 1 2 z + 3 = z + 3 . 1 2
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Với 2
= m −1 0, phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm phức liên hợp z = a + bi, z = a − bi . Khi đó 1 2
hiển nhiên z + 3 = (a + 3)2 2 + b = z + 3 . 1 2 Với 2
= m −1 0, phương trình 2
z + 2mz +1 = 0 có hai nghiệm thực phân biệt z , z . Đẳng thức 1 2
z + 3 = z + 3 tương đương với z + z + 6 = 0 , điều này nghĩa là 2
− m + 6 = 0 tức m = 3 . 1 2 1 2
Tóm lại các số nguyên m cần tìm là m = 0, m = 3 . Câu 46: x −1 y z − 2
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : = =
. Gọi ( P) là mặt phẳng chứa 2 1 2
d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( P) bằng 3 11 2 1 A. 2 . B. . C. . D. . 6 6 2 Lời giải Chọn D Gọi n = ( ; a ;
b c) là một vectơ pháp tuyến của ( P) , với 2 2 2
a + b + c 0 .
Điểm M (1;0;2)d M (P) .
Phương trình của (P): ax +by + cz −(a + 2c) = 0 .
Một vectơ chỉ phương của d là u = (2;1;2) n ⊥ u .
n u = 0 2a + b + 2c = 0 . + + +
b = −( a + c) d ( A (P)) | a 5b c | 9 | a c | 2 2 , = = . 2 2 2 a + b + c
a + c + 4 (a + c)2 2 2 a + c
Ta có (a + c) (a + c ) ( )2 2 2 2 2 2 2
a + c với , a c . 2 2 + 2 a c 2 9 2 Suy ra: 2 2
a + c + 4 (a + c) ( )
+ 4(a + c) = (a + c) . 2 2 + + +
Do đó d ( A (P)) 9 | a c | 9 | a c | 9 | a c | 2 , = = = 3 2. +
a + c + (a + c)2 2 2 9 4 (a +c)2 3 | a c | 2 ( a = c Max d ,
A ( P)) = 3 2
. Chọn a = c =1 b = 4 − . b = 4 − a
Phương trình (P) x − y + z − = d (O (P)) 1 : 4 3 0 , = . 2 Câu 47: Trang 54
Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; x y) thoả mãn 2 2 log
x + y + x + log x + y
log x + log x + y + 8x ? 5 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ) 5 3 ( )
A. 10 . B. 12. C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn B
Điều kiện x 0 . Ta có: 2 2 log
x + y + x + log x + y
log x + log x + y + 8x ? 5 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ) 5 3 ( ) log ( 2 2
x + y + x) − log x log ( 2 2
x + y + 8x) − log ( 2 2 x + y 5 5 3 3 ) 2 2 2 2
x + y + x
x + y + 8x log log 5 3 2 2 x x + y 2 2 x + y 8x log +1 −log 1+ 0 5 3 2 2 x x + y 2 2 + Đặt x y = 8
t (t 0); bất phương trình trở thành log t +1 − log 1+ 0 . 5 ( ) x 3 t Xét hàm số 1 8 f (t ) 8 = log t +1 − log 1+ có f (t ) = + 0 , t 0 5 ( ) 3 t (t + ) 1 ln 5 ( 2t +8t)ln3
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+). Mặt khác f ( ) 8 4 = log 4 +1 − log 1+
= 0 f (t) f (4) t 4 5 ( ) 3 4 2 2 x + y Suy ra 4 (x − )2 2 2 + y 4 . x
Đếm các cặp giá trị nguyên của ( ; x y) Ta có: ( x − )2 2
4 0 x 4 .
Với x =1 y 0; 1 có 3 cặp.
Với x = 2 y 0; 1 ; 2 có 5 cặp
Với x = 3 y 0; 1 có 3 cặp
Với x = 4 y = 0 có 1 cặp
Vậy có 12 cặp giá trị nguyên ( ;
x y) thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 48:
Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Biết rằng khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách
tâm của đáy một khoảng bằng 5 , thiết diện thu được là một tam giác đều. Thể tích của khối nón được giới
hạn bởi hình nón đã cho bằng 14
A. . B.
. C. 3 14 . D. 18 . 3 Lời giải Chọn D Trang 55
Giả sử thiết diện là tam giác ABC như hình vẽ. Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc
của I trên AH. Khi đó IK = d (I,(ABC)) = 5 (theo giả thiết). 1 1 1 1 1 1 4 3 5 Ta có = + = − = IH = . 2 2 2 2 IK IA IH IH 5 9 45 2 I . A IH 9
Mặt khác IK.AH = I . A IH AH = = . IK 2 Tam giác đề AB 3 2AH u ABC nên AH = AB = = 3 3 . 2 3 Ta có 2 2 2
IB = AB − AI = 27 − 9 =18. 1 1 1
Thể tích của khối nón bằng 2 2 V = r h = . IB .AI = . 18.3 =18. 3 3 3 Câu 49:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , Cho hai mặt cầu (S ) ( x − )2 2 2 : 3 + y + z = 9 và
(S) x +( y − )2 2 2 : 6
+ z = 24 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) và mặt phẳng (P): z −m = 0 . Gọi T là
tập hợp các giá trị của m để trên mặt phẳng (P) dựng được một tiếp tuyến đến đường tròn (C) . Tổng các
phần tử của tập hợp T là
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A Trang 56
Mặt cầu (S ) có tâm I 3;0;0 , bán kính R = 3 . 1 ( ) 1
Mặt cầu (S) có tâm I 0;6;0 , bán kính R = 2 6 . 2 ( ) 2
Vì I I = 3 5 R + R nên mặt cầu (S ) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) , tâm I , bán kính 1 2 1 2 r . ( x −3 )2 2 2 + y + z = 9
Phương trình của mặt phẳng đường tròn (C) là (Q): x −2y + 2 = 0 . x + ( y −6)2 2 2 + z = 24 x = 3 + t
I I có phương trình y = −2t . 1 2 z = 0
Vì I là giao điểm của I I và mặt phẳng (Q) nên tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình 1 2 x = 3+ t x = 2 y = 2 − t y = 2 I (2;2;0) . z = 0 z = 0
x −2y + 2 = 0 t = 1 −
Bán kính đường tròn (C) 2 2 : r = R − II = 2. 1 1 CTC P u = d (2;1;0)
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) . A (0;1;m)d
Trên mặt phẳng (P) dựng được đúng một tiếp tuyến đến (C) khi d tiếp xúc với đường tròn (C) =
r = d (I (d )) u , AI d m 2 ; 2 = 2 = m T = 2 − ; 2 . u m = 2 − d
Vậy tổng các phần tử của T là 2 + ( 2 − ) = 0 . Trang 57 Câu 50:
Cho các hàm số f (x) 2
= x − 4x + m và g (x) = (x + )(x + )2023 2 2 1 2
. Số các giá trị nguyên của tham số m( 2 − 023;202 )
3 để hàm số y = g ( f ( x)) đồng biến trên khoảng (3;+) là:
A. 2019 . B. 2021. C. 2022 . D. 2020 . Lời giải Chọn D f ( x) 2
= x − 4x + m f (x) = 2x −4. 2023 2022
g ( x) = (x + )(x + )2023 2 2 1 2
g(x) = x ( 2 x + ) + ( 2 x + ) x ( 2 2 . 2 1 .2023.2 . x + 2) = x(x + )2022 2 ( 2 2 2 2024x + 2025) Do đó: g
( f ( x)) = f ( x) g
( f (x)) = ( x− ) f (x) ( f (x)+ )2022 2 ( 2 . 2 4 .2 . 2
2024 f ( x) + 2025) 2022 Vì ( 2 f ( x) + ) ( 2 2
2024 f ( x) + 2025) 0 và 2x − 4 0, x (3;+) nên
( x − )( f (x)+ )2022 2 ( 2 2 2 4 2
2024 f ( x) + 2025) 0, x (3;+).
Hàm số g ( f (x)) đồng biến trên khoảng (3;+) g
( f ( x)) 0, x (3;+) f (x) x ( +) 2
x − x + m x
( +) m h(x) 2 0, 3; 4 0, 3; = −x + 4 , x x
(3;+) m 3.
Vậy có 2020 giá trị nguyên của m( 2 − 023;202 ) 3 thoả mãn bài toán. ĐỀ 4
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MÔN: TOÁN
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1:
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn của số phức z = 2i − 3 có toạ độ là: A. (2; 3 − ). B. ( 3
− ;2). C. (3;2). D. ( 3 − ; 2 − ) . Lời giải Chọn B
Ta có: z = 2i − 3 nên a = 3
− ;b = 2 điểm biểu diễn của z là M = ( 3 − ;2) . Câu 2:
Tính đạo hàm của hàm số 2023x y = A. 1 .2023x y x − = . B. 2023x y = . C. = 2023x y ln x . D. 2023x y = ln 2023. Lời giải Chọn D Trang 58 Áp dụng công thức ( x ) x a = a .ln a Ta có: 2023x y = ln 2023. Câu 3: 5
Tìm đạo hàm của hàm số 3 y = x . 8 3 2 5 2 5 − 2 3 A. 3 y = x B. 3 y = x C. 3 y = x D. 3 y = x 8 3 3 5 Lời giải Chọn B 2 5
Áp dụng công thức ( n x ) n 1 = . n x − , ta được 3 y = x . 3 Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 là A. ( ;
− 10). B. (10;+ ). C. (0;10) . D. (0;+ ). Lời giải Chọn B
Điều kiện x 0 . Ta có 1
log x 1 x 10 x 10 (Thỏa mãn điều kiện)
Tập nghiệm của bất phương trình là (10;+ ) Câu 5: ấ 2
p số nhân (u có số hạng đầu u = −3 và công bội q = . Số hạng thứ năm của (u là n ) n ) 1 3 27 16 27 16 A. . B. . C. − . D. − . 16 27 16 27 Lời giải Chọn D 4 2 16 Ta có 1 u u . n q − = u = 3. − = − . n 1 5 3 27 Câu 6:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (P) : 2x − y + 3z −5 = 0 có một véctơ pháp tuyến là :
A. n = (2;1;3) . B. n = ( 2
− ;1;3) . C. n = ( 2 − ; 1 − ; 3 − ). D. n = (2; 1 − ;3) . Lời giải Chọn D
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n = (2; 1 − ;3) . Trang 59 Câu 7: Cho hàm số 3 2
y = ax + x b
+ cx + d có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Phương trình f (x) =1 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta thầy đường thẳng y =1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f ( x) =1 có ba nghiệm phân biệt. Câu 8: 2 2 2 Cho f
(x)dx = 3 và g(x)dx = 5 − . Tính I = 3 f
(x)- g(x)dx . 1 − 1 − 1 − A. I = 10 − . B. I = 4
− . C. I = 4 . D. I =14. Lời giải Chọn D 2 2 2 Ta có I = 3 f
(x)- g(x)dx = 3 f
(x)dx − g
(x)dx = 3.3−( 5 − ) =14 . 1 − 1 − 1 − Câu 9:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? Trang 60 x − 3 A. 4 2
y = x − 3x + 2 . B. y = . C. 2
y = x − 4x +1. D. x −1 3
y = x − 3x − 5 . Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số 3
y = x − 3x − 5 . Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) 2 2 2
: x + y + z − 2x + 2y − 4z − 2 = 0 . Tính bán kính r của mặt cầu.
A. r = 2 2 . B. r = 26 . C. r = 4 . D. r = 2 . Lời giải Chọn A 2
Mặt cầu (S ) có tâm I (1;−1;2) và bán kính 2 r = + (− ) 2 1 1 + 2 − (−2) = 2 2 . Câu 11:
Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) bằng A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn A
Hai mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) vuông góc với nhau nên góc giữa chúng bằng 90 . Câu 12:
Cho số phức z = 3 − 4i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức ( )2 z bằng A. 31 − . B. 1
− . C. 17 . D. 7 . Lời giải Chọn C 2 2
Ta có: ( z) = (3 + 4i) = 7 − + 24i . Do đó, 7 − + 24 =17 . Câu 13:
Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A B C D có AA = , a AB = 3 ,
a AC = 5a . Thể tích của khối hộp đã cho là A. 3 5a . B. 3 4a . C. 3 12a . D. 3 15a . Lời giải Chọn C Trang 61 2 2 Xét ABC
vuông tại B , ta có: 2 2 BC = AC − AB =
(5a) −(3a) = 4a . 2 S
= AB.BC = 3a.4a =12a ABCD 2 3 V = = = S . AA 12a .a 12a . ABCD. A B C D ABCD Câu 14:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với đáy và
SA = 2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 3 2a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. 3 2a 3 . C. . D. . 3 3 6 Lời giải Chọn A Diện tích đáy 2 B = S = . a a 3 = a 3 . ABCD 3 1 2a 3
Thể tích khối chóp đã cho 2 V = a 3.2a = . ABCD 3 3 Câu 15:
Cho mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S ( ;
O R) . Gọi d là khoảng cách từ O đến ( P) . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. d R . B. d R . C. d = R . D. d = 0 . Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( P) tiếp xúc với mặt cầu S ( ;
O R) khi và chỉ khi d = . R Câu 16:
Số phức có phần thực bằng và phần ảo bằng là:
A. 1− 3i . B. 1
− + 3i . C. 1+ 3i . D. 1 − − 3i . Lời giải Chọn C
Số phức có phần thực bằng và phần ảo bằng là 1+ 3i . Câu 17:
Một hình trụ có bán kính đáy r = a , độ dài đường sinh l = 2a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 2 4 a . B. 2 2 a . Trang 62 C. 2 5 a . D. 2 6 a . Lời giải Chọn A
Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 S = 2rh = 2 .
a 2a = 4 a xq Câu 18: x =1+ t
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình y = 2 − t . Điểm nào sau đây không thuộc z = 3 − + t đường thẳng d ? A. N(0;3; 4 − ) . B. ( P 2;1; 2
− ). C. M(1;3; 2 − ) . D. ( Q 1; 2; 3 − ). Lời giải Chọn C 1 =1+ t t = 0 Thay điểm M(1;3; 2
− ) đường thẳng d ta có : 3 = 2 − t t = 1
− . Vì các giá trị t khác nhau nên điểm 2 − = 3 − + t t = 1 M (1;3; 2
− ) không thuộc đường thẳng d. Câu 19:
Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (1; ) 1
− . B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; ) 1 − . Lời giải
Chọn B C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là ( 1
− ;3). D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; ) 1 .
Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; ) 1
− và điểm cực đại là ( 1 − ;3). Câu 20: 2x +1
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2− là đường thẳng có phương trình? x 1
A. y =1. B. y = 1
− . C. y = . D. y = 2 − . 2 Lời giải Trang 63 Chọn D 1 x 2 + 2x +1 x Ta có: lim = lim = 2 − y = 2
− là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x→ 2 x − x → 2 x −1 x Câu 21:
Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2 36 − x 3 là 3 ) A. (− ; − 3 3;+). B. ( ;3 − . C. 3 − ; 3 . D. (0; 3 . Lời giải Chọn C Có: log ( 2 36 − x ) 2 2
3 36 − x 27 9 − x 0 3 − x 3 . 3 Câu 22:
Cho tập hợp A có 15 phần tử. Số tập con gồm hai phần tử của A bằng
A. 225 B. 30 C. 210 D. 105 Lời giải Chọn D
Số tập hợp con của A là 2 C = 105 . 15 Câu 23: 1 Cho dx = F
(x)+C . Khẳng định nào dưới đây đúng? x 2
A. F( x) =
. B. F( x) = lnx . C. ( ) 1 F x = . D. 2 x x ( ) 1 F x = − . 2 x Lời giải Chọn C Ta có F ( x) 1 1 = dx = . x x Câu 24: 2 2 1 Nếu f
(x)dx = 4 thì f (x)−2 dx bằng 2 0 0
A. 0. B. 6. C. 8. D. 2. − Lời giải Chọn D Trang 64 2 2 2 1 f (x) 1 − x = f (x) 1 2 d dx − 2dx = .4 − 4 = 2 − . 2 2 2 0 0 0 Câu 25:
Cho hàm số f ( x) = sin x − x +1. Khẳng định nào dưới đây đúng? x x A. f (x) 2 dx = cosx −
+ x + C . B. f (x) 2 dx = −cosx − + x + C . 2 2 Lời giải Chọn B C. f
(x)dx = sin x− x+C . D. f (x) 2
dx = −cosx − x + x + C . ( ) 2 x
f x dx = sin xdx − xdx + dx = −cosx − + x + C . 2 Câu 26:
Cho hàm số y = f ( ) x liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 2 − ; ) 1 B. ( 1 − ;2) . C. (− ; − ) 1 . D. ( ; − 2) . Lời giải Chọn B
Từ Bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên ( 1 − ;2) Câu 27:
Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Giá trị cực đại của hàm số đã . A. −3 . B. 1
− . C. 2 . D. 1. Lời giải Trang 65 Chọn D
có tập xác định D = .
Hàm số đồng biến trên ( ;0
− )và hàm số nghịiến trên (0;2);
Suy ra giá trị cực đại của hàm số là: y =1 = f (0 . cd ) Câu 28:
Với a là số thực dương tùy ý, log 5a bằng: 5 ( )
A. 5log a B. 5 + log a C. 1+ log a D. 1− log a 5 5 5 5 Lời giải Chọn C
log 5a = log 5 + log a = 1+ log a 5 ( ) 5 5 5 Câu 29:
Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x . 343 793 397 937 A. S = B. S = C. S = D. S = 12 4 4 12 Lời giải Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình; x = 4 3 2 3 2
−x +12x = −x −x +12x + x = 0 x = −3 x = 0 0 4 Ta có 3 2 3 2 S =
−x +12x + x dx + −x +12x + x dx 3 − 0 0
= (x −12x− x ) 4 99 160 937 3 2 dx + ( 3 2
−x +12x + x )dx = + = . 4 3 12 3 − 0 Câu 30:
Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp đó. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 12 6 3 Lời giải Chọn C Trang 66
Gọi M là trung điểm BC , Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt phẳng ( ABCD) là góc SMO = 60 . a a a 3 Xét S
OM có OM = , SMO = 60 thì SO = OM.tan SMO = . 3 = 2 2 2 3 1 a 3 Nên V = .S . O S =
(đvtt). Đáp án được chọn là S.ABCD 3 ABCD 6 C. Câu 31:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x) = m có 4 nghiệm thực phân biệt. A. 4 − m 3
− . B. m 4 − ;− 3 . C. 4 − m 3 − . D. 2 − m 2 . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy 4 − m 3
− là giá trị cần tìm. Câu 32:
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = ( x − )( x − )( x + )2 1 2
4 . Hàm số y = f ( x + )
1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 5 − ; )
1 . B. (0;+). C. ( ;0 − ). D. (0 ) ;1 . Lời giải Chọn C Trang 67 x =1
Ta có f ( x) = 0 ( x − )
1 ( x − 2)( x + 4)2 = 0 x = 2 x = 4 − x +1 =1 x = 0
y = f ( x + )
1 = 0 x +1 = 2 x = 1 x +1 = 4 − x = 5 − Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; − 0). Câu 33:
Cho một đa giác đều có 36 đinh nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh
là các đỉnh của đa giác trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân. 7 3 52 48 A. . B. . C. . D. . 85 35 595 595 Lời giải Chọn A
Số tam giác được tạo thành từ 36 đỉnh là 3 C . 36 n() 3 = C . 36
Gọi biến cố A: “Chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân”.
Ta tính số tam giác cân và không là tam giác đều được tạo thành từ tập X .
Giả sử tam giác cân và không là tam giác đều được tạo thành là tam giác ABC cân tại đỉnh A . Chọn đỉnh A có 1 C cách chọn. 36 Chọn đỉnh B có 1 C cách chọn. 16
Khi đó đỉnh C là điểm đối đối xứng với B qua đường kính AO .
Do đó đỉnh C có 1 cách chọn.
Suy ra số tam giác cân và không đều được tạo thành là 1 1 C .C tam giác. 36 16
Số tam giác đều được tạo thành là 1 C . 12 Khi đó n(A) 1 1 1 = C .C + C . 36 16 12 1 1 1 n A C .C + C 7
Vậy xác suất cần tìm là P (A) ( ) 36 16 12 = = = . n() 3 C 85 36 Câu 34:
Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2020 1010 (1+ i) = 2 i . B. 2020 1010 (1+ i) = 2 − i . C. 2020 1010 (1+ i) = 2 . D. 2020 1010 (1+ i) = 2 − . . Lời giải Chọn D Trang 68 1010 2 1010 Ta có: 2020 + i = ( + i) = ( i) 1010 1010 1010 252.4 2 1010 (1 ) 1 2 = 2 i = 2 .i + = 2 − . Câu 35:
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thoả mãn z + 4 − 8i = 2 5 là đường tròn có phương trình: 2 2
A. ( x − 4) + ( y + 8) = 20 . 2 2
B. ( x + 4) + ( y − 8) = 2 5 . 2 2
C. ( x − 4) + ( y + 8) = 2 5 . 2 2
D. ( x + 4) + ( y − 8) = 20 . Lời giải Chọn D
Ta có: z = x + yi ( 2
x, y ,i = − ) 1 . 2 2
z + 4 − 8i = 2 5 x + yi + 4 − 8i = 2 5 ( x + 4) + ( y − 8) = 20 . Câu 36:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , i điểm A(1;1;2) , B(2;−1;3) . Viết phương trình đường thẳng AB . x −1 y −1 z − 2 x −1 y −1 z − 2 A. = = B. = = 3 2 1 1 2 − 1 Lời giải x − 3 y + 2 z −1 x +1 y +1 z + 2 Chọn B C. = = D. = = 1 1 2 3 2 − 1 Ta có AB = (1; − 2 ) ;1 .
Đường thẳng AB đi qua điểm A(1;1;2) và nhận véctơ AB = (1;− 2 )
;1 làm véctơ chỉ phương. Vậy phương trình x −1 y −1 z − 2 của AB là = = . 1 2 − 1 Câu 37:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I ( 5
− ;0;5) là trung điểm của đoạn MN , biết M (1; 4 − ;7) .
Tìm tọa độ của điểm N . A. N ( 1
− 0;4;3) . B. N ( 1 − 1; 4 − ; ) 3 . C. N ( 2 − ; 2 − ;6) . D. N ( 1 − 1;4;3). Lời giải Chọn D I ( 5
− ;0;5) là trung điểm của đoạn MN nên ta có. Trang 69 x + x = x M N I 2
x = 2x − x x = 2 x = − N ( 5 − ) −1 11 N I M N y + y y = M N
y = 2y − y y = 2.0 −
y = 4 . Suy ra N ( 1 − 1;4;3) . N ( 4 − ) I N I M N 2 z = z − z = 2 z z = 2.5 − 7 3 z + N I M N N z = z M N I 2 Câu 38:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Gọi P là trung điểm của
SA . Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng (SBC) bằng a 30 3a 30 3a 30 a 30 A. . B. . C. . D. . 10 10 20 20 Lời giải Chọn C
Vì hình chóp SABC là chóp đều nên ABC là tam giác đều cạnh 2a và SO ⊥ ( ABCD) , với O là trọng tâm tam giác ABC .
Gọi M là trung điểm cạnh BC AM⊥ BC , BC ⊥ SO BC ⊥(SMA), K là hình chiếu của O trên
SM OK ⊥ SM và OK (SMA) OK ⊥ BC . Do đó OK ⊥(SBC) tại K . Suy ra d ( ,
O (SBC)) = OK . 1 1 3 Ta có d ( , P (SBC)) = d ( ,
A (SBC)) = .3d ( ,
O (SBC )) = OK . 2 2 2 a 3
Xét tam giác ABC đều cạnh 2a AM = a 3 OM = . 3 Xét S
OM vuông tại O , ta có OK là đường cao nên Trang 70 1 1 1 9 1 10 a 30 3 3a 30 = + = + = OK = d , P SBC = OK = . 2 2 2 2 2 2 ( ( )) OK OM OS 3a 3a 3a 10 2 20 Câu 39: 2 2 x −16 x −16
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log log ? 3 7 343 27
A. 193. B. 92. C. 186. D. 184. Lời giải Chọn D TXĐ: D = (− ; 4 − )(4;+). Ta có: 2 2 x −16 x −16 log log 3 7 343 27
log 7.log x −16 − 3 log x −16 − 3log 3 3 ( 2 ) 7 ( 2 7 ) 7
(log 7 −1 .log x −16 3 o l g 7 − 3l g o 3 3 ) ( 2 7 ) 3 7 − log ( 3 log 7 log 3 2 x −16 7 ) ( 3 7 ) log 7 −1 3 log ( 2 x −16 3 1+ log 3 7 ) ( 7 ) log ( 2 x −16) 3 log 21 7 7 2 3 x −16 21
− 9277 x 9 7 27
Kết hợp điều kiện ta có x 9 − 6; 9 − 5;...; 5 − ;5;...;95;9
6 . Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn. Câu 40: x − 3 y − 4 z +1
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ 2 5 − 3 phương của d ? A. u 2; 4; 1 − . B. u 2; 5
− ;3 . C. u 2;5;3 . D. 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) u 3; 4;1 . 4 ( ) Lời giải Chọn B u 2; 5 − ;3 1 ( ) Câu 41: 2 2 2
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x − 2) + ( y + 4) + ( z − ) 1
= 9 . Tâm của (S ) có tọa độ là A. ( 2 − ;4;− ) 1 . B. (2; 4 − ; ) 1 . C. (2; 4 ) ;1 . D. ( 2 − ; 4 − ;− ) 1 . Lời giải Chọn B
Tâm của mặt cầu (S ) có tọa độ là (2; 4 − ; ) 1 . Trang 71 Câu 42:
Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oyz) có phương trình là
A. z = 0. B. x + y + z = 0 . C. x = 0 . D. y = 0 . Lời giải Chọn C Chọn C. Câu 43: x = 0
Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : y = −2 + t đi qua điểm nào dưới đây? z =1− 3t
A. Điểm Q (0;1;− )
3 . B. Điểm M (0;2;− )
1 . C. Điểm N (0; 1 − ; ) 3 .
D. Điểm P (0; 2 − ; ) 1 . Lời giải Chọn D
x = x + at 0
Đường thẳng d : y = y + bt đi qua điểm M x ; y ; z . 0 ( 0 0 0 ) 0
z = z + ct 0 x = 0
Do đó đường thẳng d : y = −2 + t đi qua điểm P(0; 2 − ; ) 1 . z =1− 3t Câu 44:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2; 3 − ) và B(4; 4 − ; )
1 . Gọi M là trung điểm của AB . Viết phương
trình mặt phẳng trung trực của OM ?
A. 2x + y + z + 3 = 0 B. 2x + y − z + 3 = 0 C. 2x − y − z − 3 = 0
D. 2x − y + z +1 = 0 Lời giải Chọn C 0 + 4 2 + ( 4 − ) 3 − +1
Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là M ; ; hay M (2; 1 − ;− ) 1 2 2 2
Gọi ( ) là mặt phẳng trung trực của đoạn OM . Gọi I là trung điểm của OM nên tọa độ điểm I là 0 + 2 0 + 1 − 0 + 1 − 1 − 1 − I ; ; hay I 1; ; 2 2 2 2 2
Mặt phẳng ( ) đi qua I và có VTPT n = OM = − − (2; 1; ) 1 có phương trình là: Trang 72 ( x − ) 1 1 2 1 −1 y + −1 z + = 0 2 2
2x − y − z −3 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của OM là: 2x − y − z − 3 = 0. Câu 45: x - 2 y - 1 z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
và mặt phẳng (P): x + 2y - z - 5 = 0. - 1 2 2
Tọa độ giao điểm của d và (P) là A. (2;1;- )
1 . B. (3;- 1;- 2). C. (1;3;- 2). D. (1;3;2). Lời giải Chọn D x − 2 y −1 z 2x + y = 5 x =1 = =
Giải hệ phương trình 1 − 2 2
y − z = 1 y = 3
x + 2y − z −5 = 0
x + 2 y − z = 5 z = 2 Câu 46: x − 2 y −1 z −1
Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;1;2) và đường thẳng d : = =
. Gọi ( P) là mặt phẳng đi 2 2 3 −
qua A và chứa d . Khoảng cách từ điểm M (5; 1
− ;3) đến (P) bằng 1 11
A. 5 . B. . C. 1. D. . 3 3 Lời giải Chọn C Lấy B (2;1; )
1 d ta có AB = (2;0; − ) 1 . Ta có A ,
B u = (2;4;4) = 2(1;2;2 d )
Mặt phẳng ( P) đi qua A và chứa d suy ra n = (1;2;2 . P )
Phương trình mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z −6 = 0
x + 2 y + 2z − 6
Vậy d (M ,( P)) M M M = =1. 2 2 2 1 + 2 + 2 Câu 47:
ất phương trình log ( 2
x + 2x + 2) +1 log ( 2
x + 6x + 5 + m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất 7 7 )
phương trình trên có tập ngiệm khoảng (1; ) 3 ?
A. 35 B. 36 C. 34 D. 33 Lời giải Chọn C 2
x + 6x + 5 + m 0 2
m −x − 6x −5 bpt log 7 2 ( 2
x + 2x + 2) log
( 2x +6x+5+m
6x + 8x + 9 m 7 7 ) Trang 73
m max f (x) (1;3) , với f ( x) 2
= −x − 6x −5 ; g (x) 2 = 6x +8x +9 m min g (x) (1;3)
Xét sự biến thiên của hai hàm số f ( x) và g ( x) f (x) = 2
− x −6 0, x (1; )
3 f ( x) luôn nghịiến trên khoảng (1; ) 3
max f (x) = f ( ) 1 = 1 − 2 (1;3)
g(x) =12x +8 0, x (1; )
3 g ( x) luôn đồng biến trên khoảng (1; ) 3
min g (x) = g ( ) 1 = 23 (1;3) Khi đó 1 − 2 m 23 Mà m nên m 1 − 1;−10; ...;2 2
Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 48: 400
Cho khối nón có đỉnh S , chiều cao bằng 4 và thể tích bằng
. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn 3
đáy sao cho AB =16, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng 11 13 12 13 10 13 A. 4 2 . B. . C. . D. . 13 13 13 Lời giải Chọn C
Gọi O , R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, K , H lần lượt là hình O lên AB , SK . Khi đó khoảng
cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng OH . 400 3. 1 3V Ta có: 2 2 3
V = R .h R = = =100 R =10 3 .h .4 2 AB
Trong tam giác vuông OBK có: 2 2 2 2 2
OK = OB − BK = R − = 10 − 8 = 6 . 2 1 1 1 1 1 13 12 13
Trong tam giác vuông SOK có: = + = + = OH = . 2 2 2 2 2 2 OH SO OK 4 6 12 13 Câu 49: Trang 74 x −1 y +1 z − m 2 2 2
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : = =
và mặt c(S ) : ( x − ) 1 + ( y − ) 1 + ( z − 2) = 9 1 1 2
.Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S ) tại hai điểm phân biệt E , F sao ài đoạn EF lớn nhất 1 1
A. m = 1. B. m = 0 . C. m = − . D. m = . 3 3 Lời giải Chọn B
Mặt cầu (S ) có tâm I (1;1;2) và bán kính R = 3 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d , khi đó H là trung điểm đoạn EF . Ta có EF = EH =
R − (d (I (P)))2 2 2 2 ,
. Suy ra EF lớn nhất khi d (I,(P)) nhỏ nhất
Đường thẳng d qua A(1; 1
− ;m) và có véc tơ chỉ phương u = (1;1;2) .
Ta có AI = (0;2;2 − m) , AI,u = (2 + ; m 2 − ; m 2 − ) . AI,u 2m +12
Suy ra d (I,( P)) 2 = = 2 . u 1+1+ 4
Do đó d (I,(P)) nhỏ nhất khi m = 0 . Khi đó EF = EH =
R − (d (I (P)))2 2 2 2 , = 2 7 . Câu 50:
Có bao nhiêu số nguyên m( 2 − 0;20) để hàm số 4 3 2
y = 3x − 4x −12x + m nghịch biến trên khoảng (− ; 1 − ) .
A. 8. B. 15. C. 4. D. 30. Lời giải Chọn B Xét hàm số 4 3 2
f (x) = 3x − 4x −12x + m Ta có 3 2 f x = x − x − x = x ( 2 ( ) 12 12 24 12
x − x − 2) . x = 0 f (
x) = 0 x = 1. − x = 2
Lấy đối xứng đồ thị hàm số f (x) qua trục hoành ta được đồ thị hàm số f (x) . Từ bảng biến thiên ta thấy hàm
số f (x) nghịch biến trên khoảng (− ; 1
− ) m−5 0 m 5.
Vì m nguyên và m( 2 − 0;20) suy ra m { 5;6; ; 17;18;19}.
Vậy có tất cả 15 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán. Trang 75 ĐỀ 4
ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 MÔN: TOÁN
PHÁT TRIỂN TỪ ĐỀ THAM KHẢO Câu 1:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = ( 3
− + 4i)i có tọa độ là A. M ( 3
− ;4). B. N ( 4 − ; ) 3 . C. P (3; 4 − ) . D. Q( 4 − −3). Lời giải Chọn D Ta có z = ( 3 − + 4i)i = 4
− −3i nên điểm biểu diễn số phức cần tìm là Q( 4 − −3). Câu 2:
Trên (0; +), đạo hàm của hàm số y = ln 2x là: 1 1 2 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = − . 2x x x x Lời giải Chọn B ( 2x) 2 1
Ta có: y = ln 2x y = = = . 2x 2x x Câu 3:
Tập xác định D của hàm số y = ( x − ) 1 là: D = \ 1 D = 1;+) A. . B. D = . C. . D. D = (1; +) . Lời giải Chọn D
Tập xác định D của hàm số y = ( x − ) 1 là D = (1;+) . Câu 4:
Tập nghiệm của bất phương trình x 1 2 + 4 là A. ( ;1
− . B. (1;+). C. 1;+) . D. ( ) ;1 − . Lời giải Chọn D + + Ta có x 1 x 1 2 2
4 2 2 x +1 2 x 1.
Vậy tập của bất phương trình là ( ) ;1 − . Câu 5:
Cho cấp số nhân (u với u = 2023 và công bội q = 3. Giá trị của u bằng n ) 1 3 Trang 76
A. 2029 . B. 54621. C. 18207 . D. 6069 . Lời giải Chọn C Ta có: 2 2
u = u .q = 2023.3 = 18207 . 3 1 Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y −3z +3 = 0. Trong các véctơ sau véctơ nào là
véctơ pháp tuyến của (P) ? A. n = (1; 2
− ;3) . B. n = (1;2; 3
− ). C. n = (1;2;3). D. n = ( 1 − ;2;3). Lời giải Chọn B Câu 7: ax + b
Cho hàm số y = cx+ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho d
và trục hoành là điểm nào trong các điểm sau A. (0; 2 − ) . B. (0; ) 1 − . C. ( 1 − ;0) . D. (1;0) . Lời giải Chọn C
Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ ( 1 − ;0) . Câu 8: 2 3 3 Nếu
f ( x)dx = 2 − và f
(x)dx =1 thì f (x)dx bằng 1 2 1 A. −3 . B. 1
− . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn B 3 2 3
Ta có f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx = 2 − +1 = 1 − . 1 1 2 Câu 9:
Đổ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? Trang 77 x − 3 A. 4 2
y = x − 3x + 2 . B. y = . C. 2
y = x − 4x +1. D. x −1 3 2
y = x − 3x + 2 . Lời giải Chọn D
Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a 0 nên chỉ có hàm số 3 2
y = x − 3x + 2 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 10: 2 2 2
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S ) : ( x + ) 1
+ ( y − 2) + (z − ) 1
= 9 . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S ). A. I ( 1 − ;2; )
1 và R = 3. B. I (1; 2 − ;− ) 1 và R = 3. Lời giải Chọn A C. I ( 1 − ;2; )
1 và R = 9. D. I (1; 2 − ;− ) 1 và R = 9. Câu 11:
Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 Lời giải Chọn D
Ta có vectơ pháp tuyến của (Oxy) và (Oyz) lần lượt là k và i .
Vì k ⊥ i nên ((Oxy);(Oyz)) = 90 . Câu 12:
Cho số phức z =1+ i . Khi đó 3 z bằng
A. 2 2 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A có: 3 3 z = 2
− + 2i z = 4 + 4 = 2 2 . ó thể sử dụng MTBT. Câu 13: Trang 78
Cho khối lập phương có cạnh bằng 2 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng 8
A. 6. B. 8 . C. . D. 4 . 3 Lời giải Chọn B
Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là 3 3 V = a = 2 = 8. Câu 14:
Chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
SA = 3a , tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . A. 3 V = a . B. 3 V = 2a . C. 3 V = 3a . 3 a D. V = . 3 Lời giải Chọn A 1 1 2 3 V = .S . A S = .3 . a a = a . 3 ABCD 3 Câu 15:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z + 24 = 0 và mặt cầu
(S) (x − )2 +( y − )2 +(z − )2 : 1 2 3
= 9. Vị trí tương đối của (S ) và (P) là
A. ( P) đi qua tâm của (S ) . B. ( P) không cắt (S ) . Lời giải
Chọn B C. (P) tiếp xúc với (S ). D. (P) cắt (S ) và không đi qua tâm của (S).
Mặt cầu (S ) có tâm I (1;2;3) và bán kính R = 3. 1− 2.2 + 2.3 + 24
Khoảng cách từ tâm I (1;2;3) đến mặt phẳng ( P) là d (I,(P)) = = 9 R 1 + ( 2 − )2 2 2 + 2
Vậy ( P) không cắt (S ) . Trang 79 Câu 16:
Xác định phần ảo của số phức z =18 −12i . A. 12
− . B. 18. C. 12. D. 12 − i . Lời giải Chọn A
Phần ảo của số phức z = 18 −12i là 12 − . Câu 17:
Cho hình nón ( N ) có chiều cao bằng 3 và thể tích của khối nón được giới hạn bởi ( N ) bằng 16 . Diện tích
xung quanh của ( N ) bằng
A. 12 . B. 20 . C. 24 . D. 10 . Lời giải Chọn B 1 Ta có V = .
B h trong đó h là chiều cao hình nón và B là diện tích đáy hình nón. 3 3V 3.16 B = = =16 . h 3 Bán kính đáy hình nón: B r = = 4 = + = + =
và độ dài đường sinh là 2 2 2 2 l h r 3 4 5 .
Diện tích xung quanh của hình nón ( N ) là S = rl = 20 . xq Câu 18: x y − z +
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 2 1 : = =
. Điểm nào sau đây thuộc ? 3 2 1 − A. A(3;2; ) 1
− . B. B(0;2; ) 1
− . C. C (0;2; ) 1 . D. D(3;2; ) 1 . Lời giải Chọn B
Nhận thấy điểm B(0;2; ) 1
− thuộc đường thẳng . Câu 19:
Cho hàm số y = f ( )
x có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 .
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 − . Trang 80 Lời giải Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x =1 . Câu 20: 5 − 4x
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
là đường thẳng có phương trình 2x −1 5 A. y = 2
− . B. y = . C. y = 2 . D. y = 4 . 2 Lời giải Chọn A Câu 21:
Tập nghiệm của bất phương trình log x −1 2 là 3 ( )
A. (−;10) . B. (0;10) . C. (1;9) . D. (1;10) . Lời giải Chọn D Câu 22:
Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách . A. 3 A . 30 B. 30 3 . C. 10 . D. 3 C . 30 Lời giải Chọn D
Số cách chọn 3 người bất kì trong 30 là: 3 C . 30 Câu 23: 1
Họ nguyên hàm của hàm số: 2
y = x - 3x + là x 3 x 3 3 x 3 A. F (x ) 2 = -
x + ln x + C . B. F (x ) 2 = +
x + ln x + C . C. 3 2 3 2 3 x 3 F (x ) 1 = 2x - 3 -
+ C . D. F (x ) 2 = -
x + ln x + C . 2 x 3 2 Lời giải Chọn D 3 æ 1ö ç ÷ x 3 có: F (x ) 2 2 = x ç - 3x + d ÷ x = -
x + ln x + C ò ç ÷ çè x ÷ ø 3 2 Trang 81 Câu 24: ln 2 ln 2
Cho (2 ( ) + ex f x
)dx =5. Tính f (x)dx . 0 0 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. 2 Lời giải Chọn C ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
Ta có: (2 ( ) + ex )d = 2 ( )d + ex f x x f x x = 2 f (x) ln 2 0 dx + e − e . 0 0 0 0 ln 2 = 2 f (x)dx+1. 0 ln 2 ln 2
Theo bài ra (2 ( ) + ex f x )dx =5 2 f
(x)dx+1=5. 0 0 ln 2 f (x)dx = 2. 0 Câu 25:
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 sin x . A. xdx = − x + 2sin 2 cos C B. xdx = x + 2sin 2 cos C Lời giải Chọn A C. xdx = x + 2 2 sin sin C D. xdx = x + 2sin sin 2 C Câu 26:
Cho hàm số y = f ( )
x có bảng biên thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoàng nào dưới đây?
A. (0; 2) . B. (6;9) . C. ( ; − 3) . D. (1;3) . Lời giải Chọn B
Dựa vô BBT ta có hàm số đồng biến trên khoảng (6;9) . Câu 27:
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn có 2
− ;2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f (x) là Trang 82 A. x = 1 . B. M (1; 2 − ) . C. M ( 2 − ; 4 − ). D. x = 2 − . Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f ( x) là M (1; 2 − ) . Câu 28:
Với 𝑎 là số thực dương tùy ý, ln(3a) − ln(2a) bằng: 2 3
A. ln a . B. ln . C. 2 ln(6a ) . D. ln . 3 2 Lời giải Chọn D 3a 3 Ta có ln(3a) − ln(2a) = ln = ln . 2a 2 Câu 29:
Thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 3 và trục hoành quay quanh trục Ox là 4 16 16 4 A. . B. . C. . D. . 3 15 15 3 Lời giải Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 3 và trục hoành là nghiệm phương trình x =1 2
x − 4x + 3 = 0 . x = 3
Do đó, thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 4x + 3 và trục hoành
quay quanh trục Ox là 3 3 3 5 3 x 22x 16
V = (x − 4x + 3)2 2 dx = ( 4 3 2
x − 8x + 22x − 24x + 9)dx 4 2 = − 2x + −12x + 9x = . 5 3 15 1 1 1 Câu 30: Trang 83
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AC = 2a , BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC) bằng
A. 60 B. 90 C. 30 D. 45 Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 AB =
AC − BC = 4a − 3a = . a
Ta có: SA ⊥ ( ABC) SA ⊥ BC và AB ⊥ BC BC ⊥ SB
((SBC),(ABC)) = (A , B SB) = SBA SA a 3 Mà tan SBA = = = 3 SBA = 60 . AB a
Vậy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( ABC ) bằng 60 . Câu 31:
Cho đồ thị của hàm số y = f (x)như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình f (x) = m có đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D Trang 84
Ta có phương trình f (x) = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng
nằm ngang y = m.
Để phương trình f (x) = m có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng và đường cong cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. m = 1 Từ đồ thị suy ra . m = 3
Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 32: 2
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = ( x − 2) (1− x) với mọi x . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2) . B. (1;+) . C. (2;+) . D. ( ) ;1 − . Lời giải Chọn D 1 − x 0 2 x 1
Ta có f ( x) 0 ( x − 2) (1− x) 0 ( x . x − 2 ) 1 2 0 x 2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;1 − . Câu 33:
Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Một bạn rút ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ. Tính xác suất
để tổng 3 số ghi trên 3 thẻ được rút chia hết cho 3 . 5 9 3 1 A. . B. . C. . D. . 14 14 14 2 Lời giải Chọn A
+ Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên đồng thời 3 tấm thẻ trong một hộp đựng 9 tấm thẻ” n() 3 = C = 84 . 9
+ Gọi A là biến cố “Rút được 3 tấm thẻ có tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 3 ”.
Trong 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 có:
3 tấm thẻ ghi số chia cho 3 dư 1 (là 1; 4; 7);
3 tấm thẻ ghi số chia cho 3 dư 2 (là 2; 5; 8);
3 tấm thẻ ghi số chia hết cho 3 (là 3; 6; 9). Trang 85
Ta có các trường hợp sau để rút được 3 thẻ có tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 3 :
TH 1: Lấy được 3 thẻ ghi số chia hết cho 3, có 3 C = 1 cách. 3
TH 2: Lấy được 3 thẻ ghi số chia cho 3 dư 1, có 3 C = 1 cách. 3
TH 3: Lấy được 3 thẻ ghi số chia cho 3 dư 2, có 3 C = 1 cách. 3
TH 4: Lấy được 3 thẻ trong đó có 1 thẻ ghi số chia cho 3 dư 1, 1 thẻ ghi số chia cho 3 dư 2, 1 thẻ ghi số chia hết cho 3, có 1 1 1
C .C .C = 27 cách. 3 3 3 n( ) A = 1+1+1+ 27 = 30 n A 30 5
Vậy xác suất cần tìm là P ( A) ( ) = = = n() . 84 14 Câu 34: u + u = 10
Cho cấp số nhân (u thỏa mãn: 1 3 . Tìm u . n ) u + u = 80 3 4 6
A. u = 4 .
B. u = 2 .
C. u = 8 . D. u = 6 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn C 2 + = u 1+ q =10 u u 10 u + u q =10 + = = 1 ( 2 ) u 1 q 10 u 2 1 3 1 1 1 ( 2 ) 1 . . 3 5 3 u + u = 80 u q + u q = 80 u q ( 2 1+ q ) 3 = = q = 2 4 6 1 1 80 q 8 1 Vậy u = 8 . 3 Câu 35:
Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i = 1 là một đường tròn. Tâm của
đường tròn đó có tọa độ là.
A. (0;2) . B. ( 2 − ;0) . C. (0; 2 − ) . D. (2;0) . Lời giải Chọn C
Đặt z = x + yi , với , x y .
Từ giả thiết z + i = x + ( y + )2 2 2 1 2 =1.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (0; 2
− ) , bán kính R =1 Câu 36: x −1 y + 2 z
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 2 1 − 3
(P): x+6y−4z+27=0. Gọi M ( ;a ;bc) là giao điểm của d và (P). Tính S = 2a−b+c .
A. S = 10 . B. S = 13 . C. S = 11 . D. S = 12 . Lời giải Chọn D Trang 86 x =1+ 2t
d có phương trình tham số y = 2
− − t ,(t ) . z = 3t Ta có:
M (1+ 2t; − 2 −t; 3t)d .
M (P) 1+ 2t + 6( 2
− −t)− 4.3t + 27 = 0 t =1. Suy ra M (3;− 3; )
3 nên a = 3,b = 3 − ,c = 3 .
Vậy S = 2a − b + c = 2.3 + 3 + 3 = 12 . Câu 37:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (- 1;2;- 3). Gọi M , M , M lần lượt là điểm đối xứng 1 2 3
của M qua các mặt phẳng (Oxy ), (Oxz ), (Oyz ). Viết phương trình mặt phẳng (M M M . 1 2 3 )
A. 6x + 2y + 3z + 6 = 0 . B. 6x − 2y + 3z + 6 = 0 . C. 6x −3y + 2z + 6 = 0 .
D. 6x −3y − 2z + 6 = 0 . Lời giải Chọn C
Tọa độ các điểm M , M , M lần lượt là M 1 − ;2;3 , M 1 − ; 2 − ; 3 − , M 1;2; 3 − . 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 3 Ta có M M = 0; 4 − ; 6 − , M M = 2;0; 6 − . 1 3 ( ) 1 2 ( )
Khi đó M M ; M M = 24; 1 − 2;8 M M M là n = (6; 3 − ;2) . 1 2 1 3 ( )
. Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( 1 2 3 )
Mặt phẳng (M M M đi qua điểm M 1
− ;2;3 và có vectơ pháp tuyến là n = (6; 3
− ;2) có phương trình là 1 ( ) 1 2 3 ) 6( x + )
1 − 3( y − 2) + 2( z − )
3 = 0 hay 6x −3y + 2z + 6 = 0 . Câu 38:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = , a AD = 2 ,
a SA ⊥ ( ABCD) và SA = a .
Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM ), với M là trung điểm của CD . 2a a 4a A. . B. . C. . D. a 33 . 33 33 33 Lời giải Chọn A Trang 87 S a H A 2a D a M E N B C CE 1 Ta có d ( ,
D (SBM )) = d (C,(SBM )) = d ( ,
A (SBM )) d ( ,
D (SBM )) = d ( , A (SBM )) . AE 2
Dựng AN ⊥ BM với N thuộc BM và AH ⊥ SN với H thuộc SN .
Khi đó, BM ⊥ AN và BM ⊥ SA , suy ra BM ⊥ (SAN ) nên BM ⊥ AH .
Và AH ⊥ BM và AH ⊥ SN , suy ra AH ⊥ (SBM ) nên d ( ,
A (SBM )) = AH . 1 Ta có 2 2 2 S = S − 2S S
= 2a − 2. a S = a . ABM ABCD ADM ABM 2 ABM 2 1 2.S 2a 4a Mà S = AN. ABM BM AN = AN = AN = . ABM 2 2 BM ( a 2a) 17 2 + 2
Trong tam giác vuông SAN , vuông tại ,
A với AH đường cao, ta có 1 1 1 4a = + AH = . 2 2 2 AH AN AS 33 a
Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM ) là ( ( )) 2 d D, SBM = . 33 Câu 39:
Biết rằng phương trình 2 log .
x log 2 +1 = log 5 +1 log x có hai nghiệm thực phân biệt. Tổng của hai nghiệm 2 5 ( 2 ) 5 đó là
A. 7 . B. 5 . C. 2 2. D. 10 . Lời giải Chọn A
Đk : x 0 . Phương trình đã cho log . x log .
x log 2 +1 = log x + log x log .
x log x +1− log x − log x = 0 2 2 5 2 5 2 5 2 5 ( x − = x = . log x − ) 1 (log x − ) log 1 0 2 2 1 = 0 2 5 log x −1 = 0 x = 5 5
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 7 Câu 40: Trang 88 x − 3 y +1 z + 2
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : = =
. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ 4 2 − 3 phương của d A. u = 3; 1 − ; 2
− . B. u = 4;2;3 . C. u = 4; 2 − ;3 . D. 2 ( ) 4 ( ) 3 ( ) u = 3;1; 2 . 1 ( ) Lời giải Chọn C
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u 4; 2 − ;3 . 2 ( ) Câu 41:
Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số 2 2
y = −x − mx + m + 4 − 3mx +19 có 3 điểm cực trị?
A. 3. B. 5. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn C Cách 1: Ta thấy phương trình 2 2
−x −mx + m + 4 = 0 luôn có hai nghiệm x , x . 1 2 2 2
x − 2mx − m +15 khi x (− ;
x x ;+ 1 ) ( 2 ) Khi đó y = 2 2
−x − 4mx + m + 23 khi x (x ;x 1 2 )
Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì điểm cực đại x = 2 − m của hàm số 2 2
y = −x − 4mx + m + 23 thuộc CD
khoảng ( x ; x hay x 2 − m x . 1 2 ) 1 2
(x + 2m)(x + 2m) 0 x x + 2m(x + x ) 2 + 4m 0 1 2 1 2 1 2 . −( 2 m + 4) + 2 . m (−m) 2 2
+ 4m 0 m − 4 0 2 − m 2
+ Mà m nguyên dương nên m = 1. Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1. Cách 2:
+ Đặt g (x) 2 2
= x + mx − m − 4 .
+ Điều kiện để y có ba điểm cực trị là g (− m) 2 2
0 m − 4 0 2 − m 2.
+ Mà m nguyên dương nên m = 1. Suy ra số giá trị m thỏa mãn là 1. Câu 42:
Trong không gian Oxyz với i, j, k lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục O , x O , y O .
z Tính tọa độ của vecto
i + j − k.
A. i + j − k = ( 1 − ; 1
− ;1). B. i + j − k = ( 1
− ;1;1). C. i + j − k = (1;1;−1).
D. i + j − k = (1; −1;1). Lời giải Chọn C
Ta có i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1).
Do đó, i + j − k = (1;1;−1). Câu 43: Trang 89 x = t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Đường thẳng d : y = 1− t đi qua điểm nào sau đây? z = 2+t A. K (1; 1 − ; )
1 . B. E (1;1;2) . C. H (1;2;0) . D. F (0;1;2) . Lời giải Chọn D 1 = t t =1
Thay tọa độ của K (1; 1 − ; )
1 vào PTTS của d ta được 1
− =1− t t
= 2 : không tồn tại t . 1 = 2 + t t = 1 −
Do đó, K d. 1 = t t = 1
Thay tọa độ của E (1;1;2) vào PTTS của d ta được 1
= 1− t t
= 0 : không tồn tại t . 2 = 2 + t t = 0
Do đó, E d. 1 = t t = 1
Thay tọa độ của H (1;2;0) vào PTTS của d ta được 2 = 1− t t
= −1 : không tồn tại t . 0 = 2 + t t = 2 −
Do đó, H d. 0 = t t = 0
Thay tọa độ của F (0;1;2) vào PTTS của d ta được 1
=1− t t = 0 t = 0. 2 = 2 + t t = 0 Câu 44:
Trong không gian tọa độ Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A(1; 2 − ; )
3 và có véc-tơ chỉ phương u = (2; 1 − ; 2 − ) có phương trình là x +1 y − 2 z + 3 x −1 y + 2 z − 3 A. = = = = 2 1 − 2 − . B. 2 1 − 2 − . Lời giải x −1 y + 2 z − 3 x −1 y + 2 z − 3 Chọn B C. = = = = 2 − 1 − . D. 2 2 − 1 2 − .
Đường thẳng đi qua điểm A(1; 2 − ; )
3 và có véc-tơ chỉ phương u = (2; 1 − ; 2 − ) có phương trình x −1 y + 2 z − 3 = = 2 1 − 2 − Câu 45:
Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M (2;1;− )
1 trên mặt phẳng (Ozx) có tọa độ là
A. (0;1;0) . B. (2;1;0) . C. (0;1; ) 1 − . D. (2;0; ) 1 − . Lời giải Chọn D Trang 90
Hình chiếu của M (2;1;− )
1 lên mặt phẳng (Ozx) là điểm có tọa độ (2;0; ) 1 − . Câu 46: x +1 y −1 z
Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = , I (1;1; ) 1 . Viết phương trình 1 1 − 2 −
mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d , đồng thời khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) bằng 3 .
A. (P):x − y + z − 2 = 0 , (P):7x + 5y + z + 2 = 0 . B. (P):x − y + z + 2 = 0 ,
(P):7x+5y + z +2 = 0. Lời giải
Chọn B C. (P): x − y + z − 2 = 0 , (P):7x + 5y + z − 2 = 0 . D.
(P):x− y + z +2 = 0, (P):7x+5y + z −2 = 0.
Lấy M (-1;1;0), N (0;0;-2) thuộc đường thẳng d .
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz + d = ( 2 2 2
0, a + b + c 0) . M (P)
−a + b + d = 0
d = −a + b
Ta có: N ( P) 2 − c + d = 0 d = 2c ( + + + + + + I ( P)) | a b c d | | a b c d | d , = 3 = 3 = 3 2 2 2 2 2 2
a + b + c
a + b + c
2c = a − b
2c = a − b
d = a −b
d = a −b 2 2 2 5 − −
a − 2ab − 7b = 0 a b a b 2 2 a + b +
+ a − b = 3 a + b + 2 2 a = b − = − 2c a b
2c = a − b
d = a −b
d = a − b ( 5 a = 7b a + b )(5a −7b) = 0
2c = a −b
d = a − b a = b −
Với 2c = a − b . Bộ số ( ; a ; b ; c d ) = (1; 1
− ;1;2) (P):x − y + z + 2 = 0.
d = a −b 5 a = 7b
Với 2c = a − b . Bộ số ( ; a ; b ;
c d ) = (7;5;1;2) (P):7x + 5y + z + 2 = 0.
d = a −b Câu 47: Cho các số , x ,
y a thoả mãn 1 x 2048, y 1, a và Trang 91 x 1 + 2 + + log + −1 = 2a + − + 2a x xy x y x a y + a +1 a 100 2048 2 ( ) ( )
. Có bao nhiêu giá trị của để luôn có cặp số nguyên ( ; x y)?
A. 89. B. 90. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn B x 1 + Ta có: 2 + + log + −1 = 2a + − + 2a x xy x y x a y + a +1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( + ) 1 ( + − ) 1 + ( + ) 1 log + −1 = +1 2a x x y x x y x + a 2 ( ) ( )( ) log + − 2 ( x y ) 1 2 + log + −1 = 2a x y + a x +1 2, x 1 2 ( ) (do và
x + y −11, x
1, y 1nên log x + y −1 0 ( ) * 2 ( ) Xét hàm số ( ) = 2t f t + t (t 0) . Vì ( ) = 2t f t .ln 2 +1 0, t
0 nên hàm số f (t) đồng biến trên 0;+) . ( ) * log
+ −1 = + −1= 2a = 2a x y a x y x − y +1 2 ( ) .
Mà 1 x 2048 nên suy ra: 1 2a − +1 2048 2a − 2047 2a y y .
Do y 1 và mỗi giá trị của y có một giá trị tương ứng của x ; trong đoạn 2a − 2047; 2a có số nguyên 2048
nên để có 2048 cặp số nguyên ( ; x y) thoả mãn ( )
1 thì 2a − 2047 1 a 1 .
1 Mà a 100, a nên
a 11;12;...;10 0 .
Vậy có 90 giá trị của a thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 48:
Cho hình nón tròn xoay đỉnh S có chiều cao bằng bán kính đáy. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt đường tròn
đáy tại A và B sao cho AB = 2a . Tính khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) , biết thể tích khối nón là 3 V = a 3 . a 6 a 30 a 5 A.
. B. a 5 . C. . D. . 5 5 6 Lời giải Chọn C 1 Ta có: 2 3 3 V = R
h 3a 3 = R R = a 3 (cm) . 3
R = h = a 3 . Trang 92
Gọi I là trung điểm AB . Kẻ OH ⊥ SI . Khi đó:
SI ⊥AB AB⊥(SIO) OI ⊥ AB OH ⊥ AB OH ⊥ AB Mặt khác: OH ⊥ (SAB) OH ⊥ SI d ( ;
O (P)) = OH . 2 Xét A
OI vuông tại I ta có: 2 2
OI = OA − IA = (a ) 2 3
− a = a 2 (cm) Xét S
IO vuông tại O có đường cao OH , ta có: 2 S . O OI a 3.a 2 a 6 a 30 OH = = = = (cm) 2 2 SO + OI ( a a 3 )2 + (a 2)2 5 5 Câu 49:
Trong không gian Oxyz, cho A(0;0;10), B(3;4;6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không
có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (4;5). B. (3;4). C. (2; ) 3 . D. (6;7). Lời giải Chọn B 1 Ta có: S = O . A d M OA = d M OA = OAM ( ; ) 15 ( ; ) 3. 2
Suy ra: M di động trên mặt trụ, bán kính bằng 3, trục là . OA 2 = = = Xét điể H . A HO HD 9 HA 1
m D như hình vẽ, . HA + HO =10 HO = 9
Vì AMO 90 nên giới hạn của M là hai mặt trụ với trục AH và . FO Trang 93
Vì hình chiếu của B cách H gần hơn nên 2 2 BM = 2 + 3 = 13. min Câu 50: 1 Cho hàm số 3 2
y = f (x) =
x − x + mx + 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m [ 2 − 020;2020] để hàm số 3
y = f ( x − 2 ) đồng biến trên ( 2 − ;0) .
A. 2020. B. 2021. C. 2012. D. 2013. Lời giải Chọn D
Xét hàm số y = f (| x − 2 |) đồng biến trên ( 2
− ;0) f (| x |) đồng biến trên ( 4 − ; 2 − )
Do đó y = f ( )
x nghịch biến trên (2; 4) . Ta có 2 2 f (
x) = x − 2x + m 0, x
(2;4) m −x + 2 , x x
(2;4) m 8 − . Do m [ 2
− 020;2020] nên có 2013 giá trị nguyên của m . Trang 94