2 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN ĐẠI CƯƠNG_1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN ĐẠI CƯƠNG
1. CẤU TRÚC ĐỀ THI VẤN ĐÁP
Câu 1. (3 điểm) Chương 1. (Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính)
Câu 2. (3 điểm) Chương 2. (Không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính)
Câu 3. (4 điểm) Chương 3. (Chuỗi số) hoặc chương 4. (Hàm số nhiều biến)
Nội dung ôn tập các câu Câu 1. -
Các phép toán trên ma trận, tính chất các phép toán trên ma trận. -
Định thức của ma trận và các tính chất của định thức. -
Giải hệ phương trình tuyến tính. - Tìm hạng của ma trận. -
Tìm ma trận nghịch đảo. Câu 2. -
Chứng minh một tập là không gian con -
Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tính -
Tìm ma trận của một ánh xạ tuyến tính -
Họ vectơ là độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính -
Chứng minh một hệ vectơ là một cơ sở -
Tìm toạ độ của vectơ theo một cơ sở -
Tìm một cơ sở và số chiều của một không gian vectơ -
Tìm giá trị riêng và vectơ riêng -
Tìm hạt nhân và ảnh của một ánh xạ tuyến tính -
Tìm một cơ sở và số chiều của Ker(f), Im(f) Câu 3. -
Xét sự hội tụ của chuỗi số dương -
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu -
Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa -
Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa -
Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và 2 - Tính vi phân toàn phần -
Tìm cực trị không điều kiện của hàm nhiều biến -
Tìm cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến (bằng cách đưa về tìm cực trị của hàm 1 biến) 2. BÀI TẬP
CHƯƠNG 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN
Bài 1. Cho các ma trận: 1 2 1 1 3 4       A  1 6 3 ; B  3 9 1  2     2 8 a 2 6 b     
a) Khi a 1 và b  2 , tính T 2 A  2 ; B 3A  4 ; B A . ; B A .
b) Tìm a để det(A)  2024.
c) Tìm b để hạng của ma trận B bằng 1.
d) Khi a 1, tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. e) Khi T
a  1 và b  2 , tìm ma trận X sao cho   3  T AX B  A .B
Bài 2. Tính các định thức sau: 2 3 1 2 3 5 1 1 2 3 2 6 3 4 1 a a a 2 3 5 7 1 1 2  x 2 3 1 11 4 3 1 2 4 8 a) b) c) d ) 4 2 5 1 2 3 1 5 5 4 0 1 1 3 9 27 2 9 7 5 2 2 3 1 9  x 9 3 2 7 1 4 16 64
Bài 3. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau(nếu có): 5 9 2   2 1 1 8 6     a)   b) 1 2 1 c) 3 1 2 7 5     0 0 1    1 1  0   1 2 3  1 1  2       d) A  5 3 7   e) A  1 6 1 .   6 3 1    2 3  2   
Bài 4. Tìm hạng của các ma trận sau (a là tham số thực): 1 3 5 1   2 2 2a 3  a a 1 1  2 4 7 9        4 1 3  4 4 a a  2 0 a)   A  5 7 8 2 1      b) B    c)C     5 4 2 3 5a a 1 0 0 6 9 12 9 10       6 7 7 2  3a 0 0 0 
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
 x  2x  3x  2x  6 1 2 3 4 
 2x  x  2x  3x  8 a) 1 2 3 4 
3x  2x  x  2x  4  1 2 3 4
2x 3x  2x  x  8   1 2 3 4
 x  2x  3x  2x  0 1 2 3 4 
 2x  3x  x  3x  0 a) 1 2 3 4 
3x  5x  2x  5x  0  1 2 3 4
4x  7x  5x  7x  0  1 2 3 4
x  4x  3x  x  0 1 2 3 4 
a) 2x  7x  x  2x  0 1 2 3 4
4x 15x 7x 4x  0  1 2 3 4 1 2 1 3   x   6  1       2 1 4 3  x 10 b) AX=b với 2 A    , X    , b   .  0 2 1 4  x   8  3       1 3 2 4  x    4  4
Bài 6. Tìm các số ,
x y, z,t sao cho
x y 4 3 2024 2025 a) .       
t z 5 4 2026 2027 7 6 x y 1  8 17 b) .        6 5 z t  1  9 20 1  5   1  x y 5 2 6 26 58 c) .        z 2 3 t 3 7   18  46   4 8
Bài 7. Tìm hai ma trận A vuông cấp 2 sao cho 2
A  4I , trong đó I là ma trận đơn vị cấp 2.
Bài 8: Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det(A)=2026. 
a) Tính định thức của ma trận B 10A. D 
biết C là ma trận có được từ ma trận A
b) Tính định thức của ma trận 4AC
bằng cách đổi chỗ hàng 1 và hàng 2 của ma trận A. Bài 9: 5 6 4   det 8 9 7  . x a  . y b  .
z c đúng với mọi , a , b c . Tính 2 2 2   . a) Biết rằng   x y z a b c    3 6 a   b) det 2  4 b  . x a  . y b  .
z c đúng với mọi  . Biết rằng   , a , b c . Tính 2 xy z  4 8 c   Bài 10:
a) Cho A là ma trận vuông cấp 3. Tính det(A) biết rằng det(2A)=16.
b) Cho A là ma trận vuông cấp 4 khả nghịch. Tính det(A) biết rằng det(3A-1)=243.
c) Tìm điều kiện của ma trận vuông A sao cho det(-A)=det(A).  a b c   m n  p     
Bài 11. Cho det x y z  2025   . Tính det 5  a  x 5  b  y 5  c  z   . m n p    4a 4b 4c     a b c   
Bài 12. Cho A  x y z và det   ( ) A  2026 m n p    x y z    Tính det 1
(4B ) với B  2m 2n 2 p .  
x  6a y  6b z  6c  
Bài 13. Giải các phương trình sau: 2 3 1 x x x 7  x 12 6 5  x 7 5 1 2 4 8 a) 10 19  x 10  0 b) 0 4  x 1  0 c)  0 1 3 9 27 12 24 13  x 2 8 3  x 1 4 16 64
Bài 14. Cho A là một ma trận vuông thoả mãn 2
3A  2025A  I . Chứng minh rằng A
là một ma trận khả nghịch.
Bài 15. Tìm a để ma trận sau có hạng bằng 4:  a 2025 2025 2025   2025 a 2025 2025 B     . 2025 2025 a 2025   2025 2025 2025 a 
Bài 16. Cho hệ phương trình:
x  x  x 1 1 2 3 
2x  x  x  b (*) 1 2 3
3x  x +ax  3  1 2 3 i) Tìm ,
a b để hệ (*) có nghiệm duy nhất. ii) Tìm ,
a b để hệ (*) có vô số nghiệm. iii) Tìm ,
a b để hệ (*) có nghiệm.
Bài 17. Tìm điều kiện của các tham số ,
a b sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ax  bx  bx  bx  1 1 2 3 4 bx 
 ax  bx  bx  1 1 2 3 4  .
bx  bx  ax  bx  2024  1 2 3 4 bx 
 bx  bx  ax  2025  1 2 3 4
CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1. Không gian con, hệ sinh, Hệ véc tơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến
tính, Cơ sở, số chiều, bài toán đổi cơ sở Bài 1: a) Trong
5 xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ:
u 3, 2,1, 0, 4 ;u 0, 2, 7,1, 4 ; u 2,1, 0,1, 0 ; u 5, 5,8, 2,8 1   2   3   4   b) Cho tập hợp
S  (a  3b, 2a  b, a,b) | a,b  
Chứng minh tập S là một không gian con của 4. Tìm cơ sở và số chiều của S. Bài 2:
1) Trong không gian các ma trận vuông cấp hai cho hệ véc tơ:  7 8 5 2 1  9 18 A  ; B  ;C         9 1 1  4 1  9 6 
Hỏi hệ ba véc tơ A;B;C có là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ? 2) Trong không gian
4 các hệ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
a) (5,2,3,1); (4,2,1,4);(1,1,3,2); (10,5,7,8)
b) (1,2,3,1); (2,1,3,4);(-1,0,2,3); (5,3,4,1); (-2,1,7,0).
Bài 3. Cho hệ phương trình tuyến tính A.X = b với: 1 2 1 3  x  0 1       7 15 1 1 x 0 2 A   ; X    ;b     8 17 2 4 x  0 3       9 19 3 7 x   0 4
a) Giải hệ phương trình ?
b) Gọi tập nghiệm của hệ là S. Chứng minh rằng S là một không gian véc tơ con của không gian 4 ?
c) Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm S và chỉ rõ số chiều của nó ?
Bài 4. Tìm một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính sau:
 x  2x  4x  3x  0 1 2 3 4 
x  x  6x  4x  0 1 2 3 4 
2x  3x 10x  7x  0  1 2 3 4 3
 x  5x 14x 10x  0  1 2 3 4  x x x  0 1 3 4   x x x 2  x  0
Bài 5: Cho hệ phương trình 1 2 3 4  2x x 3  x  0  1 2 4 3x x 2  x 5  x  0  1 2 3 4 a) Giải hệ.
b) Chứng minh tập nghiệm S của hệ là không gian con của 4.
c) Tìm cơ sở và số chiều của S.  x  1 2 3 4 1   0   x  
Bài 6: Cho hệ phương trình Ax  b với A  2 3 4 1 2     , x     ,b 0    x 3 4 1 2   3   0   x   4 a) Giải hệ.
b) Chứng minh tập nghiệm W của hệ là không gian con của 4.
c) Tìm cơ sở và số chiều của W.
Bài 7: Trong không gian
4 cho hai hệ véc tơ:
  (1;1;1;1);  (1;1;1;0);  (1;1;0;0);  (1;0;0;0) (1) 1 2 3 4   (1;0;2; 1
 );  (0;3;0;2);   (0;1;3;1);   (0; 1  ;0;1) (2) 1 2 3 4
a) Chứng minh rằng chúng là hai cơ sở của 4 .
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2).
c) Tìm tọa độ của α = (2;0;5;0) đối với cơ sở (2).
d) Tìm tọa độ của α = (2;0;5;0) đối với cơ sở (1). Bài 8: Trong
3 cho 2 hệ véc tơ B  u ,u ,u , B  v ,v ,v 1 2 3 1 2 3
với u  (2,0,1),u  (4, 2, 1
 ),u  (6,2,1) , v  (2,4,6),v  (1,1,2),v  (3,5,9) 1 2 3 1 2 3
a) Chứng minh B  u ,u ,u , B  v , v , v là các cơ sở của 3 1 2 3 1 2 3
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B  v , v , v sang B  u ,u ,u 1 2 3 1 2 3
c) Tìm ma trận tọa độ, véc tơ tọa độ của x trong cơ sở B ' biết  x  2,1,  1 . B Bài 9: Trong
3 cho 2 hệ véc tơ B  u ,u ,u , B  v ,v ,v 1 2 3 1 2 3 với u  (4, 1
 ,1),u  (2,1,0),u  (5,3,2) , v  (4,4,1),v  (2,2,0),v  (5,1,2) 1 2 3 1 2 3
a) Chứng minh B  u ,u ,u , B  v , v , v là các cơ sở của 3 1 2 3 1 2 3
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B  v , v , v sang B  u ,u ,u 1 2 3 1 2 3
c) Tìm ma trận tọa độ, véc tơ tọa độ của x trong cơ sở B' biết  x  1, 2,3 . B
2. Ánh xạ tuyến tính Bài 1. Cho ánh xạ 4 3 f :  xác định:
f  x , x , x , x  x  2x , x  x  2x , x  x  3x 1 2 3 4   2 3 1 2 4 1 3 4 
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.
c) Tìm Ker( f ) , Im( f ) , cơ sở và số chiều của Ker( f ) , Im( f ) .
Bài 2. Cho ánh xạ 4 3 f :  xác định:
f  x , x , x , x  x  2x  x , x  2x  x , x  2x 1 2 3 4   1 2 3 2 3 4 3 4 
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.
c) Tìm Ker( f ) , Im( f ) , cơ sở và số chiều của Ker( f ) , Im( f ) .
Bài 3. Cho ánh xạ tuyến tính 4 3 f : 
, biết ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc: 0 0 0 0   A  1 1  2 0   1 1 0 1   a. Tìm f.
b. Tìm Ker( f ) , Im( f ) , cơ sở và số chiều của Ker( f ) , Im( f ) .
Bài 4. Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của các ma trận sau. 2 6 a) A    1 7 5 1 0   b) A  4 2 0   1 4 3    1 4 6    c) C  3  7  7     4 8 7    Chương 3: CHUỖI
1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:  1  2 n 1  n   1 ! a)  b)  c)  1  1    2n   2 1 1 .2 n n 3n n 5n n 1 1 1
 1.5.9...4n 3  2 4n  3 d)  e)  n  n  n 2.5.8... 3 1 1   n 1   3 n  1  2  3  cos   n  1  n 1  3n 1 g) n   h)    i)  1   n  n 1  4n  2 3 n 2n n 1   2  tan  1 1  n   3 7 8n 10n  4 . n 4n 1 k)  l)    n 1  3n  3 2 n 3n 7 2 1 4n 6n 1  n    n 6n 7n n 3 n)  n 1 o)   5 1 1 p)   1 2 8 4  n   n  n  n n 6 n 5 n 1 1 1 1 2 n 2 1  2  1  2  1 1 1 q)         r)    5 2  5  n  5  2 2 2 2 5 8
2. Tìm khoảng hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: 1 3 5 7 a) 2x   1  2x  2 1  2x  3 1  2x  4 1  2 6 12 20   n   (n 1) n x (x  4) n 1 ( 1
 ) 5n(x  3)n b)  c)  d)  2 n 2 2  n   n  n 2 7 n 5 1 n 1  2 . 3n 1 1 n 1  3n n    1 x  1  n 3  8 n x n  2x 1 e)  f)  g)    2     n 1  n  2n  n n 2 1 3 n 1  5n 1 1  n n 2n  2 n  5 x  n x   9nx  h)  i)  k)       2   n    n   n 5 1 n 4 7 n 1  7n 1 1  1
3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: n  n  n  x (n  1) x n  2x 1 a) b) c)  5 2  n     n  n .2 1  n n 2 1 1  n    n 2 1 3 1 n  n 4 .
n  x  25  x 3  (x 1)n d)  e)  f)  3 n 2  n  n 4 ( 1) n 1  n 1 1 n 1  n
Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau: 2 2 cos x
a) z  1 x  y b) z  ln x  y   1 c) z   xy y x 1 2 2 2 d) z 
e) u  1  x  y  z f ) z   x  y 2 y x  y
2. Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: 3 3 x  y a) z = b)   2 2 z
ln x  x  y  c) 2 4 3 z  x  y : 2 2 x  y
d) z   x  y5 3 e) 2 y
z  sin x  e
f) z  ln 3 4 x  y   1 g) 2
z  cos ax  by h)   4 2 x y z sin x .e  
i) z  x  y  9 2 2
3. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: 2 3x  2 y  x  a) z = z  xy    c) 2 3
z  sin x  cos y : 5 x  b) xy  y  d) xy z  ye
e) z  cos x.ln  x  y  f) y
z  x  x  0.
4. Tính vi phân cấp một của hàm số tại một điểm cho trước: x  6 y a) Cho hàm số z 
. Tính dz 1; 2. 2 3 x y x b) Cho hàm số y 2
z  e  x y. Tính dz 0;  3.
c) Cho hàm số z  sin 2
x  2 y . Tính dz 0; 0. 2 d) Cho hàm số   y z x e  
1 . Tính dz 2;  1 .    e) Cho hàm số x y z  ln . 
 Tính dz1; 0.  x  y 
5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai và tính vi phân cấp hai của các hàm số sau: y y a) 2
z  x ln y b) 4 3 z 
 x y c) z  . x 2 3 x y 2 3 d) 2x y z xe  
e) z   x  y   x  y f)   2 2 z
x ln x  y 
6. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2
z  x  2xy  7x  6 y  y  5. b) 2 3 4
z  3x y  x  y  2, xy  0 . c) 4 4 2 2
z  x  3y  2x  3y  4, xy  0 .
d) z   x   y   50 20 1 2  
, x  1, y  2. x 1 y  2 e) 2 2
z  2x  y  2xy  2x  2 y 1. f) 2 2
z  x  xy  y  x  y  3. g) y
z  x  y  xe 14 . h) 3 3
z  x  y  3xy. i) 4 4 2
z  x  y  2( x  y )  1. 1
j) z  2xy   3 3
8x  y . 3 25 10 k) z  4xy  
x  0, y  0. x y
l) z   x  y 2 2 4  x  y .
7. Cực trị có điều kiện:
a) Tìm cực trị của hàm số z  xy  2 với điều kiện x  y  1.
b) Tìm cực trị của hàm số 2
z  3x  5xy với điều kiện x  y  16.
c) Tìm cực trị của hàm số 2 2
z  2x  6 y với điều kiện x  2y  6.
8. Xét một điểm cho trước có phải là điểm cực trị của hàm số hay không. a) Cho hàm số 3 3
z  x  2xy  8 y . Điểm M 0,0 có phải là điểm cực trị của hàm
số z không? Vì sao?  1 1  b) Cho hàm số 3 3
z  x  2xy  8 y . Điểm M , 
 có phải là điểm cực trị của  3 6 
hàm số z không? Vì sao?  5 7  c) Cho hàm số 2 2 z  3
 x  4y  2xy  2x  3y 1. Điểm M  ,   có phải  22 22 
là điểm cực trị của hàm số z không? Vì sao? 10 5  1 
d) Cho hàm số z  20xy   . Điểm M 1  , 
 có phải là điểm cực trị của x y  2 
hàm số z không? Vì sao? e) Cho hàm số 4 4 2 2
z  x  y  x  2xy  y  5. Điểm M 1,  1 có phải là điểm
cực trị của hàm số z không? Vì sao?