Vở bài học môn Toán 12 phần Giải tích

Vở bài học môn Toán 12 phần Giải tích được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

24 12 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 1

Lop

HỌC SINH: ………………………………………………

LỚP:…………………………………..

GIẢI

TÍCH

TOÁN

VỞ BÀI HỌC

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 2

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Hoạt động khởi động

* Trò chơi “Quan sát hình ảnh”. Mỗi nhóm viết lên giấy A4 các khoảng đồng biến, nghịch biến

của của các hàm số tương ứng từ đồ thị sau:

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………..

2. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu

là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số

( )

y f x=

xác định trên

( )

y f x=

đồng biến trên

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

,:x x K x x f x f x    

( )

y f x=

nghịch biến trên

( ) ( )

1 2 1 2 1 2

,:x x K x x f x f x   

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

được gọi chung là hàm số đơn điệu trên

*Nếu hàm số đồng biến trên

thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình a), nếu hàm số

nghịch biến trên

thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình b).

Hình a Hình b

3. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm trên

• Nếu

( )

0,f x x K



  

thì

( )

y f x=

đồng biến trên

• Nếu

( )

0,f x x K



  

thì

( )

y f x=

nghịch biến trên

• Nếu

( )

' 0,f x x K=  

thì

( )

y f x=

không đổi trên

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 3

Lop

* Chú ý: Giả sử hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm trên

. Nếu

( )

0fx





(

( )

0fx





)

, xK

và

( )

0fx



chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên

4. Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

21yx=−

2y x x= − +

……………………………………………………………………………………………………

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Quy tắc

1. Tìm tập xác định. Tính

( )



2. Tìm các điểm tại đó

( )

0fx



hoặc

( )



không xác định.

3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Ví dụ

Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

32y x x= − +

−

22y x x= − +

− + −

−

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 4

Lop

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Bài tập SGK

Bài 1/9. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

3 7 2

y x x x= + − −

Bài 3/10. Chứng minh rằng hàm số:

đồng biến trên khoảng

( )

1;1−

, nghịch biến trên

khoảng

( )

;1− −

và

( )

1; +

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

;1− −

. B.

( )

0;1

. C.

( )

1;1−

. D.

( )

1;0−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 5

Lop

Câu 2. (Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

;2− −

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

( )

2;0−

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

( )

;0−

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

0;2

Câu 3. (Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

( )

1− −

. B.

( )

1;1−

. C.

( )

1;0−

. D.

( )

0;1

Câu 4. (Mức độ 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

sao cho hàm số

( ) 4 3

f x x mx x= + + +

đồng biến trên .

. B.

. C.

. D.

Câu 5. (Mức độ 2) Cho hàm số

9mx

với

là tham số. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị

nguyên của

để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của

. B. Vô số. C.

. D.

Câu 6. (Mức độ 2) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

4−

−

đồng biến trên

khoảng

( )

1;− +

là

(



2;1−

. B.

( )

2;2−

. C.

(



2; 1−−

. D.

( )

2; 1−−

Câu 7. (Mức độ 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số

để hàm số

−

nghịch

biến trên khoảng

( )

3;4−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 6

Lop

. B.

. C.

. D. Vô số.

Câu 8. (Mức độ 3) Cho hàm số

()=y f x

. Hàm số

'( )=y f x

có đồ thị như hình bên. Hàm số

(2 )=−y f x

đồng biến trên khoảng

( )

2;+

. B.

( )

2;1−

. C.

( )

;2− −

. D.

( )

1;3

Câu 9. (Mức độ 3) Cho hàm số

( )

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số

( )

3 2 3y f x x x= + − +

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

; 1 .− −

( )

1;0 .−

( )

0;2 .

( )

1; .+

Câu 10. (Mức độ 3) Cho hàm số

( )

. Hàm số

( )

'=y f x

có đồ thị như hình bên. Hàm số

( ) ( )

12= − + −g x f x x x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?







. B.







. C.

( )

2; 1−−

. D.

( )

2;3

Câu 11. (Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

1;+

. B.

( )

;1−

. C.

( )

1;− + 

. D.

( )

;1− −

– 2

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 7

Lop

Câu 12. (Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

1;0−

. B.

( )

;0−

. C.

( )

1; +

. D.

( )

0;1

Câu 13. (Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

;



− +





B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

( )

;3−

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

( )

3; +

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

;



− −





và

( )

3; +

Câu 14. ( Mức độ 1) Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên

khoảng nào?

( )

2;0−

. B.

( )

;0−

. C.

( )

2;2−

. D.

( )

0;2

Câu 15. ( Mức độ 1) Cho hàm số

−

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

;− +

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

1;− +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 8

Lop

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

;1− −

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

( )

;1− −

Câu 16. ( Mức độ 1) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

( )

;− +

3y x x=+

. B.

−

. C.

3 3 2y x x= + −

. D.

2 5 1y x x= − +

Câu 17. ( Mức độ 1) Cho hàm số

3y x x=−

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

( )

0;2

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

0;2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

;0−

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )

2;+

Câu 18. ( Mức độ 2) Tìm

để hàm số

( )

3 3 2 1 1y x mx m= − + − +

đồng biến trên .

A. Không có giá trị

thỏa mãn. B.

1m 

1m =

. D. Luôn thỏa mãn với mọi

Câu 19. (Mức độ 2) Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để hàm số

+−

nghịch biến trên các

khoảng mà nó xác định?

1m 

. B.

3m −

. C.

3m −

. D.

1m 

Câu 20. ( Mức độ 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

đồng biến trên

khoảng

( )

;7− −

là



)

4;7

. B.

(



4;7

. C.

( )

4;7

. D.

( )

4;+

Câu 21. ( Mức độ 2) Xác định các giá trị của tham số m để hàm số

3y x mx m= − −

nghịch biến trên

khoảng

( )

0;1 ?

0m 

. B.

m 

. C.

0m 

. D.

m 

Câu 22. ( Mức độ 2) Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm

( ) ( )

2f x x x



=−

, với mọi

x

. Hàm số đã

cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

1; 3

. B.

( )

1; 0−

. C.

( )

0; 1

. D.

( )

2; 0−

Câu 23. ( Mức độ 2) Hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên .

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 9

Lop

B. Hàm số nghịch biến trên

( )

;0−

và đồng biến trên

( )

0;+

C. Hàm số đồng biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên

( )

;0−

và nghịch biến trên

( )

0;+

Câu 24. ( Mức độ 3) Cho hàm số

()fx

có bảng dấu

()fx



như sau:

Hàm số

(5 2 )y f x=−

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

( )

3;5

. B.

( )

5;+

. C.

( )

2;3

. D.

( )

0;2

Câu 25. (Mức độ 3) Cho hàm số

( )

'y f x=

có đồ thị

như hình vẽ

Hàm số

( )

2y f x=−

đồng biến trên khoảng nào dưới đây

( )

;0−

. B.

( )

0;1

. C.

( )

1;2

. D.

( )

0;+

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 10

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Cho đồ thị hàm số

( 3)

y x x= − −

có hình vẽ

Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng

;







……………………………………………………………………………………………………

Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng







……………………………………………………………………………………………………

Giả sử hàm số

( )

y f x=

xác định và liên tục trên khoảng

( )

;ab

(

có thể là

−

có thể là

+

) và

( )

;x a b

Nếu tồn tại số

sao cho

( ) ( )

f x f x

với mọi

( )

;x x h x h − +

và

xx

thì ta nói hàm số

( )

đạt

cực đại tại điểm

Nếu tồn tại số

sao cho

( ) ( )

f x f x

với mọi

( )

;x x h x h − +

và

xx

thì ta nói hàm số

( )

đạt

cực tiểu tại điểm

Chú ý:

Nếu

'( ) 0fx

thì

không phải là điểm cực trị.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 11

Lop

Nếu hàm số

( )

đạt cực đại tại điểm

thì

được gọi là một điểm cực đại của hàm số

( )

,fx

( )

được gọi là giá trị cực đại của hàm số

( )

.fx

Nếu hàm số

( )

đạt cực tiểu tại điểm

được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số

( )

,fx

( )

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

( )

.fx

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là

một điểm trong tập xác định K.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

II - ĐIẾU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

ĐỊNH LÝ 1

Giả sử hàm số

()y f x=

liên tục trên khoảng

( )

;K x h x h= − +

và có đạo hàm trên

hoặc trên



\Kx

, với

0h 

a) Nếu

( ) 0fx





trên khoảng

( )

;x h x−

và

( ) 0fx





trên khoảng

( )

;x x h+

thì

là một điểm cực

đại của hàm số

()fx

b) Néu

( ) 0fx





trên khoảng

( )

;x h x−

và

( ) 0fx





trên khoảng

( )

;x x h+

thì

là một điểm cực

tiêu của hàm số

()fx

Ví du 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số

3y x x x= − − +

……………………………………………………………………………………………………

III - QUY TẮC TÌM CỰC TRI

Áp dụng Định lí 1 , ta có quy tắc tìm cực trị sau đây.

QUY TẮC I

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính

()fx



. Tìm các điếm tại đó

()fx



bằng 0 hoặc

()fx



không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ báng biến thiên suy ra các diểm cực trị.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 12

Lop

Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau :

1) 3 1= − +y x x

2) 4 2= − + +y x x

−

……………………………………………………………………………………………………

ĐỊNH LÍ 2

Giả sử hàm số

()y f x=

có đạo hàm cấp hai trong khoảng

( )

;x h x h−+

, với

0h 

. Khi đó :

a) Nếu

( ) ( )

0, 0f x f x

 

=

thì

là điểm cực tiểu :

b) Nếu

( ) ( )

0, 0f x f x

 

=

thì

là điểm cực đại.

Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số.

QUY TẮC II

1. Tìm tập xác định.

2. Tính

()fx



. Giải phương trình

( ) 0fx



và kí hiệu

( 1,2, ,n)

xi=

là các nghiệm của nó.

3. Tính

()fx



và

( )



4. Dựa vào dấu của

( )



suy ra tính chất cực trị của điểm

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

( ) 2 6

f x x= − +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 13

Lop

……………………………………………………………………………………………………

CHÚ Ý

- Giá trị cực đại (cực tiểu)

của hàm số

nói chung không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ

nhất) của hàm số

trên tập xác định

mà

chỉ là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm

số

trên khoảng

,Kab

và

,ab

chứa

- Nếu

không đổi dấu trên tập xác định

của hàm số

thì hàm số

không có cực trị.

- Nếu

là một điểm cực trị của hàm số

thì người ta nói rằng hàm số

đạt cực trị tại điểm

và

điểm có tọa độ

;x f x

được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số

B. BÀI TẬP

DẠNG 1

1. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giá trị cực tiểu

của hàm số

34y x x= − + −

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số

23y x x= − +

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số

Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số

2y x x x= + −

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị cực đại

của hàm số

32=−+y x x

là?

4=y

. B.

1=y

. C.

0=y

. D.

1.=−y

Câu 2: Tìm điểm cực trị

của hàm số

5 3 1= − + +y x x x

3=−x

hoặc

=−x

. B.

0=x

hoặc

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 14

Lop

0=x

hoặc

=−x

. D.

3=x

hoặc

Câu 3: Tìm điểm cực đại

của hàm số

31y x x= − +

1x =−

. B.

0x =

. C.

1x =

. D.

2x =

Câu 4: Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số

3y x x=−

( )

0;0

hoặc

( )

1; 2−

. B.

( )

0;0

hoặc

( )

2;4

( )

0;0

hoặc

( )

2; 4−

. D.

( )

0;0

hoặc

( )

2; 4−−

Câu 5: Biết rằng hàm số

4 3 7y x x x= + − +

đạt cực tiểu tại

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

x =

. B.

3x =−

. C.

x =−

. D.

1x =

Câu 6: Gọi

CD CT

, yy

lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

3y x x=−

. Mệnh đề nào

sau đây là đúng?

CT CD

2yy=

. B.

CT CD

yy=

. C.

CT CD

yy=

. D.

CT CD

yy=−

Câu 7: Gọi

, yy

lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

3 9 4y x x x= − − +

. Tính

..P y y=

302P =−

. B.

82P =−

. C.

207P =−

. D.

25P =

Câu 8: Cho hàm số

23y x x= − + +

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có

điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

B. Đồ thị hàm số có

điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

C. Đồ thị hàm số có

điểm cực đại và

điểm cực tiểu.

D. Đồ thị hàm số có

điểm cực tiểu và

điểm cực đại.

DẠNG 2

1. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên với bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số

( )

y f x=

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 15

Lop

Ví dụ 2: Cho hàm số

( )

y f x=

xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có ba giá trị cực trị. B. Hàm số có ba điểm cực trị.

C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại điểm

1.x =

Ví dụ 3: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục tại

và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Ví dụ 4: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Ví dụ 5: Cho hàm số

( )

y f x=

xác định, liên tục trên đoạn

 

2;2−

và có đồ thị là đường cong trong

hình vẽ bên. Hàm số

( )

đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

-2

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 16

Lop

2x =−

. B.

1x =−

. C.

1x =

. D.

2.x =

Ví dụ 6: Biết rằng hàm số

( )

có đạo hàm là

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 5

' 1 2 3f x x x x x= − − −

. Hỏi hàm số

( )

có

bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. C.

. D.

Ví dụ 7: Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm liên tục trên và hàm số

( )

y f x



có đồ thị như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số

( )

y f x=

đạt cực đại tại điểm

1.x =−

B. Hàm số

( )

y f x=

đạt cực tiểu tại điểm

1.x =

C. Hàm số

( )

y f x=

đạt cực tiểu tại điểm

2.x =−

D. Hàm số

( )

y f x=

đạt cực đại tại điểm

2x =−

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số

( )

y f x=

xác định và liên tục trên

 

\ x

, có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 17

Lop

A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.

B. Hàm số đã cho không có cực trị.

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.

Câu 2: Cho hàm số

( )

y f x=

có bảng biến thiên sau:

Hàm số

( )

y f x=

có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. C.

. D.

Câu 3: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 4: Hàm số

( )

y f x=

liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm

cực trị?

. B.

. C.

. D.

Câu 5: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 18

Lop

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 6: Hàm số

( )

có đạo hàm

( )



trên khoảng

. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

( )



trên

khoảng

. Hỏi hàm số

( )

có bao nhiêu điểm cực trị?

DẠNG 3

1. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

( )

3 2 2

y x mx m x= − + − +

đạt cực đại tại điểm

3x =

Ví dụ 2. Cho hàm số

( ) 3 ( 1) 2f x x mx m x= − + − +

. Tìm

để hàm số đạt cụcc tiểu tại

2x =

Ví dụ 3. Tìm

để hàm số

( ) 3 1f x x x mx= − + −

có hai điểm cực trị. Gọi

,xx

là hai điểm cực trị đó,

tìm

để

3xx+=

Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số

để hàm số

( )

2 2 3 2y x m x m= + − + −

có ba điểm cực trị.

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

36y x mx mx m= − + +

có hai điểm cực trị.

( )

0;2m

. B.

( ) ( )

;0 8;m −  +

( ) ( )

;0 2;m −  +

. D.

( )

0;8m

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

2017

y x x x= + + +

có cực trị.

(



;1m −

. B.

( ) ( )

;0 0;1m − 

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 19

Lop

( ) (



;0 0;1m − 

. D.

( )

;1m −

Câu 3: Tìm các giá trị của tham số

để hàm số

( )

3 2 3y m x mx= − − +

không có cực trị.

3m =

. B.

0m =

3m =

. C.

0m =

. D.

3m 

Câu 4: Cho hàm số

( )

3 2 2

3 2 2 3 1 4

y x m x m m x= − + + + + −

. Tìm giá trị thực của tham số

để hàm

số có hai điểm cực trị là

3x =

và

5x =

0m =

. B.

1m =

. C.

2m =

. D.

3m =

Câu 5: Biết rằng hàm số

y ax bx cx= + +

( )

0a 

nhận

1x =−

là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

a c b+=

. B.

20ab−=

32a c b+=

. D.

3 2 0a b c+ + =

Câu 6: Biết rằng hàm số

33y x mx mx= − + −

có một điểm cực trị

1x =−

. Tìm điểm cực trị còn lại

của hàm số.

x =

. B.

x =

. C.

x =−

. D.

2 6.xm= − −

Câu 7: Cho hàm số

( )

3 2 2

y x mx m x= − + − +

với

là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của

để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

1x =−

1.m =

. B.

3m =−

. C.

1m =

3m =−

. D.

3 1.m−  

DẠNG 4

1. Các ví dụ

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua diểm

( 1;1)M −

và vuông góc với dường thẳng di qua diểm

cực trị của

( ): 6 9 2C y x x x= − + −

Ví dụ 2. Cho hàm số

3 3 ( 2) 1 (1) (m là tham s? th?c). y x x m m x= − − + −

1) Tìm m để hàm số (1) có hai cụ



c trị cùng dấu.

2) Khi đồ thị hàm số có hai diểm cực trị, hãy viết phương trình dường thẳng di qua hai diểm cực trị đó.

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 3 1y x x= − + +

1.yx=−

1.yx=+

1.yx= − +

1.yx= − −

Câu 2: Cho hàm số

39y x x x m= − − +

. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm số.

8y x m= − +

. B.

83y x m= − + −

83y x m= − + +

. D.

83y x m= − − +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 20

Lop

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số

để đường thẳng

( )

: 2 1 3= − + +d y m x m

vuông góc với đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

31= − +y x x

A. DẠNG 5. BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ĐIỂM 8+,9+

Câu 1. Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm liên tục trên . Hàm số

( )

y f x



có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

( )

3g x f x=−

đạt cực tiểu tại điểm

0.x =

2.x =

2.x =

2.x =−

Câu 2. Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm liên tục trên . Hàm số

( )

y f x



có đồ thị như hình vẽ.

Số cực trị của hàm số

( )

2h x f x x=−

là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Câu 3. Cho hàm số

( )

=y f x

có đạo hàm liên tục trên , hàm số

( )



=−y f x

có đồ thị như hình

dưới. Số điểm cực trị của hàm số

( )

=y f x

là

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 21

Lop

Câu 4. Cho hàm số

( )

=y f x

liên tục trên có đồ thị

( )



=−y f x

như hình vẽ. Số điểm cực trị của

hàm số

( )

2 3 4= − −y f x

là

A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.

……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 22

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

A.PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC

B.PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số

( )

y f x=

xác định trên tập

a) Số

được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

( )

y f x=

trên tập

nếu

( )

f x M

với mọi

thuộc

và tồn tại

xD

sao cho

( )

f x M=

Kí hiệu

( )

max

M f x=

b) Số

được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x=

trên tập

nếu

( )

f x m

với mọi

thuộc

và tồn tại

xD

sao cho

( )

f x m=

Kí hiệu

( )

min

m f x=

➢ VD1:Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên đoạn

 

1;3−

và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 

1;3−

. Giá trị

của

Mm−

bằng

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên đoạn

 

2; 6−

và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 23

Lop

Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 

2; 6−

. Giá

trị của

P M m=−

bằng

9P =

. B.

8P =−

. C.

9P =−

. D.

8P =

……………………………………………………………………………………………………

II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN MỘT ĐOẠN

1. Định lý

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Bước 1: Tìm các điểm

; ;...;

x x x

trên khoảng

( )

;ab

tại đó

( )

0fx



hoặc

( )



không xác định.

Bước 2: Tính

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; ; ; ;...;

f a f b f x f x f x

Bước 3: Tìm số lớn nhất

và số nhỏ nhất

trong các số trên.

Bước 4: Kết luận

 

( )

;

max

M f x=

;

 

( )

;

min

m f x=

2.1. Nhận xét

a) Nếu đạo hàm

( )



giữ nguyên dấu trên đoạn

 

;ab

thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

trên cả đoạn. Do đó,

( )

đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn

 

;ab

b) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm

( )

1i i i

x x x



mà tại đó

( )



bằng 0 hoặc không xác

định thì hàm số

( )

y f x=

đơn điệu trên mỗi khoảng

( )

;

. Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 24

Lop

nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn

 

;ab

là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số

tại hai đầu mút

,ab

và tại các điểm

nói trên.

c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng

đó.

3. Ví dụ

➢ VD3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

10 2f x x x= − +

trên đoạn

 

1;2−

bằng

. B.

23−

. C.

22−

. D.

7−

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD4: Giá trị lớn nhất của hàm số

( )

32f x x x= − +

trên đoạn

 

3; 3−

là

. B.

16−

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD5: Tìm giá trị lớn nhất

của hàm số

−

trên đoạn

 

0; 2

Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

−

trên đoạn

 

0; 2

. Tính giá trị của

.P M m=

bằng

P =−

. B.

P =

. C.

5P =−

. D.

M =−

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 25

Lop

➢ VD6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

4yx=−

trên tập xác định.

A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.

……………………………………………………………………………………………………

III. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN CHO

1.BÀI TOÁN. ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN

ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Bước 1. Tìm nghiệm

( )

1,2,...

xi=

của

'0y =

thuộc

 

;ab

Bước 2. Tính các giá trị

( ) ( ) ( )

;;

f x f a f b

theo tham số

Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận.

Lưu ý:

a) Hàm số

( )

y f x=

đồng biến trên đoạn

 

;ab

thì

 

( ) ( )

 

( ) ( )

;;

;

a b a b

Max f x f b Min f x f a==

b) Hàm số

( )

y f x=

nghịch biến trên đoạn

 

;ab

thì

 

( ) ( )

 

( ) ( )

;;

;

a b a b

Max f x f a Min f x f b==

2. Ví dụ

➢ VD7: Cho hàm số

−

(Với

là tham số thực) thỏa mãn

 

2;4

min 3.y =

Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

4m 

. B.

34m

. C.

1m −

. D.

13m

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 26

Lop

➢ VD8: Cho hàm số

(Với

là tham số thực) thoả mãn

 

1;2

min max

yy+=

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

m4

. B.

2 m 4

. C.

0m 

. D.

02m

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD9: Cho hàm số

23y x x m= − −

(với

là tham số thực). Trên

 

1;1−

hàm số có giá trị

nhỏ nhất là

1−

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

6m =−

. B.

3m −

. C.

4m =−

. D.

13m

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD10: Một vật chuyển động theo quy luật

s t t= − +

với

(giây) là khoảng thời gian

tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và

(mét) là quãng đường vật di chuyển được trong

khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian

giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận

tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

243

(m/s). B.

(m/s). C.

144

(m/s). D.

(m/s).

……………………………………………………………………………………………………

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

I. TỰ LUẬN

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3 9 35y x x x= − − +

trên các đoạn

 

4;4−

và

 

0;5

;

32y x x= − +

trên các đoạn

 

0;3

và

 

2;5

;

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 27

Lop

−

trên các đoạn

 

2;4

và

 

3; 2−−

;

54yx=−

trên đoạn

 

1;1−

Bài 2: Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi

16 cm

, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài 3: Trong tát cả các hình chữ nhật cùng có diện tích

48 m

, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ

nhất.

Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

;

43y x x=−

;

yx=

;

( 0)y x x

= + 

II. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên đoạn

 

1;3−

và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi

lần

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

 

1;3−

. Giá trị của

Mm−

là

A. 2. B. 4. C. 6. D. 5.

Câu 2. Cho hàm số

( )

liên tục trên

 

1;5−

và có đồ thị trên đoạn

 

1;5−

như hình vẽ bên dưới.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

trên đoạn

 

1;5−

bằng

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 28

Lop

1−

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục và có đồ thị trên đoạn

 

2; 4−

như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x=

trên đoạn

 

2; 4−

bằng

. B.

. C.

. D.

2−

Câu 4. Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn

 

1 ; 3−

như hình vẽ bên. Khẳng

định nào sau đây đúng?

 

( ) ( )

1;3

max 0f x f

−

. B.

 

( ) ( )

1;3

max 3f x f

−

. C.

 

( ) ( )

1;3

max 2f x f

−

. D.

 

( ) ( )

1;3

max 1f x f

−

=−

Câu 5. Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên

 

3;2−

và có bảng biến thiên như sau. Gọi

, Mm

lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

y f x=

trên đoạn

 

1; 2−

. Tính

Mm+

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 29

Lop

. B.

. C.

. D.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

34y x x= − +

trên đoạn

 

0;2

 

0;2

min 2y =

. B.

 

0;2

min 0y =

. C.

 

0;2

min 1y =

. D.

 

0;2

min 4y =

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

8 18y x x= − +

trên đoạn

 

1 ; 3−

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

−

trên đoạn

 

0;3

 

0;3

min 0y =

. B.

 

0;3

min

y =−

. C.

 

0;3

min 4y =−

. D.

 

0;3

min 1y =−

Câu 9. Cho hàm số

( )

−

. Kí hiệu

 

( )

0;2

maxM f x=

 

( )

0;2

minm f x=

. Khi đó

Mm+

bằng:

−

. B.

−

. C.

. D.

Câu 10. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

2 4 6f x x x= − −

trên

 

3 ; 6−

. Tổng

Mm+

có giá trị là

12−

. B.

6−

. C. 18. D.

4−

Câu 11. Cho hàm số

( )

2 1 3y x m x m= + + + +

( với

là tham số thực). Gọi

là tập hợp tất cả các

giá trị thực của tham số

để hàm số có

 

0;1

max 3min 9yy−=

. Tổng các phần tử của

là

. B.

3−

. C.

. D.

1−

Câu 12. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

4y x x m= + − +

là

. Giá trị của

là

2m =

. B.

22m =

. C.

m =

. D.

2m =−

Câu 13. Gọi

, Mm

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3sin 2

sin 1

trên đoạn

0 ;









. Khi đó giá trị của

Mm+

là

. B.

. C.

. D.

Câu 14. Ông A dự định sử dụng hết

5 m

kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật

không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có

dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 30

Lop

1,01 m

. B.

0,96 m

. C.

1,33 m

. D.

1,51 m

Câu 15. Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời

( )

phụ thuộc vào thời gian

theo hàm số

( ) ( )

8 500 /v t t t m s=− + +

. Trong khoảng thời gian

( )

0 ts=

đến

( )

5 ts=

chất điểm đạt vận

tốc lớn nhất tại thời điểm nào?

1 t =

. B.

4t =

. C.

2t =

. D.

0t =

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 31

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

1. Định nghĩa

➢ VD MỞ ĐẦU: Quan sát đồ thị

( )

của hàm số

( )

2fx

ở hình vẽ dưới đây:

Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm

( ) ( )

;M x y C

đến đường thẳng

:2y=

khi

x → +

và

kiểm tra nhận xét trên bằng cách tính giới hạn.

……………………………………………………………………………………………………

➢ Định nghĩa: Cho hàm số

( )

y f x=

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

( ) ( )

; , ;ab+ −

hoặc

( )

; − + 

). Đường thẳng

yy=

được gọi là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

( )

y f x=

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

( )

lim

f x y

→+

hoặc

( )

lim

f x y

→−

➢ Chú ý: Nếu

( ) ( )

lim lim

f x f x l

→+ →−

thì ta viết chung là

( )

lim

f x l

→

➢ Minh họa

Khi

x → −

Khi

x → +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 32

Lop

2. Ví dụ

➢ VD1: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

−

……………………………………………………………………………………………………

II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

1. Định nghĩa:

Đường thẳng

xx=

được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

( )

y f x=

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

( ) ( )

lim , lim

x x x x

f x f x

+−

→→

= + = +

( ) ( )

lim , lim

x x x x

f x f x

+−

→→

= − = −

➢ Minh họa:

2. Ví dụ

➢ VD1: Tìm các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

−

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 33

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: Tìm số đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

−−

−

……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 30 -SGK: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

−

;

−+

;

−

;

=−

Bài 2 trang 30 - SGK: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:

−

;

3 2 5

−−

;

−+

;

−

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

y f x=

có

( )

lim 0

→+

và

( )

lim

→−

= +

. Mệnh đề nào sau đây

là đúng?

A. Đồ thị hàm số

( )

y f x=

có một tiệm cận ngang là trục hoành.

B. Đồ thị hàm số

( )

y f x=

không có tiệm cận ngang.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 34

Lop

C. Đồ thị hàm số

( )

y f x=

có một tiệm cận đứng là đường thẳng

0.y =

D. Đồ thị hàm số

( )

y f x=

nằm phía trên trục hoành.

Câu 2. [Mức độ 1] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

−

là đường thẳng có phương trình?

5y =

. B.

0x =

. C.

1x =

. D.

0y =

Câu 3. [Mức độ 2] Đồ thị hàm số

5 2 3

+−

− − +

có bao nhiêu đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D.

Câu 4. [Mức độ 2] Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

−

bằng

Câu 5. [Mức độ 3] Khoảng cách từ điểm

( )

5;1A −

đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

−

là:

. B.

. C. 9. D.

Câu 6. Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D.

Câu 1. [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

y f x=

có

( )

lim 1

→+

và

( )

lim 1

→−

=−

. Khẳng định nào sau

đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là

1x =

và

1x =−

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là

1y =

và

1y =−

Câu 2. [Mức độ 1] Đồ thị hàm số

−

có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt

là

2x =

và

1y =

. B.

1x =

và

3y =−

. C.

1x =−

và

2y =

. D.

1x =

và

2y =

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 35

Lop

Câu 3. [Mức độ 2] Đồ thị hàm số

−+

−

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

. B.

. C.

. D.

Câu 4. [Mức độ 2] Cho hàm số

−−

. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị

hàm số đã cho là:

. B.

. C.

. D.

Câu 5. [Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên

để đồ thị hàm số

2 3 1

x mx m m

−

+ + − −

có ba

đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 36

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

Kiểm tra bài cũ:

I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Tập xác định

2. Sự biến thiên

➢ Tính

➢ Tìm các điểm tại đó

'0y =

hoặc

không xác định.

➢ Tìm các giới hạn đặc biệt và tiệm cận (nếu có).

➢ Lập bảng biến thiên.

➢ Ghi kết quả về khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

3. Đồ thị

➢ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

➢ Xác định tính đối xứng của đồ thị (nếu có).

➢ Xác định tính tuần hoàn (nếu có) của hàm số.

➢ Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ.

II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC, HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

3 2

ax x x ( 0)y b c d a= + + + 

1. Ví dụ

➢ VD 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

34y x x= + −

Lời giải

+ Tập xác định:

D =

+ Đạo hàm:

' 3 6y x x=+

=−



=





+ Giới hạn:

lim ; lim

→− →+

= − = +

+ BBT

+ Khoảng đơn điệu:

Hàm số đồng biến trên

( ; 2),(0; )− − +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 37

Lop

Hàm số nghịch biến trên

( 2;0)−

+ Cực trị:

Hàm số đạt CĐ tại

2x =−

với

y =

Hàm số đạt CT tại

0x =

với

y =−

+Đồ thị:

Giao với trục Oy:

(0; 4)−

Giao với trục hoành:

( 2;0);(1;0)−

➢ Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

3 4 2;y x x x= − + − +

Lời giải

+ Tập xác định:

D =

+ Đạo hàm:

' 3( 1) 1 0,y x x= − − −   

+ Giới hạn:

lim

→−

= +

;

lim

→+

= −

+ BBT

+ Khoảng đơn điệu:

Hàm số nghịch biến trên khoảng

( ; )− +

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị:

Giao với trục Oy:

(0;2)

Giao với trục hoành:

(1;0)

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 38

Lop

➢ Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y x x= − + +

Lời giải

+ Tập xác định:

D =

+ Đạo hàm:

' 2x 1 0, 1y x x= − +   

' 0 1yx=  =

+ Giới hạn:

lim

→−

= −

;

lim

→+

= +

+ BBT:

+ Đồ thị:

➢ Ví dụ 4: Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được

liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 39

Lop

3 1.y x x= − + −

3 1.y x x= − +

3 1.y x x= − −

3 1.y x x= + +

……………………………………………………………………………………………………

➢ Ví dụ 5: Cho hàm số

32y x x= − +

. Đồ thị của hàm số là hình vẽ nào bên dưới?

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 40

Lop

2. Minh hoạ đồ thị của hàm số bậc 3

Chú ý: Điểm đối xứng của hàm bậc 3 là:……………………………………………….

3. Bài tập củng cố:

Câu 1. Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở

bốn phương án A, B, C, D?

A..

2 3 12y x x x= − − +

. B.

2 3 12y x x x= + −

2 3 12.y x x= − − +

. D.

2 3 12.y x x= − +

Câu 2. Trong 4 đồ thị được cho trong 4 hình A, B, C, D dưới đây, đồ thị nào là đồ thị hàm số

3 – 2y x x=+

A. Hình A. B. Hình B. C. Hình C. D. Hình D.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

Hình A

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

Hình B

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

Hình C

-2 -1 1 2

-1

Hình D

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 41

Lop

Câu 3. Đồ thị trong hình là của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án

,,A B C

và

. Hàm số đó là

hàm số nào ?

( )

33f x x x= − − −

. B.

( )

33f x x x= − − +

( )

3 3f x x x= − − +

. D.

( )

33f x x x= − +

Câu 4. Cho hàm số

y ax bx cx d= + + +

có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

0a 

0b 

0c 

0d 

. B.

0a 

0b 

0c 

0d 

0, 0, 0, 0a b c d   

. D.

0, 0, 0, 0a b c d   

Câu 5. Cho hàm số

( )

f x x ax bx c= + + +

đạt cực tiểu tại điểm

1x =

( )

13f =−

và đồ thị hàm số cắt

trục tung tại điểm có tung độ bằng

. Tính

T a b c= + +

A.T = 9. B. T=1. C. T=-2. D. T= -4.

Câu 6. Cho hàm số

1y ax bx cx= + + +

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0, 0bc

. B.

0, 0bc

. C.

0, 0bc

. D.

0, 0bc

Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương

( 0).y ax bx c a= + + 

1. Ví dụ

➢ VD 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2 3.y x x= − −

Lời giải:

+ Tập xác định:

D =

+ Đạo hàm:

' 4 4y x x=−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 42

Lop



=



=



+ Giới hạn tại vô cực:

lim

→−

= +

;

lim

→+

= +

+ BBT:

+ Hàm số nghịch biến trên

( ; 1)− −

và

(0;1)

Hàm số đồng biến trên

( 1;0),(1; )− +

+ Cực trị: CT

( 1; 4)−

CĐ

(0; 3)−

+ Đồ thị:

➢ VD 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

yx= − − +

Lời giải:

+ Tập xác định:

D =

+ Đạo hàm:

' 2 2y x x= − −

' 0 0yx=  =

+ Giới hạn tại vô cực:

lim

→

= −

+ BBT:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 43

Lop

+ Hàm số nghịch biến trên

(0; )+

và đồng biến trên khoảng

( ;0)−

+ Cực trị: CĐ

(0; )

+ Đồ thị:

➢ VD 3: Hàm số có dạng đồ thị nào trong các đồ thị sau đây ?

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD 4: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?

21y x x= − +

. B.

21y x x= − + −

. C.

21y x x= − −

. D.

1y x x= − −

……………………………………………………………………………………………………

21y x x= − −

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 44

Lop

……………………………………………………………………………………………………

2. Minh hoạ đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương

➢ Chú ý: Hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3. Bài tập củng cố

Câu 1. Đồ thị hình bên dưới là của hàm số nào?

31y x x= − + +

. B.

2 1.y x x= − +

2 1y x x= − + +

. D.

3 1.y x x= + +

Câu 2. Bảng biến thiên bên dưới là của hàm số nào?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 45

Lop

3 3. y x x= − −

3 3.

y x x= − + −

2 3y x x= − −

2 3.y x x= + −

Câu 3. Hàm số

23y x x= − − +

nghịch biến trên khoảng nào?

( )

;0 .−

( )

1;0 .−

( )

0; .+

Câu 4. Hàm số

21y x x= − + −

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 5. Cho hàm số

( )

0y ax bx a= + 

có bảng biến thiên dưới đây. Tính

2P a b=−

A. P =3. B. P = 5. C. P = -2. D. P = 2.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 46

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1

§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (Tiếp)

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

( )

0, 0

ax b

y c ad bc

cx d

=  − 

1. Kiểm tra bài cũ:

2. VD MỞ ĐẦU:

➢ VD1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

−

Tập xác định

 

\2D =−

Đạo hàm:

( )



=

xD

Tiệm cận đứng

2x =−

vì

( )

lim

−

→−

−

= +

( )

lim

→−

−

= −

Tiệm cận ngang

1y =

vì

lim 1

→

−

Bảng biến thiên

+ Đồ thị

➢ VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

−+

Tập xác định

 

\1D =−

; Đạo hàm:

( )

−



=

xD

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 47

Lop

Tiệm cận đứng

1x =−

vì

( )

lim

−

→−

−+

= −

( )

lim

→−

−+

= +

Tiệm cận ngang

1y =−

vì

lim 1

→

−+

=−

Bảng biến thiên

Đồ thị

2. Tính chất và dạng đồ thị.

Tập xác định:



=−





Đạo hàm:

( )

ad bc

cx d

−

Nếu

0ad bc−

hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2

và 4.

Nếu

0ad bc−

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư

1 và 3.

Đồ thị hàm số có: TCĐ:

=−

và TCN:

Giao với trục Oy tại điểm

0; .







Đồ thị có tâm đối xứng:

;



−





Dạng đồ thị của hàm số

( )

, 0; 0

ax b

y c ab bc

cx d

=  − 

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 48

Lop

Khi

0ad bc−

Khi

0ad bc−

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK:

Bài 6 trang 44 SGK: Cho hàm số

−

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác

định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm

( )

A 1; 2−

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với

2 m =

II. Bài tập trắc nghiệm củng cố:

Câu 1. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ ?

31y x x= − + +

. B.

. C.

34xx++

. D.

Câu 2. Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

−

. B.

−

. C.

−

. D.

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 49

Lop

Câu 3. Cho hàm số

ax b

−

như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

0 ab

. B.

0ba

. C.

0 ba

. D.

0ba

Câu 4. Cho hàm số

ax b

cx d

có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là

đúng?

0ac 

0ab 

0ad 

0bc 

0cd 

0bd 

. D.

0ad 

0bc 

Câu 5. Cho hàm số

()y f x=

ax b

cx d

có đồ thị hàm số

( )



như trong hình vẽ dưới đây:

Biết rằng đồ thị hàm số

()fx

đi qua điểm

( )

0;4A

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

( )

16f =

. B.

( )

f =

. C.

( )

f =

. D.

( )

22f =

III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ

1. Lý thuyết:

Cho hàm số

()y f x=

có đồ thị

()C

và

()y g x=

có đồ thị

()C

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 50

Lop

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình

()

( ) ( )

()

y f x

f x g x

y g x



=





Ta có phương trình hoành độ giao điểm của

()C

và

()C

là

( )

( ) ( ) 1f x g x=

Số nghiệm đơn của

(1)

đúng bằng số giao điểm của

()C

và

()C

2. Phương pháp tìm tọa độ giao điểm hoặc số giao điểm của của hai đồ thị

➢ Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

( ) ( ) (1)f x g x=

➢ Giải phương trình

(1)

➢ Khi đó:

- Số giao điểm của

()C

và

()C

bằng với số nghiệm đơn của phương trình (1).

- Nghiệm

của phương trình

( )

chính là hoành độ

của giao điểm.

➢ Chú ý: Nếu

là nghiệm kép của (1) thì

là hoành độ tiếp điểm của đồ thị hàm số

( )

y f x=

và

( )

y g x=

- Để tính tung độ

của giao điểm, ta thay hoành độ

vào

( )

y f x=

hoặc

( )

y g x=

- Điểm

( )

;M x y

là giao điểm của

()C

và

()C

2. Ví dụ

➢ VD1: Số giao điểm của đồ thị hàm số

1y x x= − +

và đồ thị hàm số

1y x x= − +

là

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: CMR đồ thị (C) của hs

−

luôn cắt đường thẳng (d)

y m x=−

với mọi

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 51

Lop

……………………………………………………………………………………………………

VD3:

a) Vẽ đồ thị hàm số

32y x x= + −

b) Sử dụng đồ thị biện luận theo tham số

số nghiệm của phương trình

32x x m+ − =

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD4: Cho hàm số

( )

có bảng biến thiên như sau:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 52

Lop

Số nghiệm thực của phương trình

( )

2 3 0fx−=

là

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK:

Bài 5 trang 44 SGK:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số :

31y x x= − + +

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau:

3 0(1)x x m− + =

II. Bài tập trắc nghiệm củng cố:

Câu 1. Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?

. B.

−+

. C.

−

. D.

−

Câu 2. Cho hàm số

()y f x=

có đồ thi

( )

như hình vẽ

Số nghiệm phân biệt của phương trình

( )

fx=

là:

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Đường thẳng

42yx=−

và đồ thị hàm số

23y x x x= − +

có tất cả

bao nhiêu giao điểm?

. B.

. C.

. D.

Câu 4. Đường thẳng

21yx=−

có bao nhiêu điểm chung với đồ thị hàm số

−−

. B.

. C.

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 53

Lop

Câu 5. Cho hàm số

( )

−

và đường thẳng

d y x m= − +

. Đường thẳng

cắt

( )

tại hai điểm phân biệt

sao cho độ dài

ngắn nhất thì giá trị của

là:

2m =

. B. Không tồn tại

. C.

1m =

. D.

0m =

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm

số nào?

32y x x= − − +

. B.

32y x x= − +

32y x x= + −

. D.

32y x x= − + +

Câu 2. Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm số

nào?

33y x x x= − − −

. B.

33y x x x= − + −

33y x x x= + −

. D.

33y x x x= − +

Câu 3. Đồ thị hàm số

32y x x= − +

là hình nào trong 4 hình dưới đây?

A. Hình 1. B. Hình 2.

-1

-2

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 54

Lop

C. Hình 3. D. Hình 4.

Câu 4. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt

kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

31y x x= − +

. B.

31y x x= − + +

3 3 1y x x x= − + +

. D.

31y x x= − − −

Câu 5. Bảng biến thiên ở hình bên dưới là bảng biến thiên của một trong bốn hàm số ở các đáp án A,

B, C, D. Hàm số đó là hàm số nao?

−

. B.

−

. C.

−

. D.

−

Câu 6. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

-2

-4

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 55

Lop

−

. B.

−

. C.

. D.

−

Câu 7. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

31y x x= − +

.B.

2y x x=+

. C.

2y x x=−

. D.

2y x x= − −

Câu 8. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

21y x x= − +

. B.

21y x x= − +

31y x x= − +

. D.

21y x x= − − +

Câu 9. Cho hàm số

( )

: 2 1C y x x= + −

. Đồ thị hàm số

( )

là đồ thị nào trong các đồ thị sau?

-2

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 56

Lop

A. B.

C. D.

Câu 10. Giả sử đồ thị của hàm số

21y x x= − −

là

( )

, khi tịnh tiến

( )

theo

qua trái 1

đơn vị thì sẽ được đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,

D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

2y x x=−

. B.

( ) ( )

1 2 1 1y x x= − − − −

22y x x= − −

. D.

( ) ( )

1 2 1 1y x x= + − + −

HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG

PHIẾU HỌC TẬP 2

Câu 11. Giả sử hàm số

y ax bx c= + +

có đồ thị là hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là khẳng

định đúng?

0, 0, 1a b c  =

. B.

0, 0, 1abc  =

0, 0, 1a b c  =

. D.

0, 0, 0abc  

Câu 12. Cho hàm số bậc 3 có dạng:

()y f x ax bx cx d= = + + +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 57

Lop

I) II)

(III) (IV)

Hãy chọn đáp án đúng?

A. Đồ thị

(IV)

xảy ra khi

0a 

và

( ) 0fx



có nghiệm kép.

B. Đồ thị

(II)

xảy ra khi

0a 

và

( ) 0fx



có hai nghiệm phân biệt.

C. Đồ thị

(I)

xảy ra khi

0a 

và

( ) 0fx



có hai nghiệm phân biệt.

D. Đồ thị

(III)

xảy ra khi

0a 

và

( ) 0fx



vô nghiệm.

Câu 13. Cho hàm số

69y x x x= − +

có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của hàm số nào dưới

đây?

Hình 1 Hình 2

6 9 .y x x x= + +

6 9 .y x x x= − +

69y x x x= − +

. D.

6 9 .y x x x= − + −

Câu 14. Cho hàm số

32y x x= + −

có đồ thị như Hình

. Đồ thị Hình

là của hàm số nào dưới

đây?

-2

-1

-2

-1

-3

-2

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 58

Lop

Hình 1 Hình 2

3 2.y x x= − − +

3 2.y x x= + −

3 2 .y x x= + −

3 2.y x x= + −

Câu 15. Đồ thị hàm số

−

là hình vẽ nào trong các hình vẽ sau:

Câu 16. Đồ thị của hàm số

21y x x= − −

là đồ thị nào trong các đồ thị sau

-1

-2

-1

-3

-2

-1

-2

-1

-2

-1

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 59

Lop

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có

3 4 0x x m− + + =

nghiệm duy nhất

lớn hơn

. Biết rằng đồ thị của hàm số

34y x x= − + −

là hình bên.

0.m 

4.m −

4.m −

4m −

hoặc

0.m 

Câu 18. Tất cả giá trị của tham số

để phương trình

2 3 0x x m− − + =

có bốn nghiệm phân biệt là

2 3.m

2 3.m

2.m 

2.m 

Câu 19. Cho hàm số

có đồ thị

()C

và đường thẳng

y x m=+

. Giá trị của tham số

m để

cắt

()C

tại hai điểm phân biệt

,AB

sao cho

10AB =

là

0m =

hoặc

6.m =

0.m =

6.m =

0 6.m

Câu 20. Cho đồ thị

( )

−+

−

và đường thẳng

:d y m=

. Tất cả các giá trị tham số

để

( )

cắt

tại hai điểm phân biệt

sao cho

2AB =

là

1 6.m =+

16m =−

hoặc

1 6.m =+

1 6.m =−

1m 

hoặc

3m 

PHIẾU HỌC TẬP

Câu 1. PHIẾU HỌC TẬP 3 Đường cong hình dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

32y x x= − +

. B.

−

. C.

21y x x= − −

. D.

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 60

Lop

Câu 2. Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như đường cong hình dưới. Phương trình

( )

1fx=

có bao

nhiêu nghiệm ?

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ

−

. B.

−

. C.

−

. D.

−

Câu 4. Biết rằng đường thẳng

21yx= − −

cắt đồ thị hàm số

−

tại hai điểm phân

biệt; hoành độ các giao điểm là

1−

và 3. B.

1−

và 0. C.

2−

và 3. D.

2−

và 0.

Câu 5. Số giao điểm của đồ thị hàm số

4y x x= − +

với đường thẳng

4y =

là

. B.

. C.

. D.

Câu 6. Cho đồ thị hàm số

( )

y f x=

như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực

để phương

trình

( )

1f x m+=

có ba nghiệm phân biệt.

05m

. B.

14m−  

. C.

04m

. D.

15m

Câu 7. Cho hàm số

ax b

−

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

∞

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 61

Lop

0ba

. B.

0ab

. C.

0a 

;

0b 

. D.

0 ba

Câu 8. Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số

2ax

cx b

với

là các số thực.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

( )

;

2b =−

;

1c =

. B.

1a =

;

2b =

;

1c =

1a =

;

1b =

;

1c =−

. D.

2a =

;

2b =

;

1c =−

Câu 9. Tất cả các giá trị của

để đường thẳng

4ym=

cắt đồ thị hàm số

( )

83y x x= − +

tại

phân biệt là.

13 3

m−  

. B.

13 3

m−  

. C.

13 3m−

. D.

13 3m−

Câu 10. Cho hàm số

()y f x=

có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình

2. ( 1) 3 0fx− − =

là:

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 62

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG1

BÀI TẬP SGK - BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 43 SGK: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm bậc 3 sau.

a. y = 2 + 3x – x3

Bài 2/SGK/T43: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm bậc 4 sau.

81y x x= − + −

. b.

y x x= + −

22y x x= − +

23y x x= − − +

Bài 3 trang 43 SGK: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm phân thức:

−

−+

Bài 4 trang 44 SGK

Cho hàm số

y x x m= + +

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm

( )

1;1−

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )

của hàm số khi

1m =

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng

Bài 5 trang 44 SGK:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm

()C

của hàm số

31y x x= − + +

b. Dựa vào đồ thị hàm số

()C

biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số

30x x m− + =

Bài 6 trang 44 SGK: Cho hàm số

−

a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của

nó.

b. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua

( 1; 2)A −

c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

2m =

Bài 8 trang 44 SGK:

Cho hàm số

( )

31y x m x m= + + + −

(

là tham số) có đồ thị là

( )

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là

1x =−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 63

Lop

b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại

2x =−

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT)

Câu 1. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số

nào?

31y x x= − ++

. B.

31y x x= − −

. C.

31y x x=+−

. D.

31y x x=− −−

Câu 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

y x x= − +

. B.

31y x x= − +

. C.

31y x x= − + +

. D.

31y x x= − − +

Câu 3. Đường thẳng

21yx=−

có bao nhiêu điểm chung với đồ thị hàm số

−−

. B.

. C.

. D.

Câu 4. Cho hàm số

ax b

−

có đồ thị như hình dưới.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

0ba

. B.

0 ba

. C.

0ba

. D.

0 ab

1−

2−

1−

2−

1−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 64

Lop

Câu 5. Đồ thị hàm số

32y x x ax b= − + +

có điểm cực tiểu

( )

2; 2A −

. Khi đó

ab+

bằng

. B.

. C.

4−

. D.

2−

Câu 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình

3 ( ) 4 0fx−=

là

. B.

. C.

. D.

Câu 7. Đồ thị hàm số sau đây là đồ thị của hàm số nào?

21y x x= − + +

. B.

2y x x= − +

. C. . D.

21y x x= − +

Câu 8. Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình

( )

10fx−=

có mấy nghiệm?

. B.

. C.

. D.

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

ym=

cắt đồ thị hàm số

22y x x= − +

điểm phân biệt

23m

. B.

12m

. C.

2m 

. D.

2m 

Câu 10. Cho hàm số

y ax bx c= + +

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

0, 0, 0.a b c  

0, 0, 0.a b c  

0, 0, 0.abc  

0, 0, 0.a b c  

( )

y f x=

2y x x=−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 65

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG1

BÀI 5 - KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG - TƯƠNG GIAO

A. LÝ THUYẾT

I. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho hai hàm số

( ) ( )

y f x C=

và

( ) ( )

y g x C=

Để tìm hoành độ giao điểm của

( )

và

( )

ta giải phương trình

( ) ( ) ( )

1f x g x=

Giả sử phương trình

( )

có các nghiệm là

; ;...xx

Khi đó, các giao điểm là

( )

0 0 0 1 1 1

; ; ; ;...M x f x M x f x

➢ NHẬN XÉT

Phương trình được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

( )

và

( )

Số nghiệm của phương trình

( )

bằng số giao điểm của

( )

và

( )

➢ VD 1: Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

35y x x= − +

( )

và

2 2 3y x x= − + −

( )

−

( )

và

24y x x= − + +

( )

−

( )

và

31yx= − +

( )

……………………………………………………………………………………………………

( )

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 66

Lop

II. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Xét phương trình

( ) ( )

, 0 1 .F x m =

➢ Biến đổi

( )

về dạng

( ) ( ) ( )

2f x g m=

➢ Khi đó

( )

là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị

( )

y fx=

và

( )

y g m=

Trong đó:

( )

y f x=

thường là hàm đã được khảo sát và vẽ đồ thị,

( )

là đường thẳng cùng

phương với trục hoành.

➢ Dựa vào đồ thị

( )

, từ số giao điểm của

( )

và

( )

ta suy ra số nghiệm của phương trình

( )

cũng chính là số nghiệm của phương trình

( )

➢ VD2:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

32y x x= + −

b) Tìm

để phương trình

32x x m+ − =

có

nghiệm.

ii.

nghiệm.

iii.

nghiệm.

……………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 67

Lop

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Gọi

và

là giao điểm của đường thẳng

1yx=+

và đường cong

31y x x= − +

. Khi đó

hoành độ của điểm

là trung điểm đoạn thẳng

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 2. Gọi

, xx

là hoành độác giao điểm của đồ thị hàm số

( )

3 3 2f x x x x= + − −

và đường

thẳng

10yx=+

. Tính

1 2 3

( ) ( ) ( )T f x f x f x= + +

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm

của phương trình

( )

1fx=

. B.

. C.

. D.

Câu 4. Cho hàm số

( )

3f x x x=−

. Phương trình

( )

2f f x =

có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

. B.

. C.

. D.

Câu 5. Đường thẳng

ym=

không cắt đồ thị hàm số

2 4 2 y x x= − + +

khi và chỉ khi

0 4.m

4.m 

2.m 

2 4.m

Câu 6. Tập hợp các tham số thực

để đồ thị hàm số

( )

4 2y x m x m= + − +

cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt là

 

(

;1] \ 8− −

. B.

(

;1]. −

(

;1)−

. D.

 

(

;1) \ 8− −

Câu 7. Đồ thị hàm số

( )

−

cắt đường thẳng

( ): 4d y x= − +

tại hai điểm phân biệt

, AB

Diện tích tam giác

OAB

với

là gốc tọa độ bằng

8 2

. B.

4 29

. C.

2 29

. D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho hàm số bậc ba

()y f x=

có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của

phương trình

( ) 1fx=−

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 68

Lop

. B.

. C.

. D.

Câu 2. Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm của phương trình

( )

10fx+=

là

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Cho hàm số

()y f x=

xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

( )

10fx−=

là

A. 0. B.

. C.

. D. 3.

Câu 4. Cho hàm số

4y x x=+

có đồ thị

( )

. Tìm số giao điểm của đồ thị

( )

và trục hoành.

. B.

. C.

. D.

Câu 5. Biết rằng đường thẳng

22yx= − +

cắt đồ thị hàm số

2y x x= + +

tại điểm duy nhất có tọa độ

( )

;xy

. Tìm

0y =

. B.

4y =

. C.

2y =

. D.

1y =−

Câu 6. Số giao điểm của đồ thị hàm số

−

với đường thẳng

23yx=+

là

. B.

. C.

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 69

Lop

Câu 7. Cho hàm số

( )

y f x=

có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình

( )

1m f x=+

với

2m 

có bao nhiêu nghiệm?

A. Vô nghiệm. B.

. C.

. D.

Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

( )

f x m=

có ba nghiệm phân biệt.

2m −

. B.

24m−  

. C.

24m−  

. D.

4m 

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 70

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§1. LŨY THỪA

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Với n là một số nguyên dương:

sô a

. ...

a a a a=

;

1a =

;

( 0)

−

=

Chú ý:

và

n−

không có nghĩa

➢ VD 1: Tính giá trị biểu thức

10 9

3 4 2 1

.27 (0,2) .25 128 .

−−

− − − −

   

=++

   

   

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD 2: Rút gọn biểu thức sau

( )

2 2 2

. , 0; 1

B a a

−

−−





= −   



−



……………………………………………………………………………………………………

2. Phương trình

xb=

➢ Ví dụ mở đầu:

Học sinh làm việc theo nhóm, viết lời giải vào bảng phụ. Giáo viên quan sát học sinh làm việc,

nhắc nhở học sinh không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc.

NỘI DUNG

GỢI Ý

Nhóm

1 + 3:

Cho hàm số

yx=

nghiệm của phương trình

chính là số giao điểm của hai

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 71

Lop

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Biện luận theo b số nghiệm của

phương trình

xb=

c) Tìm x để

3333

x 1;x 21; 2xx === =

đồ thị của hai hàm số y = x

và y = b.

➢ Nhận xét

- Nếu

lẻ thì phương trình có nghiệm duy nhất với mọi

- Nếu

chẵn thì:

0b 

: phương trình vô nghiệm

0b =

: phương trình có nghiệm

0x =

0b 

: phương trình có hai nghiệm đối nhau

3. Căn bậc n

Xét phương trình

ab=

với n nguyên dương

+ Cho

tính

. Chẳng hạn

4, 2na==

tính

+ Ngược lại cho

tính

. Chẳng hạn

4, 16nb==

, tính

a) Khái niệm:

Cho số thực

và số nguyên dương

( )

;2nn

. Số

được gọi là căn bậc

của

nếu

ab=

Phương trình

xb=

Căn bậc

lẻ

b

Với mọi số thực

, phương trình có

nghiệm duy nhất.

Có duy nhất một căn bậc

của

, kí

hiệu là

chẵn

b

Với

0b 

, phương trình vô nghiệm

Không tồn tại căn bậc

của

Với

0b =

, phương trình có một nghiệm

0x =

Có một căn bậc

của

là số

phương trình có

nghiệm đối nhau.

Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị

dương là

, còn giá trị âm là

b−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 72

Lop

b) Tính chất:

()

n n n

k nk

a b a b











khi n leû

khi n chaün

➢ VD 3: Tính

4. 8 32 2− = − = −

( )

3 3 3 3==

➢ VD 4: Tìm nghiệm của các phương trình sau:

2019

2020x =−

2020

0x =

2020

2021x =

2020

2021x =−

……………………………………………………………………………………………………

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Khái niệm: Cho số thực

0a 

và số hữu tỉ

, trong đó

, , 2m n n  

. Khi đó

a a a==

Nhận xét:

aa=

(ĐK:

0; ; 2a n Z n  

)

➢ VD 5: Tính

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 73

Lop

1 1 1

8 8 2

−







= = =

➢ VD 6: Rút gọn biểu thức

..x y x y

(Đk:

0, 0xy

)

……………………………………………………………………………………………………

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Khái niệm: Cho số thực

0a 



là một số vô tỉ và

( )

là một dãy số hữu tỉ sao cho

lim



→+

Khi đó:

lim



→+

Nhận xét:



với mọi



II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

➢ Tính chất 1:

Cho hai số thực dương

,ab

và các số





. Khi đó:

1/ .

2 /

3/ ( ) ( )

4 / ( ) .

a a a

ab a b

   





    

  



−







➢ VD 7: Rút gọn biểu thức

( )

7 1 2 7

+−

−

=

( )

5 3 4 5

−

−−

=

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 74

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢ Tính chất 2:



là số thực

So sánh cùng số mũ



Khi





thì:

0 a b a b



   

Khi





thì:

0 a b a b



   

So sánh cùng cơ số

Khi

0 1a

thì:



  

Khi

1a 

thì :



  

➢ VD 8: So sánh : a)

và







và









và

e−

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 55 SGK : Tính

( )

2 2 2

5 5 5

9 .27 9.27 3 .3 3 9= = = =

( )

3 3 3

4 4 4

144 :9 144:9 (16) 2 8= = = =

( ) ( )

0,75

4 . 2 .

0,25 2 2 2 2 40

−

   

− − − −

−

   

   



+ = + = + =





Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 75

Lop

( ) ( )

( )

1,5

2 . 1,5

0,04 0,125 5 2 5 2 121



−−



−−



− = − = − =

Bài 2 trang 55 SGK: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ

1 1 5

3 3 6

a a a a a==

1 1 1 1

3 3 2 6

b b b b b

4 4 1

3 3 3

:a a a a

−

Bài 4 trang 56 SGK: Rút gọn các biểu thức sau

a) Ta có

( )

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

−













b) Ta có

1 2 2

3 3 3

1 1 1 1

3 3 3 3

()

ab a b

a b a b

−

−−



−



−



−

Bài 5 trang 56 SGK: Chứng minh rằng

Ta có



2 5 3 2

2 5 3 2 20 18

   

    

   

   

(luôn đúng).

Ta có

71

6 3 3 6

7 7 6 3 3 6 108 54    

(luôn đúng).

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. [Mức độ 1] Giá trị biểu thức

.27

−







bằng

30P =

. B.

10P =

. C.

3P =

. D.

9P =

Câu 2. [Mức độ 2] Biết

( ) ( )

2020 2021

5 2 6 5 2 6P = − +

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

( )

9;10P

. B.

( )

0;1P

. C.

( )

7;8P

. D.

( )

3;4P

Câu 3. [Mức độ 2] Rút gọn biểu thức:

.Pa

−







với

0a 

Pa=

2 3 1

Pa=

Câu 4. [Mức độ 1] Cho phương trình

x =

với

là số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI.

A. Phương trình có hai nghiệm đối nhau. B. Phương trình có duy nhất một nghiệm.

C. Phương trình có một nghiệm dương là

. D. Phương trình có một nghiệm âm là

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 76

Lop

Câu 5. [Mức độ 1] Biểu thức

.xx

với

0x 

được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

. B.

. C.

. D.

Câu 6. [Mức độ 2] Cho

,ab

là các số thực dương, rút gọn biểu thức

a b ab

ta được

P ab=

. B.

P a b=+

. C.

P a b ab=+

. D.

P a b ab=+

Câu 7. [Mức độ 2] Mệnh đề nào sau đây là đúng?

( ) ( )

11 2 11 2−  −

. B.

( ) ( )

4 2 4 2−  −

( ) ( )

2 2 2 2−  −

. D.

( ) ( )

3 2 3 2−  −

Câu 8. [Mức độ 1] So sánh hai số

nếu

   



   

   

.mn

.mn=

.mn

mn=−

Câu 9. [Mức độ 3] Biết

2 2 5

xx−

. Giá trị của biểu thức

4 4 3

−

= + +

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 10. [Mức độ 3] Cho biểu thức

( ) ( )

11E a b

−−

= + + +

. Với

( )

23a

−

( )

23b

−

=−

thì giá

trị của biểu thức

là

33+

. B.

. C.

33−

. D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

PHIẾU HỌC TẬP

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức

5 2 3 7 3

2 .3

288

. B.

. C.

. D.

Câu 2. Cho

0a 

, rút gọn biểu thức

( )

1 3 3 2

−

−−

1P =

. B.

Pa=

. C.

. D.

Pa=

Câu 3. Cho

là số thực dương, viết biểu thức

..P a a a=

dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.

Pa=

. B.

Pa=

. C.

Pa=

. D.

Pa=

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 77

Lop

Câu 4. Cho

là các số dương. Rút gọn biểu thức

(

)

12 6

được kết quả là

P ab=

. B.

P a b=

. C.

P ab=

. D.

P a b=

Câu 5. Cho

là các số thực dương. Giá trị của biểu thức

a b b a

E ab

=−

là

2E =−

. B.

1E =−

. C.

1E =

. D.

0E =

Câu 6. Cho số thực dương

0a 

và

1a 

. Rút gọn biểu thức

a a a



−







−





ta được

Ca=

. B.

Ca=

. C.

Ca=

. D.

Ca=

Câu 7. Nếu

( )

2 3 1 2 3 1

−  −

thì

1a −

. B.

1a 

. C.

1a −

. D.

1a −

Câu 8. Kết luận nào sau đây đúng về số thực

nếu

( ) ( )

22aa−  −

1 2.a

1.a 

1.a 

0 1.a

Câu 9. Rút gọn

( )

2 2 2

a b c

b c a

P a b c

a b c

−



+−

=  +  + +



−+



ta được

. B.

. C.

. D.

Câu 10. Cho

9 9 23.

xx−

Tính giá trị của biểu thức

5 3 3

1 3 3

−

−−

ta được

2.−

−

Câu 11. Tìm tất cả các số thực

sao cho

với mọi

1ab+=

2m =

. B.

4m =

. C.

2m =

. D.

8m =

Câu 12. Cho hàm số

( )

fx=

. Tổng

( )

1 18 19

0 ...

10 10 10

f f f f

     

+ + + +

     

     

bằng

. B.

10.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 78

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. KHÁI NIỆM

1. Định nghĩa

➢ ĐN: Hàm số



với





được gọi là hàm số luỹ thừa.

➢ Chú ý:

Tập xác định của hàm số



tuỳ thuộc vào giá trị của :

• Nếu



là số nguyên dương:

D =

• Nếu



nguyên âm hoặc



bằng 0:

 

\0D =

• Nếu



không nguyên:

(0; )D = +

2. Ví dụ

➢ VD1: Tìm tập xác định của hàm số:

( )

65y x x= − −

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: Tìm tập xác định của hàm số:

( )

6yx

−

=−

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD3: Tìm tập xác định của hàm số:

( )

2y x x



= − −

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 79

Lop

II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

1. Định lý

➢ ĐL: Hàm số lũy thừa



với





có dạo hàm với mọi

0x 

và

( )





−



➢ Đạo hàm: Công thức tính đạo hàm hàm hợp:

( )

.u u u





−



2. Ví dụ

➢ VD1: Tính đạo hàm của các hàm số:

−

. b)



……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: Tính đạo hàm của hàm số

( 1)yx=−

tại điểm

2x =

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD3: Tính đạo hàm của các hàm số:

( )

.1yx=+

( )

3 2 1 .y x x= + +

……………………………………………………………………………………………………

III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA



1. Khảo sát hàm số lũy thừa



+ TXĐ :

( )

0;D = + 

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 80

Lop

+ Đạo hàm :

.yx



−



+ Sự biến thiên :

Đồng biến trên

nếu





, nghịch biến trên

nếu





+ Đồ thị : Luôn đi qua điểm

( )

1;1

2. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa

, 0yx



=

, 0yx



=

A. Tập khảo sát:

(0; ).+

A. Tập khảo sát:

(0; ).+

B. Sự biến thiên:

0, 0.y x x



−



=   

Giới hạn đặc biệt:

lim 0, lim .



→+

→

= = +

Tiệm cận: Không có

B. Sự biến thiên:

0, 0.y x x



−



=   

Giới hạn đặc biệt:

lim , lim 0.



→+

→

= + =

Tiệm cận:

Trục

là tiệm cận ngang.

Trục

là tiệm cận đứng.

C. Bảng biến thiên:

D. Đồ thị:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 81

Lop

Đồ thị của hàm số lũy thừa



luôn đi qua điểm

(1;1).I

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng

hạn:

, , .y x y x y x



−

= = =

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 61 - SGK: Tìm tập xác định của các hàm số:

( )

1yx

−

=−

; b)

( )

2yx=−

; c)

( )

1yx

−

=−

; d)

( )

2y x x= − −

Bài 2 trang 62 - SGK: Tính đạo hàm của các hàm số:

( )

21y xx=+−

; b)

( )

4 x xy =−−

; c)

( )

31y x



= +

; d)

( )

5y x= −

Bài 4 trang 62 – SGK: So sánh các số sau với số 1

( )

2,7

4,1

. b)

( )

0,3

0,2

. c)

( )

3,2

0,7

. d)

( )

0,4

Bài 5 trang 62 - SGK: Hãy so sánh các cặp số sau:

( )

7,2

3,1

và

( )

7,2

4,3

; b)

2,3







và

2,3







( )

0,3

và

( )

0,3

0,2

II. Bài tập trắc nghiệm

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

−

là

A. . B.

 

. C.

( )

0;+

. D.

( ) ( )

0;1 1; +

Câu 2: [Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số

−

là

−



. B.

5yx

−



=−

. C.

5yx

−



=−

. D.

5yx



=−

Câu 3: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

( )

1yx=−

là

( )

1; +

. B.

( )

0;+

. C.

 

. D. .

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 82

Lop

Câu 4: [Mức độ 2] Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số

yx=

trên miền

( )

0;+

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:

a c b

. B.

( )

2 3 3x y x y+ = − + +

b c a

. D.

c b a

Câu 5: [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

( )

1yx=−

là

( )



=−

. B.

( )



= − −

. C.

( )



=−

. D.

( )

1yx



=−

Câu 6: [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

( )

2y x x=−

là

( )

y x x x



= − −

. B.

( )



−

( )



−

. D.

( )

−



−

Câu 7: [Mức độ 2] Tập xác định của hàm số

−







là

( )

1;y



= +

. B.

\ ;1





=−





. C.

( )

; 1;





= − −  +





. D.





=−





Câu 8: [Mức độ 2] Cho hàm số



. Tính

( )

1.y



( )

1 ln .y





( )

1 ln .y





( )

1 0.y



( ) ( )

1 1 .y





=−

Câu 9: [Mức độ 3] Cho các hàm số lũy thừa

,yx



,yx





trên

( )

0;+

có đồ thị như hình

vẽ.

yx=

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 83

Lop

Mệnh đề nào sau đây đúng?

  

  

. B.

  

   

. C.

  

  

. D.

  

   

Câu 10: [Mức độ 3] Tập xác định của hàm số

( )

2 - 3y x x=+

là:



)

3;− +

. B.



−





. C.

( )

1; +

. D.

( )

; 1;



− −  +





C. TÓM TẮT BÀI HỌC

TẬP XÁC ĐỊNH

ĐẠO HÀM

ĐỒ THỊ

•





và





D =

•





và





hoặc



 

\0D =

•





(0; )D = +

( )





−



( )

.u u u





−



D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

( )

2y x x



=−

là

( ) ( )

;0 2;−  +

. B.

( )

0;2

. C.

 

0;2

. D. .

Câu 2: [Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số

( )

1y x x= + +

là

( )

xx++

( )

.3 2 1 1x x x+ + +

( )

. D.

( )

2 1 1

x x x+ + +

Câu 3: [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

2 4 1y x x= + +

. Khi đó đạo hàm

( )



bằng

. B.

. C.

12 3

. D.

28 3

Câu 4: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

( )

4yx

−

=−

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 84

Lop



)

0;+

. B.

 

\2



)

2;+

 

Câu 5: [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

1yx=+

là

( )



. B.

( ) ( )

1 ln 1y x x



= + +

( )



. D.

( )



Câu 6: [Mức độ 2] Tìm tập xác định của hàm số



−

= + −





( )

1;1D =−

. B.

( ) ( )

1;0 1;D = −  +

( ) ( )

1; 1;− −  +

. D.

(

 

)

; 1 1;− −  +

Câu 7: [Mức độ 2] Tìm điều kiện của số thực dương

để đường thẳng

( )

0x a a=

cắt đồ thị hàm số

yx=

và

yx=

lần lượt tại hai điểm

,AB

. Biết rằng tung độ điểm

bé hơn tung độ điểm

01a

. B.

1a 

. C.

a

. D.

a

Câu 8: [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

( )

.y f x x x==

với

0x 

là

. B.

. C.

7 x

. D.

Câu 9: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của

( )

2020;2020m−

để hàm số

( )

21y x x m= − − +

có tập xác định là .

4038

. B.

2019

. C.

2020

. D.

2021

Câu 10: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

( )

2 1 5y x m x m= − − + +

xác định trên và đồng biến trên khoảng

( )

1; +

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 85

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§3. LOGARIT

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa

➢ VD MỞ ĐẦU:

➢ ĐN: Cho hai số dương

,ab

với

1a 

. Số



thỏa mãn đẳng thức



được gọi là logarit cơ

số a của b và kí hiệu là

log

. Ta có

log

b a b



=  =

➢ Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Ví dụ

➢ VD1: Tính a)

log 8

. b)

log 9

. c)

log

. d)

log 3

. e)

log 1



……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 86

Lop

II. Tính chất

Cho hai số dương a, b với

1a 

, ta có các tính chất sau:

log 1 0

log 1

a =

log

ab=

( )

log



➢ VD2: Tính a)

2log 5

log 8

log

……………………………………………………………………………………………………

III. Quy tắc tính logarit

Cho các số dương

, , ,a b b b

với

1a 

, ta có quy tắc sau:

1 2 1 2

log log log

a a a

bb b b=+

Chú ý có thể mở rộng cho tích của n số dương

( )

1 2 1 2

log ... log log ... log

a n a a a n

bb b b b b= + + +

( )

, , ,..., 0, 1

a b b b a

log log log

a a a

=−

Đặc biệt

log log

=−

log log



Đặc biệt

log log

➢ VD3: Tính

log 9 log 4+

log 120 log 15−

1 1 1

2 2 2

log 2 log log

7 7 7

log 35 log 30 log 6−+

log 4

log 3 log 15

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 87

Lop

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 71 – SGK: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

log

log 2

log 3

0,5

log 0,125

Bài 2 trang 71 – SGK: Tính: a)

log 3

. b)

log 2

. c)

log 2

. d)

log 27

C. Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 1. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC – MỆNH ĐỀ ĐÚNG SAI

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Tính giá trị của biểu thức

2 3 5

log 8 log 27 log 5P = + −

. B.

. C.

. D.

Câu 2: [Mức độ 1] Cho

, , 0; 1; 1.a b c a b  

, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

log 1

a =

. B.

log .log log

a b a

b c c=

log log

b c b=

. D.

( )

log log log

a a a

bc b c=+

Câu 3: [Mức độ 2] Với các số thực dương

, ba

bất kì,

log







biểu diễn theo

log a

và

log b

là

1 3log logab+−

. B.

1 log log

ab+−

1 3log logab++

. D.

1 log log

ab++

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 88

Lop

Câu 4: [Mức độ 2] Tính

2021

log 4 ln

1010

e−+

2021

. B.

2019

. C.

2022

. D.

2020

Câu 5: [Mức độ 2] Tính giá trị của biểu thức

(

)

log .

P a a a=

với

0 1.a

P =

. B.

P =

. C.

P =

. D.

3P =

Câu 6: [Mức độ 3] Tính giá trị của biểu thức:

( ) ( ) ( ) ( )

log tan1 log tan2 log tan3 log tan89P = + + ++

0P =

. B.

2P =

. C.

P =

. D.

1P =

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

IV. Đổi cơ số

Cho ba số dương a, b, c với

1, 1ac

, ta có

log

Từ điều trên ta rút ra các công thức đặc biệt:

log log .log

c c a

b a b=

;

( )

log ,log .log 1, 1

log

a a b

b b a b

= = 

;

( )

log log , 0



=

➢VD4: Tính:

log 3 log 2

log 6

. b)

325

log 5.log 3.log 2

. c)

log 15

……………………………………………………………………………………………………

➢VD5: (VD7 sgk) Cho

log 20a =

. Hãy tính

log 5

và

log 5

theo

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 89

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢VD6: (VD8 SGK) Rút gọn biểu thức

log 7 2log 49 log

A = + −

……………………………………………………………………………………………………

V. Logarit thập phân, logarit tự nhiên

Logarit thập phân là logarit cơ số 10,

log b

thường được viết là

logb

hoặc

lgb

Logarit tự nhiên (logarit Neper): Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên,

log

(

0N 

được viết là

lnb

Với

lim 1

→+







2,718 281 828 459 045e 

➢Chú ý

Muốn tính

log

với a



10 và a



e, bằng MTBT, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số.

log ln

log ;log

log ln

Chẳng hạn

log3 ln3

log 3 1,584 962 501

log3 ln2

= = 

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 3 trang 71 – SGK: Rút gọn biểu thức:

3 8 6

log 6.log 9.log 2

log log

bb+

Bài 5 trang 71 – SGK:

a) Cho

30 30

log 3, log 5ab==

. Hãy tính

log 1350

theo

,ab

b) Cho

log 3c =

. Hãy tính

log 15

theo

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 90

Lop

C. Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 2. BIỂU DIỄN LOGARIT

❖ Phương pháp:

Cho

log



. Biểu diễn

log

theo



 Nếu

( )

,1ab =

thì

log

và sử dụng công thức tích, thương, lũy thừa biến đổi tiếp.

 Nếu

( )

,1ab 

thì biến đổi

log .log

b k q=

trong đó

( )

,1pq =

sau đó

log

và sử dụng

công thức tích, thương, lũy thừa biến đổi tiếp.

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Cho

log 5 a=

. Giá trị của

log 25

theo

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 2: [Mức độ 1] Đặt

log4 a=

, khi đó

log4000

biểu thị theo

là

3 a+

. B.

4 a+

. C.

32a+

. D.

42a+

Câu 3: [Mức độ 2] Cho

log xa=

. Tính giá trị của biểu thức

2 1 4

log log logA x x x= + +

theo

. B.

−

. C.

. D.

a−

Câu 4: [Mức độ 2] Cho

log 5 ; log 5ab==

. Khi đó

log 5

tính theo

và

là.

ab+

. B.

ab+

. C.

ab+

. D.

ab+

Câu 5: [Mức độ 3] Với mọi số

0b 

thỏa mãn

9 10a b ab+=

thì đẳng thức đúng là.

( )

2log 3 log loga b a b+ = +

. B.

( )

log 3

log log

( )

log log 1 1ab+ + =

. D.

( )

log log log

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT)

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Cho

, , 0abc

và

,1ab

, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

log

ab=

. B.

log log

b c b c=  =

log

. D.

log log

b c b c  

Câu 2: [Mức độ 1] Với

là số thực dương tùy ,

( )

log a

biểu diễn theo

log a

là

2log a

. B.

log

. C.

2 log a+

. D.

log

Câu 3: [Mức độ 1] Giá trị biểu thức

log 15 log 5

−

là:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 91

Lop

3A =

. B.

15A =

. C.

5A =

. D.

10A =

Câu 4: [Mức độ 1] Giá trị biểu thức

ln9

log 3.log 5

ln4

P =−

là

. B. 2. C.

. D.

1−

Câu 5: [Mức độ 2] Cho hai số thực dương

và

với

1a 

( )

log

biểu diễn theo

log

là

( )

log log .

ab b=

( )

log log .

ab b=

( )

log 2 2log .

ab b=+

( )

log log .

ab b=+

Câu 6: [Mức độ 2] Biểu thức

49 7

log 5 log 5

P =−

bằng.

log 5

. B.

. C.

log 7

. D.

Câu 7: [Mức độ 2] Cho

log2 a=

Tính

125

log

theo

( )

41 a+

. B.

( )

25a +

. C.

35a−

. D.

67a+

Câu 8: [Mức độ 3]Cho hai số

thỏa mãn

log log 5ab+=

và

log log 4ab+=

. Giá trị

.ab

là:

. B.

256

. C.

144

. D.

324

Câu 9: [Mức độ 3] Cho

log 9 .a=

Tính

log 2

theo

. B.

−

. C.

2 a

−

. D.

a−

Câu 10: [Mức độ 4] Cho

là các số thực dương thỏa mãn

1b 

và

a b a

. Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

log 2log







là

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 92

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§4. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. Hàm số mũ

Đặt vấn đề

Câu hỏi 1: Diện tích rừng nước ta năm 2014 là 13,8 triệu ha, giả sử sau mỗi năm diện tích rừng

nước ta tăng thêm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 10 năm, diện tích rừng nước ta sẽ là bao

nhiêu phần trăm diện tích hiện nay?

Câu hỏi 2: Anh An muốn mua xe Ford Fiesta trị giá 584 triệu theo phương thức trả trước 150

triệu, còn lại 434 triệu sẽ vay ngân hàng theo hình thức trả góp hàng tháng 10 triệu với lãi suất

7%/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì anh An trả hết nợ?

Câu hỏi 3: Năm 2019 dân số Việt Nam có 96,2 triệu người với tỉ lệ gia tăng tự nhiên là 1,08%.

Hỏi đến năm 2030 dân số Việt Nam là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi?

VD MỞ ĐẦU

Nêu bài toán “ lãi kép”

Bài toán 1: Ông A gửi số tiền P đồng vào một ngân hàng với lãi suất r/năm. Biết rằng nếu không

rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta

gọi đó là lãi kép). Sau n năm, số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) của ông A là P

Hãy điền vào bảng sau:

Sau năm thứ k

Tiền lãi

Số tiền lĩnh được (vốn tích lũy)

1k =

.T P r=

( )

.1P P T P P r P r= + = + = +

2k =

...T =

...P =

…

kn=

...

T =

...

P =

1. Định nghĩa:

Cho số thực dương

1a 

. Hàm số

ya=

được gọi là hàm số mũ cơ số a.

➢ Chú ý: cơ số a là số dương khác 1.

➢ VD1. Học sinh lấy ví dụ về hàm số mũ, xác định cơ số trong các trường hợp đó.

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? Cơ số là bao nhiêu?

( )

y =

. B.

yx=

. C.

−

. D.

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 93

Lop

……………………………………………………………………………………………………

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Thừa nhận kết quả:

lim 1.

→

−

➢ Định lí 1. Hàm số

ye=

có đạo hàm tại mọi x và

( )



Tổng quát ta có

( )

e u e



➢ VD3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

21x

−

y =

……………………………………………………………………………………………………

➢ Định lí 2. Hàm số

(0 1)

y a a=  

có đạo hàm tại mọi điểm

và

( )

.ln

a a a



( )

.ln

a a a



Tổng quát ta có

( )

. .ln

a a u a



➢ VD 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

y =

−+

2sin 4

−

……………………………………………………………………………………………………

3. Khảo sát hàm số mũ

Hàm số

(0 1)

y a a=  

1a 

01a

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 94

Lop

1. Tập xác định

2. Sự biến thiên

.ln 0,

y a a x



=   



hàm số đồng biến trên

Giới hạn:

lim 0

→−

lim

→+

= +

Tiệm cận: Trục

là tiệm cận ngang.

2. Sự biến thiên

.ln 0,

y a a x



=   



hàm số nghịch biến trên

Giới hạn:

lim 0

→+

lim

→−

= +

Tiệm cận: Trục

là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa

Cho số thực dương

khác 1. Hàm số

log

yx=

được gọi là hàm số logarit cơ số a.

➢ Chú ý: Hàm số

log

yx=

với điều kiện

01a

có tập xác định

( )

0;D = +

➢ VD 1: Học sinh lấy ví dụ về hàm số logarit

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD 2. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số logarit? Cơ số bao nhiêu?

y =

. B.

ln x

. C.

. D.

yx=

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 95

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD3: Tìm tập xác định của các hàm số:

( )

log 2 1yx=+

log ( 3 2)y x x= − +

−−

−

( )

log 1y x x= + +

……………………………………………………………………………………………………

2. Đạo hàm của hàm số logarit

➢ Định lí 3. Hàm số

log

yx=

(0 1)a

có đạo hàm tại mọi

0x 

và

( )

log .



Đặc biệt

( )

ln .x



Tổng quát ta có

( )

log .



( )

lnu .



➢ VD 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

ln( 1)y x x= + +

. b)

log ( 2 ).y x x=−

5 2 log .y x x x=−

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 96

Lop

……………………………………………………………………………………………………

3. Khảo sát hàm số logarit

Hàm số

log (0 1)

y x a=  

1a 

01a

1. Tập xác định

( )

0;+

1. Tập xác định

( )

0;+

2. Sự biến thiên

( )

0, 0;



=    +



hàm số đồng biến trên

( )

0;+

Giới hạn:

lim log

→

= −

lim log

→+

= +

Tiệm cận: Trục

là tiệm cận đứng.

2. Sự biến thiên

( )

0, 0;



=    +



hàm số nghịch biến trên

( )

0;+

Giới hạn:

lim log

→

= +

lim log

→+

= −

Tiệm cận: Trục

là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên

Đồ thị

➢ VD: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ

logyx=

và







……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 97

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢ Nhận xét: Đồ thị các hàm số

log

yx=

và

ya=

đối xứng nhau qua đường thẳng

yx=

Tóm tắt bảng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit

Hàm sơ cấp

Hàm hợp

( )





−





=−







( )

u u u





−





=−







( )

.ln

a a a



( )

. .ln

e u e

a u a a



( )

log '

.ln



( )

log

.ln



B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 77 – SGK: Vẽ đồ thị hàm số (giao nhiệm vụ cho các nhóm)

y =







Bài 2 trang 77 – SGK: Tính đạo hàm của các hàm số

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 98

Lop

2 3sin 2

y xe x=+

. b)

5 2 cos

y x x=−

. c)

Bài 3 trang 77 – SGK: Tìm tập xác định của các hàm số sau (giao nhiệm vụ cho các nhóm)

( )

log 5 2x−

. b)

( )

log 2xx−

. c)

( )

log 4 3xx−+

. d)

0,4

log

−

Bài 5 trang 78 – SGK: Tính đạo hàm của các hàm số

3 ln 4siny x x x= − +

. b)

log( 1)y x x= + +

. c)

log x

II. Bài tập trắc nghiệm

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

y =

là

A. . B.



)

0;+

. C.

( )

0;+

. D.

 

Câu 2: [Mức độ 2] Hàm số

( )

−

có đạo hàm là

( ) ( )

2 2 .2 .ln2

f x x

−



=−

. B.

( )

2 2 .2

ln2

−



( ) ( )

1 .2 .ln2

f x x

+−



=−

. D.

( )

1 .2

ln2

−



Câu 3: [Mức độ 1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?







. B.

y =

. C.







. D.







Câu 4: [Mức độ 2] Hàm số

( )

f x x x

−

có đạo hàm

( )

4 2 e

f x x x

−



= + +

. B.

( ) ( )

2 2 e

f x x

−



( ) ( )

2 2 e

f x x

−



= − −

. D.

( )

f x x

−



= − +

Câu 5: [Mức độ 3] Hình bên là đồ thị hàm số

( )

, , 0 , , 1

x x x

y a y b y c a b c= = =  

được vẽ trên cùng

một hệ trục toạ độ. Khẳng định nào sau đây đúng?

abc

. B.

c b a

. C.

a c b

. D.

bac

Câu 6: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

( )

log 2yx=−

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 99

Lop

( )

2;+

. B.



)

2;+

. C. . D.

( )

;2−

Câu 7: [Mức độ 2] Tìm tập xác định

của hàm số

ln 3 2y x x= − +

( )

1;2D =

. B.

( )

2;D +=

( )

;1D −=

. D.

( ) ( )

;1 2;D −  +=

Câu 8: [Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số

( )

ln 2021yx=+

là

2021

( )

2021 log

Câu 9: [Mức độ 2] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số

( )

ln 1y x mx= − +

có tập

xác định là ?

. B.

. C.

. D.

Câu 10: [Mức độ 3] Cho các số

, , 0abc

và

, , 1abc

. Đồ thị của các hàm số

log , log

y x y x==

và

log

yx=

được cho bởi hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng

c b a

. B.

bac

. C.

c a b

. D.

abc

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT)

ĐỀ BÀI

Câu 1: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

logyx=

là



)

0; .+

( )

;.− +

( )

0; .+



)

2; .+

Câu 2: [Mức độ 1] Tập xác định của hàm số

logyx=

là



)

0;+

. B.

( )

;0−

. C.

( )

0;+

. D.

( )

;− + 

Câu 3: [Mức độ 2] Tìm tập xác định của hàm số

( )

2018

log 3y x x=−

D =

. B.

( )

0;D = + 

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 100

Lop

( ) ( )

; 0 3;D = −  + 

. D.

( )

0; 3D =

Câu 4: [Mức độ 2] Tìm tập xác định của hàm số:

( )

2 log 3

yx= + −



)

0;+

. B.

( )

0;3

. C.

( )

;3−

. D.



)

0;3

Câu 5: [Mức độ 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

( )

log 2 1y x x m= − − +

có tập

xác định là .

2m 

. B.

2m 

. C.

0m 

. D.

0m 

Câu 6: [Mức độ 1] Tìm đạo hàm của hàm số

logyx=

ln10



. B.

ln10



. C.

10ln



. D.



Câu 7: [Mức độ 2] Hàm số

−

có đạo hàm là

2 .ln2

xx−

. B.

(2 1).2 .ln 2

−

( ).2

−−

−

. D.

(2 1).2

−

Câu 8: [Mức độ 2] Tính đạo hàm của hàm số

( )

1 2 1 ln2

−+

. B.

( )

1 2 1 ln 2

( )

1 2 1 ln2

−+

. D.

( )

1 2 1 ln 2

Câu 9: [Mức độ 2] Hàm số

( )

log 2f x x x=−

có đạo hàm

( )

ln2

−

. B.

( )

2 ln2

−

( )

2 2 ln2

−

. D.

( )

2 ln2

−

Câu 10: [Mức độ 2] Cho đồ thị hàm số

ya=

và

log

yx=

như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

ab  

. B.

01ab  

. C.

01ba  

. D.

01a

b

Câu 11: [Mức độ 2] Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên ?

log x

. B.

( )

logyx=

. C.







. D.

−







Câu 12: [Mức độ 2] Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 101

Lop

y =−

. B.

lnyx=

. C.

lnyx=

. D.

y =

Câu 13: [Mức độ 3] Tìm tất cả các giá trị của

để hàm số

( )

ln 2 1y x mx m= − + + +

xác định với mọi

( )

1;2x

m −

. B.

m 

. C.

m 

. D.

m −

Câu 14: [Mức độ 3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

( )

y ln 1 1x mx= + − +

đồng biến trên khoảng

( )

;− +

( )

5; +B 

. B.

( )

;1− −

. C.

 

1;1−

. D.

(



;1− −

Câu 15: [Mức độ 3] Trong hình dưới đây, điểm

là trung điểm của đoạn thẳng

. Khẳng định nào

sau đây là đúng?

2a c b+=

. B.

ac b=

. C.

2ac b=

. D.

ac b=

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 102

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản

➢ VD MỞ ĐẦU:

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau

bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

➢ Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng

ab=

( 0, 1)aa

➢ Chú ý:

Với b > 0, ta có

a b x log b=  =

Với

0b 

, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ

➢VD1: Giải phương trình

……………………………………………………………………………………………………

➢VD2: Giải phương trình

2 1 1

2 4 5

xx−+

……………………………………………………………………………………………………

2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số: Bằng cách đưa về dạng

( ) ( )

A x B x

aa=

và giải phương trình

( ) ( )

.A x B x=

Ví dụ:

➢VD3: Giải phương trình

x−

……………………………………………………………………………………………………

➢VD4: Giải phương trình

1,5

−







……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 103

Lop

……………………………………………………………………………………………………

b) Đặt ẩn phụ

➢VD5: Giải phương trình

9 4.3 45 0

− − =

……………………………………………………………………………………………………

c) Lôgarit hoá

➢VD6: Giải phương trình

3 .2 1.

……………………………………………………………………………………………………

II − Phương trình logarit

Phương trình logarit là phương trình co chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

Chẳng hạn, có phương trình

log 4x =

log 2log 1 0xx− + =

là những phương trình logarit.

1.Phương trình logarit cơ bản

Phương trình logarit cơ bản có dạng

log

xb=

( 0, 1).aa

Phương trình

log

xb=

( 0, 1)aa

luôn có nghiệm duy nhất

xa=

với mọi b.

➢VD1: Giải hương trình

( )

log 1 3x −=

……………………………………………………………………………………………………

➢VD2: Giải hương trình

( )

log 1 3x −=

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 104

Lop

……………………………………………………………………………………………………

2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình logarit.

a) Đưa về cùng cơ số

➢VD3: Giải phương trình

3 9 27

log log log 11x x x+ + =

……………………………………………………………………………………………………

b) Đặt ẩn phụ

➢VD4: Giải phương trình

5 log 1 logxx

−+

……………………………………………………………………………………………………

c) Mũ hóa

➢VD5: Giải phương trình

( )

log 9 2 3.

−=

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 105

Lop

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

1.Phương trình mũ

Bài 1 trang 84 – SGK:

3x 2 3x 2 0

a) (0,3) 1 (0,3) (0,3) 3x 2 0 x

−−

=  =  − =  =

b) 25 5 5 x 2

−



=  =  = −





( )

x 3x 2 x 3x 2 2 2 2

c)2 4 2 2 x 3x 2 2 x 3x 0 x x 3 0

− + − +



=  =  − + =  − =  − = 





Vậy phương trình có tập nghiệm

 

S 0;3=

x 7 1 2x 8 x

x 7 1 2x x 8 1

1 1 1

d)(0,5) (0,5) 2 2 2 2 2 x 8 1 x 9

2 2 2

+ − −

     

 =   =  =  =  − =  =

     

     

Bài 2 trang 84 – SGK:

2x 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2 1 3

3 3 108 3 3 3 108 4.3 108 3 27 3 3

− − − − − −

+ =  +  =  =  =  =

2x 1 3 x 2 − =  =

Vậy phương trình có nghiệm

x2=

x 1 x 1 x

2 2 2 28

+−

+ + =

( )

x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1

2 2 2 2 2 28 2 2 1 2 28 2 7 28

− − − − −

  + +  =   + + =   =

x 1 x 1 2

2 4 2 2 x 1 2 x 3

−−

 =  =  − =  =

( )

x x x x

64 8 56 0 8 8 56 0− − =  − − =

(Phương trình bậc hai ẩn

)

( )

8 7 L

8 8 x 1



=−

  =  =





x x x

3.4 2.6 9−=

x x 2x x

x x x

4 6 4 2 2 2

3.4 2.6 9 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0

9 9 9 3 3 3

       

 − − =   −  − =   −  − =   −  − =

       

       

Đặt



=





, phương trình trở thành:

( )

3 t 2t 1 0 1 x 0







 − − =   =  =

−









2)Phương trình logarit

Bài 3 trang 84 – SGK: Giải các phương trình logarit:

( ) ( )

log 5 3 log 7 5xx+ = +

; b)

( ) ( )

log 1 log 2 11 log2xx− − − =

;

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 106

Lop

( ) ( )

log 5 log 2 3xx− + + =

; d)

( )

log 6 7 log 3 .x x x− + = −

Bài 4 trang 84 – SGK:Giải các phương trình logarit:

( )

log 5 log5 log

x x x

+ − = +

;

( )

log 4 1 log8 log4

x x x x− − = −

;

log 4log log 13.x x x+ + =

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 1] Tìm tập nghiệm

của phương trình

 

1S =

. B.

 

1S =−

. C.

 

4S =

. D.

 

2S =

Câu 2: [Mức độ 1] Tìm nghiệm của phương trình

x−

1x =

. B.

2x =

. C.

4x =

. D.

3x =

Câu 3: [Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình

xx−

là

. B.

. C.

. D.

Câu 4: [Mức độ 1] Cho phương trình

4 2 3 0

xx+

+ − =

. Khi đặt

t =

, ta được phương trình nào dưới

đây?

2 3 0tt+ − =

. B.

4 3 0t −=

. C.

30tt+ − =

. D.

2 3 0tt−=

Câu 5: [Mức độ 2] Số nghiệm của phương trình:

4 6.2 8 0

− + =

là

. B.

. C.

. D.

Câu 6: [Mức độ 2] Phương trình

4 6.2 8 0

− + =

có tổng các nghiệm là

. B.

. C.

. D.

Câu 7: [Mức độ 2] Cho phương trình

4 6.2 8 0

− + =

. Gọi

,xx

là hai nghiệm của phương trình trên.

Khi đó, tích

.xx

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 8: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

( )

1 1 1 1

9 3 3 2 1 0

+ − + −

− + + + =

có nghiệm thực?

. B.

. C. Vô số. D.

Câu 9: [Mức độ 3] Gọi a là một nghiệm của phương trình

2log log 2log

4.2 6 18.3 0

x x x

− − =

. Khẳng định

nào sau đây đúng khi đánh giá về

( )

10 1a −=

. B.

cũng là nghiệm của phương trình

log







12aa+ + =

. D.

10a

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 107

Lop

Câu 10: Giải phương trình

( )

log 2 1xx− + =

x 0 =

x 1. =

x 0 =

x 2. =

x 0 =

x 1. =−

D. Vô nghiệm.

Câu 11: Tập nghiệm của phương trình

( )

log 3x 7 3−=

là

A. {1}. B. {-2}. C. {5}. D. {-3}

Câu 12: Phương trình

( )

log 2 1 0xx+ + =

có bao nhiêu nghiệm âm ?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình

log 1 2x +=

là

 

3,2−

. B.

 

4,2−

. C.

 

. D.

 

10,2−

Câu 14: Tập nghiệm của phương trình:

( )

log 2 1 2

− = −

là

 

2 log 5−

. B.

 

2 log 5−+

. C.

 

log 5

. D.

 

2 log 5+

Câu 15: Phương trình:

( )

ln ln 3 2 0xx+ − =

có mấy nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3

Câu 16: Tìm số nghiệm của phương trình

log . log . log 8x x x =

. B.

. C.

. D.

Câu 17: Tìm số nghiệm của phương trình

( ) ( )

log 2 log 4 6xx+ = +

. B.

. C.

. D.

Câu 18: Phương trình

( )

log 2 log 3xx+ + =

có nghiệm là

2, 4xx= − =

. B.

2, 4xx==

. C.

2x =

. D.

0x =

Câu 19: Biết rằng phương trình

( )

log 9 log 7 0



+ − =





có hai nghiệm phân biệt

, xx

Tính

.P x x=

P =

3.P =

9.P =

3.P =

Câu 20: Tìm tập nghiệm

của phương trình

( ) ( )

log 1 log 1 1.xx− + + =

3 13











 

3.S =

 

2 5;2 5 .S = − +

 

2 5 .S =+

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 108

Lop

Câu 21: [Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình

xx−

là

. B.

. C.

. D.

Câu 22: [Mức độ 1] Nghiệm của phương trình

2 2018

xx+

bằng

1008

2017

1009

2018

Câu 23: [Mức độ 1] Phương trình

3 28.3 9 0

xx+

− + =

có hai nghiệm là

( )

1 2 1 2

,x x x x

Tính giá trị

2T x x=−

3T =−

. B.

0T =

. C.

4T =

. D.

5T =−

Câu 24: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình

1 ln81

−

là

5x =

. B.

4x =

. C.

6x =

. D.

17x =

Câu 25: [Mức độ 2] Giải phương trình

4 2 1 0

xx+

− + =

trên tập số thực

1.x =

0.x =

x =

0.x =

Câu 26: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình

x m x−

( tham số) là

xm=−

. B.

2xm=−

. C.

2xm=

. D.

xm=

Câu 27: [Mức độ 3] Phương trình

4 2.6 .9 0

x x x

− + =

có

nghiệm thực phân biệt nếu

0m 

. B.

0m 

. C.

m

. D.

m 

Câu 28: [Mức độ 3] Tìm số giá trị nguyên của

để phương trình

( )

1 1 2 2

4 4 1 2 2 16 8

x x x x

+ − + −

+ = + − + −

có nghiệm trên

 

0;1

. B.

. C.

. D.

Câu 29: Tập nghiệm của phương trình

( ) ( )

log 3 log 1 1xx− + − =

là

 

. B.



. C.

 

. D.

 

0; 4

Câu 30: Phương trình

( )

log 4 2 log 1 0xx− + + =

có hai nghiệm

xx

. Tính

2xx+

. B.

. C.

. D.

Câu 31: Phương trình

( )

2 2 2

log log log 4x x x+=

là

 

0; 2;2−

. B.

 

0;2

. C.

 

2;2−

. D.

 

Câu 32: Số nghiệm của phương trình

( )

log 2 3 4 log 1 0x x x x− − + + − =

là

. B.

. C.

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 109

Lop

Câu 33: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

3 9 27 81

log .log .log .log

x x x x =

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình

( ) ( )

log 3 1 log 3 1xx− + + =

là

. B.

. C.

Câu 35: Số tiền mà An để dành hàng ngày là

(đơn vị nghìn đồng, với

x

) biết

là nghiệm của

phương trình

( ) ( )

log 2 log 4 0xx− + − =

. Tổng số tiền mà An để dành được sau

tuần (

ngày) là

. B.

. C.

. D.

Câu 36: Cho phương trình

( ) ( )

log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +

. Phương trình trên có bao nhiêu

nghiệm?

nghiệm. B.

nghiệm. C.

nghiệm. D. Vô nghiệm

Câu 37: Phương trình

( )

49 7 7

log log 1 log log 3

xx+ − =

có bao nhiêu nghiệm?

. B.

. C.

. D.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 110

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH.

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

a) ĐỊNH NGHĨA:

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng

ab

(hoặc

ab

ab

ab

) với

0a 

1a 

b) TÍNH CHẤT

Xét BPT

b

(1)

+ Nếu

0b 

thì tập nghiệm của (1): T = R

+ Nếu

0b>

1a>

thì tập nghiệm của (1): T =

()

log b;+

hay

x log b

+ Nếu

0b>

01a

thì tập nghiệm của (1): T =

( ; )

log b−

hay

x log b

➢VD1:Tập nghiệm bất phương trình:



là

( )

;3−

. B.



)

3;+

. C.

( )

3;+

. D.

(



;3−

……………………………………………………………………………………………………

➢VD2:Tập nghiệm của bất phương trình









trên tập số thực là

( )

2;+

. B.

( )

;2− −

. C.

( )

;2−

. D.

( )

2;− +

……………………………………………………………………………………………………

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN GIẢN

2.1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ:

f(x) g(x)

a > a

+ Nếu

a >1

thì

f(x) g(x)

a > a



f(x) g(x)

+ Nếu

0 < a <1

thì

f(x) g(x)

a > a



f(x) g(x)

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 111

Lop

2.2: ĐẶT ẨN PHỤ VÀ GIẢI BPT BẬC HAI:

Xét BPT

2f(x) f(x)

m.a +n.a + p >0

, đặt

f(x)

t = a , t >0

BPT trở thành:

m.t +n.t+ p >0

➢VD3:Tập nghiệm của bất phương trình

xx+−



là



)

8;+

. B.



. C.

( )

0;8

. D.

(



;8−

……………………………………………………………………………………………………

➢VD4:Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

9 4.3 3 0

− + 

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

……………………………………………………………………………………………………

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

A) ĐỊNH NGHĨA: Bất phương trình logarit cơ bản có dạng

log  b

(hoặc

log  b

log  b

log  b

) với

0a

1a

B) TÍNH CHẤT:

Xét BPT

log x > b

+ Nếu

1a>

thì

xa

+ Nếu

01a

thì

xa

➢VD5:Tập nghiệm của bất phương trình

( )

log 1 3x −

là

( )

9; +

. B.

( )

4; +

. C.

( )

1; +

. D.

( )

10; +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 112

Lop

……………………………………………………………………………………………………

➢VD6:Tập nghiệm của bất phương trình

log 0x 

là

( )

0;1

. B.

( )

;1−

. C.

( )

1; +

. D.

( )

0;+

……………………………………………………………………………………………………

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ĐƠN GIẢN

2.1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ:

log f(x)>log g(x)

+ Nếu

1a>

thì

0f(x) g(x)

+ Nếu

01a

thì

0 f(x) g(x)

2.2: ĐẶT ẨN PHỤ VÀ GIẢI BPT BẬC 2:

Xét BPT

m.log x+n.log x+ p >0

, đặt

t = log x

. BPT trở thành:

m.t +n.t+ p >0

➢VD7: Tìm tập nghiệm

của bất phương trình

( )

log 4 log 5x −

(



4; 9S =

. B.

 

4; 9S =

. C.

(



;9S = −

. D.



)

9;S = + 

……………………………………………………………………………………………………

➢VD8:Tìm tập nghiệm

của bất phương trình

log 5log 4 0xx− + 

( ;1] [4; ) S = −  +

. B.

] [2;16S =

(0;2 ] [16; )S =  +

. D.

( ;2] [16; ) −  +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 113

Lop

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP.

Câu 1: [Mức độ 1] (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình:



là

( )

;3−

. B.



)

3;+

. C.

( )

3;+

. D.

(



;3−

Câu 2: [Mức độ 1] (SGD Hưng Yên 2019) Tập nghiệm của bất phương trình









là

( ;0)−

. B.

(0; )+

. C.

;



− −





. D.

;



− +





Câu 3: [Mức độ 1] (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất

phương trình

0,5 0,5

log log 2x 

là

( )

1;2

. B.

( )

;2−

. C.

( )

2;+

. D.

( )

0;2

Câu 4: [Mức độ 1] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tập hợp nghiệm của bất phương trình

( )

log 1 3x −

là

( )

;10S = −

. B.

( )

;9S = −

. C.

( )

1;9S =

. D.

( )

1;10S =

Câu 5: [Mức độ 2] (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình

( )

log 5 7 0xx− + 

là

( ) ( )

;2 3;−  + 

. B.

( )

;2−

. C.

( )

2;3

. D.

( )

3; +

Câu 6: [Mức độ 2] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm

của

bát phương trình

xx+



( )

1;S = +

. B.

( )

;1S = −

. C.

( )

0;1S =

. D.

( )

;S = − +

Câu 7: [Mức độ 2] (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tìm tập nghiệm

của bất phương trình

( )

log 3 log 4x −

(



3; 7S =

. B.

 

3; 7S =

. C.

(



;7S = −

. D.



)

7;S = + 

Câu 8: [Mức độ 2] (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất phương

trình



là



)

0; 1

. B.

( )

;1−

. C.

( )

. D.

( )

1; +

Câu 9: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm

tập nghiệm

của bất phương trình

xx+



( )

0;6D =

. B.

( )

;4D = −

. C.

( )

0;4D =

. D.

( )

4;D = +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 114

Lop

Câu 10: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của

bất phương trình

( )

−



là

( )

;5− −

. B.

( )

;0−

. C.

( )

5;− +

. D.

( )

0;+

Câu 11: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm

của bât phương trình

( )

0,2

log 3 1x −  −

là

( )

3;5

. B.



)

5;+

. C.

( )

;5−

. D.

(



3;5

Câu 12: [Mức độ 2] (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Nghiệm của bất phương trình

9 17 11 7 5

x x x− + −

   



   

   

là

x =

. B.

x 

. C.

x 

. D.

x 

Câu 13: [Mức độ 2] (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương

trình

( ) ( )

2log 1 log 5 1xx−  − +

là

( )

1;5

. B.

(



1;3

. C.

 

1;3

. D.

 

3;5

Câu 14: [Mức độ 2] (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Tìm số nghiệm nguyên của bất

phương trình

( ) ( )

log 4 9 log 10xx−  +

. B.

. C.

. D. Vô số.

Câu 15: [Mức độ 2] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất

phương trình

( )

log 2 8 4xx+ −  −

( )

4; 2−

. B.



)

6; 4−

. C.

   

6; 4 2; 4− − 

. D.



) (



6; 4 2; 4− − 

Câu 16: [Mức độ 2] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Giải bất phương trình sau

( ) ( )

log 3 5 log 1xx−  +

x

. B.

13x−  

. C.

x−  

. D.

3x 

Câu 17: [Mức độ 2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất

phương trình

( )

log 4 1 0x − + 

;



−





. B.

;



+







. C.

( )

4;+

. D.







Câu 18: [Mức độ 2] (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm

của

bất phương trình

( ) ( )

log 1 log 2 1xx+  −

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 115

Lop







. B.

( )

1;2S =−

. C.

( )

2;S = +

. D.

( )

;2S = −

Câu 19: [Mức độ 2] (THPT Lê Qu Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Bất phương trình

( ) ( )

log 7 log 1xx+  +

có tập nghiệm là

( )

5;+

. B.

( )

1;2−

. C.

( )

2;4

. D.

( )

3;2−

Câu 20: [Mức độ 2] Tập nghiệm

của bất phương trình

0log 5log 6xx−−

là

;64







. B.











)

64;S =+

. D.



)

0; 4;S  +









Câu 21: [Mức độ 2] (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình

3 7.3 2 0

xx+

− + 

có tập

nghiệm là

( ) ( )

; 1 log 3;− −  +

. B.

( ) ( )

; 2 log 3;− −  +

( ) ( )

; 1 log 2;− −  +

. D.

( ) ( )

; 2 log 2;− −  +

Câu 22: [Mức độ 2] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm

của bất phương trình

−









là

( )

;2S = −

. B.

( )

;1S = −

. C.

( )

1;S = +

. D.

( )

2;S = +

Câu 23: [Mức độ 3] (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giải bất phương trình

( ) ( )

log 3 2 log 6 5xx−  −

được tập nghiệm là

( )

;ab

. Hãy tính tổng

S a b=+

S =

. B.

S =

. C.

S =

. D.

S =

Câu 24: [Mức độ 3] (THPT Lê Qu Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất

phương trình

log log 1

 + 



−





−





 

. B.

( )

1; +

. C. . D.

( )

; 1;



− −  +





Câu 25: [Mức độ 3] (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương

trình

x−

   



   

   

là

( )

2;S = + 

. B.

( )

;0S = −

. C.

( )

0;1S =

. D.







Câu 26: [Mức độ 3] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình

( ) ( ) ( )

2 2 2

3log 3 3 log 7 log 2x x x+ −  + − −

là

( )

; S a b=

. Tính

P b a=−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 116

Lop

. B.

. C.

. D.

Câu 27: [Mức độ 3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Bất phương trình

( ) ( )

log 2 3 log 5 2xx−  −

có tập nghiệm là

( )

;ab

. Tính giá trị của

S a b=+

S =

. B.

S =

. C.

S =

. D.

S =

Câu 28: [Mức độ 1] (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm

của bất phương trình

−

( )

;2S = − −

. B.

( )

1;S = + 

. C.

( )

1;S = − + 

. D.

( )

2;S = − + 

Câu 29: [Mức độ 2] (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm của bất phương trình

xx+



là

(



;3− −

. B.

 

3;1−

. C.

( )

3;1−

. D.

(



3;1−

Câu 30: [Mức độ 2] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm

của bất phương trình

−









là

( )

;2S = −

. B.

( )

;1S = −

. C.

( )

1;S = +

. D.

( )

2;S = +

Câu 31: [Mức độ 2] (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình

2 16

xx−



là

( )

;1− −

. B.

( )

4;+

. C.

( )

1;4−

. D.

( ) ( )

; 1 4;− −  +

Câu 32: [Mức độ 2] (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm tập nghiệm

của bất phương trình

xx−+









 

1;2S =

. B.

( )

;1S = −

. C.

( )

1;2S =

. D.

( )

2;S = + 

Câu 33: [Mức độ 2] (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của bất phương trình

3 27

xx−



là

( )

;1− −

. B.

( )

3; +

. C.

( )

1;3−

. D.

( ) ( )

; 1 3;− −  +

Câu 34: [Mức độ 2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Tập tất cả các nghiệm của bất

phương trình

( )

log 1xx−  −

là

 

1;2−

. B.



) (



1;0 1;2−

. C.

(



(



; 1 2;− −  +

. D.

( )

1;2−

Câu 35: [Mức độ 1] (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Nghiệm của bất phương trình

2 1 3

xx+−



là

x −

. B.

x 

. C.

x 

. D.

x 

Câu 36: [Mức độ 2] (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất

phương trình

xx+



là



)

8;+

. B.

( )

;8−

. C.

( )

0;8

. D.

( )

8;+

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 117

Lop

Câu 37: [Mức độ 2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Gọi

là hai nghiệm nguyên

âm của bất phương trình

( )

log 3 2x +

. Tính giá trị của

P x x=−

3P =

. B.

2P =

. C.

1P =

. D.

5P =

Câu 38: [Mức độ 2] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương

trình:

( )

log 3 log 2xx− + 

là

( )

3; +

. B.



)

4;+

. C.

(

 

)

; 1 4;− −  +

. D.

(



3;4

Câu 39: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất

phương trình

( ) ( )

log 1 log 2 5xx



+  −

là

( )

1;6−

. B.







. C.

( )

;6−

. D.

( )

6;+

Câu 40: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Số nghiệm nguyên của bất

phương trình

2 3 2 3

log log 1 log .logx x x x+  +

là

. B.

. C.

. D. Vô số.

Câu 41: [Mức độ 2] (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Giải bất phương

trình

( ) ( )

2log 4 3 log 2 3 2xx− + + 

x 

. B.

x

. C. Vô nghiệm. D.

x−  

Câu 42: [Mức độ 3] Tập nghiệm của bất phương trình:

1 1 1

3 3 3 3

x x x x+ − − −

+  +

2 x

. B.

12x

. C.

27x

. D.

24x

Câu 43: [Mức độ 3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số

( )

log 2y x x=−

. Tập nghiệm của bất phương trình





là

( )

;1− −

. B.

( )

;0−

. C.

( )

1; +

. D.

( )

2;+

Câu 44: [Mức độ 3] Tất cả các giá trị của

để bất phương trình

(3 1)12 (2 )6 3 0

x x x

mm+ + − + 

có

nghiệm đúng

0x

là

( )

2;− +

. B.

( ; 2]− −

. C.

;



− −





. D.



−−





Câu 45: [Mức độ 3] (Mã 105 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để bất phương trình

log 2log 3 2 0x x m− + − 

có nghiệm thực.

1m 

. B.

1m 

. C.

0m 

. D.

m 

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 118

Lop

Câu 46: [Mức độ 3] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho

( )

f x x

−

. Tập nghiệm của bất phương trình

( )

0fx





là

;



−





. B.







. C.

;



+





. D.

( )

0;1

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 119

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3

§5. NGUYÊN HÀM

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

➢ VD MỞ ĐẦU:

a) Cho hàm số

( )

3f x x=

. Hàm số

( )

nào sau đây không thỏa mãn

( ) ( )

F x f x



( )

F x x=

. B.

2021x +

. C.

2004x −

. D.

3 2 7xx+−

……………………………………………………………………………………………………

b) Cho hàm số

( )

cos

với

;



−









. Tìm hàm số

( )

sao cho

( ) ( )

F x f x



( )

tan 10F x x=+

. B.

( )

3 tan 2022F x x x= + +

( )

2cos 9F x x=−

. D.

( )

cot 1221F x x= − +

……………………………………………………………………………………………………

➢ Định nghĩa: Cho hàm số

( )

xác định trên

. (

là một khoảng, nửa khoảng hoặc một

đoạn). Hàm số

( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số

( )

trên

nếu

( ) ( )

F x f x



với

mọi

xK

➢ VD1:

a) Hàm số

( )

F x x=

là một nguyên hàm của hàm số

( )

2f x x=

trên vì

( )

2F x x x



x

b) Hàm số

( )

lnF x x=

là một nguyên hàm của hàm số

( )

trên khoảng

( )

0;+

vì

( ) ( ) ( )

ln , 0;F x x x



= =   +

Định lý 1: Nếu

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

trên

thì với mỗi hằng số C,

hàm số

( ) ( )

G x F x C=+

cũng là một nguyên hàm của hàm số

( )

trên

Định lý 2: Nếu

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

trên 𝐾 thì mọi nguyên hàm của

hàm số

( )

trên 𝐾 đều có dạng

( )

F x C+

, với C là một hằng số.

➢ Kí hiệu:

( ) ( )

f x dx F x C=+



là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

trên

➢ Chú ý:

( )

f x dx

chính là vi phân của nguyên hàm

( )

của

( )

vì

( ) ( ) ( )

dF x F x dx f x dx



➢ VD2:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 120

Lop

a) Với

x

2xdx x C=+



b) Với

( )

0;s +

lnds s C



c) Với

t 

cos sintdt t C=+



➢ VD3: Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

x dx



; b)

cos xdx



; c)

sin



.........................................................................................................................................................

2. Tính chất của nguyên hàm

➢ Tính chất 1:

( ) ( )

f x dx f x C





➢ Tính chất 2:

( ) ( )

k f x dx k f x dx=



là hằng số khác 0.

➢ Tính chất 3:

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx



 = 

  

➢ VD4: Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

( )

cos x dx





; b)

3x dx



−







.........................................................................................................................................................

➢ VD5: Khẳng định nào đây sai?

cos d sinx x x C= − +



. B.

d lnx x C



2dx x x C=+



. D.

e d e

xC=+



……………………………………………………………………………………………………

➢ VD6: Cho hàm số

()

. Khi đó:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 121

Lop

( ) 2f x dx x C

= − +



. B.

()

f x dx C

= − +



()

f x dx C

= + +



. D.

( ) 5ln

f x dx x C= + +



……………………………………………………………………………………………………

3. Sự tồn tại nguyên hàm

➢ Định lý 3: Mọi hàm số

( )

liên tục trên

đều có nguyên hàm trên

➢ VD7:

a) Hàm số

( )

f x x=

có nguyên hàm trên các khoảng

( )

;− +

và

x dx C=+



b) Hàm số

( )

h x x=

có nguyên hàm trên khoảng

( )

0;+

và

x dx x C=+



c) Hàm số

( )

sin

có nguyên hàm trên khoảng

( )

; 1 ,k k k



+

và

cot .

sin

dx x C

= − +



4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0dx C=



( )

x 0, 1

a d C a a

= +  



dx x C=+



sin dx cosxxC= − +



( )

x d x C





= +  −



cosxdx sin xC=+



x lnd x C



x tan

cos

d x C



e d e C=+



x cot

sin

d x C

= − +



➢ VD8: Cho

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

f x x=+

thỏa mãn

( )

F =

Tìm

( )

F x x= + +

. B.

( )

F x x= + −

( )

F x x= + +

. D.

( )

F x x= + +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 122

Lop

➢ VD9: Nguyên hàm của

( )

3fx

= + +

là

2 3 3x x x C+ + +

. B.

x x x C+ + +

. D.

x x x C+ + +

……………………………………………………………………………………………………

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số

a) Định lý 1:

Nếu

( ) ( )

df u u F u C=+



và

( )

u u x=

là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( )

( ) ( )

( )

df u x u x x F u x C





b) Hệ quả:

Với

( )

0u ax b a= + 

, ta có

➢

( ) ( )

df ax b x F ax b C

+ = + +



➢

( )

( ) ( )

d 1

ax b x ax b C n

+ = + +  −



➢

d ln .x ax b C

ax b a

= + +



➢

( )

ax b

e x e C



➢

ax b

a ln





➢

( ) ( )

sin d cos .ax b x ax b C

+ = − + +



➢

( ) ( )

cos d sin .ax b x ax b C

+ = + +



➢

( )

d tan

cos

x ax b C

ax b a

= + +



➢

( )

d cot

sin

x ax b C

ax b a

= − + +



➢ VD10: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

( )

2 3 dxx−



; b)

3 d

−



; c)



;

−



; e)

( )

sin 3 2 dxx−



( )

cos 3 4 dxx−



;

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 123

Lop

cos 2











; h)

sin 3x



−







.........................................................................................................................................................

➢ Các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Bước 1: Đặt

( )

t u x=

Bước 2: Tính

( )

ddt u x x=



Bước 3: Biến đổi

( )

df x x

theo

và

. Tính nguyên hàm mới theo

Bước 4: Thay

( )

t u x=

để được kết quả theo biến

2. Ví dụ minh họa

➢ VD11: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

( )

2021

2 dI x x x=+



; b)

ln 2



.........................................................................................................................................................

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 124

Lop

.........................................................................................................................................................

➢ VD12: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

+−



− − +



( )



……………………………………………………………………………………………………

➢ VD13: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2021

si dco nsI x x x=



; b)

cos dI x x=



; c)

cos

9 2sin

−



.........................................................................................................................................................

➢ VD14: Tìm một nguyên hàm

( )

của hàm số

( )

−

biết

( )

0 2.F =

.........................................................................................................................................................

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 125

Lop

.........................................................................................................................................................

➢ VD15: Cho hàm số

( )

liên tục và có đạo hàm trên

 

0;1

thỏa mãn

( )

f x x e

−



và

( )

00f =

. Tính

( )

.........................................................................................................................................................

III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1) Dấu hiệu: Tìm họ nguyên hàm

( ) ( )

df x g x x



, trong đó

( )

và

( )

là hai trong bốn hàm

số sau lôgarit, đa thức, lượng giác, hàm mũ.

2) Công thức

ddu v uv v u=−



3) Chú ý:

➢ Thứ tự ưu tiên

nhất lôgarit, nhì đa, ba mũ, tứ lượng.

➢ Phần còn lại đặt

4) Ví dụ

➢ VD16: Họ nguyên hàm

()Fx

của hàm số

( )

cosf x x x=

là

( )

sin cosF x x x x C= − +

. B.

( )

sin cosF x x x x C= − − +

( )

sin cosF x x x x C= + +

. D.

( )

sin cosF x x x x C= − + +

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD17: Họ nguyên hàm

()Fx

của hàm số

( )

f x xe=

là

I xe e C= − +

. B.

I xe e C= + +

. C.

I e C=+

. D.

I e e C= + +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 126

Lop

➢ VD18: Họ nguyên hàm

()Fx

của hàm số

( )

ln x

là

( )

ln 1x

F x C

= − +

. B.

( )

ln 1x

F x C

= − + +

( )

ln 1x

F x C

= + +

. D.

( )

ln 1x

F x C

= − − +

……………………………………………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 100 - SGK: Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của

hàm còn lại?

x−

và

-e

x−

; b)

sin2x

và

sin x

; c)



−





và



−





Bài 2 trang 101 - SGK: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

( )

1xx

; b)

( )

−

; c)

( )

sin cos

;

( )

sin5 cos3f x x x=

; e)

( )

tanf x x=

; g)

( )

32x

f x e

−

;

( )

( )( )

1 1 2

+−

Bài 3 trang 101 – SGK: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

( )

1dxx−



(đặt

1ux=−

);

( )

1dx x x+



(đặt

1ux=+

);

cos sin dx x x



(đặt

t cosx=

);

−



(đặt

ue=+

Bài 4 trang 101 – SGK: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

( )

ln 1 dx x x+



; b)

( )

2 1 d

x x e x+−



;

sin(2 1)dx x x+



; d)

( )

1 cos dx x x−



II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 127

Lop

( ) ( )

ddk f x x k f x x=



với

k 

( ) ( ) ( ) ( )

d d df x g x x f x x g x x



+ = +

  

với

( )

;

( )

liên tục trên .

x x x







với



−

( )

df x x f x





Câu 2: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm

( )

dF x x





( )

F x C



. B.

( )

2F x x C



( )

F x x C



. D.

( )

F x C



Câu 3: [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số

3y x x

= − +

là

xC− − +

. B.

− + +

xC− + +

. D.

xC− + +

Câu 4: [Mức độ 1] Áp dụng công thức nguyên hàm ta có

3 d ln

x x x x C



− + = − + +







Họ nguyên hàm của hàm số

( ) 3f x x x x=+

là

x x x x

C++

. B.

2 3 2

5 27

x x x x

C++

x x x x

C−+

. D.

2 3 2

x x x x

C++

Câu 5: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

( ) e

f x x=+

là

xC++

. B.

xC++

. C.

. D.

C++

Câu 6: [Mức độ 1] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

26f x x=+

là

26x x C++

. B.

6x x C++

. C.

2xC+

. D.

xC+

Câu 7: [Mức độ 2]

F( )x

của hàm số

( ) 4 3 2 2f x x x x= − + −

thỏa mãn

F(1) 9=

là:

4 3 2

F( ) 2x x x x= − + −

. B.

4 3 2

F( ) 10x x x x= − + +

4 3 2

F( ) 2x x x x x= − + −

. D.

4 3 2

F( ) 2 10x x x x x= − + − +

Câu 8: [Mức độ 2] Tìm một nguyên hàm F(x) của

()

−

biết

(1) 0F =

()

= − +

. B.

()

= + +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 128

Lop

()

= − −

. D.

(x)

= + −

Câu 9: [Mức độ 3] Hàm số

( )

xác định, liên tục trên và có đạo hàm là

( )

1f x x



=−

. Biết rằng

( )

03f =

. Tính

( ) ( )

24ff+

. B.

. C.

. D.

Câu 10: [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm



d 2ln 2 ln 1

x x x C

= + − + +



. B.

d 2ln 1 ln 2

x x x C

= + − + +



d 2ln 1 ln 2

x x x C

= + + + +



. D.

d ln 1 2ln 2

x x x C

= + + + +



Câu 11: [Mức độ 3] Một nguyên hàm của hàm số

( ) 1f x x x=+

là

(

)

( ) 1

F x x=+

. B.

(

)

( ) 1

F x x=+

(

)

( ) 1

F x x=+

. D.

(

)

( ) 1

F x x=+

Câu 12: [Mức độ 3] Tìm họ nguyên hàm của hàm số

( )

f x x

( )

f x x C



. B.

( )

d 3e

f x x C



( )

f x x C



. D.

( )

f x x C



Câu13. [Mức độ 3] Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

1 2sin

2sin



−







( )

d ln sin cosf x x x x C= + +



. B.

( )

d ln sin cos

f x x x x C= + +



( )

d ln 1 sin2f x x x C= + +



. D.

( )

d ln 1 sin 2

f x x x C= + +



Câu 13: [Mức độ 2] Tìm

sin d

e x x



bằng đặt

ue=

và

d sin dv x x=

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

sin d cos cos d

x x x

e x x e x e x x=−



. B.

sin d cos cos d

x x x

e x x e x e x x= − +



sin d cos cos d

x x x

e x x e x e x x=+



. D.

sin d cos cos d

x x x

e x x e x e x x= − −



Câu 14: [Mức độ 2] Tìm một nguyên hàm

()Fx

của hàm số

( )

sinf x x x=

thoả mãn

2022









( ) sin cos 2022.F x x x x= + +

( ) sin cos 2021.F x x x x= − +

( ) sin cos 2022.F x x x x= − +

( ) sin cos 2020.F x x x x= − − +

Câu 15: [Mức độ 2] Họ nguyên hàm

( )

của hàm số

( )

lnf x x x=

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 129

Lop

( )

f x x x C= + +

. B.

( )

f x x x x C= − +

( )

f x x x C= − +

. D.

( )

f x x x x C= − +

Câu 16: [Mức độ 3] Tìm hàm số

( )

, biết rằng

( )

1 cos2



−

và

2022









( )

tan ln sinx 2020f x x x= − +

. B.

( )

cot ln sinx 2022f x x x= + +

( )

cot ln sinx 2021f x x x= − − +

. D.

( )

cot ln sinx 2022f x x x= − + +

Câu 17: [Mức độ 3] Cho

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( ) ( )

f x x e=+

và

( )

03F =

Tính

(1)F

( )

1 11 3Fe=−

. B.

( )

13Fe=+

. C.

( )

17Fe=+

. D.

( )

12Fe=+

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 18: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

( )

f x x=

là

A. . B. . C. . D. .

Câu 19: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

( )

cos 6f x x x=+

là

sin 3x x C++

. B.

sin 3x x C− + +

sin 6x x C++

. D.

sin xC−+

Câu 20: [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số

( )

f x x x=+

là

x x C++

. B.

31xC++

. C.

x x C++

. D.

x x C++

Câu 21: [Mức độ 1] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

23f x x=+

là

3x x C++

. B.

23x x C++

. C.

xC+

. D.

2xC+

Câu 22: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

f x x

( )

f x x C

= + +



. B.

( )

f x x C

= − +



( )

f x x C

= − +



. D.

( )

f x x C

= + +



Câu 23: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

−

ln 5 2

5 2 5

= − +

−



. B.

ln 5 2

= − +

−



ln 5 2

5 2 2

= − − +

−



. D.

5ln 5 2

= − +

−



Câu 24: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số

( )

fx=

4xC+

3xC+

xC+

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 130

Lop

ln7

xC=+



. B.

7 d 7



. C.



. D.

7 d 7 ln7

xC=+



Câu 25: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số

(x)

fe=

là hàm số nào sau đây?

eC+

. B.

eC+

. C.

eC+

. D.

eC+

Câu 26: [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số

−

là

−

. B.

−

. C.

−

. D.

C+

Câu 27: [Mức độ 2] Họ nguyên hàm của hàm số

cos

−







là

2 tan

e x C++

. B.

2 tan

e x C−+

. C.

cos

−+

. D.

cos

Câu 28: [Mức độ 2] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

()

−

trên khoảng

( )

1; +

là

( )

3ln 1 .x x C+ − +

( )

3ln 1 .x x C− − +

( )

−+

−

( )

−

Câu 29: [Mức độ 2] Cho

( )

là một nguyên hàm của

( )

−

trên khoảng

( )

1; +

thỏa mãn

( )

14Fe+=

. Tìm

( )

2ln 1 2x −+

. B.

( )

ln 1 3x −+

. C.

( )

4ln 1x −

. D.

( )

ln 1 3x −−

Câu 30: [Mức độ 2] Cho

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( ) 2

f x e x=+

thỏa mãn

( )

F =

. Tìm

( )

F x e x= + +

. B.

( )

F x e x= + +

( )

F x e x= + +

. D.

( )

F x e x= + −

Câu 31: [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm

( )

của hàm số

( )

sin cosf x x x=+

thoả mãn









( )

cos sin 3F x x x= − + +

. B.

( )

cos sin 1F x x x= − + −

( )

cos sin 1F x x x= − + +

. D.

( )

cos sin 3F x x x= − +

Câu 32: [Mức độ 2] Biết

( )

F x e x=+

là một nguyên hàm của hàm số

( )

trên .

Khi đó

( )

2f x dx



bằng

2 2 .

e x C++

Câu 33: [Mức độ 3] Tìm họ nguyên hàm của hàm số

( )

21x

f x x e

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 131

Lop

5 3 4 2

2 d ln

t t t t t t C

− − − −



− + − = − − +







( )

f x x e C



( )

f x x e C



( )

f x x e C



Câu 34: [Mức độ 3] Khi tính nguyên hàm

−



, bằng cách đặt

1ux=+

ta được nguyên hàm

nào?

( )

2 4 duu−



. B.

( )

4duu−



. C.

( )

3duu−



. D.

( )

2 4 du u u−



Câu 35: [Mức độ 3] Biết

( )

là một nguyên hàm của hàm số

( )

sin cosf x x x=

và

( )



Tính













=−





. B.









. C.





= − +





. D.









Câu 36: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

liên tục trên . Biết

cos2x

là một nguyên hàm của hàm số

( )

. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )



là

sin2 cos2x x C− + +

. B.

2sin2 cos2x x C− + +

2sin2 cos2x x C− − +

. D.

2sin2 cos2x x C−+

Câu 37: [Mức độ 3] Họ các nguyên hàm của hàm số

( )

sinf x x x=

là

( )

cos sin .F x x x x C= + +

( )

cos sin .F x x x x C= − +

( )

cos sin .F x x x x C= − − +

( )

cos sin .F x x x x C= − + +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 132

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2

§2. TÍCH PHÂN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

1. Định nghĩa

➢ Định nghĩa: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục, không đổi dấu trên đoạn

 

;ab

. Hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị của hàm số

(y f x=

), trục

và hai đường thẳng

,x a x b==

được gọi là

hình thang cong.

➢ Diện tích hình thang cong:

Giả sử

( )

là một nguyên hàm của

( )

. fx

Bằng cách chia nhỏ phần hình phẳng cần tính

diện tích ra thành các hình chữ nhật, người ta chứng minh được diện tích của hình thang cong

cần tìm là

( ) ( )

.F b F a−

II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa: Cho

( )

là hàm số liên tục trên

 

;ab

. Giả sử

( )

là một nguyên hàm của

( )

trên đoạn

 

;.ab

Hiệu số

( ) ( )

– F b F a

được gọi là tích phân từ

đến

(hay gọi là tích

phân xác định trên đoạn

 

;ab

của hàm số

( )

). Kí hiệu là

( )

f x x



( ) ( ) ( ) ( )

f x x F x F b F a= = −



2. Tên gọi:

➢



là dấu tích phân,

là cận dưới,

là cận trên.

➢

( )

d f x x

gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 133

Lop

➢

( )

là hàm số dưới dấu tích phân.

3. Chú ý:

➢ Nếu

ab=

thì

( )

f x x =



➢ Nếu

ab

thì

( ) ( )

f x x f x x=−



➢ Tích phân không phụ thuộc vào biến số:

( ) ( ) ( ) ( )

f x x f u u F b F a= = −



➢ Ý nghĩa hình học của tích phân:

( )

S f x x=



Với

là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của

( )

y f x=

trục

và hai đường

thẳng

xa=

xb=

(

( )

là hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn

 

;ab

III. TÍNH CHẤT

1. Tính chất 1:

( ) ( )

k f x x k f x x=



(với

là hằng số).

2. Tính chất 2:

( ) ( ) ( ) ( )

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x



 = 

  

3. Tính chất 3:

( ) ( ) ( )

d d d

b c b

a a c

f x x f x x f x x=+

  

(với

a c b

4. Ví dụ

➢ VD1: Tính các tích phân sau:

I x e x



= − +







; b)

( )

J 3 dx x x=+



.........................................................................................................................................................

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 134

Lop

➢ VD2: Cho hàm số

( )

y f x=

có đạo hàm

( )



liên tục trên biết

( )

1 12f =

và

( )

d 17f x x





. Tính giá trị của

( )

.........................................................................................................................................................

➢ VD3: Cho

( )

d3f x x =−



( )

d5f x x =



và

( )

d6g x x =



Tính tích phân

( ) ( )

2 3 dI f x g x x



=−



.........................................................................................................................................................

➢ VD4: Tính tích phân

1dI x x=−



.........................................................................................................................................................

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

II. Bài tập trắc nghiệm

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 135

Lop

Câu 1: [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

liên tục trên và có

( )

d2f x x =



;

( )

d6f x x =



Tính

( )

dI f x x=



8I =

. B.

12I =

. C.

36I =

. D.

4I =

Câu 2: [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

1;3

và thoả mãn

( )

12f =

và

( )

39f =

. Tính

( )

dI f x x





11I =

. B.

7I =

. C.

2I =

. D.

18I =

Câu 3: [Mức độ 2] Đặt

( )

2 1 dI mx x=+



(

là tham số thực). Tìm

để

4I =

1m =−

. B.

2m =−

. C.

1m =

. D.

2m =

Câu 4: [Mức độ 3] Cho

( )

1 sin 2 d 1x x x





− + = − +







, với

, ab

là các số nguyên dương.

Tính

2.ab+

. B.

. C.

. D.

Câu 5: [Mức độ 2] Biết tích phân

d ln2

x a b

−



(

b

). Giá trị của

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 6: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

xác định trên







thỏa mãn

( )

−



và

( ) ( )

0 1; 1 2ff= = −

. Giá trị của biểu thức

( ) ( )

13ff−+

bằng

2 ln15+

. B.

3 ln15−

. C.

ln15 1−

. D.

ln15

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 7: Cho

( )

d3f x x =



và

( ) ( )

3 d 10f x g x x



−=



. Khi đó

( )

dg x x



bằng

A. 17. B. 1. C.

1−

. D.

4−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 136

Lop

Câu 8: Giả sử

là hàm số liên tục trên khoảng

và

, , a b c

là ba số bất kỳ trên khoảng

. Khẳng

định nào sau đây sai?

( )

f x x =



. B.

( ) ( )

f x x f x x=−



( ) ( ) ( ) ( )

d d d , ;

c b b

a c a

f x x f x x f x x c a b+ = 

  

. D.

( ) ( )

f x x f t t=



Câu 9: Giá trị của

−



bằng

1e−

. B.

e1−

. C.

e−

. D.

Câu 10: Cho hàm số

( )

có đạo hàm trên đoạn

 

1;3

( )

35f =

và

( )

d6f x x





. Khi đó

( )

bằng

1−

. B. 11. C. 1. D. 10.

Câu 11: Tìm số thực

0a 

thỏa mãn

( )

875

x x x−=



4a =−

. B.

5a =−

. C.

6a =−

. D.

3a =−

Câu 12: Cho

( )

3 2 1 d 6

x x x− + =



. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

( )

1;2−

. B.

( )

;0−

. C.

( )

0;4

. D.

( )

3;1−

Câu 13: Cho

d ln 2 ln3

x a b c

= + +



, với

,,abc

là các số nguyên. Tổng

abc++

bằng

. B.

. C.

1−

. D.

Câu 14: Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên đoạn

 

1;3−

thỏa mãn

( )

d2f x x =



và

( )

d4f x x =



. Tính

( )

df x x

−



A. 6. B. 4. C. 8. D. 2.

Câu 15: Biết

( )

d6f x x x





và

( ) ( )

3 d 10f x g x x



−=



. Tính

( ) ( )

2 +3 dI f x g x x





12I =

. B.

16I =

. C.

10I =

. D.

14I =

Câu 16: Biết rằng

4sin 7cos

d 2ln

2sin 3cos

x x b

I x a

x x c



−+

= = +



với

0a 

;

,bc

;

tối giản. Hãy tính giá trị

biểu thức

P a b c= − +



−

. B.



. C.



−

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 137

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3

§2. TÍCH PHÂN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp đổi biến số

1.1. Định lý

➢ Định lý: Cho hàm số

()fx

liên tục trên đoạn

 

;ab

. Giả sử hàm số

( )



có đạo hàm

liên tục trên đoạn

 

;



sao cho

( )



( )



và

( )

a t b





với mọi

 





Khi đó

( ) ( )

( )

f x dx f t t dt











➢ Chú ý: Chú  nếu





thì ta xét

 



1. 2. Ví dụ

➢ VD1: Tính tích phân sau:



…………………………………………………………………………………………………….

➢ Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau: Cho hàm số

()fx

liên tục trên đoạn

 

;ab

. Để tính

( )

f x dx



, đôi khi ta chọn hàm số

( )

t u x=

làm biến số

mới, trong đó trên đoạn

 

;ab

( )

có đạo hàm liên tục và

( )

[ ; ]ux





. Giả sử có thể viết

( ) ( )

( )

'f x g u x u x=

với

( )

liên tục trên đoạn

[];.



Khi đó, ta có

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

a a u a

f x dx g u x u x dx f t dt==

  

➢ Phương pháp: Tính

( )

g u x u x dx



với

( ) ( )

( )

'f x g u x u x=

Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt

( ) ( )

'.t u x t u x x=  =dd

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 138

Lop

Bước 2: Đổi cận:

( )

x b t u b

x a t u a

= → =







= → =





(Ghi nhớ: đổi biến phải đổi cận).

Bước 3: Đưa về dạng

( )

I f t t=



đơn giản hơn và dễ tính toán.

➢ VD2: Tính tích phân sau:

sin cos dI x x x=



Lời giải

…………………………………………………………………………………………………….

➢ VD3: Tính tích phân sau:

1dI x x x=−



…………………………………………………………………………………………………….

➢ VD4: Tính tích phân sau:

8ln 1



…………………………………………………………………………………………………….

B. LUYỆN TẬP

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 139

Lop

Câu 1: [Mức độ 2] Cho

sin

cos

I e x x





và

sin .xt=

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

I e t





.I dt=



I e t=−



I e t=



Câu 2: [Mức độ 3] Giá trị của tích phân



bằng



. B.



. C.



. D.



➢ Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm

Sử dụng máy tính tính

0,79

=



Sử dụng máy tính tính bấm các đáp án, đáp án nào cho kết quả gần bằng

0,79

thì chọn.

Câu 3: [Mức độ 2] Giá trị của

dxx



được viết dưới dạng phân số tối giản

(

là các số

nguyên dương). Khi đó giá trị của

7ab−

bằng

1.−

Câu 4: [Mức độ 3] Giả sử tích phân

d ln3 ln5

1 3 1

I x a b c

= = + +



. Lúc đó

abc+ + =

Câu 5: [Mức độ 2] Tính tích phân

( )

1dI x x x=+



−

Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm

Sử dụng máy tính tính

( )

x x x+=



Câu 6: [Mức độ 2] Với phép đổi biến

ux=

, tích phân



trở thành

2 d .



2 d .



2 d .



Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm

Sử dụng máy tính tính

9,34





Sử dụng máy tính tính các tích phân trong các đáp án, đáp án nào cho kết quả

9,34

chọn.

Câu 7: [Mức độ 2] Cho tích phân

3ln 1



= .

Nếu đặt

lnt x=

thì

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 140

Lop



I t.



( )

3 1 d

I t t.+



( )

3 1 dI t t.=+



Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm

Sử dụng máy tính tính

3ln 1 5



Sử dụng máy tính tính các tích phân trong các đáp án, kết quả bằng

thì ta chọn đáp án đó.

Câu 8: [Mức độ 2] Cho biết

( )

d8f x x =



. Tính tích phân

I f x









12.I =

2.I =

32.I =

3.I =

Câu 9: [Mức độ 3] Tính tích phân

2ln



I =

. B.

1Ie=+

. C.

Ie=−

. D.

e +

Câu 10: [Mức độ 3] Cho

ln2

e dx



. Khi đó giá trị của

là

4.m =

2; 4.mm==

2.m =

m =

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 11: [Mức độ 2] Tích phân

x +



bằng

log

. B.

. C.

. D.

Câu 12: [Mức độ 2] Cho tích phân



, nếu đặt

1ux=+

thì tích phân đã cho trở thành



. B.

−



. C.

−



. D.

−



Câu 13: [Mức độ 2] Cho tích phân



nếu đặt

1tx=+

thì

( )dI f t t=



trong đó

( ) 2 2 .f t t t=+

( ) .f t t t=−

( ) 2 2 .f t t t=−

( ) .f t t t=+

Câu 14: [Mức độ 2] Xét

sin

sin 2 d

xe x





, nếu đặt

sinux=

thì

sin

sin 2 d

xe x





bằng





. B.



. C.

eu−



. D.



Câu 15: [Mức độ 3] Biết



với

,ab

và

là phân số tối giản. Tính

S a b=+

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 141

Lop

73S =

. B.

71S =

. C.

65S =

. D.

68S =

Câu 16: [Mức độ 2] Cho

( )

12f x x =



. Tính

( )

3I f x x=



6I =

. B.

36I =

. C.

2I =

. D.

4I =

Câu 17: [Mức độ 2] Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên . Biết

( )

2020f x x =



Tính

( )

1I f x x x=+



2020

. B.

4040

. C.

1010

. D.

505

Câu 18: [Mức độ 3] Biết

( )

d 18.f x x

−



Tính

( )

2 3 1 dI x f x x



= + −





10I =

. B.

5I =

. C.

7I =

. D.

8I =

Vậy

4 3 7I = + =

Câu 19: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên

và

( )

6f x x =



Giá trị của

( )

I cos 2sin 1x f x x





bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 20: [Mức độ 4] Cho hàm số

( )

3 2 2

4 3 2

x x x



+  −



−  −



khi

Tích phân

( )

1 2sin 2 cos2 df x x x



−

−+



bằng

. B.

−

. C.

. D.

−

Câu 21: [Mức độ 3] Tính tích phân

( )

x f x



biết rằng

( )

2f x x =



7I =

. B.

5I =

. C.

8I =

. D.

9I =

Câu 22: [Mức độ 3] Biết

( )

1 ln 1

ae b

−



với

,.ab

Tính

2T a b=+

1T =

. B.

4T =

. C.

2T =

. D.

3T =

Câu 23: [Mức độ 2] Cho hàm số

( )

y f x=

liên tục trên thỏa mãn

( )



và

( )

sin cos 2f x x x





. Tích phân

( )

I f x x=



bằng

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 142

Lop

2I =

. B.

6I =

. C.

4I =

. D.

10I =

Câu 24: [Mức độ 4] Tính tích phân

( )

2017

2019



2018 2018

2018

−

. B.

2018 2018

4036

−

. C.

2017 2018

4037 2017

−

. D.

2021 2021

4040

−

Câu 25: [Mức độ 3] Tích phân

( ) ( )

4cos2 3sin2 cos 2sin ln2

x x x x x a



+ + = −



ln d

với

,,abc

và

là phân số tối giản. Tính

2 2 2

S a b c= + +

29S =

. B.

26S =

. C.

27S =

. D.

21S =

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 143

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3

§2. TÍCH PHÂN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Phương pháp tính tích phân từng phần:

➢ VD MỞ ĐẦU:

Công thức

udv uv vdu=−



. Tính

udv =



Lời giải:

uvudv dv u=−



➢ Định lý: Nếu

( )

u u x=

( )

v v x=

là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

;ab

thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x x u x v x u x v x x



−





hay

uvudv dv u=−



➢ Phương pháp:

Bước 1: Chọn đặt

và

thích hợp.

Bước 2: Tìm

và

Bước 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.

Bước 4: Tính tích phân

udv



đơn giản hơn.

➢ Chú ý: Dấu hiệu sử dụng tích phân

Cách

đặt

Dạng tích phân

( )

P x e x



( )

sin d

P x x x



( )

cos d

P x x x



( )

ln d

P x x x



()Px

ln x

sin dxx

cos dxx

( )dP x x

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 144

Lop

2. Ví dụ:

➢ VD1: Tính tích phân

ln d

I x x x=



Lời giải

……………………………………………………………………………………………………

➢ VD2: Tính tích phân

( )

2 3 d

I x e x=+



……………………………………………………………………………………………………

➢ VD3: Tính tích phân

( )

ln 2 d .I x x x=+



……………………………………………………………………………………………………

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [Mức độ 1] Tính tích phân

( )

I x e x=+



Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 145

Lop

.Ie=

−

5 3.Ie=−

Câu 2. [Mức độ 2] Kết quả tích phân

( )

2 3 d

I x e x=+



được viết dưới dạng

I ae b=+

với

,ab

là các

số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng.

3ab =

. B.

28ab+=

. C.

2a -b =

. D.

a+2b= 1

Câu 3. [Mức độ 3] Biết

( )

1 sin2 d

x x x



+ = +



với

là phân số tối giản. Tính

a b c d+ + +

. B.

. C.

. D.

Câu 4. [Mức độ 2] Biết

( )

ln 9 d ln5 ln3I x x x a b c= + = + +



trong đó

,,abc

là các số thực. Giá trị của

biểu thức

.T a b c= + +

11T =

. B.

9T =

. C.

10T =

. D.

8T =

Câu 5. [Mức độ 3] Biết

( )

51f =

và

( )

5 d 1x f x x =



. Khi đó giá trị của

( )

d'x x xf



bằng

. B.

. C.

25−

. D.

123

Câu 6. [Mức độ 3] Biết

ln d e

x x x

x b d



+ = +







với

là phân số tối giản. Tính

a b c d+ + +

. B.

. C.

. D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. [Mức độ 1] Tính tích phân

2dI x cos x x





ta được kết quả:



. B.



. C.



. D.



Câu 2. [Mức độ 1] Tính tích phân

cos2 dI x x x=



bằng cách đặt

d cos2 d

v x x







. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 π

sin 2 sin 2 d

I x x x x x=−



. B.

2 π

sin 2 2 sin 2 d

I x x x x x=−



2 π

sin 2 2 sin 2 d

I x x x x x=+



. D.

2 π

sin 2 sin 2 d

I x x x x x=+



Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 146

Lop

Câu 3. [Mức độ 2] Cho hàm số

( )

có đạo hàm liên tục trên . Biết

( )

41f =

và

( )

4 d 1x f x x =



Tính tích phân

( )

'dx f x x



. B.

16−

. C.

. D.

8−

Câu 4. [Mức độ 2] Biết

( )

1 cos2 dx x x



+ = +



(

, ab

là các số nguyên khác 0). Tính giá trị

32ab =

. B.

2ab =

. C.

4ab =

. D.

12ab =

Câu 5. [Mức độ 3] Tính tích phân

cos d .I x x







=−

. B.



. C.



= − −

. D.



= − +

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 147

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3

§2. TÍCH PHÂN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. ĐỊNH NGHĨA

( ) ( ) ( ) ( )

F b F af x x F x == −



II. TÍNH CHẤT

1. Tính chất 1:

( ) ( )

k f x x k f x x=



(với k là hằng số).

2. Tính chất 2:

( ) ( ) ( ) ( )

d d d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x



 = 

  

3. Tính chất 3:

( ) ( ) ( )

d d d

b c b

a a c

f x x f x x f x x=+

  

( )

a c b

III. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

➢ Công thức:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ff u x u x d uxF b u aux F

   

=−

   











➢ Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt

( ) ( )

d d .t u x t u x x=



Bước 2: Đổi cận:

( )

x b t u b

x a t u a



= → =





= → =





(đổi biến phải đổi cận).

Bước 3: Đưa về dạng

( )

()

I f t t=



đơn giản dễ tính toán.

IV. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

➢ Công thức:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a a

u x v x x u x v x u x v x dx



−

 

hay

udv

uv vdu= −

 

. (2)

➢ Phương pháp

Bước 1: Chọn đặt

và

thích hợp

( , u log u==

đa thức).

Bước 2: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Bước 3: Tính tích phân



đơn giản hơn.

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 148

Lop

Bài 3 trang 113 - SGK: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

1dI x x=−



; b)

( )



Bài 4 trang 113 – SGK: Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:

( )

1 sin dI x x x





; b)

ln d

I x x x=



;

( )

ln 1 dI x x=+



; d)

( )

2 1 e d

I x x x

−

= − −



II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 2] Cho

ln2

d ln7 ln10

2 3 3

x b c

= = +



với

,,abc

Tính giá trị của

2 3 4K a b c= + +

3K =

. B.

7K =

. C.

1K =

. D.

1K =−

Câu 2: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

thỏa mãn

( ) ( )

1 ' d 10x f x x+=



và

( ) ( )

2 1 0 2.ff−=

Tính

( )

d.I f x x=



12.−

8.−

Câu 3: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

liên tục trên và

( ) ( )

2 16, d 4f f x x==



Tính

( )

' 2 dI x f x x=



. B.

. C.

. D.

Câu 4: [Mức độ 4] Cho hàm số

( )

liên tục trên thỏa mãn

( )

45f =

và

( )

2 d 10x f x x =



. Giá trị

của tích phân

( )

'dx f x x



bằng

A. 80. B. 70. C. 60. D. 90.

Câu 5: [Mức độ 3] Cho

( )

liên tục thỏa

( )

11f =

và

( )

f x x =



. Tính

( )

sin2 ' sin dI x f x x





I =

. B.

I =

. C.

I =

. D.

I =−

Câu 6: [Mức độ 4] Cho hàm số

( )

thỏa mãn

( )

'' d 12x f x x =



và

( ) ( )

2 1 ' 1 2ff− = −

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 149

Lop

Tính

( )

dI f x x=



A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.

Câu 7: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

1 khi 0

x e x

x x x



+



+ + 



. Biết

( )

f x x c e

−



, với

là phân

số tối giản. Giá trị của tổng

abc++

bằng

11.

12.

14.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: [Mức độ 1] Cho

( )

d3f x x

−



. Tính tích phân

( )

2 1 dI f x x

−



=−



A. . B. . C. . D. .

Câu 2: [Mức độ 2] Biết

( )

x x x a b+ = −



, với

,ab

là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau

đây đúng?

2ab=

. B.

ab

. C.

ab=

. D.

3ab=

Câu 3: [Mức độ 2] Biết rằng tích phân

( )

x e dx a be+ = +



. Tích

bằng

. B.

1−

. C.

15−

. D.

Câu 4: [Mức độ 3] Cho hàm số

( )

và

( )

liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn

( ) ( )

0 2 0ff





và

( ) ( ) ( )

g x f x x x



=−

. Tính giá trị của tích phân

( ) ( )

dI f x g x x





4−

. B.

e2−

. C.

. D.

2e−

Câu 5: [Mức độ 4] Cho

( )

2 1 d 12f x x+=



và

( )

sin sin2 d 3f x x x





. Tính

( )

df x x



A. 26. B. 22. C. 27. D. 15.

……………………………………………………………………………………………………

9−

3−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 150

Lop

GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 3

§5. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y f x=

liên tục trên đoạn

 

;ab

, trục hoành

và hai đường thẳng

xa=

xb=

được xác định

( )

| | d

S f x x=



Ta có

( )

y f x











( )

| | d

S f x x=



Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

24yx=+

, trục hoành, các đường

…………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y f x

−−

−

, trục hoành và các

đường thẳng

1x =−

;

0x =

Lời giải

…………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

32y x x= − +

và trục hoành.

…………………………………………………………………………………………………….

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 151

Lop

Chú ý:

➢ Nếu đề bài chưa cho

xa=

xb=

( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao

điểm

( )

0fx=

để tìm cận tích phân.

➢ Nếu

( )

không đổi dấu trên

 

;ab

thì

( ) ( )

| |d d

S f x x f x x==



➢ Phương pháp trắc nghiệm:

+ Xác định các yếu tố cần thiết như công thức

( )

y f x=

0y =

xa=

xb=

+ Khi đó

( )

| | d

S f x x=



+ Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.

2. Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y f x=

( )

y g x=

liên tục trên đoạn

 

;ab

và hai đường thẳng

xa=

xb=

được xác định

( ) ( )

| | d

S f x g x x=−



Ta có

( )

( ) ( )

y f x C











( ) ( )

| | d

S f x g x x = −



Ví dụ 1: Tính diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y =

2y =

0x =

1x =

…………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

.lny x x=

yx=

và hai đường thẳng

1x =

ex =

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 152

Lop

…………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

32y x x=+−

và đường thẳng

–1yx=

…………………………………………………………………………………………………….

Chú ý:

➢ Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao

điểm của hai hàm số đó.

➢ Nếu đề bài chưa cho

xa=

xb=

(cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao

điểm

( )

()f x g x=

để tìm cận tích phân.

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 123 – SGK. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường:

yx=

2yx=+

. b)

lnyx=

1y =

Bài 2 trang 123 – SGK. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

1yx=+

; tiếp tuyến của

đường này tại điểm

( )

2;5M

và trục



= − + =





II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 1] Cho hàm số

( )

y f x=

xác định, liên tục trên

 

;ab

. Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số

( )

y f x=

đường thẳng

;x a x b==

và trục

được tính bởi công thức:

( )

S f x x=



. B.

( )

S f x x=



( )

S f x x=



( )

S f x x=



Câu 2: [Mức độ 2] Cho hàm số

( )

liên tục trên . Gọi

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường

( )

y f x=

0y =

;

1x =−

và

2x =

(như hình vẽ bên).

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 153

Lop

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

( ) ( )

ddS f x x f x x

−

= − −



. B.

( ) ( )

ddS f x x f x x

−

= − +



( ) ( )

ddS f x x f x x

−

=−



. D.

( ) ( )

ddS f x x f x x

−



Câu 3: [Mức độ 2] Diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi các đường

yx=

;

32yx=−

được tính

theo công thức

( )

3 2 dS x x x= − +



. B.

( )

3 2 dS x x x= − − +



( )

3 2 dS x x x= − +



. D.

( )

3 2 dS x x x



= − +



Câu 4: [Mức độ 1] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức

nào?

( )

d3x x x−



. B.

( )

3 dx x x− +



( )

d22 d4x x x x x− − − ++



. D.

( )

422 d dx x x xx− −+++



Câu 5: [Mức độ 1] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

yx=

, trục hoành và hai

đường thẳng

1x =−

3x =

là:

243

(đvdt). B.

244

(đvdt). C.

242

(đvdt). D.

(đvdt)

Câu 6: [Mức độ 1] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

()

−

, trục hoành, hai

đường thẳng

1x =

và

2x =

là.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 154

Lop

ln2

. B.

ln2 1−

. C.

ln2 1+

. D.

1 ln2−

Câu 7: [Mức độ 2] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, 0, 0y x x y x= − = =

và

2x =

được

tính bởi công thức:

( )

dx x x−



. B.

( ) ( )

ddx x x x x x− − −



( ) ( )

ddx x x x x x− + −



. D.

( )

dx x x−



Câu 8: [Mức độ 2] Cho đồ thị hàm số

( )

y f x=

trên đoạn

 

2; 2−

như hình vẽ ở bên và có diện tích

1 2 3

22 76

15 15

S S S= = =

. Tính tích phân

( )

-2

I f x dx=



I =

. B.

8I =

. C.

I =

. D.

I =−

Câu 9: [Mức độ 2] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức

nào?

( )

2dx x x x

−

+−



. B.

( ) ( )

3 2 3 2

2 d 2 dx x x x x x x x

−

+ − − + −



( )

2dx x x x

−

−+−



. D.

( ) ( )

3 2 3 2

2 d 2 dx x x x x x x x

−

+ − + + −



Câu 10: [Mức độ 3] Cho hình thang cong

( )

giới hạn bởi các đường

y =

0y =

0x =

ln4x =

Đường thẳng

xk=

chia

( )

thành hai phần có diện tích là

và

như hình vẽ bên. Tìm

để

2SS=

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 155

Lop

ln4

k =

. B.

ln2k =

. C.

k =

. D.

ln3k =

III. TÍNH THỂ TÍCH

1. Thể tích của vật thể.

Khái niệm:

Gọi

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại các điểm

a và b;

( )

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại

điểm

( )

a x b

. Giả sử

( )

là hàm số liên tục trên đoạn

 

;ab

Người ta chứng minh được thể tích vật thể V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng

(P) và (Q) được tính bởi công thức:

( )

V S x dx=



2. Thể tích khối tròn xoay.

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

y f x=

, trục

hoành và hai đường thẳng

xa=

xb=

quanh trục Ox:

Ví dụ 1: Cho hình phẳng

( )

giới hạn bởi các đường

1yx=−

, trục hoành và đường thẳng

4x =

. Khối

tròn xoay tạo thành khi quay

( )

quanh trục hoành có thể tích

bằng bao nhiêu?

.........................................................................................................................................................

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 156

Lop

.........................................................................................................................................................

Ví dụ 2: Cho hình phẳng

( )

giới hạn bởi các đường

yx=

0x =

1x =

và trục hoành. Tính thể tích

của khối tròn xoay sinh bởi hình

( )

quay quanh trục

.........................................................................................................................................................

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

tanyx=

, trục hoành và các đường thẳng

0x =



quanh trục hoành.

.........................................................................................................................................................

Ví dụ 4: Gọi

( )

là hình phẳng giới hạn bởi parabol

yx=

và đường thẳng

2yx=

. Tính thể tích khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình

( )

xung quanh trục hoành

.........................................................................................................................................................

Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

,y f x=

( )

y g x=

(cùng nằm một phía so với

)Ox

và hai đường thẳng

,xa=

xb=

quanh trục

:Ox

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

( ) ( )

V f x g x dx



=−



Ví dụ 5: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol

( )

:P y x=

và đường thẳng

:2d y x=

quay xung quanh trục

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 157

Lop

.........................................................................................................................................................

Ví dụ 6: Tính diện tích

của hình phẳng

( )

giới hạn bởi các đường cong

12y x x= − +

và

yx=−

.........................................................................................................................................................

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 4 trang 123 – SGK. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh

1yx=−

;

0y =

.b)

cosyx=

;

0y =

;

0x =

;



.c)

tanyx=

;

0y =

;

0x =

;



Bài 5 trang 123 – SGK. Cho tam giác vuông

OPM

có cạnh

nằm trên

. Đặt

POA



và

OM R=

0 , 0







  





. Gọi

là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh

a) Tính thể tích của

theo



và

. b) Tìm



sao cho thể tích

là lớn nhất.

IV. Bài tập trắc nghiệm

Câu 11: Cho hình phẳng

( )

được giới hạn bởi các đường

0x =

1x =

0y =

và

21yx=+

. Thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay

( )

xung quanh trục

được tính theo công thức?

( )

21V x dx=+



. B.

21V x dx=+



. C.

21V x dx





. D.

( )

21V x dx





Câu 12: Cho hình phẳng

( )

giới hạn bởi đồ thị hàm số

.lny x x=

, trục hoành và hai đường thẳng

1x =

;

2x =

. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới

( )

khi nó quay quanh trục hoành có thể tích

được

xác định bởi

( )

.lnV x x dx





. B.

( )

.lnV x x dx=



. C.

( )

.lnV x x dx=



. D.

( )

.lnV x x dx





Câu 13: Cho hình phẳng

giới hạn bởi đường cong

ye=

, trục hoành và các đường thẳng

0x =

1x =

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay

quanh trục hoành có thể tích

bằng bao nhiêu?

( )



. B.

( )



−

. C.



. D.

−

Câu 14: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y xe=

0y =

0x =

1x =

xung quanh trục

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 158

Lop

V x e dx





. B.

V x e dx=



. C.

V xe dx





. D.

V x e dx





Câu 15: Cho miền phẳng

( )

giới hạn bởi đồ thị hàm số

yx=

, hai đường thẳng

1x =

2x =

và trục

hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay

( )

quanh trục hoành.



. B.



. C.

. D.



Câu 16: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3y x x=−

và trục hoành, quanh trục hoành.



(đvtt). B.



(đvtt). C.



(đvtt). D.



(đvtt).

Câu 17: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay

tạo thành được tính theo công thức nào?

( ) ( )

V f x f x dx



=−







. B.

( ) ( )

V f x f x dx



=−





( ) ( )

V f x f x dx





=−





. D.

( ) ( )

V f x f x dx





=−





Câu 18: Cho hình phẳng

( )

giới hạn bởi các đường

1y x x= − +

0y =

0x =

2x =

. Gọi

là thể

tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay

( )

xung quanh trục

. Mệnh đề nào sau đây

đúng?

( )

1V x x dx



= − +



. B.

( )

1V x x dx= − +



( )

1V x x dx



= − +



. D.

( )

1V x x dx



= − +



Câu 19: Cho hình phẳng

( )

được giới hạn bởi các đường

0x =



0y =

và

sinyx=−

. Thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi quay

( )

xung quanh trục

được tính theo công thức

sinV xdx





. B.

sinV x dx





sinV xdx





. D.

( )

sinV x dx



=−



Câu 20: Cho hình phẳng

( )

giới hạn bởi các đường

1yx=−

, trục hoành và đường thẳng

4x =

. Khối

tròn xoay tạo thành khi quay

( )

quanh trục hoành có thể tích

bằng bao nhiêu?



. B.

V =

. C.

1S =

. D.



C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

( )

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 159

Lop

Câu 21: [Mức độ 1] (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên

bằng

( )

2 2 4 dx x x

−

− + +



. B.

( )

2 2 4 dx x x

−

−−



( )

2 2 4 dx x x

−

− − +



. D.

( )

2 2 4 dx x x

−

+−



Câu 22: [Mức độ 1] (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích

của hình phẳng giới hạn bởi các đường

2yx=

1y =−

0x =

và

1x =

được tính bởi công thức nào sau đây?

( )

2 1 dS x x





. B.

( )

2 1 dS x x=−



. C.

( )

2 1 dS x x=+



. D.

( )

2 1 dS x x=+



Câu 23: [Mức độ 1] (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số

( )

y f x=

, trục hoành và hai đường thẳng

xa=

xb=

trong hình dưới đây (phần gạch sọc)

có diện tích

bằng

( ) ( )

f x x f x x+



. B.

( ) ( )

f x x f x x−



( ) ( )

f x x f x x−+



. D.

( ) ( )

f x x f x x−−



Câu 24: [Mức độ 1] (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Gọi

là diện tích miền hình phẳng được

gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với

( )

y f x=

là hàm số liên tục trên .

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 160

Lop

Công thức tính

là

( )

dS f x x

−

=−



. B.

( )

dS f x x

−



( ) ( )

ddS f x x f x x

−

=−



. D.

( )

dS f x x

−



Câu 25: [Mức độ 1] (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Gọi

( )

là hình phẳng giới hạn bởi

các đường thẳng

, 0, 1, 4

y y x x= = = =

. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay

( )

quanh trục

được tính theo công thức nào dưới đây?





. B.





. C.











. D.





Câu 26: [Mức độ 1] (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới

hạn bởi các đường

yx=

, trục

và hai đường thẳng

1; 4xx==

quanh trục hoành được tính

bởi công thức nào dưới đây?

dV x x





. B.

dV x x





. C.

dV x x





. D.

dV x x=



Câu 27: [Mức độ 1] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho hình

( )

được giới hạn như hình vẽ

Diện tích của hình

( )

được tính bởi công thức nào dưới đây?

( ) ( )

g x f x d−







. B.

( ) ( )

f x g x d−







( )

f x d



. D.

( )

g x d



Câu 28: [Mức độ 1] (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số

( )

y f x=

. Diện

tích

của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 161

Lop

( ) ( )

S f x dx f x dx= − +



. B.

( ) ( )

S f x dx f x dx=−



( )

S f x dx=



. D.

( ) ( )

S f x dx f x dx=+



Câu 29: [Mức độ 1] (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hình phẳng

( )

được giới hạn

bởi các đường

( )

2 1, , 0, 1f x x Ox x x= + = =

. Tính thể tích

của khối tròn xoay tạo thành khi

quay

( )

xung quanh trục

được tính theo công thức?

2 1dV x x





. B.

( )

2 1 dV x x=+



. C.

( )

2 1 dV x x





. D.

2 1dV x x=+



Câu 30: [Mức độ 1] (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số

( )

y f x=

. Diện

tích

của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là

( ) ( )

S f x dx f x dx= − +



. B.

( ) ( )

S f x dx f x dx=−



( )

S f x dx=



. D.

( ) ( )

S f x dx f x dx=+



Câu 31: [Mức độ 2] (Chuyên KHTN - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

y x x=+

và đồ thị của hàm số

22yx=+

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 32: [Mức độ 2](Chuyên KHTN - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng

3yx=+

và parabol

21y x x= − −

bằng

. B.

. C.

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 162

Lop

Câu 33: [Mức độ 2] (Chuyên KHTN - 2021) Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới

hạn bởi đường thẳng

2x =

và đồ thị

yx=

khi quay xung quanh trục



. B.



. C.



. D.



Câu 34: [Mức độ 2] (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Tính diện tích của hình phẳng (được tô đậm) giới

hạn bởi hai đường

2 , 4 .y x y x==



. B.



. C.

S =

. D.

S =

Câu 35: [Mức độ 2] (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ

thị hàm số

2y x x=−

và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay

quanh trục Ox.



. B.

V =

. C.

V =

. D.



Câu 36: [Mức độ 2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh

hình phẳng giới hạn bởi các đường

0x =

;

1x =

;

yx=

;

0y =

là

( )



−

. B.

( )

e +

. C.

( )

e −

. D.

( )



Câu 37: [Mức độ 2] (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hình phẳng

giới hạn bởi đường

cong

ye=

, trục hoành và các đường thẳng

0, 1xx==

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay

quanh trục hoành có thể tích

bằng bao nhiêu?

( )



−

. B.



. C.

−

. D.

( )



Câu 38: [Mức độ 2] (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số

( )

1 5 6y x x x= − − +

và hai trục tọa độ bằng



Câu 39: [Mức độ 2] (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho

hình phẳng

( )

được giới hạn bởi các đường

sin , 0, 0y x y x= = =

và



Quay hình phẳng

( )

quanh trục

ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng



. B.



. C.



. D.



Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 163

Lop

Câu 40: [Mức độ 2] (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Gọi

( )

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số

54y x x= − +

và trục

. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình

( )

quanh

trục

bằng

. B.

. C.



. D.



Câu 41: [Mức độ 3] (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số

( ) 4f x ax bx cx= + + +

và

()g x mx nx=+

có đồ thị trong hình bên dưới.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên (phần gạch chéo trong hình vẽ)

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 42: [Mức độ 3] (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Cho hai hàm số

( )

f x ax bx cx= + + −

và

( )

1g x dx ex= + +

( , , , , )a b c d e

. Biết rằng đồ thị hàm số

( )

y f x=

và

( )

y g x=

cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là

3−

;

1−

;

(tham khảo hình

vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 43: [Mức độ 3] (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Gọi

là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

−

, đường thẳng

1yx=−

và các đường thẳng

xm=

2xm=

( )

1m 

. Giá trị của

sao cho

ln3S =

là

2m =

. B.

3m =

. C.

5m =

. D.

4m =

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 164

Lop

Câu 44: [Mức độ 3] (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

3 , , 0

y y x

−

= = =

là

3ln3 6

S =−

. Tính tổng

mn+

4mn+=

. B.

2mn+=

. C.

1mn+=

. D.

3mn+=

Câu 45: Cho hàm số bậc ba

( )

y f x=

có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi

,xx

lần lượt là hai

điểm cực trị thỏa mãn

2xx=+

và

( ) ( )

3 0.f x f x−=

Đường thẳng song song với trục

và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ

và

1xx=+

. Tính tỉ số

(

và

lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

. B.

. C.

. D.

Câu 46: [Mức độ 4] (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh

1 2 1 2

, , ,A A B B

như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là

200.000 nđv / m

và phần còn

lại

100.000 nđv / m

. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết

8mAA =

6mBB =

và tứ giác

MNPQ

là hình chữ nhật có

3mMQ =

5.526.000

đồng. B.

5.782.000

đồng. C.

7.322.000

đồng. D.

7.213.000

đồng.

Câu 47: [Mức độ 4] (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều

cao

4GH m=

, chiều rộng

4AB m=

0,9AC BD m==

. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại

là hình chữ nhật

CDEF

tô đậm có giá là

1200000

đồng

, còn các phần để trắng làm xiên

hoa có giá là

900000

đồng

. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền

nào dưới đây?

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 165

Lop

11445000

đồng. B.

4077000

đồng. C.

7368000

đồng. D.

11370000

đồng.

Câu 48: [Mức độ 4] (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho một mô hình

3 D−

mô phỏng một đường

hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài

( )

5 cm

; khi cắt hình này bởi

mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp

đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức

yx=−

( )

, với

( )

là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo

đơn vị

) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )

A. 29. B. 27. C. 31. D. 33.

Câu 49: [Mức độ 4] (THPT Hậu Lộc 2 - 2018) Cho hàm số

( )

y f x ax bx cx d= = + + +

( )

, , , , 0a b c d a

có đồ thị là

( )

. Biết rằng đồ thị

( )

đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số

( )

y f x



cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị

( ) ( )

42H f f=−

45H =

. B.

64H =

. C.

51H =

. D.

58H =

Câu 50: [Mức độ 4] Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 166

Lop

Phần tô đậm được đính đá với giá thành

500.000đ/m

. Phần còn lại được tô màu với giá thành

250.000 /đm

. Cho

4dmAB =

;

8dmBC =

. Hỏi để trang trí

1000

họa tiết như vậy cần số tiền

gần nhất với số nào sau đây.

105660667

đ. B.

106666667

đ. C.

107665667

đ. D.

108665667

đ.

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 167

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG IV

§1. SỐ PHỨC

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

1. Phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp.

➢ Số phức

là biểu thức có dạng

( )

, , 1z a bi a b R i= +  = −

. Khi đó:

+ Phần thực của

là

+ Phần ảo của

là

và

được gọi là đơn vị ảo.

➢ Số phức liên hợp của

là

z a bi a bi= + = −

Đặc biệt:

➢ Số phức

0z a i=+

có phần ảo bằng

được coi là số thực và viết là

za=

➢ Số phức

0z bi=+

có phần thực bằng

được gọi là số ảo (hay số thần ảo) và viết là

➢ Số

0 1 1i i i= + =

➢ Số:

0 0 0i=+

vừa là số thực vừa là số ảo.

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

3 5 ; 4 2; 0 ; 1 0i i i i



− + − + +

…………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ 2. Tìm

, biết. a)

32zi= − +

43zi=−

…………………………………………………………………………………………………….

2. Số phức bằng nhau.

+ Cho hai số phức

1 1 1

z a b i=+

2 2 2

z a b i=+

( )

1 2 2 2

, , ,a a b b R

. Khi đó:

Ví dụ 3. Tìm số thực

;xy

biết:

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 2 2 4x y i x y i+ + − = + + +

…………………………………………………………………………………………………….



=





Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 168

Lop

…………………………………………………………………………………………………….

3. Biểu diễn hình học của số phức, mô đun của số phức.

a) Biễu diễn hình học của số phức.

+ Số phức

( )

,= + z a bi a b

được biểu diễn bởi điểm

( )

;M a b

trong mặt phẳng tọa độ.

và

được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục

b) Mô đun của số phức.

+ Mô đun của số phức

là

z OM a b= = +

.z z z=

;

zz=

Chú ý : Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn của

và

đối

xứng nhau qua trục

Ví dụ 4: Các điểm

; ; ;A B C D

biểu diễn cho số phức nào?

Lời giải

…………………………………………………………………

B. LUYỆN TẬP

1. Bài tập SGK

Bài 1 (Bài 1 trang 133 – SGK). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức

, biết

1zi



=−

2zi=−

22z =

7zi=−

Bài 2 (Bài 2 trang 133 – SGK). Tìm các số thực

,xy

biết

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 2 1 1 5x y i x y i− + + = + − −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 3 2 1x y y x i x y y x i+ + − = − + + + +

Bài 3. (Bài 4 trang 133 – SGK). Tính

biết

23zi= − +

23zi=−

5z =−

3zi=

Bài 4. (Bài 6 trang 134 – SGK). Tìm

, biết.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 169

Lop

12zi=−

23zi= − +

5z =

7zi=

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 1] Phần thực của số phức

52zi=−

bằng

. B.

. C.

5−

. D.

2−

Câu 2: [Mức độ 1] Cho số phức

32zi=+

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

3−

và phần ảo bằng

2−

B. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

2−

C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

2i−

D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

Câu 3: [Mức độ 1] Cho số phức

12zi=+

. Số phức liên hợp của

là

12zi= − +

. B.

12zi= − −

. C.

2zi=+

. D.

12zi=−

Câu 4: [Mức độ 1] Môđun của số phức

12zi= − +

bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 5: [Mức độ 1] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm

( )

3;2M −

là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

32zi=−

. B.

32zi=+

. C.

32zi= − −

. D.

32zi= − +

Câu 6: [Mức độ 2] Trên mặt phẳng toạ độ, điểm

là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

12zi=−

12zi=+

2zi= − +

2zi=+

Câu 7: [Mức độ 2] Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức

32zi= − +

. B.

. C.

. D.

Câu 8: [Mức độ 2] Cho số phức

12zi=−

. Tìm phần ảo của số phức

A. 2. B.

2−

. C.

1−

. D. 1.

Câu 9: [Mức độ 2] Tìm các số thực

và

thỏa mãn điều kiện

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 3 1 2 5x y i x y i+ + − = + + +

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 170

Lop





=−



. B.

=−







. C.

=−





=−



. D.







Câu 10: [Mức độ 3] Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho các điểm

,,A B C

lần lượt là các điểm biểu diễn các

số phức

1 i+

4 i+

15i+

. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

. B.

. C.

. D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 11: [Mức độ 1] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

34zi= − +

( )

3;4N

. B.

( )

4;3M

. C.

( )

3;4P −

. D.

( )

4; 3Q −

Câu 12: [Mức độ 1] Điểm

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

12zi=+

12zi=−

2zi=+

2zi= − +

Câu 13: [Mức độ 1] Số phức liên hợp của số phức

53i−

là

35i−+

. B.

53i−−

. C.

53i+

. D.

53i−+

Câu 14: [Mức độ 1] Số phức

43zi=−

có môđun bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 15: [Mức độ 1] Cho số phức

32zi=−

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

. B. Phần thực bằng

3−

và phần ảo bằng

2−

C. Phần thực bằng

3−

và phần ảo bằng

2i−

. D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

Câu 16: [Mức độ 1] Môđun của số phức

23zi=−

bằng:

. B.

. C.

. D.

Câu 17: [Mức độ 2] Biết rằng có duy nhất 1 cặp số thực

( )

;xy

thỏa mãn

( ) ( )

53x y x y i i+ + − = +

. Tính

2S x y=+

5S =

. B.

4S =

. C.

6S =

. D.

3S =

Câu 18: [Mức độ 2] Trong mặt phẳng

Oxy

, gọi

theo thứ tự là các điểm biểu diễn cho số phức

và

(với

0z 

). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

và

đối xứng với nhau qua trục

và

đối xứng với nhau qua trục

và

đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

và

đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

Câu 19: [Mức độ 3] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện

phần ảo của

bằng

2−

là

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 171

Lop

2x =−

. B.

2y =−

2yx=

. D.

2yx=+

Câu 20: [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, 3 điểm

,,A B C

lần lượt là điểm biểu diễn của ba số

phức

3 7 , 9 5z i z i= − = −

và

59zi= − +

. Khi đó, trọng tâm

là điểm biểu diễn của số phức

nào sau đây?

19zi=−

. B.

33zi=+

. C.

zi=−

. D.

22zi=+

……………………………………………………………………………………………………

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 172

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4

§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ

1. Định nghĩa

➢ Quy tắc: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi

là biến).

* Tổng quát:

( ) ( ) ( ) ( )

;a bi c di a c b d i+ + + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )

.a bi c di a c b d i+ − + = − + −

2. Ví dụ

➢ VD1. Tính

( ) ( )

) 5 2 7 .a i i+ + +

( ) ( )

) 3 4 5 .b i i+ − −

.........................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Nhấn MODE + 2.

II. PHÉP NHÂN

1. Định nghĩa

➢ Quy tắc: Theo quy tắc nhân hai đa thức (coi

là biến), khi thu gọn thay

1i =−

➢ Tổng quát:

( ) ( )

..a bi c di ac adi bci bdi ac adi bci bd+ + = + + + = + + −

Vậy

( ) ( ) ( ) ( )

..a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + +

2. Ví dụ

➢ VD2. Tính

( ) ( )( )

) 3 4 1 2 5 2 .a i i i+ + − +

( )( )

) 2 3 5 , .b x i xi x+ − 

..............................................................................................................................................................

Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép

nhân các số thực.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 173

Lop

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 135 – SGK. Thực hiện các phép tính sau:

( ) ( )

) 3 5 2 4 ;a i i− + +

( ) ( )

) 2 3 1 7 ;b i i− − + − −

( ) ( )

) 4 3 5 7 ;c i i+ − −

( ) ( )

) 2 3 5 4 ;d i i− − −

Bài 3 trang 136 – SGK. Thực hiện các phép tính sau:

( )( )

) 3 2 2 3 ;a i i−−

( )( )

) 1 3 7 ;b i i− + +

( )

)5 4 3 ;ci+

( )

) 2 5 .4 .d i i−−

Bài 4 trang 136 – SGK. Tính

345

, , .i i i

Nêu cách tính

với

là một số tự nhiên tùy ý.

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hai số phức

12zi=+

23zi=−

. Tổng của hai số phức

và

là

3 i+

. B.

35i−

. C.

35i+

. D.

3 i−

Câu 2: Tìm số phức liên hợp của số phức

( )

2z i i= − +

2 2.

2 2 .i−

2 2 .i−+

Câu 3: Biết

( ) ( )

2 1 2z i i= + −

, phần ảo của số phức

bằng

. B.

2i−

. C.

2−

. D.

Câu 4: Trong các số phức

( ) ( ) ( ) ( )

3456

1 , 1 , 1 , 1i i i i+ + + +

số phức nào là số phức thuần ảo?

( )

1 i+

. B.

( )

1 i+

. C.

( )

1 i+

. D.

( )

1 i+

Câu 5: Cho số phức

2zi= − +

. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

w iz=

trên mặt phẳng

tọa độ?

( )

2;1P −

. B.

( )

2;1N

. C.

( )

1;2Q

. D.

( )

1; 2M −−

Câu 6: Tìm số phức

thỏa mãn

2zz−=

và

( )

1z z i



+−





là số thực.

1 2 .zi=+

1 2 .zi= − −

2.zi=−

1 2 .zi=−

Câu 7: Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

( ) ( )

1 2 13 2i z i z i+ + − = +

. B.

. C.

. D.

Câu 8: Xét các số phức

thỏa mãn

( )( )

22z i z++

là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm

biễu diễn của

là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

( )

1; 1−

. B.

( )

1;1

. C.

( )

1;1−

. D.

( )

1; 1−−

Câu 9: Có bao nhiêu số phức

thỏa mãn

24z z z= + +

và

1 3 3z i z i− − = − +

. B.

. C.

. D.

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn

1z =

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 31P z z= + + −

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 174

Lop

3 15.

. C.

. D.

2 10

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 11: Cho số phức

7 5 .zi=−

Tìm số phức

z iz



12 12i



. B.

12 2i



. C.

2 12i



. D.

22i



Câu 12: Cho hai số phức

23zi=+

và

2zi=−

. Số phức

1 2 2

w z z z=+

có phần thực bằng

Câu 13: Cho hai số phức

2zi=−

và

12zi=+

. Khi đó phần ảo của số phức

.zz

bằng:

2−

. B.

. C.

. D.

2i−

Câu 14: Cho số phức

z a bi=+

(trong đó

là các số thực) thỏa mãn

( )

3 4 5 17 11z i z i− + = − +

. Tính

6ab =

. B.

3ab =−

. C.

3ab =

. D.

6ab =−

Câu 15: Số phức

z a bi=+

( với

là số nguyên) thỏa mãn

( )

13iz−

là số thực và

2 5 1zi− + =

. Khi

đó

ab+

là

. B.

. C.

. D.

Câu 16: Gọi

( )

là tập hợp các điểm biểu diễn số phức

thỏa

1 1 2z − 

trong mặt phẳng phức. Tính

diện tích hình

( )



. B.



. C.



. D.



Câu 17: Xét các số phức

thỏa mãn

( )( )

22z i z+−

là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất

cả các điểm biểu diễn các số phức

là một đường tròn có bán kính bằng

2 2.

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức

là một đường tròn có bán kính bằng

Câu 18: Cho số phức

( )

,z a bi a b= + 

thỏa mãn

30z i z i+ + − =

. Tổng

2S a b ab= + +

bằng

. B.

. C.

23−

. D.

24−

Câu 19: Cho số phức

( )

,z a bi a b= + 

thỏa mãn

2 3 3z iz i+ = +

. Tính giá trị biểu thức

2019 2018

P a b=+

4036 2019

2019

−

=−

. B.

4036 2019

2019

−

. C.

2P =

. D.

0P =

Câu 20: Xét hai số phức

,zz

thỏa mãn

( )

1 1 1

23z i i z z+ − + = −

và

3 1 2z i z i− + = + −

. Giá trị

nhỏ nhất của

zz−

bằng

. B.

. C.

. D.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 175

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4

§3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

I. TỔNG VÀ TÍCH HAI SỐ PHỨC LIÊN HỢP

1. Ví dụ mở đầu:

Liệu rằng

( )

1 2 . 3 4i z i+ = +

có tương đương với

không? Tính

như thế nào?

2. Nhận xét

 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô-đun của số phức đó.

Vậy tổng, tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

3. Ví dụ

➢ VD1: Hãy thực hiện các phép toán trong bảng dưới đây:

+zz

.zz

2−+i

34− i

➢ VD2: Tìm số phức

thỏa mãn:

3 4 5iz+=

. b)

( )

1 2 5i z i+ = −

…………………………………………………………………………………………………….

II. PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC

1. Định nghĩa:

Chia số phức

c di+

cho số phức

a bi+

khác

là tìm số phức

sao cho

( )

a bi z c di+ = +

. Số

phức

được gọi là thương trong phép chia

c di+

cho

a bi+

và kí hiệu là:

c di

a bi

2. Chú ý:

➢ Trong thực hành, để tính thương

c di

a bi

, ta nhân cả từ và mẫu với số phức liên hợp của

a bi+

➢

1 z

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 176

Lop

3. Ví dụ

➢ VD3: Thực hiện các phép chia sau đây:

. b)

−

…………………………………………………………………………………………………….

➢ VD4: Kết quả của phép chia

là:

i−

. B

. C

. D

i−

…………………………………………………………………………………………………….

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 138 – SGK. Thực hiện các phép chia sau:

−

i−

52i

−

Bài 2a, 2b trang 138 – SGK. Tìm nghịch đảo

của số phức 𝒛, biết:

a).

12i+

. b)

23i−

Bài 3.a, 3b trang 138 – SGK. Thực hiện phép tính sau:

( )( )

2 3 2 4 .i i i++

( ) ( )

−+

Bài 4 trang 138 – SGK. Giải các phương trình sau:

( )

3 2 4 5 7 3i z i i− + + = +

( ) ( ) ( )

1 3 2 5 2i z i i z+ − + = +

( )

2 3 5 2

+ − = −

−

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 177

Lop

II. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [Mức độ 1] Cho số phức

thỏa mãn

( ) ( ) ( )

1 2 1 2 2i z i i+ = + − − +

. Mô-đun của số phức

bằng:

. 2

. B

. C

. 2

. D

. 10

Câu 2: [Mức độ 2] Cho số phức

thỏa mãn

( )

1 1 3i z i+ = − +

. Hỏi điểm biểu diễn của

là điểm nào

trong các điểm

, , ,M N P Q

ở hình dưới đây.

A. Điểm

. B. Điểm

. C. Điểm

. D. Điểm

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 3: [Mức độ 1] Cho số phức

có số phức liên hợp

32zi=−

. Khi đó,

.zz

bằng:

. 13

. B

.1 3

. C

. 5

. D

. 5

Câu 4: [Mức độ 2] Cho số phức

thỏa mãn:

( )

2 13 1z i i− + =

. Tính mô-đun của số phức

2w z i=+

. 3

. B

.1 8

. C

. 34

. D

. 3 2

Câu 5: [Mức độ 2] Cho số phức

thỏa mãn:

( )

−

. Tìm mô-đun của số phức

z iz+

. 4 2

. B

. 4

. C

. 8 2

. D

. 8

Câu 6: [Mức độ 3] Cho số phức

thoả mãn

1 i

là số thực và

2zm−=

với

m

. Gọi

là một

giá trị của

để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:









. B.









. C.









. D.









Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 178

Lop

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4

§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

➢ VD MỞ ĐẦU:

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình:

2 5 0xx− + =

2 5 0xx− − =

10x +=

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM

+) b là căn bậc hai của số thực a âm khi:

( 0)b a a=

+) Ta có

0.a a i a  =

+) Vậy căn bậc hai của số thực

( 0)aa

là:

ia

➢ VD1: Tìm căn bậc hai các số sau:

1; 2; 4; 9; 13;0;1;4.− − − − −

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

Nhận xét: Nếu

0a 

thì các căn bậc hai của

là

a

Nếu

0a =

thì căn bậc hai số 0 là 0.

Nếu

0 ( )a a i a=

thì các căn bậc hai của số thực a:

ia

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Cho pt bậc hai

0 ( 0; , , )ax bx c a a b c+ + =  

Tính:

4b ac = −



= 0, phương trình có 1 nghiệm thực

=−



> 0, phương trình có 2 nghiệm thực:

1,2

−  

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 179

Lop



< 0, phương trình có 2 nghiệm phức:

1,2

−  

Chú ý:

Phương trình bậc hai:

( )

. . 0( 0) 4. . 0a z b z c a b a c+ + =   = − 

Có hai nghiệm phức phân biệt:

2. 2.

b i a b i a

− + − −

+) Khi đó

1 2 1 2 1 2

; . ; .

z z z z z z

+ = − = − =

+) Hai số

;zz

( nếu có) lần lượt có tổng là S, có tích là P thì là nghiệm của phương trình bậc hai

0x Sx P− + =

➢ VD 2: Giải phương trình bậc hai sau trên tập số phức:

2 5 0zz− + =

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

➢ VD 3: Giải phương trình

10xx+ + =

trên tập số phức.

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.

1. Câu hỏi lí thuyết về phương trình trên tập .

➢ VD 4: Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập hợp số phức:

40x +=

2 10 0xx+ + =

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

2. Tính toán biểu thức các nghiệm.

➢ VD 5: Trên tập hợp số phức. Gọi

,zz

(

là số phức có phần ảo âm ) lần lượt là nghiệm của

phương trình sau trên tập hợp số phức:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 180

Lop

10z +=

. Tính

2zz+

2 5 0zz− + =

. Tìm mô đun của số phức:

2.z z i−−

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

3. Ứng dụng định lí viet vào các nghiệm

➢ VD 6: Cho các số phức

3 2 , 3 2z i z i= + = −

. Tìm phương trình bậc hai có các nghiệm

,zz

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

➢ VD 7: Gọi

,zz

là hai nghiệm phức của phương trình:

2 3 3 0zz+ + =

Tìm giá trị của

zz+

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

4. Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên mặt phẳng phức.

➢ VD 8: Trên tập hợp số phức cho phương trình

2 50 0zz− + =

. Gọi

,zz

là hai nghiệm phức

của phương trình (

là số phức có phần ảo âm). Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức

w2z z i= + −

trên mặt phẳng phức

Oxy

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 181

Lop

➢ VD 9: Gọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2 2 0zz+ + =

. Tìm điểm biểu

diễn hình học của số phức liên hợp của số phức

w (1 2 )iz=+

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

5. Hệ phương trình số phức.

➢ VD 10: Tìm số phức

thỏa mãn điều kiện:

1 1 5zz− = + =

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

➢ VD 11: Cho số phức

thỏa mãn

.2z z z−=

và

2z =

Số phức

w3z z i= − −

bằng?

………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………….….

………………………………………………………………………………………………….…….

……………………………………………………………………………………………….……….

………………………………………………………………………………………………………..

B. LUYỆN TẬP

I. Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 142 - SGK: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:

7; 8; 12; 20; 121.− − − − −

Bài 1 trang 143 - SGK: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

3 2 1 0xx− + − =

;

7 3 2 0xx+ + =

;

5 7 11 0xx− + =

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Một căn bậc hai của

3−

là

A. 9. B.

3−

. C.

. D.

3i−

Câu 2: Giải phương trình

10zz− + =

trên tập số phức.

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 182

Lop

zi=

. B.

3zi=

. C.

13zi=

. D.

zi=

Câu 3: Gọi

và

là 2 nghiệm phức của phương trình

2 5 0zz− + =

, trong đó

có phần ảo dương.

Tìm số phức

1 2 2

()w z z z=+

24wi= − −

. B.

24wi= − +

. C.

24wi=−

. D.

24wi=+

Câu 4: Gọi

,zz

là hai nghiệm phức của phương trình

2z 5 0z + + =

. Giá trị của

zz+

bằng

A. 10. B. 50. C. 5. D. 18.

Câu 5: Kí hiệu

,zz

là hai nghiệm phức của phương trình

6z 18 0z − + =

. Tính giá trị của biểu thức

( )

P z z=+

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 6: Kí hiệu

là hai nghiệm của phương trình

40z +=

. Gọi

lần lượt là điểm biểu diễn

của

trên mặt phẳng tọa độ. Tính

T OM ON=+

với

là gốc tọa độ.

2T =

. B.

2T =

. C.

8T =

. D.

4T =

Câu 7: Gọi

,zz

là nghiệm phức của phương trình

5 8 0zz− + =

. Giá trị

zz+

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 8: Gọi

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

4 8 0zz− + =

. Trên mặt phẳng tọa

độ

Oxy

, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

?iz

( )

2;2Q

. B.

( )

2;2M −

. C.

( )

2; 2P −−

. D.

( )

2; 2N −

Câu 9: Kí hiệu

,zz

là hai nghiệm phức của phương trình

2 4 0zz− + =

. Giá trị của

bằng

. B.

. C.

. D.

Câu 10: Gọi

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2 5 0zz− + =

. Môđun của số phức

zi+

bằng

A. 2. B.

. C.

. D.

Câu 11: Gọi

là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình

2 10 0zz+ + =

. Môđun của số phức

zi−

bằng

. B.

. C.

. D.

D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 12: Trong , nghiệm của phương trình

80z −=

là:

1 2 3

2; 1 3 ; 1 3z z i z i= = + = −

. B.

1 2 3

2; 1 3 ; 1 3z z i z i= = − + = − −

1 2 3

2; 1 3 ; 1 3z z i z i= − = − + = − −

. D.

1 2 3

2; 1 3 ; 1 3z z i z i= − = + = −

Câu 13: Hai giá trị

;x a bi x a bi= + = −

là hai nghiệm của phương trình:

2 2 2

20x ax a b+ + + =

. B.

2 2 2

20x ax a b+ + − =

2 2 2

20x ax a b− + + =

. D.

2 2 2

20x ax a b− + − =

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai

Trang 183

Lop

Câu 14: Trong , nghiệm của phương trình

4 5 0zz+ + =

là:

2zi=−

. B.

2zi= − −

= − −





= − +



. D.

2zi= − +

Câu 15: Trong , phương trình

10z −=

có nghiệm là:

1; 2i

. B.

2; 2i

. C.

3; 4i

. D.

1; i

Câu 16: Biết

;zz

là hai nghiệm của phương trình

2 3 3 0zz+ + =

. Khi đó giá trị của

zz+

là:

. B.

. C.

. D.

−

Câu 17: Gọi

;zz

là hai nghiệm phức của phương trình

4 5 0zz− + =

. Khi đó phần thực của

zz+

là:

A. 5. B. 6. C. 4. D. 7.

Câu 18: Gọi

;zz

là hai nghiệm phức của phương trình

2 4 0zz+ + =

. Khi đó

| | | |A z z=+

có giá

trị là

7−

. B. – 8. C.

4−

. D. 8.

Câu 19: Tìm các căn bậc hai của

9−

3i

. B. 3. C.

. D.

3−

Câu 20: Trong , phương trình

40z +=

có nghiệm là:

( ) ( )

1 4 ; 1 4ii −  +

. B.

( )

12i−

;

( )

12i+

( ) ( )

1 3 ; 1 3ii −  +

. D. ±

( )

1 i−

;

( )

1 i+

Câu 21: Căn bậc hai của số phức

4 6 5i+

là:

( )

35i−+

. B.

( )

35i+

. C.

( )

35i+

. D. 2.

Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình

7 15 0zz+ + =

có hai nghiệm

,zz

. Giá trị biểu thức

1 2 1 2

z z z z++

là:

A. –7. B. 8. C. 15. D. 22.

Câu 23: Giả sử

,zz

là hai nghiệm của phương trình

2 5 0zz− + =

và A, B là các điểm biểu diễn của

,zz

. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

( )

1;1I

. B.

( )

1;0I −

. C.

( )

0;1I

. D.

( )

1;0I

Câu 24: Cho phương trình

60z mz i+ − =

. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì

có dạng

( )( )

,m a bi a b=  + 

. Giá trị

2ab+

là:

A. 0. B. 1. C.

2−

. D.

1−

Câu 25: Cho phương trình

2 1 0z mz m− + − =

trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình

có hai nghiệm

,zz

thỏa mãn

10zz+ = −

là:

2 2 2mi=

. B.

2 2 2mi=+

. C.

2 2 2mi=−

. D.

2 2 2mi= − −

Câu 26: Gọi

,zz

là hai nghiệm của phương trình

2 6 0zz− + =

. Trong đó

có phần ảo âm. Giá trị

biểu thức

1 1 2

3M z z z= + −

là:

6 2 21−

. B.

6 2 21+

. C.

6 4 21+

. D.

6 4 21−

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/183

| | Tải xuống

Preview text:

Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
HỌC SINH: ……………………………………………… LỚP:……
…………………………….. TOÁN 12 VỞ BÀI HỌC GIẢI TÍCH Trang 1 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Hoạt động khởi động
* Trò chơi “Quan sát hình ảnh”. Mỗi nhóm viết lên giấy A4 các khoảng đồng biến, nghịch biến
của của các hàm số tương ứng từ đồ thị sau:
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………..
2. Nhắc lại định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K .
y = f ( x) đồng biến trên K  x , x  K : x  x  f x  f x 1 2 1 2 ( 1) ( 2)
y = f ( x) nghịch biến trên K  x , x  K : x  x  f x  f x 1 2 1 2 ( 1) ( 2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K
*Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình a), nếu hàm số
nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình b). Hình a Hình b
3. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .
• Nếu f (x)  0, x
  K thì y = f (x) đồng biến trên K .
• Nếu f (x)  0, x
  K thì y = f (x) nghịch biến trên K .
• Nếu f '(x) = 0, x
  K thì y = f (x) không đổi trên K . Trang 2 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
* Chú ý: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K . Nếu f ( x)  0 ( f ( x)  0 ) , x   K và
f ( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K .
4. Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) y = 2x −1 b) 2
y = −x + 2x
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc
1. Tìm tập xác định. Tính f ( x) .
2. Tìm các điểm tại đó f ( x) = 0 hoặc f ( x) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2. Ví dụ
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a) 3
y = x − 3x + 2 x −1 b) y = x +1 c) 4 2
y = x − 2x + 2 2 −x + x − 7 d) y = x − 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 3 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP I. Bài tập SGK 1
Bài 1/9. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: 3 2 y =
x + 3x − 7x − 2 3 x
Bài 3/10. Chứng minh rằng hàm số: y =
đồng biến trên khoảng ( 1 − ) ;1 , nghịch biến trên 2 x +1 khoảng (− ;  − ) 1 và (1; +) .
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1.
[Mức độ 1] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (− ;  − ) 1 . B. (0; ) 1 . C. ( 1 − ) ;1 . D. ( 1 − ;0) . Trang 4 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 2.
(Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ;  2 − ).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 − ;0) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; − 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) . Câu 3.
(Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (− − ) 1 . B. ( 1 − ) ;1 . C. ( 1 − ;0) . D. (0; ) 1 . Câu 4.
(Mức độ 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 3 2 f (x) =
x + mx + 4x + 3 đồng biến trên . 3 A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . mx + 9 Câu 5.
(Mức độ 2) Cho hàm số y =
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x + m
nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 4 . B. Vô số. C. 3 . D. 5 . mx − 4 Câu 6.
(Mức độ 2) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến trên x − m khoảng ( 1 − ;+) là A. ( 2 −  ;1 . B. ( 2 − ;2) . C. ( 2 − ;−  1 . D. ( 2 − ;− ) 1 . x + 4 Câu 7.
(Mức độ 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = 2x − nghịch m biến trên khoảng ( 3 − ;4) Trang 5 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số. Câu 8.
(Mức độ 3) Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (2; +) . B. ( 2 − ) ;1 . C. (− ;  2 − ). D. (1;3) . Câu 9.
(Mức độ 3) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số y = f ( x + ) 3 3
2 − x + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (− ;  − ) 1 . B. ( 1 − ;0). C. (0; 2). D. (1; +).
Câu 10. (Mức độ 3) Cho hàm số f ( x) . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
g ( x) = f ( − x) 2 1 2
+ x − x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? y 1 4 – 2 O x – 2  3   1  A. 1;   . B. 0;  . C. ( 2 − ;− ) 1 . D. (2;3) .  2   2 
Câu 11. (Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ) . B. (− ) ;1 . C. ( 1; − + ) . D. (−; − ) 1 . Trang 6 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 12. (Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 1 − ;0) . B. ( ; − 0). C. (1; +) . D. (0; ) 1 .
Câu 13. (Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1 
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng − ; +   .  2 
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ;3 − ) .
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +) .  1 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng − ;  −   và (3;+) .  2 
Câu 14. ( Mức độ 1) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? A. ( 2 − ;0) . B. (−;0) . C. ( 2 − ;2) . D. (0; 2) . x − 2
Câu 15. ( Mức độ 1) Cho hàm số y = x + . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ;  +) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1 − ;+). Trang 7 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ;  − ) 1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ;  − ) 1 .
Câu 16. ( Mức độ 1) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (− ;  +) ? x − 2 A. 4 2
y = x + 3x . B. y =
y = x + x − . D. 3
y = 2x − 5x +1. x + . C. 3 3 3 2 1
Câu 17. ( Mức độ 1) Cho hàm số 3 2
y = x − 3x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; − 0).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +) .
Câu 18. ( Mức độ 2) Tìm m để hàm số 3 2
y = x − 3mx + 3(2m − ) 1 +1 đồng biến trên .
A. Không có giá trị m thỏa mãn.
B. m  1.
C. m = 1.
D. Luôn thỏa mãn với mọi m . x + 2 − m
Câu 19. (Mức độ 2) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên các x +1
khoảng mà nó xác định?
A. m  1. B. m  3 − . C. m  3 − . D. m  1. x + 4
Câu 20. ( Mức độ 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên x + m
khoảng (−; − 7) là A. 4;7) . B. (4;7 . C. (4;7) . D. (4; + ) .
Câu 21. ( Mức độ 2) Xác định các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3mx − m nghịch biến trên khoảng (0; ) 1 ? 1 1
A. m  0 . B. m  .
C. m  0 . D. m  . 2 2
Câu 22. ( Mức độ 2) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x − )3 2 , với mọi x  . Hàm số đã
cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; 3) . B. ( 1 − ; 0) . C. (0; ) 1 . D. ( 2 − ; 0) .
Câu 23. ( Mức độ 2) Hàm số y = f ( x) có đạo hàm 2
y = x . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên . Trang 8 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
B. Hàm số nghịch biến trên (− ;
 0) và đồng biến trên (0;+).
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên (− ;
 0) và nghịch biến trên (0;+).
Câu 24. ( Mức độ 3) Cho hàm số f (x) có bảng dấu f (  x) như sau:
Hàm số y = f (5 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (3;5) . B. (5; + ) . C. (2;3) . D. (0; 2) . Câu 25.
(Mức độ 3) Cho hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số y = f ( 2
2 − x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. ( ; − 0). B. (0; ) 1 . C. (1; 2) . D. (0; +) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 9 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU Cho đồ 1 thị hàm số 2 y = −
x(x − 3) có hình vẽ 3 y 4 3 x O 1 1 3 2 3 4 2 2  1 3 
Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng ;   ?  2 2 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………  3 
Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại đó hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng ; 4   ?  2 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Giả sử hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng ( ;
a b) ( a có thể là − , b có thể là + ) và x  ; a b . 0 ( )
Nếu tồn tại số h sao cho f ( x)  f ( x với mọi x ( x − ;
h x + h và x  x thì ta nói hàm số f ( x) đạt 0 0 ) 0 ) 0
cực đại tại điểm x . 0
Nếu tồn tại số h sao cho f ( x)  f ( x với mọi x ( x − ;
h x + h và x  x thì ta nói hàm số f ( x) đạt 0 0 ) 0 ) 0
cực tiểu tại điểm x . 0 Chú ý:
Nếu f '(x )  0 thì x không phải là điểm cực trị. 0 0 Trang 10 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x , thì x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f ( x), 0 0
f ( x được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ( x). 0 )
Nếu hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x , x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x), 0 0
f ( x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x). 0 )
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là
một điểm trong tập xác định K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).
II - ĐIẾU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ ĐỊNH LÝ 1
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K = ( x − ;
h x + h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 0 0 ) , với h  0 .  
a) Nếu f (x)  0 trên khoảng ( x − ; h x
và f (x)  0 trên khoảng ( x ; x + h thì x là một điểm cực 0 0 ) 0 0 ) 0
đại của hàm số f (x) .  
b) Né́u f (x)  0 trên khoảng ( x − ; h x
và f (x)  0 trên khoảng ( x ; x + h thì x là một điểm cực 0 0 ) 0 0 ) 0
tiêu của hàm số f (x) .
Ví du 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số 3 2
y = x − x − x + 3 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
III - QUY TẮC TÌM CỰC TRI
Áp dụng Định lí 1 , ta có quy tắc tìm cực trị sau đây. QUY TẮC I
Bước 1. Tìm tập xác định. Bướ   
c 2. Tính f (x) . Tìm các điếm tại đó f (x) bằng 0 hoặc f (x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ báng biến thiên suy ra các diểm cực trị. Trang 11 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Ví dụ 2: Tìm cực trị của các hàm số sau : x +1 3
1) y = x − 3x +1 4 2
2) y = −x + 4x + 2 3) y = 2x − 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ĐỊNH LÍ 2
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x − ;
h x + h , với h  0 . Khi đó : 0 0 )  
a) Nếu f ( x = 0, f x
 0 thì x là điểm cực tiểu : 0 ) ( 0) 0  
b) Nếu f ( x = 0, f x
 0 thì x là điểm cực đại. 0 ) ( 0) 0
Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số. QUY TẮC II
1. Tìm tập xác định.  
2. Tính f (x) . Giải phương trình f (x) = 0 và kí hiệu x (i = 1, 2,, n) là các nghiệm của nó. i  
3. Tính f (x) và f ( x . i ) 
4. Dựa vào dấu của f ( x suy ra tính chất cực trị của điểm x . i ) i 4 x
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số 2 f (x) = − 2x + 6 . 4
…………………………………………………………………………………………………… Trang 12 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… CHÚ Ý
- Giá trị cực đại (cực tiểu) f x của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ 0
nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà f x chỉ là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm 0
số f trên khoảng , a b K và , a b chứa x . 0
- Nếu f x không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f không có cực trị.
- Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x và 0 0
điểm có tọa độ x ; f x
được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . 0 0 B. BÀI TẬP DẠNG 1 1. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giá trị cực tiểu y của hàm số 3
y = −x + 3x − 4 . CT
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số 4 2
y = x − 2x + 3 . 2 x + 4
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = . x
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số 2
y = x + 2x − x .
2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Giá trị cực đại y của hàm số 3
y = x − 3x + 2 là? CD A. y = 4. B. y =1. C. y = 0 . D. y = 1. − CD CD CD CD Câu 2:
Tìm điểm cực trị x của hàm số 3 2
y = x − 5x + 3x +1 . 0 1 10 A. x = 3 − hoặc x = − .
B. x = 0 hoặc x = . 0 0 3 0 0 3 Trang 13 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 10 1
C. x = 0 hoặc x = − .
D. x = 3 hoặc x = . 0 0 3 0 0 3 Câu 3:
Tìm điểm cực đại x của hàm số 3
y = x − 3x +1. 0 A. x = 1 − . B. x = 0 . C. x = 1. D. x = 2 . 0 0 0 0 Câu 4:
Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số 3 2
y = x − 3x . A. (0;0) hoặc (1; 2 − ) .
B. (0;0) hoặc (2; 4) . C. (0;0) hoặc (2; 4 − ) . D. (0;0) hoặc ( 2 − ; 4 − ). Câu 5: Biết rằng hàm số 3 2
y = x + 4x − 3x + 7 đạt cực tiểu tại x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? CT 1 1 A. x = . B. x = 3 − . C. x = − . D. x =1. CT 3 CT CT 3 CT Câu 6:
Gọi y , y lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 3
y = x − 3x . Mệnh đề nào CD CT sau đây là đúng? 3 A. y = 2y . B. y = y . C. y = y . D. y = −y . CT CD CT CD 2 CT CD CT CD Câu 7:
Gọi y , y lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 3 2
y = x − 3x − 9x + 4 . Tính 1 2
P = y .y . 1 2 A. P = 302 − . B. P = 82 − . C. P = 207 − . D. P = 25 . Câu 8: Cho hàm số 4 2
y = −x + 2x + 3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. DẠNG 2 1. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Trang 14 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có ba giá trị cực trị.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục tại x và có bảng biến thiên sau: 0
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y -1 O 1 x -1 -2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên đoạn  2
− ;2 và có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ bên. Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? Trang 15 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. x = 2 − . B. x = 1 − . C. x = 1 . D. x = 2. 2 3 5
Ví dụ 6: Biết rằng hàm số f ( x) có đạo hàm là f '( x) = x ( x − )
1 ( x − 2) ( x − 3) . Hỏi hàm số f ( x) có
bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = −1..
B. Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.
C. Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x = − 2. .
D. Hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại điểm x = − 2 .
2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên
\ x , có bảng biến thiên như sau: 1
Khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 16 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho không có cực trị.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Câu 2:
Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau:
Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. . B. 3. . C. 4. . D. 2. Câu 3:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 4:
Hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 5:
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Trang 17 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai y 2 -1 O 1 x A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 6:
Hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ( x) trên
khoảng K . Hỏi hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0. . B. 1. . C. 2. . D. 4. DẠNG 3 1. Các ví dụ 1
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số 3 2 y = x − mx + ( 2
m − 4) x + 3 đạt cực đại tại điểm x = 3. 3
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
f (x) = x − 3mx + (m −1)x + 2 . Tìm m để hàm số đạt cụcc tiểu tại x = 2 .
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 3 2
f (x) = x − 3x + mx −1 có hai điểm cực trị. Gọi x , x là hai điểm cực trị đó, 1 2 tìm m để 2 2 x + x = 3 . 1 2
Ví dụ 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số 4
y = x + (m − ) 2 2
2 x + 3m − 2 có ba điểm cực trị.
2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3mx + 6mx + m có hai điểm cực trị.
A. m  (0; 2) . B. m  (− ;  0)(8;+) . C. m  (− ;  0)(2;+).
D. m  (0;8) . m Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 y =
x + x + x + 2017 có cực trị. 3
A. m  (−  ;1 . B. m  (− ;  0)(0 ) ;1 . Trang 18 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai C. m  (− ;  0)(0  ;1 .
D. m  (− ) ;1 . Câu 3:
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − ) 3 2
3 x − 2mx + 3 không có cực trị. A. m = 3 .
B. m = 0 , m = 3 . C. m = 0 . D. m  3 . 1 1 Câu 4: Cho hàm số 3 y = x − (3m + 2) 2x +( 2 2m + 3m + )
1 x − 4 . Tìm giá trị thực của tham số m để hàm 3 2
số có hai điểm cực trị là x = 3 và x = 5 . A. m = 0 . B. m = 1. C. m = 2 . D. m = 3 . Câu 5: Biết rằng hàm số 3 2
y = ax + bx + cx (a  0) nhận x = 1
− là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a + c = b .
B. 2a − b = 0 .
C. 3a + c = 2b .
D. 3a + 2b + c = 0 . Câu 6: Biết rằng hàm số 3 2
y = 3x − mx + mx − 3 có một điểm cực trị x = 1
− . Tìm điểm cực trị còn lại 1 x của hàm số. 2 1 1 1 A. x = . B. x = . C. x = − . D. x = 2 − m − 6. 2 4 2 3 2 3 2 1 Câu 7: Cho hàm số 3 2 y = x − mx + ( 2
m − 4) x + 5 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m 3
để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 − . A. m = 1. . B. m = 3 − .
C. m = 1, m = 3 − . D. 3 −  m 1. DẠNG 4 1. Các ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua diểm M ( 1
− ;1) và vuông góc với dường thẳng di qua diểm cực trị của 3 2
(C) : y = x − 6x + 9x − 2 .
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
y = x − 3x − 3m(m + 2)x −1 (1) (m là tham s? th?c).
1) Tìm m để hàm số (1) có hai cụ ̣c trị cùng dấu.
2) Khi đồ thị hàm số có hai diểm cực trị, hãy viết phương trình dường thẳng di qua hai diểm cực trị đó.
2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 y = 2 − x + 3x +1.
A. y = x −1.
B. y = x +1.
C. y = −x +1.
D. y = −x −1. Câu 2: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x − 9x + m . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. A. y = 8 − x + m . B. y = 8
− x + m − 3 . C. y = 8 − x + m + 3 . D. y = 8
− x − m + 3 . Trang 19 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 3:
Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (2m − )
1 x + 3 + m vuông góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x +1. 1 3 1 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 4 4
A. DẠNG 5. BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH ĐIỂM 8+,9+
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số g ( x) = f ( 2
3 − x ) đạt cực tiểu tại điểm
A. x = 0.
B. x = 2. C. x = 2.  D. x = 2. −
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
. Hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Số cực trị của hàm số h ( x) = f ( 2 x − 2x) là A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
, hàm số y = f ( x − 2) có đồ thị như hình
dưới. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Trang 20 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
có đồ thị y = f ( x − 2) như hình vẽ. Số điểm cực trị của
hàm số y = 2 f ( x − 3) − 4 là A. 4. B. 5. C. 3. D. 2.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 21 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.PHẦN KIỂM TRA KIẾN THỨC
B.PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D .
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên tập D nếu f ( x)  M với mọi
x thuộc D và tồn tại x  D sao cho f ( x = M . o ) o
Kí hiệu M = max f ( x) D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên tập D nếu f ( x)  m với mọi x
thuộc D và tồn tại x  D sao cho f ( x = m . o ) o
Kí hiệu m = min f ( x) D
➢ VD1:Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn  1 − ; 
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M
và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1 − ;  3 . Giá trị
của M − m bằng A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 0 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn  2
− ; 6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trang 22 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  2 − ; 6. Giá
trị của P = M − m bằng
A. P = 9 . B. P = 8 − . C. P = 9 − . D. P = 8 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II. CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN MỘT ĐOẠN 1. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Bước 1: Tìm các điểm x ; x ;...; x trên khoảng ( ; a b) , 1 2 n
tại đó f ( x) = 0 hoặc f ( x) không xác định.
Bước 2: Tính f (a); f (b); f (x ; f x ;...; f x . 1 ) ( 2) ( n)
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Bước 4: Kết luận M = max f ( x) ; m = min f ( x) . a;b a;b 2.1. Nhận xét
a) Nếu đạo hàm f ( x) giữ nguyên dấu trên đoạn  ;
a b thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
trên cả đoạn. Do đó, f ( x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn  ;ab.
b) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x x  x
mà tại đó f ( x) bằng 0 hoặc không xác i ( i i 1 + )
định thì hàm số y = f ( x) đơn điệu trên mỗi khoảng ( x ; x
. Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị i i 1 + ) Trang 23 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn  ;
a b là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số
tại hai đầu mút a,b và tại các điểm x nói trên. i
c) Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. 3. Ví dụ
➢ VD3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 4 2
= x −10x + 2 trên đoạn  1 − ;2 bằng A. 2 . B. 23 − . C. 22 − . D. 7 − .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD4: Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + 2 trên đoạn  3 − ;  3 là A. 4 . B. 16 − . C. 20 . D. 0 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… − ➢ 3x 1
VD5: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 0; 2 x − trên đoạn   3
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3x −1 y =
0; 2 . Tính giá trị của P = M .m bằng x − trên đoạn   3 5 1 14
A. P = − . B. P = . C. P = 5 − . D. M = − 3 3 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 24 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
➢ VD6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 y =
4 − x trên tập xác định. A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
III. ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN CHO TRƯỚC
1.BÀI TOÁN. ĐỊNH GIÁ TRỊ THAM SỐ ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm x (i =1,2,... của y ' = 0 thuộc  ; a b i )
Bước 2. Tính các giá trị f (x ); f (a); f b theo tham số i ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận. Lưu ý:
a) Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn  ; a b thì
Max f ( x) = f (b); Min f ( x) = f (a) a;b a;b
b) Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn  ; a b thì
Max f ( x) = f (a); Min f ( x) = f (b) a;b a;b 2. Ví dụ + ➢ x m
VD7: Cho hàm số y =
min y = 3. Mệnh đề nào x −
(Với m là tham số thực) thỏa mãn 1 2;4 dưới đây đúng?
A. m  4 .
B. 3  m  4 . C. m  1 − .
D. 1  m  3 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 25 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai + ➢ x m 16
VD8: Cho hàm số y =
(Với m là tham số thực) thoả mãn min y + max y = . x +1 1;2 1;2 3
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m  4 .
B. 2  m  4 .
C. m  0 .
D. 0  m  2 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ VD9: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − m (với m là tham số thực). Trên  1 − ;  1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1
− . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m ? A. m = 6 − . B. m  3 − . C. m = 4 − .
D. 1  m  3 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ 1
VD10: Một vật chuyển động theo quy luật 3 2
s = − t + 6t với t (giây) là khoảng thời gian 3
tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận
tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 243 (m/s). B. 27 (m/s). C. 144 (m/s). D. 36 (m/s).
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN I. TỰ LUẬN
Bài 1: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 3 2
y = x − 3x − 9x + 35 trên các đoạn  4 − ;4 và 0;5 ; b) 4 2
y = x − 3x + 2 trên các đoạn 0;  3 và 2;5 ; Trang 26 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2 − x c) y = 2; 4 và  3 − ; 2 − ; 1− trên các đoạn   x
d) y = 5 − 4x trên đoạn  1 − ;  1 .
Bài 2: Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài 3: Trong tát cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 2
48 m , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau: 4 a) y = 2 1+ ; x b) 3 4
y = 4x − 3x ; c) y = x ; 4 d) y = x + (x  0) . x II. TRẮC NGHIỆM Câu 1.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn  1 − ; 
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1 − ; 
3 . Giá trị của M − m là A. 2. B. 4. C. 6. D. 5. Câu 2.
Cho hàm số f ( x) liên tục trên  1
− ;5 và có đồ thị trên đoạn  1
− ;5 như hình vẽ bên dưới.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn  1 − ;5 bằng Trang 27 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 1 − . B. 4 . C. 1. D. 2 . Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục và có đồ thị trên đoạn  2
− ; 4 như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn  2 − ; 4 bằng A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. 2 − . Câu 4.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  1 − ; 
3 như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. max f ( x) = f (0) .
B. max f ( x) = f (3) . C. max f ( x) = f (2) . D. max f ( x) = f (− ) 1 .  1 − ;  3  1 − ;  3  1 − ;  3  1 − ;  3 Câu 5.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên  3
− ;2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn  1
− ; 2. Tính M + m. Trang 28 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Câu 6.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 4 trên đoạn 0;2. A. min y = 2 . B. min y = 0 . C. min y = 1 .
D. min y = 4 . 0;2 0;2 0;2 0;2 Câu 7.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2
y = x − 8x +18 trên đoạn  1 − ;  3 bằng A. 2 . B. 11. C. 27 . D. 1. 2 x − 4x Câu 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 0;3 . 2x + trên đoạn   1 3 A. min y = 0 . B. min y = − . C. min y = 4 − . D. min y = 1 − . 0; 3 0; 3 7 0; 3 0; 3 − f ( x) x 1 =
M = max f ( x) m = min f ( x) Câu 9. Cho hàm số x +1 . Kí hiệu 0;2 , 0;2
. Khi đó M + m bằng: −4 −2 2 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3
Câu 10. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2x − 4 6 − x trên  3
− ; 6. Tổng M + m có giá trị là A. 12 − . B. 6 − . C. 18. D. 4 − . Câu 11. Cho hàm số 3 y = x + ( 2 2 m + )
1 x + 3 + m ( với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị thực của tham số m để hàm số có max y − 3min y = 9 . Tổng các phần tử của S là 0; 1 0; 1 A. 2 . B. 3 − . C. 1. D. 1 − .
Câu 12. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 4 − x + m là 3 2 . Giá trị của m là 2 A. m = 2 . B. m = 2 2 . C. m = . D. m = − 2 . 2 3sinx + 2
Câu 13. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx + trên đoạn 1    0 ; 
 . Khi đó giá trị của 2 2
M + m là  2  31 11 41 61 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 4
Câu 14. Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có
dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Trang 29 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 3 1, 01 m . B. 3 0,96 m . C. 3 1,33 m . D. 3 1,51 m .
Câu 15. Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời v (t ) phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số v (t ) 4 2 = t − 8 + t 5
+ 00 ( m / s). Trong khoảng thời gian t = 0( s) đến t = 5( s) chất điểm đạt vận
tốc lớn nhất tại thời điểm nào? A. t =1 .
B. t = 4 .
C. t = 2 . D. t = 0 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 30 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 1. Định nghĩa
➢ VD MỞ ĐẦU: Quan sát đồ thị (C) của hàm số f ( x) 1
= + 2 ở hình vẽ dưới đây: x
Nêu nhận xét về khoảng cách từ điểm M ( x; y) (C ) đến đường thẳng  : y = 2 khi x → + và
kiểm tra nhận xét trên bằng cách tính giới hạn.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng
(a; +), ( −;b) hoặc (−; + )). Đường thẳng y = y được gọi là đường tiệm cận ngang (hay 0
tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f ( x) = y hoặc lim f ( x) = y 0 0 x→+ x→−
➢ Chú ý: Nếu lim f ( x) = lim f ( x) = l thì ta viết chung là lim f ( x) = l . x→+ x→− x→ ➢ Minh họa Khi x → − Khi x → + Trang 31 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2. Ví dụ 2 + ➢ x 1
VD1: Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ? x − 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 1. Định nghĩa:
Đường thẳng x = x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0
y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn
lim f ( x) = + ,
 lim f (x) = + + − x→ → 0 x x 0 x
lim f ( x) = − ,
 lim f (x) = − + − x→ → 0 x x 0 x ➢ Minh họa: 2. Ví dụ − ➢ 2x 3
VD1: Tìm các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = ? x + 2
…………………………………………………………………………………………………… Trang 32 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD2: Tìm số đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 2 x − 2x − 3 y = ? 2 x − 9
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 30 -SGK: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: x a) y = ; 2 − x −x + 7 b) y = ; x +1 2x − 5 c) y = ; 5x − 2 7 d) y = −1. x
Bài 2 trang 30 - SGK: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số: 2 − x a) y = ; 2 9 − x 2 x + x +1 b) y = ; 2 3 − 2x − 5x 2 x − 3x + 2 c) y = ; x +1 x +1 d) y = . x −1
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1.
[Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x) có lim f ( x) = 0 và lim f ( x) = + . Mệnh đề nào sau đây x→+ x→− là đúng?
A. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
B. Đồ thị hàm số y = f ( x) không có tiệm cận ngang. Trang 33 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
C. Đồ thị hàm số y = f ( x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0.
D. Đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía trên trục hoành. 5 Câu 2.
[Mức độ 1] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
là đường thẳng có phương trình? x −1
A. y = 5 .
B. x = 0 .
C. x = 1 .
D. y = 0 . 2 x − x + 2 Câu 3.
[Mức độ 2] Đồ thị hàm số y =
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 5 − x − 2x + 3 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. x + x Câu 4.
[Mức độ 2] Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 x −1 bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 5.
[Mức độ 3] Khoảng cách từ điểm A( 5 − )
;1 đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 1− x y = là: 2 x + 2x A. 5 . B. 26 . C. 9. D. 1. Câu 6.
Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.
Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3 . B. 4 . C. 0 . D. 2 . Câu 1.
[Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x) có lim f ( x) = 1 và lim f ( x) = 1
− . Khẳng định nào sau x→+ x→−
đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là x = 1 và x = 1 − .
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là y = 1 và y = 1 − . 2x − 3 Câu 2.
[Mức độ 1] Đồ thị hàm số y =
có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt x −1 là
A. x = 2 và y = 1.
B. x = 1 và y = 3 − . C. x = 1
− và y = 2 . D. x =1 và y = 2 . Trang 34 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2 x − 3x + 2 Câu 3.
[Mức độ 2] Đồ thị hàm số y =
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 x −1 A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 x +1 Câu 4.
[Mức độ 2] Cho hàm số y =
. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 2 x − 2x − 3
hàm số đã cho là: A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. x −1 Câu 5.
[Mức độ 3] Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y = có ba 2 2
x + 2mx + 3m − m −1
đường tiệm cận? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 7 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 35 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH Kiểm tra bài cũ:
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên ➢ Tính y ' .
➢ Tìm các điểm tại đó y ' = 0 hoặc y ' không xác định.
➢ Tìm các giới hạn đặc biệt và tiệm cận (nếu có).
➢ Lập bảng biến thiên.
➢ Ghi kết quả về khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số. 3. Đồ thị
➢ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
➢ Xác định tính đối xứng của đồ thị (nếu có).
➢ Xác định tính tuần hoàn (nếu có) của hàm số.
➢ Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ.
II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC, HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 3 2 y = ax + x b + x
c + d (a  0) 1. Ví dụ
➢ VD 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x − 4 Lời giải
+ Tập xác định: D = + Đạo hàm: 2
y ' = 3x + 6x x = 2 − y ' = 0   x = 0
+ Giới hạn: lim y = − ;  lim y = + x→− x→+ + BBT + Khoảng đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên (− ;  2 − ),(0;+) Trang 36 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Hàm số nghịch biến trên ( 2 − ;0) + Cực trị:
Hàm số đạt CĐ tại x = 2 − với y = 0 D C
Hàm số đạt CT tại x = 0 với y = 4 − CT +Đồ thị: Giao với trục Oy: (0; 4 − ) Giao với trục hoành: ( 2 − ;0);(1;0)
➢ Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 3 2
y = −x + 3x − 4x + 2; Lời giải
+ Tập xác định: D = + Đạo hàm: 2 y ' = 3
− (x −1) −1 0, x  
+ Giới hạn: lim y = + ; lim y = − x→− x→+ + BBT + Khoảng đơn điệu:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ;  +)
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị. + Đồ thị: Giao với trục Oy: (0; 2)
Giao với trục hoành: (1; 0) Trang 37 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 3 ➢ x
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 y = − x + x +1 3 Lời giải
+ Tập xác định: D = + Đạo hàm: 2
y ' = x − 2x +1  0, x   1
y ' = 0  x = 1
+ Giới hạn: lim y = − ; lim y = + x→− x→+ + BBT: + Đồ thị:
➢ Ví dụ 4: Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được
liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D? Trang 38 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 3
y = −x + 3x −1. B. 3
y = x − 3x +1. C. 3 2
y = x − 3x −1. D. 3
y = x + 3x +1.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ Ví dụ 5: Cho hàm số 3
y = x − 3x + 2 . Đồ thị của hàm số là hình vẽ nào bên dưới? A. B. C. D.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 39 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
2. Minh hoạ đồ thị của hàm số bậc 3
Chú ý: Điểm đối xứng của hàm bậc 3 là:……………………………………………….
3. Bài tập củng cố: Câu 1.
Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D? A.. 3 2 y = 2
− x − 3x +12x . B. 3 2
y = 2x + 3x −12x . C. 4 2 y = 2
− x − 3x +12. . D. 3 2
y = 2x − 3x +12. Câu 2.
Trong 4 đồ thị được cho trong 4 hình A, B, C, D dưới đây, đồ thị nào là đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x – 2 ? y y y y Hình A 3 2 Hình B 3 1 2 1 x 2 x -2 -1 0 1 2 1 x -2 -1 0 1 2 1 -1 x -3 -2 -1 1 2 0 -1 -2 0 -1 -2 -1 1 2 -2 -1 -2 -3 -3 Hình C Hình D A. Hình A. B. Hình B. C. Hình C. D. Hình D. Trang 40 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 3.
Đồ thị trong hình là của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án ,
A B,C và D . Hàm số đó là hàm số nào ? A. f ( x) 3 2
= −x − 3x − 3 . B. f ( x) 3 2
= −x − 3x + 3. C. f ( x) 4 2
= −x − 3x + 3 . D. f ( x) 3 2 = x − 3x + 3. Câu 4. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 . Câu 5. Cho hàm số ( ) 3 2
f x = x + ax + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1 , f ( ) 1 = 3
− và đồ thị hàm số cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tính T = a + b + c A.T = 9. B. T=1. C. T=-2. D. T= -4. Câu 6. Cho hàm số 3 2
y = ax + bx + cx +1 có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. b  0, c  0 . B. b
 0, c  0 .
C. b  0, c  0 .
D. b  0, c  0 .
Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương 4 2
y = ax + bx + c (a  0). 1. Ví dụ
➢ VD 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 2
y = x − 2x − 3. Lời giải:
+ Tập xác định: D = + Đạo hàm: 3
y ' = 4x − 4x Trang 41 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai  x = 0 y ' = 0   x = 1 
+ Giới hạn tại vô cực: lim y = + ; lim y = + x→− x→+ + BBT:
+ Hàm số nghịch biến trên (−; −1) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên ( 1 − ;0),(1;+) + Cực trị: CT ( 1  ;− 4) CĐ (0;− 3) + Đồ thị: 4 ➢ x 3
VD 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 y = − − x + . 2 2 Lời giải:
+ Tập xác định: D = + Đạo hàm: 3 y ' = 2 − x − 2x
y ' = 0  x = 0
+ Giới hạn tại vô cực: lim y = − x→ + BBT: Trang 42 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
+ Hàm số nghịch biến trên (0; +) và đồng biến trên khoảng ( ; − 0) + Cực trị: CĐ 3 (0; ) 2 + Đồ thị: 4 2 ➢ = − −
VD 3: Hàm số y x 2x
1 có dạng đồ thị nào trong các đồ thị sau đây ? A. B. C. D.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD 4: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào? A. 4 2
y = x − 2x +1. B. 4 2
y = −x + 2x −1. C. 4 2
y = x − 2x −1. D. 4 2
y = x − x −1.
…………………………………………………………………………………………………… Trang 43 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Minh hoạ đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương
➢ Chú ý: Hàm số trùng phương là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
3. Bài tập củng cố Câu 1.
Đồ thị hình bên dưới là của hàm số nào? A. 4 2
y = −x + 3x +1 . B. 4 2
y = x − 2x +1. C. 4 2
y = −x + 2x +1 . D. 4 2
y = x + 3x +1. Câu 2.
Bảng biến thiên bên dưới là của hàm số nào? Trang 44 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 A. 4 2
y = x − 3x − 3. B. 4 2 y = −
x + 3x − 3. 4 C. 4 2
y = x − 2x − 3 D. 4 2
y = x + 2x − 3. Câu 3. Hàm số 4 2
y = −x − 2x + 3 nghịch biến trên khoảng nào? A. (−;0). B. ( 1 − ;0). C. . D. ( 0; + ). Câu 4. Hàm số 4 2
y = −x + 2x −1 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 5. Cho hàm số 4 2
y = ax + bx ( a  0) có bảng biến thiên dưới đây. Tính P = a − 2b A. P =3. B. P = 5. C. P = -2. D. P = 2.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 45 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 1
§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ (Tiếp)
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH +  ax b
Dạng : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
(c  0, ad − bc  0) cx + d
1. Kiểm tra bài cũ: 2. VD MỞ ĐẦU: − ➢ x 1 VD1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x + 2 3 Tập xác định D = \ −  2 Đạo hàm: y =    ( , x D . x + 2) 0 2 x −1 x −1
Tiệm cận đứng x = 2 − vì lim = + , lim = − − + x→( 2 − ) x + 2 x→( 2 − ) x + 2 x −1
Tiệm cận ngang y = 1 vì lim =1. x→ x + 2 Bảng biến thiên + Đồ thị − + ➢ x 2
VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x +1 3 − Tập xác định D = \ −  1 ; Đạo hàm: y =    ( , x D . x + ) 0 2 1 Trang 46 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai −x + 2 −x + 2
Tiệm cận đứng x = 1 − vì lim = − , lim = + − + x→(− ) 1 x +1 x→(− ) 1 x +1 −x + 2
Tiệm cận ngang y = 1 − vì lim = 1 − . x→ x +1 Bảng biến thiên Đồ thị
2. Tính chất và dạng đồ thị.  d 
Tập xác định: D = R \ −   c  − Đạ ad bc o hàm: y = ( cx + d )2
Nếu ad − bc  0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
Nếu ad − bc  0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3. Đồ a thị hàm số có: TCĐ: d x = − và TCN: y = c c  b 
Giao với trục Oy tại điểm 0; .    d    Đồ d a
thị có tâm đối xứng: I − ;    c c  ax + b
Dạng đồ thị của hàm số y =
, (c  0;ab − bc  0) cx + d Trang 47 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Khi ad − bc  0
Khi ad − bc  0 B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK: mx −1
Bài 6 trang 44 SGK: Cho hàm số y = 2x + m
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm A ( 1 − ; 2 )
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2
II. Bài tập trắc nghiệm củng cố: Câu 1.
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ ? x + 3 2x +1 A. 4 2
y = −x + 3x +1 . B. y = . C. 3 2
x + 3x + 4 . D. y = . x +1 x +1 Câu 2.
Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 2x + 3 2x −1 x − 3 2x − 3 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x −1 x −1 x − 2 x −1 Trang 48 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai ax − b Câu 3. Cho hàm số y = như hình vẽ. x −1
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. 0  a  b .
B. b  0  a .
C. 0  b  a .
D. b  a  0 . ax + b Câu 4. Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là cx + d đúng?
A. ac  0 , ab  0
B. ad  0 , bc  0 .
C. cd  0 , bd  0 .
D. ad  0 , bc  0 . + Câu 5. Cho hàm số y = ax b f (x) =
có đồ thị hàm số f ( x) như trong hình vẽ dưới đây: cx + d
Biết rằng đồ thị hàm số f (x) đi qua điểm A(0; 4) . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. f ( ) 1 = 6 . B. f ( ) 11 2 = . C. f ( ) 7 1 = .
D. f (2) = 2 . 2 2
III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ 1. Lý thuyết:
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C ) và y = g(x) có đồ thị (C ) . 1 2 Trang 49 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình
y = f (x) 
 f (x) = g(x)
y = g(x)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và (C ) là f (x) = g(x) ( ) 1 . 1 2
Số nghiệm đơn của (1) đúng bằng số giao điểm của (C ) và (C ) 1 2
2. Phương pháp tìm tọa độ giao điểm hoặc số giao điểm của của hai đồ thị
➢ Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f (x) = g(x) (1)
➢ Giải phương trình (1) ➢ Khi đó:
- Số giao điểm của (C ) và (C ) bằng với số nghiệm đơn của phương trình (1). 1 2
- Nghiệm x của phương trình ( )
1 chính là hoành độ x của giao điểm. 0 0
➢ Chú ý: Nếu x là nghiệm kép của (1) thì x là hoành độ tiếp điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) 0 0
và y = g ( x) .
- Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ x vào y = f ( x) hoặc y = g ( x) . 0 0
- Điểm M ( x ; y là giao điểm của (C ) và (C ) . 0 0 ) 1 2 2. Ví dụ
➢ VD1: Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y = x − x +1 và đồ thị hàm số 2
y = x − x +1 là
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… − ➢ x 1
VD2: CMR đồ thị (C) của hs y =
luôn cắt đường thẳng (d) y = m − x với mọi m . x +1 Trang 50 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… VD3:
a) Vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x − 2
b) Sử dụng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 3 2
x + 3x − 2 = m
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD4: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: Trang 51 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x) − 3 = 0 là A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK: Bài 5 trang 44 SGK:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số : 3
y = −x + 3x +1
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau: 3
x − 3x + m = 0 (1)
II. Bài tập trắc nghiệm củng cố: Câu 1.
Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? 4x +1 2 − x + 3 2x − 3 3x + 4 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x + 2 x +1 x −1 x −1 Câu 2.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thi (C ) như hình vẽ
Số nghiệm phân biệt của phương trình f ( x) 1 = là: 2 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Câu 3.
Đường thẳng y = 4x − 2 và đồ thị hàm số 3 2
y = x − 2x + 3x có tất cả
bao nhiêu giao điểm? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. 2 x − x −1 Câu 4.
Đường thẳng y = 2x −1 có bao nhiêu điểm chung với đồ thị hàm số y = x + . 1 A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Trang 52 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai x − 2 Câu 5. Cho hàm số y =
(C) và đường thẳng d : y = −x + m. Đường thẳng d cắt x −1 m m
(C) tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị của m là:
A. m = 2 .
B. Không tồn tại m .
C. m = 1. D. m = 0 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1.
Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. 3 2
y = −x − 3x + 2 . B. 3 2
y = x − 3x + 2 . C. 3 2
y = x + 3x − 2 . D. 3 2
y = −x + 3x + 2 . Câu 2.
Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. 3 2
y = −x − 3x − 3x . B. 3 2
y = −x + 3x − 3x . C. 3 2
y = x + 3x − 3x . D. 3 2
y = x − 3x + 3x . Câu 3. Đồ thị hàm số 3
y = x − 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây? y 4 y 4 3 2 1 -2 x O 1 x O -1 1 2 -1 -1 A. Hình 1. B. Hình 2. Trang 53 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai y y 3 -1 1 x O 1 -1 O x 1 -2 -1 -4 C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 4.
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? y 2 1 x O 1 A. 3
y = x − 3x +1. B. 3 2
y = −x + 3x +1. C. 3 2
y = x − 3x + 3x +1. D. 3 2
y = −x − 3x −1. Câu 5.
Bảng biến thiên ở hình bên dưới là bảng biến thiên của một trong bốn hàm số ở các đáp án A, B, C,
D. Hàm số đó là hàm số nao? 2x −1 2x − 3 x +1 2x − 5 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x −1 x −1 2x −1 x +1 Câu 6.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Trang 54 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai y 2 x -2 -1 0 1 -1 2x −1 2x +1 2x +1 1− 2x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x +1 x −1 x +1 x −1 Câu 7.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? y 1 -1 1 0 x -1 A. 4 2
y = x − 3x +1 .B. 4 2
y = x + 2x . C. 4 2
y = x − 2x . D. 4 2
y = −x − 2x . Câu 8.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? y 1 1 0 x A. 4 2
y = x − 2x +1. B. 4 2
y = x − 2x +1. C. 4 2
y = x − 3x +1 . D. 4 2
y = −x − 2x +1. Câu 9. Cho hàm số (C ) 4 2
: y = x + 2x −1. Đồ thị hàm số (C ) là đồ thị nào trong các đồ thị sau? Trang 55 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. B. C. D.
Câu 10. Giả sử đồ thị của hàm số 4 2
y = x − 2x −1 là (C ) , khi tịnh tiến (C ) theo Ox qua trái 1
đơn vị thì sẽ được đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C,
D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 4 2 A. 4 2
y = x − 2x .
B. y = ( x − ) 1 − 2 ( x − ) 1 −1. 4 2 C. 4 2
y = x − 2x − 2 .
D. y = ( x + ) 1 − 2( x + ) 1 −1 .
HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG PHIẾU HỌC TẬP 2
Câu 11. Giả sử hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị là hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. a  0, b  0, c = 1 .
B. a  0, b  0, c = 1.
C. a  0, b  0, c = 1 .
D. a  0, b  0, c  0 .
Câu 12. Cho hàm số bậc 3 có dạng: 3 2
y = f (x) = ax + bx + cx + d . Trang 56 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai y y 2 2 O 1 -1 x x -1 O 1 -2 -2 I) II) y y 1 2 x O 1 x -1 O 1 (III) (IV)
Hãy chọn đáp án đúng?
A. Đồ thị (IV) xảy ra khi a  0 và f (
 x) = 0 có nghiệm kép.
B. Đồ thị (II) xảy ra khi a  0 và f (
 x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
C. Đồ thị (I) xảy ra khi a  0 và f (
 x) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
D. Đồ thị (III) xảy ra khi a  0 và f (
 x) = 0 vô nghiệm. Câu 13. Cho hàm số 3 2
y = x − 6x + 9x có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? y y 4 4 2 x O 3 x 1 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 Hình 1 Hình 2 3 2 3
A. y = x + 6 x + 9 x . B. 2
y = x − 6x + 9 x . C. 3 2
y = x − 6x + 9x . D. 3 2
y = −x + 6x − 9 . x Câu 14. Cho hàm số 3 2
y = x + 3x − 2 có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây? Trang 57 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai y y 2 2 x -2 -1 O 1 x -3 -1 -2 O 1 -2 Hình 1 Hình 2 3 2 A. 3 2
y = −x − 3x + 2.
B. y = x + 3 x − 2. 3 C. 2
y = x + 3x − 2 . D. 3 2
y = x + 3x − 2 . x +1
Câu 15. Đồ thị hàm số y =
là hình vẽ nào trong các hình vẽ sau: x −1 y y A. B. 1 -1 0 1 x -2 0 1 x y y 2 C. D. 1 x -2 -1 1 -1 0 1 x
Câu 16. Đồ thị của hàm số 4 2
y = x − 2x −1 là đồ thị nào trong các đồ thị sau A. B. Trang 58 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai C. D.
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 3 2
x − 3x + 4 + m = 0 nghiệm duy nhất
lớn hơn 2 . Biết rằng đồ thị của hàm số 3 2
y = −x + 3x − 4 là hình bên.
A. m  0. B. m  4. − C. m  4. − D. m  4
− hoặc m  0.
Câu 18. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình 4 2
x − 2x − m + 3 = 0 có bốn nghiệm phân biệt là
A. 2  m  3.
B. 2  m  3.
C. m  2.
D. m  2. 2x +1
Câu 19. Cho hàm số y =
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = x + m . Giá trị của tham số x +1
m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho AB = 10 là
A. m = 0 hoặc m = 6.
B. m = 0.
C. m = 6.
D. 0  m  6. 2 x − x +1
Câu 20. Cho đồ thị (C ) : y =
và đường thẳng d : y = m . Tất cả các giá trị tham số m x −1
để (C ) cắt d tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB = 2 là
A. m = 1+ 6.
B. m = 1− 6 hoặc m = 1+ 6.
C. m = 1− 6.
D. m  1 hoặc m  3 . PHIẾU HỌC TẬP Câu 1.
PHIẾU HỌC TẬP 3 Đường cong hình dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x +1 x −1 A. 3 2
y = x − 3x + 2 . B. y = . C. 4 2
y = x − 2x −1. D. y = . x −1 x +1 Trang 59 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 2.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như đường cong hình dưới. Phương trình f ( x) = 1 có bao nhiêu nghiệm ? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Câu 3.
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ ∞ x 2 +∞ y' 2 +∞ y ∞ 2 2x − 5 2x −1 2x − 3 x + 3 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x − 2 x − 2 x + 2 x − 2 x −1 Câu 4.
Biết rằng đường thẳng y = 2
− x −1 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân x +1
biệt; hoành độ các giao điểm là A. 1 − và 3. B. 1 − và 0. C. 2 − và 3. D. 2 − và 0. Câu 5.
Số giao điểm của đồ thị hàm số 3
y = x − x + 4 với đường thẳng y = 4 là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 6.
Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực m để phương
trình f ( x) +1 = m có ba nghiệm phân biệt.
A. 0  m  5. B. 1
−  m  4 .
C. 0  m  4 .
D. 1  m  5 . ax − b Câu 7. Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây x −1 đúng? Trang 60 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
A. b  0  a .
B. a  b  0 .
C. a  0 ; b  0 .
D. 0  b  a . ax + 2 Câu 8.
Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số y =
với a , b , c là các số thực. cx + b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. (C ) ; b = 2 − ; c =1.
B. a = 1; b = 2 ; c = 1.
C. a = 1; b = 1; c = 1 − .
D. a = 2 ; b = 2 ; c = 1 − . Câu 9.
Tất cả các giá trị của m để đường thẳng y = 4m cắt đồ thị hàm số (C ) 4 2
y = x − 8x + 3 tại 4 phân biệt là. 13 3 13 3 A. −  m  . B. −  m  . C. 1
− 3  m  3 . D. 1
− 3  m  3 . 4 4 4 4
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ sau:
Số nghiệm của phương trình 2. f (x −1) − 3 = 0 là: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 61 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG1
BÀI TẬP SGK - BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 43 SGK: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm bậc 3 sau. a. y = 2 + 3x – x3
Bài 2/SGK/T43: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm bậc 4 sau. 1 3 a. 4 2
y = −x + 8x −1 . b. 4 2 y = x + x − c. 4 2
y = x − 2x + 2 d. 2 4 y = 2
− x − x + 3. 2 2
Bài 3 trang 43 SGK: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hàm phân thức: x + 3 1− 2x −x + 2 a. y = b. y = c. y = x −1 2x − 4 2x +1 Bài 4 trang 44 SGK 1 1 Cho hàm số 4 2 y = x + x + . m 4 2
a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm ( ) 1;1 − ?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1. 7
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4 Bài 5 trang 44 SGK:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm (C) của hàm số 3
y = −x + 3x +1
b. Dựa vào đồ thị hàm số (C) biện luận số nghiệm phương trình sau theo tham số m 3
x − 3x + m = 0 mx −1
Bài 6 trang 44 SGK: Cho hàm số y = 2x + m
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua ( A 1 − ; 2)
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 Bài 8 trang 44 SGK: Cho hàm số 3
y = x + (m + ) 2
3 x +1− m ( m là tham số) có đồ thị là (C . m )
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = 1 − . Trang 62 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = 2 − .
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT) Câu 1.
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? y 3 1 2 − 1 1 − O x 1 − A. 3 2
y = −x + 3x +1. B. 3
y = x − 3x −1. C. 3
y = x − 3x +1. D. 3 2
y = −x − 3x −1. Câu 2.
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 1 A. 3 2 y =
x − x +1. B. 3 2
y = x − 3x +1. C. 3 2
y = −x + 3x +1. D. 3 2
y = −x − 3x +1. 3 2 x − x −1 Câu 3.
Đường thẳng y = 2x −1 có bao nhiêu điểm chung với đồ thị hàm số y = . x +1 A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . ax − b Câu 4. Cho hàm số y =
có đồ thị như hình dưới. x −1 y 1 2 x O 1 − 2 −
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. b  0  a .
B. 0  b  a .
C. b  a  0 .
D. 0  a  b . Trang 63 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 5. Đồ thị hàm số 3 2
y = x − 3x + 2ax + b có điểm cực tiểu A(2; − 2) . Khi đó a + b bằng A. 4 . B. 2 . C. 4 − . D. 2 − .
y = f ( x) Câu 6. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 3 f (x) − 4 = 0 là A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 . Câu 7.
Đồ thị hàm số sau đây là đồ thị của hàm số nào? 4 2 = − A. 4 2 y x 2x
y = −x + 2x +1. B. 4 2
y = −x + 2x . C. . D. 4 2
y = x − 2x +1. Câu 8.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( x) −1 = 0 có mấy nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 9.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 4 2
y = x − 2x + 2 4 điểm phân biệt
A. 2  m  3.
B. 1  m  2 .
C. m  2 . D. m  2 . Câu 10. Cho hàm số 4 2
y = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  0, b  0, c  0.
B. a  0, b  0, c  0. C. a  0, b  0, c  0. D. a  0, b  0, c  0. Trang 64 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG1
BÀI 5 - KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG - TƯƠNG GIAO A. LÝ THUYẾT
I. GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho hai hàm số y = f ( x) (C và y = g ( x) (C 2 ) 1 )
Để tìm hoành độ giao điểm của (C và (C ta giải phương trình f ( x) = g ( x) ( ) 1 2 ) 1 ) Giả sử phương trình ( )
1 có các nghiệm là x ; x ;... 0 1
Khi đó, các giao điểm là M x ; f x ; M x ; f x ;... 0 ( 0 ( 0)) 1( 1 ( 1)) ➢ NHẬN XÉT Phương trình ( )
1 được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C và (C . 2 ) 1 )
Số nghiệm của phương trình ( )
1 bằng số giao điểm của (C và (C . 2 ) 1 )
➢ VD 1: Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số a) 3 2
y = x − 3x + 5 (C và 3 2 y = 2
− x + 2x − 3 (C . 2 ) 1 ) 2x − 4 b) y = (C và 2
y = −x + 2x + 4 (C . 2 ) 1 ) x −1 2 x c) y = (C và y = 3 − x +1 (C . 2 ) 1 ) x −1
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 65 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
II. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Xét phương trình F ( x,m) = 0 ( ) 1 . ➢ Biến đổi ( )
1 về dạng f ( x) = g (m) ( 2) .
➢ Khi đó (2) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (C) : y = f ( x) và (d ) :
y = g (m) .
Trong đó: y = f ( x) thường là hàm đã được khảo sát và vẽ đồ thị, (d ) là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
➢ Dựa vào đồ thị (C) , từ số giao điểm của (C) và (d ) ta suy ra số nghiệm của phương trình (2)
cũng chính là số nghiệm của phương trình ( ) 1 . ➢ VD2:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y = x + 3x − 2 .
b) Tìm m để phương trình 3 2
x + 3x − 2 = m có i. 1 nghiệm. ii. 2 nghiệm. iii. 3 nghiệm.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………… Trang 66 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1.
Gọi M và N là giao điểm của đường thẳng y = x +1 và đường cong 2
y = x − 3x +1 . Khi đó
hoành độ của điểm I là trung điểm đoạn thẳng MN bằng 5 3 A. . B. 2 . C. . D. 35 . 2 2 Câu 2.
Gọi x , x , x là hoành độác giao điểm của đồ thị hàm số f ( x) 3 2
= x + 3x − 3x − 2 và đường 1 2 3
thẳng y = x +10 . Tính T = f (x ) + f (x ) + f (x ) . 1 2 3 A. 27 . B. 19 . C. 8 . D. 35 . Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm
của phương trình f ( x) = 1. A. 4 . B. 6 . C. 5 . D. 0 . Câu 4.
Cho hàm số f ( x) 3 = x 3
− x . Phương trình f ( f (x)) = 2 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 5 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Câu 5.
Đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số 4 2 y = 2
− x + 4x + 2 khi và chỉ khi
A. 0  m  4.
B. m  4.
C. m  2.
D. 2  m  4. Câu 6.
Tập hợp các tham số thực m để đồ thị hàm số 3
y = x + (m − 4) x 2
+ m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là A. (− ;1  ] \−  8 . B. ( ;1 − ]. C. ( ;1 − ) . D. (− ;1  ) \−  8 . x − Câu 7.
Đồ thị hàm số (C) 2 3 : y =
cắt đường thẳng (d ) : y = −x + 4 tại hai điểm phân biệt , A B . x +1
Diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ bằng 3 A. 8 2 . B. 4 29 . C. 2 29 . D. . 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của
phương trình f (x) = 1 − là Trang 67 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Câu 2.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm của phương trình f ( x) +1 = 0 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 3.
Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f ( x) −1 = 0 là A. 0. B. 1. C. 2 . D. 3. Câu 4. Cho hàm số 4 2
y = x + 4x có đồ thị (C ) . Tìm số giao điểm của đồ thị (C ) và trục hoành. A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 5.
Biết rằng đường thẳng y = 2
− x + 2 cắt đồ thị hàm số 3
y = x + x + 2 tại điểm duy nhất có tọa độ
(x ; y . Tìm y . 0 0 ) 0
A. y = 0 .
B. y = 4 .
C. y = 2 . D. y = 1 − . 0 0 0 0 2x +1 Câu 6.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y =
với đường thẳng y = 2x + 3 là x −1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Trang 68 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 7.
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình m = f ( x) +1 với m  2 có bao nhiêu nghiệm?
A. Vô nghiệm. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 8.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x) = m có ba nghiệm phân biệt. A. m  2 − . B. 2
−  m  4 . C. 2
−  m  4 . D. m  4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 69 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2 §1. LŨY THỪA
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Với n là một số nguyên dương: n a = . a ... a a ; n sô a −n 1 0 a = 1; a = (a  0) n a Chú ý: 0
0 và 0−n không có nghĩa
➢ VD 1: Tính giá trị biểu thức 10 − 9 −  1  − − − −  1  3 4 2 1 A = .27 + (0, 2) .25 +128 .      3   2 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD 2: Rút gọn biểu thức sau   3 a 2 2 2 a− B =  − .
, a  0; a  1  1 − 1 − 2 − ( ) ( 2 +  ) a  1 1 − a a 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Phương trình n x = b
➢ Ví dụ mở đầu:
Học sinh làm việc theo nhóm, viết lời giải vào bảng phụ. Giáo viên quan sát học sinh làm việc,
nhắc nhở học sinh không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc. NỘI DUNG GỢI Ý Nhóm Cho hàm số 3 y = x .
nghiệm của phương trình 1 + 3:
chính là số giao điểm của hai Trang 70 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
đồ thị của hai hàm số y = xn và y = b.
b) Biện luận theo b số nghiệm của phương trình 3 x = b c) Tìm x để 3 3 3 3
x = 1; x = 2x = 1; x = 2 ➢ Nhận xét
- Nếu n lẻ thì phương trình có nghiệm duy nhất với mọi b .
- Nếu n chẵn thì:
+ b  0 : phương trình vô nghiệm
+ b = 0 : phương trình có nghiệm x = 0
+ b  0 : phương trình có hai nghiệm đối nhau 3. Căn bậc n Xét phương trình n
a = b với n nguyên dương
+ Cho a tính b . Chẳng hạn n = 4, a = 2 tính b ?
+ Ngược lại cho b tính a . Chẳng hạn n = 4,b = 16 , tính a ? a) Khái niệm:
Cho số thực b và số nguyên dương ;
n (n  2) . Số a được gọi là căn bậc n của b nếu n a = b .
Phương trình n x = b
Căn bậc n n lẻ
Với mọi số thực b , phương trình có
Có duy nhất một căn bậc n của b , kí nghiệm duy nhất. b  hiệu là n b n chẵn
Với b  0 , phương trình vô nghiệm
Không tồn tại căn bậc n của b b 
Với b = 0 , phương trình có một nghiệm
Có một căn bậc n của b là số 0 x = 0
phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị
dương là n b , còn giá trị âm là n − b . Trang 71 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai b) Tính chất: n a.n n b = . a b n a a n = n b b ( n a )m n m = a a,  khi n leû n n a =  a ,  khi n chaün n k nk a = a . ➢ VD 3: Tính a) 5 5 5 4. 8 − = 3 − 2 = 2 − b) = ( )3 3 3 3 3 3 = 3
➢ VD 4: Tìm nghiệm của các phương trình sau: a) 2019 x = 2020 − b) 2020 x = 0 c) 2020 x = 2021 d) 2020 x = 2021 −
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ m
Khái niệm: Cho số thực a  0 và số hữu tỉ r =
, trong đó m , n  , n  2 . Khi đó n m r n m n a = a = a . 1 Nhận xét: n n a =
a (ĐK: a  0; n  Z; n  2 ) ➢ VD 5: Tính Trang 72 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 3  1  1 1 3 = =    8  8 2 3 − − 1 1 3 2 4 = 4 = = 3 8 4
➢ VD 6: Rút gọn biểu thức 5 5 4 4 x .y + . x y C =
(Đk: x  0, y  0 ) 1 1 4 4 x + y
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Khái niệm: Cho số thực a  0 ,  là một số vô tỉ và (r là một dãy số hữu tỉ sao cho lim r =  n ) n n→+ Khi đó:  a = lim n r a . n→+ 
Nhận xét: 1 = 1 với mọi  .
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC ➢ Tính chất 1:
Cho hai số thực dương a, b và các số  ,   . Khi đó:    +
1 / a .a = a  a − 2 / m = a  a   m.   3 / (a ) = a = (a )   
4 / (ab) = a .b    a  a 5 / =     b  b
➢ VD 7: Rút gọn biểu thức ( + a − ) 3 1 3 1 7 1 + 2− 7 a .a a) E = (a  0) F = (a  0) ( b) + 5 −3 4− 5 a − ) 2 2 2 2 a .a
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 73 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ Tính chất 2:  ,  là số thực So sánh cùng số mũ  :  
Khi   0 thì: 0  a  b  a  b .  
Khi   0 thì: 0  a  b  a  b .
So sánh cùng cơ số a .  
Khi 0  a  1 thì: a  a     .  
Khi a  1 thì : a  a     .
➢ VD 8: So sánh : a) 2 3 5 và 3 2 5 8  3 3   3  b)   và    4   4   c) 5 và 2−e
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 55 SGK : Tính 2 2 2 2 2 5. a) = ( )5 9 .27 9.27 = ( 2 3 5 5 3 .3 )5 5 = 3 = 9 . 3 3 3 3 b) = ( ) 3 4 4 4 4 144 : 9 144 : 9 = (16) = 2 = 8 . 0 − ,75 − (− )  3 −   (− )  5 5  4 . 2 .  1 −    c)  4   2  3 5 2 + 0,25 = 2 + 2 = 2 + 2 = 40   16  Trang 74 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai   − − − −   − − d) ( ) −( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1,5 2 . 1,5  3  3 2 3 0, 04 0,125 = 5 − 2 = 5 − 2 =121
Bài 2 trang 55 SGK: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ 1 1 1 5 a) 3 3 2 6 a
a = a a = a 1 1 1 1 1 + + b) 3 2 6 3 2 6 b b b = b = b 4 4 1 − c) 3 3 3 3 a : a = a = a
Bài 4 trang 56 SGK: Rút gọn các biểu thức sau 4 1 2  −  4 2 3 3 3
a  a + a  a a ( 1 3 3 a− +   )1 a) Ta có = = a 1 3 1 1 3  −  − 4 4 4
a  a + a a a  ( 1 4 4 1+ a )   1 2 2 −   1 1 1 1 3 3 3 − − (ab) a − b  3 3 3 3 a b − a b   1 b) Ta có = = 2 2 3 2 3 2 3 a − b ab 3 3 a − b
Bài 5 trang 56 SGK: Chứng minh rằng 2 5 3 2 1  1   1  Ta có 0   1 :   2 5  3 2  20  18     (luôn đúng). 3  3   3  Ta có 7  1: 6 3 3 6 7  7
 6 3  3 6  108  54 (luôn đúng).
II. Bài tập trắc nghiệm 10 −  1  − Câu 1.
[Mức độ 1] Giá trị biểu thức 3 P = .27   bằng  3 
A. P = 30 .
B. P = 10 .
C. P = 3 . D. P = 9 . 2020 2021 Câu 2.
[Mức độ 2] Biết P = (5 − 2 6 )
(5+2 6) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. P  (9;10) . B. P  (0 ) ;1 .
C. P  (7;8) .
D. P  (3; 4) . 3 1 − +  1  Câu 3.
[Mức độ 2] Rút gọn biểu thức: 3 2 P = a . 
với a  0 .  a  A. 3 P = a B. 3 1 P a + = C. 2 3 1 P a + =
D. P = a Câu 4.
[Mức độ 1] Cho phương trình 2n x
= 3với n là số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI.
A. Phương trình có hai nghiệm đối nhau.
B. Phương trình có duy nhất một nghiệm.
C. Phương trình có một nghiệm dương là 2n 3 . D. Phương trình có một nghiệm âm là 2n − 3 . Trang 75 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 5.
[Mức độ 1] Biểu thức 4 3 . x
x với x  0 được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là 1 3 1 7 A. 12 x . B. 4 x . C. 3 x . D. 12 x . 4 4 3 3 a b + ab Câu 6.
[Mức độ 2] Cho a, b là các số thực dương, rút gọn biểu thức P = ta được 3 3 a + b
A. P = ab .
B. P = a + b . C. 4 4
P = a b + ab . D. 2 2
P = a b + ab . Câu 7.
[Mức độ 2] Mệnh đề nào sau đây là đúng? 6 7 3 4
A. ( 11 − 2 )  ( 11 − 2 ) .
B. (4 − 2 )  (4 − 2 ) . 3 4 4 5
C. (2 − 2 )  (2 − 2 ) .
D. ( 3 − 2 )  ( 3 − 2 ) . m n  3   3  Câu 8.
[Mức độ 1] So sánh hai số m , n nếu          . 2 2     A. m  . n B. m = . n C. m  . n
D. m = −n . Câu 9.
[Mức độ 3] Biết 2x + 2−x = 5 . Giá trị của biểu thức 4x 4 x A − = + + 3 bằng A. 26 . B. 25 . C. 5 . D. 26 . − − 1 − 1 −
Câu 10. [Mức độ 3] Cho biểu thức E = (a + ) 1 + (b + ) 1 . Với a = ( + ) 1 2 3 , b = ( − ) 1 2 3 thì giá
trị của biểu thức E là A. 3 + 3 . B. 2 . C. 3 − 3 . D. 1.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN PHIẾU HỌC TẬP 5+ 3 12 Câu 1.
Tính giá trị của biểu thức A = . 5+2 3 7+ 3 2 .3 32 2 A. 288 . B. . C. . D. 18 . 9 9 ( + a − ) 5 2 5 2 Câu 2.
Cho a  0 , rút gọn biểu thức P = . 1− 3 3−2 a .a 1
A. P = 1 .
B. P = a . C. P = . D. 2 P = a . a Câu 3.
Cho a là số thực dương, viết biểu thức 3 2 P = .
a a . a dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. 5 5 11 A. 3 P = a . B. 6 P = a . C. 6 P = a . D. 2 P = a . Trang 76 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai (4 a .b )4 3 2 Câu 4.
Cho a , b là các số dương. Rút gọn biểu thức P =
được kết quả là 3 12 6 a .b A. 2 P = ab . B. 2
P = a b .
C. P = ab . D. 2 2 P = a b . 1 1 3 3 a b + b a Câu 5.
Cho a , b là các số thực dương. Giá trị của biểu thức 3 E = − ab là 6 6 a + b A. E = 2 − . B. E = 1 − .
C. E = 1. D. E = 0 . 3 3 4   4 2 3
a  a − a    Câu 6.
Cho số thực dương a  0 và a  1. Rút gọn biểu thức C = ta được 1 5   4 6
a  a − a    7 3
A. C = a . B. 5 C = a . C. 2 C = a . D. 2 C = a . a+ Câu 7. Nếu ( − ) 2 2 3 1  2 3 −1 thì A. a  1 − .
B. a  1 . C. a  1 − . D. a  1 − . 3 2 Câu 8.
Kết luận nào sau đây đúng về số thực a nếu ( − a)4 2  (2 − a) .
A. 1  a  2.
B. a  1.
C. a  1.
D. 0  a  1. −
a− + (b + c) 1 1 2 2 2 
b + c − a  2 − Câu 9. Rút gọn P = 1+
 a + b + c ta được 1 − ( ) 1
a− − (b + c)  2bc  1 1 1 1 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 2ab ac 2ac 2bc 5 + 3x + 3−x
Câu 10. Cho 9x + 9−x = 23. Tính giá trị của biểu thức P = ta được
1− 3x − 3−x 3 1 5 A. 2. − B. . C. . D. − . 2 2 2 4a 4b
Câu 11. Tìm tất cả các số thực m sao cho +
=1 với mọi a + b =1. 4a + 4b m + m A. m = 2  .
B. m = 4 .
C. m = 2 . D. m = 8 . x      
Câu 12. Cho hàm số f ( x) 2 = . Tổng f ( ) 1 18 19 0 + f +...+ f + f       bằng 2x + 2 10  10  10  59 19 28 A. . B. 10. C. . D. . 6 2 3 Trang 77 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. KHÁI NIỆM 1. Định nghĩa ➢ ĐN: Hàm số 
y = x với  
được gọi là hàm số luỹ thừa. ➢ Chú ý:
Tập xác định của hàm số y x =
tuỳ thuộc vào giá trị của :
• Nếu  là số nguyên dương: D = .
• Nếu  nguyên âm hoặc  bằng 0: D = \  0 .
• Nếu  không nguyên: D = (0;+) . 2. Ví dụ
➢ VD1: Tìm tập xác định của hàm số: y = ( x − x − )3 2 6 5
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ −
VD2: Tìm tập xác định của hàm số: y = ( − x) 3 6
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 
➢ VD3: Tìm tập xác định của hàm số: y = ( 2 x − x − 2)
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 78 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA 1. Định lý ➢   
ĐL: Hàm số lũy thừa 
y = x với  
có dạo hàm với mọi x  0 và ( ) 1 x =  x − . ➢   
Đạo hàm: Công thức tính đạo hàm hàm hợp: (u ) 1
= u − .u . 2. Ví dụ
➢ VD1: Tính đạo hàm của các hàm số:  a) 5 y x− = . b) +2 y = x .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 1
➢ VD2: Tính đạo hàm của hàm số 3
y = (x −1) tại điểm x = 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD3: Tính đạo hàm của các hàm số: a) y = ( x + )3 2 2 1 .
b) y = ( x + x + )4 2 3 3 2 1 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 
III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = x . 
1. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x .
+ TXĐ : D = (0;+ ) . Trang 79 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai + Đạo hàm :  1 y .x −  = . + Sự biến thiên :
Đồng biến trên D nếu   0 , nghịch biến trên D nếu   0
+ Đồ thị : Luôn đi qua điểm (1; ) 1 .
2. Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa  
y = x ,   0
y = x ,   0
A. Tập khảo sát: (0; +).
A. Tập khảo sát: (0; +). B. Sự biến thiên: B. Sự biến thiên:  1  y  x −  =  0, x   0. 1 y  x −  =  0, x   0. Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:    
lim x = 0, lim x = + .  lim x = + ,  lim x = 0. + + x→0 x→+ x→0 x→+ Tiệm cận: Không có Tiệm cận:
Trục Ox là tiệm cận ngang.
Trục Oy là tiệm cận đứng.
C. Bảng biến thiên:
C. Bảng biến thiên: D. Đồ thị: Trang 80 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Đồ thị của hàm số lũy thừa 
y = x luôn đi qua điểm I (1;1).
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta
phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: 3 2 − 
y = x , y = x , y = x . B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 61 - SGK: Tìm tập xác định của các hàm số: − −
a) y = ( − x) 13 1 ;
b) y = ( − x )5 2 3 2 ;
c) y = ( x − ) 2 2 1 ;
d) y = ( x − x − ) 7 2 2 .
Bài 2 trang 62 - SGK: Tính đạo hàm của các hàm số: 1 1  a) y = ( 2 2x − x + )3 1 ; b) y = ( 2
4 − x − x)4 ; c) y = ( x + ) 2 3 1 ; d) y = ( − x) 3 5 .
Bài 4 trang 62 – SGK: So sánh các số sau với số 1 a) ( )2,7 4,1 . b) ( )0,3 0, 2 . c) ( )3,2 0, 7 . d) ( )0,4 3 .
Bài 5 trang 62 - SGK: Hãy so sánh các cặp số sau: 2,3  2,3 10  12  a) ( )7,2 3,1 và ( )7,2 4, 3 ; b)   và   c) ( )0,3 0, 3 và ( )0,3 0, 2 .  11   11 
II. Bài tập trắc nghiệm ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số 2 y x− = là A. . B. \   0 . C. (0; +) . D. (0 ) ;1  (1; +) . Câu 2:
[Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số 5 y x− = là A. 6 y x−  = . B. 4 y 5x −  = − . C. 6 y 5x−  = − . D. 6 y = 5 − x . Câu 3:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = ( x − )23 1 là A. (1; +) . B. (0; +) . C. \   0 . D. . Trang 81 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 4:
[Mức độ 2] Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số a y = x , b y = x , c
y = x trên miền (0; +) . y a y = x b y = x c y = x O x
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:
A. a  c  b .
B. x + y = 2( x − 3 + y + 3) .
C. b  c  a .
D. c  b  a . Câu 5:
[Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số y = ( − x)43 1 là 4 4 4 A. y = (1− x)13 .
B. y = − (1− x)13 . C. y = (1− x)73 .
D. y = ( − x)13 1 . 3 3 3 Câu 6:
[Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số y = ( x − x)1 2 4 2 là 1 1 A. y = (x − ) 1 (x −2x)3 2 4 . B. y = . 2 4 ( x − 2x)3 2 4 1 x −1 C. y = . D. y = . 2 ( x − 2x)3 2 4 2 ( x − 2x)3 2 4 2  x −1  Câu 7:
[Mức độ 2] Tập xác định của hàm số y =   là  3x + 2   2   2 
A. y = (1; +) . B. y = \ − ;1 . C. y = − ;  − (1;+   ). D.  3   3   2  y = − ;1   .  3   Câu 8:
[Mức độ 2] Cho hàm số y = x . Tính y ( ) 1 . A. y ( ) 2 1 = ln  . B. y ( ) 1 =  ln  . C. y ( ) 1 = 0. D. y ( ) 1 =  ( − ) 1 .    Câu 9:
[Mức độ 3] Cho các hàm số lũy thừa y = x , y = x , y = x trên (0; +) có đồ thị như hình vẽ. Trang 82 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.       0 .
B. 0        1 . C. 1       .
D. 0        1 .
Câu 10: [Mức độ 3] Tập xác định của hàm số y = ( x x + ) 2 2 - 3 là:  3   3  A.  3; − +) . B. − ;1   . C. (1; +) . D. − ;  − (1;+   )  4   4  .
C. TÓM TẮT BÀI HỌC TẬP XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM ĐỒ THỊ
•   và   0 : D = .    =  − • + ( ) 1 x x  
và   0 hoặc  = 0 : D = \   0 .    + (u ) 1
= u − .u
•   : D = (0;+) .
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ĐỀ BÀI  Câu 1:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = ( 2 2x − x ) là A. (− ;
 0) (2;+) . B. (0;2) . C. 0; 2 . D. . Câu 2:
[Mức độ 1] Đạo hàm của hàm số y = ( x + x + )3 2 2 1 là 3 A. (x + x+ )1 2 2 1 . B. 3(2x + ) 1 ( x + x + )1 2 2 1 . 2 3 3 C. (2x)12 . D. (2x + ) 1 ( x + x + )1 2 2 1 . 2 2 Câu 3:
[Mức độ 1] Cho hàm số y = ( x + x + ) 3 2 2 4 1
. Khi đó đạo hàm y(0) bằng A. 4 3 . B. 0 . C. 12 3 . D. 28 3 . − Câu 4:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = ( x − ) 3 2 4 là Trang 83 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 0; +) . B. \   2  C. 2; +) D. \   0 . Câu 5:
[Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số 3 2 y = x +1 là 1 1 A. y = . B. y = ( 2 x + ) ( 2 3 1 ln x + ) 1 . 3 ( x + )2 2 3 1 2x 2x C. y = . D. y = . 3 ( x + )2 2 3 1 (x + )2 2 3 1 1 2 3  x −1 Câu 6:
[Mức độ 2] Tìm tập xác định D của hàm số y =   + x − 2 .  x  A. D = ( 1 − ) ;1 . B. D = ( 1 − ;0) (1;+).
C. (− −1;)  (1; +) . D. (− ;  −  1 1; +) . Câu 7:
[Mức độ 2] Tìm điều kiện của số thực dương a để đường thẳng x = a (a  0) cắt đồ thị hàm số 1 1 4 y = x và 5
y = x lần lượt tại hai điểm ,
A B . Biết rằng tung độ điểm A bé hơn tung độ điểm B . 1 1
A. 0  a  1. B. a  1. C.  a  4 . D.  a  5 . 5 4 Câu 8:
[Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số y = f ( x) 3 2 3
= x . x với x  0 là 4 6 7 A. 9 x . B. 3 x . C. . D. 6 x . 3 7 7 x 6 Câu 9:
[Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( 2 − 020;2020) để hàm số
y = ( x − x − m + ) 3 2 2 1 có tập xác định là . A. 4038 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021.
Câu 10: [Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( x − (m − ) x + m + )1 2 3 2 1 5
xác định trên và đồng biến trên khoảng (1;+) . A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 84 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2 §3. LOGARIT
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa
➢ VD MỞ ĐẦU: ➢ 
ĐN: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ 
số a của b và kí hiệu là log b . Ta có  = log b  a = b a a
➢ Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0. 2. Ví dụ ➢ 1 VD1: Tính a) log 8 . b) log 9 . c) log . d) log 3 . e) log 1 2 1 2  . 4 3 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 85 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai II. Tính chất
Cho hai số dương a, b với a  1, ta có các tính chất sau: 1. log 1 = 0 2. log a = 1 3. log  a b a = b 4. log a =  a ( ) a a 1 ➢ log2 VD2: Tính a) 2log3 5 3 b) log 8 c) 7 4 1 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
III. Quy tắc tính logarit
Cho các số dương a, ,
b b ,b với a  1, ta có quy tắc sau: 1 2
log b b = log b + log b a 1 2 a 1 a 2
Chú ý có thể mở rộng cho tích của n số dương
log (b b ...b = log b + log b + ... + log b
(a,b ,b ,...,b  0, a  1 1 2 n ) a 1 2 n ) a 1 a 2 a n b1 log
= log b − log b a a 1 a 2 b2 Đặ 1 c biệt log = −log b a a b 
log b =  log b a a Đặ 1 c biệt log n b = log b a a n ➢ VD3: Tính 1 3 a) log 9 + log 4 b) log 120 − log 15 c) log 2 + log + log 6 6 2 2 1 1 1 3 8 2 2 2 1 1 d) log 35 − log 30 + log 6 e) 7 log 4 f) log 3 − log 15 7 7 7 2 5 5 2 Trang 86 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 71 – SGK: Không sử dụng máy tính, hãy tính: 1 a) log b) log 2 c) 4 log 3 d) log 0,125 2 8 1 3 0,5 4 log 2
Bài 2 trang 71 – SGK: Tính: a) log log 2 log 27 2 3 4 . b) 9 27 . c) 3 9 . d) 8 4 .
C. Bài tập trắc nghiệm
DẠNG 1. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC – MỆNH ĐỀ ĐÚNG SAI ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Tính giá trị của biểu thức 3
P = log 8 + log 27 − log 5 . 2 3 5 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 2:
[Mức độ 1] Cho a, ,
b c  0; a  1;b  1. , Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log a = 1. B. log .
b log c = log c . a a b a
C. log b = c b . D. log bc = b + c . a ( ) log log c loga a a a 3  2a  Câu 3:
[Mức độ 2] Với các số thực dương a, b bất kì, log 
 biểu diễn theo log a và log b là 2  b  2 2 1
A. 1+ 3log a − log b .
B. 1+ log a − log b . 2 2 2 2 3 1
C. 1+ 3log a + log b .
D. 1+ log a + log b . 2 2 2 2 3 Trang 87 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 Câu 4: [Mức độ 2] Tính 2021 log 4 − + ln e . 2021 2 1010 A. 2021. B. 2019 . C. 2022 . D. 2020 . Câu 5:
[Mức độ 2] Tính giá trị của biểu thức P = ( 3 log .
a a a với 0  a  1. a ) 1 3 2 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = 3 . 3 2 3 Câu 6:
[Mức độ 3] Tính giá trị của biểu thức:
P = log (tan1 ) + log (tan 2 ) + log (tan 3 ) ++ log (tan 89 ) . 1 A. P = 0 .
B. P = 2 . C. P = . D. P = 1 . 2
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH IV. Đổi cơ số log b
Cho ba số dương a, b, c với a  1, c  1 , ta có log c b = . a log a c
Từ điều trên ta rút ra các công thức đặc biệt: 1 1 log b = log .
a log b ; log b = , log .
b log a = 1, b  ; log =    b log , b ( 0 a ) a a b ( ) 1 c c a log a a  b ➢VD4: Tính: log 3 + log 2 a) 5 5 . b) log 5.log 3.log 2 . c) log415 2 . log 6 3 2 5 5
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢VD5: (VD7 sgk) Cho a = log 20 . Hãy tính log 5 và log 5 theo a . 2 2 20
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 88 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ 1
VD6: (VD8 SGK) Rút gọn biểu thức A = log 7 + 2 log 49 − log 1 9 3 7 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
V. Logarit thập phân, logarit tự nhiên
Logarit thập phân là logarit cơ số 10, log b thường được viết là log b hoặc lg b . 10
Logarit tự nhiên (logarit Neper): Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên, log b ( N  0 ), e
được viết là ln b . n  1  Với e = lim 1+ 
 , e  2,718 281 828 459 045 n→+  n  ➢Chú ý
Muốn tính log b với a  10 và a  e, bằng MTBT, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số. a log b ln b log b = ; log b = a log a a ln a log 3 ln 3 Chẳng hạn log 3 = = 1,584 962 501 2 log 3 ln 2 B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 3 trang 71 – SGK: Rút gọn biểu thức: a) log 6.log 9.log 2 b) 2 4 log b + log b 3 8 6 2 a a
Bài 5 trang 71 – SGK:
a) Cho a = log 3, b = log 5 . Hãy tính log 1350 theo a, b . 30 30 30
b) Cho c = log 3 . Hãy tính log 15 theo c . 15 25 Trang 89 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
C. Bài tập trắc nghiệm
DẠNG 2. BIỂU DIỄN LOGARIT
❖ Phương pháp:
Cho  = log b . Biểu diễn log n theo . a m  log n
Nếu (a,b) = 1 thì log a n =
và sử dụng công thức tích, thương, lũy thừa biến đổi tiếp. m log m a log n
 Nếu (a,b)  1 thì biến đổi log b = k.log q trong đó ( p,q) =1 sau đó log p n = và sử dụng a p m log m p
công thức tích, thương, lũy thừa biến đổi tiếp. ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Cho log 5 = a . Giá trị của log 25 theo a bằng 2 8 3 2 A. 3a . B. 2a . C. a . D. a . 2 3 Câu 2:
[Mức độ 1] Đặt log 4 = a , khi đó log 4000 biểu thị theo a là A. 3 + a . B. 4 + a . C. 3 + 2a . D. 4 + 2a . Câu 3:
[Mức độ 2] Cho log x = a . Tính giá trị của biểu thức 2 3
A = log x + log x + log x theo a . 2 2 1 4 2 a a A. . B. − . C. a . D. −a . 2 2 Câu 4:
[Mức độ 2] Cho log 5 = ;
a log 5 = b . Khi đó log 5 tính theo a và b là. 2 3 6 ab 1 A. . B. . C. 2 2 a + b .
D. a + b . a + b a + b Câu 5:
[Mức độ 3] Với mọi số a , b  0 thỏa mãn 2 2
9a + b = 10ab thì đẳng thức đúng là. log (3a + b) log a + log b
A. 2 log (3a + b) = log a + log b . B. = . 4 2 3a + b 1
C. log a + log (b + ) 1 = 1 . D. log
= (log a + logb) . 4 2
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT) ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Cho a, ,
b c  0 và a,b  1, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. loga b a = b .
B. log b = log c  b = c . a a log c C. log a c = .
D. log b  log c  b  c . b log b a a a Câu 2:
[Mức độ 1] Với a là số thực dương tùy ý, log ( 2 a
biểu diễn theo log a là 2 ) 2 1 1 A. 2 log a . B. + log a . C. 2 + log a . D. log a . 2 2 2 2 2 2 − Câu 3:
[Mức độ 1] Giá trị biểu thức log215 log2 5 A = 2 là: Trang 90 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. A = 3 . B. A = 15 . C. A = 5 . D. A = 10 . ln 9 Câu 4:
[Mức độ 1] Giá trị biểu thức P = log 3.log 5 − là 5 2 ln 4 A. 0 . B. 2. C. 1. D. 1 − . Câu 5:
[Mức độ 2] Cho hai số thực dương a và b với a  1, log
ab biểu diễn theo log b là 2 ( ) a a 1 1 A. log ab = log . b B. log ab = log . b 2 ( ) 2 ( ) 2 a a 4 a a 1 1 C. log ab = 2 + 2 log . b D. log ab = + log . b 2 ( ) 2 ( ) a a 2 2 a a 1 1 Câu 6:
[Mức độ 2] Biểu thức P = − bằng. log 5 log 5 49 7 1 A. log 5 . B. 2 . C. log 7 . D. . 7 5 2 125 Câu 7:
[Mức độ 2] Cho log 2 = a Tính log theo a ? 4 A. 4 (1+ a) . B. 2(a + 5) . C. 3 − 5a . D. 6 + 7a . Câu 8:
[Mức độ 3]Cho hai số a , b thỏa mãn 2
log a + log b = 5 và 2
log a + log b = 4 . Giá trị . a b 4 9 4 9 là: A. 48 . B. 256 . C. 144 . D. 324 . Câu 9:
[Mức độ 3] Cho log 9 = .
a Tính log 2 theo a . 6 3 a + 2 a − 2 2 − a a A. . B. . C. . D. . a a a 2 − a
Câu 10: [Mức độ 4] Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn b  1 và a  b  a . Giá trị nhỏ nhất của  a 
biểu thức P = log a + 2 log là a   b  b  b A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 7 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 91 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2
§4. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. Hàm số mũ Đặt vấn đề
Câu hỏi 1: Diện tích rừng nước ta năm 2014 là 13,8 triệu ha, giả sử sau mỗi năm diện tích rừng
nước ta tăng thêm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 10 năm, diện tích rừng nước ta sẽ là bao
nhiêu phần trăm diện tích hiện nay?
Câu hỏi 2: Anh An muốn mua xe Ford Fiesta trị giá 584 triệu theo phương thức trả trước 150
triệu, còn lại 434 triệu sẽ vay ngân hàng theo hình thức trả góp hàng tháng 10 triệu với lãi suất
7%/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm thì anh An trả hết nợ?
Câu hỏi 3: Năm 2019 dân số Việt Nam có 96,2 triệu người với tỉ lệ gia tăng tự nhiên là 1,08%.
Hỏi đến năm 2030 dân số Việt Nam là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi? VD MỞ ĐẦU
Nêu bài toán “ lãi kép”
Bài toán 1: Ông A gửi số tiền P đồng vào một ngân hàng với lãi suất r/năm. Biết rằng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta
gọi đó là lãi kép). Sau n năm, số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) của ông A là Pn Hãy điền vào bảng sau: Sau năm thứ k Tiền lãi
Số tiền lĩnh được (vốn tích lũy) k = 1 T = . P r
P = P + T = P + .
P r = P 1+ r 1 1 ( ) 1 k = 2 T = ... P = ... 2 2 … … k = n T = ... P = ... n n
1. Định nghĩa:
Cho số thực dương a  1. Hàm số x
y = a được gọi là hàm số mũ cơ số a.
➢ Chú ý: cơ số a là số dương khác 1.
➢ VD1. Học sinh lấy ví dụ về hàm số mũ, xác định cơ số trong các trường hợp đó.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? Cơ số là bao nhiêu? 1 x
A. y = ( 3) . B. 3 y = x . C. 4 y x− = . D. 4 x y − = . Trang 92 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Đạo hàm của hàm số mũ t e −1
Thừa nhận kết quả: lim =1. t →0 t
➢ Định lí 1. Hàm số x
y = e có đạo hàm tại mọi x và (   x ) x e = e Tổng quát ta có ( u) = . u e u e
➢ VD3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x 1 + a) 2 x 1 y e + = b) 2 x−3 y = e c) 3x y =
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ 
Định lí 2. Hàm số x
y = a (0  a  1) có đạo hàm tại mọi điểm x và ( x ) x a = a .ln a . (   x ) x a = a .ln a Tổng quát ta có ( u) u a
= a .u .ln a
➢ VD 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 a) 8x y = b) 2 1 3 x x y − + = c) 2sin 4 5 x y − =
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3. Khảo sát hàm số mũ Hàm số x y = a
(0  a  1) . a  1 0  a  1 Trang 93 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1. Tập xác định 1. Tập xác định 2. Sự biến thiên x
y = a .ln a  0, x   2. Sự biến thiên x
y = a .ln a  0, x  
 hàm số đồng biến trên
 hàm số nghịch biến trên
Giới hạn: lim x
a = 0 , lim x a = +
Giới hạn: lim x
a = 0 , lim x a = + x→− x→+ x→+ x→−
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.
Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang. Bảng biến thiên Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị II. Hàm số logarit 1. Định nghĩa
Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = log x được gọi là hàm số logarit cơ số a. a
➢ Chú ý: Hàm số y = log x với điều kiện 0  a  1 có tập xác định D = (0;+) . a
➢ VD 1: Học sinh lấy ví dụ về hàm số logarit
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD 2. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số logarit? Cơ số bao nhiêu? 1 A. 2x y = .
B. ln x . C. y = . D. y = x . x
…………………………………………………………………………………………………… Trang 94 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD3: Tìm tập xác định của các hàm số: a) y = log 2x +1 b) 2
y = log (x − 3x + 2) 2 ( ) 3 −x −1 c) y = ln d) y = ( 2 log x + x + ) 1 x −1
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Đạo hàm của hàm số logarit
➢ Định lí 3. Hàm số y = log x , (0  a  1) có đạo hàm tại mọi x  0 và a (   x = Đặc biệt ( x) 1 ln = . a ) 1 log . x ln a x Tổng quát ta có ( u  u  log u = (lnu) = . a ) . u ln a u
➢ VD 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2
y = ln(x + x +1) . b) 2
y = log (x − 2x). c) 2
y = 5x − 2x log . x 3 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 95 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3. Khảo sát hàm số logarit
Hàm số y = log x
(0  a  1) . a a  1 0  a  1
1. Tập xác định (0; +)
1. Tập xác định (0; +) 1 1
2. Sự biến thiên y =  0, x
 (0;+) 2. Sự biến thiên y =  0, x  (0;+) x ln a x ln a
 hàm số đồng biến trên (0; +)
 hàm số nghịch biến trên (0; +)
Giới hạn: lim log x = − , lim log x = + Giới hạn: lim log x = + , lim log x = − + a a + a a x→0 x→+ x→0 x→+
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.
Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng. Bảng biến thiên Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị
➢ VD: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ y = log x và 3 x  1  y =    3 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 96 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ Nhận xét: Đồ thị các hàm số y = log x và x
y = a đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . a
Tóm tắt bảng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit Hàm sơ cấp Hàm hợp (       − x ) 1 = .x − (u ) 1 = .u .u    1  1    = − 1 u   = −   2  x  x  u  u (  u x ) 1 = ( u)'= 2 x 2 u (   x e ) x = e
( ue) = u . u  e (   x a ) x = a .ln a
( ua) = u . u  a .ln a (   u x ) 1 ln = (ln u ) = x u (  u x = (log u = a ) a ) 1 log ' . x ln a . u ln a B. LUYỆN TẬP
I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 77 – SGK: Vẽ đồ thị hàm số (giao nhiệm vụ cho các nhóm) x  1  a) 4x y = b) y =    4 
Bài 2 trang 77 – SGK: Tính đạo hàm của các hàm số Trang 97 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai x +1 a) = 2 x y xe + 3sin 2x . b) 2 = 5 − 2x y x cos x . c) y = . 3x
Bài 3 trang 77 – SGK: Tìm tập xác định của các hàm số sau (giao nhiệm vụ cho các nhóm) 3x + 2 a) log 5 − 2x . b) log ( 2 x − 2x . c) log ( 2
x − 4x + 3 . d) log . 1 ) 3 ) 2 ( ) 0,4 1− x 5
Bài 5 trang 78 – SGK: Tính đạo hàm của các hàm số log x a) 2
y = 3x − ln x + 4sin x . b) 2
y = log(x + x +1) . c) 3 y = . x
II. Bài tập trắc nghiệm ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số 5x y = là A. .
B. 0; + ) . C. (0; + ) . D. \   0 . Câu 2:
[Mức độ 2] Hàm số ( ) 2 2 2 x x f x − = có đạo hàm là x− x x − A. ( ) ( ) 2 2 2 2 .2 x x f x x −  = − .ln 2 .
B. f ( x) ( ) 2 2 2 2 .2 = . ln 2 x− x − x C. ( ) ( ) 2 1 2 1 .2 x x f x x + −  = − .ln 2 .
D. f ( x) ( ) 2 2 1 .2 = . ln 2 Câu 3:
[Mức độ 1] Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? x  x x 1   1   1 
A. y =   . B. 2x y = . C. y =   .
D. y =   .  5  10   2  Câu 4:
[Mức độ 2] Hàm số ( ) ( 2 2 )e x f x x x − = + có đạo hàm A. ( ) ( 2 4 2)e x f x x x −  = + + . B. ( ) (2 2)e x f x x −  = + . C. ( ) ( 2 2)e x f x x −  = − − . D. ( ) ( 2 2)e x f x x −  = − + . Câu 5:
[Mức độ 3] Hình bên là đồ thị hàm số x = , x = , x y a y
b y = c (0  a, , b c  ) 1 được vẽ trên cùng
một hệ trục toạ độ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  b  c .
B. c  b  a .
C. a  c  b .
D. b  a  c . Câu 6:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = log x − 2 là 5 ( ) Trang 98 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. (2; +) .
B. 2; +) . C. . D. ( ; − 2) . Câu 7:
[Mức độ 2] Tìm tập xác định D của hàm số 2
y = ln x − 3x + 2 .
A. D = (1; 2) .
B. D = (2; +) . C. D = (− ) ;1 . D. D = (− ) ;1  (2; +) . Câu 8:
[Mức độ 2] Đạo hàm của hàm số y = ( 2 ln x + 202 ) 1 là 2x x A. y ' = . B. y ' = . 2 x + 2021 2 x + 2021 1 2x C. y ' = . D. y ' = . 2 x + 2021 ( 2x +20 ) 21 log e Câu 9:
[Mức độ 2] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( 2 ln x − mx + ) 1 có tập xác định là ? A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 10: [Mức độ 3] Cho các số a , b , c  0 và a , b , c  1 . Đồ thị của các hàm số y = log x , y = log x a b
và y = log x được cho bởi hình vẽ c
Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. c  b  a .
B. b  a  c .
C. c  a  b .
D. a  b  c .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (phần này không làm PPT) ĐỀ BÀI Câu 1:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = log x là 2
A. 0; +). B. (− ;  +). C. (0; +).
D. 2; +). Câu 2:
[Mức độ 1] Tập xác định của hàm số y = log x là 5 A. 0; + ) . B. (−;0) . C. (0; + ) . D. (−; + ) . Câu 3:
[Mức độ 2] Tìm tập xác định của hàm số y = log ( 2 3x − x . 2018 ) A. D = .
B. D = (0; + ) . Trang 99 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai C. D = (− ;  0)(3; + ). D. D = (0; 3) . Câu 4:
[Mức độ 2] Tìm tập xác định của hàm số: = 2 x y + log(3− x) A. 0; +) . B. (0;3) . C. ( ;3 − ) . D. 0;3) . Câu 5:
[Mức độ 2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + ) 1 có tập xác định là .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  0 . D. m  0 . Câu 6:
[Mức độ 1] Tìm đạo hàm của hàm số y = log x . ln10 1 1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x x ln10 10 ln x x 2 Câu 7:
[Mức độ 2] Hàm số 2x x y − = có đạo hàm là 2 2 A. 2x − . x ln 2 . B. (2 1).2x . x x − − ln 2 . 2 2 C. 2 1 ( ).2x x x x − − − . D. (2 1).2x x x − − . x +1 Câu 8:
[Mức độ 2] Tính đạo hàm của hàm số y = 4x 1− 2 ( x + ) 1 ln 2 1+ 2 ( x + ) 1 ln 2 A. y ' = . B. y ' = . 2 2 x 2 2 x 1− 2 ( x + ) 1 ln 2 1+ 2 ( x + ) 1 ln 2 C. y ' = . D. y ' = . 2 2 2x 2x Câu 9:
[Mức độ 2] Hàm số f ( x) = log ( 2
x − 2x có đạo hàm 2 ) ln 2 1
A. f '( x) = .
B. f '( x) = . 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2 2x − 2 ln 2 2x − 2
C. f '( x) ( ) = .
D. f '( x) = . 2 x − 2x ( 2x −2x)ln2
Câu 10: [Mức độ 2] Cho đồ thị hàm số x
y = a và y = log x như hình vẽ. b
Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 A. 0  a   b .
B. 0  a  1  b .
C. 0  b  1  a .
D. 0  a  1, 0  b  . 2 2
Câu 11: [Mức độ 2] Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên ? x  − x e   2  A. 2 log x . B. y = ( 3 log x ) . C. y = . D. y = . 3      4   5 
Câu 12: [Mức độ 2] Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? Trang 100 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. ex y = − .
B. y = ln x .
C. y = ln x . D. ex y = .
Câu 13: [Mức độ 3] Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = ( 2
ln −x + mx + 2m + ) 1 xác định với mọi x  (1; 2) . 1 3 3 1 A. m  − . B. m  . C. m  . D. m  − . 3 4 4 3
Câu 14: [Mức độ 3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số = ( 2 y ln x + ) 1 − mx +1
đồng biến trên khoảng (− ;  +)
A. B (5; +) . B. (− ;  − ) 1 . C.  1 −  ;1 . D. (− ;  −  1 .
Câu 15: [Mức độ 3] Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a + c = 2b . B. 2 ac = b . C. 2 ac = 2b .
D. ac = b .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 101 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2
§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản ➢ VD MỞ ĐẦU:
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau
bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
➢ Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng x
a = b (a  0, a  1) ➢ Chú ý:
Với b > 0, ta có x
a = b  x = log b a
Với b  0 , phương trình vô nghiệm. Ví dụ
➢VD1: Giải phương trình 2x+3 2 = 7
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… ➢ − +
VD2: Giải phương trình 2x 1 x 1 2 + 4 = 5
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản a) Đưa về ( A x) B( x)
cùng cơ số: Bằng cách đưa về dạng a = a
và giải phương trình A( x) = B ( x). Ví dụ:
➢VD3: Giải phương trình 2x−3 6 =1
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… x 1 +  ➢ x−  2
VD4: Giải phương trình 5 7 1, 5 =   .  3 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 102 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… b) Đặt ẩn phụ
➢VD5: Giải phương trình 9x 4.3x − − 45 = 0 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… c) Lôgarit hoá
➢VD6: Giải phương trình 2 3 .2 x x =1.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II − Phương trình logarit
Phương trình logarit là phương trình co chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.
Chẳng hạn, có phương trình log x = 4 , 1 2 2
log x − 2log x +1 = 0 4 4
là những phương trình logarit.
1.Phương trình logarit cơ bản
Phương trình logarit cơ bản có dạng log x = b (a  0, a  1). a
Phương trình log x = b (a  0, a  1) luôn có nghiệm duy nhất b
x = a với mọi b. a
➢VD1: Giải hương trình log x −1 = 3 4 ( )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢VD2: Giải hương trình log ( 2 x −1 = 3 2 ) Trang 103 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản
Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình logarit.
a) Đưa về cùng cơ số
➢VD3: Giải phương trình
log x + log x + log x = 11 . 3 9 27
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… b) Đặt ẩn phụ
➢VD4: Giải phương trình 1 2 + =1. 5 − logx 1+ logx
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… c) Mũ hóa
➢VD5: Giải phương trình log 9 2x − = 3. 2 ( )
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 104 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK 1.Phương trình mũ Bài 1 trang 84 – SGK: − − 2 3x 2 3x 2 0 a) (0,3) =1  (0,3)
= (0,3)  3x − 2 = 0  x = 3 x  1  −x 2 b) = 25  5 = 5  x = 2 −    5   = 2 2 x 0 x −3x +2 x −3x +2 2 2 2 c)2 = 4  2
= 2  x − 3x + 2 = 2  x − 3x = 0  x (x −3) = 0   x = 3
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0;  3 . x+7 1−2x 8−x + −  1   1   1  x 7 1 2x x−8 1 d)(0,5) (0,5) = 2   = 2 
= 2  2 = 2  x −8 = 1  x = 9        2   2   2 
Bài 2 trang 84 – SGK: − − − − − − a) 2x 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2 1 3 3 + 3 =108  3 + 3 3 =108  4.3 =108  3 = 27  3 = 3  2x −1 = 3  x = 2 .
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 . + − b) x 1 x 1 x 2 + 2 + 2 = 28 x 1 − 2 x 1 − x 1 − x 1 − ( 2 ) x 1 2 2 2 2 2 28 2 2 1 2 28 2 −   + +  =   + + =  7 = 28 x 1 − x 1 − 2
 2 = 4  2 = 2  x −1 = 2  x = 3. c) − − =  ( )2 x x x x 64 8 56 0 8
−8 − 56 = 0 (Phương trình bậc hai ẩn x 8 ) x 8  = 7 − (L) x    8 = 8  x = 1 x  8 = 8 d) x x x 3.4 − 2.6 = 9 x x 2x x x x 4 6  4   2   2   2  x x x
 3.4 − 2.6 − 9 = 0  3 − 2 −1 = 0  3 − 2 −1 = 0  3 − 2 −1 = 0         x x 9 9  9   3   3   3  x  2  Đặt = t  0  
, phương trình trở thành:  3   t =1 x  2  2  3 t − 2t −1 = 0  1 −  =  =    t = (L) 1 x 0  3   3
2)Phương trình logarit
Bài 3 trang 84 – SGK: Giải các phương trình logarit: a) log 5x + 3 = log
7x + 5 ; b) log ( x − ) 1 − log (2x −1 ) 1 = log2 ; 3 ( ) 3 ( ) Trang 105 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai c) log x − 5 + log x + 2 = 3 ; d) ( 2
log x − 6x + 7) = log ( x − 3). 2 ( ) 2 ( )
Bài 4 trang 84 – SGK:Giải các phương trình logarit: 1 1 a) log ( 2
x + x − 5) = log5x + log ; 2 5x 1 b) log ( 2 x − 4x − )
1 = log8x − log4x ; 2
c) log x + 4log x + log x = 13. 4 8 2
II. Bài tập trắc nghiệm + Câu 1:
[Mức độ 1] Tìm tập nghiệm S của phương trình x 1 2 = 8 . A. S =   1 .
B. S = −  1 . C. S =   4 . D. S =   2 . Câu 2:
[Mức độ 1] Tìm nghiệm của phương trình x−3 2 = 2. A. x = 1 . B. x = 2 . C. x = 4 . D. x = 3 . Câu 3:
[Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình 2 2x −x = 1 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . + Câu 4:
[Mức độ 1] Cho phương trình x x 1 4 + 2 − 3 = 0 . Khi đặt 2x t =
, ta được phương trình nào dưới đây? A. 2
t + 2t − 3 = 0 .
B. 4t − 3 = 0 . C. 2
t + t − 3 = 0 . D. 2 2t − 3t = 0 . Câu 5:
[Mức độ 2] Số nghiệm của phương trình: 4x 6.2x − + 8 = 0 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 6:
[Mức độ 2] Phương trình 4x 6.2x −
+ 8 = 0 có tổng các nghiệm là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 7:
[Mức độ 2] Cho phương trình 4x 6.2x −
+ 8 = 0 . Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình trên. 1 2
Khi đó, tích x .x bằng 1 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 8:
[Mức độ 3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 + −x − ( + ) 2 1 1 1+ 1 9 3 3 −x m
+ 2m +1 = 0 có nghiệm thực? A. 5 . B. 7 . C. Vô số. D. 3 . Câu 9:
[Mức độ 3] Gọi a là một nghiệm của phương trình 2log x log x 2log 4.2 6 18.3 x − − = 0 . Khẳng định
nào sau đây đúng khi đánh giá về a ? log x  3  9 A. (a − )2 10 =1.
B. a cũng là nghiệm của phương trình =   .  2  4 − C. 2 a + a +1 = 2 . D. 2 a = 10 . Trang 106 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 10: Giải phương trình log ( 2
x − x + 2 = 1. 2 ) A. x = 0 v x = 1. B. x = 0 v x = 2. C. x = 0 v x = 1 − . D. Vô nghiệm.
Câu 11: Tập nghiệm của phương trình log 3x − 7 = 3 là 2 ( ) A. {1}. B. {-2}. C. {5}. D. {-3}
Câu 12: Phương trình log ( 2
x + 2x +1 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm ? 2 ) A. 1. B. 2. C. 0. D. 3
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình log x +1 = 2 là 3 A.  3 − ,  2 . B.  4 − ,  2 . C.   3 . D.  1 − 0,  2 .
Câu 14: Tập nghiệm của phương trình: log 2x −1 = 2 − là 2 ( ) A. 2 − log 5 . B.  2 − + log 5 . C. log 5 . D. 2 + log 5 . 2  2  2  2 
Câu 15: Phương trình: lnx + ln (3x − 2) = 0 có mấy nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3
Câu 16: Tìm số nghiệm của phương trình log . x log . x log x = 8 . 3 9 3 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .
Câu 17: Tìm số nghiệm của phương trình log
(x + 2) = log 4x +6 . 5 ( ) 5 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 18: Phương trình log ( x + 2) 2
+ log x = 3 có nghiệm là 2 4 A. x = 2 − , x = 4 .
B. x = 2, x = 4 . C. x = 2 . D. x = 0 . 2 2   x
Câu 19: Biết rằng phương trình log 9x  + log
− 7 = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 ( ) 3 81  1 2 3  Tính P = x x . 1 2 1 A. P = . B. 6 P = 3 . C. 3 P = 9 . D. 8 P = 3 . 3 9
Câu 20: Tìm tập nghiệm S của phương trình log (x − ) 1 + log x +1 = 1. 1 ( ) 2 2 3+ 13  A. S =  . B. S =   3 .  2  
C. S = 2 − 5;2 + 5.
D. S = 2 + 5. Trang 107 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 21: [Mức độ 1] Số nghiệm của phương trình 2 2x −x = 1 là A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 22: [Mức độ 1] Nghiệm của phương trình 2x x+2018 2 = 2 bằng A. 1008 B. 2017 C. 1009 D. 2018 +
Câu 23: [Mức độ 1] Phương trình 2x 1 3
− 28.3x + 9 = 0 có hai nghiệm là x , x x  x Tính giá trị 1 2 ( 1 2 )
T = x − 2x 1 2 A. T = 3 − . B. T = 0 . C. T = 4 . D. T = 5 − .
Câu 24: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình 1 − ln 81 9 x = e là A. x = 5 . B. x = 4 . C. x = 6 . D. x = 17 . +
Câu 25: [Mức độ 2] Giải phương trình x x 1 4 − 2
+1 = 0 trên tập số thực . 1 A. x = 1. B. x = 0. C. x = . D. x = 0. 2 −
Câu 26: [Mức độ 2] Nghiệm của phương trình 2
4 x m = 8x ( m tham số) là
A. x = −m . B. x = 2 − m.
C. x = 2m .
D. x = m . +
Câu 27: [Mức độ 3] Phương trình x 1 4 − 2.6x + .9x m
= 0 có 2 nghiệm thực phân biệt nếu 1 1 A. m  0 . B. m  0 . C. 0  m  . D. m  . 4 4
Câu 28: [Mức độ 3] Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình x 1 + 1− x + = ( + )( 2+x 2 4 4 1 2 − 2 −x m
)+16−8m có nghiệm trên 0  ;1 ? A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 .
Câu 29: Tập nghiệm của phương trình log 3 − x + log 1− x = 1 là 3 ( ) 3 ( ) A.   4 . B.  . C.   0 . D. 0;  4 .
Câu 30: Phương trình log (4x − 2) + log ( 2
x +1 = 0 có hai nghiệm x  x . Tính x + 2x 3 1 ) 1 2 1 2 3 A. 0 . B. 7 . C. 4 . D. 5 .
Câu 31: Phương trình log x + log ( 2 x = log 4x là 2 2 ) 2 ( ) A. 0; 2 − ;  2 . B. 0;  2 . C.  2 − ;  2 . D.   2 .
Câu 32: Số nghiệm của phương trình log ( 3 2
x − 2x − 3x + 4 + log x −1 = 0 là 1 ) 2 ( ) 2 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 . Trang 108 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2
Câu 33: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log . x log . x log . x log x = bằng 3 9 27 81 3 82 80 A. . B. . C. 9 . D. 0 . 9 9 2
Câu 34: Tổng các nghiệm của phương trình log 3x −1 + log x + 3 = 1 là 4 ( ) 1 ( ) 2 A. 8 . B. 6 . C. 7 D. 5
Câu 35: Số tiền mà An để dành hàng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với x 
) biết x là nghiệm của
phương trình log ( x − 2) + log ( x − 4)2 = 0 . Tổng số tiền mà An để dành được sau 1 tuần ( 7 3 3 ngày) là A. 7 . B. 21 . C. 24 . D. 14 2 3
Câu 36: Cho phương trình log x +1 + 2 = log 4 − x + log
4 + x . Phương trình trên có bao nhiêu 4 ( ) 8 ( ) 2 nghiệm? A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. Vô nghiệm 1 2
Câu 37: Phương trình 2 log x + log x −1
= log log 3 có bao nhiêu nghiệm? 49 7 ( ) 7 ( 3 ) 2 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 109 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2
§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH.
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN a) ĐỊNH NGHĨA:
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng x
a  b (hoặc x
a  b , x
a  b , x
a  b ) với a  0 , a  1. b) TÍNH CHẤT
Xét BPT a x  b (1)
+ Nếu b  0 thì tập nghiệm của (1): T = R
+ Nếu b > 0 , a >1 thì tập nghiệm của (1): T = (log b;+) hay x  log b a a
+ Nếu b > 0 , 0  a  1thì tập nghiệm của (1): T = ( ;
− log b) hay x  log b a a
➢VD1:Tập nghiệm bất phương trình: 2x  8 là A. (−;3) .
B. 3; + ) . C. (3; + ) . D. (−  ;3 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… x   ➢ 1
VD2:Tập nghiệm của bất phương trình  9  
trên tập số thực là  3  A. (2; +) . B. (− ;  2 − ) . C. ( ; − 2) . D. ( 2; − +) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƠN GIẢN
2.1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: f(x) g(x) a > a
+ Nếu a > 1 thì f(x) g(x) a > a
 f(x)  g(x)
+ Nếu 0 < a < 1 thì f(x) g(x) a > a
 f(x)  g(x) Trang 110 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
2.2: ĐẶT ẨN PHỤ VÀ GIẢI BPT BẬC HAI: Xét BPT 2f(x) f(x) m.a + n.a + p > 0 , đặt f(x) t = a , t > 0 BPT trở thành: 2 m.t + n.t + p > 0 ➢ + −
VD3:Tập nghiệm của bất phương trình x 1 x 2 4  8 là
A. 8; +) . B.  . C. (0;8) . D. ( ;8 − .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢VD4:Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương 9x 4.3x − + 3  0. A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN
A) ĐỊNH NGHĨA: Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log x  b (hoặc log x  b , log x  b , a a a
log x  b ) với a  0 , a  1. a B) TÍNH CHẤT: Xét BPT log x > b a + Nếu a >1thì b x  a
+ Nếu 0  a  1thì 0 b  x  a
➢VD5:Tập nghiệm của bất phương trình log x −1  3 là 2 ( ) A. (9; + ) . B. (4; + ) . C. (1; + ) . D. (10; + ) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 111 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢VD6:Tập nghiệm của bất phương trình log x  0 là 2 A. (0; ) 1 . B. ( ) ;1 − . C. (1; +) . D. (0; +) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ĐƠN GIẢN
2.1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: log f(x) > log g(x) a a
+ Nếu a >1thì f(x)  g(x)  0
+ Nếu 0  a  1thì 0  f(x)  g(x)
2.2: ĐẶT ẨN PHỤ VÀ GIẢI BPT BẬC 2: Xét BPT 2
m.log x + n.log x + p > 0 , đặt t = log x . BPT trở thành: 2 m.t + n.t + p > 0 a a a
➢VD7: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x − 4  log 5 . 1 ( ) 1 2 2
A. S = (4; 9 .
B. S = 4; 9 . C. S = (− ;  9.
D. S = 9; + ) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢VD8:Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x − 5log x + 4  0 . 2 2 A. S = (−;1 ] [4; +) . B. S = [2 ;1 ] 6 .
C. S = (0; 2] [16 ; +) .
D. (−; 2] [16; +) .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 112 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP. Câu 1:
[Mức độ 1] (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình: 2x  8 là A. (−;3) .
B. 3; + ) . C. (3; + ) . D. (−  ;3 . 2 x 1 +  2  Câu 2:
[Mức độ 1] (SGD Hưng Yên 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 1   là  3   1   1  A. ( ; − 0). B. (0; +) . C. − ;  −   . D. − ; +   .  2   2  Câu 3:
[Mức độ 1] (THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất
phương trình log x  log 2 là 0,5 0,5 A. (1; 2) . B. ( ; − 2) . C. (2; +) . D. (0; 2) . Câu 4:
[Mức độ 1] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Tập hợp nghiệm của bất phương trình log
x −1  3 là 2 ( ) A. S = (− ;10  ) . B. S = (− ;9  ) .
C. S = (1;9) . D. S = (1;10) . Câu 5:
[Mức độ 2] (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2
x − 5x + 7  0 là 1 ) 2 A. (− ;
 2) (3;+ ) . B. ( ; − 2) . C. (2;3) . D. (3; + ) . Câu 6:
[Mức độ 2] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm S của bát phương trình x x 1 4 2 + 
A. S = (1; +) . B. S = (− ) ;1 . C. S = (0 ) ;1 . D. S = (− ;  +). Câu 7:
[Mức độ 2] (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log
x − 3  log 4 . 1 ( ) 1 2 2
A. S = (3; 7 .
B. S = 3; 7. C. S = (− ;  7.
D. S = 7; + ) . Câu 8:
[Mức độ 2] (THPT Chuyên ĐH Vinh – Lần 2 – năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất phương
trình 2 x  2 là A. 0; ) 1 . B. ( ; − ) 1 .
C. ( R) . D. (1; + ) . Câu 9:
[Mức độ 2] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tìm
tập nghiệm D của bất phương trình x x+4 9  3 .
A. D = (0;6) . B. D = (− ;  4) .
C. D = (0; 4) .
D. D = (4; +) . Trang 113 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 10: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của x− bất phương trình ( 3 5) 1 x+3  5 là A. (− ;  5 − ) . B. ( ; − 0). C. ( 5; − +) . D. (0; +) .
Câu 11: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bât phương trình log x − 3  1 − là 0,2 ( ) A. (3;5) .
B. 5; +) . C. ( ;5 − ) . D. (3;5 .
Câu 12: [Mức độ 2] (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Nghiệm của bất phương trình 2 9 x 17 − x 11 + 7−5 x  1   1       là  2   2  2 2 2 2 A. x = . B. x  . C. x  . D. x  . 3 3 3 3
Câu 13: [Mức độ 2] (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình 2 log x −1  log 5 − x +1 là 2 ( ) 2 ( ) A. (1;5) . B. (1;  3 . C. 1;  3 . D. 3;5 .
Câu 14: [Mức độ 2] (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Tìm số nghiệm nguyên của bất
phương trình log 4x − 9  log x +10 . 1 ( ) 1 ( ) 2 2 A. 6 . B. 4 . C. 0 . D. Vô số.
Câu 15: [Mức độ 2] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất phương trình log ( 2
x + 2x −8  − 4 . 1 ) 2 A. ( 4 − ; 2) . B.  6 − ; 4). C.  6
− ; − 42; 4. D.  6 − ; − 4 )(2; 4 .
Câu 16: [Mức độ 2] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Giải bất phương trình sau log 3x − 5  log x +1 1 ( ) 1 ( ) 5 5 5 5 A.  x  3. B. 1
−  x  3. C. 1 −  x  . D. x  3 . 3 3
Câu 17: [Mức độ 2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất
phương trình log x − 4 +1  0 . 2 ( ) 5  13  13   13  A. ; −   . B. ; +    . C. (4; + ) . D. 4;   .  2   2   2 
Câu 18: [Mức độ 2] (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x +1  log 2x −1 . 1 ( ) 1 ( ) 2 2 Trang 114 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai  1  A. S = ; 2   . B. S = ( 1 − ;2) .
C. S = (2; +) . D. S = (− ;  2) .  2 
Câu 19: [Mức độ 2] (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Bất phương trình log x + 7  log
x +1 có tập nghiệm là 4 ( ) 2 ( ) A. (5; + ) . B. ( 1 − ;2) . C. (2; 4) . D. ( 3 − ;2).
Câu 20: [Mức độ 2] Tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x − 5log x − 6  0 là 2 2 1   1  A. S = ; 64   . B. S = 0;  .   2   2  1 
C. S = 64; +) . D. S = 0;   64;+)  .  2 +
Câu 21: [Mức độ 2] (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình 2x 1 3
− 7.3x + 2  0 có tập nghiệm là A. (−; − ) 1  (log 3; + . B. (−; 2 − ) (log 3;+ . 2 ) 2 ) C. (−; − ) 1  (log 2; + . D. (−; 2 − ) (log 2;+ . 3 ) 3 ) −x  x+  1
Câu 22: [Mức độ 2] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm S của bất phương trình 2 5    là  25  A. S = (− ;  2) . B. S = (− ) ;1 .
C. S = (1; +) .
D. S = (2; +) .
Câu 23: [Mức độ 3] (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Giải bất phương trình log 3x − 2  log
6 − 5x được tập nghiệm là (a ;b) . Hãy tính tổng S = a + b . 2 ( ) 2 ( ) 11 31 28 8 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 5 6 15 3
Câu 24: [Mức độ 3] (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của bất   +  phương trình 4x 1 log log  1 − . 1  2     x −1  2  3  A. \   1 . B. (1; +) . C. . D. − ;  − (1;+   )  2  .
Câu 25: [Mức độ 3] (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương 1 4 x 1 1 −    1  trình      là  2   2   5 
A. S = (2; + ) . B. S = (− ;  0) . C. S = (0 ) ;1 . D. S = 1;   .  4 
Câu 26: [Mức độ 3] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình
3log ( x + 3) − 3  log ( x + 7)3 − log (2 − x)3 là S = ( ;
a b) . Tính P = b − a . 2 2 2 Trang 115 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 1.
Câu 27: [Mức độ 3] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Bất phương trình log 2x − 3  log
5 − 2x có tập nghiệm là ( ;
a b) . Tính giá trị của S = a + b . 1 ( ) 1 ( ) 2 2 7 9 11 13 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 2 x+ 1
Câu 28: [Mức độ 1] (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 1 5 −  0 . 5 A. S = (− ;  − 2).
B. S = (1;+ ) . C. S = ( 1 − ;+ ). D. S = ( 2; − + ).
Câu 29: [Mức độ 2] (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 2 x +2 2 x  8 là A. (− ;  −  3 . B.  3 −  ;1 . C. ( 3 − ) ;1 . D. ( 3 −  ;1 . −x  x+  1
Câu 30: [Mức độ 2] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm S của bất phương trình 2 5    là  25  A. S = (− ;  2) . B. S = (− ) ;1 .
C. S = (1; +) .
D. S = (2; +) .
Câu 31: [Mức độ 2] (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình 2 x −3 2 x  16 là A. (− ;  − ) 1 . B. (4; +) . C. ( 1 − ;4) . D. (− ;  − ) 1  (4; +) .
Câu 32: [Mức độ 2] (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 − x +3x  1  1    .  2  4
A. S = 1; 2 . B. S = (− ) ;1 .
C. S = (1; 2) .
D. S = (2; + ) .
Câu 33: [Mức độ 2] (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 2 x −2 3 x  27 là A. (− ;  − ) 1 . B. (3; +) . C. ( 1 − ;3) . D. (− ;  − ) 1  (3; +) .
Câu 34: [Mức độ 2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Tập tất cả các nghiệm của bất phương trình log ( 2 x − x  1 − là 1 ) 2 A.  1 − ;2. B.  1 − ;0) (1;2. C. (− ;  − 
1  (2; +. D. ( 1 − ;2) .
Câu 35: [Mức độ 1] (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Nghiệm của bất phương trình 2 x 1 + 3 3  3 −x là 2 3 2 2 A. x  − . B. x  . C. x  . D. x  . 3 2 3 3
Câu 36: [Mức độ 2] (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An – Lần 2 năm 2017 – 2018) Tập nghiệm của bất phương trình x x+8 4  2 là
A. 8; +) . B. ( ;8 − ) . C. (0;8) . D. (8; +) . Trang 116 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 37: [Mức độ 2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Gọi x , x là hai nghiệm nguyên 1 2
âm của bất phương trình log
x + 3  2 . Tính giá trị của P = x − x . 3 ( ) 1 2
A. P = 3 .
B. P = 2 .
C. P = 1 . D. P = 5 .
Câu 38: [Mức độ 2] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình: log
x − 3 + log x  2 là 2 ( ) 2 A. (3; +) .
B. 4; +) . C. (− ;  − 
1 4; +) . D. (3; 4 .
Câu 39: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018) Tập nghiệm của bất phương trình log +  −  ( x ) 1 log (2x 5) là 4 4  5  A. ( 1 − ;6) . B. ; 6   . C. ( ; − 6). D. (6; +) .  2 
Câu 40: [Mức độ 2] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Số nghiệm nguyên của bất
phương trình log x + log x  1+ log .
x log x là 2 3 2 3 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Vô số.
Câu 41: [Mức độ 2] (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Giải bất phương
trình 2 log (4x − 3) + log (2x + 3)2  2 . 3 1 9 3 3 3 A. x  . B.  x  3 .
C. Vô nghiệm. D. −  x  3. 4 4 8
Câu 42: [Mức độ 3] Tập nghiệm của bất phương trình: 2 2 x + x 1 − 1 − x x 1 3 3 3 3 − +  + .
A. 2  x .
B. 1  x  2 .
C. 2  x  7 .
D. 2  x  4 .
Câu 43: [Mức độ 3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y = log ( 2
x − 2x . Tập nghiệm của bất phương trình y  0 là 1 ) 3 A. (− ;  − ) 1 . B. ( ; − 0). C. (1; + ) . D. (2; + ) .
Câu 44: [Mức độ 3] Tất cả các giá trị của m để bất phương trình (3 +1)12x + (2 − )6x + 3x m m  0 có nghiệm đúng x   0 là  1   1  A. ( 2; − +) . B. (− ;  2 − ] . C. − ;  −   . D. 2; − −   .  3   3 
Câu 45: [Mức độ 3] (Mã 105 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
log x − 2 log x + 3m − 2  0 có nghiệm thực. 2 2 2
A. m  1.
B. m  1.
C. m  0 . D. m  . 3 Trang 117 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 46: [Mức độ 3] (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho ( ) 3 .e x f x x − =
. Tập nghiệm của bất phương trình
f ( x)  0 là  1   1   1  A. ; −   . B. 0;   . C. ;+    . D. (0; ) 1 .  3   3   3 
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 118 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3 §5. NGUYÊN HÀM
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm
➢ VD MỞ ĐẦU:
a) Cho hàm số f ( x) 2
= 3x . Hàm số F (x) nào sau đây không thỏa mãn F(x) = f (x) A. ( ) 3 F x = x . B. 3 x + 2021. C. 3 x − 2004 . D. 3 3x + 2x − 7 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 1   −  
b) Cho hàm số f ( x) = với x  ; 
 . Tìm hàm số F ( x) sao cho F( x) = f ( x) 2 cos x  2 2 
A. F ( x) = tan x + 10 .
B. F ( x) = 3x + tan x + 2022 .
C. F ( x) = 2cos x − 9 .
D. F ( x) = − cot x +1221.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên K . ( K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một
đoạn). Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K nếu F( x) = f (x) với mọi x  K . ➢ VD1:  a) Hàm số ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x trên
vì F( x) = ( 2 x ) = 2x x   .
b) Hàm số F ( x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x = trên khoảng (0; +) vì x  F( x) = ( x) 1 ln = , x  (0;+) . x
Định lý 1: Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K thì với mỗi hằng số C,
hàm số G ( x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K .
Định lý 2: Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên 𝐾 thì mọi nguyên hàm của
hàm số f ( x) trên 𝐾 đều có dạng F ( x) + C , với C là một hằng số.
➢ Kí hiệu: f
 (x)dx = F (x)+C là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) trênK .
➢ Chú ý: f ( x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F ( x) của f ( x) vì
dF ( x) = F( x) dx = f ( x) dx . ➢ VD2: Trang 119 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai a) Với x  , 2
2xdx = x + C  . 1
b) Với s  (0; +) ,
ds = ln s + C  . s c) Với t 
, cos tdt = sin t + C  .
➢ VD3: Tính nguyên hàm của các hàm số sau: a) 4 1 x dx  ; b) cos xdx  ; c) dx  . 2 sin x
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
2. Tính chất của nguyên hàm
➢ Tính chất 1: f 
 (x)dx = f (x)+C .
➢ Tính chất 2: k f
 (x)dx = k f
 (x)dx, k là hằng số khác 0.
➢ Tính chất 3:  f
 (x) g(x)dx = f 
 (x)dx g  (x)dx.
➢ VD4: Tính nguyên hàm của các hàm số sau:   a) (  1 cos x) dx ; b) 2 3x − dx   .  x 
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
➢ VD5: Khẳng định nào đây sai? 1
A. cos x dx = − sin x + C  . B.
dx = ln x + C  . x C. 2
2x dx = x + C  .
D. ex d = ex x + C  .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 4 + ➢ 5 2x
VD6: Cho hàm số f (x) = . Khi đó: 2 x Trang 120 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 5 3 2x 5 A. 3
f (x) dx = 2x − + C  . B.
f (x) dx = − + C  . x 3 x 3 2x 5 3 2x C.
f (x) dx = + + C  . D. 2
f (x) dx = + 5lnx + C  . 3 x 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3. Sự tồn tại nguyên hàm
➢ Định lý 3: Mọi hàm số f ( x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . ➢ VD7: 6 a) Hàm số ( ) x 5
f x = x có nguyên hàm trên các khoảng (− ;  +) và 5 x dx = + C.  6 2 2 5 b) Hàm số ( ) 3 3
h x = x có nguyên hàm trên khoảng (0; +) và 3 3 x dx = x + C  . 5
c) Hàm số g ( x) 1 =
có nguyên hàm trên khoảng (k ;(k + ) 1  ), k  2 sin x và 1
dx = − cot x + C.  2 sin x
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp x a 0dx = C  x a x d =
+ C (a  0,a   )1 ln a
dx = x + C  sin d
x x = − cos x + C   1  1 x x d x + = + C  (  − )1 = +   cos xdx sin x C +1 1 1 x
d = ln x + C  x
d = tan x + C  x 2 cos x x 1 x x
e d = e + C  x
d = − cot x + C  2 sin x
➢ VD8: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . 2
Tìm F ( x) . x 1 x 5 A. F ( x) 2 = e + x + . B. F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2 x 1 x 3 C. F ( x) 2 = e + x + . D. F ( x) 2 = e + x + . 2 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 121 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai ➢ 1 2
VD9: Nguyên hàm của f ( x) = + + 3 là 3 x x 4 A. 3 2
2 x + 3 x + 3x + C . B. 3 2 2 x +
x + 3x + C . 3 1 1 4 C. 3 2
x + 3 x + 3x + C . D. 3 2 x +
x + 3x + C . 2 2 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số a) Định lý 1: Nếu f
 (u)du = F (u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f
 (u(x))u(x)dx = F (u(x))+C . b) Hệ quả:
Với u = ax + b ( a  0) , ta có ➢ 1 f
 (ax+b)dx = F (ax+b)+C . a ➢ n 1 n 1 +
(ax + b) dx = + +  − .
a (n + ) (ax b) C (n ) 1 1 ➢ 1 1 dx =
ln ax + b + C.  ax + b a ➢ (ax+b) 1 d ax+b e x = e + C.  a ax+b +  ➢ ax b 1  dx = + C.  a ln ➢ 1 sin
 (ax+b)dx = − cos(ax+b)+C. a ➢ 1 cos
 (ax+b)dx = sin(ax+b)+C. a ➢ 1 1 dx =
tan ax + b + C  . 2 cos (ax + b) ( ) a ➢ 1 1 dx = −
cot ax + b + C  . 2 sin (ax + b) ( ) a
➢ VD10: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: − a) ( x −  )7 2 3 dx ; b) 1 2 3 x dx  ; c) 1 dx  ; 3 + 2x − d) 4 5 x e dx  ; e) sin  (3x−2)dx f) cos  (3−4x)dx; Trang 122 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 1 g) dx  ; h) dx  .     π  2 cos 2x +   2 sin − 3x    4   3 
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
➢ Các bước tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Bước 1: Đặt t = u ( x).
Bước 2: Tính dt = u( x)dx .
Bước 3: Biến đổi f ( x)dx theo t và dt . Tính nguyên hàm mới theo t .
Bước 4: Thay t = u ( x) để được kết quả theo biến x . 2. Ví dụ minh họa
➢ VD11: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x +
a) I = x ( x +  )2021 2 dx ; b) ln 2 I = d . x  x
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... Trang 123 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
➢ VD12: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x + 2x − 3 a) I = d . x  x + 2 3x + 3 b) I = d . x  2 −x − x + 2 (2x + ) 1 c) I = d . x  2 x + x +1
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD13: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: cos x a) 2021 I = cos
x sin x dx  ; b) 3
I = cos x dx  ; c) I = dx  . 1 2 3 9 − 2sin x
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
➢ VD14: Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) 1 = biết F (0) = 2. 1 x + e−
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... Trang 124 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... ➢ −
VD15: Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm trên 0  ;1 thỏa mãn ( ) ( ) = 2 . f x f x x e và
f (0) = 0 . Tính f ( ) 1 .
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
III. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1) Dấu hiệu: Tìm họ nguyên hàm f ( x) g ( x) dx 
, trong đó f ( x) và g ( x) là hai trong bốn hàm
số sau lôgarit, đa thức, lượng giác, hàm mũ. 2) Công thức d u v = uv − d v u   . 3) Chú ý:
➢ Thứ tự ưu tiên u nhất lôgarit, nhì đa, ba mũ, tứ lượng.
➢ Phần còn lại đặt dv . 4) Ví dụ
➢ VD16: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x) = x cos x là
A. F ( x) = x sin x − cos x + C .
B. F ( x) = −x sin x − cos x + C .
C. F ( x) = x sin x + cos x + C .
D. F ( x) = −x sin x + cos x + C .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
➢ VD17: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x
f x = x e là 2 x 2 x A. x x
I = xe − e + C . B. x x
I = xe + e + C . C. x I = e + C . D. x x I =
e + e + C . 2 2
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 125 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai ➢ ln x
VD18: Họ nguyên hàm F (x) của hàm số f ( x) = là 2 x ln x 1 ln x 1
A. F ( x) = − + C .
B. F ( x) = − + + C . 2 x x 2 x x ln x 1 ln x 1
C. F ( x) = + + C .
D. F ( x) = − − + C . 2 x x 2 x x
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 100 - SGK: Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm còn lại? 2 − −  2   4 
a) e x và -e x ; b) sin 2x và 2 sin x ; c) 1− ex   và 1− ex .    x   x 
Bài 2 trang 101 - SGK: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x + x +1 x − a) f ( x) = ; b) f ( x) 2 1 = ; c) 3 x x e f ( x) 1 = ; 2 2 sin x cos x
d) f ( x) = sin 5x cos 3x ; e) f ( x) 2 = tan x ; g) ( ) 3 2x f x e − = ; 1 h) f ( x) = ( . 1+ x)(1− 2x)
Bài 3 trang 101 – SGK: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: a) ( − x)9 1
dx (đặt u = 1− x ); b) x  ( + x )3 2 2 1 dx (đặt 2 u = 1+ x ); c) 3 cos x sin d x x 
(đặt t = cosx ); dx d)  (đặt x u = e +1). x x e e− + + 2
Bài 4 trang 101 – SGK: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: a) x ln  (1+ x)dx; b) ( 2 + 2 −  )1 x x x e dx ;
c) x sin(2x +1) dx 
; d) (1− x)cos xdx .
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
[Mức độ 1] Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? Trang 126 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. k f
 (x)dx = k f
 (x)dx với k  . B.  f
 (x)+ g(x)dx = f 
 (x)dx+ g
 (x)dx với f (x); g(x) liên tục trên .  1  C. 1 x dx x + =    −  với . + 1 1  D. ( f
 (x)dx) = f (x). Câu 2:
[Mức độ 1] Tìm nguyên hàm F ( x) 2 =  dx  .  A. F ( x) 3 = + C .
B. F ( x) = 2 x + C . 3  x C. ( ) 2
F x =  x + C . D. F ( x) 2 2 = + C . 2 1 Câu 3:
[Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số 2
y = x − 3x + là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x 1 A. −
− ln x + C . B. − + + C . 3 2 2 3 2 x 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. −
+ ln x + C . D. −
+ ln x + C . 3 2 3 2 3 2  1  x 3x Câu 4:
[Mức độ 1] Áp dụng công thức nguyên hàm ta có 2 x − 3x + dx = − + ln x + C   .  x  3 2
Họ nguyên hàm của hàm số 3 2 f (x) =
x + 3x x là 3 2 2x x 9x x 2 3 2 5x x 27x x A. + + C . B. + + C . 4 8 3 8 2 3 2x x 9x x 2 3 2 2x x 9x x C. − + C . D. + + C . 3 5 3 8 Câu 5:
[Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x + x là 1 x 1 x 1 A. 2
ex + x + C . B. 2 e + x + C . C. 2 e +
x + C . D. ex +1+ C . 2 x +1 2 Câu 6:
[Mức độ 1] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 6 là A. 2
2x + 6x + C . B. 2
x + 6x + C . C. 2 2x + C . D. 2 x + C . Câu 7:
[Mức độ 2] F(x) của hàm số 3 2
f (x) = 4x − 3x + 2x − 2 thỏa mãn F(1) = 9 là: A. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2 . B. 4 3 2
F(x) = x − x + x +10 . C. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x . D. 4 3 2
F(x) = x − x + x − 2x +10 . 3 x −1 Câu 8:
[Mức độ 2] Tìm một nguyên hàm F(x) của f (x) = biết F (1) = 0 . 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3
A. F (x) = − + .
B. F (x) = + + . 2 x 2 2 x 2 Trang 127 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2 x 1 1 2 x 1 3
C. F (x) = − − . D. F (x) = + − . 2 x 2 2 x 2 Câu 9:
[Mức độ 3] Hàm số f ( x) xác định, liên tục trên
và có đạo hàm là f ( x) = x −1 . Biết rằng
f (0) = 3 . Tính f (2) + f (4) ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11. x + 3
Câu 10: [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm dx  . 2 x + 3x + 2 x + 3 x + 3 A.
dx = 2 ln x + 2 − ln x +1 + C  . B.
dx = 2 ln x +1 − ln x + 2 + C  . 2 x + 3x + 2 2 x + 3x + 2 x + 3 x + 3 C.
dx = 2 ln x +1 + ln x + 2 + C  . D.
dx = ln x +1 + 2 ln x + 2 + C  . 2 x + 3x + 2 2 x + 3x + 2
Câu 11: [Mức độ 3] Một nguyên hàm của hàm số 2
f (x) = x 1+ x là 1 1
A. F (x) = ( 1+x )32.
B. F (x) = ( 1+x )22. 3 3 2 2 x 1 C. F x = ( 2 ( ) 1+ x ) .
D. F (x) = ( 1+x )22. 2 2
Câu 12: [Mức độ 3] Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 2 1 ex f x x + = . + A.  ( ) 3 1 d = ex f x x + C . B.  ( ) 3 1 d 3ex f x x + = + C . 1 3 x + C. f  (x) 3 x 1 dx e + = + C . D. f  (x) 3 x 1 dx = e + C . 3 3 2 1− 2 sin x
Câu13. [Mức độ 3] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = .    2 2 sin  x +   4  A. f
 (x)dx = ln sin x+cos x +C . B. f  (x) 1 dx =
ln sin x + cos x + C . 2 C. f
 (x)dx = ln 1+sin2x +C . D. f  (x) 1 dx =
ln 1+ sin 2x + C . 2
Câu 13: [Mức độ 2] Tìm x e sin d x x  bằng đặt x
u = e và dv = sin x dx . Phát biểu nào sau đây là đúng? A. x sin d x = cos x e x x e
x − e cos x dx   . B. x sin d x = − cos x e x x e
x + e cos x dx   . C. x sin d x = cos x e x x e
x + e cos x dx   . D. x sin d x = − cos x e x x e
x − e cos x dx   .   
Câu 14: [Mức độ 2] Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f ( x) = x sin x thoả mãn F = 2022   .  2 
A. F (x) = x sin x + cos x + 2022.
B. F (x) = sin x − x cos x + 2021.
C. F (x) = x sin x − cos x + 2022.
D. F (x) = −x sin x − cos x + 2020.
Câu 15: [Mức độ 2] Họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x ln x là Trang 128 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai x 1 1 A. f ( x) 2 2 = ln x + x + C . B. f ( x) 2 2
= x ln x − x + C . 2 4 2 x 1 1 C. f ( x) 2 2 = ln x − x + C . D. f ( x) 2 2
= x ln x − x + C . 2 4 4 x   
Câu 16: [Mức độ 3] Tìm hàm số f ( x) , biết rằng f ( x) 2 = và f = 2022   . 1− cos 2x  2 
A. f ( x) = x tan x − ln sinx + 2020 .
B. f ( x) = x cot x + ln sinx + 2022 .
C. f ( x) = −x cot x − ln sinx + 2021.
D. f ( x) = −x cot x + ln sinx + 2022 .
Câu 17: [Mức độ 3] Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = (5 + ) 1 x f x x
e và F (0) = 3. Tính F (1) . A. F ( ) 1 = 11e − 3. B. F ( ) 1 = e + 3 . C. F ( ) 1 = e + 7 . D. F ( ) 1 = e + 2 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 18: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 3 f x = x là 1 A. 4 4x + C . B. 2 3x + C . C. 4 x + C . D. 4 x + C . 4
Câu 19: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos x + 6x là A. 2
sin x + 3x + C . B. 2
−sin x + 3x + C . C. 2
sin x + 6x + C .
D. − sin x + C .
Câu 20: [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số ( ) 3
f x = x + x là 1 1 A. 4 2 x + x + C . B. 2
3x +1+ C . C. 3
x + x + C . D. 4 2
x + x + C . 4 2
Câu 21: [Mức độ 1] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2x + 3 là A. 2
x + 3x + C . B. 2
2x + 3x + C . C. 2 x + C . D. 2 2x + C . 2
Câu 22: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = x + . 2 x x x A. f  (x) 3 1 dx = + + C . B. f  (x) 3 2 dx = − + C . 3 x 3 x x x C. f  (x) 3 1 dx = − + C . D. f  (x) 3 2 dx = + + C . 3 x 3 x
Câu 23: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = . 5x − 2 dx 1 dx A.
= ln 5x − 2 + C  . B.
= ln 5x − 2 + C  . 5x − 2 5 5x − 2 dx 1 dx C.
= − ln 5x − 2 + C  . D.
= 5ln 5x − 2 + C  . 5x − 2 2 5x − 2
Câu 24: [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 7x f x = . Trang 129 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai x 1 + x 7 x 7x A. 7 dx = + C  . B. x x 1 7 dx 7 + = + C  . C. 7 dx = + C 
. D. 7x d = 7x x ln 7 + C  . ln 7 x +1
Câu 25: [Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số 3 (x) x f
= e là hàm số nào sau đây? 1 1 A. 3 x e + C . B. 3x e + C . C. x e + C . D. 3 3 x e + C . 3 3
Câu 26: [Mức độ 1] Nguyên hàm của hàm số 2 1 e x y − = là − − 1 1 A. 2 1 2e x + C . B. 2 1 e x + C . C. 2 x 1 e − + C . D. ex + C . 2 2 − x  e 
Câu 27: [Mức độ 2] Họ nguyên hàm của hàm số x y = e  2 +  là 2 cos x   x 1 x 1 A. 2 x
e + tan x + C . B. 2 x
e − tan x + C . C. 2e − + C . D. 2e + + C . cos x cos x x + 2
Câu 28: [Mức độ 2] Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = trên khoảng (1; +) là x −1 3 3
A. x + 3ln ( x − ) 1 + C.
B. x − 3ln ( x − )
1 + C. C. x − + + + ( D. x C. x − ) C. 2 1 (x − )2 1
Câu 29: [Mức độ 2] Cho F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) 1 =
trên khoảng (1; +) thỏa mãn x −1 F (e + )
1 = 4 . Tìm F ( x) .
A. 2 ln ( x − ) 1 + 2 . B. ln ( x − ) 1 + 3 .
C. 4 ln ( x − ) 1 . D. ln ( x − ) 1 − 3 .
Câu 30: [Mức độ 2] Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x
f x = e + 2x thỏa mãn F ( ) 3 0 = . Tìm 2 F ( x) . x 5 x 1 A. F ( x) 2
= e + x + . B. F ( x) 2 = e + x + . 2 2 x 1 x 3 C. F ( x) 2
= e + x + . D. F ( x) 2 = 2e + x − . 2 2   
Câu 31: [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin x + cos x thoả mãn F = 2   .  2 
A. F ( x) = − cos x + sin x + 3 .
B. F ( x) = − cos x + sin x −1.
C. F ( x) = − cos x + sin x +1.
D. F ( x) = cos x − sin x + 3 .
Câu 32: [Mức độ 2] Biết F ( x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên .
Khi đó f (2x)dx  bằng 1 1 A. x 2
2e + 2x + C. B. 2 x 2 e + x + C. C. 2 x 2 e + 2x + C. D. 2x 2 e + 4x + C. 2 2
Câu 33: [Mức độ 3] Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 3 2 x 1 x e + = . Trang 130 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai  − − 1  1 A. 5 3 4 − 2 t − + 2t − dt = t
− t− − ln t + C   .  t  4 B.  ( ) 3 1 d 3 x f x x e + = + C . 1 C. f  (x) 3 x 1 dx e + = + C . 3 3 x + D. f  (x) 3 x 1 dx = e + C . 3 x − 3
Câu 34: [Mức độ 3] Khi tính nguyên hàm dx 
, bằng cách đặt u =
x +1 ta được nguyên hàm x +1 nào? A.  ( 2 2 u − 4)d u . B. ( 2 u − 4)d u . C. ( 2 u − 3)d u . D. u  ( 2 2 u − 4)d u .
Câu 35: [Mức độ 3] Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 3
= sin x cos x và F (0) =  .    Tính F   .  2           1    1 A. F =  −   . B. F =    . C. F = − +   . D. F = +   .  2   2   2  4  2  4
Câu 36: [Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) liên tục trên
. Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số ( )ex f x
. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) ex f x là
A. − sin 2x + cos 2x + C . B. 2
− sin 2x + cos 2x + C . C. 2
− sin 2x − cos 2x + C .
D. 2sin 2x − cos 2x + C .
Câu 37: [Mức độ 3] Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x) = x sin x là
A. F ( x) = x cos x + sin x + C.
B. F ( x) = x cos x − sin x + C.
C. F ( x) = −x cos x − sin x + C.
D. F ( x) = −x cos x + sin x + C.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 131 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 2 §2. TÍCH PHÂN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Định nghĩa
➢ Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn a;b. Hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x ), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.
➢ Diện tích hình thang cong:
Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x). Bằng cách chia nhỏ phần hình phẳng cần tính
diện tích ra thành các hình chữ nhật, người ta chứng minh được diện tích của hình thang cong
cần tìm là F (b) − F (a).
II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho f ( x) là hàm số liên tục trên  ;
a b . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của
f ( x) trên đoạn  ;
a b. Hiệu số F (b) – F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay gọi là tích b
phân xác định trên đoạn  ;
a b của hàm số f ( x) ). Kí hiệu là f ( x) dx  . a b f  (x) b
dx = F ( x) = F (b) − F (a) . a a 2. Tên gọi: b ➢
 là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên. a
➢ f ( x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. Trang 132 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
➢ f ( x) là hàm số dưới dấu tích phân. 3. Chú ý: a
➢ Nếu a = b thì f  (x)dx = 0 . a b a
➢ Nếu a  b thì f
 (x)dx = − f (x)dx . a b ➢ b b
Tích phân không phụ thuộc vào biến số: f
 (x)dx = f
 (u)du = F (b)− F (a). a a b
➢ Ý nghĩa hình học của tích phân: S = f  (x)dx . a
Với S là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x) trục Ox và hai đường
thẳng x = a , x = b ( f ( x) là hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn  ; a b ). III. TÍNH CHẤT b b
1. Tính chất 1: k f
 (x)dx = k f (x)dx (với k là hằng số). a a b b b
2. Tính chất 2:  f
 (x) g(x)dx = f 
 (x)dx g
 (x)dx. a a a b c b
3. Tính chất 3: f
 (x)dx = f (x)dx+ f (x)dx (với a  c  b). a a c 4. Ví dụ
➢ VD1: Tính các tích phân sau: 2   4 a) 3 3 x I = x − + e dx   ;
b) J = ( 2x +3 x )dx .  x  1 1
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... Trang 133 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
➢ VD2: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ( x) liên tục trên biết f ( ) 1 = 12 và 4 f 
 (x)dx =17. Tính giá trị của f (4). 1
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... 2 5 5
➢ VD3: Cho f ( x)dx = 3 −  , f
 (x)dx = 5 và g  (x)dx = 6. 1 2 1 5
Tính tích phân I = 2 f
 (x)−3g(x)dx  . 1
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... 2
➢ VD4: Tính tích phân I = x −1 dx  . 0
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
II. Bài tập trắc nghiệm Trang 134 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 3 Câu 1:
[Mức độ 1] Cho hàm số f ( x) liên tục trên và có f
 (x)dx = 2; f  (x)dx = 6. 0 1 3 Tính I = f
 (x)dx . 0
A. I = 8 .
B. I = 12 .
C. I = 36 . D. I = 4 . Câu 2:
[Mức độ 1] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;  3 và thoả mãn f ( ) 1 = 2 và 3
f (3) = 9 . Tính I = f   (x)dx. 1
A. I = 11.
B. I = 7 .
C. I = 2 . D. I = 18 . 2 Câu 3:
[Mức độ 2] Đặt I = (2mx + 
)1dx (m là tham số thực). Tìm m để I = 4 . 1 A. m = 1 − . B. m = 2 − .
C. m = 1. D. m = 2 .  2  1 Câu 4:
[Mức độ 3] Cho (x 1 sin 2x)dx    − + = − +1  
, với a, b là các số nguyên dương.  a b  0 Tính a + 2 . b A. 10 . B. 14 . C. 12 . D. 8 . 1 2x + 3 Câu 5:
[Mức độ 2] Biết tích phân
dx = a ln 2 + b 
( a , b  ). Giá trị của a bằng 2 − x 0 A. 7 . B. 2 . C. 3 . D. 1.   Câu 6:
[Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) xác định trên 1
\   thỏa mãn f ( x) 2 = và 2 2x −1 f (0) = 1; f ( ) 1 = 2
− . Giá trị của biểu thức f (− )
1 + f (3) bằng A. 2 + ln15 . B. 3 − ln15 . C. ln15 −1 . D. ln15 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 2 2 Câu 7: Cho f
 (x)dx = 3 và 3f
 (x)− g(x)dx =10 
. Khi đó g ( x) dx  bằng 1 1 1 A. 17. B. 1. C. 1 − . D. 4 − . Trang 135 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 8:
Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a, ,
b c là ba số bất kỳ trên khoảng K . Khẳng
định nào sau đây sai? a b a A. f  (x)dx =1. B. f
 (x)dx = − f
 (x)dx. a a b c b b b b C.
f ( x) dx + f ( x) dx = f ( x)dx, c    
(a;b). D. f
 (x)dx = f  (t)dt . a c a a a 0 Câu 9: Giá trị của x 1 e + dx  bằng 1 − A. 1− e . B. e −1. C. −e . D. e . 3
Câu 10: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên đoạn 1; 
3 , f (3) = 5 và f 
 (x)dx = 6. Khi đó f ( )1 bằng 1 A. 1 − . B. 11. C. 1. D. 10. a 875
Câu 11: Tìm số thực a  0 thỏa mãn ( 3
x − 6x)dx =  . 4 1 A. a = 4 − . B. a = 5 − . C. a = 6 − . D. a = 3 − . m Câu 12: Cho ( 2 3x − 2x + )
1 dx = 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( 1 − ;2) . B. ( ; − 0). C. (0; 4) . D. ( 3 − ) ;1 . 1 2 2x + 3x Câu 13: Cho
dx = a + b ln 2 + c ln 3  , với a, ,
b c là các số nguyên. Tổng a + b + c bằng 2 x + 3x + 2 0 A. 3 . B. 1. C. 1 − . D. 2 . 1 3
Câu 14: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn  1; − 3 thỏa mãn f
 (x)dx = 2 và f
 (x)dx = 4. Tính 0 1 3 f
 ( x )dx. 1 − A. 6. B. 4. C. 8. D. 2. 2 2 2
Câu 15: Biết  f
 (x)+ xdx =6  và 3 f
 (x)− g(x)dx =10 
. Tính I = 2 f
 (x)+3g(x)dx  . 0 0 0
A. I = 12 .
B. I = 16 .
C. I = 10 .
D. I = 14 .  2 4
− sin x + 7cos x b b
Câu 16: Biết rằng I = dx = a + 2 ln  với a  0 ; * , b c  ;
tối giản. Hãy tính giá trị 2 sin x + 3cos x c c 0
biểu thức P = a − b + c .   A.  −1 . B. +1. C. −1. D. 1. 2 2 Trang 136 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3 §2. TÍCH PHÂN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số 1.1. Định lý
➢ Định lý: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn  ;
a b . Giả sử hàm số x =  (t ) có đạo hàm
liên tục trên đoạn ;  sao cho  ( ) = a ,  ( ) = b và a   (t)  b với mọi t ; . b  Khi đó f
 (x)dx = f
 ((t))(t)dt . a 
➢ Chú ý: Chú ý nếu    thì ta xét ; . 1. 2. Ví dụ 1 x
➢ VD1: Tính tích phân sau: I =  d . 2 x + 3 0
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
➢ Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau: Cho hàm số b
f (x) liên tục trên đoạn  ;
a b . Để tính f ( x) dx 
, đôi khi ta chọn hàm số t = u ( x) làm biến số a
mới, trong đó trên đoạn  ;
a b , u ( x) có đạo hàm liên tục và u ( x) [
 ;  ] . Giả sử có thể viết
f ( x) = g (u ( x))u '( x) với g (u) liên tục trên đoạn [;  ]. u(b b b ) Khi đó, ta có f
 (x)dx = g
 (u(x))u'(x)dx = f  (t)dt . a a u(a) b
➢ Phương pháp: Tính g (u (x))u '(x)dx 
với f ( x) = g (u ( x))u '( x) . a
Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t = u ( x)  t
d = u '(x)d .x Trang 137 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
x = b → t = u (b)
Bước 2: Đổi cận: 
(Ghi nhớ: đổi biến phải đổi cận).
x = a → t = u  (a) u(b)
Bước 3: Đưa về dạng I = f 
(t) td đơn giản hơn và dễ tính toán. u(a) π 2
➢ VD2: Tính tích phân sau: 2
I = sin x cos x dx  . 0 Lời giải
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. 3
➢ VD3: Tính tích phân sau: 3 2
I = x x −1 dx  . 1
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. e + ➢ 8ln x 1
VD4: Tính tích phân sau: I = dx  . x 1
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. B. LUYỆN TẬP Trang 138 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai  2 Câu 1: [Mức độ 2] Cho sin x I = e cos x x 
d và sin x = t. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0  2 1 1 1 A. t I = e t.  d
B. I = dt.  C. t I = − e t.  d D. t I = e t.  d 0 0 0 0 1 dx Câu 2:
[Mức độ 3] Giá trị của tích phân I =  bằng 2 1+ x 0     A. I = . B. 3 I = . C. I = . D. 5 I = . 2 4 4 4
➢ Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm 1 dx
Sử dụng máy tính tính I =  0,79  . 2 1+ x 0
Sử dụng máy tính tính bấm các đáp án, đáp án nào cho kết quả gần bằng 0,79 thì chọn. 7 3 x dx a Câu 3:
[Mức độ 2] Giá trị của I = 
được viết dưới dạng phân số tối giản ( a , b là các số 3 2 + b 0 1 x
nguyên dương). Khi đó giá trị của a − 7b bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 1. − 5 1 Câu 4:
[Mức độ 3] Giả sử tích phân I =
dx = a + b ln 3 + c ln 5  . Lúc đó 1+ 3x +1 1 A. 4
a + b + c = . B. 5
a + b + c = . C. 7
a + b + c = . D. 8
a + b + c = . 3 3 3 3 1 4 Câu 5:
[Mức độ 2] Tính tích phân I = x  ( 2 1+ x ) dx . 0 A. 32 . B. 31 − . C. 30 . D. 31. 10 10 10 10
Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm 1 4 31
Sử dụng máy tính tính x ( 2 1+ x ) x =  d . 10 0 4 x e Câu 6:
[Mức độ 2] Với phép đổi biến u = x , tích phân dx  trở thành x 1 4 2 16 2 A. 1 2 u e d . u  B. 2 u e d . u  C. 2 u e d . u  D. u e du.  2 1 1 1 1
Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm 4 x e Sử dụng máy tính tính x  9, 34  d . x 1
Sử dụng máy tính tính các tích phân trong các đáp án, đáp án nào cho kết quả  9,34 chọn. e 3ln x +1 Câu 7:
[Mức độ 2] Cho tích phân I = dx 
. Nếu đặt t = ln x thì x 1 Trang 139 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 3t +1 e + e 1 A. 3t 1 I = dt.  B. I = dt.  C. I = (3t +  ) 1 dt.
D. I = (3t +  )1dt. t e t 0 1 1 0
Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm e + Sử dụng máy tính tính 3ln x 1 5 I = x =  d . x 2 1
Sử dụng máy tính tính các tích phân trong các đáp án, kết quả bằng 5 thì ta chọn đáp án đó. 2 3 12  x  Câu 8:
[Mức độ 2] Cho biết f
 (x)dx = 8. Tính tích phân I = f dx    .  4  1 4
A. I = 12.
B. I = 2.
C. I = 32. D. I = 3. e 2 x + 2 ln x Câu 9:
[Mức độ 3] Tính tích phân I = dx  . x 1 2 2 A. e 1 e +1 I = . B. 2
I = e +1. C. 2 I = e − . D. I = . 2 2 2 ln m x e dx
Câu 10: [Mức độ 3] Cho =ln 2 
. Khi đó giá trị của m là x e + 2 0
A. m = 4.
B. m = 2;m = 4.
C. m = 2. D. 1 m = . 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 x
Câu 11: [Mức độ 2] Tích phân x  d bằng 2 x + 3 0 1 7 7 1 3 1 7 A. log . B. ln . C. ln . D. ln . 2 3 3 2 7 2 3 2 2 3 x
Câu 12: [Mức độ 2] Cho tích phân I = x  d , nếu đặt 2
u = x +1 thì tích phân đã cho trở thành 2 + 0 x 1 9 u +1 9 u −1 9 u −1 2 2 u −1 A. I = u  d . B. I = u  d . C. I = u  d . D. I = u  d . 2 u 2 u 2u 2 u 1 1 1 0 3 x 2
Câu 13: [Mức độ 2] Cho tích phân I = dx  nếu đặt t = x +1 thì I = f (t) dt  trong đó 1+ x +1 0 1 A. 2
f (t) = 2t + 2t. B. 2
f (t) = t − t. C. 2
f (t) = 2t − 2t. D. 2
f (t) = t + t.   2 2 2 2
Câu 14: [Mức độ 2] Xét sin sin 2 x x e dx  , nếu đặt 2 u = sin x thì sin sin 2 x x e dx  bằng 0 0  2 1 1 1 A. u e du  . B. u e du  . C. u − e du  . D. 2 u e du  . 0 0 0 0 3 x a a
Câu 15: [Mức độ 3] Biết dx =  với a, b  và
là phân số tối giản. Tính 2 2
S = a + b . x +1 b b 0 Trang 140 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
A. S = 73.
B. S = 71.
C. S = 65 . D. S = 68 . 6 2
Câu 16: [Mức độ 2] Cho f
 (x)dx =12. Tính I = f  (3x) x d . 0 0
A. I = 6 .
B. I = 36 .
C. I = 2 . D. I = 4 . 2
Câu 17: [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên . Biết f
 (x)dx = 2020. 1 1 Tính I = f ( 2 x +  )1xdx 0 A. 2020 . B. 4040 . C. 1010 . D. 505 . 11 2
Câu 18: [Mức độ 3] Biết f
 (x)dx =18. Tính I = x2+ f  ( 2 3x −  )1dx  . 1 − 0
A. I = 10 .
B. I = 5 .
C. I = 7 . D. I = 8 . Vậy I = 4 + 3 = 7 . 3
Câu 19: [Mức độ 3] Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên và f
 (x)dx = 6. 1  2
Giá trị của I = cos x f (2sin x +  )1dx bằng 0 A. 3 . B. 12 . C. 6 . D. 4 . 3  3x + 2x khi x  2 −
Câu 20: [Mức độ 4] Cho hàm số f ( x) =  . 4 − 3x khi x  2 − 0 Tích phân f  ( 1
− + 2sin 2x)cos 2xdx bằng  − 4 1 1 47 1 A. . B. − . C. . D. − . 8 4 8 8 4
x + f ( x ) 2
Câu 21: [Mức độ 3] Tính tích phân I = x  d biết rằng f
 (x)dx = 2. x 1 1
A. I = 7 .
B. I = 5 .
C. I = 8 . D. I = 9 . e 1− ln x 1
Câu 22: [Mức độ 3] Biết =  d = + ( x
với a, b  . Tính 2 T 2a b . x + ln x)2 ae + b 1
A. T = 1.
B. T = 4 .
C. T = 2 . D. T = 3. 9 f ( x )
Câu 23: [Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên thỏa mãn x = 4  d và x 1  2 3 f
 (sin x)cos xdx = 2 . Tích phân I = f  (x) x d bằng 0 0 Trang 141 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
A. I = 2 .
B. I = 6 .
C. I = 4 . D. I = 10 . (x + 2)2017 2
Câu 24: [Mức độ 4] Tính tích phân I = x  d . 2019 x 1 2018 2018 3 − 2 2018 2018 3 − 2 2017 2018 3 2 2021 2021 3 − 2 A. . B. . C. − . D. . 2018 4036 4037 2017 4040  2 b
Câu 25: [Mức độ 3] Tích phân (4 cos 2x + 3sin 2x)
(cos x + 2sin x) x = aln 2−  ln d với a, , b c  và c 0
b là phân số tối giản. Tính 2 2 2
S = a + b + c . c
A. S = 29 .
B. S = 26 .
C. S = 27 . D. S = 21.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 142 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3 §2. TÍCH PHÂN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp tính tích phân từng phần:
➢ VD MỞ ĐẦU: b
Công thức udv = uv − vdu   . Tính udv = ?  a b b b
Lời giải: udv = uv − vdu   . a a a
➢ Định lý: Nếu u = u ( x) , v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  ; a b thì b b b b b u
 (x)v(x) b
dx = u ( x)v ( x) − u
 (x)v(x)dx hay udv =uv − vdu   . a a a a a a ➢ Phương pháp:
Bước 1: Chọn đặt u và dv thích hợp.
Bước 2: Tìm du và v .
Bước 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần. b
Bước 4: Tính tích phân udv  đơn giản hơn. a
➢ Chú ý: Dấu hiệu sử dụng tích phân Dạng tích phân b b Cách b
P ( x)sinx dx 
P ( x) cosx dx  b ( ) x P x e dx  a a
P ( x) lnx dx  đặt a a u P(x) P(x) P(x) ln x dv x e dx sin x dx cos x dx P(x) dx Trang 143 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2. Ví dụ: e
➢ VD1: Tính tích phân I = x lnx dx  . 1 Lời giải
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 1
➢ VD2: Tính tích phân = (2 +3) x I x e dx . 0
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… 1
➢ VD3: Tính tích phân I = x ln  ( 2 2 + x )d . x 0
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1.
[Mức độ 1] Tính tích phân = ( +  ) 2 1 x I x e dx . 0 Trang 144 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2 − 2 − A. 3e 1 3e 3 2
I = e . B. I = . C. I = . D. 2
I = 5e − 3. 4 4 1 Câu 2.
[Mức độ 2] Kết quả tích phân = (2 +3) x I x
e dx được viết dưới dạng I = ae + b với a, b là các 0
số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng. A. ab = 3. B. 3 3 a + b = 28 . C. a - b = 2 . D. a+2b = 1.  4 a c c Câu 3.
[Mức độ 3] Biết x ( 1+ sin2x) 2 dx = + 
với a , là phân số tối giản. Tính a + b + c + d . b d b d 0 A. 12 . B. 14 . C. 36 . D. 38 . 4 Câu 4.
[Mức độ 2] Biết I = x ln
 ( 2x +9)dx = aln5+bln3+c trong đó a, ,b c là các số thực. Giá trị của 0
biểu thức T = a + b + . c
A. T = 11.
B. T = 9 .
C. T = 10 . D. T = 8. 1 5 Câu 5.
[Mức độ 3] Biết f (5) =1 và x f
 (5x)dx =1. Khi đó giá trị của 2x f '  (x)dx bằng 0 0 A. 15 . B. 23. C. 25 − . D. 123 . 5 e  1  a c c Câu 6. [Mức độ 3] Biết 2 x + lnx dx = + e  
với a , là phân số tối giản. Tính a + b + c + d .  x  b d b d 1 A. 12 . B. 14 . C. 16 . D. 18 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN  4 Câu 1.
[Mức độ 1] Tính tích phân I = x cos2x dx 
ta được kết quả: 0     A. . B. . C. . D. . 8 4 2 3 π 2 u  = x Câu 2.
[Mức độ 1] Tính tích phân 2
I = x cos 2x dx  bằng cách đặt  . Mệnh đề nào dưới
dv = cos 2x dx 0 đây đúng? π π 1 1 A. 2 π I = x sin 2x
− xsin 2x dx  . B. 2 π I = x sin 2x
− 2 xsin 2x dx  . 0 2 0 2 0 0 π π 1 1 C. 2 π I = x sin 2x
+ 2 xsin 2x dx  . D. 2 π I = x sin 2x
+ xsin 2x dx  . 0 2 0 2 0 0 Trang 145 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 Câu 3.
[Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f (4) =1 và x f  (4x)dx =1. 0 4 Tính tích phân 2
x f '( x) dx  . 0 A. 16 . B. 16 − . C. 8 . D. 8 − .  4 1  Câu 4.
[Mức độ 2] Biết (1+ x) cos 2x dx = + 
( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab . a b 0
A. ab = 32 .
B. ab = 2 .
C. ab = 4 . D. ab = 12 . 2  4 Câu 5.
[Mức độ 3] Tính tích phân I = cos x d . x  0
A. I =  − 2 .
B. I =  + 2 . C. I =  − − 2 . D. I =  − + 2 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 146 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 3 §2. TÍCH PHÂN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH I. ĐỊNH NGHĨA b f  (x) b
dx = F ( x) = F (b) − F (a) . a a II. TÍNH CHẤT b b
1. Tính chất 1: k f
 (x)dx = k f (x)dx (với k là hằng số). a a b b b 2. Tính chất 2:  f
 (x) g(x)dx = f 
 (x)dx  g  (x)dx. a a a b c b
3. Tính chất 3: f
 (x)dx = f (x)dx + f (x)dx (a  c  b). a a c
III. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b
➢ Công thức:  f
 (u(x))u(x)dx = F u   ( x) b  = F u 
 (b) − F u   (a) . a a ➢ Phương pháp:
Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt t = u ( x)  dt = u(x)d . x
x = b → t = u (b)
Bước 2: Đổi cận: 
(đổi biến phải đổi cận).
x = a → t = u  (a) u (b)
Bước 3: Đưa về dạng I = f
 (t)dt đơn giản dễ tính toán. u (a)
IV. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b b
➢ Công thức: u
 (x)v(x) b
dx = u ( x) v ( x) − u
 (x)v(x)dx . a a a b b hay b
u dv = uv − v du   . (2) a a a ➢ Phương pháp
Bước 1: Chọn đặt u và dv thích hợp ( u = log, u = đa thức).
Bước 2: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần. b
Bước 3: Tính tích phân v du  đơn giản hơn. a B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK Trang 147 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Bài 3 trang 113 - SGK: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính: 1 1 x e (1+ x) a) 2 I = 1− x dx  ; b) I = dx  . 1 x + xe 0 0
Bài 4 trang 113 – SGK: Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính:  2 e a) I = ( x +  )1sin xdx ; b) 2
I = x ln x dx  ; 0 1 1 1 c) I = ln  (1+ x)dx; d) = ( 2 − 2 −  )1e−x I x x dx . 0 0
II. Bài tập trắc nghiệm ln 2 dx b ln 7 + c ln10 Câu 1:
[Mức độ 2] Cho I = = a +  với a, , b c  . 2 x e + 3 3 0
Tính giá trị của K = 2a + 3b + 4c .
A. K = 3 .
B. K = 7 .
C. K = 1. D. K = 1 − . 1 Câu 2:
[Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) thỏa mãn (x + )
1 f '( x) dx = 10 và 2 f ( ) 1 − f (0) = 2. 0 1 Tính I = f  (x)d .x 0 A. 12. − B. 8. C. 1. D. 8. − 2 Câu 3:
[Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) liên tục trên và f (2) =16, f  (x)dx = 4. 0 1 Tính I = x f '  (2x)dx. 0 A. 7 . B. 12 . C. 20 . D. 13 . 2 Câu 4:
[Mức độ 4] Cho hàm số f ( x) liên tục trên
thỏa mãn f (4) = 5 và 2 x f 
(2x)dx =10. Giá trị 0 4 của tích phân 3
x f '( x) dx  bằng 0 A. 80. B. 70. C. 60. D. 90.  1 2 1 Câu 5:
[Mức độ 3] Cho f ( x) liên tục thỏa f ( ) 1 = 1 và
f ( x) dx = 
. Tính I =  sin2x f '(sinx)dx . 3 0 0 A. 4 I = . B. 2 I = . C. 1 I = . D. 2 I = − . 3 3 3 3 1 Câu 6:
[Mức độ 4] Cho hàm số f ( x) thỏa mãn 2 x f ' 
(x)dx =12 và 2 f ( ) 1 − f '( ) 1 = 2 − . 0 Trang 148 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 Tính I = f  (x)dx . 0 A. 6. B. 5. C. 7. D. 8.  +1 x x e khi x  0 1 a Câu 7:
[Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) ( ) =  . Biết f
 (x)dx = + .ce, với a là phân 2
 x + x +1 khi x  0 b b 1 −
số tối giản. Giá trị của tổng a + b + c bằng A. 9. B. 11. C. 12. D. 14.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 1 Câu 1: [Mức độ 1] Cho f
 (x)dx = 3. Tính tích phân I = 2 f
  (x)−1dx  . 2 − 2 − A. 9 − . B. 3 − . C. 3 . D. 5 . 3 2 Câu 2: [Mức độ 2] Biết 2 x x +1 dx = 
(a− b), với a, b là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau 3 1 đây đúng?
A. a = 2b .
B. a  b .
C. a = b .
D. a = 3b . 1 Câu 3:
[Mức độ 2] Biết rằng tích phân (2 + ) 1 x x
e dx = a + be . Tích ab bằng 0 A. 1. B. 1 − . C. 15 − . D. 20 . Câu 4:
[Mức độ 3] Cho hàm số f ( x) và g ( x) liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn 2
f (0) f (2)  0 và ( ) ( ) = ( − 2)ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân I = f
 (x)g(x)dx? 0 A. 4 − . B. e − 2 . C. 4 . D. 2 − e .  1 2 3 Câu 5: [Mức độ 4] Cho f
 (2x+ )1dx =12 và f  ( 2
sin x)sin2x dx = 3. Tính f ( x)dx  . 0 0 0 A. 26. B. 22. C. 27. D. 15.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 149 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 3
§5. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a ;b , trục hoành b và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định S = | f  (x)|dx. a
y = f (x)  y = 0 b Ta có ( H ) :   S = | f  (x)|dx . x = a  a x = b
Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành, các đường
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. −x −
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) 2 = , trục hoành và các x −1 đường thẳng x = 1 − ; x = 0 . Lời giải
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 3x + 2 và trục hoành.
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. Trang 150 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Chú ý:
➢ Nếu đề bài chưa cho x = a , x = b ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao
điểm f ( x) = 0 để tìm cận tích phân. b b
➢ Nếu f ( x) không đổi dấu trên a;b thì S = | f
 (x)|dx = f  (x)dx . a a
➢ Phương pháp trắc nghiệm:
+ Xác định các yếu tố cần thiết như công thức y = f ( x) , y = 0 , x = a , x = b . b
+ Khi đó S = | f  (x)|dx. a
+ Sử dụng chức năng tính tích phân có sẵn trong máy tính Casio để tính.
2. Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên đoạn a ;b b
và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định S = | f
 (x)− g(x)|dx. a  y = f x C 1 ( ) ( 1)   b y = f x C 2 ( ) ( 2 ) Ta có ( H ) :   S = | f
 (x)− g(x)|dx. x = a a x = b
Ví dụ 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường ex y =
, y = 2 , x = 0 , x = 1 .
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = .
x ln x , y = x và hai đường thẳng x = 1 , x = e . Trang 151 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2
y = x − 3x + 2 và đường thẳng y = x –1.
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. Chú ý:
➢ Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm của hai hàm số đó.
➢ Nếu đề bài chưa cho x = a , x = b (cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ giao
điểm f ( x) = g(x) để tìm cận tích phân. B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 123 – SGK. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường: a) 2
y = x , y = x + 2 .
b) y = ln x , y = 1
Bài 2 trang 123 – SGK. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y = x +1; tiếp tuyến của
đường này tại điểm M (2;5) và trụcOy . 2 3  x  8 2
=  − 2x + 4x = .  3  3 0
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
[Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên  ;
a b . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng x = ;
a x = b và trục Ox được tính bởi công thức: b b a a A. S = f
 (x)dx. B. S = f  (x)dx . C. S = f
 (x)dx D. S = f  (x)dx . a a b b Câu 2:
[Mức độ 2] Cho hàm số f ( x) liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = f ( x) , y = 0; x = 1
− và x = 2 (như hình vẽ bên). Trang 152 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. S = − f
 (x)dx− f
 (x)dx. B. S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx. 1 − 1 1 − 1 1 2 1 2 C. S = f
 (x)dx− f
 (x)dx. D. S = f
 (x)dx+ f  (x)dx. 1 − 1 1 − 1 Câu 3:
[Mức độ 2] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x ; y = 3x − 2 được tính theo công thức 2 2 A. S = ( 2
x − 3x + 2)dx . B. S = −( 2
x − 3x + 2)dx . 1 1 2 2 2 2 C. S = ( 2
x − 3x + 2) dx .
D. S =  ( 2
x − 3x + 2) dx . 1 1 Câu 4:
[Mức độ 1] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào? 3 3 A. ( 2
x − 3x)dx . B. ( 2
−x + 3x)dx . 0 0 3 3 3 3 C. ( 2
x − 4x + 2)dx − (−x + 2)dx .
D. (−x + 2) dx + 
( 2x −4x+2)dx. 0 0 0 0 Câu 5:
[Mức độ 1] Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 4
y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1
− , x = 3 là: 243 244 242 1 A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt) 5 5 5 5 x −1 Câu 6:
[Mức độ 1] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) = , trục hoành, hai x
đường thẳng x = 1 và x = 2 là. Trang 153 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. ln2 . B. ln 2 −1. C. ln 2 +1. D. 1− ln 2 . Câu 7:
[Mức độ 2] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = x − x, y = 0, x = 0 và x = 2 được
tính bởi công thức: 2 2 1 A. ( 2
x − x )dx . B. ( 2
x − x)dx − ( 2
x − x)dx . 0 1 0 1 2 1 C. ( 2
x − x)dx + ( 2
x − x)dx . D. ( 2
x − x)dx . 0 1 0 Câu 8:
[Mức độ 2] Cho đồ thị hàm số y = f ( x) trên đoạn  2
− ; 2 như hình vẽ ở bên và có diện tích 2 22 76 S = S = , S = . Tính tích phân I = f
 (x)dx 1 2 3 15 15 -2 32 18 32 A. I = .
B. I = 8 . C. I = . D. I = − . 15 5 15 Câu 9:
[Mức độ 2] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào? 1 0 1 A.  ( 3 2
x + x − 2x)dx . B.  ( 3 2
x + x − 2x)dx − ( 3 2
x + x − 2x)dx . 2 − 2 − 0 1 0 1 C.  ( 3 2
−x − x + 2x)dx. D.  ( 3 2
x + x − 2x)dx + ( 3 2
x + x − 2x)dx . 2 − 2 − 0
Câu 10: [Mức độ 3] Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bởi các đường ex y =
, y = 0 , x = 0 , x = ln 4 .
Đường thẳng x = k chia (H ) thành hai phần có diện tích là S và S như hình vẽ bên. Tìm k 1 2 để S = 2S . 1 2 Trang 154 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 2 8 A. k = ln 4 .
B. k = ln 2 .
C. k = ln . D. k = ln 3. 3 3 III. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật thể. Khái niệm:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại các điểm
a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm x , (a  x  b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn  ; a b .
Người ta chứng minh được thể tích vật thể V của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng b
(P) và (Q) được tính bởi công thức: V = S  (x)dx a
2. Thể tích khối tròn xoay.
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , trục
hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox:
Ví dụ 1: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x −1, trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối
tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... Trang 155 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Ví dụ 2: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x , x = 0 , x = 1 và trục hoành. Tính thể tích V
của khối tròn xoay sinh bởi hình ( H ) quay quanh trục Ox .
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y =
tan x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = quanh trục hoành. 4
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Ví dụ 4: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2
y = x và đường thẳng y = 2x . Tính thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình ( H ) xung quanh trục hoành
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Chú ý: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x),
y = g ( x) (cùng nằm một phía so với Ox) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox : b
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: 2 V =  f  (x) 2
− g (x) dx . a
Ví dụ 5: Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P) 2 : y = x
và đường thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox . Trang 156 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
Ví dụ 6: Tính diện tích S của hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường cong 3
y = −x +12x và 2 y = −x .
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................... B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 4 trang 123 – SGK. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox :  a) 2
y = 1− x ; y = 0 .b) y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =  .c) y = tan x ; y = 0 ; x = 0 ; x = . 4
Bài 5 trang 123 – SGK. Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên Ox . Đặt POA =  và OM = R    0    , R  0 
 . Gọi H là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox  3 
a) Tính thể tích của H theo  và R .
b) Tìm  sao cho thể tích H là lớn nhất.
IV. Bài tập trắc nghiệm
Câu 11: Cho hình phẳng ( D) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x = 1 , y = 0 và y = 2x +1 . Thể tích
V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 1 1 1 A. V = (2x + 
)1dx. B. V = 2x +1dx  . C. V =  2x +1dx  . D. V =  (2x +  )1dx. 0 0 0 0
Câu 12: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = .
x ln x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1
; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới ( H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi 2 2 2 2 2 2
A. V =   ( .xln x) dx . B. V =  ( .
x ln x) dx . C. V =  ( .xln x) dx . D. V =   ( .xln x)dx. 1 1 1 1
Câu 13: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong x
y = e , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 1
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?  ( 2 e + ) 1  ( 2 e − ) 1 2 e 2 e −1 A. V = . B. V = . C. . D. V = . 2 2 2 2
Câu 14: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y = xe , y = 0 ,
x = 0 , x = 1 xung quanh trục Ox là Trang 157 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 1 1 1 A. 2 x V =  x e dx  . B. 2 2 x V = x e dx  . C. x V =  xe dx  . D. 2 2 x V =  x e dx  . 0 0 0 0
Câu 15: Cho miền phẳng ( D) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , hai đường thẳng x = 1 , x = 2 và trục
hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D) quanh trục hoành. 3 3 2 A. . B. 3 . C. . D. . 2 2 3
Câu 16: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 3x − x và trục hoành, quanh trục hoành. 8 81 85 41 A. (đvtt). B. (đvtt). C. (đvtt). D. (đvtt). 7 10 10 7
Câu 17: Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay
tạo thành được tính theo công thức nào? y f x 1 ( ) f x 2 ( ) O a x b b b A. V =   f
  (x)− f (x) 2 dx. B. 2 V =  f  (x) 2 − f x  dx  . 1 2 ( ) 1 2   a a b b C. 2 V =   f  (x) 2 − f x  dx  . D. 2 V =   f  (x) 2 − f x  dx  . 2 1 ( ) 1 2 ( )  a a
Câu 18: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường 3
y = x − x +1 , y = 0 , x = 0 , x = 2 . Gọi V là thể
tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2 2 A. V =  ( 3x − x+  )1dx. B. V = ( 3x − x+  )1 dx . 0 0 2 2 2 C. V =  ( 3x − x+  )1 dx . D. V =  ( 3 2 x − x +  )1dx . 0 0
Câu 19: Cho hình phẳng ( D) được giới hạn bởi các đường x = 0 , x =  , y = 0 và y = −sin x . Thể tích
V của khối tròn xoay tạo thành khi quay ( D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức   A. 2 V = sin xdx  . B. V =  sin x dx  . 0 0   C. 2 V =  sin xdx  .
D. V =   (−sin x)dx . 0 0
Câu 20: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường y = x −1, trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối
tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 7 7 7 A. V = . B. V = .
C. S = 1. D. V = . 3 6 6
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trang 158 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 21: [Mức độ 1] (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng 2 2 A.  ( 2 2
− x + 2x + 4)dx . B.  ( 2
2x − 2x − 4)dx . 1 − 1 − 2 2 C.  ( 2 2
− x − 2x + 4)dx. D.  ( 2
2x + 2x − 4)dx . 1 − 1 −
Câu 22: [Mức độ 1] (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y = 2x , y = 1
− , x = 0 và x =1 được tính bởi công thức nào sau đây? 1 1 1 1 2 A. S =  ( 2 2x + 
)1dx. B. S = ( 2 2x − 
)1dx . C. S = ( 2 2x + 
)1 dx. D. S = ( 2 2x +  )1dx. 0 0 0 0
Câu 23: [Mức độ 1] (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b trong hình dưới đây (phần gạch sọc)
có diện tích S bằng c b c b A. f
 (x)dx+ f
 (x)dx . B. f
 (x)dx− f
 (x)dx. a c a c c b c b C. − f
 (x)dx+ f
 (x)dx . D. − f
 (x)dx− f  (x)dx. a c a c
Câu 24: [Mức độ 1] (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Gọi S là diện tích miền hình phẳng được
gạch chéo trong hình vẽ dưới đây, với y = f ( x) là hàm số liên tục trên . Trang 159 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Công thức tính S là 2 2 A. S = − f
 (x)dx . B. S = f
 (x)dx . 1 − 1 − 1 2 2 C. S = f
 (x)dx− f
 (x)dx . D. S = f  (x)dx . 1 − 1 1 −
Câu 25: [Mức độ 1] (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Gọi ( D) là hình phẳng giới hạn bởi các đườ x ng thẳng y =
, y = 0, x = 1, x = 4 . Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( D) 4
quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây? 4 4 2 x 4 x x 4 2 x A.  dx  . B.  dx  . C.    dx   . D.  dx  . 16 4  4  4 1 1 1 1
Câu 26: [Mức độ 1] (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y =
x , trục Ox và hai đường thẳng x = 1; x = 4 quanh trục hoành được tính
bởi công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A. 2 V =  d x x  . B. V =  xdx  . C. V =  d x x  . D. V = x dx  . 1 1 1 1
Câu 27: [Mức độ 1] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho hình ( H ) được giới hạn như hình vẽ
Diện tích của hình ( H ) được tính bởi công thức nào dưới đây? b b A. g
 (x)− f (x)dx  . B.  f
  (x)− g(x) x d  . a a b b C. f ( x) x d  . D. g  (x)dx . a a
Câu 28: [Mức độ 1] (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện
tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là Trang 160 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 1 3 1 3
A. S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx . B. S = f
 (x)dx− f
 (x)dx . 0 1 0 1 3 1 3 C. S = f
 (x)dx . D. S = f
 (x)dx+ f  (x)dx . 0 0 1
Câu 29: [Mức độ 1] (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hình phẳng ( D) được giới hạn
bởi các đường f ( x) = 2x +1,Ox, x = 0, x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi
quay ( D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức? 1 1 1 1 A. V =  2x +1dx  .
B. V = (2x + 
)1dx . C. V =  (2x + 
)1dx . D. V = 2x +1dx  . 0 0 0 0
Câu 30: [Mức độ 1] (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện
tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là 1 3 1 3
A. S = − f
 (x)dx+ f
 (x)dx . B. S = f
 (x)dx− f
 (x)dx . 0 1 0 1 3 1 3 C. S = f
 (x)dx . D. S = f
 (x)dx+ f  (x)dx . 0 0 1
Câu 31: [Mức độ 2] (Chuyên KHTN - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 2
y = x + x và đồ thị của hàm số y = 2x + 2 bằng 1 3 53 9 A. . B. . C. . D. . 6 2 6 2
Câu 32: [Mức độ 2](Chuyên KHTN - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x + 3 và parabol 2
y = 2x − x −1 bằng 13 9 13 A. . B. . C. 9 . D. . 6 2 3 Trang 161 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 33: [Mức độ 2] (Chuyên KHTN - 2021) Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới
hạn bởi đường thẳng x = 2 và đồ thị 2
y = x khi quay xung quanh trục Ox . 4 5 32  A. . B. . C. . D. . 5 6 5 6
Câu 34: [Mức độ 2] (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Tính diện tích của hình phẳng (được tô đậm) giới hạn bởi hai đường 2 2
y = 2x , y = 4 . x 2 4 4 2 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 3 3
Câu 35: [Mức độ 2] (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = 2x − x và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay
quanh trục Ox. 4 16 4 16 A. V =  . B. V = . C. V = . D. V =  . 3 15 3 15
Câu 36: [Mức độ 2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 0 ; x = 1 ; = ex y x ; y = 0 là  1 1  A. ( 2e − )1 . B. ( 2e + )1. C. ( 2e − )1. D. ( 2e + )1. 4 4 4 4
Câu 37: [Mức độ 2] (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong x
y = e , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?  ( 2e − ) 1 2   ( 2e + ) e 2 e −1 1 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 2 2 2
Câu 38: [Mức độ 2] (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = ( x − )( 2
1 x − 5x + 6) và hai trục tọa độ bằng 11 1 11  A. . B. . C. . D. . 4 2 4 2
Câu 39: [Mức độ 2] (THPT Nguyễn Tất Thành - Hà Nội - 2021) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi các đường y = sin x, y = 0, x = 0 và x =. Quay hình phẳng
(H ) quanh trục Ox ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng 2   A.  . B. 2  . C. . D. . 2 2 Trang 162 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 40: [Mức độ 2] (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y = x − 5x + 4 và trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình ( H ) quanh trục Ox bằng 9 81 81 9 A. . B. . C. . D. . 2 10 10 2
Câu 41: [Mức độ 3] (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số 3 2
f (x) = ax + bx + cx + 4 và 2
g(x) = mx + nx
có đồ thị trong hình bên dưới.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng 9 37 37 9 A. . B. . C. . D. . 4 12 6 2
Câu 42: [Mức độ 3] (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2021) Cho hai hàm số f ( x) 1 3 2
= ax + bx + cx − và g (x) 2
= dx + ex +1 (a, ,
b c, d, e  ) . Biết rằng đồ thị hàm số 2
y = f ( x) = và y
g ( x) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 3 − ; 1 − ; 1 (tham khảo hình
vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng 9 A. 5 . B. . C. 4 . D. 8 . 2
Câu 43: [Mức độ 3] (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Gọi S là diện tích hình 2 x − 2x
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
, đường thẳng y = x −1 và các đường thẳng x = m x −1
, x = 2m (m  )
1 . Giá trị của m sao cho S = ln 3 là
A. m = 2 .
B. m = 3 .
C. m = 5 . D. m = 4 . Trang 163 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Câu 44: [Mức độ 3] (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường − x m n
y = 3 x , y = , x = 0 là S =
− . Tính tổng m + n . 3 3ln 3 6
A. m + n = 4 .
B. m + n = 2 .
C. m + n = 1.
D. m + n = 3 .
Câu 45: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi x , x lần lượt là hai 1 2
điểm cực trị thỏa mãn x = x + 2 và f ( x − 3 f x = 0. Đường thẳng song song với trục Ox 1 ) ( 2) 2 1
và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ x và x = x +1. Tính tỉ số 0 1 0
S1 ( S và S lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới). 1 2 S2 9 5 3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 8 5
Câu 46: [Mức độ 4] (Đề Tham Khảo 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
A , A , B , B như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 2 200.000 n v đ / m và phần còn 1 2 1 2 lại 2 100.000 n
v đ / m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết
A A = 8m , B B = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m ? 1 2 1 2
A. 5.526.000 đồng.
B. 5.782.000 đồng.
C. 7.322.000 đồng. D. 7.213.000 đồng.
Câu 47: [Mức độ 4] (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều
cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m , AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại
là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên
hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? Trang 164 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
A. 11445000 đồng.
B. 4077000 đồng.
C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng.
Câu 48: [Mức độ 4] (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho một mô hình 3 − D mô phỏng một đường
hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5(cm) ; khi cắt hình này bởi
mặt phẳng vuông góc với đấy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiề 2
u cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parobol cho bởi công thức y = 3 − x (cm) 5
, với x (cm) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị 3
cm ) không gian bên trong đường hầm mô hình ( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ) A. 29. B. 27. C. 31. D. 33.
Câu 49: [Mức độ 4] (THPT Hậu Lộc 2 - 2018) Cho hàm số = ( ) 3 2 y
f x = ax + bx + cx + d
(a, ,bc,d  ,a  0) có đồ thị là (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số
y = f ( x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị H = f (4) − f (2) . A. H = 45 . B. H = 64 . C. H = 51. D. H = 58 .
Câu 50: [Mức độ 4] Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên. Trang 165 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
Phần tô đậm được đính đá với giá thành 2
500.000đ/m . Phần còn lại được tô màu với giá thành 2
250.000đ / m . Cho AB = 4dm ; BC = 8dm . Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền
gần nhất với số nào sau đây. A. 105660667 đ.
B. 106666667 đ.
C. 107665667 đ. D. 108665667 đ.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 166 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG IV §1. SỐ PHỨC
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
1. Phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp.
➢ Số phức z là biểu thức có dạng z = a + bi ( 2
a,b  R,i = − ) 1 . Khi đó:
+ Phần thực của z là a ,
+ Phần ảo của z là b và i được gọi là đơn vị ảo.
➢ Số phức liên hợp của z là z = a + bi = a − bi . Đặc biệt:
➢ Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là z = a
➢ Số phức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (hay số thần ảo) và viết là
➢ Số i = 0 +1i = 1i .
➢ Số: 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 3
− + 5 ;i 4 − i 2; 0 + ;i 1+ 0i
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
Ví dụ 2. Tìm z , biết. a) z = 3
− + 2i b) z = 4 − 3i
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
2. Số phức bằng nhau. a = a
+ Cho hai số phức z = a + b i , z = a + b i (a , a ,b ,b  R . Khi đó: 1 2 =  1 2 2 2 ) 1 1 1 2 2 2 z z  1 2 b = b  1 2
Ví dụ 3. Tìm số thực ;
x y biết: (2x + )
1 + (3y − 2)i = ( x + 2) + ( y + 4)i
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. Trang 167 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
…………………………………………………………………………………………………….
3. Biểu diễn hình học của số phức, mô đun của số phức.
a) Biễu diễn hình học của số phức.
+ Số phức z = a + bi
(a,b )được biểu diễn bởi điểm M ( ; a b)
trong mặt phẳng tọa độ.
+ z và z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox .
b) Mô đun của số phức.
+ Mô đun của số phức z là 2 2
z = OM = a + b . + z = .
z z ; z = z .
Chú ý : Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn của z và z đối
xứng nhau qua trục Ox
Ví dụ 4: Các điểm ; A ;
B C; D biểu diễn cho số phức nào? Lời giải
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
…………………………………………………………………
………………………………………………………………… B. LUYỆN TẬP 1. Bài tập SGK
Bài 1 (Bài 1 trang 133 – SGK). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z , biết
a) z = 1−  i b) z = 2 − i c) z = 2 2 d) z = 7 − i .
Bài 2 (Bài 2 trang 133 – SGK). Tìm các số thực x, y biết
a) (3x − 2) + (2 y + ) 1 i = ( x + )
1 − ( y − 5)i
b) (2x + y) + (2y − x)i = ( x − 2y + 3) + ( y + 2x + ) 1 i
Bài 3. (Bài 4 trang 133 – SGK). Tính z biết a) z = 2
− + 3i b) z = 2 − 3i c) z = 5
− d) z = i 3 .
Bài 4. (Bài 6 trang 134 – SGK). Tìm z , biết. Trang 168 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
a) z = 1− i 2 b) z = − 2 + i 3 c) z = 5 d) z = 7i .
2. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
[Mức độ 1] Phần thực của số phức z = 5 − 2i bằng A. 5 . B. 2 . C. 5 − . D. 2 − . Câu 2:
[Mức độ 1] Cho số phức z = 3 + 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 3 − và phần ảo bằng 2 − .
B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 − .
C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 − i .
D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 . Câu 3:
[Mức độ 1] Cho số phức z = 1+ 2i . Số phức liên hợp của z là A. z = 1 − + 2i . B. z = 1 − − 2i .
C. z = 2 + i .
D. z = 1− 2i . Câu 4:
[Mức độ 1] Môđun của số phức z = 1
− + 2i bằng: A. 1. B. 5 . C. 3 . D. 5 . Câu 5:
[Mức độ 1] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( 3
− ;2) là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
A. z = 3 − 2i .
B. z = 3 + 2i . C. z = 3 − − 2i . D. z = 3 − + 2i . 3 4 1 2 Câu 6:
[Mức độ 2] Trên mặt phẳng toạ độ, điểm M là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?
A. z = 1− 2i
B. z = 1+ 2i C. z = 2 − + i
D. z = 2 + i 1 2 3 4 Câu 7:
[Mức độ 2] Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z = 3 − i + 2 ? A. M . B. N . C. Q . D. P . Câu 8:
[Mức độ 2] Cho số phức z = 1− 2i . Tìm phần ảo của số phức z . A. 2. B. 2 − . C. 1 − . D. 1. Câu 9:
[Mức độ 2] Tìm các số thực x và y thỏa mãn điều kiện (2x + 3) + (3y − )
1 i = ( x + 2) + ( y + 5)i Trang 169 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai x = 1 x = 1 − x = 1 − x = 1 A.  . B.  . C.  . D.  . y = 3 − y = 3 y = 3 − y = 3
Câu 10: [Mức độ 3] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm ,
A B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các
số phức 1 + i , 4 + i , 1 + 5i . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 5 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 11: [Mức độ 1] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = 3 − + 4i ? A. N (3; 4) . B. M (4;3) . C. P ( 3 − ;4) .
D. Q (4; − 3) .
Câu 12: [Mức độ 1] Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. z = 1+ 2i
B. z = 1− 2i
C. z = 2 + i D. z = 2 − + i
Câu 13: [Mức độ 1] Số phức liên hợp của số phức 5 − 3i là A. 3 − + 5i . B. 5 − − 3i .
C. 5 + 3i . D. 5 − + 3i .
Câu 14: [Mức độ 1] Số phức z = 4 − 3i có môđun bằng A. 2 2 . B. 25 . C. 5 . D. 8 .
Câu 15: [Mức độ 1] Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2i .
B. Phần thực bằng 3 − và phần ảo bằng 2 − .
C. Phần thực bằng 3 − và phần ảo bằng 2
− i . D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .
Câu 16: [Mức độ 1] Môđun của số phức z = 2 − 3i bằng: A. 5 . B. 13 . C. 5 . D. 13 .
Câu 17: [Mức độ 2] Biết rằng có duy nhất 1 cặp số thực ( x; y) thỏa mãn ( x + y) + ( x − y)i = 5 + 3i . Tính
S = x + 2 y .
A. S = 5. B. S = 4 .
C. S = 6 . D. S = 3.
Câu 18: [Mức độ 2] Trong mặt phẳng Oxy , gọi M , N theo thứ tự là các điểm biểu diễn cho số phức z
và z (với z  0 ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. M và N đối xứng với nhau qua trục Ox .
B. M và N đối xứng với nhau qua trục Oy .
C. M và N đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
D. M và N đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
Câu 19: [Mức độ 3] Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
phần ảo của z bằng 2 − là Trang 170 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. x = 2 − . B. y = 2 − .
C. y = 2x .
D. y = x + 2 .
Câu 20: [Mức độ 3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , 3 điểm ,
A B,C lần lượt là điểm biểu diễn của ba số
phức z = 3 − 7i, z = 9 − 5i và z = 5
− + 9i . Khi đó, trọng tâm G 1 2 3
là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây? 7
A. z = 1− 9i .
B. z = 3 + 3i . C. z = − i .
D. z = 2 + 2i . 3
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… Trang 171 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4
§2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ 1. Định nghĩa
➢ Quy tắc: Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến). * Tổng quát:
(a +bi)+(c + di) = (a + c)+ (b + d )i;
(a +bi)−(c + di) = (a −c)+(b − d ) .i 2. Ví dụ ➢ VD1. Tính
a) (5 + i) + (2 + 7i).
b) (3 + i) − (4 − 5i).
.........................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
Cách 2: Sử dụng máy tính Casio: Nhấn MODE + 2. II. PHÉP NHÂN 1. Định nghĩa
➢ Quy tắc: Theo quy tắc nhân hai đa thức (coi i là biến), khi thu gọn thay 2 i = 1 − . ➢ Tổng quát:
(a +bi) (c + di) 2 .
= ac + adi + bci + bdi = ac + adi + bci −bd.
Vậy (a + bi).(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc) . i 2. Ví dụ ➢ VD2. Tính
a) (3 + 4i) + (1− 2i)(5 + 2i).
b) ( x + 2i)(3 − 5xi), x  .
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực. Trang 172 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 135 – SGK. Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 − 5i) + (2 + 4i); b) ( 2 − − 3i) + ( 1
− − 7i); c)(4 + 3i) −(5− 7i);
d ) (2 − 3i) − (5 − 4i);
Bài 3 trang 136 – SGK. Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 − 2i)(2 − 3i); b) ( 1
− + i)(3+ 7i);
c)5(4 + 3i); d ) ( 2
− − 5i).4 .i
Bài 4 trang 136 – SGK. Tính 3 4 5
i , i , i . Nêu cách tính n
i với n là một số tự nhiên tùy ý.
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
Cho hai số phức z = 1+ 2i , z = 2 − 3i . Tổng của hai số phức z và z là 1 2 1 2
A. 3 + i .
B. 3 − 5i .
C. 3 + 5i .
D. 3 − i . Câu 2:
Tìm số phức liên hợp của số phức 3
z = i − (2 + i) . A. 2. B. 2 2. C. 2 − 2 . i D. 2 − + 2 .i 2 Câu 3:
Biết z = ( 2 + i) (1− 2i) , phần ảo của số phức z bằng A. 2 . B. − 2i . C. − 2 . D. 2i . 3 4 5 6 Câu 4:
Trong các số phức (1+ i) ,(1+ i) ,(1+ i) ,(1+ i) số phức nào là số phức thuần ảo? A. ( + )3 1 i . B. ( + )4 1 i . C. ( + )5 1 i . D. ( + )6 1 i . Câu 5: Cho số phức z = 2
− + i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ? A. P ( 2 − ) ;1 . B. N (2 ) ;1 . C. Q (1; 2) . D. M ( 1 − ; 2 − ) .   Câu 6:
Tìm số phức z thỏa mãn z − 2 = z và ( z + )
1  z− i  là số thực.   A. z = 1+ 2 . i B. z = 1 − − 2 .i C. z = 2 − . i D. z = 1− 2 . i Câu 7:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1+ i) z + (2 − i) z = 13 + 2i ? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4. Câu 8:
Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2i)( z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1; )1 − . B. (1 ) ;1 . C. ( 1 − ) ;1 . D. ( 1 − ;− ) 1 . 2 Câu 9:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 z + z + 4 và z −1− i = z − 3 + 3i ? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1+ z + 3 1− z . Trang 173 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai A. 3 15. B. 6 5 . C. 2 5 . D. 2 10 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 11: Cho số phức z = 7 − 5 .
i Tìm số phức  = z + iz
A.  = 12 +12i .
B.  = 12 + 2i .
C.  = 2 +12i .
D.  = 2 + 2i .
Câu 12: Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 2 − i . Số phức w = z z + z có phần thực bằng 1 2 1 2 2 A. 7. B. 9. C. 4. D. 3.
Câu 13: Cho hai số phức z = 2 − i và z = 1+ 2i . Khi đó phần ảo của số phức z .z bằng: 1 2 1 2 A. 2 − . B. 3i . C. 3 . D. 2 − i .
Câu 14: Cho số phức z = a + bi (trong đó a , b là các số thực) thỏa mãn 3z − (4 + 5i) z = 1 − 7 +11i . Tính ab . A. ab = 6 . B. ab = 3 − . C. ab = 3 . D. ab = 6 − .
Câu 15: Số phức z = a + bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn (1− 3i) z là số thực và z − 2 + 5i = 1. Khi đó a + b là A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 7 .
Câu 16: Gọi ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa 1  z −1  2 trong mặt phẳng phức. Tính
diện tích hình ( H ) . A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Câu 17: Xét các số phức z thỏa mãn ( z + 2i)( z − 2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất
cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng A. 2. B. 2 2. C. 4. D. 2.
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2.
Câu 18: Cho số phức z = a + bi (a,b  ) thỏa mãn z + 3 + i − z i = 0 . Tổng S = a + b + 2ab bằng A. 23 . B. 24 . C. 23 − . D. 24 − .
Câu 19: Cho số phức z = a + bi (a,b  ) thỏa mãn z + 2iz = 3 + 3i . Tính giá trị biểu thức 2019 2018 P = a + b . 4036 2019 3 − 3 4036 2019 3 − 3 A. P = − . B. P = . C. P = 2 . D. P = 0 . 2019 5 2019 5
Câu 20: Xét hai số phức z , z thỏa mãn ( z + 2 − i
3 + i = z − z và z − 3 + i = z +1− 2i . Giá trị 1 )( ) 1 2 1 1 2 2
nhỏ nhất của z − z bằng 1 2 34 28 A. 4 6 . B. 2 6 . C. . D. . 5 15 Trang 174 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4
§3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH
I. TỔNG VÀ TÍCH HAI SỐ PHỨC LIÊN HỢP 1. Ví dụ mở đầu: 3 + 4i 3 + 4i
Liệu rằng (1+ 2i).z = 3 + 4i có tương đương với z = 1+ không? Tính 2i 1+ như thế nào? 2i 2. Nhận xét
 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô-đun của số phức đó.
Vậy tổng, tích của hai số phức liên hợp là một số thực. 3. Ví dụ
➢ VD1: Hãy thực hiện các phép toán trong bảng dưới đây: z z
z + z . z z 2 − + i
3 − 4i
➢ VD2: Tìm số phức z thỏa mãn:
a) 3 + 4i = 5z . b) (1+ 2i) z = 5 − i .
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
II. PHÉP CHIA HAI SỐ PHỨC 1. Định nghĩa:
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho (a + bi) z = c + di . Số
phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: c + di z = a + . bi 2. Chú ý: + ➢ c di
Trong thực hành, để tính thương + a +
, ta nhân cả từ và mẫu với số phức liên hợp của a bi bi . 1 z ➢ = . 2 z z Trang 175 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 3. Ví dụ
➢ VD3: Thực hiện các phép chia sau đây: 3 + 4i 1+ i a) 1+ . b) 2i 2 − . 3i
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. + ➢ 6 3i
VD4: Kết quả của phép chia là: 5i 3 6 3 6 6 3 6 3 A. − i . B . + i . C. + i .
D. − i . 5 5 5 5 5 5 5 5
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………. B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 138 – SGK. Thực hiện các phép chia sau: 2 + i 1+ i 2 5i 5 − 2i a) c) 3 − b) 2i 2 + i 3 2 − d) 3i i 1
Bài 2a, 2b trang 138 – SGK. Tìm nghịch đảo
của số phức 𝒛, biết: z a). 1+ 2i . b) 2 − 3i .
Bài 3.a, 3b trang 138 – SGK. Thực hiện phép tính sau: ( +i)2 ( i)3 1 2
a) 2i (3 + i)(2 + 4i). b) . 2 − + i
Bài 4 trang 138 – SGK. Giải các phương trình sau:
a) (3 − 2i) z + 4 + 5i = 7 + 3i .
b) (1+ 3i) z − (2 + 5i) = (2 + i) z . z c)
+ (2 −3i) = 5− 2i 4 − . 3i Trang 176 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
II. Bài tập trắc nghiệm Câu 1:
[Mức độ 1] Cho số phức z thỏa mãn (1+ 2i) z = (1+ 2i) − ( 2
− + i) . Mô-đun của số phức z bằng: A. 2 . B.1 . C. 2 . D. 10 . Câu 2:
[Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z = 1
− + 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào
trong các điểm M , N, P,Q ở hình dưới đây.
A. Điểm M .
B. Điểm N .
C. Điểm P .
D. Điểm Q .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 3:
[Mức độ 1] Cho số phức z có số phức liên hợp z = 3 − 2i . Khi đó, . z z bằng: A. 13 . B .1 3 . C. 5 . D . 5 . Câu 4:
[Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn: z (2 − i) +13i = 1. Tính mô-đun của số phức w = z + 2i . A . 3 . B .1 8 . C. 34 . D. 3 2 . ( +i )3 1 3 Câu 5:
[Mức độ 2] Cho số phức z thỏa mãn: z =
. Tìm mô-đun của số phức z + iz . 1− i A. 4 2 . B . 4 . C. 8 2 . D . 8 . 1+ i Câu 6:
[Mức độ 3] Cho số phức z thoả mãn
là số thực và z − 2 = m với m  . Gọi m là một z 0
giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:  1   1   3   3  A. m  0; . B. m  ;1 . C. m  ; 2 . D. m  1; . 0          2  0  2  0  2  0  2  Trang 177 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4
§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
A. PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH ➢ VD MỞ ĐẦU:
Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình: a) 2
x − 2x + 5 = 0 b) 2
x − 2x − 5 = 0 c) 2 x +1 = 0
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM
+) b là căn bậc hai của số thực a âm khi: 2
b = a (a  0) . +) Ta có 2
a  0  a = i . a
+) Vậy căn bậc hai của số thực a (a  0) là: i a
➢ VD1: Tìm căn bậc hai các số sau: 1
− ;− 2;− 4;− 9;−13;0;1;4.
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
Nhận xét: Nếu a  0 thì các căn bậc hai của a là  a .
Nếu a = 0 thì căn bậc hai số 0 là 0. Nếu 2
a  0 (a = i a ) thì các căn bậc hai của số thực a: i a
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho pt bậc hai 2
ax + bx + c = 0 (a  0; a, , b c ) Tính: 2
 = b − 4ac b
*  = 0, phương trình có 1 nghiệm thực x = − 2a b −  
*  > 0, phương trình có 2 nghiệm thực: x = 1,2 2a Trang 178 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai b − i 
*  < 0, phương trình có 2 nghiệm phức: x = 1,2 2a Chú ý: Phương trình bậc hai: 2
a z + b z + c = a  ( 2 . . 0 ( 0)  = b − 4. . a c  0) . b − + i a b − − i a
Có hai nghiệm phức phân biệt: z = ; z = . 1 2 2.a 2.a +) Khi đó b c z + z = − ; z .z = − ; z = z . 1 2 1 2 1 2 a a
+) Hai số z ; z ( nếu có) lần lượt có tổng là S, có tích là P thì là nghiệm của phương trình bậc hai 1 2 sau: 2
x − Sx + P = 0 .
➢ VD 2: Giải phương trình bậc hai sau trên tập số phức: 2
z − 2z + 5 = 0
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
➢ VD 3: Giải phương trình 2
x + x +1 = 0 trên tập số phức.
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.
1. Câu hỏi lí thuyết về phương trình trên tập .
➢ VD 4: Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2 x + 4 = 0 b) 2 x + 2x +10 = 0
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
2. Tính toán biểu thức các nghiệm.
➢ VD 5: Trên tập hợp số phức. Gọi z , z ( z là số phức có phần ảo âm ) lần lượt là nghiệm của 1 2 1
phương trình sau trên tập hợp số phức: Trang 179 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai a) 2
z +1 = 0 . Tính z + 2z 1 2 b) 2
z − 2z + 5 = 0 . Tìm mô đun của số phức: 2z − z − i . 1 2
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
3. Ứng dụng định lí viet vào các nghiệm
➢ VD 6: Cho các số phức z = 3 + 2i, z = 3 − 2i . Tìm phương trình bậc hai có các nghiệm z , z ? 1 2 1 2
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
➢ VD 7: Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2
2z + 3z + 3 = 0 . 1 2 Tìm giá trị của 2 2 z + z ? 1 2
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
4. Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên mặt phẳng phức.
➢ VD 8: Trên tập hợp số phức cho phương trình 2
z − 2z + 50 = 0 . Gọi z , z là hai nghiệm phức 1 2
của phương trình ( z là số phức có phần ảo âm). Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức 1
w = z + 2 z − i trên mặt phẳng phức Oxy ? 1 2
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
……………………………………………………………………………………………………….. Trang 180 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai
➢ VD 9: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z + 2z + 2 = 0 . Tìm điểm biểu 1
diễn hình học của số phức liên hợp của số phức w = (1+ 2i)z ? 1
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
5. Hệ phương trình số phức.
➢ VD 10: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z −1 = z +1 = 5 ?
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
………………………………………………………………………………………………………..
➢ VD 11: Cho số phức z thỏa mãn z.z − z = 2 và z = 2 Số phức 2
w = z − z − 3i bằng?
………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….….
………………………………………………………………………………………………….…….
……………………………………………………………………………………………….……….
……………………………………………………………………………………………………….. B. LUYỆN TẬP I. Chữa bài tập SGK
Bài 1 trang 142 - SGK: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: 7
− ;−8;−12;− 20;−121.
Bài 1 trang 143 - SGK: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2 3
− x + 2x −1 = 0 ; b) 2
7x + 3x + 2 = 0 ; c) 2
5x − 7x +11 = 0 .
C. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Một căn bậc hai của 3 − là A. 9. B. − 3 . C. 3i . D. 3 − i . Câu 2: Giải phương trình 2
z − z +1 = 0 trên tập số phức. Trang 181 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai 3 1 1 3 A. z =  i .
B. z = 3  i .
C. z = 1 3i . D. z =  i . 2 2 2 2 Câu 3:
Gọi z và z là 2 nghiệm phức của phương trình 2
z − 2z + 5 = 0 , trong đó z có phần ảo dương. 1 2 1
Tìm số phức w = (z + z )z . 1 2 2 A. w = 2 − − 4i . B. w = 2 − + 4i .
C. w = 2 − 4i .
D. w = 2 + 4i . 2 2 Câu 4:
Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2z + 5 = 0 . Giá trị của z + z bằng 1 2 1 2 A. 10. B. 50. C. 5. D. 18. Câu 5:
Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 6z +18 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 2
P = ( z + z )2 bằng 1 2 A. 6 . B. 36 . C. 18 . D. 24 . Câu 6:
Kí hiệu z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z + 4 = 0 . Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn 1 2
của z , z trên mặt phẳng tọa độ. Tính T = OM + ON với O là gốc tọa độ. 1 2 A. T = 2 . B. T = 2 . C. T = 8 . D. T = 4 . Câu 7:
Gọi z , z là nghiệm phức của phương trình 2
z − 5z + 8 = 0 . Giá trị 2 2
z + z bằng 1 2 1 2 A. 41 . B. 9 . C. 16 . D. 17 . Câu 8:
Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z − 4z + 8 = 0 . Trên mặt phẳng tọa 0
độ Oxy , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz ? 0 A. Q (2; 2) . B. M ( 2 − ;2). C. P ( 2 − ; 2 − ) . D. N (2; 2 − ) . 1 1 Câu 9:
Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 2z + 4 = 0 . Giá trị của + bằng 1 2 z z 1 2 1 1 A. 2 . B. . C. 1. D. . 2 2
Câu 10: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2
z − 2z + 5 = 0 . Môđun của số phức 0
z + i bằng 0 A. 2. B. 2 . C. 10 . D. 10 .
Câu 11: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2
z + 2z +10 = 0 . Môđun của số phức 0
z − i bằng 0 A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 3 .
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 12: Trong
, nghiệm của phương trình 3
z − 8 = 0 là:
A. z = 2; z = 1+ 3 ; i z = 1− 3i .
B. z = 2; z = 1 − + 3 ;i z = 1 − − 3i . 1 2 3 1 2 3 C. z = 2 − ; z = 1 − + 3 ;i z = 1 − − 3i . D. z = 2
− ; z =1+ 3 ;i z =1− 3i . 1 2 3 1 2 3
Câu 13: Hai giá trị x = a + bi ; x = a − bi là hai nghiệm của phương trình: 1 2 A. 2 2 2
x + 2ax + a + b = 0 . B. 2 2 2
x + 2ax + a − b = 0 . C. 2 2 2
x − 2ax + a + b = 0 . D. 2 2 2
x − 2ax + a − b = 0 . Trang 182 Lop
Hãy học cho chính bản thân mình vì đây là năm học quyết định cho tương lai Câu 14: Trong
, nghiệm của phương trình 2
z + 4z + 5 = 0 là: z = 2 − − i
A. z = 2 − i . B. z = 2 − − i . C.  . D. z = 2 − + i  . z = 2 − + i Câu 15: Trong , phương trình 4
z −1 = 0 có nghiệm là: A 1  ; 2i . B. 2  ; 2i . C. 3  ; 4i . D. 1;   i .
Câu 16: Biết z ; z là hai nghiệm của phương trình 2
2z + 3z + 3 = 0 . Khi đó giá trị của 2 2
z + z là: 1 2 1 2 9 9 A. . B. 9 . C. 4 . D. − . 4 4
Câu 17: Gọi z ; z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z − 4z + 5 = 0 . Khi đó phần thực của 2 2
z + z là: 1 2 1 2 A. 5. B. 6. C. 4. D. 7.
Câu 18: Gọi z ; z là hai nghiệm phức của phương trình 2
z + 2z + 4 = 0 . Khi đó 2 2 A |
= z | + | z | có giá 1 2 1 2 trị là A. 7 − . B. – 8. C. 4 − . D. 8.
Câu 19: Tìm các căn bậc hai của 9 − . A. 3  i . B. 3. C. 3i . D. 3 − . Câu 20: Trong , phương trình 4
z + 4 = 0 có nghiệm là:
A.  (1− 4i);  (1+ 4i) .
B.  (1− 2i) ;  (1+ 2i) .
C.  (1− 3i);  (1+ 3i) .
D. ± (1− i) ;  (1+ i) .
Câu 21: Căn bậc hai của số phức 4 + 6 5i là:
A. − (3+ 5i) . B. (3+ 5i) . C.  (3+ 5i). D. 2.
Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình 2
z + 7z +15 = 0 có hai nghiệm z , z . Giá trị biểu thức 1 2
z + z + z z là: 1 2 1 2 A. –7. B. 8. C. 15. D. 22.
Câu 23: Giả sử z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z − 2z + 5 = 0 và A, B là các điểm biểu diễn của 1 2
z , z . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 1 2 A. I (1 ) ;1 . B. I ( 1 − ;0) . C. I (0 ) ;1 . D. I (1;0) .
Câu 24: Cho phương trình 2
z + mz − 6i = 0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì
m có dạng m =  (a + bi)(a,b  ) . Giá trị a + 2b là: A. 0. B. 1. C. 2 − . D. 1 − .
Câu 25: Cho phương trình 2
z − mz + 2m −1 = 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình
có hai nghiệm z , z thỏa mãn 2 2 z + z = 10 − là: 1 2 1 2
A. m = 2  2 2i .
B. m = 2 + 2 2i .
C. m = 2 − 2 2i . D. m = 2 − − 2 2i .
Câu 26: Gọi z , z là hai nghiệm của phương trình 2
z − 2z + 6 = 0 . Trong đó z có phần ảo âm. Giá trị 1 2 1
biểu thức M = z + 3z − z là: 1 1 2 A. 6 − 2 21 . B. 6 + 2 21 . C. 6 + 4 21 . D. 6 − 4 21 . Trang 183 Lop

Vở bài học môn Toán 12 phần Giải tích

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hình nón là gì? Công thức tính diện tích xung quanh hình nón | Toán 12

Đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT từ năm 2025 môn Toán

Đề thi thử TN THPT 2025 lần 1 môn Toán trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh

Lời giải chi tiết đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2025

Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Giang