Tương giao đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất với đường thẳng | Chuyên đề Toán 12

Tương giao đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất với đường thẳng Bài toán tổng quát ax + b y = Cho hàm số
cx + d có đồ thị (C). Tìm tham số m để đường thẳng
d : y = ax + b cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K? Phương pháp giải
Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)
ax + b = ax + b
Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C): cx + d Û ( ) 2 = a
+ (b + a - ) + b - = 0, d g x cx c d a x d b " x ¹ - c .
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û g(x)= 0 có 2 nghiệm nghiệm phân biệt ìïca ¹ 0; D > 0 ïïï d Û í d ï ç ÷ ¹ - g - ï ç ÷¹ 0 ç ÷ c ï ç c÷ ïî .
Giải hệ này, ta sẽ tìm được m Î D (i ) 1
A (x ;ax + b , B x ;ay + b g x = 1 1 ) ( 2 2 ) Gọi với x ,x 1 2 là 2 nghiệm của ( ) 0 c
b + ad - a
S = x + x = - ; d b - b P = x x = Theo Viète: 1 2 ca 1 2 ac (ii) Bước 2.
Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của x ,x (iii ) 1 2
Thế (ii ) vào (iii ) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m.
Giải nó sẽ tìm được m Î D (*) 2
Từ (i ),(*) m (D D 1
2) và kết luận giá trị m cần tìm.
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến tương giao giữa ax + b y =
đường thẳng y = kx + p và đồ thị hàm số cx + d ax + b y =
Giả sử d : y = kx + p cắt đồ thị hàm số
cx + d tại 2điểm phân biệt M,N . ax + b kx + p = Với
cx + d cho ta phương trình có dạng: 2
Ax + Bx + C = 0 thỏa điều
kiện cx + d ¹ 0, có 2 D = B - 4AC . Khi đó:
1. M (x ;kx + p),N(x ;kx + p) 1 1 2 2 uuuur Þ MN = x ( - x ;k x ( - x )) 2 1 2 1 MN k2 ( 1) D Þ = + A2
Chú ý: khi min MN thì tồn tại min D,k = const 2 2 2 2 2 2
2. OM + ON = (k + 1)(x + x ) + (x + x )2kp + 2p 1 2 1 2 uuur uuur 2 2
3. OM .ON = (x .x )(1+ k ) + (x + x )kp + p 1 2 1 2 2
4. OM = ON Û (x + x )(1+ k ) + 2kp = 0 1 2