Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Để tìm hiểu về trọng tâm tam giác và cách xác định trọng tâm tam giác, mời quý bạn đọc cùng Luật Minh Khuê theo dõi bài viết sau.

1. Trọng tâm là gì?

Trọng tâm của một vật thể là điểm mà khi đặt một trụ thẳng đứng vào điểm đó, vật thể có thể đứng cân bằng.

Trọng tâm được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày theo cả nghĩa đen và nghĩa bóng, chỉ một điểm trung tâm, chính giữa của một vật, một vấn đề. Trong toán học, người ta thường sử dụng trọng tâm trong hình học, chẳng hạn: trọng tâm tam giác, trọng tâm hình chữ nhật, trọng tâm của tứ giác ...

2. Trọng tâm tam giác là gì?

Trọng tâm của tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung tuyến.

Vậy đường trung tuyến của tam giác là gì? Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM, BN, CP lần lượt là 3 đường trung tuyến xuất phát từ 3 đỉnh A, B, C.

Khi đó, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại điểm G. Vì vậy, G chính là trọng tâm của tam giác ABC đã cho.

3. Tính chất trọng tâm tam giác

Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Giả sử, tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo tính chất trên, ta có:

• GA = 2/3 AM
• GB = 2/3 AN
• GC = 2/3 CP

Ngoài ra, chúng ta còn một số hằng đẳng thức khác liên quan đến trọng tâm tam giác. Xét theo khía cạnh, điểm G chia mỗi đường trung tuyến thành 3 phần bằng nhau.

Đối với đường trung tuyến AM, ta có: AM = 3 GM; AM = 3/2 AG; AG = 2 GM; GM = 1/2 AG,…

Đối với đường trung tuyến BN, ta có: BN = 3 GN; BN = 3/2 BG; BG = 2 GN; GN = 1/2 BG,…

Đối với đường trung tuyến CP, ta có: CP = 3 GP; CP = 3/2 CG; CG = 2 GP; GP = 1/2 CG,…

Quy tắc trọng tâm tam giác theo vectơ

Trọng tâm tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Áp dụng quy tắc trọng tâm tam giác:

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:

với mọi điểm M bất kỳ.

Với từng dạng tam giác đặc biệt, tính chất trọng tâm của tam giác được biểu thị như sau:

Trong tam giác vuông

Giả sử tam giác MNP vuông tại M. 3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.

Trọng tâm tam giác cân

Giả sử tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm. Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác.

Do vậy ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

• Góc BAD bằng góc CAD.
• Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

Trọng tâm của tam giác vuông cân

Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên ta suy ra:

AB = AC. => BP = CN và BN = AN = CP = AP.

Trọng tâm tam giác đều

Giả sử cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

4. Cách xác định trọng tâm tam giác

Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác, ta có 2 cách để xác định trọng tâm của một tam giác ABC như sau:

Cách 1: Dựa vào khái niệm trọng tâm tam giác là giao điểm 3 đường trung tuyến, ta xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.

Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

Cách 2: Dựa vào tính chất về tỉ lệ các đoạn trên đường trung tuyến, ta xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến như sau:

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.

Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

5. Một số bài tập vận dụng về trọng tâm của tam giác

Bài tập 1: Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?

Hướng dẫn giải:

Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Chứng minh rằng hai tam giác AIB và tam giác AIC là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A với G là trọng tâm. Vì AI là đường trung tuyến của một góc vuông nên ta có: AI = 1/2 BC = BI = CI.

Suy ra, tam giác AIB và tam giác AIC lần lượt cân tại I.

Bài tập 3: CHo tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm. BG cắt AC tạo M, CG cắt AB tại N. Chứng minh:

a. BM = CN

b. BN = AN = CM = AM

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông cân tại A với G là trọng tâm.

Theo tính chất của đường trung trực tam giác cân, AG là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này.

Suy ra, AG vuông góc với BC.

Bên cạnh đó còn có: AB = AC (vì tam giác cân tại A).

Suy ra, BM = CN và BN = AN = CM = AM.

Bài tập 4: Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp giải:

+ Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

+ Áp dụng nhận xét: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh bằng một nửa cạnh huyền

Gọi M là trung điểm của BC

Suy ra: AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên A M = 1/2BC

BC = √ (AB^2 + AC^2) = √ ( 3^2 + 4^2 ) = 5 cm

⇒ A M = 1 / 2 x 5 = 2,5 cm

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2/3 AM = 2/3 .2,5 = 1,7 cm.

Vậy AG = 1,7 cm.

Bài tập 5: Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.

Hướng dẫn giải:

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

⇒ ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ΔDEI = ΔDFI

⇒ ∠ DIE = ∠ DIF

Mà ∠ BID + ∠ DIF = 180 độ (kề bù)

Nên ∠ DIE = ∠ DIF = 90 độ

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I ⇒ DI^2 = DE^2 − EI^2 (định lí pytago)

⇒ D I = √ 144 = 12 cm.

Bài tập 6: Cho G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC, nên theo quy tắc vectơ trọng tâm tam giác, ta có:

Tượng tự, do G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ và có điểm G nên ta có:

Vậy (điều phải chứng minh)