Ứng dụng khác của đạo hàm và bài tập về thực tiễn

Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM Nguyễn Lê Thi August 29, 2025
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Cực trị của hàm liên tục 2
Định lý giá trị trung bình 3
Sử dụng đạo hàm vẽ đồ thị hàm số 4
Phác họa đường cong với các đường tiệm cận 5 Quy tắc L’Hopital 6
Tối ưu hóa trong vật lý và kỹ thuật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 2 / 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 3 / 46
1. Cực trị của hàm liên tục
1.1 Định lý giá trị cực trị
Definition (Cực trị tuyệt đối (cực trị toàn cục))
CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI. Một hàm số f có cực đại tuyệt đối (hay
cực đại toàn cục) tại c nếu f(c) ≥ f(x) với mọi x trong D,
trong đó D là tập xác định của f. Giá trị f(c) được gọi là giá trị
lớn nhất của f trên D.
CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI. f có cực tiểu tuyệt đối tại c nếu
f(c) ≤ f(x) với mọi x trong D và f(c) được gọi là giá trị nhỏ
nhất của f trên D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 4 / 46
Cực đại và cực tiểu tuyệt đối được gọi chung là cực trị tuyệt
đối của hàm số f trên D.
Các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f được gọi chung là các
giá trị cực trị của f.
(c, f(c)) là điểm cực trị (điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu) của hàm số f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 5 / 46
Theorem (Định lý giá trị cực trị)
Một hàm số f nếu liên tục trên một khoảng đóng và bị chặn [a, b] thì
f có cả cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đóng và bị chặn đó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 6 / 46
1.2 Cực trị tương đối (Cực trị địa phương) Definition
CỰC ĐẠI TƯƠNG ĐỐI. Một hàm số f có cực đại địa phương
(hay cực đại tương đối) tại c nếu f(c) ≥ f(x) khi x lân cận c.
[Nói cách khác, f(c) ≥ f(x) với mọi x trong một khoảng mở chứa c.]
CỰC TIỂU TƯƠNG ĐỐI. f có cực tiểu địa phương tại c nếu
f(c) ≤ f(x) khi x lân cận c. [Nói cách khác, f(c) ≤ f(x) với mọi x
trong một khoảng mở chứa c.]
Cực đại và cực tiểu tương đối được gọi cực trị tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 7 / 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 8 / 46
1.3 Điểm tới hạn (điểm dừng) Definition
Một số tới hạn (critical number) của một hàm số f là một số c
trong tập xác định của f sao cho hoặc f′(c) = 0 hoặc f′(c) không tồn
tại. Điểm (c, f(c)) trên đồ thị hàm f được gọi là điểm tới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 9 / 46
Ví dụ 1. Tìm các số tới hạn của hàm số. 1
f(x) = 4x3 − 5x2 − 8x + 20 ex 2
f(x) = x − 2 √ 3
f(x) = 2 x(6 − x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 10 / 46 Ví dụ 2
Tìm số tới hạn của hàm số f(x) = |x + 1| trên [−5, 5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 11 / 46
Theorem (Định lý điểm tới hạn)
Nếu điểm c là cực đại tương đối hoặc cực tiểu tương đối của hàm số
f thì hoặc là f′(c) = 0 hoặc là f′(c) không tồn tại. Hay nói cách khác,
nếu f có cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) địa phương tại c thì c là số tới hạn của hàm số f.
Lưu ý: ta không có phát biểu ngược lại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 12 / 46
1.4 Phương pháp tìm cực trị tuyệt đối - Phương pháp khoảng đóng
Để tìm cực trị tuyệt đối của một hàm số liên tục trên khoảng đóng và bị chặn [a, b]: 1
Tính f′(x) và tìm tất cả các số tới hạn của f trên [a, b]. 2
Tính giá trị của f tại điểm đầu a và điểm cuối b và tại mỗi số tới hạn c. 3
So sánh các giá trị tính được ở bước 2. Giá trị lớn nhất là giá trị
cực đại tuyệt đối của f trên [a, b], giá trị nhỏ nhất là giá trị cực
tiểu tuyệt đối của f trên [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 13 / 46 Ví dụ 3
Tìm cực trị tuyệt đối của các hàm số sau trên khoảng đóng được cho. 1
f(x) = x4 − 2x2 + 3 trên [−1, 2] 2
g(x) = x2/3(5 − 2x) trên [−1, 2] 1 ( ) [ ] π 3 T(x) =
sin2 x + cos x + 2 sin x − x trên 0, 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 14 / 46
2. Định lý giá trị trung bình Theorem (Định lý Rolle)
Cho f là hàm số liên tục trên khoảng đóng và bị chặn [a, b] và khả vi
trên (a, b). Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a, b) sao cho f′(c) = 0
Theorem (Định lý Giá trị trung bình)
Nếu f là hàm số liên tục trên khoảng đóng và bị chặn [a, b] và khả vi
trên (a, b) thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a, b) sao cho
f(b) − f(a) f′(c) = b − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 15 / 46
Theorem (Định lý đạo hàm bằng 0)
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng đóng và bị chặn [a, b] và khả
vi trên (a, b), f′(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b). Khi đó f là hàm hằng trên [a, b]. Theorem
Giả sử f và g là các hàm số liên tục trên khoảng đóng và bị chặn
[a, b] và khả vi trên (a, b), khi đó nếu f′(x) = g′(x) với mọi x ∈ (a, b)
thì tồn tại một hằng số C sao cho f(x) = g(x) + C với mọi x ∈ [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 16 / 46
3. Sử dụng đạo hàm phác họa đồ thị hàm số 3.1 Hàm đơn điệu
Hàm số f tăng ngặt trên khoảng I nếu với mọi
x1, x2 ∈ I : x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số f giảm ngặt trên khoảng I nếu với mọi
x1, x2 ∈ I : x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Theorem (Định lý hàm đơn điệu)
Cho f là hàm khả vi trên khoảng mở (a, b).
Nếu f′(x) > 0 trên (a, b) thì f tăng ngặt trên (a, b)
Nếu f′(x) < 0 trên (a, b) thì f giảm ngặt trên (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 17 / 46 Ví dụ 4
Tìm các khoảng mà trên đó hàm số f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 1 lần lượt
tăng ngặt và giảm ngặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 18 / 46
3.2 Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một
Quy trình tìm cực trị tương đối của hàm số theo tiêu chuẩn đạo hàm cấp một.
1. Tìm tất cả số tới hạn của hàm liên tục f xác định trên (a, b).
2. Phân loại mỗi điểm tới hạn (c, f(c)) theo cách:
Điểm (c, f(c)) là cực đại tương đối nếu f′(x) > 0, ∀x ∈ (a, c) và
f′(x) < 0, ∀x ∈ (c, b).
Điểm (c, f(c)) là cực tiểu tương đối nếu f′(x) < 0, ∀x ∈ (a, c) và
f′(x) > 0, ∀x ∈ (c, b).
Điểm (c, f(c)) không là cực trị nếu f′(x) có cùng dấu trên cả
(a, c) và (c, b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 19 / 46 Ví dụ 5
Tìm tất cả số tới hạn của hàm g(t) = t − 2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π và xác
định các điểm đó là cực đại tương đối, cực tiểu tương đối hay không phải cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyễn Lê Thi
Chương 4. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM August 29, 2025 20 / 46